De ‘moderne wiskunde’ in het Vlaams lager onderwijs: 1975-1998 & onze kruistocht tegen de formalistische en hemelse New MA(D)TH

1.’Moderne wiskunde: een vlag op een modderschuit’ (1982) deed ‘moderne wiskunde’-tij keren

Rond mei 1983, 33 jaar geleden al, slaagden we erin het wiskundetij te doen keren. In april 1982 startten we een nieuwe campagne tegen de ‘Moderne Wiskunde’ met de publicatie van een themanummer van Onderwijskrant met als uitdagende titel: Moderne Wiskunde: een vlag op een modderschuit (Onderwijskrant nr. 24).

Mede door de aandacht in de pers lokte die publicatie enorm veel instemmende reacties uit. Een jaar later volgde een druk bijgewoond colloquium over ‘Welke wiskunde voor 5- à 15-jarigen’ in het Congressenpaleis (Brussel). In mei 1983 bleek duidelijk dat het wiskundetij gekeerd was en sindsdien verschenen ook geen bijdragen meer over de vele zegeningen van de ‘moderne wiskunde’. Maar pas bij de invoering van het nieuwe leerplan van 1998 verdween de ‘moderne wiskunde’ definitief uit het leerplan.

Na het verschijnen van ‘Moderne Wiskunde: een vlag op een modderschuit’ in april 1982 kregen we wel nog veel kritiek te verduren vanuit de hoek van de propagandisten van de moderne wiskunde, van Papy-sympathisanten als de Leuvense professoren Roger Holvoet en Alfred Warrinnier, van inspecteurs die meegewerkt hadden aan methodes ‘moderne wiskunde’, van de pedagogische verantwoordelijke van de katholieke onderwijskoepel J.V., ... Sommigen vonden zelfs dat we omwille van onze kritiek op de ‘moderne wiskunde’ ontslagen moesten worden als lerarenopleider en coördinator van de Torhoutse normaalschool. (Een aantal jaren later nam prof. Warinnier wel ook afstand van de moderne wiskunde als vakdiscipline in het lager en secundair onderwijs.)

2 Invoering ‘Moderne wiskunde’ : breuk met klassieke wiskunde-consensus

1+1=2 zou je denken, maar merkwaardig genoeg stond de aanpak van het reken- en wiskundeonderwijs de voorbije 50 jaar geregeld ter discussie – ook voor het lager onderwijs. Tot ongeveer 1970 was er weinig dicussie over het reken- en wiskundeonderwijs in het lager onderwijs. Er was een brede consensus, zowel bij de praktijkmensen als bij de vakdidactici. De leerplannen wiskunde in de verschillende landen geleken sterk op elkaar. De visie van de praktijkmensen is overigens steeds ongeveer dezelfde gebleven.

Vanaf het midden van de jaren zeventig verschilden de Vlaamse en Nederlandse methodes sterk van elkaar. In de periode 1975-1998 werd in Vlaanderen de zgn. ‘Monderne Wiskunde’, de verzamelingen- en relatieleer, ingevoerd, maar Nederland deed dit niet. Een van de grote tegenstanders van de ‘moderne wiskunde’ was professor Hans Freudenthal. Vanaf 1985 werden in Nederland de eerste zgn. ‘realistische wiskundemethodes’ als ‘Wereld in getallen’ ingevoerd die beïnvloed waren door de realistische/constructivistische onderwijsvisie van het Freudenthal Instituut. Ok hierdoor namen de verschillen tussen Vlaanderen en Nederland toe.

Sinds ongeveer 1970 worden er wereldwijd wiskunde-oorlogen uitgevochten – zelfs in het lager onderwijs. Ook in buurland Nederland lokte de constructivistische en contextuele wiskunde van het Freudenthal Instituut een wiskunde-oorlog uit – die nog steeds blijft duren.

Zelf besteedden we sinds 1970 enorm veel tijden energie aan de bestrijding van twee extreme visies die een bedreiging vormden voor de klassieke rekenkennis – en vaardigheden: enerzijds de ‘Moderne, hemelse & fomalistische wiskunde’ (vanaf 1970) en anderzijds de ‘constructivistische , contextuele en aardse wiskunde’ (vanaf 1986). . De hemelse wiskunde zweeft te veel; en het andere extreem, de constructivistische en aardse wiskunde, komt niet van de grond.

