35 jaar geleden slaagden we erin  taboe rond de formalistische   Moderne Wiskunde  open te breken

 Raf Feys 

1   Moderne wiskunde: een vlag op een  modderschuit’ (1982) deed wiskunde-tij keren   

Precies 35 jaar geleden slaagden we er in het wiskunde-tij te doen keren en het taboe op kritiek op de Moderne Wiskunde te doorbreken. In april 1982 startten we onze campagne tegen de ‘Moderne Wiskunde’ met de publicatie van een themanummer van Onderwijskrant met als uitdagende titel: Moderne Wiskunde: een vlag op een modderschuit (Onderwijskrant nr. 24). Mede door de ruime aandacht in de pers lokte die publicatie enorm veel instemmende reacties uit vanwege de leerkrachten en de gewone burgers. Een jaar later volgde een druk bijgewoond colloquium over ‘Welke wiskunde voor 5- à 15-jarigen’ in het Congressenpaleis (Brussel) waar we het samen met prof Hans Freudenthal opnamen tegen de NewMath-voorstanders als prof. Roger Holvoet. 

In mei 1982 bleek duidelijk dat het wiskundetij gekeerd was. Sindsdien verschenen geen bijdragen meer over de vele zegeningen van de ‘moderne wiskunde’. Ook het taboe op kritiek op de M.W. was ‘bijna’ doorbroken. De inspecteur-generaal van het technisch onderwijs G. Smets schreef ons in 1982:   “Mensen aan de top werden destijds omgekocht om te zwijgen over de Moderne Wiskunde’ (zie punt 2). We mochten echter in 1982 zijn naam niet openlijk vermelden.   Na het verschijnen van ‘Moderne Wiskunde: een vlag op een modderschuit’ in april 1982 kregen we wel nog veel kritiek te verduren vanuit de hoek van de propagandisten van de moderne wiskunde, van Papy-sympathisanten, van de Leuvense professoren Roger Holvoet en Alfred Warrinnier, van inspecteurs die meegewerkt hadden aan methodes ‘moderne wiskunde’, van de hoofdbegeleider van de katholieke onderwijskoepel basisonderwijs ... Sommigen vonden zelfs dat we omwille van onze kritiek op de ‘moderne wiskunde’ ontslagen moesten worden als lerarenopleider en coördinator van de Torhoutse Normaalschool. Enkele jaren later nam een van onze tegenstanders,  prof. A. Warrinnier,  wel expliciet afstand van de moderne wiskunde in het lager en secundair onderwijs.  

1+1=2 zou je denken, maar merkwaardig genoeg stond de aanpak van het reken- en wiskundeonderwijs de voorbije 50 jaar geregeld ter discussie – ook voor het lager onderwijs. Tot ongeveer 1970 was er weinig discussie over het reken- en wiskundeonderwijs in de basisschool. Er was een brede consensus, zowel bij de praktijkmensen als bij de vakdidactici. De leerplannen wiskunde in de verschillende landen geleken sterk op elkaar. De visie van de praktijkmensen is overigens steeds ongeveer dezelfde gebleven.   Sinds ongeveer 1970 worden er wereldwijd wiskunde-oorlogen uitgevochten. Zelf besteedden we vanaf 1970 enorm veel tijd aan de bestrijding van twee extreme visies die een bedreiging vormen voor de klassieke rekenkennis - en vaardigheden: vanaf 1970 de hemelse & formalistische Moderne Wiskunde’; en vanaf 1988 de ‘constructivistische, contextuele en aardse wiskunde’ van het Nederlandse Freudenthal Instituut en van de VS-Standards.  De hemelse moderne wiskunde zweeft al te veel. Het andere extreem, de constructivistische en aardse wiskunde, komt niet van de grond. In deze bijdrage beperkten we ons tot de strijd tegen de formalistische MW. In de volgende bijdrage tonen we aan dat de constructivistische wiskunde jammer genoeg doordrong in de eindtermen/leerplannen voor de eerste graad s.o.   

2 Taboe op MW-religie doorbreken:   ‘topmensen werden omgekocht om te zwijgen’  

Met onze wiskunde-campagne van 1982 wilden we vooral het taboe rond de MW doorbreken. Als gevolg van de campagne durfden een aantal mensen voor het eerst hun gedacht over de MW uiten. Er rustte al sinds 1968 een taboe op de M.W. De Luikse professoren Pirard en Godfrind formuleerden analoge kritiek in La Libre Belgique, 11.03. 1980, als de onze. En ook zij protesteerden tegen het taboe op de M.W.: “La mathématique en Belgique n’est plus une science, c’est une religion. Tout professeur qui veut s’écarter de la Bible de Papy est taxé d’hérisie.“ Dit was precies ook wat we zelf sinds 1970 hadden meegemaakt in Vlaanderen.   

