Dit boek ligt in het verlengde van Panopticum Corona (2021) en Het grote interview met Omsk Van Togenbirger en andere teksten over de totalitaire wereld (2022) waar geschetst wordt hoe, onder het voorwendsel van een pandemie, de vrijheid van alle wereldburgers wordt beknot door een totalitair regime dat slechts één credo duldt.
In dit werk staat de bestraffing van de ongehoorzamen centraal: de boekverbranding met in haar zog de massamoord. Maar die wereldwijde praktijk ontgaat de massa daar die werd opgesloten in een kerker van virtualiteit.
De vooralsnog onovertroffen voorloper van deze gruwel is de Congo-historie: de pronkzucht van een megalomane vorst en de slachting van miljoenen zwarten welke nog steeds wil blijven doorgaan voor bekerings- en beschavingswerk.
Het slechte geweten van de demagogen creëert angst, angst roept om veiligheid en veiligheid eist controle. Meer bepaald controle op het onderhouden van de omerta. Wie het niet kunnen laten om de waarheid te spreken, hebben nu alleen nog uitzicht op het einde.
Keren we nu eerst terug naar de optelling, of beter: naar het verzamelen. We herinneren aan het naïeve comprehensieprincipe van Cantor dat zijn verzamelingsleer definieert. Volgens Bertrand Russell brengt het naïeve comprehensieprincipe van Cantor de naar hem genoemde paradox voort, op het ogenblik dat een verzameling beschouwd wordt welke die elementen verenigt die de eigenschap hebben geen element te zijn van zichzelf.
Het is meteen duidelijk dat voor elk ding geldt dat het geen element kan zijn van zichzelf, want dan zou het tegelijk én als element én als verzameling moeten beschouwd worden, wat onmogelijk is. We hebben immers duidelijk gesteld dat de werkelijkheid W zonder index niet bestaat, behalve waar het gaat om de werkelijkheid van de niet-dingen of van de (erkende) subjecten (zie §14): een ding behoort pas tot de werkelijkheid als het behoort tot een zus of zo gespecificeerde werkelijkheid, bijvoorbeeld genoteerd als W1. Die werkelijkheid kan bijvoorbeeld niet tegelijk de werkelijkheid van de grammaticale naamvallen en die van de zichtbare dingen zijn. Hij kan ook niet tegelijk de werkelijkheid van de verzameling én die van het element zijn. Iemand kan bijvoorbeeld wel tegelijk vader en zoon zijn, maar telkenmale is hij dat dan wel tegenover andere personen, en dus in een ander, uniek perspectief; de beide perspectieven tegelijk beschouwen is nonsens.
Maar meer nog dan dat: een eigenschap die geldt voor àlle dingen, is geen eigenschap, omdat elke eigenschap de dingen onderscheidt van andere dingen die deze specifieke eigenschap missen. De eigenschap - maar dit is geen eigenschap - die alle dingen hebben, is deze dat ze bestaan. Maar zoals uiteengezet in §14, is het bestaan van dingen identiek aan het verzameld worden (ongeacht in welke verzameling): x behoort tot de werkelijkheid als en slechts als x verzameld wordt. En de dingen welke verzameld worden zijn vanzelfsprekend dingen die samenvallen met zichzelf: voor alle x geldt dat x=x. Dit is dus geen eigenschap, maar de identiteit.
Anders gezegd: de allereerste verzameling die aan alle mogelijke verzamelingen voorafgaat, en die de dingen verzamelt welke tot de werkelijkheid behoren, wordt niet geconstitueerd door een andere eigenschap dan de eigenschap van het verzameld worden. Maar omdat er geen dingen bestaan welke die eigenschap niét hebben (- de dingen welke die eigenschap niet hebben bestaan immers niet, tenminste niet als ding -), gaat het hier dus niet om een eigenschap maar wel om de identiteit zelf van de dingen. De allereerste verzameling, die de werkelijkheid is, wordt dus niet gedefinieerd door een eigenschap maar wel door de notie identiteit. Metafysisch gezien kunnen identiteiten, niettemin ze tot de werkelijkheid behoren, helemaal niet verzameld worden, want zij danken hun bestaan uiteindelijk aan de intrinsieke erkenning, en de act van de erkenning is grondig onderscheiden van de act van het verzamelen: wie intrinsiek erkend wordt, wordt immers niet verzameld, in tegendeel: zijn anders-zijn wordt aanvaard en daarmee ook het verbod om hem in te palmen. De intrinsieke erkenning van X is gelijk aan het verbod tot het onderbrengen van X in een verzameling, het verbod tot het objectiveren of het tot een ding herleiden van X. X behoort weliswaar tot de werkelijkheid W, maar behoort niet tot een geperspectiveerde werkelijkheid W1 en kan daar ook niet toe behoren.
