Waarheen met de nieuwe eindtermen en leerplannen  wiskunde voor het lager onderwijs? Pleidooi voor meer en duidelijke eindtermen.

Herwaardering in nieuwe eindtermen van sterke wiskundetraditie - met bv. eerherstel voor verguisde regel van 3, formules voor berekening oppervlakte & inhoud, klassiek vraagstukkenonderwijs. De invloed  van de sympathisanten van het contextueel en constructivistisch rekenen à la Freudenthal Instituut binnen de ontwikkelcommissie van weleer moet worden teruggeschroefd.  

1 (Her)waardering van sterke wiskundetraditie en 4x in verzet tegen bedreigingen

1+1=2 zou je denken, maar de voorbije decennia bleek dat ook het vak wiskunde een vrij controversieel vak is, onderhevig aan elkaar afwisselende en tegengestelde modes: van het extreem van de formalistische ‘moderne wiskunde’ naar de andere extreme pool van de aardse/contextuele en constructivistische wiskunde. De voorbije 50 jaar maakten we ook in Vlaanderen wiskundeoorlogen mee. Ik kan me voorstellen dat er binnen de commissie die de nieuwe eindtermen wiskunde opstelt ook wel uiteenlopende visies aanwezig zullen zijn.

Ons lager onderwijs kent nochtans een rijke wiskundetraditie- en ook omtrent de methodische aanpak was er destijds een grote mate van consensus. Onze sterke wiskundetraditie werd voorbije 50 jaar geregeld in vraag gesteld en volledig ten onrechte als eenzijdig mechanistisch bestempeld. Ook de ZILL-leerplanverantwoordelijken stelden nog in 2015 dat het wiskundeonderwijs louter mechanistisch is, eenzijdig gericht “op de reproductie van feitenkennis en rekenprocedures” Rekenen is echter steeds ook ‘Denkend rekenen, rekenend denken’ (= naam van vroegere wiskundemethode). In de Vlaamse wiskundetraditie - en ook in mijn eigen wiskunde-publicaties & cursussen - werd steeds een evenwichtige visie gepropageerd, die b.v. conceptuele kennis van bewerkingen e.d. combineert met voldoende geautomatiseerde en gememoriseerde parate kennis. Parate kennis en het vlot & geautomatiseerd berekenen (= mechanistisch aspect), het inzichtelijk werken en het leren oplossen van vraagstukken zijn drie invalshoeken die elkaar onderling ondersteunen en versterken. Het gaat om een drie-eenheid en om tweerichtingsverkeer, van kennen naar kunnen en omgekeerd. Het gaat om inspiratie én transpiratie. En hoe jonger de leerlingen zijn, hoe belangrijker het leren vlot (geautomatiseerd) berekenen is. Uit de vele bijdragen over het wiskundeonderwijs uit de jaren 1930-1970 in het ‘Vlaams Opvoedkundig Tijdschrift’ (VOT) blijkt dat ook toen een evenwichtige visie gepropageerd werd. Ook de kantonnale en interdiocesane proeven voor 12-jarigen wijzen op de sterke en veelzijdige wiskundetraditie in ons lager onderwijs.

Adri Treffers, een kopstuk destijds van het Nederlandse Freudenthal Instituut, bestempelde vanaf 1980 het klassieke rekenonderwijs als louter mechanistisch. Maar in 2015 publiceerde hij een analyse van de wiskundemethodes uit de periode 1800 tot heden. Daarin gaf hij toe dat de meeste klassieke methodes ook inzicht nastreefden en veel denkvraagstukken bevatten (Adri Treffers, Weg van het cijferen, 2015). Hij sprak b.v. lovend over de methode ‘Functioneel rekenen’ van Reijnders, waarvan we de Vlaamse versie begin de jaren 1970 ook gebruikten op onze Torhoutse oefenschool. Die Vlaamse versie was overigens opgesteld door onderwijzers van onze oefenschool o.l.v. collega-opleider Chris de Graeve. Torhoutse lerarenopleiders waren overigens ook al in de jaren 1930-1970 sterk begaan met het wiskundeonderwijs. Zelf heb ik vanaf 1970 die traditie verdergezet. Als pedagoog-lerarenopleider kon/mocht ik me destijds gelukkig nog intens inlaten met de vakdidactiek voor rekenen, lezen, spellen, wereldoriëntatie …

Zelf heb ik de voorbije 50 jaar veel energie besteed aan het verder optimaliseren van klassieke inhouden en aanpakken die allang hun deugdelijkheid bewezen hebben. Ik publiceerde er vanaf 1973 een 30-tal bijdragen over , en drie boeken: Rekenen tot honderd’, Meten en Metend rekenen, en Meetkunde (Plantyn- Mechelen, nu ook als e-book). Bij de opstelling van het leerplan wiskunde lager katholiek onderwijs deed ik mijn best om die wiskundetraditie te herwaarderen. Op 29 september 2010 was er een tussentijdse evaluatiedag van dit leerplan in de Guimardstraat met een honderdtal begeleiders en lerarenopleiders. We lazen in het verslag van Marleen Duerloo, toenmalig pedagogisch begeleider wiskunde n o.a.: De leerplanopstellers gingen er destijds van uit dat Vlaanderen al lang beschikte over een eigen stevige traditie op het vlak van het wiskundeonderwijs. Waar het nu op aankwam was – zoals Raf Feys al in 1987 bepleitte – de goede elementen uit deze sterke traditie, die door de moderne wiskunde onder het stof waren geraakt – te herwaarderen, en aan te vullen met enkele waardevolle nieuwe elementen. Ik was best tevreden dat dankzij mijn jarenlange inzet in 1998 afscheid genomen werd van de formalistische en hemelse moderne wiskunde,  en dat dit leerplan tegelijk bijna integraal afstand nam van het andere extreem, het constructivistisch en contextueel/-aards rekenen waarin leerlingen b.v. vooral hun allerpersoonlijkste berekeningswijzen van 82-27 zelf moeten construeren, en waarbij al te weinig aandacht is voor wiskunde als cultuurproduct en vakdiscipline. Ik wist ook wel dat een terugkeer naar het juiste wiskundepad geen gemakkelijke onderneming  zou.