De Moderne Wiskunde werd vanaf 1970 officieel voorgesteld als de wiskunde van de 3de industriële revolutie. En tegen de machtige propagandamachine van het wiskundecentrum van de Brusselse prof. Georges Papy en van het ministerie viel niet op te boksen. Kritiek op de New MA(D)TH werd als een soort heiligschennis en geïnterpreteerd. Critici werden onmiddellijk de mond gesnoerd. Minister Vermeylen investeerde enorm veel geld in de TV-propaganda voor de New Math, in prestigieuze congressen in Knokke, in de bijscholing van leerkrachten ... De directeur -generaal van het technisch onderwijs, G. Smet, schreef ons: "dat er voor de invoering van de moderne wiskunde aan de top heel wat mensen letterlijk werden omgekocht."

We deden begin de jaren zeventig ons uiterste best om de verantwoordelijken van de onderwijskoepels ervan te overtuigen dat we de ‘moderne wiskunde’ niet mochten invoeren in het lager onderwijs. Jammer genoeg tevergeefs. We konden niet optornen tegen de New Math-hype – ook al toonden we aan dat de New Math weer al uit de mode was in Japan, de VS... en overal veel kritiek uitlokte. Dit was het begin van een lange kruistocht tegen de ‘Moderne wiskunde’ (1970-1982).

In de periode 1975-1998 werd in Vlaanderen de zgn. ‘Moderne Wiskunde’ ook in het lager onderwijs ingevoerd. Nederland voerde geen moderne wiskunde in het lager onderwijs. Een van de grote tegenstanders was professor Hans Freudenthal. Vanaf1985 werden in Nederland evenwel de eerste zgn. ‘realistische wiskundemethodes’ als ‘Wereld in getallen’ ingevoerd . Ze waren in sterke mate beïnvloed door de realistische/constructivistische onderwijsvisie van het Freudenthal Instituut.
Sinds ongeveer 1970 werden er wereldwijd wiskunde-oorlogen uitgevochten – zelfs in het lager onderwijs. Ook in buurland Nederland lokte de constructivistische en contextuele wiskunde van het Freudenthal Instituut een wiskunde-oorlog uit – die nog steeds blijft duren.

3. Lange kruistocht tegen Moderne Wiskunde (1970-1982)

We namen vanaf 1970 afstand van de formalistische, abstracte, ‘hemels’ Moderne Wiskunde. We stelden voor om dat soort wiskunde niet in te voeren in het lager onderwijs. We hielden nog een vurig pleidooi op het VLO-startcolloquium van 1973. Jammer genoeg werd de New Ma(d)th toch opgelegd door de onderwijskoepels – tegen de visie van de praktijkmensen in.

In 1976 werd het leerplan ‘Moderne wiskunde’ ingevoerd in het lager onderwijs. Met de publicatie van ‘Moderne wiskunde: een vlag op een modderschuit’ – samen met de Onderwijskrant-campagne, konden we in 1982 het wiskunde-tij keren. Sindsdien verschenen geen bijdragen meer over de vele zegeningen van de ‘Moderne Wiskunde’. Het duurde wel nog tot 1998 vooral er een nieuw leerplan kwam waarin de rubrieken moderne wiskunde werden geschrapt.

In de periode 1978-1982 verschenen o.m. in het tijdschrift ‘Persoon en Gemeenschap’ enkele bijdragen waarin de voorstanders van de ‘Moderne Wiskunde’ de vele zegeningen van dit soort wiskunde breed etaleerden. Begin 1982 schreef T. De Groote triomferend: “Waar rekenen voor de meeste kinderen vroeger een zweepslag betekende, kan het nu voor hen een fantastische beleving worden in een fascinerende wereld.” En De Groote fantaseerde verder: “dat de minder begaafde leerlingen nu ook beter aan hun trekken kwamen” (jg. 28, p. 35-36). In mijn contacten met de klaspraktijk zag ik echter geen fascinerende wereld opdagen, maar wel schijnresultaten in schijnrealiteiten. “ Ik betreurde ook dat een aantal leerlingen omwille van de moderne wiskunde moesten overstappen naar het buitengewoon onderwijs.

Enkele van onze kritieken op de ‘Moderne wiskunde’ luidden:
*Vroegtijdige abstractie en formalisatie, te formalistisch,
‘hemelse’ (zwevende) wiskunde *Veel verbale dikdoenerij en verbale ballast *Achteruitgang van de klassieke componenten van rekenvaardigheid (memoriseren, automatiseren…)
*Ten koste van het toepassingsaspect van de wiskunde (vraagstukken e.d. )
*Onhaalbaar voor veel leerlingen (en leerkrachten).
*In het hoger onderwijs stelden we vast dat al te weinig van dit soort wiskundeonderwijs was
bijgebleven. *Meetkunde in keurslijf van formele logica (Driehoek= verzameling van punten op omtreklijn; Evenwijdige als transitieve, symmetrische ... relatie, enz. hoe meer pijlen, hoe meer lust).
*Veel ouders kunnen kinderen niet meer begeleiden.

4. Nieuw en formalistisch grondslagenpakket, hemelse en zwevende wiskunde

Bij de intrede van de moderne wiskunde stond de invoering van een formeel en levensvreemd begrippenkader centraal. Dit kwam tot uiting in het feit dat er een nieuw grondslagenpakket werd ingevoerd -logica- en verzamelingenleer, en in het feit dat dit formele begrippenkader ook werd toegepast op de klassieke onderwerpen getallenkennis, bewerkingen, meetkunde ...

De leerlingen moesten voortaan ook een evenwijdige leren zien en definiëren als een bepaalde verzameling punten, als een relatie die niet enkel symmetrisch en transitief is, maar ook reflexief (+ lusgeval in voorstelling) omdat een evenwijdige ook kan samenvallen met zichzelf; een hoek als enkel de verzameling van de punten van de benen van de hoek en niet langer als een hoeksector ...

Ze moesten in principe ook een optelling als 5+3 als een vereniging (unie) van 2 verzamelingen leren bekijken – net als de vereniging van logiblokken die dik ‘of’ dun zijn, als een geval dus van de ‘of’ uit de formele logica, maar niet van de ‘en’ ... De kinderen moesten dus formeel logisch leren denken: over logiblokken die dik of dun zijn, die NIET (dun of rond) zijn, over ‘sommige’ drievouden die geen negenvouden zijn, over ‘als en alleen als’, over ‘tenminste 1 vierkant is een rechthoek’ en ‘alle vierkanten zijn rechthoeken’, ...
De kinderen moesten leren over verzamelingen met en zonder lege delen, over lege verzamelingen en doorsneden, over bomen die enkel met een stip voorgesteld mochten worden binnen de verzameling, over de commutatieve eigenschap van de unie van A en B, over het feit dat een koppel in de wiskunde een geordend paar is, over relaties als verzameling koppels en deelverzamelingen van de productverzameling, over reflexieve, symmetrische en transitieve relaties. Over verschuivingen met vectoren in het Rijksonderwijs, over projectie in het vrij lager onderwijs waarbij c’m’ een oneindige verzameling is van de beelden van de punten van het lijnstuk. (Merkwaardig genoeg stond projectie in het secundair onderwijs pas in het tweede jaar op het programma.) Er was zelfs een hoofdstukje over groepsstructuren.

5. Klassieke leerinhouden in keurslijf van moderne wiskunde, verzamingen en relaties

In de leerplannen werden de eerste hoofdstukken besteed aan logica, verzamelingen en relaties. Maar naast deze nieuwe leerstofrubrieken, werden ook de traditionele begrippen uit de rekenkunde en meetkunde in een verzamelingen- en relatiekleedje gestopt worden. Achter getallen, bewerkingen, rechte lijnen, evenwijdigen, hoeken ... Kortom: achter elke hoek ziet men een koppel rechten, een vereniging van verzamelingen, een reflexieve, symmetrische en/of transitieve relatie met pijlen – en lussenvoorstelling, ...

De ‘moderne wiskunde’ had ook een invloed op de getalvoorstellingen. De meeste leerkrachten eerste leerjaar werkten al vele decennia met gestructureerde getalvoorstellingen in de vorm van kwadraat-beelden, maar ook dit werd met de invoering de verzamelingenleer verboden. De leerkrachten moesten voortaan werken met de voorstelling van de losse elementen in Venn-diagrammen; waardoor men van de natuurlijke getallen en bewerkingen een primitieve teloefening maakte die de vlotte berekening afremde ...

