Op 1 februari 2012 ging de wiskundeclub XYT als proefproject in de scholengemeenschap O.-L.-V. van Groeninge (Kortrijk - West-Vlaanderen). Doelgroep: leerlingen van het 4de jaar secundair onderwijs die op zoek zijn naar een extra-uitdaging.
Vanaf 1 februari 2013 stellen we dit project open voor alle West-Vlaamse scholen.
De ietwat vreemde naam xyt spreek je uit als k zie t! en kan je dus als de Vlaamse versie aanzien van de kreet eureka! waarmee Archimedes beroemd werd. Je kunt het ook uitspreken als ex-ie-tee waarmee we aanduiden dat we hopen je een beetje geëxciteerd of geprikkeldraakt door de aangeboden probleempjes en weetjes.
De letters x en y verwijzen uiteraard ook naar coördinaatgetallen uit de vlakke meetkunde en de klassieke onbekenden uit de algebra. Zo is meteen de link gelegd naar het computerprogramma GeoGebra, dat heel wat mogelijkheden biedt om proefondervindelijk op zoek te gaan naar de oplossing van een probleem. De letter t verwijst dan weer naar de onbekende waarmee we de tijd aanduiden. Ook aan 'tijdsprobleempjes', die je kunt oplossen met eenvoudig rekenwerk, zullen we aandacht besteden.
In het logo van de wiskundeclub staan ook drie regelmatige veelhoeken : een gelijkzijdige driehoek, een vierkant en een regelmatige zeshoek. Over de betekenis hiervan lees je meer in het openingsartikel hieronder, dat een klassiek probleem uit de vlakke meetkunde behandelt. Je mag je dus af en toe ook verwachten aan een stukje geschiedenis van de wiskunde. In het vierde, vijfde en zesde jaar van het secundair onderwijs zal je trouwens geregeld kennis maken met het werk van beroemde wiskundigen.
Jou de juiste wiskundeprikkel bezorgen en hopen dat je voor heel wat probleempjes die we aanbieden de juiste oplossing vindt (na enig zoeken) is meteen het doel dat we voor ogen hebben.
Van wiskundigen wordt verwacht dat ze logisch kunnen redeneren. Ongetwijfeld had ook jij direct de oplossing gevonden van het bovenstaande puzzeltje.
In deze module leer je hoe je logische denkfouten kunt vermijden. Propositielogica zal je hierbij helpen.
Via 16 opdrachten testen we jouw logisch denkvermogen. Ga jij de uitdaging aan?
Sessie 1. Regelmatige vlakvullingen. Kan jij bewijzen dat er maar drie regelmatige betegelingen mogelijk zijn?
Sessie 2. Een logica-opdracht. Via 6 opagven tetsten we jouw logisch denkvermogen.
Sessie 3. Een Geo-Gebra-opdracht. Wiskundigen hebben ook soms hulpmiddelen nodig om een opdracht op te lossen. Voor opgave 7 kan je een beroep doen, op GeoGebra.
Sessie 4. Over nullen en enen. Kan jij binaire getallen optellen en vermenigvuldigen (opdracht 8)? Een Youtube-filmpje en binaire goochelkaartjes zorgen even voor ontspanning.
Sessie 5. De tijd. Opgave 9 is een logisch denkvraagje over snelheid en tijd. Propositielogica. Via jouw leerkracht krijg je een studiepakketje over propositielogica voorgescholteld. De bijhorende opdrachten kan je vrijblijvend zelf oplossen.
Sessie 6. Logigram. Een logigram is een logische puzzel waabij je via een aantal tips en via een schema tot de oplossing komt (opgave 10).
Sessie 7. Voetballogica. Wie gaat door naar de finale (opgave 11). Logicaproblemen uit de Vlaamse Junior Wiskunde Olympiade. Via 4 JWO-opgaven testen we jouw logisch denkvermogen. En wie meer wil, kan terecht bij het oefenplatform USolv-IT (www.usolvit.be)
Het antwoordformulier vind je op de laatste pagina van module 1. Graag langs digitale weg insturen tegen 3 mei 2013.
Een regelmatige vlakvullingof betegeling is een overdekking van het platte vlak met convexe en congruente regelmatige veelhoeken van één soort (driehoeken, vierhoeken ...). Deze komen in hun hoekpunten samen. De punten waar de hoekpunten samen komen noemen we de verdelingspunten. Rond ieder verdelingspunt liggen evenveel veelhoeken.
We kunnen bewijzen dat er maar drie soorten regelmatige betegelingen mogelijk zijn: met driehoeken, vierkanten en zeshoeken.
Het bewijs hiervan vind je in de onderstaande bijlage.
"Elementary, my dear Watson" is de beroemde uitspraak van detective Sherlock Holmes waarmee hij te kennen gaf dat hij op een logische en evidente manier de oplossing van een raadsel had gevonden. Wiskundigen houden meestal van logische puzzels. Dit soort puzzels vormt niet alleen een uitdaging, maar bovenal bieden logische raadsels de kans om aan anderen te laten zien of je al dan niet logisch kunt redeneren. In bijlage vind je vijf logische puzzels en één rekenraadsel. Los jij ze allemaal op?
Opgave 7a Hoeveel koppels (x, y), waarbij x en y natuurlijke getallen zijn, voldoen aan de vergelijking xy 4x + 2y = 0?
Opgave 7b Hoeveel koppels (x, y), waarbij x en y gehele getallen zijn, voldoen aan de vergelijking xy 4x + 2y = 0?
Mogelijke werkwijze. 1. Los de vergelijking xy 4x + 2y = 0 op naar y, m.a.w. zoek hieruit y in functie van x ( y = f(x)). 2. Start GeoGebra op. 3. Typ het gevonden functievoorschrift in op de invoerregel. 4. Schets de grafiek. 5. Zet het rooster aan. 6. Lees de antwoorden af.
In het tiendelig talstelsel schrijven we elk natuurlijk getal als een combinatie van machten van 10. Zo moet je 734 in feite bekijken als (7 x 102) + (3 x 101) + (4 x 100). De getallen 7, 3 en 4 noemen we de coëfficiënten in die combinatie en die mag je dan kiezen uit de cijfers 0, 1, 2 ... tot en met 9.
Voor wie vertrouwd is met computertaal in de binaire notatie van getallen veel evidenter. Hierbij wordt elk natuurlijk getal geschreven als een combinatie van machten van 2. De coëfficiënten mag je dan maar kiezen uit de cijfers 0 en 1.
Zo is het binair getal 110101 gelijk aan (1 x 25) + (1 x 24) + (0 x 23) + (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) = 32 + 16 + 4 + 1 = 53.
Omgekeerd bestaat er een eenvoudige methode om een getal vanuit zijn tiendelige notatie om te zetten naar de binaire schrijfwijze. We illustreren dit aan de hand van het getal 53:
Opgave 9. Twee auto's vertrekken tegelijk vanuit twee steden die op 40 km van elkaar verwijderd liggen. De eerste auto rijdt met een snelheid van 90 km/u en de andere auto met een snelheid van 120 km/u. Hoeveel meter zijn ze nog van elkaar verwijderd één minuut vooraleer ze elkaar voorbijrijden?
Aristoteles (384 - 322 v. Chr.) wordt algemeen als de grondlegger van de logica beschouwd.
Hij stelde zich de vraag wanneer een uitspraak waar is en kwam tot de conclusie dat dit het geval is wanneer ze kan afgeleid worden uit ware uitspraken.
Zo een afleiding noemde hij een syllogisme.
Hieronder staat het meest gekende voorbeeld.
Alle mensen zijn sterfelijk. Socrates is een mens. Socrates is sterfelijk.
De eerste twee zinnen in deze redenering noemt men de premissen en de derde zin is de conclusie.