Tegelijk moest ik de voorbije 50 jaar veel energie investeren in de strijd tegen de bedreigingen van ons wiskundeonderwijs: (1) vanaf 1973 tegen de formalistische en ‘hemelse’ ‘moderne wiskunde’: na een lange strijd leidde dit tot de afschaffing in 1998; (2) vanaf 1987 tegen het andere extreem: de constructivistische en contextuele/aardse wiskunde à la Freudenthal Instituut, het zgn. realistisch wiskundeonderwijs, dat volgens mij allesbehalve realistisch was en tegelijk moeilijk uitvoerbaar in de klaspraktijk (3) binnen de opstelling van de eindtermen wiskunde in 1993 en van een leerplan wiskunde lager onderwijs in 1994-1995 waar het constructivisme grote discussiepunt was; Bij het opstellen van de eindtermen en leerplannen van de jaren 1990 was dit een belangrijk discussiepunt; (4) in 2015 nog tegen de ZILL-visie: het pleidooi voor constructivistische en contextueel rekenen in Zin in wiskunde. 

In een bespreking van ons boek Meten én metend rekenen'(Plantyn, Mechelen, 2002, 170 pagina’s, nu ook als e-book) beschreef Hugo Gevaert onze strijd tegen extreme visies en voor de herwaardering van onze sterke wiskundetraditie: In de Normaalschool van Torhout bleven Feys en co de voorbije decennia opteren voor een uitgebalanceerde aanpak van het wiskundeonderwijs, waarbij men zowel aandacht had voor oerdegelijke waarden’ als voor enkele nieuwe ingrediënten. Blijkbaar vond deze aanpak, die Raf Feys ook voor andere deelgebieden van het wiskundeonderwijs volgde (zie ook zijn boeken over rekenen en meetkunde) nogal wat aandacht. Hierdoor blijkt duidelijk zijn realistische aanpak waardoor hij zowel aandacht heeft voor het inzichtelijk functioneren als voor het functioneel karakter van het wiskundeonderwijs.

In het eerste deel van het boek met algemene beschouwingen breekt Feys eens te meer een lans voor een guided instruction of learning. Noch formalistische New Math, noch andere verlossende ideologieën zoals het constructivisme kunnen bij hem op enige genade rekenen. Gebrek aan duidelijkheid kan Feys zeker niet verwijten. De uitwerking van de leergang ‘meten en metend rekenen’ in voorliggend boek getuigt eens te meer van een uitgebalanceerde didactische aanpak…. Samengevat: Een waardevol didactisch werk dat in de basisscholen en pedagogische hogescholen best met de nodige aandacht gelezen wordt.

2 Constructivisme & strijd bij opstelling eindtermen: belangrijke leerdoelen geschrapt

Bij de opstelling van de eindtermen wiskunde voor het lager onderwijs in 1993-1994 kregen we volop af te rekenen met de constructivistische strekking. Vooral de professoren Gilberte Schuyten (UGent) & Lieven Verschaffel (KULeuven) propageerden zo’n aanpak: doing mathematics i.p.v. knowing mathematics. Als voorstander van een herwaardering van het klassieke rekenen deden we ons best om in de lijst van concrete eindtermen de invloed van de constructivisten te beperken. De constructivistische strekking slaagde er wel in om o.a. het belang van het gestandaardiseerd berekenen, het metriek stelsel en herleidingen, het klassiek vraagstukkenonderwijs, … in sterke mate te relativeren. Ook de formules voor de berekening van de omtrek, oppervlakte en inhoud sneuvelden (zie mijn pleidooi voor formules in volgende bijdrage). De belangrijke en o.i. ook inzichtelijke regel van drie werd ten onrechte als een mechanistisch trucje bestempeld en mocht niet opgenomen worden. De voorbije jaren werd hier herhaaldelijk en terecht over gelamenteerd. Ik hoop alvast dat die zaken straks in de nieuwe eindtermen weer opgenomen worden.

Een belangrijke passage in de begeleidende tekst bij de eindtermen die ik mede opstelde, verwijst expliciet naar de controverse binnen de ontwikkelcommissie: Sommige commissieleden namen het standpunt in van constructivistisch/zelfontdekkend leren. Anderen pleitten meer voor een geleid-ontdekkende en uitgebalanceerde benadering. Dit betekent dat volgens de laatsten kennis deels wordt aangereikt, de kinderen moeten niet alles zelf ontdekken, maar toch wordt er ook denkactiviteit van hen verondersteld. De leerlingen moeten actief meedenken en vanuit aangereikte perspectieven leren ‘verder denken’. Ook vanuit de vrees dat het ‘zelf ontdekken’ slechts weggelegd is voor de verstandigste kinderen, pleitten deze commissieleden voor meer structurering en voor het voldoende inoefenen en automatiseren van actief verworven kennis en vaardigheden. Merkwaardig hierbij was ook dat prof. Gilberte Schuyten in haar lessen aan Gentse pedagogen in opleiding destijds mijn kritiek op de moderne wiskunde afwees, maar tien jaar later plots het andere extreem omarmde.

