HET VERMOEDEN VAN GOLDBACH
© Jan Bauwens, Serskamp 2003-2004 - ISBN 90-77532-17-X
30-12-2006
Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Inleiding

Inleiding.

Enkele definities.

 

"GOLDBACH, Christian, Duits wiskundige (Koningsbergen 18.03.1690 - Moskou 20 (30).11.1764). Naar hem is het vermoeden genoemd, dat ieder even getal, dat minstens 4 is, de som van twee priemgetallen is. Dit vermoeden is tot heden noch bewezen noch weerlegd." (Algemene Winkler Prins Encyclopedie, vierde deel, pag. 509, Elsevier, Amsterdam/Brussel 1957).

"PRIEMGETAL, een natuurlijk getal groter dan 1, dat alleen zich zelf en 1 als delers heeft. De rij van de priemgetallen, [1], [2], 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ..., speelt een belangrijke rol in de getallentheorie." (Algemene Winkler Prins Encyclopedie, achtste deel, pag. 296, Elsevier, Amsterdam/Brussel 1959). De getallen 1 en 2 werden hier door ons tussen vierkante haakjes geplaatst omdat ze problematisch zijn: het getal 1 wordt in dezer niet beschouwd als een priemgetal; het getal 2 geldt zodoende als het kleinste priemgetal, en het is tevens het enige even priemgetal.


01-01-2007
Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Het te bewijzene

A. Het te bewijzene.

Het te bewijzene luidt als volgt:

"Elk even getal dat groter is dan 2 kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen."


02-01-2007
Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Een bewijs (1)

B. Een bewijs.

B.1. Een intuïtieve benadering: het Vermoeden van Goldbach in beeld.


Een 'intuïtief bewijs' van de stelling genaamd 'het vermoeden van Goldbach'
, dat luidt: "Elk even getal dat groter is dan 2 kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen".

Dit bewijs wordt hier gegeven middels een 'reductio ad absurdum' en met gebruikmaking van de volgende - middels Tschebycheff/Erdös' stelling - te bewijzen hulpstelling, namelijk dat voor elk even getal E groter dan 8 geldt: "Het product van alle priemfactoren pi , waarvoor geldt dat 0<pi <of= (E:2), is altijd groter dan E zelf." Andermaal: het getal 1 wordt hier vanzelfsprekend niet beschouwd als een priemgetal.


Een opmerking vooraf.

De volgende bewijsgang ontstond vanuit de intuïtie dat het Goldbach-probleem pas kon worden opgelost indien zowel de ontbinding van getallen in termen als hun ontbinding in factoren 'in beeld' kon worden gebracht, en wel tegelijkertijd. Daaruit ontstond de idee om te werken met getalsvoorstellingen waarop de beide ontbindingen tegelijk konden zichtbaar gemaakt worden. Het aanvankelijke bewijs heeft een intuïtief karakter. Het wegwerken van de informele aspecten via de formele beantwoording van mogelijke tegenwerpingen, leidde tot een formeel, algebraïsch bewijs dat verderop in deze tekst aan bod komt.


Onze werkwijze.

We gaan in ons 'intuïtief bewijs' tewerk aan de hand van een voorbeeld. Dit teneinde een goed begrip van de bewijsvoering te bevorderen. De algemene aanpak volgt bij het slot van de redenering.


Een intuïtieve benadering.


Goldbach zegt dat elk even getal groter dan 2, schrijfbaar is als de som van twee priemgetallen.

We nemen een willekeurig even getal, bijvoorbeeld het getal 8. Dat de genoemde hulpstelling pas geldt voor E>8 is geen bezwaar. Omdat we de voorstelling hier zo eenvoudig mogelijk willen houden, vragen we de lezer om nog eventjes geduld te willen oefenen: de algemene aanpak volgt dan later.

We stellen het getal 8 nu als volgt voor:



De reden waarom we de getallen voortaan op de getoonde wijze voorstellen, ligt voor de hand: we moeten elk getal tegelijk kunnen beschouwen als een eenheid welke op een welbepaald aantal verschillende manieren samenstelbaar is uit, enerzijds, verschillende termen en, anderzijds, verschillende factoren. Het Goldbachprobleem betreft namelijk een welbepaald verband tussen, enerzijds, de termen en, anderzijds, de factoren van de even getallen. Zo kunnen we op onze voorstelling duidelijk zien dat het getal 8, voorgesteld als een lijnstuk met lengte 8, samengesteld is uit bijvoorbeeld de termen 2 en 6, namelijk door de lijnstukjes met lengte 2, respectievelijk lengte 6, bij elkaar op te tellen, en tegelijk kunnen we zien hoe 8 samengesteld is uit factoren, bijvoorbeeld de factoren 2 en 4, namelijk waar wij kunnen zien dat de factor 2, vermenigvuldigd met 4, resulteert in 8. Om dat goed te zien, zullen we verder trouwens werken met 'golven', en we plaatsen deze term tussen aanhalingstekens omdat we daarmee allerminst fysische golven bedoelen, zoals men verkeerdelijk zou kunnen geloven: het gaat om een voorstellingswijze die, zoals verderop zal blijken, louter didactisch van aard is.

We weten dat elk even getal, een natuurlijk getal als zijn helft heeft. Die helft kan een even of een oneven getal zijn, een priemgetal of een samengesteld getal (N.B.: onder een 'samengesteld getal' verstaan we hier: een veelvoud van een getal dat groter is dan 1).

In ons voorbeeld met het willekeurig gekozen even getal 8, is de helft van dat getal 8 gelijk aan 4.

We duiden het getal 4, de helft van 8, aan op onze voorstelling van het getal 8, door een stippellijn te trekken, doorheen het 'punt 4' en loodrecht op het horizontale lijnstuk dat het voorbeeldgetal 8 voorstelt, als volgt:



We beschouwen nu alle priemgetallen die ofwel kleiner zijn dan, ofwel gelijk zijn aan de helft van ons even getal. In ons voorbeeld beschouwen we zodoende alle priemgetallen pi , zodat 0<pi <of= 4, en in ons voorbeeld zijn dat de getallen 2 en 3. We duiden deze priemgetallen aan met de hoofdletter "P" op onze voorstelling van het getal 8, als volgt:

NB: in feite hebben we het priemgetal 2 niet nodig, omdat de 'tegenhanger' van 2, namelijk het priemgetal dat opgeteld dient te worden bij 2 teneinde aldus als som het even getal in kwestie te bekomen, oneven zal zijn, terwijl de som van een even getal (in casu het getal 2) met een oneven getal (de 'tegenhanger' van 2 zal immers nooit nog even zijn omdat 2 het enige even priemgetal is) nooit een even getal kan opleveren.


Volgens Goldbach's vermoeden nu, moet voor elk even getal E, dat groter is dan 2, en dus ook voor het getal 8 in ons voorbeeld, gelden dat het kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen (welke elk groter zullen zijn dan 2).

NB: we laten hier het priemgetal 2 nog meespelen om de eenvoud van ons voorbeeld geen geweld aan te doen.

We weten nu dat het eerste van die twee priemgetallen (p1), dat altijd zal gelijk zijn aan het getal 2, deel zal uitmaken van de 'eerste helft' van het getal 8, terwijl het getal dat bij p1 dient opgeteld te worden teneinde E te bekomen, en dat we voorlopig c1 noemen (met de c van complement en met de index 1 verwijzend naar het feit dat het hier gaat om het complement van p1 , zijnde het getal dat bij p1 dient opgeteld te worden teneinde E te bekomen), en dat aldus altijd zal gelijk zijn aan het getal (E-2), deel zal uitmaken van de 'tweede helft' van het getal 8. Met andere woorden: voor p1 zal gelden: 0<p1 <of= 4 en voor c1, zal gelden: 4 <of= c1 < 8. Voor elk getal pzal dus gelden dat 0<pi <of= 4 en voor elk getal ci zal gelden: 4 <of= ci < 8. Met betrekking tot de hier gehanteerde, grafische voorstelling betekent dat dus dat pi altijd ergens op de eerste helft zal liggen van het lijnstuk dat het even getal E voorstelt, terwijl c altijd ergens op de tweede helft van dat lijnstuk zal liggen, en dit uiteraard zo opgevat dat het midden van het bewuste lijnstuk wordt beschouwd als behorende tot zowel de eerste als de tweede helft van dat lijnstuk.

Het weze herhaald: Goldbach vermoedt dat er voor elke mogelijke E een pbestaat met tenminste één complement cdat tevens priem is, wat we hier uitdrukken als qi

We beperken ons tot ons voorbeeld, en we schrijven: het vermoeden van Goldbach betekent dat 8 (zoals elk ander willekeurig even getal groter dan 2) kan geschreven worden als: hetzij 2+c1 , hetzij 3+c2 , waarbij hetzij c1 , hetzij c2 een priemgetal of dus een q is. (N.B.: andermaal: hierbij zijn de getallen 2 en 3 de priemgetallen uit onze eerste getalshelft, terwijl c1 en c2 getallen zijn uit onze tweede getalshelft - getallen waarvan , ter bevestiging van Goldbachs vermoeden, er tenminste één priem moet zijn).

We beschouwen nu, op onze voorstelling van het getal 8, de helft van 8 (namelijk het getal 4) als een 'spiegel'. In het algemeen is deze spiegel gelijk aan het getal (E:2).

Zodoende zien we dat c1 het spiegelbeeld is van het getal 2, en dat c2 het spiegelbeeld is van het getal 3. Immers, we weten dat de respectievelijke sommen van pi en ci telkens gelijk moeten zijn aan E.

We duiden nu, op onze voorstelling van het getal 8, deze spiegelbeelden aan met de hoofdletter "C", als volgt::



Wat Goldbach nu zegt, is het volgende: "tenminste één van de aldus bekomen C's, is opnieuw een priemgetal (en dit geldt voor elk even getal groter dan 2)".

We doen nu alsof we niet weten welke getallen ci , met 4 <of= ci < 8, priemgetallen zijn.

Nu beschouwen we opnieuw onze voorstelling van het getal 8, en we duiden daarop ook aan: alle getallen tussen 0 en 8 welke nooit priem kunnen zijn; dat zijn welbepaald samengestelde getallen, meer bepaald: het zijn de veelvouden van de priemgetallen uit de eerste helft, en dus de veelvouden van de priemgetallen pi , met 0<pi <of= 4 die we al hadden aangeduid. We merken nu reeds op dat er slechts twee soorten van getallen bestaan: priemgetallen en samengestelde getallen. De laatstgenoemden zijn veelvouden van priemgetallen.

We vinden deze veelvouden door, telkens vertrekkende vanuit het getal 0, 'golven' te tekenen die de genoemde priemgetallen elk snijden, als volgt:

 

NB: Nogmaals, deze 'golven' stellen hier geen fysische golven voor, het zijn enkel didactische hulpmiddelen in functie van onze voorstelling van getallen als samenstellingen én van termen én van factoren.

De golven die, vertrekkende vanuit 0, doorheen een welbepaalde P gaan, werpen als het ware alle veelvouden als in een zweepslag voor zich uit, meer bepaald telkens waar de golven de horizontale snijden.

We bekomen hier aldus twee golven, namelijk: (1°) de golf van het priemgetal 2 (de volle lijn), die de veelvouden van 2 aanduidt waar ze de horizontale snijdt en, (2°), die van het priemgetal 3 (in streepjeslijn), die de veelvouden van 3 aanduidt waar ze de horizontale snijdt.

We zien dus duidelijk:

(1°) dat het getal 4 niet priem kan zijn wegens de golf van 2;

(2°) dat het getal 6 niet priem kan zijn wegens de golf van 2;

(3°) dat het getal 6 niet priem kan zijn wegens de golf van 3;

(4°) dat het getal 8 niet priem kan zijn wegens de golf van 2;

We herhalen:

al die getallen in de rechter helft van onze voorstelling van het getal 8, die door één van onze priemgolven uit de linker helft van onze voorstelling van het getal 8 doorkruist worden, kunnen niet priem zijn omdat het veelvouden van priemgetallen zijn. In ons voorbeeld zien we dat dit het geval is met de getallen 4, 6 en 8.

