an alternative point of view Een bloemlezing van enkele persoonlijke "wetenschappelijke" ervaringen en herinneringen en dit na meer dan een halve eeuw intense bedrijvigheid op het vlak van zowel basiswetenschappen als biowetenschappen. Dit alles gepresenteerd met een vleugje humor maar ook met een scheutje echte, onvervalste wetenschap
19-05-2010
§ 10.6 Stereometrie en Dalle's Zesde Boek (II)
(Hoofdstuk 10 "Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 10.6 Stereometrie en Dalle's Zesde Boek (II) II- Oppervlak en volume van veelvlakken: parallellepipedum, prisma, piramide
In de Vlakke Meetkunde worden de vlakke meetkundige figuren bepaald door omtrek en oppervlak; in de ruimtemeetkunde worden de ruimtelijke meetkundige figuren ook meetkundige lichamen genoemd- omschreven door oppervlak en volume.
Het oppervlak van een veelvlak is het totale oppervlak van de vlakken die het veelvlak begrenzen. Bij het prisma wordt dit oppervlak onderverdeeld in zijdelings oppervlak d.i. het oppervlak ingenomen door de opstaande zijvlakken en het oppervlak ingenomen door het grond- en bovenvlak van het prisma. De oppervlakte van een veelvlak is de grootte van het oppervlak
Het volume van een veelvlak is de ruimte door dit veelvlak ingenomen. Het maatgetal van de ruimte door het veelvlak ingenomen wordt inhoud (symbool I)genoemd net zoals het maatgetal van een lijnstuk en van een deel van een oppervlak, respectievelijk lengte (symbool L) en oppervlakte (symbool S) genoemd worden.
Een volume meten is het getal bepalen dat de verhouding uitdrukt van dit volume tot een gekozen volume-eenheid. Twee volumes zijn congruent indien zij elkaar volkomen kunnen bedekken: zij hebben dan dezelfde vorm en dezelfde inhoud.
Congruentie betekent dus even groot (teken =) én gelijkvormig (teken ~). Kubussen zijn altijd gelijkvormig.
1- oppervlakte en inhoud van het prisma en parallellepipedum
Stelling 1: Het maatgetal van het zijdelings oppervlak van een prisma is het product van de omtrek van de loodrechte doorsnede en de opstaande ribbe (zie figuur)
Nu bestaan er een aantal stellingen betreffende de gelijkheid van prismas die de bedoeling hebben aan te tonen:
1° dat een willekeurig prisma qua volume gelijk is aan een recht prisma dat een loodrechte doorsnede van dit willekeurig prisma als grondvlak en als hoogte de opstaande ribbe van dit willekeurig prisma heeft
2° dat een driezijdig prisma qua volume gelijk is aan de helft van een parallellepipedum
3° dat een willekeurig parallellepipedum qua volume gelijk is aan een rechthoekig parallellepipedum dat dezelfde hoogte en een gelijk grondvlak heeft.
Stelling 2: Twee prismas zijn congruent wanneer zij drie samenlopende zijvlakken hebben, die twee aan twee congruent zijn en in dezelfde volgorde voorkomen
Stelling 3: Een scheef prisma is (qua volume) gelijk aan een recht prisma, dat een loodrechte doorsnede tot grondvlak en de opstaande ribbe tot hoogte heeft (zie figuur 1: scheef en recht prisma)
Stelling 4: Een vlak door twee overstaande ribben van een parallellepipedum gebracht verdeelt dit parallellepipedum in twee gelijke driezijdige prismas
Stelling 5: Twee parallellepipedums zijn gelijk, als hun grondvlakken gemeenschappelijk zijn en de bovenvlakken tussen dezelfde evenwijdige rechten liggen
Stelling 6: Twee parallellepipedums, die hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte hebben zijn gelijk (zie figuur 2: parallellepipeda met zelfde grondvlak en hoogte)
Stelling 7: Een willekeurig parallellepipedum is gelijk aan het rechthoekig parallellepipedum dat dezelfde hoogte en een gelijk grondvlak heeft
Dan volgen de stellingen betreffende het volume van parallellepipeda en uiteindelijk het prisma:
Stelling 8: De volumes van twee rechthoekige parallellepipedums, die hetzelfde grondvlak hebben verhouden zich tot elkaar zoals hun hoogten of De volumes van twee rechthoekige parallellepipedums die twee afmetingen gelijk hebben, verhouden zich als hun derde afmeting
Stelling 9: De verhouding van de volumes van twee rechthoekige parallellepipedums is gelijk aan het product van de verhoudingen van hun drie afmetingen
Stelling 10: De inhoud van een rechthoekig parallellepipedum is het product van de drie afmetingen van dit parallellepipedum indien als volume-eenheid de kubus op de lengte-eenheid genomen wordt (kortheidshalve zegt men: De inhoud van een rechthoekig parallellepipedum is gelijk aan het product van zijn drie afmetingen)
Stelling 11: De inhoud van een willekeurig parallellepipedum is gelijk aan het product van het grondvlak en de hoogte
Stelling 12 De inhoud van een prisma is gelijk aan het product van zijn grondvlak en zijn hoogte (zie figuur inhoud van prisma is grondvlak maal hoogte)
Iprisma = Sgrondvlak . h
2- oppervlakte en inhoud van de piramide
Stelling 1: Het zijdelings oppervlak van een regelmatige piramide is gelijk aan het halve product van de omtrek van het grondvlak en het apothema
Stelling 2: Wordt een piramide door een vlak evenwijdig aan het grondvlak gesneden: 1) dan zijn de opstaande ribben en de hoogte in dezelfde verhouding verdeeld; 2) dan is de doorsnede een veelhoek gelijkvormig met het grondvlak; 3) dan verhouden zich de oppervlakten van de doorsnede en het grondvlak zoals de vierkanten van hun afstanden tot de top.
Stelling 3: In twee piramiden die dezelfde hoogte hebben, verhouden de doorsneden, die zich op gelijke afstand van de toppen en evenwijdig aan de grondvlakken bevinden, zich als de grondvlakken
Stelling 4: (trappenstelling) Twee piramiden die gelijke grondvlakken en gelijke hoogten hebben het zelfde volume (zie figuur 4: trappenstelling)
Stelling 5: Het volume van een driezijdige piramide is gelijk aan het derde van het driezijdig prisma, dat hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte heeft(zie figuur 5: driezijdige piramide en prisma)
Stelling 6: Het volume van een willekeurige piramide is gelijk aan het derde deel van het prisma dat hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte heeft
Stelling 7: De inhoud van een piramide is gelijk aan het derde deel van het product van het grondvlak en de hoogte
Ipiramide= (Sgrondvlak. h)/3
3- oppervlakte en inhoud van afgeknotte piramide :
Definitie: een afgeknotte piramide is het deel van de piramide gelegen tussen het grondvlak en een vlakke doorsnede die al de opstaande ribben snijdt. Is de doorsnede evenwijdig aan het grondvlak dan ontstaat een afgeknotte piramide met evenwijdig grond- en bovenvlak. De afstand tussen beide vlakken is de hoogte van de afgeknotte piramide.
In een afgeknotte piramide met evenwijdig grond- en bovenvlak zijn deze twee vlakken gelijkvormige veelhoeken. Hun gelijkvormigheidsfactor gelijk aan de verhouding van hun afstanden tot de top van de piramide.
Als de piramide regelmatig is dan heet de afgeknotte piramide met evenwijdig grond- en bovenvlak, een regelmatige afgeknotte piramide. De zijvlakken van dit lichaam zijn dan gelijke, gelijkbenige trapezia. De hoogte van deze trapezia is het apothema van de regelmatige afgeknotte piramide.
Stelling 1: Het zijdelings oppervlak van een regelmatige afgeknotte piramide is gelijk aan het product van de halve som van de omtrekken van grond- en bovenvlak en het apothema.
S afgeknotte piramide= (pgrondvlak + pbovenvlak) . a/2
Stelling 2: De inhoud van een afgeknotte piramide is gelijk aan de som van drie piramiden, die alle drie dezelfde hoogte als de afgeknotte piramide hebben en waarvan de grondvlakken respectievelijk gelijk zijn aan het grondvlak en het bovenvlak van de afgeknotte piramide en de middelevenredige tussen deze laatste twee oppervlakten.
(Hoofdstuk 10 "Deductieve Meetkunde voor het Lager Secundair Onderwijs")
§10.7 Stereometrie en Dalle's Zevende Boek IV- Oppervlak en volume van omwentelingslichamen: cilinder, kegel, bol
Het begrip omwentelingsoppervlak: Een omwentelingsvlak of omwentelingsoppervlak is een vlak ontstaan door de wenteling van een lijn (de beschrijvende lijn) om een as (de omwentelingsas). Elk punt van de beschrijven de lijn beschrijft een cirkelomtrek, waarvan het middelpunt op de as ligt en waarvan het vlak loodrecht op de as staat (zie figuur 1: omwentelingsoppervlak). De voornaamste doorsneden van een omwentelingsvlak zijn:
1° de paralleldoorsnede d.i. de doorsnede van een omwentelingsoppervlak, dat loodrecht op de as staat. Elke paralleldoorsnede van een omwentelingsoppervlak is een cirkel.
2° de meridiaandoorsnede d.i. de doorsnede van een omwentelingsoppervlak met een vlak door de as (meridiaanvlak). De vorm van de meridiaandoorsnede hangt af van de aard van het omwentelingsoppervlak.
1- de cilinder als omwentelingslichaam:
Definitie: Een omwentelingscilinder(opper)vlak is een vlak beschreven door een rechte die wentelt om een as waaraan zij evenwijdig blijft terwijl de afstand van de rechte tot de as ongewijzigd blijft.
Stelling: Elke paralleldoorsnede van een omwentelingscilindervlak is een cirkel. Alle paralleldoorsneden van een omwentelingscilindervlak zijn congruent.
Definitie: Een omwentelingscilinder is het meetkundig lichaam omsloten door een omwentelingscilindervlak en twee vlakken die loodrecht op de as staan; of nog, een omwentelingscilinder is het meetkundig lichaam ontstaan door het wentelen van een rechthoek om een van zijn zijden.
In een omwentelingscilinder kan men volgende elementen onderscheiden: de beschrijvende rechthoek, de beschrijvende rechte, de straal R (d.i. de zijde van de rechthoek aan liggend aan de vaste zijde), de as (hoogte) h, het grond- en bovenvlak.
Elke meridiaandoorsnede van een omwentelingscilinder is een rechthoek, die tot afmetingen heeft, de as en het dubbel van de straal.
Een prisma is beschreven in (om) een omwentelingscilinder, wanneer het recht is, dezelfde hoogte heeft als de cilinder en zijn grondvlak een veelhoek is, beschreven in (om) het grondvlak van de cilinder. Als de in- of omgeschreven veelhoeken regelmatig zijn, dan zijn de in- of omgeschreven prismas het eveneens.
Omwentelingscilinders zijn gelijkvormig, wanneer zij beschreven worden door gelijkvormige rechthoeken d.i. als de hoogten zich verhouden als de stralen.
Het zijdelings oppervlak van een omwentelingscilinder (rond oppervlak of mantel) is de limiet van de zijdelingse oppervlak van een regelmatige ingeschreven prisma, waarvan het aantal zijvlakken onbepaald toeneemt (zie figuur 2: zijdelings oppervlak cylinder).
Stelling: Het zijdelings oppervlak van een omwentelingscilinder is gelijk aan het product van de cirkelomtrek van het grondvlak en de hoogte
S(zijdelings) = 2πR.h
Gevolg: het totaal oppervlak van een cylinder is:
S(totaal) = 2πR (h + R)
De inhoud van een omwentelingscilinder is de limiet van de inhoud van een regelmatig ingeschreven prisma, waarvan het aantal zijvlakken onbepaald toeneemt.
Stelling: De inhoud van een omwentelingscilinder is gelijk aan het product van de oppervlakte van het grondvlak en de hoogte
I(cilinder) = π.R².h
2- de kegel als omwentelingslichaam:
Definitie: Een omwentelingskegelvlak is het vlak beschreven door een rechte, doe wentelt om een vaste rechte (as), die zij in een vast punt S (top) snijdt en waarmede zij onveranderlijk verbonden is. Dat de wentelende rechte onveranderlijk aan de vaste rechte verbonden is, is op twee manieren uit te drukken: 1) de afstand van een punt van de wentelende rechte tot de vaste rechte is constant; 2) de hoek gevormd door de wentelende en vaste rechte is constant.
Stelling: Elke paralleldoorsnede van een omwentelingskegelvlak is een cirkel. De oppervlakken van de paralleldoorsneden van een omwentelingskegelvlak zijn evenredig met de vierkanten van de afstanden tot de top. (zie figuur 3: paralleldoorsnede van een omwentelingskegelvlak)
Definitie: Een omwentelingskegel is het meetkundig lichaam ingesloten door een omwentelingskegelvlak en een loodvlak op de as van dit kegelvlak; of nog, een omwentelingskegel is het lichaam ontstaan door het wentelen van een rechthoekige driehoek om één van zijn rechthoekszijden.
In een omwentelingskegel kan men volgende elementen onderscheiden: de beschrijvende rechthoekige driehoek, de beschrijvende rechte a (d.i. het apothema van de kegel), de straal R (zijde aan liggend aan de vaste zijde of as), de hoogte h (as van de kegel).
Elke meridiaandoorsnede (of dwarsdoorsnede) van een omwentelingskegel is een gelijkbenige driehoek, waarvan de gelijke zijden gelijk zijn aan het apothema van de kegel en waarvan de basis het dubbel is van de straal (zie figuur 4 dwarsdoorsnede van een omwentelingskegeloppervlak).
Een piramide is beschreven in (om) een omwentelingskegel, als zij dezelfde hoogte en dezelfde top heeft en tot grondvlak, een veelhoek beschreven in (om) de grondvlakcirkel. Als de in- of omgeschreven veelhoeken regelmatig zijn, dan zijn de piramiden het eveneens.
Twee omwentelingskegels zijn gelijkvormig, als zij beschreven worden door gelijkvormige rechthoekige driehoeken.
Het zijdelings oppervlak (rond oppervlak of mantel)van een omwentelingskegel is de limiet van het zijdelings oppervlak van een regelmatige piramide, beschreven in de omwentelingskegel, als het aantal zijvlakken van de piramide onbepaald toeneemt (zie figuur 5: zijdelings oppervlak en inhoud van een omwentelingskegel).
Stelling 1: Het apothema van de omwentelingskegel is de limiet van het apothema van een regelmatige piramide, beschreven in de kegel, waarvan het aantal zijvlakken onbepaald toeneemt
Stelling 2: Het zijdelings oppervlak van een kegel is gelijk aan het product van de halve cirkelomtrek van het grondvlak en het apothema.
Szijdelings= π.R .a
Gevolg: Het totaal oppervlak van de omwentelingskegel wordt gegeven door:
Stotaal = π.R(a + R)
De inhoud van een omwentelingskegel is de limiet van de regelmatige ingeschreven piramide, waarvan het aantal zijvlakken onbepaald toeneemt.
Stelling: De inhoud van een kegel is gelijk aan het derde van het product van de oppervlakte van het grondvlak en de hoogte
Ikegel = (π.R²h)/3
Gevolg: De inhoud van een kegel is gelijk aan het derde deel van de cilinder, die hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte heeft .
Het zijdelings oppervlak van een afgeknotte omwentelingskegel is het verschil van de zijdelingse oppervlakken van twee omwentelingskegels, waarvan de afgeknotte kegel het verschil is.
Dit zijdelings oppervlak wordt ook bekomen door het wentelen van een rechthoekig trapezium om een as, waarvan de rechthoekige zijde samenvalt met de as en de twee evenwijdige zijden de stralen R en R zijn van de twee omwentelingskegels.
Stelling: De zijdelingse oppervlakte van een afgeknotte kegel is gelijk aan het product van het verschil g tussen de twee apothemas van de omwentelingskegels en de halve som van de lengten van de omtrekken van grond- en bovenvlak (zie figuur 6: zijdelingse oppervlakte afgeknotte kegel)
S(zijdelings afgeknotte kegel) = g x 2.π.(R + r)/2 = π.(R + R) x g
Gevolg: De totale oppervlakte van de afgeknotte omwentelingskegel wordt gegeven door:
Stotaal afgeknotte kegel = π.(R + R) x g + π.R² + π.R²
De inhoud van een afgeknotte omwentelingskegel is het verschil van de inhouden van twee omwentelingskegels, waarvan de afgeknotte kegel het verschil is.
Stelling: De inhoud van een afgeknotte omwentelingskegel is gelijk aan een derde van het product van de hoogte en de som van de oppervlakken van grond- en bovenvlak en de middelevenredige van deze vlakken
Iafgeknotte kegel = π.h (R² + R² + R.R)/3
3- de bol als omwentelingslichaam:
Het begrip bolvlak: Een bolvlak is ook het vlak dat ontstaat door het wentelen van een halve cirkelomtrek om de middellijn die door zijn uiteinden gaat.
Het begrip bolzone of gordel: Een bolzone of gordel is het deel van een bolvlak gelegen tussen twee evenwijdige vlakken (zie figuur 7: bolzone of gordel). Een gordel ontstaat door het wentelen van een boog om de middellijn; de boog wordt dan de beschrijvende boog van de gordel genoemd. Als een van de evenwijdige vlakken een raakvlak is, dan spreekt men van een bolkap.
De begrippen bolschil,bolschijf en bolsegment: men heet bolschil of bolring het meethundig lichaam ontstaan door het wentelen van een cirkelsegment om een middellijn gelegen in hetzelfde vlak als het cirkelsegment maar buiten dit segment. Een bolschijf is het deel van de bol begrepen tussen twee evenwijdige vlakken of nog, het deel van de bol begrensd door een bolzone en zijn grond- en bovenvlak. De afstand tussen grond- en bovenvlak is de hoogte van de bolschijf. Een bolsegment is het deel van de bol begrensd door een bolkap en haar grondvlak.
Het begrip loodrechte projectie: De loodrechte projectie van een punt op een rechte is het voetpunt van de loodlijn op de rechte neergelaten. De loodrechte projectie van een lijnstuk op een rechte is het lijnstuk gelegen tussen de loodrechte projecties van de eindpunten van dit lijnstuk.
Stelling 1: Elke rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek is middelevenredig tussen de schuine zijde en haar projectie op de schuine zijde. De hoogtelijn op de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is middelevenredig tussen de stukken, waarin zij de schuine zijde verdeelt
Gevolgen:
1) de vierkanten op de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek verhouden zich als de projecties van die zijden op de schuine zijde;
2)een nieuw bewijs van de stelling van Pythagoras kan uit deze stelling afgeleid worden
Toepassing:
Door een punt van een cirkelomtrek te verbinden met de eindpunten van de middellijn bekomt men een rechthoekige driehoek.
Stelling 2: De oppervlakte ontstaan door het wentelen van een lijnstuk, dat in één vlak ligt met de as en aan één kant van die as, is gelijk aan de projectie van het lijnstuk op de as, vermenigvuldigd met de omtrek van de cirkel waarvan het middelpunt in de as ligt en die het lijnstuk in zijn midden raakt
Stelling 3: De oppervlakte ontstaan door het wentelen van een regelmatige gebroken lijn om een middellijn die haar niet snijdt, is gelijk aan de ingeschreven cirkelomtrek en de projectie van de gebroken lijn om de as (zie figuur 8: wentelen van een regelmatige gebroken lijn)
S(ABCD) = 2.π . a . AD
Definitie: De oppervlakte van een bolzone is de limiet van de oppervlakte ontstaan door het wentelen van een regelmatige gebroken lijn in de beschrijvende boog van de bolzone, als het aantal zijden van die regelmatige gebroken lijn onbepaald toeneemt
Stelling 1: De oppervlakte van een bolzone is gelijk aan het product van de omtrek van een grote cirkel en de hoogte van de bolzone (zie figuur: oppervlakte van een bolzone)
S(boog AB) = 2.π . R . h (h = AB)
Stelling 2: De oppervlakte van een bolvlak is gelijk aan het product van de omtrek van een grote cirkel en de middellijn van het bolvlak
S(bolvlak) = (2.π . R) x (2 . R) = 4.π. R²
Het begrip bolsector: Een bolsector is het deel van de ruimte ingenomen door het wentelen van een cirkelsector om de middellijn van de bol (zie figuur 9: bolsector). Een middelpuntshoeksector is het gedeelte van de ruimte beschreven door de driehoek gevormd door de middelpuntshoek en de koorde van de cirkelsector. Het gedeelte van een regelmatige veelhoek omschreven of ingeschreven door een cirkelsector wordt veelhoeksector genoemd. Een omwentelingsveelhoeksector is het deel van de ruimte beschreven door het wentelen van het gedeelte van een veelhoeksector.
Het volume van een bolsector is de limiet van een omwentelingsveelhoeksector, waarvan het aantal zijvlakken onbepaald toeneemt. De inhoud van een bolsector is het maatgetal van het volume van de bolsector.
Stelling 1: Het volume ontstaan door het wentelen van een middelpuntshoek om een middellijn, die in hetzelfde vlak van de middelpuntshoek ligt, is gelijk aan het derde deel van het oppervlak beschreven door de koorde vermenigvuldigd met de hoogte op deze koorde neergelaten
Stelling 2: Het volume ontstaan door het wentelen van een veelhoeksector om een middellijn die in hetzelfde vlak van de veelhoeksector ligt is gelijk aan het derde deel van het oppervlak beschreven door de gebroken lijn gevormd door de veelhoek vermenigvuldigd met het apothema
Stelling 3: De inhoud van een bolsector is gelijk aan het derde deel van de oppervlakte beschreven door de wentelende boog vermenigvuldigd met de straal
Ibolsector= (Sboog . R)/3 = (2.π.R². h)/3
Stelling 4: De inhoud van een bol is gelijk aan de het derde van het product van zijn oppervlakte en de straal
Ibol = (Sbol . R)/3 = (4.π.R³)/3
Gevolg: De inhouden van twee bollen verhouden zich als de derde machten van hun stralen.
