an alternative point of view Een bloemlezing van enkele persoonlijke "wetenschappelijke" ervaringen en herinneringen en dit na meer dan een halve eeuw intense bedrijvigheid op het vlak van zowel basiswetenschappen als biowetenschappen. Dit alles gepresenteerd met een vleugje humor maar ook met een scheutje echte, onvervalste wetenschap
09-09-2009
Ten Geleide
TEN GELEIDE
Omschrijving
De blogs "Science & Bioscience" handelen over basiswetenschappen (natuur- en scheikunde inclusief wiskunde) en biowetenschappen (plant- en dierkunde inclusief de dynamische aspecten) zoals zij vroeger d.i. meer dan vijftig jaar geleden, in het onderwijs (primair, secundair en universitair onderwijs) voorgeschoteld werden. De eerste twee blogs hebben betrekking op het primair en secundair onderwijs; de volgende twee op het universitair onderwijs.
De URL- adressen van deze blogs zijn de volgende :
Zoals de titel "Science & Bioscience an alternative point of view-" het aangeeft, handelen deze blogs wel degelijk over wetenschap en biowetenschap, maar dan wel doorweven met autobiografische elementen. Er worden hierbij standpunten ingenomen, die enigzins afwijken van de orthodoxe, officiële visie of versie, die in het klassieke onderwijs aan bod komt. In tegenstelling met wat de goegemeente meent, zijn vele wetenschappers het niet altijd eens met deze officiële visie. Maar zij moeten zwijgen om den brode. Deze officiële versie wordt bepaald door een bepaald paradigma en is om deze reden te sterk dogmatisch gericht.
De bedoeling van deze blogs is nu ook eens deze andere visie aan bod te laten komen. Dit gebeurt dan op basis van eigen bevindingen en levenservaringen. Deze omvatten een halve eeuw intense bedrijvigheid op het vlak van zowel basiswetenschappen als biowetenschappen. Dit alles wordt dan gepresenteerd met een vleugje humor maar ook met een scheutje echte, onvervalste wetenschap.
Leidraad en achtergrond voor de eerste twee blogs
Uit de inhoudsopgave blijkt dat de diverse scholen, die de auteur doorlopen heeft, de leidraad en achtergrond voor dit blog vormen. De onderwijsstructuur evenals de leerprogrammas zijn echter in de loop der jaren herhaaldelijke malen grondig gewijzigd geworden, en kunnen de lezer in verwarring brengen. Het lijkt dus aangewezen even te herinneren aan volgende begrippen:
- met primair onderwijs wordt bedoeld niet alleen het huidig lager onderwijs -leeftijdsgroep: 6 tot 12 jaar- maar ook het (meer uitgebreid lager onderwijs leeftijdsgroep: 12 tot 16 jaar- (MULO of ULO). Dit laatste type onderwijs bestond o.m. in Nederland (sedert 1857) en in Frankrijk (het zogenaamde Enseignement Primaire Supérieur). In Frankrijk werd het E. P. S. afgeschaft in 1941, in Nederland in 1968. In België bestonden er in de Hollandse tijd "Lagere Hoofdscholen", die later als "Ecoles Primaires Supérieures du Gouvernement" zullen betiteld worden en waaruit in 1843 de Rijksmiddelbare school (de zogenaamde "Ecole moyenne") zal ontstaan. Het is deze "Ecole moyenne" die equivalent is met het E.P.S. in Frankrijk en het MULO in Nederland. Naast deze Ecole moyenne was er -voor minder begaafde leerlingen- ook nog een ander soort voortgezet lager onderwijs leeftijdsgroep 12 tot 14 of 16 jaar- dit ten gevolge van de achtereenvolgende verlengingen van de leerplicht tot 14 jaar (1914), tot 15 jaar (1953) en tot 16 jaar. Dit onderricht sloot nauw aan op een eigenlijke vakopleiding (timmerman, metser enz.) en werd verstrekt in de Lagere School (zevende, achtste en negende leerjaar).Vanaf 1983 zal in België de leerplicht opgetrokken worden tot 18 jaar wat aanleiding zal gegeven tot het T.S.O.(Technisch Secundair Onderwijs). Voor wat de leerstof van de Ecole Moyenne, het M.U.L.O. of de Ecole Primaire Supérieure betreft, stemt deze slechts voor een klein gedeelte overeen met deze van het lager secundair onderwijs; in deze scholen werd bvb al veel aandacht geschonken aan het wetenschappelijk (biologie, natuurkunde, scheikunde) en wiskundig (rekenkunde, algebra, meetkunde, trigonometrie) onderricht.
- met secundair onderwijs wordt bedoeld het middelbaar onderwijs, dat voorbereidde tot het hoger onderwijs leeftijdsgroep: 12 tot 18 of 19 jaar-(V.H.M.O. : Voorbereidend Hoger en Middelbaar Onderwijs). Dit onderwijs omvatte toen In België de klassieke humaniora (te vergelijken met het gymnasiumonderwijs in Nederland) en de moderne humaniora (te vergelijken met de H.B.S. in Nederland). In 1970 werd een nieuwe structuur, het V.S.O ingevoerd, gevolgd, in 1988, door het A.S.O., waarbij dan telkens aan de het leerplan en de leerstof gesleuteld werd. Ook in Nederland was dit het geval. De MULO-school als schooltype werd in 1968 vervangen door de MAVO (Middelbaar Algemeen Voortgezet Onderwijs), de H.B.S. door het V.W.O.. Het einddoel od eindtermen van het secundair onderwijs zijn de voorbereiding op het Hoger Onderwijs (Universiteit of Hogeschool).
- met normaal onderwijs wordt bedoeld het onderricht dat vroeger verstrekt werd in de normaalscholen (Nederland: kweekscholen). Deze scholen waren opleidingsinstituten voor onderwijzend personeel en zo kende men de kleuternormaalscholen (vorming van kleuterleiders/-leidsters), de lagere normaalscholen (vorming van onderwijzers/onderwijzeressen) en de middelbare normaalscholen, beter bekend als regentaat. Normaal onderwijs werd vaak als alternatief gezien van een humaniora want dit type onderwijs bereidde immers ook goed voor op ambtenarenexamens. In 1929 werd de normaalschool trouwens gelijkgesteld met de hogere cyclus van een humaniora, zodat men na de normaalschool ook kon doorstoten naar het hoger onderwijs. Bij de hervorming van het hoger onderwijs in 1995 werden de normaalscholen gefuseerd met grotere hogescholen. Thans leveren die het diploma "bachelor onderwijs" af, aangevuld met een afstudeerrichting: lager onderwijs, kleuteronderwijs. In Nederland werden de kweekscholen voor het basisonderwijs (lager onderwijs) vervangen door de Pedagogische Academie voot het Basisonderwijs (PABO) met catastrofale gevolgen ...
Voor wie niet met de leerprogramma's en de evolutie van lager en middelbaar en normaal onderwijs vertrouwd is, zijn bovenstaande verwijzingen een "must".
Inhoudsopgave
Zoals ieder boek, dat zichzelf respecteert, heeft ook een blog zijn eigen inhoudstafel, die weergegeven wordt door het archief, dat zich links bovenaan het blog bevindt (linkerkolom). Dit archief omvat de diverse paragrafen of cursiefjes van het blog en wel in dalende chronologische volgorde d.i. het meest recente cursiefje bovenaan. In de tekstkolom van het blog zijn de cursiefjes, zoals bij een leesboek, echter in stijgende chronologische gerangschikt, zodat men dit blog ook kan lezen als een normaal leesboek, door gewoon naar beneden te "scrollen". Onderaan elk cursiefje vindt men een aantal bijlagen, die men kan aanklikken.
Het is ook mogelijk dit blog cursiefje per cursiefje te lezen door het archief te gebruiken. Aanklikken van een paragraaf in het archief plaatst het aangeklikt cursiefje onmiddellijk bovenaan de tekstkolom. Om een ander uitgekozen cursiefje te lezen, zal men dit aanklikken in het archief, waardoor nu dit laatste cursiefje bovenaan de tekstkolom staat. Deze leesmethode komt overeen met het doorbladeren van een leesboek, waarbij men de diverse hoofdstukken of rubrieken in een zelf gekozen orde leest.
Teneinde het de lezer gemakkelijk te maken werd iedere paragraaf door een specifiek volgnummer aangeduid bvb §2.3 wijst op het derde cursiefje van hoofdstuk 2.
Het eerste blog "Science & Bioscience I" omvat nu volgende hoofdstukken en paragrafen of cursiefjes:
Hoofdstuk 1 Hoe het allemaal begon
- §1.1 Een prille inwijding in de scheikunde - §1.2 Opstarten van een klein chemisch laboratorium - §1.3 Mijn ervaringen in het collège Saint-Louis (1) - §1.4 Mijn ervaringen in het collège Saint-Louis (2) - §1.5 Naar de Cadettenschool - §1.6 Afscheid van het college "Saint Louis"
Hoofdstuk 2 Het Leven in de Cadettenschool van Laken
- §2.1 Brussel in de "Silver Fifties" - §2.2 "Pro Patria crescunt"... - §2.3 Een compromis à la belge - §2.4 "l'esprit militaire" in de Cadettenschool
Hoofdstuk 3 Taal en Cultuur in de Cadettenschool van Laken
- §3.1 Nederlands in de Cadettenschool van Laken - §3.2 Frans en Engels in de Cadettenschool van Laken - §3.3 Latijn in de Cadettenschool van Laken - §3.4 Grieks in de Cadettenschool van Laken - §3.5 Kennismaking met de Helleense Cultuur - §3.6 De Nalatenschap van Hellas
Hoofdstuk 4 Het Leven in de Broedersschool
- §4.2 De Broedersschool in de "Iron Forties" - §4.3 Leren door spelen en ravotten - §4.4 Over Didactiek en Pedagogiek (in voorbereiding)
Hoofdstuk 5 Wiskunde in het Lager Primair Onderwijs
- §5.1 Arithmetiek met Meester Hillewaert - §5.2 Arithmetiek met Meester Berghmans - §5.3 Intuïtieve Vlakke Meetkunde of Planimetrie - §5.4 Aan de andere kant van de ezelsbrug - §5.5 Intuïtieve Ruimtemeetkunde of Stereometrie (in opbouw)
Hoofdstuk 6 Wetenschappen in het Lager Primair Onderwijs
- §6.1 Fysische Mechanica : de eerste schreden (in opbouw)) - §6.2 Natuurkennis: Moeder Natuur als leerschool (in opbouw)
Hoofdstuk 7 Jongens en Wetenschap
- §7.1 Jongens en Wetenschap volgens Speybroek en Fillet - §7.2 De boekenreeks Jongens en Wetenschap - §7.3 Jongens en Scheikunde van een zekere Alders
Hoofdstuk 8 Arithmetiek en Algebra in het Lager Secundair Onderwijs
- §8.1 Over oude schoolboeken ... - §8.2 Rekenen met cijfers ofte Arithmetiek (in opbouw) - §8.4 Rekenen met letters ofte Algebra (in opbouw) - §8.5 Algebra in het Lager Middelbaar (in voorbereiding)
Hoofdstuk 9 Intuïtieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs
- §9.1 Enkele meetkundige constructies - §8.2 De stelling van Thales - §9.3 Symmetrie en het beginsel van Cavalieri
Hoofdstuk 10 Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs
- §10.1 Planimetrie en Dalle's Eerste en Tweede Boek (in opbouw) - §10.2 Planimetrie en Dalle's Derde en Vierde Boek (in opbouw) - §10.3 Kennismaking met de Trigonometrie (in opbouw) - §10.4 Stereometrie en Dalle's Vijfde Boek (in opbouw) - §10.5 Stereometrie en Dalle's Zesde Boek (I) (in opbouw) - §10.6 Stereometrie en Dalles's Zesde Boek (II) (in opbouw) - §10.7 Stereometrie en Dalle's Zevende Boek (in opbouw) - §10.8 Stereometrie en Dalle'z Achtste Boek (in voorbereiding) - §10.9 Kenismaking met de Sferische Trigonometrie (in voorbereiding)
Hoofdstuk 11 Natuurwetenschappen in het Lager Secundair Onderwijs
- §11.1 Natuurwetenschappen in het Sint Lodewijkscollege - §11.2 Elementaire Plantkunde met Eildert Reinders (I) - §11.3 Elementaire Dierkunde met Ritzema Bos (I)
Hoofdstuk 12 Arithmetiek en Algebra voor het Hoger Primair Onderwijs
- §12.1 Over de Rijksmiddelbare School in Brugge... (in opbouw) - §12.2 Over Systematische encyclopedieën (in opbouw) - §12.3 Spelen met Getallen o.l.v. Fred Schuh (in opbouw) - §12.4 Arithmetiek voor het Hoger Primair Onderwijs (in voorbereiding) - §12.5 Algebra voor het Hoger Primair Onderwijs (in voorbereiding)
Hoofdstuk 13 Practische Meetkunde voor het Hoger Primair Onderwijs
- §13.1 Wat wordt bedoeld met practische meetkunde? (in voorbereiding) - §13.2 Practische Vlakke meetkunde of planimetrie (in voorbereiding) - §13.3 Practische Ruimtemeetkunde of stereometrie (in voorbereiding)
Hoofdstuk 14 Schei- en Natuurkunde voor het Hoger Primair Onderwijs
- §14.1 Scheikunde in het Hoger Primair (in voorbereiding) - §14.2 Natuurkunde in het Hoger Primair (in voorbereiding) - §14.3 Electriciteitsleer in het Hoger Primair (in voorbereiding)
Hoofdstuk 15 Natuurkennis voor het Hoger Primair Onderwijs
- §15.1 Plantkunde voor het Hoger Primair Onderwijs (in voorbereiding) - §15.2 Dierkunde voor het Hoger Primair Onderwijs (in voorbereiding) - §15.3 Geologie voor het Hoger Primair Onderwijs (in voorbereiding)
Met scheikunde ben ik begonnen toen ik...9 jaar oud was (1948) en dit door toedoen van een "dorpsapotheker". Mijn geboorteplaats was toen inderdaad nog een erg landelijke gemeente (*) met vele zandwegen, zodat het kwalitatief "dorpsapotheker" hier zeker verantwoord is. Het braaf, onschuldig manneke dat u op begeleidende foto ziet ben ik en die foto moet ongeveer uit deze periode dateren.
