De cissoïde van Diocles (ca. 200 v. Chr.)

Grieks: κισσóς (kissos) = klimop

De cissoïde is een vlakke kromme die de verzameling (meetkundige plaats) is van punten met een welbepaalde eigenschap.

Cartesiaanse vergelijking van de cissoïde van Diocles:

VERSIE 1

Laat een parabool (groen) glijden zonder schuiven over een tweede parabool (blauw) zoals op de onderstaande figuur.
De top van de glijdende parabool beschrijft dan de cissoïde van Diocles (rood).

Uitwerking: zie bijlage.

VERSIE 2

Beschouw de cirkel met middelpunt M(a,0) en straal a en de raaklijn t aan de cirkel in A(2a, 0).
Een variabele halfrechte door de oorsprong O snijdt de cirkel  in P₁ en de rechte t in P₂.
Neem op [OP₂  het punt P waarbij |OP| = |P₁ P₂|.
Als de halfrechte wentelt rond O, beschrijft het punt P de cissoïde van Diocles.

Uitwerking: zie bijlage.

MEETKUNDE IS WEER HIP!

Bijlagen:
Cissoïde versie 1.pdf (160.9 KB)   
Cissoïde versie 2.pdf (207.4 KB)   

De conchoïde van Nicomedes (ca. 250 v. Chr) - Grieks: κóγχη of Latijn concha betekent schelp.

Een conchoïde is een vlakke kromme die als volgt ontstaat (zie onderstaande figuur).

Teken een lijnstuk [QR], neem een punt O dat niet op dit lijnstuk ligt en een punt C dat er wel op ligt.

Verleng nu [OC] met een stuk [CP] dat een vast gekozen lengte k heeft.

Als C over [QR] beweegt, draait [OP] rond O en beschrijft P een conchoïde.

Men kan de conchoïde gebruiken om een hoek in drie gelijke delen te verdelen (trisectie).

Verbaasd? De verklaring lees je in de bijlage.

Bijlagen:
Trisectie via de conchoïde - verklaring.pdf (191.7 KB)   

De kwadratrix van Hippias van Elis (ca. 452 v. Chr.)

ABCD is een vierkant en het lijnstuk [A'B'] verplaatst zich met een constante snelheid van de positie [DC] naar de positie [AB].
Tegelijk draait het lijnstuk [AD] met een constante snelheid rond het punt A vanaf de positie [AD] naar de positie [AB].
Beide bewegingen starten en eindigen op hetzelfde moment en F is het snijpunt van [A'B'] met het wentelende lijnstuk.
De kromme beschreven door het punt F is de kwadratrix van Hippias.

Als we het assenstelsel kiezen met A(0,0), B(1, 0), C(1, 1) en D(0, 1) en F(x, y)
en als α de hoek is tussen AB en AF, dan is 

en bijgevolg heeft de kwadratrix als vergelijking

Merk op dat deze kromme dan geen snijpunt heeft met de x-as
en dat de limietwaarde van x voor y → 0 gelijk is aan 2/π.

Hoe kan men nu de kwadratrix gebruiken om een scherpe hoek ∠BAE in drie gelijke delen te verdelen?

Als F het snijpunt is van de kwadratrix met AE en als A' de loodrechte projectie is van F op AD,

dan volstaat het om op AA' het punt H te construeren zodat |AH| =  (1/3) ·|AA'|.

Als K het punt is op de kwadratrix waarbij HK evenwijdig is met AB, dan ∠BAK = (1/3 ) · ∠BAE.

Duidelijk?

16-10-2015 om 09:29 geschreven door Luc Gheysens  

Delft Blue - Luc Janus

Dave Berry zong het al 50 jaar geleden (1965) - song geschreven door Ray Davies (The Kinks)

15-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

De spiraal van Archimedes is een vlakke kromme die wordt beschreven door een punt P
dat met een constante snelheid beweegt op een halfrechte met beginpunt O die met een constante snelheid draait rond O.

Wellicht is deze kromme een vondst van Conon van Samos (250 v. Chr), een vriend van Archimedes.

 De poolvergelijking van de spiraal van Archimedes is r = aθ
(r = de voerstraal of de afstand van P tot O, θ =  de rotatiehoek in radialen en a is een constante).

Op de markt van Covent Garden in Londen kocht ik dit klokje dat werkt via de spiraal van Archimedes.

Het is een ontwerp van Robert Darwen en meer info vind je op www.ideasintime.co.uk.

Het klokje duidt hier het tijdstip 6:44 uur aan.

Met behulp van de spiraal van Archimedes kan men de kwadratuur van de cirkel realiseren.

