Beschouwen we nu nogmaals aandachtig Figuur 40, en vergelijken we daar meer bepaald het beeld links met het beeld rechts, dan valt het volgende op. Het concreet object, genaamd x, is meer dan alleen maar zijn naam: x staat voor een koffiekopje; het is de naam voor een bepaald koffiekopje. Het wiskundig object, ‘genaamd’ (x₁, y₁), staat voor een punt in het vlak; het is de naam van een punt in het vlak. Maar dat punt in het vlak wordt nu door niets anders bepaald dan door zijn naam: het punt valt dus samen met zijn naam, het verschilt niet van zijn naam, het is niets anders dan zijn naam.

Dat het punt, genaamd (x₁, y₁), niets anders is dan zijn naam, betekent dus meteen dat (x₁, y₁) geen naam is, want om een naam te kunnen zijn, moet een object geassocieerd zijn met een ander object, namelijk met het object dat het benoemt, terwijl een punt op het vlak niet zomaar benoemd wordt door zijn coördinaten, maar erdoor bepaald wordt, er identiek mee is. Wiskundige objecten zijn hun ‘namen’ zelf, met andere woorden: wiskundige objecten zijn een bijzondere soort van ‘naam-dingen’.

De naam van een concreet ding verwijst naar een concreet object in de waarneembare werkelijkheid. Dat een concreet object benoemd wordt, betekent dat dit object middels conventie verbonden wordt met een ander object dat dan de ‘naam’ van dit object genoemd wordt. De naam van een wiskundig object daarentegen, verwijst niet naar een concreet ding in de werkelijkheid, maar toch betekent het iets: het verwijst meer bepaald naar definities of conventies.

Conventies zijn geboden, en voor diegenen die zich daaraan houden, bezitten zij de kracht om als het ware ‘op eigen houtje’ een bepaald soort van werkelijkheid te constitueren. Zo bijvoorbeeld zijn spelregels conventies, en zij constitueren een spel, bijvoorbeeld het voetbal. Maar in het voetbal worden er nog concrete objecten vereist, zoals een voetbalveld, een voetbal uiteraard, en spelers. In de meetkunde bijvoorbeeld, zijn ook die objecten zelf louter ‘spelregels’: er is geen voetbalveld; er is alleen de spelregel: “laten we eens veronderstellen dat dit vlak hier, zus en zo bepaald, ons speelveld is”. In het ‘spel’ van de wiskunde bestaan met andere woorden alle concrete objecten enkel als veronderstellingen: dingen waarvan het wezen enkel afhankelijk is van afspraken.

Maar er is toch nog meer nodig dan veronderstellingen of afspraken om bijvoorbeeld aan meetkunde te kunnen doen: wanneer wij namelijk veronderstellen dat wij spelen op een zus en zo bepaald veld, dan moeten wij ons in de eerste plaats een voorstelling kunnen maken van dat veld, en het is duidelijk dat wij dat niet kunnen doen als wij niet eerst zelf een concreet veld waargenomen hebben. Wij kunnen niet zinvol spreken over een bepaald meetkundig vlak, als wij niet de ervaring hebben van een concreet vlak, als wij niet ooit voetbal gespeeld hebben, als we niet zelf behoren tot een concrete werkelijkheid waarin wij ruimtelijke ervaringen kunnen opdoen. Want het is vanuit die concrete werkelijkheid, vanuit dat hobbelige voetbalveld, dat wij onze ideeën halen voor de voorstelling van het volmaakt soort veld dat wij een meetkundig vlak noemen.

Het punt (x₁, y₁) is dus wezenlijk zijn naam, maar deze naam zou helemaal niets betekenen indien wij ons daar niets konden bij voorstellen: een meetkundig punt verwijst dus naar een voorstelling, bijvoorbeeld een bal op een voetbalveld, maar daarbij maken wij abstractie van alle concrete bijzonderheden van het veld en van de bal. Wat wij dan van bijvoorbeeld die bal op het veld nog overhouden om te gebruiken in onze meetkunde, is als het ware alleen nog de positie van die bal, en niet meer zijn grootte, zijn massa, zijn vorm, de materie waaruit hij gemaakt is of zijn kleur.

Vanzelfsprekend is een positie zonder bal een onmogelijkheid, maar toch werken we in de meetkunde met deze onmogelijkheid. In de meetkunde achten we het onmogelijke mogelijk teneinde op die basis een aantal onmogelijke dingen werkelijk mogelijk te kunnen maken. Hetzelfde doen we trouwens ook voortdurend wanneer wij taal gebruiken: middels hun namen maken wij afwezige dingen aanwezig, teneinde ze aldus in zinnen en in theorieën op elkaar te laten inwerken en er zodoende gedachtenexperimenten mee uit te voeren.

In onze voorstellingen van de dingen door hun namen kunnen wij met die dingen gebeurtenissen construeren die we met die dingen zelf nooit zouden kunnen op touw zetten. De reden daarvoor is dat wij in onze voorstellingen abstractie kunnen maken van die eigenschappen van de dingen die ons het concreet opzetten van die gebeurtenissen zouden kunnen verhinderen. We kunnen ons dit alles misschien het beste voorstellen middels de volgende analogie: aan de concrete dingen kleeft vuilnis en modder die ons belet om die dingen in elkaar te puzzelen; in onze verbeelding kunnen we die modder eraf wassen, en zo kunnen we rustig onze geplande puzzel in elkaar zetten.

