Een van mijn favoriete vakken die me op de universiteit werden aangeleerd moet groepentheorie zijn. Het vak bestudeerd (de naam zegt het zelf) groepen. Geen sport of muziekgroepen maar speciale wiskundige groepen. Een 'wiskundige' groep is zeer snel en eenvoudig uit te leggen.
Nee, het is niet een clubje wiskunde nerds die in een donkere kamer nieuwe theorieën bedenken en beurtelings bewijzen oplossen. Een groep in de wiskunde bestaat voornamelijk uit 2 delen, namelijk een verzameling met elementen én een bewerking (met bewerking bedoel ik bijvoorbeeld +, - , : of x ). Neem als voorbeeld anders het volgende, als verzameling nemen we alle even getallen 0,2,4,6,8,10,12,14,... en als bewerking nemen we gewoon +, de optelling.
Er moet echter wel aan enkele eigenschappen voldoen vooraleer we deze twee dingen samen nu echt een groep mogen noemen. Ik zal niet in detail treden over alle eigenschappen maar er zijn er twee die ik heel makkelijk en snel duidelijk kan maken. De eerste eigenschap zegt dat als we de gekozen bewerking uitvoeren op de gekozen verzameling dat de uitkomst weer in de verzameling moet zitten. misschien kan ik dit makkelijker aantonen met ons voorbeeld. De gekozen bewerking, in ons voorbeeld de optelling, uitvoeren op twee getallen van de verzameling, in ons geval dus twee even getallen. 8 + 10, of 6 + 4, of 14 + 12,... we merken al snel dat de uitkomst steeds weer een even getal zal zijn en dus weer in de verzameling zit. De eerste eigenschap voldoet dus al aan ons voorbeeld.
De tweede makkelijk te verduidelijken eigenschap is dat er steeds een neutraal element moet zijn voor de bewerking. Hiermee bedoel ik dat er een element in de gekozen verzameling moet zitten zodat als we er de gekozen bewerking op uitvoeren er eigenlijk niets gebeurt. In ons geval is dat element: "0", namelijk 2 + 0 = 2, of 14 + 0 = 14, 188 + 0 = 188,..... het maakt niet uit welk even getal we optellen met 0, we bekomen steeds weer het originele getal. Daarom is in onze voorbeeld groep het getal 0 het neutrale element. Stel dat we als bewerking de vermenigvuldiging hadden genomen, kan je dan achterhalen wat het neutrale element is?.....
Zo gelden er nog enkele kleine eigenschappen waaraan een groep moet voldoen maar ik zal hier zoals gezegd niet over uitwijken.
WAAR GEBRUIKEN WE GROEPEN
Groepen kunnen voor enorm veel toepassingen gebruikt worden. In de wiskunde zelf worden deze groepen echt overal gebruikt (daarom dat dit een eerstejaars vak is op de universiteit). Omdat het vak zo bestudeerd en toegepast is word het zelfs vaak opgedeeld in verschillende studies over de verschillende soorten groepen die er bestaan!
Maar als je meer geïnteresseerd bent in chemie is de kans zeer groot dat je in je loopbaan groepen zal tegenkomen. De vele chemische stoffen en materialen kunnen namelijk worden ingedeeld volgens hun symmetrie (we spreken van symmetrie als een voorwerp als twee helften van het voorwerp in een bepaalde zin elkaars spiegelbeeld zijn). En deze symmetrieën (spiegelbeelden) kunnen we beschrijven met groepen die we in de wiskunde bestuderen! Ook voor leerlingen die meer in fysica geïnteresseerd zijn komen voor dezelfde reden groepen tegen. In de fysica bestuderen we onder andere natuurlijke krachten en de natuur houdt van symmetrie...
