Pleidooi voor vlugger  werken met conventionele maateenheden  i.p.v. natuurlijke : haaks op visie van Dewey, Piaget, Decroly,  Freudenthal en andere constructivisten

(Hoofdstuk uit mijn boek ‘Meten en metend rekenen’, Plantyn)

1.  Probleemstelling: te lang en eenzijdig werken met natuurlijke maateenheden 

In de geschiedenis van het 'meten' werd uiteraard eerst lange tijd uitsluitend met natuurlijke maten gewerkt en pas veel later met gestandaardiseerde maateenheden en meetinstrumenten zoals we die in het dagelijks leven gebruiken.

In de klascontext wordt deze historische genese van het meten ook vaak gereconstrueerd. Er wordt dan lange tijd met 'natuurlijke maateenheden' gewerkt, de introductie van conventionele  maateenheden wordt uitgesteld. De leerlingen moeten ook zoveel mogelijk zelfstandig de opeenvolgende historische stappen reconstrueren ...  Voor het onderwijs in 'metend rekenen' werd/wordt veelal uitgegaan van het zgn. 'genetische principe' in de traditie van Dewey, Decroly, Piaget, constructivisme … Vanuit de stelling dat een leerling het ontstaan van de wiskundekennis   moet kunnen (re)construeren, beklemtonen  ook de medewerkers van het Freudenthal Instituut en de voorstanders van constructivistische wiskunde te sterk het belang van het langdurig werken met natuurlijke maateenheden voor lengte, oppervlakte, inhoud ... 

De voorbije jaren kwam er echter veel kritiek op het dogmatisme van dit 'genetisch principe'. A. Peter-Koops (2000) verzuchtte in dit verband: "Een overbeklemtonen van het meten met niet-standaardmaateenheden levert voor kinderen tijdverlies en  moeilijkheden op die lange tijd zijn onderschat." Op basis van onderzoek pleit hij voor het vlugger werken met conventionele maateenheden aks cm e.d. Vanuit onze eigen ervaring onderschrijven we de relativering van het werken met natuurlijke maateenheden en van het psychologisch-genetische reconstructieprincipe. De culturele of formele 'maten' zijn soms natuurlijker dan bepaalde natuurlijke maateenheden die steeds minder gebruikt worden.

2.  Reconstructie van historisch-genetische ontwikkeling en psychologisch-genetische

         Reconstructieprincipe (Dewey, Piaget, Decromu, Freudenthal en constructivisten

Het genetische principe is dubbel. * Onder het 'historisch-genetische' principe wordt een didactiek verstaan waarbij de historische ontwikkeling van het vak in een versneld tempo doorlopen wordt. * Bij het 'psychologisch-genetische' principe dient het leerproces zo ingericht te worden dat rekening gehouden wordt met de ontwikkelingsfasen van het lerende kind die zouden corresponderen met de historische fasen en met de inventieve reconstructie door het kind (Schubring, 1978).

Het lange tijd werken met 'natuurlijke maateenheden'  en het werken met een strakke leerlijn zijn b.v. gebaseerd op de idee van een structuur-genetische ontwikkeling van de kinderlijke psyche volgens universele fasen en onveranderlijke sequenties, waarbij de ontwikkeling van de menselijke kennis een afspiegeling of reproductie zou zijn van de historische ontwikkeling van de mensheid (Feys, 1969). Men kan in de genoemde genetische principes Haeckels biogenetische wet - de ontogenese als herhaling van de fylogenese - herkennen, die een psychologische vertaling kende in de zgn. 'recapitulatietheorie' (S. Hall, J. Dewey e.d.).

