De blogs "Science & Bioscience" handelen over basiswetenschappen (natuur- en scheikunde inclusief wiskunde) en biowetenschappen (plant- en dierkunde inclusief de dynamische aspecten) zoals zij vroeger d.i. meer dan vijftig jaar geleden, in het onderwijs (primair, secundair en universitair onderwijs) voorgeschoteld werden. De eerste twee blogs hebben betrekking op het primair en secundair onderwijs; de volgende twee op het universitair onderwijs.
Zoals de titel "Science & Bioscience an alternative point of view-" het aangeeft, handelen deze blogs wel degelijk over wetenschap en biowetenschap. Er worden hierbij standpunten ingenomen, die enigzins afwijken van de orthodoxe, officiële visie of versie. In tegenstelling met wat de goegemeente meent, zijn vele wetenschappers het veelal niet eens met deze officiële visie. Maar zij moeten zwijgen om den brode.
De bedoeling van deze blogs is nu ook eens deze andere visie aan bod te laten komen. Dit gebeurt dan op basis van eigen bevindingen en levenservaringen. Deze omvatten een halve eeuw intense bedrijvigheid op het vlak van zowel basiswetenschappen als biowetenschappen. Dit alles wordt dan gepresenteerd met een vleugje humor maar ook met een scheutje echte, onvervalste wetenschap.
Leidraad en achtergrond van de eerste twee blogs
Uit de inhoudsopgave blijkt dat de diverse scholen, die de auteur doorlopen heeft, de leidraad en achtergrond voor dit blog vormen. De onderwijsstructuur evenals de leerprogrammas zijn echter in de loop der jaren herhaaldelijke malen grondig gewijzigd geworden, en kunnen de lezer in verwarring brengen. Het lijkt dus aangewezen even te herinneren aan volgende begrippen:
- met primair onderwijs wordt bedoeld niet alleen het huidig lager onderwijs -leeftijdsgroep: 6 tot 12 jaar- maar ook het (meer uitgebreid lager onderwijs leeftijdsgroep: 12 tot 16 jaar- (MULO of ULO). Dit laatste type onderwijs bestond o.m. in Nederland (sedert 1857) en in Frankrijk (het zogenaamde Enseignement Primaire Supérieur). In Frankrijk werd het E. P. S. afgeschaft in 1941, in Nederland in 1968. In België bestonden er in de Hollandse tijd "Lagere Hoofdscholen", die later als "Ecoles Primaires Supérieures du Gouvernement" zullen betiteld worden en waaruit in 1843 de Rijksmiddelbare school (de zogenaamde "Ecole moyenne") zal ontstaan. Het is deze "Ecole moyenne" die equivalent is met het E.P.S. in Frankrijk en het MULO in Nederland. Naast deze Ecole moyenne was er -voor minder begaafde leerlingen- ook nog een In België een soort voortgezet lager onderwijs leeftijdsgroep 12 tot 14 of 16 jaar- dit ten gevolge van de achtereenvolgende verlengingen van de leerplicht tot 14 jaar (1914), tot 15 jaar (1953) en tot 16 jaar. Vanaf 1983 werd in België de leerplicht opgetrokken tot 18 jaar wat aanleiding heeft gegeven tot het T.S.O.(Technisch Secundair Onderwijs). Het einddoel of eindtermen van het primair onderwijs waren (zijn) uiteraard verschillend met deze van het secundair onderwijs. Voor wat de leerstof van het M.U.L.O. betreft, stelt deze slechts voor een klein gedeelte overeen met wat in het lager secundair onderwijs onderwezen werd; in het MULO werd bvb al veel aandacht geschonken aan het wetenschappelijk (biologie, natuurkunde, scheikunde) en wiskundig (rekenkunde, algebra, meetkunde, trigonometrie) onderricht.
- met secundair onderwijs wordt bedoeld het middelbaar onderwijs, dat voorbereidde tot het hoger onderwijs leeftijdsgroep: 12 tot 18 of 19 jaar-(V.H.M.O. : Voorbereidend Hoger en Middelbaar Onderwijs). Dit onderwijs omvatte toen In België de klassieke humaniora (te vergelijken met het gymnasiumonderwijs in Nederland) en de moderne humaniora (te vergelijken met de H.B.S. in Nederland). In 1970 werd een nieuwe structuur, het V.S.O ingevoerd, gevolgd, in 1988, door het A.S.O., waarbij dan telkens aan de het leerplan en de leerstof gesleuteld werd. Ook in Nederland was dit het geval. De MULO-school als schooltype werd in 1968 vervangen door de MAVO (Middelbaar Algemeen Voortgezet Onderwijs), de H.B.S. door het V.W.O.. Het einddoel of eindtermen van het secundair onderwijs zijn de voorbereiding op het Hoger Onderwijs (Universiteit of Hogeschool).
- met normaal onderwijs wordt bedoeld het onderricht dat vroeger verstrekt werd in de normaalscholen (Nederland: kweekscholen). Deze scholen waren opleidingsinstituten voor onderwijzend personeel en zo kende men de kleuternormaalscholen (vorming van kleuterleiders/-leidsters), de lagere normaalscholen (vorming van onderwijzers/onderwijzeressen) en de middelbare normaalscholen, beter bekend als regentaat. Normaal onderwijs werd vaak als alternatief gezien van een humaniora want dit type onderwijs bereidde immers ook goed voor op ambtenarenexamens. In 1929 werd de normaalschool trouwens gelijkgesteld met de hogere cyclus van een humaniora, zodat men na de normaalschool ook kon doorstoten naar het hoger onderwijs. Bij de hervorming van het hoger onderwijs in 1995 werden de normaalscholen gefuseerd met grotere hogescholen. Thans leveren die het diploma "bachelor onderwijs" af, aangevuld met een afstudeerrichting: lager onderwijs, kleuteronderwijs. In Nederland werden de kweekscholen voor het basisonderwijs (lager onderwijs) vervangen door de Pedagogische Academie voot het Basisonderwijs (PABO) met catastrofale gevolgen ...
Voor wie niet met de evolutie van lager en middelbaar onderwijs vertrouwd is, zijn bovenstaande verwijzingen een "must".
Inhoudsopgave
Zoals ieder boek, dat zichzelf respecteert, heeft ook dit blog zijn eigen inhoudstafel, die weergegeven wordt door het archief, dat zich links bovenaan het blog bevindt (linkerkolom). Dit archief omvat de diverse paragrafen of cursiefjes van het blog en wel in dalende chronologische volgorde d.i. het meest recente cursiefje bovenaan. In de tekstkolom van het blog zijn de cursiefjes, zoals bij een leesboek,echter in stijgende chronologische gerangschikt, zodat men dit blog ook kan lezen als een normaal leesboek, door gewoon naar beneden te "scrollen". Onderaan elk cursiefje vindt men een aantal bijlagen, die men kan aanklikken.
Het is ook mogelijk dit blog cursiefje per cursiefje te lezen door het archief te gebruiken. Aanklikken van een paragraaf in het archief plaatst het aangeklikt cursiefje onmiddellijk bovenaan de tekstkolom. Om een anderuitgekozen cursiefje te lezen, zal men dit aanklikken in het archief, waardoor nu dit laatste cursiefje bovenaan de tekstkolom staat. Deze leesmethode komt overeen met het doorbladeren van een leesboek, waarbij men de diverse hoofdstukken of rubrieken in een zelf gekozen orde leest.
Teneinde het de lezer gemakkelijk te maken werd iedere paragraaf door een specifiek volgnummer aangeduid bvb §2.3 wijst ophet derdecursiefje van hoofdstuk 2.
De aandachtige lezer zal opmerken dat naast de Cadettenschool in dit blog hier nu ook de naam van Fred Schuh herhaaldelijk opduikt. Er zijn immers cursiefjes als "Arithmetiek volgens Schuh", "Algebra volgens Schuh", "Deductieve Meetkunde volgens Schuh" etc. voorzien. Alhoewel ik Schuh eerst echt maar NA mijn humaniora ontdekte, en ik dus helaas geen gebruik van zijn boeken heb kunnen maken tijdens mijn humaniora, heb ik gemeend zijn wiskunde toch in dit blog te moeten behandelen.
Zijn boeken sluiten immers perfect aan op het humanioraonderwijs en vormen een zeer belangrijke tussenschakel tussen het secundair en het hoger onderwijs. De wiskunde van Schuh heeft echter geen rechtstreekse band met de fysische realiteit en is dan ook op didactisch vlak niet erg geschikt voor een eerste contact (zie in dit verband het cursiefje « wat is wiskunde? -antwoord van Morris Kline- » in blog III). Voor een tweede contact is Schuh echter ideaal. Deze auteur paart wiskundige gestrengheid aan een uiterst heldere uiteenzetting, zodat de student antwoord krijgt op de vele vragen, die hij zich mogelijk zal stellen na een eerste contact met de behandelde onderwerpen.
Het tweede blog "Science & Bioscience (II) " omvat volgende hoofdstukken en cursiefjes:
Hoofdstuk 1 "L'Esprit de Géométrie"
- §1.1 Over de "esprit de géométrie" in de Cadettenschool (in opbouw) - §1.2 Over Hollandse uitgevers - §1.3 Over scholen en het schoolvak wiskunde... (in voorbereiding) - §1.4 Over het "New Math" experiment (in voorbereiding)
Hoofdstuk 2 "Arithmetiek in de Cadettenschool"
- §2.1 Wat is Arithmetiek? - §2.2 Wat is Elementaire Arithmetiek? - §2.3 Rekenkunde met Commandant De Corte
Hoofdstuk 3 "Algebra in de Cadettenschool"
- §3.1 Wat is Klassieke Algebra? - §3.2 Newton's "Arithmetica Universalis" - §3.2 Elementaire Algebra in de Cadettenschool (Laken) (in opbouw) - §3.4 Kennismaking met de Hogere Algebra
Hoofdstuk 4 "Deductieve Meetkunde in de Cadettenschool"
- §4.1 Wat is Deductieve Meetkunde? - §4.2 Klassieke Deductieve Meetkunde met de "Snor" (in opbouw) - §4.3 Moderne Deductieve Meetkunde met de "Snor" (in voorbereiding) - §4.4 Deductieve Meetkunde in Nederland (Molenbroek) - §4.5 Deductieve Meetkunde in Frankrijk (Hadamard) (in voorbereiding) - §4.6 Deductieve Meetkunde in Rusland (Kiselev) - §4.7 Kennismaking met de Hogere Deductieve Meetkunde -Efimov-(in voorbereiding)
Hoofdstuk 5 "Trigonometrie in de Cadettenschool"
- §5.1 Wat is Trigonometrie? (in voorbereiding) - §5.2 Trigonometrie met de "Snor" (in voorbereiding) - §5.4 Trigonometrie met Schons (in voorbereiding)
Hoofdstuk 6 "Analytische Meetkunde in de Cadettenschool"
- §6.1 Wat is Analytische Meetkunde? (in voorbereiding) - §6.2 Analytische Meetkunde met de "Poes" (in voorbereiding) - §6.3 Analytische Meetkunde met Lustin (in voorbereiding) - §6.4 Kennismaking met de Hogere Analytische Meetkunde -Efimov- (in voorbrereiding)
Hoofdstuk 7 "Beschrijvende Meetkunde in de Cadettenschool"
- §7.1 Wat is Beschrijvende Meetkunde? (in voorbereiding) - §7.2 Beschrijvende Meetkunde in de Cadettenschool (Laken) (in voorbereiding) - §7.3 Beschrijvende Meetkunde met Bilo (in voorbereiding)
Hoofdstuk 8 "Calculus in de Cadettenschool"
- §8.1 Wat is Calculus? (in voorbereiding) - §8.2 Calculus in de Cadettenschool (Laken) (in opbouw) - §8.3 Het beginsel van Fermat (in voorbereiding) - §8.4 Kennismaking met de Hogere Calculus -Judith Gersting- (in voorbereiding)
Hoofdstuk 9 "Combinatoriek in de Cadettenschool"
- §9.1 Wat is Combinatoriek? (in voorbereiding) - §9.2 Combinatoriek in de Cadettenschool (Laken) (in voorbereiding) - §9.3 Kennismaking met de Hogere Combinatoriek (John Riordan) (in voorbereiding))
Hoofdstuk 10 "Natuurkunde in de Cadettenschool"
- §10.1 Over schoolboeken... en Wetenschap - §10.2 Elementaire Natuurkunde met de "Poes" (in opbouw) - §10.3 Elementaire Natuurkunde met Dessart en Jodogne (in voorbereiding) - §10.4 Alvin Halpern's « Beginning Physics » (in voorbereiding) - §10.5 Arthur Beiser's « Applied Physics » (in voorbereiding) - §10.6 "Advanced Physics" met Steve Adams en Jonathan Allday
Hoofdstuk 11 "Scheikunde in de Cadettenschool"
- §11.1 Elementaire Scheikunde met de "Vis" (in opbouw) - §11.2 Elementaire Scheikunde met Bontinck (in voorbereiding) - §11.3 Alvin Halpern's « Physical Sciences » - §11.4 "Advanced Chemistry" met Michael Clugston en Rosalind Flemming
Hoofdstuk 12 "Biowetenschap in het Hoger Middelbaar"
- §12.1 Biowetenschap met de "Vis" (in opbouw) - §12.2 Elementaire Plantkunde met Eildert Reinders (II) - §12.3 Elermentaire Dierkunde met Ritzema Bos (II) - §12.4 Een toemaatje met Stephen Jay Gould - §12.5 Elementaire Biologie met Poliansky - §12.6 "Advanced Biology" met Michael Kent
Hoofdstuk 13 "Afscheid van de Cadettenschool"
- §13.1 Kunst en Cultuur met de "Stief" (in voorbereiding) - §13.2 Een halve eeuw later... - §13.3 Het definitieve afscheid in 2006
§ 1.1 Over de esprit de géométrie in de Cadettenschool..
In 1991 schreef een oud-cadet uit de Franse Afdeling (1) naar aanleiding van de definitieve sluiting van de Cadettenschool het volgende over de fameuze esprit de géométrie, die sedert 1897 het stichtingsjaar van de school- het leven en het doen en laten van de cadetten beheerst had :
Et puis les maths... Les cadets pouvaient se passer d'une année de « spéciale math» pour présenter l'examen à I École Royale Militaire. Ce fut un véritable gavage de trigonométrie, algèbre. arithmétique, géométrie analytique plane ou dans l'espace, calcul différentiel ou intégral une horreur... J'ai terminé mes trois années d'Humanités comme un naufragé épuisé cramponné à une bouée en train de se dégonfler. Jai pourtant assisté à des sauvetages extraordinaires. J'ai vu près de moi des cadets se taper Ia tête contre les bouquins jusqu'à se faire patiemment une bosse des maths, jusqu'à devenir de véritables prodiges qui, pendant les récréations, s'amusaient a résoudre des équations différentielles en deux coups de cuiller à pot. Et, à l'époque, il n'y avait pas de calculatrices électroniques .
Uiteraard stond deze «esprit géométrique» in verband met de fundamentele doelstelling van de school: voorbereiden op het toelatingsexamen KMS en i.h.b. op het examen voor de Polytechnische Afdeling. Het was dus niet verwonderlijk dat de"moderne humaniora" met een duidelijk accent op wiskunde ( de wetenschappelijke A- sectie en de Latijn-Wiskunde - sectie) een voorkeurpositie (2) t.o.v. de oude humaniora (de Grieks-Latijnse sectie) genoot. Moderne humaniora bereidde immers rechtstreeks voor op het toelatingsexamen van de polytechnische afdeling van de KMS.
Voor cadetten, die de oude humaniora volgden behoorde alleen het toelatingsexamen Alle Wapens tot de mogelijkheden. Of een opleiding via een Belgische universiteit tot militair arts, apotheker of veearts, mogelijkheid waarvan vele Grieks-Latinisten hebben gebruik gemaakt. Deze opleiding ging in het laatste geval gepaard met een aanvullende specifieke militaire vorming verstrekt door de KMS (SOGD: School der Officieren van de Gezondheidsdienst, later veranderd in KSGD: Koninklijke School der Officieren van de Gezondheidsdienst). Ook voor het toelatingsexamen Alle Wapens was echter een goede kennis In de wiskunde vereist en dus werd het leerprogramma en de leerstof ook voor Grieks-Latinisten uitgebreid en aangepast.
Deze aanpassing betrof nu zowel het aantal lesuren als het wiskundeprogramma: zo waren er in rhetorica voor cadetten uit de oude humaniora 9, voor cadetten uit de moderne humaniora, 13 lesuren wiskunde per week voorzien. In de derdes en de tweedes waren deze cijfers respectievelijk 5 en 9. Het totaal lesrooster bevatte zo tot 44 lesuren, waar een burgerschool slechts 32 tot 34 lestijden omvatte (3) . Op de specifieke wiskundeleerstof zal in de komende cursiefjes wat dieper ingegaan worden.
Deze fameuze esprit de géométrie was nu niet alleen kenschetsend voor de Cadettenschool, maar was ook een traditie in alle scholen, waarvoor het Leger als inrichtende macht optrad en o.m. in de Pupillenscholen. Deze scholen hadden tot doel een basisvorming te verzekeren aan de zonen van militairen en andere rechthebbenden van 10 tot de leeftijd van 16 jaar. Het onderricht in de Pupillenscholen stemde grosso modo overeen met het laatste jaar primair onderwijs (zevende leerjaar) en de drie eerste jaren van het secundair onderwijs. Hoewel zelf leerling aan de Koninklijke Cadettenschool van 1955 tot 1958, was ik tot voor kort totaal onwetend over de roemrijke historische en educatieve achtergrond van deze pupillenscholen (4) , die o.m. ook tot doel hadden de leerlingen (pupillen) voor te bereiden tot het toelatingsexamen van de Cadettenschool.
1° Het lerarenkorps
Het wiskundeonderwijs in de Nederlandstalige Afdeling van de Cadettenschool van Laken werd verzorgd door een aantal typische figuren zoals de Snor, de Muis en de Poes. Het zijn vooral deze personages, die mijn wetenschappelijk denken in zeer grote mate bepaald en beïnvloed hebben.
In de eerste plaats moet ik hier nu de Snor, een burger vermelden, die gedurende vele jaren de oude, vertrouwde (Euclidische) meetkunde alsook nog goniometrie en trigonometrie doceerde en daarbij zeer hoge eisen stelde aan zijn povere discipelen, vooral aan de nieuwkomers. Ook de Poes», die analytische meetkunde en ook nog fysica gaf, was een burger.
Vóór WOII werden traditioneel de wiskundevakken gegeven door militairen, want die kenden immers het klappen van de zweep. Zo was er bvb de fameuze Jules Horwart, de Moloch, de auteur van een «Cours dArithmétique: les entiers, les fractions, Manuel destiné aux élèves des Classes supérieures des Athénées et de lEnseignement Normal Moyen ; aux Candidats à lEcole Royale Militaire et aux Universités» (3e, 2e, et 1er humanités modernes).
Die Horwart was ook nog Cadet geweest in Namen (1930- 1933) en kende dus wel de cadettenstreken. Toch was er in de jaren twintig ook al een burger aanwezig in casu Victor Herbiet, een doctor in de wiskunde, die door toedoen van Maurice Grevisse in de Cadettenschool was terecht gekomen. Victor Herbiet was de man van de algebra en lag ook aan de basis van de collectie « De Vaere Herbiet » (zie cursiefje « Over oude schoolboeken en... wiskunde » in mijn eerste blog).
Ook de Poep (Arithmetiek) en de Muis(algebra, calculus en beschrijvende meetkunde) waren militairen. De Muis was een polytechnisch ingenieur en een buitengewoon begaafd lesgever. Voor iedereen was duidelijk, dat het lesgeven hem in het bloed zat. Van hem werd verteld dat hij weigerde het ambt van majoor (hoger officier) op te nemen, omdat hij dan verplicht zou geweest zijn de Cadettenschool te verlaten.
Burgers, die wensten les te geven in de Cadettenschool van Laken, dienden, ter beoordeling van hun geschiktheid voorafgaandelijk aan hun benoeming een aantal proeflessen geven. Sommige waren doctorandi in de echte zin van het woord en werkten terwijl zij ook doceerden aan een doctoraal proefschrift. In dit geval gaven ze slechts enkele jaren les. De Cadettenschool was voor hen eerder een springplank naar een universitaire loopbaan.
In de Franstalige Afdeling gaf bvb in 1955 een zekere Georges Delande les (5) . Hij was een koloniaal en behaalde begin de jaren zestig een doctorstitel onder het promotorschap van de professoren Debever en Lisbois (ULB) aan de Universiteit van Elisabethville. Dank zij het toedoen van Jacques Mersch werd hij o.a. wegens zijn bijzondere pedagogische kwaliteiten in 1967 benoemd aan de FUNDP. Hij was daar een graag geziene figuur. Hij overleed in 2007, 89 jaar oud.
Andere markante figuren in de Franstalige afdeling waren in die jaren bvb een Jean Brismée. . Hij gaf les in de deductieve meetkunde van 1950 tot 1965. Ook deze wiskundige was eerder een buitenbeentje. Begeesterd door het "witte doek" verliet hij het onderwijs en werd hij filmrealisator et fondateur de l INSAS (1962). Van hem waren er ook de kortfilms Forges (1956), le Théorème de Pythagore (1960) -hoe kon het anders- en Monsieur Plateau (1964) Jean Brismée was ook de auteur van Cent ans de cinéma en Belgique (1995).
2° de leerstof
De leerstof wiskunde was voor de secties Latijn-Wiskunde en Wetenschappelijke A ongeveer equivalent met het huidige programma wiskunde van een Internationaal of Europees baccalaureaat(6) of met het nu overbekende Advanced Placement Program (7) (bvb AP calculus) in de USA. Dergelijke leerprogrammas maken deel uit van een pre-universitaire opleiding tot ingenieur en zijn beduidend zwaarder dan de normale leerprogrammas. De examenvragen van de toelatingsproef voor burgerlijk ingenieur en de KMS (8) tonen dit ontegensprekelijk aan.
Een woordje over het Advanced Placement Program lijkt mij hier nu wel op zijn plaats. AP, zoals de Amerikanen het noemen, is in werkelijkheid maar definitief gestart, ná die memorabele 4 oktober 1957, een datum, die ik mij zeer goed herinner. Want ook in de Cadettenschool, werd het fait divers die aan deze datum verbonden is uitvoerig gecommentarieerd. Op die datum werd immers Spoetnik 1 gelanceerd (9) .
In de USA sloeg het Spoetnik- evenement in als een (atoom)bom en in de pers gewaagde men van een technologische « Pearl Harbor ». Plotseling werd men zich er van bewust, dat de USSR inderdaad technologisch sterker stond en in staat was de USA rechtstreeks te bestoken met raketten, van een veel zwaarder kaliber dan de fameuze V2.
De oorzaak van deze achterstand was, volgens de experten van die tijd, een stagnerend en een niet aangepast wiskundeonderricht i.h.b. voor ingenieurs, fysici en mathematici. Het, in begin van de jaren vijftig gestarte AP, diende dus dringend aangepast te worden en dat was het startsein van de New Math beweging, die in het begin van de zestiger jaren furore maakte en later naar Europa kwam overgewaaid. Over New Math zal ik het in een ander cursiefje trouwens nog uitvoerig hebben.
Misschien hier ook nog even aanstippen dat terzelfdertijd ook het fysicaonderricht in vraag werd gesteld. Aan een toen nog onbekende Richard Feynman werd toen door Caltech gevraagd te starten met een nieuwe didactische benadering van een leergang algemene natuurkunde. Deze leergang moest zo snel mogelijk tot de moderne fysica voeren waarmede dan de quantumfysica bedoeld werd. Quantumfysica werd immers in die jaren nog beschouwd als postdoc materie en het was overduidelijk geworden dat al in de cyclus undergraduate met deze materie moest gestart worden, tenminste als men fysici en ingenieurs wou vormen, die de nieuwe technologische problemen zouden kunnen beheersen.
Die fameuze leergang staat nu bekend als de Feynman lectures en iedere fysicus, enigszins die naam waardig, beschouwt deze Lectures nog steeds als verplichte lectuur. In mijn derde blog zal ik het nog uitvoerig hebben over deze Lectures.
Maar terug naar de Cadettenschool. Wat het studiemateriaal betreft, werden in de Nederlandstalige Afdeling de schoolboeken van de collectie De Vaere Herbiet (Algebra en Arithmetiek) als basis gebezigd. In de Franstalige Afdeling werden echter enkele boeken van de Schons collectie (bvb het «Traité de Trigonométrie » en het « Complément d'Arithmétique et d'Algèbre ») voorgeschreven.
Wat de calculus betrof, dienden de Cadetten in de Nederlandstalige Afdeling praktisch alles te noteren, want wat bvb in de klassieke algebraboeken stond, werd als onvoldoende beschouwd. Het gevolg hiervan was, een aantal volgepende "copybooks". Ik zal daar nog verder in detail op terugkomen.
In de vijftiger jaren was er blijkbaar geen geschikt studiemateriaal in het Nederlands voor de vakken deductieve of axiomatische, analytische meetkunde en.. trigonometrie en dus werden er o.a. door de Snor en de Poes syllabi verstrekt. De boeken van Dalle en Dewaele (zie cursiefje eerste blog: "Over oude schoolboeken.. en wiskunde") werden door sommigen, waaronder mijzelf, als "Oefeningenboeken" gebruikt.
Voor de analytische meetkunde was er wel het boek van Bilo « Leerboek der Analytische Meetkunde » uit de collectie « Mineur », maar het niveau van dit werk was niet hoog genoeg voor het toelatingsexamen KMS.
De cadetten uit de Franstalige Afdeling konden beroep doen op « Notes de Géométrie analytique plane à l'usage des élèves des classes scientifiques des humanités et des candidats à l'Ecole Militaire et aux Universités » van Lupsin en waarvan in 1956 nog een zevende editie verschenen was.
Qua studiemateriaal waren de franstaligen zeker bevoordeeld en toch waagde blijkbaar niemand het deze Franse boeken in de Nederlandstalige Afdeling aan te raden, laat staan officieel te gebruiken. Zei een Cicero niet : « Stultorum plena sunt omnia » ???
3° de educatieve methodes
Vooreerst waren er de bekende aanmoedigingen zoals de tuchtconsignes en de uren strafstudie . Te lage punten (4 tot 6 op 20) op een schriftelijke of mondelinge ondervraging leverde op zijn minst 2 consignes op en een totaal van 8 consignes betekende 1 PS. En 1 PS wou zeggen: Permis Supprimé wat dan betekende dat het slachtoffer niet op vergunning mocht en een vergunning was er maar om de veertien dagen.
Het dramatische was nu dat deze consignes, die met kwistige hand uitgedeeld werden door onze wiskundeleraren, onmiddellijk werden opgeteld bij die verworven op militair gedrag Deze laatste consignes kon men verwerven voor "schoenen niet gepoetst", "gordel niet geblancoteerd", "te lange haardracht", " bed niet perfect opgemaakt" enz.. enz.. Vele cadetten, vooral de"bleus", waren dan ook in bange afwachting van het resultaat van hun schriftelijke ondervragingen..Een paar consignes bij kon immers het verschil maken
Voor lage punten (7 of 8 op 20 bvb) werden er doorgaans enkele uren strafstudie gegeven. Minder erg natuurlijk, maar het ellendige was dat er altijd bijzonder laag gequoteerd werd. De specialiteit van de Snor was bvb punten aftrekken voor de zorg.. Bij een ongelukkige mondelinge ondervraging klonk het bvb + 1 punt voor het (aan bord) komen, + 1 voor het gaan -2 voor de zorg eindresultaat: nul ! En een nul betekende dan 8 consignes. Een -2 of -4 voor de zorg bij schriftelijke ondervragingen was bij de Snor ook niet uitzonderlijk vooral in de derdes.
Die puntenschaarste had echter wel tot gevolg dat je voortdurend en altijd in het verweer was. Nooit kon je, bvb na een gelukte ondervraging even uitblazen en wat op je lauweren rusten. Een dergelijke educatieve methode leverde echter wel resultaten op: er werd ijverig gestudeerd. Maar deze ijver stond niet in evenredigheid met het puntenaantal.
Had je op het einde van het jaar 13/20 en geen enkele buis (ook in militair gedrag) dan had je recht op dubbele palmen, had je 16/20 dan mocht je je verheugen in zilveren palmen. Dubbele palmen waren vrij zeldzaam (nog geen tien cadetten in de Nederlandse Afdeling), en zilveren palmen waren utopisch. Ofschoon ik toch één cadet (André Biver, later kolonel-geneesheer van het Militair Hospitaal in Keulen), drager van zilveren palmen gekend heb in de Franstalige Afdeling. Charles Sterpin (cadet 1958-1961) heeft me onlangs nog bevestigd, dat men in de Franstalige wat minder streng was dan in de Nederlandstalige Afdeling. Zelf droeg ik in poësis dubbele palmen, maar ik verloor ze op het einde van het jaar door... mijn militaire gedrag.
Maar dergelijke aanmoedigingen laten natuurlijk nog niet toe te slagen in een toelatingsexamen KMS. Er werd hiertoe in de Cadettenschool van Laken, een specifieke Methodiek en Didactiek voor het wiskundeonderricht toegepast.
En deze Methodiek en Didactiek werd, zoals ik later vaststelde, tot in het minste detail beschreven in . Schuhs Didactiek en Methodiek van de Wiskunde en de Mechanica (10) .
Er bestaat voor mij niet de minste twijfel dat de Snor en de Muis hun specifieke didactische methodes haalden uit dit boek. Want natuurlijk kenden zij Schuh en zijn functie: zijn naam werd immers al vermeld in het Complement van Algebra (p.254) en hij was hoogleraar aan de Technische Hogeschool te Delft, de befaamde instelling, die topingenieurs vormde.
Fred Schuh was eveneens de auteur van een reeks boeken in relatie tot de rekenkunde, de algebra, de deductieve en de analytische meetkunde en de differentiaal- en integraalrekening, waarop ik verder nog uitvoerig zal ingaan. Het peil van laatstgenoemde werken oversteeg beduidend dit van de klassieke gebruikelijke schoolboeken.
Voor mij staat het vast dat in de Nederlandse Afdeling van de Cadettenschool de werken van Schuh als basis gediend hebben voor de "aanvullende" leerstof op de klassieke schoolboeken Rekenkunde en Algebra. Natuurlijk dienden wij deze "aanvullende" leerstof op te pennen en jarenlang heb ik deze pennevruchten (copybooks) zorgvuldig bewaard.
Hoe ik nu op het spoor kwam van Schuh's boeken, wordt uiteengezet in een cursiefje in mijn derde blog. Hier wil ik alleen maar even de inhoud van eerstgenoemd boek in het kort schetsen en alleen al dit korte overzicht spreekt voldoende voor zichzelf. Het werk is onderverdeeld in zes delen, die in totaal 21 hoofdstukken beslaan.
- Een eerste deel Algemene Beschouwingen geeft een antwoord op de vragen: hoe moet men wiskunde bestuderen? Hoe moet men studeren? Hoe moet men een vraagstuk aanpakken? Wat wordt van een examen kandidaat verlangd? Welke dingen moet men onthouden? Voorbeelden van onthouden en het belang van ezelsbruggetjes (bvb in de trigonometrie)
- Een tweede deel Aanwijzingen betreffende het doen van examen beschrijft in detail hoe men een schriftelijk en hoe men een mondeling examen moet afleggen.
- Een derde deel Voorbeelden van het Bestuderen van bepaalde onderwerpen geeft aanwijzingen betreffende het bepalen van limieten, betreffende convergentie van reeksen, betreffende onbepaald integreren en het integreren van differentiaal vergelijkingen.
- Een vierde deel Definities en Stellingen gaat over het definiëren en het benoemen van een begrip en geeft enkele beschouwingen over het begrip stelling.
- Een vijfde deel Omkeren en ontkennen handelt over de volgende onderwerpen: logische omkering en verwante omzettingen (bewijs uit het ongerijmde); stellingen en hun omgekeerden; nodige en voldoende voorwaarde en onderwerpen, die met nodig en voldoende in verband staan; de verbindingen of en en..
- Een zesde deel Verschillende Onderwerpen handelt over enkele bewijsmethoden (volledige inductie en varianten) en formuleert enkele raadgevingen betreffende de rol van de figuren in de planimetrie en stereometrie, in de algebra en de analyse (calculus), de sigma en product notaties
Om het maar eens met een bijbelse uitspraak af te ronden: « Voorwaar, voorwaar ik zeg u Schuh's boek zou moeten op de bureeltafel van iedere wiskundeleraar of student liggen..»
5° samenvatting van de leerstof: de rol van de prismacompendia
In de Cadettenschool was gans het klassieke wiskundecurriculum (Arithmetiek, Algebra, Meetkunde en Trigonometrie) in feite één grote aanloop naar de calculus, het favoriete instrument van de ingenieur. Alle andere disciplines van de wiskunde, stonden in dienst van koning Calculus, die in rhetorica soeverein heerste vooral in de secties Wetenschappelijke en Latijn- Wiskunde en in wat mindere mate in de Grieks-Latijnse sectie.
De theoretische aspecten (stellingen,definities ) van vakken als Arithmetiek, Algebra, Meetkunde en Trigonometrie werden in de Cadettenschool, weliswaar grondig, doch in een ijltempo afgehandeld: de vraagstukken waren immers belangrijker dan de theorie. De vragen gesteld voor het toelatingsexamen KMS waren altijd vraagstukken en nooit theorie. Natuurlijk moest deze theorie ook blijvend gekend zijn, maar die theorie kon je toch ook gewoon leren of recapituleren uit de handboeken. Het zou zonde van tijd geweest zijn indien de wiskundeleraars hier nog meer tijd in hadden gestoken. Zodoende kwam er dus weer wat meer ruimte vrij voor oefeningen en toepassingen en vooral vraagstukken.
Deze -voor ons- perfide, zienswijze uitte zich ook bij schriftelijke ondervragingen en interne examens. Hier was de puntenverdeling hoogstens 8/20 voor de theorie, minstens 12/20 voor de vraagstukken. Zelfs al beheerste je de theorie tot in de minste details (zoals de Snor zei met punten en kommas), dan nog moest je minstens nog één vraagstuk correct oplossen om de helft van de punten te behalen.
Leer- of handboeken, die de theorie op een zo kort en duidelijk mogelijke wijze samenvatten, waren voor ons, cadetten een mooie maar ijdele wensdroom. In onze schoolboeken, die overvol stonden van oefeningen, toepassingen en vraagstukken, liep de theorie er ietwat verloren bij.
Deze wensdroom trad nu voor een deel in vervulling door het op de markt komen van de bekende Prismacompendia(11) (het pocketboek voor studie en practijk). Deze pockets kwamen echter eerst maar vanaf 1964 op de markt; voor vele promoties, waaronder mijn promotie wel veel te laat.
In mijn loopbaan heb ik later veelvuldig gebruik gemaakt van deze handige en goedkope pockets, die ik werkelijk kan aanraden aan wie beroepshalve met de wiskunde in aanraking komt. Het ging hier over volgende Compendia:
- « Algemene Rekenkunde » van D.W. Oort en G.H. Meyer ( compendium nr 3 -1964-)
- « Algebra » van D.W. Oort en G.W. Meyer (compendium nr 49 -1967-)
- « Planimetrie » van J. van den Hoeven (compendium nr 10 -1964)-
- « Stereometrie » van W.G J. van Ruth (compendium nr 14 -1965-)
- « Goniometrie en Trigonometrie » van C van der Linden (compendium nr 5 -1965-)
- « Analytische Meetkunde » van C van der Linden (compendium nr 7 -1966-)
- « Matrixalgebra » van W. G. Bickley en R. S. H. Thompson (compendium nr 72 -1970-)
- « Differentiaal- en integraalrekening » van Th. Liket (compendium nr 16 -1968-)
Begin van de jaren zeventig verscheen nog in de Aulareeks van Prisma:
- « Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek » van I. Adler (Aula, 1966-)
- « Verklarende Statistiek » van M.L. Wyvekate (Aula, -1971-)
- « Computerwiskunde » van J. J. Seidel (Aula, -1970-) en
- « Fysisch Experimenteren » van G. L. Squires (Aula,-1971)
waardoor het volledig wiskundegebied van de humaniora, inclusief de basiswiskunde nodig voor het werken met een computer en het uitvoeren van fysische proeven, bestreken werd.
Laatstgenoemd boek was een vertaling van « Practical Physics » (McGraw-Hill, -1968-), een boek dat nog steeds gebruikt wordt en o.m. ook in de bachelorjaren van het hoger onderwijs.
Over al deze pockets, die, naar mijn gevoelen, onmisbaar zijn voor elke wetenschapsbeoefenaar zal ik het nog in de volgende cursiefjes hebben.
---------------------------------------------
(1) Jean-Michel Eloi (cadet 1969-1971) Souvenirs d un ex-cadet en deuil de son Ecole Nord Eclair 09/06/1991
(2) In 1923 werd de Grieks-Latijnse sectie afgeschaft; in 1933 werd ze opnieuw ingevoerd om tenslotte in 1971 definitief te verdwijnen.
(4) Het Centrum Militaire Geschiedenis van het Koninklijk Legermuseum publiceerde in 2000 een monografie van de hand van Gen. Maj. Yvan Van Renterghem getiteld Enfants de Troupe, Pupilles et Cadets de l Armée de 1838 à 1945. Deze monografie lijkt mij onontbeerlijk voor het begrijpen van de historiek, de evolutie, het opzet en de werking van de diverse scholen met als inrichtende macht het Belgisch Leger.
(8) voor een uitgebreide bloemlezing van de examens van de laatste 20 jaar van de faculteiten Toegepaste Wetenschappen en de KMS kan verwezen worden naar het boek Wiskundige Toelatingsexamens van D. Bollaerts (Standaard, -1998-)
(10) zie Fred Schuh « Didactiek en Methodiek van de Wiskunde en de Mechanica een leidraad voor ieder, die daarin studeert of onderwijs geeft met tal van raadgevingen voor het doen van examen- » (Waltman, -1940-)
In Nederland bestonden er in de vijftiger jaren enkele goedkope en dus voor Vlamingen erg belangrijke boekenreeksen waaronder deze uitgegeven door de Uitgeverij Het Spectrum. Voornoemde uitgeverij presteerde het om ook enkele wetenschappelijke boeken op de markt te brengen. Deze voor het Nederlandstalig taalgebied erg belangrijke uitgeverij was erg populair, ook in Vlaanderen, is ondertussen opgeslorpt en verdwenen.
Een twintigtal jaren geleden ontstond er dan de uitgeverij Epsilon, die nu zo wat de enige belangrijke uitgeverij van wetenschappelijke boekenreeksen (wis- en natuurkunde) in Nederland is geworden.
Nederlands is natuurlijk op het gebied van wetenschappelijke publicatie een minder belangrijke taal dan het Frans of Engels. Vele Nederlandstalige wetenschappers publiceren dan ook bij voorkeur in het Engels of in het Frans. Er zijn echter uitzonderingen. Er zijn voorbeelden van boeken, die eerst in het Nederlands werden gepubliceerd en achteraf, wegens hun belangrijkheid, in een andere taal Engels of (en) Frans vertaald werden. Voorbeelden hiervan zijn het Leerboek der natuurkunde van Ralph Kronig, Physische Scheikunde (2 volumes) van Arend Rutgers en Ontwikkelingsgeschiedenis van de Biologie (3 volumes) van Hendrik C. D. de Wit.
1° De collecties van de Uitgeverij Het Spectrum:
De Uitgeverij Het Spectrum (1) was lange tijd een der belangrijkste uitgeversmaatschappijen in Nederland. Ze werd opgericht door de boekhandelaars P.H. Bogaard en A.H. Bloemsma en gevestigd in een kamer (!) boven een banketbakkerij in de Biltstraat in Utrecht en groeide uit tot een van de grootste van Nederland.
In de beginjaren was Het Spectrum een progressief-katholieke uitgeverij die ernaar streefde een breed publiek van goede lectuur te voorzien. Daarom werden veel boeken uitgebracht in het goedkope pocketformaat. Deze formule kreeg na de oorlog de naam Prisma Pockets. Deze serie werd na de introductie in de jaren '50 al snel een begrip: vrijwel alle denkbare onderwerpen kwamen aan bod en ook de klassiekers uit de wereldliteratuur en dit voor amper 1,25 gulden (ongeveer 22 BF) per stuk. Het aanbod van de klassiekers liep uiteen van Dostojewski en andere grote Russen, tot de complete Dickens.
In oktober 1951 verschenen de eerste Prisma-pockets (2) . Op 22 februari 1952 kwam het eerste deel uit van de 34-delige Dickens-serie die eind 1953 kompleet was. Al onmiddellijk was deze serie een groot succes. Bij de herdruk van de Pickwick- club bereikte men al vlug een oplage van 50.000 exemplaren. Eind 1952 behaalde de Dickens-reeks een kwart miljoen exemplaren. De deeltjes waren eerst ongenummerd; in latere herdrukken werd de nummering soms wel aangegeven.
Bij mij thuis was mijn vader nu geabonneerd op de Dickens-reeks en daar ik een verwoed lezer was, wachtte ik telkens met spanning de postbode af, opende zelfgereid de coli en las ik als eerste deze boeken. Zo herinner ik mij nog in 1953 Fantastische Vertellingen van Edgar Allan Poe gelezen te hebben, een vertaling van Tales of Mystery and Imagination.
Mijn lectuur gebeurde echter wel in bijzondere omstandigheden: het was een stormachtige, donkere avond en ik was moederziel alleen thuis. Bij het verhaal van De Val van het huis Usher was ik gekomen op het zinnetje dat .. Hij (het spook) VOOR DE DEUR STOND Plots werd ik overmand door een panische angst en ik vergrendelde alle deuren, inclusief de voordeur. Bij hun thuiskomst hebben mijn ouders wel vijf minuten op de deur moeten bonzen om mij wakker te krijgen, want ik was, na al die emoties, in een zetel in een diepe slaap gevallen
Ook mijn beste kameraad Guido was door Edgar Poe bekoord en we hebben het herhaalde malen gehad over deze fascinerende auteur, die ook enkele wetenschappelijke kanjes bezat.. Ik ben er zeker van dat het zien van het ikoon van dit cursiefje bij hem enkele mooie herinneringen zal oproepen .
Maar terug naar de Uitgeverij Het Spectrum. Eind de jaren vijftig werden er ook talloze non-fictionboeken en instructieboeken uitgegeven (Tekenen en schilderen als liefhebberij, het Prisma fotoboek, de Prisma schaakboeken) en veel naslagwerken en gidsen over wetenschappelijke onderwerpen. De Prisma woordenboeken pasten in deze lijn. Op vele middelbare scholen zijn deze woordenboeken nog steeds verplicht.
De nummering van de Prisma's loopt per 2009 tot ongeveer 2800. Sinds enkele jaren publiceert Het Spectrum onder het imprint Prisma uitsluitend nog woordenboeken en taalboeken. In 1955 kwamen acht Prisma Woordenboeken uit die 25 jaar later nog steeds in de schooltassen te vinden waren.
In 1957 verschenen de Aula's, wetenschappelijke pocketboeken, de evenknie van de Engelse Pelicans. Er volgden nog meer succesvolle reeksen, zoals de Prisma-Detectives, de Karl May reeks (vijftig delen!), in 1963 waren er de Marka's, in 1964 de Prisma Compendia, in 1967 de Prisma Technica's. De meeste waren bestemd voor adolescenten en vooral geschikt voor het secundair onderwijs. Maar voor mij kwamen de Prisma Compendia in feite te laat.
Boeken met wetenschappelijke inslag, vindt men nu zowel in de Prisma-pockets als in de Prisma technica- en in de Aula- collectie. Vele zijn vertalingen van min of meer bekende Engelse monografieën, andere zijn dan weer het werk van Nederlandse auteurs. Zo dekt de Prisma Compendia- reeks praktisch het volledig wiskundeonderwijs in de humaniora, inclusief de differentiaal- en integraalrekening; voor het technisch onderwijs zijn vooral de Prisma Technica erg interessant.
Het Spectrum heeft sinds 2000 onder meer 'printing on demand' ontwikkeld voor oude titels (backlist). Via dit systeem is het mogelijk om een herdruk van een oude titel te bestellen (3) . De uitgeverij blijft ook naslagwerken uitgeven.
- monografieën i.b.t. wiskunde:
- « Grondslagen van de Wiskunde » (M. Combès Aula -1973-)
- « Moderne wiskunde spelenderwijs » (E. Dick en B. Wilhelm Prisma -1976-)
- « De wiskunde van morgen » (S. Ogilvy Aula -1965-)
- « Wiskunde voor je plezier » (O. Jacobi en W. Benson Prisma -1967-)
- « Spelen met cijfers » (W. Reichmann Prisma -1959-)
- « Van Nul tot Oneindiggetaltheorie voor iedereen- » (Constance Reid Prisma -1965-)
- « Wiskunde spelenderwijs » (Rosza Peter Prisma -1966-)
- « Wegwijs in de Wiskunde » (W. Sawyer Aula -1965-)
- « Wiskunde zonder omslag » (W. Sawyer Prisma -1965-)
- « Het tekenen van de ruimte toepassingen van de perspectief » (Tjomme de Vries Prisma -1966-)
- « Wegwijzer in de Elementaire Meetkunde » (L. Merkies en K. Sanders Prisma -1968-)
- « Logica voor iedereen » (R. Thouless Prisma -1963-)
- « Wiskunde, basis van het exacte denken » (A.H. Whitehead Aula -1965-)
- « Wiskunde,inleiding tot de axiomastelsels » (G. Witter Aula -1967-)
- « Algemene Rekenkunde » ( D.W. Oort en G.H. Meyer Prismacompendium nr 3 -1964-)
- « Algebra » (D.W. Oort en G.W. Meyer Prismacompendium nr 49 -1967-)
- « Planimetrie » (J. van den Hoeven Prismacompendium nr 10 -1964)
- « Stereometrie » (W.G J. van Ruth Prismacompendium nr 14 -1965-)
- « Goniometrie en Trigonometrie » ( C van der Linden Prismacompendium nr 5 -1965-)
- « Analytische Meetkunde » (C van der Linden Prismacompendium nr 7 -1966-)
- « Matrixalgebra » (W. G. Bickley en R. S. H. Thompson Prismacompendium nr 72 -1970-)
- « Differentiaal- en integraalrekening » (Th. Liket Prismacompendium nr 16 -1968-)
- « Schakelalgebra(Boolean Algebra and its applications) » (H.G. Flegg Prisma Technica? -1969-)
- « Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek » (Irving Adler Aula -1969-)
- « Geïntegreerde Schakelingen » (R. Warner en J. Fordemwalt Prisma Technica -1968-)
- « Radiotechniekdelen I en II » (E. Zepler en S. Punnett Prisma Technica -1969-)
- « Radiotechniek voor Beginners » C.L. Boltz Prisma -1973-)
- « Lasers » (K. Tradowsky Prisma Technica -1972-)
- « De transistor en zijn toepassingen » (W. van Bussel Prisma -1972-)
- « Hifi en stereoalles over grammofoonplaat en geluidsweergave- » (W. van Bussel Prisma Prisma -1972-)
- « Prisma bandrecorderboek » (W. van Bussel -1971-)
- « Radio- en Televisietechniek » (W. van Bussel Prisma -1972-)
Deze boeken (een lange waslijst!) hebben mij gedurende mijn ganse wetenschappelijke loopbaan steeds vergezeld, al was het maar om eens een ander geluid te horen dan wat in de diverse hand- en leerboeken of naslagwerken werd verteld. Zij maken nog steeds deel uit van mijn bibliotheek.
2° De collecties van de Uitgeverij Epsilon:
Een andere interessante meer recente uitgever op het vlak van de exacte wetenschappen is de Uitgeverij Epsilon (4) . Ferdinand Verhulst beschrijft op uiterst boeiende wijze hoe hij op het idee kwam een dergelijk uitgeversmaatschappij op te richten (5) . Sinds 1985 geeft Epsilon Uitgaven een serie wetenschappelijke boeken (hoofdreeks) uit op het gebied van de wiskunde en verwante gebieden. Vanaf 1999 verschenen ook delen van de Zebra-reeks, een serie bedoeld voor leerlingen op het VWO en algemeen belangstellenden. Vanaf 2009 was er ook de Spijkerreeks, bedoeld voor het bijspijkeren van basiskennis wiskunde. Alleen al het bestaan van deze laatste collectie toont aan dat er met het wiskundeonderwijs in Nederland gedurende de laatste decennia heel wat is misgelopen. Ook in andere Europese landen is dit, in min of meer grote mate, het geval. Als oorzaken hiervan zijn te noemen: het Spoetnikeffect en de overhaaste New Math introductie, het voortdurend sleutelen en wijzigen van leerprogrammas, het introduceren van nieuwe rekenrecepten (bvb de hapmethode in de plaats van de klassieke staartdelingmethode), het onoordeelkundig gebruik van rekenmachine en computer
2.1 de Spijker- collectie:
De auteur van de Spijkerreeks, Henk Pfaltzgraff, is een leeftijdgenoot van mij want geboren in 1939. Hij was jarenlang als wiskundeleraar verbonden aan het Zaanlands Lyceum. Nu geeft hij wiskunde bij het VAVO aan jongeren die zijn vastgelopen in het reguliere onderwijs. Zijn Spijkerboekjes geven de mogelijkheid om enkele wiskundige basistechnieken in zo kort mogelijke tijd aan te leren. Wiskunde leer je in de eerste plaats door te doen. Daarom volgt na elke stukje uitleg een groot aantal oefeningen. Voor elk spijkerboekje staat -volgens de auteur- een studietijd van ongeveer 10 à 20 uren zelfstandig oefenen.
De zeven Spijkers behandelen de onderwerpen van deze basiswiskunde in een doorlopende leerlijn, maar de deeltjes zijn ook afzonderlijk te gebruiken. Ieder deeltje omvat een basis, waar het meest essentiële wordt behandeld, en verder een verdieping, waar wat dieper op de theorie of op enkele toepassingen wordt ingegaan. Voor een optimaal gebruik van deze Spijkerboekjes is wel een grafische rekenmachine vereist.
- Het eerste Spijkerboekje draagt als titel « Rekenen » en als basis worden algemene gegevens verstrekt over gehele getallen, breuken, machten (gebroken exponenten en wortels), decimalen (wetenschappelijke notatie) en procenten. De verdieping gaat over meetkundige (berekening van omtrek, oppervlakte en inhoud) en statistische ( gemiddelde, standaardafwijking, mediaan, permutaties en combinaties) toepassingen.
- In het tweede Spijkerboekje « Algebra » wordt als basis het letterrekenen (machtsverheffen, machtsregels, product van tweetermen, merkwaardige producten, uitwerken van (a + b)n , ontbinden in factoren) en de eerste- en tweedegraadsvergelijking behandeld. De verdieping gaat over wortelvergelijkingen, gebroken vergelijkingen, vergelijkingen met meer onbekenden (schoorsteenmethode, substitutiemethode), ongelijkheden, logaritmen, exponentiële vergelijkingen, rekenkundige en meetkundige rijen, goniometrie van de rechthoekige en scherphoekige driehoek (definitie van cosinus, sinus, , cosinusregel en sinusregel).
- In het derde Spijkerboekje « Functies » wordt als basis het begrip functie met behulp van de leer der getalverzamelingen gedefinieerd en het in beeld brengen van een functie (grafische voorstelling of grafiek) besproken. Vervolgens wordt nader ingegaan op de eerstegraadsfunctie (inverse functie, expliciete en impliciete voorstelling, oplossingsgebieden, modulus functies, eerstegraadsfuncties met twee variabelen) en tweedegraadsfuncties (functies van de vorm ±(x + a)2 + b, functies van de vorm (x + a)(x + b), functies van de vorm ax2 + bx + c, raak- en snijlijnen aan parabolen, snijdende parabolen) behandeld. Enkele noties betreffende de functies van hogere graad en de transformaties (verschuivingen, spiegelingen en vermenigvuldigen van grafieken) sluiten het basishoofdstuk af. Het boekje gaat ten slotte dieper in op gebroken, wortel-, exponentiële, logaritmische en goniometrische functies.
- De titel van de vierde Spijker is « Differentiëren ». Het boekje begint met de differentiaalrekening (limiet, afgeleide functie, differentiëren, productregel, quotiëntregel, kettingregel, afgeleide van sin cos en tan, ) en de toepassing ervan op grafieken (veeltermfuncties, stelsels van functies, wortel functies, breuk functies, goniometrische functies). Het luik verdieping omvat bijzondere functies ( het getal e, de natuurlijke logaritme, de afgeleide van een inverse functie, definitie en afgeleide) en toepassing van de differentiaalrekening op optimaliseringsproblemen.
- Het vijfde deel in de Spijkerreeks « Integreren » sluit de verticaal opgebouwde rij van de eerste vijf Spijkerboekjes af. De volgende Spijkerboekjes Kansrekening en Statistiek en Voortgezette Goniometrie en Vectorrekening staan enigszins terzijde van dit verticaal bouwwerk, dat men ook nog Analyse noemt. Het boekje start met de integraalrekening (wat is integreren?, primitiveren, oppervlakte onder een grafiek, de integraal en de eigenschappen van de integraal). Volgt dan een overzicht van de integratietechnieken (de omgekeerde kettingregel, de substitutieregel, partiële integratie) en enkele toepassingen van de integraalrekening (omwentelingslichamen, booglengte, omwentelingsoppervlak, inhoud van een pyramide, mechanische arbeid, verwachtingswaarde). De verdieping van deze Spijker omvat speciale integratietechnieken (goniometrische technieken, breuksplitsing, oneigenlijke integralen), differentiaalvergelijkingen (impliciet differentiëren, wat is een differentiaalvergelijking, het oplossen van differentiaalvergelijkingen, het schetsen van oplossingskrommen) en enkele toepassingen van differentiaalvergelijkingen (exponentiële groei, begrensde groei, logistische groei, verdamping).
- « Statistiek », de titel van het zesde Spijkerboekje, speelt een rol bij vele studierichtingen. De auteur benadrukt dat dit boekje alleen maar een basis legt waarmee de student verder kan. Het boekje begint met rekenkundige technieken. Verder komen beschrijvende en verklarende statistiek aan bod en wordt de basis van kansrekening behandeld. Bij het doorwerken van deze Spijker is een grafische rekenmachine onmisbaar.
- De zevende Spijker «Goniometrie en Vectoren » is de laatste in de reeks en is vooral nuttig voor toekomstige bèta-wetenschappers, bijvoorbeeld als voorbereiding op een technische of natuurwetenschappelijke studie. Dit boekje legt eerst de basis van de trigonometrie en goniometrie (in feite een herhaling uit de Spijkers 2 en 3). Daarna volgt analytische verdieping van de goniometrie (differentiëren van goniometrische functies, karakteristieken van de grafieken), de somformules (samenstelling van trillingen) en de bewegingsvergelijkingen. Het laatste deel beperkt zich tot een deel van de vectorrekening of calculus in casu de vectoralgebra (som, in- en uitproduct van vectoren).
Boeken, die zich in dezelfde categorie van de Spijkerboekjes inschrijven zijn:
* « Basisboek Rekenen » (Jan van de Craats en Rob Bosch Pearson -2009-)
* «Basisboek Wiskunde» (Jan van de Craats en Rob Bosch Pearson 2de editie -2009-)
* «Vervolgboek Wiskunde» (Jan van de Craats Pearson -2010-)
Onvolledige internetversies van voornoemde boeken kan men inkijken op:
« Basisboek wiskunde » legt de basis voor de wiskunde die op universiteiten en hogescholen gebruikt wordt bij studierichtingen in techniek, informatica, bètavakken, economie, bedrijfskunde, medische vakken en aanverwante disciplines. Basisboek wiskunde is essentieel een oefenboek. Elk hoofdstuk bestaat voor meer dan de helft uit opgaven. De bijbehorende theorie wordt kort en duidelijk uitgelegd. Achterin staan de antwoorden van alle opgaven zodat Basisboek wiskunde ook heel goed voor zelfstudie kan worden gebruikt. Centraal staat dus het aanleren van die wiskundige vaardigheden die studenten in deze disciplines moeten beheersen: rekenvaardigheid, formulevaardigheid, werken met functies en grafieken en vaardigheid in differentiëren en integreren
Over dit boek schreef de recensent Dr D.G. van der Steen:
.Dit boek is bedoeld als brug tussen het middelbaar en het hoger onderwijs: het behandelt die wiskundestof die nodig is voor het volgen van een voortgezette studie op exact of economisch gebied. In die opzet is het voortreffelijk geslaagd. Korte, heldere hoofdstukjes, van het rekenen met gehele getallen tot en met differentiaal- en integraalrekening. Heel veel oefenmateriaal, met antwoorden. Pure training van die vaardigheden die sinds de invoering van de basisvorming en de tweede fase te zeer in het vergeetboek zijn geraakt. Geschikt voor bij de les, maar ook uitstekend bruikbaar voor zelfstudie. In deze tweede editie zijn veel wijzigingen doorgevoerd. Diverse hoofdstukken zijn uitgebreid, herschreven of verbeterd om aan te sluiten op de voorkennis van scholieren in het voortgezet onderwijs .
« Vervolgboek wiskunde » volgt op het succesvolle studieboek 'Basisboek wiskunde', waarin de eerste elementaire kennis van wiskunde wordt aangeboden. Vervolgboek wiskunde gaat een stap verder. De onderwerpen die worden besproken zijn vectorrekening (het gedeelte vectoralgebra), matrixrekening, het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen met behulp van Gauss- eliminatie, machtreeksen en Taylor- reeksen, functies van meer variabelen, meervoudige integralen, complexe getallen en differentiaalvergelijkingen. Door deze selectie van onderwerpen sluit Vervolgboek wiskunde goed aan bij exact georiënteerde studierichtingen. 'Vervolgboek wiskunde' is evenals 'Basisboek wiskunde' in de eerste plaats een oefenboek. In elk hoofdstuk komt na de theorie een uitgebreide hoeveelheid opgaven. Achterin staan alle antwoorden, wat Vervolgboek wiskunde ook zeer geschikt maakt voor zelfstudie.
« Basisboek Rekenen » is tot stand gekomen nadat de schrijvers hadden vastgesteld dat er iets niet klopte met het rekenonderricht in het basisonderwijs in Nederland. Jan van de Craats is immers de auteur van een ophefmakend artikel: Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen? (zie: http://staff.science.uva.nl/~craats/zwartboek.pdf ). Van dezelfde auteur is er op internet een interessante lezing over dit probleem te vinden. (zie: http://wiskundeleraar.nl/pagina.asp?nummer=3896 )
2.2 de Zebra- collectie
De Zebrareeks is ontstaan om VWO-leerlingen in keuze-uren kennis te laten maken met onderwerpen uit de wiskunde, die buiten het standaard curriculum vallen, maar wel zeer de moeite waard zijn. De reeks is in eerste instantie bedoeld voor leerlingen uit de hoogste klassen van het VWO, maar is nadrukkelijk ook bedoeld voor allen die belangstelling hebben voor wiskunde en wiskundige toepassingen in andere disciplines. De teksten zijn ontstaan door een unieke samenwerking van docenten VWO, Hogeschool en Universiteit. De Zebra-reeks is tevens een hommage aan Jan Breeman, in leven bestuurslid van de NVvW (Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren), inspirerend docent en vernieuwer van het wiskundeonderwijs, bedenker van de Zebraruimte.
In de diverse nieuwe wiskundeprogramma's (vwo profielen) in Nederland is een gedeelte met een omvang van 40 studie-uren gereserveerd voor keuzeonderwerpen, de zogenoemde Zebraruimte. In deze Zebraruimte wordt de leerlingen de gelegenheid geboden om zelfstandig of in (klein) groepsverband een of meerdere zelfgekozen onderwerpen te bestuderen en opdrachten uit te voeren die passen bij het gekozen profiel, de wiskunde in dat profiel en wellicht zelfs de toekomstige studie. De beperkte blik van de schoolwiskunde met de verplichte stof en de opgaven daarbij wordt hierdoor verruimd. De boekjes kunnen op deze manier bijdragen aan positieve beeldvorming van het vak wiskunde.
De boekjes worden geschreven onder auspiciën van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren, in samenwerking met Epsilon Uitgavente Utrecht. Binnen de NVvW is daarvoor de Werkgroep Zebrareeks ingesteld. Elk boekje telt ongeveer 60 paginas en tot nu toe werden volgende onderwerpen behandeld:
- Domein Kansrekening en Statistiek:
* «Kattenaids en Statistiek » (Jan van den Broek en Peter Kop Zebra 1 -2001-)
* «Schatten, hoe doet je dat? » (Wim Kremers en Jan Smit Zebra 3 -2000-)
* « Poisson, de Pruisen en de Lotto » (Frank Heierman, Rein Nobel en Henk Tijms Zebra 5 -2000-)
* « Spelen en Delen -speltheorie, de wiskunde van conflictmodellen- » (Frank Thuijsman Zebra 22 -2005-)
* « Experimenteren met Kansen simulatie met de grafische rekenmachine- » (Henk Pfaltzgraff Zebra 23 -2006-)
- Domein Meetkunde:
* « Perspectief, hoe moet je dat zien? » (Martin Kindt en Agnes Verweij Zebra 2 -2000-)
* « De Gulden Snede » (Wim Kleijne en Ton Konings Zebra 4 -2000- 5de druk in 1010)
* « De Veelzijdigheid van Bollen » (Peter Boon en Martin Kindt Zebra 9 -2000?- 2de druk -2005-)
* « Fractals » (Igor Hoveijn en Jan Scholtmeijer Zebra 10 -2000?- 3de druk -2009-)
* « Schuiven met autos, munten en bollen » (Hans Melissen en Rob van Oord Zebra 11 -2001-)
* « Geschiedenis van de niet- Euclidische Meetkunde » (Iris van Gulik-Gulikers Zebra 21 -2005-)
* « Passen en Meten met Cirkels, de arbelos van Archimedes » (Floor van Lamoen Zebra 30 -2009-)
* « Meester Ludolphs Koordenvierhoek » (Marjanne de Nijs en Steven Wepster Zebra 31 -2010-)
- Domein Algebra:
* « De Laatste Stelling van Fermat » (Peter Lanser Zebra 7 -2000-)
* « Verkiezingen, een web van paradoxen » (Ad van Deemen, Eliora van der Hout, Peter Kop en Harrie de Swart Zebra 8 -2000-)
* « Voorspellen met modellen » (Peter Boswijk, Philip Hans Franses en Christiaan Heij Zebra 28 -2008-)
* « Christiaan Huygens » (Rienk Vermij, Hanne van Dijk en Carolien Reus Zebra 17 -2004-)
* « Zeepvliezen, wetenschap en vermaak » (Hans van Lint en Jeanne Breeman Zebra 18 -2004-)
* « Gravitatie, de kracht die overal werkt » (Wilfried van Herterijck Zebra 24 -2007-)
- DomeinToegepaste Wiskunde:
* « Het gebruik van Wiskunde in de Islam » (Natasja Bouwman en Charlene Kalle Zebra 12 -2002?- 2de druk 2009-)
* «Grafen in de Praktijk » (Hajo Broersma Zebra 14 -2002- 2de druk -2006-)
* « De Juiste Toon » (Jan van de Craats Zebra 15 -2002?- 2de druk -2005-)
* « Kunst en Wiskunde, verwondering en verbeelding » (Bruno Ernst en Ton Konings Zebra 27 -2008-)
2.3 de Hoofd- collectie
De hoofdcollectie van de Uitgeverij Epsilon omvat theoretisch 69 monografieën, waarvan enkele bvb n° 1 « Inleiding tot de Leer van Stijfheid en Sterkte » (W. T. Koiter Epsilon n° 1 -1985-) niet meer te verkrijgen zijn. Andere nummers die blijkbaar ook niet langer te verkrijgen zijn: 4, 5, 7, 8, 12, 14, 17, 19, en 30.
De reeks omvat een aantal monografiën (in feite syllabi of cursussen want beperkt tot het essentiële) voor beginnende wiskundestudenten (lerarenopleiding en mathematici) zoals:
- « Eindig, oneindig, meer dan oneindig -grondslagen van de wiskundige wetenschappen » (n° 56), - « Getaltheorie voor Beginners » (n° 42), - « Vectoren en Matrices -een inleiding in de lineaire algebra- » (n° 45), - « Meetkunde -facetten van de planimetrie en stereometrie » (n° 47), - « Lessen in de Projectieve Meetkunde » (n° 26), - « Analyse voor Beginners » (n° 6), - « Complexe functies -de eerste stappen- » (n° 20), - « Kansrekening -het zekere van het onzekere- » (n° 36), - « Spelen met kansen » (n° 43) en - « Differentiaalvergelijkingen -een inleidende cursus- » (n° 27),
Zonder enige twijfel zijn deze boeken erg nuttig voor een Nederlandstalig publiek en wordt aldus één van de voornaamste doelstellingen van de uitgever "Wiskunde in de moedertaal voor beginnende studenten" verwezenlijkt.
Voor gevorderden zijn er vervolgens:
- « Getallen -van natuurlijk naar imaginair- » (n° 65), - « De Riemann- hypothese - een miljoenenprobleem- » (n° 69) - « Algebra -de brug tussen getallen en meetkundige constructies- » (n° 31) - « Hoofdstukken uit de Combinatoriek » (n° 25) - « Moderne Planimetrie » (n° 39), - « Analyse -functies van meer veranderlijken- » (n° 16), - « Theorie der Complexe Functies » (n° 13), - « Maat en integratietheorie -met basiselementen van de waarschijnlijkheisrekening- » (n° 58), - « Fouriertheorie -van reeks tot integraal- » (n° 10), en - « Analyse van Gewone Differentiaalvergelijkingen » (n° 33).
Natuurkundestudenten worden ook niet vergeten. Er zijn bvb :
- « Theoretische Mechanica » (n° 3) van Bottema, een klassieker in Nederland - « Kosmologie -van oerknal via niets tot straling en stof- » (n° 29), - « Speciale functies in de Mathematische Fysica » (n° 15), - « Turbulentie -theorie en toepassingen van turbulente stromen- » (n° 24), - « Meetkunde en Fysica » (n° 44), - « Chaostheorie -het einde van de voorspelbaarheid?- » (n° 35).
Voor de beginnende natuurkundestudent of voor de ontwikkelde leek zijn er bvb
- « Op de schouders van reuzen -de mechanica van Newton- » (n° 62), - « Het leven der Sterren -van stofwolk tot zwart gat- » (n° 59)
evenals een tweetal vertaalde monografieën van Christiaan Huygens:
- « Cosmotheoros -de wereldbeschouwer- » (n° 11) - « Verhandeling over het Licht » (n° 18).
Voor beginnende informaticastudenten maar ook voor geïnteresseerden zijn er:
- « Starten met Programmeren -een introductie in Java- » (n° 61) - « Elementaire Getaltheorie en Asymmetrische Cryptografie » (n° 63) - « Chaos met de Computer » (n° 37) - « Operationele analyse -een inleiding in modellen en methoden- » (n° 54)
De Epsilonreeks lijkt mij echter ook voor biowetenschappers (bvb bio-ingenieurs) erg interessant. Vooreerst zijn er de monografieën van de Gee (« Wiskunde in Werking » : nummers 48, 49 en 50). De talrijke herdrukken tonen het belang van deze monografieën duidelijk aan. Deze boeken worden trouwens ook in België als syllabi gebruikt.
