§ 3.9 De Syllabi van Murray Spiegel (fysici en ingenieurs) (I)
(Hoofdstuk 3 "Algemene Wiskunde voor bachelors")
§ 3.9 De Syllabi van Murray Spiegel (fysici en ingenieurs) (I)
Aan de Gentse Alma Mater kregen de toekomstige wiskundigen, fysici en ingenieurs Analyse gedoceerd van Fernand Backes. Nu nog krijgen vele oud-studenten de kriebels als de naam Backes valt. De cursus gedoceerd door Backes was inderdaad heel wat zwaarder en meer diepgaand dan de cursus van Grosjean (zie een voorgaand cursiefje).
In die tijd moest men voor een eventuele inschrijving tot een (wettelijke) opleiding tot burgerlijk ingenieur eerst slagen in een wiskundig toelatingsexamen. De leerstof, die voor dit examen moest gekend zijn omvatte, zoals voor de KMS afdeling Pol, hoofdstukken uit de Analyse (continuïteit, limieten, afgeleiden, integralen en toepassingen van integralen), de Analytische Meetkunde (kegelsneden, bundels van kegelsneden, canonieke vergelijkingen en analytische ruimtemeetkunde) en de Goniometrie. Verder behoorde insgelijks tot de te kennen leerstof bijzondere hoofdstukken uit de klassieke Algebra (matrixalgebra, volledige inductie, lineaire stelsels, rijen en reeksen, complexe getallen) en Meetkunde (het deel dat men complement, vernieuwde of nog projectieve meetkunde noemt (1) . In 2000 werd door Minister Marleen Vanderpoorten dit toelatingsexamen afgeschaft (2) terwijl de toegang tot de KMS gebonden bleef aan een dergelijk examen.
Fernand Backes (3) was een bekende naam in de wiskundige wereld en zijn specialisatievak was eigenlijk Differentiaalmeetkunde. Hij was geboren in Vilvoorde als zoon van een onderluitenant op 24 december 1897. Door een overplaatsing van zijn vader naar Ath, zou hij zowel zijn primair als het grootste gedeelte van het secundair onderwijs in het Frans volgen.
Even voor 1914 werd zijn vader overgeplaatst naar Gent. Hij zal zijn humaniorastudies dan ook in Gent afronden en een tweede prijs wiskunde behalen op het Concours Général de lEnseignement moyen, wat zijn wiskundige begaafdheid aantoonde.
Op 22 juli 1922 promoveert hij aan de Universiteit Gent tot doctor in de wis- en natuurkundige wetenschappen. Laureaat van een Concours des Bourses de Voyage, verblijft hij vervolgens gedurende het academiejaar 1922-1923 te Parijs, waar hij aan de Sorbonne en aan het Collège de France kennis maakt met de bekende wiskundigen: Emile Picard, Elie Cartan, Claude Guichard, Gaston Koenigs, Emile Borel, Jules Drach, Jacques Hadamard en Henri Lebesgue.
Bij zijn terugkeer in 1923 wordt hij tot repetitor benoemd, een functie, die hij zal waarnemen tot in 1946. Hij trad in die periode vele malen op als lector voor prof. Dejans.
Bij de vernederlandsing van de Gentse universiteit in 1932, zal Backes, desondanks zijn studies in het Frans, opteren voor een Nederlands onderricht en eindelijk op 1 october 1946 benoemd worden tot docent Hogere Analyse in de licentie wiskunde.
Vanaf 1950 zal hij uiteindelijk ook benoemd worden tot gewoon hoogleraar met als leeropdracht « Differentiaal- en Integraalrekening », ook nog « Infinitesimale Analyse » genoemd, in de kandidaturen wis- en natuurkunde en ingenieurswetenschappen. (gemeenschappelijke cursus).
In 1952 zou hij ook nog titularis van de cursus « Differentiaalmeetkunde » (licentie wiskunde) worden. Op emeritaat gesteld in 1967, overleed hij te Gent op 9 augustus 1985.
Grosjean en Backes gaven beiden college in het Rozier. Het was dus mogelijk om even bij de ene of bij de andere, college te volgen. Uit pure nieuwsgierigheid ben ik af en toe eens in het auditorium van Backes binnengewipt om als toerist een les te volgen. Ik herinner mij nog dat de studenten mij enigszins verwonderd bekeken maar verder was er geen reactie.
Of er in die tijd al een officiële syllabus voorhanden was, weet ik niet meer (4) . Wel was mij duidelijk dat de lessen van een veel hoger niveau waren omdat ze al met al ook bestemd was voor wiskundigen. De leerstof, die door prof. Backes behandeld werd, stemde vermoedelijk in grote lijnen overeen met wat aan andere universiteiten voor eenzelfde doelpubliek: mathematici, fysici en ingenieurs gedoceerd werd. Maar de globale inhoud van de gedoceerde cursus ontging mij op dat ogenblik natuurlijk nog volkomen. Dat het echter ging om een meer diepgaande cursus Analyse dan wat wij bij Grosjean te verorberen hadden gekregen was wel zeker.
Wat een dergelijke cursus Infinitesimale Analyse voor fysici en ingenieurs zo ongeveer inhield kwam ik maar te weten in 1969. Toen verscheen immers bij Prisma Technica, onder de titel « Infinitesimaalrekening », het collegedictaat van F. van der Blij en J. van Tiel van de Universiteit van Utrecht.
In het Voorwoord van het boek verklaarden de auteurs:
Het voor u liggend boek is ontstaan uit een college dat de auteurs al enige jaren aan de Rijksuniversiteit Utrecht geven en dat bestemd is voor candidandi in de wis- en natuurkunde; de dientengevolge aanwezige structuur van een collegedictaat (met alle voor- en nadelen van dien) is duidelijk herkenbaar. De wiskunde HBS-B of gymnasium β wordt bekend verondersteld. Zowel wat betreft de keuze van de onderwerpen als de presentatie hiervan hebben de auteurs zich laten leiden door de wens wiskunde te doceren die in de eerste plaats bruikbaar is voor fysici, en die bovendien aanvaardbaar is voor mathematici. De gekozen onderwerpen behoren alle tot dat gedeelte van de wiskunde dat men analyse pleegt te noemen; van de in andere colleges behandelde en voor fysici belangrijke onderwerpen noemen we waarschijnlijkheidsrekening, lineaire algebra en groepentheorie.
Van de klassieke differentiaal- en integraalrekening vindt men in dit boek aanzienlijk minder dan gebruikelijk is in dit soort werken; getracht is slechts voor fysici relevante zaken ter sprake te brengen. Zo worden de reeksen de reeksen zeer summier behandeld, en wel in het kader van de complexe functietheorie; aan de orde komen vrijwel uitsluitend macht- en Fourier- reeksen. De meer verfijnde stellingen betreffende differentieerbare functies (middelwaarde- stelling, stelling van lHôpital en dito) worden niet behandeld. Voor het bepalen van primitieven (onbepaalde integralen) worden alleen enkele eenvoudige methoden genoemd; in de praktijk zal men, waar het om het berekenen van integralen gaat, al snel zijn toevlucht zoeken bij tabellenboeken (voor het opzoeken van primitieven) of de computer (voor het bepalen van een goede benadering).
Van de hier behandelde klassieke onderwerpen noemen we verder nog vectoranalyse, complexe functietheorie (speciaal met het oog op conforme afbeeldingen en residuenrekening) en gewone differentiaal vergelijkingen; van de laatste worden enkele vergelijkingen van de tweede orde wat uitvoeriger behandeld in verband met hun gebruik bij het oplossen van de potentiaal- en de golfvergelijking.
Zoals uit de inhoudstafel bleek (5) , was er heel wat materie bij, waarvan ik nog geen flauw benul had maar ik had wel door dat alles draaide om differentiaalvergelijkingen en speciale functies. De theorie was met opzet zeer kort, maar toch correct en volledig gehouden, althans volgens de auteurs.
Nieuw voor mij was wel dat na ieder hoofdstukje, referenties werden opgegeven. Gedurende enkele weken heb ik in dit boek af en toe zo maar wat zitten grasduinen, want de aard van het boek (in feite een syllabus) leende zich, mede door de stijl van de auteurs, moeilijk voor zelfstudie. Zo was het veelal nodig, een zin soms driemaal te lezen om de bewoordingen precies en exact te begrijpen.
Het boek was naar mijn gevoelen een soort condensaat van een of ander handboek of meerdere handboeken. Nochtans omvatte het op zichzelf al 430 paginas. Ook de achtergrond van dit alles was voor mij erg duister. Kortom ik het boek geraakte in de vergeethoek. Maar toch niet helemaal zoals de lezer onmiddellijk zal merken.
* * *
Begin de jaren zeventig had ik nu mijn doctorale studie op de VUB aangevat en werd ik voor het eerst echt geconfronteerd met het opstellen en oplossen van differentiaalvergelijkingen. Ik kocht mij toen in de Librairie des Sciences een exemplaar van « Equations différentielles », de Franstalige versie van « Differential equations » van Frank Ayres . Ik had in die tijd nog een voorkeur voor het Frans omdat de Franse wiskundige terminologie mij beter lag.
Bij het oplossen van mijn differentiaalvergelijking stootte ik nu op een probleem en ik vroeg mij af of er geen andere oplossingsmethoden bestonden. En zo kwam ik terecht bij een collega, Pierre Van den Winkel, die zich op dat ogenblik inliet met elektrodes en elektrochemie. Die stelde mij voor Laplace- transformatie als oplossingsmethode te gebruiken.
Laplace- transformatie?? Daar had ik nog nooit van gehoord: want dit onderwerp kwam helemaal niet ter sprake « Equations différentielles » van Ayres.. Pierre raadde mij nu het boek « Laplace Transforms » van Murray Spiegel aan, een boek uit dezelfde Schaum- collectie. Terug dus naar de Librairie des Sciences, waar -wonder boven wonder- het boek voorradig was en ik voor amper 278 BF deze monografie kon kopen. Voor mij een uitstekende zaak want deze kleine investering bracht de bal definitief aan het rollen.
Over « Differential Equations en « Laplace Transforms » zal ik het later nog uitgebreid hebben, wat hier nu belangrijk is, was gewoon de laatste pagina én de auteur van het boek. Voornoemde pagina gaf een volledige lijst van de toen al beschikbare Schaums Outlines.
Het was via deze lijst, die niet voorkwam in de Franse uitgaven, dat ik « Calculus » van Frank Ayres en « Analytical Geometry » van Joseph Kindle ontdekte en zo op het spoor kwam van de bronreferenties van Grosjean. En wat de auteur Murray Spiegel (6) betreft, de auteur van « Laplace Transforms » die bleek verbonden te zijn aan het Rensselaer Polytechnic Institut (7) , een technologische universiteit, en hij moest dus wel van wanten weten.
De klare stijl gebruikt door Murray Spiegel, beviel mij wel en achtereenvolgens kocht ik mij eerst de Franse Schaum versies « Analyse vectorielle », « Mécanique Générale ».. Wat later ging ik echter definitief over tot de oorspronkelijke Engelse versies met o.a. « Statistics », « Complex variables » en vooral « Advanced Calculus », allemaal monografieën van dezelfde auteur.
De reden van deze overgang was dat de kwaliteit van de oorspronkelijke Engelse versies beduidend hoger lag dan van de Franse versies. Maar misschien was het wel de layout van de voorkaft die het bij mij deed: iedere syllabus begon met een plechtstatig "Theory and Problems of.." en de voorkaft werd in een sobere uniforme kleur gehouden, meestal beige soms donkergroen..
Met de opkomst van de (grafische) rekenmachine en de ordinator zal Schaum vele van zijn syllabi op didactisch vlak moeten aanpassen aan de nieuwe gecreëerde situatie (zie cursiefje over boekencollecties en uitgevers (4)). Met « Advanced Calculus » van Murray Spiegel was dit echter -zoals men verder zal zien- niet het geval. Alles bleef gewoon bij het oude d.i. het klassieke..
De voorkaft van Spiegels « Advanced Calculus -first edition- » fungeert vanzelfsprekend als ikoon van dit cursiefje. Het was immers dit boek mij dat mij de toegangssleutel gaf tot de "Hogere" Analyse d.i. de Calculus voor fysici en ingenieurs. Het was mijn eerste kennismaking met deze wonderlijke en fascinerende wereld, die in de Angelsaksische landen Advanced Calculus wordt genoemd.
Maar vooreerst wat werd (wordt) er nu precies met « Advanced Calculus » bedoeld? In de Inleiding van zijn boek schreef Murray Spiegel in 1961:
The subject commonly called « Advanced Calculus » means different things to different people. To some it essentially represents elementary calculus from an advanced viewpoint. To others it represents a variety of special advanced topics which are considered important but which cannot be covered in an elementary course.
In this book an effort has been made to adopt a reasonable compromise between these extreme approaches which it is believed, will serve a variety of individuals. The early chapters of the book serve in general to review and extend fundamental concepts already presented in elementary calculus. This should be valuable to those who have forgotten some of the calculus studied previously and who need a bit of refreshing. It may also serve to provide a common background for students who have been given different types of courses in elementary calculus. Later chapters serve to present special advanced topics which are fundamental to the scientists, engineer or mathematician if he is to become proficient in his intended field.
This book has been designed for use either as a supplement to all current standard textbooks or as a formal course in advanced calculus. It should be also prove useful to students taking courses in physics, engineering or any of the numerous other fields in which advanced mathematical methods are employed.
Topics covered include the differential and integral calculus of functions of one or more variables and their applications. Vector methods, which lend themselves so readily to concise notation and to geometric and physical interpretations, are introduced early and used whenever they can contribute to motivation and understanding.
Special topics include line and surface integrals and integral theorems, infinite series, improper integrals, gamma and beta functions, and Fourier series. Added features are the chapters on Fourier integrals, elliptic integrals and functions of a complex variable which should prove extremely useful in the study of advanced engineering, physics and mathematics.... This book has been designed for use either as a supplement to all current standard textbooks or as a textbook for a formal course in advanced calculus. It should also prove useful to students taking courses in physics, engineering or any of the numerous other fields in which advanced mathematical methods are employed...
« Advanced Calculus » was en is in feite een verdere uitbreiding of verdieping van de leergangen « Calculus I » of "Elementary Calculus" en « Calculus II » of "Intermediate" Calculus », waarbij ook andere onderwerpen, die van belang zijn voor de ingenieur, aan bod komen. Het is een leergang specifiek bestemd voor fysici en ingenieurs en eventueel zou men deze cursus inderdaad ook als « Hogere Analyse » of « Hogere Calculus » kunnen betitelen.
« Ordinary Calculus » of Gewone Calculus komt dan overeen met Calculus I en II en is een cursus bestemd voor wetenschappers die een minder diepgaande leergang behoeven, zoals bvb chemici en biologen. Veelal wordt deze laatste leergang in de USA als « Elementary Calculus » aangegeven.
Persoonlijk verkies ik de term « Ordinary Calculus » (Gewone Analyse of Calculus). De term elementair lijkt mij immers wegens de vele betekenissen, die dit woord kan hebben in het Nederlands niet erg geschikt.
Het is evident dat, om didactische redenen een leergang « Hogere Calculus » normaliter ook gedeelten zal hernemen die tot de Gewone Calculus behoren en dit is o.m. het geval met de syllabus van Murray Spiegel. De eerste hoofdstukken van Spiegel's boek behoren inderdaad tot de « Gewone Calculus » terwijl de laatste ofwel bekende onderwerpen verder uitdiepen of totaal nieuwe onderwerpen aansnijden:
Chapter1 « Numbers » : Sets ; Real numbers ; Decimal representation of real numbers ; Operations with real numbers ; Inequalities ; Absolute value of real numbers ; Exponents and roots ; Logarithms ; Axiomatic foundations of the real number system ; Point sets, intervals ; Countability ; Neighbourhoods ; Limit points ; Bounds ; Bolzano-Weierstrass theorem : Algebraic and transcendental numbers ; The complex number system ; Polar form of complex numbers ; Mathematical induction
Chapter 2 « Functions, Limits, and Continuity » : Functions ; Graph of a function ; Bounded functions ; Monotonic functions ; Inverse functions ; Principal values ; Maxima and minima ; Types of functions ; Special Transcendental functions ; Limits of functions ; Right- and left hand limits ; Theorems on limits ; Infinity ; Special limits ; Continuity ; Right and left hand continuity in an interval ; Theorems on continuity ; Sectional continuity ; Uniform continuity
Chapter 3 « Sequences » : definition of a sequence ; Limit of a sequence ; Theorems on limits of sequences ; Infinity ; Bounded, monotonic sequences ; Least upper bound and greatest lower bound of a sequence ; Limit superior, limit inferior ; Nested intervals ; Cauchys convergence criterion ; Infinite series ;
Chapter 4 « Derivatives » : The definition of a derivative ; Right and left hand derivatives ; Differentiability in an interval ; Selectional differentiability ; Graphical interpretation of the derivative ; Differentials ; Rules for differentiation ; Derivatives of special functions ; Higher order derivatives ; mean value theorems ; Rolles theorem ; the theorem of the mean ; Cauchys generalized theorem of the mean ; Taylors theorem of the mean ; Special expansions ; LHopitals rules ; Applications
Chapter 5 « Integrals » : Introduction of the definite integral ; Measure zero ; Properties of definite integrals ; Mean value theorems for integrals ; Indefinite integrals ; The fundamental theorem of integral calculus ; Definite integrals with variable limits of integration ; Change of variable of integration ; Integrals of special functions ; Special methods of integration ; Improper integrals ; Numerical methods for evaluating definite integrals ; Applications
Chapter 6 « Partial Derivatives » : Functions of two or more variables ; Dependent and independent variables ; Three dimensional rectangular coordinate systems ; neighbourhoods ; Regions ; Limits ; Iterated limits ; Continuity ; Uniform continuity ; Partial derivatives ; Higher order partial derivatives ; Differentials ; Theorems on differentials ; Differentiation of composite functions ; Eulers theorem on homogeneous functions ; Implicit functions ; Jacobians ; Partial derivatives using Jacobians ; Theorems on Jacobians ; Transformations ; Curvilinear coordinates ; Mean value theorems
Chapter 7 « Vectors » : Vectors and scalars ; Vector algebra ; Laws of vector algebra ; Rectangular unit vectors ; Components of a vector ; Dot, scalar or inner product ; Cross or vector product ; Triple products ; Axiomatic approach to vector analysis ; Vector functions ; Limits, Continuity and derivatives of vector functions ; Geometric interpretation of a vector derivative ; Gradient, divergence and curl ; Formulas involving nabla ; Vector interpretation of Jacobians ; Orthogonal curvilinear coordinates ; Gradient, divergence, curl and laplacian in orthogonal curvilinear coordinates ; Special curvilinear coordinates
Chapter 8 « Applications of Partial Derivatives » : Applications to geometry ; Tangent plane to a surface ; Normal line to a curve ; Normal plane to a curve ; Envelopes ; Directional derivatives ; Differentiation under the integral sign ; Integration under the integral sign ; Maxima and minima ; Method of Lagrange multipliers for maxima and minima ; Applications to errors
Chapter 10 « Line Integrals, Surface Integrals, and Integral Theorems » : Line integrals ; Vector notation for line integrals ; Evaluation of line integrals ; Simple closed curves ; Simply and multiply connected regions ; Greens theorem in the plane ; Conditions for a line integral to be independent of the path ; Surface integrals ; The divergence theorem ; Stokes s theorem
Chapter 11 « Infinite Series » : Convergence and divergence of infinite series ; Fundamental facts concerning infinite series ; Special series ; Geometric series ; The p series ; Tests for convergence and divergence of series of constants ; Comparison test ; Quotient test ; Integral test ; Alternating series test ; Absolute and conditional convergence ; Ratio test ; The nth root test ; Raabes test ; Theorems on absolutely convergent series ; Infinite sequences and series of functions ; Uniform convergence ; Special tests for uniform convergence of series ; Weierstrass M test ; Dirichlets test ; Theorems on uniformly convergent series ; Power series ; Theorems on power series ; Operations with power series ; Expansion of functions in power series ; Some important power series ; Functions defined by series ; Bessel and hypergeometric functions ; Infinite series of complex terms ; Infinite series of functions of two (or more) variables ; double series ; infinite products ; Summability ; Asymptotic series
Chapter 12 « Improper Integrals » : Definition of improper integral ; Improper integral of the first kind ; Special improper integrals of the first kind ; Geometric or exponential integral ; The p integral of the first kind ; Convergence tests for improper integrals of the first kind ; Comparison test ; Quotient test ; Series test ; Absolute and conditional convergence ; Improper integrals of the second kind ; Cauchy principal value ; Special improper integrals of the second kind ; Convergence tests for improper integrals of the second kind ; Improper integrals of the third kind ; Improper integrals containing a parameter ; Uniform convergence ; Special tests for uniform convergence of integrals ; Weierstrass M test ; Dirichlets test ; Theorems on uniformly convergent integrals ; Evaluation of definite integrals ; Laplace transforms ; Improper multiple integrals
Chapter 13 « Gamma and Beta Functions » : The gamma function ; Table of values and graph of the gamma function ; Asymptotic formula for Γ(n) ; Miscellaneous results involving the gamma function ; The beta function ; Dirichlet integrals
Chapter 14 « Fourier Series » : Periodic functions ; Fourier series ; Dirichlet conditions ; Orthogonality conditions for the sine and cosine functions ; Dirichlet conditions ; Odd and even functions ; Half range Fourier sine or cosine series ; Parsevals identity ; Differentiation and integration of Fourier series ; Complex notation for Fourier series ; Boundary-value problems ; Orthogonal functions
Chapter 15 « Fourier Integrals » : The Fourier integral ; Equivalent forms of Fouriers integral theorem ; Fourier transforms ; Parsevals identities for Fourier integrals ; The convolution theorem
Chapter 16 « Elliptic integrals » : The incomplete elliptic integral of the first kind ; The incomplete elliptic integral of the second kind ; The incomplete elliptic integral of the third kind ; Jacobis forms for the elliptic integrals ; Integrals reducible to elliptic type ; Jacobis elliptic functions ; Landens tranformation
Chapter 17 « Functions of a Complex Variable » : Functions ; Limits and continuity ; Derivatives ; Cauchy-Riemann equations ; Integrals ; Cauchys theorem ; Cauchys integral formulas ; Taylors series ; Singular points ; Poles ; Laurents series ; Residues ; Residue theorem ; Evaluation of definite integrals
- een korte bespreking van « Advanced Calculus -first edition- »
Merkwaardig genoeg werd in deze syllabus, die een voorsmaakje gaf van wat Hogere Analyse of Calculus zoal inhoudt, geen gewag gemaakt van "Operationele Calculus" (Laplace transformaties) en van "Waarschijnlijkheidsanalyse en Mathematische Statistiek", twee onderwerpen, die onmisbaar zijn voor elke ingenieur of fysicus. "Matrix-calculus" of beter "Tensor-calculus", de sleutel tot de theoretische natuurkunde, werd al evenmin behandeld.
Voornoemde onderwerpen komen daarentegen wel aan de beurt in Piskounov's « Calcul Différentiel et Intégral », HET basisleerboek voor de "Hogere Analyse" voor fysici en ingenieurs. Wel moet gezegd, dat deze onderwerpen al evenmin in de eerste edities van Piskounov's meesterwerk voorkwamen (zie volgend cursiefje).
Daarentegen komen de klassieke onderwerpen zoals vectoranalyse, lijn- en oppervlakte integralen, oneindige reeksen, oneigenlijke integralen, gamma en beta functies, Fourier- reeksen, Fourier- integralen, elliptische integralen en functies van een complexe veranderlijke aan bod. Ook deze onderwerpen zijn immers onmisbaar voor fysici en ingenieurs.
Ieder hoofdstuk begint met een aantal definities, beginselen en stellingen, die waar nodig geïllustreerd worden met prachtige meetkundige figuren en tekeningen. Deze figuren en tekeningen zijn uiterst belangrijk voor het begrijpen van de leerstof. Dan volgt, precies zoals ook bij Frank Ayres « Calculus » het geval was, een reeks Solved Problems en Supplementary Problems.
De Opgeloste Vraagstukken (925 problemen!) maken duidelijk hoe de theorie kan toegepast worden op allerlei praktische problemen en vormen ook op zichzelf een uitbreiding van de theorie. Van de Supplementaire Vraagstukken wordt ook steeds het antwoord verstrekt. Op die manier kan de student gemakkelijk zijn eigen werk en berekeningen controleren.
Een tweede en derde editie van Spiegels « Advanced Calculus », verscheen in 2003 respectievelijk 2010. Een bewijs dat deze syllabus nog niets van zijn populariteit heeft ingeboet. In het Voorwoord van de tweede editie schreef Robert Wrede (8) , de huidige auteur van de syllabus:
Advanced Calculus is not a single theory. However, the various sub-theories, including vector analysis, infinite series and special functions, have in common a dependency on the fundamental notions of the calculus. An important objective of this second edition has been to modernize terminology and concepts, so that the interrelationships become clearer. For example, in keeping with present usage functions of a real variable are automatically single valued; differentials are defined as linear functions, an de the universal character of vector notation and theory are given greater emphasis. Further explanations have been included and, on occasion, the appropriate terminology to support them.
The order of chapters is modestly rearranged to provide what may be a more logical structure
En in het Voorwoord van de derde editie preciseerde hij:
The many problems and solutions provided by the late Professor Spiegel remain invaluable to students as they seek to master the intricacies of the calculus and related fields of mathematics. These remain an integral part of this manuscript. In this third edition, clarifications have been provided. In addition, the continuation of the interrelationships and the significance of concepts, begun in the second edition, have been extended
De tweede en derde edities hebben inderdaad geen fundamentele wijzigingen ondergaan en eventuele aanpassingen beperken zich inderdaad tot wat verduidelijkingen en correcties. De gedetailleerde inhoudstafel toont dit duidelijk aan:
Chapter 1 Numbers : Sets ; Real numbers ; Decimal representation of real numbers ; Operations with real numbers ; Inequalities ; Absolute value of real numbers ; Exponents and roots ; Logarithms ; Axiomatic foundations of the real number system ; Point sets, intervals ; Countability ; Neighbourhoods ; Limit points ; Bounds ; Bolzano-Weierstrass theorem : Algebraic and transcendental numbers ; The complex number system ; Polar form of complex numbers ; Mathematical induction
Chapter 2 Sequences : definition of a sequence ; Limit of a sequence ; Theorems on limits of sequences ; Infinity ; Bounded, monotonic sequences ; Least upper bound and greatest lower bound of a sequence ; Limit superior, limit inferior ; Nested intervals ; Cauchys convergence criterion ; Infinite series ;
Chapter 3 Functions, Limits, and Continuity : Functions ; Graph of a function ; Bounded functions ; Monotonic functions ; Inverse functions, principal values ; Maxima and minima ; Types of functions ; Transcendental functions ; Limits of functions ; Right- and left hand limits ; Theorems on limits ; Infinity ; Special limits ; Continuity ; Right and left hand continuity in an interval ; Theorems on continuity ; Piecewise continuity ; Uniform continuity
Chapter 4 Derivatives : The concept and definition of a derivative ; Right and left hand derivatives ; Differentiability in an interval ; Piecewise differentiability ; Differentials ; The differentiation of composite functions ; Implicit differentiation ; Rules for differentiation ; Derivatives of elementary functions ; Higher order derivatives mean ; value theorems ; LHopitals rules ; Applications
Chapter 5 Integrals : Introduction of the definite integral ; Measure zero ; Properties of definite integrals ; Mean value theorems for integrals ; Connecting integral and differential calculus ; The fundamental theorem of the calculus ; Generalization of the limits of integration ; Change of variable of integration ; Integrals of elementary functions ; Special methods of integration ; Improper integrals ; Numerical methods for evaluating definite integrals ; Applications ; Arc length ; Area ; Volumes of revolution
Chapter 6 Partial Derivatives : Functions of two or more variables ; Neighbourhoods ; Regions ; Limits ; Iterated limits ; Continuity ; Uniform continuity ; Partial derivatives ; Higher order partial derivatives ; Differentials ; Theorems on differentials ; Differentiation of composite functions ; Eulers theorem on homogeneous functions ; Implicit functions ; Jacobians ; Partial derivatives using Jacobians ; Theorems on Jacobians ; Transformations ; Curvilinear coordinates ; Mean value theorems
Chapter 7 Vectors : Definition of Vectors ; Geometric properties of vectors ; Algebraic properties of vectors ; Linear independence and linear dependence of a set of vectors ; Unit vectors ; Rectangular (orthogonal) unit vectors ; Components of a vector ; Dot, scalar or inner product ; Cross or vector product ; Triple products ; Axiomatic approach to vector analysis ; Vector functions ; Limits ; Continuity and derivatives of vector functions ; Geometric interpretation of a vector derivative ; Gradient, divergence and curl ; Formulas involving nabla ; Vector interpretation of Jacobians and orthogonal curvilinear coordinates ; Gradient, divergence, curl and laplacian in orthogonal curvilinear coordinates ; Special curvilinear coordinates
Chapter 8 Applications of Partial Derivatives : Applications to geometry ; Directional derivatives ; Differentiation under the integral sign ; Integration under the integral sign ; Maxima and minima ; Method of Lagrange multipliers for maxima and minima ; Applications to errors
Chapter 9 Multiple Integrals : Double integrals ; Iterated integrals ; Triple integrals ; Transformations of multiple integrals ; The differential element of area in polar coordinates ; Differential elements of area in cylindrical and spherical coordinates
Chapter 10 Line Integrals, Surface Integrals, and Integral Theorems : Line integrals ; Evaluation of line integrals for plane curves ; Properties of line integrals expressed for plane curves ; Simple closed curves ; Simply and multiply connected regions ; Greens theorem in the plane ; Conditions for a line integral to be independent of the path ; Surface integrals ; The divergence theorem ; Stokes s theorem
Chapter 11 Infinite Series : Definition of infinite series and their convergence and divergence ; Fundamental facts concerning infinite series ; Special series ; Tests for convergence and divergence of series of constants ; Theorems on absolutely convergent series ; Infinite sequences and series of functions, uniform convergence ; Special tests for uniform convergence of series ; Theorems on uniformly convergent series ; Power series ; Theorems on power series ; Operations with power series ; Expansion of functions in power series ; Taylors theorem ; Some important power series ; Special topics ; Taylors theorem for two variables
Chapter 12 Improper Integrals : Definition of improper integral ; Improper integral of the first kind(unbounded intervals) ; Convergence or divergence of improper integrals of the first kind ; Special improper integrals of the first kind ; Improper integrals of the second kind ; Cauchy principal value ; Special improper integrals of the second kind ; Convergence tests for improper integrals of the second kind ; Improper integrals of the third kind ; Improper integrals containing a parameter ; Uniform convergence ; Special tests for uniform convergence of integrals ; Theorems on uniformly convergent integrals ; Evaluation of definite integrals ; Laplace transforms ; Linearity ; Convergence ; Application ; Improper multiple integrals
Chapter 13 Fourier Series : Periodic functions ; Fourier series ; Orthogonality conditions for the sine and cosine functions ; Dirichlet conditions ; Odd and even functions ; Half range Fourier sine or cosine series ; Parsevals identity ; Differentiation and integration of Fourier series ; Complex notation for Fourier series ; Boundary-value problems ; Orthogonal functions
Chapter 14 Fourier Integrals : The Fourier integral ; Equivalent forms of Fouriers integral theorem ; Fourier transforms
Chapter 15 Gamma and Beta Functions : The gamma function ; Table of values and graph of the gamma function ; The beta function ; Dirichlet integrals
Chapter 16 Functions of a Complex Variable : Functions ; Limits and continuity ; Derivatives ; Cauchy-Riemann equations ; Integrals ; Cauchys theorem ; Cauchys integral formulas ; Taylors series ; Singular points ; Poles ; Laurents series ; Branches and branch points ; Residues ; Residue theorem ; Evaluation of definite integrals
- een korte bespreking van « Advanced Calculus -third edition- »
Zoals Robert Wrede in zijn Voorwoord heeft aangegeven zijn er geen fundamentele wijzigingen t.o.v. de eerste editie. Op te merken valt echter dat de derde uitgave slechts 16 hoofdstukken telt tegenover de 17 van de eerste editie. Het hoofdstuk over de Elliptische Integralen (hoofdstuk 16) in de monografie van Spiegel werd door Wrede niet weerhouden. Voorts komt het hoofdstuk over de Gamma en Beta Functies bij Robert Wrede ná , bij Murray Spiegel vóór de Fourier- hoofdstukken, wat volgens Wrede een meer logische constructie is.
Ook in de derde editie komen de drie belangrijke onderwerpen als "Operationele Analyse" en "Waarschijnlijkheidsanalyse" en "Tensor calculus" niet voor.
De inhoud van de diverse hoofdstukken bleef praktisch ongewijzigd. Een uitzondering hierop is hoofdstuk 7 Vectors (vectoranalyse), waar Robert Wrede, als deskundige op dit gebied, toch enkele belangrijke wijzigingen heeft aangebracht en een axiomatische benadering voor de vectoranalyse heeft geïntroduceerd.
Qua omvang is er tussen de eerste en derde editie weinig verschil: 372 pagina's (384 met de index) voor de eerste en 435 pagina's (445 met de index) voor de derde uitgave. Dit kleine verschil in omvang is te wijten aan het aantal Solved Problems: 925 voor de eerste, 1370 voor de derde editie.
Nabeschouwing:
Voor mij was « Advanced Calculus » van Murray Spiegel de toegangssleutel tot de Hogere Analyse. In mijn doctorale periode heb ik er heel wat uit gehaald.. Deze syllabus was immers heel wat beter dan het collegedictaat van F. van der Blij en J. van Tiel van de Universiteit van Utrecht, dictaat, dat in 1969 bij Het Spectrum (Prisma-Technica) verschenen was. Laatstgenoemd dictaat was voor mij wel interessant als een soort woordenboek : ik leerde op die wijze de juiste Nederlandse termen..
Nog steeds ben ik er van overtuigd dat er geen betere inleiding tot de Hogere Analyse of Calculus bestaat dan Murray Spiegels monografie. Een negatief punt is echter dat de onderwerpen "Operationele Analyse", "Waarschijnlijkheidsanalyse" en "Tensoranalyse" niet behandeld worden. Ze komen -zoals men verder zal zien- aan bod in specifieke en meer uitgebreide syllabi. Naar mijn gevoelen ware een korte inleiding tot deze subgebieden in Murray Spiegel's « Advanced Calculus » wel nuttig geweest.
Dank zij deze syllabus wordt de toekomstige fysicus of ingenieur (maar ook iedere wetenschapper, die met de Hogere Analyse geconfronteerd wordt) ingeleid in de meeste subgebieden zoals vectoriële calculus, speciale functies, Fourier en zelfs de complexe analyse. Aan hem om later deze en de ontbrekende subgebieden nog wat verder uit te diepen. Dienaangaande bestaan er, eveneens van de hand van Murray Spiegel, enkele interessante monografieën.
De leergang "Analyse" van Frank Ayres, die in wezen bestemd was voor wetenschappers zoals chemici, biologen, geologen en... farmaceuten bestond uit 2 syllabi: "Calculus" en "Differential Equations" beide uitgegeven door Schaum. Bij Schaum zal men vergeefs zoeken naar een syllabus "Differential Equations" van Murray Spiegel.
Nog niet zolang geleden ontdekte ik echter dat er wel degelijk een dergelijke monografie bestond, maar dan wel bij een andere uitgeverij met name Prentice-Hall en met als titel « Applied Differential Equations ». Een eerste editie van dit boek was verschenen in 1958, een tweede in 1963 en een derde in 1980.
De inhoud van Spiegel's « Applied Differential Equation » is als volgt:
PART I. ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS
Chapter 1 Differential Equations in General
Chapter 2 First-Order and Simple Higher-Order Ordinary Differential Equations
Chapter 3 Applications of First-Order and Simple Higher-Order Differential Equations
Chapter 4 Linear Differential Equations
Chapter 5 Applications of Linear Differential Equations
Chapter 6 Solution of Linear Differential Equations by Laplace Transforms
Chapter 7 Solution of Differential Equations by Use of Series
Chapter 8 Orthogonal Functions and Sturm-Liouville Problems
Chapter 9 The Numerical Solution of Differential Equations
PART II. SYSTEMS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS
Chapter 10 Systems of Differential Equations and Their Applications
Chapter 11 Further Theory and Application of Non-linear Systems of Differential Equations
Chapter 12 Matrix Eigenvalue Methods for Systems of Linear Differential Equations
PART III. PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
Chapter 13 Partial Differential Equations in General
Chapter 14 Solutions of Boundary Value Problems Using Fourier Series
Chapter 15 Solutions of Boundary Value Problems Using Bessel and Legendre Functions
(1) voor meer details zie bvb: « Wiskundige Toelatingsexamens -met opgeloste vragen van de toelatingsexamens voor Burgerlijk Ingenieur en de Koninklijke Militaire School-» van D. Bollaerts 2de volledig herziene uitgave Standaard (1998).
De examenvragen worden in het boek ingedeeld en gepresenteerd volgens het schema: - Meetkunde, - Analytische Meetkunde, -Goniometrie, -Analyse, -Algebra.
(4) In een reactie op mijn blog maakte de heer Victor Victor Boeckaerts (Lic. Geagr HSO natuurkunde 1970 en Ere-Directeur Volwassenenonderwijs) de volgende opmerking, waarvoor mijn dank:
Toevallig botste ik op uw Blog i.v.m. Analyse voor Bachelors. Ik breng dan ook graag enige bijkomende informatie omtrent Backes en Grosjean.
- Fernand Backes had geen gedrukte syllabus. Hij doceerdemet stijl (weliswaar met een Frans accent ) en afgewerkte bordtekst zodat het goed te volgen was om nota te nemen. Bij het einde van zijn laatste les in 1967 kreeg hij dan ook een spontaan applaus.
- Grosjean was minder genietbaar. Hij had ook geen syllabus. Bij het vak Wiskundige natuurkunde, dat hij gaf in tweede licentie, slaagde hij erin alle formules en bindteksten op het bord te schrijven zodat zijn lessen saai oneindig lang trein der traagheid) duurden. Een lesuur van 1,5 uur smeerde hij uit over een ganse namiddag of avond). Hij gaf soms wel een onderbreking( wij onderbreken even 12 minuten en 28 seconden dixit Grosjean) om blijkbaar te bellen naar zijn vrouw wanneer hij kwam eten - waarna hij weer opdaagde na een twintigtal minuten. Hij durfde het zelfs aan grote delen van hoofdstukken van de voorgaande les te hernemen en wijzigen.Zijn " genialiteit " was dus niet zo genietbaar. Zeker als men zijn tijd nodig voor het afwerken van een licentiaatsthesis die indertijd tijdens het laatste jaar moest afgewerkt worden.
1- Natuurlijke getallen: volledige inductie, binomium van newton, driehoek van pascal; 2- reële getallen en reële functies ; 3- complexe getallen en complexe functies: hyperbolische functies ; 4- primitieve functies en partiële integratie ; 5- afbeeldingen van verzamelingen: differentieerbaarheid ; 6- velden op de euclidische ruimte: vectoranalyse ; 7- differentiaties en differentialen ; 8- krommen en oppervlakken in de euclidische ruimte: differentiaalmeetkunde ; 9- integratie: Riemann integreerbare functies, Lebesgue integreerbare functies, oneigenlijke integralen ; 10- integraalstellingen ; 11-tweedimensionale problemen ; 12- reeksen en oneigenlijke integralen ; 13- machtreeksen en Fourier- reeksen ; 14- analytische functies gammafunctie- ; 15- differentiaalvergelijkingen ; 16- lineaire differentiaalvergelijkingen ; 17- speciale differentiaalvergelijkingen: Legendre, Laguerre, Hermite, Bessel ; 18- functieruimten orthogonale stelsels ; 19- lineaire randwaardeproblemen ; 20- integraaltransformaties en distributies Fourier- en Laplace- transformatie ; 21- variatierekening toepassingen van differentiaalvormen en tenslotte een bibliografie, waarbij verwezen werd naar de Duitse en Engelse literatuur (in totaal 54 referenties!!). Voor ieder hoofdstuk werd naar de passende referenties in de algemene bibliografie verwezen.
(6) Murray Ralph Spiegel was houder van een Master in de Fysica en een PhD in de Wiskunde (Cornell Universtity -1949-). Hij was achtereenvolgens verbonden aan Harvard University, Columbia University, Oak Ridge, and Rensselaer Polytechnic Institute. Hij was geïnteresseerd in alle domeinen van de wiskunde, die van toepassing zijn de ingenieurswetenschappen. Van zijn hand verschenen bij Schaum volgende syllabi: « College Algebra » (eerste editie: 1956) laatste editie: 2009), « Statistics (eerste editie: 1961) laatste editie: 2011), « Advanced Calculus (eerste editie: 1963 laatsye editie: 2010), « Complex Variables » (eerste editie: 1964 laatste editie: 2009), « Laplace Transforms » (1965), « Mathematical Handbook of Formulas and Tables » (eerste editie: 1968 laatste editie: 2008), « Vector Analysis and an Introduction to Tensor Analysis » (eerste editie: 1968 laatste editie: 2009), « Real Variables » (1969), « Advanced Mathematics for Engineers and Scientists » (eerste editie: 1971 laatste editie: 2009), « Finite Differences and Difference Equations » (1971), « Fourier Analysis with Applications to Boundary-Value Problems » (1974), « Probability and Statistics » (eerste editie: 1975 laatste editie: 2008), « Theoretical Mechanics » (1980). Bij Prentice Hall verscheen « Applied Differential Equations » (eerste editie: 1963 laatste editie: 1980).
