Inhoud blog
  • Download dit boek als PDF
  • vervolgt:
  • §36. Het universum is geen verzameling
  • §35. De taal van het universum
  • §34. De trouw als goddelijke scheppingskracht
  • §33. De trouw aan het gebod fundeert de werkelijkheid
  • §32. Het ‘hogere’ en het ‘lagere’
  • figuur 31-2
  • figuur 31:
  • §31. Wat zijn namen?
  • §30. Wat zijn ‘de dingen’?
  • §29. Het doel dat de middelen verzamelt
  • §28. Het oneindige binnen het eindige brengen
  • §27. Het ontelbare als gids voor het telbare
  • Tweede Hoofdstuk: De trouw als ultieme ‘bewerking’: §26. De grenzen van het telbare
  • §25. Het onmogelijke realiseren
  • §24. De uiterlijke en de innerlijke wereld
  • §23. Wiskunde en ‘werkelijkheid’
  • §22. God, mens, object en natuur
  • VERVOLG VAN § 21
  • FIGUUR BIJ DE PARAGRAAF 21
  • §21. Alle dingen door het subjectieve omvat
  • §20. Optellen en construeren, eten en verteren
  • §19. De telling en het talstelsel
  • §18. De optelling en het getal
  • §17. Het onbepaalde en het bepaalde
  • §16. Nummers en getallen
  • §15. Getallen en namen
  • §14. Zijn en verzameld worden
  • §13. Verzamelen
  • §12. Eigenschap en gelijkenis
  • §11. Eigenschappen en essenties
  • §10. De relatie ‘getal’
  • §9. Het tellen als ontmaskering
  • §8. Het waarnemen van waarnemingen
  • §7. De ladder naar boven
  • §6. Zintuiglijke en extra-zintuiglijke waarnemingen
  • §5. Wetten
  • §4. Voorspellingen
  • §3. De waarneming van kwaliteiten
  • §2. De kwaliteit van de hoeveelheid
  • Eerste Hoofdstuk: Het telbare en het ontelbare. §1. Hoeveelheid: eenheid en verdeeldheid
  • FIGUUR BIJ § 22
  • Titel en Inhoudstafel
    MATHEMATICACHRISTIANA
    OVER WISKUNDE EN TELEOLOGIE
    28-05-2006
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§31. Wat zijn namen?

    §31. Wat zijn namen?

    In ons eerste, voorlopige schema in Figuur 30 hebben we om heuristische redenen de zaken in feite vereenvoudigd voorgesteld. We onderscheidden daar de geest en de natuur, en we situeerden als het ware telkens de ziel en het lichaam van zowel subjecten als objecten in deze twee gebieden, waarbij de naam dan datgene zou zijn wat de beide polen met elkaar zou ‘verbinden’. Maar wanneer we een nauwkeurigere analyse maken, moeten we enkele belangrijke correcties aanbrengen. Het is om te beginnen namelijk zo, dat ook de namen van de dingen, zowel als de namen van de subjecten, objecten zijn met zowel een ‘ziel’ als een ‘lichaam’. Want de namen, welke de ‘lichamen’ en de ‘zielen’ van de dingen (en van de subjecten) onderling verbinden, zouden deze verbinding nooit kunnen tot stand brengen indien zij zelf niet de beide polen (‘ziel’ en ‘lichaam’) in zich hadden. Zodoende moeten wij veronderstellen dat er naast de geschetste wereld van de dingen (met hun geest en hun natuur) nog een andere wereld bestaat, namelijk de wereld van de namen, welke eveneens een ‘ziel’ en een ‘lichaam’ hebben.

    In het schema in Figuur 30  hebben we telkens de objecten (als lichamen) onderscheiden van de ‘ziel van de objecten’. Wat moeten wij daaronder verstaan?

    Het object, of het lichaam van het object, is het ding zoals het in de zintuiglijke wereld verschijnt, en waarvan wij de eigenschappen waarnemen. De ziel van het object daarentegen, is de zin, de functie of de betekenis van het object, welke ook het eigenlijke wezen van dat object is: een auto is wezenlijk een rijtuig, ook als die er anders uitziet dan de meeste auto’s; een ding dat er uitziet als een auto maar dat niet rijdt doch bijvoorbeeld graan maalt, is geen auto doch een molen; een ding is daarom datgene waarvoor het dient, met andere woorden: zijn betekenis voor ons (zie: Bauwens 2003a).

    Maar ook de naam is een object: het is hetzij een met inkt geschreven iets op papier, of een specifiek reëel geluid. Tegelijk heeft de naam ook een ‘ziel’ en, net zoals de ‘objectziel’ welke naar de functie van het object verwijst, verwijst de ‘naamziel’  naar de functie of de betekenis van de naam. Die naambetekenis is ook het wezen van de naam, want een naam zonder betekenis is slechts een krabbel of een geruis zonder meer.

    De naam is door het subject aan het object gegeven. Dit wil zeggen dat het te danken is aan een actieve ingreep van het subject in de orde der dingen, dat de dingen namen dragen. De subjecten hebben namelijk, met een specifieke bedoeling, bepaalde objecten geïdentificeerd met bepaalde andere objecten, zijnde ‘geluiden’ of ‘krabbeltjes’, waardoor die objecten (die geluiden en die krabbeltjes) aldus op grond van conventie ‘vasthangen’ aan andere objecten. Wat die bedoeling is, ligt voor de hand: de objecten van de tweede soort (geluiden, krabbeltjes) kunnen makkelijk te voorschijn geroepen worden, wat met de objecten van de eerste soort niet altijd het geval is. Door slechts bepaalde geluiden te produceren, kunnen als het ware de objecten waarmee deze geluiden geassocieerd werden, in het geheugen opgeroepen worden.

    xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />xml:namespace prefix = w ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:word" />
    Op grond hiervan kunnen we nu een nieuw schema maken waarin deze eerste correctie kan opgenomen worden. Wat betreft de objecten en hun namen, krijgen wij aldus het schema zoals afgebeeld in Figuur 31.


    Links in dat schema zien wij twee objecten afgebeeld, namelijk het ding zelf (genaamd ‘object 1’) en een bepaald geluid (eventueel een ‘krabbeltje’) (genaamd ‘object 2’). Dat ding kan bijvoorbeeld een bal zijn, en het geluid datgene wat men hoort bij het uitspreken van het woord ‘bal’.

    Nu komt het subject in actie: mensen spreken onder elkaar af dat zij het ‘materieding’ ‘bal’ associëren met het ‘geluidsding’ ‘bal’. Deze afspraak resulteert in wat uitgebeeld wordt rechts in het schema in Figuur 31, namelijk een nieuw ding, zijnde een constructie van de beide objecten, die een specifieke associatie is of, anders gezegd, een naamgeving. In gevolge deze constructie, zal object 2 voortaan beschouwd worden als de naam van object 1. Men moet dus goed voor ogen houden dat in de materiële wereld geen onderscheid bestaat tussen de beide objecten, terwijl in de wereld die bestaat uit menselijke constructies, dit onderscheid wel bestaat: er werd namelijk een bijzondere orde of hiërarchie in de dingen aangebracht, waarbij het ene ding voortaan geboekstaafd wordt als de naam van het andere ding.

    In welke wereld bestaat ‘object 3’ nu? Om dat in te zien, moeten we het schema uit Figuur 30 opnieuw integreren in het schema in Figuur 31, en dat doen we in Figuur 31-2.

    Opnieuw om redenen van heuristische aard, hebben we in Figuur 31-2 niet onmiddellijk de geest en de natuur onderscheiden; wel hebben we daar gesproken over de wereld zoals die buiten het taalbewustzijn bestaat, en deze zoals die binnen het bewustzijn van het talige subject bestaat. We merken daarbij op dat de wereld buiten het taalbewustzijn nog steeds een subjectieve wereld is - hij wordt namelijk nog steeds subjectief zintuiglijk gekleurd. Indien men volledig abstractie zou maken van het subject, dan zou men niet langer onderscheiden objecten krijgen maar wel een eenheid, welke echter niet binnen het subjectieve bewustzijn zou liggen en dus onbewust zou zijn, als het ware een droom of een illusie.

    Merk ook nog het volgende op. Naarmate het bewustzijn toeneemt (en hier is een toename te zien van zintuiglijk naar talig bewustzijn), verschijnt de wereld steeds meer als één geheel: het bewustzijn verenigt. Object 1 kan voortaan niet meer waargenomen worden los van object 2 en omgekeerd. Als wij bijvoorbeeld het geluid “bal” horen, dan horen we welhaast eerst de naam, en pas nadien kunnen we er mits nader onderzoek achter komen dat een naam ook een ‘dingaspect’ bevat, een geluid. We werken als het ware binnen een wereld waarvan we de ‘materiële’ fundamenten niet langer bevroeden, net zoals iemand auto rijdt zonder nog precies te weten hoe hij dat doet, laat staan dat hij nog zou weten hoe een auto als zodanig kàn rijden. Vanzelfsprekend worden deze fundamenten allerminst overbodig; de zaak is alleen dat zij, als verworvenheden, (alvast tijdelijk) uit ons bewustzijn mogen verdwijnen.

    Anderzijds: het steeds meer als één geheel verschijnen van de wereld is allerminst een illusie: naarmate wij immers beter de eenheid der dingen zien, kunnen wij de (zin van de) wereld ook beter begrijpen, en benaderen wij steeds meer het wezen ervan.
    >


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§30. Wat zijn ‘de dingen’?

    §30. Wat zijn ‘de dingen’?



    In ons schema ( Figuur 30) onderscheiden we vooreerst God, de Schepper van alle (menselijke) subjecten en van alle dingen. De (menselijke) subjecten danken hun bestaan aan de goddelijke erkenning of de Liefde. In de zondeval hebben de (menselijke) subjecten zich van God afgescheiden: ze waanden zich soeverein, maar moesten inzien dat die souvereiniteit onwerkelijk of onwaarachtig was, zodat het noodzakelijk was, teneinde bewust te kunnen bestaan, om zich op te splitsen in een subjectieve en een objectieve pool. Die polen moeten zich willens nillens nochtans opnieuw verenigen, wat gedeeltelijk gebeurt in het leven: elk subject is deels ziel, deels lichaam, en participeert daardoor zowel aan de geest als aan de natuur.

    Helaas bevat elk subject niet àlle natuur en àlle geest, want het subject is niet God: heel wat geest en heel wat natuur vallen buiten de subjecten.

    Wat betreft de natuur die buiten het subject valt: de mens wordt zich ervan bewust doordat hij er door ‘gestoord’ wordt: hij ervaart ‘eigenschappen’ en veronderstelt zodoende dat er vele ‘dingen’ zijn.

    Wat betreft de geest die buiten het subject valt: de subjecten ervaren zich als onderling gescheiden en kunnen zich niet ten volle verenigen, ze kunnen daarentegen elkaar zelfs kwaad berokkenen doordat ze deel hebben aan dezelfde natuur. Ze wedijveren vaak onderling zoals vele goden die elk afzonderlijk de ene god willen zijn, wat meebrengt dat ze elkaar op de ene of andere manier willen elimineren.

    De Verlosser toont ons dat wij pas terug kunnen keren naar de gelukzaligheid door aan elkander ons anders-zijn - dit wil zeggen: het feit dat we van God en van elkaar afgesplitst zijn - te vergeven, en dat kan vanzelfsprekend niet gebeuren door een oneindige verzamelactiviteit, want er bestaat steeds onenigheid, aangezien allen de ultieme verzamelaar willen zijn en niemand wil verzameld (of: geobjectiveerd) worden. Het anders-zijn, het afgesplitst-zijn of met nog andere woorden: het zondig-zijn aan elkaar vergeven, kan pas gebeuren door aan elkander vertrouwen te schenken: wij moeten handelen alsof de anderen onszelf zijn, teneinde onszelf met de anderen te kunnen verenigen.

    Nu is het precies in dit schema dat wij de concepten ‘verzameling’, ‘ding’, ‘verzamelaar’ - kortom: de wiskundige begrippen moeten plaatsen. En laten we met dit doel voor ogen eerst eens wijzen op de betekenis en het belang van de naamgeving. Tenslotte is deze zowel in dit schema als in de wiskunde essentieel: verzamelen is benoemen, verzamelaars maken namen en hopen op die manier de natuur één te maken; naamgeving is erkenning en is tevens verbinding van natuur met geest: “de naam is de klank die de ziel met de wereld verbindt” (Bauwens 2003a en 1975).
    >


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§29. Het doel dat de middelen verzamelt

    §29. Het doel dat de middelen verzamelt


    Een verzameling wordt bepaald door een (subjectief) bepaalde eigenschap. Een eigenschap wordt bepaald door een gerichte aandacht. Een gerichte aandacht wordt bepaald door een specifiek doel. Een verzameling wordt dus bepaald in functie van een doel. Een specifieke verzameling is aldus een functie van een specifiek(e) doel(stelling). Nog anders uitgedrukt: specifieke doelen verwezenlijken zich middels, onder meer, verzamelingen.

    Verzamelen is daarom het in het leven roepen van specifieke dingen welke beantwoorden aan specifieke eigenschappen, welke op hun beurt beantwoorden aan, enerzijds, specifieke aspecten van de werkelijkheid en, anderzijds, een specifieke aandacht welke door specifieke doelstellingen gecreëerd wordt.

    De doelstellingen waarvan hier sprake, worden op hun beurt door twee polen bepaald: enerzijds is er de buitenwereld die het subject er toe dwingt de werkelijkheid op een welbepaalde manier te benaderen, en die zich manifesteert in ‘natuurwetten’, en met deze pool correspondeert een aan het subject natuurlijk opgelegd betekenisschema waarin bijvoorbeeld de natuurlijke behoeften kaderen; anderzijds is er ook de subjectieve keuzevrijheid, met andere woorden: de blijvende mogelijkheid van het subject om, onafhankelijk van de natuurlijke betekenisschemata, voor de geestelijke betekeniswereld te kiezen (zie ook §6). Omdat de pool van de natuurlijke betekeniswereld ontoereikend is voor de menselijke strevingen, wordt de mens verplicht om de geestelijke wereld van betekenis en zin aan te boren en om aldus, naast het rijk van de noodzakelijkheden, zich ook op het terrein van het rijk van de mogelijkheden te begeven.

    Het is nu eigen aan het rijk van de mogelijkheden dat dit een duaal karakter heeft, en dit is feitelijk op grond van het bestaan van het ‘sublieme’. De twee mogelijkheden die zich hier aandienen kunnen worden benoemd als goed en kwaad, éénheid en verdeeldheid, succes en mislukking, voltooiing en verval. Het rijk der mogelijkheden bezit met andere woorden vanuit zichzelf een objectieve richting, net zoals de tijd een objectieve richting heeft. Precies deze bijzondere objectiviteit - met andere woorden: het werkelijk bestaan van het hoogste goed - maakt dat de geestelijke betekeniswereld een absoluut karakter heeft. Er zijn vele onheilen, maar er is slechts één heil; er zijn vele ‘verboden’ (zonden), doch is er slechts één ‘gebod’ (van de Liefde); er zijn vele dwaalwegen, maar langs slechts één pad kan men thuiskomen in volkomenheid en in éénheid. Kortom: het ultieme doel ligt als het ware objectief vast, en bepaalt zodoende al onze (goede) doelstellingen, onze (juiste) aandacht, ons ganse betekenisveld en ook onze betekenisgeving welke ons toelaat om die ‘eigenschappen’ af te zonderen die precies die ‘dingen’ in de werkelijkheid naar binnen brengen die nodig zijn voor de verwerkelijking van de ultieme doelstelling.

    Elders hebben we reeds verduidelijkt hoe het wezen van de dingen samenvalt met hun functie en, correcter nog, met hun zin, en omdat er een ultieme zin bestaat, kunnen de dingen ook op een absolute manier bepaald worden, en zijn ze slechts waar ze bestaan àls de verwerkelijkers van die ultieme zin (zie: Bauwens 2003a). Alle dingen zijn aldus als het ware verbonden met het ‘einde der tijden’, en alleen deze band zorgt ervoor dat zij ‘in leven’ gehouden worden. De dingen vormen aldus wezenlijk ‘bouwstenen’ van een alles omvattend gebouw, of beter nog: ‘ledematen’ van een groot lichaam - en aan dat lichaam danken ze hun leven, hun functie en hun zin. Zij kunnen elk afzonderlijk beschouwd worden, maar nooit ten volle: om het wezen van bijvoorbeeld een hand te begrijpen, is het absoluut noodzakelijk dat men het ganse lichaam kent. De tang wordt pas begrepen mits men weet dat zij bij de hand hoort, en zo hoort de hand bij het lichaam, zo hoort het lichaam bij de persoon, zo hoort elke persoon bij God. Zonder de wijnstok sterven de ranken, zonder het ‘einde der tijden’ verdwijnt met hun zin ook het leven uit alle dingen.

