Misschien zou zelfs Audrey Hepburn zich verwonderd hebben over het volgende magisch wiskundig rekenwerkje!
Bestaan er natuurlijke getallen a, b, c ... verschillend van nul die voldoen aan (a + b + c + ...)2 = a3 + b3 + c3 + ... ?
WERKWIJZE OM DERGELIJK GETALLEN TE VINDEN.
Schrijf een willekeurig natuurlijk getal op en schrijf daarnaast al zijn delers op. Schrijf daaronder hoeveel delers elk van die delers zelf heeft. Meteen heb je een oplossing voor het probleem gevonden.
VOORBEELD 1. Het getal 8 heeft als delers 1, 2, 4 en 8. 1 heeft 1 deler, 2 heeft 2 delers, 4 heeft 3 delers en 8 heeft 4 delers.
Dan is (1 + 2 + 3 + 4)2 = 13 + 23 + 33 + 43.
VOORBEELD 2. Het getal 50 heeft als delers 1, 2, 5, 10, 25 en 50 1 heeft 1 deler, 2 heeft 2 delers, 5 heeft 2 delers 10 heeft 4 delers, 25 heeft 3 delers en 50 heeft 6 delers.
In 1976 gaf ik voor het eerst wiskundeles aan een groep enthousiaste jonge snaken van de 4de Wetenschappelijk A en 4de Latijn-wiskunde in het toenmalige Kortrijkse Sint-Jozefinstituut.
Op 15-11-2013 zagen we elkaar - na 37 jaar - terug in het Parkhotel en blijkbaar heeft de energie die ik toen in deze groep investeerde heel wat rendement opgebracht.
We hadden het die avond onder andere over ...
... het fel gewaardeerde opvoedingsproject van de Broeders van de Christelijke Scholen
... de legendarische studiereizen naar Londen en Parijs
... de onverdroten inzet van de leerkrachten
... de deugddoende contacten met de meisjesschool aan de overkant van 't Plein
... en het bewijs dat 1 = 1.
Ik dacht er meteen ook aan dat het priemgetal 37 nog een heel bijzondere eigenschap heeft. Schrijf een getal op van 3 cijfers dat een veelvoud is van 37, bijvoorbeeld 518 (= 14 x 37). Schrijf dan de twee cyclische permutaties op van dat getal. Die bekom je door telkens het achterste cijfer vooraan te zetten: 851 en 185. Trek het kleinste af van het grootste: 851 185 = 666 (= het getal van het Beest). Welke twee andere uitkomsten kan je bekomen en waarom?
Schrijf een willekeurig groot getal op waarin het cijfer 0 echter niet voorkomt.
Voorbeeld: 764497429418437761482.
Tel het aantal even cijfers, het aantal oneven cijfers en het totale aantal cijfers en schrijf die aantallen naast elkaar op zodat je weer een getal bekomt: 12 even cijfers, 9 oneven cijfers en 21 cijfers in totaal geeft 12921.
Herbegin hierop dezelfde bewerking: 12921 heeft 2 even cijfers, 3 oneven cijfers en 5 cijfers in totaal en dit geeft het getal 235.
Blijf dezelfde bewerking herhalen: 235 heeft 1 even cijfer, twee oneven cijfers en 3 cijfers in totaal. Dit geeft uiteindelijk het getal 123.
Hieronder staat genieten een magisch dominovierkant waarbij de som van het aantal stippen op de 4 blokjes in elke rij, in elke kolom en op de twee diagonalen gelijk is aan 18.
DOMINOSTENEN EN DRIEHOEKSGETALLEN
Toen ik onlangs de 28 dominoblokjes volgens het onderstaande patroon op tafel legde, deed ik een merkwaardige ontdekking wanneer ik het aantal stippen op de blokjes in elke rij samentelde. Elk van de sommen (63, 45, 30, 18, 9 en 3) blijkt immers het drievoud van een driehoeksgetal te zijn.
In bijlage vind je ook nog het gekende probleem van de DOMINOSTENEN OP EEN SCHAAKBORD
Als veralgemening van de gulden snede op een lijnstuk en een gulden rechthoek denkt men uiteraard aan een gulden balk. Dit is een balk met als afmetingen L, Lϕ en L/ϕ waarbij ϕ het getal is van de gulden snede.
Kan je de volgende twee opgaven oplossen?
OPGAVE 1. Toon aan dat de lichaamsdiagonaal [AB] van een gulden balk als lengte 2L heeft.
OPGAVE 2. Een balk heeft een volume van 1 dm³, een hoogte van 1 dm en de lichaamsdiagonalen hebben een lengte van 2 dm. Toon aan dat dit een gulden balk is.
Een collega stuurde me onlangs een afbeelding op van een klok waarbij de uren op een originele manier staan aangeduid.
Ik bedacht hierop een variatie waarbij enkel de vier hoofdbewerkingen worden toegepast op de getallen 3, 6, 9 en 12.
