Pleidooi voor vlugger werken met conventionele maateenheden voor lengte e.d. i.p.v. natuurlijke maten in lager onderwijs

1.Probleemstelling: te lang en eenzijdig werken met natuurlijke maateenheden

In het leerplan wiskunde van 1958 was het meten met meter en centimeter al voorzien in het eerste leerjaar. In de nieuwe leerplannen komt centimeter pas in het tweede leerjaar en decimeter en millimeter soms zelfs in het vierde; men werkt nu ook langer met natuurlijke maateenheden. Waar komt dit lange tijd alleen werken met natuurlijke maten vandaan - en is het wel verantwoord?

In de geschiedenis van het 'meten’ werd uiteraard eerst lange tijd uitsluitend met natuurlijke maten gewerkt, en pas later met gestandaardiseerde maat[1]eenheden en meetinstrumenten zoals we die in het dagelijks leven gebruiken. In de klascontext wordt deze historische genese van het meten ook vaak gereconstrueerd. Er wordt dan lange tijd met 'natuurlijke maateenheden' gewerkt, en de introductie van conventionele maateenheden wordt uitgesteld. De leerlingen moeten ook zoveel mogelijk zelfstandig de opeenvolgende historische stappen reconstrueren.

Voor het onderwijs in 'metend rekenen' werd/wordt veelal uitgegaan van het zgn. 'genetische principe' in de traditie van Dewey, Decroly, Piaget, constructivisme … Vanuit de stelling dat een leerling het ontstaan van de wiskundekennis moet kunnen (re-) construeren, beklemtonen ook de medewerkers van het Freudenthal Instituut en de voorstanders van constructivistische wiskunde o.i. al te sterk het belang van het langdurig werken met natuurlijke maateenheden voor lengte, oppervlakte, inhoud ... en het uitstellen van het werken met gestandaardiseerde maateenheden.

A. Peter-Koops (2000) verzuchtte in dit verband: Een overbeklemtonen van het meten met niet-standaardmaateenheden levert voor kinderen tijdverlies en moeilijkheden op die lange tijd zijn onderschat. Op basis van onderzoek pleitte hij voor het vlugger werken met conventionele maateenheden als cm e.d. Vanuit onze eigen ervaring onderschrijven we de relativering van het werken met natuurlijke maateenheden en van het psychologisch-genetische reconstructieprincipe. De culturele of formele 'maten' zijn voor kinderen soms natuurlijker/bekender dan bepaalde natuurlijke maateenheden die steeds minder gebruikt worden.

2 Reconstructie van historisch-genetische ontwikkeling en reconstructieprincipe

Het genetische principe is dubbel: *Onder het historisch-genetische'principe wordt een didactiek verstaan waarbij de historische ontwikkeling van het vak in een versneld tempo doorlopen wordt.

*Bij het psychologisch-genetische principe dient het leerproces zo ingericht te worden dat rekening gehouden wordt met de ontwikkelingsfasen van het lerende kind, en die zouden dan corresponderen met de historische fasen en met de inventieve reconstructie door het kind (Schubring, 1978).

Het lange tijd werken met natuurlijke maateenheden en het werken met een strakke leerlijn zijn gebaseerd op de idee van een structuurgenetische ontwikkeling van de kinderlijke psyche volgens universele fasen en in een vaste opeenvolging. Hierbij werd ervan uitgegaan dat de ontwikkeling van de menselijke kennis een afspiegeling of reproductie zou zijn van de historische ontwikkeling van de mensheid. Men kan in de genoemde genetische principes Haeckels biogenetische wet - de ontogenese als herhaling van de fylogenese - herkennen, die een psychologische vertaling kende in de zgn. 'recapitulatietheorie' (Stanley Hall, John Dewey e.d.).

Schubring  beschreef in 1978 hoe talloze vooraanstaande psychologen, reformpedagogen en wiskundigen zich door de tijden heen op een of andere wijze hebben uitgesproken voor een initiatie in de wiskunde, die op een natuurlijke wijze, genetisch in beide betekenissen, vorm diende te krijgen. In overeenstemming met de nauwe relatie tussen de individueel-cognitieve (ontogenese) en de cultureel-historische ontwikkeling (fylogenese) moeten de kinderen bij de opbouw van bv. hun meetbegrip de verschillende ontwikkelingsfasen naar het gestandaardiseerde meten in de loop van de geschiedenis van de mensheid zelf doorlopen en zich zelf opnieuw eigen maken. (Hetzelfde geldt voor de meetkunde, enz.)

