(Hoofdstuk 4 "Deductieve Meetkunde in de Cadettenschool")

§ 4.1 Wat is Deductieve Meetkunde

Deductieve meetkunde (ook soms Synthetische meetkunde ⁽¹⁾ genoemd) is een gewijzigde, vereenvoudigde en meer naar de praktijk gerichte versie van de meetkunde van Euklides en Eudoxos (Griekse Meetkunde), aangevuld met een aantal onderwerpen uit de nieuwe meetkunde van de 17^de , de 18^de en de 19^de eeuw.

Een dergelijke Meetkunde werd voor het eerst in 1794 ingevoerd door de Franse wiskundige Adrien Marie Legendre ⁽²⁾ ten behoeve van de leerlingen van de Ecole Polytechnique en verwoord in zijn « Eléments de Géométrie » ⁽³⁾ , een boek dat nu ook via internet kan ingekeken worden.

Aldus werd voor het eerst getornd aan de autoriteit van Euklides' fameuze « Elementen », werk dat gedurende eeuwen als absolute standaard had gegolden.

Naast een samenvatting van de meetkunde van Euklides (minder stellingen, andere volgorde van de onderwerpen) werd in Legendre's boek ook de Trigonometrie behandeld, wat door enkelen als een soort verraad t.a.v. Euklides' meesterwerk werd aanzien. Misschien hier toch even benadrukken, dat in Legendre's werk Geometrie en Trigonometrie wel afzonderlijk worden behandeld. De oorsprong van de Trigonometrie ligt bij de Egyptenaren en de Griekse astronoom Hipparchos maar de eigenlijke ontwikkeling van dit vak is van veel latere datum (zie cursiefje « wat is trigonometrie? »). 
Als ikoon van dit cursiefje heb ik een vermeend portret van Legendre genomen. In 2009 ⁽⁴⁾ bleek immers dat van Legendre alleen maar een caricatuur (aquarelle) bestaat en dat voornoemd portret in feite de Franse politicus Louis Legendre (1752-1797) voorstelt.

« Eléments de Géométrie » kende nu als school- en studieboek een enorm succes. Tussen 1794 en 1833 (dood van Legendre) beleefde dit boek al 15 herdrukken. De laatste editie werd vertaald in het Engels door Charles Davies onder de titel « Elements of Geometry and Trigonometry from the works of A.M. Legendre » (1858) en werd vooral in de USA als referentie gebruikt.

Een Duitse vertaling van de 12^de editie (1823) « Elemente der Geometrie und der ebenen und sphärischen Trigonometrie » ⁽⁵⁾ verscheen al in 1828 en was van de hand van de ingenieur en mathematicus August Leopold Crelle. Deze Duitse editie beleefde al in 1858 zijn vijfde herdruk.

Ten opzichte van Euklides werden in Legendre's monografie volgende fundamentele wijzigingen doorgevoerd. In Boek I werd de stelling van Pythagoras (I 47) alsmede de stellingen die voorbereidden tot deze stelling gewoon weggelaten. Ook Boek II, bestempeld als algebraïsche meetkunde, werd als onnodig beschouwd. De stellingen door Euklides hier aangegeven zijn immers een louter geometrische bevestiging van de bekende algebraïsche identiteiten, die universeel geldig zijn.

Legendre schakelt dus na Boek I onmiddellijk over op boek III van Euklides, dat bij Legendre Boek II wordt. De vereenvoudiging, door Legendre geïntroduceerd, bestond er in zoveel mogelijk de moeilijke theorie der onmeetbare verhoudingen (boek X van de « Elementen ») te vermijden en in de eerste plaats beroep te doen op de meetbare verhoudingen (boeken V en VI -Eudoxos-). Door het vroegtijdig introduceren van het begrip maatgetal van een lijn, een hoek, een oppervlak, een volume treden de begrippen lengte, oppervlakte en inhoud op de voorgrond. Er ontstaat op deze manier een meetkunde die veel meer gericht is op de praktijk.

Verder worden de stellingen geformuleerd in een meer concrete of in meer algebraïsche taal en wordt het aantal definities zo beperkt mogelijk gehouden. Legendre vermijdt dus  –voor zover dit mogelijk is- beroep te doen op het begrip limiet (bestaan van een limiet) of op het begrip continuïteit van een lijn. Dit alles verklaart dat hij veelal moet beroep doen op een bewijsvoering uit het « ongerijmde » ⁽⁶⁾ . Ook te vermelden is nog dat Legendre geprobeerd heeft door een bewijsvoering uit het “ongerijmde” het vijfde postulaat van Euklides (zie verder) te bewijzen, poging waarin hij echter niet slaagde en wat aan de oorsprong ligt van de niet- Euclidische meetkundes.

De wijzigingen, die Legendre heeft aangebracht aan Euklides' meesterwerk worden in een aantal "notes" ⁽⁷⁾ , onmiddellijk na het meetkundig gedeelte van het boek verklaard en verantwoord.

Beknopte, aangevulde of verbeterde versies van Legendre’s boek werden in Frankrijk in de loop van de 19^de eeuw op de markt gebracht. Te vermelden is hier bvb « Eléments de Géométrie par A.M. Legendre avec additions et modifications par Marie Alphonse Blanchet » ⁽⁸⁾ . In het Voorwoord van zijn boek schreef Blanchet:

.... Le changement le plus important, le seul dont je croie devoir parler, est celle qui se rapporte à la mesure du cercle et des corps ronds. J'ai cru, pour la mesure de ces figures, devoir substituer au mode de démonstration par la réduction à l'absurde, la méthode des limites. Cette méthode, la seule applicable dans les parties élévées des mathématiques a d'ailleurs l'avantage de donner aux élèves une marche sûre par la découverte de nouveaux théorèmes.... 

Het is deze wijziging, die in de meeste meetkundeboeken na Legendre zal weerhouden worden.

Andere schoolboeken, zoals bvb het « Traité de géométrie élémentaire » van Eugène Rouché et Charles de Comberousse ⁽⁹⁾ verschenen in 1866, gingen verder op de door Legendre ingeslagen weg en bespraken in een Boek VIII  de kegelsneden (ellips, hyperbool en parabool), onderwerpen, die niet in de « Elementen » van Euklides voorkomen maar wel in Apollonios' « Konika ». Deze kegelsneden werden ook beschreven in een ander boek van Euklides eveneens genoemd « Konika » waar Apollonios naar verwijst.

In een reeks appendices ⁽¹⁰⁾ voerden Rouché en Comberousse verder ook nog een aantal nieuwe onderwerpen uit de "recente"  of de "projectieve" meetkunde in. Te vermelden is ook dat het boek ook nog een uitstekende historische inleiding tot de meetkunde bevat. Echt het lezen waard!!!

(wordt voortgezet)

---------------------------------------

(1) zie: http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_synth%C3%A9tique 

Persoonlijk verkies ik de term of « deductieve » meetkunde.   

(2) zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre

(3) zie:
http://books.google.be/ebooks/reader?id=z9E2AAAAMAAJ&hl=fr&printsec=frontcover&output=reader

(4) zie: http://en.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre

(5) zie: http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=298933

(8) zie: http://books.google.be/books/about/%C3%89l%C3%A9ments_de_g%C3%A9om%C3%A9trie.html?id=WGYVAAAAQAAJ&redir_esc=y

(9) zie: http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k996417/f1.image

(10) Appendices ( « Traité de Géométrie élémentaire » Rouché et Comberousse):

(13) Voor een globale bespreking van het meetkundig oeuvre van Hadamard volstaat het hier te verwijzen naar het artikel van Bouligand getiteld “Introduction à la pensée créatrice de Jacques Hadamard (1865-1963) -le qualitatif et le global dans son oeuvre géométrique-“ (zie: http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0048-7996_1966_num_19_3_2499

(14) zie: Nederlandse versie http://nl.wikipedia.org/wiki/Elementen_van_Euclides Franse versie http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89l%C3%A9ments_d'Euclide en Engelse versie http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%27s_Elements voor een globaal overzicht en inhoud 

(15) zie: http://en.wikipedia.org/wiki/Oxyrhynchus en http://en.wikipedia.org/wiki/Oxyrhynchus_Papyri

06-03-2010 om 00:00 geschreven door alter  

(Hoofdstuk 3 "Algebra in de Cadettenschool")

§ 3.4 Kennismaking met de Hogere Algebra

Met het fameuze « Complement der Algebra » o.m. met de hoofdstukken handelend over de eigenschappen van veeltermen, de combinatieleer, de machten van een tweeterm (binomium van Newton), de leer der determinanten van de tweede en derde graad en de toepassing op stelsels van vergelijkingen (co-existentievoorwaarden), en ten slotte het hoofdstuk over Eliminatie (methodes van Euler en van Sylvester) werd een overgang naar de zogenaamde Hogere Algebra bewerkstelligd.

Volgens mijn persoonlijke notities maakten in de Cadettenschool ook deze hoofdstukken integraal deel uit van de leerstof van de Grieks-Latijnse sectie.

Een historische “noot” over determinanten (pagina 82 van het boek), waarbij bekende namen als Gottfried Leibniz ⁽¹⁾ , Gabriel Cramer ⁽²⁾ , Alexandre Vandermonde ⁽³⁾ , Carl Friedrich Gauss ⁽⁴⁾ , Jozef Wronski ⁽⁵⁾ , Augustin Louis Cauchy ⁽⁶⁾ en Carl Jacobi ⁽⁷⁾ (“De formatione et proprietatibus determinantium”) vielen, trok nu mijn aandacht en wekte mijn nieuwsgierigheid op.

Juist nadat ik de Cadettenschool verlaten had –om precies te zijn: eind 1958-, zal ik mij dan ook « Theory of Equations » van James Victor Uspensky ⁽⁸⁾ aanschaffen.

Dit boek, voor het eerst verschenen in 1948 bij McGraw-Hill, sloot perfect aan bij het « Complement » zoals een gedetailleerde inhoudstafel laat zien:

Chapter 1 Complex numbers: 1- what are complex numbers 2- definition of equality 3- definitions of addition and multiplication 4- fundamental laws for addition and multiplication 5- subtraction and division 6- normal form of complex numbers 7- real and imaginary parts – conjugate numbers – absolute value or modulus 8- theorem concerning the absolute value of a product 9- inequality for the absolute value of the sum 10- square root of a complex number 11- geometric representation of complex numbers 12- angle between directed lines 13- trigonometric form of a complex number 14- multiplication and division of complex numbers in trigonometric form – de Moivre’s formula 15- trigonometric solution of binomial equations 16- roots of unity 16- geometric meaning of operations on complex numbers

Chapter 2 Polynomials in one variable: 1- integral rational functions or polynomials 2- multiplication of polynomials 3- division of polynomials 4- the remainder theorem 5- synthetic division 6- Horner’s process 7- Taylor’s formula 8- Highest common divisor of two polynomials

Chapter 3 Algebraic equations and their roots: 1- algebraic equations 2- identity theorem 3- the fundamental theorem of algebra 4- imaginary roots of equations with real coefficients 5- relations between roots and coefficients 6- discovery of multiple roots

Chapter 4 Limit of roots - rational roots: 1- limits of roots 2- a method to find an upper limit of positive roots 3- limit for moduli of roots 4- integral roots 5- rational roots

Chapter 5 Cubic and biquadrate equations: 1-what is the “solution” of an equation? 2- Cardan’s formula 3- discussion of solution 4- irreducible case 5- trigonometric solution 6- solution of biquadrate equations

Chapter 6 Separation of roots: 1- object of this chapter 2- the sign of a polynomial for small and large values of the variable 3- theorem 4- corollaries 5- examples 6- an important identity and lemma 7- Rolle’s theorem 8- other applications of Rolle’s theorem 9- a theorem of de Gua 10- Descartes’ rule of signs 11- equations with real roots 12- a complete method of separating roots

Chapter 7 The theorem of Sturm: 1- Sturm’s functions 2- a method for constructing Sturm’s series 3- the theorem of Sturm 4- examples

Chapter 8 Approximate evaluation of roots: 1- object of this chapter 2- basic part of Horner’s method 3- contraction 4- Fourier division 5- estimation of error 6- another example 7- method of iteration 8- Newton’s method

Chapter 9 Determinants and matrices: 1- determinants of order 2- polynomials in several variables 3- characteristic properties of determinants of the second order 4- determinants as functions of matrices 5- determinants of order 3 6- even and odd permutations 7- general determinants 8- properties of determinants 9- examples 10- expansions by rows and columns – minor and cofactors 11- examples 12- equality and addition of matrices 13- multiplication of matrices 14- multiplication of determinants 15- reciprocal determinants

Chapter 10 Solution of linear equations by determinants; some applications of determinants to geometry: 1- Cramer’s rule 2- linear homogeneous equations 3- rank of a matrix – linear independence 4- how to find the rank of a matrix 5- general discussion of linear systems 6- equations of lines planes and circles in determinant form

Chapter 11 Symmetric functions: 1- definition of symmetric functions – sigma functions 2- Newton’s formulas 3- fundamental theorem on symmetric functions 4- practical methods 5- Lagrange’s solution of cubic equations 6- Lagrange’s solution of biquadrate equation 7- the Gaussian principle

Chapter 12 Elimination: 1- example of elimination 2- resultant 3- Sylvester’s determinant 4- identity of the resultant and Sylvester’s determinant 5- Discriminant 6- imaginary roots

Appendices

I- the fundamental theorem of algebra

II- on the theorem of Vincent

III- on equations whose roots have negative real part

IV- iterative solution of the frequency equation

V- Graeffe’ s method

Uspensky’s boek start met de complexe getallen, handelt vervolgens over de veeltermen met één onbekende en de wortels van algebraïsche vergelijkingen. Dan volgt een bespreking van bovenste en onderste limieten van positieve respectievelijk negatieve wortels en de wortels van derde en vierde graadsvergelijkingen met de formules van Cardano.

Hierbij aansluitend wordt het afsplitsen van een wortel uit een algebraïsche vergelijking behandeld met o.a. een algemene methode gebaseerd op het theorema van Vincent ⁽⁹⁾ . Ook de belangrijke theorie van Sturm ⁽¹⁰⁾ komt natuurlijk ter sprake. Drie benaderingsmethodes respectievelijk de methode van Horner ⁽¹¹⁾ , de iteratieve methode en de methode van Newton worden aan de hand van enkele voorbeelden ontwikkeld en toegelicht.

Een belangrijk gedeelte van Uspensky’s boek is gewijd aan determinanten, matrices en het oplossen van lineaire stelsels van vergelijkingen.

Het boek sluit af met een hoofdstuk over de eliminatiemethode van Sylvester en een appendix waarin o.m. de hoofdstelling van de algebra en het theorema van Vincent behandeld wordt.

Voor een eerste kennismaking met de Hogere Algebra is voornoemde monografie nog steeds aan te raden, te meer daar in het werk diverse oefeningen opgenomen zijn waarvan het antwoord op het einde van het boek verstrekt wordt. Dit boek werd door de auteur als een standaardtekst aangekondigd:

… This book was written as a textbook to be used in the standard American university and college courses devoted to the theory of equations. As such it is elementary in character and, with few exceptions, contains only material ordinarily included in texts of this kind. But the presentation is made so explicit that the book can be studied by students without a teacher’s help.

Everything that is stated in the text is presented with full development and nowhere is reference made to results that are beyond the scope of this book….

In four chapters the exposition differs considerably from custom. In the chapter on complex numbers the superficial approach so common in many books is replaced by a simple and yet thorough presentation of the theory of complex numbers. The author’s experience shows that students, almost without exception, follow this presentation without difficulty.

In the chapter on separation of roots the author gives a very efficient method for separating real roots, much superior in practice to that based on Sturm’s theorem. He believes that no other book mentions this method, which he invented many years ago and has been teaching to his students for a number of years.

In the chapter on numerical computation of roots Horner’s method is presented in the original form, including the process of contraction which unfortunately has disappeared from American texts. Also a thorough examination is made of the error caused by contraction;

Determinants are introduced not by formal definition, as is usual, but by their characteristic properties, following Weierstrass. The advantage of this is apparent, for example, in the proof of multiplication of determinants. Some elementary notions about the algebra of matrices are also developed in this chapter….

- Nabeschouwingen:

----------------------------------------

(1) zie: http://nl.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz

(2) zie: http://nl.wikipedia.org/wiki/Gabriel_Cramer

(3) zie: http://nl.wikipedia.org/wiki/Alexandre-Th%C3%A9ophile_Vandermonde

(4) zie: http://nl.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

(5) zie: http://nl.wikipedia.org/wiki/J%C3%B3zef_Hoene-Wro%C5%84ski

(6) zie: http://nl.wikipedia.org/wiki/Augustin_Louis_Cauchy

(7) zie: http://nl.wikipedia.org/wiki/Carl_Jacobi

(8) zie: http://en.wikipedia.org/wiki/J._V._Uspensky

(9) zie: http://www.jstor.org/pss/1969443

(10) zie: http://en.wikipedia.org/wiki/Jacques_Charles_Fran%C3%A7ois_Sturm

(11) zie: http://en.wikipedia.org/wiki/William_George_Horner

Aangestipt moet worden dat de methode van Horner, beschreven in 1819, ook al bij Newton’s « Arithmica Universalis » te vinden is: http://en.wikipedia.org/wiki/Horner_scheme

11-02-2010 om 00:00 geschreven door alter  

(Hoofdstuk 3 "Algebra in de Cadettenschool")

§ 3.3 Klassieke Algebra met Ir Van Houte

Algebra of liever wat toen voor algebra doorging werd in de Cadettenschool van Laken gegeven door Maurice Van Houte (de “Muis”), een heel andere figuur dan de Snor. Hij heeft les gegeven in Laken van 1948 tot 1974 en was een oud-cadet (1927-1930). Behalve algebra, doceerde hij ook nog beschrijvende meetkunde en calculus, vakken waarover ik het verder zal hebben. Van vorming was hij polytechnisch ingenieur (K.M.S. 91^ste promotie AG (artillerie et genie)). Ik beschouw hem als HET boegbeeld van het wiskundeonderwijs in de K.C.S.. Enerzijds wist hij uit eigen ervaring wat precies nodig was voor het welslagen van het toelatingsexamen KMS, anderzijds was er zijn “speciale” manier van lesgeven, waardoor men het gevoel kreeg dat algebra in feite doodsimpel was….

Rik Windels (cadet 1961) beschrijft hem als volgt ⁽¹⁾ :

… De Muis, dat was weer een ander figuur, door de staf vaak eerbiedig "de kolonel" genoemd. Naargelang hij dicht of ver moest zien had hij al dan niet zijn bril nodig. Om hem aan het bord niet voortdurend op en af te zetten had hij die gewoonlijk boven zijn zeer volumineuze wenkbrauwen geplant om hem, wanneer vereist, met een geweldig gesnuif weer op zijn neus te doen belanden. Maakte iemand een fout aan het bord, hoorden we hem met zijn doorrookte stem: "Hey, hey, Meneeeer, u bent een grapjas!". En telkens hij de klas binnenkwam was er een paar seconden paniek of hij al dan niet zou zeggen: "Neem een vel papier! Eerste vraag…". Gene plezante, maar gene kwaaie zou ik zeggen….

Wat ik mij van hem herinner was dat hij in die jaren een voorliefde had voor fluweel (hij droeg veelal een bruin fluwelen pak) en ook dat hij steeds een belachelijk klein boekentasje (model lagere school) bij zich had. In dat boekentasje zaten alleen de algebraboeken van De Vaere – Herbiet (Leerboek en Complement). Die haalde hij alleen maar op het eind van de les boven om zijn instructies “voor de volgende les voor te bereiden van pagina zoveel tot zoveel” te geven.

Soms zaten in dit boekentasje ook nog de gecorrigeerde « vellen papier » waarover een Rik Windels het had. En als hij niet tevreden was van de bekomen resultaten, zwierde hij ze zo maar door de klas er aan toevoegend “Hey, hey.. het gemiddelde van de klas is vier..!!”. Wij mochten dan zelf de vruchten van onze noeste inspanningen oprapen en vaststellen hoeveel consignes (of PS) wij opgelopen hadden. Naarmate wij echter in jaren en dus in wijsheid vorderden, werd het zwieren van vellen papier zeldzaam, om in rhetorica zelfs volledig op te houden.

In de vijftiger jaren bestond wiskunde uit Rekenkunde, Meetkunde en Algebra. Met Algebra werd dan bedoeld al wat niet tot de Rekenkunde of Meetkunde behoorde. En als men een schoolboek van in die tijd zoal bvb het Leerboek der Algebra van de collectie De Vaere – Herbiet doorbladert, stelt men vast dat een deel van de leerstof nu onder bvb “analyse” of “calculus” zou gerangschikt staan. In dit cursiefje zal ik het alleen hebben over de klassieke algebra, d.i. het rekenen met letters, die getallen voorstellen en waarvan de hoofdbrok de theorie der vergelijkingen is. In een volgend cursiefje komt dan de eigenlijke “Calculus” aan de beurt.

M. Van Houte gaf zoals al gezegd les op een “speciale” manier. Zijn betoog was zeer helder en begrijpelijk en op het einde van de les vroegen we ons af, waarom we zelf deze of gene stelling of gevolgtrekking niet hadden gevonden of ontdekt. Enkele jaren later o.m. door het lezen van het eerste deel van Smirnov’s zesdelige meesterwerk “Cours de Mathématiques supérieures” (zie Blog IV cursiefje « Fundamentele Wiskunde met Vladimir Smirnov ») begreep ik het geheim van zijn methode, want een Smirnov ging precies op dezelfde wijze te werk als de “Muis”.

Het kwam er op neer nooit de band met het praktisch probleem, waarop de wiskunde van toepassing was, te vergeten. Dit probleem werd analytisch bekeken of benaderd d.i. eerst ontrafeld en herleid tot gekende stellingen, wat dan voerde tot bepaalde gevolgtrekkingen of nieuwe hypothesen voor het oplossen van een analoog maar meer ingewikkeld praktisch probleem. Dit meer ingewikkeld probleem werd op zijn beurt ontrafeld, wat opnieuw leidde tot de oplossing van een nog meer ingewikkeld probleem enz. Voor wie zich een idee wil vormen van deze analytische benadering raad ik ten stelligste deel I van Smirnov aan.

Hier dus geen overdreven abstracties, geen geleuter over axioma’s, geen wiskunde om de wiskunde… maar praktische, goed onderbouwde wiskunde. Wiskunde waar de wetenschapper of ingenieur iets aan heeft. En de “Muis” was ingenieur nietwaar…

Deze praktische ingesteldheid uitte zich ook op een ander vlak. Naast zijn onderwijsopdracht in de Cadettenschool hield hij zich ook nog bezig met het analyseren van elektrocardiogrammen. Zijn broer was een cardioloog in het Brusselse, wat verklaart dat dit onderzoeksgebied hem niet onbekend was.

1- Algebra voor de Grieks-Latijnse Sectie:

In de Nederlandstalige Afdeling van de Cadettenschool werd geopteerd voor de algebraboeken van de collectie De Vaere – Herbiet:

- « Leerboek der Algebra » (Wesmael - Charlier -1955-). Het betrof een door Raymond de Marchin en Gaspard Bosteels herwerkte uitgave ⁽²⁾ van het fameuze Leerboek der Algebra van Paul De Vaere en Victor Herbiet volgens de instructies vervat in de ministeriële omzendbrieven 1948 en 1949. Het oorspronkelijke werk werd al in 1936 door de Koninklijke Academie van België met een de Keynprijs bekroond.

- « Complement der Algebra » (Wesmael – Charlier -1956-). Het betrof hier een uitbouw ⁽³⁾ , zowel in de hoogte als in de breedte, van het Leerboek der Algebra eveneens verzorgd door Raymond de Marchin en Gaspard Bosteels. Deze verklaarden in een voorbericht:

… Gelet op de betrekkelijke instabiliteit der programma’s hebben we gedacht iets te veel dan wat te weinig te moeten geven. Op aanvraag van verschillende collega’s en vooral van vele studenten hebben wij in een appendix, terug heel wat materiaal opgenomen dat bij de voorbereiding van examens nuttig kan zijn. Nu een commissie belast werd met de eenmaking van de eisen voor de verschillende toelatingsexamens aan de Universiteiten en Hogere Instituten, hopen wij dat binnen afzienbare tijd een goede oplossing gevonden wordt… Duidelijkheidshalve hebben wij ook de (huidige) programma’s (in het boek) opgenomen.

4- (analyse) primitieve functie; onmiddellijke integratie in verband met de aangeleerde afgeleiden; bepaalde integraal als maatgetal van de oppervlakte; toepassing op eenvoudige problemen uit de natuurkunde en op berekeningen van oppervlakten

Voor de Grieks-Latijnse sectie werd in rhetorica het leerprogramma « Algebra » totaal omgebogen naar « Analyse ». De theorie der functies (afgeleide functies, differentialen, integralen) -de eigenlijke analyse- kwam hierdoor meer op het voorplan en de verdere studie van de vergelijkingen (derde en vierde graadsvergelijking, stelsels van lineaire vergelijkingen, determinanten, matrices...) -de eigenlijke algebra- werd van het leerplan afgevoerd. 

In Nederland bvb zal deze ombuiging maar gebeuren vanaf 1960 en werd in het secundair onderwijs verder doorgegaan met algebra, met de theorie der vergelijkingen. Waardoor ook vergelijkingen van de derde en vierde graad en hogere stelsels van lineaire vergelijkingen (determinanten van de n^de graad en matrices) ter sprake kwamen. Vóór 1960 was « Analyse » in Nederland uitsluitend voorbehouden aan het Hoger Onderwijs.

----------------------------------------------------------------------

(1) zie site Rik Windels

(2) inhoudstafel « Leerboek der Algebra » (collectie De Vaere – Herbiet -1955-):

- LAGERE CYCLUS d.i. lagere humaniora 

Inleiding: het voorstellen van getallen door letters

Eerste Deel: De relatieve getallen en hun verbindingen: 1- de relatieve getallen ; 2- het rekenen met relatieve getallen ; 3- het afbeelden van relatieve getallen op een as

Tweede Deel: Het uitwerken van algebraïsche vormen: 1- algebraïsche vormen ; 2- rationele en gehele vormen ; 3- optelling en aftrekking ; 4- vermenigvuldiging ; 5- merkwaardige producten ; 6- deling ; 7- herhalingsopgaven ; 8- aanvullingen merkwaardige producten en delen van twee veeltermen ; 9- rest- en quotiëntbepaling bij deling door x ± a ; 10- ontbinding in factoren ; 11- deelbaarheid ; grootste gemene deler ; kleinste gemeen veelvoud ; 12- gebroken vormen

Derde Deel : algebra van de eerste graad: 1- algemene begrippen over vergelijkingen ; 2- vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende ; 3- ongelijkheden ; ongelijkheden van de eerste graad met één onbekende ; 4- vraagstukken van de eerste graad met één onbekende ; 5- vergelijkingen met twee onbekenden ; 6- vergelijkingen met drie onbekenden ; 7- het oplossen van een stelsel van n vergelijkingen met n onbekenden ; 8- stelsels van bijzondere aard – kunstgrepen ; 9- vraagstukken van de eerste graad met meer dan één onbekende

Vierde Deel: wortelvormen en functies: 1- wortelvormen van de tweede graad ; 2- over functies en hun grafische voorstelling

- HOGERE CYCLUS d.i. hogere humaniora:

Deel I : Herhaling en aanvulling: 1- rest- en quotiëntbepaling bij deling door x ± a ; 2- herhaling van de ontbinding in factoren ; 3- gebroken vormen ; 4- ongelijkheden

Deel II : algebra van de eerste graad: 1- afbeelden van getallen op een as - coördinaten - plaatsbepaling van een punt op een rechte en in een vlak ; 2- over functies en hun grafische voorstelling ; 3- de lineaire functie ; grafisch onderzoek van y = ax + b ; 4- stellingen over gelijkwaardige vergelijkingen ; 5- vergelijking van de eerste graad met één onbekende - bespreking ; 6- de lineaire functie - algebraïsch onderzoek ; 7- ongelijkheden van de eerste graad met één onbekende – bespreking ; 8- grafisch onderzoek van ax + by + c = 0 ; 9- strijdigheid en afhankelijkheid van vergelijkingen ; 10- aanvullende begrippen over stelsels van vergelijkingen ; 11- vraagstukken van de eerste graad met één onbekende – aanvullingen ; 12- vraagstukken van de eerste graad met meer dan één onbekende ; aanvullingen

Deel III : algebra van de tweede graad: 1- wortelvormen - aanvullende begrippen ; 2- wortelvormen van de n-de graad - oneigenlijke machten ; 3- vierkantsvergelijkingen ; 4- de kwadratische functie ; 5- toepassing van de eigenschappen van de kwadratische functies op vierkantsvergelijkingen ; 6- het bespreken van vierkantsvergelijkingen met veranderlijke coëfficiënten ; 7- vergelijkingen die leiden tot vierkantsvergelijkingen ; 8- stelsels waarvan niet alle vergelijkingen lineair zijn ; 9- vraagstukken van de tweede graad

Deel IV : rijen, logaritmen, toepassing: samengestelde intrestrekening: 1- rekenkundige rijen ; 2- meetkundige rijen ; 3- logaritmen ; 4- samengestelde intrestrekening

Deel V : (calculus) functies, grenswaarden, continuïteit, afgeleiden, toepassingen: 1- algemene begrippen ; 2- limieten ; 3- continuïteit ; 4- de exponentiële functie ; 5- de logaritmische functie ; 6- afgeleiden ; 7- toepassing van de theorie der afgeleide functies ; 8- stamfuncties

(2) inhoudstafel « Complement der Algebra » (collectie De Vaere – Herbiet -1956-):

- TWEEDE KLASSE

Deel I : Complement bij de algebraïsche berekeningen: 1- de relatieve getallen ; 2- eigenschappen van veeltermen ; 3- combinatieleer ; 4- machten van een tweeterm ; 5- determinanten

Deel II : Vergelijkingen: 1- stelsels van lineaire vergelijkingen ; 2- complement bij de theorie der vierkantsvergelijkingen ; 3- eliminatie

Deel III : Functies: 1- algemene begrippen ; 2- grenswaarden ; 3- continuïteit ; 4- afgeleiden ; 5- toepassingen van de afgeleiden ; 6- gebruik van de afgeleiden bij functie- onderzoek

- EERSTE KLASSE:

Deel IV : Uitbreiding van het Getalbegrip: 1- de irrationale getallen ; 2- wortelvormen en exponenten ; 3- de complexe getallen ; 4- binomiaal- vergelijkingen

Deel V : Functies: 1- de exponentiële functie ; 2- het getal e ; 3- de logaritmische functie

Appendix: 1- bewijzen door volledige inductie ; 2- combinatieleer ; 3- verloop van functies ; 4- kettingbreuken ; 5- onbepaalde analyse ; 6- bijzondere vergelijkingen en ongelijkheden ; 7- integraalrekening ; 8- reeksontwikkelingen

09-02-2010 om 00:00 geschreven door alter  

(Hoofdstuk 3 "Algebra in de Cadettenschool")

§ 3.2 Newton’s « Arithmetica Universalis » (1707):

In het begin van de 18^de eeuw kwam de Algebra en i.h.b. de theorie der vergelijkingen tot volle bloei en dit voornamelijk door toedoen van een zekere Isaac Newton die met zijn « Arithmetica Universalis » op dit vlak een beslissende stap zette. Verrassend genoeg is dit -in mijn ogen- zeer belangrijk werk praktisch onbekend bij het grote publiek en zelfs bij vele wiskundigen.

« Arithmetica Universalis » van Newton verscheen voor het eerst in 1707 door toedoen van zijn assistent William Whiston. Het is een samenvatting van de algebralessen die Newton gaf tussen 1673 en 1683 in Cambridge. Het werk werd voor het eerst uit het Latijn in het Frans vertaald onder de titel « Arithmétique Universelle de Newton » in 1802 door Noel Beaudeux. Dit tweedelig werk werd in 2008 (!) opnieuw uitgegeven door Gabay maar is ook via Google in te zien ⁽¹⁾ .

Het eerste deel van deze Franse editie omvat, naast twee inleidende nota’s van respectievelijk prof. Guillard en prof. Lefèvre-Gineau, een “Discours préliminaire” (in feite een lofrede op Newton) van de vertaler 19 hoofdstukken:

- Chapitre 1: Notations – Signification de quelques termes – Emploi des signes

- Chapitre 2: De l’Addition arithmétique et algébrique

- Chapitre 3: De la Soustraction arithmétique et algébrique

- Chapitre 4: De la Multiplication arithmétique et algébrique

- Chapitre 5: De l’Extraction des Racines

- Chapitre 6: De la réduction des fractions et des quantités radicales

- Chapitre 7: De la manière de trouver des diviseurs

- Chapitre 8: De la réduction des fractions à un dénominateur commun

- Chapitre 9: De la réduction des radicaux à leurs moindres termes

- Chapitre 10: De la réduction des radicaux à la même dénomination

- Chapitre 11: De la réduction des radicaux à leurs expressions radicales les plus simples pour l’extraction des racines

- Chapitre 12: De la forme de l’équation

- Chapitre 13- De la manière de réduire une équation unique

- Chapitre 14: Méthode pour réduire deux ou un plus grand nombre d’équations à une seule afin d’éliminer les inconnues

- Chapitre 15: De l’élimination d’une inconnue par l’égalité de ses valeurs

- Chapitre 16: De l’élimination d’une inconnue par la substitution de sa valeur

- Chapitre 17: De l’élimination d’une inconnue qui est de plusieurs dimensions dans chaque équation

- Chapitre 18: Méthode pour mettre une question en équation (problèmes I à XVI)

- Chapitre 19: De la manière de mettre les questions de géométrie en équation (problèmes I à LXI)

Het « Discours préliminaire » van de vertaler Noel Beaudeux is een grote lofrede op de persoon van Isaac Newton maar strookt helemaal niet met het werkelijke imago van het personage ⁽²⁾ . Newton blijkt, uit historisch oogpunt, een heel wat gecompliceerder persoon geweest te zijn en enkele van zijn illustere collega’s (bvb Hooke, Leibniz..) hebben te maken gehad met zijn niet aflatende haat en achtervolgingswaanzin. De zogenaamde uiterst bescheiden, eerlijke, weldoenende en vrome Newton is een fictie.. Maar dat doet natuurlijk niets af van het feit dat hij op het vlak van de wetenschap tot de grootsten behoort.

Het Eerste Deel van « Arithmétique Universelle » omvat de rekenregels van de rekenkunde uitgebreid tot de negatieve getallen (hoofdstukken 1 tot 4), de algoritmen van de rekenkundige worteltrekking i.h.b. vierkantswortel en kubiekwortel (hoofdstuk 5), de algebraïsche breuken: vereenvoudiging, gelijknamig maken.. ), het vereenvoudigen van wortels, de deelbaarheid door x ± a (hoofdstukken 6 tot 11). Vervolgens komen de vergelijkingen aan de beurt: algemene vorm, stelsels van lineaire vergelijkingen en oplossingsmethodes: eliminatie en substitutie (hoofdstukken 12 tot 16), eenvoudige stelsels van hogere machtsvergelijkingen en eliminatiemethode (hoofdstuk 17), het in vergelijking brengen van gewone vraagstukken -16 voorbeelden- (hoofdstuk 18) en ten slotte het in vergelijking brengen van meetkundige vraagstukken – 51 voorbeelden- (hoofdstuk 19). Het hoofdstuk 19 telt 137 pagina’s en omvat meer dan de helft van het boek. In feite kan men dit laatste hoofdstuk het best als “algebraïsche meetkunde” betitelen.

Newton definieert algebra als een universele rekenkunde, en is duidelijk een voorstander van een samensmelting van Arithmetiek en Algebra:

… Cependant l’Arithmétique est tellement indispensable dans toutes les opérations de l’Algèbre, que leur union seule forme la science complète du calcul. C’est pour cette raison que je traiterai de toutes les deux en même temps. Lorsqu’on veut se livrer à l’étude de cette science, il faut d’abord se familiariser avec les termes et les signes qu’elle emploie, apprendre les opérations fondamentales, telles que l’Addition, la Soustraction, la Multiplication, la Division, l’Extraction des Racines, la Réduction des Fractions et des Quantités radicales, la Méthode d’ordonner les termes des équations, d’en éliminer les inconnues, lorsqu’il y en a plusieurs; ensuite s’exercer à la pratique de toutes ces opérations, en mettant des Problèmes en équation; et enfin étudier la nature et la résolution des équations….

Hij schreef verder:

… On entend par nombre, moins une collection de plusieurs unités, qu’un rapport abstrait d’une quantité quelconque à une autre d’une même espèce, qu’on regarde comme l’unité. Le nombre est de trois espèces, l’entier, le fractionnaire et le sourd. L’entier est mesuré par l’unité, le fractionnaire par un sous-multiple de l’unité, le sourd est incommensurable avec l’unité…

M.a.w. de (positieve) gehele en gebroken getallen waren de getallen, die als de vertrekbasis dienden van zijn Universele Arithmetiek of Algebra. Deze getallen waren immers al bekend uit de gewone rekenkunde en werden om deze reden “rekenkundige getallen” genoemd. Negatieve getallen moesten vrijwel onmiddellijk aan het getallenstelsel toegevoegd worden. In een verder stadium volgden via de worteltrekking de onmeetbare of irrationale getallen (les nombres sourds de Newton) en ten slotte de imaginaire getallen.

Deze uitbreidingen van het getalstelsel verliepen parallel aan de ontwikkeling van de Universele Arithmetiek ofte Algebra. Aan de rekenkundige getallen werden de onmeetbare getallen toegevoegd. Daarentegen werden de Negatieve en Imaginaire Getallen beschouwd als uitsluitend deel uitmakend van de Algebra. Ze behoren tot de zogenaamde “algebraïsche getallen" , wat volgens Schuh, voor wat betreft de negatieve getallen, een misvatting is (zie cursiefje: « Arithmetiek volgens Schuh (1) ».

Maar voor het ontwikkelen van de Algebra kan er natuurlijk ook vertrokken worden van de gehele getallen (en derhalve van de zogenaamde diophantische vergelijkingen). Achtereenvolgens zullen dan de gebroken getallen, de negatieve getallen, de onmeetbare of irrationale en de imaginaire getallen ingevoerd moeten worden (zie cursiefje « Arithmetiek volgens Schuh (2) -getallen in een notendop- ».

(wordt voortgezet)

---------------------------------------------------------

(1) « Arithmetica Universalis » van Newton : bewerkte en gecommentarieerde Franse editie (1802):

- eerste deel:

http://books.google.be/books/about/Arithm%C3%A9tique_universelle_de_Newton.html?id=P0oIAAAAIAAJ&redir_esc=y

– tweede deel:

http://books.google.be/books?id=oDUVAAAAQAAJ&pg=PP7&hl=fr&source=gbs_selected_pages&cad=3#v=onepage&q&f=false

(2) zie bvb de biografie: « Isaac Newton » van James Gleick (De Bezige Bij, -2004-)

04-02-2010 om 00:00 geschreven door alter  

(Hoofdstuk 3 "Algebra in de Cadettenschool")

§ 3.1 Wat is Klassieke Algebra?

Begin de jaren vijftig vroeg ik aan mijn oudste broer, die enkele jaren voor mij zijn broek had versleten op de harde schoolbanken van het Sint Lodewijkscollege, wat nu eigenlijk “Algebra” was en i.h.b. wat nu eigenlijk het verschil was met Rekenkunde. Dit was “überhaupt” naar aanleiding van mijn klein conflict met Meester Jules Berghmans in het zevende studiejaar, waar deze brave man mij verboden had “algebra” te gebruiken voor het oplossen van zijn rekenkundige vraagstukken.

Na lang en herhaaldelijk aandringen gaf hij mij ietwat korzelig volgend kort antwoord: “Algebra dat is… gewoon spelen met letters… !!” “Arithmetiek is… gewoon spelen met cijfers!!... ”

Ik geloofde hem maar half en besloot toch ook maar eens deel X “Lexicon en Register” van de E.N.S.I.E. te raadplegen, want in deel IV, dat over wis-, natuur- en scheikunde handelde, werd met geen woord gerept over « algebra ». Wel was er in deel IV een uitvoerig artikel over « Groepentheorie en Abstracte Algebra » maar daar begreep ik geen snars van.

1° Algebra volgens de E.N.S.I.E. (1949) en volgens de Bordas (1985):

In Deel X van de E.N.S.I.E. vond ik nu volgende omschrijvingen:

“Algebra (Arab.), stelkunde, leer der vergelijkingen, onderdeel der wiskunde, waarbij men letters gebruikt om getallen voor te stellen:

- lagere algebra omvat de theorie der positieve en negatieve getallen, complexe getallen en vergelijkingen tot de tweede graad

- hogere algebra omvat vergelijkingen van hogere graad, de theorie der determinanten, reeksen, transformaties en eenvoudige functies

Algebra wordt toegepast in alle takken van de wiskunde.”

En verder:

“Algebra, abstracte, systeem, waarbij de letters niet meer noodzakelijk getallen hoeven voor te stellen.”

Voor zover ik deze omschrijving begreep was “stelkunde” een ander woord voor algebra, term die inderdaad door Simon Stevin ⁽¹⁾ voorgesteld is geworden, maar die weinig ingang heeft gevonden.

Met de uitspraak “onderdeel van de wiskunde, waarbij men letters gebruikt om getallen voor te stellen” had ik wel enkele bedenkingen. Ik wist immers al sinds de Broedersschool dat ook in de Rekenkunde of Arithmetiek letters getallen voorstellen en dat dus ook andere onderdelen van de wiskunde letters gebruiken. Waar lag dan eigenlijk het verschil tussen Arithmetiek en Algebra?

Verder was duidelijk dat er twee soorten algebra bestonden: algebra (met getallen) en abstracte algebra. Algebra (met getallen) werd, zoals ik enkele jaren later kon vaststellen, ook nog elementaire of klassieke algebra genoemd ⁽²⁾ .

Wat Abstracte algebra was, interesseerde mij op dat ogenblik nog geen moer. Het volstaat hier aan te duiden dat deze Abstracte Algebra van meer recente datum is en men daarom kan spreken over klassieke en moderne algebra (voor meer details over abstracte of moderne algebra: zie cursiefje « Over het New Math experiment »).

Algebra werd in de E.N.S.I.E. omschreven als zijnde in de eerste plaats de leer of de theorie van de vergelijkingen. Bleef dan echter het probleem “wat werd bedoeld met vergelijkingen?”.

In de “Oosthoeks” had ik nu volgende definitie van “vergelijking” gevonden:

(wisk.) gelijkstelling van twee wiskundige uitdrukkingen (met bekende en onbekende grootheden), door het teken = verbonden dienend om uit gegeven grootheden een of meer onbekenden te berekenen.

M.a.w. een vergelijking was een gelijkheid, waarin zowel bekende getallen (voorgesteld door de beginletters a, b, c.. van het alfabet) als onbekende getallen (voorgesteld door de laatste letters x, y, z) voorkomen. Deze onbekenden konden ook in de tweede, derde en n- de macht voorkomen (bvb x², x³ en xⁿ ). De hoogste macht bepaalde de graad van de vergelijking.

Natuurlijk was het aangewezen indien er zeer veel onbekenden waren (en er dus niet genoeg laatste letters in het alfabet waren om deze aan te geven) deze onbekende getallen aan te duiden als x₁, x₂, x₃… x_n … Deze subscriptnotatie kon ook gebruikt worden om de bekende getallen aan te geven a₁, a₂, a₃ ,… a_n… maar in eenvoudige gevallen volstond de (a, b, c.. x, y, z)- notatie en werd de meer omslachtige indexnotatie vermeden.

Het is de bedoeling deze getallen x, y.. te bepalen door ze af te zonderen in één lid van een gelijkheid, waarbij dan het andere lid van de gelijkheid alleen bekende getallen (a, b,..) bevat. Bij het “afzonderen” worden dan de eigenschappen van gelijkheden gebruikt (bvb regels voor het overbrengen van een term naar een ander lid).

Hetzelfde kan men nu doen met “ongelijkheden” en een ongelijkheid werd gedefinieerd als:

(wisk.) Een ongelijkheid is een betrekking of relatie die iets zegt over de relatieve grootte van twee getallen. Ongelijkheden berusten op de relatie "kleiner dan", genoteerd als "<", die aangeeft dat wat links van het ongelijkteken staat kleiner is dan wat rechts staat of op de relatie “groter dan, genoteerd als “>”, teken dat aangeeft dat wat links van het ongelijkteken staat groter is dan wat rechts staat.

In feite was de - bij het haar gegrepen - omschrijving “Algebra.. dat is spelen met letters.. Rekenkunde is... spelen met cijfers” van mijn oudste broer nog niet zo dwaas… Het volstond het woord "spelen" te vervangen door "rekenen"...

                                                                *                   *                   *

Vele jaren later vond ik in de « Bordas » ⁽³⁾ , een encyclopedie, die ik speciaal voor mijn kinderen gekocht had, nu volgende definitie voor algebra:

… Algèbre, au sens général du terme: moyen de représenter les rapports et les propriétés des nombres par des symboles, généralement des lettres, des signes d’opération (+, - , x), des signes de rapport (= , < , >….). Le mot algèbre vient de l’arabe al-djarb, qui désigne le passage de termes d’un membre à l’autre d’une équation. L’algèbre fut introduite en Europe par les Arabes à la fin du 15^ème siècle. L’algèbre est un prolongement de l’arithmétique….

Het voorstellen van relaties en eigenschappen van getallen door letters gekoppeld aan het gebruik van bewerkingstekens (plusteken +, minteken -, vermenigvuldigingsteken “x “ of “.”) en relatietekens (gelijkheidsteken =, “kleiner dan” <, “groter dan” >) werd door de “Bordas” als “algebra” beschouwd en deze algebra lag in het verlengde van de gewone rekenkunde.

Deze manier van voorstellen van relaties tussen getallen was er niet op een dag gekomen en dit symbolisme van tekens en letters had zich geleidelijk ontwikkeld:

De tekens “+” en “–“ werden door Johannes Widman ⁽⁴⁾ (1486) ingevoerd, het “x” teken door William Oughtred ⁽⁵⁾ (1631), het “=” teken door Robert Recorde ⁽⁶⁾ (1557) en John Napier ⁽⁷⁾ (1618). In de geschriften van François Viète ⁽⁸⁾ respectievelijk René Descartes wordt een gelijkheid echter door andere tekens aangegeven. De ongelijkheidstekens “>” en “<” werden door Thomas Harriot ⁽⁹⁾ , de haakjes door Viète (1593) geïntroduceerd, het wortelteken √ door Descartes enz.

Het gebruik van letters zoals men nu kent is afkomstig van Descartes, die de beginletters van het alfabet voor bekende, de eindletters voor onbekende getallen. Voordien werden allerlei afkortingen of Latijnse woorden gebruikt om de onbekenden of een macht aan te duiden: bvb “res” of “cosa” voor de onbekende, “radix” voor de wortel of oplossing van de vergelijking, “qdratu” voor een kwadraat enz…

(Hoofdstuk 2 "Arithmetiek in de Cadettenschool")

§ 2.3 Rekenkunde met Commandant De Corte

Vóór WOII werd Rekenkunde (als deelgebied van de Arithmetiek) in de Cadettenschool gedoceerd door militairen waaronder de befaamde Jules Horwart, de “Moloch”. Dit was in de periode dat de Cadettenschool gevestigd was In Namen (zie blog 1 cursiefje « Over oude schoolboeken en… wiskunde »).

Deze Rekenkunde genoemd werd ook in de Cadettenschool van Laken gegeven door een militair in casu Commandant Marcel De Corte –de “Poep”-, blijkbaar een overgangsfiguur want hij gaf maar les van 1954 tot 1957. Later werd zijn taak overgenomen door een burger, André D’Hondt -de "Kitch"-, die na een jaar cadettenschool in Lier naar Laken overkwam in 1957 en die blijkbaar tot de sluiting van de cadettenschool in 1991 gebleven is. Persoonlijk heb ik de “Kitch” niet gekend en om deze reden is dit cursiefje  opgedragen aan Cdt De Corte.

Van de “Poep” is mij niet veel bij gebleven, want het aantal lesuren Rekenkunde voor de Grieks-Latijnse sectie was eerder beperkt, dit in tegenstelling met de Wetenschappelijke sectie, die een veel zwaarder programma re verorberen kregen. Wel herinner ik mij bvb nog één van zijn grapjes “Een gewaarschuwd man is er twee waard, een gewaarschuwd cadet is er… twintig waard”. Cdt De Corte was zeker geen kwade kerel, maar sommige oud-cadetten vonden zijn lessen uiterst saai en weinig inspirerend.

Over de “Kitsch”, die later ook nog trigonometrie en algebra gaf, zijn de meningen verdeeld. Hij heeft zelfs nog een wiskundeboek geschreven, dat echter niet het succes kende, dat hij er van verwachtte.
Een oud-cadet noemde hem een psychopaat, die er bijna in slaagde hem een aversie voor de Wiskunde te bezorgen.

Andere cadetten namen de kitsch wat minder tragisch op. Op de site van Rik Windels (cadet 1957-1960) ⁽¹⁾ vindt men volgend anekdotisch verhaal met als hoofdacteur Jan Jacobs (cadet 1957-1960):

…En de Kitsch, die na een jaar in de "onderafdeling Lier", ons van de eerste dag neerbliksemde met zijn "En ik ken de cadetten!" en ook "Uw gezicht staat me niet aan! Ge zijt gebuisd!" . En dan zijn onverwachte en kort afgenepen "Aantbord ... (die of die), frmls vn Smpson!!", al te vaak gevolgd door een "Nul! Naar uw plek!". Op een keer zat de klas te wachten terwijl hij nog in de gang met andere proffen aan het kletsen was. Zegt ineens de Jan Jacobs, op de hem eigen zeg maar nonchalante en hoofdschuddende manier : "Zie, straks komt hij hier binnen en zegt : Aantbord, Jààààcobs! Frmls van Smpsn!" . En hij gaat zeggen : Wàààt ? Ken je ze niet ? Nul! Naar uw plek!"

Komt toch niet even later de Kitsch binnen en herhaalt quasi woordelijk het hele scenario, op dezelfde toon en met dezelfde gelaten reactie tot gevolg. De klas lag dubbel, tot woede van de Kitsch, die een paar PS-en uitdeelde, één aan de Jan "Geeft aanleiding tot lachen" en aan minstens één andere: "Lacht zonder reden!"…

Overdreef de Kitsch in zijn gedragingen t.o.v. zijn leerlingen? De volgende anekdote mij verteld door Ludo Smets (cadet 1963-1966) stemt toch wel tot enig nadenken:

... Het later ingevoerd en verplicht maturiteitsexamen ⁽²⁾ "wiskunde" gebeurde in de Cadettenschool voor een jury samengesteld uit de wiskundeleraren, waaraan natuurlijk ook de “Muis” en Ludo Smets als Studiedirecteur deelnamen. De “Muis”, waarvan de gestrengheid nochtans overbekend was, vond het nu nodig bij het afnemen van een examen de “Kitch” publiek terecht te wijzen. Toen de Kitch steeds maar doorging met een bepaalde examinandus op de rooster te leggen verklaarde de Muis dat het nu al welletjes geweest was  En natuurlijk was de "Kitch" in zijn blinde examenwoede onmiddellijk gekalmeerd, want de Muis werd niet voor niets de kolonel genoemd...