We kunnen nu reeds opmerken dat alle andere getallen in onze rechter getalshelft, priemgetallen zullen zijn, aangezien er behalve de samengestelde getallen en de priemgetallen, geen derde soort van getallen bestaan.

Nu passen we de volgende voorstellingswijze toe: teneinde het 'spiegelingsproces' te integreren in onze 'golfmethode', laten we (in ons voorbeeld met betrekking tot het getal 8) niet alleen de priemgetallen pi met 0<pi <of= 4 spiegelen over 4, maar tevens spiegelen we de zopas bekomen golven. Als we nu de gespiegelde golven in rood tekenen, ziet onze voorstelling van het getal 8 er als volgt uit:


De golven die van Links naar Rechts lopen (hier in zwarte kleur voorgesteld) noemen we LRgolven. De golven die van Rechts naar Links lopen (hier in rode kleur voorgesteld) noemen we RLgolven.

Zoals men kan zien, vertrekken de LRgolven vanuit 0, en omdat hun spiegelbeelden de RLgolven zijn, vertrekken de RLgolven vanuit E.

Nogmaals: de RLgolven onstaan door de spiegeling van de LRgolven over (E:2). [In ons voorbeeld is (E:2)=4].



Welnu, hier volgt dan een 'reductio ad absurdum' (en het is heel belangrijk het volgende goed te verstaan):


Indien Goldbach onwaar zou zijn, dan zou er tenminste één even getal E moeten bestaan in welker voorstelling alle spiegelbeelden van de priemgetallen pi met 0<pi <of= 4, altijd niet-priem zouden zijn, met andere woorden: dan zouden, met betrekking tot dat getal, al de spiegelbeelden van de priemgetallen pi uit onze eerste getalshelft, gelegen zijn op LRgolven.(*)
(*) Met andere woorden: als Goldbach onwaar is, bestaat er tenminste één E die niet schrijfbaar is als de som van twee priemgetallen; we weten nu dat de eerste term van die som noodzakelijk uit de eerste getalshelft komt, de tweede term uit de tweede getalshelft; dat zulk een E nooit als een som van twee priemgetallen schrijfbaar was, zou betekenen dat geen enkele term uit de eerste getalshelft van die E, een spiegelbeeld zou hebben dat ook priem zou zijn; maar als die tweede term nooit priem zou zijn, zou hij altijd samengesteld zijn, en dus altijd op tenminste één van de LRgolven liggen.  

Immers: de LRgolven snijden de horizontale in onze tweede getalshelft altijd op punten welke veelvouden zijn van de priemgetallen uit onze eerste getalshelft. [Merk op dat we aldus alle samengestelde getallen in de tweede getalshelft zullen gemarkeerd hebben.]

Maar: het is duidelijk dat zulks slechts het geval kan zijn indien voor dat even getal (en we herhalen: het onderstelde getal E dat, indien het zou bestaan, Goldbach onwaar zou maken) zou gelden dat de RLgolven zelf, de LRgolven zouden weerspiegelen (immers: de som van spiegelbeelden vormt telkens het betreffende even getal), met andere woorden: indien de LRgolven allemaal zouden samenvallen met RLgolven. [Om mogelijke resterende twijfels hier definitief weg te nemen, volgt nog een verduidelijking hieromtrent in de paragraaf B.2.]

Vooreerst nog een opmerking ter voorkoming van misverstanden: het doet er niet toe of 'golven' naar boven of naar beneden toe buigen, omdat het hier, nogmaals, niet gaat om fysische golven, doch om louter didactische voorstellingen; vandaar ook moeten de golven die aan de bovenzijde van de horizontale lopen beschouwd worden als identisch aan golven die aan de onderzijde ervan lopen, van zodra zij op dezelfde punten (getallen) de horizontale kruisen.