Vandaar: omdat x is geen element van x geen eigenschap is (- dat geldt immers voor àlle dingen -), is de verzameling van alle x waarvoor geldt dat x geen element is van x, ook geen verzameling, want ze wordt niet door een eigenschap geconstitueerd. Toch gaat het hier om werkelijk bestaanden.
Om de genoemde onechte verzameling toch op een of andere manier als werkelijk te kunnen erkennen, moeten we een beperking invoeren. Noemen we deze verzameling: A, dan kunnen we zeggen dat A gelijk is aan de verzameling van alle x waarvoor geldt dat x geen element is van x én dat x verschillend is van A. (A komt hier zowel links als rechts van het gelijkheidsteken voor in de definitie. Dit is eigenlijk strikt verboden. Nochtans is het aantoonbaar dat voor dit geval (en alleen voor dit geval) een uitzondering moet gemaakt worden. Zie ook verderop.). Deze laatste is dus wél een werkelijkheid, namelijk de verzameling van alle dingen zonder de verzameling van alle intrinsiek erkende entiteiten, omdat deze laatste geen verzameling is, zoals aangetoond. Deze verzameling is nu de werkelijkheid van alles wat subject is, dus van alles wat erkend wordt en niet verzameld kan worden. En het is steeds binnen die werkelijkheid van subjecten dat verzamelingen (welke, zoals aangegeven in §14, altijd perspectieven op de werkelijkheid zijn) kunnen gevormd worden. Aldus kan er geen contradictie, geen Russell-paradox meer ontstaan, want we weten dat y behoort tot A als en slechts als (alss) y niet behoort tot zichzelf én y verschilt van A. Wegens deze laatste, bijkomende voorwaarde, waardoor A als een werkelijkheid erkend wordt, kunnen wij y nu niet meer gelijkstellen aan A, en kunnen wij aldus niet tot een contradictie komen. Deze A is nu niets anders dan de werkelijkheid W zonder index: de werkelijkheid van het niet geobjectiveerde, van het op zichzelf bestaande, het als zichzelf erkende.
Zermelos Aussonderungs Axiom blijkt dus overbodig, als men maar onze definitie van het begrip eigenschap in acht neemt, en het paradijs van Cantor blijft bestaan, zij het mits tevens erkend wordt dat alle geperspectiveerde werkelijkheden (dus: alle verzamelingen, alle W1) ingesloten worden door de werkelijkheid van de subjecten (W zonder index). Hiermee is de zaak dan ook afgedaan: de Russell-paradox bestaat niet in onze subjectivistische wiskunde. (We komen hier nog op terug bij het slot van dit hoofdstuk.)
Maar veronderstellen we even dat we dit nog niet inzien, en beschouwen we een ding a waarvan we veronderstellen dat het element zou zijn van zichzelf. (Men zou hier kunnen tegenwerpen dat bijvoorbeeld de verzameling van alle niet levende dingen zelf niet leeft en dus bevat wordt door zichzelf. Welnu, in de klassieke verzamelingenleer is deze opmerking weliswaar relevant, maar in onze nieuwe visie verdwijnt die paradox. In onze visie is de verzameling immers geen ding, maar een subjectieve act. Het subject zelf is geen ding: het is Werkelijkheid. Het subject behoort echter niet tot de Werkelijkheid als object, want de subjectiviteit valt met de Werkelijkheid samen, welke een activiteit is. Zie ook verderop.). Welnu, dan kunnen we over a zeggen dat het slechts één element kan bevatten, namelijk a zelf. Zou a daarentegen meer dan één element bevatten, dan zou het, zoveel is duidelijk, onmogelijk een element van zichzelf kunnen zijn. Op grond van deze vaststelling nu, (en nog steeds onder de bovenstaande veronderstelling), kunnen wij met zekerheid zeggen dat de verzameling van alle dingen die geen element zijn van zichzelf, meer dan één element zal bevatten. b zal behoren tot de verzameling van dergelijke as, alss (als en slechts als) b niet tot zichzelf behoort. Nemen we nu voor b de verzameling van die as, dan moet gelden dat de as tot de as behoren alss de as niet tot de as behoren. Russell noemt dit een contradictie. Ons inziens kan men hier echter niet tot contradictie besluiten, alleen al omdat een vergelijk tussen de beide leden (namelijk, enerzijds, het linker lid dat de as die tot de as behoren definieert en, anderzijds, het rechter lid dat de as die niet tot de as behoren definieert) onmogelijk is, daar het linker lid pas van kracht is als a maximaal één element bevat, terwijl het rechter lid pas van