1 Overzicht bijdrage

Uit de historiek van het meetkundeonderwijs in het Vlaams lager onderwijs zal blijken:

*dat meetkunde in ons Vlaams basisonderwijs al een lange traditie kent en ook al in de 19de eeuw aandacht kreeg. *dat door de invoering van de 'moderne wiskunde' in de periode 1975-1998 de meetkunde een metamorfose onderging en sterk formalistisch werd.                                                    * dat de nieuwe leerplannen van 1998 afstand namen van de formalistische New Math-benadering (1975–1998) en opnieuw aansloten bij de leerplannen van 1954/57 en bij de aanschouwelijke benadering. 

* dat in de leerplannen van 1998 de traditionele leerinhoud wel werkt verrijkt werd de zgn. 'ruimtelijke (driedimensionele) oriëntatie' 

* dat de Vlaamse eindtermen, leerplannen en methodes meetkundeonderwijs ruimer zien dan de Nederlandse en de aanpak van het Freudenthal Instituut. In Vlaams lager onderwijs hecht men meer belang aan de traditionele (euclidische) meetkunde-inhoud, aan wiskunde als een culturele vakdiscipline 

* dat ik in 1993 tevergeefs streed voor het behoud van formules voor oppervlakteberekening e.d. in eindtermen meetkunde, maar dat ik deze wel zelf terug invoerde in leerplan (katholiek) lager onderwijs van 1998, maar andere onderwijsnetten niet.

Er komen in principe straks nieuwe eindtermen voor het lager onderwijs en ook centrale toetsen voor het vierde en zesde leerjaar. De opstellers vinden m.i. veel inspiratie in het leerplan lager (katholiek) onderwijs van 1998 dat ik mede opstelde. In elk geval moeten ook belangrijke formules voor de oppervlakteberekening e.d. weer opgenomen worden. Gezien er een centrale toets komt einde vierde leerjaar zal men ook moeten aanduiden welke eindtermen eind 4^de leerjaar behaald moeten worden en niet enkel eind 6^de leerjaar. Ook in de leerplannen zal dit duidelijk aangeven moeten worden.

2 Te negatieve historische analyse van meetkunde-onderwijs van Ed de Moor en uiteenlopende praktijk in de loop der jaren

In een lijvig proefschrift over de historiek van het meetkunde-onderwijs inventariseerde Ed de Moor (Freudenthal Instituut-Utrecht) de vele controverses en opvattingen die de meetkunde in de 19de en de 20ste eeuw in Nederland uitlokte (De Moor, 1999). Deze analyse lijkt me wel wat vertekend omdat het Freudenthal Instituut te weinig belang hecht(te) aan het klassiek meetkundeonderwijs zoals we dit al lange tijd in Vlaanderen kenden/kennen.

De Moor concludeerde dat de pogingen tot invoering van meetkunde op de basisschool in verschillende West-Europese landen – ook in Nederland nauwelijks succesvol genoemd kunnen worden. Zelf ben ik ervan overtuigd dat ook mijn generatie wel al degelijk meetkundeonderwijs kreeg. (Ik volgde lager onderwijs in de periode 1952-1958)

In Nederland werd in 1889 de vormleer uit het leerplan van de lagere school geschrapt; men gaf de voorkeur aan het 'tekenen' waarin ook een aantal meetkundige figuren e.d. voorkwamen. Zelfs nog in 1993 werd in Nederland het beperkt aantal kerndoelen voor meetkunde ter discussie gesteld door de commissie verantwoordelijk voor de kerndoelen. Pas vanaf 1994 is meetkunde een onderdeel van de CITO-eindtoets voor het basisonderwijs.

De slotconclusie van De Moor klonk als volgt: De meetkundeprogramma's van de realistische reken-wiskundemethoden die thans in Nederland op de markt zijn, verschillen onderling naar omvang en inhoud. In de meeste methoden ontbreekt een programmatische onderbouwing voor meetkunde. Voor de leraren is het niet duidelijk wat de (minimum)doelen zijn. … Het is dus onduidelijk wat nu eigenlijk het meetkundeonderwijs op de huidige basisschool voorstelt (De Moor, 1999, p. 613).