Welnu, stel nu eens dat, met betrekking tot een bepaald even getal E groter dan 2, alle LRgolven inderdaad zouden samenvallen met alle RLgolven, dan zou zulks betekenen dat dit getal (- en men beschouwe nu de voorstelling van ons voorbeeld met het getal 8) alle priemfactoren zou moeten bevatten die hetzij kleiner zijn dan, hetzij gelijk zijn aan 4.

In het algemeen: gesteld dat, met betrekking tot een bepaald even getal E groter dan 2, alle LRgolven inderdaad zouden samenvallen met alle RLgolven, dan zou zulks betekenen dat dit getal E alle priemfactoren zou moeten bevatten die hetzij kleiner zijn dan, hetzij gelijk zijn aan (E:2). Immers, al die LRgolven zullen, indien zij zich in RLgolven spiegelen, ook aankomen in E.

We zien nu dat, vanaf een waarde voor E>8, om aan deze voorwaarde te kunnen voldoen, E groter zou moeten zijn dan E (sic!), want reeds het product van alle priemgetallen pi met 0<pi <of= (E:2), is steeds groter dan E zelf, zoals middels Erdös gemakkelijk kan aangetoond worden.

NB: de gevallen met E <of= 8 kunnen vanzelfsprekend apart worden behandeld.

Vandaar kan Goldbach niet onwaar zijn, wat te bewijzen was.



We herhalen dit alles hier nogmaals gevat:

Goldbach ware onwaar als er een even getal E bestond waarvoor zou gelden dat alle ci [=spiegelingen over het getal (E:2) van de priemgetallen pi met 0<pi <of= (E:2)] veelvouden waren (meer bepaald: veelvouden van pi). In dat geval ware er immers geen enkele som van een pi en een ci, beide priem, te vinden. Nu zijn de getallen gelegen tussen (E:2) en E zelf, ofwel priemgetallen, ofwel veelvouden, een derde mogelijkheid is er niet. We weten nu zeker dat alle veelvouden gelegen zijn op LRgolven, die namelijk de veelvouden van de priemgetallen als een zweepslag voor zich uit jagen tot in het oneindige. Vandaar kunnen we ook schrijven: Goldbach ware onwaar als er een even getal E bestond waarvoor zou gelden dat alle ci [=spiegelingen over het getal (E:2) van de priemgetallen pi met 0<pi <of= (E:2)] gelegen waren op LRgolven [meer bepaald: gelijk aan (E:2) of tussen (E:2) en E], want dan zou geen van deze spiegelbeelden priem zijn, zodat geen som van twee priemgetallen ooit gelijk kon zijn aan E. Er zou nu geen probleem zijn indien de LRgolven, eenmaal (E:2) gepasseerd, zichzelf zouden spiegelen in die zin dat hun vormen zowel links als rechts van (E:2) dezelfde zouden zijn: in dat geval zouden we immers zeker weten dat alle ci alle pi zouden weerspiegelen over (E:2), en dat die ci allemaal veelvouden zouden zijn, want dan zouden ze ter rechter zijde van (E:2) net zoals ter linker zijde van (E:2) op de LRgolven liggen. Het probleem is echter dat de vormen van de LRgolven links en rechts van (E:2) niet noodzakelijk (en zoals feitelijk zal bewezen worden ook nooit, maar dat weten we hier nog niet) elkaars spiegelbeelden zijn. Opdat echter alle pi zich zouden spiegelen in ci , moeten ze dat wel zijn. Nu zouden ze dat echter wél kunnen zijn in één welbepaald geval, namelijk in het geval waarin het beeld van de vormen van de LRgolven die ofwel tussen 0 en (E:2) liggen ofwel ermee samenvallen, gespiegeld over (E:2), zou samenvallen met het beeld van de vormen van de LRgolven zoals die eruit zien eenmaal ze samenvallen met (E:2) of (E:2) voorbijgegaan zijn. Wij moeten ons dus het bestaan van een even getal E trachten voor te stellen (op een afbeelding gelijkaardig aan de afbeelding in ons voorbeeld) waarbij de LRgolven perfecte overlappingen zijn van hun spiegelbeelden over (E:2), dewelke wij RLgolven hebben genoemd. In die voorstelling zullen nu noodzakelijkerwijze alle RLgolven vertrekken vanuit E, want E is de weerspiegeling van 0, waaruit alle LRgolven vertrekken. Als nu de LRgolven samenvallen met de RLgolven, betekent dat meteen dat alle LRgolven (die, zoals gezegd, vertrekken vanuit 0) zullen aankomen in E. Wat wil zeggen dat, in dat geval, E alle priemfactoren pi zal moeten bevatten. Opdat echter dit laatste het geval zou kunnen zijn, is E (vanaf een waarde E>8) altijd veel te klein. Zodat de veronderstelling onder dewelke Goldbach onwaar zou zijn, zelf nooit waar kan zijn. Wat te bewijzen was.