1°- Rekenkunde en Getalkunde voor de Grieks-Latijnse sectie :

Voor de Grieks-Latijnse sectie warens in die jaren alleen enkele aanvullingen aan de « Praktische Arithmetiek » uit het Lager Secundair voorzien. Het betrof dus een supplement van het programma van de lagere humaniora en was toegespitst op de theoretische grondslagen van de rekenkundige bewerkingen met meetbare getallen (natuurlijke en gebroken getallen d.i. breuken).  

Dit supplement omvatte de aanvullende bewerkingen met natuurlijke getallen (de vierkantswortel en de derdemachtswortel), enkele aanvullende eigenschappen der natuurlijke getallen betreffende de deelbaarheid, de GGD en het KGV, en verder de theorie der benaderde quotiënten en vierkants- en derdemachtswortels. Zo werden wij nogmaals geconfronteerd met de algoritmen van het trekken van de vierkantswortel, respectievelijk van de kubiekswortel (er bestonden in die tijd nog geen calculatoren). Maar ditmaal werd het hoe en waarom uitgelegd.

Als leidraad diende hier het laatste gedeelte van het schoolboek « Rekenkunde voor Middelbaar en Normaalonderwijs » ⁽³⁾ van de verzameling De Vaere- Herbiet. Het eerste gedeelte van dit schoolboek omvatte het leerprogramma van de zesde, vijfde en vierde humaniora (oude en moderne) in overeenstemming met de ministeriële omzendbrieven van 1948 en 1949. Dit boek, waaraan ook de Antwerpse wiskundige Gaspard Bosteels nog zijn medewerking had verleend, was mij wel bekend want ik had het gebruikt ter voorbereiding van het toelatingsexamen KCS.

Wij volgden echter les in de Cadettenschool en dus moest al wat voorafging blijvend en actief gekend zijn. Het was dus aangeraden voortdurend te grasduinen in het theoretisch gedeelte van de leerprogramma’s van de voorbije jaren.

Een Cdt De Corte vond echter dat het theoretisch gedeelte van de Praktische Arithmetiek voorzien voor Grieks-Latinisten niet voldoende was. Om ons te plezieren aarzelde hij dan ook niet om ons enkele stellingen voor te schotelen uit het leerprogramma van de Wetenschappelijke sectie... bvb aangaande de priemgetallen de stellingen van Fermat, en van Wilson…

Aansluitend bij het fameuze “Précis d’ Arithmétique” van Herbiet en Horwart bestond er -maar dan alleen in het Frans- een “Précis d’Arithmétique –exercices résolus-“ ⁽⁴⁾ een boek geschreven door dezelfde auteurs, dat in feite voor de leraar bedoeld was en waarin de oplossingen van de diverse oefeningen en vraagstukken vermeld in “Rekenkunde voor Middelbaar en Normaalonderwijs” uiteengezet werden.

Ik geloof niet dat er één cadet in de Nederlandstalige Afdeling op de hoogte was dat een dergelijk boek bestond. Jaren nadat ik de KCS verlaten had, ben ik bij toeval op dit werk gevallen en wat dacht je… ik heb het mij uit pure balorigheid maar aangeschaft!!!

In rhetorica kwamen vervolgens de andere getallen i.h.b. de onmeetbare en de complexe getallen aan de orde waarbij dus een overgang Rekenkunde → Getalkunde bewerkstelligd werd (voor de definities van "Rekenkunde", "Getalkunde" respectievelijk "Arithmetiek": zie cursiefje: « Wat is Arithmetiek? »). 

Deze lessen "Getalkunde" werden verzorgd door de Muis, die ook nog Algebra en Calculus doceerde. Bijzondere aandacht werd besteed aan de rekenregels van de complexe getallen. Als Leerboek diende hier het "Complement van Algebra" van De Vaere en Herbiet (zie cursiefje « Algebra in de Cadettenschool (Laken) ».

Normaal was dat boek alleen bestemd voor de Latijns-Wiskundige en Wetenschappelijke secties zoals duidelijk vermeld in het begeleidende programmarooster. Maar de Muis vond dat hij wegens de bijzondere omstandigheden wel wat verder kon gaan en privaatles mocht geven. Ik heb natuurlijk mijn persoonlijk exemplaar, dat voorzien is van vele "kanttekeningen" als een relikwie bewaard. Dit exemplaar is immers getekend door de Heer Vanhoute alias de Muis...  

15-01-2010 om 00:00 geschreven door alter  

(Hoofdstuk 2 "Arithmetiek in de Cadettenschool")

§2.2 Wat is elementaire Arithmetiek?

Is het u, beste lezer, al opgevallen hoevele malen wiskundigen en wetenschappers het woord « elementair » in de mond nemen?

Een paar voorbeelden en de lijst is zeker niet af :  Elementary arithmetic ; Elementary algebra ; elementary function ; elementary event ; Elementary group theory ; elementary (logic) .... Men heeft het verder over “elementaire fysica”, “elementaire chemie” enz…

Ook in de wetenschappelijke literatuur wordt het woord « elementair » veelvuldig gebruikt bvb in het aangeven van de titel (en dus van het onderwerp) van een boek bvb  « Géométrie élémentaire. Premier et deuxième cycles » van André Gramain" of « Elementary Geometry » van John Roe of « Elementary Differential Geometry » van Andrew Pressley enz... Alle voornoemde werken zijn bestemd voor het universitair onderwijs, terwijl de term "elementair", zoals men verder zal zien, betrekking heeft op de leerstof voor het primair en secundair onderwijs. 

Zoals een vriend wiskundige, aan wie ik eens het probleem voorlegde, mij uiteenzette moet het begrip "elementair" in deze woordcombinaties beschouwd worden als een relatief en niet als een absoluut begrip : "elementair is datgene wat nodig is voor hetgeen eventueel nog zal volgen". M.a.w. het woord elementair in al deze woordcombinaties heeft weinig betekenis en is in feite overbodig vermits in iedere discipline er steeds iets is dat nog zal volgen. Het is wel merkwaardig, dat wiskundigen, die een uitgesproken voorliefde hebben voor nauwkeurige omschrijvingen en messcherpe definities, dergelijke holle fraseologie gebruiken. 

Maar wat betekent het woord “elementair” nu eigenlijk?

- Volgens de van Dale kan “elementair “ betekenen: 1- de eerste beginselen of de grondslagen betreffend, 2- de bestanddelen vormend of betreffend, 3- met betrekking tot de chemische elementen, 4- met de aard van een element.

- Volgens le Petit Larousse kan «élémentaire» (lat. elementarius) betekenen: 1- très simple, réduit à l’essentiel («Elémentaire, mon cher Watson!!»; 2- qui sert de base à un ensemble: enseignement élémentaire dispensé dans les écoles élémentaires ou primaires, cours élémentaire dans l’ enseignement du premier degré 3- (en chimie) qui concerne l’ élément; 4- (en physique) se dit des objets physiques dont on considère que tout corps est formé: particule élémentaire.

- Volgens de Merriam-Webster is «elementary« dan weer: 1- relating to or dealing with the simplest elements or principles of something; 2- relating to an elementary school . De « Free Dictionary » citeert volgende betekenissen: 1. of, relating to, or constituting the basic, essential, or fundamental part 2. of, relating to, or involving the fundamental or simplest aspects of a subject: an elementary problem in statistics. 3. of or relating to an elementary school or elementary education: the elementary grades; elementary teachers.

Het is dus niet verwonderlijk dat enkele Nederlandse auteurs de term “elementair” vervangen hebben door het woord “algemeen” of "gewoon". De titel van het boek van D.W. Oort en G.H. Meyer in de reeks Prisma Compendia luidt: “Algemene Rekenkunde”, terwijl het boek duidelijk gaat over de “Elementaire Arithmetiek” zoals hierboven gedefinieerd en aangegeven door Jean Itard. Overigens wijden deze auteurs in hun boek ook nog een hoofdstuk aan het “congruentierekenen”, leerstof die volgens Itard dan weer behoort tot de hogere "Arithmétique".

In het Nederlands wordt de term “Elementair” inderdaad  veelal vervangen door « Algemeen » bvb “Algemene Rekenkunde”, “Algemene Natuurkunde”, “Algemene Chemie”, "Algemene Plantkunde", "Algemene Dierkunde" … waarbij met deze term de materie bedoeld wordt zowel voor het secundair als voor een eerste inleidende cursus voor het bachelor onderwijs. Het is dus wel belangrijk aan te geven tot welk doelpubliek een bepaald boek zich richt.

De meeste auteurs bedoelen echter met de term elementaire wiskunde, de schoolwiskunde, die onderwezen wordt in het primair en secundair onderwijs en hebben het dan over "elementaire rekenkunde", "elementaire algebra", "elementaire meetkunde", "elementaire analyse", "elementaire statistiek" .... : Elementary mathematics encompasses topics from algebra, analysis, arithmetic, calculus, geometry and number theory that are frequently taught at the primary or secondary school level (wikipedia).

Met "Hogere Arithmetiek", "Hogere Algebra"... wordt dan bedoeld de arithmetiek, de algebra bestemd voor het hoger onderwijs (hogescholen en universiteiten).

In tegenstelling met een algemeen verspreide mening is "elementaire wiskunde" niet eenvoudig (wat de keuze van het ikoon van dit cursiefje verklaart!). De Britse wiskundige W. Sawyer stelde in zijn boek "Prelude to Mathematics" (Nederlandse vertaling "Wegwijs in de Wiskunde" -Aula-reeks- 1965) dat in het algemeen gesproken hogere wiskunde eenvoudiger is dan elementaire wiskunde... 



1° Over Elementaire Arithmetiek:

Elementaire Arithmetiek is in de eerste plaats wat ik in voorgaand cursiefje gedefinieerd heb als « Gewone Rekenkunde », maar volgens de Engelse als de Franse Wikipedia-artikels, maakt ook de « Hogere Rekenkunde » deel uit van deze Arithmetiek.

-De Engelse Wikipedia schrijft:

Boeken, die nu over de “Elementaire Arithmetiek” (of dus “Gewone en Hogere Rekenkunde") handelen en die als inleidende cursus voor het hoger Normaalonderwijs (het vroegere regentaat) kunnen dienen, zijn bvb:

- « Algemene Rekenkunde » van Dirk Willem Oort en Gerrit Willem Meier (Prisma Compendia nr 3 (1964). Dit boek geeft een algemeen overzicht en omvat hoofdstukken over het modulo rekenen en zelfs de irrationale of onmeetbare getallen.

- « Leerboek der Elementaire Theoretische Rekenkunde » (Noordhoff Deel 1 "De gehele getallen"-1919-; Deel 2 "De meetbare Getallen" -1921-) van Fred Schuh

- « Het Natuurlijke Getal in zoo streng mogelijke behandeling » (Noordhoff -1928-) van Fred Schuh

- « Het Getalbegrip in het bijzonder het Onmeetbare Getal met toepassingen op de Algebra, de Differentiaal- en de Integraalrekening » (Noordhoff -1927-) van Fred Schuh

Voornoemde eerste drie boeken vormen één geheel en een stevige basis voor het onderwijs in de Gewone en Hogere Rekenkunde. Ze zijn ten zeerste aan te raden. Helaas zijn Schuh's boeken nog moeilijk te verkrijgen.

Speciaal ontwikkeld voor het Rekenkunde-onderricht in het hoger secundair respectievelijk lager secundair onderwijs ( de zogenaamde « Gewone Rekenkunde » waren de rekenkundeboeken van de collecties Schons en De Vaere-Herbiet (zie cursiefje “Over oude schoolboeken en… wiskunde” in blog I). Zij dragen echter de sporen van de niet altijd gelukkige interventies en bemoeienissen van het Belgisch Ministerie van Onderwijs. 

Voor meer details zie het cursiefje “Arithmetiek in de Cadettenschool” in dit blog.

10-01-2010 om 00:00 geschreven door alter  

(Hoofdstuk 2 "Arithmetiek in de Cadettenschool")

§ 2.1 Wat is Arithmetiek?

Precies omschrijven wat men vandaag onder Arithmetiek verstaat, is geen gemakkelijke opgave. Het volstaat de diverse encyclopedieën (inclusief Wikipedia) aangaande dit onderwerp te bekijken om tot dit besluit te komen. Wat onder de term « Arithmetiek » (of "Aritmetica" volgens van Dale) moet begrepen worden hangt –zoals verder aangetoond wordt- immers af van het beschouwde land of taalgebied.
Toch is iedereen het wel over eens dat Arithmetiek iets met getallen te maken heeft en in feite “getalwetenschap” betekent.

Wie het woord Arithmetiek hoort, denkt automatisch op Carl Friedrich Gauss ⁽¹⁾ en zijn op 21-jarige leeftijd geschreven Disquisitiones Arithmeticae. Voor mij een voldoende reden om Gauss als ikoon van dit cursiefje te kiezen.

Arithmetiek is in het kort samengevat de studie van het Getal zoals Meetkunde de studie van de Vorm en Calculus de studie van de Verandering zijn.

Een getal is de aanduiding van een hoeveelheid. Arithmetiek is dus in de eerste plaats de wetenschap van de hoeveelheid en het tellen van hoeveelheden. Volgens Wikipedia was oorspronkelijkhet begrip getal synoniem met aantal, dus voor de getallen een, twee, drie, enz., maar het heeft een ruimere betekenis gekregen, zodat ook gebroken, negatieve en zelfs complexe getallen als getal aangemerkt worden.

In de moderne wiskunde (d.i. wiskunde gebaseerd op de verzamelingenleer) worden de getallen doorgaans ingedeeld in verschillende verzamelingen. De eenvoudigste getallen zijn natuurlijke getallen {0, 1, 2 ...}, voorgesteld door de verzameling N. De natuurlijke getallen zijn een deelverzameling van de gehele getallen Z die, naast de positieve gehele of natuurlijke getallen, ook de negatieve gehele getallen bevat.

Deze verzameling kan uitgebreid worden met de getallen die enkel als breuk te schrijven zijn: deze verzameling van rationale getallen wordt voorgesteld als Q. De verzameling van rationale getallen die een eindige decimale voorstelling hebben, worden decimale fracties of decimale getallen genoemd, soms weergegeven met D.

Er zijn getallen, zoals π, de wortel uit twee en het getal e, die niet in breukvorm te schrijven zijn; zij vormen de irrationale getallen. Rationale en irrationale getallen vormen samen de verzameling van reële getallen, voorgesteld door R.

Tenslotte kan deze verzameling nog uitgebreid worden tot de complexe getallen zodat alle algebraïsche vergelijkingen oplosbaar zijn. Deze laatste verzameling wordt voorgesteld door C.

We krijgen derhalve de volgende ordening tussen de verschillende verzamelingen: N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ⊂ C (⊂ betekent "is een ware deelverzameling van").

Nog andere getalverzamelingen zijn: quaternionen en octonionen

1° Een niet-orthodoxe definitie…

Een getal is een aanduiding van een hoeveelheid en wordt, zoals eenieder weet, voorgesteld door een cijfer of door een cijfercombinatie waarbij op de volgorde moet worden gelet. Het ontstaan van cijfers om een getal voor te stellen is een lang en spannend verhaal dat bvb in het boek van Georges Ifrah ("Histoire universelle des Chiffres" éditions Robert Laffont 2 vol. -1994-) wordt uiteengezet.

Arithmetiek is nu … spelen met cijfers of cijfercombinaties volgens bepaalde regels… Dit spelen met cijfers wordt rekenen of ook nog cijferen genoemd. De regels waarvan sprake mogen, in relatie tot het begrip hoeveelheid, niet leiden tot dubbelzinnige of tegenstrijdige resultaten : zij moeten -wat men noemt- coherent zijn.
  
Wat er in deze definitie opvalt, is het woord “spelen” en inderdaad vele wiskundigen leggen de nadruk op het speelse karakter van de rekenkunde en van de wiskunde in het algemeen.

Voor wat de Arithmetiek betreft was er bvb het boekje “Van Nul tot Oneindig –getaltheorie voor iedereen-” van Constance Reid ⁽²⁾ (Het Spectrum Prisma, -1965-). Het is een vertaling van “From Zero to Infinity –what makes Numbers interesting- ”, boekje dat voor het eerst verscheen in 1955 en waarvan nog een vijfde aangevulde editie verscheen in 2006!!! Deze laatste editie werd aangevuld met een beschrijving van de bewijsvoering van het Laatste Theorema van Fermat. Het boek omvat tien hoofdstukken, die achtereenvolgens getiteld zijn:0, 1, 2, 3, tot en met 9, en tot slot een hoofdstuk met geheimzinnige titel *** . Niemand die dit boekje van amper 145 pagina’s gelezen heeft, zal ooit nog getallen als vanzelfsprekend beschouwen.

Ik zou zeggen verplichte lectuur voor mensen, die eens willen weten welke interessante wetenswaardigheden er in de school- en leerboeken - vaak tussen ingewikkelde details- weggemoffeld zijn.

Een ander interessant boekje eveneens verschenen in bij Het Spectrum was “Spelen met cijfers” van W. J. Reichmann (Prisma, -1959-). Het betreft een vertaling van “The fascination of numbers” (1957), dat ook als e-book ⁽³⁾ ter lezing staat. Onlangs (2010) verscheen nog een herdruk van de oorspronkelijke Nederlandse uitgave bij de herdrukreeks “vantoen.nu”.

In de eerste twaalf hoofdstukken worden volgende onderwerpen behandeld: het maken van getallen; reeksen –vormgetallen en kwadraten; reeksen – derde machten en andere getallen; de som der cijfers; priemgetallen en ontbinding in factoren; kenmerken van deelbaarheid; andere methoden van vermenigvuldiging; logaritmen en goniometrische verhoudingen; volmaakte getallen en enkele bijzonderheden; repeterende breuken, congruente getallen, irrationale en imaginaire getallen.

Het “spelen” in de stricte zin van het woord is niet vergeten zoals uit de vier laatste hoofdstukjes blijkt: pseudo-telepathie; drogredenen; tovervierkanten en tenslotte getallenmystiek. Enkele aanhangsels (de driehoek van Pascal en het binomiaal theorema; driehoeksgetallen en combinaties; de vier vieren; noem de dag en reeksen en de gewichtendoos) en een register sluiten het boek af.

Een merkwaardig boek was “Spelen met getallen” (Thieme, -1951-) van de Nederlandse wiskundige Fred Schuh ⁽⁴⁾. Het boek droeg als ondertitel “een fascinerend boek voor jong en oud” en in mijn jeugdjaren was ik werkelijk begeesterd door dit werk.

Als ik dit boek nu ter hand neem en ik de getekende illustraties bekijk, word ik effenaf grijs van weemoed. Het was dit boek dat mij deed inzien hoe ik het aan boord moest leggen om bvb steeds aan de winnende hand te zijn bij het luciferspel.

Na WOII en in het begin van de vijftiger jaren was dit spel zeer populair en mijn kameraden konden maar niet begrijpen, waarom ik altijd won. Natuurlijk, heb ik hen mijn geheimpje niet verteld, want dan zou het niet meer plezant geweest zijn.. 

« Spelen met Getallen » omvat 9 hoofdstukken: Talstelsels; Grote getallen; Toverkaarten; Problemen verwant met toverkaarten; Algemene beschouwingen over spelen; Het nimspel; Het verplaatsen van cijfers van een getal; Tovervierkanten en Pythagoras en de Pythagoreërs. Later was dit boek mij zelfs van nut om bvb de diverse talstelsels, de theorie der repeterende breuken enz. beter te doorgronden. Echt een aanrader dus, maar een zeldzaam boek, alleen nog te verkrijgen in gespecialiseerde boekhandels.

In feite was “Spelen met Getallen” een “soft” versie van “Wonderlijke Problemen –leerzaam tijdverdrijf door puzzel en spel-“ waarvan een tweede druk verscheen in 1949. Dit laatste boek is echter van een veel hoger niveau en gaat o.a. ook over kansrekening.
Misschien nog even signaleren dat dit laatste boek ook in het Engels vertaald werd onder de titel “The Masterbook of Mathematical Recreations” bij Dover Books en nog steeds te verkrijgen is.  

Een zeer interessante en inleidende monografie is " Les Nombres et leurs Mystères " van André Warusfel (Seuil -1961-). De auteur was gedurende jaren leraar aan de lycea "Henri IV" en "Louis-le-Grand" alvorens benoemd te worden als Inspecteur Generaal "Wiskunde". Deze pocket handelt o.m. over onderwerpen als het gulden getal, de Platonische lichamen, de berekening van het getal p en het getal i.. Aan te raden!!


2° De orthodoxe definities...een hopeloze warboel

De orthodoxe definities vindt men in encyclopedieën als bvb de Standaard Encyclopedie (1971) of La Grande Encyclopédie Larousse (1972):

... De Rekenkunde is het deel van de wiskunde dat zich bezighoudt met het onderzoek van de natuurlijke getallen, ook positieve gehele getallen genoemd, dit wil zeggen: van de rij 1, 2, 3, 4, ... De rekenkunde omvat tegenwoordig een elementair gedeelte en een theoretisch gedeelte dat men getaltheorie noemt...

... L'Arithmétique est l'étude de l'ensemble N des nombres entiers naturels, de l'ensemble Z des nombres entiers relatifs, ainsi que du corps Q des nombres entiers rationnels. Dans ses parties les plus relevées, elle porte le nom de Théorie des Nombres. Tout au cours de son développement historique, ses frontières avec l'algèbre et l'analyse ont été mouvantes et souvent imprécises. Elle se divise assez naturellement en arithmétique pratique et arithmétique théorique...
 
Vindt u deze definities eensluidend? Ik niet...  

- Arithmetiek behoort -hoe men er ook over denkt- zoals de getaltheorie tot de getalwetenschap, meer nog het is het historisch begin van de getaltheorie. Jean Itard ⁽⁵⁾ schreef inderdaad in 1963 :

"Nous appelons Arithmétique l' étude élémentaire des propriétés des nombres premiers et des nombres rationnels, établies avant le 18e siècle et Théorie des Nombres les développements nés des recherches précédentes à partir de ce 18e siècle. Mais il n'y a pas de frontière bien précise entre ces deux domaines, et si Legendre publie en 1797-1798 un Essai sur la théorie des nombres, l'ouvrage fondamental de Gauss s'appelle en 1801 Disquisitiones arithmeticae"

Er is echter discussie over waar precies de scheidingslijn tussen Arithmetiek en Getaltheorie ligt of zou moeten liggen. In wezen is natuurlijk een dergelijke scheiding louter conventioneel en niet essentieel. Ze is echter wel nuttig op didactisch vlak. 

Het is deze "Arithmétique", die de basis vormde en nog altijd vormt van het wiskunde-onderricht in het primair en secundair onderwijs. Zij omvatte de studie van de eigenschappen van de gehele en gebroken getallen en i.h.b. de priemgetallen.

Uit deze "Arithmétique" heeft zich sedert 1800, mede door de algebra, de calculus ("analyse") en de geometrie, de algebraïsche getaltheorie, de analytische getaltheorie en de geometrische getaltheorie ontwikkeld.

Het merkwaardige is nu dat vele professionele wiskundigen zich niet aan deze simpele afspraak houden en het ook blijven hebben over Arithmetiek, terwijl zij het in werkelijkheid hebben over de Getaltheorie. Getaltheorie wordt dan soms aangegeven als "hogere" Arithmetiek.
Zo heeft het bekende boek van Harold Davenport als titel "The higher Arithmetic : an introduction to Number Theory".

Zoals in het volgend cursiefje " Wat is Arithmetiek? (2) " uiteengezet, heeft de notie "hoger" hier al even weinig betekenis als het begrip "elementair". 

Ook de definities van Arithmetiek in Wikipedia lijken mij erg verward: 

- Wat moet een leek denken van een definitie van Arithmetiek zoals voorgesteld door de Franse Wikipedia ⁽⁶⁾ :

L'Arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle plus généralement la «science des nombres». Son étymologie provient du mot grec «αριθμός» qui signifie «nombre».
Autrefois, l'arithmétique se limitait à l'étude des propriétés des entiers naturels, des entiers relatifs, et des nombres rationnels (sous forme de fractions), et aux propriétés des opérations sur ces nombres. Les opérations arithmétiques traditionnelles sont l'addition, la division, la multiplication, et la soustraction. Cette discipline fut ensuite élargie par l'inclusion de l'étude d'autres nombres comme les réels (sous forme de développement décimal illimité), ou même de concepts plus avancés, comme l'exponentiation ou la racine carrée.

Het artikel in de Franse Wikipedia stipt nu volgende gebieden als effectief behorende tot de « Arithmetiek » aan: L’Arithmétique élémentaire , l’ Arithmétique modulaire , la Théorie algébrique des nombres , l’ Arithmétique des polynômes.

We zijn nu wel heel ver verwijderd van de omschrijving van Jean Itard, die voorstelde de term Arithmetiek voor te behouden voor de theorieën van het getal tot 1800.

- Goed dan maar even kijken naar wat men in het land van de grote Carl Friedrich Gauss onder Arithmetik verstaat? Wikipedia (Deutsch) geeft de volgende omschrijving ⁽⁷⁾ :

Die Arithmetik (griechisch αριθμητική [τέχνη], arithmitikí [téchni], wörtlich „die Zahlenmäßige [Kunst]“, arithm- von αριθμός, „die Zahl“ und -etik von der adjektivischen Endung -ητική) ist ein Teilgebiet der Mathematik. Die Arithmetik wurde von den Pythagoreern begründet und in Buch VII-IX von Euklids Elementen erstmals gesammelt. Sie umfasst vor allem das Rechnen mit den Zahlen, also die Grundrechenarten Addition (Zusammenzählen), Subtraktion (Abziehen), Multiplikation (Vervielfachen), Division (Teilen) sowie die zugehörigen Rechengesetze.

Zur Arithmetik gehören auch die Gesetze der Teilbarkeit der ganzen Zahlen sowie die Division mit Rest. Weiter zu erwähnen ist das Rechnen mit Brüchen. Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede natürliche Zahl größer als 1 ist ein (bis auf die Reihenfolge) eindeutiges Produkt von Primzahlen. Die Arithmetik leitet zur Zahlentheorie über, die sich im weitesten Sinn mit der Charakteristik der Zahlen beschäftigt.

Carl Friedrich Gauß wird gerne zitiert mit der Aussage: „Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik.“ – Diese Wortschöpfung lässt die Liebe zur Zahlentheorie bei C. F. Gauß erkennen und zeigt, wie sehr Mathematiker sich dieser Teildisziplin verschreiben können.

Wie Gauß selber in der Vorrede seiner berühmten "Untersuchungen über höhere Arithmetik" (siehe Literatur) bemerkt, gehören die Theorie der Kreisteilung oder der regulären Polygone, welche im siebenten Abschnitt behandelt wird, zwar an und für sich nicht in die Arithmetik; doch müssen ihre Prinzipien einzig und allein aus der höheren Arithmetik geschöpft werden.

Da sich die heutige Zahlentheorie weit darüber hinaus entwickelt hat, wird lediglich die elementare Zahlentheorie auch als arithmetische Zahlentheorie (=höhere Arithmetik nach Gauß) bezeichnet. Die Bezeichnung "Arithmetik" (elementare Arithmetik nach Gauß) im eigentlichen Sinne ist zur Hauptsache dem Rechnen vorbehalten.

In Duitsland omsluit Arithmetiek ook de hogere Arithmetiek volgens Gauss, terwijl deze laatste in andere landen wel degelijk tot de Getaltheorie gerekend wordt. Een uiting van nationaal chauvinisme? Misschien wel, maar begrijpelijk indien je een Gauss onder je landgenoten mag tellen.

- En hoe denkt men in de U.S.A. en het U.K. over de term « Arithmetiek »? Steeds Volgens Wikipedia (engl.) ⁽⁸⁾ :

Arithmetic or arithmetics (from the Greek word ἀριθμός = number) is the oldest and most elementary branch of mathematics, used by almost everyone, for tasks ranging from simple day-to-day counting to advanced science and business calculations. It involves the study of quantity, especially as the result of combining numbers. In common usage, it refers to the simpler properties when using the traditional operations of addition, subtraction, multiplication and division with smaller values of numbers.

Professional mathematicians sometimes use the term (higher) arithmetic when referring to more advanced results related to number theory, but this should not be confused with elementary arithmetic.

In de Verenigde Staten en in het Verenigd Koninkrijk wordt benadrukt dat de term “arithmetiek” voorbehouden moet blijven aan wat men in deze landen elementaire Arithmetiek noemt d.i. de Arithmetiek volgens Jean Itard.

Wat de rol van de Rekenkunde in het primair en secundair onderwijs betreft, schrijft nu Wikipedia onder de hoofding «Arithmetic in education»:

Primary education in mathematics often places a strong focus on algorithms for the arithmetic of natural numbers, integers, rational numbers (vulgar fractions), and real numbers (using the decimal place-value system). This study is sometimes known as algorism.

The difficulty and unmotivated appearance of these algorithms has long led educators to question this curriculum, advocating the early teaching of more central and intuitive mathematical ideas. One notable movement in this direction was the New Math of the 1960s and 1970s, which attempted to teach arithmetic in the spirit of axiomatic development from set theory, an echo of the prevailing trend in higher mathematics.

- En wat verstaat men tenslotte in het land van Simon Stevin onder aritmetica? Volgens Wikipedia ⁽⁹⁾ :

Met rekenen, aritmetica, cijferkunst of rekenkunde worden een aantal bewerkingen, ook wel operaties genoemd, aangeduid die op getallen worden uitgevoerd. Deze bewerkingen zijn: optellen - aftrekken - vermenigvuldigen - delen - machtsverheffen - worteltrekken. De volgorde waarin bewerkingen worden uitgevoerd, kan met haakjes worden aangegeven. Bewerkingen tussen haakjes worden eerst uitgevoerd. Wanneer er meerdere operaties achtereenvolgens worden uitgevoerd, dan is de internationale regel: eerst machtsverheffen en worteltrekken, dan vermenigvuldigen en delen, ten slotte optellen en aftrekken. Inverse bewerkingen worden hierbij als onderling gelijkwaardig beschouwd.

Op de basisschool werd vroeger de regel Meneer Van Dale Wacht Op Antwoord (Machtsverheffen, Vermenigvuldigen, Delen, Worteltrekken, Optellen en Aftrekken) geleerd (of Mijn Vader Draait Worsten Op Aarde), tegenwoordig wordt echter meestal de internationale regel gebruikt. Een nieuw ezelsbruggetje is: Het Mooie Witte Veulentje Draaft Op en Af (Haakjes, Machtsverheffen, Worteltrekken, Vermenigvuldigen, Delen, Optellen en Aftrekken). Of: Hoe Moeten Wij Van De Onvoldoendes Afkomen, of Heel Mooi Weer VanDaag Op Ameland

De bovengenoemde rekenoperaties worden in de ontwikkelde landen op de basisschool geleerd. Vaak worden rekenmachines gebruikt voor het uitvoeren van berekeningen.

Historisch gezien stond inderdaad het rekenen aan de basis van de wiskunde. In Nederland lijkt het er wel op dat men alleen het praktisch rekenen d.i. het executieve gedeelte (het eigenlijke rekenen) beschouwt als Arithmetiek.

Arithmetiek omvat echter ook een theoretisch gedeelte, dat de eigenschappen van bovengenoemde operaties op de natuurlijke en op de rationale getallen bestudeert en waarvan de bedoeling is aan te tonen dat de uitvoeringsregels van de operaties wel degelijk gegrondvest zijn.Ten overstaan van de gegeven definitie van Arithmitiek is de Nederlandse benadering dan weer wat té restrictief.

09-01-2010 om 00:00 geschreven door alter  

(Hoofdstuk 1 "L'Esprit de Géométrie")

§ 1.2 Over Hollandse uitgevers

In Nederland bestonden er in de vijftiger jaren enkele goedkope en dus voor Vlamingen erg belangrijke boekenreeksen waaronder deze uitgegeven door de Uitgeverij Het Spectrum. Voornoemde uitgeverij presteerde het om ook enkele wetenschappelijke boeken op de markt te brengen. Deze voor het Nederlandstalig taalgebied erg belangrijke uitgeverij was erg populair, ook in Vlaanderen, is ondertussen opgeslorpt en verdwenen.

Een twintigtal jaren geleden ontstond er dan de uitgeverij Epsilon, die nu zo wat de enige belangrijke uitgeverij van wetenschappelijke boekenreeksen (wis- en natuurkunde) in Nederland is geworden.

Nederlands is natuurlijk op het gebied van wetenschappelijke publicatie een minder belangrijke taal dan het Frans of Engels. Vele Nederlandstalige wetenschappers publiceren dan ook bij voorkeur in het Engels of in het Frans. Er zijn echter uitzonderingen. Er zijn voorbeelden van boeken, die eerst in het Nederlands werden gepubliceerd en achteraf, wegens hun belangrijkheid, in een andere taal Engels of (en) Frans vertaald werden. Voorbeelden hiervan zijn het “Leerboek der natuurkunde” van Ralph Kronig, “Physische Scheikunde (2 volumes)” van Arend Rutgers en “Ontwikkelingsgeschiedenis van de Biologie (3 volumes)” van Hendrik C. D. de Wit.

1° De collecties van de Uitgeverij Het Spectrum:

De Uitgeverij Het Spectrum ⁽¹⁾ was lange tijd een der belangrijkste uitgeversmaatschappijen in Nederland. Ze werd opgericht door de boekhandelaars P.H. Bogaard en A.H. Bloemsma en gevestigd in een kamer (!) boven een banketbakkerij in de Biltstraat in Utrecht en groeide uit tot een van de grootste van Nederland.

In de beginjaren was Het Spectrum een progressief-katholieke uitgeverij die ernaar streefde een breed publiek van goede lectuur te voorzien. Daarom werden veel boeken uitgebracht in het goedkope pocketformaat. Deze formule kreeg na de oorlog de naam Prisma Pockets. Deze serie werd na de introductie in de jaren '50 al snel een begrip: vrijwel alle denkbare onderwerpen kwamen aan bod en ook de klassiekers uit de wereldliteratuur en dit voor amper 1,25 gulden (ongeveer 22 BF) per stuk.
Het aanbod van de klassiekers liep uiteen van Dostojewski en andere grote Russen, tot de complete Dickens. 

In oktober 1951 verschenen de eerste Prisma-pockets ⁽²⁾ . Op 22 februari 1952 kwam het eerste deel uit van de 34-delige Dickens-serie die eind 1953 kompleet was. Al onmiddellijk was deze serie een groot succes. Bij de herdruk van de Pickwick- club bereikte men al vlug een oplage van 50.000 exemplaren. Eind 1952 behaalde de Dickens-reeks een kwart miljoen exemplaren. De deeltjes waren eerst ongenummerd; in latere herdrukken werd de nummering soms wel aangegeven.

Bij mij thuis was mijn vader nu geabonneerd op de Dickens-reeks en daar ik een verwoed lezer was, wachtte ik telkens met spanning de postbode af, opende zelfgereid de coli en las ik als eerste deze boeken. Zo herinner ik mij nog in 1953 “Fantastische Vertellingen” van Edgar Allan Poe gelezen te hebben, een vertaling van “Tales of Mystery and Imagination”.

Mijn lectuur gebeurde echter wel in bijzondere omstandigheden: het was een stormachtige, donkere avond en ik was moederziel alleen thuis. Bij het verhaal van “De Val van het huis Usher” was ik gekomen op het zinnetje dat .. Hij (het spook) VOOR DE DEUR STOND… Plots werd ik overmand door een panische angst en ik vergrendelde alle deuren, inclusief de voordeur. Bij hun thuiskomst hebben mijn ouders wel vijf minuten op de deur moeten bonzen om mij wakker te krijgen, want ik was, na al die emoties, in een zetel in een diepe slaap gevallen…

Ook mijn beste kameraad Guido was door Edgar Poe bekoord en we hebben het herhaalde malen gehad over deze fascinerende auteur, die ook enkele wetenschappelijke kanjes bezat.. Ik ben er zeker van dat het zien van het ikoon van dit cursiefje bij hem enkele mooie herinneringen zal oproepen….

Maar terug naar de Uitgeverij Het Spectrum. Eind de jaren vijftig werden er ook talloze non-fictionboeken en instructieboeken uitgegeven (Tekenen en schilderen als liefhebberij, het Prisma fotoboek, de Prisma schaakboeken) en veel naslagwerken en gidsen over wetenschappelijke onderwerpen. De Prisma woordenboeken pasten in deze lijn. Op vele middelbare scholen zijn deze woordenboeken nog steeds verplicht.

De nummering van de Prisma's loopt per 2009 tot ongeveer 2800. Sinds enkele jaren publiceert Het Spectrum onder het imprint Prisma uitsluitend nog woordenboeken en taalboeken. In 1955 kwamen acht Prisma Woordenboeken uit die 25 jaar later nog steeds in de schooltassen te vinden waren.

In 1957 verschenen de Aula's, wetenschappelijke pocketboeken, de evenknie van de Engelse Pelicans. Er volgden nog meer succesvolle reeksen, zoals de Prisma-Detectives, de Karl May reeks (vijftig delen!), in 1963 waren er de Marka's, in 1964 de Prisma Compendia, in 1967 de Prisma Technica's. De meeste waren bestemd voor adolescenten en vooral geschikt voor het secundair onderwijs. Maar voor mij kwamen de Prisma Compendia in feite te laat.

Boeken met wetenschappelijke inslag, vindt men nu zowel in de Prisma-pockets als in de Prisma technica- en in de Aula- collectie. Vele zijn vertalingen van min of meer bekende Engelse monografieën, andere zijn dan weer het werk van Nederlandse auteurs. Zo dekt de Prisma Compendia- reeks praktisch het volledig wiskundeonderwijs in de humaniora, inclusief de differentiaal- en integraalrekening; voor het technisch onderwijs zijn vooral de Prisma Technica erg interessant.

Het Spectrum heeft sinds 2000 onder meer 'printing on demand' ontwikkeld voor oude titels (backlist). Via dit systeem is het mogelijk om een herdruk van een oude titel te bestellen ⁽³⁾ . De uitgeverij blijft ook naslagwerken uitgeven.

- monografieën i.b.t. wiskunde:

- « Grondslagen van de Wiskunde » (M. Combès Aula -1973-)

- « Moderne wiskunde spelenderwijs » (E. Dick en B. Wilhelm Prisma -1976-)

- « De wiskunde van morgen » (S. Ogilvy Aula -1965-)

- « Wiskunde voor je plezier » (O. Jacobi en W. Benson Prisma -1967-)

- « Spelen met cijfers » (W. Reichmann Prisma -1959-)

- « Van Nul tot Oneindig–getaltheorie voor iedereen- » (Constance Reid Prisma -1965-)

- « Wiskunde spelenderwijs » (Rosza Peter Prisma -1966-)

- « Wegwijs in de Wiskunde » (W. Sawyer Aula -1965-)

- « Wiskunde zonder omslag » (W. Sawyer Prisma -1965-)

- « Het tekenen van de ruimte –toepassingen van de perspectief » (Tjomme de Vries Prisma -1966-)

- « Wegwijzer in de Elementaire Meetkunde » (L. Merkies en K. Sanders Prisma -1968-)

- « Logica voor iedereen » (R. Thouless Prisma -1963-)

- « Wiskunde, basis van het exacte denken » (A.H. Whitehead Aula -1965-)

- « Wiskunde,inleiding tot de axiomastelsels » (G. Witter Aula -1967-)

- « Algemene Rekenkunde » ( D.W. Oort en G.H. Meyer Prismacompendium nr 3 -1964-)

- « Algebra » (D.W. Oort en G.W. Meyer Prismacompendium nr 49 -1967-)

- « Planimetrie » (J. van den Hoeven Prismacompendium nr 10 -1964)

- « Stereometrie » (W.G J. van Ruth Prismacompendium nr 14 -1965-)

- « Goniometrie en Trigonometrie » ( C van der Linden Prismacompendium nr 5 -1965-)

- « Analytische Meetkunde » (C van der Linden Prismacompendium nr 7 -1966-)

- « Matrixalgebra » (W. G. Bickley en R. S. H. Thompson Prismacompendium nr 72 -1970-)

- « Differentiaal- en integraalrekening » (Th. Liket Prismacompendium nr 16 -1968-)

- « Schakelalgebra(Boolean Algebra and its applications) » (H.G. Flegg Prisma Technica? -1969-)

- « Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek » (Irving Adler Aula -1969-) 

- « Verklarende Statistiek » (M.L. Wyvekate Aula, -1971-)

- « Computerwiskunde » (J. J. Seidel Aula, -1970-)

- « Vademecum van de Wiskunde » (O. Teller Prisma -1970-)

- « Vademecum van de Wiskunde: stellingen, symbolen, figuren » (O. Teller Prisma -1965-)

- monografieën i.b.t. natuur en scheikunde:

- « Fysica voor iedereen–deel I- » (W. Braunbeck Prisma -1959-)

- « Fysica voor iedereen-deel II- » (W. Braunbeck Prisma -1959-)

- « De uiterste mogelijkheden van de Natuurwetenschap » (Pyke Magnus Prisma -1966)

- « Fysisch Experimenteren » (G. L. Squires Aula,-1971-)

- « Methoden van Onderzoek » (M.L. Wyvekate -1971-)

- « Vademecum der Natuurkunde » (A. Hammer Prisma -1973-)

- « Technische Mechanica » (S. Timoshenko en D. Young Prisma Technica -1967-)

- « Electriciteit en Magnetisme » (A. Kip Prisma Technica -1970-)

- « Vectoranalyse » (W.D. Day Prisma Technica -1973-)

- « Speciale Relativiteitstheorie » (A. French Prisma Technica -1971-)

- « Structuur en Evolutie van het Heelal » (G. Whitrow Aula -1961-)

- « Algemene Scheikunde » (J. F. Roest Aula -1968-)

- « De Ontdekking der Chemische Elementen » (Helen Miles Davis Prisma -1965-)

- « Moderne Organische Chemie » (F.W. Gibbs Aula -1963-)

- « Chemische nomenclatuur » (R. Cahn Prisma -1970-)

- « Polymeerchemie » (G. Challa Prisma Technica -1971-)

- monografieën i.t.m biologie:

- « Algemene Botanie » (G. Nutsch Aula -1968-)

- « De Groene Aarde » (T. Alberda Aula -1973-)

- « Medisch Lexicon » (Ullstein Prisma -1965-)

- monografieën i.b.t. techniek en technologie:

- « Prisma Technisch Woordenboek–deel I- » (H. Damerau Prisma -1961-)

- « Prisma Technisch Woordenboek–deel II- » (H. Damerau Prisma -1961-)

- « Grondslagen van de Electronica–deel I- » (J. Davidse Prisma Technica –1970-)

- « Grondslagen van de Electronica–deel II- » (J. Davidse Prisma Technica -1973-)

- « Grondslagen van de Electronica–deel III- » (J. Davidse Prisma Technica -1970-)

- « Grondslagen van de Electronica–deel IV- » (J. Davidse Prisma Technica -1970-)

- « Transistors – Halfgeleidermaterialen » (R. Adler Prisma Technica -1968-)

- « Transistors – Vervangingschema’s- » (P. Gray et al. Prisma Technica -1970-)

- « Transistors – Fundamentele Schakelingen » (R. Thornton et al. Prisma Technica -1968-)

- « Transistors – Versterkers » (R. Thornton et al. Prisma Technica -1969-)

- « Transistors – Circuiteigenschappen » (C. Searle et al. Prisma Technica -1970-)

- « Geïntegreerde Schakelingen » (R. Warner en J. Fordemwalt Prisma Technica -1968-)

- « Radiotechniekdelen I en II » (E. Zepler en S. Punnett Prisma Technica -1969-)

- « Radiotechniek voor Beginners » C.L. Boltz Prisma -1973-)

- « Lasers » (K. Tradowsky Prisma Technica -1972-)

- « De transistor en zijn toepassingen » (W. van Bussel Prisma -1972-)

- « Hifi en stereo–alles over grammofoonplaat en geluidsweergave- » (W. van Bussel Prisma Prisma -1972-)

- « Prisma bandrecorderboek » (W. van Bussel -1971-)

- « Radio- en Televisietechniek » (W. van Bussel Prisma -1972-)

Deze boeken (een lange waslijst!) hebben mij gedurende mijn ganse wetenschappelijke loopbaan steeds vergezeld, al was het maar om eens een ander geluid te horen dan wat in de diverse hand- en leerboeken of naslagwerken werd verteld. Zij maken nog steeds deel uit van mijn bibliotheek.
 

2° De collecties van de Uitgeverij Epsilon:

Een andere interessante meer recente uitgever op het vlak van de exacte wetenschappen is de Uitgeverij Epsilon ⁽⁴⁾ . Ferdinand Verhulst beschrijft op uiterst boeiende wijze hoe hij op het idee kwam een dergelijk uitgeversmaatschappij op te richten ⁽⁵⁾ . Sinds 1985 geeft Epsilon Uitgaven een serie wetenschappelijke boeken (hoofdreeks) uit op het gebied van de wiskunde en verwante gebieden. Vanaf 1999 verschenen ook delen van de Zebra-reeks, een serie bedoeld voor leerlingen op het VWO en algemeen belangstellenden. Vanaf 2009 was er ook de Spijkerreeks, bedoeld voor het bijspijkeren van basiskennis wiskunde. Alleen al het bestaan van deze laatste collectie toont aan dat er met het wiskundeonderwijs in Nederland gedurende de laatste decennia heel wat is misgelopen. Ook in andere Europese landen is dit, in min of meer grote mate, het geval. Als oorzaken hiervan zijn te noemen: het Spoetnikeffect en de overhaaste New Math introductie, het voortdurend sleutelen en wijzigen van leerprogramma’s, het introduceren van nieuwe rekenrecepten (bvb de hapmethode in de plaats van de klassieke staartdelingmethode), het onoordeelkundig gebruik van rekenmachine en computer…

2.1 de Spijker- collectie:

De auteur van de Spijkerreeks, Henk Pfaltzgraff, is een leeftijdgenoot van mij want geboren in 1939. Hij was jarenlang als wiskundeleraar verbonden aan het Zaanlands Lyceum. Nu geeft hij wiskunde bij het VAVO aan jongeren die zijn vastgelopen in het reguliere onderwijs. Zijn “Spijkerboekjes” geven de mogelijkheid om enkele wiskundige basistechnieken in zo kort mogelijke tijd aan te leren. Wiskunde leer je in de eerste plaats door te doen. Daarom volgt na elke stukje uitleg een groot aantal oefeningen. Voor elk spijkerboekje staat -volgens de auteur- een studietijd van ongeveer 10 à 20 uren zelfstandig oefenen.

De zeven Spijkers behandelen de onderwerpen van deze basiswiskunde in een doorlopende leerlijn, maar de deeltjes zijn ook afzonderlijk te gebruiken. Ieder deeltje omvat een basis, waar het meest essentiële wordt behandeld, en verder een verdieping, waar wat dieper op de theorie of op enkele toepassingen wordt ingegaan. Voor een optimaal gebruik van deze Spijkerboekjes is wel een grafische rekenmachine vereist.

- Het eerste Spijkerboekje draagt als titel « Rekenen » en als basis worden algemene gegevens verstrekt over gehele getallen, breuken, machten (gebroken exponenten en wortels), decimalen (wetenschappelijke notatie) en procenten. De verdieping gaat over meetkundige (berekening van omtrek, oppervlakte en inhoud) en statistische ( gemiddelde, standaardafwijking, mediaan, permutaties en combinaties) toepassingen.

- In het tweede Spijkerboekje « Algebra » wordt als basis het letterrekenen (machtsverheffen, machtsregels, product van tweetermen, merkwaardige producten, uitwerken van (a + b)ⁿ , ontbinden in factoren) en de eerste- en tweedegraadsvergelijking behandeld. De verdieping gaat over wortelvergelijkingen, gebroken vergelijkingen, vergelijkingen met meer onbekenden (schoorsteenmethode, substitutiemethode), ongelijkheden, logaritmen, exponentiële vergelijkingen, rekenkundige en meetkundige rijen, goniometrie van de rechthoekige en scherphoekige driehoek (definitie van cosinus, sinus,…, cosinusregel en sinusregel).

- In het derde Spijkerboekje « Functies » wordt als basis het begrip functie met behulp van de leer der getalverzamelingen gedefinieerd en het in beeld brengen van een functie (grafische voorstelling of grafiek) besproken. Vervolgens wordt nader ingegaan op de eerstegraadsfunctie (inverse functie, expliciete en impliciete voorstelling, oplossingsgebieden, modulus functies, eerstegraadsfuncties met twee variabelen) en tweedegraadsfuncties (functies van de vorm ±(x + a)² + b, functies van de vorm (x + a)(x + b), functies van de vorm ax² + bx + c, raak- en snijlijnen aan parabolen, snijdende parabolen) behandeld. Enkele noties betreffende de functies van hogere graad en de transformaties (verschuivingen, spiegelingen en vermenigvuldigen van grafieken) sluiten het basishoofdstuk af. Het boekje gaat ten slotte dieper in op gebroken, wortel-, exponentiële, logaritmische en goniometrische functies.

- De titel van de vierde Spijker is « Differentiëren ». Het boekje begint met de differentiaalrekening (limiet, afgeleide functie, differentiëren, productregel, quotiëntregel, kettingregel, afgeleide van sin cos en tan, ) en de toepassing ervan op grafieken (veeltermfuncties, stelsels van functies, wortel functies, breuk functies, goniometrische functies). Het luik “verdieping” omvat bijzondere functies ( het getal e, de natuurlijke logaritme, de afgeleide van een inverse functie, definitie en afgeleide) en toepassing van de differentiaalrekening op optimaliseringsproblemen.

- Het vijfde deel in de Spijkerreeks « Integreren » sluit de verticaal opgebouwde rij van de eerste vijf Spijkerboekjes af. De volgende Spijkerboekjes “Kansrekening en Statistiek” en “Voortgezette Goniometrie en Vectorrekening” staan enigszins terzijde van dit verticaal bouwwerk, dat men ook nog “Analyse” noemt. Het boekje start met de integraalrekening (wat is integreren?, primitiveren, oppervlakte onder een grafiek, de integraal en de eigenschappen van de integraal). Volgt dan een overzicht van de integratietechnieken (de omgekeerde kettingregel, de substitutieregel, partiële integratie) en enkele toepassingen van de integraalrekening (omwentelingslichamen, booglengte, omwentelingsoppervlak, inhoud van een pyramide, mechanische arbeid, verwachtingswaarde). De “verdieping” van deze Spijker omvat speciale integratietechnieken (goniometrische technieken, breuksplitsing, oneigenlijke integralen), differentiaalvergelijkingen (impliciet differentiëren, wat is een differentiaalvergelijking, het oplossen van differentiaalvergelijkingen, het schetsen van oplossingskrommen) en enkele toepassingen van differentiaalvergelijkingen (exponentiële groei, begrensde groei, logistische groei, verdamping).

- « Statistiek », de titel van het zesde Spijkerboekje, speelt een rol bij vele studierichtingen. De auteur benadrukt dat dit boekje alleen maar een basis legt waarmee de student verder kan. Het boekje begint met rekenkundige technieken. Verder komen beschrijvende en verklarende statistiek aan bod en wordt de basis van kansrekening behandeld. Bij het doorwerken van deze Spijker is een grafische rekenmachine onmisbaar.

- De zevende Spijker «Goniometrie en Vectoren » is de laatste in de reeks en is vooral nuttig voor toekomstige bèta-wetenschappers, bijvoorbeeld als voorbereiding op een technische of natuurwetenschappelijke studie. Dit boekje legt eerst de basis van de trigonometrie en goniometrie (in feite een herhaling uit de Spijkers 2 en 3). Daarna volgt analytische verdieping van de goniometrie (differentiëren van goniometrische functies, karakteristieken van de grafieken), de somformules (samenstelling van trillingen) en de bewegingsvergelijkingen. Het laatste deel beperkt zich tot een deel van de vectorrekening of –calculus in casu de vectoralgebra (som, in- en uitproduct van vectoren).

Boeken, die zich in dezelfde categorie van de Spijkerboekjes inschrijven zijn:

* « Basisboek Rekenen » (Jan van de Craats en Rob Bosch Pearson -2009-)

* «Basisboek Wiskunde» (Jan van de Craats en Rob Bosch Pearson 2^de editie -2009-)

* «Vervolgboek Wiskunde» (Jan van de Craats Pearson -2010-)

Onvolledige internetversies van voornoemde boeken kan men inkijken op:

http://members.home.nl/nlajast/school/BRhomepage.pdf

http://staff.science.uva.nl/~craats/BasisboekWiskunde2HP.pdf

http://staff.science.uva.nl/~craats/VervolgboekWiskundeHP.pdf

« Basisboek wiskunde » legt de basis voor de wiskunde die op universiteiten en hogescholen gebruikt wordt bij studierichtingen in techniek, informatica, bètavakken, economie, bedrijfskunde, medische vakken en aanverwante disciplines. Basisboek wiskunde is essentieel een oefenboek. Elk hoofdstuk bestaat voor meer dan de helft uit opgaven. De bijbehorende theorie wordt kort en duidelijk uitgelegd. Achterin staan de antwoorden van alle opgaven zodat Basisboek wiskunde ook heel goed voor zelfstudie kan worden gebruikt. Centraal staat dus het aanleren van die wiskundige vaardigheden die studenten in deze disciplines moeten beheersen: rekenvaardigheid, formulevaardigheid, werken met functies en grafieken en vaardigheid in differentiëren en integreren

Over dit boek schreef de recensent Dr D.G. van der Steen:

….Dit boek is bedoeld als brug tussen het middelbaar en het hoger onderwijs: het behandelt die wiskundestof die nodig is voor het volgen van een voortgezette studie op exact of economisch gebied. In die opzet is het voortreffelijk geslaagd. Korte, heldere hoofdstukjes, van het rekenen met gehele getallen tot en met differentiaal- en integraalrekening. Heel veel oefenmateriaal, met antwoorden. Pure training van die vaardigheden die sinds de invoering van de basisvorming en de tweede fase te zeer in het vergeetboek zijn geraakt. Geschikt voor bij de les, maar ook uitstekend bruikbaar voor zelfstudie. In deze tweede editie zijn veel wijzigingen doorgevoerd. Diverse hoofdstukken zijn uitgebreid, herschreven of verbeterd om aan te sluiten op de voorkennis van scholieren in het voortgezet onderwijs….

« Vervolgboek wiskunde » volgt op het succesvolle studieboek 'Basisboek wiskunde', waarin de eerste elementaire kennis van wiskunde wordt aangeboden. Vervolgboek wiskunde gaat een stap verder. De onderwerpen die worden besproken zijn vectorrekening (het gedeelte vectoralgebra), matrixrekening, het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen met behulp van Gauss- eliminatie, machtreeksen en Taylor- reeksen, functies van meer variabelen, meervoudige integralen, complexe getallen en differentiaalvergelijkingen. Door deze selectie van onderwerpen sluit Vervolgboek wiskunde goed aan bij exact georiënteerde studierichtingen. 'Vervolgboek wiskunde' is evenals 'Basisboek wiskunde' in de eerste plaats een oefenboek. In elk hoofdstuk komt na de theorie een uitgebreide hoeveelheid opgaven. Achterin staan alle antwoorden, wat Vervolgboek wiskunde ook zeer geschikt maakt voor zelfstudie.

« Basisboek Rekenen » is tot stand gekomen nadat de schrijvers hadden vastgesteld dat er iets niet klopte met het rekenonderricht in het basisonderwijs in Nederland. Jan van de Craats is immers de auteur van een ophefmakend artikel: “Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen?” (zie: http://staff.science.uva.nl/~craats/zwartboek.pdf ). Van dezelfde auteur is er op internet een interessante lezing over dit probleem te vinden. (zie: http://wiskundeleraar.nl/pagina.asp?nummer=3896 )

2.2 de Zebra- collectie

De Zebrareeks is ontstaan om VWO-leerlingen in keuze-uren kennis te laten maken met onderwerpen uit de wiskunde, die buiten het standaard curriculum vallen, maar wel zeer de moeite waard zijn. De reeks is in eerste instantie bedoeld voor leerlingen uit de hoogste klassen van het VWO, maar is nadrukkelijk ook bedoeld voor allen die belangstelling hebben voor wiskunde en wiskundige toepassingen in andere disciplines. De teksten zijn ontstaan door een unieke samenwerking van docenten VWO, Hogeschool en Universiteit. De Zebra-reeks is tevens een hommage aan Jan Breeman, in leven bestuurslid van de NVvW (Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren), inspirerend docent en vernieuwer van het wiskundeonderwijs, bedenker van de Zebraruimte.

In de diverse nieuwe wiskundeprogramma's (vwo profielen) in Nederland is een gedeelte met een omvang van 40 studie-uren gereserveerd voor keuzeonderwerpen, de zogenoemde Zebraruimte. In deze Zebraruimte wordt de leerlingen de gelegenheid geboden om zelfstandig of in (klein) groepsverband een of meerdere zelfgekozen onderwerpen te bestuderen en opdrachten uit te voeren die passen bij het gekozen profiel, de wiskunde in dat profiel en wellicht zelfs de toekomstige studie. De beperkte blik van de schoolwiskunde met de verplichte stof en de opgaven daarbij wordt hierdoor verruimd. De boekjes kunnen op deze manier bijdragen aan positieve beeldvorming van het vak wiskunde.

De boekjes worden geschreven onder auspiciën van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren, in samenwerking met Epsilon Uitgaven te Utrecht. Binnen de NVvW is daarvoor de Werkgroep Zebrareeks ingesteld. Elk boekje telt ongeveer 60 pagina’s en tot nu toe werden volgende onderwerpen behandeld:

- Domein Kansrekening en Statistiek:

* «Kattenaids en Statistiek » (Jan van den Broek en Peter Kop Zebra 1 -2001-)

* «Schatten, hoe doet je dat? » (Wim Kremers en Jan Smit Zebra 3 -2000-)

* « Poisson, de Pruisen en de Lotto » (Frank Heierman, Rein Nobel en Henk Tijms Zebra 5 -2000-)

* « Spelen en Delen -speltheorie, de wiskunde van conflictmodellen- » (Frank Thuijsman Zebra 22 -2005-)

* « Experimenteren met Kansen –simulatie met de grafische rekenmachine- » (Henk Pfaltzgraff Zebra 23 -2006-)

- Domein Meetkunde:

* « Perspectief, hoe moet je dat zien? » (Martin Kindt en Agnes Verweij Zebra 2 -2000-)

* « De Gulden Snede » (Wim Kleijne en Ton Konings Zebra 4 -2000- 5^de druk in 1010)

* « De Veelzijdigheid van Bollen » (Peter Boon en Martin Kindt Zebra 9 -2000?- 2^de druk -2005-)

* « Fractals » (Igor Hoveijn en Jan Scholtmeijer Zebra 10 -2000?- 3^de druk -2009-)

* « Schuiven met auto’s, munten en bollen » (Hans Melissen en Rob van Oord Zebra 11 -2001-)

* « Geschiedenis van de niet- Euclidische Meetkunde » (Iris van Gulik-Gulikers Zebra 21 -2005-)

* « Passen en Meten met Cirkels, de arbelos van Archimedes » (Floor van Lamoen Zebra 30 -2009-)

* « Meester Ludolphs Koordenvierhoek » (Marjanne de Nijs en Steven Wepster Zebra 31 -2010-)

- Domein Algebra:

* « De Laatste Stelling van Fermat » (Peter Lanser Zebra 7 -2000-)

* « Verkiezingen, een web van paradoxen » (Ad van Deemen, Eliora van der Hout, Peter Kop en Harrie de Swart Zebra 8 -2000-)

* « Voorspellen met modellen » (Peter Boswijk, Philip Hans Franses en Christiaan Heij Zebra 28 -2008-)

- Domein Analyse:

* « Pi » (Frits Beukers Zebra 6 -2001- 4^de druk -2009-)

* « Experimenteren met Rijen, simulatie met de grafische rekenmachine » (Henk Pfaltzgraff Zebra 32 -2011-)

* « Ontwikkelen met Kettingbreuken » (Martin Kindt en Piet Lemmens Zebra 33 -2011-)

- Domein Arithmetiek en Axiomatiek:

* « Spelen met Gehelen » (Leon van den Broek en Ruud Jeurissen Zebra 12 -2002-)

* «Nullen en Enen, binaire getallen, hyperkubussen en foutverbeterende codes » (Leon van den Broek en Ruud Jeurissen Zebra 19 -2004?- 2^de druk -2010-)

* « Babylonische Wiskunde, een verkenning aan de hand van kleitabletten » (Martin Kindt en Ab van der Roest Zebra 20 -2005-)

* « Blik op oneindig » (Leon van den Broek en Arnoud van Rooij Zebra 25 -2007-)

* «Een koele blik op de Waarheid, bewijzen en redeneren in de wiskunde » (Ferdinand Verhulst Zebra 26 -2007-)

* «Getallenbrouwerij, alternatief rekenen » (Leon van den Broek en Arnoud van Rooij Zebra 29 -2009-)

- Domein Natuurkunde:

* « Chaos en Orde » (Ferdinand Verhulst Zebra 16 -2002?- 2^de gecorrigeerde druk -2007-)

* « Christiaan Huygens » (Rienk Vermij, Hanne van Dijk en Carolien Reus Zebra 17 -2004-)

* « Zeepvliezen, wetenschap en vermaak » (Hans van Lint en Jeanne Breeman Zebra 18 -2004-)

* « Gravitatie, de kracht die overal werkt » (Wilfried van Herterijck Zebra 24 -2007-)

- DomeinToegepaste Wiskunde:

* « Het gebruik van Wiskunde in de Islam » (Natasja Bouwman en Charlene Kalle Zebra 12 -2002?- 2^de druk 2009-)

* «Grafen in de Praktijk » (Hajo Broersma Zebra 14 -2002- 2^de druk -2006-)

* « De Juiste Toon » (Jan van de Craats Zebra 15 -2002?- 2^de druk -2005-)

* « Kunst en Wiskunde, verwondering en verbeelding » (Bruno Ernst en Ton Konings Zebra 27 -2008-)

2.3 de Hoofd- collectie

De hoofdcollectie van de Uitgeverij Epsilon omvat theoretisch 69 monografieën, waarvan enkele bvb n° 1 « Inleiding tot de Leer van Stijfheid en Sterkte » (W. T. Koiter Epsilon n° 1 -1985-) niet meer te verkrijgen zijn. Andere nummers die blijkbaar ook niet langer te verkrijgen zijn: 4, 5, 7, 8, 12, 14, 17, 19, en 30.

De reeks omvat een aantal monografiën (in feite syllabi of cursussen want beperkt tot het essentiële) voor beginnende wiskundestudenten (lerarenopleiding en mathematici) zoals:
 
- « Eindig, oneindig, meer dan oneindig -grondslagen van de wiskundige wetenschappen » (n° 56),
- « Getaltheorie voor Beginners » (n° 42),
- « Vectoren en Matrices -een inleiding in de lineaire algebra- » (n° 45),
- « Meetkunde -facetten van de planimetrie en stereometrie » (n° 47), 
- « Lessen in de Projectieve Meetkunde » (n° 26),
- « Analyse voor Beginners » (n° 6),
- « Complexe functies -de eerste stappen- » (n° 20),
- « Kansrekening -het zekere van het onzekere- » (n° 36),
- « Spelen met kansen » (n° 43) en
- « Differentiaalvergelijkingen -een inleidende cursus- » (n° 27),

Zonder enige twijfel zijn deze boeken erg nuttig voor een Nederlandstalig publiek en wordt aldus één van de voornaamste doelstellingen van de uitgever "Wiskunde in de moedertaal voor beginnende studenten" verwezenlijkt.

Voor gevorderden zijn er vervolgens:  

- « Getallen -van natuurlijk naar imaginair- » (n° 65),
- « De Riemann- hypothese - een miljoenenprobleem- » (n° 69) 
- « Algebra -de brug tussen getallen en meetkundige constructies- » (n° 31)
- « Hoofdstukken uit de Combinatoriek » (n° 25)
- « Moderne Planimetrie » (n° 39),
- « Analyse -functies van meer veranderlijken- » (n° 16),
- « Theorie der Complexe Functies » (n° 13),
- « Maat en integratietheorie -met basiselementen van de waarschijnlijkheisrekening- » (n° 58),
- « Fouriertheorie -van reeks tot integraal- » (n° 10), en
- « Analyse van Gewone Differentiaalvergelijkingen » (n° 33).

Natuurkundestudenten worden ook niet vergeten. Er zijn bvb :

- « Theoretische Mechanica » (n° 3) van Bottema, een klassieker in Nederland
- « Kosmologie -van oerknal via niets tot straling en stof- » (n° 29),
- « Speciale functies in de Mathematische Fysica » (n° 15),
- « Turbulentie -theorie en toepassingen van turbulente stromen- » (n° 24),
- « Meetkunde en Fysica » (n° 44),
- « Chaostheorie -het einde van de voorspelbaarheid?- » (n° 35).

Voor de beginnende natuurkundestudent of voor de ontwikkelde leek zijn er bvb
 
- « Op de schouders van reuzen -de mechanica van Newton- » (n° 62),
- « Het leven der Sterren -van stofwolk tot zwart gat- » (n° 59)

evenals een tweetal vertaalde monografieën van Christiaan Huygens:
 
- « Cosmotheoros -de wereldbeschouwer- » (n° 11) 
- « Verhandeling over het Licht » (n° 18). 

Voor beginnende informaticastudenten maar ook voor geïnteresseerden zijn er:

- « Starten met Programmeren -een introductie in Java- » (n° 61) 
- « Elementaire Getaltheorie en Asymmetrische Cryptografie » (n° 63)
- « Chaos met de Computer » (n° 37)
- « Operationele analyse -een inleiding in modellen en methoden- » (n° 54) 

De Epsilonreeks lijkt mij echter ook voor biowetenschappers (bvb bio-ingenieurs) erg interessant. Vooreerst zijn er de monografieën van de Gee (« Wiskunde in Werking » : nummers 48, 49 en 50). De talrijke herdrukken tonen het belang van deze monografieën duidelijk aan. Deze boeken worden trouwens ook in België als syllabi gebruikt.

Verder is er nummer 55 (« De wiskundige kat, de biologische muis en de jacht op inzicht »), een boek, dat aantoont hoe niet-lineaire dynamische processen de levende materie beheersen. Niet-lineaire dynamische processen zijn van zeer groot belang in de biologie en de theorie vormde het onderwerp van een van de eerste boeken van de reeks in 1985.
Het boek « Niet-lineaire Differentiaalvergelijkingen en Dynamische Systemen » met als auteur, de stichter van de Epsilon Uitgaven, Ferdinand Verhulst komt helaas niet langer in de reeks voor. Er bestaat echter wel een Engelse versie « Nonlinear differential equations and dynamical systems » (Springer second edition -2006-) die gedeeltelijk is in te zien via Google- books. 

Merkwaardig is ook wel dat in deze reeks een Luitzen Egbertus Jan Brouwer ⁽⁶⁾ , de grondlegger van de -door vele wiskundigen misprezen- intuïtionistische wiskunde tweemaal (nummers 51 en 66) aan bod komt. Veelal wordt voornoemde wiskundige, die tot een alternatieve groep behoort, doodgezwegen. Het pleit voor Epsilon dat ook "alternatieve" wiskundigen aan het woord komen.

Zo komt ook een Nico van Kampen met « Waanwetenschap » (n° 52) aan het woord. Dit boek is in feite een soort samenvatting van « Views of a physicist -selected papers of N. G. van Kampen » (World Scientific -2000-), waarin deze bekende en gevierde Nederlandse fysicus zijn gal uitspuwt over alles waarvan hij meent "pseudo- of waanwetenschap" (waaronder bvb homeopathie!!) te zijn. In « Commentaar op 'Waanwetenschap' » (n° 52 bis) wordt een van Kampen dan weer door enkele wiskundigen waaronder de onlangs overleden Floris Takens terechtgewezen.   