kracht is als a meer dan één element bevat. In beide leden wordt a dus in een heel ander opzicht beschouwd, wat een relevante onderlinge vergelijking van de beide leden a priori uitsluit, en bijgevolg ook de conclusie van contradictie onmogelijk maakt. Dit alles vanzelfsprekend onder de veronderstelling dat a een element van zichzelf zou kunnen zijn. Veronderstellen wij daarentegen dat a geen element van zichzelf kàn zijn, dan moeten wij concluderen dat alle dingen deze eigenschap delen: niéts is, met andere woorden, een element van zichzelf; geen enkel ding heeft deze bizarre eigenschap; dit is, nog anders uitgedrukt, geen eigenschap. Onder de veronderstelling dat alle dingen niét tot zichzelf behoren, representeert het linker lid van deze cruciale equivalentie helemaal niets, omdat voor geen enkel ding geldt dat het element is van zichzelf, zodat ook in dat geval de vergelijking niet relevant kan gemaakt worden, en de conclusie van contradictie a priori uitgesloten is. Dat het centraal stellen van de act,in plaats van een vermeende essentie, verantwoordelijk is voor het verdwijnen van deze paradox, mag blijken uit onze benadering van de paradox van de barbier hierna. >
Zoals hoger gezegd is verzamelen reeds optellen, en komt de rij van de natuurlijke getallen niet anders dan via de optelling tot stand. De optelling is geen constructie, zoals we in de voorgaande paragraaf benadrukt hebben: als we werkelijke dingen samenstellen, moet daarbij rekening gehouden worden met de wetten van de kosmos, en het vergt heel wat kennis en vaardigheid om dingen zodanig samen te stellen, dat uit deze samenstelling een nieuw ding verrijst - een ding dat ons nieuwe handelingsmogelijkheden biedt. Hoewel optellen veel eenvoudiger is dan construeren, werd er door de natuur zelf al geconstrueerd lang voordat mensen dit zouden leren. Laten we nu eens kijken waar onze noties van optelling en constructie hun oorsprong vinden.
Bekijken we vooreerst eens een eencellig wezentje, zoals bijvoorbeeld een amoebe. Zoals elk levend organisme, ageert de eencellige egocentrisch en egoïstisch: zij trekt voedsel naar zich toe, met andere woorden: zij verzamelt dingen bij zichzelf, ze telt allerlei andere deeltjes bij zichzelf op, teneinde op die manier zelf groter te worden of een grotere eenheid te vormen met de omgeving. Dat de eencellige eet, betekent niets anders dan dat ze verzamelt, of (bij zichzelf, in haar verzameling, in haar maag) optelt. De activiteit van het eten, welke in de meest bewuste laag van dat wezentje ligt, doet niets anders dan optellen, dat wil zeggen: verzamelen en dus niet construeren. Er is veel minder vernuft nodigom deeltjes in te palmen dan om deze deeltjes daarna te verteren. Dat verteringsproces gebeurt veel minder bewust; het gebeurt als het ware niet door de amoebe zelf, maar door haar natuur: verteren vergt geen aandacht, in tegenstelling tot voedsel verzamelen, maar het is tegelijk ook ingewikkelder, want het is niet zomaar gewoon optellen of verzamelen. Verteren betekent integreren: een deeltje dat verteerd wordt, wordt afgebroken en heropgebouwd op zon wijze dat het integraal deel kan uitmaken van het organisme van de eencellige zelf. De vertering beoogt het om het verzamelde (opgegeten) deeltje volkomen te verenigen met het organisme van de amoebe. Terwijl het verorberen gewoon optellen is, is het verteren veeleer reconstrueren of construeren, dat wil zeggen: samenstellen tot iets heel nieuws, want het losse (voedsel)deeltje en de amoebe - aanvankelijk twee aparte dingen - worden door het verteringsproces één nieuw ding, namelijk een nieuwe (dikkere) amoebe. Net zoals een mens een stok en een steen (die twee geheel aparte dingen zijn) tot een geheel nieuw ding (bijvoorbeeld een hefboom) kan samenstellen. In die optiek zouden we kunnen zeggen dat de mens die twee dingen verteerd heeft en door zijn vertering verenigd heeft met zichzelf, doordat hij ze meer bepaald tot een werktuig en dus verlengstuk van zijn handen gemaakt heeft. In een eenvoudigere vorm verenigt de mens de stok die hij vindt met zichzelf door hem als knuppel te beschouwen, wat ook een (re)constructie is of een vereniging van de mens met de stok (die aldus een verlengstuk van zijn handen wordt).
Het verteringsproces is nu veel ouder dan het vervaardigen van werktuigen: reeds de (natuur van de) amoebe maakt constructies (bijvoorbeeld doordat ze voedsel verteert), en pas de homo sapiens, of de hogere diersoorten, kunnen dankzij hun bewustzijn de primitieve natuur hierin (zij het op een elementaire wijze) min of meer navolgen of nabootsen. Tegelijk blijkt de mens ook nog te kunnen optellen of verzamelen: in de eerste plaats waar hij genoodzaakt blijft om voedsel tot zich te nemen, en verder ook waar hij op welke manier dan ook verzamelt, dit wil zeggen: dingen deponeert in een verzameling die niet langer uitsluitend zijn maag is, en met een honger die niet langer uitsluitend zijn honger naar voedsel is, maar een dichte of verre afgeleide daarvan. De verzamelwoede wordt echter nog steeds een honger genoemd, wat eigenlijk verwijst naar de oorspronkelijke natuurlijke basis van deze activiteit.
De eenvoudige bewerking van de optelling is dus helemaal niets nieuws, trouwens net zoals de ingewikkeldere bewerking van de constructie: het zijn activiteitspatronen die in de natuur zelf van het leven liggen, en die door het bewustzijn ontdekt en verder uitgebouwd werden. Optellen is wat reeds de dode materie doet. Om te construeren is er levende materie, meer bepaald een levend organisme of een eenheid van levende materie vereist. Wellicht is de eenvoudigste vorm van constructie de vermenigvuldiging of de deling: het zich spontaan of natuurlijk delen van een organisme dat zich zodoende tegelijkertijd vermenigvuldigt.
Voegen we hier tenslotte en volledigheidshalve nog aan toe dat wij er van uit gaan dat de natuur als zodanig geen constructie is. We kunnen de natuur wel benaderen alsof hij slechts een constructie was, maar dit door te trekken ware onjuist. We volstaan hier met een verwijzing; zie: Bauwens 2003a. >
Wat ons telraam doet wanneer het de rij van de natuurlijke getallen tot stand brengt, is reeds optellen; het is de bewerking van de optelling die aan de basis ligt van de productie zelf van de rij van de natuurlijke getallen. In ons eendelig talstelsel betekent het natuurlijk getal vijf, geschreven als IIIII, precies hetzelfde als: I+I+I+I+I. Het somteken zelf verwijst trouwens naar het samenbrengen van twee dingen: enerzijds wat men reeds heeft (het horizontale streepje) en anderzijds wat daar wordt aan toegevoegd (het verticale streepje); nadat aan het eerste ding een tweede ding werd toegevoegd, worden die twee samen niet alleen als een nieuw ding beschouwd (het kruisje), maar vormen ze ook een nieuw ding, namelijk een nieuw getal.
In de wereld van de getallen volstaat het nu om een aantal eenheden toe te voegen aan een gegeven aantal eenheden teneinde een nieuw getal te verkrijgen. In de wereld van de concrete dingen is dat geenszins het geval: twee dingen worden pas een nieuw ding als ze op een specifieke manier samengesteld worden, en het is te danken aan menselijk vakmanschap en vernuft, dat tot stand komt in gehoorzaamheid aan (of met kennis van) de wetten van de kosmos, dat menselijke constructies mogelijk zijn, of dat dus nieuwe dingen kunnen gemaakt worden. In de denkbeeldige wereld van de getallen wordt geen vakmanschap gevergd, met andere woorden: daar moet geen rekening gehouden worden met de wetten van de kosmos: het werk van de vakman is totaal afwezig in de eenvoudige bewerking van de optelling die, door het naast elkaar plaatsen van twee dingen (namelijk hoeveelheden), spontaan een nieuw ding (een nieuwe hoeveelheid) te voorschijn tovert. Dit toont nogmaals dat hoeveelheden geen dingen zijn, en dat zij niet onderworpen zijn aan de wetten van de materiële wereld waarop de vakman inzake werkelijke dingen wél acht moet slaan. Het neerschijven van het getal I is reeds het optellen van dat getal bij het niets; het neerschrijven van bijvoorbeeld het getal III is het optellen van I bij niets, vervolgens het optellen van een nieuwe I bij de reeds neergeschreven I en tenslotte het optellen van nog een nieuwe I bij de reeds neergeschreven II. Met andere woorden: men kan een getal niet neerschrijven zonder daarbij reeds aan het tellen en aan het optellen te zijn. Daarom ook is de (op)telling zelf niet wezenlijk verschillend van de naam van het getal. In ons eentallig stelsel wordt het duidelijk dat de naam van een getal gelijk is aan de telling van dat getal, of nog anders verwoord: een getal is een (op)telling, meer bepaald een (op)telling van precies zoveel eenheden als dat getal zelf aanduidt. Een getal representeert een (tellings)act of een verzamelingsact. Het oordeel dat er drie koeien zijn is gelijk aan het oordeel dat men drie koeien telt, dat elkeen die aan het tellen zou gaan er drie zou tellen, en dat er dus, ongeacht de teller, hoedanook drie geteld worden, wat dus welhaast hetzelfde is als zeggen dat er drie zijn. Het neerschrijven van een getal is het optellen van eenheden, en het daarbij optellen van nog een getal is gewoon het doorgaan met het optellen van eenheden; de som verschijnt in een eentallig stelsel met de notatie die wij hier voorgesteld hebben geheel spontaan en zonder enige moeite als het totaal van de eenheden die wij neergeschreven hebben. Stel bijvoorbeeld dat ons gevraagd wordt om een groot aantal knikkers te tellen, en wij mogen daarbij ons talstelsel en onze tekens zelf bepalen, dan is het werk zo gebeurd, want als wij onze eenheid bepalen op een knikker, en als we het eentallig stelsel kiezen, en wij stellen een knikker door een knikker voor, dan hoeven we alleen maar de berg knikkers aan te wijzen als oplossing van onze opdracht. Wordt ons gevraagd een tweede berg knikkers bij de eerste op te tellen, dan volstaat het dat we ze op één hoop gieten, en die hoop vormt dan de uitkomst. De optelling vergt dus helemaal niet nieuws van ons; waar dat wél het geval lijkt, worden wij slechts bedrogen door het gebruik van een specifiek talstelsel en van specifieke tekens, en komen alle telproblemen ook uit deze transmissies van tekens en stelsels voort en uit niets anders. >
Laten we nu nog eens nagaan hoe het bepaalde, bijvoorbeeld het getal 7, ontstaan is. Vooreerst hebben we ons telraam, met name de rij van de natuurlijke getallen. Dat telraam is zelf geen verzameling, maar een bijzondere formule welke een verzameling voortbrengt. Het telraam is in feite een bijzondere verzamelactiviteit van het subject. Het verzamelt die dingen welke door die bijzondere verzamelactiviteit voortgebracht worden. Wat is nu die bijzondere verzamelactiviteit?
We kunnen op de meest inzichtelijke manier tewerk gaan wanneer we hier met een eendelig talstelsel werken. Dat is een stelsel met slechts één teken en zonder rangen die de waarde van het teken beïnvloeden. Het ene teken schrijven we bijvoorbeeld als volgt: I. Ter vergelijking: in het tiendelig talstelsel hebben we tien verschillende tekens voor tien qua grootte opeenvolgende hoeveelheden (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9), en ook hebben we daar een geordend en oneindig aantal rangen (bijvoorbeeld te beginnen bij de nulde rang en gepositioneerd van rechts naar links zoals de Arabieren doen waar onze algebra vandaan komt), waarbij de waarde van elk teken gelijk is aan de waarde van dat teken vermenigvuldigd met het getal tien geëxponentieerd met het getal dat de rang aanduidt. Algemeen: in het x-delig talstelsel hebben we x verschillende tekens voor x qua grootte opeenvolgende hoeveelheden (gaande van 0 tot en met x) en ook hebben we daar een geordend en oneindig aantal rangen, waarbij de waarde van elk teken gelijk is aan de waarde van dat teken vermenigvuldigd met het getal x geëxponentieerd met het getal dat de rang aanduidt.
