Inhoud blog
  • JAAR VAN DE HAAN 16-12
  • JAAR VAN DE HAAN 15-12
  • JAAR VAN DE HAAN 14-12
  • JAAR VAN DE HAAN 13-12
  • JAAR VAN DE HAAN 12-12
    Zoeken in blog

    Foto
    Noli turbare circulos meos (Archimedes)


    GNOMON
    Wiskunde zie je!
    20-04-2014
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Wiskunde en Coca Cola

    WISKUNDE EN COCA-COLA

    Coca cola graphics

    Toen ik op de middelbare schoolbanken zat, namen we in het vierde jaar deel
    aan een interscholenwedstrijd die door Coca-Cola was georganiseerd.
    Bij de 20 vragen zat er één wiskundevraag waar we toen dagenlang
    met enkele leerlingen op hebben gezocht.
    Gelukkig kwam onze wiskundeleraar ons toen even ter hulp,
    want ongetwijfeld zouden we het antwoord niet zelf hebben gevonden.

    Dit was de vraag:
    Schrijf het getal 0, 857142857142857142...
    (waarbij de periode van 6 cijfers zich eindeloos blijft herhalen)
    in zijn binaire vorm.

    Hoe schrijf je een willekeurig kommagetal tussen 0 en 1 in zijn binaire vorm?

    Antwoord.
    1. Vermenigvuldig het getal  met 2.                                                
    2. Als het cijfer voor de komma (geheel gedeelte) 0 is noteer je 0   
    en je vermenigvuldigt opnieuw met 2.
    3. Als het cijfer voor de komma (geheel gedeelte) 1 is noteer je 1,   
    je trekt dan 1 af van het getal (1 voor de komma weglaten)
    en je vermenigvuldigt het resterende deel opnieuw met 2.
    Ga zo door ...

    Voor het getal 0, 857142857142857142... wordt dit:
    0,857142... x 2 = 1,714285...     > noteer 1
    0,714285... x 2 = 1,428571...    > noteer 1
    0,428571... x 2 = 0,85714... > noteer 0
    en vanaf hier treedt er herhaling op.

    Besluit. De binaire schrijfwijze van 0, 857142857142857142...  is 0,110110110...
    waarbij er na de komma een periode van 3 cijfers volgt.
     
    Coca cola graphics 

    DENKOEFENING
    0, 857142857142857142...  = 857142/999999 = 6/7.
    Kan je aantonen dat het binaire getal 0,110110110... gelijk is aan 6/7?
     
    Coca cola graphics 
    Oplossing in bijlage

    Bijlagen:
    Oplossing Coca-Cola-vraag.doc (93.5 KB)   

    20-04-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    19-04-2014
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Exhaustiemethode

    EXHAUSTIEMETHODE

    De exhaustiemethode (Latijn: exhaurire = uitputten)
    is een methode die de Oude Grieken toepasten
    om de oppervlakte van vlakke gebieden te bepalen.
    Ze verdeelden hierbij de vlakke figuur (veelhoek, paraboolsegment, cirkel ...)
    in figuren waarvan ze de oppervlakte kenden (driehoeken, rechthoeken ...)
    en probeerden de oppervlakte met steeds kleiner wordende figuren op te vullen.

    Deze methode werd in de wiskunde voor het eerst toegepast door Eudoxus (4de eeuw v. Chr.)
    en later met succes overgenomen door Archimedes (3de eeuw v. Chr.)
    die hiermee in feite de basis legde voor de integraalrekening.

    Archimedes slaagde er op die manier in de kwadratuur van een paraboolsegment op te lossen.
    Hij toonde namelijk aan dat de oppervlakte van een paraboolsegment
    bepaald door de koorde [AB] gelijk is aan (4/3). (opp. Δ ABC),
    waarbij C het snijpunt is van de parabool met de rechte door het midden M van [AB]
    die evenwijdig is met de as van de parabool.

    Op de onderstaande figuur zie je hoe hij hiervoor te werk ging.
    Op een ingenieuze manier slaagde hij erin aan te tonen dat
    opp. Δ ACD + opp. Δ BCE = (opp. Δ ABC)/4.
    Door het parboolsegment telkens via eenzelfde procédé verder op te vullen met driehoeken
    bepaalde hij uiteindelijk de oppervlakte ervan.


     Kan je deze vondst van Archimedes bewijzen in een bijzonder geval (zie bijlage).
    Je bent uitgedaagd!

    Foto

    In bijlage (onderaan deze pagina aanklikken) zit een artikel over Archimedes uit het tijdschrift Pythagoras.
    Zeker de moeit waard om eens te lezen!