Dat lijkt me de fout te zijn van het Freudenthal Instituut zelf dat al te weinig belang hechtte aan het klassiek meetkunde-onderwijs en te veel aan zgn. ‘meetkundige wereldoriëntatie’ als b.v. zich voorstellen hoe het zij- en bovenaanzicht van een serie voorwerpen op tafel eruit ziet, een soort driedimensionele meetkunde.

De pessimistische analyse van de Moor is sterk gekleurd door de specifieke historiek in Nederland en wellicht ook door het besef dat het eigen Freudenthal Instituut er na bijna 50 jaar nog niet in slaagde om duidelijke leerlijnen voor meetkunde uit te werken.

Tussendoor: ook voor het domein 'meten en metend rekenen' slaagde het FI er niet in een evenwichtige leerlijn uit te bouwen. Aan het klassieke en rijke domein van het zgn. 'metend rekenen' wordt al te weinig belang gehecht.

In tegenstelling met Nederland werd het domein meetkunde (vormleer) op het einde van de 19de eeuw in Vlaanderen niet geschrapt en ook nadien bleef het steeds een onderdeel van het vak wiskunde. De periode van de 'moderne wiskunde' (1973–1998) was voor Vlaanderen wel een turbulente periode, maar de nieuwe leerplannen 1998 en methodes zagen er o.i. heel beloftevol uit en bevatten duidelijke(re) leerlijnen. In Vlaanderen is er opnieuw consensus bereikt; de toekomst voor het meetkundeonderwijs ziet er goed uit.

3 Negentiende eeuw : interessante aanzetten

3.1 1800–1850: interessante aanzetten, maar iets te formalistisch

In de tweede helft van de negentiende eeuw deed de meetkunde haar intrede in de Belgische en Nederlandse basisschool, veelal onder de naam vormleer (waarin destijds ook het metend rekenen i.v.m. omtrek, oppervlakte en volume begrepen was). Interessante pleidooien voor het invoeren van meetkundige activiteiten troffen we al aan in de geschriften van pedagogen rond 1800 tot 1830. We denken o.a. aan publicaties van Pestalozzi, Prinsen en Fröbel.

De Zwitserse pedagoog Pestalozzi koos naast het getal en het woord ook de vorm als vertrekpunt voor het onderwijs en introduceerde rond 1800 de vormleer in het basisonderwijs. Volgens Pestalozzi diende concreet handelen en ervaren steeds vooraf te gaan aan visualisering en abstracte voorstelling. In bepaalde methodes werd een opbouw voorgesteld van het meest elementaire naar het meer complexe (à la Pestalozzi): eerst punten, dan lijnen, dan hoeken, dan vlakke figuren, dan ruimtefiguren. "

Zo begint Pestalozzi met het lijnstuk als de meest elementaire vorm. Het vierkant was voor Pestalozzi de tweedimensionale oervorm. Aan deze figuur werden begrippen als horizontale, verticale en schuine lijn afgeleid, maar ook de rechte, scherpe en stompe hoek. Met behulp van de ingeschreven cirkel van het vierkant werden begrippen als rond en halfrond ingevoerd. Het doel was – en daar moest reeds op zeer jonge leeftijd mee begonnen worden – dat de kinderen een aantal elementaire begrippen leerden en een vlakke meetkundige vorm leerden analyseren en synthetiseren. (De Moor, 1999, p. 18).

Een voorbeeld uit het ABC der Anschauung van1803 kan de aanpak van Pestalozzi en zijn medewerkers verduidelijken. Bij een afgebeeld vierkant hoort de volgende tekst: 'Dieses Viereck ist durch 4 Linien gebildet. Jede dieser 4 Linien ist eine Seite von diesem Viereck.Zwey von diesen 4 Linien sind wagrecht.Zwey von diesen 4 linien sind senkrecht. Die wagrechten Linien siend die wagrechten Seiten dieses Vierecks.Die senkrechten Linien … (De Moor, 1999, p. 20).