George Boole (1815 - 1864) was een Britse wiskundige die in de 19de eeuw de naar hem genoemde Booleaanse logica ontwikkelde.
Deze symbolisch logica maakte gebruik van nullen (onwaar) en enen(waar) en van operatoren (AND, OR, NOT). Boole legde hiermee meteen de basis voor de hedendaagse computerwerenschap.
We nodigen je uit om de tekst in bijlage grondig te bestuderen en de opgaven op te lossen. Zo leer je meteen hoe de propositielogia, die erg fundamenteel is voor wiskundige redeneringen en bewijzen, in elkaar zit.
De opgaven in de bijlage zijn bedoeld als een zelfstudiepakket. Deze opgaven hoef je dus niet in te dienen!
Aristoteles op de zuidpool: "Pinguïns zijn zwart en wit. Oude postkaarten waren zwart en wit. Pinguïns zijn oude postkaarten."
Een logigram of logikwis is een logische puzzel die je behulp van enkele aanwijzingen moet proberen op te lossen. Meestal moet je hierbij een aantal zaken of eigenschappen combineren met de juiste personen.
Je moet hierbij in feite een beetje als een detective te werk gaan om via de aanwijzingen de juiste combinaties te vinden.
Om je te helpen om de aanwijzingen op de juiste manier te combineren, kan je handig gebruik maken van een rooster. Hieronder staat een dergelijke tabel afgebeeld.
Hierin vul je een plusteken (+) in in een vakje waarvan je weet dat dit een ware combinatie oplevert en indien de combinatie onwaar is, vul je een minteken (-) in.
Hieronder geven we een voorbeeld van een logigram, waarbij het de bedoeling is van drie meisjes hun leeftijd en hun lievelingskleur te ontdekken aan de hand van de volgend aanwijzingen:
1. Marion is ouder dan Helma. 2. De 23-jarige heeft rood als lievelingskleur. 3. Anke is niet de jongste van de drie en blauw is haar lievelingskleur.
Uit de eerste aanwijzing blijkt dat Marion geen 16 is en Helma geen 26. Daarom zet een minteken bij (Marion, 16) en bij (Helma, 26). Wegens de tweede aanwijzing zet je een plusteken bij (rood, 23) en bijgevolg een minteken bij (blauw, 23), (geel, 23), (rood, 16) en (rood,26). Door de derde aanwijziging weet je dat er een minteken staat bij (Anke, 16). Zo weet je meteen dat Helma 16 is. Er komt wegens de derde tip een plusteken bij (Anke, blauw). Daarom komt er ook een minteken bij (Anke, geel) en (Anke, rood), (Helma, blauw) en (Marion, blauw).
Door logisch te redeneren los je nu de puzzel verder op. Bij (Helma, 16) komt een plusteken en bijgevolg een minteken bij (Helma, 23). Aangezien de 23-jarige rood als lievelingskleur heeft, kan dit niet Helma zijn. De lievelingskleur van Helma is dus geel. Dan moet er een plusteken komen bij (Marion, rood) en een minteken bij (Marion, geel). We weten nu dat Helma 16 is en van geel houdt. Er komt dus een plusteken bij (geel, 16) en een minteken bij (blauw, 16). Dan moet een plusteken staan bij (blauw, 26). Anke is dus 26 en houdt van blauw. Marion is dus 23 en houdt van geel. Hiermee is de puzzel helemaal opgelost.
Is het niet logisch dat een voetbalspeler bij een strafschop rechtstreeks op doel trapt?
Johan Cruijff toonde aan dat dit niet zo logisch is als men op het eerste gezicht zou denken. Kijk maar!
Met behulp van logica kan men nu ook (voetbal)probleempjes oplossen. Je leert dit in de bijlage. Meteen schotelen we je via opgave 11 een analoge logische denkoefening voor die verwijst naar de Vlaamse Junior Wiskunde Olympiade. Kan je die oplossen?
