Straks ook controversiële context-wiskunde in lager onderwijs en binnen STEM? Contextuele- of gesitueerde wiskunde (rekenen), everydaymathematics,  remt wiskundekennis, vlot berekenen en transfer af  

1 Controversiële contextuele wiskunde in leerplan 1^ste graad s.o.,  straks ook in leerplan lager onderwijs,  binnen STEM-projecten  ...

De voorbije jaren lazen we geregeld dat de kennis wiskunde van de leerlingen in het secundair onderwijs dramatisch was gedaald en dat dit vooral een gevolg was van de nieuwe eindtermen en leerplannen van 1997.  In de context van de nieuwe eindtermen en leerplannen gaan we hier even op in, vooral op de zgn. context-wiskunde. 

In de nieuwe leerplannen voor de eerste graad s.o. werd in 1997 gekozen voor de constructivistische en contextuele wiskunde van het Nederlandse Freudenthal Instituut. De Leuvense professoren Lieven Verschaffel, Dirk De Bock en Dirk Janssens loofden destijds die nieuwe eindtermen en leerplannen  waaraan ze zelf hadden meegewerkt. In de bijdrage ‘Het succes van de nieuwe wiskunde’. Schreven ze “In de eindtermen die vanaf 1997 werden geïmplementeerd in de eerste graad secundair onderwijs opteerde Vlaanderen resoluut voor de nieuwe basisfilosofie van het wiskundeonderwijs: het realistisch wiskundeonderwijs à la Freudenthal Instituut”  (Tijdschrift ‘Karakter’, Leuven, 2003).

Uit de vele  negatieve reacties van de leerkrachten  en tal van wiskundigen op dat leerplan bleek dat  dit soort wiskunde en leerplan helemaal niet succesvol ware. Er kwam veel kritiek op de zgn. ‘realistische’ contextwiskunde, op de every-day mathematics, ... En uit de evaluatie van de eindtermen bleek eveneens dat het slecht gesteld was met  de wiskundekennis  (zie punt 2).

We merkten onlangs dat de katholieke onderwijskoepel in de bijdrage ‘Zin in wiskunde’ (school+visie, december 2015) nu ook voor het lager onderwijs pleit voor de overschakeling op constructivistisch en contextueel wiskundeonderwijs. We lezen in die context  geregeld: “Val de kinderen niet lastig met kale of abstracte opgaven. Kinderen hebben realistische contexten, levensechte problemen nodig om goed te leren rekenen!” Dit laatste is ook de centrale idee in de recente bijdrage ‘Zin in wiskunde’ van de Vlaamse koepel van het katholiek lager onderwijs. In Onderwijskrant nr. 176 besteedden we een bijdrage aan de o.i. nefaste plannen van de (katholieke) onderwijskoepel (zie www.onderwijskrant.be).   In deze bijdrage staan we  vooral stil bij de zgn. ‘contextuele wiskunde’ zoals we die ook aantreffen in het leerplan wiskunde eerste graad s.o.

Binnen de oprukkende STEM-projecten wordt het vak wiskunde in principe geïntegreerd binnen brede STEM-projecten, waarbij wiskunde in dienst staat van het onderzoeken van wetenchappelijke en praktische problemen & probleemcontexten  en  van het technisch construeren. Zo lezen we: ““Het STEM-platform schuift  een reeks concrete aanbevelingen naar voren die meteen kunnen aangevat worden. Binnen onderwijs moet dringend werk gemaakt worden van een geïntegreerde aanpak van wiskunde, wetenschappen en technologie. Veel leerlingen haken gedemotiveerd af omdat het hoge abstractieniveau van wiskunde en wetenschappen hen belet het nut ervan in te zien. Technologie maakt alles concreter. Bijvoorbeeld: elementen uit de wiskunde, fysica of informatica kunnen perfect geïllustreerd worden door de werking van een windmolen. Door in het hervormd secundair onderwijs de eindtermen voortaan competentiegericht te formuleren en het curriculum aan sleutelcompetenties te koppelen, wordt meteen een belangrijke stap gezet.”