    Het verzamelen is een activiteit die uitgaat van het leven zelf, dat zich wil verwerkelijken en dat, verzamelend, dingen in het leven roept waarvan het wezen of de zin ligt in de voltooiing van de wereld. Verzamelen is benoemen, is plaatsen onder een noemer of naam die ingepast kan worden in de geestelijke betekeniswereld om op die manier het zich manifesteren van de Liefde ten dienste te staan.

    Nu is het precies de afstand tussen de voleindiging van de wereld en de onvoltooidheid van de mens die zo’n proces of een groei noodzakelijk maakt: indien de mens zich niet had afgescheurd van God, dan was hij niet terecht gekomen in zijn toestand van vermeende souvereiniteit en éénheid waaraan de waarachtigheid van het Zijn ontbreekt. Het natuurlijke leven, gericht op de hereniging van stof en geest, had zich dan niet hoeven te ontwikkelen, en ook de onvoltooide wereld zoals wij die heden kennen, was er niet geweest. De gerichtheid op het voltooide ware ononderscheiden geweest van de voltooiing zelf, zonder enige kloof, en de mens zou in het vermogen verkeren om onmiddellijk te zien, dit wil zeggen: zonder bemiddeling van objecten welke slechts schaduwen zijn van de waarheid, door hem zelf gecreëerd in gevolge zijn onvermogen om ‘rechtstreeks’ te zien. De zonde heeft die afstand geschapen, en zij maakt de menselijke groei noodzakelijk, waardoor hij het karakter van een boetedoening kreeg - althans tot bij de komst van de Verlosser. Voortaan wordt de mens van alle schuld ontheven mits hij maar het genadeschenkende gebod van de Liefde onderhoudt. En precies de Liefde is het die het zich voltrekken van de eerst onmogelijk geachte vereniging realiseert, met name in het vertrouwen. Over die bijzondere kracht - of genade - van de trouw, moeten wij het nu eerst eens hebben, want alleen zij kan éénmaken waar voordien slechts de hopeloze pogingen van het verzamelen aan de orde waren. Het mysterie van het vertrouwen berust namelijk in de paradox van de erkenning van de ander àls de ander, waardoor die ander tegelijk volmaakt bemind kan worden, en zich in die liefde de éénwording voltrekt die voordien als absoluut onmogelijk gold. Op dit vlak wordt het verzamelen een activiteit welke verloopt als gestuurd door het absolute; een activiteit die eigenlijk reeds voltooid is en die wij nog slechts hoeven na te bootsen teneinde op die manier bewust te kunnen groeien naar de absolute waarheid toe. Het verzamelen krijgt zo het karakter van een zoektocht, een pelgrimage of een gunst die erin bestaat dat ons bestaan wordt omgebogen tot een gegidste ontdekkingstocht naar de heerlijkheid van dat- of Diegene die wij in vele eeuwen hebben moeten derven. Het verzamelen of het benoemen is niet langer het wanhopige groeperen van stukjes tot grotere gehelen en torentjes en hoge torens tot een toren van Babel die dan gedoemd is om vroeg of laat weer in te storten - neen: de eeuw van Sysiphus is voorgoed voorbij, en het geven van duizend namen kan voortaan het eren zijn van God de Schepper. De gedaanteverwisseling van de wereld waarvan ook in de Handelingen der Apostelen gewag gemaakt wordt, is zo reëel als de groei van het inzicht dat de wereld in feite de hemel is. En vanzelfsprekend volgt dat inzicht op het handelen en op de verdienste, net zoals het inzicht in de schoonheid van de wiskunde niet voorafgaat aan de grote inspanningen die men eerst dient te leveren om de eigen deelachtigheid aan die schoonheid te verdienen. Een zaak verandert waar onze houding daar tegenover verandert, en zo verenigen wij ons met het object door de intrinsieke waarde daarvan te erkennen: eens we zo ver gekomen zijn, verdwijnen de objecten; zij lichten op als ‘delen’ van hét Wezen, als de liefhebbende Beminde zelf.
    >


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§28. Het oneindige binnen het eindige brengen

    §28. Het oneindige binnen het eindige brengen


    Als we dus een verzameling definiëren op grond van een eigenschap, dan moeten we in de eerste plaats in rekening brengen dat de eigenschap welke die verzameling zal definiëren niet ‘objectief’ geacht wordt, met andere woorden: dat zij gerelateerd wordt aan het subject, of tenminste toch aan een door het subject vastgesteld criterium. Als wij bijvoorbeeld alle rode dingen verzamelen, dan verstaan wij daar vanzelfsprekend onder: die dingen welke, bepaalde omstandigheden in acht genomen, door ons als zijnde rood waargenomen worden. De genoemde omstandigheden zijn bijvoorbeeld dat men die dingen dient te bekijken in het daglicht en dat de waarnemer niet kleurenblind mag zijn. Gebeurlijk, zoals ook in dit geval, kunnen de ‘ideale’ waarnemer en waarneming (dit zijn de waarnemer en de waarneming die aan de vastgestelde criteria voldoen) vervangen worden door een instrumentele meting waarbij bijvoorbeeld de golflengte van het licht wordt gemeten welke dan vergeleken wordt met vastgestelde criteria die specifieke meetresultaten identificeren met specifieke namen van kleuren, wat eigenlijk de ijking genoemd wordt. Aan zo’n instrumentele meting waarvan de resultaten dus mede bepaald worden door de ijking, wordt een objectief karakter toegeschreven maar in feite blijft zij uiteindelijk gedragen worden door specifieke conventies die heel praktische, subjectieve doeleinden dienen. De aan die vorm van meting toegeschreven ‘objectiviteit’ slaat dus enkel en alleen op haar capaciteit om gebeurlijk misleidende omstandigheden uit te sluiten, zoals kleurenblindheid en een gebrek aan ‘goed’ licht; zij slaat echter geenszins op het feit als zou deze meting abstractie maken van het subject zelf! Als wij dan spreken over de eigenschap ‘rood’, is het daarom zeer aangewezen om voor ogen te houden dat het steeds om een aan het subject gerelateerde eigenschap gaat. Om dit andermaal met andere woorden uit te drukken: het feit dat iedereen onder vastgestelde omstandigheden iets als rood waarneemt, betekent slechts dat abstractie gemaakt wordt van de specificiteit van de waarneming van een specifiek subject, maar geenszins van haar subjectiviteit als zodanig.

    In gevolge deze vaststelling moet men dus ook aanvaarden dat het op grond van specifieke eigenschappen bepalen van specifieke dingen, onvermijdelijk met zich brengt dat ook de aldus bepaalde dingen deze subjectieve component (namelijk die van de waarnemer) zullen blijven bevatten. Met andere woorden: de ‘dingen’ die wij verzamelen, worden mede door de activiteit van het verzamelen tot ‘dingen’ bepaald, wat betekent dat die dingen evenmin los van ons bestaan als de eigenschappen op grond waarvan we hun bestaan geloven te mogen afleiden.

    Onze verzameling bestaat dus niet onafhankelijk van ons, ergens in een objectieve buitenwereld, zoals bijvoorbeeld zeven koeien bestaan binnen de omheiningen van een weide. Wel hopen wij op een zo groot mogelijke overeenkomst tussen wat wij onderscheiden en wat ‘objectief’ onderscheiden is. Anderzijds blijft deze hoop noodzakelijkerwijze ijdel, alleen al omdat het ‘objectieve’ niet bestaat. Dit wil zeggen - nogmaals - dat de dingen pas door onze verzamelende activiteit in het bestaan hun intrede doen. Als wij de eigenschap A bepalen, dan kunnen wij op grond van deze eigenschap ‘dingen’ onderscheiden, dit wil zeggen: dingen afzonderen uit de werkelijkheid en ze op grond van die eigenschap als ‘gehelen’ of ‘entiteiten’ beschouwen. Vervolgens kunnen wij vaststellen dat wij deze ‘entiteiten’ zodoende (reeds) verzameld hebben.

    Verzamelen is dus niets anders dan het zich richten op specifieke eigenschappen: het is het sturen van de aandacht in een welbepaalde richting. En het is deze richting van onze aandacht die bepaalt voor welke eigenschappen wij ons gevoelig opstellen. Op haar beurt wordt onze aandacht gericht door het specifieke doel dat wij voor ogen hebben in functie van ons handelen. Zo bepaalt het (gestelde) doel uiteindelijk onze verzamelende activiteit en de verzameling als zodanig. Het doel situeert zich in de toekomst, het dient nog gerealiseerd te worden, het is nog geen werkelijkheid, het is nog slechts mogelijkheid. Een reële verzameling wordt aldus bepaald door een (per definitie nog niet geactualiseerde) mogelijkheid, en dus door een soort van irrealiteit. Dat wil zeggen: van zodra wij een verzameling als reëel beschouwen, worden wij tevens verplicht om ook het mogelijke als een realiteit te beschouwen. Niet alleen het concept ‘verzameling’, maar ook alle andere wiskundige begrippen brengen aldus het mogelijke, en dus het doelgerichte, in onze werkelijkheid naar binnen. Verzamelen is het betrekken van de toekomst in het heden, het betrekken van het heden op de toekomst; het is het actualiseren van wat nog niet geschied is; verzamelen is het verenigen van toekomstige met tegenwoordige tijd, het is het samenballen van de uitgestrektheid van de tijd in het actuele heden, waardoor uiteindelijk ook het ‘einde der tijden’ binnen ons bereik valt, wat betekent dat de tijdelijkheid van de dingen overwonnen wordt.

    >


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§27. Het ontelbare als gids voor het telbare

    §27. Het ontelbare als gids voor het telbare


    Laten we nogmaals de eerste beginselen van de verzamelingsleer bekijken, en concentreren we ons op de stelling dat verzamelingen gevormd worden op grond van eigenschappen of, zoals Cantor met zijn naïef comprehensieprincipe stelt:

    “als A(x) een eigenschap is, dan is {x|A(x)} een verzameling. (…) Het gebruik van de abstractie-term {x|A(x)} wordt bepaald door de regel:y behoort tot{x|A(x)}alssA(y)” (de Swart, 1993-1994).

    Stel nu dat we als eigenschap nemen: “het verzameld worden”. Merken we vooreerst op dat deze eigenschap niet vreemder aandoet dan deze die Russell voorstelt met het oog op het aan het licht brengen van de naar hem genoemde paradox, namelijk de eigenschap “geen element te zijn van zichzelf”.

    Bij de toepassing van het naïef comprehensieprincipe op de eigenschap van het “verzameld worden” moet dan volgen: “als het feit dat x verzameld wordt een eigenschap uitdrukt van x (genoteerd: V(x)), dan is {x|V(x)} een verzameling”. We zien nu dat de verzameling {x|V(x)} de verzameling is van alle x die tot ongeacht welke verzameling behoren. En nu dienen zich twee mogelijkheden aan.

    Ofwel nemen we aan dat alle x behoren tot een verzameling, reeds omwille van het feit dat ze benoemd worden en dus geobjectiveerd zijn. In dat geval zullen we een paradox krijgen, bijvoorbeeld de paradox van de barbier, want dan achten we het ook mogelijk dat subjecten, omwille van het feit dat ze een naam dragen, verzameld kunnen worden.

    Ofwel nemen we aan dat alleen al die x die objecten zijn verzameld kunnen worden, en dan betekent de verzameling genoteerd als {x|V(x)} niets anders dan de verzameling van alle objecten.

    Nu moeten we, omwille van de daaruit volgende paradox, de eerste mogelijkheid schrappen en kiezen voor de tweede mogelijkheid: we nemen dus aan dat {x|V(x)} de verzameling is van alle objecten. Bestuderen we nu de betekenis hiervan nader.

    Om te beginnen moeten we een cruciaal onderscheid maken tussen twee soorten van objecten: de zogenaamd ‘reële’ objecten en de wiskundige objecten.

    Wat betreft de ‘reële’ objecten moeten we dan in de eerste plaats opmerken dat nieuwe objecten eindeloos kunnen bijgemaakt worden, en dat bijgevolg een verzameling welke alle objecten zou bevatten, nooit gerealiseerd kan worden. De verzameling van alle reële objecten kan dus niet bestaan omdat zij volledig onbepaald is. Een tweede reden waarom zij niet kan bestaan, is de volgende. Indien er een verzameling bestond die alle objecten zou bevatten - en dit op grond van de aangeduide eigenschap: “x wordt verzameld” - dan zouden alle x deze eigenschap hebben, en dan zou het hier ook niet langer meer gaan om een eigenschap van objecten, precies omdat er geen objecten zouden zijn zonder die eigenschap: de eigenschap “x wordt verzameld” zou dan geen eigenschap uitdrukken maar de essentie van de objecten zelf.

    Wat betreft de wiskundige objecten dan, zullen we ons hier gemakshalve beperken tot de (natuurlijke) getallen. Herinneren we ons nu eerst dat we gevonden hebben dat getallen ingebeelde objecten zijn, meer bepaald: variaties op slechts één naam: de verzameling van de (natuurlijke) getallen is “een verzameling van één enkele naam die echter zichzelf als het ware kan opsplitsen in een oneindige veelheid van namen”, waarbij “alleen die getalsnamen of kortweg getallen welke in relatie gebracht worden met werkelijke namen, een naamswaarde hebben, terwijl al de andere (nog) geen namen zijn, doch slechts mogelijke resultanten van een telmechanisme dat pas in werking treedt wanneer er werkelijke namen geteld worden” (zie §15). We moeten dus besluiten dat hier precies hetzelfde geldt als in het geval waar x slaat op ‘reële’ objecten: de verzameling van alle (natuurlijke) getallen x bevat slechts één element, namelijk de rij van de natuurlijke getallen, anders genaamd: het telmechanisme. Beschouwen we daarentegen de afzonderlijke getallen zelf als objecten, dan belanden we in precies hetzelfde schuitje als in het geval van de ‘reële’ objecten, en moeten we besluiten dat deze ‘verzameling’ wegens zijn onvoltooibaarheid geen verzameling is.

    Uit dit alles volgt nu heel duidelijk dat de eigenschap “wordt verzameld” geen eigenschap is, maar wel de essentie van de dingen, zowel van de ‘reële’ objecten als van de wiskundige entiteiten. We mogen dus besluiten dat de essentie van de dingen deze is dat ze verzameld worden, of dat ze tot een verzameling behoren. Met andere woorden: de dingen danken hun ding-zijn aan het feit dat ze verzameld worden. Nog anders uitgedrukt: het verzamelen van de dingen gaat vooraf aan het zijn van de dingen. Er zijn dus geen dingen zonder verzamelaars. In een meer metafysische vorm hebben we er immers al op gewezen dat er geen uiterlijke wereld is zonder de innerlijke wereld van betekeniskaders en van betekenisgeving.

    Hiermee hebben we onze basisintuïtie opnieuw bevestigd: het verzamelen (van de dingen) gaat vooraf aan het bestaan van de dingen. Dat wiskundigen het gebruik van de term ‘objecten’ in Cantors definitie problematiseren, is dus heel terecht (zie §11), maar onze gedachtengang maakt het moeilijk om het met hen eens te zijn dat objecten “in ruime mate aanwezig zijn”, meer bepaald in de vorm van wiskundige objecten, omdat die, zoals aangetoond, hetzelfde lot delen als de ‘reële’ objecten - althans binnen onze visie op de verzamelingsleer.

    Dat het verzamelen van dingen voorafgaat aan het bestaan van die dingen, maakt het naïef comprehensieprincipe tot een circulus vitiosus, want de definitie van een verzameling wordt een concept gebruikt (namelijk: ‘object’) dat pas door de activiteit van het verzamelen reëel wordt. We worden aldus gedwongen tot een meer fenomenologische benadering, in die zin dat wij het primaat moeten toekennen aan het verschijnsel ‘eigenschap’ veeleer dan aan het ‘object’, wat hier op neerkomt dat wij moeten erkennen dat het ‘ding’ ondenkbaar is zonder het subject, want dat is precies wat het concept ‘eigenschap’ uitdrukt, en dit wordt nog duidelijker bij het gebruik van het synoniem ‘kenmerk’: ‘kenmerken’ zijn zaken die wij, waarnemers, kennend merken, en het zijn pas eerst de specifieke kenmerken die ons doen besluiten tot het bestaan van een of ander ‘ding’ dat door het subject verondersteld wordt zich achter deze kenmerken te verschuilen als hun (vooralsnog verscholen en eigenlijk onkenbare) veroorzaker.