In de 19de eeuw werd er ook vaak gepleit voor een verstrengeling tussen meetkunde en tekenen; dit was ook het geval bij Pestalozzi. De Moor stipt verder aan dat de bekende Nederlandse didacticus P.J. Prinsen (1777-1854) – directeur normaalschool Haarlem – de visie van Pestalozzi uitwerkte voor het Nederlandse basisonderwijs (1920). De publicaties van Prinsen hadden ook een grote invloed op de Vlaamse (normaal)scholen. In Vlaanderen verscheen al vlug een aangepaste versie van de methode van Prinsen van de hand van een zekere Pieterz. Pestalozzi en Prinsen beklemtoonden vooral klassieke euclidische onderwerpen en de 'euclidische volgorde'. Ook in Vlaamse leerplannen was dit het geval.

Andere didactici vertrokken van de verkenning van bekende ruimtefiguren. Pas later kwam dan de verkenning van vlakke figuren, lijnen en hun onderlinge ligging aan bod. Men sprak in dit laatste geval van een analytisch-synthetische opbouw (de Moor, 1999, p. 86). Ook Friedrich Fröbel (1782–1952) vertrok van de ruimtefiguren en hij startte hiermee in het kleuteronderwijs. "Volgens Fröbel moest de meetkunde voor het jonge kind (kleuteronderwijs) aanvangen met de bol en de kubus. De kubus vormde de kern van het meetkunde-onderwijs. Door middel van de activiteiten met de 'Spielgaben' (=speelleermiddelen) diende een intuïtieve basis gelegd te worden voor een aantal meetkundige grondbegrippen. Daarna werden de meer vormleerachtige activiteiten van het platte vlak aan de orde gesteld. 

Tenslotte diende vanuit de meeste elementaire grondbegrippen (punt, lijn, …) de ruimte weer opgebouwd te worden. Voor het concrete handelen in de vorm van tekenen, knippen, plakken, construeren en dergelijke, was daarbij een grote plaats ingeruimd. Het begrip symmetrie speelde ook een centrale plaats binnen de fröbelmeetkunde. Fröbel was volgens De Moor de eerste pedagoog die het werken met concreet meetkundig materiaal voor de jongste kinderen gesystematiseerd. Zijn Spielgaben en activiteiten zijn later door vele anderen verder uitgewerkt en nagevolgd. In het bijzonder is spelen en werken met de blokken een belangrijke ontdekking geweest ten behoeve van de vroegtijdige ontwikkeling van ruimtelijke begrippen en relaties (De Moor,1999, p. 341). Fröbel had vooral invloed in het kleuteronderwijs, maar bood ook inspiratie bij het uitwerken van de visie van het Freudenthal Instituut op het meetkundeonderwijs, vooral voor de rubriek 'ruimtelijke oriëntatie', b.v. blokkenbouwsels (hoeveel blokken zie je op foto van dit blokkenbouwsel, enz.)

3.2 1850-1900: meer aanschouwelijke en functionele benadering

In 1857 deed meetkunde officieel haar intrede in het Nederlandse leerplan voor het lager onderwijs; voorheen waren er echter al veel scholen die het verplichte pakket met meetkunde hadden uitgebreid.

 Dat laatste was ook het geval in België waar de wet van 1879 vormleer als een verplicht vak opnam. Wat de didactische uitwerking betreft, was de aanpak in de tweede helft van de 19de eeuw volgens het onderzoek van De Moor minder formalistisch en abstract dan in de eerste helft van de eeuw. Het ging volgens de didactici enkel om 'aanschouwelijke meetkunde'.