Veel wiskundigen vrezen dat ook hierdoor het wiskundeonderwijs als vakdiscipline in het gedrang zou kunnen komen. Ze stellen tevens dat leerlingen van de eerste graad s.o. over te weinig wiskundige basis beschikken om deze te kunnen toepassen in STEM-projecten. Een analoge kritiek vangen we op ten aanzien van de integratie van wetenschappen binnen STEM-projecten. De Leuvense prof. Manuel Sintubin schrijft: “Maar wat met die ‘traditionele’ wetenschappen? Dreigen de natuurwetenschappen niet al te veel in het verdomhoekje te verzeilen? Ze dreigen alleen nog in dienst te staan van de technologie, als een noodzakelijk kwaad ter voorbereiding van de ‘leuke’ vakken rond robots en game. Los van welke technologische toepassing dan ook, moeten we de leerlingen warm blijven maken voor wetenschappen an sich”  (‘Dreigen de natuurwetenschappen niet in het verdomhoekje te verzeilen?’).   

Velen vrezen dus dat door de integratie van M & S binnen STEM, de disciplinaire kennis van wiskunde en wetenschappen in het gedrang kan komen en dit op een moment waarop  STEM-faculteiten betreuren dat de instromende studenten over te weinig wiskunde-kennis beschikken en een half jaar bezig zijn met bijspijker-programma’s. Het in sterke mate integreren van die vakken en het minder abstract maken van wiskunde en wetenschappen is niet enkel een bijna onuitvoerbare operatie, maar zou tevens tot een sterke niveaudaling binnen de sterke aso- en tso-richtingen leiden, en tot minder (i.p.v. meer) universitaire wiskundigen, natuurkundigen, scheikundigen, ingenieurs. Nu al is bijvoorbeeld de wiskunde in het eenheidsleerplan voor de eerste graad secundair onderwijs al te weinig abstract en uitdagend voor leerlingen die een aso-richting viseren. Het is precies door het verlagen van de eisen dat steeds minder leerlingen de universitaire studies voor wiskunde en wetenschappen aankunnen en aandurven. Men vreest dat een geïntegreerde en doorgedreven vakkenoverschrijdende aanpak zou leiden tot veel minder leerinhoud en structuur en tot het minder beklijven van de leerinhoud.

2. “Kennis wiskunde in s.o. dramatisch”: kritiek op constructivistische context-wiskunde, situations-problèmes

“Kennis wiskunde dramatisch’ lazen we in maart 2010 in de kranten. Bij de eindtermenevaluatie eerste graad  van 2010 bleek dat veel leerlingen de eindtermen niet haalden - en dit voor tal van domeinen. Maar ook al in de periode 1997-2010 noteerden we veel klachten. Na de tegenvallende eindtermenevaluatie van de tweede en derde graad s.o. wezen wiskundeleraren erop dat dit vooral een gevolg was van het feit dat de leerlingen  in de lagere leerjaren – en vooral in de eerste graad – te weinig wiskundekennis opgestoken hadden. Zo’n achterstanden kan men niet meer inhalen in de derde graad.

De meeste leraren wiskunde waren niet tevreden over het leerplan eerste graad. En leraren van hogere leerjaren stelden dat de leerlingen te weinig basis-wiskunde hadden geleed in de eerste graad. Er is volgens hen te weinig respect voor de wskunde als vakdiscipline en cultuurproduct. Ook in andere landen die overschakelden op de constructivistische wiskunde, stelde men een niveaudaling  vast. Dit soort wiskunde leidde in de VS en elders tot een heuse wiskunde-oorlog.

De Brusselse wiskundeprofessor Stefaan Caenepeel was ook allerminst enthousiast over de vernieuwing van het wiskundeonderwijs bij de invoering van de nieuwe eindtermen/leerplannen.  In een brief die hij in 2001 naar Onderwijskrant stuurde, schreef hij:  “ De eindtermen voor wiskunde zijn bijzonder mager. Het is een minimum minimorum. Ik vrees voor het niveau van het wiskundeonderwijs.” Ook de docenten wiskunde van ons regentaat getuigden dat zowel de eindtermen als de nieuwe leerplannen een niveaudaling inhielden. Dat was ook de mening  die we meermaals in Onderwijskrant neerschreven.

Marie-Claire Deleersnijder, voorzitster van de Vlaamse Vereniging voor Wiskundeleerkrachten formuleerde volgende kritieken :  "De didactische methode is gewijzigd, men spreekt nu van 'contextonderwijs'. Als leerkrachten worden we gestimuleerd om wiskundeoefeningen te betrekken op actuele, concrete situaties. Minder abstracte theorie dus. Dat maakt tegelijk ook dat 'bewijzen' minder goed gekend zijn. En mede doordat de leerlingen tegenwoordig bij zowat elke toets een rekenmachine of hun formularia mogen gebruiken, zijn ze minder goed in hoofdrekenen en rekenvaardigheid. Ook analytische meetkunde komt niet meer in elk wiskundeprogramma voor” (In: Marjan Justaert, Vlaamse scholieren struikelen over maal-tafels en sukkelen met dt-regels, DM, 6.12.06). De contextuele aanpak neemt ook veel tijd in beslag en daardoor komt de vakdisciplinaire wiskunde in het gedrang. In het dagblad ‘Trouw’ (25.04.08) stelde de Nederlandse wiskundige Jan van de Craats hieromtrent:

 ‘Bij het werken vanuit concrete contexten/voorbeelden,  gaat men er ook vanuit dat de leerling zelf de theorie ontdekt. Maar dat werkt niet; dat is maar enkelen gegeven.” En zelfs die enkelen komen normaal niet tot de abstracte kennis, de meest handige berekeningswijzen ...

Op de VRT-radio betreurde de Leuvense prof. em. Alfred Warrinnier begin mei 2008 dat het extreem van  de ‘moderne wiskunde’ gewoon vervangen werd door een andere extreme visie, deze van de constructivistische ‘fuzzy mathematics’. In de getuigenissen  komt de kritiek op de contextwiskunde steeds terug.   Andere termen hiervoor zijn fuzzy maths, everyday-maths’. Men spreekt ook over ‘gesitueerde wiskunde’ en situations-problèmes in het Frans. In Nederland krijgt het Freudenthal Instituut veel kritiek met zijn alledaagse en constructivistische context-wiskunde. Everyday Mathematics die veel werken met contexten en situations-problèmes zijn soms wel eens leuk, maar het conceptuele, de abstractie en de wiskundetaal worden daardoor naar de achtergrond gedrongen, zodat niemand meer echte wiskunde kan leren en inzetten in de meest uiteenlopende toepassingsgebieden. Ook in Frankrijk, de VS, Canada ... is er veel kritiek op dat soort wiskunde. Op de blog ‘Onderwijskrant Vlaanderen’ vermeldden we geregeld een aantal evaluatiestudies.

3. Concepten leren vanuit contexten – situations-problèmes?  Watertoren-wiskunde?

Binnen de constructivistische en competentiegerichte aanpak staat de contextuele of situatiegebonden aanpak centraal.  We lezen in de richtlijnen van de Amerikaanse Standards (1989), in publicaties van het Freudenthal Instituut en elders dat wiskundige begrippen slechts begrepen worden als ze aangeboden worden in een context. De leerlingen moeten zelf wiskundige noties kunnen ontwikkelen op basis van reële problemen. Die problemen worden gepresenteerd in voor de leerlingen herkenbare contexten en komen vaak uit het dagelijks leven. Het onderliggende wiskundeconcept zou dan bijna automatisch volgen, via ‘doing mathematics’. Zo wordt de wiskunde van het Freudenthal Instituut door critici ook wel eens als ‘watertoren-wiskunde’ bestempeld. Op een bijscholingssessie destijds voor wiskundeleraren trok prof. Hans Freudenthal ooit met de cursisten  naar een watertoren om vanuit die context zijn ‘realistische’ aanpak te demonstreren.