    Hoe moeten we een verzameling dan definiëren? Het is duidelijk dat we het concept ‘object’ in onze definitie moeten mijden. We doen een eerste poging:

    “Als A een eigenschap is, dan kunnen we op grond van deze eigenschap een poging ondernemen tot het bepalen van onbepaaldheden waarmee deze eigenschap blijkbaar verbonden is”.

    Nemen we bijvoorbeeld de eigenschap “in beweging zijn”, dan kunnen we pogen om ‘datgene’ (het ‘onbepaalde’) wat ‘in beweging is’, te bepalen. We kijken rondom ons, en we zien bijvoorbeeld een vlucht regenwulpen voorbijvliegen. Nu kunnen we die vlucht regenwulpen bepalen als iets dat de gezochte eigenschap heeft, maar we zouden ook elke vogel afzonderlijk kunnen beschouwen als iets dat beweegt, of ook nog: de poten, de rompen, de koppen en de vleugels afzonderlijk, of zelfs de cellen van die vogels, de atomen waaruit ze bestaan, en zo verder. Op die manier zouden we dan al het onbepaalde moeten beschouwen als in beweging zijnde, en we zouden tenslotte moeten besluiten dat deze eigenschap geen eigenschap is, want ze komt aan alle dingen toe, maar wel de essentie zelf van de dingen. En het is duidelijk dat we op deze manier geen aarde aan de dijk brengen, en dat er iets aan onze definitie schort. Wat schort er aan onze definitie?

    We moeten vooreerst de toestand van het ‘in beweging zijn’ relateren aan een waarnemer, of tenminste aan een door een waarnemer vooropgesteld criterium. Zo kunnen we dan bijvoorbeeld zoeken naar de eigenschap “datgene wat wij zien bewegen”. Op die manier voorkomen wij reeds dat alle dingen onder deze noemer vallen. Maar er blijft een probleem, want nog steeds weten wij niet of wij hetzij de vlucht regenwulpen, hetzij elke vogel afzonderlijk, hetzij de ‘onderdelen’ van deze vogels als zijnde ‘bepaald’ in onze verzameling moeten stoppen. En dit probleem krijgen we er niet en nooit uit. En de reden daarvan ligt eigenlijk voor de hand: waarnemen is reeds verzamelen, want het is betekenis toekennen aan het onbepaalde, het is het bepalen van het onbepaalde op grond van specifieke betekenisgeving. Over die betekenisgeving hebben wij hoger gezegd dat zij afhankelijk is van de eigen vrije keuzen die de waarnemer maakt: “ In feite is de hiërarchische ordening van de betekeniskaders die onze waarnemingen van betekenis voorzien, heel plastisch, en hangt het van onze eigen vrijheid af welke waarden we de doorslag laten geven in ons handelen” (zie §6).

    Betekent dit nu dat wij uiteindelijk niet kùnnen verzamelen, aangezien er blijkbaar geen objectieve criteria voorhanden zijn? Allerminst, want wij geloven in een specifieke objectiviteit: het wezen van de dingen is hun zin, en de uiteindelijke zin ligt in de voltooiing van de wereld op het einde der tijden - een voltooiing die, hoewel zelf onkenbaar, toch steeds voorzien is van de feilloze gids van het goede (zie Bauwens 2003a). Met andere woorden: als wij een verzamelingsleer willen opbouwen op een stevig fundament, dan zal dit fundament noodzakelijk ‘christelijk’ van aard zijn: de ganse werkelijkheid, en dus ook ons beeld daarvan, grondt noodzakelijk in de teleologie van het einde der tijden.

    We moeten dus een nieuwe poging ondernemen om verzamelingen te definiëren, waarbij dit specifieke teleologische uitgangspunt niet uit het oog verloren mag worden.
    >


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Tweede Hoofdstuk: De trouw als ultieme ‘bewerking’: §26. De grenzen van het telbare

    Tweede Hoofdstuk: De trouw als ultieme ‘bewerking’

    §26. De grenzen van het telbare

    Vatten we eerst het voorafgaande samen. De één-heid is harmonisch maar tegelijk is zij ook onwerkelijk: het ware zijn vergt bewustzijn, en bewustzijn vereist een opsplitsing van het ene in de tweeheid van subject en object. Daarop wordt de verloren één-heid opnieuw betracht, en zij realiseert zich in het leven dat de stof in het geestelijke integreert: het lichaam wordt geleid door de wil, die ook van de rest van de werkelijkheid een verlengstuk van het lichaam wil maken om er zo één mee te worden. In de vereniging van lichaam en ziel lijkt aanvankelijk het onmogelijke gerealiseerd, maar deze realisatie wordt noodzakelijk tegengewerkt door het ontstaan van de Tijd: het leven - of het verwerven van de bewuste één-heid - wordt betaald met de tol van de sterfelijkheid. Maar zoals het object de aandacht van het subject wekt, zo ook wekt de levende mens de aandacht van Iemand die hem te boven gaat; zoals de stof wordt opgenomen in de context van het leven, zo wordt de mens in een hogere context opgenomen. In dat transcendente stelt hij zijn hoop op de voltooiing van het zijn in één-heid, en zo heeft het bestaan het karakter van een verlangen.

    Een eerste stap naar bewuste één-heid bestaat in de erkenning van de verscheidenheid: het object komt tot ons in een verscheidenheid van eigenschappen of kwaliteiten. De eigenschappen van de dingen zijn verbonden met het zintuiglijke waarnemingsvermogen maar ook met de werking van ons verstand. Vanuit dat laatste oogpunt zouden we kunnen stellen dat zintuigen als het ware specialisten zijn in het becijferen van de patronen van specifieke gewaarwordingen, waardoor we de betekenis van die patronen kunnen vatten. Er is echter meer in de werkelijkheid dan datgene wat onze vijf zintuigen kunnen registreren, en die dingen waarvoor we specifieke zintuigen missen, worden overgelaten aan de werkzaamheid van het verstand. Zo bijvoorbeeld is de kwaliteit van de hoeveelheid een eigenschap van (menigvoudige) dingen waarvoor we (nog) geen zintuig ontwikkeld hebben, en waarmee het verstand (vooralsnog) belast wordt: het tellen is een specifieke vorm van waarnemen waardoor wij nieuwe facetten van de werkelijkheid kunnen ontginnen.

    Zoals elke andere ‘waarneming’ vereist het tellen een specifieke concentratie, meer bepaald een vermogen om te abstraheren. De basistechniek van het tellen schuilt in een vondst van een bijzondere soort: we hebben een naam gecreëerd waarop een eindeloos aantal steeds nieuwe en geordende variaties kunnen gemaakt worden, welke wij de (natuurlijke) getallen noemen. De natuurlijke getallen vormen als het ware slechts één naam, die echter wel eindeloos en zonder herhaling gevarieerd kan worden. Al die variaties zijn slechts ficties: het zijn namen waaraan in de werkelijkheid niets beantwoordt: het zijn nummers van dingen die niet bestaan. Maar nu creëren wij meteen ook denkbeeldige entiteiten waarop wij die nummers of namen plakken, en zo krijgen wij een geheel van genummerde, denkbeeldige entiteiten. Als we vervolgens elk van die (denkbeeldige) entiteiten afbeelden op telkens een verzameling die precies zoveel elementen bevat als het nummer van de respectievelijke entiteit aangeeft, dan verkrijgen wij met elk van deze verzamelingen een (natuurlijk) getal. Het tellen van de dingen is het erkennen van een bijzondere eigenschap van die dingen en is meteen ook het toekennen van een bijzondere naam aan een bijzonder facet van de werkelijkheid dat voordien verborgen bleef: met het tellen wordt aldus een nieuw deel van de werkelijkheid ‘ontdekt’.

    De ‘ontdekking’ van de kwaliteit van de ‘hoeveelheid’ is echter niet louter fictie: niettemin wij aanvankelijk met denkbeeldige entiteiten werken, zien wij anderzijds dat het waarnemen een bipolaire activiteit is, wat betekent dat er geen subjectieve pool is zonder een objectieve en andersom: geen kwaliteit wordt waargenomen zonder een specifieke betekenisgevoeligheid. Zonder het zien van het subject is er geen zichtbaarheid, en dat zien vereist vooreerst het herkennen van specifieke betekenissen: het moet kunnen kijken, en kijken is gericht aandacht schenken. Die aandacht wordt nu geleid door iets waarvan de betekenis deze van het object zelf transcendeert, waardoor het object wordt opgenomen in een hogere betekeniswereld. Los van die hogere betekeniswereld is de waarneming op zich irrelevant en tot verdwijnen gedoemd, net zoals het paard zijn functie verliest en zelfs nadeel brengt als het niet door de ruiter bestuurd wordt. Die hogere betekeniswereld legt beperkingen of wetten op aan het lagere, teneinde het ‘in leven te houden’. Het licht uit de buitenwereld dient zich te verenigen met het licht in de binnenwereld teneinde zichzelf te kunnen worden, teneinde dus bewust te kunnen zijn, en daar wordt het ook tot schoonheid verheven. In de menselijke arbeid aan de wereld vindt het uiterlijke zijn betekenis in het innerlijke, en het huwelijk van de twee verenigt ze beiden, zoals ook ons lichaam met onze ziel werden en worden verenigd.

    Het tellen, en meer algemeen ook het denken, is geen afgeleide werking van het waarnemen, doch het benadert het wezen van de dingen dieper dan dat het zintuiglijke dat vermag, precies omdat het verbonden is met een hoger betekeniskader, want het tellen (/het denken) benut de waarnemingen van de ‘dingen’ op hun beurt als ‘dingen’, welke kunnen gekoppeld worden aan geestelijke betekenisvelden.

    Ons begrip van het menigvoudige hangt nauw samen met het repetitieve, want herhaling betekent permanentie en vertrouwdheid. Maar ons vertrouwen is pas terecht waar het de temporele herhaling betreft van het ene, dat noodzakelijk een subject is; het is bedrog waar aan dat meervoudige een lading of een essentie ontbreekt, want daar kan het slechts object zijn. Het tellen ontmaskert dit bedrog, want het nummert de dingen, het ontmaskert de dingen als dingen. Het ene daarentegen is het ontelbare, het ware.

    Het tellen vergt van ons vooreerst dat wij in staat zijn om het waarachtige van het onwerkelijke te onderscheiden. Wij moeten een verband kunnen zien tussen het deel en het geheel waaraan dat deel zijn betekenis ontleent, in plaats van alleen maar het verband te zien tussen het object en onszelf, want dat verband zien wij uiteindelijk niet wegens onze betrokkenheid. Het begrip van het getal overstijgt onze initiële gevoelens van vertrouwdheid en wantrouwen, en drukt de relatie uit die wij in ons tellen waarnemen. Het ‘bestaan’ van het ‘ding’ hangt af van onze kijk zelf, waarin het ‘ding’ zus of zo ‘verzameld’ wordt. Volgens Cantor kunnen wij ‘dingen’ verzamelen op grond van eigenschappen, maar het moet ook gezegd dat wij ons pas eerst door het contact met die dingen bewust worden van deze eigenschappen. Aan die paradox valt pas te ontkomen mits van bij het begin een werkelijkheidsbeeld wordt aangehangen dat er, beknopt, als volgt uitziet: God heeft zowel de (menselijke) subjecten geschapen als de natuur. De mens is geestelijk deelachtig aan God, lichamelijk aan de natuur. Het lichaam neemt de natuur niet rechtstreeks waar: de zintuigen nemen wel eigenschappen waar. De mens schrijft die eigenschappen toe aan ‘dingen’, welke hij erkent door ze op grond van bepaalde eigenschappen te verzamelen of dus een naam te geven. Deze ‘projecties’ van de zijde van de mens, benaderen de ware natuur tot op zekere hoogte, maar zij zijn nooit volkomen, want zijn waarnemingen en ook zijn verstand blijven in gebreke. Het menselijke wereldbeeld schikt zich anderzijds wel intuïtief naar het consistentieprincipe, alsof de mens de zekerheid heeft dat de natuur geen bedrog pleegt, en zo kan zijn kennis evolueren. Strikt onderscheiden van ‘eigenschappen’ zijn ‘essenties’: waar eigenschappen door de mens aan de dingen toegeschreven worden, is hijzelf en zijn alle subjecten met hem meer dan ‘toeschrijfselen’: het subject dankt zijn bestaan aan Gods erkenning van zijn eigen wezen. Subjecten verzamelen, maar kunnen op hun beurt niet verzameld worden zonder tegelijk geobjectiveerd te worden en hun wezenskenmerk te verliezen.

    Het verzamelen is de meest elementaire vorm van eenmakende activiteit. Tegelijk echter lijkt deze activiteit de verdeeldheid in de hand te werken, want verzamelen is kiezen, is onderscheiden en dus verdelen. Het ‘geheel’ waaruit gekozen wordt, en dus alles wat niet-subject is, is echter zelf geen verzameling, het is ‘het (nog) niet verzamelde’ en dus het vooralsnog onbepaalde. Bepaald wordt iets pas waar het in een (subjectief) betekenisgeheel geïntegreerd werd. Pas wat verzameld wordt, komt in de werkelijkheid binnen omdat niets is zonder zijn subjectieve tegenpool: alle zijn moet ‘ontdekt’ worden, dit wil zeggen: het moet ingepast worden in een specifiek betekenisgeheel dat, qua betekenis, het ding zelf overstijgt: de ‘domme’ stok en steen worden verzameld in de ‘vernuftige’ hefboom, welke op zijn beurt geïntegreerd wordt in het uitgebreide lichaam dat de (menselijke) wereld is: het object wordt in de nieuwe werkelijkheid van het subjectieve ingepast. Zoals gezegd, is het verzamelen (dat wezenlijk reeds een optelling is) de meest elementaire vorm van construeren; meer bepaald is het een constructieloos construeren, een bewerking die (noodzakelijk) abstractie maakt van de fysische realiteit zelf.

    Het bestaan van de dingen is hun verzameld worden. De werkelijkheid is (wegens onze ontoereikendheid) onverzamelbaar en dus onbepaald. De werkelijkheid is niet benaderbaar los van enig perspectief. Waar wij daarentegen een subject willen ontmoeten, is een specifiek perspectief weliswaar een noodzakelijk startpunt, maar moet men zich uiteindelijk perspectiefloos of ‘blind’ maken en vertrouwen hebben teneinde de ontmoeting mogelijk te maken. En hier heeft de werkelijkheid van het tellen opgehouden te bestaan: precies op deze plaats moeten de grenzen van het tellen gesitueerd worden. Als wij nu een correct begrip van het tellen willen hebben, dan is het vooreerst noodzakelijk zijn grenzen goed te kunnen omschrijven. Precies het ontelbare kan het telbare de weg wijzen.
    >


    27-05-2006
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§25. Het onmogelijke realiseren

    §25. Het onmogelijke realiseren


    Bij de aanvang van dit werk hebben wij gesproken over de schijnbare onverenigbaarheid van, enerzijds, de eenheid en, anderzijds, het zijn: waar wij in harmonie één zijn of eenheid ervaren, blijkt ons bestaan onecht of slechts een droom, en streven wij naar de echtheid van het zijn. Dat ware zijn komt er echter pas ten koste van die eenheid: wie opstaat uit de droom en in de werkelijkheid van het ware zijn naar binnen treedt, is zich tegelijk bewust van het zijn, en dat bewustzijn is er niet eerder dan het object: datgene waarvan men verschilt. Mét het zijn treedt er aldus een splitsing op van het ene, een splitsing in, enerzijds, het bewuste subject en, anderzijds, het object dat dit bewustzijn vult.

    Het leven zelf is een partiële realisatie van de eenwording van het subject met het object, namelijk in het levende lichaam dat de geest met de stof verenigt: wij zijn zowel van geest als van stof en deze beide componenten van ons wezen vormen de wonderbare onverbrekelijke eenheid die wij het leven noemen. Maar ook deze eenwording is onvoltooid, want zij is tijdelijk: zij heeft de tijd zelf in het leven geroepen, welke ons nu die eenheid gunt - tot aan de dood, en niet verder.