Epsilon Uitgaven werkt tenslotte ook aan materiaal voor het nieuwe schoolvak Wiskunde D ⁽⁷⁾ in het secundair onderwijs. Volgende monografieën kunnen gratis gedownloaded worden. Epsilon ontvangt daarna graag uw commentaar voor verdere ontwikkeling:

« Dynamische modellen » (Ferdinand Verhulst Wiskunde D deel 1)

« Kansrekening » (A. van den Brandhof Wiskunde D deel 2)

« Optimalisatie in Netwerken » (H. Tijms Wiskunde D deel 3)

« Diophantische Vergelijkingen –mogelijkheden en onmogelijkheden- » (G. Cornelissen Wiskunde D deel 4)

- monografieën i.v.m. Axiomatiek en Arithmetiek:

* « Een nacht vol opwinding –een keuze uit filosofische essays- » (Henri Poincaré Epsilon n° 41 -1998-)

* « Geschiedenis van de Wiskunde in de Twintigste eeuw –van verzamelingen tot complexiteit- » (Piergiorgio Odifreddi Epsilon n° 57 -2005-)

* « L.E.J. Brouwer en de Grondslagen van de Wiskunde » (Dirk van Dalen Epsilon n° 51 2^de druk -2005-)

* « Intuïtionistische Analyse – een constructief denkraam- » (Dirk van Dalen Epsilon n° 66 -2011-)

* « Eindig, Oneindig, meer dan Oneindig –grondslagen van de wiskundige wetenschappen- » (Leon Horsten Epsilon n° 56 -2004-)

* « Waanwetenschap » (N.G. van Kampen Epsilon n° 52 -2002-)

* « Commentaar op ‘Waanwetenschap’ » (Dennis Dieks, Vincent Icke, G.Y. Nieuwland, Jelle Ritzerveld en F. Takens Epsilon n° 52 bis -2003-)

* « Getaltheorie voor Beginners » (F. Beukers Epsilon n° 42 4^de druk -2008-)

* « Elementaire Getaltheorie en Asymmetrische Cryptografie » (Benne de Weger Epsilon n° 63 2^de druk -2011-)

* « Getallen – van natuurlijk naar imaginair- » (Frits Beukens Epsilon n° 65 -2009-)

* « De Riemann- hypothese –een miljoenenprobleem- » (Roland van der Veen en Jan van de Craats Epsilon n° 69 -2011-)

- monografieën i.v.m. Algebra:

* « Vectoren en Matrices –een inleiding in de lineaire algebra- » (Jan van de Craats Epsilon n° 45 5^de druk 2010-)

* «Wiskunde in Werking –deel I:

05-01-2010 om 00:00 geschreven door alter  

(Hoofdstuk 1 "L'Esprit de Géométrie")

§ 1.1 Over de esprit de géométrie in de Cadettenschool..

In 1991 schreef een oud-cadet uit de Franse Afdeling ⁽¹⁾ naar aanleiding van de definitieve sluiting van de Cadettenschool het volgende over de fameuze “esprit de géométrie”, die sedert 1897 –het stichtingsjaar van de school- het leven en het doen en laten van de cadetten beheerst had :

…Et puis les maths... Les cadets pouvaient se passer d'une année de « spéciale math» pour présenter l'examen à I’ École Royale Militaire. Ce fut un véritable gavage de trigonométrie, algèbre. arithmétique, géométrie analytique plane ou dans l'espace, calcul différentiel ou intégral…une horreur... J'ai terminé mes trois années d'Humanités comme un naufragé épuisé cramponné à une bouée en train de se dégonfler. J’ai pourtant assisté à des sauvetages extraordinaires. J'ai vu près de moi des cadets se taper Ia tête contre les bouquins jusqu'à se faire patiemment une bosse des maths, jusqu'à devenir de véritables prodiges qui, pendant les récréations, s'amusaient a résoudre des équations différentielles en deux coups de cuiller à pot. Et, à l'époque, il n'y avait pas de calculatrices électroniques….

Uiteraard stond deze «esprit géométrique» in verband met de fundamentele doelstelling van de school: voorbereiden op het toelatingsexamen KMS en i.h.b. op het examen voor de Polytechnische Afdeling. Het was dus niet verwonderlijk dat de"moderne humaniora" met een duidelijk accent op wiskunde ( de “wetenschappelijke A”- sectie en de Latijn-Wiskunde - sectie) een voorkeurpositie ⁽²⁾ t.o.v. de “oude humaniora” (de Grieks-Latijnse sectie) genoot. Moderne humaniora bereidde immers rechtstreeks voor op het toelatingsexamen van de polytechnische afdeling van de KMS.

Voor cadetten, die de oude humaniora volgden behoorde alleen het toelatingsexamen “Alle Wapens” tot de mogelijkheden. Of een opleiding via een Belgische universiteit tot militair arts, apotheker of veearts, mogelijkheid waarvan vele Grieks-Latinisten hebben gebruik gemaakt. Deze opleiding ging in het laatste geval gepaard met een aanvullende specifieke militaire vorming verstrekt door de KMS (SOGD: School der Officieren van de Gezondheidsdienst, later veranderd in KSGD: Koninklijke School der Officieren van de Gezondheidsdienst). Ook voor het toelatingsexamen “Alle Wapens” was echter een goede kennis In de wiskunde vereist en dus werd het leerprogramma en de leerstof ook voor Grieks-Latinisten uitgebreid en aangepast.

Deze “aanpassing” betrof nu zowel het aantal lesuren als het wiskundeprogramma: zo waren er in rhetorica voor cadetten uit de oude humaniora 9, voor cadetten uit de moderne humaniora, 13 lesuren wiskunde per week voorzien. In de derdes en de tweedes waren deze cijfers respectievelijk 5 en 9. Het totaal lesrooster bevatte zo tot 44 lesuren, waar een burgerschool slechts 32 tot 34 lestijden omvatte ⁽³⁾ . Op de specifieke wiskundeleerstof zal in de komende cursiefjes wat dieper ingegaan worden.

Deze fameuze “esprit de géométrie” was nu niet alleen kenschetsend voor de Cadettenschool, maar was ook een traditie in alle scholen, waarvoor het Leger als inrichtende macht optrad en o.m. in de Pupillenscholen. Deze scholen hadden tot doel een basisvorming te verzekeren aan de zonen van militairen en andere rechthebbenden van 10 tot de leeftijd van 16 jaar. Het onderricht in de Pupillenscholen stemde grosso modo overeen met het laatste jaar primair onderwijs (zevende leerjaar) en de drie eerste jaren van het secundair onderwijs. Hoewel zelf leerling aan de Koninklijke Cadettenschool van 1955 tot 1958, was ik tot voor kort totaal onwetend over de roemrijke historische en educatieve achtergrond van deze pupillenscholen ⁽⁴⁾ , die o.m. ook tot doel hadden de leerlingen (pupillen) voor te bereiden tot het toelatingsexamen van de Cadettenschool.

1° Het lerarenkorps

Het wiskundeonderwijs in de Nederlandstalige Afdeling van de Cadettenschool van Laken werd verzorgd door een aantal typische figuren zoals de “Snor”, de “Muis” en de “Poes”. Het zijn vooral deze personages, die mijn wetenschappelijk denken in zeer grote mate bepaald en beïnvloed hebben.

In de eerste plaats moet ik hier nu de “Snor”, een “burger” vermelden, die gedurende vele jaren de oude, vertrouwde (Euclidische) meetkunde alsook nog goniometrie en trigonometrie doceerde en daarbij zeer hoge eisen stelde aan zijn povere discipelen, vooral aan de nieuwkomers. Ook “de Poes», die analytische meetkunde en ook nog fysica gaf, was een “burger”.  

Vóór WOII werden traditioneel de wiskundevakken gegeven door militairen, want die kenden immers het klappen van de zweep. Zo was er bvb de fameuze Jules Horwart, de “Moloch”, de auteur van een «Cours d’Arithmétique: les entiers, les fractions, Manuel destiné aux élèves des Classes supérieures des Athénées et de l’Enseignement Normal Moyen ; aux Candidats à l’Ecole Royale Militaire et aux Universités» (3^e, 2^e, et 1^er humanités modernes).

Die Horwart was ook nog Cadet geweest in Namen (1930- 1933) en kende dus wel de cadettenstreken. Toch was er in de jaren twintig ook al een burger aanwezig in casu Victor Herbiet, een doctor in de wiskunde, die door toedoen van Maurice Grevisse in de Cadettenschool was terecht gekomen. Victor Herbiet was de man van de algebra en lag ook aan de basis van de collectie « De Vaere Herbiet » (zie cursiefje « Over oude schoolboeken en... wiskunde » in mijn eerste blog).

Ook de “Poep” (Arithmetiek) en de “Muis”(algebra, calculus en beschrijvende meetkunde) waren militairen. De “Muis” was een polytechnisch ingenieur en een buitengewoon begaafd lesgever. Voor iedereen was duidelijk, dat het “lesgeven” hem in het bloed zat. Van hem werd verteld dat hij weigerde het ambt van majoor (hoger officier) op te nemen, omdat hij dan verplicht zou geweest zijn de Cadettenschool te verlaten.

Burgers, die wensten les te geven in de Cadettenschool van Laken, dienden, ter beoordeling van hun geschiktheid voorafgaandelijk aan hun benoeming een aantal proeflessen geven. Sommige waren doctorandi in de echte zin van het woord en werkten terwijl zij ook doceerden aan een doctoraal proefschrift. In dit geval gaven ze slechts enkele jaren les. De Cadettenschool was voor hen eerder een springplank naar een universitaire loopbaan.

In de Franstalige Afdeling gaf bvb in 1955 een zekere Georges Delande les ⁽⁵⁾ . Hij was een koloniaal en behaalde begin de jaren zestig een doctorstitel onder het promotorschap van de professoren Debever en Lisbois (ULB) aan de Universiteit van Elisabethville. Dank zij het toedoen van Jacques Mersch werd hij o.a. wegens zijn bijzondere pedagogische kwaliteiten  in 1967 benoemd aan de FUNDP. Hij was daar een graag geziene figuur. Hij overleed in 2007, 89 jaar oud.

Andere markante figuren in de Franstalige afdeling waren in die jaren bvb een Jean Brismée. . Hij gaf les in de deductieve meetkunde van 1950 tot 1965. Ook deze wiskundige was eerder een buitenbeentje. Begeesterd door het "witte doek" verliet hij het onderwijs en werd hij filmrealisator et fondateur de l’ INSAS (1962). Van hem waren er ook de kortfilms “Forges (1956), “le Théorème de Pythagore” (1960) -hoe kon het anders- en “Monsieur Plateau” (1964)… Jean Brismée was ook de auteur van “Cent ans de cinéma en Belgique” (1995).

2° de leerstof

De leerstof “wiskunde” was voor de secties Latijn-Wiskunde en Wetenschappelijke A ongeveer equivalent met het huidige programma wiskunde van een Internationaal of Europees baccalaureaat ⁽⁶⁾ of met het nu overbekende “Advanced Placement Program” ⁽⁷⁾ (bvb AP calculus) in de USA. Dergelijke leerprogramma’s maken deel uit van een pre-universitaire opleiding tot ingenieur en zijn beduidend zwaarder dan de “normale” leerprogramma’s. De examenvragen van de toelatingsproef voor burgerlijk ingenieur en de KMS ⁽⁸⁾ tonen dit ontegensprekelijk aan.

Een woordje over het “Advanced Placement Program” lijkt mij hier nu wel op zijn plaats. AP, zoals de Amerikanen het noemen, is in werkelijkheid maar definitief gestart, ná die memorabele 4 oktober 1957, een datum, die ik mij zeer goed herinner. Want ook in de Cadettenschool, werd het “fait divers” die aan deze datum verbonden is uitvoerig gecommentarieerd. Op die datum werd immers Spoetnik 1 gelanceerd ⁽⁹⁾ .

In de USA sloeg het Spoetnik- evenement in als een (atoom)bom en in de pers gewaagde men van een technologische « Pearl Harbor ». Plotseling werd men zich er van bewust, dat de USSR inderdaad technologisch sterker stond en in staat was de USA rechtstreeks te bestoken met raketten, van een veel zwaarder kaliber dan de fameuze V2.

De oorzaak van deze achterstand was, volgens de experten van die tijd, een stagnerend en een niet aangepast wiskundeonderricht i.h.b. voor ingenieurs, fysici en mathematici. Het, in begin van de jaren vijftig gestarte AP, diende dus dringend aangepast te worden en dat was het startsein van de “New Math” beweging, die in het begin van de zestiger jaren furore maakte en later naar Europa kwam overgewaaid. Over “New Math” zal ik het in een ander cursiefje trouwens nog uitvoerig hebben.

Misschien hier ook nog even aanstippen dat terzelfdertijd ook het fysicaonderricht in vraag werd gesteld. Aan een toen nog onbekende Richard Feynman werd toen door Caltech gevraagd te starten met een nieuwe didactische benadering van een leergang “algemene natuurkunde”. Deze leergang moest zo snel mogelijk tot de moderne fysica voeren waarmede dan de quantumfysica bedoeld werd. Quantumfysica werd immers in die jaren nog beschouwd als “postdoc” materie en het was overduidelijk geworden dat al in de cyclus “undergraduate” met deze materie moest gestart worden, tenminste als men fysici en ingenieurs wou vormen, die de nieuwe technologische problemen zouden kunnen beheersen.

Die fameuze leergang staat nu bekend als de “Feynman lectures”… en iedere fysicus, enigszins die naam waardig, beschouwt deze “Lectures” nog steeds als verplichte lectuur. In mijn derde blog zal ik het nog uitvoerig hebben over deze “Lectures”.

Maar terug naar de Cadettenschool. Wat het studiemateriaal betreft, werden in de Nederlandstalige Afdeling de schoolboeken van de collectie De Vaere Herbiet (Algebra en Arithmetiek) als basis gebezigd. In de Franstalige Afdeling werden echter enkele boeken van de Schons collectie (bvb het «Traité de Trigonométrie » en het « Complément d'Arithmétique et d'Algèbre ») voorgeschreven. 

Wat de calculus betrof, dienden de Cadetten in de Nederlandstalige Afdeling praktisch alles te noteren, want wat bvb in de klassieke algebraboeken stond, werd als onvoldoende beschouwd. Het gevolg hiervan was, een aantal volgepende "copybooks". Ik zal daar nog verder in detail op terugkomen.

In de vijftiger jaren was er blijkbaar geen geschikt studiemateriaal in het Nederlands voor de vakken deductieve of axiomatische, analytische meetkunde en.. trigonometrie en dus werden er o.a. door de Snor en de Poes syllabi verstrekt. De boeken van Dalle en Dewaele (zie cursiefje eerste blog: "Over oude schoolboeken.. en wiskunde") werden door sommigen, waaronder mijzelf, als "Oefeningenboeken" gebruikt. 

Voor de analytische meetkunde was er wel het boek van Bilo « Leerboek der Analytische Meetkunde » uit de collectie « Mineur », maar het niveau van dit werk was niet hoog genoeg voor het toelatingsexamen KMS.

De cadetten uit de Franstalige Afdeling konden beroep doen op « Notes de Géométrie analytique plane à l'usage des élèves des classes scientifiques des humanités et des candidats à l'Ecole Militaire et aux Universités » van Lupsin en waarvan in 1956 nog een zevende editie verschenen was.

Qua studiemateriaal waren de franstaligen zeker bevoordeeld en toch waagde blijkbaar niemand het deze Franse boeken in de Nederlandstalige Afdeling aan te raden, laat staan officieel te gebruiken. Zei een Cicero niet : « Stultorum plena sunt omnia » ???

---------------------------------------------

(1) Jean-Michel Eloi (cadet 1969-1971) “Souvenirs d’ un ex-cadet en deuil de son Ecole” Nord Eclair 09/06/1991

(2) In 1923 werd de Grieks-Latijnse sectie afgeschaft; in 1933 werd ze opnieuw ingevoerd om tenslotte in 1971 definitief te verdwijnen.

(3) zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Koninklijke_Kadettenschool

(4) Het Centrum “Militaire Geschiedenis” van het Koninklijk Legermuseum publiceerde in 2000 een monografie van de hand van Gen. Maj. Yvan Van Renterghem getiteld “Enfants de Troupe, Pupilles et Cadets de l’ Armée de 1838 à 1945”. Deze monografie lijkt mij onontbeerlijk voor het begrijpen van de historiek, de evolutie, het opzet en de werking van de diverse scholen met als inrichtende macht het Belgisch Leger.

(5) zie http://perso.fundp.ac.be/~mathfun/revues/revue2007.pdf (artikel: “Au revoir, Georges”)

(6) zie http://en.wikipedia.org/wiki/International_Baccalaureate

(7) zie http://en.wikipedia.org/wiki/Advanced_Placement_Program

(8) voor een uitgebreide bloemlezing van de examens van de laatste 20 jaar van de faculteiten Toegepaste Wetenschappen en de KMS kan verwezen worden naar het boek “Wiskundige Toelatingsexamens” van D. Bollaerts (Standaard, -1998-)

(10) zie Fred Schuh « Didactiek en Methodiek van de Wiskunde en de Mechanica –een leidraad voor ieder, die daarin studeert of onderwijs geeft met tal van raadgevingen voor het doen van examen- » (Waltman, -1940-)

04-01-2010 om 00:00 geschreven door alter  

02-01-2010 om 00:00 geschreven door alter