(8) Robert Wrede bekwam zijn B.S. en M.A aan de Miami University (Ohio) en zijn PhD (wiskunde) aan de Indiana University in 1956. Hij was van 1955 tot 1994 verbonden aan de San Jose State University, waar hij les gaf zowel aan undergraduates en graduates. Van zijn hand zijn volgende monografieën: Introduction to Vector en Tensor Analysis (te verkrijgen bij Dover), Insights into Geometry, Insights into Algebra: a journey through space and time en Insights into Calculus. « Introduction to Vector and Tensor Analysis » is zeker aan te bevelen.
In de meeste Amerikaanse universiteiten wordt heden Stewart i.p.v. "Swokowski" als referentie geciteerd of aangeprezen en dat is ook het geval in sommige Franstalige universiteiten in Canada en in België (Luik).
Zoals de "Swokowski" omvat de Stewart een precalculus- en een eigenlijk calculus gedeelte, vertegenwoordigd door volgende leerboeken, die, in ogenschouw genomen hun omvang duidelijk tot de categorie Uitgebreide Leerboeken behoren:
- « Precalculus: mathematics for calculus » met als auteurs James Stewart, Lothar Redlin et Saleem Watson, een boek dat dit jaar zijn 6de editie beleeft.
- « Calculus concepts and contexts- » met als auteur James Stewart, werk dat heden aan zijn vijfde editie aan toe is en dat ook in Franse vertaling «Analyse concepts et contextes- » (in twee volumes -volume I «Fonctions dune variable» (2011) en volume II «Fonctions de plusieurs variables» (2006)) verdeeld wordt (edities De Boeck)
De hoofdauteur James Drewry Stewart bekwam zijn MS (Master of Sciences) aan de Universiteit van Stanford, waar hij -op didactisch vlak- de invloed onderging van de bekende mathematicus George Polya (1) . Zijn PhD verkreeg hij aan de Universiteit van Toronto. Na een tweejarig verblijf in Londen, werd hij tot hoogleraar benoemd aan de McMaster University (Toronto). Hij is een begaafd vioolspeler en in deze hoedanigheid verbonden aan het Hamilton Philharmonic Orchestra.
Benoemd tot Fellow of the Fields Institute in 2002, bekwam hij in 2003 een eredoctoraat van de McMaster University. In october 2003 werd het James Stewart Mathematics Centre aan dezelfde universiteit geopend. James Stewart is een uiterst succesvol auteur én gewiekst zakenman: zijn boeken werden vertaald in het Spaans, Frans, Italiaans, Grieks, Koreaans en Chinees en hebben hem in alle geval geen windeieren gelegd .
1° Stewart's «Precalculus: mathematics for calculus»
In de USA wordt dit werk met gemengde gevoelens onthaald: sommige studenten beschouwen dit boek als een van de beste precalculus- boeken ooit geschreven, anderen wensen het, inclusief de auteur, naar de verdommenis. Persoonlijk denk ik dat hier ook een aantal misvattingen een rol spelen.
Vooreerst gaat het hem hier over precalculus d.i. een recapitulatie van enkele onderwerpen uit de klassieke algebra, trigonometrie en de analytische meetkunde die van wezenlijk belang zijn voor de eigenlijke calculus. De auteurs gaan blijkbaar uit van de onderstelling dat de lezer al enigszins vertrouwd is met deze onderwerpen, die uiteindelijk toch deel uitmaken van het normale curriculum van het middelbaar onderwijs (high school). Maar door het "New Math Experiment" en zijn nasleep is dit niet steeds het geval.
Indien de student voor de eerste maal geconfronteerd wordt met de materie, die in het boek behandeld wordt, is er natuurlijk wel een probleem en dit verklaart sommige heftige reacties en commentaren op dit boek.
Voorts is het duidelijk de bedoeling van de auteurs om eens een andere benadering of invalshoek op voornoemde materie aan bod te laten komen. Deze nieuwe invalshoek bestaat er in -en in de eerste plaats- een nauwe band te scheppen tussen het beschouwde wiskundig onderwerp en de fysische realiteit, precies zoals Morris Kline (zie cursiefje § 3.1) het voorstond.
Deze benadering wordt nu vergemakkelijkt door het gebruik van de calculator en i.h.b. de grafische calculator. Deze laatste benadering maken het boek voornamelijk interessant voor de oudere generaties wetenschappers, die op deze manier eens kennis maken met de modernere trends. Het gebruik van de calculator en vooral van de grafische calculator houdt echter wel degelijk enige gevaren in, waarvoor ook de auteurs uitdrukkelijk waarschuwen (2) .
Verder gaat het hem hier al evenmin om een soort schoolboek, waarvan de verschillende paragrafen, rubrieken en onderwerpen in het geheugen moeten geprent worden. Deze misvatting overheerst blijkbaar bij vele studenten.
Voor deze misvatting waarschuwen de auteurs in een voorwoord To the Student uitdrukkelijk:
Dont make the mistake to trying to memorize every single rule or fact you may come across. Mathematics doesnt consist simply of memorization. Mathematics is a problem-solving art, not just a collection of facts. To master the subject you must solve problems, lots of problems. Do as many of the exercises as you can. Be sure to write your solutions in a logical, step-by-step fashion. Dont give up on a problem if you can if you cant solve it right away. Try to understand the problem more clearly Once you have done this a few times you will begin to understand what mathematics is really all about .
In de proloog van het boek getiteld Problems of Problem Solving verwijzen de auteurs overigens naar een bekende boek van George Polya How to solve it? a new aspect of mathematical method- (3) . Uiteraard deden deze zinnetjes mij denken aan de Cadettenschool want een halve eeuw geleden werd mij al precies hetzelfde verhaal verteld.
Het boek omvat 13 hoofdstukken met volgende inhoud:
Prologue: Principles of Problem Solving.
Chapter 1 Fundamentals: (1- Real Numbers 2- Exponents and Radicals 3- Algebraic Expressions 4- Fractional Expressions 5- Equations 6- Modelling with Equations 7- Inequalities 8- Coordinate Geometry 9- Graphing calculators: Solving Equations and Inequalities Graphically 10- Lines 11- Making models using Variation - Focus on Modelling: fitting lines to data)
Chapter 2 Functions: (1- What Is a Function? 2- Graphs of Functions 3- Getting Information from the Graph of a Function 4- Average Rate of Change of a Function 5- Transformations of Functions 6- Combining Functions 7- One-to-One Functions and Their Inverses - Focus on Modelling: modelling with functions )
Chapter 3 Polynomial and rational functions: (1- Quadratic Functions and Models 2- Polynomial Functions and Their Graphs 3- Dividing Polynomials 4- Real Zeros of Polynomials 5- Complex Numbers 6- Complex Zeros and the Fundamental Theorem of Algebra 7- Rational Functions - Focus on Modelling: Fitting Polynomial Curves to Data )
Chapter 4 Exponential and logarithmic functions: (1- Exponential Functions 2- The Natural Exponential Function 3- Logarithmic Functions 4- Laws of Logarithms 5- Exponential and Logarithmic Equations 6- Modelling with Exponential and Logarithmic Functions - Focus on Modelling: Fitting Exponential and Power Curves to Data )
Chapter 5 Trigonometric functions unit circle approach: (1- The Unit Circle 2- Trigonometric Functions of Real Numbers 3- Trigonometric Graphs 4- More Trigonometric Graphs 5- Inverse Trigonometric Functions and Their Graphs 6- Modelling Harmonic Motion - Focus on Modelling: Fitting Sinusoidal Curves to Data )
Chapter 6 Trigonometric functions right triangle approach: (1- Angle Measure 2- Trigonometry of Right Triangles 3- Trigonometric Functions of Angles 4- Inverse Trigonometric Functions and Triangles 5- The Law of Sines 6- The Law of Cosines - Focus on Modelling: Surveying )
Chapter 7 Analytical Trigonometry: (1- Trigonometric Identities 2- Addition and Subtraction Formulas 3- Double-Angle, Half-Angle, and Sum-Product Identities 4- Basic Trigonometric Equations 5- More Trigonometric Equations - Focus on Modelling: Travelling and Standing Waves)
Chapter 8 Polar coordinates and parametric equations: (1- Polar Coordinates 2- Graphs of Polar Equations 3- Polar Form of Complex Numbers; DeMoivre's Theorem 4- Plane Curves and Parametric Equations - Focus on Modelling: The Path of a Projectile)
Chapter 9 Vectors in two and three dimensions: (1- Vectors in Two Dimensions 2- The Dot Product 3- Three -Dimensional Coordinate Geometry 4- Vectors in Three Dimensions 5- The Cross Product 6- Equations of Lines and Planes - Focus on Modelling: Vector Fields )
Chapter 10 Systems of equations and inequalities: (1- Systems of Linear Equations in Two Variables 2- Systems of Linear Equations in Several Variables 3- Systems of Linear Equations: Matrices 4- The Algebra of Matrices 6- Inverses of Matrices and Matrix Equations 7- Determinants and Cramer's Rule 8- Partial Fractions 9- Systems of Non-Linear Equations 10- Systems of Inequalities - Focus on Modelling: Linear Programming)
Chapter 11 Conic Sections: (1- Parabolas 2- Ellipses 3- Hyperbolas 4- Shifted Conics 5- Rotation of Axes 6- Polar Equations of Conics - Focus on Modelling: Conics in Architecture)
Chapter 12 Sequences and series: (1- Sequences and Summation Notation 2- Arithmetic Sequences 3- Geometric Sequences 4- Mathematics of Finance 5- Mathematical Induction 6- The Binomial Theorem - Focus on Modelling: Modelling with recursive sequences )
Chapter 13 Limits A preview of Calculus: (1- Finding Limits Numerically and Graphically 2- Finding Limits Algebraically 3- Tangent Lines and Derivatives 4- Limits at Infinity: Limits of Sequences 5- Areas - Focus on Modelling: interpretations of area )
APPENDIX: Calculations and significant figures.
Opvallend is hier de na elk hoofdstuk terugkerende rubriek Focus on Modelling (d.i. modelvorming) (4) .
Modelling blijkt vandaag een vaste trend bij veel wetenschappelijk onderzoek. Deze trend is mogelijk geworden door de numerieke wiskunde en de hierbij horende ontwikkelde software. Vandaag ziet men dan ook tal van wetenschappers op een computerklavier tokkelen, om hun uitverkoren model uit te testen.
Vele wetenschappers geloven zelfs derwijze in HUN uitgekozen of uitgekiend model, dat data die niet met hun model overeenstemmen steeds als onbetrouwbaar of vals aanzien worden. Ze hebben uit het oog verloren dat een model maar een benadering is van de fysische realiteit en dat model en realiteit nooit volkomen zullen samenvallen.
2° Stewart's « Calculus concepts et contexts- »
Een eerste editie van « Calculus concepts and contexts- » van James Stewart verscheen al in 1997, een tweede in 2000, een derde in 2005, en een vierde in 2009. Het werk was in het begin te verkrijgen in één, later in twee volumes die de functies met één (volume I) respectievelijk met meerdere veranderlijken (volume II) behandelden: « Calculus concepts and contexts- 4th edition » omvatte aldus « Single Variable Calculus » met 632 paginas en « Multiple Variable Calculus » met 978 paginas!!
Aansluitend op deze twee basisteksten waren er verder enkele ancillae voorhanden: een «Study Guide for Stewart's Single Variable Calculus: Concepts and Contexts 4th edition » (431 paginas), een « Study Guide for Stewart's Multivariable Calculus: Concepts and Contexts, 4th edition » (344 paginas), een « Student Solutions Manual for Stewart's Single Variable Calculus: Concepts and Contexts, 4th edition » (432 paginas) « Student Solutions Manual for Stewart's Multivariable Calculus: Concepts and Contexts, 4thedition » (269 paginas).
De volledige Calculus- cyclus 4th van Stewart omvatte aldus 3113 paginas en dit voor een zacht prijsje van 150,80 $ + 140,51 $ + 70,08 $ + 47,51 $ + 81,26 $ + 53,81 $ = 543,97 $.... Geen wonder dat James Stewart een vermogend man werd
Om deze reden alleen al, werd in de USA Stewarts Calculus erg kritisch om niet te zeggen slecht onthaald. Het volstaat hiertoe de diverse commentaren van de gebruikers op Amazon.com even na te lezen Ik kom daar verder in dit cursiefje nog op terug.
De Franse editie van « Calculus -concepts and contexts- » was van de hand van Micheline Citta-Vanthemse en werd uitgegeven door De Boeck onder de titel: « Analyse concepts et contextes- ». Het eerste deel Fonctions dune variable betrof een vertaling van Single Variable Calculus 4th edition en was in 2011 - al aan zijn derde druk toe. Het tweede deel Fonctions de plusieurs variables was een vertaling van Multivariable Calculus 3th edition en was in 2009 al aan zijn vierde druk toe. In 2011 verscheen echter een nieuwe editie, die gebaseerd was op "Multivariable Calculus 4th edition".
Deze Europese edities waren heel wat minder prijzig dan de Amerikaanse: volume I (65 ) volume II (46 ). De layout was, zoals bij alle boeken van Stewart het geval is, quasi perfect en een lust voor het oog.
In het Voorwoord van « Analyse concepts et contextes » beoordeelde Micheline Citta-Vanthemsche (5) Stewarts Calculus 4th nu als volgt:
Traduire et adapter au monde francophone le Calculus, concepts and contexts van James Stewart furent pour moi un réel plaisir. Tant la mathématicienne que lenseignante de mathématiques y ont trouvé leur compte: jai ainsi pu observer de très près avec quel soin les concepts étaient introduits et énoncés, avec quelle patience leurs diverses facettes étaient mises en lumière pour que lapprenant ait le temps de sen forger une première image mentale. Comme enseignante, je partage entièrement les choix de lauteur quant à lexploration numérique et graphique des concepts avant que ne «tombe», beaucoup moins lourdement alors, leur définition formelle .
La généralisation des logiciels de calcul symbolique et des outils graphiques, en facilitant lexpérimentation, lexploration et la conjecture, a bouleversé lenseignement de lanalyse. Cet ouvrage en tient compte largement, tant dans la manière de présenter les concepts que dans les exercices proposés. Les questions résolues et à résoudre en sont dautant plus intéressantes
Voor wetenschappers, die al een inleidende calculusopleiding echter de rug hebben is Stewarts Calculus ongetwijfeld een verdieping en verrijking, zoals uit onderstaande gedetailleerde inhoudsopgave blijkt:
Inhoud van volume I:
Introduction: Un aperçu du calcul différentiel et intégral
Chapitre 1 Fonctions et modèles (1- quatre manières de présenter une fonction 2- modèles mathématiques: un catalogue de fonctions essentielles 3- de nouvelles fonctions avec des anciennes 4- des graphiques par calculatrices et ordinateurs 5- les fonctions exponentielles 6- les fonctions réciproques et les logarithmes 7- les courbes paramétrées) - sujet détude: des cercles qui roulent sur des cercles
Chapitre 2 Limites et dérivées (1- les problèmes de tangente et de vitesse 2- la limite dune fonction 3- calcul des limites par les lois algébriques des limites 4- la continuité 5- les limites infinies et à linfini 6- dérivées et taux de variation 7- la dérivée comme fonction 8- que dit f à propos de f) - sujet détude: les premières méthodes de recherche de tangente
Chapitre 3 Les règles de dérivation (1- les dérivées des fonctions polynomiales et exponentielles 2- les règles de dérivation du produit et du quotient 3- les dérivées des fonctions trigonométriques 4- la dérivation des fonctions composées 5- la dérivation implicite 6- les fonctions trigonométriques réciproques et leurs dérivées 7- les dérivées des fonctions logarithmes 8- les taux de variation en sciences naturelles et en sciences sociales 9- les approximations affines et les différentielles) - projet appliqué: construire une aire de jeu bien vallonnée - sujet à découvrir: les courbes de Bézier - projet appliqué: où un pilote doit-il amorcer la descente? - sujet à découvrir: les fonctions hyperboliques - sujet détude: les polynômes de Taylor
Chapitre 4 Des applications de la dérivée (1- les vitesses liées 2- valeurs maximales et minimales 3- les dérivées et les formes des courbes 4- étude de fonctions à laide du calcul différentiel ET des calculatrices 5- les formes indéterminées et la règle de lHospital 6- les problèmes doptimisation 7- la méthode de Newton 8- les primitives) - étude appliquée: le calcul différentiel appliqué aux arcs-en-ciel - sujet de rédaction: les origines de la règle de lHospital - projet appliqué: le gabarit dune boîte de conserve
Chapitre 5 Les intégrales (1- des aires et des distances 2- lintégrale définie 3- le calcul des intégrales définies 4- le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral 5- la règle dintégration par substitution 6- lintégration par parties 7- dautres techniques dintégration 8- lintégration à partir des tables ET de logiciels de calcul symbolique 9- lintégration approchée 10- les intégrales impropres) - sujet à découvrir: les fonctions daires - sujet de rédaction: Newton, Leibniz et linvention du calcul différentiel et intégral - sujet à découvrir: des familles dintégrales
Chapitre 6 Des applications des intégrales (1- du nouveau sur les aires 2- les volumes 3- les volumes par les tubes cylindriques 4- la longueur dun arc de courbe 5- valeur moyenne dune fonction 6- applications en physique et en sciences appliquées 7- applications en économie et en biologie 8- probabilité) - sujet à découvrir: rotation autour dune droite inclinée - sujet à découvrir: concours de longueur darc - projet appliqué: quelle est la meilleure place au cinéma? - sujet à découvrir: des tasses complémentaires
Chapitre 7 Les équations différentielles (1- modéliser avec des équations différentielles 2- les champs de directions et la méthode dEuler 3- les équations différentielles à variables séparées 4- croissance et décroissance exponentielle 5- léquation logistique 6- les systèmes proie-prédateur) - projet appliqué: à quelle vitesse une citerne se vide-t-elle? - projet appliqué: quest-ce qui est plus rapide, monter ou redescendre?
Chapitre8 Les suites infinies et les séries (1- les suites 2- les séries 3- le test de lintégrale et le test de comparaison: le calcul des séries 4- dautres tests de convergence 5- les séries entières 6- les développements des fonctions en séries entières 7- les séries de Taylor et de Mac Laurin 8- les applications des polynômes de Taylor) - sujet détude: les suites logistiques - sujet détude: une limite insaisissable - sujet de rédaction: comment Newton découvrit la série du binôme - projet appliqué: le rayonnement des étoiles
Annexes: A- intervalles, inégalités et valeurs absolues B- Géométrie analytique C- Trigonométrie D- Les définitions formelles des limites E- Quelques démonstrations F- La notation Σ G- Intégration des fonctions rationnelles par décomposition en éléments simples H- Les coordonnées polaires I- Les nombres complexes J- Réponses aux exercices impairs
Inhoud volume II:
Chapitre 9 Les vecteurs et la géométrie dans l'espace (1- le repère cartésien dun espace de dimension trois 2- les vecteurs 3- le produit scalaire 4- le produit vectoriel 5- les équations des droites et des plans 6- les fonctions et les surfaces 7- les coordonnées cylindriques et sphériques - sujet à découvrir: la géométrie du tétraèdre - sujet détude: 3D en perspective - sujet détude: des familles de surface
Chapitre 10 Les fonctions vectorielles (1- les fonctions vectorielles et les courbes de lespace 2- les dérivées et les intégrales des fonctions vectorielles 3- la longueur dun arc et la courbure 4- le mouvement dans lespace: vitesse et accélération 5- les surfaces paramétrées) - sujet appliquée: les lois de Kepler
Chapitre 11 Les dérivées partielles (1- les fonctions de plusieurs variables 2- les limites et la continuité 3- les dérivées partielles 4- les plans tangents et les approximations du premier degré 5- la Règle de dérivation des fonctions composés 6- les dérivées dans une direction et le vecteur gradient 7- les valeurs extrêmes 8- les multiplicateurs de Lagrange) - sujet appliqué: dresser les plans dune benne à ordures - sujet à découvrir: approximations quadratiques et points critiques - projet appliqué: la science des fusées - projet appliqué: optimisation dune centrale hydroélectrique
Chapitre 12 Les intégrales multiples (1- les intégrales doubles sur des rectangles 2- les intégrales itérées 3- les intégrales doubles sur des domaines de forme quelconque 4- les intégrales doubles en coordonnées polaires 5- des applications des intégrales doubles 6- des aires de surface 7- les intégrales triples 8- des intégrales triples en coordonnées cylindriques et sphériques 9- changement de variables dans des intégrales multiples) - sujet à découvrir: le volume des hyper sphères - sujet appliqué: une course dobjets qui roulent - sujet à découvrir: lintersection de trois cylindres
Chapitre 13 Lanalyse vectorielle (1- les champs vectoriels 2- les intégrales curvilignes 3- le théorème fondamental pour les intégrales curvilignes 4- le théorème de Green 5- le divergence et le rotationnel 6- les intégrales de surface 7- le théorème de Stokes 8- le théorème de flux divergence 9- résumé - sujet de rédaction: trois hommes et deux théorèmes
Annexes: D- les définitions formelles des limites E- quelques démonstrations H- les coordonnées polaires I- les nombres complexes J- réponses aux exercices impairs
Een positief punt is wel dat Vector Analyse in het boek is opgenomen, onderwerp dat meestal niet behandeld wordt in de Gewone Analyse.
Voortgaande op de behandelde onderwerpen (en vooral de aansluitende en de te ontdekken onderwerpen als bvb de wetten van Kepler, de hyperbolische functies, het volume van hyperbollen, de wereld van de satellieten en projectielen enz.) kan ik echter het laaiend enthousiasme van een Micheline Citta-Vanthemse men vergete niet dat zij betrokken partij is- begrijpen, maar niet beamen. En ik ben zeker niet de enige, die er zo over denkt.
Want hoe is dan het denigrerend commentaar (zie Amazon.com) van zowel student als leraar op dit werk te verklaren?
Stewarts Calculus is naar mijn mening niet geschikt voor een eerste contact met de calculus (de fameuze eerste winding van de didactische spiraal), maar is wellicht nuttig als een begeleidende tekst bij bvb een tweede contact.
Hoe dan ook, het opzet en de omvang van het werk maakt dat de beginnende student door de bomen het bos niet meer ziet. Hij verliest zich in de talloze rubrieken, onderwerpen en problemen. Bovendien werkt het gebruik van de grafische calculator deze verwarring nog meer in de hand
Studenten, die al vertrouwd waren met bvb Calculus I en dus de eerste winding van de didactische spiraal doorlopen hadden, blijken in hun commentaar echter heel wat minder afwijzend Een aanwijzing dat "Stewart" als eerste contact zijn doel mist, maar eventueel wel kan dienen als een begeleidende tekst.
Andere commentatoren vertellen bvb dat ze al in de high school (humaniora) vermoedelijk in een Advanced Placement Program - geconfronteerd werden met Stewarts « Calculus 4th ». Vanuit didactisch oogpunt lijkt mij dit een ernstige fout.
Ik zou zeggen begin voor een eerste contact wat eenvoudiger bvb met een « Beginning Calculus third edition- » van Elliott Mendelson (Schaum -2008-). En schakel later over naar Stewarts Calculus. De grieven tegen Stewart zullen dan wellicht verdwijnen als sneeuw voor de zon
Wat « Beginning Calculus » betreft, even toch benadrukken dat, in tegenstelling met de eerste (1985) en tweede editie (1997), de derde editie van Mendelson's « Beginning Calculus -third edition- » ook het gebruik van de grafische calculator voorziet:
. A feature of the previous edition that has been carried over is the presence of problems that depend on the availability of graphing calculators. Such problems are preceded by the notation GC, enclosed in a square. Solution of these problems is not necessary for comprehension of the text, except insofar as the use of a graphing calculator would enhance understanding of the subject
Voor wie om de een of andere reden (the New math experiment bvb) de eerste winding van de didactische spiraal gemist heeft, is de beste oplossing voor een eerste contact wel "Swokowski". Helaas wordt dit werk niet meer herdrukt. Tracht dus een Swokowski te bemachtigen via een tweedehandsboekhandel. "Swokowski" is volgens mij een van de zeldzame calculusboeken, die zowel de eerste (humaniora) als de tweede winding (bachelor) van de didactische spiraal omvat en tevens deze spiraal in een vloeiende lijn doorloopt.
2° Stewart's « Essential Calculus »
James Stewarts « Precalculus » en « Calculus concepts and contexts- » vormen (zie punt 1) één leergang, één geheel. Precalculus omvat 889 en het uit twee delen bestaande Calculus liefst maar 1610 paginas wat een totaal vormt van 2500 bladzijden!!
Toch wat teveel van het goede zullen vele studenten en docenten gedacht hebben, temeer daar de prijs ook navenant was. Dat alles begon toch verdacht veel op geldklopperij te lijken.
Blijkbaar voelde de auteur wel aan dat er iets moest gedaan worden want hij publiceerde in 2006 de serie « Essential Calculus », een serie, die de editor Brooks/Cole voorstelde als « Beknopte » Leerboeken:
This book is a response to those instructors who feel that calculus textbooks are too big. In writing the book James Stewart asked himself: What is essential for a three-semester calculus course for scientists and engineers? Stewart's «Essential Calculus: early transcendental » offers a concise approach to teaching calculus, focusing on major concepts and supporting those with precise definitions, patient explanations, and carefully graded problems .
« Essential Calculus: early transcendentals » is only 850 pages-two-thirds the size of Stewart's other calculus texts -yet it contains almost all of the same topics. The author achieved this relative brevity mainly by condensing the exposition and by putting some of the features on the website www.StewartCalculus.com. Despite the reduced size of the book, there is still a modern flavor: Conceptual understanding and technology are not neglected; though they are not as prominent as in Stewart's other books.
« Essential Calculus: early transcendentals » has been written with the same attention to detail, eye for innovation, and meticulous accuracy that have made Stewart's textbooks the best-selling calculus texts in the world ..
Zo kwamen er volgende boeken op de markt, waarbij natuurlijk een ancilla als bvb een Student Solutions Manual for Stewart's Essential Calculus niet mocht ontbreken:
- « Essential calculus: early transcendentals » (799 paginas) prijs: 134,85 $ met « Student Solutions Manual for Stewart's Essential Calculus: Early Transcendentals » (460 paginas) prijs: 44,99 $
- « Single Variable Essential Calculus: Early Transcendentals » (516 paginas) prijs: 101,4 $
Daarentegen was er voor « Precalculus », die ook deel uitmaakte van de leergang, helemaal geen beknopte versie voorzien Een Beknopt Leerboek, dat een samenvatting is van én precalculus én calculus, zoals bvb Morris Kline's « Calculus: an intuitive and physical approach » (zie voorgaand cursiefje) was bij Stewart blijkbaar niet aan de orde. Die zogezegde beknoptheid beperkte zich uitsluitend tot het eigenlijke Calculus- deel.
« Essential Calculus » bevatte nu precies dezelfde 13 hoofdstukken als Stewarts « Calculus » maar volgens enkele commentatoren was de hierbij horende Students Solution Manual onontbeerlijk voor een goed begrip van de basistekst. Ging het hier dus wel om een "Beknopt Leerboek"??? Ik meen van niet!!!
Over de monografie Stewart's « Essential Calculus » waren de meningen nogal verdeeld (17) en allesbehalve eensluidend. Onder de titel A Professorial Point of View werd door Gerald Rains, een docent met ervaring, volgende commentaar gegeven:
..Having taught from several different calculus books and been given many more by salespeople eager for me to make a decision to teach from their books, I will admit that I have a different viewpoint about calculus books than most.
There is no way around it. This is a bad textbook for any but the most gifted of students. It's not very good for them either. In general, students learn through doing and not through being "talked at". This is at best a skeleton of a book. The basic theory is covered but not in a way conducive to learning.
Having taught more than a thousand calculus students, some who scored 780 - 800 on their math SATs and some who scored in the low 600s, I pity the poor engineering or science student stuck with this book. The explanations are, for the most part, poor, the examples few, and the problems insufficient for adequate reinforcement of knowledge. In reality, being one of those so-called elite students, one who rarely attended classes in calculus (other than those during which examinations were given), I taught myself from an excellent and long since defunct text, one which had more than an ample supply of examples and problems.
A saleswoman sent me a copy of this book, I pored through it, and came to a simple conclusion. I cannot conceive of a class, either one of average students at a state university or the very elite of the Ivy League for whom I would choose this text. I have heard it praised to the skies by mathematicians, but those were mathematicians who either had never taught or who, in the case of professors and graduate students in mathematics, had never taught well.
The two star rating was probably excessive, but Stewart does cover material skipped in other texts. It's does poorly, but it's done. The first star was required by Amazon for those who would write reviews, so consider this a one on a scale of zero to five.
Dit vernietigend oordeel en commentaar moest wel tot nadenken stemmen Mijn vermoeden, dat er iets niet klopte met de Stewart-mania werd er door bevestigd. Mijn zoektocht nam een totaal andere wending en ik botste hierbij op een oude bekende: Richard Silverman.
SAMENVATTING EN BESLUIT
Een goede, passende referentie, die over "Gewone Calculus" of "Gewone Analyse" handelt, vinden is voor vele studenten of voor autodidacten, die voor het eerst met een calculus-leergang geconfronteerd worden, geen eenvoudige zaak. En ik spreek uit eigen ervaring. Keuzes die moeten gemaakt worden zijn: syllabus of uitgebreide syllabus type Swokowski of Stewart? syllabus of leerboek? met of zonder gebruik van calculator? Mijn conclusies heb ik al vast willen samenvatten in onderstaande tabel:
Syllabus
Beknopt Leerboek
Uitgebreide Syllabus
Calculus zonder calculator
Frank Ayres'
«Calculus -2nd edition- » (2)
Morris Kline's
«Calculus: an intuitive and physical approach » (3)
Earl Swokowski's
«Precalculus » en «Calculus»
Calculus met calculator
Frank Ayres'
«Calculus -5th edition-»(2)
Richard Silverman's «Modern Calculus and Analytical Geometry(4)
James Stewart's «Precalculus» en «Calculus» (2 vol.)(1)
(1) indien enigzins mogelijk: vermijden (2) aan te raden en eventueel aanvullen met « A Students Guide to Maxwell's Equations » van Daniel Fleisch (3) aan te raden en eventueel aanvullen met « Introduction to Vector Analysis for Radio and Electronic Engineers » van William Day of - « div, grad, curl and all that an informal text on vector calculus-» van Harry Schey (4) aan te raden voor studenten met wiskundeknobbel Sluit aan op « Essential Calculus with applications » van dezelfde auteur
(5) Micheline Citta-Vanthemsche is Professor aan de Universitaire Faculteiten Saint Louis te Brussel (F.U.S.L.), waar ze benoemd is voor de leergang Infinitesimaalanalyse bij de faculteit Economische Wetenschappen. Ze stond o.m. in voor de vertaling én van de "Swokowski" én van de "Stewart".
(Hoofdstuk 3 "Algemene Wiskundige Analyse voor bachelors")
§ 3.7 Precalculus en Calculus met Earl Swokowski
Een leergang "Gewone Calculus" omvat heden doorgaans een voorbereidend gedeelte tot de eigenlijke Calculus, dat Precalculus genoemd wordt en dat diverse hoofdstukken uit de klassieke algebra en trigonometrie bevat. Dit voorbereidend deel bleek na het fameuze "New Math Experiment" absoluut noodzakelijk want het ontbrak de nieuwe generatie studenten duidelijk aan parate kennis.
Eind de jaren tachtig, verscheen dan ook Swokowski's « Algebra and Trigonometry with Analytical Geometry » en « Calculus ». Eerstgenoemde titel moet als een Precalculus-boek beschouwd worden. Beide boeken, die in werkelijkheid één geheel vormen, kenden een enorm succes en beleefden vele herdrukken. Ze werden trouwens ook in het Frans vertaald en kenden ook in Europa een groot succes:
Voor het Precalculus deel was dat: « Algèbre et Trigonométrie avec Géométrie analytique » (Earl Swokowski et Jeffery Cole De Boeck traduction de la 9ème édition américaine -1998-); voor het Calculus- deel: « Analyse -5ème édition » (Earl Swokowski De Boeck traduction de la 5ème édition américaine -1995-).
Voor een ganse groep wetenschappers, waaronder chemici, geologen, biologen, farmaceuten, , die geen diepgaande cursus Analyse behoeven, en die het eerder moeten hebben van parate kennis, is Swokowski nu werkelijk ideaal, omdat deze leerboeken erg naar de praktijk toe gericht zijn.
1° bespreking van Swokowski « Algèbre et Trigonométrie avec Géométrie analytique »
De twaalfde Engelstalige editie van dit werk draagt sinds 2001 als titel « Precalculus functions and graphs- » en is gedeeltelijk in te zien op Google.
Uiteraard dekt de nieuwe titel veel beter de inhoud, want het gaat hier niet over een studieboek algebra en (of) trigonometrie maar wel over een precalculus-boek.
Precalculus is, zoals ik al hierboven heb aangeduid, in de USA de gebruikelijke term om de wiskunde aan te duiden, die nodig is ter voorbereiding van de eigenlijke calculus. Precalculus is in wezen een recapitulatie van die gedeelten van de algebra, de trigonometrie en de analytische meetkunde, die van belang zijn voor het ontwikkelen van de eigenlijke calculus.
Swokowski gaf dit overigens zeer duidelijk aan:
Ce livre propose les fondements mathématiques de lalgèbre, de la trigonométrie ainsi que de la géométrie analytique nécessaires à létudiant qui entend poursuivre sa formation au niveau du calcul différentiel et intégral dans les universités, des écoles dingénieurs ou toute autre école spécialisée. La caractéristique principale de cet ouvrage est un excellent bagage théorique associé à des applications pratiques dans les domaines des sciences, de lingénierie et de divers autres domaines de la vie courante
Naar Europese normen blijkt het niveau van dit boek niet diepgaand genoeg te zijn voor bvb fysici en burgerlijke ingenieurs, maar het peil is zeker voldoende voor de andere wetenschappers.
Zo schrijft Prof. Manuel Ojanguren van het Institut de Mathématiques van de Universiteit van Lausanne in een Préface van de Franstalige editie het volgende:
En feuilletant ce livre le Mathématicien risque de froncer les sourcils. Il dira que la définition dangle nest pas formalisée, que la construction des nombres complexes est naïve et quil y a des théorèmes sans démonstration. Le fait est que ce livre na pas été écrit pour le 0,0001 % dêtres humains qui font des mathématiques leur raison de vivre. Il sadresse surtout à ceux qui (persuadés dès lâge le plus tendre que les mathématiques sont une forme extravagante de masochisme) risquent de ne jamais profiter de leur utilité.
En le lisant, ils apprendront plusieurs choses. Tout dabord et cela ne devrait pas chagriner le Mathématicien- que les mathématiques, dans notre monde, sont omniprésentes. Elles interviennent dans lestimation du poids des baleines, dans la cure des calculs rénaux, dans le placement de ses économies et dans quelques milliers dautres situations, bien illustrées dans les exercices. Ensuite ils apprendront trois vérités fondamentales: que certains problèmes ont plusieurs solutions, que certains problèmes nont pas de solution et que, pour résoudre le même problème, il y a plusieurs méthodes. Finalement, pour peu quils se donnent la peine de faire les exercices, ils apprendront à se débrouiller dans les calculs et à manier des unités de mesure, des ordres de grandeur, des graphiques et des calculatrices.
Bien sûr, les formules utilisés dans les problèmes de physique, de chimie, ou de biologie ne sont pas démontrées et ont parfois lair de tomber du ciel mais, si cela trouble le Mathématicien, je vais lui faire un aveu. Jai gagné mes premiers sous en calculant, pour un ingénieur, les fréquences propres dune barre encastrée et tendue. Eh bien! au lieu détudier les principes fondamentaux de la théorie de lélasticité, jai cherché dans un manuel de physique la formule quil me fallait, jai fait les calculs et je les ai envoyés à mon ingénieur, accompagnés dune facture. Cela me disqualifie comme lanceur de première pierre.
Pour terminer, quelques aspects didactiques réjouissants: pas de verbiage sur lensemble vide, pas délucubrations sur la dépendance linéaire du vecteur nul, pas de bluff avec ses structures abstraites dont on ne donnerait que deux exemples. En somme aucune des monstruosités qui se sont incrustées dans les programmes de nos écoles. En voyant cela, le Mathématicien cesse de froncer les sourcils.
Samengevat, het boek is opgebouwd met onvoldoende wiskundige gestrengheid en is te sterk praktijk gericht, punten, waaraan vele mathematici zich zullen storen. Maar zoals Prof. Ojanguren fijntjes laat opmerken: het doelpubliek is niet zozeer de wiskundige maar wel de wetenschapper, die zich voorbereidt op een naar de praktijk gerichte calculuscursus.
Het boek omvat 11 hoofdstukken, die achtereenvolgens handelen over:
1° Enkele fundamentele concepten van de algebra (reële getallen, machten en wortels, algebraïsche vormen, breukvormen)
2° De gelijkheden (vergelijkingen) en ongelijkheden (vergelijkingen van eerste en tweede graad, complexe getallen)
3° De functies en hun grafische voorstelling (rechthoekige coördinaten, grafische voorstelling van vergelijkingen, van de vergelijking van de rechte, het begrip functie, grafische voorstelling van functies, van de functie van de tweede graad, algebraïsche, transcendente en samengestelde functies, inverse functies en
4° De polynomiale en rationale functies (polynomiale functies van hogere graad, deling van een polynomiale functie door x - c, nulpunten van een polynomiale functie, rationale functies)
5° De exponentiële en logaritmische functies (definitie, eigenschappen en grafische voorstelling van exponentiële functies, de natuurlijke exponentiële functie, definitie en grafische voorstelling van logaritmische functies, natuurlijke en decimale logaritmische functie, eigenschappen van logaritmen, exponentiële en logaritmische vergelijkingen)
6° De trigonometrische functies (trigonometrische definitie van een hoek of argument, trigonometrische functies van hoeken of argumenten, trigonometrische functies van reële getallen, getalwaarden van trigonometrische functies, grafische voorstelling van trigonometrische sinus- en cosinusfuncties, grafische voorstelling van de supplementaire functies)
7° De analytische trigonometrie (trigonometrische identiteiten, trigonometrische vergelijkingen, de som en verschilformules, formules voor multipele argumenten, transformatieformules van Simpson en hun gebruik, inverse trigonometrische functies)
8° Enkele toepassingen van de trigonometrie (sinusregel, cosinusregel, trigonometrische voorstelling van complexe getallen, formule van De Moivre en nde wortels uit complexe getallen, definitie van vector, optellen en aftrekken van vectoren, scalair product van twee vectoren)
9° De stelsels van vergelijkingen en ongelijkheden (algemeenheden over stelsels van vergelijkingen, lineaire stelsels met twee onbekenden, lineaire stelsels met meer dan twee onbekenden, definitie van matrix, eigenschappen van matrices, partiële breuksplitsing, stelsels van ongelijkheden, lineaire programmatie, matrixalgebra, inversie van een matrix, definitie en eigenschappen van determinanten)
10° Rijen, reeksen en probabiliteit (niet-beperkte rijen en somnotatie, rekenkundige en meetkundige reeksen, wiskundige inductie, permutaties, eenvoudige permutaties en combinaties, probabiliteit, binomium- stelling)
11° De analytische meetkunde (definitie van analytische meetkunde, definitie en eigenschappen van parabolen, ellipsen, hyperbolen, vlakke krommen en parametrische vergelijkingen en grafische voorstelling, polaire coördinaten en grafische voorstelling van polaire functies, polaire vergelijkingen van kegelsneden)
2° bespreking van Swokowski's « Analyse -5ème édition »
Dit erg lijvige boek van meer dan 1050 paginas was de Franse vertaling van Swokowski's « Calculus 5th edition », die dateert van 1991. " Calculus 5th edition " besloeg 1159 pagina's en omvatte zowel Calculus I (single variable calculus) als Calculus II (more variables calculus).
In 1994 zal echter « Calculus 6th edition » verschijnen, een kanjer van 1408 pagina's. Deze laatste editie verschilde met de voorgaande door het introduceren van de computer/calculator technologie.
Bij de uiteenzetting en het oplossen van vraagstukken, wordt in deze editie al gebruik gemaakt van de gewone wetenschappelijke calculator.Op deze wijze wordt het gebruik van de calculator bij het oplossen van problemen aangeleerd. Dit gebruik, dat zekere gevaren inhoudt, moet inderdaad oordeelkundig gebeuren. De eerste negen hoofdstukken hebben betrekking op Calculus I, de zes volgende op Calculus II.
