Waarheen met Meten én metend rekenen in nieuwe eindtermen en leerplannen:

 in rubriek meten in eindtermen-1996 werden belangrijke leerdoelen geschrapt – ook de naam metend rekenen

Raf Feys

In deze bijdrage hebben we het over het leerdomein 'meten én metend rekenen' en over ingrediënten van degelijk onderwijs voor dit leerdomein. In de vorige bijdrage wees ik er al op dat er binnen de ontwikkelcommissie van de eindtermen-1996 nogal wat onenigheid bestond over volgens mij toch belangrijke doelstellingen als de kennis van de formules voor de berekening van oppervlakte en inhoud, belang van herleidingen binnen metriek stelsel,… Vooral de nefaste invloed van de onderwijsvisie van het Nederlandse Freudenthal Instituut speelde hierbij een rol.

1 Nefaste invloed van sympathisanten Freundenthal Instituut op de eindtermen

Bij het opstellen van het leerplan wiskunde 1998 opteerden we voor een herwaardering van het klassieke leerdomein meten en metend rekenen dat destijds door de ‘moderne wiskunde’ wat in de verdrukking was geraakt, aangevuld met een paar nieuwe accenten. Bij de opstelling van de eindtermen kregen we jammer genoeg te maken met enkele vurige aanhangers van de wiskundevisie van het Nederlandse Freudenthal Instituut. Mijn visie omtrent meten en metend rekenen verschilt in sterke mate van deze van het FI, dat vanuit de keuze voor constructivistische en contextuele wiskunde & ‘wiskunde doen’ weinig aandacht had voor de wiskunde als cultuurproduct/vakdiscipline - en dus ook voor tal van leerdoelen uit de rijke traditie van het metend rekenen.

De vertegenwoordigers van het FI lieten zich o.i. ten onrechte vernietigend uit over het rijke verleden van het leerdomein ‘metend rekenen’. Hans ter Heege (2001 a) schreef bv. in 2001: Het onderdeel meten in het wiskunde onderwijs is op de basisschool nog nauwelijks ontwikkeld. In een andere publicatie werkt ter Heege (2001b) deze stelling verder uit. Volgens hem kwamen nog tot voor kort nauwelijks realistische & daadwerkelijke meetproblemen en praktische meetervaringen voor. Er was ook veel te weinig aandacht voor informele meetprocedures met natuurlijke maten. Men startte volgens hem te vlug met gestandaardiseerde maateenheden. In de traditionele leerboeken beperkte men zich volgens hem vooral tot oefeningen (herleidingen) in het metriek stelsel, die hij zelf niet echt belangrijk vond. Een liniaal was volgens hem het enige meetapparaat dat kinderen gedurende hun basisschooltijd in handen kregen.

Het F.I. stelde ook het werken met gestandaardiseerde maateenheden al te lang uit. Het werkte al te lang en al te veel, met natuurlijke maateenheden voor lengte, oppervlakte en inhoud- net zoals reformpedagoog Decroly rond 1920 en het leerplan-1936 propageerden. Ik hou straks een pleidooi voor het vrij vroeg werken met standaardmaten als meter en centimeter, en minder lang met natuurlijke maateenheden. Het F.I. vond ook de kennis van formules voor oppervlakteberekening e.d. overbodig en zelfs inzichtbelemmerend. Het F.I. opteert voor contextueel rekenen waarbij de leerlingen bv. grotendeels zelf het oppervlakbegrip moeten construeren vertrekkende van opdrachten als: bereken hoeveel auto’s kunnen parkeren op een parking van 50 op 90 vierkante meter. Het F.I. relativeerde ook heel sterk alles wat te maken heeft met het metriek stelsel en met herleidingen in het metriek stelsel. … Volgens medewerker van het Freudenthal Instituut Ed de Moor (1999) had dit te maken met het feit dat prof. Hans Freudenthal een aanhanger was van het genetische principe. Precies daarom ook liet het FI de klassieke benaming ‘metend rekenen vallen en koos voor ‘meten’. Door de invloed van de constructivisten binnen de ontwikkelcommissie sneuvelde de klassieke naam metend rekenen’en werd meten overgenomen.

