Inhoud blog
  • Download dit boek in pdf
  • Literatuur
  • §57. Het ‘onmogelijke’ is noodzakelijk
  • §56. Hoop en transcendentie
  • §55. Noodzakelijk en onmogelijk - de inconsistente logica’s voorbij
  • §54. Werkelijkheid en waan
  • §53. Schepping
  • §52. Het noodzakelijk teleologisch karakter van de objectieve werkelijkheid
  • §51. De objectieve werkelijkheid gedefinieerd
  • §50. De gokker jaagt zichzelf buiten de werkelijkheid
  • §49. De gokker jaagt de steen buiten de werkelijkheid
  • §48. Kansrekenen en subjectiviteit
  • §47. De essentiële betekenis van de subjectieve component in de verklaring van het theorema van Bernouilli (de Wet van de Grote Getallen (Aantallen))
  • §46. De idee, de wil en de daad
  • §45. Het concept ‘toeval’
  • Vierde Hoofdstuk: : §44. Het concept ‘kunnen’
  • §43. Aanzet tot de principes van een subjectivistische verzamelingenleer
  • §42 (vervolg)
  • §42. Naar een subjectivistische verzamelingsleer
  • §41. Wat zijn wiskundige objecten?
  • §40. Concrete en wiskundige objecten
  • §39. Een noodzakelijke én onmogelijke grens
  • §38. Verzamelen en ontmoeten
  • Derde Hoofdstuk: Een Subjectivistische Verzamelingsleer : §37. De werkelijkheid ‘verzamelen’
  • MATHEMATICA CHRISTIANA: vervolg 1
    Zoeken in blog

    MATHEMATICA CHRISTIANA (2)
    OVER WISKUNDE EN TELEOLOGIE (2)
    28-05-2006
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§43. Aanzet tot de principes van een subjectivistische verzamelingenleer

    §43. Aanzet tot de principes van een subjectivistische verzamelingenleer

    Het allereerste principe noemen we het bestaansprincipe of het identiteitsprincipe of het principium contradictionis: alle dingen die gelijk zijn aan zichzelf, bestaan. Anders gezegd: elk ding dat gelijk is aan zichzelf, behoort tot de werkelijkheid (W):
    Voor alle x geldt: als x=x dan behoort x tot W


    Deze regel drukt een identiteit uit, en geldt dus ook andersom: alle dingen die tot de werkelijkheid (W) behoren, zijn gelijk aan zichzelf:
    Voor alle x geldt: als x behoort tot W dan geldt dat x=x


    Nog anders geformuleerd, gaat het hier aldus om een equivalentie: alle dingen die gelijk zijn aan zichzelf, zijn precies die dingen die behoren tot de werkelijkheid (W):
    Voor alle x geldt: x behoort tot W alss (als en slechts als) x=x

    Zodoende komen we tot het tweede principe, het principe van de hiërarchie, dat de verzameling onderscheidt van het verzamelde: we kunnen de werkelijkheid (W) definiëren als de verzameling van alle dingen die gelijk zijn aan zichzelf, maar dan moet ook gelden dat die dingen zelf niet samenvallen met de werkelijkheid, aangezien ze er deel van uitmaken. Dit betekent dat de werkelijkheid (W) zelf geen ding is:
    W is de verzameling van alle x zodat x niet behoort tot W én x=x

    Merk op dat de werkelijkheid (W) of de verzameling van alle x, iets anders is dan die x zelf: de werkelijkheid is iets wezenlijks anders dan de som van haar elementen. Ter illustratie verwijzen wij naar de eerste paragraaf (getiteld: het begrip ‘verzameling’), en we citeren: “stellen we dat er alleen maar de getallen 1, 2 en 3 bestaan. Nu zijn wij geneigd te denken dat de verzameling van alle dingen, gelijk is aan de verzameling waarvan deze drie getallen de elementen vormen, namelijk: {1,2,3}. Maar onmiddellijk zien wij in dat dit niet alles is, want uit deze verzameling wordt ook de volgende verzameling mogelijk: {{1},{2,3}}, alsook: {{1,2},{3}} en {{1},{2},{3}} en {{{{1,2,3}}}} en zo voort, tot in het oneindige”.

    En vandaar geldt ook dat W geen element is van zichzelf: de werkelijkheid zelf behoort niet tot de werkelijkheid wegens het principe van de hiërarchie:
    W behoort niet tot W

    Het derde principe volgt rechtstreeks uit het principe van de hiërarchie, en luidt als volgt: opdat een ding zou kunnen behoren tot een ander ding, moeten die twee dingen onderscheiden zijn. Het is, met andere woorden, onmogelijk dat twee identieke dingen deel zouden kunnen uitmaken van elkaar. Dit wil zeggen:
    als a=b dan behoort a niet tot b, waarbij a en b vanzelfsprekend onderling verwisselbaar zijn.

    Daaruit volgt dus:
    voor alle x geldt: als x behoort tot W, dan behoort x nit tot zichzelf

    (Immers: als x=x dan behoort x tot W, en dan behoort x niet tot zichzelf)

    Verder volgt daaruit ook:
    als x element is van zichzelf, dan behoort x niet tot W, dan is x=W, dan behoort W tot zichzelf, dan behoort W tot x, dan behoort x tot W ...

    Dit is een soort van regel van het uitgesloten derde, want hier wordt bepaald dat iets ofwel een ding is dat tot de werkelijkheid behoort, ofwel is het de werkelijkheid zelf, maar behalve die twee is niets meer mogelijk. We vertalen: gesteld dat x element van zichzelf zou zijn, dan zou x niet behoren tot de werkelijkheid (wat eigenlijk betekent dat x geen element van zichzelf kàn zijn), en dan zou x, als x toch bestond, niet x (een ding) zijn, doch de werkelijkheid zelf. Maar in dat geval zou ook gelden dat de Werkelijkheid tot de werkelijkheid zou behoren, wat wegens het principe van de hiërarchie niet mogelijk is. Ook zou dan de werkelijkheid tot x behoren, en x tot de werkelijkheid, en veel meer nog van dergelijke contradicties zouden opduiken. Vandaar dat hiermee uitgedrukt wordt dat x onder geen beding element kan zijn van zichzelf.

    Maar het principe van de hiërarchie brengt ook mee dat geldt: W behoort niet tot W, dus:

     (x behoort tot x) bestaat niet, en ook W behoort tot W bestaat niet.

    Vandaar:
    Voor alle x geldt: x verschilt van W, en x=x, en x behoort niet tot x

    Dit betekent: alle dingen verschillen van de werkelijkheid, alle dingen vallen ook samen met zichzelf, en geen ding kan element zijn van zichzelf.

    Zodoende kunnen we de werkelijkheid (W) als volgt definiëren:
    W is de verzameling van alle x zodat x verschilt van W, en x=x, en x is geen element van x

    Dit wil zeggen: de werkelijkheid is de verzameling van alle dingen, en alle werkelijke dingen zijn van die aard dat ze van de werkelijkheid zelf onderscheiden zijn, dat ze samenvallen met zichzelf, en dat ze geen element van zichzelf kunnen zijn (Zo behoort ook een illusie tot de werkelijkheid, namelijk als illusie, als gedachte. En evenzo bijvoorbeeld de vierkantswortel uit het getal 2).

    Geen Russell-paradox in het licht van de subjectieve verzamelingenleer. Geven we hier nog een voorbeeld van de doeltreffendheid van de subjectieve verzamelingenleer. Beschouwen we daartoe eerst het naïeve comprehensieprincipe van Cantor (1850): y behoort tot de verzameling van de dingen met eigenschap "phi" als en slechts als y zelf die eigenschap "phi" bezit:
    y behoort tot de verzameling van alle x met eigenschap "phi" alss y de eigenschap "phi" bezit
    (*)

    De Russell-paradox ontstaat uit dit principe wanneer we als eigenschap nemen: x is geen element van zichzelf,

    want dan zal het volgende gelden: de verzameling van alle x zodat x niet tot zichzelf behoort,

    is een verzameling en voor alle y geldt:
    y behoort tot de genoemde verzameling alss y niet tot zichzelf behoort.

    Stelt men nu y gelijk aan die genoemde verzameling (°),

    dan bekomt men, mits vervanging in (*), de volgende contradictie (de zogenaamde ‘paradox van Russell’):
    de verzameling van alle x die niet tot zichzelf behoren, is een element van zichzelf alss deze verzameling tegelijk géén element is van zichelf

    Welnu, het is meteen duidelijk dat op grond van de principes van onze subjectieve verzamelingenleer het niet toegestaan is om de bewerking (°) te maken, want als y element is van de verzameling van alle x met eigenschap "phi",

    dan kan, wegens het principe van de hiërarchie, y nooit gelijk zijn aan die verzameling. Zodoende kan in deze subjectieve verzamelingenleer de ‘Russell-paradox’ ook nooit optreden.

    Nog enkele belangrijke verduidelijkingen. (1°) Het verschil tussen een eigenschap en een identiteit is, dat een eigenschap niet kan gelden voor alle dingen (als ze voor alle dingen zou gelden, zou ze geen eigenschap zijn), terwijl de identiteit wegens het principium contradictionis geldt voor alle dingen (- en zou er nog een ding zijn waarvoor niet zou gelden dat het gelijk zou zijn aan zichzelf, dan zou moeten geconcludeerd worden dat dit ding niet bestaat. Dat is trouwens bijvoorbeeld het geval met de werkelijkheid, W, zelf: W valt niet samen met W, want W bestaat niet - als object wel te verstaan. Dat is ook het geval met het subject, dat trouwens de enige bron van alle werkelijkheid is).

    (2°) Nu behoort vanzelfsprekend geen enkel ding tot zichzelf. (Een kast herbergt potten en pannen, maar herbergt nooit zichzelf). Omdat nu voor àlle dingen geldt dat ze gelijk zijn aan “een ding dat zichzelf niet verzamelt”, is “het zichzelf niet verzamelen” dus ook geen eigenschap. Zoals gezegd in (1°), omdat iets pas een eigenschap kan zijn als het niét voor àlle dingen geldt. Dus kan Cantor’s
    x behoort niet tot x

    precies omdat dit voor alle dingen geldt, niet een eigenschap zijn, en dus kan ook Cantor’s {x zodat x behoort niet tot zichzelf}

    geen verzameling zijn (want verzamelingen worden door eigenschappen geconstitueerd).

    (3°) Willen we nu de verzameling A, die de verzameling is van alle dingen, definiëren, dan rest nog het probleem dat in de “definitie” van die verzameling, namelijk: A = {x zodat verschilt van A en x behoort niet tot zichzelf},

    de term A zowel links als rechts van het gelijkheidsteken voorkomt. In een subjectieve wiskunde is het echter niet zo dat het hier om een gelijkheid gaat. Met andere woorden: A wordt niet gedefinieerd als een zijnde, maar wel als een actor. A is niet iets bepaald, maar A doet iets bepaalds, namelijk: verzamelen. Zo betekent “A={...}” hetzelfde als: “A is gelijk aan de verzameling...”. Maar dit laatste betekent hetzelfde als: “A verzamelt”. Net zoals de uitspraak: “P is gelijk aan de fietser” hetzelfde betekent als “P fietst”. Of zoals de uitspraak: “P is de dief” hetzelfde betekent als: “P steelt”. Zodoende betekent: “A={x}” hetzelfde als: “A is de verzameling van alle x”, of nog: “A verzamelt alle x”.

    Omdat een verzameling geconstitueerd wordt door een eigenschap, terwijl een eigenschap niet op àlle dingen kan slaan (want als ze op alle dingen slaat, is het geen eigenschap meer, maar een identiteit), beperken we de verzameling van alle dingen (= alle x) door hier aan toe te voegen dat één welbepaalde x niet meedoet, namelijk de x die gelijk is aan A. Tenminste, àls het al zo kon zijn dat een x met A zou samenvallen. Maar dàt het niet zo kan zijn, drukken we aldus in de definitie uit: A verzamelt alles behalve zichzelf, en dat is dus niet alles, maar het is één x minder dan alles. “De verzameling van alles bevat zichzelf niet” is de uitspraak die dus uitdrukt wat de verzameling van alles, indien die zou bestaan, dan wel zou mogen wezen.

    Dus drukt de definitie een voorwaardelijkheid uit: “als de verzameling van alles bestaat, dan behoort daartoe alles, behalve die verzameling zelf”. De grootst mogelijke verzameling, indién die zou bestaan, zou dus gelijk zijn aan de verzameling van alles behalve zichzelf. Hier komt dus duidelijk de nooit weg te cijferen zelfreferentieproblematriek in de (subjectieve) wiskunde tot uiting. Het subject is de actor, namelijk A, die verzamelt, wat een vorm van objectiveren is, en we stellen nu vast dat A zichzelf niet kan objectiveren (Immers, waar A zichzelf gelooft te objectiveren, miskent A zijn eigen subjectiviteit), en dat, indien wij het gebeuren van de objectivering door A van alle x willen ‘in kaart brengen’, we zodoende alles willen objectiveren, wat ons niet lukt, aangezien wij er dan zelf, als subject, weer buiten vallen. Vandaar de voorwaardelijke wijs: “als...dan...”, waarin de verzameling van alles ‘gedefinieerd’ wordt.

    De ‘alles stelende dief’ is dus diegene die alles steelt behalve zichzelf, en zodoende steelt hij, zoniet alles, dan toch het meest mogelijke, wat betekent: alles behalve zichzelf: indien er een allesstelende dief zou bestaan, dan zou hij alles stelen maar niet zichzelf.

    Op grond hiervan wordt “alles” dus gedefinieerd, met die beperking dat dit alles object voor de dief (de actor, of: het subject) moet kunnen zijn. Welnu, dat zich het Aussonderungs Axiom voordoet (waarin Zermelo stelt dat er geen grootste verzameling is), bewijst mijns inziens dat de wiskunde verplicht is om de subjectiviteit in rekening te brengen. De definitie bij uitstek, namelijk de definitie van alles, is onvermijdelijk zelfreferentiëel.

    Ofwel neemt men nu die ene zelfreferentie aan, ofwel verwerpt men het bestaan van de relevantie van het concept “alles”, maar een derde mogelijkheid is er niet. Verwerpt men de relevantie van het concept “alles” niet, dan moet men dus aannemen dat één definitie uitzonderlijk naar zichzelf zal en moet refereren, met én links én rechts van het gelijkheidsteken hetzelfde teken A.

    Het subject valt niet weg te cijferen en valt niet te objectiveren, tenzij ook het subject tot een object herleid wordt, en dat is wat bijvoorbeeld de fysicalisten doen, en wat ook in de klassieke wiskunde, in de fysica en in alle wetenschappen gebeurt. Met alle rampzalige gevolgen vandien, ‘t is te zeggen: de nooit weg te werken axioma’s, paradoxen, hiaten en uiteindelijke onverklaarbaarheden, die blijvend wijzen op het afgrondelijke mysteriekarakter van het bestaan.

    Er is dus geen grootste verzameling, zoals het Aussonderungs Axiom duidelijk maakt, wat betekent dat de verzameling van alles, als wij die aannemen, het subject mist. Bijgevolg verschilt de verzameling van alles van de werkelijkheid, W, waarin het subject wél opgenomen is. Maar vanzelfsprekend kan W dan geen verzameling zijn in de betekenis van een verzameling van objecten, doch W is veeleer een activiteit of een actor, net zoals het subject een actor is.

    Metafysica en Subjectieve Verzamelingenleer. Enkele belangrijke consequenties. Elk zogenaamd ‘object’ is eigenlijk niets anders tenzij de ‘doorsnede’ van een bepaald aantal door specifieke eigenschappen geconstitueerde verzamelingen - een doorsnede waaraan een entitieitskarakter wordt toegekend, met andere woorden: een ‘doorsnede’ waaraan het karakter van een verzameling wordt toegekend. In principe zijn er dus slechts door eigenschappen geconstitueerde verzamelingen - eigenschappen die, op hun beurt, geconstitueerd worden, hetzij door (natuurlijke of andere) behoeften (welke we ‘passieve activiteiten’ zouden kunnen noemen), hetzij door (‘actieve’) activiteiten. Het is een klassieke en naïeve voorstelling om te denken dat er a priori objecten bestaan, die dan eventueel verzameld kunnen worden onder een bepaalde noemer. In feite bestaan objecten op zichzelf niet: (Kant’s ‘Ding an sich’): zij zijn producten van subjectieve activiteiten. Een geluid, bijvoorbeeld, bestaat niet waar niet iemand bestaat die er kan naar luisteren. Het reduceren van het begrip ‘geluid’ tot een louter fysisch gebeuren (een systeem van golven in een midden) steunt op een fundamenteel foutief denken (zie: Bauwens 1994 en 2003a). Het is zijn principiële hoorbaarheid die het geluid tot een geluid maakt, en voor die hoorbaarheid is het gehoorzintuig een conditie. Op zijn beurt is het subject de basis van het zintuig - het subject dat dit zintuig heeft ontwikkeld op aandrang van het leven, dat zich laat onderwijzen en dirigeren door een Externe Orde via de pijn (zie: Bauwens 1994 en 2003a). In een eerste, ‘primitieve’ fase is dat een ‘natuurlijke’ zaak, maar bij de mens gaan de ethische wetten de bovenhand halen: het ethische leven is het uiteindelijke doel van het leven. De zogenaamde ‘objecten’ ‘zweven’ dus als het ware als potentialiteiten ‘tussen de verzamelingen’ - de verzamelingen (- eigenlijk: de activiteiten) die eerder bestaan en die fundamenteler zijn. Die verzamelingen of activiteiten (van subjecten, inbegrepen het subject God) die aldus ‘onder het beheer van’ een Externe Orde staan - wellicht is het hier beter om te spreken van een subjectief project of een ‘goddelijk plan’ - geven, onder de druk van dat plan, geboorte aan wat wij ‘objecten’ noemen: zij zorgen voor het zich uitkristalliseren van een specifieke objectenwereld, een specifieke werkelijkheid, een geheel van specifieke (voor het subject) betekenisvolle dingen. Zo bijvoorbeeld onderscheiden wij met het gezichtszintuig een ‘Gestalt’ van een achtergrond, of met het gehoor onderscheiden wij een geluid, in de geluiden onderscheiden wij woorden, in de woorden onderscheiden wij zinnen, in de zinnen: betekenisvolle zinnen, en daarin zinnen met waarheidswaarde; in die waarden, een specifieke hiërarchie welke, zoals wij betoogd hebben, noodzakelijk een teleologisch karakter heeft (Zie Bauwens 2003a, alsook het hoofdstuk: Subjectief Kansrekenen, onder meer de paragraaf 52: Het noodzakelijk teleologisch karakter van de objectieve werkelijkheid). Aan de top van deze hiërarchie zal zich datgene situeren wat zich het meest van alle ‘dingen’ uitgekristalliseerd heeft, en wat aldus het meest concrete is: de Liefde, het Eeuwig Leven, het rijk Gods (zie: Bauwens 2003a) (Het is pas aan het Eeuwig Leven dat het menselijk leven zijn absolute waarde dankt; de Liefde is de ultieme parameter van alle werkelijkheid; het aardse bestaan ontleent zijn geringste glans aan de Eeuwigheid).

    Trachten wij hier nog een concrete afbeelding te maken van, enerzijds, het naïeve werkelijkheidsconcept dat zich bedient van voorhanden zijnde ‘objecten’ en, anderszijds, het teleologisch werkelijkheidsconcept waarbij het hoogste datgene is wat de geboorte geeft aan onze betekenissen en werkelijkheden.

    FIGUUR 43: zie:...