Jan Versluys (1845-1920) schreef in 1879 nog eens expliciet dat het werken met definities en axioma's en met formele deductieve redeneringen niet echt geschikt was voor 6- à 12-jarigen. Eigenschappen en relaties moesten aanschouwelijk worden aangetoond. Het ging enkel om een voorbereiding op de meer formele meetkunde (De Moor, 1999). Pedagogen en didactici propageerden dus al lange tijd de 'aanschouwelijke en intuïtieve aanpak'. Versluys pleitte ook voor interactief geleid-ontdekkend leren.

Volgens De Moor viel de meetkunde binnen de (Nederlandse) klaspraktijk wel minder aanschouwelijk en actief uit dan door de vakdidactici gepropageerd werd. Er waren in de 19de eeuw ook nog weinig of geen aanzetten tot de invoering van meetkundige wereldoriëntatie à la Freudenthal Instituut. Uit verslagboeken van de Vlaamse  regionale inspectiestudiedagen  blijkt echter dat er al veel aandacht werd besteed aan een aanschouwelijke en actieve aanpak. 

Het  Vlaams leerplan van 1922 vertoonde al veel gelijkenissen met het latere leerplan van 1957 en met de meer reente leerplannen van 1998.  Ook in die tijd kregen de leerlingen interessante en verrijkende meetkundelessen.

4.Leerplannen 1936 en 1954/1957: praktijkgerichte en aanschouwelijke vormleer

4.1 Leerplan 1936: aanschouwelijk leren al doende

In het Belgische leerplan van 1936 werd vanuit de pedagogisch-didactische principes van' De Nieuwe Schoolbeweging' (reformpedagogiek) gekozen voor het 'leren al doende' en voor een beperking van de leerinhoud; de invloed van O. Decroly was duidelijk merkbaar. Vormleer moest starten vanuit de waarneming: in de omgeving worden concrete figuren ontdekt die daarna getekend, geknipt en gevouwen worden. Het verwoorden van eigenschappen en het opstellen van berekeningsformules werd verschoven naar de hogere leerjaren (vijfde en zesde).

In het leerplan 1936 (Ministerie van Onderwijs) treffen we als leerinhouden aan: *tweede leerjaar: vierkant, rechthoek, driehoek herkennen; vouwen, uitsnijden, plakken. Door vouwen, over elkaar leggen, construeren, de grondeigenschappen van deze figuren vaststellen. *vierde leerjaar: "zeer eenvoudige beschouwing, vergelijking, ontleding – zonder bepalingen! –van kubus en bol, van kubus en balk. Constructie. Vierkant, rechthoek, driehoek, parallellogram: constructie en vergelijking. Rechte, scherpe en stompe hoeken. Evenwijdige lijnen, rechten die elkaar rechthoekig snijden (loodlijnen), rechten die elkaar scheefhoekig snijden (schuine lijnen). Tekenen met lat en winkelhaak (p. 70).

Het leerplan van het katholiek onderwijs vertoonde analoge kenmerken, maar in de commentaren beklemtoonde men m.i. terecht meer de systematiek in de leerstofopbouw en het niet blijven steken in de methodiek van de aanschouwelijkheid en in het leren al doende'à la Dewey en Decroly.

4.2 Degelijk Vlaams leerplan 1954/1957

Vanuit de scholen en leerkrachten kwam er veel kritiek op het leerplan van 1936- en kwam er een herwaardering van het leerplan van 1922 - ook methodisch. Er werden al vlug nieuwe – meer evenwichtige – leerplannen ontworpen. In het leerplan van 1954/1957 kwamen er duidelijker leerstoflijnen en omschrijvingen van de leerinhouden. Aan de systematische opbouw van de meetkunde, aan de leerlijnen en aan de begeleiding door de leerkracht werd meer aandacht besteed. 

Zelf heb ik in mijn startperiode als normaalschooldocent  vanaf 1971 nog enkele jaren de uitwerking van dit leerplan meegemaakt. Ik herinner me boeiende uitwerkingen en lessen, ook al was de leerinhoud beperkt tot de meer klassieke meetkunde. De opgaven meetkunde van de examens uit die tijd bevestigen dat van de leerlingen heel wat verwacht werd, ook op het vlak van het redeneren en dat we hiermee in Vlaanderen hoge leerresultaten behaalden. Het zou interessant zijn om die opgaven vandaag nog eens voor te leggen aan de 12-jarigen.