Het verwonderde me dus dat ter Heege en aanhangers van de visie van het FI zich zo negatief uitlieten over het verleden van ons wiskundeonderwijs en over de toestand van het meten en metend rekenen. Het volstaat m.i. om even de handboeken van weleer te bekijken of opgaven uit de kantonnale en interdiocesane proeven voor 12-jarigen, om te beseffen dat dit geenszins het geval is. Ik beschik nog over een grote reeks opgaven uit de periode 1960-1976. Voor de leerlingen van de hogere leerjaren bevatten die leerboeken ook veel vraagstukken metend rekenen. In de hogere leerjaren was er wellicht iets te weinig aandacht voor diagrammen en grafieken. Al bij al zien we echter geen reden om zich meewarig uit te laten over het verleden van het leerdomein 'metend rekenen'. (Bij het opstellen van een reeks wiskundepublicaties voor de basisvorming slaagde ik er destijds niet in om Ter Heege op andere gedachten te brengen.)

2 Nefaste Invloed visie Freudenthalers op eindtermen en bepaalde leerplannen

Geen ‘metend rekenen’ meer, maar enkel ‘meten’

We vermeldden al de discussie omtrent de benaming van dit leerdomein. De constructivisten wilden per se de naam meten – net als de Freudenthalers en dus ook het accent op doing mathematics. In overeenstemming hiermee werd ook het belang van het klassieke metriek stelsel met zijn herleidingen gerelativeerd. Zelf wou ik per se ook de naam ‘metend rekenen behouden, maar tevergeefs. Voor het leerplan lager (katholiek) onderwijs van 1998 koos ik later voor de benaming meten én metend rekenen.

Geen formules meer voor oppervlakte e.d.

Er was ook veel discussie omtrent de formules voor berekening van omtrek, oppervlakte en inhoud De constructivistische strekking won hier opnieuw het pleit. De twee eindtermen i.v.m. oppervlakte en inhoud klinken dan ook minimaal: Eindterm 2.9: Op een concrete wijze aangeven hoe de oppervlakte en de omtrek van een willekeurige vlakke figuur en van een veelhoek kan bepaald worden.” Eindterm 2.10: “Concreet aangeven hoe de inhoud van een balk kan bepaald worden. In de eindtermen van de Franstalige gemeenschap waren de formules voor de oppervlakteberekening van de rechthoek en voor de volumeberekening van de balk wel opgenomen (Socles de compétences, 1994, p. 82). Maar de constructivisten binnen de ontwikkelcommissie sloten zich aan bij het FI en de formules sneuvelden.

In het leerplan dat ik mede opstelde slaagde ik er in om de formules opnieuw in te voeren. In het OVSG-leerplan werden enkel de formules voor de oppervlakte van de rechthoek en voor het volume van de balk behouden. In de toelichting bij het OVSG-leerplan klonk de terughoudendheid inzake formules sterk door. We lezen als verantwoording: Onze leerlijnen ‘meten’ monden slechts zelden uit in een formule. De hoofdzaak is om in realistische contexten het meten functioneel te maken en kinderen daarbij de kans te geven gestelde meetproblemen zelf op te lossen.(p. 235). Zelf vind ik de kennis van frequent gebruikte formules wel belangrijk en heel functioneel. Ik geloof ook niet in het zomaar zelf kunnen oplossen van het probleem van bv. de oppervlakte van een driehoek, cirkel … De tegenstanders van het opnemen van formules als parate kennis vinden allereerst parate wiskundekennis minder belangrijk. Ze beklemtonen vooral de probleemoplossende vaardigheden en de eigen constructies van de leerlingen. Zij stellen ook dat de introductie van formules nadelig is voor het verwerven van inzicht en/of dat de eigen constructies van de leerlingen dan te weinig aan bod zullen komen.