 Binnen het ‘realistisch rekenonderwijs’ van het Freudenthal Instituut is de contextuele aanpak dus een centraal principe. In officiële teksten over wiskundeonderwijs wordt in Frankrijk, Franstalig België, Québec … eveneens het frequent werken vanuit ‘situations problèmes’ opgelegd. Zo lezen we in het leerplan voor de lagere cyclus s.o. in Frankrijk: "Il est indispensable que les connaissances aient pris du sens pour l’élève à partir de questions qu'il s'est posées et qu'il sache les mobiliser pour résoudre des problèmes (programme des collèges)". Het gaat hier niet om het klassieke toepassen van wiskunde-kennis in vraagstukken.

In tal van landen beluisteren we veel kritiek op het context- of gesitueerd rekenen, op het voortdurend

werken vanuit ‘situations problèmes’. De kritische reactie van de Amerikaanse professor David Klein

luidt: “Applications are important and story problems make good motivators, but understanding should

come from building the math for universal application. When story problems take center stage, the

math it leads to is often not practiced or applied widely enough for students to learn how to apply the

concept to other problems. Solutions of problems need to be rounded off with a mathematical discussion of the underlying mathematics. If new tools are fashioned to solve a problem, then these tools have to be put in the proper mathematical perspective. Otherwise the curriculum lacks mathematical cohesion."

De kritiek van ‘Matimatically Correct’ luidt: “Most ‘reform’ programs push ‘applications’ very strongly.

They want all practice to occur in the context of ‘real-world’ problems. They emphasize the concrete

over the abstract. However, the symbolic abstraction that gives power to mathematics is not the enemy.

The TIMSS videotape study showed that the proportion of abstract presentations was high in Japan

(86 %). This successful country does not expect all mathematics to be learned in the context of applications”.

4.  Onze kritiek vanuit het basisonderwijs

In onze eigen publicaties besteden we heel wat aandacht aan het (on)doordacht gebruik van

Contexten binnen de constructivistische wiskunde van het Freudenthal Instituut e.d.: zie o.a. Raf Feys,  Rekenen tot honderd 1998). Het gaat hier al te vaak om een uitdrukking die vele ladingen dekt en om een soort toverformule. Men wekt dan de indruk dat men voortdurend vanuit contexten moet werken en dat de leerlingen zelf wiskundige noties, regels en/of berekeningswijzen moeten ontwikkelen/construeren op basis van reële problemen.  Als mede-opsteller van het leerplan wiskunde voor het lager (katholiek) onderwijs zorgden we er ook voor dat die contextuele en constructivistische aanpak buiten het leerplan gehouden werd.

Zelf maken we in ons boek ‘Rekenen tot honderd’ vooreerst al een onderscheid tussen drie soorten contexten: een eenvoudige instapcontext om een nieuw begrip aan te brengen, contexten in het kader van het vlot leren rekenen – die veelal overbodig zijn, en anderzijds de meer complexe vraagstukcontexten. We stelden o.a. dat het te lang werken met realistische contexten het abstraheren bemoeilijkt. Het gevaar bestaat immers dat de rekenkennis van leerlingen ‘gesitueerd’ blijft en dat zij die kennis niet in nieuwe en uiteenlopende situaties zullen kunnen toepassen. Met andere woorden, de leerlingen komen niet tot ‘decontextualisatie’ en ‘transfer’.

