(Hoofdstuk 10 "Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")

§ 10.1 Planimetrie en Dalle's Eerste en Tweede Boek

Deductieve Meetkunde ⁽¹⁾ diende normaal al onderwezen te worden vanaf het tweede jaar middelbaar en niet vanaf het derde middelbaar althans volgens de ministeriële omzendbrief van 1949. In het Officieel Rijksonderwijs werd deze omzendbrief vrijwel onmiddellijk toegepast. In het Vrij Onderwijs was echter een aanpassingsperiode nodig.

Begin de jaren vijftig, werd in het Sint Lodewijkscollege nog steeds het leerplan, daterend van vóór WOII - d.i. volgens de ministeriële omzendbrief van 1938-, gevolgd. Met het gevolg, dat deze meetkunde nog steeds vanaf het derde middelbaar (de vierdes) onderwezen werd, terwijl in andere onderwijsinstellingen (bvb athenea), dit dus al gebeurde vanaf het tweede middelbaar (de vijfdes).

Of dit vroegtijdig invoeren van de Deductieve Meetkunde een gelukkig initiatief was, blijft naar mijn mening een open vraag. Wellicht ware het beter geweest de leerstof Intuïtieve Meetkunde eerst nog wat meer uit te breiden? Hoe dan ook ik werd met de Deductieve Meetkunde geconfronteerd bij mijn voorbereiding voor het toelatingsexamen van de Cadettenschool.

Het leerboek « Deductieve Meetkunde », dat door mijn collegeleraar (E.H. Van Vooren) strikt en slaafs in de vierde humaniora gevolgd werd, was het bekende “Leerboek der Meetkunde voor middelbaar en normaal onderwijs -Vlakke Meetkunde-” van Antoine Dalle en Camille De Waele. Het betrof hier de Nederlandse vertaling van - « Cours de Géométrie à l’usage de l’enseignement moyen et de l’enseignement normal: Géométrie plane et Eléments de Topographie ».

Het boek deed verder ook dienst in de derdes en de tweedes terwijl in rhetorica, het onderwijs in de deductieve meetkunde zou voortgezet worden met een tweede leerboek over de meetkunde der ruimte “Leerboek der Meetkunde voor middelbaar en normaal onderwijs –Stereometrie-” van dezelfde auteurs.

Dit laatste boek was dan de Nederlandse vertaling van - « Cours de Géométrie à l’usage de l’enseignement moyen et de l’enseignement normal: Géométrie dans l’espace avec compléments ». Beide boeken bevatten een zeer groot aantal vraagstukken, waarvan de oplossing gegeven werd in een derde boek « 2000 Théorèmes et Problèmes de Géométrie avec solutions ». Dit laatste boek werd echter naar mijn weten nooit in het Nederlands vertaald.

De eerste edities van deze leerboeken dateerden al van vóór de Eerste Wereldoorlog want in 1914 verscheen immers al een vierde druk. Voor zover ik heb kunnen nagaan verscheen er zelfs nog een herdruk van de “Vlakke Meetkunde” in 1980! Zelf gebruikte ik de achttiende editie daterend van 1951.

Het dient gezegd, deze leerboeken hadden een goede faam en worden nog altijd hoog aangeschreven ook in Frankrijk, waar in dezelfde periode, bvb een Comberousse, een Hadamard, voorhanden waren (zie blog 2 cursiefje §4.1). Voor sommigen zijn deze boeken –ik citeer- : ..Le nec plus ultra des cours de géométrie euclidienne dans les années 1960-1970 (ces cours sont) maintenant introuvables, excepté dans certaines bibliothèques universitaires…

Over de auteurs van deze leerboeken heb ik weinig kunnen terugvinden. Antoine Dalle, de wiskundeleraar en werkelijke auteur van deze boeken, was een Broeder (Frère Majorin) van de Christelijke Scholen. Hij behoorde tot het “Institut Saint Ferdinand», een instituut, dat nog in 2000 zijn honderdvijftig jaar bestaan vierde. Camille De Waele (1872-1927) was directeur van hetzelfde Instituut gedurende WOI.

De leerboeken van Antoine Dalle en Cyrille De Waele behandelen het meetkundig gedeelte van de Elementen van Euclides, een werk, dat gedurende meer dan tweeduizend jaar, de Westerse wiskunde beheerst heeft. Ook was er net zoals bij Euklides een indeling in « Boeken » (4 voor de vlakke en 4 voor de ruimtemeetkunde). 

Toen ik in 1954 mijn meetkundestudie ter voorbereiding van het toelatingsexamen KCS begon, dacht ik zelfs dat deze leerboeken een aangepaste en herwerkte vertaling waren van de fameuze Boeken van Euklides. Deze herwerking was immers noodzakelijk daar, sinds Euklides, nog andere meetkundigen zoals bvb Euler, Gauss, Wallace, Ceva.. hun steentje hadden bijgedragen tot de verdere uitbouw van de Deductieve Meetkunde.

Eerst na mijn humaniora zal ik maar vaststellen dat, noch de opeenvolging van de stellingen, noch hun nummering overeenstemden met de « Propositiones » (d.i. stellingen of theorema's) in de fameuze Boeken van de beroemde Alexandrijnse wiskundige. Er was een Sir Thomas Heath en vooral zijn driedelig werk « Euclid, the Thirteen Books of the Elements -translated with introduction and commentary- » (Dover, -1956-) ⁽²⁾ nodig om mij van dit eerste valse idee af te helpen. 

                                                         *                     *                      *

Maar terug naar Dalle en De Waele. In werkelijkheid waren de boeken van Dalle en De Waele voor een overgroot deel geïnspireerd door de "Eléments de Géométrie" van de befaamde Franse wiskundige Adrien Marie Legendre ⁽⁴⁾ . Laatstgenoemd werk bevatte ook nog een "Traité de Trigonométrie" (vlakke en boldriehoeksmeting), gedeelte dat door Dalle en De Waele niet weerhouden werd, blijkbaar om didactische redenen. Sommige didactici waren immers van oordeel dat een scheiding tussen de "zuivere" meetkunde en driehoeksmeting wenselijk was.    

Het Eerste Boek “Rechtlijnige Figuren” van Dalle en De Waele telde 33 stellingen en omvatte een aantal begrippen en axioma’s in relatie tot punten, lijnen, rechten, hoeken, loodlijnen, evenwijdige rechten en vooral enkele zeer belangrijke definities en stellingen betreffende de driehoeken (congruentie, som van de binnenhoeken is gelijk aan 2 rechte hoeken ) met applicatie op de bekende vierhoeken (vierkant, rechthoek, parallellogram, ruit..). Een aantal bijzondere stellingen ( als “Toepassingen “ gecatalogeerd) betreffende de drie zwaartelijnen, de drie middelloodlijnen en de drie hoogtelijnen in een driehoek, sloten het Eerste boek af.

Het Tweede Boek “Cirkelomtrek en Maat van Hoeken” telde 26 stellingen en omvatte naast een reeks onvermijdelijke definities (cirkelomtrek, cirkel, straal, koorde, boog…) enkele theorema’s over koorden en bogen, raaklijnen en normalen, snijdende en rakende cirkelomtrekken, meten van hoeken en tenslotte de theorie over de ingeschreven en omschreven figuren. Het Tweede Boek werd afgesloten door een specifiek hoofdstuk over meetkundige werkstukken of constructies in relatie tot het Eerste en Tweede Boek. Voor deze werkstukken, die als een bijzonder type stellingen worden beschouwd, mochten alleen passer en liniaal gebruikt worden(groot verschil met de Intuïtieve Meetkunde, waar ook winkelhaak en gradenboog gebruikt werden).

Het Derde Boek “Gelijkvormigheid en Oppervlakte van Rechtlijnige Figuren” telde 34 stellingen en handelde over evenredige lijnstukken, gelijkvormige driehoeken en veelhoeken, over het begrip oppervlakte en het meten van oppervlakten(rechthoek, parallellogram, driehoek, trapezium), en over de betrekkingen tussen de vierkanten en rechthoeken geconstrueerd op de zijden van driehoeken : de stelling van Pythagoras, de projectiestellingen en de zwaartelijnstelling en de stelling van Euler, de stelling van Stewart. Hierop volgde de theorie van de ingeschreven figuren (vierhoeken): het theorema betreffende de macht van een punt t.o.v. een cirkel, de productstellingen (isogonaal verwante rechten), de stellingen van Ptolemaios. Zoals bij het “Tweede Boek” werd het Derde Boek afgesloten met een reeks meetkundige constructies waaronder de fameuze “Gulden Snede”.

Het Vierde Boek “Regelmatige Veelhoeken en Cirkel” telde slects 15 stellingen en bevatte een studie over de regelmatige veelhoeken en hun meetkundige constructie (vierkant, zeshoek, gelijkzijdige driehoek, tienhoek en vijfhoek), de theorie over de lengte van de cirkelomtrek en de oppervlakte van de cirkel en de methodes om de verhouding van de cirkelomtrek tot de middellijn (Saurin, Schwab) te berekenen.

Het Complement omvatte wat Schuh de Nieuwere Meetkunde ⁽⁵⁾ noemde. De in het Complement behandelde leerstof was uitsluitend voorbehouden voor het hoger secundair onderwijs (moderne humaniora).

Voortgaande op het examenprogramma van het toelatingsexamen van de Cadettenschool, wist ik dat de te kennen examenleerstof verwerkt was in de vier boeken van Dalle en De Waele. Daar andere meetkundeboeken (zoals die bvb van de collectie Mineur) mij op dat ogenblik totaal onbekend waren of nog niet op de markt waren (zoals bvb die van de collecties Bockstaele of Herbiet), nam ik als leidraad Dalle’s boek mij beperkend tot de zogenaamde Vier Boeken en met uitsluiting van het bijhorende "Complement".

In de herfst van 1954 heb ik dan ook vele avonden doorgebracht met het verwerken van deze materie. Eerlijk gezegd interesseerde deze deductieve meetkunde mij wel want ik kreeg een antwoord op een aantal vragen, die ik mij gesteld had bvb Waarom is de som van de hoeken van een driehoek altijd 180°? Waarom snijden de drie hoogtelijnen, zwaartelijnen… elkaar in één punt? Wat betekent π eigenlijk?

I- Van Intuïtief Begrip naar Precieze Definitie (partim boeken I en II) :

Vooraleer te starten met de diverse te bewijzen stellingen is het nodig enkele door observatie en intuïtie verkregen noties wat scherper te definiëren. Deze definities vindt men bij Dalle en De Waele gespreid terug in de Boeken I en II. Uiteraard vindt men deze definities ook terug bij Euklides maar dan wel in het begin van de Boeken I, III, en V.

De formuleringen van Euklides zijn soms moeilijk te vatten en te interpreteren. Grieks is zoals Latijn een dode taal en zelfs na vergelijken van de oorspronkelijke Griekse tekst met de Latijnse vertaling van Proklos blijft er discussie over de juiste betekenis van sommige woorden en uitdrukkingen (voer voor taalgeleerden!).    

- Boek I van de « Elementen » van Euklides start met 23 definities: punt (1), lijn (2), uiteinden van een lijn (3), rechte lijn (4), vlak (5), uiteinden van een vlak (6), plat vlak (7), hoek in een plat vlak (8), hoek in een plat vlak of rechtlijnige hoek (9), rechte hoek en loodrechte in een plat vlak (10), stompe hoek in een plat vlak (11), scherpe hoek in een plat vlak (12), meetkundige grens (13), meetkundige figuur (14), cirkel (15), middelpunt van een cirkel (16), diameter van een cirkel (17), halve cirkel (18), rechtlijnige figuren -driezijdige, vierzijdige en meerzijdige figuren- (19), soorten driezijdige figuren of driehoeken -gelijkzijdige en gelijkbenige driehoeken- (20), rechthoekige en stomphoekige driehoek, scherphoekige driehoek (21), vierkant, rechthoek, parallellogram, ruit en trapezium (22), evenwijdige rechten (23). 

Het is evident dat al deze begrippen niet zo maar uit de lucht vielen en hun oorsprong vinden in de dagdagelijkse praktijk (belang van de Intuïtieve Meetkunde !!!); het kwam er op aan deze intuïtieve begrippen een messcherpe omschrijving of definitie te geven, die bruikbaar was voor een axiomatische meetkunde en dat was precies het probleem waar Euklides voor stond. 

Naast deze definities omvat Boek I dan ook nog een aantal postulaten (meetkundige axioma's) en axioma's:

- postulaat 1 het is steeds mogelijk een punt met een ander punt te verbinden met een rechte lijn

- postulaat 2 het is steeds mogelijk een lijnstuk op een rechte af te beelden

- postulaat 3 het is steeds mogelijk een cirkel met gegeven middelpunt en straal af te beelden

- postulaat 4 alle rechte hoeken zijn gelijk

- postulaat 5 indien een rechte twee rechten snijdt onder inwendige hoeken waarvan de som kleiner is dan twee rechte hoeken, dan snijden bij verlenging deze rechten elkaar behalve in het geval dat de som der inwendige hoeken gelijk is aan twee rechte hoeken.

Dit fameuze vijfde postulaat heeft veel inkt doen vloeien en later werd door Playfair ⁽⁶⁾ volgende formulering voor gesteld:

« Door een gegeven punt buiten een gegeven rechte gelegen kan men, in het (platte) vlak bepaald door dit punt en de gegeven rechte, één en slechts één evenwijdige rechte met de gegeven rechte trekken »

Het is deze laatste formulering, die men in de schoolboeken, die over deductieve meetkunde handelen, aantreft, althans in de vorige eeuw.

Als axioma's (wat bij Euklides "algemene inzichten" heette) had men:

In de moderne meetkunde ⁽⁷⁾ worden Euclides’ definities en axioma's heden anders geformuleerd. Wat de Elementen zo beroemd maakte, is de axiomatische onderbouwing van de meetkunde en dat er stellingen bewezen worden uitgaande van axioma’s. De vijf postulaten zijn de axioma’s van de Euclidische meetkunde. Moderne Wiskunde, inzonderheid Moderne Meetkunde is echter niet geschikt voor het secundair onderwijs en dat heeft het "Modern Math experiment" wel duidelijk gemaakt...


1° De basisbegrippen: punt, rechte (lijn), plat vlak, ruimte, lichaam

Dalle’s  leerboek startte met een inleidend hoofdstuk “Methode der Limieten», een hoofdstuk waarvan de enorme draagwijdte mij op dat ogenblik ontging en dat ik -in eerste lezing- links liet liggen, want niet voorzien in de te kennen leerstof voor het toelatingsexamen KCS.

In een volgend kort hoofdstukje “Inleidende Begrippen” werden, overeenkomstig Euklides' Elementen, achtereenvolgens de begrippen inhoud, oppervlak, lijn, punt, meetkundig lichaam, meetkundige figuur, meetkunde, lengte, breedte, hoogte, rechte, lijnsegment of lijnstuk, gebroken lijn, kromme lijn, plat vlak, congruentie en dito ingevoerd en wel in de aangegeven volgorde.

Eerlijk gezegd, ik vond dit hoofdstukje bij Dalle wat verward en verwarrend want de overgang intuïtief begrip naar precieze definitie werd niet duidelijk omschreven. Er was een “de Snor” in de Cadettenschool nodig, om mij later op het juiste spoor te brengen. Ook in “Beginselen der Vlakke Meetkunde –deel I- ” (tweede uitgave, 1944) van de collectie Mineur, werden – zoals ik eerst maar vele jaren later- kon vaststellen, deze grondbegrippen onvoldoende scherp gedefinieerd. Ongelooflijk, indien men weet, dat de ganse Deductieve Meetkunde op deze grondbegrippen gebaseerd is.

Om deze reden en ook als een eresaluut aan mijn oud-leraar Meetkunde in de Cadettenschool Leo Vanden Bosch (bijgenaamd de "Snor"), volgen hier zijn definities, die veelal teruggaan naar het oorspronkelijke werk van Euklides.  

Punten, rechten, vlakken hoeken enz. werden in de aanschouwelijke ofte intuïtieve meetkunde voorgesteld als reële objecten. Bij Euklides (deductieve meetkunde) werden deze begrippen op een axiomatische wijze gedefinieerd, waardoor zij het statuut van "abstract" begrip verkregen. 

Een punt  werd bij de Snor -net zoals bij Euklides- gedefinieerd als een meetkundig object zonder uitgebreidheid of dimensie (afmeting). In de Intuïtieve Meetkunde kon men zich een punt voorstellen als een “stip”. Een punt werd aangeduid door een hoofdletter bvb A of O.

Een lijn is een meetkundig object met één afmeting, in beginsel langs beide zijden onbegrensd of beter waarvan de dimensie onbegrensd is. Een lijn is samengesteld uit een continue puntenreeks en kan diverse vormen (gebogen, gebroken, recht) aannemen. Door twee punten gaan er oneindig veel soorten lijnen of krommen.

Een lijnstuk is het gedeelte van een lijn begrepen tussen twee punten. Het maatgetal van een lijnstuk is de verhouding van dit lijnstuk tot een ander lijnstuk, dat als eenheid genomen wordt en is een bij definitie een onbenoemd getal. De lengte is de maat van een lijnstuk. Deze maat wordt aangegeven door het maatgetal van het lijnstuk t.o.v. een gekozen eenheid die gepreciseerd moet worden.

Een halve lijn is een lijn die langs één zijde begrensd is.

Een rechte lijn of kortweg rechte is een lijn (dus een meetkundig object met één afmeting) bepaald door haar eigenschappen (soms postulaten van de rechte geheten) : 1° - een rechte wordt volkomen bepaald door twee punten wat betekent dat door twee punten één en slechts één rechte gaat; 2° - een rechte is langs beide zijden onbegrensd.

Een recht lijnstuk is een segment van een rechte begrepen tussen twee punten A en B. Een rechte kon dus ondubbelzinnig aangegeven worden door twee punten bvb de rechte AB. Om dergelijke rechte voor te stellen, te tekenen of te construeren zoals dat heette gebruikte men een lat of regel. In het courante spraakgebruik spreekt men veelal van “lijnen” waar onder dan verstaan moet worden “rechte lijnen”.

Gebroken lijnen zijn lijnen die niet recht zijn maar uit delen bestaan die recht zijn; kromme lijnen of krommen zijn lijnen, waarvan geen enkel deel, hoe klein ook, recht zijn.  

Een rechte lijn werd in de Intuïtieve Meetkunde voorgesteld als een stuk zeer lange, onbegrensde fijne draad, een rechte (lijn) als een strak gespannen draad, gedacht langs beide zijden onbegrensd.

Een vlak werd door de Snor gedefinieerd als een meetkundig object met twee afmetingen en die in beide dimensies onbegrensd gedacht wordt. Een vlak is samengesteld uit continue puntenreeksen in beide dimensies. Vlakken komen in diverse vormen of krommingen (gekromd vlak, plat vlak) voor. Een oppervlak is een door een gesloten lijn begrensd vlak. De oppervlakte is het maatgetal van een oppervlak. Het maatgetal van een oppervlak is de verhouding van dit oppervlak tot een ander oppervlak, dat als eenheid (oppervlakte-eenheid) genomen wordt.

 Een plat vlak is een vlak (dus een meetkundig object met twee afmetingen) gedefinieerd door volgende eigenschap, veelal postulaat van het plat vlak geheten: een rechte die 2 punten gemeen met dit vlak heeft, ligt er helemaal in. Een plat vlak is in beginsel onbegrensd in beide dimensies. In het courante spraakgebruik spreekt veelal van “vlakken” waarbij men dan “platte vlakken” bedoeld.

Het idee van plat vlak werd in de Intuïtieve Meetkunde verkregen door aanschouwing van een (kalm) wateroppervlak, een spiegel of glazen plaat. Hoewel het vlak onbegrensd is, is het toch voor te stellen door een figuur die in het vlak geconstrueerd is; gewoonlijk tekent men een parallellogram en duidt men dit vlak aan door twee overstaande hoekpunten van het getekende parallellogram; soms duidt men ook het vlak aan met een Griekse letter bvb het vlak α. 

Noot: De meetkunde van de meetkundige figuren in een plat vlak, wordt "Vlakke Meetkunde" of ook nog « Euklidische meetkunde » genoemd, want het is deze meetkunde die Euklides in zijn fameuze Elementen behandelde. Maar wat met de meetkundige figuren en hun eigenschappen die in een gekromd vlak gelegen zijn bvb in een kegelvormig (konisch), bolvormig (sferisch) vlak of ellipsoïdaal ⁽⁸⁾ of hyperboloïdaal ⁽⁹⁾ vlak?
De E.N.S.I.E. leerde mij in 1954 dat ook deze laatste meetkunden bestonden en respectievelijk de elliptische (Riemann, Klein) en hyperbolische (Gauss, Lobachewski) meetkunde genoemd werden. Het grote belang van al deze meetkunden ontging mij toen echter volkomen.      

De (meetkundige) ruimte werd door de Snor gedefinieerd als een meetkundig object met drie dimensies, onbegrensd in de drie dimensies. De ruimte is samengesteld uit continue puntenreeksen in de drie dimensies. Een (meetkundig) lichaam is een door een gesloten oppervlak afgesloten ruimte. De inhoud of volume is het maatgetal van een (meetkundig) lichaam. Het maatgetal van een (meetkundig) lichaam is de verhouding van dit lichaam tot een ander lichaam, dat als eenheid (volume-eenheid) genomen wordt.

Een rechte in een vlak verdeelt een plat vlak in twee gebieden, die halfvlakken genoemd worden. Deze rechte wordt dan grensrechte genoemd. Door een halfvlak te laten wentelen rond een van zijn grensrechten is elk halfvlak door een willekeurig punt van de ruimte te brengen.

Het bestaan van platte vlakken volgt uit volgend theorema:

Bestaansstelling van het plat vlak: “Door drie niet op één rechte gelegen punten is steeds een vlak aan te brengen en slechts één” of nog anders geformuleerd “Drie niet- colineaire punten bepalen een plat vlak”.

(wordt voortgezet)
 

----------------------------

(1) Met de term "Deductieve Meetkunde" wordt hier in de eerste plaats bedoeld de meetkunde zoals door Euklides gedefinieerd. De meetkunde van Euklides was gedurende eeuwen de enige axiomatische theorie in de wiskunde. Zij heeft als model gediend voor de ontwikkeling van de axiomatische wiskunde (zie cursiefje " Wat is "New Math"? " in blog 2). Ofschoon de term "axiomatische meetkunde" voor het aanduiden van de meetkunde van Euklides eveneens verantwoord lijkt, is het beter deze laatste term voor te behouden aan de meetkunde zoals ontwikkeld door David Hilbert in zijn "Grundlagen der Geometrie" (1903). Hilbert heeft het axiomasysteem van Euklides verder uitgewerkt en verbeterd met vijf groepen axioma's (zie http://de.wikipedia.org/wiki/Hilberts_Axiomensystem_der_euklidischen_Geometrie ).

Deze laatste axiomatische meetkunde is op didactisch vlak echter minder geschikt voor het secundair onderwijs.

In blog 2 wordt een cursiefje (§4.1 "Wat is Deductieve Meetkunde?") aan de verder ontwikkeling van de Deductieve Meetkunde sedert Euklides, met namen als Adrien Marie Legendre en Jacques Hadamard, gewijd. 

(2) zie: Thomas Heath « Euclid The Thirteen Books of the Elements » (3 volumes) -Dover- (1956). De definities zoals door Euklides ingevoerd worden uitvoerig besproken in het eerste volume (p 155 - 194)
 
(3) zie: http://books.google.be/books?id=lQsOAAAAQAAJ&printsec=frontcover&dq=inauthor:%22Claas+Jansz+Vooght%22&source=bl&ots=ftIs3sHkaO&sig=EIjKfhu064j_oaNtY5HX4oSjwUg&hl=nl&sa=X&ei=iLEkUM6IMqfE0QX464HICg&ved=0CDIQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false

(4) zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre

(Hoofdstuk 9 "Intuïtieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs") 

§9.3 Symmetrie en het beginsel van Cavalieri 

 In de Intuïtieve Meetkunde werd ook al enige aandacht besteed aan het begrip “Symmetrie”. Hier toch even aanstippen dat symmetrie in de Wiskunde, maar ook in de Natuurkunde en bvb de Kristallografie een erg belangrijk begrip is (zie http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry ) en dat dus een eerste kennismaking al in het Hoger Primair of Lager Secundair Onderwijs zeker verantwoord was en is.

Men spreekt van (meetkundige) symmetrie (Grieks: συν, samen en μετρον, maat) bij een object als twee helften van het object in een bepaalde zin elkaars spiegelbeeld zijn. Dit spiegelen kan ten opzichte van een punt, een lijn of een vlak zijn.

1° Symmetrie in het vlak en in de ruimte:

In het schoolboek “Intuïtieve Meetkunde” van de collectie De Vaere – Herbiet werden vooreerst de begrippen “symmetrie t.o.v. een rechte”, en “symmetrie t.o.v. een punt” in het vlak aan de hand van enkele praktische voorbeelden uit het dagelijkse leven gedefinieerd en toegepast op enkele meetkundige figuren als vierkant, rechthoek, ruit en dito...

- symmetrie t.o.v. een rechte: twee vlakke figuren liggen symmetrisch t.o.v. een rechte uit dit vlak, de symmetrieas geheten, indien bij een halve omwenteling om deze as elke figuur precies de stand inneemt die de andere te voren innam. Of nog indien de twee figuren elkaar volkomen bedekken, als men het blad waarop beide figuren getekend zijn volgens de as omplooit (voor een voorbeeld zie figuur 1 symmetrie t.o.v. een rechte). Objecten, die geen symmetrieas hebben worden asymmetrisch genoemd.

- symmetrie t.o.v. een punt: een vlakke figuur is symmetrisch t.o.v. een punt van dit vlak, als zij terug hetzelfde uitzicht vertoont, na een halve omwenteling (180°) om dit punt (voor een voorbeeld zie figuur 2 symmetrie t.o.v. een punt). Puntsymmetrie is een bijzonder geval van draai- of rotatie symmetrie. Bij draaisymmetrie bekomt men hetzelfde uitzicht na een wenteling van x° (bvb 90°, 60° enz.) en men spreekt dan van een rotatie- as van 90°, 60° enz.

Toepassing: De symmetrie van vlakke figuren:

Vierkant: Het vierkant heeft vier symmetrieassen en één symmetriemiddelpunt

Rechthoek: De rechthoek heeft twee symmetrieassen; het zijn de rechten die de middens van twee overstaande zijden verbinden. De rechthoek heeft één enkel symmetriemiddelpunt: het snijpunt van de twee symmetrieassen.

Ruit: De ruit heeft twee symmetrieassen, de diagonalen, en één symmetriemiddelpunt, hun snijpunt.

Parallellogram: Het parallellogram heeft geen symmetrieas, maar wel een symmetriemiddelpunt

Driehoek: Een willekeurige driehoek heeft geen symmetrieas, noch symmetriemiddelpunt. Een gelijkbenige driehoek heeft één symmetrieas, een gelijkzijdige driehoek drie symmetrieassen. Een gelijkzijdige driehoek heeft een draaisymmetrieas van 60°.

Cirkel: De cirkel is de meetkundige figuur met volkomen symmetrie: elke diameter is een symmetrieas en het middelpunt van de cirkel is zijn symmetriemiddelpunt.

Enkele vraagjes:

1- welke hoofdletters (drukwerk) hebben een verticale, een horizontale en twee symmetrieassen?

2- welke cijfers (drukwerk) hebben twee symmetrieassen en een symmetriemiddelpunt?

Vervolgens kwam de symmetrie in de ruimte aan de beurt, waarbij naast “symmetrie t.o.v. een rechte”, en “symmetrie t.o.v. een punt” nu ook nog de “symmetrie t.o.v. een vlak” gedefinieerd werd en de symmetrie van enkele meetkundige lichamen, kubus, cilinder, bol onderzocht werden.

- symmetrie t.o.v. een vlak: twee lichamen liggen symmetrisch t.o.v. een vlak, dat symmetrievlak geheten wordt, als zij elkaars spiegelbeeld zijn.

Plaatst men een object voor een spiegel dan is het spiegelbeeld van het object het symmetrisch beeld van het object en de spiegel het symmetrievlak. Bij symmetrische objecten ligt ieder punt van object en symmetrisch object op gelijke afstand van het symmetrievlak. Een voorbeeld van symmetrische objecten t.o.v. een vlak zijn bvb de handpalmen. Leg beide handpalmen goed tegenover elkaar, maar gescheiden door bvb een eenvoudig stuk karton. Beide handen liggen symmetrisch ten opzichte van het karton want met ieder punt van de ene hand stemt een punt van de andere hand overeen en beide punten liggen op gelijke afstand van het karton dat als symmetrievlak optreedt.