5. Moderne Wiskunde : 1975-1998: abstractocratie en formalisme: op verkeerde spoor

5.1 Formalistische meetkunde

Bij de intrede van de moderne wiskunde' -New Math kregen we naast het behoud van een aantal klassieke onderwerpen tegelijk een radicale breuk met de traditionele aanschouwelijke en functionele aanpak:

• een streng logisch-deductieve opbouw;
• de meetkundige begrippen (vlak, rechte, evenwijdige, hoek, driehoek, rechthoek … ) worden in de formele en abstracte taal van de relaties en verzamelingen gestopt;
• abstracte en hiërarchische classificatie van vlakke en ruimtelijke figuren, in het leerplan van het rijksonderwijs vanaf het tweede leerjaar
• sterke uitbreiding van het leerplan.

In Nederland werd de moderne wiskunde dankzij de inzet van prof. Freudenthal en zijn medewerkers niet ingevoerd, ook al toonden Freudenthal en Goffree bij het begin van de jaren zeventig nog enige sympathie voor de 'moderne wiskunde'. Zelf heb ik op het VLO-Colloquium van 1 september 1973 openlijk afstand genomen van de moderne wiskunde en in 1974 in het tijdschrift 'Persoon en Gemeenschap (Feys 1974). 

Achteraf ondernam ik een ware kruistocht tegen de invoering van de moderne wiskunde: Raf Feys, Moderne wiskunde een vlag op een modderschuit, Onderwijskrant nr. 24, april 1982. Met die geslaagde wiskundecampagne kon ik op korte tijd wel het wiskundetij en de aandacht voor de onderwerpen moderne wiskunde doen afnemen, maar het duurde nog wel tot het leerplan van 1998 vooraleer de Moderne wiskunde werd afgevoerd. Na onze campagne van 1982 werd er wel minder aandacht aan besteed - en er verschenen ook geen zegebulletins meer.

Vanuit de optie voor een logisch-deductieve opbouw verantwoordde b.v. inspecteur R. Barbry waarom volgens hem pas in het vierde leerjaar gestart kon worden met de vormleer. Hij schreef: We vertrekken pas in het vierde leerjaar van het vlak pi, zijnde een oneindige verzameling punten. Geleidelijk worden door afgrenzen (deelverzamelingen: rechten, figuren…) de belangrijkste eigenschappen en rijkdom van het vlak pi ontdekt. We doen hierbij veelvuldig een beroep op de taal van verzamelingen en relaties. Pas in het vierde leerjaar is de basis aanwezig om te starten met vormleer, om de verzamelingen- en relatietaal te kunnen toepassen (Barbry, 1978). De vorm van figuren en van de logiblokken mocht dan ook niet met termen als vierkant, rechthoek driehoek benoemd worden. Men mocht volgens Barbry en andere leerplanopstellers enkel spreken over tegel, deur & dak, want volgens de moderne wiskunde was een vierkante logiblok evenzeer een soort rechthoek, ruit, parallellogram … Op bijscholingen maakte de West-Vlaamse begeleidster M.D. de leerkrachten zelfs wijs dat de kleuters ook spontaan dergelijke termen gebruikten.

De zgn. moderne wiskunde zag over het hoofd dat kinderen en kleuters zich vanaf de geboorte ruimtelijk oriënteren en dat de kleuters figuren allerhande kunnen en moeten leren verkennen en hierbij ook de wiskundige termen moeten leren gebruiken - uiteraard op een aanschouwelijke wijze . Ook de ouders hanteren overigens de meetkundige termen. In de Vlaamse ontwikkelingsplannen voor het kleuteronderwijs is er m.i. nog te weinig aandacht voor meetkundige initiatie; in veel andere landen is dit wel het geval.

