an alternative point of view Een bloemlezing van enkele persoonlijke "wetenschappelijke" ervaringen en herinneringen en dit na meer dan een halve eeuw intense bedrijvigheid op het vlak van zowel basiswetenschappen als biowetenschappen. Dit alles gepresenteerd met een vleugje humor maar ook met een scheutje echte, onvervalste wetenschap
13-09-2010
§ 12.4 Arithmetiek met Henri Neveu (1928)
(Hoofdstuk 12 "Arithmetiek en Algebra in het Hoger Primair Onderwijs")
§ 12.4 Arithmetiek met Henri Neveu (1928)
Ce livre est le développement du cours dArithmétique que je professe à lEcole Lavoisier dans différentes sessions, parmi lesquelles la division préparatoire aux écoles dArts et Métiers.
Les nouveaux programmes des écoles primaires supérieures (décret du 26 juillet 1909) nont apporté que de légères modifications à lédition précédente. Reconnaissant, en effet, lutilité de certaines théories, je les avais introduites dans les dernières éditions, et, sauf la théorie des erreurs relatives, ajoutée dans cette nouvelle édition, le livre ainsi publié était déjà conforme aux nouveaux programmes.
En étudiant ce cours, les élèves des différentes sections sont donc assurés dy trouver le développement de leurs programmes respectifs, et de pouvoir préparer avec succès les examens auxquels ils se destinent.
Jose espérer que les professeurs réserveront à cette nouvelle édition lexcellent accueil fait aux éditions précédentes.
Review
Content
- LIVRE I: NOMBRES ENTIERS
Préliminaires:
§1 idée de nombre entier §2 formation des nombres entiers §3 mesure dune grandeur §4 égalité et inégalité des nombres entiers §5 définition de larithmétique
Chapitre 1 « Numération »
§6 définition numération parlée et écrite §7 numération parlée §8 numération décimale §9 classes dunités §11 numération écrite §12 convention fondamentale §13 usage du chiffre 0 §14 ordre des unités §15 règle pour lire un nombre écrit en chiffres §16 valeur absolue et valeur relative dun chiffre § 17 chiffres romains §18 définitions et notation: théorème, hypothèse, conclusion
Chapitre 2 « Addition»
§ 19 idée de laddition définition somme §20 premier cas: addition de deux nombres dun seul chiffre §21 deuxième cas: addition dun nombre quelconque et dun nombre dun seul chiffre §22 cas général §23 théorème: la somme de plusieurs nombres est indépendante de lordre dans lequel on les ajoute §24 preuve de laddition
Chapitre 3 « Soustraction»
§25 idée de soustraction définition différence §26 premier cas: le plus petit des deux nombres na quun seul chiffre et la différence est inférieure à dix §27 deuxième cas: les deux nombres ont plusieurs chiffres mais les chiffres du plus petit nombre sont tous inférieurs aux chiffres exprimant des unités de même ordre dans le plus grand §28 cas général théorème §29 preuve de la soustraction §30 théorème I: pour retrancher dun nombre la somme de plusieurs nombres, il suffit de retrancher successivement toutes les parties de la somme §31 théorème II: pour ajouter à un nombre la différence de deux nombres, on ajoute à ce nombre le plus grand des deux autres nombres et du total obtenu on retranche le plus petit §32 théorème III: pour retrancher dun nombre la différence de deux autres nombres, on ajoute le plus petit des deux nombres et on retranche de cette somme le plus grand des deux nombres §33 complément arithmétique §34 usage du complément arithmétique §35 calcul mental
Chapitre 4 « Multiplication»
§36 idée de multiplication facteurs produit §37 définition: multiplication multiplicande multiplicateur §38 théorème: pour multiplier la somme de plusieurs nombres par un nombre, on multiplie chaque partie de la somme par le nombre et on additionne les résultats §39 conséquence §40 premier cas de multiplication: les deux facteurs nont quun seul chiffre §41 table de multiplication (Pythagore) §42 deuxième cas de multiplication: nombre de plusieurs chiffres par un nombre dun chiffre §43 troisième cas de multiplication: nombre de plusieurs chiffres par un nombre dun seul chiffre suivi de zéros §44 cas général: multiplication de deux nombres quelconques §45 cas particulier où les deux nombres sont terminés par des zéros §46 théorème sur le nombre des chiffres dun produit: le nombre des chiffres du produit de deux nombres est égal à la somme des nombres des chiffres des deux facteurs ou à cette somme diminuée de un §47 produit de facteurs §48 théorème I: un produit de facteurs ne change pas si lon invertit lordre des facteurs dune manière quelconque §49 preuve de la multiplication §50 théorème II: dans un produit de facteurs on peut toujours remplacer deux ou plusieurs facteurs par leur produit effectué §51 théorème III: pour multiplier un produit de facteurs par un nombre, il suffit de multiplier un seul des facteurs par ce nombre §52 théorème IV: pour multiplier un nombre par un produit de facteurs, on multiplie le nombre par le premier facteur puis le produit obtenu par le deuxième facteur et ainsi de suite. Autrement dit, on forme un produit unique avec le nombre et tous les facteurs §53 théorème V: pour multiplier un produit de facteurs par un produit de facteurs, on forme un produit unique composé de tous les facteurs des deux produits §54 théorème VI: pour multiplier un nombre par une somme, on multiplie le nombre par chacune des parties de la somme et lon ajoute les produits obtenus §55 théorème VII: pour multiplier la somme de plusieurs nombres par la somme de plusieurs autres nombres, on multiplie chacune des parties de la première somme par chacune des parties de la deuxième et lon additionne les résultats obtenus (Dans une remarquelauteur exprime ce théorème pour la première fois en «algèbre»: (a + b) . (c + d) = a. c + b . c + a . d + b . d!!!!!) §56 théorème VIII: pour multiplier une différence par un nombre on multiplie chaque partie de la différence par ce nombre et on fait la différence des produits obtenus §57 définition: puissance dun nombre - exposant (théorèmes sur les puissances) §58 théorème I: pour multiplier une puissance dun nombre par une autre puissance du même nombre, on élève ce nombre à une puissance égale à la somme des exposants §59 théorème II: pour élever un produit de facteurs à une puissance donnée, on élève chaque facteur à cette puissance §60 théorème III: pour élever une puissance dun nombre à une autre puissance, on élève ce nombre à une puissance donnée par le produit des deux exposants §61 théorème IV: le carré de la somme de deux nombres est égal au carré du premier plus le double produit du premier par le second pus le carré du second (théorème aussi exprimé par lauteur en «algèbre»: (a+ b)² = a² + 2a.b + b²) §62 théorème V: le carré de la différence de deux nombres est égal au carré du premier plus le carré du second moins le double produit du premier par le second (exprimé en «algèbre» par lauteur: (a b)² = a² + b² - 2a. b) §63 théorème VI: le produit de la somme de deux nombres par leur différence est égal à la différence de leurs carrés (exprimé en «algèbre»: (a + b) . (a b) = a² - b² §64 théorème VII: le cube de la somme de deux nombres est égal au cube du premier plus trois fois le carré du premier multiplié par le second plus trois fois le premier multiplié par le carré du second plus le cube du second (exprimé en «algèbre»: (a + b)³ = a³ + 3 a² .b + 3 a . b² + b³) §65 application au calcul mental §66 multiplication par onze
Chapitre 5 « Division»
§67 idée de la division dividende diviseur quotient §68 définition de la division §69 relation entre dividende A, diviseur Bet quotient Q : B . Q ≤ A < B . (Q + 1) §70 reste de la division: R = A B.Q §71 -théorie de la division-: premier cas: le quotient na quun chiffre et le diviseur aussi §72 deuxième cas: le quotient na quun chiffre mais le diviseur est quelconque §73 cas général: division de deux nombres quelconques §74 remarques §75 cas particulier où le diviseur na quun chiffre § 76 preuve de la division §77 trouver la limite du nombre que lon peut ajouter au dividende sans changer le quotient (théorèmes sur la division) §78 théorème II: quand on multiplie le dividende et le diviseur dune division par un même nombre, le quotient ne change pas mais le reste est multiplié par ce nombre §79 multiplication par 25, 125, 15.. §80 théorème II: pour diviser un produit de facteurs par un nombre il suffit de diviser un seul des facteurs par ce nombre §81 théorème III: pour diviser la somme de plusieurs nombres par un nombre, on divise toutes les parties de la somme par ce nombre §82 théorème IV: pour diviser un nombre N par un produit de facteurs a . b . c , on peut diver dabord N par a, puis le quotient obtenu par b, et le nouveau quotient obtenu parc; le dernier quotient obtenu est le quotient de N par le produit a . b . c §83 théorème V: lorsquon divise le dividende et le diviseur par un même nombre, si cette division est possible, le quotient ne change pas mais le reste est divisé par ce nombre §84 théorème VI: pour diviser une puissance dun nombre par une autre puissance du même nombre, on retranche les deux exposants (convention: a0 = 1)(problèmes sur les différents systèmes de numération) §85 définition: base dun système de numération §86 premier problème: un nombre étant écrit dans le système décimal, le transcrire dans un système de base donnée §87 deuxième problème: un nombre écrit dans un système de base donnée, le transcrire dans le système décimal §88 troisième problème: un nombre écrit dans un système de base n, le transcrire dans un système de base n
Exercices sur le Livre I
- LIVRE II: PROPRIETES ELEMENTAIRES DES NOMBRES ENTIERS
Chapitre 1 « Divisibilité»
§89 définitions: multiple diviseur ou sous-multiple (théorèmes généraux) §90 théorème I: tout nombre qui en divise plusieurs divise leur somme §91 conséquence §92 théorème II: tout nombre qui en divise deux autres divise leur différence §93 théorème III: tout nombre qui en divise deux autres divise le reste de leur division (caractères de divisibilité) §94 but de la divisibilité §95 théorème fondamental: on ne change pas le reste dune division si lon ajoute ou retranche au dividende un multiple de diviseur §96 conséquence §97 méthode pour trouver la condition de divisibilité dun nombre a par un nombre d §98 théorème: divisibilité par 2 ou par 5 §99 théorème: divisibilité par 4 ou par 25 §100 théorème: divisibilité par 8 ou par 125 §101 théorème: divisibilité par 3 ou par 9 §102 théorème: divisibilité par 11 (preuves par 9 ou par 11 des quatre opérations) §103 preuve par 9 de laddition §104 remarque §105 théorème: si lon divise par 9 le produit de deux nombres, on obtient le même reste si lon divise par 9 le produit des deux restes obtenus en divisant chacun des deux nombres par 9 §106 preuve par 9 de la division
Chapitre 2 « Plus Grand Commun Diviseur»
§107 définition: nombre premier §108 théorème: deux nombres consécutifs sont premiers entre eux §109 théorème: si un nombre premier ne divise pas un autre nombre, il est premier avec lui §110 définitions: diviseur commun plus grand commun diviseur (théorie du P.G.C.D. de deux nombres) §111 théorème: le plus grand commun diviseur de deux nombres est le même que celui du plus petit de ces nombres et du reste de leur division §112 règle pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres §113 théorème: tout nombre qui en divise deux autres divise leur plus gand commun diviseur §114 théorème: quand on multiplie ou divise exactement deux nombres par un même nombre, leur plus grand commun diviseur est multiplié ou divisé par ce nombre §115 conséquence (théorèmes sur les nombres premiers entre eux) §116 théorème: tout nombre qui divise un produit de deux facteurs et qui est premier avec lun deux divise lautre §117 théorème: lorsquun nombre est divisible par plusieurs nombres premiers entre eux deux à deux, il est divisible par leur produit (théorie du P.G.C.D. de plusieurs nombres) §118 définition: le plus grand commun diviseur de trois nombres §119 règle pour trouver le P.G.C.D. de plusieurs nombres §120 théorème: tout nombre qui en divise plusieurs divise leur plus grand commun diviseur §121 théorème: quand on multiplie ou divise exactement plusieurs nombre par un même nombre, leur plus grand commun diviseur est multiplié ou divisé par ce nombre §122 conséquence
Chapitre 3 « Plus petit commun multiple»
§123 définitions: multiple commun plus petit commun multiple (P.P.C.M. de deux nombres) §124 théorème: le produit de deux nombres est égal au produit de leur plus grand commun diviseur par leur plus petit commun multiple §125 conséquence I §126 conséquence II §127 conséquence III §128 conséquence IV (P.P.C.M. de plusieurs nombres) §129 définition: P.P.C.M. de plusieurs nombres §130 règle pour trouver le plus petit commun multiple de plusieurs nombres §131 conséquence
Chapitre 4 « Propriétés des nombres premiers»
§132 théorème: tout nombre qui nest pas premier admet au moins un diviseur premier §133 théorème: deux nombres qui ne sont pas premiers entre eux admettent au moins un diviseur premier commun §134 théorème: la suite des nombres premiers est illimitée §135 formation dune table de nombres premiers crible dEratosthène §136 problème: reconnaître si un nombre donné est premier (théorèmes relatifs aux nombres premiers) §137 théorème: tout nombre premier est de la forme 6n ± 1 §138 théorème: tout nombre premier qui divise un produit de facteurs divise au moins lun deux §139 conséquence I §140 conséquence II §141 théorème: tout nombre premier avec les facteurs dun produit est premier avec ce produit
Chapitre 5 « Applications de la Théorie des Nombres Premiers »
§142 définition: décomposition dun nombre en facteurs premiers §143 théorème: 1° tout nombre qui nest pas premier est décomposable en un produit de facteurs premiers 2° cette décomposition nest possible que dune seule manière §144 marche à suivre pour décomposer un nombre en facteurs premiers (diviseurs dun nombre: formation du P.G.C.D. de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers (recherche des diviseurs dun nombre) §145 théorème: pour quun nombre A soit divisible par un nombre B, ces nombres étant décomposés en facteurs premiers, il faut et il suffit que chaque facteur premier de B soit contenu dans A avec un exposant au moins égal à celui quil a dans B §146 formation des diviseurs dun nombre §147 nombre des diviseurs dun nombre §148 formation du P.G.C.D. de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers §149 règle pour former le P.G.C.D. de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers §150 formation du P.P.C.M. de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers §151 règle pour former le P.P.C.M. de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers
Exercices sur le Livre II
- LIVRE III: NOMBRES FRACTIONNAIRES
Chapitre 1 « Fractions ordinaires»
§152 idée du nombre fractionnaire §153 définition: nombre fractionnaire - fraction numérateur dénominateur §154 nombre fractionnaire supérieur à, inférieur à et égal à un §155 nombres fractionnaires égaux et inégaux §156 conséquences §157 extraire les entiers contenus dans un nombre fractionnaire §158 théorème: si on multiplie le numérateur dune fraction par un nombre entier, la fraction est multipliée par ce nombre entier §159 théorème: si on divise le numérateur dune fraction par un nombre entier qui le divise exactement, la fraction est divisée par ce nombre entier § 160 théorème: si on multiplie le dénominateur dune fraction par un nombre entier, la fraction est divisée par ce nombre entier §161 théorème: si on divise le dénominateur dune fraction par un nombre entier qui le divise exactement, la fraction est multipliée par ce nombre entier §162 conséquences §163 théorème: on ne change pas la valeur dune fraction si lon multiplie ou divise les deux termes par un même nombre entier §164 simplification dune fraction §165 réduction dune fraction à sa plus simple expression §166 théorème: pour quune fraction soit irréductible, il faut et il suffit que ses deux termes soient premiers entre eux §167 définition: réduction au même dénominateur §168 réduction au plus petit dénominateur commun §169 théorème: si on ajoute un même nombre aux deux termes dune fraction plus petite que 1, la fraction augmente
Chapitre 2 « Opérations sur les fractions»
§170 définition de laddition: -premier cas: les fractions ont le même dénominateur §171 deuxième cas: les fractions nont pas le même dénominateur §172 définition de la soustraction: premier cas: retrancher deux fractions qui ont le même dénominateur §173 deuxième cas: les fractions nont pas le même dénominateur §174 définition de la multiplication: -premier cas: multiplication dune fraction par un nombre entier §175 deuxième cas: multiplication dun nombre entier par une fraction §176 troisième cas: multiplication dune fraction par une fraction §177 fraction de fractions §178 définition de la division §179 premier cas: division dune fraction par un nombre entier §180 deuxième cas: division dun nombre entier par une fraction §181 troisième cas: division dune fraction par une fraction §182 fractions complexes §183 puissances dune fraction §184 théorème: pour élever une fraction à une puissance, on élève ses deux termes à cette puissance §185 théorème: la puissance n dune fraction irréductible est aussi une fraction irréductible et par conséquent ne peut être égale à un nombre entier
- Exercices sur les fractions
Chapitre 3 « Fractions décimales»
§186 nombres décimaux §187 lecture dun nombre décimal écrit §188 théorème: on ne change pas la valeur dun nombre décimal en ajoutant des zéros à sa droite §189 théorème: pour multiplier un nombre décimal par 10, 100, 1000, il suffit davancer la virgule vers la droite dun rang, de deux rangs, de trois rangs §190 remarque §191 addition des nombres décimaux §192 soustraction des nombres décimaux §193 multiplication des nombres décimaux §194 division des nombres décimaux §195 définition: quotient de deux nombres avec une approximation décimale donnée §196 quotient à 1: n près §197 théorème: le quotient dun nombre décimal par un nombre entier à une unité près est le même que celui de la partie entière du dividende par le diviseur §198 application à la division des nombres décimaux
Chapitre 4 « Conversion des fractions ordinaires en fractions décimales»
§199 utilité de la conversion des fractions ordinaires en fractions décimales §200 théorème: pour quune fraction irréductible puisse être convertie en fraction décimale exacte, il faut et il suffit que son dénominateur ne renferme pas dautres facteurs premiers que 2 et 5 §201 fraction irréductible ne pouvant pas être convertie en fraction décimale exacte: exemple §202 définition: fraction génératrice dune fraction décimale périodique §203 exemple d'une fraction génératrice §204 fraction génératrice dune fraction décimale périodique simple §205 théorème: lorsquune fraction irréductible donne naissance à une fraction périodique simple, son dénominateur ne contient ni le facteur 2 ni le facteur 5 §206 fraction génératrice dune fraction décimale périodique mixte §207 théorème: lorsquune fraction irréductible réduite en fraction décimale donne naissance à une fraction périodique mixte, don dénominateur contient au moins lun des facteurs 2 ou 5 §208 manière de reconnaître a priori la nature de la fraction décimale donnée par une fraction irréductible
- Exercices sur les nombres décimaux
- LIVRE IV: RACINES
Chapitre 1 « Racine carrée»
§209 définition: racine carrée dun nombre §210 racine carrée à une unité près §211 reste de la racine carrée dun nombre §212 limite supérieure du reste dans la racine carrée §213 théorème: le carré dun nombre entier est toujours terminé par le chiffre qui termine le carré du chiffre des unités (racine carrée dun nombre entier à une unité près) §214 théorème général: lorsquun nombre est plus grand que 100 on obtient les dizaines de sa racine carrée en extrayant la racine carrée des centaines du nombre §215 premier cas: le nombre est inférieur à 100 §216 deuxième cas: le nombre est compris entre 100 et 10000 §217 cas général: le nombre est quelconque §218 règle pour extraire la racine carrée dun nombre entier à une unité près §219 nombre des chiffres de la racine §220 preuve de la racine carrée (racine carrée des nombres fractionnaires) §221 théorème: pour quune fraction irréductible soit le carré dune autre fraction irréductible il faut et il suffit que ses deux termes soient des carrés parfaits §222 théorème: pour extraire la racine carrée dune fraction dont les deux termes sont des carrés parfaits, on extrait la racine carrée de chaque terme §223 théorème: la racine carrée dun nombre fractionnaire à une unité près est la même que la racine carrée de la partie entière à une unité près §224 théorème: si la racine carrée dun nombre entier nest pas entière, elle nest pas non plus une fraction irréductible §225 définition: racine carrée à une approximation donnée §226 racine carrée à 1 / 10n près §227 racine carrée à 1 / n près §228 définition de la racine carrée dun nombre qui nest pas un carré parfait
Chapitre 2 « Racine cubique»
§229 définitions: racine cubique dun nombre cube parfait §230 racine cubique à une unité près §231 définition: reste de la cubique dun nombre §232 théorème sur la limite supérieure de la racine cubique: le reste de la racine cubique dun nombre est au plus égal à trois fois le carré de la racine à une unité près plus trois fois cette racine (Racine cubique dun nombre entier) §233 théorème général: lorsquun nombre est plus grand que 1000, on obtient les dizaines de sa racine cubique en extrayant la racine cubique des unités de mille du nombre §234 premier cas: le nombre est inférieur à 1000 §235 deuxième cas: le nombre est compris entre mille et un million §236 cas général: le nombre est quelconque §237 formation du triple carré de la racine §238 règle pour extraire la racine cubique dun unité près §239 preuve de la racine cubique (racine cubique des nombres fractionnaires) §240 théorème I: si une fraction a ses termes cubes parfaits on aura sa racine cubique en extrayant la racine cubique des deux termes; théorème II: pour quune fraction irréductible soit le cube dune autre fraction irréductible, il faut et il suffit que ses deux termes soient des cubes parfaits; théorème III: la racine cubique dun nombre fractionnaire à une unité près est la même que celle de la partie entière à une unité près; théorème IV: si la racine cubique dun nombre entier nest pas entière, elle nest pas non plus une fraction irréductible (racine cubique à une approximation donnée) §241 définition: extraire la racine cubique dun nombre entier ou fractionnaire à 1 / 10 , 1 / 100 , 1 / 1000 . près, cest chercher le plus grand nombre de dixièmes, de centièmes, de millièmes . dont le cube soit contenu dans le nombre donné §242 extraire la racine cubique dun nombre décimal §243 racine cubique dun nombre qui nest pas cube parfait (Note sur les nombres incommensurables) §244 notion de nombre incommensurable §245 règle dOughtred §246 égalité des nombres incommensurables §247 théorème: pour extraire la racine nième dun produit, on extrait la racine nième de chaque facteur §248 théorème: le quotient de deux racines nièmes est égal à la racine nième des deux nombres placés sous les radicaux §249 expressions particulières
- Exercices sur le Livre IV
- LIVRE V: SYSTÈME METRIQUE
Chapitre 1 « Système métrique»
§250 définition: système métrique §251 Historique des unités de mesure §252 loi du 4 juillet 1837 §253 avantages du système métrique §254 remarque §255 les six mesures qui composent le système métrique §256 mesures de longueur §257 tableau des mesures de longueur §258 nombres exprimant une longueur §259 différentes unités de longueur §260 mesures effectives §261 mesures de surfaces §262 tableau des mesures de surface §263 mesures agraires §264 mesures de volume §265 tableau des mesures de volume §266 mesures de bois §267 le stère §268 mesures de capacité §269 mesures effectives §270 mesures de poids §271 tableau des mesures de poids ou de masse §272 mesures effectives §273 densité §274 relation entre le poids et le volume dun corps poids spécifique §275 monnaies §276 alliage titre §277 unité de monnaie §278 mesures effectives §279 tolérance sur le poids §280 tolérance sur le titre §281 valeur relative de or et de largent §282 remarque §283 note sur la loi du 11 juillet 1903 relative au système métrique §284 surfaces et volumes usuels §285 aire dun parallélogramme, dun rectangle §286 aire du triangle §287 aire du trapèze §288 aire dun polygone §289 longueur de la circonférence aire du cercle §290 volume du prisme §291 volume de la pyramide §292 volume du cylindre circulaire §293 volume du cône circulaire droit §294 volume de la sphère
Chapitre 2 « Anciennes mesures en France et mesures étrangères»
§295 mesures de longueur: la toise, le pied, le pouce, la ligne, la perche §296 mesures de surface: la toise carrée, le pied carré, le pouce carré, la perche carrée, larpent §297 mesures de volume: la toise cube, le pied cube, la corde §298 mesures de capacité: la pinte, la chopine, la velte, le boisseau §299 mesures de poids: la livre poids, le marc, lonce, le quintal §300 monnaies: la livre tournois, le sou, le liard, le denier §301 mesures étrangères: le yard, le mille anglais, le gallon, la guinée..
Chapitre 3 « Mesure du temps et de la circonférence- calcul avec des nombres non décimaux* »
§302 mesure du temps: jour sidéral, jour solaire moyen, lheure, la minute la seconde §303 mesure du temps: lannée, le siècle, lannée bissextile §304 mesure du temps: mois §305 mesure de la circonférence: système sexagésimale: degrés, minutes, secondes §306 mesure de la circonférence: système centésimal: grade, minutes de grade, secondes de grade §307 nombres non décimaux * §308 problème I §309 problème II §310 problème III §311 problème IV §312 addition des nombres non décimaux §313 soustraction des nombres non décimaux §314 multiplication dun nombre non décimal par un nombre entier §315 division dun nombre non décimal par un nombre entier §316 problème: convertir en grades §317 système C.G.S.: unités fondamentales §318 système C.G.S.: unités dérivées
* lauteur parle de «nombres complexes»; mieux vaut parler de «nombres non décimaux»
- Exercices sur le Livre V
- LIVRE VI: RAPPORT DE DEUX NOMBRES et RAPPORT DE DEUX GRANDEURS
Chapitre 1 « Rapports et Proportions »
§319 définition: on appelle rapport a / b de deux nombres entiers ou fractionnaires le quotient exact du premier de ces nombres par le second; le nombre a est appelé le numérateur comme pour les fractions ou antécédent, le nombre b est appelé dénominateur ou conséquent §320 propriétés des rapports: il nest pas évident que les propriétés établies pour les fractions sappliquent aux rapports car les deux termes dun rapport ne sont plus nécessairement de nombres entiers comme pour les fractions; le but est de démontrer que ces propriétés valables pour les fractions sont également valables pour les rapports §321 théorème: lorsquon multiplie le numérateur dun rapport par un nombre, ce rapport est multiplié par ce nombre §322 théorème: si lon multiplie le dénominateur dun rapport par un nombre, le rapport est divisé par ce nombre §323 théorème: si lon multiplie les deux termes dun rapport par un même nombre, le rapport ne change pas de valeur §324 théorème: le rapport de deux nombres n change pas si on les divise par un même nombre §325 théorème: étant donnée une suite de rapports égaux on forme un rapport égal à chacun deux en divisant la somme des numérateurs par la somme des dénominateurs §326 théorème: étant donnée une suite de rapports inégaux, en divisant la somme des numérateurs par la somme des dénominateurs, on obtient un rapport compris entre le plus grand et le plus petit des rapports donnés; autrement dit, on obtient un rapport plus petit que le plus grand des rapports et plus grand que le plus petit des rapports donnés §327 théorème: étant donnée une suite de rapports égaux, on forme un rapport égal à chacun deux en divisant la racine carrée de la somme des carrés des numérateurs par la racine carrée de la somme des carrés des dénominateurs §328 définition: rapport de deux grandeurs de même espèce §329 théorème: le rapport de deux grandeurs de même espèce est égal au rapport des deux nombres qui les mesurent, ces grandeurs ayant été mesurée avec la même unité §330 définition de proportion: on appelle proportion légalité de deux rapports §331 présentation dune proportion: termes extrêmes et termes moyens §332 théorème fondamental: dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens §333 théorème: réciproquement, si quatre nombres a, b, c, d sont tels que le produit a . d des deux extrêmes a et d soit égal au produit b . c des deux moyens b et c , ces quatre nombres forment une proportion dans lordre où ils sont écrits §334 conséquences §335 théorème: étant donné une proportion, la somme des deux premiers termes est au deuxième comme la somme des deux derniers termes est au quatrième §336 définitions: un nombre est dit moyenne proportionnelle entre deux autres lorsqui occupe les deux moyens dans une proportion dont les deux nombres donnés sont les extrêmes; un nombre x est appelé quatrième proportionnelle entre trois nombres a, b, c lorsquil occupe le quatrième terme dune proportion dont les trois autres termes sont a, b, c dans cet ordre
- Exercices proposés
Chapitre 2 « Grandeurs directement et inversement proportionnelles »
§337 dépendance de deux grandeurs sans être pour cela de même espèce §338 définition: grandeurs directement proportionnelles §339 théorème: lorsque deux grandeurs sont directement proportionnelles, si lune délles devient un certain nombre de fois plus grande ou plus petite, lautre grandeur devient le même nombre de fois plus grande ou plus petite §340 théorème: réciproquement, si deux grandeurs sont telles que lune delles devenant un certain nombre de fois plus grande ou plus petite, lautre devient le même nombre de fois plus grande ou plus petite, ces deux grandeurs sont directement proportionnelles §341 définition: grandeurs inversement proportionnelle §342 théorème: lorsque deux grandeurs sont inversement proportionnelle, si lune delles devient un certain nombre de fois plus grande, lautre devient le même nombre de fois plus petite; ou, inversement si la première devient un certain nombre de fois plus petite, la deuxième devient le même nombre de fois plus grande §343 théorème: réciproquement, si deux grandeurs sont telles que lune devenant un certain nombre de fois plus grande, lautre devient le même nombre de fois plus petite, ces deux grandeurs sont inversement proportionnelles §344 grandeur A dépendant en même temps de plusieurs grandeurs B, C, D, §345 définition de la règle de trois §346 règle de trois simple directe §347 règle de trois simple inverse §348 règle de trois composée §349 marche à suivre: lorsquil sagit dune règle de trois composée, la valeur inconnue x de la grandeur A sobtient en multipliant la valeur connue de A par les rapports des nouvelles valeurs aux anciennes pour les valeurs qui sont directement proportionnelles à A, et par les rapports inverses des nouvelles valeurs aux anciennes pour les grandeurs inversement proportionnelles à A
- Exercices sur les grandeurs proportionnelles et sur la règle de trois
Chapitre 3 « Intérêts »
§350 définitions: intérêt, capital, taux dintérêt §351 problème général: formules §352 théorème: lorsque deux capitaux placés à des taux différents produisent le même intérêt annuel, ces deux capitaux sont inversement proportionnels aux taux §353 calcul des intérêts: méthode des diviseurs §354 calcul des intérêts: méthode des parties aliquotes §355 intérêts composés
- Problèmes proposés sur les intérêts
Chapitre 4 « Escompte »
§356 définitions: effet de commerce billet à ordre lettre de change débiteur créancier §357 escompte valeur nominale valeur actuelle §358 sortes descompte: lescompte en dehors, lescompte en dedans §359 escompte en dehors ou commercial §360 bordereau descompte §361 escompte en dedans ou escompte rationnel §362 formule §363 différence entre les deux escomptes §364 échéance commune §365 échéance moyenne
Chapitre 5 « Rentes sur lEtat»
§366 définitions §367 cours de la rente §368 courtage et frais §369 actions et obligations §370 caisses dépargne
- Problèmes sur lescompte et les rentes caisses dépargne
Chapitre 6 « Partages proportionnelles -règles de société- mélangeset alliages»
§371 définition: partage proportionnel §372 marche à suivre §373 définition: partager en parties inversement proportionnelles §374 règles de société §375 définition: moyenne arithmétique §376 problèmes sur les mélanges et les alliages
- Problèmes sur les partages proportionnelles règles de société mélanges et alliages
- Exercices de récapitulation problèmes divers
- LIVRE VII: ERREURS RELATIVES ET ERREURS ABSOLUES
§377 valeur approchée §378 définition: erreur absolue §379 limites supérieure et inférieure dun nombre donné §380 limite supérieure dune erreur §381 théorème: si dans un nombre approché par défaut, par exemple à 0,001 près, on supprime tous les chiffres décimaux à partir de la quatrième, et si lon force dune unité le troisième chiffre décimal, on ne change pas la limite de lerreur absolue mais le sens de la nouvelle erreur est inconnue §382 calcul de lerreur totale: cas de laddition §383 calcul de lerreur totale: cas de la soustraction §384 calcul de lerreur totale: cas de la multiplication §385 application §386 calcul de lerreur totale: cas de la division §387 application § 388 calcul de lerreur totale: cas de racine carrée
Chapitre 2 « Erreurs relatives»
§390 définition derreur relative §391 différence entre erreur absolue et erreur relative §392 définition: On dit quun nombre a n chiffres exacts si lerreur absolue dont il est affecté est moindre quune unité de même ordre que son nième chiffre à partir de la gauche §393 théorème: Soit k le premier chiffre significatif à gauche dun nombre approché qui a n chiffres exacts, lerreur relative dont ce nombre est affecté a pour limite supérieure 1 / k . 10n-1 §394 limite de lerreur relative en fraction décimale §395 conséquence: Pour obtenir un résultat approché avec une erreur relative moindre que 1 / 10n , il suffit de calculer avec n + 1 chiffres exacts §396 théorème: Soit k le premier chiffre significatif à gauche dun nombre approché, si lerreur relative e a pour limite supérieure 1 / a . 10n , on peut compter sur n chiffres exacts à la gauche du nombre, si a est au plus égal a k , et sur n + 1 chiffres exacts si a est supérieur à k §397 conséquence: Pour quun nombre approché ait n chiffres exacts, il suffit que son erreur relative soit moindre que 1 /10n (erreur relative et multiplication) §398 théorème: Lerreur relative dun produit de deux facteurs dont un seul est approché, est égale à lerreur relative du facteur approché §399 théorème: Lerreur relative du produit de deux facteurs approchés a pour limite supérieure la somme des limites supérieures des erreurs relatives des deux facteurs §400 règle: Pour obtenir le produit de deux nombres approchés avec n chiffres exacts, il suffit de prendre n + 1 chiffres exacts dans chacun des facteurs qui commence par un chiffre différent de 1, et n + 2 chiffres dans le cas contraire (erreur relative et division) §401 théorème: Lerreur relative du quotient dun nombre approché par un nombre exact est égale à lerreur relative du dividende Lerreur relative du quotient dun nombre exact par un nombre approché a pour limite supérieure la limite supérieure de lerreur relative du diviseur §402 théorème: Lerreur relative du quotient de deux nombres approchés a pour limite supérieure la somme des limites supérieures des erreurs relatives de ces nombres §403 règle: Pour obtenir le quotient de deux nombres approchés avec n chiffres exacts il suffit de prendre n + 1 chiffres exacts dabs chacun des nombres qui commence par un chiffre différent de 1, et n + 2 chiffres dans le cas contraire (erreur relative et racines) §404 théorème: 1° lerreur relative de la racine carrée dun nombre a pour limite supérieure la moitié de la limite supérieure de lerreur relative de ce nombre 2° lerreur relative de la racine cubique dun nombre a pour limite supérieure le tiers de la limite supérieure de lerreur relative de ce nombre §405 règle: Si lon veut obtenir une racine carrée ou une racine cubique avec n chiffres exacts il suffit de calculer avec n + 1 chiffres exacts la quantité soumise au radical
(Hoofdstuk 12 "Arithmetiek en Algebra in het Hoger Primair Onderwijs")
§ 12.3 Spelen met Getallen
In 1952, maar het kan ook best 1953 geweest zijn, leende ik uit de bibliotheek van mijn vader een boekje met grijslinnen kaft dat als titel droeg « Spelen met Getallen ». De auteur was een zekere Fred Schuh (1) , de man die in de begeleidende ikoon van dit cursiefje een centrale plaats inneemt. In die jaren echter ging mijn belangstelling echter uit naar de geschriften van de auteur en nooit naar de auteur-zelf.
Eerst ná mijn humaniora zou ik merken dat mijn houding echt fout was. Het was immers deze Schuh, die in het interbellum al een resem merkwaardige boeken over arithmetiek, algebra, analyse en meetkunde had geschreven, maar daar had ik toen helemaal geen weet van. Toen ik mij op latere leeftijd, via tweedehandsboekhandels, de eerste exemplaren van deze boeken kon aanschaffen, drong het tot mij door, wat ik in feite gemist had. Maar dat is materie voor blog IV; terug eerst nu naar « Spelen met Getallen ».
De volledige titel van het boekje dat amper 197 paginas besloeg en dat voor het eerst in 1951 werd uitgegeven luidde: « Spelen met Getalleneen fascinerend boek voor jong en oud- ». Deze kleine monografie was opgedragen aan Schuhs kleinzonen Arnout, Martijn, Paul en Frederik en had als Kenspreuk De Taal van het Getal is de Taal van de Rede . Maar daar had ik al evenmin boodschap aan.
In de Inleiding schreef Schuh echter:
Zo komt het spreken (van het kind) tot stand en dan volgt al heel spoedig het tellen. De bedoeling van dit boekje is die belangstelling bij jonge mensen aan te wakkeren, door ze wat meer over het getal mee te delen dan de sommetjes, die ze op school hebben moeten maken. Een zeer grote rol speelt daar bij het talstelsel, een van de mooiste uitingen van het menselijk vernuft. Het is hoogst merkwaardig hoeveel puzzles en spelen op het begrip talstelsel berusten. Ik heb deze uiteraard niet alle kunnen bespreken, maar daaruit een keus moeten maken. Ik hoop dat die keus goed geweest is en dat dit boekje de belangstelling voor het talstelsel in het bijzonder en het getal in het algemeen helpt verhogen .
Getallen en Spelen daar had ik wel wat aan en dat was nu eens iets anders dan wat mij in het Lager Middelbaar van het Sint Lodewijkscollege voorgehouden en verteld werd. Een kijkje in de gedetailleerde inhoudstafel wekte onmiddellijk mijn nieuwsgierigheid op:
Hoofdstuk 1 Talstelsels (a- De namen der getallen b- Het geschreven tellen c- Het gesproken tellen d- nog iets over het uitspreken van getallen e- Het positionele systeem f- Het tientallige en het vijftallige stelsel g- Het rekenen van de ter dood veroordeelde koopman h- Tafels in een vreemd talstelsel i- Overgang op een ander talstelsel j- Kenmerken van deelbaarheid k- Onderlinge vergelijking der verschillende talstelsels l- De voordelen van het twaalftallige stelsel m- De historische ontwikkeling van ons talstelsel)
Hoofdstuk 2 Grote getallen (a- Grote getallen bij de Grieken b- Grote getallen bij de Voor-Indiërs c- De graankorrels op het schaakbord d- De cent van Adam e- Grote getallen zonder achtergrond f- Grote priemgetallen g- Oneindigheid van het aantal priemgetallen)
Hoofdstuk 3 Toverkaarten (a- De bedoeling van het kunstje b- Het nadoen met potlood en papier c- De eenvoudige toverkaarten d- Moeilijker toverkaarten e- Verband met het tweetallig stelsel f- Enkele moeilijke vragen g- Het wijzigen der toverkaarten door een code h- Aantal stellen van zes toverkaarten i- Verband tussen een code en de in d- besproken wijziging)
Hoofdstuk 4 Problemen verwant met toverkaarten (a- Eenvoudig kunstje met speelkaarten b- Verbetering van het kunstje met speelkaarten c- Gewichtenprobleem d- Drietallige gewichtendoos e- De tempel met de honderd schijven)
Hoofdstuk 5 Algemene beschouwingen over spelen (a- Intellect-spelen b- Puzzle-spelen c- Schaken en puzzelen d- Eenvoudig luciferspel e- Wijzigingen van het eenvoudige luciferspel f- Uitbreiding van het eenvoudige luciferspel g- Nog enkele luciferspelen h- Verband met volledige inductie)
Hoofdstuk 6 Het nimspel (a- De regels van het nimspel b- Enkele eenvoudige opmerkingen over het nimspel c- Enkele reeksen van winnende situaties d- Verband met het tweetallige stelsel e- Opmerkingen over de juiste speelwijze f- Doelmatigste manier van spelen g- Het nimspel met meer dan drie hoopjes h- Uitbreiding van het nimspel)
Hoofdstuk 7 Het verplaatsen van cijfers van een getal (a- De bijzonderheid waarom het gaat b- Getallenwonder uit de grafkelder te Ur c- De goddelijke verhouding en de grafkelder te Ur d- Verband met de repeterende breuken e- Verdere beschouwing der repeterende breuken f- Geval van een gegeven aantal repeterende cijfers g- Enkele voorbeelden van verplaatsing van cijfers)
Hoofdstuk 8 Tovervierkanten (a- Algemeenheden over tovervierkanten b- Het tovervierkant met 9 velden c- Oneven tovervierkanten d- Nadere beschouwing van het oneven tovervierkant van Taale e- Verdere bijzonderheden van het oneven tovervierkant van Taale f- Tovervierkanten met 16 velden g- Tovervierkant van de zon g- Tovervierkanten met 64 velden)
Hoofdstuk 9 Pythagoras en de Pythagoreërs (a- Enkele bijzonderheden over Pythagoras b- De leer van Pythagoras c- Even en oneven getallen d- Verdere beschouwingen over getallen e- De stelling van Pythagoras f- Getallen van Pythagoras g- Gnomons en getallen van Pythagoras)
In deze inhoudstafel heb ik de hoofdstukken en woorden, die mij toen als scholier onmiddellijk in het oog sprongen in het groen aangegeven.
Natuurlijk trokken de hoofdstukken over toverkaarten en tovervierkanten mijn onmiddellijke aandacht. Ik had immers al een eerste tovervierkant (2) ontmoet toen ik mij Deel IV van de E.N.S.I.E. toegeëigend had (zie cursiefje « Over Systematische Encyclopedieën.. en Wiskunde ». Ik had mij toen afgevraagd hoe men tot dergelijke curiosa kon komen. In « Spelen met Getallen » vond ik het precieze en zeer verstaanbare antwoord.
Ook het hoofdstuk over Pythagoras en de Pythagoreërs vond ik erg interessant want het bevestigde niet alleen wat een Meester Berghmans ons in het zevende studiejaar had verteld over de stelling van Pythagoras maar ik vernam nu ook wat voor een klepper die Pythagoras wel was geweest. De paragrafen over volkomen (3) en bevriende getallen, even en oneven getallen maakten mij ook duidelijk dat er over de natuurlijke getallen heel wat interessante zaken te vertellen waren waar in de scholen met geen woord over gerept werd.
Een ander merkwaardig hoofdstuk ging over de Grote Getallen. Vooral de paragraaf over de graankorrels op het schaakbord (4) is mij bijgebleven. Hier werd mij duidelijk tot welke grote getallen een bewerking als de machtsverheffing voert en vooral wat dergelijke getallen inhouden..
Wat ik verder vernam over het getallenwonder uit de grafkelder te Ur(5) en de gulden snede (hoofdstuk 7) sloeg mij echter met verstomming. Wat in dit kleine boekje werd medegedeeld was heel wat interessanter dan wat in de wiskundelessen in het Lager Middelbaar verteld werd. En dit was niet alleen in het college Saint Louis het geval .
Deze kleine monografie is werkelijk bepalend geweest voor mijn positieve houding t.o.v. de wiskunde en i.h.b. de Arithmetiek. Dit boekje is en blijft een aanrader voor iedere scholier met enige interesse voor getallen en spelletjes
(Hoofdstuk 7 "Arithmetiek en Algebra in het Hoger Primair Onderwijs")
§ 12.2 Over Systematische Encyclopedieën...
Op het einde van de jaren veertig had mijn vader een nieuwe encyclopedie gekocht de E.N.S.I.E. (acroniem voor Eerste Systematische Ingerichte Encyclopedie), en dit oeuvre zal vanaf het zevende studiejaar een belangrijke rol spelen in mijn leven. Deze encyclopedie had mijn vader speciaal gekocht voor zijn schoolgaande kinderen en i.h.b. voor mijn oudste broer.
Maar vanaf Saint Louis, beschouwde ik mijzelf nu ook als schoolgaand en dus maakte ik ook meer en meer gebruik van deze nieuwe bron van informatie. De E.N.S.I.E. dateerde van 1949-1950 en was in wezen niet echt bestemd voor scholieren!!
Een systematisch ingerichte encyclopedie is opgebouwd uit een reeks uitgebreide overzichtsartikels, die echte inleidingen vormen in de grote gebieden van wetenschap en cultuur. Een dergelijke encyclopedie onderscheidt zich van een alfabetische zoals de Oosthoeks- encyclopedie bvb doordat de diverse onderwerpen van een bepaald gebied in een samenhangend geheel worden ingebed en de lezer aldus een globaal en dieper inzicht kan verwerven in het gekozen gebied.
Een andere systematische encyclopedie speciaal bestemd voor scholieren vormde bvb de « Sesam Systematische Encyclopedie ». Maar die zag eerst maar het licht in de jaren 1957-1962 bij de bekende uitgeverij Het Spectrum. Een duidelijk bewijs dat er wel een behoefte was aan een systematische encyclopedie, ook voor scholieren.
Wat zit die nu nog te bazelen over encyclopedieën !! hoor ik enkele bloglezers grommelen: Wij hebben nu veel beter wij hebben Internet en Wikipedia !! En inderdaad er is Wikipedia, een schitterend en uiterst waardevol initiatief. Sommigen trachten Wikipedia te herleiden tot een encyclopedie van tweede zo niet derde orde want opgesteld door zo wat iedereen ook door Jan met de pet. Diegene, die nu zo iets durven beweren hebben nooit enig artikel voor Wikipedia geplengd of geschreven.
Vooreerst moet ieder artikel uitvoerig gerefereerd zijn, liefst met referenties, die evenzeer via Internet toegankelijk zijn. Bovendien heeft Wikipedia het enorme voordeel te werken met diverse redacteurs uit verschillende landen waardoor meerdere meningen tot uiting komen in plaats van slechts één bepaalde ex cathedra opinie. Wat wel degelijk het geval is in een klassieke encyclopedie. Indien u echter een Wikipedia-artikel in het Nederlands raadpleegt, vergeet nooit hetzelfde onderwerp ook eens na te lezen in Wikipedia (Frans, Engels, Duits..). Tenminste als u objectiviteit op prijs stelt .
Maar dit betekent dan toch die klassieke alfabetische encyclopedieën, die veelal als een kostelijk sieraad in een eiken- of mahonie-houten bibliotheek opgeslagen werden tot het verleden behoren !!?? Zo LIJKT de situatie wel en velen ontdoen zich van hun veelal op afbetaling gekochte encyclopedie voor een prikje. Enkele jaren terug heb ik mij zo in Damme bij een tweedehandsboekhandel een Standaard Encyclopedie in perfecte staat kunnen aanschaffen aan 1 per deel !!
Vergeet echter nooit dat een klassieke encyclopedie een momentopname is van wat men op een bepaald ogenblik over een bepaald onderwerp dacht en juist om deze reden ook erg waardevol is. Anderzijds is er een groot verschil in opvatting tussen een systematische en een gewone encyclopedie. Eerstgenoemde encyclopedie geeft een totaal beeld van en algemeen inzicht in een wijd vakgebied bvb wis- of natuurkunde.
Maar terug naar de E.N.S.I.E. Bij het openslaan van Deel IV, dat handelde over wiskunde, natuurkunde, scheikunde en sterrenkunde (allemaal zaken, die mij wel boeiden) botste ik hierbij onmiddellijk op de bekende kopergravure van Albrecht Dürer Melencolia (1514), volgens veler opvatting een zinnebeeld van het wiskundig - technisch denken. Ik heb in mijn jeugdjaren deze prachtige afbeelding talloze keren bekeken en was toen diep onder de indruk van het tovervierkant dat gesponnen is rond het jaartal 1514, jaar waarin Dürer deze plaat etste. Een tovervierkant heeft als eigenschap dat de som van iedere rij en iedere kolom hetzelfde getal geeft.
Als ik nu echter na zovele jaren deze afbeelding bekijk, overvalt mij deze stille weemoed, deze melencolia waarop de kunstenaar zinspeelde. Laat deze kopergravure dan ook het ikoon zijn van dit cursiefje.
Daar in ons huisgezin zich nu niemand voor deel IV interesseerde, beschouwde ik dit volume als mijn persoonlijk bezit en kreeg dit deel een ereplaats in mijn piepkleine bibliotheek. Mijn interessegebied was in die dagen « Wiskunde » want ik worstelde met een voor mij erg nijpend probleem: want wat is nu het precieze onderscheid tussen rekenkunde en algebra? De oorsprong van dit probleem lag bij mijn klein dispuut met Meester Berghmans, die mij verboden had algebraïsche methodes (vergelijkingen) te gebruiken bij het oplossen van "rekenkundige" vraagstukken. Algebra??? Ik wist niet eens wat dit woord betekende. Later kwam ik te weten dat een zekere Newton Algebra had gedefinieerd als « Universele Rekenkunde » en dat het strakke onderscheid tussen algebra en rekenkunde dat toen op grond van didactische redenen opgelegd was, pure onzin was.
Het herhaaldelijk doorbladeren van het meer dan honderd bladzijden tellende artikel Wiskunde van Prof. J.C.H. Gerretsen in de E.N.S.I.E. leverde voor mij in het begin echter weinig (eufemisme) interessants op, behalve dan een paar inktvlekken op enkele paginas, een bewijs van mijn onverdroten ijver en inspanningen.
Het overzichtsartikel van Gerretsen (1) , artikel dat overigens niet eens definieerde wat wiskunde eigenlijk is (2), was onderverdeeld in 10 rubrieken, die de diverse gebieden of disciplines van de wiskunde beschreef en afbakende: 1-wiskundige logica en axiomatiek, 2- getalbegrip, 3- elementaire en analytische meetkunde, 4- groepentheorie en abstracte algebra, 5- infinitesimaalrekening, 6- differentiaal- en integraalvergelijkingen, 7- algebraïsche meetkunde en topologie, 8- getallenleer, 9- praktisch rekenen, 10- kansrekening en statistiek.
Natuurlijk waren het overgrote deel van de rubrieken voor mij je reinste chinees maar andere waren ergens wel iets verhelderend.
Zo bevond ik mij met rubriek 2 bvb (Het getalbegrip) op minder maagdelijk terrein, daar hier gesproken werd over natuurlijke getallenen hun eigenschappen. Na een goed verstaanbare inleiding had Gerretsen het over volgende onderwerpen: de getallenrechte, de optelling der reële getallen, de ordening der reële getallen, de natuurlijke getallen, de definitie door volledige inductie,talstelsels, de gehele getallen, continuïteit, deling door een natuurlijk getal, rationale getallen, de vermenigvuldiging der reële getallen, de irrationale getallen, oneindige voortlopende g-delige breuken, complexe getallen, oneindige cardinaalgetallen, ordinaalgetallen, het keuzepostulaat en de transfiniete transductie.
Een aantal van die onderwerpen had ik al bij meester Hillewaert, bij Meester Berghmans of bij de Oosthoeks ontmoet. Andere zoals bvb de getallenrechte en de reële getallen zou ik in de lagere humaniora, nog andere zoals de irrationale en complexe getallen (althans een eerste benadering) in de hogere humaniora, en uiteindelijk de laatste onderwerpen eerst ná de humaniora ontmoeten.
Ook in de rubrieken 8 (Getallenleer)en 9 (Praktisch Rekenen) vond ik tot mijn grote voldoening enkele begrippen, die wij nog bij Meester Hillewaert gezien hadden, terug: o.m. priemgetal, GGD en KGV en de hoofdstelling uit de Rekenkunde, de bekende canonieke ontbinding in factoren. Ik verwachtte er mij dus al aan dat de Arithmetiek van het secundair onderwijs, behoudens wat stellingen over priemgetallen ook enkele beginselen van de getallentheorie, waarover een Gerretsen het zo uitvoerig had, zou bevatten. Dit was uiteraard het geval, maar deze theorie beperkte zich tot de meetbare d.i. de gebroken en gehele getallen.
Ter vergelijking, het overzichtsartikel uit de Sesam Encyclopedie van de hand van H. J. A. Duparc (3) bevatte slechts 6 rubrieken: 1- Het wiskundig denken, 2- Getallen en hun eigenschappen, 3- Rechthoekige driehoeken en nieuwe getallen, 4- Over grenswaarden, 5- Kegelsneden, 6- De leer van het toeval. Het viel mij op dat deze rubrieken met veel minder woordenomhaal geschreven waren en heel wat precieze en verstaanbare informatie verstrekten zonder daarom aan wiskundige exactheid in te boeten.
De rubriek 2 (getallen en hun eigenschappen : het tellen, het getalschrift, het rekenen met getallen, de negatieve getallen en de breuken, priemgetallen, het dyadisch of duale talstelsel en rekenmachines en de rubriek 3 (rechthoekige driehoeken en nieuwe getallen : oppervlakken, de stelling van Pythagoras, irrationele (of onmeetbare) getallen, logaritme en rekenschuif, de trigonometrie vond ik absoluut verstaanbaar zelfs voor iemand uit de lagere humaniora.
Ook beschouw ik de rubrieken 4 (grenswaarden : functies en hun grafische voorstellingen, grenswaarden en sommen, differentiaalrekening, integraalrekening) 5 (kegelsneden : cirkels en ellipsen, de kegelsneden, de snij- figuren apart, de vergelijkingen der kegelsneden, transformaties en groepen) en 6 (de leer van het toeval : het begrip waarschijnlijkheid in de wiskunde, de levensverzekering, samengestelde waarschijnlijkheden, de foutenwet») tot het beste wat ooit in het Nederlands voor scholieren over deze moeilijke onderwerpen geschreven is. Maar zoals al opgemerkt verscheen de Sesam encyclopedie ná mijn humaniorastudies..
Met de jaren drong het dan ook tot mij door, dat er op het overzichtsartikel Wiskunde in de E.N.S.I.E. -ofschoon misschien een tour de force van hoog niveau- heel wat aan te merken viel op het gebied van « gebruiksvriendelijkheid ». Dit had wellicht wat te maken met de ijdelheid van de schrijver. Wat er ook van aan was, voornoemd overzichtsartikel heeft in mijn leven wel een belangrijke rol gespeeld, want het liet mij toe mijn, de met de jaren geleidelijk verworven, wiskundekennis voortdurend te testen en te toetsen.
(wordt voortgezet)
---------------------------
(1) ) J.C.H. Gerretsen (1907-1983) was eerst leraar aan een gymnasium en later hoogleraar hogere meetkunde van 1946 tot 1977 aan de Universiteit van Groningen. Hoe enkele oud-leerlingen over hem dachten?
Kleurrijk, wordt hij genoemd, met zijn vlinderdasje en zijn smetteloze kleren. Parmantig, al kon hij heel scherp zijn. Maar ook vreselijk ijdel en theatraal. Hij leefde in een droomwereld, vertelt oud-wiskundestudent H.J. Buurema. Hij gaf college alsof hij voor de Akademie van Wetenschappen stond. Heel plechtig, met veel moeilijke woorden en weidse gebaren. Veel mensen konden daar niet tegen, maar hij kon het niet laten. Gerretsen leefde met zijn hoofd in de wolken.
.Hij vond van zichzelf dat hij college moest kunnen geven zonder al te veel aantekeningen, denkt D. Kleima, die vanaf 1947 bij hem studeerde. Maar dat ging lang niet altijd goed. Dan dacht hij: dat vertel ik zo wel even. Hij kwam er niet meer uit en het college ontaardde in een leuterpartij.
Blijkbaar was hij toch niet de ideale figuur om een overzichtsartikel voor een encyclopedie te schrijven???
(2) Volgens de Standaard Encyclopedie -1980- is het niet mogelijk een strenge definitie van de wiskunde te geven; zij kan alleen via haar historische ontwikkeling worden gedefinieerd. De « Encyclopédie thématique Universalis -2005- » definieert in een zeer uitvoerig artikel getekend Jean-Marie Pruvost-Beaurain wiskunde als volgt: « La mathématique est une science hypothético-déductive qui, en développant un langage autonome, élabore et étudie des notions abstraites liées les unes aux autres et souvent capables de fournir des modèles et des processus opératoires permettant de mieux comprendre de nombreux aspects du monde observable, en particulier lorsque peuvent être invoquées des idées de quantité, de forme et de partie de quelque chose ».
(3) Herman Johan Arie Duparc (1918-2002) was geboren te Amsterdam, promoveerde aldaar in 1953 tot doctor in de wis- en natuurkunde op het onderwerp Divisibility Properties Of Recurring Sequences. Zijn laatste stelling bij dit proefschrift luidde: «Het is aan te bevelen dat bij het gymnasiaal onderwijs enige tijd wordt gewijd aan de behandeling van een gedeelte van de Elementen van Euclides aan de hand van de Griekse tekst». Herman Duparc was van 1956 tot zijn emeritaat in 1984 hoogleraar in de Zuivere en Toegepaste Wiskunde en de Mechanica. Hij was niet alleen een enthousiast en toegewijd docent en promotor, jarenlang gaf hij ook met onverdroten ijver leiding aan het wiskunde-onderwijs voor alle studenten van de Technische Universiteit Delft. Duparc werd vanwege zijn betrokkenheid door studenten ook nog jaren na zijn officiële afscheid op handen gedragen. Tot het laatst onderhield hij met hen maar ook met zijn universiteit via vele voordrachten en lezingen nog intensief contact. Duparc was bijkans verslaafd aan getallen en cijferreeksen. Het feit dat hij zich in zijn lange wetenschappelijk carrière uitvoerig met recursies in de (numerieke) wiskunde heeft bezig gehouden zal daaraan niet vreemd zijn. Maar Duparc was meer dan alleen een van wiskunde en getallen bezeten mens. Ironie was een ander trefzeker wapen waarvan deze gedreven, aimabele leermeester zich graag bediende. Zijn krijgsgevangenschap in het voormalig Nederlands Indië en Oost-Azië, waar hij eigenlijk nooit terecht had willen komen, had hem - zo zei hij ooit - gemaakt tot mijnbouwer tegen wil en dank en toen de atoombom in 1945 zijn Japanse overheersers tot capitulatie dwong schreef Duparc aan intimi dat mijn leven andermaal gered is door de natuurwetenschap, zou men kunnen zeggen.
§ 12.1 Over de Rijksmiddelbare School te Brugge ...
(Hoofdstuk 12 "Arithmetiek en Algebra in het Hoger Primair Onderwijs")
§ 12.1 Over de Rijksmiddelbare School.. te Brugge
Sinds mijn prille jeugd bezit ik twee oude schoolboeken waarvan de oorsprong mij toch wat duister en geheimzinnig leek. Het waren « Cours de Physique E.P.S. » en « Cours de Chimie E.P.S. » van P. Métral en ze dateerden van juist na WOI. Ik had ze gevonden op zolder en mijn vader had deze boeken nog gebruikt, maar in welke school? Mijn vader sprak maar heel zelden over zijn jeugd en het was maar eerst na zijn overlijden dat ik mij rekenschap gaf van het feit dat hij zijn jeugd had doorgebracht op de schoolbanken van de Rijksmiddelbare School te Brugge
In het Brugs Ommeland (1) orgaan van de Heemkundige Kring -Maurits Van Coppenolle- was er regelmatig sprake van deze school en ook nog van de school van een zekere Meester Brans, die in de Hollandse periode (en ook daarna) in het Brugse een belangrijke rol heeft gespeeld. Dit bracht mij op het idee om toch maar even na te gaan hoe het er aan toeging in de Rijksmiddelbare school (de zogenaamde Ecole Moyenne) te Brugge en dit vóór en juist ná WOII.
In 1950 had de Rijksmiddelbare school nu haar honderdjarig bestaan gevierd en bij deze gelegenheid ook een Gedenkboek uitgegeven (zie ikoon). Met veel moeite kon ik via Internet een exemplaar vinden want slechts verspreid in een oplage van 750 genummerde exemplaren. Dit Gedenkboek van amper 87 paginas bracht mij terug naar de 19de eeuw en de eerste helft van de 20ste eeuw (o.m. naar de oorlogsjaren) en bevatte enkele erg interessante oorlogsgegevens en feitenmateriaal. De feitjes uit de oorlogsperiode en de periode onmiddellijk daarna riepen bij mij allerlei mooie en minder mooie herinneringen op, die ik ditmaal echter in een juist perspectief en daglicht kon plaatsen.
Andere gegevens hadden vanzelfsprekend betrekking op de historiek van de Ecole Moyenne - zelf en hoe deze uit de Ecole Supérieur du Gouvernement was ontstaan. Verder waren er nog gegevens over het lerarenkorps en de aard van het gegeven onderricht. Het zijn de gegevens over de aard van het onderwijs in de Rijksmiddelbare school die mij duidelijk hebben gemaakt dat ik inderdaad de eerste winding van de didactische spiraal inzake wiskunde- en wetenschapsonderwijs had gemist (zie voorgaande cursiefjes) en dat het inderdaad ook anders had gekund.
* * *
Maar laat ik het eerst hebben over de omstandigheden, die het dagelijkse leven in en onmiddellijk na de oorlog beheersten.
In het Gedenkboek (p.65) kwam er nu een zekere Michel Van Poucke voor, die als studiemeester aan de Ecole Moyenne was verbonden. Hij woonde in de villa Reigersvliet op de hoek van de Bloemenstraat en Weidestraat op amper 100 m van ons huis. Als reservecommandant was hij een belangrijke figuur in het Verzet (Geheim Leger) in West-Vlaanderen (2) .
Hij was immers medeoprichter en sectorbevelhebber van het Geheim Leger en blijkbaar nauw bevriend met mijn vader, vooral tijdens de oorlog. Wat niet verwonderlijk was: beiden hadden immers dezelfde school bezocht. Michel Van Poucke ontsnapte als bij mirakel aan de klauwen van de G.F.P. en heeft blijkbaar ook een rol gespeeld bij de operatie Ramrod 934 in de volksmond beter bekend als Het bombardement van Sint Michiels.
Het was in deze Brugse randgemeente dat de bezetter een spionagebasis had opgericht in het nu verdwenen kasteel Ter Linden. Deze basis telde zon 330 man en hing rechtstreeks af van het Oberkommando der Marine (OKM) te Berlijn en stond in dienst van de Abwehr. De basis stond onder het bevel van korvettekapitein Ernst Jäckel die na zijn bevordering in mei 1942 tot Chef van de Inlichtingendienst van de Marine werd opgevolgd door fregatkapitein Lothar von Heimburg. Op de basis luisterden de Duitsers berichten af en decodeerden ze. Er werden ook goniometrische radiopeilingen uitgevoerd met behulp van een Adcockpeiler. Grootadmiraal Karl Dönitz bracht er in 1943 een bezoek. De basis bestond uit het kasteel Ter Linden, een aantal bunkers, barakken en 2,6 km loopgraven. Het bombardement gebeurde ter voorbereiding van de landing te Normandië op 6 juni 1944. Bij het bombardement kwamen 40 burgers en 19 Duitsers om het leven en vielen tientallen gewonden (3) .
Het bombardement gebeurde in twee raids, één rond de middag en één in de vroege avond op pinksterzondag 28 mei 1944. Hiervoor zette men 202 vliegtuigen in waarvan 155 toestellen het doelwit bereikten en ca 192 ton bommen afwierpen. Een tweede raid was echter noodzakelijk, want het Verzet dacht dat de eerste raid het doel gemist had, wat achteraf niet juist is gebleken. Het was tijdens de tweede raid ramptoerisme- dat de meeste burgerslachtoffers vielen (32 doden). Mijn vader vertelde later, dat hij bepaalde personen had gewaarschuwd om toch maar niet naar het gebombardeerd gebied te gaan. Wist hij dan dat er een tweede raid onderweg was?
Eén van die bommen werd nog in december 2005 bij graafwerken in de omgeving aantroffen en is afkomstig van deze raids. Het is deze bom, die men nu bij de nog bestaande bunker geplaatst. Sinds september 2006 doet deze bunker dienst als bezienswaardigheid.
Zelf herinner ik mij ik was toen 5 jaar oud- nog zeer goed dit bombardement omdat mijn moeder in de grootste paniek verkeerde en ons bij de eerste bominslagen eerst naar de kelder stuurde, vervolgens onder de tafel deed kruipen, dan onder de buffetpiano Ons huis daverde op zijn grondvesten en de luchtverplaatsing deed al de ruiten derwijze trillen dat het een mirakel was dat ze het niet begaven. Het doelwit was immers in vogelvlucht slechts een goede 2 km van ons huis verwijderd. In feite stond mijn moeder er op die dag alleen voor, want mijn vader was afwezig. Achteraf beschouwd vond ik het wel vreemd dat mijn vader op dit ogenblik (Sinksenmiddag!!!) niet thuis was
Aansluitend op het oorlogsgebeuren werden in het Gedenkboek ook nog twee plechtigheden vermeld: de inhuldiging van het Pro Patria- monument op 17 september 1947 en de teraardebestelling op 14 januari 1947 van het stoffelijk overschot van de leerlingen José De Wit en Norbert Achte, overleden te Wolfenbüttel respectievelijk 7 november 1944 en 4 mei 1945. De lijkredes werden uitgesproken door de Directeur van de School de Heer Kesteloot en door.. de Heer Julien Paret.. de vader van mijn oude speelkameraad Eddy Hij was immers lid van het O.F. , waarvan ook beide slachtoffers lid waren.
Zoals in een vorig cursiefje « » vermeld, woonde Eddy in mijn straat en natuurlijk waren zijn en mijn vader goede kennissen want.. beiden hadden banden met de Rijksmiddelbare school! Of de Heer Paret-zelf als leerling op de banken van de Ecole Moyenne had gezeten weet ik niet. Wat ik mij nog van Eddys vader herinner was, dat hij een zware hoornen bril droeg, wat hem een buitengewoon streng uiterlijk gaf. Was dat om zijn leerlingen (hij gaf wiskunde!!) ontzag in te boezemen??
* * *
Een andere figuur, die in het Gedenkschrift voorkwam was Frans Ramon, alias Boschvogel (4) . Boschvogel was een bekende volkse schrijver en had een vruchtbare pen. Talloze boeken heb ik van hem gelezen o.m. Willem van Loo, boek dat in de Reinaert-reeks verschenen was. Ik vermoed dat hij de hoofdauteur was van het Gedenkboek.
0
1
2
3
4
5
- Gemiddelde waardering: 0/5 - (0 Stemmen) Tags:R.M.S. Brugge, Michel Van Poucke, operatie Ramrod
06-06-2010
§ 11.3 Elementaire Dierkunde met Ritzema Bos
(Hoofdstuk 11 "Natuurwetenschappen in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 11.3 Elementaire Dierkunde met Ritzema Bos
Ook voor wat de Dierkunde betrof kon het anders Het volstond om even over de landsgrenzen te kijken en i.h.b. naar Nederland. Zo was er bvb het tweedelig « Leerboek der Dierkunde » van Jan Ritzema Bos en Hemmo Bos. Ritzema Bos was een bekend botanicus en zoöloog en grondlegger van de plantenziektekunde in Nederland (1) ; zijn broer Hemmo Bos was hoogleraar in Wageningen. Het eerste deel van dit leerboek was bestemd voor de lagere humaniora, en voornamelijk gewijd aan de gewervelde dieren. Dit deel omvatte ook een summiere samenvatting van de menselijke fysiologie en anatomie. Het tweede deel, bestemd voor de hogere humaniora (zie blog II), was in hoofdzaak gewijd aan de ongewervelde dieren. Een tweede gedeelte van dit laatste deel ging dieper in op de humane fysiologie.
Zoals het « Leerboek der Plantkunde » van Eildert Reinders vormde het leerboek van Ritzema Bos een introductie tot de Dierkunde vandaar de term « Elementaire Dierkunde », wat hier « Beginselen der Dierkunde » betekent. Deze elementaire dierkunde vormt dan de eerste winding in de didactische spiraal: elementaire dierkunde → algemene dierkunde → fundamentele dierkunde , deze laatste twee windingen zijn in wezen exclusief voorbehouden aan het hoger onderwijs (zie blog III en IV).
Ziehier nu een overzicht van de inhoud van boek I van het Leerboek der Dierkunde:
- Deel I Het Menselijk Lichaam
Hoofdstuk 1 « Inleidende beschouwingen »
Hoofdstuk 2 « Het geraamte of skelet »
§1 de beenderen van de romp §2 het skelet van de ledematen §3 de schedelbeenderen
§1 algemeenheden §2 het tandstelsel §3 de andere delen van het darmkanaal
Hoofdstuk 5 « Ademhaling »
§1 betekenis van de ademhaling §2 de luchtwegen §3 de ademhalingsbewegingen §4 het strottenhoofd
Hoofdstuk 6 « Bloed en bloedsomloop »
§1 het bloed §2 de bloedvaten §3 het hart §4 de bloedsomloop §5 lymfe en lymfvatenstelsel
Hoofdstuk 7 « De Uitscheiding »
Hoofdstuk 8 « De Huid »
§1 bouw van de huid §2 de warmteregeling door de huid
Hoofdstuk 9 « Het Zenuwstelsel en de Zintuigen »
§1 de zintuigen §2 het zenuw stelsel §3 de centrale delen
- Deel II De Gewervelde Dieren
Inleiding
Hoofdstuk 1 « De Klasse der Zoogdieren of Mammalia »
§1 loopwijzen der zoogdieren (zoolgangers, teengangers, hoefgangers) §2 voedingswijzen der zoogdieren (vleeseters of carnivoren, planteneters of herbivoren, alleseters of omnivoren) §3 de mens als zoogdier §4 orde der apen of Simiae (apen van de Oude wereld of Smalneuzen of Catarrhinae, apen van de Nieuwe Wereld of Breedneuzen of Platyrhini) §5 orde der halfapen of Prosimiae §6 Orde der roofdieren of Carnivora : onder-orde der landroofdieren (Carnivora fissipedia) : voorbeeld van kat en hond, familie der katachtigen of felidae, familiie der hyena-achtigen of hyaenidae, familie der marterachtigen of mustelidae , familie der hondachtigen of canidae , familie der beerachtigen of ursidae, betekenis der roofdieren §7 Orde der roofdieren of Carnivora : onder-orde der zeeroofdieren: algemene kenmerken, familie der zeehonden of phocidae, familie der walvisachtigen of cetacea (tandwalvissen, baardwalvissen) §8 groep der hoefdieren: orde der onevenhoevigen of perissodactyla (familie der tapirs of tapiridae, familie der neushorens of rhinocerotidae, familie der paardachtigen of equidae §9 groep der hoefdieren: orde der evenhoevigen of artiodactyla (a- onderorde der vierhoevigen of niet-herkauwers bvb varkens en nijlpaarden b- onderorde der tweehoevigen of herkauwers: familie der kameelachtigen camelidae-, familie der girafachtigen giraffidae-, familie der hertachtigen cervidae-, familie der holhoornigen cavicornia-) §10 Orde der slurfdieren of Proboscidea §11 Orde der zeekoeien of Sirenia §12 Orde der knaagdieren of Rodentia: familie der haasachtigen, familie der eekhoornachtigen, familie der bevers, familie der muisachtigen §13 Orde der aardvarkens of Tubulidentata §14 Orde der schubdieren of Pholidota §15 Orde der tandarme dieren of Xenarthra §16 Orde der handvleugeligen of Chiroptera §17 Orde der insecteneters of Insectivora §18 Orde der buideldieren of Marsupialia §19 Orde der vogelbekdieren of Monotremata
§1 algemeenheden over vogels : het uiterlijk voorkomen, de veren, het ruien, het skelet, het darmkanaal, het voedsel, ademhaling, bloedsomloop, zenuwstelsel en zintuigen, de zang, het vliegen, snelheden, hoogten, afstanden, voortplanting, het broeden, nestbouw, verblijf der vogels, de systematiek der vogels
ONDERKLASSE BORSTKAMVOGELS OF CARINATAE
§2 Orde der Zangvogels of Passeriformes (familie der zwaluwen (hirundinidae), familie der zangers (sylviidae), familie der lijsters (turdidae), familie der winterkoninkjes (troglodytidae), familie deer klauwieren (lanidae), familie der kraaien (corvidae), familie der paradijsvogels, familie der wielewalen (oriolidae), familie der spreeuwen (sturnidae), familie der vinken (fringillidae), familie der wevers (plocidae), familie der honingzuigers (nectarinidae), familie der mezen (paridae), familie der kwikstaarten (montacillidae), familie der leeuweriken (alaudidae)) §3 Orde der Scharrelvogels of Coracciiformes (familie der ijsvogels (alcedinidae), familie der hoppen (upupidae), familie der uilen (strigidae), familie der nachtzwaluwen (caprimulgidae), familie der gierzwaluwen (macropterygidae), familie der colibris (trochilidae), familie der spechten (picidae) §4 Orde der Koekoekvogels of Cuculiformes §5 Orde der Pleviervogels of Charadriiformes (familie der plevieren (charadriidae), familie der meeuwen (laridae), familie der alken (alcidae), familie der duiven (columbae)) §6 Orde der Kraanvogels of Gruiformes §7 Orde der Hoendervogels of Galliformes §8 Orde der Valkvogels of Falconiformes (familie der condors (cathertidae), familie der gieren (vulturidae), familie der valken (falconidae)) §9 Orde der Gansvogels of Anseriformes §10 Orde der Ooievaarachtigen of Ciconiiformes (familie der roeivoetigen of steganopodes, familie der reigers of ardeae, familie der ooievaars of ciconiae, familie der flamingos §11 Orde der Stormvogels of Procellariiformes §12 Orde der Pinguinvogels of Spheniciformes §13 Orde der Duikervogels of Colymbiformes
ONDERKLASSE DER BORSTKAMLOZE OF RATITAE (LOOPVOGELS)
§14 familie der struisvogels §15 familie der nandoes §16 familie der kiwis §17 moa en Madagascar- struis §18 de oervogel of Archaeopteryx
Hoofdstuk 3 « De Klasse der Kruipende Dieren of Reptilia »
§1 algemeenheden: skelet, voedsel, gebit, spijsverteringsorganen, ademhaling, hart, bloedsomloop en stofwisseling, de huid, zenuwstelsel en zintuigen, voortbeweging, voorkomen, fossiele reptielen §2 orde der krokodillen of crocodilia: beschrijving, soorten §3 orde der schildpadden of testudinata: beschrijving, soorten §4 orde der hagedissen: beschrijving, soorten §5 orde der slangen: beschrijving en kenmerken, enkele soorten
Hoofdstuk 4 « De Klasse der Tweeslachtige Dieren of Amphibia »
§1 de bruine kikvors (rana temporaria): uiterlijk en levenswijze, gedaantewisseling of metamorfose, inwendige bouw (skelet, bloedsomloop, ademhaling, darmkanaal, zenuwstelsel en zintuigen) §2 orde der kikvorsachtigen of staartloze amfibieën (anura): kenmerken, enkele soorten §3 orde der salamanderachtigen of staart amfibieën (urodela): enkele soorten §4 orde der wormsalamanders (gymnophiona)
§1 de karper (cyprinus carpio): lichaamsvorm, voortbeweging en vinnen, de huid, kieuwen en ademhaling, overige uitwendige kenmerken, skelet, spierstelsel, hart en bloedsomloop, darmkanaal en voedsel, zwemblaas, zenuwstelsel en zintuigen, nieren, voortplanting, systematiek der vissen
ONDERKLASSE DER ECHTE VISSEN OF EUICHTYES
§2 Orde der longvissen of Dipnoï §3 Orde der Beenvissen of Telestosteï : familie der haringen of clupeidae, familie der zalmen of salmonidae, familie der karpers of cyprinidae, familie der snoeken of esocidae, familie der stekelbaarsjes of gasterosteidae, familie der troskieuwigen of lophobranchii, familie der gepen of scombresocidae, familie der schelvissen of gadidae, familie der baarzen of percidae, familie der makreelachtigen of scombridae, familie der platvissen of pleuronectidae, familie der knorhanen of triglidae, familie der vastkakigen of plectognathi, familie der lantaarnvissen of anomalopidae §4 Orde der Glansschubbigen of Ganoïdei: de steur §5 Orde der Kraakbeenvissen of Selachiï: familie der haaien of squalidae, familie der roggen of rajidae
§ 11.2 Elementaire Plantkunde met Eildert Reinders
(Hoofdstuk 11 "Bio- wetenschappen in het Lager Secundair")
§ 11.2 Elementaire Plantkunde met Eildert Reinders (I)
Dat het echter ook anders kon, werd aangetoond door het tweedelige « Leerboek der Plantkunde » van Eildert Reinders. Dit in Nederland zeer bekend schoolboek was bestemd voor gymnasia, lycea en H.B.S met vijfjarige cursus. Het eerste deel, dat in dit blog behandeld wordt, omvatte het leerprogramma Plantkunde voor het eerste en tweede jaar H.B.S. wat overeen stemde met het Lager Secundair in België. Het tweede deel was bestemd voor hogere jaren van de H.B.S. en zal in blog II besproken worden. Hoe ik op het spoor van dit tweedelig leerboek ben gekomen vormt een verhaal op zich zelf en wordt eveneens in blog II uit de doeken gedaan.
Onder de term « Elementaire Plantkunde » moet hier « Beginselen der Plantkunde » begrepen worden. Deze elementaire plantkunde vormt een eerste winding van de didactische spiraal, die achtereenvolgens nog de algemene en fundamentele plantkunde zal omvatten volgens het schema: elementaire plantkunde → algemene plantkunde → fundamentele plantkunde. Deze laatste windingen behoren weliswaar tot het hoger onderwijs. Indien dit didactisch schema niet strict gevolgd wordt, rijzen er onvermijdelijk problemen.
Deel I van het leerboek omvatte de leerstof voor 75 lesuren en was ingedeeld volgens de seizoenen van het schooljaar. Het boek was een zeer praktische inleiding tot de botanica en had de bedoeling de scholier vertrouwd te maken met enkele essentiële begrippen en termen uit de Plantkunde:
EERSTE LEERJAAR: SEPTEMBER TOT FEBRUARI
Les 1: inleiding, iepentakken, ouderdom van bomen, reuzenbomen van Californië
Hoofdstuk 1 « Vormleer van het Blad »
Les 2: bladstanden
Les 3: nervatuur en insnijdingen
Les 4: het samengestelde blad
Les 5: algemene vorm der bladschijf
Les 6: verdere bijzonderheden
Hoofdstuk 2 « Varens, mossen, zwammen en wieren »
Les 7: varens
Les 8: mossen
Les 9: paddenstoelen
Les 10: schimmels, wieren en korstmossen
Hoofdstuk 3 « Levensleer der Planten »
A- Scheikundige inleiding
Les 11: scheikundige ontleding en verbinding
Les 12: zuurstof, verbranding, lucht
Les 13: verbranding van koolstof, koolzuur
B- De kringloop van de koolstof
Les 14: ademhaling is oxidatie
Les 15: de koolzuurassimilatie
EERSTE LEERJAAR: VAN EIND FEBRUARI TOT MIDDEN JULI
Hoofdstuk 4 « Vergelijkende studie der zaadplanten en Beginselen der Systematiek »
A- Inleiding
Les 16: de kastanje tak
B- De Orde der lelieachtigen
Les 17: het sneeuwklokje
Les 18 de tuin tulp
Les 19: de witte, paarse en gele krokus
Les 20: het lenteklokje
Les 21: de witte en gele narcis, de hyacint
Les 22: variëteiten, soorten, geslachten, families, systematiek, samenvatting orde der lelieachtigen
Les 23: de binaire nomenclatuur, determineertabellen
Les 24: andere lelieachtigen
C- De Orde der nootjesdragers
Les 26: de smeerwortel
Les 27: het vergeet-mij-nietje, het longkruid
Les 28: de hondsdraf, een samenvatting
Les 29: de witte dovenetel
Les 30: de orde der nuculiferen, overzicht der ruwbladigen en lipbloemigen
D- De Orde der personaten of maskerbloemigen
Les 31: het helmkruid schichtprobleem-
Les 32: het helmkruid bloem-
Les 33: het vingerhoedskruid
Les 34: andere helmkruidachtigen
Les 35: andere helmkruidachtigen vervolg- waarde van de orden, samenvatting helmkruidachtigen
Les 36: overzicht van het natuurlijk stelsel
Les 37: terugblik, ranken, dorens
TWEEDE LEERJAAR: SEPTEMBER
E- Herfst voor het plantenrijk
Les 38: bollen, knollen, knoppen
Les 39: zaden
Les 40: verspreidingsmiddelen van vruchten en zaden
Hoofdstuk 5 « Levensleer der Planten (vervolg van hoofdstuk 3) »
C- As bestanddelen
Les 41: meststoffen (kunstmest en stalmest)
TWEEDE LEERJAAR: MAART TOT MIDDEN JULI
Hoofdstuk 6 « De morfologische waarde van knol, bol en bloem »
Les 42: de winterakoniet
Les 43: de krokusknol
Les 44: bol van het sneeuwklokje, bouw en levensloop van de bol en de gehele plant
Les 45: morfologische waarde van de bloem
Les 46: morfologische waarde van de vrucht
Les 47: het onderstandige vruchtbeginsel
Les 48: terugblik, morfologie, biologie en ecologie
Hoofdstuk 7 « Overzicht van het Plantenrijk »
Les 49: overzichtstabel
Les 50: paardenstaarten en wolfsklauwen
Les 51: naaldbomen
Les 52: orde der lelieachtigen
Les 53: familie der grassen, gramineae
Les 54: familie der muurachtigen, caryophyllaceae
Les 55: familie der boterbloemachtigen, ranunculaceae
Les 56: familie der papaverachtigen, papaveraceae
Les 57: familie der kruisbloemigen, cruciferae
Les 58: familie der viooljesachtigen , violaceae
Les 59: familie der ooievaarsbekken of geranaceae
Les 60: familie der malveachtigen, malvaceae
Les 61: orde der Rosifloren: families der roosachtigen (rosaceae) der amandelachtigen (amygdalaceae), der appelachtigen (pomaceae)
Les 62: familie der vlinderbloemigen, papilionaceae
Les 63: familie der schermbloemigen, umbelliferae
Les 64: orde der Buisbloemigen (Tubiliferae)
Les 65: orde der maskerbloemigen of personaten
Les 66: familie der nachtschaden, solanaceae
Les 67: familie der helmkruidachtigen of scrophularaceae
Les 68: orde der Nootjesdragers of nuculiferen
Les 69: familie der samengesteldbloemigen of composieten
§ 11.1 Natuur- wetenschappen in het Sint Lodewijkscollege
(Hoofdstuk 11 "Biowetenschappen in het Lager Secundair Onderwijs")
§11.1 Natuur- wetenschappen in het Sint Lodewijkscollege
In de vijftiger jaren was het onderwijs in de wetenschappen voor scholieren uit het Lager Secundair en vooral voor Grieks-Latinisten, maar een mager beestje. Er was bvb geen sprake van natuurkunde of scheikunde en onder de hoofding Natuurwetenschappen werden voornamelijk enkele noties uit de biowetenschappen (menselijke anatomie en fysiologie, plantkunde, dierkunde) behandeld. Andere natuurwetenschappen zoals bvb delfstofkunde en sferische astronomie kwamen ook even ter sprake in de lessen aardrijkskunde. In dit opzicht waren het Lager Secundair en het Hoger Primair (MULO) duidelijk verschillend.
Het eigenlijk wetenschappelijk onderricht in de fysische wetenschappen (natuurkunde en scheikunde) en biowetenschappen (plantkunde, diekunde) werd noodzakelijkerwijze(1) verschoven naar het hoger secundair. Specifieke schoolboeken over wetenschappen waren dan ook gericht op het hoger middelbaar en in de lagere humaniora-cyclus moesten de scholieren het in die jaren veelal zonder schoolboeken doen en ijverig noteren wat de leraar vertelde of dicteerde.
Het wekelijks uurtje Natuurwetenschappen werd in het « collège Saint Louis » gegeven door de klasleraar, dus een priester, en dit onderricht was natuurlijk in overeenstemming met de encyclieken « Providentissimus Deus » -1893- van Leo XIII en « Pascendi DominiciGregis » -1907- van Pius X en vooral met «Humani generis» -1950- van Pius XII(2).
Wat een dergelijke leergang « Natuurwetenschappen », conform deze encyclieken zoal inhield kan men bvb afleiden uit het oude schoolboek « Leergang der Natuurwetenschappen behelzende: Ontleedkunde en Levensleer van t Menselijk Lichaam, Dierkunde, Plantkunde en Begrippen van Delfstofkunde met Nijverheidstoepassingen » (Kanunnik L. Wouters vertaald door L. Asselbergs Windels -1916-) (3).
Uiteraard was dit boek vooral bestemd voor het hoger secundair, maar zover ik mij nog kan herinneren, werd al in het lager secundair een voorsmaakje van deze leerstof gegeven. Dit voorsmaakje beperkte zich dan tot enkele begrippen van de Menselijke Anatomie en Fysiologie, waarbij zoals gebruikelijk in die tijd- het uro-genitaal stelsel totaal buiten beschouwing werd gelaten. Verder waren er enkele noties uit de dier- en plantkunde.
Wat mij nu bij deze lessen echter opviel was dat er voortdurend werd verwezen naar God, de Schepper, die alles zo fijntjes had aaneengerafeld. En inderdaad ook in het boek van Kanunnik Wouters vindt men hiervan enkele pareltjes, die ik de lezer niet wil onthouden:
Pagina 3: "De mensch wordt bezield door een zelfstandig, onstoffelijk, geestelijk, onsterfelijk levensbeginsel, de ziel. Deze is tezelfdertijd de bron van het plantenleven, het zinnelijk en het geestelijk leven. Alleen de mensch bezit rede, maar door zijn lichaam hoort hij ook in het dierenrijk thuis"
Pagina 63: "Zoo zien wij, door wijze wetten, de hand van de Voorzienigheid in de Schepping ingrijpen om aan elk diertje zijn noodruft te geven en tusschen al de wezens een bewonderenswaardig evenwicht te bewaren. De Vleescheter doodt dus om zich te voeden, maar tezelfdertijd treft hij blindelings een doelwit, dat hij wel niet ontwaarde, maar dat een ander voor hem zag en waartoe Deze hem onbewust heenleidde" .
Pagina 67: "Door het lichaam behoort de Mensch tot de Zoogdieren; maar door zijn verstandelijke en zedelijke zielsvermogens is hij het beeld van God zelf. De Mensch vormt op zichzelf een orde: die van de Tweehandigen, waarvan de eenige familie en het eenige geslacht is: de Mensch"
Pagina 99: "Andere (vissen) zwemmen de stroomen op, om, in ondiep water, de gepaste warmte voor het uitbroeden te vinden. Zoo doen bvb Zalm en Steur. In zoet water geboren, zakken zij naar zee af; maar zoohaast hun tijd om eieren te leggen weerkomt, leidt de Voorzienigheid ze terug naar de plaats waar zij zelf uitgebroed werden" .
Pagina 188: "Toen de hitte (van de aardkost) genoeg was afgenomen, schiep God de planten, en later de dieren en den mensch"
Ook waren er in het schoolboek herhaaldelijk verwijzingen naar uitspraken van geleerden, die het bestaan van een God of Opperwezen erkenden, maar van anderen, die deze stelling verwierpen of meningen opperden, die in tegenspraak waren met Bijbelse uitspraken (bvb een Charles Darwin) was natuurlijk geen sprake:
« Wanneer men de wetenschappen grondig bestudeerd heeft, zei Pasteur, dan komt men terug naar het geloof van den Bretoenschen boer; had ik nog meer gestudeerd, ik hadde het geloof der Bretoenscheboerin » .
« Toen A.-M. Ampère, de beroemdste reken- en natuurkundige van de 19de eeuw (1775- 1836), zich eens met Ozanam onderhield, riep hij uit: Wat is God groot! Ozanam, wat is God toch groot! » ..
« De ware mannen der wetenschap bekennen vlakaf dat zij, zonder een vroeger bewezen leven, geen bevredigenden uitleg van het leven kunnen geven (Tyndall, Engelse natuurkundige) »
« Van Beneden, vermaarde natuurkundige aan de Universiteit te Leuven: Hoe meer vorderingen wij maken in de kennis der natuur, hoe inniger wij overtuigd zijn, dat alleen het geloof in een almachtigen Schepper en een oneindige Wijsheid, die hemel en aarde volgens een bepaald en van alle eeuwen ontworpen plan geschapen heeft, bij machte is aan de geheimen der natuur, en bijzonder aan dat van het menschelijke leven, een voldoende oplossing te geven. Gaan wij voort met standbeelden op te richten aan personen die hunnemedemenschen nuttig waren of door hun vernuft uitmuntten; maar vergeten wij niet wat wij schuldig zijn aan Hem die wonderen schiep in elken zandkorrel en een gansche wereld in elken waterdruppel »
« Den eeuwigen almachtigen God heb ik door de Schepping zien gaan: ik heb er de sporen van zijn wijsheid en macht gevonden en ik sta er voor in bewondering! (Linné, beroemde Zweedse natuurkundige)
Het is dus niet verwonderlijk dat een Kardinaal Mercier in 1914 volgend schrijven richtte aan de auteur van dit boek:
Waarde Heer Hoofdinspecteur,
Ik haast mij u te bedanken voor uwen vriendelijk gezonden: Leergang van Natuurwetenschappen en neem deze gelegenheid waar om u met uwe nieuwe en eigen opvatting geluk te wenschen. Immers, terwijl gij, met methode, onze schooljeugd tot de beginselen der natuurwetenschappen inleidt, vergeet gij niet haar geest en haar hart tot God omhoog te heffen. Dit is voorzeker de geringste verdienste niet van uw voortreffelijk werk. Ik wensch dus dat uw boek breed moge verspreid worden, en verzoek u, Waarde Heer Hoofdinspecteur, de verzekering, mijner hartelijke toegenegenheid te aanvaarden.
D.J. Card. Mercier, Feest der Heilige Maria Magdalena 1914
Vanzelfsprekend bewandelden mijn klasleraars in het « collège Saint-Louis » toen hetzelfde pad, want Vaticanum II was nog ver. Dat het hier in feite om een soort creationistische wetenschap ging, drong in het begin nog niet tot mij door... tot ik de E.N.S.I.E. opensloeg .
De E.N.S.I.E. (Eerste Nederlandse Systematische Encyclopedie dateert van 1949-1950 en was niet echt bestemd voor scholieren !! Een systematisch ingerichte encyclopedie is opgebouwd uit een reeks uitgebreide overzichtsartikels, die echte inleidingen vormen in de grote gebieden van wetenschap en cultuur. Een dergelijke encyclopedie onderscheidt zich van een alfabetische doordat de diverse onderwerpen van een bepaald gebied in een samenhangend geheel worden ingebed en de lezer aldus een dieper inzicht kan verwerven in het gekozen gebied. Een systematische encyclopedie speciaal bestemd voor scholieren vormde bvb de Sesam Systematische Encyclopedie. Maar die zag eerst maar het licht in de jaren 1957-1962 bij de uitgeverij Het Spectrum. Een duidelijk bewijs dat er -ook voor scholieren- wel een behoefte was aan een systematische encyclopedie.
Maar terug naar de E.N.S.I.E. Zoals ik al in een vorig cursiefje aanhaalde had mijn vader deze encyclopedie speciaal gekocht voor zijn schoolgaande kinderen. De E.N.S.I.E. was voor mij in die jaren praktisch de enige bron van wetenschappelijke kennis waaraan ik mij kon laven. In wezen vervulde de E.N.S.I.E. -en i.h.b. de delen IV en VI- voor mij de rol van een soort schoolboek Wetenschappen.
Deel IV behandelde de wiskunde en de wetenschappen van de « dode stof » d.i. natuurkunde, scheikunde en sterrenkunde; deel VI de wetenschap van de « levende stof » d.i. biologie (plant- en dierkunde), de anthropologie (menskunde) en de geneeskunde waaronder zelfs de farmacie. Er was ook nog het deel V, dat de wetenschappen betreffende de Aarde bundelde, maar dit deel kwam veel minder aan bod.
Voortgaande op het aantal inktvlekken, een bewijs van mijn onverdroten ijver en inspanningen, genoot blijkbaar deel IV mijn voorkeur. Bij het openslaan van Deel IV botste de lezer onmiddellijk op de bekende kopergravure van Albrecht Dürer Melencolia (1514), volgens veler opvatting een zinnebeeld van het wiskundig - technisch denken. Ik heb in mijn jeugdjaren deze prachtige afbeelding talloze keren bekeken en was toen diep onder de indruk van het tovervierkant dat gesponnen is rond het jaartal 1514, jaar waarin Dürer deze plaat etste. Een tovervierkant heeft als eigenschap dat de som van iedere rij en iedere kolom hetzelfde getal geeft. Als ik nu echter na zovele jaren deze afbeelding opnieuw bekijk, overvalt mij deze stille weemoed, deze melencolia waarop de kunstenaar zinspeelde.
Deel VI fungeerde dan weer als mijn bron van kennis voor de eigenlijke « Natuurwetenschappen », waarmede dan de wetenschap van de levende stof bedoeld werd. Een beter woord voor natuurwetenschappen is dus wel « Biowetenschappen ». Bij het openslaan van deel VI was er vooreerst een prachtige zwart-wit afbeelding van een oerbos van reuzenaaldbomen (sequoia sempervirens). De Frisco (E.H. Debaillie) vertelde met veel enthousiasme over deze reusachtige bomen, die hij blijkbaar in het echt gezien had. Ik vermoed dat hij tijdens zijn reis naar San Francisco het fameuze Yosemite Parc had bezocht.
Wat mijn klasleraars nu over de natuurwetenschappen (planten, dieren, mens) vertelde toetste ik systematisch met wat in de E.N.S.I.E. beschreven stond. En dat was heel wat, zoals een inhoudsoverzicht van het gedeelte « Biologie » laat zien:
- Wat is Biologie en wat het niet is Algemeen karakter der Biologische Wetenschappen:
Hoofdstuk 1 « Wat is Biologie? de indeling der biologie in haar onderwetenschappen- » (prof. Dr C.J. van der Klaauw)
Hoofdstuk 2 « Algemene Begrippen Logica en Wiskunde » (prof. Dr C.J. van der Klaauw)
- De laagste levende wezens:
Hoofdstuk 3 « Protista De eencellige oerplanten en oerdieren- » (dr Maria Rooseboom)
Hoofdstuk 4 « Microbiologie De Wereld der Bacteriën - » (prof. Dr A.J. Kluyver)
- De indeling der verscheidenheid onder de organismen
Hoofdstuk 10 « Restitutie en Regeneratie bij Planten » (dr A.D.J. Meeuse)
Hoofdstuk 11 « Restitutie en Regeneratie bij Dieren Ontwikkelingsmechanica » (prof. Dr C.P. Raven)
- De fijne bouw der organismen
Hoofdstuk 12 « Cel- en Weefselleer der Planten » (pfof. Dr ir G. van Hersonjr)
Hoofdstuk 13 « Cel- en Weefselleer der Dieren » (prof. Dr C.J. vanderKlaauw)
- De variatie- en erfelijkheidsleer
Hoofdstuk 14 « Variatieleer bij Planten en Dieren » (prof. Dr M.J. Sirks)
Hoofdstuk 15 « Erfelijkheidsleer bij Planten en Dieren » (prof. Dr M.J. Sirks)
- Het organisme en zijn omgeving en zijn verspreiding over de aarde
Hoofdstuk 16 « Algemene Ecologie »
Hoofdstuk 17 « Plantenecologie en geografie »
Hoofdstuk 18 « Dierenecologie en geografie »
- Het gedrag der dieren
Hoofdstuk 19 « Ethologie en Psychologie der Dieren » (prof dr N. Tinbergen)
- De geschiedenis der organismen in de loop der tijden
Hoofdstuk 20 « Evolutieleer »
Hoofdstuk 21 « Fylogenie der Planten »
Hoofdstuk 22 « Fylogenie der Dieren »
- Het zieke en abnormale organisme
Hoofdstuk 23 « Plantenziektekunde »
Hoofdstuk 24 « Afwijkingen bij Planten »
Hoofdstuk 25 « Plantengallen »
Hoofdstuk 26 « Pathologie der Dieren »
- Wijsgerige vragen van ruime strekking
Hoofdstuk 27 « Mechanisme Vitalisme Holisme »
Hoofdstuk 28 « De Verhouding van Lichaam en Geest »
Hoofdstuk 29 « Metabiologie »
Hoofdstuk 30 « Theoretische Biologie »
- korte bespreking en nabeschouwingen:
Vele onderwerpen, die in de E.N.S.I.E. aangeraakt werden, waren voor mij in die tijd onbegrijpelijk. Toch waren er een aantal onderwerpen o.a. deze behandeld in hoofdstuk 20 "Evolutieleer" die mij interesseerden, wat mij in een conflictsituatie bracht met mijn klasleraars.
(wordt voortgezet)
----------------------------------------
(1) Het aanleren van de klassieke talen nam toen zeer veel lesuren in beslag: bestuderen van een ingewikkelde grammatica met talloze verbuigingen en vervoegingen, verwerven van een woordenschat van ongeveer 2000 woorden, toepassen van het geleerde op uitgekozen teksten van diverse auteurs. Zo beschikten de leerlingen van het Sint Lodewijkscollege over Latijnse en Griekse woordenlijsten waarvan elke dag tien nieuwe woordjes moesten van buiten geleerd worden.
(3) Dit schoolboek was de vertaling van Précis de Sciences Naturelles en werd in het interbellum in de meeste katholieke scholen van West- Vlaanderen gebruikt
(Hoofdstuk 10 "Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 10.8 Kennismaking met de Trigonometrie
Trigonometrie ofte Driehoeksmeting in het lager middelbaar? En voor Grieks-Latinisten? Nee toch? Dat is toch alleen maar leerstof voor het hoger middelbaar? Collegestudenten uit die heroïsche tijd zullen ongetwijfeld deze stelling bevestigen. Maar zoals deel II van de Beginselen der Vlakke Meetkunde van Julien Bilo het echter duidelijk aantoonde was er al in die jaren een eerste kennismaking met de trigonometrie voorzien en wel in de vierdes, ook voor Grieks-Latinisten!!
En dat heb ik tot mijn scha en schande mogen ervaren.
Het was in de lente van 1955 dat ik -in volle voorbereiding tot het toelatingsexamen KCS- voor het eerst hoorde vertellen over sinus, cosinus, tangens en dito.. En als ik het goed voor heb, was het Eddy Paret, die, met enig afgrijzen in de stem, mij hierover berichtte.
Eddy was een oude speelkameraad, die vroeger nog in mijn straat had gewoond en die ik enkele jaren uit het oog had verloren Juist na de oorlog hadden wij met onze driewielers (hij met een nieuw, ik met een oud vehikel) de voetpaden nog onveilig gemaakt, tot ergernis van de toevallige voorbijgangers. Zo herinner ik mij ook nog dat de voorvork van zijn nieuwe driewieler het regelmatig af liet weten (het was de tijd van de ersatz nietwaar) en wij regelmatig de hulp van de smid aan de Gentpoort moesten inroepen. Talloze keren heeft deze laatste de voorvork of de spaken van zijn driewieler moeten lassen, terwijl ik, die nog met een oud model van vóór WOII peddelde, nooit een probleem had.
In de Iron Fiftiesliep nu Eddy Paret school aan de Rijksmiddelbare School te Brugge, waar zijn vader les gaf. Daar ik op dat ogenblik erg druk bezig was met het toelatingsexamen Cadettenschool, hechtte ik helaas- niet erg veel belang aan zijn alarmerend relaas. Eerst in de Cadettenschool zag ik in dat ik maar beter naar hem had moeten luisteren. Op dat ogenblik wist ik immers niet, dat het nieuwe leerplan voor de lagere humanioracyclus (ministeriële omzendbrieven van 1949 en 1950) ook een inleiding tot de driehoeksmeting of trigonometrie omvatte, en dat deze inleiding wel degelijk deel uitmaakte van de te kennen examenstof voor het toelatingsexamen van de Cadettenschool.
In het Sint Lodewijkscollege was in 1954 nog steeds het oude leerplan in voege en er was in de lagere humaniora geen sprake van trigonometrie. In het officieel onderwijs was men wel zo ver, en mijn oude speelkameraad had mij hiervoor willen waarschuwen. Hoe dan ook, het lot was mij gunstig gezind en op het toelatingsexamen werden er althans in 1955- geen vragen gesteld over trigonometrie. Voor mij had deze onachtzaamheid wel tot gevolg dat ik op deze manier de eerste winding van de didactische spiraal over trigonometrie compleet miste, wat mij bvb in de Cadettenschool heel wat narigheid heeft bezorgd. Maar hierover later meer.
Wat de leerstof van deze eerste kennismaking met de trigonometrie (vandaar de term "elementair") nu precies inhield kwam ik slechts vele jaren later te weten. Een en ander werd mij duidelijk toen ik er in slaagde de leerboekjes Beginselen der Vlakke Meetkunde van Julien Bilo (collectie Mineur) delen II en III op de kop te tikken. Deel II dateerde weliswaar van 1969 maar deze vierde druk was nauwelijks verschillend van de tweede druk daterend uit 1953. Deel III dateerde uit 1955 en was een geheel opnieuw geschreven tweede uitgave, aangepast aan het nieuwe leerplan. Deel III was in principe bestemd voor de derdes (oude en moderne humaniora), terwijl deel II de leerstof voor de vierdes (eveneens voor de oude en moderne humaniora) bevatte.
Korte hoofdstukjes over driehoeksmeting kwamen in beide boekjes voor. Zo groeide bij mij het vermoeden dat het boek «Géométrie, quatrième classe» van R. de Marchin, J. Horwart en G. Bosteels ook een hoofdstuk over trigonometrie moest bevatten. En ja hoor, het fameuse « Traité de Trigonométrie rectiligne » van dezelfde auteurs dat bestemd was voor de hogere humaniora, verwees voor bepaalde trigonometrische stellingen inderdaad naar « Géométrie IV », een schoolboek dat, zoals de titel duidelijk aangeeft wel degelijk voor de vierdes bedoeld was. Al mijn inspanningen ten spijt, ben ik er tot nu toe nog niet in geslaagd, om een exemplaar van « Géométrie, IV » op de kop te tikken.
De te kennen leerstof stemde overeen met de hoofdstukken VI §3 "Driehoeksmeting in Rechthoekige Driehoeken" uit Deel I en VI "Driehoeksmeting in willekeurige Driehoeken" van respectievelijk Deel II en Deel III van « Beginselen der Vlakke Meetkunde » van Bilo. Voornoemd boek werd in de vijfiger jaren gebruikt in de athenea.
Maar wat is trigonometrie eigenlijk en wat is de relatie met de geometrie?
Het woord trigonometrie (1) is afgeleid uit de Griekse woorden τριγωνος en mhtron. De hoofdelementen van een driehoek ∆ ABC zijn nu enerzijds de zijden a, b en c, anderzijds de hoeken A, B en C. Terwijl de geometrie alleen de relatie tussen de zijden of de hoeken onderling opspoort is het de bedoeling van de trigonometrie het verband tussen zijden en hoeken van driehoeken te onderzoeken.
Gaat het over driehoeken in een plat vlak dan spreekt men van vlakke driehoeksmeting (fr.: trigonométrie rectiligne); gaat het over boldriehoeken (2) dan wordt de term boldriehoeksmeting (fr. : trigonométrie sphérique) gebruikt. Ofschoon de oorsprong van de trigonometrie bij de Babyloniërs ligt, wordt Hipparchos beschouwd als de vader van de trigonometrie.
Het mooie aan de trigonometrie of driehoeksmeting is nu dat uit drie bekende hoofdelementen van een driehoek (mits daaronder minstens één zijde) de andere elementen kunnen berekend worden. Hieruit spruiten dan talrijke interessante toepassingen voort bvb in de topografie, waar met behulp van de trigonometrie afstanden tot niet toegankelijke punten bepaald worden, en in de mechanica, waar componenten of een resultante moeten berekend worden uit het "krachtenparallellogram", derwijze zelfs trigonometrie essentieel is voor de toekomstige ingenieur.
Ook is bvb het bedrijven van sferische astronomie niet mogelijk zonder een gedegen kennis van boldriehoeksmeting.
Om de gedachte te vestigen, laat ik dit eerst even toelichten aan wat men triangulatie (3) pleegt te noemen:
Onderstel een zeilboot (punt B op begeleidende ikoon) die waargenomen wordt door twee waarnemers A en C op de oever (punten A en C op begeleidende ikoon). De onderlinge afstand b tussen de twee waarnemers is ondersteld bekend. Is het mogelijk de afstand van de boot tot de oever (de hoogtelijn hB ) te bepalen of te berekenen? Dank zij de trigonometrie is het antwoord affirmatief op voorwaarde dat men de hoeken A en C kent of experimenteel heeft bepaald met behulp van bvb een goniometer.
Volgens de trigonometrie volstaan immers drie gegevens (waaronder minstens één zijde) om de positie van de zeilboot (bvb de afstand tot de oever d.i. de hoogtelijn hB )in de driehoek te berekenen. Natuurlijk kan men ook de lengtes van de twee andere zijden uitrekenen en dus de afstand van elke waarnemer tot de boot. In begeleidende figuur zijn alle hoeken A, B, C van de triangulatiedriehoek scherpe hoeken. Uiteraard kan ook één (en slechts één) van die hoeken een stompe hoek zijn of een rechte hoek. Het meest eenvoudige geval is dit van een rechthoekige driehoek, waarbij men dan onderstelt dat de triangulatiedriehoek een rechte hoek (A, B of C) bezit.
Om het probleem van de triangulatie op te lossen gaat de trigonometrie nu op de klassieke wijze (d.i. van eenvoudig naar meer complex) te werk. Eerst wordt het bijzonder geval, dat voornoemde triangulatiedriehoek een rechthoekige driehoek is, beschouwd. Dat houdt in dat de andere hoeken van de driehoek noodzakelijkerwijze scherp zijn. Vervolgens wordt de theorie uitgebreid tot de willekeurige driehoek, waarbij eerst aangenomen wordt dat alle hoeken van de driehoek scherpe hoeken zijn. Tenslotte wordt het geval dat de driehoek een stompe hoek bevat onderzocht.
I- Elementaire Trigonometrie van de rechthoekige driehoek
In Bilos Beginselen der Vlakke Meetkunde (deel II) werden de beginselen van deze trigonometrie van de rechthoekige driehoek behandeld. Het is echter een vaststaand feit dat deze beginselen evenzeer in het boek Géométrie, classe de quatrième van R. de Marchin, J. Horwart en G. Bosteels aan bod kwamen en wellicht op een meer didactische manier.
Wiskunde bestemd voor het M.U.L.O. of voor het lager secundair onderwijs wordt veelal elementaire wiskunde genoemd (voor wat de term "elementair" betreft zie cursiefje "" in blog 2); de term elementaire is hier verantwoord want het gaat om een eerste kennismaking.
1- definitie van de begrippen sinus, cosinus, tangens en cotangens van een scherpe hoek:
Beschouwt men verschillende rechthoekige driehoeken, die een gelijke scherpe hoek B bevatten, dan zijn deze gelijkvormig want ze hebben drie hoeken gelijk: de hoeken B en B zijn bij definitie gelijk, de rechte hoeken A en A natuurlijk ook en vermits de som van de hoeken in elke driehoek (inclusief de rechthoekige driehoek) steeds twee rechte hoeken bedraagt, zijn noodzakelijkerwijze de hoeken C en C ook gelijk (zie figuur 1).
Uit de gelijkvormigheid volgt nu dat de verhoudingen tussen de overeenkomstige rechthoekszijden b en b respectievelijk c en c en de schuine zijden a en a constant is en alleen bepaald wordt door de grootte van de scherpe hoek.
Men heeft de aaneengeschakelde evenredigheid:
a/a = b/b = c/c (1) en dus a/a = c/c en b/b = c/c
Door de middelste termen van plaats te wisselen (zie Arithmetiek: eigenschappen der evenredigheden)komt er:
b/a = b/a (2) en c/a = c/a (3)
Men definieert nu
- als sinus van de hoek B de verhouding b/a d.i. de verhouding van de overstaande rechthoekszijde tot de schuine zijde (cf. gelijkheid (2):
sin(B) = b/a - (2)-
- als cosinus van de hoek B de verhouding c/a d.i. de verhouding van de aanliggende rechthoekszijde tot de schuine zijde (cf. gelijkheid (3)):
cos(B) = c/a -(3)-
- als tangens van de hoek B de verhouding b/c d.i. de verhouding van de overstaande zijde tot de aanliggende zijde (gelijkheid (1)):
tg(B) = b/c -(4)-
- als cotangens van de hoek B de verhouding c/b d.i. de verhouding van de aanliggende zijde tot de overstaande zijde (gelijkheid (1)):
cotg(B) = c/b -(5)-
Analoog vindt men voor de andere scherpe hoek C volgende betrekkingen indien dezelfde notaties voor de zijden van de rechthoekige driehoek gebruikt worden (figuur 1):
sin(C) = c/a -(6)-
cos(C) = b/a -(7)-
tg(C) = c/b -(8)-
cotg(C) = b/c -(9)-
De schuine zijde a en de rechthoekszijden b en c kunnen dan uitgedrukt worden in functie van de scherpe hoeken B en C met behulp van volgende formules:
a = b/sin(B) = b/cos(C) = c/sin(C) = c/cos(B) (4)
b = a sin(B) = a cos(C) = c tg(B) = c cotg(C) (5)
c = a sin(C) = a cos(B) = b tg(C) = b cotg(B) (6)
- Belangrijke opmerkingen-:
1- de sinus, cosinus, tangens en cotangens van een scherpe hoek zijn verhoudingen van lijnstukken en zijn dus onbenoemde getallen. Deze verhoudingen worden goniometrische verhoudingen genoemd. De waarden die de sinus en cosinus van een scherpe hoek kunnen aannemen zijn gelegen tussen 0 en 1, voor de tangens en cotangens liggen die tussen 0 en oneindig (toon aan). Hoe deze waarden numeriek berekend kunnen worden, wordt later aangetoond.
2- de sinus, cosinus, tangens en cotangens van scherpe hoeken werden vroeger aangegeven in tabellen. Zulke tabellen noemde men Tafels van de natuurlijke waarden. Deze tafels bevatten de natuurlijke waarden der goniometrische verhoudingen van scherpe hoeken gelegen tussen 0° en 90° met diverse opklimmingen en nauwkeurigheid. In Bilos Beginselen der Vlakke Meetkunde (Deel II) komt een dergelijke tafel voor met een opklimming van 10 minuten en een nauwkeurigheid op vier decimalen. Een halve eeuw gelegen werd in het Middelbaar Onderwijs in België veelvuldig gebruikt gemaakt van de Tafels van Schons en De Cock (opklimming: 1 minuut; nauwkeurigheid: vijf decimalen). Het werken met de Tafels werd er precies uiteengezet en was erg omslachtig en tijdrovend. Met de opkomst van de moderne en goedkope zakrekenmachines is het werken met Tafels echter totaal voorbijgestreefd. De huidige generaties beseffen waarschijnlijk niet aan welke karwei zij ontsnapt zijn.
3- goniometrische verhoudingen van scherpe hoeken die elkaars complement zijn:
Twee scherpe hoeken B en C, die elkaars complement zijn (B + C = 90°) kunnen steeds beschouwd worden als de scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek ∆ABC. Uit de formules (5) en (6) volgt dan:
De betrekkingen (12), (14) en (15) noemt men de 3 hoofdidentiteiten van de trigonometrie; de relatie (13) wordt als een afgeleide identiteit beschouwd.
Deze afgeleide identiteit heeft er echter toe geleid nieuwe goniometrische verhoudingen in te voeren met name de secans en cosecans van de scherpe hoek α:
sec(α) = 1/cos(α) (16) en cosec(α) = 1/sin(α) (17)
Dit brengt dan het aantal hoofdidentiteiten op 5 en voert tot 2 nieuwe afgeleide identiteiten:
2- Deze identiteiten zijn belangrijk omdat ze toelaten uit de kennis van één goniometrische verhouding de sinus bvb de andere goniometrische verhoudingen cosinus, tangens, cotangens te berekenen.
- Beschouwt men de rechthoekige driehoek ∆ABC wat nader (figuur 1)dan stelt men vast dat voor α ≈ 0 de sinus van de hoek α eveneens nul wordt: sin(0°) = 0. Door toepassing van de identiteiten volgt dan dat cos(0°) = 1, tg(0°) = 0 terwijl cotg(0°) niet bestaat.
- Voorts kan men vaststellen dat voor α ≈ 90° de cosinus van α nul wordt: cos(90°) = 0. Door toepassing van de identiteiten volgt dan dat sin(90°) = 1, cotg(90°) = 0 terwijl cotg(90°) niet bestaat
- Voor een gelijkbenige rechthoekige driehoek ∆ABC met b = c geldt hoek B = hoek C = 45° (figuur 2) en door toepassen van de stelling van Pythagoras volgt dan a = b √2 en verder dat b = c = ½ a √2. Daar sin(B) = b/a , cos(B) = c/a komt er sin(45°) = cos(45°) = ½ √2 en door toepassing van de identiteiten tg(45°) = cotg(45°) = 1
- Beschouwt men een rechthoekige driehoek ∆ABC waarvan hoek B = 60° en hoek C = 30° (figuur 3). Trekt men de zwaartelijn AL dan is de driehoek ∆LAB een gelijkzijdige driehoek (toon aan!!). Derhalve is c = ½ a en door toepassen van de stelling van Pythagoras volgt gemakkelijk: b = ½ a √3. Daar hier nu sin(B) = sin(C) = b/a vindt men voor de sinus van 30° respectievelijk 60°: sin(30°) = ½ en sin(60°) = ½ √3. Door toepassen van de identiteiten volgt er tenslotte:
sin(30°) = cos(60°) = ½ en sin(60°) = cos(30°) = ½ √3
3 - het oplossen van rechthoekige driehoeken met behulp van trigonometrie
- Definitie:
Een (rechthoekige) driehoek trigonometrisch oplossen komt er op neer de onbekende zijden en hoeken van de driehoek te berekenen uit de bekende elementen met behulp van trigonometrie. De hoofdgevallen van het oplossen van driehoeken zijn deze waarin de bekende elementen de zijden of hoeken van de driehoek zijn en niet bvb zwaartelijnen, bissectrices e.a. Deze andere gevallen worden nevengevallen genoemd en kunnen doorgaans tot de hoofdgevallen teruggebracht worden.
In het geval van rechthoekige driehoeken kan men 4 hoofdgevallen onderscheiden: 1) de schuine zijde en één scherpe hoek zijn bekend 2) de schuine zijde en een rechthoekzijde zijn bekend 3) een rechthoekszijde en een scherpe hoek zijn bekend 4) de twee rechthoekzijden zijn bekend
- Hoofdgevallen
- eerste geval: gegeven de schuine zijde a en de hoek B ; bereken de zijden b en c en de hoek C; oplossing: C = 90° - B; b = a sin(B); c = a cos(B)
- tweede geval: gegeven de schuine zijde a en een rechthoekszijde b ; bereken de rechthoekszijde c en de hoeken B en C ; oplossing: men heeft de vergelijkingen sin(B) = b/a (de waarde van B wordt bepaald uit de Tafels); C = 90° - B en c = a sin (C)
- derde geval: gegeven een rechthoekszijde b en de overstaande hoek B (of c en C); bereken de schuine zijde a, de rechthoekszijde c (of b) en de hoek C (of B); oplossing: men heeft de vergelijkingen C = 90° - B; a = b/sin(B) en c = b tg(C)
- vierde geval: gegeven: de twee rechthoekszijden b en c; bereken de schuine zijde a, de hoeken B en C; oplossing: men heeft de vergelijkingen tg(B) = b/c, C= 90° - B en a = b/sin(B)
- voorbeelden van vraagstukken
In Bilos Beginselen der Vlakke Meetkunde(deel II) kwamen er een vijftiental typische vraagstukken voor die betrekking hebben op het oplossen van rechthoekige driehoeken met behulp van trigonometrie. Deze vraagstukken geven een beeld van het ruime toepassingsgebied van de elementaire trigonometrie.
Vraag : Tot welke hoofdgevallen herleiden zich volgende vraagstukken?
- Op een hellend vlak van 32° ligt een lichaam van 48 kg. Welke reactie (tegenstelde kracht aan de zwaartekracht) oefent het hellend vlak op het lichaam uit?
- Hoe hoog staat de zon boven de horizon, als een toren van 45 m een schaduw werpt van 32 m?
- De evenwijdige zijden van een gelijkbenig trapezium ABCD zijn AB = 14,2 cm en CD = 7,6 cm de opstaande zijde AD is 6,4 cm. Bereken de hoeken, de hoogte en de oppervlakte van het trapezium.
II- Elementaire Trigonometrie van de willekeurige driehoek
(2) Ter herinnering: een boldriehoek is het deel van een boloppervlak begrensd door drie bogen van grote cirkels, dit zijn cirkels wier vlak doorheen het middelpunt van de bol gaat
(3) Triangulatie is een meting waarbij men gebruik maakt van de eigenschap van een driehoek dat de driehoek volledig is bepaald wanneer we een zijde (de basis) en de aanliggende hoeken kennen. Volgens wikipedia werd de methode voor het eerst beschreven door de Nederlandse wiskundige Gemma Frisius (1508-1555). De cartograaf Jacob van Deventer (1505-1575) was de eerste die het in de praktijk omzette. Bij triangulatie wordt gebruikgemaakt van formules uit de trigonometrie, met name de sinusregel.
(Hoofdstuk 10 "Deductieve Meetkunde voor het Lager Secundair Onderwijs")
§10.7 Stereometrie en Dalle's Zevende Boek IV- Oppervlak en volume van omwentelingslichamen: cilinder, kegel, bol
Het begrip omwentelingsoppervlak: Een omwentelingsvlak of omwentelingsoppervlak is een vlak ontstaan door de wenteling van een lijn (de beschrijvende lijn) om een as (de omwentelingsas). Elk punt van de beschrijven de lijn beschrijft een cirkelomtrek, waarvan het middelpunt op de as ligt en waarvan het vlak loodrecht op de as staat (zie figuur 1: omwentelingsoppervlak). De voornaamste doorsneden van een omwentelingsvlak zijn:
1° de paralleldoorsnede d.i. de doorsnede van een omwentelingsoppervlak, dat loodrecht op de as staat. Elke paralleldoorsnede van een omwentelingsoppervlak is een cirkel.
2° de meridiaandoorsnede d.i. de doorsnede van een omwentelingsoppervlak met een vlak door de as (meridiaanvlak). De vorm van de meridiaandoorsnede hangt af van de aard van het omwentelingsoppervlak.
1- de cilinder als omwentelingslichaam:
Definitie: Een omwentelingscilinder(opper)vlak is een vlak beschreven door een rechte die wentelt om een as waaraan zij evenwijdig blijft terwijl de afstand van de rechte tot de as ongewijzigd blijft.
Stelling: Elke paralleldoorsnede van een omwentelingscilindervlak is een cirkel. Alle paralleldoorsneden van een omwentelingscilindervlak zijn congruent.
Definitie: Een omwentelingscilinder is het meetkundig lichaam omsloten door een omwentelingscilindervlak en twee vlakken die loodrecht op de as staan; of nog, een omwentelingscilinder is het meetkundig lichaam ontstaan door het wentelen van een rechthoek om een van zijn zijden.
In een omwentelingscilinder kan men volgende elementen onderscheiden: de beschrijvende rechthoek, de beschrijvende rechte, de straal R (d.i. de zijde van de rechthoek aan liggend aan de vaste zijde), de as (hoogte) h, het grond- en bovenvlak.
Elke meridiaandoorsnede van een omwentelingscilinder is een rechthoek, die tot afmetingen heeft, de as en het dubbel van de straal.
Een prisma is beschreven in (om) een omwentelingscilinder, wanneer het recht is, dezelfde hoogte heeft als de cilinder en zijn grondvlak een veelhoek is, beschreven in (om) het grondvlak van de cilinder. Als de in- of omgeschreven veelhoeken regelmatig zijn, dan zijn de in- of omgeschreven prismas het eveneens.
Omwentelingscilinders zijn gelijkvormig, wanneer zij beschreven worden door gelijkvormige rechthoeken d.i. als de hoogten zich verhouden als de stralen.
Het zijdelings oppervlak van een omwentelingscilinder (rond oppervlak of mantel) is de limiet van de zijdelingse oppervlak van een regelmatige ingeschreven prisma, waarvan het aantal zijvlakken onbepaald toeneemt (zie figuur 2: zijdelings oppervlak cylinder).
Stelling: Het zijdelings oppervlak van een omwentelingscilinder is gelijk aan het product van de cirkelomtrek van het grondvlak en de hoogte
S(zijdelings) = 2πR.h
Gevolg: het totaal oppervlak van een cylinder is:
S(totaal) = 2πR (h + R)
De inhoud van een omwentelingscilinder is de limiet van de inhoud van een regelmatig ingeschreven prisma, waarvan het aantal zijvlakken onbepaald toeneemt.
Stelling: De inhoud van een omwentelingscilinder is gelijk aan het product van de oppervlakte van het grondvlak en de hoogte
I(cilinder) = π.R².h
2- de kegel als omwentelingslichaam:
Definitie: Een omwentelingskegelvlak is het vlak beschreven door een rechte, doe wentelt om een vaste rechte (as), die zij in een vast punt S (top) snijdt en waarmede zij onveranderlijk verbonden is. Dat de wentelende rechte onveranderlijk aan de vaste rechte verbonden is, is op twee manieren uit te drukken: 1) de afstand van een punt van de wentelende rechte tot de vaste rechte is constant; 2) de hoek gevormd door de wentelende en vaste rechte is constant.
Stelling: Elke paralleldoorsnede van een omwentelingskegelvlak is een cirkel. De oppervlakken van de paralleldoorsneden van een omwentelingskegelvlak zijn evenredig met de vierkanten van de afstanden tot de top. (zie figuur 3: paralleldoorsnede van een omwentelingskegelvlak)
Definitie: Een omwentelingskegel is het meetkundig lichaam ingesloten door een omwentelingskegelvlak en een loodvlak op de as van dit kegelvlak; of nog, een omwentelingskegel is het lichaam ontstaan door het wentelen van een rechthoekige driehoek om één van zijn rechthoekszijden.
In een omwentelingskegel kan men volgende elementen onderscheiden: de beschrijvende rechthoekige driehoek, de beschrijvende rechte a (d.i. het apothema van de kegel), de straal R (zijde aan liggend aan de vaste zijde of as), de hoogte h (as van de kegel).
Elke meridiaandoorsnede (of dwarsdoorsnede) van een omwentelingskegel is een gelijkbenige driehoek, waarvan de gelijke zijden gelijk zijn aan het apothema van de kegel en waarvan de basis het dubbel is van de straal (zie figuur 4 dwarsdoorsnede van een omwentelingskegeloppervlak).
Een piramide is beschreven in (om) een omwentelingskegel, als zij dezelfde hoogte en dezelfde top heeft en tot grondvlak, een veelhoek beschreven in (om) de grondvlakcirkel. Als de in- of omgeschreven veelhoeken regelmatig zijn, dan zijn de piramiden het eveneens.
Twee omwentelingskegels zijn gelijkvormig, als zij beschreven worden door gelijkvormige rechthoekige driehoeken.
Het zijdelings oppervlak (rond oppervlak of mantel)van een omwentelingskegel is de limiet van het zijdelings oppervlak van een regelmatige piramide, beschreven in de omwentelingskegel, als het aantal zijvlakken van de piramide onbepaald toeneemt (zie figuur 5: zijdelings oppervlak en inhoud van een omwentelingskegel).
Stelling 1: Het apothema van de omwentelingskegel is de limiet van het apothema van een regelmatige piramide, beschreven in de kegel, waarvan het aantal zijvlakken onbepaald toeneemt
Stelling 2: Het zijdelings oppervlak van een kegel is gelijk aan het product van de halve cirkelomtrek van het grondvlak en het apothema.
Szijdelings= π.R .a
Gevolg: Het totaal oppervlak van de omwentelingskegel wordt gegeven door:
Stotaal = π.R(a + R)
De inhoud van een omwentelingskegel is de limiet van de regelmatige ingeschreven piramide, waarvan het aantal zijvlakken onbepaald toeneemt.
Stelling: De inhoud van een kegel is gelijk aan het derde van het product van de oppervlakte van het grondvlak en de hoogte
Ikegel = (π.R²h)/3
Gevolg: De inhoud van een kegel is gelijk aan het derde deel van de cilinder, die hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte heeft .
Het zijdelings oppervlak van een afgeknotte omwentelingskegel is het verschil van de zijdelingse oppervlakken van twee omwentelingskegels, waarvan de afgeknotte kegel het verschil is.
Dit zijdelings oppervlak wordt ook bekomen door het wentelen van een rechthoekig trapezium om een as, waarvan de rechthoekige zijde samenvalt met de as en de twee evenwijdige zijden de stralen R en R zijn van de twee omwentelingskegels.
Stelling: De zijdelingse oppervlakte van een afgeknotte kegel is gelijk aan het product van het verschil g tussen de twee apothemas van de omwentelingskegels en de halve som van de lengten van de omtrekken van grond- en bovenvlak (zie figuur 6: zijdelingse oppervlakte afgeknotte kegel)
S(zijdelings afgeknotte kegel) = g x 2.π.(R + r)/2 = π.(R + R) x g
Gevolg: De totale oppervlakte van de afgeknotte omwentelingskegel wordt gegeven door:
Stotaal afgeknotte kegel = π.(R + R) x g + π.R² + π.R²
De inhoud van een afgeknotte omwentelingskegel is het verschil van de inhouden van twee omwentelingskegels, waarvan de afgeknotte kegel het verschil is.
Stelling: De inhoud van een afgeknotte omwentelingskegel is gelijk aan een derde van het product van de hoogte en de som van de oppervlakken van grond- en bovenvlak en de middelevenredige van deze vlakken
Iafgeknotte kegel = π.h (R² + R² + R.R)/3
3- de bol als omwentelingslichaam:
Het begrip bolvlak: Een bolvlak is ook het vlak dat ontstaat door het wentelen van een halve cirkelomtrek om de middellijn die door zijn uiteinden gaat.
Het begrip bolzone of gordel: Een bolzone of gordel is het deel van een bolvlak gelegen tussen twee evenwijdige vlakken (zie figuur 7: bolzone of gordel). Een gordel ontstaat door het wentelen van een boog om de middellijn; de boog wordt dan de beschrijvende boog van de gordel genoemd. Als een van de evenwijdige vlakken een raakvlak is, dan spreekt men van een bolkap.
De begrippen bolschil,bolschijf en bolsegment: men heet bolschil of bolring het meethundig lichaam ontstaan door het wentelen van een cirkelsegment om een middellijn gelegen in hetzelfde vlak als het cirkelsegment maar buiten dit segment. Een bolschijf is het deel van de bol begrepen tussen twee evenwijdige vlakken of nog, het deel van de bol begrensd door een bolzone en zijn grond- en bovenvlak. De afstand tussen grond- en bovenvlak is de hoogte van de bolschijf. Een bolsegment is het deel van de bol begrensd door een bolkap en haar grondvlak.
Het begrip loodrechte projectie: De loodrechte projectie van een punt op een rechte is het voetpunt van de loodlijn op de rechte neergelaten. De loodrechte projectie van een lijnstuk op een rechte is het lijnstuk gelegen tussen de loodrechte projecties van de eindpunten van dit lijnstuk.
Stelling 1: Elke rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek is middelevenredig tussen de schuine zijde en haar projectie op de schuine zijde. De hoogtelijn op de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is middelevenredig tussen de stukken, waarin zij de schuine zijde verdeelt
Gevolgen:
1) de vierkanten op de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek verhouden zich als de projecties van die zijden op de schuine zijde;
2)een nieuw bewijs van de stelling van Pythagoras kan uit deze stelling afgeleid worden
Toepassing:
Door een punt van een cirkelomtrek te verbinden met de eindpunten van de middellijn bekomt men een rechthoekige driehoek.
Stelling 2: De oppervlakte ontstaan door het wentelen van een lijnstuk, dat in één vlak ligt met de as en aan één kant van die as, is gelijk aan de projectie van het lijnstuk op de as, vermenigvuldigd met de omtrek van de cirkel waarvan het middelpunt in de as ligt en die het lijnstuk in zijn midden raakt
Stelling 3: De oppervlakte ontstaan door het wentelen van een regelmatige gebroken lijn om een middellijn die haar niet snijdt, is gelijk aan de ingeschreven cirkelomtrek en de projectie van de gebroken lijn om de as (zie figuur 8: wentelen van een regelmatige gebroken lijn)
S(ABCD) = 2.π . a . AD
Definitie: De oppervlakte van een bolzone is de limiet van de oppervlakte ontstaan door het wentelen van een regelmatige gebroken lijn in de beschrijvende boog van de bolzone, als het aantal zijden van die regelmatige gebroken lijn onbepaald toeneemt
Stelling 1: De oppervlakte van een bolzone is gelijk aan het product van de omtrek van een grote cirkel en de hoogte van de bolzone (zie figuur: oppervlakte van een bolzone)
S(boog AB) = 2.π . R . h (h = AB)
Stelling 2: De oppervlakte van een bolvlak is gelijk aan het product van de omtrek van een grote cirkel en de middellijn van het bolvlak
S(bolvlak) = (2.π . R) x (2 . R) = 4.π. R²
Het begrip bolsector: Een bolsector is het deel van de ruimte ingenomen door het wentelen van een cirkelsector om de middellijn van de bol (zie figuur 9: bolsector). Een middelpuntshoeksector is het gedeelte van de ruimte beschreven door de driehoek gevormd door de middelpuntshoek en de koorde van de cirkelsector. Het gedeelte van een regelmatige veelhoek omschreven of ingeschreven door een cirkelsector wordt veelhoeksector genoemd. Een omwentelingsveelhoeksector is het deel van de ruimte beschreven door het wentelen van het gedeelte van een veelhoeksector.
Het volume van een bolsector is de limiet van een omwentelingsveelhoeksector, waarvan het aantal zijvlakken onbepaald toeneemt. De inhoud van een bolsector is het maatgetal van het volume van de bolsector.
Stelling 1: Het volume ontstaan door het wentelen van een middelpuntshoek om een middellijn, die in hetzelfde vlak van de middelpuntshoek ligt, is gelijk aan het derde deel van het oppervlak beschreven door de koorde vermenigvuldigd met de hoogte op deze koorde neergelaten
Stelling 2: Het volume ontstaan door het wentelen van een veelhoeksector om een middellijn die in hetzelfde vlak van de veelhoeksector ligt is gelijk aan het derde deel van het oppervlak beschreven door de gebroken lijn gevormd door de veelhoek vermenigvuldigd met het apothema
Stelling 3: De inhoud van een bolsector is gelijk aan het derde deel van de oppervlakte beschreven door de wentelende boog vermenigvuldigd met de straal
Ibolsector= (Sboog . R)/3 = (2.π.R². h)/3
Stelling 4: De inhoud van een bol is gelijk aan de het derde van het product van zijn oppervlakte en de straal
Ibol = (Sbol . R)/3 = (4.π.R³)/3
Gevolg: De inhouden van twee bollen verhouden zich als de derde machten van hun stralen.
Stelling 5: "De inhoud van een bolschil is gelijk aan het zesde deel van een cilinder, waarvan de straal gelijk is aan de koorde van het segment en de hoogte gelijk aan de projectie van die koorde op de middellijn"
Ibolschil = (π. k² x k)/6 k is lengte van de koorde k projectie van de koorde op de middellijn
Stelling 6: "De inhoud van een bolschijf is gelijk aan de halve som van twee cilinders die respectievelijk het grond- en bovenvlak van de bolschijf tot hoogte hebben vermeerderd met de bol die de hoogte tot middellijn heeft."
Stelling 7: (stelling van Archimedes (3) )Is een omwentelingscilinder om een bol beschreven, dan verhouden de oppervlakten van de bol en de totale oppervlakte van de cilinder zich als 2 en 3, en verhouden de inhouden van deze lichamen zich eveneens als 2 en 3.
Deze stelling staat vermeld in Over de Bol en de Cilinder, een verhandeling, die Archimedes opdroeg aan ene Dositheus. Op zijn verzoek toonde zijn graftombe dit bewijs, waar hij het trotst op was, in reliëf(zie ikoon van dit cursiefje!!!).
V- De Regelmatige Veelvlakken
(wordt voortgezet)
4- nabeschouwingen
Dit en voorgaande cursiefjes geven een globaal overzicht van de leerstof meetkundenodig om de gestelde eindtermen van het primair onderwijs en van het lager secundair onderwijs te bereiken. Deze eindtermen impliceren naast het afleiden van betrekkingen om de omtrek, oppervlakte en volume van meetkundige figuren en lichamen te berekenen, ook het assimileren van een aantal fundamentele begrippen en stellingen, zoals de stelling van Pythagoras en enkele stellingen van Archimedes. Uiteraard mochten hierbij enkele basisbegrippen en stellingen uit de ruimtemeetkunde niet ontbreken. Alleen op deze wijze kan men de similariteit in ontwikkeling tussen de vlakke meetkunde en de ruimtemeetkunde aantonen.
(Hoofdstuk 10 "Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 10.6 Stereometrie en Dalle's Zesde Boek (II) II- Oppervlak en volume van veelvlakken: parallellepipedum, prisma, piramide
In de Vlakke Meetkunde worden de vlakke meetkundige figuren bepaald door omtrek en oppervlak; in de ruimtemeetkunde worden de ruimtelijke meetkundige figuren ook meetkundige lichamen genoemd- omschreven door oppervlak en volume.
Het oppervlak van een veelvlak is het totale oppervlak van de vlakken die het veelvlak begrenzen. Bij het prisma wordt dit oppervlak onderverdeeld in zijdelings oppervlak d.i. het oppervlak ingenomen door de opstaande zijvlakken en het oppervlak ingenomen door het grond- en bovenvlak van het prisma. De oppervlakte van een veelvlak is de grootte van het oppervlak
Het volume van een veelvlak is de ruimte door dit veelvlak ingenomen. Het maatgetal van de ruimte door het veelvlak ingenomen wordt inhoud (symbool I)genoemd net zoals het maatgetal van een lijnstuk en van een deel van een oppervlak, respectievelijk lengte (symbool L) en oppervlakte (symbool S) genoemd worden.
Een volume meten is het getal bepalen dat de verhouding uitdrukt van dit volume tot een gekozen volume-eenheid. Twee volumes zijn congruent indien zij elkaar volkomen kunnen bedekken: zij hebben dan dezelfde vorm en dezelfde inhoud.
Congruentie betekent dus even groot (teken =) én gelijkvormig (teken ~). Kubussen zijn altijd gelijkvormig.
1- oppervlakte en inhoud van het prisma en parallellepipedum
Stelling 1: Het maatgetal van het zijdelings oppervlak van een prisma is het product van de omtrek van de loodrechte doorsnede en de opstaande ribbe (zie figuur)
Nu bestaan er een aantal stellingen betreffende de gelijkheid van prismas die de bedoeling hebben aan te tonen:
1° dat een willekeurig prisma qua volume gelijk is aan een recht prisma dat een loodrechte doorsnede van dit willekeurig prisma als grondvlak en als hoogte de opstaande ribbe van dit willekeurig prisma heeft
2° dat een driezijdig prisma qua volume gelijk is aan de helft van een parallellepipedum
3° dat een willekeurig parallellepipedum qua volume gelijk is aan een rechthoekig parallellepipedum dat dezelfde hoogte en een gelijk grondvlak heeft.
Stelling 2: Twee prismas zijn congruent wanneer zij drie samenlopende zijvlakken hebben, die twee aan twee congruent zijn en in dezelfde volgorde voorkomen
Stelling 3: Een scheef prisma is (qua volume) gelijk aan een recht prisma, dat een loodrechte doorsnede tot grondvlak en de opstaande ribbe tot hoogte heeft (zie figuur 1: scheef en recht prisma)
Stelling 4: Een vlak door twee overstaande ribben van een parallellepipedum gebracht verdeelt dit parallellepipedum in twee gelijke driezijdige prismas
Stelling 5: Twee parallellepipedums zijn gelijk, als hun grondvlakken gemeenschappelijk zijn en de bovenvlakken tussen dezelfde evenwijdige rechten liggen
Stelling 6: Twee parallellepipedums, die hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte hebben zijn gelijk (zie figuur 2: parallellepipeda met zelfde grondvlak en hoogte)
Stelling 7: Een willekeurig parallellepipedum is gelijk aan het rechthoekig parallellepipedum dat dezelfde hoogte en een gelijk grondvlak heeft
Dan volgen de stellingen betreffende het volume van parallellepipeda en uiteindelijk het prisma:
Stelling 8: De volumes van twee rechthoekige parallellepipedums, die hetzelfde grondvlak hebben verhouden zich tot elkaar zoals hun hoogten of De volumes van twee rechthoekige parallellepipedums die twee afmetingen gelijk hebben, verhouden zich als hun derde afmeting
Stelling 9: De verhouding van de volumes van twee rechthoekige parallellepipedums is gelijk aan het product van de verhoudingen van hun drie afmetingen
Stelling 10: De inhoud van een rechthoekig parallellepipedum is het product van de drie afmetingen van dit parallellepipedum indien als volume-eenheid de kubus op de lengte-eenheid genomen wordt (kortheidshalve zegt men: De inhoud van een rechthoekig parallellepipedum is gelijk aan het product van zijn drie afmetingen)
Stelling 11: De inhoud van een willekeurig parallellepipedum is gelijk aan het product van het grondvlak en de hoogte
Stelling 12 De inhoud van een prisma is gelijk aan het product van zijn grondvlak en zijn hoogte (zie figuur inhoud van prisma is grondvlak maal hoogte)
Iprisma = Sgrondvlak . h
2- oppervlakte en inhoud van de piramide
Stelling 1: Het zijdelings oppervlak van een regelmatige piramide is gelijk aan het halve product van de omtrek van het grondvlak en het apothema
Stelling 2: Wordt een piramide door een vlak evenwijdig aan het grondvlak gesneden: 1) dan zijn de opstaande ribben en de hoogte in dezelfde verhouding verdeeld; 2) dan is de doorsnede een veelhoek gelijkvormig met het grondvlak; 3) dan verhouden zich de oppervlakten van de doorsnede en het grondvlak zoals de vierkanten van hun afstanden tot de top.
Stelling 3: In twee piramiden die dezelfde hoogte hebben, verhouden de doorsneden, die zich op gelijke afstand van de toppen en evenwijdig aan de grondvlakken bevinden, zich als de grondvlakken
Stelling 4: (trappenstelling) Twee piramiden die gelijke grondvlakken en gelijke hoogten hebben het zelfde volume (zie figuur 4: trappenstelling)
Stelling 5: Het volume van een driezijdige piramide is gelijk aan het derde van het driezijdig prisma, dat hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte heeft(zie figuur 5: driezijdige piramide en prisma)
Stelling 6: Het volume van een willekeurige piramide is gelijk aan het derde deel van het prisma dat hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte heeft
Stelling 7: De inhoud van een piramide is gelijk aan het derde deel van het product van het grondvlak en de hoogte
Ipiramide= (Sgrondvlak. h)/3
3- oppervlakte en inhoud van afgeknotte piramide :
Definitie: een afgeknotte piramide is het deel van de piramide gelegen tussen het grondvlak en een vlakke doorsnede die al de opstaande ribben snijdt. Is de doorsnede evenwijdig aan het grondvlak dan ontstaat een afgeknotte piramide met evenwijdig grond- en bovenvlak. De afstand tussen beide vlakken is de hoogte van de afgeknotte piramide.
In een afgeknotte piramide met evenwijdig grond- en bovenvlak zijn deze twee vlakken gelijkvormige veelhoeken. Hun gelijkvormigheidsfactor gelijk aan de verhouding van hun afstanden tot de top van de piramide.
Als de piramide regelmatig is dan heet de afgeknotte piramide met evenwijdig grond- en bovenvlak, een regelmatige afgeknotte piramide. De zijvlakken van dit lichaam zijn dan gelijke, gelijkbenige trapezia. De hoogte van deze trapezia is het apothema van de regelmatige afgeknotte piramide.
Stelling 1: Het zijdelings oppervlak van een regelmatige afgeknotte piramide is gelijk aan het product van de halve som van de omtrekken van grond- en bovenvlak en het apothema.
S afgeknotte piramide= (pgrondvlak + pbovenvlak) . a/2
Stelling 2: De inhoud van een afgeknotte piramide is gelijk aan de som van drie piramiden, die alle drie dezelfde hoogte als de afgeknotte piramide hebben en waarvan de grondvlakken respectievelijk gelijk zijn aan het grondvlak en het bovenvlak van de afgeknotte piramide en de middelevenredige tussen deze laatste twee oppervlakten.
In de Vlakke Meetkunde werd het begrip veelhoek ingevoerd; analoog wordt in de ruimtemeetkunde het begrip veelvlak gedefinieerd.
Een veelvlak is een meetkundig lichaam aan alle zijden begrensd door vlakken (zie figuur 1: veelvlak). De vlakken die het veelvlak begrenzen worden zijvlakken genoemd. De snijlijnen van twee aanliggende zijvlakken worden de ribben, de uiteinden van de ribben, de hoekpunten van het veelvlak genoemd. In een veelvlak vormen twee zijvlakken met een gemeenschappelijke ribbe een tweevlakshoek, de verschillende zijvlakken met een gemeenschappelijk hoekpunt een veelvlakshoek.
Diagonalen van een veelvlak zijn rechten die twee hoekpunten verbonden die niet in eenzelfde zijvlak gelegen zijn.
Een vlakke doorsnede van een veelvlak, is de veelhoek, waarvan de zijden de snijlijnen zijn van de zijvlakken van het veelvlak met een vlak. Een diagonaalvlak is een vlak dat door drie hoekpunten van het veelvlak gaat en niet met een zijvlak samenvalt.
Een prismatisch oppervlak is het oppervlak beschreven door een rechte, die zich evenwijdig aan zichzelf verplaatst en steeds een gebroken lijn snijdt (zie figuur 2: scheef prisma).
De rechte, die zich evenwijdig aan zichzelf verplaatst wordt beschrijvende rechte, de gebroken lijn, de richtlijn, de standen van de beschrijvende rechte, die door de hoekpunten van de richtlijn gaan, de ribben en de vlakken bepaald door twee op elkaar volgende ribben, de zijvlakken van het prismatisch oppervlak genoemd.
Twee prismatische oppervlakken bedekken elkaar als ze dezelfde richtlijn hebben en de beschrijvende rechten evenwijdig lopen aan een zelfde richting. Bij een loodrechte doorsnede van een prismatisch oppervlak staat het snijvlak loodrecht op de ribben. Is de gebroken lijn gesloten en dus een veelhoek, dan spreekt men van een gesloten prismatisch oppervlak.
Stelling: De doorsneden van evenwijdige vlakken met een gesloten prismatisch oppervlak zijn congruente veelhoeken.
Een prisma is een veelvlak begrensd door een gesloten prismatisch oppervlak en door twee evenwijdige doorsneden van dit oppervlak, het grond- , respectievelijk bovenvlak van het prisma. Of nog, het prisma is een veelvlak waarvan twee vlakken (grond- en bovenvlak) congruent en evenwijdig zijn, terwijl de andere vlakken parallellogrammen zijn, die elk een gemeenschappelijke zijde met de evenwijdige vlakken hebben.
De hoogte van het prisma is de afstand tussen het grondvlak en bovenvlak. Een prisma is recht of scheef, naargelang de opstaande ribben loodrecht of schuin op het grondvlak staan. Een regelmatig prisma is een recht prisma met een regelmatige veelhoek als grondvlak. Een prisma is driezijdig, vierzijdig, vijfzijdig naargelang het grondvlak een driehoek, een vierhoek, een vijfhoek is.
Een parallellepipedum is een prisma met een parallellogram als grondvlak (zie figuur 3: parallellepipedum). Elk zijvlak van een parallellepipedum is een parallellogram. Van een parallellepipedum worden twee zijvlakken overstaand genoemd als zij niet op elkaar volgen.
Een recht parallellepipedum is een parallellepipedum waarvan de opstaande ribben loodrecht op het grondvlak staan. Een rechthoekig parallellepipedum is een recht parallellepipedum met een rechthoek als grondvlak.
De afmetingen van een rechthoekig parallellepipedum zijn de lengten van drie ribben uit eenzelfde hoekpunt. Een kubus of regelmatig zesvlak is een rechthoekig parallellepipedum waarvan de drie afmetingen gelijk zijn.
Stelling 1: Overstaande zijvlakken van een parallellepipedum zijn evenwijdig en congruent
Gevolgen: 1) in een parallellepipedum kan elk zijvlak als grondvlak beschouwd worden; 2) elke vlakke doorsnede die vier evenwijdige ribben van een parallellepipedum ontmoet is een parallellogram; 3) de twaalf ribben van een parallellepipedum lopen vier aan vier evenwijdig
Stelling 2: De diagonalen van een parallellepipedum snijden elkaar middendoor
Gevolgen: 1) het snijpunt van de diagonalen van een parallellepipedum verdeelt in twee gelijke delen elk lijnstuk, dat door dit punt gaat en aan het oppervlak van het parallellepipedum eindigt 2) in een rechthoekig parallellepipedum zijn alle diagonalen gelijk
Een piramide is een veelvlak begrensd door een veelvlakshoek en door een vlakke doorsnede die al de ribben van de veelvlakshoek snijdt. De top van de piramide is het hoekpunt S van de veelvlakshoek. Het grondvlak van de piramide is het vlak tegenover de top. Een piramide wordt aangegeven door het symbool SABCD.. waarin S de top en A, B, C, D.. de hoekpunten van het grondvlak voorstellen.
De opstaande ribben van de piramide zijn de ribben die de top met het grondvlak verbinden. De opstaande zijvlakken van de piramide zijn de zijvlakken gevormd door twee op elkaar volgende opstaand ribben en een grondribbe.
De hoogte van de piramide is de afstand van de top tot het grondvlak. Een piramide heet regelmatig als het grondvlak een regelmatige veelhoek is, waarvan het middelpunt samenvalt met het voetpunt van de hoogte van de piramide. In een regelmatige piramide zijn al de opstaande ribben gelijk; de opstaande zijvlakken zijn congruente gelijkbenige driehoeken.
De afstanden van de top tot de grondribben zijn onderling gelijk; hun gemeenschappelijke lengte is het apothema van de piramide. Een piramide heet driezijdig, vierzijdig, vijfzijdig naargelang het grondvlak een driehoek, een vierhoek, een vijfhoek is (zie figuur 4: vijfzijdige piramide). De driezijdige piramide wordt viervlak of tetraëder genoemd.
Stelling 1: Wordt een piramide door een vlak evenwijdig aan het grondvlak gesneden: 1) dan zijn de opstaande ribben in dezelfde verhouding verdeeld; 2) dan is de doorsnede een veelhoek gelijkvormig met het grondvlak; 3) dan verhouden zich de oppervlakten van de doorsnede en van het grondvlak zoals de vierkanten van hun afstanden tot de top.
Stelling 2: In twee piramiden, die dezelfde hoogte hebben, verhouden zich de doorsneden op gelijke afstand van de toppen en evenwijdig aan de grondvlakken, als de grondvlakken
2- de kromlijnige meetkundige lichamen: de bol
In de Vlakke Meetkunde werden de begrippen cirkel en cirkelomtrek ingevoerd; in de ruimtemeetkunde definieert men nu op analoge wijze de bol en het bolvlak.
Het begrip bolvlak: Een bolvlak wordt gedefinieerd als een tridimensioneel oppervlak waarvan de punten op gelijke afstand van een gegeven punt gelegen zijn. Dit punt heet het middelpunt van het boloppervlak.
De straal van het bolvlak R is de afstand van het middelpunt tot een punt van het bolvlak. Een koorde van het bolvlak is elk lijnstuk waarvan de twee eindpunten punten van het bolvlak zijn. Een middellijn of diameter is een koorde die door het middelpunt van het bolvlak gaat. De diameter is de grootste afstand tussen twee punten van het bolvlak, en exact tweemaal zo groot als de straal.
Het begrip bol: de bol is het meetkundig lichaam dat door een boloppervlak begrensd wordt.
Het bolvlak wordt ook nog gedefinieerd als de meetkundige plaats van alle punten in de ruimte die op een constante afstand (de straal) van een vast middelpunt liggen.
Grondeigenschap (grondstelling): Een bolvlak is volledig bepaald door vier willekeurige punten die niet in één plat vlak liggen m.a.w. door vier punten, die niet in hetzelfde (plat) vlak liggen kan één en slechts één bolvlak gaan.
Gevolgen:
1) twee cirkelomtrekken die twee punten gemeen hebben en niet in eenzelfde vlak liggen bepalen een bol;
2) twee bolvlakken, die vier punten gemeen hebben welke niet in eenzelfde vlak liggen, zijn congruent;
3) De loodlijnen op de vier zijvlakken van een viervlak opgericht in het middelpunt van de cirkel om elk zijvlak beschreven, lopen in één punt samen.
Stelling: Elke vlakke doorsnede door een bol aangebracht is een cirkel, waarvan het middelpunt het voetpunt is van de loodrechte uit het middelpunt van de bol op die doorsnede
Definities: De doorsnede bepaald door het vlak dat door het middelpunt van de bol gaat heet een grote cirkel. Gaat het vlak niet door het middelpunt dan bepaalt het een kleine cirkel (zie figuur 5 bolvlak-kleine cirkel).
Het begrip raakvlak en raaklijn: Een raakvlak aan een bolvlak is het vlak dat met het bolvlak slechts één punt, het raakpunt, gemeen heeft (zie figuur 6: raakvlak aan bolvlak). Een raaklijn aan een bolvlak is een rechte die slechts één punt, het raakpunt, met het bolvlak gemeen heeft. De normaal in een punt van het bolvlak is de loodlijn op het raakvlak in dit punt
Stelling 1: De nodige en voldoende voorwaarde opdat een (plat) vlak een raakvlak van een bolvlak zou zijn, is dat dit vlak een loodvlak is op het uiteinde van de straal
Stelling 2: De nodige en voldoende voorwaarde opdat een rechte een raaklijn aan een bolvlak zou zijn, is dat ze loodrecht staat op het uiteinde van de straal van het bolvlak
De meetkundige plaats van de raaklijnen aan een bolvlak in een gegeven punt, is het raakvlak in dit punt.
Het begrip bolmeetkunde of meetkunde van het bolvlak: zoals er een meetkunde bestaat van het (platte) vlak( de Vlakke Meetkunde), kan men een meetkunde ontwikkelen van het bolvlak en diverse meetkundige figuren op het bolvlak beschouwen of tekenen: het volstaat daartoe een krombenige passer te bezigen. Volgende begrippen worden hiertoe ingevoerd:
De polen of sferische middelpunten van een cirkel op een bolvlak, zijn de eindpunten van de middellijn, die loodrecht staat op het vlak van die cirkel (zie figuur 7: bolmeetkunde -sferische afstand).
Cirkelomtrekken op een bolvlak, die in evenwijdige vlakken liggen hebben dezelfde polen. Als er spraak is van dé pool van een cirkel op een bolvlak, bedoelt men altijd de pool die het dichtst bij het vlak van die cirkel ligt.
De poolsafstand van een cirkel (cirkelboog) op het bolvlak is de rechtlijnige afstand van de pool van de cirkel (cirkelboog) tot de een punt van zijn omtrek.
Stelling: Elke pool van een cirkel op een bolvlak ligt op gelijke afstand van alle punten van de cirkel
De hoek van twee cirkels of cirkelbogen op een bolvlak, is de hoek gevormd door hun raaklijnen in hun snijpunt.
De sferische afstand van twee punten op het bolvlak is de lengte van de kleinste boog van de grote cirkel, die door die twee punten gaat. l
De sferische straal van een cirkel (cirkelboog) op een bolvlak is de sferische afstand van de pool van die cirkel (cirkelboog) tot een punt van zijn omtrek. De sferische straal van een grote cirkel is gelijk aan een kwadrant.
stelling: De hoek van twee bogen van grote cirkelomtrekken met een gemeenschappelijk punt is gelijk aan de standhoek van de tweevlakshoek, waarvan de zijden deze bogen bevatten
Het begrip bolveelhoek: Onder een bolveelhoek verstaat men een gesloten omtrek op een bolvlak, die uit bogen van grote cirkels bestaat (zie figuur 8: bolvierhoek).
In een bolveelhoek onderscheidt men: 1) de zijden zijnde de bogen van de grote cirkels, die de omtrek van de bolveelhoek vormen; 2) de hoekpunten of de uiteinden van de zijden van de bolveelhoek; 3) de hoeken gevormd door twee op elkaar volgende zijden.
Heeft de bolveelhoek slechts drie zijden dan wordt hij boldriehoek genoemd. Boldriehoeken spelen in de meetkunde van het bolvlak een analoge rol als de vlakke driehoeken.
(Hoofdstuk 10 "Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")
§10.4 Stereometrie en Dalle's Vijfde Boek
Voor het toelatingsexamen van de Cadettenschool omvatte de te kennen examenstof ook enkele begrippen uit de ruimtemeetkunde o.m. de onderlinge ligging van twee rechten, de onderlinge ligging van een rechte en een vlak, de onderlinge ligging van twee vlakken, de loodrechte stand van een rechte en een vlak, de loodrechte stand van twee vlakken, de eigenschappen der schuine lijnen uit een punt naar een vlak getrokken, de hoek van een rechte en een vlak, afstand en hoek van twee kruisende rechten, tweevlakshoeken, drievlakshoeken, en tenslotte de berekening van enkele elementen in een kubus, in een regelmatig viervlak en een regelmatig achtvlak .
Voor deze leerstof beschikte ik over « Het Leerboek der Meetkunde Stereometrie » van Dalle en De Waele (voor meer details zie cursiefje: Over oude schoolboeken.. en wiskunde), dat ik van mijn oudste broer geërfd had en dat van 1946 dateerde.
Dit werk was ingedeeld in boeken:
- vijfde boek: Het Vlak en de Veelvlakshoeken
Naast enkele algemene begrippen, waren de behandelde onderwerpen, omschreven door 43 stellingen, hier: de loodrechte stand van rechte en vlak, evenwijdige rechten en vlakken, tweevlakshoeken, loodrechte vlakken, projectie van een rechte, veelvlakshoeken
- zesde boek: De Veelvlakken
Naast algemene begrippen kwam hier het prisma en de piramide, de gelijkvormigheid van veelvlakken en de symmetrische figuren (symmetrie t.o.v. een rechte, een punt, een vlak) aan de orde. Het zesde boek omvatte 31 stellingen.
- zevende boek: Omwentelingslichamen
Naast algemene begrippen werden hier de omwentelingscilinder, de omwentelingskegel, de bol en de regelmatige veelvlakken (viervlak of tetraëder, hexaëder of kubus, achtvlak of octaëder, twaalfvlak of octaëder, twintigvlak of icosaëder) behandeld. Het zevende boek omvatte 30 stellingen
- achtste boek: Figuren op de bol
De onderwerpen waren hier: de eigenschappen van bolveelhoeken, de congruentie van boldriehoeken, pooldriehoeken, gelijkbenige boldriehoeken, willekeurige boldriehoeken, de minimale afstand tussen twee punten op een bolvlak, de oppervlakte van de boldriehoek. Het achtste boek omvatte 15 stellingen.
Verder was er nog een zogenaamd Complement, dat handelde over de Nieuwere Meetkunde (gerichte meetkunde, middelpunt der evenredige en der gemiddelde afstanden, de regels van Guldin, transversaalvlakken, dubbelverhouding, harmonische verdeling, homothetie, raakvlakken aan ronde lichamen, machtvlak, machtlijn en machtpunt, inversie in de ruimte, antiparallelle doorsneden in een scheve cirkelkegel.
De te kennen examenstof werd blijkbaar behandeld in de boeken vijf, zes en zeven en uiteraard beperkte ik mij tot de theorie behandeld in deze boeken. Later heb ik vastgesteld, dat de eigenlijke examenstof heel wat minder inhield, maar deze eerste wat meer doorgedreven studie heeft mij in alle geval uitstekende diensten bewezen in de Cadettenschool
I- De basisbegrippen: plat vlak, loodrechte op een vlak, loodvlak, evenwijdige rechte aan een vlak, evenwijdige vlakken,
Het begrip plat vlak (ook kortweg vlak) ontstaat door de waarneming van sommige objecten: de effenheid van stilstaand water, de gladheid van een spiegel roepen er het denkbeeld van op. Het vlak is zodanig dat elke rechte die er twee punten mede gemeen heeft er geheel in ligt. Deze fundamentele eigenschap, wordt ook nog postulaat van het plat vlak geheten. Een postulaat is een eigenschap, die men zonder bewijs aanneemt.
- Een rechte getrokken door een punt in een vlak en door een punt buiten dit vlak heeft slechts één punt gemeen met dit vlak (waarom?). Dit gemeenschappelijk punt heet voetpunt van de rechte of snijpunt van de rechte en het vlak.
- Een rechte in een vlak verdeelt dit vlak in twee halfvlakken; die rechte is de grensrechte van elk halfvlak. Door een vlak te laten wentelen rond een van zijn rechten is elk halfvlak door een willekeurig punt van de ruimte te brengen.
Ofschoon een vlak onbegrensd is, stelt men een vlak voor door een figuur die in dit vlak gelegen is, gewoonlijk een parallellogram.
In de Vlakke Meetkunde gaven de noties loodrecht en evenwijdigaanleiding tot de begrippen loodrechte op een rechte en evenwijdige rechten; in de ruimtemeetkunde komt men nu tot de begrippen loodrechte op een vlak», loodvlak, evenwijdige rechte aan een vlak en evenwijdige vlakken.
Het begrip loodrechte op een vlak: een rechte staat loodrecht op een vlak, wanneer ze loodrecht staat op al de rechten, die in dit vlak door haar voetpunt gaan.
Stelling: De nodige en voldoende voorwaarde opdat een loodrechte loodrecht zou staan op een vlak, is dat ze loodrecht staat op twee rechten in dit vlak (zie figuur 1 : loodrechte op een vlak)
Het begrip loodvlak: in elk punt op een rechte kunnen er in de ruimte oneindig veel loodlijnen opgericht worden. De meetkundige plaats van al de loodlijnen in een punt op eenzelfde rechte is een loodvlak op die rechte (zie figuur: 2 loodvlak op rechte).
Stelling 1: Door een punt kan steeds een loodvlak op een rechte aangebracht worden en slechts één
Stelling 2: De meetkundige plaats van de punten, die op gelijke afstanden verwijderd zijn van de uiteinden van een lijnstuk, is het loodvlak in het midden van dat lijnstuk.
Stelling 3: Door een punt kan steeds een loodlijn op een vlak getrokken worden en slechts één.
Stelling 4: (stelling der drie loodlijnen) Laat men uit een punt de loodlijn neer op een vlak en de loodlijn op een rechte in dit vlak, dan staat het vlak, dat deze loodlijnen bepalen, loodrecht op de rechte.
Het begrip middelloodvlak: Een middelloodvlak is het loodvlak aangebracht op het midden van een lijnstuk.
Het begrip evenwijdige rechte aan een vlak: een rechte loopt evenwijdig met een vlak indien ze dit vlak niet snijdt.
Stelling: De nodige en voldoende voorwaarde opdat een rechte evenwijdig zou zijn aan een vlak, is dat ze evenwijdig is met een rechte in dit vlak.
Het begrip evenwijdige vlakken: Twee vlakken zijn evenwijdig als ze geen punt gemeen hebben.
Stelling 1: Twee vlakken die loodrecht staan op een zelfde rechte, zijn evenwijdig (figuur 3: bestaan van evenwijdige vlakken).
Stelling 2: Worden twee evenwijdige vlakken door een derde vlak gesneden, dan zijn de snijlijnen evenwijdig.
Stelling 3: Door een punt buiten een vlak kan slechts één enkel vlak evenwijdig met het gegeven vlak aangebracht worden.
Stelling 4: Snijdt een rechte een van de twee evenwijdige vlakken dan snijdt zij ook de andere
Stelling 5: Staat een rechte loodrecht op een van de twee vlakken, dan staat zij ook loodrecht op het andere vlak.
Stelling 6: De lijnstukken op evenwijdige rechten door evenwijdige vlakken afgesneden, zijn gelijk.
In de Vlakke Meetkunde was een hoek een deel van het vlak; in de ruimtemeetkunde kon men analoog hoeken definiëren als delen van de ruimte. Aldus kwam men op de begrippen tweevlakshoek en veelvlakshoek.
Het begrip tweevlakshoek: Een tweevlakshoek of ruimtehoek is de meetkundige figuur gevormd door twee halfvlakken, die elkaar snijden. De halfvlakken worden de zijden, de snijlijn de ribbe van de tweevlakshoek genoemd.
Twee tweevlakshoeken heten aanliggend, als ze dezelfde ribbe hebben en aan weerskanten van een gemeenschappelijke zijde gelegen zijn. Neventweevlakshoeken zijn aanliggende tweevlakshoeken, waarvan de buitenzijden in elkaars verlengde liggen.
Twee tweevlakshoeken heten overstaand, als de zijden van de ene de verlengden van de zijden van de andere tweevlakshoek zijn.
De begrippen standvlak en standhoek: Ieder loodvlak dat in een willekeurig punt A van de ribbe van de tweevlakshoek opgericht wordt wordt standvlak genoemd. Een standvlak snijdt de zijden van de tweevlakshoek onder twee halve rechten a en b met zelfde beginpunt A. De hoek gevormd door deze twee halve rechten wordt standhoek genoemd.
Stelling: het maatgetal van een standhoek van een tweevlakshoek is onafhankelijk van de ligging van het hoekpunt op de ribbe van de tweevlakshoek m.a.w. alle standhoeken van een tweevlakshoek zijn gelijk.
Twee tweevlakshoeken zijn congruent, als zij elkaar volkomen kunnen bedekken.
Stelling: De nodige en voldoende voorwaarde opdat twee tweevlakshoeken zouden congruent zijn, is dat hun standhoeken gelijk zijn.
Het bissectricevlak van een tweevlakshoek is het halfvlak dat door de ribbe aangebracht de tweevlakshoek in twee gelijke delen splitst. Het bissectricevlak is de meetkundige plaats van punten die gelijke afstand hebben tot de zijden die de tweevlakshoek vormen.
Een rechte tweevlakshoek is een tweevlakshoek waarvan de standhoek een rechte hoek is (zie figuur 4: rechte tweevlakshoek). Een tweevlakshoek is scherp of stomp naargelang hij kleiner of groter is dan een rechte tweevlakshoek.
Het begrip veelvlakshoek: Een veelvlakshoek of n- vlakshoek is de meetkundige (ruimtelijke) figuur gevormd door n halve rechten uit eenzelfde punt getrokken waarvan er geen drie in eenzelfde vlak liggen. In een veelvlakshoek onderscheidt men de ribben (d.i. de halve rechten, die de veelvlakshoek bepalen), de top of het hoekpunt (d.i. het punt gemeen aan alle ribben), de zijden (d.i. de vlakke hoeken gevormd door twee op elkaar volgende ribben) en de hoeken (d.i. de tweevlakshoeken gevormd door twee op elkaar volgende zijden). Men duidt een veelvlakshoek aan door de letter bij de top gevolgd door die bij de ribben bvb SABCDE (zie figuur 5: veelvlakshoek).
Een veelvlakshoek heet convex als hij t.o.v. elke zijde in hetzelfde gebied van de ruimte ligt. Twee veelvlakshoeken zijn overstaand of tegengesteld als hun elementen (zijden en hoeken) twee aan twee congruent zijn maar in tegengestelde orde op elkaar volgen. De volgorde is als volgt te bepalen: men beeldt zich een persoon in, die langs de ribbe ligt, het hoofd in de top en die naar de veelvlakshoek kijkt; de positieve zin voor die persoon is de tegenwijzerzin, de negatieve zin de wijzerzin.
Twee veelvlakshoeken zijn congruent als hun toppen en hun ribben elkaar kunnen bedekken. Wegens de omkering in de volgorde der elementen kunnen twee overstaande veelvlakshoeken, hoewel al hun elementen congruent zijn, over het algemeen niet samenvallen. Indien de eis voor congruentie ook de zin van de veelvlakshoeken omvat, kan men volgende stelling formuleren:
Stelling: Twee veelvlakshoeken die in tegengestelde zin georiënteerd zijn, zijn nooit congruent.
Het begrip drievlakshoek: Een belangrijke veelvlakshoek is de drievlakshoek (bvb SABC), die dus een top, drie ribben, drie zijden en drie hoeken bevat. Een gelijkzijdige rechthoekige drievlakshoek is een drievlakshoek waarvan de drie zijden rechte hoeken zijn. Overstaande of tegengestelde drievlakshoeken zijn drievlakshoeken waarvan de ribben van de ene in het verlengde van de andere liggen. Ze zijn niet congruent doch symmetrisch (zie figuur 6: overstaande drievlakshoeken).
§ 10.3 Planimetrie en Dalle's Derde en Vierde Boek
(Hoofdstuk 10 "Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 10.3 Planimetrie en Dalle's Derde en Vierde Boek
- Algemene definities en formules:
Een veelhoek is cyclisch, als al de hoekpunten op een cirkelomtrek liggen; de omschreven veelhoek wordt koordenveelhoek, de cirkel om de veelhoek omgeschreven cirkel genoemd.
Een veelhoek is ingeschreven in een cirkel, als al de zijden raaklijnen zijn aan de cirkel; de ingeschreven veelhoek wordt raaklijnenveelhoek, de cirkel, die aan de zijden van de veelhoek raakt, ingeschreven cirkel genoemd.
Men toont aan dat alle regelmatige veelhoeken, alle driehoeken en alle rechthoeken cyclische veelhoeken zijn.
Stelling 1: (Bestaan van regelmatige veelhoeken) Verdeel een cirkelomtrek in een willekeurig aantal gelijke delen n dan zijn 1° de deelpunten, de hoekpunten van een regelmatige n- hoek 2° de raaklijnen in die punten, zijden van een regelmatige n- hoek
De zijden van een regelmatige n- hoek wordt door znvoorgesteld; ze zijn koorden van de omgeschreven cirkel en de middelpuntshoek φ die op deze koorde staat, bedraagt:
φ = 360°/n (1)
Alle hoeken αn van een regelmatige n- hoek zijn gelijk:
αn = (n 2)x180°/n (2)
Stelling 2: Om en in elke regelmatige veelhoek kan een cirkel beschreven worden; beide cirkels hebben hetzelfde middelpunt.
De straal van de omgeschreven cirkel wordt door R, van de ingeschreven cirkel door r voorgesteld
Bij een regelmatige veelhoek is het apothema de afstand an van het middelpunt van de n- hoek tot het centrum van een zijde zn . Deze afstand is gelijk aan de straal rn van een ingeschreven cirkel in de n- hoek (an = rn).
Verlengt men het apothema tot de cirkel dan is het lijnstuk bepaald door het snijpunt met de cirkel en het hoekpunt van de zijde zn de zijde z2n van een nieuwe veelhoek: de 2n- hoek (zie figuur 7a).
Met behulp van de stelling van Pythagoras (figuur 7) toont men gemakkelijk aan dat:
an = √{R2- (zn/2)2} (3) apothemaformule
z2n = √{2R2 R√(4R2 zn2)} (4) de verdubbelingsformule
zn = a2n/R x √(4R2 z2n2) (5) de halveringsformule
De omtrek pn respectievelijk oppervlakte Sn van een regelmatige veelhoek (n- hoek) wordt gegeven door :
pn = n.zn (6) en Sn = (n.zn.an)/2 (7)
(n is aantal zijden van de veelhoek; z de lengte van een zijde; a de lengte van het apothema, zijnde de straal van de ingeschreven cirkel)
Stelling 3: (stelling van Archimedes) Zij pn de omtrek van een regelmatige koordenveelhoek beschreven in een cirkel met straal R en qn de omtrek van de gelijkvormige omgeschreven raaklijnenveelhoek, dan worden de omtrekken van de regelmatige koordenveelhoek en raaklijnenveelhoek met dubbel aantal zijden p2n en q2n in en om dezelfde cirkel beschreven gegeven door : (p2n)² = pn . q2n (a) en q2n = 2(pn . qn)/(pn + qn) (b)
Deze betrekkingen worden afgeleid uit de gelijkvormigheid van driehoeken (zie figuren 7b en 7c).
- Studie van de regelmatige vierhoek, driehoek en zeshoek: (4)
De regelmatige vierhoek (vierkant):
Stelling: men verkrijgt een regelmatige vierhoek (= vierkant) beschreven in een cirkel, door de eindpunten van twee loodrechte middellijnen te verbinden (figuur 8). Op te merken valt dat uit (1) volgt dat φ = 90° en uit (2) α4 = 90°
Men berekent de zijde z4 en het apothema a4in functie van de straal R van de omgeschreven cirkel. Met behulp van de stelling van Pythagoras vindt men gemakkelijk:
z4 = R√2 uit (3) volgt dan a4 = (R√2)/2 uit (7) S4 = 2R2 = 4a42
Met behulp van de verdubbelingsformule (4) en de apothemaformule (3) kan men dan z8 , a8 en S8 berekenen, vervolgens z16, a16 en S16 enz.
De regelmatige zeshoek en driehoek:
Stelling: de zijde van de regelmatige zeshoek is gelijk aan de straal van de omgeschreven cirkel R (figuur 9). Op te merken valt dat uit (1) volgt φ = 60° en uit (2) α6 = 120°
Men berekent de zijde z6 en het apothema a6 in functie van de straal R van de omgeschreven cirkel. Tengevolge van de stelling heeft men:
z6 = Ruit (3) volgt dan a6 = (R√3)/2 en uit (7) S6 = (3R2√3)/2 =2a²√3
Op te merken is dat uit (1) volgt: φ = 120° uit (2): α3 = 60°
Met behulp van de halveringsformule (5) vindt men gemakkelijk:
z3 = R√3 en a3 = R/2 uit (7) volgt dan S3 = (3R2√3)/4 = 3a²√3
Natuurlijk kan men met de verdubbelingsformule (4) en de apothemaformule (3) dan z12 , a12 en S12 bepalen en vervolgens z32 , a32 en S32 enz.
3- de omtrek en oppervlakte van kromlijnige meetkundige figuren: de cirkel en cirkelsector
- Cirkelomtrek:
Stelling 4: "De lengte p(cko) van een cirkelomtrek is de limiet (5) van de omtrekken pn en qn van respectievelijk een convexe regelmatige koordenveelhoek en een convexe regelmatige raaklijnenveelhoek, wanneer het aantal zijden onbeperkt toeneemt."
Men schrijft dit als:
p(cko) = lim n→oneindig pn en q(cko) = lim n→oneindig qn met pn < cko < qn
Men toont in de axiomatische meetkunde verder aan dat die limiet bestaat en enig is.
Neemt het aantal zijden van een convexe regelmatige ingeschreven veel hoek onbepaald toe, dan is de limiet van het apothema an de straal van de omgeschreven cirkel.
lim n→oneindig an = R
Stelling 5: Alle cirkels zijn gelijkvormig. Twee cirkelomtrekken verhouden zich tot elkaar als hun stralen
Gevolg: de verhouding van de cirkelomtrek tot de middellijn (2R) is dezelfde voor alle cirkelomtrekken. Het getal dat gelijk is aan de verhouding van een cirkelomtrek tot zijn middellijn wordt voorgesteld door het symbool π. Het getal π is een irrationaal getal waarvan een benaderende waarde op verschillende manieren kan berekend worden (6) .
De omtrek van een cirkel is bijgevolg:
p(cko) = 2π x R.
Methode van Archimedes(7): De meest eenvoudige methode om π te berekenen is de methode van Archimedes (8) , ongetwijfeld de grootste wiskundige uit de Oudheid.
Archimedes gebruikte de formules (a) en (b) van Stelling 3 en ging uit van de zeshoek dus met z6 = R = 1 ; derhalve was p6 = 3 en q6 = 2√3. Achtereenvolgens berekende hij dan p12 en q12, p24 en q24, p48 en q48, en uiteindelijk p96 en q96. Hij vond aldus de benaderende waarden : 3,141031.. en 3,142174...
Voor de meeste toepassingen volstaat de benaderende waarde π = 3,14 .. Soms gebruikt men de waarde π ≈ 22/7. Let wel het gaat hier om een benaderende waarde (teken: ≈): π is een irrationaal getal en kan dus nooit een quotiënt zijn van twee natuurlijke getallen als 22 en 7.
- Cirkeloppervlakte:
Stelling 6 (stelling van Archimedes): "De oppervlakte van de cirkel is gelijk aan deze van een rechthoekige driehoek waarvan een rechthoekzijde gelijk is aan de straal, de andere rechthoekzijde gelijk is aan de omtrek van de cirkel"
Het bewijs van deze stelling is een reductio ad absurdum...
Eerst onderstelt Archimedes dat het oppervlak van de cirkel groter is dan dat van de genoemde rechthoekige driehoek. Hij beschouwt een ingeschreven regelmatige veelhoek en verdubbelt stelselmatig het aantal zijden. Hierdoor sluit de veelhoek steeds dichter bij de cirkel aan. Hij toont aan dat het oppervlak van de ingeschreven veelhoek altijd kleiner blijft dan dat van de genoemde driehoek. Als de veelhoek de cirkel dicht genoeg nadert, moet zijn oppervlak echter groter worden dan dat van de driehoek. Dat is een tegenspraak. De eerste onderstelling kan dus niet waar zijn.
Vervolgens beschouwt hij de mogelijkheid dat het oppervlak van de cirkel kleiner is dan dat van de genoemde rechthoekige driehoek. Een gelijkaardige redenering, maar nu met omgeschreven veel hoeken, stuit weer op een tegenspraak. Er is dus geen andere mogelijkheid dan dat de cirkel en de driehoek een gelijk oppervlak hebben. Daarmee is het bewijs geleverd.
De oppervlakte van de cirkel is de limiet van de oppervlakte van een convexe regelmatige veelhoek, wanneer het aantal zijden onbeperkt toeneemt.
S(cirkel) = lim n→oneindig Sn
Gevolgtrekking 1: De oppervlakte van de cirkel is gelijk aan het halve product van de cirkelomtrek en de straal
Of uitgedrukt in formulevorm S(cirkel) = (2πR/2) x R
Hieruit volgt:
S(cirkel) = π x R²
Gevolgtrekking 2: "De oppervlakten van twee cirkels verhouden zich als de vierkanten van hun stralen."
- Cirkelboog en oppervlakte van een cirkelsector:
Definities: In twee willekeurige cirkels zijn bogen gelijk wanneer zij op gelijke middelpuntshoeken staan. Twee bogen zijn even lang als ze dezelfde lengte hebben. Gelijke bogen zijn even lang als ze tot dezelfde cirkel of tot gelijke cirkels behoren. Een radiaal of straalhoek is de middelpuntshoek, die op een boog staat gelijk aan de straal.
Stelling 1: De lengte van gelijke bogen verhouden zich als hun stralen
Stelling 2: De lengte van een boog is gelijk aan het product van de straal en het maatgetal van de bijhorende middelpuntshoek, als voor deze laatste, de radiaal tot hoekeenheid wordt gekozen
p(boog) = θ x R (middelpuntshoek θ uitgedrukt in radiaal) of uitgedrukt in graden:
p(boog) = 2π. R . α°/360° = π.R.α°/180°
Stelling 3: Cirkelsectoren met dezelfde middelpuntshoek verhouden zich als het vierkant van hun stralen
Stelling 4: De oppervlakte van een cirkelsector is gelijk aan het product van het kwadraat van de straal en het maatgetal van de middelpuntshoek, als voor deze laatste de radiaal als hoekeenheid genomen wordt
S(cirkelsector) = θ x R²/2 (middelpuntshoek θ uitgedrukt in radiaal) of uitgedrukt in graden
S(cirkelsector) = π x R²x α°/360°
Vraag: Hoe kan je op een eenvoudige manier de oppervlakte van een cirkelsegment berekenen?
------------------
(1) Irrationale of beter onmeetbare getallen. Het heeft mij steeds verwonderd dat noch in het lager, noch in het lager middelbaar onderwijs expliciet over irrationale getallen gesproken werd.
Het bewijs uit het ongerijmde berust op het axioma van de uitgesloten derde of van het uitgesloten midden, ook wel tertium non datur (Lat., "een derde is niet gegeven"). Dit axioma houdt in dat iedere uitspraak waar, dan wel onwaar is; een andere, derde, mogelijkheid is er niet. De bewijsvoering gebeurt als volgt:
- men neemt het tegengestelde aan van de stelling die te bewijzen is
- de tegengestelde stelling leidt tot gevolgtrekkingen, die in strijd zijn met de eerste stelling
- men besluit dat de tegengestelde stelling vals is en bijgevolg dat de eerste stelling waar is
Deze onrechtstreekse bewijsvoering is zo overtuigend als een rechtstreekse. Men zegt dat het overtuigt zonder de geest te verlichten.
Het bewijs door contrapositie is een methode om het wiskundig bewijs te geven van de stelling als A dan B, door het bewijzen van de stelling als niet B dan niet A. In de klassieke logica is deze laatste stelling equivalent aan de eerste: een bewijs van de ene stelling is ook een bewijs van de ander.
(4) de regelmatige tienhoek evenals de regelmatige vijfhoek en vijftienhoek werden vroeger niet behandeld in het Lager Secundair Onderwijs, omdat voor de berekening van z10 in functie van R de Gulden Snede (meetkundige constructie) nodig is. Voornoemde regelmatige veelhoeken worden wel behandeld in de hogere humaniora.
(5) Het begrip limiet is hier een intuïtief begrip; een strenge wiskundige formulering van dit begrip is niet mogelijk in het lager secubdair onderwijs. Let wel dat er met limieten omgesprongen en gerekend werd lang voor Cauchy en Weierstrass dit begrip scherp definieerden Voor een interessant artikel over het limiet begrip zie de inaugurale rede van Pierre Joseph Henri Baudet (1891-1921): http://www.math.ru.nl/werkgroepen/gmfw/bronnen/pbaudet2.html
(6) voor een interessante monografie over het getal π zie bvb Pi van Frits Beukers (Epsilon, -2004-). In hoofdstuk 2 wordt de methode van Archimedes ter berekening van π uiteengezet. Archimedes vertrok van een regelmatige zeshoek.
(8) Gedurende tweeduizend jaar, tot de zeventiende eeuw met de opkomst van de differentiaal- en integraal rekening, was de methode van Archimedes vrijwel de enige om pi te berekenen. Ludolph van Ceulen (1540-1610) - http://nl.wikipedia.org/wiki/Ludolph_van_Ceulen- van de Leidense universiteit bepaalde, na jarenlang rekenwerk, maar liefst 35 decimalen van pi. Deze 35 decimalen waren op zijn grafsteen in de Pieterskerk te Leiden uitgebeiteld. Helaas is deze grafsteen in de negentiende eeuw spoorloos verdwenen. Een aantal wiskundigen namen echter het initiatief om een kopie van deze grafsteen in de Pieterskerk te laten plaatsen. Deze feestelijke en publieke gebeurtenis vond plaats op 5 juli 2000. De methode wordt uiteengezet in "Over de Cirkelmeting", een miniscuul werkje dat de stellingen van Archimedes (hier stellingen 3 en 6) behandelt, stellingen, die niet in de Elementen van Euklides voorkomen.
De geschriften van Archimedes werden voor het eerst in het Frans vertaald door Paul Ver Eecke (1897-1959) -zie http://fr.wikipedia.org/wiki/Paul_ver_Eecke - in 1921. Paul Ver Eecke was een mijningenieur, die een zeer grote belangstelling had voor de Griekse wiskunde en o.m naast het werk van Archimedes van Syracusa ook de werken van Apollonios van Perga, van Pappos en Diophantes van Alexandrië uit het Grieks heeft vertaald. Deze vertalingen, die dateren van de jaren twintig, worden nog steeds als dé referentie op dit gebied aanzien. Iedere Grieks-Latinist, met interesse voor de Griekse wiskunde, zou deze werken in zijn bibliotheek moeten hebben. Helaas ze zijn niet goedkoop want erg zeldzaam geworden.
Er bestaat ook een Engelse vertaling van de geschriften van Archimedes getiteld "The Works of Archimedes", die dateert van 1897 en van de hand is van Thomas Heath (te verkrijgen bij Dover Books).
§10.2 Planimetrie en Dalle's Eerste en Tweede Boek (II)
(Hoofdstuk 10 "Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 10.2 Planimetrie en Dalle's Eerste en Tweede Boek -vervolg-
II- De Stellingen in Dalle's Eerste en Tweede Boek
Dalles Boek I omvat 33, Boek II 26 stellingen, waarvan noch de nummering noch de formulering overeenstemt met de fameuze proposities van de « Elementen » van Euklides. Teneinde Dalles stellingen duidelijk te onderscheiden met de stellingen geformuleerd door Euklides wordt de nummering voorafgegaan door een letter D. Zo betekent D II.3 stelling 3 in het Tweede Boek van Dalle en Dewaele, daarentegen betekent II.3 de derde stelling in Boek II van de Elementen (1) .
Dalles bewijsvoering van iedere stelling volgde niet altijd het strenge en strakke schema « Gegeven, Te Bewijzen, Bewijs », dat ons door de Snor in de KCS zal opgelegd worden; voor mij een conditio sine qua non voor een goed en juist begrijpen van elke stelling of theorema. Toch was de bewijsvoering in Dalles leerboek ruimschoots voldoende om te weten waarover het ging.
De 59 stellingen van Dalles eerste twee boeken vormen de grondslagen of fundamenten van de deductieve meetkunde. Toch maakte in 1954 het geheel op mij eerder een verwarde indruk, vooral voor wat de opeenvolging van de onderwerpen en stellingen betrof. Dalles Eerste Boek bevatte immers op het laatst ook nog een zevental toepassingen en het Tweede Boek een zestiental werkstukken of meetkundige constructies, telkens met bewijsvoering.
Waarom bvb de Toepassingen van Boek I niet als stellingen of theoremas geklasseerd waren, werd mij maar duidelijk na het doornemen van Heaths « Euclid, The Thirteen Books of the Elements »: deze toepassingen maakten geen deel uit van de Elementen en werden eerst later door Leonhard Euler (zie: http://www.hhofstede.nl/modules/lijnenindriehoeken.htm) ontdekt en ingevoerd. Blijkbaar wenste Antoine Dalle een onderscheid te maken tussen de stellingen beschreven in de Elementen en deze uit andere bronnen.
Op het einde van Dalles Boeken was er ook een synopsis met de bedoeling om een logische lijn in het geheel te brengen:
- In het Eerste Boek kwamen vooreerst een aantal stellingen over de eigenschappen van hoeken aan de orde. Vervolgens ging het over een eerste reeks eigenschappen van veelhoeken, waarop dan een reeks stellingen over de driehoeken aan de orde kwam. Dan volgen een aantal stellingen over de evenwijdige rechten en volgde een tweede reeks stellingen over (de binnenhoeken van) driehoek en veelhoeken. Onder de hoofding parallellogram werden werd verder enige aandacht besteed aan vierhoeken i.h.b. meetkundige figuren als rechthoek, ruit, vierkant. Het Eerste Boek sloot af met enkele toepassingen (in feite stellingen) over de middenparallel en over de snijpunten de zwaartelijnen, de middelloodlijnen, de hoogtelijnen, en de bissectrices in een driehoek.
- In het Tweede Boek gingen de stellingen eerst over de eigenschappen van koorden en bogen, vervolgens over raaklijnen en normalen. Volgden dan een reeks stellingen over rakende en snijdende cirkelomtrekken en over het meten van hoeken en bogen. In- en omgeschreven figuren (koordenvierhoek, raaklijnenvierhoek, om- en ingeschreven cirkel van een driehoek) vormden het volgende onderwerp. Het Tweede Boek sloot af met een aantal meetkundige constructievraagstukken.
In Dalles Leerboek waren Rechtstreekse en Omgekeerde stellingen schering en inslag. Dergelijke stellingen kunnen echter veelal teruggebracht worden in één stelling De nodige en voldoende voorwaarde opdat.. (A) is.. (B) (2) wat niet alleen het uit het hoofd leren maar ook de bewijsvoering aanzienlijk vergemakkelijkt. Voor het samenvatten in één stelling is echter wel perfecte equivalentie vereist. Bij de bewijsvoering van de Rechtstreekse stelling (nodige voorwaarde) is dan A gegeven en moet B bewezen worden; bij de Omgekeerde stelling (voldoende voorwaarde) is B gegeven en moet A bewezen worden. In de Cadettenschool was de Snor een groot voorstander van een dergelijke aanpak.
1° De stellingen van Dalles Boek I:
- Stellingen betreffende hoeken en elkaar snijdende rechten:
D I.1 « In een punt op een rechte gelegen kan men op die rechte een loodlijn oprichten en niet meer dan één »
D I.2 « Twee nevenhoeken zijn elkaars supplement » en de omgekeerde stelling « Als twee aanliggende hoeken elkaars supplement zijn, dan vallen hun buitenbenen in elkaars verlengde »
D I.3 « Overstaande hoeken zijn gelijk » en de omgekeerde stelling « Hebben twee gelijke hoeken eenzelfde hoekpunt, twee benen in elkaars verlengde, en liggen de twee andere benen aan weerskanten van de rechte door de eerste benen gevormd, dan liggen die andere benen ook in elkaars verlengde »
D I.4 « Uit een punt buiten een rechte, kan op die rechte een loodlijn neergelaten worden, doch niet meer dan één »
D I.5 « Een rechte snijdt de omtrek van een convexe veelhoek in niet meer dan twee punten »
Commentaar: Stellingen D I.1 en D I.4 worden de loodlijnstellingen genoemd en betreffen een op te richten loodlijn in een punt van een gegeven rechte en een neer te laten loodlijn op een gegeven rechte uit een punt buiten deze rechte gelegen. De formulering en de bewijsvoering van deze stellingen bij Dalle is identiek met deze aangegeven in « Leçons de Géométrie » van Jacques Hadamard (3) .
De bewijsvoering van D I.1 is eenvoudig: eerst wordt aangetoond dat er een loodlijn bestaat of moet bestaan. Het is immers steeds mogelijk een halve rechte in het gegeven punt op te richten, waardoor 2 (ongelijke) nevenhoeken ontstaan. Door wentelen van die halve rechte ontstaan op een bepaald ogenblik gelijke nevenhoeken en is de halve rechte dus bij definitie een loodlijn. Er is maar één loodlijn mogelijk, want er maar één stand van de halve rechte is waarbij gelijke nevenhoeken gevormd worden. Door een soortgelijke redenering bewijst men, dat iedere hoek slechts één deellijn heeft en slechts één, dat een lijnstuk slechts één middelpunt heeft en slechts één
Daarentegen is de bewijsvoering van D I.4 heel wat meer omslachtig en subtiel. Er is een hulptekening nodig en er wordt beroep gedaan op het congruentie-axioma. Voor beginners een zware dobber.
De Rechtstreekse en Omgekeerde stellingen van D I.2 laten zich samenvatten als:
De nodige en voldoende voorwaarde opdat twee hoeken nevenhoeken zijn, is dat de som van beide gelijk is aan twee rechte hoeken
Daarentegen laten de rechtstreekse en omgekeerde stellingen van D I.3 zich niet samenvatten in een nodige en voldoende voorwaarde daar er tussen beide stellingen geen perfecte equivalentie is.
- Eigenschappen van de gelijkbenige en gelijkzijdige driehoek
D I.6 « Als twee zijden van een driehoek gelijk zijn dan zijn de hoeken daar tegenover gelijk » en omgekeerde stelling « Als een driehoek twee gelijke hoeken heeft, dan is hij gelijkbenig »
Commentaar: Voor de bewijsvoering van D I.6 wordt bij Dalle en ook bij Hadamard gebruik gemaakt van een kunstgreep, het congruentie-axioma (axioma 4 uit Boek I van de Elementen) én voor de rechtstreekse én voor de omgekeerde stelling;
Voor de rechtstreekse stelling bezigt Euklides dezelfde kunstgreep. Voor de omgekeerde stelling doet Euklides echter beroep op een bewijs uit het ongerijmde (reductio ad absurdam).
Stelling D I.6 kan samengevat worden als: « De nodige en voldoende voorwaarde opdat men een gelijkbenige driehoek zou hebben, is dat de hoeken daartegenover gelijk zijn »
Gevolgen:
1° In elke gelijkbenige driehoek is dezelfde rechte bissectrice van de tophoek, zwaartelijn, hoogtelijn en middelloodlijn op de basis
2° Een gelijkzijdige driehoek heeft drie gelijke hoeken en omgekeerd iedere driehoek met drie gelijke hoeken is gelijkzijdig
§ 10.1 Planimetrie en Dalle's Eerste en Tweede Boek (I)
(Hoofdstuk 10 "Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 10.1 Planimetrie en Dalle's Eerste en Tweede Boek
Deductieve Meetkunde (1) diende normaal al onderwezen te worden vanaf het tweede jaar middelbaar en niet vanaf het derde middelbaar althans volgens de ministeriële omzendbrief van 1949. In het Officieel Rijksonderwijs werd deze omzendbrief vrijwel onmiddellijk toegepast. In het Vrij Onderwijs was echter een aanpassingsperiode nodig.
Begin de jaren vijftig, werd in het Sint Lodewijkscollege nog steeds het leerplan, daterend van vóór WOII - d.i. volgens de ministeriële omzendbrief van 1938-, gevolgd. Met het gevolg, dat deze meetkunde nog steeds vanaf het derde middelbaar (de vierdes) onderwezen werd, terwijl in andere onderwijsinstellingen (bvb athenea), dit dus al gebeurde vanaf het tweede middelbaar (de vijfdes).
Of dit vroegtijdig invoeren van de Deductieve Meetkunde een gelukkig initiatief was, blijft naar mijn mening een open vraag. Wellicht ware het beter geweest de leerstof Intuïtieve Meetkunde eerst nog wat meer uit te breiden? Hoe dan ook ik werd met de Deductieve Meetkunde geconfronteerd bij mijn voorbereiding voor het toelatingsexamen van de Cadettenschool.
Het leerboek « Deductieve Meetkunde », dat door mijn collegeleraar (E.H. Van Vooren) strikt en slaafs in de vierde humaniora gevolgd werd, was het bekende Leerboek der Meetkunde voor middelbaar en normaal onderwijs -Vlakke Meetkunde- van Antoine Dalle en Camille De Waele. Het betrof hier de Nederlandse vertaling van - « Cours de Géométrie à lusage de lenseignement moyen et de lenseignement normal: Géométrie plane et Eléments de Topographie ».
Het boek deed verder ook dienst in de derdes en de tweedes terwijl in rhetorica, het onderwijs in de deductieve meetkunde zou voortgezet worden met een tweede leerboek over de meetkunde der ruimte Leerboek der Meetkunde voor middelbaar en normaal onderwijs Stereometrie- van dezelfde auteurs.
Dit laatste boek was dan de Nederlandse vertaling van - « Cours de Géométrie à lusage de lenseignement moyen et de lenseignement normal: Géométrie dans lespace avec compléments ». Beide boeken bevatten een zeer groot aantal vraagstukken, waarvan de oplossing gegeven werd in een derde boek « 2000 Théorèmes et Problèmes de Géométrie avec solutions ». Dit laatste boek werd echter naar mijn weten nooit in het Nederlands vertaald.
De eerste edities van deze leerboeken dateerden al van vóór de Eerste Wereldoorlog want in 1914 verscheen immers al een vierde druk. Voor zover ik heb kunnen nagaan verscheen er zelfs nog een herdruk van de Vlakke Meetkunde in 1980! Zelf gebruikte ik de achttiende editie daterend van 1951.
Het dient gezegd, deze leerboeken hadden een goede faam en worden nog altijd hoog aangeschreven ook in Frankrijk, waar in dezelfde periode, bvb een Comberousse, een Hadamard, voorhanden waren (zie blog 2 cursiefje §4.1). Voor sommigen zijn deze boeken ik citeer- : ..Le nec plus ultra des cours de géométrie euclidienne dans les années 1960-1970 (ces cours sont) maintenant introuvables, excepté dans certaines bibliothèques universitaires
Over de auteurs van deze leerboeken heb ik weinig kunnen terugvinden. Antoine Dalle, de wiskundeleraar en werkelijke auteur van deze boeken, was een Broeder (Frère Majorin) van de Christelijke Scholen. Hij behoorde tot het Institut Saint Ferdinand», een instituut, dat nog in 2000 zijn honderdvijftig jaar bestaan vierde. Camille De Waele (1872-1927) was directeur van hetzelfde Instituut gedurende WOI.
De leerboeken van Antoine Dalle en Cyrille De Waele behandelen het meetkundig gedeelte van de Elementen van Euclides, een werk, dat gedurende meer dan tweeduizend jaar, de Westerse wiskunde beheerst heeft. Ook was er net zoals bij Euklides een indeling in « Boeken » (4 voor de vlakke en 4 voor de ruimtemeetkunde).
Toen ik in 1954 mijn meetkundestudie ter voorbereiding van het toelatingsexamen KCS begon, dacht ik zelfs dat deze leerboeken een aangepaste en herwerkte vertaling waren van de fameuze Boeken van Euklides. Deze herwerking was immers noodzakelijk daar, sinds Euklides, nog andere meetkundigen zoals bvb Euler, Gauss, Wallace, Ceva.. hun steentje hadden bijgedragen tot de verdere uitbouw van de Deductieve Meetkunde.
Eerst na mijn humaniora zal ik maar vaststellen dat, noch de opeenvolging van de stellingen, noch hun nummering overeenstemden met de « Propositiones » (d.i. stellingen of theorema's) in de fameuze Boeken van de beroemde Alexandrijnse wiskundige. Er was een Sir Thomas Heath en vooral zijn driedelig werk « Euclid, the Thirteen Books of the Elements -translated with introduction and commentary- » (Dover, -1956-) (2) nodig om mij van dit eerste valse idee af te helpen.
De Elementen (Grieks: Στοιχεῖα - Stoicheia) is een verzamelwerk, dat bestaat uit dertien Boeken, geschreven door de Hellenistische wiskundige Euklides te Alexandrië in het begin van de derde eeuw voor onze tijdrekening. In het oorspronkelijke werk verzamelde en formaliseerde Euklides volgens Heath 97 definities en 465 stellingen, theoremas of propositiones met wiskundig bewijs.
Het is gebruikelijk deze stellingen aan te duiden met een Romeins cijfer gevolgd door een Arabisch cijfer waarbij het eerste cijfer het Boek, het tweede cijfer het nummer van de stelling aangefft. Zo stelt I.47 stelling 47 in Boek I voor (het betreft hier de stelling van Pythagoras), die bij Euklides reeds in het Eerste Boek voorkomt.
In het eerste boek komen naast 23 definities ook nog vijf postulaten en vijf algemene inzichten (d.i. axiomas) voor. Voor de meetkundige bewijzen mag men alleen gebruik maken van een passer (om cirkels te trekken) en een liniaal (om lijnen te trekken). Er wordt niet gemeten, noch met de passer (zie: http://www.pandd.demon.nl/inversie/passermeetk.htm), noch met de liniaal, noch wordt er gebruik gemaakt van de winkelhaak. Het gebruik van deze meetkundige instrumenten is voorbehouden voor het tekenwerk (praktische of intuïtieve meetkunde).
De eerste Nederlandse vertaling van Euklides' werk verscheen van de hand van Claes Jansz. Voogd onder de titel « Euclidis'Beginselen der Meetconst » (3) in 1695. "Beginselen der Meetconst" heeft het echter over de 15 "boeken" van Euklides; in werkelijkheid zijn het er slechts 13, want twee ervan worden verkeerdelijk aan Euklides toegeschreven. Een recente vertaling met commentaar is van de hand van Eduard Jan Dijksterhuis en verscheen in 1929 onder de titel « De Elementen van Euklides ».
De « Elementen » van Euklides handelen niet alleen over Meetkunde maar ook over Arithmetiek (Getallenleer); de Arithmetiek wordt echter vanuit geometrisch standpunt bekeken. Boeken I tot VI gaan over vlakke meetkunde (planimetrie), boeken VII tot X over Arithmetiek, boeken XI tot XIII over ruimtemeetkunde (stereometrie). In boeken VII tot IX komen bvb zaken als het algorithme van Euklides voor het vinden van de GGD en de oneindigheid van de verzameling priemgetallen aan de orde. Boek X is vermoedelijk van de hand van Eudoxos en handelt over de onmeetbare getallen. Het Boek X bevat het grootst aantal stellingen (115) en is moeilijke lectuur. De verdeling van de definities en stellingen over de Boeken van Euklides is als volgt:
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
23
2
11
7
18
4
22
0
0
4
28
0
0
48
14
37
16
25
33
39
27
36
115
39
18
18
De Meetkunde in Euklides' Elementen (deel Planimetrie) is ingedeeld als volgt:
Boek I Fundamenten van de meetkunde (eigenschappen van driehoeken, parallellen en oppervlakken)
Boek II Meetkundige algebra
Boek III Meetkundige eigenschappen van cirkels
Boek IV Meetkundige constructie van veelhoeken in cirkels
Boek V Eigenschappen van meetkundige verhoudingen
Boek VI Gelijkvormigheid en berekening van oppervlakten
Voor wat betreft de stereometrie heeft men dan :
Boek XI Ruimtemeetkunde
Boek XII Berekening van de inhoud van ruimtelijke figuren
Boek XIII Regelmatige ruimtelijke figuren
Het meetkundig deel van de « Elementen » vormde en vormt nog altijd een object van intense studie. Bekende namen zijn hier bvb Proclos, Geminus, Mayfair en Tannery...
Als laatste in rij zou ik hier de Nederlander Dick Klingen willen vermelden, waarvan de site ( http://www.pandd.demon.nl/elementen.htm ) absoluut te bezoeken en te bekijken is.
De Arithmetiek, behandeld in Euklides' « Elementen » is als volgt ingedeeld:
Boek VII Fundamenten van de Griekse Getallenleer
Boek VIII Meetkundige reeksen en gebroken getallen
Boek IX Even en oneven getallen en priemgetallen
Boek X Onmeetbare getallen
* * *
Maar terug naar Dalle en De Waele. In werkelijkheid waren de boeken van Dalle en De Waele voor een overgroot deel geïnspireerd door de "Eléments de Géométrie" van de befaamde Franse wiskundige Adrien Marie Legendre (4) . Laatstgenoemd werk bevatte ook nog een "Traité de Trigonométrie" (vlakke en boldriehoeksmeting), gedeelte dat door Dalle en De Waele niet weerhouden werd, blijkbaar om didactische redenen. Sommige didactici waren immers van oordeel dat een scheiding tussen de "zuivere" meetkunde en driehoeksmeting wenselijk was.
Het Eerste Boek Rechtlijnige Figuren van Dalle en De Waele telde 33 stellingen en omvatte een aantal begrippen en axiomas in relatie tot punten, lijnen, rechten, hoeken, loodlijnen, evenwijdige rechten en vooral enkele zeer belangrijke definities en stellingen betreffende de driehoeken (congruentie, som van de binnenhoeken is gelijk aan 2 rechte hoeken ) met applicatie op de bekende vierhoeken (vierkant, rechthoek, parallellogram, ruit..). Een aantal bijzondere stellingen ( als Toepassingen gecatalogeerd) betreffende de drie zwaartelijnen, de drie middelloodlijnen en de drie hoogtelijnen in een driehoek, sloten het Eerste boek af.
Het Tweede Boek Cirkelomtrek en Maat van Hoeken telde 26 stellingen en omvatte naast een reeks onvermijdelijke definities (cirkelomtrek, cirkel, straal, koorde, boog ) enkele theoremas over koorden en bogen, raaklijnen en normalen, snijdende en rakende cirkelomtrekken, meten van hoeken en tenslotte de theorie over de ingeschreven en omschreven figuren. Het Tweede Boek werd afgesloten door een specifiek hoofdstuk over meetkundige werkstukken of constructies in relatie tot het Eerste en Tweede Boek. Voor deze werkstukken, die als een bijzonder type stellingen worden beschouwd, mochten alleen passer en liniaal gebruikt worden(groot verschil met de Intuïtieve Meetkunde, waar ook winkelhaak en gradenboog gebruikt werden).
Het Derde Boek Gelijkvormigheid en Oppervlakte van Rechtlijnige Figuren telde 34 stellingen en handelde over evenredige lijnstukken, gelijkvormige driehoeken en veelhoeken, over het begrip oppervlakte en het meten van oppervlakten(rechthoek, parallellogram, driehoek, trapezium), en over de betrekkingen tussen de vierkanten en rechthoeken geconstrueerd op de zijden van driehoeken : de stelling van Pythagoras, de projectiestellingen en de zwaartelijnstelling en de stelling van Euler, de stelling van Stewart. Hierop volgde de theorie van de ingeschreven figuren (vierhoeken): het theorema betreffende de macht van een punt t.o.v. een cirkel, de productstellingen (isogonaal verwante rechten), de stellingen van Ptolemaios. Zoals bij het Tweede Boek werd het Derde Boek afgesloten met een reeks meetkundige constructies waaronder de fameuze Gulden Snede.
Het Vierde Boek Regelmatige Veelhoeken en Cirkel telde slects 15 stellingen en bevatte een studie over de regelmatige veelhoeken en hun meetkundige constructie (vierkant, zeshoek, gelijkzijdige driehoek, tienhoek en vijfhoek), de theorie over de lengte van de cirkelomtrek en de oppervlakte van de cirkel en de methodes om de verhouding van de cirkelomtrek tot de middellijn (Saurin, Schwab) te berekenen.
Het Complement omvatte wat Schuh de Nieuwere Meetkunde (5) noemde. De in het Complement behandelde leerstof was uitsluitend voorbehouden voor het hoger secundair onderwijs (moderne humaniora).
Voortgaande op het examenprogramma van het toelatingsexamen van de Cadettenschool, wist ik dat de te kennen examenleerstof verwerkt was in de vier boeken van Dalle en De Waele. Daar andere meetkundeboeken (zoals die bvb van de collectie Mineur) mij op dat ogenblik totaal onbekend waren of nog niet op de markt waren (zoals bvb die van de collecties Bockstaele of Herbiet), nam ik als leidraad Dalles boek mij beperkend tot de zogenaamde Vier Boeken en met uitsluiting van het bijhorende "Complement".
In de herfst van 1954 heb ik dan ook vele avonden doorgebracht met het verwerken van deze materie. Eerlijk gezegd interesseerde deze deductieve meetkunde mij wel want ik kreeg een antwoord op een aantal vragen, die ik mij gesteld had bvb Waarom is de som van de hoeken van een driehoek altijd 180°? Waarom snijden de drie hoogtelijnen, zwaartelijnen elkaar in één punt? Wat betekent π eigenlijk?
I- Van Intuïtief Begrip naar Precieze Definitie (partim boeken I en II) :
Vooraleer te starten met de diverse te bewijzen stellingen is het nodig enkele door observatie en intuïtie verkregen noties wat scherper te definiëren. Deze definities vindt men bij Dalle en De Waele gespreid terug in de Boeken I en II. Uiteraard vindt men deze definities ook terug bij Euklides maar dan wel in het begin van de Boeken I, III, en V.
De formuleringen van Euklides zijn soms moeilijk te vatten en te interpreteren. Grieks is zoals Latijn een dode taal en zelfs na vergelijken van de oorspronkelijke Griekse tekst met de Latijnse vertaling van Proklos blijft er discussie over de juiste betekenis van sommige woorden en uitdrukkingen (voer voor taalgeleerden!).
- Boek I van de « Elementen » van Euklides start met 23 definities: punt (1), lijn (2), uiteinden van een lijn (3), rechte lijn (4), vlak (5), uiteinden van een vlak (6), plat vlak (7), hoek in een plat vlak (8), hoek in een plat vlak of rechtlijnige hoek (9), rechte hoek en loodrechte in een plat vlak (10), stompe hoek in een plat vlak (11), scherpe hoek in een plat vlak (12), meetkundige grens (13), meetkundige figuur (14), cirkel (15), middelpunt van een cirkel (16), diameter van een cirkel (17), halve cirkel (18), rechtlijnige figuren -driezijdige, vierzijdige en meerzijdige figuren- (19), soorten driezijdige figuren of driehoeken -gelijkzijdige en gelijkbenige driehoeken- (20), rechthoekige en stomphoekige driehoek, scherphoekige driehoek (21), vierkant, rechthoek, parallellogram, ruit en trapezium (22), evenwijdige rechten (23).
Het is evident dat al deze begrippen niet zo maar uit de lucht vielen en hun oorsprong vinden in de dagdagelijkse praktijk (belang van de Intuïtieve Meetkunde !!!); het kwam er op aan deze intuïtieve begrippen een messcherpe omschrijving of definitie te geven, die bruikbaar was voor een axiomatische meetkunde en dat was precies het probleem waar Euklides voor stond.
Naast deze definities omvat Boek I dan ook nog een aantal postulaten (meetkundige axioma's) en axioma's:
- postulaat 1 het is steeds mogelijk een punt met een ander punt te verbinden met een rechte lijn
- postulaat 2 het is steeds mogelijk een lijnstuk op een rechte af te beelden
- postulaat 3 het is steeds mogelijk een cirkel met gegeven middelpunt en straal af te beelden
- postulaat 4 alle rechte hoeken zijn gelijk
- postulaat 5 indien een rechte twee rechten snijdt onder inwendige hoeken waarvan de som kleiner is dan twee rechte hoeken, dan snijden bij verlenging deze rechten elkaar behalve in het geval dat de som der inwendige hoeken gelijk is aan twee rechte hoeken.
Dit fameuze vijfde postulaat heeft veel inkt doen vloeien en later werd door Playfair (6) volgende formulering voor gesteld:
« Door een gegeven punt buiten een gegeven rechte gelegen kan men, in het (platte) vlak bepaald door dit punt en de gegeven rechte, één en slechts één evenwijdige rechte met de gegeven rechte trekken »
Het is deze laatste formulering, die men in de schoolboeken, die over deductieve meetkunde handelen, aantreft, althans in de vorige eeuw.
Als axioma's (wat bij Euklides "algemene inzichten" heette) had men:
- axioma 1 Dingen die aan een ander ding gelijk zijn, zijn ook aan elkaar gelijk (als A gelijk is aan C, en B is gelijk aan C, dan is A gelijk aan B)
- axioma 2 Als men aan gelijke dingen gelijke dingen toevoegt, zijn de totalen ook gelijk (als A gelijk is aan B, dan is A+C gelijk aan B+C)
- axioma 3 Als men van gelijke dingen gelijke dingen afneemt, zijn de resten ook gelijk (als A gelijk is aan B, dan is A-C gelijk aan B-C)
- axioma 4 Dingen die met elkaar overeenkomen zijn gelijk (als figuur A op figuur B past, en figuur B op A past, dan zijn de figuren gelijk) = congruentie-axioma
- axioma 5 Het geheel is groter dan het deel (A+B is groter dan A)
- Boek V van de « Elementen » van Euklides handelt over (meetkundige) grootheden en verhoudingen en omvat 18 definities, die uiteraard van groot belang waren, inzonderheid voor Dalle's Tweede Boek, waaronder: deel van een grootheid (1), veelvoud van een grootheid (2), ratio (verhouding of reden) van twee gelijksoortige grootheden (3), gelijkheid van verhoudingen (5), evenredige grootheden (6), omgekeerd evenredige groorheden (13).
In de moderne meetkunde (7) worden Euclides definities en axioma's heden anders geformuleerd. Wat de Elementen zo beroemd maakte, is de axiomatische onderbouwing van de meetkunde en dat er stellingen bewezen worden uitgaande van axiomas. De vijf postulaten zijn de axiomas van de Euclidische meetkunde. Moderne Wiskunde, inzonderheid Moderne Meetkunde is echter niet geschikt voor het secundair onderwijs en dat heeft het "Modern Math experiment" wel duidelijk gemaakt...
1° De basisbegrippen: punt, rechte (lijn), plat vlak, ruimte, lichaam
Dalles leerboek startte met een inleidend hoofdstuk Methode der Limieten», een hoofdstuk waarvan de enorme draagwijdte mij op dat ogenblik ontging en dat ik -in eerste lezing- links liet liggen, want niet voorzien in de te kennen leerstof voor het toelatingsexamen KCS.
In een volgend kort hoofdstukje Inleidende Begrippen werden, overeenkomstig Euklides' Elementen, achtereenvolgens de begrippen inhoud, oppervlak, lijn, punt, meetkundig lichaam, meetkundige figuur, meetkunde, lengte, breedte, hoogte, rechte, lijnsegment of lijnstuk, gebroken lijn, kromme lijn, plat vlak, congruentie en dito ingevoerd en wel in de aangegeven volgorde.
Eerlijk gezegd, ik vond dit hoofdstukje bij Dalle wat verward en verwarrend want de overgang intuïtief begrip naar precieze definitie werd niet duidelijk omschreven. Er was een de Snor in de Cadettenschool nodig, om mij later op het juiste spoor te brengen. Ook in Beginselen der Vlakke Meetkunde deel I- (tweede uitgave, 1944) van de collectie Mineur, werden zoals ik eerst maar vele jaren later- kon vaststellen, deze grondbegrippen onvoldoende scherp gedefinieerd. Ongelooflijk, indien men weet, dat de ganse Deductieve Meetkunde op deze grondbegrippen gebaseerd is.
Om deze reden en ook als een eresaluut aan mijn oud-leraar Meetkunde in de Cadettenschool Leo Vanden Bosch (bijgenaamd de "Snor"), volgen hier zijn definities, die veelal teruggaan naar het oorspronkelijke werk van Euklides.
Punten, rechten, vlakken hoeken enz. werden in de aanschouwelijke ofte intuïtieve meetkunde voorgesteld als reële objecten. Bij Euklides (deductieve meetkunde) werden deze begrippen op een axiomatische wijze gedefinieerd, waardoor zij het statuut van "abstract" begrip verkregen.
Een puntwerd bij de Snor -net zoals bij Euklides- gedefinieerd als een meetkundig object zonder uitgebreidheid of dimensie (afmeting). In de Intuïtieve Meetkunde kon men zich een punt voorstellen als een stip. Een punt werd aangeduid door een hoofdletter bvb A of O.
Een lijn is een meetkundig object met één afmeting, in beginsel langs beide zijden onbegrensd of beter waarvan de dimensie onbegrensd is. Een lijn is samengesteld uit een continue puntenreeks en kan diverse vormen (gebogen, gebroken, recht) aannemen. Door twee punten gaan er oneindig veel soorten lijnen of krommen.
Een lijnstuk is het gedeelte van een lijn begrepen tussen twee punten. Het maatgetal van een lijnstuk is de verhouding van dit lijnstuk tot een ander lijnstuk, dat als eenheid genomen wordt en is een bij definitie een onbenoemd getal. De lengte is de maat van een lijnstuk. Deze maat wordt aangegeven door het maatgetal van het lijnstuk t.o.v. een gekozen eenheid die gepreciseerd moet worden.
Een halve lijn is een lijn die langs één zijde begrensd is.
Een rechte lijn of kortweg rechte is een lijn (dus een meetkundig object met één afmeting) bepaald door haar eigenschappen (soms postulaten van de rechte geheten) : 1° - een rechte wordt volkomen bepaald door twee punten wat betekent dat door twee punten één en slechts één rechte gaat; 2° - een rechte is langs beide zijden onbegrensd.
Een recht lijnstuk is een segment van een rechte begrepen tussen twee punten A en B. Een rechte kon dus ondubbelzinnig aangegeven worden door twee punten bvb de rechte AB. Om dergelijke rechte voor te stellen, te tekenen of te construeren zoals dat heette gebruikte men een lat of regel. In het courante spraakgebruik spreekt men veelal van lijnen waar onder dan verstaan moet worden rechte lijnen.
Gebroken lijnen zijn lijnen die niet recht zijn maar uit delen bestaan die recht zijn; kromme lijnen of krommen zijn lijnen, waarvan geen enkel deel, hoe klein ook, recht zijn.
Een rechte lijn werd in de Intuïtieve Meetkunde voorgesteld als een stuk zeer lange, onbegrensde fijne draad, een rechte (lijn) als een strak gespannen draad, gedacht langs beide zijden onbegrensd.
Een vlak werd door de Snor gedefinieerd als een meetkundig object met twee afmetingen en die in beide dimensies onbegrensd gedacht wordt. Een vlak is samengesteld uit continue puntenreeksen in beide dimensies. Vlakken komen in diverse vormen of krommingen (gekromd vlak, plat vlak) voor. Een oppervlak is een door een gesloten lijn begrensd vlak. De oppervlakte is het maatgetal van een oppervlak. Het maatgetal van een oppervlak is de verhouding van dit oppervlak tot een ander oppervlak, dat als eenheid (oppervlakte-eenheid) genomen wordt.
Een plat vlak is een vlak (dus een meetkundig object met twee afmetingen) gedefinieerd door volgende eigenschap, veelal postulaat van het plat vlak geheten: een rechte die 2 punten gemeen met dit vlak heeft, ligt er helemaal in. Een plat vlak is in beginsel onbegrensd in beide dimensies. In het courante spraakgebruik spreekt veelal van vlakken waarbij men dan platte vlakken bedoeld.
Het idee van plat vlak werd in de Intuïtieve Meetkunde verkregen door aanschouwing van een (kalm) wateroppervlak, een spiegel of glazen plaat. Hoewel het vlak onbegrensd is, is het toch voor te stellen door een figuur die in het vlak geconstrueerd is; gewoonlijk tekent men een parallellogram en duidt men dit vlak aan door twee overstaande hoekpunten van het getekende parallellogram; soms duidt men ook het vlak aan met een Griekse letter bvb het vlak α.
Noot: De meetkunde van de meetkundige figuren in een plat vlak, wordt "Vlakke Meetkunde" of ook nog « Euklidische meetkunde » genoemd, want het is deze meetkunde die Euklides in zijn fameuze Elementen behandelde. Maar wat met de meetkundige figuren en hun eigenschappen die in een gekromd vlak gelegen zijn bvb in een kegelvormig (konisch), bolvormig (sferisch) vlak of ellipsoïdaal (8) of hyperboloïdaal (9) vlak? De E.N.S.I.E. leerde mij in 1954 dat ook deze laatste meetkunden bestonden en respectievelijk de elliptische (Riemann, Klein) en hyperbolische (Gauss, Lobachewski) meetkunde genoemd werden. Het grote belang van al deze meetkunden ontging mij toen echter volkomen.
De (meetkundige) ruimte werd door de Snor gedefinieerd als een meetkundig object met drie dimensies, onbegrensd in de drie dimensies. De ruimte is samengesteld uit continue puntenreeksen in de drie dimensies. Een (meetkundig) lichaam is een door een gesloten oppervlak afgesloten ruimte. De inhoud of volume is het maatgetal van een (meetkundig) lichaam. Het maatgetal van een (meetkundig) lichaam is de verhouding van dit lichaam tot een ander lichaam, dat als eenheid (volume-eenheid) genomen wordt.
Een rechte in een vlak verdeelt een plat vlak in twee gebieden, die halfvlakken genoemd worden. Deze rechte wordt dan grensrechte genoemd. Door een halfvlak te laten wentelen rond een van zijn grensrechten is elk halfvlak door een willekeurig punt van de ruimte te brengen.
Het bestaan van platte vlakken volgt uit volgend theorema:
Bestaansstelling van het plat vlak: Door drie niet op één rechte gelegen punten is steeds een vlak aan te brengen en slechts één of nog anders geformuleerd Drie niet- colineaire punten bepalen een plat vlak.
2° De basisbegrippen hoek, loodrechte, evenwijdige rechten
Een hoek werd nu gedefinieerd als zijnde het deel van een plat vlak ingesloten door twee halve rechten, die de benen van de hoek worden genoemd en die in een punt, het hoekpunt samenkomen.
Om tot het intuïtieve begrip hoek te komen, volstond het twee snijdende rechten (bvb AB en CD)te tekenen op een blad papier; deze rechten hadden uiteraard slechts één en niet meer dan één punt gemeen (waarom?) : het snijpunt O . De lijnen OA, OB, OC en OD worden halve rechten genoemd.
Een hoek wordt doorgaans aangeduid worden door drie hoofdletters bvb CÂB. Hoeken worden gedefinieerd als gelijk wanneer ze elkaar volledig kunnen bedekken d.i. als het hoekpunt en de benen op elkaar kunnen vallen.
Let wel dat twee halve rechten, die een hoek vormen, het vlak in twee gebieden verdelen en men spreekt van een inspringende en uitspringende hoek. De inspringende hoek is het gedeelte van het vlak, dat tussen deze halve rechten ligt en de uitspringende hoek het gedeelte van het vlak dat buiten deze halve rechten ligt. Een gestrekte hoek is het deel van het vlak omsloten door twee halve rechten, die in elkaars verlengde liggen.
De verhouding van een hoek tot een andere hoek was het onbenoemde getal, waarmede de tweede hoek te vermenigvuldigen is om de eerste te verkrijgen. Deze verhouding is een onbenoemd getal. Het maatgetal van een hoek was de verhouding van die hoek tot een hoek, die als eenheid genomen werd. De maat van een hoek is het maatgetal van deze hoek waarbij ook de hoekeenheid aangegeven werd. Van oudsher werden in de intuïtieve meetkunde hoeken gemeten in graden (°). Een graad is het 180ste deel van een gestrekte hoek. Hoeken worden gemeten met een gradenboog.
Overstaande hoeken werden gedefinieerd als hoeken, die het hoekpunt gemmen hebben en waarvan de benen in elkaars verlengde liggen. Aanliggende hoeken waren hoeken die één been gemeen hebben. Nevenhoeken waren hoeken waarvan de buitenbenen in elkaars verlengde lagen.
Het begrip bissectrice Een halve rechte AD, die een gegeven hoek CÂB, in twee gelijke delen verdeeld werd bissectrice van de hoek CÂB genoemd. Aan het begrip bissectrice was in de intuïtieve meetkunde al een werkstuk of constructievraagstuk verbonden. Hoe kan je met passer en liniaal de bissectrice van een gegeven hoek tekenen of construeren? (zie cursiefje §9.1)
Door het invoeren van de notie meetkundige plaats kon men de bissectrice ook op een andere manier definiëren. Een meetkundige plaats (of locus) is de meetkundige figuur die wordt gevormd door een verzameling punten die voldoen aan bepaalde voorwaarden. De bissectrice is de meetkundige plaats van punten die gelijke afstand hebben tot de lijnen die de hoek vormen.
Een halve rechte stond loodrecht op een rechte als ze er twee gelijke nevenhoeken mee vormde; deze halve rechte wordt loodrechte genoemd en de twee gelijke nevenhoeken zijn dan rechte hoeken. Door de halve rechte te wentelen komt ze op een bepaald ogenblik in een stand zodanig dat de nevenhoeken gelijk zijn. Is een hoek kleiner dan een rechte hoek dan spreekt men van een scherpe hoek, is ze groter van een stompe hoek.
Bij loodrechten kon men in de intuïtieve meetkunde al twee meetkundige constructies met behulp van de passer en liniaal voorzien: hoe kan je een loodrechte oprichten in het midden van een lijnsegment (middelloodlijn)en hoe kan je door een gegeven punt een loodrechte neerlaten op een gegeven lijnsegment? (zie cursiefje §9.1) Om loodrechten te tekenen maakt men in de intuïtieve meetkunde veelal gebruik van een winkelhaak.
De middelloodlijn op het lijnstuk AB kan ook gedefinieerd worden als zijnde de meetkundige plaats van punten op gelijke afstand van A en B.
Evenwijdige rechten of evenwijdigen zijn, volgens Euklides (definitie 23), rechten die in eenzelfde vlak liggen en die elkaar bij verlenging nooit snijden. Dergelijke rechten bestaan want in de Deductieve Meetkunde wordt aangetoond dat twee rechten die in eenzelfde vlak loodrecht op een andere staan elkaar nooit snijden.
Aan het begrip evenwijdige rechten was in de intuïtieve meetkunde volgend constructie vraagstuk verbonden: hoe kan je door een punt buiten een rechte gelegen, een rechte evenwijdig aan de eerste trekken of construeren? (zie cursiefje §9.1).
3° De rechtlijnige geometrische figuren: driehoek, vierhoek, veelhoek .
- De driehoek als meetkundige figuur:
Het idee driehoek werd verkregen door drie snijdende rechten a, b, c te tekenen in een vlak. De meetkundige figuur gevormd door de drie snijpunten heette men driehoek: de snijpunten A, B, en C noemt men de hoekpunten van, de lijnstukken AB, BC en CA de zijden van de driehoek. Een driehoek werd aangeduid door het symbool ∆ ABC. Een zijde en een hoek waren aanliggend, als het hoekpunt op de zijde lag, overstaand als het hoekpunt niet op de zijde lag. De zijde t.o.v. de hoek A werd voorgesteld door a, t.o.v. de hoek B door b, t.o.v. de hoek C door c.
Grondeigenschap: Voor om het even welke driehoek geldt dat de som van de binnenhoeken gelijk is aan twee rechte hoeken (180°). Deze eigenschap werd afgeleid door de binnenhoeken van een driehoek te meten met een gradenboog en de som van deze binnenhoeken te maken. Deze grondeigenschap wordt in de Deductieve Meetkunde bewezen NA de theorie over de evenwijdige rechten.
Naargelang de hoeken en zijden had men in de Intuïtieve Meetkunde volgende soorten driehoeken ontmoet:
- de gelijkbenige driehoek: was een driehoek waarvan twee zijden gelijk waren, de derde zijde wordt dan de basis genoemd
- de gelijkzijdige driehoek: was een driehoek waarvan de drie zijden gelijk waren
- de rechthoekige driehoek was een driehoek waarvan een hoek recht was; de zijde t.o.v. de rechte hoek werd hypothenusa genoemd. De andere hoeken van de rechthoekige driehoeken waren noodzakelijkerwijze scherp.
- de scheefhoekige of willekeurige driehoek was een driehoek waarvan de hoeken ongelijk waren. Een willekeurige driehoek kan ofwel drie scherpe hoeken ofwel één stompe hoek en twee scherpe hoeken bevatten
In de Deductieve Meetkunde zal het bestaan van deze soorten driehoeken via meetkundige constructie aangetoond worden.
Aan de meetkundige figuur driehoek zijn immers volgende constructie-vraagstukken verbonden: construeer een gelijkbenige driehoek waarvan de gelijkbenige zijde gegeven is en construeer een gelijkzijdige driehoek waarvan de zijde gegeven is enz.. (zie cursiefje §9.1)
Bijzondere lijnen in een driehoek zijn volgens de Intuïtieve Meetkunde: de hoogtelijnen, de zwaartelijnen, de bissectrices en de middelloodlijnen van de zijden.
Een hoogtelijn in een driehoek is een lijn die door een van de hoekpunten gaat en loodrecht op de tegenoverliggende zijde staat (bvb de hoogtelijn haof hAuit de hoek A). De drie hoogtelijnen hA, hB en hCvan een driehoek gaan door één punt, het hoogtepunt H van de driehoek.
Een zwaartelijn in een driehoek is een lijn die door een van de hoekpunten gaat en de overliggende zijde snijdt in het midden van deze zijde( bvb de zwaartelijn zaof zA uit de hoek A). De drie zwaartelijnen zA, zB en zC van een driehoek snijden elkaar in één punt, het zwaartepunt Z.
Een bissectrice in een driehoek is een lijn die een hoek van een driehoek in twee gelijke delen verdeeld (bvb daof dAvan de hoek A). De drie bissectrices dA, dB en dC van een driehoek snijden elkaar in een punt, het bissectricepunt D van de driehoek.
Een middelloodlijn van een zijde van een driehoek is (bvb de middelloodlijn ma) is de loodlijn opgericht in het midden van de zijde. Hoe een middelloodlijn construeren (zie cursiefje §9.1) De drie middelloodlijnen ma, mb en mcvan een driehoek snijden elkaar in één punt, het middelpunt M.
Een middelloodlijn van een zijde van een driehoek is de meetkundige plaats van de punten op gelijke afstand van de hoekpunten van de zijde.
Ook hier zal men in de Deductieve Meetkunde voornoemde eigenschappen van deze bijzondere lijnen van een driehoek moeten afleiden en bewijzen.
Congruentie: driehoeken worden congruent genoemd indien zij elkaar volledig kunnen bedekken. Twee driehoeken zijn congruent als zij één zijde en de beide aanliggende hoeken gelijk hebben, of als zij twee zijden en de ingesloten hoek gelijk hebben, of nog als zij de drie zijden twee aan twee gelijk hebben.
In de Deductieve Meetkunde zullen voornoemde congruentiegevallen worden afgeleid en aangetoond.
- De vierhoek als meetkundige figuur :
De vierhoek wordt verkregen door vier snijdende rechten a, b, c, d te tekenen in een vlak. De meetkundige figuur gevormd door de vier snijpunten heet men vierhoek: A, B, C en D noemt men de hoekpunten van en AB, BC, CD en DA de zijden van de vierhoek.
Nuttig is het begrip diagonaal: diagonalen zijn lijnstukken die de overstaande hoekpunten verbinden: een vierhoek heeft 2 diagonalen
Grondeigenschap: Een convexe vierhoek kan men steeds beschouwen als zijnde samengesteld uit twee driehoeken.
Voor om het even welke (convexe) vierhoek geldt dat de som van de binnenhoeken gelijk is aan vier rechte hoeken (360°). Tot dit besluit komt men door de binnenhoeken van een aantal vierhoeken te meten met een gradenboog en deze bij elkaar op te tellen. Deze stelling wordt in de Deductieve Meetkunde aangetoond, NA de theorie over de som van de binnenhoeken van een driehoek.
Naargelang de aard van de zijden en hoeken kon men volgende (convexe) vierhoeken onderscheiden:
- een parallellogram is een vierhoek waarvan de overstaande zijden evenwijdig waren
- een rechthoek is een vierhoek waarvan de hoeken gelijk waren en bijgevolg recht
- een ruit is een vierhoek met gelijke zijden
- een vierkant is een vierhoek met vier gelijke zijden en vier gelijke hoeken
- een trapezium is een vierhoek waarvan slechts twee zijden evenwijdig waren: een trapezium was rechthoekig als de evenwijdige zijden op een derde zijde stonden. Een trapeziumis gelijkbenig als de opstaande zijden gelijk zijn.
In de deductieve Meetkunde worden nu alle voornoemde eigenschappen van deze vierhoeken bewezen en aangetoond.
- De veelhoek als meetkundige figuur:
De n- hoek (voorbeeld de vijfhoek) wordt verkregen door n elkaar snijdende rechten a, b, c, d, e,.. te tekenen in een vlak. De meetkundige figuur gevormd door de n snijpunten heet men n-hoek: A, B, C , D, E.. noemt men de hoekpunten van en AB, BC, CD, DE de zijden van de n-hoek.
Een diagonaal is een verbindingslijn tussen twee verschillende, niet opeenvolgende, hoekpunten van de veelhoek.
Een n-hoek heeft n(n-3)/2 diagonalen (verifieer) bvb een vijfhoek heeft 5 diagonalen
Grondeigenschap: Een convexe n-hoek kan men steeds beschouwen als zijnde samengesteld uit n 2 driehoeken.
In de Deductieve Meetkunde zal aangetoond worden, dat voor om het even welke veelhoek geldt dat de som van de binnenhoeken gelijk is aan 2(n-2) rechte hoeken (180°).
Een regelmatige veelhoek is een tweedimensionale figuur die bestaat uit een eindig aantal die allemaal dezelfde lengte hebben. Ieder eindpunt van een lijnstuk valt steeds precies samen met een eindpunt van precies een ander lijnstuk. De hoeken die elk paar lijnstukken met elkaar maakt zijn alle hetzelfde. Een regelmatige n-hoek is dus opgebouwd uit n paarsgewijs met elkaar verbonden identieke lijnstukken die n keer dezelfde hoek met elkaar maken.
Voorbeelden zijn: de gelijkzijdige driehoek, het vierkant, de regelmatige vijfhoek, de regelmatige zeshoek. De binnenhoek van een regelmatige n-hoek wordt gegeven door: 2(n-2)/2 rechte hoeken (180°). Bvb de binnenhoek van een zeshoek bedraagt 60° van een vijfhoek 108°.
4° De kromlijnige geometrische figuren: cirkel en ellips
De meest courante kromlijnige geometrische figuren in de intuïtieve meetkunde zijn de cirkel (10) en de ellips (11) . Wielen bvb waren cirkelvormig, sommige bloemperken waren ellipsvormig.
- Een cirkel(omtrek)(12) werd gedefinieerd als de tweedimensionale kromlijnige figuur die werd gevormd door alle punten die dezelfde afstand tot een bepaald punt hebben. Dit punt, in de figuur aangegeven met M, heette het middelpunt van de cirkel. De constante afstand heette de straal en wordt in de figuur aangegeven met de kleine of grote letter r (r of R). Een cirkel wordt volledig bepaald door zijn middelpunt en zijn straal (bvb de cirkel (M, r). Soms werd, om de maat van een cirkel aan te duiden, in plaats van de straal de diameter gebruikt (symbool D of d in de figuur). De diameter is de grootste afstand tussen twee punten van de cirkel, en is exact tweemaal zo groot als de straal.
De cirkelomtrek (afgekort: cko) wordt ook nog gedefinieerd worden als de meetkundige plaats van alle punten in een vlak die op een constante afstand (de straal) van een vast middelpunt liggen. Om een cirkel(omtrek) te tekenen wordt een passer gebruikt.
Een lijnstuk waarvan de grenspunten op de cirkelomtrek liggen, werd gedefinieerd als een koorde. Elke koorde die door het middelpunt van de cirkel gaat, is een middellijn van die cirkel. De lengte van de middellijn is de diameter.
Een boog is een deel van een cirkelomtrek. Als van de beide uiteinden van de boog een lijn wordt getrokken naar het middelpunt van de bijbehorende cirkel, is de hoek tussen deze twee lijnen de middelpuntshoek. De grootte van de boog kan worden uitgedrukt in deze hoek (bijv. 60°). Dit zegt echter niets over de werkelijke lengte van de boog.
Een cirkelsector is een deel van het cirkeloppervlak ingesloten door een cirkelboog en de beide stralen naar de eindpunten van die cirkelboog. Een goede afbeelding van wat een cirkelsector is, is bvb een stuk taart.
Een raaklijn aan een cirkel heeft slechts 1 punt gemeen met de cirkel en staat bijgevolg loodrecht op de straal van die cirkel. De normaal in een punt van een cirkelomtrek is de loodlijn in dit punt op de raaklijn. Normale afstanden van een gegeven punt tot een cirkel zijn de afstanden van dit punt tot de cirkelomtrek; deze worden gemeten op de normaal die door dit punt gaat.
Grondeigenschap (grondstelling): Een cirkel is volledig bepaald door drie willekeurige punten die niet op één lijn liggen. Het is de omgeschreven cirkel van de driehoek die de punten vormen. De middelloodlijnen van de zijden van deze driehoek gaan door één punt. Dit snijpunt ligt dus op gelijke afstanden van de drie punten en is dus het middelpunt van de cirkel waar de drie hoekpunten van de driehoek op liggen.
5° verhouding van twee gelijksoortige grootheden
In aansluiting met de axioma's van Euklides is het ook aangewezen, enkele begrippen uit de theorie der verhoudingen te preciseren. Deze theorie der verhoudingen is afkomstig van Eudoxos, ongetwijfeld een der grootste wiskundigen uit de Klassieke Oudheid (13). De theorie van Eudoxos wordt behandeld in Boek V van de « Elementen » van Euklides.
Vooreerst is er het intuïtieve begrip grootheid van een object, dat steeds gekoppeld is aan het begrip hoeveelheid. Grootheid (magnitude) is de eigenschap van een object dat een getalmatige vastlegging van dit object toelaat. Deze getalmatige verwerking houdt in dat men de begrippen optelling, gelijkheid, vermenigvuldiging met en delen door een onbenoemd getal t.o.v. dit object gedefinieerd heeft.
De verhouding (ratio of reden) van een grootheid A tot een grootheid B van dezelfde soort A / B is het onbenoemde getal, waarmede de tweede grootheid te vermenigvuldingen is om de eerste B te verkrijgen. Dit onbenoemd getal kan zowel een meetbaar als onmeetbaar getal zijn.
Gelijkheid van verhoudingen: Zij A / B een eerste verhouding van twee gelijksoortige grootheden, C / D een tweede verhouding van gelijksoortige grootheden, al dan niet van dezelfde soort als de grootheden van de eerste verhouding. Beide verhoudingen zijn onbenoemde getallen die derhalve met elkaar kunnen vergeleken worden. De verhoudingen A /B en C /D zijn gelijk indien ze door eenzelfde (meetbaar of onmeetbaar) getal uitgedrukt worden.
Maatgetal van een grootheid: Het maatgetal van een grootheid is de verhouding van die grootheid tot een gelijksoortige grootheid, die als eenheid genomen wordt. Het maatgetal van een grootheid is derhalve een onbenoemd getal. De maat van een grootheid is bij definitie het maatgetal met aanduiding van de gekozen eenheid en is derhalve een benoemd getal.
Al deze definities en beschouwingen zijn toepasselijk op meetkundige grootheden zoals lijnstukken, hoeken, bogen enz. mits voor deze grootheden de begrippen gelijkheid, optelling, vermenigvuldiging met en deling door een onbenoemd getal gedefinieerd heeft.
(wordt voortgezet)
----------------------------
(1) Met de term "Deductieve Meetkunde" wordt hier in de eerste plaats bedoeld de meetkunde zoals door Euklides gedefinieerd. De meetkunde van Euklides was gedurende eeuwen de enige axiomatische theorie in de wiskunde. Zij heeft als model gediend voor de ontwikkeling van de axiomatische wiskunde (zie cursiefje " Wat is "New Math"? " in blog 2). Ofschoon de term "axiomatische meetkunde" voor het aanduiden van de meetkunde van Euklides eveneens verantwoord lijkt, is het beter deze laatste term voor te behouden aan de meetkunde zoals ontwikkeld door David Hilbert in zijn "Grundlagen der Geometrie" (1903). Hilbert heeft het axiomasysteem van Euklides verder uitgewerkt en verbeterd met vijf groepen axioma's (zie http://de.wikipedia.org/wiki/Hilberts_Axiomensystem_der_euklidischen_Geometrie ).
Deze laatste axiomatische meetkunde is op didactisch vlak echter minder geschikt voor het secundair onderwijs.
In blog 2 wordt een cursiefje (§4.1 "Wat is Deductieve Meetkunde?") aan de verder ontwikkeling van de Deductieve Meetkunde sedert Euklides, met namen als Adrien Marie Legendre en Jacques Hadamard, gewijd.
(2) zie: Thomas Heath « Euclid The Thirteen Books of the Elements » (3 volumes) -Dover- (1956). De definities zoals door Euklides ingevoerd worden uitvoerig besproken in het eerste volume (p 155 - 194)
Adrien-Marie Legendre (1752 1833) was een Franse wiskundige. Hij leverde belangrijke bijdragen aan de statistiek, abstracte algebra, wiskundige analyse en in het bijzonder getaltheorie. Hij was een van de toonaangevende Franse wiskundigen aan het einde van de 18e en begin van de 19e eeuw, die een bloeiperiode was voor de Franse wiskunde. Van 1775 tot 1780 was hij docent aan de Militaire Academie, later aan de École Normale en tot slot de École polytechnique. Legendre is bekend gebleven om zijn didactische verbetering in de behandeling van de meetkunde van Euclides. Zijn fameus boek Eléments de Géométrie beleefde nog een 14de druk in 1843 en werd in verschillende talen vertaald. Het boek is in te zien via Google: (http://books.google.be/ebooks/reader?id=z9E2AAAAMAAJ&hl=fr&printsec=frontcover&output=reader )
(5) cf. « Leerboek der Nieuwere Meetkunde van het Vlak en van de Ruimte » (Fred Schuh Noordhoff -1938-) In blog 2 wordt hierop dieper ingegaan.
In het lager secundair onderwijs werd vroeger nooit over de ellips gesproken. Nochtans is deze meetkundige figuur van zeer groot belang: bvb de elliptische banen van de planeten. Ellipsen worden echter niet in de « Elementen » besproken; deze kromlijnige meetkundige figuur kwam zeker ter sprake in Euklides « Konica », werk die verloren is gegaan.
(12) De cirkel is de verzameling van alle punten op en binnen de cirkelomtrek. Alle punten binnen een cirkel vormen een schijf. Men moet wel degelijk een onderscheid maken tussen cirkel en cirkelomtrek ofschoon men in het courante spraakgebruik dit niet altijd doet.
(Hoofdstuk 9 "Intuïtieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")
§9.3 Symmetrie en het beginsel van Cavalieri
In de Intuïtieve Meetkunde werd ook al enige aandacht besteed aan het begrip Symmetrie. Hier toch even aanstippen dat symmetrie in de Wiskunde, maar ook in de Natuurkunde en bvb de Kristallografie een erg belangrijk begrip is (zie http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry ) en dat dus een eerste kennismaking al in het Hoger Primair of Lager Secundair Onderwijs zeker verantwoord was en is.
Men spreekt van (meetkundige) symmetrie (Grieks: συν, samen en μετρον, maat) bij een object als twee helften van het object in een bepaalde zin elkaars spiegelbeeld zijn. Dit spiegelen kan ten opzichte van een punt, een lijn of een vlak zijn.
1° Symmetrie in het vlak en in de ruimte:
In het schoolboek Intuïtieve Meetkunde van de collectie De Vaere Herbiet werden vooreerst de begrippen symmetrie t.o.v. een rechte, en symmetrie t.o.v. een punt in het vlak aan de hand van enkele praktische voorbeelden uit het dagelijkse leven gedefinieerd en toegepast op enkele meetkundige figuren als vierkant, rechthoek, ruit en dito...
- symmetrie t.o.v. een rechte: twee vlakke figuren liggen symmetrisch t.o.v. een rechte uit dit vlak, de symmetrieas geheten, indien bij een halve omwenteling om deze as elke figuur precies de stand inneemt die de andere te voren innam. Of nog indien de twee figuren elkaar volkomen bedekken, als men het blad waarop beide figuren getekend zijn volgens de as omplooit (voor een voorbeeld zie figuur 1 symmetrie t.o.v. een rechte). Objecten, die geen symmetrieas hebben worden asymmetrisch genoemd.
- symmetrie t.o.v. een punt: een vlakke figuur is symmetrisch t.o.v. een punt van dit vlak, als zij terug hetzelfde uitzicht vertoont, na een halve omwenteling (180°) om dit punt (voor een voorbeeld zie figuur 2 symmetrie t.o.v. een punt). Puntsymmetrie is een bijzonder geval van draai- of rotatie symmetrie. Bij draaisymmetrie bekomt men hetzelfde uitzicht na een wenteling van x° (bvb 90°, 60° enz.) en men spreekt dan van een rotatie- as van 90°, 60° enz.
Toepassing: De symmetrie van vlakke figuren:
Vierkant: Het vierkant heeft vier symmetrieassen en één symmetriemiddelpunt
Rechthoek: De rechthoek heeft twee symmetrieassen; het zijn de rechten die de middens van twee overstaande zijden verbinden. De rechthoek heeft één enkel symmetriemiddelpunt: het snijpunt van de twee symmetrieassen.
Ruit: De ruit heeft twee symmetrieassen, de diagonalen, en één symmetriemiddelpunt, hun snijpunt.
Parallellogram: Het parallellogram heeft geen symmetrieas, maar wel een symmetriemiddelpunt
Driehoek: Een willekeurige driehoek heeft geen symmetrieas, noch symmetriemiddelpunt. Een gelijkbenige driehoek heeft één symmetrieas, een gelijkzijdige driehoek drie symmetrieassen. Een gelijkzijdige driehoek heeft een draaisymmetrieas van 60°.
Cirkel: De cirkel is de meetkundige figuur met volkomen symmetrie: elke diameter is een symmetrieas en het middelpunt van de cirkel is zijn symmetriemiddelpunt.
Enkele vraagjes:
1- welke hoofdletters (drukwerk) hebben een verticale, een horizontale en twee symmetrieassen?
2- welke cijfers (drukwerk) hebben twee symmetrieassen en een symmetriemiddelpunt?
Vervolgens kwam de symmetrie in de ruimte aan de beurt, waarbij naast symmetrie t.o.v. een rechte, en symmetrie t.o.v. een punt nu ook nog de symmetrie t.o.v. een vlak gedefinieerd werd en de symmetrie van enkele meetkundige lichamen, kubus, cilinder, bol onderzocht werden.
- symmetrie t.o.v. een vlak: twee lichamen liggen symmetrisch t.o.v. een vlak, dat symmetrievlak geheten wordt, als zij elkaars spiegelbeeld zijn.
Plaatst men een object voor een spiegel dan is het spiegelbeeld van het object het symmetrisch beeld van het object en de spiegel het symmetrievlak. Bij symmetrische objecten ligt ieder punt van object en symmetrisch object op gelijke afstand van het symmetrievlak. Een voorbeeld van symmetrische objecten t.o.v. een vlak zijn bvb de handpalmen. Leg beide handpalmen goed tegenover elkaar, maar gescheiden door bvb een eenvoudig stuk karton. Beide handen liggen symmetrisch ten opzichte van het karton want met ieder punt van de ene hand stemt een punt van de andere hand overeen en beide punten liggen op gelijke afstand van het karton dat als symmetrievlak optreedt.
Symmetrische objecten of lichamen bezitten een gelijk volume, doch velen kunnen niet op elkaar gelegd worden. Zo past bvb de linker handschoen inderdaad niet aan de rechterhand. Neem echter een rechter handschoen en stroopt ze over: ze past nu wel aan de linkerhand.
Toepassing: De symmetrie van ruimtelijke lichamen
Een rechte die doorheen een lichaam gaat is een symmetrieas als, bij wentelen om deze rechte, het lichaam in zijn oorspronkelijk uizicht terugkeert na iedere halve omwenteling (180°).
De nodige en voldoende voorwaarde opdat een punt een symmetriepunt van een lichaam zou zijn is dat dit punt het middelpunt is van alle lijnstukken die men door dit punt kan trekken en waarvan de eindpunten op het oppervlak van het lichaam liggen.
Kubus: De kubus bezit 3 + 6 of 9 symmetrieassen: drie gaan door de symmetriemiddelpunten van twee overstaande zijvlakken; 6 gaan door de middens van twee evenwijdige ribben (zie figuur 3 symmetrieassen kubus). De diagonalen van een kubus zijn rotatieassen met een hoek van 120° (een derde van een volledige omwenteling). De kubus bezit één symmetriemiddelpunt.
Cilinder: De (rechte) cilinder bezit als hoofdsymmetrieas de rechte die door de middelpunten van grond- en bovenvlak gaat en een onbeperkt aantal zijsymmetrieassen bepaald door twee diametraal gelegen punten op de cilinder mantel (zie figuur 4 symmetrieassen cilinder). Het midden van de hoofdsymmetrieas van de cilinder is het enige symmetriemiddelpunt van de cilinder.
2° De scheve meetkundige lichamen
Een vlakke doorsnede in een meetkundig lichaam aanbrengen is een bewerking, die analoog is met het doorzagen op een bepaalde manier van het overeenkomstig stoffelijk lichaam maar die uitgevoerd wordt op de meetkundige figuur, die dit lichaam voorstelt.
Voor enkele voorbeelden van doorsneden in de kubus, respectievelijk rechte cilinder zie figuur 5 doorsneden van een kubus en figuur 6 doorsneden van een cilinder).
Op dezelfde wijze kan men een doorsnede aanbrengen doorheen een prismatisch of cilindrisch oppervlak.
Brengt men nu twee evenwijdige doorsneden aan doorheen een dergelijk oppervlak, dan wordt het aldus ontstane meetkundig lichaam (prisma, cilinder) recht of scheef geheten naargelang de doorsneden al dan niet loodrecht staan:
- op de rechte die zich evenwijdig aan zichzelf verplaatst en steeds een gebroken lijn snijdt, bij een prismatisch oppervlak
- op de omwentelingsas bij een cilindrisch oppervlak
Zowel bij rechte als scheve prisma's en cilinders wordt de afstand tussen de twee evenwijdige doorsneden de hoogte van het prisma of van de cilinder genoemd. Bij scheve cilinders bezitten de evenwijdige doorsneden de vorm van een ellips.
Voor scheve prismas respectievelijk scheve cilinders blijft onverminderd gelden:
V scheef prisma = S grondvlak x h
V scheve cilinder = S grondvlak x h
Het grondvlak van een scheve cilinder is een ellips waarvan de oppervlakte gegeven wordt door:
S ellips = π . a . b (a en b zijnde de kleine respectievelijk grote straal van de ellips)
Voor de scheve cilinder komt er:
V scheve cilinder = π . a . b . h
Een piramide of kegel wordt recht of scheef geheten naargelang de loodlijn neergelaten op het grondvlak van de piramide, deze al dan niet snijdt in het zwaartepunt van het grondvlak.
Voor een scheve piramide respectievelijk scheve kegel blijft onverminderd gelden:
V scheve piramide = 1/3 S grondvlak x h
V scheve kegel = 1/3 S grondvlak x h
Voorgaande formules worden met de nodige gestrengheid bewezen in de Deductieve Ruimtemeetkunde maar kunnen insgelijks afgeleid worden uit het beginsel van Cavalieri (1) :
« Als twee meetkundige lichamen worden ingesloten door twee evenwijdige vlakken en de doorsneden doorheen deze lichamen gemaakt door een vlak V evenwijdig met voornoemde vlakken steeds dezelfde oppervlakte bezitten, dan hebben beide lichamen hetzelfde volume »
(zie figuur 7 beginsel van Cavalieri).
Hoe kwam Cavalieri tot dit beginsel?
Onderstel twee identieke stapels van bladen papier die elk op zich een balk (recht parallellepipedum) vormen. Door één van die stapels een duw te geven, verkrijgt men een scheef parallellepipedum met zelfde rechthoekig grondvlak. Omdat de ruimte ingenomen door de bladen papier dezelfde is gebleven, is het aannemelijk dat het volume van beide stapels papier hetzelfde is gebleven.
Cavalieri veralgemeende nu dit beginsel. De bladen papier van beide stapels hoeven niet congruent te zijn; het volstaat dat ze dezelfde oppervlakte hebben. Bovendien moeten de stapels niet samengesteld zijn uit identieke bladen, het volstaat dat de oppervlakte van de bladen die op gelijke hoogte liggen dezelfde oppervlakte hebben. Hij kwam aldus tot het beginsel:
"Twee meetkundige lichamen waarvan de doorsneden op een willekeurige hoogte dezelfde oppervlakte hebben, hebben hetzelfde volume"
Later ging Cavalieri nog een stap verder en breidde zijn beginsel nog verder uit:
"Twee meetkundige lichamen waarvan de doorsneden op willekeurige hoogte een vaste verhouding hebben en die dus niet afhangt van deze hoogte, hebben volumes die ook in deze verhouding staan"
Op te merken valt, dat deze principes, die Cavalieri expliciet formuleerde in de zeventiende eeuw, reeds door Archimedes toegepast werden zoals blijkt uit een in 1900 ontdekt werk (een palimpsest) "De Methode".
Archimedes gebruikte in "De Methode" een dergelijk beginsel voor het bepalen van het volume van de bol. Hij beschouwde echter een dergelijke afleiding niet als een bewijs: een dergelijke bewijsvoering past immers niet in het axiomatisch systeem ontwikkeld door Euklides en mengt bovendien wiskunde met ideeën uit de fysica.
Het échte bewijs voor de bolformule steunt op de exhaustiemethode van Eudoxos en vindt men in "De Bol en de Cilinder", eveneens een werk van Archimedes. Deze exhaustiemethode (of "uitputtingsmethode") past volkomen in de deductieve opbouw van de "Elementen" van Euklides.
3° Over polyeders en (half-)regelmatige ruimtelijke lichamen
- definities:
Een veelvlak, polyeder of polyhedron is een ruimtelijk object dat alleen platte zijvlakken heeft. Cilinders en bollen zijn dus geen veelvlakken, balken en piramides zijn wel veelvlakken. Waar de zijvlakken aan elkaar grenzen, zitten de ribben van het veelvlak, en waar de ribben elkaar tegenkomen, zitten de hoekpunten.
Polyhedron is de wetenschappelijke naam voor een veelvlak. Het woord is een samenstelling van de Griekse uitdrukkingen poly, wat veel betekent en hedron wat vrij vertaald vlak (zoals in oppervlak) betekent.
Het tweedimensionaal analogon van veelvlak is veelhoek en zoals er regelmatige veelhoeken bestaan komen er regelmatige en halfregelmatige veelvlakken of lichamen voor.
Bij regelmatige en halfregelmatige lichamen liggen alle hoekpunten op een boloppervlak en zijn alle vlakken regelmatige veelhoeken. In geval deze regelmatige veelhoeken nu ook nog identiek zijn, spreekt men van regelmatige veelvlakken of Platonische lichamen . Zoals verder aangetoond wordt, kunnen er slechts 5 Platonische lichamen bestaan.
De benaming Archimedisch lichaam is afgeleid van de Griek Archimedes, die gedetailleerd de meetkunde van deze lichamen beschreef.
In de Renaissance herleefde de belangstelling voor deze pure vorm van meetkunde en verscheidene wiskundigen ontdekten opnieuw deze vormen. Rond 1620 werd deze herontdekking afgerond door Johannes Kepler. Kepler bestudeerde de prisma's en de antiprisma's, en verder de niet-convexe vormen, die nu bekend staan onder de naam Kepler-Poinsot-lichamen. Er zijn oneindig veel prisma's en antiprisma's. Er zijn echter maar 13 Archimedische lichamen (15 lichamen als de spiegelbeelden van twee chirale(2) vormen erbij geteld worden).
De meetkunde van de polyeders is niet alleen van groot belang voor natuurwetenschappers (bvb voor de kristallografie) maar ook voor biowetenschappers (studie van de morfologie). Ook voor "design" -ontwerpers is deze meetkunde noodzakelijk. Het ware dus wenselijk dat de eerste beginselen van deze meetkunde ook in het Primair Onderwijs zouden behandeld worden, en in de eerste plaats de Platonische lichamen. - de Platonische lichamen:
De regelmatige veelvlakken worden ook wel Platonische lichamen genoemd, omdat ze ontdekt zijn door Plato. De bekende Pythagoras wist al van het bestaan van drie van de vijf regelmatige veelvlakken af: het viervlak, het zesvlak (kubus) en het twaalfvlak. Plato bracht de vijf regelmatige veelvlakken in verband met de vijf kosmische bouwstenen van de wereld: vuur, lucht, water, aarde en hemelmaterie. De wiskundige en astronoom Kepler bracht ze twee millennia later in de tussentijd waren de halfregelmatige veelvlakken al ontdekt in verband met de structuur van het zonnestelsel. In die tijd waren behalve de aarde slechts vijf planeten bekend. De ikoon van dit cursiefje stelt Keplers model van de 5 platonische lichamen voor (uit Mysterium Cosmographicum -1596-).
Vroeger werd in het laagste klassen van het Primair Onderwijs, slechts één platonisch lichaam nl. de kubus of hexaëder besproken, terwijl verder in het MULO of secundair onderwijs, de andere 4 platonische lichamen nauwelijks aan bod kwamen of zeer summier behandeld werden. Nochtans spelen de andere regelmatige veelvlakken een belangrijke rol op wetenschappelijk vlak. De tetraëder structuur bvb is van zeer groot belang in de koolstofchemie. ..
Een overzicht van de voornaamste meetkundige eigenschappen van de platonische lichamen (zie figuur 8 platonische lichamen) wordt gegeven in onderstaande tabel:
grieks
nederlands
zijden per vlak (v)
vlakken per hoekpunt (p)
vlakken (z)
ribben (r)
hoeken (h)
tetrahedron
tetraëder
3
3
4
6
4
hexahedron
hexaëder
4
3
6
12
8
octahedron
octaëder
3
4
8
12
6
dodecahedron
dodecaëder
5
3
12
30
20
icosahedron
icosaëder
3
5
20
30
12
Algemeen is er bij ruimtelijke convexe figuren een verband tussen h = het aantal hoekpunten (vertices"), r = het aantal ribben ("edges") en z = het aantal zijvlakken ("faces"). Door Euler werd volgend verband gevonden (zie cursiefje "Wiskunde in de Cadettenschool: Deductieve Meetkunde II" in blog 2:
h + z = r + 2 (de formule van Euler)
Inzonderheid geldt deze formule ook voor de Platonische lichamen, zoals men gemakkelijk uit de bovenstaande tabel kan afleiden.
Bij een Platonische lichaam liggen alle hoekpunten op eenzelfde boloppervlak en is het middelpunt van de bol een symmetriepunt. Bijgevolg kan elk Platonisch lichaam beschouwd worden als zijnde opgebouwd uit regelmatige piramiden waarvan de grondvlakken de vlakken van het Platonisch lichaam zijn. Een tetraëder is opgebouwd uit 4, een hexaëder (kubus) uit 6, een octaëder (bipiramide) uit 8,een dodecaëder uit 12 en een icosaëder uit 20 regelmatige piramides.
Enkele decennia terug werd in België over de principes van Cavalieri met geen woord gerept in het Primair of Lager Secundair Onderwijs, want de opvattingen van Cavalieri, hoe nuttig en interessant ook, hielden een ernstig fundamenteel probleem in (zie cursiefje Wat is Calculus? in blog 2). De ernst van het probleem was van die aard, dat de theorie niet geschikt werd geacht voor het onderwijs op dit niveau. In de laatste jaren is hierin echter verandering gekomen, zoals enkele monografieën bvb Des situations pour enseigner la Géométrie (cojerem -1995-) en Approche heuristique de lAnalyse (GroupeAHA -1999-) duidelijk aantonen.
(Hoofdstuk 9 "Intuïtieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 9.2 De Stelling van Thales
Het introduceren van de Deductieve (of Axiomatische) Meetkunde vanaf de vijfde (tweede jaar middelbaar) of vanaf de vierde humaniora (derde jaar middelbaar), zoals opgelegd in het begin van de jaren vijftig, was naar mijn mening geen erg gelukkig initiatief. Deze introductie gebeurde in die jaren volgens een methode uitgewerkt door Adrien-Marie Legendre (1) , een methode, die bvb integraal gevolgd werd door het bekende schoolboek van Dalle en De Waele. Wellicht zou het beter geweest zijn, het introduceren van deze Deductieve Meetkunde nog met een jaar uit te stellen en uitsluitend voor te behouden voor het hoger middelbaar?
In het lager middelbaar had men dan de vrijgekomen uren kunnen besteden aan het nog wat verder uitdiepen van de Intuïtieve Vlakke Meetkunde o.m. met de stelling(en) van Thales van Milete (zie ikoon) en met een wat meer diepgaande studie van de regelmatige veelhoeken, de cirkel en de ellips. Een dergelijke aanpak leek mij i.h.b. aangewezen voor Grieks-Latinisten, die op deze wijze kennis konden maken met een tweede grote figuur uit de Griekse wiskunde met name Thales van Milete.
Natuurlijk weet ik wel dat vele wiskundigen het met mijn stellingname niet eens zullen zijn en het argument zullen aanvoeren, dat zo vroeg mogelijk met een deductieve (of axiomatische) meetkunde moet gestart worden om te vermijden dat de scholier verkeerde begrippen of ideeën krijgt ingeprent. Ook is er het beginsel dat systematische deductie essentieel is voor een goede wiskundige vorming en dat er zo snel mogelijk, d.i. van zodra didactisch haalbaar, met een systematische bewijsvoering moet gestart worden.
Mag ik hier toch even aanhalen, dat op de dag van vandaag Meetkunde in het secundair onderwijs tot een minimum (eufemisme) is herleid en dat de Intuïtieve Meetkunde al evenmin aan bod komt? In mijn ogen een zeer ongelukkige situatie, waardoor vele volwassenen elk meetkundig inzicht missen en niet eens meer in staat zijn bvb de inhoud van een pyramide, bol of wat dan ook te berekenen.
Overigens mag wel eens benadrukt worden dat juist een goede kennis van de Intuïtieve Meetkunde er toe leidt het werk van Euclides volledig naar waarde te schatten Wat door intuïtie, observatie en experiment was gevonden, werd immers door deze Alexandrijnse wiskundige in een min of meer sluitende, axiomatische theorie samengevat (2)
* * *
Maar terug naar Thales van Milete(2) . Alles wat we van Thales weten is uit 'tweede hand', dus afkomstig van mensen die over hem hebben geschreven. Van zijn geschriften is niets bewaard gebleven. Het is zelfs onduidelijk of hij ooit wel iets heeft geschreven. Ook werden in die tijd aan beroemde persoonlijkheden vaak allerlei zaken toegeschreven die ze wellicht helemaal niet zelf hadden gedaan of bedacht. Toch wordt Thales gezien als de eerste Griekse filosoof, natuurwetenschapper en wiskundige. Hij was de eerste bekende denker over de wiskunde en de natuurwetenschap. Zo zou hij een boek over navigatie hebben geschreven waarin hij zeevaarders aanraadde om hun koers te bepalen met behulp van het sterrenbeeld de Kleine Beer (in plaats van de Grote Beer). Ook worden een aantal stellingen van de Griekse meetkunde aan hem toegeschreven.
Volgens sommigen was Thales' wiskundige kennis niet veel meer dan wat hij die geleerd had op zijn reizen naar Egypte, waar deze meetkundige kennis al lang bekend was. Het is ook erg onzeker of Thales al een idee had van de abstracte theorie van de vlakke meetkunde en begrippen als 'stelling' en 'bewijs', zoals men drie eeuwen nadien bij Euklides aantreft.
Een zestal stellingen uit de vlakke meetkunde worden aan Thales van Milete toegeschreven:
I- Een cirkel wordt door elke diameter in twee gelijke stukken verdeeld.
II- De basishoeken van een gelijkbenige driehoek zijn gelijk.
III- De overstaande hoeken bij twee snijdende lijnen zijn gelijk.
IV- Twee driehoeken zijn congruent als ze twee hoeken en een zijde gelijk hebben.
V- Elke omtrekshoek op de middellijn van een cirkel is een rechte hoek of nog Van een rechthoekige driehoek is het midden van de schuine zijde het middelpunt van de omgeschreven cirkel
Deze vijfde stelling is bekend als de« cirkelstelling » van Thales. Noteer dat deze stelling ook al door de bouwmeesters van het Oude Egypte werd gebruikt. De cirkelstelling komt bij Euklides voor in het Zesde Boek propositie 31.
Een zesde stelling, die eveneens aan Thales toegeschreven wordt en die ten lande -althans in Frankrijk, België, Zwitserland- als DE stelling van Thales wordt beschouwd, is de zogenaamde « intersectiestelling ». Deze Intersectiestelling komt bij Euklides voor in het Zesde Boek Propositie 2 (VI, 2) en kan ook nog als volgt geformuleerd worden:
VI- Evenwijdige lijnen snijden van twee lijnen evenredige stukken af.
De Cirkelstelling en de Intersectiestelling en vooral hun toepassingen vinden hun plaats in de Intuïtieve Meetkunde. Meer nog ze kunnen ook nog op basis van voorgaande stellingen uit de Intuïtieve Meetkunde worden afgeleid en bereiden ook voor op de meetkunde van Euclides. Overigens voert de intersectiestelling rechtstreeks tot een eerste kennismaking van wat men later trigonometrie is gaan noemen.
1° De Cirkelstelling van Thales (3) :
De cirkelstelling van Thales luidt als volgt: « Een driehoek ∆ ABC omschreven door een cirkel, en waarvan één zijde een middellijn van de cirkel vormt, is een rechthoekige driehoek. »
Gegeven: een ∆ ABC ingeschreven in een cirkel met AC als middellijn.
Te bewijzen: hoek B is een rechte hoek.
Bewijs: Deze stelling is eenvoudig te bewijzen met behulp van figuur 1 cirkelstelling van Thales (zie bijlage 1). Men drukt meetkundig uit dat men met een omgeschreven cko te doen heeft en trekt de straal OB. Aangezien O het middelpunt van de cirkel is, is de afstand OA gelijk aan OB en zijn de hoeken α gelijk. Een analoog argument laat zien dat de hoeken β gelijk zijn. Voor de driehoek ABC geldt dat de som der hoeken gelijk is aan 180°. Hieruit volgt dat α + (α + β) + β = 180° en dus dat α + β = 90°.
De omgekeerde stelling is eveneens waar: « De omgeschreven cirkel van een rechthoekige driehoek heeft de hypotenusa van deze driehoek als middellijn »
Gegeven: ∆ ABC is een rechthoekige driehoek met hoek B als rechte hoek
Te bewijzen: BC is de middellijn van de omgeschreven cirkel. Of nog het midden M van BC is het middelpunt van de omgeschreven cko van de rechthoekige ∆ ABC.
Bewijs: Over het algemeen loopt het bewijzen van een omgekeerde stelling minder vlot omdat het vinden van de nodige hulplijnen voor de bewijsvoering veelal minder evident is. Hier is het probleem: hoe druk ik in de meetkundige figuur uit dat M het middelpunt van de omgeschreven cirkel is? Dit gebeurt door de middelloodlijnen op de zijden AB en CB te tekenen (zie figuur 2 omgekeerde cirkelstelling van Thales). Zij M het snijpunt van de twee middelloodlijnen en P en Q de snijpunten van de middelloodlijnen met AB en BC.
Men heeft MQ evenwijdig met AB en dus ∆ CMQ ~ ∆ CAB waaruit CM : CA = CQ : CA = 1/2. Verder is PM evenwijdig met BC en dus ∆ APM ~ ∆ABC waaruit AM : AC = AP : AB = 1/2 Het snijpunt van de middelloodlijnen ligt dus in het midden van de hypotenusa AC en is uiteraard het middelpunt van de omgeschreven cko.
Zijn boek Eléments de Géométrie is een meer eenvoudige benadering van de deductieve meetkunde vergeleken met deze door Euklides gebruikt in de fameuze Elementen. Legendres boek kende een enorm succes en werd dan ook in meerdere talen (Engels, Duits..) vertaald. Eléments de Géometrie omvatte al evenmin als Euklides Elementen een sluitende axiomatische theorie en een David Hilbert heeft dit met brio aangetoond in zijn boek « Grundlagen der Geometrie » ( zie: http://www.archive.org/details/grunddergeovon00hilbrich )
(Hoofdstuk 9 "Intuïtieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 9.1 Enkele meetkundige constructies
In voorbereiding van de Deductieve Meetkunde, geprogrammeerd voor de vierdes (derde jaar middelbaar) was het, volgens de Eerste Ministeriele Omzendbrief van 1948 (1) , wenselijk de Intuïtieve Meetkunde (partim Vlakke Meetkunde) nog wat verder uit te diepen, en meer precies in de zesdes (eerste jaar middelbaar).
Volgens het boek van de collectie Herbiet (Rekenkunde en Intuïtieve Meetkunde) ging het hierbij over volgende onderwerpen: uitbreidingen betreffende het hoekbegrip, uitbreidingen betreffende de begrippen loodlijnen, evenwijdige rechten en introductie van het begrip symmetrie, uitbreidingen betreffende het begrip cirkelomtrek en cirkelboog en tenslotte enkele meetkundige constructies. De uitbreidingen, waarvan sprake hadden in hoofdzaak betrekking op het waardebeloop van hoeken en de rekenkundige bewerkingen.
Andere in mijn ogen belangrijke gedeelten van de Intuïtieve Meetkunde als bvb de merkwaardige lijnen en punten in een driehoek, de Gulden Snede.. werden buiten beschouwing gelaten. Mijn inziens, een onbegrijpelijk standpunt, daar de scholieren door wat te "spelen" met passer en liniaal heel wat zelf kunnen ontdekken. Deze materie kon bvb gemakkelijk in het leerprogramma van de vijfdes (tweede jaar middelbaar) opgenomen worden. Daar in dit gedeelte van de Intuïtieve Meetkunde veelvuldig van de passer wordt gebruik gemaakt heb ik als ikoon van dit cursiefje de passer gekozen.
1° uitbreidingen betreffende het hoekbegrip:
Een hoek bleef natuurlijk gedefinieerd als het gedeelte van een vlak dat gelegen was tussen twee halve rechten met dezelfde oorsprong, maar nu werden ook de noties convexe of uitspringende en concave of inspringende hoek gedefinieerd (zie figuur 1 convexe en concave hoeken).
Vervolgens werden de rekenkundige bewerkingen met hoeken ontrafeld. Twee hoeken heten congruent als ze kunnen samenvallen. Congruente hoeken zijn gelijk omdat voor hoeken de begrippen gelijk en congruent gelijkwaardig zijn. Hoeken heten ongelijk wanneer ze niet kunnen samenvallen; een hoek heet groter dan een andere hoek indien ze een groter gedeelte van het vlak inneemt. De constructie van een hoek die gelijk is aan een gegeven hoek kan gebeuren met een zwei, met de gradenboog of met de passer.
De som van twee hoeken is de hoek gevormd door de buitenbenen van de twee hoeken, nadat men er aanliggende hoeken van gemaakt heeft. Het verschil tussen twee ongelijke hoeken is de hoek, die samengeteld moet worden bij de kleinste hoek om de grootste te vormen. Hoeken kan men vermenigvuldigen of delen met een natuurlijk getal. Hoeken zijn meetbare grootheden want hun gelijkheid en hun som werden gedefinieerd. Hoeken kunnen gehalveerd worden. Men noemt bissectrice van een hoek, de halve rechte, waarvan de oorsprong met het hoekpunt samenvalt en die de hoek in twee gelijke hoeken verdeelt.
Nevenhoeken zijn aanliggende hoeken waarvan de buitenbenen in elkaars verlengde liggen. Van een halve rechte, die met een rechte twee gelijke nevenhoeken vormt, wordt gezegd dat ze loodrecht staat op die rechte. Die gelijke hoeken worden rechte hoeken genoemd. Een gestrekte hoek is dus het dubbele van een rechte hoek. Vermits alle gestrekte hoeken gelijk zijn, zijn ook alle rechte hoeken gelijk en kan de rechte hoek dienen als hoekeenheid (1RH).
De voornaamste eenheid die men gebruikt bij het meten van hoeken is de rechte hoek (1RH). Hieruit volgt dat het maatgetal van de rechte hoek 1, van de gestrekte hoek 2, van een inspringende hoek van drie rechte hoeken 3 en van een volle hoek 4 is.
Een scherpe hoek is een hoek die kleiner is dan 1 RH, een stompe hoek is een uitspringende hoek die groter is dan 1 RH. Twee hoeken waarvan de som gelijk is aan 1RH worden complementaire hoeken genoemd. Twee hoeken waarvan de som gelijk is aan 2 RH worden supplementaire hoeken genoemd.
Het waardebeloop van een hoek waarvan één been vast is, terwijl het andere in het vlak om het hoekpunt wentelt, kan met behulp van de passer gedemonstreerd worden (zie figuur 2 waardebeloop).
Door op continue wijze de passeropening te wijzigen introduceerde men achtereenvolgens de notie nulhoek (passer gesloten), uitspringende hoek (passeropening kleiner dan 2 RH), gestrekte hoek (passeropening gelijk aan 2 RH), inspringende hoek (passeropening groter dan 2 RH) en tenslotte de volle hoek (wenteling tot de beginstand).
Een volle hoek was gelijk aan twee gestrekte hoeken dus 4 RH.
2° uitbreidingen betreffende loodlijn en evenwijdige rechten
In de Intuïtieve Meetkunde worden meetkundige constructies uitgevoerd met behulp van een lat en tekendriehoek (fr. équerre) en een passer (fr. compas), in de Deductieve Meetkunde uitsluitend met passer en liniaal (voor enkele basisconstructies met passer en liniaal zie punt 4° van dit cursiefje).
Klassieke constructies, die uitgevoerd worden met de tekendriehoek zijn:
1- Een loodlijn (fr. perpendiculaire) uit een punt neerlaten op de gegeven rechte d
2- Een loodlijn oprichten in een gegeven punt op de rechte d
3- Een evenwijdige rechte (fr. parallel) door een punt, buiten de rechte gelegen trekken aan een gegeven rechte.
4- De middelloodlijn van een lijnstuk is de rechte die in het midden van het lijnstuk loodrecht op dit lijnstuk staat. Gevraagd wordt een middelloodlijn (fr. médiatrice) op te richten op een gegeven lijnstuk
3° uitbreidingen betreffende cirkelomtrek en cirkelboog:
In de Intuïtieve Meetkunde definieert men een cirkel(omtrek) als een vlakke, gesloten, kromme lijn, waarvan alle punten op dezelfde afstand van een punt van het vlak het middelpunt- liggen. Deze afstand wordt de straal van de cirkel(omtrek) r genoemd. De cirkel -zelf was het oppervlak omschreven door de cirkelomtrek, maar in het courante spraakgebruik werd deze term zowel voor de cirkelomtrek als de voor de cirkel- zelf gebruikt. Cirkels worden getekend met behulp van een passer en de passeropening bepaalt de straal van de cirkelomtrek. Er bestaan naargelang de gebruiksvoorwaarden diverse soorten passers bvb steekpassers , krompassers , valpasser, (zie Passer (gereedschap).
Een raaklijn aan een cirkelomtrek is een rechte die met de cirkelomtrek slechts één punt gemeen heeft. De raaklijn in een gegeven punt van de cirkelomtrek is de limietstand van de rechte, die het gegeven punt met een ander punt van de cirkelomtrel verbindt als dit tweede punt tot het eerste nadert en er mee samenvalt. De nodige en voldoende voorwaarde opdat een rechte raaklijn zou zijn aan een cirkelomtrel , is dat ze loodrecht staat op de straal (voor een bewijsvoering: zie cursiefje "Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs" (2)).
Cirkelomtrekken met zelfde straal zijn congruent, wat in de Intuïtieve Meetkunde aangetoond wordt door een cirkel op papier, de andere op transparant of doorzichtig papier te tekenen. Door beide cirkels op elkaar te plaatsen zodanig dat de middelpunten samenvallen, ziet men dat ook de cirkels zelf samenvallen: ze zijn dus congruent.
Een cirkelboog is een deel van de cirkelomtrek die begrensd is door twee punten A en B bvb. Het lijnstuk AB dat de eindpunten A en B van een boog verbindt is de koorde van de boog. De diameter d van een cirkelomtrek is een koorde die door het middelpunt gaat. De diameter is de grootste koorde in een cirkelomtrek.
Twee bogen zijn gelijk als ze kunnen samenvallen, wat slechts het geval is wanneer de bogen een zelfde kromming (zelfde kromtestraal) bezitten. Is dit niet het geval dan zijn de bogen ongelijk. De gelijkheid van de bogen brengt ook die van de onderspannen koorden mede en omgekeerd brengt de gelijkheid van koorden de congruentie van de kleinste bogen mee. De som van twee bogen (in een zelfde cirkel omtrek) is de boog gevormd door de twee bogen zo geplaatst dat het eindpunt van de ene samenvalt met het beginpunt van de andere. Het verschil tussen twee ongelijke bogen is de boog, die samengeteld moet worden bij de kleinste boog om de grootste te vormen. Bogen kan men vermenigvuldigen of delen met een natuurlijk getal. Cirkelbogen zijn meetbare grootheden wan hun gelijkheid en hun som werd gedefinieerd.
De middelpuntshoek wordt gedefinieerd als de (kleinste) hoek van waaruit de boog of de koorde gezien werd vanuit het middelpunt. Uit de gelijkheid van de bogen volgt, dat bij het op elkaar leggen niet alleen de koorden zullen samenvallen, maar dat dit ook het geval is voor de corresponderende middelpuntshoeken. Tekent men in een cirkel twee onderling loodrechte diameters, dan wordt de cirkelomtrek in vier gelijke bogen en vier gelijke middelpuntshoeken verdeeld. Ieder van deze bogen is het vierde van een cirkelomtrek of een kwadrant. Twee op elkaar volgende kwadranten vormen een halve cirkel omtrek.
Verdeelt men een gestrekte hoek in 180 gelijke opeenvolgende aanliggende hoeken dan vormt ieder van deze aanliggende hoeken één Booggraad . Een booggraad is per definitie het 1/180-ste deel van een gestrekte hoek. Het maatgetal van een hoek wordt veelal uitgedrukt in booggraden en wordt gemeten met behulp bvb van een gradenboog of met een Geodriehoek .
4° de vier meetkundige basisconstructies met passer en liniaal:
De meetkundige constructies, die in de vorige paragraaf uitgevoerd werden, gebeurden met behulp van de lat en de tekendriehoek (en eventueel met de gradenboog). Bij het oplossen van meetkundige constructievraagstukken in de Deductieve Meetkunde, eiste Plato echter dat alleen en uitsluitend zou gebruik zou gemaakt worden van twee uiterst eenvoudige instrumenten als de passer en de liniaal. Dit om te vermijden dat het aantal instrumenten te sterk zou aangroeien en het gebruik ervan te ingewikkeld zouden worden. Men kan zich gemakkelijk indenken, dat niet alle constructies met behulp van deze uiterst eenvoudige instrumenten kunnen uitgevoerd worden.
De analyse van een meetkundig constructievraagstuk, dat aan Platos eis voldoet kan dus lastig zijn. Hoe men dergelijke vraagstukken het best aanpakt was leerstof voor de hogere humaniora, en werd in de Cadettenschool op een sublieme manier behandeld (zie cursiefje Wiskunde in de Cadettenschool: Axiomatische meetkunde in mijn tweede blog).
Het leerplan Intuïtieve Meetkunde voorzag echter dat al in de zesdes (eerste jaar middelbaar) de oplossingen van vier belangrijke constructievraagstukken toegelicht en aangeleerd werden, zonder een grondige analyse van het vraagstuk:
- eerste constructievraagstuk: constructie van een middelloodlijn:
De constructie van de middelloodlijn gebeurt gelijktijdig met het bepalen van het midden van een lijnstuk. Uit ieder eindpunt van het lijnstuk MN beschrijft men twee cirkelbogen met dezelfde straal die elkaar in twee snijpunten snijden. De middelloodlijn is het lijnstuk dat de twee snijpunten verbindt (voor de praktische uitvoering zie
- tweede constructievraagstuk: constructie van een loodlijn in een punt van een rechte
Zij een punt M gelegen op de rechte ab. Beschrijf uit het punt M een cirkelboog, die de rechte ab in C en D snijdt. Beschrijf uit deze punten C en D twee cirkelbogen, die elkaar in E snijden. De loodlijn is het lijnstuk EM. (zie )
- derde constructievraagstuk: constructie van een loodlijn door een punt buiten de rechte op een rechte
Zij een punt A buiten de rechte D gelegen. Uit het punt A wordt een cirkelboog beschreven, die de rechte D in M en N snijdt. Uit de punten M en N twee cirkelbogen met dezelfde straal beschrijven en hun snijpunten bepalen. De gevraagde loodlijn is de rechte die door deze snijpunten gaat. (voor de praktische uitvoering zie http://cyberlesson.free.fr/Cybermaths/Animations/Consperpencompas.htm )
- vierde constructievraagstuk: constructie van de bissectrice van een hoek
Zij een hoek xOy met als hoekpunt O. Beschrijf uit dit hoekpunt O een cirkelboog die de benen van de hoek in M en N snijdt. Trek uit de punten M en N cirkelbogen met dezelfde straal, die elkaar snijden in F. Het lijnstuk OF is de gevraagde bissectrice. (voor de praktische uitvoering zie bvb http://cyberlesson.free.fr/Cybermaths/Constructionsgeom/Bissectrice.htm )
Toepassingen: merkwaardige punten en lijnen in een driehoek
Deze basisconstructies toegepast op een willekeurige driehoek laten nu toe enkele merkwaardige punten en lijnen in een driehoek te vinden:
-Teken de drie middelloodlijnen (m a, m b, m c ) op de zijden van een driehoek. Ze snijden elkaar in één punt, het middelloodlijnenpunt O. Dit punt ligt op dezelfde afstand van de drie hoekpunten A, B en C van de driehoek en is derhalve het middelpunt van een cirkelomtrek (omgeschreven cirkel genoemd) waarop de drie hoekpunten liggen.
Vraagje: waarom moeten de drie middelloodlijnen van een driehoek elkaar noodzakelijkerwijze in één punt snijden? Tip: volgt uit de definitie van middelloodlijn
- Teken de drie bissectrices (α a, α b en α c )van de hoeken A, B en C van een driehoek. Ze snijden elkaar in één punt , het bissectricepunt I. Dit punt ligt op dezelfde afstand van de drie zijden a, b en c van de driehoek ABC en is het middelpunt van een cirkelomtrek (ingeschreven cirkel genoemd) die aan de drie zijden raakt, m.a.w. de drie zijden van de driehoek zijn raaklijnen aan de ingeschreven cirkel.
Vraagjes: waarom moeten de drie bissectrices van een willekeurige driehoek elkaar noodzakelijkerwijze in één punt snijden? Tip: volgt uit de definitie van bissectrice Waarom raakt de ingeschreven cirkel de zijden van de driehoek?
- Teken de drie hoogtelijnen (h a , h b , h c ) uit de hoekpunten A, B , C van een driehoek. Ze snijden elkaar in één punt H, het hoogtepunt van de driehoek ABC genoemd.
De bewijsvoering dat de drie hoogtelijnen elkaar in één punt snijden is minder eenvoudig en wordt uiteengezet in het cursiefje Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs (1)). De bewijsvoering berust op het terugbrengen naar het geval middelloodlijnen.
- Een zwaartelijn in een driehoek ABC is een lijnstuk dat een hoekpunt met het midden van de overstaande zijde verbindt. Teken de drie zwaartelijnen (g a, g b , g c ) van een willekeurige driehoek ABC. Ze snijden elkaar door één punt G, het zwaartepunt van de driehoek ABC geheten.
Ook hier is de bewijsvoering dat de drie zwaartelijnen elkaar in één punt snijden minder eenvoudig (voor de bewijsvoering zie cursiefje Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs (1)).
Men toont aan dat het zwaartepunt zich op 2/3 afstand van de driehoekpunten bevindt.
- Een middenparallel n a in een driehoek ABC is een lijnstuk evenwijdig met een zijde (bvb a), dat door het midden van een tweede zijde (bvb b)gaat. De driehoek gevormd door het hoekpunt A en de snijpunten van de middenparallel en de tweede en derde zijde is gelijkvormig met de driehoek ABC. De middenparallel deelt de derde zijde middendoor.
Vraagje: toon aan dat de middenparallel de derde zijde middendoor deelt (tip: gelijkvormigheid van driehoeken)
De driehoek gevormd door de drie middenparallellen (n a , n b , n c ) in een driehoek ABC wordt middenparallel- driehoek genoemd.
5° een bijzonder belangrijke meetkundige constructie: de Gulden Snede
- wat verstaat men onder de Gulden Snede? (2)
De Gulden Snede, door Euklides de verdeling in uiterste en middelste reden genoemd, is de verdeling van een lijnstuk in twee delen in een speciale verhouding. Verhandelingen over de gulden snede komen we aanvankelijk alleen op wiskundig gebied tegen. De eerste zou geschreven zijn door Theano, een arts en wiskundige die tot de school van Pythagoras behoorde. Maar dit werk zou verloren zijn geraakt. De Verdeling in uiterste en middelste reden wordt in Boek VI van de Elementen van Euklides behandeld.
Beschouwen we een lijnstuk AB en een punt M gelegen tussen A en B. Dit punt verdeelt het lijnstuk in twee ongelijke delen MA (met maatgetal a) en MB (met maatgetal b). Het lijnstuk AB is de som van de lijnstukken MA en MB of dus AB = MA + MB. Het maatgetal van AB is dus a + b. Onderstellen we verder dat MA < MB of a < b.
Bij de gulden snede verhoudt bij definitie het grootste van de twee delen zich tot het kleinste, zoals het gehele lijnstuk zich verhoudt tot het grootste.
Geven we het grootste deel (MB) aan met b en het kleinste deel (MA) met a, dan is bij de Gulden Snede de verhouding van beide zo dat b / a = (b + a) / a. De bedoelde verhouding b / a wordt het gulden getal genoemd en aangeduid met de Griekse letter φ.
Vermits b / a = (b + a) / a = 1 + a / b komt er φ = 1 + 1 / φ of nog φ² = φ + 1 wat geschreven kan worden in de gedaante van een klassieke vierkantsvergelijking (vkv):
- φ² - φ 1 = 0 die als oplossingen ( zie cursiefje Algebra in het Lager secundair Onderwijs) heeft : φ 1 = (1 + √5) / 2 en φ 2 = (1 - √5) / 2
Men heeft als oplossingen φ 1 = 1, 618033 en φ 2 = - 0,618033 waarvan alleen de positieve oplossing weerhouden wordt. Het getal φ is een irrationaal getal met als gebruikelijke benaderende waarde 1,62...
De benaming Gulden Snede is pas in de eerste helft van de 19de eeuw ontstaan en zou door Martin Ohm ( de broer van Georg Ohm, de bekende fysicus) zijn ingevoerd. Aan het eind van de Middeleeuwen en vanaf de Renaissance sprak men van de Divina Proportio. Deze benaming werd door Luca Pacioli geïntroduceerd. De namen Gulden en Divina duiden aan dat men deze verhouding toch wel zeer bijzonder vond.
Het gulden getal vertoont nu enkele onverwachte relaties met andere gebieden van de wiskunde (bvb de getallenrij van Fibonacci). Ook vindt men het Getal φ ook terug in de Natuur. Anderzijds zou de Gulden Snede ook een rol in de beeldende kunsten, de muziek en de architectuur spelen.
- de meetkundige constructies:
Om een gegeven lijnstuk in uiterste en middelste reden te verdelen worden voornamelijk twee methodes gebruikt: de methode van de rechthoekige driehoek en de methode van het vierkant. De vierkantmethode wordt uiteengezet in de deductieve meetkunde. De eerste methode is de eenvoudigste methode en wordt in de intuïtieve meetkunde gebezigd.
Zij AB het lijnstuk dat te verdelen is in uiterste en middelste reden. Teken een rechthoekige driehoek ABC met de rechthoekszijden AC van lengte 1 en AB van lengte 2. De hypotenusa BC heeft dan de lengte √5 (zie cursiefje Intuïtieve Meetkunde in het Primair Onderwijs (1)).Teken van uit C een cirkel met straal AC die de schuine zijde snijdt in D. Teken van uit B een cirkel met straal BD, die het lijnstuk AB snijdt in M. Het punt M verdeelt het lijnstuk AB volgens de Gulden Snede (zie figuur 4 gulden snede).
Wij tonen nu aan dat dit inderdaad het geval is: Uit figuur 4 volgt dat
MB = DB = √5 1 en MA = 2 (√5 1) en MA + MB = 2
waaruit MB / MA = (MB + MA) / MA
- de gulden meetkundige figuren:
Een gulden rechthoek is een rechthoek met zijden in de verhouding van het gulden getal: als a + b de lengte en b de breedte van de rechthoek voorstellen, heeft men dus a + b / b = φ.
Als we in de gulden rechthoek een vierkant tekenen, met a als zijde, dan is de kleinere rechthoek die overblijft opnieuw een gulden rechthoek (zie figuur 5 gulden rechthoek). Dit vierkant noemt men om deze reden de gnomon van de gulden rechthoek. Door dit proces met de steeds kleiner wordende rechthoeken te herhalen ontstaat een soort spiraal, de gulden spiraal genoemd (zie figuur 6 gulden spiraal).
In werkelijkheid gaat het hier om een verzameling van afzonderlijke punten. De gulden spiraal is een discontinuë spiraal in tegenstelling met de klassieke continuë logaritmische spiraal van Neper. De punten van de gulden spiraal passen echter wel in een logaritmische spiraal (voor wie meer informatie wenst zie referentie 4 chapter 12 "Spira mirabilis")
Een driehoek met hoeken van 36°, 72° en 72° heet gulden driehoek (zie figuur 7 gulden driehoek).
Waarom wordt nu een dergelijke driehoek gulden driehoek genoemd?
Trek de bissectrice van hoek B; deze snijdt de zijde AC in het punt D.
Dan geldt AD = BD = BC.
Nu is: ∆ ABC ~ ∆ BCD zodat geldt AC / BD = BC / CD of daar BD = AD geldt
AC / AD = AD / CD m.a.w.
AC / AD = φ.
Let wel dat de driehoek ∆ BCD opnieuw een gulden driehoek is en bijgevolg is de gelijkbenige driehoek ∆ ABD met hoeken van 108°, 36° en 36° de gnomon van de gulden driehoek, want het proces kan voortdurend herhaald worden. Weer ontstaat door dit proces herhaaldelijk uit te voeren een gulden spiraal.
In een regelmatige vijfhoek (pentagoon) is de driehoek gevormd door een zijde en twee diagonalen een gulden driehoek (zie figuur 8 pentagoon en gulden driehoek).
Het pentagram (vijfhoekige regelmatige ster) ontstaat door de zijden van een regelmatige vijfhoek twee aan twee te verlengen. Het pentagram was het zinnebeeld van de School van Pythagoras en is opgebouwd uit gulden driehoeken (zie figuur 9 pentagram).
vraagje: hoeveel gulden driehoeken telt een pentagram?
De Gulden Ellips is de ellips waarvan de verhouding grote as tot kleine as gelijk is aan het getal φ (zie figuur 10 gulden ellips).
Volgens een experimenteel (statistisch) onderzoek uitgevoerd door Gustav Fechner ("Zur experimentalen Aesthetik") zou onder de ellipsen, de gulden ellips door de meeste personen als de meest esthetische ervaren worden. Gustav Theodor Fechner (1801-1887) studeerde geneeskunde en werd in 1834 benoemd tot Ordinarius in de Natuurkunde aan de Universiteit van Leipzig. Om gezondheidsredenen diende hij echter zijn positie in 1839 op te geven. Hij wordt als de grondlegger van de experimentele psychologie beschouwd.
Zoals steeds bij dergelijke experimentele statistische onderzoeken, werden ook hier de bekomen resultaten in twijfel getrokken..
- een wiskundige relatie: het getal φ en de getallenrij van Fibonacci (3)
Het getal φ bezit een merkwaardige eigenschap: Uiteraard is φ0 = 1 en φ1 = φ = 0 + φ maar uit de definitie van het getal φ volgt ook nog φ² = φ + 1 of beter φ² = 1 + φ .
De deeltermen van deze rekenkundige rij zijn samengesteld zijn uit de n-1de en de nde term van getallen rij van Fibonacci . Men bekomt deze laatste rij door steeds de som te maken van de twee voorgaande getallen uit de rij. Deze som is dan het volgende getal in de rij enzovoort. De rij ziet er dan als volgt uit : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ...
In de limiet is de verhouding tussen twee opeenvolgende Fibonacci- getallen precies (1+√5)/2 m.a.w. het getal φ,
Opmerking: Andere interessante wiskundige relaties bvb tussen het getal φ en bepaalde trigonometrische functies vindt men in het boek van H.E. Huntley The Divine Proportion (4) . Men heeft sin 18° = 1 / (2 φ) en cos 36° = φ / 2 . De gedetailleerde afleiding van deze betrekkingen vindt men in een artikel (5) van Dick Klingen.
- het getal φ in de Natuur
Het getal φ komt zoals het getal π ook in de Natuur voor en i.h.b. in de levende Natuur. Het was DArcy Wentworth Thompson die in zijn boek « On Growth and Form » (6) hierop de aandacht vestigde. Thompson (1860- 1948) was én bioloog én wiskundige en zijn boek blijft nog steeds actueel.
In tegenstelling met het getal π is de observatie van het getal φ in de Natuur heel wat minder evident. Veel geciteerde voorbeelden zijn de Nautilus- schelp en de fyllotaxis, d.i. de inplanting van bladeren op een tak, of van de bloemblaadjes in het hart van een bloem of van de schubben op een dennenappel (7) .
Volgens Albert Van der Schoot (8) , is er tussen de bouw van de nautilus-schelp en de gulden snede geen enkel dwingend verband te leggen. Volgens deze auteur, kan je, als je wilt, de gulden snede er in projecteren, maar dat zegt meer over de waarnemer dan over het feit. Zo vergaat het vrijwel alle natuurverschijnselen die in de negentiende en twintigste eeuw als manifestatie van de goddelijke verhouding naar voren worden geschoven. Ze kloppen niet, of hoogstens ten naaste bij, of blijken ontsproten aan de verhitte fantasie van bevlogen natuurvorsers en dit is volgens Van der Schoot het geval bij de Nautilus- schelp. Alleen de fyllotaxis vindt enigszins genade in zijn ogen en blijkt aan de voorwaarden te voldoen, maar ook dat heeft, zo merkt Van der Schoot op, eigenlijk andere oorzaken.
In feite ontkent Van der Schoot dat er een wiskundig verband bestaat tussen de gulden snede en de logaritmische spiraal, terwijl alle wiskundigen juist wel dit verband zien. Het eigenlijke vakgebied van de auteur is de filosofische esthetica en dat verklaart wellicht veel
- het getal φ in de kunst
Klassieke voorbeelden zijn hier de piramide van Cheops, het Parthenon en de beelden van Phidias. De eerste letter van de naam van deze befaamde beeldhouwer, de Griekse letter φ, werd daarom door Mark Barr gebruikt om de gulden snede aan te duiden.
Wat we zeker weten is dat, wat men later de Gulden Snede is gaan noemen, als een interessante architecturale verhouding werd gebruikt o.m. bij de Egyptenaren en de Grieken. De afmetingen van de Grote Piramide bewijzen dit overduidelijk (9) .
De eerste Griekse architect die bewust voor die verhouding koos was de beeldhouwer Phidias (490-430 V.C.) die ook het Parthenon ontwierp. Phidias schreef dat de verhouding gelijk is aan de totale lengte tot de langste of de langste tot de kortste zijde...
De Gulden Snede zou sindsdien volgens sommigen een intrinsieke schoonheid bezitten waardoor die verhouding veel zou voorkomen in klassieke architectuur, de beeldhouwkunst en in de schilderkunst. Of de vroegere grote kunstenaars steeds bewust de Gulden Snede in hun kunstgewrochten hebben verwerkt is natuurlijk niet zeker.
Wel verwierf, in de loop van de twintigste eeuw, de gulden snede een plaats in diverse vormen van kunstonderwijs. Schilders als Picasso en Salvator Dali en architecten als Le Corbusier hebben de Gulden Snede bewust toegepast.
-------------------------------
(1) « De studie van de beginselen der meetkunde in de zesde (eerste jaar middelbare school) moet practisch en aanschouwelijk zijn. Zij moet er toe leiden de opmerkingsgave te ontwikkelen en terzelfdertijd dienen als inleiding tot de beredeneerde meetkunde » (Omzendbrief van 24 augustus 1948)
(2) Er bestaat heel wat literatuur over de Gulden Snede en het Gulden Getali.h.b. voor wat de relatie met de Kunst en de Biowetenschappen betreft. Andere bronnen (zie (8)) trekken dan weer deze relatie in twijfel en geven blijk van een overdreven scepticisme, andere zijn dan weer iets te esoterisch van karakter.
Het boek Le Nombre dOr Clé du Monde vivant van Dom Neroman (Dervy, -1981-) behoort tot de esoterische categorie, maar is op wiskundig vlak zeker het lezen waard, want geschreven in een zeer begrijpelijke taal. Dom Neroman is de schuilnaam van Pierre Rougié, een astroloog maar ook mijningenieur (zie http://fr.wikipedia.org/wiki/Dom_Neroman ).
Ook te vermelden is "De Gulden Snede" van C. J. Snijders (een scheikundig ingenieur), dat vanaf de vierde druk herzien werd door M. Gout, een bouwkundig ingenieur. Dit boekje van amper 90 pagina's is een echte klassieker, die nog in 2008 zijn vijfde druk beleefde, neemt als vertrekpunt de getallenrij van Fibonacci.
Een populair werk is "Divine Proportion: Phi, Art, Nature, Science" van Priya Hemenway, dat ook in het Frans en het Nederlands vertaald werd. Dit boek mist echter de nodige wiskundige diepgang.
(3) Leonardo van Pisa (genaamd Fibonacci, Filius Bonaccii, wat "zoon van Bonaccio" betekent) leefde ca. 1175-1250. Fibonacci publiceerde in zijn boek Liber Abaci het befaamde "konijnenvraagtuk" waarvan de getallen van Fibonacci de oplossing zijn.
(4) H. E Huntley The Divine Proportion (Dover, -1970-). Dit werk werd ook in het Frans vertaald en in combinatie met Le Nombre dOr radiographie dun mythe- van Marguerite Neveux uitgegeven bij Seuil (1995). Marguerite Neveux is Maître de conférences en Histoire de lArt aan de de Universiteit van Parijs.
(8) Albert Van der Schoot « De Ontstelling van Pythagoras over de geschiedenis van de goddelijke proportie- » (Kok Agora, -1998-)
Albert van der Schoot is filosoof en muziekwetenschapper, docent cultuurfilosofie en esthetica aan de Universiteit van Amsterdam. In dit lijvig, doctoraal proefschrift van 442 paginas wordt nagegaan, welke rol wiskundige verhoudingen, en met name de 'goddelijke proportie', hebben gespeeld in het westerse denken over natuur en kunst. Volgens deze auteur zou de goddelijke proportie, als esthetisch ideaal, geen erfenis zijn van de Oudheid, noch van de Renaissance, maar een uitvinding van de Romantiek. Een "boude" stelling, waarmede velen het niet eens zullen zijn. Ook lijken mij zijn uitspraken over bvb de Nautilus schelp erg overtrokken. Men mag zich terecht afvragen of de auteur wel hoofdstuk XI "The equiangular spiral" van "On Growth and Form" van D'Arcy Wentworth Thompson heeft doorgenomen. De argumentatie ontwikkeld in voornoemd hoofdstuk, dat meer dan honderd pagina's telt is overtuigend genoeg..
(Hoofdstuk 8 "Arithmetiek en Algebra in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 8.4 Rekenen met letters ofte Algebra
Het was in 1953 dat ik voor het eerst werkelijk in contact kwam met Algebra, een vak, dat gehuld was in een sfeer van geheimzinnigheid en dat, voortgaande op uitspraken als dat is je reinste algebra!, bovendien uiterst moeilijk moest zijn. Ik zat toen in de vijfde humaniora van het Sint Lodewijkscollege ("Saint Louis") te Brugge.
Het vak werd gegeven door een nieuwkomer, een burger (!), vermoedelijk regent in wiskunde, de Heer Vrijsen. Zijn aanstelling hield wellicht verband met de recente oprichting van een Latijn-Wiskunde Afdeling, waardoor meer uren wiskunde moesten gegeven worden en een uitbreiding van het kaderpersoneel onvermijdelijk werd. Ik heb alleen nog maar wat vage herinneringen aan deze leraar. Begrijpelijk want we hadden op dat ogenblik maar een uurtje algebra per week.
Als schoolboek werd in Saint Louis de « Elementen der Algebra » van Nicolas Joseph Schons en Cyriel De Cock gebruikt.Elementen der Algebra was speciaal bedoeld voor de Grieks-Latijnse humaniora en bestond uit een eerste volume, dat de leerstof voor de vijfde, de vierde en de derde humaniora dekte (dus de materie bestemd voor de lagere humaniora + één jaar) en een tweede, dat de materie voor de poësis en rhetorica bestreek. Het was de vertaling van « Eléments dAlgèbre » van Nicolas Joseph Schons.
Beide delen verschenen ná 1949 in één gezamenlijk volume, onder de eenvoudige titel Algebra. Vermoedelijk was deze eenvoudige titel gekozen naar analogie met Eléments dArithmétique, waarvan de Nederlandse versie eveneens de simpele titel Rekenkunde droeg i.p.v. Elementen der Rekenkunde.
De Franse versie Eléments dAlgèbre bleef echter wel zijn oorspronkelijke titel behouden en bleef zelfs een zeer lang leven beschoren want een elfde, een twaalfde, een dertiende en veertiende editie verschenen nog in respectievelijk 1977, 1979, 1983 en 1994. De editie 1994 bevatte in een aanhangsel zelfs een reeks examenvragen gesteld voor het toelatingsexamen K.M.S. sectie Alle Wapens.
Eléments dAlgèbre mag nu niet verward worden met Traité dAlgèbre eveneens een boek van Schons en De Cock en dat in het Nederlands onder de titel Leerboek der Algebra verscheen en bestemd was voor de moderne humaniora.
De situatie vertoonde enige gelijkenis met de schoolboeken rekenkunde van Schons: "Eléments d'Arithmétique" (Nederlandse titel: "Rekenkunde") voor de oude, "Traité d'Arithmétique" (Nederlandse titel "Leerboek der Rekenkunde") voor de moderne humaniora.
Voor alle duidelijkheid heb ik deze situatie in een tabel samengevat:
klassieke humaniora
moderne humaniora
Arithmetiek
fr.: Eléments d'Arithmétique
ned. : Rekenkunde
fr. : Traité d'Arithmétique
ned. : Leerboek der Rekenkunde
Algebra
fr.: Eléments d'Algébre
ned. : Algebra*
fr. : Traité d'Algèbre
ned.: Leerboek der Algebra
* vóór 1949 droeg het boek ook als titel « Elementen der Algebra » en werd het gepresenteerd in twee delen:- deel I : voor de lagere humaniora + de derdes en - deel II: voor de hogere humaniora - de derdes
Het « Traité d'Algèbre » werd geschikt geacht ter voorbereiding tot het toelatingsexamens tot de K.M.S. (Polytechnische Afdeling). Zo bevatte de veertiende editie van het Traité dAlgèbre (1977) in een aanhangsel de examenvragen van het toelatingsexamen K.M.S. (secties Alle Wapens en Polytechnische Afdeling) van 1946 tot 1962.
De « Elementen van Algebra » en het « Leerboek van Algebra » van Schons waren schoolboeken, die in principe het volledig leerprogramma van de respectievelijk oude en moderne humaniora bestreken. Of toch niet helemaal want er bestond ook nog een « Complement », waarover meer in mijn tweede blog. Alleen al het bestaan van een zogenaamd « Complement » was een aanduiding dat er "binnenskamers" over de juiste inhoud van het leerprogramma gediscuteerd werd.
De leerstof van de lagere cyclus was vóór 1949 verschillend naargelang het de klassieke of moderne humaniora betrof. In het "Leerboek" werd de materie wat meer diepgaand behandeld. Ook was er een andere spreiding van de te behandelen onderwerpen in de tijd. Grosso modo kan gezegd worden dat het leerprogramma van de klassieke humaniora ongeveer één jaar achterliep op dit van de moderne humaniora.
De ministeriële circulaires van 1948 en 1949 brachten hier nu verandering in : er werd een gelijkschakeling van de wiskundeprogrammas in het lager secundair opgelegd. Deze gelijkschakeling uitte zich ook in de schoolboeken en voor de edities verschenen ná 1949, is er inderdaad, voor wat dit gedeelte betreft, geen verschil meer tussen de "Elementen" en het "Leerboek".
In het Sint Lodewijkscollege was in het begin van de jaren vijftig nog steeds het oude leerprogramma van kracht en werden de schoolboeken -versies van vóór 1949- gebruikt. Een begrijpelijke situatie, want voor het vervangen van de oude schoolboeken was wel wat meer tijd nodig.
Een en ander had tot gevolg dat ik in 1953 het eerste volume van de « Elementen der Algebra », een versie die dateerde van 1943 en die een erfenis was van mijn oudste broer, als studieboek gebruikte.
Ik vond dit boek, dat nog opgesteld was in de oude spelling (in 1946 werd een nieuwe spelling ingevoerd), voor een eerste kennismaking met de algebra, zeker niet slecht. In alle geval was het wel geschikt voor zelfstudie.... ofschoon zeker niet het ideale algebraboek.
Later, toen ik in de Cadettenschool terecht kwam, zal ik te maken hebben, met het fameuze « Leerboek der Algebra » van de collectie De Vaere - Herbiet, boek dat o.m. ook de leerstof van de lagere humaniora behandelde. En dit boek was van een heel wat hoger niveau. Jammer genoeg was mij dit schoolboek in 1954 nog niet bekend.
(Hoofdstuk 8 "Arithmetiek en Algebra in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 8.2 Rekenen met cijfers ofte Arithmetiek
In het Sint Lodewijkscollege werd geöpteerd voor de schoolboeken van de collectie Schons en De Cock. In ogenschouw genomen de hoedanigheid van de auteurs was dat niet erg verwonderlijk. Nicolas Joseph Schons was een Broeder van de Christelijke Scholen (niet te verwarren met de Broeders van Liefde) en leraar in de Wiskunde aan een Middelbare Normaalschool, het fameuze Saint Berthuin Instituut te Malonne bij Namen. Cyriel De Cock was insgelijks een Broeder van de Christelijke Scholen en verbonden aan het Sint Amandusinstituut te Gent. Hij was afkomstig uit Hamme en een zeer begaafd leraar. Zijn specialiteit was leerlingen voorbereiden voor het toelatingsexamen voor burgerlijk ingenieur! Het was dus niet verwonderlijk dat de boeken van de collectie Schons en i.h.b. deze, die bestemd waren voor de hogere humaniora o.m. in de Franstalige Afdeling van de Cadettenschool van Laken werden gebruikt.
In 1952 werd dus in Saint Louis het boek Rekenkunde , de Nederlandse vertaling van « Eléments dArithmétique » van N.J. Schons gebruikt en wel de tweede uitgave daterend van 1946. Het boek Rekenkunde mag niet verward worden met het Leerboek der Rekenkunde van dezelfde auteurs. Dit laatste boek is bestemd voor de hogere humaniora en is de vertaling van het Traité dArithmétique. Van de "Eléments d' Arithmétique -cycles inférieurs de l' Enseignement Moyen et de l' Enseignement Technique-" (neuvième édition -1967-) verscheen nog een herdruk in 1980 met volgende bemerking : Les utilisateurs de l' arithmétique traditionnelle sont encore nombreux. C' est à leur intention que nous procédons à une nouvelle édition de l' ouvrage. In tegenstelling met de Rekenkunde van de collectie De Vaere en Herbiet was in het boek van Schons de leerstof niet ingedeeld volgens het jaarprogramma, maar wel geordend volgens een logische structuur. Een eerste deel was gewijd aan de gehele getallen, een tweede deel aan de gebroken getallen (breuken), een derde deel aan de verhoudingen en evenredigheden, een vierde deel aan machten en wortels. Een vijfde deel was gewijd aan het stelsel van maten en gewichten en tenslotte een zesde deel betrof een aantal practische toepassingen waaronder interestrekening en mengsels en legeringen. In dit schoolboek werd voor ieder hoofdstuk aangegeven welke rubrieken of paragrafen specifiek behoorden tot het leerprogramma van de zesdes, respectievelijk de vijfdes en de vierdes. De leerling moest dus voortdurend het studieboek doorbladeren en bepaalde paragrafen overslaan, want nog niet voor hem bestemd. Een dergelijke benadering had echter wel het voordeel dat een algemeen inzicht werd verkregen in het geheel van de leerstof.
Een tweede studieboek, dat deze Arithmetiek behandelde was nu het leerboek Rekenkunde voor Middelbaar en Normaalonderwijs van de verzameling De Vaere Herbiet . Dit boek was de Nederlandse vertaling van het «Précis dArithmétique à lusage de lEnseignement moyen, des Ecoles normales, et des Candidats aux Examens administratifs» en mag niet verward worden met "De Gehele en de Gebroken getallen", de Nederlandse vertaling van «Cours d'Arithmétique: les entiers et les fractions » bestemd voor de hogere humaniora.
Ter voorbereiding van het toelatingsexamen tot de Koninklijke Cadettenschool heb ik in 1955 voornamelijk « Rekenkunde » van de collectie De Vaere - Herbiet gebruikt. De inhoud van het boek was ingedeeld volgens het jaarprogramma van het lager middelbaar en omvatte achtereenvolgens de leerstof voor de zesdes, voor de vijfdes en voor de vierdes. Het boek omvatte heel wat meer leerstof en bevatte naast een deel Wenken voor examenkandidaten (waaronder examenvragen voor de Cadettenschool ) ook nog een « Complement » bestemd voor de derde Grieks - Latijnse humaniora.
Begeleidende tabel verduidelijkt wellicht de situatie:
Klassieke humaniora (lagere cyclus)*
Moderne humaniora (hogere cyclus)**
collectie Schons
fr: « Eléments d'Arithmétique »
ned. : « Rekenkunde »
fr. « Traité d'Arithmétique »
ned. : « Leerboek der Rekenkunde »
collectie Herbiet
fr. : « Précis d'Arithmétique »
ned. : « Rekenkunde »
fr. : « Cours d'Arithmétique »
ned. « De Gehele en Gebroken Getallen"
* Voor de klassieke humaniora was rekenkunde in wezen beperkt tot de lagere cyclus
** Voor de lagere cyclus van de moderne humaniora waren de boeken van de klassieke humaniora voorgeschreven
Beide collecties schoolboeken vulden elkaar in feite aan: Schons beperkte zich tot het essentiële en liet toe, desondanks alle bomen, het bos te blijven zien; Herbiet bevatte een overvloed van oefeningen en legde de nadruk op parate kennis voor eventuele examens.
Dat de oplossing van de diverse vraagstukken, vermeld in beide boeken, gegeven werd in zogenaamde Solutionnaires, boeken die in feite bestemd waren voor het onderwijzend personeel en die alleen in het Frans bestonden, was mij toen niet bekend.
Voor het boek van de collectie De Vaere Herbiet was dat Précis dArithmétique exercices résolues-, voor het boek van de collectie Schons Exercices et Problèmes dArithmétique corrigé des exercices et des problèmes-.
Maar al had ik op dat ogenblik over deze boeken kunnen beschikken, dan was mijn technisch Frans onvoldoende om hieruit maar ook enig voordeel uit te kunnen putten. Uit pure balorigheid heb ik mij eerst later een exemplaar van beide boeken aangeschaft
De leerstof van het eerste jaar van het middelbaar onderwijs (zesde humaniora in het oude systeem) was een herhaling van de in het in het lager onderwijs geziene Arithmetiek, waarbij echter het theoretisch gedeelte wat meer op de voorgrond kwam.
Deze Theoretische Arithmetiek beperkte zich tot de natuurlijke getallen en de gebroken getallen (breuken). In het tweede jaar van het middelbaar (vijfde humaniora in het oude systeem) werd dit theoretisch gedeelte verder uitgebreid tot de tiendelige getallen. In het derde jaar middelbaar (vierde humaniora in het oude systeem) volgde er de theorie der verhoudingen en evenredigheden, de machtsverheffing en de worteltrekking (vierkantswortel, kubiek wortel). Ook werden de begrippen deelbaarheid, KGV en GGD verder uitgediept.
Toch werd er in het lager secundair ook nog veel aandacht geschonken aan de praktische toepassingen van de Rekenkunde: de zogenaamde « Praktische Arithmetiek ».
I- Theoretische Arithmetiek: de gehele getallen
In een inleidend hoofdstuk van Herbiets boek werden de noties natuurlijk getal en het getal nul met behulp van het begrip tellen nader gedefinieerd. Nul en de natuurlijke getallen vormen de zogenaamde rekenkundige gehele getallen (1) . Verder werden door vergelijken van twee getallen op een rekenkundige getallenrechte (d.i. een rechte waarop nul en de positieve gehele getallen afgebeeld zijn) de noties gelijke en ongelijke getallen en hierbij aansluitend het gelijkheidstekens = en de ongelijkheidtekens niet gelijk aan ≠ , kleiner dan < en groter dan > ingevoerd. Vervolgens werden de regels voor het noemen van een getal en het voorstellen van getallen door Arabische cijfers in het decimaal talstelsel (2) besproken. Een noot over het Romeinse talstelsel sloot dit inleidende hoofdstuk af.
1° Optelling en Aftrekking bij de natuurlijke getallen:
- In het hoofdstuk Optelling werd dan de som van enige (gehele) getallen (ook termen van de som genoemd) in een gegeven volgorde gedefinieerd als zijnde het getal dat men vindt door het tweede getal bij het eerste getal op te tellen en het derde bij de bekomen som, het vierde bij de nieuw bekomen som enz.
In letternotatie liet de som van enige (gehele) getallen zich dan schrijven als:
a + b + c + d = (a + b) + c + d = (a + b + c) + d = (a + b + c + d) waarin (a + b) de som van de eerste twee getallen, (a + b + c) de som van de eerste drie getallen en tenslotte (a + b + c + d) de uiteindelijke som van de vier getallen voorstelt.
Vervolgens werden zonder streng bewijs de commutatieve, de associatieve eigenschap en de dissociatieve eigenschap van de som van de gehele getallen geformuleerd:
- eigenschap I : De som van enige getallen hangt niet af van de volgorde waarin men ze stuk voor stuk neemt (commutatieve eigenschap)
- eigenschap II : De som van enige getallen verandert niet als men enkele (twee of meer) van die getallen door hun som vervangt (associatieve eigenschap)
- eigenschap III : In een som mag men een term splitsen in twee of meer termen waarvan hij de som is (dissociatieve eigenschap)
In tegenstelling met het lager onderwijs, waar het gebruik van letters ten stelligste vermeden werd, presenteerde Herbiet nu voor het eerst voornoemde eigenschappen in formulevorm:
(1) a + b + c + d = b + c + a + d (commutatieve eigenschap)
(2) a + b + c + d = a + (b + c) + d (associatieve eigenschap)
(3) a + b + c + d = a + b + c + (e + f) met d = e + f (dissociatieve eigenschap)
Blijkbaar was Herbiet erg verveeld met het gebruik van letters in de rekenkunde, want er is in zijn boek een hoofdstuk met als titel Het gebruik van Letters in de Rekenkunde aan gewijd. Dit hoofdstuk, materie voor het tweede jaar middelbaar (vijfde humaniora volgens het oud systeem) eindigde als volgt:
Tenzij anders vermeld zullen letters voortaan willekeurige (gehele, gebroken of tiendelige) getallen voorstellen. Een gewone breuk (waarvan beide termen willekeurige natuurlijke getallen zijn) zullen we door de notatie a/b voorstellen
M.a.w. het in de lagere school streng gehanteerde voorschrift: spelen met letters is algebra, geen rekenkunde, en dus verboden was niet langer van toepassing
Misschien hier ook nog even opmerken, dat Herbiet in vele voorgaande hoofdstukken van zijn boek, al duchtig gebruik had gemaakt van deze in het lager onderwijs verfoeide letters .
Maar terug naar de hoofdbewerking Optelling:
De optelling was de executieve bewerking, die toeliet op een vlugge manier de som van enige rekenkundige getallen te bepalen. Het in het lager onderwijs aangeleerde uitvoeringsmechanisme van deze bewerking, stoelde nu op voornoemde eigenschappen:
In het tientallig stelsel is bvb ieder getal van vier cijfers op te vatten als de som van een aantal duizendtallen (D), honderdtallen (H), tientallen (T) en eenheden (E). Bijvoorbeeld 3713 kan geschreven worden als 3713 = 3D + 7H +1T + 3E (dissociatieve eigenschap). Schrijft men nu alle op te tellen getallen op analoge wijze dan kan men op een snelle en eenvoudige manier de som maken van de eenheden, de tientallen, de honderdtallen en duizendtallen (associatieve eigenschap). Eerst maakt men de som van de eenheden en noteert het aantal nieuwetientallen, die hierbij ontstaan. Vervolgens wordt de som van de tientallen gemaakt, waarbij de nieuwe tientallen gevoegd worden; men noteert het aantal nieuwe honderdtallen, die hierbij ontstaan. Dan wordt de som van de honderdtallen gemaakt waarbij het aantal nieuwe honderdtallen gevoegd worden; men noteert het aantal nieuwe duizendtallen enz. In de praktijk schikt men de op te tellen getallen onder elkaar derwijze dat de eenheden, tientallen enz. telkens tot eenzelfde kolom behoren. Voor het uitvoeren van de bewerking begint men de kolom eenheden uiterst rechts, vervolgens gaat men over naar de kolom van de tientallen, dan naar de kolom van de honderdtallen enz. zoals aangegeven in begeleidende figuur (zie figuur 1 algoritme der optelling). Het is overduidelijk dat naargelang het aantal en de grootte van de termen van de som, de optelling heel wat rekenwerk vraagt. Dit was o.m. het geval voor berekeningen in de astronomie. De begrippen astronomische cijfers en astronomische berekeningen vinden hier hun verantwoording.
Al in de 17de eeuw werden hiertoe (mechanische) rekenmachines ontwikkeld om deze bewerkingen te vergemakkelijken. Zo bouwde Wilhelm Schickard (3) in 1623 de eerste rekenmachine, die getallen van zes cijfers kon optellen en aftrekken. Hij was daarmee Blaise Pascal (4) , die de zogenaamde Pascaline ontwierp, een twintigtal jaren voor. Dergelijke machines waren echter voorbehouden voor een elite en de gewone mens en zeker de scholier moest het tot ver in de twintigste eeuw stellen met papier en potlood.
Vooraleer naar de verdere hoofdbewerkingen (aftelling, vermenigvuldiging en deling) over te gaan, werd in het boek van Herbiet een hoofdstuk Meetbare Grootheden ingelast, dat een brug naar de Praktische Arithmetiek moest leggen. Achtereenvolgens werden aldus de begrippen grootheid, meetbare grootheden, maatgetal van een grootheid en vergelijkbare grootheden omschreven.
- Vervolgens kwam het hoofdstuk Aftrekking aan bod. Het verschil tussen twee natuurlijke getallen a en b (men onderstelt a > b )is een derde getal c dat, bij het kleinste getal opgeteld, het grootste getal als som oplevert. Het grootste getal heet aftrektal, het kleinste de aftrekker. Aftrektal en aftrekker vormen samen de termen van het verschil.
Men heeft bij definitie c = a b met a > b als uitdrukkelijke voorwaarde bij rekenkundige getallen. In geval a = b heeft men c = 0 (definitie van het getal nul) en indien a < b bestaat er geen rekenkundig getal c (maar wel een algebraïsch getal c) derwijze dat c = a b.
De aftrekking was de executieve bewerking die toeliet op een vlugge manier het verschil tussen twee natuurlijke getallen te bepalen. Het in het lager onderwijs aangeleerde uitvoeringsmechanisme van deze bewerking, stoelde nu op volgende eigenschappen:
I- eerste eigenschap: Om een som van een som af te trekken, mag men de termen van tweede som van bepaalde termen van de eerste som aftrekken en de komende verschillen optellen. In formulevorm:
- (a + b) (c + d) = (a c) + (b d) waarbij men uitdrukkelijk stelt dat a > c en b > d
II- tweede eigenschap: Een verschil verandert niet als men aftrektal en aftrekker met eenzelfde getal vermeerdert of vermindert. In formulevorm:
- a b = (a + c) (b + c) en (a b) = (a c) (b c) met natuurlijk in het tweede geval de voorwaarde a > c en b > c (rekenkundige getallen)
In het tientallig stelsel is bvb ieder getal van vier cijfers op te vatten als de som van een aantal duizendtallen (D), honderdtallen (H), tientallen (T) en eenheden (E). Is bvb 2725 het aftrektal en 684 de aftrekker, dan kan aftrektal respectievelijk aftrekker geschreven worden als 2725 = 2 D + 7 H + 2 T + 5E en 684 = 6 H + 8 T + 4 E (dissociatieve eigenschap). Praktisch wordt nu de aftrekker onder het aftrektal geschreven derwijze dat de cijfers van eenheden, tientallen, honderdtallen in eenzelfde kolom komen te staan (zie figuur 2: algoritme der aftrekking). Van rechts naar links werkend wordt elk cijfer van de aftrekker van het daarboven staande cijfer van het aftrektal afgetrokken. Is een van die aftrekkingen niet uitvoerbaar, dan wordt het cijfer van het aftrektal met 10 vermeerderd, en het volgend cijfer van de aftrekker met 1.
Vervolgens kwamen verdere eigenschappen van verschillen aan bod i.h.b. eigenschappen betreffende een aaneenschakeling van optellingen en aftrekkingen. Het hierbij gevolgde doel was de scholieren enkele regels voor het snelrekenen (hoofdrekenen) bij te brengen en ze op het algebraïsch rekenen voor te bereiden.
III- derde eigenschap: Om een verschil bij een getal op te tellen, telt men het aftrektal op bij dit getal en trekt de aftrekker af van de bekomen som. Zo mogelijk mag men eerst de aftrekker aftrekken van het getal en daarna het aftrektal optellen bij het bekomen verschil. In formulevorm:
- a + (b c) = a + b c en a + (b c) = a c + b
IV- vierde eigenschap: Om een som van een getal af te trekken, trekt men achtereenvolgens elke term van de som af van het aftrektal. In formulevorm:
- a (b + c) = a b c
V- vijfde eigenschap: Om een verschil van een getal af te trekken, telt men de aftrekker op bij dit getal en trekt men het aftrektal af van de bekomen som. Zo mogelijk mag men eerst het aftrektal aftrekken van het getal en daarna de aftrekker optellen bij het bekomen verschil. In formulevorm:
- a (b c) = a b + c en a (b c) = a + c b
Toepassingen: snel- of hoofdrekenen (5)
Voor snel- of hoofdrekenen kunnen nu de voorgaande eigenschappen met succes gebruikt worden. Ze laten immers toe meer ingewikkelde sommen of verschillen in een meer eenvoudige vorm te brengen, namelijk door het invoeren van ronde getallen. Enkele voorbeelden:
2° Vermenigvuldiging en Deling bij de natuurlijke getallen:
(wordt voortgezet)
-------------------------------------------------
(1) rekenkundige getallen waren het getal nul en de positieve getallen (gehele of gebroken getallen). De elementaire rekenkunde of Arithmetiek had de studie van de eigenschappen van dit soort getallen tot doel en beperkte zich dan ook tot deze getallen. Negatieve gehele of gebroken getallen werden in die jaren beschouwd als horende tot de elementaire algebra en werden algebraïsche getallen genoemd. Het is deze betreurenswaardige houding, die men in de boeken van Schons of van Herbiet terugvindt en die overigens de oorzaak is van heel wat verwarring.
Deze houding werd trouwens door Fred Schuh als zeer hinderlijk en als een onnodige beperking van de elementaire arithmetiek beschouwd. Bij een beperking tot rekenkundige getallen is een omzetting van (a + b) c tot (a c) + b niet steeds geoorloofd is (voorwaarde is dan immers dat a > c). Verder is dan natuurlijk ook het gebruik van en het werken met negatieve exponenten uitgesloten. Overigens bestaat er volgens dezelfde auteur geen scherpe afscheiding tussen rekenkunde en (klassieke) algebra.
Voor een grondige bespreking van dit probleem verwijs ik naar Schuh's Leerboek der Elementaire Theoretische Rekenkunde deel I Inleiding (Noordhoff, -1919-)
(2) Voor wie iets meer over getallen en talstelsels wil weten kan ik bvb verwijzen naar Spelen met Getallen een fascinerend boek voor jong en oud- (Thieme, -1951-) een ander boek van Fred Schuh.
Over deze auteur, die ik eerst maar na mijn humaniora echt heb leren waarderen, zal ik het later uitvoerig hebben, want hij heeft door zijn vele geschriften een grote invloed op mijn wiskundige ontwikkeling uitgeoefend.
(5) Hoofd- of snelrekenen werd in het verleden als belangrijk aanzien: er bestonden toen nog geen rekenmachientjes.. Evenwel werd steeds eerst de nadruk gelegd op de algemeen geldende algoritmen met papier en potlood. Het onderwijzend personeel besefte zeer goed dat niet iedere scholier zo maar kon goochelen met cijfers en getallen. Absolute voorrang moest gegeven worden aan de methode met papier en potlood, want deze geeft, indien met zorg uitgevoerd, altijd een goed resultaat. Zo niet komt men tot situaties, die de bekende Amsterdamse hoogleraar Jan van de Craats met reden en terecht aanklaagt: zie: http://www.surfmedia.nl/medialibrary/item.html?id=FUNh0VWvjhXg4xSaf9kCbVAE
) ook nog een « Complement » bestemd voor de derde Grieks - Latijnse humaniora. 
