Infinity
kalligrafisch uitgebeeld door Kim Scott

STELLING. Op een lijnstuk liggen evenveel punten als op een rechte.

Op de onderstaande figuur zie je dat er met elk groen punt op de middellijn van de cirkel
precies één rood punt van de getekende rechte correspondeert en omgekeerd.
Het volstaat immers via een lijnstuk een willekeurig rood punt op de rechte
te verbinden met het middelpunt van de cirkel
en vervolgens het snijpunt van dat lijnstuk met de cirkel
loodrecht te projecteren op de middellijn van de cirkel.
Die projectie levert dan een groen punt op.

STELLING. Er zijn evenveel natuurlijke getallen als er gehele getallen zijn,
m.a.w. in de verzameling {0, 1, 2, 3, ...} zitten evenveel getallen als in {...,-3, -2, -1, 0; 1, 2 , 3, ...}.

Dit kan je gemakkelijk als volgt inzien.
Met een even natuurlijk getal n en laten we het positief geheel getal n/2 overeenkomen.
Met een oneven natuurlijk getal n laten we het negatief geheel getal -(n+1)/2 overeenkomen.
Zo komt met elk natuurlijk getal precies één geheel getal overeen en omgekeerd.

    

Het duurde tot in de 19de eeuw tot wiskundigen een  juist begrip hadden van 'oneindig veel'.
De wiskundigen Georg Cantor en David Hilbert leverden op dit vlak baanbrekend werk
en kwamen tot de conclusie dat de verzamelingen van de natuurlijke getallen, 
van de gehele getallen en van de rationale getallen 'aftelbaar oneindig' veel elementen bevatten,
terwijl dat voor de verzameling van de reële getallen niet waar is:

  (alef-nul)  ≠   (alef-één)
 
Een goed bewaard geheim van Georg Cantor
(lees meer hierover in de bijlage).

Over het werk van Cantor verneem je ook  meer op
http://www.math4all.nl/Wiskundegeschiedenis/Wiskundigen/Cantor.html

In het volgende filmpje leer je dat ∞ + 1 = ∞ en dat 2 • ∞ = ∞
wat aanleiding gaf tot de paradox van het Hilberthotel.

Bijlagen:
Oneindig Robbert Dijkgraaf.pdf (765.6 KB)   

Zopas vernam ik het onverwacht overlijden van collega Leon van den Broek op zondag 8 december 2013.

Leon was hier in Kortrijk in 2009 als gastspreker aanwezig op de Dag van de Wiskunde
en hij sprak met enthousiasme en enige fierheid over de vele wiskunde-activiteiten
waarmee hij - na een loopbaan van 34 jaar in RSG Pantarijn in Wageningen -
zijn dagen op een zinvolle manier wist te vullen:

directeur van de Nederlands Kangoeroewedstrijd,
medewerker aan het steunpunt Wiskunde D van de Radboud Universiteit Nijmegen,
auteur van de Wageningse Methode, van Ratio, van talrijke artikels en Zebraboekjes
en van experimentele materialen voor het toekomstig wiskunde-onderwijs (na 2014).

Een man met een enorme verdienste die droomde en liet dromen.

Hierbij past meteen een woord van dank aan collega Odette De Meulemeester
die me met Leon en zijn werk in contact bracht.

Zijn boekje "Mijn mooiste MATHE ..." is een potpourri van wiskundige verrassingen
die hij zelf als zijn memoires beschouwde.

Omdat op mijn blog kwadraatgetallen en de stelling van Pythagoras
en de toepassingen ervan terugkerende items zijn,
vermeld ik hier graag twee van Leons wiskundige verrassingen.

DE RIJ DIE OVER DE KWADRATEN HEEN LOOPT

Bekijk de rij t_n = n + int(½ + √n) voor n = 1, 2, 3, 4 ...
waarbij int(x) staat voor het geheel gedeelte van x.
Zo is bijvoorbeeld int(3,14) = 3.
Dan blijkt deze rij termen over de kwadraten heen te springen,
m.a.w. alle positieve gehele getallen duiken op in de rij
behalve de kwadraatgetallen 1, 4, 9, 16 ....

Referentie: On-Line Encycclopedia of Integer Sequences

DE LOODLIJNEN VAN PYTHAGORAS

Teken op de zijden van een scherphoekige of rechthoekige driehoek naar buiten toe vierkanten.
Kies binnen (of op de rand van de driehoek) twee punten en trek vanuit die punten loodlijnen op de drie zijden.
Bekijk binnen de vierkanten de stroken tussen deze loodlijnen.
Twee van de stroken hebben samen dezelfde oppervlakte als de derde strook.