Schubring (1978) beschrijft hoe talloze vooraanstaande psychologen, (reform)pedagogen en wiskundigen zich door de tijden heen op een of andere wijze hebben uitgesproken voor een initiatie in de wiskunde, die op een natuurlijke wijze, genetisch in beide betekenissen, vorm diende te krijgen.   In overeenstemming met de nauwe relatie tussen de individueel-cognitieve (ontogenese) en de cultureel-historische ontwikkeling (fylogenese) moeten de kinderen bij de opbouw van bv. hun meetbegrip de verschillende ontwikkelingsfasen naar het gestandaardiseerde meten in de loop van de geschiedenis van de mensheid zelf doorlopen en zich zelf opnieuw eigen maken. (Hetzelfde geldt voor de meetkunde, enz.) Dewey bv. was een aanhanger van de Darwiniaans geïnspireerde recapitulatietheorie die stelt dat de opgroeiende mens de geschiedenis moest recapituleren en dus allerhande archaïsche stadia moest doorlopen, in een versneld tempo uiteraard. Indien deze fasen in de cultuureel-historische ontwikkeling en de individuele ontwikkeling niet voldoende gerespecteerd en eigen gemaakt worden, dan kan volgens de genetische theorie de opbouw van het meetbegrip in sterke mate belemmerd worden. Ook voor het meetkunde-onderwijs stelde Piaget voor om het genetisch principe toe te passen. Zo mocht de klassieke, euclidische meetkunde met haar lijnen, hoeken en figuren pas laat aan bod komen; men moest bv. eerst topologische begrippen (nabijheid, open en gesloten enz.) laten verkennen. 

In België was de bekende medicus en reformpedagoog Ovide Decroly (1871-1932) een groot voorstander van het 'genetische principe' binnen wiskunde en wereldoriëntatie (Liefland, 1959). Hij dweepte met de recapitulatietheorie en voor metend rekenen propageerde hij het lange tijd werken met 'natuurlijke maateenheden' en het uitstellen van het meer formele meten. De invloed van Decroly op het leerplan van 1936 zorgde ervoor dat in de tekst expliciet werd vermeld: 'Men zal eerst natuurlijke maten gebruiken' (Ministerie van Openbaar Onderwijs, 1936). Dit principe was overigens heel populair binnen de reformpedagogiek die het 'natuurlijke' leren propageerde en het meer 'formele' en schoolse leren wou uitstellen.

De recapitulatietheorie had niet enkel invloed op de leerlijn voor 'metend rekenen' (bv. lange tijd met natuurlijke maten werken, de ene fase in de meetleerlijn laten voortvloeien uit de voorafgaande …), maar ook op de gepropageerde werkvormen. Het zgn. constructivisme (zie 1.7) en het reconstructieprincipe beklemtonen ook nu nog - in navolging van Piaget en Dewey - dat de eigen inbreng en constructie van het kind heel belangrijk zijn. Uitdrukkingen als 'leren door te doen' (learning by doing) en 'wiskunde is wiskunde doen' deden hun intrede. Constructivisten vertrekken hierbij van de idee dat ook onze voorouders het zelf hebben moeten ontdekken en zelf hun kennis moesten construeren. (Ze vertellen er wel niet bij hoeveel eeuwen het geduurd heeft alvorens de hedendaagse wiskunde als cultuurproduct ontwikkeld werd.)

Medewerker van het Freudenthal Instituut Ed de Moor (1999) schreef dat ook prof. Hans Freudenthal (Freudenthal Instituut)  een aanhanger was van het 'genetisch principe'.  Ook medewerkers van het Freudenthal Instituut hecht(t)en te veel waarde aan het lange tijd laten meten met  natuurlijke maateenheden voor legnte, oppervlakte … Zelf erkennen we ook wel de waarde van het eventjes werken met natuurlijke maateenheden, maar tegelijk relativeren we het gebruik ervan. We raden dan ook aan om al vlugger al te werken met conventionele maateenheden als cm e.d.

3.  Kritiek op historisch-genetische aanpak en recapitulatietheorie

Er is al lang discussie over de toepassing van het 'genetische principe' en de recapitulatietheorie in het onderwijzen van wiskunde, wereldoriëntatie e.d. (Feys, 2001). Afgezien van het feit dat het genetische principe allerlei variaties kent, bleek het ook een onvolledig en gebrekkig instrument voor de leerplanontwikkeling. Er wordt bv. voorbijgegaan aan de relatie met - en de invloed van de huidige cultuur waarin het kind opgroeit en aan de invloed van het onderwijsleerproces.

Prof. Victor  d'Espallier schreef in 1974  al: "De overgang van de natuurlijke maten naar de conventionele, enz. moet volgens Decroly door de kinderen zelf ontdekt worden. Deze psychologische aanpassing aan het kind kan o.i. echter maar binnen zeer beperkte grenzen geschieden. Ook de cultuur en de maatschappij stellen hun eisen; ze kunnen niet op het kind wachten" (De Block e.a., 1974, deel 1, p. 367). De voorbije jaren  kreeg de toepassing van de recapitulatietheorie op 'meten en metend rekenen' veel kritiek te verduren, vooral waar het gaat om grootheden zoals lengte, gewicht … waarbij de meeste kinderen al in een vroeg stadium kennismaken met standaardmaten en standaardmeetinstrumenten. Thuis bv. zien ze meten met lintmeter, vouwmeter, lat … en ze horen spreken over meter en centimeter en over hoeveel kilometer het nog is naar oma. Ze verwerven al vroeg een beeld van een literpak melk, ze worden gewogen in kilo's … Ze horen 'over vijf minuten (of over een kwartier) gaan we eten' … Een aantal gestandaardiseerde maateenheden zijn a.h.w. 'natuurlijker' dan de meeste zgn. 'natuurlijke maateenheden' die de voorouders hanteerden.

Nogal wat leerkrachten en didactici vinden dat voor het meten van lengte en gewicht veel vroeger gebruik gemaakt moet worden van deze voorkennis. Lange tijd en enkel met natuurlijke maten werken is volgens hen dan ook onnatuurlijk. In de volgende paragrafen bespreken we de kritiek op de dogmatische genetische leerlijn voor 'metend rekenen' en op de recapitulatietheorie met de eraan verbonden 'informele' en zelfontdekkende aanpak 

4.  Relativering van werken met natuurlijke lengtematen en informele aanpak

In de bijdrage 'Lengtemeting op de basisschool - actuele ontwikkelingen en internationaal onderzoek-' wijdt A. Peter-Koop (2002) een aantal interessante beschouwingen aan deze thematiek. De conclusies bij een aantal onderzoeken zijn de volgende:

* De kinderen komen in hun leefwereld veel vroeger in contact met conventionele maten en meetinstrumenten dan de aanhangers van het genetisch principe beweren. De culturele of formele 'maten' zijn soms natuurlijker dan natuurlijke maateenheden die steeds minder gebruikt worden. Veel jonge kinderen gaan soms al opmerkelijk goed met standaardmaten (bv. cm en m) en conventionele meetinstrumenten (bv. meter, liniaal) om. De langdradige en omstandige indirecte vergelijkingsmethoden met willekeurig gekozen maten zijn voor deze kinderen eerder zinloos en ook moeilijker. Een niet-kritisch gebruik van niet-conventionele maateenheden kan zelfs tot ontwikkeling van misvattingen leiden.

* Het werken met natuurlijke lengtematen en informele meetsituaties draagt minder bij tot het ontdekken van de basisstructuur van elk meetsysteem dan algemeen verwacht wordt. Vooral via gerichte verkenning van conventionele maten als centimeter en meter - gekoppeld aan de verkenning en het gebruik van de liniaal -  ervaren de leerlingen de drieledige structuur van het echte meetsysteem:

° Er moet een van tijd en ruimte onafhankelijke maateenheid gevonden worden. Hierbij moet ook verwarring tussen de maten voor lengte en oppervlakte/volume voorkomen worden. Bij het meten van lengte met stroken of blokjes heb je vlugger verwarring.

° De maateenheid moet herhaald toegepast en bijgeteld worden als het te meten object groter is dan de eenheid. Het inzicht in 'schaalverdeling' en 'resultatief tellen' van de grootte is hierbij heel belangrijk.

° De eenheid moet systematisch onderverdeeld worden wanneer er geen  natuurlijk maatgetal bestaat, dat het te meten object volledig kan omvatten.