Voor de puzzelaars onder ons bestaat er ook een enorm bekende toepassingen, de Rubic's cube. Zo een kubus is eigenlijk een mooi voorbeeld van en groep. Grofweg kunnen we als verzameling van elementen, alle mogelijke bewegingen die we met de kubus kunnen doen (bv. een stuk van de kubus een draaien, of de kubus helemaal op zijn kop zetten), en als bewerking tussen twee bewegingen nemen we simpelweg de combinatie van de bewegingen. We kunnen nu al de wiskunde die we leren tijdens het vak groepentheorie gebruiken op de rubic's cube en hem zo met behulp van wiskunde oplossen.
Modulair tellen is eigenlijk een zwaar woord om iets heel duidelijk te benoemen, namelijk tellen. Het enige waar het modulaire tellen verschilt van het dagelijkse tellen, dat we aangeleerd krijgen op school, is dat we vanaf een bepaald getal terug bij nul beginnen. Meer is er niet aan. Een moeilijk woord voor een super eenvoudig idee met enorm veel leuke en handige toepassingen.
De bekendste van deze toepassingen kennen we allemaal, namelijk het lezen van de klok. Het is nu 5 uur en morgen exact 24 uur later zal het weer 5 uur zijn, 24 uur later weer, 24 uur daarna ook weeral,...... Dit vinden we allemaal zeer vanzelfsprekend maar waarom praten we morgen niet van 5+24= 29 uur, de dag erna van 29+24= 53 uur? Omdat we telkens weer, exact om middernacht, bij nul uur beginnen te tellen. We noemen dit dan tellen modulo 24 omdat we bij 24 terug van 0 beginnen tellen. Meer zelf, eigenlijk beginnen velen zelfs elke middag weer van nul. Zo spreken we meestal van 7 uur 's avonds in plaats van 19 uur. Dit is dan tellen modulo 12. We doen dit hetzelfde met minuten, na 60 minuten komt er een uur bij en beginnen we weer bij het begin te tellen (tellen modulo 60).
Naast het lezen van de tijd gebruiken het modulaire rekenen nog op vele andere momenten. Vandaag is het maandag, en binnen zeven dagen zal dit weer zo hetzelfde zijn, of neem nu binnen 14 dagen, twee weken verder, zal het weer maandag zijn. Dit weer omdat we op een gegeven punt (zondagnacht) weer helemaal van bij het begin gaan (maandagochtend). Dit is op zijn beurt weer door te trekken tot dagen van het jaar, waar we na 31 december steeds weer bij 1januari beginnen tellen. Het spreekt voor zich dat we dit doen voor ons eigen gemak, zo verjaar ik elk jaar weer op dezelfde dag en het is voor mij voordelig dat die dag elk jaar weer '21 oktober' heet, zodat anderen hem niet vergeten.
WAAROM MODULAIR REKENEN
Wiskundigen willen altijd een stapje verder gaan en ze zijn zich verschillende vragen beginnen stellen. Kunnen we moeilijke vragen sneller oplossen door niet alleen modulair te tellen maar ook modulair te rekenen? Deze vraag was snel opgelost. We kunnen weer het voorbeeld van de klok nemen waar we modulo 24 rekenen.
5 + 24 = 5 of 5 + 48 =5 wat we doen is 24 of elk veelvoud ervan gelijkstellen aan 0. eigenlijk stond er in de vorige sommen dus 5 + 0 = 5
Een andere vraag van een wiskundige was of we naast de voorgaande voorbeelden nog andere manieren vinden om dit systeem in ons dagelijkse leven te gebruiken? En ook hier hebben enkele slimme koppen een positief antwoord gevonden. We kunnen deze gekke manier van tellen en rekenen gebruiken in verschillende toepassingen. Het grootste deel van die toepassingen zijn er om controles uit te voeren.denk maar aan bankrekening nummers, of aan de cijfertjes die onderaan streepjescodes staan (en we weten allemaal hoeveel deze gebruikt worden)!
Zoals je merkt is het een idee dat dagelijks gebruikt word, dikwijls weten we het (datums, en kloklezen) maar heel dikwijls ook zonder dat we ons er bewust van zijn (streepjescodes, rekeningnummers, online bankieren, zelfs het ontcijferen van sommige geheime codes,...).
Toch verrassend hoeveel we vreemd beginnen tellen, niet?
0
1
2
3
4
5
- Gemiddelde waardering: 0/5 - (0 Stemmen) Categorie:Toepassingen voor elke dag
24-03-2013
WAAROM WISKUNDE
Beste leraars en leerlingen,
graag stel ik u mijn project voor om wiskunde boeiender te maken voor leerlingen.
idee: Leerlingen hebben over het algemeen de indruk dat wiskunde saai, nutteloos, overbodig, moeilijk,... is. Maar de wiskunde die we op school zien is dikwijls slechts de top van de ijsberg. Er zijn onnoemelijk veel interessante, nuttige en vaak verrassend leuke toepassingen van eerstegraads-niveau wiskunde. Met dit project wil ik voor de leerlingen deze wereld van leuke wiskunde openen en ze warm maken voor een wiskundig keuze richting. Deze worden namelijk door de voorgaande redenen snel opzijgeschoven waardoor ze veel te weinig gekozen worden.
doelpubliek:
aangezien ik vooral mensen wil aansturen meer wiskunde te gaan studeren, richt ik mijn pijlen op eerstegraads-studenten die voor
de keuze van een studierichting staan.
Contact info: waarom wiskunde btw-nr.: 0523.962.524. Giedts Tom
Jules Draeyersstraat 5 bus 4 2610 Wilrijk waaromwiskunde@hotmail.com
0
1
2
3
4
5
- Gemiddelde waardering: 0/5 - (1 Stemmen) Categorie:Info voor leraars en scholen
23-03-2013
PROEFLESSEN
Ik heb bij wijze van try-out de les al voor een 1ste en 2de jaar in een campus van de sint-norbertusschool. Hier heb ik de reacties van het 2de jaar die ik per mail van de lerares van deze groep doorgemaild kreeg.
(de reacties van de andere klas kreeg ik schriftelijk van de leerlingen zelf en leunen zeer sterk aan bij deze van de mail)
Tom, Bij deze het verslag van de lln...
7/10 - 4 lln 8/10 - 10 lln 9/10 - 4 lln - interessant en boeiend (bijna iedereen) - soms een beetje saai (2 lln) - trukjes waren 'megagaaf' (bijna iedereen) - iets luider praten volgende keer, ik kon niet alles goed horen (5lln) - ik zou nog iets meer willen weten over de verschillende onderdelen van wiskunde (1lln) - soms een beetje te moeilijk (2 lln) - tip: iets enthousiaster zijn, u bent precies wat verlegen (4 lln) - sommige woorden begreep ik niet (3 lln) - zeer mooie presentatie (2 lln) - u mag uzelf beter voorstellen (4lln) - ik vond de priemgetallen het leukste (2 lln)
Nog enkele citaten: - Poolse jongen: 'wist u dat diegene die de enigmacode heeft gekraakt een pool was? Dat kan u volgende keer misschien zeggen.. ' - het was niet moeilijk en als iets toch moeilijk was vroeg hij of we het snapten. Als we het niet begrepen dan legde hij het uit. - leukste wiskundeles ooit (sorry mevr. xxxxx, u doet dat ook goed) - powerpointding was wel graaf - ik zou wel willen dat hij nog een keer komt
Druk op onderstaande knop om een berichtje achter te laten in mijn gastenboek
Over mijzelf
Ik ben Giedts Tom
Ik ben een man en woon in Wilrijk (Antwerpen) (Belgium (BE)) en mijn beroep is bediende.
Ik ben geboren op 21/10/1986 en ben nu dus 38 jaar jong.
Mijn hobby's zijn: Wiskunde, auto's, film, muurklimmen.
'