Schuyten, prof. Lieven Verschaffel en de vertegenwoordiger van het OVSG pleitten voor doing mathematics i.p.v. knowing mathematics. Als mede-opsteller kreeg ik er dus in 1993 te kampen met voorstanders van constructivistisch en contextueel wiskundeonderwijs. De wiskunde als vakdiscipline was voor hen ineens niet zo belangrijk meer. In het OVSG-leerplan wiskunde-1998 werd die constructivistische strekking zo geformuleerd: Constructief leren vergt probleemgericht onderwijs. Het klassieke model van de kennisoverdracht biedt weinig garantie voor de mentale activiteit van de leerlingen. Die activiteit is er wel wanneer leerlingen zelf oplossingen zoeken voor wiskundige problemen, oplossingen die niet voorgekauwd werden maar die ze zelf moeten construeren en uitproberen. (OVSG-leerplan, 1998, p. 10). In de eindtermen wiskunde van 1996 werden uiteindelijk na veel discussie een aantal belangrijke leerdoelen jammer genoeg niet opgenomen.

In de compromistekst over de eindtermen sneuvelden belangrijke leerdoelen als b.v. de belangrijke regel van 3, formules voor berekening van omtrek, oppervlakte en inhoud, enz. Volgens de constructivisten waren dit trucjes die het inzicht belemmerden. In volgende bijdrage weerleggen we die aantijging. In de werktekst die ik opgesteld had voor het domein bewerkingen had ik ook het klassieke onderscheid aangebracht tussen gestandaardiseerd en geautomatiseerd berekenen en het hoofdrekenen, maar ook dit onderscheid sneuvelde; de constructivisten vonden dat parate kennis (b.v. ook tafels van X) niet meer zo belangrijk was.

3 Strijd bij de opstelling van het leerplan-1998 (katholiek onderwijs), maar degelijk leerplan

Bij de opstelling van het nieuwe leerplan ( katholiek onderwijs, in 1994-1996) werd ik bij de start geconfronteerd met een ontwerptekst vol constructivistische & contextuele refreintjes als: Het leren oplossen van problemen vanuit contexten moet voortaan centraal staan. De leraar kan geen kennis, inzichten en vaardigheden aanleren, maar stimuleert enkel constructieve leerprocessen. Gestandaardiseerde en dwingende methodieken en procedures moeten vermeden worden. Informele en intuïtieve berekeningswijzen moeten centraal staan. Dit sloot aan bij de visie van de twee andere commissieleden: Lieven Verschaffel en de leerplanvoorzitter s.o. André Van der Spiegel en van de secretaris Gaby Tersago.

Ik was verrast door die eenzijdige visie & heb die ontwerptekst sterk bekritiseerd; voor mij was dit een breekpunt. Die tekst verdween terug in de lade en in het leerplan zelf treft men die stellingen in geen geval meer aan. Dit blijkt al overduidelijk uit de nauwkeurige beschrijving van de klassieke leerstofpunten per leerjaar. Enkel in een opsomming van een aantal ronkende domeinoverschrijdende doelstellingen komen de realistische en constructivistische refreintjes even tot uiting, maar dat zijn hoogdravende formuleringen waar praktijkmensen en opstellers van leermethodes weinig aandacht aan besteedden. Ik deed dus mijn uiterste best om de in de eindtermen geschrapte onderwerpen weer op te nemen in het leerplan – en met succes. Nog een illustratie in verband met metend rekenen. In tegenstelling tot de eindtermen en het Freudenthal Instituut die de term ‘metend rekenen’ lieten vallen en nog enkel spraken over ‘meten’ voerden we in het leerplan opnieuw de bredere benaming Meten én metend rekenen in. We voerden ook opnieuw de kennis van de formules voor het berekenen van omtrek, oppervlakte & inhoud in; ook b.v. de formule voor de oppervlakteberekening van de cirkel – die nu in het nieuwe ZILL-leerplan is weggevallen. Ook alles wat te maken heeft met metend rekenen en herleidingen kreeg opnieuw de nodige aandacht. Jammer genoeg kreeg ook dit keer mijn pleidooi voor het opnemen van de regel van drie geen gehoor.

Ik illustreer nog even hoe dat leerplan de klassieke methodiek herwaardeerde. In het hoofdstuk over de methodiek komt b.v. nergens het constructivistische refreintje voor dat de leerlingen hun kennis zelf construeren vanuit contextproblemen, grotendeels zelfontdekkend dus, met de klemtoon op het grote belang van eigen berekeningswijzen van 82-27 e.d. In het hoofdstuk over de methodiek schreef ik het volgende: In het wiskundeonderwijs moeten kinderen veel soorten wiskundige kennis, inzichten, vaardigheden, strategieën en attitudes verwerven. Zo’n brede waaier aan inhouden vereist tevens een groot scala van didactische scenario’s. De leerinhoud en de concrete doelstelling die aan de orde zijn, speelt hierbij een belangrijke rol. Denk maar aan het verschil in aanpak bij het verwerven van inzicht in de tafels en anderzijds bij het automatiseren ervan. De wijze waarop de leerkracht een onderwijsleersituatie aanpakt is verder afhankelijk van de leeftijd en de ontwikkeling van de kinderen.

We herleidden de rol van de leerkracht geenszins tot deze van een coach. Ook uit de omschrijving van de methodiek bleek dus dat we expliciet afstand namen van het contextueel en constructivistisch rekenen. In het hoofdstukje over het kleuteronderwijs stuurde ik aan op een meer intentionele en leerkrachtgestuurde aanpak van het leren tellen e.a., maar in het aparte ontwikkelingsplan voor het kleuteronderwijs pleitte de koepel dan weer voor beperkte aandacht en voor ontwikkelend leren à la CEGO, enkel kunnen tellen tot 5 e.d. Zo berispte een inspecteur een van onze juffen omdat ze een klassikale les leren tellen gaf; dat was volgens inspecteur Creyf in strijd met het ontwikkelingsplan.

In het hoofdstuk met didactische wenken namen we dus expliciet afstand van de eenzijdige constructivistische visie. In het leerplan deden we ons best om verwijzingen naar het constructivisme te vermijden – en dit in tegenstelling tot de leerplannen van het GO! en OVSG die b.v. uitpakten met de stelling de leerling construeert zijn eigen kennis. We besteedden ook een aparte paragraaf aan het klassieke principe van het stapsgewijs opbouwen van kennis en vaardigheden (= progressief compliceren, voldoende automatiseren en memoriseren) - dit mede om cognitieve overbelasting van het werkgeheugen te voorkomen. Parate kennis en stapsgewijze aanpak ontlasten op twee wijzen het werkgeheugen: de leerling wordt met niet te veel nieuwe zaken tegelijk geconfronteerd en kan ook vlot zijn voorkennis uit zijn langetermijngeheugen halen. De steun vanwege de leerkracht werd er omschreven in termen van ‘uitleggen en demonstreren, helpen en leergesprekken opzetten.’ We wezen ook op het belang van formules voor de oppervlakteberekening e.d.

Bij de opstelling van het leerplan-1998 stuurde ik dus aan op een herwaardering van onze sterke wiskundetraditie en op het terugbrengen van de nodige rust in het wiskundeonderwijs. Ik kon de invloed van de constructivistische visie van de mede-opstellers in sterke mate counteren en belangrijke leerdoelen die sneuvelden in de eindtermen, werden terug opgenomen. Het leerplan kon op heel veel instemming rekenen van de praktijkmensen en de inspectie, en ook vanuit de koepel en vanuit Nederland ( zie punt 6). Het leerplan-1998 bracht een herwaardering van onze sterke wiskundetraditie en bracht de nodige rust in het wiskundeonderwijs. Het leerplan met precieze leerdoelen per leerjaar, vergemakkelijkte ook de opstelling van wiskundemethodes.

De professoren Dirk De Bock, Lieven Verschaffel & Wim Van Dooren stelden in een publicatie van 2019 dat de meeste leerkrachten heel tevreden waren over ons leerplan. Ze voegden er in aan toe: Ook uit vergelijkend internationaal onderzoek (o.a. TIMSS 2009 & 2015) bleek de zeer hoge kwaliteit van het Vlaamse wiskundeonderwijs. Vlaanderen deed het ook beter dan Nederland. Ze wezen ook op de geslaagde strijd tegen de ‘Moderne wiskunde’ vanaf 1973, en achteraf ook tegen het constructivistisch wiskundeonderwijs à la Freudenthalinstituut - waarmee ze zelf wel sympathiseerden (in: Searching for Alternatives for New Math in Belgian Primary Schools. (In: International Reflections on the Netherlands Didactics of Mathematics, Marja van den Heuvel-Panhuizen Editor, 2019). (Zie ook bijlage 1 hier over).

4 Strijd tegen de ZILL-visie-2015

Ikzelf en de meeste praktijkmensen dachten na het leerplan-1998 dat de wiskundestrijd voor lange tijd gestreden was. Maar in 2015 werd ik totaal onverwacht geconfronteerd met de controversiële ZILL-visie in Zin in wiskunde .Opnieuw werd uitgepakt met constructivistisch en contextueel rekenen. En opnieuw bond ik de onmiddellijk strijd aan: zie bijdragen in Onderwijskrant nr. 176 op www.onderwijskrant.be. Ik was achteraf gelukkig dat de ZILL-verantwoordelijken er niet langer meer (durfden) mee uitpakken. Vermoedelijk zijn er ook weinig praktijkmensen die de bijdrage van 2015 gelezen hebben. ZILL propageerde ook totaliteitsonderwijs waarbij leerkrachten ook zoveel mogelijk de wiskunde moesten integreren in totaalprojecten. De meeste leerkrachten legden destijds het door het leerplan-1936 opgedrongen totaliteitsonderwijs à la Decroly en co grotendeels naast zich neer.

Maar zoals al gezegd dook er in 2015 totaal onverwacht een nieuwe belager van ons wiskundeonderwijs op. De ZILL-leerplanarchitecten katholiek onderwijs beweerden plots dat het wiskundeonderwijs mechanistisch was, eenzijdig gericht “op de reproductie van feitenkennis en rekenprocedures”, en door de leerlingen niet als zinvol werd ervaren. Als verlossing uit de ellende pakten ze uit met hun zogezegd nieuwe ZILL-methodiek, de constructivistische en contextuele aanpak die in landen waar die werd ingevoerd veelal weer werd afgevoerd. Uit de ervaring in het Nederlands onderwijs hadden de ZILL-verantwoordelijken inmiddels ook al moeten weten dat de door het Freudenthal Instituut gepropageerde constructivistische en contextuele aanpak er niet enkel enorm veel kritiek kreeg, maar in de praktijk ook moeilijk toepasbaar bleek en ook weer grotendeels verdwenen is in de klaspraktijk.

ZILL opteerde voor contextueel en ontdekkend/constructivistisch wiskundeonderwijs à la Freudenthal Instituut, precies dezelfde extreme visie die we vanaf 1987 bestreden. Het verwonderde ons des te meer omdat er de voorbije 20 jaar enorm veel kritiek werd geformuleerd op zo’n aan pak in Nederland, VS, Canada … en in het leerplan voor de eerste graad s.o. (katholiek onderwijs)..

ZILL koos in 2015 plots voor contextueel en ontdekkend/constructivistisch en contextueel rekenen à la Freudenthal Instituut. Dit verwonderde ons des te meer omdat er de voorbije 20 jaar enorm veel kritiek geformuleerd werd op zo’n aanpak in het leerplan voor de eerste graad s.o. en omdat dit soort rekenonderwijs in Nederland, VS en Canada… al op de terugtocht en/of al opgedoekt was. Ik voelde me in 2015 dus geroepen om tegen die stemmingmakerij tegen het wiskundeonderwijs en tegen het pleidooi voor contextueel, ontdekkend en constructivistisch rekenen kordaat te reageren (zie b.v. Onderwijskrant nr. 176 op www.onderwijskrant.be). Met enig succes blijkbaar. Sindsdien zwijgen de ZILL-verantwoordelijken in alle talen over hun wiskundevisie van 2015. Ik hoop en vermoed dat de directies en leerkrachten die nefaste visie niet vlug in de praktijk zullen toepassen. Velen zijn blijkbaar ook niet op de hoogte van die visietekst.

Die ZILL-visie op wiskundeonderwijs sluit wel aan op de onderwijsvisie die de ZILL-verant-woordelijken propageren. ZILL opteerde voor een perspectiefwissel met als slogan; ‘Zin in leren, zin in leven’. Dit wervend etiket suggereert dat de leerlingen het leren tot nog toe te weinig zinvol ervoeren en dat de leerlingen ook te weinig zelf naar de zin van het leren en van het leven mochten zoeken. DE ZILL-visie slaat op zaken als ontwikkelend, actief, intrinsiek, leerlinggestuurd, constructivistisch en werkelijkheidsnabij leren, totaliteitsonderwijs, de leerlingen zelf leren zoeken naar de zin van het leren en het leven, geloof in groeikracht/zelfontplooiing van de leerling, leefschool i.p.v. leerschool, … Dit zijn allemaal beladen termen die behoren tot het jargon van het naïeve progressivisme van de reformpedagogiek.

5 Grote tevredenheid over leerplan & methodes, lof vanuit koepel & uit Nederland

Ik denk dat ons leerplan-1998 nog altijd een modelleerplan was en dan ook nog kan dienen als een belangrijke leidraad bij de opstelling van nieuwe eindtermen en leerplannen De overgrote meerderheid van de praktijkmensen waren vrij tevreden. Ook in inspectierapporten kreeg het wiskundeonderwijs de beste score. Na het verschijnen van het leerplan vingen we opvallend veel positieve geluiden op – ook vanwege Jan Saveyn en Marleen Duerloo van de (katholieke) onderwijskoepel, en ook vanuit Nederland. De ZILL-leerplanarchitecten katholiek onderwijs beweerden echter in 2015 plots dat ons wiskundeonderwijs mechanistisch was, eenzijdig gericht “op de reproductie van feitenkennis en rekenprocedures”, en door de leerlingen zelfs niet als zinvol werd ervaren.

Lof in 2007/2010 vanuit onderwijskoepel

Jan Saveyn, hoofdbegeleider van het (katholiek) lager onderwijs, prees in 2007 eens te meer ons leerplan wiskunde. Hij loofde het feit dat er in dit leerplan gekozen werd voor een evenwicht in het inhoudelijk aanbod en voor eclectisme inzake werkvormen. Saveyn schreef verder: In de realiteit van onderwijsleerprocessen en volgens het leerplan is er vooral veel complementariteit van verschillende soorten doelen en verschillende soorten leren. Het praktijkverhaal is er een van ‘en…en’ en niet van ‘of… of’. Dat is ook zo voor de methodische aanpak. Die is én sturend én soms ook zelfsturend, , … altijd afhankelijk van het doelenpakket dat op een bepaald moment aan de orde is, en van de wijze waarop de leerlingen leren.

Op 29 september 2010 was er een tussentijdse evaluatiedag in de Guimardstraat met een honderdtal begeleiders en lerarenopleiders. We lazen in het verslag van Marleen Duerloo, toenmalig pedagogisch begeleider wiskunde veel lof voor het leerplan. We lazen o.a. : De leerplanopstellers gingen er destijds van uit dat Vlaanderen al lang beschikte over een eigen stevige traditie op het vlak van het wiskundeonderwijs. Waar het nu op aankwam was – zoals Raf Feys al in 1987 bepleitte – de goede elementen uit deze sterke traditie, die door de moderne wiskunde onder het stof waren geraakt – te herwaarderen, en aan te vullen met enkele waardevolle nieuwe elementen. Enzovoort. We begrepen dan ook niet dat de (nieuwe) verantwoordelijken voor het ZILL-leerplan plots in 2015 in het al vermelde Zin in wiskunde beweerden dat ons wiskundeonderwijs eenzijdig gericht is “op de reproductie van feitenkennis en rekenprocedures. Niets is minder waar.

Ook vanuit Nederland kwam er de voorbije decennia opvallend veel lof voor ons leerplan-1998 en mijn vakdidactische publicaties. De Nederlandse prof. Jan van de Craats stelde in 2008 in de media dat men zich bij het herstel van de schade die de Freudenthal-wiskunde in Nederland aanrichtte, het best kon inspireren op het Vlaamse leerplan, de Vlaamse leerboeken voor het basisonderwijs en mijn vakdidactische publicaties. In een brief schreef van de Craats mij in februari 2008: Ik ben blij dat Vlaanderen nog niet ten prooi is gevallen aan de Nederlandse wiskunde-ellende van het zgn. ‘realistisch wiskundeonderwijs’ à la Freudenthal Instituut,ongetwijfeld mede dankzij uw inspanningen! Op de BON-website schreef hij: Er is een makkelijke oplossing uit het rekendrama. Maak gebruik van de (bewezen) traditionele didactiek. Gebruik boekjes uit Vlaanderen. De klassieke didactiek is voor leerkrachten ook veel eenvoudiger dan de didactiek van het realistisch rekenen. In de krant De Telegraaf van 12.02. 2008 lazen we zelfs dat Nederland het best het Vlaamse leerplan en de Vlaamse methodes gewoon kon overnemen. Ik werkte de voorbije decennia samen met de Noorderburen in hun strijd tegen de constructivistische & contextuele wiskunde van het Freudenthal Instituut dat in Nederland een ware wiskunde-oorlog uitlokte. Ik waarschuwde de Nederlanders in 1993 in de bijdrage ‘Laat het rekenen tot honderd niet in het honderd lopen ‘ (in: tijdschrift voor Nascholing en Onderzoek van het Reken/Wiskundeonderwijs, 11, 1993, nr. 3, p. 3-19.) Adri Treffers en andere Freudenthalers waren niet opgezet met mijn kritiek.

6 Karikaturen van klassiek wiskundeonderwijs en eenzijdige alternatieven

De nu weeral verdwenen formalistische Moderne wiskunde werd 50 jaar geleden voorgesteld als de wiskunde van de toekomst, van de derde industriële revolutie. Ter legitimering werd beweerd dat het klassieke wiskundeonderwijs “op lemen voeten” berustte, de fundamenten miste van de formeel-logische verzamelingen en relatieleer en de logisch-deductieve opbouw. Zonder het begrip ‘vereniging’ (de logische of) konden leerlingen zogezegd niet echt begrijpen wat een optelling als 5+3 betekent, zonder de verzamelingenleer besefte een leerling niet dat een wiskundige hoek beperkt is tot de verzameling van de punten en het hoekpunt, zonder inzicht in relaties kon een kind niet begrijpen dat een evenwijdige ook evenwijdig is aan zichzelf (een reflexieve relatie voorgesteld met een lus), … Er kwam niet enkel een dosis formalistische bovenbouw-wiskunde/grammatica bij, maar de klassieke inhouden werden tegelijk in het keurslijf van de verzamelingen- en relatieleer gestopt, en beproefde didactische aanpakken kwamen in de verdrukking. Daarom waarschuwden we al op de VLOR-startdag van 1 september 1973 voor de invoering van de moderne wiskunde in het lager onderwijs..

Met de invoering van de Moderne wiskunde in het lager onderwijs in 1975 geraakte het klassieke rekenonderwijs ondergewaardeerd en ondergesneeuwd. Met de publicatie Moderne wiskunde: een vlag op een modderschuit(Onderwijskrant nr. 24) voerde ik in april 1982 een grootscheepse en geslaagde campagne tegen de moderne wiskunde en kon op heel veel instemming rekenen Ik opteerde niet enkel voor het weer opdoeken van de formalistische ‘moderne wiskunde, maar vooral voor een herwaardering van het klassieke rekenen, meten en metend rekenen en meetkundeonderwijs. Na een strijd van 20 jaar werd de ‘moderne wiskunde’ weer afgevoerd binnen de eindtermen en leerplannen die vanaf 1993 werden opgesteld.

Al vanaf de late jaren 1980 moest ik eens te meer afrekenen met een nieuwe aanval op het wiskundeonderwijs. Dit keer vanuit een andere extreme benadering – nog meer bedreigend dan de ‘moderne wiskunde’ en een totaal tegengestelde visie. Het Nederlandse Freudenthal Instituut pakte uit met een karikatuur van het klassieke wiskundeonderwijs, dat als louter mechanistisch en oppervlakkig werd bestempeld. In 1977 liet prof. Hans Freudenthal zich bij de uitreiking van een eredoctoraat aan de Universiteit van Amsterdam al vernietigend uit over ons rekenonderwijs. Hij stelde: Het klassiek rekenen vertrekt van een verkeerde mensvisie, van de leerling als een doelmatig te programmeren computer. Het onderwijs dat wij ontwikkelen is door een ander mensbeeld en een andere kijk op wiskunde bepaald – niet als leerstof, maar als menselijke activiteit, aan de realiteit gelieerd, nabij de kinderen, de mens als lerende & onderzoekende.

Het F.I. lanceerde zijn constructivistisch en contextueel alternatief – onder de misleidende naam realistisch wiskundeonderwijs – alsof het klassiek wiskundeonderwijs heel weinig met de realiteit te maken had. Prof. Hans Freudenthal hoopte zelfs dat wiskunde als vak binnen afzienbare tijd opgenomen zou worden binnen wereldoriëntatie, een soort totaliteitsonderwijs dus. Merkwaardig genoeg pleit de ZILL-leerplanvisie er ook voor om wiskunde zoveel mogelijk op te nemen binnen totaliteitsonderwijs. Tegelijk werd geopteerd voor de methodiek van het zelfontdekkend leren; de leerling moest zelf zijn wiskundige kennis construeren en dit vanuit contextopgaven, vertrekkende van opgaven als b.v. zoek uit hoeveel auto’s er kunnen parkeren op een parking van 50 op 80 meter.

Het Freudenthal Instituut relativeerde/bekritiseerde in sterke mate wiskunde als cultuurproduct en vakdiscipline, en dus ook het klassieke rekenonderwijs, het klassieke metend rekenen en het klassieke meetkundeonderwijs. Vlot en gestandaardiseerd berekenen was plots niet belangrijk meer, de leerlingen mochten hun eigen berekenwijze voor bv. 82-27 construeren – met gebruik van de getallenlijn. Ook het klassieke cijferrekenen werd verlaten; de klassieke cijferdeling b.v. werd vervangen door langdradig herhaald aftrekken, een soort complex hoofdrekenen. De term metend rekenen werd vervangen door de engere term meten. Veel zaken uit het klassieke metend rekenen werden geschrapt, alle formules voor de berekening van de omtrek, oppervlakte en inhoud, en grotendeels ook de herleidingen met maateenheden en klassieke vraagstukken.