Weet je ook hoe hieruit de stelling van Pythagoras volgt?

13-12-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

PROBLEEM 23

Voor geen enkel positief geheel getal n
is het getal 2⁴ⁿ  + 2²ⁿ + 1 een priemgetal.
Bewijs dit.

  UITVINDING 23 

Met de opkomst van de elektriciteit doken meteen ook een aantal problemen op.
De primitieve schakelaars waren onveilig en zorgden vaak voor vonken.
Daarom bedacht men een hulpstuk dat op een schakelaar werd gemonteerd.
Het handvat bestond uit isolerend materiaal
en doordat manueel contact met de schakelaar zelf niet meer nodig was,
werden zo heel wat kleine accidentjes vermeden.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 23_oplossing.pdf (47.1 KB)   

Had je het al opgemerkt?
Vandaag is het weer een bijzondere datum
voor wiskundigen (en niet-wiskundigen).

Op 11-12-13 om 14:15 uur valt er iets te vieren.

 We doen het met een hap lekkere pudding en een REKENRAADSEL.

Kan jij door de getallen 11, 12, 13, 14 en 15 elk één keer in te vullen
in het bovenstaande schema precies 100 als uitkomst bekomen?

11-12-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Weet jij wat er verkeerd gaat in het onderstaande 'bewijs'?

BIJ EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
IS DE SCHUINE ZIJDE GELIJK AAN
DE SOM VAN DE TWEE RECHTHOEKSZIJDEN

a + b = e + d
a + b = (g + i) + (f + h) 
a + b = (k + m + o + q) + (j + l + n + p)
...
Dus geldt dat de lengte van de gebroken lijn (trap) gelijk is aan a + b
ongeacht het aantal 'treden'.
Laat nu het aantal 'treden' van de trap naar oneindig naderen
dan zal (in de limiet) gelden dat c = a + b.

ZOEK EENS OP VAN WELK GRIEKS WOORD HYPOTENUSA IS AFGELEID EN WAT HET JUIST BETEKENT !

In de bijlage zit een variatie op deze 'stelling'
waarbij we  'bewijzen' we dat bij een gelijkzijdige driehoek
elke zijde even lang is als de som van beide andere zijden.

Bijlagen:
Gelijkzijdige driehoek - foute stelling.pdf (64 KB)   

Weet jij wat er verkeerd gaat in de onderstaande berekeningen
van de waarde voor het getal π ?

PI = VIER

 PI = 3,14

09-12-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

PARADOX VAN DE SAMENVALLENDE VERJAARDAGEN

Hoe groot schat je de kans dat er bij een toevallige samenkomst van 23 personen
minstens 2 personen zijn die op dezelfde dag verjaren?

Meestal denkt men dat die kans 23/365 is of ongeveer 6,3%.
Via elementaire kanswetten weten we echter dat de kans P
dat er bij n personen minstens 2 op  dezelfde dag verjaren gelijk is aan

Voor n = 23 komen we zo op een kans van 50,73%
en bij 30 personen is die kans zelfs al 70,63%.



EXPERIMENT

Vraag aan 10 personen om een getal van 1 tot en met 30 op te schrijven.
Je wedt dat er minstens twee zullen zijn die hetzelfde getal hebben gekozen.
Wellicht aanvaardt men die weddenschap
omdat men de kans op succes inschat op ongeveer 1 op 3.
In werkelijkheid is de kans P op succes hier gelijk aan

Je kunt dit zelf eens uittesten op een EXCEL-blad.
Via de instructie =GEHEEL(ASELECT()*(30-1)+1)
kiest de computer immers een willekeurig geheel getal van 1 tot 30.

Hieronder zie je resultaat van mijn experiment
waarbij ik de computer 10 keer 10 getallen van 1 tot 30 liet kiezen.

Tot mijn verbazing had ik 9 keer op 10 succes.
Het gebeurde drie keer dat er twee dezelfde koppels werden gekozen
en zelfs één keer (in de derde kolom) waren er drie dezelfde koppels.

Probeer jij het ook eens?

08-12-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

DE BRAZUCA EN WISKUNDE

Geef nu zelf toe: de BRAZUCA, de officiële wedstrijdbal voor het WK-voetbal in Brazilië heeft wel iets!
BRAZUCA is het Portugees voor 'Braziliaans' en verwijst naar de Braziliaanse levenswijze.

