21 mesures pour  l’enseignement des mathématique: wiskundevisie die we al vele decennia in Vlaanderen verkondigen    

par Cédric Villani, député de l’Essonne et Charles Torossian, inspecteur général de l’éducation nationale France

Rapport remis le 12 février 2018

De Franse beleidsmakers voeren momenteel een grote campagne om het wiskundeonderwijs weer op het juiste spoort te krijgen. In opvallend veel passages worden ideeën verkondigd die we zelf in onze publicaties al vele decennia propageren Ze wijken sterk fa van de constructivistische en ontdekkende visie van het Freudenthlk Instituut, van  de VS-Standards (1989), van de visie in onze leerplannen wiskunde eerste graad s.o. , van  de recente nefaste ZILL-optie voor ontdekkend en contextueel leren & aversie tegen het gebruik van wiskundemethodes

1.       Moderne wiskunde was een mislukking en extreme formalistische visie, maar het andere extreem, de constructivistische wiskunde  was/is ook nefast

Si le projet des mathématiques modernes des années 1960-1970, issues du mouvement bourbakiste et portant sur la nature des contenus enseignés, était théoriquement louable, il faut bien reconnaître que sa mise en pratique dans l’enseignement non universitaire a été un échec retentissant.

(In de periode 1973-1998 voerden we een lange kruistocht tegen de moderne wiskunde).

 Pour tenter d’y remédier, on s’est réclamé d’un autre mot d’ordre, plutôt pédagogique : l'élève doit faire des mathématiques (doing mathematics in Standards van 1989). Il est vrai que le mathématicien fait des mathématiques, et sa pratique est originale au sens qu’il crée une chose nouvelle. Mais on a trop souvent oublié que pour faire des mathématiques, il faut au préalable en avoir appris.

La multiplication des activités de toutes sortes plaçant l’élève au centre de ses apprentissages, voire de la construction de ses propres savoirs, a procédé d’une intention tout aussi louable. Force est de constater, aujourd’hui, que les résultats ne sont plus au rendez-vous et que les publics les plus fragiles socialement y ont plutôt perdu.…

(Vanaf 1987 voerden we een nieuwe kruistocht tegen de constructivistische, ontdekkende en contextuele wiskunde. We slaagden er als leerplanontwerper  ook in om die visie buiten het leerplan wiskunde lager onderwijs te houden, maar jammer genoeg drong ze door in de leerplannen wiskunde 1ste graad s.o. en recentelijk ook i de ZILL-optie voor ontdekkend en contextueel wiskundeonderwijs.)

2.                  Nefaste contextuele & ontekkende wiskunde vertrekkende van complexe probleemsituaties

On a pu constater, depuis le début des années 1990, la substitution du cours par des activités diverses (activités de découverte, tâches complexes censées développer des compétences transversales, démarche d’investigation, démarche de projet, activités interdisciplinaires, etc.) qui n’avaient pourtant pas vocation à le faire disparaître. La volonté de rendre les élèves chercheurs peut être pertinente, bien évidemment, mais l’on peut s’interroger, en termes d’efficacité, sur le choix des moments, des durées, des thèmes de ces recherches, voire la manière dont elles sont conduites. Les activités de découverte sont trop souvent artificielles.

 Le monde réel  (zgn. realistische contexten en probleemsituaties) s’avérant beaucoup plus difficile à appréhender que les modèles mathématiques utilisés pour le décrire ; souvent, les contextes retenus perturbent les élèves plutôt qu’ils ne les aident et ces modèles sont tellement simplifiés qu’ils n’apportent pas de réelle plus-value aux disciplines auxquelles ils sont empruntés (économie, sciences physiques, etc.).

De même, les tâches complexes n’ont pas toujours un objectif d’apprentissage mathématique clair. Leur conception s’avère extrêmement chronophage pour les professeurs et leur résolution l’est également pour les élèves, sans pour autant être toujours porteuse d’apprentissage, notamment auprès des plus faibles en mathématiques.(Staat te ver af van wiskunde als vakdiscipine en cultuurproduct.)

De manière générale, ces activités visent à « faire » plutôt qu’à « apprendre ». Très difficiles à mener de façon efficiente, elles peuvent s’avérer opportunes mais ne doivent en aucun cas se substituer à une vraie phase de formalisation ni à un travail régulier d’entraînement.

Pour pouvoir utiliser les mathématiques avec efficacité, notamment dans des situations complexes, il faut avoir acquis des connaissances, des méthodes, et avoir été sensibilisé aux stratégies de résolution de problèmes spécifiques à la discipline. Toutes ces choses doivent être aussi enseignées. On ne développe des compétences solides qu’en s’appuyant sur des connaissances solides. Plus généralement, il faut tendre vers une plus grande efficacité et s’interroger sur ce que chaque élève a appris à l’issue d’une séance.

3.                  Le rôle du professeur: expliciete instructie

Le professeur doit retrouver toute sa place dans les moments de « présentation et commentaires des savoirs » (le cours). Qui mieux que le professeur peut exposer pas à pas un texte de définition, de théorème, de propriété, en en expliquant les tenants et les aboutissants, le pourquoi de tel élément de quantification, son importance, la nécessité de la précision de tel terme ? Le professeur doit ainsi retrouver la fierté de son savoir et de son aptitude à l’exposer et l’expliquer. Cela ne peut que renforcer sa légitimité et le respect que ses élèves lui témoignent.

4.  Le calcul et les automatismes

4.1. Calcul : une place centrale – un calcul intelligent

Depuis un certain nombre d’années, il semble y avoir un malentendu entre les recommandations figurant dans les documents officiels sur la place du calcul et les pratiques observées en classe de mathématiques.

Le calcul a été sérieusement discrédité dans un passé pas si lointain et finalement partiellement réhabilité dans les programmes récents de l’École, puisque la stratégie mathématiques en 2014 annonçait : « La connaissance et la compréhension des nombres, ainsi que le calcul, en particulier le calcul mental, tiendront une place centrale dans les nouveaux programmes de mathématiques. » La mission reprend à son compte les conclusions de la conférence de consensus organisée par le Cnesco en 2015, notamment sur l’indispensable acquisition et mémorisation des tables (addition et multiplication).

 L’avis de l’Académie des sciences de 2007 et l’interprétation qu’en fait Thierry Dias sont intéressants et mettent bien le sujet en perspective, que ce soit à l’école primaire ou au collège. « Le calcul doit être vu comme un jeu sur les nombres, il doit donc être présenté comme tel dès les petites classes dans des tâches variées faisant la part belle à cette dimension ludique. De manière concomitante, une pratique simultanée de la numération et des quatre opérations doit être encouragée dès le CP, comme nous l’apprennent les observations des systèmes performants à l’international (cf. §2.1). Le calcul sur les nombres construit les fondamentaux nécessaires à toutes les connaissances mathématiques et cela requiert du temps d’apprentissage dans les classes. L’efficacité de cet apprentissage repose aussi sur l’acquisition nécessaire des automatismes. »

Il ne s'agit évidemment pas de se précipiter à poser les opérations, sans compréhension ou contexte, mais plutôt d'explorer des situations qui donnent du sens aux actions liées aux quatre opérations, de les mettre en action, puis d'évoluer progressivement vers les écritures mathématiques. Les modalités de développement des capacités calculatoires sont diverses et complémentaires (le calcul mental, en ligne, posé, écrit, approché et instrumenté).

Toutefois le calcul mental reste une modalité insuffisamment travaillée à l’école primaire (notamment par rapport aux pays asiatiques) et au collège. Il en est d’ailleurs de même pour le calcul approché qui reste cantonné à quelques activités trop sporadiques. En revanche, le temps consacré aux répétitions d’algorithmes de calcul dit « posé » est souvent disproportionné, notamment concernant la multiplication. A contrario, un algorithme aussi intéressant mathématiquement que celui de la division est trop souvent vécu comme une souffrance par les élèves. La diversité des algorithmes permettant de faire une même opération devrait également faire l’objet de pratiques plus récurrentes.

4.2 Vastzetten van de kennis

Par ailleurs, la volonté de ne pas réduire l’acte mathématique à de simples techniques répétitives, afin de donner toute son importance au sens des démarches, a conduit à des incompréhensions totales, certainement faute d’accompagnements suffisants. On en est ainsi arrivé parfois à la disparition complète d’activités d’ancrage, de « gammes ou d’échauffements » pourtant indispensables. Des rituels de calcul permettent pourtant de faire fonctionner et de stabiliser les connaissances, les méthodes et les stratégies. Les activités routinières de calcul permettent de gagner de l’aisance, de la fluidité, de la flexibilité, d’acquérir des automatismes (destinés à libérer la charge cognitive et la mémoire de travail). Avec un peu d’entraînement, les élèves réussissent ce type d’activités, ce qui développe leur plaisir à faire des mathématiques et les aide à progresser. La réussite des élèves est un facteur de satisfaction de leurs professeurs. Il faut absolument retrouver un équilibre essentiel à la réussite des élèves et cela vaut pour tout le cursus jusqu’à la terminale. S’il est exclu de limiter la formation des élèves à l’entraînement au calcul, sa fréquentation trop rare rend inaccessible à beaucoup la pratique de résolution de problèmes, dès lors que le moindre calcul fait obstacle.

4.3 Automatismes

Il est souvent question de « donner du sens » au calcul mais il ne faut pas oublier que le calcul est porteur de sens en lui-même. Il est même « donneur de sens » puisque la construction du nombre dans les petites classes passe par des activités ludiques variées et que ces jeux sur les nombres sont l’essence même du calcul. C’est dans cette optique qu’il faut mettre en œuvre la préconisation de l’Académie des sciences de 2007 (cf. 3.2.1) recommandant l’apprentissage simultané de la numération et des quatre opérations dès le cours préparatoire. Seule cette pratique permet d’échapper au risque souvent dénoncé par Rémi Brissiaud41 de réduire la notion de nombre à celle de comptage par récitation de la comptine numérique42. Les jeux de groupements et de partages pratiqués dès l'école maternelle ouvrent la voie aux décompositions multiplicatives des nombres, en plus des décompositions additives. La représentation des nombres par des « constellations », le comptage par groupements (de 2 en 2, de 3 en 3, de 5 en 5), et d'autres pratiques adaptées, constituent une approche intuitive de la construction du nombre par addition et par multiplication. Cette mise en place est fondamentale et il faut prendre le temps nécessaire pour installer les quatre opérations en alternant le travail sur le sens (comprendre pourquoi on le fait, le mettre en actes puis en mots) et celui sur l’acquisition nécessaire des automatismes. Retarder cet apprentissage est donc tout aussi néfaste à la compréhension qu’à l’automatisation du calcul. Cette automatisation ne doit pas être interprétée de manière mécaniste, elle permet de libérer la pensée de charges cognitives pour son émancipation, tout en facilitant des représentations mentales propices à la résolution de problèmes.

5.Belang  van degelijke wiskunde-methode (haaks op ZILL-visie die enkel kritiek formuleert op het gebruik van een wiskunde-methode

« Une méthode d’enseignement des mathématiques efficace est avant tout une progression, souvent bâtie sur plusieurs années, dans la présentation des notions, dans la représentation des nombres, dans le passage du concret à l’abstrait, dans la répétition des apprentissages, des entraînements et des pratiques. Le manuel se doit dès lors d’être le garant de cette cohérence, sans pour autant porter atteinte à la liberté pédagogique de l’enseignant. Enfin, si l’on pense à certaines situations de remplacement d’enseignants, le manuel est la première ressource (et peut-être la seule) pour le professeur contractuel découvrant son service, parfois quelques heures avant sa première séance. »