    In de naïeve voorstelling vertrekt men van een wereld van objecten, waarvan verondersteld wordt dat deze gegeven is, aanwezig is, objectief is. Wanneer men zich indenkt verzamelingen te kunnen maken waarvan de elementen behoren tot deze objecten, dan stelt men eigenlijk aan elk object de vraag of het de betreffende eigenschap al dan niet bezit. Elk object dat die eigenschap bezit, wordt dan in de verzameling in kwestie ondergebracht. Maakt men op gelijkaardige wijze een tweede verzameling, vertrekkende van een tweede eigenschap, dan gebeurt het dat sommige van de objecten die, omwille van het feit dat ze ook de eerste eigenschap bezitten, reeds tot de eerste verzameling behoren. Die objecten behoren dan tot de doorsnede van de eerste en de tweede verzameling. Men kan nu ook een derde, een vierde, tot een n-de verzameling definiëren. Eens alle mogelijke verzamelingen zouden gedefinieerd zijn, zou men dan kunnen vaststellen dat de ‘oorspronkelijke’ objecten uiteindelijk ‘volledig’ gedefinieerd worden door de unie van de respectievelijke eigenschappen die de verzamelingen definiëren waartoe deze objecten behoren. ‘Volledig’, tussen aanhalingstekens, want er zou nog een residu blijven bestaan van ongedefinieerde ‘eigenschappen’, meer bepaald: het ultiem partikuliere kan slechts ‘gedefinieerd’ worden middels specifieke acten. Het betreft hier meer bepaald de specifieke verbinding die moet gelegd worden tussen basisbegrippen (namen) en datgene waarop ze betrekking hebben in de niet-talige werkelijkheid, met andere woorden: de ervaring. Men kan veel zeggen over de kleur ‘blauw’, maar om ze echt te kunnen kennen, moet men ze eerst zien, terwijl iemand zegt, er naar wijzend met de wijsvinger: “Dit is blauw”. Het aanwijzend woord in deze uitspraak zegt helemaal niets, tenzij men, behalve deze uitspraak te begrijpen, ook met de neus (of beter: met het oog) op het ‘blauw’ gedrukt wordt. In die act wordt een relatie gelegd tussen een ding en een naam: het ding krijgt er een specifieke naam; het wordt daar met de wereld van de symbolen (waarin het mogelijk is om à volonté verdere relaties te maken) verbonden. De naam is de klank die de ziel met de wereld verbindt. Deze verbinding is een specifieke act: de act van de naamgeving, die wij vanzelfsprekend allen samen maken (dit wil zeggen: door conventie). Als wij “dit” (het waargenomene, het aangewezene) identificeren met de naam “blauw”, dan kunnen wij over blauw spreken, ook als het blauw afwezig is. We spreken dus af dat de naam het ding representeert, zodat we het afwezige steeds ‘op zak’ hebben. Daarom ook hebben wij het in de taal steeds over een voorwaardelijke werkelijkheid. Dat is het duidelijkste wanneer wij ons beperken tot een kleine deelverzameling van de taal, bijvoorbeeld de wiskunde of de logica. Wanneer wij het bijvoorbeeld over kwantiteiten hebben, dan beseffen wij dat ons denken in de voorwaardelijkheid verloopt: “1+1=2” staat dan eigenlijk voor de uitspraak: “Als ik één object (om het even het welke) uit de werkelijkheid bij een ander object (om het even hetwelke) uit de werkelijkheid zou voegen, dan zou ik twee werkelijke objecten verkrijgen”. Eigenlijk werken we daar met verzamelingen, want een kwantiteit is een specifieke kwaliteit, een specifieke eigenschap, welke een specifieke verzameling definieert. “1+1=2” betekent dus: “Als ik de verzameling neem van alle dingen die de eigenschap hebben enkelvoudig te zijn, en ik maak op elk van de objecten van deze verzameling de bewerking van de optelling met de respectievelijke objecten van de daaraan één-éénduidig te verbinden zelfde verzameling die vanzelfsprekend door dezelfde eigenschap gedefinieerd wordt, dan bekom ik een opnieuw één-éénduidig te verbinden verzameling van objecten die de eigenschap hebben tweevoudig te zijn”: elk object uit de verzameling van de enkelvoudige paarden, opgeteld bij elk object uit de verzameling van de enkelvoudige paarden, geeft een nieuw object uit de verzameling van de paardenkoppels. Elk object uit de verzameling van de tweevoudige engelen, opgeteld bij elk object uit de verzameling van de viervoudige engelen, geeft een nieuw object uit de verzameling van de zesvoudige engelen. Kwantiteiten zijn aldus specifieke kwaliteiten, specifieke eigenschappen, en dus elementen van specifieke verzamelingen. De bewerking van de optelling verloopt naar het model van reeds gekende ‘natuurlijke’ bewerkingen die passief waargenomen worden, zoals bijvoorbeeld het ervaringsgegeven dat blauw, opgeteld bij geel, groen oplevert (- zo bijvoorbeeld: elk object uit de verzameling van de blauwe dingen, opgeteld bij elk object uit de verzameling van de gele dingen, geeft een nieuw object uit de verzameling van de groene dingen). Het passief kennisnemen van een dergelijk natuurlijk proces waarbij kwaliteitsverandering van objecten optreden, brengt het begrip van de kwaliteitsverandering en dat van de samenvoeging welke dit teweeg brengt met zich mee, dat nu geïnduceerd kan worden in de rekenkunde die een menselijke constructie van nieuwe kwaliteiten (zijnde de kwantiteiten) is.

    Onthouden we dat de ‘werkelijke’ objecten principieel acten zijn, dit wil zeggen: naamgevingen, identificaties van namen met objecten, of: toekenningen van eigenschappen aan specifieke ervaringen en, uiteindelijk ook: aan acten. De ultieme objecten ontstaan dus uit de verzamelactiviteit welke bestaat in het verzamelen van een ultiem ‘ding’ (een ervaring - en dat zullen dus meerdere dingen ineens zijn, want als wij “dit” identificeren met “blauw”, dan hebben we alle blauwe dingen meteen verzameld) in een specifieke naam. De ultieme objecten zijn dus geen werkelijke objecten, maar wel abstracties, universaliteiten, begrippen. En zo komen we er toe om te zeggen dat de werkelijkheid niet gefundeerd wordt door concrete objecten, waarvan begrippen dan ‘abstractere afleidingen’ zouden zijn, maar wel door onze begrippen zelf, die dus veel ultiemer zijn dan de zogenaamde ‘objecten’ waarvan wij in onze naïeve beschouwing hadden verondersteld dat zij concreter waren dan de begrippen, en dat zij het waren die de werkelijkheid fundeerden.

    Zo vervalt ook onze naïeve voorstelling, en kunnen wij begrijpen hoe de werkelijkheid niet is opgebouwd uit objecten, doch uit begrippen, waarbij ‘objecten’ uitkristalliseringen zijn van, enerzijds, de externe orde en, anderzijds, onze subjectieve activiteit. Per definitie is die subjectieve activiteit vrij en bewust, dus: ethisch van aard, zodat, alle objectiviteit ten spijt, onze wereld werkelijk als het subjectief loon van onze ethische activiteit kan opgevat worden (zie: Bauwens 2003a).

    Maar niet alles wat wij ‘objecten’ noemen, zijn constructies: wij moeten het door de mens geconstrueerde (het culturele, maar dat is een gevaarlijke term - zie: Bauwens 2003a en 2003b) strikt onderscheiden van het geschapene of datgene wat niet gemaakt is uit iets anders. In tegenstelling tot het geconstrueerde, dat bestaat binnen de relatie mens-natuur en mens-mens, bestaat het geschapene in de relatie tussen God en de mens. En dit geschapene kan niét worden geobjectiveerd zonder dat tegelijk de essentie daarvan aan de greep van deze objectivering onttrokken wordt. Deze feitelijkheid komt misschien wel het best aan het licht waar de zelfreferentieproblematiek optreedt als de grote ‘spel’-breker. Het ultieme spel is immers geen spel meer, doch werkelijkheid. De ultieme werkelijkheid kan niet volwaardig worden afgebeeld.

    EINDE VAN HET DERDE HOOFDSTUK

    >>>VERVOLGT>>>


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§42 (vervolg)

    De bepaling van een verzameling. Opnieuw dezelfde malaise in de klassieke verzamelingenleer: een probleem, dat van louter terminologische aard is, wordt op een irrelevant niveau behandeld, op het moment dat men naar de definitie van een bepaalde verzameling gaat zoeken.

    Uiteraard wordt een verzameling eens en voorgoed bepaald door de act van het verzamelende subject. Ik heb in mijn mandje precies al datgene liggen wat ik erin gelegd heb, niets meer en niets minder. Ik kan de namen van al die verzamelde dingen trachten op te sommen. Ik kan ook al die dingen in één adem trachten te beschrijven door precies die eigenschap aan te geven aan de hand van welke ik mij heb laten leiden tijdens mijn verzamelingsactiviteit.

    Wanneer ik mijn verzameling beschrijf door de elementen daarvan op te sommen, dan noem ik de namen van de entiteiten die de eigenschap hebben ‘element van mijn verzameling te zijn’. Ik kan daarbij allerlei namen gebruiken, behalve de benaming die de eigenschap uitdrukt ‘element van mijn verzameling te zijn’, omdat deze laatste benaming nietszeggend zou zijn (Men kan zich hier afvragen of A dan niet gelijk is aan de verzameling van alle x waarvoor geldt dat die x tot A behoort. De “gelijkheid” is hier echter een verraderlijk ding, want een verzameling is eigenlijk niet gelijk aan haar elementen, doch ze verzamelt ze. We werken dit punt uit in de paragraaf, getiteld: Nog enkele belangrijke verduidelijkingen, verderop in deze tekst). Dat alle andere benamingen niet nietszeggend zijn, komt hierdoor, namelijk dat zij deze entiteiten elk als element van heel andere verzamelingen dan de mijne beschouwen. Als ik, Jan, in mijn mandje een paddestoel, een ei, en een kei heb verzameld, en ik som mijn verzameling aldus op, dan zeg ik eigenlijk dat het eerste element uit mijn verzameling ook een element is uit de verzameling van de paddestoelen, het tweede element uit mijn verzameling ook een element is uit de verzameling van de eieren, en het derde element uit mijn verzameling ook een element is uit de verzameling van de keien. Iemand anders, Piet, die een dode mus, een ei en een kei in zijn eigen mandje verzameld heeft, kan zijn fortuin opsommen door te zeggen dat het eerste element uit zijn verzameling ook een element is uit de verzameling van de dode mussen, het tweede element uit zijn verzameling ook een element is uit de verzameling van de eieren, en het derde element uit zijn verzameling ook een element is uit het mandje van Jan. De laatste benaming is weinig typisch (er zijn immers drie mogelijke elementen waarvan hij mij er een ontvreemd heeft), maar dat is de voorlaatste ook (er zijn immers talloze eieren). Opsomming vereist geen unieke specifiëring, het volstaat dat andere verzamelingen (andere dan de betrokkene) voor de typering benut worden.

    Eigenlijk is er geen belangrijk verschil tussen bepaling van een verzameling door opsomming en bepaling door beschijving, aangezien ook in dit laatste geval andere eigenschappen (tenzij de eigenschap element te zijn van de betrokken verzameling) worden benut. Met dit verschil dan wel, dat de bepaling door beschrijving gebruik maakt van verzamelingen welke de verzamelaar op het oog had tijdens de samenstelling van zijn actuele verzameling, wat vanzelfsprekend resulteert in een directe typering. Als Piet “alle keien” heeft verzameld, dan behoort ook deze uit mijn mandje daartoe, maar dat ook in mijn mandje een van zijn verzamelstukken ligt, is redundante informatie.

    Oneindige verzamelingen. Tot de eindige verzamelingen behoort in onze optiek de lege verzameling niet langer, omdat, zoals we beargumenteerd hebben, de “lege verzameling” geen verzameling is, doch een contradictio in terminis. Het singleton behoort er wel toe. En verder ook alle andere niet-‘oneindige verzamelingen’.

    ‘Oneindige verzamelingen’ tenslotte: opnieuw gaat het om een contradictio in terminis: aangezien een verzameling iets is dat verzameld wordt, is de betekenis van de term ‘oneindige verzameling’ deze: ‘een verzameling die nog aan de gang is en die altijd aan de gang zal blijven’. Zo’n verzameling is nooit af, en bestaat dus niet. Merk op dat wij hier onder ‘oneindige verzameling’ niet verstaan: ‘een verzameling met een oneindig aantal entiteiten’. Zo is de verzameling van “alle natuurlijke getallen” een eindige verzameling, omdat men deze in één pluk kan verzamelen (De idee “natuurlijk getal” is primautair op elk concreet getal dat als natuurlijk getal herkend wordt, zoals de idee “vliegend paard” primautair is op elke concrete afbeelding van een vliegend paard. Het zijn niet alle vliegende paarden die het concept “vliegend paard” vormen, maar omgekeerd. En zo ook wat betreft de getallen. Dat ik de natuurlijke getallen in één pluk kan verzamelen, wordt aangetoond door het feit dat ik in staat ben om over elk mogelijk getal te oordelen of het al dan niet tot de verzameling van de natuurlijke getallen behoort. Zie ook §15 en volgende, alsook verderop in de huidige paragraaf). Dat deze verzameling een oneindig aantal entiteiten bevat, is irrelevant met betrekking tot de specifieke benoeming van de verzameling. Immers, de elementen van die verzameling worden dat niet doordat hun entiteit (elk getal afzonderlijk) gerecruteerd zouden worden, waarbij het dan een ‘bijverschijnsel’ zou zijn dat elk van die getallen ook nog zou beantwoorden aan de eis een natuurlijk getal te zijn - neen, de eigenschap ‘een natuurlijk getal te zijn’ is fundamenteler dan de eigenschap ‘dit of dat specifieke getal te zijn’, en daarom ook is deze eigenschap wezenlijker, en is de verzameling van alle natuurlijke getallen eindig want in één pluk verzamelbaar (Zij bijvoorbeeld P de verzameling van alle priemgetallen, dan moet P beschouwd worden als een eindige verzameling, aangezien ze kan gedefinieerd worden: wij onderscheiden namelijk priemgetallen van andere getallen op grond van een eenduidige definitie, welke àlle priemgetallen betreft, ook deze die nog onbekend zijn, en ook deze die nooit bekend zullen worden. Een oneindige verzameling kan alleen een verzameling zijn die nog aan de gang is én die onvoorspelbaar of willekeurig gevormd wordt, zoals bijvoorbeeld de verzameling van een museum van hedendaagse kunst). Als ik de “entiteit” “6” noem, dan heb ik met “6” reeds gezegd dat het om “een natuurlijk getal” gaat, “meer specifiek het natuurlijk getal 6”. Met andere woorden: het is niet zo dat het “natuurlijk getal zijn” een eigenschap is van “6”, doch andersom is het zo dat “6” een eigenschap is van de “natuurlijke getallen”. Men zal opmerken dat “6” niet een eigenschap doch een element is van de natuurlijke getallen? Welnu, deze opmerking is fout, en deze specifieke fout ontspruit uit de verwarring van de concepten “verzameling” en “eigenschap”: men kan de natuurlijke getallen beschouwen als een verzameling, en men kan het ‘natuurlijk getal zijn’ beschouwen als een eigenschap. Zo ook kan men “6” beschouwen als een verzameling en ook als een eigenschap van de natuurlijke getallen. Verzamelingen hebben elementen, en dit is dan ook hun enige eigenschap. Elementen (van een verzameling) hebben eigenschappen, behalve de eigenschap tot de beschouwde verzameling te behoren, want dat betekent hun element-zijn zelf. De meest wezenlijke eigenschap van een ding, is het ding-zijn zelf van dat ding. Daarom heeft dit ding de eigenschap een blad te zijn, terwijl men niet kan zeggen dat het een eigenschap is van dit blad een ding te zijn (tenzij men nog niet weet dat het over een blad gaat). Als ik “blad” zeg, dan heb ik al gezegd dat het om een “ding” gaat, “meer specifiek het ding ‘blad’”. Met andere woorden: het is niet zo dat het “ding zijn” een eigenschap is van het “blad”, doch andersom is het zo dat het “blad” een eigenschap is van het “ding”. Men zal opmerken dat “blad” niet een eigenschap doch een element is van de dingen? Het is nu duidelijk dat deze opmerking zal resulteren uit het ten onrechte door elkaar haspelen van de concepten “verzameling” en “eigenschap”.

    We herhalen: de verzameling van “alle natuurlijke getallen” is een eindige verzameling, omdat deze in één pluk kan verzameld worden. Dat deze verzameling een oneindig aantal entiteiten bevat, is irrelevant. Immers, de elementen van die verzameling worden dat niet doordat hun entiteit (elk getal afzonderlijk) gerecruteerd zouden worden, waarbij het dan een ‘bijverschijnsel’ zou zijn dat elk van die getallen ook nog zou beantwoorden aan de eis een natuurlijk getal te zijn - neen, de eigenschap ‘een natuurlijk getal te zijn’ is fundamenteler dan de eigenschap ‘dit of dat specifieke getal te zijn’. Voor wie nog twijfelt, maken we de volgende vergelijking: zoals we hoger aangetoond hebben, kan mijn persoon beschouwd worden als een oneindige verzameling van elementen (namelijk: specifieke eigenschappen), terwijl hij toch in één pluk kan gevat worden, zij het dan niet als object. Wanneer als verantwoordelijke voor een bepaalde act een bepaalde persoon aangewezen wordt, dan gebeurt dit volledig eenduidig.

    Keren we nogmaals terug naar onze stelling dat het getal “6” een eigenschap is van de natuurlijke getallen en niet andersom. De verzameling van de natuurlijke getallen bevat een oneindig aantal elementen, want de rij van de natuurlijke getallen is oneindig lang. Ze wordt geconstitueerd door de eigenschap dat ze alle natuurlijke getallen verzamelt. Als dusdanig is ze ook in één pluk verzamelbaar, want beschrijfbaar - ze kan namelijk gedefinieerd worden. De elementen van de verzameling van de natuurlijke getallen zijn specifieke wiskundige objecten. Elk van die objecten is op zijn beurt een eigenschap van de verzameling van de natuurlijke getallen. Net zoals Piet kan beschouwd worden als een oneindige verzameling van objecten, die op hun beurt kunnen beschouwd worden als eigenschappen van Piet. De verzameling van de natuurlijke getallen bevat “6”, en zo is “6” een eigenschap van die verzameling. Op zijn beurt kan “6” ook beschouwd worden als een verzameling van eigenschappen. Eén van de eigenschappen van “6” is dat “6” een natuurlijk getal is. Een andere eigenschap van “6” is dat “6” een wiskundig object is. De verzameling van de natuurlijke getallen bevat “6”, maar eigenlijk bevat ze “6” alleen maar als natuurlijk getal, en bijvoorbeeld niet als wiskundig object. Dit betekent dat “6” slechts ‘ten dele’ tot N behoort. Zoals ook N slechts ten dele tot “6” behoort. De vraag is, wat primautair is: N of “6”. Vergelijken we nu deze kwestie met de persoon ‘Piet’, die onder meer de eigenschap heeft een man te zijn. Het ‘man-zijn’ is een eigenschap van Piet, terwijl het ook zo is, dat de verzameling van de mannen Piet bevat. Hier zien we duidelijk dat de persoon ‘Piet’ primautair is op de verzameling van de mannen, want de mannelijkheid is er (in onze metafysica) pas als eigenschap van personen, en niet als bron daarvan. Zo ook is de verzameling van de natuurlijke getallen primautair op “6”. Beschouwt men het andersom, dan begaat men dezelfde fout als Rudolf Carnap met zijn op het logisch positivisme gebaseerd werkelijkheidbeeld, waarbij de realiteit verkeerdelijk als een constructie opgevat wordt. Het is nu dit verkeerde werkelijkheidsbeeld dat ook aan de basis ligt van enkele omgedraaide voorstellingen in de verzamelingenleer, welke uitmonden in paradoxen. In onze visie gaan de verzamelingen vooraf aan wat er verzameld wordt (hun elementen, hun eigenschappen), en de verzamelingen zelf zijn een product van de activiteit van het verzamelen. Die verzamelactiviteit wordt gestuurd door gedefinieerde eigenschappen, en die eigenschappen treden pas in de werkelijkheid binnen als mogelijke antwoorden of specifieke subjectieve behoeften of plannen (ideeën). Hierbij zijn behoeften in een eerste fase slechts passief ideeën voor de mens (hij neemt er kennis van en kan er weliswaar achter gaan staan) - zij komen voort uit een ‘natuurlijke plan’ en, om het zo uit te drukken: uit het (subjectieve) plan van de Schepper. We moeten de werkelijkheid beschrijven vanuit het hogere (‘teleologisch’, zo men wil), en niet als een (menselijke of vanuit de menselijke Lebenswelt geprojecteerde) constructie van of als een (toevallige en contingente) resultante van lagere dingen (/ ‘bouwstenen’). Zo ook is de rij van de natuurlijke getallen niet zomaar ‘opgebouwd’ uit getallen, want indien dit wel het geval was, dan zouden we nooit kunnen beweren dat er oneindig veel natuurlijke getallen bestaan. Piet is ook niet ‘opgebouwd’ uit eigenschappen, want hij heeft er oneindig veel (Zo bijvoorbeeld is Piet groter dan Jan, kleiner dan Pol, groter dan Klaas... Deze reeks van eigenschappen houdt niet op zolang er mensen bijkomen wiens lichaamslengte met die van Piet vergeleken kan worden. Dit voorbeeld kan absurd aandoen, maar geldt niettemin, en onderstreept het wezen van de eigenschap, namelijk in haar relatie tot het externe (- dat een evoluerende activiteit is)). Van geen ding kan men zeggen dat het ‘opgebouwd’ is, aangezien elk ding kan gerelateerd worden aan elk ander ding, en dus oneindig veel eigenschappen bezit. Zo bezit “6” oneindig veel eigenschappen; om er slechts enkele te noemen: (1°) “6” heeft de eigenschap dat het, opgeteld bij, “1”, “7” oplevert; (2°) “6” heeft de eigenschap dat het, vermenigvuldigd met “4”, “12” oplevert. (3°) “6” heeft de eigenschap dat het, gedeeld door “5”, “6/5” oplevert. En zo kan men eindeloos doorgaan. Ook de rij van de natuurlijke getallen is niet ‘opgebouwd’ uit haar elementen: haar elementen worden dat pas vanaf het ogenblik dat een subject aan een specifieke verzamelactiviteit begint, welke reeds van bij de aanvang de hele rij van de natuurlijke getallen op het oog heeft. Anders uitgedrukt: het verzamelen van de natuurlijke getallen creëert, onder meer, “6”, en niet andersom.