In die tijd waren dorpsapotheken nog een soort "alchemiekrochten" waar de apotheker , als een volleerde alchemist, uiterst geheimzinnige preparaten maakte en waar het Bunsen-waakvlammetje altijd brandde. Als kleine bengel voelde ik mij door die geheimzinnige en "geurige" atmosfeer sterk aangetrokken. Ook maakten die donkere eikenhouten kasten met donkerbruine glazen potten en witte Latijnse geleerde benamingen een diepe indruk op mij.
Toen apotheker Versailles (ik herinner mij zelfs nog zijn naam !) dit merkte, liet deze uiterst vriendelijke en brave man mij toe in het "Heilige der Heiligen" en gaf hij mij enkele schitterende demonstraties van zijn wetenschappelijk kunnen.
Het is daar dat ik bvb. voor het eerst heb kennis gemaakt met de allotrope vormen van zwavel en fosfor.., van enkele scheikundige stoffen (citroenzuur en wijnsteenzuur) heb geproefd en tenslotte met de chemische begrippen "element", "atoom", "molecule","zuur", "base", "zout" en "oxyde" heb kennis gemaakt.
Blijkbaar bracht het "genoten" onderwijs wel vruchten op want amper een jaar later was ik reeds in staat mijn eerste chemische formules en reacties neer te schrijven.
Dat het uit de bibliotheek van mijn vader "geleende" boek "Gij en de Chemie" van Fletchner (vulgarisatie) er ook voor iets tussen zat, heb ik hem maar niet verteld... Mijn belangstelling ging toen -hoe kon het anders door de vele Westerns die wij in het parochiezaaltje te zien kregen- vooral uit naar "Springstoffen" en dank zij de "Oosthoeks" (een vroeger in onze contreien veel gebruikte encyclopedie) slaagde ik er in bvb. kaliumchloraat-springstoffen en zelfs (ongezuiverde) nitroglycerine te bereiden...
Het is dan ook niet zo verwonderlijk dat ik later als een eerste wetenschappelijke studie "farmacie" gekozen heb ofschoon natuurlijk ook nog andere redenen een rol hebben gespeeld.
De farmaciestudie was -jaren terug- heel wat interessanter dan nu : de kandidaturen behoorden toen nog tot de faculteit Wetenschappen en er werden niet alleen vakken als algemene natuur- en scheikunde en wiskunde maar ook delfstofkunde en kristallografie, botanica en zoölogie gedoceerd.. die, de aspirant-apothekers te samen met bvb toekomstige scheikundigen, geologen en dito dienden te volgen. Het gevolg hiervan was dat na het doorlopen van de kandidaturen nog steeds kon geopteerd bvb voor een grondige opleiding in de scheikunde, biologie of wat ook..
Alleen de "graden" apotheker behoorden toen tot de Faculteit Geneeskunde en de leerstof omvatte toen typisch farmaceutische vakken als farmacognosie, farmacologie en farmaceutische technologie ("artsenijbereidkunde") en verder nog microbiologie, medische biochemie, toxicologie en bromatologie.. Dat is nog altijd het geval ofschoon nu nog meer specialisaties en richtingen voorhanden zijn.
Scheikunde - en ik zou zelfs durven schrijven de échte scheikunde- heeft dus vanaf mijn prille jeugd mijn verdere leven en loopbaan bepaald. Met échte scheikunde bedoel ik de kennis en beschrijving van de fysische en chemische eigenschappen (formules, fysische data, identificatiereacties, synthese of extractiegegevens, ..) van anorganische en organische stoffen, zoals ze uit het experiment voortvloeien. Deze zuiver experimentele discipline werd indertijd "beschrijvende scheikunde " genoemd.
Ook mijn doctoraal proefschrift was, in eerste instantie, op deze echte scheikunde gestoeld en handelde over de fluorescentie-chemie van naphto- en benzochinonen, niet bepaald een typisch of klassiek "farmaceutisch" onderwerp...
Het was echter dit soort scheikunde die indertijd van wezenlijk belang was voor de apotheker . Het is immers niet voor niets dat de Angelsaksers het nog -enkele jaren terug- hadden over een "chemist" en nu spreken over een "pharmacist"... De officina-apotheker was in die tijd immers persoonlijk verantwoordelijk voor de kwaliteitvan de afgeleverde geneesmiddelen, die hij noodgedwongen met chemische methodes diende te analyseren.
Officina-apothekers beschikten (of beschikken) inderdaad niet over bvb. moderne toestellen als FTIR-, NMR- of massaspectrometers om hun analyses uit te voeren en dus dienden deze analyses langs chemische weg te gebeuren, wat, behalve een semi-microbalans, ook nog enkele instrumenten als bvb areometers en klein laboratoriummateriaal vereist . Ook behoorde bvb. een goede lichtmicroscoop tot de verplichte uitrusting van een officina....
Zo werd in Frankrijk bvb. indertijd de officina-apotheker ook geraadpleegd voor de analyse van drinkwater (bvb opsporen van lood of van faecale verontreinigingen), voor het identificeren van giftige paddestoelen enz. Het was dan ook niet verwonderlijk dat de toekomstige apotheker een uitgebreide cursus « Hydrologie » diende te volgen (cf. bvb André Morette's "Précis d'Hydrologie" Masson coll. Précis de Pharmacie -1964-). Deze leergang "Hydrologie" werd aanzien als een verlengstuk van de cursus Geologie.
Beschrijvende scheikunde wordt heden ten dage niet langer of slechts zeer summier onderwezen en boeken die over werkelijke "chemische analyse" handelen worden niet langer gepubliceerd en zijn dus uiteraard zeldzaam geworden. De meeste boeken dienaangaande dateren van vóór WO II (bvb een "Treadwell") of van de jaren vijftig of zestig (bvb. een "Pesez", een "Feigl"", een Jaulmes") en werden vrijwel alleen door "experimentele" chemici gelezen en gebruikt. Als ik deze werken opnieuw doorblader sta ik telkens weer verbaasd hoe alert en opmerkzaam deze generatie scheikundigen of apothekers in die tijd wel waren..
Later, toen ik deel uitmaakte van het academisch personeel van de universiteit, heb ik trouwens kunnen vaststellen dat moderne scheikundigen niet meer in staat waren om bvb. een kwalitatieve analyse (identificatie) via "chemische weg" d.i. via chemische reacties op te zetten en uit te voeren en dat zij zonder spectrometrie en/of chromatografie in feite tot machteloosheid gedoemd waren..
Natuurlijk, het valt niet te ontkennen moderne scheikunde heeft ook haar sterke positieve kanten, maar het geheimzinnige ik zou zeggen het romantische- is er uit.
De moderne (theoretische) scheikunde, die nu gedoceerd wordt, steunt op twee peilers :
-de chemische thermodynamica ontwikkeld o.m. niet alleen door de Amerikaanse School met Josiah Willard Gibbs maar ook door de Belgische school met Théophile De Donder (school waaronder ook Ilya Prigogine ressorteert)
-de moleculaire quantummechanica, zoals ontwikkeld door Linus Pauling en waaruit zich later de quantumchemie als een zelfstandige wetenschap heeft ontwikkeld.
Hierdoor is de scheikunde eveneens een exacte wetenschap geworden ( opkomst van de quantumchemie en de computationele chemie) en dit is uiteraard op zichzelf een gunstige evolutie.
Hoe dan ook.. de opkomst van de moderne scheikunde is, naar mijn bescheiden mening, geen reden om de oude "beschrijvende scheikunde" zo maar naar de prullenmand te verwijzen. Beschrijvende scheikunde berust in wezen op "waarneming" en dit type scheikunde negeren betekent tenslotte het essentiële, het experiment, de observatie negeren...
Een absoluut geloof in de grondvesten van de fysische scheikunde van toen was er mede de oorzaak van, dat in de vijftiger jaren de reactie van Belousov niet erkend werd want... het door Beloussov voorgestelde reactiemechanisme was tegenstrijdig met de chemische thermodynamica en het hieraan gekoppeld atomistisch model. Wetenschappers vergeten al eens dat wat vandaag als een feilloos en vaststaand wetenschappelijk model wordt aangenomen, morgen grotelijks gewijzigd moet worden en zelfs naar de prullenmand kan worden verwezen.
De reactie van Beloussov werd nu in 1961 verder bestudeerd door Zhabotinsky en uiteindelijk toch erkend ofschoon een verklarend atomistisch model nog altijd niet voorhanden was. Ze staat nu bekend als de reactie van Beloussov-Zhabotinsky. Tragisch is wel dat intussen Beloussov overleden was. Toch was Beloussov niet de eerste die een dergelijk type reactie ontdekte. Dertig jaar eerder (1921) had een Bray een dergelijke reactie ontdekt, die heden bekend staat als de reactie van Bray-Liebhafsky (1) . Ook hier werd het reactiemechanisme voorgesteld door Bray in eerste instantie verworpen.
De reactie van Beloussov-Zhabotinski (2) is wat men noemt een oscillerende reactie, een chemische klok (3) . Sedert de ontdekking van Beloussov in 1950 zijn echter meerdere oscillerende reacties ontdekt waaronder deze van Briggs-Rauscher (4) . Het is vooral deze laatste reactie, die voor experimentele demonstraties wordt aangewend.
De reactie van Briggs-Rauscher wordt uitgevoerd onder roeren (deze videos zijn absoluut te bekijken!!):
De oscillerende periode van de reactie van Beloussov-Zhabotinsky is wat groter, maar de beelden zijn zeker niet minder spectaculair, tenminste bij versnelde filmopname, zoals begeleidende videos laat zien:
In de eerste video worden er ook enkele gegevens verstrekt aangaande de reagentia en de reactie-omstandigheden.
De diverse deelreacties, die aan de reactie van Beloussov-Zhabotinsky ten grondslag liggen (reactiekinetiek) worden besproken in diverse handboeken, die over niet-lineaire chemische dynamica handelen, zoals bvb Steven Strogatz' « Nonlinear Dynamics and Chaos -with applications to physics, chemistry and engineering- » (Westview, -1994-). Het waargenomen fenomeen kan immers uitgelegd en berekend worden uitgaande van een niet-lineair stelsel van differentiaalvergelijkingen. Betreffende boeken zijn in wezen verhandelingen over niet-lineaire differentiaalvergelijkingen. Maar van een fysisch atomistisch model, dat het fenomeen kan verklaren, is in deze teksten nog altijd geen sprake...
Wat is er nu zo speciaals aan oscillerende reacties? Gewone chemische reacties kenmerken zich door een monotone vermindering van de concentratie van de reactanten, gekoppeld aan een gelijktijdige monotone toename van de reactieprodukten. In oscillerende reacties daarentegen is dit niet langer het geval. Hier ondergaan de concentraties van sommige deelnemende chemische deeltjes over een min of meer lange tijdsperiode cyclische of periodieke schommelingen. Bovendien zijn deze schommelingen coherent op moleculaire schaal .
Het bijzondere is wel dat hier millarden chemische deeltjes bij betrokken zijn waarvan -volgens de klassieke atomistische theorie- de bewegingen in principe chaotisch zijn. Dergelijke coherente schommelingen blijken in alle geval in tegenstrijd te zijn met de atomistische visie van tweede hoofdwet van de chemische thermodynamica en daarom alleen al vormen de oscillerende reacties een interessant werkterrein.
Oscillerende reacties, verschillen van elkaar qua periode en duur van de oscillaties. De stelling dat alle redox-reacties oscillerende reacties zijn is naar mijn mening verdedigbaar. Zowel Beloussov-Zhabotinsky als Briggs-Rauscher zijn bvb homogene redoxreacties, maar er bestaan ook heterogene oscillerende reacties van het redoxtype.
Het oscillerend karakter is bij homogene redoxreacties erg moeilijk aan te tonen: periode en duur moeten in het "normale" meetbereik vallen en er is natuurlijk het probleem van het zichtbaar maken (bvb gekleurde reactanten). Ook worden periode en duur van eenzelfde oscillerende reactie sterk beinvloed door de reactieomstandigheden (aanvangsconcentratie van de reactiepartners, pH, licht , temperatuur, mengcondities enz.). Vele experimenten "mislukken" omdat deze reactieomstandigheden niet precies worden gecontroleerd en opgevolgd.
Oscillerende reacties zouden volgens Ilya Prigogine e.a. aan de basis liggen van de abiogenese (het ontstaan van "leven" uit "dode" stof), een fascinerend probleem waarvoor nog steeds geen afdoende oplossing is gevonden (zie blog 5). In alle geval wordt heden algemeen erkend dat ze een fundamentele rol spelen bij bepaalde fysiologische processen. Zo is aangetoond dat oscillerende reacties een belangrijke rol spelen bij de hartslag.
Vermoedelijk zijn de coherente schommelingen van een oscillerende reactie te wijten aan wat men « cyberfotonen » (5) zou kunnen noemen. Deze cyberfotonen zouden dan dezelfde eigenschappen bezitten als de « biofotonen » van Fritz-Albert Popp (zie eveneens blog VI).
Toch ook nog even benadrukken dat oscillerende reacties heel wat meer zijn dan chemische curiosa. Het gaat hier in werkelijkheid om een fundamentele ontdekking, die aanleiding geeft (of zal geven) tot een nieuw wetenschappelijk paradigma.
Merkwaardig is wel dat zowel homeopathische activiteit (!!) als placebo-effect (!!) binnen dit nieuwe paradigma een afdoende verklaring kunnen vinden. Wat het oude paradigma zeker niet toeliet en geleid heeft en nog altijd leidt tot oeverloze en verhitte discussies. Het nieuwe paradigma laat overigens toe fascinerende problemen zoals het ontstaan van het leven uit dode materie (a-biogenese), het ontstaan en de evolutie van (kwaadaardige) tumoren op een andere wijze te bekijken en totaal nieuwe wegen voor research te bewandelen.
Voor wie nu al iets meer wil weten over oscillerende reacties is het samenvattend artikel van Dupuis en Berland (lycée Faidherbe) (6) een absolute aanrader.... Betreffend artikel werd ook in het Engels vertaald.
-------------
(*) de gemeente was van oudsher omsloten door twee "Heerweghen" : de "oude Gentsche Heerwegh" (nu Astridlaan - Generaal Lemanlaan) en de "Kortryksche Heerwegh" (nu Baron Ruzettelaan). Deze "Heerweghen" bezaten in de Iron Forties evenzeer een landelijk karakter.
(5) Het woord "cyberfotonen" (cyberphotons) is (nog) niet in het woordenboek opgenomen en nog veel minder officieel erkend. Het cyberfotonen-concept leidt echter tot een fysisch model dat oscillerende reacties op een afdoende wijze kan verklaren... (zie blog 5)
§ 1.2 Opstarten van een klein chemisch laboratorium
(Hoofdstuk 1 "Hoe het allemaal begon)
§1.2 Opstarten van een klein chemisch laboratorium
Na mijn "inwijding ofte initiatie in de scheikunde" door apotheker Versailles, oordeelde mijn vader dat de tijd gekomen was om de oude, vertrouwde dorpsschool (tussen haakjes een zeer goede school, waar rekenen en vormleer werkelijk hoofdvakken waren !!) vaarwel te zeggen...en dat voor mijn toekomst betere oorden moesten opgezocht worden ...
En zo kwam ik, na het vijfde studiejaar, terecht in het Sint Lodewijkscollege (*) (Brugge) ..in wat men toen het "klein college" d.i. de Lagere Afdeling van deze school noemde, en waar ik zowel het zesde en zevende studiejaar zou moeten doormaken. Voor alle verduidelijking, een zevende studiejaar was toen nog verplicht en eerst later is hierin maar verandering gekomen.
Begeleidende klasfoto van het zesde leerjaar B dateert van 1950 : de bengel staande op de eerste rij uiterst links ben ik. De man links van de "geestelijke" directeur (E.H. Gerard Vanden Bulcke) is M. André De Gruytere en deze laatste vervulde de functie van "wereldlijk" directeur (schoolhoofd) in het "klein" College. De man rechts is mijn onderwijzer Meester Albert Depoorter bijgenaamd de "Spin".
In het zevende studiejaar kwam ik terecht in klas zeven C bij Meester Jules Berghmans (de "Chinees") en in dezelfde klas kruiste reeds een zekere "Guido" mijn pad. Over deze Guido zal ik het verder nog meermaals hebben. In het zelfde leerjaar, maar niet in dezelfde klas -namelijk in zeven A bij Meester De Witte- was er ook een zekere "Marcel". Marcel en ik woonden in dezelfde gemeente en in dezelfde straat en wij peddelden iedere dag samen naar het college (elke dag 4 x 3 = 12 km).
Het onderwijs in de Lagere School omvatte toen Talen (zowel Nederlands als Frans), Aardrijkskunde en Geschiedenis, en Vaardigheidsvakken als Lezen, Voordragen en Schoonschrift. In het zevende studiejaar kwam daar nog een vierde vaardigheidsvak "Zang"bij (**). Het "wetenschappelijk" onderricht bestond uit "Rekenen" en "Natuurwetenschappen en Gezondheidsleer".
Natuurlijk was er ook het vak "Christelijke Lering". De leerlingen werden toen op ieder vak gekwoteerd en blijkbaar scoorde ik hoog in Talen en in de Wetenschappelijke vakken.
Een nieuwe school betekende ook nieuwe kameraden en zo werd "Marcel" (later neuropsychiater geworden) één van mijn beste kameraden, niet alleen omdat wij door eenzelfde leeswoede bezeten waren (o.m. Karl May en Jules Verne), maar ook en vooral omdat wij dezelfde interessegebieden (scheikunde.. nietwaar ) hadden. Bovendien beschikte hij over een aantal uiterst interessante boeken uit de serie "Jongens en Wetenschap", een gegeven dat, althans van mijn kant alleen nog maar onze vriendschapsbanden kon verstevigen !!!
Het was in die tijd dat wij elk een persoonlijk laboratorium opstartten en diverse kennis en gegevens over het verkrijgen of verwerven van producten en toestellen trouw aan elkaar uitwisselden.. Maar reeds toen stelde zich reeds het nijpende probleem van het verkrijgen van de, o toch zo nodige middelen en kredieten.. Natuurlijk, zoals U terecht zult opmerken is dat altijd het geval.. (vele van onze instellingen worstelen met dergelijk probleem.. ) maar voor bengels als wij kwam zoiets wel hard aan..
Veel producten waren gelukkig in het huishouden te vinden (bvb "esprit de sel", "keukenzout", "maagzout", "soda", "ammoniak"..) andere konden wij -na weken sparen- kopen bij de drogist ("vitriool", "arseniek", "carbeure", zelfs "rokend salpeterzuur"..) of verkregen wij in kleine hoeveelheden (zilvernitraat, bariumcarbonaat, loodnitraat..) bij mijn beste vriend apotheker Versailles.... die blijkbaar onze eerste wetenschappelijke aspiraties naar waarde wist te schatten.. Misschien er even aan herinneren dat "Chemiedozen", voor zover deze bestonden en op de markt waren, ons weinig interesseerden want samengesteld uit weinig interessante producten...
Hoe echter aan proefbuizen, glazen buizen, kurkboorders, bunsenbranders, statieven en kolven enz. (o.m. absoluut nodig voor het uitvoeren van de "distillatie"- proef) geraken ? Geen enkel probleem,bij apotheker-grossist Dryepont in de Wollestraat -Brugge- konden wij alles kopen mits..boter bij de vis....want het huis verleende geen krediet ..en zeker niet aan elf- of twaalfjarige bengels !!!
Het verwerven van toestellen zoals een semi-micro-balans en een microscoop was en bleef echter een wensdroom. Het is waarschijnlijk om van deze frustratie af te geraken dat ik nu wel over een oude, nog goed functionerende lichtmicroscoop Wild type M 10 en een electronische balans beschik...
Door het gebrek aan voornoemde essentiële infrastructuur moesten onze scheikundige aspiraties willens nillens eerder beperkt blijven (dus zeker geen "Nobel" in het vooruitzicht) . Vandaar dat wij hetook begonnen te zoeken in de natuurkunde en i.h.b. in het elektromagnetisme, want misschien vereiste hier de nodige infrastructuur minder financiële middelen??
En het is hier dat een boek van "Jongens en Wetenschap" (als ik het goed voor heb ging het om een boek van een zekere Alder of Adler ??) te berde komt en een rol begint te spelen. Wij waren voornamelijk geïnteresseerd in radiogolven en onze droom was natuurlijk met mekaar te communiceren via de aether (iets analoogs als het Walkie Talkie systeem)...Ook hier echter zijn onze pogingen jammerlijk mislukt en dit weeral om dezelfde redenen.. geldgebrek...en ook wel -laten wij eerlijk zijn- gemis aan precieze kennis.. Als ik bedenk, dat kinderen van deze leeftijd nu over een GSM beschikken.. Nee "ce n'est pas juste" zoals Calimero zou zeggen..
Toch was deze periode voor ons zeer verrijkend want er werd een basis gelegd voor onze praktische kennis inzake elektriciteit en magnetisme. Zo wisten wij heel precies hoe bvb. een fietsdynamo werkte en hoe de electrische kring door verbinding met de massa van het frame moest gesloten worden ..Zo konden wij met kennis van zaken vele lichtpannes (meestal te wijten aan een slechte verbinding met het frame) herstellen...dit tot grote verwondering van onze klasgenoten en .. de naaste familieleden (broers en zusters). In die tijd zag men heel wat fietsers naarstig peddelen .. zonder rood achterlicht, wat voor Vadertje "Staat" een niet te versmaden bron van inkomsten was.
Daarenboven werd ons het nut van "wiskundige formules", die in het boek vermeld werden en die wij zonder enige moeite "in" studeerden erg duidelijk. Het manipuleren van deze "letterformules" (overbrengen van letters naar een ander lid van de gelijkheid) lieten immers toe, op zeer eenvoudige wijze, praktische vragen aangaande "elektriciteit" (electrische stromen, spanningen, weerstanden, vermogen..) op te lossen. Het gevolg van dit alles was,dat ik ook rekenkundige vraagstukken (bvb. regel van drie, samengestelde regel van drie, ..enz.), die als huistaak opgegeven werden door Meester Berghmans, op eenzelfde wijze begon te benaderen.
In feite paste ik -zonder hetzelf te beseffen- elementaire algebra toe en reduceerde ik bvb bepaalde vraagstukken tot een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden, die ik vervolgens door substitutie oploste.. en dit tot grote ergernis van de meester. Laatstgenoemde maakte mij duidelijk dat het om "Rekenkunde" en "rekenkundige vraagstukken" ging en dat het absoluut niet toegelaten was "Algebra" te gebruiken.. want dit was niet volgens ons rekenboek ! "Algebra" was materie bestemd voor de humaniora en daar ik nog in de lagere school zat mocht ik geen algebra gebruiken..punt, amen en uit.!
Daarmede kon ik het stellen, maar bij mij begon zo het vermoeden te rijzen dat achter het woord "algebra" ook een "geheime" kennis zat, die "men" ons, in de lagere school, nog wou verbergen en dat, wat men wiskunde noemde, eigenlijk heel wat meer omvatte dan wat "rekenen", metriek stelsel" en "vormleer"... Zo begon deze "algebra", deze wiskunde, die ik helemaal niet kende, mij uiteindelijk ook te intrigeren en te interesseren.. Het gevolg van dit alles was dat ik nieuwsgierig begon uit te kijken uit naar het "groot college", naar de humaniora, waar men mij zou inwijden in al de mysteries van de algebra en misschien nog veel meer...
Het werd echter één grote desillusie...maar daarover meer in een volgende aflevering!!
_______________
(*) De gegevens die hier verstrekt worden betreffen natuurlijk de situatie van juist na WOII en zijn typisch voor de tijdsgeest van toen. Ondertussen heeft de het Sint Lodewijkscollege zich natuurlijk ontpopt tot een moderne school met een waaier van diverse keuzerichtingen (zie site van de school). Het college was in die tijd gelegen in het centrum van de stad. De hoofdingang was gelegen aan de Noordzandstraat, de toegangen voor de leerlingen bevonden zich in de Zilverstraat. (zie toegevoegde bijlagen Wikipedia en 175 jaar Sint Lodewijkscollege)
(**) zang ofte "liedjes kwelen" behoorde ook tot onze activiteiten. Diegene die een goede stem hadden werden in het knapenkoor "Scola cantores" ingelijfd..
§ 1.3 Mijn ervaringen met het college Saint Louis (1)
(Hoofdstuk 1 "Hoe het allemaal begon)
§1.3 Mijn ervaringen met het college Saint Louis
Toen ik op die eerste schooldag van september 1952 , met de fiets aan de hand, door de grote schoolpoort van het "groot college" (er bestond immers ook een "kleine" poort, maar die was bestemd voor de "kleinmannen" van het "klein" college) binnenstapte, wist ik dat deze stapjes, beslissend zouden zijn voor mijn verdere leven en loopbaan ..... Het serieuze werk zou nu beginnen met het aanleren van ... Latijn bij den "Attila" (E.H. Van Parijs) in de zesde Grieks-Latijnse B, ...en van Grieks bij den "Frisco" (E.H. Debaillie) in de vijfde Grieks-Latijnse A. Op de klasfoto zes B bevind ik mij op de eerste rij, vierde te beginnen van links. Op de tweede rij, tweede te beginnen van rechts, staat mijn kameraad Guido, die later insgelijks de Cadettenschool zou vervoegen.
Mijn zorgeloze en gelukkige (ondanks de oorlog en de naweeën van deze oorlog) kinderjaren waren helaas voorbij en daar was ik mij wel van bewust.. Voor mijn ouders brak echter een nieuwe periode de silver fifties- aan ; ze hadden de moeilijke oorlogsjaren achter de rug en hadden het, zoals de meeste mensen toen, niet erg breed : in 1942 waren er in het gezin vier, in 1949 zes kinderen. Toch hadden wij gedurende de oorlog nooit echt iets tekort gehad en zo hadden wij bvb. nooit honger geleden.
Tot in oktober 1949 woonden wij in een vleugel van een tweewoonst waarvan de voorgevel van elk woonhuis amper 5 m breed was, zoals men op begeleidende foto (zie bijlagen) kan zien. Op deze foto (daterend van 1949) staat mijn moeder voor ons huis met een deel van haar kroost: mijn oudste en middelste zuster en mijn jongste broer.
In de tweede vleugel van de tweewoonst woonden mijn grootouders van moederszijde. Dat was nu eens echt een meevaller, want ik had het voor mijn grootvader.. hij kon toch zo mooi en spannend vertellen.. Elk woonhuis bevatte op het gelijkvloers, een voorkamer, een smalle eetkamer en een kleine keuken. Een gang leidde van de voordeur rechtstreeks naar de keuken. Deze gang was ongeveer 1 m breed en was tot ongeveer op 1,2 m met bleekblauwe tegels bezet. Het stallen van fietsen was dan ook wat problematisch. Ter hoogte van de eetkamer, was er een insprong voor een trap, die naar de bovenverdiepingen leidde en tevens ook nog eens toegang gaf tot de smalle eetkamer.
Een tweede foto (zie bijlagen), genomen vanuit de voorkamer laat het interieur van de eetkamer zien. Op te merken is de aanwezigheid van een grote keukenkachel met twee ovens. Die kachel werd bij het uitbreken van de oorlog naar de keuken overgeplaatst. In de eetkamer kwam een "feu continu" (Nestor Martin), die echter zelden dienst deed. Ik herinner mij ook nog dat mijn moeder in de oorlog in een van die ovens brood bakte en het ganse huis heerlijk geurde naar versgebakken brood. Behalve de keukenkachel, was er in de keuken ook nog een gasstel met drie bekkens, dat op stadsgas aangesloten was. Eerst in 1948 werd dit gasstel vervangen door een gasfornuis. De oven van dit fornuis kreeg het nu druk. Mijn vader wou immers absoluut de oorlogsjaren vergeten. Zijn voorkeur ging naar "roastbeaf" het liefst -wanneer het seizoen er was- met asperges of met verse erwtjes en worteltjes.
Een eerste deur in de keuken gaf toegang tot de gang, een tweede tot een kleine, koele kelder die onder de trap gelegen was en een derde naar de voornoemde eetkamer, die echter alleen bij bijzondere gelegenheden (kerst- en communiefeesten en dito) gebruikt werd. Een goede kelder was in die jaren een noodzaak, want koelkasten waren er niet. In die kelder was ook de gasmeter geplaatst en in perioden van gasschaarste moesten mijn oudste broer en mijn oudste zuster elk om de beurt met een moersleutel op die gasmeter tikken om wat gas te laten doorstromen. Veelal werd er dus gekookt op de keukenkachel, en op de kachelplaat stond veelal een kookpot met soep of hutsepot te pruttelen. De keukenkachel deed ook dienst als centrale warmtebron. 's Morgensvroeg werd dit keukenfornuis aangemaakt door mijn vader. Wanneer wij zo wat rond acht uur in de morgen naar beneden kwamen was het in de keuken al heerlijk warm. Die kleine keuken was de echte leefkamer van het gezin.
Een buitendeur in de keuken gaf verder toegang tot een piepkleine koer van nog geen 35 m². Toch omvatte die koer een kippenren en een konijnenkot. Konijnen en kippen kweken was in de oorlog nu eenmaal een "must". Tenslotte was er nog een kleine bergplaats (kolenkot), die paalde aan de keuken en een buitentoilet. In het toilet was er natuurlijk geen licht (wat toen de regel was) en wat voornamelijk in de winter voor problemen kon zorgen. Voor de dringende nachtelijke behoeften was er.. een nachtemmer.
De bovenverdiepingen van het huis omvatten vier kamers, waarvan één als bureel voor mijn vader diende en waarvan de deur in principe altijd op slot was. Natuurlijk was er geen badkamer. Er was immers alleen pompwater en geen leidingswater. 's Zaterdags werden wij gewassen in de waskuip, de jongens door mijn vader, de meisjes door mijn moeder.
Van mijn prille jeugd (peuterjaren) herinner ik mij nog dat er in die sombere oorlogsjaren soms thuis een gespannen atmosfeer heerste.. en eerst later heb ik begrepen waarom !! Onder de oorlog was het beluisteren van bepaalde radio s verboden en in 1944 moesten zelfs alle radiotoestellen ingeleverd worden.. Ging ik, als peuter, nu niet op school expliciet vertellen, dat wij geen radio in huis hadden.. Ik had immers gemerkt dat mijn vader soms wat eigenaardig deed en slinks naar de radio luisterde.. waarop hij mij zeer uitdrukkelijk (misschien wel wat té uitdrukkelijk !!) verbood op school te vertellen dat wij een radio in huis hadden.. Mijn "juf " verkoos mijn vader onmiddellijk op de hoogte te brengen.. Gelukkig bleef het hierbij, want een onderzoek naar de echte activiteiten van mijn vader, zou zeer kwalijke gevolgen hebben gehad(1)..
Dat mijn ouders mij nu , net zoals mijn oudste broer, naar het Sint Lodewijkscollege stuurden, was ongetwijfeld een teken en een bewijs dat ze voor mij het beste voor hadden.. Dit college omvatte alleen en uitsluitend een Grieks- Latijnse afdeling ; voor de andere afdelingen en richtingen moest men naar het Sint Leocollege of naar het Sint Xaveriusinstituut, scholen, die echter heel wat minder in aanzien stonden.
Het Sint Lodewijkscollege was in de eerste plaats zoals de beknopte geschiedenis van deze instelling leert- voorbehouden voor de zonen van de aristocratie (de "Kervyn 's", de "de Schietere's", de "van Outryve's", de "de Crombrugghe's" ,de "de Pélichy's"..enz.) en van de hogere, verfranste burgerij bvb. telgen van grote advocaten, welstellende notarissen, rechters, bankiers, universiteitsprofessoren, eminente geneesheren.. Als tegenprestatie werd echter natuurlijk verwacht dat die achtbare families ook "financieel" zouden bijdragen tot de uitbouw van de school (mecenaat). Dit mecenaat uitte zich dan bvb door het aankopen van glasramen voor de collegekapel... Zo waren er bvb glasramen die de de Heilige Alphonsius en de Heilige Aloysius voorstelden maar er was ook Karel de Goede en natuurlijk "Ludovicus Rex"..
Toch stond dit college ook open voor een tweede categorie leerlingen namelijk voor de zonen van kleine handelaars, ambtenaren, ambachtslui en boeren, natuurlijk op de uitdrukkelijke voorwaarde dat de betrokken familie als zeer christelijk en "politiek correct" (d.i. -in die tijd- CVP) aangeschreven stond.. Uiteraard werd dit terdege nagetrokken, waarbij de pastoors van de woonparochie van de betrokken families ingezet werden.. Deze families beschouwden het natuurlijk als een grote eer dat hun telgen mochten studeren aan deze "elite" school of moet ik eerder schrijven school voor de "elite"??
Sint Lodewijks of beter "Saint Louis", zoals het toen genoemd werd, kon immers leiden tot hoog gewaardeerde beroepen zoals notaris, advocaat, geneesheerspecialist of apotheker want voor al deze beroepen was vroeger het basisdiploma van oude humaniora (Grieks - Latijnse) een absolute vereiste. Studeren aan dit college mocht dus beschouwd worden als een rechtstreekse springplank naar de (Leuvense) universiteit en waarborgde om zo te zeggen een mooie loopbaan in de magistratuur of advocatuur, in de politiek of in de hogere staatsambtenarij. Natuurlijk was dit slechts het geval indien de ouders in staat waren, "Leuven" te betalen, wat voor de eerste "categorie" leerlingen geen enkel probleem was.