In hun betoog toonden de Luikse profesoren ook aan dat de MW een formalistische theorie was die nergens meer naar de werkelijkheid verwees,  ontsproten was aan het brein van enkele wiskundigen, maar niet interessant was voor het lager en secundair onderwijs.

De reactie van prof.em. Karel Cuypers op onze MW-campagne was vrij revelerend. We citeren even uit zijn brief die later ook werd opgenomen in ‘Persoon en Gemeenschap, september 1984. Cuypers: “Sinds mijn aanvankelijke sympathie voor de New-Math-vernieuwing die mij als ‘wonderlijk’ voorkwam, voelde ik wel dat de Papyisten (de groep rond de Brusselse prof. Georges Papy gesteund door de Brusselse onderwijsminister Vermeylen) als hypnotiseurs de schoolwereld hebben geleid. Zelden is een opvoedkundige vernieuwing gebeurd in zo’n klimaat van doordringend ideologisch engagement als het ‘new-math’-fenomeen.   Over de hele wereld werd een overmacht verleend aan enkele profeten die een spectaculair overtuigingsvertoon met een hypnotische overdondering konden organiseren. Door de omringende betovering gingen de leraars middelbaar onderwijs braafjes op de schoolbanken zitten om bijscholingslessen te volgen, die opvallend theoretisch en weinig helpend-didactisch uitvielen. De toestand was zo geëvolueerd, dat wie niet sterk stond in de leer van de verzamelingen, niet eens het woord durfde nemen, uit vrees voor onwetend of dom tegen de muur te worden geplaatst”. Ook de vele misnoegde leerkrachten durfden niet openlijk reageren.”  Op congressen werd wie niet akkoord ging  als conservatief bestempeld. 

De inspecteur-generaal van het technisch onderwijs, G. Smets, schreef ons in een brief als reactie op de ’Modderschuit-publicatie’ van 1982:  “Prof. Georges Papy had sterke politieke relaties (o.m. onderwijsminister Vermeylen) en ambities. Zijn voordrachten te Brussel en elders waren veeleer politieke meetings dan wetenschappelijke mededelingen. Zijn vrouw Frédérique ontving van de toenmalige minister ook grote bijdragen om met de moderne wiskunde te experimenteren vanaf het kleuteronderwijs. En dan waren er ook nog de vele uitgevers die brood zagen in een omwenteling van de wiskundeleerboeken. Aan de top werden heel wat mensen letterlijk omgekocht.” 

 Ook ex-inspecteur- wiskunde E.H. Joniaux getuigde in een brief dat de invoering van de M.W. te danken was aan de vriendjespolitiek van het ministerie. Hij schreef: “Geachte heer Feys, eindelijk durft iemand openlijk in opstand komen. Moderne wiskunde – en dat heb ik reeds gezegd vanaf haar eerste verschijnen – is de ‘filosofie’ van de wiskunde, maar geen wiskunde. En wie dat aan kinderen van 6 tot 15 jaar wil aanleren, moet toch in zijn hersenen veel kronkels hebben. Men wou nu de kinderen daarmee volstoppen – en dit vanaf de kleuterschool.” 

 Joniaux bezorgde me ook de al vermelde kritische bijdrage van de Luikse professoren Pirard en Godfrind. Zij schreven o.a.: “Veel wetenschapsmensen, nobelprijswinnaars fysica incluis, wijzen erop dat hun wetenschap geenszins gebaat is met de verzamelingentheorie, maar wel met toepasbare wiskunde. De wetenschapsmensen protesteren omdat ze nog aan hun studenten veel belangrijke zaken van het ABC van de toepasbare wiskunde moeten aanleren.” We hadden zelf al in 1973 gelezen dat ook de Duitse nobelprijswinnaar Carl Von Weizsäcker zich verzette tegen de invoering van MW in het onderwijs. De  Nederlandse prof. Hans Freudenthal slaagde er in Nederland in de MW buiten het lager onderwijs te houden. 

 Pirard en Godfrind schreven verder: “Prof. Georges Papy, was geen uitvinder maar veeleer een importeur van de handboeken wiskunde van Revuz in Frankrijk. Papy beschreef de wiskunde graag als een dichterlijke droom en stelde: ‘De wiskunde is geen wetenschap, maar een kunst en een droom. De wiskundige is een kind of een dichter die zijn droom tot werkelijkheid maakt’ (Berkeley, VVW-Lcongres). Volgens Pirard en Godfrind “ervoeren veel leerlingen deze wiskundige dromen eerder als een nachtmerrie.”