Ook vanuit wiskundig standpunt bekeken is de BRAZUCA een aantrekkelijk symmetrisch object.
Het is opgebouwd uit zes identieke stukken in de kleuren blauw, groen en oranje
en in de contactpunten ontstaan acht zwarte driehoeken
die geen boldriehoeken zijn omdat de zijden ervan niet op grote cirkels liggen. 

  

Wist je dat de Franse wiskundige Albert Girard (1595 - 1632)
 als eerste een formule publiceerde voor de oppervlakte van een boldriehoek?

Hij week omwille van de godsdienstoorlogen met zijn familie uit naar Leiden
en maakte er kennis met het werk van Simon Stevin.
In 1626 publiceerde hij een boek over driehoeksmeting
waarin hij als eerste de afkortingen sin, cos en tan gebruikte.
In dat boek vinden we ook zijn elegante formule voor de oppervlakte van een boldriehoek: 

α + β + γ = π + (opp. Δ ABC)/r²    (*)

waarbij α, β en γ de hoeken in radialen zijn van Δ ABC en r de straal van de bol.

Uit die formule kan je afleiden dat de som van de hoeken van een boldriehoek groter is dan 180°.
Bij de driehoeken op de Brazuca-voetbal is de som van de hoeken duidelijk kleiner dan 180°.
 
Een bewijs van de formule (*) vind je in de bijlage. Met dank aan Martin Kindt.

Bijlagen:
Oppervlakte boldriehoek - Martin Kindt.pdf (182.2 KB)   

LOGISCH?

Men wikkelt blijkbaar meer en meer chocoladefiguurtjes in zilverpapier
omdat door de CO₂-uitstoot chocolade nu ook vlugger gaat smelten.
Maar door de productie van zilverpapier verhoogt de CO₂-uitstoot ...

Meer en meer ouders brengen hun kinderen met de auto naar school.
Met al die auto's vinden ze het immers niet meer veilig
om hun kinderen te voet of met de fiets naar school te sturen ...



Vraag:  "Is het waar dat trouwen op een vrijdag ongeluk brengt?"
Antwoord: "Ik zou niet weten waarom de vrijdag een uitzondering zou zijn."

De meeste auto-ongevallen gebeuren binnen een straal van 5 km van de eigen woonplaats.
Waarom gaat niet iedereen dan 10 km verderop wonen? 
 

06-12-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

VLAAMSE WISKUNDE BLIJFT AAN DE EUROPESE TOP

De Vlaamse leerlingen presteren wat wiskunde betreft nog steeds uitstekend binnen Europa maar moeten in hun Aziatische leeftijdsgenoten hun meerdere erkennen. Vlaanderen komt uit op een negende plaats in de wereldwijde rangschikking van landen en regio’s. De top zeven is volledig Oost-Aziatisch, met Shanghai op één, gevolgd door Singapore, Hong Kong en Korea.

Dat blijkt uit de resultaten van Pisa 2012, een driejaarlijkse vergelijking van de prestaties van 15-jarige leerlingen op vlak van wiskunde, lezen en wetenschap in 65 landen. Deze keer stond wiskunde daarin centraal.

De Vlaamse leerling moet met een score van 531 in Europa alleen zijn leeftijdsgenoten uit de dwergstaat Liechtenstein laten voorgaan. Vlaanderen deelt zijn positie met Zwitserland.

Vlaanderen gaat achteruit

Bij de laatste editie van Pisa die in het teken van wiskunde stond, die van 2003, stond Vlaanderen helemaal bovenaan en liet het de beste Oeso-landen, Finland en Korea, achter zich. De gemiddelde Vlaamse 15-jarige scoorde toen 553 punten. In vergelijking met tien jaar geleden moeten we dus 22 punten inleveren.

Het blijkt ook dat we minder leerlingen hebben in de best presterende groep: 8,7 procent tegen 12,4 procent in 2003.

Zes testvragen

Scoor jij voor wiskunde even goed als de gemiddelde 15-jarige leerling?
Doe dan even de test in bijlage!

Bron: Het Nieuwsblad 04-12-2013

Het PISA-rapport zit in bijlage.

Bijlagen:
PISA-rapport 2012.pdf (3.9 MB)   
Pisa-test wiskunde.pdf (161.8 KB)   

HOE WIN JE ALTIJD BIJ 'VIER OP EEN RIJ'?

Nu de lange winteravonden voor de deur staan,
en de Sint deze nacht over de daken zal waaien,
komen de gezelschapspelletjes binnenkort weer boven.