    Gemeenschappelijke elementen van meerdere verzamelingen. Stel dat ik alle sprekende dingen heb verzameld terwijl jij alle vogels hebt verzameld, dan zouden volgens de klassieke opvatting de papegaaien zowel tot mijn verzameling behoren als tot de uwe. Een papegaai is een element van de verzameling van de sprekende dingen én een element van de verzameling van de vogels. Nu is een element een entiteit, beschouwd in zijn eigenschap van ‘verzameld-zijn’. Een papegaai is een entiteit, en deze entiteit, beschouwd in zijn eigenschap van ‘verzameld-zijn’, is een element. Meer bepaald: in zijn eigenschap van verzameld-zijn door mijn verzameling (de verzameling van de sprekende dingen) is de entiteit papegaai een element van de verzameling van de sprekende dingen. En in zijn eigenschap van verzameld-zijn door uw verzameling (de verzameling van de vogels) is de entiteit papegaai een element van de verzameling van de vogels. Maar merk op dat we a priori een fout ingecalculeerd hebben: we zijn er namelijk van uitgegaan dat ‘papegaai’ een entiteit zou zijn, nog vooraleer ‘papegaai’ in de een of andere verzameling ondergebracht werd, en dit uitgangspunt is foutief. Hiermee komen we terug op wat we uitgesteld hebben in de paragraaf getiteld ‘het begrip ‘verzameling’’: er zijn namelijk geen entiteiten zonder het subject; het subject creëert entiteiten, namelijk door een projectie te maken van de eigen identiteit in de wereld“wereld”. Hoe dit precies werkt, wordt in de volgende paragraaf uitgelegd.

    De creatie van entiteiten. We gaan er van uit dat het subject een functionele eenheid is, maar tevens een open systeem: het subject staat in correlatie met zijn omgeving, de wereld. A priori reeds, beschouwt het subject de wereld in functie van zijn eigen activiteit en dus als een werktuig, ter verrijking van het subjectief project. Wanneer een man een berg onderscheidt middenin een chaotisch landschap, dan komt dit niet doordat er een berg zou zijn, maar omdat een bepaald deel van het landschap hem de mogelijkheid biedt om bijvoorbeeld als uitkijkpost dienst te doen. Wil die man aan de overkant van een meer geraken, omdat daar bijvoorbeeld voedsel ligt, dan zal hij een omgevallen boom als een brug beschouwen, of als een vlot. De man interpreteert zijn omgeving in functie van wat hij ermee kan doen om zijn subjectief project (bijvoorbeeld: overleven) tot het best mogelijke einde te kunnen brengen (Weliswaar is het zo dat subjecten hier niet onder vallen op grond van de categorische imperatief. Waar desalniettemin een subject geobjectiveerd wordt, wordt het in feite miskend). Zo herkent de man in een betekenisloze boomstronk een schip of een brug, en een ander deel van het landschap interpreteert hij als een uitkijkpost. Bananen interpreteert hij als zijn voedsel, niettemin de bananen helemaal niet de bedoeling hebben door hem opgegeten te worden; hij onderscheidt ze van de takken waar ze aan vasthangen en van de schil waar ze in zitten. Op de berg onderscheidt hij een pad langs hetwelke hij deze kan beklimmen. Op de boomstronk, zijn schip, onderscheidt hij een zitplaats en een houvast, eventueel een roer. Hij maakt voortdurend, door interpretatie en bewerking, delen van het chaotische geheel tot voor hem betekenisvolle entiteiten. Hij groepeert fragmenten volgens het criterium van hun gebruikswaarde. Hij doet dat niet alleen met boomstronken en bergen, maar ook met akkers, stenen, bizons, vissen, vogels... ‘Papegaai’, bijvoorbeeld, is de naam die hij geeft aan de vogel die kan spreken: hij ziet een ding dat een vogel is (een ding dat behoort tot de verzameling van de vogels) en dat kan spreken (dat behoort tot de verzameling van de sprekende dingen) en noemt dat een ‘papegaai’, wat betekent (laten we dat even veronderstellen): een ‘sprekende vogel’. ‘Papegaai’ bevat dus niets“niets” anders tenzij die twee eigenschappen die éérst opgemerkt werden en die, in combinatie met elkaar, zo interessant waren voor hem, dat hij er de naam ‘papegaai’ aan gaf. Met andere woorden: de combinatie van iets dat én een vogel is, én kan spreken, is om de ene of andere reden interessanter voor de mens“mens” dan de twee apart. Het is dan ook die combinatie die hem treft en waarvan hij een entiteit maakt. Wanneer hij later met een onwetende spreekt over papegaaien, dan moet hij eigenlijk omgekeerd te werk gaan: hij moet de onwetende op de hoogte brengen van het bestaan van papegaaien door zich eerst in te leven“leven” in wat de onwetende wél kent, en dat zijn: sprekende dingen en vogels. Hij stelt op grond daarvan het beeld ‘papegaai’ samen, en nodigt de onwetende uit het nieuwe begrip te aanvaarden als iets oorspronkelijks. Maar het ‘ontdekkingsproces’ verliep in de andere zin“zin”: de ‘entiteit’ bleek interessant genoeg om gecreëerd te worden nadat was vastgesteld dat het ‘ding’ tot twee specifieke verzamelingen behoorde.

    Houden we nu rekening met de gemaakte fout, en corrigeren we deze, dan moeten we aannemen dat een entiteit pas bestaat nadat ze eerst bestond als element van specifieke verzamelingen. Met andere woorden: een ding moet eerst ‘verzameld’ worden, d.i.: bij een subject gebracht worden, vooraleer het als een ‘entiteit’ kan beschouwd worden. Een entiteit is dus eerst een element, en pas daarna entiteit. Nog anders uitgedrukt: de dingen worden door niets“niets” anders meer ‘gedragen’ tenzij door de (verzamelende) activiteit van het subject; ze hebben daarbuiten geen relevantie, eigen essentie meer. Tenminste als het om (materiële) dingen gaat.

    Als we nu zeggen dat x een element is van zowel de verzameling A als de verzameling B, dan bepalen we hierdoor x. Er is met andere woorden geen sprake van een x, totdat deze x als element én van A én van B kenbaar geworden is.

    Nemen we nog een andere benadering. Het is niet zo dat de doorsnede van de verzamelingen A en B er al was vooraleer er papegaaien opgemerkt werden. Vanzelfsprekend is het mogelijk om op een diagram de beide verzamelingen en hun doorsnede voor te stellen. Maar in werkelijkheid bestaat die doorsnede niet totdat er ten minste één entiteit gevonden werd die tot die twee verzamelingen behoort. Evenmin als er een lege verzameling bestaat, bestaat er een lege doorsnede. De doorsnede van de verzameling van de paarden met die van de vliegende dingen bestaat niet omdat er geen vliegende paarden bestaan. Ze is dus niet zomaar leeg, neen, ze bestaat niet. Men kan ruimte reserveren voor paarden die kunnen vliegen, zoals men een mandje kan reserveren voor niets“niets”, maar evenmin als het lege mandje, is de gereserveerde ruimte voor vliegende paarden een verzameling.

    Stel nu dat we te maken hebben met het geval waarbij klassiek gesproken wordt over een “deelverzameling”: de elementen van een verzameling A zijn tevens allemaal elementen van een verzameling B. Bijvoorbeeld: alle papegaaien zijn vogels. Men zegt, klassiek, dat als x een element is van A, het dan ook een element is van B.

    Opnieuw werden zodoende ook hier de zaken op hun kop gezet. Want in werkelijkheid is het zo dat de benaming ‘papegaai’ reeds het vogelschap bevat. Men moet met andere woorden al gemerkt hebben dat het om een vogel gaat, vooraleer men kan zeggen dat het een papegaai is. Daaruit dan zogezegd nog de conclusie trekken dat het wel een vogel moet zijn, is larie: het gaat niet om een conclusie, maar om een herhaling van wat men (expliciet of impliciet) al gezegd heeft. Men zou kunnen vaststellen dat het om een vogel gaat, en vervolgens dat hij spreekt, waaruit men zou kunnen besluiten dat het wel een papegaai moét zijn aangezien dit de benaming is voor sprekende vogels. Maar eenmaal men dit vastgesteld heeft, trekt men daaruit niet nog eens de conclusie dat het dus om een vogel moet gaan.

    Gemeenschappelijke verzamelingen van meerdere elementen. Onder de vereniging van meerdere verzamelingen verstaat men klassiek de nieuwe verzameling van alle dingen die tenminste behoren tot een van de afzonderlijke verzamelingen. Als ik een mandje vol heb, en jij hebt een mandje vol, dan kunnen wij onze mandjes in één grote mand plaatsen en vaststellen dat in die grote mand de dingen zitten die hetzij tot mijn mandje hetzij tot het jouwe behoorden.

    In feite is de vereniging van bijvoorbeeld twee verzamelingen een nieuwe verzameling waarvan de elementen (die ‘deelverzamelingen genoemd worden) zelf verzamelingen waren, namelijk tot op het ogenblik dat ze op hun beurt verzameld werden: de verzamelingen van voordien worden nu zelf elementen (of: ‘deelverzamelingen’). Daarom behoren tot de verzameling (‘vereniging’ genaamd) van twee verzamelingen niet langer de entiteiten die aanvankelijk de elementen van de eerste verzamelingen uitmaakten: met de ‘vereniging’ die de nieuwe verzameling in voege brengt, worden de oude verzamelingen tot elementen, maar verdwijnen de vroegere elementen van de oude verzamelingen ook uit het zicht; ze worden, àls element, ‘onbereikbaar’. Als ik een mandje vol appelen gaar, en jij gaart een mandje vol peren, dan kan een derde op zijn beurt met een grote mand hetzij jouw appelen en mijn peren garen, hetzij jouw en mijn mandje. Als dit laatste het geval is (en dit is zo waar verzamelingen ‘verenigd’ worden), dan bestaat de inhoud van zijn mand niet uit appelen en peren, maar uit twee mandjes. Niet de appelen en de peren maar de mandjes zijn de elementen van zijn verzameling. Net zoals wanneer ik uurwerken verzamel, niet de radertjes en de veertjes en de wijzertjes, maar wel de gehele uurwerken elementen zijn van mijn verzameling - anders kon ik de elementen van mijn verzameling nooit tellen. Zo ook mogen na de vereniging van twee verzamelingen niet de elementen van elk van de twee beschouwd worden, doch de verzamelingen zelf àls elementen. De reden hiervoor ligt in het feit“feitdat het element-zijn primordiaal is op het entiteit-zijn: er is namelijk geen entiteit zonder (verzamelend) subject omdat, zoals we reeds aanstipten, de essentie van het ding in de activiteit van het subject gelegen is. Het gaat niet op om “zonder toelating” elk element verder in deelcomponenten te ontrafelen (Vanzelfsprekend moeten ook hier geconstrueerde dingen (dit zijn: dingen die pas existeren binnen de existentie van het menselijk subject) onderscheiden worden van essenties (geschapen dingen): constructies bestaan slechts voor het subject (en daartoe behoren ook de wiskundige objecten, ook deze beschouwen wij als constructies); essenties bestaan daarentegen ook ‘objectief’, meer bepaald: binnen het goddelijk subject (namelijk: als Gods creaties of als creaturen)).

    Vandaar is de vereniging van bijvoorbeeld twee verzamelingen die verzameling die de oude twee tot haar elementen heeft. De elementen van de eerste twee verzamelingen blijven dat weliswaar met betrekking tot de oude verzamelingen, maar zijn dat niet langer met betrekking tot deze verzamelingen als elementen van de nieuwe verzameling. Wie de oude elementen als elementen van de nieuwe verzameling beschouwt, “speelt vals”. Verwijzend naar ons voorbeeld hogerop, kunnen we zeggen dat we te weinig lidgeld zouden innen wanneer we de unie van L (de verzameling van de leden van de lezersclub) met M (deze van de leden van de muziekclub) zouden herleiden tot de unie van de objecten die tot de twee clubs behoren, want dan zien we over het hoofd dat sommige ‘objecten’ twee keer lid zijn, terwijl het niet als ‘object’ is maar als ‘lid’ dat zij lidgeld moeten betalen.

    Maar stel nu dat ik de aanvankelijke elementen toch in mijn bereik wil hebben. Dan moet ik de tegengestelde bewerking maken van het ‘verzamelen’: als ik een mand peren en een mand appelen verzameld heb, heb ik twee mandjes als elementen van mijn verzameling. Wil ik bij de peren en bij de appelen komen, teneinde deze als elementen in mijn verzameling te hebben, dan moet ik de appelen en de peren van hun eigenschap van ‘verzameld zijn’ ontdoen. Ik moet ze van hun mandjes ontdoen. Ik moet de mandjes uit mijn grote mand gooien en tegelijk de appelen en de peren zelf bewaren in mijn grote mand. Welke bewerking moet ik hiertoe uitvoeren?

    Het is duidelijk dat men hier een stap achteruit moet doen: men mag immers de verzamelingen (de mand appelen en de mand peren) niet verenigen vooraleer men eerst deze verzamelingen van hun mand ontdaan heeft. Maar doet men dat, dan verliest men de vruchten. De oplossing bestaat hierin, dat men op de twee verzamelingen een specifieke bewerking moet uitvoeren welke zich spontaan ‘verplaatst’ naar de elementen van deze verzamelingen. Dit wil zeggen dat men de bewerking van het verzamelen (van verzamelingen) moet laten voor wat ze is, en dat men een nieuwe bewerking, namelijk de bewerking van het herverzamelen van de elementen van twee verzamelingen (in een nieuwe, derde verzameling) moet verkiezen. Men begrijpt nu dat dit herverzamelen een wezenlijk andere bewerking is dan het verzamelen. Het herverzamelen van de elementen van oude verzamelingen, ontdoet deze elementen voor één ogenblik van hun element-karakter, en geeft hen onmiddellijk daarna dit element-karakter terug, namelijk op het moment dat ze element worden van de nieuwe verzameling waarin ze herverzameld worden. Dit ontvreemd-zijn van het element-karakter kan voorgesteld worden in de act waarbij de oude mandjes in de nieuwe mand gegoten worden: tijdens hun val immers, behoren de vruchten noch tot de oude noch tot de nieuwe mand. Niet de verzamelingen worden verenigd, maar wel worden hun oude elementen herenigd middels de vernietiging van de oude verzamelingen. Merk nog op: dat de elementen op een bepaald ogenblik van hun element-zijn ontdaan zijn, is geenszins zonder gevolgen. Denken we hier terug aan het voorbeeld met de verzamelingen L en M, dan zien we dat het ‘overgieten’ van de verzamelingen L en M in de unie van de twee, het totaal bedrag van de geïnde lidgelden zou veranderen wanneer ‘leden’ met ‘objecten’ geïdentificeerd zouden worden.

    Als de eerste mand zes appelen bevat, en de tweede vier peren, dan zou de nieuwe grote mand die de vereniging van de twee oude mandjes is, twee mandjes bevatten. De hereniging van de elementen van de twee oude verzamelingen bevat echter tien dingen welke echter niet per definitie onder eenzelfde noemer te plaatsen zijn. In dit geval kunnen we wel zeggen dat de nieuwe mand tien vruchten bevat, maar als het gaat om een mand appelen en een mand katten, dan moeten we al spreken van tien ‘dingen’, en wordt het moeilijk, soms ook onmogelijk, de nieuwe verzameling te benoemen tenzij middels de benaming van de voorgaande: “tien appelen en tien katten”, of middels opsomming van de elementen. Gaat het echter om verzamelingen die in de klassieke leer “oneindige verzamelingen” genoemd worden, zoals de verzameling van de natuurlijke getallen en de verzameling van de natuurlijke machten van , dan stelt men vast dat de nieuwe verzameling van getallen niet meer in één adem kan genoemd worden: ze zal zich moeten beperken tot de omschrijving: “de verzameling van de natuurlijke getallen én de verzameling van de natuurlijke machten van ”. Welnu, dit falen om een verzameling in één keer te benoemen, betekent niets“niets” anders dan het feit“feit” dat men er niet in geslaagd is een nieuwe, grote mand te vinden voor de oude elementen; men is er met andere woorden niet in geslaagd de elementen te herenigen.

    Anders gezegd: niet alle verzamelingen kunnen herenigd worden. Dat is enkel het geval indien de elementen welke men wil herenigen, reeds tot de nieuwe verzameling behoorden.

    Verzamelingen (van natuurlijke objecten) zijn manifestatievormen van de natuurlijke orde. Cantor: “Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objecte unserer Anschauung oder unseres Denkens - welche die Elemente der Menge genannt werden - zu einem Ganzen”. Nogmaals: in de verzamelingenleer wordt hier aan toegevoegd: “Het is duidelijk dat men dus eerst objecten moest hebben om verzamelingen te kunnen vormen” (de Swart 1975:XIII).

    Welke objecten we zullen ontmoeten, hangt in de eerste plaats af van onze aandacht. Zo kunnen we een stoel en een tafel onderscheiden wanneer we zichtbare dingen op het oog hebben, maar we kunnen ook geluiden als objecten beschouwen, wiskundige problemen, adressen... Objecten zijn er dus niet voor ons, als we niet eerst specifieke kenmerken viseren. Doordaar reeds creëren we een verzameling: ons oog verzamelt het zichtbare, ons oor verzamelt het hoorbare, een specifiek denken (b.v. een denken vanuit een specifieke behoefte) verzamelt (specifiek) denkbare dingen.

    Zo zijn kenmerken ‘dingen die wij kennend merken’. Eigenschappen van dingen zijn weliswaar eigen aan welbepaalde dingen, maar tevens vereisen ze een specifieke gevoeligheid en aandacht van de verzamelaar.

    Naargelang onze bedoeling, activeren we specifieke gevoeligheden, en zodoende creëren we reeds een specifieke, mogelijke verzameling. Die bestaat niet in de tastbare werkelijkheid, maar wel in de verwachtingen van de verzamelaar. Onze verbeelding is reeds gevuld met beelden van paaseieren vooraleer we er een vinden. Ontmoeten we een object dat gelijkt op het verbeelde paasei, dan rapen we het op en hebben we een concrete verzameling.

    Toch is de verzameling zelf niet - en nooit - concreet: objecten die ergens bij elkaar liggen, vormen pas een verzameling als ze zo geïnterpreteerd (kunnen/mogen) worden. Daartoe is, onder meer, het onderscheidingsvermogen noodzakelijk. De verzameling is reeds gevormd in onze verbeelding, vooraleer ze ook maar één object bevat. Maar ook een verzameling met concrete objecten, is zelf niet concreet: de objecten bestaan weliswaar in de wereld der objecten, maar de verzameling zelf niét: ze bestaat in onze verbeelding en eventueel ook in de wereld der afspraken. Dat ik kan zeggen dat deze paaseieren de mijne zijn, berust mede op afspraken. Afspraken bestaan niet in de wereld der objecten, maar ze bepalen wel wie de ‘concrete’ paaseieren mag opeten. Met andere woorden: zonder objecten waren er geen afspraken mogelijk, maar de wereld der afspraken heeft macht over de wereld der objecten.

    Aan de wereld der afspraken participeert ook de natuur, want in de natuur gelden bepaalde (zij het eenzijdig aangegane) afspraken, natuurwetten. Die wetten hebben de objecten in hun macht. Niet de chocolade als dusdanig, maar de wet dat chocolade lekker is, ligt aan de basis van onze paasverzamelwoede.

    Wij verwerven macht over de objecten, via het veroveren van natuurwetten en het aangaan van conventies. Daartoe behoort bijvoorbeeld het leren kijken en, eerder nog, het zien. Dit laatste is een verovering binnen de veroveringen van het voorbewuste leven zelf, net zoals onze behoeften. Daarom gebeurt het verzamelen van bijvoorbeeld beelden van objecten, nog vooraleer er effectief objecten verzameld worden. Zoals de honger voorafgaat aan het eten, zo ook gaat de verzamelwoede aan het verzamelen zelf vooraf.

    Een verzameling bestaat pas nadat een object daadwerkelijk verzameld werd, maar aan die verzamelactiviteit gaat een behoefte (aan specifieke objecten) vooraf, zodat nog voor de activiteit van het verzamelen aanvangt, deze verzameling reeds in de verbeelding bestaat. We hebben aldus een plan van onze verzameling.

    Bij het uitvoeren van dit plan, onderwerpen we ons aan specifieke natuurwetten en conventies (we verrichten psychische en fysieke inspanningen, we maken afspraken).

    Wat ons doet verzamelen, is de betekenis van de verzamelde objecten voor ons. En de betekenisgeving is niet noodzakelijk arbitrair: veel vaker is ze eigen aan het leven zelf.

    Aan de concrete verzameling, gaat een ingebeelde verzameling vooraf. De ingebeelde verzameling ontstaat vanuit een specifieke aandacht en gevoeligheid. Deze specifieke aandacht wordt gecreëerd door een specifieke behoefte. Zodoende hebben de objecten welke verzameld worden, a priori een eindbestemming - we herhalen: krachtens de behoefte welke in ons de specifieke aandacht wekt die de verzameling creëert waarvan de begeerde objecten de elementen zijn. Met andere woorden: verzamelingen bestaan reeds lang vooraleer er effectief verzameld wordt, zelfs lang vooraleer wij ons verzamelingen verbeelden. Verzamelingen bestaan vanuit de natuurlijke orde, en zijn daarvan dan ook weerspiegelingen, of manifestatievormen, net zoals organismen manifestatievormen van de natuurlijke orde zijn.

    Dit kan echter minder duidelijk zijn waar het bijvoorbeeld de verzameling van de rationale getallen betreft, dan waar het een graanschuur betreft. Het duurt bijvoorbeeld ook langer vooraleer wij inzien dat huizen of symfonieën werktuigen zijn, dan wanneer wij een hamer of een tang voor ogen hebben. Het spelen met verzamelingen staat ons wel toe om bijvoorbeeld de verzameling van deze kat, het telefoonboek en de grote stelling van Fermat te vormen, maar zo’n gespeelde (arbitraire) verzamelingen zijn pas mogelijk door het bestaan van de ‘waarachtige’, die ‘objectief’ zijn. Net zoals wij pas met taal kunnen spelen, eenmaal er een ‘ernstige’ taal bestaat welke uit noodzaak gecreëerd werd. De zaak is hiermee dus nog niet volledig opgelost; de verhouding tussen natuurlijke objecten (creaties) en constructies speelt ons parten. (Zie ook verder in deze tekst).

    Eigenschappen en elementen, partikulariteit en algemeenheid. Volgens Cantor wordt een verzameling geconstitueerd door een eigenschap: alle dingen die deze specifieke eigenschap bezitten, behoren tot die verzameling. Hier boven zagen we dat eigenschappen voor ons betekenisvolle zaken zijn, krachtens de wetten die gelden in de natuur waarvan wij deel uitmaken. De betekenisgevingen achter de betekenisen gaan aan ons bewustzijn vooraf waar ze de zelfhandhaving en de ontwikkelingsdrang, die aan het leven zelf inherent zijn, betreffen. Andere betekenisgevingen gebeuren echter op het niveau van het bewustzijn. Beschouwen we dit niveau hierna.

    Een ding behoort tot de verzameling van de koeien (/de verzameling van de dingen die de eigenschap van het koe-zijn bezitten), als en slechts als dat ding zelf de eigenschap van het koe-zijn bezit - aldus Cantor.

    Beschouwen we nu eens een willekeurig ding, D, en bekijken we D eens in het licht van zijn eigenschappen. Zodoende beschouwen we D, vanuit onze specifieke aandacht, eigenlijk als een verzameling van eigenschappen: D is nu voor ons een verzameling van eigenschappen. We merken bijvoorbeeld dat D beweegt, graast en melk geeft. We zien ook dat het beeld van D een sterke gelijkenis vertoont met het beeld van een koe. We besluiten tenslotte dat D een koe is, aangezien het al die eigenschappen die we in een koe kunnen herkennen, bij D terugvinden.

    Nochtans hebben we nu abstractie gemaakt van het feit dat het idee dat wij hebben van een koe, niet zomaar uit de lucht is komen vallen: dit begrip is het resultaat van een heel leerproces. Om tot het begrip ‘koe’ te komen, hebben we eerst vele partikuliere koeien gezien, en vervolgens hebben we aan de hand van al het gemeenschappelijke aan alle ooit geobserveerde koeien, het concept ‘koe’ gevormd. Pas daarna zijn we tot de conclusie gekomen dat we een koe kunnen beschouwen als een verzameling van een aantal specifieke eigenschappen.

    Wanneer we nu Cantor’s definitie toepassen op ons ding D, dan zien we, dat Cantor zegt dat D behoort tot de verzameling van de koeien, als D de eigenschap van het koe-zijn bezit - dus: als D een koe is. Maar om te kunnen vaststellen dat D een koe is, moeten we eerst weten wat het concept ‘koe’ inhoudt. En om dat te kunnen weten, moeten we eerst alle partikuliere koeien observeren. Cantor vooronderstelt dus al dat we D als een koe zien, vooraleer we kunnen zeggen dat D een koe is. Cantor’s defintie is, althans met betrekking tot onze koe, een petitio principii, een curriculus vitiosus. Een nestbouwinstinct is datgene wat de eigenschap heeft dat het nesten doet bouwen, en nesten bouwen is de activiteit die voortspruit vanuit het nestbouwinstinct. Een ding behoort tot de verzameling van de koeien als het de eigenschap heeft een koe te zijn, en een koe is datgene wat gemeenschappelijk is aan de verzameling van alle koeien. Nog anders uitgedrukt: als koeien verzamelingen van eigenschappen zijn, waarvan het koe-zijn er een is, dan zijn de eigenschappen van de koe gelijk aan de elementen van de verzameling van de eigenschappen van de koeien. Ofwel: de verzameling van de koeien is de verzameling van de objecten die, in zich, de verschillende specifieke eigenschappen hebben van de gemeenschappelijke eigenschappen van de partikuliere koeien. Zo ziet men dat de verzameling van de koeien reeds alle individuele koeien veronderstelt. Nogmaals: uit de particuliere objecten wordt het begrip gedistilleerd in de gemeenschappelijke eigenschappen en vervolgens gaat men kijken of een ding een particulier geval is dat beantwoord aan dat begrip. Het begrip veronderstelt dus reeds de particuliere objecten en kan bijgevolg niet op relevante wijze dienst doen ter identificatie van een particulier object.

    Een ‘koe-ding’ is een ding dat de eigenschap heeft een koe te zijn: dit betekent eigenlijk dat de naam ‘koe’ wordt toegekend door een subject aan een object. Een ‘koe’ is een naam, maar de definitie zegt dat een koe eigenlijk een ding is dat deze naam draagt. De definitie spreekt dus af dat namen specifieke dingen representeren. De definitie identificeert namen met dingen (We hebben hier te maken met een ‘arbitraire’ act. Zie ook: J. Bauwens, Salamonsoordeel, deel 2, 1994, en Trans-atheïsme, deel 1, 2003). Cantor’s definitie is in feite de naamgeving zelf. Koeien zijn (werkelijke) objecten die koe zijn, die dus met het begrip ‘koe’ geïdentificeerd worden.

    Een definitie is een vastlegging (afbeelding) in (/naar) de taalbegrippen van dingen uit de objectenwereld of uit de ideeënwereld. De meest oorspronkelijke definitie, de basis van alle betekenisgevingen, gebeurt door aanwijzing van een object terwijl men een naam uitspreekt die aldus aan het object wordt gekoppeld. Men kan ook niet-materiële dingen definiëren; men kan bijvoorbeeld deze naamgeving als dusdanig benoemen. Ook waar we het hebben over ideële objecten, zoals getallen, vertrekken we bij de objectenwereld waarin geteld wordt, zodat het getal eigenlijk een act (de tel-act) uitdrukt. Een getal blijft zichzelf, alleen maar omdat wij de verborgen afspraak maken dat elk getal een aantal werkelijke dingen die dus zichzelf blijven, representeert. Zouden wij daarentegen geloven dat getallen zuiver ideëel zijn, en dat ze zonder de objectenwereld zouden kunnen bestaan, dan zou het geen zin hebben om te tellen, aangezien er geen enkele reden zou zijn waarom een getal niet zomaar in een ander getal zou mogen (/kunnen) veranderen. 1+1=2 betekent eigenlijk: als wij een object hebben, en we voegen er nog een object aan toe, dan zal deze samenvoeging resulteren in de tel-act: “één, twee”, afgekort: “twee”. Het tellen situeert zich dus steeds in de voorwaardelijkheid: de voorwaarde is dat elk getal een werkelijk ding representeert. Het ‘wezen’ van ideële concepten steunt dus op het ‘wezen’ van geconstrueerde concepten, en zo is het getal hier hetzelfde lot beschoren als de koe.
    >


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§42. Naar een subjectivistische verzamelingsleer

    §42. Naar een subjectivistische verzamelingsleer

    Op heel wat terreinen van wetenschappelijke bedrijvigheid, moeten ad hoc-hypothesen de bestaande systemen onderstutten, totdat uiteindelijk de bouwwerken dreigen in te storten. De noodzaak van deze ad hoc’s - met andere woorden: de tekorten van onze systemen - worden vaak veroorzaakt door de waan van de mogelijkheid tot absolute coherentie, consistentie en objectiviteit: men gelooft in een systeem waarop men als een buitenstaander kan toekijken. Een systeem dat volautomatisch en volmaakt zou werken, en waarin men tenslotte zichzelf als een onderdeeltje zou kunnen situeren, aldus de eigen subjectiviteit verliezend. Een waan, vanuit een dwaze hoop, uiteindelijk ingegeven door de angst“angst” voor verantwoordelijkheid.

    Het wetenschappelijk systeem in kwestie blijkt vaak niet gauw bereid om dit probleem te erkennen; het kan niet voldoende afstand nemen van zichzelf. Pas een filosofische reflectie zou hieraan eventueel kunnen verhelpen. Maar de afstand tussen de filosofie en de wetenschappen is vaak zo groot, dat elk maar liever in het eigen vaarwater wil blijven. Toch is, ons inziens, een diepgaandere reflectie over systemen en hun grenzen noodzakelijk, teneinde aan de malaise die het nastreven van een absolute objectiviteit meebrengt, te kunnen verhelpen.

    Teneinde hier een wat concreter beeld te kunnen ophangen van onze intenties, geven we nog een algemeen voorbeeld ter verduidelijking van de absolute waarde van de subjectiviteit met betrekking tot onze voorstellingen, ook als die wiskundig van aard zijn.

    Als ik van punt X naar punt Y moet, en weg A blijkt korter dan weg B, dan betekent dit dat, als ik gebruik maak van weg A, ik X dichter bij Y breng. De nabijheid van X tot Y is geen louter epistemische zaak: ze is ook ontisch. We vergissen ons als we met de meetlat oordelen over de afstand tussen X en Y, net zoals we ons vergissen als we causaal denken op de klassieke manier: in beide gevallen immers, stellen we een epistemische zaak boven een ontische. Ten bewijze van de stelling dat X effectief dichter bij Y komt te liggen wanneer ik middels weg A gemakkelijker van X naar Y geraak dan middels weg B, het volgende.

    Als ik voor het bepalen van de afstand van X tot Y de meetlat als criterium neem, heb ik in feite een tijdseenheid als meeteenheid gebruikt, omdat de voorstelling van afstanden relatief is aan de tijdservaring. De meeteenheid is steeds een ervaring, hetzij de directe, hetzij een indirecte, maar van belang hierbij is dat de meter het object buiten ons verbindt met ons lichaam. Deze link is een conditio sine qua non voor het begrip, en om die reden blijft er noodzakelijkerwijze in elke kennis, hoe abstract ook, een hylozoïstische basis: elk instrument is uiteindelijk een verlengstuk van ons lichaam, hetzij van onze zintuigen, hetzij van onze handen, en indien het dat niet was, dan konden we er ook niets mee aanvangen. Welnu, stel dat ik in X ben en ik heb dorst, terwijl er in Y water is. Stel bovendien dat Y zo ver af ligt dat ik er nooit kan geraken vooraleer ik van de dorst omgekomen ben. Ik noem de afstand van X tot Y “te groot”, en deze bepaling bevat een comparatief, want vergelijkt zich met de meeteenheid die hier ultiem relevant is: de afstand is namelijk te groot om ooit overbrugd te kunnen worden. Beschik ik echter plotseling over een auto, dan blijkt de afstand tussen X en Y, hoewel hij met de meetlat gemeten nog steeds dezelfde is, niet langer “te groot” (om overbrugd te worden): hij is overbrugbaar. En hij is overbrugbaar geworden door de auto. Met andere woorden: het concept van de bereikbaarheid (door het subject) is primordiaal op dat van de afstand, omdat de parameter voor de afstand uiteindelijk in termen van (subjectieve) bereikbaarheid zal moeten uitgedrukt worden.

    In dit extreme voorbeeld blijkt zodoende, hoe de reële afstand tussen X en Y effectief verandert middels een efficiënter (subjectief) overbruggingsmechanisme. Dit houdt echter in, dat overbruggingsmechanismen in feite een grotere werkelijkheidswaarde hebben dan zogenaamd “objectieve” waarnemingen, want de “objectiviteit” waarop bepaalde kennissystemen aanspraak maken, verdoezelt de waarachtigheid van datgene dat gemeten of gekend wordt, en betekent alleen maar een loochening van de menselijke lichamelijkheid. Kennis, wanneer ze in deze zin waarachtig is, is dan reëler dan louter waarneming, omdat ze behalve het waargenomene tevens het mogelijk waar te nemene in haar anticipatievermogen bevat (zie ook: Bauwens 1994: de voetnoot bij het slot van §3.8.1.1.).

    Met andere woorden: een relevant werkelijkheidsbeeld moet het subject daarin integreren.

    Omdat de wiskunde die wetenschap is die, ons inziens, het dichtste aansluit bij de filosofie, beperken we ons hier tot het aanbrengen van enkele bedenkingen welke de relevantie van een dergelijke betrekkelijkheid - wij noemen het: een noodzakelijke subjectgebondenheid - moeten kunnen illustreren. Herhalen we eerst kort wat we omtrent verzamelingen reeds gezegd hebben.

    Het begrip ‘verzameling’. Het begrip ‘verzameling’ wordt in de klassieke handboeken niet gedefinieerd, het wordt enkel omschreven. Maar een verzameling is niet iets op zich; een verzameling wordt gemaakt, namelijk door de verzamelaar, in de activiteit waaraan wij de naam ‘verzamelen’ geven. Zonder een verzamelend subject is er geen sprake van een verzameling. De dingen zijn, zonder het subject, louter entiteiten. Eigenlijk zijn er zonder het subject ook geen entiteiten, aangezien elke entiteit zich wezenlijk van elke andere onderscheidt, terwijl dit onderscheidingsvermogen vanzelfsprekend niet ligt bij de entiteiten zelf, doch ook een gevolg is van de activiteit van het onderscheiden door een subject. Maar het probleem van de entiteiten laten we hier voorlopig buiten beschouwing om de zaak niet nodeloos ingewikkeld te maken. Later keren we hierop uitgebreid terug. Voorlopig nemen we dus aan dat entiteiten zonder de tussenkomst van het subject kunnen bestaan. We nemen hier dus voorlopig aan dat zonder het subject, de dingen (reeds) entiteiten zijn.

    Een subject is in staat om bepaalde entiteiten te verzamelen. Zo bijvoorbeeld kan ik een mand vol paddestoelen plukken. Ooit hebben onze voorvaderen alle paddestoelen ter wereld“wereld”, ook deze die allang vergaan waren en deze die het levenslicht nog niet hadden gezien, verzameld en van de naam ‘paddestoel’ voorzien, waarna ze allemaal netjes werden teruggezet op hun plaats in de ruimte en in de tijd (- en dit gebeurt door middel van definiëring). We kunnen dingen fysiek verzamelen, dit is: samenbrengen bij het fysieke subject, maar we kunnen bijvoorbeeld ook dingen onder eenzelfde noemer samenbrengen en dan hebben we die dingen conventioneel verzameld, we hebben afgesproken dat ze samengebracht werden - hun samenzijn bestaat dan alleen in de taal. Ook kunnen de beide handelingen samen verricht worden.

    Wezenlijk kenmerkend voor de activiteit van het verzamelen van dingen, is dat aldus deze dingen onderscheiden worden van bepaalde andere dingen, namelijk van die dingen die niet verzameld worden. Indien een verwoed verzamelaar er zou in slagen om àlle dingen te verzamelen, dan was er van een verzameling geen sprake meer, precies omdat er geen dingen meer zouden overblijven waarvan de verzamelde dingen zich dienen te onderscheiden, terwijl het onderscheiden-zijn van de verzamelde dingen essentieel is voor het tot stand komen van de verzameling zelf. Als ik alles in mijn eerste mand gestoken heb, dan moet die mand samenvallen met de grens van het heelal, zodat ik zelf in mijn eerste mand zit en ik eventueel kan herbeginnen met een tweede. De eigenaar van alles zit in net hetzelfde schuitje als de bezitsloze. Wanneer er naast de verzamelde dingen geen andere meer overschieten, dan kan er ook geen sprake zijn van een verzameling. De zogenaamde ‘universele verzameling’ is daarom geen verzameling. Het is noch een totaliteit, noch een niet-totaliteit. Anders uitgedrukt: de benoeming daarvan in termen van verzamelingen is irrelevant.

    Nu kunnen we de zogenaamde ‘universele verzameling’ op nog een tweede manier naar het land van de sprookjes verwijzen. Want wanneer we er heel even blijven bij stilstaan, begrijpen we dat het concept ‘alles’, eigenlijk een negatief begrip is. Hiermee wordt bedoeld dat wij ons ‘alles’ op geen andere wijze kunnen voorstellen tenzij als het volledige: datgene waaraan niets ontbreekt, datgene waaraan geen ding ontbreekt. Stellen we ons bij voorbeeld een fiets voor, wat nog slechts een deel van ‘alles’ is, dan kunnen we vaststellen dat aan een fiets toch al heel wat attributen vastzitten, zoals een bel, een stuur, een zadel, pedalen, wielen, en zo meer. We kunnen bijvoorbeeld zeggen dat aan een fiets een pedaal al dan niet ontbreekt. Stellen we ons nu ook het woord ‘fiets’ voor, dan kunnen we zeggen dat aan dat woord al dan niet een letter ontbreekt. We hebben nu, met de fiets en het woord ‘fiets’, nog maar twee dingen beschouwd. Maar reeds nu moeten we tot de vaststelling komen dat we in het totale onvermogen verkeren om ons een derde ding voor te stellen waarvan wij zouden kunnen zeggen dat er al dan niet én een pedaal én een letter aan ontbreekt. We zullen er dus zeker nooit in slagen om ons iets voor de geest te roepen waaraan geen ding ontbreekt. Welnu, zoiets waaraan niets ontbreekt, is nu precies datgene wat wij bedoelen met het concept ‘alles’.

    Gaan wij in het bovenstaande voorbeeld een beetje meer de wiskundige toer op, dan kunnen wij inzien dat ‘alles’, als de verzameling van alle dingen, evenmin bevattelijk is. Stellen we eens, ter vereenvoudiging, dat er alleen maar natuurlijke getallen bestaan. Of gaan we in onze vereenvoudiging zelfs nog een stap verder, en stellen we dat er alleen maar de getallen 1, 2 en 3 bestaan. Nu zijn wij geneigd te denken dat de verzameling van alle dingen, gelijk is aan de verzameling waarvan deze drie getallen de elementen vormen, namelijk: {1,2,3}. Maar onmiddellijk zien wij in dat dit niet alles is, want uit deze verzameling wordt ook de volgende verzameling mogelijk: {{1},{2,3}}, alsook: {{1,2},{3}} en {{1},{2},{3}} en {{{{1,2,3}}}} en zo voort, tot in het oneindige. Dit komt, omdat wij, behalve over de drie genoemde getallen, ook nog beschikken over de subjectieve component: het concept ‘verzamelen’. Reeds één enkel getal volstond om daarmee een oneindig universum op te bouwen. We hebben hier om zeggens vele gezelschappen die zo groot zijn dat ze niet in het Hilbert-hotel kunnen worden ondergebracht. Aan ons ‘universum’ zullen dus altijd allerlei dingen ontbreken.

    Op zuiver logische gronden concludeerden wij hierboven, vanuit een subjectieve benadering van de wiskunde, tot het niet bestaan van de universele verzameling. In de klassieke, ‘objectieve’ verzamelingenleer kwam men pas via de paradox van Russell tot dit besluit, meer bepaald was het Zermelo die een axioma (het Aussonderungs Axiom) invoerde, hetwelke hem toeliet deze paradox ongedaan te maken, terwijl het meteen inhield dat het universum niet langer als een verzameling kon bestempeld worden (zie: de Swart 1993-‘94: 278v en de Swart 1975: 136v). We komen hier nog op terug.

    De universele verzameling is geen verzameling, maar tegelijk geldt dat een mand waarin niets“niets” verzameld werd weliswaar nog steeds een mand is, maar geen verzameling, ook geen ‘lege verzameling’: de term ‘lege verzameling’ is een contradictio in terminis.

    In de klassieke verzamelingsleer wordt de lege verzameling gedefinieerd als de (ene en enige) verzameling die geen elementen heeft, welke genoteerd wordt als de verzameling van alle elementen, genaamd z, die niet gelijk zijn aan zichzelf (de Swart 1975: 11-12). We moeten hierbij opmerken dat deze definitie een contradictie inhoudt, want als men stelt dat z niet gelijk is aan z, dan stelt men meteen dat z een symbool is dat telkens een verschillende essentie representeert, zodat men dan krachtens deze definitie ook moet aannemen dat er verschillende lege verzamelingen bestaan. Immers, wanneer gesteld wordt dat z verschillend is van z, dan betekent dit dat achter z, als symbool, iets schuilgaat dat van z verschilt. Dit ‘achterliggende’ is in gevolge die initiële stelling niet identificeerbaar met een symbool, aangezien, zoals de initiële stelling zelf zegt, hetzelfde symbool verschillende ‘achterliggenden’ representeert. De ‘achterliggenden’ zijn bijgevolg onbepaald en dus kan men er ook geen uniciteit aan toeschrijven. Als wij aannemen dat er verschillende lege verzamelingen bestaan, dan zijn wij in tegenspraak met het klassieke bewijs voor de enkelvoudigheid van de lege verzameling.

    Onze oplossing bestaat hierin, dat wij stellen dat er geen vergelijking mogelijk is tussen ‘verzamelingen’ die geen elementen bevatten - als die al zouden bestaan: dergelijke ‘verzamelingen’ kùnnen dus onderling noch gelijk noch ongelijk zijn. Omdat niets verzameld werd, bestaan ze ook niet.

    Van een verzameling is pas sprake vanaf het moment dat iets verzameld werd. Omdat het verzamelen steeds de activiteit van een subject is, volstaat het één ding te verzamelen opdat van een verzameling sprake zou kunnen zijn. Immers, het is niet bij elkaar dat de dingen verzameld worden, maar bij het subject: vanaf het moment dat er één ding ‘geplukt’ werd, kan gezegd worden dat het samengebracht werd met het subject.

    Het begrip ‘element van een verzameling’. Elk van de entiteiten die van elke andere entiteit onderscheiden werden krachtens het feit“feit” dat ze door een subject verzameld werden in een specifieke verzamelingsact, kunnen ‘element van die verzameling’ genoemd worden. Op die manier is een element van een specifieke verzameling een entiteit die krachtens haar eigenschap van het verzameld-zijn van elke andere entiteit onderscheiden is: een entiteit behoort tot een verzameling of is element van een verzameling als ze verzameld werd, en is dat niet als ze niet verzameld werd.

    Het enige relevante dat alle elementen van eenzelfde verzameling met elkaar gemeenschappelijk hebben, is het feit“feit” dat ze elk verzameld werden. Eventueel andere eigenschappen van entiteiten die elementen van eenzelfde verzameling zijn, hebben in dit primordiale licht“licht” geen enkele betekenis.

    Men zou dit probleem nog anders kunnen formuleren, namelijk in de vraag hoe elementen van verschillende verzamelingen zich onderling onderscheiden. Als de verzameling A de elementen a1, a2, a3, ... verzamelt, dan gebeurt zo’n verzamelactiviteit vanuit het viseren van bepaalde eigenschappen. Die eigenschappen zijn altijd specifiek, dit wil zeggen: ze zijn nooit onbepaald. Maar precies om die reden is de verzameling van “alles” een wanbegrip. Zo bijvoorbeeld verzamelt R alle rode dingen, terwijl B alle bewijzen van de stelling van Pythagoras verzamelt. Nu kunnen wij ons een verzameling C voorstellen die én alle rode dingen verzamelt én alle bewijzen van de Pythagorasstelling, en die verzameling is de som van de verzameling R en de verzameling B. Maar we kunnen ons geen verzameling D voorstellen die alle dingen verzamelt die én rood zijn, én bewijzen van de Pythagorasstelling vormen, want bewijzen hebben geen kleur. Geen enkel Pythagorasbewijs is rood en dus is er geen verzameling die de doorsnede vormt van R en B. Maar als S de verzameling is van alle stoelen, en R is de verzameling van alle rode dingen, dan lijkt het zo te zijn dat wij wel een doorsnede T kunnen maken van S en R, want de verzameling van de rode stoelen kan schijnbaar gemaakt worden. Maar is dat wel zo? Met andere woorden: zijn het de stoelen die rood zijn? We weten dat een stoel, op zich genomen, geen kleur heeft, omdat het een idee is: viseren we een voorwerp als stoel, dan viseren we niet iets dat op een bepaalde manier gekleurd is, want een stoel is een idee, en elke particuliere stoel is slechts stoel als idee, want een particuliere stoel kan, als ding, ook als een tafeltje beschouwd worden. Ik werd eens uitgenodigd in een moderne woonruimte en daar stonden, verspreid in de ruimte, een aantal stoeltjes. Ik wilde op een ervan gaan zitten, toen mijn gastheer zei: “Gaat u niet zitten, want dat zijn de tafeltjes; de stoelen komen er zo aan”. Nu, hoedanook waren het rode dingen die daar stonden, meer bepaald: rode materiële dingen. Materiële dingen kunnen licht weerkaatsen en/of absorberen, en kunnen dus rood zijn. Een stoel, als idee, is niet materieel; een stoel, als ding, is dat wel, maar misschien ook is hij geen stoel maar een tafeltje. Als ik zou gezegd hebben: “Wat een mooi stel rode stoeltjes hebt u hier”, dan had mijn gastheer beslist kunnen antwoorden: “U vergist zich: ik heb geen rode stoeltjes”. En hij had er zeker kunnen aan toevoegen: “Dit zijn immers geen stoeltjes”. Indien een stoel een (materieel) ding was, dan had ik mij zeker niet vergist, want dan had ik gezien dat dit geen stoelen waren, want (materiële) dingen kan men zien; maar ik zag het niet, omdat stoelen, als stoelen, geen dingen zijn. Om een stoel te kunnen zien, moet er dus niet alleen een materieel en dus een zichtbaar ding voorhanden zijn, maar tevens moet ik beschikken over de informatie dat het wel degelijk om een stoel gaat.

    Als we dus dingen verzamelen die elk de eigenschap hebben een stoel te zijn, en deze verzameling is dus de verzameling van alle dingen die de eigenschap hebben een stoel te zijn, dan verzamelen wij die dingen als stoelen, wat betekent dat het hier niet om materiële dingen kan gaan, en dus niet om objecten, maar om ideeën. Om echt materiële stoelen te kunnen verzamelen, moeten we dus eerst beschikken over de informatie dat het echt om stoelen gaat. Maar àls we omtrent elk van de te verzamelen dingen over die specifieke informatie beschikken, dan betekent dit dat die dingen reeds verzameld werden, reeds ondergebracht werden als zijnde behorend tot de verzameling van de stoelen. Anders gezegd: op de keper beschouwd kunnen wij pas verzamelingen van specifieke dingen maken, indien eerst alle dingen voorzien zijn van een etiket waarop hun naam staat. Maar alle objecten die een naamkaartje dragen, werden vanzelfsprekend reeds verzameld, dit wil zeggen: ondergebracht onder een specifieke noemer. Dat soort van verzamelen zou dus slechts “herverzamelen” zijn. Daarom is de activiteit van het verzamelen geen passieve aangelegenheid, maar een actieve en creatieve activiteit: door een object in de verzameling van de stoelen onder te brengen, mààk ik het tot een stoel.

    Bekijken we nu Cantor’s definitie in dit licht: “Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objecte unserer Anschauung oder unseres Denkens - welche die Elemente der Menge genannt werden - zu einem Ganzen”. In de verzamelingsleer wordt hier aan toegevoegd: “Het is duidelijk dat men dus eerst objecten moest hebben om verzamelingen te kunnen vormen”(de Swart 1975: XIII). Het is dus niet zo dat “objecten” nodig zijn, neen: er is veel meer nodig: ofwel hebben we objecten nodig die reeds een naamkaartje dragen, en die dus reeds verzameld werden; ofwel moet deze definitie veranderd worden, en moet de activciteit van het verzamelen beschouwd worden als een constructieve activiteit: een activiteit die de dingen niet herkent doch die ze creëert. We komen hier nogmaals op terug in de paragraaf: “Verzamelingen zijn manifestatievormen van de natuurlijke orde”. Merken we hier alleen nog op dat in het geval waarbij de te verzamelen ‘objecten’ geen materiële dingen zijn, doch ‘wiskundige objecten’, wij eigenlijk naamkaartjes verzamelen, dit betekent dat we in dat geval verzamelingen verzamelen, waarbij we van de (materiële) objecten, en dus van de identificatie-activiteit, abstractie maken, wat concreet inhoudt dat we nooit zullen dulden dat de waarneming van een symbool, bijvoorbeeld het getal ‘2’, aanleiding zou kunnen geven tot twijfel omtrent zijn betekenis (/zijn toegekende inhoud).

    Dat wat betreft het maken van doorsneden van verzamelingen. Bekijken we nu de vereniging van verzamelingen, en belichten we deze evenzeer problematische activiteit nogmaals anderszins.

    Kunnen wij R en S verenigen? Met andere woorden: kunnen wij een verzameling vormen van alle rode dingen en van alle dingen die stoelen zijn? Stel dat er 1000 stoelen bestaan en 3000 rode dingen. De verzameling S telt 1000 elementen, de verzameling R telt 3000 elementen. Laten we veronderstellen dat er 100 rode stoelen bestaan, dan telt onze nieuwe verzameling T precies 100 elementen. Hoeveel elementen telt de verzameling U, gesteld dat U de verzameling is die de verzamelingen R en S verenigt? Dat zijn er precies 3900, en dus niet 4000. Maar klopt dit wel? Met andere woorden: moeten we de rode stoelen niet twee keer tellen, namelijk één keer als ‘rood ding’, en een tweede keer als ‘stoel’? Immers, als we R en S verenigen, dan moeten we bij alle rode dingen, àlle stoelen optellen, ongeacht welke kleur die hebben. We kunnen nu wel zeggen dat we de rode stoelen reeds eenmaal geteld hebben, maar het punt is dat we die geteld hebben als ‘rode ding’ en niet als ‘stoel’. Werpt men hier op tegen dat een rode stoel niet twee dingen zijn, maar slechts één ding is, dan is dit weliswaar correct, maar het gaat hier niet om dingen, want verzamelingen verzamelen geen dingen, doch eigenschappen, en een rode stoel is twéé eigenschappen! Straks gaan we hier wat verder op in. Vermelden we hier nog dat de klassieke bewerkingen in de verzamelingenleer hun relevantie ontlenen aan het feit dat een wereld van ‘dingen’ (essenties’) voorondersteld wordt te bestaan. Dit ‘objectivisme’ is ons inziens echter tegelijk de oorzaak van het optreden van heel wat paradoxen en hiaten in de verzamelingenleer.

    De stelling dat we de rode stoelen twee keer moeten tellen kan absurd lijken, maar laten we hier een voorbeeld geven waaruit duidelijk moet blijken dat zulks geen sinecure is. Stel dat L de verzameling is van alle leden van de Lezersclub en M de verzameling van alle leden van de Muziekclub. De lezers betalen voor de uitgeleende boeken een jaarlijks lidgeld van 10 Euro en de muziekliefhebbers betalen voor het ontlenen van muziekdiscettes ook 10 Euro. Stel dat de lezersclub 100 leden telt en de muziekclub telt ook 100 leden. Maar 50 mensen zijn lid zowel van de lezersclub als van de muziekclub. De lezersclub incasseert jaarlijks 1000 Euro en ook de muziekclub incasseert 1000 Euro per jaar. Maakt men de unie van de kas van de lezersclub en de muziekclub, dan vindt men in die verenigde kas welgeteld 2000 Euro. Maakt men echter de vereniging van de leden van de twee clubs, dan zou, volgens de klassieke verzamelingenleer, hun aantal slechts 150 bedragen, aangezien 50 van hen lid zijn van de beide clubs. De klassieke verzamelingenleer vooronderstelt immers dat de elementen van de verzamelingen ‘entiteiten’ zijn, welke in de bewerking van de vereniging dus geen twee keer mogen geteld worden. Dat ze echter wel twee keer zullen moeten betalen als ze lid zijn van elk van de clubs, toont ons inziens aan dat niet het entiteitskarakter doch wel het lidmaatschapskarakter primordiaal is in de verzamelingsleer.

    We kunnen dit voorbeeld nog verder extrapoleren. Duizend mensen kunnen getypeerd worden door hun lidmaatschap van één verzameling, maar ikzelf, als individu, kan ook getypeerd worden als lid van 1000 verzamelingen, waartoe niemand anders behoort tenzij ikzelf. Dat komt omdat ik bijvoorbeeld 1000 specifieke eigenschappen bezit die geen ander individu bezit. Eén van die heel specifieke eigenschappen is bijvoorbeeld mijn persoonlijk adres. Een tweede specifieke eigenschap is de afdruk van mijn vingers. Een derde specifieke eigenschap is mijn curriculum vitae. En zo kan men zeker nog tot 1000 doorgaan. De verzameling van alle personen die woonachtig zijn op dit bepaalde adres bevat precies één element, namelijk ikzelf. De verzameling van alle personen met die bepaalde vingerafdrukken bevat één element, ikzelf. De verzameling van alle personen met dat bepaalde curriculum vitae bevat één element, ikzelf. En zo voort. Maar men kan de zaak ook omdraaien, dit wil zeggen: men kan hier het element beschouwen als een verzameling, en de verzamelingen kunnen beschouwd worden als elementen. En dan behoren tot die specifieke verzameling die ikzelf vorm de volgende elementen: dit specifieke adres, die bepaalde vingerafdrukken en dat bepaald curriculum vitae. De cruciale kwestie is hier de volgende. Ik kan mezelf beschouwen als een (uniek) element van heel wat verzamelingen die elk singleton zijn, en van zodra ik één van die specifieke verzamelingen opnoem, heb ik mezelf gedefinieerd. Als ik bijvoorbeeld zeg dat ik een element ben van de verzameling van de personen die woonachtig zijn op dit specifieke adres, dan ben ik voor elkeen onmiddellijk identificeerbaar. Maar als ik daarentegen mezelf beschouw als een verzameling van 1000 eigenschappen, waaronder bijvoorbeeld mijn persoonlijk adres, kunnen die 1000 eigenschappen dan volstaan om mezelf als persoon te definiëren? Het antwoord op deze vraag is echter duidelijk negatief. Wie mijn adres kent, weet waar ik woon, maar meer dan dit weet hij niet. Kent hij ook mijn curriculum vitae, dan weet hij ook iets van mijn verleden, maar toch kent hij mij dan nog niet goed genoeg om zich van mij een precies beeld te kunnen vormen. Zelfs als hij zo 1000 eigenschappen van mij kent, kan hij zich nog altijd vergissen. Mijn eigenschappen kunnen mij wel localiseren of registreren of taxeren in deze of in gene zin, maar ze volstaan nooit om mij te reconstrueren. Welnu, een punt in het vlak kan gereconstrueerd (of dus: perfect gedefinieerd) worden aan de hand van twee elkaar snijdende rechten, omdat deze twee rechten dit punt perfect kunnen localiseren, terwijl een punt niets anders is tenzij een localisatie. Een eigenschap van dat punt is dat het de snijding is van die twee rechten; en een eigenschap van die twee rechten is dat ze elkaar snijden in dat punt: essentie en eigenschap zijn hier onderling verwisselbaar omdat de eigenschap de essentie definieert en andersom (- een punt kan weliswaar gedefinieerd worden door verschillende snijdende rechten, maar het punt hier is, dat twee snijdende rechten daartoe volstaan). Dit geldt ook voor getallen en kortweg voor alle wiskundige objecten. Maar gaat het om dingen uit de werkelijkheid, dan faalt elke opsomming van eigenschappen in een poging tot de reconstructie van om het even welk concreet ding. Een ‘werkelijk ding’ heeft eigenlijk een onuitputtelijk aantal eigenschappen, omdat elke eigenschap mede het product is van een specifieke subjectieve activiteit (dit is: de verzamelactiviteit), terwijl de subjectieve activiteit niet gedetermineerd en niet determineerbaar is.

    Maken we hier nog een toepassing met betrekking tot onze stelling dat het concept “alles” een wanbegrip is. Als men nu de verzameling van alle dingen wil denken, dan moet men een eigenschap bedenken die voor alle dingen geldt, zowel voor de natuurlijke getallen, als voor de stoelen, als voor de post-modernistische kunstwerken, enzovoort. Maar een eigenschap is pas een eigenschap indien er dingen zijn waarvoor ze niét geldt. Het is dus onmogelijk om een eigenschap te bedenken die voor àlle dingen geldt. Dat zou een eigenschap zijn in disjunctieve vorm: de verzameling van de dingen die ofwel rood zijn, ofwel blauw zijn, ofwel natuurlijke getallen zijn, ofwel bewijzen van de Pythagorasstelling zijn, enzovoort, tot in het oneindige. Zo’n verzameling zou dus onbepaald zijn, ze zou geen enkele eigenschap typeren, en ze zou dus onbestaande zijn. Verder zou tot de verzameling van alle dingen, opdat zij volledig zou zijn, ook de verzameling van de niet-verzamelde dingen moeten behoren. Maar zulks zou vanzelfsprekend een contradictie opleveren! Vandaar: ofwel is de eigenschap van het ‘verzameld-zijn’ primordiaal op het ‘ding-zijn’ (dit wil zeggen: het ding dankt zijn ‘ding-zijn’ aan zijn ‘verzameld-zijn’, of: iets is pas als het verzameld werd), en dan bestaan de ‘niet-verzamelde dingen’ niet eens; ofwel zijn er eerst dingen die dan eventueel kunnen verzameld worden, en dan krijgt men de genoemde paradox waarbij de ‘niet-verzamelde dingen’ tegelijk wel en niet tot de verzameling van ‘alles’ zouden moeten behoren. Verder is de ‘verzameling van alles’ gelijk aan alle dingen die verzameld werden of worden, waarbij deze verzamelactiviteit onbepaald is, want afhankelijk van de vrijheid van het subject: niemand kan ooit bepalen hoe de verzamelactiviteit verloopt en of zij ooit stopt, en als zij stopt, wanneer dat het geval zou zijn. Tenslotte: indien ‘alles’ een welbepaald ‘iets’ is, dan kunnen wij ons dit niet anders voorstellen dan als ‘datgene waaraan niets ontbreekt’. Maar aan om het even welk object zal per definitie altijd iets ontbreken, want een object is een bepaaldheid. Zo ontbreekt aan een fiets al datgene wat niet relevant is voor die fiets, bijvoorbeeld een komma, een bijzin of een bewijs. Men kan ook zeggen dat, precies omdat een komma niet relevant is voor een fiets, hij er niét aan ontbreekt. Maar dan rijst de vraag wat een perfecte fiets dan wel mag zijn, en het antwoord luidt dat geen (geconstrueerd) ding als onverbeterbaar of als voltooid kan worden beschouwd, omdat elk ding gestalte geeft aan een plan, een idee, zonder er ooit mee samen te vallen. Het plan staat dan weer in functie van een groter plan en zo verder: totdat de wereld voltooid zal zijn, kan niets als voltooid worden beschouwd.

    Hier moet een strikt onderscheid gemaakt worden tussen geconstrueerde dingen en geschapen dingen. Immers, de laatst genoemden hebben een essentie, terwijl de essentie van de eerst genoemden gesitueerd moet worden in hun idee, die niet binnen het materiële object ligt, maar binnen de geest van het subject (dat een bijzonder schepsel is) dat hen deze essentie heeft toegekend. In dit verband mogen we hier verwijzen naar onze kritiek bij het befaamde vouwbeen van Sartre. (Zie: Bauwens 1994: § 1.6.3.).

    Het is dus correct wanneer ik mijn persoon beschouw als een verzameling van een oneindig aantal eigenschappen - anders uitgedrukt, omdat eigenschappen zaken zijn die door de activiteit van het verzamelen geviseerd worden, is het correct als ik mijn persoon beschouw als een element van een oneindig aantal verzamelingen, maar dan met die beperking, dat elk van die verzamelingen mij slechts kan vatten in één welbepaalde eigenschap, en nooit als een ‘volledig ding’. Geen enkele verzameling kan mij dus als een ‘werkelijk bestaand object’ vooronderstellen. En dat geldt niet alleen met betrekking tot personen, maar ook met betrekking tot alle ‘werkelijk bestaande dingen’. De objectiverende kijk die aan de basis van de klassieke verzamelingenleer ligt, is bijgevolg fout waar het ‘werkelijk bestaande dingen’ betreft. Anders is het gesteld waar het wiskundige objecten betreft: zoals reeds gezegd, kan de essentie van bijvoorbeeld een punt in het vlak volkomen gedefinieerd worden door de eigenschap dat het resulteert uit de snijding van twee welbepaalde rechten. Met andere woorden: wiskundige objecten onderscheiden zich van reële objecten doordat hun essentie samenvalt met hun eigenschappen. De essentie van reële objecten daarentegen kan niet omvat worden door de beschrijving van eigenschappen van deze objecten.

    Kan een element van een verzameling zelf een verzameling zijn? Vanzelfsprekend, maar dan wel op voorwaarde dat het op zijn beurt verzameld wordt. Als ik mandjes met fruit verzamel, dan heb ik in mijn grote mand een mandje appelen, een mandje peren en nog enkele andere mandjes met elk diverse vruchten. Maar tot op het ogenblik dat ik appelen begin te verzamelen, behoren de appelen uit dat eerste mandje niet tot mijn verzameling; het enige wat tot op dat ogenblik tot mijn verzameling behoort, zijn ‘mandjes vol fruit’. Als ik hele appelen verzamel, dan behoren tot mijn verzameling geen halve appelen, tenzij vanaf het moment dat ik elke appel ga beschouwen als de som van zijn helften. En die laatste manier van beschouwen betekent niets“niets” anders dan het aanleggen van een nieuwe verzameling die, hoewel zij de entiteiten uit de eerste gebruikt, met de elementen van de oude verzameling, en dus ook met de oude verzameling zelf oorspronkelijk niets te maken heeft.

    Kan een deel van een element van een verzameling een element van die verzameling zijn? Neen. Immers, een ‘element’ is een entiteit beschouwd in het licht“licht” van zijn verzameld zijn. Entiteiten zijn vaak verdeelbaar in kleinere entiteiten, maar dat geldt niet voor elementen, die vanzelfsprekend onverdeelbaar zijn. Indien een element verdeelbaar was, dan had geen verzameling er een vast aantal van. Als ik acht hele appelen verzameld heb, dan is er geen sprake van dat dit aantal zou veranderen. Als ik acht druiventrossen verzameld heb, dan zal het breken van een twijg eventueel negen trossen opleveren, maar deze gebeurtenis kan niet ingecalculeerd worden binnen de verzameling zelf. Twee halve trossen druiven kunnen slechts toevalligerwijze als twee hele trossen beschouwd worden. Waar abstractie gemaakt wordt van de concrete dingen (en dit is noodzakelijk in functie van de vorming van het begrip ‘element’), wordt de irrelevantie van dergelijke voorbeelden direct ingezien.

    Het begrip ‘eigenschap’. Elementen van een verzameling hebben geen eigenschappen. Entiteiten daarentegen hebben wel eigenschappen. Een entiteit kan bijvoorbeeld de eigenschap hebben dat ze een element is van een bepaalde verzameling. Een andere entiteit kan bijvoorbeeld de eigenschap hebben dat ze geen element is van de beschouwde verzameling. Het ‘element-zijn van een bepaalde verzameling’ kan een eigenschap zijn van een bepaalde entiteit, omdat er ook entiteiten overschieten die de genoemde eigenschap niét hebben. Een eigenschap die zou gelden voor àlle entiteiten, zou geen eigenschap van entiteiten zijn, want de eigenschap ‘een eigenschap te zijn’ kan pas toegekend worden aan bepaalde dingen indien er ook andere dingen overschieten die deze eigenschap ‘een eigenschap te zijn’ missen. Nu is er geen entiteit denkbaar die deze eigenschap, namelijk ‘een eigenschap te zijn’, mist, precies omdat een entiteit, als entiteit, is. En dat iets is, betekent dat het z’n zijn als eigenschap heeft; met andere woorden: wat z’n zijn niet als eigenschap heeft, is ook niet, en is dus ook geen entiteit (tenzij het niet gaat om iets doch om iemand. Nogmaals: alleen subjecten kunnen een entiteit hebben. De reden is dat alleen zij als dusdanig door andere subjecten erkend kunnen worden. Zie ook de discussie over essentie en existentie in: Bauwens 1994). Een element is een entiteit, geviseerd in het licht“licht” van zijn eigenschap te behoren tot een bepaalde verzameling, en het ‘element-zijn van die bepaalde verzameling’ is dan ook de enige eigenschap die aan een element kan toegeschreven worden; het is meteen de essentie van dat element. Achter die essentie moet geen entiteit meer gezocht worden; het enige wat die essentie ‘draagt’, is de act krachtens welke het element in kwestie, als dusdanig, tot stand gekomen is. Een ‘element’ is als dusdanig dus een wiskundig object (een constructie) en géén entiteit!

    De Russell-paradox bestaat niet. In het licht“licht” van onze eerste definities hebben we de Russellparadox beschouwd (zie §21). Het is daar duidelijk dat voor elk ding geldt dat het geen element kan zijn van zichzelf, want dan zou het tegelijk én als element én als verzameling moeten beschouwd worden, wat onmogelijk is. (Iemand kan bijvoorbeeld wel tegelijk vader en zoon zijn, maar dan wel telkens ten opzichte van een andere persoon). Maar meer nog dan dat: een eigenschap die geldt voor àlle dingen, is geen eigenschap, omdat elke eigenschap de dingen onderscheidt van andere dingen die deze specifieke eigenschap missen. De ‘eigenschap’ - maar dit is geen eigenschap - die alle dingen hebben, is deze dat ze bestaan, of: samenvallen met zichzelf: voor alle x geldt dat x=x. Dit is dus geen eigenschap, maar de identiteit. Vandaar: omdat “x is geen element van x” geen eigenschap is - dat geldt immers voor àlle dingen -, is de verzameling van alle x waarvoor geldt dat x geen element is van x, ook geen verzameling, want ze wordt niet door een eigenschap geconstitueerd. Om van de genoemde ‘onechte’ verzameling een verzameling te maken, hebben we een beperking ingevoerd, welke hier op neerkomt dat de werkelijkheid steeds geperspectiveerd is, en we illustreerden dit met de paradox van de barbier (zie §21).

    Gelijkheid. In de klassieke leer wordt gesteld dat er gelijkheid is tussen dingen die een andere naam dragen terwijl het toch om hetzelfde ding gaat, en dan plaatst men een gelijkheidsteken tussen de verschillende namen om dit aan te duiden.

    Een beknopte kritiek hierop. Om te beginnen is het onduidelijk hoe er gelijkheid zou kunnen zijn waar er niet tenminste twee dingen zijn die met elkaar zouden kunnen vergeleken worden. De gelijkheid betreft namelijk noodzakelijk één en hetzelfde ding. De benaming van de gelijkheid (het gelijkheidsteken) wordt tussen de verschillende namen van hetzelfde ding geplaatst.

    Als men zegt dat een vrijgezel een ongehuwde man is, dan zegt men eigenlijk dat ‘vrijgezel’ en ‘ongehuwde man’ twee verschillende benamingen zijn die elk slechts één en dezelfde werkelijkheid aanduiden. Eigenlijk zegt men enkel iets over de verwisselbaarheid van twee namen. Over de benoemde zegt men niets“niets” anders dan dat men hem, indien hij er was, op deze twee manieren zou kunnen benoemen (Zie ook onze kritiek op Kant met betrekking tot dit onderwerp.).

    Beschouwen we in dit licht“licht” de gelijkheid van verzamelingen, dan betekent zulks dat, waar men zegt dat twee (of meer) verzamelingen gelijk zijn als ze precies dezelfde elementen bevatten, het eigenlijk gaat om één verzameling die op twee (of meer) verschillende manieren kan benoemd worden. Zeggen dat A en B gelijke verzamelingen zijn, is niets anders dan zeggen dat A en B twee verwisselbare namen zijn voor één en dezelfde verzameling.

    Het is dan ook absurd om de gelijkheid van twee verzamelingen A en B te gaan definiëren op grond van het gelijk zijn van al hun elementen. De klassieke definitie stelt: “A en B heten gelijk als elk element van A ook tot B behoort en omgekeerd”. Eigenlijk staat er dan: “A en B zijn verwisselbare namen voor dezelfde verzameling als elk element van die verzameling ertoe behoort en omgekeerd”! (Dat het desondanks zinvol is in de wiskunde om te stellen dat de verzamelingen A van alle x waarvoor geldt dat (x-2)² = 0, en B van alle x waarvoor geldt dat x-4x+4 = 0, gelijk zijn aan elkaar, toont andermaal aan dat de ‘objecten’ waarover men moet beschikken om verzamelingen te kunnen vormen, geen voor de hand liggende dingen zijn, zoals wordt opgemerkt in: de Swart 1975, XIII. In dit voorbeeld gaat het er om, in te zien dat deze verzamelingen gedefinieerd worden door telkens andere eigenschappen, of beter: door eigenschappen die op hun beurt telkens andere aspecten van zichzelf aan het licht laten komen in respectievelijk veranderende contexten).

    We besluiten dat gelijke verzamelingen niet bestaan. Immers, opdat A gelijk zou kunnen zijn aan B, moet A eerst verschillen van B, teneinde daarmee vergeleken te kunnen worden. Gelijke verzamelingen bestaan niet, alleen verwisselbare namen van eenzelfde verzameling bestaan. Gelijkheid definiëren heeft derhalve geen zin“zin”, aangezien aan de vaststelling van de verwisselbaarheid van namen, de afspraak van hun synonymie voorafgaat. Eens we afgesproken hebben dat 1 plus 1 gelijk is aan 2, is het irrelevant om het gelijk-zijn van de beide leden nog te willen definiëren. De act (de naamgeving) van het subject gaat immers vooraf aan het zijn van de namen.

    Teneinde de zin te verduidelijken van onze opmerking, volgen hier enkele voorbeelden. Een eerste voorbeeld: de verzameling van de pare natuurlijke getallen en de verzameling van de onpare natuurlijke vermeerderd met 1, zijn twee verschillende benamingen voor één en dezelfde verzameling, aangezien de beide verzamelingen hier door dezelfde eigenschap (namelijk: “de deelbaarheid van hun elementen door 2”) kunnen gedefinieerd worden. Eveneens onderling gelijk zijn, enerzijds, de verzameling van de ruiters op het Lam Gods van Van Eyck, en, anderzijds, de verzameling van de Ridders van Kristus en de Rechtvaardige Rechters op hetzelfde meesterwerk, aangezien het aangeven van één eigenschap deze groep kan definiëren. Onderling verschillend echter zijn de verzameling van de huidige koning van België en de verzameling met als enig element Albert II van België. Op 27 maart 1998 hebben de beide verzamelingen weliswaar dezelfde elementen, maar tot voor enkele jaren alsook vanaf het moment van de troonsafstand of het overlijden van koning Albert II, geldt dit niet langer. Erger nog is het gesteld wanneer twee verzamelingen door toeval ‘gelijk’ lijken, wat andermaal illustreert dat een verzameling niet door opsomming kan gedefinieerd worden. Stel bijvoorbeeld de verzameling van alle mensen in dit lokaal die een groene trui dragen, en de verzameling van al mijn neven: deze twee verzamelingen kunnen toevallig ‘dezelfde elementen’ lijken te bevatten, want wanneer ik bijvoorbeeld vraag dat alle groene truidragers het lokaal verlaten, of ik vraag dat al mijn neven het lokaal zouden verlaten, dan zullen zich in de beide gevallen dezelfde personen naar buiten begeven. Toch zijn de elementen van de twee verzamelingen essentieel verschillend, aangezien verschillende eigenschappen hen definiëren. Eens ze naar buiten gegaan zijn, kan ik wel weer vragen dat al mijn neven naar binnen gaan, maar wanneer ik zou vragen dat alle groene truidragers naar binnen zouden gaan, dan ware deze ruimte veel te klein. Ik zou moeten verwijzen naar het voorafgaande moment, en zeggen: “diegenen die een groene trui dragen én die zopas binnen waren”. Of nog: “diegenen die zopas binnen een groene trui droegen”, want intussen konden de plaaggeesten al van trui verwisseld hebben. Men zou nu denken dat zulks in de wiskunde geen problemen kan stellen, omdat daar abstractie wordt gemaakt van de tijd, en de elementen daar ideeën zijn, eens en voorgoed vastgeankerd, elk aan een eigen wezenheid. Welnu, ook daar stellen zich problemen. De som van 2 en 2 lijkt weliswaar gelijk te zijn aan 4, maar daarbij beoogt de gelijkheid slechts de beide leden van de som in functie van de getalwaarde van hun resultaat na het uitvoeren van alle mogelijke vereenvoudigende bewerkingen. Nog duidelijker is het verschil tussen één zesde en duizend zesduizendsten, wanneer men deze waarden bijvoorbeeld in de kansrekening beschouwt (zie ook verderop). Beschouwen we nu de verzameling van alle vliegende paarden, dan kan men zeggen dat deze verzameling niet bestaat omdat vliegende paarden niet bestaan, maar wat dan gedaan met de verzameling van de ruiters op het Lam Gods? Die bestaan immers ook niet ‘echt’; zij zijn niets meer dan een laagje temperaverf. We kunnen ons hier uit de slag trekken door te verklaren dat wij met “ruiters” bedoelen: “afbeeldingen van ruiters”. Maar wat bedoelen wij dan met “vliegende paarden”: bedoelen wij “ideeën van vliegende paarden”, “ideële vliegende paarden”? Want in dat geval bestaat er precies één “vliegend paard”, net zoals er precies één Sneeuwwitje bestaat, en precies één getal 2. Maar wat dan gezegd van bijvoorbeeld de eikeboom: is het ook niet zo dat de eikeboom een idee is, en dat er dus precies één eikeboom bestaat, namelijk de eikeboom? Want of de vele exemplaren van een (ideëel) ding dan gevormd worden door natuurlijke of door artistieke vermenigvuldiging - wat maakt het (- althans in dit opzicht -) uit? (Ons inziens maakt het tenslotte heel wat uit of iets een schepsel is van God (en het aldus een essentie heeft), ofwel een creatie van de mens (en het aldus alleen maar een essentie toegekend kreeg - door de mens - en het dus louter binnen zijn - menselijke - wereld existeert), maar dit is hier niet ter zake. Essenties kunnen niet bij elkaar opgeteld worden, constructies daarentegen wél (zo bijvoorbeeld geldt: 2+2=4). Waar wij geloven essenties op te tellen, tellen we slechts een ding-aspect ervan op bij het ding-aspect van een andere essentie, waarbij we de essentie tot ding reduceren. Dat komt doordat het ding-aspect van een essentie (wat een wezen is) slechts een eigenschap daarvan is, die het wezen niet representeert. Zo kunnen we Jan en Piet optellen als soortgenoten, en dan bekomen we twee soortge,noten of mensen, maar we kunnen niet Jan zelf en Piet zelf bij elkaar optellen. Dat kunnen we dus wel met constructies, zoals gezegd: 2+2=4). De kwestie is, ons inziens, dat verzamelingen niet kunnen gedefinieerd worden door opsomming, want het gaat daar steeds om de opsomming van ‘essenties’, terwijl het essentiële van een ding niet altijd buiten de opsommer zelf geacht wordt gelegen te zijn, doch vaak geacht wordt geconstitueerd te zijn door zijn definitorische activiteit.
    >


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§41. Wat zijn wiskundige objecten?

    §41. Wat zijn wiskundige objecten?

    Beschouwen we nu nogmaals aandachtig Figuur 40, en vergelijken we daar meer bepaald het beeld links met het beeld rechts, dan valt het volgende op. Het concreet object, genaamd x, is meer dan alleen maar zijn naam: x staat voor een koffiekopje; het is de naam voor een bepaald koffiekopje. Het wiskundig object, ‘genaamd’ (x1, y1), staat voor een punt in het vlak; het is de naam van een punt in het vlak. Maar dat punt in het vlak wordt nu door niets anders bepaald dan door zijn naam: het punt valt dus samen met zijn naam, het verschilt niet van zijn naam, het is niets anders dan zijn naam.

    Dat het punt, genaamd (x1, y1), niets anders is dan zijn naam, betekent dus meteen dat (x1, y1) geen naam is, want om een naam te kunnen zijn, moet een object geassocieerd zijn met een ander object, namelijk met het object dat het benoemt, terwijl een punt op het vlak niet zomaar benoemd wordt door zijn coördinaten, maar erdoor bepaald wordt, er identiek mee is. Wiskundige objecten zijn hun ‘namen’ zelf, met andere woorden: wiskundige objecten zijn een bijzondere soort van ‘naam-dingen’.

    De naam van een concreet ding verwijst naar een concreet object in de waarneembare werkelijkheid. Dat een concreet object benoemd wordt, betekent dat dit object middels conventie verbonden wordt met een ander object dat dan de ‘naam’ van dit object genoemd wordt. De naam van een wiskundig object daarentegen, verwijst niet naar een concreet ding in de werkelijkheid, maar toch betekent het iets: het verwijst meer bepaald naar definities of conventies.

    Conventies zijn geboden, en voor diegenen die zich daaraan houden, bezitten zij de kracht om als het ware ‘op eigen houtje’ een bepaald soort van werkelijkheid te constitueren. Zo bijvoorbeeld zijn spelregels conventies, en zij constitueren een spel, bijvoorbeeld het voetbal. Maar in het voetbal worden er nog concrete objecten vereist, zoals een voetbalveld, een voetbal uiteraard, en spelers. In de meetkunde bijvoorbeeld, zijn ook die objecten zelf louter ‘spelregels’: er is geen voetbalveld; er is alleen de spelregel: “laten we eens veronderstellen dat dit vlak hier, zus en zo bepaald, ons speelveld is”. In het ‘spel’ van de wiskunde bestaan met andere woorden alle concrete objecten enkel als veronderstellingen: dingen waarvan het wezen enkel afhankelijk is van afspraken.

    Maar er is toch nog meer nodig dan veronderstellingen of afspraken om bijvoorbeeld aan meetkunde te kunnen doen: wanneer wij namelijk veronderstellen dat wij spelen op een zus en zo bepaald veld, dan moeten wij ons in de eerste plaats een voorstelling kunnen maken van dat veld, en het is duidelijk dat wij dat niet kunnen doen als wij niet eerst zelf een concreet veld waargenomen hebben. Wij kunnen niet zinvol spreken over een bepaald meetkundig vlak, als wij niet de ervaring hebben van een concreet vlak, als wij niet ooit voetbal gespeeld hebben, als we niet zelf behoren tot een concrete werkelijkheid waarin wij ruimtelijke ervaringen kunnen opdoen. Want het is vanuit die concrete werkelijkheid, vanuit dat hobbelige voetbalveld, dat wij onze ideeën halen voor de voorstelling van het volmaakt soort veld dat wij een meetkundig vlak noemen.

    Het punt (x1, y1) is dus wezenlijk zijn naam, maar deze naam zou helemaal niets betekenen indien wij ons daar niets konden bij voorstellen: een meetkundig punt verwijst dus naar een voorstelling, bijvoorbeeld een bal op een voetbalveld, maar daarbij maken wij abstractie van alle concrete bijzonderheden van het veld en van de bal. Wat wij dan van bijvoorbeeld die bal op het veld nog overhouden om te gebruiken in onze meetkunde, is als het ware alleen nog de positie van die bal, en niet meer zijn grootte, zijn massa, zijn vorm, de materie waaruit hij gemaakt is of zijn kleur.

    Vanzelfsprekend is een positie zonder bal een onmogelijkheid, maar toch werken we in de meetkunde met deze onmogelijkheid. In de meetkunde achten we het onmogelijke mogelijk teneinde op die basis een aantal onmogelijke dingen werkelijk mogelijk te kunnen maken. Hetzelfde doen we trouwens ook voortdurend wanneer wij taal gebruiken: middels hun namen maken wij afwezige dingen aanwezig, teneinde ze aldus in zinnen en in theorieën op elkaar te laten inwerken en er zodoende gedachtenexperimenten mee uit te voeren.

    In onze voorstellingen van de dingen door hun namen kunnen wij met die dingen gebeurtenissen construeren die we met die dingen zelf nooit zouden kunnen op touw zetten. De reden daarvoor is dat wij in onze voorstellingen abstractie kunnen maken van die eigenschappen van de dingen die ons het concreet opzetten van die gebeurtenissen zouden kunnen verhinderen. We kunnen ons dit alles misschien het beste voorstellen middels de volgende analogie: aan de concrete dingen kleeft vuilnis en modder die ons belet om die dingen in elkaar te puzzelen; in onze verbeelding kunnen we die modder eraf wassen, en zo kunnen we rustig onze geplande puzzel in elkaar zetten.

    Zo bijvoorbeeld is de (Euclidische) meetkunde als het ware een verhaal over een smetteloos vlak waaraan geen einde komt, met smetteloze, gewichtsloze bewoners die allemaal eender zijn en die zich kunnen samensmeden tot allerlei lijnen en vormen waarvan de posities exact bepaalbaar zijn omdat er een systeem bestaat van heilig geijkte eenheden die nooit krimpen of uitzetten, wegwaaien of verschuiven. Wij kunnen dat verhaal schrijven door alles wat er in dat land bestaat, in definities vast te leggen. Onvermijdelijk blijven we daarbij onze verbeelding aanspreken, wat dus betekent dat wij de ervaring van de concrete (en ‘smetvolle’) werkelijkheid waarin wij leven, nodig hebben.

    Ook wanneer wij verzamelingen aanleggen, ‘idealiseren’ we het verzamelde, want in onze verzamelingen stoppen wij niet de verzamelde dingen zelf, doch enkel hun namen. Die namen bevatten dan welbepaald twee componenten: enerzijds heeft elk verzameld ding de familienaam van de verzameling zelf, bijvoorbeeld k, het initiaal van ‘koe’ (in de verzameling van de koeien), maar anderzijds heeft elk element tevens een voornaam, een index, of een nummer, zodat we het voluit schrijven als bijvoorbeeld k1, k2, k3, algemeen: ki. Een verzameling bepaalt aldus die twee dingen: de kwaliteit van elk van de verzamelde dingen (bijvoorbeeld ‘koe’), en de kwantiteit van alle verzamelde dingen samen (welke we kennen door het hoogste nummer te kennen). De kwaliteit van elk ding is zijn benoemde eenheid (bijvoorbeeld: één koe); de kwantiteit van een ding is zijn eenheid in verhouding tot de som van alle eenheden (bijvoorbeeld: één van de zeven); de volledige bepaling van het ding geeft zowel zijn kwaliteit als zijn kwantiteit (bijvoorbeeld: één van de zeven koeien).

    De elementen van de verzameling bepalen door samenspanning of optelling het aantal van de verzamelde dingen of de grootte van de verzameling; de kwaliteit van elk van de elementen wordt door de verzameling zelf bepaald. Zo beïnvloeden de verzameling en haar elementen elkaar wederzijds, net zoals de burger en de staat elkaar wederzijds beïnvloeden: de mens wordt burger door het bestaan van de staat, en de omvang van de staat hangt af van de hoeveelheid van de opgetelde burgers. De burgers maken de grootte van de staat en de staat bepaalt de kwaliteit van het burgerschap van elk van de ‘inzittenden’.

    In de wiskunde nu, gaat de activiteit van de verzameling vooraf aan die van haar elementen, want die kwalificatie zelf vormt de entiteiten die dus eerst als ‘elementen’ bestaan. Een verzameling kan getallen verzamelen, maar ook koppels van getallen, of tripels, viervouden, zesvouden en zo meer. In dat geval vormen de koppels, respectievelijk de tripels of de andere veelvouden de entiteiten, want zij, en niet de getallen afzonderlijk, zijn dan de ‘elementen’. Kortom: inzake wiskundige objecten gaat het ‘element-zijn’ vooraf aan het ‘zijn’, met andere woorden: het ‘zijn’ wordt door het ‘element-zijn’ bepaald, of door de ‘positie’ (in de meetkunde) of nog anderszins, naar gelang een bepaalde wiskundige werkelijkheid geconstitueerd wordt.
    >


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§40. Concrete en wiskundige objecten

    §40. Concrete en wiskundige objecten

    FIGUUR 40. zie:...

    In de linker rechthoek van Figuur 40 stelt x een concreet reëel object voor, bijvoorbeeld het koffiekopje dat ik nu in de hand houd; A is de verzameling van alle kopjes, B is de verzameling van alle dingen die ik aanraak, de doorsnede van A en B bepaalt dit concreet kopje en geen ander. In de rechter rechthoek wordt op een Cartesiaans gecoördineerd assenstelsel dat een vlak definieert, het punt (x1, y1) bepaald. Het verschil tussen de bepaling van het concreet object x uit onze rechthoek links en het wiskundig object uit onze rechthoek rechts, bestaat hierin dat het wezen van het wiskundig object volkomen bepaald wordt door het koppel coördinaten (x1, y1), terwijl dat zeker niet het geval is voor het concreet object x; over x werd slechts gezegd wat het niet is, het werd door uitsluiting bepaald, of negatief bepaald, maar over het wezen van x weten wij verder niets (- we kunnen er dan wel onze aandacht op richten; we kunnen er naar kijken; het object wordt ‘aangewezen’). Met andere woorden: het wezen van het concreet object x is veel meer dan de doorsnede van A en B, terwijl het wezen van het punt dat gedefinieerd wordt door (x1, y1), mét dit koppel ook volledig gegeven is. In wat andere bewoordingen: van ons concreet object hebben we als het ware uitsluitend het ‘adres’ bepaald, terwijl het wiskundig object (het punt) zelf met zijn adres samenvalt.

    Wanneer we nu in de verzamelingsleer spreken over verzamelingen en hun elementen, dan maken we eigenlijk abstractie van alles aan die elementen, behalve dan van hun ‘element-zijn’ zelf; we doen dan met andere woorden alsof we mét het ‘adres’ van de dingen, deze dingen zelf bepaald hebben; we maken dus abstractie van het wezen of het zijn zelf van de dingen die we verzamelen. In dit licht kunnen wij dan ook het wezen van een element van een specifieke verzameling bepalen als niets anders dan zijn eigenschap te behoren tot die specifieke verzameling, en met die eigenschap valt dat element dan ook samen. Dit betekent dat wanneer wij verzamelingen aanleggen van concrete dingen, wij deze dingen zodoende eigenlijk ‘ontdoen van zichzelf’ (- maar tegelijk kleden we ze ook aan met zichzelf, in het bijzonder waar het wiskundie objecten betreft). Met andere woorden: door de dingen te verzamelen, verliezen we noodzakelijkerwijze deze dingen zelf; met andere woorden: wat we zodoende in onze verzameling binnenhalen, zijn niet die dingen zelf, maar zijn slechts de ‘adressen’ van die dingen - meer bepaald: de adressen van de dingen zoals bepaald volgens de ‘stafkaart’ van onze verzamelingsleer. Elementen zijn zodoende niets meer dan wiskundige objecten, net zoals de punten van een vlak, en ze hebben geen concrete entiteit in de werkelijkheid. Dat ze naar werkelijke dingen verwijzen berust enkel op de afspraak dat ze met welbepaalde ‘adressen’ mogen geïdentificeerd worden. Maar het is duidelijk dat we zodoende niet langer te maken hebben met de werkelijkheid maar wel met specifieke ‘afbeeldingen’ van de werkelijkheid, dit wil zeggen: reducties, of menselijke, subjectieve constructies, en dat zijn onoverkomelijk vertekeningen.

    De verzameling van alle koeien bevat als elementen alle dingen die de eigenschap bezitten een koe te zijn. Maar het koe-zijn is op de keper beschouwd geen eigenschap van een ding, doch een essentie: de koe is wezenlijk een koe en ook niets anders dan dat. Wat een koe dan wel mag zijn, wordt hier niet verder gespecifieerd. Men zou een aantal criteria kunnen vastleggen ter definiëring van het koe-zijn, en men zou dat dan wel moeten doen in de vorm van een opsomming van eigenschappen, zodat men aldus opnieuw een aantal verzamelingen verkrijgt waarvan de doorsnede alle koeien zou bevatten. Maar het is duidelijk dat men zodoende opnieuw zou geconfronteerd worden met het initiële probleem, want ter bepaling van het koe-zijn zal men noodzakelijkerwijze van het begrip ‘koe’ zelf vertrekken, men zal dit begrip dan decomposeren of analyseren, men zal het als het ware in stukken trekken en het middels deze stukken opnieuw gaan bepalen. Het is duidelijk dat zo’n werkwijze onvermogend is om de essentie van het koe-zijn te vatten. De koe volledig te bepalen is een onmogelijke opgave omdat het aantal van haar eigenschappen oneindig is, want relatief aan een even oneindig aantal perspectieven.

    Het koe-zijn is fundamenteler dan het ding-zijn: het is pas via en na de ontdekking van bijvoorbeeld koeien, varkens, bomen, lepels en lettertekens, dat het ‘ding’ ontdekt wordt als geabstraheerd uit het geheel waartoe de opgesomden behoren. Wanneer wij dus een koe bepalen als ‘een ding met de eigenschappen x, y en z’, dan zijn we in feite achterstevoren tewerk gegaan.

    Dit alles om duidelijk te maken dat elke essentie een oneindig aantal eigenschappen heeft en dus onbepaalbaar is, terwijl men niettemin in de verzamelingsleer via de opsomming (de doorsnede) van enkele eigenschappen concrete, welbepaalde essenties weliswaar kan afzonderen maar nooit wezenlijk bepalen. Nogmaals worden in de verzamelingsleer de dingen noodgedwongen van hun wezen ontdaan omdat daar het ‘element-zijn’ de voorrang krijgt op het ‘zijn’ zelf.

    De verzamelaar gebruikt de dingen; hij beschouwt ze als elementen waarmee hij zijn verzameling opvult, net zoals de werkgever de mensen gebruikt en hij hen aldus beschouwt als arbeiders waarmee hij zijn machines kan bemannen. Binnen bepaalde perken blijken de mensen wel te passen in de fabrieken, maar mensen zijn meer dan bedieners van machines. Zo ook blijken de dingen wel inpasbaar in heel wat verzamelingen, maar men zou de dingen onrecht aandoen mocht men hen identificeren met de plaats die zij in onze zelfgemaakte verzamelingen innemen. Er is en blijft met andere woorden een kloof bestaan tussen, enerzijds, de werkelijkheid op zich en, anderzijds, de manier waarop wij de werkelijkheid opvatten en hem ‘in vormen gieten’. Als men bovendien in acht neemt dat ook onze afbeeldingsactiviteit zelf behoort tot de werkelijkheid, worden de zaken er niet minder gecompliceerd op.

    Ter verduidelijking: net als afbeeldingen, behoren ook leugens, illusies en dromen tot de werkelijkheid. We zeggen echter niet dat deze ‘onwerkelijk’ zijn, maar wel dat ze ‘onwaar’ zijn: de werkelijkheid bevat zowel ware als onware dingen. Maar wat zijn nu ware dingen? Waarheid en onwaarheid zijn noodzakelijk afbeeldingen van de werkelijkheid, of: werkelijke afbeeldingen. Afbeeldingen welke bijvoorbeeld stroken met de werkelijkheid, welke werkzaam zijn, en zo meer, worden ‘waar’ genoemd; afbeeldingen die niet stroken enz. heten ‘onwaar’. Edoch, alleen al het feit dat het hier gaat om afbeeldingen, maakt dat de werkelijkheid sowieso vervormd wordt. Een volkomen samenvallen van de werkelijkheid met eender welke van haar afbeeldingen is dus uitgesloten: absolute waarheid ligt per definitie buiten ons bereik; we moeten het stellen met een streven naar waarheid. De waarheid is aldus geen voltooide werkelijkheid, doch een verlangde, nagestreefde werkelijkheid. Wanneer wij nu met wiskundige middelen waarheid nastreven, dan moeten we dus vooreerst incalculeren dat onze resultaten per definitie een voorlopigheidskarakter zullen hebben. Anderzijds is het tevens zo, dat de werkelijkheid zich niet anders manifesteert tenzij in de waarheid. Met andere woorden: de kloof waarvan hier sprake, is onafwendbaar maar tevens noodzakelijk. Wanneer wij verderop het probleem van de kansrekening zullen beschouwen, zullen wij op dit probleem uitvoerig terugkeren, en aantonen waarom het onmogelijke tevens het noodzakelijke is.
    >


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§39. Een noodzakelijke én onmogelijke grens

    §39. Een noodzakelijke én onmogelijke grens

    Hoger hebben wij gezegd dat een wiskundig object, bijvoorbeeld een punt in het vlak, door niets anders geconstitueerd wordt dan door het assenstelsel en de coördinaten: het punt is met andere woorden niets meer dan zijn coördinaten in dat bepaald stelsel, en mét die coördinaten geven we ook het wezen van dat punt weer: het punt is dan positief bepaald. Wanneer wij daarentegen in de werkelijkheid een concreet ding bepalen met de methode van de uitsluiting - we maken dan de doorsnede van een aantal verzamelingen welke het ding elk vanuit een eigen perspectief benoemen -, dan hebben we zodoende het wezen van dat ding nog steeds niet weergegeven; het ding werd enkel negatief bepaald.

    Dat een ding - bijvoorbeeld een wiskundig object zoals een punt - positief bepaald kan worden, betekent eigenlijk dat dit ding objectiveerbaar is. Dat een ding - bijvoorbeeld een ‘concreet object’ - enkel negatief bepaald kan worden, betekent daarentegen dat dit ding niet-objectiveerbaar is.

    Het onderscheid tussen objectiveerbaarheid en niet-objectiveerbaarheid komt nog duidelijker tot uiting wanneer de dingen geplaatst worden in het licht van het onderscheid tussen creatie (schepping van iets uit niets) en constructie (het samenstellen van iets uit iets anders): positief bepaalbare of objectiveerbare dingen zijn dingen die men kan scheppen; enkel negatief bepaalbare of niet-objectiveerbare dingen zijn dingen die men enkel kan construeren. De laatst genoemde dingen hebben een wezen dat aan onze greep onttrokken blijft; de eerst genoemde worden volledig door ons geschapen - althans zo lijkt het.

    Een vlak en een punt lijken dingen die hun bestaan uitsluitend danken aan afspraken die wij zelf gemaakt hebben. Zo bijvoorbeeld is ook de volmaakte cirkel een louter menselijke schepping waarvan het wezen zelf samenvalt met bepaalde menselijke afspraken. De cirkel is niet, zoals Plato voorhield, een volmaakte vorm in een universum van perfectie dat model zou staan voor onze betrachtingen, maar hij is daarentegen niets anders dan een door onszelf geschapen definitie, namelijk: “de verzameling van alle punten van het vlak die zich bevinden op één welbepaalde afstand van één welbepaald gegeven punt”. Vanzelfsprekend wordt in deze definitie verwezen naar weer andere definities, met name de definities van een punt, een verzameling, een afstand. Nemen we nu bijvoorbeeld onze definitie van ‘afstand’ onder de loep, dan zien we de afstand van het ene punt tot het andere bepaald wordt als de zogenaamde ‘kortste weg’. We kunnen ons immers op talloze manieren van a naar b begeven, maar de ‘kortste weg’ is uniek. Om nu verder die ‘baan’ van de ‘kortste weg’ te kunnen bepalen, moeten wij ons verlaten op het begrip ‘rechte’, of ‘rechte lijn’, of omgekeerd. En, zoals reeds gezegd, moeten we hier te rade gaan bij de fysicus. Met andere woorden: ook voor het bepalen van onze eigenhandig geschapen dingen - bijvoorbeeld de wiskundige objecten - hebben we uiteindelijk de ‘vreemde’ of de ‘aan onze greep ontsnappende’ werkelijkheid nodig. De wiskundige objecten mogen dan al scheppingen zijn van de menselijke geest - ze blijven noodzakelijk steunen op werkelijke dingen die in geen geval menselijke scheppingen zijn.

    Eenmaal wij een specifieke wiskunde gaan bedrijven - bijvoorbeeld de Euclidische meetkunde - maken wij abstractie van het feit dat onze (wiskundige) objecten gerelateerd zijn aan de beperkingen van een specifiek werkelijkheidsbeeld (bijvoorbeeld het Euclidische). We doen dan alsof al het materiaal waarmee we werken zuivere specie is van eigen makelij. Zolang we maar volharden in deze abstractie, kunnen we onszelf ‘voorliegen’ dat wij in staat zijn om middels onze wiskunde de werkelijkheid in onze greep te krijgen of af te beelden. Maar ooit duiken willens nillens in deze wiskunde zelf de bewijzen op van het tegendeel, namelijk in de vorm van ongerijmdheden, paradoxen of contradicties. Het is dan heel verleidelijk om middels ‘ad hoc’-aanpassingen onze wiskunde overeind te houden omdat het inmiddels moeilijk geworden is om die wiskunde die ons als een machtig instrument is gaan toeschijnen, plotseling te moeten opgeven. Nochtans kan de enige ernstige oplossing in dat geval slechts bestaan uit een herzien van de fundamenten van die wiskunde zelf, welke noodzakelijkerwijze in de niet-objectiveerbare werkelijkheid liggen.

    Wanneer we nu, na deze opmerkingen te hebben geplaatst, de wiskundige objecten andermaal vergelijken met de concrete dingen uit de werkelijkheid, blijkt het zoëven nog vanzelfsprekend lijkende criterium dat berust op het onderscheid tussen ‘menselijke schepping’ en ‘gegevenheid buiten de menselijke wil om’ - anders gezegd: ‘goddelijke schepping’ - zeker niet afdoende, want ook het ‘zelfgeschapene’ blijkt onafwendbaar met het ‘werkelijke’ ‘besmet’ te zijn. Andersom - zoals bleek uit ons vroeger onderzoek - is ook het omgekeerde het geval: ook het ‘werkelijke’ draagt de sporen van onze subjectieve, creatieve activiteit. En op dit punt aanbeland, wordt het zich wagen aan een vergelijkend onderzoek tussen wiskunde en werkelijkheid vanzelfsprekend een hoogst hachelijke onderneming. De grens tussen de inbreng van het ‘ik’ en die van wat ‘niet-ik’ is, lijkt tegelijk noodzakelijk én onmogelijk.
    >


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.§38. Verzamelen en ontmoeten

    §38. Verzamelen en ontmoeten

    Wat kan nu de zin zijn - of het wezen - van het verzamelen? In de eerste plaats creëert de verzamelaar objecten. Dat zijn weliswaar constructies van hemzelf, maar hij moet voor ogen blijven houden dat hij aldus de werkelijke ‘dingen’ - in feite: de werkelijkheid W - slechts benadert, naderbij komt, ‘negatief’ omschrijft, er iets tracht van te zien. ‘Eenvoudige’ verzamelingen creëren ‘eenvoudige’ objecten, zoals bijvoorbeeld: ‘de verzameling van alle rode dingen’, ‘de verzameling van al mijn bezittingen’ of ‘de verzameling van de hemellichamen’. Wij noemen dit soort van ‘eenvoudige’ objecten gewoonlijk: ‘abstracties’ of ‘generalisaties’, want de verwijzing naar één bepaald werkelijk ding ontbreekt. Door middel van de insluitingsmethode, welke wij kennen als het construeren van doorsneden van verzamelingen, kunnen wij brede perspectieven verengen door ze onderling te relateren en sluiten wij aldus één bepaald concreet ding in - wel te verstaan door de methode van de uitsluiting, en dus op een ‘negatieve’ manier. We drijven aldus de bepaalde, concrete dingen in het nauw, we isoleren ze van de rest, met andere woorden: we prikken ze vast op een bepaalde lokatie in ons door een specifiek coördinatenstelsel bepaald systeem; we geven ze een specifieke plaats in onze betekeniskaders.

    Indien het nu maar zo was dat onze betekeniskaders volkomen overeenstemden met de werkelijke absolute betekenis der dingen, dan was er geen enkel probleem. Maar a priori is dit uitgesloten, want het bestaan van betekeniskaders zelf vooronderstelt reeds het opgesplitst zijn van de werkelijkheid in de subject- en de objectpool. Wij kunnen er dus niet aan uit; we moeten het doen met benaderingen en het welslagen van ons streven blijft afhankelijk van de ‘genade’: de tegemoetkoming tot ons van de waarachtige werkelijkheid zelf, en dat is niet een verzameling van de werkelijkheid, maar een ontmoeting met het waarachtige, dat dus noodzakelijk het persoonlijke zal zijn.

    Zoals gezegd, kunnen wij met het benoemen of het verzamelen van de dingen, de werkelijkheid benaderen. In het bijzonder krijgen wij door deze analytische én synthetische, naar zin zoekende activiteit, een benaderende afbeelding van de werkelijkheid. Wat wij zien is nog steeds een afbeelding, maar deze afbeelding spreekt ons als het ware over iets dat helemaal niet afbeeldbaar is, en dat ons daarom aanspreekt. Datgene wat ons in bepaalde afbeeldingen aanspreekt, ontsnapt volkomen aan ons redelijk verstand: het is bijvoorbeeld de schoonheid van een natuurtafereel, een zonsondergang, een gelaat, een muziekstuk, een verhaal of een gebeuren. Wij zeggen niet toevallig dat dit ons aanspreekt, want het aangesproken worden vergt een aanspreker, een persoon. Een ‘ding’ kan ons pas aanspreken als het iets in zich heeft dat niet dat ding zelf is maar dat het ding overstijgt. Stel dat wij in een wassen beeldenmuseum rondkuieren, en plotseling spreekt een van de beelden ons aan, dan gaan wij onmiddellijk veronderstellen dat het niet gaat om een louter beeld maar wel om een persoon die zich tussen de beelden heeft opgesteld om ons de stuipen op het lijf te jagen. Zo’n aanspreking kan echter ook minder letterlijk van aard zijn, zoals wanneer een gedicht ons aanspreekt, en in dat geval bedoelen we dat wij achter het gedicht de dichter zelf als het ware kunnen ontmoeten. Het gedicht getuigt in elk geval daarvan dat het door een persoon is neergeschreven. Het kan er ook nog minder letterlijk en zelfs heel figuurlijk aan toe gaan, waar bijvoorbeeld een natuurtafereel ons aanspreekt, en dan hebben wij de indruk dat wij via dat tafereel als het ware de bedoelingen van de schepper daarvan kunnen bevroeden. We herkennen datgene wat ons aanspreekt als een quasi persoonlijke ‘mededeling’ die echter geen informatie geeft maar tegelijk ook veel meer dan louter informatie; er lijkt een ontmoeting te zijn. Wonder genoeg is alles wat met informatie te maken heeft uiteindelijk totaal zinledig als het niet tot ontmoeting leidt: het wordt door de ontmoeting gedragen.

    Twee mensen die elkaar tegen het lijf lopen, kunnen zich volkomen solipsistisch gedragen, en doen alsof de ander slechts een ‘machine’ is die er alleen maar uitziet als de mens die men zelf is. Elkeen kan principieel het zelfbewustzijn van elke ander ontkennen; men kan ontkennen dat de ander werkelijk bewustzijn heeft, pijn kan hebben, noden heeft, intrinsiek waardevol is zoals men zichzelf intrinsiek waardevol acht. Het solipsisme als cognitieve overtuiging hebben de meesten onder ons achter zich gelaten, maar de ethische fundamenten van de cognitie blijven echter de medemens als gelijkwaardige negeren. Bovendien dreigt nu zelfs de opmars van een wereldbeeld dat menigen daarvan weet te overtuigen dat niet alleen de ander maar ook het eigen ‘ik’ geen ‘diepte’ heeft: wij zijn allen zonder uitzondering slechts heel ingewikkelde machines, zo luidt het, en wanneer wij geloven elkaar te ontmoeten, dan zijn wij slechts de slachtoffers van een enorme illusie. Het jammerlijke wandenken en de interne contradicties die aan de basis van dit miskleum van een mensbeeld liggen behandelen we elders; we volstaan hier met de vermelding alleen, en wie onder het juk van dit miskleum meent gebukt te gaan, willen wij met aandrang aansporen om eerst kennis te nemen van onze kritiek (zie: Bauwens, 2003a).

    Mensen kunnen elkaar als mens miskennen, maar ze kunnen elkaar ook erkennen. Die erkenning nu, is eigenlijk inderdaad een daad zonder ‘wetenschappelijke’ fundamenten, want slechts door introspectie kennen we ons eigen zelfbewustzijn en ook onze zelfwaardering als mens ‘zweeft’, als het ware zonder enige cognitieve houvast. Wanneer wij de ander ontmoeten, dan geven wij hem eigenlijk krediet, wat wil zeggen dat we in hem geloven. Het is mogelijk dat wij te maken hebben met een dief die zich alleen maar als medemens voordoet, of met iemand die ons wat wil aanpraten terwijl hij doet alsof het mooie panarama dat hij met ons deelt, hem aanspreekt. Hij misbruikt dan de menselijkheid in functie van zijn dier-zijn; hij fingeert de ontmoeting waarin de ander gelooft om die ander zodoende voor voldongen feiten te plaatsen. Dit noemen wij het kwaad, niet omdat daardoor een natuurlijk goed veroverd wordt in een natuurlijk gevecht, maar omdat het de ontmoeting miskent die alle dingen draagt en die de ultieme zin uitmaakt van alle handelingen. Die ontmoeting vergt nochtans van ons dat wij een ‘sprong’ wagen in het ongewisse, dat wij krediet geven, dat wij geloven in de ander. En net zo maken wij een sprong wanneer wij ons laten aanspreken door die Ander in een natuurtafereel of in een bijzondere gebeurtenis. Wie zich niet meer laat aanspreken door de schoonheid van de dingen, lijkt wel dood te zijn: zijn lichaam functioneert nog, hij kan nog winst maken en dies meer, maar van een ziel is bij zo iemand nog nauwelijks iets te bespeuren. Iemand die men niet meer kan ontmoeten, wordt ook zelf niet langer geliefd, want als de ultieme zin van de ontmoeting ontbreekt, ontbreekt het de mens aan elke mogelijke zin.

    Twee mensen die elkaar tegen het lijf lopen, kunnen met elkaar praten, en misschien ontmoeten ze elkaar ook, maar als ze dat doen, dan wordt van hen gevergd dat ze zich laten aanspreken door datgene aan de ander wat hemzelf, als verschijning, overstijgt. De ontmoeting is onmogelijk zonder het geloof - namelijk het geloof in datgene wat zich niet - of althans niet rechtstreeks - in deze wereld manifesteert. Alleen het geloof in ‘wat er niet is’ kan zingeven aan datgene ‘wat er is’.

    Ook met onze betekeniskaders benaderen wij de werkelijkheid, terwijl we tegelijk moeten blijven erkennen dat de werkelijkheid als zodanig aan ons ontsnapt: wij moeten de werkelijkheid die achter de ‘dingen’ zit heiligen, vieren, of vereren. Alleen op die basis kan ons denken zin hebben.
    >


    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Derde Hoofdstuk: Een Subjectivistische Verzamelingsleer : §37. De werkelijkheid ‘verzamelen’

    Derde Hoofdstuk: Een Subjectivistische Verzamelingsleer

    §37. De werkelijkheid ‘verzamelen’

    Hoger hebben wij er op gewezen dat de werkelijkheid W geen verzameling is. Elke verzameling vergt immers een welbepaald perspectief op de werkelijkheid; zo bijvoorbeeld kan men de werkelijkheid beschouwen onder het perspectief 1, genoteerd als: W1. Om een perspectief te verkrijgen is nu vanzelfsprekend een subject nodig: perspectieven op de werkelijkheid zijn noodzakelijkerwijze subjectief. Er zijn nu zoveel verzamelingen mogelijk (of: maakbaar) als er subjectieve perspectieven mogelijk zijn. Omdat in elk subject lichaam en geest verenigd worden, moeten a priori twee soorten van perspectieven onderscheiden worden: deze die te maken hebben met uitsluitend het lichamelijke, en deze die het geestelijke betreffen. Wat betreft de perspectieven die bepaald worden door de menselijke lichamelijkheid, hebben wij gewezen op het feit dat de aldus bereikte intersubjectieve overeenkomsten geen uitstaans hebben met een vermeende objectiviteit, maar enkel te wijten zijn aan het abstraheren van mogelijke interindividuele verschillen, wat kan gebeuren middels ijking en instrumentalisering van waarnemingsgegevens. De betekeniskaders welke corresponderen met de lichamelijkheid (de zintuiglijke waarnemingen) hebben te maken met bijvoorbeeld zelfbehoud en behoud van de soort; zij zijn dwingend wegens een reeds definitief gesloten verbond waardoor wij aan de natuur vastzitten met ons lichaam. Maar die betekeniskaders worden zelf nog gedragen door hogere betekeniskaders die wij geestelijk noemen, en waar tegenover wij met grote vrijheid een keuze kunnen maken. Net zoals wij middels onze lichamelijkheid (onze zintuigen en ons verstand) de natuurwetten - althans tot op zekere hoogte - kunnen bevroeden, zodat wij gaan zoeken naar de uiteindelijke samenhang van alles, de ‘theorie van alles’ of de ‘ultieme formule’, de ‘steen der wijzen’ zo men wil, net zo kunnen wij met onze ziel (onder meer ‘geweten’ genoemd) de wetten van het geestelijke leren kennen, en kunnen wij, vanuit ons verlangen naar de uiteindelijke geestelijke eenwording van alles en van allen, deze eenwording vooropstellen (meer bepaald als de ‘Liefde’, de ‘voltooiing van de wereld’ of het ‘einde der tijden’) als het ultieme betekeniskader dat alle andere betekeniskaders genereert en hiërarchiseert.

    Derhalve kunnen wij verzamelingen als volgt definiëren. Verzamelingen W1, W2, W3, enz., kortom: verzamelingen Wi zijn afbeeldingen van de werkelijkheid W (die zelf geen verzameling is) onder subjectieve perspectieven (objectiveringen, instrumentaliseringen, belichtingen) van (bepaalde facetten van) de werkelijkheid W door de subjecten - en zo verkrijgt men ‘eigenschappen’ - in functie van (1°) het doen oplichten van specifieke betekeniskaders (waardoor specifiek betekenisvolle objecten gecreëerd worden), welke (2°) passen in de hiërarchie van alle betekeniskaders die uiteindelijk in functie staan van de voltooiing van de wereld: de algehele eenwording, de realisatie van de liefde.

    Hierbij moet eerst worden opgemerkt dat deze ultieme zin (de vooropstelling van het ‘einde der tijden’) geen deus ex machina is, geen verplichting, of geen arbitraire stellingname, maar wel precies datgene waar we vanuit het diepste van ons wezen naar verlangen, zoals beschreven in het voorafgaande (vanaf §1): het Zijn verlangt wezenlijk naar waarachtig één-zijn.

    Verzamelingen Wi zijn dus W-afbeeldingen door subjecten Si, in functie van de vereniging van Si met alles en allen.

    Verzamelingen Wi zijn dus door Si gecreëerde instrumenten ter vereniging van zichzelf met W.

    Deze ‘W-afbeeldingen’ of ‘éénmakings-instrumenten’ zijn nu precies wat wij objecten of dingen noemen: verzamelingen representeren subjectieve activiteiten die objecten genereren, en die objecten zijn de instrumenten waarmee wij de eenheid nastreven.

    Enerzijds is er de voltooiing van de wereld binnen onze geest, in ons verlangen, als een mogelijkheid. Wij kunnen deze voltooide wereld niet zien: wij trachten hem wel tastbaar te maken voor ons: we trekken hem naar ons toe, meer bepaald door hem af te beelden. Maar door het maken van die afbeelding verliest die nagestreefde wereld zijn eigenheid of zijn eenheidskarakter, en doet hij zich aan ons voor als een menigvuldigheid van dingen of objecten. Wij kunnen ons voorlopig tevreden stellen met die veelheid, mits we meteen ook de samenhang in die veelheid erkennen, dat wil zeggen dat wij de verkregen objecten (welke functies, zingehelen of handelingsmogelijkheden zijn) onderling relateren in steeds omvattender zingehelen welke hiërarchisch geordend zijn onder de ultieme (en mede door onze arbeid te verwezenlijken) zin van het ‘einde der tijden’.

    Verzamelingen zijn aldus manifestaties van W op de lagere niveaus. De vele werelden van de evenzo vele dingen hebben op zichzelf beschouwd geen onderlinge samenhang, tenzij ze op hun beurt verzameld worden onder steeds meer omvattende noemers, en die telkens overkoepelende activiteit van het verzamelen wordt noodzakelijk gestuurd door de mogelijkheid die ze biedt om de realisatie van het verlangde dichterbij te brengen.

    W is geen verzameling omdat W onbereikbaar is. W komt binnen het bereik door W af te beelden. Maar in de afbeelding van W gaat W zelf ten dele verloren. Dit verlies kan worden gecompenseerd door de ‘navelstreng’ tussen de afbeeldingen en het afgebeelde als zodanig te blijven erkennen, en dat gebeurt waar men alle afbeeldingen hiërarchisch ordent in functie van de realisatie van W.

    Deze vereiste hiërarchische ordening van de dingen is echter zelf veel meer dan een verzamelende activiteit: zij vergt een constructieve en creatieve activiteit veeleer dan een louter verzamelende. In tegenstelling tot de activiteit van het verzamelen die bijna puur theoria is en bijna louter de geest betreft, vergt de creatieve constructieve activiteit het engagement van de volledige mens, met name zijn praxis. En op dit punt beland, blijkt het kennen als zodanig uiteindelijk naar het handelen te moeten grijpen om zelf zijn inhoud te kunnen behouden. Met andere woorden: het is om zeggens onmogelijk om vorderingen te maken zonder de eigen handen uit de mouwen te moeten steken.

    FIGUUR 37: zie...

    De rechthoeken die we in Figuur 37 zien, zijn afbeeldingen van het werkelijkheidsbeeld. Eigenlijk is het onterecht of onmogelijk om het werkelijkheidsbeeld op zijn beurt af te beelden, maar we kunnen niet buiten deze noodzaak. Zo stelt de rechthoek links in feite de niet-afgebeelde werkelijkheid W voor, maar strikt genomen kan W per definitie niet afgebeeld worden. In feite omsluit W (de rechthoek links) alle volgende rechthoeken, en bovendien bestaat hij niet. Maar we moeten nu eenmaal abstractie maken van het feit dat we hier met afbeeldingen te doen hebben, anders kunnen we geen stap verder komen.

    De tweede rechthoek geeft weer hoe W zichtbaar wordt (of: afgebeeld wordt), namelijk als W1, in het licht van een welbepaald subjectief perspectief S1. In de derde rechthoek wordt een analoog zicht op W gegeven, namelijk W2, in het licht van S2. Zo zijn er een oneindige reeks van werkelijkheidsbeelden mogelijk omdat er oneindig veel subjectieve perspectieven mogelijk zijn, en dat stellen we voor door Wi en Si.

    Een concreet voorbeeld kan ons hier misschien vooruit helpen. Verzamelen is onder een noemer plaatsen of benoemen. Wanneer wij bijvoorbeeld denken aan een concreet ‘ding’, zoals bijvoorbeeld “dit boek”, dan kan dat ding geplaatst worden onder de noemer van de boeken. Om nu volkomen bepaald te kunnen worden, zijn echter nog enkele andere van de vele mogelijke benoemingen noodzakelijk. Andere mogelijke benoemingen zijn: “het ding getiteld ‘Mathematica Christiana’”, “een van mijn bezittingen”, “een tekst”. Reeds met de bepalingen (1°) “het ding dat die bepaalde titel draagt” en (2°) “het exemplaar van dat ding dat mijn bezitting is”, wordt een doorsnede gemaakt van twee verzamelingen waarin alleen dit ene concrete ding bevat zit (tenminste als ik er slechts één exemplaar van bezit), en waarmee het ding bepaald is. Maar deze bepaling is echter wezenlijk exclusief van aard: ze zegt alleen dat dit ding bedoeld wordt en geen ander ding, maar ze zegt geenszins wat de essentie van dit ding is. Met andere woorden: ze zondert dit ding af in de ruimte, net zoals een punt met behulp van een assenstelsel en coördinaten wordt afgezonderd in de ruimte, maar ze zegt niet wat dit punt is. In de meetkunde is het nu zo, dat het gezochte ding in kwestie niets anders is dan dit met assenstelsel en coördinaten bepaald punt; maar in de concrete werkelijkheid is dit boek, hoewel door de doorsnede van bepaalde verzamelingen exclusief bepaald, niet in essentie bepaald of bepaalbaar. De reden daarvoor ligt in het feit dat de wiskundige dingen louter constructies zijn (ze zijn niets meer dan datgene wat we ervan maken), terwijl de concrete dingen een werkelijkheidsgehalte hebben dat aan de greep van het subjectieve ontsnapt. Eigenlijk is het verzamelen (of het benoemen, de poging om middels benoemingen te bepalen) een poging om het voorhanden zijnde, dat zijn oorsprong heeft buiten het subject, te verbinden met datgene wat het subject zelf construeert. En dat lukt enkel in exclusieve zin: de verzameling (van concrete, werkelijke dingen) lukt dus slechts als een negatieve bepaling. Met andere woorden: onze kennis van de werkelijkheid is een negatieve kennis: wij kunnen niet en nooit zeggen wat iets is; wij kunnen enkel via de uitsluitingsmethode van het verzamelen bepaalde dingen isoleren van alle andere dingen. Net zoals het in bezit nemen van dingen - de bepaling dat die dingen onze eigendom zijn - slechts kan berusten op grond van een bepaalde conventie, en niet op grond van een werkelijke in bezit name. Als ik een paard bezit, dat mijn buurman niet bezit, dan wordt dit bezit geconstitueerd door een afspraak welke bekrachtigd wordt door geïnstitutionaliseerd geweld, door kracht, en dat bezit handhaaft zich slechts zolang die kracht doorwerkt; eenmaal die kracht ophoudt werkzaam te zijn, bijvoorbeeld omdat de staatsstructuren verdwijnen, omdat ik mijn eigendomsbewijs verlies, kortom omdat ik mijn bezit niet meer kan verdedigen, kan mijn buurman mij dit paard gewoon ‘ontvreemden’. Het bezitten van een paard drijft enkel op de concrete kracht (of een afgeleide daarvan) van het in z’n bezit houden, maar het bezit als zodanig blijft een ‘exclusieve’ of ‘negatieve’ bepaling, ze is geen wezenlijke zaak, niets anders dan een papiertje, een afspraak, verbindt de bezitter met zijn bezit. De afspraak zegt: dit paard is niet van u hier, ook niet van u daar, enzovoort: dus het is van mij. Maar het bezit houdt werkelijk niets anders in dan die negativiteit. Net zo is het verzamelen, het bepalen of het afbeelden van werkelijkheid slechts een zaak van conventies, een ‘exclusieve’ of een ‘negatieve’ bepaling, en dus een (gammele) constructie, doch geenszins een waarachtig ‘aanraken’ van werkelijkheid. De werkelijkheid kan niet worden verzameld, benoemd of gekend: het afbeelden van de werkelijkheid heeft daarom slechts zin in zoverre het afgebeelde zelf als ‘heilig’ wordt beschouwd, dat wil zeggen: de verzamelaar moet zich bewust blijven dat wat hij aldus ‘in zijn bereik’ brengt, wezenlijk mysterie blijft. Nog anders verwoord: in onze interactie met de werkelijkheid moeten wij een correcte houding tegenover de werkelijkheid aannemen: wij moeten beseffen dat wij aldus gebruik maken van de werkelijkheid, en dat het aldus de werkelijkheid zelf is die ons tegemoet komt en die ons een handje helpt; in geen geval zijn wij het die de werkelijkheid in onze greep houden. Waar wij geloven de werkelijkheid te manipuleren, bedriegen we alleen onszelf, en zijn we druk doende met het manipuleren van niets anders dan onze eigen constructies: we reconstrueren slechts wat we voordien al zelf ineen geknutseld hadden.

    De projectie van onze taal en van onze wiskunde op de dingen is daarom alleen dan zinvol, wanneer wij ons bewust blijven van de afstand die wij hoedanook tegenover de werkelijkheid blijven behouden en dus moeten respecteren. Het is dan ook overduidelijk volkomen waanzinnig wanneer bepaalde mensen geloven dat al datgene wat zij niet in staat zijn te meten of te benoemen, niet bestaat.

    Zo moet de ernstige wiskundige uiteindelijk zijn toevlucht nemen tot de fysica, bijvoorbeeld inzake het probleem van de ‘rechte lijn’ (zie: de Swart 1989: 10-12). Zo ook zal de fysicus op zijn beurt bij de bioloog te rade moeten gaan, de bioloog bij de metafysicus en deze laatste bij de Heilige Schrift.
    >


    27-05-2006
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.MATHEMATICA CHRISTIANA: vervolg 1

    DIT BLOG GEEFT VERVOLG 1 WEER VAN
    MATHEMATICACHRISTIANA (
    http://www.bloggen.be/mathematicachristiana/ ),
    EN HET OMVAT HET DERDE EN HET VIERDE HOOFDSTUK.




    Foto

    Foto

    Foto

    Boeken van dezelfde auteur.
    Om een boek te lezen, klik op de prent van de flap.

    Foto

    Foto



    EN FRANCAIS:
    Foto
    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Foto

    Beluister hedendaagse klassieke muziek van dezelfde auteur: klik op de prent van de weblog hieronder.


    Foto


    Archief per week
  • 15/02-21/02 2010
  • 25/12-31/12 2006
  • 18/12-24/12 2006
  • 11/12-17/12 2006
  • 04/12-10/12 2006
  • 27/11-03/12 2006
  • 22/05-28/05 2006


    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op https://www.bloggen.be - Bloggen.be, eenvoudig, gratis en snel jouw eigen blog!