Men maakte van de vormleer over vierhoeken .... vierkanten een superrationele klassificatie- en definieeropdracht : vierkanten zijn deelverzamelingen van ...., tenminste 1 vierkant is een rechthoek .... Men wou de kinderen a.h.w. leren lopen door ze een cursus anatomie van de benen bij te brengen.
Men vergat dat de getallen en bewerkingen hun zin ontlenen aan tel- en meethandelingen, en wat een rechte lijn is zie je zo aan de rand van de tafel of aan een gestrekt touw en wat een hoek is zie je ... Je hebt voor al die zaken geen deelverzamelingen van het vlak of verzamelingen van punten voor nodig.

De dikdoenerij was minstens even groot waar men in het leerplan voorstelde de verzamelingenleer op zoveel mogelijk situaties uit de werkelijkheid (vraagstukken) toe te passen: waar en dan 5 kinderen die elk een instrumet bespelen als een verzameling koppels laat uittekenen, waar men laat ontdekken dat bij letterverzamelingen waarin een i voorkomt, A∩B∩C warempel een i oplevert, of waar men een aanschouwelijk stamboomdiagram door een kluwen van pijlen verving ... In plaats van wiskunde in het lager onderwijs te gebruiken om de werkelijkheid te verkennen, misbruikte men de werkelijkheid om moderne wiskunde bij te brengen. We kregen aldus vraagloze vraagstukken en probleemloze situaties als (willekeurige) kapstokken waaraan verzamelingen, relatievoorstellingen e.d. werden opgehangen, gekunstelde situatiewiskunde dus.

De verzamelingenleer als grondslagenpakket én als middel om situaties binnen en buiten de wiskunde te bestuderen, bracht ons dus op een drievoudig dwaalspoor. Het leidde tegelijk tot overconsumptie, verbalisme en levensvreemdheid. Er bleef te weinig tijd over voor inoefening en toepassing. Meer leerlingen moesten afhaken en na een paar leerjaren nodeloos overstappen naar het buitengewoon onderwijs type 8. Te moeilijke en teveel terminologie en voorstellingswijzen leidt tot een methodiek van voorzeggen en nazeggen in stijve formuleringen en bemoeilijkt zo ook het gebruik van actieve werkvormen.

6.Van wiskunde-gebruik naar grammaticale, beschouwende wiskunde

In het rapport ‘Moderne wiskunde: een vlag op een modderschuitt’(1982) wezen we erop dat door de invoering van de New Math(d) het accent verlegd werd van het wiskunde-gebruik naar de grammaticale, formele en beschouwende wiskunde. De structuralistische opvattingen van de modern wiskunde waren ook nauw verwant met de structuralistische theorieën in de psychologie (b.v. Jean Piaget) en in de linguïstiek (b.v. Chomsky). Het is geen toeval dat Jean Piaget het boegbeeld van de moderne wiskunde werd.

De ‘Moderne wiskunde’ wou niet langer meer een soort vakonderricht bieden, waarbij zoals in de andere vakken de materiële of inhoudelijke vorming centraal staat, en ook niet meer in de eerste plaats toepasbare rekentechnieken aanleren. Niet het gebruik van de wiskunde, maar de wiskundige grammatica primeerde. Men wou vooral de logische denkinstrumenten en algemene wiskundige structuren aanleren. De wiskundige operaties en de begripsvorming waren niet langer aan de aanschouwelijke kenmerken -b.v. van evenwijdige rechten, of aan concrete handelingscontexten en praxis aangewezen. Het begrip ‘evenwijdig’ moest dan vooral formalistisch en grammaticaal als een soort symmetrische, reflexieve en transitieve relatie bekeken worden, waarbij een evenwijdige ook evenwijdig is aan zich zelf en met een ‘lus’ kan voorgesteld worden. De logische relaties zijn relaties die eigen zijn aan de uitspraken over de dingen en niet aan de dingen zelf.