Wiskundigen hebben recent het spelletje 'VIER OP EEN RIJ' opgelost,
dat wil zeggen dat ze een tactiek gevonden hebben waarmee je altijd wint.
De enige voorwaarde om zeker te winnen is  dat je zelf eerst aan zet bent
en dat je natuurlijk het spel op de goede manier verder speelt
zodat jouw tegenstander nooit vier van zijn schijven op een rij krijgt.

Het bovenstaande filmpje vertelt je hoe je zeker wint.



SUCCES! 

05-12-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

EINSTEINRAADSELTJES 

Professor Robbert Dijkgraaf gaf op 29 november 2013
voor het VARA-programma DWDD University (DWDD = De Wereld Draait Door)
een gastcollega over het beroemdste genie aller tijden: Albert Einstein.
Einstein is een icoon van onze tijd. Hij bedenkt de relativiteitstheorieën en E = mc².
Zijn naam alleen al is een metafoor voor grote intelligentie.
Robbert Dijkgraaf laat zien dat Einstein niet alleen intelligent is,
maar ook een grootheid als het gaat om verbeelding en creativiteit.
 
Qua opzet vergelijkbaar met zijn vorige colleges (De Oerknal en Het Allerkleinste)
neemt Dijkgraaf ons aan de hand van historische beelden,
spectaculaire animaties, en een ‘maquette van ruimte en tijd’
mee op een reis door het leven en de gedachtewereld van Einstein.


Einstein test nog graag even jouw wiskundig inzicht aan de hand van twee raadsels.

MEETKUNDERAADSEL
De onderstaande rechthoek is opgedeeld in 4 gebieden.
Bij het gele en het blauwe gebied staat de oppervlakte ervan vermeld.
Wat is de oppervlakte van het oranje gebied?

GETALLENRAADSEL
Kan je de onderstaande som berekenen zonder rekentoestel?
19² – 18² + 17² – 16² +  ... + 5² – 4² + 3² – 2² + 1²

Oplossingen in bijlage.  

Bijlagen:
Oplossing Einsteinraadseltjes.pdf (171 KB)   

POPEYE-PARADOX

Popeye heeft een bootje in elkaar geknutseld.
Hij staat op een 3 meter hoge oever en zijn bootje drijft 4 meter van de oever verwijderd. 
 Hij trekt nu het bootje naar de kant toe door het touw dat eraan is vastgemaakt één meter in te trekken.
Paradoxaal genoeg zal het bootje dan meer dan één meter naderen tot de kant!

Kan je dat verklaren?

 

ANTWOORD IN BIJLAGE

Bijlagen:
Popeye-paradox verklaard.pdf (196.9 KB)   

ZWANGERSCHAP EN WISKUNDE

Het was de Duitse gynaecoloog Franz Naegele (1778-1851)
die als eerste een formule bedacht voor de vermoedelijke bevallingsdatum.

Bevallingsdatum = eerste dag van de laatste menstruatie + 9 maanden + 7 dagen.

Zo kwam hij uit op een zwangerschapsduur van ongeveer 280 dagen.
Recente statistieken wijzen uit dat de gemiddelde duur μ 281 dagen bedraagt
met een standaardafwijking σ van 13 dagen.

Volgens de statistieken duurt bij 68,2 procent van de zwangere vrouwen
de zwangerschap tussen 268 en 294 dagen.

Ziehier nog een aanverwant wiskundig vraagstukje.

Een moeder is 27 jaar ouder dan haar dochter
en over 3 jaar zal ze 13 keer zo oud zijn als haar dochter.
Waar bevindt de vader zich nu?

Je krijgt 3 minuten en 24 seconden de tijd om dit vraagstukje op te lossen
en dat is precies de tijd om het onderstaande filmpje te bekijken.
Wie de oplossing niet vindt, kan zijn licht opsteken in de bijlage.

Bijlagen:
Oplossing zwangerschapsraadsel.pdf (152.9 KB)   

SELFIE

 De 'SELFIE', een digitale foto die je van jezelf hebt genomen,
is volgens de Britse Oxford Dictionary gekozen tot het woord van het jaar 2013
en dit is nu ook de winnaar in Vlaanderen.

Selfie: een goed-gevoel-woord!

Hopelijk krijg  jij ook een goed gevoel
als je de onderstaande raadsels kunt oplossen ...

RAADSEL 1

Anja staat naar een foto te kijken en zegt:
"Broers en zussen heb ik niet,
maar de moeder van deze vrouw
is de dochter van mijn moeder."
Wie staat er op die foto?