Ook John Dewey was een vurige aanhanger van de Darwiniaans geïnspireerde recapitulatietheorie. Ook hij stelde dat de opgroeiende mens de geschiedenis moet recapituleren en dus allerhande archaïsche stadia moet doorlopen - in een versneld tempo uiteraard. Indien deze fasen in de cultuureel-historische ontwikkeling en de individuele ontwikkeling niet voldoende gerespecteerd en eigen gemaakt worden, dan kan volgens de genetische theorie de opbouw van het meetbegrip e.d. in sterke mate belemmerd worden. Ook voor het vak wereld[1]oriëntatie stelden Dewey, Decroly ... een historische reconstructie van de productie van kledij e.d. voor: van wol tot kleed b.v. - incluis het leren primitief weven door de kinderen.

Ook voor het meetkunde-onderwijs stelde Jean Piaget voor om het genetisch principe toe te passen. Zo mocht de klassieke, euclidische meetkunde met haar lijnen, hoeken en figuren pas laat aan bod komen; men moest bv. eerst topologische begrippen (nabijheid, open en gesloten enz.) laten verkennen.

In België was de bekende medicus en reform[1]pedagoog Ovide Decroly (1871-1932) een groot voorstander van het 'genetische principe' binnen wiskunde, wereldoriëntatie, ... (Liefland, 1959). Hij dweepte met de recapitulatietheorie en voor meten en metend rekenen propageerde hij het lange tijd werken met natuurlijke maateenheden en het uitstellen van het meer formele meten. De invloed van Decroly op het leerplan van 1936 zorgde ervoor dat in de tekst expliciet werd vermeld: Men zal eerst voldoende natuurlijke maten gebruiken' (Leerplan Ministerie van Openbaar Onderwijs, 1936). Dit principe was overigens heel populair binnen de reformpedagogiek die het 'natuurlijke' leren propageerde en het meer formele en schoolse leren wou uitstellen. Men vindt die idee ook terug bij Rousseau.

De recapitulatietheorie had niet enkel invloed op de leerlijn voor 'metend rekenen' (bv. lange tijd met natuurlijke maten werken, de ene fase in de meetleerlijn laten voortvloeien uit de voorafgaande), maar ook op de gepropageerde werkvormen. Het zgn. constructivisme en het reconstructieprincipe beklemtonen ook nu nog - in navolging van Piaget en Dewey - dat de eigen inbreng en constructie van het kind heel belangrijk zijn. Uitdrukkingen als learning by doing en wiskunde is wiskunde doen deden hun intrede. Constructivisten vertrekken hierbij van de idee dat ook onze voorouders het zelf hebben moeten ontdekken en zelf hun kennis moesten construeren. (Ze vertellen er wel niet bij hoeveel eeuwen het geduurd heeft alvorens de hedendaagse wiskunde als cultuurproduct ontwikkeld werd.)

Een medewerker van het Freudenthal Instituut Ed de Moor  in 1999 schreef dat ook prof. Hans Freudenthal een aanhanger was van het genetisch principe. . Ook medewerkers van het Freudenthal Instituut hechten te veel waarde aan het lange tijd laten meten met natuurlijke maateenheden voor lengte, oppervlakte … Zelf erkennen we ook wel de waarde van het eventjes werken met natuurlijke maateenheden, maar tegelijk relativeren we het gebruik ervan. We raden dan ook aan om vlugger al te werken met conventionele maateenheden als cm e.d.

3 Kritiek op historisch-genetische aanpak en de recapitulatietheorie

Er is al lang discussie over de toepassing van het 'genetische principe' en de recapitulatietheorie in het onderwijzen van wiskunde, wereldoriëntatie e.d. Afgezien van het feit dat het genetische principe allerlei variaties kent, bleek het ook een onvolledig en gebrekkig instrument voor de leerplanontwikkeling. Er wordt bv. voorbijgegaan aan de relatie met - en de invloed van de huidige cultuur waarin het kind opgroeit en aan de invloed van het onderwijsleerproces.