    Met al zijn krachten vecht nu het leven, en in het bijzonder de mens, om deze ‘laatste’ (?) beperking te overwinnen: de mens doet dat door middels zijn arbeid het gehele object - de totale werkelijkheid - in zichzelf, in zijn subjectiviteit, te integreren of tot ‘wereld’ om te bouwen: hij wil van alles waarvan hij als subject verschilt als het ware één groot lichaam maken dat het zijne is, een verlengstuk van zijn eigen lichaam, dat hij kan gewaarworden zoals hij zijn lichaam gewaarwordt en dat hij kan besturen met zijn geest, net zoals hij zijn lichaam datgene kan laten doen wat zijn wil het beveelt.

    Deze tendens uit zich nu bijvoorbeeld bijzonder sterk in de wiskunde die hij heeft opgericht: de wiskundige spreekt over het geheel van alle dingen in een werkelijkheid welke hij kan overzien vanuit de hoogte, als betrof het een verzameling. Maar, zoals wij hoger hebben aangestipt, ontbreekt het dit werkelijkheidsbeeld aan consistentie: de mens heeft geen rekening gehouden met de fundamentele structuur van de werkelijkheid en hij wordt er via zijn eigen wiskunde toe genoopt om op zijn stappen terug te keren. De werkelijkheid kan namelijk zelf geen te overziene verzameling zijn, hij kan zelf niet verzameld worden, want alleen dingen kunnen verzameld worden, terwijl de werkelijkheid tevens subjecten ‘bevat’. Bovendien zijn ook die ‘dingen’ feitelijk onecht: zij zijn niets anders dan ‘veronderstellingen’ die wij maken ingevolge ons noodzakelijkerwijze geperspectiveerd contact met de natuur. De natuur, die rechtstreeks uit de hand van God komt, en die een manifestatie is van de goddelijke trouw, vormt een eenheid op zichzelf en bestaat helemaal niet uit afzonderlijke ‘dingen’. Het is pas binnen het perspectief van onze waarnemingen dat zich die natuurlijke eenheid als het ware opdeelt in fragmenten, die wij nadien, in onze natuurtheorieën, onderling trachten te relateren teneinde de eerst verloren eenheid daarin terug te kunnen vinden. Het hoogste wat de klassieke wetenschapsmens kan hopen, is daarom die uiteindelijke theorie, de ‘theorie van alles’, de verhoopte sleutel tot de ultieme kennis.

    Fout loopt het waar de mens dit pad is opgegaan, want hij heeft willens nillens over het hoofd gezien dat niet alles objectiveerbaar is, dat een overzichtelijke en beheersbare werkelijkheid een waanbeeld is. Hij hoopt blijkbaar vooralsnog dat het hier om een ‘schoonheidsfoutje’ gaat dat hem wel zal vergeven worden omwille van de grote inspanningen die hij zich getroost, maar deze hoop is ijdel en op voorhand gedoemd om versmacht te worden: het objectivistische perspectief heeft geen toekomst, het is gedoemd om zichzelf keer op keer te confronteren met zijn initiële ‘slordigheden’.

    Hoe dan kan het subject zich met het object verenigen, als het niet is middels de integratie van het object in zichzelf, als het niet is middels die ongebreidelde groei van het lichaam tot aan de grenzen van de kosmos? En hier heeft het Christendom ons een antwoord aangereikt: de eenheid van het tweevoudige (ook: het menigvoudige) kan gerealiseerd worden met behoud van het zijn, op voorwaarde dat de tweeheid (algemeen ook: de veelheid) behouden blijft terwijl ze tegelijk toch overstegen wordt, met name in de trouw. En laten we hierna het bijzondere fenomeen van de trouw eens van naderbij bekijken, en ook aanduiden op welke manier het in ons denken over de werkelijkheid, en in onze wiskunde, tot leven kan komen en kan functioneren.
     EINDE VAN HET EERSTE HOOFDSTUK

    >>>vervolgt>>>


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§24. De uiterlijke en de innerlijke wereld

    §24. De uiterlijke en de innerlijke wereld


    Ongeveer 2400 jaar geleden schreef Plato in zijn Phaedo: “Zolang het zien van één ding u op het idee brengt van iets anders, gelijkend of niet-gelijkend, om ‘t even, moet dat noodzakelijk een weer-te-binnen-brengen zijn geweest” (de Win 1980: II, 303). Wij kunnen geen waarnemingen doen van dingen die zich ‘buiten’ onszelf bevinden als wij daarbij niet in staat zijn tot het herkennen van patronen. En het herkennen van patronen vergt vanzelfsprekend dat wij die patronen reeds kennen, dat wil zeggen: dat wij hun betekenis (reeds) in ons dragen.

    Stelt u zich voor dat u aan het lezen bent, en u stuit op een bepaald woord dat u niet begrijpt, bijvoorbeeld het woord anamnese. U raadpleegt een woordenboek, en daarin staat te lezen: “anamne’se (<Gr.), v., het terugroepen in de herinnering, inz. m. betr. t. de voorgeschiedenis van iemands ziekte; het verhaal daarvan; - (filos.) herinnering aan de ideeën; - (liturg.) gedachtenis” (van Dale 1984: I, 177). Op het eerste gezicht lijkt het alsof u de betekenis van het voor u nieuwe woord buiten zichzelf opzoekt en alsof u het via het lezen van de verklaring in het woordenboek, dat zich buiten u bevindt, naar uw binnenste loodst en het zo in uw binnenste opneemt. Niets is echter minder waar. U begrijpt de verklaring die het woordenboek geeft, omdat die verklaring geen enkele voor u ongekende term bevat: u herkent elk woord van die verklaring en u herkent de zinsbouw, zodat u meteen ook de hele zin begrijpt; het woordenboek vertelt u niets anders dan dat de gegeven woordverklarende zin precies hetzelfde betekent als het woord anamnese; aangezien u de woordverklarende zin herkent, herkent u ook meteen de betekenis van het woord anamnese. Het woord was nieuw voor u, maar zijn betekenis hebt u herkend - u kende ze al, terwijl u er nu alleen een (nieuw) woord kunt opplakken dat misschien ook handiger is dan zijn omschrijving, handiger dan de synoniemen die u tot nog toe gebruikte.

    Tracht u zich nu voor te stellen dat u teruggaat in de tijd, naar uw jeugd en naar uw kinderjaren, en tracht u zich de tijd te herinneren dat u uw eerste boeken las. Algauw zal u dan tot de ontdekking komen dat u de betekenis van heel wat woorden hebt leren kennen op een manier gelijkaardig aan deze die hoger werd beschreven: u raadpleegde woordenboeken, u stelde vragen aan mensen in uw onmiddellijke omgeving, of de betekenis van de nieuwe woorden sprak uit de context van het boek zelf. Telkens had u synoniemen of woordomschrijvingen die u noodzakelijkerwijze reeds volledig begreep, als fundament voor het opnemen van elk nieuw woord. U leerde geen nieuwe betekenissen, maar u leerde omslachtige omschrijvingen in unieke termen samen te vatten. Het voordeel daarvan was telkens een enorme winst aan tijd en energie, welke zich vanzelfsprekend vertaalde in een grotere denkkracht, want met een uitgebreide woordenschat kan men op een gevatte, duidelijke en preciese manier zaken uitdrukken die anders vaak zeer omslachtige en uitputtende omschrijvingen vergen. Woorden zijn in dat opzicht enigszins vergelijkbaar met wiskundige formules welke, eenmaal men hun betekenis onder de knie heeft, de bladzijdenlange bewijzen waarop zij gestoeld zijn, overbodig maken. Woorden zijn, net als formules, een bijzonder verfijnde soort van hefbomen. En hoewel nieuwe woorden op zich geen nieuwe betekenissen kunnen bijbrengen, kan een rijke woordenschat echter wel heel wat betekenissen die diep in onze ziel verankerd liggen, wakker maken, naar de oppervlakte brengen, in het bewustzijn brengen. Dit komt doordat betekenissen nooit fragmentarisch zijn, doch steeds opnieuw gronden in hogere betekenissen, in rijkere en omvattendere betekenispatronen. Die rijkere betekenispatronen liggen dieper in onszelf dan de oppervlakkige; het vraagt veel inzet en energie om ze bewust te worden. Maar eenmaal we ze verworven hebben, zijn ze blijvend de onze, en kunnen we de dingen beter zien dan ooit voorheen. Hoe dieper wij graven, hoe hoger wij kunnen gaan staan en hoe helderder ons blikveld op de buitenwereld wordt: wij kunnen verder kijken en wij kunnen meer van de buitenwereld zien in de mate waarin wij van dieper kijken en dat wij ons blikveld steeds meer beperken - anders gezegd: concentreren. Net zoals de ziener in de eerste plaats diegene is die zijn zien weet te beperken, hij die kan abstraheren, hij die zich kan onthechten, zich kan terugtrekken en in zichzelf verdiepen. Wie de buitenwereld ‘in buitenwaartse richting’ naloopt, verwijdert zich ervan; wie zich er daarentegen van distantieert en zich naar het innerlijke richt, komt hem naderbij. Dat is de paradox van de waarneming: het uiterlijke wordt niet zonder het innerlijke veroverd; de weg naar buiten is de weg naar binnen; de vrijheid ligt in de zelfbeperking en zo ook de kennis die met deze vrijheid hand in hand gaat. Alles is wederherinnering of anamnese; de zaak is alleen dat wij ons niet vanzelf bewust worden van wat zich binnen in de ziel bevindt: die bewustwording, die de eigenlijke wording van de mens is, vergt toegewijde arbeid en studie, zoals ook Plato zegt: als een vroedvrouw moet de mens tekeer gaan om de waarheid uit zichzelf op te kunnen diepen.
    >


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§23. Wiskunde en ‘werkelijkheid’

    §23. Wiskunde en ‘werkelijkheid’


    Hoger hebben we gezien dat het een illusie is dat de wiskunde schoon schip zou kunnen maken met de werkelijkheid en dat zij als het ware met een tabula rasa opnieuw zou kunnen starten van bij het prilste begin. De basisstructuur van de werkelijkheid kan niet uit de wiskunde gebannen worden, en waar men dat, zoals Cantor, vooralsnog poogt te doen, duiken paradoxen op welke pas verdwijnen wanneer men op z’n stappen terugkeert en als men de werkelijkheid zoals hij nu eenmaal is, ernstig neemt. Het is zelfs zo dat de opduikende paradoxen zelf in feite een soort van wegwijzers zijn naar de heel specifieke fundamenten en de structuur van de werkelijkheid als zodanig.

    In de werkelijkheid is niet de optelling de ‘basisbewerking’ of het grondprincipe waarmee de ‘dingen’ zich verbinden: de ‘dingen’ zijn reeds onderling verbonden en de band die de dingen ‘samenhoudt’ of, beter gezegd, ‘tot één geheel maakt’, kunnen wij pas bevroeden door een schouwen in het ‘innerlijke’, echter nooit door enkel het ‘uiterlijke’ te observeren. Het is zelfs zo, dat de observatie van het ‘uiterlijke’ onmogelijk is wanneer dat uiterlijke zich niet onmiddellijk met het innerlijke verbindt.

    Zo kunnen wij het (materiële) licht pas zien wanneer wij tevens in staat zijn om (immateriële) patronen, betekenispatronen, of kortweg betekenissen, te herkennen. Het tellen van een ‘meervoudig ding’ is net zoals het zien van een bepaalde kleur een zaak van betekenisherkenning. Waar wij voor het zien, het horen, het tasten, het ruiken en de smaak, specifieke zintuigen hebben, dat wil zeggen: specialisten in het herkennen van betekenispatronen, missen wij vooralsnog een zintuig dat ons brein van de last van het tellen bevrijdt. Indien we ooit zo’n ‘tel-oog’ zouden ontwikkelen, dan zou het ons misschien mogelijk worden om op het vlak van de wiskundige bewerkingen ons verstand vrij te houden om daarmee die meta-waarnemingen te doen welke we ook hebben met betrekking tot onze vijf zintuigen. Want indien wij ogen zouden missen, en ons verstand zou in beslag genomen worden door bijvoorbeeld het uitrekenen van de golflengten van het licht teneinde de specifieke kleuren te kunnen herkennen, dan zouden wij wellicht geen toegang hebben tot het ‘totaaloverzicht’ dat we nu krijgen wanneer we bijvoorbeeld in een van kleuren brandende herfsttuin kijken, of naar het gelaat van een oude vrouw, of naar een paneel van Jan Van Eyck. Ons zien zou dan iets heel saai zijn, net zoals voor de meesten onder ons het tellen een saaie aangelegenheid is, omdat het ons niet - althans niet voortdurend - de globale beelden en revelaties zou brengen die ons feitelijk te beurt vallen. Dat door enkele uitzonderlijke mensen - grote wiskundigen en zogenaamde ‘rekenwonders’ - de getallenwereld als een paradijslijk oord wordt ervaren, wijst er misschien op dat bij deze enkelingen zich al iets in de zin van een ‘tel-oog’ ontwikkeld heeft, zodat zij in feite niet meer moeite moeten doen om te tellen dan dat onze ogen moeite moeten doen om een bepaalde kleur te herkennen; maar meer nog dan dat: precies doordat hun ‘tel-oog’ hun verstand heeft bevrijd van die telfunctie, kan hun verstand zich inlaten met het globale overzicht van de telresultaten, en kunnen deze wiskundige talenten daarom ook de telresultaten ordentelijk overschouwen, net zoals wij, zienden, het beeld kunnen overschouwen dat onze ogen voor ons ‘berekend’ of ‘ontcijferd’ hebben. Misschien zien zij een nieuwe wereld, even kleurrijk of zelfs kleurrijker dan de wereld van het licht, meeslepender nog dan de wereld van de muziek, smakelijker dan de wereld der gastronomen - en wie zal het tegenspreken als zijzelf daarvan getuigen, al was het slechts door het feit dat deze bijzondere wereld hen tot de allerlaatste van hun levensdagen voor zich opeist? En zeker niet zoals een ziekte dat doet waarvan men zich niet kan bevrijden, maar veeleer zoals een geliefde wiens aanwezigheid men onafgebroken opzoekt en met wie men steeds dieper wil graven in de geheimen van het bestaan.

    Want net zoals onze ogen ons beelden tonen die zich onderscheiden van de beelden die wij in onze dromen hebben door die bijzondere eigenschap dat zij ‘van buiten’ komen - net zo tonen onze wiskundige activiteiten ons ‘beelden’ van de ware werkelijkheid. Wij hebben de getallenwereld als het ware zelf bedacht, met name door de vermetele constructie van de ‘telmachine’ die wij “de rij van de (natuurlijke) getallen” noemen: een imaginaire machine, waarvan de oorsprong gelegen is in haar capaciteit om een eindeloze en geordende reeks van variaties te maken op één naam, maar een machine die niettemin concreet tastbare resultaten oplevert. De varianten van die ene naam worden afgebeeld in een imaginaire wereld, en zij worden ook erkend als bijzondere entiteiten. Dat zij aangewend kunnen worden als namen voor de dingen, maar dat, bovendien, hun onderlinge samenhang als een spiegel kan fungeren voor de samenhang der dingen zelf, verwondert ons tot huiveren toe. Moeten wij dan geloven dat de werkelijkheid buiten ons een projectie is van het innerlijke? Of moeten wij geloven dat het innerlijke een ‘afdruk’ is van de buitenwereld? Wij weten het nochtans van bij het eerste begin: de tweevoudigheid van het innerlijke en het uiterlijke, van het subject en het object, spruiten voort uit de harmonieuze eenheid van het niet-zijn, welke zich in zijn onstuitbare drang om te zijn in tweeën gespleten heeft, en welke opnieuw naar eenheid streeft - dit keer met behoud van het zijn.