Maar deze instelling was echter ook en vooral een soort "pastoorsfabriek". In die jaren was het "normaal" dat ongeveer de helft van de afgestudeerden (categorie twee) van het college naar het seminarie trokken.. (2) .Onder de Duitse bezetting (3) (april 1942) moest nu het college zijn intrek nemen in het Groot Seminarie van Brugge. Aspirant-pastoors van het college maakten aldus ook eens kennis met de echte pastoorsfabriek Natuurlijk behoorden deze "aspirant-pastoors" steeds tot de tweede categorie leerlingen want de eerste categorie (aristocratie en hogere burgerij) wist blijkbaar wel beter..
Teneinde deze "roepingen" zoveel mogelijk te bevorderen ,werden de leerlingen (en voornamelijk deze behorende tot de tweede categorie) aan een echte "indoctrinatie" en "brainwashing" onderworpen. Men kon hier zonder enige overdrijving gewagen om het maar met een moderne, hedendaagse term uit te drukken- van katholiek integrisme (4) .
Zo was er bvb. het zeer strikte schoolreglement , die de collegestudent enerzijds zoveel mogelijk van de buitenwereld afsloot en anderzijds zijn deelname aan talloze religieuze en spirituele manifestaties verplichtte en verzekerde.
Voor externe leerlingen begon bvb. een gewone schooldag met de vroegmis (om 6.45 h) waarvan het verplicht bijwonen gecontroleerd werd door de pastoor of de onderpastoor van de parochie. Om deze controle mogelijk te maken moest de collegestudent steeds dezelfde plaats in de kerk bezetten.. Het was in die tijd aangeraden zijn aanwezigheid te benadrukken door herhaaldelijk te kuchen of te hoesten, wat -in mijn parochie- niet moeilijk was. Er werd immers nogal kwistig met wierook om gesprongen..
Een ander delicaat punt waren de verplaatsingen van en naar het college, waardoor de student immers aan de "wereldse gevaren"( vrouwvolk bvb.) kon blootgesteld worden. Om deze reden dienden deze verplaatsingen steeds te geschieden volgens een - door het college uitgestippelde weg-, waarvan -onder geen enkel voorwendsel- mocht afgeweken worden. Hiervoor was een voorafgaandelijke toelating van de Principaal van het college nodig. Ook de ouders dienden zich naar deze regel te schikken en er was bvb geen sprake van voor hen een boodschap te doen. Er bestond zelfs een soort S. D. ("Sicherheit Dienst"), een spionagedienst van het college, die hierop zeer efficiënt controle uitoefende.
Na de lessen was er altijd avondstudie tot 19.30 h en een gewone externe collegestudent mocht van geluk spreken indien hij om 20 h terug thuis was om het avondmaal in de gezinskring te nuttigen. Ook de Zaterdag was eenzelfde regime van kracht ; alleen duurde de avondstudie "slechts" tot 19 h..
De Zondag was de "Dag des Heren" en die "heerlijke" dag werd met luister ingezet met.. een Hoogmis in de Kapel van het College (voor de interne leerlingen was aan deze hoogmis reeds een vroegmis voorafgegaan) ; nadien was er opnieuw studie tot 12.30 h..en dan waren wij -ongelooflijk maar waar- vrij ..tot... 16 h ..!! Om 16 h echter begon echter de mallemolen opnieuw...Vespers, Lof en vervolgens weer studie ditmaal maar tot 18.30 h.. Al deze "studieactiviteiten" werden regelmatig onderbroken door gebedswaken, gewetensonderzoeken en andere spirituele oefeningen (maandelijkse biecht bvb.) kwestie van de juiste "spiritualiteit" er in te houden.. Het hoeft geen betoog dat deze spirituele oefeningen ten top gedreven werden op bepaalde perioden van het kerkelijk jaar en dat waren er heel wat : Allerheiligen en Allerzielen, de Advent, Aswoensdag en de Vasten, de Mariamaand..om van de Retraitedagen nog maar te zwijgen.. Het hoogtepunt echter was, naar mijn bescheiden mening,wel de Goede Week met inbegrip van Paaszondag, waar wij -om zo te zeggen- niet uit de Collegekapel waren weg te slaan... Ook werd aan iedere collegestudent een "geestelijke vader" (terzelfdertijd biechtvader) toegewezen, wiens taak het was, niet alleen over de "roeping" van de student te waken, maar ook -voor zover het mogelijk was- deze uit te lokken.. In mijn geval was dat den "Witten", waar ik helemaal geen goede herinneringen aan heb. Hij had een zalvende, temerige stem zo ongeveer zoals de huidige paus en als ik nu nog een dergelijke stem hoor, krijg ik kriebels ..
Tijd voor wereldse culturele manifestaties (muziek, toneel, film..) of sportieve (bijwonen van een voetbalmatch, gaan zwemmen) activiteiten was er dus niet en dit was uiteraard ook de bedoeling. Zwemmen was absoluut niet toegelaten want als onzedig beschouwd ; ook het volgen van muzieklessen werd ten andere meestal als overbodig aanzien. Toen mijn vader bvb. in 1947, mijn oudste broer wou inschrijven voor vioollessen in de Stedelijke Muziekschool (waardoor mijn broer op bepaalde dagen de avondstudie een halfuur vroeger zou moeten verlaten) werd hem dat geweigerd.. het spirituele en religieuze eerst, muziek kon wel .. maar later..
Naar de bioscoop gaan of toneelvoorstellingen bijwonen was ten strengste verboden (5) ... Maar in de Zilverstraat, waren er 2 bioscopen : de Scala op de hoek van de straat en de City een honderd meter voorbij de grote ingangspoort. De bekoring was dus groot en dus besloten de college-autoriteiten maar zelf ciné-voorstellingen te organiseren, wat eerst maar vanaf 1954 gebeurde... (Vaticanum II was nakend nietwaar..!!). De vertoonde films waren natuurlijk "stichtend" of "moraliserend". Ik herinner mij nog films als "Monsieur Vincent" en "La Cage aux Rossignols" met Noël-Noël en verder "Les Cloches de Sainte Marie" met Bing Crosby.. Deze films, werden, na een woord van toelichting door de Principaal himself (E.H. Laurent Van Iseghem), in de feestzaal van het college geprojecteerd.
In die tijd werd ook de gewone christelijke mens met dit soort "fatwa" op cinévoorstellingen (fatwa want inderdaad ingevoerd en bevolen door Pius XII himself!!!) geconfronteerd. Achteraan de parochiekerken werden destijds censuurlijsten van de ,op dit ogenblik in Brugge vertoonde, films opgehangen met vermeldingen als bvb. "voor allen", "te mijden" en "af te raden".. Uiteraard moesten de ernstige katholieke families zich hier aan houden.. Olijkaards echter, die het niet zo nauw namen en de katholieke religie aan hun laarzen lapten, interpreteerden echter deze adviezen helemaal anders. "Af te raden"werd als "absoluut te zien" en "te mijden"als "wellicht interessant" geïnterpreteerd.. "Aanbevolen" werd als "flauwe truut" afgedaan...
Met een dergelijk regime sloegen de stoppen bij sommige collegestudenten door en dat was o.m. het geval bij een zekere Jean-Luc, zoon van een bekende Brugse psychiater en -jawel- later.. Eerste Minister.. Wat hij precies uitgespookt had, weet ik niet meer precies. In alle geval had zijn "vergrijp" normaal een onmiddellijke uitwijzing tot gevolg moeten hebben, maar... daar hij behoorde tot de eerste categorie studenten, werd een compromis gevonden en mocht hij het lopende studiejaar afmaken. Zijn humaniora heeft hij dan maar als intern beëindigd in een of ander Jezuïetencollege. De rest van zijn studies (Namen, Leuven) en politieke carrière zijn verder wel genoegzaam bekend...
Een dergelijk katholiek integrisme moest natuurlijk ook zijn sporen nalaten op het onderwijs- zelf, wat i.h.b. tot uiting kwam op het wetenschappelijk onderricht. En daarover wil ik het in een volgend cursiefje hebben..
Bemerking : Naar aanleiding van een reactie van een bloglezer, waarbij mijn uitspraken in dit cursiefje -om het eens zacht uit te drukken- in twijfel werden getrokken, heb ik het nuttig geoordeeld aan mijn tekst enkele bronnen (referenties 2, 4 en 5) toe te voegen. Ik neem natuurlijk aan dat mijn geachte reactant deze bronnen inzonderheid het bestaan van de "Gilde Noodvier" niet kende en dat hij dus ter goeder trouw zijn reactie aangaande wat ik de "pastoorsfabriek" noemde, neerschreef.
Vooreerst verwijs ik naar volgende belangrijke inleidende tekst :
Het hierbij aansluitende essay, eveneens van de hand van Dries Van den Abeele (zie verder), is nu erg interessant voor wie nu eens precies wil weten welke subtiele (of moet ik schrijven "slinkse" ?) methode de college-autoriteiten gebruikten om "roepingen" bij de tweede categorie leerlingen uit te lokken. Hierbij speelde -zoals Van den Abeele het uitdrukkelijk stelt- voornoemd Geheime Genootschap de "Gilde Noodvier" een belangrijke rol. Toetreden tot een Geheim Genootschap, dat flamingantisme aan katholiek integrisme koppelde en dat zogezegd verborgen moest blijven voor de college-autoriteiten (maar in werkelijkheid door diezelfde autoriteiten gecontroleerd en aangemoedigd werd) was immers bijzonder aantrekkelijk voor de "argeloze" student... Via de lokroep van het flamingantisme werd het toegetreden lid -mede door de activiteiten van het Genootschap- opgezogen in de wereld van het katholiek integrisme. Ik meen overigens diezelfde argeloosheid te moeten vaststellen bij mijn reactant, wanneer hij bvb schrijft -ik citeer even- : ...Dat men in de parochiekerk dagelijks op dezelfde plaats moest gaan zitten is eveneens een fabeltje, evenals ook de controle door de parochiepriesters. Als er al eens een uiterst zeldzame controle was, dan was het door een of andere leraar van het college zelf...
Geloven dat deze controle alleen en uitsluitend uitgevoerd werd door een collegeleraar, -controle die, inderdaad in ogenschouw genomen het grote aantal te controleren parochies, uiterst zeldzaam was-, getuigt van een ongelooflijke naïviteit. Misschien hier toch maar even vertellen dat een onderpastoor van mijn parochie mij -zonder enige aarzeling- deze verdoken controle bevestigde en mij aanraadde steeds dezelfde plaats in de kerk in te nemen.. teneinde zijn controle te vergemakkelijken. Ik wil hier trouwens met klem bevestigen, dat dit voor minstens twee andere parochies, evenzeer het geval was. Het is natuurlijk wel mogelijk dat, voor bepaalde parochies, de S.D. van het Sint Lodewijkscollege -in casu de "Gilde Noodvier"- ook een rol kan gespeeld hebben. Begeleidende documenten -gesigneerd Andries Van den Abeele- tonen inderdaad overduidelijk aan dat deze mogelijkheid niet mag uitgesloten worden.... Evenzeer wil ik er hier aan herinneren dat -volgens deze documenten- een B.V. met name Etienne Vermeersch (oud vice-rector van de Universiteit Gent en wellicht studie- en ambtgenoot (?) van mijn reactant) gedurende één jaar "dictator" (d.i. leider) was van genoemd Geheim Genootschap. Laatstgenoemde zou wellicht heel wat meer kunnen vertellen over de activiteiten van "Noodvier". Etienne Vermeersch is nu een typisch voorbeeld van een leerling van de tweede categorie. Hij is de zoon van een spoorwegarbeider en trad -ingepalmd door het katholiek integrisme- in 1953 toe tot de Jezuïetenorde. In 1958 trad hij uit de Jezuïetenorde en werd een strijdend atheist en scepticus ( zie bvb http://nl.wikipedia.org/wiki/Etienne_Vermeersch).
Inderdaad zoals mijn geachte reactant het schrijft: ... de waarheid heeft haar rechten....