Symmetrische objecten of lichamen bezitten een gelijk volume, doch velen kunnen niet op elkaar gelegd worden. Zo past bvb de linker handschoen inderdaad niet aan de rechterhand. Neem echter een rechter handschoen en stroopt ze over: ze past nu wel aan de linkerhand.

Toepassing: De symmetrie van ruimtelijke lichamen

Een rechte die doorheen een lichaam gaat is een symmetrieas als, bij wentelen om deze rechte, het lichaam in zijn oorspronkelijk uizicht terugkeert na iedere halve omwenteling (180°).

De nodige en voldoende voorwaarde opdat een punt een symmetriepunt van een lichaam zou zijn is dat dit punt het middelpunt is van alle lijnstukken die men door dit punt kan trekken en waarvan de eindpunten op het oppervlak van het lichaam liggen.

Kubus: De kubus bezit 3 + 6 of 9 symmetrieassen: drie gaan door de symmetriemiddelpunten van twee overstaande zijvlakken; 6 gaan door de middens van twee evenwijdige ribben (zie figuur 3 symmetrieassen kubus). De diagonalen van een kubus zijn rotatieassen met een hoek van 120° (een derde van een volledige omwenteling). De kubus bezit één symmetriemiddelpunt.

Cilinder: De (rechte) cilinder bezit als hoofdsymmetrieas de rechte die door de middelpunten van grond- en bovenvlak gaat en een onbeperkt aantal zijsymmetrieassen bepaald door twee diametraal gelegen punten op de cilinder mantel (zie figuur 4 symmetrieassen cilinder). Het midden van de hoofdsymmetrieas van de cilinder is het enige symmetriemiddelpunt van de cilinder.

2° De scheve meetkundige lichamen 

Bijlagen:
figuur 1 lijn-symmetrie.jpg (55.9 KB)   
figuur 10 dissectie dodecaëder.jpg (34.3 KB)   
figuur 2 punt-symmetrie.jpg (5.4 KB)   
figuur 3 symmetrieassen kubus.jpg (58.4 KB)   
figuur 4 symmetrieassen cilinder.jpg (31.2 KB)   
figuur 5 doorsneden kubus.jpg (112.8 KB)   
figuur 6 doorsneden cilinder.jpg (50.4 KB)   
figuur 7 beginsel van Cavalieri.jpg (51.1 KB)   
figuur 8 platonische lichamen.jpg (18.5 KB)   
figuur 9 dissectie platonische lichamen.jpg (51.2 KB)   

(Hoofdstuk 9 "Intuïtieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs") 

§ 9.2 De Stelling van Thales

Het introduceren van de Deductieve (of Axiomatische) Meetkunde vanaf de vijfde (tweede jaar middelbaar) of vanaf de vierde humaniora (derde jaar middelbaar), zoals opgelegd in het begin van de jaren vijftig, was naar mijn mening geen erg gelukkig initiatief. Deze introductie gebeurde in die jaren volgens een methode uitgewerkt door Adrien-Marie Legendre ⁽¹⁾ , een methode, die bvb integraal gevolgd werd door het bekende schoolboek van Dalle en De Waele. Wellicht zou het beter geweest zijn, het introduceren van deze Deductieve Meetkunde nog met een jaar uit te stellen en uitsluitend voor te behouden voor het hoger middelbaar?

In het lager middelbaar had men dan de vrijgekomen uren kunnen besteden aan het nog wat verder uitdiepen van de Intuïtieve Vlakke Meetkunde o.m. met de stelling(en) van Thales van Milete (zie ikoon) en met een wat meer diepgaande studie van de regelmatige veelhoeken, de cirkel en de ellips. Een dergelijke aanpak leek mij i.h.b. aangewezen voor Grieks-Latinisten, die op deze wijze kennis konden maken met een tweede grote figuur uit de Griekse wiskunde met name Thales van Milete.

Natuurlijk weet ik wel dat vele wiskundigen het met mijn stellingname niet eens zullen zijn en het argument zullen aanvoeren, dat zo vroeg mogelijk met een deductieve (of axiomatische) meetkunde moet gestart worden om te vermijden dat de scholier verkeerde begrippen of ideeën krijgt ingeprent. Ook is er het beginsel dat systematische deductie essentieel is voor een goede wiskundige vorming en dat er zo snel mogelijk, d.i. van zodra didactisch haalbaar, met een systematische bewijsvoering moet gestart worden.

Mag ik hier toch even aanhalen, dat op de dag van vandaag Meetkunde in het secundair onderwijs tot een minimum (eufemisme) is herleid en dat de Intuïtieve Meetkunde al evenmin aan bod komt? In mijn ogen een zeer ongelukkige situatie, waardoor vele volwassenen elk meetkundig inzicht missen en niet eens meer in staat zijn bvb de inhoud van een pyramide, bol of wat dan ook te berekenen.

Overigens mag wel eens benadrukt worden dat juist een goede kennis van de Intuïtieve Meetkunde er toe leidt het werk van Euclides volledig naar waarde te schatten… Wat door intuïtie, observatie en experiment was gevonden, werd immers door deze Alexandrijnse wiskundige in een min of meer sluitende, axiomatische theorie samengevat ⁽²⁾ …

                                           *                        *                         *

Maar terug naar Thales van Milete ⁽²⁾ . Alles wat we van Thales weten is uit 'tweede hand', dus afkomstig van mensen die over hem hebben geschreven. Van zijn geschriften is niets bewaard gebleven. Het is zelfs onduidelijk of hij ooit wel iets heeft geschreven. Ook werden in die tijd aan beroemde persoonlijkheden vaak allerlei zaken toegeschreven die ze wellicht helemaal niet zelf hadden gedaan of bedacht.
Toch wordt Thales gezien als de eerste Griekse filosoof, natuurwetenschapper en wiskundige. Hij was de eerste bekende denker over de wiskunde en de natuurwetenschap. Zo zou hij een boek over navigatie hebben geschreven waarin hij zeevaarders aanraadde om hun koers te bepalen met behulp van het sterrenbeeld de Kleine Beer (in plaats van de Grote Beer). Ook worden een aantal stellingen van de Griekse meetkunde aan hem toegeschreven.

Volgens sommigen was Thales' wiskundige kennis niet veel meer dan wat hij die geleerd had op zijn reizen naar Egypte, waar deze meetkundige kennis al lang bekend was. Het is ook erg onzeker of Thales al een idee had van de abstracte theorie van de vlakke meetkunde en begrippen als 'stelling' en 'bewijs', zoals men drie eeuwen nadien bij Euklides aantreft.

Een zestal stellingen uit de vlakke meetkunde worden aan Thales van Milete toegeschreven:

I- Een cirkel wordt door elke diameter in twee gelijke stukken verdeeld.

II- De basishoeken van een gelijkbenige driehoek zijn gelijk.

III- De overstaande hoeken bij twee snijdende lijnen zijn gelijk.

IV- Twee driehoeken zijn congruent als ze twee hoeken en een zijde gelijk hebben.

V- “Elke omtrekshoek op de middellijn van een cirkel is een rechte hoek” of nog “Van een rechthoekige driehoek is het midden van de schuine zijde het middelpunt van de omgeschreven cirkel”

Deze vijfde stelling is bekend als de« cirkelstelling » van Thales. Noteer dat deze stelling ook al door de bouwmeesters van het Oude Egypte werd gebruikt. De cirkelstelling komt bij Euklides voor in het Zesde Boek propositie 31.

Een zesde stelling, die eveneens aan Thales toegeschreven wordt en die ten lande -althans in Frankrijk, België, Zwitserland- als DE stelling van Thales wordt beschouwd, is de zogenaamde « intersectiestelling ». Deze Intersectiestelling komt bij Euklides voor in het Zesde Boek Propositie 2 (VI, 2) en kan ook nog als volgt geformuleerd worden:

VI- Evenwijdige lijnen snijden van twee lijnen evenredige stukken af.

De Cirkelstelling en de Intersectiestelling en vooral hun toepassingen vinden hun plaats in de Intuïtieve Meetkunde. Meer nog ze kunnen ook nog op basis van voorgaande stellingen uit de Intuïtieve Meetkunde worden afgeleid en bereiden ook voor op de meetkunde van Euclides. Overigens voert de “intersectiestelling” rechtstreeks tot een eerste kennismaking van wat men later trigonometrie is gaan noemen.

1° De Cirkelstelling van Thales ⁽³⁾ :

De cirkelstelling van Thales luidt als volgt: « Een driehoek ∆ ABC omschreven door een cirkel, en waarvan één zijde een middellijn van de cirkel vormt, is een rechthoekige driehoek. »

Gegeven: een ∆ ABC ingeschreven in een cirkel met AC als middellijn.

Te bewijzen: hoek B is een rechte hoek.

Bewijs: Deze stelling is eenvoudig te bewijzen met behulp van figuur 1 “cirkelstelling van Thales” (zie bijlage 1). Men drukt meetkundig uit dat men met een omgeschreven cko te doen heeft en trekt de straal OB. Aangezien O het middelpunt van de cirkel is, is de afstand OA gelijk aan OB en zijn de hoeken α gelijk. Een analoog argument laat zien dat de hoeken β gelijk zijn. Voor de driehoek ABC geldt dat de som der hoeken gelijk is aan 180°. Hieruit volgt dat α + (α + β) + β = 180° en dus dat α + β = 90°.

De omgekeerde stelling is eveneens waar: « De omgeschreven cirkel van een rechthoekige driehoek heeft de hypotenusa van deze driehoek als middellijn »

Gegeven: ∆ ABC is een rechthoekige driehoek met hoek B als rechte hoek

Te bewijzen: BC is de middellijn van de omgeschreven cirkel. Of nog het midden M van BC is het middelpunt van de omgeschreven cko van de rechthoekige ∆ ABC.

Bewijs: Over het algemeen loopt het bewijzen van een omgekeerde stelling minder vlot omdat het vinden van de nodige hulplijnen voor de bewijsvoering veelal minder evident is. Hier is het probleem: hoe druk ik in de meetkundige figuur uit dat M het middelpunt van de omgeschreven cirkel is? Dit gebeurt door de middelloodlijnen op de zijden AB en CB te tekenen (zie figuur 2 “omgekeerde cirkelstelling van Thales”). Zij M het snijpunt van de twee middelloodlijnen en P en Q de snijpunten van de middelloodlijnen met AB en BC.

Men heeft MQ evenwijdig met AB en dus ∆ CMQ ~ ∆ CAB waaruit CM : CA = CQ : CA = 1/2. Verder is PM evenwijdig met BC en dus ∆ APM ~ ∆ABC waaruit AM : AC = AP : AB = 1/2 Het snijpunt van de middelloodlijnen ligt dus in het midden van de hypotenusa AC en is uiteraard het middelpunt van de omgeschreven cko.

Toepassingen: De Cirkelstelling van Thales ligt aan de basis van de verdere uitbouw van de Griekse meetkunde (zie: http://www.wisfaq.nl/show3archive.asp?id=22102&j=2004 )

(wordt voortgezet)

----------------------------------------------------------------

(1) zie: http://fr.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre

Zijn boek “Eléments de Géométrie” is een meer eenvoudige benadering van de deductieve meetkunde vergeleken met deze door Euklides gebruikt in de fameuze “Elementen”. Legendre’s boek kende een enorm succes en werd dan ook in meerdere talen (Engels, Duits..) vertaald. “Eléments de Géometrie” omvatte al evenmin als Euklides’ “Elementen” een sluitende axiomatische theorie en een David Hilbert heeft dit met brio aangetoond in zijn boek « Grundlagen der Geometrie » ( zie: http://www.archive.org/details/grunddergeovon00hilbrich )

(2) zie: http://nl.wikipedia.org/wiki/Thales_van_Milete

(3) zie: http://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Thales

08-04-2010 om 00:00 geschreven door alter  

(Hoofdstuk 9 "Intuïtieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")

§ 9.1 Enkele meetkundige constructies

In voorbereiding van de Deductieve Meetkunde, geprogrammeerd voor de vierdes (derde jaar middelbaar) was het, volgens de Eerste Ministeriele Omzendbrief van 1948 ⁽¹⁾ , wenselijk de Intuïtieve Meetkunde (partim Vlakke Meetkunde) nog wat verder uit te diepen, en meer precies in de zesdes (eerste jaar middelbaar).

Volgens het boek van de collectie Herbiet (“Rekenkunde en Intuïtieve Meetkunde”) ging het hierbij over volgende onderwerpen: uitbreidingen betreffende het hoekbegrip, uitbreidingen betreffende de begrippen loodlijnen, evenwijdige rechten en introductie van het begrip symmetrie, uitbreidingen betreffende het begrip cirkelomtrek en cirkelboog en tenslotte enkele meetkundige constructies. De uitbreidingen, waarvan sprake hadden in hoofdzaak betrekking op het waardebeloop van hoeken en de rekenkundige bewerkingen. 

Andere in mijn ogen belangrijke gedeelten van de Intuïtieve Meetkunde als bvb de merkwaardige lijnen en punten in een driehoek, de Gulden Snede.. werden buiten beschouwing gelaten. Mijn inziens, een onbegrijpelijk standpunt, daar de scholieren door wat te "spelen" met passer en liniaal heel wat zelf kunnen ontdekken. Deze materie kon bvb gemakkelijk in het leerprogramma van de vijfdes (tweede jaar middelbaar) opgenomen worden. Daar in dit gedeelte van de Intuïtieve Meetkunde veelvuldig van de passer wordt gebruik gemaakt heb ik als ikoon van dit cursiefje de passer gekozen.

Bijlagen:
figuur 1 convexe en concave hoeken.jpg (13.3 KB)   
figuur 10 gulden ellips.gif (5 KB)   
figuur 2 waardebeloop.jpg (28.2 KB)   
figuur 4 constructie gulden snede.jpg (16.2 KB)   
figuur 5 Gulden rechthoek met gnomon.png (1.9 KB)   
figuur 6 gulden spiraal met phi.png (44 KB)   
figuur 7 gulden driehoek met gnomon.gif (1.7 KB)   
figuur 8 vijfhoek met gulden driehoek.jpg (37.8 KB)   
figuur 9 pentagram.gif (6 KB)   

(Hoofdstuk 8 "Arithmetiek en Algebra in het Lager Secundair Onderwijs")

§ 8.4 Rekenen met letters ofte Algebra

Het was in 1953 dat ik voor het eerst werkelijk in contact kwam met Algebra, een vak, dat gehuld was in een sfeer van geheimzinnigheid en dat, voortgaande op uitspraken als “dat is je reinste algebra!”, bovendien uiterst moeilijk moest zijn.
Ik zat toen in de vijfde humaniora van het Sint Lodewijkscollege ("Saint Louis") te Brugge.

	klassieke humaniora	moderne humaniora
Arithmetiek	fr.: Eléments d'Arithmétique   ned. : Rekenkunde	fr. : Traité d'Arithmétique ned. : Leerboek der Rekenkunde
Algebra	fr.: Eléments d'Algébre ned. : Algebra*	fr. : Traité d'Algèbre ned.: Leerboek der Algebra

 

* vóór 1949 droeg het boek ook als titel « Elementen der Algebra » en werd het gepresenteerd in twee delen:- deel I : voor de lagere humaniora + de derdes en - deel II: voor de hogere humaniora - de derdes
 

Het « Traité d'Algèbre » werd geschikt geacht ter voorbereiding tot het toelatingsexamens tot de K.M.S.  (Polytechnische Afdeling). Zo bevatte de veertiende editie van het “Traité d’Algèbre” (1977) in een aanhangsel de examenvragen van het toelatingsexamen K.M.S. (secties Alle Wapens en Polytechnische Afdeling) van 1946 tot 1962.

De « Elementen van Algebra » en het « Leerboek van Algebra » van Schons waren schoolboeken, die in principe het volledig leerprogramma van de respectievelijk oude en moderne humaniora bestreken. Of toch niet helemaal want er bestond ook nog een « Complement », waarover meer in mijn tweede blog. Alleen al het bestaan van een zogenaamd « Complement » was een aanduiding dat er "binnenskamers" over de juiste inhoud van het leerprogramma gediscuteerd werd.
 
De leerstof van de lagere cyclus was vóór 1949 verschillend naargelang het de klassieke of moderne humaniora betrof. In het "Leerboek" werd de materie wat meer diepgaand behandeld. Ook was er een andere spreiding van de te behandelen onderwerpen in de tijd. Grosso modo kan gezegd worden dat het leerprogramma van de klassieke humaniora ongeveer één jaar achterliep op dit van de moderne humaniora. 

De ministeriële circulaires van 1948 en 1949 brachten hier nu verandering in : er werd een gelijkschakeling van de wiskundeprogrammas in het lager secundair opgelegd. Deze gelijkschakeling uitte zich ook in de schoolboeken en voor de edities verschenen ná 1949, is er inderdaad, voor wat dit gedeelte betreft, geen verschil meer tussen de "Elementen" en het "Leerboek". 

In het Sint Lodewijkscollege was in het begin van de jaren vijftig nog steeds het oude leerprogramma van kracht en werden de schoolboeken -versies van vóór 1949- gebruikt. Een begrijpelijke situatie, want voor het vervangen van de oude schoolboeken was wel wat meer tijd nodig.

Een en ander had tot gevolg dat ik in 1953 het eerste volume van de « Elementen der Algebra », een versie die dateerde van 1943 en die een erfenis was van mijn oudste broer, als studieboek gebruikte.

Ik vond dit boek, dat nog opgesteld was in de oude spelling (in 1946 werd een nieuwe spelling ingevoerd), voor een eerste kennismaking met de algebra, zeker niet slecht. In alle geval was het wel geschikt voor zelfstudie.... ofschoon zeker niet het ideale algebraboek. 

Later, toen ik in de Cadettenschool terecht kwam, zal ik te maken hebben, met het fameuze « Leerboek der Algebra » van de collectie De Vaere - Herbiet, boek dat o.m. ook de leerstof van de lagere humaniora behandelde. En dit boek was van een heel wat hoger niveau. Jammer genoeg was mij dit schoolboek in 1954 nog niet bekend.  

(wordt voortgezet)

03-04-2010 om 00:00 geschreven door alter  

(Hoofdstuk 8 "Arithmetiek en Algebra in het Lager Secundair Onderwijs")

§ 8.2 Rekenen met cijfers ofte Arithmetiek

In het Sint Lodewijkscollege werd geöpteerd voor de schoolboeken van de collectie Schons en De Cock. In ogenschouw genomen de hoedanigheid van de auteurs was dat niet erg verwonderlijk. Nicolas Joseph Schons was een Broeder van de Christelijke Scholen (niet te verwarren met de Broeders van Liefde) en leraar in de Wiskunde aan een Middelbare Normaalschool, het fameuze Saint Berthuin Instituut te Malonne bij Namen. Cyriel De Cock was insgelijks een Broeder van de Christelijke Scholen en verbonden aan het Sint Amandusinstituut te Gent. Hij was afkomstig uit Hamme en een zeer begaafd leraar. Zijn specialiteit was leerlingen voorbereiden voor het toelatingsexamen voor burgerlijk ingenieur! Het was dus niet verwonderlijk dat de boeken van de collectie “Schons” en i.h.b. deze, die bestemd waren voor de hogere humaniora o.m. in de Franstalige Afdeling van de Cadettenschool van Laken werden gebruikt.

In 1952 werd dus in Saint Louis het boek “Rekenkunde” , de Nederlandse vertaling van « Eléments d’Arithmétique » van N.J. Schons gebruikt en wel de tweede uitgave daterend van 1946. Het boek “Rekenkunde” mag niet verward worden met het “Leerboek der Rekenkunde” van dezelfde auteurs. Dit laatste boek is bestemd voor de hogere humaniora en is de vertaling van het “Traité d’Arithmétique”. Van de "Eléments d' Arithmétique -cycles inférieurs de l' Enseignement Moyen et de l' Enseignement Technique-" (neuvième édition -1967-) verscheen nog een herdruk in 1980 met volgende bemerking : Les utilisateurs de l' arithmétique traditionnelle sont encore nombreux. C' est à leur intention que nous procédons à une nouvelle édition de l' ouvrage. In tegenstelling met de “Rekenkunde” van de collectie De Vaere en Herbiet was in het boek van Schons de leerstof niet ingedeeld volgens het jaarprogramma, maar wel geordend volgens een logische structuur. Een eerste deel was gewijd aan de gehele getallen, een tweede deel aan de gebroken getallen (breuken), een derde deel aan de verhoudingen en evenredigheden, een vierde deel aan machten en wortels. Een vijfde deel was gewijd aan het stelsel van maten en gewichten en tenslotte een zesde deel betrof een aantal practische toepassingen waaronder interestrekening en mengsels en legeringen. In dit schoolboek werd voor ieder hoofdstuk aangegeven welke rubrieken of paragrafen specifiek behoorden tot het leerprogramma van de zesdes, respectievelijk de vijfdes en de vierdes. De leerling moest dus voortdurend het studieboek doorbladeren en bepaalde paragrafen overslaan, want nog niet voor hem bestemd. Een dergelijke benadering had echter wel het voordeel dat een algemeen inzicht werd verkregen in het geheel van de leerstof.

Een tweede studieboek, dat deze Arithmetiek behandelde was nu het leerboek “Rekenkunde voor Middelbaar en Normaalonderwijs” van de verzameling De Vaere Herbiet . Dit boek was de Nederlandse vertaling van het «Précis d’Arithmétique à l’usage de l’Enseignement moyen, des Ecoles normales, et des Candidats aux Examens administratifs» en mag niet verward worden met "De Gehele en de Gebroken getallen", de Nederlandse vertaling van «Cours d'Arithmétique: les entiers et les fractions » bestemd voor de hogere humaniora. 

Ter voorbereiding van het toelatingsexamen tot de Koninklijke Cadettenschool heb ik in 1955 voornamelijk  « Rekenkunde » van de collectie De Vaere - Herbiet gebruikt. De inhoud van het boek was ingedeeld volgens het jaarprogramma van het lager middelbaar en omvatte achtereenvolgens de leerstof voor de zesdes, voor de vijfdes en voor de vierdes. Het boek omvatte heel wat meer leerstof en bevatte naast een deel “Wenken voor examenkandidaten” (waaronder examenvragen voor de Cadettenschool ) ook nog een « Complement » bestemd voor de derde Grieks - Latijnse humaniora.

Begeleidende tabel verduidelijkt wellicht de situatie:

	Klassieke humaniora (lagere cyclus)*	Moderne humaniora (hogere cyclus)**
collectie Schons	fr: « Eléments d'Arithmétique » ned. : « Rekenkunde »	fr. « Traité d'Arithmétique » ned. : « Leerboek der Rekenkunde »
collectie Herbiet	fr. : « Précis d'Arithmétique » ned. : « Rekenkunde »	fr. : « Cours d'Arithmétique » ned. « De Gehele en Gebroken Getallen"

* Voor de klassieke humaniora was rekenkunde in wezen beperkt tot de lagere cyclus

** Voor de lagere cyclus van de moderne humaniora waren de boeken van de klassieke humaniora voorgeschreven 

Beide collecties schoolboeken vulden elkaar in feite aan: Schons beperkte zich tot het essentiële en liet toe, desondanks alle bomen, het bos te blijven zien; Herbiet bevatte een overvloed van oefeningen en legde de nadruk op parate kennis voor eventuele examens. 

Dat de oplossing van de diverse vraagstukken, vermeld in beide boeken, gegeven werd in zogenaamde “Solutionnaires”, boeken die in feite bestemd waren voor het onderwijzend personeel en die alleen in het Frans bestonden, was mij toen niet bekend.

Voor het boek van de collectie De Vaere Herbiet was dat “Précis d’Arithmétique –exercices résolues-”, voor het boek van de collectie Schons “Exercices et Problèmes d’Arithmétique –corrigé des exercices et des problèmes-“.

Maar al had ik op dat ogenblik over deze boeken kunnen beschikken, dan was mijn “technisch” Frans onvoldoende om hieruit maar ook enig voordeel uit te kunnen putten. Uit pure balorigheid heb ik mij eerst later een exemplaar van beide boeken aangeschaft…

01-04-2010 om 00:00 geschreven door alter  

(Hoofdstuk 8 "Arithmetiek en Algebra in het Lager Secundair Onderwijs")

§ 8.1 Over oude wiskundeschoolboeken...

Op mijn zolder ligt (of liever lag) een stapeltje oude wiskundeschoolboeken. Nu liggen ze op mijn bureau. Meer nog, ze hebben gezelschap gekregen van andere exemplaren, die ik mij via Internet heb kunnen aanschaffen in gespecialiseerde boekhandels. Want ze zijn, zoals een dichter het zou uitdrukken, de stille getuigen van een groots verleden ⁽¹⁾ ..

Alles begon met een “Journée à l’ Ecole des Cadets de Namur” in juni 2007. Deze dag, een prachtig initiatief van TPCI ⁽²⁾ stelde mij in de gelegenheid kennis te maken met enkele oud-cadetten van vóór WOII. Bij een gezellig etentje in de oude school werden er natuurlijk herinneringen en anekdoten opgehaald. En zo vielen de namen van Herbiet en Horwart, die beiden blijkbaar leraar aan de Cadettenschool van Namen waren geweest tot 10 Mei 1940. Onze “anciens” hadden na al die jaren nog altijd diep ontzag (of was het “schrik” ?) voor hun oud-leraars. Nu was de naam Herbiet mij niet onbekend want vermeld als een der auteurs van het rekenkunde- respectievelijk algebraboek die wij in de Cadettenschool van Laken gebruikt hadden.
Bij een tweede bezoek aan de school van Namen in 2008, trachtte ik wat meer te weten te komen over die fameuze “Herbiet” en “Horwart”. Maar helaas onze Anciens wisten niet eens hun voornamen, want zoals toen gebruikelijk werden van auteurs alleen de initialen aangegeven. Ik besloot de zaak via Internet wat nader uit te pluizen… en met een verbluffend resultaat. Plots begreep ik veel beter die alles verslindende “esprit géométrique”, die ons doen en laten in de Cadettenschool had beheerst.

In de eerste helft van de vorige eeuw omvatte het middelbaar wiskundeonderwijs in België de volgende wiskundige disciplines: rekenkunde, (klassieke) algebra (waaronder ook "calculus" gerangschikt werd), (deductieve of axiomatische) meetkunde, analytische meetkunde, beschrijvende meetkunde (ook nog “wetenschappelijk tekenen” genoemd) en trigonometrie. Statistiek werd slechts in het begin van de zestiger jaren aan het wetenschappelijk curriculum toegevoegd.
 
- Rekenkunde, algebra en trigonometrie werden beheerst door twee collecties schoolboeken, die oorspronkelijk in het Frans waren opgesteld, maar die later ook in het Nederlands werden vertaald: de collecties “Herbiet” (gebruikt in het Rijksonderwijs) en “Schons”(gebruikt in het Vrij Onderwijs). Van beide collecties bezit ik heden zowel Nederlandse als Franse versies.

- Voor Meetkunde werd in het Rijksonderwijs veelal beroep gedaan op de collectie van Adolphe Mineur, in het Vrij onderwijs op het werk van Antoine Dalle (deductieve meetkunde), Gustave Lupsin (analytische meetkunde en trigonometrie) en tenslotte van Paul Bockstaele.

I- Schoolboeken voor het Secundair onderwijs : Rijksonderwijs

1- de collectie "Herbiet"

De collectie “Herbiet” had als spilfiguren Victor Herbiet, doctor in de Wis- en Natuurkunde en Jules Horwart (oud-cadet Namen 1930-1933). Beiden waren zoals al gezegd leraar aan de Cadettenschool van Namen geweest, de eerste vanaf 1923, de tweede vanaf 1936. Paul De Vaere was als leraar wiskunde verbonden aan het gemeentelijk Atheneum van Schaarbeek en de Rijksmiddelbare School in Brussel II (Laken) en stond in voor de vertaling. Later kwamen nog de wiskundigen Raymond de Marchin en Gaspard Bosteels de ploeg vervoegen. Raymond de Marchin was doctor in de wis- en natuurkunde en leraar aan het Atheneum te Luik. Gaspard Bosteels was zoals Raymond de Marchin doctor in de natuur- en wiskunde en was studieprefect. Hij was geboren in Sint Niklaas 1909 en overleed in 2003. Een In Memoriam werd aan hem gewijd in het bekende tijdschrift «Euclides». Gaspard Bosteels was overigens ook zeer sterk betrokken in de «vernieuwing» van het wiskundeonderwijs ingezet door Georges Papy. Deze collectie Herbiet omvatte o.m.