3 Belang van formules voor oppervlakte e.d. – terug inlassen in eindtermen

Zelf vind ik – en ook de meeste praktijkmensen - dat formules om tal van redenen belangrijk blijven. Formules fungeren vooreerst als een powerful formal tool for generalisation. Formules zijn in de eerste plaats kernachtige uitdrukkingen en synthese van verkorte en handige meetprocedures. De beknopte symbolische voorstelling van de formule voor de volumeberekening van de balk (l x b x h) is makkelijk inprentbaar en is een steun bij het vlot berekenen van volumes. De ingeprente formules zijn achteraf ook een hulp om het achterliggende inzicht te reconstrueren. In het Britse standaardwerk Teaching Primary Mathematics worden formules ook voorgesteld als powerful formal tool for generalisation (Booker, e.a., 1997).

Bij zwakkere en zelfs gemiddelde leerlingen stelt men overigens vast dat het inzicht na zekere tijd wat wegdeemstert, maar dat de kennis en het kunnen toepassen van formules veelal blijven. Veel volwassenen – ook van negentig jaar – kunnen de formules nog toepassen , zelfs al is het inzicht in de formules volledig of grotendeels verdwenen. Dit alles geldt nog meer voor formules van de oppervlakte van de driehoek en van de cirkel. Bepaalde leerlingen verwerven zelfs nooit een volledig inzicht in de formules. We moeten dan tevreden zijn met het kennen en kunnen toepassen van de formule voor bv. de oppervlakte van de cirkel, zonder de verbinding met het inzicht in de formule.

Ik begrijp niet waarom constructivisten’zo vlug stellen dat formules (als parate kennis) niet functioneel zijn. Dit laatste geldt enkel voor formules die we weinig nodig hebben, bv. voor de oppervlakteberekening van een ruit of van een trapezium, en die werden dan ook niet opgenomen in het leerplan-1998 (katholiek onderwijs).

4 Herwaardering rijke traditie in leerplan-1998: strijd tegen New-Math-verdrukking én tegen constructivistische visie

Ik was verrast door de denigrerende toon waarop ter Heege over het (verre) verleden van het onderwijs in 'meten en metend rekenen' sprak. Zelf keek ik respectvol terug op de lessen 'metend rekenen' die we als basisschoolleerling kregen in de periode 1952 en 1958. ik heb gedurende de voorbije 62 jaar geregeld gebruik gemaakt van die basiskennis en zelfs intensief toen ik een huis liet bouwen. Onze buurman schrijnwerker vertelde destijds dat de jonge schrijnwerkers veel minder de elementaire basiskennis 'metend rekenen' onder de knie hadden dan onze generatiegenoten.

Moderne wiskunde: metend rekenen in de verdrukking

Door de invoering van de moderne wiskunde vanaf 1976 merkten we dat de uitbreiding van het leerplan en de formalistische benadering van de wiskunde ook nadelig was voor het domein 'metend rekenen'. In onze kruistocht tegen de 'New Math' wezen we er herhaaldelijk op dat het 'metend rekenen' in de verdrukking kwam (Moderne wiskunde: een vlag op een modderschuit, 1982). Dit kwam ook omdat dit leerdomein zich minder leende tot toepassing van de verzamelingen & relatieleer.

5 Nieuw leerplan 1998 (katholiek onderwijs): vernieuwing in continuïteit en herwaardering ‘meten en metend rekenen’.

Bij de opstelling van het leerplan- 1998 (katholiek onderwijs) ijverde ik voor een herwaardering van het klassieke leerdomein 'meten en metend rekenen'. In plaats van de enge benaming ‘meten in de eindtermen werd de benaming meten én metend rekenen. Bij de voorstelling van het VVKBaO-leerplan -1998 wees ik de toehoorders op onze sterke traditie. Ik verwees ook naar het hoge niveau van de interdiocesane proeven van de voorbije decennia. Ik voegde er aan toe: In tegenstelling met de eindtermen blijven we veel belang hechten aan formules voor de oppervlakteberekening, aan belangrijke herleidingen met metriek stelsel, inzichten in de relatie: vorm, afmetingen, oppervlakte, oppervlakte berekenen door verdeling in gekende figuren, enz. Als medeontwerper van de eindtermen en van een nieuw leerplan was onze stelling steeds: Laat ons een aantal oude waarden herwaarderen en tegelijk nieuwe elementen en evoluties integreren.