Stelling 5: "De inhoud van een bolschil is gelijk aan het zesde deel van een cilinder, waarvan de straal gelijk is aan de koorde van het segment en de hoogte gelijk aan de projectie van die koorde op de middellijn"
Ibolschil = (π. k² x k)/6 k is lengte van de koorde k projectie van de koorde op de middellijn
Stelling 6: "De inhoud van een bolschijf is gelijk aan de halve som van twee cilinders die respectievelijk het grond- en bovenvlak van de bolschijf tot hoogte hebben vermeerderd met de bol die de hoogte tot middellijn heeft."
Stelling 7: (stelling van Archimedes (3) )Is een omwentelingscilinder om een bol beschreven, dan verhouden de oppervlakten van de bol en de totale oppervlakte van de cilinder zich als 2 en 3, en verhouden de inhouden van deze lichamen zich eveneens als 2 en 3.
Deze stelling staat vermeld in Over de Bol en de Cilinder, een verhandeling, die Archimedes opdroeg aan ene Dositheus. Op zijn verzoek toonde zijn graftombe dit bewijs, waar hij het trotst op was, in reliëf(zie ikoon van dit cursiefje!!!).
V- De Regelmatige Veelvlakken
(wordt voortgezet)
4- nabeschouwingen
Dit en voorgaande cursiefjes geven een globaal overzicht van de leerstof meetkundenodig om de gestelde eindtermen van het primair onderwijs en van het lager secundair onderwijs te bereiken. Deze eindtermen impliceren naast het afleiden van betrekkingen om de omtrek, oppervlakte en volume van meetkundige figuren en lichamen te berekenen, ook het assimileren van een aantal fundamentele begrippen en stellingen, zoals de stelling van Pythagoras en enkele stellingen van Archimedes. Uiteraard mochten hierbij enkele basisbegrippen en stellingen uit de ruimtemeetkunde niet ontbreken. Alleen op deze wijze kan men de similariteit in ontwikkeling tussen de vlakke meetkunde en de ruimtemeetkunde aantonen.
(Hoofdstuk 10 "Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 10.8 Kennismaking met de Trigonometrie
Trigonometrie ofte Driehoeksmeting in het lager middelbaar? En voor Grieks-Latinisten? Nee toch? Dat is toch alleen maar leerstof voor het hoger middelbaar? Collegestudenten uit die heroïsche tijd zullen ongetwijfeld deze stelling bevestigen. Maar zoals deel II van de Beginselen der Vlakke Meetkunde van Julien Bilo het echter duidelijk aantoonde was er al in die jaren een eerste kennismaking met de trigonometrie voorzien en wel in de vierdes, ook voor Grieks-Latinisten!!
En dat heb ik tot mijn scha en schande mogen ervaren.
Het was in de lente van 1955 dat ik -in volle voorbereiding tot het toelatingsexamen KCS- voor het eerst hoorde vertellen over sinus, cosinus, tangens en dito.. En als ik het goed voor heb, was het Eddy Paret, die, met enig afgrijzen in de stem, mij hierover berichtte.
Eddy was een oude speelkameraad, die vroeger nog in mijn straat had gewoond en die ik enkele jaren uit het oog had verloren Juist na de oorlog hadden wij met onze driewielers (hij met een nieuw, ik met een oud vehikel) de voetpaden nog onveilig gemaakt, tot ergernis van de toevallige voorbijgangers. Zo herinner ik mij ook nog dat de voorvork van zijn nieuwe driewieler het regelmatig af liet weten (het was de tijd van de ersatz nietwaar) en wij regelmatig de hulp van de smid aan de Gentpoort moesten inroepen. Talloze keren heeft deze laatste de voorvork of de spaken van zijn driewieler moeten lassen, terwijl ik, die nog met een oud model van vóór WOII peddelde, nooit een probleem had.
In de Iron Fiftiesliep nu Eddy Paret school aan de Rijksmiddelbare School te Brugge, waar zijn vader les gaf. Daar ik op dat ogenblik erg druk bezig was met het toelatingsexamen Cadettenschool, hechtte ik helaas- niet erg veel belang aan zijn alarmerend relaas. Eerst in de Cadettenschool zag ik in dat ik maar beter naar hem had moeten luisteren. Op dat ogenblik wist ik immers niet, dat het nieuwe leerplan voor de lagere humanioracyclus (ministeriële omzendbrieven van 1949 en 1950) ook een inleiding tot de driehoeksmeting of trigonometrie omvatte, en dat deze inleiding wel degelijk deel uitmaakte van de te kennen examenstof voor het toelatingsexamen van de Cadettenschool.
In het Sint Lodewijkscollege was in 1954 nog steeds het oude leerplan in voege en er was in de lagere humaniora geen sprake van trigonometrie. In het officieel onderwijs was men wel zo ver, en mijn oude speelkameraad had mij hiervoor willen waarschuwen. Hoe dan ook, het lot was mij gunstig gezind en op het toelatingsexamen werden er althans in 1955- geen vragen gesteld over trigonometrie. Voor mij had deze onachtzaamheid wel tot gevolg dat ik op deze manier de eerste winding van de didactische spiraal over trigonometrie compleet miste, wat mij bvb in de Cadettenschool heel wat narigheid heeft bezorgd. Maar hierover later meer.
Wat de leerstof van deze eerste kennismaking met de trigonometrie (vandaar de term "elementair") nu precies inhield kwam ik slechts vele jaren later te weten. Een en ander werd mij duidelijk toen ik er in slaagde de leerboekjes Beginselen der Vlakke Meetkunde van Julien Bilo (collectie Mineur) delen II en III op de kop te tikken. Deel II dateerde weliswaar van 1969 maar deze vierde druk was nauwelijks verschillend van de tweede druk daterend uit 1953. Deel III dateerde uit 1955 en was een geheel opnieuw geschreven tweede uitgave, aangepast aan het nieuwe leerplan. Deel III was in principe bestemd voor de derdes (oude en moderne humaniora), terwijl deel II de leerstof voor de vierdes (eveneens voor de oude en moderne humaniora) bevatte.
Korte hoofdstukjes over driehoeksmeting kwamen in beide boekjes voor. Zo groeide bij mij het vermoeden dat het boek «Géométrie, quatrième classe» van R. de Marchin, J. Horwart en G. Bosteels ook een hoofdstuk over trigonometrie moest bevatten. En ja hoor, het fameuse « Traité de Trigonométrie rectiligne » van dezelfde auteurs dat bestemd was voor de hogere humaniora, verwees voor bepaalde trigonometrische stellingen inderdaad naar « Géométrie IV », een schoolboek dat, zoals de titel duidelijk aangeeft wel degelijk voor de vierdes bedoeld was. Al mijn inspanningen ten spijt, ben ik er tot nu toe nog niet in geslaagd, om een exemplaar van « Géométrie, IV » op de kop te tikken.
De te kennen leerstof stemde overeen met de hoofdstukken VI §3 "Driehoeksmeting in Rechthoekige Driehoeken" uit Deel I en VI "Driehoeksmeting in willekeurige Driehoeken" van respectievelijk Deel II en Deel III van « Beginselen der Vlakke Meetkunde » van Bilo. Voornoemd boek werd in de vijfiger jaren gebruikt in de athenea.
Maar wat is trigonometrie eigenlijk en wat is de relatie met de geometrie?
Het woord trigonometrie (1) is afgeleid uit de Griekse woorden τριγωνος en mhtron. De hoofdelementen van een driehoek ∆ ABC zijn nu enerzijds de zijden a, b en c, anderzijds de hoeken A, B en C. Terwijl de geometrie alleen de relatie tussen de zijden of de hoeken onderling opspoort is het de bedoeling van de trigonometrie het verband tussen zijden en hoeken van driehoeken te onderzoeken.
Gaat het over driehoeken in een plat vlak dan spreekt men van vlakke driehoeksmeting (fr.: trigonométrie rectiligne); gaat het over boldriehoeken (2) dan wordt de term boldriehoeksmeting (fr. : trigonométrie sphérique) gebruikt. Ofschoon de oorsprong van de trigonometrie bij de Babyloniërs ligt, wordt Hipparchos beschouwd als de vader van de trigonometrie.
Het mooie aan de trigonometrie of driehoeksmeting is nu dat uit drie bekende hoofdelementen van een driehoek (mits daaronder minstens één zijde) de andere elementen kunnen berekend worden. Hieruit spruiten dan talrijke interessante toepassingen voort bvb in de topografie, waar met behulp van de trigonometrie afstanden tot niet toegankelijke punten bepaald worden, en in de mechanica, waar componenten of een resultante moeten berekend worden uit het "krachtenparallellogram", derwijze zelfs trigonometrie essentieel is voor de toekomstige ingenieur.
Ook is bvb het bedrijven van sferische astronomie niet mogelijk zonder een gedegen kennis van boldriehoeksmeting.
Om de gedachte te vestigen, laat ik dit eerst even toelichten aan wat men triangulatie (3) pleegt te noemen:
Onderstel een zeilboot (punt B op begeleidende ikoon) die waargenomen wordt door twee waarnemers A en C op de oever (punten A en C op begeleidende ikoon). De onderlinge afstand b tussen de twee waarnemers is ondersteld bekend. Is het mogelijk de afstand van de boot tot de oever (de hoogtelijn hB ) te bepalen of te berekenen? Dank zij de trigonometrie is het antwoord affirmatief op voorwaarde dat men de hoeken A en C kent of experimenteel heeft bepaald met behulp van bvb een goniometer.
Volgens de trigonometrie volstaan immers drie gegevens (waaronder minstens één zijde) om de positie van de zeilboot (bvb de afstand tot de oever d.i. de hoogtelijn hB )in de driehoek te berekenen. Natuurlijk kan men ook de lengtes van de twee andere zijden uitrekenen en dus de afstand van elke waarnemer tot de boot. In begeleidende figuur zijn alle hoeken A, B, C van de triangulatiedriehoek scherpe hoeken. Uiteraard kan ook één (en slechts één) van die hoeken een stompe hoek zijn of een rechte hoek. Het meest eenvoudige geval is dit van een rechthoekige driehoek, waarbij men dan onderstelt dat de triangulatiedriehoek een rechte hoek (A, B of C) bezit.
Om het probleem van de triangulatie op te lossen gaat de trigonometrie nu op de klassieke wijze (d.i. van eenvoudig naar meer complex) te werk. Eerst wordt het bijzonder geval, dat voornoemde triangulatiedriehoek een rechthoekige driehoek is, beschouwd. Dat houdt in dat de andere hoeken van de driehoek noodzakelijkerwijze scherp zijn. Vervolgens wordt de theorie uitgebreid tot de willekeurige driehoek, waarbij eerst aangenomen wordt dat alle hoeken van de driehoek scherpe hoeken zijn. Tenslotte wordt het geval dat de driehoek een stompe hoek bevat onderzocht.
I- Elementaire Trigonometrie van de rechthoekige driehoek
In Bilos Beginselen der Vlakke Meetkunde (deel II) werden de beginselen van deze trigonometrie van de rechthoekige driehoek behandeld. Het is echter een vaststaand feit dat deze beginselen evenzeer in het boek Géométrie, classe de quatrième van R. de Marchin, J. Horwart en G. Bosteels aan bod kwamen en wellicht op een meer didactische manier.
Wiskunde bestemd voor het M.U.L.O. of voor het lager secundair onderwijs wordt veelal elementaire wiskunde genoemd (voor wat de term "elementair" betreft zie cursiefje "" in blog 2); de term elementaire is hier verantwoord want het gaat om een eerste kennismaking.
1- definitie van de begrippen sinus, cosinus, tangens en cotangens van een scherpe hoek:
Beschouwt men verschillende rechthoekige driehoeken, die een gelijke scherpe hoek B bevatten, dan zijn deze gelijkvormig want ze hebben drie hoeken gelijk: de hoeken B en B zijn bij definitie gelijk, de rechte hoeken A en A natuurlijk ook en vermits de som van de hoeken in elke driehoek (inclusief de rechthoekige driehoek) steeds twee rechte hoeken bedraagt, zijn noodzakelijkerwijze de hoeken C en C ook gelijk (zie figuur 1).
Uit de gelijkvormigheid volgt nu dat de verhoudingen tussen de overeenkomstige rechthoekszijden b en b respectievelijk c en c en de schuine zijden a en a constant is en alleen bepaald wordt door de grootte van de scherpe hoek.
Men heeft de aaneengeschakelde evenredigheid:
a/a = b/b = c/c (1) en dus a/a = c/c en b/b = c/c
Door de middelste termen van plaats te wisselen (zie Arithmetiek: eigenschappen der evenredigheden)komt er:
b/a = b/a (2) en c/a = c/a (3)
Men definieert nu
- als sinus van de hoek B de verhouding b/a d.i. de verhouding van de overstaande rechthoekszijde tot de schuine zijde (cf. gelijkheid (2):
sin(B) = b/a - (2)-
- als cosinus van de hoek B de verhouding c/a d.i. de verhouding van de aanliggende rechthoekszijde tot de schuine zijde (cf. gelijkheid (3)):
cos(B) = c/a -(3)-
- als tangens van de hoek B de verhouding b/c d.i. de verhouding van de overstaande zijde tot de aanliggende zijde (gelijkheid (1)):
tg(B) = b/c -(4)-
- als cotangens van de hoek B de verhouding c/b d.i. de verhouding van de aanliggende zijde tot de overstaande zijde (gelijkheid (1)):
cotg(B) = c/b -(5)-
Analoog vindt men voor de andere scherpe hoek C volgende betrekkingen indien dezelfde notaties voor de zijden van de rechthoekige driehoek gebruikt worden (figuur 1):
sin(C) = c/a -(6)-
cos(C) = b/a -(7)-
tg(C) = c/b -(8)-
cotg(C) = b/c -(9)-
De schuine zijde a en de rechthoekszijden b en c kunnen dan uitgedrukt worden in functie van de scherpe hoeken B en C met behulp van volgende formules:
a = b/sin(B) = b/cos(C) = c/sin(C) = c/cos(B) (4)
b = a sin(B) = a cos(C) = c tg(B) = c cotg(C) (5)
c = a sin(C) = a cos(B) = b tg(C) = b cotg(B) (6)
- Belangrijke opmerkingen-:
1- de sinus, cosinus, tangens en cotangens van een scherpe hoek zijn verhoudingen van lijnstukken en zijn dus onbenoemde getallen. Deze verhoudingen worden goniometrische verhoudingen genoemd. De waarden die de sinus en cosinus van een scherpe hoek kunnen aannemen zijn gelegen tussen 0 en 1, voor de tangens en cotangens liggen die tussen 0 en oneindig (toon aan). Hoe deze waarden numeriek berekend kunnen worden, wordt later aangetoond.
2- de sinus, cosinus, tangens en cotangens van scherpe hoeken werden vroeger aangegeven in tabellen. Zulke tabellen noemde men Tafels van de natuurlijke waarden. Deze tafels bevatten de natuurlijke waarden der goniometrische verhoudingen van scherpe hoeken gelegen tussen 0° en 90° met diverse opklimmingen en nauwkeurigheid. In Bilos Beginselen der Vlakke Meetkunde (Deel II) komt een dergelijke tafel voor met een opklimming van 10 minuten en een nauwkeurigheid op vier decimalen. Een halve eeuw gelegen werd in het Middelbaar Onderwijs in België veelvuldig gebruikt gemaakt van de Tafels van Schons en De Cock (opklimming: 1 minuut; nauwkeurigheid: vijf decimalen). Het werken met de Tafels werd er precies uiteengezet en was erg omslachtig en tijdrovend. Met de opkomst van de moderne en goedkope zakrekenmachines is het werken met Tafels echter totaal voorbijgestreefd. De huidige generaties beseffen waarschijnlijk niet aan welke karwei zij ontsnapt zijn.
3- goniometrische verhoudingen van scherpe hoeken die elkaars complement zijn:
Twee scherpe hoeken B en C, die elkaars complement zijn (B + C = 90°) kunnen steeds beschouwd worden als de scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek ∆ABC. Uit de formules (5) en (6) volgt dan:
De betrekkingen (12), (14) en (15) noemt men de 3 hoofdidentiteiten van de trigonometrie; de relatie (13) wordt als een afgeleide identiteit beschouwd.
Deze afgeleide identiteit heeft er echter toe geleid nieuwe goniometrische verhoudingen in te voeren met name de secans en cosecans van de scherpe hoek α:
sec(α) = 1/cos(α) (16) en cosec(α) = 1/sin(α) (17)
Dit brengt dan het aantal hoofdidentiteiten op 5 en voert tot 2 nieuwe afgeleide identiteiten:
2- Deze identiteiten zijn belangrijk omdat ze toelaten uit de kennis van één goniometrische verhouding de sinus bvb de andere goniometrische verhoudingen cosinus, tangens, cotangens te berekenen.
- Beschouwt men de rechthoekige driehoek ∆ABC wat nader (figuur 1)dan stelt men vast dat voor α ≈ 0 de sinus van de hoek α eveneens nul wordt: sin(0°) = 0. Door toepassing van de identiteiten volgt dan dat cos(0°) = 1, tg(0°) = 0 terwijl cotg(0°) niet bestaat.
- Voorts kan men vaststellen dat voor α ≈ 90° de cosinus van α nul wordt: cos(90°) = 0. Door toepassing van de identiteiten volgt dan dat sin(90°) = 1, cotg(90°) = 0 terwijl cotg(90°) niet bestaat
- Voor een gelijkbenige rechthoekige driehoek ∆ABC met b = c geldt hoek B = hoek C = 45° (figuur 2) en door toepassen van de stelling van Pythagoras volgt dan a = b √2 en verder dat b = c = ½ a √2. Daar sin(B) = b/a , cos(B) = c/a komt er sin(45°) = cos(45°) = ½ √2 en door toepassing van de identiteiten tg(45°) = cotg(45°) = 1
- Beschouwt men een rechthoekige driehoek ∆ABC waarvan hoek B = 60° en hoek C = 30° (figuur 3). Trekt men de zwaartelijn AL dan is de driehoek ∆LAB een gelijkzijdige driehoek (toon aan!!). Derhalve is c = ½ a en door toepassen van de stelling van Pythagoras volgt gemakkelijk: b = ½ a √3. Daar hier nu sin(B) = sin(C) = b/a vindt men voor de sinus van 30° respectievelijk 60°: sin(30°) = ½ en sin(60°) = ½ √3. Door toepassen van de identiteiten volgt er tenslotte:
sin(30°) = cos(60°) = ½ en sin(60°) = cos(30°) = ½ √3
3 - het oplossen van rechthoekige driehoeken met behulp van trigonometrie
- Definitie:
Een (rechthoekige) driehoek trigonometrisch oplossen komt er op neer de onbekende zijden en hoeken van de driehoek te berekenen uit de bekende elementen met behulp van trigonometrie. De hoofdgevallen van het oplossen van driehoeken zijn deze waarin de bekende elementen de zijden of hoeken van de driehoek zijn en niet bvb zwaartelijnen, bissectrices e.a. Deze andere gevallen worden nevengevallen genoemd en kunnen doorgaans tot de hoofdgevallen teruggebracht worden.
In het geval van rechthoekige driehoeken kan men 4 hoofdgevallen onderscheiden: 1) de schuine zijde en één scherpe hoek zijn bekend 2) de schuine zijde en een rechthoekzijde zijn bekend 3) een rechthoekszijde en een scherpe hoek zijn bekend 4) de twee rechthoekzijden zijn bekend
- Hoofdgevallen
- eerste geval: gegeven de schuine zijde a en de hoek B ; bereken de zijden b en c en de hoek C; oplossing: C = 90° - B; b = a sin(B); c = a cos(B)
- tweede geval: gegeven de schuine zijde a en een rechthoekszijde b ; bereken de rechthoekszijde c en de hoeken B en C ; oplossing: men heeft de vergelijkingen sin(B) = b/a (de waarde van B wordt bepaald uit de Tafels); C = 90° - B en c = a sin (C)
- derde geval: gegeven een rechthoekszijde b en de overstaande hoek B (of c en C); bereken de schuine zijde a, de rechthoekszijde c (of b) en de hoek C (of B); oplossing: men heeft de vergelijkingen C = 90° - B; a = b/sin(B) en c = b tg(C)
- vierde geval: gegeven: de twee rechthoekszijden b en c; bereken de schuine zijde a, de hoeken B en C; oplossing: men heeft de vergelijkingen tg(B) = b/c, C= 90° - B en a = b/sin(B)
- voorbeelden van vraagstukken
In Bilos Beginselen der Vlakke Meetkunde(deel II) kwamen er een vijftiental typische vraagstukken voor die betrekking hebben op het oplossen van rechthoekige driehoeken met behulp van trigonometrie. Deze vraagstukken geven een beeld van het ruime toepassingsgebied van de elementaire trigonometrie.
Vraag : Tot welke hoofdgevallen herleiden zich volgende vraagstukken?
- Op een hellend vlak van 32° ligt een lichaam van 48 kg. Welke reactie (tegenstelde kracht aan de zwaartekracht) oefent het hellend vlak op het lichaam uit?
- Hoe hoog staat de zon boven de horizon, als een toren van 45 m een schaduw werpt van 32 m?
- De evenwijdige zijden van een gelijkbenig trapezium ABCD zijn AB = 14,2 cm en CD = 7,6 cm de opstaande zijde AD is 6,4 cm. Bereken de hoeken, de hoogte en de oppervlakte van het trapezium.
II- Elementaire Trigonometrie van de willekeurige driehoek
(2) Ter herinnering: een boldriehoek is het deel van een boloppervlak begrensd door drie bogen van grote cirkels, dit zijn cirkels wier vlak doorheen het middelpunt van de bol gaat
(3) Triangulatie is een meting waarbij men gebruik maakt van de eigenschap van een driehoek dat de driehoek volledig is bepaald wanneer we een zijde (de basis) en de aanliggende hoeken kennen. Volgens wikipedia werd de methode voor het eerst beschreven door de Nederlandse wiskundige Gemma Frisius (1508-1555). De cartograaf Jacob van Deventer (1505-1575) was de eerste die het in de praktijk omzette. Bij triangulatie wordt gebruikgemaakt van formules uit de trigonometrie, met name de sinusregel.
§ 11.1 Natuur- wetenschappen in het Sint Lodewijkscollege
(Hoofdstuk 11 "Biowetenschappen in het Lager Secundair Onderwijs")
§11.1 Natuur- wetenschappen in het Sint Lodewijkscollege
In de vijftiger jaren was het onderwijs in de wetenschappen voor scholieren uit het Lager Secundair en vooral voor Grieks-Latinisten, maar een mager beestje. Er was bvb geen sprake van natuurkunde of scheikunde en onder de hoofding Natuurwetenschappen werden voornamelijk enkele noties uit de biowetenschappen (menselijke anatomie en fysiologie, plantkunde, dierkunde) behandeld. Andere natuurwetenschappen zoals bvb delfstofkunde en sferische astronomie kwamen ook even ter sprake in de lessen aardrijkskunde. In dit opzicht waren het Lager Secundair en het Hoger Primair (MULO) duidelijk verschillend.
Het eigenlijk wetenschappelijk onderricht in de fysische wetenschappen (natuurkunde en scheikunde) en biowetenschappen (plantkunde, diekunde) werd noodzakelijkerwijze(1) verschoven naar het hoger secundair. Specifieke schoolboeken over wetenschappen waren dan ook gericht op het hoger middelbaar en in de lagere humaniora-cyclus moesten de scholieren het in die jaren veelal zonder schoolboeken doen en ijverig noteren wat de leraar vertelde of dicteerde.
Het wekelijks uurtje Natuurwetenschappen werd in het « collège Saint Louis » gegeven door de klasleraar, dus een priester, en dit onderricht was natuurlijk in overeenstemming met de encyclieken « Providentissimus Deus » -1893- van Leo XIII en « Pascendi DominiciGregis » -1907- van Pius X en vooral met «Humani generis» -1950- van Pius XII(2).
Wat een dergelijke leergang « Natuurwetenschappen », conform deze encyclieken zoal inhield kan men bvb afleiden uit het oude schoolboek « Leergang der Natuurwetenschappen behelzende: Ontleedkunde en Levensleer van t Menselijk Lichaam, Dierkunde, Plantkunde en Begrippen van Delfstofkunde met Nijverheidstoepassingen » (Kanunnik L. Wouters vertaald door L. Asselbergs Windels -1916-) (3).
Uiteraard was dit boek vooral bestemd voor het hoger secundair, maar zover ik mij nog kan herinneren, werd al in het lager secundair een voorsmaakje van deze leerstof gegeven. Dit voorsmaakje beperkte zich dan tot enkele begrippen van de Menselijke Anatomie en Fysiologie, waarbij zoals gebruikelijk in die tijd- het uro-genitaal stelsel totaal buiten beschouwing werd gelaten. Verder waren er enkele noties uit de dier- en plantkunde.
Wat mij nu bij deze lessen echter opviel was dat er voortdurend werd verwezen naar God, de Schepper, die alles zo fijntjes had aaneengerafeld. En inderdaad ook in het boek van Kanunnik Wouters vindt men hiervan enkele pareltjes, die ik de lezer niet wil onthouden:
Pagina 3: "De mensch wordt bezield door een zelfstandig, onstoffelijk, geestelijk, onsterfelijk levensbeginsel, de ziel. Deze is tezelfdertijd de bron van het plantenleven, het zinnelijk en het geestelijk leven. Alleen de mensch bezit rede, maar door zijn lichaam hoort hij ook in het dierenrijk thuis"
Pagina 63: "Zoo zien wij, door wijze wetten, de hand van de Voorzienigheid in de Schepping ingrijpen om aan elk diertje zijn noodruft te geven en tusschen al de wezens een bewonderenswaardig evenwicht te bewaren. De Vleescheter doodt dus om zich te voeden, maar tezelfdertijd treft hij blindelings een doelwit, dat hij wel niet ontwaarde, maar dat een ander voor hem zag en waartoe Deze hem onbewust heenleidde" .
Pagina 67: "Door het lichaam behoort de Mensch tot de Zoogdieren; maar door zijn verstandelijke en zedelijke zielsvermogens is hij het beeld van God zelf. De Mensch vormt op zichzelf een orde: die van de Tweehandigen, waarvan de eenige familie en het eenige geslacht is: de Mensch"
Pagina 99: "Andere (vissen) zwemmen de stroomen op, om, in ondiep water, de gepaste warmte voor het uitbroeden te vinden. Zoo doen bvb Zalm en Steur. In zoet water geboren, zakken zij naar zee af; maar zoohaast hun tijd om eieren te leggen weerkomt, leidt de Voorzienigheid ze terug naar de plaats waar zij zelf uitgebroed werden" .
Pagina 188: "Toen de hitte (van de aardkost) genoeg was afgenomen, schiep God de planten, en later de dieren en den mensch"
Ook waren er in het schoolboek herhaaldelijk verwijzingen naar uitspraken van geleerden, die het bestaan van een God of Opperwezen erkenden, maar van anderen, die deze stelling verwierpen of meningen opperden, die in tegenspraak waren met Bijbelse uitspraken (bvb een Charles Darwin) was natuurlijk geen sprake:
« Wanneer men de wetenschappen grondig bestudeerd heeft, zei Pasteur, dan komt men terug naar het geloof van den Bretoenschen boer; had ik nog meer gestudeerd, ik hadde het geloof der Bretoenscheboerin » .
« Toen A.-M. Ampère, de beroemdste reken- en natuurkundige van de 19de eeuw (1775- 1836), zich eens met Ozanam onderhield, riep hij uit: Wat is God groot! Ozanam, wat is God toch groot! » ..
« De ware mannen der wetenschap bekennen vlakaf dat zij, zonder een vroeger bewezen leven, geen bevredigenden uitleg van het leven kunnen geven (Tyndall, Engelse natuurkundige) »
« Van Beneden, vermaarde natuurkundige aan de Universiteit te Leuven: Hoe meer vorderingen wij maken in de kennis der natuur, hoe inniger wij overtuigd zijn, dat alleen het geloof in een almachtigen Schepper en een oneindige Wijsheid, die hemel en aarde volgens een bepaald en van alle eeuwen ontworpen plan geschapen heeft, bij machte is aan de geheimen der natuur, en bijzonder aan dat van het menschelijke leven, een voldoende oplossing te geven. Gaan wij voort met standbeelden op te richten aan personen die hunnemedemenschen nuttig waren of door hun vernuft uitmuntten; maar vergeten wij niet wat wij schuldig zijn aan Hem die wonderen schiep in elken zandkorrel en een gansche wereld in elken waterdruppel »
« Den eeuwigen almachtigen God heb ik door de Schepping zien gaan: ik heb er de sporen van zijn wijsheid en macht gevonden en ik sta er voor in bewondering! (Linné, beroemde Zweedse natuurkundige)
Het is dus niet verwonderlijk dat een Kardinaal Mercier in 1914 volgend schrijven richtte aan de auteur van dit boek:
Waarde Heer Hoofdinspecteur,
Ik haast mij u te bedanken voor uwen vriendelijk gezonden: Leergang van Natuurwetenschappen en neem deze gelegenheid waar om u met uwe nieuwe en eigen opvatting geluk te wenschen. Immers, terwijl gij, met methode, onze schooljeugd tot de beginselen der natuurwetenschappen inleidt, vergeet gij niet haar geest en haar hart tot God omhoog te heffen. Dit is voorzeker de geringste verdienste niet van uw voortreffelijk werk. Ik wensch dus dat uw boek breed moge verspreid worden, en verzoek u, Waarde Heer Hoofdinspecteur, de verzekering, mijner hartelijke toegenegenheid te aanvaarden.
D.J. Card. Mercier, Feest der Heilige Maria Magdalena 1914
Vanzelfsprekend bewandelden mijn klasleraars in het « collège Saint-Louis » toen hetzelfde pad, want Vaticanum II was nog ver. Dat het hier in feite om een soort creationistische wetenschap ging, drong in het begin nog niet tot mij door... tot ik de E.N.S.I.E. opensloeg .
De E.N.S.I.E. (Eerste Nederlandse Systematische Encyclopedie dateert van 1949-1950 en was niet echt bestemd voor scholieren !! Een systematisch ingerichte encyclopedie is opgebouwd uit een reeks uitgebreide overzichtsartikels, die echte inleidingen vormen in de grote gebieden van wetenschap en cultuur. Een dergelijke encyclopedie onderscheidt zich van een alfabetische doordat de diverse onderwerpen van een bepaald gebied in een samenhangend geheel worden ingebed en de lezer aldus een dieper inzicht kan verwerven in het gekozen gebied. Een systematische encyclopedie speciaal bestemd voor scholieren vormde bvb de Sesam Systematische Encyclopedie. Maar die zag eerst maar het licht in de jaren 1957-1962 bij de uitgeverij Het Spectrum. Een duidelijk bewijs dat er -ook voor scholieren- wel een behoefte was aan een systematische encyclopedie.
Maar terug naar de E.N.S.I.E. Zoals ik al in een vorig cursiefje aanhaalde had mijn vader deze encyclopedie speciaal gekocht voor zijn schoolgaande kinderen. De E.N.S.I.E. was voor mij in die jaren praktisch de enige bron van wetenschappelijke kennis waaraan ik mij kon laven. In wezen vervulde de E.N.S.I.E. -en i.h.b. de delen IV en VI- voor mij de rol van een soort schoolboek Wetenschappen.
Deel IV behandelde de wiskunde en de wetenschappen van de « dode stof » d.i. natuurkunde, scheikunde en sterrenkunde; deel VI de wetenschap van de « levende stof » d.i. biologie (plant- en dierkunde), de anthropologie (menskunde) en de geneeskunde waaronder zelfs de farmacie. Er was ook nog het deel V, dat de wetenschappen betreffende de Aarde bundelde, maar dit deel kwam veel minder aan bod.
Voortgaande op het aantal inktvlekken, een bewijs van mijn onverdroten ijver en inspanningen, genoot blijkbaar deel IV mijn voorkeur. Bij het openslaan van Deel IV botste de lezer onmiddellijk op de bekende kopergravure van Albrecht Dürer Melencolia (1514), volgens veler opvatting een zinnebeeld van het wiskundig - technisch denken. Ik heb in mijn jeugdjaren deze prachtige afbeelding talloze keren bekeken en was toen diep onder de indruk van het tovervierkant dat gesponnen is rond het jaartal 1514, jaar waarin Dürer deze plaat etste. Een tovervierkant heeft als eigenschap dat de som van iedere rij en iedere kolom hetzelfde getal geeft. Als ik nu echter na zovele jaren deze afbeelding opnieuw bekijk, overvalt mij deze stille weemoed, deze melencolia waarop de kunstenaar zinspeelde.
Deel VI fungeerde dan weer als mijn bron van kennis voor de eigenlijke « Natuurwetenschappen », waarmede dan de wetenschap van de levende stof bedoeld werd. Een beter woord voor natuurwetenschappen is dus wel « Biowetenschappen ». Bij het openslaan van deel VI was er vooreerst een prachtige zwart-wit afbeelding van een oerbos van reuzenaaldbomen (sequoia sempervirens). De Frisco (E.H. Debaillie) vertelde met veel enthousiasme over deze reusachtige bomen, die hij blijkbaar in het echt gezien had. Ik vermoed dat hij tijdens zijn reis naar San Francisco het fameuze Yosemite Parc had bezocht.
Wat mijn klasleraars nu over de natuurwetenschappen (planten, dieren, mens) vertelde toetste ik systematisch met wat in de E.N.S.I.E. beschreven stond. En dat was heel wat, zoals een inhoudsoverzicht van het gedeelte « Biologie » laat zien:
- Wat is Biologie en wat het niet is Algemeen karakter der Biologische Wetenschappen:
Hoofdstuk 1 « Wat is Biologie? de indeling der biologie in haar onderwetenschappen- » (prof. Dr C.J. van der Klaauw)
Hoofdstuk 2 « Algemene Begrippen Logica en Wiskunde » (prof. Dr C.J. van der Klaauw)
- De laagste levende wezens:
Hoofdstuk 3 « Protista De eencellige oerplanten en oerdieren- » (dr Maria Rooseboom)
Hoofdstuk 4 « Microbiologie De Wereld der Bacteriën - » (prof. Dr A.J. Kluyver)
- De indeling der verscheidenheid onder de organismen
Hoofdstuk 10 « Restitutie en Regeneratie bij Planten » (dr A.D.J. Meeuse)
Hoofdstuk 11 « Restitutie en Regeneratie bij Dieren Ontwikkelingsmechanica » (prof. Dr C.P. Raven)
- De fijne bouw der organismen
Hoofdstuk 12 « Cel- en Weefselleer der Planten » (pfof. Dr ir G. van Hersonjr)
Hoofdstuk 13 « Cel- en Weefselleer der Dieren » (prof. Dr C.J. vanderKlaauw)
- De variatie- en erfelijkheidsleer
Hoofdstuk 14 « Variatieleer bij Planten en Dieren » (prof. Dr M.J. Sirks)
Hoofdstuk 15 « Erfelijkheidsleer bij Planten en Dieren » (prof. Dr M.J. Sirks)
- Het organisme en zijn omgeving en zijn verspreiding over de aarde
Hoofdstuk 16 « Algemene Ecologie »
Hoofdstuk 17 « Plantenecologie en geografie »
Hoofdstuk 18 « Dierenecologie en geografie »
- Het gedrag der dieren
Hoofdstuk 19 « Ethologie en Psychologie der Dieren » (prof dr N. Tinbergen)
- De geschiedenis der organismen in de loop der tijden
Hoofdstuk 20 « Evolutieleer »
Hoofdstuk 21 « Fylogenie der Planten »
Hoofdstuk 22 « Fylogenie der Dieren »
- Het zieke en abnormale organisme
Hoofdstuk 23 « Plantenziektekunde »
Hoofdstuk 24 « Afwijkingen bij Planten »
Hoofdstuk 25 « Plantengallen »
Hoofdstuk 26 « Pathologie der Dieren »
- Wijsgerige vragen van ruime strekking
Hoofdstuk 27 « Mechanisme Vitalisme Holisme »
Hoofdstuk 28 « De Verhouding van Lichaam en Geest »
Hoofdstuk 29 « Metabiologie »
Hoofdstuk 30 « Theoretische Biologie »
- korte bespreking en nabeschouwingen:
Vele onderwerpen, die in de E.N.S.I.E. aangeraakt werden, waren voor mij in die tijd onbegrijpelijk. Toch waren er een aantal onderwerpen o.a. deze behandeld in hoofdstuk 20 "Evolutieleer" die mij interesseerden, wat mij in een conflictsituatie bracht met mijn klasleraars.
(wordt voortgezet)
----------------------------------------
(1) Het aanleren van de klassieke talen nam toen zeer veel lesuren in beslag: bestuderen van een ingewikkelde grammatica met talloze verbuigingen en vervoegingen, verwerven van een woordenschat van ongeveer 2000 woorden, toepassen van het geleerde op uitgekozen teksten van diverse auteurs. Zo beschikten de leerlingen van het Sint Lodewijkscollege over Latijnse en Griekse woordenlijsten waarvan elke dag tien nieuwe woordjes moesten van buiten geleerd worden.
(3) Dit schoolboek was de vertaling van Précis de Sciences Naturelles en werd in het interbellum in de meeste katholieke scholen van West- Vlaanderen gebruikt
§ 11.2 Elementaire Plantkunde met Eildert Reinders
(Hoofdstuk 11 "Bio- wetenschappen in het Lager Secundair")
§ 11.2 Elementaire Plantkunde met Eildert Reinders (I)
Dat het echter ook anders kon, werd aangetoond door het tweedelige « Leerboek der Plantkunde » van Eildert Reinders. Dit in Nederland zeer bekend schoolboek was bestemd voor gymnasia, lycea en H.B.S met vijfjarige cursus. Het eerste deel, dat in dit blog behandeld wordt, omvatte het leerprogramma Plantkunde voor het eerste en tweede jaar H.B.S. wat overeen stemde met het Lager Secundair in België. Het tweede deel was bestemd voor hogere jaren van de H.B.S. en zal in blog II besproken worden. Hoe ik op het spoor van dit tweedelig leerboek ben gekomen vormt een verhaal op zich zelf en wordt eveneens in blog II uit de doeken gedaan.
Onder de term « Elementaire Plantkunde » moet hier « Beginselen der Plantkunde » begrepen worden. Deze elementaire plantkunde vormt een eerste winding van de didactische spiraal, die achtereenvolgens nog de algemene en fundamentele plantkunde zal omvatten volgens het schema: elementaire plantkunde → algemene plantkunde → fundamentele plantkunde. Deze laatste windingen behoren weliswaar tot het hoger onderwijs. Indien dit didactisch schema niet strict gevolgd wordt, rijzen er onvermijdelijk problemen.
Deel I van het leerboek omvatte de leerstof voor 75 lesuren en was ingedeeld volgens de seizoenen van het schooljaar. Het boek was een zeer praktische inleiding tot de botanica en had de bedoeling de scholier vertrouwd te maken met enkele essentiële begrippen en termen uit de Plantkunde:
EERSTE LEERJAAR: SEPTEMBER TOT FEBRUARI
Les 1: inleiding, iepentakken, ouderdom van bomen, reuzenbomen van Californië
Hoofdstuk 1 « Vormleer van het Blad »
Les 2: bladstanden
Les 3: nervatuur en insnijdingen
Les 4: het samengestelde blad
Les 5: algemene vorm der bladschijf
Les 6: verdere bijzonderheden
Hoofdstuk 2 « Varens, mossen, zwammen en wieren »
Les 7: varens
Les 8: mossen
Les 9: paddenstoelen
Les 10: schimmels, wieren en korstmossen
Hoofdstuk 3 « Levensleer der Planten »
A- Scheikundige inleiding
Les 11: scheikundige ontleding en verbinding
Les 12: zuurstof, verbranding, lucht
Les 13: verbranding van koolstof, koolzuur
B- De kringloop van de koolstof
Les 14: ademhaling is oxidatie
Les 15: de koolzuurassimilatie
EERSTE LEERJAAR: VAN EIND FEBRUARI TOT MIDDEN JULI
Hoofdstuk 4 « Vergelijkende studie der zaadplanten en Beginselen der Systematiek »
A- Inleiding
Les 16: de kastanje tak
B- De Orde der lelieachtigen
Les 17: het sneeuwklokje
Les 18 de tuin tulp
Les 19: de witte, paarse en gele krokus
Les 20: het lenteklokje
Les 21: de witte en gele narcis, de hyacint
Les 22: variëteiten, soorten, geslachten, families, systematiek, samenvatting orde der lelieachtigen
Les 23: de binaire nomenclatuur, determineertabellen
Les 24: andere lelieachtigen
C- De Orde der nootjesdragers
Les 26: de smeerwortel
Les 27: het vergeet-mij-nietje, het longkruid
Les 28: de hondsdraf, een samenvatting
Les 29: de witte dovenetel
Les 30: de orde der nuculiferen, overzicht der ruwbladigen en lipbloemigen
D- De Orde der personaten of maskerbloemigen
Les 31: het helmkruid schichtprobleem-
Les 32: het helmkruid bloem-
Les 33: het vingerhoedskruid
Les 34: andere helmkruidachtigen
Les 35: andere helmkruidachtigen vervolg- waarde van de orden, samenvatting helmkruidachtigen
Les 36: overzicht van het natuurlijk stelsel
Les 37: terugblik, ranken, dorens
TWEEDE LEERJAAR: SEPTEMBER
E- Herfst voor het plantenrijk
Les 38: bollen, knollen, knoppen
Les 39: zaden
Les 40: verspreidingsmiddelen van vruchten en zaden
Hoofdstuk 5 « Levensleer der Planten (vervolg van hoofdstuk 3) »
C- As bestanddelen
Les 41: meststoffen (kunstmest en stalmest)
TWEEDE LEERJAAR: MAART TOT MIDDEN JULI
Hoofdstuk 6 « De morfologische waarde van knol, bol en bloem »
Les 42: de winterakoniet
Les 43: de krokusknol
Les 44: bol van het sneeuwklokje, bouw en levensloop van de bol en de gehele plant
Les 45: morfologische waarde van de bloem
Les 46: morfologische waarde van de vrucht
Les 47: het onderstandige vruchtbeginsel
Les 48: terugblik, morfologie, biologie en ecologie
Hoofdstuk 7 « Overzicht van het Plantenrijk »
Les 49: overzichtstabel
Les 50: paardenstaarten en wolfsklauwen
Les 51: naaldbomen
Les 52: orde der lelieachtigen
Les 53: familie der grassen, gramineae
Les 54: familie der muurachtigen, caryophyllaceae
Les 55: familie der boterbloemachtigen, ranunculaceae
Les 56: familie der papaverachtigen, papaveraceae
Les 57: familie der kruisbloemigen, cruciferae
Les 58: familie der viooljesachtigen , violaceae
Les 59: familie der ooievaarsbekken of geranaceae
Les 60: familie der malveachtigen, malvaceae
Les 61: orde der Rosifloren: families der roosachtigen (rosaceae) der amandelachtigen (amygdalaceae), der appelachtigen (pomaceae)
Les 62: familie der vlinderbloemigen, papilionaceae
Les 63: familie der schermbloemigen, umbelliferae
Les 64: orde der Buisbloemigen (Tubiliferae)
Les 65: orde der maskerbloemigen of personaten
Les 66: familie der nachtschaden, solanaceae
Les 67: familie der helmkruidachtigen of scrophularaceae
Les 68: orde der Nootjesdragers of nuculiferen
Les 69: familie der samengesteldbloemigen of composieten
(Hoofdstuk 11 "Natuurwetenschappen in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 11.3 Elementaire Dierkunde met Ritzema Bos
Ook voor wat de Dierkunde betrof kon het anders Het volstond om even over de landsgrenzen te kijken en i.h.b. naar Nederland. Zo was er bvb het tweedelig « Leerboek der Dierkunde » van Jan Ritzema Bos en Hemmo Bos. Ritzema Bos was een bekend botanicus en zoöloog en grondlegger van de plantenziektekunde in Nederland (1) ; zijn broer Hemmo Bos was hoogleraar in Wageningen. Het eerste deel van dit leerboek was bestemd voor de lagere humaniora, en voornamelijk gewijd aan de gewervelde dieren. Dit deel omvatte ook een summiere samenvatting van de menselijke fysiologie en anatomie. Het tweede deel, bestemd voor de hogere humaniora (zie blog II), was in hoofdzaak gewijd aan de ongewervelde dieren. Een tweede gedeelte van dit laatste deel ging dieper in op de humane fysiologie.
Zoals het « Leerboek der Plantkunde » van Eildert Reinders vormde het leerboek van Ritzema Bos een introductie tot de Dierkunde vandaar de term « Elementaire Dierkunde », wat hier « Beginselen der Dierkunde » betekent. Deze elementaire dierkunde vormt dan de eerste winding in de didactische spiraal: elementaire dierkunde → algemene dierkunde → fundamentele dierkunde , deze laatste twee windingen zijn in wezen exclusief voorbehouden aan het hoger onderwijs (zie blog III en IV).
Ziehier nu een overzicht van de inhoud van boek I van het Leerboek der Dierkunde:
- Deel I Het Menselijk Lichaam
Hoofdstuk 1 « Inleidende beschouwingen »
Hoofdstuk 2 « Het geraamte of skelet »
§1 de beenderen van de romp §2 het skelet van de ledematen §3 de schedelbeenderen
§1 algemeenheden §2 het tandstelsel §3 de andere delen van het darmkanaal
Hoofdstuk 5 « Ademhaling »
§1 betekenis van de ademhaling §2 de luchtwegen §3 de ademhalingsbewegingen §4 het strottenhoofd
Hoofdstuk 6 « Bloed en bloedsomloop »
§1 het bloed §2 de bloedvaten §3 het hart §4 de bloedsomloop §5 lymfe en lymfvatenstelsel
Hoofdstuk 7 « De Uitscheiding »
Hoofdstuk 8 « De Huid »
§1 bouw van de huid §2 de warmteregeling door de huid
Hoofdstuk 9 « Het Zenuwstelsel en de Zintuigen »
§1 de zintuigen §2 het zenuw stelsel §3 de centrale delen
- Deel II De Gewervelde Dieren
Inleiding
Hoofdstuk 1 « De Klasse der Zoogdieren of Mammalia »
§1 loopwijzen der zoogdieren (zoolgangers, teengangers, hoefgangers) §2 voedingswijzen der zoogdieren (vleeseters of carnivoren, planteneters of herbivoren, alleseters of omnivoren) §3 de mens als zoogdier §4 orde der apen of Simiae (apen van de Oude wereld of Smalneuzen of Catarrhinae, apen van de Nieuwe Wereld of Breedneuzen of Platyrhini) §5 orde der halfapen of Prosimiae §6 Orde der roofdieren of Carnivora : onder-orde der landroofdieren (Carnivora fissipedia) : voorbeeld van kat en hond, familie der katachtigen of felidae, familiie der hyena-achtigen of hyaenidae, familie der marterachtigen of mustelidae , familie der hondachtigen of canidae , familie der beerachtigen of ursidae, betekenis der roofdieren §7 Orde der roofdieren of Carnivora : onder-orde der zeeroofdieren: algemene kenmerken, familie der zeehonden of phocidae, familie der walvisachtigen of cetacea (tandwalvissen, baardwalvissen) §8 groep der hoefdieren: orde der onevenhoevigen of perissodactyla (familie der tapirs of tapiridae, familie der neushorens of rhinocerotidae, familie der paardachtigen of equidae §9 groep der hoefdieren: orde der evenhoevigen of artiodactyla (a- onderorde der vierhoevigen of niet-herkauwers bvb varkens en nijlpaarden b- onderorde der tweehoevigen of herkauwers: familie der kameelachtigen camelidae-, familie der girafachtigen giraffidae-, familie der hertachtigen cervidae-, familie der holhoornigen cavicornia-) §10 Orde der slurfdieren of Proboscidea §11 Orde der zeekoeien of Sirenia §12 Orde der knaagdieren of Rodentia: familie der haasachtigen, familie der eekhoornachtigen, familie der bevers, familie der muisachtigen §13 Orde der aardvarkens of Tubulidentata §14 Orde der schubdieren of Pholidota §15 Orde der tandarme dieren of Xenarthra §16 Orde der handvleugeligen of Chiroptera §17 Orde der insecteneters of Insectivora §18 Orde der buideldieren of Marsupialia §19 Orde der vogelbekdieren of Monotremata
§1 algemeenheden over vogels : het uiterlijk voorkomen, de veren, het ruien, het skelet, het darmkanaal, het voedsel, ademhaling, bloedsomloop, zenuwstelsel en zintuigen, de zang, het vliegen, snelheden, hoogten, afstanden, voortplanting, het broeden, nestbouw, verblijf der vogels, de systematiek der vogels
ONDERKLASSE BORSTKAMVOGELS OF CARINATAE
§2 Orde der Zangvogels of Passeriformes (familie der zwaluwen (hirundinidae), familie der zangers (sylviidae), familie der lijsters (turdidae), familie der winterkoninkjes (troglodytidae), familie deer klauwieren (lanidae), familie der kraaien (corvidae), familie der paradijsvogels, familie der wielewalen (oriolidae), familie der spreeuwen (sturnidae), familie der vinken (fringillidae), familie der wevers (plocidae), familie der honingzuigers (nectarinidae), familie der mezen (paridae), familie der kwikstaarten (montacillidae), familie der leeuweriken (alaudidae)) §3 Orde der Scharrelvogels of Coracciiformes (familie der ijsvogels (alcedinidae), familie der hoppen (upupidae), familie der uilen (strigidae), familie der nachtzwaluwen (caprimulgidae), familie der gierzwaluwen (macropterygidae), familie der colibris (trochilidae), familie der spechten (picidae) §4 Orde der Koekoekvogels of Cuculiformes §5 Orde der Pleviervogels of Charadriiformes (familie der plevieren (charadriidae), familie der meeuwen (laridae), familie der alken (alcidae), familie der duiven (columbae)) §6 Orde der Kraanvogels of Gruiformes §7 Orde der Hoendervogels of Galliformes §8 Orde der Valkvogels of Falconiformes (familie der condors (cathertidae), familie der gieren (vulturidae), familie der valken (falconidae)) §9 Orde der Gansvogels of Anseriformes §10 Orde der Ooievaarachtigen of Ciconiiformes (familie der roeivoetigen of steganopodes, familie der reigers of ardeae, familie der ooievaars of ciconiae, familie der flamingos §11 Orde der Stormvogels of Procellariiformes §12 Orde der Pinguinvogels of Spheniciformes §13 Orde der Duikervogels of Colymbiformes
ONDERKLASSE DER BORSTKAMLOZE OF RATITAE (LOOPVOGELS)
§14 familie der struisvogels §15 familie der nandoes §16 familie der kiwis §17 moa en Madagascar- struis §18 de oervogel of Archaeopteryx
Hoofdstuk 3 « De Klasse der Kruipende Dieren of Reptilia »
§1 algemeenheden: skelet, voedsel, gebit, spijsverteringsorganen, ademhaling, hart, bloedsomloop en stofwisseling, de huid, zenuwstelsel en zintuigen, voortbeweging, voorkomen, fossiele reptielen §2 orde der krokodillen of crocodilia: beschrijving, soorten §3 orde der schildpadden of testudinata: beschrijving, soorten §4 orde der hagedissen: beschrijving, soorten §5 orde der slangen: beschrijving en kenmerken, enkele soorten
Hoofdstuk 4 « De Klasse der Tweeslachtige Dieren of Amphibia »
§1 de bruine kikvors (rana temporaria): uiterlijk en levenswijze, gedaantewisseling of metamorfose, inwendige bouw (skelet, bloedsomloop, ademhaling, darmkanaal, zenuwstelsel en zintuigen) §2 orde der kikvorsachtigen of staartloze amfibieën (anura): kenmerken, enkele soorten §3 orde der salamanderachtigen of staart amfibieën (urodela): enkele soorten §4 orde der wormsalamanders (gymnophiona)
§1 de karper (cyprinus carpio): lichaamsvorm, voortbeweging en vinnen, de huid, kieuwen en ademhaling, overige uitwendige kenmerken, skelet, spierstelsel, hart en bloedsomloop, darmkanaal en voedsel, zwemblaas, zenuwstelsel en zintuigen, nieren, voortplanting, systematiek der vissen
ONDERKLASSE DER ECHTE VISSEN OF EUICHTYES
§2 Orde der longvissen of Dipnoï §3 Orde der Beenvissen of Telestosteï : familie der haringen of clupeidae, familie der zalmen of salmonidae, familie der karpers of cyprinidae, familie der snoeken of esocidae, familie der stekelbaarsjes of gasterosteidae, familie der troskieuwigen of lophobranchii, familie der gepen of scombresocidae, familie der schelvissen of gadidae, familie der baarzen of percidae, familie der makreelachtigen of scombridae, familie der platvissen of pleuronectidae, familie der knorhanen of triglidae, familie der vastkakigen of plectognathi, familie der lantaarnvissen of anomalopidae §4 Orde der Glansschubbigen of Ganoïdei: de steur §5 Orde der Kraakbeenvissen of Selachiï: familie der haaien of squalidae, familie der roggen of rajidae
§ 12.1 Over de Rijksmiddelbare School te Brugge ...
(Hoofdstuk 12 "Arithmetiek en Algebra in het Hoger Primair Onderwijs")
§ 12.1 Over de Rijksmiddelbare School.. te Brugge
Sinds mijn prille jeugd bezit ik twee oude schoolboeken waarvan de oorsprong mij toch wat duister en geheimzinnig leek. Het waren « Cours de Physique E.P.S. » en « Cours de Chimie E.P.S. » van P. Métral en ze dateerden van juist na WOI. Ik had ze gevonden op zolder en mijn vader had deze boeken nog gebruikt, maar in welke school? Mijn vader sprak maar heel zelden over zijn jeugd en het was maar eerst na zijn overlijden dat ik mij rekenschap gaf van het feit dat hij zijn jeugd had doorgebracht op de schoolbanken van de Rijksmiddelbare School te Brugge
In het Brugs Ommeland (1) orgaan van de Heemkundige Kring -Maurits Van Coppenolle- was er regelmatig sprake van deze school en ook nog van de school van een zekere Meester Brans, die in de Hollandse periode (en ook daarna) in het Brugse een belangrijke rol heeft gespeeld. Dit bracht mij op het idee om toch maar even na te gaan hoe het er aan toeging in de Rijksmiddelbare school (de zogenaamde Ecole Moyenne) te Brugge en dit vóór en juist ná WOII.
In 1950 had de Rijksmiddelbare school nu haar honderdjarig bestaan gevierd en bij deze gelegenheid ook een Gedenkboek uitgegeven (zie ikoon). Met veel moeite kon ik via Internet een exemplaar vinden want slechts verspreid in een oplage van 750 genummerde exemplaren. Dit Gedenkboek van amper 87 paginas bracht mij terug naar de 19de eeuw en de eerste helft van de 20ste eeuw (o.m. naar de oorlogsjaren) en bevatte enkele erg interessante oorlogsgegevens en feitenmateriaal. De feitjes uit de oorlogsperiode en de periode onmiddellijk daarna riepen bij mij allerlei mooie en minder mooie herinneringen op, die ik ditmaal echter in een juist perspectief en daglicht kon plaatsen.
Andere gegevens hadden vanzelfsprekend betrekking op de historiek van de Ecole Moyenne - zelf en hoe deze uit de Ecole Supérieur du Gouvernement was ontstaan. Verder waren er nog gegevens over het lerarenkorps en de aard van het gegeven onderricht. Het zijn de gegevens over de aard van het onderwijs in de Rijksmiddelbare school die mij duidelijk hebben gemaakt dat ik inderdaad de eerste winding van de didactische spiraal inzake wiskunde- en wetenschapsonderwijs had gemist (zie voorgaande cursiefjes) en dat het inderdaad ook anders had gekund.
* * *
Maar laat ik het eerst hebben over de omstandigheden, die het dagelijkse leven in en onmiddellijk na de oorlog beheersten.
In het Gedenkboek (p.65) kwam er nu een zekere Michel Van Poucke voor, die als studiemeester aan de Ecole Moyenne was verbonden. Hij woonde in de villa Reigersvliet op de hoek van de Bloemenstraat en Weidestraat op amper 100 m van ons huis. Als reservecommandant was hij een belangrijke figuur in het Verzet (Geheim Leger) in West-Vlaanderen (2) .
Hij was immers medeoprichter en sectorbevelhebber van het Geheim Leger en blijkbaar nauw bevriend met mijn vader, vooral tijdens de oorlog. Wat niet verwonderlijk was: beiden hadden immers dezelfde school bezocht. Michel Van Poucke ontsnapte als bij mirakel aan de klauwen van de G.F.P. en heeft blijkbaar ook een rol gespeeld bij de operatie Ramrod 934 in de volksmond beter bekend als Het bombardement van Sint Michiels.
Het was in deze Brugse randgemeente dat de bezetter een spionagebasis had opgericht in het nu verdwenen kasteel Ter Linden. Deze basis telde zon 330 man en hing rechtstreeks af van het Oberkommando der Marine (OKM) te Berlijn en stond in dienst van de Abwehr. De basis stond onder het bevel van korvettekapitein Ernst Jäckel die na zijn bevordering in mei 1942 tot Chef van de Inlichtingendienst van de Marine werd opgevolgd door fregatkapitein Lothar von Heimburg. Op de basis luisterden de Duitsers berichten af en decodeerden ze. Er werden ook goniometrische radiopeilingen uitgevoerd met behulp van een Adcockpeiler. Grootadmiraal Karl Dönitz bracht er in 1943 een bezoek. De basis bestond uit het kasteel Ter Linden, een aantal bunkers, barakken en 2,6 km loopgraven. Het bombardement gebeurde ter voorbereiding van de landing te Normandië op 6 juni 1944. Bij het bombardement kwamen 40 burgers en 19 Duitsers om het leven en vielen tientallen gewonden (3) .
Het bombardement gebeurde in twee raids, één rond de middag en één in de vroege avond op pinksterzondag 28 mei 1944. Hiervoor zette men 202 vliegtuigen in waarvan 155 toestellen het doelwit bereikten en ca 192 ton bommen afwierpen. Een tweede raid was echter noodzakelijk, want het Verzet dacht dat de eerste raid het doel gemist had, wat achteraf niet juist is gebleken. Het was tijdens de tweede raid ramptoerisme- dat de meeste burgerslachtoffers vielen (32 doden). Mijn vader vertelde later, dat hij bepaalde personen had gewaarschuwd om toch maar niet naar het gebombardeerd gebied te gaan. Wist hij dan dat er een tweede raid onderweg was?
Eén van die bommen werd nog in december 2005 bij graafwerken in de omgeving aantroffen en is afkomstig van deze raids. Het is deze bom, die men nu bij de nog bestaande bunker geplaatst. Sinds september 2006 doet deze bunker dienst als bezienswaardigheid.
Zelf herinner ik mij ik was toen 5 jaar oud- nog zeer goed dit bombardement omdat mijn moeder in de grootste paniek verkeerde en ons bij de eerste bominslagen eerst naar de kelder stuurde, vervolgens onder de tafel deed kruipen, dan onder de buffetpiano Ons huis daverde op zijn grondvesten en de luchtverplaatsing deed al de ruiten derwijze trillen dat het een mirakel was dat ze het niet begaven. Het doelwit was immers in vogelvlucht slechts een goede 2 km van ons huis verwijderd. In feite stond mijn moeder er op die dag alleen voor, want mijn vader was afwezig. Achteraf beschouwd vond ik het wel vreemd dat mijn vader op dit ogenblik (Sinksenmiddag!!!) niet thuis was
Aansluitend op het oorlogsgebeuren werden in het Gedenkboek ook nog twee plechtigheden vermeld: de inhuldiging van het Pro Patria- monument op 17 september 1947 en de teraardebestelling op 14 januari 1947 van het stoffelijk overschot van de leerlingen José De Wit en Norbert Achte, overleden te Wolfenbüttel respectievelijk 7 november 1944 en 4 mei 1945. De lijkredes werden uitgesproken door de Directeur van de School de Heer Kesteloot en door.. de Heer Julien Paret.. de vader van mijn oude speelkameraad Eddy Hij was immers lid van het O.F. , waarvan ook beide slachtoffers lid waren.
Zoals in een vorig cursiefje « » vermeld, woonde Eddy in mijn straat en natuurlijk waren zijn en mijn vader goede kennissen want.. beiden hadden banden met de Rijksmiddelbare school! Of de Heer Paret-zelf als leerling op de banken van de Ecole Moyenne had gezeten weet ik niet. Wat ik mij nog van Eddys vader herinner was, dat hij een zware hoornen bril droeg, wat hem een buitengewoon streng uiterlijk gaf. Was dat om zijn leerlingen (hij gaf wiskunde!!) ontzag in te boezemen??
* * *
Een andere figuur, die in het Gedenkschrift voorkwam was Frans Ramon, alias Boschvogel (4) . Boschvogel was een bekende volkse schrijver en had een vruchtbare pen. Talloze boeken heb ik van hem gelezen o.m. Willem van Loo, boek dat in de Reinaert-reeks verschenen was. Ik vermoed dat hij de hoofdauteur was van het Gedenkboek.
0
1
2
3
4
5
- Gemiddelde waardering: 0/5 - (0 Stemmen) Tags:R.M.S. Brugge, Michel Van Poucke, operatie Ramrod
04-09-2010
§ 12.2 Over Systematische Encyclopedieën ...
(Hoofdstuk 7 "Arithmetiek en Algebra in het Hoger Primair Onderwijs")
§ 12.2 Over Systematische Encyclopedieën...
Op het einde van de jaren veertig had mijn vader een nieuwe encyclopedie gekocht de E.N.S.I.E. (acroniem voor Eerste Systematische Ingerichte Encyclopedie), en dit oeuvre zal vanaf het zevende studiejaar een belangrijke rol spelen in mijn leven. Deze encyclopedie had mijn vader speciaal gekocht voor zijn schoolgaande kinderen en i.h.b. voor mijn oudste broer.
Maar vanaf Saint Louis, beschouwde ik mijzelf nu ook als schoolgaand en dus maakte ik ook meer en meer gebruik van deze nieuwe bron van informatie. De E.N.S.I.E. dateerde van 1949-1950 en was in wezen niet echt bestemd voor scholieren!!
Een systematisch ingerichte encyclopedie is opgebouwd uit een reeks uitgebreide overzichtsartikels, die echte inleidingen vormen in de grote gebieden van wetenschap en cultuur. Een dergelijke encyclopedie onderscheidt zich van een alfabetische zoals de Oosthoeks- encyclopedie bvb doordat de diverse onderwerpen van een bepaald gebied in een samenhangend geheel worden ingebed en de lezer aldus een globaal en dieper inzicht kan verwerven in het gekozen gebied.
Een andere systematische encyclopedie speciaal bestemd voor scholieren vormde bvb de « Sesam Systematische Encyclopedie ». Maar die zag eerst maar het licht in de jaren 1957-1962 bij de bekende uitgeverij Het Spectrum. Een duidelijk bewijs dat er wel een behoefte was aan een systematische encyclopedie, ook voor scholieren.
Wat zit die nu nog te bazelen over encyclopedieën !! hoor ik enkele bloglezers grommelen: Wij hebben nu veel beter wij hebben Internet en Wikipedia !! En inderdaad er is Wikipedia, een schitterend en uiterst waardevol initiatief. Sommigen trachten Wikipedia te herleiden tot een encyclopedie van tweede zo niet derde orde want opgesteld door zo wat iedereen ook door Jan met de pet. Diegene, die nu zo iets durven beweren hebben nooit enig artikel voor Wikipedia geplengd of geschreven.
Vooreerst moet ieder artikel uitvoerig gerefereerd zijn, liefst met referenties, die evenzeer via Internet toegankelijk zijn. Bovendien heeft Wikipedia het enorme voordeel te werken met diverse redacteurs uit verschillende landen waardoor meerdere meningen tot uiting komen in plaats van slechts één bepaalde ex cathedra opinie. Wat wel degelijk het geval is in een klassieke encyclopedie. Indien u echter een Wikipedia-artikel in het Nederlands raadpleegt, vergeet nooit hetzelfde onderwerp ook eens na te lezen in Wikipedia (Frans, Engels, Duits..). Tenminste als u objectiviteit op prijs stelt .
Maar dit betekent dan toch die klassieke alfabetische encyclopedieën, die veelal als een kostelijk sieraad in een eiken- of mahonie-houten bibliotheek opgeslagen werden tot het verleden behoren !!?? Zo LIJKT de situatie wel en velen ontdoen zich van hun veelal op afbetaling gekochte encyclopedie voor een prikje. Enkele jaren terug heb ik mij zo in Damme bij een tweedehandsboekhandel een Standaard Encyclopedie in perfecte staat kunnen aanschaffen aan 1 per deel !!
Vergeet echter nooit dat een klassieke encyclopedie een momentopname is van wat men op een bepaald ogenblik over een bepaald onderwerp dacht en juist om deze reden ook erg waardevol is. Anderzijds is er een groot verschil in opvatting tussen een systematische en een gewone encyclopedie. Eerstgenoemde encyclopedie geeft een totaal beeld van en algemeen inzicht in een wijd vakgebied bvb wis- of natuurkunde.
Maar terug naar de E.N.S.I.E. Bij het openslaan van Deel IV, dat handelde over wiskunde, natuurkunde, scheikunde en sterrenkunde (allemaal zaken, die mij wel boeiden) botste ik hierbij onmiddellijk op de bekende kopergravure van Albrecht Dürer Melencolia (1514), volgens veler opvatting een zinnebeeld van het wiskundig - technisch denken. Ik heb in mijn jeugdjaren deze prachtige afbeelding talloze keren bekeken en was toen diep onder de indruk van het tovervierkant dat gesponnen is rond het jaartal 1514, jaar waarin Dürer deze plaat etste. Een tovervierkant heeft als eigenschap dat de som van iedere rij en iedere kolom hetzelfde getal geeft.
Als ik nu echter na zovele jaren deze afbeelding bekijk, overvalt mij deze stille weemoed, deze melencolia waarop de kunstenaar zinspeelde. Laat deze kopergravure dan ook het ikoon zijn van dit cursiefje.
Daar in ons huisgezin zich nu niemand voor deel IV interesseerde, beschouwde ik dit volume als mijn persoonlijk bezit en kreeg dit deel een ereplaats in mijn piepkleine bibliotheek. Mijn interessegebied was in die dagen « Wiskunde » want ik worstelde met een voor mij erg nijpend probleem: want wat is nu het precieze onderscheid tussen rekenkunde en algebra? De oorsprong van dit probleem lag bij mijn klein dispuut met Meester Berghmans, die mij verboden had algebraïsche methodes (vergelijkingen) te gebruiken bij het oplossen van "rekenkundige" vraagstukken. Algebra??? Ik wist niet eens wat dit woord betekende. Later kwam ik te weten dat een zekere Newton Algebra had gedefinieerd als « Universele Rekenkunde » en dat het strakke onderscheid tussen algebra en rekenkunde dat toen op grond van didactische redenen opgelegd was, pure onzin was.
Het herhaaldelijk doorbladeren van het meer dan honderd bladzijden tellende artikel Wiskunde van Prof. J.C.H. Gerretsen in de E.N.S.I.E. leverde voor mij in het begin echter weinig (eufemisme) interessants op, behalve dan een paar inktvlekken op enkele paginas, een bewijs van mijn onverdroten ijver en inspanningen.
Het overzichtsartikel van Gerretsen (1) , artikel dat overigens niet eens definieerde wat wiskunde eigenlijk is (2), was onderverdeeld in 10 rubrieken, die de diverse gebieden of disciplines van de wiskunde beschreef en afbakende: 1-wiskundige logica en axiomatiek, 2- getalbegrip, 3- elementaire en analytische meetkunde, 4- groepentheorie en abstracte algebra, 5- infinitesimaalrekening, 6- differentiaal- en integraalvergelijkingen, 7- algebraïsche meetkunde en topologie, 8- getallenleer, 9- praktisch rekenen, 10- kansrekening en statistiek.
Natuurlijk waren het overgrote deel van de rubrieken voor mij je reinste chinees maar andere waren ergens wel iets verhelderend.
Zo bevond ik mij met rubriek 2 bvb (Het getalbegrip) op minder maagdelijk terrein, daar hier gesproken werd over natuurlijke getallenen hun eigenschappen. Na een goed verstaanbare inleiding had Gerretsen het over volgende onderwerpen: de getallenrechte, de optelling der reële getallen, de ordening der reële getallen, de natuurlijke getallen, de definitie door volledige inductie,talstelsels, de gehele getallen, continuïteit, deling door een natuurlijk getal, rationale getallen, de vermenigvuldiging der reële getallen, de irrationale getallen, oneindige voortlopende g-delige breuken, complexe getallen, oneindige cardinaalgetallen, ordinaalgetallen, het keuzepostulaat en de transfiniete transductie.
Een aantal van die onderwerpen had ik al bij meester Hillewaert, bij Meester Berghmans of bij de Oosthoeks ontmoet. Andere zoals bvb de getallenrechte en de reële getallen zou ik in de lagere humaniora, nog andere zoals de irrationale en complexe getallen (althans een eerste benadering) in de hogere humaniora, en uiteindelijk de laatste onderwerpen eerst ná de humaniora ontmoeten.
Ook in de rubrieken 8 (Getallenleer)en 9 (Praktisch Rekenen) vond ik tot mijn grote voldoening enkele begrippen, die wij nog bij Meester Hillewaert gezien hadden, terug: o.m. priemgetal, GGD en KGV en de hoofdstelling uit de Rekenkunde, de bekende canonieke ontbinding in factoren. Ik verwachtte er mij dus al aan dat de Arithmetiek van het secundair onderwijs, behoudens wat stellingen over priemgetallen ook enkele beginselen van de getallentheorie, waarover een Gerretsen het zo uitvoerig had, zou bevatten. Dit was uiteraard het geval, maar deze theorie beperkte zich tot de meetbare d.i. de gebroken en gehele getallen.
Ter vergelijking, het overzichtsartikel uit de Sesam Encyclopedie van de hand van H. J. A. Duparc (3) bevatte slechts 6 rubrieken: 1- Het wiskundig denken, 2- Getallen en hun eigenschappen, 3- Rechthoekige driehoeken en nieuwe getallen, 4- Over grenswaarden, 5- Kegelsneden, 6- De leer van het toeval. Het viel mij op dat deze rubrieken met veel minder woordenomhaal geschreven waren en heel wat precieze en verstaanbare informatie verstrekten zonder daarom aan wiskundige exactheid in te boeten.
De rubriek 2 (getallen en hun eigenschappen : het tellen, het getalschrift, het rekenen met getallen, de negatieve getallen en de breuken, priemgetallen, het dyadisch of duale talstelsel en rekenmachines en de rubriek 3 (rechthoekige driehoeken en nieuwe getallen : oppervlakken, de stelling van Pythagoras, irrationele (of onmeetbare) getallen, logaritme en rekenschuif, de trigonometrie vond ik absoluut verstaanbaar zelfs voor iemand uit de lagere humaniora.
Ook beschouw ik de rubrieken 4 (grenswaarden : functies en hun grafische voorstellingen, grenswaarden en sommen, differentiaalrekening, integraalrekening) 5 (kegelsneden : cirkels en ellipsen, de kegelsneden, de snij- figuren apart, de vergelijkingen der kegelsneden, transformaties en groepen) en 6 (de leer van het toeval : het begrip waarschijnlijkheid in de wiskunde, de levensverzekering, samengestelde waarschijnlijkheden, de foutenwet») tot het beste wat ooit in het Nederlands voor scholieren over deze moeilijke onderwerpen geschreven is. Maar zoals al opgemerkt verscheen de Sesam encyclopedie ná mijn humaniorastudies..
Met de jaren drong het dan ook tot mij door, dat er op het overzichtsartikel Wiskunde in de E.N.S.I.E. -ofschoon misschien een tour de force van hoog niveau- heel wat aan te merken viel op het gebied van « gebruiksvriendelijkheid ». Dit had wellicht wat te maken met de ijdelheid van de schrijver. Wat er ook van aan was, voornoemd overzichtsartikel heeft in mijn leven wel een belangrijke rol gespeeld, want het liet mij toe mijn, de met de jaren geleidelijk verworven, wiskundekennis voortdurend te testen en te toetsen.
(wordt voortgezet)
---------------------------
(1) ) J.C.H. Gerretsen (1907-1983) was eerst leraar aan een gymnasium en later hoogleraar hogere meetkunde van 1946 tot 1977 aan de Universiteit van Groningen. Hoe enkele oud-leerlingen over hem dachten?
Kleurrijk, wordt hij genoemd, met zijn vlinderdasje en zijn smetteloze kleren. Parmantig, al kon hij heel scherp zijn. Maar ook vreselijk ijdel en theatraal. Hij leefde in een droomwereld, vertelt oud-wiskundestudent H.J. Buurema. Hij gaf college alsof hij voor de Akademie van Wetenschappen stond. Heel plechtig, met veel moeilijke woorden en weidse gebaren. Veel mensen konden daar niet tegen, maar hij kon het niet laten. Gerretsen leefde met zijn hoofd in de wolken.
.Hij vond van zichzelf dat hij college moest kunnen geven zonder al te veel aantekeningen, denkt D. Kleima, die vanaf 1947 bij hem studeerde. Maar dat ging lang niet altijd goed. Dan dacht hij: dat vertel ik zo wel even. Hij kwam er niet meer uit en het college ontaardde in een leuterpartij.
Blijkbaar was hij toch niet de ideale figuur om een overzichtsartikel voor een encyclopedie te schrijven???
(2) Volgens de Standaard Encyclopedie -1980- is het niet mogelijk een strenge definitie van de wiskunde te geven; zij kan alleen via haar historische ontwikkeling worden gedefinieerd. De « Encyclopédie thématique Universalis -2005- » definieert in een zeer uitvoerig artikel getekend Jean-Marie Pruvost-Beaurain wiskunde als volgt: « La mathématique est une science hypothético-déductive qui, en développant un langage autonome, élabore et étudie des notions abstraites liées les unes aux autres et souvent capables de fournir des modèles et des processus opératoires permettant de mieux comprendre de nombreux aspects du monde observable, en particulier lorsque peuvent être invoquées des idées de quantité, de forme et de partie de quelque chose ».
(3) Herman Johan Arie Duparc (1918-2002) was geboren te Amsterdam, promoveerde aldaar in 1953 tot doctor in de wis- en natuurkunde op het onderwerp Divisibility Properties Of Recurring Sequences. Zijn laatste stelling bij dit proefschrift luidde: «Het is aan te bevelen dat bij het gymnasiaal onderwijs enige tijd wordt gewijd aan de behandeling van een gedeelte van de Elementen van Euclides aan de hand van de Griekse tekst». Herman Duparc was van 1956 tot zijn emeritaat in 1984 hoogleraar in de Zuivere en Toegepaste Wiskunde en de Mechanica. Hij was niet alleen een enthousiast en toegewijd docent en promotor, jarenlang gaf hij ook met onverdroten ijver leiding aan het wiskunde-onderwijs voor alle studenten van de Technische Universiteit Delft. Duparc werd vanwege zijn betrokkenheid door studenten ook nog jaren na zijn officiële afscheid op handen gedragen. Tot het laatst onderhield hij met hen maar ook met zijn universiteit via vele voordrachten en lezingen nog intensief contact. Duparc was bijkans verslaafd aan getallen en cijferreeksen. Het feit dat hij zich in zijn lange wetenschappelijk carrière uitvoerig met recursies in de (numerieke) wiskunde heeft bezig gehouden zal daaraan niet vreemd zijn. Maar Duparc was meer dan alleen een van wiskunde en getallen bezeten mens. Ironie was een ander trefzeker wapen waarvan deze gedreven, aimabele leermeester zich graag bediende. Zijn krijgsgevangenschap in het voormalig Nederlands Indië en Oost-Azië, waar hij eigenlijk nooit terecht had willen komen, had hem - zo zei hij ooit - gemaakt tot mijnbouwer tegen wil en dank en toen de atoombom in 1945 zijn Japanse overheersers tot capitulatie dwong schreef Duparc aan intimi dat mijn leven andermaal gered is door de natuurwetenschap, zou men kunnen zeggen.
(Hoofdstuk 12 "Arithmetiek en Algebra in het Hoger Primair Onderwijs")
§ 12.3 Spelen met Getallen
In 1952, maar het kan ook best 1953 geweest zijn, leende ik uit de bibliotheek van mijn vader een boekje met grijslinnen kaft dat als titel droeg « Spelen met Getallen ». De auteur was een zekere Fred Schuh (1) , de man die in de begeleidende ikoon van dit cursiefje een centrale plaats inneemt. In die jaren echter ging mijn belangstelling echter uit naar de geschriften van de auteur en nooit naar de auteur-zelf.
Eerst ná mijn humaniora zou ik merken dat mijn houding echt fout was. Het was immers deze Schuh, die in het interbellum al een resem merkwaardige boeken over arithmetiek, algebra, analyse en meetkunde had geschreven, maar daar had ik toen helemaal geen weet van. Toen ik mij op latere leeftijd, via tweedehandsboekhandels, de eerste exemplaren van deze boeken kon aanschaffen, drong het tot mij door, wat ik in feite gemist had. Maar dat is materie voor blog IV; terug eerst nu naar « Spelen met Getallen ».
De volledige titel van het boekje dat amper 197 paginas besloeg en dat voor het eerst in 1951 werd uitgegeven luidde: « Spelen met Getalleneen fascinerend boek voor jong en oud- ». Deze kleine monografie was opgedragen aan Schuhs kleinzonen Arnout, Martijn, Paul en Frederik en had als Kenspreuk De Taal van het Getal is de Taal van de Rede . Maar daar had ik al evenmin boodschap aan.
In de Inleiding schreef Schuh echter:
Zo komt het spreken (van het kind) tot stand en dan volgt al heel spoedig het tellen. De bedoeling van dit boekje is die belangstelling bij jonge mensen aan te wakkeren, door ze wat meer over het getal mee te delen dan de sommetjes, die ze op school hebben moeten maken. Een zeer grote rol speelt daar bij het talstelsel, een van de mooiste uitingen van het menselijk vernuft. Het is hoogst merkwaardig hoeveel puzzles en spelen op het begrip talstelsel berusten. Ik heb deze uiteraard niet alle kunnen bespreken, maar daaruit een keus moeten maken. Ik hoop dat die keus goed geweest is en dat dit boekje de belangstelling voor het talstelsel in het bijzonder en het getal in het algemeen helpt verhogen .
Getallen en Spelen daar had ik wel wat aan en dat was nu eens iets anders dan wat mij in het Lager Middelbaar van het Sint Lodewijkscollege voorgehouden en verteld werd. Een kijkje in de gedetailleerde inhoudstafel wekte onmiddellijk mijn nieuwsgierigheid op:
Hoofdstuk 1 Talstelsels (a- De namen der getallen b- Het geschreven tellen c- Het gesproken tellen d- nog iets over het uitspreken van getallen e- Het positionele systeem f- Het tientallige en het vijftallige stelsel g- Het rekenen van de ter dood veroordeelde koopman h- Tafels in een vreemd talstelsel i- Overgang op een ander talstelsel j- Kenmerken van deelbaarheid k- Onderlinge vergelijking der verschillende talstelsels l- De voordelen van het twaalftallige stelsel m- De historische ontwikkeling van ons talstelsel)
Hoofdstuk 2 Grote getallen (a- Grote getallen bij de Grieken b- Grote getallen bij de Voor-Indiërs c- De graankorrels op het schaakbord d- De cent van Adam e- Grote getallen zonder achtergrond f- Grote priemgetallen g- Oneindigheid van het aantal priemgetallen)
Hoofdstuk 3 Toverkaarten (a- De bedoeling van het kunstje b- Het nadoen met potlood en papier c- De eenvoudige toverkaarten d- Moeilijker toverkaarten e- Verband met het tweetallig stelsel f- Enkele moeilijke vragen g- Het wijzigen der toverkaarten door een code h- Aantal stellen van zes toverkaarten i- Verband tussen een code en de in d- besproken wijziging)
Hoofdstuk 4 Problemen verwant met toverkaarten (a- Eenvoudig kunstje met speelkaarten b- Verbetering van het kunstje met speelkaarten c- Gewichtenprobleem d- Drietallige gewichtendoos e- De tempel met de honderd schijven)
Hoofdstuk 5 Algemene beschouwingen over spelen (a- Intellect-spelen b- Puzzle-spelen c- Schaken en puzzelen d- Eenvoudig luciferspel e- Wijzigingen van het eenvoudige luciferspel f- Uitbreiding van het eenvoudige luciferspel g- Nog enkele luciferspelen h- Verband met volledige inductie)
Hoofdstuk 6 Het nimspel (a- De regels van het nimspel b- Enkele eenvoudige opmerkingen over het nimspel c- Enkele reeksen van winnende situaties d- Verband met het tweetallige stelsel e- Opmerkingen over de juiste speelwijze f- Doelmatigste manier van spelen g- Het nimspel met meer dan drie hoopjes h- Uitbreiding van het nimspel)
Hoofdstuk 7 Het verplaatsen van cijfers van een getal (a- De bijzonderheid waarom het gaat b- Getallenwonder uit de grafkelder te Ur c- De goddelijke verhouding en de grafkelder te Ur d- Verband met de repeterende breuken e- Verdere beschouwing der repeterende breuken f- Geval van een gegeven aantal repeterende cijfers g- Enkele voorbeelden van verplaatsing van cijfers)
Hoofdstuk 8 Tovervierkanten (a- Algemeenheden over tovervierkanten b- Het tovervierkant met 9 velden c- Oneven tovervierkanten d- Nadere beschouwing van het oneven tovervierkant van Taale e- Verdere bijzonderheden van het oneven tovervierkant van Taale f- Tovervierkanten met 16 velden g- Tovervierkant van de zon g- Tovervierkanten met 64 velden)
Hoofdstuk 9 Pythagoras en de Pythagoreërs (a- Enkele bijzonderheden over Pythagoras b- De leer van Pythagoras c- Even en oneven getallen d- Verdere beschouwingen over getallen e- De stelling van Pythagoras f- Getallen van Pythagoras g- Gnomons en getallen van Pythagoras)
In deze inhoudstafel heb ik de hoofdstukken en woorden, die mij toen als scholier onmiddellijk in het oog sprongen in het groen aangegeven.
Natuurlijk trokken de hoofdstukken over toverkaarten en tovervierkanten mijn onmiddellijke aandacht. Ik had immers al een eerste tovervierkant (2) ontmoet toen ik mij Deel IV van de E.N.S.I.E. toegeëigend had (zie cursiefje « Over Systematische Encyclopedieën.. en Wiskunde ». Ik had mij toen afgevraagd hoe men tot dergelijke curiosa kon komen. In « Spelen met Getallen » vond ik het precieze en zeer verstaanbare antwoord.
Ook het hoofdstuk over Pythagoras en de Pythagoreërs vond ik erg interessant want het bevestigde niet alleen wat een Meester Berghmans ons in het zevende studiejaar had verteld over de stelling van Pythagoras maar ik vernam nu ook wat voor een klepper die Pythagoras wel was geweest. De paragrafen over volkomen (3) en bevriende getallen, even en oneven getallen maakten mij ook duidelijk dat er over de natuurlijke getallen heel wat interessante zaken te vertellen waren waar in de scholen met geen woord over gerept werd.
Een ander merkwaardig hoofdstuk ging over de Grote Getallen. Vooral de paragraaf over de graankorrels op het schaakbord (4) is mij bijgebleven. Hier werd mij duidelijk tot welke grote getallen een bewerking als de machtsverheffing voert en vooral wat dergelijke getallen inhouden..
Wat ik verder vernam over het getallenwonder uit de grafkelder te Ur(5) en de gulden snede (hoofdstuk 7) sloeg mij echter met verstomming. Wat in dit kleine boekje werd medegedeeld was heel wat interessanter dan wat in de wiskundelessen in het Lager Middelbaar verteld werd. En dit was niet alleen in het college Saint Louis het geval .
Deze kleine monografie is werkelijk bepalend geweest voor mijn positieve houding t.o.v. de wiskunde en i.h.b. de Arithmetiek. Dit boekje is en blijft een aanrader voor iedere scholier met enige interesse voor getallen en spelletjes
(Hoofdstuk 12 "Arithmetiek en Algebra in het Hoger Primair Onderwijs")
§ 12.4 Arithmetiek met Henri Neveu (1928)
Ce livre est le développement du cours dArithmétique que je professe à lEcole Lavoisier dans différentes sessions, parmi lesquelles la division préparatoire aux écoles dArts et Métiers.
Les nouveaux programmes des écoles primaires supérieures (décret du 26 juillet 1909) nont apporté que de légères modifications à lédition précédente. Reconnaissant, en effet, lutilité de certaines théories, je les avais introduites dans les dernières éditions, et, sauf la théorie des erreurs relatives, ajoutée dans cette nouvelle édition, le livre ainsi publié était déjà conforme aux nouveaux programmes.
En étudiant ce cours, les élèves des différentes sections sont donc assurés dy trouver le développement de leurs programmes respectifs, et de pouvoir préparer avec succès les examens auxquels ils se destinent.
Jose espérer que les professeurs réserveront à cette nouvelle édition lexcellent accueil fait aux éditions précédentes.
Review
Content
- LIVRE I: NOMBRES ENTIERS
Préliminaires:
§1 idée de nombre entier §2 formation des nombres entiers §3 mesure dune grandeur §4 égalité et inégalité des nombres entiers §5 définition de larithmétique
Chapitre 1 « Numération »
§6 définition numération parlée et écrite §7 numération parlée §8 numération décimale §9 classes dunités §11 numération écrite §12 convention fondamentale §13 usage du chiffre 0 §14 ordre des unités §15 règle pour lire un nombre écrit en chiffres §16 valeur absolue et valeur relative dun chiffre § 17 chiffres romains §18 définitions et notation: théorème, hypothèse, conclusion
Chapitre 2 « Addition»
§ 19 idée de laddition définition somme §20 premier cas: addition de deux nombres dun seul chiffre §21 deuxième cas: addition dun nombre quelconque et dun nombre dun seul chiffre §22 cas général §23 théorème: la somme de plusieurs nombres est indépendante de lordre dans lequel on les ajoute §24 preuve de laddition
Chapitre 3 « Soustraction»
§25 idée de soustraction définition différence §26 premier cas: le plus petit des deux nombres na quun seul chiffre et la différence est inférieure à dix §27 deuxième cas: les deux nombres ont plusieurs chiffres mais les chiffres du plus petit nombre sont tous inférieurs aux chiffres exprimant des unités de même ordre dans le plus grand §28 cas général théorème §29 preuve de la soustraction §30 théorème I: pour retrancher dun nombre la somme de plusieurs nombres, il suffit de retrancher successivement toutes les parties de la somme §31 théorème II: pour ajouter à un nombre la différence de deux nombres, on ajoute à ce nombre le plus grand des deux autres nombres et du total obtenu on retranche le plus petit §32 théorème III: pour retrancher dun nombre la différence de deux autres nombres, on ajoute le plus petit des deux nombres et on retranche de cette somme le plus grand des deux nombres §33 complément arithmétique §34 usage du complément arithmétique §35 calcul mental
Chapitre 4 « Multiplication»
§36 idée de multiplication facteurs produit §37 définition: multiplication multiplicande multiplicateur §38 théorème: pour multiplier la somme de plusieurs nombres par un nombre, on multiplie chaque partie de la somme par le nombre et on additionne les résultats §39 conséquence §40 premier cas de multiplication: les deux facteurs nont quun seul chiffre §41 table de multiplication (Pythagore) §42 deuxième cas de multiplication: nombre de plusieurs chiffres par un nombre dun chiffre §43 troisième cas de multiplication: nombre de plusieurs chiffres par un nombre dun seul chiffre suivi de zéros §44 cas général: multiplication de deux nombres quelconques §45 cas particulier où les deux nombres sont terminés par des zéros §46 théorème sur le nombre des chiffres dun produit: le nombre des chiffres du produit de deux nombres est égal à la somme des nombres des chiffres des deux facteurs ou à cette somme diminuée de un §47 produit de facteurs §48 théorème I: un produit de facteurs ne change pas si lon invertit lordre des facteurs dune manière quelconque §49 preuve de la multiplication §50 théorème II: dans un produit de facteurs on peut toujours remplacer deux ou plusieurs facteurs par leur produit effectué §51 théorème III: pour multiplier un produit de facteurs par un nombre, il suffit de multiplier un seul des facteurs par ce nombre §52 théorème IV: pour multiplier un nombre par un produit de facteurs, on multiplie le nombre par le premier facteur puis le produit obtenu par le deuxième facteur et ainsi de suite. Autrement dit, on forme un produit unique avec le nombre et tous les facteurs §53 théorème V: pour multiplier un produit de facteurs par un produit de facteurs, on forme un produit unique composé de tous les facteurs des deux produits §54 théorème VI: pour multiplier un nombre par une somme, on multiplie le nombre par chacune des parties de la somme et lon ajoute les produits obtenus §55 théorème VII: pour multiplier la somme de plusieurs nombres par la somme de plusieurs autres nombres, on multiplie chacune des parties de la première somme par chacune des parties de la deuxième et lon additionne les résultats obtenus (Dans une remarquelauteur exprime ce théorème pour la première fois en «algèbre»: (a + b) . (c + d) = a. c + b . c + a . d + b . d!!!!!) §56 théorème VIII: pour multiplier une différence par un nombre on multiplie chaque partie de la différence par ce nombre et on fait la différence des produits obtenus §57 définition: puissance dun nombre - exposant (théorèmes sur les puissances) §58 théorème I: pour multiplier une puissance dun nombre par une autre puissance du même nombre, on élève ce nombre à une puissance égale à la somme des exposants §59 théorème II: pour élever un produit de facteurs à une puissance donnée, on élève chaque facteur à cette puissance §60 théorème III: pour élever une puissance dun nombre à une autre puissance, on élève ce nombre à une puissance donnée par le produit des deux exposants §61 théorème IV: le carré de la somme de deux nombres est égal au carré du premier plus le double produit du premier par le second pus le carré du second (théorème aussi exprimé par lauteur en «algèbre»: (a+ b)² = a² + 2a.b + b²) §62 théorème V: le carré de la différence de deux nombres est égal au carré du premier plus le carré du second moins le double produit du premier par le second (exprimé en «algèbre» par lauteur: (a b)² = a² + b² - 2a. b) §63 théorème VI: le produit de la somme de deux nombres par leur différence est égal à la différence de leurs carrés (exprimé en «algèbre»: (a + b) . (a b) = a² - b² §64 théorème VII: le cube de la somme de deux nombres est égal au cube du premier plus trois fois le carré du premier multiplié par le second plus trois fois le premier multiplié par le carré du second plus le cube du second (exprimé en «algèbre»: (a + b)³ = a³ + 3 a² .b + 3 a . b² + b³) §65 application au calcul mental §66 multiplication par onze
Chapitre 5 « Division»
§67 idée de la division dividende diviseur quotient §68 définition de la division §69 relation entre dividende A, diviseur Bet quotient Q : B . Q ≤ A < B . (Q + 1) §70 reste de la division: R = A B.Q §71 -théorie de la division-: premier cas: le quotient na quun chiffre et le diviseur aussi §72 deuxième cas: le quotient na quun chiffre mais le diviseur est quelconque §73 cas général: division de deux nombres quelconques §74 remarques §75 cas particulier où le diviseur na quun chiffre § 76 preuve de la division §77 trouver la limite du nombre que lon peut ajouter au dividende sans changer le quotient (théorèmes sur la division) §78 théorème II: quand on multiplie le dividende et le diviseur dune division par un même nombre, le quotient ne change pas mais le reste est multiplié par ce nombre §79 multiplication par 25, 125, 15.. §80 théorème II: pour diviser un produit de facteurs par un nombre il suffit de diviser un seul des facteurs par ce nombre §81 théorème III: pour diviser la somme de plusieurs nombres par un nombre, on divise toutes les parties de la somme par ce nombre §82 théorème IV: pour diviser un nombre N par un produit de facteurs a . b . c , on peut diver dabord N par a, puis le quotient obtenu par b, et le nouveau quotient obtenu parc; le dernier quotient obtenu est le quotient de N par le produit a . b . c §83 théorème V: lorsquon divise le dividende et le diviseur par un même nombre, si cette division est possible, le quotient ne change pas mais le reste est divisé par ce nombre §84 théorème VI: pour diviser une puissance dun nombre par une autre puissance du même nombre, on retranche les deux exposants (convention: a0 = 1)(problèmes sur les différents systèmes de numération) §85 définition: base dun système de numération §86 premier problème: un nombre étant écrit dans le système décimal, le transcrire dans un système de base donnée §87 deuxième problème: un nombre écrit dans un système de base donnée, le transcrire dans le système décimal §88 troisième problème: un nombre écrit dans un système de base n, le transcrire dans un système de base n
Exercices sur le Livre I
- LIVRE II: PROPRIETES ELEMENTAIRES DES NOMBRES ENTIERS
Chapitre 1 « Divisibilité»
§89 définitions: multiple diviseur ou sous-multiple (théorèmes généraux) §90 théorème I: tout nombre qui en divise plusieurs divise leur somme §91 conséquence §92 théorème II: tout nombre qui en divise deux autres divise leur différence §93 théorème III: tout nombre qui en divise deux autres divise le reste de leur division (caractères de divisibilité) §94 but de la divisibilité §95 théorème fondamental: on ne change pas le reste dune division si lon ajoute ou retranche au dividende un multiple de diviseur §96 conséquence §97 méthode pour trouver la condition de divisibilité dun nombre a par un nombre d §98 théorème: divisibilité par 2 ou par 5 §99 théorème: divisibilité par 4 ou par 25 §100 théorème: divisibilité par 8 ou par 125 §101 théorème: divisibilité par 3 ou par 9 §102 théorème: divisibilité par 11 (preuves par 9 ou par 11 des quatre opérations) §103 preuve par 9 de laddition §104 remarque §105 théorème: si lon divise par 9 le produit de deux nombres, on obtient le même reste si lon divise par 9 le produit des deux restes obtenus en divisant chacun des deux nombres par 9 §106 preuve par 9 de la division
Chapitre 2 « Plus Grand Commun Diviseur»
§107 définition: nombre premier §108 théorème: deux nombres consécutifs sont premiers entre eux §109 théorème: si un nombre premier ne divise pas un autre nombre, il est premier avec lui §110 définitions: diviseur commun plus grand commun diviseur (théorie du P.G.C.D. de deux nombres) §111 théorème: le plus grand commun diviseur de deux nombres est le même que celui du plus petit de ces nombres et du reste de leur division §112 règle pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres §113 théorème: tout nombre qui en divise deux autres divise leur plus gand commun diviseur §114 théorème: quand on multiplie ou divise exactement deux nombres par un même nombre, leur plus grand commun diviseur est multiplié ou divisé par ce nombre §115 conséquence (théorèmes sur les nombres premiers entre eux) §116 théorème: tout nombre qui divise un produit de deux facteurs et qui est premier avec lun deux divise lautre §117 théorème: lorsquun nombre est divisible par plusieurs nombres premiers entre eux deux à deux, il est divisible par leur produit (théorie du P.G.C.D. de plusieurs nombres) §118 définition: le plus grand commun diviseur de trois nombres §119 règle pour trouver le P.G.C.D. de plusieurs nombres §120 théorème: tout nombre qui en divise plusieurs divise leur plus grand commun diviseur §121 théorème: quand on multiplie ou divise exactement plusieurs nombre par un même nombre, leur plus grand commun diviseur est multiplié ou divisé par ce nombre §122 conséquence
Chapitre 3 « Plus petit commun multiple»
§123 définitions: multiple commun plus petit commun multiple (P.P.C.M. de deux nombres) §124 théorème: le produit de deux nombres est égal au produit de leur plus grand commun diviseur par leur plus petit commun multiple §125 conséquence I §126 conséquence II §127 conséquence III §128 conséquence IV (P.P.C.M. de plusieurs nombres) §129 définition: P.P.C.M. de plusieurs nombres §130 règle pour trouver le plus petit commun multiple de plusieurs nombres §131 conséquence
Chapitre 4 « Propriétés des nombres premiers»
§132 théorème: tout nombre qui nest pas premier admet au moins un diviseur premier §133 théorème: deux nombres qui ne sont pas premiers entre eux admettent au moins un diviseur premier commun §134 théorème: la suite des nombres premiers est illimitée §135 formation dune table de nombres premiers crible dEratosthène §136 problème: reconnaître si un nombre donné est premier (théorèmes relatifs aux nombres premiers) §137 théorème: tout nombre premier est de la forme 6n ± 1 §138 théorème: tout nombre premier qui divise un produit de facteurs divise au moins lun deux §139 conséquence I §140 conséquence II §141 théorème: tout nombre premier avec les facteurs dun produit est premier avec ce produit
Chapitre 5 « Applications de la Théorie des Nombres Premiers »
§142 définition: décomposition dun nombre en facteurs premiers §143 théorème: 1° tout nombre qui nest pas premier est décomposable en un produit de facteurs premiers 2° cette décomposition nest possible que dune seule manière §144 marche à suivre pour décomposer un nombre en facteurs premiers (diviseurs dun nombre: formation du P.G.C.D. de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers (recherche des diviseurs dun nombre) §145 théorème: pour quun nombre A soit divisible par un nombre B, ces nombres étant décomposés en facteurs premiers, il faut et il suffit que chaque facteur premier de B soit contenu dans A avec un exposant au moins égal à celui quil a dans B §146 formation des diviseurs dun nombre §147 nombre des diviseurs dun nombre §148 formation du P.G.C.D. de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers §149 règle pour former le P.G.C.D. de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers §150 formation du P.P.C.M. de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers §151 règle pour former le P.P.C.M. de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers
Exercices sur le Livre II
- LIVRE III: NOMBRES FRACTIONNAIRES
Chapitre 1 « Fractions ordinaires»
§152 idée du nombre fractionnaire §153 définition: nombre fractionnaire - fraction numérateur dénominateur §154 nombre fractionnaire supérieur à, inférieur à et égal à un §155 nombres fractionnaires égaux et inégaux §156 conséquences §157 extraire les entiers contenus dans un nombre fractionnaire §158 théorème: si on multiplie le numérateur dune fraction par un nombre entier, la fraction est multipliée par ce nombre entier §159 théorème: si on divise le numérateur dune fraction par un nombre entier qui le divise exactement, la fraction est divisée par ce nombre entier § 160 théorème: si on multiplie le dénominateur dune fraction par un nombre entier, la fraction est divisée par ce nombre entier §161 théorème: si on divise le dénominateur dune fraction par un nombre entier qui le divise exactement, la fraction est multipliée par ce nombre entier §162 conséquences §163 théorème: on ne change pas la valeur dune fraction si lon multiplie ou divise les deux termes par un même nombre entier §164 simplification dune fraction §165 réduction dune fraction à sa plus simple expression §166 théorème: pour quune fraction soit irréductible, il faut et il suffit que ses deux termes soient premiers entre eux §167 définition: réduction au même dénominateur §168 réduction au plus petit dénominateur commun §169 théorème: si on ajoute un même nombre aux deux termes dune fraction plus petite que 1, la fraction augmente
Chapitre 2 « Opérations sur les fractions»
§170 définition de laddition: -premier cas: les fractions ont le même dénominateur §171 deuxième cas: les fractions nont pas le même dénominateur §172 définition de la soustraction: premier cas: retrancher deux fractions qui ont le même dénominateur §173 deuxième cas: les fractions nont pas le même dénominateur §174 définition de la multiplication: -premier cas: multiplication dune fraction par un nombre entier §175 deuxième cas: multiplication dun nombre entier par une fraction §176 troisième cas: multiplication dune fraction par une fraction §177 fraction de fractions §178 définition de la division §179 premier cas: division dune fraction par un nombre entier §180 deuxième cas: division dun nombre entier par une fraction §181 troisième cas: division dune fraction par une fraction §182 fractions complexes §183 puissances dune fraction §184 théorème: pour élever une fraction à une puissance, on élève ses deux termes à cette puissance §185 théorème: la puissance n dune fraction irréductible est aussi une fraction irréductible et par conséquent ne peut être égale à un nombre entier
- Exercices sur les fractions
Chapitre 3 « Fractions décimales»
§186 nombres décimaux §187 lecture dun nombre décimal écrit §188 théorème: on ne change pas la valeur dun nombre décimal en ajoutant des zéros à sa droite §189 théorème: pour multiplier un nombre décimal par 10, 100, 1000, il suffit davancer la virgule vers la droite dun rang, de deux rangs, de trois rangs §190 remarque §191 addition des nombres décimaux §192 soustraction des nombres décimaux §193 multiplication des nombres décimaux §194 division des nombres décimaux §195 définition: quotient de deux nombres avec une approximation décimale donnée §196 quotient à 1: n près §197 théorème: le quotient dun nombre décimal par un nombre entier à une unité près est le même que celui de la partie entière du dividende par le diviseur §198 application à la division des nombres décimaux
Chapitre 4 « Conversion des fractions ordinaires en fractions décimales»
§199 utilité de la conversion des fractions ordinaires en fractions décimales §200 théorème: pour quune fraction irréductible puisse être convertie en fraction décimale exacte, il faut et il suffit que son dénominateur ne renferme pas dautres facteurs premiers que 2 et 5 §201 fraction irréductible ne pouvant pas être convertie en fraction décimale exacte: exemple §202 définition: fraction génératrice dune fraction décimale périodique §203 exemple d'une fraction génératrice §204 fraction génératrice dune fraction décimale périodique simple §205 théorème: lorsquune fraction irréductible donne naissance à une fraction périodique simple, son dénominateur ne contient ni le facteur 2 ni le facteur 5 §206 fraction génératrice dune fraction décimale périodique mixte §207 théorème: lorsquune fraction irréductible réduite en fraction décimale donne naissance à une fraction périodique mixte, don dénominateur contient au moins lun des facteurs 2 ou 5 §208 manière de reconnaître a priori la nature de la fraction décimale donnée par une fraction irréductible
- Exercices sur les nombres décimaux
- LIVRE IV: RACINES
Chapitre 1 « Racine carrée»
§209 définition: racine carrée dun nombre §210 racine carrée à une unité près §211 reste de la racine carrée dun nombre §212 limite supérieure du reste dans la racine carrée §213 théorème: le carré dun nombre entier est toujours terminé par le chiffre qui termine le carré du chiffre des unités (racine carrée dun nombre entier à une unité près) §214 théorème général: lorsquun nombre est plus grand que 100 on obtient les dizaines de sa racine carrée en extrayant la racine carrée des centaines du nombre §215 premier cas: le nombre est inférieur à 100 §216 deuxième cas: le nombre est compris entre 100 et 10000 §217 cas général: le nombre est quelconque §218 règle pour extraire la racine carrée dun nombre entier à une unité près §219 nombre des chiffres de la racine §220 preuve de la racine carrée (racine carrée des nombres fractionnaires) §221 théorème: pour quune fraction irréductible soit le carré dune autre fraction irréductible il faut et il suffit que ses deux termes soient des carrés parfaits §222 théorème: pour extraire la racine carrée dune fraction dont les deux termes sont des carrés parfaits, on extrait la racine carrée de chaque terme §223 théorème: la racine carrée dun nombre fractionnaire à une unité près est la même que la racine carrée de la partie entière à une unité près §224 théorème: si la racine carrée dun nombre entier nest pas entière, elle nest pas non plus une fraction irréductible §225 définition: racine carrée à une approximation donnée §226 racine carrée à 1 / 10n près §227 racine carrée à 1 / n près §228 définition de la racine carrée dun nombre qui nest pas un carré parfait
Chapitre 2 « Racine cubique»
§229 définitions: racine cubique dun nombre cube parfait §230 racine cubique à une unité près §231 définition: reste de la cubique dun nombre §232 théorème sur la limite supérieure de la racine cubique: le reste de la racine cubique dun nombre est au plus égal à trois fois le carré de la racine à une unité près plus trois fois cette racine (Racine cubique dun nombre entier) §233 théorème général: lorsquun nombre est plus grand que 1000, on obtient les dizaines de sa racine cubique en extrayant la racine cubique des unités de mille du nombre §234 premier cas: le nombre est inférieur à 1000 §235 deuxième cas: le nombre est compris entre mille et un million §236 cas général: le nombre est quelconque §237 formation du triple carré de la racine §238 règle pour extraire la racine cubique dun unité près §239 preuve de la racine cubique (racine cubique des nombres fractionnaires) §240 théorème I: si une fraction a ses termes cubes parfaits on aura sa racine cubique en extrayant la racine cubique des deux termes; théorème II: pour quune fraction irréductible soit le cube dune autre fraction irréductible, il faut et il suffit que ses deux termes soient des cubes parfaits; théorème III: la racine cubique dun nombre fractionnaire à une unité près est la même que celle de la partie entière à une unité près; théorème IV: si la racine cubique dun nombre entier nest pas entière, elle nest pas non plus une fraction irréductible (racine cubique à une approximation donnée) §241 définition: extraire la racine cubique dun nombre entier ou fractionnaire à 1 / 10 , 1 / 100 , 1 / 1000 . près, cest chercher le plus grand nombre de dixièmes, de centièmes, de millièmes . dont le cube soit contenu dans le nombre donné §242 extraire la racine cubique dun nombre décimal §243 racine cubique dun nombre qui nest pas cube parfait (Note sur les nombres incommensurables) §244 notion de nombre incommensurable §245 règle dOughtred §246 égalité des nombres incommensurables §247 théorème: pour extraire la racine nième dun produit, on extrait la racine nième de chaque facteur §248 théorème: le quotient de deux racines nièmes est égal à la racine nième des deux nombres placés sous les radicaux §249 expressions particulières
- Exercices sur le Livre IV
- LIVRE V: SYSTÈME METRIQUE
Chapitre 1 « Système métrique»
§250 définition: système métrique §251 Historique des unités de mesure §252 loi du 4 juillet 1837 §253 avantages du système métrique §254 remarque §255 les six mesures qui composent le système métrique §256 mesures de longueur §257 tableau des mesures de longueur §258 nombres exprimant une longueur §259 différentes unités de longueur §260 mesures effectives §261 mesures de surfaces §262 tableau des mesures de surface §263 mesures agraires §264 mesures de volume §265 tableau des mesures de volume §266 mesures de bois §267 le stère §268 mesures de capacité §269 mesures effectives §270 mesures de poids §271 tableau des mesures de poids ou de masse §272 mesures effectives §273 densité §274 relation entre le poids et le volume dun corps poids spécifique §275 monnaies §276 alliage titre §277 unité de monnaie §278 mesures effectives §279 tolérance sur le poids §280 tolérance sur le titre §281 valeur relative de or et de largent §282 remarque §283 note sur la loi du 11 juillet 1903 relative au système métrique §284 surfaces et volumes usuels §285 aire dun parallélogramme, dun rectangle §286 aire du triangle §287 aire du trapèze §288 aire dun polygone §289 longueur de la circonférence aire du cercle §290 volume du prisme §291 volume de la pyramide §292 volume du cylindre circulaire §293 volume du cône circulaire droit §294 volume de la sphère
Chapitre 2 « Anciennes mesures en France et mesures étrangères»
§295 mesures de longueur: la toise, le pied, le pouce, la ligne, la perche §296 mesures de surface: la toise carrée, le pied carré, le pouce carré, la perche carrée, larpent §297 mesures de volume: la toise cube, le pied cube, la corde §298 mesures de capacité: la pinte, la chopine, la velte, le boisseau §299 mesures de poids: la livre poids, le marc, lonce, le quintal §300 monnaies: la livre tournois, le sou, le liard, le denier §301 mesures étrangères: le yard, le mille anglais, le gallon, la guinée..
Chapitre 3 « Mesure du temps et de la circonférence- calcul avec des nombres non décimaux* »
§302 mesure du temps: jour sidéral, jour solaire moyen, lheure, la minute la seconde §303 mesure du temps: lannée, le siècle, lannée bissextile §304 mesure du temps: mois §305 mesure de la circonférence: système sexagésimale: degrés, minutes, secondes §306 mesure de la circonférence: système centésimal: grade, minutes de grade, secondes de grade §307 nombres non décimaux * §308 problème I §309 problème II §310 problème III §311 problème IV §312 addition des nombres non décimaux §313 soustraction des nombres non décimaux §314 multiplication dun nombre non décimal par un nombre entier §315 division dun nombre non décimal par un nombre entier §316 problème: convertir en grades §317 système C.G.S.: unités fondamentales §318 système C.G.S.: unités dérivées
* lauteur parle de «nombres complexes»; mieux vaut parler de «nombres non décimaux»
- Exercices sur le Livre V
- LIVRE VI: RAPPORT DE DEUX NOMBRES et RAPPORT DE DEUX GRANDEURS
Chapitre 1 « Rapports et Proportions »
§319 définition: on appelle rapport a / b de deux nombres entiers ou fractionnaires le quotient exact du premier de ces nombres par le second; le nombre a est appelé le numérateur comme pour les fractions ou antécédent, le nombre b est appelé dénominateur ou conséquent §320 propriétés des rapports: il nest pas évident que les propriétés établies pour les fractions sappliquent aux rapports car les deux termes dun rapport ne sont plus nécessairement de nombres entiers comme pour les fractions; le but est de démontrer que ces propriétés valables pour les fractions sont également valables pour les rapports §321 théorème: lorsquon multiplie le numérateur dun rapport par un nombre, ce rapport est multiplié par ce nombre §322 théorème: si lon multiplie le dénominateur dun rapport par un nombre, le rapport est divisé par ce nombre §323 théorème: si lon multiplie les deux termes dun rapport par un même nombre, le rapport ne change pas de valeur §324 théorème: le rapport de deux nombres n change pas si on les divise par un même nombre §325 théorème: étant donnée une suite de rapports égaux on forme un rapport égal à chacun deux en divisant la somme des numérateurs par la somme des dénominateurs §326 théorème: étant donnée une suite de rapports inégaux, en divisant la somme des numérateurs par la somme des dénominateurs, on obtient un rapport compris entre le plus grand et le plus petit des rapports donnés; autrement dit, on obtient un rapport plus petit que le plus grand des rapports et plus grand que le plus petit des rapports donnés §327 théorème: étant donnée une suite de rapports égaux, on forme un rapport égal à chacun deux en divisant la racine carrée de la somme des carrés des numérateurs par la racine carrée de la somme des carrés des dénominateurs §328 définition: rapport de deux grandeurs de même espèce §329 théorème: le rapport de deux grandeurs de même espèce est égal au rapport des deux nombres qui les mesurent, ces grandeurs ayant été mesurée avec la même unité §330 définition de proportion: on appelle proportion légalité de deux rapports §331 présentation dune proportion: termes extrêmes et termes moyens §332 théorème fondamental: dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens §333 théorème: réciproquement, si quatre nombres a, b, c, d sont tels que le produit a . d des deux extrêmes a et d soit égal au produit b . c des deux moyens b et c , ces quatre nombres forment une proportion dans lordre où ils sont écrits §334 conséquences §335 théorème: étant donné une proportion, la somme des deux premiers termes est au deuxième comme la somme des deux derniers termes est au quatrième §336 définitions: un nombre est dit moyenne proportionnelle entre deux autres lorsqui occupe les deux moyens dans une proportion dont les deux nombres donnés sont les extrêmes; un nombre x est appelé quatrième proportionnelle entre trois nombres a, b, c lorsquil occupe le quatrième terme dune proportion dont les trois autres termes sont a, b, c dans cet ordre
- Exercices proposés
Chapitre 2 « Grandeurs directement et inversement proportionnelles »
§337 dépendance de deux grandeurs sans être pour cela de même espèce §338 définition: grandeurs directement proportionnelles §339 théorème: lorsque deux grandeurs sont directement proportionnelles, si lune délles devient un certain nombre de fois plus grande ou plus petite, lautre grandeur devient le même nombre de fois plus grande ou plus petite §340 théorème: réciproquement, si deux grandeurs sont telles que lune delles devenant un certain nombre de fois plus grande ou plus petite, lautre devient le même nombre de fois plus grande ou plus petite, ces deux grandeurs sont directement proportionnelles §341 définition: grandeurs inversement proportionnelle §342 théorème: lorsque deux grandeurs sont inversement proportionnelle, si lune delles devient un certain nombre de fois plus grande, lautre devient le même nombre de fois plus petite; ou, inversement si la première devient un certain nombre de fois plus petite, la deuxième devient le même nombre de fois plus grande §343 théorème: réciproquement, si deux grandeurs sont telles que lune devenant un certain nombre de fois plus grande, lautre devient le même nombre de fois plus petite, ces deux grandeurs sont inversement proportionnelles §344 grandeur A dépendant en même temps de plusieurs grandeurs B, C, D, §345 définition de la règle de trois §346 règle de trois simple directe §347 règle de trois simple inverse §348 règle de trois composée §349 marche à suivre: lorsquil sagit dune règle de trois composée, la valeur inconnue x de la grandeur A sobtient en multipliant la valeur connue de A par les rapports des nouvelles valeurs aux anciennes pour les valeurs qui sont directement proportionnelles à A, et par les rapports inverses des nouvelles valeurs aux anciennes pour les grandeurs inversement proportionnelles à A
- Exercices sur les grandeurs proportionnelles et sur la règle de trois
Chapitre 3 « Intérêts »
§350 définitions: intérêt, capital, taux dintérêt §351 problème général: formules §352 théorème: lorsque deux capitaux placés à des taux différents produisent le même intérêt annuel, ces deux capitaux sont inversement proportionnels aux taux §353 calcul des intérêts: méthode des diviseurs §354 calcul des intérêts: méthode des parties aliquotes §355 intérêts composés
- Problèmes proposés sur les intérêts
Chapitre 4 « Escompte »
§356 définitions: effet de commerce billet à ordre lettre de change débiteur créancier §357 escompte valeur nominale valeur actuelle §358 sortes descompte: lescompte en dehors, lescompte en dedans §359 escompte en dehors ou commercial §360 bordereau descompte §361 escompte en dedans ou escompte rationnel §362 formule §363 différence entre les deux escomptes §364 échéance commune §365 échéance moyenne
Chapitre 5 « Rentes sur lEtat»
§366 définitions §367 cours de la rente §368 courtage et frais §369 actions et obligations §370 caisses dépargne
- Problèmes sur lescompte et les rentes caisses dépargne
Chapitre 6 « Partages proportionnelles -règles de société- mélangeset alliages»
§371 définition: partage proportionnel §372 marche à suivre §373 définition: partager en parties inversement proportionnelles §374 règles de société §375 définition: moyenne arithmétique §376 problèmes sur les mélanges et les alliages
- Problèmes sur les partages proportionnelles règles de société mélanges et alliages
- Exercices de récapitulation problèmes divers
- LIVRE VII: ERREURS RELATIVES ET ERREURS ABSOLUES
§377 valeur approchée §378 définition: erreur absolue §379 limites supérieure et inférieure dun nombre donné §380 limite supérieure dune erreur §381 théorème: si dans un nombre approché par défaut, par exemple à 0,001 près, on supprime tous les chiffres décimaux à partir de la quatrième, et si lon force dune unité le troisième chiffre décimal, on ne change pas la limite de lerreur absolue mais le sens de la nouvelle erreur est inconnue §382 calcul de lerreur totale: cas de laddition §383 calcul de lerreur totale: cas de la soustraction §384 calcul de lerreur totale: cas de la multiplication §385 application §386 calcul de lerreur totale: cas de la division §387 application § 388 calcul de lerreur totale: cas de racine carrée
Chapitre 2 « Erreurs relatives»
§390 définition derreur relative §391 différence entre erreur absolue et erreur relative §392 définition: On dit quun nombre a n chiffres exacts si lerreur absolue dont il est affecté est moindre quune unité de même ordre que son nième chiffre à partir de la gauche §393 théorème: Soit k le premier chiffre significatif à gauche dun nombre approché qui a n chiffres exacts, lerreur relative dont ce nombre est affecté a pour limite supérieure 1 / k . 10n-1 §394 limite de lerreur relative en fraction décimale §395 conséquence: Pour obtenir un résultat approché avec une erreur relative moindre que 1 / 10n , il suffit de calculer avec n + 1 chiffres exacts §396 théorème: Soit k le premier chiffre significatif à gauche dun nombre approché, si lerreur relative e a pour limite supérieure 1 / a . 10n , on peut compter sur n chiffres exacts à la gauche du nombre, si a est au plus égal a k , et sur n + 1 chiffres exacts si a est supérieur à k §397 conséquence: Pour quun nombre approché ait n chiffres exacts, il suffit que son erreur relative soit moindre que 1 /10n (erreur relative et multiplication) §398 théorème: Lerreur relative dun produit de deux facteurs dont un seul est approché, est égale à lerreur relative du facteur approché §399 théorème: Lerreur relative du produit de deux facteurs approchés a pour limite supérieure la somme des limites supérieures des erreurs relatives des deux facteurs §400 règle: Pour obtenir le produit de deux nombres approchés avec n chiffres exacts, il suffit de prendre n + 1 chiffres exacts dans chacun des facteurs qui commence par un chiffre différent de 1, et n + 2 chiffres dans le cas contraire (erreur relative et division) §401 théorème: Lerreur relative du quotient dun nombre approché par un nombre exact est égale à lerreur relative du dividende Lerreur relative du quotient dun nombre exact par un nombre approché a pour limite supérieure la limite supérieure de lerreur relative du diviseur §402 théorème: Lerreur relative du quotient de deux nombres approchés a pour limite supérieure la somme des limites supérieures des erreurs relatives de ces nombres §403 règle: Pour obtenir le quotient de deux nombres approchés avec n chiffres exacts il suffit de prendre n + 1 chiffres exacts dabs chacun des nombres qui commence par un chiffre différent de 1, et n + 2 chiffres dans le cas contraire (erreur relative et racines) §404 théorème: 1° lerreur relative de la racine carrée dun nombre a pour limite supérieure la moitié de la limite supérieure de lerreur relative de ce nombre 2° lerreur relative de la racine cubique dun nombre a pour limite supérieure le tiers de la limite supérieure de lerreur relative de ce nombre §405 règle: Si lon veut obtenir une racine carrée ou une racine cubique avec n chiffres exacts il suffit de calculer avec n + 1 chiffres exacts la quantité soumise au radical
(Hoofdstuk 12 "Arithmetiek en Algebra in het Hoger Primair Onderwijs")
§ 12.4 Algebra met Henri Neveu (1929)
Van dezelfde Henri Neveu (zie voorgaand cursiefje §12.3) was overigens ook nog een « Cours d'Algèbre E.P.S. » voorhanden, een werk dat in 1929 een twaalfde editie mocht beleven. Toen ik het boek via een tweedehandsboekhandel in handen kreeg en de precieze inhoud kon raadplegen, was ik erg verrast. Blijkbaar werd van scholieren in het interbellum heel wat meer gevergd dan nu. De auteur stelde het boek als volgt voor:
...Ce livre est le développement du programme dalgèbre contenu dans le plan détudes des Ecoles Primaires Supérieures. Il renferme en outre lexposé des différentes questions exigées des candidats aux Ecoles darts et métiers.
Cette nouvelle édition est conforme au nouveau plan détudes des écoles primaires supérieures de 1920, et les élèves des différentes sections y trouveront le développement de leurs programmes respectifs.
Les élèves des Ecoles supérieures pourront laisser de côté les questions marquées dun astérisque; elles sadressent plus spécialement aux candidats aux Ecoles darts et métiers. Néanmoins elles constituent un excellent service pour tous les élèves qui ne considèrent pas un programme comme strictement limité aux questions qui sy trouvent énoncées et qui voient dans lAlgèbre non pas seulement un moyen de résoudre plus rapidement les problèmes mais un élément de culture intellectuelle.
Le livre se termine par lexposé des notions de trigonométrie comprises au programme des Ecoles supérieures. Ces notions, en effet, ne nécessitant pas un traité spécial de trigonométrie, leur place était tout indiquée à la suite du cours dAlgèbre. Les élèves y trouveront la résolution de toutes les questions pratiques exigeant lemploi de la trigonométrie....
Het werk was onderverdeeld in 4 Boeken en handelde over wat men veelal de « Elementaire Algebra » pleegt te noemen:
LIVRE I Calcul Algébrique
Préliminaires: définitions
§1- définition de lalgèbre §2 notation des quantités connues et inconnues §3 emploi des signes §4 emploi des parenthèses §5 simplification des raisonnements §6 les formules §7 formule du mouvement uniforme §8 avantage des formules §9 expressions algébriques §10 définition dun terme §11- coefficient et exposant §12 monôme §13 binôme §14 trinôme §15 polynôme §16 expressions rationnelles §17 expressions entières §18 degré dun polynôme §19 polynôme ordonné
Chapitre I Nombres positifs et nombres négatifs
A- Généralités:
§20 définition: nombres positifs et nombres négatifs, nombres algébriques §21 droite de nombres §22 valeur absolue dun nombre algébrique §23 segment ou vecteur
B- Opérations sur les nombres algébriques:
§24 addition §25 remarque I: la somme de deux nombres algébriques est indépendante de lordre de deux nombres §26 remarque II: la somme de deux nombres algébriques égaux en valeur absolue mais de signes contraires est nulle §27 définition et règle pour faire la somme de plusieurs nombres algébriques §28 soustraction §29 comparaison des nombres négatifs §30 définition de la multiplication de deux nombres algébriques §31 les règles de signe §32 puissance dun nombre algébrique §33 division de deux nombres algébriques
C- Fractions algébriques numériques:
§34 définition: fractions algébriques, équivalence de fractions algébriques §35 théorème: on ne change pas la valeur numérique dune fraction algébrique si on multiplie ou divise les deux termes par un même nombre §36 réduction au même dénominateur §37 addition des fractions algébriques §38 soustraction des fractions algébriques §39 multiplication des fractions algébriques §40 division des fractions algébriques
Chapitre II Termes semblables addition et soustraction des monômes et des polynômes
A- Généralités:
§41 valeur numérique dun terme §42 valeur numérique dun polynôme §43 termes semblables §44 réduction des termes semblables §45 expressions algébriques équivalentes §46 polynômes identiques §47 but du calcul algébrique
B- Addition algébrique:
§48 définition: addition algébrique §49 addition de deux monômes §50 addition de deux polynômes
C- Soustraction algébrique:
§51 définition: soustraction algébrique §52 soustraction de deux monômes §53 soustraction de deux polynômes
Chapitre III Multiplication algébrique:
§55 définition: multiplication algébrique §56 premier cas: multiplication de deux puissances dune même lettre §57 deuxième cas: multiplication dun monôme par un monôme §58 carré dun monôme §59 troisième cas: multiplication dun polynôme par un monôme §60 quatrième cas: multiplication dun monôme par un polynôme §61 cas général: multiplication dun polynôme par un polynôme §62 théorème: dans la multiplication de deux polynômes ordonnés de la même manière, le premier et le dernier terme du produit sont toujours irréductibles §63 multiplications importantes: produits remarquables (a + b)² = (a² + 2ab + b²); (a b)² = (a² - 2ab + b²); (a + b)(a b) = a² - b² §64 autres formules à retenir: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³) en (a b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³) §65 carré dun polynôme
Chapitre IV Division algébrique méthode des identités divisions impossibles polynômes identiquement nuls:
§66 définition: division algébrique §67 exposant zéro §69 exposant négatif §70 division dun monôme par un monôme §71 division dun polynôme par un monôme §72 mise dun monôme en facteur commun §73 division dun monôme par un polynôme §74-division dun polynôme par un polynôme §75* méthode des identités ou des coefficients indéterminés §76 divisions impossibles et reste de la division §77 théorème §78 principaux cas dimpossibilité dune division §79 polynôme entier complet et incomplet et notion de fonction §80 théorème sur les polynômes identiquement nuls
Chapitre V Divisibilité par (x ± a) et en général par a(x ± b):
A- Divisibilité par (x ± a)
§81- définition: divisibilité par (x ± a) §82 théorème: le reste de la division dun polynôme entier en x par x a est égal à la valeur numérique du polynôme quand on y remplace x par + a §83 théorème: le reste de la division dun polynôme en x par x + a est égal à la valeur numérique du polynôme quand on y remplace x par a §84 conséquences §85 conclusion: le reste de la division dun polynôme entier en x par un binôme du premier degré de la forme ax ± b est égal à la valeur numérique que prend le polynôme quand on y remplace x par la valeur qui annule le binôme diviseur §86 théorème: si un polynôme entier en x est divisible séparément par chacun des binômes du premier degré x a, x b, x c, les nombres a, b, c, .. étant différents, le polynôme est divisible par le produit de ces binômes
B- Loi de formation du quotient de la division F(x) par (x a):
§87 loi de formation du quotient de la division de F(x) par x a §88- règle pour la formation du quotient (diviseur x a) §89- règle pour la formation (diviseur x + a) §90- applications: règles de divisibilité de xm ± am par x + a et x a §91- autres applications: conditions pour que xm ± am soit divisible par xp ± ap avec m > p
C- Décomposition dun polynôme en facteurs:
§92 décomposition dun polynôme en facteurs
Chapitre VI Fractions rationnelles
A- Simplification dune fraction rationnelle réduction au même dénominateur:
§93 définition: fraction rationnelle §94 théorème: on peut multiplier ou diviser les deux termes dune fraction rationnelle par une même quantité, on obtient une fraction équivalente §95 application: simplification dune fraction rationnelle §96 application: réduction des fractions rationnelles au même dénominateur
B- Opérations sur les fractions rationnelles:
§97 addition §98 soustraction §99 multiplication §100 division §101 théorème: étant donnée une suite de fractions rationnelles équivalents, on forme une fraction équivalente en divisant la somme des numérateurs par la somme des dénominateurs
C- Application dune fraction pour compléter le quotient dune division inexacte calcul avec lexposant négatif:
§102 quotient exact ou complet quotient reste de la division §103 calcul avec lexposant négatif
Chapitre VII Radicaux arithmétiques
A- Puissance n dun nombre:
§104 définition §105 théorème I: pour élever un produit de facteurs à une puissance n, on élève chaque facteur à la puissance n §106 théorème II: pour élever an à une puissance p on élève à la puissance np, indiquée par le produit des deux exposants §107 théorème III: pour élever une fraction à la puissance n on élève chacun des deux termes à la puissance n §108 définition: nième racine dun nombre A §109 théorème IV: pour extraire la racine nième dun produit de facteurs on extrait la racine nième de chaque facteur §110 application: multiplication des radicaux de même indice §111 application: faire passer un facteur sous un radical et inversement faire sortir un facteur dun radical §112 théorème V: pour extraire la racine nième dune fraction, on extrait la racine nième de chacun des deux termes §113 application: division de deux radicaux de même indice §114 simplifier un radical §115 théorème VI : pour élever un radical à une puissance m, on élève à la puissance m la quantité placée sous le radical §116 théorème VII: pour extraire la racine nième de la puissance m de a, il suffit délever à la puissance m / n autrement dit on divise lexposant m de a par lindice n du radical §117 théorème VIII: la racine mième de la racine nième de a est égale à la mnième de a; lindice du radical unique étant égal au produit des indices §118 théorème IX: on ne change pas la valeur arithmétique dun radical si lon multiplie lindice du radical et lexposant de la quantité placée sous le radical par un même nombre p §119 application: réduction des radicaux au même indice
B- Fractions irrationnelles:
§120 rendre rationnel le dénominateur dune fraction renfermant des radicaux carrés §121 théorème: étant donnée une suite de fractions égales, on forme une fraction équivalente à chacune delles en divisant la racine carrée de la somme des carrés des numérateurs par la racine carrée de la somme des carrés des dénominateurs
C- Exposant fractionnaire:
§122 notions sur lexposant fractionnaire (Simon Stevin)
Chapitre VIII Etude de quelques formes remarquables
§123 lexpression m / n et la division par zéro §124 définitions: tendre vers zéro, limite §125 théorème: lexpression m / x augmente indéfiniment quand x tend vers zéro §126 symbole m / 0 §127 forme 0 / m §128 forme m / ∞ §129 forme ∞ / m §130 forme (0 / 0) §131 théorème: si dans un polynôme entier en x, x augmente indéfiniment, la valeur absolue du polynôme augmente indéfiniment §132 forme (∞ / ∞) §133 forme (∞ - ∞) §134 forme (0 x ∞)
LIVRE II Equations du Premier Degré
Chapitre I Théorèmes généraux équations à une inconnue
§135 définitions: identités, équations, résoudre une équation §136- équations équivalentes §137 théorème I: on peut ajouter ou retrancher une même quantité aux deux membres dune équation; léquation obtenue est équivalente §138 applications: 1° faire changer de membre un terme dune équation 2° on peut changer les signes de tous les termes dune équation §139 définition: équation à la forme A = 0 , degré dune équation §140 théorème II: on peut multiplier ou diviser les deux membres dune équation par une quantité non nulle et bien déterminée; on obtient une équation équivalente à la première §141 application: faire disparaître les dénominateurs dune équation §142 remarque §143 théorème III: si on élève les deux membres dune équation au carré, léquation obtenue admet certainement les racines de la première mais elle peut admettre dautres racines §144 résolution de léquation du premier degré à une inconnue §145 discussion de léquation ax =b
Chapitre II Equations du premier degré à plusieurs inconnues
A- Equations indéterminées:
§146 définitions: équation indéterminée §147 systèmes déquations §148 différentes méthodes de résolution §149 élimination par substitution §150 élimination par réduction ou par addition §151 application: méthode de réduction
B- Résolution de n équations à inconnues:
§152 définitions §153 méthodes de résolution §154 règle générale §155 méthode de Bezout §156 règle de Cramer §157 systèmes dans lesquels toutes les inconnues nentrent pas dans chaque équation §158 artifices de calculs §159 emploi dinconnues auxiliaires §160 cas où le système renferme plus dinconnues que déquations §161 cas où le système renferme plus déquations que dinconnues
Chapitre III Résolution et discussion des équations générales du premier degré à deux inconnues
§162-résolution et discussion §163 cas particulier des équations homogènes
Chapitre IV Inégalités
§164 inégalités numériques §165 théorème I: on peut ajouter ou retrancher une même quantité aux deux membres dune inégalité numérique, linégalité obtenue est de même sens que la première §166 application: on peut faire passer un terme dune inégalité dun membre à un autre, en changeant son signe §167 théorème II: si lon multiplie les deux membres dune inégalité numérique par un nombre positif, on obtient une inégalité de même sens que la première; on obtient ine inégalité de sens contraire si le multiplicateur est négatif §168 théorème III: si les deux membres dune inégalité sont positifs, on peut les élever au carré, linégalité obtenue est de même sens que la première §169 inégalités renfermant des inconnues §170 théorème: si lon ajoute ou retranche une même quantité aux deux membres dune inégalité, on obtient une inégalité équivalente à la première §171 théorème: si lon multiplie ou divise les deux membres dune inégalité par un nombre non nul et positif, on obtient une inégalité équivalente de même sens; si le nombre est négatif, on obtient une inégalité équivalente de sens contraire §172 conséquences §173 résolution de linégalité du premier degré à une inconnue
Chapitre V Problèmes du premier degré
A- Généralités: §174 définition: problèmes du premier degré §175 mise en équations §176 discussion de quelques problèmes pratiques exemples résolus
§181 définition: fonction, variable indépendante, fonction implicite §182 accroissement §183 fonction continue §184 fonction croissante ou décroissante §185 théorème: la fonction entière du premier degré y = ax + b est une fonction continue dans toute létendue des variations de x §186 théorème: la fraction (ax + b) / (ax + b) est une fonction continue de x, excepté pour la valeur de x qui annule le dénominateur
B- Variations des fonctions et représentation graphique des variations dune fonction:
§187 définition du maximum et du minimum variations de la fonction y = ax + b §188 représentation dun point §189 représentation générale dune fonction §190 théorème: léquation x = a représente une parallèle à laxe des y à la distance a §191 théorème: léquation x = 0 représente laxe des y §192 théorème: léquation y = b représente une parallèle à laxe des x à la distance b §193 théorème: léquation y = 0 représente laxe des x §194 théorème: les deux équations simultanées x= a et y = b représentent le point dintersection des droites représentées par ces équations §195 théorème: les deux équations simultanées x = 0 et y = 0 représentent lintersection des deux axes §196 théorème: léquation y = ax représente une droite passant par lorigine §197 définition: la quantité a est dite le coefficient angulaire de la droite qui a pour équation y = ax et a est la tangente trigonométrique de langle α (a = tg(α)) §198 théorème: léquation y = ax + b représente la parallèle à la droite y = ax a une distance b
LIVRE III Equations du Second Degré
Chapitre I Résolution de léquation du second degré à une inconnue
A- Relations entre les coefficients et les racines de léquation du second degré:
§199 définition: équation de second degré complète et incomplète §200 définitions racines dune équation du second degré §201 résolution de léquation ax² + c = 0 §202 résolution de léquation ax² + bx = 0 §203 résolution de léquation ax² + bx + c = 0 §204 cas où le coefficient de x est pair §205 troisième formule §206 la somme et le produit des racines
B- Discussion de léquation du second degré:
§207 reconnaître a priori le signe et la nature des racines
C- Construction géométrique des racines:
§208 équations du second degré homogènes
Chapitre II Equations qui se ramènent au second degré
§209 définition: équation bicarrée §210 équations irrationnelles §211 résolution de quelques systèmes particuliers
Chapitre III Trinôme du second degré
§212 différentes formes sous lesquelles on peut mettre le trinôme variations du signe du trinôme §213 théorème: 1° si lon a b² - 4 ac < 0 le trinôme est ax² + bx + c a toujours le signe de a sans exception c'est-à-dire quelques soient les valeurs positives ou négatives données à x 2° si lon a b² - 4 ac = 0 le trinôme a toujours le signe de a sauf pour x = - b / 2 a , valeur pour laquelle il sannule 3° si lon a b² - 4 ac > 0 , le trinôme a le signe de a pour toutes les valeurs de x non comprises entre les racines x1 et x2 du trinôme; il est du signe contraire de a pour toutes les valeurs de x comprises entre x1 et x2 §214 trouver la place dun nombre par rapport aux racines de léquation ax² + bx + c = 0 problèmes du second degré §215 problèmes du second degré exemples
LIVRE IV Progressions et Logarithmes
Chapitre I Progressions arithmétiques
§216 définitions: progression arithmétique, progression croissante et décroissante, raison de la progression arithmétique §217 théorème: dans une progression arithmétique, un terme quelconque est égal au premier terme plus autant de fois la raison quil y a de termes avant celui que lon considère §218 théorème: les termes dune progression arithmétique croissante augmentent au-delà de toute limite §219 insertion de moyens arithmétiques §220 théorème: si entre tous les termes dune progression arithmétique on insère le même nombre des moyens, on obtient une série de progressions partielles qui mises à la suite les unes des autres forment une progression unique §221 théorème: dans une progression arithmétique limitée, la somme de deux termes pris à égale distance des extrêmes est constante; elle est égale à la somme des extrêmes §222 théorème: la somme des termes dune progression arithmétique limitée est égale au demi-produit de la somme des extrêmes par le nombre des termes
Chapitre II Progressions géométriques:
§223 définitions: progression géométrique, progression croissante et décroissante, raison dune progression géométrique §224 théorème: dans une progression géométrique, un terme quelconque est égal au premier terme multiplié par la raison élevée à une puissance marquée par le nombre de termes quil y a avant celui que lon considère §225 théorème: les termes dune progression géométrique croissante augmentent au-delà de toute limite §226 théorème: les termes dune progression géométrique décroissante ont pour limite zéro, quand le nombre des termes augment indéfiniment §227 insertion des moyens §228 théorème: si entre tous les termes consécutifs dune progression géométrique on insère le même nombre des moyens, on obtient une série de progressions partielles qui mises à la suite les unes des autres forment une progression unique §229 théorème: dans une progression géométrique limitée, le produit de deux termes pris à égale distance des extrêmes est constant; il égale le produit des extrêmes §230 théorème: le produit des termes dune progression géométrique limitée est égal à la racine carrée du produit des extrêmes élevé à une puissance marquée par le nombre des termes §231 théorème: la somme des termes dune progression géométrique limitée est égale au dernier terme multiplié par la raison, ce produit diminué du premier terme, et le tout divisé par la raison diminuée de 1(cas où la progression est illimitée et décroissante)
Chapitre III Logarithmes
A- Généralités:
§232 définition: logarithmes définis à laide de deux progressions croissantes lune géométrique commençant par lunité et lautre arithmétique commençant par zéro §233 logarithmes des nombres plus petits que 1
B- Propriétés des logarithmes:
§234 théorème I: le logarithme dun produit de facteurs est égal à la somme des logarithmes des facteurs §235 théorème II: le logarithme dun quotient est égal au logarithme du dividende diminué du logarithme du diviseur §236 théorème III: le logarithme de an est égal a n fois le logarithme de a §237 théorème IV: le logarithme de n√a est égal a la nième partie du logarithme de a §238 conséquences §239 base dun système de logarithmes
C- Logarithmes de Briggs ou logarithmes vulgaires:
§240 définition: logarithmes de Briggs ou logarithmes décimaux, caractéristique et mantisse §241 caractéristique du logarithme dun nombre plus grand que 1 §242 caractéristique négative du logarithme dun nombre plus petit que 1 §243 théorème: quand on multiplie ou divise un nombre par 10, 100,.. 10n , on ne change pas la partie décimale du logarithme; seule la caractéristique change §244 cologarithme §245 moyen de trouver le cologarithme §246 calculs à laide des logarithmes (utilisation des tables) §247 application: léquation exponentielle et sa résolution §248 résolution du système déquations: x + y = a (1) log(x) + log(y) = b
§249 définition: intérêt composé §250 problème général et exemples numériques §251 définition: annuités §252 problème de la constitution dun capital §253 problème des amortissements
Chapitre V La règle à calcul
§254 définition: règle à calcul (Edmond Gunther) §255 échelles de la règle §256 échelles de la réglette §257 lire ou indiquer un nombre §258 application numérique: produit de deux nombres §259 application numérique: quotient de deux nombres §260 application numérique: carré dun nombre §261 application numérique: racine carré dun nombre §262 application numérique: cube dun nombre §263- application numérique: racine cubique dun nombre §264 application: logarithme dun nombre (verso de la réglette)
LIVRE V Variations des Fonctions
Chapitre I Quelques variations de fonctions simples:
§265 variations du trinôme y = ax² + bx + c §266 variations de y = 1 / (ax + b) §267 variation de la fonction y = (3x 1) / (2x 3) §268 méthode indirecte pour la recherche dun maximum ou dun minimum §269 exemples de construction des courbes (asymptote)
Chapitre II Notions sur les dérivées:
§270 définition: dérivée dune fonction §271 dérivée de xm §272 signification géométrique de la dérivée §273 dérivée dune somme §274 dérivée dun produit §275 dérivée de um §276 dérivée dun quotient §277 trouver la dérivée de √u
Chapitre III Application à létude des variations
§278 signe de la dérivée et courbe §279 réciproque §280 résumé §281 règle pour la recherche dun maximum ou dun minimum §282 marche à suivre pour létude des variations dune fonction (exemples)
NOTIONS DE TRIGONOMETRIE
Chapitre I Lignes trigonométriques
§1 but de la trigonométrie §2 lignes trigonométriques dun angle ou dun arc §3 définition: sinus §4 définition: cosinus §5 définition: tangente §6 définition: cotangente §7 définitions: sécante et cosécante §8 relations fondamentales §9 lignes trigonométriques de certains angles §10 tables trigonométriques §11 usage de la règle à calcul pour trouver le sinus et la tangente dun angle
Chapitre II Résolution des triangles rectangles
§12 théorème I: dans un triangle rectangle, un côté de langle droit est égal à lhypoténuse multipliée par le sinus de langle opposé au côté considéré, ou par le cosinus de langle adjacent §13 théorème: dans un triangle rectangle, un côté de langle droit est égal à lautre côté de langle droit multiplié par la tangente de langle opposé au côté considéré, ou par la cotangente de langle adjacent
Chapitre III Résolution des triangles quelconques applications
§14 théorème I: dans un triangle quelconque les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés §15 théorème: dans un triangle quelconque, le carré dun côté est égal à la somme des deux autres côtés moins deux fois le produit de ces deux côtés par le cosinus de langle quils comprennent (1er cas: le côté a est opposé à un angle aigu 2ème cas: le côté a est opposé à un angle obtus)
§13.1 Wat wordt bedoeld met Practische Meetkunde?
(Hoofdstuk 13 "Practische Meetkunde in het Hoger Primair Onderwijs")
§ 13.1 Wat wordt bedoeld met Practische Meetkunde?
Na zijn eerste teleurstellende ervaringen met het meetkundeonderwijs schreef een twaalfjarige Bruno Ernst (pseudoniem voor J.A.F. de Rijk, later oprichter van het wiskundig tijdschrift Pythagoras ) in zijn boekje De interessantste bewijzen voor de stelling van Pythagoras:
Maar daar kwam een ommekeer! Dat was toen de stelling van Pythagoras aan de orde kwam. Die vond ik fantastisch. Ongelooflijk, dat je daarmee dingen kon uitrekenen die je op geen enkel andere wijze kon voorspellen Ik wist toen nog niet dat ik mij met mijn bewondering in zeer goed gezelschap (hij had het over Kepler) bevond.
De grote astronoom Kepler heeft immers eens geschreven:
In de Meetkunde vinden we twee grote schatten: de ene is de Stelling van Pythagoras en de andere is de Gulden Snede. De ene kunnen we vergelijken met een schep goud, de andere mogen we een kostbaar juweel noemen (in Kepler s Mysterium Cosmographicum -1596-) .
Vanwaar toch dit grote enthousiasme? Was het werkelijk zo, dat deze stelling toeliet dingen te berekenen, die anders onmogelijk waren ? Waarover had een Bruno Ernst het toch?
De stelling van Pythagoras kwam in het meetkunde-onderwijs van die tijd inderdaad vrij laat aan de orde. Bij Dalle en De Waele was dit bvb eerst maar in het Derde Boek. In Molenbroek's « Leerboek der Vlakke Meetkunde », een klassieker in Nederland, was dit maar het geval in Hoofdstuk XVI (stelling 120). Op te merken valt, dat bij Euklides al sprake is van "Pythagoras" in het Eerste Boek (stelling 47).
Het is inderdaad zo, dat met de stelling van Pythagoras een nieuwe wereld opengaat en niet alleen op meetkundig vlak zoals men verder zal zien. Wat aan de stelling van Pythagoras voorafging vond de twaalfjarige Bruno Ernst maar een mager beestje en weinig inspirerend, want te abstract en te weinig op de practijk gericht.
Het is nu echter wel mogelijk Meetkunde met voldoende wiskundige gestrengheid te onderwijzen en toch terzelfdertijd oog te hebben voor de practische toepassingen. Een dergelijke meetkunde zou men « Practische Meetkunde » noemen en is uiteraard meer geschikt voor scholieren.
Een dergelijke krachttoer werd verwezenlijkt door Henri Bellenger en Henri Neveu met hun
* « Cours de Géométrie théorique et pratique E.P.S.planimétrie- » (Masson 1917-)
* « Cours de Géométrie théorique et pratique E.P.S. stéréométrie- » (Masson -1923-)
Het betreffen hier schoolboeken bestemd voor het Enseignement Primaire Supérieure, die blijkbaar ook in de Ecole Moyenne (Rijksmiddelbaar) in België gebruikt werden en waarover ik het in volgende cursiefjes zal hebben.
1- Waarom is de stelling van Pythagoras zo belangrijk?
De stelling van Pythagoras ligt aan de basis van de trigonometrie en is alleen al om deze reden buitengewoon belangrijk. Het enthoesiasme van een twaalfjarige Bruno Ernst was hoofdzakelijk hieraan te wijten. Dezelfde stelling ligt echter evenzeer aan de basis van wat men de onmeetbare getallen noemt en is dus erg belangrijk voor de Arithmetiek. Een en ander vraagt omverduidelijking.
Om te beginnen is het omgekeerde van de stelling van Pythagoras ook waar. Als voor een driehoek met zijden a, b en c geldt: c2 = a2 + b2 dan is die driehoek rechthoekig en is de hoek die tegenover de zijde c ligt de rechte hoek.
- Pythagorese drietallen:
Een Pythagorees drietal (a, b, c) wordt nu gedefinieerd als zijnde drie gehele getallen a, b, c met a < b < c waarvoor geldt a2 + b2 = c2. Uiteraard komt de benaming Pythagorees voort uit de stelling van Pythagoras, aangezien dergelijke getallen kunnen optreden als de zijden a, b van een rechthoekige driehoek met c als lengte van de schuine zijde.
Zo is bvb 3² + 4² = 5² wat betekent dat een driehoek waarvan de zijden respectievelijk 3, 4 en 5 m bedragen, een rechthoekige driehoek moet zijn. Het eenvoudigste Pythagorees drietal (3, 4, 5) was bekend om zijn toepassing voor het uitzetten van een rechte hoek. Daartoe gebruikte men een rondlopend touw met 12 knopen op gelijke afstanden.
Meester Hillewaert, die natuurlijk met handen en voeten gebonden aan het schoolse leerprogramma, ging hier echter niet dieper op in. Wel had hij het nog over dit eerste Pythagorees drietal (3, 4 en 5), maar daarmee was de kous ook af! Pythagorese drietallen zijn echter belangrijk voor de verdere ontwikkeling van de Arithmetiek.
Stelling 1: Als (a, b, c) een Pythagorees drietal is dan is ook (k.a, k.b, k.c) met k zijnde een geheel getal ook een Pythagorees drietal.
Voorbeeld: Is (3, 4, 5) een Pythagorees drietalvormen dan zijn ook de veelvouden, zoals bvb (6, 8, 10) en (9, 12, 15) Pythagorese drietallen.
Is a² + b² = c² (dus a, b, c een Pythagorees drietal) dan volgt door beide leden te vermenigvuldigen met k² :
k² (a² + b²) = k²(c²) wat equivalent is met
k²a² + k²b² = k²c² (want (a.b)n = an.bn zie cursiefje Elementaire Arithmetiek in de Broedersschool )
en derhalve vormen ook ka, kb, kc een Pythagorees drietal.
Stelling 2 : Voor alle gehele getallen m en n met m > n geldt nu dat het drietal (a, b, c), waarin a = m2 − n2 ; b = 2mn en c = m2 + n2 een Pythagorees drietal is. Deze stelling, uiterst belangrijk voor het opzoeken van Pythagorese drietallen (zie cursiefje "Arithmetiek in het Lager Secundair Onderwijs"), werd door Euklides meetkundig aangetoond (cf. "Elementen" boekdeel X, propositie 29), maar kan ook eenvoudig arithmetisch afgeleid worden.
Bewijs: Door toepassing van de identiteiten (zie cursiefje: Elementaire Arithmetiek in de Broedersschool) heeft men:
(m² - n²)² = (m²)² + (n²)² - 2(m²n²) (1)
Of (m² - n²)² + 2(m²n²) = (m²)² + (n²)² (1)
Tel nu 2(m²n²) bij (1) op dan komt er :
(m² - n²)² + 2(m²n²) + 2(m²n²) = (m²)² + (n²)² + 2(m²n²) of daar
(m² + n²)² = (m²)² + (n²)² + 2(m²n²) (2)
(m² - n²)² + 4(m²n²) = (m² + n²)² waaruit volgt
(m² - n²)² + (2mn)² = (m² + n²)²
Een Pythagorees drietal (a, b, c) wordt nu primitief genoemd als a, b en c geen deler gemeen hebben. Het is primitief dan en slechts dan als m en n relatief priem zijn en een van hen een even getal is. (Zijn zowel n als m oneven, dan zijn a, b, en c allemaal even en is het drietal dus niet primitief.) Er bestaan oneindig veel primitieve Pythagorese drietallen. Voorbeelden zijn (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17).
- Bestaan van irrationale getallen:
Een ander uiterst belangrijk gevolg van de Stelling van Pythagoras is het aantonen van het bestaan van irrationale getallen (1) . Een irrationaal getal is een getal dat niet te schrijven is als het quotiënt of verhouding van twee gehele getallen. Is een getal wel te schrijven als een quotiënt van twee gehele getallen, dan spreekt men over een rationaal getal.
Stelling 1: √2 is een irrationaal getal
De Pythagoreërs ontdekten dat nu dat de wortel uit 2 (√2) geen rationaal getal kon zijn. Omdat er echter in het wereldbeeld van de Pythagoreërs alleen plaats was voor rationale getallen, schrok men hier erg van. Zij probeerden het bewijs niet bekend te laten worden. Deze ontdekking wordt toegeschreven aan Hippasos van Metapontum, een leerling van Pythagoras. Deze zou als straf overboord gegooid zijn omdat hij dit geheim had openbaar gemaakt.
Het bewijs is gebaseerd op een reductio ab absurdum(bewijs uit het ongerijmde) (2) .
Bewijs: Veronderstel dat √2 een rationaal getal is en dus te schrijven als het quotiënt van twee gehele getallen: √2 = a/b waarbij a en b gehele getallen zijn zonder gemeenschappelijke delers (cf. vereenvoudigen van breuken). De GGD van a en b is dus 1.
Uit √2 = a/b volgt b√2 = a en kwadrateren levert 2b² = a² Daaruit volgt dat a² een even getal is.
Omdat het kwadraat van een oneven geheel getal altijd oneven is (toon aan!), kan a niet oneven zijn en dus is a zelf ook even. Stel dus a = 2 p, met p een geheel getal. Daaruit volgt weer:
2b² = a² = (2p)² = 4p² of nog b² = 2p²
We zien dat b² even is, en op dezelfde manier als hierboven bij a, trekken we de conclusie dat b ook even is.
Zowel a als b zijn dus even en bijgevolg deelbaar door 2; hieruit volgt: de grootste gemeenschappelijke deler van a en b is groter dan 1 (minstens 2)! Dit is echter in tegenspraak met onze keuze van a en b, die geen gemeenschappelijke deler hebben. Onze veronderstelling was bijgevolg verkeerd en daarmee is bewezen dat de wortel uit 2 een irrationaal getal is. q. e. d.
Stelling 2: Gegeven een geheel getal n. Als n geen kwadraat is, dan is √n irrationaal.
Het bewijs wordt hier gegeven door contrapositie (3).
Bewijs: De equivalente stelling van stelling 2 luidt: Gegeven een geheel getal n. Als √n rationaal is, dan is n een kwadraat. We nemen daartoe aan dat √n rationaal is.
Dan kunnen we positieve gehele getallen a en b vinden zodat √n = a/b met GGD (a,b) = 1.
Nu geldt dat n = a²/b² niet verder vereenvoudigd kan worden. Dus geldt in het bijzonder dat b2 = 1, want n is een geheel getal. Dus n = a2. Daarmee is de equivalente stelling bewezen en dus, door contrapositie, ook de oorspronkelijke.
De bewijsvoering van de stellingen betreffende de irrationale getallen was misschien te subtiel voor schoolbengels uit het lager onderwijs, maar leek mij wel begrijpelijk voor leerlingen uit het ULO.
Hoe dan ook, het was wel belangrijk al in het lager secundair onderwijs te spreken over irrationale getallen en te laten zien dat ze ook in werkelijkheid bestaan.
Men stelt dus vast dat een tweede uitbreiding van het getalbegrip naar irrationale getallen zal nodig zijn.
2- Pythagoras en Euklides
Zoals hierboven aangegeven, wordt de stelling van Pythagoras bij Euklides al afgeleid in het Eerste Boek van de "Elementen". Voor de bewijsvoering werd hierbij alleen gebruik gemaakt van de congruentie van driehoeken en de stelling dat driehoeken met gelijke basis en gelijke hoogte dezelfde oppervlakte hebben.
(wordt voortgezet)
------------------
(1) Irrationale of beter onmeetbare getallen. Het heeft mij steeds verwonderd dat noch in het lager, noch in het lager middelbaar onderwijs expliciet over irrationale getallen gesproken werd.
Het bewijs uit het ongerijmde berust op het axioma van de uitgesloten derde of van het uitgesloten midden, ook wel tertium non datur (Lat., "een derde is niet gegeven"). Dit axioma houdt in dat iedere uitspraak waar, dan wel onwaar is; een andere, derde, mogelijkheid is er niet. De bewijsvoering gebeurt als volgt:
- men neemt het tegengestelde aan van de stelling die te bewijzen is
- de tegengestelde stelling leidt tot gevolgtrekkingen, die in strijd zijn met de eerste stelling
- men besluit dat de tegengestelde stelling vals is en bijgevolg dat de eerste stelling waar is
Deze onrechtstreekse bewijsvoering is zo overtuigend als een rechtstreekse. Men zegt dat het overtuigt zonder de geest te verlichten.
Het bewijs door contrapositie is een methode om het wiskundig bewijs te geven van de stelling als A dan B, door het bewijzen van de stelling als niet B dan niet A. In de klassieke logica is deze laatste stelling equivalent aan de eerste: een bewijs van de ene stelling is ook een bewijs van de ander.
