De respons is weer eens bedroevend laag geweest. Eén enkele reactie slechts, en dan nog van mijn buurman Firmin. En niet eens om te bewijzen dat mijn constructie juist is. Hij komt voor de dag met een andere methode om een cirkel te verdelen in vijf gelijke delen. Maar er zit een foutenmarge op van zo maar eventjes 2%, zegt hij zelf.  Waardeloos dus. Wat niet wegneemt dat ik blij ben met de reactie van Firmin. Blij met een dode mus…

Mij dan maar zelf aan het werk gesteld. Ziehier…

- Teken door het middelpunt M van de cirkel twee loodrecht op elkaar staande middellijnen (a en b); a snijdt de cirkelomtrek in de punten C en D; b doet dat in de punten A en B.

- Bepaal het midden N van het lijnstuk MD.

- Teken een cirkel met middelpunt N en straal AN en bepaal het snijpunt van die cirkelomtrek met het lijnstuk CD; noem dat snijpunt P.

- Teken een cirkel met middelpunt A en straal AP; die cirkelomtrek snijdt onze oorspronkelijke cirkel in een punt V.

- Teken het lijnstuk VA, de eerste zijde van onze regelmatige vijfhoek. De rest volgt vanzelf… 

Deze meetkundige tekening is ook terug te vinden op deze blog (www.bloggen.be/pierpont/archief.php?ID=2710636) d.d. 11 mei 2015. Mijn hoop dat hiermee het probleem (het matematisch verdelen van een cirkel in 5 gelijke stukken) van de baan zou zijn, was toen bitter klein.

Opmerking: wie het volgende leest op tablet of smartphone vindt wellicht een Ö waar een vierkantswortelteken hoort te staan.

In de driehoek AMN is:

AN²= AM²+MN²   of  AN²= r²+ r²/4   of  AN²= 5r²/4

waaruit volgt:  AN = Ö(5r²/4)  en   AN = Ö5.r/2

In de driehoek AMP is:

AP²= AM²+ PM²  of  AP²= r²+ (AN – r/2)²  of  AP²= r²+ (Ö5.r/2- r/2)²

dit geeft (uitgewerkt):  AP²= r²+ 5r²/4 - Ö5.r²/2 + r²/4   of

AP²= r²(1 + 5/4 - Ö5/2 + 1/4)   of   AP² = r².(10 - 2Ö5)/4  waaruit we afleiden dat

 AP = Ö(10-2Ö5).r/2

AP zijnde de zijde (AV) van de regelmatige vijfhoek, tenminste als onze constructie juist is.

Een béétje mathematicus weet dat de zijde (zn) van een regelmatige n-hoek, gelijk is aan: 2 x de straal (r) van de omgeschreven cirkel x de sinus van (180/n)°; dus:

Zn = 2r.sin (180/n)°  en in het geval van een regelmatige 5-hoek

Z5 = 2r.sin(180/5)°   of  Z5  = 2r.sin36°

Onze constructie is juist als AP (= zijde AV) gelijk is aan 2r.sin36° , d.i. als

sin36°= AP/2r,  d.i. als sin36°= Ö(10-2Ö5)/4

Als we dat nu eens konden bewijzen!

Gisteren bracht het toeval mij in contact met Maarten Delbarre. Maarten is amper achttien, student in de mathematica aan de universiteit, tweede jaar. In zijn eerste jaar was Maarten de primus met grote onderscheiding. Ik heb hem toen hij nog een kleuter was, meer dan eens behandeld voor oorontstekingen. In de lagere school en in ’t middelbaar was hij een van de zwakste leerlingen: in alle vakken met moeite de helft van de punten. Op één uitzondering na: wiskunde. De spellingsregels waren aan Maarten niet besteed, wat de hoofdstad van Portugal is, of die van Denemarken, liet hem koud en wanneer de slag der Gulden Sporen had plaatsgevonden was hem totaal onbekend. Maar in het vak wiskunde, wat door anderen zo verfoeid werd, voelde hij zich als een vis in het water. Altijd tien op tien. Eén keer was het gebeurd dat hij een oefening onbeantwoord had gelaten, per ongeluk, door een vergetelheid. En toch had de leraar hem daar geen punt voor afgetrokken. Wat zou ik, zei de leraar, Maarten kent meer van wiskunde dan ik.

Ik vroeg hem op de man af:

- Ken jij een formule voor het berekenen van de sinus van 36 graden? Het wiskundig genie dacht een paar ogenblikken na en zei toen:

- Trek twee keer vierkantswortel vijf af van tien, trek daar de vierkantswortel uit en deel alles door vier. Voilà.

Ik stond perplex, maar ik deed mijn best om het niet te laten merken.

- Dat jij dat allemaal wéét, zei ik.

- Da’s niet eens een moeilijke. Voor een heleboel andere hoeken zou ik wel langer moeten nadenken.

- En kan je ook bewijzen dat het klopt?

- Vanzelfsprekend. In de wiskunde kan alles bewezen worden.

Hij scheurde een velletje papier uit een notitieboekje dat hij op zak had en krabbelde daar in geen tijd een paar meetkundige schetsen op, plus een aantal algebraïsche formules. ’t Was in de kantine van ons clubhuis, ik had al een paar pinten op en veel meer was er niet nodig om mij te doen duizelen.

- Ja, da’s duidelijk, zei ik, al had ik het niet begrepen. Met mijn hersentjes van zestig jaar geleden was dat wellicht anders geweest…

Ik stopte het briefje in mijn zak, om het later nog eens te bestuderen. Wellicht hoort u er dan nog van, beste lezer, maar ik denk dat wij nu redelijkerwijze mogen aannemen dat de constructie van de regelmatige vijfhoek, zoals hierboven aangegeven, en dus ook de mathematisch correcte verdeling van de cirkel – en dus ook van de taart – in vijf gelijke delen, klopt als een bus.

- Weet jij misschien ook wanneer het verdrag van Verdun werd gesloten? vroeg ik.

- Nooit van gehoord, zei Maarten.

30-01-2018 om 00:00 geschreven door kris vansteenbrugge