Bij de basistekst " Calculus 6th" horen nu enkele nuttige ancillae als bvb : « Student Solutions ManualVolume I, ISBN: 0-534-93628-8 (55 $ -320 pages-) Volume II, ISBN: 0-534-93629-6 (53 $ -240 pages-) » en « Study GuideVolume I, ISBN: 0-534-93626-1 Volume II, ISBN: 0-534-93627-X ». Let wel dat de basistekst "Calculus 6th " al te verkrijgen was voor een kleine 120 $.
De Franse versie van " Calculus 5th " was van de hand Micheline Citta verscheen voor het eerst in 1993 en zal op zeer korte tijd een reeks herdrukken beleven namelijk in 1995, 1997 en 2000, een duidelijk bewijs dat betreffend werk aansloeg en aan een reële nood beantwoordde. Bij een bezoek aan de Librairie Agora, een in Luik gelegen boekhandel, viel ik toevallig op dit werk en onmiddellijk wist ik dat dit boek hét Leerboek was, waarnaar ik sinds 1958 vergeefs had gezocht.
In een Voorwoord gericht aan de student, schreef de auteur Earl Swokowski volgende tekst:
.. Cest dans létude des problèmes liés au mouvement que le calcul infinitésimal prend naissance au dix-neuvième siècle. Si lalgèbre et la trigonométrie suffisaient à découvrir les caractéristiques dun mouvement rectiligne ou circulaire à vitesse constante, lanalyse savère indispensable lorsque la vitesse varie ou que la trajectoire est moins régulière. Le mouvement ne peut être décrit soigneusement sans une définition précise de la vitesse (taux de variation de la distance par rapport au temps) et de laccélération (taux de variation de la vitesse). Ces définitions sont intimement liées à lun des concepts fondamentaux de lanalyse infinitésimale: la dérivée.
Loin des problèmes de physique qui lui ont donné naissance, lanalyse infinitésimale montre sa puissance et souplesse dans des domaines très divers. Voici quelques champs dapplication modernes de la notion de dérivée: létude de la croissance des bactéries dune culture, la prévision de lissue dune réaction chimique, la mesure de changement instantané dans lintensité du courant électrique, la description du comportement des particules atomiques, létude de la régression dune tumeur traitée par radiations, la prévision de gains ou de pertes en économie, lexamen des systèmes oscillants en mécanique.
La dérivée est un outil essentiel dans la résolution des problèmes de maximums et de minimums comme par exemple, déterminer les dimensions de la boîte la moins chère de volume fixé, calculer la plus longue trajectoire possible dun projectile, déterminer lintensité du trafic la plus sûre sur un pont, fixer le nombre de puits à forer dans une zone pétrolifère, trouver le point le plus éclairé entre deux sources lumineuses ou maximiser le profit quune entreprise retire de la production dun bien. Les mathématiciens emploient encore la dérivée pour déterminer la pente de la tangente à une courbe ou pour obtenir le graphique de fonctions compliquées.
Le calcul des aires de régions à frontières courbes est à la base dun autre concept fondamental de lanalyse: lintégrale définie. Les domaines dapplication des intégrales définies ne sont pas moins nombreux ni moins variés que ceux de la dérivée. Citons la recherche du centre de masse et du moment dinertie dun solide, le calcul du travail requis pour envoyer une sonde spatiale sur une autre planète, lestimation du débit sanguin dans les artères, la prévision de lamortissement dun matériel de fabrication, et linterprétation de la quantité diluée dun colorant impliqué dans un test physiologique par trace. En mathématiques, lintégrale définie sert à calculer laire dune surface courbe, le volume dun solide ou la longueur dune courbe.
Les notions de dérivée et dintégrale définie reposent sur celle de limite. Cest par elle que lanalyse se démarque des mathématiques élémentaires. Indépendamment lun de lautre, Isaac Newton (1642-1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ont établi les liens entre les dérivées et les intégrales et sont pour cela reconnus comme les pères de lanalyse, mais depuis eux, de nombreux autres mathématiciens ont contribué à son développement.
Les domaines dapplications cités ne sont que quelques-uns de ceux abordés dans cet ouvrage et il nest pas possible de les étudier tous dautant plus que tout avancement technologique en fait découvrir des nouveaux. Quelque soit votre spécialité, lanalyse infinitésimale y est certainement présente en tant que telle ou à titre doutil. Peut-être serez-vous le promoteur dune nouvelle application de cette branche de mathématiques!
En inderdaad, Analyse is voor iedere wetenschapper onontbeerlijk. Het is onmogelijk wetenschap te bedrijven zonder een gedegen kennis van deze tak van de Wiskunde. Het is immers een zeer veel gebruikt gereedschap bij het oplossen van wetenschappelijke problemen allerhande. Dit wist ik al sinds de Cadettenschool, waar de Muis ons deze waarheid als het ware ingebrand had. Het was deze waarheid, die mij langs vele omwegen (zie de volgende cursiefjes over Analyse) tot het boek van Swokowski geleid had.
Ook een wiskundeleraar als Henk Pfaltzgraff ( zie cursiefje Over boekencollecties en uitgevers (2) ) was en is erg enthousiast over het werk van Swokowski want hij heeft over het prachtige en dikke boek van Swokowski (zesde editie van 1998) en citeert insgelijks in vrije vertaling Swokowski in zijn Voorwoord van Spijker 4:
Calculus is een van de schitterende creaties van de menselijke geest. Het combineert analytische en meetkundige ideeën tot een machtig stuk gereedschap bij de oplossing van problemen. Hoewel calculus oorspronkelijk opgezet werd voor de aanpak van natuurkundige problemen t.a.v. snelheid en versnelling, heeft het zijn nut op veel andere terreinen bewezen
Analyse of Calculus wordt derhalve het best gedoceerd aan de hand van praktische toepassingen en dat is het juist wat het boek van Swokowski zo aantrekkelijk maakt.
Het boek omvat in totaal 19 hoofdstukken, die achtereenvolgens handelen over:
1° Een laatste recapitulatie van de precalculus ( algebra, functies en trigonometrie)
2° Limieten van functies (inleiding, definitie van limiet, technieken voor het berekenen van een limiet, oneindige limieten, continue functies)
3° De afgeleide functie of afgeleide (raaklijn en variatiehoeveelheid, definitie van afgeleide functie, technieken voor het berekenen van afgeleiden, afgeleiden van trigonometrische functies, differenties en differentialen, afgeleide van een samengestelde functie, afgeleide van impliciete functies)
4° Toepassingen van afgeleiden (Extreme of uiterste waarden van functies: het gebruik van de eerste afgeleide, Buiging en buigpunten: het gebruik van de tweede afgeleide, grafische voorstellingen, optimisatieproblemen, rechtlijnige beweging en andere toepassingen, de methode van Newton)
5° De integralen (primitieven of stamfuncties en onbepaalde integralen, verandering van veranderlijken in onbepaalde integralen, het sommatiesymbool en oppervlakte, de bepaalde integraal, de eigenschappen van bepaalde integralen, fundamentele stelling van de Integraalrekening, numerieke integratie)
6° Toepassingen van de bepaalde integraal (berekening van oppervlakten, berekening van het volume van omwentelingslichamen, volumeberekening via cilinders, volumeberekening via transversale doorsneden, berekening van booglengte en omwentelingsoppervlak, berekening van de arbeid, van het traagheidsmoment en het zwaartepunt)
7° De logaritmische en exponentiële functie (inverse functies, natuurlijke logaritmische functie, de exponentiële functie, integratie van breukfuncties en andere functies, logaritmische en exponentiële functies met willekeurig grondtal, de wetten van stijgende en dalende aangroei)
8° De inverse trigonometrische en hyperbolische functies (inverse trigonometrische functies: hun afgeleiden en integralen, definitie van hyperbolische functies, inverse hyperbolische functies)
9° De integratietechnieken (partiële integratie of integratie bij delen, trigonometrische integralen, integratie door trigonometrische substitutie, integratie van rationele functies, integratie van kwadratieken, diverse substitutietechnieken, integraaltabellen)
10° Onbepaalde vormen en oneigenlijke integralen (de onbepaalde vormen 0 / 0 en ∞ / ∞, andere onbepaalde vormen, integratie van discontinue functies)
11° Oneindige reeksen (convergente en divergente reeksen, reeksen met positieve termen, het convergentiekenmerk van dAlembert, alternerende reeksen en absolute convergentie, complete reeksen, functies voorgesteld door een complete reeks, de reeksen van Taylor en Maclaurin, toepassingen van de veeltermen van Taylor, de binomium- reeks)
12° Enkele onderwerpen i.v.m. de analytische meetkunde (parabolen, ellipsen, rotatieassen)
13° Vlakke krommen en poolcoördinaten (raaklijnen en booglengte, poolcoördinaten, integralen en poolcoördinaten, poolvergelijkingen van kegelsneden)
14° Vectoren en Oppervlakken (natuur van een vector, vectoren in R2, vectoren in R3, scalair en vectorieel product van vectoren, rechten en vlakken , oppervlakten)
15° Vectoriële functies (vectoriële functies en ruimtekrommen, limieten, afgeleiden en integralen, toepassing in de Kinematica, kromming, ontbinding in tangentiële en normale componenten, wetten van Kepler)
16° Partieel afleiden of partiële derivatie (functies van meerdere veranderlijken, limieten en continuïteit, berekening van partiële afgeleiden, differenties en differentialen, derivatie van samengestelde functies, directionele afgeleiden, normalen en raakvlakken ook tangentiële vlakken genoemd, extreme of uiterste waarden van functies van meerdere veranderlijken, de multiplicatoren van Lagrange)
17° De meervoudige integralen (dubbele integralen, berekening van oppervlakte en volume, dubbele integralen en poolcoördinaten, berekening van oppervlakken, drievoudige integralen, berekening van traagheidsmomenten en zwaartepunt, cilindrische coördinaten, sferische coördinaten, verandering van veranderlijke en jacobiaan)
18° Vectoriële calculus (vectoriële velden definitie van grad, rot-, kromlijnige integralen, kromlijnige integralen en onafhankelijkheid van de gevolgde weg, stelling van Green-Riemann, oppervlakte integralen, de flux- divergentiestelling van Ostrogradski, de stelling van Stokes)
19° De differentiaalvergelijkingen (differentiaalvergelijkingen scheidbare veranderlijken, differentiaalvergelijkingen van eerste orde, differentiaal vergelijkingen van tweede orde, niet-homogene lineaire differentiaalvergelijkingen, toepassing op trillingen)
Bijlagen: I- Inductie II- stellingen over limieten, afgeleiden en integralen III- tabellen van de trigonometrische functies, van exponentiële functies en van de natuurlijke logaritmen IV- integraaltabellen
Let wel dat Vectoriële Analyse wel degelijk deel uitmaakt van de behandelde materie. In Swokowskis boek is inderdaad hoofdstuk 18 gewijd aan de « Vectoriële calculus » (ofte vectoranalyse).
In de meeste klassieke calculus- boeken wordt deze leerstof niet behandeld. Vectoranalyse is nochtans erg belangrijk is voor de toekomstige wetenschapper. Zonder vectoranalyse is bvb Gravitatie en Elektromagnetisme (veldtheorie) gewoon niet te begrijpen.
Deze materie wordt meestal opgenomen in de leergang Fundamentele Natuurkunde. Maar, zoals Swokowski op schitterende wijze aantoont, heeft vectoriële calculus wel degelijk haar plaats in leerboeken die over Gewone Calculus handelen.
§ 3.6 Leerboeken Analyse voor chemici en bio-ingenieurs (II)
(Hoofdstuk 3 "Algemene Wiskunde voor bachelors")
§ 3.6 Leerboeken Analyse voor chemici en bio-ingenieurs (II)
Enkele decennia terug was het domein der partiële differentiaal vergelijkingen nog voorbehouden materie voor fysici en mathematici (1) . Chemici of biologen, die insgelijks geconfronteerd werden met dergelijke vergelijkingen waren verplicht beroep te doen op leerboeken en monografieën, die bestemd waren voor fysici of mathematici en wel op master of graduate niveau zoals bvb Arthur Webster's « Partial Differential Equations of Mathematical Physics » (2) . Er was dus nood aan een specifieke monografie die ook toegankelijk was voor bachelors inclusief chemici of bio-ingenieurs en die uiteraard op de practijk diende gericht te zijn. Ik meen nu dat Stanley Farlow's boek « Partial Differential Equations for Scientists and Engineers » aan deze eisen voldoet.
Dat partiële differentiaalvergelijkingen ook voor bio-wetenschappers (inclusief artsen en apothekers) erg interessant kunnen zijn, wordt aangetoond door het recente werk « Differential Equations and Mathematical Biology » van Jones en Sleeman.
III- Farlow's « Partial Differential Equations for Scientists and Engineers »
Farlow's « Partial Differential Equations for Scientists and Engineers » verscheen in 1982 bij Wiley en is van oudere datum dan zijn « An Introduction to Differential Equations with applications and their applications » (zie cursiefje §3.5). Dit werk dat een 400 pagina's telt, wordt nog altijd erg geapprecieerd door wetenschappers die eerder gericht zijn op de praktijk en die minder opgezet zijn met theoretische ontboezemingen.
Voor hen telt alleen: "Hoe los ik het praktisch probleem op?" en dit boek beantwoordt volkomen aan hun eisen. Het boek is ingedeeld in 4 delen en 47 "lessons" of paragrafen:
- Part 1 « Introduction »
§1 introduction to partial differential equations: what are PDEs?; why are PDEs useful?; how do you solve a Partial Differential Equation? kinds of PDEs; notes: classification diagram for PDEs; problems; other reading
- Part 2 « Diffusion Type Problems »
§2 diffusion-type problems (parabolic equations): a simple heat-flow experiment; the mathematical model of the heat-flow experiment the heat equation-; more diffusion-type equations; notes; problems; other reading §3 boundary conditions for diffusion-type problems: type 1 boundary conditions; type 2 boundary conditions: type 3 boundary conditions; notes; problems; other reading §4 derivation of the heat equation: derivation of the heat equation -mean value theorem-; problems; other reading §5 separation of variables: overview of separation of variables; separation of variables steps: step1, step 2, step 3; notes; problems; other reading §6 transforming non homogeneous boundary conditions in homogeneous ones: transforming time varying boundary conditions to zero boundary condition; notes; problems; other reading §7 solving more complicated problems by separation of variables: heat-flow problem with derivative boundary conditions; notes; problems; other reading §8 transforming hard equations into easier ones: transforming a heat-flow problem with lateral heat loss into an insulated problem;; notes; other reading §9 solving non homogeneous PDEs (eigenfunction expansions): solution by the eigenfunction expansion method; solution of a problem by the eigenfunction-expansion method; notes; problems; other reading §10 integral transforms (sine and cosine transforms): the spectrum of a function; solution of an infinite-diffusion problem via the sine transform; interpretation of the solution; problems; other reading §11 the Fourier series and transform: discrete frequency spectrum of a periodic function; the Fourier transform; notes; problems; other reading §12 the Fourier transform and its application to PDEs: useful properties of the Fourier transform; example of a convolution of two functions; solution of an initial-value problem; notes; problems; other reading §13 the Laplace transform: properties of the Laplace transform; definition of finite convolution; heat conduction in a semi infinite medium; notes; problems; other reading §14 Duhamels principle: heat flow wthin a rod with temperature fixed on the boundaries; the importance of Duhamels principle; notes; problems; other reading §15 the convection term ux in diffusion problems: Laplace transform solution to the convection; notes; problems; other reading
- Part 3 « Hyperbolic Type Problems »
§16 the one dimensional wave equation (hyperbolic equations): vibrating string problem; intuitive interpretation of the wave equation; notes; problems; other reading §17 the DAlembert solution of the wave equation: DAlemberts solution to the one-dimensional wave equation; examples of the DAlembert solution; notes; problems; other reading §18 more on the dAlembert solution: the space-time interpretation of DAlemberts solution; solution of the semi-infinite string via the DAlembert formula; notes; problems; other reading §19 boundary conditions associated with the wave equation: controlled endpoints; force given on the boundaries; elastic attachment on the boundaries; notes; problems; other reading §20 the finite vibrating string (standing waves): separation-of-variables solution to the finite vibrating string; notes; problems; other reading §21 the vibrating beam (fourth order PDE): the simply supported beam; notes; problems; other reading §22 dimensionless problems: converting a diffusion problem to dimensionless form; example of transforming a hyperbolic problem in dimensionless form; notes; problems; other reading §23 classification of PDEs (canonical form of the hyperbolic equation): examples of hyperbolic, parabolic and elliptic equations; the conical form of the hyperbolic equations; notes; problems §24 the wave equation in two and three dimensions (free space): waves in three dimensions; two-dimensional wave equation; notes; problems; other reading §25 the finite Fourier transforms (sine and cosine transforms): examples of the sine transform; properties of the transforms; solving problems via finite transforms; notes; problems; other reading §26 superposition (the backbone of linear systems): superposition used to break an initial boundary value problem into two simpler problems; separation of variables and integral transforms as superpositions; notes; problems; other reading §27 first-order equations (method of characteristics): general strategy for solving the first-order equation; note; problems; other reading §28 nonlinear first-order equations (conservation equations): derivation of the conservation equation; conservation equation applied to the traffic problem; the nonlinear initial-value problem; notes; problems; other reading §29 systems of PDEs: solution of the linear system ut + Aux = 0 ; notes; problems; other reading §30 the vibrating drumhead (wave equation in polar coordinates): solution of the Helmholtz eigenvalue problem; interpretation of J0s; notes problems; other reading
- Part 4 « Elliptic Type Problems »
§31 the Laplacian (an intuitive description): interpretation of ∇2 in two dimensions; intuitive meanings of some basic laws of physics; changing coordinates; notes; problems; other readings §32 general nature of boundary-value problems: steady-state problems; factoring out the time component in hyperbolic and parabolic problems; the three main types of boundary conditions in boundary-value problems; problems; other reading §33 interior Dirichlet problem for a circle: observations on the Dirichlet solution; Poisson integral formula; notes; problems; other reading §34 the Dirichlet problem in an annulus: product solutions to Laplaces equation; worked problems for the Dirichlet problem in an annulus; exterior Dirichlet problem; notes; problems; other reading §35 Laplaces equation in spherical coordinates (spherical harmonics): special cases of the Dirichlet problem; notes; problems; other reading §36 a non-homogeneous Dirichlet problem (Greens functions): potentials from point sources and sinks; Poissons equation inside a circle; finding the potential response;; steps for finding the solution; notes; problems; other reading
- Part 5 « Numerical and Approximate Methods »
§37 numerical solutions (elliptic problems): finite-difference approximations; notes; problems; other reading §38 an explicit finite-difference method: the explicit method for parabolic equations; notes; problems; other reading §39 an implicit finite-difference method (Crank-Nicolson method): the heat-flow problem solved by an implicit method; problems; other reading §40 analytic versus numerical solutions: meaning of analytical solutions; meaning of numerical solutions; comparing numerical and analytical solutions; parameter identification in biology; problems; other reading §41 classification of PDEs (parabolic and elliptic equations): reducing parabolic equations to canonical form; transforming the parabolic equation uxx + 2uxy + uyy = 0 into canonical form; reducing elliptic equations to canonical form; changing the equation y2uxx + x2uyy = 0 to canonical form; problems; other reading §42 Monte Carlo methods (an introduction): evaluating an integral; random numbers; notes; problems; other reading §43 Monte Carlo solutions of partial differential equations: how tour du wino is played; reason for playing tour du wino; notes; problems; other reading §44 Calculus of variations (Euler-Lagrange equations): minimizing the general functional; notes; problems; other reading §45 variational methods for solving PDEs (method of Ritz): method of Ritz for minimizing functions; notes; problems; other reading §46 perturbation method for solving PDEs: perturbation solution of the nonlinear equation nabla2u + u2 = 0; problems; other reading §47 conformal-mapping solution of PDEs : conformal mappings and complex functions; definition of conformal mapping; notes; problems; other reading
Answers to selected problems
- Appendix 1: Integral Transform Tables
- Appendix 2: PDE crossword puzzle
- Appendix 3: Laplacian in different coordinate systems
- Appendix 4: Types of Partial Differential Equations
- een bespreking van « Partial Differential Equations for Scientists and Engineers »
Bij het schrijven van dit werk had Stanley Farlow in de eerste plaats een bepaald doelpubliek (fysici en ingenieurs) voor ogen, want op de achterkaft van het werk kon men lezen:
...Most physical phenomena, whether in the domain of fluid dynamics, electricity, magnetism, mechanic, optics or heat flow, can be described in general by partial differential equations. Indeed such equations are crucial to mathematical physics. Although simplifications can be made that reduce these equations to ordinary differential equations, nevertheless the complete description of physical systems resides in the general area of partial differential equations.
This highly useful text shows the reader how to formulate a partial differential equation from the physical problem (constructing the mathematical model) and how to solve the equation (along with initial and boundary conditions).
Written for advanced undergraduate and graduate students, as well as professionals working in the applied sciences, this clearly written book offers realistic, practical coverage of diffusion-type problems, hyperbolic-type problems, elliptic-type problems and numerical and approximate methods. Each chapter contains a selection of relevant problems (answers are provided) and suggestions for further reading...
Aan de reacties van de commentatoren op Amazon bvb, was duidelijk te merken dat velen ingenomen waren (zijn) met dit boek. Een ingenieur (J. Merino) schrijft dienaangaande:
...As an engineer I want to solve problems which eventually means to solve the mathematical equations, (PDE's in this case), which explain the physical models behind the real-world problems, and I think, this book is the fastest and easiest way to learn how to solve those PDE's.
No interminable intensive mathematical demonstrations and proofs of "2+2=4", just the way I must follow to solve PDE's, all methods based in a very intuitive, yet not rigorous, approaching. I suppose a mathematician will not like this book because of the too frivolous treatment of the subject, but for me is PERFECT!
I usually solve PDE's with MATLAB and to be honest I don't have any idea about the way the program does it, so why should I be worried about the "recipes" Mr. Farlow gives me to do the same, I trust him, and I always can get a more advance text the day I want to go more deeply into the subject.
The introduction to "Monte Carlo", "Perturbation" and "Variations" methods in the final chapters are genial...
Ook in de bio-wetenschappen zijn partiële differentiaalvergelijkingen en hun oplossingen van zeer groot belang. Uiteraard heeft dat te maken met het feit dat elk biologisch proces bepaald wordt door een groot aantal parameters of variabelen en derhalve zal voeren naar partiële differentiaalvergelijkingen.
(
wordt voortgezet)
IV- Jones en Sleeman's « Differential Equations and Mathematical Biology »
Voor biowetenschappers is « Differential Equations and Mathematical Biology » van Jones en Sleeman (Chapman & Hall, -2003-), dat zich op hetzelfde niveau situeert als Farlow's boek een zeer nuttige aanvulling. Het werk beperkt zich echter tot de biologische toepassingen van gewone en partiële differentiaalvergelijkingen.
Voor de biowetenschapper de studie van differentaalvergelijkingen, inclusief de partiële differentiaalvergelijkingen, -ik zou durven zeggen vooral van partiële differentiaal vergelijkingen- onvermijdelijk geworden. Het is dan ook niet verwonderlijk dat hieromtrent een specifieke literatuur ontstaan is.
De monografie van D.S. Jones en B.D. Sleeman met de veelzeggende titel « Differential Equations and Mathematical Biology » telt nog geen 300 pagina's, werd uitgegeven Chapman & Hall/ CRC en behoort tot de "Mathematical Biology and Medicine Series".
Ter verantwoording van het boek schreef de editor:
...The conjoining of mathematics and biology has brought about significant advances in both areas, with mathematics providing a tool for modelling and understanding biological phenomena and biology stimulating developments in the theory of nonlinear differential equations. The continued application of mathematics to biology holds great promise and in fact may be the applied mathematics of the 21st century.
Differential Equations and Mathematical Biology provides a detailed treatment of both ordinary and partial differential equations, techniques for their solution, and their use in a variety of biological applications. The presentation includes the fundamental techniques of nonlinear differential equations, bifurcation theory, and the impact of chaos on discrete time biological modelling. The authors provide generous coverage of numerical techniques and address a range of important applications, including heart physiology, nerve pulse transmission, chemical reactions, tumour growth, and epidemics.
This book is the ideal vehicle for introducing the challenges of biology to mathematicians and likewise delivering key mathematical tools to biologists. Carefully designed for such multiple purposes, it serves equally well as a professional reference and as a text for coursework in differential equations, in biological modelling, or in differential equation models of biology for life science students.
Ziehier nu een overzicht van de inhoud van het boek zoals weergegeven door de inhoudstafel:
Chapter 1 « Introduction »
§1 Population growth §2 Administration of drugs §3 Cell division §4 Differential equations with separable variables §5 General properties §6 Equations of the homogeneous type §7 Linear differential equations of the first order §8 Notes
Chapter 2 « Linear Ordinary Differential equations with Constant Coefficients »
§1 Introduction §2 First-order linear differential equations §3 Linear equations of the second order §4 Finding the complementary function §5 Determining a particular integral §6 Forced oscillations §7 Differential equation of order n §8 Uniqueness
Chapter 3 « Simultaneous Equations with Constant Coefficients »
§1 Simultaneous equations of the first order §2 Replacement of one differential equation by a system §3 The general system §4 The fundamental system §5 Matrix notation §6 Initial and boundary value problems §7 Solving the inhomogeneous differential equation §8 Appendix : symbolic computation
Chapter 5 « First-order Systems of Ordinary Differential Equations »
§1 Existence and uniqueness §2 Epidemics §3 The phase plane §4 Local stability §5 Stability §6 Limit cycles §7 Forced oscillations §8 Appendix : existence theory §9 Appendix : computing trajectories
Chapter 6 « Mathematics of Heart Physiology »
§1 The local model §2 The threshold effect §3 The phase plane analysis and the heart beat model §4 Physiological considerations of the heart beat cycle §5 A model of the cardiac pacemaker §6 Notes
Chapter 7 « Mathematics of Nerve Impulse Transmission »
§1 Excitability and repetitive firing §2 Travelling waves §3 Qualitative behaviour of travelling waves §4 Notes
Chapter 8 « Chemical Reactions »
§1 Wave fronts for the Belousov-Zhabotinskii reaction §2 Phase plane analysis of Fishers equation §3 Qualitative behaviour in the general case §4 Notes
Chapter 9 « Predator and Prey »
§1 Catching fish §2 The effect of fishing §3 The Volterra-Lotka model
Chapter 10 « Partial Differential Equations »
§1 Characteristics for equations of the first order §2 Another view of characteristics §3 Linear partial differential equations of the second order §4 Elliptic partial differential equations §5 Parabolic partial differential equations §6 Hyperbolic partial differential equations §7 The wave equation §8 Typical problems for the hyperbolic equation §9 The Euler-Darboux equation
Chapter 11 « Evolutionary Equations »
§1 The heat equation §2 Separation of variables §3 Simple evolutionary equations §4 Comparison theorems §5 Notes
Chapter 12 « Problems of Diffusion »
§1 Diffusion through membranes §2 Energy and energy estimates §3 Global behaviour of nerve impulse transmissions §4 Global behaviour in chemical reactions §5 Turing diffusion driven instability and pattern formation §6 Finite pattern forming domains §7 Notes
Chapter 13 « Bifurcation and Chaos »
§1 Bifurcation §2 Bifurcation of a limit cycle §3 Discrete bifurcation §4 Chaos §5 Stability §6 The Poincaré plane §7 Averaging §8 Appendix : programs
Chapter 14 « Growth of Tumours »
§1 Introduction §2 A mathematical model of tumour growth §3 A spherical tumour §4 Stability §5 Notes
Chapter 15 « Epidemics »
§1 The Kermack-McKendrick model §2 Vaccination §3 An incubation model §4 Spreading in space
- een bespreking van Jones en Sleeman's « Differential Equations and Mathematical Biology »
§ 3.5 Leerboeken Analyse voor chemici en bio-ingenieurs (I)
(Hoofdstuk 3 "Algemene Wiskunde voor bachelors")
§ 3.5 Leerboeken Analyse voor chemici en bio-ingenieurs (I)
Syllabi of cursusnotas, hoe goed ook, zijn echter nog altijd geen leerboeken; meer nog Schaum zegt uitdrukkelijk dat de Outlines niet het overeenstemmende studieboek of leerboek kunnen vervangen. In feite is een syllabus op te vatten als een soort samenvatting van een beknopt leerboek (Précis), dat dan op zijn beurt een samenvatting kan zijn van een meer uitgebreid standaardwerk(Traité).
Men heeft dus globaal het schema: Standaard- of Naslagwerk (Traité)→ Beknopt Leerboek (Précis)→ Syllabus (Abrégé). Voor zelfstudie volstaat een syllabus veelal niet en is er op zijn minst ook nog één leer- of studieboek ( Précis) nodig.Een passend studieboek vinden is voor iedere student of autodidact een cruciaal, maar ook veelal een netelig probleem.
Een Standaardwerk (Traité) ontwikkelt en ontvouwt geleidelijk de nodige begrippen en concepten aan met behulp van talloze voorbeelden en toepassingen uit de praktijk. Veelal worden hier ook historisch feitenmateriaal ingelast, om het geheel meer aantrekkelijk te maken.Voor de begripsvorming is een Standaardwerk dan ook ideaal, maar er is natuurlijk de omvang van het werk.
Een Beknopt Leerboek (Précis) daarentegen omschrijft op soms zeer bondige maar exacte manier al deze begrippen en concepten en verzamelt ze tot een samenhangend, sluitend en begrijpelijk geheel aan de hand van enkele welgekozen voorbeelden. Het geheel wordt aldus wat minder aantrekkelijk want wordt door de lezer meestal als wat "saai" en "droog"ervaren. Een Beknopt Leerboek is echter ideaal om een globaal inzicht te verwerven in de behandelde materie.
Een Syllabus (Abrégé) tenslotte vat de belangrijkste rubrieken in het kort samen en legt de nadruk op de meest cruciale punten. Een syllabus is te vergelijken met een "schoolboek" en vertoont dan ook dezelfde (negatieve) karakteristieken.Van heel wat mindere omvang dan een « Traité » of een « Précis » bewijst een syllabus echter uitstekende diensten voor het voorbereiden van examens over de betreffende materie en het aanleren van bepaalde vaardigheden.
Het opzet en doel van al deze studieboeken is dus wel verschillend. Hoe belangrijk een geschikt leerboek voor de student wel is bewijst volgend uittreksel uit een bekend boek van Senk en Thompson:
...The textbook has a powerful influence on what students learn.. The evidence indicates most students learning is directed by the text rather than the teacher. This is an important finding, since the contentof the text is a variable that we can manipulate. In fact it seems at present to be the only variable that on the one hand we can manipulate and on the other hand does affect student learning..
(Sharon Senk and Denisse Thompson in « Standards Based School Mathematics Curricula » -2003-)
Uitstekende klassieke beknopte leerboeken, die geschikt zijn voor chemici en biologen en die de volledige leergang met inbegrip van de differentiaalvergelijkingen bestrijken vormen naar mijn mening het driespan:
- « Calculus an intuitive and physical approach- » van Morris Kline
- « An Introduction toOrdinary Differential Equations with applications » van Stanley Farlow
- « Partial Differential Equations for Scientists and Engineers » van Stanley Farlow
I- Morris Kline's « Calculus: an intuitive and physical approach- »
« Calculus: an intuitive and physical approach » van Morris Kline werd voor het eerst gepubliceerd bij John Wiley in 1967. Tot de uiteindelijke aankoop ben ik echter maar overgegaan in 1999. Dit boek, dat ongeveer 1000 pagina's telt (tabellen inbegrepen) en 25 hoofdstukken, werd immers in 1998 heruitgegeven door Dover. Daar ik sedert jaren de diverse uitgaven en titels van Dover volg, heb ik mij onmiddellijk dit werk aangeschaft want de titel was mij bekend en ook de auteur. Morris Kline was immers de man, die we al in het cursiefje « (Algemene)Wiskunde volgens Morris Kline » ontmoet hebben.
Voor mij is dit toch nog lijvige boek een zeer goede aanvulling op Ayres' syllabus geweest want niet alleen geschreven in een levende, vlotte en boeiende stijl maar ook doorweven met fysische toepassingen. Galileï heeft eens geschreven dat het Boek der Natuur geschreven is in de taal der Wiskunde. Na het doornemen van het werk moest ik besluiten dat het Boek der Natuur geschreven is in de taal van de Calculus. Het maakte mij duidelijk dat fysica maar echt begint, wanneer dit vak gestoeld is op calculus....
In het Voorwoord van de eerste editie van « Calculus an intuitive and physical approach- » schreef Morris Kline nu het volgende:
The second essential aspect in which this book differs from current ones is that the relationship of mathematics to science is taken seriously. The present trend to separate mathematics from science is tragic. There are chapters of mathematics that have value in and for themselves. However, the calculus divorced from applications is meaningless. We should also keep in mind that most of students taking calculus will be scientists and engineers, and these students must learn how to use mathematics. But the step from mathematics to its applications is not simple and its creates difficulties for the student from the time he is called upon to solve verbal problems in algebra.
The mathematics courses fail to teach students how to formulate physical problems mathematically. The science and engineering courses, on the other hand assume that students know how to translate physical problems into mathematical language and how to make satisfactory idealizations. The gap between mathematics and science instruction must be filled, and we can do so to our own advantage because thereby we give meaning and motivation to the calculus
Wijze woorden, die bevestigen wat een Vladimir Arnold (1) meer dan dertig jaar later, in maart 1997, zal schrijven in zijn pamflet On teaching Mathematics:
Mathematics is a part of physics. Physics is an experimental science, a part of natural science. Mathematics is the part of physics where experiments are cheap.
In the middle of the twentieth century it was attempted to divide physics and mathematics. The consequences turned out to be catastrophic. Whole generations of mathematicians grew up without knowing half of their science and, of course, in total ignorance of any other sciences. They first began teaching their ugly scholastic pseudo-mathematics to their students, then to schoolchildren (forgetting Hardy's warning that ugly mathematics has no permanent place under the Sun).
Since scholastic mathematics that is cut off from physics is fit neither for teaching nor for application in any other science, the result was the universal hate towards mathematicians - both on the part of the poor schoolchildren and of the users
Arnold schreef deze tekst naar aanleiding van het (mislukte) New Math Experiment, maar zijn opmerkingen gelden evenzeer voor een wiskunde, die te sterk abstraheert en de band met de fysische werkelijkheid verwaarloost.
Een ander positief kenmerk van Klines boek is dat er geen absolute scheiding precalculus calculus (wat zich normaliter uit door afzonderlijke volumes zoals bij Swokowski) bestaat. Waar nodig en op het juiste ogenblik herinnert Kline (bvb in een appendix van het betreffende hoofdstuk) aan enkele begrippen uit de algebra, de trigonometrie of de analytische meetkunde.
Een gedetailleerde inhoudstafel toont dit aan:
Chapter 1 Why Calculus?
§1 The historical motivations for the calculus §2 The creators of the calculus §3 The nature of the calculus
Chapter 2 The Derivative
§1 The concept of function §2 The graph of curve of a function §3 Average and instantaneous speed §4 The method of increments §5 A matter of notation §6 The method of increments applied to ax² = y)
Chapter 3 The antiderived function
§1 The integral §2 Straight line motion in one direction §3 Up and down motion §4 Motion along an inclined plane
Appendix « The coordinate geometry of straight lines »: 1- the need for geometrical interpretation 2- the distance formula 3- the slope of a straight line 4- the inclination of a line 5- slopes of parallel and perpendicular lines 6- the angle between two lines 7- the equation of a straight line 8- the distance from a point to a line 9- equation and curve
Chapter 4 The geometrical significance of the derivative
§1 The derivative as slope §2 The concept of tangent to a curve §3 Applications of the derivative as the slope §4 The equation of the parabola §5 Physical applications of the derivative as a slope §6 Further discussion of the derivative as the slope
Chapter 5 The differentiation and integration of powers of x
§1 Introduction §2 The functions xn for positive integral n §3 A calculus method for finding roots §4 Differentiation and integration of xn for fractional values of n
Chapter 6 Some theorems on differentiation and anti differentiation
§1 Introduction §2 Some remarks about functions §3 The differentiation of sums and differences of functions §4 The differentiation of products and quotients of functions §5 The integration of combinations of functions §6 All integrals differ by a constant §7 The power rule for negative exponents §8 The concept of work and a application
Chapter 7 The chain rule
§1 Introduction §2 The chain rule §3 Application of the chain rule to differentiation §4 The differentiation of implicit functions §5 Equations of the ellipse and hyperbola §6 Differentiation of the equations of the ellipse and hyperbola §7 Integration employing the chain rule: The problem of escape velocity §8 Related rates
Appendix: « Transformation of coordinates » 1- introduction 2- rotation of axes 3- translation of axes 4- invariants
Chapter 8 Maxima and minima
§1 Introduction §2 The geometrical approach to maxima and minima §3 Analytical treatment of maxima and minima §4 An alternative method of determining relative maxima and minima §5 Some applications of the method of maxima and minima §6 Some applications to economics §7 Curve tracing
Chapter 9 The definite integral
§1 Introduction §2 Area as the limit of a sum §3 The definite integral §4 The evaluation of definite integrals §5 Areas below the x- axis §6 Areas between curves §7 Some additional properties of the definite integral §8 Numerical methods for evaluating definite integrals
Appendix: « The sum of the squares of the first n integers »
Chapter 10 The trigonometric functions
§1 Introduction §2 The sinusoidal functions §3 Some preliminaries on limits §4 Differentiation of the trigonometric functions §5 Integration of the trigonometric functions §6 Application of the trigonometric functions to periodic phenomena
Chapter 11 The inverse trigonometric functions
§1 The notion of inverse function §2 The inverse trigonometric functions §3 The differentiation of inverse trigonometric functions §4 Integration involving the inverse trigonometric functions §5 Change of variable in integration §6 Time of motion under gravitational attraction
Chapter 12 Logarithmic and exponential functions
§1 Introduction §2 A review of logarithms §3 The derived functions of logarithmic functions §4 Exponential functions and their derived functions §5 Problems of growth and decay §6 Motion in one direction in a resisting medium §7 Up and down motion in resisting media §8 Hyperbolic functions §9 Logarithmic differentiation
Chapter 13 Differential and the law of the mean
§1 Differentials §2 The mean value theorem of the differential calculus §3 Indeterminate forms
Chapter 14 Further techniques of integration
§1 Introduction §2 Integration by parts §3 Reduction formulas §4 Integration by partial fractions §5 Integration by substitution and change of variable
Chapter 15 Some geometric uses of the definite integral
§1 Introduction §2 Volume of solids: the cylindrical element §3 Volume of solids: the shell game; Lengths
Chapter 16 Some physical applications of the definite integral
§1 Introduction §2 The calculation of work §3 Applications to economics §4 The hanging chain §5 Gravitational attraction of rods §6 Gravitational attraction of disks §7 Gravitational attraction of spheres
Chapter 17 Polar coordinates
§1 The polar coordinate system §2 The polar coordinate equations of curves §3 The polar coordinate equations of conic sections §4 The relation between rectangular and polar coordinates §5 The derivative of a polar coordinate function §6 Areas in polar coordinates §7 Arc length in polar coordinates §8 Curvature in polar coordinates
Chapter 18 Rectangular parametric equations and curvilinear motion
§1 Introduction §2 The parametric equations of a curve §3 Some additional examples of parametric equations §4 Projectile motion in a vacuum §5 Slope, area, arc length and curvature derived from parametric equations §6 An application of arc length §7 Velocity and acceleration in curvilinear motion §8 Tangential and normal acceleration in curvilinear motion
Chapter 19 Polar parametric equations and curvilinear motion
§1 Polar parametric equations §2 Velocity and acceleration in polar parametric representation §3 Keplers laws §4 Satellites and projectiles
Chapter 20 Taylors theorem and infinite series
§1 The need to approximate functions §2 The approximation of functions by polynomials §3 Taylors formula §4 Some applications of Taylors theorem §5 The Taylor series §6 Infinite series of constant terms §7 Tests for convergence and divergence §8 Absolute and conditional convergence §9 The ratio test §10 Power series §11 Return to Taylors series §12 Some applications of Taylors series §13 Series as functions
Chapter 21 Functions of two or more variables and their geometric representation
§1 Functions of two or more variables §2 Basic facts on three dimensional Cartesian coordinates §3 Equations of planes; Equations of straight lines §4 Quadric or second degree surfaces §5 Remarks on further work in solid analytical geometry
Chapter 22 Partial differentiation
§1 Functions of two or more variables §2 Partial differentiation §3 The geometric meaning of the partial derivatives §4 The directional derivative §5 The chain rule §6 Implicit functions §7 Differentials §8 Maxima and minima §9 Envelopes
Chapter 23 Multiple integrals
§1 Introduction §2 Volume under a surface §3 Some physical applications of the double integral §4 The double integral §5 The double integral in cylindrical coordinates §6 Triple integrals in rectangular coordinates §7 Triple integrals in cylindrical coordinates §8 Triple integrals in spherical coordinates §9 The moment of inertia of a body
Chapter 24 An introduction to Differential equations
§1 Introduction §2 First order ordinary differential equations §3 Second order linear homogeneous differential equations §4 Second order linear non homogeneous differential equations
Chapter 25 A reconsideration of the foundations
§1 Introduction §2 The concept of a function §3 The concept of a limit of a function §4 Some theorems on limits of functions §5 Continuity and differentiability §6 The limit of a sequence §7 Some theorems on limits of sequences §8 The definite integral §9 Improper integrals §10 The fundamental theorem of calculus §11 The directions of future work
Opvallend zijn ook de talrijke meetkundige en fysische toepassingen, die essentiële onderwerpen uit de natuurkunde en de astronomie verklaren en uiteenzetten, waarbij alleen een zeer elementaire kennis van het betreffende natuurverschijnsel nodig is. Calculus onderwezen op een dergelijke manier is een uitstekende voorbereiding op de leergang « Algemene Natuurkunde ».