Kan je nu zelf de getallen van 1 tot en met 12 vormen door de hoofdbewerkingen (+, -, x en :) toe te passen op de cijfers 1, 2 , 3 en 4 en waarbij elk van deze 4 cijfers telkens juist één keer wordt gebruikt? Ook haakjes mag je uiteraard gebruiken.
In bijlage zit een oplossing waarbij ik enkel +, - en x (en haakjes) heb gebruikt.
Met het eindejaar in zicht kan iedereen wel een financieel toetje gebruiken. Ziehier een suggestie om 10 euro bij te verdienen met een beetje rekenwerk.
Opgelet! De nieuwe
bankbiljetten hebben een reeksnummer dat met twee letters begint.
Voor dergelijke biljetten moet je bij stap twee uiteraard elk van de twee
letters vervangen door hun positiegetal in het alfabet.
En bij stap 3 moet je dan bij de som 2 optellen (omdat het reeksnummer begint
met twee letters).
EEN LEUK WEETJE OVER EEN BELGISCH BANKBILJET VAN 1000 FRANK (UIT DE JAREN '50)
Tussen 18 en 31 oktober 1914 vond de slag aan de IJzer plaats met aan de ene zijde de Franse, Engelse en Belgische troepen en aan de andere zijde het Duitse leger. Dit laatste wilde niet liever dan de rivier over te steken om zo door te stoten tot Duinkerke. Op bevel van Koning Albert I probeerde het Belgische leger de IJzer als frontlinie te behouden. De Duitsers bleven echter beuken op de frontlinie in Diksmuide en Nieuwpoort.
Sluiswachter en binnenschipper Hendrik Geeraert kwam toen op het lumineus idee om de IJzervlakte onder water te zetten door het openen van de sluisdeuren van het waterreservoir van de Noordvaart bij Nieuwpoort. Hij deed in de nacht van 29 op 30 oktober 1914 met de toestemming van koning Albert I. Hierdoor liep heel de IJzervlakte onder water en werd de opmars van het Duitse leger gestopt.
Om hieraan te herinneren verscheen de afbeelding van de sluiswachter op het biljet van 1000 frank dat in de jaren '50 in België in omloop was.
Ziehier een klassieke oefening over congruente driehoeken.
Leg twee even grote vierkanten ABCD en KLMN over elkaar zodat het hoekpunt M van het tweede vierkant samenvalt met het middelpunt van het eerste vierkant.
Dan is het overlappende deel van beide vierkanten gelijk is aan één vierde van de oppervlakte van het vierkant ABCD (ongeacht de positie van het tweede vierkant t.o.v. het eerste).
Kan je dat aantonen?
In bijlage zit een hint!
En hoe groot is de oppervlakte van het overlappend deel als het ene vierkant maar half zo groot is als het tweede???
11 november levert een mooi ambigram op dat zowel bij spiegeling als bij rotatie over 180° dezelfde tekst oplevert.
Hieronder vind je enkele 'wetenschappelijke' ambigrammen:
APPLE - BLACK HOLE - BIG BANG - DIRAC CODE - DA VINCI - EINSTEIN - ESCHER GALILEO - HAWKING - JULES VERNE - KEPLER NEWTON - QED - TURING - WATT Bron: www.01101001.com
Ik zit mij voor het vensterglas onnoemlijk te vervelen. Ik wou dat ik twee hondjes was, dan kon ik samen spelen.
ABCD is een willekeurige vierhoek. De punten E en F verdelen de zijde [AB] in drie gelijke delen en de punten G en H verdelen de zijde [DC] in drie gelijke delen (zie onderstaande figuur).
Toon aan dat de oppervlakte van de vierhoek EFHG gelijk is aan het derde deel van de vierhoek ABCD.
UITVINDING 27
Uit een studie die in Parijs werd uitgevoerd rond 1850 bleek dat heel wat microben en bacteriën actief werden door het vele poetswerk en voornamelijk door het uitkloppen en onderhouden van tapijten. Men was dan ook blij te vernemen dat in Amerika een zeker Mr. Mc Clain een apparaat had bedacht om tapijten op een hygiënische manier te reinigen. Vooraan in het apparaat zat een ventilator die men via een wiel deed draaien. Deze ventilator zette dan een achthoekig wiel in beweging dat werd bevochtigd via een ingebouwd waterreservoir en dat de tapijten dan een flinke reinigingsbeurt bezorgde.
Als we de statistieken mogen geloven dan brengt de Sint binnenkort bij heel wat kinderen weer de oude vertrouwde LEGOblokjes.
Tijd dus voor een wiskundig LEGOvraagstukje.
Je beschikt over een aantal rode en groene blokjes. Je besluit hiermee rijtjes te vormen van respectievelijk 1, 2, 3, 4 ... blokjes maar zo dat er geen twee rode blokjes naast elkaar liggen. Op hoeveel manieren kan?
Hieronder zie je de oplossing voor 1, 2 en 3 blokjes. Er zijn blijkbaar respectievelijk 2, 3 en 5 verschillende rijtjes mogelijk. En dat zijn precies 3 opeenvolgende Fibonaccigetallen. Kan je nu zelf ontdekken of er met 4 blokjes 8 rijtjes mogelijk zijn en met 5 blokjes 13 rijtjes ... enzovoort?
