Inhoud blog
  • JAAR VAN DE HAAN 19-08
  • JAAR VAN DE HAAN 18-08
  • JAAR VAN DE HAAN 17-08
  • JAAR VAN DE HAAN 16-08
  • Pythagorasdag
    Zoeken in blog

    Foto
    Noli turbare circulos meos (Archimedes)


    GNOMON
    Wiskunde zie je!
    12-09-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.In de smidse van Wilfried van Hirtum

    Een wiskundeleraar met een aambeeld

    Je parle avec les mains.
    Les mains, c'est le prolongement de la pensée et moi j'ai beaucoup de pensées.

    — Smaïn

    Welkom in de smidse van collega Wilfried Van Hirtum,
    leraar aan de vrije Sint-Lambertusscholen van Westerlo:
     http://users.skynet.be/denkendehanden/index.html

    Hier kan je enkele creatieve momenten beleven!

    Bij de rubriek 'Maan'
    kom je o.a. meer te weten over het Ishango-beentje
    de oudste 'wiskundige vondst' op aarde.

    Je kunt er ook experimenteren met de superformule.

    Eens doen!

    12-09-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    11-09-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Mijn pi-formule

    MIJN PI-FORMULE

    In een perfecte wereld ...
    zouden heel wat formules 
    kunnen gebruik maken van perfecte getallen.

    Waarom 6 het kleinste perfect getal is
    lees je op http://nl.wikipedia.org/wiki/Perfect_getal.

    Hieronder publiceren we een nieuwe formule voor het getal pi
    waarin het getal 6 en de echte delers van 6 (2 en 3)
    een voorname rol spelen.

     Het bewijs van de formule vind je in de bijlage.


    Bijlagen:
    Mijn pi-formule.pdf (191.9 KB)   

    11-09-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    10-09-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Een tomahawk voor de trisectie van een hoek

    Indian winks


    De Grieken kenden reeds een constructiemethode om met behulp van een passer en een liniaal een willekeurige hoek in twee gelijke hoekjes te verdelen.
    Ongetwijfeld heb jij deze constructie zelf nog uitgevoerd. Hieronder zie je hoe dit in zijn werk gaat.

    De trisectie (of het in drie gelijke hoekjes verdelen) van een willekeurige hoek bleek een onoplosbaar probleem te zijn. 
    Ondertussen heeft men bewezen dat dit in het algemeen met behulp van een passer en een liniaal niet mogelijk is.

    Creatieve wiskundigen hebben echter in de 19de eeuw een soort 'tomahawk' ontworpen
    waarmee men de trisectie toch in het algemeen kan uitvoeren.

    Hieronder staat zo een tomahawk afgebeeld (lichtblauwe figuur - bron:  http://mathworld.wolfram.com/Tomahawk.html ) .
    Dit toestelletje kan je zelf maken in karton.
    Rechts bemerk je een halve cirkelschijf met middelpunt T en diameter [SU].
    Het lijnstuk [RU] is in drie gelijke delen verdeeld : |RS| = |ST| = |TU|. Let er ook op dat [SV] een recht lijnstuk is.


    Tomahawk 

    Hoe kan je nu hiermee de hoek met hoekpunt B en benen [BA  en [BC in drie gelijke delen verdelen?
    1. Plaats de tomahawk zo op de figuur dat het hoekpunt B op het lijnstuk [SV] ligt.
    2. Zorg ervoor dat het punt R op het been [BA ligt.
    3. Zorg ervoor dat het been [BC raakt aan de halve cirkel die een onderdeel is van tomahawk.

    Je kunt dan gemakkelijk nagaan dat Δ BSR , Δ BST en Δ BDT congruente rechthoekige driehoeken zijn.
    Hieruit volgt dan meteen dat de drie hoekjes met hoekpunt B even groot zijn!

    Indian winks

    10-09-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    04-09-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Bond Zonder Naam en 'leren leren'

    De Bond Zonder Naam lanceert elke maand opnieuw een spreuk die een beetje tot nadenken stemt.


    De bovenstaande spreuk voor de maand september
    is een leuk doordenkertje
    voor leerkrachten (en leerlingen!)

    Vaak horen we leraren de bedenking maken dat hun leerlingen er moeilijk in slagen iets bij te leren.
    Je kunt je hierbij de vraag stellen welke vorm van leren het meest beklijvend resultaat oplevert.
    Het staat wetenschappelijk vast dat je het minste rendement krijgt
    wanneer de leerlingen alleen maar moeten luisteren of lezen.
    Daartegenover staat dat je het meest leert als je iets in je eigen woorden mag uitleggen aan anderen.
    In dit verband verwijzen we graag naar de leerpiramide van Bales,
    waarin naast een aantal instructiemethoden telkens het leerrendement wordt vermeld:

    modelleerpiramidevanbales.jpg

    Op www.leercoach.be  kan je in elk geval enkele tips vinden
    om jouw leerlingen beter te leren leren.

    En vergeet niet dat je als leraar ook voor de grote uitdaging staat
    om jouw leerlingen voldoende zelfvertrouwen, motivatie en leerplezier te bezorgen.

    Succes in het nieuwe schooljaar!


    www.bzn.be

    04-09-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    29-08-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Kwadraten blijven verbazen

    1, 4, 9, 16, 25, ... is de rij van de kwadraatgetallen (kwadraten van de gehele getallen).

    Maar wist je dat ...

    Square-InfinitelyQuartered-EndlessZoom

    42 = 24 = 16 en hiermee is 16 wellicht het merkwaardigste kwadraatgetal.

    Square-InfinitelyQuartered-EndlessZoom

    1 = 3  en 9  4 = 5 en 16  9 = 7  en 25  16 = 9 ...
    Het verschil tussen twee opeenvolgende kwadraatgetallen is dus steeds een oneven getal.
    Bovendien is elk oneven natuurlijk getal groter dan of gelijk aan 3 het verschil van twee kwadraatgetallen:  2n + 1 = (n + 1)²  n².