    Bijlagen:
    Archimedes - artikel uit tijdschrift Pythagoras.pdf (229.3 KB)   
    Opgave integraalrekenen.pdf (76.7 KB)   

    19-04-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    18-04-2014
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Inhoud van een prismoïde

    INHOUD VAN EEN PRISMOÏDE

    Een prismoïde is een convex veelvlak (ruimtelijke figuur)
    waarvan de hoekpunten in twee evenwijdige vlakken (grondvlak en bovenvlak) liggen.
    De afstand tussen de twee evenwijdige vlakken noemt men de hoogte van de prismoïde.

    Hieronder staat ëen prismoïde afgebeeld waarbij ook het middenvlak is getekend.

    prismoide.gif (11822 bytes)
    In een Egyptische papyrus die dateert van ongeveer 1890 v. Chr.
    duikt voor het eerst een merkwaardige formule op voor het volume V van een prismoïde:

    G = oppervlakte grondvlak, M = oppervlakte middenvlak, B = oppervlakte bovenvlak, h = hoogte.

    Het was de Engelse wiskundige Thomas Simpson die in 1743 de formule in het algemeen bewees m.b.v. een bepaalde integraal.
    Hiermee veralgemeende Simpson zijn gekende formule uit de numerieke integratie
    om de oppervlakte van een vlak gebied bij benadering te berekenen:

     int_{a}^{b} f(x) , dx approx frac{b-a}{6}left[f(a) + 4fleft(frac{a+b}{2}right)+f(b)right].

    Uitleg over de prismoïde vind je o.a. op http://www.pandd.nl/stereo/prismoide.htm

    homer_simpson

    In de bijlage 'reconstrueren' we de formule van Simpson voor de inhoud van een prismoïde.

    Bijlagen:
    FORMULE VAN SIMPSON VOOR DE INHOUD VAN EEN PRISMOÏDE.pdf (174.5 KB)   

    18-04-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    17-04-2014
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Probleem van de week nr. 5



    Planet Gear (gif 1.6 MB) 

    PROBLEEM 5

    Bepaal drie verschillende getallen a, b en c als je weet dat                  
    1) a, b en c drie opeenvolgende termen zijn van een rekenkundige rij;
    2) b, a en c drie opeenvolgende termen zijn van een meetkundige rij; 
    3) het product abc gelijk is aan 1000.                                                    

    Cog wheels moving in the head for a brain thinking

    UITVINDING 5

    Reeds rond 1850 vond een aantal mensen het bezoek aan een kapper een vervelende zaak:
    tijdverlies, een dure aangelegenheid en de kans dat het haar veel te kort werd geknipt.
    Daarom bedacht men deze mechanische haarknipper.
    Het volstond de kammen op de juiste positie in te stellen
    en dan het toestel even over het haar heen te bewegen
    om zo een gepaste snelle knipbeurt uit te voeren.

    Bijlagen:
    COSMOSPROBLEEM 5_oplossing.pdf (153.8 KB)   

    17-04-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    16-04-2014
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Oneven kwadraten

    ONEVEN KWADRATEN

    1, 9, 25, 49, 81 ...

    Deze rij bestaat uit de kwadraten van de oneven natuurlijke getallen.

    Merk op dat het verschil tussen twee opeenvolgende getallen steeds een achtvoud is.

    Hoe is de n-de term van deze rij bepaald?

    Expliciet voorschrift:  tn = (2n  1)².

    Recursief voorschrift: tn = tn-1 + 8(n  1) met t1 = 1.

    Op de onderstaande figuur zie je een bewijs zonder woorden voor deze recursieve formule.

    odd squares larger version

    Gezien?

    Bill Domonkos 5


    16-04-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    15-04-2014
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Symbolentaal

    happy young students in park Stock Photo - 6222195

    Door het inkrimpen van het aantal uren wiskunde
    maken studenten in het secundair onderwijs jaar niet echt meer kennis met de wiskundige symbolentaal.
    Verzamelingenleer en kwantoren komt niet meer voor als verplichte items in de leerplannen,
    relaties en bepaalde functiebegrippen (injectie, surjectie, bijectie, permutatie) zijn geen gekende begrippen meer,
    het sommatieteken wordt pas in de hoogste jaren ingevoerd,
    een bewijs door volledige inductie komt pas sporadisch even aan bod ...

    DOSSIER 1. SYMBOLENTAAL
    zit in bijlage en is een hulpmiddel dat we je graag aanreiken
    om studenten vanaf het vierde jaar van het secundair onderwijs 
    wat bijkomende wiskundige impulsen te bezorgen.