* Uit bepaalde onderzoeken blijkt verder dat een te grote nadruk op het meten met niet-standaardmaten problemen voor veel leerlingen oplevert die tot nu onderschat werden. In een Amerikaans handboek beklemtoonden P. Wilson en A. Osborne in 1988 het volgende: "Bij het pure aftellen met niet-conventionele, willekeurig gekozen lengtematen worden noch de betekenis van de nul, noch het herhaalde aanleggen van lijnstukken, die de eenheden respectievelijk de ondereenheden representeren, in het meetproces duidelijk. Dit bemoeilijkt een werkelijk begrip van de onderliggende structuren van het meetproces." De auteurs pleiten voor het vroeger overschakelen op conventionele maten en meetinstrumenten.

*De kinderen zijn binnen metend rekenen te veel gedachteloos en informeel met meten bezig en dat levert te weinig resultaten op.

P. Bragg en L. Outhred hebben aan het eind van de jaren 90 in een breed opgezette studie de kennis van Australische basisschoolleerlingen over lengtematen onderzocht. "De leerlingen pasten bij de toetsopgaven twee verschillende strategieën toe: enerzijds het tellen met informele maateenheden, markeringen of afstanden, anderzijds het gebruik van een liniaal en het aflezen van de schaalindeling. Beide aanpakken verwijzen volgens de wetenschappers naar een eerder verworven instrumenteel en oppervlakkig begrip van het meetproces en laten geen dwingende conclusies toe dat er een diepergaand begrip van het hieraan ten grondslag liggende complexe (drieledige) meetsysteem bestaat.

Eerder ontstaat de indruk dat voor veel kinderen meten hetzelfde is als tellen van 'papieren voeten', lucifers of strepen. Deze louter rekenkundige interpretatie van grootheden, die de samenhang met de aan de meting ten grondslag liggende eenheden verwaarloost, kan de opbouw van een realistische voorstelling van grootheden en van een begripsvolle afbakening van lengte, oppervlakte en inhoud blijvend belemmeren" (Peter-Koops, o.c.) Bragg en Outhred stellen voor meer te tijd besteden aan de gerichte verkenning van de conventionele maten en meetinstrumenten en wat minder aan het informele meten.

5.  Voorkeur voor conventionele maten en meetinstrumenten bij lengtemeting   

De Australische G. Boulton-Lewis (1996) onderzocht midden de jaren tachtig de samenhang tussen de cognitieve theorieën (bv. genetisch principe, ontwikkelingspychologische gegevens à la Piaget …) en de kennis van lengtemeting bij basisschoolleerlingen. Zij stelde daarbij vast dat de meeste kinderen van haar onderzoeksgroep met succes al met een liniaal konden werken voordat ze in een situatie waren om over strategieën met niet-conventionele meetinstrumenten te denken. Uit een aanvullend onderzoek over lengtestrategieën bleek verder dat leerlingen uit leerjaar 1, 2 en 3 duidelijk de voorkeur gaven aan een conventioneel meetinstrument (als dat ter beschikking was), zelfs wanneer ze dat nog niet volledig begrepen hadden of dat nog niet op de juiste wijze en exact konden toepassen.

Om te kunnen zien dat willekeurig gekozen maten en meetinstrumenten niet betrouwbaar zijn, moet de leerling begrijpen dat de onderscheiden lengten en maatgetallen van de gebruikte eenheden een sluitend systeem vormen en moet hij daarbij passende conclusies trekken. Het gebruik van een gewone 30-cm liniaal bij het vergelijken van twee verschillende objecten is dan ook minder lastig. Bovendien past dit veel meer bij de alledaagse ervaringen van de kinderen, die toch in de regel zien hoe volwassenen bij het meten en vergelijken van lengten conventionele - en juist niet willekeurig gekozen meetinstrumenten - gebruiken.

T. Nunes, P. Light en J. Mason vergeleken in een onderzoek van 1993 de handelswijzen van leerlingen uit klas 2 bij lengtemeting - waarbij verschillende conventionele, maar ook niet-standaard meetinstrumenten ter beschikking stonden. Hun onderzoeksresultaten wijzen in dezelfde richting. "Nunes en haar collega's onderzochten of de leerlingen meetinstrumenten als een gewone liniaal met onderverdeling op de juiste manier gebruikten, voordat ze dat instrument zelf (her)uitgevonden hadden volgens de theorie van de didactische ordening ( = zgn. meetleerlijn: zie hoofdstuk 2). Evaluatie van de data van dit onderzoek laat zien dat de zes- tot achtjarigen beter met conventionele meetinstrumenten voor lengte konden omgaan dan met onconventionele (zoals een stuk touw), hoewel volgens het leerplan in Engeland juist het werken met onconventionele maten in klas 2 een centrale plaats heeft en vooraf dient te gaan aan het gebruik van gestandaardiseerde maten" (Peter-Koop, o.c.).