    Dat het antwoord op de diepe vraag naar het verband tussen, enerzijds, de wereld van het tellen en, anderzijds, de wereld welke wij al te achteloos de ‘gewone’ wereld noemen, een wat metafysische klank heeft, mag ons echter niet verwonderen: zoals wij hoger hebben kunnen vaststellen, kan de wiskunde zich niet bevrijden van de ware werkelijkheid, en is zij zelfs een wegwijzer daarheen.
    >


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§22. God, mens, object en natuur

    §22. God, mens, object en natuur


    Een subjectivistische verzamelingsleer kampt niet met de Russellparadox en heeft geen Aussonderungs Axiom nodig, omdat alle mogelijke verzamelingen omvat worden door de werkelijkheid van de verzamelaars, en dat zijn de subjecten. De subjecten worden op hun beurt geconstitueerd door de intersubjectieve erkenning, en dat is een act, in de eerste plaats de erkenning door God. De werkelijkheid van de verzamelingen moet aldus geïntegreerd worden in een werkelijkheidsschema dat er als volgt uitziet:

    (1°) Alle subjecten bestaan binnen de erkenning van God. Opmerking: God verzamelt de subjecten niet; de subjecten worden door God erkend als zijnde intrinsiek waardevol; hun eigenheid en hun vrijheid worden volkomen gerespecteerd en God ziet er van af hen te objectiveren, zodat Hij hen ook niet kan ‘verzamelen’, want het verzamelen is steeds een verzameling van ‘dingen’. Toch omvat God alle subjecten omdat hij de alfa en de omega is; dit betekent dat God de oorsprong en het einddoel van alle subjecten is. Alle subjecten danken hun bestaan en ook de zin van hun bestaan aan God. Omdat de zin van het bestaan van alle subjecten God is, en omdat het wezen van een ding of een persoon gelijk is aan de zin ervan, is God ook het uiteindelijke wezen van allen en van alles; dit wil zeggen: Hij is hun wezen in de mate dat ze zijn, en Hij is van hen afwezig in de mate dat ze niet zijn. Omdat het zijn samenvalt met het goede en het niet-zijn met het kwade, is God het wezen van allen en van alles in de mate dat het goed is (zie ook: Bauwens 2003a). Men kan nu niet een verzameling maken die alle ‘dingen’ zou verzamelen die de ‘eigenschap’ hebben dat ze door God erkend worden, heel eenvoudig omdat er geen ‘dingen’ kunnen zijn los van de goddelijke erkenning: wat niet door God erkend wordt, bestaat gewoon niet. De ‘verzameling’ van alles wat door God erkend wordt, is daarom de werkelijkheid zelf, en de eigenschap: ‘door God erkend worden’ is geen eigenschap omdat er niets bestaat dat deze eigenschap niet heeft, want wat of wie deze eigenschap mist, bestaat gewoon niet. Dat is nu precies hetgeen waarvoor Zermelo’s Aussonderungs Axiom een Ersatz is: er is geen grootste verzameling, zegt Zermelo, en wij kunnen hier ook duidelijk zien waarom dit zo is: de ‘grootste verzameling’ kan immers geen verzameling zijn.

    (2°) Alle dingen bestaan binnen de erkenning van subjecten (zie: Bauwens 2003a), en ze worden dus door subjecten verzameld op grond van specifieke eigenschappen. Het zijn namelijk de eigenschappen welke toegeschreven worden aan ‘dingen’, die deze ‘dingen’ pas echt tot ‘dingen’ maken: alle dingen vallen onder een specifieke ‘noemer’, ze worden ‘benoemd’ en aldus ‘verzameld’ - door specifieke subjecten. Deze vorm van ‘bestaan’ van de ‘dingen’ is echter constructief van aard. Hoe en of de dingen ‘op zich’ bestaan kunnen wij niet zeker weten. We weten alleen zeker dat wijzelf bestaan dankzij en binnen de erkenning (van God).

    (3°) Alles wat natuur is (aan de dingen én aan de subjecten), bestaat binnen de erkenning van God. De natuur van de dingen kan door subjecten slechts tot op zekere hoogte bevroed worden. Waar wij ‘dingen’ ontwaren, stoppen we ons perspectief op de natuur in de ‘dingen’. Daarmee kunnen we tot op zekere hoogte werken, maar de essentie van de natuur bereiken wij niet anders dan binnen ons Zelf, meer bepaald waar wij, het goede nastrevend, de eenwording met de ware natuur van alle dingen betrachten. Daarom is ook de natuur geen verzameling; de natuur is een manifestatie van de absolute trouw van God aan zijn schepping (zie: Bauwens 2003a).

    xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />xml:namespace prefix = w ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:word" />
    De zopas besproken werkelijkheden kunnen we nu als volgt voorstellen in een schema: zie figuur 22.

    De interpretatie die wij aan dit schema moeten geven is de volgende. Het subject God geeft het bestaan aan zowel het menselijk subject als aan de natuur (van alle dingen en wezens), meer bepaald door de specifieke erkenningsact die de Liefde is. Het menselijk subject bestaat deels uit geest, deels uit natuur; omwille van zijn deelname aan de natuur, kan de mens met de natuur van de dingen en de wezens in contact komen. Maar de natuur van de dingen verschijnt niet ‘naakt’ aan de mens: de mens neemt slechts specifieke natuurlijke eigenschappen waar, naar gelang zij tot hem komen via specifieke zintuigen en naar gelang ze bepaalde effecten hebben in het fysische domein waaraan de mens middels zijn lichaam fysiek participeert. Op grond van die aldus aan hem verschenen eigenschappen, construeert de mens zich in zijn geest een beeld van datgene wat aan hem verschenen is: hij objectiveert het in zijn geest tot een ‘ding’ of een ‘object’. Nu bestaat er vanzelfsprekend een discrepantie tussen, enerzijds, de natuur zelf zoals die uit de handen van God komt en, anderzijds, het ‘object’, namelijk datgene wat de mens zich in zijn geest voorstelt als zijnde ‘datgene’ wat aan hem (in zijn zintuigen en in zijn verstand) verschenen is. We hebben elders verduidelijkt dat de natuur wezenlijk een manifestatie is van de absolute trouw van God aan zijn schepping (zie: Bauwens 2003a). Van die absolute trouw kan de mens zelf iets bevroeden door het object grondig te bestuderen: hij zal immers merken dat de eigenschappen van alle objecten onderling niet met elkaar in tegenspraak zijn, dat er een consistentie bestaat onder de eigenschappen van de objecten onderling en zodoende ook onder de objecten. Hij zal zich zelfs laten leiden door die consistentie, als het ware als door een kompas, wanneer hij overgaat tot het zich vormen van een werkelijkheidsbeeld, precies omdat hij de intuïtieve zekerheid bezit dat de werkelijkheid, de ware natuur, hem niet bedriegt. Hij zal, met andere woorden, zijn werkelijkheidsbeeld steeds zodanig aanpassen dat, in de mate van het mogelijke, een absolute consistentie gehandhaafd blijft.

    Dat is nu precies niet het geval met de wereld van de wiskundige objecten: omdat die wereld géén natuur is, maar een creatie van de mens zelf, kàn hij ook niet volkomen consistent zijn. Wil de wiskunde waarachtig zijn, dan moet zij zich verbinden met de ware werkelijkheid van de schepping, zoals wij die hebben pogen voor te stellen in het bovenstaande schema. In een wiskunde die alles wil objectiveren - en dat is een wiskunde die de subjectiviteit miskent en die daardoor ook de hiërarchie van de schepping miskent - zullen noodzakelijkerwijze paradoxen opduiken. De noodzaak van Zermelo’s Aussonderungs Axiom, dat een lapmiddel is ter verdoezeling van de ware aard van de werkelijkheid, getuigt van de fundamentele onjuistheid van elk gedesubjectiveerd geformaliseerd systeem.
    >


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.VERVOLG VAN § 21

    (VERVOLG VAN § 21)

    In de diagrams hier boven, worden alle mannen van het dorp in de vette rechthoek afgebeeld. In de dunne rechthoek zitten alle mannen die scheren, hetzij zichzelf, hetzij anderen, hetzij de twee. Het ellips bevat alle mannen die zichzelf scheren. Het is duidelijk dat er geen mannen bestaan die noch zichzelf, noch anderen scheren, terwijl ze toch scheren; vandaar is het verschil van de dunne rechthoek met de unie van cirkel en ellips, leeg. Het complement van de dunne rechthoek bevat alle mannen die niet scheren, noch zichzelf, noch anderen; die worden dus geschoren. We zien nu duidelijk dat de barbier zich op twee plaatsen kan bevinden: Mb1 en Mb2. Scheert hij zichzelf (dit wil zeggen: beschouwt men hem als een Mb2), dan wordt hij niet geschoren door een Mb1, maar scheert hij zichzelf. Scheert hij zichzelf daarentegen niet (dit wil zeggen: beschouwt men hem daarentegen als een als Mb1), dan scheert hij zichzelf niet maar wordt hij geschoren door een Mb2. Het lijkt dus dat hij in elk geval geschoren wordt. De fout die hier echter gemaakt wordt, is nu dat in onze beschouwingen verkeerdelijk verondersteld wordt dat de beide, Mb1 en Mb2, tegelijk kunnen bestaan. Want ofwel bestaat Mb1 niet, ofwel bestaat Mb2 niet. In geval alleen Mb2 bestaat, scheert de barbier zichzelf; in geval alleen Mb1 bestaat, scheert de barbier zichzelf niet. We kunnen dus niet weten of de barbier zichzelf scheert, maar we weten wel dat er twee mogelijkheden zijn, en dat het van de keuze van de barbier zelf afhangt wat hij doet, en niet van de onmogelijke taak die hem opgelegd wordt door een onuitvoerbaar bevel. Wel moet opgemerkt worden dat hij zichzelf niet scheert als barbier, doch als individu dat zichzelf scheert, aangezien men pas barbier is in de hoedanigheid van ‘scheerder van anderen’. In het zichzelf scheren onderscheidt de barbier zich immers niet van al diegenen die geen barbier zijn en toch zichzelf scheren.

    Conclusie: het is niet zo dat de barbier iemand anders is dan zichzelf, maar wel dat twee activiteiten, met name: “het scheren van anderen” en: “het scheren van zichzelf” moeten onderscheiden worden.

    Anders uitgedrukt, kan men ook stellen dat iemand is wie hij voor anderen is: de barbier is barbier omdat hij barbier is voor anderen: iemand is wat hij binnen de activiteit van de erkenning is of betekent. Een barbier zonder anderen, ware immers geen barbier; hij ware zijn eigen barbier, en dat is geen barbier: als men ook zichzelf scherende mensen barbiers zou noemen, dan zouden alle relaties binnen ons schema contradictorisch worden (denk aan Kant’s begronding van diens categorische imperatief), wat er dus op wijst dat het begrip “barbier” zijn relevantie aan die (erkenning door) anderen dankt. De barbier, als barbier, verschilt zodoende van zichzelf - als subject. De kloof tussen het barbierschap en het ‘zichzelf-schap’ is van dezelfde orde als de kloof tussen de subjectiviteit en de lichamelijkheid (zie: de mind-body-problematiek). De barbier, als barbier, behoort tot W1, maar als subject ‘behoort’ hij ‘tot’ W - zonder index.

    Het probleem in de paradox van de barbier, situeert zich mijns inziens hier: we zijn slechts wie we voor de ander(en) (dit wil zeggen: binnen het perspectief van de anderen) zijn (dit is ons bestaan ‘binnen’ W1 mét index), terwijl we daarnaast nog een eigen subjectiviteit hebben die niet objectiveerbaar is (namelijk onze subjectiviteit binnen de subjectiviteit van God, ons bestaan-voor-God; dit is ons bestaan ‘binnen’ de alles omvattende W zonder index), tenzij waar dit subject er toe genoopt wordt zichzelf als opgesplitst te beschouwen, wat het geval is telkenmale zich de mind-body-problematiek voordoet. Ethiek situeert zich daar, waar de erkenning van elkaars subjectiviteit aan de orde is (dus in W). Waar het de erkenning van elkaars functionaliteit betreft, zal het mogelijkerwijze, doch niet noodzakelijkerwijze om ethische erkenning gaan (dus in W1). Wegens de feitelijkheid van een (partiële) gespletenheid van lichaam en geest, bevinden wij ons met betrekking tot anderen en met betrekking tot onszelf, steeds en tegelijk in tenminste twee verschillende gebieden van de werkelijkheid: W en W1. Het gebied dat betrekking heeft op de eigen subjectiviteit (hetwelke ook de subjectiviteit van anderen omvat, aangezien zich binnen de eigen subjectiviteit het erkenningsproces met betrekking tot de subjectiviteit van anderen afspeelt), moet echter als mogelijkheidsvoorwaarde voor de (totale) werkelijkheid geponeerd worden, want zonder het principe van het met zichzelf samenvallen van de dingen, is geen werkelijkheid mogelijk. Aldus kan het schijnbaar louter logische probleem van Russell opgelost worden, mits men het steunpunt of de as van de werkelijkheid in het ethische gaat situeren.
    >


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.FIGUUR BIJ DE PARAGRAAF 21

    FIGUUR BIJ DE PARAGRAAF 21

    In het schema in deze paragraaf zijn de mogelijkheden Mb1 en Mb2 tegelijk gerealiseerd; in het middelste schema is alleen Mb1 gerealiseerd; in het onderste schema is alleen Mb2 gerealiseerd.


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§21. Alle dingen door het subjectieve omvat

    §21. Alle dingen door het subjectieve omvat


    Keren we nu eerst terug naar de optelling, of beter: naar het verzamelen. We herinneren aan het naïeve comprehensieprincipe van Cantor dat zijn verzamelingsleer definieert. Volgens Bertrand Russell brengt het naïeve comprehensieprincipe van Cantor de naar hem genoemde paradox voort, op het ogenblik dat een verzameling beschouwd wordt welke die elementen verenigt die de eigenschap hebben geen element te zijn van zichzelf.

    Het is meteen duidelijk dat voor elk ding geldt dat het geen element kan zijn van zichzelf, want dan zou het tegelijk én als element én als verzameling moeten beschouwd worden, wat onmogelijk is. We hebben immers duidelijk gesteld dat de werkelijkheid W zonder index niet bestaat, behalve waar het gaat om de werkelijkheid van de ‘niet-dingen’ of van de (erkende) subjecten (zie §14): een ding behoort pas tot de werkelijkheid als het behoort tot een zus of zo gespecificeerde werkelijkheid, bijvoorbeeld genoteerd als W1. Die werkelijkheid kan bijvoorbeeld niet tegelijk de werkelijkheid van de grammaticale naamvallen en die van de zichtbare dingen zijn. Hij kan ook niet tegelijk de werkelijkheid van de verzameling én die van het element zijn. Iemand kan bijvoorbeeld wel tegelijk vader en zoon zijn, maar telkenmale is hij dat dan wel tegenover andere personen, en dus in een ander, uniek perspectief; de beide perspectieven tegelijk beschouwen is nonsens.

    Maar meer nog dan dat: een eigenschap die geldt voor àlle dingen, is geen eigenschap, omdat elke eigenschap de dingen onderscheidt van andere dingen die deze specifieke eigenschap missen. De ‘eigenschap’ - maar dit is geen eigenschap - die alle dingen hebben, is deze dat ze bestaan. Maar zoals uiteengezet in §14, is het bestaan van dingen identiek aan het verzameld worden (ongeacht in welke verzameling): x behoort tot de werkelijkheid als en slechts als x verzameld wordt. En de dingen welke verzameld worden zijn vanzelfsprekend dingen die samenvallen met zichzelf: voor alle x geldt dat x=x. Dit is dus geen eigenschap, maar de identiteit.

    Anders gezegd: de allereerste verzameling die aan alle mogelijke verzamelingen voorafgaat, en die de ‘dingen’ verzamelt welke tot de werkelijkheid behoren, wordt niet geconstitueerd door een andere ‘eigenschap’ dan de eigenschap van het ‘verzameld worden’. Maar omdat er geen dingen bestaan welke die eigenschap niét hebben (- de dingen welke die eigenschap niet hebben bestaan immers niet, tenminste niet als ding -), gaat het hier dus niet om een eigenschap maar wel om de identiteit zelf van de ‘dingen’. De allereerste verzameling, die de werkelijkheid is, wordt dus niet gedefinieerd door een eigenschap maar wel door de notie ‘identiteit’. Metafysisch gezien kunnen identiteiten, niettemin ze tot de werkelijkheid behoren, helemaal niet verzameld worden, want zij danken hun bestaan uiteindelijk aan de intrinsieke erkenning, en de act van de erkenning is grondig onderscheiden van de act van het verzamelen: wie intrinsiek erkend wordt, wordt immers niet verzameld, in tegendeel: zijn anders-zijn wordt aanvaard en daarmee ook het verbod om hem in te palmen. De intrinsieke erkenning van X is gelijk aan het verbod tot het onderbrengen van X in een verzameling, het verbod tot het objectiveren of het ‘tot een ding herleiden’ van X. X behoort weliswaar tot de werkelijkheid W, maar behoort niet tot een geperspectiveerde werkelijkheid W1 en kan daar ook niet toe behoren.

    Vandaar: omdat “x is geen element van x” geen eigenschap is (- dat geldt immers voor àlle dingen -), is de verzameling van alle x waarvoor geldt dat x geen element is van x, ook geen verzameling, want ze wordt niet door een eigenschap geconstitueerd. Toch gaat het hier om ‘werkelijk bestaanden’.

    Om de genoemde ‘onechte’ verzameling toch op een of andere manier als werkelijk te kunnen erkennen, moeten we een beperking invoeren. Noemen we deze ‘verzameling’: A, dan kunnen we zeggen dat A gelijk is aan de ‘verzameling’ van alle x waarvoor geldt dat x geen element is van x én dat x verschillend is van A. (A komt hier zowel links als rechts van het gelijkheidsteken voor in de definitie. Dit is eigenlijk strikt verboden. Nochtans is het aantoonbaar dat voor dit geval (en alleen voor dit geval) een uitzondering moet gemaakt worden. Zie ook verderop.). Deze laatste is dus wél een werkelijkheid, namelijk de ‘verzameling’ van alle dingen zonder de ‘verzameling’ van alle intrinsiek erkende entiteiten, omdat deze laatste geen verzameling is, zoals aangetoond. Deze ‘verzameling’ is nu de werkelijkheid van alles wat subject is, dus van alles wat erkend wordt en niet verzameld kan worden. En het is steeds binnen die werkelijkheid van subjecten dat verzamelingen (welke, zoals aangegeven in §14, altijd perspectieven op de werkelijkheid zijn) kunnen gevormd worden. Aldus kan er geen contradictie, geen Russell-paradox meer ontstaan, want we weten dat y behoort tot A als en slechts als (alss) y niet behoort tot zichzelf én y verschilt van A. Wegens deze laatste, bijkomende voorwaarde, waardoor A als een werkelijkheid erkend wordt, kunnen wij y nu niet meer gelijkstellen aan A, en kunnen wij aldus niet tot een contradictie komen. Deze A is nu niets anders dan de werkelijkheid W zonder index: de werkelijkheid van het niet geobjectiveerde, van het op zichzelf bestaande, het als zichzelf erkende.

    Zermelo’s Aussonderungs Axiom blijkt dus overbodig, als men maar onze definitie van het begrip ‘eigenschap’ in acht neemt, en het paradijs van Cantor blijft bestaan, zij het mits tevens erkend wordt dat alle geperspectiveerde werkelijkheden (dus: alle verzamelingen, alle W1) ingesloten worden door de werkelijkheid van de subjecten (W zonder index). Hiermee is de zaak dan ook afgedaan: de Russell-paradox bestaat niet in onze subjectivistische wiskunde. (We komen hier nog op terug bij het slot van dit hoofdstuk.)

    Maar veronderstellen we even dat we dit nog niet inzien, en beschouwen we een ding a waarvan we veronderstellen dat het element zou zijn van zichzelf. (Men zou hier kunnen tegenwerpen dat bijvoorbeeld de verzameling van alle niet levende dingen zelf niet leeft en dus bevat wordt door zichzelf. Welnu, in de klassieke verzamelingenleer is deze opmerking weliswaar relevant, maar in onze nieuwe visie verdwijnt die paradox. In onze visie is de verzameling immers geen ‘ding’, maar een subjectieve ‘act’. Het subject zelf is geen ding: het is Werkelijkheid. Het subject behoort echter niet tot de Werkelijkheid als object, want de subjectiviteit valt met de Werkelijkheid samen, welke een activiteit is. Zie ook verderop.). Welnu, dan kunnen we over a zeggen dat het slechts één element kan bevatten, namelijk a zelf. Zou a daarentegen meer dan één element bevatten, dan zou het, zoveel is duidelijk, onmogelijk een element van zichzelf kunnen zijn. Op grond van deze vaststelling nu, (en nog steeds onder de bovenstaande veronderstelling), kunnen wij met zekerheid zeggen dat de verzameling van alle dingen die geen element zijn van zichzelf, meer dan één element zal bevatten. b zal behoren tot de verzameling van dergelijke a’s, alss (als en slechts als) b niet tot zichzelf behoort. Nemen we nu voor b de verzameling van die a’s, dan moet gelden dat de a’s tot de a’s behoren alss de a’s niet tot de a’s behoren. Russell noemt dit een contradictie. Ons inziens kan men hier echter niet tot contradictie besluiten, alleen al omdat een vergelijk tussen de beide leden (namelijk, enerzijds, het linker lid dat de a’s die tot de a’s behoren definieert en, anderzijds, het rechter lid dat de a’s die niet tot de a’s behoren definieert) onmogelijk is, daar het linker lid pas van kracht is als a maximaal één element bevat, terwijl het rechter lid pas van kracht is als a meer dan één element bevat. In beide leden wordt a dus in een heel ander opzicht beschouwd, wat een relevante onderlinge vergelijking van de beide leden a priori uitsluit, en bijgevolg ook de conclusie van contradictie onmogelijk maakt. Dit alles vanzelfsprekend onder de veronderstelling dat a een element van zichzelf zou kunnen zijn. Veronderstellen wij daarentegen dat a geen element van zichzelf kàn zijn, dan moeten wij concluderen dat alle dingen deze eigenschap delen: niéts is, met andere woorden, een element van zichzelf; geen enkel ding heeft deze bizarre eigenschap; dit is, nog anders uitgedrukt, geen eigenschap. Onder de veronderstelling dat alle dingen niét tot zichzelf behoren, representeert het linker lid van deze cruciale equivalentie helemaal niets, omdat voor geen enkel ding geldt dat het element is van zichzelf, zodat ook in dat geval de vergelijking niet relevant kan gemaakt worden, en de conclusie van contradictie a priori uitgesloten is. Dat het centraal stellen van de act, in plaats van een vermeende essentie, verantwoordelijk is voor het verdwijnen van deze paradox, mag blijken uit onze benadering van de paradox van de barbier hierna.
    >


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§20. Optellen en construeren, eten en verteren

    §20. Optellen en construeren, eten en verteren


    Zoals hoger gezegd is verzamelen reeds optellen, en komt de rij van de natuurlijke getallen niet anders dan via de optelling tot stand. De optelling is geen constructie, zoals we in de voorgaande paragraaf benadrukt hebben: als we werkelijke dingen samenstellen, moet daarbij rekening gehouden worden met de wetten van de kosmos, en het vergt heel wat kennis en vaardigheid om dingen zodanig samen te stellen, dat uit deze samenstelling een nieuw ding verrijst - een ding dat ons nieuwe handelingsmogelijkheden biedt. Hoewel optellen veel ‘eenvoudiger’ is dan construeren, werd er door de natuur zelf al ‘geconstrueerd’ lang voordat mensen dit zouden leren. Laten we nu eens kijken waar onze noties van optelling en constructie hun oorsprong vinden.

    Bekijken we vooreerst eens een eencellig wezentje, zoals bijvoorbeeld een amoebe. Zoals elk levend organisme, ageert de eencellige egocentrisch en egoïstisch: zij trekt voedsel naar zich toe, met andere woorden: zij verzamelt dingen bij zichzelf, ze telt allerlei andere deeltjes bij zichzelf op, teneinde op die manier zelf groter te worden of een grotere eenheid te vormen met de omgeving. Dat de eencellige eet, betekent niets anders dan dat ze verzamelt, of (bij zichzelf, in haar verzameling, in haar ‘maag’) optelt. De activiteit van het eten, welke in de meest ‘bewuste’ laag van dat wezentje ligt, doet niets anders dan optellen, dat wil zeggen: verzamelen en dus niet construeren. Er is veel minder ‘vernuft’ nodig  om deeltjes in te palmen dan om deze deeltjes daarna te verteren. Dat verteringsproces gebeurt veel minder ‘bewust’; het gebeurt als het ware niet door de amoebe zelf, maar door haar natuur: verteren vergt geen aandacht, in tegenstelling tot voedsel verzamelen, maar het is tegelijk ook ingewikkelder, want het is niet zomaar gewoon ‘optellen’ of ‘verzamelen’. Verteren betekent integreren: een deeltje dat verteerd wordt, wordt afgebroken en heropgebouwd op zo’n wijze dat het integraal deel kan uitmaken van het organisme van de eencellige zelf. De vertering beoogt het om het verzamelde (opgegeten) deeltje volkomen te verenigen met het organisme van de amoebe. Terwijl het ‘verorberen’ gewoon ‘optellen’ is, is het ‘verteren’ veeleer reconstrueren of construeren, dat wil zeggen: samenstellen tot iets heel nieuws, want het losse (voedsel)deeltje en de amoebe - aanvankelijk twee aparte dingen - worden door het verteringsproces één nieuw ding, namelijk een nieuwe (dikkere) amoebe. Net zoals een mens een stok en een steen (die twee geheel aparte dingen zijn) tot een geheel nieuw ding (bijvoorbeeld een hefboom) kan samenstellen. In die optiek zouden we kunnen zeggen dat de mens die twee dingen ‘verteerd’ heeft en door zijn vertering verenigd heeft met zichzelf, doordat hij ze meer bepaald tot een werktuig en dus verlengstuk van zijn handen gemaakt heeft. In een eenvoudigere vorm verenigt de mens de stok die hij vindt met zichzelf door hem als knuppel te beschouwen, wat ook een (re)constructie is of een vereniging van de mens met de stok (die aldus een verlengstuk van zijn handen wordt).

    Het verteringsproces is nu veel ouder dan het vervaardigen van werktuigen: reeds de (natuur van de) amoebe maakt ‘constructies’ (bijvoorbeeld doordat ze voedsel verteert), en pas de homo sapiens, of de hogere diersoorten, kunnen dankzij hun ‘bewustzijn’ de primitieve natuur hierin (zij het op een elementaire wijze) min of meer navolgen of nabootsen. Tegelijk blijkt de mens ook nog te kunnen ‘optellen’ of ‘verzamelen’: in de eerste plaats waar hij genoodzaakt blijft om voedsel tot zich te nemen, en verder ook waar hij op welke manier dan ook ‘verzamelt’, dit wil zeggen: dingen deponeert in een verzameling die niet langer uitsluitend zijn maag is, en met een ‘honger’ die niet langer uitsluitend zijn honger naar voedsel is, maar een dichte of verre afgeleide daarvan. De verzamelwoede wordt echter nog steeds een ‘honger’ genoemd, wat eigenlijk verwijst naar de oorspronkelijke natuurlijke basis van deze ‘activiteit’.

    De eenvoudige bewerking van de optelling is dus helemaal niets nieuws, trouwens net zoals de ingewikkeldere bewerking van de constructie: het zijn activiteitspatronen die in de natuur zelf van het leven liggen, en die door het bewustzijn ontdekt en verder ‘uitgebouwd’ werden. ‘Optellen’ is wat reeds de dode materie doet. Om te ‘construeren’ is er levende materie, meer bepaald een levend organisme of een ‘eenheid van levende materie’ vereist. Wellicht is de ‘eenvoudigste’ vorm van constructie de vermenigvuldiging of de deling: het zich spontaan of natuurlijk delen van een organisme dat zich zodoende tegelijkertijd vermenigvuldigt.

    Voegen we hier tenslotte en volledigheidshalve nog aan toe dat wij er van uit gaan dat de natuur als zodanig geen constructie is. We kunnen de natuur wel benaderen alsof hij slechts een constructie was, maar dit door te trekken ware onjuist. We volstaan hier met een verwijzing; zie: Bauwens 2003a.
    >


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§19. De telling en het talstelsel

    §19. De telling en het talstelsel


    Wat ons telraam doet wanneer het de rij van de natuurlijke getallen tot stand brengt, is reeds optellen; het is de bewerking van de optelling die aan de basis ligt van de ‘productie’ zelf van de rij van de natuurlijke getallen. In ons eendelig talstelsel betekent het natuurlijk getal vijf, geschreven als IIIII, precies hetzelfde als: I+I+I+I+I. Het somteken zelf verwijst trouwens naar het samenbrengen van twee dingen: enerzijds wat men reeds heeft (het horizontale streepje) en anderzijds wat daar wordt aan toegevoegd (het verticale streepje); nadat aan het eerste ding een tweede ding werd toegevoegd, worden die twee samen niet alleen als een nieuw ding beschouwd (het kruisje), maar vormen ze ook een nieuw ding, namelijk een nieuw getal.

    In de wereld van de getallen volstaat het nu om een aantal eenheden toe te voegen aan een gegeven aantal eenheden teneinde een nieuw getal te verkrijgen. In de wereld van de concrete dingen is dat geenszins het geval: twee dingen worden pas een nieuw ding als ze op een specifieke manier samengesteld worden, en het is te danken aan menselijk vakmanschap en vernuft, dat tot stand komt in gehoorzaamheid aan (of met kennis van) de wetten van de kosmos, dat menselijke constructies mogelijk zijn, of dat dus nieuwe dingen kunnen gemaakt worden. In de denkbeeldige wereld van de getallen wordt geen vakmanschap gevergd, met andere woorden: daar moet geen rekening gehouden worden met de wetten van de kosmos: het werk van de vakman is totaal afwezig in de eenvoudige bewerking van de optelling die, door het naast elkaar plaatsen van twee ‘dingen’ (namelijk hoeveelheden), spontaan een nieuw ‘ding’ (een nieuwe hoeveelheid) te voorschijn tovert. Dit toont nogmaals dat hoeveelheden geen dingen zijn, en dat zij niet onderworpen zijn aan de wetten van de materiële wereld waarop de vakman inzake werkelijke dingen wél acht moet slaan. Het neerschijven van het getal I is reeds het optellen van dat getal bij het niets; het neerschrijven van bijvoorbeeld het getal III is het optellen van I bij niets, vervolgens het optellen van een nieuwe I bij de reeds neergeschreven I en tenslotte het optellen van nog een nieuwe I bij de reeds neergeschreven II. Met andere woorden: men kan een getal niet neerschrijven zonder daarbij reeds aan het tellen en aan het optellen te zijn. Daarom ook is de (op)telling zelf niet wezenlijk verschillend van de naam van het getal. In ons eentallig stelsel wordt het duidelijk dat de naam van een getal gelijk is aan de telling van dat getal, of nog anders verwoord: een getal is een (op)telling, meer bepaald een (op)telling van precies zoveel eenheden als dat getal zelf aanduidt. Een getal representeert een (tellings)act of een verzamelingsact. Het oordeel dat er drie koeien zijn is gelijk aan het oordeel dat men drie koeien telt, dat elkeen die aan het tellen zou gaan er drie zou tellen, en dat er dus, ongeacht de teller, hoedanook drie geteld worden, wat dus welhaast hetzelfde is als zeggen dat er drie zijn. Het neerschrijven van een getal is het optellen van eenheden, en het daarbij optellen van nog een getal is gewoon het doorgaan met het optellen van eenheden; de som verschijnt in een eentallig stelsel met de notatie die wij hier voorgesteld hebben geheel spontaan en zonder enige moeite als het totaal van de eenheden die wij neergeschreven hebben. Stel bijvoorbeeld dat ons gevraagd wordt om een groot aantal knikkers te tellen, en wij mogen daarbij ons talstelsel en onze tekens zelf bepalen, dan is het werk zo gebeurd, want als wij onze eenheid bepalen op een knikker, en als we het eentallig stelsel kiezen, en wij stellen een knikker door een knikker voor, dan hoeven we alleen maar de berg knikkers aan te wijzen als oplossing van onze opdracht. Wordt ons gevraagd een tweede berg knikkers bij de eerste op te tellen, dan volstaat het dat we ze op één hoop gieten, en die hoop vormt dan de uitkomst. De optelling vergt dus helemaal niet nieuws van ons; waar dat wél het geval lijkt, worden wij slechts bedrogen door het gebruik van een specifiek talstelsel en van specifieke tekens, en komen alle telproblemen ook uit deze transmissies van tekens en stelsels voort en uit niets anders.
    >


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§18. De optelling en het getal

    §18. De optelling en het getal


    L
    aten we nu nog eens nagaan hoe het bepaalde, bijvoorbeeld het getal 7, ontstaan is. Vooreerst hebben we ons telraam, met name de rij van de natuurlijke getallen. Dat telraam is zelf geen verzameling, maar een bijzondere formule welke een verzameling voortbrengt. Het telraam is in feite een bijzondere verzamelactiviteit van het subject. Het verzamelt die dingen welke door die bijzondere verzamelactiviteit voortgebracht worden. Wat is nu die bijzondere verzamelactiviteit?