Zo bijvoorbeeld is de (Euclidische) meetkunde als het ware een verhaal over een smetteloos vlak waaraan geen einde komt, met smetteloze, gewichtsloze bewoners die allemaal eender zijn en die zich kunnen samensmeden tot allerlei lijnen en vormen waarvan de posities exact bepaalbaar zijn omdat er een systeem bestaat van heilig geijkte eenheden die nooit krimpen of uitzetten, wegwaaien of verschuiven. Wij kunnen dat verhaal schrijven door alles wat er in dat land bestaat, in definities vast te leggen. Onvermijdelijk blijven we daarbij onze verbeelding aanspreken, wat dus betekent dat wij de ervaring van de concrete (en ‘smetvolle’) werkelijkheid waarin wij leven, nodig hebben.

Ook wanneer wij verzamelingen aanleggen, ‘idealiseren’ we het verzamelde, want in onze verzamelingen stoppen wij niet de verzamelde dingen zelf, doch enkel hun namen. Die namen bevatten dan welbepaald twee componenten: enerzijds heeft elk verzameld ding de familienaam van de verzameling zelf, bijvoorbeeld k, het initiaal van ‘koe’ (in de verzameling van de koeien), maar anderzijds heeft elk element tevens een voornaam, een index, of een nummer, zodat we het voluit schrijven als bijvoorbeeld k₁, k₂, k₃, algemeen: k_i. Een verzameling bepaalt aldus die twee dingen: de kwaliteit van elk van de verzamelde dingen (bijvoorbeeld ‘koe’), en de kwantiteit van alle verzamelde dingen samen (welke we kennen door het hoogste nummer te kennen). De kwaliteit van elk ding is zijn benoemde eenheid (bijvoorbeeld: één koe); de kwantiteit van een ding is zijn eenheid in verhouding tot de som van alle eenheden (bijvoorbeeld: één van de zeven); de volledige bepaling van het ding geeft zowel zijn kwaliteit als zijn kwantiteit (bijvoorbeeld: één van de zeven koeien).

De elementen van de verzameling bepalen door samenspanning of optelling het aantal van de verzamelde dingen of de grootte van de verzameling; de kwaliteit van elk van de elementen wordt door de verzameling zelf bepaald. Zo beïnvloeden de verzameling en haar elementen elkaar wederzijds, net zoals de burger en de staat elkaar wederzijds beïnvloeden: de mens wordt burger door het bestaan van de staat, en de omvang van de staat hangt af van de hoeveelheid van de opgetelde burgers. De burgers maken de grootte van de staat en de staat bepaalt de kwaliteit van het burgerschap van elk van de ‘inzittenden’.

In de wiskunde nu, gaat de activiteit van de verzameling vooraf aan die van haar elementen, want die kwalificatie zelf vormt de entiteiten die dus eerst als ‘elementen’ bestaan. Een verzameling kan getallen verzamelen, maar ook koppels van getallen, of tripels, viervouden, zesvouden en zo meer. In dat geval vormen de koppels, respectievelijk de tripels of de andere veelvouden de entiteiten, want zij, en niet de getallen afzonderlijk, zijn dan de ‘elementen’. Kortom: inzake wiskundige objecten gaat het ‘element-zijn’ vooraf aan het ‘zijn’, met andere woorden: het ‘zijn’ wordt door het ‘element-zijn’ bepaald, of door de ‘positie’ (in de meetkunde) of nog anderszins, naar gelang een bepaalde wiskundige werkelijkheid geconstitueerd wordt.
>

FIGUUR 40. zie:...

In de linker rechthoek van Figuur 40 stelt x een concreet reëel object voor, bijvoorbeeld het koffiekopje dat ik nu in de hand houd; A is de verzameling van alle kopjes, B is de verzameling van alle dingen die ik aanraak, de doorsnede van A en B bepaalt dit concreet kopje en geen ander. In de rechter rechthoek wordt op een Cartesiaans gecoördineerd assenstelsel dat een vlak definieert, het punt (x₁, y₁) bepaald. Het verschil tussen de bepaling van het concreet object x uit onze rechthoek links en het wiskundig object uit onze rechthoek rechts, bestaat hierin dat het wezen van het wiskundig object volkomen bepaald wordt door het koppel coördinaten (x₁, y₁), terwijl dat zeker niet het geval is voor het concreet object x; over x werd slechts gezegd wat het niet is, het werd door uitsluiting bepaald, of negatief bepaald, maar over het wezen van x weten wij verder niets (- we kunnen er dan wel onze aandacht op richten; we kunnen er naar kijken; het object wordt ‘aangewezen’). Met andere woorden: het wezen van het concreet object x is veel meer dan de doorsnede van A en B, terwijl het wezen van het punt dat gedefinieerd wordt door (x₁, y₁), mét dit koppel ook volledig gegeven is. In wat andere bewoordingen: van ons concreet object hebben we als het ware uitsluitend het ‘adres’ bepaald, terwijl het wiskundig object (het punt) zelf met zijn adres samenvalt.

Wanneer we nu in de verzamelingsleer spreken over verzamelingen en hun elementen, dan maken we eigenlijk abstractie van alles aan die elementen, behalve dan van hun ‘element-zijn’ zelf; we doen dan met andere woorden alsof we mét het ‘adres’ van de dingen, deze dingen zelf bepaald hebben; we maken dus abstractie van het wezen of het zijn zelf van de dingen die we verzamelen. In dit licht kunnen wij dan ook het wezen van een element van een specifieke verzameling bepalen als niets anders dan zijn eigenschap te behoren tot die specifieke verzameling, en met die eigenschap valt dat element dan ook samen. Dit betekent dat wanneer wij verzamelingen aanleggen van concrete dingen, wij deze dingen zodoende eigenlijk ‘ontdoen van zichzelf’ (- maar tegelijk kleden we ze ook aan met zichzelf, in het bijzonder waar het wiskundie objecten betreft). Met andere woorden: door de dingen te verzamelen, verliezen we noodzakelijkerwijze deze dingen zelf; met andere woorden: wat we zodoende in onze verzameling binnenhalen, zijn niet die dingen zelf, maar zijn slechts de ‘adressen’ van die dingen - meer bepaald: de adressen van de dingen zoals bepaald volgens de ‘stafkaart’ van onze verzamelingsleer. Elementen zijn zodoende niets meer dan wiskundige objecten, net zoals de punten van een vlak, en ze hebben geen concrete entiteit in de werkelijkheid. Dat ze naar werkelijke dingen verwijzen berust enkel op de afspraak dat ze met welbepaalde ‘adressen’ mogen geïdentificeerd worden. Maar het is duidelijk dat we zodoende niet langer te maken hebben met de werkelijkheid maar wel met specifieke ‘afbeeldingen’ van de werkelijkheid, dit wil zeggen: reducties, of menselijke, subjectieve constructies, en dat zijn onoverkomelijk vertekeningen.