Verder is er nummer 55 (« De wiskundige kat, de biologische muis en de jacht op inzicht »), een boek, dat aantoont hoe niet-lineaire dynamische processen de levende materie beheersen. Niet-lineaire dynamische processen zijn van zeer groot belang in de biologie en de theorie vormde het onderwerp van een van de eerste boeken van de reeks in 1985. Het boek « Niet-lineaire Differentiaalvergelijkingen en Dynamische Systemen » met als auteur, de stichter van de Epsilon Uitgaven, Ferdinand Verhulst komt helaas niet langer in de reeks voor. Er bestaat echter wel een Engelse versie « Nonlinear differential equations and dynamical systems » (Springer second edition -2006-) die gedeeltelijk is in te zien via Google- books.
Merkwaardig is ook wel dat in deze reeks een Luitzen Egbertus Jan Brouwer (6) , de grondlegger van de -door vele wiskundigen misprezen- intuïtionistische wiskunde tweemaal (nummers 51 en 66) aan bod komt. Veelal wordt voornoemde wiskundige, die tot een alternatieve groep behoort, doodgezwegen. Het pleit voor Epsilon dat ook "alternatieve" wiskundigen aan het woord komen.
Zo komt ook een Nico van Kampen met « Waanwetenschap » (n° 52) aan het woord. Dit boek is in feite een soort samenvatting van « Views of a physicist -selected papers of N. G. van Kampen » (World Scientific -2000-), waarin deze bekende en gevierde Nederlandse fysicus zijn gal uitspuwt over alles waarvan hij meent "pseudo- of waanwetenschap" (waaronder bvb homeopathie!!) te zijn. In « Commentaar op 'Waanwetenschap' » (n° 52 bis) wordt een van Kampen dan weer door enkele wiskundigen waaronder de onlangs overleden Floris Takens terechtgewezen.
Epsilon Uitgaven werkt tenslotte ook aan materiaal voor het nieuwe schoolvak Wiskunde D (7) in het secundair onderwijs. Volgende monografieën kunnen gratis gedownloaded worden. Epsilon ontvangt daarna graag uw commentaar voor verdere ontwikkeling:
« Dynamische modellen » (Ferdinand Verhulst Wiskunde D deel 1)
« Kansrekening » (A. van den Brandhof Wiskunde D deel 2)
« Optimalisatie in Netwerken » (H. Tijms Wiskunde D deel 3)
« Diophantische Vergelijkingen mogelijkheden en onmogelijkheden- » (G. Cornelissen Wiskunde D deel 4)
- monografieën i.v.m. Axiomatiek en Arithmetiek:
* « Een nacht vol opwinding een keuze uit filosofische essays- » (Henri Poincaré Epsilon n° 41 -1998-)
* « Geschiedenis van de Wiskunde in de Twintigste eeuw van verzamelingen tot complexiteit- » (Piergiorgio Odifreddi Epsilon n° 57 -2005-)
* « L.E.J. Brouwer en de Grondslagen van de Wiskunde » (Dirk van Dalen Epsilon n° 51 2de druk -2005-)
* « Intuïtionistische Analyse een constructief denkraam- » (Dirk van Dalen Epsilon n° 66 -2011-)
* « Eindig, Oneindig, meer dan Oneindig grondslagen van de wiskundige wetenschappen- » (Leon Horsten Epsilon n° 56 -2004-)
Precies omschrijven wat men vandaag onder Arithmetiek verstaat, is geen gemakkelijke opgave. Het volstaat de diverse encyclopedieën (inclusief Wikipedia) aangaande dit onderwerp te bekijken om tot dit besluit te komen. Wat onder de term « Arithmetiek » (of "Aritmetica" volgens van Dale) moet begrepen worden hangt zoals verder aangetoond wordt- immers af van het beschouwde land of taalgebied. Toch is iedereen het wel over eens dat Arithmetiek iets met getallen te maken heeft en in feite getalwetenschap betekent.
Wie het woord Arithmetiek hoort, denkt automatisch op Carl Friedrich Gauss (1) en zijn op 21-jarige leeftijd geschreven Disquisitiones Arithmeticae. Voor mij een voldoende reden om Gauss als ikoon van dit cursiefje te kiezen.
Arithmetiek is in het kort samengevat de studie van het Getal zoals Meetkunde de studie van de Vorm en Calculus de studie van de Verandering zijn.
Een getal is de aanduiding van een hoeveelheid. Arithmetiek is dus in de eerste plaats de wetenschap van de hoeveelheid en het tellen van hoeveelheden. Volgens Wikipedia was oorspronkelijkhet begrip getal synoniem met aantal, dus voor de getallen een, twee, drie, enz., maar het heeft een ruimere betekenis gekregen, zodat ook gebroken, negatieve en zelfs complexe getallen als getal aangemerkt worden.
In de moderne wiskunde (d.i. wiskunde gebaseerd op de verzamelingenleer) worden de getallen doorgaans ingedeeld in verschillende verzamelingen. De eenvoudigste getallen zijn natuurlijke getallen {0, 1, 2 ...}, voorgesteld door de verzameling N. De natuurlijke getallen zijn een deelverzameling van de gehele getallen Z die, naast de positieve gehele of natuurlijke getallen, ook de negatieve gehele getallen bevat.
Deze verzameling kan uitgebreid worden met de getallen die enkel als breuk te schrijven zijn: deze verzameling van rationale getallen wordt voorgesteld als Q. De verzameling van rationale getallen die een eindige decimale voorstelling hebben, worden decimale fracties of decimale getallen genoemd, soms weergegeven met D.
Er zijn getallen, zoals π, de wortel uit twee en het getal e, die niet in breukvorm te schrijven zijn; zij vormen de irrationale getallen. Rationale en irrationale getallen vormen samen de verzameling van reële getallen, voorgesteld door R.
Tenslotte kan deze verzameling nog uitgebreid worden tot de complexe getallen zodat alle algebraïsche vergelijkingen oplosbaar zijn. Deze laatste verzameling wordt voorgesteld door C.
We krijgen derhalve de volgende ordening tussen de verschillende verzamelingen: N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ⊂ C (⊂ betekent "is een ware deelverzameling van").
Een getal is een aanduiding van een hoeveelheid en wordt, zoals eenieder weet, voorgesteld door een cijfer of door een cijfercombinatie waarbij op de volgorde moet worden gelet. Het ontstaan van cijfers om een getal voor te stellen is een lang en spannend verhaal dat bvb in het boek van Georges Ifrah ("Histoire universelle des Chiffres" éditions Robert Laffont 2 vol. -1994-) wordt uiteengezet.
Arithmetiek is nu spelen met cijfers of cijfercombinaties volgens bepaalde regels Dit spelen met cijfers wordt rekenen of ook nog cijferen genoemd. De regels waarvan sprake mogen, in relatie tot het begrip hoeveelheid, niet leiden tot dubbelzinnige of tegenstrijdige resultaten : zij moeten -wat men noemt- coherent zijn.
Wat er in deze definitie opvalt, is het woord spelen en inderdaad vele wiskundigen leggen de nadruk op het speelse karakter van de rekenkunde en van de wiskunde in het algemeen.
Voor wat de Arithmetiek betreft was er bvb het boekje Van Nul tot Oneindig getaltheorie voor iedereen- van Constance Reid (2) (Het Spectrum Prisma, -1965-). Het is een vertaling van From Zero to Infinity what makes Numbers interesting- , boekje dat voor het eerst verscheen in 1955 en waarvan nog een vijfde aangevulde editie verscheen in 2006!!! Deze laatste editie werd aangevuld met een beschrijving van de bewijsvoering van het Laatste Theorema van Fermat. Het boek omvat tien hoofdstukken, die achtereenvolgens getiteld zijn:0, 1, 2, 3, tot en met 9, en tot slot een hoofdstuk met geheimzinnige titel *** . Niemand die dit boekje van amper 145 paginas gelezen heeft, zal ooit nog getallen als vanzelfsprekend beschouwen.
Ik zou zeggen verplichte lectuur voor mensen, die eens willen weten welke interessante wetenswaardigheden er in de school- en leerboeken - vaak tussen ingewikkelde details- weggemoffeld zijn.
Een ander interessant boekje eveneens verschenen in bij Het Spectrum was Spelen met cijfers van W. J. Reichmann (Prisma, -1959-). Het betreft een vertaling van The fascination of numbers (1957), dat ook als e-book (3) ter lezing staat. Onlangs (2010) verscheen nog een herdruk van de oorspronkelijke Nederlandse uitgave bij de herdrukreeks vantoen.nu.
In de eerste twaalf hoofdstukken worden volgende onderwerpen behandeld: het maken van getallen; reeksen vormgetallen en kwadraten; reeksen derde machten en andere getallen; de som der cijfers; priemgetallen en ontbinding in factoren; kenmerken van deelbaarheid; andere methoden van vermenigvuldiging; logaritmen en goniometrische verhoudingen; volmaakte getallen en enkele bijzonderheden; repeterende breuken, congruente getallen, irrationale en imaginaire getallen.
Het spelen in de stricte zin van het woord is niet vergeten zoals uit de vier laatste hoofdstukjes blijkt: pseudo-telepathie; drogredenen; tovervierkanten en tenslotte getallenmystiek. Enkele aanhangsels (de driehoek van Pascal en het binomiaal theorema; driehoeksgetallen en combinaties; de vier vieren; noem de dag en reeksen en de gewichtendoos) en een register sluiten het boek af.
Een merkwaardig boek was Spelen met getallen (Thieme, -1951-) van de Nederlandse wiskundige Fred Schuh (4). Het boek droeg als ondertitel een fascinerend boek voor jong en oud en in mijn jeugdjaren was ik werkelijk begeesterd door dit werk.
Als ik dit boek nu ter hand neem en ik de getekende illustraties bekijk, word ik effenaf grijs van weemoed. Het was dit boek dat mij deed inzien hoe ik het aan boord moest leggen om bvb steeds aan de winnende hand te zijn bij het luciferspel.
Na WOII en in het begin van de vijftiger jaren was dit spel zeer populair en mijn kameraden konden maar niet begrijpen, waarom ik altijd won. Natuurlijk, heb ik hen mijn geheimpje niet verteld, want dan zou het niet meer plezant geweest zijn..
« Spelen met Getallen » omvat 9 hoofdstukken: Talstelsels; Grote getallen; Toverkaarten; Problemen verwant met toverkaarten; Algemene beschouwingen over spelen; Het nimspel; Het verplaatsen van cijfers van een getal; Tovervierkanten en Pythagoras en de Pythagoreërs. Later was dit boek mij zelfs van nut om bvb de diverse talstelsels, de theorie der repeterende breuken enz. beter te doorgronden. Echt een aanrader dus, maar een zeldzaam boek, alleen nog te verkrijgen in gespecialiseerde boekhandels.
In feite was Spelen met Getallen een soft versie van Wonderlijke Problemen leerzaam tijdverdrijf door puzzel en spel- waarvan een tweede druk verscheen in 1949. Dit laatste boek is echter van een veel hoger niveau en gaat o.a. ook over kansrekening. Misschien nog even signaleren dat dit laatste boek ook in het Engels vertaald werd onder de titel The Masterbook of Mathematical Recreations bij Dover Books en nog steeds te verkrijgen is.
Een zeer interessante en inleidende monografie is " Les Nombres et leurs Mystères " van André Warusfel (Seuil -1961-). De auteur was gedurende jaren leraar aan de lycea "Henri IV" en "Louis-le-Grand" alvorens benoemd te worden als Inspecteur Generaal "Wiskunde". Deze pocket handelt o.m. over onderwerpen als het gulden getal, de Platonische lichamen, de berekening van het getal p en het getal i.. Aan te raden!!
2° De orthodoxe definities...een hopeloze warboel
De orthodoxe definities vindt men in encyclopedieën als bvb de Standaard Encyclopedie (1971) of La Grande Encyclopédie Larousse (1972):
... De Rekenkunde is het deel van de wiskunde dat zich bezighoudt met het onderzoek van de natuurlijke getallen, ook positieve gehele getallen genoemd, dit wil zeggen: van de rij 1, 2, 3, 4, ... De rekenkunde omvat tegenwoordig een elementair gedeelte en een theoretisch gedeelte dat men getaltheorie noemt...
... L'Arithmétique est l'étude de l'ensemble N des nombres entiers naturels, de l'ensemble Z des nombres entiers relatifs, ainsi que du corps Q des nombres entiers rationnels. Dans ses parties les plus relevées, elle porte le nom de Théorie des Nombres. Tout au cours de son développement historique, ses frontières avec l'algèbre et l'analyse ont été mouvantes et souvent imprécises. Elle se divise assez naturellement en arithmétique pratique et arithmétique théorique...
Vindt u deze definities eensluidend? Ik niet...
- Arithmetiek behoort -hoe men er ook over denkt- zoals de getaltheorie tot de getalwetenschap, meer nog het is het historisch begin van de getaltheorie. Jean Itard (5) schreef inderdaad in 1963 :
"Nous appelons Arithmétique l' étude élémentaire des propriétés des nombres premiers et des nombres rationnels, établies avant le 18e siècle et Théorie des Nombres les développements nés des recherches précédentes à partir de ce 18e siècle. Mais il n'y a pas de frontière bien précise entre ces deux domaines, et si Legendre publie en 1797-1798 un Essai sur la théorie des nombres, l'ouvrage fondamental de Gauss s'appelle en 1801 Disquisitiones arithmeticae"
Er is echter discussie over waar precies de scheidingslijn tussen Arithmetiek en Getaltheorie ligt of zou moeten liggen. In wezen is natuurlijk een dergelijke scheiding louter conventioneel en niet essentieel. Ze is echter wel nuttig op didactisch vlak.
Het is deze "Arithmétique", die de basis vormde en nog altijd vormt van het wiskunde-onderricht in het primair en secundair onderwijs. Zij omvatte de studie van de eigenschappen van de gehele en gebroken getallen en i.h.b. de priemgetallen.
Uit deze "Arithmétique" heeft zich sedert 1800, mede door de algebra, de calculus ("analyse") en de geometrie, de algebraïsche getaltheorie, de analytische getaltheorie en de geometrische getaltheorie ontwikkeld.
Het merkwaardige is nu dat vele professionele wiskundigen zich niet aan deze simpele afspraak houden en het ook blijven hebben over Arithmetiek, terwijl zij het in werkelijkheid hebben over de Getaltheorie. Getaltheorie wordt dan soms aangegeven als "hogere" Arithmetiek. Zo heeft het bekende boek van Harold Davenport als titel "The higher Arithmetic : an introduction to Number Theory".
Zoals in het volgend cursiefje " Wat is Arithmetiek? (2) " uiteengezet, heeft de notie "hoger" hier al even weinig betekenis als het begrip "elementair".
Ook de definities van Arithmetiek in Wikipedia lijken mij erg verward:
- Wat moet een leek denken van een definitie van Arithmetiek zoals voorgesteld door de Franse Wikipedia (6) :
We zijn nu wel heel ver verwijderd van de omschrijving van Jean Itard, die voorstelde de term Arithmetiek voor te behouden voor de theorieën van het getal tot 1800.
- Goed dan maar even kijken naar wat men in het land van de grote Carl Friedrich Gauss onder Arithmetik verstaat? Wikipedia (Deutsch) geeft de volgende omschrijving (7) :
Die Arithmetik (griechischαριθμητική [τέχνη], arithmitikí [téchni], wörtlich die Zahlenmäßige [Kunst], arithm- von αριθμός, die Zahl und -etik von der adjektivischen Endung -ητική) ist ein Teilgebiet der Mathematik. Die Arithmetik wurde von den Pythagoreern begründet und in Buch VII-IX von Euklids Elementen erstmals gesammelt. Sie umfasst vor allem das Rechnen mit den Zahlen, also die GrundrechenartenAddition (Zusammenzählen), Subtraktion (Abziehen), Multiplikation (Vervielfachen), Division (Teilen) sowie die zugehörigen Rechengesetze.
Zur Arithmetik gehören auch die Gesetze der Teilbarkeit der ganzen Zahlen sowie die Division mit Rest. Weiter zu erwähnen ist das Rechnen mit Brüchen. Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede natürliche Zahl größer als 1 ist ein (bis auf die Reihenfolge) eindeutiges Produkt von Primzahlen. Die Arithmetik leitet zur Zahlentheorie über, die sich im weitesten Sinn mit der Charakteristik der Zahlen beschäftigt.
Carl Friedrich Gauß wird gerne zitiert mit der Aussage: Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik. Diese Wortschöpfung lässt die Liebe zur Zahlentheorie bei C. F. Gauß erkennen und zeigt, wie sehr Mathematiker sich dieser Teildisziplin verschreiben können.
Wie Gauß selber in der Vorrede seiner berühmten "Untersuchungen über höhere Arithmetik" (siehe Literatur) bemerkt, gehören die Theorie der Kreisteilung oder der regulären Polygone, welche im siebenten Abschnitt behandelt wird, zwar an und für sich nicht in die Arithmetik; doch müssen ihre Prinzipien einzig und allein aus der höheren Arithmetik geschöpft werden.
Da sich die heutige Zahlentheorie weit darüber hinaus entwickelt hat, wird lediglich die elementare Zahlentheorie auch als arithmetische Zahlentheorie (=höhere Arithmetik nach Gauß) bezeichnet. Die Bezeichnung "Arithmetik" (elementare Arithmetik nach Gauß) im eigentlichen Sinne ist zur Hauptsache dem Rechnen vorbehalten.
In Duitsland omsluit Arithmetiek ook de hogere Arithmetiek volgens Gauss, terwijl deze laatste in andere landen wel degelijk tot de Getaltheorie gerekend wordt. Een uiting van nationaal chauvinisme? Misschien wel, maar begrijpelijk indien je een Gauss onder je landgenoten mag tellen.
- En hoe denkt men in de U.S.A. en het U.K. over de term « Arithmetiek »? Steeds Volgens Wikipedia (engl.) (8) :
Arithmetic or arithmetics (from the Greek word ἀριθμός = number) is the oldest and most elementary branch of mathematics, used by almost everyone, for tasks ranging from simple day-to-day counting to advanced science and business calculations. It involves the study of quantity, especially as the result of combining numbers. In common usage, it refers to the simpler properties when using the traditional operations of addition, subtraction, multiplication and division with smaller values of numbers.
Professional mathematicians sometimes use the term (higher) arithmetic when referring to more advanced results related to number theory, but this should not be confused with elementary arithmetic.
In de Verenigde Staten en in het Verenigd Koninkrijk wordt benadrukt dat de term arithmetiek voorbehouden moet blijven aan wat men in deze landen elementaire Arithmetiek noemt d.i. de Arithmetiek volgens Jean Itard.
Wat de rol van de Rekenkunde in het primair en secundair onderwijs betreft, schrijft nu Wikipedia onder de hoofding «Arithmetic in education»:
The difficulty and unmotivated appearance of these algorithms has long led educators to question this curriculum, advocating the early teaching of more central and intuitive mathematical ideas. One notable movement in this direction was the New Math of the 1960s and 1970s, which attempted to teach arithmetic in the spirit of axiomatic development from set theory, an echo of the prevailing trend in higher mathematics.
- En wat verstaat men tenslotte in het land van Simon Stevin onder aritmetica? Volgens Wikipedia (9) :
Met rekenen, aritmetica, cijferkunst of rekenkunde worden een aantal bewerkingen, ook wel operaties genoemd, aangeduid die op getallen worden uitgevoerd. Deze bewerkingen zijn: optellen - aftrekken - vermenigvuldigen - delen - machtsverheffen - worteltrekken. De volgorde waarin bewerkingen worden uitgevoerd, kan met haakjes worden aangegeven. Bewerkingen tussen haakjes worden eerst uitgevoerd. Wanneer er meerdere operaties achtereenvolgens worden uitgevoerd, dan is de internationale regel: eerst machtsverheffen en worteltrekken, dan vermenigvuldigen en delen, ten slotte optellen en aftrekken. Inverse bewerkingen worden hierbij als onderling gelijkwaardig beschouwd.
Op de basisschool werd vroeger de regel Meneer Van Dale Wacht Op Antwoord (Machtsverheffen, Vermenigvuldigen, Delen, Worteltrekken, Optellen en Aftrekken) geleerd (of Mijn Vader Draait Worsten Op Aarde), tegenwoordig wordt echter meestal de internationale regel gebruikt. Een nieuw ezelsbruggetje is: Het Mooie Witte Veulentje Draaft Op en Af (Haakjes, Machtsverheffen, Worteltrekken, Vermenigvuldigen, Delen, Optellen en Aftrekken). Of: Hoe Moeten Wij Van De Onvoldoendes Afkomen, of Heel Mooi Weer VanDaag Op Ameland
De bovengenoemde rekenoperaties worden in de ontwikkelde landen op de basisschool geleerd. Vaak worden rekenmachines gebruikt voor het uitvoeren van berekeningen.
Historisch gezien stond inderdaad het rekenen aan de basis van de wiskunde. In Nederland lijkt het er wel op dat men alleen het praktisch rekenen d.i. het executieve gedeelte (het eigenlijke rekenen) beschouwt als Arithmetiek.
Arithmetiek omvat echter ook een theoretisch gedeelte, dat de eigenschappen van bovengenoemde operaties op de natuurlijke en op de rationale getallen bestudeert en waarvan de bedoeling is aan te tonen dat de uitvoeringsregels van de operaties wel degelijk gegrondvest zijn.Ten overstaan van de gegeven definitie van Arithmitiek is de Nederlandse benadering dan weer wat té restrictief.
Samenvatting en besluit:
Uit wat voorafgaat blijkt ontegensprekelijk dat de orthodoxe definities tegenstrijdig zijn. En zeggen dat mathematici het moeten hebben van messcherpe definities. Het minste wat gezegd kan worden is dat er inderdaad heel wat begripsverwarring heerst.
In het Nederlands zou men nu deze verwarring eventueel kunnen vermijden door het introduceren van een nieuw (10) woord « Getalkunde », dat een goede vertaling zou zijn voor het Angelsaksische « Arithmetic », het Franse « Arithmétique », het Duitse « Arithmetik » en het Latijnse « Arithmetica ». Maar juist om deze reden lijkt het mij beter ook in het Nederlands de term « Arithmetiek » te gebruiken. « Arithmetiek » heeft dan wel een verschillende betekenis dan de veel gebruikte en gekende term « Rekenkunde ».
Rekenkunde kan dan gedefinieerd worden als het deel van de Arithmetiek dat zich beperkt tot de zogenaamde rekenkundige getallen d.i. de positieve gehele getallen en het getal nul. De gebroken getallen of breuken zijn rechtstreeks afgeleid van de rekenkundige getallen. Volgens Schuh (11) behoren echter de negatieve gehele evenzeer tot de Rekenkunde en wordt ten onrechte vaak beweerd dat de negatieve getallen in de algebra en niet in de rekenkunde thuis horen.
Er is inderdaad heel wat vóór dit standpunt in te brengen. Gedacht hier kan worden aan de negatieve exponenten, aan de theorie der onbepaalde (of Diophantische ) vergelijkingen, een onderwerp dat zeer beslist tot de rekenkunde moet gerekend worden, en waarvoor een kennis van de negatieve getallen vrijwel onontbeerlijk is.
Een goed Nederlands woord als « Getalkunde » kan men dan voorbehouden tot de eigenlijke theorie der Getallen d.i. de achtereenvolgende uitbreidingen van het getalbegrip van het natuurlijk getal tot het complexe getal, en zelfs tot de quaternionen. Deze uitbreidingen of verruimingen vloeien voort uit de studie van de Algebra (zie cursiefje « Wat is Algebra? »)
Naar mijn mening, kan men dan de diverse standpunten uit pragmatisch oogpunt als volgt samenvatten.
1- De « Arithmetiek » : omvat de volledige leer der getallen (getaltheorie) d.i. de natuurlijke getallen en hun uitbreiding tot de gehele getallen, de gebroken getallen, de onmeetbare of irrationale getallen, de complexe getallen Ze kan onderverdeeld worden in de rekenkundige, de algebraïsche en analytische Arithmetiek, zoals de Franse School het aangeeft.
2- De « Rekenkunde » is dan Arithmetiek beperkt of tot de positieve gehele en gebroken getallen (Gewone Rekenkunde) of insgelijks uitgebreid tot de negatieve gehele en gebroken getallen (Schuh). Ze kan dan ook onderverdeeld worden in:
- « Gewone Rekenkunde » is de Rekenkunde van het Primair en Lager Secundair Onderwijs en omvat het eigenlijke rekenen (de algoritmen of rekenrecepten)), de theoretische basis van het eigenlijke rekenen alsook de talrijke praktische toepassingen (interestrekening, metriek stelsel enz.). Het is deze Rekenkunde die behandeld wordt in de diverse schoolboeken (zie cursiefje over oude schoolboeken in blog I)
- « Hogere Rekenkunde » is Rekenkunde bestemd voor Normaalscholen voor het secundair onderwijs (bachelor in onderwijs) en omvat de theorie der negatieve getallen, der repeterende breuken met de stelling van Gauss (modulo-rekenen).
Het is laatstgenoemde Rekenkunde die het onderwerp uitmaakt van het fameuze Leerboek der Elementaire Rekenkunde (Fred Schuh Noordhoff Deel I -1919- Deel II -1921-) en waarop verder in dit blog wordt ingegaan (zie cursiefje « Arithmetiek volgens Schuh »).
Hoe dan ook « Hogere Rekenkunde » mag niet verward worden met « Hogere Arithmetiek».
3- De « Getalkunde » de eigenlijke theorie der getallen met de diverse uitbreidingen van het getalbegrip, zoals ze uit de studie van de algebra voortvloeien.
Bemerking:
Boeken, die de Arithmetiek in een historische context behandelen zijn vrij zeldzaam. Voor geïnteresseerden verwijs ik naar de boekenserie van Marc Guinot, « Arithmétique pour Amateurs » verschenen bij Aléas (Lyon):
- tome 1 « Pythagore, Euclide et toute la clique » (1992)
- tome 2 « Les resveries de Fermat » ((1993)
- tome 3 « Ce diable dhomme dEuler » (nouvelle édition, corrigée et augmentée -1999-)
- tome 4 « Gauss, princeps mathematicorum » (1997)
- tome 5 « Une époque de transition: Lagrange et Legendre » (1996)
- tome 6 « Un homme de caractère(s): Dirichlet » (2002)
- tome 7a « Kummer et Dedekind: des idéaux aux idéaux » (2007)
- tome 7b « Kummer et Dedekind: le triomphe des idéaux » (2010)
Van dezelfde auteur verscheen ook nog buiten deze reeks « Le Paradoxe de Banach-Tarski » (Aléas, -2002-).
(10) Let wel dat het woord Getalkunde al in het Kunstwoordenboek van P. Weiland (1848) voorkwam, maar niet weerhouden werd in de "Grote van Dale".
(11) zie F. Schuh «Leerboek der Elementaire Rekenkunde » -Deel I- Inleiding pp XIV tot XVI: Schuh stipt o.m. aan:
Nog afgezien daarvan, dat een scherpe afscheiding tussen rekenkunde en algebra niet aanwezig is, zou een dergelijke opvatting een zeer hinderlijke beperking voor de rekenkunde betekenen door de omstandigheid, dat de aftrekking dan niet steeds mogelijk en daardoor een omzetting van (a + b) c tot (a c) + b niet steeds geoorloofd zou zijn .
Ook in de wetenschappelijke literatuur wordt het woord « elementair » veelvuldig gebruikt bvb in het aangeven van de titel (en dus van het onderwerp) van een boek bvb « Géométrie élémentaire. Premier et deuxième cycles » van André Gramain" of « Elementary Geometry » van John Roe of « Elementary Differential Geometry » van Andrew Pressley enz... Alle voornoemde werken zijn bestemd voor het universitair onderwijs, terwijl de term "elementair", zoals men verder zal zien, betrekking heeft op de leerstof voor het primair en secundair onderwijs.
Zoals een vriend wiskundige, aan wie ik eens het probleem voorlegde, mij uiteenzette moet het begrip "elementair" in deze woordcombinaties beschouwd worden als een relatief en niet als een absoluut begrip : "elementair is datgene wat nodig is voor hetgeen eventueel nog zal volgen". M.a.w. het woord elementair in al deze woordcombinaties heeft weinig betekenis en is in feite overbodig vermits in iedere discipline er steeds iets is dat nog zal volgen. Het is wel merkwaardig, dat wiskundigen, die een uitgesproken voorliefde hebben voor nauwkeurige omschrijvingen en messcherpe definities, dergelijke holle fraseologie gebruiken.
Maar wat betekent het woord elementair nu eigenlijk?
- Volgens de van Dale kan elementair betekenen: 1- de eerste beginselen of de grondslagen betreffend, 2- de bestanddelen vormend of betreffend, 3- met betrekking tot de chemische elementen, 4- met de aard van een element.
- Volgens le Petit Larousse kan «élémentaire» (lat. elementarius) betekenen: 1- très simple, réduit à lessentiel («Elémentaire, mon cher Watson!!»; 2- qui sert de base à un ensemble: enseignement élémentaire dispensé dans les écoles élémentaires ou primaires, cours élémentaire dans l enseignement du premier degré 3- (en chimie) qui concerne l élément; 4- (en physique) se dit des objets physiques dont on considère que tout corps est formé: particule élémentaire.
- Volgens de Merriam-Webster is «elementary« dan weer: 1- relating to or dealing with the simplest elements or principles of something; 2- relating to an elementary school . De « Free Dictionary » citeert volgende betekenissen: 1. of, relating to, or constituting the basic, essential, or fundamental part 2. of, relating to, or involving the fundamental or simplest aspects of a subject: an elementary problem in statistics. 3. of or relating to an elementary school or elementary education: the elementary grades; elementary teachers.
Het is dus niet verwonderlijk dat enkele Nederlandse auteurs de term elementair vervangen hebben door het woord algemeen of "gewoon". De titel van het boek van D.W. Oort en G.H. Meyer in de reeks Prisma Compendia luidt: Algemene Rekenkunde, terwijl het boek duidelijk gaat over de Elementaire Arithmetiek zoals hierboven gedefinieerd en aangegeven door Jean Itard. Overigens wijden deze auteurs in hun boek ook nog een hoofdstuk aan het congruentierekenen, leerstof die volgens Itard dan weer behoort tot de hogere "Arithmétique".
In het Nederlands wordt de term Elementair inderdaad veelal vervangen door « Algemeen » bvb Algemene Rekenkunde, Algemene Natuurkunde, Algemene Chemie, "Algemene Plantkunde", "Algemene Dierkunde" waarbij met deze term de materie bedoeld wordt zowel voor het secundair als voor een eerste inleidende cursus voor het bachelor onderwijs. Het is dus wel belangrijk aan te geven tot welk doelpubliek een bepaald boek zich richt.
De meeste auteurs bedoelen echter met de term elementaire wiskunde, de schoolwiskunde, die onderwezen wordt in het primair en secundair onderwijs en hebben het dan over "elementaire rekenkunde", "elementaire algebra", "elementaire meetkunde", "elementaire analyse", "elementaire statistiek" .... : Elementary mathematics encompasses topics from algebra, analysis, arithmetic, calculus, geometry and number theory that are frequently taught at the primary or secondary school level (wikipedia).
Met "Hogere Arithmetiek", "Hogere Algebra"... wordt dan bedoeld de arithmetiek, de algebra bestemd voor het hoger onderwijs (hogescholen en universiteiten).
In tegenstelling met een algemeen verspreide mening is "elementaire wiskunde" niet eenvoudig (wat de keuze van het ikoon van dit cursiefje verklaart!). De Britse wiskundige W. Sawyer stelde in zijn boek "Prelude to Mathematics" (Nederlandse vertaling "Wegwijs in de Wiskunde" -Aula-reeks- 1965) dat in het algemeen gesproken hogere wiskunde eenvoudiger is dan elementaire wiskunde...
1° Over Elementaire Arithmetiek:
Elementaire Arithmetiek is in de eerste plaats wat ik in voorgaand cursiefje gedefinieerd heb als « Gewone Rekenkunde », maar volgens de Engelse als de Franse Wikipedia-artikels, maakt ook de « Hogere Rekenkunde » deel uit van deze Arithmetiek.
Elementary arithmetic starts with the natural numbers and the written symbols (digits) which represent them. The process for combining a pair of these numbers with the four basic operations usually relies on memorized results for small values of numbers, including the contents of a multiplication table to assist with multiplication and division.
The abacus is an early mechanical device for performing elementary arithmetic, which is still used in many parts of Asia. Modern calculating tools which perform elementary arithmetic operations include cash registers, electronic calculators, and computers.
Local standards usually define the educational methods and content included in the elementary level of instruction. In the United States and Canada, controversial subjects include the amount of calculator usage compared to manual computation and the broader debate between traditional mathematics and reform mathematics.
-De Franse Wikipedia definieert "Elementaire Arithmetiek" als volgt:
Larithmétique élémentaire regroupe les rudiments de la connaissance des nombres telle qu'elle est présentée dans l'enseignement des mathématiques. Elle commence avec la comptine numérique, autrement dit la suite des premiers entiers à partir de 1, apprise comme une liste ou une récitation et utilisée pour dénombrer de petites quantités. Viennent ensuite les opérations d'addition et de multiplication par le biais des table d'addition et table de multiplication. Ces opérations permettent, dans le cadre de l'algèbre, de définir leurs opérations réciproques: la soustraction et la division. Ce savoir n'est pas couvert par cet article.
Comprendre plus profondément l'arithmétique des nombres entiers impose l'usage de structures abstraites, comme celles des groupes finis, par exemple dans le cadre de l'arithmétique modulaire, ou des anneaux. On quitte alors l'arithmétique élémentaire pour entrer dans la théorie algébrique des nombres.
Boeken, die nu over de Elementaire Arithmetiek (of dus Gewone en Hogere Rekenkunde") handelen en die als inleidende cursus voor het hoger Normaalonderwijs (het vroegere regentaat) kunnen dienen, zijn bvb:
- « Algemene Rekenkunde » van Dirk Willem Oort en Gerrit Willem Meier (Prisma Compendia nr 3 (1964). Dit boek geeft een algemeen overzicht en omvat hoofdstukken over het modulo rekenen en zelfs de irrationale of onmeetbare getallen.
- « Leerboek der Elementaire Theoretische Rekenkunde » (Noordhoff Deel 1 "De gehele getallen"-1919-; Deel 2 "De meetbare Getallen" -1921-) van Fred Schuh
- « Het Natuurlijke Getal in zoo streng mogelijke behandeling » (Noordhoff -1928-) van Fred Schuh
- « Het Getalbegrip in het bijzonder het Onmeetbare Getal met toepassingen op de Algebra, de Differentiaal- en de Integraalrekening » (Noordhoff -1927-) van Fred Schuh
Voornoemde eerste drie boeken vormen één geheel en een stevige basis voor het onderwijs in de Gewone en Hogere Rekenkunde. Ze zijn ten zeerste aan te raden. Helaas zijn Schuh's boeken nog moeilijk te verkrijgen.
Speciaal ontwikkeld voor het Rekenkunde-onderricht in het hoger secundair respectievelijk lager secundair onderwijs ( de zogenaamde « Gewone Rekenkunde » waren de rekenkundeboeken van de collecties Schons en De Vaere-Herbiet (zie cursiefje Over oude schoolboeken en wiskunde in blog I). Zij dragen echter de sporen van de niet altijd gelukkige interventies en bemoeienissen van het Belgisch Ministerie van Onderwijs.
Voor meer details zie het cursiefje Arithmetiek in de Cadettenschool in dit blog.
2° Over de Hogere Arithmetiek of de Getaltheorie:
Hogere Arithmetiek wordt zeer vaak vereenzelvigd met de Getaltheorie. De meeste literatuur over Hogere Arithmetiek vindt men dan ook onder de term Getaltheorie.
- Over de getaltheorie (« théorie des nombres » (1) ) schrijft de Franse Wikipedia het volgende:
Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres entiers, qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs, et contient beaucoup de problèmes ouverts qu'il est facile de comprendre, même par les non-mathématiciens. Plus généralement, le champ d'étude de cette théorie concerne une large classe de problèmes qui proviennent naturellement de l'étude des entiers. La théorie des nombres occupe une place particulière en mathématiques, à la fois par ses connexions avec de nombreux autres domaines, et par la fascination qu'exercent ses énoncés.
Als deelgebieden van de getaltheorie stipt de Franse Wikipedia vervolgens aan: de elementaire getaltheorie, de algebraïsche getaltheorie, de analytische getaltheorie en de algoritmische of numerieke getaltheorie.
- De getaltheorie («Zahlentheorie») wordt in de Duitse Wikipedia (2) als volgt omschreven:
Die Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich im weitesten Sinn mit den Eigenschaften der Zahlen beschäftigt. Teilgebiete sind beispielsweise die elementare oder arithmetische Zahlentheorie in Verallgemeinerung der Arithmetik, die Lehre der Diophantischen Gleichungen, die analytische Zahlentheorie beziehungsweise die algebraische Zahlentheorie.
Als deelgebieden van de Getaltheorie geeft de Duitse Wikipedia aan: de elementaire of arithmetische getaltheorie, de analytische getaltheorie, de algebraïsche getaltheorie en de arithmetische geometrie, de algorithmische getaltheorie (voor meer details zie Wikipedia-artikel)
- De Engelse Wikipedia (3) omschrijft de Getaltheorie dan weer als volgt:
Number theory is the branch of pure mathematics concerned with the properties of numbers in general, and integers in particular, as well as the wider classes of problems that arise from their study. Number theory may be subdivided into several fields, according to the methods used and the type of questions investigated. (See the list of number theory topics.)
The terms "arithmetic" or "the higher arithmetic" as nouns are also used to refer to elementary number theory. These are somewhat older terms, which are no longer as popular as they once were. However the word "arithmetic" is popularly used as an adjective rather than the more cumbersome phrase "number-theoretic", and also "arithmetic of" rather than "number theory of", e.g. arithmetic geometry, arithmetic functions, arithmetic of elliptic curves.
Ook de Engelse Wikipedia geeft de diverse deelgebieden van de Getaltheorie aan: de elementaire getaltheorie, de analytische getaltheorie, de algebraïsche getaltheorie, e.a. (voor meer details zie het Wikipedia-artikel).
- Aangaande de getaltheorie (4) schrijft de Nederlandse Wikipedia:
Traditioneel is getaltheorie de tak van de zuivere wiskunde die de eigenschappen van de gehele getallen bestudeert. Meer algemeen is de term in gebruik geraakt voor de grotere klasse van problemen die "gemakkelijk door leken kunnen worden begrepen". Deze uitbreiding vond plaats toen de gebruikte technieken ook op andere problemen toepasbaar bleken. Getaltheorie kan worden onderverdeeld in verschillende gebieden, afhankelijk van de gebruikte methoden en de onderzochte vraagstelling.
Het Wikipedia-artikel bespreekt verder in het kort de verschillende gebieden van de getaltheorie: elementaire getaltheorie, analytische getaltheorie, algebraïsche getaltheorie en numerieke getaltheorie (zie het artikel voor meer details). De laatstgenoemde gebieden behoren tot wat heden de "moderne wiskunde" genoemd wordt. Er worden enkele aanwijzingen gegeven over wat voornoemde deelgebieden inhouden:
In de algebraïsche getaltheorie wordt het begrip getal uitgebreid met de algebraïsche getallen, dat zijn de nulpunten van polynomen met rationale coëfficiënten. De moderne algebraïsche getaltheorie is een belangrijke tak van de getaltheorie, die algebraïsche structuren bestudeert, die in verband staan met de algebraïsche gehele getallen.
Over het algemeen beschouwt men in de algebraïsche getaltheorie ringen van algebraïsche gehele getallen O in een algebraïsch getallenlichaam K/Q (dat wil zeggen een eindige uitbreiding van de rationale getallen Q), en door de eigenschappen van deze ringen en velden (bijvoorbeeld factorisatie, idealen, velduitbreidingen) te bestuderen. In deze context hoeven de bekende eigenschappen van gehele getallen (bijvoorbeeld unieke factorisatie) niet meer op te gaan. De verdienste van de gebruikte theorieën - Galoistheorie, groepcohomologie, groepsrepresentatie en L-functies - is dat gebruik ervan het mogelijk maakt voor deze nieuwe klasse van gehele getallen de orde gedeeltelijk te herstellen. Veel getaltheoretische vragen kunnen het best bestudeerd worden modulo p, voor alle priemgetallen p. Dit proces wordt lokalisatie genoemd en leidt tot de constructie van de p-adische getallen. Dit veld wordt de lokale analyse genoemd en komt voort uit de algebraïsche getaltheorie.
De meetkundige getaltheorie omvat alle vormen van meetkunde. Het begint met de stelling van Minkowski over roosterpunten in convexe verzamelingen. De beroemde Laatste stelling van Fermat werd met deze technieken bewezen.
Ten slotte is er de numerieke (of algoritmische) getaltheorie die onderzoek doet naar snelle algoritmen voor het testen van priemgetallen en het ontbinden in factoren. Deze studie heeft belangrijke toepassingen in de cryptografie.
Wat wordt hier nu precies bedoeld met "Elementaire Getaltheorie"?
- De elementaire (of aritmetische!!!) getaltheorie wordt door de Duitse Wikipedia omschreven als:
Veel vragen in de elementaire getaltheorie zijn uitzonderlijk moeilijk. Het beantwoorden vereist een volledig nieuwe aanpak. Het heeft bijvoorbeeld 350 jaar geduurd voordat de laatste stelling van Fermat in 1993 bewezen werd, door Andrew Wiles.
Voorbeelden van onopgeloste vraagstukken zijn:
- het vermoeden van Goldbach: elk even getal kan geschreven worden als som van twee priemgetallen.
- de vraag naar priemtweelingen: zijn er oneindig veel priemgetallenparen waarbij de twee priemgetallen slechts 2 verschillen?
De elementaire (of beter) aritmetische getaltheorie is een verdere uitbreiding van de elementaire rekenkunde (vandaar de benaming aritmetische getaltheorie).
Ze omvat naast enkele stellingen uit de elementaire theoretische rekenkunde(basisstellingen over priemgetallen, GGD en KGV, de Stelling van Bachet-Bézout..) het modulair rekenen, de stellingen van Fermat, van Euler, de Chinese reststelling enz.
Aan te raden Boeken, die over de «Aritmetische Getaltheorie » handelen zijn bvb:
- « Getaltheorie voor Beginners »van Frits Beukers (Epsilon, -1999-)
- « Elementaire Getaltheorie en Asymmetrische Cryptografie » van Benne de Weger (Epsilon, -2009-)
- « Elementary Number Theory » van Gareth Jones en Josephine Jones (Springer, -1998-)
Vóór WOII werd Rekenkunde (als deelgebied van de Arithmetiek) in de Cadettenschool gedoceerd door militairen waaronder de befaamde Jules Horwart, de Moloch. Dit was in de periode dat de Cadettenschool gevestigd was In Namen (zie blog 1 cursiefje « Over oude schoolboeken en wiskunde »).
Deze Rekenkunde genoemd werd ook in de Cadettenschool van Laken gegeven door een militair in casu Commandant Marcel De Corte de Poep-, blijkbaar een overgangsfiguur want hij gaf maar les van 1954 tot 1957. Later werd zijn taak overgenomen door een burger, André DHondt -de "Kitch"-, die na een jaar cadettenschool in Lier naar Laken overkwam in 1957 en die blijkbaar tot de sluiting van de cadettenschool in 1991 gebleven is. Persoonlijk heb ik de Kitch niet gekend en om deze reden is dit cursiefje opgedragen aan Cdt De Corte.
Van de Poep is mij niet veel bij gebleven, want het aantal lesuren Rekenkunde voor de Grieks-Latijnse sectie was eerder beperkt, dit in tegenstelling met de Wetenschappelijke sectie, die een veel zwaarder programma re verorberen kregen. Wel herinner ik mij bvb nog één van zijn grapjes Een gewaarschuwd man is er twee waard, een gewaarschuwd cadet is er twintig waard. Cdt De Corte was zeker geen kwade kerel, maar sommige oud-cadetten vonden zijn lessen uiterst saai en weinig inspirerend.
Over de Kitsch, die later ook nog trigonometrie en algebra gaf, zijn de meningen verdeeld. Hij heeft zelfs nog een wiskundeboek geschreven, dat echter niet het succes kende, dat hij er van verwachtte. Een oud-cadet noemde hem een psychopaat, die er bijna in slaagde hem een aversie voor de Wiskunde te bezorgen.
Andere cadetten namen de kitsch wat minder tragisch op. Op de site van Rik Windels (cadet 1957-1960) (1) vindt men volgend anekdotisch verhaal met als hoofdacteur Jan Jacobs (cadet 1957-1960):
En de Kitsch, die na een jaar in de "onderafdeling Lier", ons van de eerste dag neerbliksemde met zijn "En ik ken de cadetten!" en ook "Uw gezicht staat me niet aan! Ge zijt gebuisd!" . En dan zijn onverwachte en kort afgenepen "Aantbord ... (die of die), frmls vn Smpson!!", al te vaak gevolgd door een "Nul! Naar uw plek!". Op een keer zat de klas te wachten terwijl hij nog in de gang met andere proffen aan het kletsen was. Zegt ineens de Jan Jacobs, op de hem eigen zeg maar nonchalante en hoofdschuddende manier : "Zie, straks komt hij hier binnen en zegt : Aantbord, Jààààcobs! Frmls van Smpsn!" . En hij gaat zeggen : Wàààt ? Ken je ze niet ? Nul! Naar uw plek!"
Komt toch niet even later de Kitsch binnen en herhaalt quasi woordelijk het hele scenario, op dezelfde toon en met dezelfde gelaten reactie tot gevolg. De klas lag dubbel, tot woede van de Kitsch, die een paar PS-en uitdeelde, één aan de Jan "Geeft aanleiding tot lachen" en aan minstens één andere: "Lacht zonder reden!"
Overdreef de Kitsch in zijn gedragingen t.o.v. zijn leerlingen? De volgende anekdote mij verteld door Ludo Smets (cadet 1963-1966) stemt toch wel tot enig nadenken:
... Het later ingevoerd en verplicht maturiteitsexamen (2) "wiskunde" gebeurde in de Cadettenschool voor een jury samengesteld uit de wiskundeleraren, waaraan natuurlijk ook de Muis en Ludo Smets als Studiedirecteur deelnamen. De Muis, waarvan de gestrengheid nochtans overbekend was, vond het nu nodig bij het afnemen van een examen de Kitch publiek terecht te wijzen. Toen de Kitch steeds maar doorging met een bepaalde examinandus op de rooster te leggen verklaarde de Muis dat het nu al welletjes geweest was En natuurlijk was de "Kitch" in zijn blinde examenwoede onmiddellijk gekalmeerd, want de Muis werd niet voor niets de kolonel genoemd...
1°- Rekenkunde en Getalkunde voor de Grieks-Latijnse sectie :
Voor de Grieks-Latijnse sectie warens in die jaren alleen enkele aanvullingen aan de « Praktische Arithmetiek » uit het Lager Secundair voorzien. Het betrof dus een supplement van het programma van de lagere humaniora en was toegespitst op de theoretische grondslagen van de rekenkundige bewerkingen met meetbare getallen (natuurlijke en gebroken getallen d.i. breuken).
Dit supplement omvatte de aanvullende bewerkingen met natuurlijke getallen (de vierkantswortel en de derdemachtswortel), enkele aanvullende eigenschappen der natuurlijke getallen betreffende de deelbaarheid, de GGD en het KGV, en verder de theorie der benaderde quotiënten en vierkants- en derdemachtswortels. Zo werden wij nogmaals geconfronteerd met de algoritmen van het trekken van de vierkantswortel, respectievelijk van de kubiekswortel (er bestonden in die tijd nog geen calculatoren). Maar ditmaal werd het hoe en waarom uitgelegd.
Als leidraad diende hier het laatste gedeelte van het schoolboek « Rekenkunde voor Middelbaar en Normaalonderwijs » (3) van de verzameling De Vaere- Herbiet. Het eerste gedeelte van dit schoolboek omvatte het leerprogramma van de zesde, vijfde en vierde humaniora (oude en moderne) in overeenstemming met de ministeriële omzendbrieven van 1948 en 1949. Dit boek, waaraan ook de Antwerpse wiskundige Gaspard Bosteels nog zijn medewerking had verleend, was mij wel bekend want ik had het gebruikt ter voorbereiding van het toelatingsexamen KCS.
Wij volgden echter les in de Cadettenschool en dus moest al wat voorafging blijvend en actief gekend zijn. Het was dus aangeraden voortdurend te grasduinen in het theoretisch gedeelte van de leerprogrammas van de voorbije jaren.
Een Cdt De Corte vond echter dat het theoretisch gedeelte van de Praktische Arithmetiek voorzien voor Grieks-Latinisten niet voldoende was. Om ons te plezieren aarzelde hij dan ook niet om ons enkele stellingen voor te schotelen uit het leerprogramma van de Wetenschappelijke sectie... bvb aangaande de priemgetallen de stellingen van Fermat, en van Wilson
Aansluitend bij het fameuze Précis d Arithmétique van Herbiet en Horwart bestond er -maar dan alleen in het Frans- een Précis dArithmétique exercices résolus- (4) een boek geschreven door dezelfde auteurs, dat in feite voor de leraar bedoeld was en waarin de oplossingen van de diverse oefeningen en vraagstukken vermeld in Rekenkunde voor Middelbaar en Normaalonderwijs uiteengezet werden.
Ik geloof niet dat er één cadet in de Nederlandstalige Afdeling op de hoogte was dat een dergelijk boek bestond. Jaren nadat ik de KCS verlaten had, ben ik bij toeval op dit werk gevallen en wat dacht je ik heb het mij uit pure balorigheid maar aangeschaft!!!
In rhetorica kwamen vervolgens de andere getallen i.h.b. de onmeetbare en de complexe getallen aan de orde waarbij dus een overgang Rekenkunde → Getalkunde bewerkstelligd werd (voor de definities van "Rekenkunde", "Getalkunde" respectievelijk "Arithmetiek": zie cursiefje: « Wat is Arithmetiek? »).
Deze lessen "Getalkunde" werden verzorgd door de Muis, die ook nog Algebra en Calculus doceerde. Bijzondere aandacht werd besteed aan de rekenregels van de complexe getallen. Als Leerboek diende hier het "Complement van Algebra" van De Vaere en Herbiet (zie cursiefje « Algebra in de Cadettenschool (Laken) ».
Normaal was dat boek alleen bestemd voor de Latijns-Wiskundige en Wetenschappelijke secties zoals duidelijk vermeld in het begeleidende programmarooster. Maar de Muis vond dat hij wegens de bijzondere omstandigheden wel wat verder kon gaan en privaatles mocht geven. Ik heb natuurlijk mijn persoonlijk exemplaar, dat voorzien is van vele "kanttekeningen" als een relikwie bewaard. Dit exemplaar is immers getekend door de Heer Vanhoute alias de Muis...
2° Rekenkunde en Getalkunde voor de Latijn-Wiskundige en Wetenschappelijke secties:
Voor de Latijns-Wiskundige en Wetenschappelijke secties stond deTheoretische Rekenkunde op het programma. De meeste cadetten hadden een hekel aan dit vak. Het is nu eenmaal een droog vak, een conglomeraat van definities, lemmas, stellingen in een strak gegeven logische volgorde.
Tenzij men de discipline in een historische context plaatst, is het vak, door Gauss "Koningin van de Wiskunde" genoemd, voor de gewone sterveling weinig boeiend.
Maar we waren in de Cadettenschool nietwaar en dus was er geen tijd voor dergelijke historische benaderingen of ontboezemingen. Voor de cadetten uit Latijn-Wiskundige en Wetenschappelijke secties was de leerstof dus nog meer theoretisch en fundamenteel en georiënteerd op de meetbare getallen.
Als basis werd in de Nederlandstalige sectie het schoolboek: « Gehele en Gebroken Getallen » (5) van Herbiet en Horwart gebruikt. Blijkbaar dacht men dat dit nog niet volstond want van dezelfde auteurs was er nog een « Supplement bij de Gehele en Gebroken Getallen elementaire foutentheorie en kenmerken van deelbaarheid- » Voornoemd boek was speciaal bestemd voor kandidaten voor het toelatingsexamen KMS en andere publieke instellingen en omvatte vier delen:
- een eerste deel was gewijd aan de gehele getallen en besloeg 15 hoofdstukken. Een eerste hoofdstuk handelde over de grondslagen van de Arithmetiek, een tweede over het decimaal tellen. Vervolgens werden achtereenvolgens de optelling, de aftrekking, de vermenigvuldiging, de machtsverheffing, de deling, de vierkantswortel trekking en de relaties tussen de diverse bewerkingen besproken. Vervolgens kwam de deelbaarheid aan bod met de GGD, de eerste stellingen over de priemgetallen, KGV, verdere stellingen over priemgetallen en de eigenschappen van samengestelde getallen besproken. Hierbij werd uitsluitend letterformulering gebruikt.
- een tweede deel betrof de gebroken getallen (breuken). Na een inleiding over het begrip grootheid, maatgetal van een grootheid, gelijke en niet-gelijke breuken werden de hoofdbewerkingen (optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling, machtsverheffing en exacte wortels) belicht. Vervolgens kwamen de verhoudingen en evenredigheden aan de beurt. Tenslotte kwamen de benaderde quotiënten en wortels en de conversie van gewone breuken in decimale getallen aan bod. Ook hier werd uitsluitend beroep gedaan op letterformulering.
- een derde deel was gewijd aan praktische problemen en vraagstukken en de rekenkundige methodes ter oplossing
- een vierde deel betrof de vraagstukken gesteld bij het toelatingsexamen KMS
Naast Herbiet en Horwarts « Gehele en Gebroken getallen » bestond er in het Nederlands ook het « Leerboek der Rekenkunde voor de moderne humaniora en voor kandidaten tot het toelatingsexamen KMS en hogeschool » (6) van Schons en De Cock, een vertaling van het bekende Traité dArithmétique van Schons. Vermoedelijk hebben enkele cadetten ook nog dit schoolboek gebruikt als tweede referentie.
Hoe dan ook de cadetten uit de Franstalige Afdeling gebruikten in die jaren, naast de Cours d Arithmétique van Herbiet en Horwart, ook nog het Traité d Arithmétique van Schons (4) als een tweede referentie, voornamelijk voor het theoretisch gedeelte. Aansluitend bij het Traité d Arithmétique van Schons bestond verder nog een Exercices d Arithmologie (7) , boek van dezelfde auteur, dat de oplossing gaf van de vele vraagstukken vermeld in het Traité.
In rhetorica werd kwamen de andere getallen (onmeetbare getallen, complexe getallen) aan bod en werd dus de overgang Rekenkunde → Getalkunde gemaakt. Erg gewaardeerd was in dit verband was, bij de Franstalige Afdeling, het complement op het Traité d Arithmétique : het fameuze Complément d Arithmétique et d Algèbre van Schons (8) .
Een Paul Mouzon (cadet 1947 -1950) schreef op zijn prachtige website LAstronomie dans l Histoire hierover het volgende:
....J'évoquerai ensuite deux professeurs prestigieux dont j'ai suivi les cours durant trois ans à l'Ecole des Cadets de 1947 à 1950. Il s'agit d'abord du plus célèbre grammairien de langue française, Monsieur Maurice Grévisse, et ensuite du professeur d'arithmétique, Monsieur N. J. Schons. Au premier je dois de m'avoir inculqué la recherche du langage correct avec son ouvrage "Le Bon Usage", le second m'a appris la méticulosité dans la démonstration mathématique et j'utilise encore toujours à l'heure actuelle ses "Compléments d'Arithmétique & d'Algèbre"....
Voor wat de Getalkunde betrof, omvatte voornoemd boek volgende hoofdstukken:
1- les nombres irrationnels ; 2- radicaux et exposants; 3- des fractions continues; 4-les nombres complexes; 5- extensions successives de la notion de nombre; 6- les grandeurs et leur mesure
In het « Complement der Algebra » van De Vaere en Herbiet, boek dat in de Nederlandstalige Afdeling van de Cadettenschool werd gebruikt trof men dezelfde rubrieken, die wel degelijk tot de Arithmetiek behoren, aan. Een meer exacte titel van het boek ware dan ook beter « Complement der Algebra én der Arithmetiek » geweest. Volgende hoofdstukken werden hier behandeld:
1- De relatieve getallen 2- de irrationale getallen 3- wortelvormen en exponenten 4- de complexe getallen 5- het getal « e » 6- kettingbreuken
Zoals de titels van de diverse hoofdstukken (irrationale getallen, complexe getallen, uitbreidingen van het getalbegrip) aangeven werd hier een brug gelegd van de Rekenkunde naar de Arithmetiek. Juist om deze reden zijn voornoemde « Complementen » bijzonder waardevol.
De nadruk van het onderricht lag echter wel op de meetbare getallen d.i. de gehele en gebroken getallen. Op de theorie der onmeetbare ofte irrationele getallen werd niet diep ingegaan, ofschoon het bestaan van dergelijke getallen al door de Pythagoreeërs werd aangetoond en op zuiver wiskundig vlak erg belangrijk is. Daarentegen werd wel dieper ingegaan op de theorie der complexe getallen.
Volgens Schuh (9) ligt echter de theorie van het onmeetbare getal aan de basis van de Analyse:
Hij schrijft:
Zonder zulk een theorie is een strenge behandeling der Analyse onmogelijk, waarom dan ook gevoeglijk gezegd kan worden, dat tot iedere wiskundige studie, die niet uitsluitend op de praktische toepassingen gericht is, een grondige studie der verschillende theorieën van het onmeetbare getal dient te behoren
In de Cadettenschool werd dus Arithmetiek in feite door twee leraren gedoceerd waarvan één de meetbare getallen, een ander de onmeetbare getallen en de complexe getallen.. voor zijn rekening nam. In mijn tijd (1955-1958) waren dat respectievelijk de Poep en de Muis.
3° Nabeschouwingen
Het wiskundeonderricht in de Cadettenschool was zeer prestatiegericht en volledig georiënteerd op het toelatingsexamen KMS. Er was om zo te zeggen weinig of geen plaats voor de natuurlijke en maatschappelijke relevantie van de Rekenkunde en de Arithmetiek en de diverse culturele aspecten ervan. Wel werd af en toe eens een of andere grote naam (bvb een Gauss, een Fibonacci, een Fermat..) geciteerd, maar er werd helemaal niet ingegaan hoezeer Arithmetiek ons leven van elke dag beïnvloedt, noch hoezeer Arithmetiek wel verstrengeld is met de Natuur en de Kunst.
Ook het speelse karakter dat achter iedere wiskundige ontdekking schuil ging, ontging ons volkomen. Een dergelijke situatie vond men toen terug in de meeste scholen (10) . Als Grieks-Latinist heb ik deze situatie steeds aangevoeld als een soort gemis.
Ik heb mij toen al afgevraagd of er op het vlak van de (Theoretische) Rekenkunde geen boeken bestonden die de basisconcepten van deze tak van de wiskunde op een eenvoudige en speelse wijze weergeven.
Na wat speurwerk vond ik enkele jaren nadien een dergelijk boek : « Van Nul tot Oneindig getaltheorie voor iedereen- » van Constance Reid (11) . Dit boek verscheen in 1965 bij Het Spectrum (Prisma-reeks) en was de Nederlandse vertaling van « From Zero to Infinity » (1955). Constance Reid is ook de auteur van « Introduction to Higher Mathematics for the general reader » (1959) en van « A long Way from Euclid » (1963). Over het laatste boek zal ik het in een volgend cursiefje nog hebben.
« Van Nul tot Oneindig » omvatte 11 hoofdstukken, die achtereenvolgens handelden over de getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en ?. Het boek From Zero to Infinity is nog steeds actueel want het beleefde in 2006 zijn vijfde druk en bevatte zelfs 2 nieuwe hoofdstukken Eulers number e en Aleph-zero.
Het Spectrum presenteerde het boek in 1965 als volgt :
Dit boek is geschreven voor de jonge lezer, die in de getallen nooit veel meer heeft gezien dan dingen waarmede je rekensommetjes maakt als dat nodig is, maar die nu ontdekt dat ze héél boeiend zijn. Maar ook hij die op een of andere wijze wiskunde studeert vindt hier grondbeginselen die in de leerboeken vaak weggestopt zitten tussen ingewikkelde details .
Van nul tot Oneindig is nog steeds het lezen waard .
(2) maturiteitsexamens in België toegevoegd examen in het laatste jaar van het secundair onderwijs tot het behalen van het maturiteitsdiploma. Dit bijkomend diploma was vereist om universitaire studies aan te vangen. Dit type examen werd in de zeventiger jaren ingevoerd.
(3) Overeenstemmende titel van de Franse editie van de collectie Herbiet - Horwart : « Précis d Arithmétique ». Het eerste gedeelte was bestemd voor de lagere humaniora en behandelde dezelfde materie als de « Elementen der Rekenkunde voor de lagere humaniora » van N.J. Schons en C. De Cock.
(5) titel van de overeenstemmende Franse editie : « Cours dArithmétique Les Entiers et les Fractions » V. Herbiet et J. Horwart éditions Wesmael-Charlier -1939-
(6) titel van de overeenstemmende Franse editie : «Traité dArithmétique à l usage de la section scientifique des humanités modernes et des candidats à lEcole Militaire et aux Universités » N.J. Schons éditions J. Duculot -1947-
Begin de jaren vijftig vroeg ik aan mijn oudste broer, die enkele jaren voor mij zijn broek had versleten op de harde schoolbanken van het Sint Lodewijkscollege, wat nu eigenlijk Algebra was en i.h.b. wat nu eigenlijk het verschil was met Rekenkunde. Dit was überhaupt naar aanleiding van mijn klein conflict met Meester Jules Berghmans in het zevende studiejaar, waar deze brave man mij verboden had algebra te gebruiken voor het oplossen van zijn rekenkundige vraagstukken.
Na lang en herhaaldelijk aandringen gaf hij mij ietwat korzelig volgend kort antwoord: Algebra dat is gewoon spelen met letters !! Arithmetiek is gewoon spelen met cijfers!!...
Ik geloofde hem maar half en besloot toch ook maar eens deel X Lexicon en Register van de E.N.S.I.E. te raadplegen, want in deel IV, dat over wis-, natuur- en scheikunde handelde, werd met geen woord gerept over « algebra ». Wel was er in deel IV een uitvoerig artikel over « Groepentheorie en Abstracte Algebra » maar daar begreep ik geen snars van.
1° Algebra volgens de E.N.S.I.E. (1949) en volgens de Bordas (1985):
In Deel X van de E.N.S.I.E. vond ik nu volgende omschrijvingen:
Algebra (Arab.), stelkunde, leer der vergelijkingen, onderdeel der wiskunde, waarbij men letters gebruikt om getallen voor te stellen:
- lagere algebra omvat de theorie der positieve en negatieve getallen, complexe getallen en vergelijkingen tot de tweede graad
- hogere algebra omvat vergelijkingen van hogere graad, de theorie der determinanten, reeksen, transformaties en eenvoudige functies
Algebra wordt toegepast in alle takken van de wiskunde.
En verder:
Algebra, abstracte, systeem, waarbij de letters niet meer noodzakelijk getallen hoeven voor te stellen.
Voor zover ik deze omschrijving begreep was stelkunde een ander woord voor algebra, term die inderdaad door Simon Stevin(1) voorgesteld is geworden, maar die weinig ingang heeft gevonden.
Met de uitspraak onderdeel van de wiskunde, waarbij men letters gebruikt om getallen voor te stellen had ik wel enkele bedenkingen. Ik wist immers al sinds de Broedersschool dat ook in de Rekenkunde of Arithmetiek letters getallen voorstellen en dat dus ook andere onderdelen van de wiskunde letters gebruiken. Waar lag dan eigenlijk het verschil tussen Arithmetiek en Algebra?
Verder was duidelijk dat er twee soorten algebra bestonden: algebra (met getallen) en abstracte algebra. Algebra (met getallen) werd, zoals ik enkele jaren later kon vaststellen, ook nog elementaire of klassieke algebra genoemd (2) .
Wat Abstracte algebra was, interesseerde mij op dat ogenblik nog geen moer. Het volstaat hier aan te duiden dat deze Abstracte Algebra van meer recente datum is en men daarom kan spreken over klassieke en moderne algebra (voor meer details over abstracte of moderne algebra: zie cursiefje « Over het New Math experiment »).
Algebra werd in de E.N.S.I.E. omschreven als zijnde in de eerste plaats de leer of de theorie van de vergelijkingen. Bleef dan echter het probleem wat werd bedoeld met vergelijkingen?.
In de Oosthoeks had ik nu volgende definitie van vergelijking gevonden:
(wisk.) gelijkstelling van twee wiskundige uitdrukkingen (met bekende en onbekende grootheden), door het teken = verbonden dienend om uit gegeven grootheden een of meer onbekenden te berekenen.
M.a.w. een vergelijking was een gelijkheid, waarin zowel bekende getallen (voorgesteld door de beginletters a, b, c.. van het alfabet) als onbekende getallen (voorgesteld door de laatste letters x, y, z) voorkomen. Deze onbekenden konden ook in de tweede, derde en n- de macht voorkomen (bvb x², x³ en xn ). De hoogste macht bepaalde de graad van de vergelijking.
Natuurlijk was het aangewezen indien er zeer veel onbekenden waren (en er dus niet genoeg laatste letters in het alfabet waren om deze aan te geven) deze onbekende getallen aan te duiden als x1, x2, x3 xn Deze subscriptnotatie kon ook gebruikt worden om de bekende getallen aan te geven a1, a2, a3 , an maar in eenvoudige gevallen volstond de (a, b, c.. x, y, z)- notatie en werd de meer omslachtige indexnotatie vermeden.
Het is de bedoeling deze getallen x, y.. te bepalen door ze af te zonderen in één lid van een gelijkheid, waarbij dan het andere lid van de gelijkheid alleen bekende getallen (a, b,..) bevat. Bij het afzonderen worden dan de eigenschappen van gelijkheden gebruikt (bvb regels voor het overbrengen van een term naar een ander lid).
Hetzelfde kan men nu doen met ongelijkheden en een ongelijkheid werd gedefinieerd als:
(wisk.) Een ongelijkheid is een betrekking of relatie die iets zegt over de relatieve grootte van twee getallen. Ongelijkheden berusten op de relatie "kleiner dan", genoteerd als "<", die aangeeft dat wat links van het ongelijkteken staat kleiner is dan wat rechts staat of op de relatie groter dan, genoteerd als >, teken dat aangeeft dat wat links van het ongelijkteken staat groter is dan wat rechts staat.
In feite was de - bij het haar gegrepen - omschrijving Algebra.. dat is spelen met letters.. Rekenkunde is... spelen met cijfers van mijn oudste broer nog niet zo dwaas Het volstond het woord "spelen" te vervangen door "rekenen"...
* * *
Vele jaren later vond ik in de « Bordas » (3) , een encyclopedie, die ik speciaal voor mijn kinderen gekocht had, nu volgende definitie voor algebra:
Algèbre, au sens général du terme: moyen de représenter les rapports et les propriétés des nombres par des symboles, généralement des lettres, des signes dopération (+, - , x), des signes de rapport (= , < , > .). Le mot algèbre vient de larabe al-djarb, qui désigne le passage de termes dun membre à lautre dune équation. Lalgèbre fut introduite en Europe par les Arabes à la fin du 15ème siècle. Lalgèbre est un prolongement de larithmétique .
Het voorstellen van relaties en eigenschappen van getallen door letters gekoppeld aan het gebruik van bewerkingstekens (plusteken +, minteken -, vermenigvuldigingsteken x of .) en relatietekens (gelijkheidsteken =, kleiner dan <, groter dan >) werd door de Bordas als algebra beschouwd en deze algebra lag in het verlengde van de gewone rekenkunde.