Zo hebben we de meeste moeite met het feit dat het Freudenthal Instituut het begrip ‘aftrekking’ steeds associeert met een lineaire context (b.v. afstand van 85 km, je hebt al 27 km afgelegd, hoeveel nog). Met deze context drijft men de leerlingen in de richting van het omslachtige aanvullend optellen van 27 naar 82 (17 + 3, + 10 ....+ 2 en achteraf nog de deelsommen optellen.) En daar ze in de fase van het vlot leren berekenen lange tijd gebruik mogen maken van de lineaire getallenlijn komen ze niet vlug tot een gestandaardiseerde en korte berekeningswijze. Het werken vanuit contexten en op aanschouwelijk niveau,  en de leerlingen zelf  eigen(zinnige) berekeningswijzen laten construeren heeft tal van andere nefaste gevolgen.  Er is o.a. te weinig aandacht voor het vlot berekenen via gestandaardiseerde berekeningswijzen. Een ander fundamenteel bezwaar luidt dat de tijd beperkt is en dat het veelvuldig leren vanuit probleemcontexten heel veel tijd in beslag neemt.

Een ander voorbeeld.  In verband met oppervlakte hecht het Freudenthal Instituut veel belang aan het lange tijd werken vanuit probleemcontexten, met opgaven als een parking van zoveel op zoveel meter, reken eens uit hoeveel auto’s hier kunnen parkeren (een opgave voor 5^de leerjaar lager onderwijs). Zo’n wiskunde-poject is vooreerst moeilijk uitvoerbaar omdat de leerlingen over te weinig kennis over draaicirkels e.d. beschikken,  en zo’n opgaven nemen ook al te veel kostbare tijd in beslag. Tegelijk vindt het Feudenthal Instituut dat er geen formules voor de oppervlakte-berekening aangeleerd moeten worden en dat het klassieke metend rekenen met conventionele maten niet zo belangrijk meer is.  Ze spreken in hun publicaties enkel  nog over ‘meten’. In het leerplan dat we opstelden voor het lager onderwijs besteden wij wel nog veel aandacht aan het klassieke metend rekenen. We spreken in het leerplan dan ook ‘Meten én metend rekenen’. In het vakdidactisch boek dat we publiceerden over ‘Meten en metend rekenen’ (Plantyn, Mechelen) is er ook nog veel aandacht voor het klassieke ‘metend rekenen’. Er is verder  ook een groot verschil tussen onze meer klassieke wijze van uitwerking van het domein ‘meetkunde’ en deze van  de everyday-meetkunde van het Freudenthal Instituut. Het FI verving de vakdisciplinaire term meetkunde  door ‘ruimtelijke oriëntatie’ – dat volgens ons maar een beperkt onderdeel is van de meetkunde.     

5  Zonder abstractie geen transfer

In De Standaard van 30 april 2008 lazen we over een recente studie die eveneens tot de conclusie

komt dat kinderen vaak beter concepten, regels en berekeningswijzen leren wanneer ze voldoende op

abstract niveau werken, dan wanneer ze die concepten en regels moeten afleiden uit contexten,

rekenverhalen of probleemsituaties (The Advantage of Abstract Examples in Learning Math, in Science,

25.04.08, pp. 454 -455. De studie werd uitgevoerd door drie onderzoekers van het Centre for Cognitive

Science van Ohio State University: J. A. Kaminski, V. M. Sloutsky en A. F. Heckler.

Volgens Kaminski e.a. wijst hun onderzoek uit dat je abstracte wiskundige concepten niet echt kunt leren

op basis van overwegend realistische rekencontexten. In verschillende experimenten werden de ene groep leerlingen concepten/regels aangeleerd via concrete voorbeelden aangeleerd, bij de andere groep via abstracte symbolen. Zo onderzochten Kaminski e.a. bijvoorbeeld de verschillende manieren waarop de commutativiteit (bijv. 3 + 2 of 2 + 3 blijft 5) en andere rekenregels werden geleerd. Sommige kinderen

leerden de rekeneigenschappen ontdekken via tekeningen, contexten met kopjes water, stukjes pizza,

en de andere op een meer abstracte wijze.