Dit werk dat amper 900 paginas bevat, sluit af met een hoofdstuk over de wiskundige fundering van de calculus.
- Een belangrijke opmerking:
In Klines « Calculus an intuitive and physical approach- » werd de vectoranalyse niet behandeld. Vele auteurs beschouwden immers dit onderwerp als behorende tot de "Advanced Calculus". Dit euvel kan mijns inziens verholpen worden door het toevoegen van een afzonderlijke monografie, die, in overeenstemming met Klines zienswijze, natuurlijk rechtstreekse banden moet hebben met de fysische wereld of realiteit.
Voorbeelden van dergelijke monografieën zijn: « Introduction to Vector Analysis for Radio and Electronic Engineers » van William Day en - « div, grad, curl and all that an informal text on vector calculus-» van Harry Schey. Beide boeken situeren zich op bachelor niveau.
1- « Introduction to Vector Analysis for Radio and Electronic Engineers » verscheen voor het eerst in 1966 . Een Nederlandse vertaling verscheen vervolgens in 1973 onder de titel « Vector analyse » bij Het Spectrum (Prisma Technica nr 53). De auteur William David Day was hoofd van het Electrical Engineering Department van het Wimbledon Technical College. Het eerste deel van dit boek geeft een duidelijke uiteenzetting van wat vector- algebra en -analyse in wezen is. Het tweede deel behandelt elektromagnetische problemen waarbij de vectoranalyse uit het eerste deel wordt toegepast. Het is een praktisch gericht boek, geschikt voor zelfonderricht en in het bijzonder voor studenten in de elektrotechniek, natuurkunde en chemie, en dat volgende hoofdstukken bevat:
Hoofdstuk 1- Inleiding
Hoofdstuk 2- Inleiding tot vectoren (1- Inleiding 2- Scalars en vectoren 3- Notaties 4- Het optellen van vectoren 5- Het aftrekken van vectoren 6- Eenheidsvectoren en scalaire vermenigvuldiging 7- Onderling loodrechte componenten 8- Richtingshoeken en richtingscosinussen 9- Vectoren in één vlak 10- Scalars en vectoren in elektromagnetisme 11- opgaven)
Hoofdstuk 3- Vectoralgebra (1- inleiding 2- het product van twee vectoren 3- het scalaire of inwendige product van twee vectoren 4- de hoek tussen twee vectoren 5- het vectoriële of uitwendige product van twee vectoren 6- arbeid en moment 7- de beweging van elektronen in elektrische en magnetische velden 8- tripel producten 9- opgaven)
Hoofdstuk 4- Differentiëren en Integreren van vectoren (1- inleiding 2- de afgeleide van een vector 3- Het differentiëren van producten 4- Lijnintegralen 5- Oppervlakte-integralen 6- De elektromotorische kracht die in een lus wordt opgewekt 7- Differentiaalvergelijkingen Elektrodynamica 9- Opgaven)
Hoofdstuk 5- Gradiënt en potentiaal (1- Inleiding 2- De scalaire plaatsfunctie 3- Gradiënt (inleiding tot het begrip gradiënt; de richtingsafgeleide; de gradient in rechthoekige coördinaten; samenvatting) 4- Het elektrostatisch veld (de gradient en het elektrostatische veld; de scalaire potentiaal; samenvatting) 5- Opgaven)
Hoofdstuk 6- Divergentie (1- Inleiding 2- Fluxdichtheid en flux 3- Het theorema van Gauss 4- De verdeelde lading 5- De definitie van de divergentie van een vector 6- Divergentie in rechthoekige coördinaten 7- Het gebruik van de operator nabla (∇) 8- Het divergentietheorema of de stelling van Gauss 9- De betekenis van de divergentie 10- Opgaven )
Hoofdstuk 7- Rotatie (1- Inleiding 2- De geleider waardoor een stroom gaat 3- Ongelijkmatige stroomverdeling 4- De rotatie van een vector 5- De definitie van rotatie 6- De rotatie in rechthoekige cartesiaanse coördinaten 7- Rotatievrije of gelaagde velden 8- De fysische betekenis van de rotatie 9- Het statische magnetische veld 10- Het elektrostatische veld 11- Opgaven )
Hoofdstuk 8- Identiteiten in vectorbetrekkingen en de vergelijking van Laplace (1- Inleiding 2- De vectoroperator 3- Het toepassen van de operator nabla op scalars en vectoren 4- De operator a . ∇ 5- De operator a x ∇ 6- Identiteiten in vectorbetrekkingen 7- Tweede orde operatoren 8- Opgaven)
Hoofdstuk 9- Elektrostatische en statische magnetische velden (1- Inleiding 2- Samenvatting van eerdere resultaten 3- De wet van Ohm 4- De scalaire magnetische potentiaal 5- De toepassing van de vergelijking van Laplace 6- Eenduidigheid van de oplossing 7- Oplossingen in de vorm van een product 8- Conforme transformaties 9- Enkele veel gebruikte transformaties 10- Randvoorwaarden 11- De diëlektrische bol in een uniform veld 12- Twee evenwijdige cirkelcilinders 13- Opgaven)
Hoofdstuk 10- Coördinatenstelsels (1- Inleiding 2- Invariante operaties 3- Poolcoördinaten in een plat vlak 4- Cilinder- coördinaten 5- De gradiënt in cilindercoördinaten 6- De divergentie in cilindercoördinaten 7- De vergelijking van Laplace 8- De rotatie in cilindercoördinaten 9- Samenvatting: cilindercoördinaten 10- Het gebruik van cilindercoördinaten 11- De oplossing van de Laplace vergelijking 12- Bolcoördinaten 13- Grad, div, rot en ∇² in bolcoördinaten 14- De vergelijking van Laplace en rotatiesymmetrie 14- De bolvormige schaal als een magnetisch schild 15- Samenvatting 16- Opgaven)
Hoofdstuk 11- De vergelijkingen van Maxwell (1- Inleiding 2- De divergentievergelijkingen 3- Elektromagnetische inductie 4- Energiebeschouwingen 5- De continuïteitsvergelijking 6- Verschuivingstroom 7- De vergelijking van Maxwell 8- Randvoorwaarden 9- De ideale geleider 10- De vergelijkingen voor stroomvrije en ladingsvrije velden 11- De vectoriële Laplace 12- Opgaven)
Hoofdstuk 12- De vectoriële potentiaal (1- Inleiding 2- De vectoriële potentiaal voor het magneto- statische veld 3- Eenduidigheid 4- De existentie van de vectoriële potentiaal 5- De stationaire stroom in een cilindrische geleider 6- De vectoriële potentiaal van een stroomelement 7- Het veld van twee lange evenwijdige stromen 8- Potentialen voor velden die veranderlijk zijn in de tijd 9- Samenvatting 10- Opgaven)
Hoofdstuk 13- Elektromagnetische golven en straling (1- Inleiding 2- De golfvergelijking in de vrije ruimte 3- De uniforme zwakke golf 4- Energie en de vector van Poynting 5- De golfvergelijking voor een geleidend medium 6- De geretardeerde potentialen 7- Straling van een stroomelement)
2- « div, grad, curl and all that an informal text on vector calculus-» dateert van ongeveer dezelfde periode (1973). Deze monografie kende een groot succes want een vierde editie verscheen nog in 2005. De auteur Harry M. Schey was insgelijks werkzaam aan een technologisch instituut (Rochester Institute of Technology). Van wat mindere omvang dan voorgaande referentie, omvat deze referentie toch heel wat basismaterie, zoals uit begeleidende inhoudstafel blijkt:
Chapter 2 Surface integrals and the Divergence (Gauss law; the unit normal vector; definition of surface integrals; flux; using Gauss law to find the field; the divergence; the divergence in cylindrical and spherical coordinates; the del notation; the divergence theorem; two simple applications of the divergence theorem; problems
Chapter 3 Line integrals and the curl (work and line integrals; line integrals involving vector functions; path independence; the curl; the curl in cylindrical and spherical coordinates; the meaning of the curl; differential form of the circulation law; Stokes theorem; an application of Stokes theorem; Stokes theorem and simply connected regions; path independence and the curl; problems)
Chapter 4 The gradient (line integrals and the gradient; finding the electrostatic field; using Laplaces equation; directional derivatives and the gradient; the gradient in cylindrical and spherical coordinates; problems)
II- Farlow's « An Introduction to Differential Equations and their applications »
Een algemeen, modern en uitgebreid werk over differentiaalvergelijkingen (inclusief het computationeel luik) en hun diverse toepassingen, én dat bovendien geschikt was voor chemici en bio-wetenschappers, verscheen eerst maar in 1994 bij McGraw-Hill en was van de hand van Stanley Farlow. Een niet-verbeterde editie (de oorspronkelijke editie telde talrijke zetfouten!!) zal later (2006) verschijnen bij Dover. Vóór 1994 hadden chemici en bio-wetenschappers het moeten doen met leerboeken, die in de eerste plaats geschreven waren voor fysici of mathematici.
Stanley Farlow was gedurende enkele jaren verbonden als computer analyst aan het N.I.H. (het bekende National Institute of Health -Bethesda-). Hij werd in 1968 benoemd tot hoogleraar "Wiskundige Analyse" aan de University of Maine. Zulks verklaart dat behalve het klassieke deel ook het computationeel deel betreffende de differentiaalvergelijkingen uitvoerig aan bod komt.
Stanley Farlow is ook de auteur van Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, boek dat verder in dit cursiefje besproken wordt, van Finite Mathematics (1988), van Applied Mathematics (1988), van Introduction to Calculus (1990) en van Calculus and its applications (1990).
Het boek « An Introduction to Differential Equations and their Applications » volgt de didactische lijn uitgestippeld door Morris Kline. Bijgevolg is het werk gericht op "sprekende" practische toepassingen en worden de historische nota's niet vergeten, waardoor het geheel erg aantrekkelijk wordt. Belangrijk is ook dat bij, het oplossen van vraagstukken, grafische calculator en computer niet vergeten worden en de lezer aldus in de moderne wereld van differentiaalvergelijkingen (niet-lineaire dynamica en chaostheorie) wordt ingeleid.
Ziehier nu een gedetailleerd overzicht van de rubrieken die in het boek behandeld worden:
Chapter 1 « Introduction to differential equations »
Prologue: galloping Gertie; differential equations in weather patterns; engineers teach smart building to foil quakes; §1 basic definitions and concepts: the role of differential equations in science; how differential equations originate; order of a differential equation; linear and nonlinear differential equations §2 some basic theory: solutions of differential equations; implicit solutions; comment on explicit solutions versus implicit solutions; the initial value problem; existence and uniqueness of solutions; general solution of a differential equation
Chapter 2 « First-order linear equations »
§1 first-order linear equations: integrating factor method; initial value problem for first-order equations §2 separable equations: solving separable equations §3 growth and decay phenomena: solving the growth and decay equations; initial value problems for growth and decay; radioactive decay; compound interest §4 mixing phenomena: unequal input and output rate of flow §5 cooling and heating phenomena: Newtons law of cooling; constant medium temperature; interpretation of the time constant 1 / k §6 more applications: elementary mechanics; the submarine search problem §7 the direction field and Eulers method: the direction field; general introduction to numerical solutions; Eulers method; error in Eulers method; comparison of round off and discretization errors §8 higher-order numerical methods: the three-term Taylor series method; the Runga-Kutta method
Chapter 3 « Second-order linear equations »
§1 introduction to second-order linear equations: integrating factor method for second-order equations; search for the general solution of the second-order equation; principle of superposition for homogeneous linear equations; the initial value problem for second-order equations; existence and uniqueness for an initial value problem §2 fundamental solutions of the homogeneous equation: linear independence of two functions; the Wronskian §3 reduction of order: the reduction of order method §4 homogeneous equations with constant coefficients: real roots: real and unequal roots; repeated roots §5 homogeneous equations with constant coefficients: complex roots: characteristic equation with complex roots §6 non homogeneous equations: principle of superposition for non-homogeneous equations; solution of the non-homogeneous equation §7 solving non homogeneous equations: method of undetermined coefficients §8 solving non homogeneous equations: method of variation of parameters: variation of parameters; summary of the second-order linear equation with constant coefficients §9 mechanical systems and simple harmonic motion: the equation of motion of a mass on a spring; forces acting upon the mass; units of measure; simple harmonic motion §10 unforced damped vibrations: underdamped motion; critically damped motion; overdamped motion; underdamped case; critically damped case; overdamped case §11 forced vibrations: beats; resonance; forced damped vibrations §12 introduction to higher-order equations: the homogeneous equation; solving homogeneous equations; the non-homogeneous equation; finding non-homogeneous solutions; variation of parameters
Chapter 4 « Series solutions »
§1 introduction: a review of power series: convergence of a power series; test of convergence; power series as a means of defining a function; important properties of power series; analytic functions; shifting indices §2 power series expansions about ordinary points: part I: second order equations with polynomial coefficients §3 power series expansions about ordinary points: part II: radius of convergence of power series solutions §4 series solutions about singular points: the method of Frobenius: motivation for the method of Frobenius; regular singular points; the method of Frobenius §5 Bessel functions: Bessels equation; linearly independent solutions; finding a second solution; comment on Bessel functions; the circular drum
Chapter 5 « The Laplace transform »
§1 definition of the Laplace transform: the concept of an integral transformation; the Laplace transform §2 properties of the Laplace transform: general rules for transforms; the Laplace transform of the derivative; special cases of Laplace transforms §3 the inverse Laplace transform: definition of the inverse Laplace transform; finding the inverse Laplace transform; partial fraction decomposition §4 initial-value problems §5 step functions and delayed functions: the unit step function; the Laplace transform of delayed functions §6 differential equations with discontinuous forcing functions §7 impulse forcing functions: introduction to the impulse response function; a more precise approach to the impulse function §8 the convolution integral: introduction to the convolution; the transfer function and the impulse response function; interpretation of the convolution property
Chapter 6 « Systems of differential equations »
§1 introduction to linear systems: the method of elimination: general first-order linear system; transforming higher-order equations to first-order equations; solving linear systems; the D operator; the method of elimination using the D operator §2 review of matrices: basic terminology and matrix operations; arithmetic of matrices; quick determinant of the 3 x 3 matrix; matrix functions; the matrix exponential; replacing differential equations with matrices §3 basic theory of first-order linear systems: the homogeneous system; linear independence and fundamental sets; the fundamental matrix and the Wronskian §4 homogeneous linear systems with real eigenvalues: eigenvalue and eigenvector functions; the general solution of the homogeneous linear system §5 homogeneous linear systems with complex eigenvalues: solutions corresponding to complex eigenvalues §6 non homogeneous linear systems: the matrix exponential; general integrating factor and the non-homogeneous solution; generalized variation of parameters §7* non homogeneous linear systems: Laplace transforms: sample two-compartiment model §8 applications of linear systems §9 numerical solution of systems of differential equations: the Taylor series method; the Runga-Kutta method for systems; rewriting higher-order systems as first-order systems
Chapter 7 « Difference equations »
§1 introduction to difference equations: solution of a difference equation; linear difference equations; initial value problem; some basic solution theory §2 homogeneous equations §3 non homogeneous equations: general theory of non-homogeneous equations; discrete method of undetermined coefficients; the Z transform; properties of the Z transform §4 applications of difference equations: difference equations in finance; biological populations; second-order equations in biological growth §5 the logistic equation and the path to chaos: the logistic equation; the cobwebdiagram; the path to chaos; the bifurcation diagram; the Feigenbaum cascade and the universal constant §6* iterative systems: Julia sets and the Mandelbrot set: the quadratic iterative system and its Julia sets; escape time algorithme; the Mandelbrot set, a catalog of Julia sets
Chapter 8 « Nonlinear differential equations and chaos »
§1 phase plane analysis and autonomous systems: qualitative analysis and nonlinear equations; phase plane analysis and the mass spring system; the general phase plane and related ideas; finding trajectories: stability of equilibrium points; how to stop a spaceship; angle control of a missile §2 equilibrium points and stability for linear systems: behavior of trajectories §3 stability: almost linear systems: transforming equilibrium points to the origin; determining stability of almost linear systems §4 chaos, Poincaré sections and strange attractors: introduction to chaos; identifying chaotic behavior, the Liapounov exponent; Poincaré sections and strange attractors
Chapter 9 « Partial Differential equations »
§1 Fourier series: periodic functions; Orthogonality of the sine and cosine functions; the Fourier series and Eulers equations §2 Fourier sine and cosine series §3 introduction to partial differential equations: what is a partial differential equation; kinds of partial differential equations; why partial differential equations are useful; how to solve a partial differential equation; the decline of the general solution §4 the vibrating string: separation of variables: the vibrating string; separation of variables; separation of variables solution of the vibrating string problem §5 superposition interpretation of the vibrating string: the vibrating string as a sum of simple vibrations §6 the heat equation and separation of variables: heat flow in a rod; solving the heat equation by separation of variables §7 Laplaces equation inside a circle: the Laplacian; Laplaces equation; Laplaces equation inside a circle
Appendix: complex numbers and complex-valued functions
Bij elke paragraaf of rubriek horen, in applicatie van de gegeven theorie, enkele vraagstukken, waarvoor aanwijzingen worden gegeven om deze op te lossen. De oplossingen van de even genummerde vraagstukken worden op het eind van het boek (answers to problems) gegeven.
- bespreking van Farlow's « An Introduction to Differential Equations and their applications »
In het Voorwoord stelde de auteur zijn werk als volgt voor:
... The book is intended for use in a beginning one-semester course in differential equations. It is designed for students in pure and applied mathematics who have a working knowledge of algebra, trigonometry and elementary calculus. The main feature of this book lies in its exposition. The explanation of ideas and concepts are given fully and simply in a language that is direct and almost conversational in tone. Perhaps in no other college mathematics course is the interaction between mathematics and the physical sciences more evident than in differential equations, and for that reason I have tried to exploit the readers physical and geometrical intuition.
At one extreme, it is possible to approach the subject on a highly rigorous lemma-theorem-corollary level, which, for a course like differential equations, squeezes out the life-blood of the subject, leaving the student with very little understanding of how differential equations interact with the real world. At he other extreme, it is possible to wave away all the mathematical subtleties until neither the student nor the instructor knows whats going on. The goal of this book is to balance mathematical rigor with intuitive thinking.
De benadering volgt ontegensprekelijk dezelfde didactische lijn zoals uitgestippeld door Morris Kline. Vooreerst wordt een te streng wiskundig niveau vermeden, waardoor de relatie met de dagdagelijkse werkelijkheid zou verloren gaan en anderzijds wordt beroep gedaan op de aangeboren meetkundige intuïtie van de student. Het is zeker niet toevallig dat de auteur het in de proloog o.m. heeft over de schommelingen van "galloping Gerrie", een hangbrug, die het wegens windresonantie op 7 november 1940 af liet weten, over de "struggle for existence" van dieren en planten, het biologisch evenwicht en de differentiaalvergelijking van Vito Volterra, over de weersvoorspellingen en Edward Lorenz en de chaostheorie... Een uiterste verscheidenheid van problemen en vraagstukken, die één gemeenschappelijke noemer hebben: differentiaalvergelijkingen.
...The book covers the standard material taught in beginning differential equations courses, with the exceptions of chapters 7 and 8, where I have included optional sections relating to chaotic dynamical systems.
De behandelde leerstof stemt overeen met het klassieke leerprogramma voor beginnende bachelors behalve dan de hoofdstukken 7 (differentie-vergelijkingen) en 8 (niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en chaos). Deze hoofdstukken blijken echter van zeer groot belang te zijn voor de theoretische biologie en zijn in feite voor een moderne bioloog of bio-ingenieur onontbeerlijk.
Verder preciseerde de auteur:
...One of the most important aspects of any mathematics text is the problem sets. The problems in this book have been accumulated over 25 years of teaching differential equations and have been written in a style that, I hope, will pique the students interest. Because not all material can or should be included in a beginning textbook, some problems are placed within the problem sets that serve to introduce additional topics. Often a brief paragraph is added to define relevant terms. These problems can be used to provide extra material for special students or to introduce new material the instructor may wish to discuss. Throughout the book, I have included numerous computational problems that will allow the students to use computer software, such as DERIVE, MATHEMATICA, MATHCAD, MAPLE....
Ten einde een te grote omvang van het werk te vermijden, was het echter noodzakelijk bepaalde onderwerpen, die normaliter als "theorie" behandeld worden, in te lassen als "vraagstukken" waarbij enkele nuttige wenken worden gegeven voor hun oplossing. Het is aan de docent om uit te maken welke onderwerpen en vraagstukken hij verder wil uitdiepen. Waar nodig verwijst de auteur naar "Additional Readings". Zo wordt in hoofdstuk 8 §4 "chaos, Poincaré sections and strange attractors" verwezen naar de bestseller « Does God play dice? » (2) van Ian Stewart (Blackwell, -1989-), naar « Chaotic Vibrations » van Francis Moon (Wiley, -1987-) en naar « Differential Equations: a dynamical systems approach » van J.H. Hubbard en B.H. West (Springer, -1991-).
Ofschoon aangekondigd als een leerboek bestemd voor een college van een semester, is het natuurlijk onmogelijk de materie behandeld in het boek in de voorziene tijdspanne te doceren of te verwerken, wat de auteur overigens ook toegeeft:
... Since one cannot effectively cover all nine chapters of this book during a one-semester course, the following dependence of chapters may be useful in organizing a course of study. Normally, one should think of this text as one-semester book although by covering all the material and working through a sufficient number of problems, it could be used for a two-semester course. I often teach an introductory differential equations course for students in engineering and science. In that course I cover the first three chapters on first and second order equations, followed by chapter 5 (the Laplace transform), chapter 6 (systems), chapter 8 (nonlinear equations) and part of chapter 9 (partial differential equations)....
Naar mijn gevoelen is dit voortreffelijk leerboek, wegens de grote verscheidenheid van de behandelde onderwerpen, zeer geschikt voor chemici, biologen en bio-ingenieurs. Een gerechtvaardigde kritiek is het voorkomen van vele zetfouten in het boek. Er bestaat echter gelukkig een webstek die deze signaleert en verbetert:
Voor wie een globaal overzicht van het domein der differentiaalvergelijkingen en hun moderne toepassingen, inclusief het computationele luik, op prijs stelt, is Farlow's boek ongetwijfeld een must.
§ 3.4 De Syllabi van Frank Ayres ( chemici en bio-ingenieurs) (II)
(Hoofdstuk 3 "Algemene Wiskundige Analyse")
§ 3.4 De Syllabi van Frank Ayres (chemici en bio-ingenieurs) (II):
Gedurende de oorlog en vooral ná de oorlog werden de eerste ordinators of computers ontworpen. In 1960 verscheen nu bij Que sais-je? van de hand van Pierre Demarne (IBM France) en Max Rouquerol (Ecole Polytechnique) het boekje « Les Ordinateurs ». Deze kleine monografie zal in 1982 zijn achtste telkens aangevulde editie kennen met een totale oplage van 80000 exemplaren. Het werd vertaald in het Spaans, het Italiaans en het Japans en is nog altijd aan te raden lectuur voor wie zich interesseert aan het heroïsch begin van de ordinator ofte computer.
In 1978 volgde eveneens bij Que Sais-je? met als auteur Max Rouquerol de monografie « Les Micro-ordinateurs ». Ook dit boekje was en succes: het beleefde een herdruk in 1981 en een oplage van 16000 exemplaren. Voor wie enige basiskennis van de micro- ordinator (ofte PC) en calculator nodig heeft, nog steeds zoals uit de inhoud blijkt (1) nuttige literatuur .
- Opkomst van de wetenschappelijke zakcalculators
De laatste decennia van de twintigste eeuw waren gekenmerkt door de opkomst van de wetenschappelijke zakcalculator en de PC, waardoor een aantal numerieke berekeningen op eenvoudige wijze konden uitgevoerd of geprogrammeerd worden. Deze calculators lieten toe dat nu ook Monsieur Tout-le-Monde de mogelijkheid had ingewikkelde berekeningen door te voeren.
Zo verschenen, vanaf de jaren zeventig, de eerste zakcalculators op de Belgische markt. Bekende calculators waren bvb de HP 35 (2) , de HP 45 (3) (berekenen van transcendentale functies) en vooral de programmeerbare HP 65 (4) van Hewlett-Packard. Het waren de eerste echte wetenschappelijke zakcalculators. Met wetenschappelijke calculators wordt dan bedoeld calculators, die andere bewerkingen dan de 4 klassieke rekenkundige operaties (optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling) kunnen uitvoeren.
Ook Texas Instruments liet zich niet onbetuigd en bracht in een zeer korte tijdspanne het ene na het andere model op de markt (5) . Mijn eerste calculator bvb was dan ook een TI2550 (kostprijs 12000 BF!!); later volgde er nog een TI met printeraansluiting. Vanaf de jaren tachtig was het dan de beurt aan de programmeerbare HP 32S.
Zo omvatte de « Manuel dutilisation » van de HP32S (6) meer dan 300 paginas want deze calculator liet toe via programmatie, algebraïsche vergelijkingen door iteratie op te lossen (SOLVE), vectoriële operaties - met inbegrip van in- en uitproduct - uit te voeren, eenvoudige stelsels van lineaire vergelijkingen op te lossen (Cramer), over te gaan van het ene naar het andere coördinatenstelsel via translatie of rotatie, statistische berekeningen te maken .
Dit alles had echter tot gevolg dat ik mijn wiskundekennis voortdurend moest bijwerken en bijschaven. Het werken met programmeerbare calculators was immers niet zo eenvoudig en vereiste een aangepaste wiskundekennis en i.h.b. van wat men de numerieke analyse of wiskunde is gaan noemen. Numerieke analyse werd dan ook dermate belangrijk dat deze discipline als een apart vak werd onderwezen (zie cursiefje §3.13).
Dank zij de numerieke methodes konden bvb nu ook niet-lineaire differentiaalvergelijkingen bestudeerd worden en de eigenschappen van de oplossingen ervan bepaald (chaostheorie).
Een verdere en bijzonder interessante ontwikkeling in het domein der zakcalculators was de zogenaamde « graphing calculator », mogelijk gemaakt door de « nanotechnologie ». De eerste calculators met grafische voorstelling (7) werden voor het eerst uitgebracht door Casio in 1985 (de fameuze fx7000G) (8) en werden gevolgd door een ganse serie modellen waaronder de Casio graph 100, een (numerieke) grafische calculator, die ik nog steeds gebruik. Voor eenvoudige berekeningen volstond natuurlijk een Casio fx-82B, een zakcalculator die mij nog steeds trouw dient.
Concurrerende bedrijven als Hewlett-Packard en Texas Instruments bleven op dat vlak niet achter en brachten de HP 28C, de TI 80 en vooral de TI 81 op de markt. Grafische calculators worden heden in twee groepen onderverdeeld:
1- numerieke grafische calculators zoals bvb de TI-84 (9)
2- symbolische grafische calculators zoals bvb de TI-89 (10)
Symbolische calculators laten toe te werken met het Computer Algebra System (CAS) (11) een specifieke software, die al in het begin van de jaren zestig was ontwikkeld.
Het is evident, dat dit alles wel een invloed moest hebben op het wiskundeonderricht (algebra, calculus en differentiaalvergelijkingen), zowel in het secundair als in het hoger onderwijs. In "Calculus 6th edition" van Swokowski bvb werd reeds gebruik gemaakt van de gewone wetenschappelijke calculator (zie volgend cursiefje).
Aan het uit het hoofd rekenen werd minder waarde gehecht. Het werken met logaritmetafels, het manipuleren van de rekenliniaal werd niet langer aangeleerd, want niet langer nodig Het terrein werd voortaan ingenomen door Mister Calculator of Sir Computer, die niet alleen in de klaslokalen en de auditoria maar ook in de syllabi en studieboeken zijn intrede deed.
Zo vermeldt de voorkaft van « Calculus fifth edition- » van Frank Ayres Jr en Elliott Mendelson (Schaum -2009-), een syllabus waarover ik het verder in dit cursiefje zal hebben, uitdrukkelijk de zinsnede Expert tips on using the graphing calculator (zie ikoon).
Ook de leerboeken ontsnapten niet aan deze moderne "computationele" tendens. Zo werd de Swokowski, die nochtans al af en toe beroep deed op de "zakcalculator" als old fashion afgedaan en vervangen door de Calculus boeken van James Stewart, die beroep deden op het neusje van de zalm: de "grafische calculator". Het computationele nam bij sommige auteurs de bovenhand op het ratio-nele, wat uiteraard een verderfelijke ontwikkeling is.
Anderzijds was het ook zo dat de numerieke wiskunde, die aan de basis ligt van de berekeningen met calculator of computer weer aan bod kwam, en zodoende kregen sommige oudere en vergeten leerboeken "Numerieke Wiskunde" weer een nieuwe kans. Deze numerieke wiskunde i.h.b. numerieke analyse, die aan de basis ligt voor het ontwikkelen van software paketten zoals MAPLE, MATHEMATICA, MATHLAB enz. wordt in cursiefje §3.13 besproken, maar ook een Murray Spiegel schreef een interessante inleidende syllabus over dit onderwerp (cursiefje §3.9).
Ook de syllabi, die over Differentiaal vergelijkingen handelden, ontsnapten natuurlijk niet aan deze computationele tendens. Voorbeelden hiervan waren Richard Bronson's « Differential Equations » en Paul Duchateau en David Zachmann's « Partial Differential Equations », eveneens verschenen bij Schaum, waarover verder meer(cursiefje §3.10).
III- Frank Ayres' « Calculus -fifth edition »
Frank Ayres' « Calculus -second edition- » is een evergreen, want er waren nog herdrukken in 1990, 1999 en 2009, zodat de syllabus heden aan zijn vijfde editie toe is.
De taak van Frank Ayres is nu overgenomen door Elliott Mendelson, die verbonden is aan Queens College. Laatstgenoemde is ook de auteur is van « Beginning Calculus », een syllabus bestemd voor de high school (humaniora). « Beginning Calculus » kan derhalve als een voorbereidende tekst tot « Calculus -fifth edition- » beschouwd worden.
De oorspronkelijke geest van de fameuze "second edition" is in de "fifth edition" bewaard gebleven. Alleen werd het aantal "solved problems" herleid van 1175 tot 1150 teruggebracht en werden de hoofdstukken iets anders gerangschikt: van 70 tot 59.
Meer aandacht werd ook geschonken aan het "precalculus" deel en Elliott Mendelson schreef in het Voorwoord:
... Moreover, we have made a great effort to go over ticklish point of algebra and geometry that are likely to confuse the student. The author believes that most of the mistakes that students make in a calculus course are not due to a deficient comprehension of the principles of calculus, but rather to their weakness in high school algebra or geometry....
De voorkaft van « Calculus fifth edition- » van Frank Ayres Jr en Elliott Mendelson (Schaum -2009-) gaf met de zinsnede Expert tips on using the graphing calculator aan dat de syllabus ook vraagstukken bevatte waarbij een grafische calculator nodig was. Uiteraard was het de bedoeling om de student ook wat vertrouwd te maken met dit moderne toestel. Zoals bij Frank Ayres' « Calculus -second edition- » waren er twee soorten vraagstukken: solved problems (waarvan de oplossing geschetst werd: theorie) en supplementary problems (waarvan alleen het antwoord gegeven werd).
Vraagstukken waarvoor een grafische calculator nodig was werden voorafgegaan door het symbool (GC) en behoorden steeds tot de "supplementary problems". Ze kwamen voor in hoofdstukken 4, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15, 18, 19, 21, 24, 25, 26, 27, 29, 34, 37, 42, 43, 44, 45, 46, 47 (aangeduid met *). Een grafische calculator was dus niet nodig voor het ontwikkelen van de eigenlijke theorie.
- Precalculus:
Chapter 1- Linear Coordinate Systems - Absolute Value - Inequalities Chapter 2- Rectangular Coordinate Systems Chapter 3- Lines Chapter 4- Circles* Chapter 5- Equations and their Graphs* Chapter 6- Functions Chapter 7- Limits* Chapter 8- Continuity
- Differential Calculus:
Chapter 9- The Derivative Chapter 10- Rules for Differentiating Functions* Chapter 11- Implicit Differentiation* Chapter 12- Tangent and Normal Lines Chapter 13- Law of the Mean Increasing and Decreasing Functions* Chapter 14- Maximum and Minimum Values Chapter 15- Curve Sketching Concavity - Symmetry Chapter 16- Review of Trigonometry Chapter 17- Differentiation of Trigonometric Functions Chapter 18- Inverse Trigonometric Functions* Chapter 19- Rectilinear and Circular Motion* Chapter 20- Related Rates Chapter 21- Differentials - Newton's Method*
- Integral Calculus:
Chapter 22- Antiderivatives Chapter 23- The Definite Integral. Area under a Curve Chapter 24- The Fundamental Theorem of Calculus* Chapter 25- The Natural Logarithm* Chapter 26- Exponential and Logarithmic Functions* Chapter 27- L'Hopital's Rule Chapter 28- Exponential Growth and Decay Chapter 29- Applications of Integration I: Area and Arc Length* Chapter 30- Applications of Integration II: Volume Chapter 31- Techniques of Integration I: Integration by Parts Chapter 32- Techniques of Integration II: Trigonometric Integrands and Trigonometric Substitutions Chapter 33- Techniques of Integration III: Integration by Partial Fractions Chapter 34- Techniques of Integration IV: Miscellaneous Substitutions* Chapter 35- Improper Integrals Chapter 36- Applications of Integration III: Area of a Surface of Revolution Chapter 37- Parametric Representation of Curves* Chapter 38- Curvature Chapter 39- Plane Vectors Chapter 40- Curvilinear Motion Chapter 41- Polar Coordinates Chapter 42- Infinite Sequences* Chapter 43- Infinite Series* Chapter 44- Series with Positive Terms. The Integral Test - Comparison Tests* Chapter 45- Alternating Series - Absolute and Conditional Convergence - The Ratio Test* Chapter 46- Power Series* Chapter 47- Taylor and Maclaurin Series - Taylor's Formulas with Remainder*
Chapter 50- Space Vectors Chapter 51- Surfaces and Curves in Space Chapter 52- Directional Derivatives - Maximum and Minimum Values Chapter 53- Vector Differentiation and Integration Chapter 54- Double and Iterated Integrals Chapter 55- Centroids and Moments of Inertia of Plane Areas Chapter 56- Double Integration Applied to Volume under a Surface and the Area of a Curved Surface Chapter 57- Triple Integrals Chapter 58- Masses of Variable Density
- Differential Equations
Chapter 59- Differential Equations of First and Second Order
- korte bespreking van « Calculus -fifth edition- »:
Zoals bij de "second edition" zijn de meetkundige figuren (krommen, oppervlakken, lichamen) ook hier indrukwekkend en zeer verzorgd. Zij dragen enorm bij tot de begripsvorming en zijn essentieel voor de Calculus-meetkunde. Calculus-meetkunde (de eigenlijke "Analytische Meetkunde") blijkt ook in deze editie een volwaardig en fantastisch werkinstrument te zijn voor het oplossen van allerhande meetkundige en fysische problemen.
In tegenstelling met de "second edition" komt hier echter de vectoriële calculus nu wel aan bod (chapters 50 - 58). Ook wordt aandacht besteed aan het begrip "totale differentiaal" (chapter 49), een uiterst belangrijk begrip, onmisbaar voor een juist begrip van de Tweede Hoofdwet der Thermodynamica.
De huidige syllabus telt ongeveer 500 pagina's en is zeker geschikt voor een meer uitgebreid contact met de infinitesimaalrekening. Eventueel kan voor een eerste contact de syllabus « Beginning Calculus » (Schaum) van dezelfde auteur (Elliott Mendelson) genomen worden.
(1) Table des matières « Les Micro-ordinateurs » Que sais-je? n° 1723 :
Introduction - Première Partie: Description des micro-ordinateurs: Chapitre 1 Ordinateurs et Micro-ordinateurs (1- définition des micro-ordinateurs 2- principe des micro-ordinateurs 3- micro-ordinateurs et calculatrices de poche) Chapitre 2 Rappel de la définition des micro-ordinateurs (I- Emploi dune calculatrice de poche: description - principe de travail; II- Traitement de données et calcul automatique; III- Automatisation progressive du système «employé + calculatrice»; IV- Limites des Calculatrices; V- Conditions dune automatisation plus complète: écriture automatique mémorisation opérations « logiques » - vérification analyse des travaux universalité; V- Définition des ordinateurs: ordinateurs micro-ordinateurs) Chapitre 3 Le milieu interne des micro-ordinateurs (I- Evolution de la technologie électronique; II- Aperçu global dun Micro-ordinateur; III- Le Microprocesseur; IV- Mémoires internes: mémoires vives «RAM» - mémoires mortes «ROM» - mémoires à bulles «disquettes»; V- Circuits de contrôle des éléments dEntrée/Sortie) Chapitre 4 Les moyens de communication avec le milieu interne des micro-ordinateurs (I- Mémoires externes: cassettes disquettes; II- Unités dEntrée et de Sortie unités de sortie unités dentrée; III- Lignes de Transmission; IV- Configurations possibles des micro-ordinateurs; V- Programmation) Chapitre 5 Rappel sur la technologie électronique (I- Rappel sur les «opérateurs logiques»: 1- les opérateurs logiques fondamentaux; 2- Emploi des opérateurs logiques calcul arithmétique 3- emploi des opérateurs logiques fonction de contrôle 4- processeur en logique câblée 5- processeur en logique programmable 6- comparaison des logiques câblées et des logiques programmables; II- Rappel sur les semi-conducteurs: 1- principe des transistors 2- transistors MOS et MOSFET 3- fabrication des transistors 4- principe des mémoires à transistors; III- Rappel sur les circuits intégrés: 1- classification suivant la technologie utilisée 2- classification suivant la complexité) - Deuxième Partie: Utilisation des Micro-ordinateursChapitre 1 Conditions dutilisation (I- Domaine demploi; II- Mode demploi des micro-ordinateurs; III- Paramètres descriptifs des micro-ordinateurs: capacité de la mémoire interne vitesse de lunité arithmétique et logique flux dinformations échangées avec lextérieur capacité des mémoires externes système dexploitation et langages de programmation; IV- Mesures des applications: complexité des traitements dimensions des fichiers) Chapitre 2 Applications autonomes (I- Calculs scientifiques et techniques; II- Applications administratives: principe des applications administratives facturation avec un micro-ordinateur saisie des données assistée saisie dinformations sur le terrain; III- Les Ordinateurs individuels) Chapitre 3 Applications automatiques (I- Applications industrielles: principe rôle des ordinateurs emploi des ordinateurs applications ancillaires surveillance dun phénomène asservissement séquentiel modèle logique; II- Automatisme de transmission: principe rôle des ordinateurs emploi des micro-ordinateurs)
§ 3.3 De Syllabi van Frank Ayres (chemici en bio-ingenieurs) (I)
(Hoofdstuk 3 "Algemene Wiskunde voor bachelors")
§ 3.3 De Syllabi van Frank Ayres (voor chemici en bio-ingenieurs) (I):
Aan de Gentse Alma Mater werd, eind de jaren vijftig, een cursus Infinitesimaalanalyse bestemd voor chemici, biologen en farmaceuten gedoceerd door een zekere Carl Grosjean (1926-2006).Voornoemde was precies in 1958, jaar van mijn inschrijving aan de Gentse universiteit, tot docent benoemd met volgende leeropdracht : « Beginselen van analytische meetkunde, Infinitesimaalanalyse en analytische mechanica met praktische oefeningen» voor de eerste en tweede kandidatuur schei-, aard- en delfstofkunde, biologie en aardrijkskunde (KB 22-04-1958). Deze cursus was gespreid over de twee kandidaturen en was een verplicht vak voor toekomstige chemici, biologen, geologen en geografen; voor toekomstige apothekers was dit vak echter facultatief, maar sterk aangeraden. Het onderdeel analytische meetkunde en infinitesimaalanalyse vormde de leerstof van de eerste kandidatuur, analytische mechanica, gebaseerd op variatierekening of analyse (?), was materie voor de tweede kandidatuur. Met beginselen van de analytische meetkunde werd uiteraard bedoeld, dit gedeelte dat nuttig is voor een cursus in de infinitesimaalanalyse en wat de Angelsaksers precalculus noemen (zie voorgaand cursiefje).