Deze manier van voorstellen van relaties tussen getallen was er niet op een dag gekomen en dit symbolisme van tekens en letters had zich geleidelijk ontwikkeld:
De tekens + en werden door Johannes Widman (4) (1486) ingevoerd, het x teken door William Oughtred (5) (1631), het = teken door Robert Recorde (6) (1557) en John Napier (7) (1618). In de geschriften van François Viète (8) respectievelijk René Descartes wordt een gelijkheid echter door andere tekens aangegeven. De ongelijkheidstekens > en < werden door Thomas Harriot (9) , de haakjes door Viète (1593) geïntroduceerd, het wortelteken √ door Descartes enz.
Het gebruik van letters zoals men nu kent is afkomstig van Descartes, die de beginletters van het alfabet voor bekende, de eindletters voor onbekende getallen. Voordien werden allerlei afkortingen of Latijnse woorden gebruikt om de onbekenden of een macht aan te duiden: bvb res of cosa voor de onbekende, radix voor de wortel of oplossing van de vergelijking, qdratu voor een kwadraat enz
Volgens de Bordas zou men dan het aangeven van de commutatieve (1) en (2), distributieve (3) en associatieve eigenschappen van de natuurlijke getallen door middel van de uitdrukkingen:
a + b = b + a (1)
a x b = b x a (2)
a x (b +c) = a x b + a x c (3)
a + b + c + d = a + (b + c + d) = a + b + (c +d) (4)
kunnen interpreteren als zijnde algebra wat niet erg redelijk is.
Het gebruik van letters is immers ook in de Rekenkunde « toegelaten » en in vele schoolboeken over rekenkunde wijst men op het nut van deze voorstellingswijze: 1° om de algemene eigenschappen van getallen te formuleren 2° om algemene bewijzen te leveren 3° om het onderling verband tussen sommige grootheden uit te drukken (de zogenaamd formules).
De betrekkingen (1) tot (4) zijn gelijkheden en wel tussen natuurlijke getallen en men bekomt een nieuwe gelijkwaardige of equivalente gelijkheid als men de twee leden van een eerste gelijkheid: 1° met een zelfde natuurlijk getal vermeerdert of vermindert (voor zover deze aftrekking mogelijk is) 2° met een zelfde natuurlijk getal vermenigvuldigt of deelt.
Deze stellingen blijven onverminderd geldig voor de gebroken getallen of breuken en in het algemeen voor de meetbare getallen die men de rekenkundige getallen noemt.
Uit deze stellingen volgt dan de regel: brengt men een term van het ene lid van een gelijkheid naar het andere lid over en keert men daarbij zijn teken om, dan bekomt men een nieuwe gelijkwaardige gelijkheid.
Komen in deze gelijkheden onbekende getallen (onbekende maatgetallen of waarden van grootheden) voor dan worden deze gelijkheden vergelijkingen genoemd.
Algebra wordt dan in de eerste plaats gedefinieerd als de theorie der vergelijkingen (cf. de E.N.S.I.E.) en heeft tot doel de onbekenden van deze vergelijkingen uit te drukken in functie van de bekende getallen (bekende maatgetallen of waarden van grootheden), en dit door gebruik te maken van de stellingen betreffende gelijkwaardige gelijkheden of vergelijkingen.
Algebra is van zeer groot nut voor het oplossen van allerhande vraagstukken. Dit algebraïsch oplossen van vraagstukken bestaat uit drie opeenvolgende fazen: 1° het kiezen van de onbekende(n) 2° het in vergelijking brengen van het vraagstuk 3° het oplossen van de vergelijking(en).
In het lager onderwijs geniet zogezegd om didactische redenen- het rekenkundig oplossen van vraagstukken (bvb de enkelvoudige of samengestelde regel van drie) de absolute voorkeur op het algebraïsch oplossen. Nochtans is deze rekenkundige oplossing vaak langdradig, gaat ze soms over een omweg en is ze niet steeds van gezochtheid vrij te pleiten.
Indien het schoolkind enige kennis heeft over de commutatieve, distributieve en associatieve eigenschappen van de gehele en gebroken getallen alsook van de eigenschappen van gelijkheden kan even goed de algebraïsche oplossing aangeleerd worden. Deze algebraïsche oplossing is doorgaans bondig, loopt steeds op dezelfde manier en gaat recht op het doel af.
Daar voornoemde kennis nu wel degelijk aanwezig is bij schoolkinderen, waaraan goed rekenonderwijs is, is het onbegrijpelijk dat niet onmiddellijk wordt overgegaan tot de algebraïsche methode voor het oplossen van vraagstukken. De rekenkundige methode is immers alleen maar uit historisch oogpunt belangrijk. Meer nog, al vlug zal het schoolkind merken dat een uitbreiding van het getalbegrip tot de negatieve getallen nodig en wenselijk is. Uit eigen ervaring weet ik dat deze kennis automatisch tot het beoefenen van "algebra" en het "algebraïsch oplossen van vraagstukken leidt.
Nochtans blijkt er tot op heden nog steeds discussie te zijn over het aanleren van de rekenkundige en algebraïsche oplossingswijzen voor vraagstukken.
Zo verscheen in 2001 van de hand van Wim Van Dooren, Lieven Verschaffel, Patrick Onghena het boek Rekenen of algebra? - Gebruik van en houding tegenover rekenkundige en algebraïsche oplossingswijzen bij toekomstige leerkrachten -. Over de inhoud van het boek (10) , dat integraal te lezen valt op Internet schreven de auteurs:
Bij de overgang van de lagere naar de secundaire school worden leerlingen geconfronteerd met heel wat nieuwe leergebieden. Zo worden zij bijvoorbeeld geïntroduceerd in de algebraïsche redeneerwijze. Voor heel wat leerlingen verloopt deze introductie in de algebra echter niet probleemloos. In het verleden werd al heel wat onderzoek gedaan omtrent de moeilijkheden die leerlingen ondervinden bij het leren van algebra, naar de oorzaken die aan de basis van deze moeilijkheden liggen en naar mogelijke manieren om deze moeilijkheden te voorkomen en te remediëren. Verschillende auteurs halen aan dat de leerkracht een belangrijke rol bekleedt in de overgang van leerlingen van rekenkunde naar algebra, maar stellen tegelijk ook dat 'there is a grave scarcity not only of models of the teaching of algebra but also of literature dealing with the beliefs and attitudes of algebra teachers.' (Kieran, 1992, p. 394). Daarom hebben we onze aandacht in dit boek gericht op deze centrale beïnvloedende factor in het leerproces van algebra: de leerkracht en de oplossingsvaardigheden en opvattingen die deze heeft omtrent rekenkundige en algebraïsche werkwijzen .
Het wil mij voorkomen dat vele didactici het begrijpend vermogen van schoolkinderen onderschatten en via onderwijscommissies het wiskunde-onderrricht op een stupide wijze willen reguleren....
* * *
In de Bordas vond ik verder nu ook nog volgende definitie voor "Analyse":
... Analyse n.f. MATHEMATIQUES : dans un domaine des mathématiques assez voisin de l'algèbre, l'analyse renseigne sur les nombres réels et les nombres complexes. Les théorèmes sur le calcul différentiel et intégral peuvent être généralisées et deviennent les théorèmes de l'analyse. L'étude générale des fonctions appartient aussi à l'analyse dont les méthodes sont à la fois algébriques et topologiques. La notion de limite domine les méthodes de l'analyse...
Een scherpe definitie van wat "Analyse" eigenlijk is wordt door de Bordas niet gegeven. Wel wordt aangegeven dat Analyse nauwe relaties heeft met de Algebra en dat het hier essentieel gaat over functies, waarbij het begrip limiet een overheersende rol speelt. Een en ander maakt duidelijk dat er geen scherp onderscheid te maken is tussen algebra en analyse en hetzelfde geldt, zoals hierboven aangetoond, voor arithmetiek en algebra. Analyse zou men kunnen omschrijven als rekenen met infinitesimalen (zie cursiefje: « wat is calculus? »).
In de algebra staat het begrip « vergelijking », in de analyse het begrip « functie » centraal. Tussen beide begrippen is er wel een verband. Heeft men bvb de functie y = f(x) dan zijn de nulpunten van deze functie (dit zijn de getalwaarden van x waarvoor y = 0) de wortels van de vergelijking f(x) = 0. Wordt de functie y = f(x) grafisch afgebeeld (x-y assenstelsel), dan zijn de snijpunten van de kromme met de x-as, de wortels van de vergelijking.
Deze meetkundige voorstelling van functies is belangrijk voor de begripsvorming. Schoolboeken, die over algebra handelen, bevatten dan ook enkele hoofdstukken in relatie tot eenvoudige functies (lineaire functie, kwadratische functie ...) en hun grafische voorstelling.
Van zodra echter infinitesimalen op de voorgrond treden (begrip limiet), verlaat men het gebied van de algebra en komt men op het terrein van de eigenlijke analyse. Analyse of Infinitesimaalanalyse is een zeer omvangrijk wiskundegebied en behoort stricto sensu niet tot de Algebra.
Sommige Belgische schoolboeken zoals bvb het Leerboek der Algebra van De Vaere - Herbiet omvatten echter ook enkele hoofdstukken die over de eigenlijke Analyse of Calculus handelen. Voor onze Noorderburen was een dergelijk initiatief verwonderlijk, daar de Analyse in Nederland slechts vanaf 1962 in het leerplan van het middelbaar onderwijs werd opgenomen.
2° Oorsprong en ontwikkeling van de klassieke algebra:
In tegenstelling met wat de meeste wiskundigen denken is Algebra niet uitgevonden door de Arabieren. Georges Ifrah schrijft in zijn boek (11) :
« On prend souvent les Arabes pour les inventeurs de lalgèbre. Il sagit là sans aucun doute dun malentendu provoqué par une imprécision de vocabulaire et dune méconnaissance certaine de lhistoire même de cette science. En fait, lalgèbre existe bien depuis lAntiquité. La preuve en est que les Sumériens, les Babyloniens, les Egyptiens, les Grecs et les Chinois ont su mettre à contribution, dans leurs calculs géométriques par exemple, un certain nombre de relations numériques impliquant incontestablement des concepts algébriques élémentaires. Et lon sait que les Babyloniens ont résolu plusieurs équations du premier et second degré. Quant aux Chinois, ils ont su, en manipulant des jonchets sur leurs échiquiers numériques, faire usage d une représentation conventionnelle des nombres positifs ou négatifs, pour résoudre des systèmes déquations à plusieurs inconnues selon une méthode assez proche de celle, actuelle, des matrices et des déterminants
En fait, conceptuellement, ce sont les savants de lInde qui sont parvenus les premiers au stade dune algèbre proprement abstraite. Sans doute pour la première fois de lhistoire, ils ont su en effet convertir leurs règles de calcul en des algorithmes potentiellement applicables à nimporte quelle grandeur, indépendamment donc des natures spécifiques mises en jeu. Autrement dit, ils ont élaborés des règles applicables à des nombres abstraits selon des propriétés et des méthodes où le zéro ainsi que les quantités négatives ont été considérés comme des nombres à part entière, et non plus regardés comme de simples conventions d usage .
Daarentegen is het wel juist dat de Algebra tot het Westen is doorgedrongen dank zij de Arabieren en i.h.b. door het oeuvre van Al-Chwarizmi. Nadat zijn werken in het Latijn vertaald werden, heeft deze auteur een grote invloed uitgeoefend op het wiskundig denken in de Westerse wereld.
Op deze manier raakt immers de Europese wetenschappelijke wereld bekend met de rekenmethodes en de wiskunde uit het Midden-Oosten. Vooral de Indiase getallen en de Arabische algebra zijn door Al-Chwarizmi op de wetenschappelijke kaart gezet. Dat is ook letterlijk te zien in de woorden algebra en algoritme die we van Al-Chwarizmi hebben overgenomen.
Zijn boek « Hisab al-jabr walmoeqabala » bevat het woord 'al-jabr' (restauratie) dat door latinisering heeft geleid tot ons woord 'algebra'. Het boek werd in de tweede helft van de 12de eeuw vertaald in het Latijn onder de titel « Liber Algebrae et Almucabola ». Al-Chwarizmis Liber Algebrae bevat een bespreking van eerste- en tweedegraadsvergelijkingen, waarbij alles in woorden is beschreven (de zogenaamde rhetorische algebra).
Al-Chwarizmi noemt deze methode van werken met kwadratische vergelijkingen restauratie en confrontatie. Hij laat zien dat elke kwadratische vergelijking terug te brengen is tot een standaardvorm waaruit vervolgens de oplossingen kunnen worden berekend. Deze standaardvormen zijn in moderne notatie: ax² = bx (1), ax² = c (2), bx = c, ax² + bx = c (3), ax² + c = bx (4), en bx + c = ax² (5).
Een ander zeer belangrijk boek van Al-Chwarizmi werd in het Latijn vertaald onder de titel « Algorismi de numero Indorum ». De moderne wiskundige term 'algoritme' is hiervan afgeleid. Het oorspronkelijk werk, geschreven rond ongeveer 825, is verloren gegaan en vermoedelijk is de overgebleven Latijnse vertaling van de hand van Adelard van Bad.
De oorspronkelijke Arabische titel was misschien Al-Jamʿ wa-l van Kitāb al-achterste bi -bi-ḥisāb (Het Boek van Toevoeging en Aftrekking volgens de Hindoese Berekening) (13) . Het is dit boek dat aan de grondslag ligt van de verspreiding van het Indisch Systeem van Getalvoorstelling (14) in Europa.
In zijn werken over algebra en rekenkunde heeft Al-Chwarizmi veel oefenopgaven opgenomen om studenten uit te dagen deze berekeningen onder de knie te krijgen. Op deze manier konden later mensen die zijn werken bestudeerden de redeneringen in Al-Chwarizmi's wiskunde gemakkelijker volgen.
* * *
In de Renaissance komt er de grote doorbraak in de Algebra met namen als Gerolamo Cardano(15) (1501-1576), Rafaele Bombelli(16) (1526-1572) en François Viète(8) (1540-1603).
Vooreerst is er het statuut van het getal « nul ». Vanaf 1500 wordt Nul aanvaard niet alleen als cijfer maar ook als getal. Voor sommigen behoort nul tot de natuurlijke getallen (17) , voor anderen dan weer niet. Een Blaise Pascal (1623-1662) bvb had daar wel enige moeilijkheden mee (18) .
Hoe dan ook, het is een feit dat voor het getal nul specifieke rekenregels gelden en die rekenregels werden algemeen toegepast. Ook werden irrationale getallen gebruikt, hoewel velen zich afvroegen of het inderdaad wel getallen waren.
De negatieve getallen waren bekend maar werden nog niet volledig aanvaard. De complexe getallen bleven nog altijd buiten beschouwing. De volledige acceptatie van alle componenten van ons vertrouwd getalsysteem zal er pas komen in de 19de eeuw.
- Gerolamo Cardano publiceerde nu als eerste algemene oplossingen van de derdegraads- en vierdegraads- vergelijkingen. Naar alle waarschijnlijkheid waren die al tevoren bekend bij enkele wiskundigen en de historische disputen (19) tussen Cardano en een Nicolo Fontana (20) ook Tartaglia genoemd, een assistent van Cardano over de oplossing van de derdegraadsvergelijking zijn hiervan een bewijs. Het zou echter Scipione Del Ferro (21) geweest zijn die het eerst deze oplossing zou gevonden hebben.
Van vorming was Cardano arts en in 1544 aanvaardde hij een aanstelling tot professor in de geneeskunde aan de Universiteit van Padua, waar hij met een zekere Andreas Vesalius vriendschappelijke betrekkingen onderhield. Later werd hij hoogleraar aan de Universiteit van Bologna. Cardano heeft meer dan vijftig jaar een medische praktijk uitgeoefend en hij werd als één van de meest gewilde artsen van zijn tijd aanzien, i.h.b. nadat hij de astmatische Schotse aartsbisschop John Hamilton, die stervende was, genas met een dieet en een aantal voorschriften die men nu als anti-allergische richtlijnen zou bestempelen.
Zoals uit zijn autobiografie « De propria vita » blijkt, heeft hij wel een erg avontuurlijk leven gehad. In zijn jeugd moest hij bvb dobbelen om in zijn levensonderhoud te voorzien. In 1570 werd hij door de Pauselijke Inquisitie (23) gearresteerd op verdenking van ketterij Na drie maanden gevangenis werd hij echter op borgtocht vrijgelaten. De achtergronden van deze arrestatie zijn niet helemaal bekend en Cardano laat zich er in zijn autobiografie niet over uit. Cardano kreeg het bevel opgelegd zijn hoogleraarschap in Bologna neer te leggen; ook kreeg hij een publiceerverbod. In plaats daarvan moest hij, voorzien van een pauselijk pensioen, naar Rome verhuizen. Daar regelde het Vaticaan dat hij werd opgenomen in het Romeins College van Artsen. Cardano overleed zes jaar later in Rome.
Cardano was echter vooral een fanatiek beoefenaar van de wiskunde. Hij was ongetwijfeld de beste algebraist van zijn tijd, maar zijn algebra was nog steeds retorisch, zoals blijkt uit zijn « Ars Magna » (24) . Een Engelse vertaling van « Ars Magna » getiteld « The Rules of Algebra » (25) is beschikbaar bij Dover.
- Rafaele Bombelli daarentegen was ingenieur en is heden bekend als de grondlegger van de complexe getallen. Hij was bevriend met Cardano, van wie hij het wiskundig werk op eventuele fouten controleerde. Als ingenieur superviseerde hij de drooglegging van het Chiana- moeras in Toscane. Van Bombelli is slechts één werk bekend getiteld « LAlgebra, parte maggiore dellaritmetica, divisa in tre libri » (26) (1579). Boek I van dit werk omvat de vierkantsworteltrekking en de derde en vierde machtsworteltrekking, Boek II gaat over de algebraïsche vergelijkingen tot en met de vierde graad en Boek III ten slotte bevat een resem vraagstukken die leiden tot voornoemde vergelijkingen. Het manuscript van de Boeken IV en V werden in 1923 teruggevonden en handelen over enkele meetkundige toepassingen.
(wordt voortgezet)
_____________________________
(1) Simon Stevin heeft ook de termen wiskunde (wisconst), rekenkunde (rekenconst) geïntroduceerd; deze termen hebben wel ingang gevonden.
2) L'algèbre élémentaire ou algèbre classique est la branche des mathématiques dont l'objet est l'étude des opérations algébriques (addition, multiplication, soustraction, division et extraction de racine) sur les nombres réels ou complexes, et dont l'objectif principal est la résolution d'équations polynomiales.
Le qualificatif d'élémentaire (ou classique) est destiné à la différencier de l'algèbre générale (ou moderne), qui étudie les structures algébriques (groupes, corps, etc.) généralisant les notions de nombre et d'opération. Elle se différencie également de l'arithmétique élémentaire par l'usage de lettres pour représenter les nombres inconnus.(wikipedia)
(3) Focus nouvelle encyclopédie internationale- (1974) is een encyclopedie specifiek bestemd voor scholieren in 5 delen en wordt in de omgangstaal gewoonlijk aangegeven door de naam van de uitgever: « Bordas ».
In het begin van de 18de eeuw kwam de Algebra en i.h.b. de theorie der vergelijkingen tot volle bloei en dit voornamelijk door toedoen van een zekere Isaac Newton die met zijn « Arithmetica Universalis » op dit vlak een beslissende stap zette. Verrassend genoeg is dit -in mijn ogen- zeer belangrijk werk praktisch onbekend bij het grote publiek en zelfs bij vele wiskundigen.
« Arithmetica Universalis » van Newton verscheen voor het eerst in 1707 door toedoen van zijn assistent William Whiston. Het is een samenvatting van de algebralessen die Newton gaf tussen 1673 en 1683 in Cambridge. Het werk werd voor het eerst uit het Latijn in het Frans vertaald onder de titel « Arithmétique Universelle de Newton » in 1802 door Noel Beaudeux. Dit tweedelig werk werd in 2008 (!) opnieuw uitgegeven door Gabay maar is ook via Google in te zien (1) .
Het eerste deel van deze Franse editie omvat, naast twee inleidende notas van respectievelijk prof. Guillard en prof. Lefèvre-Gineau, een Discours préliminaire (in feite een lofrede op Newton) van de vertaler 19 hoofdstukken:
- Chapitre 1: Notations Signification de quelques termes Emploi des signes
- Chapitre 2: De lAddition arithmétique et algébrique
- Chapitre 3: De la Soustraction arithmétique et algébrique
- Chapitre 4: De la Multiplication arithmétique et algébrique
- Chapitre 5: De lExtraction des Racines
- Chapitre 6: De la réduction des fractions et des quantités radicales
- Chapitre 7: De la manière de trouver des diviseurs
- Chapitre 8: De la réduction des fractions à un dénominateur commun
- Chapitre 9: De la réduction des radicaux à leurs moindres termes
- Chapitre 10: De la réduction des radicaux à la même dénomination
- Chapitre 11: De la réduction des radicaux à leurs expressions radicales les plus simples pour lextraction des racines
- Chapitre 12: De la forme de léquation
- Chapitre 13- De la manière de réduire une équation unique
- Chapitre 14: Méthode pour réduire deux ou un plus grand nombre déquations à une seule afin déliminer les inconnues
- Chapitre 15: De lélimination dune inconnue par légalité de ses valeurs
- Chapitre 16: De lélimination dune inconnue par la substitution de sa valeur
- Chapitre 17: De lélimination dune inconnue qui est de plusieurs dimensions dans chaque équation
- Chapitre 18: Méthode pour mettre une question en équation (problèmes I à XVI)
- Chapitre 19: De la manière de mettre les questions de géométrie en équation (problèmes I à LXI)
Het « Discours préliminaire » van de vertaler Noel Beaudeux is een grote lofrede op de persoon van Isaac Newton maar strookt helemaal niet met het werkelijke imago van het personage (2) . Newton blijkt, uit historisch oogpunt, een heel wat gecompliceerder persoon geweest te zijn en enkele van zijn illustere collegas (bvb Hooke, Leibniz..) hebben te maken gehad met zijn niet aflatende haat en achtervolgingswaanzin. De zogenaamde uiterst bescheiden, eerlijke, weldoenende en vrome Newton is een fictie.. Maar dat doet natuurlijk niets af van het feit dat hij op het vlak van de wetenschap tot de grootsten behoort.
Het Eerste Deel van « Arithmétique Universelle » omvat de rekenregels van de rekenkunde uitgebreid tot de negatieve getallen (hoofdstukken 1 tot 4), de algoritmen van de rekenkundige worteltrekking i.h.b. vierkantswortel en kubiekwortel (hoofdstuk 5), de algebraïsche breuken: vereenvoudiging, gelijknamig maken.. ), het vereenvoudigen van wortels, de deelbaarheid door x ± a (hoofdstukken 6 tot 11). Vervolgens komen de vergelijkingen aan de beurt: algemene vorm, stelsels van lineaire vergelijkingen en oplossingsmethodes: eliminatie en substitutie (hoofdstukken 12 tot 16), eenvoudige stelsels van hogere machtsvergelijkingen en eliminatiemethode (hoofdstuk 17), het in vergelijking brengen van gewone vraagstukken -16 voorbeelden- (hoofdstuk 18) en ten slotte het in vergelijking brengen van meetkundige vraagstukken 51 voorbeelden- (hoofdstuk 19). Het hoofdstuk 19 telt 137 paginas en omvat meer dan de helft van het boek. In feite kan men dit laatste hoofdstuk het best als algebraïsche meetkunde betitelen.
Newton definieert algebra als een universele rekenkunde, en is duidelijk een voorstander van een samensmelting van Arithmetiek en Algebra:
Cependant lArithmétique est tellement indispensable dans toutes les opérations de lAlgèbre, que leur union seule forme la science complète du calcul. Cest pour cette raison que je traiterai de toutes les deux en même temps. Lorsquon veut se livrer à létude de cette science, il faut dabord se familiariser avec les termes et les signes quelle emploie, apprendre les opérations fondamentales, telles que lAddition, la Soustraction, la Multiplication, la Division, lExtraction des Racines, la Réduction des Fractions et des Quantités radicales, la Méthode dordonner les termes des équations, den éliminer les inconnues, lorsquil y en a plusieurs; ensuite sexercer à la pratique de toutes ces opérations, en mettant des Problèmes en équation; et enfin étudier la nature et la résolution des équations .
Hij schreef verder:
On entend par nombre, moins une collection de plusieurs unités, quun rapport abstrait dune quantité quelconque à une autre dune même espèce, quon regarde comme lunité. Le nombre est de trois espèces, lentier, le fractionnaire et le sourd. Lentier est mesuré par lunité, le fractionnaire par un sous-multiple de lunité, le sourd est incommensurable avec lunité
M.a.w. de (positieve) gehele en gebroken getallen waren de getallen, die als de vertrekbasis dienden van zijn Universele Arithmetiek of Algebra. Deze getallen waren immers al bekend uit de gewone rekenkunde en werden om deze reden rekenkundige getallen genoemd. Negatieve getallen moesten vrijwel onmiddellijk aan het getallenstelsel toegevoegd worden. In een verder stadium volgden via de worteltrekking de onmeetbare of irrationale getallen (les nombres sourds de Newton) en ten slotte de imaginaire getallen.
Deze uitbreidingen van het getalstelsel verliepen parallel aan de ontwikkeling van de Universele Arithmetiek ofte Algebra. Aan de rekenkundige getallen werden de onmeetbare getallen toegevoegd. Daarentegen werden de Negatieve en Imaginaire Getallen beschouwd als uitsluitend deel uitmakend van de Algebra. Ze behoren tot de zogenaamde algebraïsche getallen" , wat volgens Schuh, voor wat betreft de negatieve getallen, een misvatting is (zie cursiefje: « Arithmetiek volgens Schuh (1) ».
Maar voor het ontwikkelen van de Algebra kan er natuurlijk ook vertrokken worden van de gehele getallen (en derhalve van de zogenaamde diophantische vergelijkingen). Achtereenvolgens zullen dan de gebroken getallen, de negatieve getallen, de onmeetbare of irrationale en de imaginaire getallen ingevoerd moeten worden (zie cursiefje « Arithmetiek volgens Schuh (2) -getallen in een notendop- ».
Algebra of liever wat toen voor algebra doorging werd in de Cadettenschool van Laken gegeven door Maurice Van Houte (de Muis), een heel andere figuur dan de Snor. Hij heeft les gegeven in Laken van 1948 tot 1974 en was een oud-cadet (1927-1930). Behalve algebra, doceerde hij ook nog beschrijvende meetkunde en calculus, vakken waarover ik het verder zal hebben. Van vorming was hij polytechnisch ingenieur (K.M.S. 91ste promotie AG (artillerie et genie)). Ik beschouw hem als HET boegbeeld van het wiskundeonderwijs in de K.C.S.. Enerzijds wist hij uit eigen ervaring wat precies nodig was voor het welslagen van het toelatingsexamen KMS, anderzijds was er zijn speciale manier van lesgeven, waardoor men het gevoel kreeg dat algebra in feite doodsimpel was .
Rik Windels (cadet 1961) beschrijft hem als volgt (1) :
De Muis, dat was weer een ander figuur, door de staf vaak eerbiedig "de kolonel" genoemd. Naargelang hij dicht of ver moest zien had hij al dan niet zijn bril nodig. Om hem aan het bord niet voortdurend op en af te zetten had hij die gewoonlijk boven zijn zeer volumineuze wenkbrauwen geplant om hem, wanneer vereist, met een geweldig gesnuif weer op zijn neus te doen belanden. Maakte iemand een fout aan het bord, hoorden we hem met zijn doorrookte stem: "Hey, hey, Meneeeer, u bent een grapjas!". En telkens hij de klas binnenkwam was er een paar seconden paniek of hij al dan niet zou zeggen: "Neem een vel papier! Eerste vraag ". Gene plezante, maar gene kwaaie zou ik zeggen .
Wat ik mij van hem herinner was dat hij in die jaren een voorliefde had voor fluweel (hij droeg veelal een bruin fluwelen pak) en ook dat hij steeds een belachelijk klein boekentasje (model lagere school) bij zich had. In dat boekentasje zaten alleen de algebraboeken van De Vaere Herbiet (Leerboek en Complement). Die haalde hij alleen maar op het eind van de les boven om zijn instructies voor de volgende les voor te bereiden van pagina zoveel tot zoveel te geven.
Soms zaten in dit boekentasje ook nog de gecorrigeerde « vellen papier » waarover een Rik Windels het had. En als hij niet tevreden was van de bekomen resultaten, zwierde hij ze zo maar door de klas er aan toevoegend Hey, hey.. het gemiddelde van de klas is vier..!!. Wij mochten dan zelf de vruchten van onze noeste inspanningen oprapen en vaststellen hoeveel consignes (of PS) wij opgelopen hadden. Naarmate wij echter in jaren en dus in wijsheid vorderden, werd het zwieren van vellen papier zeldzaam, om in rhetorica zelfs volledig op te houden.
In de vijftiger jaren bestond wiskunde uit Rekenkunde, Meetkunde en Algebra. Met Algebra werd dan bedoeld al wat niet tot de Rekenkunde of Meetkunde behoorde. En als men een schoolboek van in die tijd zoal bvb het Leerboek der Algebra van de collectie De Vaere Herbiet doorbladert, stelt men vast dat een deel van de leerstof nu onder bvb analyse of calculus zou gerangschikt staan. In dit cursiefje zal ik het alleen hebben over de klassieke algebra, d.i. het rekenen met letters, die getallen voorstellen en waarvan de hoofdbrok de theorie der vergelijkingen is. In een volgend cursiefje komt dan de eigenlijke Calculus aan de beurt.
M. Van Houte gaf zoals al gezegd les op een speciale manier. Zijn betoog was zeer helder en begrijpelijk en op het einde van de les vroegen we ons af, waarom we zelf deze of gene stelling of gevolgtrekking niet hadden gevonden of ontdekt. Enkele jaren later o.m. door het lezen van het eerste deel van Smirnovs zesdelige meesterwerk Cours de Mathématiques supérieures (zie Blog IV cursiefje « Fundamentele Wiskunde met Vladimir Smirnov ») begreep ik het geheim van zijn methode, want een Smirnov ging precies op dezelfde wijze te werk als de Muis.
Het kwam er op neer nooit de band met het praktisch probleem, waarop de wiskunde van toepassing was, te vergeten. Dit probleem werd analytisch bekeken of benaderd d.i. eerst ontrafeld en herleid tot gekende stellingen, wat dan voerde tot bepaalde gevolgtrekkingen of nieuwe hypothesen voor het oplossen van een analoog maar meer ingewikkeld praktisch probleem. Dit meer ingewikkeld probleem werd op zijn beurt ontrafeld, wat opnieuw leidde tot de oplossing van een nog meer ingewikkeld probleem enz. Voor wie zich een idee wil vormen van deze analytische benadering raad ik ten stelligste deel I van Smirnov aan.
Hier dus geen overdreven abstracties, geen geleuter over axiomas, geen wiskunde om de wiskunde maar praktische, goed onderbouwde wiskunde. Wiskunde waar de wetenschapper of ingenieur iets aan heeft. En de Muis was ingenieur nietwaar
Deze praktische ingesteldheid uitte zich ook op een ander vlak. Naast zijn onderwijsopdracht in de Cadettenschool hield hij zich ook nog bezig met het analyseren van elektrocardiogrammen. Zijn broer was een cardioloog in het Brusselse, wat verklaart dat dit onderzoeksgebied hem niet onbekend was.
1- Algebra voor de Grieks-Latijnse Sectie:
In de Nederlandstalige Afdeling van de Cadettenschool werd geopteerd voor de algebraboeken van de collectie De Vaere Herbiet:
- « Leerboek der Algebra » (Wesmael - Charlier -1955-). Het betrof een door Raymond de Marchin en Gaspard Bosteels herwerkte uitgave (2) van het fameuze Leerboek der Algebra van Paul De Vaere en Victor Herbiet volgens de instructies vervat in de ministeriële omzendbrieven 1948 en 1949. Het oorspronkelijke werk werd al in 1936 door de Koninklijke Academie van België met een de Keynprijs bekroond.
- « Complement der Algebra » (Wesmael Charlier -1956-). Het betrof hier een uitbouw (3) , zowel in de hoogte als in de breedte, van het Leerboek der Algebra eveneens verzorgd door Raymond de Marchin en Gaspard Bosteels. Deze verklaarden in een voorbericht:
Gelet op de betrekkelijke instabiliteit der programmas hebben we gedacht iets te veel dan wat te weinig te moeten geven. Op aanvraag van verschillende collegas en vooral van vele studenten hebben wij in een appendix, terug heel wat materiaal opgenomen dat bij de voorbereiding van examens nuttig kan zijn. Nu een commissie belast werd met de eenmaking van de eisen voor de verschillende toelatingsexamens aan de Universiteiten en Hogere Instituten, hopen wij dat binnen afzienbare tijd een goede oplossing gevonden wordt Duidelijkheidshalve hebben wij ook de (huidige) programmas (in het boek) opgenomen.
Voornoemde leerboeken geven tezelfdertijd de leerprogrammas respectievelijk oude en moderne humaniora van die jaren aan. Zo was het Complement in feite voorbehouden voor de moderne humaniora. Maar in de Cadettenschool behoorde een groot deel van de in het Complement behandelde leerstof evenzeer tot het leerprogramma van de oude humaniora.
Het « normale » leerplan voorzag voor de Grieks-Latijnse sectie volgende onderwerpen:
- Voor de derdes :
1- (algebra) deling van een gehele rationele veelterm door x- a; bewijs van de reststelling en van de regel voor het quotiënt van de deling door een tweeterm; merkwaardige quotiënten; herhaling van de ontbinding in factoren en van de bewerkingen met gebroken vormen
2- (algebra) stellingen over de gelijkwaardigheid van vergelijkingen; herhaling en uitbreiding tot de relatieve getallen van de eigenschappen van ongelijkheden; grondbeginselen van de gelijkwaardigheid van ongelijkheden
3- (analyse) algebraïsch maatgetal van een georiënteerd lijnstuk op een as; abscis van een punt op een as en rechthoekige coördinaten van een punt in een plat vlak; functie van één veranderlijke en grafische voorstelling; intuïtieve begrippen over stijgen of dalen van een functie van een functie in een interval en over extrema; grafisch en algebraïsch onderzoek van de functie y = ax + b; oplossing en bespreking van ax + b = 0 en van ax + b < of > 0 (grafische interpretatie); grafische voorstellingen van ax + by + c = 0; rechte; toepassingen: eenparige beweging, spoorwegdiagrammen
4- (algebra) algebraïsche en grafische oplossing en bespreking van een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden; toepassingen o.a. over mobielen
5- (algebra) herhaling van de bewerkingen met vierkantwortels; oplossing van de vierkantsvergelijking met één onbekende; som en product der wortels; bespreking van de vierkantsvergelijking; toepassingen
- Voor de tweedes:
1- (algebra) vlugge herhaling van de oplossing van stelsels lineaire vergelijkingen en van de vierkantsvergelijkingen aan de hand van problemen
2- (analyse) grafisch en algebraïsch onderzoek van de functie y = ax2 + bx + c; tekenverandering en waardebeloop;; grafische verklaring van de oplossing en bespreking van de vierkantsvergelijking; grafische en algebraïsche oplossing van ax² + bx +c < of > 0; toepassingen; bespreking van de wortels van een vierkantsvergelijking waarin de coëfficiënten afhangen van een parameter; toepassingen
3- (algebra) afsplitsen van een wortel; oplossing van vergelijkingen van de vorm a f(x²) + b f(x) + c = 0; oplossen van wederkerige vergelijkingen en van zeer eenvoudige irrationale vergelijkingen; grafische en algebraïsche oplossing van eenvoudige stelsels van de tweede graad
4- (algebra) rekenkundige en meetkundige rijen; rekenkundige n-de machtswortels; exponent nul; definitie van gebroken en negatieve exponenten
5- (algebra) elementaire invoering van het begrip logaritme; rekenregels; Briggse logaritmen; gebruik van tafels; logaritmische berekening; formule van de samengestelde intrest; einwaarde van een annuïteit
- Voor de eerstes:
1- (analyse) functie; eenvoudige begrippen over bestaansintervallen van een functie; expliciete en impliciete functies; algebraïsche en transcendente functies; periodieke functies; inverse functie van een gegeven functie (met grafische voorstelling)
2- (analyse) limiet; rekenregels (zonder bewijs); twijfelachtige gevallen; toepassingen; asymptoten; begrip continuïteit; elementaire studie van de exponentiële en logaritmische functie; logaritme: definitie, eigenschappen; Briggse logaritmen; logaritmische berekeningen
3- (analyse) afgeleide in een punt; meetkundige interpretatie, vergelijking van de raaklijn in een punt van de grafiek van y = f(x):; kinematische interpretatie; afgeleide als functie; rekenregels voor het afleiden van: som, product, gehele macht, quotiënt,willekeurige macht (zonder bewijs behalve voor de vierkantswortel); functie van functie; goniometrische functies; toepassing op het tekenen van de grafiek van een functie (met raaklijnen); toepassing op problemen uit de meetkunde en de natuurkunde
4- (analyse) primitieve functie; onmiddellijke integratie in verband met de aangeleerde afgeleiden; bepaalde integraal als maatgetal van de oppervlakte; toepassing op eenvoudige problemen uit de natuurkunde en op berekeningen van oppervlakten
Voor de Grieks-Latijnse sectie werd in rhetorica het leerprogramma « Algebra » totaal omgebogen naar « Analyse ». De theorie der functies (afgeleide functies, differentialen, integralen) -de eigenlijke analyse- kwam hierdoor meer op het voorplan en de verdere studie van de vergelijkingen (derde en vierde graadsvergelijking, stelsels van lineaire vergelijkingen, determinanten, matrices...) -de eigenlijke algebra- werd van het leerplan afgevoerd.
2- Algebra voor de Latijns- Wiskundige en Wetenschappelijke secties:
Voor de Latijns- Wiskundige en Wetenschappelijke secties voorzag het « officiële » leerplan in de jaren vijftig volgende onderwerpen en rubrieken:
- voor de derdes:
1- (algebra) idem als Grieks-Latijnse sectie
2- (analyse) algebraïsch maatgetal van een georiënteerd lijnstuk op een as; betrekking van Chasles Möbius; abscis van een punt op een as; algebraïsch maatgetal van een georiënteerd lijnstuk op een as uitgedrukt in de abscissen van zijn uiteinden; rechthoekige coördinaten van een punt in een plat vlak; functie van één veranderlijke: grafische voorstelling, intuïtieve begrippen over stijgen en dalen van een functie in een interval en over extrema
3- (algebra) stellingen over gelijkwaardigheid van vergelijkingen; herhalingen en uitbreiding tot de relatieve getallen van de eigenschappen van ongelijkheden; stellingen over de gelijkwaardigheid van ongelijkheden
4- (analyse) grafisch en algebraïsch onderzoek van de functie y = ax + b; oplossing en bespreking van de vergelijking ax + b = 0 en van de ongelijkheden ax + b < of > 0 (grafische interpretatie); tekenverandering van sommige gehele en gebroken rationale vormen; grafische voorstelling van ax + by + c = 0; vergelijking van de rechte; toepassingen: eenparige beweging, spoorweggrafieken; bespreking van eenvoudige vraagstukken met lettergegevens
5- (algebra) gelijkwaardigheid van stelsels lineaire vergelijkingen; algebraïsche en grafische oplossing en bespreking van een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden; oplossing van een stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden en veralgemening; stelsels van bijzondere aard; begrippen over afhankelijkheid, strijdigheid en coëxistentie; vraagstukken die voeren tot stelsels lineaire vergelijkingen met twee of drie onbekenden o.a. over bewegende lichamen; bespreking van vraagstukken met twee onbekenden ontleend aan de meetkunde en de natuurkunde
6- (algebra) herhaling van de bewerkingen met vierkantswortels; het rationaal maken van noemers; oplossing van de vierkantsvergelijking met één onbekende; som en product van de wortels; toepassing van deze eigenschappen op het tekenonderzoek van de wortels; de vergelijking vormen die tot wortels heeft x ± h, hx, h / x; vraagstukken
7- (analyse) grafisch en algebraïsch onderzoek van de functie y = ax² + bx + c : tekenverandering en waardebeloop; grafische verklaring van de oplossing en van de bespreking van de vierkantsvergelijking; grafische en algebraïsche oplossing van de ongelijkheden ax² + bx + c < of > 0; toepassingen; bespreking van de wortels van een vierkantsvergelijking waarin de coëfficiënten afhangen van een parameter; ligging van een getal en van twee getallen t.o.v. de wortels van een vierkantsvergelijking; toepassingen; vraagstukken van de tweede graad met bespreking
8- (algebra) oplossing van vergelijkingen die herleidbaar zijn tot vierkantsvergelijkingen; bikwadratische vergelijkingen, wederkerige vergelijkingen; grafische en algebraïsche oplossing van eenvoudige stelsels van de vorm { x² + y² = d (1) lx + mx + n = 0 (2) } en { lx + my + n = 0 (1) y = ax² + bx + c (2) }; oplossing van stelsels van de tweede graad waarin minstens één van de vergelijkingen te ontbinden is
9- (algebra) rekenkundige en meetkundige rijen; toepassingen; rekenkundige nde machtswortels; exponent nul en definitie van gebroken en negatieve exponenten
10- (algebra) elementaire invoering van de logaritmen; rekenregels; gewone logaritmen; gebruik van de tafels en berekening door logaritmen: gebruik van de rekenliniaal; formule van de samengestelde interest; eindwaarde van een annuïteit
- voor de tweedes: -complement der algebra-
1- (algebra) herhaling van de voornaamste punten uit de vorige leergang
2- (algebra) stellingen over equivalente en identieke veeltermen; toepassingen: deelbaarheid door (x a)(x b)(x c), methode van de onbepaalde coëfficiënten
3- (algebra) Combinatieleer; groeperingen zonder herhaling; toepassingen, binomium van Newton voor een gehele positieve exponent; toepassingen
4- (algebra) Determinanten: definitie van determinanten met 4 en met 9 elementen, veralgemening, eigenschappen; toepassing op het oplossen en het bespreken van stelsels vergelijkingen
5- (algebra) Elementaire theorie van de eliminatie: co-existentievoorwaarden voor lineaire vergelijkingen en voor vergelijkingen met één onbekende waarvan ten minste één van de tweede graad is
6- (analyse) Functie: eenvoudige begrippen over bestaansintervallen van een functie, expliciete en impliciete functies, algebraïsche en transcendente functies, periodieke functies; inverse functie van een gegeven functie met grafische voorstelling
7- (analyse) Limiet: definitie; rekenregels (zonder bewijs); toepassingen; twijfelachtige gevallen; asymptoten: limiet van de wortels van een vierkantsvergelijking waarvan de coëfficiënten afhangen van een parameter
9- (analyse) Afgeleide in een punt; meetkundige interpretatie, vergelijking van de raaklijn in een punt van de frafiek y = f(x); kinematische interpretatie; afgeleide als functie; berekenen van de afgeleide van som, product, natuurlijke macht, quotient, willekeurige macht (zonder bewijs behalve voor de vierkantswortel); functie van functie; goniometrische functies
10- (analyse) Toepassing van de theorie van de afgeleide op de studie van het verloop van functies; het tekenen (met raaklijnen) van de grafiek van sommige algebraïsche functies en eenvoudige goniometrische functies: toepassing op problemen uit de meetkunde en de natuurkunde
- voor de eerstes: -complement der algebra-
1- (algebra) Overzicht van de reeds aangeleerde uitbreidingen van het getalbegrip; irrationale getallen: noodzakelijkheid van de invoering van het irrationale getal als maatgetal van lijnstukken; rijen van benaderde tiendelige waarden van een irrationaal getal; theorie van de rekenkundige nde machtswortels; stellingen over de rekenregels voor gebroken en negatieve exponenten; complexe getallen: definitie; bewerkingen; goniometrische vorm; meetkundige voorstelling; formule van de Moivre; binomiaalvergelijkingen
2- (analyse) Het getal « e »: limiet van (1 + 1 / m)m voor m → ∞ ; elementaire studie van de exponentiële functie: definitie; continuïteit; afgeleide; verloop; grafische voorstelling; rekenregels voor logaritmen; verschillende logaritme- stelsels; grondtal; overgang van de tiendelige op de Neperiaanse logaritmen; oplossen van eenvoudige exponentiële en logaritmische vergelijkingen
3- (analyse) Middelwaarde- stelling der differentiaalrekening (bewijs gesteund op meetkundige intuïtie); formules van Maclaurin en Taylor en toepassing op het ontwikkelen in een machtreeks van ex , log(1 + x), (1 + x)m , sin(x) , cos(x) , ; differentiaal: definitie, meetkundige betekenis; stamfunctie; afgeleide van een oppervlakte beschouwd als functie; bepaalde integraal als limiet van sommen; middelwaarde- stelling van de integraalrekening (bewijs gesteund op meetkundige intuïtie); bepaalde integraal als functie van de bovengrens; onbepaalde integraal; integratie door ontbinding, partiële integratie en substitutie toegepast in eenvoudige gevallen; oppervlakteberekening van cirkel, ellips, hyperboolsegment ; inhoudsberekening van enkele omwentelingslichamen
Voor de Latijns- Wiskundige en Wetenschappelijke secties werd, vanaf poësis, het leerprogramma « Algebra » omgebogen naar « Analyse », werd om zo te zeggen de theorie der vergelijkingen verlaten voor de theorie der functies. Voor een studie in de wetenschappelijke richting (bvb natuurkunde of ingenieur) werd in België een dergelijke ombuiging onontbeerlijk geacht.
In Nederland bvb zal deze ombuiging maar gebeuren vanaf 1960 en werd in het secundair onderwijs verder doorgegaan met algebra, met de theorie der vergelijkingen. Waardoor ook vergelijkingen van de derde en vierde graad en hogere stelsels van lineaire vergelijkingen (determinanten van de nde graad en matrices) ter sprake kwamen. Vóór 1960 was « Analyse » in Nederland uitsluitend voorbehouden aan het Hoger Onderwijs.
(2) inhoudstafel « Leerboek der Algebra » (collectie De Vaere Herbiet -1955-):
- LAGERE CYCLUS d.i. lagere humaniora
Inleiding: het voorstellen van getallen door letters
Eerste Deel: De relatieve getallen en hun verbindingen: 1- de relatieve getallen ; 2- het rekenen met relatieve getallen ; 3- het afbeelden van relatieve getallen op een as
Tweede Deel: Het uitwerken van algebraïsche vormen: 1- algebraïsche vormen ; 2- rationele en gehele vormen ; 3- optelling en aftrekking ; 4- vermenigvuldiging ; 5- merkwaardige producten ; 6- deling ; 7- herhalingsopgaven ; 8- aanvullingen merkwaardige producten en delen van twee veeltermen ; 9- rest- en quotiëntbepaling bij deling door x ± a ; 10- ontbinding in factoren ; 11- deelbaarheid ; grootste gemene deler ; kleinste gemeen veelvoud ; 12- gebroken vormen
Derde Deel : algebra van de eerste graad: 1- algemene begrippen over vergelijkingen ; 2- vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende ; 3- ongelijkheden ; ongelijkheden van de eerste graad met één onbekende ; 4- vraagstukken van de eerste graad met één onbekende ; 5- vergelijkingen met twee onbekenden ; 6- vergelijkingen met drie onbekenden ; 7- het oplossen van een stelsel van n vergelijkingen met n onbekenden ; 8- stelsels van bijzondere aard kunstgrepen ; 9- vraagstukken van de eerste graad met meer dan één onbekende
Vierde Deel: wortelvormen en functies: 1- wortelvormen van de tweede graad ; 2- over functies en hun grafische voorstelling
- HOGERE CYCLUS d.i. hogere humaniora:
Deel I : Herhaling en aanvulling: 1- rest- en quotiëntbepaling bij deling door x ± a ; 2- herhaling van de ontbinding in factoren ; 3- gebroken vormen ; 4- ongelijkheden
Deel II : algebra van de eerste graad: 1- afbeelden van getallen op een as - coördinaten - plaatsbepaling van een punt op een rechte en in een vlak ; 2- over functies en hun grafische voorstelling ; 3- de lineaire functie ; grafisch onderzoek van y = ax + b ; 4- stellingen over gelijkwaardige vergelijkingen ; 5- vergelijking van de eerste graad met één onbekende - bespreking ; 6- de lineaire functie - algebraïsch onderzoek ; 7- ongelijkheden van de eerste graad met één onbekende bespreking ; 8- grafisch onderzoek van ax + by + c = 0 ; 9- strijdigheid en afhankelijkheid van vergelijkingen ; 10- aanvullende begrippen over stelsels van vergelijkingen ; 11- vraagstukken van de eerste graad met één onbekende aanvullingen ; 12- vraagstukken van de eerste graad met meer dan één onbekende ; aanvullingen
Deel III : algebra van de tweede graad: 1- wortelvormen - aanvullende begrippen ; 2- wortelvormen van de n-de graad - oneigenlijke machten ; 3- vierkantsvergelijkingen ; 4- de kwadratische functie ; 5- toepassing van de eigenschappen van de kwadratische functies op vierkantsvergelijkingen ; 6- het bespreken van vierkantsvergelijkingen met veranderlijke coëfficiënten ; 7- vergelijkingen die leiden tot vierkantsvergelijkingen ; 8- stelsels waarvan niet alle vergelijkingen lineair zijn ; 9- vraagstukken van de tweede graad
Deel V : (calculus) functies, grenswaarden, continuïteit, afgeleiden, toepassingen: 1- algemene begrippen ; 2- limieten ; 3- continuïteit ; 4- de exponentiële functie ; 5- de logaritmische functie ; 6- afgeleiden ; 7- toepassing van de theorie der afgeleide functies ; 8- stamfuncties
(2) inhoudstafel « Complement der Algebra » (collectie De Vaere Herbiet -1956-):
- TWEEDE KLASSE
Deel I : Complement bij de algebraïsche berekeningen: 1- de relatieve getallen ; 2- eigenschappen van veeltermen ; 3- combinatieleer ; 4- machten van een tweeterm ; 5- determinanten
Deel II : Vergelijkingen: 1- stelsels van lineaire vergelijkingen ; 2- complement bij de theorie der vierkantsvergelijkingen ; 3- eliminatie
Deel III : Functies: 1- algemene begrippen ; 2- grenswaarden ; 3- continuïteit ; 4- afgeleiden ; 5- toepassingen van de afgeleiden ; 6- gebruik van de afgeleiden bij functie- onderzoek
- EERSTE KLASSE:
Deel IV : Uitbreiding van het Getalbegrip: 1- de irrationale getallen ; 2- wortelvormen en exponenten ; 3- de complexe getallen ; 4- binomiaal- vergelijkingen
Deel V : Functies: 1- de exponentiële functie ; 2- het getal e ; 3- de logaritmische functie
Appendix: 1- bewijzen door volledige inductie ; 2- combinatieleer ; 3- verloop van functies ; 4- kettingbreuken ; 5- onbepaalde analyse ; 6- bijzondere vergelijkingen en ongelijkheden ; 7- integraalrekening ; 8- reeksontwikkelingen
Met het fameuze « Complement der Algebra » o.m. met de hoofdstukken handelend over de eigenschappen van veeltermen, de combinatieleer, de machten van een tweeterm (binomium van Newton), de leer der determinanten van de tweede en derde graad en de toepassing op stelsels van vergelijkingen (co-existentievoorwaarden), en ten slotte het hoofdstuk over Eliminatie (methodes van Euler en van Sylvester) werd een overgang naar de zogenaamde Hogere Algebra bewerkstelligd.
Volgens mijn persoonlijke notities maakten in de Cadettenschool ook deze hoofdstukken integraal deel uit van de leerstof van de Grieks-Latijnse sectie.
Een historische noot over determinanten (pagina 82 van het boek), waarbij bekende namen als Gottfried Leibniz (1) , Gabriel Cramer (2) , Alexandre Vandermonde (3) , Carl Friedrich Gauss (4) , Jozef Wronski (5) , Augustin Louis Cauchy (6) en Carl Jacobi (7) (De formatione et proprietatibus determinantium) vielen, trok nu mijn aandacht en wekte mijn nieuwsgierigheid op.
Juist nadat ik de Cadettenschool verlaten had om precies te zijn: eind 1958-, zal ik mij dan ook « Theory of Equations » van James Victor Uspensky (8) aanschaffen.
Dit boek, voor het eerst verschenen in 1948 bij McGraw-Hill, sloot perfect aan bij het « Complement » zoals een gedetailleerde inhoudstafel laat zien:
Chapter 1 Complex numbers: 1- what are complex numbers 2- definition of equality 3- definitions of addition and multiplication 4- fundamental laws for addition and multiplication 5- subtraction and division 6- normal form of complex numbers 7- real and imaginary parts conjugate numbers absolute value or modulus 8- theorem concerning the absolute value of a product 9- inequality for the absolute value of the sum 10- square root of a complex number 11- geometric representation of complex numbers 12- angle between directed lines 13- trigonometric form of a complex number 14- multiplication and division of complex numbers in trigonometric form de Moivres formula 15- trigonometric solution of binomial equations 16- roots of unity 16- geometric meaning of operations on complex numbers
Chapter 2 Polynomials in one variable: 1- integral rational functions or polynomials 2- multiplication of polynomials 3- division of polynomials 4- the remainder theorem 5- synthetic division 6- Horners process 7- Taylors formula 8- Highest common divisor of two polynomials
Chapter 3 Algebraic equations and their roots: 1- algebraic equations 2- identity theorem 3- the fundamental theorem of algebra 4- imaginary roots of equations with real coefficients 5- relations between roots and coefficients 6- discovery of multiple roots
Chapter 4 Limit of roots - rational roots: 1- limits of roots 2- a method to find an upper limit of positive roots 3- limit for moduli of roots 4- integral roots 5- rational roots
Chapter 5 Cubic and biquadrate equations: 1-what is the solution of an equation? 2- Cardans formula 3- discussion of solution 4- irreducible case 5- trigonometric solution 6- solution of biquadrate equations
Chapter 6 Separation of roots: 1- object of this chapter 2- the sign of a polynomial for small and large values of the variable 3- theorem 4- corollaries 5- examples 6- an important identity and lemma 7- Rolles theorem 8- other applications of Rolles theorem 9- a theorem of de Gua 10- Descartes rule of signs 11- equations with real roots 12- a complete method of separating roots
Chapter 7 The theorem of Sturm: 1- Sturms functions 2- a method for constructing Sturms series 3- the theorem of Sturm 4- examples
Chapter 8 Approximate evaluation of roots: 1- object of this chapter 2- basic part of Horners method 3- contraction 4- Fourier division 5- estimation of error 6- another example 7- method of iteration 8- Newtons method
Chapter 9 Determinants and matrices: 1- determinants of order 2- polynomials in several variables 3- characteristic properties of determinants of the second order 4- determinants as functions of matrices 5- determinants of order 3 6- even and odd permutations 7- general determinants 8- properties of determinants 9- examples 10- expansions by rows and columns minor and cofactors 11- examples 12- equality and addition of matrices 13- multiplication of matrices 14- multiplication of determinants 15- reciprocal determinants
Chapter 10 Solution of linear equations by determinants; some applications of determinants to geometry: 1- Cramers rule 2- linear homogeneous equations 3- rank of a matrix linear independence 4- how to find the rank of a matrix 5- general discussion of linear systems 6- equations of lines planes and circles in determinant form
Chapter 11 Symmetric functions: 1- definition of symmetric functions sigma functions 2- Newtons formulas 3- fundamental theorem on symmetric functions 4- practical methods 5- Lagranges solution of cubic equations 6- Lagranges solution of biquadrate equation 7- the Gaussian principle
Chapter 12 Elimination: 1- example of elimination 2- resultant 3- Sylvesters determinant 4- identity of the resultant and Sylvesters determinant 5- Discriminant 6- imaginary roots
Appendices
I- the fundamental theorem of algebra
II- on the theorem of Vincent
III- on equations whose roots have negative real part
IV- iterative solution of the frequency equation
V- Graeffe s method
Uspenskys boek start met de complexe getallen, handelt vervolgens over de veeltermen met één onbekende en de wortels van algebraïsche vergelijkingen. Dan volgt een bespreking van bovenste en onderste limieten van positieve respectievelijk negatieve wortels en de wortels van derde en vierde graadsvergelijkingen met de formules van Cardano.
Hierbij aansluitend wordt het afsplitsen van een wortel uit een algebraïsche vergelijking behandeld met o.a. een algemene methode gebaseerd op het theorema van Vincent(9) . Ook de belangrijke theorie van Sturm (10) komt natuurlijk ter sprake. Drie benaderingsmethodes respectievelijk de methode van Horner (11) , de iteratieve methode en de methode van Newton worden aan de hand van enkele voorbeelden ontwikkeld en toegelicht.
Een belangrijk gedeelte van Uspenskys boek is gewijd aan determinanten, matrices en het oplossen van lineaire stelsels van vergelijkingen.
Het boek sluit af met een hoofdstuk over de eliminatiemethode van Sylvester en een appendix waarin o.m. de hoofdstelling van de algebra en het theorema van Vincent behandeld wordt.
Voor een eerste kennismaking met de Hogere Algebra is voornoemde monografie nog steeds aan te raden, te meer daar in het werk diverse oefeningen opgenomen zijn waarvan het antwoord op het einde van het boek verstrekt wordt. Dit boek werd door de auteur als een standaardtekst aangekondigd:
This book was written as a textbook to be used in the standard American university and college courses devoted to the theory of equations. As such it is elementary in character and, with few exceptions, contains only material ordinarily included in texts of this kind. But the presentation is made so explicit that the book can be studied by students without a teachers help.
Everything that is stated in the text is presented with full development and nowhere is reference made to results that are beyond the scope of this book .
In four chapters the exposition differs considerably from custom. In the chapter on complex numbers the superficial approach so common in many books is replaced by a simple and yet thorough presentation of the theory of complex numbers. The authors experience shows that students, almost without exception, follow this presentation without difficulty.
In the chapter on separation of roots the author gives a very efficient method for separating real roots, much superior in practice to that based on Sturms theorem. He believes that no other book mentions this method, which he invented many years ago and has been teaching to his students for a number of years.
In the chapter on numerical computation of roots Horners method is presented in the original form, including the process of contraction which unfortunately has disappeared from American texts. Also a thorough examination is made of the error caused by contraction;
Determinants are introduced not by formal definition, as is usual, but by their characteristic properties, following Weierstrass. The advantage of this is apparent, for example, in the proof of multiplication of determinants. Some elementary notions about the algebra of matrices are also developed in this chapter .
- Nabeschouwingen:
De schoolboeken over Algebra van De Vaere Herbiet met hun talloze opgaven en vraagstukken alsook de uitstekende monografie van Victor Uspensky over de Hogere Algebra behoren tot het grijze verleden. Wellicht zijn een aantal exemplaren nog te vinden in een of andere tweedehandsboekhandel, maar helemaal zeker is dat niet.
Enkele decennia terug hebben sommige didactici gemeend het klassieke algebracurriculum te moeten vervangen door new math met de catastrofale gevolgen van dien.
Heden moet ik vaststellen dat ook Schaum terug beroep doet op de klassieke algebra en bepaalde monografieën daterend uit de jaren vijftig van de vorige eeuw weer ter beschikking stelt.
Zo zijn er nu bvb weer :
- « Elementary Algebra » (Barnett Rich and Philip Schmidt Schaum first edition -1960- third edition -2004-) en
- « College Algebra » (Murray R. Spiegel and Robert E. Moyer Schaum first edition -1956- third edition -2006-)
De syllabi Elementary en College Algebra omvatten ongeveer dezelfde leerstof, die jaren terug in het middelbaar onderwezen werd.
Natuurlijk zijn de moderne edities aangepast aan de recente ontwikkelingen van calculatoren en ordinatoren, wat nog meer interessante toepassingsmogelijkheden biedt, zoals bvb het ontwerpen van wiskundige en wetenschappelijke modellen (modelling (12) of modelvorming).
De inhoud van de eerste syllabus « Elementary Algebra »stemt ongeveer overeen met het leerplan van de lagere humaniora van destijds:
Chapter 1 From Arithmetic to Algebra: 1- Representing numbers by letters 2- Interchanging numbers in addition 3- Interchanging numbers in multiplication 4- Symbolizing the operations in algebra 5- Expressing addition and subtraction algebraically 6- Expressing multiplication and division algebraically 7- Expressing two or more operations algebraically 8- Order in which fundamental operations are performed 9- The use of parentheses: changing the order of operations 10- Multiplying factors in terms: numerical and literal coefficients 11- Repeated multiplying of a factor: base, exponent and power 12- Combining like and unlike terms
Chapter 2 Simple Equations and Their Solutions: 1- Kinds of equalities: equations and identities 2- Translating verbal statements into equations 3- Solving simple equations by using inverse operations 4- Rules of equality for solving equations 5- Using division to solve an equation 6- Using multiplication to solve an equation 7- Using subtraction to solve an equation 8- Using addition to solve an equation 9- Using two or more operations to solve an equation
Chapter 3 Signed Numbers: 1- Understanding signed numbers: positive and negative numbers 2- Using number scales for signed numbers 3- Adding signed numbers 4- Simplifying the addition of signed numbers 5- Subtracting signed numbers 6- Multiplying signed numbers 7- Finding powers of signed numbers 8- Dividing signed numbers 9- Evaluating expressions having signed numbers
Chapter 4 Introduction to Monomials and Polynomials: 1- Understanding monomials and polynomials 2- Adding monomials 3- Arranging and adding polynomials 4- Subtracting monomials 5- Subtracting polynomials 6- Using parentheses and other grouping symbols to add or subtract polynomials 7- Multiplying monomials and powers of the same base 8- Multiplying a polynomial by a monomial 9- Multiplying polynomials 10- Dividing powers and monomials 11- Dividing a polynomial by a monomial 12- Dividing a polynomial by a polynomial
Chapter 5 First-Degree Equations : 1- Reviewing the solution of first degree equations having positive roots 2- Solving first degree equations having negative solutions 3- Solving equations by transposing 4- Solving equations containing parentheses 5- Solving equations containing one fraction or fractions having the same denominator 6- Solving equations containing fractions having different denominators 7- Solving equations containing decimals 8- Solving literal equations 9- The graphing calculator
Chapter 6 Formulas : 1- Points and lines 2- Understanding polygons, circles and solids 3- Formulas for perimeters and circumferences: linear measure 4- Formulas for areas: square measure 5- Formulas for volumes: cubic measure 6- Deriving formulas 7- Transforming formulas 8- Finding the value of an unknown in a formula
Chapter 7 Graphs of Linear Equations: 1- Understanding graphs 2- Graphing linear equations 3- Solving a pair of linear equations graphically 4- Deriving a linear equation from a table of values 5- Midpoint of a segment 6- Distance between two points
Chapter 8 Introduction to Simultaneous Equations: 1- Solving a pair of equations by addition or subtraction 2- Solving a pair of equations by substitution
Chapter 9 Problem Solving and Mathematical Modelling : 1- Number problems having one unknown: introduction to problem solving 2- Number problems having two unknowns 3- Consecutive integer problems 4- Age problems 5- Ratio problems 6- Angle problems 7- Perimeter problems 8- Coin or stamp problems 9- Cost and mixture problems 10- Investment or interest problems 11- Motion problems 12- Mathematical modelling
Chapter 10 Products and Factoring: 1- Understanding factors and products 2- Factoring a polynomial having a common monomial factor 3- Squaring a monomial 4- Finding the square root of a monomial 5- Finding the product of the sum and difference of two numbers 6- Factoring the difference of two squares 7- Finding the product of two binomials with like terms 8- Factoring trinomials in form x² + bx + c 9- Factoring a trinomial in form of ax² + bx + c 10- Squaring a binomial 11- Factoring a perfect square trinomial 12- Completely factoring polynomials 13- The variable: direct and inverse variation 14- Understanding direct variation: y = kx or y / x = k 15- Understanding inverse variation: xy = k
Chapter 11 Fractions : 1- Understanding fractions 2- Changing fractions to equivalent fractions 3- Reciprocals and their uses 4- Reducing fractions to lowest terms 5- Multiplying fractions 6- Dividing fractions 7- Adding or subtracting fractions having the same denominator 8- Adding and subtracting fractions having different denominators 9- Simplifying complex fractions
Chapter 12 Roots and Radicals: 1- Understanding roots and radicals 2- Understanding rational and irrational numbers 3- Finding the square root of a number by using a graph 4- Finding the square root of a number by using a table or calculator 5- Simplifying the square root of a product 6- Simplifying the square root of a fraction 7- Adding and subtracting square roots of numbers 8- Multiplying square roots of numbers 9- Dividing square roots of numbers 10- Rationalizing the denominator of a fraction 11- Solving radical equations
Chapter 13 Quadratic Equations : 1- Understanding quadratic equations in one unknown 2- Solving quadratic equations by factoring 3- Solving incomplete quadratic equations 4- Solving a quadratic equation by completing the square 5- Solving a quadratic equation by quadratic formula 6- Solving quadratic equations graphically
Chapter 14 The Pythagorean Theorem and Similar Triangles : 1- Law of Pythagoras 2- Proportions: equal ratios 3- Similar triangles
Chapter 15 Introduction to Trigonometry: 1- Understanding trigonometric ratios 2- Trigonometric functions of an acute angle 3- Trigonometric functions of complementary angles 4- Trigonometric functions of 30°, 45°, 60°
Chapter 16 Introduction to Geometry: 1- Solving problems graphically 2- Understanding the slope of a line 3- Understanding congruent triangles 4- Understanding trigonometry 5- Transformations
Appendix A: Review of Arithmetic: 1- the whole numbers 2- fractions 3- decimals 4- reviewing percents and percentage
Appendix B: The use of calculators: 1- using a calculator to perform the fundamental operations of arithmetic 2- introduction to the graphic calculator
De inhoud van de tweede syllabus « College Algebra » komt ongeveer overeen met het leerplan van de hogere humaniora van de jaren vijftig:
Chapter 1 Fundamental Operations with Numbers: 1- Four operations 2- System of real numbers 3- Graphical representation of real numbers 4- Properties of addition and multiplication of real numbers 5- Rules of signs 6- Exponents and powers 7- Operations with fractions
Chapter 2 Fundamental Operations with Algebraic Expressions: 1- Algebraic expressions 2- Terms 3- Degree 4- Grouping 5- Computation with algebraic expressions
Chapter 3 Properties of Numbers: 1- Sets of numbers 2- Properties 3- Additional properties
Chapter 4 Special Products: 1- Special products 2- Products yielding answers of the form an ± bn
Chapter 5 Factoring: 1- Factoring 2- Factorization procedures 3- Greatest common factor 4- Least common multiple
Chapter 9 Simple Operations with Complex Numbers: 1- Complex numbers 2- Graphical representation of complex numbers 3- Algebraic operations with complex numbers
Chapter 10 Equations in General: 1- Equations 2- Operations used in transforming equations 3- Equivalent equations 4- Formulas 5- Polynomial equations
Chapter 11 Ratio, Proportion, and Variation: 1- Ratio 2- Proportion 3- Variation 4- Unit price 5- Best buy
Chapter 12 Functions and Graphs: 1- Variables 2- Relations 3- Functions 4- Function notation 5- Rectangular coordinate system 6- Function of two variables 7- Symmetry 8- Shifts 9- Scaling 10- Using a graphing calculator
Chapter 13 Linear Equations in One Variable: 1- Linear equations 2- Literal equations 3- Word problems
Chapter 14 Equations of Lines: 1- Slope of a line 2- Parallel and perpendicular lines 3- Slope intercept form of equation of a line 4- Slope point form of equation of a line 5- Two point form of equation of a line 6- Intercept form of equation of a line
Chapter15 Simultaneous Linear Equations: 1- Systems of two linear equations 2- Systems of three linear equations
Chapter 16 Quadratic Equations in One Variable: 1- Quadratic equations 2- Methods of solving quadratic equations 3- Sum and product of the roots 4- Nature of the roots 5- Radical equations 6- Quadratic type equations
Chapter 17 Conic Sections: 1- General quadratic equations 2- Conic sections 3- Circles 4- Parabolas 5- Ellipses 6- Hyperbolas 7- Graphing conic sections with a calculator
Chapter 18 Systems of Equations Involving Quadratics: 1- Graphical solution 2- Algebraic solution
Chapter 19 Inequalities: 1- Definitions 2- Principles of inequalities 3- Absolute value inequalities 4- Higher degree inequalities 5- Linear inequalities in two variables 6- Systems of linear inequalities 7- Linear programming
Chapter 20 Polynomial Functions: 1- Polynomial equations 2- Zeros of polynomial equations 3- Solving polynomial equations 4- Approximating real zeros
Chapter 22 Sequences and Series: 1- Sequences 2- Arithmetic sequences 3- Geometric sequences 4- Infinite geometric series 5- Harmonic sequences 6- Means
Chapter 23 Logarithms: 1- Definition of a logarithm 2- Laws of logarithms 3- Common logarithms 4- Using a common logarithm table 5- Natural logarithms 6- Using a natural logarithm table 7- Finding logarithms using a calculator
Chapter 24 Applications of Logarithms and Exponents: 1- Introduction 2- Simple interest 3- Compound interest 4- Applications of logarithms 5- Application of exponents
Chapter 25 Permutations and Combinations: 1- Fundamental counting principle 2- Permutations 3- Combinations 4- Using a calculator
Chapter 26 The Binomial Theorem: 1- Combinatorial notation 2- Expansion of (a + x)n
Chapter 27 Probability: 1- Simple probability 2- Compound probability 3- Mathematical expectation 4- Binomial probability 5- Conditional probability
Chapter 28 Determinants: 1- Determinants of the second order 2- Cramers rule 3- Determinants of third order 4- Determinants of order n 5- Properties of determinants 6- Minors 7- Value of a determinant of order n 8- Cramers rule for determinants of order n 9- Homogeneous linear equations
Chapter 29 Matrices: 1- Definition of a matrix 2- Operations with matrices 3- Elementary row operations 4- Inverse of a matrix 5- Matrix equations 6- Matrix solution of a system of equations
Chapter 30 Mathematical Induction: 1- Principle of mathematical induction 2- Proof by mathematical induction
Aangestipt moet worden dat de methode van Horner, beschreven in 1819, ook al bij Newtons « Arithmica Universalis » te vinden is: http://en.wikipedia.org/wiki/Horner_scheme
(Hoofdstuk 4 "Deductieve Meetkunde in de Cadettenschool")
§ 4.1 Wat is Deductieve Meetkunde
Deductieve meetkunde (ook soms Synthetische meetkunde(1) genoemd) is een gewijzigde, vereenvoudigde en meer naar de praktijk gerichte versie van de meetkunde van Euklides en Eudoxos (Griekse Meetkunde), aangevuld met een aantal onderwerpen uit de nieuwe meetkunde van de 17de , de 18de en de 19de eeuw.
Een dergelijke Meetkunde werd voor het eerst in 1794 ingevoerd door de Franse wiskundige Adrien Marie Legendre (2) ten behoeve van de leerlingen van de Ecole Polytechnique en verwoord in zijn « Eléments de Géométrie » (3) , een boek dat nu ook via internet kan ingekeken worden.
Aldus werd voor het eerst getornd aan de autoriteit van Euklides' fameuze « Elementen », werk dat gedurende eeuwen als absolute standaard had gegolden.
Naast een samenvatting van de meetkunde van Euklides (minder stellingen, andere volgorde van de onderwerpen) werd in Legendre's boek ook de Trigonometrie behandeld, wat door enkelen als een soort verraad t.a.v. Euklides' meesterwerk werd aanzien. Misschien hier toch even benadrukken, dat in Legendre's werk Geometrie en Trigonometrie wel afzonderlijk worden behandeld. De oorsprong van de Trigonometrie ligt bij de Egyptenaren en de Griekse astronoom Hipparchos maar de eigenlijke ontwikkeling van dit vak is van veel latere datum (zie cursiefje « wat is trigonometrie? »). Als ikoon van dit cursiefje heb ik een vermeend portret van Legendre genomen. In 2009 (4) bleek immers dat van Legendre alleen maar een caricatuur (aquarelle) bestaat en dat voornoemd portret in feite de Franse politicus Louis Legendre (1752-1797) voorstelt.
« Eléments de Géométrie » kende nu als school- en studieboek een enorm succes. Tussen 1794 en 1833 (dood van Legendre) beleefde dit boek al 15 herdrukken. De laatste editie werd vertaald in het Engels door Charles Davies onder de titel « Elements of Geometry and Trigonometry from the works of A.M. Legendre » (1858) en werd vooral in de USA als referentie gebruikt.
Een Duitse vertaling van de 12de editie (1823) « Elemente der Geometrie und der ebenen und sphärischen Trigonometrie » (5) verscheen al in 1828 en was van de hand van de ingenieur en mathematicus August Leopold Crelle. Deze Duitse editie beleefde al in 1858 zijn vijfde herdruk.
Ten opzichte van Euklides werden in Legendre's monografie volgende fundamentele wijzigingen doorgevoerd. In Boek I werd de stelling van Pythagoras (I 47) alsmede de stellingen die voorbereidden tot deze stelling gewoon weggelaten. Ook Boek II, bestempeld als algebraïsche meetkunde, werd als onnodig beschouwd. De stellingen door Euklides hier aangegeven zijn immers een louter geometrische bevestiging van de bekende algebraïsche identiteiten, die universeel geldig zijn.
Legendre schakelt dus na Boek I onmiddellijk over op boek III van Euklides, dat bij Legendre Boek II wordt. De vereenvoudiging, door Legendre geïntroduceerd, bestond er in zoveel mogelijk de moeilijke theorie der onmeetbare verhoudingen (boek X van de « Elementen ») te vermijden en in de eerste plaats beroep te doen op de meetbare verhoudingen (boeken V en VI -Eudoxos-). Door het vroegtijdig introduceren van het begrip maatgetal van een lijn, een hoek, een oppervlak, een volume treden de begrippen lengte, oppervlakte en inhoud op de voorgrond. Er ontstaat op deze manier een meetkunde die veel meer gericht is op de praktijk.
Verder worden de stellingen geformuleerd in een meer concrete of in meer algebraïsche taal en wordt het aantal definities zo beperkt mogelijk gehouden. Legendre vermijdt dus voor zover dit mogelijk is- beroep te doen op het begrip limiet (bestaan van een limiet) of op het begrip continuïteit van een lijn. Dit alles verklaart dat hij veelal moet beroep doen op een bewijsvoering uit het « ongerijmde » (6) . Ook te vermelden is nog dat Legendre geprobeerd heeft door een bewijsvoering uit het ongerijmde het vijfde postulaat van Euklides (zie verder) te bewijzen, poging waarin hij echter niet slaagde en wat aan de oorsprong ligt van de niet- Euclidische meetkundes.
De wijzigingen, die Legendre heeft aangebracht aan Euklides' meesterwerk worden in een aantal "notes" (7) , onmiddellijk na het meetkundig gedeelte van het boek verklaard en verantwoord.
Beknopte, aangevulde of verbeterde versies van Legendres boek werden in Frankrijk in de loop van de 19de eeuw op de markt gebracht. Te vermelden is hier bvb « Eléments de Géométrie par A.M. Legendre avec additions et modifications par Marie Alphonse Blanchet » (8) . In het Voorwoord van zijn boek schreef Blanchet:
.... Le changement le plus important, le seul dont je croie devoir parler, est celle qui se rapporte à la mesure du cercle et des corps ronds. J'ai cru, pour la mesure de ces figures, devoir substituer au mode de démonstration par la réduction à l'absurde, la méthode des limites. Cette méthode, la seule applicable dans les parties élévées des mathématiques a d'ailleurs l'avantage de donner aux élèves une marche sûre par la découverte de nouveaux théorèmes....
Het is deze wijziging, die in de meeste meetkundeboeken na Legendre zal weerhouden worden.
Andere schoolboeken, zoals bvb het « Traité de géométrie élémentaire » van Eugène Rouché et Charles de Comberousse (9) verschenen in 1866, gingen verder op de door Legendre ingeslagen weg en bespraken in een Boek VIII de kegelsneden (ellips, hyperbool en parabool), onderwerpen, die niet in de « Elementen » van Euklides voorkomen maar wel in Apollonios' « Konika ». Deze kegelsneden werden ook beschreven in een ander boek van Euklides eveneens genoemd « Konika » waar Apollonios naar verwijst.
In een reeks appendices (10) voerden Rouché en Comberousse verder ook nog een aantal nieuwe onderwerpen uit de "recente" of de "projectieve" meetkunde in. Te vermelden is ook dat het boek ook nog een uitstekende historische inleiding tot de meetkunde bevat. Echt het lezen waard!!!
Op het einde van de 19de eeuw schreef een Jacques Hadamard (11) zijn fameuze « Leçons de Géométrie élémentaire » waarvan het eerste deel « Géométrie plane » in 1898 verscheen en het tweede deel « Géométrie dans lespace » in 1901. Dit bewonderenswaardig werk was specifiek bestemd voor het hoger secundair onderwijs (lycea: leerlingen van 15 tot 18 jaar) en bedoeld als een moderne initiatie in de meetkunde. Voornoemd werk beleefde diverse edities en werd onlangs weer uitgegeven door Gabay (deel I -13de editie 1947- ; deel II -8ste editie 1949-); de tweede editie is ook integraal in te zien via google (12) . Volgens Hadamard was vooral de meetkundige vorming in het secundair wiskundeonderwijs erg belangrijk. Een specifieke nota, de zogenaamde « Note A Sur la Méthode en Géométrie », die op het einde van het eerste deel van het werk voorkomt, omvat een aantal richtlijnen voor het meetkundeonderwijs, waarbij, naast de bewijsmethodes, ook de nadruk wordt gelegd op de heuristische benadering (13) .
In het begin van de 20ste eeuw kwam in Frankrijk een tweedelig « Cours de Géométrie théorique et pratique-» van Henri Neveu en Henri Bellenger op de markt, een werk, dat specifiek bestemd was voor het E.P.S. (Enseignement Primair Supérieur) maar dat eventueel ook voor het hoger secundair onderwijs kon dienen. In dit werk kwam in de eerste plaats het klassiek gedeelte van de axiomatische meetkunde aan bod.
Toch werden hier ook al de eerste beginselen van de beschrijvende meetkunde, enkele noties van de trigonometrie en van de kegelsneden van Apollonius behandeld. Meer moderne onderwerpen als de stellingen van Desargues en Brianchon werd echter wel buiten beschouwing gelaten. Daarentegen werden bvb de stelling van Ceva en homothetie wel besproken.
Dalle en De Waeles « Leerboek der Vlakke Meetkunde » en « Leerboek der Stereometrie », boeken die in België nog in de vijftiger jaren in het Vrij Secundair Onderwijs werden gebruikt, dateren ongeveer uit dezelfde periode en lijken eerder geïnspireerd te zijn door het boek van Rouché en Comberousse. Het "Complement" dat in beide voornoemde schoolboeken voorkomt, omvatten inderdaad een ganse reeks moderne onderwerpen (theorie der evenredige en gemiddelde afstanden, theorie der transversalen, theorie der dubbelverhoudingen, theorie der harmonische verdeling, theorie der machten, machtlijnen enz.).
Wat men de Synthetische Meetkunde noemt omvat dus zowel een klassiek als een moderne gedeelte.
Het Klassieke gedeelte vindt natuurlijk haar wortels in de Klassieke Oudheid bij Euklides, Apollonios, Archimedes en vele anderen.
Het Moderne gedeelte is daarentegen van meer recente datum en vindt zijn oorsprong in de Renaissance. Deze moderne meetkunde werd voornamelijk ontwikkeld in de loop van de 17de, 18de en 19de eeuw (leer van het perspectief, algebraïsche en projectieve meetkunde) en beleefde een hoogtepunt in de 20ste eeuw met de Russische wiskundige Fomenko. In Nederland werd deze meetkunde de Moderne of Vernieuwde Meetkunde genoemd (Schuh); in België had men het daarentegen over het « Complement » der Meetkunde.
In de jaren vijftig omvatte het leerplan van hoger secundair onderwijs zowel klassieke als moderne gedeelten, wat duidelijk uit de schoolboeken van toen blijkt. Maar er werd helemaal geen uitleg verstrekt hoe deze meetkundes tot stand waren gekomen. De scholier had het er echt het raden naar. Zelf vond ik een dergelijke situatie bijzonder frustrerend....
I- Klassieke Deductieve Meetkunde:
De Klassieke Deductieve Meetkunde volgens Legendre is als een soort tussentrap te beschouwen tussen de intuïtieve meetkunde (Vormleer) en de oorspronkelijke Griekse meetkunde (Euklides, Eudoxos, Apollonius en Archimedes). Teneinde het initiatief van Adrien-Marie Legendre en zijn navolgers naar waarde te kunnen schatten acht ik een korte bespreking van de Griekse wiskunde en i.h.b. de Griekse meetkunde wenselijk zo niet noodzakelijk. 1°- Over de Griekse Wiskunde en i.h.b. een woordje over de « Elementen » van Euklides:
De « Elementen » (in het Grieks: Στοιχεια) (14) van Euklides is in de eerste plaats een didactisch Leerboek over Wiskunde, geschreven omstreeks 300 v. C., en waarvan de hedendaagse overgeleverde tekst toegeschreven wordt aan een zekere Theon, een wiskundige uit de 5de eeuw na C. In hoeverre deze tekst nu precies overeenstemt met de oorspronkelijke is niet duidelijk (Tradotore, traditore !!).
In Oxyrhynchus (15) , zijn echter enkele (zeer oude) papyrusfragmenten van de Elementen van Euclides gevonden. Oxyrhynchus was echter slechts een provinciestad, geen echt centrum van kunst en cultuur. Het feit dat men daar ook Euklides heeft gevonden is wel veelbetekenend. Het is echter wel Alexandrië, de stad van Euklides, met zijn bibliotheek vol papyrusrollen (en later ook perkamentrollen), die het ware culturele centrum was.
De grote Alexandrijnse bibliotheek werd opgericht in de derde eeuw door Ptolemaeus II Philadelphus, zoon van Ptolemaeus I Soter. Deze laatste had al het Mouseion, de Tempel der Muzen (d.i. de 9 godinnen van de kunsten en de wetenschap), opgericht. Het Mouseion (waarvan ons woord museum is afgeleid) was een hoogstaand studiecentrum waaraan al een handschriftenbibliotheek verbonden was..
Bekende geleerden als Euklides, Eratosthenes, Archimedes en Hero hebbenin het Mouseiongestudeerd en gedoceerd. Bij opgravingen in het antieke deel van Alexandrië werden in 2004 de resten van de collegezalen van het Mouseion gevonden: ze konden tot 5000 studenten herbergen Dit is een eerste aanduiding over het belang van dit centrum en van Euklides in de Hellenistische tijd.
Het aanzien van Euklides, ook als didacticus, was zeer groot ook bij Ptolemaeus I Soter. Er wordt verteld dat Euklides, op diens vraag of er dan geen andere weg was naar het begrijpen van de Meetkunde dan door de Elementen, het volgende antwoord gaf :
µη ειναι βασιλικην ατροπον επι γεωμετριαν
( zelfs voor koningen bestaat er geen andere weg of pad dan door de Elementen..)
Aan de Alexandrijnse bibliotheek werd later, door toedoen van Marcus Antonius, de bibliotheek van Pergamon toegevoegd een geschenkje voor zijn geliefde Cleopatra-. Wat de inwoners van Pergamon over dit geschenk dachten vermeldt de geschiedenis niet, maar het verklaart de aanwezigheid van perkamentrollen naast de papyrusrollen. Papyrus was Egyptische uitvinding terwijl perkament typisch was voor Pergamon. Volgens de teruggevonden archieflijsten zou de Alexandrijnse bibliotheek tussen de 400000 en 700000 boekrollen rijk geweest zijn wat overeenstemt met 50000 à 60000 moderne boeken, wat voor die tijd enorm was : de boekdrukkunst bestond toen nog niet alles werd gekopieerd en met de hand geschreven hetzij op papyrus, hetzij op perkament !!!
Helaas is deze roemrijke Bibliotheek van Alexandrië teloorgegaan eerst door verwaarlozing onder de Romeinse keizers en vervolgens door verwoesting en plundering.
Het groeiende christendom dat steeds fanatieker werd in het bestrijden van 'heidense' symbolen (waartoe o.m. tempels en wereldse literatuur behoorden) is ongetwijfeld één van de factoren die een rol hebben gespeeld. De Patriarch Theophilus van Alexandrië zou in alle geval een deel van de gebouwen (het Serapeum) in 391 gesloopt of omgebouwd hebben.
Anderen beschuldigen dan weer de Islam en i.h.b. Kalief Omar, die in 642 Egypte veroverde. Volgens de legende zou hij volgend order gegeven hebben : "Ofwel zijn de boeken in strijd met de Koran en in dat geval is het ketterij, en anders zijn ze in overeenstemming met de Koran en dus overbodig." De boekrollen zouden toen als brandstof voor de badhuizen gebruikt zijn. Het is niet uit te sluiten, dat bij deze operatie enkele boekrollen zijn gered, door handelslui die de waarde van deze rollen wisten in te schatten.
Nog anderen verwijzen dan weer naar oorlogsgeweld teweeggebracht door Julius Cesar (48 v C.) of door Lucius Aurelianus (272).
Er is dus geen eensgezindheid en dat is niet verwonderlijk : het betreft een erg delicate zaak met religie als achtergrond !! Zelf acht ik het waarschijnlijk dat het Christendom uiteindelijk de hoofdverantwoordelijke is voor de vernietiging van de Bibliotheek van Alexandrië.
Dat het Christendom de antieke wereldse geschriften wel degelijk misprees, wordt door het bestaan van palimpsesten aangetoond. Zo vermeld Hawking de palimpsest van Kerameus- Heiberg, document dat ontdekt werd in een bibliotheek in Istamboel in 1899. De originele tekst van dit palimpsest dateert uit de 10de eeuw en werd door een Grieks- Orthodoxe monnik uitgewist en vervangen door een gebedenkrans in de 13de eeuw. De originele tekst omvatte een verloren gewaand werk van Archimedes De Methode.
Men mag er gerust vanuit gaan het onderwijs in de Griekse wiskunde gedurende de Middeleeuwen werkelijk tot practisch niets was herleid. Zeldzame lichtpunten in die tijd waren bvb Adelardus Bathensis, Sclavus Dalmata Secundus en Gerardus Cremonensis (12de eeuw).
Alle drie hebben zij bvb de Elementen van Euclides uit het Arabisch in het Latijn vertaald. Laatstgenoemde is ook bekend voor de vertaling van de Almagest. De bewering dat het de Arabieren zijn, die de Griekse wiskunde hebben gered is dus niet uit de lucht gegrepen.
De « Elementen» van Euklides vormen echter geen volledige compilatie van de Griekse Wiskunde uit die tijd. Belangrijke onderwerpen van zeer grote Hellenistische wiskundigen zoals Archimedes en Apollonius, die geen tijdgenoten zijn, komen in de Elementen niet voor.
Euklides' werk handelt niet alleen over meetkunde (een zeer verspreide misvatting) maar ook over Arithmetiek; de Arithmetiek wordt echter vanuit geometrisch standpunt bekeken. Boeken I tot VI gaan over vlakke meetkunde (planimetrie), boeken VII tot X over Arithmetiek, boeken XI tot XIII over ruimtemeetkunde (stereometrie). In boeken VII tot IX komen bvb zaken als het algorithme van Euklides voor het vinden van de GGD en de oneindigheid van de verzameling priemgetallen aan de orde. Boek X is vermoedelijk van de hand van Eudoxos en handelt over de onmeetbare verhoudingen (irrationale getallen).
Van de Elementen van Euclides wordt wel eens gezegd dat het, na de Bijbel, het meest bestudeerde boek is; in alle geval heeft dit boek meer dan 2000 jaar (tot Legendre) als modelleerboek gegolden voor de studie van de meetkunde.
Euklides is ook de auteur van andere boeken met sterk fysische achtergrond. Vermeld moeten hier worden Data, Divisies, Optica (over perspectief en landmeting), Phaenomena (over astronomische waarnemingen) en Sectio Canonis (over muziektheorie).. ; andere werken zoals Catoptrica (over spiegels) en Conica(over de kegelsneden) bvb worden door Apollonius (9) vermeld maar zijn verloren gegaan..
De meetkunde van Euclides kan dus worden opgevat als een systeem van gemathematiseerde fysica, eerder dan als zuivere wiskunde. Isaac Newton bvb las de Elementen van Euklides en werd er zo door gegrepen dat hij de stijl zoals beschreven in de Elementen toepaste in zijn boek Principia.
In de Renaissance kwamen de Elementen nu, dank zij de uitvinding van de boekdrukkunst, weer in de belangstelling. De eerste gedrukte editie van de Elementen is gebaseerd op de tekst van voornoemde Adelardus Bathensis en werd uitgegeven door Erhard Ratdolt in 1482. Een bekende Nederlandse vertaling Euclidis Beginselen der Meetconst is van Claas Vooght en dateert van 1695.
De edities van Adelardus Bathensis en van Claas Vooght bevatten naast de 13 klassieke boeken ook nog de apocriefe boeken 14 en 15, die toegeschreven worden respectievelijk aan Hypsikles (ongeveer 170 v. C.) en Isadorus van Milete (ongeveer 530 n. C.) ; vooral het laatste boek is van mindere kwaliteit.
De « Elementen » van Euklides behoren tot de wereldliteratuur en werden dan ook zeer grondig bestudeerd door mensen met een gymnasiale opleiding (Grieks-Latinisten).
Modernere, gecommentarieerde uitgaven van de Elementen zijn o.m. van de hand van Eduard Jan Dijksterhuis en van Thomas Heath (Dover). Als groot bewonderaar van de Griekse beschaving ik ben toch een Grieks-Latinist nietwaar !!- heb ik mij natuurlijk het driedelige werk van Heath aangeschaft .. Misschien hier nog even signaleren dat een korte interessante bespreking van de Elementen ook te vinden is in Stephen Hawking s boek Et Dieu créa les Nombres (Dunod -2005-)
Het bewijs uit het ongerijmde berust op het axioma van de uitgesloten derde of van het uitgesloten midden, ook wel tertium non datur (Lat., "een derde is niet gegeven"). Dit axioma houdt in dat iedere uitspraak waar, dan wel onwaar is; een andere, derde, mogelijkheid is er niet. De bewijsvoering gebeurt als volgt:
- men neemt het tegengestelde aan van de stelling die te bewijzen is
- de tegengestelde stelling leidt tot gevolgtrekkingen, die in strijd zijn met de eerste stelling
- men besluit dat de tegengestelde stelling vals is en bijgevolg dat de eerste stelling waar is
Deze onrechtstreekse bewijsvoering is zo overtuigend als een rechtstreekse. Men zegt dat het overtuigt zonder de geest te verlichten.
(7) NOTES SUR LES « ELEMENTS DE GEOMETRIE » (Legendre):
Note 1: sur quelques noms et définitions
Note 2: sur la démonstration de la proposition 19 (livre I) et de quelques autres propositions fondamentales de la géométrie
Note 3: sur lapproximation de la proposition 16 (livre IV)
Note 4: où lon démontre que le rapport de la circonférence au diamètre et son carré sont des nombres irrationnels
Note 5: où lon donne la solution analytique des divers problèmes concernant le triangle, le quadrilatère inscrit, le parallélépipède et la pyramide triangulaire (trigonométrie)
Note 6: sur la plus courte distance de deux droites non situées dans le même plan
Note 7: sur les polyèdres symétriques
Note 8: sur la proposition 25 (livre VII)
Note 9: sur les polyèdres réguliers (trigonométrie)
Note 10: sur laire du triangle sphérique (trigonométrie)
Note 11: sur la proposition 3 (livre VIII)
Note 12: sur légalité et la similitude des polyèdres
(10) Appendices ( « Traité de Géométrie élémentaire » Rouché et Comberousse):
- Livre III: §9 Appendice: Principe des signes rapport anharmonique triangles homologiques hexagone de Pascal proportion harmonique quadrilatère complet pôle et polaire dans le cercle méthode des polaires réciproques figures homothétiques axes radicaux transformation par rayons vecteurs réciproques cercle tangent à trois cercles donnés transversales
- Livre V: §5 Appendice: sur les maximums et minimums des figures planes
- Livre VI: §7 Appendice: propriétés générales des polyèdres conditions dégalité et de similitude de deux polyèdres convexes projection dune aire plane centre des distances proportionnelles centre de gravité aire latérale et volume dun tronc de prisme quelconque
- Livre VII: §8 Appendice: les cinq polyèdres convexes les quatre polyèdres réguliers despèces supérieures figures homothétiques dans lespace pôle et plan polaire par rapport à la sphère plan radical de deux sphères sphère tangente à quatre sphères données sphère tangente à quatre plans extension de la transformation par rayons vecteurs aux figures de lespace projection stéréographique étude des figures tracées sur la sphère théorème de Guldin propriété dont jouit la sphère dêtre maximum parmi les corps de même aire
- Livre VIII: §7 Appendice: divisions homographiques points doubles de deux divisions de même base rôle des imaginaires en géométrie faisceaux homographiques point circulaires imaginaires à linfini involution de deux divisions relations métriques entre trois segments et involution théorème de Desargues génération et classification des coniques pôle et polaires diamètre et centre foyers et directrices complément de la méthode des polaires réciproques théorème de Pappus intersection de deux coniques construction dune conique daprès certaines conditions transformation homologique: autre définition des foyers des coniques méthode fondée sur la projection centrale théorèmes de Newton, de Carnot etc.
(13) Voor een globale bespreking van het meetkundig oeuvre van Hadamard volstaat het hier te verwijzen naar het artikel van Bouligand getiteld Introduction à la pensée créatrice de Jacques Hadamard (1865-1963) -le qualitatif et le global dans son oeuvre géométrique- (zie: http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0048-7996_1966_num_19_3_2499
(Hoofdstuk 4 "Deductieve Meetkunde in de Cadettenschool")
§ 4.2 Klassieke Deductieve Meetkunde met de "Snor"
Een van de meest bekende wiskundeleraren, die gedurende vele jaren in de Cadettenschool te Laken de oude, vertrouwde (Euclidische) meetkunde (1) alsook nog goniometrie en trigonometrie doceerde en daarbij zeer hoge eisen stelde aan zijn povere discipelen ( vooral dan aan de nieuwkomers was de Snor. Begeleidende foto, toont de Snor in volle actieve meetkundige bedrijvigheid.
De Snor (zijn werkelijke naam was Leo Van den Bosch) doceerde in de Nederlandstalige Afdeling van 1950 tot 1977. Wie vóór hem het meetkundeonderwijs in de Cadettenschool verzekerde, is mij niet bekend, misschien was dat een zekere André Libbrecht, die van 1948 tot 1951 les gaf in Laken? Vanaf 1977 zou een zekere Dirk Vanheulen hem opgevolgd hebben.
In tegenstelling met de andere leraren, die allen in het Brusselse woonden, spoorde de Snor als rasechte Antwerpenaar (Berchem) elke dag van Antwerpen naar Brussel. En Antwerpenaar, dat was hij in hart en nieren. Hij bezat de hoedanigheden en gebreken van een echte Sinjoor en gebruikte echt specifieke uitdrukkingen. Is er een cadet die zich niet zijn Weng weng meneer.. herinnert?
Mijn eerste kennismaking met de Snor verliep tamelijk vlot.. In de eerste les vroeg hij waar ik vandaan kwam, waar ik school gelopen hadden en wat ik zo al van meetkunde gezien had.. Toen ik hem vertelde dat het leerprogramma in mijn college zich had beperkt tot het zogenaamde eerste boek van Dalle en De Waele, stelde hij mij de vraag hoe ik het klaar gekregen had te lukken in het ingangsexamen KCS daar de examenvragen uitsluitend over de andere boeken gingen. Mijn aarzelend antwoord zelfstudie beviel hem blijkbaar wel maar hij waarschuwde toch uitdrukkelijk dat ik hier meetkunde op een andere manier zou zien en dat ik de vlijtig ingestudeerde stellingen en bewijsvoeringen voor een deel mocht vergeten
Het was ongelooflijk hoe de Snor, die eerder klein van gestalte was, iemand kon imponeren en intimideren Zo herinner ik mij nog een klasgenoot uit de Wetenschappelijke sectie, een zekere De Maesschalk, een breedgeschouderde kleerkast van minstens 1 m 90, die hij als een kleine bengel bij het oor greep en zo - natuurlijk tot groot jolijt van de andere cadetten tot aan de deur van klaslokaal 6 of was het 7 (?) sleurde. En vervolgens hem vriendelijk toesprak : Hier is uw plaats .. BUITEN, Meneer
Diezelfde De Maesschalk kon uit schrik voor ons illuster personage, geen hap door de keel krijgen als hij onmiddellijk na het eten les van de Snor had Dit was bvb het geval indien dit lesuur juist na het vieruurtje viel. Ik denk ten andere dat er in de derdes wel meerdere cadetten in dit geval verkeerden.....
De wiskundige gestrengheid alsook de pedagogische methodes van de Snor waren legendarisch. De Snor net als de Muis trouwens- was er zich immers zeer goed van bewust dat de eerste taak van de Cadettenschool was : leerlingen voorbereiden op het toelatingsexamen KMS
In die tijd (en ik neem aan dat dit nog steeds het geval is) stond dit examen aangeschreven als erg lastig en moeilijk, niet alleen omwille van de moeilijkheidsgraad van de gestelde vragen (KMS- vragen werden in de diverse hand- en studieboeken apart vermeld) maar ook en vooral door de specifieke examenomstandigheden : mondeling en publiek examen aan het bord, zonder enige voorbereiding en voor een jury..
Het spreekt vanzelf dat om dit examen met goed resultaat te kunnen af te leggen, behalve parate kennis, een sterk karakter een troefkaart was en dat er bijgevolg aan karaktervorming moest gedaan worden.
Het probleem van de vorming van het karakter loste de Snor op door zoals hij het zelf uitdrukte- in de derdes een beest, in de poësis een leraar, en in de rhetorica een vriend te zijn Ik kan getuigen dat dit ook in werkelijkheid zo was..
Een oud-cadet Ludo Smets, later zelf verbonden aan de Cadettenschool eerst als Afdelingshoofd en later als Studiedirecteur, vertelde mij nog onlangs dat de Snor er alles aan deed om dezelfde examensfeer als voor het examen KMS te creëren. Onze Snor vroeg hem ook aanwezig te zijn bij het mondeling uitgangsexamen van de Cadettenschool, maar dan wel in groot ornaat (officierstenue), kwestie van de examinandi nog wat meer te imponeren. Cadetten moesten zich immers wennen aan die bijzondere examenomstandigheden van de KMS en leren het hoofd koel te houden ook in dergelijke situaties.
De merkwaardige manier van lesgeven van de Snor heeft bij mij diepe sporen heeft nagelaten en verschilde totaal van de werkwijze van de Econoom (E.H. Van Vooren) in het college Saint Louis. Zo hechtte hij bvb zeer veel belang aan messcherpe omschrijvingen en definities. Een definitie van een meetkundig element moest voor hem weliswaar een korte maar uiterst nauwkeurige omschrijving zijn, derwijze opgesteld dat dit element van alle andere kon onderscheiden worden. Hij werd gewoonweg hels wanneer bvb een cadet twee evenwijdige rechten definieerde als twee rechten die elkaar nooit snijden en er vergat bij te voegen in een vlak. Bij het enonceren of formuleren van stellingen werd eenzelfde precisie verwacht en het bewijzen van stellingen of meetkundige eigenschappen diende volgens een strak te volgen schema: gegeven te bewijzen bewijs te gebeuren.
Vanaf het tweede jaar Cadettenschool (Poësis) moest iedere cadet om de beurt als lesgever optreden. Bij een bewijsvoering aan bord eiste hij echter dat de cadet vooreerst met luide stem vertelde hoe hij dacht het vraagstuk of stelling op een logische wijze te moeten benaderen en oplossen. Ook moest deze aspirant lesgever, terwijl hij met het krijt over het bord kraste het woord blijven voeren. Een uitstekende voorbereiding op het mondeling examen KMS maar evenzeer op elk mondeling examen
Een van zijn geliefkoosde zitjes was dan ook achteraan het klaslokaal, zitje van waaruit hij het ganse gebeuren kon controleren. Daar wij in de Grieks-Latijnse sectie met zeer weinig waren (in poësis: zes leerlingen) kwam iedereen om de haverklap aan de beurt. We werden dus op zeer actieve wijze in het leerproces betrokken.
Zo herinner ik mij nog zelf de rechte van Euler voorgeschoteld te hebben gekregen. Zeker de rechte van Euler was als theorie in de cursus van de Snor opgenomen en het eigenlijk bewijs dus ook maar niet de redenering die er achter schuilde en daar was het de Snor eigenlijk om te doen.
Even ter herinnering, Leonhard Euler (2) had ontdekt dat het hoogtepunt (H), het zwaartepunt (Z) en het snijpunt der middelloodlijnen (O) van een driehoek op één rechte liggen en dat de afstand HZ gelijk was aan tweemaal ZO (3) . Overigens had ik bij mijn voorbereiding voor het toelatingsexamen van de Cadettenschool, dit vraagstuk al eens opgelost met behulp van de aanwijzingen vermeld in Dalles boek (nr 102)
De Snor vroeg mij nu hoe ik -mij stellende in Eulers plaats- het zou aan boord leggen om deze eigenschappen te bewijzen. Ik begon met te vertellen dat een rechte volledig bepaald werd door 2 punten (postulaat) en dat men dus mag stellen dat de rechte van Euler a priori bvb door de punten H en O gaat. Het volstaat dan te bewijzen dat Z ook op deze rechte ligt. Maar men ook stellen dat de rechte a priori door H en Z gaat en bewijzen dat O ook op deze rechte ligt Onmiddellijk voelde ik dat ik scoorde want ik wist dat de Snor hoog opliep met Euler
In elke les werden op die manier meerdere cadetten uitgenodigd "om het bord te komen vervoegen". En deze "vriendelijke uitnodiging" was niet alleen bedoeld om een of ander vraagstuk op te lossen maar ook voor het bewijzen van de meetkundige stellingen uit zijn syllabus. Waren wij in poësis nog enigszins beducht voor deze manier van lesgeven, dan veranderde dit helemaal in rhetorica, waar wij deze manier van werken echt begonnen te appreciëren.
Het tekenen van de begeleidende meetkundige figuren was volgens hem alleen nodig om -zoals hij het uitdrukte- "de gedachte te vestigen". Normaal wordt hierbij een bordpasser en -liniaal gebruikt. Hij leerde ons echter hoe men met de vrije hand een behoorlijke cirkel of een rechte op het bord kon tekenen en na enkele pogingen lukte dat ons ook wonderwel. Bordpasser en -liniaal waren in feite een beetje overbodig geworden. Misschien er hier even aan herinneren dat Euclides in Alexandrië eveneens zijn figuren in het zand tekende met een stokje.. Wellicht had de "Snor" zijn inspiratie bij Euclides-zelf gezocht ?
De keuze Nederlandse schoolboeken die over de Klassieke Deductieve Meetkunde handelden was in de jaren na WOII vrij beperkt. In België was er de collectie Dalle en De Waele voor het Vrij (Katholiek) Onderwijs en de collectie Mineur voor het Rijksonderwijs. Laatstgenoemde collectie is belangrijk omdat de opeenvolgende edities toelaten de hervormingen in het leerprogramma klassieke deductieve meetkunde van het secundair onderwijs te volgen. Deze hervormingen, die in de eerste plaats een aanzienlijke vermindering van de leerstof inhielden, grepen vooral plaats in de vijftiger jaren. Hoe dan ook met deze hervormingen, werd in de Cadettenschool weinig rekening gehouden: het toelatingsexamen KMS was immers gestoeld op de oude leerstof.
Een en ander had dus tot gevolg dat de Snor een eigen cursus had opgesteld, waar hij erg trots op was. Hij heeft ons in alle geval herhaaldelijke keren verkondigd : Indien u één fout in mijn cursus ontdekt, dan geef ik u mijn plaats als cadeau.. en ik geloof verdorie dat hij het nog meende ook.
Nochtans liet hij wel toe dat cadetten ook nog hun eigen documentatie mee brachten. Voor mij was dat de Nederlandse versie van Dalle en De Waele, werk, dat ik gebruikt had ter voorbereiding van het toelatingsexamen KCS. Oorspronkelijk in het Frans geschreven door Antoine Dalle waren er van deze collectie volgende titels voorhanden:
- (a) « Cours de Géométrie à lusage de lenseignement moyen et de lenseignement normal: Géométrie plane et Eléments de Topographie »
- (b) « Cours de Géométrie à lusage de lenseignement moyen et de lenseignement normal: Géométrie dans lespace avec compléments »
- (c) « 2000 Théorèmes et Problèmes de Géométrie avec solutions »
Titels (a) en (b) bestonden in het Nederlands; titel (c) echter werd bij mijn weten nooit vertaald. Alle titels beleefden talloze herdrukken. In deze boeken werd ook enige aandacht besteed aan de nieuwe of moderne deductieve meetkunde: het zogenaamde Complement der Meetkunde. Maar de fameuze kegelsneden van Apollonius (ellips, parabool en hyperbool ) (4) , die evenzeer deel uitmaken van de Klassieke Deductieve Meetkunde, waren in deze schoolboeken niet opgenomen, wat ik, als Grieks-Latinist steeds als een groot gemis heb ervaren.
Zelf bezit ik nu nog altijd de Nederlandse versie van (a) achttiende druk van 1951- en van (b) elfde druk van 1946-. Deze boeken heb ik als een kostbare relikwie bewaard want zij zijn voorzien van een "admittatur" van de Snor. Titel (c) heb ik eerst maar NA mijn verblijf in de Cadettenschool ontdekt en aangekocht en het betrof de zevende editie (1956), bewerkt door G. David. Deze "Solutionnaire" zoals Dalle dit laatste boek noemde was blijkbaar in eerste instantie bedoeld voor het lerarenkorps. In alle geval had ik als cadet geen weet van het bestaan van dit boek, dat zoals gezegd alleen in het Frans op de markt was.
In boeken (a) en (b) heb ik nu vele in- en toevoegsels en kanttekeningen opgenomen, die rechtstreeks uit de syllabus van de Snor zijn overgenomen. Zo is het mij nu, meer dan een halve eeuw later, nog altijd mogelijk om enig commentaar te geven op zijn cursus en op zijn manier van lesgeven. Genoemde syllabus werd immers alleen maar in bruikleen gegeven en moest op het eind van het jaar terug ingeleverd worden .
(wordt voortgezet)
----------------------------------------
(1) in werkelijkheid ging het hier om wat heden de Synthetische Meetkunde wordt genoemd en die een vereenvoudigde vorm van de oorspronkelijke Euklidische meetkunde omvat alsook de basisstellingen van de "vernieuwde" meetkunde (zie voorgaand cursiefje « wat is synthetische meetkunde? ». Deze Synthetische Meetkunde, soms ook nog "Zuivere" Meetkunde of Axiomatische" Meetkunde genoemd, heeft als tegenpool de Analytische Meetkunde van René Descartes en Pierre Fermat.
(Hoofdstuk 4 "Deductieve Meetkunde in de Cadettenschool")
§4.3 Klassieke Vlakke Meetkunde met de Snor (I)
Zoals in vorig cursiefje al aangegeven, was de cursus van de Snor duidelijk geïnspireerd door de monografieën van Adolphe Mineur en wel door de Nederlandse vertaling verzorgd door Dr Honoré Houvenaghel. Voor de Klassieke Vlakke Meetkunde werd aldus beroep gedaan op de « Beginselen der Vlakke meetkunde », omdat het beter paste in het kader van het toelatingsexamen KMS. Dit werk bestond uit drie deeltjes, waarvan het tweede bestemd was voor de derde Grieks-Latijnse. De eerste editie dateerde van 1940, een tweede practisch ongewijzigde editie van 1946, waarbij dan ondertussen Julien Bilo de taak van Houvenaghel (overleden in 1944) had overgenomen.
-Eerste Boek vervolg-
Hoofdstuk 1 Aanvullingen bij de herhaling van de vroeger geziene leerstof:
1- gelijkheid, som, verschil, verhouding van lijnstukken
§1 definities: rechte, halve rechte, lijnstuk §2 gelijke en ongelijke lijnstukken §3 som van lijnstukken §4 verschil van lijnstukken §5 veelterm van lijnstukken §6 product van een lijnstuk en een natuurlijk getal §7 product van een lijnstuk en een willekeurig rationaal getal §8 quotiënt van een lijnstuk en een willekeurig rationaal getal §9 onderling meetbare lijnstukken: verhouding van twee onderling meetbare lijnstukken §10 stelling: zijn de verhoudingen AB/UV en CD/UV rationale getallen dan is AB/CD = AB/UV : CD/UV §11 maatgetal van een lijnstuk §12 opmerking onderling onmeetbare lijnstukken
2- gelijkheid, som, verschil, verhouding van hoeken
§13 definities: hoek, gelijke en ongelijke hoeken §14 som van hoeken §15 verschil van hoeken §16 veelterm van hoeken §17 product van een hoek en een natuurlijk getal §18 product en quotiënt van een hoek en een willekeurig rationaal getal §19 onderling meetbare hoeken, verhouding van twee onderling meetbare hoeken, maatgetal van een hoek
3- aanvullingen bij het eerste congruentiegeval voor driehoeken
§20 stelling: Als van twee driehoeken twee zijden paarsgewijze gelijk zijn en de ingesloten hoek in de tweede driehoek groter is dan de ingesloten hoek in de tweede driehoek, dan is de overstaande zijde in de eerste driehoek groter dan de overstaande zijde in de tweede driehoek omgekeerde stelling: Zijn twee zijden van een driehoek paarsgewijze gelijk aan twee zijden van een tweede driehoek en is de derde zijde van de eerste driehoek groter dan de derde zijde van de tweede driehoek, dan is de hoek die in de eerste driehoek tegenover de derde zijde ligt, groter dan de hoek die in de tweede driehoek tegenover de derde zijde ligt §21 stelling betreffende de rechthoekige driehoeken: Zijn de schuine zijden BC en BC van twee rechthoekige driehoeken ABC, ABC gelijk en is de rechthoekzijde AB groter dan de rechthoekszijde AB dan is de rechthoekszijde AC kleiner dan de rechthoekszijde AC
Hoofdstuk 2 Over de middenparallel in driehoek en trapezium
§22 stelling: Trekt men door het midden van een zijde van een driehoek de rechte evenwijdig aan een tweede zijde, dan deelt deze rechte de derde zijde middendoor §23 omgekeerde stelling: De rechte die de middens van twee zijden van een driehoek verbindt, is evenwijdig met de derde zijde §24 stelling: Het lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek verbindt is gelijk aan de helft van de derde zijde §25 stelling: Het lijnstuk dat de middens van de opstaande zijden van een convex trapezium verbindt, is evenwijdig met de evenwijdige zijden en gelijk aan de halve som van deze zijden
Hoofdstuk 3 Merkwaardige lijnen en punten in een driehoek:
1- middelloodlijnen en het middelpunt van de omgeschreven cirkel
§26 definitie: middelloodlijn van een driehoek §27 stelling 1: De drie middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar in een zelfde punt, dat het enige punt is, dat op gelijke afstand van de drie hoekpunten van de driehoek ligt. Stelling 2: Om een driehoek kan één en slechts één cirkelomtrek beschreven worden Het is het middelpunt van de enige cirkelomtrek (omgeschreven cirkelomtrek)
2- hoogtelijnen en hoogtepunt
§28 stelling : De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in een zelfde punt, dat hoogtepunt van de driehoek genoemd wordt
3- binnen- en buitenbissectricen
§29 stelling 1: De bissectricen van een driehoek snijden elkaar in een zelfde punt, dat binnen de driehoek op gelijke afstand van de zijden van de driehoek ligt
stelling 2: Twee buitenbissectricen en de binnenbissectrice uit het overblijvend hoekpunt snijden elkaar in een zelfde punt, dat buiten de driehoek op gelijke afstand van de zijden van de driehoek ligt
4- zwaartelijnen en zwaartepunt
§30 stelling: De drie zwaartelijnen van een driehoek gaan door een zelfde punt, waarvan de afstand tot de drie hoekpunten telkens gelijk is aan 2/3 van de corresponderende zwaartelijn definitie: het snijpunt der zwaartelijnen van een driehoek wordt zwaartepunt van de driehoek genoemd (de benaming "Zwaartepunt" wordt in de Natuurkunde gewettigd)
-Tweede Boek: Over de Cirkelomtrek-
Hoofdstuk 1 Definities onderlinge ligging van een punt en een cirkelomtrek eigenschappen van middellijnen
1- herhaling van aangeleerde begrippen
§31 definitie en constructie van de cirkelomtrek §32 onderlinge ligging van een punt en een cirkelomtrek §33 congruente cirkelomtrekken §34 definities: koorde middellijn, boog
2- eerste eigenschappen van middellijnen
§35 stelling 1: In een cirkelomtrek zijn de middellijnen de grootste koorden §36 stelling2: Elke middellijn verdeelt een cirkelomtrek evenals de cirkel die er door begrensd wordt in twee congruente delen §37 stelling 3: Een middellijn van een cirkelomtrek wordt uit een willekeurig punt van de cirkelomtrek onder een rechte hoek gezien stelling 4 (omgekeerde stelling) Wordt een lijnstuk AB uit een punt C onder een rechte hoek gezien, dan ligt het punt C op de cirkelomtrek, beschreven op AB als middellijn §38 samenvatting: De meetkundige plaats van de punten, waaruit men een gegeven lijnstuk onder een rechte hoek ziet, is de cirkelomtrek beschreven op dit lijnstuk als middellijn §39 stelling: De meetkundige plaats van de middelpunten van de cirkelomtrekken die door twee gegeven punten gaan is de middelloodlijn van het lijnstuk dat door de gegeven punten bepaald wordt §40 gevolgtrekkingen
Hoofdstuk 2 onderlinge ligging van een rechte en een cirkelomtrek en van twee cirkelomtrekken
1- algemene stellingen betreffende de onderlinge ligging van een rechte en een cirkelomtrek
§41 voorafgaande stelling: Een cirkelomtrek en een rechte kunnen geen drie punten gemeen hebben §42 gevolgtrekkingen §43 stellingen I: 1° Is de afstand van het middelpunt van een cirkelomtrek tot een rechte d kleiner dan de straal R van de cirkelomtrek, dan snijdt de rechte d de cirkelomtrek in twee verschillende punten 2° Is de afstand van het middelpunt van een cirkelomtrek tot een rechte d gelijk aan de straal R van de cirkelomtrek, dan hebben de rechte d en de cirkelomtrek één enkel punt gemeen 3° Is de afstand van het middelpunt van een cirkelomtrek tot een rechte d groter dan de straal R van de cirkelomtrek, dan hebben de rechte de en de cirkelomtrek geen enkel punt gemeen §44 stellingen II: 1° Snijdt een rechte een cirkelomtrek in twee verschillende punten, dan is de afstand van het middelpunt van de cirkelomtrek tot de rechte kleiner dan de straal 2° Heeft een rechte met een cirkelomtrek één enkel punt gemeen, dan is de afstand van de cirkelomtrek tot de rechte gelijk aan de straal 3° Heeft een rechte met een cirkelomtrek geen enkel punt gemeen, dan is de afstand van het middelpunt van de cirkelomtrek tot de rechte groter dan de straal (samenvatting van stellingen I en II: Opdat een rechte en een cirkelomtrek 2, 1 of 0 punten zouden gemeen hebben, is het nodig en voldoende dat de afstand van het middelpunt van de cirkelomtrek tot de rechte respectievelijk kleiner is dan, gelijk is aan, of groter is dan de straal van de cirkelomtrek §45 definities: snijlijn en raaklijn van een cirkelomtrek stelling: Opdat een rechte een raaklijn van een cirkelomtrek zou zijn, is het nodig en voldoende dat de afstand van het middelpunt tot deze rechte gelijk is aan de straal
2- eigenschappen van de raaklijn
§46 stelling 1: Een raaklijn van een cirkelomtrek staat loodrecht op de straal naar het raakpunt. Omgekeerd de loodlijn die in een punt van een cirkelomtrek op de straal naar dit punt opgericht wordt, is een raaklijn van de cirkelomtrek §47 stelling 2: In elk punt van een cirkelomtrek kan één en slechts één raaklijn aan de cirkelomtrek getrokken worden §48 stelling 3: De raaklijnen in de eindpunten van een middellijn van een cirkelomtrek zijn evenwijdig en staan loodrecht op die middellijn. Omgekeerd, zijn twee raaklijnen van een cirkelomtrek evenwijdig, dan zijn hun raakpunten tegenpunten op de cirkelomtrek, eindpunten van de middellijn die loodrecht op die raaklijnen staat §49 stelling 4: Snijden twee raaklijnen a, b van een cirkelomtrek elkaar in een punt P, dan zijn de afstanden van het snijpunt P tot de raakpunten A en B gelijk en is de middellijn de binnenbissectrice van de hoek APB §50 stelling 5: De meetkundige plaats van de middelpunten der cirkelomtrekken die een gegeven rechte in een gegeven punt raken, is de loodlijn in het gegeven punt opgericht op de gegeven rechte §51 definitie van raaklijnenveelhoek §52 stellingen betreffende ingeschreven en aangeschreven cirkelomtrekken van een driehoek:1° In een driehoek kan een cirkelomtrek beschreven worden, die afgezien van de raakpunten, helemaal binnen de driehoek gelegen is; deze cirkelomtrek wordt de ingeschreven cirkelomtrek van de driehoek genoemd 2° Aan een driehoek kunnen drie cirkelomtrekken beschreven worden, die afgezien van de raakpunten helemaal buiten de driehoek gelegen zijn. Hun middelpunten zijn de gemeenschappelijke punten van elke twee buitenbissectrices en de binnen bissectrice uit het overblijvend hoekpunt. Deze cirkelomtrekken worden de aangeschreven cirkelomtrekken van de driehoek genoemd §54 berekening van de afstanden van de hoekpunten van een driehoek tot de raakpunten van de in- en aangeschreven cirkelomtrekken
3- eigenschap van evenwijdige snijlijnen van een cirkelomtrek
§55 stellingen betreffende de evenwijdige snijlijnen: stelling 1 De bogen van een cirkelomtrek afgesneden door twee evenwijdige snijlijnen en gelegen tussen die snijlijnen, zijn gelijk stelling 2 In een cirkelomtrek deelt de middellijn die loodrecht opeen koorde staat, deze koorde evenals beide bogen, die door de koorde onderspannen worden middendoor
4- algemene stellingen betreffende de onderlinge ligging van twee cirkelomtrekken
§56 voorafgaande stelling: Hebben twee cirkelomtrekken drie verschillende punten gemeen, dan vallen zij samen gevolgtrekking: Een cirkelomtrek is op ondubbelzinnige wijze door drie willekeurige van zijn punten bepaald §57 definitie van de centraal van twee cirkelomtrekken §58 concentrische cirkelomtrekken §59 hulpstelling I: Hebben twee verschillende cirkelomtrekken een punt gemeen dat§ niet op de centraal gelegen is, dan hebben zij een tweede punt gemeen, namelijk het spiegelbeeld van dit punt ten opzichte van de centraal §60 hulpstelling II: Hebben twee verschillende cirkelomtrekken een punt gemeen dat op de centraal gelegen is, dan hebben zij slechts dit punt gemeen en hebben zij in dit punt dezelfde raaklijn §61 gevolgtrekkingen §62 stelling betreffende rakende cirkelomtrekken: Opdat twee cirkelomtrekken elkaar zouden raken, is het nodig en voldoende dat zij één en slechts één punt gemmen hebben. Dit punt is dan hun raakpunt en ligt op de centraal §63 hulpstelling III: Ligt minstens een punt van een cirkelomtrek O binnen een cirkelomtrek O en minstens een punt van O buiten O, dan snijden de cirkelomtrekken O en O elkaar in twee verschillende munten en omgekeerd §64 stellingen omtrent de onderlinge ligging van twee cirkelomtrekken: 1° Opdat twee cirkelomtrekken geheel buiten elkaar zouden liggen, is het nodig en voldoende dat de afstand van hun middelpunten groter is dan de som van de stralen 2° Opdat twee cirkelomtrekken elkaar uitwendig zouden raken, is het nodig en voldoende dat de afstand van hun middelpunten gelijk is aan de som van de stralen 3° opdat twee cirkelomtrekken elkaar zouden snijden, is het nodig en voldoende dat de afstand van hun middelpunten begrepen is tussen de som en het verschil der stralen 4° Opdat twee cirkelomtrekken elkaar inwendig zouden raken, is het nodig en voldoende dat de afstand van hun middelpunten gelijk is aan het verschil van hun stralen 5° Opdat van twee cirkelomtrekken de ene geheel binnen de andere zou liggen, is het nodig en voldoende dat de afstand van hun middelpunten kleiner is dan het verschil van hun stralen
Hoofdstuk 3 Werkstukken
1- werkstukken betreffende loodlijnen, evenwijdige rechten en hoeken
§65 werkstuk 1: construeer de middelloodlijn van een gegeven lijnstuk §66 werkstuk 2: er wordt gevraagd in een punt A van een rechte d de loodlijn op d op te richten §67 werkstuk 3: er wordt gevraagd uit een punt A niet gelegen op een rechte a de loodlijn op die rechte neer te laten §68 werkstuk 4 construeer de bissectrice van een gegeven hoek §69 werkstuk 5: er wordt gevraagd op een gegeven halve rechte als been een hoek te construeren die gelijk is aan een gegeven hoek §70 werkstuk 6: er wordt gevraagd door een gegeven punt A de rechte evenwijdig met een gegeven rechte d te trekken
2- werkstukken betreffende cirkelomtrekken
§71 werkstuk 1: construeer de cirkelomtrek die op een gegeven lijnstuk als middellijn kan beschreven worden §72 werkstuk 2: construeer de cirkelomtrek die door drie gegeven punten A, B, C gaat §73 werkstuk 3: construeer een cirkel omtrek die drie gegeven rechten raakt §74 werkstuk 4: construeer de raaklijn in een gegeven punt A van een gegeven cirkelomtrek §75 werkstuk 5: construeer de raaklijnen van een gegeven cirkelomtrek, die evenwijdig zijn met een gegeven rechte d §76 werkstuk 6: construeer de raaklijnen van een gegeven cirkelomtrek die door een gegeven punt A gaan (stelling: Door elk gegeven punt, gelegen buiten een cirkelomtrek, kunnen twee verschillende raaklijnen aan de cirkelomtrek getrokken worden) §77 werkstuk 7: construeer de gemeenschappelijke buitenraaklijnen van twee gegeven cirkelomtrekken §78 werkstuk 8: construeer de gemeenschappelijke binnenraaklijnen van twee gegeven cirkel omtrekken
3- hoofdgevallen van constructies van driehoeken
§79 voorafgaande opmerking §80 de vier hoofdgevallen van de constructies van rechthoekige driehoeken §81 de vier hoofdgevallen van de constructies van willekeurige driehoeken
Hoofdstuk 4 Het meten van hoeken door cirkelbogen
1- definities en notaties
§82 definitie van middelpuntshoek, soorten middelpuntshoeken
2- gelijke bogen met dezelfde straal
§83 stelling 1: Opdat twee cirkelbogen met een zelfde straal zouden gelijk zijn, is het nodig en voldoende dat hun middelpuntshoeken gelijk zijn §84 stelling2: Opdat twee gelijksoortige bogen met een zelfde straal zouden gelijk zijn, is het nodig en voldoende dat de koorden die deze twee bogen onderspannen, gelijk zijn
3- ongelijke bogen met dezelfde straal
§85 stelling 1: Zijn gegeven twee bogen AB, AB met een zelfde straal, dan doet één en slechts één van de volgende gevallen voor boog AB > boog AB , boog AB = boog AB , boog AB < boog AB. uit het groter zijn, het gelijk zijn of het kleiner zijn van een boog, volgt dan respectievelijk het groter zijn, het gelijk zijn of het kleiner zijn van zijn middelpuntshoek, en omgekeerd §86 stelling 2: Zijn twee ongelijke bogen met een zelfde straal niet groter dan een halve cirkelomtrek, dan wordt de grootste boog door de grootste koorde onderspannen, en omgekeerd §87 stelling 3: Gelijke koorden van gelijke cirkelomtrekken liggen op een zelfde afstand van het middelpunt en omgekeerd §88 stelling 4: Zijn twee koorden van twee gelijke cirkelomtrekken ongelijk, dan ligt de grootste koorde op de kleinste afstand van het middelpunt, en omgekeerd
4- som, verschil, verhouding van bogen met dezelfde straal
§89 definitie van de som van twee bogen stelling: De middelpuntshoek van een som van een eindig aantal bogen met een zelfde straal is de som van de middelpuntshoeken van deze bogen. Omgekeerd is de middelpuntshoek van een boog gelijk aan de som van een eindig aantal bogen met een zelfde straal, dan is de eerste boog de som van de andere bogen §90 verschil van twee bogen met dezelfde straal §91 veelterm van bogen met een zelfde straal §92 product en quotiënt van een boog en een willekeurig rationaal getal §93 onderling meetbare bogen met een zelfde straal verhouding van twee onderling meetbare bogen met een zelfde straal maatgetal van een boog §94 het meten van hoeken door cirkelbogen
5- stellingen betreffende hoeken gevormd door snijlijnen en raaklijnen van een cirkelomtrek
§95 definitie van omtrekshoek §96 stelling 1: Elke omtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek, die op de zelfde boog staat §97 stelling 2: Het maatgetal van een omtrekshoek is gelijk aan de helft van het maatgetal van de boog waarop hij staat, mits de hoek en de boog met overeenkomstige eenheden gemeten worden §98 definitie van hoeken gevormd door een raaklijn en een koorde uit het raakpunt §99 stelling 1: Een hoek gevormd door een raaklijn en een koorde is gelijk aan de helft van de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat §100 stelling 2: Het maatgetal van een hoek gevormd door een raaklijn en koorde uit het raakpunt is gelijk aan de helft van het maatgetal van de boog waarop hij staat, mits de hoek en de boog met overeenkomstige eenheden gemeten worden §101 definitie van binnenomtrekshoeken §102 stelling: Het maatgetal van een binnenomtrekshoek is gelijk aan de halve som van de maatgetallen van de bogen, waarop hij staat, mits de hoek en de bogen met corresponderende eenheden gemeten worden §103 definitie van buitenomtrekshoeken §104 stelling: Het maatgetal van een buitenomtrekshoek is gelijk aan het halve verschil van de maatgetallen van de bogen waarop hij staat, mits de hoek en de bogen met overeenkomstige eenheden gemeten worden §105 stelling: Het maatgetal van de hoek gevormd door een raaklijn en een snijlijn getrokken uit een zelfde punt is gelijk aan het halve verschil van de maatgetallen van de bogen waarop hij staat, mits de hoek en de bogen met overeenkomstige eenheden gemeten worden §106 definitie van de hoek gevormd door twee raaklijnen uit een zelfde punt §107 stelling: Het maatgetal van de hoek gevormd door twee raaklijnen getrokken uit een zelfde punt is gelijk aan het halve verschil van de maatgetallen van de bogen, waarop de hoek staat, mits de hoek en de bogen met overeenkomstige eenheden gemeten worden §108 opmerking
6- over de twee cirkelsegmenten die een gegeven hoek bevatten
§109 meetkundige plaats: Bepaal de meetkundige plaats van de punten C van waaruit een gegeven lijnstuk AB onder een gegeven hoek γ gezien wordt §110 het begrip cirkelsegment §111 werkstuk: Construeer de cirkelsegmenten op een gegeven lijnstuk AB als koorde en die een gegeven hoek γ bevatten
7- eigenschap van de convexe koordenvierhoek en van de convexe raaklijnenvierhoek
§112 stelling: Opdat een convexe vierhoek een koordenvierhoek zou zijn, is het nodig en voldoende dat de overstaande hoeken elkaars supplement zijn §113 stelling: Opdat een convexe vierhoek een raaklijnenvierhoek zou zijn, is het nodige en voldoende dat de som van de overstaande zijden gelijk is aan de som van de twee andere overstaande zijden
-Derde Boek: Gelijkvormige veelhoeken oppervlakte van veelhoeken-
Hoofdstuk 1 Evenredige lijnstukken
1- over de verdeling van een lijnstuk in gelijke delen
§114 stelling: Snijden twee evenwijdige paren van evenwijdige rechten op een snijlijn gelijke stukken af, dan snijden zij op elke andere snijlijn eveneens gelijke stukken af §115 werkstuk: Er wordt gevraagd een gegeven lijnstuk AB in een gegeven aantal gelijke delen te verdelen §116 opmerking
2- evenredigheden van lijnstukken
§117 herhaling van de begrippen onderling meetbare lijnstukken, maatgetal van een lijnstuk §118 definitie van evenredigheid bij lijnstukken, aaneengeschakelde evenredigheid §119 eigenschappen van evenredigheden
3- evenredige lijnstukken door paren evenwijdige rechten op twee van hun snijlijnen afgesneden
§120 stelling: Twee evenwijdige paren evenwijdige rechten snijden op twee willekeurige van hun snijlijnen evenredige lijnstukken af §121 gevolgtrekking §122 omgekeerde stelling: Zijn x en x twee snijlijnen van de evenwijdige rechten a, b, c die in de punten A, B, C en A, B, C gesneden worden en zijn D en D punten van x en x waarvoor geldt AB/AB = CD/CD dan is de rechte DD evenwijdig met de rechten a, b, c.
4- evenredigheden in de driehoek
§123 stelling: Zijn B en C de punten, waarin een rechte die evenwijdig met een zijde BC van een driehoek ABC getrokken wordt, de andere zijden AB en AC of hun verlengden snijdt dan is 1° AB/AC = BB/CC = AB/AC en 2° AB/AB = AC/AC = BC/BC §124 omgekeerde stellingen §125 definitie van inwendige en uitwendige verdeling van een lijnstuk stelling: Een binnenbissectrice van een driehoek verdeelt de overstaande zijden inwendig in stukken, die zich verhouden als de aanliggende zijden omgekeerde stelling: Is E een punt van de zijde BC van een driehoek ABC, dat de zijde BC inwendig in stukken EB, Ec verdeelt, die zich verhouden als de aanliggende zijden BA, CA dan is de rechte AE de binnenbissectrice uit het overstaand hoekpunt A §126 stelling: Snijdt een buitenbissectrice van een driehoek de overstaande zijde, dan verdeelt het snijpunt deze zijde uitwendig in stukken die zich verhouden als de aanliggende zijden omgekeerde stelling: Ligt op de zijde BC van een driehoek ABC een punt E dat deze zijde uitwendig in stukken EB, EC verdeelt die zich verhouden als de aanliggende zijden, dan is de rechte AE de buitenbissectice uit het overstaande hoekpunt A §127 opmerking §128 berekening van de stukken EB, EC, EB, EC uit de zijden
5- (rekenkundige)deelverhouding van een punt
§129 stelling 1: Er bestaat één enkel punt C op een gegeven rechte, dat een gegeven lijnstuk AB van deze rechte inwendig in stukken CA, CB verdeelt, waarvan de verhouding CA/CB een gegeven getal t is §130 stelling2: Er bestaat één enkel punt C op een gegeven rechte, dat een gegeven lijnstuk AB van deze rechte uitwendig in stukken CA, CB verdeelt, warvan de verhouding CA/CB een gegeven getal t verschillend van 1 is §131 constructie van de punten, die een gegeven lijnstuk in- en uitwendig in een gegeven verhouding t = a/b verdelen §132 definitie van deelverhouding §133 opmerkingen
6- werkstukken
§134 werkstuk: Er wordt gevraagd een gegeven lijnstuk AB vanaf het punt A in opeenvolgende stukken te verdelen die respectievelijk evenredig zijn met drie gegeven lengten a, b, c §135 werkstuk: Er wordt gevraagd de vierde evenredige tot drie gegeven lijnstukken te construeren §136 werkstuk: Er wordt gevraagd de derde evenredige tot twee gegeven lijnstukken te construeren
Hoofdstuk 2 Gelijkvormige driehoeken
1- definities en eerste eigenschappen
§137 definitie van gelijkvormige driehoeken §138 onmiddellijke eigenschappen: 1° twee driehoeken die met een zelfde driehoek gelijkvormig zijn, zijn onderling gelijkvormig 2° twee congruente driehoeken zijn gelijkvormig. Hun gelijkvormigheidsfactor is gelijk aan 1 en omgekeerd
2- de drie hoofdgevallen van de gelijkvormigheid van driehoeken
§140 stellingen: Twee driehoeken zijn gelijkvormig als 1° twee paren zijden evenredig zijn en de ingesloten hoek gelijk 2° hun hoeken paarsgewijze gelijk zijn 3° hun zijden evenredig zijn §141 opmerking §142 gevolgtrekkingen §143 stelling: Twee driehoeken waarvan de zijden paarsgewijze evenwijdig lopen, zijn gelijkvormig §144 stelling: Twee driehoeken waarvan de zijden paarsgewijze loodrecht op elkaar staan, zijn gelijkvormig
3- gelijkvormige convexe veelhoeken
§145 definitie van gelijkvormige convexe veelhoeken §146 onmiddellijke eigenschappen §147 stelling: Drie paar gelijkstandige hoekpunten van twee gelijkvormige veelhoeken bepalen twee gelijkvormige driehoeken, waarvan de gelijkvormigheidsfactor gelijk is aan de gelijkvormigheidsfactor van de twee gegeven veelhoeken §148 gevolgtrekkingen
Hoofdstuk 3 Oppervlakte van veelhoeken
1- definities
§149 inleiding: verschil tussen oppervlak en oppervlakte §150 principes die ten grondslag liggen aan het bepalen van de oppervlakte van veelhoeken §151 definitie van even grote figuren §152 verhouding van twee veelhoeken
2- oppervlakte van de rechthoek
§153 definities: afmetingen van een rechthoek, basis en hoogte §154 stelling: Twee rechthoeken waarvan de hoogten gelijk zijn, verhouden zich als hun basissen §155 stelling: Twee willekeurige rechthoeken verhouden zich als de producten van de basissen met de hoogten §156 stellingen: 1° De oppervlakte van een rechthoek is gelijk aan het product van basis en hoogte 2° De oppervlakte van een vierkant is gelijk aan de tweede macht van de zijde §157 opmerkingen
3- oppervlakte van het parallellogram
§158 definitie van basis en hoogte bij het parallellogram §159 stelling: De oppervlakte van een parallellogram is gelijk aan het product van basis en hoogte §160 gevolgtrekkingen
4- oppervlakte van de driehoek
§161 definitie van basis en hoogte bij de driehoek §162 stelling: De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan het halve product van basis en hoogte §163 gevolgtrekkingen
5- oppervlakte van de veelhoeken
§164 algemene regel: om de oppervlakte van een willekeurige veelhoek te berekenen, verdeelt men de veelhoek in rechthoeken, parallellogrammen of driehoeken en berekent men de som van de oppervlakten van de verschillende delen
6- oppervlakte van het trapezium
§165 definitie van het trapezium: een trapezium is een vierhoek waarvan twee overstaande zijden evenwijdig lopen §166 stelling: De oppervlakte van een trapezium is gelijk aan het product van de halve som der basissen met de hoogte
Hoofdstuk 4 Merkwaardige gelijkheden in de driehoek afgeleid uit de vorige theorieën
1- eigenschap van de rechthoekige driehoek stelling van Pythagoras
§167 stelling: In een rechthoekige driehoek is 1° elke rechthoekszijde middelevenredig tussen de schuine zijde en haar projectie op de schuine zijde 2° de hoogtelijn neergelaten uit het hoekpunt van de rechte hoek middelevenredig tussen de stukken waarin zij de schuine zijde verdeelt §168 stelling van Pythagoras: In een rechthoekige driehoek is het vierkant van de schuine zijde gelijk aan de som van de vierkanten der rechthoekszijden §169 stelling: Het product van de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek is gelijk aan het product van de schuine zijde met de hoogte op de schuine zijde
2- eigenschappen van de willekeurige driehoeken
§170 (vierkant van een zijde van een driehoek gelegen tegenover een scherpe hoek) stelling: In een driehoek is het vierkant van een zijde die tegenover een scherpe hoek ligt, gelijk aan de som der vierkanten van de andere zijden, verminderd met het dubbel product van een dezer zijden en de projectie van de tweede van deze zijden op de eerste §171 (vierkant van een zijde van een driehoek gelegen tegenover een stompe hoek) stelling: In een driehoek is het vierkant van een zijde die tegenover een stompe hoek ligt, gelijk aan de som van de vierkanten van de twee andere zijden, vermeerderd met het dubbel product van een dezer zijden en de projectie van de tweede dezer zijden op de eerste §172 opmerking §173 berekening van de hoogten van een driehoek uit de zijden: ha = 2/a . √{p(p-a)(p-b)(p-c)} §174 gevolgtrekking §175 berekening van de oppervlakte van een driehoek uit de zijden: S = √{p(p-a)(p-b)(p-c)} §176 stelling van de zwaartelijn: In elke driehoek is de som der vierkanten van twee zijden gelijk aan tweemaal het vierkant van de zwaartelijn op de derde zijde, vermeerderd met tweemaal het vierkant van de helft van de derde zijde §177 berekening van de zwaartelijn van een driehoek uit de zijden: ma = ½ . √{2(b² + c²) a²} §178 toepassing op de convexe vierhoek: In een convexe vierhoek is de som van de vierkanten der zijden gelijk aan de som der vierkanten der diagonalen, vermeerderd met viermaal het vierkant van de afstand tussen de middens van de diagonalen §179 berekening van de straal r van de ingeschreven cirkel: r = S/p §180 berekening van de stralen ra , rb , rc : ra = S/(p-a)
3- verhouding van gelijkvormige veelhoeken
§181 hulpstelling: Hebben twee driehoeken een gelijke of een supplementaire hoek dan verhouden zij zich als de producten der aanliggende zijden §182 stelling 1: De verhouding van twee gelijkvormige driehoeken is gelijk aan het vierkant van de gelijkvormigheidsfactor §183 stelling 2: De verhouding van twee gelijkvormige convexe veelhoeken is gelijk aan het vierkant van de gelijkvormigheidsfactor
Hoofdstuk 5 Merkwaardige betrekkingen in de cirkelomtrek afgeleid uit de theorie van de gelijkvormigheid en de oppervlakte
1- macht van een punt t.o.v. een cirkelomtrek
§184 stelling 1: Snijden twee koorden van een cirkelomtrek elkaar binnen de cirkelomtrek, dan is het product van de stukken waarin het snijpunt de ene koorde inwendig verdeelt, gelijk aan het product van de stukken waarin het snijpunt de andere verdeelt §185 stelling2: Snijden de verlengden van twee koorden van een cirkelomtrek elkaar, dan is het product van de stukken waarin het snijpunt de ene koorde uitwendig verdeelt gelijk aan het product van de stukken, waarin het snijpunt de andere koorde uitwendig verdeelt §186 stelling 3: Snijdt het verlengde van een koorde een raaklijn van een zelfde cirkelomtrek, dan is het vierkant van het lijnstuk, begrensd door het snijpunt en het raakpunt, gelijk aan het product van de stukken waarin de koorde uitwendig door het snijpunt verdeeld wordt §187 macht van een punt t.o.v. een gegeven cirkelomtrek: uit stellingen 1, 2 3 volgt volgende definitie: Wentelt een snijlijn van een cirkelomtrek om een vast punt P, dan is het product van de afstanden van de snijpunten tot het vaste punt constant. Ligt het vast punt buiten de cirkelomtrek dan is deze constante gelijk aan het vierkant van elk der raaklijnstukken uit dat punt getrokken. Deze constante waarde heet de macht van het punt P ten opzichte van de cirkelomtrek
2- isogonaal verwante rechten
§188 definitie van isogonaal verwante rechten: Twee rechten p en q, die door het hoekpunt van een hoek xAy gaan, heten isogonaal verwant ten opzichte van de hoek xAy, als zij symmetrisch liggen ten opzichte van de bissectrice d van de hoek §189 stelling: Noemt men D het snijpunt van een willekeurige rechte getrokken door het hoekpunt A van een driehoek ABC met de overstaande zijde en is E het tweede snijpunt van de isogonaal verwante rechte met de omgeschreven cirkelomtrek van de driehoek, dan is AB . AC = AD . AE §190 eerste bijzonder geval: 1° de binnenbissectrice van de hoek A is met zichzelf isogonaal verwant ten opzichte van de hoek A 2° berekening van de binnenbissectrice van een driehoek uit de zijden: Het product van twee zijden van een driehoek is gelijk aan het product der stukken waarin de binnenbissectrice van de ingesloten hoek de overstaande zijde verdeelt, vermeerderd met het vierkant van deze bissectrice §191 tweede bijzonder geval: 1° de buitenbissectrice van de hoek A is met zichzelf isogonaal verwant ten opzichte van de hoek A 2° berekening van de buitenbissectrice van een driehoek uit de zijden: Het product van twee zijden van een driehoek is gelijk aan het product der stukken waarin de buitenbissectrice van de ingesloten hoek de overstaande zijde uitwendig verdeelt, verminderd met vierkant van deze bissectrice §192 derde bijzonder geval: 1° de hoogtelijn uit een hoekpunt van een driehoek is isogonaal verwant met de door het hoekpunt getrokken middellijn van de omgeschreven cirkelomtrek ten opzichte van de overeenkomstige hoek van de driehoek 2° berekening van de straal van de omgeschreven cirkelomtrek uit de zijden: R = abc/4√{p(p-a)(p-b)(p-c)}
3- de stellingen van Ptolemaios
§193 eerste stelling van Ptolemaios: In een convexe koordenvierhoek is het product der diagonalen gelijk aan de som van de producten van de overstaande zijden §194 tweede stelling van Ptolemaios: De diagonalen van een convexe koordenvierhoek verhouden zich als de sommen van de producten der zijden, die in hun eindpunten samenkomen §195 berekening van de diagonalen van een convexe koordenvierhoek uit de zijden
Hoofdstuk 6 Toepassingen van de vorige theorieën op het oplossen van werkstukken
1- toepassingen van de eigenschappen van de rechthoekige driehoeken
§196 werkstuk 1: Er wordt gevraagd een lijnstuk x te construeren waarvan het kwadraat gelijk is aan de som van de kwadraten van twee gegeven lijnstukken a en b §197 werkstuk 2: Er wordt gevraagd een lijnstuk x te construeren waarvan het kwadraat gelijk is aan het verschil van twee gegeven lijnstukken a en b §198 werkstuk 3: Er wordt gevraagd de derde evenredige tot twee gegeven lijnstukken a en b te construeren §199 werkstuk 4: Er wordt gevraagd een lijnstuk x te construeren dat middelevenredig tussen twee gegeven lijnstukken a en b §200* werkstuk 5: Er wordt gevraagd twee lijnstukken x , y te construeren, waarvan de som gelijk is aan een eerste gegeven lijnstuk a en waarvan tevens het product gelijk is aan het vierkant van een tweede gegeven lijnstuk b §201 werkstuk 6: Er wordt gevraagd een lijnstuk x te construeren, waarvan het vierkant zich verhoudt tot het vierkant van een gegeven lijnstuk a, als een tweede gegeven lijnstuk b zich verhoudt tot een derde c m.a.w. construeer x waarvoor x²/a² = b/c
2- toepassingen van de theorie van de macht van een punt t.o.v. een cirkelomtrek
§202 werkstuk 1: Er wordt gevraagd de vierde evenredige x tot drie gegeven lijnstukken a , b , c te construeren §203 werkstuk 2: Er wordt gevraagd de middelevenredige tussen twee gegeven lijnstukken a en b te construeren §204 werkstuk 3: Er wordt gevraagd twee lijnstukken x , y te construeren, waarvan het verschil gelijk is aan een eerste gegeven lijnstuk a en het product aan het vierkant van een tweede gegeven lijnstuk b §205 definitie van verdeling van een lijnstuk in uiterste en middelste reden: Is AB een gegeven lijnstuk van een gegeven rechte d en is C een punt van de rechte AB, waarvoor geldt AB/AC = AC/CB of AC² = AB . CB dan zegt men dat het punt C het lijnstuk AB in uiterste en middelste reden verdeelt ; berekening van de lengtes AC en AC uit de lengte a van het lijnstuk AB: inwendig punt: AC = (√5-1) . a/2 uitwendig punt AC =(√5+1) . a/2 constructie van de gulden snede
3- toepassingen van de theorie van de oppervlakten
1- bewijs van de stelling van Pythagoras afgeleid uit de theorie der oppervlakten
§211 bewijs uit de theorie der oppervlakten §212 opmerking
2- tweede bewijs van de eerste stelling van Ptolemaios
§213 hulpstelling: Liggen de punten A en A, B en B respectievelijk op de benen van de hoek P en is PA . PA = PB . PB = k² waarbij k een gegeven lijnstuk is, dan zijn de driehoeken PAB en PAB gelijkvormig en is AB = k²AB/PA.PB §214 stelling van Ptolemaios: Opdat een convexe vierhoek een koordenvierhoek zou zijn, is het nodig en voldoende dat het van de diagonalen gelijk is aan de som van de producten der overstaande zijden
3- gelijkvormige veelhoeken
§215 congruentie in dezelfde en tegengestelde zin §216 definitie van gelijkvormige veelhoeken, van gelijkstandige elementen, van gelijkvormigheidsfactor §217 opmerkingen §218 onmiddellijke eigenschappen §219 (gelijkvormige veelhoeken in dezelfde zin) hulpstelling: Is P een willekeurig punt in het vlak van een gegeven veelhoek ABCDE en liggen de punten A, B, C, D, E zo op de halve rechten PA, PB, PC, PD, PE dat PA/PA = PB/PB = PC/PC = PD/PD = PE/PE = k waarbij k een gegeven getal is, dat niet nul is, dan zijn de veelhoeken ABCDE en ABCDE gelijkvormig in dezelfde zin §220 opmerkingen §221 stelling: Zijn de veelhoeken ABCDE en ABCDE evenals de driehoeken PAB en PAB gelijkvormig in dezelfde zin, dan zijn ook de driehoeken PBC en PBC, , PEA en PEA gelijkvormig in dezelfde zin §222 omgekeerde stelling: Zijn de driehoeken PAB, PBC, PEA paarsgewijze gelijkvormig met de driehoeken PAB, PBC, , PEA dan zijn de veelhoeken ABCDE en ABCDE gelijkvormig in dezelfde zin §223 formulering van voorgaande stellingen in een nodige en voldoende voorwaarde §224 gevolgtrekkingen §225 gelijkvormige veelhoeken in tegengestelde zin §226 samenvatting §227 gelijkstandige punten t.o.v. gelijkvormige veelhoeken
4- evenwijdige snijlijnen van een stel concurrente rechten
§228 stelling: De stukken die door concurrente rechten op evenwijdige snijlijnen afgesneden worden, zijn evenredig §229 omgekeerde stelling: Noemt men A, B, C, D, de snijpunten van twee evenwijdige rechten x, x met een stel rechten a, b, c, d , en hebben deze groepen snijpunten dezelfde onderlinge ligging en zijn verder de lijnstukken AB, BC, CD, en AB, BC, CD, evenredig, dan zijn de rechten a, b, c, d, concurrent of evenwijdig, naargelang de evenredigheidsfactor verschillend van 1 of gelijk aan 1 is
§ 4.4 Klassieke Vlakke Meetkunde met de Snor (II)
(Hoofdstuk 4 "Deductieve Meetkunde in de Cadettenschool")
§ 4.4 Klassieke Vlakke Meetkunde met de Snor (II)
In Poësis (Grieks-Latijnse sectie) werd het leerplan zoals aangegeven en voorzien in het derde deel van de « Beginselen der Vlakke Meetkunde » van Adolphe Mineur afgehandeld. Zoals al vroeger vermeld werd in de Cadettenschool inderdaad het oude leerplan, dat dateerde van vóór WOII, gevolgd omdat voornoemd plan beter paste en voorbereidde tot het toelatingsexamen van de KMS.
Dit leerprogramma omvatte, naast een "complement" op de vroeger geziene leerstof (Hoofdstuk 1), het zogenaamde Vierde Boek dat handelde over de regelmatige veelhoeken en de cirkel. Ook hier werd natuurlijk veel aandacht besteed aan meetkundige plaatsen en meetkundige constructies.
In het "Complement" kwam uiteraard de negenpuntencirkel of cirkelomtrek van Euler (1) ter sprake. Oud-cadetten herinneren zich natuurlijk deze fameuze cirkel, waaraan de Snor veel belang hechtte. Voor mij was dit een eerste bewijs dat aan de Griekse Meetkunde toch nog een en ander was toe te voegen.
Hoofdstuk 1 Complementen bij de herhaling van de leergang der vorige klasse
§1 benaderde waarde van de verhouding van twee lijnstukken berekend op één of op 1/n na
§2 onderlinge ligging van twee ongelijke cirkelomtrekken met verschillend middelpunt
§3- over het punt C van de rechte AB bepaald door CA2 CB2 = a waarbij a een gegeven lengte voorstelt
§4 enkele opmerkingen
§5 werkstuk 1: Is C een willekeurig punt van de halve rechte, construeer het lijnstuk a, dat door de betrekking CA² - CB² = a² bepaald wordt
§6 stelling 1: Met elk getal k, dat positief, nul of negatief kan zijn, correspondeert op de rechte AB een enkel punt C dat door de betrekking CA² - CB² = k bepaald wordt
§7 meetkundige plaats van de punten waarvan het verschil der vierkanten van de afstanden tot twee gegeven punten gelijk is aan een gegeven getal dat positief, nul of negatief kan zijn
§8 stelling 2: Opdat de loodlijnen opgericht in de punten A, B, C op de zijden BC, CA, AB van een driehoek ABC concurrent zouden zijn, is het nodig en voldoende dat (AB² - AC²) + (BC² - BA²) + CA² - CB²) = 0
§9- over de macht van een punt t.o.v. een cirkelomtrek
§10 vraagstuk: Kent men de afstand van een punt P tot het middelpunt O van een cirkelomtrek met straal R, bereken dan de macht van het punt P t.o.v. de cirkelomtrek
§11 overeenkomst
§12 besluit
§13 over de machtlijn van twee cirkelomtrekken: de meetkundige plaats van de punten, die dezelfde macht t.o.v. twee cirkelomtrekken (O, R) en (O, R) is de loodlijn a opgericht in het punt A van de centraal OO dat door de batrekking AO² - AO² = R² - R² bepaald is. Deze rechte a heet de machtlijn van de twee cirkelomtrekken (O, R) en (O, R)
§14 opmerkingen: 1° de machtlijn van twee gelijke cirkelomtrekken is de middelloodlijn van de centraal 2° de machtlijn van twee elkaar rakende cirkelomtrekken is de gemeenschappelijke raaklijn in hun gemeenschappelijk punt 3° de machtlijn van twee elkaar snijdende cirkelomtrekken is de rechte die door de twee gemeenschappelijke punten van de twee cirkelomtrekken gaat
§15 machtpunt van drie cirkelomtrekken: Liggen de middelpunten van drie gegeven cirkelomtrekken niet op een zelfde rechte, dan gaan de machtlijnen van deze paarsgewijze genomen cirkelomtrekken door een zelfde punt. Dit punt is het enige punt van het vlak dat dezelfde macht t.o.v. de gegeven cirkelomtrekken heeft. Het wordt machtpunt van de drie cirkelomtrekken genoemd
§16 de negenpuntscirkelomtrek of cirkelomtrek van Euler: In elke driehoek, die noch gelijkbenig noch rechthoekig is, liggen de voetpunten van de hoogtelijnen, het midden van de zijden en het midden van de afstanden van het hoogtepunt tot de hoekpunten op eenzelfde cirkelomtrek
§17 werkstuk: Er wordt gevraagd een cirkelomtrek te construeren die door twee gegeven punten gaat en een gegeven cirkelomtrek raakt
-Vierde Boek: Regelmatige Veelhoeken en de Cirkel-
Hoofdstuk 2 De regelmatige veelhoeken
1- algemene eigenschappen
§18 definities: 1° een regelmatige veelhoek is een veelhoek waarvan de zijden en de hoeken onderling gelijk zijn 2° een concave regelmatige veelhoek wordt regelmatige stervormige veelhoek genoemd 3° een regelmatige gebroken lijn is een gebroken lijn waarvan alle zijden evenals alle hoeken gelijk zijn
§19 stelling 1: Het aantal zijden van een convexe regelmatige veelhoek is willekeurig
§20 opmerkingen: om- en ingeschreven cirkelomtrek van een regelmatige veelhoek aantal convexe en concave veelhoeken
§21 stelling 2: Elke regelmatig gebroken lijn is in een eerste cirkelomtrek en om een tweede cirkelomtrek beschreven. De twee cirkelomtrekken zijn concentrisch
§22 opmerkingen
§23 stelling 3: Twee convexe regelmatige veelhoeken met hetzelfde aantal zijden of twee stervormige regelmatige veelhoeken met hetzelfde aantal zijden en van dezelfde soort zijn gelijkvormig. De gelijkvormigheidsfactor is gelijk aan de verhouding van hun stralen of van hun apothemas
§24 gevolgtrekkingen
§25 opmerkingen
§26 stelling 4: De oppervlakte van een convexe regelmatige veelhoek is gelijk aan het halve product van de omtrek met het apothema: S = p . r
2- vraagstukken der koorden
§27 vraagstuk 1: In een cirkelomtrek met R als straal neemt men aan weerszijden van de middellijn AB de koorden AC en AD. Zijn a, b respectievelijk de lengten van deze twee koorden, dan wordt er gevraagd de lengte x van de koorde CD als functie van a, b, R te berekenen: x = {a√(4R²-b²) + b√(4R²-a²)}/2R
§28 opmerking: geval dat a = b
§29 vraagstuk 2: In een cirkelomtrek met straal R trekt men een middellijn AB. Aan dezelfde kant van deze middellijn trekt men ook de koorden AC en AD met respectievelijke lengte a > b. Er wordt gevraagd de lengte y van de koorde CD als functie van a, b, R te berekenen: y = {a√(4R²-b²) - b√(4R²-a²)}/2R
§30 vraagstuk 3: In een cirkelomtrek met straal R trekt men een koorde AB met lengte a. Er wordt gevraagd als functie van a en R, de lengte x te berekenen van de koorde, die een boog onderspant waarvan de lengte gelijk is aan de helft van de kleinste der tweebogen AB: x = √{2R² - R√(4R² - a²)}
3- constructie van het vierkant en verdeling van de cirkelomtrek in 2n gelijke delen
§31 werkstuk 1: Er wordt gevraagd in een gegeven cirkelomtrek een vierkant te beschrijven
§32 vraagstuk: Bereken de lengte z4 van de zijde van het vierkant ABCD als functie van de straal R van de omgeschreven cirkelomtrek: z4 = R√2
§33 opmerking: bereken uit z4 de waarde van het apothema r4 en de oppervlakte S4 van een vierkant §34 werkstuk 2: Er wordt gevraagd in een gegeven cirkelomtrek convexe en stervormige regelmatige achthoeken te beschrijven
§35 vraagstuk: Bereken de lengte van de zijden van de convexe en van de stervormige regelmatige achthoek als functie van de straal R van de omgeschreven cirkelomtrek: z8 = R√(2 - √2) en z8 = R√(2 + √2)
§36 berekening van het apothema r8 en de oppervlakte S8 van de regelmatige achthoek in functie van de straal R van de omgeschreven cirkelomtrek: r8 = R√(2 + √2) / 2 en S8 = 2R²√2
§37 opmerking constructie van regelmatige veelhoeken met 2n zijden
4- constructie van de regelmatige zeshoek, de gelijkzijdige driehoek en verdeling van de cirkelomtrek in 2n x 3 gelijke delen
§38 werkstuk 3: Er wordt gevraagd in een cirkelomtrek een regelmatige zeshoek te beschrijven: toon aan dat z6 = R
§39 berekening van het apothema r6 en de oppervlakte van de zeshoek S6 in functie van de straal van de omgeschreven cirkelomtrek: r6 = R√3/2 en S6 = 3R²√3
§40 werkstuk 4: Er wordt gevraagd in een gegeven cirkelomtrek een gelijkzijdige driehoek te beschrijven
§41 vraagstuk: Bereken de lengte van de zijden van de gelijkzijdige driehoek als functie van de straal R van de omgeschreven cirkelomtrek: z3 = R√3
§42 bereken het apothema r3 en de oppervlakte S3 van de gelijkzijdige driehoek in functie van de straal R van de omgeschreven cirkelomtrek: r3 = R/2 en S3 = 3R²√3 / 4
§43 werkstuk 5: Er wordt gevraagd een regelmatige twaalfhoek in een gegeven cirkelomtrek te beschrijven
§44 vraagstuk: Bereken de lengten z12 en z12 van de zijden van twee regelmatige twaalfhoeken als functie van de straal R van de omgeschreven cirkelomtrek: z12 = R(√6 - √2) / 2 en z12 = R(√6 + √2) / 2
§45 berekening van het apothema r12 en de oppervlakte S12 van de convexe regelmatige twaalfhoek in functie van de straal R: r12 = R√(2 + √3) en S12 = 3R²
§46 opmerking: overgang op regelmatige veelhoeken met 24, 48 zijden
5- constructie van de regelmatige tienhoek en vijfhoek en verdeling van de cirkelomtrek in 2n . 5 gelijke delen
§47 werkstuk 6: Er wordt gevraagd een regelmatige tienhoek in een gegeven cirkelomtrek te beschrijven
§48 vraagstuk: Bereken de zijden z10 en z10 van respectievelijk de convexe regelmatige tienhoek en de stervormige relmatige tienhoek: z10 = R(√5 1) / 2 en z10 = R(√5 + 1) / 2
§49 berekening van het apothema r10 en de oppervlakte S10 van de regelmatige tienhoek: r10 = R√(10 + 2√5) /2 en S10 = 5R²√(10 - 2√5) / 4
§50 werkstuk 7: Er wordt gevraagd een regelmatige vijfhoek in een gegeven cirkelomtrek te schrijven
§51 vraagstuk: Bereken de lengten z5 en z5 van respectievelijk de convexe regelmatige vijfhoek en de stervormige regelmatige vijfhoek: z5 = R(√(10 - 2√5) / 2 en z5 = R(√(10 + 2√5) / 2
§52 berekening van het apothema r5 en de oppervlakte S5 van de convexe regelmatige vijfhoek in functie van de straal R van de omgeschreven cirkelomtrek: r5 = R(√5 + 1)/2 en S5 = 5R²√(10 + 2√5)/8
§53 opmerking: overgang op regelmatige veelhoeken met 2n . 5 zijden
§54 stelling: De zijde van de convexe regelmatige vijfhoek is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek, waarvan de rechthoekszijden respectievelijk gelijk zijn aan de zijde van de regelmatige zeshoek en de zijde van de convexe regelmatige tienhoek beschreven met dezelfde straal
§55 stelling: De zijde van de stervormige regelmatige vijfhoek is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek, waarvan de rechthoekszijden respectievelijk gelijk zijn aan de zijde van de regelmatige zeshoek en de zijde van de stervormige regelmatige tienhoek beschreven met dezelfde straal
6- constructie van de regelmatige vijftienhoek en verdeling van de cirkelomtrek in 2n x 3 x 5 gelijke delen
§56 werkstuk 8: Er wordt gevraagd een regelmatige vijftienhoek in een gegeven cirkelomtrek te beschrijven
§57 vraagstuk: Bereken de lengte van de zijde z15 van de convexe regelmatige vijftienhoek als functie van de straal R van de omgeschreven cirkelomtrek: z15 = R{√(10 + 2√3) - √15 + √3}/4
§58 vraagstuk: bereken de lengte van de zijden van de stervormige regelmatige vijftienhoeken z15 , z15 , z15 als functie van de straal R van de omgeschreven cirkelomtrek
§59 opmerking: -stelling van Gauss- onmogelijkheid om met passer en liniaal regelmatige veelhoeken met 7, 8, 11, en 13 zijden in een cirkelomtrek te beschrijven
Hoofdstuk 3 Over de lengte van de cirkelomtrek
1- bepaling van de lengte van de cirkelomtrek
§60 hulpstelling: Ligt een convexe veelhoek geheel binnen een andere willekeurige veelhoek, dan is de omtrek van de eerste veelhoek kleiner dan die van de tweede veelhoek
§61 toepassing van de hulpstelling op de convexe veelhoeken die in en om een cirkelomtrek beschreven zijn: De lengte van een cirkelomtrek is de gemeenschappelijke limietwaarde van de lengte der omtrekken van de in en om deze cirkelomtrek beschreven convexe veelhoeken, als alle zijden tot nul naderen
2- bepaling van het getal π
§62 stelling: De lengten van twee cirkelomtrekken verhouden zich als hun stralen
§63 gevolgtrekkingen en definitie van het getal π: De verhouding van de lengte van elke cirkelomtrek tot de middellijn is een constant getal dat het getal π genoemd wordt de lengte p van de cirkelomtrek: p = 2πR
3- bepaling van benaderende waarden van π door middel van de methode der gelijke omtrekken
§64 het op te lossen vraagstuk
§65 definitie van de methode van de gelijke omtrekken (Descartes): Het op te lossen vraagstuk is: kent men de lengte van een cirkel omtrek, bereken dan verder benaderende waarden van de straal
§66 hoofdvraagstuk: 1) er wordt gevraagd een convexe regelmatige veelhoek te construeren, die dezelfde omtrek en tweemaal zoveel zijden als een gegeven convexe regelmatige veelhoek heeft 2) er wordt gevraagd de waarden r, a van de straal en het apothema van de te construeren veelhoek als functie van de lengten r, a van de straal en het apothema van de gegeven veelhoek te berekenen: r = √(ra) a = √{r(a+r)/2}
§67 eigenschappen afgeleid uit de oplossing van voorgaand vraagstuk
§68 gevolgtrekkingen van voorgaande betrekkingen
4- over de lengte van de cirkelboog
§69 definitie van de lengte van een cirkelboog: de lengte van een cirkelboog kan beschouwd worden als de gemeenschappelijke limietwaarde van de lengte van in- en omgeschreven gebroken lijnen, waarvan alle zijden nader tot nul worden
§70 gelijkvormige bogen: definitie: gelijkvormige bogen zijn bogen die door gelijke middelpuntshoeken beschreven worden stelling: de lengten van twee gelijkvormige bogen staan tot elkaar zoals de stralen van deze bogen definitie van radiaal of staalhoek
Hoofdstuk 4 Over de oppervlakte van de cirkel
1- bepaling en berekening van de oppervlakte van de cirkel
§71 definitie van de oppervlakte van een cirkel: De oppervlakte van een cirkel is de gemeenschappelijke limietwaarde van de oppervlakten der convexe in en omgeschreven veelhoeken, waarvan al de zijden tot nul komen stelling: de oppervlakte van een cirkel is gelijk aan het product van de lengte van de corresponderende cirkel omtrek met de helft van de straal: Scirkel = πR²
2- over de oppervlakte van de cirkelsector
§72 definities: 1° Een cirkelsector is het gedeelte van de cirkel dat tussen twee stralen begrepen is 2° gelijkvormige sectoren zijn sectoren met verschillende stralen die door gelijke middelpuntshoeken beschreven worden 3° een sector van een regelmatige veelhoek is een veelhoek die door een convexe regelmatig gebroken lijn en de stralen van twee eindpunten begrensd wordt. De oppervlakte van een sector van een regelmatige veelhoek is gelijk aan het product van de lengte der regelmatig gebroken lijn met de helft van het apothema
§73 definitie van de oppervlakte van een cirkelsector: De oppervlakte van een cirkelsector is de gemeenschappelijke grenswaarde van de om- en ingeschreven sectoren van regelmatige veelhoeken, in de veronderstelling dat al de zijden van de gebroken lijnen die deze sectoren sluiten, tot nul naderen
§74 stelling: De oppervlakte van een cirkelsector is gelijk aan het product van de corresponderende cirkelboog met de halve straal
§75 gevolgtrekking: De oppervlakten van twee gelijkvormige cirkelsectoren verhouden zich zoals de vierkanten van de stralen
§76 vraagstuk: bereken de oppervlakte van een cirkelsector beschreven met R als straal en waarvan de middelpuntshoek in graden uitgedrukt, gelijk is aan a
3- over de oppervlakte van een cirkelsegment
§77 vraagstuk: Bereken de oppervlakte van een cirkelsegment als functie van de straal R en de in graden uitgedrukte middelpuntshoek a van de cirkel sector, die door dezelfde boog begrensd wordt: Ssegment = πR²a/360 R²sin(a)/2
§78 vraagstuk: Bereken de oppervlakte van het deel van een cirkel dat tussen twee evenwijdige koorden ligt: S = πR²(a-b)/360 R²(sin(a)-sin(b))/2
Hoofdstuk 5 Inleiding tot de Complementen van de Meetkunde
1- gebruik van de tekens + en bij het meten van lijnstukken
§79 algebraïsch maatgetal van een lijnstuk AB absolute waarde van het maatgetal van een lijnstuk │AB│
§80 gevolgtrekking: tegengestelde lijnstukken AB en BA bij definitie geldt AB + BA = 0
§81 stelling: Liggen de punten A, B, C willekeurig op eenzelfde x-as, dan is steeds in grootte en ligging AC = AB + BC en AB + BC + CA = 0
§82 uitbreiding: Liggen een willekeurig aantal punten A, B, C, D, E, K, L op eenzelfde x-as dan is steeds in grootte en ligging AL = AB + BC + CD + DE + KL en AB + BC + CD + DE + KL + LA = 0
2- de stelling van Stewart
§83 stelling van Stewart: A, B, C zijn drie willekeurige punten op een rechte r en zij verder P een willekeurig punt t.o.v. deze rechte r. Houdt men rekening met de overeenkomst betreffende het gebruik van het + teken en het teken bij het meten van de lijnstukken bepaald door de punten A, B, C op de rechte r, dan is steeds in grootte en ligging PA² . BC + PB² . CA + PC² . AB + BC . CA . AB = 0
§84 toepassingen: 1° stelling: Is Z het zwaartepunt van de driehoek ABC en P een willekeurig punt in het vlak van deze driehoek, dan is PA² + PB² + PC² = 3PZ² + ZA² + ZB² + ZC² 2° meetkundige plaats: Men geeft twee punten A, B en een lijnstuk met lengte k. Zoek de meetkundige plaats van de punten P die aan de betrekking 2PA² - 3PB² = k² voldoen
3- algebraïsche waarde van de deelverhouding van een punt t.o.v. een lijnstuk
§85 definitie van algebraïsche deelverhouding: Zijn A, B, C zijn drie punten van een rechte en is x een door deze rechte gedragen as dan is het algebraïsch getal CA/CB de algebraïsche deelverhouding van het punt C t.o.v. het lijnstuk AB. Men stelt CA/CB = -k (waarbij k positief of negatief kan zijn) om een onderscheid te maken met de rekenkundige verhouding CA/CB.
§86 onmiddellijke eigenschappen in geval de punten A, B, C twee aan twee verschillend van elkaar zij en op oneindige afstand liggen: 1° de waarde van de deelverhouding is onafhankelijk van de positieve zin van de as 2° de waarde van de deelverhouding is onafhankelijk van de keuze van de lente-eenheid 3° de deelverhouding is gelijk aan -1, als C het midden van het lijnstuk AB is
§87 werkstuk: Men kiest een lengte-eenheid en door het punt A trekt men een willekeurige as y. Er wordt gevraagd op deze as een lijnstuk AD te construeren, waarvan de algebraïsche waarde gelijk is aan de deelverhouding CA/CB van het punt C t.o.v. het lijnstuk AB
§88 werkstuk: Er wordt gevraagd het punt C te construeren dat het gegeven lijnstuk AB in de gegeven verhouding k verdeelt
§89 vraagstuk: Er wordt gevraagd het verloop van de deelverhouding CA/CB = -k te bestuderen, als het punt C de ganse as doorloopt
§90 harmonisch verwante punten
4- theorie der transversalen
§91 definitie van transversaal, hoektransversaal en rechte op oneindig
§92 stelling van Menelaos: Een transversaal die niet door een der hoekpunten van een driehoek gaat, bepaalt op de opeenvolgende zijden drie deelverhoudingen waarvan het product gelijk is aan +1
§93 omgekeerde stelling van Menelaos: Worden door driepunten op de opeenvolgende zijden van een driehoek, deelverhoudingen bepaald, waarvan het product gelijk is aan +1, dan liggen deze drie punten op een zelfde rechte
§94 stelling van Ceva: Ligt een punt van het vlak van een driehoek niet op een der zijden van deze driehoek, dan bepalen de hoektransversalen van dat punt op de opeenvolgende zijden drie deelverhoudingen, waarvan het product gelijk is aan -1
§95 omgekeerde stelling van Ceva: Worden op de opeenvolgende zijden van een driehoek door drie niet met de hoekpunten samenvallende punten, deelverhoudingen bepaald waarvan het product gelijk is aan -1, dan zijn de rechten die deze punten met de overstaande hoekpunten verbinden, concurrent
§96 stelling: bewijs dat de hoogtelijnen van een driehoek concurrent zijn
§97 stelling: Een driehoek is in een cirkelomtrek beschreven. De hoekpunten getrokken raaklijnen snijden de tegenoverstaande zijden van de driehoek in drie collineaire punten
5- noot over het meten en de verhouding van lijnstukken van dezelfde soort
§98 rationale en irrationale getallen
§99 opmerking
§100 grootheden van dezelfde soort
§101 het begrip gemeenschappelijke maat
§102 stelling: Is de grootheid C een gemeenschappelijke maat van de grootheden A, B dan zijn haar onderdelen dat eveneens
§103 grootste gemene maat
§104 stelling: Is C de grootste gemene maat van de grootheden A, B en heeft men de betrekkingen A = mC en B = nC dan zijn de gehele getallen m en n onderling ondeelbaar
§105 stelling: Zijn A en C, B en C onderling meetbare grootheden, dan zijn A en B eveneens onderling meetbaar
§106 vraagstuk: zoek de grootste gemene maat van twee grootheden van dezelfde soort
§107 definitie: twee grootheden van dezelfde soort die geen gemeenschappelijke maat hebben, zijn onderling onmeetbaar
§108 stelling: De zijde en de diagonaal van een vierkant zijn onderling onmeetbaar
§109 over de maat van een met de eenheid onmeetbare grootheid
§110 afspraak
§111 stelling: In dezelfde cirkelomtrek of in gelijke cirkelomtrekken is de verhouding van twee middelpuntshoeken gelijk aan de verhouding van de bogen waarop de hoeken staan
In de Cadettenschool van Laken was Calculus ofte Analyse de eindfase, de bekroning van het wiskundig curriculum, i.h.b. voor de Grieks-Latinisten. Het vak werd hoofdzakelijk gedoceerd in rhetorica en daar wij alle vier voor een universitaire studie geopteerd hadden besloot de Muis, rekening houdend met deze bijzondere situatie, privaatles te geven en de leerstof Calculus ietwat aan te passen. Het was duidelijk te merken dat de Muis er echt plezier in had om ons in de geheimen van de Analyse in te wijden. In begeleidende ikoon ziet u trouwens de Muis in volle bedrijvigheid maar toch volledig ontspannen: in de rechterhand een stuk krijt of meestal een sigaret, de linkerhand in de broekzak.
Dat hierbij nu het wettelijk voorziene programma voor Grieks-Latinisten ver, zeer ver overschreden werd, moesten wij er maar bijnemen. Zo kregen wij een zeer groot deel van de Calculus te verwerken die in het Complement van Algebra vermeld werd en die volgens het leerprogramma uitsluitend voor de Latijns-Wiskundige en Wetenschappelijke Afdelingen bestemd was. En daarmee was de kous niet af. Hij had het ook nog over functies van meerdere veranderlijken, partiële afgeleiden, hyperbolische functies, differentiaalvergelijkingen en dito.. Het leerprogramma omvatte inderdaad zo ongeveer wat nu in de USA Calculus I (elementary calculus) en Calculus II (intermediate calculus) genoemd wordt. Alleen Calculus III (advanced calculus) bleef buiten schot maar ik ben er zeker van dat de mannen van de L-W en de W ook van deze materie een voorsmaakje kregen.
Volgens de Muis was Analyse nu eenmaal hét wiskundig vak bij uitstek voor al wie wetenschappen wou studeren. Hij gaf ons van dit brood heel wat sneetjes te verorberen, want dat zou ons later nog van pas komen. En of de man gelijk had. Mijn klasgenoot André Van Steirteghem bevestigde dit nog onlangs in een educatief programma op Canvas (1) . André vertelde dat hij in de Cadettenschool vooral had geleerd hoe men moet studeren en ik ben er zeker van dat hij hierbij ook dacht aan de Muis en zijn lessen in Analyse ofte Calculus.
Voor mij zijn de lessen van de Heer Van Houte alias de Muis in elk geval uiterst belangrijk geweest. Ze vormden een uitstekende introductie tot mijn verdere universitaire studies, waar ik herhaaldelijk heb kunnen vaststellen, dat een goede kennis van de Calculus onontbeerlijk is. Vooral toen ik uiteindelijk via de homeopathie (!!) mij begon te interesseren voor de eigenlijke biofysica (d.i. de fysica eigen aan de levende materie) en ik in aanraking kwam met niet- lineaire dynamische processen was en de daarbij horende differentiaalvergelijkingen. Maar dat is materie voor blog V.
1° Calculus voor de Grieks-Latijnse sectie
Wat de basisleerstof Analyse in de jaren vijftig voor Grieks-Latinisten zoal inhield, moge blijken uit het Leerboek der Algebra van de collectie De Vaere Herbiet (zie cursiefje Algebra in de Cadettenschool). Jawel, ik weet het beste lezer, het doet eigenaardig aan in een boek van algebra hoofdstukken over calculus te vinden, maar in die tijd werd al wat geen arithmetiek of geometrie was als algebra beschouwd.
Het basisprogramma voor de Griekse-Latijnse afdeling werd omschreven door het laatste deel van het boek, dat als titel droeg: Deel V « Functies, grenswaarden, continuïteit, afgeleiden, toepassingen ». Voornoemd deel omvatte een achttal hoofdstukken: 1- algemene begrippen betreffende functies 2- limieten 3- continuïteit 4- de exponentiële functie 5- de logaritmische functie 6- afgeleiden 7- toepassingen van de theorie der afgeleide functies en tenslotte 8- stamfuncties, oppervlakte en inhoudsberekening. De hoofdstukken 1 tot 5 vormden een voorbereiding tot de eigenlijke calculus, die specifiek behandeld werd in de hoofdstukken 6 tot 8. Heden zou men spreken van een pre-calculus- respectievelijk calculus- luik.
1.1 Pre-calculus
In het eerste hoofdstuk werden volgende basisbegrippen toegelicht: het (klassieke) functiebegrip, het bestaansinterval van een functie, expliciete en impliciete (2) functie, eenwaardige en meerwaardige functies, algebraïsche en transcendente functies, rationale en irrationale functies, functie van een natuurlijk getal (variant), functie van een functie, periodieke functie, inverse functies, even (3) en oneven (4) functie.
Vervolgens kwam het belangrijke hoofdstuk limieten aan bod. Het begrip limiet of grenswaarde van een functie werd gedefinieerd (eigenlijke en oneigenlijke limieten, linker- en rechterlimiet) en een aantal stellingen over eigenlijke en oneigenlijke limieten behandeld. Met behulp van deze stellingen werd aan de hand van enkele eenvoudige voorbeelden aangetoond hoe men de limieten van elementaire functies (5) kan bepalen, wat dan voerde tot de regel: bij een elementaire functie is de grenswaarde gelijk aan de functiewaarde. Toepassen van deze regel leidde tot een reeks twijfelachtige gevallen: 0/0, ∞ - ∞, ∞/∞, 0 x ∞ en de daarbij horende stellingen. Toepassingen van de limietentheorie in de meetkunde (horizontale, verticale en scheve asymptoten), de trigonometrie (hoofdstelling: de limiet van sin(α)/α voor α onbeperkt naderend tot nul is gelijk aan 1 mits het argument α in radialen wordt uitgedrukt) en tenslotte in de getallenleer (definitie van het getal e : e = lim (1 + 1 / n)n voor n → ∞ e ≈ 2,7182818 ) sloten dit hoofdstuk af.
Aan het intuïtief begrip continuïteit werd in een volgend hoofdstuk een wiskundige vorm gegeven dank zij het invoeren van het centrale begrip « aangroeiing of toename van een veranderlijke x » voorgesteld door ∆ x = x2 x1 (delta x of differentie x genoemd). Met deze ∆x ging dan een toename van de functie y gepaard gegeven door ∆ y = y2 y1 . Achtereenvolgens werden de continuïteit en discontinuïteit van een functie in een punt (stellingen : de functie f(x) heet continu voor x = a als voor x = a primo de functie gedefinieerd is en secundo de limietwaarde gelijk is aan de functiewaarde; de functie f(x) heet discontinu voor x = a als ze niet aan beide continuïteitsvoorwaarden voldoet) en de continuïteit van een functie in een interval (a,b) (stellingen: een elementaire functie is continu in elk interval waarin ze gedefinieerd is ; een functie is zeker continu in een interval, als haar grafiek geen onderbrekingen noch sprongen vertoont) uiteengezet en besproken aan de hand van enkele voorbeelden.
De volgende twee hoofdstukken waren gewijd aan twee transcendente (6) functies namelijk de exponentiële functie y = ax en haar inverse functie: de logaritmische functie y = alog(x). Bij deze studie werd, naast de precieze definitie van deze functies, grote aandacht geschonken aan de grafische voorstelling van deze functies. In de eerste plaats werden enkele eigenschappen van de exponentiële functie afgeleid, wat zich dan weer uitte in een vijftal te bewijzen stellingen:
- stelling I: Is a > 1 dan is ax een stijgende functie van x
- stelling II: Is a > 1 dan is lim ax voor x → + ∞ gelijk aan + ∞
- stelling III: Is a > 1 dan is lim ax voor x → - ∞ gelijk aan 0
- stelling IV: Is a > 1 dan is lim ax voor x → 0 gelijk aan 1
- stelling V: Is a > 1 dan is de functie ax is overal continu
Logischerwijze dienden wij ter oefening de stellingen af te leiden en te bewijzen in geval a < 1.
Analoog werden vervolgens een aantal stellingen aangaande de logaritmische functie afgeleid en aangetoond en de verschillende logaritmestelsels, waaronder het Neperiaanse (grondtal a = 10) en het Briggse stelsel (grondtal a = e) besproken en vergeleken. Een belangrijke eigenschap was wel dat de verhouding van de logaritmen van een zelfde getal N voor twee verschillende grondtallen a en b niet afhangt van het getal N. Beschikte men bvb over een logaritmetafel voor het grondtal a, dan bekwam men een logaritmetafel voor het grondtal b door alle gegeven logaritmen met een constante factor te vermenigvuldigen. Deze factor wordt de modulus van het logaritmestelsel geheten en gedefinieerd als m = log(a) / log(b).
1.2 Eigenlijke Calculus
Met het hoofdstuk « Afgeleiden » betraden wij definitief het terrein van de eigenlijke calculus en wat men doorgaans de differentiaalrekening noemt. Uitgaande van een eenvoudig voorbeeld werd eerst een definitie van een afgeleide een (expliciete) functie y = f(x) voor x = x0 geformuleerd en de meetkundige betekenis ervan toegelicht. De afgeleide van de functie y = f(x) voor x = x0 is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van die functie in het punt (x0 , f(x0 )).
Vervolgens werd, eveneens uitgaande van een voorbeeld, de definitie van afgeleide functie (gesymboliseerd door y of f(x)) van een functie van één veranderlijke y = f(x) gegeven. De afgeleide van y = f(x) voor x = x0 was niets anders dan de waarde, die de afgeleide functie aanneemt voor x = x0 en om deze reden mocht de afgeleide van y = f(x) voor x = x0 door y0 of f(x0) voorgesteld worden.
Volgde dan de afleiding van een aantal regels of stellingen voor de berekening van afgeleide functies (elementaire en transcendente functies):
- stelling I: De afgeleide van een constante is nul: a = 0
- stelling II: De afgeleide van het argument (van een functie) is een: x = 1
- stelling III: De afgeleide van een veelterm is gelijk aan de som van de afgeleiden van de termen: (u + v w) = u + v w
- stelling IV: De afgeleide van een product van twee factoren vindt men door elke factor door zijn afgeleide te vervangen met behoud van de andere factor en de twee aldus gevormde producten samen te tellen: (u . v) = (u . v) + (u . v)
- stelling V: De afgeleide van een gedurig product vindt men, door achtereenvolgens elke factor door zijn afgeleide te vervangen (met behoud van de andere factoren) en alle aldus gevormde producten samen te tellen): (u . v . w) = (u . v . w) + (u . v . w) + (u . v . w)
- stelling VI: De afgeleide van een macht (gedurig n- product van dezelfde factoren u)wordt gegeven door (un) = n . u (n 1) . u Gevolg: bijzonder geval afgeleide van xn: (xn) = n . x (n 1)
- stelling VII: De afgeleide van een breuk (u / v ) wordt gegeven door ( u / v) = (v . u u . v) / v2 Gevolgen: bijzondere gevallen afgeleiden van 1 /u en 1 / x : (1 / u) = - u / u2 en (1 / x) = - 1 /x2
- stelling VIII: De afgeleide van de wortelvorm y = √u wordt gegeven door (√u) = u / 2√u Gevolg: de afgeleide van √x wordt gegeven door : (√x) = 1 / 2√x
- stelling IX: De afgeleide van sin (u) wordt gegeven door (sin (u)) = u . cos (u) Gevolg : de afgeleide van sin (x): (sin (x)) = cos (x)
- stelling X: De afgeleide van cos (u) wordt gegeven door (cos (u)) = - u . sin (u) Gevolg de afgeleide van cos (x): (cos (x)) = - sin (x)
- stelling XI: De afgeleide van alog (u) wordt gegeven door (alog (u)) = u . m /u waarin m de absolute modulus van het logaritmestelsel is (m = alog (e) ; e ≈ 2,7182818 is a = 10 dan is m = 0, 43429 ) Gevolgen : de afgeleide van elog (u) = ln (u) wordt gegeven door: (ln (u)) = u / u ; de afgeleide van alog (x) door (alog (x)) = m / x en van ln (x) door (ln (x)) = 1 / x vermits de absolute modulus hier elog (e) = 1
- stelling XII: De afgeleide van au wordt gegeven door (au) = u . au / m Gevolgtrekkingen: de afgeleide van ax is ax / m en van ex vermits hier m = 1 terug ex !!!
Ik hoor het nog de Muis met zijn doorrookte stem zeggen: « Hey, hey .. een functie waarvan de afgeleide functie dezelfde functie is.. dat is iets heel bijzonders!!! »
* * *
Tot zover de theorie der afgeleiden voor expliciete functies. Maar wat was het praktische nut van dat alles? De toepassingen bleken zeer talrijk te zijn en om te beginnen waren er de meetkundige toepassingen o.m. de oplossing van het constructieprobleem van de raaklijnen aan krommen.
In de analytische meetkunde (7) worden de eigenschappen van een meetkundige figuur of kromme bepaald door een onderzoek van de vergelijkingen die deze krommen definiëren of bepalen in een coördinatenstelsel in het vlak (x, y) of in de ruimte (x, y, z). Deze vergelijkingen kunnen zowel expliciet of impliciet zijn. Voorbeelden van expliciete vergelijkingen van vlakke krommen zijn: de vergelijking van de rechte y = ax + b, de vergelijking van de klassieke parabool (parabool, die door het nulpunt van een vlak assenstelsel gaat) y = ax2, de vergelijking van de orthogonale hyperbool y = k /x, de vergelijking van de logaritmische kromme y = alog (x). Een raaklijn in een punt M (x0 , y0 ) van een kromme y = f(x) is natuurlijk een rechte en deze wordt algemeen gedefinieerd door de vergelijking (y y0) = A (x x0) waarin A de richtingscoëfficiënt van de rechte voorstelt.
Uit de theorie der afgeleiden volgt nu de volgende grondstelling: De raaklijn in het punt M (x0 , y0 ) van een kromme y = f(x) heeft als richtingscoëfficiënt y0 de afgeleide van de functie f(x) voor x = x0 m.a.w. A = y0. De vergelijking van een raaklijn in een punt M (x0 , y0 ) van een kromme y = f(x) wordt dus: (y y0) = y0 (x x0). De snijpunten met de x-as respectievelijk y-as worden gevonden door respectievelijk y en x gelijk nul te stellen. Voor de constructie van de raaklijn door het punt M volstaat het door deze snijpunten een rechte te trekken. Het is nu niet moeilijk dit alles toe te passen op de klassieke parabool en de orthogonale hyperbool.
Vraag: bepaal de raaklijn van de sinusoïde (y = sin(x)) en aan de tangentoïde (y = tg(x)) in de snijpunten van deze krommen met de x-as
(wordt voortgezet)
2° Calculus voor de Latijns-Wiskundige en Wetenschappelijke secties
Voor de Latijns-Wiskundige en Wetenschappelijke secties was er in voorbereiding tot het toelatingsexamen KMS (Polytechnische Afdeling) uiteraard al een uitbreiding van de leerstof Calculus voorzien. Een eerste uitbreiding werd trouwens aangegeven in het « Complement der Algebra » van Devaere - Herbiet :
- Deel III : Functies: 1- algemene begrippen 2- grenswaarden 3- continuïteit 4- afgeleiden 5- toepassingen van de afgeleiden 6- gebruik van de afgeleiden bij functie- onderzoek
- en het Appendix: 1- bewijzen door volledige inductie 2- combinatieleer 3- verloop van functies 4- kettingbreuken 5- onbepaalde analyse 6- bijzondere vergelijkingen en ongelijkheden 7- integraalrekening 8- reeksontwikkelingen
Zo omvatte bvb het kapittel « Integraalrekening » de rubrieken: het differentiaalbegrip, het integraalbegrip, de integratiemethodes, de oppervlakte berekening met integraalrekening, de onbepaalde integraal als limiet van een som, het berekenen van oppervlakten en inhouden. Het kapittel Reeksontwikkelingen omvatte: de formule der eindige aangroeiingen en de belangrijke formules van Mac-Laurin en van Taylor.
Volgens de notities die ik zorgvuldig bewaard heb, behoorden bvb de kapittels 7 en 8 al evenzeer tot de te kennen leerstof van de Grieks-Latijnse afdeling (1957-1958).
Wat de differentiaalrekening betreft werden verder functies van meerdere veranderlijken besproken wat dan leidde tot de partiële afgeleiden en afgeleiden van impliciete functies. Ook had de Muis het nog over het begrip totale differentiaal, een begrip dat o.m. aan de orde komt in de Tweede Hoofdwet van de Thermodynamica. Als ik, enkele jaren later, met deze zo belangrijke hoofdwet geconfronteerd werd, herinnerde ik mij plots wat hij over totale of exacte differentialen verteld had. Hoe men tot het zo moeilijke begrip "entropie" was gekomen, was voor mij opeens erg duidelijk.
Maar voor de Latijns-Wiskundige en Wetenschappelijke secties was dit alles volgens de Muis natuurlijk nog niet voldoende. Als oud-leerling van de K.M.S. (Polytechnische Afdeling) wist hij zeer goed dat Analyse bijzonder hoog gequoteerd werd bij het toelatingsexamen en dus werd het palet nog wat meer gestoffeerd.
3° Nabeschouwingen:
Vele Cadetten hebben de algebraboeken van De Vaere Herbiet als een kostbaar aandenken bewaard en dit is ook bij mij het geval. Maar voor mij waren de titels van deze boeken Leerboek der Algebra en Complement der Algebra echter ook een bron van voortdurende ergernis, zowat een doorn in mijn voet. De titel dekte de lading niet want Analyse of Calculus is op de keper beschouwd geen Algebra Bovendien waren in deze boeken ook andere hoofdstukken voorhanden, die al evenmin iets met algebra te maken hadden.
Voor mij is en blijft het een raadsel waarom de schrijvers, allemaal wiskundigen met grote pedagogische ervaring, een dergelijke misleidende titel voor hun boeken hadden gekozen. Waarom hadden ze niet gewoon de titels Leerboek der Wiskunde en Complement der Wiskunde genomen. In de diverse hoofdstukken kon dan duidelijk gemaakt worden over welk deelgebied van de wiskunde het uiteindelijk ging.
(5) functies waarin alleen de zes elementaire bewerkingen optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling, machtsverheffing, worteltrekking- voorkomen
(7) De analytische meetkunde omvat een elementair en vectorieel deel. Dat de eenvoudige of elementaire analytische meetkunde niet op het leerprogramma van Grieks-Latijnse Afdeling voorkwam, heb ik steeds als een groot gemis ervaren. Deze elementaire analytische meetkunde wordt bvb op zeer begrijpelijke wijze uiteengezet in bvb Analytische Meetkunde van C. van der Linden (Prisma Compendia nr 7 -1966-). Voornoemd boekje omvat trouwens ook een gedeelte van de vectoriële analytische meetkunde.
Gedurende jaren heb ik gezocht naar een geschikt leerboek op humaniora- niveau, dat grosso modo de leerstof gedoceerd door de Muis in de secties Latijn Wiskunde en Wetenschappen bevatte. En ik meen uiteindelijk dit leerboek gevonden te hebben in Judith Gerstings « Technical Calculus with Analytical Geometry » maar het is natuurlijk aan mijn klasgenoten uit de L.W en de W. om te bevestigen of dit inderdaad het geval is.
Vooreerst vindt men in Gerstings monografie, die in 1984 verscheen, dezelfde doelgerichtheid op de praktijk, die zo kenschetsend was voor het onderricht van M. Van Houte. Bij de Muis was wiskunde in de eerste plaats een werkinstrument voor het oplossen van praktische en technologische problemen en dit was ook het geval bij Judith Gersting:
This text is intended for a two-semester course in calculus for technology students. The prerequisites for the course are college algebra and trigonometry. The expected student audience has influenced the choice of topics covered, the style of presentation, and the types of examples and exercises. In my teaching experience I have found technology students to be strongly career oriented; they sincerely work hard to understand material that they feel is pertinent to their goals. This text has been written to attract students interest by providing motivating examples, by given them an intuitive understanding of the concepts behind what they are doing and by providing much opportunity to gain proficiency in techniques and skills
En verder waren er de behandelde onderwerpen, waarvan men het overgrote deel in het Gerstings boek kon terugvinden,wat uit een gedetailleerde inhoudsopgave van het boek blijkt:
Chapter 1 Functions and graphs (1- functions 2- types of functions 3- graphing 4- distance formula and slope)
Chapter 2 Straight lines and conic sections (1- why analytic geometry 2- the straight line 3- the parabola 4- the ellipse and the circle 5- the hyperbola 6- the second degree equation)
Chapter 3 New coordinate systems (1- Graphing in three dimensions 2- Polar coordinates 3- Polar graphs)
Chapter 4 The derivative (1- Introduction 2- Limits 3- The definition of the derivative 4- General interpretation of the derivative 5- Differentiating polynomials 6- Differentiating products and quotients 7- Differentiating powers of functions 8- Higher order derivatives 9- Implicit differentiation 10- Partial derivatives)
Chapter 5 Using the derivative (1- Tangents and normals 2- Curve sketching 3- Maxima and minima 4- Motion 5- Related rates 6- Differentials 7- Applications of partial derivatives)
Chapter 6 Integration (1- The indefinite integral 2- Area under a curve the definite integral 3- The fundamental theorem of calculus)
Chapter 7 Using the integral (1- Indefinite integral 2- Area 3- Volume 4- Moments 5- Fluid pressure and force 6- Other applications 7- Double integrals)
Chapter 8 Derivatives of transcendental functions (1- Quick trigonometry review 2- Derivative of the sine function 3- Derivative of other trigonometric functions 4- Inverse trigonometric functions and their derivatives 5- Applications 6- The exponential and logarithmic functions 7- Derivatives of logarithmic and exponential functions 8- applications)
Chapter 9 Patterns for integration (1- the power rule 2- the logarithmic form 3- the exponential form 4- basic trigonometric forms 5- tricks for trigonometric integrals 6- inverse trigonometric forms 7- integration by parts 8- integration by trigonometric substitution 9- integration by partial fractions 10- integration tables 11- approximate methods)
Chapter 10 Series expansion of functions (1- infinite series 2- Maclaurin series 3- Operating with series 4- Computing with series 5- Taylor series 6- Fourier series)
Chapter 11 Differential equations (1- Differential equations and their solutions 2- Separation of variables 3- Regrouping to advantage 4- First order linear differential equations 5- Applications 6- Approximation techniques 7- Second order linear equations 8- Repeated or complex roots 9- Non homogeneous equations 10- Applications 11- Laplace transforms 12- Differential equations and Laplace transforms)
Voorwaar een indrukwekkend programma en dit alles samengebald op 500 pagina's!!
Opvallend was dat, in tegenstelling met de huidige leerboeken, hier geen strikte scheiding tussen precalculus en calculus werd gemaakt. De nodige precalculus vond men her en der verspreid in de diverse hoofdstukken terug, op uitzondering van de eerste drie hoofdstukken, die betrekking hadden op de analytische meetkunde. Voornoemde hoofdstukken werden in de Cadettenschool ten andere door de Poes behandeld (zie hoofdstuk « Analytische Meetkunde in de Cadettenschool ».
Toch ook nog even aanstippen dat Gerstings boek zeer veel vraagstukken telt, waarvan de oplossing op het einde van het boek wordt aangegeven. Wiskunde en i.h.b. Calculus kan men alleen maar leren door vraagstukken op te lossen d.i. werkelijk aan wiskunde te doen.
Gerstings boek verscheen nog in herdruk in 2010 bij Dover en kan ik in alle geval ten zeerste aanbevelen. De auteur werd bekroond met de Regents Medal for Excellence in Teaching van de Universiteit van Hawaii (1) .
- een inleidende tekst: Richard's Silverman's « Essential Calculus with applications »
§ 10.1 Over oude schoolboeken en.... elementaire wetenschappen
(Hoofdstuk 10 "Natuurkunde in de Cadettenschool")
§ 10.1 Over oude schoolboeken en.. elementaire wetenschappen
Toen ik nog school liep in het Sint Lodewijkscollege was de E.N.S.I.E. zo wat de enige bron van wetenschappelijke kennis waaraan ik mij kon laven. In wezen vervulde de E.N.S.I.E. voor mij de rol van een soort schoolboek Wetenschappen want blijkbaar was er op dat ogenblik nog geen specifiek leerboek in het Nederlands voor het lager middelbaar onderwijs voorhanden?? De leerstof werd door de meester of de klasleraar uiteengezet en een dictaat van deze uiteenzetting moest netjes opgetekend worden in een schrijfboek. Toen was er immers nog geen sprake van de schreeuwerige en kleurige schoolboeken die we nu kennen.
Toch beschikte ik al in die tijd over twee boeken van Métral, daterend van de twintiger jaren en uitgegeven door de bekende Franse editeur Masson. Ze waren bestemd voor het E.P.S. (in België vanaf 1850 de Ecole Moyenne genoemd) en ze handelden over Natuurkunde en Scheikunde. Beide boeken had ik geërfd van mijn vader en ik vermoed dat deze schoolboeken eertijds gebruikt of aangeraden werden in de Ecole Moyenne in Brugge. Helaas waren deze schoolboeken in het Frans opgesteld en kon ik er op dat ogenblik weinig mee doen. Ik verloor ze dus uit het oog en ze kwamen letterlijk en figuurlijk in de vergeethoek.
Door mijn bezoek aan de Cadettenschool van Namen in 2007, werd ik aan hun bestaan herinnerd en diepte ik ze terug op. De laatste pagina's van de « Cours de Physique » van Métral gaven nu een inventaris van alle beschikbare E.P.S. - schoolboeken bij Masson. Met enige verbazing stelde ik vast dat voornoemde schoolboeken in werkelijkheid deel uitmaakten van een grote collectie leerboeken, die ook in het lager middelbaar konden gebruikt worden. Tot deze collectie E.P.S. behoorden bvb leerboeken over Arithmetiek, Algebra, Vlakke Meetkunde, Ruimtemeetkunde en Natuurwetenschappen. Het heeft mij heel wat moeite en tijd gekost om een exemplaar van al deze boeken op de kop te tikken. Maar het resultaat loonde echt de moeite.
Het wetenschapsonderwijs, inclusief het wiskundeonderwijs, stond -althans vóór WOII- in de "Ecole moyenne" en voortgaande op de gebruikte of aangeraden schoolboeken, op een verrassend hoog peil. En dit niveau was bvb heel wat hoger dan wat ik in het lager middelbaar in Saint-Louis te verorberen had gekregen. Inzake wiskunde bvb werden onderwerpen besproken, die eerst maar in rhetorica behandeld werden... bvb de stereometrie en de beschrijvende meetkunde. Ook werd al een woordje gespendeerd over de afgeleide functies (!!)..
Nochtans werd door de Wetgever het lager middelbaar gelijk gesteld met de Ecole moyenne. Het werd mij duidelijk dat ik in Saint Louis de tweede winding van de didactische spiraal inzake wetenschapsonderwijs had gemist...
I- Wat wordt bedoeld met « Elementaire Wetenschappen » ?
De notie « elementaire wetenschap » (elementaire wiskunde, elementaire natuurkunde, elementaire scheikunde, elementaire plantkunde, elementaire dierkunde, elementaire biologie ) blijkt ontstaan te zijn in Frankrijk in de loop van de 18de eeuw. De term « elementair » moet hier begrepen worden in de zin van « beginselen der ... » en had als doel een eerste kennismaking met de voornoemde elementaire wetenschap.
Voor wat de experimentele wetenschappen (natuur-, scheikunde) betreft, was het onderricht gestoeld op een reeks weldoordachte experimenten, waarvan het resultaat het bewijs moest leveren voor een serie wetten of wetmatigheden betreffende het bestudeerde fenomeen. Als wiskundig instrument was hierbij alleen wat intuïtieve meetkunde en rekenkunde nodig.
Voor de elementaire natuurkunde werd dit wiskundig instrument echter wel uitgebreid met wat vectoriële algebra en trigonometrie. In deze elementaire natuurkunde was er echter helemaal geen plaats voor calculus als wiskundig gereedschap, wat i.h.b. voor wat betreft de elementaire mechanica, de introductie van zeer belangrijke basisbegrippen als snelheid op een bepaald ogenblik, versnelling en kracht erg bemoeilijkte, zo niet onmogelijk maakte (1) .
Deze « Elementaire Natuurkunde » werd gezien als een tegenhanger van Aristoteles Fysica (2) , die het alleen van zuivere observatie van de fysische fenomenen en filosofische beschouwingen moest hebben. Elementaire natuurkunde is naar het experiment georiënteerd en behoort daarom tot wat men de « Experimentele Natuurkunde » pleegt te noemen.
Elementaire Natuurkunde is Natuurkunde gebaseerd op algebra en trigonometrie en waarbij calculus absoluut uitgesloten wordt. In de USA heeft men het over Algebra and Trigonometry based Physics, die a priori te onderscheiden is van Calculus based Physics, de Algemene Natuurkunde, die naast algebra en trigonometrie ook nog het gebruik van elementaire calculus (afgeleiden, integralen, eenvoudige differentiaalvergelijkingen) toelaat.
Ook in de Scheikunde deden weldoordachte experimenten (Lavoisier) hun intrede, wat de teleurgang van de alchemie, waarvan een Newton bvb een fervent aanhanger was, inluidde en vervolgens leidde tot de « Elementaire Scheikunde ». Ook hier was het onderricht gebaseerd op het chemisch experimenteren, wat het oprichten en het bestaan van een laboratorium in de scholen rechtvaardigde.
Het zijn nu precies deze Elementaire Wetenschappen (Natuur- en Scheikunde onderwezen op basis van het experiment), die de basis hebben gevormd en nog altijd vormen van het onderricht in de wetenschappen in het secundair onderwijs.
Vele wetenschappers spraken zich immers uit ten voordele van deze Elementaire Wetenschappen, wat blijkt uit uitspraken van een Pouillet (3) , een Pasteur (4) , een Duruy (5) , een Le Chatelier (6) :
- .. "C'est surtout en physique qu'il faut voir et toucher".. (C. Pouillet, 1827)
- .. "Ce serait avec peine que l'on pourrait saisir l'attention des élèves sans les expériences".. [L. Pasteur, 1846]
- .."Il faut que les yeux voient et que les mains touchent".. [V. Duruy, 1868]
- .."Il ne suffit même pas de regarder des expériences faites au cours par le professeur. Il faut les avoir répétées soi-même" [H. Le Chatelier, 1928]
Kritiek op deze aanpak of oriëntatie was eerder zeldzaam en kwam er feitelijk maar in de 20ste eeuw van o.a. een Bouasse (7) , een Bachelard (8) , een Hulin (9) :
- "Faut-il avoir l'air d'établir expérimentalement toutes les lois qu'on énonce ? Sans parler de l'impossibilité d'expliquer aux élèves certains appareils nécessaires à cet établissement [...] sans insister [...] sur le trompe l'il que [la démonstration expérimentale] est souvent" [Henri Bouasse, 1901]
- "Voir pour comprendre, tel est l'idéal de cette étrange pédagogie".. [Gaston Bachelard, 1931]
- "Les manipulations font recours à un matériel didactique hors de prix et ad hoc qui enlève l'essentiel de leur intérêt aux manipulations car il s'agit d'un matériel modèle imposé dans une structure figée aux élèves [...] À la limite, le recours expérimental devient purement idéologique" [Michel Hulin, 1987].
In de 19de eeuw was het didactisch instrumentarium, dat deze Elementaire Natuur- en Scheikunde moest begeleiden, derwijze toegenomen dat een Bouasse bvb het in 1901 al had over "l'empilement de ce bazar instrumental dans les cours élémentaires" en het aandurfde te verklaren :
. "Les traités élémentaires sont d'étranges recueils d'instruments démodés ; on s'y trouve comme dans un musée d'antiquités où l'on a réuni pêle-mêle le legs des temps passés" ..