De meeste kinderen ondervonden geen enkel probleem om de regels te begrijpen, maar men stelde wel

vast dat leerlingen die via abstracte voorstellingen hadden geleerd, gemakkelijker tot toepassing in

nieuwe situaties (transfer) kwamen dan leerlingen die via realistische contexten werkten. Als het abstracte

idee zelf wordt onderwezen, beheersen de leerlingen die toepassing veel beter. Leerlingen die

een wiskundig principe leren aan de hand van praktische voorbeelden, weten vaak niet hoe ze dat principe moeten toepassen op nieuwe situaties. Ook als ze verschillende voorbeelden hadden gekregen, zei hun dat niets over een nieuwe toepassing. Zelfs niet als hen was gevraagd op de overeenkomsten

tussen de voorbeelden te letten. De leerlingen die meer abstracte lessen hadden gekregen, wisten wel

raad met nieuwe toepassingen. Ze waren er ook beter in dan de groep die eerst voorbeelden had

gekregen en daarna abstracte regels. Kennelijk leidt al die concrete informatie in het voorbeeld alleen

maar de aandacht van de essentie af.

Tot dezelfde conclusie kwamen de onderzoekers ook voor volgend probleem bij oudere leerlingen:

Een trein vertrekt om 18 uur uit station A en rijdt aan 40 km/h naar station B. Een tweede trein verlaat

station B om 19 uur en rijdt aan 50 km/h naar station A. De stations liggen op 400 km afstand van elkaar. Wanneer passeert de ene trein de andere? Het probleem kan via de volgende abstracte vergelijking

worden opgelost: 40(t + 1) = 400 – 50t, waarbij t de reistijd van de tweede trein is. Als leerlingen het

probleem echter zelf met behulp van eigen ontwikkelde schema’s moesten oplossen en niet via een

abstracte vergelijking, dan waren zij ook niet in staat om de opgedane kennis in nieuwe situaties toe te

passen (bijvoorbeeld in contexten met stijgend water). Bij de eerste groep was er wel die transfer.

Kaminski e.a. onderzochten de wijdverspreide – maar nooit geteste – opvatting dat leerlingen het

beste via concrete voorbeelden leren rekenen. Volgens Kaminski zijn realistische contexten wellicht

de beste manier om op het einde van het leerproces na te gaan of een leerling een welbepaald wiskundig

concept beheerst, maar niet om nieuwe wiskundige concepten, berekenings- of oplossingswijzen aan te

leren.

In het dagblad ‘Trouw’ (25.04.08) lazen we hieromtrent: “De uitkomsten verbazen prof. Jan van

der Craats niet. ‘Bij het werken met voorbeelden/contexten ga je ervan uit dat de leerling zelf de theorie ontdekt. Maar dat werkt niet; dat is maar enkelen gegeven.’ Jan van Maanen, FI-directeur, stelt: ‘Veel schoolboeken blijven ook naar mijn idee erg veel in concrete voorbeelden hangen. Maar voor veel abstracte begrippen zoals functies geldt dat de meeste leerlingen er eerst een concreet beeld van moeten

hebben voordat ze het zich eigen kunnen maken’.”

Literatuur

• Abstracte wiskunde leert beter dan praktische voorbeelden.

De Standaard 30/04 – 01/05/08, Wetenschap, p. 1.

• Feys, R. (1998). Rekenen tot honderd. Mechelen: Uitgeverij

 Plantyn.

*Feys R. (2002)Meten en Metend Rekenen, Plantyn

• Kaminski, J.A., Sloutsky, V.M. & Heckler, A.F. (2008).

The Advantage of Abstract Examples in Learning Math.

Science, vol. 320, no. 5875 (p. 454 - 455).

• Van Biervliet, P. (2006). Effective teaching of numeracy:

not too realistic, but functional! ETEN 16, The Proceedings

of the 16th Annual Conference of the European Teacher

Education Network, Greenwich: University of Greenwich

(p.188-191).