Prof. Victor d'Espallier schreef destijds al: De overgang van de natuurlijke maten naar de conventionele, enz. moet volgens Decroly door de kinderen zelf ontdekt worden. Deze psychologische aanpassing aan het kind kan o.i. echter maar binnen zeer beperkte grenzen geschieden. Ook de cultuur en de maatschappij stellen hun eisen; ze kunnen niet op het kind wachten (De Block e.a., 1974, deel 1, p. 367).

De voorbije jaren kreeg de toepassing van de recapitulatietheorie op 'meten en metend rekenen' veel kritiek te verduren, vooral waar het gaat om grootheden zoals lengte, gewicht, inhoud … waarbij de meeste kinderen al in een vroeg stadium kennismaken met standaardmaten en standaardmeetinstrumenten. Thuis bv. zien ze meten met lintmeter, vouwmeter, lat … en ze horen spreken over meter Onderwijskrant 183 (oktober-november-december 2017) en centimeter en over hoeveel kilometer het nog is naar oma. Ze verwerven al vroeg een beeld van een literpak melk, hun gewicht wordt in kilo’s uitgedrukt ... Ze horen over vijf minuten of over een kwartier gaan we eten'… Een aantal gestandaardiseerde maateenheden zijn a.h.w. natuurlijker dan de meeste zgn. natuurlijke maateenheden die  voorouders hanteerden.

Nogal wat leerkrachten en didactici vinden dat voor het meten van lengte en gewicht veel vroeger gebruik gemaakt moet worden van deze voorkennis. Lange tijd en enkel met natuurlijke maten werken is volgens hen dan ook onnatuurlijk. In de volgende paragrafen bespreken we de kritiek op de dogmatische genetische leerlijn voor metend rekenen en op de recapitulatietheorie met de eraan verbonden informele en zelfontdekkende aanpak

4 Relativering van werken met natuurlijke lengtematen en informele aanpak

In de bijdrage Lengtemeting op de basisschool - actuele ontwikkelingen en internationaal onderzoek wijdt A. Peter-Koop (2002) een aantal interessante beschouwingen aan deze thematiek. De conclusies bij een aantal onderzoeken zijn de volgende:

* De kinderen komen in hun leefwereld veel vroeger in contact met conventionele maten en meetinstrumenten dan de aanhangers van het genetisch principe beweren. De culturele of formele 'maten' zijn soms natuurlijker dan natuurlijke maateenheden die steeds minder gebruikt worden. Veel jonge kinderen gaan soms al opmerkelijk goed met standaardmaten (bv. cm en m) en conventionele meetinstrumenten (bv. meter, liniaal) om. De langdradige en omstandige indirecte vergelijkingsmethoden met willekeurig gekozen maten zijn voor deze kinderen eerder zinloos en ook moeilijker. Een niet-kritisch gebruik van niet-conventionele maateenheden kan zelfs tot ontwikkeling van misvattingen leiden.

* Het werken met natuurlijke lengtematen en informele meetsituaties draagt minder bij tot het ontdekken van de basisstructuur van elk meetsysteem dan algemeen verwacht wordt. Vooral via gerichte verkenning van conventionele maten als centimeter en meter - gekoppeld aan de verkenning en het gebruik van de liniaal - ervaren de leerlingen de drieledige structuur van het echte meetsysteem.

° Er moet een van tijd en ruimte onafhankelijke maateenheid gevonden worden. Hierbij moet ook verwarring tussen de maten voor lengte en oppervlakte/volume voorkomen worden. Bij het meten van lengte met stroken of blokjes treedt vlugger verwarring op.

° De maateenheid moet herhaald toegepast en bijgeteld worden als het te meten object groter is dan de eenheid. Het inzicht in schaalverdeling en resultatief tellen van de grootte is hierbij heel belangrijk. De eenheid moet systematisch onderverdeeld worden wanneer er geen natuurlijk maatgetal bestaat, dat het te meten object volledig kan omvatten.