De wiskundigen J. Moonen en E. Smets en de leerplanontwerpers omschreven b.v. voortaan een hoek als de verzameling punten van twee halve rechten -benen van de hoek- met hetzelfde beginpunt (hoekpunt genoemd). Ze schreven verder: “Gebruik voor ‘hoek’ niet langer de naam ‘figuur’, spreek eventueel over ‘tweebeen’. Laat ook geen hoek meer uitknippen. Kan niet.“ De punten binnen de hoeksector behoorden volgens die ‘nieuwe wiskundigen’ ook niet langer tot de hoek en de hoek was niet langer een hoeksector. Bij de formalistische benadering berustte het begrip hoek niet meer op een schematisering van concrete en aanschouwelijke kenmerken, maar men stopte het begrip hoek in een aantal formele vormrelaties: men beschreef de hoek als een soort verzameling, als een koppel halfrechten, als een relatie. En een hoek van nul graden werd losgemaakt van de aanschouwelijke voorstelling van de draaihoek waarbij men een been van de hoek op het andere schuift. Het werd binnen de moderne wiskunde nu een hoek waarbij twee halfrechten als deelverzameling beschouwd werden van de verzameling punten van dezelfde draagrechte, waarbij die deelverzamelingen ook nog met elkaar samenvallen. Men bekommerde zich weinig of niet meer om de realiteits- en bruik-waarde van het hoekbegrip.

Binnen de structuur-, de verzamelingen- en relatieleer werden de uit de werkelijkheid bekende dingen (optellingen, evenwijdigen , vierkanten..) in kunstmatig geschapen relaties quasi onafhankelijk van hun betekenis ‘ingezet’; ze waren alleen als elementen van een verzameling, als een doorsnede, als koppel, als reflexieve relatie (=lusgeval)... interessant. Een optelling (5 + 3) is een logische ‘of’-relatie (geen ‘en’), en een soort vereniging (unie) (=logische of) van 2 verzamelingen maar dan zonder doorsnede ... Het was merkwaardig dat normaalschoolstudenten na 12 jaar moderne wiskunde nog niet begrepen dat 5 + 3 een toepassing was van de logische’of’ en niet van ‘en’.

Zulke formalistische wiskunde interesseerde zich in de eerste plaats voor de regels waarmee men willekeurige dingen kan verbinden: de logische denkwetten (conjunctie, negatie, disjunctie, implicatie, equvialentie...), de wiskundige groepsstructuren, de denkschema’s uit de verzamelingen- en relatieleer.

Voor het aanleren van zulke formele/grammaticale structuur deed men in het lager onderwijs ook een beroep op kunstmatige logiblokken. De logi-blokken waren zo gebouwd dat ze de logische operaties voorstructureerden. Om hun constructie ten volle te begrijpen, moesten de leerlingen het constructieproces achterhalen: b.v. een blok dat dik of blauw is, dik en rood is, dat niet-dak is ... De logische relaties zijn relaties die eigen zijn aan de uitspraken over de dingen en niet aan de dingen zelf; ze zijn als zodanig van formele/grammaticale aard. Een bepaalde verzameling blokken wordt b.v. omschreven met: “blokken die dik of blauw zijn “ en dat gaat het om alle blokken die dik zijn, de blokken die dik en blauw zijn, maar ook om de blauwe blokken die dun zijn.

7. Wiskunde logisch-deductief opbouwen vanaf lager onderwijs

De moderne wiskunde wou ook het wiskunde-gebouw logisch-deductief opbouwen en ordenen: hierbij vertrekt men van de meest abstracte begrippen = begrippen met weinig inhoudelijke kenmerken en dus met een ruime omvang: dus b.v. starten met vierhoek en pas op het einde vierkant aanbrengen.) Men moest dan van uit het begrip vierhoek stap voor stap de meer gevulde of rijke begrippen laten opbouwen als een verbijzondering van de meer algemenen. Zo mocht men b.v. rijke het begrip vierkant (met veel kenmerken) pas in het vierde leerjaar aanbrengen; pas nadat men het vierkant vooraf als een soort vierhoek,
parellellogram, ruit, rechthoek leerde benoemen. Een vierkant dus als een ruit met bijkomende kenmerken. Een vierkant moest men dan ook leren zien als een deelverzameling van de vierhoeken, parallellogrammen, ruiten en rechthoeken. Al op de lagere school leerde men alles wat rook naar een intuïtieve benadering of aanschouwelijke voorstelling te vermijden. Het feit dat begrippen als vierkant, driehoek ... pas in het vierde leerjaar aangebracht mochten worden, leidde er ook toe dat men b.v. de driehoekige logiblokken als ‘dak’ benoemde, de vierkante als tegel en de rechthoekige als ‘deur’. Begeleiders wiskunde stelden ook dat men in het kleuteronderwijs de meetkundige termen vierkant, rechthoek, vierkant ... niet mocht gebruiken.