In 1960 (KB van 9-08-1960) werd nu de leeropdracht van Grosjean nog verder uitgebreid met de cursus « Theorie van de reactor en afscherming tegen radiatie » (derde proef natuurkundig ingenieur richting kernwetenschappen-). Hiervóór, d.i. vanaf oktober 1954 tot juni 1958 had hij als lector dezelfde (vrije) cursus gedoceerd. Uit zijn curriculum (1) blijkt inderdaad dat Grosjean beslagen was, zowel in de nucleaire natuurkunde als in de wiskundige analyse. Een tiental jaren later ( KB 9-02-1970) zal Grosjean overigens nog aangesteld worden als titularis van de leerstoel wiskundige natuurkunde (met inbegrip van de quantumveldtheorie) voor de licentie en de graden natuurkunde. Prof. Grosjean (2) zou later hoofd worden van het Laboratorium voor Numerieke Wiskunde en Informatica aan de Krijgslaan te Gent.
In 1959 had de universiteit nu haar eerste grote computer, de IBM 1620 gekocht. Het toestel werd ondergebracht in het Rekenlaboratorium van de universiteit, en wel in de kelders van het Plateaugebouw. Dit rekenlaboratorium was gesticht in 1952 met kredieten voor de heropleving van het land na de Tweede Wereldoorlog. Verschillende universiteiten voelden immers de noodzaak van rekencentra om de discipline van het numeriek rekenen en het naoorlogse wetenschappelijk onderzoek te bevorderen. Nadat het Rekenlaboratorium in 1966 als centrale dienst was erkend, nam het in 1968 de benaming aan van Centraal Digitaal Rekencentrum (CDR). Aanvankelijk stelde het CDR enkel de rekencapaciteit van zijn informaticasysteem ter beschikking van het fundamenteel onderzoek. Met de snelle popularisatie van de informatica in de loop van de jaren tachtig spitste de werking van het CDR zich meer en meer toe op de dienstverlening aan studenten en academisch personeel en op de verwerking van de geïnformatiseerde universitaire administratie.
In het begin van jaren 60, beschikte professor C.C. Grosjean dus al over een grote computer, een IBM 1620 machine, een zogenaamde tweede-generatie-computer, met een geheugencapaciteit van 40000 decimale cijfers en voorzien van een kaart-lezer-ponser als enig in- en uitvoerapparaat. Deze IBM was ZIJN speelgoed en begeesterd als hij was door dit speelgoed, was hij er voortdurend mee bezig. Maar, zoals reed gezegd, doceerde hij vanaf 1958 Infinitesimaalanalyse in de kandidaturen wetenschappen (groep scheikunde, biologie, farmacie). Hij kwam veelal te laat voor de cursus, zodanig was hij bezeten van zijn computer. Of zijnmachine nu nog bestaat, weet ik niet. Wellicht is ze opgeslagen in een of ander museum? In alle geval was deze machine wel een klein beetje groter dan onze huidige PC's, maar niet qua capaciteit.
Bij Grosjean was geen syllabus voorhanden en moest alles van het bord genoteerd worden, een situatie, die ik verafschuwde, want je kunt echt niet tezelfdertijd én de les begrijpend volgen én alles perfect noteren.
Al evenmin werden er referentiewerken opgegeven en wij verloren ontzettend veel tijd met het in orde stellen van onze notities, zodat er van oefeningen maken en vraagstukken oplossen weinig terecht kwam. En juist om het ontwikkelen van deze vaardigheden was het toch te doen. Natuurlijk kan men begrip opbrengen voor deze situatie: het was immers de eerste maal dat Grosjean dit college gaf, maar ook in de volgende jaren werd er nog altijd ijverig notitie genomen en was er nog steeds geen syllabus voorhanden. Naar mijn mening was dit te wijten aan zijn té uitgebreide leeropdracht.
Een dergelijke situatie is tegenwoordig ondenkbaar want sinds Bologna moet, voor iedere gedoceerde cursus, een studiefiche opgemaakt worden, waarin de inhoud van de leerstof, het al of niet bestaan van een syllabus, de verwijzing naar referentiewerken, de examenvoorwaarden en dito vermeld worden.
Enkele jaren later (om precies te zijn in 1972), ontdekte ik nu bij toeval de collectie Schaum en i.h.b. een syllabus over Calculus. Deze syllabus omvatte het grootste deel van de onderwerpen die in de lessen van Grosjean aan bod waren gekomen. En dit alles werd gepresenteerd op een voortreffelijke didactische manier.
Het boek droeg als titel: Differential and Integral Calculus second edition- en had als auteur Frank Ayres Jr (3) (Schaum, -1964). Vanzelfsprekend heb ik dan ook als ikoon van dit cursiefje maar de voorkaft van deze syllabus gekozen!!
De eerste editie dateerde al van 1950, en een Grosjean had dus eventueel in 1958 kunnen refereren naar dit werk. Ik heb zo het vermoeden dat Grosjean precies tijdens zijn verblijf in de USA (1949-1951) met Schaums Outlines had kennisgemaakt en dat hij de monografieën over Differential and Integral Calculus bijzonder geschikt vond voor zijn te doceren cursus. De tweede onveranderde editie van "Differential and Integral Calculus", die 345 paginas omvatte werd door Ayres als volgt voorgesteld:
The purpose of this book, as in the case of the first edition, is to provide the beginning student of elementary calculus with a collection of carefully solved representative problems. The book will also be found helpful to students of science and engineering who feel the need for a review of fundamental theory and problem work in the subject. Moreover, since this edition includes proofs of theorems, derivations of differentiation and integration formulas, and an ample supply of supplementary problems, it may be used as a text for a formal course .
Waarom Grosjean ons dit werk niet als leidraad heeft aangeraden, nee gewoon als syllabus heeft aanbevolen, is voor mij nog steeds een raadsel. Het zou immers zijn taak behoorlijk verlicht hebben: nu diende hij alles op het bord te schrijven! Maar in die tijd gaven de meeste docenten nooit referenties op. Wel beschikten wij wel over een Vademecum (4) van een zekere M. Claeys, een boekje van amper 25 paginas, dat ik naar waarde heb leren schatten en dat mij later nog vele diensten heeft bewezen.
Ayres boek, waarvan in dit cursiefje de inhoudstafel nog weergegeven wordt, blijkt door de latere generaties studenten van Grosjean, wel degelijk als handboek te zijn gebruikt. Deze syllabus blijkt wel de tand des tijds doorstaan te hebben want in 2008 verscheen nog een vijfde herwerkte editie Calculus fifth edition- van maar liefst 535 paginas. .
« Analytische Meetkunde » d.i. de Meetkunde die gebaseerd is op "Analyse" of "Calculus", vormde een essentieel deel van de leeropdracht van Grosjean. Aan deze "Analytische Meetkunde" gaat een voorbereidend deel vooraf, die men soms "Coördinaten-meetkunde" noemt en die in de humaniora ook als "Analytische Meetkunde" betiteld wordt (voor meer details zie : blog II).
Voor Grieks-Latinisten, was in die jaren deze "Coördinaten- meetkunde", onbekende materie, want dit vak was niet in het klassieke humaniorapakket opgenomen. Een Grosjean was dan ook genoodzaakt de belangrijkste elementen van deze "Coördinaten-meetkunde" in zijn college in te lassen. Zijn publiek bestond immers voor het merendeel uit Grieks-Latinisten.
Zou Schaum ook voor dit probleem van de "Coördinaten-meetkunde" een oplossing bieden? En jawel hoor, er bestond bij Schaum inderdaad, en dit eveneens sinds 1950 (zie bijlage 2 "voorkaft editie 1950"), een monografie getiteld « Plane and Solid Analytical Geometry » van Joseph H. Kindle, die aan het gestelde doel beantwoordde.
De inhoud (5) van deze monografie, die precies 150 paginas telde, stemde precies overeen met wat een Grosjean ons over de Coördinaten-meetkunde verteld had!! Het was of ik een stomp in de maagstreek kreeg
Waarom hadden wij alles moeten noteren, waarom had Grosjean over deze referenties, die hij door zijn verblijf in de USA wel moest kennen en die hij voor zijn college gebruikte, met geen woord gerept? Ik begrijp het nog altijd niet.
* * *
Voor een goed begrip en de toepassingsmogelijkheden van de Analyse of Calculus is echter ook nog een goede basiskennis van bvb de trigonometrie en de algebra vereist. Vanaf de jaren zestig komt er in de V.S. geleidelijk aan een aparte universitaire discipline "Precalculus" tot stand. Deze discipline won vooral aan belang na de katastrofale gevolgen van het "New Math" experiment. Precalculus is een soort samenvattend conglomeraat van "klassieke" algebra, trigonometrie en coördinaten- meetkunde. Deze discipline moet beschouwd worden als een voorbereiding tot de eigenlijke calculus.
In 1958 werd nu door dezelfde Frank Ayres de Outline « First Year College Mathematics » geschreven. Deze outline omvatte naast wat klassieke algebra, vlakke en ruimtelijke coördinaten- meetkunde en vlakke trigonometrie, ook nog een kleine inleiding tot de calculus. « First Year College Mathematics » is dan ook te beschouwen als de eerste "Precalculus"- tekst.
Maar zoals reeds gezegd, wij hadden eind de jaren vijftig van dit alles geen flauw benul. Het is maar begin de jaren zeventig dat ik zal kennis nemen van al deze gegevens.
- een nijpend probleem: vectoranalyse
Het onderwerp Vectoranalyse werd door Grosjean niet behandeld, althans niet in de eerste kandidatuur. Daar nu in het Leerboek der Natuurkunde van Kronig een boek dat ik als basis genomen had voor de leergang Algemene Natuurkunde (zie hoofdstuk Algemene Natuurkunde voor bachelors cursiefje §5.3) - wel over afgeleiden van vectoriële functies, kringintegralen en dergelijke werd gesproken, vond ik dit wel erg jammer.
Het is precies in die tijd (1958-1960) dat ik dan ook mijn eerste Que sais-je? boekje heb aangekocht : « Calcul Vectoriel et Calcul Tensoriel » (n° 418) van André Delachet .
Deze kleine monografie, waarvan de eerste editie dateert van 1950, zal eind de jaren zestig door André Delachet in twee deeltjes gesplitst worden: « Calcul vectoriel » (n° 418 dus met behoud van het oude catalogusnummer) en « Calcul tensoriel » (n° 1336 een boekje met nieuw catalogusnummer).
In de Inleiding van de editie van 1950 was nu het volgende te lezen:
Un vecteur est une abstraction mathématique qui est à la grandeur vectorielle, ce que le nombre est à la grandeur scalaire: de même que létude des grandeurs scalaires se ramène à des raisonnements sur les nombres, de même létude des grandeurs vectorielles se ramène à des raisonnements sur les vecteurs. Létude des règles suivant lesquelles les vecteurs peuvent être combinés entre eux fait lobjet du Calcul Vectoriel
Le calcul vectoriel a mis assez longtemps à pénétrer en France, et surtout à acquérir sa place dans lenseignement classique où lon peut dire quil est maintenant couramment pratiqué. On ne peut pourtant pas le considérer comme un «nouveau-né» puisque son origine remonte aux travaux de Hamilton (1843) et de Grassmann (1844) qui partaient de points de vue différents. Cest linfluence du premier qui a prédominé sur les développements ultérieurs de la théorie. Son uvre évolua considérablement entre les mains de Gibbs et de Heaviside qui ont donné au calcul vectoriel sa forme à peu près définitive, non sans rencontrer dailleurs de vives résistances comme il arrive toujours lors de la création dune nouvelle doctrine scientifique.
En 1901, M. Wilson publie sa «Vector Analysis», ouvrage rédigé sous la direction de Gibbs. En 1909 MM. Buralli-Forti et Marcolongo publient en collaboration un excellent ouvrage «Elementi di calcolo vettoriale», traduit en français par S. Lattès en 1910 sous le titre «Eléments de calcul vectoriel». Vers la même époque M. Goffin publie à New York (1909) son «Vector Analysis», qui fut traduit en français par A. Véronnet (Calcul Vectoriel -1914-). Il faut attendre 1923, à ma connaissance, pour trouver un premier ouvrage dinspiration vraiment française sur cette question: le «Calcul Vectoriel» de MM. A. Chatelêt et J. Kampé de Férié.
Depuis, les ouvrages sur cette importante question se sont multipliés, en apportant toujours quelque élément nouveau: le «Leçons de Géométrie Vectorielle» de M.G. Bouligand (1924), «LInitiation aux Méthodes vectorielles» de MM. Bouligand et Rabaté (1926), le «Calcul vectoriel» de M. Bricard (1929).
Ces derniers ouvrages ainsi que le Cours dElectricité de notre regretté Georges Bruhat, sous-directeur de lEcole Normale Supérieure, mort en déportation à Buchenwald, ont contribué à faire connaître le Calcul vectoriel aux étudiants français et à en répandre lusage dans lenseignement .
Deze tekst maakte op mij een diepe indruk. Niet alleen werden hier enkele historische gegevens betreffende de vectoriële analyse verstrekt en maar ook nog een verklaring gegeven, waarom vectoriële analyse eind de jaren vijftig nauwelijks op het universitaire leerprogramma voorkwam. Uit de tekst bleek verder ook dat Vectoranalyse voor de Elektriciteitsleer (leerstof voor de tweede kandidatuur) van cruciale betekenis was en het dus zeker de moeite loonde deze materie wat nader te bekijken.
Dit onooglijke boekje, waarvan de inhoud (6) op het einde van dit cursiefje wordt gegeven, heeft trouwens in belangrijke mate bijgedragen tot het lukken van mijn examen Natuurkunde deel II Elektriciteitsleer (B2) voor de Centrale Examencommissie.
Een tiental jaren later, om precies te zijn, in 1972, zal in Prisma Technica het boek « Vectoranalyse » verschijnen, een vertaling van « Introduction to Vector Analysis for Radio and Electronic Engineers » van D. Day. De oorspronkelijke uitgave dateert van 1966 en is nog steeds aan te raden, wegens de uitzonderlijke helderheid van het betoog.
* * *
Een tweede Que sais-je? boekje dat ik op hetzelfde moment aankocht was: « Calcul Différentiel et Intégral » (n° 466) eveneens van André Delachet. Deze monografie was voor het eerst verschenen in 1951 en beleefde al in 1960 zijn vierde herdruk. Mijn oorspronkelijk exemplaar, waar ik enkele notities evenals de vertaling van enkele termen had aangebracht, is verloren geraakt: uitgeleend en zoals dat veelal gaat, nooit meer teruggezien. Gelukkig heb ik mij in 1960 een tweede exemplaar kunnen aanschaffen.
In het Voorwoord schreef André Delachet:
Rédiger en peu de pages un exposé complet du Calcul Différentiel et Intégral est une gageur impossible à tenir. Si nous avons décidé décrire cet ouvrage, cest dans un but précis: venir en aide aux étudiants en leur rappelant les définitions et les théorèmes quils connaissent généralement mal, en leur montrant sur quelques exemples les raisonnements rigoureux quon est en droit d attendre deux, et comment ils peuvent y parvenir.
Pour ce faire, nous navons dû aborder quune faible partie des cours de Calcul Différentiel et Intégral classiques: celle qui, de lavis général, est la plus mal connue des étudiants, la théorie des fonctions des variables réelles et le problème de lintégration.
Nous avons supposé admis un grand nombre de résultats importants et dun niveau élévé et ne pensons pas avoir pour autant failli à notre but, car les démonstrations de ces résultats se trouvent dans tous les ouvrages classiques; nous navons pas hésité, par contre, à rappeler des démonstrations de résultats plus élémentaires, songeant à ceux qui aborderont la lecture de cet ouvrage avec un bagage mathématique très restreint .
Een gedetailleerde inhoudstafel van deze kleine monografie (7) vindt men achteraan dit cursiefje. De auteur neemt als vertrekbasis het reëel getal en de lineaire verzamelingen met o.m. de oneindige reeksen. Vervolgens worden in eerste hoofdstuk functies van reële veranderlijken besproken en de noties limiet en continuïteit toegelicht. Volgt dan een bespreking van de eigenschappen van continue functies en functies begrensd door een interval.
In een tweede hoofdstuk gaat het eerst over differentialen en afgeleiden van functies met één reële veranderlijke, vervolgens over functies met meerdere veranderlijken en impliciete functies.
Het derde hoofdstuk behandelt het integraalbegrip: bepaalde en onbepaalde integralen, het begrip stamintegraal of primitieve en de klassieke methodes om integralen te berekenen.
Oneindige reeksen en producten worden besproken in het vierde hoofdstuk en in een vijfde en laatste hoofdstuk gaat het over integralen van functies gedefinieerd door een (convergente) oneindige reeks of product .
Eind 1958 beschikte ik aldus alleen maar over mijn eigen (zeer gebrekkige) notas, een piepkleine monografie Vlug Integreren van Claeys en twee kleine monografieën uit de boekenreeks Que sais-je?, waarvan dan nog eentje, die praktisch geen betrekking had op de door Grosjean gedoceerde leerstof (vectoranalyse).
Begin 1959 zal ik mij nog uit frustratie het fameuze Leerboek der Differentiaal- en Integraalrekening van Schuh aanschaffen maar dit werk was voor mij op dat ogenblik van weinig nut.
Meer dan tien jaar later zal ik zoals al hierboven aangegeven- de collectie Schaum ontdekken en vaststellen dat het college van Grosjean in hoofdzaak gebaseerd was op de syllabi « Analytical Geometry » van Kindle en « Calculus » en « Differential Equations » van Frank Ayres, de eerste fungerend als een soort precalculus-, de twee andere als calculus-boek.
I- Frank Ayres' « Calculus -second edition- »
Sinds 1950 bestond er -zoals hierboven aangetoond- al bij Schaum een syllabus (ofte outline) getiteld « Differential and Integral Calculus » en geschreven door Frank Ayres Jr.
Deze syllabus beleefde in 1962 een vermeerderde herdruk en omvatte -in tegenstelling met de eerste druk- nu ook een inleiding tot de Vectoriële Calculus.
Deze syllabus werd bekend als Frank Ayres' « Calculus -second edition- » en werd door de studentengemeenschap erg geapprecieerd. Ayres' boek heeft toch nog een grote rol kunnen spelen in mijn wetenschappelijke loopbaan, en wel tijdens mijn doctorale studie.
Het opzet van de tweede editie, die in totaal 70 hoofdstukjes gespreid over 345 paginas, telde werd door de auteur als volgt beschreven:
The plan of the book is essentially that of the previous edition. Each chapter begins with statements of pertinent definitions, principles and theorems. The illustrative material and solved problems which follow have been selected not only to amplify the theory but also to provide practice in the formulation and solution of problems, to furnish the necessary repetition of basic principles for effective learning, to anticipate difficulties which normally beset the beginner, and to illustrate a wide variety of applications of the calculus. Numerous proofs of theorems and derivations of basic results are included among the solved problems.
An effective use of the book, either as a supplement or as a text itself, requires something more than a casual study of the solved problems. There is something learned from each, and this can be accomplished by a step-by-step reproduction of them. When this has been done, no great difficulty should be encountered in solving most of the supplementary problems .
Ieder hoofdstukje bevatte inderdaad een rubriek Solved Problems gevolgd door een tweede Supplementary Problems. In de eerste rubriek werd het gestelde probleem dat nauwe banden had met de fysische werkelijkheid (natuurkunde, meetkunde), opgelost. In de tweede werden supplementaire vraagstukken opgegeven, waarvan telkens het juiste resultaat vermeld werd. Op deze manier werd Calculus een werkinstrument voor het oplossen van allerhande problemen en vraagstukken.
Chapter 4- the derivative Chapter 5- differentiation of algebraic functions Chapter 6- implicit differentiation Chapter 7- tangents and normals* Chapter 8- maximum and minimum values Chapter 9- applied problems in maxima and minima Chapter 10- rectilinear and circular motion** Chapter 11- related rates Chapter 12- differentiation of trigonometric functions Chapter 13- differentiation of inverse trigonometric functions Chapter 14- differentiation of exponential and logarithmic functions Chapter 15- differentiation of hyperbolic functions Chapter 16- parametric representation of curves* Chapter 17- curvature* Chapter 18- plane vectors* Chapter 19- curvilinear motion** Chapter 20- polar coordinates* Chapter 21- the law of the mean Chapter 22- indeterminate forms Chapter 23- differentials Chapter 24- curve tracing*
- Integral Calculus
Chapter 25- fundamental integration formulas Chapter 26- integration by parts Chapter 27- trigonometric integrals Chapter 28- trigonometric substitutions Chapter 29- integration by partial fractions Chapter 30- miscellaneous substitutions Chapter 31- integration of hyperbolic functions Chapter 32- applications of indefinite integrals Chapter 33- the definite integral Chapter 34- plane areas by integration* Chapter 35- volumes of solids of revolution* Chapter 36- volumes of solids with known cross sections* Chapter 37- centroids plane areas and solids of revolution* Chapter 38- moments of inertia plane areas and solids of revolution** Chapter 39- fluid pressure** Chapter 40- work** Chapter 41- length of arc* Chapter 42- area of surface of revolution* Chapter 43- centroids and moments of inertia arcs and surfaces of revolution** Chapter 44- plane area and centroid of area polar coordinates* Chapter 45- length and centroid of arc area of surface of revolution polar coordinates* Chapter 46- improper integrals Chapter 47- infinite sequences and series Chapter 48- tests for convergence and divergence of positive series Chapter 49- series with negative terms Chapter 50- computations with series Chapter 51- power series Chapter 52- series expansions of functions Chapter 53- Mac Laurin s and Taylor s formulas with remainders Chapter 54- computations using power series Chapter 55- approximate integration)
- Differential Calculus II
Chapter 56- partial derivatives Chapter 57- total differentials and total derivatives Chapter 58- implicit functions)
- Vector Calculus
Chapter 59- spaces curves and surfaces* Chapter 60- directional derivatives* Chapter 61- space vectors* Chapter 62- vector differentiation and integration* Chapter 63- double and iterated integrals* Chapter 64- centroids and moments of inertia of plane areas double integration* Chapter 65- volume under a surface double integration* Chapter 66- area of a curved surface double integration* Chapter 67- triple integrals Chapter 68- masses of variable density**
- Differential Equations
Chapter 69- differential equations Chapter 70- differential equations of order two)
De hoofdstukken aangeduid met * hebben betrekking op de "Calculus-meetkunde", met ** op problemen uit de Mechanica.
- appreciatie van « Calculus -second edition- »:
Wat Frank Ayres « Calculus -second edition- » voor mij heeft bewerkstelligd is moeilijk in te schatten. Op vele vragen, die ik mij omtrent de eigenlijke Analytische Meetkunde en de Mechanica stelde gaf dit boek van amper 345 pagina's het precieze antwoord.
Zo begreep ik bvb hoe men tot die eigenaardige krommen en meetkundige figuren, die in het boekje van Jean Taillé « Courbes et Surfaces » (Que sais-je? -1953-) vermeld waren, was gekomen. Het drong tot mij door dat die "Calculus-meetkunde" een fantastische meetkunde was, die de eigenschappen van allerhande figuren en lichamen kon berekenen en bepalen, waaronder natuurlijk oppervlak en inhoud.
Hoe verder een zekere Isaac Newton tot zijn eerste en tweede dynamische wet van de mechanica was gekomen, bleek plots zonneklaar. In zijn fameuze "Principia" worden deze wetten immers zonder enige afleiding of toelichting aangegeven. Helaas heb ik maar van Ayres' syllabus kunnen gebruik maken tijdens mijn doctorale studie.
Voor mij is en blijft Frank Ayres' « Calculus -second edition- » een monument, een mijlpaal in mijn wetenschappelijke loopbaan.
- Een belangrijke opmerking:
Het onderdeel Vector Calculus in Ayres' boek omvatte uitsluitend problemen in betrekking tot de mechanica, daar waar juist deze discipline ook en vooral onmisbaar is voor de studie van het Elektromagnetisme (theorie van Maxwell).
Een toevoegsel aan dit onderdeel van de syllabus die i.h.b. de Maxwell theorie behandelt, was en is dus niet oninteressant. Een dergelijke monografie was bvb « A Students Guide to Maxwells equations » van Daniel Fleisch (8) (Cambridge University Press -2008-) maar natuurlijk komen ook andere referenties bvb deze van William Day en Harry Schey (zie verder punt 4) in aanmerking. Voornoemde referenties worden uitvoerig behandeld in Hoofdstuk 14 van dit blog.
Te vermelden is hier al dat de monografie van Fleisch werd zeer gunstig werd onthaald (9) , want ze telde amper 134 paginas en omvat slechts 5 hoofdstukken:
Chapter 1 Gauss Law for Electric Fields (1- the integral form of Gauss law: the electric field the dot product the unit normal vector the component of E normal to a surface- the surface integral the flux of a vector field the electric flux through a closed surface the permittivity of free space applying Gauss law (integral form) 2- the differential form of Gauss law: nabla the del operator del dot the divergence the divergence of the electric field applying Gauss law (differential form))
Chapter 2 Gauss Law for Magnetic Fields (1- the integral form of Gauss law: the magnetic field the magnetic field through a closed surface applying Gauss law (integral form) 2- the differential form of Gauss law: the divergence of the magnetic field applying Gauss law (differential form))
Chapter 3 Faradays Law (1- the integral form of Faradays law: the induced electrical field the line integral the path integral of a vector field the electric field circulation the rate of change of flux Lenzs law applying Faradays law (integral form) 2- the differential form of Faradays law: del cross the curl the curl of the electric field applying Faradays law (differential form))
Chapter 4 The Ampère Maxwell law (1- the integral form of the Ampère-Maxwell law: the magnetic field circulation the permeability of free space the enclosed electric current - the rate of change of flux applying the Ampère-Maxwell law (differential form) 2- the differential form of the Ampère-Maxwell law: the curl of the magnetic field the electric current density - the displacement current density- applying the Ampère-Maxwell law (differential form))
Chapter 5 From Maxwells equations to the wave equation (the divergence theorem; Stokes theorem; the gradient; some useful identities; the wave equation)
Een absolute "must" voor elke student die geconfronteerd wordt met electromagnetisme en de theorie van Maxwell...
II- Frank Ayres' « Differential Equations »: een aanvullende syllabus
In « Differential and Integral Calculus » van Frank Ayres werden de differentiaalvergelijkingen maar summier behandeld namelijk in de twee laatste hoofdstukjes van het boek.
Differentiaalvergelijkingen vormen een omvangrijk domein; ze zijn echter zeer belangrijk en daarom had Ayres een aparte monografie voor deze materie getiteld « Differential Equations » voorzien.
Van deze laatste monografie waarvan de eerste editie ook al in 1952 (!!!) beschikbaar was (zie bijlage 1 "voorkaft editie 1952"), verscheen nu ook een Franse versie in 1972.
In het Voorwoord schreef de auteur Frank Ayres Jr het volgende:
.. Le but de cet ouvrage est de donner un large complément aux textes classiques sur les équations différentielles élémentaires. Tous les types déquations différentielles et déquations aux dérivées partielles rencontrés dans la pratique y sont traités, avec leurs divers procédés de résolution. Létudiant débutant trouvera donc dans ce livre les méthodes qui laideront à résoudre des problèmes variés. Ce livre devrait rendre aussi de grands services aux ingénieurs et aux scientifiques qui ressentent le besoin de réviser leurs connaissances dans un domaine en développement constant . Beaucoup dattention a été apportée également aux chapitres dapplications, qui comprennent une large variété de problèmes tirés de la géométrie, de la physique, de la chimie et de la biologie ..
Cet ouvrage est destiné surtout aux utilisateurs des mathématiques, cest-à-dire aux élèves des différents instituts et écoles où lon enseigne la physique, la chimie et les sciences biologiques . Il sera aussi dun intérêt certains pour les autodidactes et les étudiants isolés car il contient de nombreux exercices avec leurs réponses
De monografieën « Differential and Integral Calculus » en « Differential Equations » vormen natuurlijk een geheel, want beide onderwerpen behoren tot wat men de « Analyse » noemt. Opmerkelijk is wel dat zowel Ayres' « Differential and Integral Calculus » als « Differential equations » nog altijd gebruikt worden en zelfs nu nog herdrukt worden, zij het in een modernere versie!!!
Is het nodig te vermelden dat de monografieën van Frank Ayres Jr nog steeds in het hoger onderwijs gebruikt worden? Hoe dan ook, aan de Gentse Alma Mater wordt nu -anno 2010- Ayres nog steeds als referentie opgegeven
Differentiaalvergelijkingen worden echter wegens de omvang en de belangrijkheid van de materie meestal in een afzonderlijke cursus behandeld en in de meeste universiteiten is zulks inderdaad het geval. Dit opsplitsen in een Calculus- respectievelijk Differentiaalvergelijkingen-leergang kan het globale inzicht in deze materie in het gedrang brengen, vooral indien gedoceerd door verschillende lesgevers. Wat voor de ene docent als belangrijk aanzien wordt, is het niet voor de andere. Met de syllabi van Ayres wordt een eenheid van visie en niveau gegarandeerd.
De inhoud van Ayres' « Equations Différentielles » was als volgt:
- definitie van gewone differentiaalververgelijkingen:
Chapitre 1- Les équations différentielles; leur origine
Chapitre 2- Résolution des équations différentielles
Chapitre 3- Equations du premier ordre et du premier degré (EPOPD)
Chapitre 4- EPOPD: cas des variables séparables; réduction à ce cas
(1) enkele gegevens C.V. Carl Clement Grosjean (1926-2006) uit Liber Memorialis:
Geboren in Kortrijk op 5 september 1926. Moderne humaniora aan het Sint Jozefsinstituut (Broeders van de Christelijke Scholen) te Kortrijk. Hogere studiën aan de RUG: kandidaat wetenschappen groep wiskunde- (3 juli 1947); licentiaat in de wetenschappen groep natuurkunde- (21 juni 1949). Trad in dienst bij het I. I. K. W. (Interuniversitair Instituut voor Kernwetenschappen) op 1 augustus 1949. Werd echter na het verwerven van een studiebeurs vab het Watson Scientific Computing Laboratory Fellowship (Columbia University New York-), gedetacheerd voor één jaar (1949-1950). Bekwam een nieuwe studiebeurs (1950-1951) en behaalde een Ph. D. group physics- in 1951. Na zijn terugkeer in België: doctor in de wetenschappen groep natuurkunde- (29 juni 1951) en Geaggregeerde van het Hoger Onderwijs (21 november 1955).
(2) Rita De Caluwe, Vijftig jaar rekencentrum aan de Universiteit Gent : 1952-2002, Gent, 2009.
(4) Het enige bibliografisch materiaal waarover wij toen beschikten waren twee kleine monografieën van een zekere M. Claeys, licentiaat in de wiskundige wetenschappen:
- Vademecum der Wiskunde (uitgeverij De Meester Wetteren, -1943-): dit boekje van amper 60 paginas bevatte meer dan 1000 formules, praktisch gerangschikt uit de rekenkunde, de algebra, het complement der algebra, de meetkunde, het complement der meetkunde, de driehoeksmeting, de boldriehoeksmeting en de analytische meetkunde.
- Vlug Integreren (uitgeverij De Meester Wetteren, -1943-): dit boekje waarvan in 1962 een aangevulde editie verscheen omvatte een inleiding (definitie van bepaalde en onbepaalde integraal, van neperiaanse en Briggse logaritme, de herleiding van de goniometrische en hyperbolische functies tot exponentiële functies), de 20 fundamentele integralen, de grote methodes bij het integreren (integratie door ontbinding, door partiële integratie), 200 onbepaalde integralen van rationale en irrationale algebraïsche functies, van transcendente functies), bepaalde integralen, elliptische integralen en enkele oefeningen.
Beide boekjes werden zowel door de studenten van Grosjean als van Backes (zie volgend cursiefje) gebruikt.
(5) inhoudsoverzicht van Plane and Solid Analytical Geometry van Joseph Kindle (1950): 1- rectangular coordinates ; 2- equation and locus ; 3- the straight line ; 4- the circle ; 5- conic sections the parabola ; 6- the ellipse ; 7- the hyperbola ; 8- transformation of coordinates ; 9- polar coordinates ; 10- tangents and normals ; 11- higher plane curves ; 12- introduction to solid analytical geometry ; 13- the plane ; 14- the straight line in space ; 15- surfaces ; 16- other systems of coordinates
(6) inhoud van «Calcul Vectoriel et Calcul Tensoriel» (André Delachet Que sais-je? -1950-): Introduction -Première Partie: Algèbre vectorielle: Chapitre 1 Les vecteurs libres: 1- Orientation de lespace 2- Définition des vecteurs 3- Opérations vectorielles 4- Les applications de la méthode vectorielle Chapitre 2 Les vecteurs glissants: 1- Vecteurs glissants et systèmes de vecteurs glissants 2- Systèmes de vecteurs glissants équivalents 3- Systèmes de vecteurs glissants particuliers 4- Applications à la statique du corps solide -Deuxième Partie: Analyse vectorielle: Chapitre 1 Les fonctions vectorielles de variables scalaires: 1- Définitions, limites, continuité 2- Dérivée dune fonction vectorielle de variable scalaire 3- Intégration vectorielle 4- Application à létude gauches et à la cinématique 5- Applications à létude des surfaces Chapitre 2 Les champs des vecteurs: 1- Opérateurs différentiels 2- Transformation de certaines intégrales multiples -Troisième Partie: Algèbre tensorielle: Chapitre 1 Multiplicités linéaires et espaces affins Chapitre 2 Contre-variance et covariance Chapitre 3 Les formes multilinéaires et les tenseurs: 1- Définitions 2- Algèbre tensorielle 3- Tenseurs symétriques et antisymétriques Chapitre 4 La géométrie métrique: 1- Produit intérieur de deux vecteurs, repères orthogonaux normés 2- Angle de deux vecteurs 3- Lespace euclidien réel rapporté à une base quelconque -Quatrième Partie: Analyse tensorielle: Chapitre 1 Champs de tenseurs en espace affin: 1- Définition 2- Dérivées dun champ de tenseurs affins Chapitre 2 Les tenseurs en espace amorphe: 1- Les repères curvilignes 2- Tenseurs dans une multiplicité quelconque 3- Champs de tenseurs en espace amorphe Chapitre 3 Introduction à létude des espaces courbes
(7) inhoud van « Calcul Différentiel et Intégral » (André Delachet Que sais-je? 1ère édition 1951 2ème édition -1960-): -Introduction: I- La notion de nombre: lensemble des nombres réels; interprétation géométrique; opérations sur les nombres réels II- Les ensembles linéaires: propriétés fondamentales des ensembles linéaires; ensembles dénombrables et suites infinies -Chapitre 1 «Les Fonctions de variables réelles»: I- Définitions, limites, continuité: notion de fonction; notion de limite; fonctions monotones; continuité; fonction de fonctions; fonctions composées; transformations II- Propriétés des fonctions continues: définition; continuité uniforme; théorème de substitutions; fonctions inverses; prolongement d une fonction par continuité; extension des fonctions usuelles aux valeurs irrationnelles de la variable III- Les fonctions à variations bornées: définition et propriétés; définition de la longueur d un arc de courbe, théorèmes de Jordan; exemple de courbe rectifiable -Chapitre 2 «Les fonctions dérivables»: I- Différentielles et dérivées des fonctions dune variable réelle:définitions; généralisation de la notion de dérivée; interprétation géométrique de la dérivée; dérivées successives; fonctions inverses; fonction de fonctions; usage des dérivées; extension du théorème des accroissements finis; fonctions et courbes convexes; application des notions acquises à létude dun exercice II- Fonctions de plusieurs variables: fonction différentiable; conditions pour qu une fonction soit différentiable; fonctions composées; dérivées partielles successives; extension de la formule de Taylor III- fonctions implicites: conditions dexistence; différentiation des fonctions implicites; généralisation à un système de fonctions implicites -Chapitre 3 «Notion dintégrale» I- Intégrale définie: introduction; intégration des fonctions étagées; intégration des fonctions bornées sur un intervalle (a,b);classes de fonctions intégrables; propriétés de l intégrale définie II- Intégrales indéfinies et primitives: préliminaires; fonction primitive III- Procédés classiques dintégration: changement de variable; intégration par parties IV- Extension de la notion dintégrale définie: la fonction à intégrer devient infinie; cas où lune des limites devient infinie -Chapitre 4 «Notions sur les séries et produits infinis numériques»: Préliminaires: définition des séries numériques; combinaison linéaire des séries; remarques I- Les séries à termes positifs: définition et propriété fondamentale; série majorante; deuxième règle de convergence; théorème de Cauchy; commutativité, associativité; séries à double entrée; produit de deux séries convergentes à termes positifs II- Séries dont les termes ne sont pas du même signe: définition; propriétés des séries absolument convergentes; séries alternées; principales propriétés des séries semi-convergentes III- Les produits infinis: définitions; propriétés des produits infinis -Chapitre 5 «Fonctions définies par des séries ou des intégrales»: I- Convergence uniforme: définitions; théorèmes généraux; II- Applications aux intégrales: continuité dune intégrale; dérivation sous le sine d'intégration; extensio, des formules précédentes aux intégrales généralisées; application de lathéorie précédente à quelques exemples III- Application aux fonctions définies par une série ou un produit infini de fonctions: définitions; propriétés générales; application aux produits infinis; application des théories précédentes à un exemple
(8) Prof. Fleisch was named Outstanding Faculty Member at the Wittenberg Greek scholarship awards in 2000, and in 2002 he won the Omicron Delta Kappa award for Excellence in Teaching. In 2003 and 2005 he was recognized for Faculty Excellence and Innovation by the Southwestern Ohio Council for Higher Education (SOCHE), and in 2004 he received Wittenberg's Distinguished Teaching Award, the university's highest faculty award. In November 2010, Fleisch was named the Ohio Professor of the Year by the Council for the Advancement and Support of Education and the Carnegie Foundation. Fleisch received his B.S. in Physics from Georgetown University and his M.S. and Ph.D. in Space Physics and Astronomy from Rice University.
In mijn voorgaande blog liet ik al opmerken dat "Calculus" eenvoudig kan gedefinieerd worden als rekenen met infinitesimalen, net zoals arithmetiek gedefinieerd kan worden als rekenen met getallen en (klassieke) Algebra als rekenen met letters .
Deze infinitesimalen (oneindig kleine rekenkundige of meetkundige grootheden), spruiten voort uit de Arithmetiek en de Geometrie en men spreekt dan ook over Infinitesimale Calculus of Infinitesimaalrekening. Het meetkundig deel van de Infinitesimaalrekening wordt vectoriële calculus of vectorcalculus genoemd.
Zoals men verder zal zien, wordt in de USA een onderscheid gemaakt tussen « Ordinary Calculus » en « Advanced Calculus ». De leergang « Ordinary Calculus » was voorzien voor beginnende chemici, biologen en farmaceuten, terwijl beginnende ingenieurs en fysici daarenboven ook nog een cursus « Advanced Calculus » moesten verwerken.
Het woord calculus wordt echter ook nog voor andere wiskundegebieden gebruikt, zoals bvb tensoriële calculus (tensorrekening) en variationele calculus (variatierekening). Variatierekening ligt aan de grondslag van de analytische mechanica en vormt een verdere uitbreiding van de infinitesimaalrekening.
Wat nu Analyse (1) geheten wordt, vloeit in de eerste plaats voort uit een meer strenge formulering van de Infinitesimale Calculus. Centraal in deze tak van de Wiskunde staat, althans volgens Augustin Louis Cauchy, het begrip limiet (2) (limiet van een functie of limiet van een oneindige reeks). Verder worden de begrippen functie, continuïteit, derivatie en integratie uitgediept in betrekking tot de reële en complexe getallen.
Analyse is dus in wezen streng geformuleerde calculus, waarbij gebruik gemaakt wordt van de "analytische" methode (d.i. een methode waarbij men uit de gevolgen van een bepaalde stelling nieuwe stellingen afleidt) en men spreekt dan ook van Infinitesimaalanalyse. Analoog heeft men ook vectoranalyse, variatieanalyse, tensoranalyse
Mij komt het dus voor, dat de termen analyse en calculus toch wel van betekenis verschillen. Bij calculus wordt de nadruk gelegd op het eigenlijke rekenen, de rekenvaardigheid, bij analyse staat het fundamentele, de theoretische grondslagen, meer centraal. Een gelijkaardige situatie vindt men trouwens terug in bvb de Arithmetiek: men heeft het eigenlijke rekenen, de bekende algoritmen, die aangeleerd werd in het primair onderwijs, en de theoretische rekenkunde, die het onderwerp uitmaakte van het secundair onderwijs. In de praktijk echter worden de termen Analyse en Calculus door elkaar gebruikt.
Analyse of Calculus omvat doorgaans een voorbereidend deel dat precalculus (3) genoemd wordt, verder de eigenlijke calculus(4) (differentiaal- en integraalrekening) en tenslotte de theorie der differentiaalvergelijkingen.
Precalculus omvat enkele essentiële punten en stellingen van de algebra en arithmetiek, van de geometrie (analytische meetkunde) en de trigonometrie. Precalculus vormt de sokkel nodig voor de verdere uitbouw van de eigenlijke calculus en is als een soort apart vak ontstaan, na het desastreuse "New Math Experiment" (zie blog II cursiefje « Het New Math experiment ». Invoering van "Precalculus" als vak was in de USA een absolute noodzakelijkheid, want studenten met een "New Math"- opleiding waren niet in staat om een Calculuscursus te volgen.