    We kunnen op de meest inzichtelijke manier tewerk gaan wanneer we hier met een eendelig talstelsel werken. Dat is een stelsel met slechts één teken en zonder rangen die de waarde van het teken beïnvloeden. Het ene teken schrijven we bijvoorbeeld als volgt: I. Ter vergelijking: in het tiendelig talstelsel hebben we tien verschillende tekens voor tien qua grootte opeenvolgende hoeveelheden (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9), en ook hebben we daar een geordend en oneindig aantal rangen (bijvoorbeeld te beginnen bij de nulde rang en gepositioneerd van rechts naar links zoals de Arabieren doen waar onze algebra vandaan komt), waarbij de waarde van elk teken gelijk is aan de waarde van dat teken vermenigvuldigd met het getal tien geëxponentieerd met het getal dat de rang aanduidt. Algemeen: in het x-delig talstelsel hebben we x verschillende tekens voor x qua grootte opeenvolgende hoeveelheden (gaande van 0 tot en met x) en ook hebben we daar een geordend en oneindig aantal rangen, waarbij de waarde van elk teken gelijk is aan de waarde van dat teken vermenigvuldigd met het getal x geëxponentieerd met het getal dat de rang aanduidt.

    In ons eendelig talstelsel hebben we dus slechts het teken I, en elk getal groter dan I wordt aangeduid door de nevenschikkende toevoeging van hetzelfde teken. De waarde ‘niets’ wordt niet anders aangeduid dan met het woord ‘niets’. De waarde één wordt geschreven als I, de waarde twee als II, drie als III, vier als IIII, vijf als IIIII enzovoort.

    We nemen nu aan dat de waarde I de eenheidswaarde is, en in ons ééntallig stelsel wil dit zeggen dat we er van uit gaan dat dit de kleinst mogelijke (en dus niet meer in kleinere stukken te verdelen) hoeveelheid is, als het ware de kleinst mogelijke ‘schep’ (van bijvoorbeeld graan), of één graankorreltje, zoals dat afgesproken dient te worden. De kleinst mogelijke vermeerdering van I wordt dus vanzelfsprekend bekomen door toevoeging van nog eens de hoeveelheid I, wat zoals afgesproken geschreven wordt als II. En zo gaat dat verder.

    Het tellen zelf is dus a priori een optellen: het telnummer duidt tegelijk aan wat de optelling is van al het getelde. Een ding met telnummer III, duidt dus meteen aan wat het resultaat is van de optelling van het ding met telnummer I bij het ding met telnummer II bij het ding met telnummer III - op voorwaarde weliswaar dat de (op)getelde dingen elk afzonderlijk de eenheidswaarde I hebben, met andere woorden: dat het (de afgesproken) eenheden zijn die (bij elkaar) worden (op)geteld. We moeten dit goed onderstrepen, omdat we goed het onderscheid moeten blijven maken tussen een nummer en een getal of een aantal. Waar wij uit onze oneindige verzameling van de natuurlijke getallen, elk getal afzonderlijk afbeelden op telkens een nieuwe verzameling waarvan het aantal elementen gelijk is aan het aantal dat wordt aangeduid door het getal, hebben we zodoende niet zomaar telnummers afgebeeld, maar wel aantallen, en dat zijn, meer bepaald, aantallen van de eenheid. Getallen worden dus tegelijk gebruikt, enerzijds als nummers (van telkens dezelfde eenheden maar ook telkens andere ‘dingen’ die deze eenheid hebben) en, anderzijds, als aantallen (van eenheden van telkens andere ‘dingen’ die deze eenheid hebben). Als ik nummer II optel bij nummer III, dan heb ik een precies aantal van II eenheden, meer bepaald de eenheid met nummer II en de eenheid met nummer III. Als ik daarentegen het getal II (dat twee eenheden vertegenwoordigt welke genummerd zijn als I en II) optel bij het getal III (dat drie eenheden vertegenwoordigt welke genummerd kunnen zijn als I, II en III, maar bijvoorbeeld ook als III, IIII en IIIII), dan bekom ik het getal IIIII (dat IIIII - al dan niet genummerde - eenheden vertegenwoordigt).

    Waar we een nummer geven aan een ding, hebben we een getal gebruikt als ding-naam, als naam voor een particulier ding. Waar we daarentegen dingen tellen of bij elkaar optellen, gebruiken we getallen als aantallen, en maken we abstractie van de particuliere dingen: niet in die zin dat we daar zouden doen alsof de concrete dingen er niet zijn, maar wel in die zin dat we abstractie maken van de nummering of de naam zelf van de particuliere dingen. Het heeft dan alle belang hoeveel (concrete) dingen we tellen, en dat we elk ding dus precies eenmaal tellen, maar de volgorde waarin we de te tellen dingen plaatsen is verwisselbaar - wat van belang is, is dat er een volgorde (of dus een nummering) wordt aangebracht. De nummering dient om de dingen (als eenheden) onderling te onderscheiden met het oog op de totale grootte of hoeveelheid van de eenheden, en omdat alle eenheden qua grootte gelijk zijn, speelt hun grootte pas een rol waar ze opgeteld worden en dus waar ze als getal (dus: als aantal) aan bod komen.

    Een bepaald getal ontstaat dus door nummering, welke op haar beurt pas door optelling van eenheden kan tot stand komen. Het eerste getal wordt door de eenheid bepaald, het volgende getal wordt bepaald door daar zo weinig mogelijk aan toe te voegen, en dat is opnieuw een eenheid; het daarop volgende getal bekomt men door er opnieuw een eenheid aan toe te voegen, enzovoort.

    Het is dus niet zo, dat we eerst beschikken over onze getallen, en dat we daarna bewerkingen, zoals bijvoorbeeld de optelling, kunnen gaan uitvoeren op onze getallen - neen: de optelling wordt als fundamentele bewerking vereist voor het tot stand komen van de getallen zelf. Verzamelen is reeds optellen: het is een activiteit die voorafgaat aan het tot stand komen van de verzameling van de (natuurlijke) getallen zelf.

    >


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§17. Het onbepaalde en het bepaalde

    §17. Het onbepaalde en het bepaalde


    De rij van de natuurlijke getallen is niets anders dan de projectie van alle mogelijke varianten (op één ‘naam’) die voortspruiten uit onze “nummeringsmachine” of “telformule”, in een ‘denkbeeldige’ werkelijkheid. Daaruit volgt dat het getal (of het nummer) een eigenschap is van het tellen en niet van de (getelde) dingen. Laten we nu vooreerst eens nagaan hoe denkbeeldig die nieuwe, zelf geconstrueerde werkelijkheid van de natuurlijke getallen wel is.

    Hoedanook kunnen wij in de eerste plaats beschikken over een of andere voorstelling van de getallenwereld, omdat we in staat zijn om die wereld af te beelden in de vorm van een verzameling met een oneindig aantal elementen. Daarbij moeten we echter heel goed voor ogen houden dat die verzameling zelf in feite maar één ding is, namelijk een “telformule”, een soort telraam waarmee we op een ordentelijke manier het ene nummer na het andere kunnen vormen zonder daarbij in herhaling te vallen precies omdat we dat op een specifiek geordende manier doen. Datgene wat we de “elementen” van die ‘verzameling’ noemen, zijn ‘dingen’ die eigenlijk niet echt in die verzameling aanwezig zijn zoals er bijvoorbeeld een koe en een stier in een koeienstal aanwezig zijn. De elementen van onze ‘verzameling’, die een telraam is, zijn daar veeleer aanwezig zoals de nazaten van onze koe en onze stier: ze moeten nog gemaakt worden. En onze verzameling is dan ook geen koeienstal, maar het is de koe en de stier zelf: de ‘verzameling’ produceert als het ware zelf haar eigen elementen. Een verzamelaar is hier evenmin op het appel te ontwaren, alleen een producent van zijn eigen elementen, een voortbrenger van zijn eigen specifieke kroost.

    Toch kan men zich nu een verzamelaar voorstellen: iemand die het telraam z’n gang laat gaan, en die alles wat het telraam voortbrengt, in een verzameling stopt. Wat hij op die manier verzamelt, heeft dan die specifieke eigenschap dat het door het telraam voortgebracht werd. Hij verzamelt wat het telraam voortbrengt, maar het telraam houdt er nooit mee op steeds nieuwe nummers voort te brengen; de verzamelaar is eindeloos bezig met het schikken van de nummers in zijn verzameling. Anders dan de koe en de stier, heeft het telraam, dat geheel denkbeeldig is en dus niet onderworpen aan de traagheid van de werkelijkheid, helemaal geen tijd nodig om de eerste honderd nummers voort te brengen, ook niet om de eerste honderdduizend nummers voort te brengen, en zelfs niet om de eerste honderdduizend keer honderdduizend nummers voort te brengen. Als de verzamelaar één seconde nadat hij het telraam in gang heeft gezet, het telraam weer stopzet, dan merkt hij dat hij reeds een oneindig aantal nummers heeft in zijn verzameling. Maar tegelijk moet hij ook inzien dat er nog een oneindig aantal nummers kunnen bijgemaakt worden. Herhaalt onze verzamelaar dit een oneindig aantal keren, dan blijven de vaststellingen die hij de eerste keer deed ongewijzigd, alsof hij geen enkele vooruitgang boekte. Toch heeft hij de indruk dat er vooruitgang moet zijn, want steeds meer nummers die voordien niet in zijn verzameling zaten, zitten er na elke nieuwe seconde wél in. Ook als de seconde in een oneindig aantal stukken wordt gekapt, brengt dit kennelijk geen aarde aan de dijk: bij welk nummer onze verzamelaar ook beland is: hij heeft steeds zowel in als buiten z’n verzameling een eindeloos aantal elementen. En dat komt doordat het nummer waar hij beland is, altijd onbepaald is, namelijk: xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /> (oneindig).

    Onze verzamelaar kan de machine welke nummers voortbrengt niet doen vertragen, want in dat geval zou zij pas na een oneindige tijdspanne oneindig grote getallen voortbrengen en oneindig zijn. Toch moet hij in staat zijn om de nummers als het ware te bevriezen in de tijd, want hij moet in staat zijn om welbepaalde nummers in zijn verzameling aan te duiden, bijvoorbeeld 4, 7 en 122. Hoe doet hij dat nu?

    Het antwoord is eenvoudig: vanuit de oneindige verzameling van de natuurlijke getallen, wordt elk nummer telkenmale nogmaals afgebeeld op een nieuwe, en dit keer eindige verzameling, welke precies zoveel nummers bevat als het getal waarvan die nieuwe verzameling het beeld is, aangeeft. Zodoende verkrijgt men weliswaar een oneindig aantal nieuwe verzamelingen naast die ene eerste verzameling, maar elke nieuwe verzameling apart heeft dan nog slechts een welbepaald en dus een eindig aantal elementen.

    Dat is nu een uiterst verwonderlijke of mysterieuze situatie en een zeer onverwacht resultaat, maar het is niettemin heel correct: het werken met alle mogelijke concrete getallen wordt mogelijk door deze dubbele ingreep: (1°) de afbeelding van het eindige (ene) telraam naar de oneindige verzameling van de natuurlijke getallen, en (2°) de afbeelding van elk concreet getal uit dit oneindig aantal getallen naar een oneindig aantal eindige verzamelingen. Het ene heeft het oneindige voortgebracht, en het oneindige heeft op zijn beurt het vele voortgebracht waarin nu echter alles welbepaald is. Zo is uit het onbepaalde (dat zowel op het ene als op het oneindige slaat) het bepaalde of het bepaalbare ontstaan.
    >


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§16. Nummers en getallen

    §16. Nummers en getallen


    De rij van, bijvoorbeeld, de natuurlijke getallen, N, is dus slechts één enkele naam welke een geheel van allemaal mogelijke namen benoemt: met N correspondeert geen andere werkelijkheid dan de werkelijkheid van bepaalde mogelijkheden. De naam ‘N’ betekent zoveel als: “grondstofreservoir voor de aanmaak van namen”, en nog precieser uitgedrukt: “grondstofreservoir voor de aanmaak van het stoffelijke aspect van namen”. Eerst moeten we hier verder verduidelijken wat we onder een naam dienen te verstaan.

    De naam is datgene wat wordt toegekend aan een ding en waardoor dat ding ook erkend wordt en in het bewustzijn van de naamgever aan het licht komt. Maar als wij nader onderzoeken wat die naam eigenlijk is, dan komen wij tot de vaststelling dat ook de naam zelf een ding-aspect heeft. De naam is namelijk een klank, en dus een bijzonder soort ding, maar die klank wordt een ‘naam’ doordat hij middels een specifieke afspraak aan een ander ding gerelateerd wordt.

    De naamgevingsact is dus die act welke een specifiek object identificeert met een specifieke naam. Die naam is dus in feite een tweede object, namelijk een specifiek geluid. Het verschil met het eerste object is dat dit tweede object door de actor geproduceerd kan worden naar believen. Het eerste object, bijvoorbeeld een appel, heeft oorspronkelijk niets te maken met het tweede object - het geluid dat we heden neerschrijven als “appel”. Maar de act van de naamgeving (welke vanzelfsprekend enkel zin heeft waar een consensus de erkenning daarvan afdwingt) schept een band tussen deze twee objecten. Dit verband is nu een derde ‘object’, namelijk: de betekenis van het object appel voor onze taal, (onze taal, die een specifiek verworven deel is van de  wereld van de geluiden). Met andere woorden: de betekenis (van een naam) is de relatie tussen twee dingen, waarvan het eerste ding het tweede benoemt, of het tweede door het eerste benoemd wordt.

    Het is dus niet zo dat het woord “appel” betekenis zou hebben voor de wereld van de objecten maar, omgekeerd, heeft de wereld van de objecten (namelijk doordat aan elk van deze objecten een specifieke naam gegeven werd) wel een betekenis voor de wereld van onze taal.

    In de naamgeving werd dus een theoretische betekenis gegeven aan het object, en niet een empirische betekenis aan de naam (- zoals bepaalde positivisten geloven). Immers, de objecten zijn er eerst, de naam is vanzelfsprekend later gekomen, namelijk door het middels een specifieke consensus onderling verbinden van de beide objecten.

    Van belang is hier, dat de dingen pas tot bestaan komen waar ze onderling gerelateerd worden. Het ding D bestaat niet, tenzij in verhouding tot de andere dingen, en deze verhouding bestaat niet vooraleer het subject ze instelt, namelijk door de dingen onderling zodanig te verbinden dat ze elkaars namen of benoemden worden. Zoals Martin Heidegger zegt: (…) want de woorden en de taal zijn geen omhulsels waarin de dingen slechts voor het gesproken en geschreven verkeer worden ingepakt. Pas in het woord, in de taal worden en zijn de dingen” (Heidegger 1997: 40).

    De naam is er dus niet zonder het benoemde en ook niet zonder dat andere ding (bijvoorbeeld een bepaald geluid, maar dat kan ook een tekening zijn, of de twee samen) dat met de naam ‘naam’ geïdentificeerd wordt. Tussen die twee (namelijk: het benoemde ding en het geluidsding) moet een relatie gelegd zijn die het ene naar het andere doet verwijzen.