Inzake nieuwe elementen denken we bv. aan een aantal nieuwe ideeën als een diepere verkenning van oppervlakte en inhoud, iets meer aandacht voor maatgevoel en werken met diagrammen en grafieken, vlugger werken met conventionele maten en meetinstrumenten voor lengte, …. Ons leerplan van 1998 biedt o.i. een goede synthese van oude waarden en meer recente, vernieuwende ingrediënten. Ook in de nieuwe wiskundemethodes kreeg metend rekenen weer meer aandacht. De Vlaamse aanpak is ook evenwichtiger en rijker dan deze die in Nederland in de zgn. Proeve van een nationaal programma  gepropageerd wordt (Treffers e.a., 1989).

In het boek Meten en metend rekenen (Plantyn, 2002 – nu ook als e-book) formuleerde ik mijn visie op dit leerdomein – samen met een uitgewerkte leergang: b.v. reeks lessen over het werken met conventionele maten en meetinstrumenten, soorten actieve meetopdrachten, grootte-eigenschappen, invoeren van standaardmaten, verkenning van conventionele meetinstrumenten, verfijnen en vergroten van de standaardmaat, indirecte metingen, courante en minder courante samengestelde maateenheden, herleidingen, schatten op basis van referentiepunten, nauwkeurigheid van meten en afronding, oppervlakte, omtrek en volle, tabellen, diagrammen en grafieken, vraagstukken. begrip oppervlakte en inzicht in de formules, herleidingen e.d. Klara Vandoyre, lector wiskunde KdG-hogeschool, schreef een uitgebreide recensie in School- en klaspraktijk, aflevering 177, 2003. Na een voorstelling van de verschillende hoofdstukken besloot ze: Feys en Van Iseghem benaderen de verschillende invalshoeken en opvattingen rond meten en metend rekenen. Ook zij nemen een duidelijk standpunt in over de te volgen didactische aanpak en zij motiveren hun visie aan de hand van tal van praktijkvoorbeelden en recentere wetenschappelijke studies. Een waardevolle handleiding die het eigen inzicht in het didactisch proces verdiept en aanzet tot een creatieve en realistische aanpak in de klas.

6 Pleidooi om vlugger te werken met conventionele maateenheden

Waar het Freudenthal Instituut pleit voor het langer uitstellen van het werken met standaardmaten, pleitte ik voor het vlugger invoeren van standaardmaten als cm e.d.

Te lang en eenzijdig werken met natuurlijke maateenheden

De invloed van Decroly op het leerplan van 1936 zorgde ervoor dat in het leerplan expliciet werd vermeld: 'Men zal eerst voldoende natuurlijke maten gebruiken' (Leerplan Ministerie van Openbaar Onderwijs, 1936). Het werken met gestandaardiseerde maateenheden moest worden uitgesteld. Dit principe was overigens heel populair binnen de reformpedagogiek die het 'natuurlijke' leren propageerde en het meer 'formele' en schoolse leren wou uitstellen. Men vindt die idee terug bij Rousseau, Dewey e.d.

Er kwam veel kritiek op het leerplan van 1936, op de propaganda voor totaliteitsonderwijs, op de Decrolyaanse aanpak van het rekenonderwijs, op de globale leesmethodiek van Decroly, op het totaliteitsonderwijs … In het leerplan wiskunde van 1957/1958 werd de klok al vlug teruggedraaid, en kwam het meten met meter en met centimeter weer in het leerplan - zelfs in eerste leerjaar. In de leerplannen van 1998 kwam de introductie van centimeter pas in het tweede leerjaar en decimeter en millimeter soms zelfs in het vierde.

Waar komen de pleidooien voor het gedurende lange tijd alleen werken met natuurlijke maten vandaan - en is het wel verantwoord? In de geschiedenis werd uiteraard lange tijd uitsluitend met natuurlijke maten gewerkt, en pas later met gestandaardiseerde maateenheden en meetinstrumenten zoals we die in het dagelijks leven gebruiken. In de klascontext willen sommigen deze historische genese van het meten reconstrueren. Er wordt dan lange tijd met 'natuurlijke maateenheden' gewerkt, en de introductie van conventionele maateenheden wordt uitgesteld. De leerlingen moeten ook zoveel mogelijk zelfstandig de opeenvolgende historische stappen reconstrueren.

Voor het onderwijs in 'metend rekenen' werd dus vaak uitgegaan van het zgn. 'genetische principe' in de traditie van Dewey, Decroly, Piaget, en recentelijk van het constructivisme. Vanuit de stelling dat een leerling het ontstaan van de wiskundekennis moet kunnen (re-) construeren om inzicht te verwerven, beklemtonen ook de medewerkers van het Freudenthal Instituut en de voorstanders van constructivistische wiskunde echter al te sterk het belang van het langdurig werken met natuurlijke maateenheden voor lengte, oppervlakte, inhoud ...

In België was de bekende medicus en reformpedagoog Ovide Decroly (1871-1932) een groot voorstander van het 'genetische principe' binnen wiskunde, wereldoriëntatie, ... (Liefland, 1959). Decroly dweepte volgens Liefland met de recapitulatietheorie; voor meten en metend rekenen propageerde hij het lange tijd werken met 'natuurlijke maateenheden' en het uitstellen van het meer formele meten. De invloed van Decroly op het leerplan van 1936 zorgde ervoor dat in de tekst expliciet werd vermeld: Men zal eerst voldoende lang natuurlijke maten gebruiken (Leerplan Ministerie van Openbaar Onderwijs, 1936). Dit principe was overigens heel populair binnen de reformpedagogiek die het 'natuurlijke' leren propageerde en het meer 'formele' en schoolse leren wou uitstellen. Men vindt die idee ook terug bij Rousseau. Prof. Victor d'Espallier schreef in 1974 : De overgang van de natuurlijke maten naar de conventionele, moet volgens Decroly ook door de kinderen zelf ontdekt worden. Deze psychologische aanpassing aan het kind kan o.i. echter maar binnen zeer beperkte grenzen geschieden. Ook de cultuur en de maatschappij stellen hun eisen; ze kunnen niet op het kind wachten (De Block e.a., 1974, deel 1, p. 367).

De recapitulatietheorie had niet enkel invloed op de leerlijn voor 'metend rekenen' (bv. lange tijd met natuurlijke maten werken, de ene fase in de meetleerlijn laten voortvloeien uit de voorafgaande), maar ook op de gepropageerde werkvormen. Het zgn. constructivisme en het reconstructieprincipe beklemtonen ook nu nog dat de eigen inbreng en constructie van het kind heel belangrijk zijn - in navolging van Piaget, Decroly & Dewey. Uitdrukkingen als leren al doende (learning by doing) en 'wiskunde is wiskunde doen' deden hun intrede. Constructivisten vertrekken hierbij van de idee dat ook onze voorouders het zelf hebben moeten ontdekken en zelf hun wiskundekennis moesten construeren. (Ze vertellen er wel niet bij hoeveel eeuwen het geduurd heeft alvorens de hedendaagse wiskunde als cultuurproduct ontwikkeld werd.)

Een medewerker van het Freudenthal Instituut Ed de Moor (1999) schreef dat ook prof. Hans Freudenthal een fervent aanhanger was van het 'genetische principe'. Ook medewerkers van het FI hecht(t)en te veel waarde aan het lange tijd laten meten met natuurlijke maateenheden voor lengte, oppervlakte … Zelf erkennen we ook wel de waarde van het even werken met natuurlijke maateenheden, maar tegelijk relativeren we het gebruik ervan. We raden dan ook aan om vlugger te werken met conventionele maateenheden als cm e.d.

De voorbije 25 jaar kwam er terecht veel kritiek op het dogmatisme van dit 'genetische principe' en van het lange tijd uitstellen van de invoering van standaardmaten. A. Peter Koops (2000) verzuchtte in dit verband: Een overbeklemtonen van het meten met niet-standaardmaateenheden levert voor kinderen tijdverlies en moeilijkheden op die lange tijd zijn onderschat. Op basis van onderzoek pleitte hij voor het vlugger werken met conventionele maateenheden als cm e.d. Vanuit mijn eigen ervaring onderschrijf ik de relativering van het werken met natuurlijke maateenheden en van het psychologisch-genetische reconstructieprincipe. De culturele of formele 'maten' zijn voor kinderen soms natuurlijker/bekender dan bepaalde natuurlijke maateenheden die steeds minder gebruikt worden.

Kritiek op de recapitulatietheorie & uitstellen van conventionele maateenheden

Er is al lang discussie over de toepassing van het 'genetische principe' en de recapitulatietheorie in het onderwijzen van wiskunde, wereldoriëntatie e.d. (Feys, 2001). Afgezien van het feit dat het genetische principe allerlei variaties kent, bleek het ook een onvolledig en gebrekkig instrument voor de leerplanontwikkeling. Er wordt bv. voorbijgegaan aan de relatie met - en de invloed van de huidige cultuur waarin het kind opgroeit en aan de invloed van het onderwijsleerproces.

De voorbije 20 jaar kreeg de toepassing van de recapitulatietheorie op 'meten en metend rekenen' veel kritiek te verduren, vooral waar het gaat om grootheden zoals lengte, gewicht, inhoud … waarbij de meeste kinderen al in een vroeg stadium kennismaken met standaardmaten en standaardmeetinstrumenten. Thuis bv. zien ze meten met lintmeter, vouwmeter, lat … en ze horen over centimeter en over hoeveel kilometer het nog is naar oma. Ze verwerven al vroeg een beeld van een literpak melk, hun gewicht wordt in kilo’s uitgedrukt ... Ze horen 'over vijf minuten (of over een kwartier) gaan we eten' … Een aantal gestandaardiseerde maateenheden zijn a.h.w. 'natuurlijker' dan de meeste zgn. 'natuurlijke maateenheden' die de voorouders hanteerden.

Nogal wat leerkrachten en didactici vinden dat voor het meten van lengte en gewicht veel vroeger gebruik gemaakt moet worden van deze voorkennis. Lange tijd en enkel met natuurlijke maten werken is volgens hen dan ook onnatuurlijk. In de volgende paragrafen bespreken we de kritiek op de dogmatische genetische leerlijn voor 'metend rekenen' en op de recapitulatietheorie met de eraan verbonden 'informele' en zelfontdekkende aanpak

Relativering van werken met natuurlijke lengtematen en informele aanpak

De conclusies bij een aantal onderzoeken over lengtemeting zijn de volgende:

*De kinderen komen in hun leefwereld veel vroeger in contact met conventionele maten en meetinstrumenten dan de aanhangers van het genetisch principe beweren. De culturele of formele 'maten' zijn soms natuurlijker dan natuurlijke maateenheden die steeds minder gebruikt worden. Veel jonge kinderen gaan soms al opmerkelijk goed met standaardmaten (bv. cm en m) en conventionele meetinstrumenten (bv. meter, liniaal) om. De langdradige en omstandige indirecte vergelijkingsmethoden met willekeurig gekozen maten zijn voor deze kinderen eerder zinloos en ook moeilijker. Een niet-kritisch gebruik van niet-conventionele maateenheden kan zelfs tot ontwikkeling van misvattingen leiden.

* Het werken met natuurlijke lengtematen en informele meetsituaties draagt minder bij tot het ontdekken van de basisstructuur van elk meetsysteem dan algemeen verwacht wordt. Vooral via gerichte verkenning van conventionele maten als centimeter en meter - gekoppeld aan de verkenning en het gebruik van de liniaal - ervaren de leerlingen de drieledige structuur van het echte meetsysteem. ° Er moet een van tijd en ruimte onafhankelijke maateenheid gevonden worden. Hierbij moet ook verwarring tussen de maten voor lengte en oppervlakte/volume voorkomen worden. Bij het meten van lengte met stroken of blokjes treedt vlugger verwarring op.