In ons eendelig talstelsel hebben we dus slechts het teken I, en elk getal groter dan I wordt aangeduid door de nevenschikkende toevoeging van hetzelfde teken. De waarde niets wordt niet anders aangeduid dan met het woord niets. De waarde één wordt geschreven als I, de waarde twee als II, drie als III, vier als IIII, vijf als IIIII enzovoort.
We nemen nu aan dat de waarde I de eenheidswaarde is, en in ons ééntallig stelsel wil dit zeggen dat we er van uit gaan dat dit de kleinst mogelijke (en dus niet meer in kleinere stukken te verdelen) hoeveelheid is, als het ware de kleinst mogelijke schep (van bijvoorbeeld graan), of één graankorreltje, zoals dat afgesproken dient te worden. De kleinst mogelijke vermeerdering van I wordt dus vanzelfsprekend bekomen door toevoeging van nog eens de hoeveelheid I, wat zoals afgesproken geschreven wordt als II. En zo gaat dat verder.
Het tellen zelf is dus a priori een optellen: het telnummer duidt tegelijk aan wat de optelling is van al het getelde. Een ding met telnummer III, duidt dus meteen aan wat het resultaat is van de optelling van het ding met telnummer I bij het ding met telnummer II bij het ding met telnummer III - op voorwaarde weliswaar dat de (op)getelde dingen elk afzonderlijk de eenheidswaarde I hebben, met andere woorden: dat het (de afgesproken) eenheden zijn die (bij elkaar) worden (op)geteld. We moeten dit goed onderstrepen, omdat we goed het onderscheid moeten blijven maken tussen een nummer en een getal of een aantal. Waar wij uit onze oneindige verzameling van de natuurlijke getallen, elk getal afzonderlijk afbeelden op telkens een nieuwe verzameling waarvan het aantal elementen gelijk is aan het aantal dat wordt aangeduid door het getal, hebben we zodoende niet zomaar telnummers afgebeeld, maar wel aantallen, en dat zijn, meer bepaald, aantallen van de eenheid. Getallen worden dus tegelijk gebruikt, enerzijds als nummers (van telkens dezelfde eenheden maar ook telkens andere dingen die deze eenheid hebben) en, anderzijds, als aantallen (van eenheden van telkens andere dingen die deze eenheid hebben). Als ik nummer II optel bij nummer III, dan heb ik een precies aantal van II eenheden, meer bepaald de eenheid met nummer II en de eenheid met nummer III. Als ik daarentegen het getal II (dat twee eenheden vertegenwoordigt welke genummerd zijn als I en II) optel bij het getal III (dat drie eenheden vertegenwoordigt welke genummerd kunnen zijn als I, II en III, maar bijvoorbeeld ook als III, IIII en IIIII), dan bekom ik het getal IIIII (dat IIIII - al dan niet genummerde - eenheden vertegenwoordigt).
Waar we een nummer geven aan een ding, hebben we een getal gebruikt als ding-naam, als naam voor een particulier ding. Waar we daarentegen dingen tellen of bij elkaar optellen, gebruiken we getallen als aantallen, en maken we abstractie van de particuliere dingen: niet in die zin dat we daar zouden doen alsof de concrete dingen er niet zijn, maar wel in die zin dat we abstractie maken van de nummering of de naam zelf van de particuliere dingen. Het heeft dan alle belang hoeveel (concrete) dingen we tellen, en dat we elk ding dus precies eenmaal tellen, maar de volgorde waarin we de te tellen dingen plaatsen is verwisselbaar - wat van belang is, is dat er een volgorde (of dus een nummering) wordt aangebracht. De nummering dient om de dingen (als eenheden) onderling te onderscheiden met het oog op de totale grootte of hoeveelheid van de eenheden, en omdat alle eenheden qua grootte gelijk zijn, speelt hun grootte pas een rol waar ze opgeteld worden en dus waar ze als getal (dus: als aantal) aan bod komen.