- «Précis d’Arithmétique: à l’usage de l’Enseignement moyen, des Ecoles normales, et des Candidats aux Examens administratifs » (6^e, 5^e, 4^e humanités modernes et anciennes 3^e gréco-latine). De Nederlandse versie droeg als titel « Rekenkunde voor Middelbaar en Normaalonderwijs »

- «Cours d’Arithmétique: les entiers, les fractions, Manuel destiné aux élèves des Classes supérieures des Athénées et de l’Enseignement Normal Moyen ; aux Candidats à l’Ecole Royale Militaire et aux Universités» (3^e, 2^e, et 1^er humanités modernes). De Nederlandse versie droeg als titel « De Gehele en De Gebroken Getallen »

- «Eléments d’Algèbre: à l’usage des écoles moyennes et des candidats à l’Ecole des Cadets» (5^e, 4^e, cycle supérieur: humanités anciennes). De Nederlandse versie droeg als titel « Beknopte Algebra voor Middelbare scholen ». Het boek was een "light" versie van het Traité d'Algèbre en werd in de Grieks-Latijnse humaniora gebruikt.

- «Traité d’Algèbre: à l'usage de l'Enseignement moyen et de l'Enseignement normal des candidats à l'Ecole Militaire et aux Universités » (5^e, 4^e, 3^e: humanités modernes). De Nederlandse versie droeg de titel « Leerboek der Algebra » en werd in de moderne humaniora gebruikt maar ook in de Grieks- Latijnse sectie van de Cadettenschool.

- «Complément d’Algèbre à l'usage de l'enseignement moyen et de l'enseignement normal, des candidats à l'Ecole militaire et aux universités » (2^e, 1^er ). De Nederlandse versie droeg als titel « Complement der Algebra » en werd in de Cadettenschool gebruikt ook voor de Grieks-Latijnse sectie. 

- «Initiation à la Trigonométrie» (humanités anciennes). Een Nederlandse versie verscheen bij Wesmael Charlet onder de titel « Beknopte Driehoeksmeting » in 1962 en omvatte 126 pagina's. 

- «Trigonométrie rectiligne» (humanités modernes). Een Nederlandse versie van dit boek verscheen in 1967 onder de titel « Trigonometrie » en besloeg 273 pagina's. 

- «Trigonométrie sphérique » (humanités modernes). Een Nederlandse versie van dit boek is mij onbekend en werd misschien nooit op de markt gebracht??

Alle titels en edities verschenen in het Frans; eerst later werd een Nederlandse versie op de markt gebracht. De diverse edities geven een goed beeld van de achtereenvolgende wijzigingen in het leerstofprogramma. Van cruciaal belang zijn hierbij de Ministeriële Omzendbrieven van 1948 en 1949.

Van dezelfde groep verscheen ook nog in de tweede helft van de vijftiger jaren:

Deze boeken bestreken het volledig leerprogramma van het lager secundair onderwijs en wel volgens de omzendbrieven van 1948 en 1949.

En verder –in principe- bedoeld voor het lerarencorps:

- «Précis d’Arithmétique –exercices résolues- »

- «Exercices d’Algèbre tome I - Corrigé des exercices du Traité d'algèbre 950 questions et des Eléments d'algèbre 437 questions; tome II - Corrigé des exercices des Compléments d'algèbre. 500 questions»

- « Exercices de Trigonometrie tome I et tome II » Een Nederlandse versie van deze boeken verscheen onder de titel « Trigonometrische Vraagstukken » (auteurs De Vaere en de Marchin) deel I (1948, 267 pagina's) deel II (1949, 528 pagina's)

Groot was ook mijn verbazing toen ik ook nog vaststelde dat Victor Herbiet (met de medewerking van MM. Réné, Joseph en Edmond Hébette) een «L’Arithmétique de la vie pratique– 5^e et 6^e années primaires- » gepubliceerd had. 

Dit boek dat in 1959 al aan zijn zevende editie toe was, gaf de didactische methoden aan voor de wiskundeleerstof van het lager onderwijs (vijfde en zesde leerjaar). Deze materie omvatte enerzijds een rekenkundig deel, anderzijds een meetkundig deel, deel door de auteur later bestempeld als "intuïtieve meetkunde". Het werk "Rekenkunde en Intuïtieve Meetkunde" bestemd voor de zesde humaniora, sloot trouwens rechtstreeks aan bij voornoemd boek.    

Dit didactisch boek, bestemd voor de onderwijzer, riep door de vele figuren en illustraties, bij mij enkele mooie jeugdherinneringen op. Hierover zal ik het trouwens in de volgende cursiefjes hebben.


2- de collectie « Mineur »

Zoals Adrien-Marie Legendre en nog vele anderen(zie cursiefje 4.1 in blog 2), brak Adolphe Mineur met de traditie en introduceerde in het begin van de 20^ste eeuw evenzeer een modernere benadering van de Elementen van Euclides. Zijn medewerkers hebben deze benadering nog verder uitgebouwd. Te signaleren is ook dat er 2 handboeken betreffende trigonometrie voorhanden waren. Eén voor de oude humaniora (60 pagina’s) en een ander voor de moderne humaniora (237 pagina’s). In het laatste boek werd ook « Boldriehoeksmeting » behandeld.


II- Schoolboeken voor het Secundair Onderwijs : Vrij Onderwijs  

1- de collectie "Schons"

2- de collectie « Dalle en De Waele »

Antoine Dalle was een Broeder (Frère Majorin) van de Christelijke Scholen en behoorde tot het “Institut Saint Ferdinand” ⁽⁵⁾ dat in 2000 zijn honderdvijftig laar bestaan vierde. Hij was de werkelijke auteur van de bekende meetkundeleerboeken, waarvan de eerste editie verscheen voor WOI. Camille De Waele (1872-1927) of Frère Maxilien was directeur van het Instituut gedurende WOI en co-auteur van voornoemde meetkundeboeken. Volgende titels zijn voorhanden:

- « Cours de Géométrie à l’usage de l’enseignement moyen et de l’enseignement normal : Géométrie plane et Eléments de Topographie »

- « Cours de Géométrie à l’usage de l’enseignement moyen et de l’enseignement normal : Géométrie dans l’espace avec compléments »

- « 2000 Théorèmes et Problèmes de Géométrie avec solutions »

De eerste twee titels bestaan ook in het Nederlands. «2000 Théorèmes et Problèmes» werd naar mijn weten nooit in het Nederlands vertaald.

De boeken van Dalle zijn geïnspireerd door de « Eléments de Géométrie » van Legendre en het « Traité de Géométrie élémentaire » van Rouché en Comberousse. Er is inderdaad ook een indeling in « Boeken » (in totaal 4 voor de vlakke en 4 voor de ruimtemeetkunde) zoals bij Legendre. Na ieder "Boek" worden talrijke vraagstukken opgegeven, waarvan de oplossing te vinden is in "2000 Théorèmes et Problèmes". Anderzijds is er het Complement (Projectieve Meetkunde) dat teruggaat op de monografie van Rouché en Comberousse (zie blog II cursiefje: « Wat is Deductieve Meetkunde? »).

3- de collectie « Lupsin » 

Over Gustave Lupsin, een licenciaat in de wiskunde heb ik weinig gegevens kunnen vinden. Bekend is echter wel zijn leerboek over de Vlakke Analytische meetkunde, die als een standaardwerk mag beschouwd worden:

- «Notes de Géométrie analytique plane à l’usage des élèves des classes scientifiques des humanités et des candidats à l’Ecole Militaire et aux Universités» (7^e édition revue par R. Graas -1956 -)

- «Trigonométrie Sphérique à l’usage des classes scientifiques des humanités » (5^e édition revue par R. Graas -1955-)

__________________________

(1) Schoolboeken volgen het opgelegde leerplan van wat men noemt de “bevoegde autoriteiten” en zijn op dit vlak een weerspiegeling van de tijdsgeest. De wiskundeboeken waarover in dit cursiefje gehandeld wordt, vormen slechts een momentopname van de periode volgend op de fameuze ministeriële circulaire van 1949. Dat deze autoriteiten wel eens zeer ernstige flaters kunnen begaan bewijst nu het “New Math” experiment van de jaren zestig (zie cursiefje “Over het New Math experiment” in blog 2). Men mag er vanuit gaan, dat ook andere misvattingen en visies in de loop der jaren in het leerprogramma zijn terecht gekomen. Auteurs van schoolboeken moeten voortdurend rekening houden met wijzigingen van het leerprogramma (weglatingen, toevoegsels, veranderde visies), wat hun taak bepaald niet vergemakkelijkt. Uiteraard zijn ze niet verantwoordelijk voor wat “en petit comité” besproken, bedisseld, en beslist wordt…

(2) TPCI is het acroniem voor Koninklijke Vereniging der oud- Troepskinderen, Pupillen, Cadetten en Intermachters van het Leger (zie bijlage 1)

(3) over een geïllustreerde geschiedenis van het Institut Saint Berthuin zie bijlage 2

(4) Luc Gheysens in http://www.bloggen.be/gnomon/archief.php?ID=369223

(5) over de geschiedenis van het Instituut Saint Ferdinand zie bijlage 3

Bijlagen:
http://www.malonne.be/old/cartes.../institut.htm   
http://www.saint-ferdinand.be   
http://www.tpci-oldfellows.be/   

31-03-2010 om 00:00 geschreven door alter  

(Hoofdstuk 7 "Over Jongens en Wetenschap")

§ 7.3 Jongens en Scheikunde van een zekere Alders

ALDERS .. ja, dat was het fameuze boek, dat wij voor onze experimenten gebruikten en blijkbaar had Marcel het nog steeds in zijn bibliotheek staan.. !!!

Die fameuze J.C. Alders, uit Lochem (Nederland), moet wel een klepper geweest te zijn. Een zoekoperatie op Internet leerde dat er meerdere boeken op zijn naam staan, maar over de man zelf – ik vermoed dat hij farmacie gestudeerd had- heb ik tot nu toe niets gevonden.



Ziehier nu de volledige collectie  “Jongens en … Wetenschap” van .. “Alders” , die door Thieme (Zutphen) werden uitgegeven en waarvan diverse herdrukken bestaan :

(1) “Jongens en Natuurkunde” (eerste editie in 1935)
(2) “Jongens en Scheikunde” (eerste editie in 1936)
(3) “Jongens in de Vrije Natuur” (eerste editie in 1937)
(4) “Jongens en Techniek” (eerste editie in 1938)

Verder was er bij dezelfde uitgever nog “Jongens en Elektriciteit” maar dit belangrijk boek is niet van Alders.. Op dit laatste werk kom ik nog uitvoerig terug. Uit pure balorigheid en frustratie heb ik mij heden voor een prikje -de verzendingsonkosten lagen hoger dan de prijs van de boeken- de ganse collectie aangeschaft. Wat het boek over Scheikunde betreft ben ik dus nu eindelijk na meer dan vijftig jaar de gelukkige bezitter van de vierde editie van 1943.

Al deze boeken, die dateren van vóór WO II, waren in feite bestemd voor leerlingen, die het M. U. L. O. (Meer Uitgebreid Lager Onderwijs) doorlopen hadden. Dit type onderwijs bestond reeds in het begin van de 19^de eeuw o. m. in België, Nederland en Frankrijk (het zogenaamde “Enseignement Primaire Supérieur”).

In Frankrijk werd het E. P. S. afgeschaft in 1941. In Nederland gebeurde dit in 1968, waar het vervangen werd door MAVO (Middelbaar Algemeen Voortgezet Onderwijs) enigszins te vergelijken met de lagere cyclus van de humaniora.

Bezat mijn kameraad de “Scheikunde” van Alders dan had ik toen een Frans studieboek « Cours de Chimie -E.P.S.- » van P. Métral (Masson). Maar omdat ik op dat ogenblik nog niet voldoende Frans kende, had ik er toen niet veel aan. Ook nog even aanstippen dat in mijn kleine bibliotheek toen ook nog de « Cours de Physique –E.P.S.- » van dezelfde auteur prijkte. Maar om dezelfde reden “Frans” kon ik er toen niets mee doen..

Ja talenkennis is echt belangrijk voor personen die wetenschap willen beoefenen…

Maar terug naar de Scheikunde..  en de Heer Alders, die in de Voorrede van “Jongens en Scheikunde” schreef  –ik citeer- :

Dit boek is bedoeld als vervolg op “Jongens en Natuurkunde” en is in de eerste plaats bestemd voor jongens voor wie de M. U. L.O. of H. B. S. 3j. eindonderwijs is geweest. Ook hoofdaktekandidaten, die het boek doorgewerkt hebben, zullen wat praktische kennis aangaat, ver uitsteken boven degenen, die scheikunde alleen uit een boek beoefend hebben.

Immers scheikunde kan men niet, evenmin als microscopie, sterrenkunde, biologie, geologie, natuurkunde e.d. wetenschappen alleen uit een boek leren…

En of de man gelijk had..

“Jongens en Scheikunde” is zeer pragmatisch opgesteld ⁽¹⁾ . Het boek begint met de lijsten van de benodigde chemicaliën en van het benodigd glaswerk. Dan worden enkele aanwijzingen verstrekt voor het plooien van glaswerk. Volgen dan 90 experimenten in betrekking tot de anorganische en 110 experimenten betreffende organische scheikunde.

Deze experimenten worden steeds in een globale context of in een specifiek kader geplaatst, waardoor men ontzettend veel bijleert. Neem nu eens bvb een alledaags product als keukenzout. Alders beschrijft eerst een tweetal experimenten en geeft vervolgens informatie over de Nederlandse Zoutindustrie, legt verder uit hoe uit keukenzout soda gemaakt wordt ( procédé Leblanc, procédé Solvay) en vertelt tenslotte iets over de geschiedenis van het keukenzout.. Het bundelen van of koppelen aan het experiment van wetenswaardigheden maakt het geheel bijzonder interessant.

Wie scheikunde op een dergelijke manier gestudeerd heeft, mag de vinger opsteken !! Eén die althans zijn vinger mag opsteken is de Utrechtse emeritus - hoogleraar in de fysiologische chemie, Hendrik Simon Jansz (1927-2003).
“Jongens en Scheikunde” (een verjaardagsgeschenk van zijn vader) boeide hem dermate dat –zoals hijzelf aangeeft- hij later chemie ging studeren aan de Vrije Universiteit Amsterdam en er in 1953 afstudeerde…

Natuurlijk volgden wij de door Alders opgegeven lijsten van chemicaliën niet slaafs. Ook vormden sommige productbenamingen een probleem .. Vraag nu eens aan een gewone sterveling wat geelbloedloogzout is, of helse steen of bruinsteen..

Zeer interessante producten als bvb sterke geconcentreerde zuren (zwavel- salpeter- en chloorwaterstofzuur),  kaliumchloraat, arseniek en dito kwamen niet in de lijst voor..  

Een Alders wist natuurlijk wel waarom, wij ook.. 

Een laboratorium “Scheikunde” opstarten is geen kleinigheid. Vooreerst is er de kwestie van de gebouwen. Toen ik begin 1949 mijn labo startte werd mij een plaats in het “kolenkot” toegewezen. In oktober van hetzelfde jaar verhuisden wij naar een nieuw huis en installeerde ik mijn labo noodgedwongen in de slaapkamer, die ik met mijn oudste broer deelde. Dit was echter niet naar de zin van mijn broer. Toen ik daarenboven nog een paar druppels zwavelzuur morste op een bedsprei (een klein ongelukje) kreeg ik ook last met mijn moeder.

Tot bevrediging van alle partijen werd een oplossing gevonden. Achteraan de tuin was er een soort prieeltje, die wij het “blauw kotje” noemden. De blauw geverfde muren van dit  “kotje” bestonden uit betonnen platen, waarin kleine vensters waren aangebracht. Het geheel was met een mooi puntdakje met echte dakpannen voorzien. En dit magnifieke gebouw met een nuttige oppervlakte van ongeveer 6,25 m² werd mij zomaar toegewezen.. Ik was de koning te rijk.. Maar er waren ook nadelen : er was geen elektriciteit noch verwarming en in die jaren kon het nog echt winteren.

Het elektriciteitsprobleem werd snel opgelost : samen met kameraad Marcel trok ik een “buitenkabel” van ongeveer 40 m lengte : zo hadden wij licht en een aansluiting voor elektrische apparaten zoals bvb een oude radio..
Voor de verwarming beschikten wij over een gedeclasseerde buiskachel. Voor de schouwaansluiting moest echter beroep gedaan worden op een vakman, wat mijn ouders eerst maar na enig aandringen toestonden. Zij waren het immers die voor de kosten opdraaiden..

Aan mijn “laboratorium” heb ik zeer mooie herinneringen. Het was in volle bedrijvigheid toen ik op het “klein college” was.. Het was ook in die jaren, dat wij (Marcel en ik) een poppenkast ineengeflanst hadden en dit lokaal gebruikten om voorstellingen te geven voor de kinderen uit de gebuurte. O tempora, o mores..

Nadien daalden de activiteiten aanzienlijk wegens het uurrooster in het groot college…. om zich tenslotte te herleiden tot practisch zero wanneer ik op de cadettenschool verbleef…

Hier ook wil ik mijn cursiefje beëindigen met een klein probleempje. Iedereen weet dat de scheikunde ontstaan is uit het analyseren van mineralen, waarbij men dan deze onderwierp aan allerlei drastische bewerkingen (oplossen, smelten, neerslaan, uitlogen, distilleren en dito).

Oefening : Herkent u de mineralen, die als als ikoon van en onderaan dit cursiefje werden toegevoegd ???

---------------------------------

(1) inhoudsopgave van « Jongens en Scheikunde » :

- Deel I Anorganische Scheikunde (proef 1 tot 90)

Hoofdstuk 1 De verbranding (proef 1 tot 4) - De Zuurstof (proef 5 tot 10)
Hoofdstuk 2 Ontledingen (proef 11 tot 14) – Waterstof en ontbinding van water (proef 14) – De Bijzondere Eigenschappen van water
Hoofdstuk 3 Diffusie (proef 15 tot 20)
Hoofdstuk 4 Osmose (proef 21 tot 25) – De chemische tuin (proef 26 tot 27) – Colloïden – Metaalbomen (proef 28) – De chemische vulkaan (proef 29)
Hoofdstuk 5 Koolzuur (proef 30 tot 35)
Hoofdstuk 6 Zoutzuur (proef 36 tot 37)– Chloor (proef 38 tot 42) – Keukenzout (proef 43 tot 44) – De Nederlandse Zoutindustrie - Keukenzout als grondstof voor de Sodafabricage - Electrolyse – Iets uit de geschiedenis van het keukenzout – De organismen van het keukenzout – Inmaken in keukenzout – De reactiesnelheid
Hoofdstuk 7 Zwavelzuur (proef 46 tot 50)– Sulfaten (proef 51 tot 59) Dubbelzouten en Complexe zouten – Enige Scheikundige Wetten – Het oplossen van chemische vraagstukken – Op te lossen Vraagstukken
Hoofdstuk 8 Salpeterzuur (proef 60 tot 64) – Nitraten (proef 65 tot 66)
Hoofdstuk 9 Carbonaten proef 67 tot 68) – De Kalkoven – Acetaten (proef 69 tot 71) – Een- en meerbasische zuren - Overzicht der zouten
Hoofdstuk 10 Basen (proef 72)– Ammoniak (proef 73 tot 75) – Basische Oxyden – Neutralisatie (proef 76) – Calciumcarbonaat (proef 77 tot 79) Waterstofion-exponent of pH – Zwavelwaterstof (proef 80 tot 82) – Zure en basische zouten – De zouten van zeewater - Katalysatoren
Hoofdstuk 11 Onderzoek van onbekende anorganische stoffen: Organoleptisch onderzoek en algemene reagentia – Onderzoek van onbekende zouten en elementen – Reacties en Bevestigingen – Reacties en Bevestiging op enkele zouten en zuren – Oplosbaarheid van zouten – Overzicht der zoutvorming – Overzicht der zuurstofverbindingen
Hoofdstuk 12 Enkele Metalen –Metalen en Metalloïden - IJzer (proef 83 tot 85)– Het Hoogovenbedrijf – Corrosie - Koper – Goud – Zilver – Katadynzilver – Aluminium – Vermoeidheidverschijnselen bij metalen – Metalen als gasbinders
Hoofdstuk 13 Koolstof – De lichtgasfabricage (proef 86 tot 89) - De Vlam (proef 90 tot 91) – De kringloop van koolstof – Het ontstaan van de grotten van Han – Brandstoffen - Diamant
Hoofdstuk 14 Fotografie

- Deel II Organische Scheikunde (proeven 91 tot 200)

Hoofdstuk 15 Verzadigde Koolwaterstoffen – De Halogeenkoolwaterstoffen – Alcoholen (proef 93) – Ethers - De Bierbrouwerij – Andere alcoholica – Aldehydes en Ketonen
Hoofdstuk 16 Onverzadigde Verbindingen – Aethyleen en acetyleen (proef 94) – De Aromaten (proef 95)– De Verbranding der koolwaterstoffen - De Aardoliegewinning – Het zien van reukstoffen - Fabricage van synthetische Reukstoffen – Terpenen en kamfers
Hoofdstuk 17 Organische zuren (proef 96 tot 107)– De Fabricage van Azijn – De Fabricage van inkten – Onzichtbare Inkten (proef 108 tot 110) – Verfstoffen (proef 111 tot 116) – Het herkennen van vezelstoffen
Hoofdstuk 18 Vetten ( proef 117 tot 120)– Zeep (proef 121 tot 122) – Het Onderzoek van Hard Water (proef 123 tot 126) – Het Onderzoek van zeeppoeder (proef127) – Margarine (proef 128 tot 129) – Esters - De Fabricage van Zeep – De Scheerzeep – De Kaarsenfabricage – Wassen en Wasproducten: carnaubawas, bijenwas, montaanwas, synthetische wassen, terpentijn – Harsen – Fabricage van Kunsthars – Kunstrubber
Hoofdstuk 19 Zetmeel (proef 130 tot 134) – De Aardappelmeelfabriek – Fabricage van dextrine, kleefstoffen en stroop
Hoofdstuk 20 Suiker (proef 134 tot 138) – De Suikerindustrie – Polarisatie – Enzymes en fermenten (proef 139)
Hoofdstuk 21 Melk (proef 140 tot 145) – Eieren (proef 146 tot 154) – Vlees (proef 155 tot 157) –Voedingsmiddelen – Verbrandingswaarde van 1 gram – De spijsvertering
Hoofdstuk 22 Hout ( proef 158 tot 159) – Cellulose of houtsuiker (proef 160 tot 162) – Cellophaan - Kunstzijde – Celvezel – Melkwol - Celwol
Hoofdstuk 23- Beenderen (proef 163 tot 165) – Lijm (proef 166 tot 168) – Gelatine – Urineonderzoek (proef 169 tot 176) – Het bepalen van het suikergehalte in urine Organische Stikstofverbindingen - Schoonheidsmiddelen (proef 177) – Cosmetische comedie – Analyse van tandpasta (proef 178) – Het aantonen van organische stoffen – De Fabricage van Lijm – Fabricage van Beitsmiddelen – Fabricage van Soldeermiddelen - Dipoolmoleculen
Hoofdstuk 24 Enkele Proeven met planten (proef 179 tot 189) – Plantenkleurstoffen (proef 190 tot 192) – Vitamines (proef 193) Hoofdstuk 25 Microchemie (proef 194 tot 199) – Ringen van Liesegang (proef 200) Iets uit de Historie der chemie – het reinigen van glaswerk - het verwijderen van vlekken – enkele oplosbaarheidgegevens

Bijlagen:
mineraal 2.jpg (47.7 KB)   
mineraal 3.jpg (149.7 KB)   
mineraal 4.jpg (58.1 KB)   
minreraal 1.JPG (110.6 KB)   

(Hoofdstuk 7 "Over Jongens en Wetenschap")

§ 7.2 De boekenreeks Jongens en Wetenschap

De legendarische reeks “Jongens en Wetenschappen” waar Koen Fillet naar verwees is een collectie die uit 10 boeken  bestaat. Elk boek is –zoals gepreciseerd door de ondertitel van elk boek- “een bonte mengeling van spel en sport, uitvindingen en ontdekkingen, knutselwerk en avontuur”, dus een mengelmoes van “dingen” die de jeugd van toen erg interesseerde.

Het eerste deel van de reeks verscheen in 1946 het laatste in 1957 en elk deel besloeg een 200- tal bladzijden. De reeks is in werkelijkheid een Nederlandse bewerking van de Zwitserse jeugdboekenserie “Helveticus”, serie die werd samengesteld door een zekere P. van Denenberg. De Nederlandse uitgave werd verzorgd door de uitgeverij Daphne (Gent), die er wellicht een serieuze stuiver aan verdiend zal hebben, want deze boeken waren echt niet goedkoop. Op mijn zolder liggen er twee boeken van deze legendarische reeks. Om precies te zijn, het betreft de boeken nummer 5 en 7 en de uitgaven dateren van respectievelijk 1950 en 1953. Achteraan mijn boek 7, staat nog een prijs vermeld : 125 FB. Een pakje sigaretten kostte in die tijd ongeveer 10 FB, een brood 6 FB.. Deze boeken waren een geschenk geweest van Sinterklaas want de goede Sint dacht natuurlijk nog aan de brave kinderen die door de oorlog zoveel hadden moeten missen..

De onroerende aanhef van boek 5 wil ik u niet onthouden en klonk als volgt :

Lieve jonge Vriend,

Eindelijk ben je de gelukkige bezitter van het vijfde deel van “Jongens en Wetenschap”. Dagen aan één stuk liep je na school naar de boekhandel en terwijl je op weg waart, hamerde het je telkens in de geest : “Zal ’t er zijn vandaag…? Hoe vervelend dat wachten…!!”

Ook toen het boek ten slotte in de uitstalling pronkte, was ’t je niet meer mogelijk je benen langer te bedwingen, die terstond de zaak met jou binnenholden.

Nauwelijks had je hand het boek omklemd, of daar waren ook reeds je vingers, die bladerden en weer bladerden, om al het moois onder je ogen te laten voorbijglijden, die verrukt toekeken.

Aanstonds heb je gedacht : “Geen wonder dat dit werk in ons land onder de tien meest gelezen boeken telt !... En dit deel !... Oh !.. Om van te watertanden !...”

Je bent nu thuis, ook rustiger geworden. Lees thans en geniet ten volle van alles wat je hier geboden wordt. Op je lange reis vergezellen je de wensen van de redacteur, de schrijvers, de Nederlandse bewerker en de uitgevers.

(getekend) Dr R. B. J. Hyckx –vertaler-

Met een dergelijke aanhef kon het haast niet anders : de boeken “vlogen” de boekwinkels uit  .. De gekozen formule sloeg inderdaad aan.. en het werd een kassucces.

Deze boeken hebben niet veel met de boeken van Speybroek en Fillet te maken. Het concept ligt immers helemaal anders.. Elk boek begint met een spannend verhaal : in nummer 5 is dat bvb. “De dodende straal” (30 bladzijden); in nummer 7 “Drie planeten, drie werelden” (25 bladzijden). Soms zijn er meerder verhalen in een boek bvb in n° 5 heeft men nog “Hoe Pieter Zomers zweefvlieger werd” en “Het Spookkasteel”… De titels zijn veelzeggend genoeg nietwaar ?? In elk verhaal spelen natuurlijk alleen jongens (van meisjes is helemaal geen sprake) de hoofdrol. Is er hier geen sprake van discriminatie ???

Verder zijn er rubrieken over sport bvb “Over het bouwen van een keuken als je op excursie bent” (n° 5) ; over zwemmen, schermen, padvinders.. (n° 7). Historische verhalen bvb over Robinson Crusoë, de gebroeders Montgolfier (n° 5) , over kwakzalvers en grote dokters uit vroegere tijden, over wolkenkrabbers in de Oudheid (de Egyptische piramides) (n°7),.. mogen natuurlijk niet ontbreken. Die grote dokters uit vroegere tijden maakten veel gebruik van toxische planten, zoals bvb de plant in het ikoon van dit cursiefje aangegeven.

Oefening : Herkent u deze toxische plant ???? en deze onderaan dit cursiefje ???
 