RAADSEL 2

Birgit zegt tegen haar zus:
"Ik ben enkele minuten eerder geboren dan jij.
Wij hebben geen zussen en toch zijn wij geen tweeling."
Hoe kan dat?

RAADSEL 3

Mag in China een man wettelijk hertrouwen met de zuster van zijn weduwe?

RAADSEL 4

Claudia beweert dat haar grootvader vier jaar jonger is dan haar vader?
Hoe kan dat?

RAADSEL 5

Een gynaecoloog uit Leuven heeft een broer die advocaat is in Gent.
Toch heeft die advocaat geen broer die in Leuven woont.
Hoe verklaar je dit?

RAADSEL 6

Mike heeft evenveel broers als zussen.
Zijn zus Amira heeft twee keer zoveel boers als zussen.
Hoeveel kinderen telt dit gezin?

RAADSEL 7

Gert is 54 jaar en zegt tegen zijn collega Lisa:
"Ik ben nu drie keer zo oud als jij was
toen ik zo oud was als jij nu bent."
Hoe oud is Lisa nu?

RAADSEL 8

Mijn vader heeft één zus en geen broers.
Geertrui is de schoonzus van mijn vaders zuster.
Welke familieband heb ik dan met Geertrui?



Oplossingen in bijlage

Bijlagen:
Oplossing van de 8 raadsels.pdf (48 KB)   

Katja heeft een rare manier om twee getallen
tussen 10 en 100  met elkaar te vermenigvuldigen.
Kijk maar:

Had jij het zo al bekeken:
(10a + b) x (10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd ?

 

29-11-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

In de 19de eeuw doken heel wat vraagstukjes op over zandlopers.
We vermelden hier twee van die klassieke probleempjes.


PROBLEEM 1

Hoe kan je met een zandloper van 3 minuten
en een zandloper van 4 minuten 
een tijdsinterval van 5 minuten afmeten?


PROBLEEM 2

Hoe kan je met een zandloper van 4 minuten
en een zandloper van 7 minuten
een tijdsinterval van 9 minuten afmeten?



In bijlage zitten de oplossingen
en in een tweede bijlage behandelt collega Koen De Naeghel
dit soort vraagstukjes op een meer algemene wiskundige manier.

Bijlagen:
Twee zandlopers - Koen De Naeghel.pdf (292 KB)   
Zandlopers - oplossingen.pdf (88.9 KB)   

 

PROBLEEM 25

Stel S_A(n) = de derdemacht van de som van de eerste n oneven natuurlijke getallen
d.w.z. S_A(n) = [1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1)]³
   en S_B(n) = de som van de derdemachten van de eerste n oneven natuurlijke getallen 
d.w.z. S_B(n) = 1³ + 3³ + 5³ + ... + (2n – 1)³.
Toon aan dat S_B(n) = 2n⁴ – n²
en dat S_A(n) –  S_B(n) een kwadraatgetal is voor elke waarde van n.

Wanneer bakkers hun deeg lieten gisten, hadden ze vaak last van ongedierte.
Daarom werd deze gistingskorf ontworpen die bestond uit een speciaal soort riet.
Men plaatste het deeg in de korf die met een folie werd afgesloten.
Om te controleren of het deeg hoog genoeg was gerezen,  keek men na
of de hendel die zich boven de korf bevond voldoende was omhoog gegaan.

Bijlagen:
COSMOSPROBLEEM 25_oplossing.pdf (156.6 KB)   

DE BRUID VAN DE SULTAN

Sultan Abu Gheil Sharif besluit zich een jonge vrouw als bruid te kiezen.
Er zijn precies 100 kandidaten.
De sultan heeft zijn hofwiskundige geraadpleegd en die gaf hem de volgende raad:
"Laat eerst 100/e of ongeveer 37 meisjes voorbijparaderen (e = 2,718... is het getal van Euler)
en kies daarna het eerstvolgende meisje dat je geschikt vindt, als bruid."
Hoe groot is de kans dat er toch nog een betere keuze is bij de resterende kandidaten?

Het onderstaande filmpje probeert hierop een antwoord te geven.

In de bijlage vind je een wiskundige verklaring van deze paradox
die eigenlijk een gevolg is van een experiment van Michelson en Morley in 1887
waarbij ze konden aantonen dat de lichtsnelheid constant is, d.w.z. onafhankelijk van de waarnemer.

Bijlagen:
TIJDDILATATIE verklaard.pdf (75 KB)