------------------- (1) de naam van mijn vader wordt vermeld in het boek "Niet langer geheim -1940-1945 clandestiene organisatie & operaties in het Kustgebied & Noord-West-Vlaanderen-" Kolonel S.B.H. Guy Van Poucke uitgave Verbeke -1987-)
(2) de heemkundige Andries Van den Abeele schrijft in zijn essay "Gilde Noodvier -de oorlogsjaren-" Hoofdstuk XIII -ik citeer- :....In elke Retorica waren er, op het vijftigtal afgestudeerden, minstens een tiental (in de Retorica 1944 negentien) die een geestelijke roeping volgden. Dat de activiteiten binnen Noodvier, waar men vaak discussieerde over de toekomst, mee een rol hebben gespeeld, lijkt me voor een aantal onder hen duidelijk.... Mijn schatting dat ongeveer de helft van de afgestudeerden (categorie twee) naar het seminarie trokken is dus wel degelijk verantwoord.
(3) zie http://users.skynet.be/sb176943/AndriesVandenAbeele/AVDA296.htm In dit zeer interessante artikel wordt de houding van de leraren en leerlingen in de diverse middelbare scholen van de Brugse binnenstad (waaronder natuurlijk het Sint Lodewijkscollege) tijdens de bezetting beschreven.
Dit zeer uitgebreid en uitvoerig gerefereerd essay toont niet alleen aan dat er inderdaad een tweede categorie leerlingen bestond maar ook hoe (d.i. op welke manier) er aan "katholiek integrisme en brainwashing" gedaan werd. De talrijke feiten, namen en plaatsen, die hierbij geciteerd worden maken het ganse verhaal verhaal bijzonder overtuigend. De rol, die in deze zaak gespeeld werd door sommige leraars o.m. E.H. Laurent Van Iseghem, later Principaal van het college, was in deze bijzonder merkwaardig...(lees maar eens : Hoofdstuk V -de geestelijke raadgever-). Ook E.H. Joris Blondeel ( de "Pluto") was als "geestelijk raadgever' bij "Noodvier" betrokken (zie eerste artikel van Andries Van den Abeele).
(5) er waren op dat ogenblik in de Brugse binnenstad (bron : wikipedia "Brugge") de politiek geëngageerde bioscopen : de Gilde - Filmuniversiteit (ACW) opgericht in 1910 en geplaatst onder de leiding van een proost E.H. Stock -zie begeleidende foto-, het "Zwart Huis" (liberalen -1919-) na 1984 het "Gulden Vlies" genoemd, de "Scala" (socialisten -1926-) na 1968 de "Chaplin" genoemd en de "City" (katholieken -1947-) na 1969 de "Kennedy" genoemd. Verder bestonden er de "normale" bioscopen o.a. : cinema "Den Yzer" na 1954 de "Nova" genoemd, de luxueuse cinema "Palace" vanaf 1953 de "Memling" genoemd. Er was ook een erotische cinema de "Edison" (1921) na 1956 de "Ritz" genoemd. Het complex "de Gilde" omvatte in 1948 een bewaakte fietsenstalling, een café, een feestzaal voor allerhande activiteiten (Kajotters, film, toneel) en enkele diensten van het ACW en de Christelijke mutualiteiten. Dit complex werd gemoderniseerd in 1955. Welke Brugse bioscoop de goedkeuring wegdroeg van de kerkelijke en college- autoriteiten hoeft hier wel niet gezegd In de Brugse rand werden de cinema- en toneelvoorstellingen gegeven in de parochiale centra. Voor zover de (oudere) collegestudent in zijn overbezet programma de tijd kon vinden, was het bijwonen van deze voorstellingen natuurlijk niet verboden.
§ 1.4 Mijn ervaringen met het college Saint Louis (2)
(Hoofdstuk 1 "Hoe het allemaal begon")
§ 1.4 Mijn ervaringen met college Saint Louis" -vervolg-
Het Sint Lodewijkscollege was een bisschoppelijk college. De hoofdingang was gelegen aan de Noordzandstraat. Maar deze hoofdingang werd alleen bij speciale gelegenheden gebruikt. Practisch alle leraars (klastitularissen) en surveillanten (door de collegestudenten "sufs" geheten) waren priesters, die wij met "Eerwaarde" moesten aanspreken. Een foto van het gezamelijk lerarenkorps (lagere en hogere afdeling) uit 1950-51 toont dit overduidelijk aan. De enige leek of burger in de hogere afdeling van het college was de muziekleraar. Zo herinner ik mij nog Renaat Poppe, een zeer braaf man en vooral Kamiel D'Hooghe , -een zeer begaafd musicus-, toen ook nog als organist verbonden aan de Sint Salvatorkathedraal van Brugge. Hij werd in 1999, door Johannes Paulus II tot "Ridder in de Orde van de Heilige Gregorius" verheven .. wat wel zijn katholiek engagement en betrouwbaarheid op overtuigende wijze aantoont... Als ikoon voor dit cursiefje heb ik de klasfoto van de vierde Grieks-Latijnse A van 1954 gekozen: uw dienaar bevindt zich zittend op de eerste rij, tweede van links. De klastitularis is de E.H. Van Brabant.
Een suf waar ik eerder slechte herinneringen aan heb, was de "Padde" (E.H. Geldhof), die de "grote studie" (humaniorajaren 4, 3, 2 en rheto) bewaakte. Hij had inderdaad iets van een "pad" en kon erg "gluiperig" uithalen. Van de suf die de "kleine studie" (humaniorajaren 6 en 5) surveilleerde, de "Nero" (E.H. Dubois) herinner ik mij niet erg veel. Eens heeft een grapjas een foto van een tamelijk "blote madam" (een filmster) op zijn lessenaar gelegd en kwaad dat hij toen was.. En maar schreeuwen en tieren van "wie heeft die foto van die "filmster" (uitgesproken met zachte e i.v.p. met è) op mijn bureel gelegd" en maar dreigen... Maar hij heeft toch nooit geweten wie het was ; ik ook niet..
Was er een priester - leraar langdurig weerhouden (wegens ziekte bvb), dan werd er, reeds in mijn tijd, reeds beroep gedaan op burgers, met geschikt wettelijk diploma (regentaat of licentiaat). Uiteraard gebeurde dit slechts omdat aan de wettelijke verplichtingen moest voldaan worden.. Burgerleraars werden in tegenstelling met priesterleraars veelal gechahuteerd .. wat door de college- overheid blijkbaar wél gedoogd werd. Zo herinner ik mij nog een leraar Frans die wij de Vespa noemden en die hij droeg immers geen zwarte rok- voortdurend gechahuteerd werd. De arme kerel had geen enkele autoriteit en heeft er vermoedelijk een depressie van over gehouden..
Mijn klasleraars waren achtereenvolgens, in de zesdes, den "Attila" (een kloeke boerenzoon uit Kanegem), in de vijfdes, de "Frisco" (hij had het voortdurend over San Francisco -Frisco-, waar hij blijkbaar aan een of ander Oecumenisch Congres had deelgenomen) en tenslotte, in de vierdes, E.H. "Van Brabant", die zover ik mij nog kan herinneren- geen bijnaam had want hij was blijkbaar pas afgestudeerd.
Vakken als Frans en Latijn werden in de vierdes gegeven door den "Caesar". Laatstgenoemde liet ons kennis maken met "De bello gallico" vandaar zijn bijnaam. Alleen aan Van Brabant heb ik een goede herinnering.. want hij was veel minder kategoriek en fanatiek dan de anderen.... Blijkbaar was hij reeds geïnspireerd door "Vaticanum II" ???? Hét vak bij uitstek was uiteraard "Christelijke Lering", een vak, dat gegeven werd door de klastitularis en waaraan veel aandacht werd besteed : als priesters waren zij uiteraard bevoegd. Mindere vakken zoals geschiedenis en aardrijkskunde.. werden eveneens door de klastitularis gegeven. Ik twijfel er aan of zij wel over het geschikte diploma beschikten, maar in die tijd was zoiets volstrekt normaal.
Het moet echter gezegd : het taalonderwijs in het Collège Saint-Louis was uitstekend en er werd veel aandacht besteed niet alleen aan Latijn en Grieks maar ook aan de landstalen. Dat was ook reeds het geval geweest in het klein college waar bvb het onderwijs in de Franse taal gebaseerd was op de toen bekende schoolboeken Pas à pas en On va loin. In het groot college werd voor de zesde en vijfde humaniora beroep gedaan op Modèles français tome I van S.J. Lizin, en werd als spraakkunst de Petite Grammaire française simple et pratique à l usage des flamands van Paul Meersseman aanbevolen. In de vierdes kwam vervolgens tome II van de reeks Modèles français aan de beurt. Zo maakten wij reeds zeer vroeg kennis met enkele grote (uiteraard katholieke) schrijvers. Natuurlijk werden bvb bij de literatuurstudie Zola, Gide en Renan straal genegeerd.
Misschien er hier toch even aan herinneren dat in mijn tijd de humaniorajaren aangeduid werden in dalende orde 6, 5, 4, 3, 2 (poësis) en 1 (rhetorica) i.p.v. in stijgende orde 1, 2, 3,.. nu.
Wiskunde daarentegen, werd eerder wat stiefmoederlijk behandeld. Vanaf de vierdes zagen wij meetkunde en vanaf de vijfdes stelkunde (algebra) en voor deze lessen werden de bekende schoolboeken "Dalle en De Waele"(*) en "Schons en De Cock"(*) gebruikt. Op zichzelf waren deze leerboeken niet slecht maar de lessen waren uiterst saai en weinig inspirerend. Meetkunde bvb werd gedoceerd door de "Econoom" van het College, eveneens een "Eerwaarde", die ontegensprekelijk een broertje dood had aan het doceren van dit vak...Een achterstand op het wettelijk voorziene wiskundeprogramma voor Algebra en Meetkunde t.o.v. van andere middelbare scholen was hiervan het gevolg, maar hieraan werd niet zwaar getild. Een Raf Dekeyser, een oud-leerling "Saint Louis" -1951-1957- , hoogleraar "Statistische Mechanica" aan de KUL. en later hoofdbibliothecaris aan dezelfde universiteit schreef hierover (Campuskrant KUL. -Mei 2004-) :
"Tijdens mijn humaniora raakte ik erg geïnteresseerd in wiskunde. Ik heb toen zelfs een pak extra wiskunde bijgestudeerd, want in ons programma zat er te weinig omer later iets mee te kunnen doen. In juli 1957 heb ik dan deelgenomen aan het toelatingsexamen burgerlijk ingenieur. dat moest in die tijd als je natuurkunde wilde studeren en als je niet uit een wiskundige richting kwam.."
Wat een Dekeyser "vergeet" er bij te vertellen dat in die tijd het wettelijk wiskundeprogramma aan het Koninklijk Atheneum en de Middelbare School in Brugge meer geëerbiedigd werd (o.m. en i.h.b. voor de Grieks- Latijnse Afdeling) waardoor atheneumstudenten heel wat beter voorbereid waren op eventuele staats- en ingangsexamens..De sporadische contacten, die ik na het verlaten van het college, had met oud- atheneumstudenten hebben mij dat duidelijk gemaakt.
Verder was er nog het vak "Natuurwetenschappen" d.i. wat men nu biologie noemt. Welke onderwerpen er precies behandeld werden, herinner ik mij niet meer zo goed maar wel een "essentiële" les over levende en dode stof, over het verschil tussen mens en dier. Uit deze uiteenzetting moest dan blijken dat ieder mens in tegenstelling tot de dieren niet alleen "rede" maar ook -ik citeer- een "zelfstandig, onstoffelijk, geestelijk, onsterfelijk levensbeginsel : een ziel "bezit. Deze stelling was echter moeilijk te combineren met Darwin's "The Descent of Man"(1871). Met deze uitspraak heb ik het altijd erg moeilijk gehad. Zij heeft echter aanleiding gegeven tot mijn belangstelling voor de fundamentele biologie.