Knutselen en spelletjes staan ook op de dagorde en zijn veelal meer wetenschappelijk georiënteerd : hoe maak ik een astronomische verrekijker ?, telegraferen met behulp van de  zon,  .. (n°5) ; hoe maken wij een vuurtent ? goochelkunstjes ..(n° 7). In sommige boeken worden ook enige uitleg gegeven over technische onderwerpen. Zo heeft boek n° 7 het over radar, reuzenvliegtuigen, veiligheid op het spoor, filmgeluid, hoe een krant ontstaat, over uitvindingen die het niet waren, Röntgen’ s wonderbare ontdekking, boringen in Moeder Aarde.. Allemaal interessante "wetenswaardigheden"..

Slechts een klein deel van elk boek heeft echt betrekking met wetenschap. Veelal gaat het dan om natuurwetenschappelijke onderwerpen : Is het heelal begrensd ? Paddestoelen (n°5), kan de wereld vergaan ? hoe lang blijft het licht van de sterren onderweg ? ontdekkingen in grotten (n° 7)... Met “Wetenschappelijk waarnemen en experimenten” gaat het echt de wetenschappelijke toer op. Onderwerpen zijn bvb : wonderen onder de loep , het terrarium, hoe met behulp van de schaduw de hoogte van een boom berekenen, de dans der elektronen (n° 5) ; hoe ontcijfert men een geheimschrift ? waarom ziet men een hol in zijn hand ? hoe kan men in de natuur een rechte hoek afbakenen ? (n° 7)

Zo herinner ik mij sterk onder de indruk te zijn geweest van “Hoe ontcijfert men een geheimschrift ?”. Geheimschrift .. iedere schooljongen wordt er door aangetrokken nietwaar.
Toen ik ongeveer een halve eeuw later “L’ Histoire des Codes secrets –de l’ Egypte des Pharaons à l’ ordinateur quantique-” van Simon Singh (Livre de Poche -1999-) las bevond ik mij niet op totaal maagdelijk terrein !!

Bijzonder interessant lijken mij de denkpuzzels in boek n° 5, waarvan de oplossing verder in het boek gegeven wordt. Sommige (“De verdeling van kastanjes”, “welk getal heb ik weggelaten ?”) zijn kleine wiskundige vraagstukken, die met wat elementaire rekenkunde of algebra zijn op te lossen. Andere denkpuzzels (“Een reusachtig -verticaal opgesteld- kanon wordt bediend en schiet” en “De vernielde brug”) zijn heel wat moeilijker en vergen –vooral voor het eerste vraagstuk- een diep inzicht in mechanica en gravitatie.. Op het “kanonprobleem”, dat mij nog gedurende jaren heeft bezig gehouden, kom ik nog wel uitvoerig terug..

Het aantrekkelijke in deze legendarische serie is nu dat men een klein beetje van alles proeft, juist genoeg om er smaak in te krijgen. Maar om nu echt met “wetenschap” om te gaan en werkelijk te experimenteren, nee daar leek mij deze legendarische reeks niet voor geschikt..  En nochtans, zoals in reeds eerder schreef  : wij steunden onze experimenten op een boek “Jongens en..” en ik herinnerde mij zelfs vaag de naam van de auteur van het boek “Alder” of “Adler” ??

Dan maar een mailtje naar “Marcel” en ja hoor : hij wist het nog en kon mij onmiddellijk de juiste referentie opgeven :

Het was : “Jongens en Scheikunde” van J.C. Alders uitgever Zutphen – Thieme 5^de editie -1950-.. maar dit boek had niets met de boekenreeks "Jongens en Wetenschap" te maken!

Bijlagen:
toxische plant 1.jpg (124.3 KB)   
toxische plant 2.jpg (67 KB)   
toxische plant 3.jpg (56.2 KB)   

Bijlagen:
paddestoel 1.jpg (8 KB)   
paddestoel 2.jpg (69.6 KB)   
paddestoel 3.jpg (131.2 KB)   
paddestoel 4.jpg (136 KB)   
paddestoel 5.jpg (126.1 KB)   

(Hoofdstuk 6 Wetenschappen in het Lager Primair Onderwijs)

§ 6.2 Natuurkennis: Moeder Natuur als leerschool

Wat de biowetenschappen betreft werden er –althans in de Broedersschool- voor de leerlingen van het derde studiejaar en hoger- wandelingen in de vrije natuur ingericht. Deze wandelingen, in feite een soort botanische of zoologische excursies, werden geleid door Broeder Carissimus en gingen door gedurende de vakantie alsook op sommige Donderdagnamiddagen, wanneer wij vrijaf hadden.

Het is deze Broeder Carissimus (den “Grijzen”) die mij voor het eerst iets heeft geleerd over paddestoelen en schimmels, paardenstaarten en varens, veld- en weidebloemen, over slootbaarsjes en salamanders, over giftige planten en bessen, over spinnen en hommels. Ook wist hij telkens onze weetgierigheid te prikkelen door bij elke interessante plant, boom of struik een verhaaltje of legende te vertellen.

Enkele van die verhaaltjes heb ik zelfs later kunnen terugvinden in het « Compendium van Rituele Planten in Europa » (Marcel De Cleene en Marie-Claire Lejeune Uitgeverij Mens en Cultuur -1999-).

Waar “den Grijzen” zijn kennis vandaan haalde weet ik niet; ik vermoed dat sommige artikeltjes getekend Karel De Wolf ⁽¹⁾ uit het tijdschrift Biekorf ⁽²⁾ hem hierbij geholpen hebben. Hij was in alle geval een verwoed lezer van dit tijdschrift. Het is ook goed mogelijk dat hij rechtstreekse contacten had met Paul Vande Vyvere (1897-1973), een zeer bekend apotheker-botanicus in het Brugse en een gewaardeerd lid van de Belgische Pharmacopee Commissie. Apotheker Vande Vyvere had een officina in de Hoogstraat in Brugge en genoot wegens zijn grote botanische kennis grote vermaardheid zelfs op internationaal vlak. Van hem komt immers de uitspraak: “…Door de jeugd in staat te stellen dergelijke ongerepte terreinen te bezoeken en er de vredige schoonheid van te genieten, prikkelen wij de belangstelling voor alles wat met de natuur verband houdt en leggen wij de nodige kiemen voor de vorming van nieuwe wetenschappers….”

Wat er ook van zij, door toedoen van deze minzame Broeder heb ik voor het eerst enige planten (veelal bestempeld als onkruid) leren herkennen en een naam weten te geven: het herderstasje, het kleine en grote hoefblad, de krul- , speer- en akkerdistel, de grote en smalle weegbree, de brandnetel en de witte dovenetel, de paardenbloem, het madeliefje, de klaproos en de korenbloem, de stinkende gouwe, het boerenwormkruid…. Bomen en struiken werden niet vergeten en zo leerden wij iets over de vlierboom, de hazelaar en de notelaar, de beuk en de eik , de iep en de es, de (witte) paardenkastanje en de tamme kastanje, waarvan de vruchten van de eerste niet van de tweede wél kunnen gegeten worden. Broeder Carissimus waarschuwde ons ook uitdrukkelijk voor giftige planten zoals vingerhoedkruid, monnikskap.

Tuinbloemen zoals dahlia’s, geraniums, rozen… en klassieke kamerplanten zoals vetplanten en cactussen –succulenten ⁽⁴⁾ - (kwamen wij op onze botanische excursies niet tegen en werden uiteraard ook niet besproken.

Mijn eerste tuinbloemen en kamerplanten heb ik maar leren kennen bij mijn speelkameraad Eddy Paret, want hij had het geluk te wonen in een semi-cottage met een veranda en een bloementuin van ongeveer 100 m². Op de vensterbank van de veranda stonden enkele egelcactussen (Echinocereus-soorten), een paar sanseveria’s en - als ik me niet vergis - ook een reeks crassula’s, die “donderplantjes” genoemd werden. De tuin-zelf was afgezoomd met “stinkerdjes” (Tagetes) waarvan wij zo maar de bloemen plukten, om ze wat beter te kunnen bekijken en te “onderzoeken”.

Die zogezegde bloemen waren in feite bloemhoofdjes. Stinkerdjes behoren immers tot de zeer uitgebreide familie der Composieten ⁽⁴⁾ en die hebben een erg ingewikkelde bloeiwijze (bloemhoofdjes). Maar daar gaf ik mij nog geen rekenschap van. Deze wetenschap deed ik maar eerst op bij professor Verplancke (een examenvraag!) maar dit is voor blog III.

Buiten deze wereld vol wondere “dingen” waar er voor bengels nog heel wat te ontdekken viel, bestond er echter ook nog een andere onvermoede microscopische wereld, die minstens even interessant was. Het was door het zien van een film in “de Gilde” –ik geloof in 1948- dat ik voor het eerst met bestaan van deze microscopische wereld geconfronteerd werd. De titel van de film ben ik helaas vergeten, maar ik herinner mij nog zeer goed een bepaalde scène.
De hoofdacteur had zich een microscoop ⁽⁶⁾ aangeschaft en begon deze uit te testen terwijl hij aan tafel brood met kaas at. Dat bracht hem op het idee om ook eens een klein stukje kaas onder de microscoop te bekijken. Wat hij had gezien moest wel erg schokkend geweest zijn, want op slag liet hij brood en kaas links liggen. Wat hij met zijn microscoop precies had waargenomen heeft mij jaren lang geïntrigeerd.

Een microscoop stond van dan af op mijn verlanglijstje, maar deze jeugddroom heeft zich maar eerst op veel latere leeftijd gerealiseerd. Microscopie en vooral fluorescentiemicroscopie heeft overigens in mijn loopbaan een belangrijke rol gespeeld.

Vanaf het zesde en zevende studiejaar (Meester Albert Depoortere en Meester Berghmans Sint Lodewijkscollege) was er voor het eerst het vak « Natuurkennis ». En daar leerden wij iets over de zoogdieren (kat ⁽⁶⁾ , hond ⁽⁷⁾ , vleermuis ⁽⁸⁾ ), de vogels (zwaluw ⁽⁹⁾ , uil ⁽¹⁰⁾ , ^{specht (11)} ) en de amfibieën (kikkers, padden ⁽¹²⁾ ), waarbij de nadruk werd gelegd op de nuttige functie van deze dieren.

Over de voortplantingswijze van de eerste groep dieren werd met geen woord gerept; daarentegen werd wel enigszins ingegaan op deze van de laatste groep en werd er bvb gesproken over kikkervisjes. Het onderwerp voortplanting bij zoogdieren was immers in die jaren van overgebleven Victoriaanse preutsheid taboe. Maar bengels van het platteland wisten zeer goed hoe de vork aan de steel zat.

Het interessante van deze lessen was wel dat de Meester een einde maakte aan bepaalde fabeltjes en korte metten maakte met toen alom verspreid bijgeloof betreffende deze dieren. Zo waren de groene kikkers uit onze beken en grachten helemaal niet giftig, veroorzaakten die lelijke padden helemaal geen wratten en waren nachtdieren als de uil en de vleermuis helemaal niet “des duivels” (zie voetnota’s: (6) tot (12)). 

Over exotische dieren, leeuwen en tijgers, olifanten en giraffen, nijlpaarden en krokodillen, kamelen en struisvogels werd helemaal niets verteld. Voornoemde dieren behoorden immers niet tot ons eigen leefmilieu en dus werden ze niet in het leerplan opgenomen. Nochtans waren het juist deze dieren, die de schoolbengel het meest interesseerden, want ze deden denken aan verre, exotische landen en gevaarlijke avonturen. In onze verbeelding waren leeuwen zeer machtig, tijgers uiterst bloeddorstig, krokodillen erg verraderlijk, olifanten ongelooflijk sterk… Wij vroegen ons dan ook af, of bvb een leeuw het zou moeten afleggen tegen een beer, of een leeuw sterker was dan een tijger enz. enz. Onze fantasie werd geprikkeld door de schitterende chromo’s en prentjes, die toen o.a. door Liebig ⁽¹³⁾ en Artis ⁽¹⁴⁾ uitgegeven werden. Ook vele chocoladefabrikanten zoals Victoria ⁽¹⁵⁾ en Martougin ⁽¹⁶⁾ lieten zich op dat vlak niet onbetuigd en wij vonden ook dergelijke prentjes in sommige chocoladerepen.

Natuurlijk volgde de totale ontnuchtering toen wij ook de dieren in werkelijkheid zagen. Zo herinner ik mij een zwarte beer gezien te hebben bij een schoolreis in 1948 naar het Melipark in Adinkerke. Het arme beest was opgesloten in een enge kooi, waar het amper enkele passen kon zetten, wat het dan ook voortdurend deed. Het beeld van deze voortdurende heen en weer bewegende beer is mij jaren bijgebleven en zo ben ik geleidelijk tot het besef gekomen, dat dieren niet thuis horen in een kooi en op zijn minst toch een illusie van vrijheid moeten hebben.

Toen ik in 1951 bij een andere schoolreis de Antwerpse Zoo ⁽¹⁷⁾ mocht bezoeken en hier eveneens in een kooi opgesloten dieren, waaronder enkele primaten, “mocht” bewonderen was voor mij de kous af. Niet alleen merkte ik aan hun blik, dat ze niet erg opgetogen (eufemisme) waren over hun situatie, maar ook was iets ondefinieerbaar iets triestigs in die ogen. Vele jaren later, ben ik tot besef gekomen dat ook dieren hun gevoelens hebben en bvb verdriet kunnen hebben. En dat in tegenstelling met de gangbare mening van toen….

(wordt voortgezet)

---------------------------------------------------------------------------

(1) zie: http://nl.wikipedia.org/wiki/Karel_De_Wolf_(volkskundige)

(2) zie: http://www.tijdschriftbiekorf.be/index.htm

(3) Succulenten zijn die planten die op de een of andere wijze het vermogen hebben om water (vocht) in speciale weefsels op te slaan. Stamsucculenten doen dat in een verdikte stengel of stam ( de meeste cactussen en Euphorbia's), bladsucculenten doen dat in verdikte bladeren (Crasulla, Echeveria, Agave) en wortelsucculenten doen dat uiteraard in hun ondergrondse delen (Pterocactus tuberosus). Alle cactussen vormen de cactusfamilie (Cactaceae). De niet cactussen noemen we meestal vetplanten, hoewel we eigenlijk sapplanten zouden moeten zeggen, deze komen in diverse families voor zoals de middagbloemfamilie, de dikbladfamilie (Crasullaceae), de zijdeplantfamilie en de wolfsmelkfamilie (Euphorbiaceae).

(4) zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Composietenfamilie

(5) zie: http://nl.wikipedia.org/wiki/Microscoop

20-03-2010 om 00:00 geschreven door alter  

Bij Broeder Carissimus (derde leerjaar) beperkte dit fysisch wetenschappelijk onderricht zich tot een eerste fundamentele fysische grootheid, de lengte en tot een eerste benadering van de afgeleide grootheden oppervlakte en inhoud of volume en de hierbij horende eenhedenstelsels. Als oppervlakte- respectievelijk inhoudsmaat werden hier de niet-metrische eenheden, de are (symbool a) en de liter (symbool l of beter L -zie verder-) en de secundaire eenheden hiervan afgeleid besproken. 

Bij Meester Hillewaert (vierde en vijfde studiejaar) was er een tweede meer grondige benadering van de begrippen oppervlak en volume ( mogelijk gemaakt door de lessen "Vormleer") en de metrische oppervlakte en volumematen. Vervolgens kwamen de andere fundamentele fysische grootheden als massa en gewicht met hun diverse eenhedenstelsels aan bod.

Het metriek stelsel of metrische systeem gebruikt de meter als rekeneenheid voor lengte, oppervlakte en inhoud, in tegenstelling tot het oudere systeem, dat met duimen, ellen en voeten werkte. Lengte, oppervlakte en inhoud hebben op deze wijze dezelfde basiseenheid, waardoor omrekenen veel eenvoudiger wordt.
In de Angelsaksische landen wordt tot op heden het (gestandaardiseerde) Voet systeem ⁽⁴⁾ nog steeds gebruikt en de “voet” treedt hier dan eveneens als basiseenheid voor lengte, oppervlakte en inhoud op. Het probleem met het “voetsysteem” was echter dat de “voet” qua afmetingen naargelang het land, streek of stad verschilde waardoor een internationale afspraak betreffende een gestandaardiseerde afmeting van de “voet” onmogelijk bleek te zijn. Ieder land of stad hield aan zijn “voet”. Een houtsnede van Jacob Koelbel (1575) maakt dit duidelijk. Deze houtsnede laat zien hoe de gemiddelde lengte van de voet bepaald werd in het Duitsland van de 15^de of 16^de eeuw. Een dergelijke wijze van bepaling sluit natuurlijk iedere vorm van standaardisatie uit.

Het Metriek Stelsel, gebaseerd op een internationale lengte-eenheid, de meter ⁽⁵⁾ , laat nu echter wel standaardisatie toe en bovendien was dit stelsel gebaseerd op een verhouding van 1/10 tussen opeenvolgende afgeleide lengte-eenheden (decimaal systeem).
Dit systeem werd ontwikkeld in Frankrijk op het einde van de 19^de eeuw en in het onafhankelijke België pas verplicht door de wet van 11 juni 1836. In het toenmalige Verenigd Koninkrijk der Nederlanden dat Nederland, België en het Groothertogdom Luxemburg omvatte werd het Metriek stelsel verplicht in 1816 en in Frankrijk maar vanaf 1837.

In sommige landen, waaronder een grootmacht als de Verenigde Staten, wordt het metrische systeem nog steeds niet als wettelijke standaard erkend, wat aanleiding heeft gegeven tot enkele problemen. In 1983 kwam een vliegtuig van Air Canada tijdens de vlucht zonder brandstof te zitten door hantering van het verkeerde systeem bij controle van de hoeveelheid kerosine… In 1999 is er zelfs een dure ruimtesatelliet, nl. de Mars Orbiter, verloren gegaan omdat de software voor het ene stelsel geschreven was en de beoogde hoogte waar de satelliet naar toe gestuurd werd in het andere stelsel ingetypt werd...

1° het fysisch concept lengte en de lengtematen

Het woord "lengte" (longueur) heeft volgens de woordenboeken (van Dale, Larousse) diverse betekenissen. In de Natuurkunde echter wordt lengte wellicht het best gedefinieerd als « de uitgebreidheid van een voorwerp of lichaam van het ene uiteinde naar het andere uiteinde ». Stelt men deze uiteinden door twee punten voor dan is, uit meetkundig oogpunt, deze uitgebreidheid de afstand tussen twee punten.

Lengte is uit natuurkundig oogpunt een intuïtief begrip dat pragmatisch moet behandeld worden. Zoals voorgeschreven door Herbiet’ s boek “L’Arithmétique dans la Vie pratique”, dat ook het Metriek Stelsel behandelde, was het onderricht van Broeder Carissimus dan ook erg pragmatisch ingesteld. Overigens was dit boek, bestemd voor de onderwijzer, duidelijk geïnspireerd door de onderwijsmethodes van de Broeders Salesianen, een congregatie verwant -qua betrachtingen en doeleinden- aan de Broeders van Liefde.

De leerstof was dus op het dagdagelijkse leven gericht en behoorde om zo te zeggen tot ons eigen leefmilieu. In het derde leerjaar kwamen zoals reeds aangegeven de lengte-, oppervlakte- en volume-eenheden een eerste maal aan bod en wel uitgewerkt volgens het decimale stelsel; voorts werden de diverse instrumenten om lengten te meten aangegeven.

- Begonnen werd met de metrische lengtematen (km, hm, dam, m, dm, cm, mm) waarbij het gebruik van liniaal, lat, stok-, plooi- en lintmeter, als meetinstrumenten werd toegelicht. De liniaal en de lat hadden, behoudens strafinstrument , blijkbaar ook nog andere toepassingen. De lint- en stokmeter werden gebruikt door de kleermaker en de behanger en de plooimeter zo wat door iedere ambachtsman… De micrometer of palmer ⁽⁶⁾ was dan weer het instrument om kleine lengten te meten.

De centrale lengtemaat was de meter van waaruit de secundaire lengtematen afgeleid werden telkens in de verhouding 10/1 en 1/10. Deze verhoudingen werden aangegeven door de voorvoegsels k (kilo = 1000 of 10³), h (hecto = 100 of 10²), da (deca = 10), d (deci = 1/10 of 10^-1 ), c (centi = 1/100 of 10^-2 ), m (milli = 1/1000 of 10^-3 ). Aan de meter als lengtestandaard is een ganse historiek verbonden ⁽⁵⁾ : 

Oorspronkelijk werd in 1791 de meter door de Franse Academie van Wetenschappen gedefinieerd als het tienmiljoenste deel van de afstand van de noordpool tot de evenaar, gemeten op zeeniveau, langs de meridiaan van Parijs.  Nadat in 1798 de meridiaanmeting voltooid was werd in 1799 een nieuwe standaard vastgelegd, nu volgens de zojuist bepaalde meridiaanlengte. Deze "mètre des Archives" is gemaakt van platina. Toen deze later 0,2 mm te kort bleek te zijn vanwege een rekenfout in de afplatting van de aarde werd de standaard niet gewijzigd.

Het was deze laatste standaard, waarop Broeder Carissimus beroep deed en die van toepassing was tot 1960. In 1983 is GPCM overgegaan op een nieuwe standaard, waarover later meer.

- Na de lengtematen kwamen de gebruikelijke oppervlaktematen uit de landmeetkunde (ha, daa, a, da, ca) aan de beurt. Voor scholieren uit landelijke gemeenten een weloverwogen en oordeelkundige keuze, want akkers, bos- en weigronden behoorden om zo te zeggen tot ons leefmilieu.

De centrale oppervlaktemaat was hier de are (symbool: a). De are (afgeleid van het Latijnse woord area) was een stuk grond van 10 m op 10 m d.i. 100 m² zoals we later bij Meester Hillewaert zouden leren. 
Uit deze centrale oppervlaktemaat werden net zoals bij de lengtematen, de secundaire oppervlaktematen afgeleid telkens in de verhouding 10/1 en 1/10 waarbij dezelfde voorvoegsels h, da, d en c) gebruikt werden.

In de practijk werden de eenheden deca-are en deci-are zelden gebruikt; daarentegen worden de eenheden hectare en centi-are en natuurlijk are nog steeds gebezigd o.m. in notariële akten.

- Vervolgens werd overgegaan tot de gebruikelijke inhoudsmaten ( hl, dal, l, dl, cl, ml), waarbij dan eindelijk het geheim van de cilindrische recipiënten die, achteraan het leslokaal, op een schab stonden opgehelderd werd. Om begrijpelijke redenen was dit schab op ongeveer twee meter hoogte aangebracht… Dank zij dit stel recipiënten hadden wij een goed idee over de volumes die bvb een hectoliter, een decaliter, een liter of een deciliter vertegenwoordigden. De centrale inhoudsmaat voor vloeistoffen zoals water, bier, wijn enz. was de liter van waaruit, net zoals bij de lengtematen, de secundaire inhoudsmaten afgeleid werden telkens in de verhouding 10/1 of 1/10. Dezelfde voorvoegsels k, h, da, enz. werden hierbij gebruikt.  

Broeder Carissimus definieerde nu de liter volgens de toen geldende officiële normen zijnde het volume van 1 kilogram (massa-eenheid) zuiver water bij 4° C. Deze laatste officiële definitie dateerde van 1901 maar werd in 1964 (gelukkig) gewijzigd. Heden wordt de liter metrisch gedefinieerd : een liter is precies 1 dm³ . 
Sedert 1793 heeft de omschrijving van deze inhoudsmaat zich inderdaad een paar keer gewijzigd ⁽⁷⁾ !!!!

Deze definitie van 1901 was naar mijn gevoelen verantwoordelijk voor heel wat verwarring bij de schoolbengels: het was inderdaad echt geen goed idee om een inhoudsmaat te definiëren met behulp van een massa-eenheid van een bepaalde vloeistof!!
Een andere niet-metrische inhoudsmaat, die o.m. eertijds in Vlaanderen werd gebruikt was de Pint ; in Engeland en de USA wordt nog steeds de Gallon als inhoudsmaat gebruikt.

Toestellen om volumes van vloeistoffen te meten waren de gegradueerde maatglazen of -bekers; voor het afmeten van precieze volumes werden pipetten en buretten gebruikt. 

                                          *                       *                         *
 
De lessen over lengte-, oppervlakte- en volume-eenheden, waren voor Broeder Carissimus nu het gedroomde  voorwendsel om het te hebben over de decimale getallen. Het nut van het decimaal eenhedensysteem was ons plots zeer duidelijk geworden. I.p.v. te schrijven dat de lengte van een voorwerp bvb 2 m 5 dm 0 cm 8mm was, kon men deze verkort weergeven door een decimaal getal namelijk 2,508 m. Probeer dat maar eens met een voorwerp dat een lengte heeft van 2 voeten en 3 duimen. En met decimale getallen waren de klassieke rekenkundige bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) eenvoudig uit te voeren. Maar hoe was men op het idee van decimale maten gekomen? 

Decimale getallen (ofte getallen met een "komma") ontstaan door een "staartdeling" ^(h) uit te voeren. Aanvankelijk ging het daarbij om de deling van een groter natuurlijk getal door een kleiner. Maar dan volgde ook het delen van een kleiner natuurlijk getal door een groter, waarbij decimale getallen kleiner dan een (bvb 0,0357...) ontstonden. Bij Broeder Carissimus werd geleidelijk aan de ganse logistiek van de hoofdbewerkingen van de natuurlijke getallen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) van het tweede leerjaar uitgebreid tot de decimale getallen. I.h.b. werd aangeleerd hoe men op een elegante manier, namelijk door het respecteren van enkele "komma-regels" deze bewerkingen analoog en op een perfecte manier kon uitvoeren.

Decimale getallen zijn in wezen een andere schrijfwijze van tiendelige of decimale breuken. Deze laatste werden, zoals iedere Bruggeling zou moeten weten, ingevoerd door Simon Stevin (1548-1620) in zijn boekje "De Thiende"(1586). De schrijfwijze van tiendelige getallen in "De Thiende" verschilt natuurlijk van onze huidige moderne schrijfwijze. Maar ook met de oude schrijfwijze werd het rekenen met breuken hierdoor zeer sterk vereenvoudigd.

Het is dan ook niet verwonderlijk dat het boekje van Stevin zowel in het Frans en het Engels vertaald werd. Simon Stevin is zoals we nog verder zullen zien ook erg belangrijk voor de Natuurkunde (hydrostatica). De man heeft een standbeeld in Brugge (zie begeleidende foto). Toch vind ik dat hier ten lande zijn prestaties niet voldoende belicht worden.

                                           *                    *                   *

Vanaf het vierde leerjaar (Meester Hillewaert) werd nader ingegaan op de metrische oppervlakte- en volume- maten. De lessen Vormleer (d.i. Intuïtieve Meetkunde -zie vorige cursiefjes-) hadden ons geleerd wat onder vlak en ruimte, oppervlak en volume moet verstaan worden. Een vlak bezat een tweevoudige, een ruimte een drievoudige oneindige uitgebreidheid of dimensie. Een oppervlak was een omsloten vlak, een volume een omsloten ruimte. Een typische eigenschap van oppervlakken en volumes was dat ze konden gemeten worden d.i. qua grootte of omvang konden vergeleken worden met een ander oppervlak respectievelijk volume. Het (benoemd) maatgetal dat deze grootte weergaf werd respectievelijk oppervlakte van het oppervlak en inhoud van het volume genoemd.

Ook hadden wij geleerd hoe de oppervlakte te berekenen van meetkundige figuren als vierkant, rechthoek, parallelogram, trapezium, ruit, cirkel... en hoe de inhoud te bepalen van meetkundige lichamen als kubus, balk, parallellepipedum, pyramide, kegel, cylinder, bol... Deze berekeningen of bepalingen steunden op de kennis van bepaalde lijnsegmenten van de meetkundige figuur of lichaam (zijde, hoogte, basis, straal..).
Voor het invoeren van de metrische oppervlakte- en inhoudsmaten werden natuurlijk de meest eenvoudige meetkundige figuur (vierkant) en lichaam (kubus) gekozen. Het volstaat immers de lengte van zijde z van het vierkant respectievelijk van de kubus te kennen om de oppervlakte van een vierkant (S_vierkant = z² ) en de inhoud van een kubus (I_kubus = z³ ).

-De metrische oppervlaktematen ontstonden door achtereenvolgens z gelijk aan 1 km, 1 hm, 1 dam, 1 m, 1 dm, 1 cm, 1mm te stellen. Deze oppervlaktematen werden voorgesteld door de symbolische afkortingen km², hm², dam², m², dm². Door toepassen van de oppervlakteformule S_vierkant = z² volgt dat de verhouding van twee opeenvolgende metrische oppervlaktematen gelijk is aan de verhouding 100/1 of 1/100. 

-De metrische inhoudsmaten ontstonden door achtereenvolgens z gelijk aan 1 km, 1 hm, 1 dam, 1 m, 1 dm, 1 cm, 1mm te stellen. Deze inhoudsmaten werden voorgesteld door de symbolische afkortingen km³, hm³, dam³, m³, dm³, cm³, mm³. Door toepassen van de inhoudsformule I_kubus = z³ volgt dat de verhouding van twee opeenvolgende metrische inhoudsmaten gelijk is aan 1000/1 of 1/1000. 

Het verband tussen de gebruikelijke en metrische oppervlakte en inhoudsmaten volgt uit de definitie van de are (1 are = 1 dam² = 100 m²) en de moderne definitie van de liter (1 L = 1 dm³). Onderstaande tabel geeft de onderlinge verbanden weer:

 
 

km²		km³
hm²	hectare	hm³
dam²	are	dam³
m²	centiare	m³	kiloliter
dm²		dm³	liter
cm²		cm³	milliliter
mm²		mm³

Andere afgeleide metrische lengtematen zoals bvb micrometer (µm), de nanometer (nm) en hun overeenkomstige metrische oppervlakte- (µm², nm²) en inhoudsmaten (µm³, nm³) kwamen in de lagere school niet ter sprake. Deze maten lagen buiten ons ervaringsgebied.      

2° de fysische concepten massa en gewicht en de gewichtsmaten

In het vierde en vijfde studiejaar werden de internationale gewichtsmaten of beter massamaten behandeld. Het precieze onderscheid tussen massa en gewicht van een lichaam of voorwerp is in de Natuurkunde van het grootste belang en voor de meeste scholieren was dit onderscheid de eerste grote struikelblok op de weg tot de Natuurkunde.

De massa M van een voorwerp of lichaam werd bij Meester Hillewaert eenvoudig gedefinieerd als de "hoeveelheid stof of materie" die het voorwerp bevatte. Voor iemand, die al vertrouwd was met enkele begrippen uit de chemie, een zeer eenvoudige en begrijpbare definitie.
En ja, dank zij de lessen van apotheker Versailles en het boek « Gij en de Chemie », die ik uit de bibliotheek van mijn vader "geleend" had (zie mijn eerste cursiefje), begreep ik zeer goed wat Meester Hillewaert met massa bedoelde .

Het concept massa is echter in werkelijkheid een moeilijk begrip, dat zich in de loop der eeuwen heeft ontwikkeld ⁽⁸⁾ uit filosofische en theosofische beschouwingen, maar dat was natuurlijk geen voer voor schoolbengels.  

Massa als « quantitas materiae » wordt ook nog zwaartemassa genoemd en moet in principe  onderscheiden worden van traagheidsmassa « vis inertiae », het massabegrip dat men ontmoet in de dynamica.

Het begrip "traagheidsmassa" werd door Isaac Newton, een figuur waarover ik het nog vele malen zal hebben, ontwikkeld en diezelfde Newton heeft experimenteel aangetoond dat beide soorten massa equivalent zijn en door eenzelfde getal uitgedrukt kunnen worden ⁽⁹⁾ . 

In de Lagere School hield men het dus maar eenvoudigheidshalve bij zwaartemassa, maar het leek mij toch aangewezen hier al even te vermelden dat er ook zoiets als traagheidsmassa bestaat.  

Gewicht ⁽¹⁰⁾ werd door Meester Hillewaert gedefinieerd als de “zwaarte van een voorwerp” d.i de kracht G , die de Aarde op het lichaam uitoefent en die verantwoordelijk is voor het vallen van lichamen. Massa en gewicht zijn dus wel degelijk verschillende fysische grootheden, die principieel op een verschillende manier d.i. met verschillende instrumenten gemeten worden.

Een idee van de grootte van deze kracht (ook nog zwaartekracht genoemd) verkrijgt men door een vast lichaam of voorwerp op te tillen. Hoe zwaarder het voorwerp, hoe meer spierkracht men moet ontwikkelen. Herbiet gaf inderdaad in zijn boek de raad het woord “soupeser” te gebruiken om het intuïtief begrip "kracht" te verduidelijken.

2.1 - het meten van gewichten:

Gewicht is, zoals gezegd een (statische) kracht en kan dus gemeten worden met een dynamometer. Een voorbeeld van een dynamometer, speciaal bedoeld en geijkt om gewichten te meten, is de veerunster.

Met dit toestel toont men experimenteel gemakkelijk aan dat het gewicht van een lichaam G (dus de zwaartekracht uitgeoefend op het lichaam) evenredig is met zijn (zwaarte)massa M, wat door een eenvoudige formule kan weergegeven worden :  G = g x M .

In deze betrekking is g een evenredigheidsfactor, waarvan aangenomen wordt dat ze onafhankelijk is van de aard van het lichaam of voorwerp, maar die wel afhankelijk blijkt te zijn van de plaats op Aarde (breedtegraad, hoogte). Het gemeten resultaat zal dus afhangen van de plaats waar de meting uitgevoerd wordt. Zo is het gewicht van eenzelfde voorwerp verschillend aan de pool en de evenaar ; ook is het gewicht verschillend naargelang de hoogte van plaats (zee, bergen) waar de metingen gebeuren.

Wat de precieze betekenis was van deze evenredigheidsfactor g en i.h.b. hoe ze kon gemeten worden, kwam nog niet aan de orde. Uit de studie van de dynamica zou later blijken dat deze factor een benoemd getal was, zodat ook de kracht G door een benoemd getal en dus in een specifiek eenhedenstelsel kon uitgedrukt worden. Deze « dynamische » benadering ging echter het bevattingsvermogen van de schoolbengel ver te boven en Meester Hillewaert beperkte zich uiteraard tot de « statische » benadering en hield het dus maar bij de fameuze weeghaak of unster, want dit toestel behoorde tot onze leefwereld. 

Marktkramers maakten in die jaren inderdaad zeer veel gebruik van een dergelijke veerunster of Weeghaak (in het frans “peson” genoemd). Een veerunster bestond uit een halfcilindrische doos, meestal uit messing, die een stalen schroefveer bevatte. Het boveneinde van de veer was stevig aan de doos bevestigd terwijl het andere uiteinde van de veer een haak droeg, die als aangrijpingspunt van de kracht fungeerde, die men wenste te meten. Bij de veerunster vergelijkt men niet-gelijksoortige krachten met name de zwaartekracht t.o.v. een veerkracht. Veerunsters zijn dus dynamometers (krachtmeters) en zijn dus toestellen die in eerste instantie gewichten meten en geen massa’s. Veerunsters geven dan ook een verschillend resultaat naargelang de plaats (breedtegraad en hoogte) van meting.

Vrijwel ieder huishouden bezat een dergelijk erg goedkoop en eenvoudig instrument. Als bengel heb ik ten andere deze weeghaak veelvuldig gebruikt.

Indien men met behulp van een unster het gewicht van twee lichamen 1 en 2 (referentielichaam) op dezelfde plaats meet dan heeft men natuurlijk:

             G₁ / G₂ = M₁ / M ₂

M.a.w. op eenzelfde plaats op Aarde verhouden gewichten van twee lichamen zich als de massa's van de twee lichamen en kan de massa van een referentielichaam als maat dienen voor het gewicht van een ander lichaam. Als referentielichaam wordt hier dan de massa-eenheid (de kilogram) of een afgeleide massa-eenheid gebruikt en het toestel wordt dan geijkt in « kilogram-gewicht » en met een hierbij overeenstemmende aflezing voorzien.

Een dergelijke ijking en bijhorende aflezing is natuurlijk slechts geldig voor de aangegeven plaats en de veerunster zal voor hetzelfde lichaam op twee verschillende breedtegraden verschillende aanduidingen geven want g is immers afhankelijk van de plaats. Om deze reden maakt men dan ook een strict onderscheid tussen bvb « kilogram-gewicht » en « kilogram-massa ».   

Het gebruik van massa-eenheden om gewichten aan te duiden, kan alleen maar verwarring scheppen en zou om deze reden het best vermeden worden.   


2.2 - het meten van massa's:   

Om de massa van een voorwerp of lichaam te meten kan men gebruik maken van twee soorten wel te onderscheiden toestellen: balansen en weegschalen of wegers. Dit onderscheid wordt in de practijk niet altijd gemaakt.

Balansen behoren tot een eerste categorie weeginstrumenten en zijn gebaseerd op het jukbeginsel (hefboom ⁽¹²⁾ van de eerste soort). Bij deze instrumenten wordt het aan de ene kant van het juk het voorwerp gehangen, waardoor het juk niet langer in evenwicht is. Een wipplank was bvb een "hefboom van de eerste soort" en wij wisten natuurlijk zeer goed wat met "in evenwicht" bedoeld werd. Mechanische balansen maken nu gebruik van een stel verplaatsbare gewichten of massastukken (voor meer details zie: massastuk ) om het juk terug in evenwicht te brengen. Door het verplaatsen of verschuiven van deze massa's of gewichten wordt de balans in evenwicht gebracht.

Balansen vergelijken in eerste benadering de "zwaarte" d.i. het gewicht van twee voorwerpen d.i. de zwaartekracht uitgeoefend op de twee voorwerpen en wel op dezelfde plaats op Aarde. 

-Voor balansen met een gelijkarmig juk is er evenwicht wanneer geldt:

M_x . g_x = M_a . g_a  (M_x en M_a stellen de massa's bij evenwicht voor van respectievelijk het te wegen voorwerp x en het massastuk a ;  verder is g_x = g_a )
Bij evenwicht geldt dus: M_x = M_a

Wat men dus vergelijkt zijn de massa's (hoeveelheden materie) en niet de zwaartekracht op deze massa's uitgeoefend. Met balansen meet men massa's, wat verklaart dat het resultaat niet langer afhangt van de plaats op Aarde. Logischerwijze zou men het hier dus moeten hebben over “massa”-metingen, maar tot op heden wordt nog dagelijks de foutieve term “gewicht” voor “massa” gebruikt.

- Voor balansen met een ongelijkarmig juk met armlengtes respectievelijk x en a geldt:

M_x . x . g_x = M_a . a . g_a

Bij evenwicht geldt hier daar g_x = g_a : M_x . x = M_a . a

Voorbeelden van mechanische balansen bestonden in die tijd in verschillende maten, variëteiten en uitvoeringen ⁽¹³⁾ .

Het oudste type van mechanische balans was de Romeinse balans of unster ⁽¹⁴⁾ , een toestel dat al in de Oudheid dienst deed. Dit toestel werd in de Iron Fifties niet alleen door de marktkramers maar ook door ambulante handelaars gebruikt. Het juk van deze balans bestond uit twee armen van ongelijke lengte. Aan de kortste arm wordt het te wegen handelswaar gehangen, aan de langste arm hangt een gewicht dat vrij kan bewegen over die arm. Om een groot bereik aan gewichten te meten, kon de unster aan verschillende haakjes opgehangen worden, voor lichte dingen bevond de haak zich relatief ver van het te wegen product, bij zware dichterbij.


Wat de balansen met een gelijkarmig juk betreft, de zogenaamde trébuchet-balansen, waren er twee types in zwang respectievelijk mét en zonder "ruststand". Balansen zonder ruststand werden nog in het begin van de 19de eeuw gebruikt en begeleidende foto toont een magnifiek exemplaar uit de napoleonistische tijd. 
Balansen met ruststand kunnen op een dergelijke manier gebouwd worden dat ze zeer kleine gewichten (massa's) kunnen meten. Men spreekt dan van semimicro-balansen. 

Bij de goudsmid aan de Sint Katarina-kerk en bij apotheker Versailles werden dit type balansen gebruikt voor het wegen van milligrammen. Balansen met "ruststand" werden door niemand minder dan Antoine Lavoisier (1743-1794) geïntroduceerd. 

Deze balans bestond uit een gelijkarmig juk, beweegbaar om een vaste as, zijnde de ribbe van een driezijdig stalen prisma dat men mes noemde. Dit mes rustte in een kussen van gepolijst staal of van agaat. Op de uiteinden van het juk waren eveneens twee stalen messen ingebouwd, evenwijdig met en symmetrisch t.o.v. het eerste. Deze twee messen droegen door tussenkomst van haken, voorzien van stalen of agaten kussens, twee even zware schalen. Het uiteinde van een zeer lange naald, de wijzer genoemd, bewoog zich tegenover een kleine schaalverdeling, wat toeliet de evenwichtspositie te schatten. Typisch voor deze Trébuchet –balansen was dat de balans op een eenvoudige manier in ruststand kon gebracht worden, waardoor de messen van de balans alleen gedurende korte tijd belast werden namelijk gedurende de eigenlijke weging.

Apotheker Versailles, die mij op dat ogenblik de eerste beginselen van de chemie leerde, toonde mij niet zonder enige trots zijn prachtige semimicrobalans. Het juk van deze precisiebalans was –toppunt van comfort- voorzien met een kleine ketting, die de gebruikelijke klassieke ruitergewichtjes verving. Iedereen, die met een semimicrobalans wegingen heeft uitgevoerd, heeft wel ervaren dat deze ruitertjes echte pestkereltjes zijn. Mijn vriend apotheker was hiervan op de hoogte… en had geopteerd voor perfectie.

Andere balansen waarover Meester Hillewaert het nog had waren de brugbalans van Quintenz (bascule) en de personenbalans. Beide toestellen zijn eveneens gebaseerd op het hefboombeginsel (ongelijkarmig juk) en gebruiken schuifgewichten om het juk in evenwicht te brengen. Een personenbalans (niet te verwarren met een personenweegschaal of-weger) stond vroeger in practisch elke apotheek. Om het toestel in werking te stellen moest men eerst één frank in een gleuf brengen en vervolgens met het verschuiven van gewichten het evenwicht instellen. Meestal was het de apotheker, die deze operatie uitvoerde. 

Hoe een bascule precies werkte was misschien minder evident, maar toch was ook hier overduidelijk dat hefbomen de hoofdrol speelden. Bij de patattenboeren bvb was een dergelijke balans onontbeerlijk en herhaaldelijk heb ik Boer Van Mullem met een dergelijke toestel aardappelen of bieten zien afwegen.

Als absolute standaard van gewichtseenheid (lees massa-eenheid) werd het kilogram (kg) ⁽¹⁵⁾ zijnde het gewicht (lees massa) van een platina-iridium (90/10) cilinder met een hoogte en diameter van 39,0 mm genomen. Deze absolute standaard wordt op het “Bureau International des Poids et Mesures” in het Franse Sèvres bewaard en van deze standaard werden uiteraard enkele nationale kopieën vervaardigd.

Het was Meester Hillewaert echter voornamelijk om de praktische afgeleide decimale gewichtseenheden (lees: massa-eenheden) met name hg, dag, g, dg, cg, mg te doen. Voorts ging hij wat dieper in op de verschillende types balansen of wegers en zijn commentaar op de diverse toestellen is mij steeds bij gebleven. Ter illustratie van zijn lessen, liet hij ons enkele ijkgewichten (lees: ijkmassa’s) zien. Ook mochten wij onze “force” proberen op een gietijzeren gewicht (massa) van 20 kg.


Weegschalen of wegers zijn gebaseerd op min of meer gecompliceerde hefboomsystemen al dan niet met tegenwicht. Kenmerkend voor weegschalen of wegers is dat de schalen zich boven het juk bevinden i.p.v. onderaan zoals bij balansen het geval is. Voor vele weegschalen of wegers is -in tegenstelling met de balansen- geen stel gewichten of massastukken nodig.  

“Gewone” weegschalen (ook nog Roberval ⁽¹⁶⁾ - weegschalen genoemd) waren bij alle winkeliers (o.a. kruideniers, groenten- en ijzerwinkels) aanwezig, want in de Iron Forties werden nog zeer vele producten in bulk verhandeld.
Bij onze “Marie” (kruidenierster) en “In de Lelie” (groentewinkel) waren bvb gedroogde bonen en erwten in jute zakken opgeslagen. Appelsiroop, bruine zeep, nagels, ijzerdraad… werden in die jaren alleen verhandeld in bulk. Al deze producten werden net zoals aardappelen, peren, kersen… altijd afgewogen op een “Roberval”, een weegschaal die ontwikkeld is door de Franse wiskundige Gilles Personne de Roberval (1602-1675).
De gewone weegschaal werkt eveneens volgens het jukhefboomprincipe, maar de schalen bevinden zich (verschil met de trébuchet- balansen) boven het juk. De weegposities worden door de parallelle raamconstructie horizontaal gehouden. De nauwkeurigheid is niet al te groot door de wrijving van de constructieassen.

Béranger -balansen (een verbeterde versie van de Roberval balansen), lagen aan de basis van wat men later de semiautomatische balansen is gaan noemen. Een semiautomatische balans (van het bekende merk Berkel) werd bij “Marie” gebruikt voor dure producten als kaas, hesp en dito. Dezelfde Berkel weegschalen waren ook te vinden bij de slager of in de zuivelwinkel.
Slagers, spekslagers en zuivelwinkeliers hadden de gewoonte ribbetjes, rundvlees of een mot boter met een weids gebaar op de weegschaal te meppen om dan snel –vóór evenwicht- de waar van de weegschaal te nemen. De bedoeling was uiteraard enkele grammetjes te winnen. Maar de klanten lieten zich niet bedotten. Dank zij de lessen van Meester Hillewaert, liet ik mij, ofschoon amper 10 jaar, al evenmin bedotten.


Voorbeelden van andere weegschalen, gebaseerd op een hefbomensysteem met tegenwicht waren bvb: de keukenweegschaal , de personenweegschaal , en de briefwegers, toestellen, die men in elk postkantoor kon aantreffen.

Brievenwegers, ja daarmede was ik wel vertrouwd want mijn vader bezat een dergelijk toestel, dat op drie poten stond en waarvan het veersysteem, met tegengewicht en aanwijzer duidelijk zichtbaar waren. Het werkingsprincipe van de brievenweger lag zo duidelijk voor de hand dat je wel echt een stommeling moest zijn om het werkingsmechanisme van dit toestel niet te begrijpen. Maar begrijpen of niet, bij mijn vader luidde de boodschap: blijf met uw poten van dit toestel af.


Heden worden echter in hoofdzaak elektronische balansen gebruikt waarbij dan niet-gelijksoortige krachten (zwaartekracht t.o.v. electrische krachten) vergeleken worden. Maar in die jaren was er nog geen sprake van dergelijke balansen. Elektronische balansen hebben een ware revolutie in het wereldje van het "wegen" veroorzaakt en zullen later besproken worden.

2.3 - de verhouding gewicht of massa tot volume van een lichaam: het begrip dichtheid 

Gewicht, massa en volume zijn eigenschappen die een lichaam met bepaalde chemische samenstelling fysisch karakteriseren. Vandaar het invoeren van nieuwe begrippen als soortelijk gewicht (γ) en soortelijke massa (μ) voor dergelijke lichamen.

De soortelijke of specifieke massa van een lichaam is de massa van de volume-eenheid van dit lichaam. Als M de massa van een volume V van dit lichaam voorstelt dan heeft men: µ = M/V

Het soortelijk of specifiek gewicht van een lichaam is het gewicht van een volume-eenheid van dit lichaam. Als G het gewicht van een volume V van dit lichaam voorstelt dan heeft men γ = G/V

(wordt voortgezet)

3° een fysisch experiment -de wet van Archimedes-

(wordt voortgezet)

4° de fysische concepten tijd en tijdsduur en tijdsmetingen

(wordt voortgezet) 


--------------------------
(1) De fysische mechanica is het onderdeel van de natuurkunde dat zich bezighoudt met evenwicht en beweging van lichamen onder invloed van de krachten die erop inwerken. 

Bijlagen:
balans roberval.jpg (18.6 KB)   
bascule.jpg (28.1 KB)   
beginsel robertvalbalans.jpg (22.6 KB)   
brievenweger.jpg (60.2 KB)   
gewone naaldbalans.jpg (187.6 KB)   
semimicrobalans.jpg (7.3 KB)   
SimonStevin01.jpg (53.3 KB)   
zoethoutwortel.jpg (47.5 KB)   

(Hoofdstuk 5 "Wiskunde in het Lager Primair Onderwijs")

§ 5.5 Intuïtieve Ruimtemeetkunde of Stereometie

De lessen in Vormleer, waarvan sprake in het cursiefje §5.3, hadden bij Meester Hillewaert (Broedersschool) ook al betrekking op de ruimtemeetkunde. Het begrip ruimtelijk lichaam werd algemeen omschreven als een object dat ruimte inneemt en dat een gesloten oppervlak bezit.

Naargelang de vorm van dit gesloten oppervlak kon men diverse lichamen onderscheiden, zoals de kubus en de balk, het prisma en de cylinder, de pyramide en de kegel en tenslotte de bol. Door “dissectie” van deze ruimtelijke lichamen werd geprobeerd wat meetkundig inzicht bij te brengen in de eigenschappen van deze meetkundige objecten. Met “dissectie” bedoel ik dan het ontrafelen van het lichaam in zijn oppervlakelementen en de hierbij aangewende technieken waren “knippen”, “plooien” en “plakken”… en soms “tekenen”. Bij het tekenen werd overigens ook hier gebruik gemaakt van de winkelhaak, de passer en de lat en de liniaal.

1- basisbegrippen:

Vooreerst weren de begrippen loodrechte op een vlak, loodvlak en snijdende en evenwijdige vlakken omschreven en op een practische manier toegelicht.

Een rechte stond loodrecht op een vlak, wanneer ze loodrecht stond op twee rechten in het vlak, die door haar voetpunt gaan. Dat dergelijke loodrechten bestaan, demonstreerde Meester Hillewaert door een winkelhaak met de kortste zijde te plaatsen op het plat vlak van een tafel en de winkelhaak te laten wentelen om de langste zijde. De langste zijde was een loodrechte op een vlak.

In een punt op een rechte kunnen in de ruimte oneindig veel loodlijnen opgericht worden; deze loodlijnen vormen een loodvlak op die rechte. Twee vlakken die elkaar snijden hebben één rechte gemeen die grensrechte genoemd wordt. Evenwijdige vlakken zijn vlakken, die elkaar niet snijden. Twee loodvlakken op een zelfde rechte zijn evenwijdig. De afstand tussen de twee evenwijdige vlakken is het lijnstuk afgesneden op deze rechte door deze vlakken.

Volume werd gedefinieerd als de ruimte ingenomen door het lichaam. Congruentie van meetkundige lichamen betekent én gelijkvormig én gelijk van volume ( tekens ~ én =). Gelijkvormige lichamen zijn figuren die dezelfde vorm hebben (teken ~ ); gelijke lichamen zijn lichamen die hetzelfde volume hebben (teken =). Twee meetkundige lichamen zijn congruent als -in theorie- de ene zo op de andere kan geplaatst worden dat zij samenvallen.

Bij gelijkvormige lichamen zijn al de overeenkomstige hoeken gelijk en al de overeenkomstige zijden en vlakken proportioneel. Is die proportie of verhouding gelijk aan een, dan zijn die lichamen gelijk en dus congruent.

Voorbeelden van steeds gelijkvormige lichamen zijn de kubus (hexaëder) en de bol. Later zullen hier nog aan toegevoegd worden de tetraëder, de octaëder, de dodecaëder en de icosaëder (de zogenaamde regelmatige lichamen of veelvlakken ⁽¹⁾ ).

De verhouding van een volume tot een tweede volume is het onbenoemde getal waarmede het tweede volume te vermenigvuldigen is om het eerste volume te bekomen. Er werd aangenomen dat deze verhouding een rationaal of meetbaar getal was. Met volume V van een meetkundig lichaam wordt dus de grootte van het volume bedoeld. Het volume V kan nu, zoals het oppervlak, uitgedrukt worden in bepaalde parameters (zijde, basis, hoogte, apothema..) van het beschouwd meetkundig lichaam.

Het maatgetal van een volume V (ook inhoud genoemd) was de verhouding van dit volume tot een ander volume, dat als eenheid (volume-eenheid) genomen wordt. Deze verhouding is wel een benoemd getal.

In de Intuïtieve Ruimtemeetkunde wordt met maatgetallen van volumes (inhouden) gewerkt, in de Deductieve Meetkunde met verhoudingen van volumes.

In het courante spraakgebruik worden de termen volume en inhoud courant door elkaar gebruikt.

2- meetkundige karakteristieken van kubus, balk en parallellepipedum:

- de kubus:

Er werd op aanschouwelijke wijze getoond dat een kubus opgebouwd was uit 6 gelijke zijvlakken (vierkanten), en dat deze kubus 12 gelijke ribben en 8 hoekpunten bezat. Het aantal zijvlakken of ribben die in één hoekpunt samenkwamen bedroeg 3.

De kubus komt in het dagelijkse leven niet zo veel voor (bvb dobbelstenen) maar, benadrukte de Meester Hillewaert, het is een belangrijk lichaam want gebruikt als maateenheid voor volumemetingen. De ribbe van de eenheidskubus is de maateenheid voor lengtemetingen, het zijvlak is de maateenheid voor oppervlaktemetingen en de eenheidskubus-zelf, de eenheid voor volumemetingen (zie: Metriek Stelsel). 

Het volume van een kubus kon uitgedrukt worden in functie van de lengte van de zijden. Om dit aan te tonen werd een grote kubus verdeeld in n kleine kubussen met zijde a (zie figuur 1 Metriek Stelsel).

Uit de geschetste figuur viel af te leiden dat de lengte van de zijde van de grote kubus gelijk was aan z = n . a en dat het volume van de kubus n³ kleine gelijke kubussen met zijde a bevatte. Een zijvlak van de grote kubus bevatte n² kleine vierkantjes met zijde a.

Daar kubussen steeds gelijkvormig zijn had men V = n³ x v. Indien v de volume-eenheid is heeft men v = 1 en a = 1 waaruit S = z².

Stelt z de lengte van de zijde van een kubus voor dan vindt men voot het volume of inhoud van de kubus: I_kubus = z³ en voor het oppervlak van de kubus S_kubus = 6 . z²

Voor de diagonaal van de kubus vond men door tweemaal toepassen van de stelling van Pythagoras:

D_kubus = z . √3

- de balk:

De balk (rechthoekig parallellepipedum) bestond uit zes twee aan twee gelijke zijvlakken (rechthoeken). Twee overstaande zijvlakken zijn congruent. Het aantal ribben van een balk is 3 x 4 (drie groepen van vier gelijke ribben) en het aantal ribben zoals bij de kubus 12.. Het aantal ribben en het aantal zijvlakken die in één hoekpunt samenkomen was hetzelfde als bij de kubus. De ribben van de balk worden basis (b), hoogte (h) en lengte (l) geheten (zie figuur 2 balk).

Het volume V van een balk kon nu zoals bij de kubus uitgedrukt worden in functie van de basis b, de hoogte h en de lengte l van de balk.

Om dit aan te tonen werden basis, hoogte en lengte van een balk met eenzelfde lengte-eenheid a onderverdeeld en de kleine kubussen getekend zoals bij de analyse van de kubus ⁽¹⁾ .

Uit de bekomen figuur viel nu af te leiden dat de basis gelijk was aan b = n . a ,de hoogte h = m . a en de lengte van de balk l = q . a en dat de balk dat de rechthoek in totaal n . m . q kleine kubussen bevatte.

Voor het volume van de balk kon dus geschreven worden:

V = n. m . q . v = (b/a) . (h/a) . (l/a) . v

Of indien v de oppervlakte-eenheid is (s = 1 en a = 1)

V = b. h . l

Stellen b , h en l respectievelijk de basis, de hoogte en de lengte van een balk voor dan heeft men:

V_balk = b . h . l en S_balk = 2 (b . h + h . l + l . b)

Voor de diagonaal vindt men gemakkelijk (stelling van Pythagoras) : D = √(b² + h² +l²)

Men kan nu de formule om het volume van een balk te berekenen uit een ander oogpunt bekijken. Het product b . l stelt de oppervlakte van een zijvlak van de balk voor, die men grondvlak kan noemen. Dan wordt het volume van de balk gegeven door het product oppervlakte grondvlak met de hoogte:

Bijlagen:
figuur 1 kubus.jpg (269.9 KB)   
figuur 10 halve bol en kegel.jpg (7.6 KB)   
figuur 2 balk.jpg (8.1 KB)   
figuur 3 van ppd naar balk.jpg (48.3 KB)   
figuur 4 prisma's.jpg (16.9 KB)   
figuur 5 ppd uit 2 driezijd. prisma's.bmp (576.1 KB)   
figuur 6 rechte cilinder.bmp (576.1 KB)   
figuur 7 piramide en prisma.jpg (41 KB)   
figuur 8 rechte kegel.jpg (9.3 KB)   
figuur 9 kegel en cilinder.jpg (29.9 KB)   

12-03-2010 om 00:00 geschreven door alter  

(Hoofdstuk 5 "Wiskunde in het Lager Primair Onderwijs")

§ 5.3 Intuïtieve Vlakke Meetkunde of Planimetrie

Vanaf het vijfde studiejaar werden ons in de Broedersschool ook enkele meetkundige begrippen bijgebracht, onder het kwalitatief “Vormleer” ⁽¹⁾ . Wat “Vormleer” nu was of precies voorstelde, wisten wij niet maar -het dient gezegd- onze ouders ook niet. Alleen beseften wij wel dat het iets met "meetkunde" te maken had. Het is eerst maar na het lezen van een boek over de meetkundedidactiek in het basisonderwijs van Nederland, dat mij veel is duidelijk geworden.

Het betrof hier het proefschrift verschenen in boekvorm van Ed De Moor “Van Vormleer naar Realistische Meetkunde ” ⁽²⁾ (1999). Dat er op didactisch vlak sinds meer dan een eeuw een grote discussie aan de gang was over wat nu wel of niet “geometrisch” geschikt was voor de schoolgaande jeugd, is wellicht velen niet bekend.

Deze Vormleer, ook "Intuïtieve Meetkunde" of "Realistische Meetkunde" of ook nog Kijk- Meetkunde genoemd, werd (en wordt nog altijd) door sommige wiskundigen beschouwd als een regelrechte aanslag op het erfgoed van Euklides d.i. de deductieve meetkunde, gebaseerd op axioma's, definities en stellingen en om deze reden axiomatische meetkunde genoemd. Persoonlijk meen ik dat deze kritiek onterecht is. Schoolbengels pikken nu eenmaal meer op van een speelse, realistische aanpak dan van strenge abstracties. 

Deze Intuïtieve Meetkunde is DE meetkunde van het lager onderwijs, en tot het lager onderwijs moet op zijn minst ook nog het eerste jaar middelbaar (zesde humaniora) gerekend worden.
Daarentegen is Deductieve meetkunde ontegensprekelijk de meetkunde van het hoger secundair onderwijs.

Na WOII werd via de ministeriële omzendbrief van 1949 de deductieve meetkunde al vanaf het tweede jaar middelbaar (vijfde humaniora) in het leerprogramma gebracht. Was dit een gelukkig initiatief? Ik meen van niet want dit gebeurde natuurlijk ten koste van de intuïtieve meetkunde, waarbij dan interessante rubrieken zoals bvb het vaststellen van bestaan van irrationale of onmeetbare getallen, de beginselen van Cavalieri, de Gulden Snede gewoon van het programma geschrapt werden.  

Voor het beoefenen van deze intuïtieve meetkunde waren alleen noodzakelijk papier, karton, schaar en pappot  en verder voor het tekenwerk de werkinstrumenten passer en gegradueerde lat, winkelhaak en gradenboog. Let wel dat voor het beoefenen van de meetkunde van Euklides (deductieve meetkunde)alleen passer en lineaal toegelaten zijn.

Het eerste gedeelte van Herbiet’s boek ⁽³⁾  “L’Arithmétique dans la vie pratique” was nu gewijd aan die zogenaamde “Vormleer”, dus aan die "Intuïtieve Meetkunde".

Nu is “Arithmetiek” in wezen geen “Meetkunde” en ik was dan ook enigzins verwonderd dit soort “meetkunde” in dit boek aan te treffen. De titel dekte blijkbaar niet helemaal de lading. Bij het doorbladeren van dit werk stelde ik overigens vast dat ik dezelfde figuren en tekeningen inderdaad al vroeger in de Broedersschool had ontmoet.

Meester Hillewaert had blijkbaar dezelfde didactische technieken gebruikt als vermeld in dit werk en die technieken kon men samenvatten als: plooien, knippen, plakken, tekenen en kleuren.

Deze weg zou trouwens verder bewandeld worden door Meester Depoortere en vooral Meester Berghmans in de lagere afdeling van het Sint Lodewijkscollege. Zo was bvb, bij Meester Berghmans, de stelling van Pythagoras, het culminerend punt van zijn onderricht.
Deze uiterst belangrijke stelling, noemde hij een ezelsbrug, een "pons asinorum" ⁽⁴⁾ . Eenmaal deze brug overschreden, stond voor ons de poort van de kennis i.h.b. van de wiskunde wijd open.

Meester Hillewaert had bij zijn onderricht de volgorde gevolgd, zoals die bij Herbiet was aangegeven: eerst enkele basisbegrippen (rechte lijn, plat vlak, hoeken), vervolgens de eerste meetkundige figuren (rechthoek, vierkant) en hierbij aansluitend het oppervlaktebegrip, dan de eerste meetkundige lichamen (balk, kubus) en hierbij aansluitend het begrip volume. Hierop volgde een tweede serie geometrische figuren (parallellogram, ruit, driehoek, trapezium, regelmatige veelhoeken, cirkel) met telkens bepaling van omtrek en oppervlakte, en een tweede serie geometrische lichamen (prisma, cilinder, piramide, kegel, bol) met telkens de bepaling van de oppervlakte en het volume.

(Hoofdstuk 5 "Wiskunde in het Lager Primair Onderwijs")

§ 5.2 Arithmetiek met Meester Berghmans

In de lagere afdeling van het Sint Lodewijkscollege, meer precies bij Meester Depoorter en Meester Berghmans werd het onderricht in het executief gedeelte van de Praktische Arithmetiek verder gezet, met o.a. de machtsverheffing en de worteltrekking. Ook werd meer en meer de nadruk werd gelegd op allerhande praktische toepassingen van de Rekenkunde zoals percentrekening, intrestrekening, menging van waren en legeringen. 

Geleidelijk aan werd echter ook meer aandacht besteed aan het theoretisch deel van de Arithmetiek. Dit was dan voornamelijk het geval in het zevende leerjaar, bij Meester Berghmans. In feite omvatte de leerstof van het zevende leerjaar een groot gedeelte van de materie voorzien voor de zesde humaniora. Wat het leerprogramma "Arithmetiek" in het zevende studiejaar respectievelijk in de zesde humaniora inhield, weet ik niet meer heel precies. Wel herinner ik mij dat Meester Berghmans - in tegenstelling tot Meester Hillewaert- nu ook bvb de commutatieve, distributieve en dito eigenschappen van optelling, vermenigvuldiging enz. met behulp van "letters" ⁽²⁾ uitdrukte. Hij bevestigde wat ik al eerder in de Oosthoeks had gelezen.

In feite was deze materie een recapitulatie van de in het in het vijfde en zesde leerjaar geziene executief rekenen, waarbij nu echter ook het theoretisch gedeelte (eindelijk) wat meer op de voorgrond trad. 

Het uiteindelijk resultaat was wel, dat wij het "waarom moet het zó en niet anders" van de rekenkundige bewerkingen begrepen en dat vond ik uitermate belangrijk!!!

24-01-2010 om 00:00 geschreven door alter  

(Hoofdstuk 5 "Wiskunde in het Lager Primair Onderwijs")

§ 5.1 Arithmetiek met Meester Hillewaert

In het vierde en vijfde leerjaar kwam ik terecht bij Meester Hubert Hillewaert, een uitstekende doch strenge onderwijzer. Een man, die niet met zich liet sollen en niet aarzelde de lat of de regel te hanteren indien het nodig was. In die jaren was er immers nog geen sprake van “ADHD” (acroniem voor Attention Deficit Hyperactivity Disorder) in het Nederlands “Aandachtsstoornis met hyperactiviteit”. Toen heette dit zogezegde syndroom nog gewoon “niet opletten of dromen in de klas, en met andere zaken bezig zijn”. Eerlijk gezegd, als ik lees wat Gezondheid.be –de gezondheidssite voor Vlaanderen- ⁽¹⁾ hierover schrijft, rijzen mijn haren ten berge. Voor mij is dit echt een schoolvoorbeeld van hoe biowetenschappers kunnen ontsporen !!!

Meester Hillewaert legde net zoals Broeder Carissimus de nadruk op het pragmatische. Hij ontweek dus helemaal niet de vraag “waar is dit nu goed voor?” Bij hem was het dor van buiten leren tot een minimum herleid. Wat hij ons vertelde was zelfs voor schoolbengels erg interessant en de meeste leerlingen volgden dan ook met aandacht zijn uiteenzettingen. Merkte hij dat een van ons toch onoplettend was (en dus zogezegd leed aan een “aandachtsstoornis”), dan deed een harde slag met de grote lat op de bank de onverlaat onmiddellijk tot de schoolse realiteit terugkeren.
Was een bengel “hyperactief” in de zin dat hij de klas overhoop wou zetten, wat overigens maar zelden gebeurde, dan brachten een oorveeg of een vijftal minuten rechtop op de knieën zitten – het liefst op de scherpe rand van de trede- de deugniet wel tot andere gedachten.
Overigens wist hij ook zeer goed dat deugnieten als wij maar hoogstens een tiental minuten werkelijk met volle aandacht een uiteenzetting konden volgen. Daarom aarzelde hij niet zijn uiteenzetting even te onderbreken met een kwinkslag om dan opnieuw de volle aandacht te kunnen vragen. Voor hem moest de leerlingen al “spelend” leren. Hij VOELDE de klas aan, hij WIST wanneer wij het begrepen hadden, en indien dit niet het geval was, probeerde hij het op een andere manier uit te leggen.

Arithmetiek in het Lager Onderwijs

Wellicht is deze dogmatische benadering er mede de oorzaak van dat zovelen een aversie gekregen hebben voor alles wat maar enigszins naar wiskunde zweemt??? Best mogelijk, maar situaties zoals zich bvb nu in het basisonderwijs (huidige benaming van het vroegere primair onderwijs) voordoen en waarbij op de zogenaamde “realistische rekenkunde” wordt beroep gedaan, lijken mij evenzeer verwerpelijk en nefast! 


1- over optelling en aftrekking  

Verder maakte Meester Hillewaert ons aan de hand van getallenvoorbeelden duidelijk wat optellen respectievelijk aftrekken was. In feite toonde hij de mogelijkheid en vooral de ondubbelzinnigheid van de optelling respectievelijk aftrekking aan: Uit twee natuurlijke getallen is door optelling respectievelijk aftrekking één en slechts één natuurlijk getal af te leiden.

De som van enige getallen bvb 9, 7, 4.. die in een bepaalde volgorde gegeven zijn, is het getal dat men vindt door het tweede bij het eerste op te tellen, en het derde bij de bekomen som. Deze definitie laat zich schrijven als: 9 + 7 + 4 = (9 + 7) + 4 = (9 + 7 + 4)

Met behulp van getallenvoorbeelden toonde Meester Hillewaert de grondeigenschappen van de optelling (commutatieve en associatieve eigenschappen) aan.

Zo is (4 + 7) + 2 = 13 anderzijds is (7 + 4) + 2 = 13 derhalve is (4 + 7) + 2= (7 + 4) + 2.

Het wisselen van de termen in de som heeft geen invloed op het eindresultaat. Deze eigenschap wordt de commutatieve eigenschap van de optelling genoemd.
 
Verder is (4 + 7) + 2 = 11 + 2 = 13 maar ook 4 + (7 + 2) = 13 derhalve (4 + 7) + 2 = 4 + (7 + 2)

De som van enige getallen hangt niet af van de volgorde waarin men ze stuk voor stuk neemt. Deze eigenschap wordt de associatieve eigenschap van de optelling genoemd. 

De aftrekking werd dus eveneens aanschouwelijk gedefinieerd met een getallenvoorbeeld : 14 + ? = 11. “?” werd het verschil tussen 14 (het aftrektal) en 11 (de aftrekker) genoemd en geschreven als 14 – 11.

De aftrekking was in principe alleen mogelijk indien het aftrektal groter was dan de aftrekker. Het geval dat aftrektal gelijk was aan de aftrekker (bvb 8 - 8 en dus 8 + ? = 8) voerde tot een bijzonder getal, het getal "nul".

Indien men naast het cijfer nul, ook het getal nul invoerde was de aftrekking mogelijk indien het aftrektal groter of gelijk was aan de aftrekker. Het getal nul is echter geen natuurlijk getal; het bezit een aantal eigenschappen, die verschillend zijn van deze van het natuurlijk getal (zie volgend cursiefje).

2- over de vermenigvuldiging

Een speciale rekenkundige bewerking was het vermenigvuldigen van een getal met zichzelf, wat kwadrateren of verheffen tot de tweede macht genoemd werd. Voortgaande op de ingeslagen weg, werd het bekomen resultaat (het kwadraat van het getal) opnieuw vermenigvuldigd met dit getal, wat dan verheffen tot de derde macht genoemd werd. Bvb 7 X 7 werd voorgesteld door 7² en 7 x 7 x 7 door 7³.

Zo kon men natuurlijk verder doorgaan en werd aldus, naast de vier klassieke operaties (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) een vijfde rekenkundige operatie gecreëerd: de machtsverheffing. 

                                                         *      *      *

In de “Oosthoeks” van mijn vader had ik nu echter ontdekt dat bvb de commutatieve eigenschap van optelling respectievelijk vermenigvuldiging heel eenvoudig kon voorgesteld worden door:

a + b = b + a en a x b = b x a (of a . b = b . a) waarin a en b om het even welk natuurlijk getal voorstelden. Deze manier van voorstellen leek mij uiterst eenvoudig en bovendien erg begrijpelijk.

Op dezelfde manier kon ik de verbale uitspraken over de associatieve grondeigenschap van de optelling vertalen als:
 
(a + b) + c = a + (b + c)

en de distributieve grondeigenschap van de vermenigvuldiging als:

(a + b) x c = a x c + b x c   

Wat de relatie tussen twee natuurlijke (gehele) getallen a en b betreft kon, volgens de Oosthoeks, slechts één van de drie volgende relaties van toepassing zijn: ofwel was a < b, ofwel was a > b, ofwel was a = b. Deze uitspraak vond ik evident.

De hoofdbewerking “aftrekking” werd dan gedefinieerd als het vinden van een geheel getal x derwijze dat a + x = b of x = b – a 

Die " x " was dan het onbekend getal dat moest gezocht worden. Meester Hillewaert duidde deze "x" natuurlijk aan door een “?”, want hij mocht geen letters gebruiken!!

De te zoeken x noemde men het verschil tussen het aftrektal b en de aftrekker a. Deze bewerking was in principe alleen mogelijk indien a < b of a = b was. Het getal nul (niet te verwarren met het cijfer nul) werd dan gedefinieerd door a - a = 0 waaruit natuurlijk volgde a + 0 = a.

Nochtans leek mij een uitbreiding van het getalbegrip al evident, door heel eenvoudig de aftrekking ook te definiëren voor a > b : introductie van “negatieve” gehele getallen gesymboliseerd door “-x” en symmetrische uitbreiding van de getallenrechte langs de linkerzijde van het getal 0. Meester Hillewaert had het toch toen ook al over “negatieve” temperaturen dus waarom niet over “negatieve” getallen?

Deze getallenuitbreiding werd eerst maar in het Lager Middelbaar (vijfde humaniora of tweede Rijksmiddelbaar) ingevoerd en werd toen als "algebra" voorgesteld.

Wat de speciale bewerking "machtsverheffing" betrof, leerde de Oosthoeks dat er niet alleen een verheffing tot de tweede en tot de derde, maar ook tot de vierde, vijfde enz. bestond.

Algemeen kon men de n-de machtsverheffing van een willekeurig natuurlijk getal a voorstellen door a x a x a x a... (n keer) door aⁿ met n een natuurlijk getal. Derhalve kon men schrijven a x a x a x a.... (n maal) = aⁿ . Een dergelijke schrijfwijze voerde onmiddellijk tot a¹ = a.

Let wel dat de machtsverheffing nog niet gedefinieerd werd t.a.v. het getal nul bvb wat moet men verstaan onder a⁰ ??? Dat was stof voor later (zie volgend cursiefje)

3- over deling en deelbaarheid :

Maar terug naar Meester Hillewaert. Met hem werd de deelbaarheid van de natuurlijke (gehele) getallen eveneens praktisch bekeken d.i. door het uitvoeren van allerhande delingen. Vooreerst werd, precies zoals bij de aftrekking, met een eenvoudig getallenvoorbeeld gedefinieerd wat deelbaarheid was.

Zo gaf hij ons volgend eerste voorbeeld: 3 x “?” = 12 welk getal stelt “?” voor?? Natuurlijk uit de Tafels van Vermenigvuldiging kenden wij het antwoord: “4”. Deze bewerking werd deling genoemd en voorgesteld als: 12 : 3 = “?” of nog 12/3 = “?” Het getal 12 werd het deeltal, het getal 3 de deler genoemd, de oplossing het natuurlijk getal 4 het quotiënt.

Anderzijds was er geen natuurlijk getal aan te wijzen dat bvb voldeed aan: 

tweede voorbeeld : 5 x "?" = 12 d.i. 12 : 5 = "?" of 12/5 = "?" ; derde voorbeeld : 7 x “?” = 12 d.i. 12 : 7 = “?” of 12/7 = “?” ; vierde voorbeeld : 2 x "?" = 3 d.i. 2 : 3 = "?" of 2/3 = "?"

Wel hadden wij al bij Broeder Carissimus geleerd hoe de delingen 12 : 5 respectievelijk 12 : 7 en 2 : 3 uit te voeren.
In het eerste geval was het resultaat een eenduidig decimaal getal 2,4 en in het tweede geval eveneens een decimaal getal : 1,714285… in het derde geval het decimaal getal 0,666666... Maar hoe ver men ook ging met het uitvoeren met de deling, er bleef steeds een “rest”over. Toch werd deze rest steeds kleiner en men nam aan dat de verhouding (ratio) 12/7 respectievelijk 2/3 ook een eenduidig getal voorstelde dat men met een decimaal getal kon benaderen.

In het eerste voorbeeld sprak men van een opgaande deling en was het deeltal deelbaar door de deler d.i. gaf de deling een natuurlijk getal; in het tweede voorbeeld was de deling wel opgaand, maar het resultaat was een decimaal en geen natuurlijk getal. In het derde en vierde geval tenslotte waren de delingen niet-opgaand en gaven alleen benaderende decimale getallen.

Beschouwde men nu 12/5 respectievelijk 12/7 en 2/3 ook als getallen dan konden wij met deze getallen eveneens bewerkingen (samentellen, vermenigvuldigen...) uitvoeren, door eerst over te gaan op decimale getallen en vervolgens deze operaties uit te voeren. Wij kenden immers sedert de lessen van Broeder Carissimus de rekenregels (optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling) voor decimale getallen. Deze rekenregels waren dezelfde als voor de natuurlijke getallen, de "komma-regels" te na gesproken.

Maar was het niet mogelijk deze "decimale" tussenstap te vermijden ?? Het antwoord was ja door middel van de speciale rekenregels voor gebroken getallen d.i. "breuken", in te voeren.
 
                                                 *           *          *

Breuken, de nachtmerrie van vele schoolkinderen.

Om te beginnen werd de definities echte en onechte breuken ingevoerd : bij een onechte breuk is de deler (voortaan noemer geheten) kleiner dan het deeltal (voortaan teller genoemd), bij een echte breuk daarentegen is de deler (noemer) kleiner dan het deeltal (teller). Voorbeeld 4/3 is een onechte, 3/4 een echte breuk. 

- de grondeigenschap van gebroken getallen of breuken :

Uit de eigenschappen van de deling is af te leiden dat bvb 2/9 = 4/18 want 2/9 = (2.2)/(2.9) m.a.w. vermenigvuldigen van teller en noemer met eenzelfde natuurlijk getal geeft dezelfde breuk. Het is deze grondeigenschap die aan de basis ligt van het vereenvoudigen respectievelijk gelijknamig maken van breuken. 

- het optellen en aftrekken van breuken :

De volgende stap was dan het optellen van breuken te definiëren. En het is hier dat appels, peren en taarten begonnen een rol te spelen. Voorbeeld 1/7 + 1/7 werd vertaald als een zevende van een taart samentellen bij een ander zevende van een taart. Het antwoord was natuurlijk 2/7 en het resultaat kon dan neergeschreven worden als 1/7 + 1/7 = 2/7.
Ander voorbeeld 1/7 + 4/7 = "?". Het antwoord was overduidelijk 1/7 + 4/7 = 5/7 m.a.w. om breuken breuken met dezelfde noemer (gelijknamige breuken genoemd) samen te tellen volstaat het de tellers samen te tellen.

Goed, maar hoe breuken met ongelijke noemer (ongelijknamige breuken) samentellen
bvb 2/7 + 3/5 = "?". Het antwoord was door ze gelijknamig te maken :

Volgens de grondeigenschap geldt :

2/7 + 3/5 = (5.2)/(5.7) + (7.3)/(7.5) = 10/35 + 21/35 = 21/35

In woorden uitgedrukt : om breuken gelijknamig te maken volstaat het teller en noemer van de ene breuk te vermenigvuldigen met de noemer van de andere breuk en vice versa.

Het aftrekken van breuken kon natuurlijk op analoge wijze ingevoerd worden : dus eerst gelijknamig maken en vervolgens de aftrekking op de nieuwe tellers uitvoeren. Deze aftrekking was slechts mogelijk indien de nieuwe teller van het aftrektal groter was dan de nieuwe teller van de aftrekker.

-het vermenigvuldigen van breuken :

Vooreerst werd het vermenigvuldigen van een breuk met een geheel getal beschouwd : bvb 2/5 x 3 = "?" Vermenigvuldigen van een getal met een natuurlijk getal is dit getal zoveel maal optellen als dit natuurlijk getal aangeeft dus : 2/5 x 3 = 2/5 + 2/5 + 2/5 = 6/5.

Vandaar de regel : om een breuk met een natuurlijk getal te vermenigvuldigen, vermenigvuldigt men de teller met dat getal en behoudt de noemer. 

Vervolgens werd de deling van een breuk door een geheel getal onderzocht en dit was voor vele schoolbengels zonder enige twijfel de moeilijkste stap.
Zij bvb een breuk waarvan de teller deelbaar is door het geheel getal  : bvb 6/13 : 2 = "?". Men ziet onmiddellijk dat 6/13 : 2 = 3/13 want 3/13 x 2 = 6/13.
Beschouw nu het geval dat de teller niet deelbaar door het natuurlijk getal bvb 6/13 : 5 = "?" Zich baserend op de grondeigenschap van breuken kan men schrijven : 6/13 : 5 = (6.5)/(13.5) : 5 = 30/45 : 5 =  6/45. 

Vandaar de regel : om een breuk te delen door een natuurlijk getal, vermenigvuldigt men de noemer van de breuk met dit getal en behoudt de teller.

Op basis van voorgaande regels werd nu het product van twee breuken afgeleid en gedefinieerd : Het product van twee breuken is een breuk, waarvan de teller het product is van de tellers en de noemer het product is van de noemers.

- het delen van breuken :

Bleef nu nog de deling bij breuken te definiëeren. Bvb 3/7 : 5/8 = "?" Teneinde dit op een elegante manier te doen werd het belangrijke begrip omgekeerd getal geïntroduceerd : Twee getallen (geheel of gebroken) heten elkaars omgekeerde, als hun product gelijk is aan 1. Bijvoorbeeld 3/5 en 5/3 zijn elkaars omgekeerde want, in hoofde van wat voorafgaat, is 3/5 x 5/3 = (3.5)/(5.3) = 1
Delen door een getal is net hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde van dit getal m.a.w.     3/7 : 5/8 = 3/7 x 8/5 = (3.8)/(7.5) = 24/35

Vandaar de regel : Het quotiënt van twee breuken is een breuk waarvan de teller het product is van de teller van het deeltal met de noemer van de deler en waarvan de noemer het product is van de noemer van het deeltal met de teller van de deler.




                                                            *        *        *

Dank zij de “Oosthoeks” kon ik het aangeleerde op eenvoudige wijze met letters samenvatten:

In het eerste voorbeeld (geval van een opgaande deling met als resultaat een natuurlijk getal) had men:

  b . q = a (a is deeltal, b is deler, q is quotiënt).

De hoofdbewerking “deling” werd dan gedefinieerd als het vinden van een geheel getal q derwijze dat b . q = a of anders uitgedrukt a : b = q of a/b = q. De te zoeken q noemde men het quotiënt van het deeltal a en de deler b. De deling leverde hier één natuurlijk getal op en was dus een ondubbelzinnige bewerking.

In de andere voorbeelden leverde het delen geen natuurlijk getal op. Maar men kon de verhouding van deeltal op deler a/b als een nieuw soort getal, een gebroken getal (breuk) A = a/b beschouwen. Dit nieuwe getal werd dan als het nauwkeurig quotiënt van de getallen a en b beschouwd.

De "Oosthoeks" definieerde nu de verhouding (ratio) a/b van twee natuurlijke getallen a en b als een rationaal getal . Een andere, volgens Schuh betere benaming voor rationaal getal is meetbaar getal.

Rationale (of dus meetbare) getallen omsloten zowel de natuurlijke getallen als de gebroken getallen (breuken). Een willekeurig natuurlijk getal n kon immers steeds als een verhouding n/1 geschreven worden. Het betrof dus een uitbreiding van het begrip natuurlijk getal.

De hoofdbewerkingen met de gebroken getallen dienden echter derwijze gedefinieerd te worden dat ze natuurlijk niet in tegenspraak waren met de regels voor de hoofdbewerkingen op de natuurlijke getallen. De "Oosthoeks" voerde dan ook "speciale" rekenregels in voor breuken:

Zij nu bvb de rationale getallen (inzonderheid breuken) A = a/b en B = c/d dan was bij definitie:

A + B = (ad + bc)/bd ; A - B = (ad - bc)/ bd ; A x B = a/b x c/d = a.c/b.d ; A : B = a.d/b.c 

Waren A en B natuurlijke getallen (A = n/1 en B = m/1) dan vond men door substitutie de rekenregels voor de natuurlijke (gehele) getallen terug. 

Commutatieve en associatieve eigenschappen bleken onverminderd te gelden ook voor de rationale getallen.


4- over priemgetallen, de hoofdstelling van de rekenkunde, GGD en KGV

Hoe kon men nu zonder de deling uit te voeren op voorhand merken of een bepaald geheel getal deelbaar was door 2, 3, 4, 5, 8, 9… ?? Bestonden er dergelijke regels?? Hij liet ons aan de hand van praktische voorbeelden en op intuïtieve wijze zien dat dit inderdaad het geval was. Bijvoorbeeld een getal was deelbaar door vier als de laatste cijfers rechts nullen zijn of een getal vormen dat deelbaar is door vier; een getal is deelbaar door drie, als de som van de cijfers van het getal deelbaar is door drie enz.

Een even getal was bij definitie deelbaar door 2, een oneven niet deelbaar door 2. Even getallen konden dus algemeen voorgesteld worden door 2.k , een oneven getal door 2.k + 1

Het onderzoek naar de deelbaarheid leidde onvermijdelijk tot het begrip priemgetal ⁽⁵⁾ of ondeelbaar getal d.i. een natuurlijk getal dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Een deelbaar (of samengesteld) getal had dan minstens drie delers. Volgens deze definitie was het getal 1 zelf een priemgetal, maar in feite had het getal een slechts één deler.

In de twintigste eeuw werd de definitie van priemgetal gewijzigd door te specificeren dat het getal ook “groter dan 1” moest zijn zodat 1 niet langer als priemgetal kon beschouwd worden. Een priemgetal werd dan gedefinieerd als een getal met twee delers (1 en het getal-zelf), een samengesteld getal als een getal met minstens drie delers.

Deze nieuwe definitie van priemgetal was nodig in betrekking tot de hoofdstelling van de rekenkunde :

” Ieder geheel getal groter dan 1 kan worden geschreven als het product van priemgetallen, en dit slechts op exact één manier (afgezien van de volgorde van de priemgetallen)”

Deze belangrijke eigenschap werd door Meester Hillewaert zonder enig bewijs aangenomen en kon ik via de "Oosthoeks" als volgt vertalen:

Zij N een natuurlijk getal dan geldt voor ieder getal N = p₁ⁿ x p₂^m x p₃^q... met p₁, p₂, p₃... priemgetallen, n, m, q... de machten (exponenten) tot dewelke ieder priemgetal wordt verheven.

Deze stelling is inderdaad slechts geldig indien 1 geen priemgetal is (toon aan!!).

Een eerste stap was dus het opmaken van een lijst van priemgetallen waarbij dan een methode gebruikt werd, die al sinds de Oudheid bekend was de zogenaamde zeef van Eratosthenes ⁽⁶⁾ . Bij meester Hillewaert moesten wij aldus de lijst der priemgetallen beneden het getal 50 uit het hoofd kennen.

In een tweede stap werd dan een methode aangeleerd hoe men een (klein) natuurlijk getal moet ontbinden in priemfactoren. Het was de  zogenaamde uitprobeermethode (zie onder (5)), weliswaar de eenvoudigste methode om een getal N in zijn priemfactoren te ontbonden, maar die voor grotere getallen weinig efficiënt is.

De hoofdstelling van de rekenkunde voerde nu rechtstreeks tot de begrippen GGD (Grootste Gemene Deler) en KGV (Kleinste Gemeen Veelvoud):
 
-een gemene deler van enige getallen is iedere deler van elk van deze getallen; de Grootste Gemene Deler van enige getallen a, b, c -genoteerd als GGD(a,b,c) - is de grootste van de gemene delers van deze getallen. Om de GGD van enige getallen te vinden ontbindt men vooreerst ieder getal in zijn  priemfactoren. De GGD is het product van alle gemeenschappelijke priemfactoren, elk met de kleinste exponent waarmede hij optreedt
-een gemeen veelvoud van enige getallen is ieder veelvoud van elk van deze getallen; het Kleinste Gemeen Veelvoud van enige getallen- genoteerd als KGV(a,b,c) - is het kleinste onder deze gemene veelvouden. Om het KGV van enige getallen te vinden ontbindt men vooreerst ieder getal in zijn priemfactoren. Het KGV is het product van alle gevonden priemfactoren, elk met de grootste exponent, waarmede hij optreedt. 

Het KGV was volgens Meester Hillewaert vooral nuttig voor het gelijknamig maken van breuken, waardoor de kleinste gemeenschappelijke noemer kon gekozen worden.

Over andere nochtans interessante toepassingen ⁽⁷⁾ zoals bvb het tandwiel- en kalenderprobleem (modulo-rekenen) werd echter nog met geen woord gerept. 

 5- arithmetiek in het dagelijkse leven:

Met Meester Hillewaert had het rekenen, het cijferen, begonnen in het tweede studiejaar met Meester Vermeersch, werkelijk zijn hoogtepunt bereikt. De getallen waarmede de rekenkundige operaties ofte bewerkingen, zoals vermenigvuldigen en delen, dienden uitgevoerd te worden werden steeds groter, de optellingen steeds langer en meer ingewikkeld. Voornoemde operaties hadden dan betrekking op de natuurlijke (gehele), de decimale getallen en natuurlijk de breuken.

Het was in die tijd ook gebruikelijk aan de leerlingen te vragen om bvb de som te maken van 1 + 2 + 3 + … + 100. De beroemde wiskundige Carl Friedrich Gauss ⁽⁸⁾ (1777-1855), aan wie dit vraagstuk in zijn jeugd ook werd voorgelegd, had onmiddellijk het antwoord: 5050.

Maar in onze klas waren er geen Gauss – jes aanwezig en dus bleef het maar bij lang en geduldig optellen.

Vraag: hoe kwam onze kleine Gauss aan dit resultaat ?

Tip: schrijf de sommen in stijgende respectievelijk in dalende volgorde onder mekaar...

Lange optellingen kunnen maken zonder fouten was in die tijd wel van praktisch belang. En omdat ik hier wel goed in was (ik paste gewoon de distributieve eigenschap toe nietwaar ), mocht ik mijn oudste broer vergezellen wanneer maandelijks afgerekend werd bij boer Van Mullem (Zeven Torrekes) voor de aangekochte eieren, boter, appelen enz.
Artikelen zoals boter bvb waren vanaf 1 mei 1948 niet langer aan rantsoenering ⁽⁹⁾ onderworpen en werden rechtstreeks bij de bron betrokken. In de grote kamer van de boerderij, aan een zeer lange eettafel gezeten, voerde ik met uiterste nauwgezetheid mijn berekeningen uit, terwijl de boerin mij glimlachend gadesloeg. Als beloning kreeg ik telkens een grote kom havermoutpap zonder suiker en een dikke snede boerehesp.

Precies zestig jaar later toen ik de boerderij opnieuw bezocht, die nu in een residentiële wijk gelegen is, zat ik in diezelfde grote kamer. Er was nog diezelfde trap, die naar de voute- kamer leidde en diezelfde schuine deur, die toegang gaf tot de kelder, waar vroeger boter en eieren opgeslagen werden. De grote kamer functioneerde nu echter als gelagzaal. De lange eettafel was weg en vervangen door een reeks kleine tafeltjes; ook was de deur die toegang gaf tot de centrale gang en tot het achterhuis verdwenen… Moeilijk om u te vertellen hoe ik mij daarbij voelde…

Alleen nog dit, ik begreep zeer goed waarom Etienne, een zoon des huizes, weigerde nog eens de boerderij te bezoeken…

---------------------

(1) zie http://www.gezondheid.be/index.cfm?fuseaction=art&art_id=292

Volgens deze bron zou ADHD naar schatting voorkomen bij 1 op 20 kinderen, wat betekent dat er in bijna elke schoolklas wel één zit! Het zou de meest door kinderpsychiaters gestelde diagnose zijn en een kinderpsychiater is er 25-30% van haar of zijn tijd mee bezig… De behandeling van dit zogezegde syndroom is symptomatisch want er is nog geen geneesmiddel of andere behandeling die ADHD geneest. Wel zouden bepaalde geneesmiddelen zoals psychostimulantia (methylfenidaat (Rilatine®) en d-amfetamine (Dexedrine®) de verschijnselen verminderen en aldus de negatieve spiraal onderbreken. Amphetamines ,zelfs in kleine doses, toedienen aan kinderen.. tot waar winstbejag kan toe leiden!!

Zie ook bvb het boek van de Ieperse apotheker Fernand Haesbrouck : “ADHD-medicatie –medische megablunder “ http://www.adhdfraude.net/blog/

(2) met de term « Practische Arithmetiek » wordt in de eerste plaats het executief rekenen bedoeld d.i. de practische algoritmen alsook de theoretische basis waarop deze algoritmen gesteund zijn. Deze theoretische basis wordt in een later stadium gegeven, meestal nadat een automatisme in het executief rekenen verworven is. Bij de Practische Arithmetiek horen ook een serie practische toepassingen als bvb interestberekening, metriek stelsel enz.

(3) zie bvb http://nl.wikipedia.org/wiki/Natuurlijk_getal Natuurlijke getallen zijn het resultaat van een telling van een eindig aantal dingen. In Europa behoorde eertijds het getal nul niet tot de natuurlijke getallen, in de Verenigde staten echter wel. Beide standpunten zijn verdedigbaar. Definieert men bvb een natuurlijk getal als een getal dat een antwoord geeft op een teloperatie dan heeft het antwoord “ne ullus” (het Nederlandse “nul” is hiervan een samentrekking) wel betekenis en zou men het getal nul onder de natuurlijke getallen kunnen rangschikken. 

Het getal nul bezit echter bijzondere eigenschappen, die verschillend zijn van deze van het "gewone" natuurlijk getal o.m. is het delen door nul niet toegelaten. Een aparte rangschikking van het getal nul is dus evenzeer verantwoord (voor verdere gegevens zie bvb : http://nl.wikipedia.org/wiki/0_(getal)

(4) het voorstellen van relaties en eigenschappen van getallen door letters gekoppeld aan het gebruik van bewerkingstekens (plusteken +, minteken -, vermenigvuldigingsteken “x “ of  “.”) en relatietekens (gelijkheidsteken =, “kleiner dan” <, “groter dan” >) werd toen inderdaad als “algebra” beschouwd (cf. het artikel "algèbre" in Encyclopédie Internationale Focus -Bordas-). De Bordas is een encyclopedie speciaal ontworpen voor scholieren.

(5) zie ook http://nl.wikipedia.org/wiki/Priemgetal

(6) zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Zeef_van_Eratosthenes 
 
(7) zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Kleinste_gemene_veelvoud

(8) zie bvb http://nl.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

Over het werk van deze “Prins der Wiskunde” zal ik het verder hebben.

(9) gedurende maar ook na de oorlog waren zeer veel voedingswaren en verbruiksgoederen gerantsoeneerd en het heeft heel wat tijd genomen vooraleer de rantsoeneringzegels werden afgeschaft : in november 1946 was dit geval voor confiserie, gekonfijt fruit en conserven ; op respectievelijk 7 maart, 1 april, 1 mei, 1 augustus en 1december 1947, werden achtereenvolgens volgende voedingswaren van zegels vrijgesteld : confituur, koffie, aardappelen, chocolade ; boter volgde op 1 mei 1948, brood, suiker en olie op 1 december 1948. Wat de verbruiksgoederen betreft werd de rantsoenering opgeheven in augustus 1946 voor tabak, in december 1946 voor textiel, in januari 1947 voor schoenen, in augustus 1948 voor zeep. Een en ander verklaart waarom mijn havermoutpap zonder suiker werd opgediend….

Bijlagen:
http://en.wikipedia.org/wiki/Attention-deficit_hyperactivity_disorder   
http://nl.wikipedia.org/wiki/Breuk_(wiskunde)   
http://nl.wikipedia.org/wiki/Rationaal_getal   

22-01-2010 om 00:00 geschreven door alter  

(Hoofdstuk 4 "Het Leven in de Broedersschool")

§ 4.2 Leren door spelen en ravotten

In de naoorlogse “Iron Forties” was Robert Burssens mijn voornaamste speelkameraad. Robert was een kerstekind want geboren op 25 december 1938. Hij was amper anderhalve maand ouder dan ikzelf, maar, daar hij van 1938 was, zat hij echter één jaar hoger. Zijn moeder was de zuster van een van mijn aangetrouwde tantes en een zeer goede kennis van mijn moeder. Hij woonde op amper een boogscheut van het Brugs kerkhof ⁽¹⁾ . Ons eerste speelterrein was dan ook de kerkhofdreef evenals het kerkhof-zelf (!!) en natuurlijk ook de -toen nog erg landelijke- omgeving van dit kerkhof, dat o.m. grensde aan het “Frans klooster” ⁽²⁾ . Begeleidende ikoon geeft de ingang van het Brugs kerkhof weer in de chrysantentijd.

Het domein van het Frans klooster grensde aan het Brugs kerkhof en was er van gescheiden door een stoffige, eenzame en bochtige zandweg, die in de Weidestraat uitkwam. Deze gaf tevens toegang tot een boerderij, die eveneens tot het klooster hoorde. Op deze plaats omsloot een bakstenen muurtje op manshoogte het kerkhof. Het was echter voor bengels als wij een klein kunstje om over dit muurtje te wippen. Een kleine sprong en met de vingertoppen klemden wij ons vast aan de arduinen steen waarmede het muurtje bedekt was. Vervolgens trokken wij ons op en brachten een eerste elleboog op de arduinensteen en dan een tweede. Een ogenblik later zaten wij schrijlings op het muurtje en na even gekeken te hebben of er geen onraad was sprongen wij langs de andere kant naar beneden... 

Met de jaren nam ons speelterritorium steeds meer uitbreiding en eind 1947 omvatte ons speelterrein ook de landerijen van het oude leenhof “De Zeven Torentjes” ⁽³⁾ . De hoofdingang tot dit leenhof was eveneens in de Weidestraat gelegen op ongeveer 300 m van het Frans Klooster. De landerijen van deze hoeve strekten zich toen uit tot het Sint Trudoledeken en de spoorweg Brugge - Eeklo. Begin van de jaren vijftig werd deze gronden echter verkaveld en in het begin de jaren zestig werd op een gedeelte van deze gronden de Sint Lucaskliniek gebouwd. De boerderij werd in 1975 gerestaureerd en omgebouwd tot een kinderboerderij. Mijn familie had zeer goede contacten met de familie Van Mullem, die tot eind de jaren zestig het beheer van de hoeve had waargenomen. Op begeleidende foto (daterend van 1956) ziet u mijn moeder en mijn oudste zuster in gezelschap van "Albert", "Lène" en Etienne, die de leeftijd van mijn oudste broer had.  

In 1948 voegden wij ook nog Steenbrugge d.i. Odeghem ⁽⁴⁾ met de Sint Trudohoeve –de latere hoeve Deloof- met de monumentale witgekalkte inrijpoort toe aan ons territorium.
Later gingen onze verkenningstochten ofte ontdekkingsreizen zelfs tot in de bossen van het uitgestrekte domein “Ryckevelde” ⁽⁵⁾ dat grensde aan de gemeente Sijsele…

In de Broedersschool hadden wij iedere Donderdagnamiddag vrijaf, en Robert kreeg dan van zijn moeder de nodige centen (4 BF) om “Kuifje”, het weekblad voor kinderen van 7 tot 77 jaar, te kopen. In 1947 en 1948 heb ik dan ook de spannende avonturen van Blake en Mortimer (“Het Geheim van de Zwaardvis” van Edgar Jacobs), van Alix (“Alix de Onversaagde” van Jacques Martin) en last but not least van Kuifje en Kapitein Haddock – zelf (“De Zonnetempel” van Hergé) gevolgd, -wat zeg ik- werkelijk meebeleefd.
In hetzelfde weekblad verscheen in 1948 ook “Het Spaanse Spook” van Willy Vandersteen, maar de stijl was helemaal anders dan in de klassieke Suske en Wiske albums.

Al deze stripverhalen prikkelden onze fantasie en nodigden ons uit om ook een “avontuurlijk” leven te gaan leiden. Zoals onze helden dienden wij ons ook uit te rusten met de nodige wapens o.m. een zakmes en een katapult (in het West-Vlaams: een schietlap), en verder een toorts maar dan in de modernere versie van een zaklamp, en een drinkbus ter vervanging van de kalebas ⁽⁶⁾. Bij onze helden werd de kalebas immers gebruikt als kruik en drinkbeker…

Dank zij mijn oudste broer had ik –tegen klinkende munt - een stevig Engels zakmes uit WOII weten te bekomen. In die jaren was mijn oudste broer een echte sjacheraar, die uit alles munt wist te slaan want hij spaarde voor een fiets.
Uiteindelijk is hij wel in zijn groots opzet geslaagd want in 1948 was hij de trotse eigenaar van een prachtige rode fiets met houten velgen, die voorzien waren van mooie tweekleurige banden. Deze fiets was trouwens uitgerust met een torpedorem, wat toen doorging als een maximum van remcomfort.

Een katapult vervaardigen was ook geen probleem indien men de juiste onderdelen wist te vinden. De wigvormige vork werd uit een hazelaarstruik gesneden. De schors mocht niet van het hout verwijderd worden want in dit geval verloor de vork zijn veerkracht. Het meest delicate punt was echter het gummilint (in het West-Vlaams : de “rekker”).
Gummilinten werden normaal gesneden uit versleten binnenbanden voor fietsen, maar juist deze laatste waren vlak na WOII van zeer bedenkelijke kwaliteit. Beter was natuurlijk linten te snijden uit binnenbanden voor auto’s, maar dit artikel was erg zeldzaam. Het snijden van gummilinten was erg moeilijk want de minste inkeping veroorzaakte bij het uitrekken een doorscheuren van het lint.
Een stuk soepel leer, gesneden uit een versleten ransel of schoen, diende verder om het projectiel in te leggen. Het aanbrengen van het gummilint aan de vork gebeurde het best door omwinden met hennepkoord. In geen geval mocht ijzerdraad gebruikt worden want deze laatste doorsneed op een minimum van tijd het gummilint. Nat maken van de omwindingen zorgde uiteindelijk voor een hechte en stevige bevestiging.

Wat de zaklamp betreft, moest ik eerst weken sparen om de vereiste som (15 BF) te vergaren. Alle pogingen om het geld voorgeschoten te krijgen bij mijn moeder of vader waren vergeefs. Deze vroegen natuurlijk waarvoor het geld moest dienen en … een zaklamp voor een bengel, nee dat vonden ze maar niets.
Blijkbaar wisten ze nog niet eens dat spoken schrik hebben van licht en dat een zaklamp werkelijk een noodzakelijk instrument was voor lieden die s’avonds op het kerkhof liepen. Maar dit laatste wisten ze al evenmin. Ik heb dan noodgedwongen maar het geduld opgebracht tot ik de vereiste som in handen had.

En op een Donderdag was het zover en ik stapte bij Ketels aan de Sint Katarina-kerk de winkel binnen om die fameuze zaklamp te kopen. Mijn keuze was gevallen op een plat model met instelbare voorlens. Bij de prijs was echter de zink-kool batterij (de opvolger van de oude Leclanché-cel ⁽⁷⁾ ) niet begrepen… Dan maar nog eens een weekje geduld uitoefenen om de batterij te kunnen kopen… Geduld een schone zaak ???? Ik dacht er het mijne van.

Als onze helden op hun avontuurlijke tochten dorst hadden, dronken ze uit een drinkzak of uit een kalebas. Onnodig te weten wat precies een kalebas was, wij beschouwden een dergelijk gerei als onmisbaar want ook wij ondervonden op onze tochten aan den lijve wat dorst lijden betekende.
Een blikken “koffiepulle”, zoals de werkman gebruikte om zijn koffie te bewaren, leek mij wel uitermate geschikt want plat van vorm en onbreekbaar.
Maar het is er nooit van gekomen… Het betekende weer weken sparen en bovendien was ik wel enigszins beducht voor de reactie van mijn vader… Ik heb het dus moeten stellen met een flesje van 250 ml met springsluiting. Dit type flesjes werd in die tijd voornamelijk gebruikt voor tafelbier maar ook voor melk en zelfs voor zurkel (zuring)-preparaten ⁽⁸⁾ . Als drank gebruikten wij koel putwater waaraan zoethoutstokjes voor de smaak toegevoegd werden.

Het was dank zij dit fameuze zoethout (Glycyrrhizae Radix ⁽⁹⁾ ) dat ik met apotheker Versailles (zie cursiefje « 1.1 Een prille inwijding in de Chemie ») kennis maakte…

Maar terug naar de Broedersschool… In het derde studiejaar kwam ik terecht bij Broeder Carissimus, den “Grijzen” zoals hij nog genoemd werd. Het klaslokaal van het derde studiejaar was gelegen in het neoklassieke hoofdgebouw, naast het zaaltje van de toneelvereniging “Kunst en Broedermin”. In dit mufriekend en duister zaaltje heb ik eens een fantastische poppenkastvertoning meegemaakt. De titel van de vertoning herinner ik mij niet meer maar het ging echter wel over heksen, spoken en toverkollen. De onvergetelijke achtergrondmuziek, die bij de voorstelling hoorde, kwam uit Peer Gynt van Edward Grieg o.m. de melodieën Morgenstimme, In der Halle des Bergkönigs, en Anitras Tanz.. Telkens ik deze muziek hoor, moet ik weer aan deze poppenkastvertoning denken… en wellicht ligt deze vertoning wel aan de basis van mijn interesse voor klassieke muziek.

Wat het onderwijs betreft, was Broeder Carissimus een fervente aanhanger van het beginsel “Al doende leert men” wat voor bengels als wij waren vertaald moet worden als “Al spelend en al knutselend leert men”..

In september 1947 leerde hij ons bvb hoe wij op een zeer eenvoudige manier een “vlieger” konden maken of bijeen knutselen. Eerst een rechthoekig lattenkruis van licht hout (liefst bamboe) maken waarbij de verhouding tussen de afmetingen van de armen en de hoogte van de kruising van zeer groot belang was. Vervolgens de vier armen met een koordje stevig verbinden waardoor een hecht geraamte voor de vlieger bekomen werd. Dit geraamte werd dan met behulp van dubbel geplooid dagbladpapier van een draagvlak voorzien. Het belangrijkste was echter de staart van het gevaarte, want deze staart (gewicht en gewichtsverdeling) bepaalde uiteindelijk het aerodynamisch gedrag van het toestel. Onze vlieger mochten wij vervolgens -onder zijn deskundige leiding- uittesten op het stoppelveld van Boer Sys.

In oktober 1947 leerde hij ons dan weer hoe op de meest efficiënte manier een buiskachel kon aangemaakt worden. Achteraan het klaslokaal stond immers buiskachel, die in de winter iedere morgen moest aangemaakt worden. Voor deze taak werd een beurtrol onder de leerlingen ingevoerd. De leerling, die aan beurt was, kwam een kwartier vroeger naar school. Eerst werd wat dagbladpapier verfrommeld en daarboven enkele droge houtspaanders gelegd en vervolgens werd met een stekje de brand er in gejaagd. Wanneer het vuur goed brandde werd een tweede lading houtjes aangebracht en toen ook deze houtjes ook goed brandden werd de kachel gevuld met eitjes. Na enkele minuten was de kachel roodgloeiend en verspreidde zij in het klaslokaal een aangename warmte. Wanneer onze klasgenoten in het lokaal arriveerden, was het er goed warm, vooral achteraan. Vooraan was de temperatuur iets minder en wanneer het hard winterde was het er nog Siberisch koud. Maar op de voorste banken zaten toch alleen maar de mouwefrotters en dat was dus helemaal niet erg….

-----------------------------------

(1) Deze stedelijke begraafplaats ontstond op het einde van de 18e eeuw toen doden begraven in de binnenstad om hygiënische redenen verboden werd (Edict van Keizer Jozef II van 1784). In 1810 werd het kerkhof definitief in gebruik genomen. Het Brugs kerkhof is, naast Père Lachaise in Parijs, één van de belangrijkste en oudste kerkhoven in Europa.

(2) Het Klooster “Haverloo” in de volksmond “Frans Klooster” genoemd werd opgericht in 1904 door de congregatie der “Zusters van de Allerheiligste Maagd Maria” uit Tours. Bij het hoofdgebouw dat in 1905 werd afgewerkt hoorde ook nog een boomgaard en boerderij. Het klooster omvatte een pensionaat, bestemd voor de meisjes uit de hoogste klassen en uiteraard was Frans er de voertaal. Na WOII werd het internaat afgeschaft, maar de school bleef gericht op kinderen uit de hogere kringen. In 1958 werd het klooster gesloten en werd er een beroepsschool ondergebracht. Op het einde van de jaren zeventig werd het gebouw afgebroken.

(3) Het domein “De Zeven Torentjes” heeft een bewogen geschiedenis achter de rug. De oudste sporen gaan terug naar de 13^de eeuw, toen het een vrij goed was, met als naam Ter Leyen. In de 14^de eeuw verkreeg het de naam 's Heer Boudewijnsburg, naar de toenmalige eigenaar Boudewijn De Vos. Deze eigenaar was een van de weinige heren die het recht hadden duiven te kweken. De achthoekige duiventoren werd speciaal voor de duivenkweek gebouwd. De boerderijgebouwen en de toren stonden in de loop der eeuwen herhaaldelijk bloot aan vernieling en verval. Zo was het domein in de 15^de eeuw een tijdlang een onguur schuiloord, bekend onder de naam Rabaudenburg. Op het einde van de 18^de eeuw werden de gebouwen ingericht om de stokerij Van Mullem in onder te brengen. De familie Van Mullem heeft 175 jaar op de hoeve gewoond, hoewel ze nooit eigenaar is geweest van het domein. In de 19^de eeuw kregen de hoeve en de toren de merkwaardige benaming 'De Zeven Torrekes'. Van de negen torens kunnen er van op enige afstand inderdaad zeven gezien worden (centrale toren + zes hoektorentjes). Zelf heb ik nog een der nazaten van de familie Van Mullem (Marcel) zeer goed gekend want hij was ook leerling aan de Broederschool. Overigens was ik met mijn oudste broer regelmatig te gast op de boerderij en heb ik goede herinneringen bewaard aan Albert en Lène…

(4) De naam “Odeghem” en de Sint Trudohoeve, die behoorde aan de toenmalige Sint Trudoabdij in Male, worden al vermeld in een akte uit de 12^de eeuw. In de 17^de eeuw werd deze hoeve aangegeven als het “hof van Odeghem”, in de 19^de eeuw als de “Vlamhoeve”. De naam “Steenbrugge” wordt eerst maar vernoemd in de 13^de eeuw en zou herinneren aan de “Steene brugghe” over het Sint Trudoledeken. Voor de geschiedenis van Steenbrugge of Odeghem zie : http://nl.wikipedia.org/wiki/Steenbrugge_(Belgi%C3%AB)

(5) De naam Ryckevelde zou, volgens sommige bronnen, afgeleid zijn van ‘rycke’ dat ‘rug’ betekent. Het gebied bevindt zich immers op eeuwenoude zandruggen of binnenduinen. Het domein is heden een beschermd biotoop zie : http://www.natuurenbos.be/nl-BE/Domeinen/West-Vlaanderen/Ryckevelde.aspx

(6) De term “kalebas” (fr. : “calebasse” of “gourge”) verwijst of naar het gewas of naar de vrucht van planten die behoren tot de familie van de Cucurbitaceae. Het woord “kalebas” zou van Perzische oorsprong zijn. In gedroogde toestand is de schil van de vrucht een vrij harde schaal waardoor dan ook de uitgeholde vrucht dienst kan doen als recipiënt. De uitgeholde droge vruchten kunnen dan met motieven versierd worden via incisie of pyrogravering (gravering met een hete priem). Een kalebas kan als kruik, drinkbeker, kom of lepel gebruikt worden.

(7) Het Leclanché-element (of Leclanché-cel) is een natte celbatterij die in 1866 werd uitgevonden en gepatenteerd door de Franse elektrotechnicus Georges Leclanché. Dit galvanisch element, die een spanning afgeeft van 1.5 Volt, was één van de eerste moderne batterijen en de voorloper van de droge zink-koolstofcel. Deze droge celbatterij werd uitgevonden in 1881 door Carl Gassner, een Duits arts. De droge batterijcel van Gassner bestaat uit een omhulsel van zink die tegelijkertijd dienst doet als de negatieve elektrode. De positieve elektrode, een koolstof staaf, staat in een pasta van mangaandioxide (MnO2) en koolstofdeeltjes. Deze wordt van het zink gescheiden door een opgevouwen papieren zak die doordrenkt is met een oplossing van ammoniumchloride (NH4Cl), het elektrolyt. Nadeel van dit type batterij is dat het zinken omhulsel door de chemische reactie langzaam oplost, en er na verloop van tijd lekkage kan optreden. Een bitumen afdichting zorgt ervoor dat het elektrolyt in de batterij niet verdampt en voorkomt indringing van zuurstof. In de Tweede Wereldoorlog ontwikkelden Amerikaanse onderzoekers een krachtigere batterij op basis van bruinsteen en zink met een alkalische elektrolyt. Dit leidde rond 1950 tot de introductie van kleine alkalinebatterijen voor algemeen gebruik. Heden gebruikt men alleen nog alkaline wegwerpbatterijen. Voor meer details zie : http://nl.wikipedia.org/wiki/Batterij_(elektrisch)

(8) In de Iron Forties werd er nog vaak “aardappelpuree met zurkel en gebakken spek” gegeten. Zuring (Rumex) is een geslacht van meest overblijvende, kruidachtige planten uit de duizendknoopfamilie (Polygonaceae). De ongeveer tweehonderd soorten komen van nature voornamelijk voor in de gematigde streken van het noordelijk halfrond, maar zijn wereldwijd geïntroduceerd. Zuring groeit meestal op zure grond. De soorten worden vaak beschouwd als onkruid. Sommige soorten, zoals de veldzuring, hebben echter eetbare bladeren die in salades gebruikt worden. Rumex acetosa (gewone zurkel) en Rumex patientia (spinaziezurkel ) worden gecultiveerd en werden eertijds gebruikt in de keuken als groente, nu alleen nog in specifieke recepten als “paling in het groen. Zurkelplanten bevatten oxaalzuur, een product dat het calcium- en ijzermetabolisme kan verstoren. Bij consumptie van grote hoeveelheden, kunnen bepaalde zurkelsoorten aanleiding geven tot vergiftigingsverschijnselen bij dieren zoals herkauwers en paarden. Hierdoor heeft zurkel als groente (onverdiend) een slechte naam gekregen. Voor zover bekend heeft gewone zurkel nooit aanleiding gegeven tot vergiftiging bij de mens (Roth).

(9) Zoethout is in de handel de aanduiding voor korte stukjes van de wortelstok van Glycyrrhiza glabra. Hier ten lande noemt men zoethout ook wel kalissenhout, kalissiehout of gewoon kalisse.

Aan zoethout worden geneeskrachtige eigenschappen toegeschreven, en de wortel wordt gebruikt voor de bereiding van kruidenthee. Deze is goed voor de werking van de maag en de spijsvertering. Het sap uit de wortel wordt gebruikt als grondstof voor drop, een geconcentreerd preparaat dat als snoep gebruikt wordt. Deze industriële verwerking van de zoethoutwortel werd mogelijk toen de Italiaan Giorgio Amarelli er in 1731 in slaagde om het sap uit de wortel tot drop te verwerken Zoethout bevat een zoetstof (glycyrrhizinezuur ) die ongeveer 30 tot 50 keer zo zoet is als suiker. . Er moet echter flink op de wortelstokjes gekauwd en gezogen worden om de zoetstof te proeven. Glycyrrhizinezuur is een stof die de bloeddruk verhoogt. Zowel van drop als van zoethout (?) is dit effect beschreven en dit kan tot klinisch belangrijke hypertensie leiden. Toxische verschijnselen worden echter alleen vastgesteld bij “abnormaal gebruik” en volgens de Europese Commissie (2008) is abnormaal gebruik 100mg glycyrrhizinezuur per dag. Dergelijke doses zijn praktisch alleen te bereiken met drop niet met de wortelstok- zelf. Af en toe een dropje nemen mag dus wel…

Bijlagen:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Batterij_(elektrisch)   
http://nl.wikipedia.org/wiki/Steenbrugge_(Belgi%C3%AB)   
http://www.natuurenbos.be/nl-BE/Domeinen/West-Vlaanderen/Ryckevelde.aspx   

Bijlagen:
frans klooster ingang weidestraat.jpg (158.4 KB)   
hoeve frans klooster.jpg (187.1 KB)   
hoofdgebouw frans klooster 1908.jpg (151.9 KB)   
Numériser0188.jpg (225.1 KB)   
sint katharinakerk.jpg (44.3 KB)   
sintkatharinakerkvoor.jpg (48.4 KB)   
zeven torrekes1975.jpg (78 KB)   
zeventorentjes1975.jpg (42.8 KB)   

(Hoofdstuk 4 "Het Leven in en rond de Broedersschool")

§4.1 De Broedersschool in de Iron Forties

Het doorbladeren van Herbiet’s boek “L’arithmétique de la vie pratique -5^e et 6^e années primaires-”, een boek, dat ik bij toeval ontdekte (zie "cursiefje « 8.1 over oude schoolboeken », bracht mij terug naar mijn kinderjaren. Ik werd plots overstelpt door een stortvloed van jeugdherinneringen en deze betroffen niet alleen de jongensschool op zichzelf maar ook het dagdagelijkse leven rond deze school…

De “Iron Forties” stonden mij plotseling glashelder voor de geest en voornamelijk de naoorlogse periode met haar pijnlijke naweeën en tribulaties.

Het was in september 1945 dat ik in de grote jongensschool mijn intrede maakte. Afgelopen de kleuterschool met Juffrouw Dewulf, met Juffrouw De Busschere en Zuster Pauline… Afgelopen de slaaplessen, het braaf op de bank zitten met gekruiste armen en met de vinger op de mond. Gedaan die onnozele straffen als het in de hoek staan of de plakkertjes op de mond voor de onverbeterlijke babbelaars … Met mijn deugnietstreken heb ik mijn oudste zus, die dan op de meisjesschool zat, herhaaldelijk ten schande gemaakt. Deze meisjesschool maakte immers deel uit van hetzelfde Klooster van de Zusters van Spermalie, waartoe ook de kleuterschool behoorde. Herhaaldelijk werd mijn zuster op het matje geroepen en moest zij met een rode kop van Juffrouw De Busschere aanhoren, wat voor deugnieterij ik weeral eens had uitgestoken… Mijn zus was, zoals ze mij later verzekerde, echt blij dat ik eindelijk naar de jongensschool vertrok…

Deze jongensschool behoorde tot het Vrij Onderwijs en had als inrichtende macht de congregatie van de Broeders van Liefde ⁽¹⁾, een congregatie die in het Brugse steeds erg actief was geweest ⁽²⁾. Om deze reden werd deze typische jongensschool ook de Broedersschool genoemd. Op het ogenblik dat ik in deze school aankwam omvatte het schoolcomplex twee gebouwen, een geplaveide speelplaats en een moestuin, waarin ook enkele fruitbomen stonden. Het hoofdgebouw was in neoklassieke stijl opgetrokken en dateerde van 1911. Een tweede, heel wat lager gebouw was in een meer moderne stijl opgetrokken, dateerde van het interbellum en omvatte de klassen van het eerste en tweede studiejaar. In 1946 werd een parochiale feestzaal gebouwd op een deel van de speelplaats en de moestuin van de jongensschool. Deze zaal met een oppervlakte van ongeveer 300 m2 was uitgerust voor toneel- en filmvoorstellingen en zal een belangrijke rol spelen in het dagelijkse leven van de parochie.

In een nis van het hoofdgebouw stond een stenen Heilig Hartbeeld. Ter gelegenheid van het feest van het H. Hart in de maand juni, trokken de leerlingen, ieder jaar, ofwel met een rozenbloemstuk ofwel met een enkele bloem in de hand, in stoet door de straten van de parochie, waar (praktisch) in ieder huis een H. Hartbeeld, geflankeerd door twee brandende kaarsen voor het raam stond. Uiteindelijk werd al deze bloemenweelde neergelegd aan de voet van het beeld in de school. Die bedwelmende rozengeur is mij mijn leven lang bijgebleven.

In die “grote” school, waar geen meisjes waren toegelaten, ging het er heel wat serieuzer aan toe dan bij de nonnekes en dat ondervonden wij ook letterlijk aan den lijve, vooral vanaf het derde studiejaar. Een oorveeg was niet uitzonderlijk en beschouwden wij als volledig normaal, want ook thuis corrigeerde moeders of vaders hand onze vlegelstreken. Nieuw waren echter de geraffineerde straffen als bvb vooraan op de trede op de knieën zitten met de handen op het hoofd en gestrekte rug of het over de knie van de meester liggen waarbij voornoemde met de lat het stof uit je broek slaat. Deze laatste straf werd echter slechts toegepast bij erge misdrijven als bvb vechten op de speelkoer of nog erger in de klas, met opzet ruiten ingooien in de school. Natuurlijk was er ook het normale “strafregels schrijven” (bvb ik zal voortaan mijn huiswerk maken). Dit literair gewrocht moest dan getekend worden door de vader -niet door de moeder -want de meester, intelligent en vooruitziend als hij was hoopte op een gepaste kastijding. Toch was een tikje met de lat of regel nooit echt ver weg.

Na WOII, telde de Broederschool nog drie Broeders, die les gaven respectievelijk in het eerste, derde en achtste studiejaar. In de andere klassen werd het onderwijs verzekerd door gewone onderwijzers, die met uiterste gedrevenheid hun taak vervulden.

In het eerste studiejaar stond lezen, tellen en schrijven op het programma en ik herinner mij nu nog zeer goed ons eerste leesboek en de eerste woordjes “jas”, “get”, “lip”, “ton”,“put” en verder “raap”, “veer”, “zool”,“muur”, … Ons eerste schrijfgerief bestond uit een kartonnen lei en griffel. Later kwam daar nog een dubbel gelijnd schrift bij waarin eerst met potlood en vervolgens met een pennenstok met ballonpen mocht geschreven worden. Hoe deze Broeder, waarvan ik de naam vergeten ben, het voor mekaar kreeg weet ik niet, maar wij schreven toch onze eerste Nieuwjaarsbrieven voor ouders, nonkels en tantes gedateerd… 1 Januari 1946!!!

Ik vond het heerlijk te kunnen lezen, want zo kon ik eindelijk ook de avonturen van Suske en Wiske op het eiland Amoras écht volgen… Ook volwassenen lazen die stripverhalen en vele van de toenmalige krantenlezers lazen hun krant in omgekeerde zin .. eerst het stripverhaal en dan het voorpaginanieuws!! En dit grote voorpaginanieuws was voornamelijk gewijd –althans in de lente van 1946- aan het proces van de beulen van Breendonk en -in de herfst van 1946 aan het proces van Neurenberg. Maar de mensen hadden andere zorgen… en dit voorpaginanieuws verhuisde al snel naar de binnenpagina’s. Er was immers het probleem van de levensduurte, de rantsoenering, de zwarte markt (“laat u niet beet nemen!”), de “ersatz”-producten… Een uitstekende beschrijving ofte “chronycke” over deze moeilijke tijd kan men vinden in het boek van Pierre Stéphany ⁽³⁾.

Tellen tot honderd of zelfs duizend en leren (Arabische) cijfers schrijven behoorde ook tot het programma van het eerste studiejaar en zo leerden wij getallen schrijven in het positionele tientallig stelsel. Op deze wijze maakten wij voor het eerst kennis met het cijfer (niet het getal) nul. Dit laatste cijfer is geïntroduceerd door de Hindoes en was bvb onbekend bij de Grieken en Romeinen. Natuurlijk beseften wij toen niet wat voor fenomenale vondsten deze positionele schrijfwijze en het cijfer nul wel waren ⁽⁴⁾. Dit werd ons eerst maar duidelijk in het vijfde studiejaar, als wij met de Romeinse manier van getallen neerschrijven kennis maakten en de meester ons eens vroeg twee getallen geschreven in Romeinse cijfers op te tellen….

Het tweede studiejaar stond volkomen in het teken van de rekenkunst, van het rekenen met cijfers. Er was vooreerst een intuïtieve kennismaking met het begrip natuurlijk getal, gebaseerd op het begrip “collectie” ⁽⁵⁾ van gelijksoortige objecten of voorwerpen. Het tellen van deze objecten gaf een natuurlijk getal. Iedere schooljongen wist toen zeer goed wat een « collectie » ofte « verzameling » van gelijksoortige objecten was, want in ieder huisgezin werd er een of andere collectie prentjes op na gehouden.

Deze “collecties” van prentjes of chromo’s werden veelal door chocoladefabrikanten als Martougin, Victoria, De Beukelaer, Kwatta, Aiglon, Meurisse en dito uitgebracht en waren bij de schooljeugd zeer gegeerd. Welke schooljongen collectioneerde toen niet “Buffalo Bill” , “Sitting Bull” of “Gulliver”… Welke bengel verzamelde niet de “Artis” of “Historia” punten, die door vele voedingsproducenten werden uitgebracht en die recht gaven op de wondermooie Artis of Historia chromo’s ?? Zelfs de ouders waren besmet door het verzamelvirus en zo werd bij mij thuis de prachtige chromolithografische collectie van Liebig bij gehouden… Ik mocht deze albums wel inkijken maar voor de rest was afblijven de boodschap…

Aansluitend bij de notie « collectie » werden nu achtereenvolgens de vier Hoofdbewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen), de eigenschappen van de natuurlijke getallen en natuurlijk de onvermijdelijke Tafels van Vermenigvuldiging ontrafeld en uiteengezet… Dank zij Meester Réné Vermeersch zette ik aldus een eerste stap op het moeilijke pad der Wetenschap in casu de Wiskunde. Het aantal keer dat wij die fameuze tafels van vermenigvuldiging opgezegd en afgedreund, opgeschreven en neergegriffeld hebben is niet te tellen. Maar het resultaat was er wel: wij kenden onze Tafels zelfs die van elf en twaalf.

Wat ik mij ook nog van Meester Vermeersch herinner was het voorlezen uit boekjes zoals bvb “De Lotgevallen van Jan zonder Vrees” (“Sterke Jan”) van Constant De Kinder en “De avonturen van Sergeant Slim” van Jos Vandersteen. Al mijn klasgenoten koesterden de ijdele hoop eens zo sterk te zijn of te worden als Sterke Jan, want dat zou ons toelaten de jongens uit de hogere studiejaren ook eens af te troeven. Wij waren immers gedurende de speeltijd en ook na schooltijd voortdurend het lijdend voorwerp van hun pesterijen en plagerijen. Natuurlijk was de schooldirectie wel op de hoogte van deze traditionele pesterijen en trachtte zij deze zoveel mogelijk te vermijden door gedurende de recreatie de leerlingen van de hogere respectievelijk de lagere studiejaren te splitsen.

Zo werden bvb, wanneer het vroor, voor de winterpret 2 glijbanen aangelegd, wat gebeurde door op twee verschillende plaatsen water te gieten op de speelkoer. Er was de kleine glijbaan voor de leerlingen van het eerste, tweede en derde studiejaar en de grote voor de andere studiejaren. De “durvers” van het derde studiejaar waagden zich echter ook op de grote glijbaan. Het was alleen maar een kwestie van de grotere bengels te imponeren. En dit imponeren kon bvb gebeuren door het dragen van gepast schoeisel bvb met ijzer beslagen hoge schoenen… of door het inroepen van het beschermheerschap van een oudere schoolkameraad… In mijn geval, waren beide methodes van toepassing. Het beschermheerschap, waarop ik eveneens beroep deed, werd waargenomen door een zekere Robert, waarover ik het verder nog zal hebben….

(wordt voortgezet)

-------------------------------------

(1) De Congregatie “Broeders van Liefde” werd opgericht door Petrus Jozef Triest, kanunnik van Sint Baafs te Gent in 1807 met als charitatief doel: de zorg voor ouderlingen en geesteszieken. Later (1809) werd ook onderwijs aan de minder bedeelden o.m. aan de straatjeugd van Gent. Dit werd het begin van een hele ontwikkeling en talrijke stichtingen ten voordele van het onderwijs van jeugd in lager, middelbaar en technisch onderwijs.

De eerste dagschool was de Bijlokeschool die in 1814 werd opgestart, gevolgd door scholen in Froidmont, Brugge, Roborst en St.-Niklaas. In 1820 werd een novice naar Namen gestuurd om cursus te volgen bij de Broeders van de Christelijke Scholen. Een vertaling van het werk van Jean-Baptiste de la Salle werd gemaakt door de directeur van de Brugse armenschool, Broeder Benedictus, en uitgegeven in 1825.

Na de onafhankelijkheid van België kon het onderwijs verder worden uitgebreid. Het middelbare onderwijs kwam erbij op het einde van de 19de eeuw. In 1896 begonnen Merksem en Temse en in 1899 Turnhout als eerste met middelbaar onderwijs. In de weeshuizen werd vooral aandacht besteed aan vakopleiding, wat later in de instellingen voor gehandicapten verder werd ontwikkeld. Een aparte technische school werd in 1924 in Tessenderlo opgericht.

(2) zie bvb het artikel getekend Marcel De Blieck “Het onderwijs tijdens de Hollandse periode en de eerste Brugse gemeenteschool (1829) in Brugs Ommeland 2005/2

(3) Pierre Stéphany «La Belgique sous la Régence (1944-1950) – une époque et son histoire- » éditions Quorum -1999-. Deze auteur, geboren in 1925, was redacteur bij diverse kranten als «La Meuse», «Le Courrier», «La Libre Belgique» en is in wezen een historicus van het dagdagelijkse leven. Hij heeft diverse “Chronycken” geschreven waaronder het tweedelige «Les Années 20-30 –la Belgique entre les deux guerres-», «Des Belges tres occupés (1940-1945)», «Nos Années cinquante», «Les Années 60 en Belgique»..

(4) voor een historische uiteenzetting over het cijferbegrip bij de diverse beschavingen zie bvb Georges Ifrah «Histoire Universelle des Chiffres–l’intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul- » 2 tomes Robert Laffont -1981-

(5) In die jaren sprak men wel degelijk van « collecties » zoals ook Herbiet in zijn boek het aangeeft en niet van « verzamelingen » (« ensembles » of « sets »). Het begrip « verzameling » en i.h.b. de verzamelingenleer werd maar eerst later in het lager onderwijs ingevoerd.

Bijlagen:
jan zonder vrees.jpg (180.4 KB)   
klas 1945 meisjesschool zusters spermalie.jpg (10.2 KB)   
klooster en school zusters spermalie.jpg (254.6 KB)   
tafels van vermenigvuldiging.jpg (66.2 KB)   

(Hoofdstuk 3 "Taal en Cultuur in de Cadettenschool")

§ 3.6 De Nalatenschap van Hellas

En een Van der Kerken kón vertellen, en dat deed hij met een zachte, ingetogen en toch duidelijke stem. Af en toe was er –naargelang de aard van de tekst- een ironische of dramatische ondertoon en dit juist maakte het ganse verhaal zo echt en levendig.

Grieks werd in de Cadettenschool veelal gedurende het laatste lesuur gedoceerd d.w.z. in de late namiddag. In de late herfst van 1957 reflecteerden de zwarte ramen van het examen A- gebouw, door de ondergaande zon, een zacht rozerood licht. Dit wonderlijke licht weerkaatste doorheen de duistere ruiten van ons klaslokaal 8 en omhulde André Van der Kerken met een fijn aureool. Dit schouwspel en de sacrale stilte, die in het gebouw heerste schepten een haast onwezenlijke atmosfeer, die mij steeds is bijgebleven.

Door al deze verhalen werd onze kennis over het Griekse pantheon met zijn goden en halfgoden, de Griekse mythologie en sagenwereld nog verder bijgeschaafd. Veel van wat hij ons vertelde was in het boek van Gustav Schwab “Die schönsten Sagen des klassischen Altertums” van 1955 opgenomen. Jammer genoeg, werd dit boek werd eerst maar in 1959 als Prismaboek op de markt gebracht onder de titel “Griekse Mythen en Sagen”. Ziehier, wat de uitgever op de achterflap van het boek, dat ik mij na de humaniora aanschafte, vermeldde (ik kan het niet beter verwoorden):

“…Elke mythologie, en de Griekse in het bijzonder, is meer dan een willekeurige hoeveelheid verhalen over goden en hun al dan niet pikante avonturen. Een mythologie is op de eerste plaats uitdrukking van een wereldbeeld. Zij kent haar eigen samenhang –wat oppervlakkige tegenstrijdigheid niet uitsluit- omdat ook het wereldbeeld meer aspecten heeft. Zo is de lichtende god Apollo ook verbonden met dood en vernietiging, en wordt Orpheus, gestalte der harmonie, om wie de wereld vanzelf tot rijke orde groeit, tenslotte verscheurd door het furieuze geweld der Bacchanten.

Wat de Griekse mythologie doet uitsteken boven alle andere, en haar voor ons zo nabij maakt, is de ongeëvenaarde helderheid der figuren en situaties, een helderheid welke het mysterie van de mens in de kosmos niets te kort doet, maar zo dicht tot de geheimzinnige kern nadert dat wij het geheim zelf menen te betasten. Dit verklaart ook wel waarom sinds Hellas, dichters en denkers voortdurend teruggegrepen hebben op deze oergestalten om hun gevoelens vorm te geven en hun gedachten uit te drukken. Hoeveel Iphigenia’ s en Antigone’ s kent de Europese literatuur niet, en werkt de psychologie niet met Narcissus- en Oidipuscomplexen? Wij keren altijd terug tot de bron, tot de oergestalten waarin ons werelddeel voor het eerst de schoonheid en de smart, de verbijstering en het geluk van het leven op aarde gevat heeft….”

Sommigen zullen hier nu vinden dat dit dwepen is met het nalatenschap der Griekse Oudheid en dit is het in feite ook. Anderen zullen voorhouden dat het aanleren van Latijn en zeker Grieks maar tijdverlies is. Er zijn immers meer “nuttige” manieren om het intellect te vormen of te stimuleren. Een Van der Kerken was het hier- verrassend genoeg- volkomen mee eens. Maar zei hij, het gaat hier over heel iets anders dan het vormen van intellect. De studie van de Griekse beschaving brengt “iets” anders, “iets” essentieel bij dat de studie van andere vakken onmogelijk kunnen geven…

Teneinde dit ons diets te maken sprak hij ons over de kaloskagathos ⁽¹⁾ (καλος και ααγαθος) en sophosagathos ⁽²⁾ (σοφος και αγαθος) kwaliteiten die karakteristiek zijn voor de echte Mens. Groot-, schoon- en diepmenselijkheid zijn de deugden, die moeten aangeleerd of beter aangescherpt worden bij de Mens en i.h.b. bij de Jeugd. Zij stemmen tot een grotere mildheid t.o.v. de medemens, en leiden uiteindelijk tot empathie d.i. de vaardigheid om je in te leven in de gevoels- en denkwereld van anderen. Dank zij empathie kunnen de zogezegde biologische “Natuurwetten”, die de gedragingen tussen soortgenoten (hier tussen mensen) regelen, overstegen worden. Maatschappelijk gezien is dit inderdaad van primordiaal belang.

                                                                  * * *

Als klassiek filoloog had André Van der Kerken, natuurlijk meer dan een keer zijn geliefde Hellas bezocht en, zoals hij zelf vertelde, ook met een van de voorgaande rhetoricapromoties (promotie 1952?). Wij vroegen hem dan ook wat moest bezocht worden, waarop hij met enige terughoudendheid antwoordde. Absoluut te bezoeken waren volgens hem Mykene ⁽³⁾ , Epidauros ⁽⁴⁾ en Olympia ⁽⁵⁾ … Athene was interessant voor de Akropolis en het Nationaal Archeologisch Museum. Maar, indien men echter iets van de oorspronkelijke Griekse geest wenste terug te vinden, waren wellicht de Griekse eilanden in de Egeïsche Zee (de Cycladen, de Dodekanos…) of het diepe binnenland, dat in die tijd alleen met de moto toegankelijk was, aangewezen.
Maar helaas, zei hij, voor velen is het oude Hellas slechts een puinhoop van stenen, die liggen te blakeren onder een laaiende, spetterende zon. Anderen worden dan weer alleen getroffen door de esthetiek van de gebouwen en de beelden, al zijn die sterk gehavend.
Slechts enkelen echter worden geraakt door de kerikeion ⁽⁶⁾ (κηρικειον) van Hermes ⁽⁷⁾ , de boodschapper van de goden….

Precies veertig jaar later (1998), ter gelegenheid van een Symposium, was ik in Athene... Vanzelfsprekend maakte ik van de gelegenheid gebruik om het Parthenon te zien en het kleine Akropolis-museum te bezoeken. En ja de tempel van Athena Parthenos was werkelijk groots desondanks de verbouwingen en verwoestingen aangericht door de kerkvaders en de Turken… En ja het Erechtheion met zijn kariatiden moet een prachtig Ionisch bouwwerk geweest zijn….

De volgende dag naar het Nationaal Archeologisch Museum en ja hoor, ik heb het masker van Agamemnon ⁽⁸⁾ gezien, en het prachtige beeld van Praxiteles , Aphrodite met Eros en Pan ⁽⁹⁾ bewonderd maar van een boodschap van Hermes was nog altijd geen sprake…

Met een collega heb ik dan maar het plan opgevat om met een huurauto naar Mykene, Epidauros enz. te rijden. En ja hoor, de Leeuwenpoort ⁽¹⁰⁾ met zijn cyclopische blokken en de grafkamer van Atreus waren inderdaad monumentaal en de opgravingswerken met de schachtgraven imposant… maar nog steeds was er geen Hermes…

En toen was er Epidauros… Epidauros, waar wij, enigszins vermoeid van de rit, in de late namiddag aankwamen. Er was het Asklepieion, het aan de god Asklepios ⁽¹¹⁾ gewijde heiligdom of beter de ruïnes van dit heiligdom. Dit heiligdom omvatte naast de tempels van Asklepios en Artemis het Tholos, een astronomisch observatorium ⁽¹²⁾ maar van al deze gebouwen waren er alleen wat brokstukken overgebleven. Hier begreep ik wat Van der Kerken had bedoeld met een hoop stenen die lagen te blakeren in de zon. Van het Asklepieion liep een klein paadje naar een bochtige weg. En deze weg leidde de bezoeker doorheen het struikgewas naar het fameuze theater... Een laatste bocht en dan…..

De aanblik van dit theater ⁽¹³⁾ bij valavond veroorzaakte in mij een grote schok. De bomen stonden zwart en roerloos tegen oranjerode avondhemel en er heerste alom een diepe, gewijde stilte. Deze stilte greep ons des te meer aan omdat wij moederziel alleen waren. Ik vroeg aan mijn collega om in de cirkelvormige orchestra te staan en eens een of andere tekst te citeren terwijl ik steeds hoger en hoger in de rijen zitplaatsen opklom. Dan wisselden wij van rol en ik begon spontaan met een fluisterstem de aanhef van de Ilias te declameren. Mijn gefluister bleef hoorbaar tot op de hoogste rijen… Van uit wetenschappelijk oogpunt leek mij een dergelijke acoestiek in open ruimte onmogelijk ⁽¹⁴⁾ en toch was het zo.

Plots drong het tot mij door dat hier meer dan tweeduizend jaar geleden de stukken van Aischylos, Sophokles en Euripides opgevoerd werden. Als ik mijn ogen sloot zag ik zo de schimmen van Iphigenia, van Antigone staan op het orchestra en hoorde ik hun klagende stemmen.

Mijn blikken gleden over de glooiende berghelling en ik zag een opkomende Venus, de Avondster schitteren. Even leek het mij dat zij mij toewenkte. Toen raakte Hermes mij met zijn kerikeion aan en plots werd alles voor mij duidelijk : 

Het was de Natuur (de zee, de bergen, de sterrenhemel) die de Helleen voortdurend deed schommelen tussen het eeuwige en het tijdelijke, het hemelse en het aardse, het goddelijke en het menselijke, het hogere en het lagere, het harmonische en chaotische, het volmaakte en het minder volmaakte, het schone en het lelijke. Uit dit dualisme was iets totaal nieuws geboren dat de twee uitersten met elkaar verbond. Daarom hadden de goden menselijke en de mensen goddelijke trekjes. Voortdurend was de Helleen op zoek geweest hoe hij die twee uitersten kon verzoenen, kon vermengen. Vandaar het goddelijke element in zijn kunst, zelfs zijn geneeskunst.

In het aardse spoorde de Griek de regelmatige meetkundige figuren en vormen op en deze waren echt volmaakt indien hij ze terugvond in het hemelse. De cirkel respectievelijk de bol behoorden hiertoe want de sterrenhemel was bolvormig en de sterren beschreven cirkels en moesten cirkels beschrijven want alleen de cirkel was volmaakt. Een Zeno van Elea had zelf geprobeerd het bestaan van beweging en dus de vergankelijkheid der dingen te ontkennen, want totaal onverenigbaar met het eeuwige. Echter in de Natuur geldt ook -althans volgens Herakleitos en Plato- “panta rhei” (παντα ρει) -alles is in beweging. En alles in de Natuur is dus voorbijgaand, is dus vergankelijk. 

Bij de terugrit naar Athene spraken wij geen woord. Beiden waren wij diep in gedachten verzonken.. Wij waren met het magische van de Helleense beschaving in contact gekomen. Ik dacht ook met weemoed aan die mooie herfstavonden in klas 8, een weemoed, die -zoals de dichter het uitdrukt –alleen des avonds komt …..

---------- --------------------

(1) zie bvb http://en.wikipedia.org/wiki/Kalos_kagathos

(2) zie bvb http://en.wikipedia.org/wiki/Sophos_kagathos

(3) zie bvb http://nl.wikipedia.org/wiki/Mycene

(4) zie bvb http://nl.wikipedia.org/wiki/Epidaurus_(Griekenland)

(5) zie bvb http://nl.wikipedia.org/wiki/Olympia_(stad)

(6) zie bvb http://nl.wikipedia.org/wiki/Caduceus

(7) zie bvb http://nl.wikipedia.org/wiki/Hermes_(mythologie)

(8) zie bvb http://nl.wikipedia.org/wiki/Masker_van_Agamemnon

(9) zie bvb

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/12/NAMA_Aphrodite_Pan_%26_Eros.jpg

(10) zie bvb http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cb/Mycenae_Lion_Gate_Back.jpg

(11) zie bvb http://nl.wikipedia.org/wiki/Asklepios

(12) zie bvb http://users.otenet.gr/~altagr/english/sel1.htm#

(13) zie bvb http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/58/Epidauros-Theater-1.jpg

(14) zie bvb http://www.livescience.com/history/070405_greeks_acoustics.html

Bijlagen:
Aphrodites met Pan en Eros.jpg (44.2 KB)   
Leeuwenpoort Mykene.jpg (157.4 KB)   
panorama theater Epidauros.jpg (164.2 KB)   
schachtgraven Mykene.jpg (197.1 KB)   
theater Epidauros.jpg (81.7 KB)   
Tholos van Atreus.jpg (64.9 KB)