*De maateenheid moet herhaald toegepast en bijgeteld worden als het te meten object groter is dan de eenheid. Het inzicht in 'schaalverdeling' en 'resultatief tellen' van de grootte is hierbij heel belangrijk. De eenheid moet systematisch onderverdeeld worden wanneer er geen natuurlijk maatgetal bestaat, dat het te meten object volledig kan omvatten. *Uit bepaalde onderzoeken blijkt verder dat een te grote nadruk op het meten met niet-standaardmaten problemen voor veel leerlingen oplevert die tot nu onderschat werden. In een Amerikaans handboek beklemtoonden P.Wilson en A. Osborne in 1988 het volgende: Bij het pure aftellen met niet-conventionele, willekeurig gekozen lengtematen worden noch de betekenis van de nul, noch het herhaalde aanleggen van lijnstukken, die de eenheden respectievelijk de ondereenheden representeren, in het meetproces duidelijk. Dit bemoeilijkt een werkelijk begrip van de onderliggende structuren van het meetproces. De auteurs pleiten voor het vroeger overschakelen op conventionele maten en meetinstrumenten.

*De kinderen zijn binnen metend rekenen te veel gedachteloos en informeel met meten bezig en dat levert te weinig resultaten op. P. Bragg en L. Outhred hebben aan het eind van de jaren 1990 in een breed opgezette studie de kennis van Australische basisschoolleerlingen over lengtematen onderzocht. "De leerlingen pasten bij de toetsopgaven twee verschillende strategieën toe: enerzijds het tellen met informele maateenheden, markeringen of afstanden, anderzijds het gebruik van een liniaal en het aflezen van de schaalindeling. Beide aanpakken verwijzen volgens de wetenschappers naar een eerder verworven instrumenteel en oppervlakkig begrip van het meetproces en laten geen dwingende conclusies toe dat er een diepergaand begrip van het hieraan ten grondslag liggende complexe (drieledige) meetsysteem bestaat.

Eerder ontstaat de indruk dat voor veel kinderen meten hetzelfde is als tellen van 'papieren voeten', lucifers of strepen. Deze louter rekenkundige interpretatie van grootheden, die de samenhang met de aan de meting ten grondslag liggende eenheden verwaarloost, kan de opbouw van een realistische voorstelling van grootheden en van een begripsvolle afbakening van lengte, oppervlakte en inhoud blijvend belemmeren (Peter-Koops, o.c.) Bragg en Outhred stellen voor meer tijd te besteden aan de gerichte verkenning van de conventionele maten en meetinstrumenten en wat minder aan het informele meten.

Voorkeur van kinderen voor conventionele maten en meetinstrumenten bij lengtemeting

De Australische G. Boulton-Lewis (1996) onderzocht midden de jaren tachtig de samenhang tussen de cognitieve theorieën (bv. genetische principe, ontwikkelingspychologische gegevens à la Piaget …) en de kennis van lengtemeting bij basisschoolleerlingen. Zij stelde daarbij vast dat de meeste kinderen van haar onderzoeksgroep met succes al met een liniaal konden werken voordat ze in een situatie waren om over strategieën met niet-conventionele meetinstrumenten te denken. Uit een aanvullend onderzoek over lengtestrategieën bleek verder dat leerlingen uit leerjaar 1, 2 en 3 duidelijk de voorkeur gaven aan een conventioneel meetinstrument zelfs wanneer ze dat nog niet volledig begrepen hadden of dat nog niet op de juiste wijze en exact konden toepassen. Om te kunnen zien dat willekeurig gekozen maten en meetinstrumenten niet betrouwbaar zijn, moet de leerling begrijpen dat de onderscheiden lengten en maatgetallen van de gebruikte eenheden een sluitend systeem vormen en moet hij daarbij passende conclusies trekken. Het gebruik van een gewone 30 -cm liniaal bij het vergelijken van twee verschillende objecten is dan ook minder lastig. Bovendien past dit veel meer bij de alledaagse ervaringen van de kinderen, die toch in de regel zien hoe volwassenen bij het meten en vergelijken van lengten conventionele - en juist niet willekeurig gekozen meetinstrumenten - gebruiken.