Didactisch, schetsmatig overzicht:


In de rechter getalshelft van E worden alle samengestelde getallen gemarkeerd door LRgolven.

(N.B.: LRgolven ontspringen aan de priemgetallen uit de eerste getalshelft. Dat deze golven aldus alle samengestelde getallen in de tweede getalshelft markeren, weten we zeker omdat het tweevoud het kleinste veelvoud is, terwijl we spreken over getals-helften. Het is dus niet mogelijk dat wij in de tweede getalshelft een 'punt' zouden aantreffen dat niet hetzij priem is, hetzij een veelvoud van een priemgetal uit de eerste helft; m.a.w.: elk samengesteld getal in de tweede getalshelft is noodzakelijk een veelvoud van een priemgetal uit de eerste getalshelft. En behalve priemgetallen en samengestelde getallen zijn er geen andere getallen in de tweede getalshelft).

Nu is Goldbach onwaar als er tenminste één welbepaalde E* bestaat zodat voor alle mogelijke sommen pi+ci=E* geldt dat ci samengesteld is.

Gegeven is nu dat alle ci spiegelbeelden zijn van pi, zodat alle ci op RLgolven liggen, en ook weten we dat, voor elke denkbare E, het aantal ci gelijk is aan het aantal pi.

Als nu Goldbach onwaar is, en als er dus een E* bestaat die Goldbach logenstraft, en als zodoende voor alle mogelijke sommen pi+ci=E* geldt dat ci samengesteld is, dan zullen, in de getalsvoorstelling van E*, alle ci niet alleen gelegen zijn op RLgolven, maar tevens op LRgolven.

Omdat er voor elke E evenveel pi als ci zijn, zullen voor deze E* die Goldbach logenstraft, de LRgolven en de RLgolven noodzakelijk samenvallen. 

Edoch, op grond van Tschebycheff kan zo'n E* niet bestaan, en dus kan Goldbach niet gelogenstraft worden. 



(wordt vervolgd)

J.B.


02-01-2008
Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Een bewijs (2)

B.2. Een tweede intuïtieve benadering: het Vermoeden van Goldbach een tweede keer in beeld.


Een tweede 'intuïtief bewijs' van de stelling genaamd 'het vermoeden van Goldbach', dat luidt: "Elk even getal dat groter is dan 2 kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen".




E:2 bevindt zich dus ergens aan de 'zuidpool' van de band.



Zo beschouwd, lijkt het er op dat de punten en de golven spiegelen over het punt 0, dat quasi samenvalt met het punt E.

In feite spiegelen deze elementen over het punt (E:2) dat buiten ons gezichtsveld ligt, maar men ziet duidelijk in dat dit op hetzelfde neerkomt.

De priemgetallen (P1, P2, …) staan nu rechts afgebeeld, en we lezen ze van links naar rechts, net zoals de zwarte LRgolven die ze vormen;

hun spiegelbeelden (P1’, P2’, …) staan nu links afgebeeld, en we lezen ze rechts naar links, net zoals de blauwe RLgolven die ze vormen.

We veronderstellen nu dat Goldbach onwaar is, met andere woorden: dat we een getal E gevonden hebben dat het vermoeden van Goldbach tegenspreekt.

Het spiegelbeeld van P1 is P1’.

P1’ zal krachtens onze onderstelling een veelvoud zijn, en ligt daarom op de zwarte golven, de LRgolven.

Maar omdat P1’ het spiegelbeeld is van P1, ligt het ook op de blauwe golven, de RLgolven, welke de zwarte LRgolven weerspiegelen.

Het spiegelbeeld van P2 is P2’.

P2’ zal krachtens onze onderstelling een veelvoud zijn, en ligt daarom op de zwarte golven, de LRgolven.

Maar omdat P2’ het spiegelbeeld is van P2, ligt het ook op de blauwe golven, de RLgolven, welke de zwarte LRgolven weerspiegelen.

Wanneer we nu de priemgetallen de ene na de andere zouden noemen terwijl we de LRgolven volgen, dan zouden we verkrijgen: (P1, P2, …, …, P2’, P1’). We moeten dus gewoon de band volgen in de richting LR, naar beneden toe, en dan helemaal rond weer naar boven toe

Wanneer we nu de priemgetallen de ene na de andere zouden noemen terwijl we de RLgolven volgen, dan zouden we verkrijgen: (P1’, P2’, …, …, P2, P1). We volgen hier de band in de richting RL, naar beneden toe, en dan helemaal rond weer naar boven toe.

We merken op dat niet alleen de getallen, maar ook de volgorde van de getallen gespiegeld wordt.

Laten we nu de spiegelbeelden, namelijk P1’ en P2’, een tweede keer spiegelen over (E:2).

We zien nu dat de verkregen P1’’ samenvalt met P1 en dat de verkregen P2’’ samenvalt met P2.

Dat is nu het geval voor alle aldus verkregen P’’, omdat de volgorde van de dubbel gespiegelde getallen behouden is gebleven.

Tevens krijgen alle getallen P’’ (welke samenvallen met de getallen P) een supplementaire eigenschap van de getallen P’ mee:

Zoals we zagen, liggen de getallen P’ zowel op de LRgolven als op de RLgolven. Welnu, omdat gegeven is dat de RLgolven en de LRgolven elkaar weerspiegelen, geldt dat ook voor de getallen die erop liggen, in casu alle getallen P’, welke spiegelen in de getallen P’’: de getallen P’’ liggen zowel op LRgolven als op RLgolven.

We weten nu dat de dubbele spiegeling de getallen behoudt alsook hun volgorde.

We weten ook dat de golven door niets anders geconstitueerd worden dan door de betreffende getallen.

Vandaar vallen de LRgolven en de RLgolven noodzakelijk samen.

Nu knippen we onze band weer doormidden op hun punt waar we hem hebben aan elkaar gelijmd, namelijk in de punten 0 of E.

Wat we te zien krijgen, is een tekening waarop de zwarte en de blauwe golven elkaar perfect overlappen. De band blijkt wel oneindig groot geworden, (E:2) blijkt oneindig ver te liggen; we kunnen er niet bij, maar dat is geen bezwaar.

Als nu alle zwarte en blauwe golven samenvallen, komen ook de zwarte (LRgolven) aan in E. En dat betekent dat E alle priemfactoren moet bevatten.

Zo’n E kan niet bestaan (ze moet oneindig groot zijn), zoals middels Erdos bewijsbaar is. Dus kan Goldbach niet onwaar zijn. Wat te bewijzen was.


Bekijk hier de voorgaande paragraaf (B.2.) op video:

(wordt vervolgd)

J.B.

Goldbach intuitief from JB on Vimeo.


30-05-2008
Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.B.3. Goldbach, een eerste bewijs, schetsmatig (video)

B.3. Goldbach, een eerste bewijs, schetsmatig (video):


 
(wordt vervolgd)





Inhoud blog
  • B.3. Goldbach, een eerste bewijs, schetsmatig (video)
  • Een bewijs (2)
  • Een bewijs (1)
  • Het te bewijzene
  • Inleiding

    Foto



    Boeken van dezelfde auteur.
    Om een boek te lezen, klik op de prent van de flap.

    EN FRANCAIS:
     
    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    IN ENGLISH:
    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Beluister hedendaagse klassieke muziek van dezelfde auteur: klik op de prent van de weblog hieronder.


    Foto


    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op https://www.bloggen.be - Bloggen.be, eenvoudig, gratis en snel jouw eigen blog!