5.2 Klassieke begrippen in keurslijf verzamelingenleer

Traditionele begrippen werden in het keurslijf van de verzamelingenleer gestopt. Leerkrachten moesten uitleggen dat een (begrensd) lijnstuk ook een oneindige verzameling punten is, omdat men die puntjes altijd maar kleiner kan maken. Evenwijdigen werden voorgesteld in een verzameling met lege doorsnede (ze hebben immers geen punten gemeen), en zelfs als reflexieve relatie met een lus-pijl: elke rechte is immers ook evenwijdig met zichzelf. Hoe 'meer lussen' hoe meer lust, schreef ik ooit - maar dit viel niet in goede aarde bij de minnaars van de moderne wiskunde.

Een hoek werd omschreven en voorgesteld als de verzameling punten van twee halve rechten (benen van de hoek) met hetzelfde beginpunt (hoekpunt). Die punten werden met een verzameling voorgesteld en de kinderen moesten leren dat de punten die tot de hoeksector behoren, niet tot de hoek (de verzameling) behoren.

Een driehoek werd veelal voorgesteld als 'een gesloten gebroken lijn, bestaande uit drie lijnstukken; voorgesteld met een venndiagram behoorden de punten binnen de omtrek van de driehoek niet langer tot de driehoek.

5.3 Vormleer: vooral complexe rubricitis

Het grootste deel van het vormleeronderwijs werd in beslag genomen door het logisch-hiërarchisch classificeren en deductief uitbouwen van het netwerk van de vlakke en ruimtelijke figuren. Men vertrok steeds van de meer algemene (=lege) begrippen. Dit betekent bv. dat de rechthoek en het vierkant de meer specifieke of gevulde begrippen) voortaan helemaal achteraan het lijstje kwamen.

Het leerplan van het rijksonderwijs vermeldde al als doelstelling voor het tweede leerjaar: "In de verzameling der veelhoeken kunnen rubriceren met als criterium: evenwijdigheid-gelijkheid der zijden of hoeken; en kunnen voorstellen in een venndiagram. Vanuit de nieuwe formalistische omschrijvingen (bv. een vierkant is een rechthoek met vier gelijke zijden, een parallellogram met…) kon men een quasi onbeperkt aantal rubriceeropdrachten bedenken.

Vormleer ontaardde tot een systeem van definities en logisch-hiërarchische classificaties. Men koos voor de volgorde van de meest algemene figuren (=ruime omvang, arme inhoud) naar de meest bijzondere (rijke inhoud, kleine omvang). Waar vroeger eerst de meer specifieke, rijke en alledaagse figuren behandeld werden (bv. vierkant en rechthoek) met hun aanschouwelijke kenmerken, vertrok men nu van trapezium en parallellogram.

Men leerde de kinderen het vierkant omschrijven en herkennen als een bijzonder soort rechthoek, ruit, parallellogram, … Het vierkant kwam het laatst aan bod en werd als een deelverzameling van een rechthoek, een ruit … beschreven. Een rechthoek werd aldus een trapezium waarvan alle hoeken recht zijn, maar evengoed een parallellogram met 4 (of ten minste één) rechte hoeken, enz.. Zulke hiërarchische (onderschikkende) omschrijvingen waren vrij abstract en variabel, veel complexer dan de vroeger op de aanschouwing steunende opsomming van de verschillende (aanschouwelijke) begripskenmerken.

We konden aldus niet meer vanaf de kleuterschool aansluiten bij de intuïtieve begrippen die de kinderen al gevormd hadden en die vooral betrekking hebben op de rijkere en mooie figuren. …

5.4 Besluit

De moderne wiskunde was verschraald tot een leerstofvernieuwing waarbij niet langer het wiskunde-gebruik, maar de wiskunde-beschouwing, i.c. het aanleren van een structuralistische grammatica, centraal staat. Zo leerden de kinderen dat begrippen als evenwijdig, veelvoud van  … het grammaticaal kenmerk reflexieve relati' gemeen hadden, want een getal is een veelvoud van zichzelf, zoals we ook een rechte kunnen beschouwen als evenwijdig met zichzelf. Aanschouwelijk en pragmatisch gezien hebben beide begrippen echter niks gemeen.