Ook prof. Lieven Verschaffel toonde veel sympathie voor het constructivistisch en contextueel wiskundeonderwijs van het Freudenthal Instituut, en ook hij liet zich al te vaak laatdunkend uit over het klassiek wiskundeonderwijs. Bij de opstelling van de eindtermen pleitte hij samen met de Gentse prof. Gilberte Schuyten voor een verschuiving van knowing mathematics naar doing mathematics. Het Nederlands KNAW-rapport waar Verschaffel aan meewerkte pakte in 2009 uit met een karikatuur.(KNAW-Commissie rekenonderwijs op de basisschool). Verschaffel en Co schreven: Onder traditioneel rekenen verstaat men rekenen waarbij de leraar in de klas één efficiënte standaardmethode om een bepaald type opgaven op te lossen aanreikt (in concreto: het standaardalgoritme) en uitlegt en door alle leerlingen intens laat inoefenen tot ze het beheersen. Centraal staat steeds het individueel en op papier inoefenen van de door de leraar gedemonstreerde methode en uitgelegde standaardaanpak voor de betreffende opgave. Er is geen plaats voor gevarieerde en flexibele strategiegebruik. (NvdR: in het rekenonderwijs is er altijd naast het gestandaardiseerd rekenen aandacht geweest voor flexibel hoofdrekenen.)

Verschaffel en co: Het klassieke rekenen gaat er bovendien van uit dat als gevolg van dat oefenen ook het begrip van - en inzicht in de geleerde kennis en vaardigheden vanzelf ontstaan. Voor concreet materiaal en contexten is er slechts een beperkte plaats.  (Feys: in klassiek rekenonderwijs brengt men ook inzicht in bewerkingen aan, maar dit betekent niet dat je eindeloos autobusje met opstappen en afstappen moet spelen om duidelijk te maken wat optellen en aftrekken betekent. Het Freudenthal Instituut vond gestandaardiseerde en korte berekenwijzen niet belangrijk, maar dreef de leerlingen minstens evenzeer in de richting van een specifieke, maar tegelijk al te lange berekenwijze. Het F.I. vertrok veelal van een context als ik moet met de auto 72 km afleggen, ik heb er al 25 afgelegd, hoeveel moet ik er nog afleggen. Door de context en het gebruik van sprongen op de getallenlijn worden de leerlingen dan toch in de richting van 1 bepaalde berekeningswijze geleid: 25+5=30; 30+10=40; 40+10=50; 50+10=60; 60+10=70; 70+2= 72 en dan moeten ze nog achteraf de tussenuitkomsten optellen. Dit is een al te omslachtige berekeningswijze en laat ook geen automatisering toe.

Verschaffel en Co: Pas als het niveau van vlotte beheersing van de standaardprocedure is bereikt, is er in het klassiek wiskundeonderwijs ruimte voor contexten, namelijk als toepassingen achteraf van het geleerde concept. Verschaffel en co bekritiseerden ook het klassiek vraagstukkenonderwijs. Een terechte reactie op deze laatste uitspraak van een directeur luidde: Alsof leerlingen die klassiek rekenonderwijs krijgen, zonder focus op ‘realistisch rekenen’ à la Freudenthal Instituut, ‘nooit’ contextsommen aangeboden krijgen en later ‘nooit’ in staat zijn uit te rekenen hoeveel euro je moet betalen als je drie bananen koopt bij de groenteboer. (Eva Naaijkens, Schoolleider Turingschool).

Ik begreep ook geenszins dat Verschaffel en co het klassieke vraagstukkenonderwijs denigrerend beschreven als louter en blind toepassen van standaardprocedures. Heel wat klassieke vraagstukken vereisten veel denkwerk, zoveel zelfs dat heel veel leerlingen op vandaag ze niet meer zouden kunnen oplossen. De leerlingen konden vroeger zelfs veel beter de moeilijke vraagstukken oplossen dan op vandaag het geval is. Het alternatief ‘realistisch’ vraagstukkenonderwijs dat ook Verschaffel propageerde kan hoogstens een aanvulling betekenen, maar geenszins een vervanging van het klassiek vraagstukkenonderwijs. Het drong ook weinig door.

Bijlage 1 Leuvense profs over onze geslaagde strijd tegen constructivistisch en contextueel wiskundeonderwijs vanaf 1987

De professoren Dirk De Bock, Lieven Verschaffel & Wim Van Dooren beschreven in 2019 uitvoerig onze strijd tegen de moderne wiskunde en tegen constructivistisch wiskundeonderwijs in de bijdrage: Searching for Alternatives for New Math in Belgian Primary Schools. (In: International Reflections on the Netherlands Didactics of Mathematics, Marja van den Heuvel-Panhuizen Editor, 2019).

Verschaffel en co beschrijven vooreerst mijn langdurige strijd tegen de moderne wiskunde en daarna mijn kritiek op constructivistisch wiskundeonderwijs à la F.I. Niettegenstaande zij zelf sympathiseren met het constructivisme van het Nederlandse Freudenthal Instituut, besteden ze wel de nodige aandacht aan mijn strijd tegen dit soort constructivisme. Sinds het eind van de jaren tachtig werden in Vlaanderen ook kritische vragen gesteld over de waarde en de haalbaarheid van ‘realistisch wiskundeonderwijs’ à al Freudenthal Instituut. Merkwaardig en opvallend genoeg was het weer dezelfde Raf Feys die een centrale rol in deze kritiek speelde – net zoals in de strijd dus tegen de Moderne wiskunde’

Feys' kritiek richtte zich onder meer op het gebrek aan voldoende geleide constructie van kennis, op de buitensporige vrijheid die de leerlingen krijgen om hun eigen oplossingsmethoden te construeren, op de beperkte aandacht voor het proces van decontextualisering, op de verwaarlozing van de mechanistische aspecten van het rekenen zoals het gestandaardiseerd berekenen en het automatiseren van de tafels van vermenigvuldiging, op de onvoldoende erkenning van de waarde van wiskunde als cultureel product en vakdiscipline (Feys, 1998).

Hoewel niet alle wiskundeleraren in Vlaanderen het eens waren met de kritiek van Feys, heeft zijn kritisch oordeel bijgedragen tot het feit dat met name extremere elementen en aspecten van de ‘realistische’ visie niet zijn geïmplementeerd. Ten tweede en complementair aan het eerste element, bleek uit vergelijkend internationaal onderzoek uit die periode de zeer hoge kwaliteit van het Vlaamse wiskundeonderwijs. Vlaanderen deed het zelfs beter dan Nederland, niet alleen op grote schaal in internationale studies zoals TIMSS (ook in TIMSS-1995) , maar ook in enkele kleinschalige vergelijkende onderzoeken waarbij alleen Nederland en Vlaanderen betrokken waren (zie bijvoorbeeld Luyten, 2000; Torbeyns et al., 2000). Deze resultaten verhoogden niet alleen het zelfvertrouwen van Vlaamse wiskundeleraren/onderwijzers, en versterkten ook hun aarzeling om een radicalere versie van het Nederlandse ‘realistische’ model van het Freudenthal Instituut te implementeren. Prof. Verschaffel en co schreven dus in 2018 nog vrij lovend over het Vlaams wiskundeonderwijs en over de tevredenheid van de leerkrachten. Ze stelden ook terecht dat ik de intocht van het realistisch (constructivistisch) had voorkomen. (Over de plotse gevoelige daling voor TIMSS-2019 schreef ik een bijdrage in vorige Onderwijskrant.)

Bijlage 2 ZILL-wiskunde-visie 2015: pleidooi voor contextueel & ontdekkend rekenen

Vernietigende ZILL-kritiek wiskundeonderwijs

Het verbaasde ons ten zeerste dat er in het tijdschrift school & visie van eind 2015 plots een vernietigende bijdrage over ons wiskundeonderwijs verscheen - samen met een pleidooi voor een totaal ander soort wiskunde. In de bijdrage Zin in wiskunde wordt beweerd dat ons huidig wiskundeonderwijs niet echt zinvol is en enkel weerzin opwekt bij de leerlingen. Zin in wiskunde poneerde met grote stelligheid: “Wiskunde is niet uit onze wereld van vandaag en morgen weg te denken. Toch vragen veel leerlingen zich af waarom wiskunde nodig is. Ze vinden wiskunde moeilijk en zien het verband niet tussen het dagelijks leven en de saaie stof. De weerzin tegen wiskunde zou kunnen liggen aan de huidige focus op reproductie van feitenkennis en procedures, het ‘niet doen’ dus... ZILL opteert dus evenals andere voorstanders van constructivistische wiskunde voor doing mathematics.

ZILL propageerde vervolgens als verlossend alternatief : ontwikkelend onderwijs en een constructivistische, onderzoeksgerichte & contextuele aanpak. Hierbij mag de leerling binnen een zgn. krachtige leeromgeving zoveel mogelijk zelf zijn eigen kennis construeren, b.v. voor het berekenen van 82-27 uitdokteren. Er werd dus afstand genomen De klassieke methodische aanpakken die gepropageerd werden in het leerplan-1998 deugen volgens ZILL blijkbaar niet meer; er wordt met geen woord over gerept.

‘Zin in wiskunde’ serveerde ook enkele voorbeelden van zogezegd “conceptuele probleemopgaven binnen contextueel leren’, in een krachtige leeromgeving waarin leerlingen zich onderzoeksgericht opstellen.” We vermelden er een paar; ze zijn volgens mij ver gezocht.

(1) Leerlingen moeten het verschil zoeken tussen 15 en 8. Een groepje leerlingen begint met een tekening te maken. Andere leerlingen gebruiken tastbaar materiaal om de bewerking voor te stellen. Een andere mogelijkheid is dat ze de volledige vergelijking 15 - 8 = ? als een verhaal concreet proberen voor te stellen. Een vierde groepje maakt gebruik van een getallenlijn, waarop ze de getallen en de uitkomst voorstellen.

(2) Een onderzoeksgerichte aanpak veronderstelt een grondige oriëntatie op het probleem. In plaats van te focussen op de gegevens leren ze zelf actief vragen te formuleren. Het vertrekken van foto’s helpt bij het formuleren van wiskundige onderzoeksvragen. Leerlingen beschrijven eerst wat ze zien, formuleren daarna vragen en zoeken ten slotte naar een oplossing.

Een experiment van juf Katrien in het derde leerjaar: onderzoeksvragen die kinderen formuleren omtrent plaatje met vliegende zwanen* Hoe snel kan een zwaan vliegen?* Hoeveel zwanen zie je? *Hoeveel zwanen zijn er ?*Kan dit?” Het verlossend alternatief van ZILL is vaag omschreven en de illustraties die ZILL eraan toevoegt komen over als tijdverspilling, gekunsteld en weinig uitdagend. De leerlingen steken er weinig van op. En wat heeft b.v. de vraag ‘hoe snel kan een zwaan vliegen’ te maken met een plaatje met vliegende zwanen en met wiskunde?

De ZILL-leerplanarchitecten wilden ook de klassieke leerplannen en methodes/handboeken afschaffen. Ze schreven: “Te vaak fungeren handboeken wiskunde als houvast, zonder dat de professionele autonomie van de leerkracht wordt benut om zelf zinvolle en haalbare keuzes te maken. Leerlingen die oeverloos werkblaadjes invullen, het neemt veel tijd in beslag.” De wiskunde-opgaven in de methodes zijn in elk geval van een hoger niveau dan de gekunstelde illustraties in “Zin in wiskunde’ We begrijpen ook niet dat het alles zelf laten uitzoeken door de leerkracht tot een tijdsbesparing kan leiden. Integendeel! Wiskundemethodes en leerplannen met leerstofpunten per leerjaar blijven heel belangrijk.