    Bijlagen:
    Dossier 1 Symbolentaal.pdf (569.5 KB)   

    15-04-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    14-04-2014
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Logica




    Door het inkrimpen van het aantal uren wiskunde
    maken studenten in het secundair onderwijs jaar niet echt meer kennis met (propositie)logica.
    Nochtans vormt dit de basis voor het correct wiskundig redeneren.
    Weet men nog wat een bewijs uit het ongerijmde is,
    een bewijs door contrapositie,
    een nodige en/of een voldoende voorwaarde ... ?

    DOSSIER 2. LOGICA
    zit in bijlage en is een hulpmiddel dat we je graag aanreiken
    om studenten vanaf het vierde jaar van het secundair onderwijs 
    wat bijkomende wiskundige impulsen te bezorgen.

    Bijlagen:
    Dossier 2 Propositielogica.pdf (441 KB)   

    14-04-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)


    Archief per week
  • 11/12-17/12 2017
  • 04/12-10/12 2017
  • 27/11-03/12 2017
  • 20/11-26/11 2017
  • 13/11-19/11 2017
  • 06/11-12/11 2017
  • 30/10-05/11 2017
  • 23/10-29/10 2017
  • 16/10-22/10 2017
  • 09/10-15/10 2017
  • 02/10-08/10 2017
  • 25/09-01/10 2017
  • 18/09-24/09 2017
  • 11/09-17/09 2017
  • 04/09-10/09 2017
  • 28/08-03/09 2017
  • 21/08-27/08 2017
  • 14/08-20/08 2017
  • 07/08-13/08 2017
  • 31/07-06/08 2017
  • 24/07-30/07 2017
  • 17/07-23/07 2017
  • 10/07-16/07 2017
  • 03/07-09/07 2017
  • 26/06-02/07 2017
  • 19/06-25/06 2017
  • 12/06-18/06 2017
  • 05/06-11/06 2017
  • 29/05-04/06 2017
  • 22/05-28/05 2017
  • 15/05-21/05 2017
  • 08/05-14/05 2017
  • 01/05-07/05 2017
  • 24/04-30/04 2017
  • 17/04-23/04 2017
  • 10/04-16/04 2017
  • 03/04-09/04 2017
  • 27/03-02/04 2017
  • 20/03-26/03 2017
  • 13/03-19/03 2017
  • 06/03-12/03 2017
  • 27/02-05/03 2017
  • 20/02-26/02 2017
  • 13/02-19/02 2017
  • 06/02-12/02 2017
  • 30/01-05/02 2017
  • 23/01-29/01 2017
  • 16/01-22/01 2017
  • 09/01-15/01 2017
  • 02/01-08/01 2017
  • 25/12-31/12 2017
  • 19/12-25/12 2016
  • 12/12-18/12 2016
  • 05/12-11/12 2016
  • 28/11-04/12 2016
  • 21/11-27/11 2016
  • 14/11-20/11 2016
  • 07/11-13/11 2016
  • 31/10-06/11 2016
  • 24/10-30/10 2016
  • 17/10-23/10 2016
  • 10/10-16/10 2016
  • 03/10-09/10 2016
  • 26/09-02/10 2016
  • 19/09-25/09 2016
  • 12/09-18/09 2016
  • 05/09-11/09 2016
  • 29/08-04/09 2016
  • 22/08-28/08 2016
  • 15/08-21/08 2016
  • 08/08-14/08 2016
  • 01/08-07/08 2016
  • 25/07-31/07 2016
  • 18/07-24/07 2016
  • 11/07-17/07 2016
  • 04/07-10/07 2016
  • 27/06-03/07 2016
  • 20/06-26/06 2016
  • 13/06-19/06 2016
  • 06/06-12/06 2016
  • 30/05-05/06 2016
  • 23/05-29/05 2016
  • 16/05-22/05 2016
  • 09/05-15/05 2016
  • 02/05-08/05 2016
  • 25/04-01/05 2016
  • 18/04-24/04 2016
  • 11/04-17/04 2016
  • 04/04-10/04 2016
  • 28/03-03/04 2016
  • 21/03-27/03 2016
  • 14/03-20/03 2016
  • 07/03-13/03 2016
  • 29/02-06/03 2016
  • 22/02-28/02 2016
  • 15/02-21/02 2016