Voortaan moesten de kinderen vlakken, lijnen, hoeken ... ook als een oneindige verzameling punten leren zien en definiëren.
In het leerplan ‘moderne wiskunde’ was de logisch-deductieve opbouw duidelijk merkbaar. Je kreeg dan uiteraard als eerste rubriek ‘logisch denken’. Men ging ervan uit dat hier de meest elementaire begrippen en operaties aan bod komen, én dat het kind bepaalde logische begrippen moet verwerven vóor een begrip van getallen, lijnen, figuren... mogelijk is. Het ging hier om het aanleren van een soort formele logica als een nieuw soort universele grammatica. Na de rubriek ‘logisch denken’ kwamen in het leerplan de rubrieken over de ‘algemene verzamelingen’ en de relatieleer. Voor het relatiebegrip betekende dit dat de kinderen van bij de start van het eerste leerjaar moeten weten dat als je twee dingen hebt – van welke aard ook – en je de volgorde ervan vastlegt, dat er dan ‘koppels’ ontstaan; ze moesten relaties leren zien; pijlenvoorstellingen opbouwen en er koppels leren op aflezen en ze moesten deze koppels leren noteren. En in de tweede graad moesten ze ook leren formeel te definiëren wat een relatie is (een relatie is dan een verzameling van koppels) en hoe men zulke relaties in verzamelingentaal kan noteren.

Tot nu toe hadden we het vooral over de leerplannen moderne wiskunde en over de toelichtingen hierbij. In de klaspraktijk werden wel in de loop deer jaren heel wat zaken afgezwakt. Hierdoor werd de schade beperkt. Het leerplan kon moeilijk integraal uitgevoerd worden als werd bedoeld. De meeste methodes en de meeste leerkrachten bewezen een dosis lippendienst aan het leerplan en aan zijn oorspronkelijke bedoelingen. Na verloop van tijd verschenen er ook nieuwe versies van de leerplannen waarbij men een aantal punten liet vallen.

Bijlage: nieuwe kruistocht nodig?

Als mede-opsteller van het leerplan wiskunde katholiek lager onderwijs van1998 zorgden we ervoor extreme opvattingen, de hemelse en de aardse wiskunde, geen ingang vonden in het leerplan. En zo kwam het Vlaams wiskundeonderwijs in rustig vaarwater terecht. Maar in december j.l. pleitten nieuwe verantwoordelijken binnen de katholieke onderwijskoepel in ‘Zin in wiskunde’ plots voor een evolutie in de richting van de ‘constructivistische en contextuele wiskunde’.(school+visie, december 2015). Enkele jaren geleden prezen de koepelverantwoordelijken nog het wiskundeleerplan en het Vlaams wiskundeonderwijs , en plots stellen nieuwe koepelverantwoordelijken het volledig in vraag. Zie onze kritiek op deze recente wending in Onderwijskrant nr. 176 (www.onderwijskrant.be). Is dit het begin van een nieuwe kruistocht?
Vanaf ongeveer 1985 kregen we te maken met de constructivistische, aardse en situationele (contextuele) en zogezegd ‘realistische’ wiskunde van het Nederlandse Freudenthal Instituut en vanuit de VS (Standards)
Enkele van onze kritieken op de constructivistische wiskunde, contextueel rekenen
*Te veel ‘voor-wiskunde, rekenen met instap-contexten, en te weinig decontextualiseren (loskomen van specifieke context als ‘Ik moet met de auto 82 km ver, ik heb al 27 km afgelegd, hoeveel moet ik nog afleggen?)
*Te veel respect voor eigen(zinnige) constructies an elke leerling, bemoeilijkt begeleiding en automatisatie; geen aandacht voor belang van ‘standaardrekenprocedures’
*Te veel constructie van individuele leerlingen, te weinig wiskunde als cultuurproduct
* ‘Watertoren-wiskunde’ van Freudenthal en Co houdt geen rekening met ‘beperkte’ leertijd
*Te weinig sturing vanwege de leerkracht; te weinig structurering en stapsgewijze aanbreng
*Te weinig aandacht voor gevarieerde leerarrangementen: b.v. verwaarlozing van mechanistische aspecten: automatiseren en memoriseren *Fixatie aan aanschouwelijke ondersteuning (modellen) zoals getallenlijn
*Zwakke, maar ook betere leerlingen de dupe; *Diepe kloof tussen mooiklinkende realistische theorie en wat realiseerbaar/werkbaar is in de praktijk