an alternative point of view Een bloemlezing van enkele persoonlijke "wetenschappelijke" ervaringen en herinneringen en dit na meer dan een halve eeuw intense bedrijvigheid op het vlak van zowel basiswetenschappen als biowetenschappen. Dit alles gepresenteerd met een vleugje humor maar ook met een scheutje echte, onvervalste wetenschap
06-04-2010
§ 9.1 Enkele meetkundige constructies
(Hoofdstuk 9 "Intuïtieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 9.1 Enkele meetkundige constructies
In voorbereiding van de Deductieve Meetkunde, geprogrammeerd voor de vierdes (derde jaar middelbaar) was het, volgens de Eerste Ministeriele Omzendbrief van 1948 (1) , wenselijk de Intuïtieve Meetkunde (partim Vlakke Meetkunde) nog wat verder uit te diepen, en meer precies in de zesdes (eerste jaar middelbaar).
Volgens het boek van de collectie Herbiet (Rekenkunde en Intuïtieve Meetkunde) ging het hierbij over volgende onderwerpen: uitbreidingen betreffende het hoekbegrip, uitbreidingen betreffende de begrippen loodlijnen, evenwijdige rechten en introductie van het begrip symmetrie, uitbreidingen betreffende het begrip cirkelomtrek en cirkelboog en tenslotte enkele meetkundige constructies. De uitbreidingen, waarvan sprake hadden in hoofdzaak betrekking op het waardebeloop van hoeken en de rekenkundige bewerkingen.
Andere in mijn ogen belangrijke gedeelten van de Intuïtieve Meetkunde als bvb de merkwaardige lijnen en punten in een driehoek, de Gulden Snede.. werden buiten beschouwing gelaten. Mijn inziens, een onbegrijpelijk standpunt, daar de scholieren door wat te "spelen" met passer en liniaal heel wat zelf kunnen ontdekken. Deze materie kon bvb gemakkelijk in het leerprogramma van de vijfdes (tweede jaar middelbaar) opgenomen worden. Daar in dit gedeelte van de Intuïtieve Meetkunde veelvuldig van de passer wordt gebruik gemaakt heb ik als ikoon van dit cursiefje de passer gekozen.
1° uitbreidingen betreffende het hoekbegrip:
Een hoek bleef natuurlijk gedefinieerd als het gedeelte van een vlak dat gelegen was tussen twee halve rechten met dezelfde oorsprong, maar nu werden ook de noties convexe of uitspringende en concave of inspringende hoek gedefinieerd (zie figuur 1 convexe en concave hoeken).
Vervolgens werden de rekenkundige bewerkingen met hoeken ontrafeld. Twee hoeken heten congruent als ze kunnen samenvallen. Congruente hoeken zijn gelijk omdat voor hoeken de begrippen gelijk en congruent gelijkwaardig zijn. Hoeken heten ongelijk wanneer ze niet kunnen samenvallen; een hoek heet groter dan een andere hoek indien ze een groter gedeelte van het vlak inneemt. De constructie van een hoek die gelijk is aan een gegeven hoek kan gebeuren met een zwei, met de gradenboog of met de passer.
De som van twee hoeken is de hoek gevormd door de buitenbenen van de twee hoeken, nadat men er aanliggende hoeken van gemaakt heeft. Het verschil tussen twee ongelijke hoeken is de hoek, die samengeteld moet worden bij de kleinste hoek om de grootste te vormen. Hoeken kan men vermenigvuldigen of delen met een natuurlijk getal. Hoeken zijn meetbare grootheden want hun gelijkheid en hun som werden gedefinieerd. Hoeken kunnen gehalveerd worden. Men noemt bissectrice van een hoek, de halve rechte, waarvan de oorsprong met het hoekpunt samenvalt en die de hoek in twee gelijke hoeken verdeelt.
Nevenhoeken zijn aanliggende hoeken waarvan de buitenbenen in elkaars verlengde liggen. Van een halve rechte, die met een rechte twee gelijke nevenhoeken vormt, wordt gezegd dat ze loodrecht staat op die rechte. Die gelijke hoeken worden rechte hoeken genoemd. Een gestrekte hoek is dus het dubbele van een rechte hoek. Vermits alle gestrekte hoeken gelijk zijn, zijn ook alle rechte hoeken gelijk en kan de rechte hoek dienen als hoekeenheid (1RH).
De voornaamste eenheid die men gebruikt bij het meten van hoeken is de rechte hoek (1RH). Hieruit volgt dat het maatgetal van de rechte hoek 1, van de gestrekte hoek 2, van een inspringende hoek van drie rechte hoeken 3 en van een volle hoek 4 is.
Een scherpe hoek is een hoek die kleiner is dan 1 RH, een stompe hoek is een uitspringende hoek die groter is dan 1 RH. Twee hoeken waarvan de som gelijk is aan 1RH worden complementaire hoeken genoemd. Twee hoeken waarvan de som gelijk is aan 2 RH worden supplementaire hoeken genoemd.
Het waardebeloop van een hoek waarvan één been vast is, terwijl het andere in het vlak om het hoekpunt wentelt, kan met behulp van de passer gedemonstreerd worden (zie figuur 2 waardebeloop).
Door op continue wijze de passeropening te wijzigen introduceerde men achtereenvolgens de notie nulhoek (passer gesloten), uitspringende hoek (passeropening kleiner dan 2 RH), gestrekte hoek (passeropening gelijk aan 2 RH), inspringende hoek (passeropening groter dan 2 RH) en tenslotte de volle hoek (wenteling tot de beginstand).
Een volle hoek was gelijk aan twee gestrekte hoeken dus 4 RH.
2° uitbreidingen betreffende loodlijn en evenwijdige rechten
In de Intuïtieve Meetkunde worden meetkundige constructies uitgevoerd met behulp van een lat en tekendriehoek (fr. équerre) en een passer (fr. compas), in de Deductieve Meetkunde uitsluitend met passer en liniaal (voor enkele basisconstructies met passer en liniaal zie punt 4° van dit cursiefje).
Klassieke constructies, die uitgevoerd worden met de tekendriehoek zijn:
1- Een loodlijn (fr. perpendiculaire) uit een punt neerlaten op de gegeven rechte d
2- Een loodlijn oprichten in een gegeven punt op de rechte d
3- Een evenwijdige rechte (fr. parallel) door een punt, buiten de rechte gelegen trekken aan een gegeven rechte.
4- De middelloodlijn van een lijnstuk is de rechte die in het midden van het lijnstuk loodrecht op dit lijnstuk staat. Gevraagd wordt een middelloodlijn (fr. médiatrice) op te richten op een gegeven lijnstuk
3° uitbreidingen betreffende cirkelomtrek en cirkelboog:
In de Intuïtieve Meetkunde definieert men een cirkel(omtrek) als een vlakke, gesloten, kromme lijn, waarvan alle punten op dezelfde afstand van een punt van het vlak het middelpunt- liggen. Deze afstand wordt de straal van de cirkel(omtrek) r genoemd. De cirkel -zelf was het oppervlak omschreven door de cirkelomtrek, maar in het courante spraakgebruik werd deze term zowel voor de cirkelomtrek als de voor de cirkel- zelf gebruikt. Cirkels worden getekend met behulp van een passer en de passeropening bepaalt de straal van de cirkelomtrek. Er bestaan naargelang de gebruiksvoorwaarden diverse soorten passers bvb steekpassers , krompassers , valpasser, (zie Passer (gereedschap).
Een raaklijn aan een cirkelomtrek is een rechte die met de cirkelomtrek slechts één punt gemeen heeft. De raaklijn in een gegeven punt van de cirkelomtrek is de limietstand van de rechte, die het gegeven punt met een ander punt van de cirkelomtrel verbindt als dit tweede punt tot het eerste nadert en er mee samenvalt. De nodige en voldoende voorwaarde opdat een rechte raaklijn zou zijn aan een cirkelomtrel , is dat ze loodrecht staat op de straal (voor een bewijsvoering: zie cursiefje "Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs" (2)).
Cirkelomtrekken met zelfde straal zijn congruent, wat in de Intuïtieve Meetkunde aangetoond wordt door een cirkel op papier, de andere op transparant of doorzichtig papier te tekenen. Door beide cirkels op elkaar te plaatsen zodanig dat de middelpunten samenvallen, ziet men dat ook de cirkels zelf samenvallen: ze zijn dus congruent.
Een cirkelboog is een deel van de cirkelomtrek die begrensd is door twee punten A en B bvb. Het lijnstuk AB dat de eindpunten A en B van een boog verbindt is de koorde van de boog. De diameter d van een cirkelomtrek is een koorde die door het middelpunt gaat. De diameter is de grootste koorde in een cirkelomtrek.
Twee bogen zijn gelijk als ze kunnen samenvallen, wat slechts het geval is wanneer de bogen een zelfde kromming (zelfde kromtestraal) bezitten. Is dit niet het geval dan zijn de bogen ongelijk. De gelijkheid van de bogen brengt ook die van de onderspannen koorden mede en omgekeerd brengt de gelijkheid van koorden de congruentie van de kleinste bogen mee. De som van twee bogen (in een zelfde cirkel omtrek) is de boog gevormd door de twee bogen zo geplaatst dat het eindpunt van de ene samenvalt met het beginpunt van de andere. Het verschil tussen twee ongelijke bogen is de boog, die samengeteld moet worden bij de kleinste boog om de grootste te vormen. Bogen kan men vermenigvuldigen of delen met een natuurlijk getal. Cirkelbogen zijn meetbare grootheden wan hun gelijkheid en hun som werd gedefinieerd.
De middelpuntshoek wordt gedefinieerd als de (kleinste) hoek van waaruit de boog of de koorde gezien werd vanuit het middelpunt. Uit de gelijkheid van de bogen volgt, dat bij het op elkaar leggen niet alleen de koorden zullen samenvallen, maar dat dit ook het geval is voor de corresponderende middelpuntshoeken. Tekent men in een cirkel twee onderling loodrechte diameters, dan wordt de cirkelomtrek in vier gelijke bogen en vier gelijke middelpuntshoeken verdeeld. Ieder van deze bogen is het vierde van een cirkelomtrek of een kwadrant. Twee op elkaar volgende kwadranten vormen een halve cirkel omtrek.
Verdeelt men een gestrekte hoek in 180 gelijke opeenvolgende aanliggende hoeken dan vormt ieder van deze aanliggende hoeken één Booggraad . Een booggraad is per definitie het 1/180-ste deel van een gestrekte hoek. Het maatgetal van een hoek wordt veelal uitgedrukt in booggraden en wordt gemeten met behulp bvb van een gradenboog of met een Geodriehoek .
4° de vier meetkundige basisconstructies met passer en liniaal:
De meetkundige constructies, die in de vorige paragraaf uitgevoerd werden, gebeurden met behulp van de lat en de tekendriehoek (en eventueel met de gradenboog). Bij het oplossen van meetkundige constructievraagstukken in de Deductieve Meetkunde, eiste Plato echter dat alleen en uitsluitend zou gebruik zou gemaakt worden van twee uiterst eenvoudige instrumenten als de passer en de liniaal. Dit om te vermijden dat het aantal instrumenten te sterk zou aangroeien en het gebruik ervan te ingewikkeld zouden worden. Men kan zich gemakkelijk indenken, dat niet alle constructies met behulp van deze uiterst eenvoudige instrumenten kunnen uitgevoerd worden.
De analyse van een meetkundig constructievraagstuk, dat aan Platos eis voldoet kan dus lastig zijn. Hoe men dergelijke vraagstukken het best aanpakt was leerstof voor de hogere humaniora, en werd in de Cadettenschool op een sublieme manier behandeld (zie cursiefje Wiskunde in de Cadettenschool: Axiomatische meetkunde in mijn tweede blog).
Het leerplan Intuïtieve Meetkunde voorzag echter dat al in de zesdes (eerste jaar middelbaar) de oplossingen van vier belangrijke constructievraagstukken toegelicht en aangeleerd werden, zonder een grondige analyse van het vraagstuk:
- eerste constructievraagstuk: constructie van een middelloodlijn:
De constructie van de middelloodlijn gebeurt gelijktijdig met het bepalen van het midden van een lijnstuk. Uit ieder eindpunt van het lijnstuk MN beschrijft men twee cirkelbogen met dezelfde straal die elkaar in twee snijpunten snijden. De middelloodlijn is het lijnstuk dat de twee snijpunten verbindt (voor de praktische uitvoering zie
- tweede constructievraagstuk: constructie van een loodlijn in een punt van een rechte
Zij een punt M gelegen op de rechte ab. Beschrijf uit het punt M een cirkelboog, die de rechte ab in C en D snijdt. Beschrijf uit deze punten C en D twee cirkelbogen, die elkaar in E snijden. De loodlijn is het lijnstuk EM. (zie )
- derde constructievraagstuk: constructie van een loodlijn door een punt buiten de rechte op een rechte
Zij een punt A buiten de rechte D gelegen. Uit het punt A wordt een cirkelboog beschreven, die de rechte D in M en N snijdt. Uit de punten M en N twee cirkelbogen met dezelfde straal beschrijven en hun snijpunten bepalen. De gevraagde loodlijn is de rechte die door deze snijpunten gaat. (voor de praktische uitvoering zie http://cyberlesson.free.fr/Cybermaths/Animations/Consperpencompas.htm )
- vierde constructievraagstuk: constructie van de bissectrice van een hoek
Zij een hoek xOy met als hoekpunt O. Beschrijf uit dit hoekpunt O een cirkelboog die de benen van de hoek in M en N snijdt. Trek uit de punten M en N cirkelbogen met dezelfde straal, die elkaar snijden in F. Het lijnstuk OF is de gevraagde bissectrice. (voor de praktische uitvoering zie bvb http://cyberlesson.free.fr/Cybermaths/Constructionsgeom/Bissectrice.htm )
Toepassingen: merkwaardige punten en lijnen in een driehoek
Deze basisconstructies toegepast op een willekeurige driehoek laten nu toe enkele merkwaardige punten en lijnen in een driehoek te vinden:
-Teken de drie middelloodlijnen (m a, m b, m c ) op de zijden van een driehoek. Ze snijden elkaar in één punt, het middelloodlijnenpunt O. Dit punt ligt op dezelfde afstand van de drie hoekpunten A, B en C van de driehoek en is derhalve het middelpunt van een cirkelomtrek (omgeschreven cirkel genoemd) waarop de drie hoekpunten liggen.
Vraagje: waarom moeten de drie middelloodlijnen van een driehoek elkaar noodzakelijkerwijze in één punt snijden? Tip: volgt uit de definitie van middelloodlijn
- Teken de drie bissectrices (α a, α b en α c )van de hoeken A, B en C van een driehoek. Ze snijden elkaar in één punt , het bissectricepunt I. Dit punt ligt op dezelfde afstand van de drie zijden a, b en c van de driehoek ABC en is het middelpunt van een cirkelomtrek (ingeschreven cirkel genoemd) die aan de drie zijden raakt, m.a.w. de drie zijden van de driehoek zijn raaklijnen aan de ingeschreven cirkel.
Vraagjes: waarom moeten de drie bissectrices van een willekeurige driehoek elkaar noodzakelijkerwijze in één punt snijden? Tip: volgt uit de definitie van bissectrice Waarom raakt de ingeschreven cirkel de zijden van de driehoek?
- Teken de drie hoogtelijnen (h a , h b , h c ) uit de hoekpunten A, B , C van een driehoek. Ze snijden elkaar in één punt H, het hoogtepunt van de driehoek ABC genoemd.
De bewijsvoering dat de drie hoogtelijnen elkaar in één punt snijden is minder eenvoudig en wordt uiteengezet in het cursiefje Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs (1)). De bewijsvoering berust op het terugbrengen naar het geval middelloodlijnen.
- Een zwaartelijn in een driehoek ABC is een lijnstuk dat een hoekpunt met het midden van de overstaande zijde verbindt. Teken de drie zwaartelijnen (g a, g b , g c ) van een willekeurige driehoek ABC. Ze snijden elkaar door één punt G, het zwaartepunt van de driehoek ABC geheten.
Ook hier is de bewijsvoering dat de drie zwaartelijnen elkaar in één punt snijden minder eenvoudig (voor de bewijsvoering zie cursiefje Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs (1)).
Men toont aan dat het zwaartepunt zich op 2/3 afstand van de driehoekpunten bevindt.
- Een middenparallel n a in een driehoek ABC is een lijnstuk evenwijdig met een zijde (bvb a), dat door het midden van een tweede zijde (bvb b)gaat. De driehoek gevormd door het hoekpunt A en de snijpunten van de middenparallel en de tweede en derde zijde is gelijkvormig met de driehoek ABC. De middenparallel deelt de derde zijde middendoor.
Vraagje: toon aan dat de middenparallel de derde zijde middendoor deelt (tip: gelijkvormigheid van driehoeken)
De driehoek gevormd door de drie middenparallellen (n a , n b , n c ) in een driehoek ABC wordt middenparallel- driehoek genoemd.
5° een bijzonder belangrijke meetkundige constructie: de Gulden Snede
- wat verstaat men onder de Gulden Snede? (2)
De Gulden Snede, door Euklides de verdeling in uiterste en middelste reden genoemd, is de verdeling van een lijnstuk in twee delen in een speciale verhouding. Verhandelingen over de gulden snede komen we aanvankelijk alleen op wiskundig gebied tegen. De eerste zou geschreven zijn door Theano, een arts en wiskundige die tot de school van Pythagoras behoorde. Maar dit werk zou verloren zijn geraakt. De Verdeling in uiterste en middelste reden wordt in Boek VI van de Elementen van Euklides behandeld.
Beschouwen we een lijnstuk AB en een punt M gelegen tussen A en B. Dit punt verdeelt het lijnstuk in twee ongelijke delen MA (met maatgetal a) en MB (met maatgetal b). Het lijnstuk AB is de som van de lijnstukken MA en MB of dus AB = MA + MB. Het maatgetal van AB is dus a + b. Onderstellen we verder dat MA < MB of a < b.
Bij de gulden snede verhoudt bij definitie het grootste van de twee delen zich tot het kleinste, zoals het gehele lijnstuk zich verhoudt tot het grootste.
Geven we het grootste deel (MB) aan met b en het kleinste deel (MA) met a, dan is bij de Gulden Snede de verhouding van beide zo dat b / a = (b + a) / a. De bedoelde verhouding b / a wordt het gulden getal genoemd en aangeduid met de Griekse letter φ.
Vermits b / a = (b + a) / a = 1 + a / b komt er φ = 1 + 1 / φ of nog φ² = φ + 1 wat geschreven kan worden in de gedaante van een klassieke vierkantsvergelijking (vkv):
- φ² - φ 1 = 0 die als oplossingen ( zie cursiefje Algebra in het Lager secundair Onderwijs) heeft : φ 1 = (1 + √5) / 2 en φ 2 = (1 - √5) / 2
Men heeft als oplossingen φ 1 = 1, 618033 en φ 2 = - 0,618033 waarvan alleen de positieve oplossing weerhouden wordt. Het getal φ is een irrationaal getal met als gebruikelijke benaderende waarde 1,62...
De benaming Gulden Snede is pas in de eerste helft van de 19de eeuw ontstaan en zou door Martin Ohm ( de broer van Georg Ohm, de bekende fysicus) zijn ingevoerd. Aan het eind van de Middeleeuwen en vanaf de Renaissance sprak men van de Divina Proportio. Deze benaming werd door Luca Pacioli geïntroduceerd. De namen Gulden en Divina duiden aan dat men deze verhouding toch wel zeer bijzonder vond.
Het gulden getal vertoont nu enkele onverwachte relaties met andere gebieden van de wiskunde (bvb de getallenrij van Fibonacci). Ook vindt men het Getal φ ook terug in de Natuur. Anderzijds zou de Gulden Snede ook een rol in de beeldende kunsten, de muziek en de architectuur spelen.
- de meetkundige constructies:
Om een gegeven lijnstuk in uiterste en middelste reden te verdelen worden voornamelijk twee methodes gebruikt: de methode van de rechthoekige driehoek en de methode van het vierkant. De vierkantmethode wordt uiteengezet in de deductieve meetkunde. De eerste methode is de eenvoudigste methode en wordt in de intuïtieve meetkunde gebezigd.
Zij AB het lijnstuk dat te verdelen is in uiterste en middelste reden. Teken een rechthoekige driehoek ABC met de rechthoekszijden AC van lengte 1 en AB van lengte 2. De hypotenusa BC heeft dan de lengte √5 (zie cursiefje Intuïtieve Meetkunde in het Primair Onderwijs (1)).Teken van uit C een cirkel met straal AC die de schuine zijde snijdt in D. Teken van uit B een cirkel met straal BD, die het lijnstuk AB snijdt in M. Het punt M verdeelt het lijnstuk AB volgens de Gulden Snede (zie figuur 4 gulden snede).
Wij tonen nu aan dat dit inderdaad het geval is: Uit figuur 4 volgt dat
MB = DB = √5 1 en MA = 2 (√5 1) en MA + MB = 2
waaruit MB / MA = (MB + MA) / MA
- de gulden meetkundige figuren:
Een gulden rechthoek is een rechthoek met zijden in de verhouding van het gulden getal: als a + b de lengte en b de breedte van de rechthoek voorstellen, heeft men dus a + b / b = φ.
Als we in de gulden rechthoek een vierkant tekenen, met a als zijde, dan is de kleinere rechthoek die overblijft opnieuw een gulden rechthoek (zie figuur 5 gulden rechthoek). Dit vierkant noemt men om deze reden de gnomon van de gulden rechthoek. Door dit proces met de steeds kleiner wordende rechthoeken te herhalen ontstaat een soort spiraal, de gulden spiraal genoemd (zie figuur 6 gulden spiraal).
In werkelijkheid gaat het hier om een verzameling van afzonderlijke punten. De gulden spiraal is een discontinuë spiraal in tegenstelling met de klassieke continuë logaritmische spiraal van Neper. De punten van de gulden spiraal passen echter wel in een logaritmische spiraal (voor wie meer informatie wenst zie referentie 4 chapter 12 "Spira mirabilis")
Een driehoek met hoeken van 36°, 72° en 72° heet gulden driehoek (zie figuur 7 gulden driehoek).
Waarom wordt nu een dergelijke driehoek gulden driehoek genoemd?
Trek de bissectrice van hoek B; deze snijdt de zijde AC in het punt D.
Dan geldt AD = BD = BC.
Nu is: ∆ ABC ~ ∆ BCD zodat geldt AC / BD = BC / CD of daar BD = AD geldt
AC / AD = AD / CD m.a.w.
AC / AD = φ.
Let wel dat de driehoek ∆ BCD opnieuw een gulden driehoek is en bijgevolg is de gelijkbenige driehoek ∆ ABD met hoeken van 108°, 36° en 36° de gnomon van de gulden driehoek, want het proces kan voortdurend herhaald worden. Weer ontstaat door dit proces herhaaldelijk uit te voeren een gulden spiraal.
In een regelmatige vijfhoek (pentagoon) is de driehoek gevormd door een zijde en twee diagonalen een gulden driehoek (zie figuur 8 pentagoon en gulden driehoek).
Het pentagram (vijfhoekige regelmatige ster) ontstaat door de zijden van een regelmatige vijfhoek twee aan twee te verlengen. Het pentagram was het zinnebeeld van de School van Pythagoras en is opgebouwd uit gulden driehoeken (zie figuur 9 pentagram).
vraagje: hoeveel gulden driehoeken telt een pentagram?
De Gulden Ellips is de ellips waarvan de verhouding grote as tot kleine as gelijk is aan het getal φ (zie figuur 10 gulden ellips).
Volgens een experimenteel (statistisch) onderzoek uitgevoerd door Gustav Fechner ("Zur experimentalen Aesthetik") zou onder de ellipsen, de gulden ellips door de meeste personen als de meest esthetische ervaren worden. Gustav Theodor Fechner (1801-1887) studeerde geneeskunde en werd in 1834 benoemd tot Ordinarius in de Natuurkunde aan de Universiteit van Leipzig. Om gezondheidsredenen diende hij echter zijn positie in 1839 op te geven. Hij wordt als de grondlegger van de experimentele psychologie beschouwd.
Zoals steeds bij dergelijke experimentele statistische onderzoeken, werden ook hier de bekomen resultaten in twijfel getrokken..
- een wiskundige relatie: het getal φ en de getallenrij van Fibonacci (3)
Het getal φ bezit een merkwaardige eigenschap: Uiteraard is φ0 = 1 en φ1 = φ = 0 + φ maar uit de definitie van het getal φ volgt ook nog φ² = φ + 1 of beter φ² = 1 + φ .
De deeltermen van deze rekenkundige rij zijn samengesteld zijn uit de n-1de en de nde term van getallen rij van Fibonacci . Men bekomt deze laatste rij door steeds de som te maken van de twee voorgaande getallen uit de rij. Deze som is dan het volgende getal in de rij enzovoort. De rij ziet er dan als volgt uit : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ...
In de limiet is de verhouding tussen twee opeenvolgende Fibonacci- getallen precies (1+√5)/2 m.a.w. het getal φ,
Opmerking: Andere interessante wiskundige relaties bvb tussen het getal φ en bepaalde trigonometrische functies vindt men in het boek van H.E. Huntley The Divine Proportion (4) . Men heeft sin 18° = 1 / (2 φ) en cos 36° = φ / 2 . De gedetailleerde afleiding van deze betrekkingen vindt men in een artikel (5) van Dick Klingen.
- het getal φ in de Natuur
Het getal φ komt zoals het getal π ook in de Natuur voor en i.h.b. in de levende Natuur. Het was DArcy Wentworth Thompson die in zijn boek « On Growth and Form » (6) hierop de aandacht vestigde. Thompson (1860- 1948) was én bioloog én wiskundige en zijn boek blijft nog steeds actueel.
In tegenstelling met het getal π is de observatie van het getal φ in de Natuur heel wat minder evident. Veel geciteerde voorbeelden zijn de Nautilus- schelp en de fyllotaxis, d.i. de inplanting van bladeren op een tak, of van de bloemblaadjes in het hart van een bloem of van de schubben op een dennenappel (7) .
Volgens Albert Van der Schoot (8) , is er tussen de bouw van de nautilus-schelp en de gulden snede geen enkel dwingend verband te leggen. Volgens deze auteur, kan je, als je wilt, de gulden snede er in projecteren, maar dat zegt meer over de waarnemer dan over het feit. Zo vergaat het vrijwel alle natuurverschijnselen die in de negentiende en twintigste eeuw als manifestatie van de goddelijke verhouding naar voren worden geschoven. Ze kloppen niet, of hoogstens ten naaste bij, of blijken ontsproten aan de verhitte fantasie van bevlogen natuurvorsers en dit is volgens Van der Schoot het geval bij de Nautilus- schelp. Alleen de fyllotaxis vindt enigszins genade in zijn ogen en blijkt aan de voorwaarden te voldoen, maar ook dat heeft, zo merkt Van der Schoot op, eigenlijk andere oorzaken.
In feite ontkent Van der Schoot dat er een wiskundig verband bestaat tussen de gulden snede en de logaritmische spiraal, terwijl alle wiskundigen juist wel dit verband zien. Het eigenlijke vakgebied van de auteur is de filosofische esthetica en dat verklaart wellicht veel
- het getal φ in de kunst
Klassieke voorbeelden zijn hier de piramide van Cheops, het Parthenon en de beelden van Phidias. De eerste letter van de naam van deze befaamde beeldhouwer, de Griekse letter φ, werd daarom door Mark Barr gebruikt om de gulden snede aan te duiden.
Wat we zeker weten is dat, wat men later de Gulden Snede is gaan noemen, als een interessante architecturale verhouding werd gebruikt o.m. bij de Egyptenaren en de Grieken. De afmetingen van de Grote Piramide bewijzen dit overduidelijk (9) .
De eerste Griekse architect die bewust voor die verhouding koos was de beeldhouwer Phidias (490-430 V.C.) die ook het Parthenon ontwierp. Phidias schreef dat de verhouding gelijk is aan de totale lengte tot de langste of de langste tot de kortste zijde...
De Gulden Snede zou sindsdien volgens sommigen een intrinsieke schoonheid bezitten waardoor die verhouding veel zou voorkomen in klassieke architectuur, de beeldhouwkunst en in de schilderkunst. Of de vroegere grote kunstenaars steeds bewust de Gulden Snede in hun kunstgewrochten hebben verwerkt is natuurlijk niet zeker.
Wel verwierf, in de loop van de twintigste eeuw, de gulden snede een plaats in diverse vormen van kunstonderwijs. Schilders als Picasso en Salvator Dali en architecten als Le Corbusier hebben de Gulden Snede bewust toegepast.
-------------------------------
(1) « De studie van de beginselen der meetkunde in de zesde (eerste jaar middelbare school) moet practisch en aanschouwelijk zijn. Zij moet er toe leiden de opmerkingsgave te ontwikkelen en terzelfdertijd dienen als inleiding tot de beredeneerde meetkunde » (Omzendbrief van 24 augustus 1948)
(2) Er bestaat heel wat literatuur over de Gulden Snede en het Gulden Getali.h.b. voor wat de relatie met de Kunst en de Biowetenschappen betreft. Andere bronnen (zie (8)) trekken dan weer deze relatie in twijfel en geven blijk van een overdreven scepticisme, andere zijn dan weer iets te esoterisch van karakter.
Het boek Le Nombre dOr Clé du Monde vivant van Dom Neroman (Dervy, -1981-) behoort tot de esoterische categorie, maar is op wiskundig vlak zeker het lezen waard, want geschreven in een zeer begrijpelijke taal. Dom Neroman is de schuilnaam van Pierre Rougié, een astroloog maar ook mijningenieur (zie http://fr.wikipedia.org/wiki/Dom_Neroman ).
Ook te vermelden is "De Gulden Snede" van C. J. Snijders (een scheikundig ingenieur), dat vanaf de vierde druk herzien werd door M. Gout, een bouwkundig ingenieur. Dit boekje van amper 90 pagina's is een echte klassieker, die nog in 2008 zijn vijfde druk beleefde, neemt als vertrekpunt de getallenrij van Fibonacci.
Een populair werk is "Divine Proportion: Phi, Art, Nature, Science" van Priya Hemenway, dat ook in het Frans en het Nederlands vertaald werd. Dit boek mist echter de nodige wiskundige diepgang.
(3) Leonardo van Pisa (genaamd Fibonacci, Filius Bonaccii, wat "zoon van Bonaccio" betekent) leefde ca. 1175-1250. Fibonacci publiceerde in zijn boek Liber Abaci het befaamde "konijnenvraagtuk" waarvan de getallen van Fibonacci de oplossing zijn.
(4) H. E Huntley The Divine Proportion (Dover, -1970-). Dit werk werd ook in het Frans vertaald en in combinatie met Le Nombre dOr radiographie dun mythe- van Marguerite Neveux uitgegeven bij Seuil (1995). Marguerite Neveux is Maître de conférences en Histoire de lArt aan de de Universiteit van Parijs.
(8) Albert Van der Schoot « De Ontstelling van Pythagoras over de geschiedenis van de goddelijke proportie- » (Kok Agora, -1998-)
Albert van der Schoot is filosoof en muziekwetenschapper, docent cultuurfilosofie en esthetica aan de Universiteit van Amsterdam. In dit lijvig, doctoraal proefschrift van 442 paginas wordt nagegaan, welke rol wiskundige verhoudingen, en met name de 'goddelijke proportie', hebben gespeeld in het westerse denken over natuur en kunst. Volgens deze auteur zou de goddelijke proportie, als esthetisch ideaal, geen erfenis zijn van de Oudheid, noch van de Renaissance, maar een uitvinding van de Romantiek. Een "boude" stelling, waarmede velen het niet eens zullen zijn. Ook lijken mij zijn uitspraken over bvb de Nautilus schelp erg overtrokken. Men mag zich terecht afvragen of de auteur wel hoofdstuk XI "The equiangular spiral" van "On Growth and Form" van D'Arcy Wentworth Thompson heeft doorgenomen. De argumentatie ontwikkeld in voornoemd hoofdstuk, dat meer dan honderd pagina's telt is overtuigend genoeg..
(Hoofdstuk 8 "Arithmetiek en Algebra in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 8.4 Rekenen met letters ofte Algebra
Het was in 1953 dat ik voor het eerst werkelijk in contact kwam met Algebra, een vak, dat gehuld was in een sfeer van geheimzinnigheid en dat, voortgaande op uitspraken als dat is je reinste algebra!, bovendien uiterst moeilijk moest zijn. Ik zat toen in de vijfde humaniora van het Sint Lodewijkscollege ("Saint Louis") te Brugge.
Het vak werd gegeven door een nieuwkomer, een burger (!), vermoedelijk regent in wiskunde, de Heer Vrijsen. Zijn aanstelling hield wellicht verband met de recente oprichting van een Latijn-Wiskunde Afdeling, waardoor meer uren wiskunde moesten gegeven worden en een uitbreiding van het kaderpersoneel onvermijdelijk werd. Ik heb alleen nog maar wat vage herinneringen aan deze leraar. Begrijpelijk want we hadden op dat ogenblik maar een uurtje algebra per week.
Als schoolboek werd in Saint Louis de « Elementen der Algebra » van Nicolas Joseph Schons en Cyriel De Cock gebruikt.Elementen der Algebra was speciaal bedoeld voor de Grieks-Latijnse humaniora en bestond uit een eerste volume, dat de leerstof voor de vijfde, de vierde en de derde humaniora dekte (dus de materie bestemd voor de lagere humaniora + één jaar) en een tweede, dat de materie voor de poësis en rhetorica bestreek. Het was de vertaling van « Eléments dAlgèbre » van Nicolas Joseph Schons.
Beide delen verschenen ná 1949 in één gezamenlijk volume, onder de eenvoudige titel Algebra. Vermoedelijk was deze eenvoudige titel gekozen naar analogie met Eléments dArithmétique, waarvan de Nederlandse versie eveneens de simpele titel Rekenkunde droeg i.p.v. Elementen der Rekenkunde.
De Franse versie Eléments dAlgèbre bleef echter wel zijn oorspronkelijke titel behouden en bleef zelfs een zeer lang leven beschoren want een elfde, een twaalfde, een dertiende en veertiende editie verschenen nog in respectievelijk 1977, 1979, 1983 en 1994. De editie 1994 bevatte in een aanhangsel zelfs een reeks examenvragen gesteld voor het toelatingsexamen K.M.S. sectie Alle Wapens.
Eléments dAlgèbre mag nu niet verward worden met Traité dAlgèbre eveneens een boek van Schons en De Cock en dat in het Nederlands onder de titel Leerboek der Algebra verscheen en bestemd was voor de moderne humaniora.
De situatie vertoonde enige gelijkenis met de schoolboeken rekenkunde van Schons: "Eléments d'Arithmétique" (Nederlandse titel: "Rekenkunde") voor de oude, "Traité d'Arithmétique" (Nederlandse titel "Leerboek der Rekenkunde") voor de moderne humaniora.
Voor alle duidelijkheid heb ik deze situatie in een tabel samengevat:
klassieke humaniora
moderne humaniora
Arithmetiek
fr.: Eléments d'Arithmétique
ned. : Rekenkunde
fr. : Traité d'Arithmétique
ned. : Leerboek der Rekenkunde
Algebra
fr.: Eléments d'Algébre
ned. : Algebra*
fr. : Traité d'Algèbre
ned.: Leerboek der Algebra
* vóór 1949 droeg het boek ook als titel « Elementen der Algebra » en werd het gepresenteerd in twee delen:- deel I : voor de lagere humaniora + de derdes en - deel II: voor de hogere humaniora - de derdes
Het « Traité d'Algèbre » werd geschikt geacht ter voorbereiding tot het toelatingsexamens tot de K.M.S. (Polytechnische Afdeling). Zo bevatte de veertiende editie van het Traité dAlgèbre (1977) in een aanhangsel de examenvragen van het toelatingsexamen K.M.S. (secties Alle Wapens en Polytechnische Afdeling) van 1946 tot 1962.
De « Elementen van Algebra » en het « Leerboek van Algebra » van Schons waren schoolboeken, die in principe het volledig leerprogramma van de respectievelijk oude en moderne humaniora bestreken. Of toch niet helemaal want er bestond ook nog een « Complement », waarover meer in mijn tweede blog. Alleen al het bestaan van een zogenaamd « Complement » was een aanduiding dat er "binnenskamers" over de juiste inhoud van het leerprogramma gediscuteerd werd.
De leerstof van de lagere cyclus was vóór 1949 verschillend naargelang het de klassieke of moderne humaniora betrof. In het "Leerboek" werd de materie wat meer diepgaand behandeld. Ook was er een andere spreiding van de te behandelen onderwerpen in de tijd. Grosso modo kan gezegd worden dat het leerprogramma van de klassieke humaniora ongeveer één jaar achterliep op dit van de moderne humaniora.
De ministeriële circulaires van 1948 en 1949 brachten hier nu verandering in : er werd een gelijkschakeling van de wiskundeprogrammas in het lager secundair opgelegd. Deze gelijkschakeling uitte zich ook in de schoolboeken en voor de edities verschenen ná 1949, is er inderdaad, voor wat dit gedeelte betreft, geen verschil meer tussen de "Elementen" en het "Leerboek".
In het Sint Lodewijkscollege was in het begin van de jaren vijftig nog steeds het oude leerprogramma van kracht en werden de schoolboeken -versies van vóór 1949- gebruikt. Een begrijpelijke situatie, want voor het vervangen van de oude schoolboeken was wel wat meer tijd nodig.
Een en ander had tot gevolg dat ik in 1953 het eerste volume van de « Elementen der Algebra », een versie die dateerde van 1943 en die een erfenis was van mijn oudste broer, als studieboek gebruikte.
Ik vond dit boek, dat nog opgesteld was in de oude spelling (in 1946 werd een nieuwe spelling ingevoerd), voor een eerste kennismaking met de algebra, zeker niet slecht. In alle geval was het wel geschikt voor zelfstudie.... ofschoon zeker niet het ideale algebraboek.
Later, toen ik in de Cadettenschool terecht kwam, zal ik te maken hebben, met het fameuze « Leerboek der Algebra » van de collectie De Vaere - Herbiet, boek dat o.m. ook de leerstof van de lagere humaniora behandelde. En dit boek was van een heel wat hoger niveau. Jammer genoeg was mij dit schoolboek in 1954 nog niet bekend.
(Hoofdstuk 8 "Arithmetiek en Algebra in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 8.2 Rekenen met cijfers ofte Arithmetiek
In het Sint Lodewijkscollege werd geöpteerd voor de schoolboeken van de collectie Schons en De Cock. In ogenschouw genomen de hoedanigheid van de auteurs was dat niet erg verwonderlijk. Nicolas Joseph Schons was een Broeder van de Christelijke Scholen (niet te verwarren met de Broeders van Liefde) en leraar in de Wiskunde aan een Middelbare Normaalschool, het fameuze Saint Berthuin Instituut te Malonne bij Namen. Cyriel De Cock was insgelijks een Broeder van de Christelijke Scholen en verbonden aan het Sint Amandusinstituut te Gent. Hij was afkomstig uit Hamme en een zeer begaafd leraar. Zijn specialiteit was leerlingen voorbereiden voor het toelatingsexamen voor burgerlijk ingenieur! Het was dus niet verwonderlijk dat de boeken van de collectie Schons en i.h.b. deze, die bestemd waren voor de hogere humaniora o.m. in de Franstalige Afdeling van de Cadettenschool van Laken werden gebruikt.
In 1952 werd dus in Saint Louis het boek Rekenkunde , de Nederlandse vertaling van « Eléments dArithmétique » van N.J. Schons gebruikt en wel de tweede uitgave daterend van 1946. Het boek Rekenkunde mag niet verward worden met het Leerboek der Rekenkunde van dezelfde auteurs. Dit laatste boek is bestemd voor de hogere humaniora en is de vertaling van het Traité dArithmétique. Van de "Eléments d' Arithmétique -cycles inférieurs de l' Enseignement Moyen et de l' Enseignement Technique-" (neuvième édition -1967-) verscheen nog een herdruk in 1980 met volgende bemerking : Les utilisateurs de l' arithmétique traditionnelle sont encore nombreux. C' est à leur intention que nous procédons à une nouvelle édition de l' ouvrage. In tegenstelling met de Rekenkunde van de collectie De Vaere en Herbiet was in het boek van Schons de leerstof niet ingedeeld volgens het jaarprogramma, maar wel geordend volgens een logische structuur. Een eerste deel was gewijd aan de gehele getallen, een tweede deel aan de gebroken getallen (breuken), een derde deel aan de verhoudingen en evenredigheden, een vierde deel aan machten en wortels. Een vijfde deel was gewijd aan het stelsel van maten en gewichten en tenslotte een zesde deel betrof een aantal practische toepassingen waaronder interestrekening en mengsels en legeringen. In dit schoolboek werd voor ieder hoofdstuk aangegeven welke rubrieken of paragrafen specifiek behoorden tot het leerprogramma van de zesdes, respectievelijk de vijfdes en de vierdes. De leerling moest dus voortdurend het studieboek doorbladeren en bepaalde paragrafen overslaan, want nog niet voor hem bestemd. Een dergelijke benadering had echter wel het voordeel dat een algemeen inzicht werd verkregen in het geheel van de leerstof.
Een tweede studieboek, dat deze Arithmetiek behandelde was nu het leerboek Rekenkunde voor Middelbaar en Normaalonderwijs van de verzameling De Vaere Herbiet . Dit boek was de Nederlandse vertaling van het «Précis dArithmétique à lusage de lEnseignement moyen, des Ecoles normales, et des Candidats aux Examens administratifs» en mag niet verward worden met "De Gehele en de Gebroken getallen", de Nederlandse vertaling van «Cours d'Arithmétique: les entiers et les fractions » bestemd voor de hogere humaniora.
Ter voorbereiding van het toelatingsexamen tot de Koninklijke Cadettenschool heb ik in 1955 voornamelijk « Rekenkunde » van de collectie De Vaere - Herbiet gebruikt. De inhoud van het boek was ingedeeld volgens het jaarprogramma van het lager middelbaar en omvatte achtereenvolgens de leerstof voor de zesdes, voor de vijfdes en voor de vierdes. Het boek omvatte heel wat meer leerstof en bevatte naast een deel Wenken voor examenkandidaten (waaronder examenvragen voor de Cadettenschool ) ook nog een « Complement » bestemd voor de derde Grieks - Latijnse humaniora.
Begeleidende tabel verduidelijkt wellicht de situatie:
Klassieke humaniora (lagere cyclus)*
Moderne humaniora (hogere cyclus)**
collectie Schons
fr: « Eléments d'Arithmétique »
ned. : « Rekenkunde »
fr. « Traité d'Arithmétique »
ned. : « Leerboek der Rekenkunde »
collectie Herbiet
fr. : « Précis d'Arithmétique »
ned. : « Rekenkunde »
fr. : « Cours d'Arithmétique »
ned. « De Gehele en Gebroken Getallen"
* Voor de klassieke humaniora was rekenkunde in wezen beperkt tot de lagere cyclus
** Voor de lagere cyclus van de moderne humaniora waren de boeken van de klassieke humaniora voorgeschreven
Beide collecties schoolboeken vulden elkaar in feite aan: Schons beperkte zich tot het essentiële en liet toe, desondanks alle bomen, het bos te blijven zien; Herbiet bevatte een overvloed van oefeningen en legde de nadruk op parate kennis voor eventuele examens.
Dat de oplossing van de diverse vraagstukken, vermeld in beide boeken, gegeven werd in zogenaamde Solutionnaires, boeken die in feite bestemd waren voor het onderwijzend personeel en die alleen in het Frans bestonden, was mij toen niet bekend.
Voor het boek van de collectie De Vaere Herbiet was dat Précis dArithmétique exercices résolues-, voor het boek van de collectie Schons Exercices et Problèmes dArithmétique corrigé des exercices et des problèmes-.
Maar al had ik op dat ogenblik over deze boeken kunnen beschikken, dan was mijn technisch Frans onvoldoende om hieruit maar ook enig voordeel uit te kunnen putten. Uit pure balorigheid heb ik mij eerst later een exemplaar van beide boeken aangeschaft
De leerstof van het eerste jaar van het middelbaar onderwijs (zesde humaniora in het oude systeem) was een herhaling van de in het in het lager onderwijs geziene Arithmetiek, waarbij echter het theoretisch gedeelte wat meer op de voorgrond kwam.
Deze Theoretische Arithmetiek beperkte zich tot de natuurlijke getallen en de gebroken getallen (breuken). In het tweede jaar van het middelbaar (vijfde humaniora in het oude systeem) werd dit theoretisch gedeelte verder uitgebreid tot de tiendelige getallen. In het derde jaar middelbaar (vierde humaniora in het oude systeem) volgde er de theorie der verhoudingen en evenredigheden, de machtsverheffing en de worteltrekking (vierkantswortel, kubiek wortel). Ook werden de begrippen deelbaarheid, KGV en GGD verder uitgediept.
Toch werd er in het lager secundair ook nog veel aandacht geschonken aan de praktische toepassingen van de Rekenkunde: de zogenaamde « Praktische Arithmetiek ».
I- Theoretische Arithmetiek: de gehele getallen
In een inleidend hoofdstuk van Herbiets boek werden de noties natuurlijk getal en het getal nul met behulp van het begrip tellen nader gedefinieerd. Nul en de natuurlijke getallen vormen de zogenaamde rekenkundige gehele getallen (1) . Verder werden door vergelijken van twee getallen op een rekenkundige getallenrechte (d.i. een rechte waarop nul en de positieve gehele getallen afgebeeld zijn) de noties gelijke en ongelijke getallen en hierbij aansluitend het gelijkheidstekens = en de ongelijkheidtekens niet gelijk aan ≠ , kleiner dan < en groter dan > ingevoerd. Vervolgens werden de regels voor het noemen van een getal en het voorstellen van getallen door Arabische cijfers in het decimaal talstelsel (2) besproken. Een noot over het Romeinse talstelsel sloot dit inleidende hoofdstuk af.
1° Optelling en Aftrekking bij de natuurlijke getallen:
- In het hoofdstuk Optelling werd dan de som van enige (gehele) getallen (ook termen van de som genoemd) in een gegeven volgorde gedefinieerd als zijnde het getal dat men vindt door het tweede getal bij het eerste getal op te tellen en het derde bij de bekomen som, het vierde bij de nieuw bekomen som enz.
In letternotatie liet de som van enige (gehele) getallen zich dan schrijven als:
a + b + c + d = (a + b) + c + d = (a + b + c) + d = (a + b + c + d) waarin (a + b) de som van de eerste twee getallen, (a + b + c) de som van de eerste drie getallen en tenslotte (a + b + c + d) de uiteindelijke som van de vier getallen voorstelt.
Vervolgens werden zonder streng bewijs de commutatieve, de associatieve eigenschap en de dissociatieve eigenschap van de som van de gehele getallen geformuleerd:
- eigenschap I : De som van enige getallen hangt niet af van de volgorde waarin men ze stuk voor stuk neemt (commutatieve eigenschap)
- eigenschap II : De som van enige getallen verandert niet als men enkele (twee of meer) van die getallen door hun som vervangt (associatieve eigenschap)
- eigenschap III : In een som mag men een term splitsen in twee of meer termen waarvan hij de som is (dissociatieve eigenschap)
In tegenstelling met het lager onderwijs, waar het gebruik van letters ten stelligste vermeden werd, presenteerde Herbiet nu voor het eerst voornoemde eigenschappen in formulevorm:
(1) a + b + c + d = b + c + a + d (commutatieve eigenschap)
(2) a + b + c + d = a + (b + c) + d (associatieve eigenschap)
(3) a + b + c + d = a + b + c + (e + f) met d = e + f (dissociatieve eigenschap)
Blijkbaar was Herbiet erg verveeld met het gebruik van letters in de rekenkunde, want er is in zijn boek een hoofdstuk met als titel Het gebruik van Letters in de Rekenkunde aan gewijd. Dit hoofdstuk, materie voor het tweede jaar middelbaar (vijfde humaniora volgens het oud systeem) eindigde als volgt:
Tenzij anders vermeld zullen letters voortaan willekeurige (gehele, gebroken of tiendelige) getallen voorstellen. Een gewone breuk (waarvan beide termen willekeurige natuurlijke getallen zijn) zullen we door de notatie a/b voorstellen
M.a.w. het in de lagere school streng gehanteerde voorschrift: spelen met letters is algebra, geen rekenkunde, en dus verboden was niet langer van toepassing
Misschien hier ook nog even opmerken, dat Herbiet in vele voorgaande hoofdstukken van zijn boek, al duchtig gebruik had gemaakt van deze in het lager onderwijs verfoeide letters .
Maar terug naar de hoofdbewerking Optelling:
De optelling was de executieve bewerking, die toeliet op een vlugge manier de som van enige rekenkundige getallen te bepalen. Het in het lager onderwijs aangeleerde uitvoeringsmechanisme van deze bewerking, stoelde nu op voornoemde eigenschappen:
In het tientallig stelsel is bvb ieder getal van vier cijfers op te vatten als de som van een aantal duizendtallen (D), honderdtallen (H), tientallen (T) en eenheden (E). Bijvoorbeeld 3713 kan geschreven worden als 3713 = 3D + 7H +1T + 3E (dissociatieve eigenschap). Schrijft men nu alle op te tellen getallen op analoge wijze dan kan men op een snelle en eenvoudige manier de som maken van de eenheden, de tientallen, de honderdtallen en duizendtallen (associatieve eigenschap). Eerst maakt men de som van de eenheden en noteert het aantal nieuwetientallen, die hierbij ontstaan. Vervolgens wordt de som van de tientallen gemaakt, waarbij de nieuwe tientallen gevoegd worden; men noteert het aantal nieuwe honderdtallen, die hierbij ontstaan. Dan wordt de som van de honderdtallen gemaakt waarbij het aantal nieuwe honderdtallen gevoegd worden; men noteert het aantal nieuwe duizendtallen enz. In de praktijk schikt men de op te tellen getallen onder elkaar derwijze dat de eenheden, tientallen enz. telkens tot eenzelfde kolom behoren. Voor het uitvoeren van de bewerking begint men de kolom eenheden uiterst rechts, vervolgens gaat men over naar de kolom van de tientallen, dan naar de kolom van de honderdtallen enz. zoals aangegeven in begeleidende figuur (zie figuur 1 algoritme der optelling). Het is overduidelijk dat naargelang het aantal en de grootte van de termen van de som, de optelling heel wat rekenwerk vraagt. Dit was o.m. het geval voor berekeningen in de astronomie. De begrippen astronomische cijfers en astronomische berekeningen vinden hier hun verantwoording.
Al in de 17de eeuw werden hiertoe (mechanische) rekenmachines ontwikkeld om deze bewerkingen te vergemakkelijken. Zo bouwde Wilhelm Schickard (3) in 1623 de eerste rekenmachine, die getallen van zes cijfers kon optellen en aftrekken. Hij was daarmee Blaise Pascal (4) , die de zogenaamde Pascaline ontwierp, een twintigtal jaren voor. Dergelijke machines waren echter voorbehouden voor een elite en de gewone mens en zeker de scholier moest het tot ver in de twintigste eeuw stellen met papier en potlood.
Vooraleer naar de verdere hoofdbewerkingen (aftelling, vermenigvuldiging en deling) over te gaan, werd in het boek van Herbiet een hoofdstuk Meetbare Grootheden ingelast, dat een brug naar de Praktische Arithmetiek moest leggen. Achtereenvolgens werden aldus de begrippen grootheid, meetbare grootheden, maatgetal van een grootheid en vergelijkbare grootheden omschreven.
- Vervolgens kwam het hoofdstuk Aftrekking aan bod. Het verschil tussen twee natuurlijke getallen a en b (men onderstelt a > b )is een derde getal c dat, bij het kleinste getal opgeteld, het grootste getal als som oplevert. Het grootste getal heet aftrektal, het kleinste de aftrekker. Aftrektal en aftrekker vormen samen de termen van het verschil.
Men heeft bij definitie c = a b met a > b als uitdrukkelijke voorwaarde bij rekenkundige getallen. In geval a = b heeft men c = 0 (definitie van het getal nul) en indien a < b bestaat er geen rekenkundig getal c (maar wel een algebraïsch getal c) derwijze dat c = a b.
De aftrekking was de executieve bewerking die toeliet op een vlugge manier het verschil tussen twee natuurlijke getallen te bepalen. Het in het lager onderwijs aangeleerde uitvoeringsmechanisme van deze bewerking, stoelde nu op volgende eigenschappen:
I- eerste eigenschap: Om een som van een som af te trekken, mag men de termen van tweede som van bepaalde termen van de eerste som aftrekken en de komende verschillen optellen. In formulevorm:
- (a + b) (c + d) = (a c) + (b d) waarbij men uitdrukkelijk stelt dat a > c en b > d
II- tweede eigenschap: Een verschil verandert niet als men aftrektal en aftrekker met eenzelfde getal vermeerdert of vermindert. In formulevorm:
- a b = (a + c) (b + c) en (a b) = (a c) (b c) met natuurlijk in het tweede geval de voorwaarde a > c en b > c (rekenkundige getallen)
In het tientallig stelsel is bvb ieder getal van vier cijfers op te vatten als de som van een aantal duizendtallen (D), honderdtallen (H), tientallen (T) en eenheden (E). Is bvb 2725 het aftrektal en 684 de aftrekker, dan kan aftrektal respectievelijk aftrekker geschreven worden als 2725 = 2 D + 7 H + 2 T + 5E en 684 = 6 H + 8 T + 4 E (dissociatieve eigenschap). Praktisch wordt nu de aftrekker onder het aftrektal geschreven derwijze dat de cijfers van eenheden, tientallen, honderdtallen in eenzelfde kolom komen te staan (zie figuur 2: algoritme der aftrekking). Van rechts naar links werkend wordt elk cijfer van de aftrekker van het daarboven staande cijfer van het aftrektal afgetrokken. Is een van die aftrekkingen niet uitvoerbaar, dan wordt het cijfer van het aftrektal met 10 vermeerderd, en het volgend cijfer van de aftrekker met 1.
Vervolgens kwamen verdere eigenschappen van verschillen aan bod i.h.b. eigenschappen betreffende een aaneenschakeling van optellingen en aftrekkingen. Het hierbij gevolgde doel was de scholieren enkele regels voor het snelrekenen (hoofdrekenen) bij te brengen en ze op het algebraïsch rekenen voor te bereiden.
III- derde eigenschap: Om een verschil bij een getal op te tellen, telt men het aftrektal op bij dit getal en trekt de aftrekker af van de bekomen som. Zo mogelijk mag men eerst de aftrekker aftrekken van het getal en daarna het aftrektal optellen bij het bekomen verschil. In formulevorm:
- a + (b c) = a + b c en a + (b c) = a c + b
IV- vierde eigenschap: Om een som van een getal af te trekken, trekt men achtereenvolgens elke term van de som af van het aftrektal. In formulevorm:
- a (b + c) = a b c
V- vijfde eigenschap: Om een verschil van een getal af te trekken, telt men de aftrekker op bij dit getal en trekt men het aftrektal af van de bekomen som. Zo mogelijk mag men eerst het aftrektal aftrekken van het getal en daarna de aftrekker optellen bij het bekomen verschil. In formulevorm:
- a (b c) = a b + c en a (b c) = a + c b
Toepassingen: snel- of hoofdrekenen (5)
Voor snel- of hoofdrekenen kunnen nu de voorgaande eigenschappen met succes gebruikt worden. Ze laten immers toe meer ingewikkelde sommen of verschillen in een meer eenvoudige vorm te brengen, namelijk door het invoeren van ronde getallen. Enkele voorbeelden:
2° Vermenigvuldiging en Deling bij de natuurlijke getallen:
(wordt voortgezet)
-------------------------------------------------
(1) rekenkundige getallen waren het getal nul en de positieve getallen (gehele of gebroken getallen). De elementaire rekenkunde of Arithmetiek had de studie van de eigenschappen van dit soort getallen tot doel en beperkte zich dan ook tot deze getallen. Negatieve gehele of gebroken getallen werden in die jaren beschouwd als horende tot de elementaire algebra en werden algebraïsche getallen genoemd. Het is deze betreurenswaardige houding, die men in de boeken van Schons of van Herbiet terugvindt en die overigens de oorzaak is van heel wat verwarring.
Deze houding werd trouwens door Fred Schuh als zeer hinderlijk en als een onnodige beperking van de elementaire arithmetiek beschouwd. Bij een beperking tot rekenkundige getallen is een omzetting van (a + b) c tot (a c) + b niet steeds geoorloofd is (voorwaarde is dan immers dat a > c). Verder is dan natuurlijk ook het gebruik van en het werken met negatieve exponenten uitgesloten. Overigens bestaat er volgens dezelfde auteur geen scherpe afscheiding tussen rekenkunde en (klassieke) algebra.
Voor een grondige bespreking van dit probleem verwijs ik naar Schuh's Leerboek der Elementaire Theoretische Rekenkunde deel I Inleiding (Noordhoff, -1919-)
(2) Voor wie iets meer over getallen en talstelsels wil weten kan ik bvb verwijzen naar Spelen met Getallen een fascinerend boek voor jong en oud- (Thieme, -1951-) een ander boek van Fred Schuh.
Over deze auteur, die ik eerst maar na mijn humaniora echt heb leren waarderen, zal ik het later uitvoerig hebben, want hij heeft door zijn vele geschriften een grote invloed op mijn wiskundige ontwikkeling uitgeoefend.
(5) Hoofd- of snelrekenen werd in het verleden als belangrijk aanzien: er bestonden toen nog geen rekenmachientjes.. Evenwel werd steeds eerst de nadruk gelegd op de algemeen geldende algoritmen met papier en potlood. Het onderwijzend personeel besefte zeer goed dat niet iedere scholier zo maar kon goochelen met cijfers en getallen. Absolute voorrang moest gegeven worden aan de methode met papier en potlood, want deze geeft, indien met zorg uitgevoerd, altijd een goed resultaat. Zo niet komt men tot situaties, die de bekende Amsterdamse hoogleraar Jan van de Craats met reden en terecht aanklaagt: zie: http://www.surfmedia.nl/medialibrary/item.html?id=FUNh0VWvjhXg4xSaf9kCbVAE
(Hoofdstuk 8 "Arithmetiek en Algebra in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 8.1 Over oude wiskundeschoolboeken...
Op mijn zolder ligt (of liever lag) een stapeltje oude wiskundeschoolboeken. Nu liggen ze op mijn bureau. Meer nog, ze hebben gezelschap gekregen van andere exemplaren, die ik mij via Internet heb kunnen aanschaffen in gespecialiseerde boekhandels. Want ze zijn, zoals een dichter het zou uitdrukken, de stille getuigen van een groots verleden (1) ..
Alles begon met een Journée à l Ecole des Cadets de Namur in juni 2007. Deze dag, een prachtig initiatief van TPCI (2) stelde mij in de gelegenheid kennis te maken met enkele oud-cadetten van vóór WOII. Bij een gezellig etentje in de oude school werden er natuurlijk herinneringen en anekdoten opgehaald. En zo vielen de namen van Herbiet en Horwart, die beiden blijkbaar leraar aan de Cadettenschool van Namen waren geweest tot 10 Mei 1940. Onze anciens hadden na al die jaren nog altijd diep ontzag (of was het schrik ?) voor hun oud-leraars. Nu was de naam Herbiet mij niet onbekend want vermeld als een der auteurs van het rekenkunde- respectievelijk algebraboek die wij in de Cadettenschool van Laken gebruikt hadden. Bij een tweede bezoek aan de school van Namen in 2008, trachtte ik wat meer te weten te komen over die fameuze Herbiet en Horwart. Maar helaas onze Anciens wisten niet eens hun voornamen, want zoals toen gebruikelijk werden van auteurs alleen de initialen aangegeven. Ik besloot de zaak via Internet wat nader uit te pluizen en met een verbluffend resultaat. Plots begreep ik veel beter die alles verslindende esprit géométrique, die ons doen en laten in de Cadettenschool had beheerst.
In de eerste helft van de vorige eeuw omvatte het middelbaar wiskundeonderwijs in België de volgende wiskundige disciplines: rekenkunde, (klassieke) algebra (waaronder ook "calculus" gerangschikt werd), (deductieve of axiomatische) meetkunde, analytische meetkunde, beschrijvende meetkunde (ook nog wetenschappelijk tekenen genoemd) en trigonometrie. Statistiek werd slechts in het begin van de zestiger jaren aan het wetenschappelijk curriculum toegevoegd.
- Rekenkunde, algebra en trigonometrie werden beheerst door twee collecties schoolboeken, die oorspronkelijk in het Frans waren opgesteld, maar die later ook in het Nederlands werden vertaald: de collecties Herbiet (gebruikt in het Rijksonderwijs) en Schons(gebruikt in het Vrij Onderwijs). Van beide collecties bezit ik heden zowel Nederlandse als Franse versies.
- Voor Meetkunde werd in het Rijksonderwijs veelal beroep gedaan op de collectie van Adolphe Mineur, in het Vrij onderwijs op het werk van Antoine Dalle (deductieve meetkunde), Gustave Lupsin (analytische meetkunde en trigonometrie) en tenslotte van Paul Bockstaele.
I- Schoolboeken voor het Secundair onderwijs : Rijksonderwijs
1- de collectie "Herbiet"
De collectie Herbiet had als spilfiguren Victor Herbiet, doctor in de Wis- en Natuurkunde en Jules Horwart (oud-cadet Namen 1930-1933). Beiden waren zoals al gezegd leraar aan de Cadettenschool van Namen geweest, de eerste vanaf 1923, de tweede vanaf 1936. Paul De Vaere was als leraar wiskunde verbonden aan het gemeentelijk Atheneum van Schaarbeek en de Rijksmiddelbare School in Brussel II (Laken) en stond in voor de vertaling. Later kwamen nog de wiskundigen Raymond de Marchin en Gaspard Bosteels de ploeg vervoegen. Raymond de Marchin was doctor in de wis- en natuurkunde en leraar aan het Atheneum te Luik. Gaspard Bosteels was zoals Raymond de Marchin doctor in de natuur- en wiskunde en was studieprefect. Hij was geboren in Sint Niklaas 1909 en overleed in 2003. Een In Memoriam werd aan hem gewijd in het bekende tijdschrift «Euclides». Gaspard Bosteels was overigens ook zeer sterk betrokken in de «vernieuwing» van het wiskundeonderwijs ingezet door Georges Papy. Deze collectie Herbiet omvatte o.m.
- «Précis dArithmétique: à lusage de lEnseignement moyen, des Ecoles normales, et des Candidats aux Examens administratifs » (6e, 5e, 4e humanités modernes et anciennes 3e gréco-latine). De Nederlandse versie droeg als titel « Rekenkunde voor Middelbaar en Normaalonderwijs »
- «Cours dArithmétique: les entiers, les fractions, Manuel destiné aux élèves des Classes supérieures des Athénées et de lEnseignement Normal Moyen ; aux Candidats à lEcole Royale Militaire et aux Universités» (3e, 2e, et 1er humanités modernes). De Nederlandse versie droeg als titel « De Gehele en De Gebroken Getallen »
- «Eléments dAlgèbre: à lusage des écoles moyennes et des candidats à lEcole des Cadets» (5e, 4e, cycle supérieur: humanités anciennes). De Nederlandse versie droeg als titel « Beknopte Algebra voor Middelbare scholen ». Het boek was een "light" versie van het Traité d'Algèbre en werd in de Grieks-Latijnse humaniora gebruikt.
- «Traité dAlgèbre: à l'usage de l'Enseignement moyen et de l'Enseignement normal des candidats à l'Ecole Militaire et aux Universités » (5e, 4e, 3e: humanités modernes). De Nederlandse versie droeg de titel « Leerboek der Algebra » en werd in de moderne humaniora gebruikt maar ook in de Grieks- Latijnse sectie van de Cadettenschool.
- «Complément dAlgèbre à l'usage de l'enseignement moyen et de l'enseignement normal, des candidats à l'Ecole militaire et aux universités » (2e, 1er ). De Nederlandse versie droeg als titel « Complement der Algebra » en werd in de Cadettenschool gebruikt ook voor de Grieks-Latijnse sectie.
- «Initiation à la Trigonométrie» (humanités anciennes). Een Nederlandse versie verscheen bij Wesmael Charlet onder de titel « Beknopte Driehoeksmeting » in 1962 en omvatte 126 pagina's.
- «Trigonométrie rectiligne» (humanités modernes). Een Nederlandse versie van dit boek verscheen in 1967 onder de titel « Trigonometrie » en besloeg 273 pagina's.
- «Trigonométrie sphérique » (humanités modernes). Een Nederlandse versie van dit boek is mij onbekend en werd misschien nooit op de markt gebracht??
Alle titels en edities verschenen in het Frans; eerst later werd een Nederlandse versie op de markt gebracht. De diverse edities geven een goed beeld van de achtereenvolgende wijzigingen in het leerstofprogramma. Van cruciaal belang zijn hierbij de Ministeriële Omzendbrieven van 1948 en 1949.
Van dezelfde groep verscheen ook nog in de tweede helft van de vijftiger jaren:
- «Arithmétique et Géométrie Intuitive» bestemd voor de zesde humaniora (zowel oude als moderne), verschenen in het Nederlands onder de titel « Rekenkunde en Intuïtieve Meetkunde » (1956). Deze boeken behoorden in wezen tot het voortgezet lager onderwijs en dus tot het Primair Onderwijs.
- « Géométrie Intuitive » en de Nederlandse versie « Intuïtieve Meetkunde » bestonden ook als afzonderlijke boeken.
- « Géométrie, classe de Cinquième » bestemd voor de vijfde humaniora (zowel oude als moderne), verschenen in het Nederlands onder de titel « Meetkunde, vijfde klasse ».
- « Géométrie, classe de Quatrième » bestemd voor de vierde humaniora (zowel oude als moderne), verschenen in het Nederlands onder de titel « Meetkunde, vierde klasse ».
- « Arithmétique et Algèbre -tome I- » et « Arithmétique et Algèbre -tome II- » en de Nederlandse versies « Rekenkunde en Algebra-deel I- » en « Rekenkunde en Algebra -deel II- » bestemd respectievelijk voor de vijfde humaniora (tweede jaar middelbaar) en voor de vierde humaniora (derde jaar middelbaar)
Deze boeken bestreken het volledig leerprogramma van het lager secundair onderwijs en wel volgens de omzendbrieven van 1948 en 1949.
En verder in principe- bedoeld voor het lerarencorps:
- «Précis dArithmétique exercices résolues- »
- «Exercices dAlgèbre tome I - Corrigé des exercices du Traité d'algèbre 950 questions et des Eléments d'algèbre 437 questions; tome II - Corrigé des exercices des Compléments d'algèbre. 500 questions»
- « Exercices de Trigonometrie tome I et tome II » Een Nederlandse versie van deze boeken verscheen onder de titel « Trigonometrische Vraagstukken » (auteurs De Vaere en de Marchin) deel I (1948, 267 pagina's) deel II (1949, 528 pagina's)
Groot was ook mijn verbazing toen ik ook nog vaststelde dat Victor Herbiet (met de medewerking van MM. Réné, Joseph en Edmond Hébette) een «LArithmétique de la vie pratique 5e et 6e années primaires- » gepubliceerd had.
Dit boek dat in 1959 al aan zijn zevende editie toe was, gaf de didactische methoden aan voor de wiskundeleerstof van het lager onderwijs (vijfde en zesde leerjaar). Deze materie omvatte enerzijds een rekenkundig deel, anderzijds een meetkundig deel, deel door de auteur later bestempeld als "intuïtieve meetkunde". Het werk "Rekenkunde en Intuïtieve Meetkunde" bestemd voor de zesde humaniora, sloot trouwens rechtstreeks aan bij voornoemd boek.
Dit didactisch boek, bestemd voor de onderwijzer, riep door de vele figuren en illustraties, bij mij enkele mooie jeugdherinneringen op. Hierover zal ik het trouwens in de volgende cursiefjes hebben.
2- de collectie « Mineur »
Adolphe Mineur was hoogleraar aan de ULB, waar hij les gaf in wat men toen de rationele, heden de theoretische mechanica noemt. Zijn vierdelig werk : Mécanique rationnelle. I: Géométrie vectorielle. II: Cinématique. III: Statique. IV: Dynamique du point verscheen bij Castaigne in 1930. De asteroïde Mineura is bvb naar hem genoemd. Zijn medewerkers waren dr. Honoré Houvenaghel, leraar wiskunde aan het Kon. Atheneum te Oostende en dr. Paul Van Aerden, inspecteur-generaal bij het middelbaar en het normaal onderwijs. Later kwam Julien Bilo, leraar aan de Rijksmiddelbare Normaalschool te Gent, de groep vervoegen. Na het behalen van een doctorstitel werd Julien Bilo hoogleraar Hogere Meetkunde aan de Universiteit Gent en Lid van de Academie voor Wetenschappen. Hij liet zich later in met de axiomatische verzamelingenleer en schreef in 1981 met Joseph Adolphe Thas (Universiteit Gent) Enkele aspecten van de theorie der axiomatische projectieve vlakken».
De collectie «Mineur» omvatte:
- « Cours de Géométrie élémentaire » (Ad. Mineur) édition 1898
- « Beginselen der Vlakke Meetkunde » (H. Houvenaghel en J. Bilo) editie 1940-1946 eerste deel het punt en de rechte- (5de moderne en oude humaniora) ; tweede deel de cirkelomtrek- (4de moderne en 4de en 3de oude humaniora); derde deel gelijkvormigheid en oppervlakten- (3de moderne en 2de oude humaniora) editie 1940
- « Beginselen der Vlakke meetkunde » (J. Bilo) editie 1953-1955 ; is een aangepaste editie van de voorgaande i.v.m. de ministeriële circulaires 1948 en 1949) eerste deel -het punt en de rechte- (5de moderne en oude humaniora) ; tweede deel -de cirkel en de veelhoeken- (4de oude en moderne humaniora) ; derde deel -gelijkheden in de driehoek, macht van een punt, oppervlakte van de cirkel- (3de oude en moderne humaniora)
- « Meetkunde der Ruimte » (H. Houvenaghel en J. Bilo) editie 1941
- « Complement der Meetkunde » (H. Houvenaghel en J. Bilo 2de moderne humaniora) editie 1941
- « Eléments de Géométrie Analytique plane première partie: le point, la droite et la circonférence- » (Ad. Mineur) édition 1938
- « Eléments de Géométrie Analytique plane deuxième partie: les coniques- » (Ad. Mineur) édition 1938
- « Leerboek der Vlakke Analytische Meetkunde Deel I -Inleiding- » (J. Bilo en M. Soens -2de moderne humaniora-) editie 1953
- « Leerboek der Vlakke Analytische Meetkunde Deel II » (J. Bilo en M. Soens -1ste moderne humaniora) editie 1953
- « Leerboek der Beschrijvende Meetkunde » (H. Houvenaghel en J. Bilo) editie 1941
- « Cours de Trigonométrie » (Ad. Mineur) édition 1901
- « Elementaire driehoeksmeting, ten behoeve van de leerlingen der lagere normaal-scholen, der voorbereidende afdeelingen der Grieksch-Latijnsche en der handelsklassen van het middelbaar onderwijs» (P. Van Aerden en H. Houvenaghel) editie 1941
- « Leerboek der Driehoeksmeting » (P. Van Aerden en H. Houvenaghel) editie 1950
Zoals Adrien-Marie Legendre en nog vele anderen(zie cursiefje 4.1 in blog 2), brak Adolphe Mineur met de traditie en introduceerde in het begin van de 20ste eeuw evenzeer een modernere benadering van de Elementen van Euclides. Zijn medewerkers hebben deze benadering nog verder uitgebouwd. Te signaleren is ook dat er 2 handboeken betreffende trigonometrie voorhanden waren. Eén voor de oude humaniora (60 paginas) en een ander voor de moderne humaniora (237 paginas). In het laatste boek werd ook « Boldriehoeksmeting » behandeld.
II- Schoolboeken voor het Secundair Onderwijs : Vrij Onderwijs
1- de collectie "Schons"
De collectie Schons had als spilfiguur Nicolas Joseph Schons, een Broeder van de Christelijke Scholen (niet te verwarren met de Broeders van Liefde) en leraar in de Wiskunde aan de Middelbare Normaalschool (Saint Berthuin Instituut) te Malonne (3) bij Namen. Cyriel De Cock (broeder Philemon van de Christelijke Scholen) werd geboren in Hamme en verbleef in het Sint-Amandusinstituut te Gent. Als leraar wiskunde in de secundair onderwijs was zijn specialiteit de voorbereiding tot het toegangsexamen voor burgerlijk ingenieur aan de universiteit. Een andere belangrijke figuur, die eveneens tot de groep "Schons" moet gerekend worden was Frans Drijkoningen (Broeder Stanislas). Hij was zoals Cyriel De Cock verbonden aan het Sint Amandusinstituut te Gent. Zijn stokpaardje was analytische meetkunde. Luc Gheysen (4) schreef over hem: -ik citeer-
"Broeder Stanislas was een geleerd en toch zeer eenvoudig mens. Vele jaren heeft hij met een ongekende toewijding en kennis van zaken de mathematica onderwezen aan de studenten en hen zo voorbereid op de studies in het hoger onderwijs en vooral voor burgerlijk ingenieur. Altijd stond hij open voor vernieuwing. Eind de jaren '60 verdiepte hij zich ijverig in de moderne wiskunde. Hierover was hij maar matig enthousiast. Begin de jaren '70 waagde hij zich aan het programmeren op de eerste WANG-computers, 'die stomme toestellen waaraan je alles moest uitleggen'. De analytische meetkunde is echter altijd zijn stokpaardje gebleven. Het boek dat hij hierover samen met C. De Cock schreef en dat werd uitgegeven door De Procure, was een standaardwerk. Hij was een man van toewijding en gebed. Zijn werkkamer was zijn heiligdom."
De collectie «Schons» werd later opgevolgd door een zekere R. Graas, waarover ik geen verdere informatie heb.
Deze belangrijke collectie omvatte o.m. :
- « Eléments dArithmétique » (6e, 5e, 4e humanités anciennes). De Nederlandse versie droeg als titel « Rekenkunde voor oude en moderne humaniora en normaalonderwijs » en was bestemd voor het lager secundair onderwijs.
- « Traité d Arithmétique » (3e, 2e, 1er humanités modernes). De Nederlandse versie droeg als titel « Leerboek der Rekenkunde voor de moderne humaniora en toelatingsexamen tot de militaire school »
- « Premiers Eléments d Algèbre » (5e humanités anciennes) en « Eléments d Algèbre I » (4e, 3e humanités anciennes) en «Eléments dAlgèbre II » (2e , 1er humanités anciennes) later verschenen in één volume met als titel « Eléments d'Algèbre ». De Nederlandse versies droegen als titel respectievelijk « Elementen der Algebra I en II » en « BeknoptLeerboek der Algebra »
- «Traité dAlgèbre » (5e, 4e, 3e: humanités modernes). De Nederlandse versie droeg als titel « Leerboek der Algebra »
- «Compléments dArithmétique et dAlgèbre: à lusage de lenseignement moyen » (2e, 1er: humanités modernes). De Nederlandse versie droeg als titel « Complement van de Rekenkunde en van de Algebra voor het middelbaar onderwijs »
- «Eléments de Calcul intégral » (rhétorique et 1ère scientifique)
- «Eléments de Trigonométrie » (humanités anciennes) en was bedoeld voor de Grieks-Latijnse humaniora. De Nederlandse versie droeg als titel « Beknopte Driehoeksmeting »
- «Traité de Trigonométrie rectiligne » (humanités modernes). Het boek werd in de Franstalige Afdeling van de Cadettenschool gebruikt. De Nederlandse versie droeg als titel « Vlakke Driehoeksmeting voor het middelbaar onderwijs ». De zesde editie van dit Traité (1971) bevat in addendum supplementaire oefeningen over de cyclometrische functies, toepassingen van de complexe getallen onder goniometrische vorm, trigonometrische toepassingen in de infinitesimaalanalyse en tenslotte de theorie der hyperbolische functies.
- «Tables de Logarithmes à cinq décimales et autres tables »
Ook hier verschenen de titels en edities eerst in het Frans, waarop later een Nederlandse vertaling volgde. Van deze boeken beschik ik zowel over een Nederlandse versie, daterend van vóór de ministeriële circulaire van 1949 als over een Franse versie daterend van ná deze circulaire
En verder maar dan eveneens bestemd voor het lerarencorps:
- « Exercices et Problèmes dArithmétique » (corrigé des exercices et des problèmes des Eléments dArithmétique)
- « Exercices dArithmologie » (corrigé des exercices proposés dans le Traité d Arithmologie)
- « Exercices dAlgèbre » (corrigés des exercices du Traité d Algèbre, des Compléments dArithmétique et dAlgèbre et des Eléments de Calcul intégral)
- « Exercices de Trigonométrie » (corrigés des exercices des Eléments de Trigonométrie et du Traité de Trigonométrie rectiligne)
Deze laatste boeken werden « Solutionnaires » genoemd en waren zeer omvangrijk. Zo telde bvb « Exercices d Algèbre » meer dan 1000 paginas. Uiteraard waren deze « Solutionnaires », op voorwaarde dat zij oordeelkundig gebruikt werden, van zeer groot nut ter voorbereiding van de toelatingsexamens KMS of burgerlijk ingenieur.
Uiteraard zijn hier ook te vermelden:
- « Analytische Meetkunde » van C. De Cock en F. Drijkoningen, De Procure, waarvan een zesde editie nog verscheen in 1973.
- « Beschrijvende Meetkunde » C. De Cock en F. Drijkoningen eveneens uitgegeven door De Procure, -1975-, 127 pagina's
Stippen we tenslotte nog aan dat de collectie «Herbiet» door Wesmael-Charlier, de collectie «Schons» door de De Procure werd uitgegeven. Al deze schoolboeken moesten door de diverse ministeriële omzendbrieven ( omzendbrieven van 1929, 1933, 1939, 1940, 1946, 1948, 1949 ) regelmatig en voortdurend aangepast te worden. Er waren zowel toevoegsels als weglatingen wat de verschillende inhoud van de diverse edities verklaart.
2- de collectie « Dalle en De Waele »
Antoine Dalle was een Broeder (Frère Majorin) van de Christelijke Scholen en behoorde tot het Institut Saint Ferdinand (5) dat in 2000 zijn honderdvijftig laar bestaan vierde. Hij was de werkelijke auteur van de bekende meetkundeleerboeken, waarvan de eerste editie verscheen voor WOI. Camille De Waele (1872-1927) of Frère Maxilien was directeur van het Instituut gedurende WOI en co-auteur van voornoemde meetkundeboeken. Volgende titels zijn voorhanden:
- « Cours de Géométrie à lusage de lenseignement moyen et de lenseignement normal : Géométrie plane et Eléments de Topographie »
- « Cours de Géométrie à lusage de lenseignement moyen et de lenseignement normal : Géométrie dans lespace avec compléments »
- « 2000 Théorèmes et Problèmes de Géométrie avec solutions »
De eerste twee titels bestaan ook in het Nederlands. «2000 Théorèmes et Problèmes» werd naar mijn weten nooit in het Nederlands vertaald.
De boeken van Dalle zijn geïnspireerd door de « Eléments de Géométrie » van Legendre en het « Traité de Géométrie élémentaire » van Rouché en Comberousse. Er is inderdaad ook een indeling in « Boeken » (in totaal 4 voor de vlakke en 4 voor de ruimtemeetkunde) zoals bij Legendre. Na ieder "Boek" worden talrijke vraagstukken opgegeven, waarvan de oplossing te vinden is in "2000 Théorèmes et Problèmes". Anderzijds is er het Complement (Projectieve Meetkunde) dat teruggaat op de monografie van Rouché en Comberousse (zie blog II cursiefje: « Wat is Deductieve Meetkunde? »).
3- de collectie « Lupsin »
Over Gustave Lupsin, een licenciaat in de wiskunde heb ik weinig gegevens kunnen vinden. Bekend is echter wel zijn leerboek over de Vlakke Analytische meetkunde, die als een standaardwerk mag beschouwd worden:
- «Notes de Géométrie analytique plane à lusage des élèves des classes scientifiques des humanités et des candidats à lEcole Militaire et aux Universités» (7e édition revue par R. Graas -1956 -)
- «Trigonométrie Sphérique à lusage des classes scientifiques des humanités » (5e édition revue par R. Graas -1955-)
4- de collectie « Bockstaele »
Paul Bockstaele was eerst leraar aan het bisschoppelijk Sint Vincentius -college in Eeklo. De verhandeling over Het intuïtionisme bijde Franse wiskundigen, waarmee hij licentiaat was geworden, werd door de Academie bekroond en in 1949 in haar reeks verhandelingen gepubliceerd. Zijn specialisatie in de geschiedenis van de wiskunde bracht hem tot de academische carrière. Hij was lange tijd verbonden aan de Universiteitsbibliotheek van Leuven. Bockstaeles wetenschappelijke verdiensten liggen inderdaad op het vlak van de geschiedenis van de wiskunde. Bij zijn emeritaat in 1985 werd professor Bockstaele dan ook gehuldigd voor zijn verdiensten voor de Universiteitsbibliotheek. Hij overleed in 2009. Zijn schoolboeken meetkunde stonden vol korte notities over beroemde wiskundigen uit vroegere eeuwen, over Euclides, Boëthius, Stevin, Fermat, Leibniz, Euler, Monge en nog anderen en met een portretje erbij.
- « Aanschouwelijke Meetkunde » van P. Bockstaele (achtste druk -1960-)
- « Vlakke Meetkunde » door P. Bockstaele Deel I (derde druk, -1960-) Deel II (tweede druk, -1959-) Deel III (1956)
- « Oplossingenboek der Vlakke Meetkunde » door P. Bockstaele (1959)
- « Meetkunde der Ruimte » door P. Bockstaele (tweede druk -1960-)
III- Schoolboeken voor het Hoger Primair Onderwijs (Rijksmiddelbare School)
Het leerprogramma van de Rijksmiddelbare School in België (de zogenaamde "Ecole moyenne") was het equivalent van het M.U.L.O. (Meer Uitgebreid Lager Onderwijs) in Nederland en het E.P.S. (Enseignement Primaire Supérieur) in Frankrijk. Begin de jaren vijftig werden de leerprogramma's in zake wiskunde en wetenschappen van het Lager Secundair en Rijksmiddelbaar bij wet gelijkgesteld maar dat was vóór WOII heel zeker niet het geval.
Via tweedehandsboekhandels heb ik mij enkele Franse schoolboeken, bestemd voor het Hoger Primair Onderwijs (E.P.S.) en daterend van de jaren twintig kunnen aanschaffen. Al deze schoolboeken waren van de hand van Neveu en Bellenger en waren uitgegeven door Masson. Aangenomen mag worden dat deze ook gebruikt werden in het Belgisch Onderwijs, dat toen nog, ook in Vlaanderen, franstalig was.
Met verbazing stelde ik vast dat bvb ook al de ruimtemeetkunde en enkele noties van de trigonometrie tot het leerprogramma behoorde, onderwerpen, die alleen in het Hoger Secundair aan bod kwamen. Verder waren er de Beginselen van de Beschrijvende en de Analytische Meetkunde. In feite omsloten deze schoolboeken veel materiaal dat voor de hogere humaniora bestemd was.
Deze leerboeken, die zeer strerk op de dagdagelijkse praktijk gericht waren, hadden mij in principe uitstekende diensten kunnen bewijzen en niet alleen bij mijn voorbereiding tot het toelatingsexamen tot de K.C.S. in 1955 maar ook bij de meetkundelessen in de Cadettenschool-zelf. Ik schreef « in principe » want mijn kennis van de Franse taal was in die jaren nog te gering om deze leerboeken als studieboeken te kunnen bezigen.
- de collectie E.P.S. van Masson-
Naast leerboeken over Natuur- en Scheikunde, waarover ik het in een ander cursiefje zal hebben, omvatte deze collectie Masson ook nog:
- «Cours dArithmétique théorique et pratique- E.P.S.-1ère, 2ème et 3ème année- » (H. Neveu Masson 8ème édition -1917-)
- «Cours dAlgèbre théorique et pratique- suivi des notions de Trigonométrie E.P.S.» (H. Neveu Masson 12ème édition -1929-)
- «Cours de Géométrie théorique et pratique- E.P.S.-1ère et 2ème année (géométrie plane) » (H. Neveu et H. Bellenger -1907-)
- «Cours de Géométrie théorique et pratique- E.P.S.-3ème année (géométrie dans l'espace) » (H. Neveu et H. Bellenger Masson 6ème édition -1923-)
__________________________
(1) Schoolboeken volgen het opgelegde leerplan van wat men noemt de bevoegde autoriteiten en zijn op dit vlak een weerspiegeling van de tijdsgeest. De wiskundeboeken waarover in dit cursiefje gehandeld wordt, vormen slechts een momentopname van de periode volgend op de fameuze ministeriële circulaire van 1949. Dat deze autoriteiten wel eens zeer ernstige flaters kunnen begaan bewijst nu het New Math experiment van de jaren zestig (zie cursiefje Over het New Math experiment in blog 2). Men mag er vanuit gaan, dat ook andere misvattingen en visies in de loop der jaren in het leerprogramma zijn terecht gekomen. Auteurs van schoolboeken moeten voortdurend rekening houden met wijzigingen van het leerprogramma (weglatingen, toevoegsels, veranderde visies), wat hun taak bepaald niet vergemakkelijkt. Uiteraard zijn ze niet verantwoordelijk voor wat en petit comité besproken, bedisseld, en beslist wordt
(2) TPCI is het acroniem voor Koninklijke Vereniging der oud- Troepskinderen, Pupillen, Cadetten en Intermachters van het Leger (zie bijlage 1)
(3) over een geïllustreerde geschiedenis van het Institut Saint Berthuin zie bijlage 2
0
1
2
3
4
5
- Gemiddelde waardering: 1/5 - (2 Stemmen) Tags:V. Herbiet , J. Horwart , N.J. Schons, C. De Cock , A. Dalle, A. Delaruelle , A.I. Claes , A. Dessart , J. Jodogne,
25-03-2010
§ 7.3 Jongens en Scheikunde van een zekere Alders
(Hoofdstuk 7 "Over Jongens en Wetenschap")
§ 7.3 Jongens en Scheikunde van een zekere Alders ALDERS .. ja, dat was het fameuze boek, dat wij voor onze experimenten gebruikten en blijkbaar had Marcel het nog steeds in zijn bibliotheek staan.. !!! Die fameuze J.C. Alders, uit Lochem (Nederland), moet wel een klepper geweest te zijn. Een zoekoperatie op Internet leerde dat er meerdere boeken op zijn naam staan, maar over de man zelf ik vermoed dat hij farmacie gestudeerd had- heb ik tot nu toe niets gevonden.
Ziehier nu de volledige collectie Jongens en Wetenschap van .. Alders , die door Thieme (Zutphen) werden uitgegeven en waarvan diverse herdrukken bestaan : (1) Jongens en Natuurkunde (eerste editie in 1935) (2) Jongens en Scheikunde (eerste editie in 1936) (3) Jongens in de Vrije Natuur (eerste editie in 1937) (4) Jongens en Techniek (eerste editie in 1938) Verder was er bij dezelfde uitgever nog Jongens en Elektriciteit maar dit belangrijk boek is niet van Alders.. Op dit laatste werk kom ik nog uitvoerig terug. Uit pure balorigheid en frustratie heb ik mij heden voor een prikje -de verzendingsonkosten lagen hoger dan de prijs van de boeken- de ganse collectie aangeschaft. Wat het boek over Scheikunde betreft ben ik dus nu eindelijk na meer dan vijftig jaar de gelukkige bezitter van de vierde editie van 1943.
Al deze boeken, die dateren van vóór WO II, waren in feite bestemd voor leerlingen, die het M. U. L. O. (Meer Uitgebreid Lager Onderwijs) doorlopen hadden. Dit type onderwijs bestond reeds in het begin van de 19de eeuw o. m. in België, Nederland en Frankrijk (het zogenaamde Enseignement Primaire Supérieur).
In Frankrijk werd het E. P. S. afgeschaft in 1941. In Nederland gebeurde dit in 1968, waar het vervangen werd door MAVO (Middelbaar Algemeen Voortgezet Onderwijs) enigszins te vergelijken met de lagere cyclus van de humaniora.
Bezat mijn kameraad de Scheikunde van Alders dan had ik toen een Frans studieboek « Cours de Chimie -E.P.S.- » van P. Métral (Masson). Maar omdat ik op dat ogenblik nog niet voldoende Frans kende, had ik er toen niet veel aan. Ook nog even aanstippen dat in mijn kleine bibliotheek toen ook nog de « Cours de Physique E.P.S.- » van dezelfde auteur prijkte. Maar om dezelfde reden Frans kon ik er toen niets mee doen..
Ja talenkennis is echt belangrijk voor personen die wetenschap willen beoefenen
Maar terug naar de Scheikunde.. en de Heer Alders, die in de Voorrede van Jongens en Scheikunde schreefik citeer- :
Dit boek is bedoeld als vervolg op Jongens en Natuurkunde en is in de eerste plaats bestemd voor jongens voor wie de M. U. L.O. of H. B. S. 3j. eindonderwijs is geweest. Ook hoofdaktekandidaten, die het boek doorgewerkt hebben, zullen wat praktische kennis aangaat, ver uitsteken boven degenen, die scheikunde alleen uit een boek beoefend hebben.
Immers scheikunde kan men niet, evenmin als microscopie, sterrenkunde, biologie, geologie, natuurkunde e.d. wetenschappen alleen uit een boek leren
En of de man gelijk had..
Jongens en Scheikunde is zeer pragmatisch opgesteld (1) . Het boek begint met de lijsten van de benodigde chemicaliën en van het benodigd glaswerk. Dan worden enkele aanwijzingen verstrekt voor het plooien van glaswerk. Volgen dan 90 experimenten in betrekking tot de anorganische en 110 experimenten betreffende organische scheikunde.
Deze experimenten worden steeds in een globale context of in een specifiek kader geplaatst, waardoor men ontzettend veel bijleert. Neem nu eens bvb een alledaags product als keukenzout. Alders beschrijft eerst een tweetal experimenten en geeft vervolgens informatie over de Nederlandse Zoutindustrie, legt verder uit hoe uit keukenzout soda gemaakt wordt ( procédé Leblanc, procédé Solvay) en vertelt tenslotte iets over de geschiedenis van het keukenzout.. Het bundelen van of koppelen aan het experiment van wetenswaardigheden maakt het geheel bijzonder interessant.
Wie scheikunde op een dergelijke manier gestudeerd heeft, mag de vinger opsteken !! Eén die althans zijn vinger mag opsteken is de Utrechtse emeritus - hoogleraar in de fysiologische chemie, Hendrik Simon Jansz (1927-2003). Jongens en Scheikunde (een verjaardagsgeschenk van zijn vader) boeide hem dermate dat zoals hijzelf aangeeft- hij later chemie ging studeren aan de Vrije Universiteit Amsterdam en er in 1953 afstudeerde
Natuurlijk volgden wij de door Alders opgegeven lijsten van chemicaliën niet slaafs. Ook vormden sommige productbenamingen een probleem .. Vraag nu eens aan een gewone sterveling wat geelbloedloogzout is, of helse steen of bruinsteen..
Zeer interessante producten als bvb sterke geconcentreerde zuren (zwavel- salpeter- en chloorwaterstofzuur), kaliumchloraat, arseniek en dito kwamen niet in de lijst voor..
Een Alders wist natuurlijk wel waarom, wij ook..
Een laboratorium Scheikunde opstarten is geen kleinigheid. Vooreerst is er de kwestie van de gebouwen. Toen ik begin 1949 mijn labo startte werd mij een plaats in het kolenkot toegewezen. In oktober van hetzelfde jaar verhuisden wij naar een nieuw huis en installeerde ik mijn labo noodgedwongen in de slaapkamer, die ik met mijn oudste broer deelde. Dit was echter niet naar de zin van mijn broer. Toen ik daarenboven nog een paar druppels zwavelzuur morste op een bedsprei (een klein ongelukje) kreeg ik ook last met mijn moeder.
Tot bevrediging van alle partijen werd een oplossing gevonden. Achteraan de tuin was er een soort prieeltje, die wij het blauw kotje noemden. De blauw geverfde muren van ditkotje bestonden uit betonnen platen, waarin kleine vensters waren aangebracht. Het geheel was met een mooi puntdakje met echte dakpannen voorzien. En dit magnifieke gebouw met een nuttige oppervlakte van ongeveer 6,25 m2 werd mij zomaar toegewezen.. Ik was de koning te rijk.. Maar er waren ook nadelen : er was geen elektriciteit noch verwarming en in die jaren kon het nog echt winteren.
Het elektriciteitsprobleem werd snel opgelost : samen met kameraad Marcel trok ik een buitenkabel van ongeveer 40 m lengte : zo hadden wij licht en een aansluiting voor elektrische apparaten zoals bvb een oude radio.. Voor de verwarming beschikten wij over een gedeclasseerde buiskachel. Voor de schouwaansluiting moest echter beroep gedaan worden op een vakman, wat mijn ouders eerst maar na enig aandringen toestonden. Zij waren het immers die voor de kosten opdraaiden..
Aan mijn laboratorium heb ik zeer mooie herinneringen. Het was in volle bedrijvigheid toen ik op het klein college was.. Het was ook in die jaren, dat wij (Marcel en ik) een poppenkast ineengeflanst hadden en dit lokaal gebruikten om voorstellingen te geven voor de kinderen uit de gebuurte. O tempora, o mores..
Nadien daalden de activiteiten aanzienlijk wegens het uurrooster in het groot college . om zich tenslotte te herleiden tot practisch zero wanneer ik op de cadettenschool verbleef
Hier ook wil ik mijn cursiefje beëindigen met een klein probleempje. Iedereen weet dat de scheikunde ontstaan is uit het analyseren van mineralen, waarbij men dan deze onderwierp aan allerlei drastische bewerkingen (oplossen, smelten, neerslaan, uitlogen, distilleren en dito).
Oefening : Herkent u de mineralen, die als als ikoon van en onderaan dit cursiefje werden toegevoegd ???
---------------------------------
(1) inhoudsopgave van « Jongens en Scheikunde » :
- Deel I Anorganische Scheikunde (proef 1 tot 90)
Hoofdstuk 1 De verbranding (proef 1 tot 4) - De Zuurstof (proef 5 tot 10) Hoofdstuk 2 Ontledingen (proef 11 tot 14) Waterstof en ontbinding van water (proef 14) De Bijzondere Eigenschappen van water Hoofdstuk 3 Diffusie (proef 15 tot 20) Hoofdstuk 4 Osmose (proef 21 tot 25) De chemische tuin (proef 26 tot 27) Colloïden Metaalbomen (proef 28) De chemische vulkaan (proef 29) Hoofdstuk 5 Koolzuur (proef 30 tot 35) Hoofdstuk 6 Zoutzuur (proef 36 tot 37) Chloor (proef 38 tot 42) Keukenzout (proef 43 tot 44) De Nederlandse Zoutindustrie - Keukenzout als grondstof voor de Sodafabricage - Electrolyse Iets uit de geschiedenis van het keukenzout De organismen van het keukenzout Inmaken in keukenzout De reactiesnelheid Hoofdstuk 7 Zwavelzuur (proef 46 tot 50) Sulfaten (proef 51 tot 59) Dubbelzouten en Complexe zouten Enige Scheikundige Wetten Het oplossen van chemische vraagstukken Op te lossen Vraagstukken Hoofdstuk 8 Salpeterzuur (proef 60 tot 64) Nitraten (proef 65 tot 66) Hoofdstuk 9 Carbonaten proef 67 tot 68) De Kalkoven Acetaten (proef 69 tot 71) Een- en meerbasische zuren - Overzicht der zouten Hoofdstuk 10 Basen (proef 72) Ammoniak (proef 73 tot 75) Basische Oxyden Neutralisatie (proef 76) Calciumcarbonaat (proef 77 tot 79) Waterstofion-exponent of pH Zwavelwaterstof (proef 80 tot 82) Zure en basische zouten De zouten van zeewater - Katalysatoren Hoofdstuk 11 Onderzoek van onbekende anorganische stoffen: Organoleptisch onderzoek en algemene reagentia Onderzoek van onbekende zouten en elementen Reacties en Bevestigingen Reacties en Bevestiging op enkele zouten en zuren Oplosbaarheid van zouten Overzicht der zoutvorming Overzicht der zuurstofverbindingen Hoofdstuk 12 Enkele Metalen Metalen en Metalloïden - IJzer (proef 83 tot 85) Het Hoogovenbedrijf Corrosie - Koper Goud Zilver Katadynzilver Aluminium Vermoeidheidverschijnselen bij metalen Metalen als gasbinders Hoofdstuk 13 Koolstof De lichtgasfabricage (proef 86 tot 89) - De Vlam (proef 90 tot 91) De kringloop van koolstof Het ontstaan van de grotten van Han Brandstoffen - Diamant Hoofdstuk 14 Fotografie
- Deel II Organische Scheikunde (proeven 91 tot 200)
Hoofdstuk 15 Verzadigde Koolwaterstoffen De Halogeenkoolwaterstoffen Alcoholen (proef 93) Ethers - De Bierbrouwerij Andere alcoholica Aldehydes en Ketonen Hoofdstuk 16 Onverzadigde Verbindingen Aethyleen en acetyleen (proef 94) De Aromaten (proef 95) De Verbranding der koolwaterstoffen - De Aardoliegewinning Het zien van reukstoffen - Fabricage van synthetische Reukstoffen Terpenen en kamfers Hoofdstuk 17 Organische zuren (proef 96 tot 107) De Fabricage van Azijn De Fabricage van inkten Onzichtbare Inkten (proef 108 tot 110) Verfstoffen (proef 111 tot 116) Het herkennen van vezelstoffen Hoofdstuk 18 Vetten ( proef 117 tot 120) Zeep (proef 121 tot 122) Het Onderzoek van Hard Water (proef 123 tot 126) Het Onderzoek van zeeppoeder (proef127) Margarine (proef 128 tot 129) Esters - De Fabricage van Zeep De Scheerzeep De Kaarsenfabricage Wassen en Wasproducten: carnaubawas, bijenwas, montaanwas, synthetische wassen, terpentijn Harsen Fabricage van Kunsthars Kunstrubber Hoofdstuk 19 Zetmeel (proef 130 tot 134) De Aardappelmeelfabriek Fabricage van dextrine, kleefstoffen en stroop Hoofdstuk 20 Suiker (proef 134 tot 138) De Suikerindustrie Polarisatie Enzymes en fermenten (proef 139) Hoofdstuk 21 Melk (proef 140 tot 145) Eieren (proef 146 tot 154) Vlees (proef 155 tot 157) Voedingsmiddelen Verbrandingswaarde van 1 gram De spijsvertering Hoofdstuk 22 Hout ( proef 158 tot 159) Cellulose of houtsuiker (proef 160 tot 162) Cellophaan - Kunstzijde Celvezel Melkwol - Celwol Hoofdstuk 23- Beenderen (proef 163 tot 165) Lijm (proef 166 tot 168) Gelatine Urineonderzoek (proef 169 tot 176) Het bepalen van het suikergehalte in urine Organische Stikstofverbindingen - Schoonheidsmiddelen (proef 177) Cosmetische comedie Analyse van tandpasta (proef 178) Het aantonen van organische stoffen De Fabricage van Lijm Fabricage van Beitsmiddelen Fabricage van Soldeermiddelen - Dipoolmoleculen Hoofdstuk 24 Enkele Proeven met planten (proef 179 tot 189) Plantenkleurstoffen (proef 190 tot 192) Vitamines (proef 193) Hoofdstuk 25 Microchemie (proef 194 tot 199) Ringen van Liesegang (proef 200) Iets uit de Historie der chemie het reinigen van glaswerk - het verwijderen van vlekken enkele oplosbaarheidgegevens
0
1
2
3
4
5
- Gemiddelde waardering: 5/5 - (1 Stemmen) Tags:Jongens en Scheikunde , J. C. Alders , mineralen
24-03-2010
§ 7.2 De boekenreeks Jongens en ... Wetenschap
(Hoofdstuk 7 "Over Jongens en Wetenschap")
§ 7.2 De boekenreeks Jongens en Wetenschap
De legendarische reeks Jongens en Wetenschappen waar Koen Fillet naar verwees is een collectie die uit 10 boeken bestaat. Elk boek is zoals gepreciseerd door de ondertitel van elk boek- een bonte mengeling van spel en sport, uitvindingen en ontdekkingen, knutselwerk en avontuur, dus een mengelmoes van dingen die de jeugd van toen erg interesseerde. Het eerste deel van de reeks verscheen in 1946 het laatste in 1957 en elk deel besloeg een 200- tal bladzijden. De reeks is in werkelijkheid een Nederlandse bewerking van de Zwitserse jeugdboekenserie Helveticus, serie die werd samengesteld door een zekere P. van Denenberg. De Nederlandse uitgave werd verzorgd door de uitgeverij Daphne (Gent), die er wellicht een serieuze stuiver aan verdiend zal hebben, want deze boeken waren echt niet goedkoop. Op mijn zolder liggen er twee boeken van deze legendarische reeks. Om precies te zijn, het betreft de boeken nummer 5 en 7 en de uitgaven dateren van respectievelijk 1950 en 1953. Achteraan mijn boek 7, staat nog een prijs vermeld : 125 FB. Een pakje sigaretten kostte in die tijd ongeveer 10 FB, een brood 6 FB.. Deze boeken waren een geschenk geweest van Sinterklaas want de goede Sint dacht natuurlijk nog aan de brave kinderen die door de oorlog zoveel hadden moeten missen..
De onroerende aanhef van boek 5 wil ik u niet onthouden en klonk als volgt :
Lieve jonge Vriend,
Eindelijk ben je de gelukkige bezitter van het vijfde deel van Jongens en Wetenschap. Dagen aan één stuk liep je na school naar de boekhandel en terwijl je op weg waart, hamerde het je telkens in de geest : Zal t er zijn vandaag ? Hoe vervelend dat wachten !!
Ook toen het boek ten slotte in de uitstalling pronkte, was t je niet meer mogelijk je benen langer te bedwingen, die terstond de zaak met jou binnenholden.
Nauwelijks had je hand het boek omklemd, of daar waren ook reeds je vingers, die bladerden en weer bladerden, om al het moois onder je ogen te laten voorbijglijden, die verrukt toekeken.
Aanstonds heb je gedacht : Geen wonder dat dit werk in ons land onder de tien meest gelezen boeken telt !... En dit deel !... Oh !.. Om van te watertanden !...
Je bent nu thuis, ook rustiger geworden. Lees thans en geniet ten volle van alles wat je hier geboden wordt. Op je lange reis vergezellen je de wensen van de redacteur, de schrijvers, de Nederlandse bewerker en de uitgevers.
(getekend) Dr R. B. J. Hyckx vertaler-
Met een dergelijke aanhef kon het haast niet anders : de boeken vlogen de boekwinkels uit .. De gekozen formule sloeg inderdaad aan.. en het werd een kassucces.
Deze boeken hebben niet veel met de boeken van Speybroek en Fillet te maken. Het concept ligt immers helemaal anders.. Elk boek begint met een spannend verhaal : in nummer 5 is dat bvb. De dodende straal (30 bladzijden); in nummer 7 Drie planeten, drie werelden (25 bladzijden). Soms zijn er meerder verhalen in een boek bvb in n° 5 heeft men nog Hoe Pieter Zomers zweefvlieger werd en Het Spookkasteel De titels zijn veelzeggend genoeg nietwaar ?? In elk verhaal spelen natuurlijk alleen jongens (van meisjes is helemaal geen sprake) de hoofdrol. Is er hier geen sprake van discriminatie ???
Verder zijn er rubrieken over sport bvb Over het bouwen van een keuken als je op excursie bent (n° 5) ; over zwemmen, schermen, padvinders.. (n° 7). Historische verhalen bvb over Robinson Crusoë, de gebroeders Montgolfier (n° 5) , over kwakzalvers en grote dokters uit vroegere tijden, over wolkenkrabbers in de Oudheid (de Egyptische piramides) (n°7),.. mogen natuurlijk niet ontbreken. Die grote dokters uit vroegere tijden maakten veel gebruik van toxische planten, zoals bvb de plant in het ikoon van dit cursiefje aangegeven.
Oefening : Herkent u deze toxische plant ???? en deze onderaan dit cursiefje ???
Knutselen en spelletjes staan ook op de dagorde en zijn veelal meer wetenschappelijk georiënteerd : hoe maak ik een astronomische verrekijker ?, telegraferen met behulp van dezon, .. (n°5) ; hoe maken wij een vuurtent ? goochelkunstjes ..(n° 7). In sommige boeken worden ook enige uitleg gegeven over technische onderwerpen. Zo heeft boek n° 7 het over radar, reuzenvliegtuigen, veiligheid op het spoor, filmgeluid, hoe een krant ontstaat, over uitvindingen die het niet waren, Röntgen s wonderbare ontdekking, boringen in Moeder Aarde.. Allemaal interessante "wetenswaardigheden"..
Slechts een klein deel van elk boek heeft echt betrekking met wetenschap. Veelal gaat het dan om natuurwetenschappelijke onderwerpen : Is het heelal begrensd ? Paddestoelen (n°5), kan de wereld vergaan ? hoe lang blijft het licht van de sterren onderweg ? ontdekkingen in grotten (n° 7)... Met Wetenschappelijk waarnemen en experimenten gaat het echt de wetenschappelijke toer op. Onderwerpen zijn bvb : wonderen onder de loep , het terrarium, hoe met behulp van de schaduw de hoogte van een boom berekenen, de dans der elektronen (n° 5) ; hoe ontcijfert men een geheimschrift ? waarom ziet men een hol in zijn hand ? hoe kan men in de natuur een rechte hoek afbakenen ? (n° 7)
Zo herinner ik mij sterk onder de indruk te zijn geweest van Hoe ontcijfert men een geheimschrift ?. Geheimschrift .. iedere schooljongen wordt er door aangetrokken nietwaar. Toen ik ongeveer een halve eeuw later L Histoire des Codes secrets de l Egypte des Pharaons à l ordinateur quantique- van Simon Singh (Livre de Poche -1999-) las bevond ik mij niet op totaal maagdelijk terrein !!
Bijzonder interessant lijken mij de denkpuzzels in boek n° 5, waarvan de oplossing verder in het boek gegeven wordt. Sommige (De verdeling van kastanjes, welk getal heb ik weggelaten ?) zijn kleine wiskundige vraagstukken, die met wat elementaire rekenkunde of algebra zijn op te lossen. Andere denkpuzzels (Een reusachtig -verticaal opgesteld- kanon wordt bediend en schiet en De vernielde brug) zijn heel wat moeilijker en vergen vooral voor het eerste vraagstuk- een diep inzicht in mechanica en gravitatie.. Op het kanonprobleem, dat mij nog gedurende jaren heeft bezig gehouden, kom ik nog wel uitvoerig terug..
Het aantrekkelijke in deze legendarische serie is nu dat men een klein beetje van alles proeft, juist genoeg om er smaak in te krijgen. Maar om nu echt met wetenschap om te gaan en werkelijk te experimenteren, nee daar leek mij deze legendarische reeks niet voor geschikt.. En nochtans, zoals in reeds eerder schreef : wij steunden onze experimenten op een boek Jongens en.. en ik herinnerde mij zelfs vaag de naam van de auteur van het boek Alder of Adler ??
Dan maar een mailtje naar Marcel en ja hoor : hij wist het nog en kon mij onmiddellijk de juiste referentie opgeven :
Het was : Jongens en Scheikunde van J.C. Alders uitgever Zutphen Thieme 5de editie -1950-.. maar dit boek had niets met de boekenreeks "Jongens en Wetenschap" te maken!
§ 7.1 Jongens en Wetenschap volgens Speybroek en Fillet
(Hoofdstuk 7 "Over Jongens en Wetenschap")
§ 7.1 Jongens en Wetenschap volgens Speybroek en Fillet
Als men aan de man op straat -een paar jaren terug- de vraag had gesteld : Kent u -Jongens en Wetenschap- ? dan was er erg veel kans geweest dat hij zou geantwoord hebben : Is dat niet een radioprogramma van Radio 1 ?.
"Jongens en Wetenschap was inderdaad, enkele jaren geleden, de naam van een erg populair educatief radioprogramma dat gepresenteerd werd door Sven Speybroek en Koen Fillet. Deze stuurden dagelijks een praktische vraag de ether in over het hoe en waarom van de dingen en de luisteraars hadden de mogelijkheid hierover te discuteren. In het eerste seizoen kwamen er vragen als : wat was er eerst, de kilo, de meter of de liter? waarom vallen in de herfst de bladeren van de bomen? Waarom is ijs glad? word je van vis eten slim?.. aan de orde.Personen die een meer dan verdienstelijke bijdrage leveren aan deze dagelijkse zoektocht werden bij wijze van eerbetoon opgenomen in de Koninklijke Academie voor Jongens & Wetenschap Of hoe je het publiek moet lijmen, nietwaar !!
In 2004 werd een einde gemaakt aan het programma en in De Standaard van 26-06-2004, die de loftrompet over dit radioprogramma uitstak, kon men o.m. lezen :
Floris Wuyts is professor in de medische fysica. Dit programma heeft er mee voor gezorgd dat wetenschappen weer sexy zijn. Het heeft hetzelfde effect gehad als Star trek,'' vindt hij. ,,Jongens en wetenschap heeft aan imagebuilding gedaan: wij zijn niet allemaal verstrooide professoren à la Gobelijn
Zijn vrouw, Sonja Buyle, vult aan : ,,Ze zijn er in geslaagd het traject dat wetenschap volgt in een populair concept te gieten. Het is een proces van verifiëren, experimenteren, corrigeren en op het einde van het traject gebruiken ze wetenschappelijk onderlegde bronnen.''
De universiteit van Antwerpen is het helemaal eens met die redenering. Ze schenkt Jongens en wetenschap dan ook de tweejaarlijkse Prijs voor de Popularisering van de Wetenschap .
Nochtans waren Sven en Koen in een interview in het Nieuwsblad van 19-06-2004 zeer expliciet :
Koen : ..Wetenschappelijke instituten die de wetenschap willen populariseren, hebben ons wel eens om advies gevraagd. Maar helaas, wij weten niet hoe je dat moet aanpakken omdat wij radiomakers zijn. En meestal zijn die mensen gechoqueerd door dat antwoord. Wij zijn radiomakers die enkel de nieuwsgierigheid van de luisteraars wilden prikkelen. Het is een hardnekkig misverstand dat Jongens en wetenschap ontstaan is om de wetenschap te populariseren
Sven : ..We worden ook wel eens gevraagd om een saaie academische openingszitting op te vrolijken. En dan luidt het antwoord steevast nee. Blijkbaar worden wij alleen gevraagd om de onnozelaar uit te hangen
Hetzelfde Nieuwsblad (28-06-2004) had trouwens iets tegen de titel van het programma en stelde dat Jongens en Wetenschap op een mythe berust :
.. Het idee dat jongens op school eerder op wetenschappelijke vakken gericht zijn en meisjes op taalvakken is een mythe
En zeggen dat het radioprogramma reeds in 2001 de prijs van SKEPP (een twijfelachtige referentie ) de zogenaamde Zesde Vijs gekregen, prijs, die als volgt verantwoord werd :
..Dit jaar gaat de trofee 2001 naar het populaire Radio 1-programma Jongens en wetenschap. Onze appreciatie gaat vooral naar de luchtige en humoristische toon waarmee ze door ,,live empirisch onderzoek'' het wetenschappelijk denken en de wetenschappelijke methodes voor iedereen duidelijk maken.
Alle luisteraars mogen mee doen, vergissingen en compleet waanzinnige theorieën krijgen ook een kans, Het wordt duidelijk dat zich vergissen niet erg is, dat vergissen en van mening veranderen deel uitmaken van het zoeken naar het beste antwoord, en dat men daarbij nog veel lol kan hebben aan die zoektocht Science is Fun. Echte wetenschap kan ongelooflijk plezierig zijn, en dat hebben zij duidelijk gemaakt.
Het is een programma dat op een eenvoudige en amusante manier toont hoe men zin van onzin kan onderscheiden en verdient dan ook terecht een Zesde Vijs. Die gaat naar het voltallige team van Sven Speybrouck en Koen Fillet
Voor Speybroek en Fillet was dit uiteraard het uitgelezen moment om bij Globe (2002) een eerste boek eveneens getiteld Jongens en Wetenschap , te laten drukken en op de markt te brengen. Het boek was een verzameling van allerhande weetjes en antwoorden op knagende vragen die de revue passeerden bij de uitzendingen van het eerste seizoen. Het boek bevatte verder ook enkele originele fragmenten uit de legendarische 'Jongens en Wetenschap'-boeken, waarover ik het verder zal hebben.
Men moet het ijzer smeden als het heet is, en -jawel hoor-, in november van hetzelfde jaar verscheen van dezelfde auteurs een tweede ruim vierhonderd pagina's tellende Jongens & Wetenschap 2..
De Volkskrant (06-12-2003 bijgewerkt op 21-01-2009) schreef nog in een artikel getiteld Hoe Vlaamse wetenschapsjongens de universiteiten redden hierover :
Toen deze zomer bleek dat het aantal inschrijvingen voor exacte studies op Vlaamse universiteiten fors was gestegen, meende een hoogleraar wel een verklaring te weten. Er zou sprake zijn van het Jongens & Wetenschap- effect .
En verder :
Van het eerste Jongens & Wetenschapboek zijn inmiddels negentigduizend exemplaren verkocht, in november verscheen het ruim vierhonderd pagina's tellende Jongens & Wetenschap 2. 'Volgens onze uitgever brengt een vervolg op een succesvolle verfilming of een tweede deel van een populair boek tweederde op van het oorspronkelijke deel', weet Fillet. Dat zijn nog altijd zestigduizend exemplaren
En nog wat verder :
Jongens & Wetenschap was in de jaren vijftig en zestig ook al de naam van een reeks jaarboeken.
'Die legendarische boeken zijn van vóór onze tijd', zegt Koen Fillet, 'maar je hoort vaders en ooms in Vlaanderen er nog altijd over.'
In de pockets van Fillet en Speybrouck staan mooie fragmenten uit die oude jaarboeken. Het is ze van harte gegund dat zij zelf over vijftig jaar weer in herinnering worden gebracht door een derde generatie Jongens & Wetenschap.
Blijkbaar beschouwt de steller van het artikel (Bart Dirks) de 2 boeken van Speybroek en Fillet als een soort tweede generatie van een eerste reeks jeugdboeken. In een volgende aflevering zal men kunnen oordelen wat er van aan is ..
Ik geloof echter niet dat jongens veel belangstelling voor de boeken van Speybroek en Fillet zullen opbrengen. Jongens worden aangetrokken door het mysterieuse (paddestoelen bvb), het gevaarlijke (explosieven en giftstoffen bvb), het pragmatische (knutselen bvb) en dat vindt men niet in deze boeken.
Onderaan dit cursiefje heb ik enkele foto's van paddestoelen aangebracht (zie bijlagen). Als bengel was ik sterk aangetrokken door het geheimzinnige dat van deze organismen, die "des duivels" waren, want gebruikt door toverkollen.
(Hoofdstuk 6 Wetenschappen in het Lager Primair Onderwijs)
§ 6.2 Natuurkennis: Moeder Natuur als leerschool
Wat de biowetenschappen betreft werden er althans in de Broedersschool- voor de leerlingen van het derde studiejaar en hoger- wandelingen in de vrije natuur ingericht. Deze wandelingen, in feite een soort botanische of zoologische excursies, werden geleid door Broeder Carissimus en gingen door gedurende de vakantie alsook op sommige Donderdagnamiddagen, wanneer wij vrijaf hadden.
Het is deze Broeder Carissimus (den Grijzen) die mij voor het eerst iets heeft geleerd over paddestoelen en schimmels, paardenstaarten en varens, veld- en weidebloemen, over slootbaarsjes en salamanders, over giftige planten en bessen, over spinnen en hommels. Ook wist hij telkens onze weetgierigheid te prikkelen door bij elke interessante plant, boom of struik een verhaaltje of legende te vertellen.
Enkele van die verhaaltjes heb ik zelfs later kunnen terugvinden in het « Compendium van Rituele Planten in Europa » (Marcel De Cleene en Marie-Claire Lejeune Uitgeverij Mens en Cultuur -1999-).
Waar den Grijzen zijn kennis vandaan haalde weet ik niet; ik vermoed dat sommige artikeltjes getekend Karel De Wolf(1) uit het tijdschrift Biekorf (2) hem hierbij geholpen hebben. Hij was in alle geval een verwoed lezer van dit tijdschrift. Het is ook goed mogelijk dat hij rechtstreekse contacten had met Paul Vande Vyvere (1897-1973), een zeer bekend apotheker-botanicus in het Brugse en een gewaardeerd lid van de Belgische Pharmacopee Commissie. Apotheker Vande Vyvere had een officina in de Hoogstraat in Brugge en genoot wegens zijn grote botanische kennis grote vermaardheid zelfs op internationaal vlak. Van hem komt immers de uitspraak: Door de jeugd in staat te stellen dergelijke ongerepte terreinen te bezoeken en er de vredige schoonheid van te genieten, prikkelen wij de belangstelling voor alles wat met de natuur verband houdt en leggen wij de nodige kiemen voor de vorming van nieuwe wetenschappers .
Wat er ook van zij, door toedoen van deze minzame Broeder heb ik voor het eerst enige planten (veelal bestempeld als onkruid) leren herkennen en een naam weten te geven: het herderstasje, het kleine en grote hoefblad, de krul- , speer- en akkerdistel, de grote en smalle weegbree, de brandnetel en de witte dovenetel, de paardenbloem, het madeliefje, de klaproos en de korenbloem, de stinkende gouwe, het boerenwormkruid . Bomen en struiken werden niet vergeten en zo leerden wij iets over de vlierboom, de hazelaar en de notelaar, de beuk en de eik , de iep en de es, de (witte) paardenkastanje en de tamme kastanje, waarvan de vruchten van de eerste niet van de tweede wél kunnen gegeten worden. Broeder Carissimus waarschuwde ons ook uitdrukkelijk voor giftige planten zoals vingerhoedkruid, monnikskap.
Tuinbloemen zoals dahlias, geraniums, rozen en klassieke kamerplanten zoals vetplanten en cactussen succulenten (4) - (kwamen wij op onze botanische excursies niet tegen en werden uiteraard ook niet besproken.
Mijn eerste tuinbloemen en kamerplanten heb ik maar leren kennen bij mijn speelkameraad Eddy Paret, want hij had het geluk te wonen in een semi-cottage met een veranda en een bloementuin van ongeveer 100 m². Op de vensterbank van de veranda stonden enkele egelcactussen (Echinocereus-soorten), een paar sanseverias en - als ik me niet vergis - ook een reeks crassulas, die donderplantjes genoemd werden. De tuin-zelf was afgezoomd met stinkerdjes (Tagetes) waarvan wij zo maar de bloemen plukten, om ze wat beter te kunnen bekijken en te onderzoeken.
Die zogezegde bloemen waren in feite bloemhoofdjes. Stinkerdjes behoren immers tot de zeer uitgebreide familie der Composieten (4) en die hebben een erg ingewikkelde bloeiwijze (bloemhoofdjes). Maar daar gaf ik mij nog geen rekenschap van. Deze wetenschap deed ik maar eerst op bij professor Verplancke (een examenvraag!) maar dit is voor blog III.
Buiten deze wereld vol wondere dingen waar er voor bengels nog heel wat te ontdekken viel, bestond er echter ook nog een andere onvermoede microscopische wereld, die minstens even interessant was. Het was door het zien van een film in de Gilde ik geloof in 1948- dat ik voor het eerst met bestaan van deze microscopische wereld geconfronteerd werd. De titel van de film ben ik helaas vergeten, maar ik herinner mij nog zeer goed een bepaalde scène. De hoofdacteur had zich een microscoop (6) aangeschaft en begon deze uit te testen terwijl hij aan tafel brood met kaas at. Dat bracht hem op het idee om ook eens een klein stukje kaas onder de microscoop te bekijken. Wat hij had gezien moest wel erg schokkend geweest zijn, want op slag liet hij brood en kaas links liggen. Wat hij met zijn microscoop precies had waargenomen heeft mij jaren lang geïntrigeerd.
Een microscoop stond van dan af op mijn verlanglijstje, maar deze jeugddroom heeft zich maar eerst op veel latere leeftijd gerealiseerd. Microscopie en vooral fluorescentiemicroscopie heeft overigens in mijn loopbaan een belangrijke rol gespeeld.
Vanaf het zesde en zevende studiejaar (Meester Albert Depoortere en Meester Berghmans Sint Lodewijkscollege) was er voor het eerst het vak « Natuurkennis ». En daar leerden wij iets over de zoogdieren (kat (6) , hond (7) , vleermuis (8) ), de vogels (zwaluw (9) , uil (10) , specht (11) ) en de amfibieën (kikkers, padden (12) ), waarbij de nadruk werd gelegd op de nuttige functie van deze dieren.
Over de voortplantingswijze van de eerste groep dieren werd met geen woord gerept; daarentegen werd wel enigszins ingegaan op deze van de laatste groep en werd er bvb gesproken over kikkervisjes. Het onderwerp voortplanting bij zoogdieren was immers in die jaren van overgebleven Victoriaanse preutsheid taboe. Maar bengels van het platteland wisten zeer goed hoe de vork aan de steel zat.
Het interessante van deze lessen was wel dat de Meester een einde maakte aan bepaalde fabeltjes en korte metten maakte met toen alom verspreid bijgeloof betreffende deze dieren. Zo waren de groene kikkers uit onze beken en grachten helemaal niet giftig, veroorzaakten die lelijke padden helemaal geen wratten en waren nachtdieren als de uil en de vleermuis helemaal niet des duivels (zie voetnotas: (6) tot (12)).
Over exotische dieren, leeuwen en tijgers, olifanten en giraffen, nijlpaarden en krokodillen, kamelen en struisvogels werd helemaal niets verteld. Voornoemde dieren behoorden immers niet tot ons eigen leefmilieu en dus werden ze niet in het leerplan opgenomen. Nochtans waren het juist deze dieren, die de schoolbengel het meest interesseerden, want ze deden denken aan verre, exotische landen en gevaarlijke avonturen. In onze verbeelding waren leeuwen zeer machtig, tijgers uiterst bloeddorstig, krokodillen erg verraderlijk, olifanten ongelooflijk sterk Wij vroegen ons dan ook af, of bvb een leeuw het zou moeten afleggen tegen een beer, of een leeuw sterker was dan een tijger enz. enz. Onze fantasie werd geprikkeld door de schitterende chromos en prentjes, die toen o.a. door Liebig (13) en Artis (14) uitgegeven werden. Ook vele chocoladefabrikanten zoals Victoria (15) en Martougin (16) lieten zich op dat vlak niet onbetuigd en wij vonden ook dergelijke prentjes in sommige chocoladerepen.
Natuurlijk volgde de totale ontnuchtering toen wij ook de dieren in werkelijkheid zagen. Zo herinner ik mij een zwarte beer gezien te hebben bij een schoolreis in 1948 naar het Melipark in Adinkerke. Het arme beest was opgesloten in een enge kooi, waar het amper enkele passen kon zetten, wat het dan ook voortdurend deed. Het beeld van deze voortdurende heen en weer bewegende beer is mij jaren bijgebleven en zo ben ik geleidelijk tot het besef gekomen, dat dieren niet thuis horen in een kooi en op zijn minst toch een illusie van vrijheid moeten hebben.
Toen ik in 1951 bij een andere schoolreis de Antwerpse Zoo (17) mocht bezoeken en hier eveneens in een kooi opgesloten dieren, waaronder enkele primaten, mocht bewonderen was voor mij de kous af. Niet alleen merkte ik aan hun blik, dat ze niet erg opgetogen (eufemisme) waren over hun situatie, maar ook was iets ondefinieerbaar iets triestigs in die ogen. Vele jaren later, ben ik tot besef gekomen dat ook dieren hun gevoelens hebben en bvb verdriet kunnen hebben. En dat in tegenstelling met de gangbare mening van toen .
(3) Succulenten zijn die planten die op de een of andere wijze het vermogen hebben om water (vocht) in speciale weefsels op te slaan. Stamsucculenten doen dat in een verdikte stengel of stam ( de meeste cactussen en Euphorbia's), bladsucculenten doen dat in verdikte bladeren (Crasulla, Echeveria, Agave) en wortelsucculenten doen dat uiteraard in hun ondergrondse delen (Pterocactus tuberosus). Alle cactussen vormen de cactusfamilie (Cactaceae). De niet cactussen noemen we meestal vetplanten, hoewel we eigenlijk sapplanten zouden moeten zeggen, deze komen in diverse families voor zoals de middagbloemfamilie, de dikbladfamilie (Crasullaceae), de zijdeplantfamilie en de wolfsmelkfamilie (Euphorbiaceae).
(Hoofdstuk 6 "Wetenschappen in het Lager Primair Onderwijs")
§ 6.1 Fysische Mechanica : de eerste schreden
Met de Natuurkunde en i.h.b. met wat men heden de fysische mechanica(1) noemt, kwamen wij al in aanraking in de Broedersschool via de lessen Metriek Stelsel(2) .
Een Broeder Carissimus en een Meester Hillewaert probeerden immers ons, via hun uiteenzettingen over het Metriek Stelsel, de fysische noties lengte, massa en gewicht, tijd alsook enkele afgeleide begrippen als soortelijk gewicht en dichtheid bij te brengen.
Ik schreef probeerden want vergis u maar niet beste lezer: fysische basisconcepten zoals bvb massa en gewicht zijn erg moeilijk te vatten (3) .
Bij Broeder Carissimus (derde leerjaar) beperkte dit fysisch wetenschappelijk onderricht zich tot een eerste fundamentele fysische grootheid, de lengte en tot een eerste benadering van de afgeleide grootheden oppervlakte en inhoud of volume en de hierbij horende eenhedenstelsels. Als oppervlakte- respectievelijk inhoudsmaat werden hier de niet-metrische eenheden, de are (symbool a) en de liter (symbool l of beter L -zie verder-) en de secundaire eenheden hiervan afgeleid besproken.
Bij Meester Hillewaert (vierde en vijfde studiejaar) was er een tweede meer grondige benadering van de begrippen oppervlak en volume ( mogelijk gemaakt door de lessen "Vormleer") en de metrische oppervlakte en volumematen. Vervolgens kwamen de andere fundamentele fysische grootheden als massa engewicht met hun diverse eenhedenstelsels aan bod.
Het metriek stelsel of metrische systeem gebruikt de meter als rekeneenheid voor lengte, oppervlakte en inhoud, in tegenstelling tot het oudere systeem, dat met duimen, ellen en voeten werkte. Lengte, oppervlakte en inhoud hebben op deze wijze dezelfde basiseenheid, waardoor omrekenen veel eenvoudiger wordt. In de Angelsaksische landen wordt tot op heden het (gestandaardiseerde) Voet systeem (4) nog steeds gebruikt en de voet treedt hier dan eveneens als basiseenheid voor lengte, oppervlakte en inhoud op. Het probleem met het voetsysteem was echter dat de voet qua afmetingen naargelang het land, streek of stad verschilde waardoor een internationale afspraak betreffende een gestandaardiseerde afmeting van de voet onmogelijk bleek te zijn. Ieder land of stad hield aan zijn voet. Een houtsnede van Jacob Koelbel (1575) maakt dit duidelijk. Deze houtsnede laat zien hoe de gemiddelde lengte van de voet bepaald werd in het Duitsland van de 15de of 16de eeuw. Een dergelijke wijze van bepaling sluit natuurlijk iedere vorm van standaardisatie uit.
Het Metriek Stelsel, gebaseerd op een internationale lengte-eenheid, de meter (5) , laat nu echter wel standaardisatie toe en bovendien was dit stelsel gebaseerd op een verhouding van 1/10 tussen opeenvolgende afgeleide lengte-eenheden (decimaal systeem). Dit systeem werd ontwikkeld in Frankrijk op het einde van de 19de eeuw en in het onafhankelijke België pas verplicht door de wet van 11 juni 1836. In het toenmalige Verenigd Koninkrijk der Nederlanden dat Nederland, België en het Groothertogdom Luxemburg omvatte werd het Metriek stelsel verplicht in 1816 en in Frankrijk maar vanaf 1837.
In sommige landen, waaronder een grootmacht als de Verenigde Staten, wordt het metrische systeem nog steeds niet als wettelijke standaard erkend, wat aanleiding heeft gegeven tot enkele problemen. In 1983 kwam een vliegtuig van Air Canada tijdens de vlucht zonder brandstof te zitten door hantering van het verkeerde systeem bij controle van de hoeveelheid kerosine In 1999 is er zelfs een dure ruimtesatelliet, nl. de Mars Orbiter, verloren gegaan omdat de software voor het ene stelsel geschreven was en de beoogde hoogte waar de satelliet naar toe gestuurd werd in het andere stelsel ingetypt werd...
1° het fysisch concept lengte en de lengtematen
Het woord "lengte" (longueur) heeft volgens de woordenboeken (van Dale, Larousse) diverse betekenissen. In de Natuurkunde echter wordt lengte wellicht het best gedefinieerd als « de uitgebreidheid van een voorwerp of lichaam van het ene uiteinde naar het andere uiteinde ». Stelt men deze uiteinden door twee punten voor dan is, uit meetkundig oogpunt, deze uitgebreidheid de afstand tussen twee punten.
Lengte is uit natuurkundig oogpunt een intuïtief begrip dat pragmatisch moet behandeld worden. Zoals voorgeschreven door Herbiet s boek LArithmétique dans la Vie pratique, dat ook het Metriek Stelsel behandelde, was het onderricht van Broeder Carissimus dan ook erg pragmatisch ingesteld. Overigens was dit boek, bestemd voor de onderwijzer, duidelijk geïnspireerd door de onderwijsmethodes van de Broeders Salesianen, een congregatie verwant -qua betrachtingen en doeleinden- aan de Broeders van Liefde.
De leerstof was dus op het dagdagelijkse leven gericht en behoorde om zo te zeggen tot ons eigen leefmilieu. In het derde leerjaar kwamen zoals reeds aangegeven de lengte-, oppervlakte- en volume-eenheden een eerste maal aan bod en wel uitgewerkt volgens het decimale stelsel; voorts werden de diverse instrumenten om lengten te meten aangegeven.
- Begonnen werd met de metrische lengtematen (km, hm, dam, m, dm, cm, mm) waarbij het gebruik van liniaal, lat, stok-, plooi- en lintmeter, als meetinstrumenten werd toegelicht. De liniaal en de lat hadden, behoudens strafinstrument , blijkbaar ook nog andere toepassingen. De lint- en stokmeter werden gebruikt door de kleermaker en de behanger en de plooimeter zo wat door iedere ambachtsman De micrometer of palmer (6) was dan weer het instrument om kleine lengten te meten.
De centrale lengtemaat was de meter van waaruit de secundaire lengtematen afgeleid werden telkens in de verhouding 10/1 en 1/10. Deze verhoudingen werden aangegeven door de voorvoegsels k (kilo = 1000 of 10³), h (hecto = 100 of 10²), da (deca = 10), d (deci = 1/10 of 10-1 ), c (centi = 1/100 of 10-2 ), m (milli = 1/1000 of 10-3 ). Aan de meter als lengtestandaard is een ganse historiek verbonden (5) :
Oorspronkelijk werd in 1791 de meter door de Franse Academie van Wetenschappen gedefinieerd als het tienmiljoenste deel van de afstand van de noordpool tot de evenaar, gemeten op zeeniveau, langs de meridiaan van Parijs. Nadat in 1798 de meridiaanmeting voltooid was werd in 1799 een nieuwe standaard vastgelegd, nu volgens de zojuist bepaalde meridiaanlengte. Deze "mètre des Archives" is gemaakt van platina. Toen deze later 0,2 mm te kort bleek te zijn vanwege een rekenfout in de afplatting van de aarde werd de standaard niet gewijzigd.
In 1875 richtte de internationale Metervergadering (Convention du Mètre) een permanent Internationaal Bureau voor Maten en Gewichten (Bureau International des Poids et Mesures) op in Sèvres. Een nieuwe standaardmeter werd vervaardigd. Op de eerste CGPM (Conférence Générale des Poids et Mesures) werd in 1889 de meter gedefinieerd als de afstand tussen twee inkepingen op een staaf van 90% platina en 10% iridium, de zogenaamde X-meter, die in Sèvres wordt bewaard. De opzet was een scherper gedefinieerde meter te verkrijgen; de lengte bleef ongewijzigd.
Het was deze laatste standaard, waarop Broeder Carissimus beroep deed en die van toepassing was tot 1960. In 1983 is GPCM overgegaan op een nieuwe standaard, waarover later meer.
- Na de lengtematen kwamen de gebruikelijke oppervlaktematen uit de landmeetkunde (ha, daa, a, da, ca) aan de beurt. Voor scholieren uit landelijke gemeenten een weloverwogen en oordeelkundige keuze, want akkers, bos- en weigronden behoorden om zo te zeggen tot ons leefmilieu.
De centrale oppervlaktemaat was hier de are (symbool: a). De are (afgeleid van het Latijnse woord area) was een stuk grond van 10 m op 10 m d.i. 100 m² zoals we later bij Meester Hillewaert zouden leren. Uit deze centrale oppervlaktemaat werden net zoals bij de lengtematen, de secundaire oppervlaktematen afgeleid telkens in de verhouding 10/1 en 1/10 waarbij dezelfde voorvoegsels h, da, d en c) gebruikt werden.
In de practijk werden de eenheden deca-are en deci-are zelden gebruikt; daarentegen worden de eenheden hectare en centi-are en natuurlijk are nog steeds gebezigd o.m. in notariële akten.
- Vervolgens werd overgegaan tot de gebruikelijke inhoudsmaten ( hl, dal, l, dl, cl, ml), waarbij dan eindelijk het geheim van de cilindrische recipiënten die, achteraan het leslokaal, op een schab stonden opgehelderd werd. Om begrijpelijke redenen was dit schab op ongeveer twee meter hoogte aangebracht Dank zij dit stel recipiënten hadden wij een goed idee over de volumes die bvb een hectoliter, een decaliter, een liter of een deciliter vertegenwoordigden. De centrale inhoudsmaat voor vloeistoffen zoals water, bier, wijn enz. was de liter van waaruit, net zoals bij de lengtematen, de secundaire inhoudsmaten afgeleid werden telkens in de verhouding 10/1 of 1/10. Dezelfde voorvoegsels k, h, da, enz. werden hierbij gebruikt.
Volgens Wikipedia is de liter een inhoudsmaat die in het dagelijks verkeer veelvuldig wordt gebruikt om het volume van een vloeistof of een gas aan te geven. Hoewel het geen SI-eenheid is, wordt het gebruik ervan expliciet gedoogd door het Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). Het door het BIPM aanbevolen alternatief is om volumes in dm³ of m³ uit te drukken. De volumemaat liter dateert van 1793, toen hij in Frankrijk tijdens de Franse Revolutie werd ingevoerd. De naam liter (litre in het Frans) is afgeleid van een oudere Franse maat, de litron. Deze naam is oorspronkelijk Grieks en kwam via het Latijn in het Frans terecht. In de meeste landen wordt in de regel het symbool l voor liter gebruikt. Elders, voornamelijk in de wetenschappelijke literatuur, kan men ook het symbool L tegenkomen; zie deze uitleg. Dit wordt gedaan om verwarring met het cijfer 1 te voorkomen. .
Broeder Carissimus definieerde nu de liter volgens de toen geldende officiële normen zijnde het volume van 1 kilogram (massa-eenheid) zuiver water bij 4° C. Deze laatste officiële definitie dateerde van 1901 maar werd in 1964 (gelukkig) gewijzigd. Heden wordt de liter metrisch gedefinieerd : een liter is precies 1 dm³ . Sedert 1793 heeft de omschrijving van deze inhoudsmaat zich inderdaad een paar keer gewijzigd (7) !!!!
Deze definitie van 1901 was naar mijn gevoelen verantwoordelijk voor heel wat verwarring bij de schoolbengels: het was inderdaad echt geen goed idee om een inhoudsmaat te definiëren met behulp van een massa-eenheid van een bepaalde vloeistof!! Een andere niet-metrische inhoudsmaat, die o.m. eertijds in Vlaanderen werd gebruikt was de Pint ; in Engeland en de USA wordt nog steeds de Gallon als inhoudsmaat gebruikt.
Toestellen om volumes van vloeistoffen te meten waren de gegradueerde maatglazen of -bekers; voor het afmeten van precieze volumes werden pipetten en buretten gebruikt.
* * *
De lessen over lengte-, oppervlakte- en volume-eenheden, waren voor Broeder Carissimus nu het gedroomde voorwendsel om het te hebben over de decimale getallen. Het nut van het decimaal eenhedensysteem was ons plots zeer duidelijk geworden. I.p.v. te schrijven dat de lengte van een voorwerp bvb 2 m 5 dm 0 cm 8mm was, kon men deze verkort weergeven door een decimaal getal namelijk 2,508 m. Probeer dat maar eens met een voorwerp dat een lengte heeft van 2 voeten en 3 duimen. En met decimale getallen waren de klassieke rekenkundige bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) eenvoudig uit te voeren. Maar hoe was men op het idee van decimale maten gekomen?
Decimale getallen (ofte getallen met een "komma") ontstaan door een "staartdeling" (h) uit te voeren. Aanvankelijk ging het daarbij om de deling van een groter natuurlijk getal door een kleiner. Maar dan volgde ook het delen van een kleiner natuurlijk getal door een groter, waarbij decimale getallen kleiner dan een (bvb 0,0357...) ontstonden. Bij Broeder Carissimus werd geleidelijk aan de ganse logistiek van de hoofdbewerkingen van de natuurlijke getallen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) van het tweede leerjaar uitgebreid tot de decimale getallen. I.h.b. werd aangeleerd hoe men op een elegante manier, namelijk door het respecteren van enkele "komma-regels" deze bewerkingen analoog en op een perfecte manier kon uitvoeren.
Decimale getallen zijn in wezen een andere schrijfwijze van tiendelige of decimale breuken. Deze laatste werden, zoals iedere Bruggeling zou moeten weten, ingevoerd door Simon Stevin (1548-1620) in zijn boekje "De Thiende"(1586). De schrijfwijze van tiendelige getallen in "De Thiende" verschilt natuurlijk van onze huidige moderne schrijfwijze. Maar ook met de oude schrijfwijze werd het rekenen met breuken hierdoor zeer sterk vereenvoudigd.
Het is dan ook niet verwonderlijk dat het boekje van Stevin zowel in het Frans en het Engels vertaald werd. Simon Stevin is zoals we nog verder zullen zien ook erg belangrijk voor de Natuurkunde (hydrostatica). De man heeft een standbeeld in Brugge (zie begeleidende foto). Toch vind ik dat hier ten lande zijn prestaties niet voldoende belicht worden.
* * *
Vanaf het vierde leerjaar (Meester Hillewaert) werd nader ingegaan op de metrische oppervlakte- en volume- maten. De lessen Vormleer (d.i. Intuïtieve Meetkunde -zie vorige cursiefjes-) hadden ons geleerd wat onder vlak en ruimte, oppervlak en volume moet verstaan worden. Een vlak bezat een tweevoudige, een ruimte een drievoudige oneindige uitgebreidheid of dimensie. Een oppervlak was een omsloten vlak, een volume een omsloten ruimte. Een typische eigenschap van oppervlakken en volumes was dat ze konden gemeten worden d.i. qua grootte of omvang konden vergeleken worden met een ander oppervlak respectievelijk volume. Het (benoemd) maatgetal dat deze grootte weergaf werd respectievelijk oppervlakte van het oppervlak en inhoud van het volume genoemd.
Ook hadden wij geleerd hoe de oppervlakte te berekenen van meetkundige figuren als vierkant, rechthoek, parallelogram, trapezium, ruit, cirkel... en hoe de inhoud te bepalen van meetkundige lichamen als kubus, balk, parallellepipedum, pyramide, kegel, cylinder, bol... Deze berekeningen of bepalingen steunden op de kennis van bepaalde lijnsegmenten van de meetkundige figuur of lichaam (zijde, hoogte, basis, straal..). Voor het invoeren van de metrische oppervlakte- en inhoudsmaten werden natuurlijk de meest eenvoudige meetkundige figuur (vierkant) en lichaam (kubus) gekozen. Het volstaat immers de lengte van zijde z van het vierkant respectievelijk van de kubus te kennen om de oppervlakte van een vierkant (Svierkant = z² ) en de inhoud van een kubus (Ikubus = z³ ).
-De metrische oppervlaktematen ontstonden door achtereenvolgens z gelijk aan 1 km, 1 hm, 1 dam, 1 m, 1 dm, 1 cm, 1mm te stellen. Deze oppervlaktematen werden voorgesteld door de symbolische afkortingen km², hm², dam², m², dm². Door toepassen van de oppervlakteformule Svierkant = z² volgt dat de verhouding van twee opeenvolgende metrische oppervlaktematen gelijk is aan de verhouding 100/1 of 1/100.
-De metrische inhoudsmaten ontstonden door achtereenvolgens z gelijk aan 1 km, 1 hm, 1 dam, 1 m, 1 dm, 1 cm, 1mm te stellen. Deze inhoudsmaten werden voorgesteld door de symbolische afkortingen km³, hm³, dam³, m³, dm³, cm³, mm³. Door toepassen van de inhoudsformule Ikubus = z³ volgt dat de verhouding van twee opeenvolgende metrische inhoudsmaten gelijk is aan 1000/1 of 1/1000.
Het verband tussen de gebruikelijke en metrische oppervlakte en inhoudsmaten volgt uit de definitie van de are (1 are = 1 dam² = 100 m²) en de moderne definitie van de liter (1 L = 1 dm³). Onderstaande tabel geeft de onderlinge verbanden weer:
km²
km³
hm²
hectare
hm³
dam²
are
dam³
m²
centiare
m³
kiloliter
dm²
dm³
liter
cm²
cm³
milliliter
mm²
mm³
Andere afgeleide metrische lengtematen zoals bvb micrometer (µm), de nanometer (nm) en hun overeenkomstige metrische oppervlakte- (µm², nm²) en inhoudsmaten (µm³, nm³) kwamen in de lagere school niet ter sprake. Deze maten lagen buiten ons ervaringsgebied.
2° de fysische concepten massa en gewicht en de gewichtsmaten
In het vierde en vijfde studiejaar werden de internationale gewichtsmaten of beter massamaten behandeld. Het precieze onderscheid tussen massa en gewicht van een lichaam of voorwerp is in de Natuurkunde van het grootste belang en voor de meeste scholieren was dit onderscheid de eerste grote struikelblok op de weg tot de Natuurkunde.
De massaM van een voorwerp of lichaam werd bij Meester Hillewaert eenvoudig gedefinieerd als de "hoeveelheid stof of materie" die het voorwerp bevatte. Voor iemand, die al vertrouwd was met enkele begrippen uit de chemie, een zeer eenvoudige en begrijpbare definitie. En ja, dank zij de lessen van apotheker Versailles en het boek « Gij en de Chemie », die ik uit de bibliotheek van mijn vader "geleend" had (zie mijn eerste cursiefje), begreep ik zeer goed wat Meester Hillewaert met massa bedoelde .
Het concept massa is echter in werkelijkheid een moeilijk begrip, dat zich in de loop der eeuwen heeft ontwikkeld (8) uit filosofische en theosofische beschouwingen, maar dat was natuurlijk geen voer voor schoolbengels.
Massa als « quantitas materiae » wordt ook nog zwaartemassa genoemd en moet in principe onderscheiden worden van traagheidsmassa « vis inertiae », het massabegrip dat men ontmoet in de dynamica.
Het begrip "traagheidsmassa" werd door Isaac Newton, een figuur waarover ik het nog vele malen zal hebben, ontwikkeld en diezelfde Newton heeft experimenteel aangetoond dat beide soorten massa equivalent zijn en door eenzelfde getal uitgedrukt kunnen worden (9) .
In de Lagere School hield men het dus maar eenvoudigheidshalve bij zwaartemassa, maar het leek mij toch aangewezen hier al even te vermelden dat er ook zoiets als traagheidsmassa bestaat.
Gewicht(10) werd door Meester Hillewaert gedefinieerd als de zwaarte van een voorwerp d.i de kracht G , die de Aarde op het lichaam uitoefent en die verantwoordelijk is voor het vallen van lichamen. Massa en gewicht zijn dus wel degelijk verschillende fysische grootheden, die principieel op een verschillende manier d.i. met verschillende instrumenten gemeten worden.
Een idee van de grootte van deze kracht (ook nog zwaartekracht genoemd) verkrijgt men door een vast lichaam of voorwerp op te tillen. Hoe zwaarder het voorwerp, hoe meer spierkracht men moet ontwikkelen. Herbiet gaf inderdaad in zijn boek de raad het woord soupeser te gebruiken om het intuïtief begrip "kracht" te verduidelijken.
Laat ik echter even stil te staan bij enkele noties, die in de formulering van het concept "gewicht" vermeld worden. Vooreerst is er het begrip vast lichaam.
Vaste lichamen hebben een vaste vorm en een vast volume, vloeistoffen hebben een vast volume en geen vaste vorm, gassen bezitten noch vaste vorm, noch vast volume en trachten steeds het grootst mogelijke volume in te nemen. Eenzelfde stof zoals water bvb kan onder deze drie vormen (aggregatietoestanden genoemd) voorkomen: ijs, vloeibaar water en waterdamp.
Van uit fysisch oogpunt kunnen vaste lichamen ingedeeld worden in homogene en heterogene lichamen. De term homogeen betekent in zijn algemeenheid zoiets als "overal gelijk". Het tegenovergestelde is heterogeen. In de natuurkunde betekent deze term dat de eigenschappen van ieder deel van het lichaam identiek zijn qua samenstelling en onafhankelijk van de positie (11) . Zo is een blok massief hout of ijzer een homogeen, een uitgehold blok gevuld met lucht of water een heterogeen lichaam.
Een vast lichaam kan onder diverse geometrische vormen voorkomen. Bij een wetenschappelijke studie wordt steeds eerst het meest eenvoudige geval onder de loep genomen, in een volgende stap worden deze studie dan uitgebreid tot meer ingewikkelde gevallen. Voor een beginstudie in de fysische mechanica is dan ook, omwille van de symmetrie-eigenschappen, het bolvormige lichaam als studieobject aangewezen. Vervolgens kan men uitbreiden tot andere meetkundige vormen (kubus, balk, cylinder etc.).
Een ander belangrijk fysisch begrip is de notie « kracht ». Eenieder is wel min of meer vertrouwd met het intuïtieve begrip kracht, dat, zoals ieder verklarend woordenboek leert, verschillende betekenissen kan hebben. Het begrip "spierkracht" ("force" in de taal van de schoolbengel) was natuurlijk iedere schooljongen bekend en het was uiteraard geen toeval dat Meester Hillewaert ons vroeg gewichten van 5, 10 en 20 kg massa op te tillen.
Zodoende ondervonden wij aan de levende lijve dat er zoiets als de zwaartekracht bestond : elk gewicht werd door de Aarde aangetrokken in een richting bepaald door het schietlood en in een zin naar het middelpunt van de Aarde toe. Om deze aantrekkingskracht te neutraliseren dienden wij al onze "force" in dezelfde richting doch in tegengestelde zin te gebruiken. Zo ondervonden wij dat kracht niet alleen gekarakteriseerd was door een grootte, maar ook door een richting en zin.
In de mechanica wordt kracht (symbool F ) nu algemeen gedefinieerd als een grootheid die in een lichaam een spanning of druk verwekt, die resulteert:
-óf in een vervorming van dit lichaam (het uitrekken of samendrukken van een veer); deze vervorming kan uiteraard dienen voor het meten van een kracht en een dergelijk meettoestel wordt dynamometer genoemd)
- óf die het beschouwde lichaam doet bewegen (en wel volgens de dynamica van Newton op versnelde of vertraagde wijze).
In het eerste geval spreekt men van een « statische », in het tweede geval van een « dynamische » benadering van het begrip kracht.
Kracht is, zoals de ervaring leert, een grootheid die niet alleen bepaald wordt door een grootte maar ook door een richting en een zin: een zogenaamde vectorgrootheid. Een kracht die op een lichaam of object inwerkt wordt dan ook meetkundig voorgesteld door een pijltje waarvan de lengte de grootte, de helling de richting en de pijlzin de zin van de krachtwerking aangeeft.
Statische krachten kunnen gemeten worden met een dynamometer (krachtmeter). De meting bij mechanische dynamometers berust op het samenpersen of uitrekken van een veer, waarbij de grootte van het persen of het uitrekken recht evenredig is met de kracht uitgeoefend op de dynamometer.
Een kracht wordt aangegeven met een pijl boven de letter F of door een vetgedrukte letter: F waarbij F dan de grootte van de kracht voorstelt.
De zwaartekracht (symbool G of Fg ) was de natuurkracht die de zware lichamen op het aardoppervlak hield.
Het was ook dezelfde zwaartekracht die verantwoordelijk was voor het vallen van lichamen. De studie van het vallen (de valbeweging) behoorde tot de kinematica en de dynamica en was stof voor later.
2.1 - het meten van gewichten:
Gewicht is, zoals gezegd een (statische) kracht en kan dus gemeten worden met een dynamometer. Een voorbeeld van een dynamometer, speciaal bedoeld en geijkt om gewichten te meten, is de veerunster.
Met dit toestel toont men experimenteel gemakkelijk aan dat het gewicht van een lichaam G (dus de zwaartekracht uitgeoefend op het lichaam) evenredig is met zijn (zwaarte)massa M, wat door een eenvoudige formule kan weergegeven worden : G = g x M .
In deze betrekking is g een evenredigheidsfactor, waarvan aangenomen wordt dat ze onafhankelijk is van de aard van het lichaam of voorwerp, maar die wel afhankelijk blijkt te zijn van de plaats op Aarde (breedtegraad, hoogte). Het gemeten resultaat zal dus afhangen van de plaats waar de meting uitgevoerd wordt. Zo is het gewicht van eenzelfde voorwerp verschillend aan de pool en de evenaar ; ook is het gewicht verschillend naargelang de hoogte van plaats (zee, bergen) waar de metingen gebeuren.
Wat de precieze betekenis was van deze evenredigheidsfactor g en i.h.b. hoe ze kon gemeten worden, kwam nog niet aan de orde. Uit de studie van de dynamica zou later blijken dat deze factor een benoemd getal was, zodat ook de kracht G door een benoemd getal en dus in een specifiek eenhedenstelsel kon uitgedrukt worden. Deze « dynamische » benadering ging echter het bevattingsvermogen van de schoolbengel ver te boven en Meester Hillewaert beperkte zich uiteraard tot de « statische » benadering en hield het dus maar bij de fameuze weeghaak of unster, want dit toestel behoorde tot onze leefwereld.
Marktkramers maakten in die jaren inderdaad zeer veel gebruik van een dergelijke veerunster of Weeghaak (in het frans peson genoemd). Een veerunster bestond uit een halfcilindrische doos, meestal uit messing, die een stalen schroefveer bevatte. Het boveneinde van de veer was stevig aan de doos bevestigd terwijl het andere uiteinde van de veer een haak droeg, die als aangrijpingspunt van de kracht fungeerde, die men wenste te meten. Bij de veerunster vergelijkt men niet-gelijksoortige krachten met name de zwaartekracht t.o.v. een veerkracht. Veerunsters zijn dus dynamometers (krachtmeters) en zijn dus toestellen die in eerste instantie gewichten meten en geen massas. Veerunsters geven dan ook een verschillend resultaat naargelang de plaats (breedtegraad en hoogte) van meting.
Vrijwel ieder huishouden bezat een dergelijk erg goedkoop en eenvoudig instrument. Als bengel heb ik ten andere deze weeghaak veelvuldig gebruikt.
Indien men met behulp van een unster het gewicht van twee lichamen 1 en 2 (referentielichaam) op dezelfde plaats meet dan heeft men natuurlijk:
G1 / G2 = M1 / M 2
M.a.w. op eenzelfde plaats op Aarde verhouden gewichten van twee lichamen zich als de massa's van de twee lichamen en kan de massa van een referentielichaam als maat dienen voor het gewicht van een ander lichaam. Als referentielichaam wordt hier dan de massa-eenheid (de kilogram) of een afgeleide massa-eenheid gebruikt en het toestel wordt dan geijkt in « kilogram-gewicht » en met een hierbij overeenstemmende aflezing voorzien.
Een dergelijke ijking en bijhorende aflezing is natuurlijk slechts geldig voor de aangegeven plaats en de veerunster zal voor hetzelfde lichaam op twee verschillende breedtegraden verschillende aanduidingen geven want g is immers afhankelijk van de plaats. Om deze reden maakt men dan ook een strict onderscheid tussen bvb « kilogram-gewicht » en « kilogram-massa ».
Het gebruik van massa-eenheden om gewichten aan te duiden, kan alleen maar verwarring scheppen en zou om deze reden het best vermeden worden.
2.2 - het meten van massa's:
Om de massa van een voorwerp of lichaam te meten kan men gebruik maken van twee soorten wel te onderscheiden toestellen: balansen en weegschalen of wegers. Dit onderscheid wordt in de practijk niet altijd gemaakt.
Balansen behoren tot een eerste categorie weeginstrumenten en zijn gebaseerd op het jukbeginsel (hefboom (12) van de eerste soort). Bij deze instrumenten wordt het aan de ene kant van het juk het voorwerp gehangen, waardoor het juk niet langer in evenwicht is. Een wipplank was bvb een "hefboom van de eerste soort" en wij wisten natuurlijk zeer goed wat met "in evenwicht" bedoeld werd. Mechanische balansen maken nu gebruik van een stel verplaatsbare gewichten of massastukken (voor meer details zie: massastuk ) om het juk terug in evenwicht te brengen. Door het verplaatsen of verschuiven van deze massa's of gewichten wordt de balans in evenwicht gebracht.
Balansen vergelijken in eerste benadering de "zwaarte" d.i. het gewicht van twee voorwerpen d.i. de zwaartekracht uitgeoefend op de twee voorwerpen en wel op dezelfde plaats op Aarde.
-Voor balansen met een gelijkarmig juk is er evenwicht wanneer geldt:
Mx . gx = Ma . ga (Mx en Ma stellen de massa's bij evenwicht voor van respectievelijk het te wegen voorwerp x en het massastuk a ; verder is gx = ga ) Bij evenwicht geldt dus: Mx = Ma
Wat men dus vergelijkt zijn de massa's (hoeveelheden materie) en niet de zwaartekracht op deze massa's uitgeoefend. Met balansen meet men massa's, wat verklaart dat het resultaat niet langer afhangt van de plaats op Aarde. Logischerwijze zou men het hier dus moeten hebben over massa-metingen, maar tot op heden wordt nog dagelijks de foutieve term gewicht voor massa gebruikt.
- Voor balansen met een ongelijkarmig juk met armlengtes respectievelijk x en a geldt:
Mx . x . gx = Ma . a . ga
Bij evenwicht geldt hier daar gx = ga : Mx . x = Ma . a
Voorbeelden van mechanische balansen bestonden in die tijd in verschillende maten, variëteiten en uitvoeringen (13) .
Het oudste type van mechanische balans was de Romeinse balans of unster(14) , een toestel dat al in de Oudheid dienst deed. Dit toestel werd in de Iron Fifties niet alleen door de marktkramers maar ook door ambulante handelaars gebruikt. Het juk van deze balans bestond uit twee armen van ongelijke lengte. Aan de kortste arm wordt het te wegen handelswaar gehangen, aan de langste arm hangt een gewicht dat vrij kan bewegen over die arm. Om een groot bereik aan gewichten te meten, kon de unster aan verschillende haakjes opgehangen worden, voor lichte dingen bevond de haak zich relatief ver van het te wegen product, bij zware dichterbij.
Wat de balansen met een gelijkarmig juk betreft, de zogenaamde trébuchet-balansen, waren er twee types in zwang respectievelijk mét en zonder "ruststand". Balansen zonder ruststand werden nog in het begin van de 19de eeuw gebruikt en begeleidende foto toont een magnifiek exemplaar uit de napoleonistische tijd. Balansen met ruststand kunnen op een dergelijke manier gebouwd worden dat ze zeer kleine gewichten (massa's) kunnen meten. Men spreekt dan van semimicro-balansen.
Bij de goudsmid aan de Sint Katarina-kerk en bij apotheker Versailles werden dit type balansengebruikt voor het wegen van milligrammen. Balansen met "ruststand" werden door niemand minder dan Antoine Lavoisier (1743-1794) geïntroduceerd.
Deze balans bestond uit een gelijkarmig juk, beweegbaar om een vaste as, zijnde de ribbe van een driezijdig stalen prisma dat men mes noemde. Dit mes rustte in een kussen van gepolijst staal of van agaat. Op de uiteinden van het juk waren eveneens twee stalen messen ingebouwd, evenwijdig met en symmetrisch t.o.v. het eerste. Deze twee messen droegen door tussenkomst van haken, voorzien van stalen of agaten kussens, twee even zware schalen. Het uiteinde van een zeer lange naald, de wijzer genoemd, bewoog zich tegenover een kleine schaalverdeling, wat toeliet de evenwichtspositie te schatten. Typisch voor deze Trébuchet balansen was dat de balans op een eenvoudige manier in ruststand kon gebracht worden, waardoor de messen van de balans alleen gedurende korte tijd belast werden namelijk gedurende de eigenlijke weging.
Apotheker Versailles, die mij op dat ogenblik de eerste beginselen van de chemie leerde, toonde mij niet zonder enige trots zijn prachtige semimicrobalans. Het juk van deze precisiebalans was toppunt van comfort- voorzien met een kleine ketting, die de gebruikelijke klassieke ruitergewichtjes verving. Iedereen, die met een semimicrobalans wegingen heeft uitgevoerd, heeft wel ervaren dat deze ruitertjes echte pestkereltjes zijn. Mijn vriend apotheker was hiervan op de hoogte en had geopteerd voor perfectie.
Andere balansen waarover Meester Hillewaert het nog had waren de brugbalans van Quintenz (bascule) en de personenbalans. Beide toestellen zijn eveneens gebaseerd op het hefboombeginsel (ongelijkarmig juk) en gebruiken schuifgewichten om het juk in evenwicht te brengen. Een personenbalans (niet te verwarren met een personenweegschaal of-weger) stond vroeger in practisch elke apotheek. Om het toestel in werking te stellen moest men eerst één frank in een gleuf brengen en vervolgens met het verschuiven van gewichten het evenwicht instellen. Meestal was het de apotheker, die deze operatie uitvoerde.
Hoe een bascule precies werkte was misschien minder evident, maar toch was ook hier overduidelijk dat hefbomen de hoofdrol speelden. Bij de patattenboeren bvb was een dergelijke balans onontbeerlijk en herhaaldelijk heb ik Boer Van Mullem met een dergelijke toestel aardappelen of bieten zien afwegen.
Als absolute standaard van gewichtseenheid (lees massa-eenheid) werd het kilogram (kg) (15) zijnde het gewicht (lees massa) van een platina-iridium (90/10) cilinder met een hoogte en diameter van 39,0 mm genomen. Deze absolute standaard wordt op het Bureau International des Poids et Mesures in het Franse Sèvres bewaard en van deze standaard werden uiteraard enkele nationale kopieën vervaardigd.
Het was Meester Hillewaert echter voornamelijk om de praktische afgeleide decimale gewichtseenheden (lees: massa-eenheden) met name hg, dag, g, dg, cg, mg te doen. Voorts ging hij wat dieper in op de verschillende types balansen of wegers en zijn commentaar op de diverse toestellen is mij steeds bij gebleven. Ter illustratie van zijn lessen, liet hij ons enkele ijkgewichten (lees: ijkmassas) zien. Ook mochten wij onze force proberen op een gietijzeren gewicht (massa) van 20 kg.
Weegschalen of wegers zijn gebaseerd op min of meer gecompliceerde hefboomsystemen al dan niet met tegenwicht. Kenmerkend voor weegschalen of wegers is dat de schalen zich boven het juk bevinden i.p.v. onderaan zoals bij balansen het geval is. Voor vele weegschalen of wegers is -in tegenstelling met de balansen- geen stel gewichten of massastukken nodig.
Gewone weegschalen (ook nog Roberval(16) - weegschalen genoemd) waren bij alle winkeliers (o.a. kruideniers, groenten- en ijzerwinkels) aanwezig, want in de Iron Forties werden nog zeer vele producten in bulk verhandeld. Bij onze Marie (kruidenierster) en In de Lelie (groentewinkel) waren bvb gedroogde bonen en erwten in jute zakken opgeslagen. Appelsiroop, bruine zeep, nagels, ijzerdraad werden in die jaren alleen verhandeld in bulk. Al deze producten werden net zoals aardappelen, peren, kersen altijd afgewogen op een Roberval, een weegschaal die ontwikkeld is door de Franse wiskundige Gilles Personne de Roberval (1602-1675). De gewone weegschaal werkt eveneens volgens het jukhefboomprincipe, maar de schalen bevinden zich (verschil met de trébuchet- balansen) boven het juk. De weegposities worden door de parallelle raamconstructie horizontaal gehouden. De nauwkeurigheid is niet al te groot door de wrijving van de constructieassen.
Béranger -balansen (een verbeterde versie van de Roberval balansen), lagen aan de basis van wat men later de semiautomatische balansen is gaan noemen. Een semiautomatische balans (van het bekende merk Berkel) werd bij Marie gebruikt voor dure producten als kaas, hesp en dito. Dezelfde Berkel weegschalen waren ook te vinden bij de slager of in de zuivelwinkel. Slagers, spekslagers en zuivelwinkeliers hadden de gewoonte ribbetjes, rundvlees of een mot boter met een weids gebaar op de weegschaal te meppen om dan snel vóór evenwicht- de waar van de weegschaal te nemen. De bedoeling was uiteraard enkele grammetjes te winnen. Maar de klanten lieten zich niet bedotten. Dank zij de lessen van Meester Hillewaert, liet ik mij, ofschoon amper 10 jaar, al evenmin bedotten.
Voorbeelden van andere weegschalen, gebaseerd op een hefbomensysteem met tegenwicht waren bvb: de keukenweegschaal , de personenweegschaal , en de briefwegers, toestellen, die men in elk postkantoor kon aantreffen.
Brievenwegers, ja daarmede was ik wel vertrouwd want mijn vader bezat een dergelijk toestel, dat op drie poten stond en waarvan het veersysteem, met tegengewicht en aanwijzer duidelijk zichtbaar waren. Het werkingsprincipe van de brievenweger lag zo duidelijk voor de hand dat je wel echt een stommeling moest zijn om het werkingsmechanisme van dit toestel niet te begrijpen. Maar begrijpen of niet, bij mijn vader luidde de boodschap: blijf met uw poten van dit toestel af.
Heden worden echter in hoofdzaak elektronische balansen gebruikt waarbij dan niet-gelijksoortige krachten (zwaartekracht t.o.v. electrische krachten) vergeleken worden. Maar in die jaren was er nog geen sprake van dergelijke balansen. Elektronische balansen hebben een ware revolutie in het wereldje van het "wegen" veroorzaakt en zullen later besproken worden.
2.3 - de verhouding gewicht of massa tot volume van een lichaam: het begrip dichtheid
Gewicht, massa en volume zijn eigenschappen die een lichaam met bepaalde chemische samenstelling fysisch karakteriseren. Vandaar het invoeren van nieuwe begrippen als soortelijk gewicht (γ) en soortelijke massa (μ) voor dergelijke lichamen.
De soortelijke of specifieke massa van een lichaam is de massa van de volume-eenheid van dit lichaam. Als M de massa van een volume V van dit lichaam voorstelt dan heeft men: µ = M/V
Het soortelijk of specifiek gewicht van een lichaam is het gewicht van een volume-eenheid van dit lichaam. Als G het gewicht van een volume V van dit lichaam voorstelt dan heeft men γ = G/V
(wordt voortgezet)
3° een fysisch experiment -de wet van Archimedes-
(wordt voortgezet)
4° de fysische concepten tijd en tijdsduur en tijdsmetingen
(wordt voortgezet)
-------------------------- (1) De fysische mechanica is het onderdeel van de natuurkunde dat zich bezighoudt met evenwicht en beweging van lichamen onder invloed van de krachten die erop inwerken.
Ze bestaat uit verschillende onderdelen, die van toepassing zijn in uiteenlopende situaties: - kinematica (bewegingsleer); -dynamica (krachtenleer): -statica (evenwichtsleer); -kinetica (samenhang tussen bewegingen en krachten); aerodynamica (gedragingen van gassen); hydrodynamica (gedragingen van vloeistoffen); sterkteleer (gedragingen van vaste stoffen).
(3) zie bvb : « Concepts of Mass in classical and modern physics » (Max Jammer Dover reprint 1997- origineel -1961-) en « Concepts of Force » (Max Jammer Dover- reprint -1999- origineel -1957-)
(8) Voor een uitvoerige bespreking zie bvb : "Concepts of Mass in Classical and Modern Physics" (Max Jammer -Harvard University Press- 1961) en "Concepts of Mass in contempory physics and philosophy" (Max Jammer -Princeton University Press- 2000). Het eerste boek is heden ook te verkrijgen bij Dover (1997).
(9) zie Isaac Newton « Philosophiae naturalis Principia mathematica » (1682). Dit driedelig werk, bij wijze van verkorting als de « Principia » aangegeven, is oorspronkelijk geschreven in het Latijn en wordt beschouwd als een mijlpaal in de Westerse wetenschap. Nochtans wordt er maar zelden naar deze tekst gerefereerd of verwezen. Het werk is voor een leek practisch onleesbaar omdat de auteur de werkelijke wiskundige beginselen (calculus!!!), waaruit hij zijn diverse theorema's en stellingen had afgeleid, achterhield. Een goede Franse vertaling van het werk vindt men in Stephen Hawking's « Sur les Epaules des Géants » (Dunod, -2003-). De equivalentie van zwaarte- en traagheidsmassa wordt behandeld in Deel III propositie 6 theorema 6.
(10) In het lager onderwijs wordt gewicht het best gedefinieerd als de zwaarte van een voorwerp ter onderscheid van de massa zijnde "de hoeveelheid materie van het voorwerp".
In feite is gewicht de kracht waarmee een massa wordt aangetrokken door de aarde of door een hemellichaam. Deze kracht wordt de « zwaartekracht » of « gravitatiekracht » genoemd. Gravitatie is een fundamentele natuurkracht, die overal in de kosmos aanwezig is en men spreekt dan ook veelal van een kosmisch "zwaarteveld", dat zich vooral in de onmiddellijke nabijheid van het beschouwde hemellichaam manifesteert. Wat gravitatie precies is werd eerst maar duidelijk na Einstein's « Algemene Relativiteitstheorie ».
Massa definieert men derhalve het best als hoeveelheid materie en gewicht als "zwaarte" zijnde de kracht, die deze massa in een zwaarteveld ondergaat. Daar de zwaartekracht aan het oppervlak van de aarde niet overal constant is, hangt het gewicht van eenzelfde massa af van de plaats op aarde.
(12) De theorie van de hefbomen is een axiomatische theorie, geformuleerd door Archimedes (voor een kort overzicht: zie « A History of Mechanics » (René Dugas Dover -1988-) chapter I § 2-the statics of Archimedes. zie ook nog: http://nl.wikipedia.org/wiki/Hefboom
§ 5.5 Intuïtieve Ruimtemeetkunde of Stereometrie
(Hoofdstuk 5 "Wiskunde in het Lager Primair Onderwijs")
§ 5.5 Intuïtieve Ruimtemeetkunde of Stereometie
De lessen in Vormleer, waarvan sprake in het cursiefje §5.3, hadden bij Meester Hillewaert (Broedersschool) ook al betrekking op de ruimtemeetkunde. Het begrip ruimtelijk lichaam werd algemeen omschreven als een object dat ruimte inneemt en dat een gesloten oppervlak bezit.
Naargelang de vorm van dit gesloten oppervlak kon men diverse lichamen onderscheiden, zoals de kubus en de balk, het prisma en de cylinder, de pyramide en de kegel en tenslotte de bol. Door dissectie van deze ruimtelijke lichamen werd geprobeerd wat meetkundig inzicht bij te brengen in de eigenschappen van deze meetkundige objecten. Met dissectie bedoel ik dan het ontrafelen van het lichaam in zijn oppervlakelementen en de hierbij aangewende technieken waren knippen, plooien en plakken en soms tekenen. Bij het tekenen werd overigens ook hier gebruik gemaakt van de winkelhaak, de passer en de lat en de liniaal.
1- basisbegrippen:
Vooreerst weren de begrippen loodrechte op een vlak, loodvlak en snijdende en evenwijdige vlakken omschreven en op een practische manier toegelicht.
Een rechte stond loodrecht op een vlak, wanneer ze loodrecht stond op twee rechten in het vlak, die door haar voetpunt gaan. Dat dergelijke loodrechten bestaan, demonstreerde Meester Hillewaert door een winkelhaak met de kortste zijde te plaatsen op het plat vlak van een tafel en de winkelhaak te laten wentelen om de langste zijde. De langste zijde was een loodrechte op een vlak.
In een punt op een rechte kunnen in de ruimte oneindig veel loodlijnen opgericht worden; deze loodlijnen vormen een loodvlak op die rechte. Twee vlakken die elkaar snijden hebben één rechte gemeen die grensrechte genoemd wordt. Evenwijdige vlakken zijn vlakken, die elkaar niet snijden. Twee loodvlakken op een zelfde rechte zijn evenwijdig. De afstand tussen de twee evenwijdige vlakken is het lijnstuk afgesneden op deze rechte door deze vlakken.
Volume werd gedefinieerd als de ruimte ingenomen door het lichaam. Congruentie van meetkundige lichamen betekent én gelijkvormig én gelijk van volume ( tekens ~ én =). Gelijkvormige lichamen zijn figuren die dezelfde vorm hebben (teken ~ ); gelijke lichamen zijn lichamen die hetzelfde volume hebben (teken =). Twee meetkundige lichamen zijn congruent als -in theorie- de ene zo op de andere kan geplaatst worden dat zij samenvallen.
Bij gelijkvormige lichamen zijn al de overeenkomstige hoeken gelijk en al de overeenkomstige zijden en vlakken proportioneel. Is die proportie of verhouding gelijk aan een, dan zijn die lichamen gelijk en dus congruent.
Voorbeelden van steeds gelijkvormige lichamen zijn de kubus (hexaëder) en de bol. Later zullen hier nog aan toegevoegd worden de tetraëder, de octaëder, de dodecaëder en de icosaëder (de zogenaamde regelmatige lichamen of veelvlakken (1) ).
De verhouding van een volume tot een tweede volume is het onbenoemde getal waarmede het tweede volume te vermenigvuldigen is om het eerste volume te bekomen. Er werd aangenomen dat deze verhouding een rationaal of meetbaar getal was. Met volume V van een meetkundig lichaam wordt dus de grootte van het volume bedoeld. Het volume V kan nu, zoals het oppervlak, uitgedrukt worden in bepaalde parameters (zijde, basis, hoogte, apothema..) van het beschouwd meetkundig lichaam.
Het maatgetal van een volume V (ook inhoud genoemd) was de verhouding van dit volume tot een ander volume, dat als eenheid (volume-eenheid) genomen wordt. Deze verhouding is wel een benoemd getal.
In de Intuïtieve Ruimtemeetkunde wordt met maatgetallen van volumes (inhouden) gewerkt, in de Deductieve Meetkunde met verhoudingen van volumes.
In het courante spraakgebruik worden de termen volume en inhoud courant door elkaar gebruikt.
2- meetkundige karakteristieken van kubus, balk en parallellepipedum:
- de kubus:
Er werd op aanschouwelijke wijze getoond dat een kubus opgebouwd was uit 6 gelijke zijvlakken (vierkanten), en dat deze kubus 12 gelijke ribben en 8 hoekpunten bezat. Het aantal zijvlakken of ribben die in één hoekpunt samenkwamen bedroeg 3.
De kubus komt in het dagelijkse leven niet zo veel voor (bvb dobbelstenen) maar, benadrukte de Meester Hillewaert, het is een belangrijk lichaam want gebruikt als maateenheid voor volumemetingen. De ribbe van de eenheidskubus is de maateenheid voor lengtemetingen, het zijvlak is de maateenheid voor oppervlaktemetingen en de eenheidskubus-zelf, de eenheid voor volumemetingen (zie: Metriek Stelsel).
Het volume van een kubus kon uitgedrukt worden in functie van de lengte van de zijden. Om dit aan te tonen werd een grote kubus verdeeld in n kleine kubussen met zijde a (zie figuur 1 Metriek Stelsel).
Uit de geschetste figuur viel af te leiden dat de lengte van de zijde van de grote kubus gelijk was aan z = n . a en dat het volume van de kubus n³ kleine gelijke kubussen met zijde a bevatte. Een zijvlak van de grote kubus bevatte n² kleine vierkantjes met zijde a.
Daar kubussen steeds gelijkvormig zijn had men V = n³ x v. Indien v de volume-eenheid is heeft men v = 1 en a = 1 waaruit S = z².
Stelt z de lengte van de zijde van een kubus voor dan vindt men voot het volume of inhoud van de kubus: Ikubus = z³ en voor het oppervlak van de kubus Skubus = 6 . z²
Voor de diagonaal van de kubus vond men door tweemaal toepassen van de stelling van Pythagoras:
Dkubus = z . √3
- de balk:
De balk (rechthoekig parallellepipedum) bestond uit zes twee aan twee gelijke zijvlakken (rechthoeken). Twee overstaande zijvlakken zijn congruent. Het aantal ribben van een balk is 3 x 4 (drie groepen van vier gelijke ribben) en het aantal ribben zoals bij de kubus 12.. Het aantal ribben en het aantal zijvlakken die in één hoekpunt samenkomen was hetzelfde als bij de kubus. De ribben van de balk worden basis (b), hoogte (h) en lengte (l) geheten (zie figuur 2 balk).
Het volume V van een balk kon nu zoals bij de kubus uitgedrukt worden in functie van de basis b, de hoogte h en de lengte l van de balk.
Om dit aan te tonen werden basis, hoogte en lengte van een balk met eenzelfde lengte-eenheid a onderverdeeld en de kleine kubussen getekend zoals bij de analyse van de kubus (1) .
Uit de bekomen figuur viel nu af te leiden dat de basis gelijk was aan b = n . a ,de hoogte h = m . a en de lengte van de balk l = q . a en dat de balk dat de rechthoek in totaal n . m . q kleine kubussen bevatte.
Voor het volume van de balk kon dus geschreven worden:
V = n. m . q . v = (b/a) . (h/a) . (l/a) . v
Of indien v de oppervlakte-eenheid is (s = 1 en a = 1)
V = b. h . l
Stellen b , h en l respectievelijk de basis, de hoogte en de lengte van een balk voor dan heeft men:
Vbalk = b . h . l en Sbalk =2 (b . h + h . l + l . b)
Voor de diagonaal vindt men gemakkelijk (stelling van Pythagoras) : D = √(b² + h² +l²)
Men kan nu de formule om het volume van een balk te berekenen uit een ander oogpunt bekijken. Het product b . l stelt de oppervlakte van een zijvlak van de balk voor, die men grondvlak kan noemen. Dan wordt het volume van de balk gegeven door het product oppervlakte grondvlak met de hoogte:
V balk = Sgrondvlak . h
- het parallellepipedum:
Een parallellepipedum is een veelvlak met zes parallellogrammen als zijvlak, 8 hoekpunten en 12 ribben, waarvan alle overstaande vlakken twee aan twee evenwijdig zijn en, gezien van de buitenkant, elkaars spiegelbeeld.
Zoals men een parallellogram kan verknippen tot een rechthoek met dezelfde oppervlakte (zie cursiefje intuïtieve meetkunde (1)) kan men een parallellepipedum verknippen en aaneenplakken tot een balk met eenzelfde volume (zie figuur 3 van parallellepipedum naar balk).
Hieruit volgt, zoals voor de balk, eenzelfde betrekking voor het volume van een parallellepipedum:
V parallellepipedum = S grondvlak . h
Opmerking: Bij ruimtelijke lichamen kiest men als grond- respectievelijk bovenvlak de zijvlakken die evenwijdig zijn met elkaar. Bij kubus, balk en parallellepipedum kan men om het even welk zijvlak als grondvlak nemen, daar alle zijvlakken twee aan twee evenwijdig zijn.
3- meetkundige karakteristieken van prisma en cilinder
Vooreerst werd de notie prismatisch oppervlak omschreven. Een prismatisch oppervlak is het oppervlak beschreven door een rechte, die zich evenwijdig aan zichzelf verplaatst en steeds een gebroken lijn snijdt. Is de gebroken lijn gesloten en dus een veelhoek, dan spreekt men van een gesloten prismatisch oppervlak.
Een Prisma (wiskunde) wordt gedefinieerd als zijnde een lichaam begrensd door een prismatisch oppervlak en door twee evenwijdige doorsneden van dit oppervlak, het grond- , respectievelijk bovenvlak van het prisma. Of nog, het prisma is een veelvlak waarvan twee vlakken (grond- en bovenvlak) congruent en evenwijdig zijn, terwijl de andere vlakken parallellogrammen zijn, die elk een gemeenschappelijke zijde met de evenwijdige vlakken hebben (zie figuur 4 prismas).
De hoogte van het prisma is de afstand tussen het grondvlak en bovenvlak. Een prisma is recht of scheef, naargelang de opstaande ribben loodrecht of schuin op het grondvlak staan. Een regelmatig prisma is een recht prisma met een regelmatige veelhoek als grondvlak. Een prisma is driezijdig, vierzijdig, vijfzijdig naargelang het grondvlak een driehoek, een vierhoek, een vijfhoek is. Bij rechte prismas zijn de zijvlakken rechthoeken, bij scheve prismas parallellogrammen. De kubus en de balk zijn dus rechte prismas, het parallellepipedum een scheef prisma.
Het zijdelings oppervlak van een prisma is de som van de oppervlakken van de zijvlakken van het prisma. Voor een regelmatig prisma waarvan het grondvlak een regelmatige n-hoek met zijde z is, wordt het zijdelings oppervlak uitgedrukt door:
S regelmatig prisma = n . z . h of nog S regelmatig prisma = p regelmatige veelhoek . h = p grondvlak . h
(p regelmatige veelhoek is de omtrek van de regelmatige n-hoek)
Om het volume van een prisma te bepalen beschouwt men eerst het geval van een driezijdig prisma en breidt men vervolgens uit tot een willekeurig prisma:
- volume van een driezijdig prisma (prisma met driehoekig grondvlak):
Zoals men met twee congruente driehoeken een parallellogram kan maken, kan men met twee congruente driezijdige prismas (met driehoekig grondvlak) een parallellepipedum maken (zie figuur 5 parallellepipedum uit 2 driezijdige prismas).
Het volume van het driezijdig prisma is de helft van het volume van het parallellepipedum of nog de helft van het parallellogram maal de hoogte of nog de oppervlakte van de driehoek maal de hoogte. Men heeft dus:
V driezijdig prisma = S grondvlak . h
- volume van een willekeurig prisma
Het grondvlak van een willekeurig prisma kan men steeds verdelen in driehoeken en op die manier kan men een willekeurig prisma verdelen in een aantal driezijdige prismas (prismas met driehoek als grondvlak) zogenaamde driezijdige deelprismas. Het volume van een willekeurig prisma is gelijk aan de som van de volumes van de driezijdige deelprismas of
V prisma = S driehoek 1 . h + S driehoek 2 . h + S driehoek 3 . h of nog
V prisma = (S driehoek 1 + S driehoek 2 + S driehoek 3 ) . h of
V prisma = S grondvlak . h
Een cilindrisch oppervlak is een oppervlak beschreven door een rechte die wentelt om een as waaraan zij evenwijdig blijft terwijl de afstand van de rechte tot de as ongewijzigd blijft.
Een cilindrisch lichaam is het ruimtelijk lichaam ontstaan door een gesloten cilindrisch oppervlak met twee evenwijdige vlakken te snijden. De afstand tussen de twee evenwijdige vlakken noemt men de hoogte h van de cilinder. Staan die twee evenwijdige vlakken loodrecht op de as, dan spreekt men van een gewone cilinder of rol. Bij de gewone of rechte Cilinder (meetkunde) zijn grond- en bovenvlak congruente cirkels die in evenwijdige vlakken liggen. De rechte cilinder is ook het lichaam dat gevormd wordt door het wentelen van een rechthoek om één van zijn zijden.
In de Intuïtieve Meetkunde beschouwt men de gewone cilinder (zie figuur 6 gewone cilinder) als een (recht) prisma waarvan het grondvlak een ingeschreven regelmatige veelhoek is waarvan het aantal hoekpunten onbeperkt toeneemt. Een dergelijke veelhoek heeft als limiet een cirkelomtrek.
- voor het zijdelingse oppervlak van de cilinder, ook mantel genoemd zal gelden:
S mantel = p grondvlak . h = 2 π . r . h
- voor het volume van de cilinder komt er:
V cilinder = S grondvlak . h = p . r² . h
Cilinders zijn ruimtelijke lichamen, die zeer veel voorkomen: potloden, inhoudsmaten, buizen, kolommen in steen of gietijzer, flessen enz.
4- meetkundige karakteristieken van piramide en kegel:
Een veelvlakshoek of n- vlakshoek is de meetkundige (ruimtelijke) figuur gevormd door n halve rechten uit eenzelfde punt getrokken waarvan er geen drie in eenzelfde vlak liggen. In een veelvlakshoek onderscheidt men de ribben (d.i. de halve rechten, die de veelvlakshoek bepalen), de top of het hoekpunt (d.i. het punt gemeen aan alle ribben), de zijden (d.i. de vlakke hoeken gevormd door twee op elkaar volgende ribben) en de hoeken (d.i. de tweevlakshoeken gevormd door twee op elkaar volgende zijden).
Wordt een veelvlakshoek gesneden door een plat vlak dan wordt de zo ontstane ruimtelijke figuur een piramide genoemd. Om deze reden wordt een veelvlakshoek ook nog piramidaal oppervlak genoemd.
Een piramide (ruimtelijke figuur) is dus een gesloten ruimtelijke figuur, opgebouwd uit een grondvlak dat een regelmatige of onregelmatige veelhoek is, en uit driehoekige zijvlakken vanuit elk van de zijden van de veelhoek naar een gemeenschappelijke punt, de top S van de piramide. De hoogte h van de piramide is de afstand van de top tot het grondvlak.
Het zijdelings oppervlak van een piramide wordt mantel genoemd en is gelijk aan de som van de driehoekige grondvlakken. Het totaal oppervlak van een piramide is de som van de oppervlakken van de mantel en van het grondvlak.
Het volume van een piramide bepalen was een delicaat probleem en er werden voorafgaandelijk twee bijzondere gevallen beschouwd:
- Eerste bijzonder geval: Beschouw eerst een piramide met een vierkant als grondvlak en met een top loodrecht boven één van de hoekpunten van het grondvlak en hoogte gelijk aan de zijde van het grondvlak. Met drie dergelijke piramides kan een kubus gevormd met hetzelfde grondvlak als deze van de piramide. Voor het volume van deze piramide geldt dus:
V piramide = 1/3 V kubus = 1/3 (S grondvlak . z) = 1/3 (S grondvlak . h) want h = z
- Tweede bijzonder geval: Beschouw verder een (regelmatige) piramide met een vierkant als grondvlak en met top loodrecht boven het midden van het grondvlak en hoogte gelijk aan de helft van de zijde van het grondvlak. Met zes dergelijke piramides kan men weer een kubus gevormd worden met hetzelfde grondvlak als de piramide. Voor het volume van deze piramide geldt dus:
V piramide = 1/6 V kubus = 1/6 (S grondvlak . z) = 1/3 (S grondvlak . h) want h = z/2
Men kon vermoeden dat voor om het even welke piramide wel eens zou kunnen gelden:
V piramide = 1/3 S grondvlak . h (1)
Of in woorden uitgedrukt: Het volume van een piramide is een derde van het volume van een prisma met zelfde grondvlak en hoogte.
Maar hoe dit aantonen? Bij Meester Hillewaert, werd nu een experimenteel (fysisch) bewijs geleverd. Om aan te tonen dat het volume ingenomen door een piramide een derde was van het volume ingenomen door een prisma met zelfde grondvlak en hoogte, vulde hij de piramide met zand en goot vervolgens het zand over in het prisma (zie figuur piramide en prisma).Er waren nu precies 3 piramides zand nodig om het prisma tot op de rand te vullen.
Het was trouwens niet de eerste maal dat Meester Hillewaert beroep deed op het experiment. Om bvb aan te tonen dat de verhouding van de cirkelomtrek tot de diameter constant was (het getal pi), had hij ons gewoon de omtrek en de diameter van verschillende buizen laten meten.
Vervolgens kwamen de regelmatige piramiden aan de beurt.Bij regelmatige piramiden is het grondvlak een regelmatige veelhoek (gelijkzijdige driehoek, vierkant, zeshoek enz.). De opstaande zijvlakken zijn steeds congruente gelijkbenige driehoeken, die een gemeenschappelijke top hebben, de top S van de piramide. De hoogte van de piramide was de loodlijn uit de top S neergelaten op het grondvlak. Men noemde verder apothema a de hoogtelijn van de gelijkbenige driehoek.
- Voor het zijdelings oppervlak (of mantel) van een regelmatige piramide (met een regelmatige n-hoek met zijde z) als grondvlak geldt:
S mantel = n . S gelijkbenige driehoek of S mantel = n . (z . a)/2
Men kan deze betrekking ook nog schrijven als:
S mantel = n . z . a/2 of nog S mantel = p reg. veelhoek . a/2 (2)
- Voor het volume van een regelmatige piramide kon men natuurlijk schrijven:
V reg. Piramide = 1/3 S reg. veelhoek . h (3)
Regelmatige piramiden komen als bouwwerken niet zo veel voor, maar zei Meester, er zijn natuurlijk de fameuze piramiden van Gizeh en de Grote Piramide van Cheops (2) , 138 m hoog en met een basis van 227 m. Hoe deze imposante bouwwerken meer dan drieduizend jaar geleden tot stand waren gekomen was een nog onopgelost raadsel. Hij vroeg ons echter wel het volume en het zijdelings oppervlak van deze piramide te berekenen.
Blijkbaar was ook een Edgar P. Jacobs geobsedeerd door de Egyptische piramides, want hij liet onze striphelden van toen in het bijzonder Blake en Mortimer, enkele jaren later, "Het Geheim van de Grote Piramide" oplossen...
Een kegelvlak is het vlak beschreven door een rechte, die wentelt om een vaste rechte (as), die zij in een vast punt S (top) snijdt en waarmede zij onveranderlijk verbonden is. Dat de wentelende rechte onveranderlijk aan de vaste rechte verbonden is, is op twee manieren uit te drukken:
1) de afstand van een punt van de wentelende rechte tot de vaste rechte is constant;
2) de hoek gevormd door de wentelende en vaste rechte is constant.
De (rechte) kegel (ruimtelijke figuur) is het is het ruimtelijk lichaam ingesloten door een kegelvlak en een loodvlak op de as van dit kegelvlak; dit loodvlak snijdt het kegelvlak onder de vorm van een cirkel, die het grondvlak van de kegel genoemd wordt. Of nog, de (rechte) kegel is het ruimtelijk lichaam dat gevormd wordt door het wentelen van een rechthoekige driehoek om één van zijn rechthoekszijden.
In een kegel kan men volgende elementen onderscheiden: de beschrijvende rechthoekige driehoek, de beschrijvende rechte a (d.i. het apothema van de kegel), de straal R (zijde aan liggend aan de vaste zijde of as), de hoogte h (as van de kegel) (zie figuur 7 kegel).
Het zijdelings oppervlak (rond oppervlak of mantel)van een kegel is de limiet van het zijdelings oppervlak van een regelmatige piramide, beschreven in de kegel, als het aantal zijvlakken van de piramide onbepaald toeneemt.
- voor het zijdelings oppervlak of kegelmantel geldt naar analogie met het zijdelings oppervlak van een regelmatige piramide:
S zijd. kegel = 1/3 p cko . a/2 en vermits p cko = 2 π . R volgt S zijd. Kegel = 1/3 π . R . a
- voor het volume van de kegel geldt naar analogie met het volume van een piramide:
V kegel = 1/3 S grondvlak . h = 1/3 π R² . h
Of in woorden uitgedrukt: het volume van een kegel is een derde van het volume van een cilinder met zelfde grondvlak en hoogte.
Opnieuw werd dit door Meester Hillewaert experimenteel aangetoond door kegel te vullen met zand en het zand over te gieten in een cilinder met een zelfde grondvlak en hoogte als de kegel. Er waren precies drie kegels met zand nodig om de cilinder tot op de rand te vullen (figuur 9 kegel en cilinder).
Als voorbeelden van kegelvormige voorwerpen citeerde Meester Hillewaert: het dak van een ronde toren, het hoorntje voor roomijs, een romer.
Snijdt men nu een rechte piramide of kegel door een vlak evenwijdig met het grondvlak, dan bekomt men een afgeknotte rechte piramide respectievelijk afgeknotte rechte kegel.
5- meetkundige karakteristieken van de bol.
Een boloppervlak of sfeer is het gesloten vlak dat ontstaat door het wentelen van een halve cirkelomtrek om de middellijn die door zijn uiteinden gaat. Al de punten van een boloppervlak liggen op dezelfde afstand van het middelpunt van de bol en deze afstand is de straal R van de bol. Elk lijnstuk dat twee punten van het boloppervlak verbindt en door het middelpunt gaat, is een diameter van de bol. De diameter D is het dubbel van de straal. De Bol (lichaam) is het ruimtelijk lichaam omsloten door een bolvlak.
Elk plat vlak dat de bol snijdt, geeft als snijvlak een cirkelomtrek met als straal r. Gaat dit plat vlak door het middelpunt dan is het snijvlak een cirkelomtrek met als straal R zijnde de straal van de bol. Een dergelijke cirkel noemt men een grote cirkel, terwijl de cirkels met r < R kleine cirkels genoemd worden. Een grote cirkel snijdt de bol in twee halve bollen, die congruent zijn.
Om de diameter van een bolvormig lichaam te meten gebruikt men de sferische passer of de reductiepasser (voor kleine diameters).
Bij Meester Hillewaert werden zonder enige bewijsvoering de formules voor de berekening van het boloppervlak en het bolvolume gegeven:
- oppervlakte van de bol:
S bol = 4 π R²
- volume van de bol:
V bol = 4/3 π R³
Nochtans was het mogelijk voor deze laatste formule ook een experimenteel bewijs te geven en dit op analoge wijze als voor de kegel en de cilinder. Beschouw een halve bol met grondvlak π R² en een kegel met zelfde grondvlak en hoogte R. Vul de kegel met zand en giet het zand over in de halve bol. Er zijn twee kegels zand nodig om de halve bol tot op de rand te vullen (figuur 10 halve bol en kegel).
Men heeft dus:
V halve bol = 2 . (1/3 π R² . h) of daar h = R V halve bol = 2/3 π R³
Derhalve v bol = 4/3 π R³
----------------------------------
(1) Belangrijke opmerking:
Men gaat uit van de veronderstelling dat alle verhoudingen tussen lengte, breedte en hoogte rationale getallen zijn en dus uitgedrukt kunnen worden door een gebroken getal. In dit geval is het steeds mogelijk een lengte-eenheid a te vinden, die gemeen is aan de drie afmetingen lengte, hoogte en breedte en kan de balk gevuld worden met identieke kubusjes. Zoals men nu in het cursiefje Intuïtieve Meetkunde in het Primair Onderwijs (2) gezien heeft, bestaan er echter lengtes, die uitgedrukt worden door een irrationaal getal. Wanneer één of meer afmetingen irrationaal zijn, kan de balk onmogelijk gevuld worden met identieke kubusjes. Irrationale getallen kunnen echter benaderd worden door rationale getallen en door een limietovergang toont men aan dat de formule voor het volume van de balk ook hier geldig blijft.
(Hoofdstuk 5 "Wiskunde in het Lager Primair Onderwijs")
§5.4 Aan de andere oever van de ezelsbrug
Zoals aangegeven in voorgaand cursiefje repte Meester Berghmans in het zevende studiejaar met geen woord over wat ons aan de andere kant van de (ezels)brug (« pons asinorum ») wachtte. We hadden er werkelijk het raden naar. Vermoedelijk dacht hij aan irrationale getallen, Pythagorese getallen en Diophantische vergelijkingen?
1° Het bestaan van onmeetbare ofte irrationale getallen:
Een onverwacht gevolg van de stelling van Pythagoras was dat meetkundig kon aangetoond worden dat er ook andere getallen moesten bestaan dan de meetbare ofte rationale getallen en dat bvb √2 een dergelijk getal was.
Het heeft mij nu steeds verwonderd, dat in het primair en in het lager secundair onderwijs, zo weinig aandacht wordt geschonken aan het irrationale getal, terwijl het bestaan ervan dank zij Pythagoras stelling voor de hand ligt.
Construeert men een gelijkbenige rechthoekige driehoek met zijde a = b = 1 dan vindt men voor de schuine zijde c = √2 (zie ikoon van dit cursiefje).
Men kan nu gemakkelijk aantonen dat √2 onmogelijk het quotiënt of verhouding van twee natuurlijke getallen m/n kan zijn. M.a.w. √2 ≠ m/n en derhalve is √2 een irrationaal getal d.i. een getal dat niet te schrijven is als het quotiënt of verhouding van twee gehele getallen. Is een getal wel te schrijven als een quotiënt van twee gehele getallen (d.i. een breuk), dan spreekt men immers over een rationaal getal.
Stelling 1: √2 is een irrationaal getal
Het bewijs is gebaseerd op een reductio ab absurdum(bewijs uit het ongerijmde) (1) en is voor een leek, die enige zin heeft voor logica gemakkelijk te volgen.
Bewijs: Veronderstel dat √2 een rationaal getal is en dus te schrijven als het quotiënt van twee natuurlijke getallen: √2 = m/n waarbij m en n natuurlijke getallen zijn zonder gemeenschappelijke delers (cf. vereenvoudigen van breuken). De GGD van m en n is dus 1.
Uit √2 = m/n volgt n√2 = m en kwadrateren levert 2n² = m² Daaruit volgt dat m² een even getal is.
Omdat het kwadraat van een oneven natuurlijk getal altijd oneven is (toon aan!), kan m niet oneven zijn en dus is m zelf ook even. Stel dus n = 2 p, met p een geheel getal. Daaruit volgt weer:
2n² = m² = (2p)² = 4p² of nog n² = 2p²
We zien dat n² even is, en op dezelfde manier als hierboven bij m, trekken we de conclusie dat b ook even is.
Zowel m als n zijn dus even en bijgevolg deelbaar door 2; hieruit volgt: de grootste gemeenschappelijke deler van m en n is groter dan 1 (minstens 2)! Dit is echter in tegenspraak met onze keuze van m en n, die geen gemeenschappelijke deler hebben. Onze veronderstelling was bijgevolg verkeerd en daarmee is bewezen dat de wortel uit 2 een irrationaal getal is. q. e. d.
Bemerking: De leerlingen van Pythagoras, de Pythagoreërs zouden al snel ontdekt hebben dat bvb de wortel uit 2 (√2) geen rationaal getal kon zijn. Omdat er echter in het wereldbeeld van de Pythagoreërs alleen plaats was voor natuurlijke getallen en verhoudingen tussen deze getallen ( rationale getallen), schrokken ze hier erg van. Zij probeerden het bewijs niet bekend te laten worden, want hun leer was gebaseerd op het dogma Alles is (natuurlijk) Getal. De ontdekking dat er nu ook andere getallen dan de natuurlijke moesten bestaan, wordt toegeschreven aan Hippasos van Metapontum, een leerling van Pythagoras. Deze zou als straf overboord gegooid zijn omdat hij dit geheim had openbaar gemaakt.
Het was duidelijk dat √2 niet leidde tot een rationaal getal omdat 2 geen kwadraat was van een ander natuurlijk getal. Daarentegen gaf bvb √4 gaf wel een rationaal getal want √4 = 2. A priori kon men vermoeden dat als n geen kwadraat was van een ander natuurlijk getal √n steeds een irrationaal getal was. Nu zijn er natuurlijk zeer veel getallen, die geen volkomen kwadraat zijn en daardoor zouden er ook oneindig veel irrationale getallen bestaan. Aldus kwam men tot de volgende stelling:
Stelling 2: Gegeven een natuurlijk getal n. Als n geen kwadraat is, dan is √n irrationaal.
Het bewijs van deze belangrijke stelling wordt gegeven door contrapositie (2) en is ook voor een leek , gemakkelijk te volgen. Het volstaat nog enige kennis te hebben over de Grootste Gemene Deler (G.G.D.) van twee getallen.
Bewijs: De equivalente stelling van stelling 2 luidt: Gegeven een geheel getal n. Als √n rationaal is, dan is n een kwadraat. We nemen daartoe aan dat √n rationaal is. Dan kunnen we positieve gehele getallen a en b vinden zodat √n = a/b met GGD (a,b) = 1.
Nu geldt dat n = a²/b² niet verder vereenvoudigd kan worden. Dus geldt in het bijzonder dat b² = 1, want n is een geheel getal. Dus n = a². Daarmee is de equivalente stelling bewezen en dus, door contrapositie, ook de oorspronkelijke.
De bewijsvoering van deze twee stellingen betreffende de irrationale getallen is misschien iets te subtiel voor schoolbengels uit het lager onderwijs, maar lijkt mij bvb wel begrijpelijk voor leerlingen van het lager secundair. Hoe dan ook, het was wel belangrijk al in het lager secundair onderwijs te spreken over irrationale getallen en te laten zien dat ze ook in werkelijkheid bestaan.
Bemerking: Een uitbreiding van het getalbegrip naar irrationale getallen lag dus voor de hand, want het is uiteraard van zeer groot belang na te gaan of de grondeigenschappen van de rationale getallen ook blijven opgaan voor de irrationale getallen. Maar dit is in eerste benadering geen materie voor het secundair onderwijs (te moeilijke theorie (3) ).
2°- Pythagorese getallen en diophantische vergelijkingen:
Om te beginnen is het omgekeerde van de stelling van Pythagoras ook waar. Als voor de maatgetallen a, b, c van de zijden van een driehoek geldt: c² = a² + b² dan is die driehoek rechthoekig en is de hoek die tegenover de zijde c ligt de rechte hoek.
Zo is bvb 3² + 4² = 5² wat betekent dat een driehoek waarvan de maatgetallen van de zijden respectievelijk 3, 4 en 5 zijn, een rechthoekige driehoek moet zijn.
Een Pythagorees drietal (a, b, c) wordt nu gedefinieerd als zijnde drie gehele getallen a, b, c met a < b < c waarvoor geldt a² + b² = c². Uiteraard komt de benaming Pythagorees voort uit de stelling van Pythagoras, aangezien dergelijke getallen kunnen optreden als de zijden a, b van een rechthoekige driehoek met c als lengte van de schuine zijde.
Zowel Meester Hillewaert als Meester Berghmans hadden het gehad over het eenvoudigste Pythagorees drietal (3, 4, 5) en de toepassing voor het in de praktijk uitzetten van een rechte hoek. Daartoe gebruikte men een rondlopend touw met 12 knopen op gelijke afstanden.
Onmiddellijk rees echter de vraag: bestaan er andere Pythagorese drietallen? Het antwoord was affirmatief, want was (3, 4, 5) een Pythagorees drietal dan zijn ook de veelvouden, zoals bvb (6, 8, 10) en (9, 12, 15) Pythagorese drietallen. Dit voerde tot volgende stelling:
Stelling 1: Als (a, b, c) een Pythagorees drietal is dan is ook (ka, kb, kc) met k zijnde een natuurlijk getal ook een Pythagorees drietal.
Bewijs: Is a² + b² = c² (dus a, b, c een Pythagorees drietal) dan volgt door beide leden te vermenigvuldigen met k² :
k² (a² + b²) = k²(c²) wat equivalent is met k²a² + k²b² = k²c² (want (a.b)n = an.bn (zie cursiefje Arithmetiek in de Broedersschool ). Derhalve vormen ook (ka, kb, kc) een Pythagorees drietal.
Een Pythagorees drietal (a, b, c) wordt nu primitief genoemd als a, b en c geen deler gemeen hebben. Het Pythagorees drietal (3 ,4, 5) is nu primitief want 3, 4 en 5 hebben geen deler gemeen. Andere voorbeelden van primitieve Pythagorese drietallen zijn , zoals men gemakkelijk verifieert, (5, 12, 13), (7, 24, 25), en (8, 15, 17).
Stelling 2 : Voor alle natuurlijke getallen m en n met m > n geldt nu dat het drietal (a, b, c), waarin a = m² − n² ; b = 2mn en c = m² + n² een Pythagorees drietal is.
Deze stelling, uiterst belangrijk voor het opzoeken van Pythagorese drietallen, werd door Euklides meetkundig aangetoond (cf. "Elementen" boekdeel X, propositie 29), maar kan ook eenvoudig arithmetisch afgeleid worden.
Bewijs: Door toepassing van de identiteiten (zie cursiefje: Arithmetiek in het Primair Onderwijs ) heeft men:
(m² - n²)² = (m²)² + (n²)² - 2(m²n²) (1)
Of (m² - n²)² + 2(m²n²) = (m²)² + (n²)² (1)
Tel nu 2(m²n²) bij (1) op dan komt er:
(m² - n²)² + 2(m²n²) + 2(m²n²) = (m²)² + (n²)² + 2(m²n²) of daar
(m² + n²)² = (m²)² + (n²)² + 2(m²n²) (2)
(m² - n²)² + 4(m²n²) = (m² + n²)² waaruit volgt
(m² - n²)² + (2mn)² = (m² + n²)² q.e.d.
Stelling 3: Een Pythagores drietal (a , b, c) is primitief dan en slechts dan als m en n relatief priem zijn en een van hen een even getal is.
Zijn zowel n als m oneven, dan zijn a, b, en c allemaal even en is het drietal dus niet primitief.
Er bestaan oneindig veel primitieve Pythagorese drietallen.
Bemerking: Deze eenvoudige theorie over de Pythagorese drietallen vormt slechts een begin van wat men de theorie der diophantische vergelijkingen is gaan noemen (voor meer details zie diofantische vergelijking ). De stelling van Pythagoras leidt dus rechtstreeks tot een van de meest fascinerende gebieden in de Wiskunde ..
3° de meetkundige constructie van irrationale getallen
De meetkundige constructie van √2 is zoals men gezien heeft uiterst eenvoudig. Het volstaat een loodlijn op een rechte te construeren, met een passer twee gelijke lijnstukken op de beide rechten af te meten vanaf het snijpunt en de uiteinden van deze lijnstukken met elkaar te verbinden.
Voor √5 bvb kan op analoge wijze te werk gegaan worden. Daar √5 = √(2² + 1²) volstaat het op de ene as of loodlijn twee lijnstukken op de andere loodlijn één lijnstuk af te meten en de eindpunten met elkaar te verbinden.
Algemeen is deze oplossing geldig voor alle irrationale getallen van de gedaante √(n² + 1²). Het volstaat dan n lijnstukken op de ene en één lijnstuk op de andere as of loodlijn te verbinden.
vraag: waarom zijn getallen van deze gedaante altijd irrationaal?
Een verdere uitbreiding betreft irrationale getallen van de gedaante √(n² + m²). In dit geval volstaat het n lijnstukken op de ene, m lijnstukken op de andere loodlijn af te meten.
Een voorbeeld: √20 = √(16 + 4) = √(4² + 2²). Hier is m = 4 en n = 2
Bemerking: Kan men nu alle irrationale getallen op een dergelijke manier (d.i. met passer en liniaal) construeren?
De Grieken dachten van wel want bvb Plato kende dergelijke constructies voor √n waarin alle waarden van 2 tot 17 (met uitzondering van 4, 9, en 16 die volkomen kwadraten zijn) kon aannemen. Dit vermoeden of conjectuur bleek echter vals te zijn...
Het bewijs uit het ongerijmde berust op het axioma van de uitgesloten derde of van het uitgesloten midden, ook wel tertium non datur (Lat., "een derde is niet gegeven"). Dit axioma houdt in dat iedere uitspraak waar, dan wel onwaar is; een andere, derde, mogelijkheid is er niet. De bewijsvoering gebeurt als volgt:
- men neemt het tegengestelde aan van de stelling die te bewijzen is
- de tegengestelde stelling leidt tot gevolgtrekkingen, die in strijd zijn met de eerste stelling
- men besluit dat de tegengestelde stelling vals is en bijgevolg dat de eerste stelling waar is
Deze onrechtstreekse bewijsvoering is zo overtuigend als een rechtstreekse. Men zegt dat het overtuigt zonder de geest te verlichten.
Het bewijs door contrapositie is een methode om het wiskundig bewijs te geven van de stelling als A dan B, door het bewijzen van de stelling als niet B dan niet A. In de klassieke logica is deze laatste stelling equivalent aan de eerste: een bewijs van de ene stelling is ook een bewijs van de ander.
(3) voor een duidelijke uiteenzetting van de diverse theorieën (Cantor, Dedekind, Weierstrass en Baudet) zie bvb F. Schuh "Het Getalbegrip, in het bijzonder het Onmeetbare Getal" (Noordhoff -1927-)
§ 5.3 Intuïtieve Vlakke Meetkunde of Planimetrie
(Hoofdstuk 5 "Wiskunde in het Lager Primair Onderwijs")
§ 5.3 Intuïtieve Vlakke Meetkunde of Planimetrie
Vanaf het vijfde studiejaar werden ons in de Broedersschool ook enkele meetkundige begrippen bijgebracht, onder het kwalitatief Vormleer (1) . Wat Vormleer nu was of precies voorstelde, wisten wij niet maar -het dient gezegd- onze ouders ook niet. Alleen beseften wij wel dat het iets met "meetkunde" te maken had. Het is eerst maar na het lezen van een boek over de meetkundedidactiek in het basisonderwijs van Nederland, dat mij veel is duidelijk geworden.
Het betrof hier het proefschrift verschenen in boekvorm van Ed De Moor Van Vormleer naar Realistische Meetkunde (2) (1999). Dat er op didactisch vlak sinds meer dan een eeuw een grote discussie aan de gang was over wat nu wel of niet geometrisch geschikt was voor de schoolgaande jeugd, is wellicht velen niet bekend.
Deze Vormleer, ook "Intuïtieve Meetkunde" of "Realistische Meetkunde" of ook nog Kijk- Meetkunde genoemd, werd (en wordt nog altijd) door sommige wiskundigen beschouwd als een regelrechte aanslag op het erfgoed van Euklides d.i. de deductieve meetkunde, gebaseerd op axioma's, definities en stellingen en om deze reden axiomatische meetkunde genoemd. Persoonlijk meen ik dat deze kritiek onterecht is. Schoolbengels pikken nu eenmaal meer op van een speelse, realistische aanpak dan van strenge abstracties.
Deze Intuïtieve Meetkunde is DE meetkunde van het lager onderwijs, en tot het lager onderwijs moet op zijn minst ook nog het eerste jaar middelbaar (zesde humaniora) gerekend worden. Daarentegen is Deductieve meetkunde ontegensprekelijk de meetkunde van het hoger secundair onderwijs.
Na WOII werd via de ministeriële omzendbrief van 1949 de deductieve meetkunde al vanaf het tweede jaar middelbaar (vijfde humaniora) in het leerprogramma gebracht. Was dit een gelukkig initiatief? Ik meen van niet want dit gebeurde natuurlijk ten koste van de intuïtieve meetkunde, waarbij dan interessante rubrieken zoals bvb het vaststellen van bestaan van irrationale of onmeetbare getallen, de beginselen van Cavalieri, de Gulden Snede gewoon van het programma geschrapt werden.
Voor het beoefenen van deze intuïtieve meetkunde waren alleen noodzakelijk papier, karton, schaar en pappot en verder voor het tekenwerk de werkinstrumenten passer en gegradueerde lat, winkelhaak en gradenboog. Let wel dat voor het beoefenen van de meetkunde van Euklides (deductieve meetkunde)alleen passer en lineaal toegelaten zijn.
Het eerste gedeelte van Herbiets boek (3) LArithmétique dans la vie pratique was nu gewijd aan die zogenaamde Vormleer, dus aan die "Intuïtieve Meetkunde".
Nu is Arithmetiek in wezen geen Meetkunde en ik was dan ook enigzins verwonderd dit soort meetkunde in dit boek aan te treffen. De titel dekte blijkbaar niet helemaal de lading. Bij het doorbladeren van dit werk stelde ik overigens vast dat ik dezelfde figuren en tekeningen inderdaad al vroeger in de Broedersschool had ontmoet.
Meester Hillewaert had blijkbaar dezelfde didactische technieken gebruikt als vermeld in dit werk en die technieken kon men samenvatten als: plooien, knippen, plakken, tekenen en kleuren.
Deze weg zou trouwens verder bewandeld worden door Meester Depoortere en vooral Meester Berghmans in de lagere afdeling van het Sint Lodewijkscollege. Zo was bvb, bij Meester Berghmans, de stelling van Pythagoras, het culminerend punt van zijn onderricht. Deze uiterst belangrijke stelling, noemde hij een ezelsbrug, een "pons asinorum" (4) . Eenmaal deze brug overschreden, stond voor ons de poort van de kennis i.h.b. van de wiskunde wijd open.
Meester Hillewaert had bij zijn onderricht de volgorde gevolgd, zoals die bij Herbiet was aangegeven: eerst enkele basisbegrippen (rechte lijn, plat vlak, hoeken), vervolgens de eerste meetkundige figuren (rechthoek, vierkant) en hierbij aansluitend het oppervlaktebegrip, dan de eerste meetkundige lichamen (balk, kubus) en hierbij aansluitend het begrip volume. Hierop volgde een tweede serie geometrische figuren (parallellogram, ruit, driehoek, trapezium, regelmatige veelhoeken, cirkel) met telkens bepaling van omtrek en oppervlakte, en een tweede serie geometrische lichamen (prisma, cilinder, piramide, kegel, bol) met telkens de bepaling van de oppervlakte en het volume.
I- De basisbegrippen:
Vooreerst werden ons op zeer aanschouwelijke wijze de begrippen, punt, lijn, rechte lijn of rechte, lijnstuk en het meten van lijnstukken bijgebracht. Bij het introduceren van deze basisbegrippen werd vanaf het begin de klassieke gebruikelijke meetkundige notatie ingevoerd. Een punt werd voorgesteld door een hoofdletter bvb het punt A, een lijnstuk door zijn eindpunten dus het lijnstuk AB. Vervolgens werden de begrippen plat en gebogen vlak geïntroduceerd. Nadruk werd gelegd op de voornaamste eigenschap van het platte vlak: een vlak is een plat vlak, als een rechte die door twee willekeurig gekozen punten van dit oppervlak verbindt, geheel in dit oppervlak ligt; is dit niet het geval, dan heeft men een gebogen oppervlak. Een practische toepassing van deze eigenschap was het verifiëren of een vlak volkomen plat was (proef met een liniaal).
De verhouding van een lijnstuk tot een ander lijnstuk is het onbenoemde getal, waarmede het tweede lijnstuk te vermenigvuldigen is om de eerste te verkrijgen. Deze verhouding is een rationaal of beter meetbaar getal, m.a.w een gebroken getal of breuk en wordt kortweg lengte van het lijnstuk genoemd.
Het maatgetal van een lijnstuk is de verhouding van dit lijnstuk tot een ander lijnstuk, dat als eenheid (lengte-eenheid) genomen wordt. Het maatgetal van een lijnstuk is een benoemd getal. Met lengte van een lijnstuk kan zowel de verhouding of het maatgetal bedoeld worden.
Kenschetsend is nu dat men in de Deductieve Meetkunde met verhoudingen, in de Intuïtieve Meetkunde met maatgetallen werkt. Vandaar bvb het gebruik van de gegradueerde lat in de Intuïtieve, van de liniaal in de Deductieve Meetkunde.
Dan was het de beurt aan het begrip hoek, zijnde het deel van een plat vlak ingesloten door twee halve rechten, die de benen van de hoek worden genoemd en die in een punt, het hoekpunt samenkomen. Is O het hoekpunt en is A een willekeurig punt gelegen op het ene been, B een willekeurig punt gelegen op het andere been dan wordt de gevormde hoek aangeduid als hoek AOB. De grootte van de hoek hangt niet af van de lengte van de benen maar wel van hun opening. Deze opening werd gemeten met een gradenboog.
De noties loodlijnen en rechte hoek werden verkregen door een blad papier tweemaal te plooien (zie figuur 1 rechte hoeken en loodlijnen). Men bekomt aldus de hoeken AOC, COA, BOA en DOA; deze vier hoeken zijn gelijk en bedekken samen het gehele vlak. Deze hoeken worden rechte hoeken genoemd en worden als hoofdeenheid voor het meten van hoeken beschouwd. Een rechte hoek heeft een opening van 90°. Hoeken kleiner dan een rechte hoek zijn scherpe, groter dan een rechte hoek, stompe hoeken. Rechten die elkaar snijden onder een rechte hoek zijn rechten, die loodrecht op elkaar staan. Dergelijke rechten worden loodrechten of loodlijnen genoemd.
De afstand van een punt C tot een rechte AB is gedefinieerd als het lijnstuk CO dat loodrecht op AB staat; het is de kortste afstand van het punt C tot de rechte. Rechten zoals CD en CI, die niet met de loodlijn O samenvallen, heten schuine lijnen t.o.v. AB (zie figuur 2 kortste afstand punt C tot lijnstuk AB).
Evenwijdige rechten zijn rechten, die in eenzelfde vlak gelegen, elkaar niet snijden. Twee rechten, die loodrecht staan op een zelfde derde en in het zelfde vlak gelegen zijn, zijn steeds evenwijdig. De afstand tussen twee evenwijdige is overal dezelfde.
II- De rechtlijnige meetkundige figuren
Vooreerst werd het algemeen begrip congruentie uiteengezet. Twee meetkundige figuren zijn congruent als de ene zo op de andere kan geplaatst worden dat zij samenvallen.
In de Intuïtieve Meetkunde wordt congruentie aangetoond door natekenen van een figuur op transparant papier. Indien men door verschuiving deze figuur kan doen samenvallen met een andere getekende figuur dan zijn deze figuren congruent.
Congruentie betekent én gelijkvormig én gelijk van oppervlak ( tekens ~ én =). Gelijkvormige figuren zijn figuren die dezelfde vorm hebben (teken ~ ); gelijke figuren zijn figuren die dezelfde uitgebreidheid of oppervlak hebben (teken =).
Bij gelijkvormige figuren zijn de overeenkomstige hoeken gelijk en de overeenkomstige zijden proportioneel. Vierkanten, gelijkzijdige driehoeken en cirkels zijn altijd gelijkvormig. Rechthoeken, parallellogrammen, trapezia, en driehoeken zijn doorgaans niet gelijkvormig maar kunnen het zijn indien bepaalde voorwaarden vervuld zijn.
De verhouding van een oppervlak tot een tweedeoppervlak is het onbenoemde getal waarmede het tweede oppervlak te vermenigvuldigen is om het eerste te bekomen. Er werd aangenomen dat deze verhouding een rationaal of meetbaar getal was (over het bestaan van irrationale getallen waarvan sprake in volgend cursiefje "Intuïtieve Meetkunde in het Primair Onderwijs" (2) werd met geen woord gerept).
Met oppervlak S van een meetkundige figuur wordt dus de grootte van het oppervlak bedoeld. Het oppervlak S kan nu uitgedrukt worden in bepaalde parameters (zijde, basis, hoogte) van de beschouwde meetkundige figuur.
Het maatgetal van een oppervlak S (ook oppervlakte genoemd) was de verhouding van dit oppervlak tot een ander oppervlak, dat als eenheid (oppervlakte-eenheid) genomen wordt. Deze verhouding is wel een benoemd getal.
In de Intuïtieve Meetkunde wordt met maatgetallen van oppervlakken (oppervlakten) gewerkt, in de Deductieve Meetkunde met verhoudingen van oppervlakken.
In het courante spraakgebruik worden de termen oppervlak en oppervlakte echter door elkaar gebruikt.
De omtrek of perimeter p van een meetkundige figuur is de totale lengte van de buitenzijde.
- vierkant: In de lagere school werd een vierkant gedefinieerd als een vierhoek waarvan de zijden gelijk en de hoeken recht zijn. Uit het ontrafelen van deze meetkundige figuur (plooien, knippen, tekenen) blijkt per definitie de 4 zijden gelijk zijn, dat de overstaande zijden evenwijdig zijn, dat de diagonalen (dit zijn de lijnen, die niet aanliggende hoekpunten verbinden) gelijk zijn en elkaar loodrecht en middendoor delen.
Het oppervlak S van een vierkant kon uitgedrukt worden in functie van de lengte van de zijden. Om dit aan te tonen werd een groot vierkant verdeeld in n kleine vierkantjes met zijde a.
Uit de getekende figuur (uizicht als een tegelvloer of dambord) viel af te leiden dat de lengte van de zijde van het grote vierkant gelijk was aan z = n . a en dat het oppervlak S van het grote vierkant (vloer of dambord) n² vierkantjes s met zijde a bevatte.
Daar vierkanten steeds gelijkvormig zijn had men S = n² x s. Indien s de oppervlakte-eenheid is heeft men s = 1 en a = 1 waaruit S = z².
Stelt z de lengte van de zijde voor dan was p vierkant = 4 . z en S vierkant = z²
- rechthoek: In de lagere school werd een rechthoek gedefinieerd als een vierhoek waarvan de vier hoeken recht zijn. Uit het ontrafelen van deze figuur (plooien, knippen, tekenen) blijkt dat de zijden twee aan twee gelijk zijn en basis (b) en hoogte (h) genoemd worden, dat twee overstaande zijden gelijk en evenwijdig zijn , dat de twee diagonalen gelijk zijn en elkaar halveren.
Het oppervlak S van een rechthoek kon nu zoals bij het vierkant uitgedrukt worden in functie van de basis b en de hoogte h.
Om dit aan te tonen werden basis en hoogte van een rechthoek met eenzelfde lengte-eenheid a onderverdeeld en de vierkantjes s getekend.
Uit de bekomen figuur viel nu af te leiden dat de basis gelijk was aan b = n . aen de hoogte h = m . aen dat de rechthoek in totaal n . m vierkantjes bevatte.
Voor het oppervlak van de rechthoek kon dus geschreven worden
S = n. m . s = (b/a) . (h/a) . s = b . h en indien s de oppervlakte-eenheid is (s = 1 en a = 1) komt er
S = b . h
Stellen b en h respectievelijk de basis en de hoogte voor dan was p rechthoek = 2(b + h) en S rechthoek = b . h
- parallellogram: Een parallellogram is een vierhoek waarvan de overstaande zijden evenwijdig lopen. Uit het ontrafelen van deze figuur blijkt dat de overstaande zijden en de overstaande hoeken gelijk zijn, dat de diagonalen niet gelijk zijn maar elkaar middendoor snijden. De hoogte van een parallellogram wordt gedefinieerd als de afstand tussen twee evenwijdige zijden en dat de oppervlakte van een parallellogram is gelijk aan deze van een rechthoek met dezelfde basis en hoogte (zie figuur 3 gelijkheid oppervlakten rechthoek en parallellogram).
Stellen b , z de twee aanliggende zijden voor en h de hoogte dan was
p para = 2 (b + h) en verder S para = b . h
- ruit: Een ruit is een vierhoek waarvan de vier zijden gelijk zijn. Uit ontrafelen ( plooien en tekenen) van deze figuur blijkt dat de ruit een parallellogram is met -bij definitie- vier gelijke zijden, dat de overstaande hoeken gelijk zijn, en dat de diagonalen loodrecht op elkaar staan en elkaar middendoor delen. Zoals uit figuur 4 oppervlakte ruit blijkt is de oppervlakte van de ruit ABCD gelijk aan de helft van de oppervlakte van de rechthoek MNPQ, waarvan de zijden de kleine en grote diagonaal van de ruit zijn.
Stellen z de zijde en d en D de diagonalen van de ruit voor dan heeft men
p ruit = 4 . z en verder S ruit = ½(d + D)
- driehoek: Een driehoek is de meetkundige figuur gevormd door drie lijnstukken die niet op één rechte liggen. Daar driehoeken een sleutelpositie in de vlakke meetkunde innemen iedere rechtlijnige meetkundige figuur kan immers door het tekenen van diagonalen in een aantal driehoeken gesplitst worden- werd wat nader op deze bijzondere meetkundige figuur ingegaan.
Een driehoek werd door klein driehoekje (in feite de Griekse letter ∆), gevolgd door de drie hoekpunten bvb A, B, C voorgesteld, hier dus bvb ∆ ABC.
De meester liet ons nu met een lat diverse driehoeken tekenen en toonde ons dat er verschillende types driehoeken konden bestaan: gelijkbenige (twee zijden gelijk), gelijkzijdige (drie zijden gelijk) en rechthoekige (één hoek is een rechte hoek). Met behulp van een gradenboog liet hij ons de som van de hoeken van elke soort driehoek bepalen en tot onze verrassing vonden wij telkens dat de som van de hoeken steeds 180° was.
De zijden t.o.v. de hoeken A, B, C werden respectievelijk door a, b, c aangeduid. De afstand van het hoekpunt A tot de overstaande zijde a werd de hoogtelijn ha genoemd: daar een driehoek drie hoeken had, kon men dus drie hoogtelijnen ha , hb , hc tekenen.
Bij zorgvuldig en accuraat tekenen, waarbij we van de meester een winkelhaak moesten gebruiken, stelden wij vast dat de drie hoogtelijnen elkaar sneden in één punt, dat het hoogtepunt genoemd werd. Andere bijzondere lijnen die de Meester ons liet tekenen waren de zwaartelijnen d.i. lijnen die een hoekpunt met het midden van de overstaande zijde verbinden; ook hier konden wij vaststellen dat de drie zwaartelijnen elkaar sneden één punt, het zogenaamde zwaartepunt.
Een bijzondere eigenschap van de driehoek t.o.v. de vierhoek bvb was zijn onvervormbaarheid. Zijn de drie zijden van een driehoek in een vastgelegde volgorde bvb a, b, c gegeven, dan is er slechts één driehoek mogelijk. Bij een vierhoek bvb zijn indien de zijden gegeven zijn meerdere vierhoeken mogelijk. De Meester illustreerde deze eigenschap van onvervormbaarheid met een plooimeter, het klassieke meetinstrument van de timmerman.
Teneinde de oppervlakte van een driehoek te bepalen, toonde de Meester ons dat men twee gelijke driehoeken steeds zó kan schikken, dat ze een parallellogram vormen. Uiteraard is de oppervlakte van een driehoek dan de helft van een dergelijk parallellogram (zie figuur 5 oppervlakte driehoek).
Stellen a, b, c de zijden van de ∆ ABC voor en ha , hb , hc de hoogtelijnen dan is
p driehoek = a + b+ c en S driehoek = a . ha = b . hb = c . hc
- trapezium: Een trapezium is een vierhoek waarvan slechts twee zijden evenwijdig zijn. Deze twee evenwijdige zijden zijn de kleine b en grote basis B van het trapezium, de andere zijden noemt men de opstaande zijden. De hoogte h van een trapezium wordt gedefinieerd als de afstand tussen de twee evenwijdige zijden.
Een trapezium kan steeds opgevat worden als een afgeknotte driehoek (driehoek waarvan de top afgesneden is door een rechte evenwijdig met de basis). Twee gelijke trapezia kan men steeds derwijze schikken dat ze een parallellogram vormen waar van de basis de som van de grote en de kleine basis van het trapezium is. Uiteraard is de oppervlakte van het trapezium de helft van dergelijk parallellogram (zie figuur 6 oppervlakte trapezium).
Stellen b en B de kleine en de grote basis voor van een trapezium, h de hoogte en a en c de opstaande zijden dan is
p trapezium = a + c +b + B en S trapezium = 1/2 (b + B) . h
IV- De kromlijnige meetkundige figuren : de cirkel en de ellips
- cirkel(omtrek): Een cirkel(omtrek) werd gedefinieerd als een vlakke, gesloten, kromme lijn, waarvan alle punten op dezelfde afstand van een punt van het vlak het middelpunt- liggen. Deze afstand wordt de straal van de cirkel(omtrek) r genoemd.
De cirkel -zelf was het oppervlak omschreven door de cirkelomtrek, maar in het courante spraakgebruik werd deze term zowel voor de cirkelomtrek als de voor de cirkel- zelf gebruikt.
Cirkels worden getekend met behulp van een passer en deze bestonden in allerhande uitvoeringen. Voor de Broedersschool was natuurlijk de meest eenvoudige passer ruimschoots voldoende. Dit was een model waar aan één been van de passer een potloodstompje moest vastgeklemd worden.
In de lagere afdeling van het Sint Lodewijkscollege was ik echter de gelukkige bezitter van een meer gesofistikeerd model, waarmede meer nauwkeurige tekeningen konden gemaakt worden. En nauwkeurig tekenen is echt belangrijk in de intuïtieve meetkunde want zij bevorderen het meetkundig inzicht. Uiteraard was die passer een geschenk van Klaas.
De cirkel was een interessante meetkundige figuur want ze kwam in de praktijk veelvuldig voor en het aantal toepassingen was zeer groot. Om deze reden werd er uitgebreid op ingegaan want het cruciale probleem was:
Hoe kan je van een dergelijke figuur de omtrek en de oppervlakte berekenen?
Vooreerst werden de begrippen koorde en boog ingevoerd. De boog was een deel van de cirkelomtrek begrensd door twee grenspunten A en B bvb. Het lijnstuk dat beide grenspunten verbond werd koorde genoemd. Een koorde onderspande steeds twee bogen, een grote en een kleine en de som van de twee bogen was gelijk aan een cirkelomtrek.
De middelpuntshoek werd gedefinieerd als de (kleinste) hoek van waaruit de boog of de koorde gezien werd (zie figuur 7 elementen van de cirkel).
De grootst mogelijke koorde in een cirkel werd diameter genoemd en door gewoon een straal in de cirkel te verlengen kwam men tot de slotsom dat de diameter tweemaal de straal was( d = 2 . r). De diameter verdeelt de cirkelomtrek evenals de cirkel in 2 gelijke delen.
De middelpuntshoek die een halve cirkelomtrek onderspant bedraagt 180° en bijgevolg stemt een volledige cirkelomtrek overeen met 360°.
Meester Hillewaert liet ons via een experiment zien dat de verhouding tussen de cirkelomtrek en de diameter constant is. Deze verhouding werd voorgesteld door de Griekse letter π en was ongeveer 3,14 of ongeveer 22/7 (in werkelijkheid is π een irrationaal of onmeetbaar getal en zelfs een transcendent getal, maar dit is voor later). Het experiment bestond er in, met behulp van de lintmeter,de omtrek en de diameter van een aantal buizen te meten en deze verhouding te berekenen.
Voor de omtrek van de cirkel had men dus: pcirkel = π . d = 2 π.r
- oppervlakte van de cirkel: de oppervlakte van de cirkel bepalen was een veel lastiger probleem. Hier werd nu een benaderingsmethode met ingeschreven veelhoeken voorgesteld.
Teken een cirkel en zijn diameter. Kies een middelspunthoek α, derwijze dat n . α = 360° (bvb n is 6 dus α = 36°) Met behulp van een gradenboog wordt de boog op de cirkelomtrek afgemeten die met deze hoek overeenstemt. Teken de koorde die met deze boog overeenstemt. Verdeel verder de cirkelomtrek in n (hier 6) gelijke bogen telkens door deze boog (koorde) af te meten op de cirkelomtrek met behulp van een passer. Men bekomt een in de cirkel ingeschreven veelhoek met n (hier 6) gelijke zijden. Dergelijke veelhoeken worden cyclische veelhoeken genoemd en indien de zijden gelijk zijn worden ze regelmatig genoemd. Ze zijn opgebouwd uit n driehoeken (hier 6) waarvan de oppervlakte gegeven wordt door Sdriehoek = ½ (z . a) a is de hoogtelijn neergelaten uit het middelpunt van de cirkel. Deze hoogtelijn wordt apothema genoemd.
De oppervlakte van een dergelijke veelhoek wordt natuurlijk gegeven door S = ½ n . z . a of nog daar het product n . z de omtrek of perimeter is van de cyclische n-hoek (zie figuur 8 regelmatige zeshoek):
S n-hoek = ½ p . a
Men merkt op, dat hoe groter n , hoe meer de omtrek van de veelhoek deze van de cirkelomtrek en hoe meer het apothema a de straal van de cirkel r benaderen.
In het limietgeval moet dus gelden: S cirkel = ½ (2 π r) r of nog S cirkel = π . r²
- ellips: Het was bij Meester Berghmans dat ik voor het eerst kennis maakte met de ellips. Zoals bij de cirkel moet men in feite een onderscheid maken tussen de ellips en de ellipsomtrek.
De ellipsomtrek is de verzameling van de punten in een vlak waarvoor de som van de afstanden (rode lijn in de figuur) tot twee gekozen punten, de brandpunten (f1 en f2 in de figuur), constant is en wel gelijk aan de lange as van de ellips. De ellips-zelf is de meetkundige figuur omsloten door de ellipsomtrek.
Een ellips heeft twee assen: het lijnstuk door de brandpunten die tegenovergelegen punten van de ellips verbindt heet de lange as of grote diameter en het overeenkomstige lijnstuk loodrecht daarop door het midden van de lange as heet korte as of kleine diameter. De helft van de grote diameter a en van de kleine diameter b worden respectievelijk de "grote straal" en de "kleine straal" van de ellips genoemd.
Een ellips kan als volgt getekend worden: Breng twee punaises aan op een blad papier in twee punten, de brandpunten van de te construeren ellips ; Maak een lus van een draadje en leg die lus rond de punaises; Zet een potlood tegen het draadje aan en trek het strak; Teken met het potlood de ellips, er daarbij voor zorgend dat het draadje strak gespannen blijft. Het draadje zorgt ervoor dat de som van de afstand tot de brandpunten vanaf elk punt van de ellips constant is, namelijk gelijk aan de lengte van het draadje minus de afstand tussen de punaises. Het op deze wijze construeren van een ellips wordt ook wel tuinmansconstructie genoemd, omdateen tuinman zo de randen van ellipsvormige perken aanlegt (uiteraard met piketten in plaats van punaises).
Om ellipsen te tekenen kan men ook gebruik maken van ellipspassers. Een practische ellipspasser werd uitgevonden door de Nederlandse wiskundige Frans van Schooten in de 17e eeuw.
Hoe men de omtrek of de oppervlakte van een ellips bepaald werd niet besproken en ik vermoedde toen al dat het probleem niet eenvoudig moest zijn. Wel vertelde Meester Bergmans ons dat de oppervlakte van een ellips gegeven werd door:
S ellips = p . a . b waarin a respectievelijk b de grote en kleine straal van de ellips voorstellen.
Hij liet ons echter wel zien dat de cirkel een bijzonder geval van de ellips was. Hier was de grote straal gelijk aan de kleine straal (a = b = r), waardoor de gegeven oppervlakteformule voor de ellips overging in de oppervlakteformule van de cirkel:
S cirkel = p . r²
Ellipsen waren volgens Meester Bergmans in feite "uitgerekte cirkels" en als men bvb een worst schuin doorsneed was de bekomen doorsnede een ellips.
Maar zei Meester Bergmans, ellipsen zijn belangrijke meetkundige figuren. Immers de planeten evenals de Aarde bvb draaien rond de Zon volgens ellipsvormige, en niet volgens cirkelvormige banen.
Hij maakte hier allusie op het werk van Johannes Kepler. Kepler was de eerste, die wiskundig bewees dat deze banen wel degelijk elliptisch waren en niet cirkelvormig zoals in de Oudheid door Aristarchos van Samos en later door Copernicus was ondersteld.
V- Toepassing van de theorie der rechtlijnige en kromlijnige figuren: de stelling van Pythagoras en de projectiestellingen:
Met behulp van de theorie der rechtlijnige en kromlijnige figuren is nu het mogelijk, de oppervlakte te bepalen van meer ingewikkelde figuren. Dit geschiedt dan door de complexe figuur te splitsen in deelfiguren waarvan de oppervlakte wel berekend kan worden. Dit geldt niet alleen voor complexe rechtlijnige figuren (complexe veelhoeken) maar ook voor complexe kromlijnige figuren.
Het is zeer eenvoudig formules op te stellen die toelaten de oppervlakten te bepalen van de gearceerde oppervlakken. Talloze vraagstukken, zó uit het dagdagelijkse leven genomen, en in relatie met het zogenaamde Metriek Stelsel, hadden hierop betrekking.
Het was echter ook met behulp van deze theorie der oppervlakken dat men interessante betrekkingen tussen de vierkanten en de rechthoeken geconstrueerd op lijnstukken van meetkundige figuren kon afleiden. En het was hier nu, dat Meester Berghmans ons drie stellingen, waaronder de fameuze stelling van Pythagoras, op een magistrale wijze aantoonde:
- Eerste stelling: Het vierkant op de som of het verschil tussen twee lijnstukken AB en BC is gelijk aan de som van de vierkanten op die lijnstukken, vermeerderd of verminderd met tweemaal de rechthoek op die lijnstukken:
Het meetkundig bewijs is zeer eenvoudig en het volstaat de vierkanten op de som van de lijnstukken AB + BC, respectievelijk het verschil van de lijnstukken AB BC te tekenen (zie figuur 9 vierkant op som en verschil lijnstukken).
In wezen ging het hier om een meetkundige bevestiging van de identiteiten (zie: cursiefje : Arithmetiek in het Primair Onderwijs)
(a + b)² = a² + b² + 2ab en (a - b)² = a² + b² - 2ab
- Tweede stelling: De rechthoek op de som en het verschil tussen twee lijnstukken AB en BC is gelijk aan het verschil tussen de vierkanten op die lijnstukken.
Ook hier is het meetkundig bewijs zeer eenvoudig. Het volstaat een rechthoek te tekenen met als zijden AB + BC en AB BC (zie figuur 10 rechthoek op som en verschil lijnstukken).
Weer gaat het hier om een meetkundige bevestiging van een identiteit (zie: cursiefje: Arithmetiek in het Primair Onderwijs):
(a +b) (a b) = a² - b²
- Derde stelling: Het vierkant van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de som van de vierkanten op de rechthoekszijden (stelling van Pythagoras): zij c de schuine zijde, a en b de rechthoekszijden dan geldt algemeen:
c² = a² + b²
Het meetkundig bewijs (5) van Meester Berghmans verliep volgens de theorie der oppervlakken en dus in volledige overeenstemming met de regels van de Intuïtieve Meetkunde. Deel een vierkant met zijde a+b op twee manieren in (zie http://www.arnoweber.nl/math/bewijzen.html ). In de linkerfiguur is het vierkant opgebouwd uit een vierkant met zijde a, een vierkant met zijde b, en 4 rechthoekige driehoeken waar we mee begonnen. De rechterfiguur is een vierkant opgebouwd uit een vierkant met zijde c, en wederom de 4 rechthoekige driehoeken.
In beide figuren zien we een vierkant met zijde a+b, dus beide vierkanten hebben dezelfde oppervlakte. Laten we nu zowel links als rechts de vier rechthoekige driehoeken weg, dan hebben de figuren die je overhoudt nog steeds dezelfde oppervlakte. Maar links houd je een vierkant met zijde a, en een vierkant met zijde b over, met samen een oppervlakte van a²+b². Rechts houd je een vierkant met zijde c over, met een oppervlakte van c². Hieruit volgt dan de stelling.
Het rekenkundig bewijs ziet er als volgt uit: Telkens zijn een korte en een lange zijde in elkaars verlengde geplaatst. De lengte en breedte van de zijden van het vierkant zijn (a+b), dus de oppervlakte van het grote vierkant is (a+b)².
De oppervlakte is ook gelijk aan de som van de vier driehoeken (4 × ½ab) en de oppervlakte van het binnenste vierkant, dat oppervlakte c² heeft.
Dus (a + b)² = 2ab + c²
Uitwerken van het kwadraat links geeft: a² + b² + 2ab = 2ab +c² of derhalve c² = a² + b² q.e.d.
Bemerking 1 : Zoals ik al heb aangegeven vormde de stelling van Pythagoras in het zevende studiejaar het hoogtepunt van het meetkundeonderwijs in de lagere school. Het moet gezegd: het werkelijk uitstekend onderricht van Meester Berghmans heeft voor velen de toegang tot de Deductieve Meetkunde van Euklides vergemakkelijkt.
Meester Berghmans was een innemend en beminnelijk man, maar vooral een uitstekend onderwijzer, die het zeer goed kon uitleggen. Hij was dan ook zeer geliefd bij zijn leerlingen. Hij was afkomstig uit het Roeselaarse. Toen hij wegens een blindedarmontsteking in de kliniek werd opgenomen zijn wij met zijn allen met de fiets naar Rumbeke (ongeveer 35 km ver!)gereden om hem op zijn ziekbed te bezoeken. De brave man was erg geroerd door ons bezoek, want dát had hij nu helemaal niet verwacht. Ook herinner ik mij nog dat hij regelmatig op het einde van de dag wat voorlas in de klas, zo maar om ons wat te plezieren. Een van de boeken waaruit hij voorlas was het bekende Alleen op de wereld van Hector Malot.
Maar terug naar de stelling van Pythagoras, stelling die ook hij als een van de voornaamste stellingen uit de meetkunde beschouwde, maar tevens ook een ezelsbrug, een pons asinorum noemde. Hij vertelde ons echter niet wat er ons aan de andere kant van die ezelsbrug wachtte.
Enkele jaren later ontdekte ik dat Pythagoras stelling inderdaad buitengewoon belangrijk was en bvb aan de basis lag van de ontdekking van de onmeetbare of irrationale getallen en van wat men nu de Diophantische vergelijkingen noemt. Allemaal onderwerpen, die voor de ontwikkeling van de wiskunde zeer belangrijk zijn geweest.
Voorts lag de stelling van Pythagoras ook aan de basis van de trigonometrie (zie cursiefje "Trigonometrie in het Lager Secundair Onderwijs").
De grote astronoom Kepler heeft inderdaad eens geschreven:
« In de Meetkunde vinden we twee grote schatten: de ene is de Stelling van Pythagoras en de andere is de Gulden Snede. De ene kunnen we vergelijken met een schep goud, de andere mogen we een kostbaar juweel noemen » (in Kepler s Mysterium Cosmographicum -1596-) . Meer over de Gulden Snede zie cursiefje "Intuïtieve Meetkunde in het Primair Onderwijs (3)")
Bemerking 2 : Volgens de stelling van Pythagoras bestaat er een eenvoudig verband tussen de zijden van een rechthoekige driehoek. Bestaat er een dergelijke betrekking tussen de zijden van een willekeurige driehoek?
Het antwoord is affirmatief. Door gebruik te maken van de gelijkvormigheid van driehoeken én de stelling van Pythagoras kan men een analoge, meer algemene betrekking afleiden (voor de bewijsvoering zie cursiefje §10.3), die geldt voor alle driehoeken. Men stelt hierbij vast dat de stelling van Pythagoras een bijzonder geval is van deze algemene betrekking. Ik schreef "algemene betrekking", maar in feite moet ik schrijven "algemene betrekkingen" want in het geval dat de driehoek een stompe hoek bevat, is er een tekenverschil in een van de termen van de gelijkheid.
Deze betrekkingen berusten op volgende stellingen, ook nog projectiestellingen genoemd:
- stelling 1: « Ligt een zijde van een driehoek tegenover een scherpe hoek, dan is haar vierkant gelijk aan de som van de vierkanten van de andere zijden verminderd met tweemaal het product van de tweede zijde en de projectie van de derde zijde op de tweede »
Zij a een zijde t.o.v. een scherpe hoek, en b respectievelijk c de tweede en derde zijden dan heeft men volgende betrekkingen
a2 = b2 + c2 - 2. b . (projectie c op b) (1)
en verder indien men nu c respectievelijk b als tweede en derde zijde beschouwt:
a2 = c2 + b2 - 2 . c . (projectie b op c) (1')
bevat de willekeurige driehoek alleen scherpe hoeken dan heeft men voor de zijden b en c nog volgende betrekkingen:
b2 = c2 + a2 - 2 . c . (projectie a op c) en = a2 + c2 - 2 . a . (projectie c op a) (2)
c2 = a2 + b2 - 2 . a . (projectie b op a) en c2 = b2 + a2 - 2 . b . (projectie a op c) (3)
Om al deze betrekkingen te memoriseren is de symmetrie in deze relaties mnemotechnisch uiterst belangrijk.
- stelling 2: « Ligt een zijde van een driehoek tegenover een stompe hoek (deze zijde is tevens de grootste zijde in de driehoek), dan is haar vierkant gelijk aan de som van de vierkanten van de twee andere zijden vermeerderd met tweemaal het product van de tweede zijde en de projectie van de derde zijde op de tweede »
Zij a de zijde t..v. de stompe hoek (de grootste zijde van de stompe driehoek) en b respectievelijk de tweede en derde zijden, dan heeft men:
a2 = b2 + c2+ 2 . b . (projectie c op b) (4)
en indien men c respectievelijk b als tweede en derde zijde beschouwt:
a2 = c2 + b2+ 2 . b . (projectie b op c) (4')
Voor de andere zijden b en c van de stompe driehoek, die tegenover een scherpe hoek staan geldt natuurlijk stelling 1 en dus de betrekkingen (2) en (3).
Besluit: Indien de willekeurige driehoek alleen scherpe hoeken bevat is er een volledige symmetrie van de relaties tussen de verschillende zijden; indien deze willekeurige driehoek een stompe hoek bevat is er geen volledige symmetrie, wat uiterst vervelend is. Dank zij de introductie van de notie "gerichte hoek" slaagt men er in een volledige symmetrie te bekomen (zie cursiefje §10.4).
De stelling van Pythagoras alsmede de hieruit voortvloeiende projectiestellinn liggen aan de basis van wat men de trigonometrie of driehoeksmeting noemt. Trigonometrie blijkt nu zeer belangrijk te zijn voor tal van berekeningen en om deze reden lijkt mij een vroegtijdig contact met de projectiestellingen uiterst belangrijk.
(wordt voortgezet)
----------------------------------
(1) Vormleer (in het Duits Formenlehre) als discipline is ontstaan in het begin van de 19de eeuw uit het oeuvre van de grote pedagoog Johann Heinrich Pestalozzi (1746-1827) en kende voornamelijk in Duitsland en Nederland succes. Oorspronkelijk omvatte deze leer der vormen, zowel de muziek- en grammatische vormen als de meetkundige vormen. Zo kende het boek van Ezechiël Slijper (1874-1953 ) Vormleer voor Homerus en Herodotus een groot succes. Dit boek beleefde nog een 11de druk in 1952. Door het werk van Friedrich Diesterweg (1790-1866) in Duitsland en E.K. Slijper en Jan Versluys (1845-1920) in Nederland maar ook in België werd de term voornamelijk gebruikt om de meetkundige vormenleer aan te duiden. Versluys is bvb o.m. bekend voor zijn boek Leerboek der Vormleer en E.K Slijper voor het boek Vormleer of Meetkunde voor de Volksschool
(2) E. W. A. De Moor Van Vormleer naar Realistische Meetkunde een historisch-didactisch onderzoek van het meetkundeonderwijs aan kinderen van vier tot veertien jaar in Nederland gedurende de 19de en 20ste eeuw Freudenthal Instituut Universiteit Utrecht (1999)
(5) Van deze zeer belangrijke stelling zijn volgens Wikipedia meer dan driehonderd bewijzen bekend. Een overzicht van de belangrijkste bewijzen vindt men in het boek : De interessantste bewijzen voor de Stelling van Pythagoras van Bruno Ernst (Epsilon, -2006-).
(Hoofdstuk 5 "Wiskunde in het Lager Primair Onderwijs")
§ 5.2 Arithmetiek met Meester Berghmans
In de lagere afdeling van het Sint Lodewijkscollege, meer precies bij Meester Depoorter en Meester Berghmans werd het onderricht in het executief gedeelte van de Praktische Arithmetiek verder gezet, met o.a. de machtsverheffing en de worteltrekking. Ook werd meer en meer de nadruk werd gelegd op allerhande praktische toepassingen van de Rekenkunde zoals percentrekening, intrestrekening, menging van waren en legeringen.
Geleidelijk aan werd echter ook meer aandacht besteed aan het theoretisch deel van de Arithmetiek. Dit was dan voornamelijk het geval in het zevende leerjaar, bij Meester Berghmans. In feite omvatte de leerstof van het zevende leerjaar een groot gedeelte van de materie voorzien voor de zesde humaniora. Wat het leerprogramma "Arithmetiek" in het zevende studiejaar respectievelijk in de zesde humaniora inhield, weet ik niet meer heel precies. Wel herinner ik mij dat Meester Berghmans - in tegenstelling tot Meester Hillewaert- nu ook bvb de commutatieve, distributieve en dito eigenschappen van optelling, vermenigvuldiging enz. met behulp van "letters" (2) uitdrukte. Hij bevestigde wat ik al eerder in de Oosthoeks had gelezen.
In feite was deze materie een recapitulatie van de in het in het vijfde en zesde leerjaar geziene executief rekenen, waarbij nu echter ook het theoretisch gedeelte (eindelijk) wat meer op de voorgrond trad.
Het uiteindelijk resultaat was wel, dat wij het "waarom moet het zó en niet anders" van de rekenkundige bewerkingen begrepen en dat vond ik uitermate belangrijk!!!
1° de begrippen natuurlijk getal en het getal nul
Volgens Meester Berghmans was het begrip natuurlijk getal ontstaan door gewoon hoeveelheden te tellen. Hij gaf verder commentaar op de regels voor het noemen van een natuurlijk getal en lichtte het Arabisch decimaal positioneel talstelsel (1) wat nader toe.
Wat een fenomenale vondst het positioneel talstelsel eigenlijk wel was, demonstreerde hij door een vergelijking te maken met het Romeinse systeem. Dit laatste systeem is noch decimaal noch positioneel is en dit is eveneens het geval met bvb het Griekse systeem. Probeer nu maar eens een eenvoudige optelling uit te voeren met getallen neergeschreven op de Romeinse wijze. Zelfs het lezen alleen al van Romeinse getallen schept al problemen.
Vraag: welk natuurlijk getal stelt MDCCCXIX voor en omgekeerd schrijf eens vijftigduizend driehonderd vijf en negentig in Romeinse cijfers..
Het getal nul werd gedefinieerd als een nulhoeveelheid d.i. wat men heden noemt een lege verzameling. Het getal nul bezat t.a.v. een willekeurig natuurlijk getal a de volgende eigenschappen: het getal nul was kleiner dan om het even welk natuurlijk getal (1); de som met een natuurlijk getal gaf steeds het natuurlijk getal (2); vermenigvuldiging met een natuurlijk getal gaf steeds het getal nul (3) :
0 < a of a > 0 (1) a + 0 = 0 + a = a (2) en a x 0 = 0 x a = 0 (3)
Later zou aangetoond worden dat voor de verheffing tot de nulde macht van een natuurlijk getal a en zelfs voor het getal nul gold: a0 = 1 en 00 = 1
Een eenvoudige manier om de natuurlijke getallen voor te stellen was de getallenrechte. d.i. een rechte, waarop een reeks gelijke lijnstukken afgemeten zijn. Duidt men het begin van het eerste lijnstuk aan door het getal nul, dan stelt het einde van het eerste lijnstuk het getal 1, het einde van het tweede lijnstuk het getal 2, het einde van het derde lijnstuk het getal 3 enz. voor. Op de afgebeelde getallenrechte zijn ook al de negatieve gehele getallen en enkele irrationele getallen (√2, het getal π , het getal e) afgebeeld.
Beschouwde men twee willekeurige natuurlijke getallen a en b op de getallenrechte dan waren deze getallen ofwel gelijk ofwel ongelijk wat aangegeven werd door de uitdrukkingen:
a = b ofwel a ≠ b met in het laatste geval of a < b of a > b
We waren al vanaf de lagere klassen vertrouwd al geraakt met de wiskundige tekens = (gelijkheidsteken) en ≠ (ongelijkheidsteken) en de tekens < (kleiner dan) en > (groter dan), de bewerkingstekens + (plusteken), (minteken), x of . (maalteken) en : of / .
Meester Berghmans legde er de nadruk op, dat het invoeren van deze tekens een geweldige vereenvoudiging betekende, want stel je even voor dat je telkens de woorden is gelijk aan of groter dan enz. voluit zou moeten uitschrijven. We hadden de indruk dat deze tekens sinds eeuwen gebruik werden, maar zei hij, dit was niet het geval. Het is slechts sinds de 18de eeuw dat deze tekens algemene ingang hebben gevonden (2) .
2° Over de optelling:
De som van twee natuurlijke getallen a en b is het getal S, dat ontstaat door het tweede getal b bij het eerste getal a op te tellen. De som S kan geschreven worden als S = a + b waarbij in beginsel op de volgorde met gelet worden. De getallen a en b noemt men de termen van de som.
Zoals Meester Hillewaert toonde Meester Berghmans met getallenvoorbeelden aan dat S = a + b = b + a m.a.w. de som verandert niet indien men de volgorde van de termen wijzigt (commutatieve eigenschap van de som). Hij schreef deze eigenschap echter nu wel in de formulevorm neer.
De som van enige natuurlijke getallen in een gegeven volgorde werd gedefinieerd als zijnde het getal dat men vindt door het tweede getal bij het eerste getal op te tellen en het derde bij de bekomen som, het vierde bij de nieuw bekomen som enz.
In letternotatie laat de som van enige (gehele) getallen zich dan schrijven als: a + b + c + d = (a + b) + c + d = (a + b + c) + d = (a + b + c + d) waarin (a + b) de som van de eerste twee getallen, (a + b + c) de som van de eerste drie getallen en tenslotte (a + b + c + d) de uiteindelijke som van de vier getallen voorstelt.
Bij overeenkomst wordt een som, die tussen haakjes staat, als uitgewerkt aanzien (eerste haakjesregel).
Vervolgens werden met getallenvoorbeelden de algemene commutatieve, associatieve en dissociatieve eigenschap van de som van de gehele getallen geformuleerd:
- eigenschap I : De som van enige getallen hangt niet af van de volgorde waarin men ze stuk voor stuk neemt (commutatieve eigenschap) of nog "Een som verandert niet, als men de vogorde van haar termen wijzigt".
a + b + c + d = b + c + a + d (1) (algemene commutatieve eigenschap)
- eigenschap II : De som van enige getallen verandert niet als men enkele (twee of meer) van die getallen door hun som vervangt (associatieve eigenschap) of nog "Een som verandert niet, als enige termen door hun uitgewerkte som vervangen worden".
a + b + c + d = a + (b + c) + d = a + b + (c +d) (2) (algemene associatieve eigenschap)
- eigenschap III : In een som mag men een term splitsen in twee of meer termen waarvan hij de som is (dissociatieve eigenschap) of nog "Een som verandert niet, als men een term in delen splitst".
a + b + c + d = a + b + c + (e + f)= a + (g + h) + c + ( e + f) (3)
met d = e + f en b = g +h (algemene dissociatieve eigenschap)
In tegenstelling met het onderwijs in de Broedersschool, waar het gebruik van letters ten stelligste vermeden werd, presenteerde Meester Berghmans dus alle voornoemde eigenschappen in formulevorm.
De optelling- zelf was de executieve bewerking, die toeliet op een vlugge manier de som van enige getallen te bepalen. Het in het lager onderwijs aangeleerde uitvoeringsmechanisme van deze bewerking, stoelde nu op voornoemde eigenschappen (1), (2) en (3).
In het tientallig stelsel is bvb ieder getal van vier cijfers op te vatten als de som van een aantal duizendtallen (D), honderdtallen (H), tientallen (T) en eenheden (E). Bijvoorbeeld 3713 kan geschreven worden als 3713 = 3D + 7H +1T + 3E (dissociatieve eigenschap). Schrijft men nu alle op te tellen getallen op analoge wijze dan kan men op een snelle en eenvoudige manier de som maken van de eenheden, de tientallen, de honderdtallen en duizendtallen (associatieve eigenschap). Eerst maakt men de som van de eenheden en noteert het aantal nieuwetientallen, die hierbij ontstaan. Vervolgens wordt de som van de tientallen gemaakt, waarbij de nieuwe tientallen gevoegd worden; men noteert het aantal nieuwe honderdtallen, die hierbij ontstaan. Dan wordt de som van de honderdtallen gemaakt waarbij het aantal nieuwe honderdtallen gevoegd worden; men noteert het aantal nieuwe duizendtallen enz.
In de praktijk schikt men de op te tellen getallen onder elkaar derwijze dat de eenheden, tientallen enz. telkens tot eenzelfde kolom behoren. Voor het uitvoeren van de bewerking begint men de kolom eenheden uiterst rechts, vervolgens gaat men over naar de kolom van de tientallen, dan naar de kolom van de honderdtallen enz. zoals aangegeven in begeleidende figuur. Het is overduidelijk dat naargelang het aantal en de grootte van de termen van de som, de optelling heel wat rekenwerk vraagt.
3° Over de aftrekking:
Het verschil tussen twee ongelijke natuurlijke getallen a en b is het getal, dat bij het kleinste op te tellen is om het grootste te verkrijgen. Het grootste getal noemt men aftrektal, het kleinste de aftrekker. Het verschil kan geschreven worden als V = a b waarbij uitdrukkelijk a > b gesteld wordt.
De aftrekking is de bewerking die ons het verschil van twee getallen leert vinden. De aftrekking is slechts dan uitvoerbaar als het aftrektal groter (of gelijk is aan) de aftrekker.
De hoofdeigenschappen van de aftrekking zijn:
- eigenschap I : Om een verschil V = b c bij een getal a op te tellen, telt men de eerste term van het verschil (aftrektal) bij het getal en van de komende som trekt men de tweede term (aftrekker) af
In formule vorm a + (b c) = a + b c (1)
Het tweede lid in de uitdrukking (1) noemt men een drieterm. Door deze uitdrukking van rechts naar links te lezen komt men tot de tweede haakjesregel: Indien haakjes in een drieterm ingevoerd worden en er voor die haakjes een plusteken staat, laat men de tekens van de termen, die tussen haakjes geplaatst worden, zoals ze zijn.
- eigenschap II : Om een verschil V = b c van een getal a af te trekken, trekt men de eerste term (aftrektal) af van het getal en telt men de tweede term (aftrekker) bij het komende verschil op (in de onderstelling dat de eerste bewerking uitvoerbaar is)
In formulevorm a (b c) = a b + c (2)
Door de uitdrukking (2) van rechts naar links te lezen kwam men tot een derde haakjesregel : Indien haakjes in een drieterm ingevoerd worden en er voor die haakjes een minteken staat, keert men het teken om van de tweede term, die onder haakjes geplaatst wordt.
Het in de lagere school aangeleerde mechanisme van de aftrekking steunt op de volgende afgeleide eigenschappen:
- eigenschap III : "Om een som van een som af te trekken, mag men de termen van de tweede som van bepaalde termen van de eerste som aftrekken en de komende verschillen optellen"
(a + b) (c +d) = (a c) + (b d) (3) waarbij dan uitdrukkelijk ondersteld wordt dat
a > of = c en b > of = d
- eigenschap IV : "Een verschil verandert niet als men aftrektal en aftrekker met een zelfde getal vermeerdert of vermindert"
(a b) = (a + c) (b + c) (4) en (a b) = (a c) (b c) (5)
Het volstaat nu aftrektal en aftrekker bvb in DHTE notatie neer te schrijven om de klassieke uitvoeringsregels van de aftrekking te begrijpen:
- de aftrekker wordt zo onder het aftrektal geschreven dat eenheden van dezelfde orde in een zelfde kolom komen te staan
- van rechts naar links werkend, wordt elk cijfer van de aftrekker van het daarboven staande cijfer afgetrokken
- is een van die aftrekkingen niet uitvoerbaar, dan wordt het cijfer van het aftrektal met 10 vermeerderd, en het volgend cijfer van de aftrekker met 1
Deze bewerkingsregels vloeien rechtstreeks voort uit de uitdrukkingen (3), (4) en (5).
4° Over veeltermen :
De uitdrukkingen (1) en (2) leiden nu tot het begrip veelterm. Een veelterm is een reeks optellingen en aftrekkingen, die in een bepaalde volgorde te verrichten zijn.
Bvb de veelterm N = 15 7 + 14 + 9 7 of in formulevorm
N = a + b c + d + e f.
De termen, waar een plusteken voorafgaat noemt optellers, de termen voorafgegaan door een minteken aftrekkers. Men aanziet de eerste term van de veelterm als voorafgegaan door een plusteken.
- stelling I : De waarde van een veelterm hangt niet af van de volgorde van zijn termen (in de onderstelling dat de bewerkingen uitvoerbaar zijn en dat de eerste term een opteller is)
- stelling II : Elke veelterm is het verschil van de som van de optellers en de som van de aftrekkers
N = a + b c + d + e f = (a + b + e) (c + f)
- stelling III : Om bij een getal p een veelterm N op te tellen schrijft men de termen met hun teken achter het getal
p + N = p + (a + b c + d + e f) = p + a + b c + d + e f (1)
- stelling IV : Om van een getal p een veelterm N af te trekken, schrijft men de termen achter het getal na hun tekens omgekeerd te hebben
p N = p (a + b c + d + e f ) = p a b + c d e + f (2)
Net als voor de drieterm vloeien uit de stellingen III en IV dan volgende algemene haakjesregel voor veeltermen voort:
Voert men in een veelterm haakjes in dan:
- indien een plusteken vóór de haakjes staat, laat men de tekens van de termen, die tussen haakjes geplaatst worden zoals ze zijn
- indien een minteken vóór de haakjes staat, keert men de tekens om van de termen, die tussen haakjes geplaatst worden, behalve het teken van de eerste term
(wordt voortgezet)
---------------------------
(1) Voor wie iets meer over getallen en talstelsels wil weten kan ik bvb verwijzen naar Spelen met Getallen een fascinerend boek voor jong en oud- (Thieme, -1951-) van Fred Schuh. Over deze auteur, die ik eerst maar na mijn humaniora werkelijk ontdekte, zal ik het later uitvoerig hebben, want hij heeft door zijn vele geschriften een grote invloed op mijn wiskundige ontwikkeling uitgeoefend.
(2) In het "Complement der Algebra" van de collectie De Vaere - Herbiet vindt men volgende aanduidingen (p. 6):
- Het gebruik van letters om getallen voor te stellen stamt reeds van Jordanus Nemorarius; het systematisch gebruik dateert echter maar van Vieta in zijn "Artem analyticam isagogé" van 1591.
- De meeste tekens die we tegenwoordig gebruiken schijnen door de Duitse en Engelse wiskundigen ingevoerd te zijn. In een boek voor handelsrekenenen van Johan Widmann, te Leipzig in 1489 uitgegeven komen het + en het - teken voor; ze schijnen echter slechts als afkortingstekens gebruikt te worden. De Arabieren gebruikten reeds de deelstreep om een de deling aan te duiden.
- In zijn Algebra van 1557 gebruikt de Engelse medicus Robert Recorde het teken = voor de gelijkheid. Hij zegt hierbij dat twee zaken niet beter gelijk kunnen zijn dan de twee evenwijdige strepen, waaruit het samengesteld is. Vieta schrijft echter a = b om de aftrekking a - b voor te stellen! Vroeger was er een betrekkelijk grote variëteit van tekens om eenzelfde verschijnsel aan te duiden en bij het lezen van wiskundige werken uit de zestiende en zeventiende eeuw moet men hiermede rekening houden. Daarentegen heeft het gelijkheidsteken bij Fermat en Descartes heeft veel weg van het symbool dat we thans gebruiken om oneindig voor te stellen; het is waarschijnlijk een vervormde schrijfwijze van de ineengestrengelde letters a en e van het latijnse woord aequus (gelijk).
- De ongelijkheidstekens < en > vinden we voor het eerst bij de Engelse wiskundige Harriott in een werk van 1631.
- Bombelli en Stevin (1572 en 1585) gebruiken om de machten van een getal aan te duiden een cijfer in een kringetje of een onderstreept cijfer. De moderne schrijfwijze voor de machten stamt van Descartes af.
(Hoofdstuk 5 "Wiskunde in het Lager Primair Onderwijs")
§ 5.1 Arithmetiek met Meester Hillewaert
In het vierde en vijfde leerjaar kwam ik terecht bij Meester Hubert Hillewaert, een uitstekende doch strenge onderwijzer. Een man, die niet met zich liet sollen en niet aarzelde de lat of de regel te hanteren indien het nodig was. In die jaren was er immers nog geen sprake van ADHD (acroniem voor Attention Deficit Hyperactivity Disorder) in het Nederlands Aandachtsstoornis met hyperactiviteit. Toen heette dit zogezegde syndroom nog gewoon niet opletten of dromen in de klas, en met andere zaken bezig zijn. Eerlijk gezegd, als ik lees wat Gezondheid.be de gezondheidssite voor Vlaanderen- (1) hierover schrijft, rijzen mijn haren ten berge. Voor mij is dit echt een schoolvoorbeeld van hoe biowetenschappers kunnen ontsporen !!!
Meester Hillewaert legde net zoals Broeder Carissimus de nadruk op het pragmatische. Hij ontweek dus helemaal niet de vraag waar is dit nu goed voor? Bij hem was het dor van buiten leren tot een minimum herleid. Wat hij ons vertelde was zelfs voor schoolbengels erg interessant en de meeste leerlingen volgden dan ook met aandacht zijn uiteenzettingen. Merkte hij dat een van ons toch onoplettend was (en dus zogezegd leed aan een aandachtsstoornis), dan deed een harde slag met de grote lat op de bank de onverlaat onmiddellijk tot de schoolse realiteit terugkeren. Was een bengel hyperactief in de zin dat hij de klas overhoop wou zetten, wat overigens maar zelden gebeurde, dan brachten een oorveeg of een vijftal minuten rechtop op de knieën zitten het liefst op de scherpe rand van de trede- de deugniet wel tot andere gedachten. Overigens wist hij ook zeer goed dat deugnieten als wij maar hoogstens een tiental minuten werkelijk met volle aandacht een uiteenzetting konden volgen. Daarom aarzelde hij niet zijn uiteenzetting even te onderbreken met een kwinkslag om dan opnieuw de volle aandacht te kunnen vragen. Voor hem moest de leerlingen al spelend leren. Hij VOELDE de klas aan, hij WIST wanneer wij het begrepen hadden, en indien dit niet het geval was, probeerde hij het op een andere manier uit te leggen.
Arithmetiek in het Lager Onderwijs
In de Broedersschool was de Arithmetiek ofte Rekenkunde gericht op de praktische toepassingen vandaar soms de benaming Praktische Arithmetiek(2) (voor meer details zie cursiefje "Wat is Arithmetiek?" in blog 2). Zij was voornamelijk gecentreerd op een executief gedeelte, dat Rekenen genoemd werd. Dit executief gedeelte zal trouwens in de lagere humaniora (of in het MULO of MAVO) nog verder uitgebreid worden tot de vierkantswortel- en kubiekworteltrekking, wat door de schoolbengels toen zo wat als het absolute summum van de cijferkunst werd aanzien.
Er was in het primaire onderwijs helaas geen ruimte voor bvb amusante spelletjes met getallen. En dergelijke spelletjes met getallen bestonden wel degelijk zoals het boek "Spelen met Getallen -een fascinerend boek voor jong en oud- " van Fred. Schuh liet zien. Ik zou later met deze grote Nederlandse wiskundige nog kennis maken in het middelbaar en universitair onderwijs.
Van een systematische theoretische behandeling van de eigenschappen van de natuurlijke getallen (3) was er überhaupt ook geen sprake. Toch deed Meester Hillewaert zijn uiterste best om met enkele getallenvoorbeelden een en ander duidelijk te maken. Gelukkig kon ik echter bij mij thuis -in het geniep- af en toe eens de Oosthoeks-encyclopedie inkijken, waardoor voor mij heel wat zaken klaarder en vooral boeiender werden.
Rekenen werd er in de lagere school om zo te zeggen als een soort doctrine in gehamerd. Dit rekenen -dit soort dogmatische rekenkunde- omvatte uitsluitend de praktische algoritmen en uitvoeringsregels van de rechtstreekse hoofdbewerkingen (de optelling en de vermenigvuldiging) en de omgekeerde hoofdbewerkingen aftrekking en deling (de bekende staartdeling). Op het hoe en waarom van deze uitvoeringsregels werd niet ingegaan en voor de meeste schoolbengels kwamen deze regels dan ook over als een soort « evangelie» ofte «catechismus»: het was nu eenmaal zo en niet anders. Dat hiervoor ook een absolute parate kennis van de Tafels van Vermenigvuldiging onontbeerlijk was, ondervonden vele bengels wel aan den lijve. Ook werd enorm belang gehecht aan het zogenaamde « hoofdrekenen » en werd er aan « snelrekenen » gedaan, waarbij sommige bengels zich plots ontpopten als echte rekenvirtuozen.
Wellicht is deze dogmatische benadering er mede de oorzaak van dat zovelen een aversie gekregen hebben voor alles wat maar enigszins naar wiskunde zweemt??? Best mogelijk, maar situaties zoals zich bvb nu in het basisonderwijs (huidige benaming van het vroegere primair onderwijs) voordoen en waarbij op de zogenaamde realistische rekenkunde wordt beroep gedaan, lijken mij evenzeer verwerpelijk en nefast!
1- over optelling en aftrekking
Met behulp van de zogenaamde getallenrechte (waarover meer in volgend cursiefje) toonde Meester Hillewaert aan dat tussen twee natuurlijke getallen steeds één en slechts één relatie kan bestaan: ofwel is het eerste getal kleiner dan, ofwel is het eerste getal groter dan, ofwel is het eerste getal gelijk aan het tweede getal.
Verder maakte Meester Hillewaert ons aan de hand van getallenvoorbeelden duidelijk wat optellen respectievelijk aftrekken was. In feite toonde hij de mogelijkheid en vooral de ondubbelzinnigheid van de optelling respectievelijk aftrekking aan: Uit twee natuurlijke getallen is door optelling respectievelijk aftrekking één en slechts één natuurlijk getal af te leiden.
De som van enige getallen bvb 9, 7, 4.. die in een bepaalde volgorde gegeven zijn, is het getal dat men vindt door het tweede bij het eerste op te tellen, en het derde bij de bekomen som. Deze definitie laat zich schrijven als: 9 + 7 + 4 = (9 + 7) + 4 = (9 + 7 + 4)
Met behulp van getallenvoorbeelden toonde Meester Hillewaert de grondeigenschappen van de optelling (commutatieve en associatieve eigenschappen) aan.
Zo is (4 + 7) + 2 = 13 anderzijds is (7 + 4) + 2 = 13 derhalve is (4 + 7) + 2= (7 + 4) + 2.
Het wisselen van de termen in de som heeft geen invloed op het eindresultaat. Deze eigenschap wordt de commutatieve eigenschap van de optelling genoemd.
Verder is (4 + 7) + 2 = 11 + 2 = 13 maar ook 4 + (7 + 2) = 13 derhalve (4 + 7) + 2 = 4 + (7 + 2)
De som van enige getallen hangt niet af van de volgorde waarin men ze stuk voor stuk neemt. Deze eigenschap wordt de associatieve eigenschap van de optelling genoemd.
De aftrekking werd dus eveneens aanschouwelijk gedefinieerd met een getallenvoorbeeld : 14 + ? = 11. ? werd het verschil tussen 14 (het aftrektal) en 11 (de aftrekker) genoemd en geschreven als 14 11.
De aftrekking was in principe alleen mogelijk indien het aftrektal groter was dan de aftrekker. Het geval dat aftrektal gelijk was aan de aftrekker (bvb 8 - 8 en dus 8 + ? = 8) voerde tot een bijzonder getal, het getal "nul".
Indien men naast het cijfer nul, ook het getal nul invoerde was de aftrekking mogelijk indien het aftrektal groter of gelijk was aan de aftrekker. Het getal nul is echter geen natuurlijk getal; het bezit een aantal eigenschappen, die verschillend zijn van deze van het natuurlijk getal (zie volgend cursiefje).
2- over de vermenigvuldiging
Het product van een getal, vermenigvuldigtal geheten, met een ander getal, de vermenigvuldiger, is de som van zoveel getallen gelijk aan het vermenigvuldigtal als er eenheden zijn in de vermenigvuldiger. Vermenigvuldigtal en vermenigvuldiger worden de factoren van het product genoemd. Een product van twee getallen bvb 6 en 3 schrijft men als 6 x 3 waarbij het eerste getal het vermenigvuldigtal, het tweede de vermenigvuldiger aan wijst.
Zoals bij de optelling heeft de volgorde van de factoren geen invloed op het eindresultaat. Uit de Tafels van Vermenigvuldiging blijkt bvb dat 3 x 5 = 15 en 5 x 3 = 15 derhalve is 3 x 5 = 5 x 3. Deze vaststelling is algemeen want kon uitgebreid worden op gelijk welk getallenvoorbeeld. En hij kwam aldus tot de uitspraak:
Bij de vermenigvuldiging heeft de volgorde van de factoren van het product geen invloed op het eindresultaat (commutatieve grondeigenschap).
Hij hield het bij een verbale uitspraak en vermeed dit resultaat in "formulevorm" weer te gegeven, want zoals het merendeel van zijn collegas respecteerde hij het strenge voorschrift dat bij het rekenkundig (4) onderricht alleen cijfers en geen letters mochten gebruikt worden. Letters? Dat was immers algebra en dat mocht niet.
Meester Hillewaert wees verder nog op een erg belangrijke eigenschap van de vermenigvuldiging. Stel dat je het product moet berekenen van een som met een getal bvb (7 + 3) x 4. Volgens de regel moet je eerst de bewerking tussen de haakjes uit werken en vervolgens de vermenigvuldiging uitvoeren dus (7 + 3) x 4 = 10 x 4 = 40. Maar je komt tot hetzelfde resultaat als je de afzonderlijke termen van de som met 4 vermenigvuldigt en vervolgens de som maakt. Inderdaad is (7 x 4) + (3 x 4) = 28 + 12 = 40. Men kan dus schrijven (7 + 3) x 4 = (7 x 4) + (3 x 4). Ook voor andere sommen is dit het geval bvb voor (8 + 2) x 3 en (17 + 33) x 13 en hij vroeg dit even na te gaan. Deze eigenschap is dus algemeen en wordt zoals ik later vaststelde- de distributieve eigenschap van de vermenigvuldiging genoemd.
Stel nu dat je van drie getallen het product moet berekenen bvb ( 7 x 5) x 4 dan bereken je eerst 7 x 5 = 35 en vermenigvuldig je het bekomen resultaat met 4 dus 35 x 4 = 140. Let wel dat je nu hetzelfde resultaat bekomt als je eerst 5 x 4 berekent en vervolgens vermenigvuldigt met 7. Inderdaad 7 x (5 x 4) = 7 x 20 = 140. Men kan dus schrijven (7 x 5) x 4 = 7 x (5 x 4). Ook deze eigenschap is algemeen en wordt de associatieve eigenschap van de vermenigvuldiging genoemd.
Een speciale rekenkundige bewerking was het vermenigvuldigen van een getal met zichzelf, wat kwadrateren of verheffen tot de tweede macht genoemd werd. Voortgaande op de ingeslagen weg, werd het bekomen resultaat (het kwadraat van het getal) opnieuw vermenigvuldigd met dit getal, wat dan verheffen tot de derde macht genoemd werd. Bvb 7 X 7 werd voorgesteld door 7² en 7 x 7 x 7 door 7³.
Zo kon men natuurlijk verder doorgaan en werd aldus, naast de vier klassieke operaties (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) een vijfde rekenkundige operatie gecreëerd: de machtsverheffing.
* * *
In de Oosthoeks van mijn vader had ik nu echter ontdekt dat bvb de commutatieve eigenschap van optelling respectievelijk vermenigvuldiging heel eenvoudig kon voorgesteld worden door:
a + b = b + a en a x b = b x a (of a . b = b . a) waarin a en b om het even welk natuurlijk getal voorstelden. Deze manier van voorstellen leek mij uiterst eenvoudig en bovendien erg begrijpelijk.
Op dezelfde manier kon ik de verbale uitspraken over de associatieve grondeigenschap van de optelling vertalen als:
(a + b) + c = a + (b + c)
en de distributieve grondeigenschap van de vermenigvuldiging als: (a + b) x c = a x c + b x c
Wat de relatie tussen twee natuurlijke (gehele) getallen a en b betreft kon, volgens de Oosthoeks, slechts één van de drie volgende relaties van toepassing zijn: ofwel was a < b, ofwel was a > b, ofwel was a = b. Deze uitspraak vond ik evident.
De hoofdbewerking aftrekking werd dan gedefinieerd als het vinden van een geheel getal x derwijze dat a + x = b of x = b a
Die " x " was dan het onbekend getal dat moest gezocht worden. Meester Hillewaert duidde deze "x" natuurlijk aan door een ?, want hij mocht geen letters gebruiken!!
De te zoeken x noemde men het verschil tussen het aftrektal b en de aftrekker a. Deze bewerking was in principe alleen mogelijk indien a < b of a = b was. Het getal nul (niet te verwarren met het cijfer nul) werd dan gedefinieerd door a - a = 0 waaruit natuurlijk volgde a + 0 = a.
Nochtans leek mij een uitbreiding van het getalbegrip al evident, door heel eenvoudig de aftrekking ook te definiëren voor a > b : introductie van negatieve gehele getallen gesymboliseerd door -x en symmetrische uitbreiding van de getallenrechte langs de linkerzijde van het getal 0. Meester Hillewaert had het toch toen ook al over negatieve temperaturen dus waarom niet over negatieve getallen?
Deze getallenuitbreiding werd eerst maar in het Lager Middelbaar (vijfde humaniora of tweede Rijksmiddelbaar) ingevoerd en werd toen als "algebra" voorgesteld.
Wat de speciale bewerking "machtsverheffing" betrof, leerde de Oosthoeks dat er niet alleen een verheffing tot de tweede en tot de derde, maar ook tot de vierde, vijfde enz. bestond.
Algemeen kon men de n-de machtsverheffing van een willekeurig natuurlijk getal a voorstellen door a x a x a x a... (n keer) door an met n een natuurlijk getal. Derhalve kon men schrijven a x a x a x a.... (n maal) = an . Een dergelijke schrijfwijze voerde onmiddellijk tot a1 = a.
Let wel dat de machtsverheffing nog niet gedefinieerd werd t.a.v. het getal nul bvb wat moet men verstaan onder a0 ??? Dat was stof voor later (zie volgend cursiefje)
3- over deling en deelbaarheid :
Maar terug naar Meester Hillewaert. Met hem werd de deelbaarheid van de natuurlijke (gehele) getallen eveneens praktisch bekeken d.i. door het uitvoeren van allerhande delingen. Vooreerst werd, precies zoals bij de aftrekking, met een eenvoudig getallenvoorbeeld gedefinieerd wat deelbaarheid was.
Zo gaf hij ons volgend eerste voorbeeld: 3 x ? = 12 welk getal stelt ? voor?? Natuurlijk uit de Tafels van Vermenigvuldiging kenden wij het antwoord: 4. Deze bewerking werd deling genoemd en voorgesteld als: 12 : 3 = ? of nog 12/3 = ? Het getal 12 werd het deeltal, het getal 3 de deler genoemd, de oplossing het natuurlijk getal 4 het quotiënt.
Anderzijds was er geen natuurlijk getal aan te wijzen dat bvb voldeed aan:
tweede voorbeeld : 5 x "?" = 12 d.i. 12 : 5 = "?" of 12/5 = "?" ; derde voorbeeld : 7 x ? = 12 d.i. 12 : 7 = ? of 12/7 = ? ; vierde voorbeeld : 2 x "?" = 3 d.i. 2 : 3 = "?" of 2/3 = "?"
Wel hadden wij al bij Broeder Carissimus geleerd hoe de delingen 12 : 5 respectievelijk 12 : 7 en 2 : 3 uit te voeren. In het eerste geval was het resultaat een eenduidig decimaal getal 2,4 en in het tweede geval eveneens een decimaal getal : 1,714285 in het derde geval het decimaal getal 0,666666... Maar hoe ver men ook ging met het uitvoeren met de deling, er bleef steeds een restover. Toch werd deze rest steeds kleiner en men nam aan dat de verhouding (ratio) 12/7 respectievelijk 2/3 ook een eenduidig getal voorstelde dat men met een decimaal getal kon benaderen.
In het eerste voorbeeld sprak men van een opgaande deling en was het deeltal deelbaar door de deler d.i. gaf de deling een natuurlijk getal; in het tweede voorbeeld was de deling wel opgaand, maar het resultaat was een decimaal en geen natuurlijk getal. In het derde en vierde geval tenslotte waren de delingen niet-opgaand en gaven alleen benaderende decimale getallen.
Beschouwde men nu 12/5 respectievelijk 12/7 en 2/3 ook als getallen dan konden wij met deze getallen eveneens bewerkingen (samentellen, vermenigvuldigen...) uitvoeren, door eerst over te gaan op decimale getallen en vervolgens deze operaties uit te voeren. Wij kenden immers sedert de lessen van Broeder Carissimus de rekenregels (optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling) voor decimale getallen. Deze rekenregels waren dezelfde als voor de natuurlijke getallen, de "komma-regels" te na gesproken.
Maar was het niet mogelijk deze "decimale" tussenstap te vermijden ?? Het antwoord was ja door middel van de speciale rekenregels voor gebroken getallen d.i. "breuken", in te voeren.
* * *
Breuken, de nachtmerrie van vele schoolkinderen.
Om te beginnen werd de definities echte en onechte breuken ingevoerd : bij een onechte breuk is de deler (voortaan noemer geheten) kleiner dan het deeltal (voortaan teller genoemd), bij een echte breuk daarentegen is de deler (noemer) kleiner dan het deeltal (teller). Voorbeeld 4/3 is een onechte, 3/4 een echte breuk.
- de grondeigenschap van gebroken getallen of breuken :
Uit de eigenschappen van de deling is af te leiden dat bvb 2/9 = 4/18 want 2/9 = (2.2)/(2.9) m.a.w. vermenigvuldigen van teller en noemer met eenzelfde natuurlijk getal geeft dezelfde breuk. Het is deze grondeigenschap die aan de basis ligt van het vereenvoudigen respectievelijk gelijknamig maken van breuken.
- het optellen en aftrekken van breuken :
De volgende stap was dan het optellen van breuken te definiëren. En het is hier dat appels, peren en taarten begonnen een rol te spelen. Voorbeeld 1/7 + 1/7 werd vertaald als een zevende van een taart samentellen bij een ander zevende van een taart. Het antwoord was natuurlijk 2/7 en het resultaat kon dan neergeschreven worden als 1/7 + 1/7 = 2/7. Ander voorbeeld 1/7 + 4/7 = "?". Het antwoord was overduidelijk 1/7 + 4/7 = 5/7 m.a.w. om breuken breuken met dezelfde noemer (gelijknamige breuken genoemd) samen te tellen volstaat het de tellers samen te tellen.
Goed, maar hoe breuken met ongelijke noemer (ongelijknamige breuken) samentellen bvb 2/7 + 3/5 = "?". Het antwoord was door ze gelijknamig te maken :
In woorden uitgedrukt : om breuken gelijknamig te maken volstaat het teller en noemer van de ene breuk te vermenigvuldigen met de noemer van de andere breuk en vice versa.
Het aftrekken van breuken kon natuurlijk op analoge wijze ingevoerd worden : dus eerst gelijknamig maken en vervolgens de aftrekking op de nieuwe tellers uitvoeren. Deze aftrekking was slechts mogelijk indien de nieuwe teller van het aftrektal groter was dan de nieuwe teller van de aftrekker.
-het vermenigvuldigen van breuken :
Vooreerst werd het vermenigvuldigen van een breuk met een geheel getal beschouwd : bvb 2/5 x 3 = "?" Vermenigvuldigen van een getal met een natuurlijk getal is dit getal zoveel maal optellen als dit natuurlijk getal aangeeft dus : 2/5 x 3 = 2/5 + 2/5 + 2/5 = 6/5.
Vandaar de regel : om een breuk met een natuurlijk getal te vermenigvuldigen, vermenigvuldigt men de teller met dat getal en behoudt de noemer.
Vervolgens werd de deling van een breuk door een geheel getal onderzocht en dit was voor vele schoolbengels zonder enige twijfel de moeilijkste stap. Zij bvb een breuk waarvan de teller deelbaar is door het geheel getal : bvb 6/13 : 2 = "?". Men ziet onmiddellijk dat 6/13 : 2 = 3/13 want 3/13 x 2 = 6/13. Beschouw nu het geval dat de teller niet deelbaar door het natuurlijk getal bvb 6/13 : 5 = "?" Zich baserend op de grondeigenschap van breuken kan men schrijven : 6/13 : 5 = (6.5)/(13.5) : 5 = 30/45 : 5 = 6/45.
Vandaar de regel : om een breuk te delen door een natuurlijk getal, vermenigvuldigt men de noemer van de breuk met dit getal en behoudt de teller.
Op basis van voorgaande regels werd nu het product van twee breuken afgeleid en gedefinieerd : Het product van twee breuken is een breuk, waarvan de teller het product is van de tellers en de noemer het product is van de noemers.
- het delen van breuken :
Bleef nu nog de deling bij breuken te definiëeren. Bvb 3/7 : 5/8 = "?" Teneinde dit op een elegante manier te doen werd het belangrijke begrip omgekeerd getal geïntroduceerd : Twee getallen (geheel of gebroken) heten elkaars omgekeerde, als hun product gelijk is aan 1. Bijvoorbeeld 3/5 en 5/3 zijn elkaars omgekeerde want, in hoofde van wat voorafgaat, is 3/5 x 5/3 = (3.5)/(5.3) = 1 Delen door een getal is net hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde van dit getal m.a.w. 3/7 : 5/8 = 3/7 x 8/5 = (3.8)/(7.5) = 24/35
Vandaar de regel : Het quotiënt van twee breuken is een breuk waarvan de teller het product is van de teller van het deeltal met de noemer van de deler en waarvan de noemer het product is van de noemer van het deeltal met de teller van de deler.
* * *
Dank zij de Oosthoeks kon ik het aangeleerde op eenvoudige wijze met letters samenvatten:
In het eerste voorbeeld (geval van een opgaande deling met als resultaat een natuurlijk getal) had men:
b . q = a (a is deeltal, b is deler, q is quotiënt).
De hoofdbewerking deling werd dan gedefinieerd als het vinden van een geheel getal q derwijze dat b . q = a of anders uitgedrukt a : b = q of a/b = q. De te zoeken q noemde men het quotiënt van het deeltal a en de deler b. De deling leverde hier één natuurlijk getal op en was dus een ondubbelzinnige bewerking.
In de andere voorbeelden leverde het delen geen natuurlijk getal op. Maar men kon de verhouding van deeltal op deler a/b als een nieuw soort getal, een gebroken getal (breuk) A = a/b beschouwen. Dit nieuwe getal werd dan als het nauwkeurig quotiënt van de getallen a en b beschouwd.
De "Oosthoeks" definieerde nu de verhouding (ratio) a/b van twee natuurlijke getallen a en b als een rationaal getal . Een andere, volgens Schuh betere benaming voor rationaal getal is meetbaar getal.
Rationale (of dus meetbare) getallen omsloten zowel de natuurlijke getallen als de gebroken getallen (breuken). Een willekeurig natuurlijk getal n kon immers steeds als een verhouding n/1 geschreven worden. Het betrof dus een uitbreiding van het begrip natuurlijk getal.
De hoofdbewerkingen met de gebroken getallen dienden echter derwijze gedefinieerd te worden dat ze natuurlijk niet in tegenspraak waren met de regels voor de hoofdbewerkingen op de natuurlijke getallen. De "Oosthoeks" voerde dan ook "speciale" rekenregels in voor breuken:
Zij nu bvb de rationale getallen (inzonderheid breuken) A = a/b en B = c/d dan was bij definitie:
A + B = (ad + bc)/bd ; A - B = (ad - bc)/ bd ; A x B = a/b x c/d = a.c/b.d ; A : B = a.d/b.c
Waren A en B natuurlijke getallen (A = n/1 en B = m/1) dan vond men door substitutie de rekenregels voor de natuurlijke (gehele) getallen terug.
Commutatieve en associatieve eigenschappen bleken onverminderd te gelden ook voor de rationale getallen.
4- over priemgetallen, de hoofdstelling van de rekenkunde, GGD en KGV
Hoe kon men nu zonder de deling uit te voeren op voorhand merken of een bepaald geheel getal deelbaar was door 2, 3, 4, 5, 8, 9 ?? Bestonden er dergelijke regels?? Hij liet ons aan de hand van praktische voorbeelden en op intuïtieve wijze zien dat dit inderdaad het geval was. Bijvoorbeeld een getal was deelbaar door vier als de laatste cijfers rechts nullen zijn of een getal vormen dat deelbaar is door vier; een getal is deelbaar door drie, als de som van de cijfers van het getal deelbaar is door drie enz.
Een even getal was bij definitie deelbaar door 2, een oneven niet deelbaar door 2. Even getallen konden dus algemeen voorgesteld worden door 2.k , een oneven getal door 2.k + 1
Het onderzoek naar de deelbaarheid leidde onvermijdelijk tot het begrip priemgetal(5) of ondeelbaar getal d.i. een natuurlijk getal dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Een deelbaar (of samengesteld) getal had dan minstens drie delers. Volgens deze definitie was het getal 1 zelf een priemgetal, maar in feite had het getal een slechts één deler.
In de twintigste eeuw werd de definitie van priemgetal gewijzigd door te specificeren dat het getal ook groter dan 1 moest zijn zodat 1 niet langer als priemgetal kon beschouwd worden. Een priemgetal werd dan gedefinieerd als een getal met twee delers (1 en het getal-zelf), een samengesteld getal als een getal met minstens drie delers.
Deze nieuwe definitie van priemgetal was nodig in betrekking tot de hoofdstelling van de rekenkunde :
Ieder geheel getal groter dan 1 kan worden geschreven als het product van priemgetallen, en dit slechts op exact één manier (afgezien van de volgorde van de priemgetallen)
Deze belangrijke eigenschap werd door Meester Hillewaert zonder enig bewijs aangenomen en kon ik via de "Oosthoeks" als volgt vertalen:
Zij N een natuurlijk getal dan geldt voor ieder getal N = p1n x p2m x p3q... met p1, p2, p3... priemgetallen, n, m, q... de machten (exponenten) tot dewelke ieder priemgetal wordt verheven.
Deze stelling is inderdaad slechts geldig indien 1 geen priemgetal is (toon aan!!).
Een eerste stap was dus het opmaken van een lijst van priemgetallen waarbij dan een methode gebruikt werd, die al sinds de Oudheid bekend was de zogenaamde zeef van Eratosthenes (6) . Bij meester Hillewaert moesten wij aldus de lijst der priemgetallen beneden het getal 50 uit het hoofd kennen.
In een tweede stap werd dan een methode aangeleerd hoe men een (klein) natuurlijk getal moet ontbinden in priemfactoren. Het was de zogenaamde uitprobeermethode (zie onder (5)), weliswaar de eenvoudigste methode om een getal N in zijn priemfactoren te ontbonden, maar die voor grotere getallen weinig efficiënt is.
De hoofdstelling van de rekenkunde voerde nu rechtstreeks tot de begrippen GGD (Grootste Gemene Deler) en KGV (Kleinste Gemeen Veelvoud):
-een gemene deler van enige getallen is iedere deler van elk van deze getallen; de Grootste Gemene Deler van enige getallen a, b, c -genoteerd als GGD(a,b,c) - is de grootste van de gemene delers van deze getallen. Om de GGD van enige getallen te vinden ontbindt men vooreerst ieder getal in zijn priemfactoren. De GGD is het product van alle gemeenschappelijke priemfactoren, elk met de kleinste exponent waarmede hij optreedt -een gemeen veelvoud van enige getallen is ieder veelvoud van elk van deze getallen; het Kleinste Gemeen Veelvoud van enige getallen- genoteerd als KGV(a,b,c) - is het kleinste onder deze gemene veelvouden. Om het KGV van enige getallen te vinden ontbindt men vooreerst ieder getal in zijn priemfactoren. Het KGV is het product van alle gevonden priemfactoren, elk met de grootste exponent, waarmede hij optreedt.
Het KGV was volgens Meester Hillewaert vooral nuttig voor het gelijknamig maken van breuken, waardoor de kleinste gemeenschappelijke noemer kon gekozen worden.
Over andere nochtans interessante toepassingen (7) zoals bvb het tandwiel- en kalenderprobleem (modulo-rekenen) werd echter nog met geen woord gerept.
5- arithmetiek in het dagelijkse leven:
Met Meester Hillewaert had het rekenen, het cijferen, begonnen in het tweede studiejaar met Meester Vermeersch, werkelijk zijn hoogtepunt bereikt. De getallen waarmede de rekenkundige operaties ofte bewerkingen, zoals vermenigvuldigen en delen, dienden uitgevoerd te worden werden steeds groter, de optellingen steeds langer en meer ingewikkeld. Voornoemde operaties hadden dan betrekking op de natuurlijke (gehele), de decimale getallen en natuurlijk de breuken.
Het was in die tijd ook gebruikelijk aan de leerlingen te vragen om bvb de som te maken van 1 + 2 + 3 + + 100. De beroemde wiskundige Carl Friedrich Gauss(8) (1777-1855), aan wie dit vraagstuk in zijn jeugd ook werd voorgelegd, had onmiddellijk het antwoord: 5050.
Maar in onze klas waren er geen Gauss jes aanwezig en dus bleef het maar bij lang en geduldig optellen.
Vraag: hoe kwam onze kleine Gauss aan dit resultaat ?
Tip: schrijf de sommen in stijgende respectievelijk in dalende volgorde onder mekaar...
Lange optellingen kunnen maken zonder fouten was in die tijd wel van praktisch belang. En omdat ik hier wel goed in was (ik paste gewoon de distributieve eigenschap toe nietwaar ), mocht ik mijn oudste broer vergezellen wanneer maandelijks afgerekend werd bij boer Van Mullem (Zeven Torrekes) voor de aangekochte eieren, boter, appelen enz. Artikelen zoals boter bvb waren vanaf 1 mei 1948 niet langer aan rantsoenering (9) onderworpen en werden rechtstreeks bij de bron betrokken. In de grote kamer van de boerderij, aan een zeer lange eettafel gezeten, voerde ik met uiterste nauwgezetheid mijn berekeningen uit, terwijl de boerin mij glimlachend gadesloeg. Als beloning kreeg ik telkens een grote kom havermoutpap zonder suiker en een dikke snede boerehesp.
Precies zestig jaar later toen ik de boerderij opnieuw bezocht, die nu in een residentiële wijk gelegen is, zat ik in diezelfde grote kamer. Er was nog diezelfde trap, die naar de voute- kamer leidde en diezelfde schuine deur, die toegang gaf tot de kelder, waar vroeger boter en eieren opgeslagen werden. De grote kamer functioneerde nu echter als gelagzaal. De lange eettafel was weg en vervangen door een reeks kleine tafeltjes; ook was de deur die toegang gaf tot de centrale gang en tot het achterhuis verdwenen Moeilijk om u te vertellen hoe ik mij daarbij voelde
Alleen nog dit, ik begreep zeer goed waarom Etienne, een zoon des huizes, weigerde nog eens de boerderij te bezoeken
Volgens deze bron zou ADHD naar schatting voorkomen bij 1 op 20 kinderen, wat betekent dat er in bijna elke schoolklas wel één zit! Het zou de meest door kinderpsychiaters gestelde diagnose zijn en een kinderpsychiater is er 25-30% van haar of zijn tijd mee bezig De behandeling van dit zogezegde syndroom is symptomatisch want er is nog geen geneesmiddel of andere behandeling die ADHD geneest. Wel zouden bepaalde geneesmiddelen zoals psychostimulantia (methylfenidaat (Rilatine®) en d-amfetamine (Dexedrine®) de verschijnselen verminderen en aldus de negatieve spiraal onderbreken. Amphetamines ,zelfs in kleine doses, toedienen aan kinderen.. tot waar winstbejag kan toe leiden!!
Zie ook bvb het boek van de Ieperse apotheker Fernand Haesbrouck : ADHD-medicatie medische megablunder http://www.adhdfraude.net/blog/
(2) met de term « Practische Arithmetiek » wordt in de eerste plaats het executief rekenen bedoeld d.i. de practische algoritmen alsook de theoretische basis waarop deze algoritmen gesteund zijn. Deze theoretische basis wordt in een later stadium gegeven, meestal nadat een automatisme in het executief rekenen verworven is. Bij de Practische Arithmetiek horen ook een serie practische toepassingen als bvb interestberekening, metriek stelsel enz.
(3) zie bvb http://nl.wikipedia.org/wiki/Natuurlijk_getal Natuurlijke getallen zijn het resultaat van een telling van een eindig aantal dingen. In Europa behoorde eertijds het getal nul niet tot de natuurlijke getallen, in de Verenigde staten echter wel. Beide standpunten zijn verdedigbaar. Definieert men bvb een natuurlijk getal als een getal dat een antwoord geeft op een teloperatie dan heeft het antwoord ne ullus (het Nederlandse nul is hiervan een samentrekking) wel betekenis en zou men het getal nul onder de natuurlijke getallen kunnen rangschikken.
Het getal nul bezit echter bijzondere eigenschappen, die verschillend zijn van deze van het "gewone" natuurlijk getal o.m. is het delen door nul niet toegelaten. Een aparte rangschikking van het getal nul is dus evenzeer verantwoord (voor verdere gegevens zie bvb : http://nl.wikipedia.org/wiki/0_(getal)
(4) het voorstellen van relaties en eigenschappen van getallen door letters gekoppeld aan het gebruik van bewerkingstekens (plusteken +, minteken -, vermenigvuldigingsteken x of .) en relatietekens (gelijkheidsteken =, kleiner dan <, groter dan >) werd toen inderdaad als algebra beschouwd (cf. het artikel "algèbre" in Encyclopédie Internationale Focus -Bordas-). De Bordas is een encyclopedie speciaal ontworpen voor scholieren.
Over het werk van deze Prins der Wiskunde zal ik het verder hebben.
(9) gedurende maar ook na de oorlog waren zeer veel voedingswaren en verbruiksgoederen gerantsoeneerd en het heeft heel wat tijd genomen vooraleer de rantsoeneringzegels werden afgeschaft : in november 1946 was dit geval voor confiserie, gekonfijt fruit en conserven ; op respectievelijk 7 maart, 1 april, 1 mei, 1 augustus en 1december 1947, werden achtereenvolgens volgende voedingswaren van zegels vrijgesteld : confituur, koffie, aardappelen, chocolade ; boter volgde op 1 mei 1948, brood, suiker en olie op 1 december 1948. Wat de verbruiksgoederen betreft werd de rantsoenering opgeheven in augustus 1946 voor tabak, in december 1946 voor textiel, in januari 1947 voor schoenen, in augustus 1948 voor zeep. Een en ander verklaart waarom mijn havermoutpap zonder suiker werd opgediend .
In de naoorlogse Iron Forties was Robert Burssens mijn voornaamste speelkameraad. Robert was een kerstekind want geboren op 25 december 1938. Hij was amper anderhalve maand ouder dan ikzelf, maar, daar hij van 1938 was, zat hij echter één jaar hoger. Zijn moeder was de zuster van een van mijn aangetrouwde tantes en een zeer goede kennis van mijn moeder. Hij woonde op amper een boogscheut van het Brugs kerkhof(1) . Ons eerste speelterrein was dan ook de kerkhofdreef evenals het kerkhof-zelf (!!) en natuurlijk ook de -toen nog erg landelijke- omgeving van dit kerkhof, dat o.m. grensde aan het Frans klooster (2) . Begeleidende ikoon geeft de ingang van het Brugs kerkhof weer in de chrysantentijd.
Het domein van het Frans klooster grensde aan het Brugs kerkhof en was er van gescheiden door een stoffige, eenzame en bochtige zandweg, die in de Weidestraat uitkwam. Deze gaf tevens toegang tot een boerderij, die eveneens tot het klooster hoorde. Op deze plaats omsloot een bakstenen muurtje op manshoogte het kerkhof. Het was echter voor bengels als wij een klein kunstje om over dit muurtje te wippen. Een kleine sprong en met de vingertoppen klemden wij ons vast aan de arduinen steen waarmede het muurtje bedekt was. Vervolgens trokken wij ons op en brachten een eerste elleboog op de arduinensteen en dan een tweede. Een ogenblik later zaten wij schrijlings op het muurtje en na even gekeken te hebben of er geen onraad was sprongen wij langs de andere kant naar beneden...
Met de jaren nam ons speelterritorium steeds meer uitbreiding en eind 1947 omvatte ons speelterrein ook de landerijen van het oude leenhof De Zeven Torentjes (3) . De hoofdingang tot dit leenhof was eveneens in de Weidestraat gelegen op ongeveer 300 m van het Frans Klooster. De landerijen van deze hoeve strekten zich toen uit tot het Sint Trudoledeken en de spoorweg Brugge - Eeklo. Begin van de jaren vijftig werd deze gronden echter verkaveld en in het begin de jaren zestig werd op een gedeelte van deze gronden de Sint Lucaskliniek gebouwd. De boerderij werd in 1975 gerestaureerd en omgebouwd tot een kinderboerderij. Mijn familie had zeer goede contacten met de familie Van Mullem, die tot eind de jaren zestig het beheer van de hoeve had waargenomen. Op begeleidende foto (daterend van 1956) ziet u mijn moeder en mijn oudste zuster in gezelschap van "Albert", "Lène" en Etienne, die de leeftijd van mijn oudste broer had.
In 1948 voegden wij ook nog Steenbrugge d.i. Odeghem (4) met de Sint Trudohoeve de latere hoeve Deloof- met de monumentale witgekalkte inrijpoort toe aan ons territorium. Later gingen onze verkenningstochten ofte ontdekkingsreizen zelfs tot in de bossen van het uitgestrekte domein Ryckevelde (5) dat grensde aan de gemeente Sijsele
In de Broedersschool hadden wij iedere Donderdagnamiddag vrijaf, en Robert kreeg dan van zijn moeder de nodige centen (4 BF) om Kuifje, het weekblad voor kinderen van 7 tot 77 jaar, te kopen. In 1947 en 1948 heb ik dan ook de spannende avonturen van Blake en Mortimer (Het Geheim van de Zwaardvis van Edgar Jacobs), van Alix (Alix de Onversaagde van Jacques Martin) en last but not least van Kuifje en Kapitein Haddock zelf (De Zonnetempel van Hergé) gevolgd, -wat zeg ik- werkelijk meebeleefd. In hetzelfde weekblad verscheen in 1948 ook Het Spaanse Spook van Willy Vandersteen, maar de stijl was helemaal anders dan in de klassieke Suske en Wiske albums.
Al deze stripverhalen prikkelden onze fantasie en nodigden ons uit om ook een avontuurlijk leven te gaan leiden. Zoals onze helden dienden wij ons ook uit te rusten met de nodige wapens o.m. een zakmes en een katapult (in het West-Vlaams: een schietlap), en verder een toorts maar dan in de modernere versie van een zaklamp, en een drinkbus ter vervanging van de kalebas (6). Bij onze helden werd de kalebas immers gebruikt als kruik en drinkbeker
Dank zij mijn oudste broer had ik tegen klinkende munt - een stevig Engels zakmes uit WOII weten te bekomen. In die jaren was mijn oudste broer een echte sjacheraar, die uit alles munt wist te slaan want hij spaarde voor een fiets. Uiteindelijk is hij wel in zijn groots opzet geslaagd want in 1948 was hij de trotse eigenaar van een prachtige rode fiets met houten velgen, die voorzien waren van mooie tweekleurige banden. Deze fiets was trouwens uitgerust met een torpedorem, wat toen doorging als een maximum van remcomfort.
Een katapult vervaardigen was ook geen probleem indien men de juiste onderdelen wist te vinden. De wigvormige vork werd uit een hazelaarstruik gesneden. De schors mocht niet van het hout verwijderd worden want in dit geval verloor de vork zijn veerkracht. Het meest delicate punt was echter het gummilint (in het West-Vlaams : de rekker). Gummilinten werden normaal gesneden uit versleten binnenbanden voor fietsen, maar juist deze laatste waren vlak na WOII van zeer bedenkelijke kwaliteit. Beter was natuurlijk linten te snijden uit binnenbanden voor autos, maar dit artikel was erg zeldzaam. Het snijden van gummilinten was erg moeilijk want de minste inkeping veroorzaakte bij het uitrekken een doorscheuren van het lint. Een stuk soepel leer, gesneden uit een versleten ransel of schoen, diende verder om het projectiel in te leggen. Het aanbrengen van het gummilint aan de vork gebeurde het best door omwinden met hennepkoord. In geen geval mocht ijzerdraad gebruikt worden want deze laatste doorsneed op een minimum van tijd het gummilint. Nat maken van de omwindingen zorgde uiteindelijk voor een hechte en stevige bevestiging.
Wat de zaklamp betreft, moest ik eerst weken sparen om de vereiste som (15 BF) te vergaren. Alle pogingen om het geld voorgeschoten te krijgen bij mijn moeder of vader waren vergeefs. Deze vroegen natuurlijk waarvoor het geld moest dienen en een zaklamp voor een bengel, nee dat vonden ze maar niets. Blijkbaar wisten ze nog niet eens dat spoken schrik hebben van licht en dat een zaklamp werkelijk een noodzakelijk instrument was voor lieden die savonds op het kerkhof liepen. Maar dit laatste wisten ze al evenmin. Ik heb dan noodgedwongen maar het geduld opgebracht tot ik de vereiste som in handen had.
En op een Donderdag was het zover en ik stapte bij Ketels aan de Sint Katarina-kerk de winkel binnen om die fameuze zaklamp te kopen. Mijn keuze was gevallen op een plat model met instelbare voorlens. Bij de prijs was echter de zink-kool batterij (de opvolger van de oude Leclanché-cel (7) ) niet begrepen Dan maar nog eens een weekje geduld uitoefenen om de batterij te kunnen kopen Geduld een schone zaak ???? Ik dacht er het mijne van.
Als onze helden op hun avontuurlijke tochten dorst hadden, dronken ze uit een drinkzak of uit een kalebas. Onnodig te weten wat precies een kalebas was, wij beschouwden een dergelijk gerei als onmisbaar want ook wij ondervonden op onze tochten aan den lijve wat dorst lijden betekende. Een blikken koffiepulle, zoals de werkman gebruikte om zijn koffie te bewaren, leek mij wel uitermate geschikt want plat van vorm en onbreekbaar. Maar het is er nooit van gekomen Het betekende weer weken sparen en bovendien was ik wel enigszins beducht voor de reactie van mijn vader Ik heb het dus moeten stellen met een flesje van 250 ml met springsluiting. Dit type flesjes werd in die tijd voornamelijk gebruikt voor tafelbier maar ook voor melk en zelfs voor zurkel (zuring)-preparaten (8) . Als drank gebruikten wij koel putwater waaraan zoethoutstokjes voor de smaak toegevoegd werden.
Het was dank zij dit fameuze zoethout (Glycyrrhizae Radix (9) ) dat ik met apotheker Versailles (zie cursiefje « 1.1 Een prille inwijding in de Chemie ») kennis maakte
Maar terug naar de Broedersschool In het derde studiejaar kwam ik terecht bij Broeder Carissimus, den Grijzen zoals hij nog genoemd werd. Het klaslokaal van het derde studiejaar was gelegen in het neoklassieke hoofdgebouw, naast het zaaltje van de toneelvereniging Kunst en Broedermin. In dit mufriekend en duister zaaltje heb ik eens een fantastische poppenkastvertoning meegemaakt. De titel van de vertoning herinner ik mij niet meer maar het ging echter wel over heksen, spoken en toverkollen. De onvergetelijke achtergrondmuziek, die bij de voorstelling hoorde, kwam uit Peer Gynt van Edward Grieg o.m. de melodieën Morgenstimme, In der Halle des Bergkönigs, en Anitras Tanz.. Telkens ik deze muziek hoor, moet ik weer aan deze poppenkastvertoning denken en wellicht ligt deze vertoning wel aan de basis van mijn interesse voor klassieke muziek.
Wat het onderwijs betreft, was Broeder Carissimus een fervente aanhanger van het beginsel Al doende leert men wat voor bengels als wij waren vertaald moet worden als Al spelend en al knutselend leert men..
In september 1947 leerde hij ons bvb hoe wij op een zeer eenvoudige manier een vlieger konden maken of bijeen knutselen. Eerst een rechthoekig lattenkruis van licht hout (liefst bamboe) maken waarbij de verhouding tussen de afmetingen van de armen en de hoogte van de kruising van zeer groot belang was. Vervolgens de vier armen met een koordje stevig verbinden waardoor een hecht geraamte voor de vlieger bekomen werd. Dit geraamte werd dan met behulp van dubbel geplooid dagbladpapier van een draagvlak voorzien. Het belangrijkste was echter de staart van het gevaarte, want deze staart (gewicht en gewichtsverdeling) bepaalde uiteindelijk het aerodynamisch gedrag van het toestel. Onze vlieger mochten wij vervolgens -onder zijn deskundige leiding- uittesten op het stoppelveld van Boer Sys.
In oktober 1947 leerde hij ons dan weer hoe op de meest efficiënte manier een buiskachel kon aangemaakt worden. Achteraan het klaslokaal stond immers buiskachel, die in de winter iedere morgen moest aangemaakt worden. Voor deze taak werd een beurtrol onder de leerlingen ingevoerd. De leerling, die aan beurt was, kwam een kwartier vroeger naar school. Eerst werd wat dagbladpapier verfrommeld en daarboven enkele droge houtspaanders gelegd en vervolgens werd met een stekje de brand er in gejaagd. Wanneer het vuur goed brandde werd een tweede lading houtjes aangebracht en toen ook deze houtjes ook goed brandden werd de kachel gevuld met eitjes. Na enkele minuten was de kachel roodgloeiend en verspreidde zij in het klaslokaal een aangename warmte. Wanneer onze klasgenoten in het lokaal arriveerden, was het er goed warm, vooral achteraan. Vooraan was de temperatuur iets minder en wanneer het hard winterde was het er nog Siberisch koud. Maar op de voorste banken zaten toch alleen maar de mouwefrotters en dat was dus helemaal niet erg .
-----------------------------------
(1) Deze stedelijke begraafplaats ontstond op het einde van de 18e eeuw toen doden begraven in de binnenstad om hygiënische redenen verboden werd (Edict van Keizer Jozef II van 1784). In 1810 werd het kerkhof definitief in gebruik genomen. Het Brugs kerkhof is, naast Père Lachaise in Parijs, één van de belangrijkste en oudste kerkhoven in Europa.
(2) Het Klooster Haverloo in de volksmond Frans Klooster genoemd werd opgericht in 1904 door de congregatie der Zusters van de Allerheiligste Maagd Maria uit Tours. Bij het hoofdgebouw dat in 1905 werd afgewerkt hoorde ook nog een boomgaard en boerderij. Het klooster omvatte een pensionaat, bestemd voor de meisjes uit de hoogste klassen en uiteraard was Frans er de voertaal. Na WOII werd het internaat afgeschaft, maar de school bleef gericht op kinderen uit de hogere kringen. In 1958 werd het klooster gesloten en werd er een beroepsschool ondergebracht. Op het einde van de jaren zeventig werd het gebouw afgebroken.
(3) Het domein De Zeven Torentjes heeft een bewogen geschiedenis achter de rug. De oudste sporen gaan terug naar de 13de eeuw, toen het een vrij goed was, met als naam Ter Leyen. In de 14de eeuw verkreeg het de naam 's Heer Boudewijnsburg, naar de toenmalige eigenaar Boudewijn De Vos. Deze eigenaar was een van de weinige heren die het recht hadden duiven te kweken. De achthoekige duiventoren werd speciaal voor de duivenkweek gebouwd. De boerderijgebouwen en de toren stonden in de loop der eeuwen herhaaldelijk bloot aan vernieling en verval. Zo was het domein in de 15de eeuw een tijdlang een onguur schuiloord, bekend onder de naam Rabaudenburg. Op het einde van de 18de eeuw werden de gebouwen ingericht om de stokerij Van Mullem in onder te brengen. De familie Van Mullem heeft 175 jaar op de hoeve gewoond, hoewel ze nooit eigenaar is geweest van het domein. In de 19de eeuw kregen de hoeve en de toren de merkwaardige benaming 'De Zeven Torrekes'. Van de negen torens kunnen er van op enige afstand inderdaad zeven gezien worden (centrale toren + zes hoektorentjes). Zelf heb ik nog een der nazaten van de familie Van Mullem (Marcel) zeer goed gekend want hij was ook leerling aan de Broederschool. Overigens was ik met mijn oudste broer regelmatig te gast op de boerderij en heb ik goede herinneringen bewaard aan Albert en Lène
(4) De naam Odeghem en de Sint Trudohoeve, die behoorde aan de toenmalige Sint Trudoabdij in Male, worden al vermeld in een akte uit de 12de eeuw. In de 17de eeuw werd deze hoeve aangegeven als het hof van Odeghem, in de 19de eeuw als de Vlamhoeve. De naam Steenbrugge wordt eerst maar vernoemd in de 13de eeuw en zou herinneren aan de Steene brugghe over het Sint Trudoledeken. Voor de geschiedenis van Steenbrugge of Odeghem zie : http://nl.wikipedia.org/wiki/Steenbrugge_(Belgi%C3%AB)
(5) De naam Ryckevelde zou, volgens sommige bronnen, afgeleid zijn van rycke dat rug betekent. Het gebied bevindt zich immers op eeuwenoude zandruggen of binnenduinen. Het domein is heden een beschermd biotoop zie : http://www.natuurenbos.be/nl-BE/Domeinen/West-Vlaanderen/Ryckevelde.aspx
(6) De term kalebas (fr. : calebasse of gourge) verwijst of naar het gewas of naar de vrucht van planten die behoren tot de familie van de Cucurbitaceae. Het woord kalebas zou van Perzische oorsprong zijn. In gedroogde toestand is de schil van de vrucht een vrij harde schaal waardoor dan ook de uitgeholde vrucht dienst kan doen als recipiënt. De uitgeholde droge vruchten kunnen dan met motieven versierd worden via incisie of pyrogravering (gravering met een hete priem). Een kalebas kan als kruik, drinkbeker, kom of lepel gebruikt worden.
(7) Het Leclanché-element (of Leclanché-cel) is een natte celbatterij die in 1866 werd uitgevonden en gepatenteerd door de Franse elektrotechnicus Georges Leclanché. Dit galvanisch element, die een spanning afgeeft van 1.5 Volt, was één van de eerste moderne batterijen en de voorloper van de drogezink-koolstofcel. Deze droge celbatterij werd uitgevonden in 1881 door Carl Gassner, een Duits arts. De droge batterijcel van Gassner bestaat uit een omhulsel van zink die tegelijkertijd dienst doet als de negatieve elektrode. De positieve elektrode, een koolstof staaf, staat in een pasta van mangaandioxide (MnO2) en koolstofdeeltjes. Deze wordt van het zink gescheiden door een opgevouwen papieren zak die doordrenkt is met een oplossing van ammoniumchloride (NH4Cl), het elektrolyt. Nadeel van dit type batterij is dat het zinken omhulsel door de chemische reactie langzaam oplost, en er na verloop van tijd lekkage kan optreden. Een bitumen afdichting zorgt ervoor dat het elektrolyt in de batterij niet verdampt en voorkomt indringing van zuurstof. In de Tweede Wereldoorlog ontwikkelden Amerikaanse onderzoekers een krachtigere batterij op basis van bruinsteen en zink met een alkalische elektrolyt. Dit leidde rond 1950 tot de introductie van kleine alkalinebatterijen voor algemeen gebruik. Heden gebruikt men alleen nog alkaline wegwerpbatterijen. Voor meer details zie : http://nl.wikipedia.org/wiki/Batterij_(elektrisch)
(8) In de Iron Forties werd er nog vaak aardappelpuree met zurkel en gebakken spek gegeten. Zuring (Rumex) is een geslacht van meest overblijvende, kruidachtige planten uit de duizendknoopfamilie (Polygonaceae). De ongeveer tweehonderd soorten komen van nature voornamelijk voor in de gematigde streken van het noordelijk halfrond, maar zijn wereldwijd geïntroduceerd. Zuring groeit meestal op zure grond. De soorten worden vaak beschouwd als onkruid. Sommige soorten, zoals de veldzuring, hebben echter eetbare bladeren die in salades gebruikt worden. Rumex acetosa (gewone zurkel) en Rumex patientia (spinaziezurkel ) worden gecultiveerd en werden eertijds gebruikt in de keuken als groente, nu alleen nog in specifieke recepten als paling in het groen. Zurkelplanten bevatten oxaalzuur, een product dat het calcium- en ijzermetabolisme kan verstoren. Bij consumptie van grote hoeveelheden, kunnen bepaalde zurkelsoorten aanleiding geven tot vergiftigingsverschijnselen bij dieren zoals herkauwers en paarden. Hierdoor heeft zurkel als groente (onverdiend) een slechte naam gekregen. Voor zover bekend heeft gewone zurkel nooit aanleiding gegeven tot vergiftiging bij de mens (Roth).
(9) Zoethout is in de handel de aanduiding voor korte stukjes van de wortelstok van Glycyrrhiza glabra. Hier ten lande noemt men zoethout ook wel kalissenhout, kalissiehout of gewoon kalisse.
Aan zoethout worden geneeskrachtige eigenschappen toegeschreven, en de wortel wordt gebruikt voor de bereiding van kruidenthee. Deze is goed voor de werking van de maag en de spijsvertering. Het sap uit de wortel wordt gebruikt als grondstof voor drop, een geconcentreerd preparaat dat als snoep gebruikt wordt. Deze industriële verwerking van de zoethoutwortel werd mogelijk toen de Italiaan Giorgio Amarelli er in 1731 in slaagde om het sap uit de wortel tot drop te verwerken Zoethout bevat een zoetstof (glycyrrhizinezuur ) die ongeveer 30 tot 50 keer zo zoet is als suiker. . Er moet echter flink op de wortelstokjes gekauwd en gezogen worden om de zoetstof te proeven. Glycyrrhizinezuur is een stof die de bloeddruk verhoogt. Zowel van drop als van zoethout (?) is dit effect beschreven en dit kan tot klinisch belangrijke hypertensie leiden. Toxische verschijnselen worden echter alleen vastgesteld bij abnormaal gebruik en volgens de Europese Commissie (2008) is abnormaal gebruik 100mg glycyrrhizinezuur per dag. Dergelijke doses zijn praktisch alleen te bereiken met drop niet met de wortelstok- zelf. Af en toe een dropje nemen mag dus wel
(Hoofdstuk 4 "Het Leven in en rond de Broedersschool")
§4.1 De Broedersschool in de Iron Forties
Het doorbladeren van Herbiets boek Larithmétique de la vie pratique -5e et 6e années primaires-, een boek, dat ik bij toeval ontdekte (zie "cursiefje « 8.1 over oude schoolboeken », bracht mij terug naar mijn kinderjaren. Ik werd plots overstelpt door een stortvloed van jeugdherinneringen en deze betroffen niet alleen de jongensschool op zichzelf maar ook het dagdagelijkse leven rond deze school
De Iron Forties stonden mij plotseling glashelder voor de geest en voornamelijk de naoorlogse periode met haar pijnlijke naweeën en tribulaties.
Het was in september 1945 dat ik in de grote jongensschool mijn intrede maakte. Afgelopen de kleuterschool met Juffrouw Dewulf, met Juffrouw De Busschere en Zuster Pauline Afgelopen de slaaplessen, het braaf op de bank zitten met gekruiste armen en met de vinger op de mond. Gedaan die onnozele straffen als het in de hoek staan of de plakkertjes op de mond voor de onverbeterlijke babbelaars Met mijn deugnietstreken heb ik mijn oudste zus, die dan op de meisjesschool zat, herhaaldelijk ten schande gemaakt. Deze meisjesschool maakte immers deel uit van hetzelfde Klooster van de Zusters van Spermalie, waartoe ook de kleuterschool behoorde. Herhaaldelijk werd mijn zuster op het matje geroepen en moest zij met een rode kop van Juffrouw De Busschere aanhoren, wat voor deugnieterij ik weeral eens had uitgestoken Mijn zus was, zoals ze mij later verzekerde, echt blij dat ik eindelijk naar de jongensschool vertrok
Deze jongensschool behoorde tot het Vrij Onderwijs en had als inrichtende macht de congregatie van de Broeders van Liefde (1), een congregatie die in het Brugse steeds erg actief was geweest (2). Om deze reden werd deze typische jongensschool ook de Broedersschool genoemd. Op het ogenblik dat ik in deze school aankwam omvatte het schoolcomplex twee gebouwen, een geplaveide speelplaats en een moestuin, waarin ook enkele fruitbomen stonden. Het hoofdgebouw was in neoklassieke stijl opgetrokken en dateerde van 1911. Een tweede, heel wat lager gebouw was in een meer moderne stijl opgetrokken, dateerde van het interbellum en omvatte de klassen van het eerste en tweede studiejaar. In 1946 werd een parochiale feestzaal gebouwd op een deel van de speelplaats en de moestuin van de jongensschool. Deze zaal met een oppervlakte van ongeveer 300 m2 was uitgerust voor toneel- en filmvoorstellingen en zal een belangrijke rol spelen in het dagelijkse leven van de parochie.
In een nis van het hoofdgebouw stond een stenen Heilig Hartbeeld. Ter gelegenheid van het feest van het H. Hart in de maand juni, trokken de leerlingen, ieder jaar, ofwel met een rozenbloemstuk ofwel met een enkele bloem in de hand, in stoet door de straten van de parochie, waar (praktisch) in ieder huis een H. Hartbeeld, geflankeerd door twee brandende kaarsen voor het raam stond. Uiteindelijk werd al deze bloemenweelde neergelegd aan de voet van het beeld in de school. Die bedwelmende rozengeur is mij mijn leven lang bijgebleven.
In die grote school, waar geen meisjes waren toegelaten, ging het er heel wat serieuzer aan toe dan bij de nonnekes en dat ondervonden wij ook letterlijk aan den lijve, vooral vanaf het derde studiejaar. Een oorveeg was niet uitzonderlijk en beschouwden wij als volledig normaal, want ook thuis corrigeerde moeders of vaders hand onze vlegelstreken. Nieuw waren echter de geraffineerde straffen als bvb vooraan op de trede op de knieën zitten met de handen op het hoofd en gestrekte rug of het over de knie van de meester liggen waarbij voornoemde met de lat het stof uit je broek slaat. Deze laatste straf werd echter slechts toegepast bij erge misdrijven als bvb vechten op de speelkoer of nog erger in de klas, met opzet ruiten ingooien in de school. Natuurlijk was er ook het normale strafregels schrijven (bvb ik zal voortaan mijn huiswerk maken). Dit literair gewrocht moest dan getekend worden door de vader -niet door de moeder -want de meester, intelligent en vooruitziend als hij was hoopte op een gepaste kastijding. Toch was een tikje met de lat of regel nooit echt ver weg.
Na WOII, telde de Broederschool nog drie Broeders, die les gaven respectievelijk in het eerste, derde en achtste studiejaar. In de andere klassen werd het onderwijs verzekerd door gewone onderwijzers, die met uiterste gedrevenheid hun taak vervulden.
In het eerste studiejaar stond lezen, tellen en schrijven op het programma en ik herinner mij nu nog zeer goed ons eerste leesboek en de eerste woordjes jas, get, lip, ton,put en verder raap, veer, zool,muur, Ons eerste schrijfgerief bestond uit een kartonnen lei en griffel. Later kwam daar nog een dubbel gelijnd schrift bij waarin eerst met potlood en vervolgens met een pennenstok met ballonpen mocht geschreven worden. Hoe deze Broeder, waarvan ik de naam vergeten ben, het voor mekaar kreeg weet ik niet, maar wij schreven toch onze eerste Nieuwjaarsbrieven voor ouders, nonkels en tantes gedateerd 1 Januari 1946!!!
Ik vond het heerlijk te kunnen lezen, want zo kon ik eindelijk ook de avonturen van Suske en Wiske op het eiland Amoras écht volgen Ook volwassenen lazen die stripverhalen en vele van de toenmalige krantenlezers lazen hun krant in omgekeerde zin .. eerst het stripverhaal en dan het voorpaginanieuws!! En dit grote voorpaginanieuws was voornamelijk gewijd althans in de lente van 1946- aan het proces van de beulen van Breendonk en -in de herfst van 1946 aan het proces van Neurenberg. Maar de mensen hadden andere zorgen en dit voorpaginanieuws verhuisde al snel naar de binnenpaginas. Er was immers het probleem van de levensduurte, de rantsoenering, de zwarte markt (laat u niet beet nemen!), de ersatz-producten Een uitstekende beschrijving ofte chronycke over deze moeilijke tijd kan men vinden in het boek van Pierre Stéphany (3).
Tellen tot honderd of zelfs duizend en leren (Arabische) cijfers schrijven behoorde ook tot het programma van het eerste studiejaar en zo leerden wij getallen schrijven in het positionele tientallig stelsel. Op deze wijze maakten wij voor het eerst kennis met het cijfer (niet het getal) nul. Dit laatste cijfer is geïntroduceerd door de Hindoes en was bvb onbekend bij de Grieken en Romeinen. Natuurlijk beseften wij toen niet wat voor fenomenale vondsten deze positionele schrijfwijze en het cijfer nul wel waren (4). Dit werd ons eerst maar duidelijk in het vijfde studiejaar, als wij met de Romeinse manier van getallen neerschrijven kennis maakten en de meester ons eens vroeg twee getallen geschreven in Romeinse cijfers op te tellen .
Het tweede studiejaar stond volkomen in het teken van de rekenkunst, van het rekenen met cijfers. Er was vooreerst een intuïtieve kennismaking met het begrip natuurlijk getal, gebaseerd op het begrip collectie (5) van gelijksoortige objecten of voorwerpen. Het tellen van deze objecten gaf een natuurlijk getal. Iedere schooljongen wist toen zeer goed wat een « collectie » ofte « verzameling » van gelijksoortige objecten was, want in ieder huisgezin werd er een of andere collectie prentjes op na gehouden.
Deze collecties van prentjes of chromos werden veelal door chocoladefabrikanten als Martougin, Victoria, De Beukelaer, Kwatta, Aiglon, Meurisse en dito uitgebracht en waren bij de schooljeugd zeer gegeerd. Welke schooljongen collectioneerde toen niet Buffalo Bill , Sitting Bull of Gulliver Welke bengel verzamelde niet de Artis of Historia punten, die door vele voedingsproducenten werden uitgebracht en die recht gaven op de wondermooie Artis of Historia chromos ?? Zelfs de ouders waren besmet door het verzamelvirus en zo werd bij mij thuis de prachtige chromolithografische collectie van Liebig bij gehouden Ik mocht deze albums wel inkijken maar voor de rest was afblijven de boodschap
Aansluitend bij de notie « collectie » werden nu achtereenvolgens de vier Hoofdbewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen), de eigenschappen van de natuurlijke getallen en natuurlijk de onvermijdelijke Tafels van Vermenigvuldiging ontrafeld en uiteengezet Dank zij Meester Réné Vermeersch zette ik aldus een eerste stap op het moeilijke pad der Wetenschap in casu de Wiskunde. Het aantal keer dat wij die fameuze tafels van vermenigvuldiging opgezegd en afgedreund, opgeschreven en neergegriffeld hebben is niet te tellen. Maar het resultaat was er wel: wij kenden onze Tafels zelfs die van elf en twaalf.
Wat ik mij ook nog van Meester Vermeersch herinner was het voorlezen uit boekjes zoals bvb De Lotgevallen van Jan zonder Vrees (Sterke Jan) van Constant De Kinder en De avonturen van Sergeant Slim van Jos Vandersteen. Al mijn klasgenoten koesterden de ijdele hoop eens zo sterk te zijn of te worden als Sterke Jan, want dat zou ons toelaten de jongens uit de hogere studiejaren ook eens af te troeven. Wij waren immers gedurende de speeltijd en ook na schooltijd voortdurend het lijdend voorwerp van hun pesterijen en plagerijen. Natuurlijk was de schooldirectie wel op de hoogte van deze traditionele pesterijen en trachtte zij deze zoveel mogelijk te vermijden door gedurende de recreatie de leerlingen van de hogere respectievelijk de lagere studiejaren te splitsen.
Zo werden bvb, wanneer het vroor, voor de winterpret 2 glijbanen aangelegd, wat gebeurde door op twee verschillende plaatsen water te gieten op de speelkoer. Er was de kleine glijbaan voor de leerlingen van het eerste, tweede en derde studiejaar en de grote voor de andere studiejaren. De durvers van het derde studiejaar waagden zich echter ook op de grote glijbaan. Het was alleen maar een kwestie van de grotere bengels te imponeren. En dit imponeren kon bvb gebeuren door het dragen van gepast schoeisel bvb met ijzer beslagen hoge schoenen of door het inroepen van het beschermheerschap van een oudere schoolkameraad In mijn geval, waren beide methodes van toepassing. Het beschermheerschap, waarop ik eveneens beroep deed, werd waargenomen door een zekere Robert, waarover ik het verder nog zal hebben .
(wordt voortgezet)
-------------------------------------
(1) De Congregatie Broeders van Liefde werd opgericht door Petrus Jozef Triest, kanunnik van Sint Baafs te Gent in 1807 met als charitatief doel: de zorg voor ouderlingen en geesteszieken. Later (1809) werd ook onderwijs aan de minder bedeelden o.m. aan de straatjeugd van Gent. Dit werd het begin van een hele ontwikkeling en talrijke stichtingen ten voordele van het onderwijs van jeugd in lager, middelbaar en technisch onderwijs.
De eerste dagschool was de Bijlokeschool die in 1814 werd opgestart, gevolgd door scholen in Froidmont, Brugge, Roborst en St.-Niklaas. In 1820 werd een novice naar Namen gestuurd om cursus te volgen bij de Broeders van de Christelijke Scholen. Een vertaling van het werk van Jean-Baptiste de la Salle werd gemaakt door de directeur van de Brugse armenschool, Broeder Benedictus, en uitgegeven in 1825.
Na de onafhankelijkheid van België kon het onderwijs verder worden uitgebreid. Het middelbare onderwijs kwam erbij op het einde van de 19de eeuw. In 1896 begonnen Merksem en Temse en in 1899 Turnhout als eerste met middelbaar onderwijs. In de weeshuizen werd vooral aandacht besteed aan vakopleiding, wat later in de instellingen voor gehandicapten verder werd ontwikkeld. Een aparte technische school werd in 1924 in Tessenderlo opgericht.
(2) zie bvb het artikel getekend Marcel De Blieck Het onderwijs tijdens de Hollandse periode en de eerste Brugse gemeenteschool (1829) in Brugs Ommeland 2005/2
(3) Pierre Stéphany «La Belgique sous la Régence (1944-1950) une époque et son histoire- » éditions Quorum -1999-. Deze auteur, geboren in 1925, was redacteur bij diverse kranten als «La Meuse», «Le Courrier», «La Libre Belgique» en is in wezen een historicus van het dagdagelijkse leven. Hij heeft diverse Chronycken geschreven waaronder het tweedelige «Les Années 20-30 la Belgique entre les deux guerres-», «Des Belges tres occupés (1940-1945)», «Nos Années cinquante», «Les Années 60 en Belgique»..
(4) voor een historische uiteenzetting over het cijferbegrip bij de diverse beschavingen zie bvb Georges Ifrah «Histoire Universelle des Chiffreslintelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul- » 2 tomes Robert Laffont -1981-
(5) In die jaren sprak men wel degelijk van « collecties » zoals ook Herbiet in zijn boek het aangeeft en niet van « verzamelingen » (« ensembles » of « sets »). Het begrip « verzameling » en i.h.b. de verzamelingenleer werd maar eerst later in het lager onderwijs ingevoerd.
(Hoofdstuk 3 "Taal en Cultuur in de Cadettenschool")
§ 3.6 De Nalatenschap van Hellas
En een Van der Kerken kón vertellen, en dat deed hij met een zachte, ingetogen en toch duidelijke stem. Af en toe was er naargelang de aard van de tekst- een ironische of dramatische ondertoon en dit juist maakte het ganse verhaal zo echt en levendig.
Grieks werd in de Cadettenschool veelal gedurende het laatste lesuur gedoceerd d.w.z. in de late namiddag. In de late herfst van 1957 reflecteerden de zwarte ramen van het examen A- gebouw, door de ondergaande zon, een zacht rozerood licht. Dit wonderlijke licht weerkaatste doorheen de duistere ruiten van ons klaslokaal 8 en omhulde André Van der Kerken met een fijn aureool. Dit schouwspel en de sacrale stilte, die in het gebouw heerste schepten een haast onwezenlijke atmosfeer, die mij steeds is bijgebleven.
Door al deze verhalen werd onze kennis over het Griekse pantheon met zijn goden en halfgoden, de Griekse mythologie en sagenwereld nog verder bijgeschaafd. Veel van wat hij ons vertelde was in het boek van Gustav Schwab Die schönsten Sagen des klassischen Altertums van 1955 opgenomen. Jammer genoeg, werd dit boek werd eerst maar in 1959 als Prismaboek op de markt gebracht onder de titel Griekse Mythen en Sagen. Ziehier, wat de uitgever op de achterflap van het boek, dat ik mij na de humaniora aanschafte, vermeldde (ik kan het niet beter verwoorden):
Elke mythologie, en de Griekse in het bijzonder, is meer dan een willekeurige hoeveelheid verhalen over goden en hun al dan niet pikante avonturen. Een mythologie is op de eerste plaats uitdrukking van een wereldbeeld. Zij kent haar eigen samenhang wat oppervlakkige tegenstrijdigheid niet uitsluit- omdat ook het wereldbeeld meer aspecten heeft. Zo is de lichtende god Apollo ook verbonden met dood en vernietiging, en wordt Orpheus, gestalte der harmonie, om wie de wereld vanzelf tot rijke orde groeit, tenslotte verscheurd door het furieuze geweld der Bacchanten.
Wat de Griekse mythologie doet uitsteken boven alle andere, en haar voor ons zo nabij maakt, is de ongeëvenaarde helderheid der figuren en situaties, een helderheid welke het mysterie van de mens in de kosmos niets te kort doet, maar zo dicht tot de geheimzinnige kern nadert dat wij het geheim zelf menen te betasten. Dit verklaart ook wel waarom sinds Hellas, dichters en denkers voortdurend teruggegrepen hebben op deze oergestalten om hun gevoelens vorm te geven en hun gedachten uit te drukken. Hoeveel Iphigenia s en Antigone s kent de Europese literatuur niet, en werkt de psychologie niet met Narcissus- en Oidipuscomplexen? Wij keren altijd terug tot de bron, tot de oergestalten waarin ons werelddeel voor het eerst de schoonheid en de smart, de verbijstering en het geluk van het leven op aarde gevat heeft .
Sommigen zullen hier nu vinden dat dit dwepen is met het nalatenschap der Griekse Oudheid en dit is het in feite ook. Anderen zullen voorhouden dat het aanleren van Latijn en zeker Grieks maar tijdverlies is. Er zijn immers meer nuttige manieren om het intellect te vormen of te stimuleren. Een Van der Kerken was het hier- verrassend genoeg- volkomen mee eens. Maar zei hij, het gaat hier over heel iets anders dan het vormen van intellect. De studie van de Griekse beschaving brengt iets anders, iets essentieel bij dat de studie van andere vakken onmogelijk kunnen geven
Teneinde dit ons diets te maken sprak hij ons over de kaloskagathos (1) (καλος και ααγαθος) en sophosagathos (2) (σοφος και αγαθος) kwaliteiten die karakteristiek zijn voor de echte Mens. Groot-, schoon- en diepmenselijkheid zijn de deugden, die moeten aangeleerd of beter aangescherpt worden bij de Mens en i.h.b. bij de Jeugd. Zij stemmen tot een grotere mildheid t.o.v. de medemens, en leiden uiteindelijk tot empathie d.i. de vaardigheid om je in te leven in de gevoels- en denkwereld van anderen. Dank zij empathie kunnen de zogezegde biologische Natuurwetten, die de gedragingen tussen soortgenoten (hier tussen mensen) regelen, overstegen worden. Maatschappelijk gezien is dit inderdaad van primordiaal belang.
* * *
Als klassiek filoloog had André Van der Kerken, natuurlijk meer dan een keer zijn geliefde Hellas bezocht en, zoals hij zelf vertelde, ook met een van de voorgaande rhetoricapromoties (promotie 1952?). Wij vroegen hem dan ook wat moest bezocht worden, waarop hij met enige terughoudendheid antwoordde. Absoluut te bezoeken waren volgens hem Mykene (3) , Epidauros (4) en Olympia (5) Athene was interessant voor de Akropolis en het Nationaal Archeologisch Museum. Maar, indien men echter iets van de oorspronkelijke Griekse geest wenste terug te vinden, waren wellicht de Griekse eilanden in de Egeïsche Zee (de Cycladen, de Dodekanos ) of het diepe binnenland, dat in die tijd alleen met de moto toegankelijk was, aangewezen. Maar helaas, zei hij, voor velen is het oude Hellas slechts een puinhoop van stenen, die liggen te blakeren onder een laaiende, spetterende zon. Anderen worden dan weer alleen getroffen door de esthetiek van de gebouwen en de beelden, al zijn die sterk gehavend. Slechts enkelen echter worden geraakt door de kerikeion (6) (κηρικειον) van Hermes (7) , de boodschapper van de goden .
Precies veertig jaar later (1998), ter gelegenheid van een Symposium, was ik in Athene... Vanzelfsprekend maakte ik van de gelegenheid gebruik om het Parthenon te zien en het kleine Akropolis-museum te bezoeken. En ja de tempel van Athena Parthenos was werkelijk groots desondanks de verbouwingen en verwoestingen aangericht door de kerkvaders en de Turken En ja het Erechtheion met zijn kariatiden moet een prachtig Ionisch bouwwerk geweest zijn .
De volgende dag naar het Nationaal Archeologisch Museum en ja hoor, ik heb het masker van Agamemnon (8) gezien, en het prachtige beeld van Praxiteles , Aphrodite met Eros en Pan (9) bewonderd maar van een boodschap van Hermes was nog altijd geen sprake
Met een collega heb ik dan maar het plan opgevat om met een huurauto naar Mykene, Epidauros enz. te rijden. En ja hoor, de Leeuwenpoort (10) met zijn cyclopische blokken en de grafkamer van Atreus waren inderdaad monumentaal en de opgravingswerken met de schachtgraven imposant maar nog steeds was er geen Hermes
En toen was er Epidauros Epidauros, waar wij, enigszins vermoeid van de rit, in de late namiddag aankwamen. Er was het Asklepieion, het aan de god Asklepios (11) gewijde heiligdom of beter de ruïnes van dit heiligdom. Dit heiligdom omvatte naast de tempels van Asklepios en Artemis het Tholos, een astronomisch observatorium (12) maar van al deze gebouwen waren er alleen wat brokstukken overgebleven. Hier begreep ik wat Van der Kerken had bedoeld met een hoop stenen die lagen te blakeren in de zon. Van het Asklepieion liep een klein paadje naar een bochtige weg. En deze weg leidde de bezoeker doorheen het struikgewas naar het fameuze theater... Een laatste bocht en dan ..
De aanblik van dit theater (13) bij valavond veroorzaakte in mij een grote schok. De bomen stonden zwart en roerloos tegen oranjerode avondhemel en er heerste alom een diepe, gewijde stilte. Deze stilte greep ons des te meer aan omdat wij moederziel alleen waren. Ik vroeg aan mijn collega om in de cirkelvormige orchestra te staan en eens een of andere tekst te citeren terwijl ik steeds hoger en hoger in de rijen zitplaatsen opklom. Dan wisselden wij van rol en ik begon spontaan met een fluisterstem de aanhef van de Ilias te declameren. Mijn gefluister bleef hoorbaar tot op de hoogste rijen Van uit wetenschappelijk oogpunt leek mij een dergelijke acoestiek in open ruimte onmogelijk (14) en toch was het zo.
Plots drong het tot mij door dat hier meer dan tweeduizend jaar geleden de stukken van Aischylos, Sophokles en Euripides opgevoerd werden. Als ik mijn ogen sloot zag ik zo de schimmen van Iphigenia, van Antigone staan op het orchestra en hoorde ik hun klagende stemmen.
Mijn blikken gleden over de glooiende berghelling en ik zag een opkomende Venus, de Avondster schitteren. Even leek het mij dat zij mij toewenkte. Toen raakte Hermes mij met zijn kerikeion aan en plots werd alles voor mij duidelijk :
Het was de Natuur (de zee, de bergen, de sterrenhemel) die de Helleen voortdurend deed schommelen tussen het eeuwige en het tijdelijke, het hemelse en het aardse, het goddelijke en het menselijke, het hogere en het lagere, het harmonische en chaotische, het volmaakte en het minder volmaakte, het schone en het lelijke. Uit dit dualisme was iets totaal nieuws geboren dat de twee uitersten met elkaar verbond. Daarom hadden de goden menselijke en de mensen goddelijke trekjes. Voortdurend was de Helleen op zoek geweest hoe hij die twee uitersten kon verzoenen, kon vermengen. Vandaar het goddelijke element in zijn kunst, zelfs zijn geneeskunst.
In het aardse spoorde de Griek de regelmatige meetkundige figuren en vormen op en deze waren echt volmaakt indien hij ze terugvond in het hemelse. De cirkel respectievelijk de bol behoorden hiertoe want de sterrenhemel was bolvormig en de sterren beschreven cirkels en moesten cirkels beschrijven want alleen de cirkel was volmaakt. Een Zeno van Elea had zelf geprobeerd het bestaan van beweging en dus de vergankelijkheid der dingen te ontkennen, want totaal onverenigbaar met het eeuwige. Echter in de Natuur geldt ook -althans volgens Herakleitos en Plato- panta rhei (παντα ρει) -alles is in beweging. En alles in de Natuur is dus voorbijgaand, is dus vergankelijk.
Bij de terugrit naar Athene spraken wij geen woord. Beiden waren wij diep in gedachten verzonken.. Wij waren met het magische van de Helleense beschaving in contact gekomen. Ik dacht ook met weemoed aan die mooie herfstavonden in klas 8, een weemoed, die -zoals de dichter het uitdrukt alleen des avonds komt ..
(Hoofdstuk 3 "Taal en Cultuur in de Cadettenschool")
§ 3.5 Kennismaking met de Helleense Cultuur
Een rhetoricaklas (Grieks-Latijnse sectie) met welgeteld vier leerlingen !!! Zoals ik reeds schreef,betekende dit privaatles voor vakken, die specifiek bestemd waren voor deze sectie. En dit was niet alleen het geval met het taalvak Grieks, maar ook met de wiskundevakken Algebra en Analyse, Axiomatische Meetkunde en Trigonometrie. Grieks-Latinisten waren immers onderworpen aan een specifiek, eigen wiskundeprogramma, waarover verder meer.
En of er privaatles werd gegeven De leerstof overschreed dan ook beduidend deze van het officiële leerprogramma, maar werd juist daardoor bijzonder boeiend, omdat nu onderwerpen aan bod kwamen, die anders nooit in de klassieke humaniora behandeld worden, want aanzien als te delicaat of te moeilijk bvb over de positie van de vrouw, de homosexualiteit (gedichten van Sappho) enz.
In rhetorica werd ons voor het eerst echt duidelijk wat men met Grieks studeren bedoelde. Het finale doel was een onderdompeling in de Helleense cultuur, een echt cultuurbad. De o zo moeizaam verkregen taalkennis (woordenschat, taaleigen en grammatica) van de voorgaande jaren bleek nu uitstekend van pas te komen.
André Van der Kerken had een duidelijke uitgesproken voorkeur voor de Griekse taal en natuurlijk had hij het uitgebreid over zijn Demosthenes (1) (384-322), de grote redenaar, jurist en politicus en over de Philippikas, de beroemde redevoeringen tegen Philippos van Macedonië. Juist om deze reden heb ik als ikoon voor dit cursiefje, de buste van Demosthenes, gebeeldhouwd door Polyeuktos, gekozen.
Verder waren er de grote Attische dramaturgen zoals Aeschylos (2) (525-456) met de bekende trilogie Oresteia (met o.a. de tragedie Agamemnon), Sophokles (3 ) (496-406) met Antigonè en Koning Oidipus, en tenslotte de -door de Franse classici aanbeden- Euripides (4) (480-406) met Andromachè, Elektra, Iphigenia in Aulis en Iphigenia in Taurus.
Euripides behoort tegenwoordig tot de meest opgevoerde toneelauteurs in Griekenland. Zijn stukken worden nu speciaal voor toeristen maar ook voor de Grieken-zelf- opgevoerd o.m. in het meest fantastische theater ter wereld, het theater van Epidauros.
Maar er was ook de fijnbesnaarde blijspeldichter Aristophanes (5 ) (446-386), die de sofistische filosofie als een culturele bedreiging aanzag (cf het blijspel Wolken of de school der sofisten) en die met de tragedies van Euripides de spot dreef (cf Thesmophoriaen Lysistrate). De treurspelen van Euripides hadden volgens hem een verderfelijke invloed op de toeschouwer omdat zij volgens hem een ode waren aan de oorlog en aldus het vredesideaal bedreigden.
Natuurlijk waren er de grote Griekse filosofen,vooreerst Socrates (8) (470-399) met de hermeneutiek en maieutiek, verder Plato (7) (427-347) met de Akademeia en de geënsceneerde Dialogen, en tenslotte Aristoteles (6) (384-322), met het Lykeion en de Peripatetische School. Hoeveel keren heeft een Van der Kerken ons niet spottend gezegd dat wij peripatetici waren en wij wisten zeer goed wat hij hier mede bedoelde.
En welke Grieks-Latinist, die naam waardig, zou ooit Platos beschrijving van de doodstrijd van Sokrates, die veroordeeld werd tot de giftbeker, kunnen vergeten? Later heb ik kunnen vaststellen dat deze beschrijving precies klopte met het intoxicatie syndroom van de gevlekte scheerling (Cicuta maculata)
Maar een Van der Kerken had het ook over de milesische natuurfilosofen met Thales van Milete (9) (624-545), Anaximander en Anaximenes, over Pythagoras en zijn school (10) en over de School van Elea met Parmenides (11) , Xenophanes en Zeno van Elea (490-430) en zijn beruchte Paradoxen (12) . Ook de natuurfilosofen uit de 5de eeuw Herakleitos (13) , Empedokles, Leukippos , Demokritos en Anaxagoras en de Sofistiek (14) met Protagoras kwamen aan de orde.
Van Empedokles vertelde Van der Kerken dat deze in de krater van de Etna sprong met de bedoeling te reïncarneren als onsterfelijke god Helaas voor Empedokles zou (volgens de overlevering) de vulkaan één van zijn bronzen sandalen terug gespuwd hebben, wat het ergste doet vermoeden... En van Protagoras, de sofist die wegens goddeloosheid verbannen werd , wat toch nog altijd beter was dan de giftbeker. Dit alles volgens mijn aantekeningen van destijds in Sassen s boek Geschiedenis van de Wijsbegeerte der Grieken en Romeinen, een boek dat het admittatur van André Van der Kerken droeg.
Natuurlijk kwamen ook de hellenistische filosofie (15) met de stoïcijnse ( de Stoa (16) met Zeno (17) van Citium (333-264))en epicuristische (Epikouros (18 ) (341-270)) levenshoudingen aan de orde. Volgens Van der Kerken kenden die levenshoudingen groot succes omdat de intellectuele en contemplatieve levenswijze, zoals voorgeschreven door het Lykeion en de Akademia, te diepzinnig en te weinig naar het dagdagelijkse leven gericht was.
Wat de onovertroffen Helleense kunst betreft, kwam in de eerste plaats de architectuur of bouwkunst (19) en hieraan gekoppeld de beeldhouwkunst (Phidias (20) , Praxiteles (21) , Skopas (22) e.a.) aan bod. En zeer uitvoerig werden de Atheense Akropolis (23) en het Parthenon (24) besproken. André Van der Kerken leerde ons de eeuwige, ontroerende schoonheid van deze gebouwen, beelden en frontons, ofschoon sterk vervallen en gehavend, waarderen.
In tegenstelling met wat velen denken fotos zijn misleidend- waren oorspronkelijk de Griekse gebouwen en beelden erg opgesmukt en met veel smaak gekleurd of geverfd. In de hall van mijn woonst troont dan ook op een marmeren zuil een kopij van de Aphrodite van Melos (= Venus van Milo) (25) . In tegenstelling met het oorspronkelijke beeld, dat ongeveer 2 m hoog is en vervaardigd uit wit marmer van Paros, is mijn beeldje slechts 70 cm hoog en uitgevoerd in brons . Maar het effect is er toch maar, wat blijkt uit de gunstige reacties van mijn vrienden en kennissen.
* * *
Wiskunde en in het bijzonder geometrie spelen een zeer belangrijke rol in de Griekse filosofie en kunst. Maar hier beperkte Van der Kerken zich tot het anekdotische. Wellicht was hij van mening dat wij al genoeg te lijden hadden van al het geometrisch geweld ons aangedaan door onze leraren wiskunde.
Met een lach in de stem vertelde hij ons dat boven de toegangspoort van Platos Akademeia een opschrift hing met volgende tekst : «Μηδεις αγεωμετρητος εισιτω» (vrij vertaald: «Toegang verboden voor niet- meetkundigen» ). Voor wat de beeldhouwkunst en bouwkunst betreft, had hij het dan weer over de rol van de gulden snede en het getal φ. Voornoemd getal blijkt inderdaad een rol te spelen in de kunst en niet alleen in de Griekse kunst.
Met diep respect sprak hij over de architecturale aanpassingen van het Parthenon, -een summum van geometrisch inzicht-die de illusie van perfecte verticaliteit en horizontaliteit moesten verwekken. Maar hij repte met geen woord over de grote Alexandrijnse wiskundigen Euklides, Apollonios, Eratosthenes, Archimedes allemaal namen die ons bekend waren uit de wiskundelessen.
Daarentegen had hij het dan wel uitvoerig over de beroemde Alexandrijnse Bibliotheek (26) en i.h.b. hoe deze bibliotheek onder de Ptolemeërs (26) , o.m. Ptolemaios I Soter en Ptolemaios II Philadelphos, tot stand was gekomen.
Aan de Alexandrijnse bibliotheek werd, later door toedoen van Marcus Antonius, de grote bibliotheek van Pergamon toegevoegd een geschenkje voor zijn geliefde Cleopatra-. Wat men in Pergamon over dit geschenk dachten vermeldt de geschiedenis niet, maar het verklaart wel de aanwezigheid van perkamentrollen naast de papyrusrollen. Papyrus was Egyptische uitvinding terwijl perkament typisch was voor Pergamon.
Volgens de teruggevonden archieflijsten zou de Alexandrijnse bibliotheek tussen de 400000 en 700000 boekrollen rijk geweest zijn wat overeenstemt met 50000 à 60000 moderne boeken, wat voor die tijd enorm was : de boekdrukkunst bestond toen nog niet alles werd gekopieerd en met de hand geschreven hetzij op papyrus, hetzij op perkament !!! Helaas is deze roemrijke Bibliotheek van Alexandrië teloorgegaan eerst door verwaarlozing onder de Romeinse keizers en vervolgens door verwoesting, verbranding en plundering.
Wie nu eigenlijk verantwoordelijk was voor deze ramp is nog steeds een punt van discussie. Sommigen verwijzen naar het oorlogsgeweld teweeggebracht door Julius Cesar (48 v C.) of door Lucius Aurelianus (272).Volgens Luciano Canfora in La véritable histoire de la bibliothèque dAlexandrie (Desjonquères, -1988-), een boek dat oorspronkelijk in het Italiaans geschreven was en waarvan ook een Engelse vertaling bestaat, is deze stelling fout en zijn argumenten zijn wel overtuigend.
Deze auteur wijst het religieus fanatisme van de Islam en i.h.b. Kalief Omar, die in 642 Egypte veroverde als hoofdschuldige aan. Hij zou aan zijn veldheer,emir Amroe, het bevel tot verbranding gegeven hebben met als argument : "Ofwel zijn de boeken in strijd met de Koran en in dat geval is het ketterij, en anders zijn ze in overeenstemming met de Koran en dus overbodig ". De boekrollen zouden toen als brandstof voor de badhuizen gebruikt zijn, waarbij vermoedelijk enkele rollen gerecupereerd werden door gewiekste verzamelaars, die er een bron van inkomsten in zagen.
Anderen wijzen dan weer met een beschuldigende vinger naar het christendom. Het groeiende christendom dat steeds fanatieker werd in het bestrijden van 'heidense' symbolen (waartoe o.m. tempels en wereldse literatuur behoorden) is ongetwijfeld één van de factoren die een rol hebben gespeeld. De Patriarch Theophilus van Alexandrië zou in alle geval een deel van de gebouwen (het Serapeum) in 391 gesloopt of omgebouwd hebben. Het is dus zeker niet uit te sluiten dat ook bij deze operatie, de bibliotheek geplunderd werd.
Dat het christendom de antieke wereldse geschriften wel degelijk misprees, wordt door het bestaan van palimpsesten aangetoond. Zo is er bvb de palimpsest van Kerameus- Heiberg, document dat ontdekt werd in een bibliotheek in Istamboel in 1899. De originele tekst van deze palimpsest dateert uit de 10de eeuw en werd door een Grieks- Orthodoxe monnik uitgewist en vervangen door een gebedenkrans in de 13de eeuw. De originele tekst omvatte een verloren gewaand werk van Archimedes De Methode
Er is dus geen eensgezindheid en dat is niet verwonderlijk: het betreft een erg delicate zaak met religie als achtergrond! Van der Kerken was een fijngevoelig en religieus man en Ik had de indruk dat deze kwestie hem erg beroerde. En wel des te meer, daar ontegensprekelijk religieus fanatisme aan de basis lag van de teleurgang en destructie van deze beroemde bibliotheek.
Waar nodig werden in de lessen Griekse tekstuittreksels geciteerd, vertaald, ontrafeld en uitgebreid gecommentarieerd. Telkens opnieuw werden de historische achtergrond en de politieke context benadrukt en uitgelegd. We wisten om zo te zeggen alles van de Perzische (28) (Marathon, Thermopylae, Salamis) en Peloponesische (29) oorlogen, over de grote staatsman Perikles (30) en de verraderlijke Alkibiades (31) .
Ook de minoïsche beschaving (32) en vooral de verovering van Kreta door de Myceners van het vasteland, was één van zijn stokpaardjes. Ik heb het stil vermoeden dat hij op een dergelijk onderwerp gepromoveerd was. Hij had het immers over linear B en de recente ontcijfering van dit schrift (33) door Michael Ventris en John Chadwick. Deze ontcijfering toonde definitief aan dat linear B een voorloper was van het Griekse schrift en niet zoals Sir Arthur Evans hardnekkig voorhield- behoorde tot het Minoïsch schrift.
(33) voor een spannend historisch en gedetailleerd relaas zie bvb hoofdstuk 5 La barrière de la langue van Simon Sing s Histoire des Cades secrets de lEgypte des Pharaons à lordinateur quantique- (Livre de Poche -1999-)
(Hoofdstuk 4 "Taal en Cultuur in de Cadettenschool")
§ 3.4 Grieks in de Cadettenschool
Elke Grieks-Latinist, deze naam waardig, kent en dweept met Homeros en cadetten vormen op dit vlak zeker geen uitzondering. Vandaar dat mij -voor dit bericht- de ikoon "Homeros" erg geschikt lijkt. Nochtans is in het Westen het Grieks nooit echt -de Hellenistische periode te na gesproken- de taal van de erudiet geweest. Enkele tientallen decennia geleden was alleen Latijn dé spreek- en schrijftaal van de erudiet en zo communiceerden geleerden, filosofen en religieuzen practisch uitsluitend in het Latijn, nooit in het Grieks.
Het meest markante voorbeeld in de wetenschappen was wellicht het boek Philosophiae naturalis principia mathematica (kortweg de Principia) van Newton, een boek dat dateert van 1687 en waarvan de eerste Engelse vertaling, verzorgd door Andrew Motte, maar verscheen in 1729. Voor wat de religieuze wereld betreft is algemeen bekend dat tot Vaticanum II (1962) de Missen nog uitsluitend in het Latijn werden gelezen en tot op heden worden de Pauselijke Encyclieken nog steeds in het Latijn opgesteld. Latijn was ook de taal van de rechtsgeleerden en vele gebruikte rechtstermen bewijzen zulks ten overvloede.
De laatste decennia is hierin verandering gekomen en werd ook Latijn althans in de wetenschappen en de rechtsgeleerdheid- minder en minder als universeel communicatiemiddel gebruikt : het Latijn werd zoals het Grieks werkelijk een dode taal.
De Latijnse taalleergangen in het secundair onderwijs dienden noodzakelijkerwijze deze trend te volgen. Dit had tot gevolg dat Latijn niet langer werd aangeleerd als spreek- of schrijftaal maar wel als een soort sleutel, die rechtstreekse toegang verleende tot de Latijnse beschaving.. Vóór 1950 kon men nog van een rhetoricastudent verwachten dat hij zich kon uitdrukken in het Latijn (Loquor latina lingua) en bvb een Latijnse redevoering kon afsteken. Dit lijkt nu irrationeel en utopisch. Daarentegen wordt heden veel meer aandacht besteed dan vroeger aan de Romeinse culturele nalatenschap.
In tegenstelling met Latijn is Grieks (oud-Grieks) practisch nooit als universele spreek- of schrijftaal gebruikt maar steeds als een toegangssleutel tot de Griekse beschaving. Qua onderwijs, was er dan ook -door de eeuwen heen- een beduidend verschil in het onderricht Grieks respectievelijk Latijn. Dit verschil is heden volledig uitgevlakt is en beide talen zijn volledig georiënteerd als sleutel tot de Griekse respectievelijk Romeinse beschaving.
Een klassiek filoloog als André Van der Kerken, die zeer hoog opliep met de klassieke oudheid en i.h.b. met de Griekse beschaving, oriënteerde dan ook volledig de lessen Grieks in deze zin. Naast Griekse woordenschat, taaleigen en grammatica, werd dan ook een ruime rol toebedeeld aan de Griekse cultuur- en beschavingsgeschiedenis. Hij had het dan ook voortdurend over de Minoïsche beschaving en Mycene, de Achaeërs, de Doriërs en de Ioniërs, de Hellenen, de archeologen Heinrich Schliemann (1822-1890) en Arthur Evans (1851-1941).
In de Cadettenschool werd Grieks onderwezen aan een zeer beperkt aantal cadetten. In mijn promotie (Roger Collin) bvb waren er in de derdes 9, in poësis 6 en in rhetorica 4 leerlingen. Men kon dus echt wel gewagen van privaatlessen. Het was niet verwonderlijk dat er tussen Grieks-Latinisten en Van der Kerken een soort vriendschapsrelatie ontstond en zo was hij in rhetorica de eerste die wist of zijn cadetten zich al dan niet voorbestemden voor de KMS. Voor de Grieks-Latinisten was er immers na de KCS een andere mogelijkheid dan de KMS met name de universiteit met een loopbaan als militair arts, apotheker of veearts. Velen vroegen hem daarbij raad...
Aan mij, die een militaire carrière echt niet zag zitten en die al evenmin goesting had om geneeskunde te studeren, gaf hij de raad om -hoe dan ook- te beginnen met farmacie en indien mogelijk later deze studie te bekronen met een doctoraat. Natuurlijk wist ik op dit ogenblik niet wat een doctoraatsstudie inhield. Hoe dan ook, ik heb zijn goede raad wel ter harte genomen..
Als Griekse Spraakkunst gebruikten wij officieel de Lingua Graeca Spraakkunst van Baeyens en De Waele (vierde druk -1952-) maar ook hier werd onvermijdelijk de Beginselen der Griekse Spraakkunst van S.J. Karel Van de Vorst aangeprezen.
In de derdes hadden wij natuurlijk de traditionele Xenophoon met zijn Anabasis. Xenophoon is qua eenvoud van taal te vergelijken met Caesar en wordt om deze reden doorgaans als eerste kennismaking met de Griekse literatuur voorgeschreven. De Anabasis is zoals de De bello Gallico van Caesar- een historisch oorlogsverslag, dat Xenophoon schreef in 398 BC. Hier gaat het echter over de Perzische oorlog tussen Cyrus en Artaxerxes II. Letterlijk betekent Anabasis "de tocht naar het binnenland" maar het wordt ook wel eens "de tocht van de tienduizend" genoemd, omdat het ging over tienduizend Griekse huursoldaten, die Cyrus moesten helpen de macht te grijpen en Artaxerxes II van de troon te stoten.
Nadat Cyrus in de omgeving van Babylon gesneuveld was en de Griekse officieren op verraderlijke wijze waren gevangen genomen en geëxecuteerd, was het huurlingenleger op zichzelf aangewezen om de terugtocht (Katabasis of tocht uit het binnenland) aan te vatten. Xenophoon werd als aanvoerder verkozen en hij had als taak het verdwaalde leger terug thuis te brengen. Op de terugtocht sneuvelden er vele huurlingen in gevechten met wilde bergstammen en kwamen er andere om door de barre winterse omstandigheden. Een zeer beroemde scène uit de Katabasis is dan ook die waar de Grieken huilend van geluk de zee met Thálassa! Thálassa! begroeten als ze de laatste bergrug overwonnen hebben.
Van de Anabasis is mij bijgebleven :
«Εντευθεν εξ-ελαυνει σταθμους δυο παρασαγγας δεκα »
(vertaling: Vandaar trokken ze verder tien parasangen(1) ver in twee dagmarsen)
Hoeveel keer dit zinnetje in de «Anabasis» voorkomt alleen de telwoorden δυο en δεκα verschillen naargelang het hoofdstuk- heb ik nooit willen tellen ..
In de poësis was het de beurt aan Homeros (Ilias en Odyssee). Homeros is een (volgens de traditie blinde) dichter en zanger die vermoedelijk rond 800 BC heeft geleefd. Het Grieks van Homeros is uiteraard niet dit van de historicus Xenophoon : er is tussen beide auteurs meer dan vier eeuwen verschil en dit is duidelijk aan de grammatica te merken. De Ilias is geschreven in archaïsch Grieks en onderscheidt zich van het Attisch van Xenophoon in zowel woordenschat als in syntaxis. De naam Ilias is afgeleid uit Ilion, een andere naam voor Troje.
De gebeurtenissen beschreven in de Ilias betreffen het laatste oorlogsjaar van de tienjarige Trojaanse Oorlog (1190-1180 BC) ; in de Odyssee daarentegen gaat het over de tien jaar durende terugtocht van de held Odysseus na de Trojaanse oorlog. Troje (Anatolië) en Ithaka (thuisbasis van Odusseus) liggen nu precies niet naast elkaar, maar om over deze afstand tien jaar te moeten doen, dat lijkt mij wel wat ietske te veel van het goede.
Qua omvang zijn beide epen ongeveer gelijk (Ilias 15.640 verzen ; Odyssee 12.084 verzen). In het middelbaar onderwijs beperkt men zich tot de voornaamste zangen (hoofdstukken) van elk epos. Deze heldendichten voeren een groot aantal personages ten tonele en veronderstellen een grote kennis van de Griekse mythologie :
Van Griekse zijde hebben we : Menelaos en zijn vrouw Helena, die bezwijkt voor de charmes van Paris en met hem naar Troje vlucht; Agamemnon (3) , broer van Menelaos, zijn vrouw Klutaimnestra en hun dochter Iphigeneia ; als Griekse helden : de onkwetsbare Achilleus, zijn vriend Patroklos en zijn zoon Neoptolemos, de oude wijze Nestor, de oersterke Ajax , de listige Odysseus zijn trouwe echtgenote Penelope en zijn zoon Telemachos, de onheilsprofeet Kalchas, de dappere Diomedes
Van Trojaanse kant hebben we dan : Paris en Hector, zonen van Priamos -koning van Troje-, Andromache, vrouw van Hector en haar zoontje Astyanax ; Cassandra, dochter van Priamos, ; Aeneas, een andere Trojaanse prins, wiens nageslacht Rome zou stichten. Verder is er de ziener Laokoon met zijn twee zoons Athenedoros en Polydoros, die op bevel van Poseidoon door 2 zeeslangen gewurgd worden .. Het verhaal van Laokoon komt echter alleen in Virgilius Aeneïs voor. De Latijnse auteur laat hem het gevleugelde zinnetje Timeo Danaos, et dona ferentes uitspreken
Zoals Van der Kerken het ons duidelijk maakte : de Griekse helden zijn tranerige of tirannieke helden.. Een Achilles bvb zit op een rots te wenen over het verlies van zijn hetaere Briseïs, die de sombere Agamemnon hem heeft afgenomen : anderzijds aarzelt de chef Agamemnon niet zijn eigen dochter Iphigeneia in Aulis op te offeren om te kunnen afvaren naar Troje.. Deze laatste wordt echter uiteindelijk gered door de godin Artemis. Daarentegen zijn de Trojaanse helden eerder grootmoedig en veelal diep-humaan. Zo is er het ontroerende afscheid van de helmboswuivende Hector aan Andromache en Astyanax op de muren van Troje.
Allen zijn ze echter het slachtoffer van de intriges tussen de goden en godinnen, die elk hun kamp kiezen.
De oppergod Zeus zelf speelt een twijfelachtige rol.
Hera, vrouw van Zeus, en Pallas Athena, dochter van Zeus, steunen de Grieken uit wrok tegen Paris, die Aphrodite tot mooiste godin had uit geroepen. Hephaestus, god van vuur, smederijen en handwerk, die Achilles' nieuwe wapenrusting maakt en Poseidon, god van de zee, kiezen insgelijks het kamp van de Grieken.
Aphrodite, godin van de liefde, Ares, god van de oorlog en tegenstrever van Pallas Athene, en Apollo, zonnegod en beschermgod van Troje, steunen natuurlijk het Trojaanse kamp.
De Ilias telt 24 zangen met elk ongeveer 800 verzen. De laatste zang gaat over de begrafenis van Hector. Noch de dood van Achilleus veroorzaakt door een pijl in de Achillespees afgeschoten door Paris, noch het Paard van Troje komen in de Ilias voor. Het Trojaanse Paard wordt echter wel vermeld in de Odyssee en ook in de Aeneïs van Virgilius.
De Odyssee telt eveneens 24 zangen. In de eerste 4 zangen heeft Telemachos, de zoon van Odusseus de hoofdrol en wordt daarom dit deel van de Odysse ook nog Telemachie genoemd. De verdere zangen zijn een vervolg op de Ilias en vertellen het verder wedervaren van de Griekse helden.
In de Oudheid moesten in Griekenland de zonen van goeden huize zowel Ilias als Odyssee in extenso van buiten kennen. Wat volgens Socrates van Homeros de Opvoeder van Griekenland maakte.
Zover wou een Van der Kerken niet gaan, maar hij vond dat een Grieks-Latinist, die naam waardig, toch de eerste verzen van de Ilias(2) moest van buiten kennen :
Μῆνιν ἄειδε, θεά, Πηληιάδεω Ἀχιλῆος
οὐλομένην, ἣ μυρί Ἀχαιοῖς ἄλγε ἔθηκε,
πολλὰς δ ἰφθίμους ψυχὰς Ἄϊδι προῒαψεν
ἡρώων, αὐτοὺς δὲ ἑλώρια τεῦχε κύνεσσιν
οἰωνοῖσί τε πᾶσι Διὸς δ ἐτελείετο βουλή
Wij zijn dan ook t Kerkske, zoals hij in de omgang genoemd werd, ter wille geweest..
vraag : wie of wat stellen begeleidende fotos en figuren voor ??
tip : de namen zijn vermeld in de tekst...
-------
(1) 1 parasang is ongeveer 6 km
(2) voor een brillante, vrije, esthetisch-verantwoorde Nederlandse vertaling zie Carel Vosmaer s De Ilias van Homeros (1880). Van dit boek zijn meerdere herdrukken verschenen en nog steeds te verkrijgen in bepaalde boekhandels. Sommige filologen, zoals de Amsterdamse hoogleraar S. A. Naber, die nog met Vosmaer de schoolbanken van het gymnasium had gezeten, hebben volgens Van der Kerken- deze vertaling totaal ten onrechte bekritiseerd.
(3) het gouden masker van Agamemnon gevonden door Schliemann in Mycene en dat bewaard wordt in Athene, is niet van Agamenon
(Hoofdstuk 3 "Taal en Cultuur in de Cadettenschool")
§ 3.3 Latijn in de Cadettenschool
Met André Van der Kerken (Grieks en Latijn) bevinden wij ons in het centrum van l esprit de finesse. Van der Kerken is ontegensprekelijk het boegbeeld van de cadetten, die ingeschreven waren in de Grieks-Latijnse sectie. Zijn humanisme en grootmenselijkheid hebben bij vele van zijn leerlingen diepe sporen nagelaten. Om al deze redenen heb ik natuurlijk een "Van der Kerken in actie" als ikoon voor dit bericht uitgekozen.
Ik had het reeds herhaaldelijk over l esprit de géométrie en l esprit de finesse. Misschien is nu wel het ogenblik gekomen om iets over deze begrippen te zeggen. Voornoemde begrippen zijn afkomstig van Blaise Pascal (1623-1662) en werden gecommentarieerd in zijn Pensées. Hij schreef o.m. :
«..Tous les géomètres seraient donc fins s ils avaient la vue bonne, car ils ne raisonnent pas faux sur les principes qu ils connaissent; et les esprits fins seraient géomètres s ils pouvaient plier leur vue vers les principes inaccoutumés de géométrie ..»
Deze ene zin vat precies samen wat van een Grieks-Latinist in de Cadettenschool verwacht werd : enerzijds moest hij zijn esprit fin ontwikkelen (zijn intellect oriënteren naar literatuur, filosofie en logica ) anderzijds moest hij trachten ook een géomètre te zijn (intellect georiënteerd naar wiskunde en wetenschappen).
Een Blaise Pascal (mathematicus, fysicus, filosoof, moralist, prozaschrijver) had daar geen problemen mee. Wij wel
Maar terug naar André Van der Kerken. André gaf les in de Cadettenschool van 1947 tot 1970 en heeft dus nog Seilles meegemaakt. Over de persoon van André Van der Kerken zelf heb ik weinig kunnen terug vinden. Hij had, zoals hij ons zelf vertelde, klassieke filologie en rechten gestudeerd en was doctor in de klassieke filologie. Wel had hij het veelal over zijn broer die Jezuïet was en Hegeliaan. Over deze laatste heb ik wel een en ander kunnen terugvinden waardoor de figuur van André Van der Kerken meer begrijpelijk wordt.
Zijn (oudere ?) (*) broer Libert was geboren in 1910, trad tot de Jezuïeten toe in 1917 en promoveerde in Leuven in 1944. Vanaf hetzelfde jaar doceerde hij theologie en filosofie aan de Filosofische Faculteit van het Theologisch en Filosofisch College S.J. in Leuven en was van 1959-1981 hoogleraar in de filosofie aan de Universitaire Faculteiten St. Ignatius te Antwerpen. Libert Van der Kerken was een spiritualistisch filosoof ; zijn denkmethode was gebaseerd op fenomenologische analyse verbonden met een dialectiek van hegeliaanse inslag. Libert Van der Kerken overleed in 1998.
André Van der Kerken had een groot respect voor zijn broer en was duidelijk beïnvloed door diens denkmethode en Hegeliaanse beschouwingen. Dat André Van der Kerken ook beïnvloed was door Hegel- zelf was niet verwonderlijk. Hegel (1770-1831) was immers niet alleen begeesterd door de Griekse Oudheid, de Franse Revolutie en het pantheïsme maar overzag ook de gehele wetenschap van zijn tijd : wis- en natuurkunde, aard- en volkenkunde, en i.h.b. de rechtswetenschap en geschiedenis. Op deze grondvesten had Hegel zijn eigen dialectiek opgebouwd, die in vele opzichten verschilde van die van Immanuel Kant.
Een klassiek filoloog (Griekse Oudheid, pantheïsme), jurist (rechtswetenschap en geschiedenis) en sociaal bewogen persoon (devies : liberté, égalité, fraternité van de Révolution Française) als André Van der Kerken kon zich gemakkelijk in deze filosofie terug vinden. Dit verklaart o.m. zijn menselijke en begrijpende houding t.o.v. zijn leerlingen en deze houding werd nog versterkt door enkele persoonlijke ervaringen.
Voor hem was bvb de beslissing van de legerleiding om de Cadettenschool na WO II eerst in Seilles te vestigen -vanuit rechtsstandpunt- een ongelooflijke flater. De Vlamingen die in Seilles gestudeerd hadden dienden tengevolge de Taalwetten van 1932, na hun humaniora de Middenjury te passeren om hun humanioradiploma te valideren, de Walen kenden dit probleem natuurlijk niet !! Natuurlijk dit onrecht werd in 1949 opgeheven door de Cadettenschool naar Brussel (tweetalig gebied) te verplaatsen, maar het kwaad was weer eens geschied. Ook vertelde hij, dat hij in zijn college geschiedenis in het Frans gedoceerd had gekregen, een taal die hij niet beheerste. Hij kende niet eens het woord histoire. Toen hij het woord onder Istoire opzocht en de studiemeester dit merkte, zei deze hem dat hij een Imbécile was. Maar besloot hij zijn verhaal, de imbécile was de studiemeester.. Nochtans was André Van der Kerken geen flamingant, maar hij was niet blind voor het onrecht, dat de Vlamingen aangedaan werd gedurende het interbellum.
Van der Kerken verliet de Cadettenschool in 1970 (de Grieks-Latijnse sectie werd immers afgeschaft). Hij werd later nog Directeur van een Hoger Instituut in het Brusselse.
Voor de lessen Latijn zat de Grieks-Latijnse (G. L.) te samen met de Latijn-Wiskundige (L. W.) sectie. Dat had als resultaat dat wij de mannen van de L. W. heel wat beter kenden dan die van de W. ; overigens hadden wij met de L. W. ook nog andere vakken gemeenschappelijk o.a. scheikunde en geschiedenis.
Officieel was de Lingua Latina Spraakkunst van Baeyens (1951, 9de druk), schoolboek dat in de meeste athenea werd gebruikt, onze Latijnse spraakkunst. De voorkeur van Van der Kerken ging echter -hoe zou het anders kunnen als je een broer als Jezuïet hebt- naar de Beknopte Latijnse Spraakkunst van S.J. Adhemar Geerebaert (1953), een schoolboek dat toen in alle colleges werd gebruikt en dat ook in mijn collège Saint-Louis werd voorgeschreven.
De Peter Gaarebaert (vervorming van Pater Geerebaert) zoals Van der Kerken deze Spraakkunst -met enige humor- noemde was inderdaad wel beter en vooral veel genuanceerder dan de Baeyens.
Het merendeel van mijn klasgenoten waren niet vertrouwd met de Peter Gaarebaert ; ook merkte ik wel dat, qua Latijnse kennis, ik op hen wat voorsprong had. Mijn verblijf in het collège Saint Louis had dus toch iets opgebracht !!
In de derdes en in poësis was ik dan ook primus in Latijn, maar niet in rhetorica. Dit kwam omdat een van mijn klasgenoten het plots in zijn hoofd gekregen had om voor Jezuïet te studeren. Van der Kerken vond het zoals hij het mij zelf vertelde en zich daarbij excuseerde- daarom nodig hem de prijs Latijn toe te kennen.
In de derdes staken wij (opnieuw) van wal met Caesar s De bello gallico en ik hoorde het dus voor de tweede maal dat :
.. Horum omnium fortissimi sunt Belgae, propterea quod a cultu atque humanitate provinciae longissime absunt..
Maar ditmaal kwamen ook andere hoofdstukken aan bod o.m. Ambiorix (De bello gallico V). Ik vermoed dat Van der Kerken uit Limburg (*) kwam..
Vervolgens was er de onvermijdelijke Titus Livius met een paar teksten uit Ab urbe condita. Reeds in het Sint Lodewijkscollege had ik met deze auteur kennis gemaakt door enkele teksten o.m. over Scipio Africanus, Hannibal, .., die in ons schoolboek "Excerpta" waren opgenomen. Tite-Live zoals Van der Kerken deze Latijnse historicus -met enig sarcasme- noemde, was voor hem de aanleiding om het te hebben over de geschiedenis van de Romeinse republiek en het ontstaan van het Romeinse Keizerrijk. Hij had het o.a. over de stichting van Rome met Romulus en Remus, de Virgines Sabinae -de roof der Sabijnse Maagden-, een onderwerp dat zovele schilders (Rubens, David, Poussin, Picasso..) bekoord heeft. Wij waren ook bekoord ... maar om andere redenen..
Verder kwam ook Etrurië en de Etruskische beschaving aan de beurt aan de beurt, beschaving die hem erg nauw aan het hart lag.
In poësis volgden dan de Romeinse dichters Ovidius en Vergilius. Welke Latinist herinnert zich niet de Metamorphosen van Ovidius met het moraliserende verhaal van Daidalus en Icarus en het ontroerende gedicht over Philemon en Baucis ?? Nog steeds ken ik de aanhef van Daidalus en Icarus, want ik had de eer dit gedicht te mogen voordragen.. :
Daedalus interea Creten longumque perosus exilium tactusque loci natalis amore, clausus erat pelago. "terras licet" inquit "et undas obstruat; at caelum certe patet; ibimus illac! Omnia possideat, non possidet aera Minos." Dixit et ignotas animum dimittit in artes naturamque novat.
En Vergilius en zijn bekendste werk de Aeneïs, een epos over de legende van Aeneas en dus over het ontstaan van Rome. Vaag herinner ik mij nog gedichten als Aeneas in de storm, de liefdesperikelen van Dido, de wrok van Juno, het paard van Troje, de dood van Laocoön. Het was een onderdompeling in een wereld, die mijlenver verwijderd was van onze dagelijkse wiskundige beslommeringen. En toch was ook hier de wiskunde niet zo ver af zoals een kleine anekdote bewijst.
Onze brave Vergilius was geboren in -70 en zoals Van der Kerken vertelde- was in 1930 de viering van zijn tweeduizendste geboortedag gepland (-70 + 1930 = 2000 nietwaar ). Deze viering was al in volle gang toen een wiskundige ambetanterik de bemerking maakte, dat pas in 1931 er tweeduizend jaar zouden verstreken zou zijn sedert de geboorte van de dichter. Er bestaat immers geen jaar nul.. Een fameuze blunder voor de adepten van de esprit de finesse..
Er valt dus wel degelijk iets te zeggen voor de combinatie esprit de finesse en esprit de géométrie, nietwaar ??
In rhetorica was er natuurlijk Cicero met pro Milone en de fameuze Catilinarische redevoeringen. Herinnert u zich nog de bijtende, blaffende aanhef van de eerste Catilinarische redevoering :
(vrij vertaald : hoelang nog Catilina zult u met onze voeten spelen ??
En Tacitus met zijn Annales, waar men zoals t Kerkske het uitdrukte- tussen de regels moest lezen, want ook in deze tijden was het aangeraden.. aan auto-censuur te doen !!
En Plinius de Jongere, die in zijn Epistulae gericht aan Tacitus, de uitbarsting van de Vesuvius beschreef, waarbij zijn oom Plinius de Oudere om het leven kwam.
Deze uitbarsting gebeurde op 24 augustus 79 en bedolf o.m. Pompeï en Herculanum onder een dikke aslaag. Een goede driehonderd jaar geleden ontdekte men terug deze sites. De wetenschappelijke opgravingen begonnen in de 19de eeuw en zijn bvb in Herculanum (het huidige Ercolano) nog steeds niet beëindigd.
Volgens Van der Kerken moest iedere Latinist, die naam waardig, toch minstens eenmaal in zijn leven deze sites bezoeken. Vele jaren later heb ik beide sites een aantal keer- mogen bezoeken, want ik vertoefde later beroepshalve- regelmatig in de streek van Sorrento en Napels : hij had natuurlijk overschot van gelijk..
---------- (*) De kleindochter van André Vander Kerken was zo vriendelijk mijn vermoedens te bevestigen : André was inderdaad jonger dan zijn broer Libert. Hij was geboren in Heppen (Limburg) op 12 december 1915 en is overleden in Laken op 25 november 1992. Hij was ook reserve-officier, oudstrijder en krijgsgevangene 1940-1945. Na zijn loopbaan aan de Koninklijke Cadettenschool, is hij Directeur geworden van de Administratieve en Economische Hogeschool te Brussel.
Zijn homilie bevatte o.m. volgende ontroerende tekst :
"Onderwijs was mijn roeping. Een gelukkige toekomst helpen opbouwen voor zovelen, werd mijn levensdoel. Vriendschap mogen delen, mijn dagelijks brood"
) ook nog een « Complement » bestemd voor de derde Grieks - Latijnse humaniora. 
.. De gekozen formule sloeg inderdaad aan.. en het werd een kassucces.
en verder voor het tekenwerk de werkinstrumenten passer en gegradueerde lat, winkelhaak en gradenboog. Let wel dat voor het beoefenen van de meetkunde van Euklides (deductieve meetkunde)alleen passer en lineaal toegelaten zijn.
), mocht ik mijn oudste broer vergezellen wanneer maandelijks afgerekend werd bij boer Van Mullem (Zeven Torrekes) voor de aangekochte eieren, boter, appelen enz. 
De leerstof overschreed dan ook beduidend deze van het officiële leerprogramma, maar werd juist daardoor bijzonder boeiend, omdat nu onderwerpen aan bod kwamen, die anders nooit in de klassieke humaniora behandeld worden, want aanzien als te delicaat of te moeilijk bvb over de positie van de vrouw, de homosexualiteit (gedichten van Sappho) enz. 
). Deze viering was al in volle gang toen een wiskundige ambetanterik de bemerking maakte, dat pas in 1931 er tweeduizend jaar zouden verstreken zou zijn sedert de geboorte van de dichter. Er bestaat immers geen jaar nul.. 