Hint. Rijtjes die (langs rechts) eindigen op een rood blokje kan je (langs rechts) enkel aanvullen met een groen blokje. Rijtjes die eindigen op een groen blokje kan je zowel met een rood als een groen blokje aanvullen. Daarom is het aantal rijtjes met 3 blokjes gelijk aan 3 + 2 = 5.
Met behulp van muntjes die allemaal dezelfde grootte hebben, vormt men zeshoekige figuren zoals op de onderstaande figuur. We nemen als 'kleinste zeshoek' de figuur die bestaat uit één muntje.
Noem zk het aantal muntjes dat men nodig heeft om de k-de figuur te vormen, die dus een opgevulde zeshoekige figuur is met k muntjes op elke zijde. Zo is z1 = 1, z2 = 7 ... (zie figuur). Vind en bewijs de formule voor de som z1 + z2 + ... + zn , waarbij n een willekeurig natuurlijk getal n is (n ≥ 1).
UITVINDING 28
In het tijdschrift Scientific American verscheen deze afbeelding van een eenvoudig toestelletje dat diende om een boek op een bepaalde bladzijde open te houden. Men legde het metalen toestelletje verticaal in het midden tussen twee pagina's en via twee uitschuifbare haakjes werd het daar vastgezet. Twee horizontale metalen staafjes werden daarna met een klik vastgezet op elk van de twee openliggende bladzijden.
Een kat met negen staarten en onderbroeken voor mannen
Er bestaat een kat met negen staarten.
BEWIJS Geen kat heeft 8 staarten. 1 kat heeft 1 staart meer dan geen kat. Daaruit volgt dat 1 kat 9 staarten heeft.
****************************************************************************************************************$$ Alle mannen dragen dezelfde soort onderbroeken
BEWIJS DOOR VOLLEDIGE INDUCTIE
We tonen aan dat in een willekeurige groep van n mannen iedereen dezelfde soort onderbroeken draagt.
Ziehier twee opmerkelijke eigenschappen van de kwadraten van de getallen uit de rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ...
EIGENSCHAP 1 Bij 4 opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci is het verschil van de kwadraten van de middelste twee gelijk aan het product van het kleinste en het grootste.
Voorbeelden. Voor 2, 3, 5 en 8 geldt dat 5² 3² = 2 x 8. Voor 3, 5, 8 en 13 geldt dat 8² 5² = 3 x 13.
EIGENSCHAP 2. Voor de som van de kwadraten van de opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci is het volgende getallenpatroon geldig:
Wanneer je op mijn blog als zoekopdracht 'Hippocrates' intypt kom je meer te weten over de maantjes van Hippocrates, die een eervolle poging opleverden om de kwadratuur van de cirkel op te lossen.
Hieronder stellen we een leuke variante voor op dit probleem in de vorm van een wiskundevraagstukje. Kan jij dit oplossen?
Toon aan dat de oppervlakte van de gelijkzijdige driehoek gelijk is aan de som van de oppervlakte van de gele halve cirkel en het gele maantje.
MAANHAIKU
Op duister water schildert de maan met zilver haar vaag spiegelbeeld
Steinerpunten (genoemd naar Jakob Steiner) zijn punten in het vlak die de kortste verbindingstrajecten tussen een aantal gegeven punten helpen bepalen. Het opsporen van Steinerpunten is een probleem uit de grafentheorie.
Op de afbeelding links zie je een Steinerboom met drie punten A, B en C en Steinerpunt S. De drie takken vormen hoeken van 120°.
Rechts staat een Steinerboom met vier punten A, B, C en D en twee Steinerpunten S1 en S2. Ook hier vormen de takken rond de punten S1 en S2 weer hoeken van 120°. Als de punten A, B, C en D de hoekpunten van een vierkant met zijde 1 zijn, dan is de totale lengte van de verbinding tussen de vier punten A, B, C en D gelijk aan 1 + √3. Kan je dit ook aantonen?
Uiteraard vindt dit zijn toepassing bij het aanleggen van kabels en buizen om via een zo kort mogelijk traject verschillende punten met elkaar te verbinden.
En blijkbaar treffen we die oplossing ook aan in de natuur.
Argentijnse mieren (Linepithima humile) weten bij goede benadering de Steinerboom te vinden: gegeven drie punten, creëren ze een vierde punt (in het midden) om zodoende alle punten bereikbaar te maken via een zo kort mogelijk pad. Afbeelding: Tanya Latty. Bron: http://www.kennislink.nl/publicaties/mieren-vinden-steinerpunten
Met een basismotief waarbij een Steinerpunt hoeken van 120° uittekent, kan men een mooie boomfractal opbouwen!
En bomen zetten in de herfst ook wel eens aan tot poëtische gedachten ...
Berekening in bijlage.
In bijlage zit een oplossing waarbij ik enkel +, - en x (en haakjes) heb gebruikt.