Een bepaald getal ontstaat dus door nummering, welke op haar beurt pas door optelling van eenheden kan tot stand komen. Het eerste getal wordt door de eenheid bepaald, het volgende getal wordt bepaald door daar zo weinig mogelijk aan toe te voegen, en dat is opnieuw een eenheid; het daarop volgende getal bekomt men door er opnieuw een eenheid aan toe te voegen, enzovoort.
Het is dus niet zo, dat we eerst beschikken over onze getallen, en dat we daarna bewerkingen, zoals bijvoorbeeld de optelling, kunnen gaan uitvoeren op onze getallen - neen: de optelling wordt als fundamentele bewerking vereist voor het tot stand komen van de getallen zelf. Verzamelen is reeds optellen: het is een activiteit die voorafgaat aan het tot stand komen van de verzameling van de (natuurlijke) getallen zelf.
De rij van de natuurlijke getallen is niets anders dan de projectie van alle mogelijke varianten (op één naam) die voortspruiten uit onze nummeringsmachine of telformule, in een denkbeeldige werkelijkheid. Daaruit volgt dat het getal (of het nummer) een eigenschap is van het tellen en niet van de (getelde) dingen. Laten we nu vooreerst eens nagaan hoe denkbeeldig die nieuwe, zelf geconstrueerde werkelijkheid van de natuurlijke getallen wel is.
Hoedanook kunnen wij in de eerste plaats beschikken over een of andere voorstelling van de getallenwereld, omdat we in staat zijn om die wereld af te beelden in de vorm van een verzameling met een oneindig aantal elementen. Daarbij moeten we echter heel goed voor ogen houden dat die verzameling zelf in feite maar één ding is, namelijk een telformule, een soort telraam waarmee we op een ordentelijke manier het ene nummer na het andere kunnen vormen zonder daarbij in herhaling te vallen precies omdat we dat op een specifiek geordende manier doen. Datgene wat we de elementen van die verzameling noemen, zijn dingen die eigenlijk niet echt in die verzameling aanwezig zijn zoals er bijvoorbeeld een koe en een stier in een koeienstal aanwezig zijn. De elementen van onze verzameling, die een telraam is, zijn daar veeleer aanwezig zoals de nazaten van onze koe en onze stier: ze moeten nog gemaakt worden. En onze verzameling is dan ook geen koeienstal, maar het is de koe en de stier zelf: de verzameling produceert als het ware zelf haar eigen elementen. Een verzamelaar is hier evenmin op het appel te ontwaren, alleen een producent van zijn eigen elementen, een voortbrenger van zijn eigen specifieke kroost.
Toch kan men zich nu een verzamelaar voorstellen: iemand die het telraam zn gang laat gaan, en die alles wat het telraam voortbrengt, in een verzameling stopt. Wat hij op die manier verzamelt, heeft dan die specifieke eigenschap dat het door het telraam voortgebracht werd. Hij verzamelt wat het telraam voortbrengt, maar het telraam houdt er nooit mee op steeds nieuwe nummers voort te brengen; de verzamelaar is eindeloos bezig met het schikken van de nummers in zijn verzameling. Anders dan de koe en de stier, heeft het telraam, dat geheel denkbeeldig is en dus niet onderworpen aan de traagheid van de werkelijkheid, helemaal geen tijd nodig om de eerste honderd nummers voort te brengen, ook niet om de eerste honderdduizend nummers voort te brengen, en zelfs niet om de eerste honderdduizend keer honderdduizend nummers voort te brengen. Als de verzamelaar één seconde nadat hij het telraam in gang heeft gezet, het telraam weer stopzet, dan merkt hij dat hij reeds een oneindig aantal nummers heeft in zijn verzameling. Maar tegelijk moet hij ook inzien dat er nog een oneindig aantal nummers kunnen bijgemaakt worden. Herhaalt onze verzamelaar dit een oneindig aantal keren, dan blijven de vaststellingen die hij de eerste keer deed ongewijzigd, alsof hij geen enkele vooruitgang boekte. Toch heeft hij de indruk dat er vooruitgang moet zijn, want steeds meer nummers die voordien niet in zijn verzameling zaten, zitten er na elke nieuwe seconde wél in. Ook als de seconde in een oneindig aantal stukken wordt gekapt, brengt dit kennelijk geen aarde aan de dijk: bij welk nummer onze verzamelaar ook beland is: hij heeft steeds zowel in als buiten zn verzameling een eindeloos aantal elementen. En dat komt doordat het nummer waar hij beland is, altijd onbepaald is, namelijk: