20-05-2006, 21:54 Geschreven door Henri  

20-05-2006, 21:53 Geschreven door Henri  

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20-05-2006, 21:52 Geschreven door Henri  

20-05-2006, 21:52 Geschreven door Henri  

Targeting sales.

Henri Muller.

Keeping or extending market-shares, harmonizing markets and productions, maintaining the order-book at a convenient level and maximizing profits are the main, sometimes contradictory aims of the sales department. The department should have a precise knowledge of market developments, sales-prices, the company’s manufacturing capabilities and production costs. It requires the active help of the shop floor as well as of the book-keeping department. In the form of a synthesis this paper takes all relevant aspects into account and eventually yields a realistic and relatively simple computing method that could be very helpful to efficient salesmanship.

The bottom line of any company can be somewhat boosted by systematically pushing the sales of the most profitable products.

Two conditions must be fulfilled: there must be some excess of demand compared to the processing capabilities of the plant, lest there should be no possibility of choice left to the sales department; per product, the profitability must be known.

The most favorable quantity and price ranges of the different products and the different markets as assessed by the Commercial Department are on the one hand valuable information to the selling points all over the world, on the other hand a helpful clue to the salesman on the spot, facing his customer.

Despite its simplicity, the idea of selective sale must overcome some unexpected conceptual obstacles.

What are the potential markets open to given production facilities? The answer depends on the way the question is looked on:

· a market survey in many cases yields too large and too heterogeneous a demand: a vast range of specific needs at quite different price levels

· the immediate sales potential can be assessed by summing up the sales expectations for the current quarter of all the selling points

· a third method considers the existing product mix as it results from the sales carried out in the past. This mix is the outcome of years of selling practice and of matching demand and processing facilities as far as possible. Which however does not mean that it can’t possibly be improved at all (the starting mix of charts 1 to 5 will be fixed this way)

Operating by selective sales comes down to neglect the less profitable markets. The danger is that, once the relation with the customer has been broken up, it may be difficult to restore it afterwards, say in a period of recession. That’s why, even in less profitable areas, some level of activity is currently maintained, albeit with minimal quantities. Generally speaking, selective sales must compromise between profitability and customer diversity. Any increase in profit must be achieved with a minimal distortion of the demand.

Sales prices are fixed by the market. Reference prices, assessed by the Commercial Department, depend on the production mix which has actually been sold. The more selective the sales, the higher these prices. That is why the process of selection must be progressive. The mix has to be improved by small steps rather than abruptly, in order to avoid upsetting the relations with a large number of customers at short notice.

The reference prices of the products depend on their profit margins. Obviously, different products are to be compared exclusively by their variable costs. There is no sense in taking into account the fixed costs, because these, by their very definition, are independent of the mix. Furthermore, as anyway they cannot be correctly distributed among the different products, by attempting to do so one would unduly bias the results. Nevertheless, the production facilities, by matching mix variations, may imply some change in the fixed costs. Then, at the breaking point, appropriate scenarios, considering total costs (fixed and variables), will settle the question.

The notion of “bottleneck” is another delicate item. It cannot be denied that for a product undergoing different operations at different processing-units the delivery-date depends on only one of them. In complex production facilities the location of the bottleneck may change from product to product and, even, for one and the same product, from order to order. Generally speaking, as the future load of the facility is not known, the optimal mix is assessed by admitting the existence of more than one bottleneck at a time. As a matter of fact, each processing unit is a priori a potential bottleneck. Whatever the complexity of the facilities and the diversity of the products’ processing patterns, the computing procedures (quadratic programming) detect any unit that for a given mix is about to become a bottleneck (eventually, the said units reach more or less their saturation). Depending on incoming orders, some of the units – alternately – will really end up as bottlenecks. In a quite autonomous way, quadratic programming figures out the production-units that for a given product mix could happen to be filled up to their saturation point, as well as those whose capacity – in any event – will be in excess.

Four parameters are attached to each product:

v_i = selling price per quantity unit

k_i = variable production costs per quantity unit

m_i = vi – ki = brute margin per quantity unit

cr_i = production-time needed at production-unit r per quantity unit

The production costs k_i of product i are the sum of the costs – here the variable costs – occurring at all the production-units during the processing of the quantity unit of product i (in order to compensate any loss or gain of material during processing, the c_ri are assessed by measuring the quantities of product i processed at production-unit r in terms of finished product).

For each product there are two quantity variables:

q_i = demand (quantity per time-unit, per quarter, for instance)

p_i = production (quantity per time-unit, per quarter, for instance)

For one and the same product i quantities q_i, p_i are additive respectively.

Each processing-unit r has its capacity C_r (capacity = production-time available at production-unit r per time-unit, per quarter, for instance).

The “global” parameters are:

(1): P_r = Σ_i (p_{i *} c_ri) = total production-time necessary at production-unit r to process the whole of the production-mix scheduled for the quarter considered

(2): M = Σ_i (p_{i *} m_i) = total brute margin of the whole of the production scheduled for the quarter

Per product i the distortion (d_i) of the quarter is measured by the turnover (w_i = q_{i *} v_i) related to demand q_i, weighted by the square of the relative gap between the two turnovers, that of the demand (w_i = q_{i *} v_i) and that of the production (w_i = p_{i *} v_i): d_i = w_{i *} [(w_i – u_i ) / w_i)]² = w_{i *} (1 – u_i / w_i)².

The global distortion of the quarter amounts to

(3): D = Σ_i d_i = Σ_i [w_{i *} (1 – u_i / w_i)²] = Σ_i [q_{i *} v_{i *} (1 – p_i / q_i)²].

What exactly are the relations between demand, product-mix, distortion, production quantities, production capacities and margins?

The task of the Sales Department is a triple one: as far as possible satisfy the customers’ demand, keep the composition of the order-book abreast of the production possibilities, maximize the bottom-line.

As already pointed out, our approach makes sense only if the demand exceeds the production capabilities. Otherwise there would be no choice left and the mix would have to be accepted the way it’s coming in.

From a mathematical point of view, the second task is a constraint rather than an objective. As the location of the bottlenecks are not known beforehand, the constraints that limit the production are expressed by inequalities (P_r ≤ C_r). Other constraints concerning the production quantities come on top of it: in any case these quantities must not be inferior to zero; sometimes minimal quantities (p_i ≥ p_imin) are imposed. On the other hand, in many instances quantities must not exceed certain limits.

At this stage, we consider only two of the three targets, the conformity to demand being the main one. If temporarily the increase of benefits is completely neglected, the problem reduces to the minimization of distortion D, the limitation by the processing facilities and of the production quantities being taken into account. According to relation (3), D measures the gap between corresponding q_i’s and p_i’s.

If anyhow the capacity constraints keep the production from equaling demand, why not by the way boost certain products and thus increase general profitability? This must be done with the necessary care so as not to disturb too many customers at a time. As it is mathematically impossible to pursue simultaneously two different targets, the increase of profit is introduced in the form of a constraint (M according to relation (2)). The computation yields the minimal distortion D for a fixed brute margin M, which – inversely – comes down to fixing the highest possible margin for a given distortion.

An optimum of this sort (constrained optimum) is resolved by means of an auxiliary function F, where the constraints are weighted with respect to the main function D by the Lagrange multipliers L_r, L_i, L_M

(4): F = D + Σ_r [L_{r *} P_r] – Σ_i (L_{i *} p_i) – L_{M *} M

= Σ_i [q_{i *} v_{i *} (1 – p_i / q_i)²] + Σ_r [L_{r *} Σ_i (p_{i *} c_ri)] – Σ_i (L_{i *} p_i) – L_{M *} Σ_i (p_{i *} m_i)

(the expressions are preceded by + or – in a way conferring positive values to all the multipliers: D is to be minimized, M maximized, the P_r’s have upper, the p_i’s lower limits).

The F-function is minimized by the correct choice of the p_i’s. By nullifying the derivatives of F with respect to the p_i’s we get the algebraic expressions of the p_i’s (by means of e_i = ½ _* q_i / v_i)

(5): p_i = q_i + e_{i *} [L_{M *} m_i – Σ_r (L_{r *} c_ri) + L_i].

The problem of selective sales are thus completely solved by formulas (5) and the equalities and inequalities expressing the constraints

(6): Σ_i (p_{i *} c_ri) ≤ C_r, p_i ≥ p_imin, Σ_i (p_{i *} m_i) = M.

Due to the inequalities in (6), the problem, i. e. the assessment of the multipliers L_M, L_r, L_i and the p_i’s belongs typically to the realm of linear programming.

Parameters q_i, v_i (hence e_i), m_i, c_ri, C_r, p_imin are given. The imposed value of M evolves between its minimum value (point of zero distortion) and its utmost value (solution of pure linear programming regardless of distortion).

Expressions (3) and (1) allow to assess the degree of distortion (bare of any practical signification) and the load of the different production-units, independently of there being bottlenecks or not.

Starting with an existing mix, charts 1 and 3 show how the production-quantities of 35 products change with the increase of the total margin. The evolution of the total brute margin – given by [(M – M₀₀) / M₀₀] – brings about continuous changes of the mix – expressed by (p_i / q_0i) (M₀₀ et q_0i being the initial values of M and the q_i’s). The parameters of the products, more or less realistic, have been created by appropriate random generators.

Charts 1 and 3 give a general survey; for more detail charts 2 and 4 magnify the ordinate of charts 1 and 3 respectively. Charts 1 and 2 admit one single bottleneck. For charts 3 and 4 the five production-units occasionally form bottlenecks all at the same time.

The charts have been established by the “progressive method”: for each value of M the associated product mix becomes the demand of the next M-value. Any set of p_i’s converts at once into the q_i’s entering the computation of the set of p_i’s located at its immediate right (an infinitesimal progression dM of M – hence a continuous evolution of the q_i’s and p_i’s – would be ideal). It can be proven that the progressive method keeps the p_i’s from reaching values below zero. The p_i’s representing unfavorable products tend asymptotically towards nil. At the final point – the one of highest possible margin – the results of the quadratic and the pure linear programming are identical. There, the number of remaining products is equal to the number of remaining bottlenecks (not considering the products whose quantities have previously reached their imposed upper limit).

Reference prices.

According to relation (5), for increasing M, depending on the algebraic sign of expression [L_{M *} m_i – Σ_r (L_{r *} c_ri)], the p_i’s are growing or diminishing (for p_i’s not constrained by commercial limits the L_i’s are equal to zero). For each product i the difference between m_i and n_i = Σ_r [(L_r /L_M) _* c_ri] decides if, with respect to the prevailing mix and its mean brute margin, he product has to be pushed (m_i > n_i) or restricted (m_i < n_i). Adding the variable costs k_i to the brute reference margin n_i one gets the reference price s_i (= n_i + k_i) of product i.

But the resulting reference prices are biased. In the general case, ratios L_r / L_M have two components, the one related to the margin and the one related to distortion. Reference prices however must be bare of distortion elements. Now, the progressive method happens to change the L_r / L_M into the differentials a_r = dL_r/dL_M, which – as can easily be proved – are free of any trace of distortion. That is the decisive advantage of the progressive method and the reason to adopt it definitively. For production-unit r, a_r is the marginal value of its constraint C_r (the marginal value of a non bottleneck equals zero). Chart 5 shows the evolution of the a_r’s corresponding to charts 3 and 4.

The marginal values depend on the product mix and its profit potential. The a_r’s of production-unit r applies to all the products really or possibly processed by r. Their reference prices, at the point reached so far (i. e. for a given M), amount to n_i = Σ_r (a_{r *} c_ri) = a_{1 *} c_1i + a_{2 *} c_2i + a_{3 *} c_3i + a_{4 *} c_4i ... completed by the variable costs k_i of product i (the c_ri’s are supposed to be known, as well as the variable costs k_i; for any product not processed by r, c_ri equals zero). Any change of mix requires great care. Too brutal an additional sale of relatively important quantities of products, for the moment being of an apparent high profitability, may upset the bottleneck pattern to a point jeopardizing benefits.

Selective sales check the price structure rather than the price level. If for all products the selling prices equalled their references (v_i = s_i or m_i = n_i), mix variations wouldn’t have any effect, whatever the profitability of the sales. Start and end of any p_i-curve would coincide; there would be no curves at all. The general price level is a quite different, very important question, the one concerning the ratio between turnover and global production costs (fixed and variable).

In a large array of items, the introduction of distortion yields unexpected results in the following cases f. i: parallel production-units; search of a neutral (unbiased by profit boosting) load of the production-units for a given demand; homogenizing a set of different markets despite accepted price differences in order to compare the price structures from market to market in a way unbiased by these differences; assessment of selling prices outside and inside the company; spotting of the most harmful bottlenecks.

24-04-2006, 18:26 Geschreven door Henri  

L’échéancier fiable.

Fundamentals of reliable production scheduling.

Henri Muller.

Any manufacturer will have experienced the very irritating problems related to late delivery. Despite bulky inventories, every now and then a customer’s urgent need cannot be satisfied at the date agreed upon. The author shows the way out.

Tout entrepreneur sait à quel point il est difficile de respecter les délais de livraison accordés à une clientèle de plus en plus pointilleuse à cet égard. Trop souvent, la pléthore des stocks n’empêche pas les marchandises réclamées d’urgence de ne pas être disponibles à temps. On trouvera ici une analyse serrée des causes de telles défaillances et les remèdes à y apporter.              

Objectifs et contraintes. 

Echéancier et programme de mise en fabrication sont les deux aspects d’une même réalité. En dernier ressort, l’enregistrement de nouvelles commandes ne peut se faire qu’à partir de programmes de simulation. Dépendant dans une certaine mesure de facteurs aléatoires, l’évolution des productions doit constamment être réalignée sur l’échéancier, qui, à son tour, tient compte à tout moment des modifications imposés par les clients en ce qui concerne les dates précises de livraison, ainsi que les quantités et les produits mêmes à fournir. L’objectif de notre analyse est celle d’accorder en toute  circonstance des délais de livraison fiables, compatibles avec l’état du carnet des commandes et de l’outil de production. Inversement, les programmes de mise en fabrication doivent sans relâche être réactualisés.

La mise en fabrication est tributaire de trois types de contraintes techniques :

·            capacités de production des différentes installations et temps de production des produits)

·            durées d’élaboration des produits après mise en fabrication (déterminant la durée du séjour d’un produit dans la structure de production ; v. plu loin : coordination des opérations séquentielles sur un même article)

·            par installation, séquences prescrites ou préférentielles des différents articles à mettre en fabrication

En règle générale, les nouvelles commandes, fraîchement entrées, sont enregistrées dans la partie incomplète de l’échéancier, dans un environnement lacunaire. Voilà pourquoi, quand, à la mise en fabrication, l’ordre de succession des produits ou groupes de produits est prescrit (« prescriptions de séquence »), sauf cas particuliers, une simulation détaillée des productions ne sera possible que lorsque la charge complète des installations sera connue. En attendant, le problème peut être résolu par l’introduction d’un ou de plusieurs paramètres forfaitaires (« marges de séquençage »). Ils concrétisent la marge de manœuvre qui, lors de la programmation définitive, sera nécessaire à la permutation des commandes. La charge des installations ainsi établie servira de programme préliminaire dans lequel pourra s’inscrire la programmation finale

Rendant superflu le recours à des algorithmes explicites d’optimalisation, la hiérarchisation univoque des priorités mène, par définition, à des résultats optimaux (les algorithmes d’optimalisation ne sont d’application qu’a posteriori dans le cas de séquences prescrites ; ils cherchent à établir, lors de la programmation finale, l’équilibre le plus avantageux entre frais de stockage et coût de mise en œuvre du programme):

(1):      respecter les échéances convenues

(2):      offrir à la clientèle les échéances les plus rapprochées possibles

(3):      minimiser les stocks finals et intermédiaires

(4):      maximiser les charges des installations

(5):      maintenir dans la mesure du possible la continuité de la programmation

Les marges tampon inclues forfaitairement dans les délais de livraison limitent les risques de dépassement des dates de fourniture. Généralement la détermination de ces marges est empirique.

La deuxième priorité tend à densifier autant que possible la charge des installations. Le client est libre néanmoins de choisir une date de livraison ultérieure quelconque, convenant le mieux à ses besoins. Les lots déjà en place sont susceptibles d’être avancés afin de libérer les capacités nécessaires à la réalisation des nouveaux lots aux dates voulues. Le procédé, qui a l’avantage de compacter les charges, a l’inconvénient de majorer les stocks. Normalement, on devrait être en droit d’admettre que la profitabilité de l’entreprise permet au supplément du chiffre d’affaires de couvrir au moins les frais de production et de stockage qu’il implique.

Une fois l’échéance fixée, la troisième priorité fait réaliser le lot le plus près possible de sa date de livraison. Les stocks s’en trouvent diminués. Les charges ainsi libérées augmentent les chances des nouvelles commandes de se faire livrer dans les délais les plus brefs.

C’est la cinquième priorité qui oblige à fonder l’actualisation des charges sur le programme de production en cours. La mise en conformité avec l’échéancier se fait en suivant strictement les priorités (et leur hiérarchie) énoncées ci-dessus, tout en s’écartant le moins possible du programme tel qu’il se présente à ce moment-là. La continuité de la programmation rassure les clients et, de surcroît, sauvegarde leurs droits acquis :

·            à l’opposé du principe « premier entré – premier servi », ce sont leurs dates de livraison convenues et non leurs dates d’enregistrement qui décident des préséances des différentes commandes. En imposant une date ultérieure à la date la plus rapprochée possible, le client renonce à toute priorité par rapport aux commandes à dates de livraison antérieures, même si elles ont été enregistrées après sa commande à lui

·            une commande risque d’autant plus des retards pour causes de d’interruptions non voulues de la production que son séjour dans le carnet est long ; cependant, une égalisation des retards entre commandes nouvelles et anciennes n’aura pas lieu

Compte tenu des cinq priorités, toute programmation se fonde sur trois relevés :

·            caractéristiques des lots (par lot : nombre, types, suite et durées des opérations à subir ; durée minimales entre opérations) 

·            l’échéancier 

·            par installation, séquences de mise en fabrication prévues au programme en cours.

Notions de base.

Les commandes émanant des clients et comportant des produits différents sont subdivisées en références (rubriques, lignes), dont chacune correspond à des articles strictement interchangeables.  Pour des raisons de convenance, à l’occasion, les références peuvent être scindées en lots (batches).

Un nombre quelconque des installations faisant partie de la structure (du réseau) de production fait subir aux articles chacune une transformation (opération) spécifique (ici dans un ordre  prédéterminé). En principe, à travers le réseau de fabrication, chacun des articles suit son parcours propre ; l’ensemble des opérations auxquelles il est soumis représente sa gamme opératoire (operational pattern). Par installation, chaque produit est transformé à une cadence qui lui est propre (inverse du temps de production nécessaire à la réalisation d’un article, ici constant dans le temps et indépendant de la suite des articles à l’installation considérée).

La capacité de production d’une installation dépend de son calendrier de travail.

Ici, dans l’hypothèse d’une disponibilité continue de toutes les installations, chacune d’entre elles est représentée par son axe des temps, ayant la date du jour comme point zéro. Suite à une panne, par exemple, le point zéro de l’installation considérée peut ne pas coïncider avec la date du jour.    

Sur l’axe des temps, chaque point représente une date. Le temps de production d’un des lots à une des installations faisant partie de sa gamme opératoire est le laps de temps s’écoulant entre ses dates de lancement et de réalisation (une interruption intentionnelle de la transformation en cours n’est pas admise). Par installation, le passage des lots ne peut être que séquentiel.

L’écart entre deux opérations A et B immédiatement consécutives effectuées sur un même lot par les deux installations F_A et F_B est mesuré par le laps de temps séparant les dates de réalisation de A et de B. Le temps de production du lot, T_A, peut être supérieur ou inférieur à T_B. L’écart doit être au moins égal à  T_B – T_A, sans cependant pouvoir devenir plus petit que zéro (v. figure 1). Vient s’y ajouter le temps de production t_A d’un article en A car l’opération B ne peut démarrer avant que le premier article en provenance de B lui soit parvenu. Les temps de transfert d’installation en installation et le conditionnement des produits (imposés par les procédés de fabrication : refroidissement, séchage, fermentation, …) peuvent accroître l’écart minimum. En outre, pour des raisons de sécurité, cet écart est à l’occasion prolongé dans le but de créer, tels que prévus, les stocks tampon intermédiaires ou finals. En cas de prescriptions de séquence, la marge de manœuvre pour permutations a posteriori vient encore gonfler les écarts entre opérations (p. ex., un produit réalisé une fois toutes les trois semaines par une campagne de production de 5 heures demande une marge de séquençage de 1.5 semaines). L’ensemble de ces écarts entre opérations immédiatement consécutives effectuées sur un même lot sera désigné par « décalage chronologique ». Il s’agit d’un minimum que, sous peine de retards, l’écart effectif doit au moins égaler, mais auquel, par les nécessités de la programmation (notamment du fait de la priorité (2)) il arrive d’être dépassé.

Si la gamme opératoire fait passer le lot directement (ou après un détour par d’autres installations) une deuxième, troisième, … fois par une même installation F_X, nous sommes en présence de boucles. Le décalage chronologique de base entre les opérations successives X_n, X_n+1 constituant une boucle doit être égal ou supérieur au temps de production en X_n+1 ; sinon, le décalage doit être majoré en conséquence (le décalage de base est la somme des décalages minimaux – déterminés en l’absence de boucles – propres aux opérations situées entre X_n,et X_n+1,  celui de X_n+1)y inclus).

Après avoir subi une des opérations, le lot n’étant pas immédiatement disponible pour sa transformation subséquente, il est mis en stock. pendant un temps égal à son décalage chronologique. Durée de non disponibilité ou délai de disponibilité (décalage chronologique par rapport à l’opération immédiatement précédente) et temps de production (durée d’exécution  de l’opération considérée) sont des grandeurs fondamentalement différentes. Pour les fours tunnels à forte production, que les produits traversent à faible vitesse avant de subir un refroidissement de longue durée, la différence est particulièrement prononcée. Le débit (inverse du temps de production) se mesure en secondes ; la traversée du four et le refroidissement des produits – la durée d’élaboration – prennent des heures, sinon des jours.

En plus des caractéristiques des produits, de l’échéancier et de la succession des lots au programme de mise en fabrication du moment, la gestion du carnet est fondée sur le relevé des stocks.

Toute gamme opératoire en cours d’exécution mène à chacune des étapes de sa réalisation à la mise en stock du demi-produit correspondant. La gamme s’en trouve raccourcie : il y a naissance d’un lot tronqué. Comme la transformation consécutive du lot concerné ne peut se faire avant sa date de disponibilité, l’opération la dernière effectuée reste conservée en tant qu’opération fantôme, se situant au point zéro de l’installation afférente, ayant un temps de production réduit à zéro et un décalage chronologique égal au solde du délai de disponibilité. La création de lots tronqués n’est pas un phénomène exceptionnel ; elle est continue en tant que conséquence normale d’une production par gammes opératoires.

À l’occasion, la partie saturée ou définitivement programmée des installations peut être mise hors programme moyennant une translation correspondante des points zéro ; à l’endroit des points zéro virtuels naîtront des lots tronqués virtuels.

Après leur expédition, les lots quittent l’échéancier. Par lot, échéance et date d’expédition coïncident. En principe, l’échéancier fait également fonction de plan d’expédition. Abstraction faite de cas de force majeure, les dates d’expédition convenues avec les clients lient les deux parties.

Outils.

Pour commencer, nous allons créer les outils nécessaires à l’actualisation des charges.

Séquençages.

Il faut distinguer trois sortes de séquences (de suites) :

·            par lot, la suite des transformations que subissent les lots du fait de leurs gammes opératoires respectives (suite des opérations) ;

·            par unité de production, la suite des lots et notamment celle de leurs dates de réalisation ;

·            pour l’ensemble des installations, la suite des commandes et notamment celle des dates de lancement des toutes premières transformations qui correspondent à leurs gammes opératoires respectives.

Lissages descendant ou ascendant (down-, up-levelling).

Tous les lots A, B, qui à une même unité de production se chevauchent plutôt que de se suivre conformément à une séquence donnée sont départagés en faisant

·            soit avancer A jusqu’à faire coïncider sa date de réalisation avec la date de lancement de B (lissage descendant),

·            soit reculer B jusqu’à faire coïncider sa date de lancement avec la date de réalisation de A (lissage ascendant). 

Ces déplacements font varier les écarts au sein des gammes opératoires. Si, pour un lot quelconque A, l’écart entre deux opérations consécutives A_x et A_x+1 en devient inférieur au décalage chronologique (minimum admissible), il y est ramené en faisant

·            soit avancer l’opération d’amont A_x (en cas de lissage descendant),

·            soit reculer l’opération d’aval A_x+1 (en cas de lissage ascendant).

Suppression des chevauchements et rétablissement des écarts pouvant se contrarier, les procédures de lissage sont itératives.

Le lissage ascendant n’est effectué que si le lissage descendant a abouti à des dates de lancement inférieures au point zéro de l’une ou de l’autre unité de production. A chacune des unités concernées, la date de lancement du premier lot de la séquence est alors alignée sur le point zéro correspondant.

Les lissages laissent inchangé l’ordre de succession des lots.

Compression des charges.

En maintenant les séquences (suites des lots), en évitant tout chevauchement de lots et en respectant les écarts minimaux entre opérations, les charges sont refoulées autant que possible vers les points zéro des différentes unités. 

Resserrement des écarts.

Le « potentiel de stock » d’un schéma de charge donné concerne tous les lots qui y figurent et notamment leurs gammes opératoires. Il est la somme non pondérée de tous les écarts effectifs entre opérations, auxquels viennent s’ajouter les avances des dates de mise à disposition finale par rapport aux échéances correspondantes (les retards n’étant pas mis en compte).

Dans le but de réduire ce potentiel, écarts et avances sont dans la mesure du possible ramenés un à un à leurs valeurs minimales. Tout resserrement est acceptable pour autant qu’il ne fait pas augmenter le potentiel de stock et ne met pas en retard un quelconque des lots par rapport à son échéance ou n’accentue pas un retard préexistant (le lissage descendant qui suit toute tentative de resserrement ne doit pas mener à des dates de production inférieures aux points zéro).

Insertion d’un lot.

En comparant charges brute et compactée d’une installation, toutes les possibilités d’insertion quant à la taille et au délai de livraison du lot se révèlent. Au diagramme 2, les traits obliques indiquent par installation l’espace disponible entre la date brute de lancement d’une opération quelconque et la date compactée de réalisation de l’opération qui la précède immédiatement.

L’insertion d’un lot se fait séparément pour chacune des opérations faisant partie de sa gamme et ce en trois étapes, dont les deux premières, en tenant compte des décalages chronologiques entre opérations d’une installation à l’autre, profitent systématiquement des premières occasions d’insertion :

·            d’abord, afin de déterminer la date de livraison minimale, insertion d’amont en aval, de la première à la dernière opération du lot à insérer

·            ensuite, afin de minimiser les écarts entre les opérations, insertion d’aval en amont, de la dernière à la première des opérations du lot à insérer ; la deuxième étape a comme point de départ, soit la date de livraison minimale, soit une date de livraison ultérieure, demandée par le client

·            finalement, formation d’un seul lot à partir des opérations insérées séparément    

Après l’insertion de chacune des opérations, lissage descendant et re-compactage de l’ensemble des charges s’imposent. 

Actualisation du schéma de charge.

La charge qui correspond au programme en cours est le point de départ des procédures.

On tient compte des changements de programme non réglementaires en effectuant d’abord un lissage descendant. Si, à une installation quelconque, la date de lancement de l’un ou l’autre lot s’en retrouvera inférieure au point zéro afférent, un lissage ascendant s’en suivra.

Dans un ordre correspondant à la suite des commandes, chaque lot, en évitant de déplacer un quelconque autre lot, est d’abord éliminé des charges pour, à l’instar d’un lot fraîchement entré, être aussitôt réinséré (comme ci-dessus en trois étapes). En cas de livraison tardive, en deuxième étape, le  point de départ de l’insertion sera le résultat de la première étape ; dans le cas contraire, on partira de l’échéance (à la réinsertion, certains autres lots seront avancés). 

Les figures 4 et 5 montrent comment, en cas d’avance aussi bien que de retard, l’actualisation des charges, compte tenu des circonstances du moment, détecte les positions optimales des lots et de leurs gammes opératoires respectives.

Finalement, la procédure de resserrement des écarts est à même de réduire quelque peu le potentiel de stock du schéma des charges.

Applications diverses de l’algorithme de pré-programmation.

La méthode s’adapte aisément à des conditions de production autres que celles traitées ci-dessus[1] :

·            à des gammes opératoires dont l’ordre des opérations peut être quelconque

·            à des capacités fonction du temps calendaire

·            à des contraintes multiples s’ajoutant aux simples contraintes de capacité globales

·            à des installations couplées

·            à des produits composés, dont les éléments sont élaborés dans des ateliers spécialisés, chacun aux gammes opératoires quelconques, pour être assemblés dans des ateliers de montage intermédiaires et finals

·            à des installations parallèles (avec allocation optimale des produits)

·            à des campagnes de production (production runs)    

·            à l’attribution d’échéances de faveur

·            à la partition des capacités en cas de filiale exploitée en commun par plusieurs entreprises distinctes

Les figures 2 à 5 se rapportent à une structure de production à 3 installations avec une charge de 75 lots. Elles visualisent par des barres horizontales (une ou deux barres par installation) les charges respectives des 3 installations.

Les lots rouges, verts ou bleus sont réalisés chacun en une seule opération aux installations 1, 2 et 3 respectivement ; les lots jaunes, turquoises et lilas sont réalisés dans l’un ou l’autre ordre (prescrit) aux installations 1, 2, 3 respectivement ; les lots réalisés en trois opérations, quel qu’en soit l’ordre de succession (prescrit), sont de couleur grise. Par lot, les dates de livraison, les gammes opératoires, les temps de production et les décalages chronologiques ont été fixés à l’aide de générateurs de hasard.

Les traits verticaux supérieurs représentent limites entre lots.

La figure 2 est la seule à avoir deux barres par installation, les barres supérieures représentant les charges effectives, les inférieures les charges compactées. Les traits obliques correspondent aux possibilités d’insertion aux différentes installations.

Les traits obliques des figures 3 à 5 relient les opérations subies par un même lot.

En raison de pannes, aux figures 4 et 5, les points zéro (Z₁, Z₂, Z₃) des installations sont décalés de 7.5, 20 et 10 unité de temps respectivement par rapport à la date du jour (une unité de temps correspond à la durée moyenne des opérations).

Par lot, les diagrammes aux barres verticales (au bas des figures) indiquent l’avance (réalisation prématurée : barres dirigées vers le haut) ou le retard (réalisation tardive : barres dirigées vers le bas) de la dernière opération par rapport à son échéance (compte tenu de la durée d’indisponibilité avant expédition).

08-12-2005, 20:49 Geschreven door Henri  

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Orientation des ventes.

Targeting sales.

Henri Muller.

Keeping or extending market-shares, harmonizing markets and productions, maintaining the order-book at a convenient level and maximizing profits are the main, sometimes contradictory aims of the sales department. The department should have a precise knowledge of market developments, sales-prices, the company’s manufacturing capabilities and production costs. It requires the active help of the shop floor as well as of the book-keeping department. In the form of a synthesis this paper takes all relevant aspects into account and eventually yields a realistic and relatively simple computing method that could be very helpful to efficient salesmanship.

Le service de vente a comme tâches primordiales celles de préserver les parts de marché de l’entreprise, de réaliser l’adéquation optimale entre demande et productions, de maintenir dans des limites acceptables le volume et la profitabilité du carnet des commandes. Ces exigences, en partie contradictoires, présupposent la connaissance des marchés, des capacités de production, des prix de vente et des prix de revient, ce qui ne va pas sans une étroite collaboration entre service des ventes et services de production et de comptabilité. L’exposé propose une synthèse réaliste de toutes les données du problème et met finalement à la disposition du département commercial un outil puissant, d’un maniement relativement simple.

«Orientation des ventes» et «vente sélective» sont synonymes. Dans le but d’améliorer le résultat de l’entreprise, nous envisageons ici de pousser la vente des produits profitables au détriment de ceux qui le sont moins.

Deux conditions doivent être remplies: on ne peut procéder à des choix entre différents clients que s’il y a excès de la demande par rapport aux capacités de production de l’entreprise et que les profitabilités respectives des commandes alternatives sont connues.

La vente sélective se fait,

d’une part, au niveau de la programmation commerciale, qui pourvoit ses différents points de vente de quota plus ou moins contraignants, assortis de recommandations de prix, et

d’autre part, au niveau du vendeur sur le terrain, qui, en discutant des quantités et des prix avec le client, tend à tenir compte des consignes émises par la Centrale Commerciale.

La mise en pratique d’un concept aussi simple que la vente sélective se heurte néanmoins à une série de difficultés imprévues.

Quels sont les marchés potentiels auxquels s’adresse une entreprise donnée, munie d’un équipement donné? La réponse à la question dépend de l’observateur. Une étude du marché détecte généralement une large demande qui se répartit entre différents marchés, parmi une grande diversité de clients et de produits, dans chacun des marchés prévalant un niveau de prix spécifique. Une deuxième méthode permettant de se faire une idée de la demande qui s’adresse dans l’immédiat à l’entreprise considérée, est celle de rassembler pour le trimestre à venir les prévisions et intentions de vente de tous les points faisant partie de son réseau commercial. Une troisième méthode se fonde sur le mix de production tel qu’il existe effectivement au moment considéré. Ce mix est le résultat d’une longue pratique commerciale ainsi que de l’adaptation de l’équipement aux besoins de la clientèle de base, ce qui, cependant, ne signifie nullement qu’il ne soit pas susceptible d’être amélioré. Le mix de départ des exemples numériques des figures 1 à 5 (v. plus loin) est censé avoir été déterminé par cette dernière méthode.

La vente sélective amène à négliger les marchés moins intéressants et à réduire la fourniture des produits moins rémunérateurs. Plus tard, en période de mévente, il sera difficile de rétablir les débouchés ainsi sacrifiés. Il faudra imposer des fournitures minimales. En toute généralité, le degré de distorsion qui peut être admis entre demande et vente est une question intimement liée à la notion de vente sélective. Comment atteindre l’amélioration souhaitée du résultat pour une distorsion minimale?

C’est le marché, par le jeu de l’offre et de la demande, qui détermine les prix de vente. Les prix de référence, fixés par le service commercial, dépendent du mix de vente effectif. Plus la vente sera sélective, plus les prix de référence seront élevés. C’est pour cette raison que le processus de sélection doit être progressif, passant de mix de référence en mix de référence, par des pas les plus petits possibles. En effet, une détermination des prix de référence à partir d’une étude générale du marché, qui, entre autres, tiendrait compte des marchés les moins rémunérateurs, serait dénuée de sens.

Les prix de référence dépendent des marges bénéficiaires des produits. On ne peut comparer les produits entre eux qu’à partir de leurs frais variables. D’abord, la prise en compte des frais fixes est inutile parce que leur ensemble, du fait même de leur définition, est indépendant du mix. Ensuite, à cause de l’impossibilité de les répartir d’une façon rationnelle entre les différents produits, leur introduction dans les calculs risquerait de fausser les résultats. Cependant, l’adaptation des moyens de production à un changement de mix peut, dans des cas limite, faire varier les frais de structure, frais fixes par excellence. Il y a lieu alors d’analyser à l’aide de scénarios qui considèrent l’ensemble des frais (fixes et variables) l’opportunité de changer de structure.

Une autre question délicate est celle des goulets d’étranglement. La date de livraison d’un produit élaboré par un procédé de fabrication à opérations multiples est déterminée par une seule parmi l’ensemble des opérations. Pour le produit considéré, l’installation qui l’effectue représente le goulet d’étranglement de la chaîne de production. L’emplacement du goulet peut changer de produit en produit et, au cours de l’évolution de la charge des installations, pour un même produit, de commande en commande. En toute généralité, la charge future de l’entreprise n’étant pas connue, le mix optimal ne peut être déterminé qu’en admettant l’existence de plusieurs goulets à la fois. En fait, chacune des installations, sans exception, représente un goulet potentiel. Quelles que soient la complexité du procédé et la diversité des gammes opératoires des différents produits, le procédé de calcul (programmation quadratique) est en mesure de détecter toutes les installations qui pour un mix donné risquent de former goulet (en pratique, les installations en question finissent par se rapprocher plus ou moins de leur saturation; en fonction des entrées, quelques-unes parmi elles – à tour de rôle – formeront effectivement goulet). La méthode distinguera de façon autonome les installations qui éventuellement se satureront de celles qui, en toute éventualité, sont de capacité excédentaire.

Chaque «produit» i est caractérisé par les trois paramètres:

v_i = prix de vente par unité de quantité

m_i = marge brute (= prix de vente – frais variables) par unité de quantité

c_ri = temps de production sur l’installation r par unité de quantité

Les frais de production à considérer sont ici la somme des frais variables générés sur l’ensemble des installations impliquées lors de la production d’une quantité unitaire du produit i. Les produits à marge brute négative sont éliminés d’office.

Pour la détermination des c_ri, les quantités effectives du produit i transformées à l’installation r sont exprimées en termes de produit fini de façon à tenir compte d’emblée des pertes ou gains de matière systématiques inhérents au procédé de fabrication.

Par produit i, il y a à considérer deux grandeurs:

q_i = demande (quantité par unité de temps, par trimestre par exemple)

p_i = production (quantité par unité de temps, par trimestre par exemple)

Pour un même produit les quantités q_i, p_i sont additives.

Chacune des installations r, dont l’ensemble constitue le processus de fabrication, est caractérisée par le paramètre C_r (capacité = temps de production qui y est disponible par unité de temps, par trimestre par exemple).

Les paramètres «globaux» sont:

(1): P_r = Σ_i (p_{i *} c_ri) = temps de production total effectif nécessaire à l’installation r pour réaliser la totalité du mix de production prévu pour le trimestre

(2): M = Σ_i (p_{i *} m_i) = marge brute de l’ensemble de la production trimestrielle effektive

Par produit i, la distorsion (d_i) est mesurée par le carré de la différence relative entre le chiffre d’affaires qui correspond à la demande (w_i = q_{i *} v_i) et celui qui correspond à la production effective (u_i = p_{i *} v_i), la différence étant pondérée par le chiffre d’affaires correspondant à la demande:

d_i = w_{i *} [(w_i – u_i ) / w_i)]² = w_{i *} (1 – u_i / w_i)².

Distorsion globale (par trimestre):

(3): D = Σ_i d_i = Σ_i [w_{i *} (1 – u_i / w_i)²] = Σ_i [q_{i *} v_{i *} (1 – p_i / q_i)²].

Quels sont exactement les relations entre demande, mix des produits, distorsion, quantités produites, capacités de production et marge bénéficiaire?

Tel que nous posons le problème, le service des ventes a, entre autres, une triple mission: satisfaire la demande dans la mesure du possible, maintenir le carnet des commandes au niveau des productions, maximiser le résultat de l’entreprise.

Comme il a été dit plus haut, cet énoncé n’a un sens que si la demande excède les capacités de production. Sinon, le service des ventes manquerait de toute marge de manœuvre. Du point de vue mathématique, la deuxième mission, à proprement parler, est une contrainte plutôt qu’un objectif. Comme l’emplacement du ou des goulets d’étranglement n’est pas connu a priori, les contraintes limitant les productions s’expriment sous la forme d’inégalités (P_r ≤ C_r). D’autres contraintes concernant les quantités produites viennent s’y ajouter: les p_i ne peuvent être inférieurs à zéro ou à des quantités minimales prescrites (p_i ≥ p_imin) (le cas échéant, il faut tenir compte d’autres contraintes – linéaires – telles que productions maximales imposées à certains produits ou groupes de produits; etc.).

Ainsi, le problème ne comporte plus que deux objectifs, dont – pour le moment – nous considérons le respect de la demande en tant qu’objectif principal. Si, dans un premier temps, nous faisons complètement abstraction de la majoration du résultat, le problème se réduit à la minimisation de la distorsion D, compte tenu des contraintes de capacité. Suivant la relation (3), D mesure l’écart entre demande et productions, entre les q_i et p_i respectifs.

Si, rien que pour des raisons de capacité de production, le mix doit subir une distorsion, alors s’impose aussitôt l’idée de pousser la distorsion un peu plus loin en donnant une certaine préférence aux produits les plus rémunérateurs. Cela doit se faire avec mesure, en réalisant un compromis acceptable entre distorsion du mix et majoration du bénéfice. Comme, mathématiquement, il est impossible d’optimaliser une même fonction par rapport à plus d’un objectif à la fois, la majoration du résultat est introduite dans les calculs sous la forme d’une prescription, c’est-à-dire d’une contrainte (M suivant la relation (2)). Le calcul fournira la distorsion (D) la plus petite possible pour un résultat brut (M) donné à l’avance, ce qui, inversement, revient à la détermination du bénéfice le plus élevé possible pour une distorsion D donnée a priori.

Les coordonnées d’un tel optimum (optimum à liaisons multiples) sont déterminées à l’aide d’une fonction auxiliaire (F), dans laquelle les conditions secondaires – les contraintes – sont pondérées par rapport à la fonction objectif D par les multiplicateurs de Lagrange L_r, L_i, L_M

(4): F = D + Σ_r [L_{r *} P_r] – Σ_i (L_{i *} p_i) – L_{M *} M

= Σ_i [q_{i *} v_{i *} (1 – p_i / q_i)²] + Σ_r [L_{r *} Σ_i (p_{i *} c_ri)] – Σ_i (L_{i *} p_i) – L_{M *} Σ_i (p_{i *} m_i)

(les signes précédant les multiplicateurs ont été choisis de sorte à rendre positives les valeurs des multiplicateurs: D doit être minimisé, M maximisé, les P_r sont limités vers le haut, les p_i vers le bas).

La fonction auxiliaire F est à minimiser par le choix judicieux des quantités de production p_i. En annulant la dérivée partielle par rapport à un quelconque des p_i, on obtient l’expression de ce dernier, à savoir (en posant e_i = ½ _* q_i / v_i)

(5): p_i = q_i + e_{i *} [L_{M *} m_i – Σ_r (L_{r *} c_ri) + L_i].

Le problème de la vente sélective se réduit ainsi aux formules (5) et à des contraintes linéaires, ici

(6): Σ_i (p_{i *} c_ri) ≤ C_r, p_i ≥ p_imin, Σ_i (p_{i *} m_i) = M.

A cause des inégalités en (6), la solution du système de formules (5), (6), c’est-à-dire la détermination des multiplicateurs L_M, L_r, L_i et des p_i passe nécessairement par la programmation linéaire.

Les paramètres q_i, v_i (et ainsi e_i), m_i, c_ri, C_r, p_imin sont donnés. La valeur prédéterminée de M se situe quelque part entre son minimum absolu (correspondant à la distorsion minimale, calculée en l’absence de toute majoration de bénéfice) et son maximum absolu (calculé dans le cadre des contraintes de quantité en vue de la seule production du ou des produits les plus rémunérateurs).

Les relations (3) et (1) permettent finalement d’établir la valeur de la distorsion (dénuée de toute signification pratique), ainsi que le degré d’occupation des différentes installation, qu’elles soient goulet ou non.

A partir d’un mix existant, les figures 1 à 4 visualisent un exemple de planification de la vente pour un ensemble de 35 produits. La marge brute globale [(M – M₀₀) / M₀₀] est majorée de façon continue par une variation progressive du mix (p_i / q_0i) (M₀₀ et q_0i sont les valeurs initiales de M et q_i). Les caractéristiques des produits, fixées à l’aide de générateurs de hasard appropriés, sont plus ou moins réalistes. Les figures 1 et 3 donnent la vue d’ensemble; par une majoration de l’échelle des ordonnées, les figures 2 et 4 montrent les détails que les échelles très réduites de respectivement 1 et 3 ne permettent pas de décerner. En 1 et 2 le réseau de fabrication ne comporte qu’un seul goulet, en 3 et 4, à l’occasion, les cinq installations forment simultanément goulets toutes les cinq.

Figures 1 à 4 (voir ci-dessous).

La confection des diagrammes procède de la méthode «progressive»: à chaque valeur de M, le mix de production qui y est associé sert de demande pour la détermination du mix de production suivant. Tout p_i devient aussitôt un q_i, qui est le point de départ du mix immédiatement consécutif, visualisé par les points situés à la droite immédiate des points représentatifs du mix précédent. On peut démontrer que la méthode progressive n’aboutit en aucun cas à des p_i inférieurs à 0: les p_i qui tendent à disparaître s’approchent asymptotiquement de l’axe des abscisses. Au point terminal, représentant la valeur maximale de la marge globale (qui fait fi du degré de distorsion) le résultat de la programmation quadratique est identique à la solution du problème qui correspondrait à l’application d’une programmation purement linéaire. En fin de parcours, abstraction faite des produits à quantités limitées d’office, le nombre de produits restant en lice est égal à celui des goulets d’étranglement subsistants.

Prix de référence.

Conformément aux relations (5), pour M augmentant, les p_i vont en croissant ou en décroissant suivant le signe de [L_{M *} m_i – Σ_r (L_{r *} c_ri)] (pour les p_i non limités par des contraintes imposées, les L_i sont de valeur nulle). Pour chacun des produits, c’est la différence entre m_i et n_i = Σ_r [(L_r /L_M) _* c_ri] qui décide si, vu le mix et le niveau moyen de ses marges, le produit est intéressant (m_i > n_i) ou non (m_i < n_i). A la marge brute de référence n_i s’ajoutent les frais variables du produit i pour aboutir à son prix de référence.

Cette détermination très générale des prix de référence a un vice. Le rapport L_r / L_M comprend en principe deux composantes, celle correspondant à la marge bénéficiaire et celle correspondant à la distorsion. Cette dernière n’a pas à apparaître dans un prix de référence. Or, seule la méthode progressive transforme les L_r / L_M en rapport différentiel a_r = dL_r/dL_M, qui, comme on peut le démontrer, ne contient plus aucun élément de distorsion. C’est là l’avantage décisif de la méthode progressive et la raison de son adoption définitive. Par installation r, a_r est la valeur marginale de sa capacité, c’est-à-dire de sa limitation de production C_r (la valeur marginale d’un non goulet égale zéro). a_r correspond au gain ou à la perte en marge globale bénéficiaire qui est susceptible de se produire par respectivement une augmentation ou une diminution de la capacité de r d’une unité de temps (à l’échelle différentielle).

La figure 5 montre l’évolution des a_r qui correspondent aux parcours des (p_i / q_i) des figures 3 et 4.

Figure 5 (v. ci-dessous).

Les valeurs des coefficients marginaux a_r dépendent du potentiel de bénéfice du mix de production tel qu’il existe ou tel qu’il finira par exister. Le a_r de l’installation r vaut pour tous les produits qui y passent. Comme nous venons de le voir, pour tout produit i, qu’il fasse partie ou non du mix considéré, le prix de référence momentané, tel qu’il correspond au point considéré de l’évolution du mix, se compose de n_i = Σ_r (a_{r *} c_ri) = a_{1 *} c_1i + a_{2 *} c_2i + a_{3 *} c_3i + a_{4 *} c_4i ... et des frais variables m_i du produit i (les c_ri et m_i sont censés être connus; pour un produit ne passant pas par une installation r, il vient c_ri = 0). Lors de tout changement de mix il y a lieu d’être vigilant. Une vente intempestive de quantités importantes d’un produit rémunérateur dans le contexte du moment peut ne pas être compatible avec les limites de capacité: la répartition des goulets et les valeurs des a_r pouvant s’en trouver modifiées, on risque, le cas échéant, d’aboutir à des pertes de rentabilité.

La vente sélective concerne les relations entre les prix de vente des différents produits et non les valeurs absolues de ces prix. Si pour tous les produits la marge brute égalait la valeur de référence (m_i = n_i), une variation de mix serait indifférente, quelque soit le niveau du bénéfice. Points de départ et d’aboutissement des courbes d’évolution du mix coïncideraient. Le niveau général des prix de vente fait partie d’une autre problématique, tout aussi importante, celle du rapport entre chiffre d’affaires et ensemble des frais supportés par l’entreprise.

Dans de nombreux domaines, la méthode de la distorsion minimale mène à des résultats parfois étonnants, par exemple, dans le cas d’installations parallèles; dans le cas d’une transposition neutre (en dehors de toute tentative de majoration du bénéfice) d’une demande hypothétique sur les installations de production; de l’adéquation de marchés différents en vue d’une comparaison relativisée des prix de vente; de la fixation des prix de vente ou de cession respectivement à l’extérieur ou à l’intérieur d’un groupe industriel; de la détection des goulets particulièrement désavantageux.

01-12-2005, 23:59 Geschreven door Henri  

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01-12-2005, 23:57 Geschreven door Henri  

01-12-2005, 23:56 Geschreven door Henri  

Der selektive Verkauf.

Targeting sales.

Henri Muller.

Die Wahrung der Marktanteile, die Abstimmung von Markt und Produktion, die Erstellung entsprechender ertragsstarker Verkaufssortimente, die laufende Erneuerung des Auftragsbestandes ist die grundlegende Aufgabe einer jeden Verkaufsabteilung. Die oft widersprüchlichen Auflagen verlangen eine genaue Kenntnis der Märkte, der Fertigungsmöglichkeiten, der Verkaufs- und Gestehungspreise, d. h. die aktive Mithilfe von Fertigung und Buchhaltung. Der Artikel gelangt zu einer realitätsnahen Synthese und stellt der Verkaufsabteilung ein leistungsstarkes und vergleichsweise einfaches Recheninstrument zur Verfügung.

Keeping or extending the market-shares, harmonizing markets and productions, maintaining the order-book at a convenient level and maximizing profits are the main, sometimes contradictory aims of the sales department. The department should have a precise knowledge of market developments, sales-prices, the company’s manufacturing capabilities and production costs. It requires the active help of the shop floor as well as of the book-keeping department. In the form of a synthesis this paper takes all relevant aspects into account and eventually yields a realistic and relatively simple computing method that could be very helpful to efficient salesmanship.

Unter selektivem Verkauf versteht man eine Ausrichtung des Vertriebes auf die ertragreicheren Produkte.

Zwei Voraussetzungen müssen erfüllt sein: Der Überhang der Absatzmöglichkeiten gegenüber den Fertigungskapazitäten muss groß genug sein, um eine Auswahl zuzulassen; der Ertrag der verschiedenen Produkte muss bekannt sein.

Der selektive Verkauf spielt sich auf zwei Ebenen ab: Auf der Ebene der Verkaufsplanung, die allen Vertriebsstellen mehr oder weniger verbindliche Mengen- und Preisvorschläge macht; auf der Ebene des Verkäufers vor Ort, der während der Preis- und Mengendiskussion mit dem Kunden seine Entscheidungen auf die von der Verkaufsplanung berechneten Referenzpreise und Mengenvorgaben ausrichtet.

Das ebenso einfache wie einleuchtende Vorhaben eines selektiven Verkaufs stößt auf eine Reihe von konzeptuellen Schwierigkeiten.

Was sind die Absatzmöglichkeiten eines bestimmten Unternehmens mit einer gegebenen Fertigungsausrüstung? Die Beurteilung des Vertriebspotenzials hängt vom Betrachter ab. Die Marktforschung ergibt vielfach eine enorme Palette von Märkten, Kunden und Produkten mit sehr unterschiedlichen Preisen. Eine zweite Methode zur Ergründung der Absatzmöglichkeiten ist die regelmäßige Zusammenfassung der Verkaufsaussichten oder -absichten aller dem Verkaufsnetz angehörenden Vertriebsstellen. Die dritte Schätzungsweise schließlich beruht auf dem real bestehenden Produktmix, der sich nach langjährigem Marketing und entsprechender Anlagenanpassung nicht so von ungefähr ergeben hat. Die weiter unten auf den Abbildungen 1 bis 5 dargestellten Rechenbeispiele gehen von dieser dritten Mixbestimmung aus.

Der selektive Verkauf zieht die systematische Vernachlässigung weniger interessanter Märkte und Produktgruppen nach sich. Später, bei einer Absatzflaute, wird es dann schwierig die verlorengegangenen Kundenkreise wiederzugewinnen. Es sind Mindestmengen vorzusehen. Ganz allgemein stellt sich die Frage der minimalen Verzerrung zwischen Markt- und Fertigungsmix: Wie kann eine gewünschte Ertragserhöhung erreicht werden mit der kleinstmöglichen Verzerrung des Nachfragemixes?

Die Verkaufspreise werden am Markt von Angebot und Nachfrage bestimmt. Die Referenzpreise hingegen sind abhängig von dem effektiven Verkaufsmix. Je selektiver der Verkauf, desto höher die Referenzpreise. Aus diesem Grunde muss der Auswahlprozess progressiv verlaufen, von Vorzugsmix zu Vorzugsmix, in möglichst kleinen Schritten. Es hätte in der Tat wenig Sinn, die Referenzpreise zu gestalten auf der Basis einer allgemeinen Marktforschung, die auch die unergiebigsten Märkte nicht ausliesse.

Die Referenzpreise fußen u. a. auf den Gewinnmargen der Produkte. Produktvergleiche dürfen nur aufgrund variabler Kosten angestellt werden. Die Einbeziehung der in ihrer Gesamtheit von ihrer Definition her mixunabhängigen Fixkosten erübrigt sich. Wegen der Unmöglichkeit sie auf korrekte Weise unter die Produkte zu verteilen, würden sie die Ergebnisse auch nur verfälschen. Allerdings, die in Grenzfällen notwendig werdende Anpasssung des Produktionsapparates an Mixveränderungen kann auch Fixkosten berühren. An den Nahtstellen sind dann die diesbezüglichen Szenarios hinsichtlich ihrer respektiven Gesamtkosten miteinander zu vergleichen.

Eine weitere Frage ist die der multiplen Engpässe. In arbeitsteiligen Fertigungsanlagen ist bei der Buchung einer Bestellung immer nur eine einzige der Teilanlagen ausschlaggebend für den minimalen Liefertermin. Für das bestellte Produkt bildet sie den Engpass. Die Lage des Engpasses kann von Produkt zu Produkt und für ein selbes Produkt von Bestellung zu Bestellung verschieden sein, sodass eine globale Betrachtung der Anlagenbelastung ganz allgemein mit dem gleichzeitigen Bestehen mehrerer Engpässe zu rechnen hat. Da weder Anzahl noch Lage der effektiven Engpässe im Voraus bekannt sind, wird bei der Bestimmung des optimalen Produktmixes davon ausgegangen, dass sämtliche Teilanlagen potenzielle Engpässe darstellen. Die Berechnungsmethode (quadratische Programmierung) ist in der Lage in beliebig komplexen Fertigungsanlagen, für Produkte mit beliebig unterschiedlichen Bearbeitungsmustern und für einen gegebenen Mix alle den Verkauf effektiv begrenzenden Engpässe ausfindig zu machen. Selbstständig unterscheidet sie voll- und unterbesetzte Teilanlagen.

Drei Parameter kennzeichnen ein jedes der Produkte i:

v_i = Verkaufspreis pro Mengeneinheit

m_i = Bruttoertrag = (Verkaufspreis – variable Kosten) pro Mengeneinheit

c_ri = Bearbeitungsdauer der Mengeneinheit auf Teilanlage r

Die Herstellungskosten der Einheitsmenge sind hier die Summe aller bei der Erstellung des Produktes i an allen betroffenen Teilanlagen anfallenden variablen Kosten. Produkte mit negativem Bruttoertrag scheiden von vornherein aus.

Zur Bestimmung der c_ri werden an allen Teilanlagen die jeweils dort verarbeiteten Effektivmengen rechnerisch in Fertigproduktmengen umgewandelt, sodass prozessbedingte, systematisch auftretende Materialverluste (oder -zunahmen) berücksichtigt werden.

Pro Produkt i gibt es zwei Mengen:

q_i = dem Nachfragemix entsprechende Menge pro Zeiteinheit, pro Trimester z. B.

p_i = dem Fertigungsmix entsprechende Menge pro Zeiteinheit, pro Trimester z. B.

Für ein selbes Produkt sind die respektiven Mengen q_i, p_i additiv.

Jede der Anlagen r ist gekennzeichnet mit C_r (Kapazität = verfügbare Produktionszeit pro Zeiteinheit, pro Trimester z. B.)

Die globalen Parameter sind:

(1): P_r = Σ_i (p_{i *} c_ri) = pro Anlage r effektiv pro Trimester nötige Produktionszeit zur Fertigung des gesamten Produktionsmixes

(2): M = Σ_i (p_{i *} m_i) = der effektiven Gesamtproduktion entsprechender Bruttoertrag pro Trimester

Pro Produkt i wird die Verzerrung (d_i) gemessen an dem mit dem Nachfrageumsatz gewichteten, relativen, quadrierten Unterschied zwischen Nachfrageumsatz (w_i = q_{i *} v_i) und Effektivumsatz (u_i = p_{i *} v_i): d_i = w_{i *} [(w_i – u_i ) / w_i)]² = w_{i *} (1 – u_i / w_i)².

Gesamtverzerrung (pro Trimester):

(3): D = Σ_i d_i = Σ_i [w_{i *} (1 – u_i / w_i)²] = Σ_i [q_{i *} v_{i *} (1 – p_i / q_i)²].

Was sind nun genau die Zusammenhänge zwischen Nachfrage, Produktmix, Mixverzerrung, Fertigungsmengen, Fertigungskapazitäten und Ertrag?

Gemäß unserer Problemstellung hat der Verkauf u. a. eine dreifache Aufgabe: Der Nachfrage soviel wie möglich entgegenzukommen, den Auftragsbestand auf der Höhe der Fertigungskapazität zu halten, den Ertrag des Unternehmens zu maximieren.

Diese Problemstellung hat nur einen Sinn, wenn die Nachfrage die Kapazität übersteigt, anderenfalls dem Verkauf keine Wahlmöglichkeiten blieben. Vom mathematischen Standpunkt aus ist die zweite Aufgabe kein Ziel, sondern eine Vorschrift. Da die Lage der die Fertigungsmengen begrenzenden Engpässe nicht bekannt ist, werden die Mengenauflagen (P_r ≤ C_r) in Form von Ungleichungen ausgedrückt. Andere Mengenbeschränkungen kommen noch hinzu: Die p_i dürfen vorgeschriebene Mindestwerte (p_i ≥ p_imin) nicht unterschreiten (gegebenenfalls gibt es zusätzliche – lineare – Beschränkungen, wie Mengenobergrenzen pro Produkt oder Produktgruppe, usw.).

Es bleiben nur noch zwei Aufgaben übrig, wovon wir vorläufig das Respektieren der Nachfrage als das eigentliche Ziel betrachten. Wenn wir zunächst von der Ertragserhöhung ganz absehen, reduziert das Problem sich auf die Minimierung der Mixverzerrung D unter Berücksichtigung der Mengenbeschränkungen. Laut Formel (3) misst D den Abstand zwischen Nachfrage- und Fertigungsmengen, zwischen den respektiven q_i und p_i.

Wenn schon aus Kapazitätsgründen der Mix verzerrt werden muss, dann können dabei unter Umständen im Interesse des Unternehmens die einträglicheren Produkte mehr oder weniger bevorzugt werden. Dabei ist die Balance zu wahren; Mixverzerrung und Ertragserhöhung sind gegeneinander abzuwägen. Weil mathematisch eine selbe Funktion nicht zugleich in verschiedenen Hinsichten optimiert werden kann, wird das Ziel der Ertragserhöhung über eine weitere Vorschrift eingeführt. Zu den Kapazitätsvorschriften gesellt sich eine Ertragsvorschrift (M nach Formel (2)). Die Berechnungen ergeben die kleinstmögliche Mixverzerrung D für einen vorgegebenen Bruttoertrag M, was zugleich, umgekehrt, auf den höchstmöglichen Ertrag M für eine vorgegebene Verzerrung D hinauskommt.

Die mathematische Lagebestimmung des mehrfach gebundenen Optimums geschieht mit Hilfe der Hilfsfunktion F, in der die Nebenbedingungen mit den Lagrangeschen Multiplikatoren L_r, L_i, L_M gegenüber der Zielfunktion D gewichtet werden

(4): F = D + Σ_r [L_{r *} P_r] – Σ_i (L_{i *} p_i) – L_{M *} M

= Σ_i [q_{i *} v_{i *} (1 – p_i / q_i)²] + Σ_r [L_{r *} Σ_i (p_{i *} c_ri)] – Σ_i (L_{i *} p_i) – L_{M *} Σ_i (p_{i *} m_i)

(die Vorzeichen sind so gewählt, dass sich für alle Multiplikatoren Positivwerte ergeben werden: D ist zu minimieren, M zu maximieren; die P_r sind nach oben, die p_i nach unten beschränkt).

Die Hilfsfunktion F ist durch geeignete Wahl der Fertigungsmengen p_i zu minimieren. Der Nullwert der partiellen Ableitung von F zu einem beliebigen p_i ergibt (mit e_i = ½ _* q_i / v_i):

(5): p_i = q_i + e_{i *} [L_{M *} m_i – Σ_r (L_{r *} c_ri) + L_i].

Mathematisch reduziert das Problem des selektiven Verkaufs sich auf die Formeln (5) und auf lineare Vorschriften, hier

(6): Σ_i (p_{i *} c_ri) ≤ C_r, p_i ≥ p_imin, Σ_i (p_{i *} m_i) = M.

Wegen der Ungleichungen in (6) kommen zur Lösung des Formelsystems (5), (6), d. h. zur Bestimmung der Multiplikatoren L_M, L_r, L_i und der p_i nur die Methoden der linearen Programmierung in Frage.

Die Parameter q_i, v_i (und so e_i), m_i, c_ri, C_r, p_imin sind gegeben. Der vorgegebene M-Wert liegt beliebig irgendwo zwischen seinem absoluten Minimum (entsprechend der minimalen, in Abwesenheit jeglicher Ertragsvorschrift berechneten Mixverzerrung) und seinem absoluten Maximum (berechnet im Rahmen der Mengenbeschränkungen auf Grund der Fertigung der ertragreichsten Produkte).

Mit den Gleichungen (3) und (1) kann schließlich die Mixverzerrung, sowie der Besetzungsgrad einer jeden der Teilanlagen – ob Engpass oder nicht – berechnet werden.

Ausgehend von dem bestehenden Fertigungsmix veranschaulichen die Bilder 1 bis 4 für ein 35 Produkte umfassendes Beispiel das Ergebnis einer kontinuierlichen Erhöhung der Gesamtbruttogewinnspanne [(M – M₀₀) / M₀₀] durch entsprechende, progressive Mixveränderungen (p_i / q_0i) (M₀₀ und q_0i sind die Ausgangswerte von und M und q_i). Die mit Hilfe geeigneter Zufallsgeneratoren festgelegten Kenndaten der Produkte sind mehr oder weniger wirklichkeitsnah. Die Bilder 1 und 3 geben den Gesamtüberblick; der größere Ordinatenmaßstab der Bilder 2 und 4 zeigt die Details von 1 bzw. 3. Die Fertigungsanlage der Abbildungen 1 und 2 enthält einen einzigen Engpass; für die Abbildungen 3, 4 erfolgt die Fertigung auf 5 Teilanlagen, die gelegentlich bis zu 5 Engpässe gleichzeitig bilden.

Bilder 1 bis 4.

Die Diagramme sind mit der progressiven Methode erstellt: Für jeden M-Wert ist der zugehörige Mix der Ausgangspunkt zur Bestimmung des unmittelbaren Nachfolgemixes. Jeder berechnete p_i-Punkt wird unverzüglich zu einem q_i, der in die Berechnung des rechten Nachbarpunktes eingeht. Aus mathematischen Gründen können bei der progressiven Methode keine negativen p_i-Werte entstehen; verschwindende p_i’s nähern sich asymptotisch der Nulllinie. An ihrem Endpunkt, d. h. für den höchstmöglichen Ertrag, ist das Resultat der quadratischen identisch mit dem der rein linearen Programmierung, jenseits aller Verzerrungsminimierung. Abgesehen von Produkten mit vorgeschriebenen Mindest- oder Höchstmengen, ist zum Schluss die Anzahl der überlebenden Produkte gleich der Anzahl der verbleibenden Engpässe.

Richtpreise.

Laut Formel (5) sind mit wachsendem M die p_i-Werte steigend oder fallend, je nach dem Vorzeichen von [L_{M *} m_i – Σ_r (L_{r *} c_ri)] (für nicht begrenzte p_i sind die L_i-Werte gleich null). So entscheidet für jedes Produkt der Unterschied zwischen m_i und n_i = Σ_r [(L_r /L_M) _* c_ri], ob angesichts des gegebenen Mixes und dessen mittleren Margenniveaus das Produkt interessant (m_i > n_i) ist oder nicht (m_i < n_i). Werden zu der Bruttoreferenzmarge n_i die variablen Kosten des Produkts i hinzuaddiert, so ergibt sich deren Richtpreis.

Diese ganz allgemeine Ableitung des Richtpreises hat einen Haken. Der Quotient L_r / L_M enthält im Prinzip eine Ertrags- und eine Verzerrungskomponente. Letztere ist für Richtpreise nicht zulässig. Nur die progressive Mixanpassung, die die L_r / L_M in die Differentialquotiente a_r = dL_r/dL_M verwandelt, weist, wie sich beweisen lässt, keine Verzerrungselemente mehr auf. Dieser Umstand ist der ausschlaggebende Vorzug der Progressivmethode und der zwingende Grund sich für sie zu entscheiden. Pro Teilanlage r ist a_r der Marginalwert oder Grenznutzen ihrer Kapazität, d. h. ihrer Produktionsbeschränkung C_r (der Grenznutzen eines Nichtengpasses ist gleich null). a_r entspricht dem reinen Ertragsverlust bzw. Ertragszuwachs, der sich bei den gegebenen Anlagebelastungen und dem bestehenden Fertigungsmix bei einer Kapazitätsminderung bzw. -mehrung von Anlage r um eine Zeiteinheit ergeben könnte.

Abbildung 5 zeigt die a_r-Verläufe, die den (p_i / q_i)-Verläufen der Abbildungen 3 und 4 entsprechen.

Bild 5.

Die Marginalkoeffizienten a_r sind abhängig von dem Ertragspotenzial des bestehenden oder entstehenden Produktionsmixes. Der a_r-Wert von Anlage r gilt für alle Produkte. Wie wir oben gesehen haben, setzt der momentane, den Umständen entsprechende Richtpreis eines beliebigen Produkts i – im Verkaufsmix vertreten oder auch nicht – sich zusammen aus n_i = Σ_r (a_{r *} c_ri) = a_{1 *} c_1i + a_{2 *} c_2i + a_{3 *} c_3i + a_{4 *} c_4i ... und den variablen Gestehungskosten von i (die Kenntnis der c_ri-Werte und der Gestehungskosten wird vorausgesetzt; für ein Produkt i, dessen Fertigung Teilanlage r nicht beansprucht, ist c_ri = 0). Bei jeder Mixverschiebung ist Vorsicht geboten. Der unüberlegte Verkauf größerer Mengen scheinbar einträglicher Produkte ist unter Umständen nicht vereinbar mit den Kapazitätsbeschränkungen der Fertigungsanlagen und kann, wegen der dadurch veränderten Engpassverteilung, zu Ertragsverlusten führen.

Der selektive Verkauf befasst sich mit dem Preisgefüge und nicht mit dem Preisniveau. Wäre für alle Produkte der Bruttoertrag gleich dem Referenzwert (m_i = n_i), so wären, was auch immer die Höhe des Bruttoertrags, d. h. des Preisniveaus sein möge, Mixveränderungen gegenstandslos. Beginn- und Endpunkte der Verlaufskurven p_i (M) fielen zusammen. Das allgemeine Preisniveau gehört zu einem anderen, nicht weniger wichtigen Problemkreis, dem des Verhältnisses zwischen Umsatz und unternehmerischen Gesamtkosten.

Die Methode der minimalen Mixverzerrung kommt auf einer Fülle von Gebieten mit vielfach verblüffenden Resultaten zur Anwendung, wie z. B. bei Parallelanlagen; bei der gewinnneutralen Übertragung eines hypothetischen Nachfragemixes auf die Produktionsanlagen; bei der Gleichstellung unterschiedlicher Märkte zum Zwecke relativierter Vergleiche; bei der Preisfindung für externe und konzerninterne Lieferungen; beim Aufspüren besonders ertragsschmälernder Engpässe.

Bilder 1 + 2 (eingangs unter „ inhoud blog“ auf „Bild 11“ klicken)

Bilder 3 + 4 (eingangs unter „ inhoud blog“ auf „Bild 13“ klicken)

Bild 5 (eingangs unter „ inhoud blog“ auf „Bild 15“ klicken)

21-11-2005, 23:20 Geschreven door Henri  

21-11-2005, 23:19 Geschreven door Henri  

21-11-2005, 23:18 Geschreven door Henri  

21-11-2005, 23:18 Geschreven door Henri