Een knappe studente uit Merksplas was de primus van haar klas. Ze maakte echter groot misbaar toen bleek dat haar wiskundeleraar slechts een optische illusie was.
Als wiskundige zal je bijna per definitie geïntrigeerd zijn door optische illusies.Wellicht is dit te verklaren door het feit dat je hier vaak met 'onverklaarbare' fenomenen te maken hebt en dat je beseft dat wat je ziet niet altijd de realiteit is.
Een paar voorbeelden :
1 Hieronder zie je twee foto's van president Barack Obama. Wanneer de foto's op hun kop staan blijken ze haast identiek te zijn. Wanneer ze echter rechtop komen te staan, krijg je een heel ander beeld.
2 Wanneer je het onderstaande ronddraaiende rooster aandachtig bekijkt, lijkt het plots te bestaan uit deelroosters die onafhankelijk van elkaar aan het draaien zijn. Concentreer je hiervoor op één van de hoeken van het rooster. (Illusie ontdekt door David O'Reilly).
3 Kijk gedurende ongeveer 30 seconden geconcentreerd naar de zwarte stip midden op de piramide. Plots verandert de tekening in een echte foto van een piramide. Alhoewel het hier om een zwart-wit foto gaat, zal je blijkbaar toch een kleurenfoto zien.
4 Hieronder zie je een groep ventjes. Tel het aantal figuurtjes. Na ongeveer 15 seconden worden de twee bovenste helften van het plaatje van plaats gewisseld. Tel dan opnieuw het aantal ventjes. Wat valt er op? Heb je hiervoor een verklaring?
Je kunt van meer dan honderd pagina's optisch plezier genieten op de weblog van Vurdlak: http://www.moillusions.com
En dan is er natuurlijk nog het paradijs met optische illusies van Prof. Dr. Michael Bach. Klik op één van de figuurtjes voor meer informatie. Bron: http://www.michaelbach.de
Een toemaatje: klik op het icoontje hiernaast. Bekijk gedurende ongeveer 30 seconden aandachtig de draaiende spiraal. Bekijk dan jouw hand die de computermuis vasthoudt. Als je iets 'abnormaals' ziet, dan is dit het bewijs dat er met jou niets 'aan de hand' is.
Tip voor een uitstap: het Gents Illuseum, het museum voor gezichtsbedrog en illusies. www.illuseum.be
Zie jij onmiddellijk welk van de vier genummerde figuurtjes uit het onderste vakje op de plaats van het vraagteken komt?
En zie je ook welk getal hierboven op de plaats van het vraagteken komt?
Dan moet je zeker eens de twee IQ-testen afleggen die Eric van Kampen voor jou op http://www.iq-tester.nl/testen.htm heeft geplaatst. Beide testen zijn gericht op mathematisch en ruimtelijk inzicht (logisch-mathematische intelligentie en visueel ruimtelijke intelligentie). Het is de bedoeling dat je in 18 minuten 25 vragen zo goed mogelijk beantwoordt. Je krijgt daarna feedback en zo kan je jouw IQ-positie bepalen t.o.v. het gemiddelde.
IQ en statistiek
Wanneer we de IQ's van een aselecte proefgroep uittekenen als een frequentieverdeling, krijgen we een vrij goede benadering van de Gausscurve of normaalverdeling (zie onderstaande figuur).
Op de horizontale as staan de IQ-scores. Bij een degelijke IQ-test zal men ervoor zorgen dat de gemiddelde testscore gelijk is aan 100 en dat de standaardafwijking (= de gemiddelde afwijking t.o.v. het gemiddelde) gelijk is aan 15.
Op de verticale as staan de overeenkomstige percentages (deel van de bevolking met een bepaald IQ).
Doordat de normaalverdeling symmetrisch is, wil dit zeggen dat 50% van de mensen een IQ hebben dat kleiner of gelijk is aan 100. Ongeveer 84% mensen hebben een IQ kleiner of gelijk aan 115. Slechts 2,5% heeft een IQ hoger dan 130. Ongeveer 68% van de bevolking heeft een IQ tussen 85 en 115.
Traditioneel worden een aantal categorieën onderscheiden. Aan het ene eind van de verdeling vinden we de groep van de minstbegaafden, dit zijn de personen met een IQ van minder dan 70 (ongeveer 2,5% van de bevolking). Binnen deze groep maakt men soms het onderscheid tussen idioten (IQ < 30), imbecielen (IQ tussen 30 en 50), debielen (IQ tussen 50 en 70). Naast deze groep van minstbegaafden onderscheiden we nog de minderbegaafden (70-85), de gemiddeld (85-115) en meerbegaafden (115-130) en de hoogbegaafden (> 130).
Gebruik de cijfers van 1 tot en met 9 elk één keer en zorg ervoor dat de bewerkingen horizontaal en verticaal kloppen. Denk aan de volgorde van de bewerkingen: vermenigvuldigen en delen (aangeduid met /) hebben voorrang op optellen en aftrekken!
Puzzel 2 (Number Block)
Vul in de lege vakjes cijfers van 0 tot en met 9 in. Eenzelfde cijfer mag je meer dan één keer gebruiken. Door de cijfers per rij, per kolom en volgens de twee diagonalen op te tellen moet je telkens de aangeduide som bekomen.
De oplossingen van puzzel 1 en puzzel 2 zitten in bijlage.
Liefhebbers van woordzoekers komen ongetwijfeld aan hun trekken met de wiskundequizwoordzoeker in bijlage, die we met toestemming van de redactie van Puzzelland publiceren.
Volgens Wikipedia zijn Sangaku of San Gaku (算額; lett. wiskundige tablet) Japanse puzzels die in kleur op houten tafels werden geschilderd gedurende de zogenaamde Edoperiode (1603-1867).