De verzameling van alle koeien bevat als elementen alle dingen die de eigenschap bezitten een koe te zijn. Maar het koe-zijn is op de keper beschouwd geen eigenschap van een ding, doch een essentie: de koe is wezenlijk een koe en ook niets anders dan dat. Wat een koe dan wel mag zijn, wordt hier niet verder gespecifieerd. Men zou een aantal criteria kunnen vastleggen ter definiëring van het koe-zijn, en men zou dat dan wel moeten doen in de vorm van een opsomming van eigenschappen, zodat men aldus opnieuw een aantal verzamelingen verkrijgt waarvan de doorsnede alle koeien zou bevatten. Maar het is duidelijk dat men zodoende opnieuw zou geconfronteerd worden met het initiële probleem, want ter bepaling van het koe-zijn zal men noodzakelijkerwijze van het begrip ‘koe’ zelf vertrekken, men zal dit begrip dan decomposeren of analyseren, men zal het als het ware in stukken trekken en het middels deze stukken opnieuw gaan bepalen. Het is duidelijk dat zo’n werkwijze onvermogend is om de essentie van het koe-zijn te vatten. De koe volledig te bepalen is een onmogelijke opgave omdat het aantal van haar eigenschappen oneindig is, want relatief aan een even oneindig aantal perspectieven.

Het koe-zijn is fundamenteler dan het ding-zijn: het is pas via en na de ontdekking van bijvoorbeeld koeien, varkens, bomen, lepels en lettertekens, dat het ‘ding’ ontdekt wordt als geabstraheerd uit het geheel waartoe de opgesomden behoren. Wanneer wij dus een koe bepalen als ‘een ding met de eigenschappen x, y en z’, dan zijn we in feite achterstevoren tewerk gegaan.

Dit alles om duidelijk te maken dat elke essentie een oneindig aantal eigenschappen heeft en dus onbepaalbaar is, terwijl men niettemin in de verzamelingsleer via de opsomming (de doorsnede) van enkele eigenschappen concrete, welbepaalde essenties weliswaar kan afzonderen maar nooit wezenlijk bepalen. Nogmaals worden in de verzamelingsleer de dingen noodgedwongen van hun wezen ontdaan omdat daar het ‘element-zijn’ de voorrang krijgt op het ‘zijn’ zelf.

De verzamelaar gebruikt de dingen; hij beschouwt ze als elementen waarmee hij zijn verzameling opvult, net zoals de werkgever de mensen gebruikt en hij hen aldus beschouwt als arbeiders waarmee hij zijn machines kan bemannen. Binnen bepaalde perken blijken de mensen wel te passen in de fabrieken, maar mensen zijn meer dan bedieners van machines. Zo ook blijken de dingen wel inpasbaar in heel wat verzamelingen, maar men zou de dingen onrecht aandoen mocht men hen identificeren met de plaats die zij in onze zelfgemaakte verzamelingen innemen. Er is en blijft met andere woorden een kloof bestaan tussen, enerzijds, de werkelijkheid op zich en, anderzijds, de manier waarop wij de werkelijkheid opvatten en hem ‘in vormen gieten’. Als men bovendien in acht neemt dat ook onze afbeeldingsactiviteit zelf behoort tot de werkelijkheid, worden de zaken er niet minder gecompliceerd op.

Ter verduidelijking: net als afbeeldingen, behoren ook leugens, illusies en dromen tot de werkelijkheid. We zeggen echter niet dat deze ‘onwerkelijk’ zijn, maar wel dat ze ‘onwaar’ zijn: de werkelijkheid bevat zowel ware als onware dingen. Maar wat zijn nu ware dingen? Waarheid en onwaarheid zijn noodzakelijk afbeeldingen van de werkelijkheid, of: werkelijke afbeeldingen. Afbeeldingen welke bijvoorbeeld stroken met de werkelijkheid, welke werkzaam zijn, en zo meer, worden ‘waar’ genoemd; afbeeldingen die niet stroken enz. heten ‘onwaar’. Edoch, alleen al het feit dat het hier gaat om afbeeldingen, maakt dat de werkelijkheid sowieso vervormd wordt. Een volkomen samenvallen van de werkelijkheid met eender welke van haar afbeeldingen is dus uitgesloten: absolute waarheid ligt per definitie buiten ons bereik; we moeten het stellen met een streven naar waarheid. De waarheid is aldus geen voltooide werkelijkheid, doch een verlangde, nagestreefde werkelijkheid. Wanneer wij nu met wiskundige middelen waarheid nastreven, dan moeten we dus vooreerst incalculeren dat onze resultaten per definitie een voorlopigheidskarakter zullen hebben. Anderzijds is het tevens zo, dat de werkelijkheid zich niet anders manifesteert tenzij in de waarheid. Met andere woorden: de kloof waarvan hier sprake, is onafwendbaar maar tevens noodzakelijk. Wanneer wij verderop het probleem van de kansrekening zullen beschouwen, zullen wij op dit probleem uitvoerig terugkeren, en aantonen waarom het onmogelijke tevens het noodzakelijke is.
>

Hoger hebben wij gezegd dat een wiskundig object, bijvoorbeeld een punt in het vlak, door niets anders geconstitueerd wordt dan door het assenstelsel en de coördinaten: het punt is met andere woorden niets meer dan zijn coördinaten in dat bepaald stelsel, en mét die coördinaten geven we ook het wezen van dat punt weer: het punt is dan positief bepaald. Wanneer wij daarentegen in de werkelijkheid een concreet ding bepalen met de methode van de uitsluiting - we maken dan de doorsnede van een aantal verzamelingen welke het ding elk vanuit een eigen perspectief benoemen -, dan hebben we zodoende het wezen van dat ding nog steeds niet weergegeven; het ding werd enkel negatief bepaald.

Dat een ding - bijvoorbeeld een wiskundig object zoals een punt - positief bepaald kan worden, betekent eigenlijk dat dit ding objectiveerbaar is. Dat een ding - bijvoorbeeld een ‘concreet object’ - enkel negatief bepaald kan worden, betekent daarentegen dat dit ding niet-objectiveerbaar is.

Het onderscheid tussen objectiveerbaarheid en niet-objectiveerbaarheid komt nog duidelijker tot uiting wanneer de dingen geplaatst worden in het licht van het onderscheid tussen creatie (schepping van iets uit niets) en constructie (het samenstellen van iets uit iets anders): positief bepaalbare of objectiveerbare dingen zijn dingen die men kan scheppen; enkel negatief bepaalbare of niet-objectiveerbare dingen zijn dingen die men enkel kan construeren. De laatst genoemde dingen hebben een wezen dat aan onze greep onttrokken blijft; de eerst genoemde worden volledig door ons geschapen - althans zo lijkt het.

Een vlak en een punt lijken dingen die hun bestaan uitsluitend danken aan afspraken die wij zelf gemaakt hebben. Zo bijvoorbeeld is ook de volmaakte cirkel een louter menselijke schepping waarvan het wezen zelf samenvalt met bepaalde menselijke afspraken. De cirkel is niet, zoals Plato voorhield, een volmaakte vorm in een universum van perfectie dat model zou staan voor onze betrachtingen, maar hij is daarentegen niets anders dan een door onszelf geschapen definitie, namelijk: “de verzameling van alle punten van het vlak die zich bevinden op één welbepaalde afstand van één welbepaald gegeven punt”. Vanzelfsprekend wordt in deze definitie verwezen naar weer andere definities, met name de definities van een punt, een verzameling, een afstand. Nemen we nu bijvoorbeeld onze definitie van ‘afstand’ onder de loep, dan zien we de afstand van het ene punt tot het andere bepaald wordt als de zogenaamde ‘kortste weg’. We kunnen ons immers op talloze manieren van a naar b begeven, maar de ‘kortste weg’ is uniek. Om nu verder die ‘baan’ van de ‘kortste weg’ te kunnen bepalen, moeten wij ons verlaten op het begrip ‘rechte’, of ‘rechte lijn’, of omgekeerd. En, zoals reeds gezegd, moeten we hier te rade gaan bij de fysicus. Met andere woorden: ook voor het bepalen van onze eigenhandig geschapen dingen - bijvoorbeeld de wiskundige objecten - hebben we uiteindelijk de ‘vreemde’ of de ‘aan onze greep ontsnappende’ werkelijkheid nodig. De wiskundige objecten mogen dan al scheppingen zijn van de menselijke geest - ze blijven noodzakelijk steunen op werkelijke dingen die in geen geval menselijke scheppingen zijn.

Eenmaal wij een specifieke wiskunde gaan bedrijven - bijvoorbeeld de Euclidische meetkunde - maken wij abstractie van het feit dat onze (wiskundige) objecten gerelateerd zijn aan de beperkingen van een specifiek werkelijkheidsbeeld (bijvoorbeeld het Euclidische). We doen dan alsof al het materiaal waarmee we werken zuivere specie is van eigen makelij. Zolang we maar volharden in deze abstractie, kunnen we onszelf ‘voorliegen’ dat wij in staat zijn om middels onze wiskunde de werkelijkheid in onze greep te krijgen of af te beelden. Maar ooit duiken willens nillens in deze wiskunde zelf de bewijzen op van het tegendeel, namelijk in de vorm van ongerijmdheden, paradoxen of contradicties. Het is dan heel verleidelijk om middels ‘ad hoc’-aanpassingen onze wiskunde overeind te houden omdat het inmiddels moeilijk geworden is om die wiskunde die ons als een machtig instrument is gaan toeschijnen, plotseling te moeten opgeven. Nochtans kan de enige ernstige oplossing in dat geval slechts bestaan uit een herzien van de fundamenten van die wiskunde zelf, welke noodzakelijkerwijze in de niet-objectiveerbare werkelijkheid liggen.

Wanneer we nu, na deze opmerkingen te hebben geplaatst, de wiskundige objecten andermaal vergelijken met de concrete dingen uit de werkelijkheid, blijkt het zoëven nog vanzelfsprekend lijkende criterium dat berust op het onderscheid tussen ‘menselijke schepping’ en ‘gegevenheid buiten de menselijke wil om’ - anders gezegd: ‘goddelijke schepping’ - zeker niet afdoende, want ook het ‘zelfgeschapene’ blijkt onafwendbaar met het ‘werkelijke’ ‘besmet’ te zijn. Andersom - zoals bleek uit ons vroeger onderzoek - is ook het omgekeerde het geval: ook het ‘werkelijke’ draagt de sporen van onze subjectieve, creatieve activiteit. En op dit punt aanbeland, wordt het zich wagen aan een vergelijkend onderzoek tussen wiskunde en werkelijkheid vanzelfsprekend een hoogst hachelijke onderneming. De grens tussen de inbreng van het ‘ik’ en die van wat ‘niet-ik’ is, lijkt tegelijk noodzakelijk én onmogelijk.
>

Wat kan nu de zin zijn - of het wezen - van het verzamelen? In de eerste plaats creëert de verzamelaar objecten. Dat zijn weliswaar constructies van hemzelf, maar hij moet voor ogen blijven houden dat hij aldus de werkelijke ‘dingen’ - in feite: de werkelijkheid W - slechts benadert, naderbij komt, ‘negatief’ omschrijft, er iets tracht van te zien. ‘Eenvoudige’ verzamelingen creëren ‘eenvoudige’ objecten, zoals bijvoorbeeld: ‘de verzameling van alle rode dingen’, ‘de verzameling van al mijn bezittingen’ of ‘de verzameling van de hemellichamen’. Wij noemen dit soort van ‘eenvoudige’ objecten gewoonlijk: ‘abstracties’ of ‘generalisaties’, want de verwijzing naar één bepaald werkelijk ding ontbreekt. Door middel van de insluitingsmethode, welke wij kennen als het construeren van doorsneden van verzamelingen, kunnen wij brede perspectieven verengen door ze onderling te relateren en sluiten wij aldus één bepaald concreet ding in - wel te verstaan door de methode van de uitsluiting, en dus op een ‘negatieve’ manier. We drijven aldus de bepaalde, concrete dingen in het nauw, we isoleren ze van de rest, met andere woorden: we prikken ze vast op een bepaalde lokatie in ons door een specifiek coördinatenstelsel bepaald systeem; we geven ze een specifieke plaats in onze betekeniskaders.

Indien het nu maar zo was dat onze betekeniskaders volkomen overeenstemden met de werkelijke absolute betekenis der dingen, dan was er geen enkel probleem. Maar a priori is dit uitgesloten, want het bestaan van betekeniskaders zelf vooronderstelt reeds het opgesplitst zijn van de werkelijkheid in de subject- en de objectpool. Wij kunnen er dus niet aan uit; we moeten het doen met benaderingen en het welslagen van ons streven blijft afhankelijk van de ‘genade’: de tegemoetkoming tot ons van de waarachtige werkelijkheid zelf, en dat is niet een verzameling van de werkelijkheid, maar een ontmoeting met het waarachtige, dat dus noodzakelijk het persoonlijke zal zijn.

Zoals gezegd, kunnen wij met het benoemen of het verzamelen van de dingen, de werkelijkheid benaderen. In het bijzonder krijgen wij door deze analytische én synthetische, naar zin zoekende activiteit, een benaderende afbeelding van de werkelijkheid. Wat wij zien is nog steeds een afbeelding, maar deze afbeelding spreekt ons als het ware over iets dat helemaal niet afbeeldbaar is, en dat ons daarom aanspreekt. Datgene wat ons in bepaalde afbeeldingen aanspreekt, ontsnapt volkomen aan ons redelijk verstand: het is bijvoorbeeld de schoonheid van een natuurtafereel, een zonsondergang, een gelaat, een muziekstuk, een verhaal of een gebeuren. Wij zeggen niet toevallig dat dit ons aanspreekt, want het aangesproken worden vergt een aanspreker, een persoon. Een ‘ding’ kan ons pas aanspreken als het iets in zich heeft dat niet dat ding zelf is maar dat het ding overstijgt. Stel dat wij in een wassen beeldenmuseum rondkuieren, en plotseling spreekt een van de beelden ons aan, dan gaan wij onmiddellijk veronderstellen dat het niet gaat om een louter beeld maar wel om een persoon die zich tussen de beelden heeft opgesteld om ons de stuipen op het lijf te jagen. Zo’n aanspreking kan echter ook minder letterlijk van aard zijn, zoals wanneer een gedicht ons aanspreekt, en in dat geval bedoelen we dat wij achter het gedicht de dichter zelf als het ware kunnen ontmoeten. Het gedicht getuigt in elk geval daarvan dat het door een persoon is neergeschreven. Het kan er ook nog minder letterlijk en zelfs heel figuurlijk aan toe gaan, waar bijvoorbeeld een natuurtafereel ons aanspreekt, en dan hebben wij de indruk dat wij via dat tafereel als het ware de bedoelingen van de schepper daarvan kunnen bevroeden. We herkennen datgene wat ons aanspreekt als een quasi persoonlijke ‘mededeling’ die echter geen informatie geeft maar tegelijk ook veel meer dan louter informatie; er lijkt een ontmoeting te zijn. Wonder genoeg is alles wat met informatie te maken heeft uiteindelijk totaal zinledig als het niet tot ontmoeting leidt: het wordt door de ontmoeting gedragen.

Twee mensen die elkaar tegen het lijf lopen, kunnen zich volkomen solipsistisch gedragen, en doen alsof de ander slechts een ‘machine’ is die er alleen maar uitziet als de mens die men zelf is. Elkeen kan principieel het zelfbewustzijn van elke ander ontkennen; men kan ontkennen dat de ander werkelijk bewustzijn heeft, pijn kan hebben, noden heeft, intrinsiek waardevol is zoals men zichzelf intrinsiek waardevol acht. Het solipsisme als cognitieve overtuiging hebben de meesten onder ons achter zich gelaten, maar de ethische fundamenten van de cognitie blijven echter de medemens als gelijkwaardige negeren. Bovendien dreigt nu zelfs de opmars van een wereldbeeld dat menigen daarvan weet te overtuigen dat niet alleen de ander maar ook het eigen ‘ik’ geen ‘diepte’ heeft: wij zijn allen zonder uitzondering slechts heel ingewikkelde machines, zo luidt het, en wanneer wij geloven elkaar te ontmoeten, dan zijn wij slechts de slachtoffers van een enorme illusie. Het jammerlijke wandenken en de interne contradicties die aan de basis van dit miskleum van een mensbeeld liggen behandelen we elders; we volstaan hier met de vermelding alleen, en wie onder het juk van dit miskleum meent gebukt te gaan, willen wij met aandrang aansporen om eerst kennis te nemen van onze kritiek (zie: Bauwens, 2003a).

Mensen kunnen elkaar als mens miskennen, maar ze kunnen elkaar ook erkennen. Die erkenning nu, is eigenlijk inderdaad een daad zonder ‘wetenschappelijke’ fundamenten, want slechts door introspectie kennen we ons eigen zelfbewustzijn en ook onze zelfwaardering als mens ‘zweeft’, als het ware zonder enige cognitieve houvast. Wanneer wij de ander ontmoeten, dan geven wij hem eigenlijk krediet, wat wil zeggen dat we in hem geloven. Het is mogelijk dat wij te maken hebben met een dief die zich alleen maar als medemens voordoet, of met iemand die ons wat wil aanpraten terwijl hij doet alsof het mooie panarama dat hij met ons deelt, hem aanspreekt. Hij misbruikt dan de menselijkheid in functie van zijn dier-zijn; hij fingeert de ontmoeting waarin de ander gelooft om die ander zodoende voor voldongen feiten te plaatsen. Dit noemen wij het kwaad, niet omdat daardoor een natuurlijk goed veroverd wordt in een natuurlijk gevecht, maar omdat het de ontmoeting miskent die alle dingen draagt en die de ultieme zin uitmaakt van alle handelingen. Die ontmoeting vergt nochtans van ons dat wij een ‘sprong’ wagen in het ongewisse, dat wij krediet geven, dat wij geloven in de ander. En net zo maken wij een sprong wanneer wij ons laten aanspreken door die Ander in een natuurtafereel of in een bijzondere gebeurtenis. Wie zich niet meer laat aanspreken door de schoonheid van de dingen, lijkt wel dood te zijn: zijn lichaam functioneert nog, hij kan nog winst maken en dies meer, maar van een ziel is bij zo iemand nog nauwelijks iets te bespeuren. Iemand die men niet meer kan ontmoeten, wordt ook zelf niet langer geliefd, want als de ultieme zin van de ontmoeting ontbreekt, ontbreekt het de mens aan elke mogelijke zin.

Twee mensen die elkaar tegen het lijf lopen, kunnen met elkaar praten, en misschien ontmoeten ze elkaar ook, maar als ze dat doen, dan wordt van hen gevergd dat ze zich laten aanspreken door datgene aan de ander wat hemzelf, als verschijning, overstijgt. De ontmoeting is onmogelijk zonder het geloof - namelijk het geloof in datgene wat zich niet - of althans niet rechtstreeks - in deze wereld manifesteert. Alleen het geloof in ‘wat er niet is’ kan zingeven aan datgene ‘wat er is’.

Ook met onze betekeniskaders benaderen wij de werkelijkheid, terwijl we tegelijk moeten blijven erkennen dat de werkelijkheid als zodanig aan ons ontsnapt: wij moeten de werkelijkheid die achter de ‘dingen’ zit heiligen, vieren, of vereren. Alleen op die basis kan ons denken zin hebben.
>

Hoger hebben wij er op gewezen dat de werkelijkheid W geen verzameling is. Elke verzameling vergt immers een welbepaald perspectief op de werkelijkheid; zo bijvoorbeeld kan men de werkelijkheid beschouwen onder het perspectief 1, genoteerd als: W₁. Om een perspectief te verkrijgen is nu vanzelfsprekend een subject nodig: perspectieven op de werkelijkheid zijn noodzakelijkerwijze subjectief. Er zijn nu zoveel verzamelingen mogelijk (of: maakbaar) als er subjectieve perspectieven mogelijk zijn. Omdat in elk subject lichaam en geest verenigd worden, moeten a priori twee soorten van perspectieven onderscheiden worden: deze die te maken hebben met uitsluitend het lichamelijke, en deze die het geestelijke betreffen. Wat betreft de perspectieven die bepaald worden door de menselijke lichamelijkheid, hebben wij gewezen op het feit dat de aldus bereikte intersubjectieve overeenkomsten geen uitstaans hebben met een vermeende objectiviteit, maar enkel te wijten zijn aan het abstraheren van mogelijke interindividuele verschillen, wat kan gebeuren middels ijking en instrumentalisering van waarnemingsgegevens. De betekeniskaders welke corresponderen met de lichamelijkheid (de zintuiglijke waarnemingen) hebben te maken met bijvoorbeeld zelfbehoud en behoud van de soort; zij zijn dwingend wegens een reeds definitief gesloten verbond waardoor wij aan de natuur vastzitten met ons lichaam. Maar die betekeniskaders worden zelf nog gedragen door hogere betekeniskaders die wij geestelijk noemen, en waar tegenover wij met grote vrijheid een keuze kunnen maken. Net zoals wij middels onze lichamelijkheid (onze zintuigen en ons verstand) de natuurwetten - althans tot op zekere hoogte - kunnen bevroeden, zodat wij gaan zoeken naar de uiteindelijke samenhang van alles, de ‘theorie van alles’ of de ‘ultieme formule’, de ‘steen der wijzen’ zo men wil, net zo kunnen wij met onze ziel (onder meer ‘geweten’ genoemd) de wetten van het geestelijke leren kennen, en kunnen wij, vanuit ons verlangen naar de uiteindelijke geestelijke eenwording van alles en van allen, deze eenwording vooropstellen (meer bepaald als de ‘Liefde’, de ‘voltooiing van de wereld’ of het ‘einde der tijden’) als het ultieme betekeniskader dat alle andere betekeniskaders genereert en hiërarchiseert.

Derhalve kunnen wij verzamelingen als volgt definiëren. Verzamelingen W₁, W₂, W₃, enz., kortom: verzamelingen W_i zijn afbeeldingen van de werkelijkheid W (die zelf geen verzameling is) onder subjectieve perspectieven (objectiveringen, instrumentaliseringen, belichtingen) van (bepaalde facetten van) de werkelijkheid W door de subjecten - en zo verkrijgt men ‘eigenschappen’ - in functie van (1°) het doen oplichten van specifieke betekeniskaders (waardoor specifiek betekenisvolle objecten gecreëerd worden), welke (2°) passen in de hiërarchie van alle betekeniskaders die uiteindelijk in functie staan van de voltooiing van de wereld: de algehele eenwording, de realisatie van de liefde.

Hierbij moet eerst worden opgemerkt dat deze ultieme zin (de vooropstelling van het ‘einde der tijden’) geen deus ex machina is, geen verplichting, of geen arbitraire stellingname, maar wel precies datgene waar we vanuit het diepste van ons wezen naar verlangen, zoals beschreven in het voorafgaande (vanaf §1): het Zijn verlangt wezenlijk naar waarachtig één-zijn.

Verzamelingen W_i zijn dus W-afbeeldingen door subjecten S_i, in functie van de vereniging van S_i met alles en allen.

Verzamelingen W_i zijn dus door S_i gecreëerde instrumenten ter vereniging van zichzelf met W.

Deze ‘W-afbeeldingen’ of ‘éénmakings-instrumenten’ zijn nu precies wat wij objecten of dingen noemen: verzamelingen representeren subjectieve activiteiten die objecten genereren, en die objecten zijn de instrumenten waarmee wij de eenheid nastreven.

Enerzijds is er de voltooiing van de wereld binnen onze geest, in ons verlangen, als een mogelijkheid. Wij kunnen deze voltooide wereld niet zien: wij trachten hem wel tastbaar te maken voor ons: we trekken hem naar ons toe, meer bepaald door hem af te beelden. Maar door het maken van die afbeelding verliest die nagestreefde wereld zijn eigenheid of zijn eenheidskarakter, en doet hij zich aan ons voor als een menigvuldigheid van dingen of objecten. Wij kunnen ons voorlopig tevreden stellen met die veelheid, mits we meteen ook de samenhang in die veelheid erkennen, dat wil zeggen dat wij de verkregen objecten (welke functies, zingehelen of handelingsmogelijkheden zijn) onderling relateren in steeds omvattender zingehelen welke hiërarchisch geordend zijn onder de ultieme (en mede door onze arbeid te verwezenlijken) zin van het ‘einde der tijden’.

Verzamelingen zijn aldus manifestaties van W op de lagere niveaus. De vele werelden van de evenzo vele dingen hebben op zichzelf beschouwd geen onderlinge samenhang, tenzij ze op hun beurt verzameld worden onder steeds meer omvattende noemers, en die telkens overkoepelende activiteit van het verzamelen wordt noodzakelijk gestuurd door de mogelijkheid die ze biedt om de realisatie van het verlangde dichterbij te brengen.

W is geen verzameling omdat W onbereikbaar is. W komt binnen het bereik door W af te beelden. Maar in de afbeelding van W gaat W zelf ten dele verloren. Dit verlies kan worden gecompenseerd door de ‘navelstreng’ tussen de afbeeldingen en het afgebeelde als zodanig te blijven erkennen, en dat gebeurt waar men alle afbeeldingen hiërarchisch ordent in functie van de realisatie van W.

Deze vereiste hiërarchische ordening van de dingen is echter zelf veel meer dan een verzamelende activiteit: zij vergt een constructieve en creatieve activiteit veeleer dan een louter verzamelende. In tegenstelling tot de activiteit van het verzamelen die bijna puur theoria is en bijna louter de geest betreft, vergt de creatieve constructieve activiteit het engagement van de volledige mens, met name zijn praxis. En op dit punt beland, blijkt het kennen als zodanig uiteindelijk naar het handelen te moeten grijpen om zelf zijn inhoud te kunnen behouden. Met andere woorden: het is om zeggens onmogelijk om vorderingen te maken zonder de eigen handen uit de mouwen te moeten steken.

FIGUUR 37: zie...

De rechthoeken die we in Figuur 37 zien, zijn afbeeldingen van het werkelijkheidsbeeld. Eigenlijk is het onterecht of onmogelijk om het werkelijkheidsbeeld op zijn beurt af te beelden, maar we kunnen niet buiten deze noodzaak. Zo stelt de rechthoek links in feite de niet-afgebeelde werkelijkheid W voor, maar strikt genomen kan W per definitie niet afgebeeld worden. In feite omsluit W (de rechthoek links) alle volgende rechthoeken, en bovendien bestaat hij niet. Maar we moeten nu eenmaal abstractie maken van het feit dat we hier met afbeeldingen te doen hebben, anders kunnen we geen stap verder komen.

De tweede rechthoek geeft weer hoe W zichtbaar wordt (of: afgebeeld wordt), namelijk als W₁, in het licht van een welbepaald subjectief perspectief S₁. In de derde rechthoek wordt een analoog zicht op W gegeven, namelijk W₂, in het licht van S₂. Zo zijn er een oneindige reeks van werkelijkheidsbeelden mogelijk omdat er oneindig veel subjectieve perspectieven mogelijk zijn, en dat stellen we voor door W_i en S_i.

Een concreet voorbeeld kan ons hier misschien vooruit helpen. Verzamelen is onder een noemer plaatsen of benoemen. Wanneer wij bijvoorbeeld denken aan een concreet ‘ding’, zoals bijvoorbeeld “dit boek”, dan kan dat ding geplaatst worden onder de noemer van de boeken. Om nu volkomen bepaald te kunnen worden, zijn echter nog enkele andere van de vele mogelijke benoemingen noodzakelijk. Andere mogelijke benoemingen zijn: “het ding getiteld ‘Mathematica Christiana’”, “een van mijn bezittingen”, “een tekst”. Reeds met de bepalingen (1°) “het ding dat die bepaalde titel draagt” en (2°) “het exemplaar van dat ding dat mijn bezitting is”, wordt een doorsnede gemaakt van twee verzamelingen waarin alleen dit ene concrete ding bevat zit (tenminste als ik er slechts één exemplaar van bezit), en waarmee het ding bepaald is. Maar deze bepaling is echter wezenlijk exclusief van aard: ze zegt alleen dat dit ding bedoeld wordt en geen ander ding, maar ze zegt geenszins wat de essentie van dit ding is. Met andere woorden: ze zondert dit ding af in de ruimte, net zoals een punt met behulp van een assenstelsel en coördinaten wordt afgezonderd in de ruimte, maar ze zegt niet wat dit punt is. In de meetkunde is het nu zo, dat het gezochte ding in kwestie niets anders is dan dit met assenstelsel en coördinaten bepaald punt; maar in de concrete werkelijkheid is dit boek, hoewel door de doorsnede van bepaalde verzamelingen exclusief bepaald, niet in essentie bepaald of bepaalbaar. De reden daarvoor ligt in het feit dat de wiskundige dingen louter constructies zijn (ze zijn niets meer dan datgene wat we ervan maken), terwijl de concrete dingen een werkelijkheidsgehalte hebben dat aan de greep van het subjectieve ontsnapt. Eigenlijk is het verzamelen (of het benoemen, de poging om middels benoemingen te bepalen) een poging om het voorhanden zijnde, dat zijn oorsprong heeft buiten het subject, te verbinden met datgene wat het subject zelf construeert. En dat lukt enkel in exclusieve zin: de verzameling (van concrete, werkelijke dingen) lukt dus slechts als een negatieve bepaling. Met andere woorden: onze kennis van de werkelijkheid is een negatieve kennis: wij kunnen niet en nooit zeggen wat iets is; wij kunnen enkel via de uitsluitingsmethode van het verzamelen bepaalde dingen isoleren van alle andere dingen. Net zoals het in bezit nemen van dingen - de bepaling dat die dingen onze eigendom zijn - slechts kan berusten op grond van een bepaalde conventie, en niet op grond van een werkelijke in bezit name. Als ik een paard bezit, dat mijn buurman niet bezit, dan wordt dit bezit geconstitueerd door een afspraak welke bekrachtigd wordt door geïnstitutionaliseerd geweld, door kracht, en dat bezit handhaaft zich slechts zolang die kracht doorwerkt; eenmaal die kracht ophoudt werkzaam te zijn, bijvoorbeeld omdat de staatsstructuren verdwijnen, omdat ik mijn eigendomsbewijs verlies, kortom omdat ik mijn bezit niet meer kan verdedigen, kan mijn buurman mij dit paard gewoon ‘ontvreemden’. Het bezitten van een paard drijft enkel op de concrete kracht (of een afgeleide daarvan) van het in z’n bezit houden, maar het bezit als zodanig blijft een ‘exclusieve’ of ‘negatieve’ bepaling, ze is geen wezenlijke zaak, niets anders dan een papiertje, een afspraak, verbindt de bezitter met zijn bezit. De afspraak zegt: dit paard is niet van u hier, ook niet van u daar, enzovoort: dus het is van mij. Maar het bezit houdt werkelijk niets anders in dan die negativiteit. Net zo is het verzamelen, het bepalen of het afbeelden van werkelijkheid slechts een zaak van conventies, een ‘exclusieve’ of een ‘negatieve’ bepaling, en dus een (gammele) constructie, doch geenszins een waarachtig ‘aanraken’ van werkelijkheid. De werkelijkheid kan niet worden verzameld, benoemd of gekend: het afbeelden van de werkelijkheid heeft daarom slechts zin in zoverre het afgebeelde zelf als ‘heilig’ wordt beschouwd, dat wil zeggen: de verzamelaar moet zich bewust blijven dat wat hij aldus ‘in zijn bereik’ brengt, wezenlijk mysterie blijft. Nog anders verwoord: in onze interactie met de werkelijkheid moeten wij een correcte houding tegenover de werkelijkheid aannemen: wij moeten beseffen dat wij aldus gebruik maken van de werkelijkheid, en dat het aldus de werkelijkheid zelf is die ons tegemoet komt en die ons een handje helpt; in geen geval zijn wij het die de werkelijkheid in onze greep houden. Waar wij geloven de werkelijkheid te manipuleren, bedriegen we alleen onszelf, en zijn we druk doende met het manipuleren van niets anders dan onze eigen constructies: we reconstrueren slechts wat we voordien al zelf ineen geknutseld hadden.

De projectie van onze taal en van onze wiskunde op de dingen is daarom alleen dan zinvol, wanneer wij ons bewust blijven van de afstand die wij hoedanook tegenover de werkelijkheid blijven behouden en dus moeten respecteren. Het is dan ook overduidelijk volkomen waanzinnig wanneer bepaalde mensen geloven dat al datgene wat zij niet in staat zijn te meten of te benoemen, niet bestaat.

Zo moet de ernstige wiskundige uiteindelijk zijn toevlucht nemen tot de fysica, bijvoorbeeld inzake het probleem van de ‘rechte lijn’ (zie: de Swart 1989: 10-12). Zo ook zal de fysicus op zijn beurt bij de bioloog te rade moeten gaan, de bioloog bij de metafysicus en deze laatste bij de Heilige Schrift.
>