Ook uit actueel onderzoek van M. Nührenbörger (2001) in Duitsland blijkt dat leerlingen uit het tweede leerjaar, aan wie gevraagd werd - voordat ze onderwijs in lengtematen gekregen hadden - om streepjes te tekenen van 1 cm respectievelijk 10 cm lang, zich daarbij vaak een liniaal voorstellen en dan volgens dit mentale beeld de betreffende streeplengtes tekenen.

Waar zit die klaarblijkelijke attractiviteit van conventionele meetinstrumenten voor de kinderen in? Volgens Peter-Koop (o.c.) vast en zeker in een of andere eerdere buitenschoolse ervaring. Zo zijn de meeste kinderen bijvoorbeeld al meerdere malen en in verschillende situaties gemeten en gewogen, hebben ze zakgeld gekregen (en uitgegeven) en weten ze precies wat de aanvangstijden en duur van hun lievelingsprogramma's op de televisie zijn. Zij zien hun ouders koken en iets repareren, ze zijn lid van een sportvereniging en hebben het nut van conventionele meetinstrumenten en maten op allerlei manieren direct of indirect ervaren. Lijken al deze zaken voor de kinderen - na hun alledaagse ervaringen - op grond van hun voorervaringen niet eenvoudiger te doorzien?

6.  Besluiten

Mevrouw A. Peter-Koop besluit haar overzichtsbijdrage met de stelling dat volgens de huidige onderzoeksresultaten het zinvol lijkt om conventionele en willekeurige maten gelijktijdig aan te bieden. "Daarbij is de voorkennis over conventionele maten en meetinstrumenten van kinderen een belangrijk beginsel. Zo kunnen de kinderen bijvoorbeeld hun al bekende meetinstrumenten van huis meebrengen. Ze kunnen wat vertellen over authentieke alledaagse situaties, waarin zij daarmee al ervaring hebben opgedaan. De verschillende instrumenten kunnen vergeleken worden (wat is hetzelfde, wat anders?), waarbij ook de gebruiksmogelijkheden besproken worden".

We zijn het eens met de stelling dat een aanpak voor lengtemeting die gebaseerd is op de voorschoolse en buitenschoolse ervaringen waarover de meeste kinderen beschikken,  het meest aantrekkelijk is voor het onderwijs in lengtemeting. In die buitenschoolse ervaring maken de kinderen geen echt onderscheid tussen 'natuurlijke maten' en 'standaardmaten'. Ook een standaardmaat is voor hen een 'natuurlijke maat'. Meetlat, lint en liniaal zijn heel natuurlijke standaardmeetinstrumenten die ze al vroeg kennen.

Een quasi gelijktijdig gebruik van conventionele en willekeurige maten, waarbij ook de voorkennis over het omgaan met gebruikelijke maten en meetinstrumenten betrokken wordt, lijkt dus aangewezen. We denken hier bv. aan de bespreking met de kinderen van de schaalverdelingen op de hun bekende meetinstrumenten en het laten ontwerpen door de leerlingen zelf van dergelijke schaalverdelingen met onderverdelingen bij willekeurig gekozen maateenheden; dit laatste om de betekenis en de structuur van de gebruikelijke meetinstrumenten en maten nog beter te kunnen doorzien en begrijpen. Dit betekent ook dat de leerkracht van een eerste leerjaar al over cm mag praten. De verkenning van de meetlat biedt overigens een goede ondersteuning van de getallenkennis (bv. ook resultatief tellen). Een leerling moet nog niet weten dat 1 m = 100 cm om al met cm als lengtemaat en de meetlat te kunnen werken. In het leerplan van 1958 was het meten met meter en centimeter al voorzien in het eerste leerjaar. In de nieuwe leerplannen komt centimeter pas in het tweede leerjaar en decimeter en millimeter soms zelfs in het vierde.