    Square-InfinitelyQuartered-EndlessZoom

    Bekijk de rij 16, 9, 7, 2, 14, 11, 5, 4, 12, 13, 3, 6, 10, 15, 1, 8.
    Hierin staan alle gehele getallen van 1 tot en met 16 zodanig gerangschikt dat de som van elke twee opeenvolgende getallen een kwadraatgetal is:  16 + 9 = 5², 9 + 7 = 4², 7 + 2 = 3² enzovoort ...

    Square-InfinitelyQuartered-EndlessZoom

    1 + 2 = 3
    4 + 5 + 6 = 7 + 8
    9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15
    16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24
    en zo kan je eindeloos doorgaan ...
    Merk op dat elke lijn begint met een kwadraatgetal (1, 4, 9, 16 ...).

    Square-InfinitelyQuartered-EndlessZoom

    En ook het getal pi ontsnapt niet aan de kwadraatgetallen (formule van Euler):

     pi=sqrt(6(1+1/(2^2)+1/(3^2)+1/(4^2)+...)),

    Square-InfinitelyQuartered-EndlessZoom


    29-08-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    17-08-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.BLAD-STEEN-SCHAAR

    Blad-steen-schaar is een spel voor twee spelers.
    Beide spelers steken tegelijk en op een afgesproken moment
    een vlakke hand (blad papier)
    een gebalde vuist (steen)
    of twee gespreide vingers (schaar)
    uit.

    Bestand:SssPapier.jpg BLAD  wint van STEEN Bestand:SssStein.jpg
    (de steen wordt verpakt in papier)
    Bestand:SssStein.jpgSTEEN wint van SCHAARBestand:SssSchere.jpg
    (de schaar wordt bot op een steen)
    Bestand:SssSchere.jpg SCHAAR wint van BLADBestand:SssPapier.jpg
    (de schaar knipt door het papier).

    Wanneer beide spelers tegelijk dezelfde keuze maken,
    scoren ze allebei een punt.

    Het spel wordt een oneven aantal keer (vooraf af te spreken) gespeeld.
    Wie de meeste punten scoort, wint het spel.

    Op de website van The New York Times
    http://www.nytimes.com/interactive/science/rock-paper-scissors.html?ref=science
    kan je dit spelletje nu online tegen de computer spelen.
    Je moet eerst kiezen of je de computer als onervaren (novice)
    of als ervaren speler (veteran) wilt aanpakken!

     

    Wist je dat Duitsland de oorlog verloor omdat schaar wint van blad?

    17-08-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Regelmatige veelvlakken

    Een regelmatig veelvlak is een ruimtelijke figuur waarvan alle zijvlakken regelmatige veelhoeken zijn
    en waarbij in elk hoekpunt even veel ribben samenkomen. Men noemt ze ook 'de Platonische lichamen'

    File:Tetrahedron.gifFile:Hexahedron.gifFile:Octahedron.gifFile:Dodecahedron.gifFile:Icosahedron.gif
    Tetrëader (viervlak)           Hexaëder (kubus)              Octaëder (achtvlak)      Dodecaëder (12-vlak)      Icosaëder (20-vlak) 

    In de onderstaande tabel staat wat concrete informatie over hoe elk regelmatig veelvlak er uit ziet
    en je vindt er ook een formule voor de oppervlakte en de inhoud.

    Naam
    Tetraëder
    Hexaëder
    Octaëder
    Dodecaëder
    Icosaëder
    zijvlakken
    4
    6
    8
    12
    20
    ribben
    6
    12
    12
    30
    30
    hoekpunten
    4
    8
    6
    20
    12
    {aantal ribben per zijvlak,
    aantal zijvlakken in elk hoekpunt}
    {3, 3}
    {4, 3}
    {3, 4}
    {5, 3}
    {3, 5}
    volume
    (lengte ribben = 1)
    0.1178511302
    1.0000000000
    0.4714045208
    7.6631189606
    2.1816949906
    oppervlakte
    (lengte ribben = 1)
    1.7320508076
    6.0000000000
    3.4641016151
    20.6457288071
    8.6602540378


    Door op één van de onderstaande figuren te klikken
    bekom je een ontvouwing (bouwplaat) ervan.
    Copyrights © 1998-2011 Gijs Korthals Altes alle rechten voorbehouden.
    Het is toegestaan om kopieën te maken voor niet-commerciële doeleinden.

    tetraëderkubusoctaëderdodecaëdericosaëder


    Waarom zijn er maar 5 regelmatige veelvlakken mogelijk?
    Dit wisten de Oude Grieken al!

    Verklaring.
    De som van de hoeken van de regelmatige veelhoeken die in elk hoekpunt samenkomen, moet kleiner zijn dan 360°
    (anders zou je de bouwplaat niet kunnen vouwen).
    In elk hoekpunt komen ook minstens drie zijvlakken samen (anders zou je geen ruimtelijke figuur hebben).

    Nu weten de dat
    - elk van de hoeken van een gelijkzijdige driehoek 60° is. Er kunnen dus 3, 4 of 5 gelijkzijdige driehoeken in een hoekpunt samen komen;
    - elk van de hoeken van een vierkant 90° is. Er kunnen dus enkel 3 vierkanten in een hoekpunt samenkomen;
    - elk van de hoeken van een regelmatige vijfhoek 108° is. Er kunnen dus enkel 3 regelmatige vijfhoeken in een hoekpunt samenkomen;
    - elk van de hoeken van een regelmatige zeshoek 120° is. Er zouden dus enkel 2 van die zeshoeken in een hoekpunt kunnen samenkomen.

    Een analoge redenering geldt voor alle andere regelmatige n-hoeken (n > 6).