In de USA heeft men het veelal over Calculus I, Calculus II en Calculus III. In Calculus I en II wordt de calculus met één veranderlijke (single variable calculus), in calculus III de calculus met meerdere veranderlijken (multivariable calculus) besproken. Het niveau van Calculus I is wat lager dan dit van Calculus II en is vergelijkbaar met wat in het hoger secundair onderwijs (wiskundeafdeling) in Europa gegeven wordt. De materie gedoceerd in Calculus II stemt ongeveer overeen met een Europese inleidende universitaire cursus.
Fundamentele of Moderne Analyse heeft net zoals de Moderne Algebra de theorie der verzamelingen als vertrekbasis. Enige kennis van de verzamelingenleer en i.h.b. de gebruikte symboliek (5) (bvb: de symbolen ∪-unie- en ∩ -intersectie- van twee verzamelingen) en hun precieze betekenis is een vereiste voor het lezen en het goed begrijpen van moderne basisteksten, die over analyse handelen.
Tegenwoordig worden enkele basiselementen van de verzamelingenleer al in het secundair onderwijs besproken. Het is zo wat het enige positieve element dat overgebleven is na de invoering (1969) en afschaffing (1982) van de new of modern math in het primair en secundair onderwijs. Voordien d.i. vóór 1969 kwam de theorie der verzamelingen alleen ter sprake in het hoger onderwijs. Wie nooit met de verzamelingenleer in aanraking gekomen is (en dat was bvb mijn geval), doet er goed aan, de basiselementen van deze theorie te bestuderen, vooraleer de studie van de Analyse aan te vatten.
Een uitstekende monografie die bvb over de theorie der verzamelingen handelt, is die van Seymour Lipschutz (« Set Theory and related topics » Schaum, -1964-). In voetnoot (6) vindt men de diverse onderwerpen, die deze auteur in de eerste editie van zijn boek behandelt. Een tweede enigszins gewijzigde en aangevulde editie verscheen nog in 1998.
In het Voorwoord van het boek (eerste editie) schreef de auteur:
The theory of sets lies on the foundations of mathematics. Concepts in set theory, such as functions and relations, appear explicitly or implicitly in every branch of mathematics. This text is an informal, non-axiomatic treatment of the theory of sets. The material is divided in three parts: Part I contains an introduction to the elementary operations of sets and a detailed discussion of the concept of function and of a relation. Part II develops the theory of cardinal and ordinal numbers in the classical approach of Cantor. It also considers partially ordered sets and the axiom of choice and its equivalents including Zorns lemma. Part III treats of those topics which are usually associated with elementary set theory.
Uit eigen ervaring kan ik deze monografie ten hoogste aanbevelen . Kennis van Part I en i.h.b. van de moderne begrippen functie en afbeelding ("mapping") is belangrijk
vraag: vertaal volgende symbolen in "menselijke" taal : ∀, ∃, ∈, ⊆....
Maar terug naar de Analyse of Calculus. Calculus werd in de twintigste eeuw beschouwd als HET wiskundevak bij uitstek van de wetenschapper en dat is het nog altijd. Analyse is immers de wiskunde van de verandering, van de dynamica, van de "dynamische processen" en elke wetenschapper (fysicus, chemicus, bioloog, geoloog) heeft in zijn vakgebied te maken met dergelijke processen. Tegenwoordig blijkt Analyse iets van zijn overheersende rol ingeboet ten voordele van de Algebra en i.h.b. ten overstaan van de Lineaire Algebra. Men zal in een ander cursiefje zien waarom.
Analyse was vroeger in de eerste plaats voorbehouden aan toekomstige fysici en ingenieurs. Het vak was over de verschillende kandidaturen (K1, K2) of bachelorjaren (B1, B2 en zelfs B3) gespreid. Aan de meeste universiteiten volgden toekomstige fysici en ingenieurs meestal een gemeenschappelijke cursus met de toekomstige mathematici, althans in de beginjaren bachelor (B1, B2). Voor wiskundigen volgde na deze cursus nog een meer specifieke en diepgaande cursus Analyse, waar alles bewezen en afgeleid werd.
Maar ook voor scheikundigen, bio- en geowetenschappers werd Calculus meer en meer onontbeerlijk geacht. Er was voor deze categorie wetenschappers een afzonderlijke, minder diepgaande cursus voorzien die eveneens over de twee kandidaturen (K1, K2) of over de eerste twee bachelorjaren (B1, B2) gespreid was.
In sommige Belgische universiteiten (o.m. de Luikse universiteit) is tegenwoordig voor toekomstige scheikundigen een gemeenschappelijke cursus met de toekomstige fysici voorzien en deze cursus is gespreid over twee jaar (B1, B2) of over twee semesters.
Voor de meeste biowetenschappers (bvb toekomstige landbouwingenieurs en biochemici) en geowetenschappers (geologen, geografen) was Calculus, al vanaf de vijftiger jaren, een verplicht vak ; voor andere biowetenschappers (bvb artsen en farmaceuten) was het nog een facultatief vak. Deze laatste werden echter vriendelijk aangemaand om toch ook maar deze cursus te volgen . Hoe dan ook, later werd Calculus evenzeer als verplicht vak in het curriculum van de farmaceut opgenomen. Het ging hier dan echter om een beperkte eenjarige cursus.
Voor de bio-ingenieurs is heden een specifieke tweejarige cursus (B1, B2) voorzien, die zowel single variable als multivariable calculus omvat.
Het is dus de aard van de gekozen discipline die de diepgang van de Analyse- cursus bepaalt. Aldus kan men onderscheiden :
1- Analyse voor beginnende chemici, biologen en farmaceuten,
2- Analyse voor beginnende fysici en ingenieurs,
3- Analyse voor beginnende mathematici.
Er bestaan nu betrekkelijk grote verschillen tussen deze cursussen o.m. voor wat betreft de inhoud, de wiskundige gestrengheid en diepgang en in volgende cursiefjes zal dit nader toegelicht worden.
* * *
In de reeks Que sais-je? waren er nu enkele monografieën voorhanden, die een uitstekende begeleiding of op zijn minst een nuttige toelichting vormden voor eenieder, die geconfronteerd werd met de Analyse of Calculus:
N° 378 « Analyse Mathématique » André Delachet (1e édition -1949- 7e édition -1977-)
N° 466 « Calcul différentiel et intégral » André Delachet (1e édition -1951- 4e édition -1960-)
N° 418 « Calcul vectoriel et calcul tensoriel » André Delachet (1e édition -1951- 4e édition -1960-)
En verder:
N° 418 « Le Calcul vectoriel » André Delachet (6e édition -1979-)
N° 1336 « Le Calcul tensoriel » André Delachet (1er édition -1969- 2e édition -1974-)
N° 2560 « Calcul différentiel complexe » Daniel Leborgne (1er édition -1991- 2e édition -1996-)
De eerste drie waren al beschikbaar toen ik aan de Gentse Alma Mater vertoefde en zij vormden een welgekomen, zelfs noodzakelijke toelichting bij de cursus van Grosjean (zie volgend cursiefje). De monografie « Analyse Mathématique » schetste de historische ontwikkeling (7) van de calculus, terwijl « Calcul différentiel et intégral » een globaal overzicht (8) gaf van wat er zo al te beleven viel in een klassiek universitair calculusprogramma.
Het boekje « Calcul vectoriel et calcul tensoriel » (9) en i.h.b. het deel vectoranalyse zal later voor mij van cruciaal belang blijken te zijn. De kennis van de Vectoranalyse, verworven door de studie van deze kleine monografie, heeft immers enorm bijgedragen tot het welslagen van mijn examen fysica (tweede deel) voor de Centrale Jury in 1961 (zie cursiefje « Algemene Natuurkunde voor bachelors ».
De laatste drie kwamen mij eerst maar veel later van pas, o.m. toen ik mij verder ging verdiepen in de vectoriële en tensoriële calculus en in de complexe analyse (zie verder).
(2) In zijn fameuze Cours dAnalyse (1821) schreef Cauchy:
- quest-ce véritablement quune dérivée? réponse: une limite
- quest-ce véritablement quune intégrale? réponse : une limite
- quest-ce véritablement quune série infinie a1 + a2 + a3 + ? réponse: une limite
Il reste à savoir:
- quest-ce quune limite? réponse: un nombre
Et nous arrivons ainsi à lultime question:
- quest-ce qu un nombre? .
Cauchy's woordenspelletje verklaart waarom iedere fatsoenlijke cursus "Analyse" begint met het "Reële Getal"... en waarom de theorie der irrationale getallen, deelverzameling van de reële getallen, zo belangrijk is voor de "Analyse"!
(6) inhoudsoverzicht van Set theory and related topics van Seymour Lipschutz (Schaum, -1964-):
(Part I: elementary theory of sets) 1- sets and subsets; 2- basic set operations; 3- sets of numbers; 4- functions; 5- product sets and graphs of functions; 6- relations; 7- further theory of sets; 8- further theory of functions operations; (Part II: cardinals, ordinals, and transfinite induction) 9- cardinal numbers; 10- partially and totally ordered sets; 11- well-ordered sets, ordinal numbers; 12- axiom of choice Zorns lemma well-ordering theorem; 13- Paradoxes in set theory; (Part III: related topics) 14- algebra of propositions; 15- quantifiers; 16- Boolean algebra; 17- logical reasoning
Introduction; -Chapitre 1 «La période pré- newtonienne» (La racine de lanalyse infinitésimale; La critique descriptive et la critique constructive dans lAntiquité; La détermination infinitésimale; Les indivisibles) -Chapitre 2 «Lépoque newtonienne» (La découverte du calcul infinitésimal -la méthode des tangentes, la découverte leibnizienne-; Les séries infinies -lanalyse newtonienne-; Développement de lanalyse à la suite de la découverte du calcul infinitésimal -Chapitre 3 «Genèse de la notion fonction» (Les imaginaires et lanalyse infinitésimale -les fonctions elliptiques, les fonctions de variables complexes-; Le développement des méthodes des séries infinies -Chapitre 4 «La notion moderne de continuité» (La continuité chez Cauchy; Lautonomie de lanalyse -luvre de Cauchy-; Larithmétisation de lanalyse -Chapitre 5 «Le mouvement logistiqueet le transfini » (La théorie des ensembles; Lénumération transfinie; Linnéité du transfini -Chapitre 6 «La crise mathématique au début du 20e siècle» (Létat de lanalyse au début du 20e siècle; La querelle des empiristes et des idéalistes; Le transfini, loutil indispensable de lanalyse moderne; Nécessité du recours à une logique nouvelle -Chapitre 7 «Les derniers progrès de lAnalyse» (Le problème de lintégration; Equations différentielles et équations aux dérivées partielles; Lanalyse fonctionnelle; La théorie moderne des fonctions de variables réelles; Les fonctions de variables complexes; Les familles des fonctions (le problème de litération); Lécole de Bourbaki CONCLUSION: lAvenir de lAnalyse
-Introduction I- La notion de nombre (lensemble des nombres réels; interprétation géométrique; opérations sur les nombres réels) II- Les ensembles linéaires (propriétés fondamentales des ensembles linéaires; ensembles dénombrables et suites infinies) -Chapitre 1 «Les Fonctions de variables réelles» I- Définitions, limites, continuité (notion de fonction; notion de limite; fonctions monotones; continuité; fonction de fonctions; fonctions composées; transformations) II- Propriétés des fonctions continues (définition; continuité uniforme; théorème de substitutions; fonctions inverses; prolongement dune fonction par continuité; extension des fonctions usuelles aux valeurs irrationnelles de la variable) III- Les fonctions à variations bornées (définition et propriétés; définition de la longueur dun arc de courbe, théorèmes de Jordan; exemple de courbe rectifiable) -Chapitre 2 «Les fonctions dérivables» I- Différentielles et dérivées des fonctions dune variable réelle (définitions; généralisation de la notion de dérivée; interprétation géométrique de la dérivée; dérivées successives; fonctions inverses; fonction de fonctions; usage des dérivées; extension du théorème des accroissements finis; fonctions et courbes convexes; application des notions acquises à létude d un exercice) II- Fonctions de plusieurs variables (fonction différentiable; conditions pour quune fonction soit différentiable; fonctions composées; dérivées partielles successives; extension de la formule de Taylor) III- fonctions implicites (conditions dexistence; différentiation des fonctions implicites; généralisation à un système de fonctions implicites) -Chapitre 3 «Notion d intégrale» I- Intégrale définie (introduction; intégration des fonctions étagées; intégration des fonctions bornées sur un intervalle (a,b); classes de fonctions intégrables; propriétés de lintégrale définie) II- Intégrales indéfinies et primitives (préliminaires; fonction primitive) III- Procédés classiques dintégration (changement de variable; intégration par parties) IV- Extension de la notion dintégrale définie (la fonction à intégrer devient infinie; cas où lune des limites devient infinie) -Chapitre 4 «Notions sur les séries et produits infinis numériques» Préliminaires (définition des séries numériques; combinaison linéaire des séries; remarques) I- Les séries à termes positifs (définition et propriété fondamentale; série majorante; deuxième règle de convergence; théorème de Cauchy; commutativité, associativité; séries à double entrée; produit de deux séries convergentes à termes positifs) II- Séries dont les termes ne sont pas du même signe (définition; propriétés des séries absolument convergentes; séries alternées; principales propriétés des séries semi-convergentes) III- Les produits infinis (définitions; propriétés des produits infinis) -Chapitre 5 «Fonctions définies par des séries ou des intégrales» I- Convergence uniforme (définitions; théorèmes généraux) II- Applications aux intégrales (continuité dune intégrale; dérivation sous le signe dintégration; intégration sous le signe dintégration; extension des formules précédentes aux intégrales généralisées; application de la théorie précédente à quelques exemples) III- Applications aux fonctions définies par une série ou un produit infini de fonctions» (définitions; propriétés générales; applications aux produits infinis; application des théories précédentes à un exemple)
Introduction -Première Partie: Algèbre vectorielle Chapitre 1 Les vecteurs libres (Orientation de lespace; Définition des vecteurs; Opérations vectorielles; Les applications de la méthode vectorielle) Chapitre 2 Les vecteurs glissants (Vecteurs glissants et systèmes de vecteurs glissants; Systèmes de vecteurs glissants équivalents; Systèmes de vecteurs glissants particuliers; Applications à la statique du corps solide) -Deuxième Partie: Analyse vectorielle Chapitre 1 Les fonctions vectorielles de variables scalaires (Définitions, limites, continuité; Dérivée dune fonction vectorielle de variable scalaire; Intégration vectorielle; Application à létude gauches et à la cinématique; Applications à létude des surfaces) Chapitre 2 Les champs des vecteurs (Opérateurs différentiels; Transformation de certaines intégrales multiples) -Troisième Partie: Algèbre tensorielle Chapitre 1 Multiplicités linéaires et espaces affins; Chapitre 2 Contre-variance et covariance; Chapitre 3 Les formes multilinéaires et les tenseurs (Définitions; Algèbre tensorielle; Tenseurs symétriques et antisymétriques) Chapitre 4 La géométrie métrique (Produit intérieur de deux vecteurs, repères orthogonaux normés; Angle de deux vecteurs; Lespace euclidien réel rapporté à une base quelconque) -Quatrième Partie: Analyse tensorielle Chapitre 1 Champs de tenseurs en espace affin (Définition; Dérivées dun champ de tenseurs affins) Chapitre 2 Les tenseurs en espace amorphe (Les repères curvilignes; Tenseurs dans une multiplicité quelconque; Champs de tenseurs en espace amorphe Chapitre 3 Introduction à létude des espaces courbes
In mijn blogs neemt de Wiskunde heel wat plaats in, wellicht althans volgens sommige lezers- te veel plaats. Maar misschien is het goed hier even te herinneren, dat volgens Galileï het Boek der Natuur geschreven is in de taal der Wiskunde. Wetenschap bedrijven zonder Wiskunde is totaal onmogelijk en ik bevind mij in goed gezelschap als ik hier durf te stellen: Wiskunde is een deel van de natuurkunde.
Shocking and Unbelievable zullen sommige mathematici verontwaardigd uitroepen en nochtans ziehier wat een Vladimir Arnold (1) in een ophefmakend pamflet On teaching Mathematics (2) hieromtrent berichtte:
. Mathematics is a part of physics. Physics is an experimental science, a part of natural science. Mathematics is the part of physics where experiments are cheap .
.In the middle of the twentieth century it was attempted to divide physics and mathematics. The consequences turned out to be catastrophic. Whole generations of mathematicians grew up without knowing half of their science and, of course, in total ignorance of any other sciences. They first began teaching their ugly scholastic pseudo-mathematics to their students, then to schoolchildren (forgetting Hardy's warning that ugly mathematics has no permanent place under the Sun).
Misschien dan toch maar eerst eens het volledig pamflet van Vladimir Arnold doornemen?? Naar mijn gevoel: werkelijk aan te raden lectuur. Zeker, een Arnold had het hier in de eerste plaats over het zogenaamde New Math experiment. Maar het is een feit dat met Bourbaki (2) een tendens is tot stand gekomen, die de banden van de wiskunde met de fysische realiteit tracht door te knippen. En juist deze band met de fysische wereld is volgens Morris Kline (3) absoluut noodzakelijk. Dit blijkt zeer duidelijk uit zijn monografie « Mathematics and the Physical World » (4) . Dit laatste boek werd door de uitgever als volgt voorgesteld:
Since the major branches of mathematics grew and expanded with science, the most effective way to appreciate and understand mathematics is in terms of the study of Nature. Unfortunately, the relationship of mathematics to the study of Nature is neglected in dry, technique-oriented textbooks, and it has remained for Professor Morris Kline to the simultaneous growth of mathematics and the physical sciences in this remarkable book.
In a manner that reflects both erudition and enthusiasm, the author provides a stimulating account of the development of basic mathematics from arithmetic, algebra, geometry, and trigonometry to calculus, differential equations and the non-Euclidean geometries. At the same time, Dr Kline shows how mathematics is used in optics, astronomy, motion under the law of gravitation, acoustics, electromagnetism, and other phenomena. Historical and biographical materials are also included, while mathematical notation has been kept to a minimum ..
Wordt in voornoemd boek de band tussen fysische realiteit en de lagere regionen van de wiskunde ontegensprekelijk aangetoond, dan is dit evenzeer het geval voor de hoogste regionen. Een imposante en recente monografie van Roger Penrose (5) getiteld « The Road to Reality a complete guide to the laws of the universe- » illustreert volkomen deze stelling (voor meer details zie cursiefje « wat is wetenschap »).
Maar wat is Wiskunde eigenlijk? Een simpele vraag, waarop mathematici meestal erg verveeld reageren. Nochtans bestaan er diverse referenties die als titel Wat is Wiskunde? dragen. Zo is er bvb What is mathematics? van de bekende wiskundige Richard Courant, boek dat ik in blog 4 zal bespreken (cursiefje: « Fundamentele Wiskunde volgens Richard Courant »). Er is Quest-ce que les Mathématiques van Norbert Verdier, het eerste deel van een reeks die in totaal 12 monografieën telde en die wegens misverkoop (er waren 16 monografieën voorzien) afgebroken werd.
Maar, er is naar mijn bescheiden mening slechts één referentie, die althans voor de gewone sterveling- in aanmerking komt om werkelijk deze titel te dragen: « Mathematics for the Non-mathematician » van voornoemde Morris Kline. Het werk handelt over wat ik de « Algemene Wiskunde » zou willen noemen, een wiskunde die grotendeels in de humaniora, maar ook aan beginnende bachelors (i.h.b. gewone calculus en matrix-algebra) onderwezen wordt. Voornoemde « Algemene Wiskunde » omvat traditioneel Arithmetiek, Algebra, Geometrie (inclusief trigonometrie) en wat Analyse of Calculus en is gericht op het ontwikkelen van bepaalde technische vaardigheden bij de leerlingen. Fundamentele wiskundige gestrengheid is bij dit type wiskunde uit den boze en vele stellingen worden dan ook zonder enig bewijs aangenomen. Ook heeft de leerling de indruk dat vele begrippen en definities zo maar uit de lucht komen vallen, wat natuurlijk niet het geval is en wat vooral duidelijk wordt indien men de zaken bekijkt in een historische contekst.
Voor mij is nu Kline's monografie HET boek, dat een ereplaats verdient in de bibliotheek van ieder, die maar enigszins in aanraking komt met wiskunde. In werkelijkheid dus iedereen, van student tot academicus, van ambachtsman tot ingenieur, van sportman tot kunstenaar, van wetenschapper tot de pure mathematicus.
Voor wie verder in de wiskunde wenst door te dringen is er vervolgens de « Fundamentele of Hogere Wiskunde », onmisbaar voor de wetenschapper die aan research wil doen (zie blog IV). Het onderscheid tussen beide wiskundes, die beiden de klassieke deelgebieden Arithmetiek, Algebra, Meetkunde en Analyse omvatten zit hem in het opzet. Waar de « Algemene Wiskunde » het ontwikkelen van practische vaardigheden (systematisch toepassen van rekenregels) beoogt, gaat het in de « Fundamentele Wiskunde » om het eigenlijk begrijpen van de fundamenten en redeneerwijzen van de wiskunde. In tegenstelling met de gangbare mening is Fundamentele Wiskunde veel "gebruiksvriendelijker" dan Algemene Wiskunde.
1- Wie was Morris Kline?
Morris Kline (1 Mei 1908 10 Juni 1992) doceerde wiskunde aan de Universiteit van New York van 1938 tot 1975 (full professor vanaf 1952) en was ook verbonden aan het Richard Courant Instituut, waar hij het departement Elektromagnetisme leidde.
Hij was vooral de auteur van een twaalftal monografieën die over de historiek, de culturele aspecten en de te volgen didactiek van de wiskunde handelden, waaronder bvb : « Mathematics in Western Culture » (1953), « Mathematics: A Cultural Approach » (1962), « Mathematics for the non-mathematician » (1967), « Mathematics: The Loss of Certainty » (Oxford University Press, 1980) and « Mathematics and the Search for Knowledge » (Oxford University Press, 1985).
In 1972 verscheen van zijn hand het drie volumes tellende « Mathematical thought from Ancient to Modern Times », mijns inziens het betere boek over de geschiedenis van de wiskunde, dat bvb een « A History of Mathematics » van Carl Boyer ver achter zich laat.
Het eerste volume beschrijft de Babylonische en Egyptische wiskunde, het ontstaan van de geometrie en de trigonometrie in Griekenland en de rol van de Wiskunde in de Middeleeuwen tot in de vroege Moderne Tijd.
Het tweede volume is gewijd aan de Calculus (met inbegrip van de Variationele Calculus), de opkomst van de Wiskundige Analyse in de 19de eeuw en de Theorieën van het Getal (Dedekind en Dirichlet).
Het derde volume uiteindelijk bespreekt de herleving van de Projectieve Meetkunde, die haar oorsprong vindt in de Renaissance, de opkomst van de Abstracte Algebra en van de Topologie, en de invloed van Kurt Gödel op de verdere ontwikkeling van de axiomatische wiskunde.
In 1973 was er ook nog « Why Johnny Cant Add: the Failure of the New Math » waarin Kline de introductie van de Moderne Wiskunde in de elementary school en high school hekelde. Achteraf is gebleken dat hij het inderdaad bij het rechte eind had (zie mijn cursiefje in blog II « Het New Math Experiment ».
In een bespreking van dit boek schreef Harry Schwartz van de New York Times :
"The significance (of the book) goes far beyond its immediate topic. It raises the broader issue of how, in field after field in American life, there come to be sudden fixations on supposed panaceas for perceived problems. All too often however, these panaceas turn out to have unforeseen consequences as bad as or worse than the original difficulties that triggered their adoption."
Gedurende zijn ganse leven, heeft Kline de nadruk gelegd op de relatie die er bestaat tussen wiskunde en de fysische realiteit. Voor hem was wiskunde alleen maar belangrijk omdat ze er toe bijdraagt onze leefwereld te begrijpen. De absolute scheiding tussen Wiskunde en Natuurkunde bvb en de introductie van de Wiskunde als een afzonderlijke discipline was volgens hem -vooral op didactisch vlak- fout.
In 1986 publiceerde hij een editorial in Focus, het Journal of the Mathematical Association of America, waarin hij zijn zienswijze als volgt formuleerde :
.On all levels primary, and secondary and undergraduate - mathematics is taught as an isolated subject with few, if any, ties to the real world. To students, mathematics appears to deal almost entirely with things which are of no concern at all to man
. Mathematics is expected either to be immediately attractive to students on its own merits or to be accepted by students solely on the basis of the teacher's assurance that it will be helpful in later life
. Mathematics is the key to understanding and mastering our physical, social and biological worlds
Wiskunde- leraren en docenten zouden er wellicht goed aan doen zich deze zinnetjes niet alleen steeds voor ogen te houden, maar ook toe te passen in hun leeropdracht.
2- Bespreking van « Mathematics for the non-mathematician »
« Mathematics for the non-mathematician » is een verkorte versie van « Mathematics: A Cultural Approach ». Laatstgenoemd boek is dan weer een uitgebreide versie van « Mathematics and the Physical World ». Chronologisch heeft men derhalve het schema:
« Mathematics and the Physical World » (1959) → « Mathematics: A Cultural Approach » (1962) → « Mathematics for the non-mathematician » (1967)
Zo bevat eerstgenoemd boek 27, het tweede boek 31 en het laatste dan weer 24 hoofdstukken. Zoals aangegeven in het Voorwoord is het doelpubliek van « Mathematics for the non-mathematician » de liberal arts student (6) :
I believe as firmly as I have in the past that a mathematics course addressed to liberal arts students must present the scientific and humanistic import of the subject. Whereas mathematics proper makes little appeal and seems even less pointed to most of these students, the subject becomes highly significant to them when it is presented in a cultural context
That so many professors have chosen to teach mathematics as an integral part of Western culture, as evidenced by their reception of my earlier book, Mathematics: a cultural approach, has been extremely gratifying. That book continue to be available. In the present revision and abridgment, which has been designed to meet the needs of particular groups of students, the spirit of the original text has been preserved. The historical approach has been retained because it is intrinsically interesting, provides motivation for the introduction of various topics, and gives coherence to the body of material. Each topic or branch of mathematics dealt with is shown to be a response to humans interest, and the cultural import of the technical development is presented. I adhered to the principle that the level of rigor should be suited to the mathematical age of the student rather than to the age of mathematics .
In wezen gaat het hier om een schoolboek (!) waarin vele oefeningen en vraagstukken voorkomen en met volgende inhoud:
Chapter 1 Why mathematics?
Chapter 2 A historical orientation (1- Introduction 2- Mathematics in the early civilizations 3- The classical Greek period 4- The Alexandrian Greek period 5- The Hindus and Arabs 6- Early and medieval Europe 7- The Renaissance 8- Developments from 1550 to 1800 9- Developments from 1800 to the present 10- The human aspect of mathematics )
Chapter 3 Logic and mathematics (1- Introduction 2- The concepts of mathematics 3- Idealization 4- Methods of reasoning 5- Mathematical proof 6- Axioms and definitions 7- The creation of mathematics)
Chapter 4 Number: the fundamental concept (1- Introduction 2- Whole numbers and fractions 3- Irrational numbers 4- Negative numbers 5- The axioms concerning numbers 6- Applications of the number system* )
Chapter 5 Algebra, the higher arithmetic (1- Introduction 2- The language of algebra 3- Exponents 4- Algebraic transformations 5- Equations involving unknowns 6- The general second degree equation 7- The history of equations of higher degree*)
Chapter 6 The nature and uses of Euclidean geometry (1- The beginnings of geometry 2- The content of Euclidean geometry 3- Some mundane uses of Euclidean geometry 4- Euclidean geometry and the study of light* 5- Conic sections 6- Conic sections and light* 7- The cultural influence of Euclidean geometry )
Chapter 7 Charting the Earth and the Heavens (1- The Alexandrian world 2- Basic concepts of trigonometry 3- Some mundane uses of trigonometric ratios 4- Charting the Earth* 5- Charting the heavens* 6- Further progress in the study of light* )
Chapter 8 The mathematical order of Nature (1- The Greek concept of Nature 2- Pre-Greek and Greek views of Nature 3- Greek astronomical theories 4- The evidence of the mathematical design of nature 5- The destruction of the Greek world)
Chapter 9 The awakening of Europe (1- The medieval civilization of Europe* 2- Mathematics in the medieval period* 3- Revolutionary influences in Europe* 4- New doctrines of the Renaissance* 5- The religious motivation in the study of Nature* )
Chapter 10 Mathematics and painting in the Renaissance (1- Introduction* 2- Gropings toward a scientific system of perspective* 3- Realism leads to mathematics* 4- The basic idea of mathematical perspective* 5- Some mathematical theorems on perspective drawing* 6- Renaissance paintings employing mathematical perspective* 7- Other values of mathematical perspective* )
Chapter 11 Projective geometry (1- The problem suggested by projection and section 2- The work of Desargues 3- The work of Pascal 4- The principle of duality 5- The relationship between projective and Euclidean geometries)
Chapter 12 Coordinate geometry (1- Descartes and Fermat 2- The need for new methods in geometry 3- The concepts of equation and curve 4- The parabola 5- Finding a curve from its equation 6- The ellipse 7- The equations of surfaces* 8- Four-dimensional geometry* 9- Summary )
Chapter 13 The simplest formulas in action (1- Mastery of nature 2- The search for scientific method 3- Functions and formulas 4- The formulas describing the motion of dropped objects 5- The formulas describing the motion of objects thrown downward )
Chapter 14 Parametric equations and curvilinear motion (1- Introduction 2- The concept of parametric equations 3- The motion of a projectile dropped from an airplane 4- The motions of projectiles launched by cannons 5- The motion of projectiles fired at an arbitrary angle* 6- Summary)
Chapter 15 The application of formulas to Gravitation (1- The revolution in astronomy 2- The objections to a heliocentric theory 3- The arguments for the heliocentric theory 4- The problem of relating earthly and heavenly motions 5- A sketch of Newtons life 6- Newtons key idea 7- Mass and weight 8- The law of gravitation 9- Further discussion of mass and weight 10- Some deductions from the law of gravitation 11- The rotation of the Earth* 12- Gravitation and Keplerian laws* 13- Implications of the theory of gravitation* )
Chapter 16 The differential calculus (1- Introduction* 2- The problems leading to the calculus* 3- The concept of instantaneous rate of change* 4- The concept of instantaneous speed* 5- The method of increments* 6- The method of increments applied to general functions* 7- The geometrical meaning of the derivative* 8- The maximum and minimum values of functions*)
Chapter 17 The integral calculus (1- Differential and integral calculus compared* 2- Finding the formula for the given rate of change* 3- Applications to problems of motion* 4- Areas obtained by integration* 5- The calculation of work* 6- The calculation of escape velocity* 7- The integral as a limit of a sum* 8- Some relevant history of the limit concept* 9- The Age of Reason* )
Chapter 18 Trigonometric functions and oscillatory motion (1- Introduction 2- The motion of a bob on a spring 3- The sinusoidal functions 4- Acceleration in sinusoidal motion 5- The mathematical analysis of the motion of the bob 6- Summary )
Chapter 19 The trigonometric analysis of musical sounds(1- Introduction 2- The nature of simple sounds 3- The method of addition of ordinates 4- The analysis of complex sounds 5- Subjective properties of musical sounds)
Chapter 20 Non Euclidean geometries and their significance (1- Introduction 2- The historical background 3- The mathematical content of Gausss non-Euclidean geometry 4- Riemanns non-Euclidean geometry 5- The applicability of non-Euclidean geometry 6- The applicability of non-Euclidean geometry under a new interpretation of line 7- Non-Euclidean geometry and the nature of mathematics 8- The implications of non-Euclidean geometry for other branches of our culture)
Chapter 21 Arithmetics and their Algebras (1- Introduction 2- The applicability of the real number system 3- Baseball arithmetics 4- Modular arithmetics an their algebras 5- The algebra of sets 6- Mathematics and model )
Chapter 22 The statistical approach in the social and biological sciences (1- Introduction* 2- A brief historical review* 3- Averages* 4- Dispersion* 5- The graph and the normal curve* 6- Fitting a formula to data* 7- Correlation* 8- Cautions concerning the uses of statistics*)
Chapter 23 The theory of Probability (1- Introduction* 2- Probability for equally likely outcomes* 3- Probability as relative frequency* 4- Probability in continuous variation* 5- Binomial distributions* 6- The problems of sampling*)
Chapter 24 The Nature and Values of Mathematics (1- Introduction 2- The structure of mathematics 3- The values of mathematics for the study of nature 4- The aesthetic and intellectual value 5- Mathematics and rationalism 6- The limitations of mathematics)
Table of trigonometric ratios
Answers to selected and review exercises
Additional answers and solutions
Let wel dat de inhoud van het boek in feite het gehele wiskundeprogramma van het secundair onderwijs omschrijft en het ontstaan van de diverse deelgebieden (arithmetiek, algebra, gewone, analytische en projectieve meetkunde en trigonometrie, calculus of analyse) in een historische context plaatst. Op deze wijze begrijpt de scholier zeer goed het hoe en waarom van elk deelgebied en vormt de wiskunde een coherent en natuurlijk geheel.
Het is deze historische context, die inderdaad het cement vormt tussen de verschillende deelgebieden. Dit cement is niet aanwezig is wanneer het onderricht -zoals nog altijd gebruikelijk- alleen de nadruk wordt gelegd op de "technische" kanten van de wiskunde (algoritmen).
3- Besluit:
Terugblikkend op mijn humaniorajaren in het college "Saint Louis" en in de Cadettenschool, moet ik vaststellen, dat ik deze zeer interessante benadering van de wiskunde heb gemist.
In het college "Saint-Louis" werd de wiskunde -althans in de lagere humaniora- erg stiefmoederlijk behandeld. Misschien wel omwille van een uitspraak van Sint Augustinus, die men in Morris Kline's boek (chapter 1 "Why mathematics?") kan terugvinden en die ik hier even citeer:
... The good Christian should beware of mathematicians and all those who make empty prophecies. The danger already exists that the mathematicians have made a covenant with the devil to darken the spirit and to confine man in the bonds of the Hell...
In de Cadettenschool werd de wiskunde in verband met de doelstelling van de school "voorbereiden op het toelatingsexamen KMS" dan weer té technisch (bij de Muis) of met overdreven wiskundige gestrengheid (bij de Snor) gedoceerd. En dat was vooral nefast voor de Grieks-Latijnse sectie, die, in verband met haar specificiteit, een meer culturele aanpak van de wiskunde verdiende.
Het komt mij voor dat « Mathematics: an cultural approach » en/of « Mathematics for the Non-mathematician » erg belangrijk zijn voor het A.S.O. en i.h.b. voor scholieren die klassieke humaniora volgen. Te meer daar voor meer historische en culturele details nog verder kan beroep gedaan worden op het driedelige werk Mathematical thoughtfrom Ancient to Modern Times van dezelfde auteur.
(4) Inhoudsopgave « Mathematics and the Physical World » :
Chapter 1 The why and wherefore Chapter 2 Discovery and proof Chapter 3 The science of arithmetic Chapter 4 The deeper waters of arithmetic Chapter 5 Numbers, known and unknown Chapter 6 The laws of space and forms Chapter 7 The dimensions of the heavenly spheres Chapter 8 The revolutions of the heavenly spheres Chapter 9 The scientific revolution Chapter 10 The wedding of curve and equation Chapter 11 Explanation versus description Chapter 12 Vertical motion Chapter 13 Motion on an inclined plane Chapter 14 The motion of projectiles Chapter 15 From projectile to planet and satellite Chapter 16 Deductions from the law of gravitation Chapter 17 More light on light Chapter 18 The mathematics of oscillatory motion Chapter 19 Oscillations of the air Chapter 20 Old foes with new faces Chapter 21 Mathematical oscillations of the ether Chapter 22 The differential calculus Chapter 23 The integral calculus Chapter 24 Differential equations the heart of analysis Chapter 25 From calculus to cosmetic planning Chapter 26 Non-Euclidean geometries Chapter 27 Mathematics and Nature
(6) De oorspronkelijke titel van Klines boek was: Mathematics for Liberal Arts. Voor wat met liberal arts precies bedoeld wordt zie: http://en.wikipedia.org/wiki/Liberal_arts
Ten behoeve van de farmacie bestond er, begin de jaren zestig, de belangrijke collectie Précis de Pharmacievan Masson, waarop, vanaf het einde de jaren zeventig tot op heden, de collectie Abrégés de Pharmacie ", eveneens van Masson, zou volgen. In dezelfde tijdsperiode ontstond ook de reeks Abrégés de Médecine.
Enkele van die Abrégés de Médecine waren natuurlijk van nut in de farmacie en werden dan ook als farmaceutische referentie gebruikt. Dat was o.m. ook het geval voor bepaalde monografieën van de Amerikaanse collectie van Lange Medical Editions, collectie, die bij vele geneeskundestudenten bekend was en hoog aangeslagen werd. Zelf heb ik nog voor mijn studies gebruik gemaakt van "Harper's Physiological Chemistry" en "Medical Microbiology" uit laatstgenoemde collectie.
Vóór deze boekenreeksen had Masson echter ook een collectie P.C.B. (Physique, Chimie, Biologie), met monografieën, die eveneens het kwalitatief Précis droegen, op de markt gebracht. Bij de meeste Vlaamse studenten waren echter al deze Franse collecties volslagen onbekend. Het was precies alsof met de steeds maar verder voortschrijdende vervlaamsing een Berlijnse muur rond het Nederlandstalig onderwijs was gebouwd
Deze laatste collectie omvatte o.m. een « Précis de Biologie végétale » (A. Guiliermond et G. Mangenot -1948-) een « Précis de Chimie » (A.Titian et J. Roche -1950-) een « Précis de Physique » (G. Simon et A. Dognon -1952-), een « Précis de Géologie » (L. Moret -1958-), en een « Précis de Minéralogie » (P. Lapadu-Hargues -1954-).
Toen ik in 1958 op de Gentse Alma Mater vertoefde, had ik niet het minste vermoeden van het bestaan van deze monografieën. De meeste professoren van toen gaven immers geen enkele referentie op en zeker geen Franse referenties. Wel werden deze referentieboeken gebruikt voor het opstellen van hun cursusnota's ofte syllabi! .Vermoedelijk waren, na de vervlaamsing van de Gentse universiteit, Franse referenties niet welkom?
1° de collectie Précis de Pharmacie van Masson
Als ik het goed voorheb, was het in 1964 of 1965 dat ik de collectie Précis de Pharmacie bij toeval ontdekte naar aanleiding van een bezoek aan de Koninklijke Bibliotheek te Brussel. Het grootste deel van deze boekenreeks was toen al op de markt en was zo maar te raadplegen in de openbare leeszaal. Zo herinner ik mij nog zeer goed het fameuze « Précis de Botanique » van P. Crété ter hand genomen te hebben waarbij mij de volgende tekst van prof. M. M. Janot (1) was opgevallen:
Les études universitaires pharmaceutiques demeurent, par nécessité, encyclopédiques: allant de la physique et de la chimie systématique à la chimie analytique, de la zoologie à la pharmacodynamie, de la botanique à la microbiologie, pour aboutir à la chimie biologique et à la pharmacie chimique, à la matière médicale et à la pharmacie galénique, à la toxicologie et lhygiène.
Pas moins de dix-neuf enseignements réparties sur les quatre années de séjour de létudiant dans les Facultés et Ecoles nationales de pharmacie.
Alors que la durée des cours demeure inchangée, la matière de chacun deux sest enrichie, monstrueusement hypertrophiée, durant les douze dernières années, et, quels que soient le talent dexposition du professeur, la sûreté de son choix dans une gigantesque documentation, létudiant sort du cours accablé, inquiet, sinon découragé par la besogne quil lui reste à accomplir pour classer, résumer, apprendre.
La Collection de Précis de Pharmacie, dont jassume la direction, doit remédier à cet état de fait, faciliter au mieux le travail de létudiant, lui donner le plan et les matériaux avec lesquels il construira lédifice de ses connaissances
Daar ik op dat ogenblik nog voor Madaus werkte, was ik geïnteresseerd, want de boekjes gingen beduidend veel verder, dan wat men van een gewone universitaire referentie mocht verwachten. Natuurlijk volgde deze collectie de eisen van het Franse universitair systeem en zo achtte professor Janot het nodig zijn tekst opnieuw aan te passen aan de nieuwe tijdsomstandigheden (mei 68!) . Zo luidde in 1971 zijn tekst als volgt:
A la rentrée universitaire doctobre 1968, le nouveau régime des études pharmaceutiques (décret du 26 novembre 1962 en application depuis octobre 1964) devait terminer son premier parcours par la mise en route de la cinquième et dernière année du cycle lorsque sous la pression des évènements de mai certaines transformations y furent apportées. Il était prévu un enseignement à option pour lune des trois spécialisations: officine, industrie, biologie. Par décret du 8 novembre 1968, relatif à lorganisation des études pour cette année, il fut spécifié que les enseignements de cinquième année devraient être dispensés selon ces trois options En vérité, il ne sagit pas de bouleversements des études, car lenseignement pharmaceutique est, par sa nature même, pluridisciplinaire et professionnel; il a toujours suivi lévolution, lenrichissement des sciences et de leur applications intéressant le médicament.
