Het stond in de sterren geschreven dat u, trouwe lezer, na de ontdekking van Het Wiskundeboek (zie www.bloggen.be/pierpont/archief.php?ID=3170773 d.d. 1/8/2019) nog meer wiskunde op uw bord zou krijgen. Dat ik er al na precies twee weken mee voor de dag kom is in hoofdzaak te wijten aan een studie door een wiskundige van de Amerikaanse Yale universiteit en een psycholoog aan de Britse universiteit van Bath. Het is namelijk mijn buurman Firmin die er mijn aandacht op getrokken heeft. U dient te weten dat Firmin en ik  school gelopen hebben in het Koninklijk Atheneum van Oostende en dat wiskunde ons geliefkoosd vak was. Wat toont de studie aan?  Dat doorsnee Amerikanen wiskundige bewijzen kunnen beoordelen op schoonheid, net zoals ze dat kunnen met kunstwerken of muziekstukken. (En wat geldt voor Amerikanen zal allicht ook wel gelden voor niet-Amerikanen, zeker?)

Haakt u nu af, beste lezer, of wenst u toch een poging te doen om wiskunde te beoordelen op schoonheid? Welaan dan. Ik neem u mee naar pagina 110 van Het Wiskundeboek, waar de auteur het heeft over “De ontdekking van een reeksformule voor π”. Voor de volkomen wisonkundigen onder u – al hebben die wellicht reeds afgehaakt – geef ik gaarne een definitie van π (pi): de verhouding van de omtrek van een cirkel tot de diameter van die cirkel. En om de ethymologen onder u tegemoet te komen…  Die π is de beginletter van het Griekse woord περιφέρεια (periphereia), hetgeen omtrek betekent, of van περίμετρον (perimetron) wat eveneens omtrek betekent, maar – taalkundigen zullen mij hopelijk niet tegenspreken –  het eerste is te verkiezen omdat met periphereia eerder de omtrek van een "rond" voorwerp bedoeld wordt.

Hoe groot is die π nu precies? Hoor ik u al vragen. Maar… dat zéi ik toch al: de verhouding van de omtrek van een cirkel tot de diameter van die cirkel. Preciezer kan ik het écht niet zeggen. Exact het aantal keer dat de diameter van een cirkel gaat in de omtrek van die cirkel. Een voorbeeld? U hebt een cirkel met als diameter 1 meter, de omtrek zal exact (!) π meter zijn. Maar u wil geen Griekse letter, u wil een rationaal getal (*)? Ik wil het wel proberen, maar ik moet u dan toch enigszins teleurstellen: het zal maar bij benadering zijn… Het is een beetje meer dan drie, met 3.14 zijn we er al wat dichter bij, met 3.1415 zijn we er weeral wat dichter bij en 3.141592 is nog veel exacter, maar 3.14159265 en 3.1415926535 zijn toch weer reuzenstappen in de goede richting. De richting van wat? Van π dus. En komt er dan nog wel einde aan die reeks cijfers? Tot mijn spijt: neen! Al zoudt u er honderdduizend schrijven dan bent u er nog niet: π is π en daarmee uit. Een beetje fantasie gebruiken, alstublieft, beste lezer. Maar gesteld dat uw voorstellingsvermogen u deerlijk in de steek laat… met 3.14 komt u al een heel eind en met 3.1416 bent u nog beter af (maar daar gáán we weer!) of als het u beter uitkomt, met 22/7 of met 223/71.

Hoe mensen er toe komen om π als 3,.... te onthouden en op te zeggen tot tientallen, honderden, ja duizenden cijfers na de komma, is mij een raadsel. Het wereldrecord staat op naam van Akira Haraguchi, een gepensioneerde Japanse ingenieur, met (schrik niet) honderdduizend cijfers na de komma! Bovenaards natuurlijk, maar voor wie met beide voetjes op de grond wenst te blijven, bestaan er wel kunstgrepen. Eén ervan is het van buiten leren van gedichtjes: het aantal letters van elk woord staat voor een cijfer (een woord van tien cijfers staat voor de nul). Zo bestaan er gedichtjes in allerlei talen. Het meest bekende, maar zeker niet het langste, is dat van ene Maurice Decerf: het bestaat uit 127 woorden/cijfers en het luidt als volgt:

Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages!
Immortel Archimède, artiste ingénieur,
Qui de ton jugement peut priser la valeur?
Pour moi, ton problème eut de pareils avantages.
Jadis, mystérieux, un problème bloquait
Tout l’admirable procédé, l’œuvre grandiose
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
Ô quadrature! vieux tourment du philosophe!
Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs.
Comment intégrer l’espace plan circulaire?
Former un triangle auquel il équivaudra?
Nouvelle invention: Archimède inscrira
Dedans un hexagone; appréciera son aire,
Fonction du rayon. Pas trop ne s’y tiendra:
Dédoublera chaque élément antérieur;
Toujours de l’orbe calculée approchera;
Définira limite; enfin, l’arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle!
Professeur, enseignez son problème avec zèle!

Ik voel dat u al helemaal “mee” bent. Kunst, zegt u! Maar misschien wilt u ook graag weten hoe die oneindig lange pi berekend wordt. Ziehier… Op pagina 110 van Het Wiskundeboek wordt een methode voorgeschoteld: de oneindige alternerende reeksformule van Leibnitz ter berekening van π (“alternerend” omdat de termen afwisselend positief en negatief zijn). Twee wiskundigen hebben, onafhankelijk van elkaar, de formule ontdekt, nl. de Duitser Gottfried Wilhelm Leibnitz (in 1673) en de Schot James Gregory (in 1671), al  lijkt het erop dat ene Nilakantha Somayaji, een Indiase wiskundige, een paar eeuwen vroeger reeds bekend was met deze formule. De formule luidt:  π = 4 (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 .......). Zet u nu maar aan het werk, geduldige lezer, vraag aan de Here God dat hij u een miljoen jaartjes langer laat leven dan voorzien en wellicht komt u dan tot een triljoen of zelfs een quadriljoen cijfers. Maar dan nóg bent u niet ter bestemming want de reeks is oneindig en de oneindigheid is niet weggelegd voor ons, stervelingen. Hou het dus gewoon bij de meetkundige voorstelling, waar geen speld tussen te krijgen is. Teken een cirkel door middel van een passer… O, u beschikt niet over een passer? Geen nood. Allicht hebt u een stukje stevig hard papier bij de hand, maak er twee gaatjes in (A en Z, op een afstand van elkaar die de straal van uw cirkel zal blijken te zijn), pin het vast met bv. een tandenstokertje op een onderliggend tekenblad en teken uw cirkel (cf. onderstaande schets). Teken de diameter van de cirkel: cirkelomtrek gedeeld door diameter is π, en daar valt geen speld tussen te krijgen.

19-08-2019 om 00:00 geschreven door kris vansteenbrugge