*Uit bepaalde onderzoeken blijkt verder dat een te grote nadruk op het meten met niet-standaardmaten problemen voor veel leerlingen oplevert die tot nu onderschat werden. In een Amerikaans handboek beklemtoonden P.Wilson en A. Osborne in 1988 het volgende: Bij het pure aftellen met niet-conventionele, willekeurig gekozen lengtematen worden noch de betekenis van de nul, noch het herhaalde aanleggen van lijnstukken, die de eenheden respectievelijk de ondereenheden representeren, in het meetproces duidelijk. Dit bemoeilijkt een werkelijk begrip van de onderliggende structuren van het meetproces. De auteurs pleiten terecht voor het vroeger overschakelen op conventionele maten en meetinstrumenten.

*De kinderen zijn binnen metend rekenen te veel gedachteloos en informeel met meten bezig en dat levert te weinig resultaten op. P. Bragg en L. Outhred hebben aan het eind van de jaren 1990 in een breed opgezette studie de kennis van Australische basisschoolleerlingen over lengte[1]maten onderzocht. De leerlingen pasten bij de toetsopgaven twee verschillende strategieën toe: enerzijds het tellen met informele maateenheden, markeringen of afstanden, anderzijds het gebruik van een liniaal en het aflezen van de schaalindeling.

Beide aanpakken verwijzen volgens de wetenschappers naar een eerder verworven instrumenteel en oppervlakkig begrip van het meetproces en laten geen dwingende conclusies toe dat er een diepergaand begrip van het hieraan ten grondslag liggende complexe (drieledige) meetsysteem bestaat.

Eerder ontstaat de indruk dat voor veel kinderen meten hetzelfde is als tellen van 'papieren voeten', lucifers of strepen. Deze louter rekenkundige interpretatie van grootheden, die de samenhang met de aan de meting ten grondslag liggende eenheden verwaarloost, kan de opbouw van een realistische voorstelling van grootheden en van een begripsvolle afbakening van lengte, oppervlakte en inhoud blijvend belemmeren (Peter-Koops, o.c.) Bragg en Outhred stellen voor meer tijd te besteden aan de gerichte verkenning van de conventionele maten en meetinstrumenten en wat minder aan het informele meten.

Waar zit de klaarblijkelijke attractiviteit van conventionele meetinstrumenten voor de kinderen in? Volgens Peter-Koop  vast en zeker in een of andere eerdere buitenschoolse ervaring. Zo zijn de meeste kinderen bijvoorbeeld al meerdere malen en in verschillende situaties gemeten en gewogen, hebben ze zakgeld gekregen (en uitgegeven) en weten ze precies wat de aanvangstijden en duur van hun lievelingsprogramma's op de televisie zijn. Zij zien hun ouders en anderen koken en iets repareren, en hebben het nut van conventionele meetinstrumenten op allerlei manieren direct of indirect ervaren.

6 Besluiten

Bij lengtemeting is een aanpak die gebaseerd is op de voorschoolse en buitenschoolse ervaringen waarover de meeste kinderen beschikken, aangewezen. Kinderen maken geen echt onderscheid tussen natuurlijke maten en standaardmaten. Ook een standaardmaat is voor hen een natuurlijke maat. Meetlat, lint en liniaal zijn heel natuurlijke meetinstrumenten die ze al vroeg kennen.

Een quasi gelijktijdig gebruik van conventionele en willekeurige maten, waarbij ook de voorkennis over het omgaan met gebruikelijke maten en meetinstrumenten betrokken wordt, lijkt dus aangewezen. We denken hier bv. aan de bespreking met de kinderen van de schaalverdelingen op de hun bekende meetinstrumenten en het tegelijk laten ontwerpen van dergelijke schaalverdelingen met onderverdelingen bij willekeurig gekozen maateenheden; dit laatste om de betekenis en de structuur van de gebruikelijke meetinstrumenten en maten nog beter te kunnen doorzien en begrijpen. Dit betekent ook dat de leerkracht van een eerste leerjaar al over cm mag praten. De verkenning van de meetlat biedt overigens een goede ondersteuning van de getallenkennis (bv. ook resultatief tellen). Een leerling moet nog niet weten dat 1 m = 100 cm om al met cm als lengtemaat en de meetlat te kunnen werken.