Bij complexere grootheden als oppervlakte echter hebben de jongere leerlingen weinig en meestal geen buitenschoolse ervaring met conventionele maateenheden. Voor oppervlakte zal men dan ook lange tijd aangewezen zijn op het gebruik van niet-conventionele maateenheden (zie hoofdstuk 3 en 4). Maar ook hier pleiten we voor een meer gerichte benadering en voor het tijdig invoeren van oppervlakteroosters (zie hoofdstuk 4). De voorbije jaren was er jammer genoeg weinig onderzoek en discussie i.v.m. oppervlakte- en inhoudsmeting.

Literatuur en bronnen

Apostel, L. (1986), Didactiek van het rekenen in het basisonderwijs, in Baekelmans, R. en Verhofstadt-Deneve, L. (red.), Ontwikkeling, persoonlijkheid en milieu, Leuven, Acco.

Argo (1998), Leerplan wiskunde, Brussel, ARGO.

Barbry, R. (1988), Metend Rekenen, een algemeen kader, in Ministerie van Onderwijs, Metend Rekenen, Pedagogische Week 1988, Brussel, p. 21-33.

Beishuizen, M e.a. (2000), Conferentieverslag, in Tijdschrift voor Nascholing en Onderzoek van het Reken/wiskunde-onderwijs, 18, nummer 4.

Booker, G., Bond, D., Briggs J. & Davey, G. (1997), Teaching Mathematics 2^nd edition, South Melbourne: Addison Wesley Longman.

Boulton-Lewis, G.M., Wills L.A. & Mutch, S.L. (1996), An analysis of young children's strategies and use of devices for length measurement, in Journal of Mathematical Behaviour, nr. 3, 329-347.

Centrale Raad voor het Katho­liek Lager Onderwijs (1981), Leerplan wiskunde voor de basisschool, Brussel, CRKLO.

Davydov, V. (1972), De introductie van het begrip grootheid in de eerste klas van het basisonderwijs, in Van Parreren, C.F. en Carpay, J. (1972), Sovjetpsychologen aan het woord, Groningen, Wolters-Noordhoff, p. 227-289.

De Block, A. e.a. (1974), Standaard Encyclopedie voor Opvoeding en Onderwijs, Antwerpen, Standaard Uitgeverij, deel 1.

Deckers, L. (1934), Rekenen, in D'Espallier, V. (red.), Nieuwe banen in het onderwijs, deel 3, Brussel, Standaard Uitgeverij, p.180-225.

De Moor, E. (1999), Van vormleer naar realistische meetkunde, Universiteit Utrecht, CD-ß Wetenschappelijke bibliotheek, 694 p.

Departement Onderwijs, Ontwikkelingsdoelen en eindtermen basisonderwijs, decretale tekst en uitgangspunten, Brussel, 1995.

Department for education and employment (1999), The National Numeracy Strategy, framework for teaching mathematics from reception to year 6, Londen.  

de Vet, C.A.J. e.a. (2001), Impressies 19^de Panama najaarsconferentie., in:  Tijdschrift voor Nascholing en Onderzoek van het Reken/wiskunde-onderwijs, 19, (2001), nummer 2, p. 3-11.

Feys, R. (1970), De vorming van de intelligentie volgens de Piagetianen:   Psychologische grondslagen en didactische implicaties.  Licentiaatsverhandeling, K.U.- Leuven, 386 p.

Feys, R. (1980). Metend Rekenen. Cursus lagere normaalschool, Torhout, PHO.

Feys, R. (1982), Moderne wiskunde: een vlag op een modderschuit, in Onderwijskrant nr. 32, 40 p.

Feys, R. (1995). Meten en Metend rekenen. Leereenheid 16, in Verschaffel L. & De Corte E. (red.), Naar een nieuwe reken/wiskundedidactiek, deel 3, Brussel: StOHO, p. 99-134. 

Feys, R., (1996), Mathematics, warming (up) and warning, contouren voor curriculum, in Onderwijskrant, (1996) , nr. 90, p. 20-37. 

Feys, R. (1998). 'Rekenen tot honderd, Diegem, Kluwer Editorial, 200 p.

Feys, R. en Van Biervliet, Pieter (2000) Constructivisme als leertheorie en constructivistische wiskunde, Themanummer Onderwijskrant, september 2000,

nr. 113.

Gribling, S. (1984). Meten in methodes, in E. de Moor, (Ed.), Beschouwingen over reken/wiskundemethoden, Panama Cursusboek 2, 63-72. Vakgroep OW & OC, Rijksuniversiteit Utrecht.

Inspectie Rijksbasisonderwijs (1980) Halfopen curriculum voor vernieuw­de wiskunde in het rijksbasisonderwijs, Brussel: Ministerie van Nationale Opvoeding.

Imandt B. (1999), Indrukken Panama-conferentie, Tijdschrift voor Nascholing en Onderzoek van het Reken/wiskunde-onderwijs, december 1999.

Kraemer J.M., van der Schoot F. en Engelen R. (2000), Balans van het rekenwiskundeonderwijs op LOM- en MLK-scholen 2, Arnhem, CITO, 135 p.

Lovell, K.(1973), De ontwikkeling van fundamentele wiskundige en natuurkundige begrippen in het kinderlijk denken, Malmberg ('s Hertogenbosch) en Van In  (Lier). 

Nührenbörger, M. (2001), Jetzt wird's schwer. Mit Stäben messen, kann ich nicht. In: Die Grundschulzeitschrift, 141.

Mercer, N. (1999), Samen leren. De praktijk van interactief onderwijs, Utrecht, Sardes.

Ministerie van Openbaar Onderwijs (1936), Leerplan en Leidraad, Brussel.

Ministre de l'éducation (1994), Socles de compétences dans l'enseignement fondamental, Brussel.

Nelissen J., (2000), Het rekenpeil aan het eind van de Nederlandse basisschool, in Willem Bartjens, 19, nr. 4

OVSG (1997), Leerplan wiskunde voor de basisschool, OVSG, Brussel.

Peter-Koop, A., (2001), Lengtemeting op de basisschool. Actuele  ontwikkelingen en internationaal onderzoek, in: Tijdschrift voor Nascholing en Onderzoek van het Reken/wiskunde-onderwijs, 20, nummer 2, p. 22-28.

Ruesink N. (1994), Meten in het reken-wiskunde-onderwijs, in Willem Bartjens, 13 (3),  4-8.

Schubring, G. (1978), Das genetische Prinzip in der Mathematik-Didaktik, Stuttgart, Klett-Cotta.

Ter Heege, H. (2001a). Interviews met leerlingen van groep 4 - hun maatkennis en kennis van meetprocedures, in Tijdschrift voor Nascholing en Onderzoek van het Reken/wiskunde-onderwijs, 19, (2001), nummer 3, p. 34-40.

Ter Heege, H. (2001b), De toekomst van het meetonderwijs, in Jeugd in School en Wereld, 85(5).

Treffers, A., De Moor E. en Feijs, E. (1988). Reactie op reactie, in Tijdschrift voor Nascholing en Onderzoek van het Reken/wiskunde-onderwijs, 6, (1988), p. 21-23.

Treffers, A., de Moor, E. & Feijs, E. (1989), Proeve van een nationaal pro­gramma voor het reken/wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 1: overzicht einddoelen, Tilburg: Zwijsen.

Van den Brink J. (2001). TAL: lengte-meten: ervaringen en overwegingen. In: Tijdschrift voor Nascholing en Onderzoek van het Reken/wiskunde-onderwijs, 19, (2001), nummer 4, p. 3-15.

Van Iseghem, H. (2001), Metend rekenen, Cursus lagere normaalschool, Torhout, PHO.

Van Liefland, W.A. (1959), Decroly en de Decrolyschool, Groningen, Wolters-Noordhoff.

VVKBaO (1998), Leerplan Wiskunde, Brussel, CRKLKO.  

Williams E. & Shuard, H. (1970), Primary Mathematics Today, London:Longman.