 De supersonische opkomst van de moderne wiskunde was dus slechts mogelijk dankzij de invloed, de sponsoring  en de hervormingsdruk vanwege  minister Vermeylen en een paar topambtenaren waardoor Papy het monopolie inzake wiskundeonderwijs kreeg en de invoering werd opgelegd.  De beleidsmakers investeerden ook enorm veel centen in TV-programma’s, bijscholing, in wiskundecongressen en -studiedagen van de Papy-groep in luxueuze hotels in Knokke, e.d. Merkwaardig was ook hoe de onderwijskoepels en begeleiders de Papy-refreintjes over de MW als de wiskunde  van de derde industriële revolutie’, gretig overnamen en lieten merken dat ze onze kritiek geenszins lustten.  

 Op debatten over het wiskundeonderwijs werden niet enkel professoren, maar ook wij hooghartig de mond gesnoerd met dergelijke refreintjes. We hadden zogezegd geen aandacht voor de toekomst, voor de wiskunde van de derde industriële revolutie, de wiskunde die volgens de nieuwlichters in Japan, Rusland ... al tot veel  economische successen had geleid. We stelden  in 1973  dat in veel landen de MW al weer op de terugtocht was en dat die MW vermoedelijk niet eens de 21ste eeuw zou halen. We vonden geen gehoor en het nieuwe leerplan MW werd in 1976 ook in het lager onderwijs ingevoerd en voorgesteld als een enorme stap vooruit, als verlossing ook uit de ellende van het klassieke wiskundeonderwijs.

3     Kruistocht tegen MW (1970-1982)

3.1  Ons verzet in periode 1970-1981

In de jaren 1968 -1969 kwamen we heel even in de ban van de barnumreclame voor de moderne wiskunde die door de propagandisten voorgesteld werd als de wiskunde van de derde industriële revolutie. We volgden als student enkele spreekbeurten aan de KU-Leuven en enkele lessen van Alfred Vermandel.   

Onze sympathie duurde niet lang. We namen vanaf 1971 afstand van de formalistische & abstracte MW, We deden begin de jaren zeventig ons uiterste best om de verantwoordelijken van de onderwijskoepels ervan te overtuigen dat we de ‘moderne wiskunde’ niet mochten invoeren in het lager onderwijs. We deden dit ook op het VLO-Startcolloquium van 1 september 1973 in het Congressenpaleis. In oktober 1974 publiceerden we in ‘Persoon en Gemeenschap’ een bijdrage over de MW. We schreven dat het nieuwe ontwerp-leerplan vanaf het eerste leerjaar wou gebruik maken van een formalistische wiskundetaal, van een onverteerbare hoop nieuwe termen en notaties; kortom: overbodige dikdoenerij. We vermeldden ook dat er al in landen als de VS, Japan, Duitsland, Nederland ... veel kritiek kwam op de ‘moderne wiskunde. In de VS: Davis, Beberman, Rosenbloom, Page, Scott... In Duitsland nam Nobelprijswinnaar Carl von Weizsäcker  het voortouw, in Nederland prof. wiskunde Hans Freudenthal. In Vlaanderen namen wij het voortouw. 

 We waarschuwden in 1974 ook dat indien we in het lager onderwijs het verkeerde pad van de Moderne Wiskunde zouden kiezen, het dan heel moeilijk zou worden om dit op korte termijn weer te verlaten. (Het duurde 22 jaar vooraleer er in 1998 een nieuw leerplan kwam zonder Moderne Wiskunde.)  Jammer genoeg werd de New Ma(d)th toch in 1976 in het lager onderwijs ingevoerd - tegen de visie van de praktijkmensen in. Onze kritieken werden hooghartig weggewuifd door de Papy-vereniging, door academici, door leerplanontwerpers, door begeleiders wiskunde ... We merkten ook dat niet enkel leerkrachten, maar ook inspecteurs, professoren .... niet eens voor hun mening durfden uitkomen; tegenspraak werd niet geduld (zie punt 2). 

 Enkele van onze kritieken op de ‘Moderne wiskunde’.  *te formalistisch, ‘hemelse’ (zwevende) wiskunde  *te vroegtijdige abstractie *veel verbale dikdoenerij en verbale ballast  *achteruitgang van de klassieke componenten van rekenvaardigheid (rekenen, memoriseren, automatiseren…)  *ten koste van het toepassingsaspect van de wiskunde ( klassieke vraagstukken, metend rekenen e.d. )  *klassieke rekenen in keurslijf van formele logica Voor meetkunde betekende dat b.v.: driehoek= verzameling van punten op omtreklijn; evenwijdige als reflexieve, transitieve, symmetrische relatie, enz. Hoe meer pijlen, hoe meer lust).   

*Te weinig respect voor de klassieke vakdiscipline wiskunde als cultuurproduct.  *Onhaalbaar voor veel leerlingen: waardoor al te veel leerlingen na het derde leerjaar moeten overstappen naar het buitengewoon onderwijs.  *Veel ouders kunnen kinderen niet meer begeleiden. *MW beklijft te weinig. Ook bij studenten van de lerarenopleiding stelden we vast dat al te weinig van dit soort wiskundeonderwijs was bijgebleven.  In punt 5 illustreren we uitvoerig hoe de meetkunde in het keurslijf van de MW werd gestopt en zo totaal formalistisch werd.   Als alternatief opteerden we in 1982 voor het actualiseren en afstoffen van de vele goede elementen en aanpakken uit de wiskunde-traditie in ons lager onderwijs, aangevuld met een aantal  recente zaken als driedimensionele meetkundige voorstellingen. We voerden dit later uit in het leerplan van 1998.   

3.2 Wiskunde-campagne 1982: MW: een vlag op  een modderschuit & doorbreking taboe

In de jaren 1978-1982 verschenen enkele bijdragen waarin de voorstanders van de ‘Moderne Wiskunde’ de vele zegeningen van dit soort wiskunde breed etaleerden. Begin 1982 schreef T. De Groote triomferend: “Waar rekenen voor de meeste kinderen vroeger een zweepslag betekende, kan het nu voor hen een fantastische beleving worden in een fascinerende wereld.” En De Groote fantaseerde verder: “dat de minder begaafde leerlingen nu ook beter aan hun trekken kwamen” (Persoon en Gemeenschap, jg. 28, p. 35-36). In mijn contacten met de praktijk zag ik echter geen fascinerende wereld opdagen, maar schijnresultaten in schijnrealiteiten & zwakkere leerlingen die afhaakten. 

 Die bijdragen over de vele zegeningen van de MW voor het lager onderwijs, waren voor mij de prikkel om met Onderwijskrant een campagne tegen de ‘Moderne Wiskunde’ op te starten.. Met de publicatie van ‘Moderne wiskunde: een vlag op een modderschuit’ (Onderwijskrant nr. 24) en de eraan verbonden wiskundecampagne, konden we in 1982 het wiskunde-tij keren. Sindsdien verschenen er geen bijdragen meer over de vele zegeningen. Het duurde wel nog tot 1998 vooral er een nieuw leerplan kwam waarin de rubrieken moderne wiskunde werden geschrapt. 

 Als eerste stap in de campagne werden in april 1982 tweeduizend exemplaren van het rapport ‘Moderne Wiskunde: een vlag op een modderschuit’ verspreid. De campagne kreeg veel  respons in de kranten: De Morgen, Het Volk, Het Nieuwsblad, Libelle.... De artikels over onze campagne in vier dagbladen en twee weekbladen waren heel belangrijk voor het verspreiden van de ideeën en het doorbreken van het taboe. Een aantal mensen durfden voor het eerst hun mening uiten - ook op papier. We ontvingen veel enthousiaste reacties.

3.3 Latere steun van professoren wiskunde:   bekeerling Alfred Warrinnier (1987) e.a. 

In 1982 botsten we nog op veel weerstand vanwege een aantal professoren wiskunde (Holvoet, Warrinnier e.d.), begeleiders wiskunde ... Enkele van hen bekeerden zich wel naderhand. 

De Leuvense prof. Alfred Warrinnier stuurde nog in 1983 zijn vrouw naar het wiskunde-colloquium om me in de val te lokken met de vraag of de pedagoog Feys eens precies wou definiëren wat wiskunde volgens hem precies inhield. Een pedagoog mocht/ kon zich niet (kritisch) uitlaten over het wiskundeonderwijs. Maar in 1987 gaf Warrinnier zelf toe dat de invoering van moderne wiskunde een slechte zaak was – ook in het s.o. Hij schreef in De Standaard van 25 juli 1987 o.a. “De 11-, 12- en 13jarige was niet klaar om de zeer abstracte ondertoon van de verzamelingen-relatie-functie-opbouw, de algebraïsche structuren e.d. te verwerken. De hervorming van het wiskundeonderwijs is de facto mislukt’. Vijf jaar na onze wiskunde-campagne gaf onze universitaire tegenstander van weleer ons dus gelijk. Waar wij ons in 1982 nog concentreerden op het lager onderwijs, werd onze kritiek een aantal jaren later ook doorgetrokken naar het s.o. en een paar professoren wiskunde deden hier aan mee (zie punt 4).