    File:Hexahedron.gifFile:Hexahedron.gifFile:Hexahedron.gifFile:Hexahedron.gifFile:Hexahedron.gifFile:Hexahedron.gifFile:Hexahedron.gifFile:Hexahedron.gifFile:Hexahedron.gifFile:Hexahedron.gifFile:Hexahedron.gif

    Tenslotte schotelen we je nog een leuke oefening voor.
    Als je de middens van de 6 zijvlakken van een kubus verbindt,
    bekom je een regelmatig achtvlak dat in die kubus zit.
    Kan je de verhouding van de oppervlakten en van de inhouden van beide figuren berekenen?




    File:Octahedron.gifFile:Octahedron.gifFile:Octahedron.gifFile:Octahedron.gifFile:Octahedron.gifFile:Octahedron.gifFile:Octahedron.gifFile:Octahedron.gifFile:Octahedron.gif

    17-08-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    16-08-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Clinometer


    Om hellingshoeken te bepalen kan je gebruik maken van een clinometer.

    Het is een aanbevolen knutselactiviteit voor leerlingen die voor het eerst kennismaken met richtingscoëfficiënten en gonimetrie.

    Wat heb je hiervoor nodig?

    Een gradenboog, (een blad papier), een rietje, een lijmstift, wat plakband, een stukje touw en een gewichtje (bv. een stukje gom).

    In de onderstaande video wordt uitgelegd hoe je een clinometer maakt

    en hoe je die dan kan gebruiken om bijvoorbeeld de hoogte van een vlaggenmast of een gebouw te bepalen.

    Klik dan op het einde van de video de vervolgvideo aan.

    Collega F. Develter signaleerde me dat je hellingshoeken ook met een winkelhaak kan bepalen.

    Net als bij de clinometer kan je gebruik maken van het feit dat twee scherpe hoeken waarvan de benen loodrecht op elkaar staan, gelijk zijn.

    Kan je nu zelf aan de hand van de onderstaande figuur uitleggen hoe je moet te werk gaan?

    16-08-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    06-07-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Mijn favoriete optische illusie

    Dat onze zintuigen ons vaak bedriegen, wist je wellicht al?
    Dat omgevingsfactoren ons kunnen afleiden, wist je meer dan waarschijnlijk ook al?

    De schaakbord-schaduw-illusie die Prof. Edward H. Adelson in 1995 publiceerde,
    illustreert dit op een treffende wijze.
    Dit is meteen ook mijn favoriete optische illusie.

    Op het onderstaande schaakbord (links) zijn twee vakjes aangeduid (met de letters A en B).
    Kan je geloven dat de beide vakjes dezelfde kleur hebben?
    Wanneer men tussen beide vakjes een brugje legt in dezelfde kleur
    wordt dit ongetwijfeld duidelijk (rechtse figuur).

    Wie nog twijfels heeft, kan de linkse figuur kopiëren naar 'paint'
    en dan een stukje uit de vakjes A en B knippen 
    om ze zo met elkaar te vergelijken.
    (Bron: wikipedia)

    Klik op de figuren voor een vergroting.

    File:Grey square optical illusion.PNGFile:Same color illusion proof2.png

    06-07-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Welke hersenhelft gebruik jij het meest?

    File:Spinning Dancer.gif

    Hier zie je een sierlijk draaiende ballerina.
    Hoe zie je haar draaien:
    volgens de richting van de wijzers van een klok
    of in tegenwijzerzin?

    Volgens een wetenschappelijke studie is de manier waarop jij de dame ziet draaien
    een duidelijke aanwijzing van welke hersenhelft je op dat ogenblik gebruikt.

    Zie je de dame in wijzerzin draaien, dan gebruik je
    DE RECHTERHERSENHELFT
    (verband met gevoelens, verbeelding, symbolen en afbeeldingen, bereidheid om risico's te nemen ...).

    Zie je haar in tegenwijzerzin draaien, dan gebruik je
    DE LINKERHERSENHELFT
    (verband met logica, wiskunde en wetenschappen, praktische ingesteldheid ...).

    Naar het schijnt slagen hoogbegaafde mensen er gemakkelijk in
    de dame in beide richtingen te zien draaien.

    Hoe zit dat bij jou?


    06-07-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    27-06-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De kokinje: het snoepje van Archimedes

    De kokinje

    Volgens het woordenboek van Van Dale is een kokinje een snoepje van gesmolten geraffineerde witte suiker dat de vorm heeft van een kussentje.

    Het wordt ook wel 'brok' of 'babbelaar' genoemd.

    Op http://www.pandd.demon.nl/rhino/kokinje.htm vonden we een correcte wiskundige beschrijving van dit snoepje, waarvan Archimedes (287 – 212 v.Chr.)  reeds de inhoud wist te berekenen. 

    Deze driedimensionale figuur wordt ook wel het lichaam van Steinmetz of de bicilindersector genoemd.


    Op de animatie hieronder zie je hoe de kokinje ontstaat als doorsnede van twee cilinders.

    Bicylinder Steinmetz solid.gif

    In de bijlage vind je dan de berekening van de inhoud en de oppervlakte van de kokinje.

    Bijlagen:
    Inhoud en oppervlakte van het lichaam van STEINMETZ.pdf (117.5 KB)   

    27-06-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    26-06-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Het vermoeden van Collatz en de conjectuur van Goldbach

    La page du mardi  6 juillet 2010

    Lothar Collatz (1910-1990) was Duitse wiskundige
    die een heel eenvoudig probleem de wereld instuurde,
    dat tot op heden onopgelost is.

    Dat probleem luidt als volgt:

    Kies een willekeurig positief geheel getal. Als dit getal even is, deel je het door twee. Als het oneven is vermenigvuldig je het getal met drie en tel je er één bij.

    Op die manier ontstaat een rij getallen. Collatz sprak het vermoeden uit dat deze rij altijd zal eindigen op 1.

    Voorbeelden.
    Met startwaarde 13 krijg je het volgende rijtje:  13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
    Met startwaarde 7 krijg je een iets langere rij: 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

    Een dergelijk vermoeden in de wiskunde wordt een conjectuur genoemd.

    Met het onderstaande programma kan je op jouw grafische rekenmachine (TI-83/84) nagaan dat de Collatz-rij steeds op 1 eindigt, onafhankelijk van het startgetal. De rij zelf kan je na het uitvoeren van het programma bekijken in lijst L1.

    PROGRAM:COLLATZ
    :ClrHome
    :ClrList L1
    :1→I
    :Disp "GEEF GETAL: "
    :Input G
    :G→L1(I)
    :Repeat G=1
    :I+1→I
    :If int(G/2) = G/2
    :Then
    :G/2→G
    :Disp G
    :G→L1(I)
    :Else
    :3G+1→G
    :Disp G
    :G→L1(I)
    :End
    :End

    Een andere beroemd onopgelost probleem is de Goldbach-conjectuur die stelt dat elk even natuurlijk getal groter dan 2 minstens op één manier kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen.  

    Zo is bijvoorbeeld
    10 = 3 + 7
    16 = 3 + 13 = 5 + 11
    100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59
    ...

    Door gebruik te maken van computerprogramma's heeft men voor heel grote getallen de conjecturen van Collatz en van Goldbach gecontroleerd

    en tot op heden heeft men in beide gevallen nog geen getal kunnen vinden waarvoor het vermoeden niet juist is.

    Maar een algemeen bewijs voor de geldigheid van de vermoedens is nog niet gevonden.

    Wie één van beide problemen oplost,
    kan meteen voor de rest van zijn leven
    op zijn lauweren rusten ...

    26-06-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    20-06-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Rekenliniaal

    Wat is het verband tussen Wernher Von Braun (ontwerper van de Duitse V2-raketten en vader van de ruimtevaart),
    de Boeing 707, de Empire State Building, de Golden-Gatebrug en Einstein?

    Antwoord: de rekenliniaal.

    *********************************************************************************************************

    Wie voor 1970 ingewikkeld rekenwerk moest uitvoeren,
    waarin producten, quotiënten en wortelvormen moesten berekend worden,
    deed dit meestal met een rekenliniaal.

    Dit instrument mag je dus terecht als de voorloper van het rekentoestel beschouwen.

    Vooral ingenieurs maakten fequent gebruik van een rekenliniaal en realisaties zoals de V2-raketten, de Boeing 707, de Golden-Gatebrug,

    de Empire State building en zelfs transistorradio's zouden niet mogelijk geweest zonder het gebruik van een rekenliniaal.

    Het is een gekend feit dat Einstein er vlot mee kon werken.

    Een rekenliniaal bestaat in principe uit twee schuivende delen en het rekenen is gebaseerd op logaritmen, een uitvinding van de Schotse wiskundige John Napier (1550-1617). 

    Zo is bijvoorbeeld log a + log b = log ab, zodat men in feite twee getallen kan vermenigvuldigen door hun logaritme bij elkaar op te tellen.

    Hieronder staat op een eenvoudig voorbeeld afgebeeld hoe men met een rekenliniaal kan aantonen dat 2 x 3 = 6 is.

    Het was uiteraard wel de bedoeling  met een rekenliniaal ingewikkelder berekeningen dan 2 x 3 uit te voeren!


    logaritmische schalen

    Op beide schuifdelen staan niet de getallen 1, 2, 3 ... afgebeeld, maar hun logaritmen. 
    Het bovenste schuifdeel heeft men dus verschoven zodat log 1 (= 0) net boven log 3 komt.
    Onder log 2 (op het bovenste schuifdeel) leest men dan precies log 6 af (op het onderste schuifdeel), want log 2 + log 3 = log 6.

    Omdat dit instrument steunt op de eigenschappen van logaritmen, is het in feite niet direct geschikt
    om sommen en verschillen van getallen te berekenen.

    De vroegste versie van een rekenliniaal met schuivende delen is in 1621 uitgevonden door de Engelse wiskundige en priester William Oughtred.

    Pas rond 1870 werd het toestel 'populair' toen het Franse leger het gebruikte om projectiebanen te berekenen
    tijdens de oorlog die ze toen voerden tegen de Pruisen.

    Meer hierover lees je o.a. op http://rekenlat.barneveld.com/rekenliniaal.htm .

    Op http://www.sagmilling.com/tools/sliderule/ kan je zelf eens experimenteren met een rekenliniaal.

    20-06-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    18-06-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De magie van een cycloïde

    Een cycloïde is de kromme die wordt gedefinieerd door de baan van een punt op de rand van een cirkelvormig wiel 
    als die cirkel over een rechte lijn rolt (zonder glijden).

    Als de cirkel een straal r heeft, bekomt men als parametervergelijkingen van de cycloïde (zie bijlage):

    x = r(t - sint)
    y = r(1 - cos t).

    De parameter t geeft aan over welke hoek de cirkel vooruitrolt.

    Bij één volledige omwenteling van de cirkel varieert t van 0 tot 2π.
    De lengte van één boog van een cycloïde is gelijk aan 8r (zie bijlage). 




    In de 17de eeuw zochten wiskundigen naar de kromme die een bijzonder soort 'glijbaan' beschreef.
    Men stelde zich immers de vraag of er een helling bestond
    met de eigenschap dat als men er ballen vanop verschillende startposities tegelijk op liet naar beneden rollen,
    die ballen dan ook tegelijk aan de voet van de helling zouden aankomen
    ongeacht de positie van waarop men ze losliet.

    De Nederlandse wis-, sterrenkundige en natuurkundige Christiaan Huyghens
    ontdekte in 1659 dat die helling werd beschreven door een 'omgekeerde' cycloïde
     (zie onderstaand applet - bron wikipedia).

    Huyghens wou deze ontdekking gebruiken om een nauwkeuriger slingeruurwerk te ontwerpen
    en publiceerde zijn ontdekking in 1673 in zijn 'Horologium Oscillatorium' ( =  'Het Slingeruurwerk').




    Wegens deze bijzondere eigenschap wordt deze kromme ook de tautochrone of isochrone kromme genoemd
    (Grieks: τὸ αὐτό, dezelfde, ισος, gelijk en χρονος, tijd).

    Deze kromme heeft  nog een andere merkwaardige eigenschap.
    Ze beschrijft ook de helling waarlangs een voorwerp zonder wrijving
    zich tussen twee punten verplaatst in de kortst mogelijke tijd.
    Daarom spreekt men ook van de brachistochrone kromme
    (Grieks: βραχιστος, kortste en χρονος, tijd).
    Bron: wikipedia.

    Collega Ferdinand Develter merkt terecht op dat deze kromme
    die zorgt voor de snelste daling ook zorgt voor de traagste stijging.
    Dit vindt o.a. zijn toepassing bij kaaimuren, de boeg van een schip ...


    Bijlagen:
    Studie van de cycloide.pdf (95.1 KB)   

    18-06-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    14-06-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Valt de maan op de aarde?

    Newton realiseerde zich dat de maan
    in feite elke seconde en beetje naar de aarde toe valt
    precies op dezelfde manier als een appel
    van een boom naar de aarde valt.

    Als dit niet zo was
    dan zou de maan immers in een rechte lijn
    met een constante snelheid
    door de ruimte van de aarde wegvliegen.

    De kracht die de maan in haar (min of meer) cirkelvormige baan houdt
    noemde hij de centripetale kracht.

    We rekenen eens uit hoeveel de maan per seconde naar de aarde toe valt.

     

    Op deze figuur is
    r = de gemiddelde afstand van de maan tot de aarde, ongeveer 386 000 km
    s = de afstand door de maan afgelegd van de aarde weg in 1 seconde
    d = de afstand die de maan naar de aarde toe valt in 1 seconde.

    Wegens de stelling van Pythagoras is  r² + s² = (r + d)² of r² + s² = r² + 2rd + d², zodat s² = 2rd + d².

    Hierbij is d vrij klein, zodat we het nog veel kleinere d² kunnen verwaarlozen. Dus is d = s²/(2r) .      (1)

    s is ook heel klein zodat we deze afstand mogen benaderen door de lengte van de cirkelboog die de maan in 1 seconde aflegt, d.w.z.

    Met r = 386 000 000 (in meter) vinden we hieruit dat s = 2π x 386 000 000 x 4,1 x 10-7 = 1002,5 meter. 

    Door tenslotte deze waarde in te vullen in (1) vinden we dat d = 0,0013 meter.

    Dit betekent dat de maan elke seconde ongeveer 1,3 millimeter naar de aarde toe valt
    en zo op een min of meer cirkelvormige baan rond de aarde kan blijven rondtoeren. 

    MAANSVERDUISTERING

    Morgenavond woensdag 15 juni 2011 is het voor heel wat amateur-astronomen weer een hoogdag,
    want dan vindt er een totale maansverduistering plaats.

    De maansverduistering start woensdag om 20.23 uur.

    Het hemellichaam zit dan echter nog onder de horizon, waardoor de eclips dus nog niet waargenomen kan worden.
    Anderhalf uur later, om 21.53 uur, komt de maan op in het zuidoosten van de hemel. Ze is dan al volledig verduisterd.
    Om 22.13 uur is de maansverduistering totaal.
    Die totale eclips eindigt om 23.03 uur.
    Om 24 uur zou de maan opnieuw volledig te zien zijn.  

    De amateurs van leuke powerpointpresentaties moeten maar eens de bijlage openen
    om zo mee te genieten van 'spelen met de maan'.

    Bijlagen:
    Playing with the moon.pps (2.2 MB)   

    14-06-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Dimensies en Flatland

    Flatland: A Romance of Many Dimensions (Nederlands: Platland: een roman van vele afmetingen) is in 1884 geschreven door Edwin Abbott Abbott, een Engelse schoolmeester en theoloog. Hij probeert de lezer op informele wijze de mogelijkheid (de wiskundige waarschijnlijkheid zelfs) van meerdere dimensies uit te leggen.

    Flatland volgt de avonturen van A. Square (Nederlands: Een Vierkant) die op een dag wordt bezocht door een cirkel (die eigenlijk een bol blijkt te zijn die als cirkel verschijnt in Flatland) en die hem uit z'n tweedimensionale wereld tilt en hem meeneemt naar lijnland en puntland om hem duidelijk te maken dat er meer dimensies zijn dan alleen de 2 van Flatland. Als A. Square aan de bol vraagt of er misschien zelfs meer bestaan dan de 3 waar de bol vandaan komt, wordt deze boos en stopt hem weer terug in zijn tweedimensionale wereld.

    Dit boekje laat ons meteen nadenken over de mogelijkheid dat er meerdere dimensies bestaan, dan we werkelijk waarnemen. In bijlage vind je de Nederlandse vertaling van Flatland.

    Flatland: The Movie is een leuke animatiefilm uit 2007 waardoor het werk van Edwin A. Abbott weer in de belangstelling is gekomen. Hieronder kan je de officiële trailer van deze film bekijken.




    Onwillekeurig denk je hierbij ook aan de allegorie van de grot uit de kennisleer van Plato (uit zijn werk Politeia). Hierin beschrijft hij hoe een aantal mensen sedert hun geboorte gevangen zitten in een grot. Tegen de wand van de grot zien de schaduwen geprojecteerd van werkelijke objecten, maar de realiteit zelf kennen en begrijpen ze niet.

    Einstein leerde ons al dat we leven in een vierdimensionale tijd-ruimte met de klassieke drie dimensies (lengte, breedte en hoogte) en de tijd als vierde dimensie. De snaartheorie (string theory) gaat er echter van uit dat we leven in een ruimte met misschien wel 10 of 11 dimensies. Onze gezichtsorganen zijn echter onvoldoende ontwikkeld om de immens kleine deeltjes, die ontstaan als trillingen van een snaar, waar te nemen.

    Om dit te begrijpen verwijst men vaak naar het beeld van een tuinslang. Als we die vanop een afstand bekijken, hebben we de indruk dat een tuinslang een tweedimensionaal voorwerp is (met een lengte en een kleine breedte), maar voor een mier die erover kruipt is een tuinslang een driedimensionaal voorwerp!

    Dimensies staan duidelijk weer in de belangstelling. Dat bleek onlangs nog op de proclamatie van de Vlaamse Wiskunde Olympiade, waarbij de Franse wiskundige Etienne Ghys (Ecole Normale Supérieure, Lyon) o.a. de bekroonde film 'Dimensions' kwam voorstellen. Je kunt de 9 hoofdstukken van deze fascinerende film gratis bekijken op http://www.dimensions-math.org/Dim_NL.htm . Vooral hoofdstuk 2 (over de derde dimensie) en hoofdstuk 3 (over de vierde dimensie) zijn warm aanbevolen.


    Bijlagen:
    platland.pdf (976.5 KB)   

    14-06-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Het probleem van de drie missionarissen en de drie kannibalen



    Ziehier een probleempje van logisch redeneren.

    Drie missionarissen en drie kannibalen moeten met behulp van een bootje naar de overkant van een rivier worden gebracht.

    In het bootje kunnen echter hoogstens twee personen tegelijk plaatsnemen

    en nooit mogen er meer kannibalen dan missionarissen op een oever achterblijven,

    want anders beginnen de kannibalen vlot aan hun lunch ...

    Hoe krijg je dit voor elkaar?

    Je kunt dit spelletje online spelen op http://www.plastelina.net/game2.html .

    Voor wie er toch niet aan uit geraakt, hebben we een oplossing in bijlage gestopt.

    Maar ... zeker eerst zelf blijven zoeken!

     

    Bijlagen:
    3 missionarissen en 3 kannibalen.doc (22 KB)   

    14-06-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    13-06-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Hersentest
     

    Onze hersens registeren niet steeds de werkelijkheid
    en de hersens van verschillende personen registreren vaak verschillende zaken.

    Hieronder krijg je drie voorbeelden ter illustratie van de bovenstaande uitspraak.

    Kijk je even mee?

    1. Hoeveel letters 'F' tel je in de volgende tekst?

    FINISHED FILES ARE THE
    RESULT OF YEARS OF SCIENTIFIC STUDY
    COMBINED WITH
    THE EXPERIENCE OF YEARS...



    2. Wat lees je hieronder?

    Alelen silmme msenen knunen dit lzeen.
    Ik kon het neit glevoen teon ik het zag. 
    De fnemoeanl pwoer van je hrenesen 
    palatst alles in de jiutse vlogodre.
    Vloegns een sutide van de Unvireitsiet van Cmabrigde,
    makat de vlogodre van de ltretes in een wrood neits uit ,
    je meot alelen zrgoen dat je de ereste en de latsate lteter
    op jiuste plek zet. Van de rset mag je een zioojte mkaen.
    Dat kmot odmat je hrenesen neit lteetr per leettr leezn,
    maar wel de gorep lteters bij eklaar.



    3. Wie goede ogen heeft, kan de onderstaande tekst wellicht direct lezen...

    Optical illusion - No sex, no eyes

    *******************************************************************************


    Oplossingen.

    1. Er staan 6 letters 'F'. Tel nog eens na ...
    3. In het wit staat: NO SEX CAUSES BAD EYES.

    Bron: http://www.planetperplex.com

    13-06-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    08-06-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Keeping the dream alive

    KEEPING THE DREAM ALIVE

    Vandaag gaf ik mijn laatste wiskundeles in het secundair onderwijs.
    Hiermee eindigt een periode van 35 boeiende jaren.
    Tijd om heel even terug te denken aan zo veel collega's
    die het leven boeiend maakten
    en aan zo veel studenten
    die hopelijk elk hun eigen droom
    hebben kunnen waarmaken.

                                                           K.U.Leuven campus Kortrijk

    The hopes we had were much too high
    Way out of reach but we have to try
    No need to hide no need to run
    'Cause all the answers come one by one
    The game will never be over
    Because we're keeping the dream alive ...


    08-06-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (1)
    05-06-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Het probleem van Fagnano

    Probleem van Fagnano - GeoGebra Dynamisch werkblad Het probleem van Fagnano

    In 1775 formuleerde de Italiaanse wiskundige Giovanni Fagnano het volgende interessante probleem:

    Bepaal in een willekeurige scherphoekige driehoek de ingeschreven driehoek met de kleinste omtrek.

    De oplossing hiervan staat afgebeeld op de onderstaande figuur.

    Bij de gegeven driehoek ABC is de omtrek van driehoek DEF kleiner dan de omtrek van elke andere ingeschreven driehoek GHI.

    De hoekpunten van driehoek DEF zijn de voetpunten van de hoogtelijnen in driehoek ABC.




    Het is een leuke uitdaging om dit eens met behulp van GeoGebra te onderzoeken.

    In bijlage vind je een elegant bewijs voor deze merkwaardige stelling.

    Bijlagen:
    Het probleem van Fagnano opgelost in drie stappen.doc (156.5 KB)   

    05-06-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)


    Archief per week
  • 14/08-20/08 2017
  • 07/08-13/08 2017
  • 31/07-06/08 2017
  • 24/07-30/07 2017
  • 17/07-23/07 2017
  • 10/07-16/07 2017
  • 03/07-09/07 2017
  • 26/06-02/07 2017
  • 19/06-25/06 2017
  • 12/06-18/06 2017
  • 05/06-11/06 2017
  • 29/05-04/06 2017
  • 22/05-28/05 2017
  • 15/05-21/05 2017
  • 08/05-14/05 2017
  • 01/05-07/05 2017
  • 24/04-30/04 2017
  • 17/04-23/04 2017
  • 10/04-16/04 2017
  • 03/04-09/04 2017
  • 27/03-02/04 2017
  • 20/03-26/03 2017
  • 13/03-19/03 2017
  • 06/03-12/03 2017
  • 27/02-05/03 2017
  • 20/02-26/02 2017
  • 13/02-19/02 2017
  • 06/02-12/02 2017
  • 30/01-05/02 2017
  • 23/01-29/01 2017
  • 16/01-22/01 2017
  • 09/01-15/01 2017
  • 02/01-08/01 2017
  • 25/12-31/12 2017
  • 19/12-25/12 2016
  • 12/12-18/12 2016
  • 05/12-11/12 2016
  • 28/11-04/12 2016
  • 21/11-27/11 2016
  • 14/11-20/11 2016
  • 07/11-13/11 2016
  • 31/10-06/11 2016
  • 24/10-30/10 2016
  • 17/10-23/10 2016
  • 10/10-16/10 2016
  • 03/10-09/10 2016
  • 26/09-02/10 2016
  • 19/09-25/09 2016
  • 12/09-18/09 2016
  • 05/09-11/09 2016
  • 29/08-04/09 2016
  • 22/08-28/08 2016
  • 15/08-21/08 2016
  • 08/08-14/08 2016
  • 01/08-07/08 2016
  • 25/07-31/07 2016
  • 18/07-24/07 2016
  • 11/07-17/07 2016
  • 04/07-10/07 2016
  • 27/06-03/07 2016
  • 20/06-26/06 2016
  • 13/06-19/06 2016
  • 06/06-12/06 2016
  • 30/05-05/06 2016
  • 23/05-29/05 2016
  • 16/05-22/05 2016
  • 09/05-15/05 2016
  • 02/05-08/05 2016
  • 25/04-01/05 2016
  • 18/04-24/04 2016
  • 11/04-17/04 2016
  • 04/04-10/04 2016
  • 28/03-03/04 2016
  • 21/03-27/03 2016
  • 14/03-20/03 2016
  • 07/03-13/03 2016
  • 29/02-06/03 2016
  • 22/02-28/02 2016
  • 15/02-21/02 2016
  • 08/02-14/02 2016
  • 01/02-07/02 2016
  • 25/01-31/01 2016
  • 18/01-24/01 2016
  • 11/01-17/01 2016
  • 04/01-10/01 2016
  • 28/12-03/01 2021
  • 21/12-27/12 2015
  • 14/12-20/12 2015
  • 07/12-13/12 2015
  • 30/11-06/12 2015
  • 23/11-29/11 2015
  • 16/11-22/11 2015
  • 09/11-15/11 2015
  • 02/11-08/11 2015
  • 26/10-01/11 2015
  • 19/10-25/10 2015
  • 12/10-18/10 2015
  • 05/10-11/10 2015
  • 28/09-04/10 2015
  • 21/09-27/09 2015
  • 14/09-20/09 2015
  • 07/09-13/09 2015
  • 31/08-06/09 2015
  • 24/08-30/08 2015
  • 17/08-23/08 2015
  • 10/08-16/08 2015
  • 03/08-09/08 2015
  • 27/07-02/08 2015
  • 20/07-26/07 2015
  • 13/07-19/07 2015
  • 06/07-12/07 2015
  • 29/06-05/07 2015
  • 22/06-28/06 2015
  • 15/06-21/06 2015
  • 08/06-14/06 2015
  • 01/06-07/06 2015
  • 25/05-31/05 2015
  • 18/05-24/05 2015
  • 11/05-17/05 2015
  • 04/05-10/05 2015
  • 27/04-03/05 2015
  • 20/04-26/04 2015
  • 13/04-19/04 2015
  • 06/04-12/04 2015
  • 30/03-05/04 2015
  • 23/03-29/03 2015
  • 16/03-22/03 2015
  • 09/03-15/03 2015
  • 02/03-08/03 2015
  • 23/02-01/03 2015
  • 16/02-22/02 2015
  • 09/02-15/02 2015
  • 02/02-08/02 2015
  • 26/01-01/02 2015
  • 19/01-25/01 2015
  • 12/01-18/01 2015
  • 05/01-11/01 2015
  • 29/12-04/01 2015
  • 22/12-28/12 2014
  • 15/12-21/12 2014
  • 08/12-14/12 2014
  • 01/12-07/12 2014
  • 24/11-30/11 2014
  • 17/11-23/11 2014
  • 10/11-16/11 2014
  • 03/11-09/11 2014
  • 27/10-02/11 2014
  • 20/10-26/10 2014
  • 13/10-19/10 2014
  • 06/10-12/10 2014
  • 29/09-05/10 2014
  • 22/09-28/09 2014
  • 15/09-21/09 2014
  • 08/09-14/09 2014
  • 01/09-07/09 2014
  • 25/08-31/08 2014
  • 18/08-24/08 2014
  • 04/08-10/08 2014
  • 21/07-27/07 2014
  • 07/07-13/07 2014
  • 30/06-06/07 2014
  • 16/06-22/06 2014
  • 09/06-15/06 2014
  • 28/04-04/05 2014
  • 21/04-27/04 2014
  • 14/04-20/04 2014
  • 07/04-13/04 2014
  • 31/03-06/04 2014
  • 24/03-30/03 2014
  • 17/03-23/03 2014
  • 10/03-16/03 2014
  • 03/03-09/03 2014
  • 24/02-02/03 2014
  • 17/02-23/02 2014
  • 10/02-16/02 2014
  • 03/02-09/02 2014
  • 27/01-02/02 2014
  • 20/01-26/01 2014
  • 13/01-19/01 2014
  • 06/01-12/01 2014
  • 30/12-05/01 2014
  • 23/12-29/12 2013
  • 16/12-22/12 2013
  • 09/12-15/12 2013
  • 02/12-08/12 2013
  • 25/11-01/12 2013
  • 18/11-24/11 2013
  • 11/11-17/11 2013
  • 04/11-10/11 2013
  • 28/10-03/11 2013
  • 21/10-27/10 2013
  • 14/10-20/10 2013
  • 07/10-13/10 2013
  • 30/09-06/10 2013
  • 23/09-29/09 2013
  • 16/09-22/09 2013
  • 09/09-15/09 2013
  • 02/09-08/09 2013
  • 26/08-01/09 2013
  • 19/08-25/08 2013
  • 12/08-18/08 2013
  • 05/08-11/08 2013
  • 29/07-04/08 2013
  • 22/07-28/07 2013
  • 15/07-21/07 2013
  • 08/07-14/07 2013
  • 01/07-07/07 2013
  • 24/06-30/06 2013
  • 17/06-23/06 2013
  • 10/06-16/06 2013
  • 03/06-09/06 2013
  • 27/05-02/06 2013
  • 20/05-26/05 2013
  • 13/05-19/05 2013
  • 06/05-12/05 2013
  • 29/04-05/05 2013
  • 22/04-28/04 2013
  • 15/04-21/04 2013
  • 08/04-14/04 2013
  • 01/04-07/04 2013
  • 25/03-31/03 2013
  • 18/03-24/03 2013
  • 11/03-17/03 2013
  • 04/03-10/03 2013
  • 25/02-03/03 2013
  • 18/02-24/02 2013
  • 11/02-17/02 2013
  • 04/02-10/02 2013
  • 28/01-03/02 2013
  • 21/01-27/01 2013
  • 07/01-13/01 2013
  • 31/12-06/01 2013
  • 24/12-30/12 2012
  • 17/12-23/12 2012
  • 10/12-16/12 2012
  • 03/12-09/12 2012
  • 26/11-02/12 2012
  • 19/11-25/11 2012
  • 12/11-18/11 2012
  • 05/11-11/11 2012
  • 29/10-04/11 2012
  • 22/10-28/10 2012
  • 15/10-21/10 2012
  • 08/10-14/10 2012
  • 01/10-07/10 2012
  • 24/09-30/09 2012
  • 17/09-23/09 2012
  • 10/09-16/09 2012
  • 03/09-09/09 2012
  • 27/08-02/09 2012
  • 20/08-26/08 2012
  • 13/08-19/08 2012
  • 06/08-12/08 2012
  • 30/07-05/08 2012
  • 23/07-29/07 2012
  • 16/07-22/07 2012
  • 09/07-15/07 2012
  • 02/07-08/07 2012
  • 25/06-01/07 2012
  • 18/06-24/06 2012
  • 11/06-17/06 2012
  • 04/06-10/06 2012
  • 28/05-03/06 2012
  • 21/05-27/05 2012
  • 30/04-06/05 2012
  • 23/04-29/04 2012
  • 16/04-22/04 2012
  • 09/04-15/04 2012
  • 02/04-08/04 2012
  • 26/03-01/04 2012
  • 12/03-18/03 2012
  • 05/03-11/03 2012
  • 27/02-04/03 2012
  • 20/02-26/02 2012
  • 13/02-19/02 2012
  • 06/02-12/02 2012
  • 30/01-05/02 2012
  • 23/01-29/01 2012
  • 16/01-22/01 2012
  • 09/01-15/01 2012
  • 02/01-08/01 2012
  • 26/12-01/01 2012
  • 12/12-18/12 2011
  • 05/12-11/12 2011
  • 28/11-04/12 2011
  • 14/11-20/11 2011
  • 07/11-13/11 2011
  • 31/10-06/11 2011
  • 24/10-30/10 2011
  • 10/10-16/10 2011
  • 12/09-18/09 2011
  • 05/09-11/09 2011
  • 29/08-04/09 2011
  • 15/08-21/08 2011
  • 04/07-10/07 2011
  • 27/06-03/07 2011
  • 20/06-26/06 2011
  • 13/06-19/06 2011
  • 06/06-12/06 2011
  • 30/05-05/06 2011
  • 16/05-22/05 2011
  • 28/03-03/04 2011
  • 14/02-20/02 2011
  • 24/01-30/01 2011
  • 17/01-23/01 2011
  • 10/01-16/01 2011
  • 03/01-09/01 2011
  • 20/12-26/12 2010
  • 13/12-19/12 2010
  • 06/12-12/12 2010
  • 20/09-26/09 2010
  • 06/09-12/09 2010
  • 23/08-29/08 2010
  • 19/07-25/07 2010
  • 12/07-18/07 2010
  • 05/07-11/07 2010
  • 28/06-04/07 2010
  • 21/06-27/06 2010
  • 14/06-20/06 2010
  • 10/05-16/05 2010
  • 05/04-11/04 2010
  • 29/03-04/04 2010
  • 15/03-21/03 2010
  • 08/03-14/03 2010
  • 15/02-21/02 2010
  • 08/02-14/02 2010
  • 09/11-15/11 2009
  • 02/11-08/11 2009
  • 26/10-01/11 2009
  • 19/10-25/10 2009
  • 05/10-11/10 2009
  • 28/09-04/10 2009
  • 21/09-27/09 2009
  • 07/09-13/09 2009
  • 31/08-06/09 2009
  • 27/07-02/08 2009
  • 20/07-26/07 2009
  • 13/07-19/07 2009
  • 06/07-12/07 2009
  • 29/06-05/07 2009
  • 22/06-28/06 2009
  • 15/06-21/06 2009
  • 01/06-07/06 2009
  • 25/05-31/05 2009
  • 18/05-24/05 2009
  • 11/05-17/05 2009
  • 27/04-03/05 2009
  • 28/11-04/12 -0001

    E-mail mij

    Druk op onderstaande knop om mij te e-mailen.


    Blog als favoriet !

    Zoeken met Google




    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op http://www.bloggen.be - Bloggen.be, eenvoudig, gratis en snel jouw eigen blog!