Die tafels werden dan op het terrein van tempels en Shinto-kapellen opgehangen als offers aan de goden of als uitdagingen voor de leden van de congregatie. Men kan sangaku dus beschouwen als 'stellingen zonder woorden' uit de vlakke euclidische meetkunde. Het bewijs ervan werd meestal niet gegeven. Veel van de tafels gingen verloren gedurende de periode van modernisering na de Edoperiode, maar men kent er nu ongeveer negenhonderd die hebben overleefd.
Op de website http://www.wasan.jp/english/ staat een kaart van Japan met de voornaamste vindplaatsen van sangaku.
Een typisch probleem, gepresenteerd op een tafel uit 1824 in de prefectuur Gunma, gaat over de relatie tussen drie elkaar rakende cirkels met een gemeenschappelijke raaklijn (zie figuur bovenaan deze pagina).
Als de stralen van de twee buitenste cirkels resp. r2 en r3 zijn en de straal van de middelste kleine cirkel r1 dan is het te bewijzen dat
Voor wie op zoek is naar een bewijs hiervan, verwijzen we naar de bijlage.
Op het internet kan men een groot aantal van deze mooie en uitdagende sangaku vinden, maar het bewijs ervan vraagt vaak heel wat parate kennis van vlakke euclidische meetkunde.
Het Nederlands tijdschrift Pythagoras besteedde de voorbije jaren bijzondere aandacht aan sangaku en via hun webshop (www.pythagoras.nu) kan je een mooie sangakuposter (zie bijlage) aankopen.
Heb je al ooit op een vrijdag de 13de een zwarte kat onder een ladder zien doorlopen?
Triskaidekafobie
is een specifieke fobie voor het getal 13. De naam is afkomstig van het Griekse triskaideka (dertien) en fobos (angst). Het getal 13 staat in bepaalde vormen van bijgeloof te boek als een ongeluksgetal.
In een aantal passagiersvliegtuigen is er geen rij met nummer 13 en in de Verenigde Staten tref je zelfs wolkenkrabbers aan zonder 13de verdieping! Een aantal mensen nemen op vrijdag de 13de steeds verlof om zo zonder risico thuis te kunnen blijven. Bij racewedstrijden van formule 1 wil men geen startnummer 13 gebruiken.
En dan was er ook nog de mislukte ruimtemissie van Apollo XIII, met een reis naar de maan maar zonder maanlanding. Twee dagen na de lancering op 11 april 1970, terwijl het ruimteschip zich tussen de aarde en de maan bevond, ontplofte een zuurstoftank waardoor de bemanning feitelijk schipbreuk leed in de ruimte. De bemanning sprak de historische woorden: "Houston, we have a problem". Gelukkig liep dit avontuur uiteindelijk nog goed af voor de drie bemanningsleden Jim Lovell, Jack Swigert en Fred Haise.
Er zijn verschillende mogelijke verklaringen voor het bijgeloof in het getal dertien en voor vrijdag de dertiende.
Op vrijdag 13 oktober 1307 werden in Frankrijk alle Tempeliers op bevel van Philips de Schone werden gearresteerd, op grond van valse beschuldigingen. Dit betekende meteen de opheffing van de Orde van de Tempeliers.
Op het Laatste Avondmaal zaten er 13 mannen aan tafel: één ervan, nl Judas Iskariot zou Jezus verraden.
Er is een oud vooroordeel tegenover vrouwen, die 13 maanperiodes (menstruaties) per jaar doormaken.
De naam van de beruchte misdadiger Jack the Ripper telt 13 letters.
In een heksenkring zaten 13 heksen.
13 is een priemgetal.
De mafste fobie is ongetwijfeld de hippopotomonstrosesquippedaliofobie. Sesquipedalofobie is de ziekelijke, irrationale angst voor het lezen of uitspreken van lange woorden. Het woord is afgeleid van het Latijnse sesquipedalis (lang, omslachtig, veellettergrepig, letterlijk: anderhalve voet lang) en het Griekse fobos (angst). In de loop der tijd is voor hetzelfde begrip het woord hippopotomonstrosesquip(p)edaliofobie ontstaan. De uitbreidingen zijn gebaseerd op de woorden hippopotamos (Grieks: nijlpaard) en monstrum (Latijn: gedrocht).
Er zijn heel wat mensen (ook wiskundigen!) die erg bijgelovig zijn. Dit verklaart ongetwijfeld het succes van horoscopen in diverse dag- en weekbladen. Je kan hieronder je eigen daghoroscoop opvragen door op jouw sterrenbeeld te klikken.
Door de eeuwen heen kende ook de numerologie heel wat bijval. Getallensymboliek is het toekennen van betekenis aan getallen, die die getallen niet zeer vanzelfsprekend hebben. Vaak gaat het om getallen die bepaalde wiskundige eigenschappen bezitten.
Numerologie en op numerologie gebaseerde voorspelling waren reeds populair onder vroege wiskundigen zoals Pythagoras, al wordt het door huidige mathematici niet langer beschouwd als deel uitmakend van de wiskunde maar eerder als pseudo-wetenschap. Een gelijkaardige historisch geëvolueerde waardering zien we eveneens bij astrologie - astronomie en alchemie - chemie. Tegenwoordig wordt numerologie net zoals astrologie vaak geassocieerd met de occulte praktijk van voorspelling. (Bron: Wikipedia).
Een voorbeeld van deze getallensymboliek is de berekening van jouw persoonlijk geboortecijfer. Voor een persoon die bijvoorbeeld op 27 december 1961 (27/12/1961) geboren is, verloopt de berekening als volgt: - tel eerst alle cijfers van de geboortedatum bij elkaar op: 2 + 7 + 1 + 2 + 1 + 9 + 6 + 1 = 29; - tel van deze som weer de cijfers bij elkaar op en herhaal dit tot je uiteindelijk nog één cijfer overhoudt: 2 + 9 = 11 en 1 + 1 = 2. Voor deze persoon is 2 dus het geboortecijfer.