Men koos voor een hervorming van (overwegend) structureel-formalistische aard, waardoor de toepasbaarheid van de meetkunde sterk afnam. De studie van de meetkunde werd niet langer als middel (tot kennisverwerving of wereldoriëntatie) aangezien, maar in de eerste plaats als doel op zich. Hierdoor kwamen de doelstellingen van een wiskundige basisvorming in het gedrang. Het leerplan werd ook met een groot aantal nieuwe begrippen uitgebreid, met de gekende pedagogische kwalen als gevolg.

Methodisch gezien verwachtte men alle heil van één denkvorm, het logisch-abstraheren of standaardiserend classificeren, en dit met behulp van een zeer uitgebreide en formele vaktaal. Dit hield ook in dat de leerkracht alles moest voorzeggen en voortonen in stijve en ongewone formuleringen en dat er te weinig ruimte was voor meer actieve werkvormen en voor geleid-ontdekkend en probleemoplossend leren.

Ik stelde in Moderne wiskunde, een vlag op een modderschuit voor om voor de vormleer terug aan te sluiten bij het pragmatisch, dagelijks taalgebruik en opnieuw te werken met een opdeel-classificatie: een parallellogram verwijst dan naar één welbepaald soort vierhoek met de overstaande zijden evenwijdig en gelijk, maar geen rechte hoeken …

Bij een opdeelclassificatie en opbouw van rijk naar arm bestaat de relatie tussen bv. het rijkere vierkant en de armere rechthoek in het wegvallen van een bepaald kenmerk. Vanuit de traditionele opbouw van de vormleer, kan men aldus de verkenning van de 'mooie figuren' opnieuw starten in de lagere leerjaren. Ook voor kleuters is het praktisch de mooie vormen te leren kennen en benoemen, bijvoorbeeld ook voor knutselactiviteiten. Bij de verwoording luidt het dan b.v.: We verpakken het cadeautje in een rechthoekig doosje, We leggen het touw in een kring (cirkel) neer'; Ik gebruik een deksel om een rondje (cirkel) te tekenen, enz.

6.Informele ruimtelijke wereldoriëntatie in Nederland vanaf 1975: interessante invalshoek, maar slechts 1 van de vele

In Nederland – waar de klassieke meetkunde al lang niet meer op het officiële programma van het basisonderwijs stond – deed de zgn. meetkundige wereldoriëntatie vanaf 1975 haar intrede. Het ging hoer naar eigen zeggen  om een informele meetkundeleergang, los van de euclidische traditie. Freudenhtal stemde zelfs voor om wiskunde volledig te integreren binnen het vak wereldoriëntatie. 

Inzake meetkundige vaardigheden en inzichten beklemtoonde het Freudenthal Instituut (Utrecht) de ruimtelijke oriëntatie en de intuïtieve meetkundige begrippen die ontwikkeld worden in contact met de ons omringende wereld. Merkwaardig genoeg besteedde deze zgn. realistische meetkunde al te weinig aandacht aan de verkenning van de klassieke meetkundige begrippen en figuren die o.i. in het dagelijkse leven en in het beroepsleven een belangrijke rol spelen.

Het Freudenthal Instituut -aanvankelijk: Wiskobas-groep- ontwierp - mede geïnspireerd door Angelsaksische publicaties – een nieuw soort meetkunde waarin het zich oriënteren (in brede zin) centraal staat:b.v. zich voorstellen hoe het zij- en bovenaanzicht van een serie voorwerpen op tafel eruit ziet; kunnen aangeven of foto's van dichtbij of van ver genomen zijn en waar de fotograaf zich bevond, reflecteren op de vaste verhouding tussen hoogte van voorwerpen en lengte van hun schaduwbeeld, nagaan hoe een plastic bekertje rolt, het verschil bepalen tussen dag en nacht en tussen zomer en winter … Ze noemden dit veelal meetkundige wereldoriëntatie'

Treffers, de Moor en Feijs (1989) schreven: In het wiskundeonderwijs worden (wiskundige) vragen gesteld naar aanleiding van ruimtelijke ervaringen, mede opgedaan via gestelde problemen en gedane proeven.

–Waarom worden schaduwen langer als je van de lantaarnpaal wegloopt en niet als je van de zon wegloopt? –Hoe komt het dat de kerktoren achter de huizen wegzakt als je de stad nadert?

–Waarom verspringt je duim die je vlak voor je ogen houdt, als je afwisselend het ene en het ander oog dichtknijpt? –Hoe komt het dat de maan met je meeloopt?(p.86–87).

Uit deze voorbeelden blijkt dat het hier om een heel brede invulling van 'ruimtelijke oriëntatie' gaat; daarom hanteerden de Freudenthalers de term 'ruimtelijke wereldoriëntatie'. Sommigen opperen o.i. terecht dat een deel van dergelijke activiteiten beter binnen wereldoriëntatie of science thuishoren.

In onze leerplannen 1998 werd dan ook maar een deel van deze kijkmeetkundige activiteiten opgenomen.

De voorbeelden op zich en het feit dat er weinig verwezen wordt naar bv. de klassieke vormleer, wijzen erop dat de Freudenthalers veel minder waarde hechtten aan de traditionele onderwerpen en aan de inspiratie vanuit de meetkunde/wiskunde als vakdiscipline & cultuurproduct, die ook verder gaat dan de informele en intuïtieve benadering. Bij meetkunde als vakdiscipline gaat het niet zomaar om de informele verkenning van de materiële wereld waarin we leven, maar eerder om de regelmatige vormen in de werkelijkheid die precies omwille van hun regelmaat binnen de wiskunde speciale namen gekregen hebben: bv. driehoek , vierkant, cirkel, rechte lijn, lijnstuk, hoek … Er is nog een grote afstand tussen de hoek van de klas en de wiskundige hoek.

7. Vlaamse leerplannen 1998

De eindtermen (1995) en de leerplannen van 1998 sloten opnieuw aan bij de leerplannen van '54/'57. De 'moderne wiskunde' is eruit verdwenen.

Zelf werkte ik intens mee aan de opstelling van het leerplan van 1998 (katholiek onderwijs). Het leerplan neemt volledig afstand van de abstracte en formalistische benadering van de 'moderne wiskunde en beklemtonen het functioneel karakter. Het sloot weer aan bij het klassieke meetkundeonderwijs.  Tegelijk werd wel  de nieuwe  invalshoek van de meetkundige wereldoriëntatie geïntegreerd binnen de rubriek ruimtelijke oriëntatie.

In tegenstelling met de eindtermen voerden we ook opnieuw de formules voor oppervlakteberekening in; andere onderwijsnetten deden dit niet.Voor de opstelling van de nieuwe eindtermen en centrale toetsen voor het vierde en zesde leerjaar kan men m.i. veel inspiratie & oriëntatie vinden in dit leerplan. Men kan er ook uit afleiden wat de leerlingen m.i. al eind vierde leerjaar moeten kennen.

Noot

Het recente ZILL-leerplan wiskunde van het katholiek onderwijs nam bijna integraal de leerstofpunten van ons leerplan van 1998 over. (De formule voor de oppervlakteberekening van de cirkel viel wel weg). Het leerplan duidt jammer genoeg wel minder aan voor welk leerjaar de leerstofpunten bestemd zijn.

In 'Zin in wiskunde (school & visie, 2015) pleitten de Z ILL-leerplanverantwoordelijken plots voor contextueel en constructivistisch wiskundeonderwijs à la Freudenthal Instituut.. Ik publiceerde een scherpe reactie in Onderwijskrant nummer 176. Sindsdien zwijgen de leerplanverantwoordelijken er over. Ik vermoed overigens dat heel weinig praktijkmensen de visietekst van 2015 gelezen hebben