T. Nunes, P. Light en J. Mason vergeleken in een onderzoek van 1993 de handelswijzen van leerlingen uit klas 2 bij lengtemeting - waarbij verschillende conventionele, maar ook niet-standaard meetinstrumenten ter beschikking stonden. Hun onderzoeksresultaten wijzen in dezelfde richting. Nunes en haar collega's onderzochten of de leerlingen meetinstrumenten als een gewone liniaal met onderverdeling op de juiste manier gebruikten, voordat ze dat instrument zelf (her)uitgevonden hadden volgens de theorie van de didactische ordening ( = zgn. meetleerlijn). Evaluatie van de data van dit onderzoek laat zien dat de zes- tot achtjarigen beter met conventionele meetinstrumenten voor lengte konden omgaan dan met onconventionele (zoals een stuk touw), hoewel volgens het leerplan in Engeland juist het werken met onconventionele maten in klas 2 een centrale plaats heeft en vooraf dient te gaan aan het gebruik van gestandaardiseerde maten" (Peter-Koop, o.c.). Ook uit actueel onderzoek van M. Nührenbörger (2001) in Duitsland blijkt dat leerlingen uit het 2de leerjaar, aan wie gevraagd werd - voordat ze onderwijs in lengtematen kregen om streepjes te tekenen van 1 cm respect 10 cm lang, zich daarbij vaak een liniaal voorstellen en dan volgens dit mentale beeld de streeplengtes tekenen.

Waar zit die klaarblijkelijke attractiviteit van conventionele meetinstrumenten voor de kinderen in? Volgens Peter-Koop (o.c.) vast en zeker in een of andere eerdere buitenschoolse ervaring. Zo zijn de meeste kinderen bijvoorbeeld al meerdere malen en in verschillende situaties gemeten en gewogen, hebben ze zakgeld gekregen (en uitgegeven) en weten ze precies wat de aanvangstijden en duur van hun lievelingsprogramma's op de televisie zijn. Zij zien hun ouders en anderen koken en iets repareren, en hebben het nut van conventionele meetinstrumenten op allerlei manieren direct of indirect ervaren.

Besluiten

Bij lengtemeting e.d. is een aanpak die gebaseerd is op de voorschoolse en buitenschoolse ervaringen waarover de meeste kinderen beschikken, aangewezen. Kinderen maken geen echt onderscheid tussen 'natuurlijke maten' en 'standaardmaten'. Ook een standaardmaat is voor hen een 'natuurlijke maat'. Meetlat, lint en liniaal zijn heel natuurlijke meetinstrumenten die ze al vroeg kennen.

Een quasi gelijktijdig gebruik van conventionele en willekeurige maten, waarbij ook de voorkennis over het omgaan met gebruikelijke maten en meetinstrumenten betrokken wordt, lijkt dus aangewezen. We denken hier bv. aan de bespreking met de kinderen van de schaalverdelingen op de hun bekende meetinstrumenten en het tegelijk laten ontwerpen van dergelijke schaalverdelingen met onderverdelingen bij willekeurig gekozen maateenheden; dit laatste om de betekenis en de structuur van de gebruikelijke meetinstrumenten en maten nog beter te kunnen doorzien en begrijpen. Dit betekent ook dat de leerkracht van een eerste leerjaar al over cm mag praten. De verkenning van de meetlat biedt overigens een goede ondersteuning van de getallenkennis (bv. ook resultatief tellen). Een leerling moet nog niet weten dat 1 m = 100 cm om al met cm als lengtemaat en de meetlat te kunnen werken.