Als voorbeelden van dergelijke type instrumenten citeerde hij verder: de areometer van Beaumé, de barometer van Fortin, de galvanometer van Nobili
Een van de meest aangeprezen leerboeken over elementaire natuurkunde in de 19de eeuw was Adolphe Ganots « Traité élémentaire de Physique expérimentale et appliquée » (10) , die in eigen beheer werd uitgegeven. Een eerste editie verscheen in 1851, de 12de in 1866, de 16de in 1874, de 17de in 1876, de 20ste in 1881 .
Le Ganot werd net zoals het «Traité de Physique élémentaire» van Charles Drion en Emile Fernet zeer hoog aangeslagen, ook in het buitenland zelfs in de Verenigde Staten.. Zij dienden als basis voor zeer vele schoolboeken, ook nog in de 20ste eeuw
In het Natuurkunde-onderwijs vormt Elementaire Natuurkunde de eerste winding in de didactische spiraal en is uiteraard van zeer groot belang. Nadien volgen in het Hoger Onderwijs achtereenvolgens de « Algemene Natuurkunde » en de « Fundamentele Natuurkunde », die dan als de tweede respectievelijk derde winding in de fameuze didactische spiraal moeten beschouwd worden. Algemene Natuurkunde en Fundamentele Natuurkunde worden gedefinieerd en besproken respectievelijk in blog III en IV.
Hetzelfde didactisch schema is ook van toepassing voor de andere wetenschappen inclusief wiskunde en men heeft derhalve: Elementaire Wetenschap → Algemene Wetenschap → Fundamentele Wetenschap.
II- Schoolboeken over Fysische Wetenschappen: Natuur- en Scheikunde:
1- de collectie E.P.S. van Masson
P. Métral was Agrégé en Sciences Physiques, Directeur de lEcole Colbert (Paris) en Membre des Commissions dExamen du Professorat des Ecoles Normales et des Ecoles Primaires Supérieures. Hij was de auteur van twee schoolboeken over Natuurkunde en Scheikunde, bestemd voor het E.P.S. waarin de leerstof ingedeeld werd volgens het leerjaar (eerste, tweede en derde jaar E.P.S.). Deze boeken waren van uitstekend didactisch gehalte en werden blijkbaar vóór WOII ook in België gebruikt. Zelf was ik in mijn jeugdjaren erg aangetrokken door deze boeken en i.h.b. door de vele figuurtjes en getekende illustraties, die de Franse tekst illustreerden. Uitstekend als een eerste tekst over Natuur- en Scheikunde:
- «Cours de Physique E.P.S. 1ère , 2ème et 3ème année- » (P. Métral Masson -1922- 760 pages)
- «Cours de Chimie E.P.S. -1ère, 2ème et 3ème année- » (P. Métral Masson -1925- 768 pages)
De schoolboeken waren ook gecombineerd en afzonderlijk d.i. per leerjaar te verkrijgen:
- «Cours de Physique et de Chimie E.P.S. -1ère année- » (P. Métral Masson -1922-)
- «Cours de Physique et de Chimie E.P.S. -2ème année- » (P. Métral Masson -1922-)
- «Cours de Physique et de Chimie E.P.S. -3ème année- » (P. Métral Masson -1922-)
Naast leerboeken over Natuur- en Scheikunde omvatte deze collectie ook nog:
- «Cours dArithmétique théorique et pratique- E.P.S.-1ère, 2ème et 3ème année- » (H. Neveu Masson 8ème édition -1917- 498 pages)
- «Cours dAlgèbre théorique et pratique- suivi des notions de Trigonométrie E.P.S.» (H. Neveu Masson 12ème édition -1929- 480 pages)
- «Cours de Géométrie théorique et pratique- E.P.S.-1ère et 2ème année (géométrie plane) » (H. Neveu et H. Bellenger -1907- 465 pages)
- «Cours de Géométrie théorique et pratique- E.P.S.- 3ème année (géométrie stérique) » (H. Neveu et H. Bellenger Masson 6ème édition -1923-)
2- de collectie Delaruelle- Claes
André Delaruelle was diocesaan Inspecteur van het Middelbaar Onderwijs. Amata Ida Claes was doctor in de wetenschappen en verbonden aan het Sint Bavo Instituut te Gent. Van hun natuurkunde- en scheikunde boeken bestonden er zowel Nederlandse als Franse versies. Deze boeken werden gedurende decennia als referentie gebruikt in het Vrij Onderwijs: zowel algemeen secundair als technisch secundair onderwijs. Er waren dan ook nog herdrukken tot in de tachtiger jaren!!! Delaruelle en Claes waren ook de auteurs van een aanvullende monografie Limieten en Afgeleiden. Deze monografie, speciaal bestemd voor leerlingen van de Grieks-Latijnse humaniora, paste de theorie der afgeleiden toe op natuurkundige problemen. De scheikundeboeken werden gebruikt in de Cadettenschool.
Natuurkundeboeken:
- « Aanvankelijke begrippen van Natuurwetenschappen: Natuurkunde » door A. Delaruelle en A.I. Claes (vierde druk, 1960-). Verschijnt later onder de titel Eerste begrippen van natuurkunde : voor de lagere graad van het secundair onderwijs
- « Beginselen der Natuurkunde » -Deel I door A. Delaruelle en A.I. Claes (twaalfde druk, -1959-) Deel II (tiende druk, -1960-)
- « Beknopt Leerboek der Natuurkunde » door A. Delaruelle en A.I. Claes
- Deel 1: Mechanica, vloeistoffen, gassen (zesde druk, -1959-) later in 2 afzonderlijke deeltjes deel 1a Mechanica (25ste druk, 1984-, 272 p), deel 1b Vloeistoffen en Gassen (25ste druk, -1982- , 164p)
- Deel 2: Warmteleer, geluidsleer, optica (5de druk, -1960-) werd later in 2 deeltjes gesplitst deel 2a Warmteleer (21ste druk, -1985- , 184 p) deel 2bOptica (19de druk, -1979-, 203 p)
- Deel 3: Elektriciteitsleer (18de druk, -1977-)
- Deel 4: Periodieke verschijnselen (7de druk, -1981-, 242 p)
- « Eléments de Physique à l'usage des classes supérieures de l'enseignement secondaire »
- Tome 1: Mécanique-liquide-gaz (dixième édition, -1985-, 378 p)
- « Vraagstukken van Natuurkunde » bevatte de uitgewerkte oplossingen van de vraagstukken uit Beginselen der Natuurkunde en het Beknopt Leerboek der Natuurkunde Dit boek beleefde nog een derde druk in 1958.
Scheikundeboeken
- « Aanvankelijke begrippen van Natuurwetenschappen: Scheikunde »door A. Delaruelle en A.I. Claes (derde druk, 1960) later uitgebracht onder de titel : Eerste begrippen van chemie (elfde oplage, -1976-, 116 p) . Dit boek was bestemd voor het lager secundair onderwijs
- « Premières notions de chimie à lusage de la classe de quatrième »Wesmael Charlier (1969). De Franse versie van Aanvankelijke begrippen van Natuurwetenschappen: Scheikunde
- « Beginselen der Moderne Chemie »door A. Delaruelle en A.I. Claes Deel I Anorganische Chemie- (achtste druk, -1946-). Deel II Organische Chemie (1950) Dit boek beleefde zijn dertiende druk in 1959. Het eerste deel verscheen later onder de titel Anorganische chemie (1984)
- «Traité élémentaire de Chimie à lusage des classes supérieures de lenseignement moyen »uitgegeven bij Wesmael Charlier -1958-. De Franse versie van Beginselen der Moderne Chemie.
Wiskundeboeken zijn:
- « Limieten en Afgeleiden inleiding tot de differentiaal- en integraalrekening- »uitgegeven bij de Standaardboekundel en waarvan een negende druk in 1962 verscheen
- « Oefeningen op Limieten en Afgeleiden» door A. Delaruelle en A.I. Claes (eerste editie 1944; tweede vermeerderde druk, -1956-)
- « Het eeuwige getal » door A. Delaruelle en A.I. Claes (Standaard, -1948-, 84 p)
3- de collectie « Dessart en Jodogne »
Albert Dessart was doctor in de wetenschappen en verbonden aan de normaalschool van Mons . Joseph Jodogne was insgelijks doctor in de wetenschappen en leraar aan het Koninklijk Atheneum van Mons. Jean Claude Jodogne kwam eerst later de ploeg vervoegen. Hij was Burgerlijk Ingenieur Electromechanica (Faculté Polytechnique Mons) en doctor in de wetenschappen fysica- (UCL). In de Cadettenschool werden de Natuurkundeboeken van Dessart - Jodogne officieus als referentie gebruikt.
Natuurkundeboeken:
- « Cours de Physique tome I Mécanique et Pesanteur , Statique et Dynamique des Fluides , Chaleur» par A. Dessart et J. Jodogne
- « Leerboek der Natuurkunde deel I Mechanica en Gravitatie, Statica en Dynamica der Fluïda, Warmteleer-» door A. Dessart en J. Jodogne vertaald en bijgewerkt door L. Borghijs (tweede druk, -1954)
- « Cours de Physique -tome II Optique géométrique , Electricité , Phénomènes périodiques , Physique terrestre »
- « Leerboek der Natuurkunde deel II Geometrische Optica, Electriciteit en Magnetisme, Periodische verschijnselen- »door A. Dessart en J. Jodogne vertaald en bijgewerkt door L. Borghijs en A. Van Doninck (derde druk, -1961-)
In 1985 werd de Cours de Physique (5de en 6de editie) echter gesplitst in 5 delen:
- tome 1 Mécanique (206pages)
- tome 2 Optique géométrique (96 pages)
- tome 3 Energie thermique et états de la matière (160 pages)
- tome 4 Electricité (189 pages)
- tome 5 Phénomènes périodiques (181 pages)
Scheikundeboeken:
- « Cours de Chimie » par A. Dessart , J. Jodogne et J. Paul
-tome I : Chimie Générale et Métalloïdes(1957) 306 pages
-tome II : Chimie minérale notions de chimie nucléaire (1959) 464 pages
-tome III : Chimie organique (1959) édition 1966 167 pages
III- Schoolboeken over biowetenschappen (plantkunde en dierkunde)
De biowetenschappen waren tot ver in de jaren zestig uitsluitend een beschrijvende wetenschap onderverdeeld in plant- en dierkunde. Dit had tot gevolg dat vooral de systematiek en de morfologie de sokkel van het onderwijs vormden zowel in het secundair als in het universitair onderwijs. Deze systematiek en (vergelijkende) morfologie voerden om zo te zeggen rechtstreeks tot de afstammingsleer en tot Darwin, zoals het "Leerboek" van Eidert Reinders (Deel II) zie verder- duidelijk aantoont.De afstammingsleer (nu "evolutietheorie" geheten) vindt inderdaad haar wortels in de vergelijkende morfologie.
Uit deze beschrijvende biowetenschap heeft zich in de tweede helft van de twintigste eeuw een synthetische en exacte wetenschap ontwikkeld, die biologie genoemd werd. Aanzet tot die moderne biowetenschap was het ontrafelen van de DNA- structuur (1953). De te doceren leerstof moest dus aangepast worden en schoolboeken over moderne biologie kwamen op de markt. De moderne fysiologie en genetica (vergelijkende DNA studies) bevestigden wat alvoortvloeide uit de vergelijkende morfologie van vroeger namelijk de afstammingsleer, die een sleutelpositie innam.
In het katholieke onderwijs van vóór WOII en i.h.b. in de schoolboeken, was er natuurlijk geen plaats voor de afstammingsleer omwille van de encyclieken: Pascendi -1907- en Humani generis -1950-.Voornoemde encyclieken verwierpen immers het transformisme als zijnde strijdig met de christelijke leer. In de communistische landen (USSR) werd deze afstammingsleer dan weer tot een absolute doctrine verheven en voor politieke doeleinden gebruikt. Beide standpunten vindt men dan ook in de schoolboeken van die tijd terug.
In de Iron Forties en Silver Fifties waren schoolboeken over biowetenschappen, geschreven in het Nederlands eerder zeldzaam. Wel bestond er in België, nog steeds het boek van kanunnik L. Wouters, diocesaan hoofdinspecteur van de provincie Antwerpen:
- « Leergang van Natuurwetenschappen behelzende Ontleedkunde en Levensleer van t menselijk lichaam, Dierkunde, Plantkunde en Begrippen van Delfstofkunde met Nijverheidstoepassingen» (Windels, -1939-)
Het betrof een vertaling van een in 1914 geschreven boek, zoals een begeleidend schrijven, getekend door kardinaal Mercier aantoont. Ik had dit boek van mijn oudste broer geërfd en heb het maar zelden gebruikt. Natuurlijk was dit werk erg katholiek getint, een kanunnik als schrijver en een kardinaal als supervisor, wat wil je nog meer. Over de afstammingsleer werd met geen woord gerept en de naam Darwin kwam niet eens in het boek voor
Een schoolboek "Algemene Biologie" dat in de jaren tachtig vooral in Frankrijk verspreid en gebruikt werd was bvb:
- « Biologie Générale » (G. Poliansky et al. MIR -1983-)
1° de monografieën E.P.S. van Boule Gravier Lecomte
In Frankrijk werden voor WOII in het E.P.S. vooral de schoolboeken van Marcelin Boule, Charles Gravier en Henri Lecomte furore. Alle drie waren ze als Hoogleraar verbonden aan het befaamde « Muséum National d'Histoire Naturelle » van Parijs. Lecomte was ook lid van de Académie des Sciences. Deze schoolboeken handelden over Geologie (Boule), Plantkunde (Lecomte) en Dierkunde (Gravier) en waren voor die tijd rijkelijk geïllustreerd.
- « Cours dHistoire naturelle E.P.S. Première année » (Marcelin Boule, Ch. Gravier et H. Lecomte Masson -1922- 188 pages)
- « Cours dHistoire naturelle E.P.S. Deuxième année » (Marcelin Boule, Ch. Gravier et H. Lecomte Masson -1923- 280 pages)
- « Cours dHistoire naturelle E.P.S. Troisième annee » (Marcelin Boule, Ch. Gravier et H. Lecomte Masson -1922- 240 pages)
2° de monografieën van Eildert Reinders en Ritzema Bos
In Nederland waren in die tijd zoals ik vele jaren later heb kunnen vaststellen- uitstekende boeken over biowetenschappen voorhanden, die nauw aansloten bij een eventuele universitaire opleiding in de biowetenschappen. Ze waren van de hand van Eidert Reinders (Plantkunde) en Ritzema Bos (Dierkunde). Beiden waren hoogleraar aan het bekende Landbouwinstituut van Wageningen:
- « Leerboek der Plantkunde voor gymnasia, H.B.S. met vijfjarige cyclus en lycea» door E. Reinders -Deel I (Wolters, vijfde druk, -1930-) -Deel II (Wolters, derde druk, -1947-)
- « Leerboek der Dierkunde» door J. Ritzema Bos en H. Bos bewerkt door C.J.J. van der Maas -Deel I Het Menselijke Lichaam Gewervelde Dieren (Wolters, -18de druk, 1947-) -Deel II De Ongewervelde Dieren Het Menselijk Lichaam (17de druk, -1951-)
Besluit:
Dit summiere overzicht van schoolboeken,waarvan de meeste in gebruik waren in de Iron forties en de Silver Fifties, laat toe het basisonderricht wiskunde,wetenschappen (natuur- en scheikunde) en biowetenschappen (plant- en dierkunde) van die jaren veel beter te begrijpen .
Zij laten bvb toe, het leerplan en de gevolgde didactiek inzake wiskunde beter te vatten en i.h.b. voor wat betreft het primair en het lager secundair onderwijs.In dit opzicht blijken de schoolboeken van E.P.S. Masson en van Herbiet dan weer van kapitaal belang te zijn, want ze geven met uiterste nauwgezetheid de leerprogramma's van hun tijd weer.
Wat het onderwijs in de wetenschappen (natuur- en scheikunde) betreft, is er natuurlijk een voortdurende aanpassing geweest aan de snelle evolutie van deze wetenschappen, wat zich uit door schoolboeken van steeds grotere omvang. De opeenvolgende edities van de schoolboeken van Dessart en Jodogne respectievelijk van Claes en Delaruelle tonen deze stelling op overduidelijke wijze aan.
(1) In Newtons « Philosophia naturalis Principia mathematica » wordt bij het introduceren van deze begrippen al evenmin calculus gebruikt, wat velen op een verkeerd spoor zet. Voor een uitstekende Franse vertaling van dit belangrijke werk, dat iedere fysicus toch eens zou moeten doornemen, verwijs ik naar Sur les Epaules des Géants (Dunod -2003-).
Volgens Richard Feynman (Lectures on Physics) heeft een Newton wel degelijk calculus als wiskundig instrument gebruikt voor het ontwikkelen van deze begrippen: Newton volgde hierbij de logische lijn: hoeveelheid materie (massa m) → hoeveelheid van beweging of impuls: product van massa m en snelheid v (impuls p = m.v ) → afgeleide van de impuls naar de tijd of kracht F (vectoriële grootheid).
Opmerkelijk is dat kracht door Newton oorspronkelijk gedefinieerd werd door de vergelijking F = dp /dt wat dan, -in zoverre m constant is-, leidt tot de bekende betrekking F = m. dv / dt of F = m.j (met j = dv /dt gedefinieerd als de versnelling), de bekende tweede bewegingswet van Newton. M.a.w. kracht werd door Newton gedefinieerd als de eerste afgeleide van de impulsfunctie en uit deze definitie volgen zowel de eerste bewegingswet ("een lichaam waarop geen kracht inwerkt (F = 0) is in rust of in eenparige, rechtlijnige beweging") als de tweede bewegingswet.
(9) cf. Michel Hulin « Le mirage et la nécessité - Pour une redéfinition de la formation scientifique de base- » (Presses de l'Ecole normale supérieure -1992-)
Natuurkunde of Fysica werd in de Cadettenschool beschouwd als het belangrijkste wetenschapsvak. In de Franstalige Afdeling werd het vak gedoceerd door M. Jacques Martin (van 1950 tot 1986) -zie foto bijlage 1-, in de Nederlandstalige Afdeling door M. Frans Van Herp (van 1951 tot 1988). De natuurkundelessen werden gegeven in het gemeenschappelijk laboratorium voor natuur- en scheikunde, dat afwisselend door de Nederlandstalige en Franstalige leerlingen werd bezet.
M. Van Herp (bijgenaamd dePoes) had wis- en natuurkunde gestudeerd aan de Leuvense Universiteit en was belast met de cursussen Elementaire Natuurkunde en Analytische Meetkunde. De ikoon van dit cursiefje toont hem in volle bedrijvigheid in een of andere natuurkundeles.
Ikzelf heb hem alleen gekend als natuurkundeleraar en niet als wiskundeleraar en bij mij kwam hij over als wat verward en dit bleek ook uit zijn Poesiaanse uitdrukkingen. Zijn Nederlands was in elk geval zeer speciaal en een lorejas heeft zich gedurende het schooljaar 1959-1960 laten verleiden tot het optekenen van enkele typische Poesiaanse uitdrukkingen. Ik kan de verleiding niet weerstaan om u ook eens te laten genieten van al deze pareltjes (1):
Een greep uit het ontelbare aantal Poesiaanse uitdrukkingen(Verzameld in de KCS, schooljaar 195960):
1. Daar moeten we ons niet veel van aandragen. 2. Nadat wij hier op gedeven (?) hebben 3. De windingen die we hier zien opgewinden te zijn. 4. Tcha, deze oplossing is verkeerdelijk. 5. Hoe of wij dit kunnen oplossen, en wat of dit ons zal brengen, zullen wij later zien. 6. Dat dit geldt staat buiten kijf, en na een beetje rekenen zien we dat de stelling punt is. 7. Een ware as in deze kromme was Apollonius. 8. Als wij deze betekenis in de vergelijking van de kegelsnede overhevelen 9. Hebt U daarvan iets kunnen aaneenrijmelen? 10. Als U Marilyn Monroe van dichter bekijkt kunt U niets anders zeggen dan: Conferentie der twee groten. 11. Over Picasso: Hier in die hoek een broek, daar tegen de muur twee dikke benen, en daar nog verder twee andere dikke dingen 12. Men kan zomaar niet stante pede de Newton de wereld in schoppen. 13. Ge moet het op uw hoede hebben, want ge zoudt U verschieten. 14. Ik kan zelfs niet meer door twee delen, hetgeen mij doet betwijfelen dat het niet juist is. 15. Nu zit die grote massa daar te paard op die rotatieas. 16. Ik ga proberen mij een voorbeeld aan te halen waar dit zo is. 17. Tcha, zo gaan we iets klaar te scheppen. 18. Ik krijg daarstraks in mijn voeten van de Kolonel 19. Ge moet dat nu niet gaan doorkramen en overkramen. 20. Hij veegde er dan ook zijn pikkel aan. 21. Met mijn kleintjes heb ik leren verduldig zijn. 22. Tcha, U hebt gelijk, ik heb mij een beetje verrekend. 23. Ge hebt daar dit en dat, maar op dat moment zijt U om zo te zeggen uitgepurgeerd. 24. Dat is een van die rare uitzonderingen die ge niet dikwijls tegenkomt. 25. De moleculen van een vloeistof, die zitten daar dooreengeranseld 26. Op dat moment beginnen uw oren gaan te kloppen. 27. Dat heeft een lameersel geworden. 28. Felix ! Het is nog geen tijd om te wortelen. 29. Veeg het bord weg ! 30. Het beste is dat ik U toch nog wat goed Nederlands kan leren.
De Poes was ook de man van ingewikkelde, onmogelijke om maar niet te zeggen onzinnige vraagstukken. Waar hij deze onzin vandaan haalde weet ik niet; ik vermoed dat hij ze zelf op de een of andere manier samenflanste, en ze vervolgens systematisch op steekkaarten bracht. Een normaal examen omvatte steeds twee theorievragen en twee vraagstukken, waarvan men minstens van één de oplossing moest vinden om de helft van de punten te halen, want de theorie was zeer laag gequoteerd.
Nu herinner ik mij nog een examenvraagstuk in rhetorica, dat maar liefst twee volgeschreven borden in beslag nam en dit voor één vraagstuk. Moet er nog zand zijn?? Wanneer men op het einde van het vraagstuk kwam was men het begin al vergeten. Komt de Poes daar nu op ongeveer een kwartier voor het verstrijken van de examentijd de studiezaal binnengestormd met de mededeling: Tcha, ik heb een gegeven vergeten..!!!.
Na drie kwartier hadden wij natuurlijk wel door dat er iets met dit vraagstuk schortte, dat er iets niet klopte, maar wij durfden het niet aan er ook naar te handelen. Alleen onzen Bats (Ghislain Debaetselier) had het lef gehad, al zijn kopij met de melding vraagstuk onoplosbaar want bepaalde gegevens ontbreken in te dienen en dit vóór de stormachtige intrede van de Poes. En wij maar vloeken en proberen toch nog met onze berekeningen op tijd klaar te komen want er was natuurlijk geen sprake van eventueel verlengen van de examenduur.
Dat er ook nog anderen waren, die lak aan de vraagstukken van de Poes hadden, bewees daadwerkelijk een Marc Gobin (cadet 1953-1956). Na afgifte van zijn examenkopij bekeek de Poes die eens vluchtig in en vroeg hem, waar de oplossing van het tweede vraagstuk gebleven was. Deze antwoordde hem brutaal, dat hij de oplossing van één vraagstuk al voldoende vond, en hij liever naar de kantine ging dan zijn hersenen nog te pijnigen met een tweede vraagstuk En onze Gobin was een geniale kerel, die later docent is geworden in de K.M.S. en aan de Leuvense universiteit
Legendarisch waren ook de experimentele fysicaproeven van de Poes. Hij moest er steevast de laborant (Felix) bijhalen, om hem uit het slop te helpen.
Eén van zijn roemruchte demonstraties gebeurde met de valmachine van Atwood(2) . En ja, ook in het laboratorium van de Cadettenschool was een dergelijke (helse) machine (zie foto bijlage 2 machine van Atwood) aanwezig ter vervanging van het hellend vlak van Galileï en de daarbij horende knikkers. Deze machine werd ontworpen door George Atwood in 1784 om de gravitatieversnelling g te meten en de valwetten (tweede wet van Newton) te demonstreren.
Die fameuze machine is echter een ware pons asinorum en ik geloof niet dat er één van ons goed begreep hoe de vork juist in de steel zat (zie voetnotas (3) en (4) voor een juist begrip), want de uitleg van de Poes was allesbehalve duidelijk .en de vraagstukken dienaangaande nog veel minder
- het lessenpakket van de "Poes":
De lessen, die wij voorgeschoteld kregen, waren als het personage, verward en weinig inspirerend. Als schoolboek had de "Poes" geöpteerd voor het boek van een zekere Nathan Lindemans (?), boek, waar hij in zijn lessen voortdurend naar verwees. Maar ook dit leerboek, dat verscheidene deeltjes omvatte, bracht geen soelaas.
Gelukkig was er nog het driedelig « Leerboek der Natuurkunde » van Dumez (1945), dat ik van mijn oudste broer geërfd had en dat in sommige bisschoppelijke colleges werd gebruikt: Deel 1 Mechanica, Zwaartekracht, Moleculaire Natuurkunde van Vaste Stoffen, Vloeistoffen en Gassen omvatte de leerstof voor de derdes, deel 2 Warmteleer, Geluidsleer en Lichtleer deze van poësis en deel 3 Magnetisme en Elektriciteit tenslotte de materie van rhetorica. Dank zij het leerboek van Dumez en de aantekeningen, die ik in de laatste twee delen heb aangebracht, is het mij mogelijk de leerstof van toen in het kort te schetsen:
In de derdes kwamen dus « Mechanica », « Gravitatie » en « Moleculaire Natuurkunde » aan de beurt, waarbij wij voor het eerst met het begrip "vector" en "vectoriële grootheid" geconfronteerd werden:
Hoofdstuk 2 Krachten in Rust (Statica): Kenmerken; Samenstelling van krachten ; Ontbinding van een kracht
Hoofdstuk 3 Kracht en Beweging (Dynamica): Hoofdwetten van de beweging ; De kracht en de cirkelvormige beweging ; Weerstanden ; Arbeid en arbeidsvermogen ; Werktuigen
-Deel Gravitatie
Hoofdstuk 1 De Zwaartekracht
Hoofdstuk 2 Evenwicht van Vaste Lichamen
Hoofdstuk 3 De Vrije Val
Hoofdstuk 4 De Gedwongen Val: Het hellend vlak ; De slinger
Hoofdstuk 5 Algemene Gravitatie
-Deel Moleculaire Natuurkunde
Hoofdstuk 1 De Vaste Lichamen
Hoofdstuk 2 De Vloeistoffen: Evenwichtsleer der vloeistoffen of hydrostatica ; De wet van Archimedes ; Bepaling van de dichtheid ; Moleculaire fysica van vloeistoffen ; Hydrodynamica
Hoofdstuk 3 De Gassen: Algemene eigenschappen van gassen ; De atmosferische druk ; De wet van Archimedes in gassen ; De wet van Boyle - Mariotte en toepassingen ; Moleculaire fysica van gassen
In poësis werden achtereenvolgens de « Warmteleer », de « Geluidsleer » en de « Lichtleer» ofte « Optica » behandeld:
-Deel Warmteleer
Hoofdstuk 1 Uitzetting van de Lichamen: Uitzetting van de vaste stoffen ; Uitzetting van de vloeistoffen ; Uitzetting van de gassen ; Toepassingen en gevolgen
Hoofdstuk 2 Thermometrie: Vloeistofthermometers ; thermometers met vaste stoffen
Hoofdstuk 3 Calorimetrie
Hoofdstuk 4 Verandering van Aggregatietoestand: smelten en stollen; oplossingen en legeringen; verdampen en koken ; vloeibaarmaking van dampen en gassen; hygrometrie
Hoofdstuk 5 Voortplanting van de Warmte: voortplanting ; warmtebronnen
Hoofdstuk 6 Thermodynamica: machines ; hoofdwetten van de thermodynamica
-Deel Geluidsleer
Hoofdstuk 1 Trillingen en Golven
Hoofdstuk 2 Geluidsgolven: voortplanting van het geluid ; hoedanigheden van het geluid
Hoofdstuk 3 Geluidsbronnen
-Deel Lichtleer
Hoofdstuk 1 Fotometrie
Hoofdstuk 2 Voortplanting in een homogeen midden
Hoofdstuk 3 Terugkaatsing van licht: Terugkaatsing op een plat vlak ; Terugkaatsing op een sferisch oppervlak
Hoofdstuk 4 Breking van licht: Breking door platte vlakken ; Breking door hoekmakende vlakken ; Breking door gebogen vlakken
Hoofdstuk 5 Het Oog en de Optische Instrumenten: Het oog ; Het fototoestel ; De projectietoestellen ; De kijktoestellen
Hoofdstuk 6 Het Spectrum: Schifting van licht ; Studie van het spectrum
Hoofdstuk 7 Lichtgolven: Interferentie van licht ; Polarisatie van licht
In rhetorica tenslotte kwamen de magnetische en electrische verschijnselen aan de beurt met de delen « Magnetisme », « Electrostatica » en « Electrodynamica »
- Deel Magnetisme
Hoofdstuk 1 De magneet en het magnetisch veld: de natuurlijke magneet ; kunstmagneten ; polen ; onderscheid tussen de polen ; wet van Coulomb ; eenheidspool ; magnetisch krachtveld ; veldsterkte krachtstroom ; homogeen krachtveld ; een magneet in een magnetisch veld
Hoofdstuk 2 Magnetische inductie: het inductieverschijnsel ; magnetische spectra ; ijzer in een magnetisch veld toepassingen ; para- en diamagnetische stoffen ; magnetische eigenschappen der ferromagnetische stoffen ; verklaring van het magnetisme
Hoofdstuk 3 Aardmagnetisme: het aardveld ; richting van het aardmagnetisch veld ; magnetische kaarten ; Noordkompas ; intensiteit van het aardmagnetisch veld ; oorsprong van het aardmagnetisme
- Deel Elektriciteit Elektrostatica
Hoofdstuk 1 De elektrische lading: lading door wrijven ; twee soorten ladingen ; toestellen om de lading aan te tonen ; oudere theorieën over de elektrische lading ; de elektronentheorie ; laden is verdelen niet voortbrengen ; geleiders en niet- geleiders ; verspreiding van de lading kooi van Faraday ; dichtheid van de lading spitswerking
Hoofdstuk 2 Elektrische inductie: het inductieverschijnsel ; grootte van de geïnduceerde lading ; bestendige lading door inductie
Hoofdstuk 3 Elektrostatische grootheden: grootte van de lading wet van Coulomb ; eenheidslading ; het elektrisch krachtveld ; homogeen krachtveld ; veldsterkte en krachtvloed ; wat duidt de elektroscoop en de elektrometer aan? ; een vergelijking ; de elektrische potentiaal ; potentiaaleenheid ; berekening van de potentiaal ; equipotentiaalvlakken ; potentiaal van de bolvormige geleider ; de capaciteit ; betrekking tussen de elektrostatische eenheden ; eenheid van capaciteit
Hoofdstuk 4 Condensatoren: werking van een condensator ; capaciteit van een condensator ; berekening van een capaciteit ; vormen van de condensatoren ; schakeling van condensatoren; arbeidsvermogen van een geladen condensator ; aantrekking tussen twee condensatorplaten ; elektrometer
Hoofdstuk 5 Elektriseermachines: de elektrofoor ; wrijvingsmachines ; inductiemachines
- Deel Elektriciteit Elektrodynamica
Inleiding Algemene begrippen: stroming in geleiders ; richting vn de stroom ; wezen van de elektrische stroom ; stroombronnen ; elektromotorische kracht ; stroomsterkte ; weerstand ; meettoestellen
Hoofdstuk 1 Hoofdwetten van den elektrische stroom: 1- wet van Ohm (wet van Ohm in een geleider, wet van Ohm in een gesloten stroomkring) ; 2- regels van Kirchhoff (eerste regel van Kirchhoff, tweede regel van Kirchhoff, schakeling van weerstanden, potentiometerschakeling, verbreding van het meetbereik van meettoestellen) ; 3- wet van Joule (brug van Wheatstone, wet van Joule, arbeidsvermogen van de elektrische stroom, eenheden van stroomeffect en stroomenergie) ; 4- galvanisme (ontdekkingen van Galvani en Volta, Voltas spanningsreeks, theorie der contact- potentiaalverschillen, gesloten reeks van geleiders van eerste klasse, Voltas zuil, werking van de zuil van Volta, polarisatie, galvanische elementen, schakeling van cellen, meten van de E.M.K. van een cel)
Hoofdstuk 2 Elektrische stroom in geleiders van eerste klasse: Joule-effect in de geleiders ; verwarmingstoestellen ; de gloeilamp ; thermo-elektriciteit; Peltier-effect ; weerstand van metalen ; invloed van de temperatuur ; weerstandpyrometer bolometer ; suprageleiding ; weerstanden ; meten van weerstanden
Hoofdstuk 3 Elektrische stroom in geleiders van tweede klasse: stroomgeleiding in vloeistoffen ; elektrolyse ; elektrolyse met secondaire werkingen ; wetten van Faraday ; equivalentlading ; atoomlading van waterstof ; wezen van de stroomgeleiding in vloeistoffen ; galvanostegie ; galvanoplastiek ; voltameters ; de accumulator ; elektrolytische kleppen ; de elektrolytische condensator
Hoofdstuk 4 Elektrische stroom in gassen: inleiding (geleidingsvermogen in gassen) 1- opgewekte ionisatie (oorzaken van ionisatie, atmosferische elektriciteit, onweer) 2- spontane ionisatie: a- ontlading onder hogere druk (ontladingen in de lucht, de bliksem, de booglamp) b- ontladingen in verdunde gassen (elektroluminescentie, stootionisatie, Geisslerbuizen, buis van Crookes, kathodestralen, gegevens nopens het elektron, Röntgen- stralen, kanaalstralen, massaspectrograaf van Aston)
Hoofdstuk 5 Elektronische verschijnselen: foto-elektrisch effect ; de diode ; de radiolamp (triode) ; de Braunse buis ; de buis van Coolidge ; radioactiviteit ; belangrijkste uitwerkselen van de radioactiviteit ; radioactieve stralingen ; radioactieve omzettingen
Hoofdstuk 6 Elektromagnetisme: 1- veld van een stroombaan (veld van een rechtlijnige geleider, veldsterkte in de omgeving van een rechtlijnige geleider, veld van een cirkelvormige stroombaan, elektromagnetische eenheid van stroomsterkte, elektromagnetisch eenhedenstelsel, de tangentenboussole) 2- spoelen (de solenoïde, inwendig krachtveld van de solenoïde, uitwendig krachtveld van de solenoïde, de toroïd spoel, invloed van een ijzeren kern, elektromagneten, de magnetische kring, de elektrische bel, de telegraaf, elektromagneten met staalkern, ontwerp van een elektromagneet)
Hoofdstuk 7 Elektrodynamica Meettoestellen: 1- elektrodynamische bewegingen (werking van een stroomgeleider op een magneet,werking van een magneet op een stroomgeleider, raamvormige geleider in een magnetisch veld, werking tussen naburige stroomgeleiders) 2- meettoestellen voor gelijkstroom (galvanometers, galvanometers met beweeglijke magneet, galvanometers met beweeglijk raam, snaargalvanometer van Einthoven, ampèremeters, Voltmeters, mavometers)
Hoofdstuk 8 Elektromagnetische inductie: inductieprincipe ; inductieproeven ; kwalitatieve inductiewetten ; inductie in een bewogen geleider, kwantitatieve inductiewetten, Foucaultstromen, zelfinductie, coëfficiënt van zelfinductie
Hoofdstuk 9 De wisselstroom: 1- grootheden van de wisselstroom (opwekking van een wisselstroom, verloop van een opgewekte E.M.K., effectieve waarden van de wisselstroom) 2- de wisselstroomketen (weerstanden in de wisselstroomketen, wisselstroomketen met ohmsen en inductieve weerstand, wisselstroomketen met ohmsen en capacitieve weerstand, faseverschuiving, arbeid van de wisselstroom, wisselstroomketen met ohmsen weerstand, zelfinductie en capaciteit totale impedans -, resonans 3- meettoestellen voor wisselstroom en gelijkstroom (hittedraad- toestellen, weekijzer- meetinstrumenten, het universeel meettoestel, de wattmeter, de verbruiksmeter, toestellen voor het onderzoek van wisselstromen)
Hoofdstuk 10 Elektromagnetische machines: 1- stroombronnen (generatoren, magneto, het trommelanker, het ringanker, dynamos, alternatoren, meerfasige stromen, transport en gebruik van driefasenstroom) 2- elektrische motoren (het motorprincipe ; de gelijkstroommotoren, de aanloopweerstand, de universele motor, de synchroonmotor, draaivelden, draaistroommotoren) 3- stroomveranderingen (de transformator, gelijkrichting, schakeling van gelijkrichters, afvlakking van de stroom, de inductieklos van Ruhmkorff, telefoon en microfoon)
Hoofdstuk 11 Elektrische trillingen elektromagnetische golven: 1- hoogfrequente stromen (de trillingskring, oscillerende ontlading van een condensator, hoogfrequente stromen Tesla- stromen, eigenschappen van de hoogfrequente stromen) 2- elektromagnetische golven (ontstaan van de magnetische golven, voortplanting van elektromagnetische golven, theorie van Maxwell, de proeven van Hertz, eigenschappen van de elektromagnetische golven, de cohaerer van Branly, radiotelegrafie, ongedempte golven, radiotelefonie uitzending en ontvangst -, de luidspreker, het moderne radiotoestel, spectrum der elektromagnetische golven)
In de boeken van Dumez werd weinig aandacht besteed aan vraagstukken. En om vraagstukken was het bij de Poes nu precies te doen. Ook schoot bij Dumez de mathematisatie (d.i. het wiskundig behandelen) van de fysische fenomenen duidelijk tekort. Zo werd er practisch geen gebruik gemaakt van de trigonometrie, wat bvb bij de studie van de electrodynamica voor een goed begrip absoluut noodzakelijk was. Het bleef bij Dumez bij een eenvoudige beschrijving van het fysisch fenomeen, wat voor berekeningen en het oplossen van vraagstukken niet volstond.
Ofschoon ik al heel snel merkte dat er heel wat betere schoolboeken bestonden dan het leerboek van Dumez, heb ik het in poësis en rhetorica moeten doen met laatstgenoemd leerboek. Er bestond in die jaren immers al een Dessart en Jodogne, maar dit is voor een volgend cursiefje... -------------------------------------------------------
§ 10.3 Elementaire Natuurkunde met Dessart en Jodogne
(Hoofdstuk 10 "Natuurkunde in de Cadettenschool")
§ 10.3 Elementaire Natuurkunde met Dessart en Jodogne
Dat de schoolboeken "Fysica", die door de "Poes" voorgeschreven en gebruikt werden in de Cadettenschool niet aan het gestelde doel voldeden, ondervonden wij al vlug aan den lijve. Weinige cadetten begrepen de theorie, zoals ze door ons illuster personage werd uiteengezet en voor velen was fysica in de derdes dan ook een ware nachtmerrie.
Het was echter een publiek geheim, dat er wel een schoolboek bestond, dat voor een degelijke studie van de natuurkunde in aanmerking kwam. Het was het « Leerboek der Natuurkunde » van A. Dessart en J. Jodogne dat vertaald en bijgewerkt was door L. Borghijs en uitgegeven doorDe Boeck. Het werk omvatte 2 volumes:
- Volume 1 Mechanica en Gravitatie, Statica en Dynamica der Fluïda, Warmteleer (tweede druk -1954-)
Het eerste volume heb ik eind 1955 nog van een ancien Norbert Debackere (cadet 1953-1956) kunnen overkopen -zijn naam staat immers in het exemplaar dat ik zorgvuldig bewaard heb-. Het tweede volume heb ik mij slechts, vele jaren nadat ik de Cadettenschool verlaten heb, kunnen aanschaffen, want betreffend volume was in "herdruk" en zal eerst maar in 1961 (derde druk) weer verschijnen. Toen ik dit tweede volume uiteindelijk in handen kreeg heb ik de Poes vermaledijd, want dit was duidelijk DE referentie, die wij behoefden.
De auteurs van dit fameuze leerboek, dat toen in het Rijksonderwijs gebruikt werd, waren niet de eerste de beste. Albert Dessart was doctor in de wetenschappen en verbonden aan de normaalschool van Mons . Joseph Jodogne was insgelijks doctor in de wetenschappen en leraar aan het Koninklijk Atheneum van Mons. De vertaler Louis Borghijs was studieprefect van hetKoninklijk Atheneum te Aalst.
Volume I was onderverdeeld in een aantal delen, hoofdstukken, paragrafen en genummerde rubrieken en begon met een
Inleiding
§1- algemeenheden (1- onderwerp der natuurkunde 2- hulpmiddelen 3- aggregatietoestanden der stof) §2- de stof en haar algemene eigenschappen 4- uitgebreidheid 5- ondoordrinbaarheid 6- deelbaarheid 7- moleculen en atomen 8- preusheid 9- samendrukbaarheid 10- veerkracht of elasticiteit) §3- meting der fundamentele grootheden 11- keuze der eenheid 12- lengtemeting 13- meting der massa's 14- tijdmeting 15- het meten van hoeken 16- nauwkeurigheid van een meting) en volgende Delen:
- Deel 1 Mechanica en Gravitatie
Hoofdstuk 1 « Kinematica of Bewegingsleer »:
§1- algemeenheden 17- beweging en rust 18- stoffelijk punt 19- baan en weg 20- soorten beweging 21- verplaatsing 22- samenstelling van verplaatsingen 23- ontbinding van verplaatsingen 24- scalaire grootheden en vectoriële grootheden §2- eenparige rechtlijnige beweging -E.R.B.- 25- kenmerk van de E.R.B. 26- begrip snelheid 27- eenheden van snelheid 28- wetten van de E.R.B. 29- grafische voorstelling 30- de snelheid is een vectorgrootheid §3- veralgemening van het begrip snelheid 31- gemiddelde snelheid 32 snelheid op een bepaald ogenblik en rihting van de snelheid §4- eenparige veranderlijke rechtlijnige beweging (E.V.R.B.) 33- veranderlijke snelheid 34- het begrip versnelling 35- eenheden van versnelling 36- wetten van de E.V.R.B. 37- de versnelling is een vectorgrootheid §5- veralgemening van het begrip versnelling (38- gemiddelde versnelling 39- versnelling op een bepaald ogenblik 40- richting van de versnelling §6- samengestelde bewegingen 41- twee eenparige bewegingen 42- een eenparige beweging en een enparig versnelde beweging 43- een eenparige beweging en een eenparig versnelde beweging van dezelfde richting)
Hoofdstuk 2 « Krachten »:
§1 het meten van krachten 44- traagheidsbeginsel 45- definitie van kracht 46- elementen ener kracht 47- moment van een kracht 48- meting der krachten §2 samenstelling van krachten 49- evenwicht van krachten 50- samenstelling van samenlopende krachten 51- samenstelling van evenwijdige krachten 52- koppel van krachten 53 moment van een koppel van krachten §3 ontbinding van krachten 54- ontbinding van een kracht in samenlopende krachten 55- ontbinding van een kracht in evenwijdige krachten
Hoofdstuk 3 « Dynamica: Krachten en Bewegingen »
56- traagheidsbeginsel 57- beginsel der constante kracht 58- hoofdwet der dynamica 59- massa en traagheid 60- eenheid van kracht 61- gelijkheidsbeginsel van actie en reactie
Hoofdstuk 4 « Gravitatie en Zwaartekracht »:
§1 algemene aantrekking of gravitatie 62 wet van Newton 63- wiskundige uitdrukking der gravitatiewet 64- bepaling der gravitatieconstante 656- toepassingen van de wet van Newton §2 de (aardse)zwaartekracht 66- richting der zwaartekracht 67- zin der zwaartekracht 68- grootte der zwaartekracht en gewicht 69- verandering van gewicht 70- verschil tussen gewicht en massa 71- betrekking tussen het gramgewicht en de dyne 72- aangrijpingspunt der zwaartekracht en zwaartepunt 73- bepaling van het zwaartepunt 74- statisch evenwicht der vaste lichamen) §3 val der lichamen 75- de valwetten 76- experimenteel onderzoek der valwetten 77- uitdrukking van de snelheid in functie van de afgelegde weg 78*- ballistiek: verticale, horizontale en schuine worp §4 de slinger 79- principe van de tijdmeting 80- enkelvoudige of wiskundige slinger 81- elementen der slingerbeweging 82- proefondervindelijk onderzoek der slingerbeweging 83- de slingerformule 84- samengestelde of natuurkundige slinger 85- de omkeerbare slinger 86- grafische methode tot het bepalen van de slingertijd T van een omkeerbare slinger 87- toepassingen van de slinger
Hoofdstuk 5 « Bijzondere Krachten »:
§1 veerkracht bij uitrekking 88- trekspanning §2 wrijving 89- glijdende en rollende wrijving §3 weerstand der fluïda 90 algemeenheden 91- wetten van de weerstand der fluïda 92- luchtweerstand 93- weerstand van een fluïdum op een vlak dat schuin gesteld is t.o.v. de bewegingsrichting 94- toepassingen van de weerstand der fluïda 95- limietsnelheid bij de valbeweging in de lucht
Hoofdstuk 6 « Arbeid, Energie, Vermogen »:
§1 arbeid 96- arbeid ener kracht 97- uitdrukking van de arbeid ener kracht 98- eenheden van arbeid 99- betrekking tussen de kilogrammeter en de Joule §2 energie of arbeidsvermogen 100- het begrip energie 101- potentiële energie of arbeidsvermogen van plaats 102- kinetische energie of arbeidsvermogen van beweging 103- wet van behoud van energie 104- veralgemening van de wet van behoud van energie §3 vermogen 105- het begrip vermogen 106- eenheden van vermogen 107- verband tussen de paardekracht en de Watt 108- orde van grootte van het vermogen van enkele machines
Hoofdstuk 7 « Eenvoudige Werktuigen »
109- algemeenheden 110- hefbomen 111- soorten hefbomen 112- evenwichtsvoorwaarde der hefbomen 113- bespreking van de evenwichtsvoorwaarde der hefbomen 114- behoud van energie: gulden regel der mechanica 116- de katrollen: vaste en losse katrol 117- de bloktakel 118- de windas 119- het hellend vlak 120- rendement van een werktuig
Hoofdstuk 8 « De Balansen »
121- doel van de balans 122- beschrijving van de balans 123- de gewichtendoos 124- stabiliteit van de balans 125- juistheid van de balans 126- gevoeligheid van de balans 127- nauwkeurigheidsbalans 128- balans van Roberval of gewone weegschaal 129- de Romeinse balans 130- de bascule of brugbalans van Quintenz
Hoofdstuk 9 « Soortelijke massa en soortelijk gewicht, Dichtheid »
131- definitie van soortelijke massa 132- definitie van soortelijk gewicht 133- definitie van dichtheid bij vaste stoffen en vloeistoffen en gassen
- Deel 2 Statica der Fluïda
Hoofdstuk 1 « Algemene Eigenschappen der Fluïda »:
§1 druk 136- het begrip druk 137- eenheden van druk 138- orde van grootte van enkele drukken 139- toepassingen §2 druk in fluïda 140- druk in een fluïdum uitgeoefend 141- de vliesmanometer 142- wetten van de statica der fluïda: eerste tweede en derde wet §3 grondbeginsel van Pascal 143- het grondbeginsel van Pascal: proefondervindelijk en theoretisch onderzoek 144- toepassingen: hydraulische pers, hydraulische lift en hydraulische auto-elevator §4 grondbeginsel van Archimedes 145- de wet van Archimedes proefondervindelijk en theoretisch onderzoek 146 de omgekeerde wet van Archimedes 147 zinken, zweven en drijven §5 diffusie en osmose 148- gewone diffusie bij vloeistoffen en gassen 149- osmose bij vloeistoffen en gassen 150- toepassingen
Hoofdstuk 2 « Hydrostatica »:
§1 evenwicht der vloeistoffen 151- evenwicht van een vloeisof in een vat 152- toepassingen: de luchtbelwaterpas 153- evenwicht van een vloeistof in communicerende vaten 154- toepassingen 155- evenwicht van verschillende niet mengbare vloeistoffen in een vat 156- evenwicht van twee niet mengbare vloeistoffen in twee communicerende vaten §2 drukken door de vloeistoffen uitgeoefend op de wanden der vaten 157- drukkracht uitgeoefend op de bodem van een vat 158- drukkrachten uitgeoefend op de zijwanden van een vat 159- toepassingen 160- de hydrostatische paradox §3 drijvende lichamen 161- evenwichtsvoorwaarden: eerste en tweede voorwaarde 162- toepassingen: areometers, schepen, duikboten §4 densimetrie of dichtheidsbepaling 163- methode van de hydrostatische balans 164- methode der areometers met constant volume 165- methode der areometers met constant gewicht §5 oppervlaktespanning en capillariteit 166- bestaan van oppervlaktekrachten 167- het begrip oppervlaktespanning 168- bepaling der oppervlaktespanning 169- oorzaak der oppervlaktespanning 170- het begrip capillariteit 171- verklaring van de capillariteit 172- wetten der capillariteit 173- stijging of neerdrukking van vloeistoffen tussen twee platen 174- toepassingen
Hoofdstuk 3 « Aërostatica »
§1 atmosferische druk 175- bestaan van de atmosferische druk 176- grootte van de atmosferische druk en proef van Torricelli 177- verandering van de atmosferische druk met de hoogte 178- altimeters 179- verandering van de atmosferische druk in de tijd 180- barometers: de kwikbarometer, de barometers van Vidi en van Bourdon 181- correcties van de barometerstand §2 samendrukbaarheid der gassen 182 wet van Boyle-Mariotte 183- de wet van Boyle-Mariotte is een grenswet 184- verandering van het soortelijk gewicht van een gas met de druk 185- manometers 186- de wet van Dalton §3 luchtschepen 187- luchtballons 188- stratosfeerballons 189- bestuurbare luchtschepen of zeppelins
- Deel 3 Dynamica der Fluïda
Hoofdstuk 1 « Uitstroming van Fluïda »
190- voorwaarde van uitstroming 191- toepassingen 193- het begrip debiet 194- vaten met constant debiet 194- snelheid en druk der fluïda in de buizen 195- toepassingen: waterstaalpomp, bunsenbrander, verstuivers
Hoofdstuk 2 « Pompen »:
§1 gaspompen 196- vacuum pompen en wet der druk vermindering 197- perspompen en wet der drukvermeerdering §2 vloeistofpompen 198- zuigpompen 199- de zuigperspomp 200- de centrifugaalpomp
- Deel 4 Warmteleer
Hoofdstuk 1 « Thermometrie »
§1 het begrip temperatuur en de constructie van een thermometer 201- het begrip temperatuur 202- de uitzetting der lichamen 203- keuze van het thermometrisch lichaam 204- constructie van de thermometer 205- aanbrengen van een schaalverdeling 206- verplaatsing van het nulpunt §2 enkele soorten thermometers 207- thermometers voor lage en hoge temperaturen 208- maximum en minimumthermometer 209- koortsthermometer 210- zelfregistrerende thermometer §3 temperatuurschalen 211- andere temperatuurschalen: de Réaumur-schaal, de Fahrenheit-schaal en de Kelvinschaal 212-omrekenen van de ene in de andere temperatuurschaal
Hoofdstuk 2 « Uitzetting der Lichamen »:
§1 uitzetting der vaste lichamen 213- lineaire uitzetting en lineaire uitzettingscoëfficiënt 214- opmerkingen aangaande de lineaire uitzettingscoëfficiënten 215- oppervlakteuitzetting of kwadratische uitzetting 216- betrekking tussen de kwadratische en de lineaire uitzettingscoëfficiënt ener vaste stof 217- kubieke uitzetting 218- betrekking tussen de kubieke en de lineaire uitzettingscoëfficiënt ener vaste stof 219- verandering van het soortelijk gewicht onder invloed van de temperatuur 220- krachten die optreden bij de uitzetting 221- toepassingen der uitzettingsveschijnselen: de compensatieslinger §2 uitzetting der vloeistoffen 222- uitzettingscoëfficiënt der vloeistoffen 223- schijnbare uitzetting ener vloeistof 224- methode van Dulong en Petit voor het bepalen van de uitzettingscoëfficiënt van kwik 225- bepaling van de uitzettings coëfficiënt ener vloeistof door middel van een dilatometer 226- onregelmatige uitzetting van water §3 uitzetting der gassen 227- algemeenheden 228- uitzetting der gassen bij constante druk en wet van Gay-Lussac 229- spanningsvermeerdering der gassen bij constant volume en wet van Regnault 230- de wetten van Gay-Lussac zijn grenswetten 231- absoluut nulpunt en absolute temperatuur 232- andere gedaanten van de formules der volume- en der spanningstoename der gassen 233- toepassingen 234- de algemene gaswet 235- toestandsvergelijking van een ideaal gas 236- waarde der gasconstante R in het CGS-stelsel 237- soortelijk gewicht der gassen 238- dichtheid van een gas 239- algemene gewichtsformule van een gas 240- de gasthermometer
Hoofdstuk 3 « Calorimetrie »
241- verschil tussen temperatuur en warmte 242- de warmte is een meetbare grootheid 243- de eenheid van warmtehoeveelheid 244- het begrip soortelijke warmte 245- warmtehoeveelheid nodig om een massa van M gram Δ t° in temperatuur te doen stijgen 246- warmtecapaciteit of waterwaarde van een lichaam 247- meting van warmtehoeveelheden 248- een en ander in verband met soortelijke warmten)
Hoofdstuk 4 « Veranderingen van Aggregatietoestand »:
§1 smelten en stollen 249- typen van smelting 250- wetten van het zuivere smeten 251- wetten van het stollen 252- oversmelting of onderkoeling 253- smeltingswarmte 254- volumeverandering bij het stollen 255- invloed van de druk op het smelt- of stolpunt 256- ijscalorimers: ijscalorimeter van Lavoisier, van Bunsen §2 verdampen 257- verzadigde en onverzadigde dampen 258- studie der onverzadigde dampen 259- studie der verzadigde dampen 260- meten der maximum dampspanningen: de barometermethode 261- definitie van vrije verdamping 262- het begrip verdampingssnelheid 263- grens van verdamping 264- kookverschijnselen 265- kookwetten 266- onregelmatigheden bij het koken 267- bepaling van de kooktemperatuur van een vloeistof 268- bepaling van de maximumdampspanning en de methode van Regnault 269- kromme der maximumdampspanning 270- toepassingen der kookwetten: hypsometrie en autoclaaf 271- verdampingswarmte 272- bepalen van de verdampingswarmte 273- enkele verdampingswarmten 274- definitie van dampdichtheid 275- bepaling van de dampdichtheid: methode van Viktor Meyer §3 condenseren of verdichten 276- condenseren van dampen 277- beginsel van de koude wand of beginsel van Watt 278- destilleren §4 vloeibaarmaking van gassen 279- de eerste vloeibaar gemaakte gassen, permanente gassen en proeven van Faraday 280- onderzoek van Andrews en kritische temperatuur 281- isothermen en pV-diagram van Andrews 282- vloeibaarmaking van permanente gassen 283- vloeibare lucht: toestel van Linde en toestel van Claude 284- het verkrijgen van lage temperaturen 285- het verkrijgen van zeer lage temperaturen : de cascademethode §5 oplossen en kristalliseren 286 definities 287- onverzadigde en verzadigde oplossingen 288- oplossing van een gas in een vloeistof 289- oplossing van een vloeistof in een vloeistof 290- oplossing van een vaste stof in een vloeistof 291- oplossingswarmte: koudmakende mengsels 292- kristalliseren 293- het verschijnsel oververzadiging
Hoofdstuk 5 « Hygrometrie »
294- voorkomen van waterdamp in de lucht 295- definitie van absolute vochtigheid 296- relatieve vochtigheid of vochtigheidsgraad van de lucht 297- condensatiehygrometers: de hygrometer van Daniell, van Alluard 298- de haarhygrometer of hygrometer van de Saussure 299- de zelfregistrerende hygrometer
Hoofdstuk 6 « Voortplanting van Warmte »
300- manieren van warmtevoortplanting 301- warmtegeleiding of conductie 302- warmtestroming of convectie 303- warmtestraling of radiatie 304- eigenschappen der warmtestraling 305- warmteuitwisseling 306- toepassingen
Hoofdstuk 7 « Omzetting van Warmte-energie »:
§1 gelijkwaardigheidsbeginsel 307- mechanische energie en warmte 308- de proeven van Joule 309- omzetting van warmte in mechanische energie 310- proeven van Hirn 311- gelijkwaardigheidsbeginsel der mechanische en thermische energie 312- energievormen 313- veralgemening van de wet van behoud van energie 314- onmogelijkheid van eeuwigdurende beweging van de eerste soort 315- de energie en de stof §2 beginsel van Carnot 316- postulaat van Carnot-Clausius 317- stelling van Carnot 318- gevolgen van de stelling van Carnot 319- veralgemening van het beginsel van Carnot) §3 thermische machines I- machines met zuiger (320- beginsel van de machines met zuiger: arbeid van een gas met constante druk 321 beginsel van de machines met zuiger: arbeid van een gas met veranderlijke druk 322- positieve en negatieve arbeid 323 beschrijving van de stoommachine 324- de Watt-indicateur 325- arbeid door de stoom verricht in de cylinder 326- verbeteringen aan de stoommachine 327 practische nuttige werking of practisch rendement van een stoommachine 328- beschrijving van de ontploffingsmotor 329- werking van de ontploffingsmotor 330- werkelijk diagram van een ontploffingsmotor 331- werking van de onderdelen 333- beschrijving van de dieselmotor II-turbines 334- principe der turbines 335- bouw van de turbine 336- de hydraulische turbine of waterturbine 337- de stoomturbine 338- de gasturbine III- reactiemotoren 339- principe van de reactiemotor 340- de vliegende bom 341- turbo-straalmotoren 342- de raket
AANHANGSEL: Moleculaire Theorie der Verschijnselen: 343- gassen 344- vloeistoffen 345- vaste stoffen 346- kinetische gastheorie 347- de druk van een gas 348- wet van Boyle-Mariotte 349- bepaling der moleculaire snelheden 350- reële gassen 351- verschillende warmtetheorieën 352- verklaringen
Volume II (het volume, dat ik helaas moest missen in poësis en rhetorica ) omvatte volgende delen en hoofdstukken:
- Deel 5 Geometrische Optica
Hoofdstuk 1 Voortplanting van het Licht (1- wat is licht? 2- lichtbronnen en donkere lichamen 3- doorzichtig, doorschijnend, ondoorschijnend 4- rechtlijnige voortplanting van het licht 5- lichtstaal en lichtbundel 6-schaduw en bijschaduw : puntvormige en niet-puntvormige lichtbron 7- de camera obscura of "donkere kamer" 8- toepassingen 9- lichtbundel bij het scheidingdoppervlak van twee doorzichtige middenstoffen: terugkaatsing en breking)
Hoofdstuk 2 Terugkaatsing van het Licht: §1 wetten der terugkaatsing (10- de optische schijf 11- de optische bank 12- wetten der terugkaatsing) §2 vlakke spiegels (13- spiegels (13- wat zijn spiegels? 14- beeld van een reëel punt 15- beeld van een virtueel punt 16- beeld van een voorwerp 17- practische oefening nr 1 18- hoekspiegels 19- veelvuldige beelden bij glasspiegels 20- draaiende spiegels 21- toepassingen der vlakke spiegels §3 gebogen spiegels (22- enkele definities 23- eigenschap van het krommingsmiddelpunt 24- eigenschap van het hoofdbrandpunt 25- meetkundige constructie van het beed van een punt 26- meetkundige constructie van het beeld van een voorwerp 27- beeldvorming bij sferische spiegels : proefondervindelijk en wiskundig onderzoek 28- algemene formules der sferische spiegels 29- grafieken van Lissajous 30- andere vorm der algemene formules: formules van Newton 31- proefondervindelijke bepaling van de hoofdbrandpuntsafstand van een sferische spiegel: holle spiegel en bolle spiegel 32 practische oefening nr 2 33- afwijkingen bij sferische spiegels: sferische aberratie en astigmatisme)
Hoofdstuk 3 Breking van het Licht §1 algemene verschijnselen (34 een experimentele proef 35- wetten der breking van Snellius en Descartes 36- practische oefening nr 3 37- betekenis van de brekingsindex 38- soorten brekingaanwijzers 39- wet van de omkeerbaarheid der lichtstralen 40- meetkundige constructie van de gebroken straal 41- overgang van het licht uit een midden naar een ander dat optisch dicter is 42- overgang van het licht uit een midden naar een ander dat optisch ijler is: totale terugkaatsing 43- voorwaarden voor totale terugkaatsing) §2 middenstoffen met platte grensvlakken I- breking van het licht door een plat vlak (44- het waarnemen van voorwerpen in water ondergedompeld) II- breking door een planparallelle plaat (45- de planparallele plaat ) III- breking door een prisma (46- enkele definities 47- eigenschappen van het prisma: deviatie en dispersie 48- verklaring van de deviatie 49- formules van het prisma 50- verandering van de deviatie met de brekingsindex van de middenstof 51- verandering van de deviatie met de brekende hoek 52- verandering van de deviatie met de invalshoek 53- totaal reflecterend prisma) §3 middenstoffen met gebogen oppervlakken lenzen (54- enkele definiies: convexe of bolle lenzen, concave of holle lenzen 55- eigenschap van het optisch middelpunt 56- eigenschap van het brandpunt 57- meetkundige constructie van het beeld van een punt 58- meetkundige constructie van het beeld van een voorwerp 59- beelden door lenzen gevormd: proef onderlijk onderzoek en wiskundige behandeling 60- algemene formules voor lenzen 61- grafieken van Lissajous 62- proefondervindelijke bepaling van de brandpuntsafstand der lenzen 63- practische oefening nr 4 64- sterkte van een lens 65- stelsel van lenzen 66- lenzenfouten: sferische aberratie en astigmatisme)
Hoofdstuk 4 De Optica van het menselijk oog (67- bouw van het oog 68- beeldvorming: het zien 69- accomodatievermogen 70- gebreken van het oog: bijziendheid, verziendheid, presbyopie, astigmatisme 71- schijnbare grootte van een voorwerp 72- gezichtsscherpte 73- nawerking van de beelden op het netvlies 74- stereoscopisch zien: het zien in de ruimte 75- gezichtsbedrog
Hoofdstuk 5 Optische Instrumenten( 76- donkere kamer met objectief 77- fotografische camera 78- fotografie 79- de projectie lantaarn 80- de bioscoop 81- het vergrootglas of loupe 82- de microscoop 83- ultramicroscopie 84 de astronomische kijker 85- de aardse kijker 86- de Hollandse kijker 87- de telescoop 88- de pertiscoop
Hoofdstuk 2 Elektrostatica: §1 grondverschijnselen (92- electriseren door wrijving 93- positieve en negatieve ladingen 94- goede en slechte geleiders 95- laden door aanraking of contact 96- elecroscopen en electrometers 97- plaats van de lading op een geleider) §2 elektrische lading (98- hoeveelheid lading 99- meten van de electrische lading: de electrometer met cylinder 100- gelijktijdig ontstaan van gelijkwaardige tegengestelde ladingen 101- ladingsdichtheid 102- spitswerking 103- wet van Coulomb 104- eenheden van lading en lading van het electron) §3 elektrostatische inductieverschijnselen (105- electrostatische inductie 106- laden door inductie 107- electrostatische schermwerking) §4 elektrisch veld (108- het veldbegrip 109- de veldsterkte) §5 potentiaal spanning arbeid (110- het begrip potentiaal 111- potentiaal en arbeid 112- potentiële energie van een lading in het veld 113- potentiaal V in een punt van het veld 114- potentiaalverschil of spanning E 115- berekening* van de potentiaal in een radiaal veld 116- potentiaal van een geleider 117- potentiaal en veldsterkte in een homogeen veld 118- arbeidsberekening 119- eenheden van potentiaal) §6 elektrische capaciteit - condensatoren (120- electrische capaciteit 121- betekenis van C 122- eenheden van capaciteit 123- capaciteit van een bol 124- inductie en capaciteit 125- condensatoren 126- capaciteitsberekening* van condensatoren: de sferische en vlakke condensator 127- condensatortypes 128- laden van een condensator 129- snelle ontlading van een condensator 130- de condensatorelectrometer 131- parallelschakeling van condensatoren 132- serieschakeling van condensatoren §7 electriciteitsbronnen (133- electriseermachine van Ramsden 134- electriseermachine van Wimshurst 135- bandgenerator van van de Graaff
Hoofdstuk 3 Elektrodynamica: §1 elektrische stroom (136- permanente omzetting van electrische energie 137- electrische ladingen in beweging 138- de electrische stroom 139- de conventionele stroomzin 140- stroomsterkte of intensiteit 150*- eenheden van stroomsterkte 151- meten van de stroomsterkte) §2 elektrische weerstand stroomwetten ( 152- electrische weerstand 153- wet van Ohm 154- eenheden van weerstand 155- weerstand van geleiders: soortelijke weerstand, wet van Pouillet 156- invloed van de temperatuur 157- suprageleidbaarheid 158- soorten weerstanden 159- serieschakeling van weerstanden 160- parallelschakeling van weerstanden 161- gemengde schakelingen 162- toepassingen: stroom en voltmeters) §3 vermogen en arbeid Joule-effect (163- vermogen en arbeid 164- practische eenheden van vermogen en arbeid 165- Joule-effect en wet van Joule 166- practische toepassingen) §4 scheikundige werking van de elektrische stroom wetten van Faraday (167- geleidbaarheid van vloeistoffen 168- electrolytische geleidbaarheid in waterige oplossingen en electrolytische dissociatie 169- verklaring van het electrolyse-verschijnsel 170- theorie van Arrhenius 171- quantitatieve studie van de electrolyse en wetten van Faraday 172- toepassingen: galvanostegie en galvanoplastiek) §5 scheikundige stroombronnen schakeling van elementen wetten van Kirchhoff (173- historische nota 174- element van Volta of galvanisch element 175- stroomlevering van het Volta-element 177- verklaring van de stroomlevering 178- de inwendige weerstand 179- het element van Leclanché 180- gebruik van de elementen 181- standaardelementen 182- capaciteit der elementen 183- electromotorische kracht en klemspanning 184- schakeling van elementen: serieschakeling, parallelschakeling, oppositieschakeling, gemengde schakeling 185- wetten van Kirchhoff 186- vermogen van een stroombron 187- rendement van een element) §6 accumulatoren (188- secundair element en polarisatie 189- de loodaccumulator 190- de ijzer-nikkel of accumulator van Edison 191- laadschema van een accumulator) §7 thermo-elektrische elementen (192- thermostroom 193- toepassingen der thermo-electrische stromen: thermozuilen en electrische thermometer)
Hoofdstuk 4 Magnetisme: §1 eigenschappen der magneten (194- magneten 195- de polen van een magneet 196- wederzijdse werking der magneetpolen 197- een magneetpool kan niet afgezonderd worden 198- magnetische inductie 199- magnetische mass als hulpbegrip 200- wet van Coulomb 201- eenheid van magnetische massa) §2 magnetisch veld (202- het begrip magnetisch veld 203- magnetische inductie 204- eenheid van magnetische inductie 205- magnetische krachtlijnen of veldlijnen: magnetische spectra 206- homogeen magnetisch veld 207 het aardmagnetisch veld 208- symbolische voorstelling van een veld 209- magnetische stroom of flux 210- eenheid van magnetische flux)
Hoofdstuk 5 Elektromagnetisme: §1 magnetisch veld van de elektrische stroom (211- proef van Oersted 212- Veld rond een rechte geleider en regel van Maxwell 213- het magnetisch veld in spoelen 214 het magnetisch spectrum van spoelen 215- sterkte van het magnetisch veld 216 de magnetische veldsterkte 217- magnetische veldsterkte in de solenoïde) §2 magnetiserende werking van de stroom (218- magnetische permeabiliteit 219- magnetische afscherming 220- solenoïde met ijzeren kern 221- magnetsche flux van solenoïde met ijzeren kern 222- uitbreiding van de theorie van het magnetisme 223- magnetische inductie in ijzer, gietijzer en staal 224- magnetische hysteresis 225- het maken van permanente magneten 227- de electrische bel 228- de telegraaf 229- quantitative studie van het electromagnetisme en wet van Biot-Savart 230- electromagnetische eenheid van stroomsterkte 231- electrostatische en electromagnetische eenheden) §3 kracht door magnetisch op rechte stoomgeleider uitgeoefend (232- richting en zin van de electromagnetische kracht 233- kracht op een rechte stroomgeleider ontwikkeld in een homogeen magnetisch veld: de Lorentz-kracht 234- het rad van Barlow) §4 wederzijdse werking van stromen §5 elektromagnetische inductie (235 electromagnetische inductie in een spoel 236- zin van de inductiestroom en wet van Lenz 237- de inductiespnning en definitie van magnetische flux 238- electromagnetische inductie in een rechte geleider 239- zin van de inductiestroom 240- berekening van de inductiespanning 241- wervelstromen of stromen van Foucault 242- zelfinductie 243- coëfficiënt van zelfinductie) §6 generatoren en gelijkstroommotoren (244- wat zijn generatoren? 245- principe van een generator 246- de fietsmagneto 247- vorm van de geïnduceerde spanning: wisselspanning 248- de dynamo 249- serie-, shunt-, en compounddynamo 250- berekening van de electromotorische kracht van de dynamo met trommelanker 251- rendement van de generator 252- electrische motoren 253- serie-, shunt-, en compoundmotor 254- de tegen-electromotorische kracht 255- snelheidsregeling van de motor 256- rendement van de motoren)
- Deel 7 Periodieke Verschijnselen
Hoofdstuk 1 Periodische bewegingen Algemeenheden : §1- Periodische bewegingen (I-eenparige cirkelvormige beweging 257- snelheid bij een eenparig cirkelvormige beweging: hoeksnelheid 258- centripetale versnelling 259- centripetale kracht 260-centrifugale kracht 261- proefondervindelijk onderzoek van de centripetale en centrifugale kracht 262- centrifugale effecten 263- toepassingen II-harmonische trilling 264- definitie van de harmonische trilling III-slingerbeweging (265- de slingerbeweging proefondervindelijke en wiskundige behandeling 266- de formule van de slingerbeweging 267- bepaling van de valversnelling met de omkeerbare slinger 268- demping) §2 voortplanting van een trillende beweging (269- voortplanting van een vervorming I- transversale trillingen: 270- voortplanting van een trillende beweging in een richting: de golflengte 271- fase en faseverschil 272- uitwijking van een willekeurig punt M op het ogenblik t : formule 273- voortplanting in een tweedimensionale ruimte 274- voortplanting in een driedimensionale ruimte II-longitudinale trillingen: 275- voortplanting door afwisselende verdichting en verdunning van de middenstof §3 samenstelling van trillende bewegingen (276- principe 277- samenstelling van twee trillingen met zelfde trilrichting en zelfde periode 279- samenstelling van twee trillingen met zelfde trilrichting en perioden die weinig verschillen) §4 interferentie (279- interferentieverschijnselen in een tweedimensionale ruimte 280- wiskundige behandeling) §5 terugkaatsing van een trillende beweging (281- een experiment 282- staande golven: wiskundige behandeling) §6 diffractie of buiging (283- een experiment) §7 resonantie (284- het begrip eigenfrequentie 285- resonantieverschijnselen)
Hoofdstuk 2 Periodische Verschijnselen in de Acoustica of de Geluidsleer: §1 voortbrenging, voortplanting en opvangen van het geluid (286- voortbrenging van het geluid 287- voortplanting van het geluid 288- mechanisme der voortplanting doorheen gassen 289- voortplantingssnelheid van het geluid: in de lucht, in vloeistoffen, in vaste stoffen 290- proef van Kundt 291- formule van Laplace 292- waarneming van het geluid: het uitwendig en inwendig oor 293- terugkaatsing van het geluid 294- het echoverschijnsel 295- nagalm) §2 eigenschappen van een toonI- intensiteit: 296- oorzaak en wetten 297- interferentie II- toonhoogte: 298- oorzaak 299- bepaling van de toonhoogte 300- grenzen van de hoorbaarheid 301- ultratonen 302- het Doppler-Fizeau-effect 303- resonantie 304- zwevingen III- klank 305- oorzaak 306- klank en geruis ) §3 muziekinstrumenten (I- toongebied (307- definitie van toongebied 308- frequenties der verschillende noten ten opzichte van de grondtoon: intervallen 309- natuurlijke en gelijkzwevende toonladder 310- muzikale en fysische stemming 311- harmonieken II- trillende snaren 312- de sonometer 313- enkele experimenten 314- wetten der trillende snaren 315- wiskundige behandeling 316- samengestelde trillingen van een snaar 317- toepassingen III- trillende staven 318- de stemvork en triangel IV- trillende luchtkolommen 319- pijpen, fluiten trompetten en klarinetten 320- wetten der gesloten orgelpijpen 321- wetten der open orgelpijpen 322- proefondervindelijk nazicht van de wetten der orgelpijpen 323- toepassingen V- trillende platen en vliezen 324- de trillende plaat 325- de grammofoon)
Hoofdstuk 3 Periodische Verschijnselen in de Elektriciteitsleer: §1 wisselstromen (326- elementen van de wisselstroom 328- de stroomsterkte van de wisselstroom 329- werking van de wisselstroom 330- effectieve stroomsterkte en effectieve spanning 331- vermogen van een wisselstroom 332- invloed van de zelfinductie 333- invloed van de capaciteit 334- samengestelde keten: weerstand en spoel in serie 335- samengestelde keten: weerstand en condensator in serie en algemeen geval: weerstand, spoel en condensator in serie 336- vermogen bij wisselstromen 337- trillingsketens 339*- resonantie) §2 alternatoren wisselstroommotoren (I- wisselstroomgeneratoren 338- eenfasige alternator 339- meerfasige wisselstroom 340- driefasige wisselstroom 342- driefasige alternatoren 343- overbrengen van driefasige wisselstroom: ster en driehoeksschakeling II- wisselstroommotoren 344- de synchroonmotor 345- driefasige sybchroonmotor 346- asynchroonmotor) §3 transformatoren (347- een experiment 348- toepassing: overbrengen van electrische energie over grote afstanden 349- klos van Ruhmkorff of inductieklos 350- telefoon §4 omzetting wisselstroom in gelijkstroom 351- soorten gelijkrichters: de kwikdampgelijkrichter, de oxymetaalgelijkrichter, de diode
Hoofdstuk 4 Het Licht als Periodisch Verschijnsel: §1- verschillende theorieën over het licht (352- emissietheorie van Newton en golftheorie van Huygens 353- electromagnetische theorie van Maxwell, electronentheorie van Lorentz en quantumtheorie van Planck 354- golfmechanica van de Broglie §2 voortplantingssnelheid van het licht 355- algemeenheden 356- astronomische methode van Römer 357- tandradmethode van Fizeau 358- methode van Foucault §3 dispersie van licht of kleurschifting (359- ontleding van wit licht 360- enkelvoudigheid der hoofdkleuren 361- samenstelling of synthese van wit licht 362- complementaire kleuren 363- kleur der lichamen 364- kleur der lichamen door gekleurd licht verlicht 365- infrarood en ultraviolet §4 interferentie- en diffractie verschijnselenI- interferentie 366- spiegelproef van Fresnel 367- het bepalen der golflengte 368- frequentie der lichttrillingen 369- proef van Fresnel met wit licht 370- de ringen van Newton 371- kleur bij dunne lagen II- diffractie of buiging 372- buigingsverschijnselen 373- buigingstralie of diffractierooster 374- bepaling van de golflengte) §5 spectroscopie (375- de spectroscoop 376- emissiespectra 377- absorptiespectra 378- omkering der Na-lijn 379- het zonnespectrum 380- overzicht der spectra 381- ijken van de spectroscoop in golflengtes 382- waterstofspectrum 383- toepassingen der spectraalanalyse 384- theorie van het waterstofspectrum) §6 polarisatie 385- verschijnsel der dubbele breking 386- polarisatie van het licht 387- draaiing van het polarisatievlak §7 lichtenergie (I- voortbrenging van licht 388- temperatuurstraling en volkomen zwart lichaam: de stralingswetten van Stephan-Boltzmann en van Wien 389- luminescentie II- omzetting van licht in andere energievormen 390- warmte-effecten, scheikundige effecten, mechanische effecten, electrische effecten III- fotometrie 391- lichtsterkte of lichtintensiteit: eenheid van lichtsterkte 392- lichtstroom of lichtflux: eenheid van lichtstroom 393- verlichtingssterkte: de wetten der verlichtingssterkte 394- luminantie of oppervlaktehelderheid: de luminantie-eenheid 396- bepaling van de lichtsterkte van lichtbronnen: fotometers IV- stof en straling 397- materie en electromagnetische straling 398- belangrijke opmerking)
Aanhangsel van het Tweede Deel:
Hoofdstuk 1 Elektrometrie: §1 meting van de stroomsterkte en de lading 399- galvanometers 400- naaldgalvanometer van Nobili 401- de draaispoelgalvanometer 402- ballistische galvanometer 403- gebruik van galvanometers 404- tangentenboussole §2 meting van de stroomsterkte en de spanning 405- ampère en voltmeters voor gelijkstroom 406- meters voor gelijk- en wisselstroom 407- wisselstroommeters §3 weerstandsmeting 408- directe methode 409- substitutiemethode 410- brug van Wheatstone
Hoofdstuk 2 Elektriciteitsgeleiding in Gassen: §1 ontladingsverschijnselen: 411- ontladingsverschijnselen in gassen op atmosferische druk 412- de bliksem 413- ontladingsverschijnselen in verdunde gassen 414- kathodestralen 415- verhouding tussen de lading en de massa der kathodestraaldeeltjes 416- meting van de elementaire lading e 417- massa van het electron 418- kanaalstralen 419- Röntgenstralen 420- eigenschappen der Röntgenstralen §2 elektronische verschijnselen (I-Thermo-elektronisch effect 421- het Edison-effect 422- de diode II-Foto-elektronisch effect: 423- de foto-electrische cel)
Hoofdstuk 3 Radioactiviteit en Atoombouw: §1 radioactiviteit: 424- het verschijnsel radioactiviteit §2 atoombouw: 425- het periodiek systeem der elementen 426- het atoommodel van Rutherford-Bohr 427- het waterstofatoom 428- de andere atomen 429- enkele opmerkingen 430- structuur van de kern 431- natuurlijke transmutatie der atomen 432- kunstmatige transmutatie der atomen 433- kunstmatige radioactiviteit 434- atoomsplitsing 435- gebieden van het atoom
Hoofdstuk 4 Elektrische Trillingen Elektromagnetische Golven: §1proeven van Hertz 436- de proeven van Hertz 437- de vonkzender van Hertz 438- de resonator van Hertz 439- electromagnetische golven §2de triode 440- bouw en werking van de triode 441- de triode als generator van electrische trillingen 442- een zender van hoogfrequente ongedempte trillingen 443- de triode als versterker §3 draadloze telefonie 444- de zender 445- de ontvanger 446- laagfrequentversterking op voorgaand schema toegepast 447- toevoeging van hoogfrequentversterking: de directe ontvanger 448- de luidspreker §4- elektronenstraal oscillograaf 449- optekenen van trillingen 450- de electronenstraalbuis 451- afbuiging van de electronenstraal §5 televisie 452- principe van televisie 453- de iconoscoop 454- de televisie-ontvanger §6 radar 455- principe en werking van radar §7 geluidsfilm 456- geluidsopname 457- geluidsweergave
Hoofdstuk 5 Aardfysica: §1 thermische verschijnselen 458- opname van de luchttemperatuur 459- plaatselijke temperatuurschommelingen 460- temperatuur aan de aadoppervlakte 461- temperatuur van de atmosfeer en van de grond §2 barometrische verschijnselen 462- barometerschommelingen 463- regelmatige winden 464- onregelmatige winden 465- snelheid van de wind §3 hygrometrische verschijnselen 466- vochtigheidsgraad van de lucht 467- wolken en mist 468- regen, sneeuw en hagel 469- dauw en rijm §4 optische verschijnselen 470- waarom is de hemel blauw? 471- atmosferische straalbreking 472- luchtspiegeling 473 de regenboog §5 magnetische verschijnselen 474- magnetische declinatie 475- magnetische inclinatie 476- intensiteit van het magnetisch veld van de aarde 477- veranderingen van het magnetisch veld in de tijd 478- veranderingen van het magnetische veld volgens de plaats 479- het kompas §6 elektrische verschijnselen 480- atmosferische electriciteit 481- het electrisch veld van de aarde 482- oorsprong van het electrisch veld: ionisatie van de atmosfeer 83- intense ionisatie in de hoge atmosfeer 484- onweders 485- bliksemafleiders
Waar in het eerste volume slechts sporadisch werd gebruik gemaakt van de trigonometrie bvb bij de ontbinding van een kracht in samenlopende krachten (rubriek nr 54), de schuine worp (rubriek nr 78) en bij de slinger van Mach (rubriek nr 82) was dit in het tweede volume schering en inslag. Trigonometrie is immers onontbeerlijk bij de studie van golven en trillingen, van wisselstroomketens of -schakelingen enz. Ook werd bij de mathematisatie al gebruik gemaakt van de theorie der afgeleiden en werd af en toe al eens integraalrekening gebezigd.
Kenschetsend voor het tweedelig leerboek van Dessart en Jodogne was dat hier de nodige aandacht werd besteed aan de wiskundige behandeling of mathematisatie van de fysisch fenomenen. Veelal werden deze rubrieken in kleine letters gedrukt, wat betekende dat het leerstof betrof die niet bestemd was voor Grieks-Latinisten. Maar in de Cadettenschool was zoiets niet van toepassing, integendeel...
Ook waren na iedere belangrijke paragraaf een reeks vraagstukken voorzien, waarvan het cijferantwoord ter controle verstrekt werd.
§ 10.4 Elementaire Natuurkunde met Delaruelle en Claes (I)
(Hoofdstuk 10 "Natuurkunde in de Cadettenschool")
§ 10.4 Elementaire Natuurkunde met Delaruelle en Claes (I)
Voor het vak Natuurkunde had ik het in poësis en rhetorica moeten stellen met de boeken van Dumez, schoolboeken, die dateerden uit de Iron Forties, terwijl op dat ogenblik vooral een "Dessart en Jodogne" en wellicht ook een "Delaruelle en Claes" mij heel wat meer diensten hadden kunnen bewijzen. In de Cadettenschool werden tijdens de Silver Fifties door de cadetten de Natuurkundeboeken van Dessart - Jodogne officieus als referentie gebruikt. Of dit ook nog in de Golden Sixties het geval was, weet ik niet.
Hoe dan ook met de wijziging in het leerprogramma in de periode 1962-1965 zullen beide collecties grondig aangepast worden, wat zich uitte in een rijk geïllustreerde, meerdelige uitvoering op zuurvrij papier....
Wat "Dessart en Jodogne" betreft, zal een Jean Claude Jodogne, de zoon van Joseph Jodogne, de ploeg komen vervoegen in de Golden Sixties. Hij was Burgerlijk Ingenieur Electromechanica (Faculté Polytechnique Mons) en doctor in de wetenschappen fysica- (UCL). De 5de en 6de editie van hun fameuze « Cours de Physique » zal in 1985 in 5 delen gesplitst worden:
- tome 1 « Mécanique » (206 pages)
- tome 2 « Optique géométrique » (96 pages)
- tome 3 « Energie thermique et états de la matière » (160 pages)
- tome 4 « Electricité » (189 pages)
- tome 5 « Phénomènes périodiques » (181 pages)
Van "Delaruelle en Claes" waren al sinds 1942 titels over Experimentele Natuurkunde beschikbaar. Vanaf de jaren zestig zal echter een uitgebreide vierdelige editie verschijnen bij Wesmael-Charlier onder de titel « Eléments de Physique » :
- tome 1 « Mécanique Liquides Gaz » 8e édition (1977)
- tome 2 « Chaleur Acoustique 0ptique» 5e édition (1973)
- tome 3 « Electricité » 5e édition (1974)
- tome 4 « Phénomènes périodiques» 2e édition (1974)
Al deze titels waren niet alleen voor het hoger secundair maar ook voor het technisch onderwijs bestemd en waren dan ook zeer sterk op het experiment geöriënteerd. Ze waren ook in het Nederlands beschikbaar en zowel de Franse of Nederlandse editie zijn erg moeilijk te vinden zelfs in gereputeerde tweedehandsboekenwinkels. Ze zijn echter wel beschikbaar in de Universitaire Bibliotheek van de Gentse universiteit.
De experimentele oriëntatie, waarvan sprake blijkt zeer duidelijk uit de inhoud van de schoolboeken van Delaruelle en Claes, waarvan in dit cursiefje, de eerste twee volumes besproken worden:
Tome 1 betrof wat men veelal de « Physische Mechanica » noemt en omvatte volgende delen, hoofdstukken en genummerde rubrieken:
- première partie: Mécanique
Chapitre 1 «Introduction»:
§1 quelques notions généraux 1- repos et mouvement 2- trajectoire dun mobile 3- déplacement dun mobile 4- rappel de quelques notions sur les vecteurs: somme et différence de deux vecteurs 5- produit scalaire de deux vecteurs 6- décomposition dun vecteur suivant deux directions données §2 unités et mesures 7- mesure dune grandeur 8- mesure des longueurs: notice historique unité de longueur 9- instruments de précision: le vernier 10- vis micrométrique ou vis de Palmer 11- mesure des masses: unité de masse 12- mesure des intervalles de temps: unités des intervalles de temps13- instruments de mesure: le chronomètre 14- équations aux dimensions 15- systèmes dunités mécaniques §3 incertitudes et erreurs expérimentales 16- mesure approchée dune grandeur 17- incertitude absolue et erreur absolue sur le résultat dune mesure 18- quelques remarques 19- erreur relative 20- remarques 21- exemple de calcul derreurs sur le résultat dune expérience de physique 22- nombre de chiffres significatifs
Chapitre 2 «Mouvements rectilignes»:
§1 mouvement uniforme 23- notion fondamentale 24- remarque 25- unités de vitesse 26- formules dérivées 27- équations aux dimensions 28- diagramme horaire du mouvement rectiligne uniforme 29- application §2 mouvement uniformément varié 30- la notion de vitesse moyenne 31- ordre de grandeur de quelques vitesses moyennes 32- la notion daccélération: unité daccélération 33- vecteur-accélération 34- ordre de grandeur de quelques accélérations 35- mouvement rectiligne uniformément varié: définition 36- étude expérimentale du mouvement uniformément accéléré: le plan incliné de Galilée 37- calcul de la vitesse instantanée dun mobile animé dun mouvement rectiligne uniformément accéléré 38- calcul de la vitesse moyenne de ce mobile 39- calcul du chemin parcouru au bout de t secondes par le mobile animé dun mouvement rectiligne uniformément accéléré 40- remarque 41- généralisation des formules du mouvement uniformément varié 42- diagramme horaire du mouvement uniformément accéléré 43- diagramme de la vitesse §3 chute libre des corps 44- notice historique 45- lois de la chute libre des corps 46- diagramme horaire dun corps tombant en chute libre 47- formule de Torricelli 48- observation directe de la chute libre: vérification des lois de la chute libre à laide de la machine dAtwood 49- corps lancé verticalement vers le haut §4 mouvements composés 50- composition de deux mouvements rectilignes uniformes 51- corps lancé horizontalement 52- corps lancé obliquement vers le haut 53- calcul de la hauteur de la trajectoire 54- calcul de la portée du tir
Chapitre 3 «Forces»:
§1 l'inertie des corps 55- notice historique sur l'inertie 56- notion d'inertie: expériences, conclusions 57- le principe dinertie: applications §2 action dynamique dune force 58- relation entre laccélération et la force: la notion de masse 59- relation fondamentale de la mécanique 60- unités de force 61- notion «poids dun corps» §3 mesure des forces 62- forces considérées en fonction des déformations quelles impriment 63- dynamomètres 64- représentation dune force 65- déplacement dune force 66- action et réaction 67- applications §4 impulsion et quantité de mouvement 68- notions dimpulsion et de quantité de mouvement 69- loi de conservation de la quantité de mouvement 70- applications du principe de conservation de la quantité de mouvement §5 composition des forces 71- notion de résultante 72- composition des forces ayant même ligne daction et même sens 73- composition de forces ayant même ligne daction et des sens opposés 74- composition de deux forces concourantes 75- composition de plusieurs forces concourantes 76- composition de forces parallèles: moment dune force par rapport à un axe 77- expériences 78- détermination du point dapplication de la résultante de deux forces parallèles de même sens 79- composition de deux forces parallèles et de sens opposés 80- couple de forces 81- moment dun couple §6 décomposition dune force 82- décomposition dune force donnée en deux composants concourantes 83- décomposition dune force en deux composantes parallèles et de même sens 84- décomposition dune force en deux composantes parallèles de sens opposés §7 pression exercée par les solides 85- notion de pression 86- unités de pression 87- applications de la pression
Chapitre 4 «Loi de lattraction universelle»:
§1 la loi de Newton 88- notice historique 89- énoncé de la loi de Newton 90- remarque: la constante de Newton 91- champ de gravitation et pesanteur 92- remarque: attraction entre planètes et soleil §2 force de pesanteur 93- direction ou ligne daction de la force de pesanteur 94- sens de la force de pesanteur 95- centre de gravité dun corps 96- centre de gravité de quelques corps géométriques homogènes 97- intensité de la force de pesanteur: variabilité du poids dun corps 98- application: masse de la Terre §3 équilibre des corps solides 99- notion déquilibre 100- genre déquilibre 101- conditions déquilibre dun corps solide 102- stabilité des corps solides ayant une base de sustentation polygonale 103- équilibre dun corps mobile autour dun axe ou dun point 104- applications
Chapitre 5 «Dynamique: étude de lénergie mécanique»:
§1 travail dune force 106- notion de travail: travail dune force qui se déplace sur sa ligne daction 107- unités de travail 108- travail dune force oblique 109- exemples §2 puissance 110- notion de puissance 111- unités de puissance 112- quelques ordres de grandeur de puissance §3 énergie mécanique 113- énergie potentielle 114- énergie cinétique 115- relation entre lénergie potentielle et lénergie cinétique dun corps: loi de conservation de lénergie mécanique 116- application de la loi de conservation de lénergie mécanique: le pendule 117- lois du pendule simple 118- applications du pendule: application de Huygens, application de Foucault §4 principe de conservation de lénergie totale dun système isolé 119- formes dénergie 120- transformations successives dénergie 121- principe de conservation de lénergie totale dun système §5 machines simples: introduction: quest-ce quune machine? 122- définition dun levier 123- condition déquilibre dun levier 124- avantage mécanique de lemploi dun levier 125- à employer un levier, one perd ni on gagne en travail 126- les trois genres de leviers 127- remarque: poids propre du levier 128- résumé 129- description de la balance 130- conditions de justesse dune balance 131- conditions de sensibilité dune balance 132- double pesée par la méthode de Borda 133- description des poulies: la poulie fixe, la poulie mobile 134- systèmes de poulies 135- le treuil 136- principe du plan incliné 137- déduction théorique 138- accélération le long du plan incliné
§1 masse volumique et densité 139- notion de masse volumique 140- unités 141- détermination de la masse volumique dun solide de forme irrégulière 142 masse volumique dun liquide 143- densité dun corps solide ou liquide 144- remarque 145- masse volumique et densité dun gaz §2 poids volumique dun corps solide et liquide 146- définition du poids volumique dun corps 147- unités
Chapitre 7 «Résistances»
148- le frottement 149- utilité des frottements 150- résistance des fluides 151- résistance de lair 152- résistance à la déformation: élasticité 153- coefficient et module délasticité
Chapitre 8 «Laviation»
154- principe du cerf-volant 155- application à lavion 156- équilibre de lavion 157- notion historique sur lévolution de laviation
Chapitre 9 «Mouvement circulaire»:
§1 mouvement circulaire uniforme 158- définition de vitesse linéaire 159- définition de vitesse angulaire 160- relation entre la vitesse linéaire et la vitesse angulaire §2 force centripète et force centrifuge 161- notions de force centripète et de force centrifuge 162- accélération radiale et intensité de la force centripète 163- applications pratiques 164- mouvement des satellites 165- trajectoire de la Lune §3 rotation dun solide autour dun axe 166- moment cinétique et moment dinertie par rapport à un axe 167- remarques: rapprochement entre le moment dinertie dun corps et la masse de ce corps 168- énergie cinétique dun corps en mouvement de rotation 169- tableau de quelques valeurs importantes en rapport avec les mouvements de translation et de rotation
- deuxième partie: Les Fluides
Chapitre 10 «Structure moléculaire de la Matière»:
§1 les molécules 170- existence des molécules 171- dimensions des molécules 172- le mouvement brownien et son interprétation 173- énergie des molécules: énergie potentielle et énergie cinétique §2 états physiques de la matière 174- les solides 175- les liquides 176- les gaz 177- la pression des gaz
Chapitre 11 «Fluides soumis à des pressions»
§1 introduction 178- surface libre dun liquide en équilibre 179- remarques 180- incompressibilité relative des liquides §2 transmission des pressions dans les liquides 181- principe de Pascal 182- vérification expérimentale du principe de Pascal 183- la presse hydraulique §3 pression hydrostatique 184- la notion de pression hydrostatique 185- quelques expériences 186- remarque 187- intensité de la pression hydrostatique sur un plan horizontal 188- intensité de la pression hydrostatique sur une surface oblique 189- principe de Simon Stévin 190- conséquences générales de la pression hydrostatique 191- paradoxe hydrostatique 192- applications pratiques de la pression hydrostatique: vases communicants, le château deau, le niveau de larpenteur, le tourniquet hydraulique 193- équilibre de plusieurs liquides non miscibles de poids volumiques différents dans un même récipient 194- équilibre de liquides non miscibles dans des vases communicants §4 pression atmosphérique 195- les gaz sont pesants 196- lair atmosphérique 197- existence de la pression atmosphérique 198- expérience de Torricelli 199- intensité de la pression atmosphérique 200- remarque 201- unités usuelles de pression §5 les baromètres 202- définition de baromètre 203- baromètre à cuvette 204- baromètre à siphon 205- baromètres métalliques: baromètre de Vidi 206- baromètre enregistreur 207- usage des baromètres: prévision du temps 208- usage des baromètres: hauteur de latmosphère §6 principe dArchimède appliqué aux liquides 209- observations et expériences: expérience de s Gravesande 210- déduction théorique 211- démonstration de Stévin 212- énoncé du principe dArchimède 213- réciproque du principe dArchimède 214- corps flottants 215- la poussée hydrostatique en relation avec le poids volumique 216- application des corps flottants §7 principe dArchimède appliqué aux gaz 217- vérification expérimentale 218- poids apparent dun corps: conséquences 219- aérostats ou ballons sphériques 220- force ascensionnelle dun ballon au moment du décollage §8 lois relatives à la pression des gaz 221- la loi de Boyle déduite de la théorie cinétique des gaz 222- vérification expérimentale de la loi de Boyle 223- représentation graphique de la loi de Boyle 224- remarque *225- pression dun mélange de gaz: loi de Dalton §9 applications de la pression des gaz 226- pompes à liquides 227- pompes à gaz 228- manomètres: manomètre à vide, manomètre à air libre, manomètres métalliques 229- le siphon 230- la pipette
Chapitre 12 «Forces moléculaires dans les fluides»:
§1 tension superficielle 231- pression de cohésion et tension superficielle 232- constatations 233- vérifications expérimentales 234- comportement dun liquide au contact dune paroi §2 phénomènes capillaires 235- expériences 236- explication: loi de Jurin §3 diffusion et osmose 237- le phénomène de diffusion dans les liquides 239- le phénomène dosmose 240- quelques expériences
Lecture 1: Importance de lhistoire des sciences
Lecture 2: Lunité de longueur
Lecture 3: L génie de Newton
Lecture 4: Quitter la Terre, cest quitter notre poids
Lecture 5: Le plan incliné de Ronquières
Lecture 6: Plongées sous-marines
Lecture 7: Lascenseur hydraulique
Lecture 8: Lexpérience historique de Pascal au Puy de Dôme
Lecture 9: La conquête de lespace
Lecture 10: Origine et développement de laéronautique
Tome 2 was gewijd aan wat men -overeenkomstig het Franse vocabularium Thermique, Acoustique en Optique- als « Thermica, Acustica , Optica » zou moeten noemen en omvatte volgende delen, hoofdstukken en genummerde rubrieken:
- première partie: La Chaleur
Introduction: la chaleur est une forme dénergie
1- aperçu historique de la théorie énergétique de la chaleur: la théorie du «calorique» , la théorie énergétique de la chaleur 2- équivalence de lénergie calorifique et de lénergie mécanique
Chapitre 1 «Thermométrie»
§1 la température 3- la notion de température 4- distinction entre lénergie calorifique et la température dun corps 5- fondements de la thermométrie 6- effets de la chaleur sur les solides 7- effet de la chaleur sur les liquides 8- effet de la chaleur sur les gaz §2 détermination de la température 9- le thermomètre à mercure 10- léchelle centésimale ou échelle de Celsius (1742) 11- léchelle de Fahrenheit (1724) 12- passage dune échelle à une autre 12- thermomètres usuels: thermomètre à alcool, thermomètre à maxima et à minima, thermomètre médical, thermomètres pour températures très élevées et très basses 14- sensibilité du thermomètre à mercure
Chapitre 2 «Etude quantitative de la dilation des corps»
§1 dilatation des solides 15- dilatation linéaire: coefficient de dilatation linéaire 16- binôme de dilatation linéaire 17- applications de la dilatation linéaire des solides 18- dilatation cubique: coefficient de dilatation cubique 19- binôme de dilatation cubique: volume dun corps à t° 20- application de la dilation cubique des solides 21- relation entre les coefficients de dilatation linéaire et cubique §2 dilatation des liquides 22- coefficient de dilatation absolue dun liquide 23- détermination expérimentale du coefficient de dilatation absolue dun liquide au moyen du dilatomètre *24- variation de la masse volumique des corps en fonction de la température *25- remarques 26- dilatation anormale de leau entre 0 et 4° 27- conséquences de la dilatation singulière de leau §3 dilatation des gaz 28- dilatation des gaz sous pression constante: loi de Gay-Lussac (1802) 29- remarque 30- volume dune masse donnée de gaz à t° Celsius 31- applications de la dilatation des gaz 32- variation de pression dun gaz chauffé sous volume constant: coefficient de variation de pression et loi de Charles 33- pression et agitation thermique des molécules dun gaz 34- temérature absolue §4 température absolue et lois des gaz 35- relation entre le volume dune masse déterminée de gaz sous pression constante et sa température absolue 36- relation entre la pression dune masse déterminée de gaz maintenue à volume constant et sa température absolue 37- loi de Boyle et de Gay-Lussac 38- équation des gaz parfaits 39- température absolue et énergie cinétique de translation des molécules dun gaz parfait 40- volume normal dune masse déterminée de gaz *41- masse volumique dun gaz *42- masse dun volume gazeux **43- équation des gaz réels: équation de Van der Waals
Chapitre 3 «Calorimétrie»
§1 quantité de chaleur 44- différence entre les notions de température et de quantité de chaleur 45- relation entre la quantité de chaleur que contient un corps et sa température: description du calorimètre 45- la notion de chaleur massique 47- unités usuelles de quantité de chaleur et de chaleur massique 48- quantité de chaleur absorbée ou cédée par un corps 49- capacité calorifique ou valeur en eau dun corps §2 détermination de la chaleur massique des corps solides et liquides 50- détermination de la chaleur massique des corps solides au poyen du calorimètre 51- détermination de la chaleur massique dun liquide 52- remarques §3 le principe déquivalence 53- équivalent mécanique de la kilocalorie: expérience de Joule 54- généralisation du principe de la conservation de lénergie: principe déquivalence 55- énergie dégradée 56- machine thermique et rendement théorique §4 chaleurs massiques des gaz **57- les deux chaleurs massiques des gaz: chaleur massique à volume constant (cv), chaleur massique sous pression constante (cp) **58- remarques: relation entre cp et cv
Chapitre 4 «Changement détat physique des corps»
§1 fusion et solidification 59- point de fusion et point de solidification 60- fusion franche et fusion pâteuse: corps réfractaires 61- lois de la fusion franche 62- surfusion *63- influence de la pression sur le point de fusion dun corps pur 64- chaleur de fusion et chaleur de solidification 65- détermination expérimentale de la chaleur de fusion et de la chaleur de solidification §2 vaporisation et condensation 66- vaporisation libre: vaporisation dans le vide: tension maximum de la vapeur 67- explication du phénomène de vaporisation 68- notion de lévaporation 69- lois de lévaporation dun liquide 70- comportement des vapeurs à légard des lois des gaz: les vapeurs non saturantes , les vapeurs saturantes 71- vaporisation au sein dun liquide: le phénomène débullition 72- lois débullition 73- autoclave ou marmite de Papin 74- ébullition sous pression réduite: expérience de Franklin 75- le principe de Watt ou principe de la paroi froide 76- la distillation 77- chaleur de vaporisation chaleur de condensation **78- mesure de la chaleur de vaporisation de leau daprès Berthollet §3 hygrométrie *79- humidité absolue et humidité relative **80- hygromètre de Daniëll 81- hygromètre à cheveu 82- humidité absolue ou masse de la vapeur deau contenue dans un volume déterminé dair 83- applications §4 dissolution et cristallisation 84- constatations expérimentales 85- leau et sa propriété dissolvante 86- lois de la dissolution dans le cas où le solvant est un liquide *87- mélanges réfrigérants 88- la cristallisation 89- solutions sursaturées §5 liquéfaction des gaz *90- principes théoriques: premiers essais de liquéfaction des gaz: gaz permanents *91- principes théoriques: existence dune température critique: isothermes *92- principes théoriques: réalisation de basses températures **93- applications pratiques: liquéfaction de lair atmosphérique: appareil de Linde **94- propriétés de lair liquide **95- liquéfaction de lhélium
Chapitre 5 «Propagation de la chaleur»
§1 propagation de la chaleur par conduction et par convexion 96- propagation de la chaleur dans les solides 97- application de la conductibilité thermique des solides: lampe de Davy, toile métallique et Bunsen 98- propagation de la chaleur dans les liquides: par conduction, par convection 99- propagation de la chaleur dans les gaz §2 le rayonnement calorifique 100- propagation de la chaleur par rayonnement 101- propriétés du rayonnement calorifique **102- émission et absorption de la chaleur **103- remarque: matériaux athermanes et diathermanes §3 influence du rayonnement calorifique sur les facteurs météorologiques 104- température de lair 105- température des couches souterraines 106- formation de rosée 107- formation de brouillard et de nuages
Chapitre 6 «Machines thermiques»
§1 rôle joué autrefois par la machine à vapeur 108- notice historique sur la machine à vapeur et son utilisation: machine de Watt, locomotive à vapeur de Stephenson, bateau à vapeur de Fulton §2 turbine à vapeur 109- principe de la turbine à vapeur §3 moteurs à explosion 110- notice historique 111- organes essentiels et principe du moteur à explosion 112- moteur à explosion à quatre temps 113- moteur à explosion à deux temps 114- moteur à combustion de Diesel §4 moteurs à réaction 115- principe du moteur à réaction 116- types de moteurs à réaction
- deuxième partie: LAcoustique
Chapitre 7 « Acoustique »
§1 nature vibratoire du son 117- le son est dû à la vibration dun milieu élastique 118- description du mouvement vibratoire simple: mouvement sinusoïdale 119- éléments dun mouvement sinusoïdal 120- sons musicaux et bruits 121- qualités des sons: hauteur du son, intensité du son, timbre du son *122- gammes musicales: intervalle musical *124- gamme tempérée §2 propagation du son 125- propagation du son dans les différents milieux 126- célérité du son: constatations 127- mesure de la vitesse de propagation du son 128- vitesse de propagation du son dans différents milieux 129- ondes progressives: propagation dun ébranlement: ondes transversales et ondes longitudinales 130- propagations des ondes sonores dans lair: ondes sphériques 131- la notion de longueur donde §3 réflexion des ondes sonores 132- lois de réflexion des ondes sonores 133- le phénomène de lécho §4 le phénomène dinterférence 134- la notion dinterférence: composition de deux mouvements vibratoires 135- interférence dondes sonores de même fréquence 136- ondes stationnaires: expérience de Kundt 137- la résonance acoustique 138- remarque §5 perception du son 139- limite de laudibilité 140- les ultra-sons §6 sources sonores 141- instruments à cordes: parties essentielles et classification 142- tuyaux sonores: les tuyaux dorgue 143- verges et membranes vibrantes: le diapason 144- le phonographe
- troisième partie: LOptique
Chapitre 8 «Optique géométrique»:
§1 propagation rectiligne de la lumière 145- corps lumineux et objets éclairés 146- comportement des corps par rapport à la lumière 147- faisceaux lumineux et rayons lumineux 148- la lampe de Reuter 149- les ombres 150- applications: les phases de la Lune, les éclipses 151- la chambre noire §2 réflexion de la lumière 152- réflexion par un miroir plan: expériences 153- réflexion régulière et réflexion diffuse 154- lois de la réflexion régulière: les lois de Huygens 155- principe du retour inverse de la lumière 156- les miroirs plans: image dun point lumineux dans un miroir plan 157- image réelle et image virtuelle 158- construction de limage dun objet dans un miroir plan 159- rotation dun miroir plan 160- images multiples 161- applications des miroirs tournants 162- les miroirs sphériques: éléments géométriques dun miroir sphérique 163- expériences avec des miroirs concaves 164- réflexion dun rayon lumineux sur un miroir concave 165- image dun point lumineux situé sur laxe principale 166- la formule paramétrique 167- foyer principal et distance focale d un miroir concave 168- remarques 169- le plan focal *170- aberration sphérique *171- miroirs paraboliques 172- marche de quelques rayons particuliers 173- image dun objet lumineux dans un miroir concave 174- expériences avec les miroirs convexes 175- image dun point lumineux situé sur laxe principal 176- foyer principal et distance focale dun miroir convexe 177- image dun objet lumineux dans un miroir convexe 178- définition de grandissement §3 réfraction de la lumière 179- phénomènes de réfraction: constatations 180- quelques expériences: indice de réfraction 181- les lois de réfraction: les lois de Descartes 182- construction du rayon réfracté 183- indice de réfraction et célérité de la lumière 184- indice relatif et indice absolu 185- applications: réfraction atmosphérique, mirages 186- angle limite de réfraction 187- réflexion totale 188- lames à faces parallèles 189- quelques constatations 190- marche dun rayon lumineux traversant une lames à faces parallèles: calcul du déplacement d 191- les prismes: définitions 192- constatations 193- marche dun rayon lumineux à travers un prisme: angle de déviation 194- déviation minimum 195- détermination de lindice de réfraction dun milieu réfringent 196- prismes à réflexion totale 197- les lentilles: définitions 198- marche dun rayon lumineux à travers un milieu transparent sphérique 199- éléments géométriques dune lentille: types de lentilles 200- centre optique dune lentille 201- propriétés du centre optique dune lentille 202- lentilles convergentes: foyers principaux dune lentille convergente 203- foyers secondaires 204- marche de quelques rayons particuliers 205- images formées par les lentilles convergentes 206- construction géométrique de limage dun objet 207- formule paramétrique des lentilles convergentes: formule de Newton 208- définition de grandissement des lentilles convergentes 209- les lentilles divergentes: foyers principaux dune lentille divergente 210- marche de quelques rayons particuliers 211- images formées par les lentilles divergentes 212- construction géométrique de limage dun objet lumineux 213- formule paramétrique des lentilles divergentes 214- définition de grandissement des lentilles divergentes *215- aberration sphérique 216- convergence des lentilles: définition 217- unité de convergence: la dioptrie 218- convergence dun système de lentilles 219- calcul de la convergence dune lentille épaisse 220- remarques
Chapitre 9 «Instruments doptique»
§1 lil 221- description de lil 222- laccomodation de lil 223- défauts de lil: verres correcteurs: myopie et hypermétropie 224- remarques 225- vision binoculaire 226- le stéréoscope 227- pouvoir séparateur de lil 228- illusions doptique §2 instruments dobservation 229- la loupe: définition et usage 230- puissance de la loupe 231- grossissement de la loupe 232- relation entre le grossissement et la puissance dune loupe 233- principe du microscope optique 234- description du microscope optique 235- marche des rayons lumineux dans un microscope 236- puissance du microscope 237- grossissement du microscope 238- pouvoir séparateur 239- la lunette astronomique 240- marche des rayons lumineux dans une lunette astronomique 241- grossissement de la lunette astronomique 242- notice historique sur la lunette astronomique 243- la lunette terrestre: système redresseur ou véhicule 244- la lunette terrestre de Galilée 245- la lunette à prismes 246- principe du télescope 247- télescope du type Newton 248- télescope du type Cassegrain 249- télescope du type Schmidt 250- quelques télescopes géants: le télescope du Mount Wilson, le télescope du Mount Palomar §3 instruments de projection et appareils photographiques 251- la lanterne de projection (diascope) 252- lépiscope 253- appareils photographiques 254- profondeur de champ 255- la cinématographie
Chapitre 10 «Dispersion de la lumière»: §1 le spectre 256- une première expérience 257- une deuxième expérience 258- le disque de Newton 259- remarque 260- cause de la dispersion de la lumière 261- laberration chromatique 262- étendue du spectre §2 les couleurs des corps 263- couleur dun corps transparent 264- couleur dun corps opaque 265- remarques 266- mélanges de couleurs 267- couleurs complémentaires 268- remarque 269- limpression en couleurs 270- photographie en couleurs
Chapitre 11 «Ondes lumineuses»:
§1 nature ondulatoire de la lumière 271- longueurs donde et fréquences des vibrations lumineuses 272- phénomène dinterférence: le biprisme de Fresnel 273- polarisation de la lumièrepar réflexion: lexpérience de Malus 274- explication 275- quelques définitions: plan de polarisation; plan de vibration, angle de polarisation 276- la loi de Brewster 277- remarques 278- polarisation par réfraction: réfraction simple 279- double réfringence du spath dIslande 280- filtres polarisants 281- application des filtres polarisants §2 éléments de spectroscopie 282- le spectroscope 283- sortes de spectre: spectre continu 284- sortes de spectre: spectres de raies (spectres démission, spectres dabsorption, spectres de bande) 285- spectre solaire
Chapitre 12 «Photométrie»: définition de la photométrie
§1 grandeurs photométriques 286- flux total dénergie transporté par un faisceau lumineux 287- intensité lumineuse (I) dune source: le candela 288- flux lumineux (Φ)dun faisceau: le lumen 289- éclairement (E) dune surface: le lux 290- la brillance (B): la nit §2 les lois de la photométrie 291- éclairement dune surface normale 292- éclairement dune surface oblique
Lecture: La chaleur est une forme dénergie (von Mayer)
Lecture: Moteurs géants pour fusées spatiales (Albert Ducrocq)
Lecture: Vitesse de propagation de la lumière
Lecture: Notice historique sur les phares
Lecture: Détermination de la vitesse de propagation de la lumière (méthode de Fizeau)
Lecture: Notice historique sur la microscopie
Lecture: LEvolution des télescopes
Lecture: Notice historique sur la cinématographie
Lecture: Newton découvre le spectre solaire
Lecture: Aperçu historique des théories relatives à la lumière
§ 10.5 Elementaire Natuurkunde met Delaruelle en Claes (II)
(Hoofdstuk 10 "Natuurkunde in de Cadettenschool")
§ 10.5 Elementaire Natuurkunde met Delaruelle en Claes (II)
Volume 3 van « Eléments de Physique » was gewijd aan de Electriciteitsleer, een zeer belangrijk luik in de Experimentele Natuurkunde, daar vrijwel alle toekomstige wetenschappers en technici in contact komen met electrische of electronische apparatuur. Alleen dit feit al rechtvaardigt volkomen dat aan dit onderdeel van de experimentele natuurkunde een apart cursiefje wordt gewijd. Overigens was het precies voor dit luik dat ik in de Cadettenschool een geschikt leerboek moest ontberen en dit door een zogenaamde "herdruk" (zie cursiefje §10.3).
Tome 3 omvatte volgende delen, hoofdstukken, paragrafen en genummerde rubrieken:
- première partie: LElectrostatique
Chapitre 1 «Electrostatique»
§1 charges électriques 1- notice historique sur le phénomène électrique 2- quelques expériences 3- électricité positive et électricité négative 4- la loi de Coulomb 5- définition du coulomb comme unité de charge 6- système dunités électriques de Giorgi ou Système International (S.I.) §2 nature des charges électriques 7- lédifice atomique 8- comment interpréter lélectrisation des corps 9- remarque sur les conducteurs et les isolants «parfaits» §3 détermination du signe et localisation des charges électriques 10- lélectroscope: description et fonctionnement 11- comment déterminer le signe dune charge électrique 12- localisation de lélectricité sur un conducteur isolé: la cage de Faraday 13- densité des charges à la surface dun conducteur en équilibre statique 14- le pouvoir des pointes dun conducteur §4 induction électrostatique 15- quelques expériences 16- séparation des charges induites 17- machine électrostatique ou générateur de Van de Graaf 18- machine de Wimshurst: description, principe, fonctionnement §5 champ électrique 19- le vecteur «champ électrique»: unité dintensité de champ électrique 20- remarque 21- étude expérimentale du champ électrique 22- champ électrique uniforme 23- champ électrique à symétrie sphérique 24- densité des lignes de champ 25- intensité en un point dun champ électrique à symétrie sphérique 26- remarque §6 potentiel électrique 27- notion de potentiel 28- unité de potentiel 29- emploi de lélectromètre pour évaluer le potentiel dun conducteur 30- lélectron-volt comme unité dénergie 31- calcul du potentiel en un point dun champ électrique à symétrie sphérique 32- surfaces équipotentielles §7 capacité électrique 33- notion de capacité 34- unité de capacité électrique 35- capacité dun conducteur sphérique 36- potentiel de deux conducteurs en équilibre électrique 37- remarques §8 les condensateurs 38- quelques expériences 39- interprétation du phénomène 40- remarques 41- capacité dun condensateur plan: permittivité 42- permittivité relative 43- remarque 44- calcul de la capacité dun condensateur sphérique 45- remarque 46- énergie dun condensateur chargé 47- les condensateurs usuels: bouteille de Leyde, condensateur à capacité variable, condensateur électrolytique 48- association de condensateurs: association en parallèle 49- association de condensateurs: association en série
- deuxième partie: LElectrodynamique
Introduction: 50- notice historique sur lélectrodynamique
Chapitre 2 «Le courant dans les conducteurs solides»
§1 propriétés générales du courant électrique 51- notion de courant électrique: générateurs de courant électrique 52- nature et sens du courant électrique 53- le circuit électrique 54- effets principaux du courant électrique 55- force électromotrice dun générateur électrique 56- intensité du courant électrique 57- unité dintensité du courant électrique 58- équations aux dimensions §2 résistance dun conducteur 59- la loi dOhm 60- unité de résistance électrique 61- les lois de Pouillet 62- la résistivité de quelques conducteurs usuels 63- variation de la résistivité avec la température 64- les rhéostats: rhéostat à curseur, rhéostat à plots, boîte de résistances §3 énergie et puissance dun courant électrique 65- énergie du courant électrique 66- puissance dun courant électrique 67- remarques 68- applications de leffet Joule:appareils de chauffage et coupe-circuits fusibles 69- le chauffe-bain électrique 70- lampèremètre thermique 71- la lampe à incandescence §4 les courants dérivés 72- les lois de Kirchhoff: première loi (loi des courants) 73- les lois de Kirchhoff: deuxième loi (loi des tensions) 74- relation entre les intensités et les résistances dans deux conducteurs associés en dérivation 75- applications des lois de Kirchhoff: le shunt 76- applications des lois de Kirchhoff: résistance équivalente de conducteurs associés en série 77- applications des lois de Kirchhoff: résistance équivalente de conducteurs associés en dérivation 78- mesure dune résistance: pont de Wheatstone 79- généralisation de la loi dOhm 80- remarque 81- relation entre la tension aux bornes dun générateur électrique et sa force électromotrice
Chapitre 3 «Le courant électrique dans les conducteurs liquides»
introduction: 82- notions préliminaires
§1 électrolyse 83- dissociation électrolytique 84- électrolyse du chlorure dhydrogène en solution aqueuse 85- électrolyse de leau acidulée 86- électrolyse avec attaque de lanode 87- étude quantitative de lélectrolyse: lois de Faraday 88- calcul de la masse libérée 90- charge dun ion monovalent ou charge élémentaire 91- applications de lélectrolyse: la galvanoplastie 92- applications de lélectrolyse: la galvanostégie §2 les sources de courant 93- chaînes de conducteurs métalliques 94- le couple thermoélectrique 95- chaîne de métaux et dun électrolyte 96- lélément de Volta: description, fonctionnement 97- polarisation de lélément de Volta 98- les éléments à dépolarisant 99- lélément de Leclanché 100- les piles sèches 101- laccumulateur au plomb: description et structure 102- décharge de laccumulateur au plomb 103-recharge de laccumulateur au plomb 104- la force électromotrice dun accumulateur 105- capacité dun accumulateur 106- montage pratique et utilisation des accumulateurs 107- extension de la loi dOhm à un circuit comprenant un récepteur 108- association de générateurs: association en série de n générateurs identiques 109- association de générateurs: association en parallèle de n générateurs identiques
Chapitre 4 «Le courant électrique dans les gaz»
§1 décharges électriques 111- décharges sous pression atmosphérique 112- décharge dans les gaz raréfiés §2 rayons cathodiques 113- propriétés des rayons cathodiques 114- nature des rayons cathodiques 115- découverte des rayons X 116- production des rayons X dans le tube de Crookes 117- propriétés des rayons X §3 effet thermoélectronique 118- notice historique sur leffet thermoélectronique 119- la diode de Fleming 120- loscillographe à rayons cathodiques 121- la triode de Lee de Forest 122- le tube de Coolidge 123- les lampes à fluorescence §4 effet photo-électronique 124- notice historique sur leffet photo-électronique 125- la cellule photo-électrique 126- applications §5 semi-conducteurs 127- structure des semi-conducteurs: la diode à pointe 128- la diode à jonction 129- les transistors 130- remarque 131- applications de lélectronique
Chapitre 5 «Phénomènes magnétiques»
Introduction: 132- notice historique sue les phénomènes magnétiques
§1 les champs magnétiques 133- champ magnétique dun courant rectiligne indéfini: règle de Maxwell ou règle de tire-bouchon 134- champ magnétique créé par deux courants parallèles 135- champ magnétique dun courant circulaire 136- champ magnétique dun solénoïde 137- intensité du champ magnétique à lintérieur dun solénoïde 138- unité dintensité de champ magnétique §2 induction magnétique ou densité de flux magnétique 139- notion dinduction magnétique: perméabilité magnétique 140- perméabilité relative 141- calcul de la valeur de la perméabilité magnétique du vide 142- flux magnétique: unité de flux magnétique 143- remarques: densité de flux magnétique: le tesla 144- induction magnétique en un point P du champ magnétique créé par un courant rectiligne in défini: loi de Biot-Savart 145- induction magnétique au centre dune spire 146- induction magnétique à lintérieur dun solénoïde §3 propriétés magnétiques de la matière 147- notion daimantation 148- le cycle d(hystérésis 149- les aimants permanents 150- leffet décran magnétique 151- paramagnétisme et diamagnétisme 152- les électro-aimants: description 153- applications des électro-aimants 154- la sonnerie électrique 155- le télégraphe §4 action dun champ magnétique sur des charges en mouvement 156- action dun champ magnétique sur un courant rectiligne mobile: existence dune force électromagnétique 157- intensité de la force électromagnétique: loi de Laplace 158- remarques 159- le coupe-circuit électromagnétique ou disjoncteur 160- action dun champ magnétique sur les charges libres: force exercée par un champ magnétique uniforme sur une charge q (loi de Lorentz) 161- trajectoire dune particule chargée dans un champ magnétique uniforme 162- le cyclotron ou accélérateur magnétique 163- remarque 164- le spectrographe de masse 165- action réciproque de deux courants rectilignes parallèles: expériences 166- interprétation du phénomène: intensité de la force dattraction ou de répulsion des deux conducteurs 167- définition de lampère 168- action dun champ magnétique sur une pire mobile: expériences 169- interprétation du phénomène 170- le moment du couple magnétique §5 appareils usuels pour mesurer I et U 171- les galvanomètres: principe du galvanomètre à cadre mobile 172- lecture de langle de déviation sur le galvanomètre à miroir 173- remarque 174- les ampèremètres: ampèremètre à aimant mobile 175- ampèremètre à cadre mobile 176- le voltmètre
§1 les courants induits 177- notice historique sur les courants induits 178- les expériences de Faraday 179- lois des courants induits: première loi 180- lois des courants induits: deuxième loi ou loi de Lenz 181- les courants de Foucault §2 phénomènes dinduction et forces électromagnétiques sur les charges en mouvement 182- la tension induite: tension induite aux extrémités dun conducteur, tension induite aux bornes dune bobine 183- intensité du courant induit 184- règles pratiques pour trouver le sens des courants induits §3 induction mutuelle et self-induction 185- linduction mutuelle 186- linductance mutuelle: unité dinductance électrique (le henry) 187- la self-inductance 188- conséquences de la self-inductance dun circuit §4 applications des courants induits 189- la bobine dinduction: description, fonctionnement 190- le téléphone de Bell: notice historique, principe 191- les dynamos: description de la dynamo de Gramme 192- principe et fonctionnement de la dynamo 193- force électromotrice de la dynamo 194- rendement dune dynamo 195- les moteurs électriques: principe du moteur électrique 196- force contre-électromotrice dun moteur 197- intensité du courant dans un moteur
Chapitre 7 «Courants alternatifs»
§1 notion de courant alternatif 198- production dun courant alternatif 199- variation de lintensité dun courant alternatif 200- valeur instantanée de lintensité dun courant alternatif sinusoïdal 201- période et fréquence dun courant alternatif sinusoïdal 202- propriétés des courants alternatifs 203- intensité efficace dun courant alternatif: calcul de lintensité efficace 204- tension efficace dun courant alternatif §2 relation entre lintensité et la tension efficaces 205- le circuit ne comprend quune résistance ohmique R 206- le circuit comprend outre une résistance ohmique R une self-inductance L (circuit R-L) **207- calcul du déphasage entre la tension aux bornes du circuit et lintensité du courant qui y passe; calcul de limpédance Z 208- le circuit comprend outre une résistance ohmique R une capacité C (circuit R-C) **209- calcul du déphasage entre la tension aux bornes du circuit et lintensité du courant qui y circule; calcul de limpédance Z 210- le circuit comprend outre une résistance ohmique R, une self-inductance L et une capacité C (circuit R-L-C) **211- calcul du déphasage entre la tension aux bornes du circuit et lintensité du courant qui y circule; calcul de limpédance Z 212- le phénomène de résonance électrique: circuit oscillant 213- la période dun circuit oscillant 214- la courbe de résonance 215- puissance dun courant alternatif: facteur de puissance(circuit R, circuit L ou C) **216- calcul de la puissance moyenne et du facteur de puissance §3 appareils pour la production et la transformation de courants alternatifs 217- les alternateurs: principe 218- réalisation pratique de lalternateur monophasé 219- les alternateurs polyphasés 220- utilisation des courants triphasés 221- moteurs à courants alternatifs: le moteur synchrone 222- le moteur asynchrone 222- transformateurs: description et principe du transformateur monophasé 224- quelques expériences 225- transport de lénergie par courant alternatif 226- rendement dun transformateur 227- redresseurs de courants alternatifs
Appendice «Oscillations électriques dans lespace»
§1 décharge oscillante dun condensateur 228- lexpérience de Feddersen 229- les courants de Tesla 230- propriétés des courants de haute tension de Tesla §2 ondes électromagnétiques 231- notice historique sur les expériences de Hertz 232- la triode oscillatrice 233- la triode détectrice 234- la triode amplificatrice 235- la téléphonie sans fil 236- résumé schématique 237- le radar
Lecture: La place prépondérante de lélectricité dans la science et la civilisation modernes
Lecture: La lampe à incandescence
Lecture: Le génie de Faraday
Lecture: Uber eine neue Strahlenart
Lecture: De la miniaturisation à la micro-électronique
Lecture: Linvention de la télégraphie
Lecture: La contribution dAmpère dans lédification de la théorie électromagnétique
Lecture: Invention de la dynamo par Zénobe Gramme
Lecture: Lensemble des ondes électromagnétiques
Tome 4 omvatte volgende hoofdstukken, paragrafen en genummerde rubrieken:
Introduction:
§1 notions dalgèbre vectorielle 1- grandeurs scalaires et grandeurs vectorielles 2- somme de vecteurs 3- différence de deux vecteurs 4- décomposition dun vecteur 5- multiplication dun vecteur par une grandeur scalaire 6- projection orthogonale sur un axe dun vecteur situé dans le plan de laxe 7- produit scalaire de deux vecteurs §2- généralisation des notions de vitesse et daccélération 8- valeur algébrique de la vitesse instantanée dun mobile réduit à un point 9- direction et sens du vecteur vitesse 10- valeur algébrique de laccélération instantanée 11- direction et sens du vecteur accélération §3 la notion de phénomène périodique
Chapitre 1 «Mouvements vibratoires simples»
§1 le mouvement circulaire uniforme 13- notions préliminaires: vitesse angulaire 14- le vecteur vitesse linéaire dans le mouvement circulaire uniforme 15- le vecteur vitesse angulaire dans le mouvement circulaire uniforme 16- le vecteur accélération dans le mouvement circulaire uniforme **17- application au mouvement de la Lune §2 vibration harmonique ou sinusoïdale 18- une expérience 19- étude analytique de lexpérience: lélongation et le mouvement sinusoïdal 20- représentation graphique du mouvement sinusoïdal 21- vitesse et accélération dune vibration harmonique 22- exemples de vibrations harmonique: le pendule élastique et calcul de la période des vibrations 23- le pendule simple 24- longueur du pendule composé: pendule réversible 25- détermination de g par le pendule réversible de Kater 26- énergie dun point matériel exécutant une oscillation harmonique 27- oscillations amorties 28- oscillations libres et oscillations entretenues 29- oscillations forcée et le phénomène de résonance30- remarque 31- exemples où lon voit apparaître le phénomène de résonance §3 composition de deux vibrations harmoniques dont les élongations sont parallèles 32- composition de deux vibrations harmoniques de même fréquence et de même phase mais damplitudes différentes 33- composition de deux vibrations harmoniques de même fréquence, damplitudes différentes et qui présentent une différence de phase égale à π 34- composition de deux vibrations harmoniques de même fréquence, de même amplitude mais qui présentent une différence de phase égale à π / 3 35- composition de deux vibrations harmoniques de deux fréquences différentes: expériences 36- composition de deux vibrations harmoniques de fréquences très voisines: le phénomène des battements §4 composition de deux vibrations harmoniques dont les élongations sont perpendiculaires entre elles *37- figures de Lissajous
Chapitre 2 «Propagation de vibrations sinusoïdales»
§1 le mouvement ondulatoire 38- ondes progressives 39- propagation rectiligne dun ébranlement: ondes transversales, ondes longitudinales 40- la longueur donde 41- équation horaire dune particule P se trouvant à la distance dune source de pulsations B 42- condition pour que P et B vibrent en concordance de phase 43- condition pour que P et B vibrent en opposition de phase 44- transport dénergie par une onde progressive §2 les notions de diffraction et dinterférence 45- expérience à laide de la cuve à ondes 46- le principe de Huygens 47- interférence dondes émises par deux sources de vibrations: expérience 48- étude analytique du phénomène **49- application du principe de Huygens: réflexion de fronts donde planes **50- application du principe de Huygens:réfraction dondes planes 51- ondes stationnaires: réflexion dune onde sur un obstacle fixe 52- réflexion dune onde transversale sur un obstacle fixe: calcul de lélongation (nuds et ventres) 53- réflexion dune onde transversale sur un obstacle déformable 54- caractéristiques des ondes stationnaires
Chapitre 3 «Acoustique»
§1 nature vibratoire du son 55- le son est dû à la vibration dun milieu élastique 56- sons musicaux et bruits 57- qualités des sons: hauteur du son, intensité du son, le timbre *58- gammes musicales: intervalle musical **59- intervalle logarithmique 60- gamme harmonique ou gamme naturelle 61- gamme tempérée 62- le la-normal §2 propagation du son 63- propagation du son dans les différents milieux 64- la célérité du son: constatations 65- propagation des ondes sonores dans lair: ondes sphériques 66- mesure de la vitesse de propagation du son 67- vitesse du son dans différents milieux: quelques données 68- leffet Doppler 69- une expérience 70- calcul de la fréquence perçue: la source sonore reste immobile, la source sonore est en mouvement 71- remarques 72- le mur du son 73- diffraction des ondes sonores: expériences 74- application aux ondes sonores 75- réflexion des ondes sonores: les lois de réflexion 76- lécho 77- résonnement 78- interférence dondes sonores: ondes sonores ayant la même fréquence 79- interférence dondes sonores: ondes sonores dont les fréquences sont voisines (le phénomène des battements) 80- ondes stationnaires: expérience de Kundt 81- résonance acoustique: expériences 82- remarque 83- perception du son: limites de laudibilité 84- les ultrasons §3 les sources sonores 85- instruments à cordes: parties essentielles et classification 86- le sonomètre 87- lois des cordes vibrantes ou lois de Mersenne 88- fréquences propres dune corde vibrante 89- remarque 90- tuyaux sonores: les tuyaux dorgue 91- tuyaux fermés: fréquences propres 92- tuyaux ouverts: fréquences propres 93- applications 94- verges et plaques vibrantes: diapason 95- verges et plaques vibrantes:plaques 96- le phonographe dEdison
Chapitre 4 «Dispersion de la lumière»
§1 le spectre 97- notice historique sur la dispersion de la lumière 98- analyse et synthèse de la lumière 99- remarques 100- étendue du spectre 101- rayons infrarouges: propriétés, applications 102- rayons ultraviolets: propriétés, applications §2 les couleurs des corps 103- couleur dun corps transparent 104- couleur dun corps opaque 105- mélanges de couleurs: par voie additive, par voie soustractive 106- couleurs complémentaires 107- remarque 108- impression en couleurs
Chapitre 5 «Ondes lumineuses»
Introduction 109- quest-ce que la lumière?
§1 interférences lumineuses 110- les miroirs de Fresnel 111- calcul de linterfrange112- calcul de la longueur donde dun rayonnement monochromatique 113- franges dinterférence en lumière blanche 114- interférence causée par les couches minces 115- les anneaux de Newton §2 diffraction de la lumière 116- quelques expériences 117- étude analytique de la diffraction produite par une fente étroite 118- lexpérience de Young 119- les réseaux de diffraction 120- applications de la diffraction de la lumière §3 polarisation linéaire de la lumière 121- polarisation par réflexion: expérience de Malus 122- explication du phénomène 123- la loi de Brewster 124- remarque 125- polarisation par réfraction: par réfraction simple 126- polarisation par réfraction:double réfringence du spath dIslande *127- le nicol 128- rotation du plan de polarisation 129- filtres polarisants 130- application des filtres polarisants §4 éléments de spectroscopie 131- le spectroscope 132- sortes de spectres: le spectre continu 133- sortes de spectres: spectres de raies (spectres démission, spectres dabsorption, spectres de bandes) 134- le spectre solaire *135- interprétation de la formation des raies spectrales: atome de Bohr, séries spectrales 136- explication de la présence de raies dabsorption dans le spectre solaire 137- lanalyse spectrale 138- leffet Doppler appliqué à la lumière §5 transformations de lénergie rayonnante 139- le rayonnement thermique 140- absorption et émission thermiques 141- la loi de Stefan-Boltzmann 142- la loi de déplacement de Wien 143- lémission photo-thermique 144- fluorescence et phosphorescence (= photoluminescence) 145- la luminescence: électroluminescence, chimiluminescence, triboluminescence , thermoluminescence* 146- aperçu historique des théories relatives à la lumière
Chapitre 6 «Notions complémentaires sur les courants alternatifs»
§1 le courant alternatif sinusoïdal 147- les courants alternatifs 148- le courant alternatif sinusoïdal **149- intensité efficace et tension efficace dun courant alternatif sinusoïdal §2 influence dune self-inductance ou dune capacité sur un circuit **150- le circuit R-L: expériences, calcul du déphasage et de limpédance 151- remarques **152- le circuit R-C: expérience, calcul du déphasage et de limpédance **153- le circuit R-L-C: calcul du déphasage et de limpédance 154- le phénomène de résonance électrique: le circuit oscillant 155- période dun circuit oscillant 156- courbe de résonance 157- remarque **158- puissance dun courant alternatif: calcul de la puissance moyenne et du facteur de puissance 159- remarque 160- le wattmètre
Appendice 161- le microscope électronique 162- la télévision163- sources de rayonnement coherent: masers et lasers 164- la nouvelle definition du mètre
Lecture: Technique modern de la fabrication dun disque de phonographe
Het oplossen van vraagstukken vormde een essentieel onderdeel in het onderricht van de Poes en hij probeerde dan ook ons enkele regels en methoden dienaangaande bij te brengen. Of hij hierin slaagde is natuurlijk een andere zaak. Persoonlijk vond ik zijn onderricht op wiskundig vlak te verward om tot een goed resultaat te leiden, te meer daar wij op dit ogenblik niet over het meest geschikte leerboek (Dessart en Jodogne) konden beschikken.
Zoals ik al in een vorig cursiefje (10.1) heb aangegeven zat het opgelegde leerprogramma er ook voor iets tussen. Probeer maar eens de noties momentane snelheid, versnelling en momentane versnelling uit te leggen zonder gebruik te maken van de theorie der afgeleiden Mijn inziens een onmogelijke opgave en toch
Enkele jaren terug viel ik toevallig op Alvin Halperns « Beginning Physics », een tweedelige syllabus uit de bekende Schaum- serie (over Schaum: zie blog 4 cursiefje 8.1):
* «Beginning Physics I Mechanics and Heat » (Alvin Halpern Schaum 470 pages -1995-)
* «Beginning Physics II Waves, Electromagnetism, Optics and Modern Physics-» (Alvin Halpern and Erich Erlbach Schaum 532 pages -1998-)
Het betrof hier zoals de auteur het zeer duidelijk aangaf- een no calculus based course waarin alleen (vectoriële) algebra en trigonometrie als wiskundig gereedschap werd gebruikt. Geen sprake van afgeleiden, differentialen, integralen, laat staan differentiaalvergelijkingen. Bij de definities van snelheid en versnelling werd, zoals voorgeschreven door het Amerikaanse leerprogramma, al evenmin gebruik gemaakt van de theorie der afgeleiden. Deze syllabi situeren zich derhalve precies op hetzelfde niveau van het middelbaar onderwijs in Europa van toen en dus van het onderricht van de Poes.
In zijn Voorwoord schreef nu de auteur:
Beginning Physics is intended to help students who are taking, or are preparing to take, a first year College Physics course that is quantitative in nature and focuses on problem solving. The book is specifically designed to allow students with relatively weak mathematics and science problem solving to quickly gain the needed quantitative reasoning skills as well as confidence in addressing the subjects in physics
The book is written in a user friendly style so that even those initially terrified of physics can develop mastery of the subject. It develops the subject matter and methodology slowly and gently and maintains a coaxing ambiance all the way through. Nonetheless the material is no watered down. The intention is to raise the level of ability of the students to the point where they can handle the material of a rigorous noncalculus-based course, including dealing with sophisticated problems
Beginning Physics should be useful to pre-professional (e.g. premedical and pre-dental) students, engineering students and science majors
Beginning Physics will also serve as an excellent support book for engineering and science students taking a calculus-based course, even though the book does not use calculus. The major stumbling block for students in such a course is typically not the calculus itself but rather the same weak background in problem-solving skills that faces many students taking non-calculus based courses. Indeed, many of the physics problems found in the calculus-based course are of the same type as, and comparable in sophistication to, those in a rigorous non-calculus course. This book will thus help engineering and science students raise their physics problem-solving skil levels, so that they can more easily handle a calculus-based course .
« Beginning Physics I » bevatte volgende hoofdstukken en onderwerpen:
Chapter 1 « Introduction and Mathematical Background » §1 Introduction to the study of physics and its relationship to mathematics §2 Mathematical review §3 Measuring physical quantities
Chapter 2 « Motion in a Straight Line » §1 Terminology §2 Displacement §3 Velocity and speed §4 Instantaneous velocity §5 Acceleration §6 The case of constant acceleration
Chapter 3 « Motion in a Plane » §1 Vector quantities §2 Kinematics in a plane §3 Projectile motion §4 Uniform circular motion §5 Relative motion
Chapter 4 « Forces and Equilibrium » §1 Forces §2 Equilibrium §3 Newtons First Law §4 Newtons Third law §5 Friction §6 Cords and Pulleys
Chapter 5 « Newton's Second Law » §1 Resultant force and acceleration §2 Applications of the second law §3 The law of gravity
Chapter 6 « Work and Mechanical Energy » §1 Introduction §2 The nature of work §3 Kinetic energy and its relation to Work §4 Gravitational potential energy §5 Mechanic energy and the conservation principle §6 Energy transfer between systems §7 Other conservative forces §8 Systems with more than one conservative force acting
Chapter 7 « Energy, Power and Simple Machines » §1 Generalization of conservation of energy §2 Power §3 Simple machines
Chapter 8 « Impulse and Momentum » §1 Impulse §2 Momentum and the impulse-momentum theorem §3 Conservation of linear momentum §4 Center of mass
Chapter 9 « Rigid Bodies I- Equilibrium and center of Gravity- » §1The torque or moment of a force §2 The laws of equilibrium for rigid bodies §3 Equivalent sets of coplanar forces
Chapter 10 « Rigid Bodies II- Rotational Motion » §1 Rotation of a rigid body about a fixed axis §2 Kinematics of individual particles in a rotating rigid body §3 Dynamics of a rigid body rotating about a fixed axis §4 Angular momentum §5 Rotation about an axis through the center of mass
Chapter 11 « Deformation of Materials and Elasticity » §1 Deformation of objects : stretching and compressing §2 Shear deformation and shear modulus §3 Overall compression and uniform pressure
Chapter 12 « Simple Harmonic Motion (SHM) » §1 Introductory concepts §2 Newtons second law applied to SHM §3 Time-dependent equations of SHM §4 Other examples of SHM
Chapter 13 « Fluids at Rest (Hydrostatics) » §1 Introduction §2 Density and pressure of fluids §3 Some practical results §4 Measurement of pressure §5 Archimedes principle §6 Hydrostatics of gases §7 Surface tension and capillarity
Chapter 14 « Fluids in Motion (Hydrodynamics) » §1 The nature of fluid motion §2 The laws of fluid motion §3 Viscosity
Chapter 15 « Thermodynamics : I - Temperature and Heat » §1 Macroscopic systems §2 Thermal equilibrium and temperature §3 Thermal energy §4 heat constants
Chapter 16 « Thermodynamics : II Gas laws, the atomic view and Statistical Mechanics » §1 The mole concept and Avogadros Number §2 The ideal gas law §3 Equilibrium states and the equation of state §4 Statistical mechanics
Chapter 17 « Transfer of Heat » §1 Conduction §2 Convection §3 Radiation
Chapter 18 « Thermodynamics: III - The First and Second Laws » §1 The First Law of thermodynamics §2 The Second Law of thermodynamics §3 Entropy, disorder and the Second Law
« Beginning Physics II » omvatte volgende hoofdstukken en onderwerpen:
Chapter 1 « Wave Motion » §1 Propagation of a disturbance in a medium §2 Continuous travelling waves §3 Reflection and transmission at a boundary §4 Superposition and interference
Chapter 2 « Sound » §1 Mathematical addendum exponential and logarithmic functions ; Propagation of sound §2 velocity, wave-fronts, reflection, refraction, diffraction, interference §3 Human perception of sound §4 Other sound wave phenomena
Chapter 3 « Coulomb's Law and Electric Fields » §1 Introduction §2 Electric charges §3 Coulombs Law §4 The electric field : effect §4 The electric field : source §5 The electric field : Gauss Law
Chapter 4 « Electric Potential and Capacitance » §1 Potential energy and potential §2 Potential of charge distributions §3 The electric field : potential relationship §4 Equipotentials §5 Energy conservation §6 Capacitance §7 Combination of capacitors §8 Energy of capacitors §9 Dielectrics
Chapter 5 « Simple Electric Circuits » §1 Current, resistance, Ohms law §2 Resistors in combination §3 EMF and electrochemical systems §4 Electric measurement §5 Electric power
Chapter 6 « Magnetism--Effect of the Field » §1 Introduction §2 Force on a moving charge §3 Application §4 Magnetic force on a current in a wire §5 Magnetic torque on a current in a loop
Chapter 7 « Magnetism--Source of the Field » §1 Introduction §2 Field produced by a moving charge §3 Field produced by currents §4 Amperes Law
Chapter 8 « Magnetic Properties of Matter » §1 Introduction §2 Ferromagnetism §3 Magnetization §4 Superconductors
Chapter 15 « Interference, Diffraction and Polarization » §1 Introduction §2 Interference of light §3 Diffraction and the diffraction grating §4 Polarization of light
Chapter 16 « Special Relativity » §1 Introduction §2 Simultaneity §3 Time dilation §4 Length contraction §5 Lorentz transformation §6 Addition of velocities §7 Relativistic dynamics
Chapter 17 « Particles of Light and Waves of Matter » §1 Introduction to Quantum Physics: Introduction §2 Light as a wave §3 Light as particles §4 Matter waves §5 Probability and uncertainty
Chapter 18 « Modern Physics: Atomic, Nuclear and Solid-State Physics » §1 Introduction §2 Atomic physics §3 Nuclei and radioactivity §4 Solid-state physics
Wat is er aan deze tweedelige syllabus zo bijzonder?
Het antwoord op deze vraag werd door de auteur-zelf in het Voorwoord verstrekt (zie begin cursiefje). Deze syllabus overbrugt inderdaad de kloof, die er tussen het secundair en het universitair onderwijs bestaat op het vlak van het natuurkunde-onderricht.
Alvin Halpern bezat een grote onderwijservaring zowel op het vlak van de elementaire en de algemene natuurkunde als van de theoretische natuurkunde. Zonder gebruik te maken van calculus, is het inderdaad mogelijk een groot aantal fysische problemen op te lossen of te benaderen en zijn syllabus is hiervan een duidelijk bewijs. Alvin Halpern was ook gedurende tien jaar President van het Departement Physics aan Brooklyn College. En tot voor kort was hij Executive Director van de Applied Science Coordinating Institute van deze universiteit. Hij kende dus het klappen van de zweep en wist als geen ander het verschil tussen elementaire (in Europa leerstof voor de humaniora) en algemene natuurkunde (in Europa leerstof voor een eerste universitaire natuurkunde- cursus).
Het is dan ook niet verwonderlijk, dat zijn syllabus hoofdzakekelijk gericht is op toepassingen en vraagstukken. De theorie in deze syllabus is dan ook tot een minimum herleid en continu gekoppeld aan een reeks praktische vraagstukken, waarvan de oplossing in detail gegeven wordt. Op het einde van elk hoofdstuk volgen dan review en supplementaire vraagstukken waarvan alleen het cijferantwoord gegeven wordt.
In onderstaande tabellen wordt per hoofdstuk het aantal opgeloste (kolom A) respectievelijk review (kolom B) en supplementaire (kolom C) vraagstukken gegeven:
TABEL I Vraagstukken in Beginning Physics I
CHAPTER
A
B
C
Mathematical background
1-34
35-44
45-68
Straightline motion
1-22
23-28
23-28
Motion in a plane
1-24
25-30
31-50
Forces in equilibrium
1-17
18-27
28-49
Newton's second law
1-31
32-38
39-61
Work Mechanical energy
1-24
25-31
32-50
Energy Power Machines
1-14
15-19
20-36
Impulse and Momentum
1-30
31-36
37-56
Rigid Bodies 1 (1)
1-22
23- 27
28-48
Rigid Bodies 2 (2)
1-28
29-33
34-53
Deformation Elasticity
1-13
14-19
20-31
Simple Harmonic Motion
1-21
22-26
27-39
Fluids at Rest
1-25
26-30
31-46
Fluids in Motion
1-24
25-29
30-44
Thermodynamics 1 (3)
1-28
29-33
34-51
Thermodynamics 2 (4)
1-17
18-23
24-38
Transfer of Heat
1-16
17-21
22-32
Thermodynamics 3 (5)
1-26
27-32
33-45
TOTAAL
440
88
293
(1) Equilibrium and center of gravity (2) Rotational motion (3) Temperature and Heat (4) Gas laws, Atomic view, Statistical Mechanics (5) The First and Second Laws
TABEL II Vraagstukken in Beginning Physics II
CHAPTER
A
B
C
Wave Motion
1-28
29-33
34-49
Sound
1-21
22-26
27-49
Coulomb's Law and Electric Fields
1-33
34-41
42-68
Electric Potential and Capacitance
1-37
38-46
47-76
Simple Electric Circuits
1-24
25-29
30-42
Magnetism--Effect of the Field
1-14
15-19
20-37
Magnetism--Source of the Field
1-19
20-24
25-43
Magnetic Properties of Matter
1-4
5-6
7-11
Induced EMF
1-16
17-23
24-41
Inductance
1-20
21-27
28-47
Time Varying Electric Circuits
1-26
27-32
33-53
Electromagnetic Waves
1-17
18-22
23-33
Light and Optical Phenomena
1-11
12-17
18-34
Mirrors Lenses Optical Instruments
1-29
30-35
36-67
Interference Diffraction Polarization
1-23
24-28
29-47
Special Relativity
1-26
27-40
41-61
Particles of Light Waves of Matter
1-16
17-23
24-40
Modern Physics (1)
1-40
41-47
48-72
TOTAAL
387
86
299
(1) Atomic, Nuclear and Solid-State Physics
Uit deze twee tabellen valt af te leiden dat de syllabi van Alvin Halpern vrijwel uitsluitend handelen over vraagstukken en dus bijzonder geschikt zijn voor technici of toekomstige ingenieurs, die het moeten hebben van berekeningen.
Vanaf de derdes werden wij in de Cadettenschool ingewijd in de geheimen van de Scheikunde. Een droom van mijn kinderjaren werd aldus vervuld. Het vak werd gegeven door een zeer merkwaardige figuur, een zekere Jan Demaecker die de Vis werd genoemd, waarschijnlijk omwille van zijn blauwe, ietwat uitpuilende ogen. Vele cadetten dachten zelfs dat dit zijn werkelijke naam was.
M. Demaecker gaf les in de Cadettenschool van 1952 tot 1970 (en niet tot 1975 zoals ik -voortgaande op de databank TPCI- geschreven had) (1) en was van vorming landbouw- of bosbouw- ingenieur, wat nu bio- ingenieur genoemd wordt. Ook had hij enige tijd in Kongo verbleven en was als oud-koloniaal perfect tweetalig want hij gaf les zowel in de Nederlandstalige als in de Franstalige Afdeling. Hij had een fenomenaal geheugen en was wat hardhorig, wat natuurlijk door de Cadetten werd uitgebuit.
Een Rik Windels (2) beschrijft hem als volgt:
De Vis, wat een figuur! Enerzijds iemand waar je veel bewondering moest voor hebben, want met een enorme gevarieerde kennis. Hij werd trouwens al eens, midden in een van zijn lessen Scheikunde of Biologie, onderbroken door een opgeheven vinger van iemand, die last had met een probleem driehoeksmeting, of Grieks, of ... . Dan ging dat steevast van 'Hawel, jongen, euhhhh, dat is verdorie veertig jaar geleden, istzoniet ?", waarna hij prompt het vraagstuk begon op te lossen of de verbuiging uitleggen.
Dat hij zo goed als doof was weten we nog allemaal. Maar niet gelijk wanneer of voor gelijk wat! Tijdens een schriftelijke test kon wel de eerste die de oplossing had gevonden die luidop voor de hele klas voorlezen, terwijl de Vis streng oplettend door de klas patrouilleerde, of toch maar niemand probeerde te spieken.... . Maar fluisteren kon niet, dan spitsten zijn oren en rukte zijn grijze hoofd naar alle kanten. En liet iemand een regel vallen, dan kwam hij snel naar de goede bank, liet het verdachte stuk hout nogmaals vallen en besloot triomfantelijk "Hawel, verdorie, jongen, dat is wel dééégelijk het zèèlfde !".
De Vis gaf ook les aan "de Walen" en moest dikwijls aan de klas vragen waar we wel gekomen waren. Hadden we geen zin in nieuwe stof, dan gingen we gewoon in de materie een paar lessen achteruit! En als de klasoverste voor de lol de klas in het Frans had voorgesteld begon hij gewoon zijn les in het Frans ... En liep het al eens de spuigaten uit en had hij wild met PS'en gestrooid, dan kon dat meestal na de les met een treurig cadettenfacie opgelost worden. Wat een goeie ziel ! Dan waren er wel anderen ....
Dat zijn hardhorigheid inderdaad tot komische situaties kon aanleiding geven, bewijst ook nog volgende zelf beleefde anecdote, gebeurd in 1957:
Ondervraging aan het bord van een Serge Ghijsdael uit de Latijn Wiskunde sectie (cadet 1955-1959), die behalve wat gekras op het bord, er echt niet veel van terecht brengt. Het gaat over een typisch stoechiometrisch vraagstuk, dat hem in feite geen moer interesseert en hij broebelt zo maar wat in de hoop dat wij hem de oplossing zullen influisteren. De Vis wordt er ambetant van:
Spreek wat luider jongen, .. de jongens horen u niet..!!!
Weer wat gekras op en gebroebel aan het bord, de klas wordt onrustig en de Vis merkt dit ook.. Hij herhaalt zijn bevel, wat aanleiding heeft tot spottend gelach.
Op dat ogenblik begint onze eeuwige grapjas Gilbert Van Hamme, -van je kameraden moet je het maar hebben- te roepen:
Geef hem (ghijsdael) een P.S. Meneer, geef hem een P.S.
En een Ghijsdael maar teken doen dat Van Hamme zijn bakkes moet houden.. Algemene hilariteit. Uiteindelijk begrijpt de Vis toch het geschreeuw van een Van Hamme en gaat op zijn suggestie in:
Wel ja.. we zullen die jongen maar een P.S. geven..
En Serge had zijn P.S. vast en dat bleef ze ook houden. Wat Serge op dat ogenblik van het grapje van Gilbert dacht kunt u wel raden..
* * *
In de Cadettenschool te Laken werden de scheikundelessen gegeven in een zeer goed uitgerust laboratorium dat ook nog als fysicalokaal diende. Het laboratorium was ondergebracht op de eerste verdieping van een gebouw dat uitgaf op de Sint Annadreef. Langs de andere zijde van het zelfde gebouw was de infirmerie en de corps de garde gehuisvest en in het midden van het gebouw bevond zich de gymzaal.
Ofschoon hij geen echte chemicus was, aarzelde een de Vis niet om zijn labojas om te doen en zijn lessen op te smukken met allerlei interessante chemische experimenten. En natuurlijk volgde ik zijn doen en laten met een deskundig oog en dacht hierbij met enige heimwee aan mijn eigen laboratorium thuis.
Wat ik mij nog zeer goed herinner was zijn demonstratie met het toestel van Kipp (3) . Het Kipp- toestel laat toe gassen als waterstof (H2), koolwaterstofdioxide (CO2) en waterstofsulfide (H2S) ex tempore te produceren. Het ex tempore genereren van bepaalde gassen is belangrijk voor het uitvoeren van bepaalde chemische reacties.
Zo werd vroeger (tot eind de jaren zestig) veel gebruik gemaakt van zwavelwaterstof ofte waterstofsulfide (4) in de kwalitatieve minerale chemische analyse: de zogenaamde H2S methode (5) . Voornoemde demonstratie gebeurde nu ter illustratie van een belangrijke Appendix aan ons boek van scheikunde, waarover ik het onmiddellijk zal hebben.
Het betrof Appendix A « Kwalitatieve Analyse » § 2 opsporing van kationen. De meest voorkomende metaalionen kan men indelen in analytische groepen, welke door eenvoudige chemische reagentia (zoutzuur, H2S, NH3 , ) kunnen worden neergeslagen.
Deze neerslagen worden telkens door filtratie (of centrifugatie) van de oplossing, waarin zij ontstaan zijn, gescheiden en in het filtraat worden vervolgens de andere metaalionen opgespoord.
De te volgen analysegang hangt echter af van de al dan niet aanwezigheid van sommige kationen en anionen en onderstelt een zeer grondige kennis van de analytische eigenschappen van deze metaalionen (zie blog III cursiefje « Analytische scheikunde voor bachelors »).
De in het boek van de Appendix A geschetste analysegang gaf maar een flauw idee van de werkelijke gang van zaken en de moeilijkheden die men kan ontmoeten. Als ervaren leraar wist M. Demaecker dit natuurlijk ook en trapte hij niet in die valstrik. Hij had zijn demonstratie goed voorbereid. Maar op dat ogenblik hadden wij nog geen weet van dit alles
- het lessenpakket van de "Vis":
Scheikundeles volgen bij de "Vis" was geen probleem want hij volgde het schoolboek «Beginselen der Moderne Chemie» van A. Delaruelle en A. I. Claes dat uitgegeven was bij de Standaard Boekhandel en uit 2 volumes bestond:
-Volume I Anorganische Chemie -1946-
-Volume II Organische Chemie -1950-
Over de auteurs van dit schoolboek heb ik weinig kunnen terugvinden : André Delaruelle was Inspecteur Middelbaar Onderwijs en Amata Ida Claes was doctor in de wetenschappen.
Het werk was de achtste geheel omgewerkte druk van het handboek Grondbeginselen der Moderne Scheikunde van A. Delaruelle. Deze uitgave was voorzien van een Voorwoord van Prof. J. Gillis, later rector van de Rijksuniversiteit Gent (6) , die het boek zeer lovend beoordeelde:
... Deze "Beginselen der Moderne Chemie" vormen een aantrekkelijk geheel, dat door de leerling en leek met belangstelling zal ingestudeerd en gelezen worden. Dit boek weerspiegelt op eenvoudige en duidelijke wijze de hoofdstukken de hoofdtrekken der moderne chemie, in het kader van het Middelbaar Onderwijs. Het eerste deel doorloopt op historische grondslag, de gedachtengang welke de geleerden heeft gevoerd tot de kennis van de atoomstructuur en van de opbouw der moleculen. Met het natuurlijk systeem der elementen als basis, krijgt men een beeld van de mogelijke verbindingen tussen atomen en wordt het begrip valentie logisch ontwikkeld. De reacties tussen de chemische stoffen kunnen dikwijls in twee richtingen verlopen; dit voert tot de bespreking van het chemisch evenwicht, de reactiesnelheden en de katalysatoren, zoveel noties die aan de basis liggen van de moderne chemische industrie... De stof is aanschouwelijk en tevens boeiend voorgesteld. De lezer volgt de vaste lijn en de logische aaneenschakeling der hoofdstukken en wordt ongemerkt meegevoerd over de moeilijkste vragen heen. Door vele voorbeelden, eenvoudige proeven toont de paedagoog, dat hij meester is in de kunst om een moeilijk vak aanschouwelijk voor te stellen...
Zoals uitdrukkelijk in het Voorbericht vermeld, werd afgezien van het introduceren van de zuur- base theorie van Bronsted en Lewis omdat er nog geen voldoende eensgezindheid daaromtrent bestond en ook omdat deze theorie te ingewikkeld is voor het middelbaar onderwijs..
Voornoemde volumes werden in de jaren vijftig in practisch alle Middelbare scholen in België, ook in de KCS, gebruikt. Het niveau was voor die tijd zeker voldoende, maar is misschien, naar de huidige eisen en normen, ietwat voorbij gestreefd.
Het boek had in de eerste plaats tot doel, door wetenswaardigheden en historische notas, belangstelling voor het vak Chemie op te wekken. Het boek was derhalve veel minder op de praktijk gericht met uitzondering van de Appendix, die de beginselen van de kwalitatieve en kwantitatieve analyse bevat.
Merkwaardig was nu dat in de Bibliografie, die vooraan het schoolboek aangegeven werd, werd verwezen naar... twee boeken die ik nog in mijn kinderjaren gebruikt had:
- "Gij en de Chemie" van H.J. Flechtner (Scheltema en Holkema -1939-) - "Jongens en Scheikunde" van J.C. Alders (Thieme -1938-)
Alleen dit feit was voor mij voldoende om dit schoolboek op een "piedestal" te plaatsen maar ook de inhoud was zeker niet te versmaden:
Volume I omvatte volgende delen, hoofdstukken, paragrafen en genummerde rubrieken:
-Eerste Deel : Algemene Chemie
Hoofdstuk 1 « Zuivere stoffen en Mengsels »: §1 De moleculaire theorie 1- bestaan van moleculen 2- afmetingen van moleculen 3- enkele eigenschappen van moleculen 4- de drie aggregatietoestanden van de stof 5- zuivere stoffen en mengsels §2 Homogene mengsels of ware oplossingen 6- wat zijn homogene mengsels of ware oplossingen? 7- wetten der homogene oplossingen 8- diffusie en osmose 9- scheiding van de bestanddelen van een oplossing §3 Heterogene mengsels 10- wat zijn suspensies en emulsies? 11- scheiding van de bestanddelen bij suspensies en emulsies 12- kolloïdale oplossingen 13- eigenschappen van kolloïdale oplossingen 14- hoofdtypen van kolloïdale oplossingen 15- scheiding van de bestanddelen van een kolloïdale oplossing 16- toepassingen van kolloïden in de biologie en fysiologie, in de artsenijbereidkunde, in de landbouw, in de spijsbereiding, in de nijverheid
Hoofdstuk 2 « Elementen en Verbindingen »: §1 Voorgeschiedenis der Chemie 19 de speculatieve chemie leer van het behoud der stof, de atomistiek, de leer der elementen 20- de alchemie 21- de overgangsperiode: Becher en Stahl §2 De pneumatische Chemie 22- opkomst van de pneumatische chemie 23- ontdekking en bereiding van koolzuurgas 24- ontdekking en bereiding van waterstof 25- ontdekking en bereiding van zuurstof 26- een systematische vorser: Antoine Lavoisier 27- de klassieke proef van Lavoisier: het wezen van de verbranding 28-een vlam is een gloeiende gaskolom 29- de Bunsenbrander 30- laatste stuiptrekkingen van de phlogistontheorie 31- samenstelling van water: water is geen element 32- ontdekking en bereiding van chloor 33- verschil tussen mengsel en verbinding 34- enkele elementen 35- ademhaling en lichamelijke warmte 36- chemische reacties §3 De hoofdwetten der chemische verbindingen 37- wet van Lavoisier: wet van het behoud van massa 38- wet van Lavoisier volgens de moderne opvattingen 39- wet van Proust: wet der constante samenstelling 40- wet van Dalton: wet der eenvoudige gewichtsverhoudingen
Hoofdstuk 3 « De Atoomtheorie »: §1 Atomen 41- de theorie van Dalton 42- de hoofdwetten der chemische verbindingen volgens de atoomtheorie 43- het begrip atoomgewicht 44- het begrip moleculair gewicht 45- gramatoom en grammolecuul 46- aantal moleculen bevat in één mol 47- het chemisch tekenschrift §2 De gaswetten 48- wet van Boyle en Gay-Lussac 49- wet der eenvoudige volumeverhoudingen (Gay-Lussac) 50- wet van Avogadro 51- toepassing: volume van een mol gas 52- moleculen van elementen in gastoestand 53- de formule van water 54- de wet van Gay-Lussac verklaard door de atoomtheorie 55- bepaling van de dampdichtheid van eenstof: methode van Victor Meyer 56- bepaling van het moleculair gewicht: van vluchtige stoffen, van niet-vluchtige stoffen 57- bepaling van het atoomgewicht van een element 58- het begrip chemische affiniteit §3 Indeling der elementen 59- metalen en metalloïden 60- het begrip valentie 61- het periodiek stelsel der elementen 62- de tabel van Mendelejeff
Hoofdstuk 4 « De Atoombouw »:
§1 Atoommodel 63- bestaan van ionen 64- geladen atomen 65- electronen 66- atoommodel volgens Rutherford - Bohr - Sommerfeld 67- atoomnummer 68- electronenbanen en schilstructuur §2 Chemische binding 69- valentie-electronen 70- binding tussen ionen: de heteropolaire binding volgens Kossel 71- stevigheid der heteropolaire bindingen 72- dissociatie van ionen door smelting, door oplossen 73- waterstofverbindingen 74- de electrolyse van water 75- binding tussen atomen: de homopolaire binding volgens Lewis en Langmuir 76- opmerking 77- de metallische binding 78- overgangen tussen de drie soorten bindingen 79- de 18-electronenconfiguratie 80- afmetingen van atomen en ionen 81- kristallen: hoe een kristal groeit 82- kristallen: kristalstelsels §3 De chemische functies 83- de zuurfunctie 84- binairezuren of hydrozuren 85- ternaire zuren of zuurstofzuren 86- opmerking: thiozuren 87- de basefunctie 88- benaming en indeling der basen 89- opmerking: amphoteren 90- de zoutvorming 91- binaire zouten 92- ternaire zouten 93- de oxyden: zuurvormende oxyden (anhydriden), basevormende oxyden
Hoofdstuk 5 « De Chemische Reacties »: §1 Chemisch evenwicht 94- evenwicht bij thermische omzettingen: thermische synthese en thermische dissociatie 95- voorbeeld van thermisch evenwicht 96- invloed van de temperatuur op de ligging van het evenwicht 97- invloed van de druk op de ligging van het evenwicht 98- invloed van de concentratie op de ligging van het evenwicht 99- het begrip reactiesnelheid 100- de wet der massawerling 101- toepassing van de wet der massawerking op de evenwichtreacties 102- evenwicht bij electrolyten: electrolytische dissociatie 103- electrolytische dissociatiegraad 104- evenwicht bij electrolytische dissociaties 105- de wet der massawerking toegepast op zwakke electrolyte: de verdunningswet van Ostwald 106- de wet der massawerking toegepast op sterke electrolyten 107- weinig oplosbare verbindingen: oplosbaarheidsproduct §2 Beschrijving van de bijzonderste chemische reacties 108- hoofdtypen van chemische reacties 109- neutralisatie van een sterk zuur door een sterke base 110- hydrolyse 111- vorming van een neerslag 112- vorming van een gas 113- regel van Berthollet 114- vorming van complexe ionen 115- oxydatie-reductiereacties: begrippen oxydatie en reductie 116- oxyderende stoffen 117- reducerende stoffen 118- de spanningsreeks der metalen
-Tweede Deel : Systematische Chemie
Hoofdstuk 6 « Waterstof en Edelgassen »: §1 Waterstof 120- waterstof: voorkomen, bereiding, eigenschappen §2 Edelgassen 121- geschiedkundige nota betreffende de edelgassen 122- helium: voorkomen, eigenschappen 123- neon: voorkomen, eigenschappen 124- argon: voorkomen, gebruik 125- krypton en xenon: voorkomen, gebruik 126- radon
Hoofdstuk 7 « Metalloïden »: §1 Zevende hoofdgroep : Halogenen 127- algemene eigenschappen der halogenen: het element fluor 129- fluorwaterstof: bereiding, eigenschappen 130- de fluoriden 131- het element chloor: bereiding, eigenschappen, toepassingen 132- chloorwaterstof: voorkomen, bereiding 133- natriumchloride: voorkomen, productie, eigenschappen 134- kaliumchloride: voorkomen 135- algemene eigenschappen der chloriden 136- het element broom: voorkomen, productie, eigenschappen 137- algemene eigenschappen van de bromiden 138- het element jodium: voorkomen, eigenschappen 139- algemene eigenschappen van de jodiden §2 Zesde hoofdgroep : zuurstofgroep 140- het element zuurstof: voorkomen, bereiding, eigenschappen 141- ozon: geschiedkundige nota, voorkomen, eigenschappen 142 water: voorkomen, structuurwater, kristalwater 143- waterstofperoxyde: bereiding, eigenschappen, gebruik 144- het element zwavel of sulfur: voorkomen en productie, allotrope toestanden, eigenschappen 145- zwavelwaterstof: voorkomen, bereiding, eigenschappen, toepassingen 146- sulfiden: algemene kenmerken 147- zwaveldioxyde: voorkomen, bereiding, eigenschappen 148- zwaveltrioxyde: bereiding 149- zwavelzuur: bereiding, eigenschappen, toepassingen 150- algemene eigenschappen der sulfaten §3 Vijfde hoofdgroep : stikstof- fosfor- groep 151- het element stikstof: voorkomen, eigenschappen 152- lucht: samenstelling, vloeibare lucht 153- ammoniak: voorkomen, bereiding, eigenschappen, toepassingen 154- complexvorming bij ammoniak 155- salpeterzuur: bereiding, eigenschappen, toepassingen 156- algemene eigenschappen der nitraten: voorkomen, algemene eigenschappen157- het element phosphor: geschiedkundige nota, voorkomen, bereidin, eigenschappen, toepassingen 158- phosphaten: voorkomen, algemene eigenschappen 159- het element arseen: geschiedkundige nota, voorkomen, toepassingen 160- het element antimoon: geschiedkundige nota, voorkomen, toepassingen §4 Vierde hoofdgroep : koolstofgroep 161- het element koolstof: geschiedkundige nota, voorkomen, algemene eigenschappen, diamant, grafiet, steenkool 162-koolstofdioxyde: bereiding, eigenschappen, gebruik 163- koolstofmonoxyde: vorming, eigenschappen 164- carbonaten: algemene eigenschappen 165- het element silicium: geschiedkundige nota, voorkomen, eigenschappen 166- siliciumdioxyde: voorkomen, eigenschap 167- kiezelzuur en silicaten
Hoofdstuk 8 « Metalen »:
inleiding: 168- indeling der metalen §1 Eerste hoofdgroep : alkali- metalen 169- algemene eigenschappen der alkalimetalen 170- het element natrium: geschiedkundige nota, voorkomen, bereiding, eigenschappen 171- natriumhydroxyde of bijtende soda: bereiding, eigenschappen 172- natriumsulfaat of Glauberzout: eigenschappen, toepassingen 173- natriumthiosulfaat: bereiding, eigenschappen 174- natriumnitraat of Chilisalpeter: voorkomen, gebruik 175- natriumcarbonaat of soda: voorkomen, bereiding, eigenschappen 176- analytische kenmerken van het natriumion 177- het element kalium of potassium: voorkomen, eigenschappen 178- kaliumhydroxyde of bijtende kaliloog: eigenschappen, gebruik 179- kaliumnitraat of salpeter: bereiding, gebruik 180- kaliumchloraat: eigenschappen 181- analytische kenmerken van het kaliumion 182- ammoniumverbindingen 183- analytische kenmerken van het ammonium-ion §2 Tweede hoofdgroep : aardalkali- metalen 184- algemene eigenschappen der aardalkalimetalen 185- het element magnesium: voorkomen, bereiding, eigenschappen, gebruik 186- magnesiumsulfaat of Engels zout: eigenschappen 187- analytische kenmerken van het magnesium-ion 188- het element calcium: geschiedkundige nota, voorkomen, eigenschappen 189- calciumsulfaat: gips, albast 190- calciumcarbonaat: voorkomen, eigenschappen, toepassing 191- calciumoxyde of ongebluste kalk: bereiding, toepassingen 192- calciumsilicaat: eigenschappen 193- analytische kenmerken van het calcium-ion §3 Derde hoofdgroep : aardmetalen B, Al, Sc, Y, La, Ac) inleiding: de aardmetalen 194- het element aluminium: geschiedkundige nota, voorkomen, bereiding, eigenschappen, gebruik 195- aluminiumoxyde: robijn, topaas, amethyst, smaragd 196- aluminiumsulfaat: voorkomen, eigenschappen, gebruik §4 Eerste nevengroep : Cu Ag Au 198- de metalen der nevengroepen 199- het element koper: voorkomen, bereiding, eigenschappen, gebruik 200- koerverbindingen: cupro-verbindingen, cupriverbindingen 201- analytische kenmerken van het cupro-ion 202- analytische kenmerken van het cupri-ion 203- het element zilver: geschiedkundige nota, voorkomen, bereiding, eigenschappen gebruik 204- zilverchloride: eigenschappen 205- zilverbromide: eigenschappen 206- zilvernitraat: bereiding, eigenschappen, gebruik 207 analytische kenmerken van het zilver-ion 208- het element goud: voorkomen, bereiding, eigenschappen, gebruik §5 Tweede nevengroep : Zn Cd Hg 209- het element zink: geschiedkundige nota, voorkomen, bereiding, eigenschappen 210- zinkchloride: bereiding, eigenschappen 211- zinkoxyde: bereiding, eigenschappen, gebruik 212- zinksulfaat: bereiding, eigenschappen, gebruik 213- analytische eigenschappen van het zink-ion 214- het element kwikzilver: geschiedkundige nota, voorkomen, bereiding, eigenschappen, gebruik 215- mercuro-verbindingen 216- analytische eigenschappen van het mercuro-ion 217- mercuriverbindingen 218- analytische eigenschappen van het mercuri-ion §6 Vierde nevengroep : Ge Sn Pb 219- het element tin: geschiedkundige nota, voorkomen, bereiding, eigenschappen, toepassingen 220- stanno-verbindingen: eigenschappen 221-analytische kenmerken van het stanno-ion 221- stanni-verbindingen 222-analytische eigenschappen van het stanni-ion 224- het element lood: geschiedkundige nota, voorkomen, bereiding, eigenschappen 225- loodverbindingen: lood(II)-oxyde, lood(IV)-oxyde 226- analytische kenmerken van het lood-ion §7 Zesde hoofdgroep : Cr Mo W U 227- het element chroom: geschiedkundige nota, voorkomen, bereiding 228- chroomverbindingen : kaliumbichromaat en chroomaluin §8 Zevende hoofdgroep : Mn Ma Re 229- het element mangaan: geschiedkundige nota, voorkomen, eigenschappen, gebruik 230- mangaan verbindingen §9 overgangselementen : Fe - Co - Ni - Ru - Rh - Pd - Os - Ir - Pt 231- het element ijzer: geschiedkundige nota, voorkomen, bereiding, eigenschappen 232- ferro-verbindingen 233- analytische eigenschappen van het ferro-ion 234- ferri-verbindingen 235- analytische eigenschappen van het ferri-ion 236- het element nikkel: geschiedkundige nota, voorkomen, bereiding, eigenschappen, gebruik 237- analytische eigenschappen van het nikkel-ion 238- het element platina: geschiedkundige nota, voorkomen, eigenschappen
-Derde Deel : Nucleaire Chemie
Hoofdstuk 9 « Kernchemie »:
inleiding §1 radioactiviteit 239- ontdekking der radioactieve straling 240- algemene eigenschappen der radioactieve straling 241- ontleding der radioactieve straling: alpha, beta- en gammastralen 242- ontdekking van het element radon 243- het evenwicht radium-radon 244- de desintegratietheorie van Rutherford-Soddy 245- het begrip halveringstijd 246- radioactieve reeksen: radioactief neerslag 247- de uraanreeks 248- de thoriumreeks 249- de actiniumreeks §2 de isotopen 250- de verschuivingsregel van Fajans en Soddy 251- de ontdekking der isotopen 252- betekenis van de atoommassa van een element 253- symbolen der isotopen 254- scheiding der isotopen §3 kernbouw 255- hypothese van Prout 256- kernreacties 257- ontdekking van het neutron 258- nieuwe inzichten in de kernbouw 259- kunstmatigprojectielen 260- kunstmatige reactiviteit 261- het cyclotron 262- energie bij kernreacties 263- de atoombom: kernsplitsing bij uranium 264- de atoombom: de kettingreactie 265- transuranische elementen 266- de vervaardiging van de atoombom 267- industriële uitbating van de "atoomenergie" 268- transmutaties in sterren 269- slotwoord
APPENDIX: een inleiding tot de analytische scheikunde
A- kwalitatieve analyse: opsporing van anionen ; opsporing van kationen
Volume II was van veel kleinere omvang en omvatte volgende delen, hoofdstukken, paragrafen en genummerde rubrieken:
- Inleiding tot de Organische Chemie of Koolstofchemie:
1- voorwerp wat is organische chemie ?- 2- waarom de koolstofverbindingen afzonderlijk behandeld worden 3- indeling van de organische chemie (kwalitatieve analyse van organische verbindingen) 4- opsporing van de bijzondere bestanddelen ener organische verbinding: opsporing van koolstof en waterstof, opsporing van stikstof, opsporing van zwavel, opsporing van halogenen (kwantitatieve analyse van organische verbindingen) 5- bewerkingen der elementair analyse 6- micro-analyse
-Eerste Deel : Aliphatische Verbindingen
Hoofdstuk 1 « Verzadigde Koolwaterstoffen en Afgeleide Verbindingen »:
§1 De alkanen 7- methaan: voorkomen, technische bereiding, bereiding in het laboratorium 8- de reeks der alkanen 9- homologe reeksen 10- de alkylreeks 11- isomerie 12- structuurformules der organische verbindingen 13- normale en vertakte koolstofketens 14- electronenformules der alkanen 15- stereoformules 16- voorkomen van de alkanen 17- algemene en fysische en chemische eigenschappen van de alkanen 18- aardolie of petroleum: geschiedkundige nota 19- distillatieproducten van aardolie 20 de petroleumindustrie §2 Verbindingen van de alkylgroep met de hydroxylgroep 21- eenwaardige alcoholen of alkanolen : samenstelling en benaming 22- structuurformule van de alkanolen 23- electronenformule der alkanolen 24- isomerie bij de alkanolen 25- eigenschappen der alkanolen 26- methanol: voorkomen, bereiding, eigenschappen, gebruik 27- ethanol: voorkomen, bereiding, eigenschappen, gebruik 28- industriële bereiding van ethanol (alcoholische gisting) 29- meerwaardige alcoholen: verbindingen met twee alcoholgroepen 30- meerwaardige alcoholen: verbindingen met drie alcholgroepen 31- derivaten van alcoholen: esters van anorganische zuren 32- derivaten van alcoholen: ethers 33- diethylether: bereiding, eigenschappen, gebruik §3 Verbindingen van de alkylgroep met de groep NH2 34- de aminen: samenstelling en soorten 35- vormingswijze der aminen 36- eigenschappen der aminen §4 Alkananen (alehyden) en alkanonen (ketonen) 37- vormingswijze der alkanalen 38- naamvorming der alkanalen 39- kenmerkende reactie op aldehyden 40- methanal of formaldehyde: voorkomen, bereiding 41- ethanal of acetaldehyde: vormingswijze, eigenschappen 42- alkanonen of ketonen: vormingswijze 43- alkanonen of ketonen: naamvorming 44- structuurformule van de alkanonen 45- propanon of aceton: technische bereiding, eigenschappen, toepassingen 46-algemene eigenschappen van de alkanalen en alkanonen §5 De vetzuren of carbonzuren 47- vetzuren: samenstelling, de carboxylgroep 48- eenwaardige alkaancarbonzuren: formule en vormingswijze 49- eenwaardige alkaancarbonzuren: naamvorming 50- algemene eigenschappen der carbonzuren 51- hydrogeencarbonzuur of mierenzuur: voorkomen, vormingswijzen, gebruik 52- methaancarbonzuur of azijnzuur: voorkomen, bereiding, eigenschappen, gebruik 53- de acetaten 54- propaancarbonzuur of boterzuur 55- hogere alkaancarbonzuren: palmitinezuur en stearinezuur 56- derivaten der alkaancarbonzuren: de esters 57- derivaten der alkaancarbonzuren: de zuurchloriden 58- derivaten der alkaancarbonzuren: de zuuranhydriden 59- dericaten van alkaancarbonzuren: de amiden 60- hydrolyse van zouten van lagere vetzuren 61- evenwicht bij estervorming 62- de vetstoffen (vetten en oliën) 63- algemene eigenschappen der vetstoffen 64- technische toepassingen van vetstoffen 65- tweewaardige vetzuren: algemene samenstelling 66- oxaalzuur of zuringzuur: voorkomen, eigenschappen 67- barnsteenzuur: voorkomen, eigenschappen 68- eenwaardige hydroxyzuren: melkzuur: voorkomen, vormingswijze, eigenschappen, gebruik (optische activiteit en stereo-isomerie) 69- tweewaardige hydoxyzuren: appelzuur: voorkomen, eigenschappen 70- tweewaardige hydroxyzuren: wijnsteenzuur: voorkomen, gebruik, stereo-isomeren 71- tartraten 72- driewaardige hydroxyzuren: citroenzuur: voorkomen, bereidingswijze, eigenschappen
Hoofdstuk 2 « Onverzadigde Koolwaterstoffen »: §1 De alkenen 73- samenstelling der alkenen 74- naamvorming der alkenen 75- structuurformules van de alkenen 76- isomerie bij de alkenen 77- algemene eigenschappen van de alkenen 78- aetheen of aethyleen: voorkomen, bereiding, eigenschappen §2 De alkynen 79- samenstelling van de alkynen 80- aethyn of acetyleen: voorkomen, bereiding, eigenschappen, gebruik 81- opmerking: de alkaandiënen 82- fabricage van steenkoolgas §3 Onverzadigde éénwaardige vetzuren de alkeencarbonzuren 83- oliezuur: voorkomen, bereiding, eigenschappen
Hoofdstuk 3 « Koolhydraten »:
Inleiding 84- samenstelling der koolhydraten §1 Monosacchariden 85- naamvorming der koolhydraten 86- algemene eigenschappen der monosacchariden 87- glucose of dextrose (druivensuiker): structuurformule, voorkomen, vormingswijze, eigenschappen, 88- fructose (vruchtensuiker): voorkomen, eigenschappen §2 Polysacchariden 89- algemene samenstelling der polysacchariden 90- disacchariden: saccharose of rietsuiker: voorkomen, technische bereiding, eigenschappen, gebruik 91- disacchariden: lactose: voorkomen, technische bereiding 92- disacchariden: maltose of moutsuiker: voorkomen, bereiding, eigenschappen en gebruik 93- hogere polysacchariden: zetmeel: voorkomen, bereiding, eigenschappen, gebruil 94- bier: geschiedkundige nota, bereiding van bier, samenstelling van bier, soorten bier 95- hogere polysacchariden: cellulose of celstof: voorkomen, samenstelling 96- technische toepassingen van cellulose 97- hogere polysacchariden: glycogeen: voorkomen, eigenschappen
Hoofdstuk 4 « Eiwitstoffen, Enzymen, Vitaminen, Hormonen »: §1 Eiwitstoffen 98- samenstelling der eiwitstoffen: proteïnen en proteïden 99- eigenschappen van de eiwitstoffen §2 Enzymen 100- samenstelling en indeling van de enzymen §3 Vitaminen 101- eigenschapping en indeling van de vitaminen §4 hormonen 102- definitie en werking: voorbeelden
-Tweede Deel : Aromatische Verbindingen
Hoofdstuk 5 « Carbocyclische Verbindingen »:
Inleiding: de carbocyclische en heterocyclische verbindingen §1 Benzeen en benzeenderivaten 103- benzeen: voorkomen, bereiding, structuurformule van Kekulé, eigenschappen, gebruik 104- koolwaterstoffen van de benzeenreeks 105- isomerie bij de homologen van de benzeenreeks 106- §2 Aromatische aminen 107- phenylamine of aniline: voorkomen bereiding, eigenschappen §3 Fenolen 108- algenene samenstelling en eigenschappen van fenolen 109- fenol of carbolzuur: voorkomen, bereiding, eigenschappen, gebruik 110- cresol of hydroxytoluol: voorkomen, eigenschappen 111- trinitrotoluol of picrinezuur : voorkomen, vormingswijze, eigenschappen 112- meerwaardige fenolen: hydrochinon en pyrogalluszuur §4 Aromatische alcoholen 113- samenstelling van aromatische alcoholen 104- benzylalcohol of fenylmethanol: vormingswijze, eigenschappen en gebruik §5 Aromatische aldehyden 115- benzaldehyde of fenylmethanal: voorkomen, vormingswijze, eigenschappen §6 Aromatische zuren 116- benzoëzuur of benzeencarbonzuur: voorkomen, vormingswijzen, eigenschappen en gebruik 117- salicylzuur of ortho-oxybenzoëzuur 118- galluszuur §7 Koolwaterstoffen met gecondenseerde benzeenringen 119- naphtaleen : structuurformule, voorkomen, eigenschappen 120- anthraceen: structuurformule, voorkomen §8 De hydro- aromatische verbindingen of cyclohexaanderivaten 121- definitie van hydro-aromatische verbindingen 122- de terpenen 123- rubber of caoutchouc: geschiedkundige nota, chemie van de rubber, synthetische rubber §9 plastica 124- definitie en indeling 125- geschiedkundige nota 126- de bijzonderste soorten van plastica
- nabeschouwingen:
In tegenstelling met vele van mijn klasgenoten was scheikunde voor mij veeleer een spelletje. Zij wisten natuurlijk niet dat scheikunde voor mij een hobby was, die al dateerde uit mijn kinderjaren. Veel wat de "Vis" ons vertelde was mij al bekend. Er was in mijn jeugd het fameuze boek van Alders « Jongens en Scheikunde » geweest, dat mij zeer veel over de "systematische scheikunde" geleerd had. In scheikunde haalde ik dan ook zeer hoge cijfers.
En nochtans was ik ergens gefrustreerd, want ik vond dat het schoolboek van Delaruelle enerzijds geen historische informatie gaf over andere interessante en belangrijke elementen, zoals cobalt, barium, lithium.. en ook dat er te weinig aandacht werd geschonken aan vraagstukken.
De historische informatie over de elementen vond ik enkele jaren later in een onooglijk boekje in de Prisma-reeks: « De Ontdekking der Chemische Elementen » van Helen Miles Davis (Het Spectrum -1965-).
Ook wat de organische scheikunde betrof, was mijn weethonger niet voldaan. Nochtans had de "Vis" de biologielessen in rhetorica al vervangen door enkele lessen in de organische chemie, die veel verder reikten dan het boek van Delaruelle en Claes. De brave man had immers vernomen dat wij (de vier Grieks-Latinisten) hadden geöpteerd voor een universitaire studie en hij oordeelde dat enkele bijkomende lessen in chemie van veel meer nut waren dan wat wetenswaardigheden over plantjes en diertjes....
(Hoofdstuk 12 "Biowetenschappen in het Hoger Middelbaar")
§ 12.1 Elementaire Biologie met de "Vis"
In de Cadettenschool te Laken was het onderwijs in de biowetenschappen beperkt tot een uurtje per week en dan nog alleen gedurende de laatste twee jaren. Het vak werd in mijn tijd gegeven door de Vis, de man die ook scheikunde doceerde. Zoals in een vorig cursiefje aangegeven was hij van vorming landbouw- of bosbouwingenieur ik vermoed dat hij zijn diploma had verworven aan de Gentse Universiteit- en was hij uiteraard wel bevoegd in deze materie.
De lessen gingen door in het laboratorium van de cadettenschool. Maar in tegenstelling met de scheikundelessen, was onze de "Vis" steeds in burgerkledij en kwam er hier dit keer geen laboratoriumjas bij te pas.
Van de inhoud van de cursus-zelf herinnerde ik mij echter zeer weinig en ik besloot dan ook maar een oud- klasgenoot Jean-Pierre Vercruysse te contacteren. Die herinnerde zich nog dat de cursus over Mendel, Lamarck, Darwin en Co ging en dat er geen schoolboek voorhanden was. Alles moest netjes in een schrift (type copybook) genoteerd worden. En natuurlijk was het schrift van mijn klasgenoot, net zoals het mijne trouwens, zoek geraakt.
Zijn opmerking over Mendel deed bij mij echter een belletje rinkelen: ik herinnerde mij plots dat de Vis het ook nog had gehad over een zekere Hugo de Vries (1) en over kruisingen met Drosophila, het bekende fruitvliegje. Hugo de Vries (1848-1935) was een Nederlands bioloog en één der eerste genetici en dit gegeven deed mij onmiddellijk denken aan Wageningen en de bekende Landbouwhogeschool (2) . Het leek mij evident dat een landbouw- ingenieur als de Vis deze school kende want ook in het buitenland was deze hogeschool vermaard. Aan deze hogeschool was nu een zekere Dr E. Reinders verbonden, een naam die mij sinds mijn verblijf aan de Gentse Universiteit (1958) bekend was (zie blog III).
En zo kwam ik uiteindelijk op het spoor van het vierdelige « Leerboek der Natuurlijke Historie » dat uit een tweedelig « Leerboek der Dierkunde » (auteur Ritzema Bos) (3) en een tweedelig « Leerboek der Plantkunde » (auteur Eidert Reinders) (4) bestond en waarvoor Dr Reinders ook nog als redactiecoördinator optrad.
Deze vier boeken uitgegeven bij J.B. Wolters dekten het volledige biologieprogramma (van wat toen) de H.B.S. heette, de lycea en de gymnasia. Het heeft mij heel wat moeite gekost om deze boeken in handen te krijgen. Het is op dat ogenblik dat ik tot de conclusie kwam dat er in het biowetenschappelijk onderwijs toch wel een en ander ontbrak. Was dit zeker het geval in de Cadettenschool in Laken, dan was dit evenzeer het geval in het middelbaar onderwijs in België.
Het « Leerboek der Plantkunde Deel II- » bestemd voor de hogere humaniora bevatte naast Biologie en Praktijk en Samenvattingen een zestal hoofdstukken, waarvan de precieze inhoud in een volgend cursiefje gegeven wordt. Hoofdstuk 1 handelde over de cytologie en histologie bij planten. Hoofdstukken 2 en 3 over de bastaarderings en afstammingsleer; ongeveer de materie, die de Vis in zijn lessen behandeld had en wel op een zeer beknopte wijze. Ik ben er dan ook van overtuigd dat onze de Vis dit prachtige leerboek heeft gebruikt voor zijn lessen.
De andere hoofdstukken 4, 5, en 6 handelden over de plantenfysiologie, de geobotanie en de thallofyten (wieren en zwammen). Het komt mij voor dat de Vis ook nog een en ander thema uit de plantenfysiologie heeft besproken, maar ik kan mij natuurlijk vergissen
Het « Leerboek der Dierkunde Deel II- » was evenzeer bestemd voor de hogere humaniora en omvatte naast een inleidend hoofdstuk over wat Leven is, een omvangrijk hoofdstuk over de ongewervelde dieren waarin achtereenvolgens de protozoa (eencelligen of oerdieren), de coelenterata (holtedieren), de echinodermata (stekelhuidigen), de mollusca (weekdieren), de vermes (wormen), en de arthropoda (geleedpotige dieren) besproken werden. Een tweede omvangrijk hoofdstuk ging over de bouw en de levensverrichtingen van de Mens (anatomie en fysiologie). Dit laatste hoofdstuk sloot af met enkele gegevens over de fossiele Mens.
Er was echter aan de Cadettenschool geen of zeer weinig ruimte of tijd voor Dierkunde. Toch werden de Protozoa besproken en voornamelijk de ziekteverwekkers Entamoeba histolytica (dysenterie) en Plasmodium vivax (malaria). Vermoedelijk omwille van het koloniaal verleden van de lesgever? Verder was er natuurlijk het onvermijdelijke en klassieke pantoffeldiertje (Paramaecium) dat wel in elke biologieklas besproken en onder de microscoop bekeken wordt. En ook in het laboratorium van de Cadettenschool was een lichtmicroscoop voorhanden.
Meer materie dan het klassieke voorziene leerplan voorzag zat er niet in. Biowetenschappen vormde immers geen onderdeel van het toelatingsexamen KMS en dus...
Na de eerste winding van de didactische spiraal van de biowetenschappen (lagere humaniora -Sint Lodewijkscollege-) miste ik nu ook nog -voor een groot deel- de tweede winding van deze spiraal (hogere humaniora -Koninklijke Cadettenschool-). Tenminste als ik mij baseer op wat in Nederland in de H.B.S. onderwezen werd onder druk van de Landbouwhogeschool van Wageningen, een Instituut dat de "Vis" als landbouwingenieur natuurlijk moest kennen.
Nabeschouwingen
Volgens Guy Stévin (5) is het maar vanaf het schooljaar 1956-1957 dat door toedoen van kolonel De Dack ook de biowetenschappen in het leerplan van de Cadettenschool opgenomen werden. Zodoende eerbiedigde de school vanaf dit moment ook op het vlak van de biowetenschappen de richtlijnen en eisen van het Ministerie van Nationale Opvoeding, wat voor de homologatie van de diploma's wel noodzakelijk was. Voor de Grieks-Latinisten betekende dit dat er een wekelijks uurtje biologie bijkwam en dat er van een ander vak een uurtje af moest.
Ik vermoed dat dit uurje afgeknepen werd van het vak scheikunde. Aan de lesuren wiskunde bvb mocht niet getornd worden want absoluut noodzakelijk voor het toelatingsexamen KMS. Het resultaat van dit alles was wel dat oud-cadetten niet goed voorbereid waren op het universitair biowetenschappelijk leerprogramma (zie blog 3). Ik vermoed echter dat deze voorbereiding ook in andere middelbare onderwijsinstellingen wel wat te kort schoot. De leerboeken van Eidert Reinders respectievelijk Ritzema Bos, hadden hier ongetwijfeld een belangrijke positieve bijdrage kunnen leveren. Maar deze referenties waren ons totaal onbekend en jammer genoeg heeft de "Vis" ook nooit deze referenties opgegeven of aangeprezen....
In de jaren vijftig was er in het secundair onderwijs practisch geen sprake van wat men nu de evolutiebiologie (Darwin en Co) noemt. Dit deel van de biologie was(is) nochtans uiterst belangrijk voor het verkrijgen van een wetenschappelijk verantwoord wereldbeeld. Het katholicisme stond via zijn encyclieken (zie blog I) erg huiverig t.o.v. deze discipline en dit uitte zich uiteraard ook in het onderwijs inclusief het staatsonderwijs. Het is maar in de zestiger jaren dat ik mij heb beginnen rekenschap geven, hoezeer ik in mijn jeugdjaren om de tuin werd geleid en dat wat men de Schepping pleegt te noemen pure nonsens was.
§ 12.2 Elementaire Plantkunde met Eildert Reinders
(Hoofdstuk 12 "Biologie in het Hoger Middelbaar")
§ 12.2 Elementaire Plantkunde met Eildert Reinders
Zoals in voorgaand cursiefje aangegeven werd ook in de Cadettenschool de Biologie stiefmoederlijk behandeld en was het maar onder kolonel Dedack (1957) dat het vak weer geïntroduceerd werd. Voor de lessen werd beroep gedaan op "de Vis", een landbouwingenieur, wat uiteraard een gelukkige keuze was. In Nederland werd Biologie beschouwd als een belangrijk vak en er bestonden tal van schoolboeken, die de leerstof uitgebreid behandelden. Zo waren er bvb de tweedelige leerboeken van respectievelijk Plantkunde (Eildert Reinders) en Dierkunde (Ritzema Bos) specifiek bestemd voor de H.B.S. Zowel Reinders als Bos waren later verbonden aan het bekende Landbouwinstituut van Wageningen. Het lijkt mij dan ook evident, dat een "de Vis" deze monografieën kende.
Ziehier nu een inhoudsoverzicht van het « Leerboek der Plantkunde Deel II- » waaruit de "Vis" vermoedelijk geput heeft voor zijn lessen:
Hoofdstuk 1 « Cel-theorie »
A) Celleer of cytologie
§1 inleiding §2 de plantencel §3 scheikundige eigenschappen van de protoplast §4 ontdekking van de protoplast §5 celkern of nucleus §6 de plastiden of chromatoforen §7 de celwand §8 dierlijke cellen §9 eencellige wezens, draadwieren §10 de turgor §11 plasmolyse §12 reservestoffen
B) Vorming van nieuwe cellen:
§13 panmeristische celdeling §14 kerndeling §15 meristemen of deelweefsels
C) Weefselleer of histologie (anatomie van stengel, blad en wortel):
§16 weefsels §17 opperhuid of epidermis met huidmondjes §18 weefselsoorten, pompoenstengel, Cucurbita melanosperma (a- opperhuid, b- collenchym, c- sklerenchym, d- parenchym of grondweefsel, e- vaattbundelweefsel, f- xyleem, g- floëem, h- cambium of teelt-laag) §19 bouw van de tweezaadlobbigen (dicotylen) stengel, secundaire diktegroei (a- primaire stengel b- de stengeltop c- grote periode van Sachs d- secundaire dikte groei) §20 houtige stammen en takken §21 kurkweefsel met bastporiën §22 het secundaire hout §23 bouw van de eenzaadlobbigen (monocotylen) stengel §24 het blad §25 de wortel(a- het wortellichaam b- de worteltop)
D) Voortplanting der bedektzadigen, varens en mossen, generatiewisseling
§26 geslachtelijke en ongeslachtelijke voortplanting
I- Geslachtelijke voortplanting der bedektzadigen:
§27 de stamper §28 de zaadknop §29 de reductiedeling §30 stuifmeel of pollen, stuifmeelbuis §31- reductiedeling in de zaadknop §32 bevruchting bij de bedektzadigen
II- Voortplanting der Varens:
§33 sporevorming aan de vareplant §34 geslachtelijke voortplanting der varenprothallia, generatiewisseling
III- Voortplanting der Mossen
§35 vegetatieve voortplanting der mossen §36 vergelijking met de varens
IV- Verband tussen sporeplanten en zaadplanten:
§37 vergelijking met de bedektzadigen §38 toestand bij de zaadplanten(zie ook §§26 tot 32 en hoofdstuk 7 §3 van deel I) §39 overeenkomsten sporeplanten en bedektzadigen
V- Voortplanting van paardestaarten en wolfsklauwen (zie onder hoofdstuk 3)
E) Terugblik plantenanatomie
§40 de cel als eenvoudigste organisme §41 hogere planten als cellenstaten §42 grens tussen planten- en dierenrijk
Hoofdstuk 2 « Bastaarderingsleer »
A) Eenvoudige kruisingsverschijnselen
§43 inleiding §44 wetten van Mendel (mono- hybride kruisingen) §45 bespreking van de eerste twee wetten van Mendel §46 terugkruising §47 dominerende en recessieve kenmerken §48 wetten van Mendel (di- hybride kruisingen) §49 schema der kruisingen §50 nieuwe standvastige rassen §51 tri-, tetra-, en poly- hybride kruisingen §52 geldigheid der Mendelwetten §53 overerving van het geslacht
B) De mendelende factoren zetelen in de kernlissen
§54 de celkern als drager van de mendelende eigenschappen §55 bastaardsplitsing en reductiedeling §56 discontinuïteit, vergelijking met de atoomtheorie
C) Ingewikkelder kruisingsverschijnselen
§57 verborgen erffactoren (kryptomerie) §58 polymerie §59 epistasie en hypostasie §60 soortbastaarden §61 schijnbare standvastigheid §62 Morgans chromomerentheorie de fruitvlieg- §63 factorenkoppeling §64 graden van koppeling §65 volstrekte koppeling van het geslacht §66 erfelijke eigenschappen in het cytoplasma gelegen §67 enthybriden
Hoofdstuk 3 « De afstammingsleer »
§68 Inleiding
A) Geschiedenis van de Aarde in hoofdtrekken
§69 grondbeginsel der geologie §70 oertijd der Aarde (archaeïcum) en voortijd (algonkium) §71 het oude tijdvak of palaeozoïcum) cambrium, siluur en devoon, carboon en perm- §72 het secundair tijdvak (mesozoïcum) de middeleeuwen der Aarde §73 het nieuw tijdvak (neozoïcum) de tertiaire en de quartaire periode §74 tijdruimten
B) Inleiding tot de afstammingsleer
§75 het vraagstuk der doelmatigheid §76 het vraagstuk der vormverwantschap §77 het vraagstuk der toenemende ontwikkelingshoogte §78 het soortbegrip bij Linnaeus §79 de soorten sedert de Schepping constant?
C) De afstammingsleer vóór Charles Darwin
§80 de grenzen der groepen zijn onscherp §81 de ladder der dieren (échelle animale) §82 veranderlijkheid (variabiliteit), en kruising der soorten §83 descendentie- hypothese §84 oorzaken der veranderlijkheid en der toenemende ontwikkeling volgens Lamarck §85 Cuvier als opponent van de descendentie- theorie §86 de katastrofentheorie van Cuvier
D) De afstammingsleer volgens Darwin
§87 leven van Charles Darwin §88 endemische soorten der Galapagos- eilanden §89 de fauna en flora der vastelanden §90 verder leven van Darwin §91 Darwins afstammingshypothese §92 het stamboombegrip §93 afstammingsleer en vormverwantschap, de soortenstamboom §94 waarde van dergelijke bespiegelingen §95 de afstammingsleer en de typen, klassen en orden §96 rudimentaire overblijvende delen §97 abnormaliteiten §98 het convergentie-verschijnsel: parallelisme §99 de palaeontische gegevens en de afstammingsleer §100 polyfyletische afleidingen §100(bis) oudste vaatplanten §101 ontogenie biogenetische grondwet van Haeckel §102 het gewei der herten §103 de serodiagnostische verwantschap §104 de onomkeerbaarheid der evolutie wet van Dollo §105 succes der afstammingsleer
E) Oorzaken der evolutie volgens Darwin: selectietheorie
§106 inleiding §107 het kweken van tamme rassen §108 de selectie-hypothese §109 snelheid der voortplanting §110 rol der plagen §111 evenwichtsverhoudingen §112 samenwerking §113 "verklaring" van bijzondere gevallen - adaptatiejacht §114 beschermende kleuren en vormen ("mimicry" of nabootsing) §115 waarschuwende kleuren §116 nabootsing §117 sexueel diformisme (tweevormigheid der geslachten) §118 hoofdargumenten voor de selectie- hypothese (a- de ervaring van kwekers en fokkers b- de aannemelijkheid c- concurrentiestructuur van de adaptaties) §119 bezwaren tegen Darwins selectie-hypothese (a- de nutteloosheid zelfs schadelijkheid der begintoestanden b- nutteloze kenmerken c- onjuistheid der grondslagen van de selectietheorie) §120 het teruglopen of regressie van kenmerken §121 sprongvariaties §122 de mutatie-theorie van Hugo de Vries
F) Analyse der variabiliteit: discontinuïteit der vormen
§123 de elementaire soorten van Jordan §124 variëteiten §125 modificaties het verschil tussen kenmerk en eigenschap §126 invloed van temperatuur, klimaat, voedsel §127 dubbele adaptaties §128 de gevoelige periode §129 modificaties in getal en maat §130 de toevalskromme §131 erfelijkheid der modificaties §132 zuivere lijnen, transgressie, populaties §133 mutaties onder streng bekende omstandigheden §134 discontinuïteit
G) Afstammingsleer en proefondervindelijke erfelijkheidsleer
§135 Darwins selectie-hypothese en de analyse der variabiliteit §136 andere verklaringshypothesen
H) Ontstaan van het leven op Aarde
§137 ontstaan van het leven
Hoofdstuk 4 « Plantenfysiologie »
I- Stofwisseling der planten
A- Ademhaling bij gewone planten:
§138 ter herinnering §139 afgifte van koolzuur §140 verbruik van zuurstof §141 het volume afgegeven koolzuur is even groot als het volume opgenomen zuurstof, althans in gewone gevallen §142 invloed van de temperatuur §143 geval der vette zaden §144 plantaardige warmte
B- Voeding der planten:
I- De koolzuurassimilatie
§145 kringloop der koolstof voortdurende aanvoer van arbeidsvermogen door de zon §146 koolzuuropname in de zon §147 zuurstofafgifte door waterplanten §148 zetmeelvorming in het licht §149 afdrukken van fotos op bladeren §150 ademhaling gedurende de assimilatie §151 bonte bladeren §152 functies der chloroplasten §153 bladgroen of chlorofyl §154 invloed van de kleur van het licht op de assimilatie §155 functies van het blad §156 diffusie door de huidmondjes §157 opvallende adaptaties §158 hoeveelheid der gewonnen assimilaten §159 invloed der omstandigheden op de assimilatie §160 schaduw- en kamerplanten §161 lekkage van de koolstofkringloop
II- Voeding met stoffen uit de grond
§162 inleiding §163 tien elementen zijn onmisbaar §164 kunst- en stalmest §165 deficiëntieziekten §166 opname van minerale bestanddelen uit de grond §167 planten lossen aardbestanddelen op §168 het opnemen en het vervoer van water en voedingszouten §169 de worteldruk §170 de zuigkracht der bladeren §171 een merkwaardige manometer §172 pompwerking door levende elementen §173 verwerking der zouten §174 vervoer der assimilaten
III- De kringloop van de stikstof
§175 inleiding §176 Clostridium pasteurianum §177 Azotobacter §178 stikstofbinding door vlinderbloemigen knolletjesbacteriën - §179 nitrificatie nitrobacteriën- §180 ingrijpen van de mens
IV- Mineralisering van resten door gisting (rotting) :
§181 opruiming door hogere dieren en microben §182 intramoleculaire of anoxydatieve ademhaling §183 gisting door biergist saccharomyces- soorten- §184 andere gistingsprocessen §185 biologie van de grond §186 terugblik: stofwisseling der aarde
II- Groei
§187 waar groeit een plant? §188 de grote periode §189 groeimeter §190 groei en temperatuur §191 groei en licht §192 groeistoffen §192(bis) fotoperiodiciteit §193 het ontluiken §194 de ontkieming
III- Prikkelbewegingen
§195 plasmastromingen §196 geotropie: richtende werking der zwaartekracht §197 fototropie §198 andere bewegingen (chemotropie en hydrotropie)
in 1967 benoemd aan de FUNDP. Hij was daar een graag geziene figuur. Hij overleed in 2007, 89 jaar oud. 
. Te lage punten (4 tot 6 op 20) op een schriftelijke of mondelinge ondervraging leverde op zijn minst 2 consignes op en een totaal van 8 consignes betekende 1 PS. En 1 PS wou zeggen: Permis Supprimé wat dan betekende dat het slachtoffer niet op vergunning mocht en een vergunning was er maar om de veertien dagen.
Het minste wat gezegd kan worden is dat er inderdaad heel wat begripsverwarring heerst. 
En natuurlijk was de "Kitch" in zijn blinde examenwoede onmiddellijk gekalmeerd, want de Muis werd niet voor niets de kolonel genoemd...