La persistance des dénominations classiques telles que chimie minérale, chimie organique, pharmacie chimique nimplique pas la sclérose. Appeler pharmacognosie, la matière médicale et pharmacotechnie, la pharmacie galénique nest pas une source de progrès, ce qui importe cest le programme et son respect. Il suffit de faire une étude comparative des différentes éditions dun même PRECIS pour sen convaincre.
Een en ander verklaart waarom ik grote moeilijkheden ondervond bij het bestellen van deze monografieën bij de Librairie des Sciences te Brussel, een boekhandel, die vlak bij de Koninklijke Bibliotheek gelegen was. Steeds opnieuw kreeg ik het antwoord, dat de bestelde monografie in herdruk was.
Uiteindelijk heb ik toch met veel geduld de volledige collectie weten te verwerven. De monografieën bestreken een groot deel van het farmaceutisch curriculum op het gebied van scheikunde, biologie, en farmacologie. Toch kwamen er ook leemten voor, die opgevuld werden door de collectie P.C.B. van Masson of door monografieën van andere uitgevers zoals bvb Maloine of Doin.
- monografieën i.v.m. natuurkunde:
Het is opvallend dat, waar Janot in zijn eerste tekst een allusie maakt op de natuurkunde als noodzakelijke onderwijsdiscipline, er toch geen enkele monografie i.b.t. deze discipline in de collectie Précis de Pharmacie voorzien was. Vermoedelijk zijn ernstige meningsverschillen over de precieze inhoud van een dergelijke cursus, waarin volgens sommigen het biofysica luik niet mocht ontbreken, er de oorzaak van geweest dat er geen Précis de Physique in de collectie Précis de Pharmacie werd opgenomen. En er is inderdaad begrip op te brengen voor dit standpunt (zie cursiefje Algemene Natuurkunde voor bachelors: biowetenschappers). Voor wat de discipline fysica in het curriculum geneeskunde betrof, was natuurlijk eenzelfde discussie aan de gang.
Het was eerst maar In 1973 dat Masson een vierdelig Physique et Biophysique van Christian Bénézech (2) op de markt bracht. Het werd als handboek gebruikt voor de eerste cyclus geneeskunde en kon eventueel ook voor de farmacie gebezigd worden. Eerst maar in 1990 zal door Masson een specifiek voor de farmacie bestemde "Physique et Biophysique" op de markt gebracht worden (zie verder onder punt 2° Abrégés).
Op het ogenblik dat de collectie Précis de Pharmacie het licht zag, was er echter wel en dit sinds 1937- een « Précis de Physique » in de collectie P.C.B. van dezelfde uitgever Masson voorhanden.
In 1958, jaar dat ik op de Gentse Alma Mater terecht kwam, en ik, zoals vele andere studenten, voor het eerst geconfronteerd werd met de gevreesde professor Moens (zie cursiefje « Algemene Natuurkunde voor bachelors: alle wetenschappers ») was er helaas niemand die mij op het bestaan van dit boek wees. Nochtans was het juist dit werk, dat aan de basis lag van de syllabus van Moens....
Sedert die tijd is er natuurlijk heel wat water naar zee gevloeid en thans beschikt de student over een ruim en selectief aanbod, waarop ik in voornoemde cursiefjes zal terugkomen.
- « Précis de Physique à lusage des candidats au certificat d'études physiques chimiques et biologiques et à la licence ès sciences » G. Simon et A. Dognon collection P.C.B. (1952)* 1160 pages
- « Physique et Biophysique » Christian Bénézech, J. Llory, L. Gougerot, J. Dutreix , M. Burgeat, Y. Gralll, D. Loth, A . Desgrez, B. Bok, C. Chevalier édition Masson
tome 1 «Mécanique, Thermodynamique, Physico-chimie» (1973)* 468 pages
tome 2 «Electricité, Electrophysiologie, Electronique» (1973)* 455 pages
tome 3 «Biophysique sensorielle» (1973)*298 pages
tome 4 « Bases de lutilisation médicale et biologique des radiations» (1973)* 233 pages
- monografieën i.v.m. scheikunde:
Een van de meest succesvolle Précis van de collectie Précis de Pharmacie van Masson was ongetwijfeld het eerste deel van Précis de Chimie générale et de Chimie minérale van Louis Domange, een boek dat maar liefst vier edities heeft gekend. Het Précis de Chimie organique van Gauthier en Miocque, dat de cursus Algemene Scheikunde moest vervolledigen, verscheen echter vrij laat (1968). Het ganse oeuvre over Algemene Scheikunde besloeg toen 4 volumes en verving met succes het vroeger gebruikte "Précis de Chimie" van A. Titian en J. Roche.
Een Précis de Chimie Pharmacie chimique (d.i. farmaceutische scheikunde) van de hand van Leulier en Revol bestond al bij Maloine sinds 1948. Blijkbaar was het op de markt brengen van een tweede Précis over dit onderwerp in de collectie Précis de Pharmacieoverbodig: de markt was reeds ingenomen door een concurrent.
Ook had Masson al in 1955 een zeer lijvig en erg prijzig Traité de Pharmacie Chimique uitgebracht, zodat het eventueel publiceren van een Précis het marktaandeel voor dit werk alleen maar kon verkleinen. Dit standaardwerk gesigneerd P. Lebeau (3) en M.M. Janot heb ik mij noodgedwongen moeten aanschaffen, toen ik het plan had opgevat om mijn farmaciestudie af te maken. De aankoop was voor mij een zware financiële dobber.
Wat de biologische scheikunde betrof bestond er ook al een Précis de Chimie biologique et médicale van Maloine van Florence en Enselme(1950). De ontrafeling van de DNA- structuur door Watson en Crick (1953) rechtvaardigde echter de publicatie van een volkomen nieuw Précis de Chimie biologique ditmaal getekend Emile Courtois (4) en Roland Perles (1959).
Van de hand van P. Jaulmes verscheen in 1965 het eerste deel van een Précis de Chimie Analytique; het tweede deel zou jammer genoeg nooit het licht zien.
Buiten reeks, maar op dezelfde wijze gerepresenteerd als de klassieke Précis van Masson, verscheen in 1965 Principes de Chimie physique à lusage des pharmaciens et biologistes van de Belgische professoren Romain Ruyssen en Léopold Molle.
Dit boek bewees zijn immens nut, toen ik eind de jaren zeventig mij begon in te laten met « biofysica ». Bovendien kende ik persoonlijk een van de auteurs (Léopold Molle), die ik niet alleen als professor maar ook als mens erg waardeerde.
- « Précis de Chimie Générale et de Chimie Minérale » L. Domange
tome I -1ère édition (1959) 2ème édition (?) 3ème édition (1966) 4e édition (1971)*
tome II -1ère édition (1960)* 2ème édition (1965)
- « Précis de Chimie organique » J.A. Gauthier et M. Miocque
tome I généralités, série acyclique (1968)*
tome II série cyclique (1969)*
- « Précis de Chimie analytique » P. Jaulmes
tome I «analyse qualitative minérale»(1965)
tome II- jamais publié-
- « Principes de Chimie physique à lusage des pharmaciens et biologistes » R. Ruyssen et L. Molle hors série: Masson (1965)
- « Précis de Pharmacie Chimique » A. Leulier et A. Revol Maloine- (1948)
- «Traité de Pharmacie Chimique» P. Lebeau et M. Janot (1955-1958)
tome 1 «Chimie minérale»
tome 2 «Séries acyclique et cyclique: composés non azotés»
tome 3 «Séries cyclique, hydro aromatique, terpénique: stérols, vitamines, hormones»
tome 4 «Hétérocycliques, matières colorantes, antihistaminiques, alcaloïdes»
tome 5 «Hétérosides, protides, antibiotiques»
- « Précis de Chimie biologique et médicale » G. Florence Et J. Enselme Maloine 2ème édition (1950)
- « Précis de Chimie biologique » E. Courtois et R. Perlès
tome I 1ère édition (1959) 2ème édition (1964)* et (1971)
tome II 1ère édition (1959) 2ème édition (1965)*
- monografieën i.v.m. de vegetale biologie:
Voor de botanica (partim morfologie en systematiek) waren er in de collectie "Précis de Pharmacie" de merkwaardige en steengoede monografieën van Pierre Creté (5) . Effenaf een verademing na de syllabus van een Germain Verplancke ( zie cursiefje: Algemene Plantkunde voor bachelors). Zoals men in dit cursiefje zal zien, was de syllabus van Verplancke gans anders van opzet en duidelijk geïnspireerd door het "Précis de Biologie végétale" van A. Guillermond en G. Mangenot.
De monografieën over een typisch farmaceutische discipline als Pharmacognosie lieten het langst op zich wachten: het eerste deel verscheen in 1965, het tweede in 1967, en het derde maar in 1971!
Dit Précis de Matière Médicale van R. Paris en H. Moyse heeft mij bij het uitoefenen van mijn beroepsactiviteiten vele diensten bewezen.
- « Précis de Botanique » P. Creté
tome I «morphologie des plantes vasculaires, reproduction et systématique des bryophytes, des ptéridophytes et des gymnospermes» 1ère édition (1959) 2ème édition (1968)
tome II «systématique des angiospermes» 1ère édition (1959) (1962) 2ème édition (1965)
- « Précis de Biologie végétale » A. Guillermond et G. Mangenot (1948) hors série: Masson coll. P.C.B.
- « Matière Médicale » R. Paris et H. Moyse
tome I «pharmacognosie générale, pharmacognosie spéciale I» (1965)*
tome II «pharmacognosie spéciale II» (1967)*
tome III «pharmacognosie spéciale III» (1971)*
- monografieën i.v.m. de animale en humane biologie
Voor wat de zoölogie ofte dierkunde betreft had Masson geen particuliere monografie in de collectie Précis de Pharmacievoorzien.
Er bestond immers al een « Précis de Biologie animale à lusage des candidats au certificat d études physiques, chimiques et biologiques, au S.P.C.N., aux grandes écoles, à la licence ès sciences et des étudiants des Facultés de Pharmacie » in de collectie P.C.B. . De laatste totaal herwerkte editie van dit boek dateerde van 1957.
Wel werd in de collectie Précis de Pharmacie een monografie van Y. Raoul, die handelde over menselijke anatomie en fysiologie opgenomen.
- « Précis de Biologie animale » M. Aron et P. Grassé (1957) hors série: Masson coll. P.C.B.
- « Précis dAnatomie et Physiologie humaines » Y. Raoul
tome I -1ère édition- (1959) 3ème édition (1967)
tome II -1ère édition- (1959) 3ème édition (1968)
- monografieën i.v.m. de microbiologie:
Dat van het «Précis de Microbiologie» van Suzanne Lambin (6) nooit het tweede volume is gepubliceerd, heb ik steeds een erg spijtige zaak gevonden, want het was uiteindelijk de systematiek van bacteriën, virussen en dito, die het meest aan de orde kwam, voornamelijk bij examens.
Natuurlijk bestond er wel een «Bactériologie médicale» van Moustardier bij Maloine (1968), een concurrent van Masson. Maar, wanneer ik het boek bestelde bij de « Librairie des Sciences » kreeg ik opnieuw te horen dat het boek in herdruk was.. Overigens kwam in dit boek noch de mycologie, noch de parasitologie, noch de virologie aan bod. Gelukkig voor mij bood « Jahwetz » (zie verder) mij uitkomst..
- « Précis de Microbiologie » S. Lambin et A. German (1961)
tome 2 «immunologie, bactériologie systématique, virologie» annoncé mais jamais publié
- « Bactériologie médicale » G. Moustardier 1ère édition (1968) 4e édition (1972)*
- monografieën i.v.m. de geologie:
In de collectie P.C.B. van Masson bestond er een « Précis de Géologie » getekend Léon Moret (7) een geneesheer, die later geologie studeerde en hoogleraar en dekaan werd van de Faculteit Wetenschappen van de universiteit van Grenoble. In 1958 was er al een derde editie van dit boek verschenen, maar zoals reeds eerder opgemerkt, had ik, begin de jaren zestig, geen flauw benul van het bestaan van dergelijke monografieën.
Een ander «Précis» van Masson in de collectie P.C.B. was « Précis de Minéralogie » van P. Lapadu-Hargues (8) (1954). Het «Précis de Géologie» van Louis Moret mag niet verward worden met het driedelig «Précis de Géologie» van Abouin, Brousse en Lehman uitgegeven door Dunod. Dit laatste werk situeert zich op het niveau de « Maîtrise ».
In 1964 bracht Masson in de collectie «Précis de Pharmacie» een «Précis dHydrologie» getekend André Morette uit. In Frankrijk was « Hydrologie » (9) voor toekomstige apothekers immers een verplicht en belangrijk vak. In deze discipline kwamen alle aspecten (geologie, pollutie, thermaliteit..) van water aan bod. Ook dit boek is later voor mij van zeer groot nut geweest bij het uitoefenen van mijn beroep.
- « Précis de Géologie à lusage des candidats à la licence ès sciences, au S.P.C.N. et aux Grandes Ecoles » L. Moret Masson (1958)* hors série
- « Précis de Minéralogie » P. Lapadu-Hargues (1954)* hors série: coll. P.C.B.
- « Précis dHydrologie » A. Morette (1964)*
- « Précis de Géologie » J. Aoubin, R. Brousse et J.-P. Lehman (Dunod)
tome 1 «Pétrologie» (1968)*
tome 2 «Paléontologie» (1967)*
tome 3 «Tectonique» (1968)*
- monografieën i.v.m. de farmacologie toxicologie
Andere typisch farmaceutische disciplines waren en zijn trouwens nog altijd « farmacologie » (10) en « toxicologie » (11) . Het Griekse woord φαρμακον betekent immers zowel geneesmiddel als vergif.
Wat de toxicologie betreft was er het boek « Précis de Toxicologie » van de bekende Parijse toxicoloog Emile Kohn- Abrest. Een derde editie van voornoemd boek verscheen nog in 1962. In 1965 verscheen verder een tweedelig « Précis de Toxicologie » van R. Fabre (12) en R. Truhaut (13) bij SEDES. Er was dus geen verdere behoefte aan een ander «Précis» bij Masson: de markt was volledig ingenomen...
In 1959 verscheen bij Masson een « Précis de Pharmacodynamie » van de hand van de bekende Guillaume Valette (12).
- « Précis de Pharmacodynamie » G. Valette 1ère édition (1959) 2ème édition (1964) et (1969)
- « Précis de Toxicologie -3e édition- » E. Kohn-Abrest Doin (1962)
- « Précis de Toxicologie » Réné Fabre et R. Truhaut éditions SEDES (1965)
volume I (311 pages)
volume II (406 pages)
2° de collectie Abrégésvan Masson (partim farmacie):
De collectie Abrégés van Masson (15) is onderverdeeld in drie subcollecties respectievelijk Abrégés de Pharmacie, Abrégés de Médecine en Abrégés de Sciences.
Wat de Abrégés de Pharmacie betreft, schreef prof. Yves Cohen (16) in 1990 het volgende:
Létudiant en Pharmacie, comme létudiant en médecine ou létudiant veterinaire, absorbe, lors de ses études, une vaste gamme de programmes allant de la physique corpusculaire et des mathématiques à la biologie moléculaire. Il doit comprendre les concepts émis, les suivre dans leur évolution, les assimiler.
Les Abrégés sadressent aux étudiants des six années détudes qui conduisent au Diplôme dEtat de Docteur en Pharmacie. Ils intègrent les nouvelles directives, adaptent leurs thèmes aux nouveaux programmes ou innovent afin dapporter leur contribution au renouveau scientifique. Concis, maniables économiques ils retiennent lessentiel de la pensée magistrale et bénéficient de lexpérience didactique de leurs auteurs, qui sont des enseignants réputés. Ces auteurs ont fait leffort de condenser en peu de pages leurs cours: nen gardant que lessentiel, ils ont distingué le fondamental de laccessoire, écarté léphémère et favorisé le durable.
Année par année la collection couvre progressivement lensemble des enseignements de Pharmacie. Nombreux sont les Abrégés qui ont été réédités, preuve de leur succès. Conçus pour une durée de service aux mains des étudiants, les Abrégés sont mis à jour au fur et à mesure des besoins dictés par le progrès scientifique, lévolution de la profession pharmaceutique, ladoption de nouvelles méthodes pédagogiques.
Ouvrages du premier ou du deuxième cycle des études pharmaceutiques, ils peuvent aussi rendre service aux étudiants plus spécialisés dans un domaine déterminé des sciences, jeter des ponts entre les disciplines, combler des lacunes et apporter aux étudiants des DEUG et des DEUST, des maîtrises de chimie et de biologie appliquées une source féconde denseignements, plus particulièrement pour ceux qui souhaitent faire carrière dans les industries des biotechnologies, du génie biologique, de lagro-alimentaire. Ces abrégés préparent aux enseignements de troisième cycle ouverts à toutes ces disciplines.
La collection des Abrégés de Pharmacie est lhéritière de la collection de Précis de Pharmacie que dirigeait notre Maître, le professeur Maurice-Marie Janot, et, à trente années de distance, elle perpétue une tradition de rigueur scientifique et douverture pédagogique. Elle conserve un dynamisme qui le fait entrer dans la dernière décennie du XXe siècle.
Wat de Abrégés betreft, die specifiek ontwikkeld werden voor de studenten geneeskunde, schreef de uitgever Masson:
La collection Abrégés de médecine s'est aujourd'hui imposée comme la collection la plus largement diffusée dans le domaine médical. Structurée autour d'un concept éditorial fort, synthèse faisant le tour d'un sujet de manière didactique, elle bénéficie de nombreuses nouvelles éditions et nouveautés répondant parfaitement à l'évolution des données et des connaissances.
Een lijst van de meest interessante titels voor studenten farmacie, toont aan dat de beroepsopleiding apotheker zich in de laatste decennia aanzienlijk heeft gewijzigd.
Zo is het natuurkunde- onderwijs nu biofysisch georiënteerd, blijft er van een botanische opleiding in de morfologie en systematiek weinig over, is er geen sprake meer van een opleiding in de zoölogie, heeft de farmacognosie zich herleid tot fytochemie, weliswaar met sterk biochemische inslag (biosynthese van fytomoleculen) en is de galenische farmacie of artsenijbereidkunde voor officina sterk teruggeschroefd. In de tweede cyclus wordt er meer aandacht besteed aan de eigenlijke farmacologie en toxicologie en treedt voor toekomstige apothekers de farmaceutische technologie op de voorgrond. Ook aan het biofarmaceutisch aspect (biodisponibiliteit van het actief bestanddeel) wordt onder de vergrootlens genomen.
Het huidig toverwoord is blijkbaar bio , want men spreekt ook van biomathématiques, terwijl het zeer duidelijk is, dat deze monografie helemaal niet over biomathématiques (17) gaat. Hetzelfde kan gezegd worden over monografieën die over "biophysique" handelen.
De monografieën « Abrégés » zijn eerder syllabi dan leer- of studieboeken. Ze hebben de bedoeling de recente ontwikkelingen in de diverse vakgebieden op de voet te volgen en het leerprogramma voortdurend aan deze nieuwigheden en inzichten aan te passen. Noodzakelijkerwijze kan dit alleen maar ten koste van het globaal inzicht in en de diepgang van de betrokken discipline.
Ongetwijfeld is een dergelijke aanpak nuttig voor een beroepsopleiding, waar het bvb wenselijk is dat de toekomstige arts of apotheker op de hoogte is en blijft van de jongste ontwikkelingen. De vraag is echter of dit wel moet gedurende de basisopleiding (bachelorjaren B1, B2, B3). De eigenlijke basisopleiding komt hierbij ontegensprekelijk in het gedrang. Bovendien zijn vele recente ontwikkelingen en nieuwigheden, met veel gedruis aangekondigd in de medico-farmaceutische wereld, slechts van voorbijgaand belang. Uit wetenschappelijk oogpunt is een dergelijke houding verderfelijk want ze leidt ontegensprekelijk tot « vakidioten ». Maar misschien is dit wel de bedoeling!
- monografieën i.v.m. wiskunde:
- « Biomathématiques: analyse, algèbre, probabilités, statistique » Simone Bénazet, Michel Boniface et Cathérine Demarquille (2001)
- monografieën i.v.m. natuurkunde:
- « Physique et Biophysiques pharmaceutiques » Ph. Courrière
0
1
2
3
4
5
- Gemiddelde waardering: 0/5 - (0 Stemmen) Tags:précis de pharmacie, abrégés de pharmacie, masson
07-01-2010
§ 2.1 Over -Que sais-je- van P.U.F.
(Hoofdstuk 2 "Over boekenreeksen en uitgevers...")
§ 2.1 Over "Que sais-je?" van P.U.F.
Een aantal boekencollecties van Franse of Engelse oorsprong dragen ongetwijfeld bij tot een beter inzicht van de wetenschap en de biowetenschap. Herhaaldelijk heb ik echter kunnen vaststellen dat vooral Nederlandstalige wetenschappers in de vijftiger en zestiger jaren helemaal niet vertrouwd waren met bvb de collecties van Franse oorsprong, ja zelf hun bestaan onderkenden. Uit eigen ervaring weet ik nu dat zij voor mij erg nuttig, ja zelfs onontbeerlijk waren, o.m. voor de uitbouw van mijn wetenschappelijke loopbaan. Om deze reden lijkt mij een globaal en grondig overzicht van betreffende boekencollecties of boekenreeksen niet overbodig te meer daar in vele cursiefjes van mijn blogs verwezen wordt naar deze specifieke literatuur. Voor vele studenten beperkte de leerstof zich -noodzakelijkerwijze- tot de voorhanden zijnde syllabi of cursusnota's en ik vrees dat dit nog steeds het geval is. Het gevolg hiervan is dat de student een vertekend beeld krijgt van wat « wetenschap » (en vooral « biowetenschap ») eigenlijk is en de betrekkelijkheid van een wetenschappelijke « bewijsvoering » hem totaal vreemd is.
1° de collectie Que sais-je? (Presses Universitaires de France)
Als er nu één collectie is waaraan ik erg veel te danken heb, dan is het wel de collectie Que sais-je? (1) van de Presses Universitaires de France (P.U.F.) (2) .
Deze boekenreeks werd door Paul Angoulvent (3) in volle oorlogstijd (1941) opgericht. Het basisidee was een zeer groot aantal onderwerpen, waaronder ook wetenschappelijke, toegankelijk te maken voor een gecultiveerd publiek aan een zeer redelijke prijs. Het pocketformaat werd dus als standaard gekozen. Iedere pocket werd geschreven door een bekend expert of deskundige en telde maximaal 128 paginas, waaronder een bibliografie. De collectie kende een enorm succes. Samengevat 3800 titels, 2500 auteurs en tot op heden 200 miljoen exemplaren verkocht!!
Tegenwoordig zijn er slechts 800 titels in de boekhandel beschikbaar, de andere zijn meestal te verkrijgen in tweedehandsboekhandels. Sommige bibliotheken zoals deze van de Ecole Polytechnique te Parijs beschikken over de volledige reeks. Het was hier dat een Ferdinand Verhulst, stichter van de Epsilon- reeks (4) in 1984 kennis maakte met Que sais-je? :
. In 1984 gaf ik een voordracht op de Ecole Polytechnique in Parijs. Dit is een van de "grandes écoles", op militaire leest geschoeid en van hoge academische kwaliteit. Mijn verblijf duurde een dag of vijf en, zoals dat gaat, liep ik een keer de bibliotheek binnen om wat te browsen. Mijn oog viel op een flink aantal planken met kleine boekjes uit de serie "Que sais-je?" van de Presses Universitaires. De reeks leek compleet en telde meer dan drie duizend exemplaren. Voor het goede begrip moet ik even vertellen wat de formule is van deze boekjes. Elk deel gaat over een enkel onderwerp, bijvoorbeeld de Etrusken, de Waarschijnlijkheidsrekening of Modern Toneel en is geschreven door een deskundige van naam. Op deze manier is een reeks ontstaan van een duizelingwekkende veelzijdigheid en een grote culturele betekenis. De boekjes worden regelmatig herdrukt en de reeks groeit nog steeds. Ik wist natuurlijk allang dat deze reeks bestond, maar het zien van de complete serie gaf me opeens een schok. Niet alleen vond ik het een prachtige collectie, ik realiseerde me heel scherp het ontbreken van iets vergelijkbaars in het Nederlands
Jammer genoeg zijn vele titels, waaronder deze gewijd aan wis-, natuur- of scheikunde niet langer verkrijgbaar want totaal uitverkocht. En juist deze titels lijken mij nu erg interessant, want het zijn echte momentopnamen van de wetenschap van die tijd. In de loop der jaren heb ik aldus een honderdtal monografieën kunnen verwerven, die handelen over wiskundige, fysische en chemische onderwerpen alsook over farmacie.: ze worden aangehaald en besproken in diverse cursiefjes van dit blog.....
2° de collectie monographies dunod:
Een andere belangrijke collectie werd gevormd door de monographies dunod. Op de markt gebracht in pocketvorm met typische roestbruine linnen kaft in de jaren zestig door de bekende Franse uitgeverij Dunod (5) , waren ze van een hoger niveau dan Que sais-je?. Ze waren ook heel wat duurder en telden tussen de 150 en 250 bladzijden. Heel wat van die pockets werden als syllabus gebruikt o.m. aan de Franse universiteiten. Ziehier de volledige lijst, geordend volgens de natuur van het onderwerp:
- Pockets handelend over wiskundige onderwerpen:
- Principe des calculatrices numériques automatiques (n° 1) P. Naslin (1960)*
- Théorie des jeux et programmation linéaire (n°17) S. Vajda (1959)*
- Probabilité et information (n°20) A.-M. Yaglom et I.- M. Yaglom
- Introduction à la théorie des probabilités (n°26) B.V. Gnedenko et A. Khintchine
- Introduction à lanalyse vectorielle à lusage des physiciens et des ingénieurs (n°34) B. Hague (1961)*
- Principes de statistique mathématique (n°35) A. Tortrat (1961)*
- Algorithmes et machines à calculer (n°46) B.A. Trahtenbrot (1963)*
- Théorie des ensembles (n°50) E. Kamke (1964)*
- Processus stochastiques (n°55) L. Takacs
- Les méthodes de Monte-Carlo (n°65) J.M Hammersley et D.C. Hanscomb
- Pockets handelend over fysische onderwerpen:
- Les Piles atomiques à neutrons lents (n°2) J. Maurin
- Les semiconducteurs (n°4) P. Aigrain et F. Englert
- Physique des gaz complètement ionisés (n°9) L. Spitzer
- Introduction à la théorie des gaz ionisés (n12) J. L. Delcroix
- Friction et lubrification (n13) F.P Bowden et D. Tabor
- Notions sur les circuits dimpulsion (n°15) F. Farley (1959)*
- Techniques modernes et applications de la cryométrie (n°16) Y. Douchet
- Groupes finis de symétrie et recherche des solutions de léquation de Schrödinger (n°18) L. Mariot (1959)*
- Photopiles au sélénium (n°21) G. Blet (1959)*
- Luminescence cristalline (n°24) D. Curie
- Introduction aux circuits à transistors (n°25) E.H. Cooke-Yarborough (1960)*
- Phénomènes non linéaires et paramétriques en électronique (n°27) A. Kharkevitch
- Magnéto hydrodynamique (n°28) T.G. Cowling
- Eléments de mécanique analytique (n°32) J.W. Leech
- Théorie des ondes dans les plasmas (n°33) J.F. Denisse et J.L. Delcroix
- Techniques variationnelles en radioélectricité (n°39) L. Cairo et T. Kahan
- Electrodynamique cosmique (n°40) J.W. Dungey
- Phénomènes électriques dans les gaz (n°41) R. Papoular
- Cryophysique (n°42) K. Mendelssohn
- Physique nucléaire des hautes énergies (n43) W.O. Lock
- Lémission photoélectrique et ses applications (n°44) P. Vernier (1963)*
- Physique des plasmas tome I- (n°45) J.L. Delcroix (1963)*
- Physique des plasmas tome II- (n°64) J.L. Delcroix (1966)*
- Précis de relativité restreinte (n°49) O. Costa de Beauregard (1964)
- «Précis de mécanique quantique relativiste (n°66) O. Costa de Beauregard (1967)
- La supraconductivité (n°52) E.A. Lynton
- Introduction à la physique des particules élémentaires (n°56) R.E. Marshak et E.C.G. Sudarshan
- Diélectriques (n°63) J.C. Anderson (1966)*
- Electrons de conduction et surfaces de Fermi des métaux (n° ) C Boulesteix et M. Bruneaux (1969)*
- La matière-énergie dans ses particules ultimes (n° ) J. Debiesse et L. Lemoigne (1969)*
- Les constantes atomiques fondamentales (n°) J. H. Sanders (1969)*
- Eléments de statistique quantique appliquée à la thermodynamique isotherme (n°58) L. Godefroy (
- Les corrélations et lentropie en mécanique statistique classique (n°60) J. Yvon
- Photoconduction (n°62) A. Rose
- Principes essentiels de la mécanique quantique (n°67) D.I.Blokhintsev
- Introduction à la thermodynamique des processus irréversibles (n°68) I. Prigogine
- Pockets handelend over chemische onderwerpen:
- La chromatographie (n°5) L. Savidan
- Récents progrès en microcalorimétrie (n°6) E. Calvet et H. Prat
- Catalyse hétérogène (n°8) J.-E. Germain
- Le principe de similitude en genie chimique (n°11) W. Matz
- La biochimie des acides nucléiques (n°23) J.-N. Davidson (1960)**
- Composés organométalliques (n°29) G.E. Coates
- Précis de chimie organique générale (n30) C. Prévost (1960)*
- Les mécanismes réactionnels en chimie organique (n°31) B. Tchoubar (1968)**
- Chimie physique des semiconducteurs (n°36) J.P. Suchet
- Structure de latome et liaison chimique (n°37) F. Seel
- Chimie des métaux de transition (n°47) L. Orgel (1964)**
- Cinématique des réactions nucléaires (n°53) A. Micchalowicz
- Les résines échangeuses dions (n°57) L. Savidan (1065)**
- Chimie cristalline (n°?) J. Zemann (1970)*
- Introduction à la chimie des glucides (n°69) R.D. Guthrie et J. Honeyman
- Pockets handelend over biologische onderwerpen:
- Le cycle du carbone dans la photosynthèse (n°10) J.-A. Bassham et M. Calvin
- Physiologie des insectes (n°14) V.-B. Wiggles worth (1959)*
- Lévolution des vertébrés inférieurs (n°22) J.-P. Lehman (1959)*
- Histochimie (n°38) W.G.B. Casselman (1962)*
- Les chromosomes (n°48) M.J.D. White (1963)*
De meeste van deze pockets waren Franse vertalingen van oorspronkelijke Engelse of Duitse monografieën.
3° de collectie Fondements de la chimie moderne van Dunod:
Een andere interessante boekencollectie was Fondements de la chimie moderne. Daterend uit eind de jaren zestig begin de jaren zeventig, telde deze collectie een tiental monografieën, waarvan enkele (gemarkeerd met *) mij van nut waren bij mijn doctorale studie:
- « Etude des réactions organiques » (n°4) R. Stewart (1968)*
- « Introduction à la chimie des radicaux libres » (n°5) W.A. Pryor (1969)*
- « Photochimie et réactions moléculaires » (n°6) M. Mousseron-Canet et J.-C. Mani (1969)*
- « La chimie du groupe OH » (n°7) L.B. Clapp
- « Les complexes moléculaires » (n°8) A. Rose
- « Eléments de chimie quantique » (n°9) J. Hladik (1971)*
- « La cinétique des réactions en chaînes » (n°10) R. Sochet (1971)
Ook hier betroffen het meestal Franse vertalingen van Engelse monografieën.
4° de collectie LUnivers des Connaissances de Hachette
Deze collectie dateert eveneens uit de jaren zestig en werd door de uitgever Hachette (6) als volgt voorgesteld:
LUnivers des Connaissances est une collection internationale douvrages illustrés, écrits par déminents savants et érudits du monde entier qui, à notre époque de spécialisation croissante, ressentent le besoin de présenter une vue densemble et une mise à jour des questions quils connaissent le mieux.
Ces ouvrages sadressent dabord à un public cultivé mais ils sont également destinés aux étudiants des universités et aux spécialistes de disciplines particulières, désireux dapprofondir leur culture générale.
La collection est publiée simultanément en France, en Angleterre, en Allemagne, en Espagne, aux Etats-Unis, en Hollande, en Italie et en Suède
De collectie is eerder beperkt maar bevat toch enkele interessante titels, die een zeer goede omschrijving geven van het onderwerp.
Voor wat de fysische wetenschappen betreft zijn er de volgende titels:
- « Mathématiques et réalités » de Hans Freudenthal (n° 20-1967-). De auteur Hans Freudenthal (1905-1990) (7) was een Duits-Nederlandse wiskundige en pedagoog die bijdragen leverde aan de topologie en de filosofie, historie en theorie van het wiskundeonderwijs.
- « Particules et Accélérateurs » de Robert Gouiran (n° 10 -1969). Robert Gouiran (8) is een bekend nucleair fysicus, die werkzaam was aan de CERN. Later echter betoonde hij door toedoen van zijn echtgenote Francine Mercier belangstelling voor de astrologie waardoor zijn wetenschappelijke naam in het gedrang werd gebracht. Dit verklaart wellicht waarom in Wikipedia geen monografie aan hem gewijd wordt?
- « La Recherche sur le Zéro absolu » de K.A.G. Mendelssohn (n° 7 -1966). De fysicus Kurt Alfred Georg Mendelssohn (1906-1980) (9) studeerde onder Max Planck, Walther Nernst , Erwin Schrödinger en Albert Einstein. In 1933 vluchtte hij naar Engeland en kwam terecht op de Universiteit van Oxford, waar hij hoogleraar werd. Hij is ook bekend als schrijver van het boek The Riddle of the Pryramids (1974).
- « Quest-ce que la Lumière? » de A.C.S. van Heel et C.H.F. Velzel (n°26 -1967-). Abraham Cornelis Sebastiaan van Heel (1899-1966) (10) was hoogleraar Natuurkunde (vakgroep Optica) aan de Technische Hogeschool te Delft. Van Heel studeerde natuurkunde in Leiden, waar hij afstudeerde en later promoveerde bij de Nobelprijswinnaar H.A. Lorentz. Tijdens zijn studie verbleef hij een jaar in Parijs, in het laboratorium van Charles Fabry, de uitvinder van onder andere de Fabry-Pérot-interferometer.
- « Structure de lUnivers » de Evry Schatzman (n°36 -1968-). De astrofysicus Evry Schatzman ( ) (11) (1920-2010) wordt wel eens de vader van de Franse astrofysica genoemd. Hij werd titularis van de eerste leerstoel Astrofysica van de Sorbonne.
Voor de biowetenschappen zijn er:
- « Le Monde des Insectes » de Rémy Chauvin (n° 16 -). De bioloog Rémy Chauvin (1913-2009) (12) was een entomoloog en ook bekend voor het boek Le Darwinisme ou la fin dun mythe (13) . Dit laatste boek is aanbevolen lectuur voor wie eens een ander geluid wil horen dan het scientisme van Dawkins en Co (The selfish gene).
- « Le Monde des Dinosaures » de Björn Kurten (n° 28 -). De Fin Björn Kurten (1924-1988) (14) was een paleontoloog en professor aan de Universiteit van Helsinki en doceerde insgelijks aan de Universiteit van Harvard.
- « Les Animaux inférieurs » de Martin Wells (n°36-). De zooloog Martin John Wells (1928-2009) (15) was gespecialiseerd in de mariene biologie (cephalopoden). Hij was werkzaam in het bekende Stazione Zoologica di Napoli.
- « Le Mimétisme animal et végétal » deWolfgang Wickler (n°29 -1968-). Wolfgang Wickler (1931-?) (16) was een leerling van Konrad Lorenz en verbonden aan het Max Planck Instituut (Departement Gedragsfysiologie). Hij was een felle tegenstander van de theorie van het instinct, die door Lorenz gepropageerd werd.
Voor de geowetenschappen hebben we:
- « Le Paléolithique dans le monde » de François Bordes (n° 30-1968-). De geoloog en archeoloog François Bordes (1919-1981) (17) was een eminent Paleolithicum- kenner . Hij schreef ook science-fiction romans onder het pseudoniem Francis Carsac .
- «LAnatomie de la Terre » de André Cailleux (n° 33-1968-). De geoloog en geograaf André Cailleux (1907-1983) (18) (zijn werkelijke naam was André de Cayeux de Senarpont) was professor geologie aan de Sorbonne. André Cailleux, was titularis van drie licenties (bachelor), respectievelijk in de fysische wetenschappen, in de natuurwetenschappen en in de letteren. Hij behaalde ook een certificaat in de astronomie. Met zijn doctoraal proefschrift begon hij een studie, die van hem een deskundige op wereldvlak zou maken op het gebied van de glaciologie.
Hoewel deze teksten dateren, vormen ze nog steeds een goede inleiding tot de discipline in kwestie. Men moet er echter wel rekening mede houden, dat sommige theorieën achterhaald zijn.
Mijn ganse leven lang heb ik gezocht naar DE meest geschikte referentie, HET juiste leer- of handboek, DE monografie bij uitstek over een gegeven onderwerp of deelgebied van een bepaalde wetenschap. Wel en wee waren hierbij mijn deel, want geloof mij het is echt niet eenvoudig een dergelijke referentie aan te wijzen of op de kop te tikken. De meeste docenten of professoren gaven in de jaren, die ik op de universiteit heb doorgebracht, helemaal geen referenties op. Wel bestonden, althans bij enkele docenten, syllabi of cursusnotas, die een samenvatting waren van het gegeven college.
De werkelijke bronnen van hun collegedictaat werden verborgen gehouden. In alle geval waren deze bronnen niet beschikbaar in de openbare leeszaal van de bibliotheek van de Universiteit, die met haar geblokte Boekentoren het Gentse panorama overheerste. Maar ik heb zo het vermoeden dat ze wel aanwezig waren in de dienstbibliotheken van het Plateaugebouw. Maar tot deze bibliotheken hadden eerstejaarsstudenten natuurlijk geen toegang.
Hand- of studieboeken, waar soms eens bij het college geven naar verwezen werd, bleken achteraf veelal « nep », waarmede ik bedoel dat ze of ontoereikend of te hoog gegrepen of helemaal niet of zeer moeilijk beschikbaar waren, ook in de bibliotheek van de Universiteit.
Zo heb ik in 1959 uren doorgebracht in de openbare leeszaal van de Gentse Universiteitsbibliotheek (1) op zoek naar bvb een geschikt en degelijk leerboek voor algemene natuurkunde. In deze leeszaal waren immers duizenden boeken rechtstreeks beschikbaar en toegankelijk voor het publiek. Maar nodeloze en vergeefse moeite voor een eerstejaarsstudent was er niets wel was er een en ander voor ouderejaars op het niveau van wat men toen de licentie en nu master heette. Ik vond uiteindelijk wat ik zocht in een boekhandel in de Walpoortstraat. Het was het fameuze « Leerboek der Natuurkunde » van Ralph Kronig, overigens een uitstekend leerboek maar waarvan de inhoud helemaal niet overeenstemde met de inhoud van het college van prof. Moens.
Ik ben in die jaren een trouwe klant van deze boekhandel geworden Er volgde al snel het « Leerboek der Algemene Plantkunde deel I- » van Koningsberger Reinders, het driedelige « Leerboek der Differentiaal- en Integraalrekening » van Fred Schuh en de eerste exemplaren van Dover Books o.a. « Theoretical Mechanics an introduction to mathematical physics- » van Ames en Murnaghan en « Ordinary Differential Equations » van Ince. Natuurlijk vooral het laatste boek was van een veel te hoog niveau voor een beginnende bachelor maar op deze manier kwam ik voor het eerst echt in contact met de Engelse wetenschappelijke literatuur. Maar in feite waren het niet de referenties, die ik behoefde. En nochtans zoals men verder in dit blog zal zien, waren deze wel degelijk op de markt.
Franse wetenschappelijke referenties bvb waren mede door de vervlaamsing van de Gentse universiteit praktisch niet te vinden en blijkbaar ook niet langer welkom. Voornoemde referenties werden immers niet langer gevraagd en ze waren dan ook niet voorradig in de Gentse boekhandels. Later is tot mij doorgedrongen dat de vervlaamsing van de Gentse Alma Mater, op wetenschappelijk vlak aanleiding heeft gegeven tot kleinzielige bekrompenheid en enggeestigheid met als resultaat een ongelooflijke intellectuele verarming. Ik geloof echter niet dat zoiets de wil was van het professorenkorps: de meeste hadden ten andere zelf een franse opleiding gehad. Het was veeleer de politieke constellatie (steeds verdergaand Vlaams nationalisme) die hiervoor verantwoordelijk was.
Aan studenten en academici werden op deze manier essentiële en toonaangevende werken uit de Franse wetenschappelijke literatuur onthouden. En niet alleen werk van hoogvliegers als een Lagrange (2) , een Laplace (3) , een Poincaré (4) , maar ook van de mindere goden als een Albert Messiah (5) , die met zijn tweedelige « Mécanique Quantique », niet alleen in Frankrijk maar ook in Franstalig België generaties studenten heeft gefascineerd.
Ook mag men niet uit het oog verliezen dat er, voor diegenen, die zich niet of minder thuis voelden in de Engelse of Duitse taal, uitstekende Franse vertalingen bestonden van Engelse en Duitse klassiekers van bvb een Maxwell (6) , een Mach (7) en later zelfs van een Feynman (8) Vele van die klassiekers, waarvan een Nederlandse versie omwille van de te kleine marktafzet natuurlijk ondenkbaar was, behoorden tot de wetenschappelijke wereldliteratuur. Ze werden recent nog heruitgegeven door Gabay (9) .
Toch heb ik in die tijd nog in een verloren hoekje van mijn uitverkoren boekhandel in de Walpoortstraat, enkele monografieën van de collectie « Que sais-je? » weten te vinden. Eén ervan was « Calcul vectoriel et calcul tensoriel » van André Delachet daterend van 1950 (!) en dit onooglijk boekje zal, zoals men verder zal zien, een zeer belangrijke rol spelen in mijn verdere levensloop. Later heb ik deze collectie steeds verder uitgebouwd, want telkens als ik met een of ander probleem of onderwerp geconfronteerd werd, ging ik even na of er geen monografie over betreffend onderwerp in deze wonderbare reeks bestond. « Que sais-je? » is er na al die jaren nog steeds. Maar het komt mij voor dat de filosofie van deze reeks lag zich met de jaren enigszins gewijzigd heeft.
Een andere basisreferentie, die in mijn wetenschappelijke loopbaan een doorslaggevende rol zal spelen, vond ik in een obscure tweedehands- boekhandel. Het was « Manuel de Chimie Analytique tome I- » van Frederick PearsonTreadwell (10) . Wat later zou ik na enig zoeken ook nog het tweede deel op de kop weten te tikken. Voornoemd boek was de Franse vertaling van het « Kurzes Lehrbuch der analytischen Chemie ». De aan de Franse noodwendigheden aangepaste vertaling was van de hand van Marcel Boll (11) , een gerespecteerd wetenschapper. Het boek lag daar zo maar ietwat verweesd tussen een hoop stationromannetjes op een koper te wachten.
Op dat ogenblik besefte ik helemaal niet dat ik een boek in handen had, dat in de meeste Europese en Amerikaanse universiteiten als standaardreferentie werd gebruikt: er bestonden naast de oorspronkelijke Duitse versie Engelse, Spaanse en Italiaanse vertalingen!! Een standaardreferentie, maar behalve dan aan de Gentse Universiteit waar toen al Chemische Kwalitatieve Analyse op de teruggang was en niet langer onderwezen werd in de licenties (12) . Er was alleen een erg beperkte kennismaking met de Chemische Kwalitatieve Analyse (H2S-methode) voorzien in de eerste kandidatuur. Nochtans was enkele jaren voordien onder prof. René Goubau en prof. Jan Gillis Chemische Kwalitatieve Analyse nog een erg belangrijk vak.
Voor mij was nu dit boek effenaf een openbaring, want de inhoud sloot perfect aan op de proefbuis- chemie van mijn kinderjaren alsook op het schoolboek van Claes en Delaruelle, boek dat ik in de Cadettenschool had gebruikt. Na een diepgaande studie van dit werk, had de H2S methode voor mij geen geheimen meer Meer nog, dank zij Treadwell zal later mijn studie van specifieke leergangen als Farmaceutische Scheikunde, Bromatologie, Klinische Scheikunde, Toxicologie aanzienlijk vergemakkelijkt en vereenvoudigd worden.
De « Treadwels » bezet nog steeds een belangrijke plaats in mijn bibliotheek. De boeken zijn echter wel wat gehavend uit de strijd gekomen. Vooral het eerste deel is voorzien van talrijke notities geput uit andere referenties bvb een « Jaulmes » of een « Lapière ». Onlangs heb ik deze zeer interessante boeken nog van een peperduur nieuw manteltje voorzien.
Halfweg de jaren zestig maakte ik dan uiteindelijk kennis met de Koninklijke Bibliotheek te Brussel ( de zogenaamde Albertina) gelegen aan de Keizerslaan en dit ging gepaard met een belangrijke verruiming van mijn wetenschappelijke horizon. De imposante gebouwen (zie ikoon) waren toen nog niet helemaal afgewerkt maar toch was de leeszaal en het steekkaartensysteem al toegankelijk voor het grote publiek. Het was in de grote leeszaal dat ik bvb de eerste monografieën van de collectie « Précis de Pharmacie » van Masson (waarover verder meer) ontdekte. Van dezelfde uitgever was er ook een driedelig « Cours de Chimie Générale » met als auteurs Guy Pannetier en Pierre Souchay. Verder was er toen ook al de Franse vertaling van Feynmans beroemde « Lectures on Physics » van de uitgeverij Dunod . Blijkbaar beschikten de Franstalige bachelorstudenten qua referenties over heel wat meer mogelijkheden en faciliteiten.
Al voornoemde referenties dateerden echter van begin de jaren zestig. Een kijkje in de steekkaarten, die in speciale kasten vlak bij de ingang gerangschikt waren, overtuigde mij dat deze faciliteiten ook al vóór WOII bestonden. Zo was er bvb eveneens van Masson de collectie P.C.B (Physique Chimie Biologie) en in deze collectie bevond zich bvb het boek « Précis de Physique », waarover ik het reeds in voorgaand cursiefje had...
Vlak bij de Koninklijke Bibliotheek, rue Coudenberg 76-78 bevond zich in die tijd de « Librairie des Sciences », een boekhandel die heden verdwenen is. Het is in deze boekhandel dat ik mijn eerste exemplaren van de collectie Prècis de Pharmacie gekocht heb. Als ik me niet vergis was de eerste monografie « Précis de Chimie Analytique tome I- analyse qualitative minérale » van Jaulmes. Andere zouden snel volgen. Een zeer grote financiële aderlating was voor mij de aankoop van het vijfdelig en zeer prijzig standaardwerk « Traité de Pharmacie Chimique » van Paul Lebeau en Maurice Janot, werk dat ik als basis nam voor de leergang Farmaceutische Scheikunde.
De enkele bezoeken aan de Koninklijke Bibliotheek hadden mij namelijk overtuigd dat het afwerken van mijn farmaceutische studie met behulp van dergelijke referentiewerken via zelfstudie en examen voor de Centrale Jury zeer goed mogelijk was. Eenmaal dit besluit genomen, aarzelde ik niet om van werkkring te veranderen en een job te zoeken, die mij een groot deel van de dag zou toelaten te studeren. Ik werd dus jobstudent zonder universitaire inschrijving.
Mijn nieuwe werkkring werd de « Rôtisserie Ardennaise » gelegen in de Emile Jacqmainlaan waar nu de Standaardboekhandel gevestigd is. Deze in het Brusselse bekende rôtisserie was eigendom van een zekere Magda Schneider (de moeder van Romy) en werd beheerd door de Heer en Mevrouw Waldner, een Duits koppel. Deze vriendelijke man had wel begrip voor mijn situatie en aanvaardde voor mij een speciale werkuurregeling van 16h tot 24h. s Morgens kon ik aldus met een uitgeruste en klare geest studeren en vervolgens gedurende de werkuren het ingestudeerde nog eens eventjes herkauwen. Ik heb deze job een goede twee jaar uitgeoefend tot mijn officinastage, stage, die toen nog een vol jaar in beslag nam en totaal onbezoldigd was.
Af en toe bracht ik echter nog een bezoekje aan de Koninklijke Bibliotheek en natuurlijk ook aan de « Librairie des Sciences ». Bij een van die bezoekjes viel ik nu op de eerste « Schaum outlines » en op de eerste boeken met het helrode beschermkaftje van de uitgeverij « MIR ». Beide reeksen zullen zich vooral in de zeventiger jaren ontwikkelen.
Mijn eerste Schaum Outline was « Set Theory and related topics » van Seymour Lipschutz; mijn eerste MIR « Calcul Différentiel et Intégral » van Piskounov, boeken die ik al eind de jaren zestig aankocht. In de zeventiger jaren was ik echter zo begeesterd door MIR, dat ik mij al wat van deze uitgeverij verscheen aanschafte .
Een en ander over de boekencollecties, die in mijn leven een zo belangrijke rol hebben gespeeld vindt men in de hierna volgende cursiefjes.
(12) Een leergang Kwalitatieve Chemische Analyse met een grondige studie van de analytische eigenschappen van de kationen en anionen en een bespreking van de H2S analyse-gang, was echter nog steeds voorzien op de Belgische Franstalige universiteiten en instellingen. Wel bestonden in de eerste kandidatuur leergang « Algemene Scheikunde » een reeks praktische oefeningen H2S methode, waarbij de diverse chemische manipulaties aangeleerd werden. Geen kat begreep echter het hoe en waarom van deze manipulaties.
De Gentse Alma Mater telde op het einde van de jaren vijftig ongeveer 4000 studenten en bijgevolg was het leven er heel anders dan nu. Tegenwoordig telt deze universiteit (1) meer dan 32000 studenten, wat verklaart dat de universiteit over zo wat heel de Gentse agglomeratie is moeten uitzwermen.
Voor wetenschappers werden in die tijd de meeste lessen (o.m. wis- natuur- en scheikunde, geologie..) gegeven in het Plateaugebouw, waar ook de 'Speciale School der Burgerlijke Genie' van de universiteit gevestigd was. Dit majestueuze gebouw, waarvan de bouw begon in 1883 en eindigde in 1890, is langs de Noordkant begrensd door de Joseph Plateaustraat, langs de Zuidkant door het Rozier, waar ook de Boekentoren en de Bibliotheek van de Universiteit gevestigd is. Het gebouw aan de kant van de Plateaustraat was voorbehouden aan de toegepaste wetenschappen (ingenieurs) en ingedeeld in twee scholen. De linkse kant van het gebouw bevatte de voorbereidende school. Dit kan men nu vergelijken met de bachelor-opleiding. De andere kant van de hoofdingang bevatte dan de meer gespecialiseerde opleidingen, vergelijkbaar met de huidige master- opleidingen.
Aan de zuidkant, het zogenaamde Roziercomplex, was de faculteit wetenschappen gevestigd. De fysica werd beschouwd als het belangrijkst en kreeg dan ook het grootste auditorium. Om de belangrijkheid van het vak nog eens te benadrukken werd het auditorium Fysica pal boven de hoofdingang van het Roziercomplex gezet. Toekomstige farmaceuten hadden het Roziercomplex als eerste tehuis (zie ikoon van dit cursiefje). Hun tweede tehuis was het Botanisch Instituut in de Ledeganckstraat, dat gebouwd werd in neogothische stijl en inmiddels verdwenen is en vervangen werd door een hoogbouw (2) .
Het Plateaugebouw, opgetrokken in Second Empire en Neobarok stijl, is het eerste gebouw waarvan de Rijksuniversiteit (de Belgische Staat) de bouwheer was. Voor de nostalgische lezer, die nog een en ander over de historiek van het gebouw wil weten is er het interessante artikel Van Bataviawijk tot Plateau (3) . Over de geschiedenis van het vroegere Botanisch Instituut is er 200 jaar Plantentuin RUG van prof. R. Viane. In dit boek bevinden zich enkele prachtige beelden van het Instituut en de aanpalende Plantentuin (4) .
Mijn academische horizon zal zich gedurende twee jaar in hoofdzaak beperken tot voornoemde gebouwen. In het Roziercomplex werden Wiskunde, Scheikunde, Natuurkunde en Delfstofkunde en Fysische Aardrijkskunde gedoceerd door de professoren Carl Grosjean , Zoel Eeckhaut, Firmin Govaert, Roger Moens en Armand Hacquaert. In het Botanisch Instituut zal ik verder kennis met de professoren Germain Verplancke en Jacques Maton. En tenslotte waren er de lessen van professor Isidoor Leusen (Fysiologie en Anatomie) in het Anatomisch Instituut van de Bijloke (5) en van Lucien De Coninck (Dierkunde). Over genoemde personen meer in volgende cursiefjes.
In 1960 verliet ik echter de Gentse Alma Mater maar dat betekende nog niet dat ik mijn studies opgaf. Er bestond zo iets als de Centrale Jury nietwaar en ik had het plan opgevat mij te presenteren op de eerstkomende examensessie en dat was in augustus 1961. Dat zoiets wel een riskante en hachelijke onderneming was, werd ik maar gewaar toen mij de modaliteiten van dit examensysteem werden duidelijk gemaakt.
Vooreerst was er het probleem van de examinatoren. Als examinator kon iedere docent of hoogleraar (al dan niet emeritus) van om het even welke Belgische universiteit Gent, Leuven, maar ook Brussel of Luik optreden. De enige voorwaarde was dat hij het Nederlands voldoende beheerste. Zo zou ik bvb in 1961 kennis maken met de professoren dOlieslagers en Verhulst (Leuven). De namen van de examinatoren werden slechts drie weken voor het examen bekend gemaakt, zodat het onmogelijk was zijn voorzorgen te nemen en bvb hun cursussen of syllabi, voor zover zij bestonden, in te studeren. De examinandus was dus in se verplicht zich te beroepen op gereputeerde Leerboeken, met het bijkomend probleem dat Leerboeken in het Nederlands vrijwel niet bestonden.
Een ander probleem waren de examenomstandigheden. Alle theoretische examens grepen plaats op één dag. Lukte men in het theoretisch examen, dan mocht men de volgende dag beginnen aan de praktische examens.. De uitgekozen plaats was steeds de ULB (Université Libre de Bruxelles) omdat deze universiteit centraal gelegen was, want zowel Nederlandstaligen als Franstaligen werden op dezelfde dag opgeroepen en hadden trouwens dezelfde examinatoren.
Een en ander heeft mij genoodzaakt voornamelijk Franse later ook Engelse Leerboeken als leidraad te nemen. Het cruciale punt was voor mij alleen het passende leerboek op de kop te tikken. Dit liep niet altijd van een leien dakje.
Zo had ik bvb grote problemen om mijn collectie « Précis de Pharmacie » (zie cursiefje chap 2.6 « Over boeken en uitgevers : Masson ») op te bouwen en te vervolledigen. Veelal ging er meer dan een jaar voorbij tussen de aankondiging van het "Précis" en het op de markt komen. Ook waren veel monografieën in "herdruk". En zonder passend Leerboek was het natuurlijk niet mogelijk om zich voor het examen "Centrale Jury" voor te bereiden. De jaren gingen voorbij en het was dan ook maar in 1969 dat ik mij uiteindelijk voor de tweede maal voor de Centrale Jury kon presenteren, gelukkig met goedgunstig gevolg.
Ook tijdens mijn doctorale studie ben ik dezelfde weg blijven bewandelen en was ik voortdurend op zoek naar de passende en juiste referentie. Enorm frusterend waren ook de lange leveringstijden. Zo heb ik bvb ongeveer een jaar moeten wachten op het eerste deel van « The Chemistry of Quinonoid Compounds » van Samuel Patai, een boek waarvan ik het tweede deel had weten aan te kopen en dat i.v.m. mijn doctoraal proefschrift nuttige informatie bevatte.
Ik heb het zelfs meegemaakt dat de bestelde referentie toekwam... ná het examen. Dat was toen ik mij -in het kader van het « Certificat de Biophysique Ulg »- bij prof. Claude Houssier presenteerde voor het examen « Biospectroscopie Moléculaire »...
Voor de student van de 21ste eeuw zijn dergelijke situaties nu ondenkbaar. Maar wie dergelijke toestanden heeft meegemaakt heeft wel respect voor het wetenschappelijke boek.. Ook in het latere beroepsleven was voor mij het vinden van de juiste en passende referentie erg belangrijk.
Dat ik mij aldus met de jaren een wetenschappelijke bibliotheek heb weten op te bouwen die meer dan 2500 volumes telt, zal wellicht de lezer niet langer verwonderen..
Na een korte welverdiende vakantie, ontving ik in september 1958 het marsbevel de Leopoldskazerne te vervoegen. Op aanraden van mijn oud-leraar in de Cadettenschool, André Van der Kerken had ik uiteindelijk geopteerd voor de enige mogelijkheid, die mij nog het best paste namelijk militair apotheker, en wel aan de Rijksuniversiteit Gent. De Leopoldskazerne was een imposant militair gebouwencomplex van ongeveer 2 hectare groot. Dit complex was opgetrokken in de typische stijl van het einde van de negentiende eeuw en kon ongeveer 1300 militairen kazerneren. Het was gelegen dicht bij het stadscentrum en paalde praktisch aan het stadspark. De gebouwen waren opgetrokken tussen 1890 en 1905 en werden vanaf 1907 in gebruik genomen door het 2de Linie regiment.
Na WOII werd de kazerne bevolkt door diverse scholen en diensten en vanaf oktober 1955 toegewezen aan het Centrum van de Gezondheidsdienst (CGD), dat de opleiding verzorgde van de reserveofficieren, de actieve en reserveonderofficieren en de brancardiers van de Gezondheidsdienst.
Een speciaal kwartier of sectie, voorzien voor de militaire studenten (arts of apotheker), was ondergebracht op de derde verdieping van een gebouw achteraan de kazerne. Deze sectie hing rechtstreeks af van de School voor Officieren van de Gezondheidsdienst (SOGD), die vanaf 1962 de titel Koninklijke School van de Gezondheidsdienst (KSGD) zou dragen. De SOGD (KSGD), die ook een applicatieschool omvatte, was belast met de vorming van actieve gezondheidsofficieren en was ondergebracht in het voormalige militair hospitaal aan de Kroonlaan in Elsene. In 1973 zal de KSGD echter naar de Leopoldskazerne verhuizen en fusioneren met het opleidingscentrum van de Gezondheidsdienst.
Bij aankomst in de kazerne moesten wij ons blauw cadettenuniform ruilen voor een kaki- uniform van de gezondheidsdienst en werden wij ingekwartierd in deze speciale sectie. Wij, dat waren dan Marc V. uit de L.W. (KCS Laken), Jean-Pierre V., een klasgenoot, die aan hun artsenstudie begonnen en ikzelf. Eerstgenoemden zullen het trouwens later tot militair arts brengen. Tot mijn verrassing was er ook nog een vierde militaire student, Lionel D. uit de Cadettenschool van Lier, die eveneens aan een apothekerstudie begon. Verder waren er natuurlijk nog de ouderejaarsstudenten, maar die zouden wij maar later en dan nog zeer sporadisch ontmoeten.
Ons kwartier was zoals de kazerne, luguber, somber en koud. De hoofddeur van ons kwartier gaf uit op een donkere gang met rechts twee slaapzalen en een informatiezaal en links een viertal kleine studeerkamers. Natuurlijk deelde ik een van die studeerkamertjes met Lionel. Van comfort was natuurlijk weinig sprake: er was noch warm water, noch centrale verwarming en ons kot dienden wij zelf in te richten.
Lionel bracht bvb een kleine radio mee (er was in die tijd nog geen sprake van transistorradios) en ik zorgde voor een elektrisch vuurtje zodat we toch wat water konden verwarmen voor de ochtendkoffie en voor het scheren. Voor ons onderhoud, inclusief de maaltijden moesten wij immers zelf zorgen, want wij waren in wezen niet echt gekazerneerd. Dat was voor ons helemaal geen probleem, want er waren genoeg studenten- en andere restaurants.
Voor de verwarming stond er in iedere studeerkamer een buiskachel, die met cokes moest gevoed worden. Er was echter wel een korporaal, Rollegenaamd, die tegen een kleine vergoeding het vuur aanmaakte tegen de tijd, dat wij uit van den Univ terugkwamen. Diezelfde korporaal zorgde ook voor de onvermijdelijke flesjes bier. Verder was er ook nog een adjudant en als ik het goed voorheb een commandant, maar die lieten zich maar zelden zien. In feite waren wij practisch op ons zelf aangewezen en dat vond ik prima.
Onze uiteindelijke en enige opdracht was « slagen in het eerste jaar en wel in de eerste zittijd », want anders kwamen er problemen met de legerautoriteiten. Geen gemakkelijke opdracht, zoals men verder zal zien en waaraan toch een flinke dosis chance (bof) gemoeid was. In die jaren werden de kandidaturen « Wetenschappen » immers beheerst door twee boemannen, prof. Moens (Natuurkunde) en prof. Verplancke (Plantkunde) waarover meer in volgende cursiefjes. Zo was bvb eerstgenoemde bij het eindexamen erg grillig en totaal onberekenbaar. Deze grilligheid heeft velen hun carrière of loopbaan gekost.
Behoorde ik in de eerste kandidatuur nu wel tot die chançards (bofferds) en was deze opdracht tot een goed einde gebracht dan was ik echter helemaal niet van plan om mijn militair contract nog verder te verlengen en tot de SOGD (School der Officieren van de Gezondheidsdienst) toe te treden. Hierdoor kwam ik natuurlijk in een conflictsituatie terecht. Een en ander bracht met zich mede dat ik mijn tweede kandidatuur farmacie in 1961 voor de Centrale Examencommissie moest afleggen en ik, met een kandidaatsdiploma farmaceutische wetenschappen op zak, op de arbeidsmarkt terecht kwam. Het werd de firma Madaus (1) .
Die enkele jaren van bedrijvigheid voor Madaus zijn achteraf beschouwd, bepalend geweest voor mijn verdere wetenschappelijke loopbaan. Ik kwam zo voor het eerst in contact met de wondere en voor mij toen volslagen onbekende wereld van de fyto- en homeotherapie. Van deze periode maakte ik ook gebruik om door zelfstudie verder door te dringen in de fascinerende wereld van de wis-, natuur-, en scheikunde. Mijn verblijf aan de Cadettenschool had wel degelijk sporen nagelaten.
Lange tijd heb ik zelfs getwijfeld, of ik er toch niet beter aandeed om van studierichting te veranderen en te opteren voor bvb een licentie natuurkunde. Tenminste als de gelegenheid zich aanbood. Uiteindelijk koos ik dan toch voor farmacie en ik weet nu nog altijd niet wat bij mij de doorslag heeft gegeven: waren het mijn mooie herinneringen aan apotheker Versailles? Of kwam het door mijn werkzaamheden bij Madaus en de aantrekkingskracht van die zogezegde pseudodisciplines fytotherapie en homeopathie?
In elk geval vanaf 1968 begon ik mij intensief voor te bereiden op het examen eerste proef farmacie (wat vandaag overeen stemt met het derde jaar bachelor B3) zoals dit toen heette en wel voor de Centrale Examencommissie.
Ter gelegenheid van het examen in 1969, waarin ik slaagde cum laude maakte ik nu voor het eerst kennis met enkele professoren van de ULB o.m. prof. Molle, prof. Thomas, prof. Mutsaerts en prof. Dryon (2) . Deze laatste stelde mij voor mijn master op de toen juist opgerichte VUB te behalen en liet duidelijk uitschijnen, dat er hier mogelijkheden waren voor een doctoraat in de farmaceutische wetenschappen. Ik heb toen nog maar eens aan de wijze woorden van een André Van der Kerken (zie blog 1) gedacht en heb deze gelegenheid met beide handen aangegrepen .
Het was in 1971 dat ik deze doctorale studie kon aanvatten, studie die ik in 1977 zou beëindigen. Maar dit verhaal is bestemd voor mijn vijfde blog .
Maar laat mij toe nog even terug te gaan naar het academiejaar 1958-1959. De Rijksuniversiteit Gent (RUG) omvatte toen ongeveer 4000 studenten (3) , waarvan amper 2 % meisjesstudenten. Deze laatste, in het klassieke studentenjargon porren genoemd, waren vooral te vinden in de faculteiten Rechten en Geneeskunde en Farmacie. In de auditoria mochten (of moesten ?) zij de eerste rijen bezetten (Ladies first please!!). Deze traditie vond haar oorsprong uit de toenmalige regel van de scheiding der geslachten, regel, die van algemene toepassing was in het primair en secundair onderwijs en die blijkbaar ook nog op universitair niveau doorgetrokken werd.
Deze maatregel hield echter voor de betrokkenen zowel voor- als nadelen in. Een voordeel was wel een voorbehouden en bevoorrechte plaats in het auditorium, dicht bij het bord en dus uitstekend voor het nemen van notities. In de overvolle auditoria van toen ongetwijfeld een benijdenswaardige positie. Een nadeel was wel dat een eventueel absenteïsme onmiddellijk opgemerkt werd.
Werden op deze manier de contacten tussen de beide kunnes enigzins bemoeilijkt, dan waren ze niet onmogelijk bvb buiten het auditorium en zeker gedurende de practica. En aldus maakte ik voor het eerst in mijn leven kennis met een meisje, een zekere Denise Van den Bergh met wie ik een vertrouwens- en vriendschapsrelatie kon opbouwen.
Denise was een zeer knap blondje en droeg in die jaren een wuivende paardenstaart; ze was in zekere zin de vlam van ons jaar. Ze woonde met haar moeder in de Guimardstraat op amper een boogscheut van het Plateau-gebouw. Van blondjes wordt wel eens gezegd dat ze goedlachs en dom zijn; Denise was hiervan echt het tegenbeeld. Het leven had haar zeker niet gespaard, want naar zij mij vertelde, was haar vader omgekomen in die verschrikkelijke ramp van Tessenderlo (4) in 1942. Oorspronkelijk afkomstig van Vorst (gehucht van Tessenderlo), vermoed ik dat haar moeder special naar Gent was gekomen om haar te laten studeren. Hoe dan ook, haar vacantie bracht ze steeds bij familie door in Meerhout, eveneens gelegen in de streek van Looi (oude naam voor Tessenderlo).
Over de oorzaak van de ramp van Tessenderlo is er nog steeds discussie. Wel staat vast dat de ontploffing alles te maken heeft met het opslaan van ammoniumnitraat (formule : NH4NO3 ), een product (5) dat al zeer vele ontploffingen heeft veroorzaakt (6) en waarmede ook al tal van aanslagen zijn gepleegd.
Afgaande op de chemische formule is gekatalyseerde zelfontploffing zeker mogelijk en meer dan waarschijnlijk. Ook de AZF- ramp in Toulouse (2001) wijst trouwens in die richting. Het afschieten van een patroon om verhard ammoniumnitraat wat los te maken, thesis die sommigen aannemen als oorzaak van de ontploffing van de chemische fabriek van Tessenderlo, lijkt mij weinig waarschijnlijk. Ook toen wisten chemici al dat voornoemd product met omzichtigheid te hanteren viel....
De vriendschapsrelatie met Denise Van den Bergh stimuleerde en motiveerde in zeer grote mate mijn studie in de Natuurkunde en de hieraan verbonden wiskundige methoden. Vele paragrafen in de cursusnota's (syllabus) van Prof. Moens waren voor vele studenten immers totaal onbegrijpelijk en naar mijn beste vermogen trachtte ik haar een en ander te verduidelijken. Op wiskundig vlak -Cadettenschool nietwaar- was ik immers al heel wat beter op natuurkundige problemen voorbereid. Op een bepaald ogenblik bestond er tussen ons zelfs een intense briefwisseling betreffende bepaalde « tuyaux » (7) d.i. veel gestelde examenvragen.
Eerst vele jaren later zou ik de werkelijke referentie, die ten grondslag lag van de cursus van Prof. Moens en die ons blijkbaar met opzet onthouden en verholen werd, ontdekken (voor meer details zie « Natuurkunde met Roger Moens » cursiefje 5.5). Het betrof een Frans leerboek: « Précis de Physique » van G. Simon en A. Dognon (1937). In dit leerboek werden op een duidelijke wijze de diverse onderwerpen waarover een Moens het in zijn lessen had uiteengezet
Tot meer dan een vriendschapsband met Denise is het spijtig genoeg niet gekomen ofschoon er wellicht meer in zat. Mijn jeugdige leeftijd en onervarenheid en vooral de conflictsituatie, waarin ik verzeild was geraakt, hebben ongetwijfeld hierin een rol gespeeld. Zij hadden tot gevolg dat ik moest afhaken. Met enige treurnis denk ik nu aan die wondermooie tijd vol illusies en romantiek. Het was immers de tijd dat Louis Armstrong een concert gaf in het « Kuipke » (Sportpaleis te Gent).. een concert dat wij samen hebben bijgewoond. Ook was er die zeer melodieuze uitvoering van Sidney Bechet's bekende « Petite Fleur » (8) door Chris Barber (1959). Een versie die men nog kan steeds terug vinden op Youtube. In feite was Denise wel een beetje ma "petite fleur"...
Achteraf bekeken lijkt het mij dat deze prille vriendschapsrelatie wel aan de oorsprong ligt van mijn steeds maar verder groeiende interesse voor Fysica en de wiskundige problematiek hieraan verbonden. Om deze reden wens ik dan ook mijn derde blog op te dragen aan een jeugdvriendin Apr. Denise Van den Bergh.
-------------------------
(1) voor een uitgebreid relaas over de firma Madaus zie blog 4
(2) mijn goede contacten met de ULB dateren van deze periode; later zou ik nog kennis maken met prof. Nasielski en vooral prof. Prigogine. Beiden zullen een belangrijke rol spelen in mijn verdere wetenschappelijke loopbaan.
(7) Een dergelijke zogezegd verderfelijke benadering van de leerstof werd « tuyauteren » genoemd... Natuurlijk ging een dergelijke benadering gepaard met een gebrek of verlies aan natuurkundig inzicht. Maar het was de enige methode om te lukken in het eindexamen en daar komt het voor studenten toch op aan...
(8) tekst « Petite Fleur » (1958) :
J'ai caché Mieux que partout ailleurs Au jardin de mon coeur Une petite fleur Cette fleur Plus jolie qu'un bouquet Elle garde en secret Tous mes rêves d'enfant L'amour de mes parents Et tous ces clairs matins Faits d'heureux souvenirs lointains Quand la vie Par moment me trahit Tu restes mon bonheur Petite fleur Sur mes vingt ans Je m'arrête un moment Pour respirer Ce parfum que j'ai tant aimé Dans mon coeur Tu fleuriras toujours Au grand jardin d'amour Petite fleur Prends ce présent Que j'ai toujours gardé Même à vingt ans Je ne l'avais jamais donné N'aies pas peur Cueillie au fond d'un coeur Une petite fleur Jamais ne meurt.
De blogs "Science & Bioscience" handelen over basiswetenschappen (natuur- en scheikunde inclusief wiskunde), geo- en astrowetenschappen en tenslotte biowetenschappen (plant- en dierkunde inclusief de dynamische aspecten) zoals zij vroeger d.i. meer dan vijftig jaar geleden, in het onderwijs (lager, middelbaar, bachelor en master onderwijs) voorgeschoteld werden. De URL- adressen van deze blogs zijn de volgende :
Zoals de titel "Science & Bioscience an alternative point of view-" het aangeeft, handelen deze blogs wel degelijk over wetenschap en biowetenschap. Er worden hierbij soms standpunten ingenomen, die enigzins afwijken van de orthodoxe, officiële visie of versie. In tegenstelling met wat de goegemeente meent, zijn vele wetenschappers het veelal niet eens met deze officiële visie. Maar zij moeten zwijgen om den brode.
De bedoeling van deze blogs is nu ook eens deze andere visie aan bod te laten komen. Dit gebeurt dan op basis van eigen bevindingen en levenservaringen. Deze omvatten een halve eeuw intense bedrijvigheid op het vlak van zowel basiswetenschappen als biowetenschappen. Dit alles wordt dan gepresenteerd met een vleugje humor maar ook met een scheutje echte, onvervalste wetenschap.
Leidraad en achtergrond
De wetenschappelijke materie, die in blog 3 en blog 4 aan de orde komt, sluit natuurlijkerwijze aan bij deze behandeld in blog 2 (secundair onderwijs). Zij omvat dan ook dezelfde grote themas wiskunde, natuurkunde en scheikunde evenals de bio- geo- en astro- wetenschappen maar dan op universitair vlak (bachelor respectievelijk master niveau). Bij mijn uiteenzetting heb ik dezelfde didactische spiraal als in het universitair onderwijs gevolgd, waardoor het geheel wellicht veel begrijpelijker wordt. Waar nodig heb ik verwezen naar de diverse hand- en studieboeken, die in het universitair onderwijs gebruikt of aangeprezen werden (worden). De bestemming d.i. het doelpubliek (bachelor B1, B2, B3-, master M1, M2-), undergraduate (freshman, sophomore, junior, senior-), graduate, of premier, deuxième, troisième cycle volgens het Franse systeem) van deze handboeken mag hierbij nooit uit het oog verloren worden en is natuurlijk van groot belang. Een gedegen kennis van de onderwijsstructuur van het land, waar het boek voor het eerst verscheen, is hierbij onontbeerlijk en erg belangrijk.
Deze onderwijsstructuur evenals de leerprogrammas van het universitair onderwijs hebben in de loop der jaren een grote wijziging ondergaan, wat de lezer in verwarring kan brengen. Voor wat de onderwijsstructuur betreft is in België (maar ook in 46 andere landen) sinds Bologna de zogenaamde BachelorMaster (BAMA) structuur van kracht, terwijl bvb tot op het einde van de vorige eeuw in België bvb de KandidatuurLicentie (KALI) structuur, in Frankrijk bvb de Licence Maitrise (LIMA) structuur van toepassing was.
In Frankrijk stemde de Licence dus overeen met de Kandidatuur in België en de Maitrise met wat in België de Licentie heette. Ook nu worden de bachelor-jaren (B1, B2, B3) in Frankrijk nog altijd als Licentie-jaren (L1, L2, L3) betiteld. In de Verenigde staten heeft men dan weer de bekende undergraduate/graduate structuur. Ook voor wat de Doctoraat- studie betreft, waren en zijn er tussen de verschillende landen en i.h.b. tussen Europa en de Verenigde Staten grote verschillen. In Europa is de doctorstitel verbonden aan een oorspronkelijk proefschrift. Het volstaat hier even te verwijzen naar een aantal bronnen:
Voor wie niet met voornoemde onderwijsstructuren vertrouwd is, zijn bovenstaande verwijzingen een "must".
Inhoudsopgave
Zoals ieder boek, dat zichzelf respecteert, heeft ook dit blog, dat specifiek gewijd is aan B1, B2 en B3 zijn eigen inhoudstafel, die weergegeven wordt door het archief, dat zich links bovenaan het blog bevindt
(linkerkolom). Dit archief omvat de diverse paragrafen of cursiefjes van het blog en wel in dalende chronologische volgorde d.i. het meest recente cursiefje bovenaan. In de tekstkolom van het blog zijn de cursiefjes, zoals bij een leesboek,echter in stijgende chronologische gerangschikt, zodat men dit blog ook kan lezen als een normaal leesboek, door gewoon naar beneden te "scrollen". Onderaan elk cursiefje vindt men een aantal bijlagen, die men kan aanklikken.
Het is ook mogelijk dit blog cursiefje per cursiefje te lezen door het archief te gebruiken. Aanklikken van een paragraaf in het archief plaatst het aangeklikt cursiefje onmiddellijk bovenaan de tekstkolom. Om een anderuitgekozen cursiefje te lezen, zal men dit aanklikken in het archief, waardoor nu dit laatste cursiefje bovenaan de tekstkolom staat. Deze leesmethode komt overeen met het doorbladeren van een leesboek, waarbij men de diverse hoofdstukken of rubrieken in een zelf gekozen orde leest.
Teneinde het de lezer gemakkelijk te maken werd iedere paragraaf door een specifiek volgnummer aangeduid bvb §2.3 wijst ophet derdecursiefje van hoofdstuk 2.
Voor dit specifieke blog "Science & Bioscience (III) " zijn volgende hoofdstukken en cursiefjes gepland:
Hoofdstuk 1 Hoe het allemaal verder ging
§1.1 Naar de Leopoldskazerne in Gent.. §1.2 Aan de Gentse Alma Mater.. §1.3 Een zoektocht naar referenties
Hoofdstuk 2 Over boekenreeksen en uitgevers
§2.1 Over Que sais-je? van P.U.F. §2.2 Over Précis de Pharmacie van Masson
Hoofdstuk 3 Algemene Analyse voor bachelors
§3.1 (Algemene) Wiskunde volgens Morris Kline §3.2 Analyse of Calculus? §3.3 Analyse met Frank Ayres -I- (voor chemici en bio-ingenieurs) §3.4 Analyse met Frank Ayres -II-(voor chemici en bio-ingenieurs) §3.5 Leerboeken Analyse voor chemici en bio-ingenieurs (I) §3.6 Leerboeken Analyse voor chemici en bio-ingenieurs (II) §3.7 Precalculus en Calculus met Earl Swokowski §3.8 Precalculus en Calculus met James Stewart §3.9 Analyse met Murray Spiegel (voor fysici en ingenieurs) §3.10 Leerboeken Analyse voor fysici en ingenieurs (I) §3.11 Leerboeken Analyse voor fysici en ingenieurs (II) §3.12 Leerboeken Analyse voor mathematici
Hoofdstuk 4 Algemene Algebra voor bachelors
§4.1 Klassieke of Moderne Algebra? §4.2 Algemene Algebra voor chemici, farmaceuten, biologen §4.3 Algemene Algebra voor fysici en mathematici (in voorbereiding)
Hoofdstuk 5 Algemene en Experimentele Natuurkunde voor bachelors
§5.1 Wat is Algemene Natuurkunde (Fleury en Mathieu)? §5.2 Natuurkunde of Physica met Roger Moens (simon et dognon) §5.3 Natuurkunde of Physica met Ralph Kronig §5.4 Resnick en Halliday's Physics (1960) §5.5 Resnick en Halliday's Fundamentals of Physics (2004) §5.5 Astronomie en Astrophysica met Seguin en Villeneuve §5.5 Natuurkunde of Physica met Douglas Giancoli §5.6 Natuurkunde met Alvin Halpern §5.7 Natuurkunde met Benjamin Crowell §5.8 Physica en Biophysica voor artsen §5.9 Physica en Biophysica voor apothekers
Hoofdstuk 6 Algemene en Experimentele Scheikunde voor bachelors
§6.1 Wat is Algemene Scheikunde? (aaron ihde) §6.2 Anorganische Scheikunde met Zoël Eeckhaut §6.3 Kiréev's Chimie Physique en Nekrassov's Chimie Minérale §6.4 Organische Scheikunde met Firmin Govaerts §6.5 Térentiev's Chimie Organique §6.6 Algemene Scheikunde met Bruylandts en Verhulst §6.7 Algemene Scheikunde met Domange en Miocque (voor apothekers) §6.8 Jerome Rosenberg's « College Chemistry » (in voorbereiding) §6.9 Algemene Scheikunde met Linus Pauling
Hoofdstuk 7 Algemene en Experimentele Biologie voor bachelors
§7.1 Wat is (Algemene) Plantkunde?(Guillermond en Mangenot) §7.2 Morfologie en Systematiek met Germain Verplancke §7.3 Plantenfysiologie met Jacques Matton §7.4 Botanica met Crèté §7.5 Wat is (Algemene) Dierkunde? (Aron en Grassé) §7.6 Dierkunde met Lucien De Coninck §7.7 Algemene Menselijke Anatomie en Fysiologie met Isidoor Leusen §7.8 On growth and forms van D'Arcy Thomson
Hoofdstuk 8 Algemene Geologie en Geofysica voor bachelors
§8.1 Wat wordt bedoeld met Geologie en Geofysica? §8.2 Algemene Geologie voor bachelors §8.3 Algemene Geofysica voor bachelors §8.4 Hydrologie voor bachelors
Hoofdstuk 9 Klassieke Physische Scheikunde voor bachelors
§9.1 Wat is Physische Scheikunde? (walther nernst) §9.2 Physische Scheikunde met Rutgers §9.3 Physische Scheikunde met Pannetier en Souchay §9.3 Physische Scheikunde met Atkins §9.4 Physische Scheikunde met Ruyssen en Molle §9.5 Physische Scheikunde met Bénézech
Hoofdstuk 10 Klassieke Analytische Scheikunde voor bachelors
§10.1 Wat is Analytische Scheikunde?(treadwell) §10.2 Anorganische Chemische Analyse met Lapiere §10.3 Qualitatieve Chemische Analyse met Jaulmes §10.4 Quantitatieve Chemische Analyse met Charlot §10.5 Alexéev's Analyse Qualitative §10.6 Alexéev's Analyse Quantitative §10.7 Organische Chemische Analyse met Pesez en Poirier §10.8 Instrumentele Analyse- technieken
Hoofdstuk 11 Klassieke Biologische Scheikunde
§11.1 Wat is biologische scheikunde?(Florence et Enselme) §11.2 Biochemie met Harper §11.3 Biochemie met Data en Ottaway §11.4 Biochemie met Polonovski §11.5 Biochemie met Rawn
§13.1 wat wordt bedoeld met Pharmaceutische Microbiologie? §13.2 Bacteriologie voor farmaceuten §13.3 Mycologie voor farmaceuten §12.4 Parasitologie voor farmaceuten §13.5 Virologie voor farmaceuten
Sluit aan op « Essential Calculus with applications » van dezelfde auteur
Nochtans was het juist dit werk, dat aan de basis lag van de syllabus van Moens....
