problemen met wiskunde?? misschien kan dit je helpen!
30-01-2011
Merkwaardige producten
Merkwaardige producten worden gebruikt omdat zo verschillende bewerkingen gemakkelijker en sneller te berekenen zijn. Het is zeer belangrijk dat je ze regelmatig leert (best door op te schrijven en oefeningen te maken) om ze nooit te vergeten. Zo een 'regel' bestaat uit twee delen: het merkwaardige product en een uitwerking daarvan, je moet beide delen kunnen herkennen als ze in een oefening staan.
Hier volgt een lijstje van de meest voorkomende merkwaardige producten:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a+b)(a-b) = a²-b²
(a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca (van alles het kwadraat (dat steeds positief is) en elk dubbelproduct dat gemaakt kan worden).
Ik weet dat iedereen door leerkrachten verschillende studietips krijgen en niemand deze ooit leest. Toch zijn er een aantal dingen die écht werken. Eerst en vooral is het belangrijk dat je alle theorie goed kent voordat je vragen gaat stellen of oefeningen begint te maken.
Tips voor het leren van de theorie:
Lees eerst alles eens vlug, lees titeltjes, besluiten, formules,... Hierna zou je op een blad papier, uit je hoofd, de verschillende onderwerpen moeten kunnen opschrijven. Het is ook goed om te weten tot welke categorie een bepaald onderwerp behoort (getallenleer, ruimtemeetkunde, meetkunde, analyse,...).
Begin bij het eerste hoofdstuk van een categorie, leer ALLE therie. Vaak denken mensen dat je dingen onthoud door ze een paar keer te lezen, niets is minder waar! Je kan ze leren door ze verschillende keren in jezelf op te zeggen (zonder je papieren te gebruiken), een aantal keer over te schrijven (zonder papieren), of deze twee te combineren.
Doe dit voor alle hoofdstukken zo.
TIP: Pak wat papieren, schrijf de titel van je eerste onderwerp op en schrijf ALLES wat je weet op (zonder papieren), controleer daarna met je cursus welke dingen je vergeten bent en wat je juist/fout hebt.
Tips voor het leren van de oefeningen:
Maak een onderscheid tussen de verschillende 'soorten' oefeningen: de gemakkelijke (gewoon volgens de regels die je reeds leerde), de moeilijke (die waarbij je enkele stappen moet ondernemen die per oefening veschillen en waarbij enig inzicht vereist is) en de uitzonderingen (de oefeningen waarbij je een stap moet ondernemen die je niet leerde in de theorie).
Oefen vooral op de moeilijke want de gemakkelijke kan je waarschijnlijk (als je je therie goed leerde) en de uitzonderingen zullen niet vaak voorkomen op een toets/examen.
Na het leren van de theorie maak je dus zoveel mogelijk oefeningen, het is belangrijk dat je deze maakt ZONDER JE THEORIE PAPIEREN. Let ook op je tijd, je zal steeds op VOORHAND moeten beginnen. Ik maakte zelf altijd de fout om nooit op voorhand te leren omdat ik dacht dat ik alles toch zou vergeten, maar het helpt écht!
TIP: Stel toetsen op voor jezelf of kopiëer de toetsen van in de klas en hermaak ze, verbeter ze pas nadat je alles hebt gemaakt (en kijk dus niet na elke oefening naar de verbetering), je maakt best ook gebruik van een timer! (stel deze ipv op 50min voor een herhalingstoets (of grote overhoring) in op 40min.)
We kunnen vergelijkingen oplossen door ze te ontbinden in factoren. Er zijn een aantal manieren om dit te doen, afhankelijk van de soort veelterm. Wanneer we gaan ontbinden, gaan we eigenlijk deveelterm als een product schrijven van veeltermen met een lagere graad.
1. Het eerste dat je ALTIJD doet, is kijken of er een gemeenschappelijke facor is. Als deze er is, zet je hem voorop.
OPGELET! Een bijzondere vorm hiervan is het samennemen van termen met een gemeenschappelijke factor.
2. Kijk of het een merkwaardig product is. Is dit het geval, pas dan de regel toe.
3. Regel van horner: zie later.
4 Tweedegraadsvergelijkingen kunnen we ontbinden en oplossen met behulp van de discrimintant (D). De volledige uitwerking staat hoogstwaarschijnlijk in je cursus. De regel is: D = b² - 4ac. Hierbij hou jein gedachten dat de algemene vorm van een tweedegraadsvergelijking ax² + bx + c = 0 is.
- D < 0 => géén oplossingsverzameling, de veelterm is onontbindbaar. - D = 0 => twee gelijke oplossingen waarvoor geldt: x1 = - b/2a het ontbinden: a . (x - x1)² - D > 0 => twee verschillende oplossingen, waarvoor geldt: x1 = (- b - *D)/ 2a en x2: (-b + *D)/2a het ontbinden: a . (x - x1) . (x - x2)
opmerking: - x1 en x2 zijn oplossingen van je veelterm, wanneer je dus 'x' in je veelterm vervangt door een gevonden oplossing, hoort de uitkomst 0 te worden, is dit niet het geval, dan heb je waarschijnlijk een fout gemaakt. - de oplossingen van een veelterm noemt men ook wel de wortels van een veelterm
5. Veeltermen van een hogere graad kan men eventueel oplossen (als het géén merkwaardig product is) door eerst de regel van horner toe te passen (totdat je een tweedegraadsvergelijking krijgt) en dan de discriminant toe te passen.
TIP: overloop steeds de volgdende vragen om fouten te vermijden: 1. Is de veelterm herleid op 0 ? 2. Welke graad heeft de veelterm? 3. Is er een GF ? 4. Is het een merkwaardig product? 5. Is de veelterm deelbaar door (x + 1) of (x - 1) ? 6. Kan ik horner toe passen? 7. Discriminant.
Dus hoe simpel het berekenen van de discriminant eigenlijk wel niet is, toch zou het je laatste keuze moeten zijn! Dit omdat er veel rekenwerk aan te pas komt waarbij je gemakkelijk 'domme fouten' bij maakt.
DIT IS EEN BEKNOPTE SAMENVATTING!! Als iemand ze onduidelijk vindt of fouten ontdekt, laat het mij dan weten.
De regel : De verhouding van een zijde tot de sinus van de overstaande hoek, is gelijk aan de verhouding van een andere zijde tot zijn overstaande hoek.
Door gebruik te maken van deze regel kan je een ontbrekende zijde of hoek berekenden, let wel op! De sinus van supplementaire hoeken is hetzelfde, als je een hoek zoekt zul je dus steeds 2 hoeken moeten geven (tenzij dit niet mogelijk is omdat de som van de hoeken van een driehoek 180° is).
Wat ook handig is om te weten is dat je ook de sinussen als teller mag nemen en de zijden als noemer, je zal hetzelfde resultaat bekomen.
!! formule enkel toepassen bij rechthoekige driehoeken !!
Driehoek is rechthoekig in hoek C. [CA] en [CB] zijn de rechthoekszijden. [BA] is de schuine zijde of hypothenusa.
In deze driehoek geldt : c² = a² + b²
Bewijs: komt later
omgekeerd: Stel je weet niet of de hoek C rechthoekig is, maar je hebt wel alle lengtes van de zijden, dan pas je de stelling van Pythagoras toe: c² = a² + b² en als dit klopt dan is de hoek C rechthoekig of 90°.
Let wel op de letters, deze kunnen verschillen; leer dus best: Schuine zijde² = rechthoekszijde1 ² + rechthoekszijde2 ²
oefening:
1. Zijn de volgende driehoeken rechthoekig ?
a) 9cm, 12cm en 15cm b) 8cm, 11cm en 16cm
TIP: de schuine zijde is ALTIJD de langste zijde!!
2. Bereken de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek, waarvan de basis 14cm is en 1 schuine zijde 25 cm is.
DIT IS EEN ZEER BEKNOPTE VERSIE VAN DE STELLING VAN PYTHAGORAS, VOOR DE INSTPAP ( hoe hij op deze stelling is gekomen enz.) ZAL JE EEN ANDERE SITE MOETEN ZOEKEN.
Welkom op mijn blog, De bedoeling van deze blog is gewoon om wiskunde samenvattingen hier te posten, met een duidelijke uitleg en eventueel oefening zodat mensen die problemen hebben, geholpen kunnen worden. Ik zal vooral samenvattingen posten van de belangrijkste leerstof.
Vragen kan je stellen door te antwoorden op een blogbericht van mij.
- Hoe leer je nu het best een toets/examen? + tips
- Merkwaardige producten
- de cosinusregel
Over mijzelf:
Ik ben een 17 jarig meisje en zit in het 5e middelbaar (modernetalen - wetenschappen), ik krijg 5 u wiskunde. De wiskunde die aan bod komt op mijn blog is zeker niet op het niveau van een 5e middelbaar (dit omdat ik ze zelf nog niet genoeg beheers om uit te leggen). Verder wil ik weer eens de nadruk leggen op het feit dat dit beknopte samenvattingen zijn en best enkel gebruikt worden voor herhaling of verduidelijking.
Ik hoop jullie met dingen te helpen, en als er vragen zijn mogen jullie altijd reageren op een bericht (ook als de vraag niets met het bericht te maken heeft). Ook opmerkingen zijn altijd welkom!