Bonaventura Cavalieri (1598-1647) ontdekte in de 17de eeuw een principe dat aan de basis zou liggen van de integraalrekening.
Principe van Cavalieri: Als twee lichamen bovenaan en onderaan begrensd zijn door door evenwijdige vlakken en indien de dwarsdoorsneden van beide lichamen, evenwijdig met deze vlakken, op dezelfde hoogte dezelfde oppervlakte hebben, dan hebben beide lichamen hetzelfde volume.
Dit betekent bijvoorbeeld dat de twee even hoge stapels muntjes op de bovenstaande foto hetzelfde volume hebben.
Toepassing. Via het principe van Cavalieri stellen we de formule op voor de inhoud van een bol aan de hand van de formules voor de inhoud van een cilinder en een kegel.
Op de bovenstaande figuur zie je links een cilinder, waarvan de straal van het grondvlak en de hoogte gelijk zijn aan r. Hieruit is een kegel geboord, waarvan de straal van het grondvlak en de hoogte eveneens gelijk zijn aan r. De ring op hoogte y heeft dan als oppervlakte A1(y) = πr 2 - πy 2.
Rechts is een bol afgebeeld met straal r. Beschouw nu de cirkel op hoogte y gerekend vanaf het evenaarsvlak. De straal r' van deze cirkel kan men direct bepalen via de stelling van Pythagoras: r' 2 + y 2 = r 2 , m.a.w. r' = √(r 2 - y 2). De oppervlakte van deze cirkel is dan A2(y) = π(r 2 - y 2).
Hieruit blijkt dat A1(y) = A2(y), zodat we het principe van Cavalieri kunnen toepassen op de cilinder waaruit een kegel is geboord en de halve bol. Het volume van het linkse lichaam is het verschil van een cilinder en een kegel of π.r 2.r - (1/3).π. r 2.r = (2/3) π. r 3. Dit is dan gelijk aan het volume van een halve bol en bijgevolg is het volume van een bol met straal r gelijk aan (4/3). π . r 3.
De luchtfoto's van Yann Arthus-Bertrand zullen ongetwijfeld niet enkel wiskundigen imponeren. De regelmaat in de patronen, de compositie van de elementen en de kleurschakeringen zorgen immers voor een mathematisch-esthetische ervaring.
De grootste aangeplante doolhof ter wereld bevindt zich in Reignac-sur-Indre (Frankrijk).
Tulpenvelden in de omgeving van Amsterdam.
Het Atomium, een ontwerp van architect André Waterkeyn stelt een kubische ijzerkristalstructuur voor, 165 miljard keer vergroot. De negen bollen symboliseren de 9 (ondertussen 10) Belgische provincies. In het novembernummer van 2009 van het wetenschappelijk tijdschrift EOS verscheen een opmerkelijk artikel over het Atomium. Na de restauratie van 2006-2008 heeft ons nationaal monument immers een SCHEVE BOL. Je kan het artikel lezen in bijlage.
Als een wiskundeleraar van zijn leerlingen een beetje creatieve aanpak bij het oplossen van problemen verwacht, dan is parate kennis onontbeerlijk. Voor mijn studenten die in het vijfde jaar aso een studierichting met 6 wekelijkse lestijden volgen, heb ik daarom een instapformularium opgesteld. Je vindt het in bijlage.
De zeef van Eratosthenes met de priemgetallen kleiner dan 120
Vier wetenswaardigheden over priemgetallen.
1 Wat zijn priemgetallen? Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priegetallen zijn dus 2, 3, 5, 7, 11, .... De naam priemgetal is afgeleid van het Latijnse woord 'primus', wat eerste of primair betekent. Priemgetallen kan men immers de atomen van de getallenleer noemen omdat elk natuurlijk getal groter dan 1 ofwel zelf een priemgetal is, ofwel op een unieke manier te schrijven is als een product van priemgetallen. Zo is bv. 180 = 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 22 . 32 . 5 en 2009 = 7 . 7 . 41 = 72 . 41. Men zegt dan dat 7 en 41 priemdelers zijn van 2009.
2 Zijn er oneindig veel priemgetallen? Ja! Dit is reeds in de 3de eeuw v. Chr. bewezen door Euclides. Hij gebruikte hiervoor een bewijs uit het ongerijmde. Veronderstel immers dat het aantal priemgetallen eindig is en dat p het grootste priemgetal is. We maken dan het product van al deze priemgetallen en tellen er 1 bij op. Zo bekomen we het getal N = (2 . 3 . 5 . 7 ... p) + 1. Nu zijn twee mogelijkheden: - ofwel is dit een priemgetal. Maar dan hebben we meteen een contradictie met het feit dat p het grootste priemgetal zou zijn, m.a.w. we er bestaat toch een priemgetal N dat groter is dan p; - ofwel is N zelf geen priemgetal. Maar dan heeft N een priemdeler p', die groter moet zijn dan p, want als we N delen door alle priemgetallen van 2 tot en met p is de rest telkens 1. Bijgevolg bestaat er een priemgetal p' groter dan p, wat opnieuw in contradictie is met de veronderstelling dat p het grootste priemgetal is.
In het tijdschrift American Mathematical Monthly van december 2006 publiceerde Filip Saidak, een Slovaakse wiskundige een verrassend eenvoudig nieuw bewijs van de stelling dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Zijn bewijs luidt als volgt. Stel n is een geheel getal groter dan 1. De getallen n en n + 1 verschillen slechts 1 en hebben dus geen gemeenschappelijke priemfactoren. Dat betekent dat het getal N2 = n(n + 1) ten minste twee verschillende priemfactoren heeft. Voor de getallen N2 en N2 + 1 geldt hetzelfde: zij verschillen slechts 1 en moeten dus ten minste twee verschillende priemfactoren hebben. Het getal N3 = N2( N2 + 1) = n(n + 1)[ n(n + 1) + 1] heeft dus minimaal drie verschillende priemfactoren. Dit proces kan eindeloos worden voortgezet: het getal Nk heeft ten minste k priemfactoren. Omdat dit voor elk positief geheel getal k geldt, kan de rij priemgetallen nooit ophouden.