    Dat geluidsding, dat ook een getekend ding kan zijn, kan nu ook een nummer zijn. En met opzet spreken wij hier van een nummer en niet van een getal. Het zou principieel mogelijk zijn om alle namen te vervangen door nummers, en dat zou het ‘voordeel’ opleveren dat het hoogste nummer ons tegelijk zou informeren over het aantal van de benoemde dingen. Indien we dat inderdaad zouden doen, dan zouden wij ook tot de vaststelling komen dat er veel meer benoemde dingen zijn dan materiële substraten, want bijvoorbeeld (1°) een hoed bestaat uit (2°) een hoedrand, (3°) een kap en eventueel ook nog (4°) een deuk, zodat onze namen (of nummers) hier reeds vier dingen onderscheiden waar we slechts één materieel ding hebben, zijnde de hoed als zodanig. Zo komt duidelijk aan het licht dat eenzelfde ‘ding’ meerdere ‘betekenisvolle dingen’ tegelijk is, omdat het in meerdere betekeniskaders kan geplaatst worden. Omdat het nu precies de betekeniskaders zijn die de dingen onder hun specifieke noemers verzamelen, zijn zij het ook die het bestaan van de dingen inluiden, zodat er in feite veel meer werkelijke dingen bestaan dan dat er materiële objecten zijn: dezelfde materie wordt meerdere keren gebruikt in meerdere dingen, en sommige dingen hebben ook helemaal geen materieel ‘lichaam’. Er bestaan dus vele werkelijkheden als het ware allemaal ‘door elkaar heen’, naar gelang de dingen onder specifieke noemers verzameld worden door specifieke subjecten met specifieke doelstellingen. In de ‘wordende werkelijkheid’ nu, zijn de dingen uiteindelijk hun ultieme betekenis, en dienen zij benoemd en beschouwd te worden in functie van het uiteindelijke einddoel van het bestaan zelf. De nummering als naamgeving zou in de dingen een rangorde insinueren die de dingen vanzelfsprekend niet hebben, en ze zou de zaken aldus alleen maar nodeloos bemoeilijken.

    Ons interesseert hier alleen dat de nummering als naamgeving principieel mogelijk is, omdat dit duidelijk maakt dat ook nummers als namen kunnen dienen, trouwens net als tekeningetjes en geluiden, waarbij het feit dat nummers een rangorde bevatten, van geen enkele betekenis kan zijn voor de ordening van het benoemde omdat dit benoemde, zoals onze voorbeelden suggereren, totaal onafhankelijk bestaat van de ‘materiële objecten’. Het enige voordeel dat de nummering kan bieden, ligt in het feit dat zij eindeloze variaties kan maken op één ‘formule’ zonder het gevaar om ooit in herhaling te vallen.

    Wat kunnen we dan aanvangen met die bijzondere formule die we “de rij van de natuurlijke getallen” noemen, en die in feite de mogelijkheid is om eindeloze variaties te maken op één naam? Heel eenvoudig: we kunnen de zaken op hun kop zetten en, vanuit die toch wel spitsvondige “nummeringsmachine”, nu zelf een werkelijkheid construeren waaraan we alleen die ene eis stellen dat met elk ding uit die zelf gemaakte werkelijkheid precies één nummer uit onze machine overeenkomt! En verder is het vanzelfsprekend ook meteen meegenomen dat we de rangorde die onze machine oplevert, mee projecteren in onze nieuwe werkelijkheid, zodat aan elk ding daar precies dezelfde positie wordt toegekend als aan het nummer welke dat ding benoemt. En zo hebben we een geheel nieuwe werkelijkheid geconstrueerd: de werkelijkheid van de getallen!

    >


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§15. Getallen en namen

    §15. Getallen en namen


    Opnieuw worden we dus genoodzaakt om na te denken over de werkelijkheid van de getallen. Dat de getallen ‘ergens’ bestaan, staat geheel buiten kijf, want met getallen kunnen we allerlei dingen doen. Wat heeft ons onderzoek met betrekking tot het wezen van de getallen tot nog toe opgeleverd?

    Om te beginnen kunnen wij een wezenlijk onderscheid maken tussen eenheid en verdeeldheid. Kenmerkend voor de eenheid, die het spanningsloze, het harmonische is, is zijn onwerkelijk karakter: pas in de spanning van de verdeeldheid blijkt het Zijn mogelijk. Ik ben omdat ik mij bewust ben van iets waarvan ik noodzakelijkerwijze verschil. En het is mijn streven naar eenheid dat mij ertoe aanzet dat ik mij met dat object verenig. Om die vereniging mogelijk te maken, moet ik het object eerst erkennen, en dat doe ik door het een naam te geven, zoals ik ook zelf erkend word door een naam te dragen. Ik ben ‘ik’, en het object is ‘het andere’; ik ben het eerste, en het object is het tweede; ik ben 1 en het object is 2.

    Merk nu op dat van zodra ik aan mezelf de naam 1 geef, ik reeds gecapituleerd heb voor de eenheid: het ene wordt verdeeld van zodra er geteld wordt, en de naam 1 heeft niet langer de betekenis van eenheid want hij is, als getal, een relatie, namelijk een verhouding tot het geheel van de getelde dingen, en dat zijn er twee. De naam 1 betekent: het ene van de twee, of: ½. De naam 2 betekent: het andere van de twee of, eveneens: ½. We zien hier duidelijk dat de naam van het eerste (het ‘ik’, of het ‘subject’) niet onderscheiden wordt van de naam van het tweede (het ‘object’). Beide, het subject en het object, worden ze elk benoemd als zijnde ½. De werkelijke betekenis van subject en object is hier mét hun betekenisverschil verloren gegaan. Het subject is met andere woorden reeds geobjectiveerd geworden door het met de noemer 2 te benoemen. De act van het verzamelen zelf - namelijk het onderbrengen van verschillende dingen onder eenzelfde noemer - heeft het particuliere betekenisverschil tussen subject en object uitgewist. Om nu te voorkomen dat dit zou gebeuren, moet in de rangorde van de getallen een hiërarchie ingevoerd worden. Die hiërarchie moet in de eerste plaats rekening houden met de metafysische betekenis van respectievelijk subject en object. Hierbij geldt dat het object niet zonder het subject kan bestaan, want het bestaat pas in het bewustzijn van het subject. Meer nog: het object bestaat pas waar het verzameld wordt - door het subject. Datgene wat wij het eerste noemen, is dus de verzamelaar zelf, diegene die de verzameling maakt, diegene die verzamelt, en hij verzamelt, meer specifiek, het object bij zichzelf, dat wil zeggen, in de verzameling die hijzelf maakt. Er is dus niet een verzameling gegeven waarin het subject en het object mooi naast elkaar kunnen gesitueerd worden, maar wel is er een verzameling van het subject, waarin het object ‘gevangen’ wordt. Wanneer het subject het object nu bij zichzelf optelt, dan kan het subject dat pas doen wanneer het eerst een afbeelding maakt van zichzelf, in die verzameling. Trouwens ook het object wordt in die verzameling afgebeeld. Ik kan aldus geen werkelijke dingen verzamelen, maar enkel afbeeldingen van werkelijke dingen.

    Van zodra ik aan het verzamelen ga, word ik dus genoodzaakt om vooreerst afbeeldingen te maken van de dingen welke ik wil verzamelen. Nu is het maken van afbeeldingen op zichzelf reeds een activiteit die niet verschilt van de act van het verzamelen. Die initiële afbeeldingsactiviteit is de naamgeving. De allereerste verzameling is zodoende de verzameling van alle namen, welke verwijzen naar benoemde dingen welke zelf buiten die verzameling liggen. De relatie die bestaat tussen de namen en de dingen welke met deze namen benoemd worden, wordt door die benoeming, of dus door de naamgeving zelf geconstitueerd. Tot onze initiële verzameling kunnen dus alleen die dingen behoren welke krachtens onze naamgeving door onszelf eerst erkend werden en geen andere. We mogen dus nooit zeggen dat alle dingen ertoe behoren omdat wij niet in staat zijn om alle dingen te erkennen met dat toverwoord ‘alles’: zolang wij de dingen niet afzonderlijk hebben benoemd, dragen zij geen naam en kunnen ze niet tot onze oorspronkelijke verzameling behoren.

    Wanneer wij nu beschikken over een oneindige reeks namen, of beter: een oneindig uitbreidbare reeks namen, zoals dat het geval is met de getallen, dan moeten wij, geheel consequent met wat we zopas hebben vastgesteld, ook aanvaarden dat het hier niet gaat om een oneindig aantal namen, maar wel om slechts één enkele naam, die zichzelf eindeloos kan veranderen (volgens het ons bekend telmechanisme) in een even groot aantal naam-vormen. De rij van wat wij bijvoorbeeld de natuurlijke getallen noemen, is dus niet een rij van allemaal afzonderlijke namen, maar is wel één enkele naam die eindeloos variaties kan maken op zichzelf. Indien wij dit niet zouden erkennen, dan zouden we ook de wezenlijke betekenis van het begrip ‘naam’ miskennen, en dat is: datgene wat een ding (of een afbeelding van een persoon) benoemt. Dit neemt natuurlijk niet weg dat wij de rij van de natuurlijke getallen kunnen benutten voor het benoemen van de dingen die we op ons pad ontmoeten, maar men moet wel goed onthouden dat getallen oorspronkelijk geen namen zijn, doch varianten van één enkele naam. We krijgen aldus, enerzijds, een verzameling van allemaal echte namen - dat wil zeggen: benamingen waaraan echte dingen beantwoorden - en, anderzijds, een verzameling van één enkele naam die echter zichzelf als het ware kan opsplitsen in een oneindige veelheid van namen. Wanneer wij nu aan het tellen gaan, dan relateren we de dingen uit onze verzameling van echte namen met telkens een nieuwe variant van de ‘getalsnaam’. We zien nu duidelijk dat alleen die getalsnamen of kortweg getallen welke in relatie gebracht worden met werkelijke namen, een naamswaarde hebben, terwijl al de andere (nog) geen namen zijn, doch slechts mogelijke resultanten van een telmechanisme dat pas in werking treedt wanneer er werkelijke namen geteld worden.
    >


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§14. Zijn en verzameld worden

    §14. Zijn en verzameld worden


    W
    illen wij nu een subjectieve wiskunde, en in de eerste plaats een subjectieve verzamelingsleer opbouwen, dan moeten we in de eerste plaats definiëren wat het is te bestaan. We hebben nu hoger reeds verduidelijkt dat niets kan bestaan als het niet eerst verzameld werd. Het ding, genaamd x, bestaat, dat wil zeggen: behoort tot de werkelijkheid W, als en slechts als x verzameld wordt, dus: als en slechts als x behoort tot ten minste één (onbepaalde) verzameling, genaamd V. In formulevorm:
    voor alle x geldt: x behoort tot W als en slechts als x behoort tot V

     

    We moeten nu goed onder ogen zien dat V om het even welke verzameling kan zijn, maar niet een lege verzameling (we zullen later betogen dat het concept ‘lege verzameling’ een contradictie is), want die verzameling bevat altijd reeds één element, namelijk x. Hieruit volgt nu overduidelijk dat de werkelijkheid equivalent is aan een onbepaalde ‘verzameling’:
    W is equivalent aan V

    Vervolgens kunnen we nu ook de werkelijkheid, W, bepalen, en we kunnen dat doen door de verzameling V te bepalen, dit wil zeggen: door te bepalen in welk referentiekader we het ding x beschouwen. Bepalen we bijvoorbeeld V tot V1, zijnde de verzameling van alle zichtbare dingen, dan definiëren we hiermee de werkelijkheid als de verzameling van alle zichtbare dingen: werkelijk is wat zichtbaar is; x bestaat als en slechts als x zichtbaar is:
    W is equivalent aan V1 en vandaar geldt: x behoort tot W als en slechts als x behoort tot V1

    Gemakshalve zullen we nu de verzameling V elimineren, in die zin dat we de verzameling W direct zullen voorzien van een index. W zonder index bestaat dus niet, tenzij het de werkelijkheid betreft - niet van de dingen maar van de (erkende) subjecten. We komen hier later op terug.


    Zo bijvoorbeeld zullen we met betrekking tot object-werkelijkheden spreken over de werkelijkheid van de zichtbare dingen (W1), over de werkelijkheid van de geluiden (W2), enzovoort.

    De aandachtige lezer zal inzien dat we deze initiële beperkingen invoeren met een hoge noodzaak, welke er in bestaat dat wij vooraf willen voorkomen dat de bewerkingen die wij met de verzamelde dingen kunnen uitvoeren, irrelevant zouden kunnen zijn. We kunnen bijvoorbeeld geen paarden optellen bij muzieknoten, en om te voorkomen dat we op die manier voor voldongen feiten komen te staan, moeten we dus eerst goed afspreken over welke werkelijkheid (of werkelijkheden) we het zullen hebben; correcter gezegd: welke werkelijkheidscriteria we aannemen. Vooraleer we bewerkingen zullen aangaan met de dingen, kunnen we bijvoorbeeld al achterhalen tussen welke soorten van dingen bepaalde bewerkingen al dan niet mogelijk zijn.

    In een meer concreet geval dat wellicht interessant zal blijken, kunnen we meer bepaald van op voorhand nagaan of we de elementen van een specifieke werkelijkheid kunnen afbeelden naar de bijzondere werkelijkheid van de getallen, met andere woorden: we kunnen nagaan of bepaalde dingen telbaar zijn. Maar vooraleer we dat kunnen doen, moeten we eerst nagaan wat die werkelijkheid van de getallen dan wel mag zijn, en hoe hij zich tot alle andere werkelijkheden verhoudt. Met andere woorden betreft het hier de vraag in hoeverre de kwaliteiten van de dingen - dit wil zeggen: de specifieke noemers onder welke de dingen verzameld worden -  relevant kunnen afgebeeld worden op de bijzondere kwaliteit van de kwantiteit.

    Dit alles zal omstandig en omzichtig moeten uitgebouwd worden, grondend in de overtuiging dat de werkelijkheid niet zomaar een geheel is van dingen, maar veeleer een geheel van perspectieven op dingen. Hiermee is meteen gezegd dat wij de dingen niet mogen beschouwen als zijnde allemaal gerangschikt naast elkaar, maar daarentegen zien wij ze als zijnde noodzakelijk (plastisch) gehiërarchiseerd: afhankelijk van het uiteindelijke perspectief dat wordt toegepast - daarom noemen we hen plastisch gehiërarchiseerd -, nemen de dingen een specifieke plaats in tegenover elkaar, vormen ze elkaars ‘gelijken’, ‘onderdelen’, ‘oorzaken’, ‘mogelijkheidsvoorwaarden’ en zo meer - daarom noemen we hen gehiërarchiseerd.

    Uiteindelijk ligt een specifieke overtuiging omtrent de algehele, teleologische orde van de werkelijkheid aan de basis van onze benadering (zie: Bauwens 2003a). In die orde zijn alle ‘dingen’ uiteindelijk gerelateerd aan het ultieme einddoel van de gehele schepping, en aan niets anders dan aan dat einddoel ontlenen ze uiteindelijk ook hun enige wezen. Dit betekent echter niet dat wij die orde nu al kunnen kennen - in tegendeel - het betekent zelfs niet dat die orde nu al vastligt. Wat echter wel ‘vastligt’, is dat wij allen principieel beschikken over het vermogen om in de richting van het uiteindelijke einddoel te gaan: op elk keuzemoment beschikken wij over een bijzonder onderscheidingsvermogen, ook wel het geweten genoemd, dat ons bekwaam maakt om ons handelen feilloos in die richting te sturen.

    Wij zijn ons ervan bewust dat het tendentieus klinkt om dit uitgangspunt te handhaven, en wij willen er daarom dan ook met klem de aandacht op vestigen dat alle werkelijkheidsbeelden zonder uitzondering noodzakelijk tendentieus zijn, incluis het klassieke beeld van de verzamelingsleer. Om het bij dat laatst genoemde te houden, merken wij op dat het steunt op een zeer arbitrair objectivistisch werkelijkheidsbeeld, namelijk de vooronderstelling dat de werkelijkheid op een relevante manier zou kunnen beschouwd worden als een object, een ding, een hele grote kuip waarin alle dingen als stukken speelgoed verzameld liggen en waarover men als observator, manipulator en constructeur, de vrije beschikking heeft. Daarom ook hebben wij vooraf een specifiek teleologisch werkelijkheidsbeeld, dat aan de grondslag ligt van deze eigen benadering van de wiskunde, verdedigd tegenover het objectivisme dat het klassieke wiskundige denken ‘schraagt’ (zie: Bauwens 2003a).

    >




    Foto

    Foto

    Foto

    Boeken van dezelfde auteur.
    Om een boek te lezen, klik op de prent van de flap.

    Foto

    Foto


    EN FRANCAIS:
    Foto
    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Beluister hedendaagse klassieke muziek van dezelfde auteur: klik op de prent van de weblog hieronder.


    Foto

    Mijn favorieten
  • bloggen.be/paradoxes



  • Archief per week
  • 23/02-01/03 2009
  • 22/05-28/05 2006

    Foto

    Foto


    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op https://www.bloggen.be - Bloggen.be, eenvoudig, gratis en snel jouw eigen blog!