Hierboven staat een cirkel met middelpunt O en straal a afgebeeld en de spiraal met als poolvergelijking r = aq.

Als het punt P bepaald is door de middelpuntshoek q₀, dan is is de lengte van de cirkelboog van A tot P gelijk aan aq₀
en ook de lengte van het lijnstuk [OP] en dan gelijk aan aq₀, want dit is precies de voerstraal van de spiraal voor q = q₀.

Dan zal voor q = p/2 de lengte van [OQ] gelijk zijn aan pa/2 (een kwartcirkel met straal a)
en bijgevolg is de oppervlakte van de cirkel met straal a gelijk aan pa² = 2a·|OQ|.

De zijde z van het vierkant met oppervlakte pa² bekomt men dan door de middelevenredige te construeren van 2a en |OQ|.

Merk op: als r = 2, dan is |OQ|= p.

Gesnapt of toch een beetje verrast?

Archimedes' spiral - Part 2 - Luc Janus

15-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

De spiraal van Archimedes is een vlakke kromme die wordt beschreven door een punt P
dat met een constante snelheid beweegt op een halfrechte met beginpunt O die met een constante snelheid draait rond O.

Wellicht is deze kromme een vondst van Conon van Samos (250 v. Chr), een vriend van Archimedes.

 De poolvergelijking van de spiraal van Archimedes is r = aθ
(r = de voerstraal of de afstand van P tot O, θ =  de rotatiehoek in radialen en a is een constante).

Op de markt van Covent Garden in Londen kocht ik dit klokje dat werkt via de spiraal van Archimedes.

Het is een ontwerp van Robert Darwen en meer info vind je op www.ideasintime.co.uk.

Het klokje duidt hier het tijdstip 9:14 uur aan.

Archimedes gebruikte die spiraal om de driedeling van een hoek uit te voeren.

Stel dat |OP| = aq₀ met q₀ de (te verdelen) hoek tussen de positieve x-as en de halfrechte [OP.
We verdelen eerst het lijnstuk [OP] in drie gelijke delen via de punten P₁ en P₂.
We tekenen daarna de cirkels met middelpunt O en straal |OP₁|en|OP₂|.
Die cirkels snijden de spiraal respectievelijk in de punten Q₁ en Q₂.
Dan verdelen de halfrechten [OQ₁ en [OQ₂ de hoek q₀ in drie gelijke delen.

Gesnapt of toch een beetje verrast?

Archimedes' spiral - Part 1 - Luc Janus

14-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Fibonacci Triangles - Luc Janus

**********************************************************************************************

Wie droomt er als wiskundige niet van om een nieuwe eigenschap van de Fibonaccigetallen te bewijzen?

Het lukte me de voorbije week!

Als F(1) = 1, F(2) = 1, F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) voor n = 3, 4, 5 ... de rij van de Fibnaccigetallen  is,
dan definieer ik een Fibonaccidriehoek als een driehoek
waarvan de coördinaten van elk hoekpunt een paar opeenvolgende Fibonaccigetallen zijn.

Over dit soort driehoeken formuleer ik hier drie eigenschappen.
Eigenschap 2 is een bijzonder geval van eigenschap 3
en eigenschap 1 is dan weer een speciaal geval van eigenschap 2.

Bewijs in bijlage.

Bijlagen:
Fibonaccidriehoeken - bewijs eig 1.pdf (280.5 KB)   
Fibonaccidriehoeken - bewijs eig 2 en eig 3..pdf (774.5 KB)   

NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

*********************************************************************************************************

108

Uno - Luc Janus

*********************************************************************************************************

Het kaartspel UNO wordt gespeeld met 108 kaarten:

19 blauwe, rode, gele en groene kaarten genummerd van 0 tot 9

8 kaarten “+2”, twee van elke kleur

8 kaarten “keer om”, twee van elke kleur

8 kaarten “sla beurt over”, twee van elke kleur

4 kaarten “joker”

4 kaarten “+4”

********************************************************************************************************

Een regelmatige vijfhoek heeft (binnen)hoeken van 108°.

108 is de hyperfactor van 3 omdat 108 = 1¹ x 2² x 3³.

Een Harshadgetal  is dus een geheel getal dat deelbaar is door de som van zijn cijfers.

108 is bijgevolg een Harshadgetal want het is deelbaar door 1 + 0 + 8 = 9.

Het woord harshad komt uit het Sanskriet en betekent 'grote vreugde'

OPGAVE. Kan je nu zelf eens natellen hoeveel Harshadgetallen er liggen tussen 18 en 81?

12-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens