Aanleiding voor deze bijdrage

Is 1+1= 2 voor iedereen, zou je denken. Maar toch veroorzaakt het wiskundeonderwijs sinds de jaren 1960 permanent  Math-wars.  Sinds 1973 voerden we een kruistocht van 25 jaar tegen de formalistische en hemelse New Math. Met succes.  Maar we werden meteen geconfronteerd met een nieuwe wiskunde-oorlog. We bestrijden  nu ook al 30 jaar het andere extreem, het aardse,  contextueel & constructivistisch wiskundeonderwijs à la Freudenthal Instituut.

Het ‘realistisch wiskundeonderwijs’ van het Nederlandse Freudenthal Instituut en de constructivistische ‘Standards’  (1989) schoven al te vlug de oude waarden opzij, en ze hingen een karikatuur op van het ‘klassieke rekenen’ in het lager en secundair onderwijs. In 1993 publiceerden we in het Nederlandse tijdschrift PanamaPost, Tijdschrift voor Nascholing en Onderzoek van het wiskundeonderwijs de bijdrage ‘Laat het rekenen tot honderd niet in het honderd lopen’, 1993, nr. 3, p. 3-16.

Als mede-opsteller van het leerplan lager onderwijs slaagden we er in 1998 met enige moeite in die extreme en eenzijdige visie buiten het leerplan te houden.  Maar de ZILL-leerplanarchitecten pleitten een paar jaar geleden in ‘ZIN in wiskunde’ plots voor contextueel en ontdekkend wiskundeonderwijs. In  Onderwijskrant nr.  176 besteedden we een gestoffeerde en kritische bijdrage aan. De strijd is dus nog lang niet gestreden.  We hopen alvast dat de leerkrachten en de ontwerpers van wiskundemethodes geen gehoor geven aan de ZILL-visie.  

In voorliggende bijdrage schetsen we onze belangrijkse kritieken tegen de contextuele en constructivistische wiskunde zoals die in de visie en publicaties van het Freudenthal Instituut tot uiting kwam. In het boek ‘Rekenen tot honderd’ (Plantyn, eerste druk 1998) gingen we er uitvoeriger op in.     In een volgende bijdrage  schetsen we onze strijd tegen die wiskunde-visie binnen de  commissies die  de eindtermen, resp. het leerplan van 1998 opstelden.  

  Samenvatting kritiek op contextuele en constructivistische  aanpak Freudenthal Instituut

Het Freudenthal Instituut maakte vanaf de jaren 1980 een karikatuur van het rekenonderwijs anno 1970-80 en bestempelde dit ten onrechte als louter mechanistisch. Het is nochtans bekend dat de meeste  mensen vroeger vlot konden rekenen. De misleidende en kunstmatige  tegenstelling tussen realistisch en mechanistisch rekenonderwijs doet geen recht aan de klassieke vakdidactiek. De term ‘realistisch’ kreeg binnen het FI alle mogelijke betekenissen (toepassen op realiteit, zich realiseren, zelfconstructie, modelleren, enz.)  Volgens de klassieke vakdidactiek berust degelijk rekenen op inspiratie (inzicht), maar evenzeer op transpiratie (inoefenen, automatiseren en memoriseren, parate kennis). Het FI besteedde weinig of geen aandacht aan de mechanistische aspecten. In de realistische aanpak is er al te weinig aandacht voor het gericht oefenen van vaardigheden.

Ook in de klassieke rekendidactiek was er overigens aandacht voor inzicht. Maar het inzicht in de betekenis van bewerkingen e.d. is al bij al niet zo moeilijk als de Freudenthalers het voorstellen en vergt (in de lagere leerjaren) minder tijd dan het vlot leren berekenen. Voor het begrip optellen en aftrekken moet men bijvoorbeeld niet eindeloos in klas autobusje spelen à la Jan Van den Brink. Naast de weg van kennen naar kunnen, is er ook de weg van kunnen naar kennen. Van ‘Kunnen naar kennen’ was  overigens de naam van de Vlaamse methode van Schneider rond 1945. De Freudenthalers veronderstellen verder ten onrechte dat geautomatiseerde en gememoriseerde kennis vlug wegdeemstert en dat dit bij inzicht niet het geval is.

Sterke kanten van het klassieke rekenen belandden zo in de verdomhoek. Deze ‘verlossende’ opstelling is inherent voor mensen die vrijgesteld worden voor de permanente revolutie van het onderwijs en ook voor de rest van hun leven vrijgesteld willen blijven. Vrijgestelden pakken bijna steeds uit met het verlossingsparadigma i.p.v. te vernieuwen ‘in continuïteit’. Bij de open, context- en probleemgestuurde leerprocessen à la FI worden de leerlingen met te veel nieuwe zaken tegelijk geconfronteerd en kunnen ze te weinig aansluiting vinden bij (deel)vaardigheden en basiskennis die al verworven moet zijn en opgeslagen in het lange-termijngeheugen. De FI- theorie houdt geen rekening met de cognitieve  architectuur en met de geheugen-belastingstheorie (John Sweller & Paul Kirschner) en vindt ook progressieve complicering uit den boze.

Het FI onderschat het grote belang van het vlot en gestandaardiseerd hoofdrekenen, van het  gestandaardiseerd cijferen, het vlot en gestandaardiseerd metend rekenen en van de parate kennis (tafelproducten, formules voor berekening van oppervlakte en inhoud, standaardmaten en metriek stelsel voor metend rekenen …). Vlot, vaardig en geautomatiseerd rekenen en parate kennis is maar mogelijk bij gestandaardiseerd rekenen (= vaste en korte berekeningswijze die op elke opgave toepasbaar is) en veel oefenen. Het aantal deelstappen moet hierbij zo klein mogelijk zijn omdat het werkgeheugen beperkt is. Traditioneel wordt aanvankelijk slechts 1 korte en gestandaardiseerde berekeningswijze aangeleerd. De Freudenthalers en constructivisten zijn tegen het gestandaardiseerd berekenen en opteren voor flexibel en gevarieerd hoofdrekenen en voor flexibel cijferen volgens eigenwijze en/of context- of opgavegebonden berekeningswijzen. Elke leerling moet hierbij zoveel mogelijk zijn eigen berekeningswijze ontwikkelen en rekening houden met de specifieke getallen en opgave. Achteraf worden de leerlingen in principe met die verschillende berekeningswijzen geconfronteerd. De meeste leerlingen geraken hierdoor in de war of geraken gefixeerd aan een  berekeningswijze die veelal niet handig is. De Freudenthalers noemen dit ten onrechte ‘handig’ en beschouwen de andere aanpakken ten onrechte als onhandig en louter mechanistisch.

De Freudenthalers vergeten verder ook dat zo’n flexibel rekenen op de rug zit van het gestandaardiseerd rekenen. Enkel wie – 40 vlot kan berekenen, beseft eventueel dat hij – 39 ook vlot kan berekenen via eerst – 40 en vervolgens + 1. Zwakkere leerlingen hebben echter toch nog problemen met zo’n eenvoudige vormen van flexibel rekenen.    Te veel en te lang ‘voor-wiskunde’, te lang ‘rekenen in contexten’ als doel op zich; te veel contextualiseren (context- of situatiegebonden berekeningswijzen e.d.), te weinig decontextualiseren. Zo worden het vakmatig rekenen en het cijferen afgeremd door binding aan een specifieke context. Een voorbeeld. Door bijvoorbeeld de binding van de aftrekking aan de lineaire context en aan een berekening op de   getallenlijn (een traject van 85 km, al 27 km afgelegd, hoeveel km moet ik nog afleggen) wordt het basisinzicht in aftrekken als wegnemen vertroebeld en stimuleert men de leerlingen om aftrekken eenzijdig te interpreten als aanvullend optellen: 85 – 27 wordt dan: 27 + 3 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5. De leerlingen hebben een getallenlijn nodig en achteraf moeten ze dan nog die vele tussenuitkomsten optellen.  Precies daarom betreurt het FI dat de leerlingen in de CITO- en PPON-toets hoofdrekenen geen gebruik mogen maken van potlood en papier en 75 – 28 nog echt uit het hoofd moeten berekenen. Hoofdrekenen is bij hen geen hoofdrekenen meer.

 Foutieve benadering van de aanschouwelijkheid en te lang aanschouwelijk werken.

Fixatie van leerlingen op aanschouwelijke hulpmiddelen: de leerlingen mogen veel te lang gebruik maken van hulpmiddelen als getallenlijn, rekenrek… Die realisten bemoeilijken het loskomen van de aanschouwelijke steun en het kort en handig uitrekenen. De vele moeilijke (lange) voorstellingswijzen van berekeningen op rekenrek en getallenlijn en de vele stappen bemoeilijken een gestandaardiseerde en vlotte berekening. De aanschouwelijke voorstellingen en materialen (rekenrek tot 20, getallenlijn …) functioneren te veel en te lang als uitrekeninstrument in plaats van als modellen voor algemene berekeningswijzen die de overgang naar het louter mentaal rekenen vergemakkelijken.

Binnen de FI-aanpak worden de klassieke tafels van vermenigvuldiging niet ingeoefend en gememoriseerd zoals dit vroeger al het geval was in groep 4 (= tweede leerjaar). Ze worden ten onrechte verschoven naar groep 5 en er vervangen door flexibele berekeningswijzen op basis van het toepassen van eigenschappen van bewerkingen. Leerlingen  berekenen dan bijvoorbeeld 8 x 7 via 4 x 7 = 28;     8 x 7 = 28 + 28 = 56. Ze maken veel fouten en de berekening vergt te veel tijd. De tafels van x worden traditioneel in het 2de leerjaar aangeleerd. De meeste leerlingen beseffen dan al dat 7 x 8 neerkomt op 7 x een groep van 8. Dit inzicht is voorlopig voldoende. Het eigenschapsrekenen wordt traditioneel pas in hogere leerjaren gepresenteerd en dit in de context van grotere opgaven als 13 x 7, 25 x 7… waar het toepassen van de eigenschappen een zekere handigheid oplevert. Maar ook dan gaat veel aandacht naar het gestandaardiseerd berekenen: 13 x 7 = (10 x 7) + (3 x 7).  

Kritieken op constructivistische uitgangspunten : samenvatting 

 − te veel constructie van individuele leerling(en), te weinig waardering voor wiskunde als cultuurproduct(-constructie) en vakdiscipline, onderschatting van het socio-culturele karakter en van de functionele betekenis van de wiskunde. Te veel respect voor de eigen constructies en aanpakken van de leerling bemoeilijkt het leren van korte en vaste berekeningswijzen, de begeleiding, de verinnerlijking en automatisatie van de rekenvaardigheden.

− eigen berekeningswijzen bevorderen ook de  fixatie van de leerling op eigen, informele constructies en primitieve rekenwijzen.

− eenzijdig ‘bottom-up problem’ solving, overbeklemtoning van zelfontdekte en informele  begrippen en berekeningswijzen.  Ook wegens de beperkte leertijd kan de school zich dit overigens niet veroorloven.

− te weinig sturing en structurering door de leerkracht, te weinig ‘guided construction of knowledge’.

− te weinig stapsgewijs opgebouwde leerlijnen volgens het principe van de progressieve complicering. Waar we bij het rekenen tussen 20 en 100, bij het cijferen… een aantal stappen onderscheiden, leggen de Freudenthalers onmiddellijk de moeilijkste opgave (b.v. 54 – 28) voor.

-Totaal overbodige invoering van het kolomsgewijs rekenen dat de leerlingen in de war brengt zowel inzake het gewone hoofdrekenen als inzake het  cijferen dat normaliter ook  bij het begin van groep 5 (= derde leerjaar) zou moeten starten. Bij het  kolomsgewijs aftrekken met tekorten b.v. wordt het voor de leerlingen een poespas.

Het traditioneel cijferen wordt verwaarloosd en de Freudenthalers introduceren een totaal gekunsteld alternatief dat niets meer te maken heeft met wiskundig cijferen. Het cijferend FI-delen werd door Treffers en co als hèt model van realistisch onderwijs voorgesteld. Het FI-cijferen ontaardde echter in een soort langdradig hoofdrekenen op basis van schattend aftrekken van happen. De autobuscontext (‘Hoeveel bussen met 36 plaatsen zijn er nodig om 1128 soldaten te vervoeren) én het primitief en zelfconstructief laten uitrekenen via het herhaald  aftrekken van happen (b.v. 10 x deler 36, enz.), leiden de aandacht af van het handig cijferen dat gebaseerd is op het positioneel opsplitsen van het deeltal. Dit is een aanpak met veel deelresultaten die omslachtig is en die zich niet laat automatiseren, zodat het   cijferend delen nooit een vaardigheid kan worden.

-Onderwaardering voor het klassieke metend rekenen en voor de klassieke meetkunde – met inbegrip van de kennis van basisformules voor de berekening van oppervlakte en inhoud. Het klassieke metend rekenen in de bovenbouw van het lager onderwijs wordt verwaarloosd. Daarom duidt men dit domein enkel met de term ‘meten’ aan. Om die eenzijdigheid te vermijden spreken we in het Vlaams leerplan (VVKaBaO) over ‘meten én metend rekenen.

 We betreuren ook nog steeds dat volgens de eindtermen geen enkele formule voor oppervlakteberekening e.d. nog gekend moet zijn. In de leerplannen hebben we wel de basisformules opgenomen.

 Geen evenwichtig en uitgewerkte visie op vraagstukken: te veel kritiek op klassieke vraagstukken, te weinig valabele alternatieven in realistische publicaties en methoden. Te weinig toepassingen (vraagstukken) ook voor metend rekenen en te weinig moeilijke opgaven. We begrepen ook niet waarom de duidelijke term ‘vraagstukken’ moest verdwijnen. De moeilijkheid bij veel context-vraagstukken ligt vaak eerder bij het onvoldoende kennen van de context (b.v. ervaring van parkeren met een auto in opgave over hoeveel auto’s op parking van 70 bij 50 meter), bij het feit dat de tekst te lang en te moeilijk is en bij het feit dat er te veel berekeningen ineens bij betrokken zijn.

 Kloof tussen idealistische theorie en de praktijk.

In een klas met 20 leerlingen is het inspelen op individuele denkwijzen en berekeningswijzen gewoon niet haalbaar. In ‘realistische’ methoden wordt gelukkig minder realistisch gewerkt dan in de ‘realistische theorie’ en dit is nog meer het geval bij de leerkrachten. Dit bleek ook uit het MOREonderzoek en uit dit van E. Wijffels (1994).

Uit onderzoek en ervaring blijkt dat de zwakke, maar ook de betere leerlingen de dupe zijn. Een aantal onderzoekers en auteurs (Osinga, Ruijssenaers, Vedder, Timmermans, van Luit, Ames…) stellen terecht dat de zwakkere leerlingen het meest de dupe zijn van de realistische en constructivistische aanpak. De sterkere leerlingen presteren onder hun niveau als gevolg van het te lang werken met     concrete contexten en het tijdverlies bij de nondirectieve aanpak van de rekenbasisvaardigheden. Er rest dan te weinig tijd voor moeilijkere opgaven en vraagstukken.