Filip Saidak
3 Bestaat er een algemene formule voor alle priemgetallen? Wellicht niet, maar dit is een open probleem. Leonard Euler merkte op dat p(n) = n² + n + 41 voor de waarden n = 0, 1, 2 ... tot en met 39 een priemgetal oplevert. Dit is niet meer waar voor n = 40 want p(40) = 40² + 40 + 41 = 1681 = 41² .
In de derde eeuw v. Chr. ontwikkelde de Griekse wiskundige Eratosthenes een algoritme waarmee hij een lijst van de priemgetallen kon opstellen. Deze methode staat bekend als de zeef van Eratosthenes. De werkwijze wordt geïllustreerd bovenaan deze pagina. Als men de natuurlijke getallen rangschikt in rijen van 6 (zoals op de onderstaande figuur), dan blijkt dat alle priemgetallen groter dan 3 terug te vinden zijn in de eerste en de vijfde kolom. Elk priemgetal groter dan 3 is immers een zesvoud ± 1.
Ook de Franse monnik Marin Mersenne (1588 – 1648) zocht naar een formule voor priemgetallen. Hij onderzocht de getallen van de vorm Mp = 2p -1, waarbij p een priemgetal is en merkte op dat M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31 en M7 = 127 allemaal priemgetallen zijn. Dit bleek echter niet meer waar voor M11, nl. M11 = 211 - 1 = 2047 = 23 . 89.
Marin Mersenne
Priemgetallen van de vorm 2p - 1, met p een priemgetal, worden Mersenne-priemgetallen genoemd. Via de GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) proberen wiskundigen via de formule van Mersenne steeds grotere priemgetallen te vinden. Deze getallen zijn immers van groot belang voor de cryptografie, de wetenschap die zich bezighoudt met het coderen van gegevens. Meer hierover lees je op http://primes.utm.edu, waar je o.a. het grootst gekende priemgetal kan vinden. Ook jij kan mee helpen zoeken naar een nieuw grootste priemgetal en misschien zo eeuwige roem of 100 000 dollar verwerven. Meer uitleg op http://www.mersenne.org/.
4 Welke open problemen rond priemgetallen houden de wiskundigen bezig? Zoals eerder gemeld zoekt men steeds grotere priemgetallen en blijft het een open vraag of er een algemene formule bestaat voor priemgetallen. Het meest beroemde probleem rond priemgetallen is echter de zogenaamde Goldbach-conjectuur. Christian Goldbach (1690-1764) schreef in 1742 een brief naar Euler waarin hij het vermoeden formuleerde dat elk even getal groter dan 2 de som is van twee priemgetallen. Voor zover men met computers heeft kunnen controleren blijkt dit altijd waar te zijn, maar een algemeen bewijs hiervoor is nog niet gevonden.
Kristof Scheys en Stijn Vermeeren (oudleerlingen van het Sint-Jozefscollege in Aarschot) schreven een boeiend eindwerk bijeen rond priemgetallen. Bron: http://eindwerk.stijnshome.be/priemgetallen.pdf .
Ter attentie van wiskundig geïnspireerde scheikundigen die hier toevallig terechtkomen en op zoek zijn naar informatie over 'echte' atomen: een praktische Nederlandstalige versie van de tabel van Mendelejev vind je op http://www.ptable.com/?lang=nl
Waar kelk en kling steeds waken over haar. De Da Vinci Code - Dan Brown La Pyramide Inversée Parijs - 18 juli 2009 (klik op de foto voor een grotere afbeelding)
Drie wetenswaardigheden over piramiden. Bron: www.wisfaq.nl
1 Waarom komt de factor 1/3 voor in de formule voor de inhoud van een piramide? De inhoud I van een piramide kan men berekenen met de formule I = 1/3·G·h , waarbij G de oppervlakte is van het grondvlak en h de hoogte. Studenten verwonderen er zich vaak over het feit dat in de formule voor de inhoud van een piramide de factor 1/3 voorkomt. Dit kan uiteraard worden verklaard door de formule voor de inhoud op te stellen via een bepaalde integraal. Er is echter ook een eenvoudige intuïtieve verklaring.
Laten we maar hiervoor eens kijken naar deze vierzijdige piramide in een kubus:
We nemen aan dat de formule voor de inhoud van de piramide op een constante factor na gelijk is aan het product van de oppervlakte G van het grondvlak en de hoogte h. Je kunt nu de top verschuiven langs een zijvlaksdiagonaal zonder dat de inhoud verandert, want zowel G als h blijven gelijk. Je krijgt dan een andere piramide met dezelfde inhoud:
Als je nu goed naar deze figuur kijkt, kan je zien dat er in een kubus precies drie van deze piramides passen:
Dus de inhoud van de piramide is 1/3·G·h .
2 Een telprobleem bij piramiden
De piramide hiernaast bestaat uit een grondvlak van 6 bij 6. De volgende verdieping is 5 bij 5. De daarop volgende verdieping is 4 bij 4, enzovoort ...
Vraag: Uit hoeveel kubusjes bestaat deze piramide?
Antwoord. 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² = 91.
De zijden van het grondvlak van de piramide van Cheops zijn ongeveer 233 m lang. Stel nu dat men deze piramide wil opbouwen met kubusvormige blokken met een zijde van 1 meter volgens het hierboven beschreven principe. Hoeveel blokken zou men dan hiervoor nodig hebbben.