4 MW: een kind van het structuralisme   van de jaren 1930-’40

4.1     Docenten wiskunde onderschreven  jaren later onze kritiek van 1982

In de ‘Modderschuit’ illustreerden we uitvoerig   “dat de MW van de Bourbaki-groep niet los gezien kon worden van de structuralistische en logisch-formalistische trend binnen het wetenschappelijk denken vanaf de dertiger jaren en zo tot een formalistisch aanpak leidde. In punt 4.2 gaan we hier uitvoerig op in. Maar eerst staan we even stil bij de (latere) kritiek van docenten wiskunde die onze vroegere kritiek bevestigden.  

In het weekblad ‘Intermediair’ van 8 maart 1994 situeerden de Leuvense wiskundedocenten Dirk Janssens en Dirk De Bock  de opkomst van de M.W.  “De beweging voor de ‘moderne wiskunde’ was typisch voor mensen die slechts in een theoretische aanpak geloven: men zou één uitgangspunt gebruiken waaruit alle onderdelen van de wiskunde netjes konden opgebouwd worden. Achteraf bleek dat een illusie. De MW ontstond vanuit de meest vooruitgeschoven posten van het vakgebied zelf en sloop pas achteraf het onderwijs binnen.

In de jaren 1930 vond een min of meer revolutionaire ontwikkeling plaats. De zogeheten Bourbaki Groep had ambitieuze plannen om de volledige wiskunde te beschrijven op een heel systematische manier, vertrekkende van axioma’s en de leer van de verzamelingen. Zij wilden een prachtig systeem afleveren, waar geen speld is tussen te krijgen. Pas later werd dit het model voor de opbouw van de wiskunde als wetenschap gekozen als model voor de opbouw van het onderwijs in de wiskunde.   

Revelerend was daarbij dat deze moderne wiskunde nergens pedagogisch onderbouwd was. Daarmee was de mislukking van het hele experiment al bij voorbaat ingebakken. Dit zoeken naar (formele) grondslagen is slechts zinvol voor mensen die zich al een zekere wiskundecultuur hebben eigen gemaakt, maar is daarom nog niet geschikt om de wiskunde aan te leren aan wie er nog niets van afweet. Dat bleek een pedagogische illusie te zijn. Maar dit soort pedagogische discussie werd destijds niet gevoerd, de moderne wiskunde werd vanaf 1968 zonder meer verplicht voor alle leerlingen van het secundair onderwijs. In de jaren 1970 volgde ook het basisonderwijs. ... 

 De drang naar steeds meer abstractie (lees: formalisme) maakte de wiskunde gaandeweg onbegrijpelijk voor niet-ingewijden. Dat er b.v. door een punt buiten een rechte precies één rechte gaat die met de gegeven rechte evenwijdig is werd nu: ‘een rechte is een partitie van het vlak’ en een begrip als lengte werd ingevoerd als een klasse van congruente lijnstukken.” Die kritiek van 1994  bevestigde  dat onze analyse van 1982 ook toepasselijk was op de MW in de eerste graad s.o.    

Op een symposium van het tijdschrift ‘Uitwiskeling’ van 13 november 1994 noteerden we analoge kritieken. Eén van de deelnemers, Guido Roels (begeleider wiskunde bisdom Gent) beantwoordde de volgende dag in ‘Voor de dag’ de vraag waarom het zo lang geduurd had vooraleer de wiskundigen inzagen dat Moderne Wiskunde een vergissing was. Volgens Roels kwam dit omdat de wiskundigen gefascineerd geraakten door het feit dat ‘de Moderne Wiskunde’ zo mooi in elkaar stak’ en niet zagen dat deze opbouw niet werkte in klas. Toch merkwaardig dat het zo lang moest duren tot men dit inzag en dat de kritiek in het buitenland en onze kritiek sinds 1971 niet beluisterd werd.   