Uiteraard was, bij het onderwijzen van bvb. natuurwetenschappen, literatuur en i.h.b. geschiedenis, de officiële katholieke "nihil obstat"- versie van kracht en werd elke gelegenheid aangegrepen om de "absolute" en "eeuwige" waarheden van het katholicisme te benadrukken en te verkondigen. Dat hierdoor veelal een loopje werd genomen met de historische waarheid was van geen belang.
Zo herinner ik mij nog dat bvb. de kruistochten als door God gewilde "vrijheidsoorlogen" ter bevrijding van de Heilige Plaatsen werden voorgesteld. Ook was Mary Stuart maar een arme, onschuldige martelares (want katholiek) en haar tegenspeelster Elisabeth, een doorslechte en moorddadige feeks (want anglicaanse).. Over de sombere intrigues van Mary werd met geen woord gerept.. nochtans is deze periode erg interessant voor de ontwikkeling van cryptografie(**)..
Veel later , door het lezen van het monumentale werk van Karlheinz Deschner "Kriminalgeschichte des Christentums", waarvan onlangs nog deel 9 verscheen, is tot mij doorgedrongen in welke hoge mate wij wel door die Eerwaarde Heren om de tuin geleid werden...
Hield den "Attila" zich volledig aan kerkelijke leerstellingen en aan de klassieke Roomse dogma' s, dan wilden de andere klastitularissen o.m. den Frisco het nu eens over een andere boeg gooien (gevolg van zijn reis naar San Francisco ??) en moesten wij moderne, levende getuigen zijn van de "waarheid" en "onfeilbaarheid" van de het katholieke geloof.. Om ons in staat te stellen ook wetenschappelijke kwesties en delicate onderwerpen zoals bvb. de zaak Galileï, de Inquisitie en het Darwinisme... te debateren werden ook deze punten even in de lessen "Christelijke Lering"aangeraakt en behandeld.
Dit vond ik wel interessant geschiedenis heeft mij altijd geboeid- tot op het ogenblik dat bleek, dat wat zij mij vertelden niet overeen kwam met wat bvb. in de E.N.S.I.E.beschreven stond over Darwin. De E.N.S.I.E. was een nieuwe systematische encyclopedie (daterend uit 1949-1950), die mijn vader aangekocht had ten behoeve van zijn studerende kinderen.
In mijn jeugdige overmoed verwierp ik hun stellingname tegen Darwin. Ook wees ik op de dubbelzinnige rol van de Inquisitie en van paus Urbanus VI in de zaak Galilei. Dit werd mij echter niet in dank afgenomen en ik werd doorgestuurd naar mijn "geestelijke" ofte "spirituele" begeleider (den "Witten", E.H. De Muêlenaere), die het had over verderfelijke lectuur en "slechte" boeken.. Daar ik moeilijk kon aannemen dat encyclopedieën als de ENSIE verderfelijke lectuur waren, bleef ik hardnekkig bij mijn standpunt. Al was ik bekend als een zeer goed student, ik werd op een soort zwarte lijst van de te mijden leerlingen geplaatst.. Ik werd vergeleken met een "rotte" appel in een mand "gezonde" appels (de andere klasgenoten).. Als ik niet tot inkeer kwam waren mijn dagen op het college blijkbaar geteld...
In feite hadden deze priester-leraars, vanuit hun standpunt gezien, het wel bij het rechte eind. Wat ik op dit ogenblik niet wist, was dat die "Eerwaarde Heren" gewoon maar de katholieke leerstellingen en encyclieken (Providentissimus Deus -1893- Leo XIII en "Pascendi Dominici Gregis" -1907- Pius X) volgden.
Zij hadden immers de Eed "Motu propio Sacrorum Antitistum" (eed tegen het "Modernisme" ofte "Transformisme") moeten ondertekenen. Uiteraard moesten zij zo handelen. Deze eed, die o.a. een stellingname tégen de Evolutieleer en i.h.b. het Darwinisme inhield, was onder Pius X in 1910 ingevoerd en werd slechts op de vooravond van Vaticanum II (1961) opgeheven. Zo werd op grond van deze Eed, nog in de vijftiger jaren,de bekende Jezuïet en paleontoloog Teilhard de Chardin publicatieverbond (***) opgelegd... De bewering als zou, na de zaak Galilei, de Kerk zich niet langer hebben ingelaten met wetenschappelijke kwesties is dus volstrekt onjuist. Overigens is het wel kenschetsend dat het Vaticaan (Johannes Paulus II) eerst maar in 1992, dus amper16 jaar geleden zijn spijt over de zaak Galilei heeft betuigd ; voor wat Giordano Bruno (levend verbrand in februari 1600) betreft, is Rome nog steeds in afwachting.
Hoe dan ook, een paar jaar later keerde den Frisco, zoals nog andere van zijn collegas, het katholicisme resoluut de rug toe, trad hij in het huwelijk en vertrok naar andere (veiliger) oorden.. Zou dit dan toch te wijten geweest zijn aan die ene "rotte appel" ???
Wat de E. H. " Van Brabant" betreft, die ging resoluut de politieke toer op. De schoolstrijd was inderdaad in 1954 in volle hevigheid losgebarsten, want volgens "Mechelen" was de "ziel" van het kind in zeer groot gevaar. Hij aarzelde niet ons allemaal op straat te sturen om te betogen tegen die fameuze wet "Collard" dit uiteraard in opdracht van en met de goedkeuring en instemming van de kerkelijke autoriteiten...Blijkbaar bestonden op dat ogenblik voor ons plotseling geen "wereldse" gevaren (vrouwvolk en zo..) meer.. De ziel van het kind ging voor.. Het moet gezegd, dat in die tijd "Mechelen"- via de CVP-, het politieke landschap in Vlaanderen en voornamelijk in West-Vlaanderen totaal beheerste. Nog in juni 1958 werd bvb. in alle kerken van het bisdom Brugge een herderlijk schrijven van de hand van Monseigneur Desmet gelezen waarin uitdrukkelijk verklaard werd dat "stemmen voor de Volksunie doodzonde was.."
Kortom, na dus amper anderhalf jaar "humaniora" was ik deze zogenaamde "elite"school reeds kotsbeu en wilde ik naar andere en betere oorden. De cruciale vraag was echter naar welke school daar het officiële onderwijsnet voor mij absoluut uitgesloten was ...
Het werd de Cadettenschool, maar dit is voor een andere aflevering...
_______________
(*) op "Dalle en Dewaele" en "Schons en De Cock" kom ik nog uitvoerig terug : zie cursiefjes "Wiskunde in de Cadettenschool"
(**) over Mary Stuart en cryptografie zie bvb : Sing S. "Histoire des Codes Secrets -de l'Egypte des Pharaons aux ordinateurs quantiques-" (Lattès -1999-)
(***) de encycliek "Humani generis" uitgevaardigd door Pius XII in 1950 veroordeelt de leerstellingen van Teilhard de Chardin en op 30 Juni 1962, enkele maanden voor Vaticanum II sprak kardinaal Ottaviani nog van ernstige dwalingen die in botsing komen met de katholieke leer...
0
1
2
3
4
5
- Gemiddelde waardering: 3/5 - (5 Stemmen) Tags:sint lodewijkscollege, saint louis , Darwin , Galileï
15-09-2009
§ 1.5 Naar de Cadettenschool...
(Hoofdstuk 1 "Hoe het allemaal begon")
§ 1.5 Naar de Cadettenschool...
In een vorige aflevering stipte ik al aan dat ik reeds vanaf de vijfde humaniora van school wou veranderen, maar...dat het niet-katholiek onderwijsnet (in casu het Atheneum waar ook een Grieks- Latijnse Afdeling bestond of de Rijksmiddelbare School -de zogenaamde "Ecole Moyenne"- ) voor mij uitgesloten was. Dit kwam door het gemeentelijk mandaat van mijn vader. Als beambte moest hij terdege rekening houden met de politieke constellatie en die stond dan, op dat ogenblik, volledig in het teken van de.. CVP, een partij die in het Brugse in die periode ongeveer 75% (!!) van de stemmen haalde. Dat wilde zeggen dat de pastoors en het bisdom (met achtereenvolgens Mgr Gustave-Joseph Waffelaert, Mgr Henricus Lamiroy en Mgr Emiel-Jozef Desmedt) het uitdrukkelijk voor het zeggen hadden en zij de carrière van een individu konden maken of breken.. De clerus beheerste op dat ogenblik volkomen het politieke leven, dit was reeds zo onder kardinaal Mercier en dit bleef ook zo onder kardinaal Van Roey (zie bijlagen). Het dagelijkse leven werd in grote mate bepaald door de katholieke catechismus (1) en moraal i.h.b. door de (nu vergeten) 5 geboden van de Heilige Kerk. Het was in die tijd bvb. niet aangeraden de Zondagsrust te verstoren. Men vermeed om op Zondag zelfs maar een nagel in de muur te kloppen.. de buren hoorden dat geklop hé. De Zondagsmis te spijbelen zonder geldige reden of bvb. vlees te eten de Vrijdag? Geen denken aan, want in strijd met de katholieke leer. In alle huizen rook het dan ook, iedere Vrijdag, naar gebakken vis en niemand zou het gewaagd hebben bvb spek te bakken op Vrijdag.. en zeker niet op Goede Vrijdag. Het niet respecteren van deze voorschriften werd immers als een ernstige aanval op het katholicisme en de Kerk beschouwd en de onverlaat riskeerde zijn werk te verliezen of uit zijn huis gezet te worden, indien hij niet tot betere inzichten of tot inkeer kwam.. Broodroof of huisuitzetting gebeurde echter opeen slinkse manier, waarbij de Kerk- zelf in de schaduw bleef. Dergelijke toestanden lijken vandaag irreëel, en velen trekken wellicht mijn woorden in twijfel ??? Nochtans zijn er talloze voorbeelden bekend In "Man bijt hond" was er bvb enkele jaren terug nog een reportage over een gezin, waarvan de ouders indertijd door de dorpspastoor verplicht werden hun negen kinderen te laten dopen. Het was slechts op deze voorwaarde dat zij konden voedsel bekomen voor hun kinderen. Dit gebeurde in volle oorlogstijd (1940) en zoals één van de kinderen het in 2006 vertelde, hun vader stond voor de keuze "laten dopen of verhongeren"..
Een van die (ongeschreven) voorschriften van de Kerk was nu dat "katholieke ouders hun kinderen naar een katholieke school moesten sturen".. en het spreekt vanzelf dat op dit voorschrift, -we waren toen in volle schoolstrijd- zeer nauwlettend werd gelet...
Dit voorschrift was ten andere ook van toepassing op het universitair onderwijs, waar een scherp onderscheid werd gemaakt tussen de katholieke (Leuven), de vrijzinnige (Brussel) en de staatsuniversiteiten (Gent en Luik), onderscheid dat nu afgevlakt of grotendeels verdwenen is. Sommige professoren geven nu zelfs les zowel in Leuven als Brussel, wat vroeger totaal ondenkbaar was..
Uiteraard gaf dit als resultaat dat niet-confessionele scholen -inclusief de universiteit- in de praktijk uitsluitend bezocht werden door "vrijzinnige" liberalen of "goddeloze" socialisten. Een visitekaartje (diploma) van laatstgenoemde scholen was dus niet erg geschikt voor een job of ambt waar de CVP (en dus de Kerk) het voor het zeggen had..
En deze hadden het voor het zeggen niet alleen in zeer vele gemeenten en ministeries maar ook en in alle vrije scholen en in vele publieke (bvb gas- en elektriciteit- maatschappijen) of private (bvb. klinieken, hospitalen, advocatenkantoren, bepaalde banken, brouwerijen..) instellingen. Ook in deze laatste instellingen werden de werkgevers onder hoge klerikale druk gezet.. voornamelijk in West-Vlaanderen!!!..
Een "visitekaartje van Leuvense universiteit had in die tijd ook steeds voorrang op dit van de Gentse universiteit en mijn oudste broer, die in Gent rechten gestudeerd had omdat mijn ouders "Leuven" niet konden (of wilden) betalen, heeft dit aan den lijve ondervonden..