Het antwoord is dan klaarblijkelijk gelijk aan 1 + 2² + 3² + 4² + ... + 233². Hiervoor kan men een formule gebruiken die gemakkelijk wordt bewezen via volledige inductie (zie bijlage) : = . Voor n = 233 vindt men dat er 4 243 629 blokken zouden nodig zijn.
3 Kan men de afmetingen van de piramide van Cheops in verband brengen met het getal π en het getal φ van de gulden snede? We verwijzen hiervoor naar de tekst in bijlage. Misschien is dit een fantasietje van wiskundigen of zit er hier toch een kern van waarheid in? We laten het antwoord graag aan de lezer over ...
Wiskunde en hemelmechanica: de wetten van Kepler en de wet van Titius Bode
Johannes Kepler (1571-1630) formuleerde drie wetten waarmee hij de beweging van planeten beschreef. Hij maakte hierbij gebruik van de zorgvuldige astronomische metingen van Tycho Brahe (1546-1601).
EERSTE WET Alle planeten beschrijven ellipsvormige banen rond de zon, waarbij de zon zich in één van de brandpunten van de ellips bevindt.
TWEEDE WET De snelheid van een planeet in haar omloopbaan verandert zodanig dat in gelijke tijdsintervallen de oppervlakte, bestreken door de rechte lijn (voerstraal) tussen de zon en de planeet, gelijk is. De voerstraal beschrijft dus in gelijke tijdsintervallen, gelijke oppervlakken, ook perken genoemd, vandaar de naam perkenwet.
Als een planeet in dezelfde tijd van A naar B gaat en van C naar D, dan zijn de beide gekleurde oppervlakten even groot.
DERDE WET Het kwadraat van de omlooptijd t van een planeet is evenredig met de derde macht van haar gemiddelde afstand r tot de zon, m.a.w. de breuk t2/r3is een constante voor alle planeten.
De wet van Titius-Bode is een wiskundige regel die in 1766 door de astronoom Johann Daniel Titius werd ontdekt en in 1772 door zijn collega Johann Elert Bode werd gepubliceerd.
Titius
Bode
De wet van Titius-Bode geeft de afstand van planeten tot de zon op basis van hun rangnummer.
Neem de volgende getallenreeks: 0 – 3 – 6 – 12 – 24 – 48 – 96 – 192.
Tel bij elk getal het getal 4 op: 4 – 7 – 10 – 16 – 28 – 52 – 100 – 196.
Deel elk getal door 10: 0,4 – 0,7 – 1,0 – 1,6 – 5,2 – 10,0 – 19,6.
Deze laatste reeks getallen blijkt een vrij goede benadering te geven van de afstanden van de planeten tot de zon. Deze afstanden zijn uitgedrukt in AE. 1 AE = 1 astronomische eenheid is ongeveer 150 miljoen km of de afstand van de aarde tot de zon.
berekende afstand a (in AE) tot de zon met de formule van Titius-Bode
werkelijke afstand (in AE)
0,4
(Mercurius): 0,387
0,7
(Venus): 0,723
1,0
(Aarde): 1,000
1,6
(Mars): 1,524
2,8
(klopt ongeveer met planetoïden: a ~ 2,8)
5,2
(Jupiter): 5,203
10,0
(Saturnus): 9,537
19,6
(Uranus): 19,191
Er is geen wetenschappelijke onderbouwing van de al 300 jaar bekende wet, anders dan de overeenkomst met de waargenomen afstanden van de toen bekende planeten. Op basis van deze wet is door astronomen "voorspeld" dat zich tussen Mars en Jupiter een nog onontdekte planeet zou bevinden. Ceres, de eerst ontdekte planetoïde is enige tijd beschouwd als deze "missing link". Voor Neptunus en de dwerplaneet Pluto blijkt de wet niet helemaal meer op te gaan. Dit is wellicht de reden dat de wet van Titius-Bode wat in de vergetelheid is geraakt.
Het veilig doorgeven van informatie via het internet kan maar gebeuren wanneer er gebruik wordt gemaakt van privé-sleutels, die het decoderen door de ontvangers van de boodschap mogelijk maken. Door de eeuwen heen werden er steeds meer gesofisticeerde methodes ontwikkeld voor het decoderen van boodschappen die in codevorm werden doorgestuurd.
De populairste manier van publieke cryptografie is de RSA-encryptie, genoemd naar haar bedenkers Rivest, Shamir en Adleman. Ze maakt op een handige manier gebruik van priemgetallen.
Met de komst van de kwantumcomputers zal de RSA-code niet meer veilig zijn. Wiskundigen zijn daarom nu al druk bezig met het ontwikkelen van nieuwe codeermethodes.
De RSA-mannen, van links naar rechts: Adi Shamir, Ron Rivest en Len Adleman.
Voor wie de codetheorie wat onder knie wil krijgen, is het belangrijk wat inzicht te krijgen in het modulorekenen. Eenvoudige toepassingen hiervan vindt men o.a. bij bankrekeningnummers, kredietkaarten, de EAN-code (streepjescode), ISBN-nummers van boeken, ... Bij CD's gebruikt men een codeersysteem dat fouten corrigeert. Codering garandeert ook de veiligheid van een digitale handtekening. De theoretische aspecten en de concrete toepassing ervan komen aan bod in een cursustekst van Prof. Dr. Paul Igodt (Katholieke Universiteit Leuven Campus Kortrijk) en Dr. Fabien Decruyenaere. De tekst zit in bijlage. Je kan er ook wat historische uitleg in nalezen. Bron: http://www.kuleuven-kortrijk.be/~igodt/aw/
1 Wat is een magisch vierkant? Een magisch vierkant (of tovervierkant) is een vierkante tabel met n rijen en n kolommen waarin de natuurlijke getallen van 1 tot en met n² zo gerangschikt staan dat de som s per kolom, per rij en langs de twee diagonalen telkens gelijk is. Het getal n noemt men deorde van het magisch vierkant en de som s noemt men de magische constante. Vaak houdt men echter geen rekening met de voorwaarde dat men enkel de getallen van 1 tot en met n² in het rooster mag plaatsen. Zo bestaan er bijvoorbeeld bv. magische vierkanten waarin enkel priemgetallen staan.