4.2  Structuralistische en logisch-formalistische   aanpak  

In de ‘Modderschuit’ toonden we ook aan “dat de Bourbaki-wiskunde niet los gezien kon worden van de structuralistische en logisch-formalistische trend binnen het wetenschappelijk denken vanaf de dertiger jaren. Het structuralisme als wetenschappelijke methode probeerde in de meest uiteenlopende verschijnselen dezelfde patronen, wetmatigheden, structuren ... te ontdekken. Het ontwikkelde ‘grammaticale’, ‘omvattende’ begrippen en een formeel-logische taal om die te benoemen. Vanuit de formalistische/ grammaticale benadering zag men b.v. in de begrippen ‘is evenwijdig met’ en ‘is veelvoud van’ eenzelfde grammaticale structuur; bij beide begrippen ging het volgens die benadering om b.v. een geval van ‘reflexieve relaties’: een getal is veelvoud van zichzelf een evenwijdige is ook evenwijdig met zichzelf - en een reflexieve relatie werd met een ’lusje’ voorgesteld.    

De uit de werkelijkheid bekende dingen (b.v. evenwijdige, hoek, veelvouden van getallen ...) worden in kunstmatig geschapen relaties quasi onafhankelijk van hun betekenis ingezet; ze zijn vooral interessant als elementen van een verzameling, als doorsnede, als koppel, reflexieve relatie...  Aanschouwelijk en pragmatisch gezien hebben b.v. de begrippen  ‘evenwijdig’ en ‘is veelvoud van’  niks gemeen.   

Men probeerde alle begrippen te benaderen en te ordenen met behulp van een formele logica en een soort ‘grammaticale’ begrippen. De structuralistische benadering bediende zich van de deductieve aanpak en van de formele logica als wetenschappelijke instrumenten. Men koos dus voor een hervorming van  structureel-formalistische aard.  Dit  leidt toe een uitholling van de realiteitswaarde van het wiskundeonderwijs.   

De 'moderne wiskunde'  verschraalde dus tot een leerstofvernieuwing waarbij niet langer het wiskundegebruik, maar de wiskunde-beschouwing, i.c. het aanleren van een structuralistische grammatica,   centraal staat. Vanuit onze scriptie over de psycholoog Jean Piaget die destijds als het boegbeeld van de moderne wiskunde werd opgevoerd, wezen we  in de ’Modderschuit’  ook op het verband met het structuralisme binnen de psychologie. Ook Piaget maakte gebruik/misbruik van de formele logica als taal om zijn bevindingen te formuleren. In het filosofisch werk van prof. Leo Apostel troffen we de eveneens logisch-positivistische en structuralistische benadering van de zgn. Wiener-Kreis aan. Apostel zocht naar formeel-logische systemen (talen) om de wetmatigheden in de meest diverse wetenschappelijke disciplines (linguïstiek, psychologie, economie)... te beschrijven. De wat oudere Apostel nam hier wel afstand van. Apostel werd rond 1990 overigens een medestander in de strijd tegen de constructivistische wiskunde van het Nederlandse Freudenthal Instituut. 

 We verwijzen nog even naar een gelijkaardige analyse van Eddy Daniëls in Intermediair, 8 maart 1994. Daniëls: “Het interbellum was de fase waarin men de loopgraven van de eerste oorlog probeerde te vergeten. Men wilde daarom alle filosofische inspanningen richten op een volstrekt deductieve taal die alle misverstanden zou elimineren.” Ook de logisch-positivisten van de Wiener-Kreis en de jonge Wittgenstein waren volgens hem in dit bedje ziek. De Bourbaki-groep ontwikkelde volgens Daniëls een formele wiskundetheorie die fundamenteel vervreemdde van de realiteit, die in plaats van een bevrijdend karakter veeleer verdrukkend werd. “Want zij ontwierp een denkrichting die de spontane drang tot leren bij kinderen en jongeren letterlijk onderdrukte.”

5   Meetkunde in keurslijf van MW = formalisme

Bij de intrede van de 'moderne wiskunde' (New Math) krijgen we naast het behoud van een aantal klassieke onderwerpen tegelijk een radicale breuk met de traditionele aanschouwelijke en functionele aanpak: • een streng logisch-deductieve opbouw; • de meetkundige begrippen (vlak, rechte, evenwijdige, hoek, driehoek, rechthoek … ) worden in de formele en abstracte taal van de relaties en verzamelingen gestopt; • abstracte en hiërarchische classificatie van vlakke en ruimtelijke figuren, in het leerplan van het rijksonderwijs vanaf het tweede leerjaar *sterke uitbreiding van het leerplan & te weinig aandacht voor de klassieke benadering

 Vanuit de optie voor een logisch-deductieve opbouw verantwoordde  inspecteur R. Barbry waarom pas in het vierde leerjaar gestart mocht worden met de vormleer. Hij schreef: "We vertrekken pas in het vierde leerjaar van het vlak pi, zijnde een oneindige verzameling punten. Geleidelijk worden door afgrenzen (deelverzamelingen: rechten, figuren…) de belangrijkste eigenschappen en rijkdom van het vlak pi ontdekt. We doen hierbij veelvuldig een beroep op de taal van verzamelingen en relaties. Pas in het vierde leerjaar is de basis aanwezig om te starten met vormleer, om de verzamelingen- en relatietaal te kunnen toepassen" (Barbry, 1978). De 'moderne wiskunde' zag over het hoofd dat kinderen zich vanaf de geboorte ruimtelijk oriënteren en dat de kleuters allerhande figuren  kunnen en moeten leren verkennen op een aanschouwelijke wijze.

Begrippen in keurslijf verzamelingenleer

Traditionele begrippen werden in het keurslijf van de verzamelingenleer gestopt. Leerkrachten moesten uitleggen dat een (begrensd) lijnstuk ook een oneindige verzameling punten is, omdat men die puntjes altijd maar kleiner kan maken. Evenwijdigen werden voorgesteld in een verzameling met lege doorsnede (ze hebben immers geen punten gemeen), en als reflexieve relatie met een luspijl: elke rechte  is immers ook evenwijdig met zichzelf.  

Een hoek werd omschreven en voorgesteld als de verzameling punten van twee halve rechten (benen van de hoek) met hetzelfde beginpunt (hoekpunt). Die punten werden met een verzameling voorgesteld en de kinderen moesten leren dat de punten die tot de  klassieke hoeksector behoren, niet tot de hoek (verzameling) behoren.  Een driehoek werd veelal voorgesteld als 'een gesloten gebroken lijn, bestaande uit drie lijnstukken; voorgesteld met een venndiagram behoorden de punten binnen de omtrek van de driehoek niet langer tot de driehoek.

Vormleer = rubricitis  

Een aanzienlijk deel van het vormleeronderwijs werd in beslag genomen door het logisch-hiërarchisch classificeren en deductief uitbouwen van het netwerk van de vlakke en ruimtelijke figuren. Men vertrok steeds van de meer algemene (=lege) begrippen. Dit betekent bv. dat de rechthoek en het vierkant de meer specifieke of gevulde begrippen) voortaan helemaal achteraan het lijstje kwamen. Het leerplan van het rijksonderwijs vermeldde al als doelstelling voor het tweede leerjaar: "In de verzameling der veelhoeken kunnen rubriceren met als criterium: evenwijdigheid-gelijkheid der zijden of hoeken; en kunnen voorstellen in een ven-diagram." Vanuit de nieuwe formalistische omschrijvingen (bv. een vierkant is een rechthoek met vier gelijke zijden, een     parallellogram met…) kon men een quasi onbeperkt aantal rubriceer-opdrachten bedenken.

 Vormleer ontaardde tot een systeem van definities en logisch-hiërarchische classificaties .Men koos voor de volgorde van de meest algemene figuren (=ruime omvang, arme inhoud) naar de meest bijzondere (rijke inhoud, kleine omvang). Waar vroeger eerst de meer specifieke, rijke en alledaagse figuren behandeld werden (bv. vierkant en rechthoek) met hun aanschouwelijke kenmerken, vertrok men nu van trapezium en parallellogram. 

 Men leerde de kinderen het vierkant omschrijven en herkennen als een bijzonder soort rechthoek, ruit, parallellogram, … Het vierkant kwam het laatst aan bod en werd als een deelverzameling van een rechthoek, een ruit … beschreven. Een rechthoek werd aldus een trapezium waarvan alle hoeken recht zijn, maar evengoed een parallellogram met 4 (of ten minste één) rechte hoeken, enz.. Zulke hiërarchische (onderschikkende) omschrijvingen waren vrij abstract en variabel, veel complexer dan de vroeger op de aanschouwing steunende opsomming van de verschillende (aanschouwelijke) begripskenmerken. We konden aldus niet meer vanaf de kleuterschool aansluiten bij de intuïtieve begrippen die de kinderen al gevormd hadden en die vooral betrekking hebben op de rijkere en mooie figuren. Het ging zover dat sommige leerplanontwerpers aanraadden om de vierkante logiblokken niet langer vierkant te noemen, maar 'tegel', want volgens de moderne wiskunde was een vierkante logiblok evenzeer een soort rechthoek, ruit, parallellogram … Een begeleidster wiskunde maakte de leerkrachten zelfs wijs dat kleuters niet spraken over vierkant, rechthoek, driehoek, maar respectievelijk over tegel, deur en dak. En pas in het vierde leerjaar mochten de meetkundige termen. Het vierkant mocht evenwel pas als laatste in het rijtje gepresenteerd worden én als een deelverzameling van de verzameling vierhoeken, trapezia,  parallellogrammen, rechthoeken en  ruiten.  