  • 08/02-14/02 2016
  • 01/02-07/02 2016
  • 25/01-31/01 2016
  • 18/01-24/01 2016
  • 11/01-17/01 2016
  • 04/01-10/01 2016
  • 28/12-03/01 2021
  • 21/12-27/12 2015
  • 14/12-20/12 2015
  • 07/12-13/12 2015
  • 30/11-06/12 2015
  • 23/11-29/11 2015
  • 16/11-22/11 2015
  • 09/11-15/11 2015
  • 02/11-08/11 2015
  • 26/10-01/11 2015
  • 19/10-25/10 2015
  • 12/10-18/10 2015
  • 05/10-11/10 2015
  • 28/09-04/10 2015
  • 21/09-27/09 2015
  • 14/09-20/09 2015
  • 07/09-13/09 2015
  • 31/08-06/09 2015
  • 24/08-30/08 2015
  • 17/08-23/08 2015
  • 10/08-16/08 2015
  • 03/08-09/08 2015
  • 27/07-02/08 2015
  • 20/07-26/07 2015
  • 13/07-19/07 2015
  • 06/07-12/07 2015
  • 29/06-05/07 2015
  • 22/06-28/06 2015
  • 15/06-21/06 2015
  • 08/06-14/06 2015
  • 01/06-07/06 2015
  • 25/05-31/05 2015
  • 18/05-24/05 2015
  • 11/05-17/05 2015
  • 04/05-10/05 2015
  • 27/04-03/05 2015
  • 20/04-26/04 2015
  • 13/04-19/04 2015
  • 06/04-12/04 2015
  • 30/03-05/04 2015
  • 23/03-29/03 2015
  • 16/03-22/03 2015
  • 09/03-15/03 2015
  • 02/03-08/03 2015
  • 23/02-01/03 2015
  • 16/02-22/02 2015
  • 09/02-15/02 2015
  • 02/02-08/02 2015
  • 26/01-01/02 2015
  • 19/01-25/01 2015
  • 12/01-18/01 2015
  • 05/01-11/01 2015
  • 29/12-04/01 2015
  • 22/12-28/12 2014
  • 15/12-21/12 2014
  • 08/12-14/12 2014
  • 01/12-07/12 2014
  • 24/11-30/11 2014
  • 17/11-23/11 2014
  • 10/11-16/11 2014
  • 03/11-09/11 2014
  • 27/10-02/11 2014
  • 20/10-26/10 2014
  • 13/10-19/10 2014
  • 06/10-12/10 2014
  • 29/09-05/10 2014
  • 22/09-28/09 2014
  • 15/09-21/09 2014
  • 08/09-14/09 2014
  • 01/09-07/09 2014
  • 25/08-31/08 2014
  • 18/08-24/08 2014
  • 04/08-10/08 2014
  • 21/07-27/07 2014
  • 07/07-13/07 2014
  • 30/06-06/07 2014
  • 16/06-22/06 2014
  • 09/06-15/06 2014
  • 28/04-04/05 2014
  • 21/04-27/04 2014
  • 14/04-20/04 2014
  • 07/04-13/04 2014
  • 31/03-06/04 2014
  • 24/03-30/03 2014
  • 17/03-23/03 2014
  • 10/03-16/03 2014
  • 03/03-09/03 2014
  • 24/02-02/03 2014
  • 17/02-23/02 2014
  • 10/02-16/02 2014
  • 03/02-09/02 2014
  • 27/01-02/02 2014
  • 20/01-26/01 2014
  • 13/01-19/01 2014
  • 06/01-12/01 2014
  • 30/12-05/01 2014
  • 23/12-29/12 2013
  • 16/12-22/12 2013
  • 09/12-15/12 2013
  • 02/12-08/12 2013
  • 25/11-01/12 2013
  • 18/11-24/11 2013
  • 11/11-17/11 2013
  • 04/11-10/11 2013
  • 28/10-03/11 2013
  • 21/10-27/10 2013
  • 14/10-20/10 2013
  • 07/10-13/10 2013
  • 30/09-06/10 2013
  • 23/09-29/09 2013
  • 16/09-22/09 2013
  • 09/09-15/09 2013
  • 02/09-08/09 2013
  • 26/08-01/09 2013
  • 19/08-25/08 2013
  • 12/08-18/08 2013
  • 05/08-11/08 2013
  • 29/07-04/08 2013
  • 22/07-28/07 2013
  • 15/07-21/07 2013
  • 08/07-14/07 2013
  • 01/07-07/07 2013
  • 24/06-30/06 2013
  • 17/06-23/06 2013
  • 10/06-16/06 2013
  • 03/06-09/06 2013
  • 27/05-02/06 2013
  • 20/05-26/05 2013
  • 13/05-19/05 2013
  • 06/05-12/05 2013
  • 29/04-05/05 2013
  • 22/04-28/04 2013
  • 15/04-21/04 2013
  • 08/04-14/04 2013
  • 01/04-07/04 2013
  • 25/03-31/03 2013
  • 18/03-24/03 2013
  • 11/03-17/03 2013
  • 04/03-10/03 2013
  • 25/02-03/03 2013
  • 18/02-24/02 2013
  • 11/02-17/02 2013
  • 04/02-10/02 2013
  • 28/01-03/02 2013
  • 21/01-27/01 2013
  • 07/01-13/01 2013
  • 31/12-06/01 2013
  • 24/12-30/12 2012
  • 17/12-23/12 2012
  • 10/12-16/12 2012
  • 03/12-09/12 2012
  • 26/11-02/12 2012
  • 19/11-25/11 2012
  • 12/11-18/11 2012
  • 05/11-11/11 2012
  • 29/10-04/11 2012
  • 22/10-28/10 2012
  • 15/10-21/10 2012
  • 08/10-14/10 2012
  • 01/10-07/10 2012
  • 24/09-30/09 2012
  • 17/09-23/09 2012
  • 10/09-16/09 2012
  • 03/09-09/09 2012
  • 27/08-02/09 2012
  • 20/08-26/08 2012
  • 13/08-19/08 2012
  • 06/08-12/08 2012
  • 30/07-05/08 2012
  • 23/07-29/07 2012
  • 16/07-22/07 2012
  • 09/07-15/07 2012
  • 02/07-08/07 2012
  • 25/06-01/07 2012
  • 18/06-24/06 2012
  • 11/06-17/06 2012
  • 04/06-10/06 2012
  • 28/05-03/06 2012
  • 21/05-27/05 2012
  • 30/04-06/05 2012
  • 23/04-29/04 2012
  • 16/04-22/04 2012
  • 09/04-15/04 2012
  • 02/04-08/04 2012
  • 26/03-01/04 2012
  • 12/03-18/03 2012
  • 05/03-11/03 2012
  • 27/02-04/03 2012
  • 20/02-26/02 2012
  • 13/02-19/02 2012
  • 06/02-12/02 2012
  • 30/01-05/02 2012
  • 23/01-29/01 2012
  • 16/01-22/01 2012
  • 09/01-15/01 2012
  • 02/01-08/01 2012
  • 26/12-01/01 2012
  • 12/12-18/12 2011
  • 05/12-11/12 2011
  • 28/11-04/12 2011
  • 14/11-20/11 2011
  • 07/11-13/11 2011
  • 31/10-06/11 2011
  • 24/10-30/10 2011
  • 10/10-16/10 2011
  • 12/09-18/09 2011
  • 05/09-11/09 2011
  • 29/08-04/09 2011
  • 15/08-21/08 2011
  • 04/07-10/07 2011
  • 27/06-03/07 2011
  • 20/06-26/06 2011
  • 13/06-19/06 2011
  • 06/06-12/06 2011
  • 30/05-05/06 2011
  • 16/05-22/05 2011
  • 28/03-03/04 2011
  • 14/02-20/02 2011
  • 24/01-30/01 2011
  • 17/01-23/01 2011
  • 10/01-16/01 2011
  • 03/01-09/01 2011
  • 20/12-26/12 2010
  • 13/12-19/12 2010
  • 06/12-12/12 2010
  • 20/09-26/09 2010
  • 06/09-12/09 2010
  • 23/08-29/08 2010
  • 19/07-25/07 2010
  • 12/07-18/07 2010
  • 05/07-11/07 2010
  • 28/06-04/07 2010
  • 21/06-27/06 2010
  • 14/06-20/06 2010
  • 10/05-16/05 2010
  • 05/04-11/04 2010
  • 29/03-04/04 2010
  • 15/03-21/03 2010
  • 08/03-14/03 2010
  • 15/02-21/02 2010
  • 08/02-14/02 2010
  • 09/11-15/11 2009
  • 02/11-08/11 2009
  • 26/10-01/11 2009
  • 19/10-25/10 2009
  • 05/10-11/10 2009
  • 28/09-04/10 2009
  • 21/09-27/09 2009
  • 07/09-13/09 2009
  • 31/08-06/09 2009
  • 27/07-02/08 2009
  • 20/07-26/07 2009
  • 13/07-19/07 2009
  • 06/07-12/07 2009
  • 29/06-05/07 2009
  • 22/06-28/06 2009
  • 15/06-21/06 2009
  • 01/06-07/06 2009
  • 25/05-31/05 2009
  • 18/05-24/05 2009
  • 11/05-17/05 2009
  • 27/04-03/05 2009

    E-mail mij

    Druk op onderstaande knop om mij te e-mailen.


    Blog als favoriet !

    Zoeken met Google




    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op https://www.bloggen.be - Bloggen.be, eenvoudig, gratis en snel jouw eigen blog!