Magische vierkanten van orde 3 (s = 177) en van ored 4 (s = 120) waarin enkel priemgetallen staan:
17
89
71
113
59
5
47
29
101
3
61
19
37
43
31
5
41
7
11
73
29
67
17
23
13
2 Bestaat er een algemene formule voor magische vierkanten van orde 3? Vooraf merken we op dat het meest beroemde magische vierkant de zogenaamde Lo-Shu is. Een legende wil dat rond 2800 v. Chr. China zwaar getroffen werd door overstromingen. Om de god van de rivier Lo gunstig te stemmen werden offers gebracht. Het viel op dat toen telkens een schildpad uit de rivier kroop. Ze droeg op haar rug een merkwaardige tekening, die een magisch vierkant bleek te zijn met als magisch som 15. De Chinezen begrepen dat de riviergod hiermee wilde te kennen geven dat er 15 offers werden gebracht en ... meteen stopten daarna ook de overstromingen. Het vierkant kreeg de naam Lo-Shu, wat boek van de rivier Lo betekent.
8
3
4
1
5
9
6
7
2
Lo-Shu
De algemene formule voor magische vierkanten van orde 3 werd door de Franse wiskundige Edourd Lucas (1842-1891) opgesteld. Door aan a, b en c willekeurige waarden toe te kennen in het onderstaande rooster bekomt men telkens een magisch vierkant met magische som 3a. Voor a = 5, b = 3 en c = 1 vindt men de Lo Shu terug.
a+b
a-b-c
a+c
a-b+c
a
a+b-c
a-c
a+b+c
a-b
Nog niet zo lang geleden deed iemand een merkwaardige ontdekking i.v.m. de Lo Shu. Als men de getallen in de drie rijen leest van links naar rechts, bekomt men 834, 159 en 672. Wanneer men ze van rechts naar links leest, vindt men 438, 951 en 276. Nu is 834² + 159² + 672² = 438² + 951² + 276². En blijkbaar geldt ook hetzelfde voor de getallen die men van boven naar onder of van onder naar boven leest. Als dat niet magisch is!
3 Wat is het meest beremde magisch vierkant van orde 4? Dit is ongetwijfeld het magisch vierkant dat op de gravure Melancholia I van de Duitse renaissancekunstenaar Albrecht Dürer(1471-1528) staat afgebeeld. Dürer maakte deze gravure in 1514 (het getal middenste in twee cellen van de onderste rij). De initialen van de kunstenaar zijn A (eerste letter van het alfabet) en D (vierde letter van het alfabet) en 4 en 1 staan ook op de onderste rij van het vierkant. Toeval?
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
Een magisch vierkant van orde 4 waarbij de som in de vier vierkanten in de hoeken ook gelijk is aan de magische constante, noemt men een gnomon magisch vierkant. Dit is het geval bij het vierkant van Dürer. Bovendien blijken ook nog de getallen in het centrale vierkant dezelfde som op te leveren.
4 Bestaat er een formule voor het berekenen van de magische constante?
Voor een magisch vierkant van orde n waarin de natuurlijke getallen van 1 tot en met n² staan, bestaat er inderdaad een formule, nl. s = (n²+1)n/2. Die bekomt men als volgt: de som van de getallen van 1 tot en met n² is gelijk aan (1+n²)n²/2. Omdat er n rijen zijn volstaat het dit getal door n te delen om de magische constante s te vinden.
5 Kan ik zelf een magisch vierkant van orde 4, 5, 6 ... maken? Voor vierkanten met oneven orde is er de merkwaardige methode van Antoine de La Loubère, die ook wel de Siamese methode wordt genoemd. Zie bv. http://en.wikipedia.org/wiki/Siamese_method. Ook voor een aantal andere magische vierkanten bestaat er een constructiemethode. Meer uitleg vindt je o.a. op http://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square. Op het internet vind je bovendien kleine programmaatjes om magische vierkanten te voorschijn te toveren, bijvoorbeeld op: http://magie.nl.eu.org/generator.html .
6 Zijn sudoku's magische vierkanten? Nee. In het algemeen is de som in de 9 rijen en de 9 kolommen gelijk is aan 1 + 2 + ... + 9 = 45, maar dit is niet waar voor de twee diagonalen. Er bestaan uiteraard ook diagonaalsudoku's waarvoor dit wel waar is. Hieronder zie je zo een voorbeeld.
5
9
7
6
4
3
2
1
8
2
4
3
1
8
7
9
6
5
8
6
1
2
9
5
4
7
3
3
8
5
7
1
9
6
2
4
9
2
6
8
3
4
7
5
1
1
7
4
5
2
6
3
8
9
6
3
2
9
5
1
8
4
7
4
1
8
3
7
2
5
9
6
7
5
9
4
6
8
1
3
2
7 Bestaat er een goed Nederlandstalig boek over magische vierkanten? Een absolute aanrader is het boek Magische vierkanten, De wonderbaarlijke geschiedenis van wiskundige puzzels, Van Lo-Shu tot sudoku van Arno van den Essen, uitgegeven in 2007 door Veen Magazines, Diemen - ISBN 978 90 8571 052 3.
In het septembernummer (49ste jaargang - nummer 1 - 2009) van het het tijdschrift Pythagoras is een bijdrage gewijd aan geomagische vierkanten. Dit soort magische vierkanten zijn een origineel idee van Lee Sallows. Deze in Nederland wonende en werkende Brit noemt zichzelf een 'amateurwiskundige'. Hij beschreef zijn ontdekking van geomagische vierkanten in een ongepubliceerd manuscript, maar gelukkig ontdekte de redactie van Pythagoras deze tekst. Geomagische vierkanten blijken in feite een visualisering te zijn van de gekende magische vierkanten. In bijlage vind je zo een vierkant. Met dank aan Matthijs Coster.
Het spel Yahtzee werd uitgevonden in 1954 door een anoniem Canadees koppel. Ze doopten het The Yacht Game omdat ze het spel met vrienden op hun jacht speelden. Twee jaar later vroegen ze aan de gezelschapsspellen-uitgever Edwin S. Lowe om een aantal sets te maken die ze als geschenk aan hun vrienden konden geven. Lowe zag in dat het spel goed in de markt zou liggen en verkreeg de rechten op het spel van het koppel in ruil voor duizend cadeau-sets.
Lowe veranderde de naam in Yahtzee. In het begin vielen de verkoopresultaten tegen want de aantrekkingskracht en de regels van het spel konden niet eenvoudig overgebracht worden via een reclamecampagne. Uiteindelijk kwam hij op het idee om "Yahtzee-bijeenkomsten" te organiseren waar mensen het spel leerden spelen en appreciëren. Het idee was succesvol en het spel werd snel verspreid door enthousiaste spelers via mond tot mond reclame. MB Parker kocht het bedrijf van E. S. Lowe in 1973.
Volgens producent Hasbro worden er tegenwoordig wereldwijd 50 miljoen setjes Yahtzee per jaar verkocht.
Op de oude Duitse bankbiljetten van 10 mark stond Carl Friedrich Gauss afgebeeld met zijn beroemde 'Gausskromme'. Deze klokvormige kromme neemt een centrale plaats in bij de studie van de nomale verdeling
Sedert 2004 is in de leerplannen van de derde graad aso-kso-tso de studie van de normale verdeling een verplicht leerstofonderdeel.
In bijlage vind je een cursustekst van collega Hilde Eggermont met de basisleerstof over dit onderwerp.
Wie wil experimenteren met de normale verdeling kan terecht op de website van collega Chris Cambré: http://wiskunde-interactief.be . Hier staat ook heel wat interactief oefenmateriaal voor beschrijvende statistiek en voor diverse andere leerstofonderdelen.
De oude Grieken waren al gefascineerd door bewijzen en constructies. Zij kampten echter eeuwenlang met drie grote problemen:
1. De trisectie van een hoek.
Gegeven een bepaalde hoek, hoe deel je die met passer en liniaal in drieën (drie gelijke delen)?
2. De kwadratuur van de cirkel.
Gegeven een cirkel, hoe construeer je met passer en liniaal een vierkant met dezelfde oppervlakte als de cirkel? In feite komt dit neer op het construeren van een lijnstuk met lengte √π .
3. De verdubbeling van de kubus.
Gegeven een kubus, hoe construeer je met passer en liniaal een kubus met inhoud het dubbele van de oorspronkelijke kubus? Dit komt dus neer op het construeren van een lijnstuk van lengte 3Ö2.
De legende gaat dat de burgers van Athene door een epidemie geteisterd werden, en dat zij in 430 v. Chr. raad zochten bij het orakel van Apollo te Delos. Het orakel antwoordde dat het altaar van Apollo (dat de vorm van een kubus had) verdubbeld moest worden om de epidemie op te heffen. Gedachteloos begon men een altaar te bouwen met zijden dubbel zo groot als het oorspronkelijke. Maar de inhoud was helaas nu 8 keer zo groot. De goden waren vertoornd geraakt door deze blunder en de epidemie verergde. Men besloot ten einde raad Plato te raadplegen. Die zei: "De goden gaven ons deze opdracht niet omdat zij een groter altaar wilden, maar als verwijt dat wij de mathematica en geometrie verwaarlozen!" Vanaf die tijd wordt de verdubbeling van de kubus ook wel het "Delische probleem" genoemd.
Ondanks talloze pogingen bleek men niet in staat deze problemen op te lossen. En het sneue is: deze drie problemen zijn niet op te lossen, zo is later bewezen. Het bewijs daarvan is nogal lastig.
Voor de oplossing van het vraagstuk van de kwadratuur van de cirkel met passer en liniaal is de constructie van een lijnstuk met lengte √π en daarmee van π nodig. Al eerder was bewezen dat een constructie met passer en liniaal altijd 'vertaald' kan worden in het oplossen van een kwadratische vergelijking met hele coëfficiënten, en andersom is elke kwadratische vergelijking met gehele coëfficiënten om te zetten in een constructie met passer en liniaal. Maar in 1882 bewees Carl Louis Ferdinand von Lindemann dat π een transcendent (of een niet-algebraïsch) getal is. Omdat π niet kan optreden als oplossing van een algebraïsche vergelijking in het algemeen, laat staan van een kwadratische vergelijking, is de constructie van het gevraagde lijnstuk onmogelijk en daarmee ook de kwadratuur van de cirkel. (Bron: Wikipedia).
Hippocrates van Chios (470-410 v. Chr. vond een methode om aan te tonen dat de oppervlakte van bijzondere kromlijnige figuren, namelijk maantjes gelijk kon zijn aan de oppervlakte van een vierkant. Zo bleef de hoop nog altijd bestaan dat men een cirkel zou kunnen 'kwadrateren'. Een maantje is een vlakke figuur begrensd door twee cirkelbogen. Hippocrates bewees namelijk dat de oppervlakte van de twee gele maantjes (onderstaande figuur) gelijk is aan de oppervlakte van de rechthoekige driehoek Δ ABC. Een bewijs hiervan vind je in bijlage.
Natuurlijk waren er wel een aantal "valsspelers"; zij ontwikkelden krommen of speciale apparaten om de problemen wél op te lossen. Maar natuurlijk zijn dit niet "echte" constructies met behulp van passer en liniaal. Euclides zou zich omdraaien in zijn graf! Een paar zulke notoire valsspelers:
Toepassen van lineaire regressie kan opgevat worden als het bepalen van de best passende lijn bij een aantal gegeven meetpunten. Wat "best passen" betekent is natuurlijk afhankelijk van het gehanteerde criterium. Eén zo'n criterium is het "kleinste-kwadratencriterium". Daarvoor wordt de kleinste-kwadratenmethode gebruikt. Van een lijn y = a + bx worden de coëfficiënten a en b zodanig berekend dat de som van de kwadraten van alle afwijkingen d ivan het feitelijke meetpunt ten opzichte van de regressielijn (zie figuur) minimaal is.
Er wordt dus een verband gezocht tussen twee reeksen meetgegevens, die respectievelijk op de horizontale as (onafhankelijke waarden x1, x2, ..., xn) en de verticale as (afhankelijke waarden y1, y2, ... , yn) worden voorgesteld.
Men vertrekt van deze concrete data (x1, y1), (x2, y2), ... , (xn, yn).
Een spreidingsdiagram is een grafische voorstelling van de data, waarmee de begrippen positieve of negatieve, sterke of zwakke correlatie visueel worden ingevoerd. De correlatiecoëfficiënt is een getal dat aangeeft in welke mate er een lineair verband bestaat tussen de variabelen. Eens we vermoeden dat er een lineair verband bestaat tussen twee variabelen, zoeken we de vergelijking van de rechte die het best aansluit bij de puntenwolk. Deze rechte is de regressierechte.
Collega Bieke Van Deyck schreef een uitstekende inleiding over dit onderwerp in het T3-cahier in bijlage. Dit is één van de vele cahiers die de medewerkers van T3-Vlaanderen de voorbije jaren hebben bijeengeschreven.
www.t3vlaanderen.be Hier vind je alle reeds gepubliceerde cahiers en alle informatie over de voorbije symposia.
Grafiek van de logistische groeifunctie (sigmoïde)
De logistische groeifunctie, zo genoemd door de Belgische wiskundige Pierre-François Verhulst 1804-1849), beschrijft het verloop van de omvang N(t) van een populatie als functie van de tijd t, als de verandering van de populatie-omvang evenredig is:
met de omvang van de huidige populatie N(t)
en met de nog voorhanden "groeiruimte" M - N(t) , waarin M de maximale omvang is die de populatie kan bereiken.
Deze eisen leiden tot de volgende differentiaalvergelijking:
De oplossing van deze vergelijking is:
die door scheiding van variabelen gevonden kan worden.
De grafiek van deze functie heeft een S-vorm (sigmoïde). Deze vorm laat zich als volgt interpreteren: In het begin (t klein) stijgt de populatie-omvang langzaam, omdat het aantal individuen nog laag is. Aan het eind (t groot), stijgt de populatie-omvang ook nog maar langzaam en nadert asymptotisch het maximum M, omdat dan de begrenzing van de omvang de remmende factor is.
Oplossing van de differentiaalvergelijking door scheiden van de veranderlijken:
dus
waaruit door integratie (via splitsen in partieelbreuken) volgt:
zodat
Opmerking. Hierbij is log de Amerikaanse notatie voor de natuurlijke logaritmische functie ln.
Daaruit volgt:
(1)
Voor t = 0 vinden we voor als waarde voor de integratieconstante c:
(2)
waarbij N0 de beginpopulatie voorstelt.
Uit (1) en (2) volgt de hoger vermelde oplossing.
Het logistische groeimodel kan gebruikt worden voor bacteriekolonies of muizenpopulaties, waarbij de populatie-omvang beperkt is door de beperkte aanwezigheid van voedsel.
Een mooie toepassing over de groeistadia van padden, waarbij gebruik gemaakt wordt van de ingebouwde instructie 'Logistic' op een grafische rekenmachine, zit in bijlage. Met dank aan collega's Sabine Van Roose en Gilberte Verbeeck.
Collega Herman Hofstede verzamelde op zijn website http://hhofstede.nl/bewijzen/bewijzen.htm een aantal bewijsvormen en illusteerde die telkens met voorbeelden en opgaven (met oplossingen)!
Een absolute aanrader voor wie zich wil verdiepen in diverse bewijsmethoden.
Spiralen vormen al van in de oudheid een intrigerend studieobject binnen de wiskunde. Wanneer we om ons heen kijken, dan blijken ze vaak heel onverwacht op te duiken: bij wenteltrappen, slakkenhuizen, in spiraalvormige melkwegstelsels, zonnebloempitten zitten gerangschikt volgens spiralen, spinnen weven hun net volgens spiralen, ...
www.mathcurve.com is een Franstalige website ontworpen door Robert Ferréol, een wiskundeleraar aan het Lyceum Fénelon in Parijs. Dit meesterwerkje geeft een encyclopedisch overzicht van 2D-krommen, 3D-krommen, oppervlakken, fractalen en veelvlakken.
Eén van de rubrieken gaat uiteraard over spiralen:
SPIRALE
Une spirale plane est courbe ayant une équation polaire r = f(q) avec f monotone sur un intervalle non borné. Les spirales sont forcément des courbes transcendantes.
De oplossingen van puzzel 1 en puzzel 2 zitten in bijlage.
Liefhebbers van woordzoekers komen ongetwijfeld aan hun trekken met de wiskundequizwoordzoeker in bijlage, die we met toestemming van de redactie van Puzzelland publiceren.
= 
. Voor n = 233 vindt men dat er 4 243 629 blokken zouden nodig zijn.
Speel nu mijn favoriete dobbelspelletje online op 
www.t3vlaanderen.be
(1)
(2)
(parfois appelées spirales archimédiennes) : 