6 Wat leert MW als rage en onaantastbare  religie ons over rages?

In deze bijdrage verwezen we uitvoerig naar onze wiskunde-campagne van 1982, naar de achtergronden van de MW en naar de MW als een soort religie waarop geen kritiek mocht geformuleerd worden. Rages vertonen steeds kenmerken van religies. Wie niet meedoet wordt als een afvallige beschouwd. MW is een van de vele rages in ons onderwijs van de voorbije 50 jaar. We kunnen er veel uit leren.

De MW-propagandisten hingen vooreerst een karikatuur op van de klassieke wiskunde en van de veelzijdige methodische aanpakken. Ze wekten ten onrechte de indruk dat het vroeger enkel om geheugenwerk ging. De nieuwlichters pakten uit met de MW als de wiskunde van de toekomst, de wiskunde van de derde industriële revolutie - net als vele nieuwlichters de voorbije jaren uitpakken met de zgn. 21ste eeuw skills   Zo werd prof. Kris Van den Branden door de VLOR-vrijgestelden uitgenodigd om op de VLOR-startdag van 17 september 2015 te komen verkondigen dat het Vlaams onderwijs hopeloos verouderd is. Hij pleitte er voor onderwijs voor de 21ste eeuw met nietszeggende sleutelcompetenties als ‘de taal doen werken’. 

 De supersonische opkomst van de moderne wiskunde was slechts mogelijk dankzij de invloed en druk vanwege het ministerie (minister Vermeylen en topambtenaren) waardoor prof. Papy & Co het monopolie kregen; en dankzij de vele propaganda van allerhande beleidsverantwoordelijken.  Ook in Vlaanderen deden de voorbije 25 jaar de beleidsmensen en de VLOR steeds een beroep op professoren als Kris Van den Branden  en Piet Van Avermaet het  voor onderwijsvoorrangs- en taalbeleid-beleid, voor de  GOK-Steunpunten ...  Zij verwierven een soort monopolie - ook al  was hun aanpak ineffectief en zelfs contraproductief.  Critici van de MW, ook professoren en zelfs directeur-generaals s.o. en inspecteurs, werden van hogerhand het zwijgen opgelegd.  De directeur-generaal technisch onderwijs Smets betuigde in 1982 zijn volle steun voor onze MW-campagne, maar wou niet dat zijn naam vermeld werd. Op vandaag is de censuur en zelfcensuur groter dan ooit. We stelden dit recentelijk ook weer vast i.v.m. het M-decreet. 

 De MW-nieuwlichters pakten niet enkel uit met kwakkels over ons hopeloos verouderd wiskundeonderwijs, maar ook met fabeltjes over de uitstekende economische resultaten van landen als Japan, Rusland ... die de moderne wiskunde invoerden. Ook in de context van de structuurhervorming van het s.o. pakten de pleitbezorgers uit met kwakkels over Vlaanderen als kampioen    schooluitval, sociale discriminatie, watervalsysteem..., en met fabeltjes over (comprehensief) onderwijsparadijs Finland. 

 Eens de rage van de moderne wiskunde was uitgeraasd, bleek het ook niet gemakkelijk op opnieuw op het juiste spoor te geraken. In het basisonderwijs waren veel beproefde aanpakken onder het stof geraakt en er was een breuk ontstaan met de ervaringswijsheid van weleer. We slaagden er wel in om als leerplanopsteller de beproefde waarden en aanpakken weer centraal te stellen in het wiskunde-leerplan van 1998. 

 In de eerste graad s.o. opteerde men er jammer genoeg voor voor om het extreem van de hemelse, formalistische M.W. in te ruimen voor het andere extreem: de aardse, contextuele en constructivistische wiskunde en aanpak van het Nederlandse Freudenthal Instituut en van de VS-Standards van 1989 (zie volgende bijdrage). En zo ontstond er de voorbije 25 jaar in Nederland, de VS, Canada ... een nieuwe wiskunde-oorlog, dit keer i.v.m. de constructivistische wiskunde die weinig waardering toont voor de wiskunde als culturele vakdiscipline. In Vlaanderen wil het recente ZILL-leerplanproject van de katholieke onderwijskoepel ook voor het lager onderwijs die richting uit. 

22-07-2017 om 16:00 geschreven door Raf Feys