Sommige politici spraken in dit verband van machtsmisbruik en van ...een CVP- staat , gedirigeerd door "Mechelen". Het boek "Politieke Geschiedenis van België -van 1830 tot heden- " van Els Witte, Jan Craeybeckx en Alain Meynen (Standaard 1997) geeft een juiste beschrijving van de toen heersende constellatie. Het is wellicht dank zij Wallonië, dat meer links gericht was, dat er een einde is gekomen aan deze ongezonde toestand.
Maar terug naar mijn verhaal... Ik begreep dus zeer goed -zelfs al was ik amper 14 jaar- dat bvb. het Koninklijk Atheneum in Brugge voor mij absoluut niet kon...maar een katholiek internaat zoals Jean-Luc Dehaene al evenmin, want te duur ..
Iemand heeft mij toen gesproken van de Cadettenschool en ik meen zelfs dat het Fred Warrinier ofwel François Crepain was. Beiden heb ik trouwens nog in de Cadettenschool gekend, maar ofschoon we uit dezelfde streek afkomstig waren was er zeer weinig contact. Het standenverschil tussen ons was te groot : zij waren immers ancien ik was maar een bleu. Later is onze Fred prof Hogere Algebra in Leuven geworden en François, een voortreffelijk polytechnisch ingenieur (KMS).
Toen ik de oplossing Cadettenschool aan mijn vader voorstelde viel dit in goede aarde .. want wie kon nu redelijkerwijze iets inbrengen tegen een militaire loopbaan ??
Alleen... ik moest eerst nog de vierdes in het college doormaken en er was ook... een toelatingsexamen, met wat men noemt een "nuttige rangschikking". Had ik op dit ogenblik geweten dat er zich, in 1955, 650 kandidaten voor 50 plaatsen zouden aanbieden, dan was ik er misschien nooit aan begonnen. Misschien was dit groot aantal kandidaten wellicht te wijten aan de schoolstrijdperikelen ?? Ouders die wensten neutraal te blijven in deze strijd , konden aldus de toekomst van hun telgen vrijwaren : de Cadettenschool was immers "neutraal" terrein..
Na inkijken van het examenprogramma waarin de te kennen wiskundeleerstof aangegeven werd, drong het plots tot mij door, dat ik heel wat zou moeten bijstuderen, om maar enige kans op welslagen te hebben. Deze leerstof stemde immers overeen met het officiële leerplan lager middelbaar onderwijs (2) van toen, waaraan voor wat bvb het meetkunde-deel betreft nog aan een en ander moest gesleuteld worden...
Zo omvatte de te kennen examenstof "Meetkunde" een groot deel van de toen welbekende "vier boeken van de vlakke meetkunde van Dalle en Dewaele" plus het "eerste boek vande ruimtemeetkunde ( het vlak en de veelvlakshoeken ) van dezelfde auteurs". Op het einde van het lager middelbaar hadden wij echter amper het eerste boek afgewerkt .. dus ongeveer een vierde van de te kennen materie. Eenzelfde situatie deed zich voor in Algebra en in Rekenkunde.
Tot overmaat van ramp kwam ook de leerstof voor het examen "Aardrijkskunde" en "Geschiedenis" niet overeen met de in het college gegeven leerstof. "Aardrijkskunde" ging over de "Vier werelddelen buiten Europa" terwijl wij in de vierdes de "Aardrijkskunde van ..België" te verorberen kregen.. Voor het examen "Geschiedenis" een analoge situatie : vereiste kennis de "oude geschiedenis" , geziene materie "geschiedenis van België".. Dit kwam omdat het college zich nog steeds niet had aangepast aan het "nieuwe" leerplan. Voor mij had dit tot resultaat dat ik in de vierdes op dubbele examens moest voorbereiden .. Ik kon er niet mee lachen..
Van de vierdes van het Sint Lodewijkscollege gewoon naar de derdes van de Cadettenschool overgaan was, om deze reden, een practisch onmogelijke opgave tenzij.... men zeer vroeg schikkingen voor het ingangsexamen had getroffen..en dat was bij mij het geval, omdat ik het reeds vanaf de vijfdes had zien aankomen.
Ik startte het bijwerken van mijn kennis in de wiskunde in de grote vakantie van 1954 . Als studieboeken gebruikte ik hiervoor "Dalle en Dewaele" voor meetkunde, "Schons en De Cock" voor algebra en tenslotte "Bosteels" voor Rekenkunde (3) . Dit zijn allemaal leerboeken die nu volslagen onbekend zijn maar die toen in gans België (er bestonden zowel een Nederlandstalige als Franstalige versies) gebruikt werden ook in het katholiek onderwijs.
Het is nu in die fameuze zomer van 1954, dat ik wiskunde en voornamelijk de meetkunde heb leren waarderen en appreciëren. Wat mij toen geweldig imponeerde was de eenvoud en klaarheid van redeneren en de logische volgorde van de diverse theorema's, wat de auteurs Dalle en Dewaele in hun leerboek spijtig genoeg niet voldoende benadrukken. Klassieke meetkunde is een axiomatische theorie en ik had dit zeer snel door.
Ik had bij deze studie voortdurend het eigenaardige gevoel, deze stellingen en begrippen reeds eerder d.i. "in een vroeger leven" ontmoet te hebben.. Ja het is in deze periode dat ik van Euclides heb leren houden. De meeste meetkundige vraagstukken kon ik bvb. zonder enige moeite aan en ze oplossen gaf mij een prettig en heerlijk gevoel..
Behalve de "scheikunde" en de "natuurkunde" van mijn kinderjaren, was voor mij nu plots ook "wiskunde" een erg boeiend studiegebied geworden ofschoon ik op dat ogenblik nog niet de samenhang tussen de drie "kundes" zag. Dit ontdekte ik maar eerst vele jaren later..
In september 1954, bij de aanvang van het nieuwe schooljaar, was ik mijn klasgenoten reeds ver voor op het vlak van de wiskunde.. en dit werd al spoedig opgemerkt door mijn schoolmakkers waaronder een zekere "Guido", die in mijn buurt was komen wonen en waarmede ik ook heel goed kon opschieten. Hij vroeg mij wat er aan de hand was ? Ik heb hem dan maar over mijn snode plannen ingelicht...
Hij vond het idee "Cadettenschool" -om van dat "rotcollege"- af te geraken geniaal want hij was ook zoals vele anderen- dat pastoorsgedoe kotsbeu. Ook voor hem, was het overgaan naar een niet-confessionele school (het atheneum bvb) no done .. want .. zijn vader stond in het katholiek onderwijs.. Hij besloot zich insgelijks op het ingangsexamen KCS in te schrijven maar helaas voor hem, restte er niet voldoende tijd meer om de achterstand van leerstof in te halen en zijn poging mislukte in 1955. Het lukte hem echter wel in 1956 en hij heeft het later tot kolonel- geneesheer gebracht. Maar dit is een ander verhaal...
Van de examens- zelf, herinner ik mij bitter weinig(4). Wel weet ik nog dat zij in de Cadettenschool- zelf (Laken) plaats vonden en dat alles "schriftelijk" en erg officieel verliep. De antwoorden op de examenvragen moesten neergepend worden op "ministerpapier", dat voorzien was van een omslag, waar naam en adres diende vermeld te worden. Vervolgens werd deze omslag, na verificatie, dichtgeplakt. De precieze data van de examensessie weet ik niet meer, wel was ik nog naarstig aan het studeren toen op de radio het nieuws over de dood van Einstein werd uitgebracht en dat was in April 1955.
Eigenaardig genoeg- herinner ik mij geen enkele precieze vraag meer behalve één.. voor het examen Rekenkunde. Deze examenvragen werden immers voorgelezen door een Franstalige examinator en wij moesten o.a. antwoord geven op wat een "èverêdikeit" was.. Het heeft wel een vijftal minuten geduurd vooraleer ik besefte dat hij "evenredigheid" bedoelde..
Het hoeft wel geen betoog dat ik tevreden was te vernemen dat ik geslaagd was : mijn inspanningen waren niet voor niets geweest. Ik moest mij echter eerst nog aanbieden op het "Klein Kasteeltje" in Brussel voor een medisch onderzoek. Daar werd een tonsillectomie aanbevolen. Tonsillectomie is een chirurgische ingreep waarbij de keelamandelen (tonsillen) worden verwijderd. In de jaren 1950-1970 was tonsillectomie erg courant. Motief daarvoor was o.m. het voortkomen van infectie van de amandelen met ß- hemolytische streptococcen (gevaar voor acuut reuma). Het moet gezegd dat ik in mijn jeugd veel last had gehad van recidiverende keelontstekingen en het Leger neemt geen enkele risico.. nietwaar..
Deze ingreep heb ik dan maar ondergaan in het oude Sint Janshospitaal te Brugge.
Tenslotte viel -ik geloof eind Juli 1955 - het uiteindelijk verdict : ik was "goedgekeurd voor de dienst" en behoorde tot de geselecteerden.. en wel voor Laken. Ik moest mij uiterlijk op 26 augustus 1955 aanmelden op het adres "Sint Annadreef 90 Brussel". Begeleidende foto toont de "dienstingang" van de Cadettenschool.. Gedurende de volgende drie jaren van mijn leven zou deze school mijn nieuwe thuis worden ...
Mijn collegejaren waren definitief voorbij en een nieuwe episode in mijn leven kon beginnen..
(1) de Mechelse catechismus opgesteld door de Jezuïeten werd tot diep in de twintigste eeuw gebruikt. In 1946 zag de catechismus ten gebruike van al de bisdommen van België het licht. Begeleidende foto toont het voorblad van deze "nieuwe" catechismus, die in vele duizenden exemplaren verspreid werd
(2) Het officieel leerplan werd begin de jaren vijftig alleen gevolgd door het Rijksonderwijs (athenea en R.M.S.); het Vrij Onderwijs zal eerst later dit leerplan invoeren. Het leerplan van die tijd kan men gedetailleerd terugvinden in de schoolboeken van de collectie De Vaere - Herbiet (rekenkunde en algebra) en van de collectie Mineur (meetkunde en trigonometrie), studieboeken die alleen in het Rijksonderwijs gebruikt werden.
(3) Voor meetkunde en algebra diende ik mij te behelpen met de studieboeken ( respectievelijk Dalle en De Waele en Schons en De Cock), die in het Vrij Onderwijs gebruikt werden en die ik van mijn oudste broer geërfd had; voor rekenkunde had ik het boek van Bosteels (collectie De Vaere - Herbiet) ter beschikking
(4) recent nog schreef mij een bloglezer : "Als ik mij goed herinner deden wij het ingangsexamen in de blokken van "Het Examen A". In ieder geval hebben we daar toch overnachting gekregen, of vergis ik mij." Ik weet het echt niet meer. Maar misschien weten anderen hierover meer ???
Het oude collège Saint-Louis, met zijn religieus proselitisme en fanatisme is niet meer De gebouwen werden in 1974 afgebroken en vervangen door het Zilverpand, een commercieel centrum. Een nieuw college, waar meisjes ook welkom zijn, waar de lessen uitsluitend gegeven worden door burgers en waar religie een minder overheersende rol speelt, zag het licht in de Magdalenastraat te Sint Andries .
Deze nieuwe school heeft echter wel haar devies Ora et Labora behouden en stelt zich bij haar 175 bestaan, voor als ik citeer-:
een open school met een ruime blik op de wereld. Zij stimuleert de groei naar zelfstandigheid bij de leerlingen en durft hoge eisen stellen in de studies. Het college is een trefpunt van cultuur, reflectie en wetenschap. Het Sint-Lodewijkscollege is verankerd in het christelijk geloof. De school werkt aan verdieping, zorg voor elke ander en een leven in echte vrijheid.
Ik lees deze zinnetjes met wat gemengde gevoelens Niet alleen ging het er in de jaren veertig en vijftig heel anders aan toe (lees de eerste cursiefjes op dit blog), maar er is heden opnieuw een terugkeer naar een katholiek proselitisme ingezet.
(Hoofdstuk 2 "Het Leven in en rond de Cadettenschool")
§ 2.1 Brussel in de "silver fifties"
Laat ik het nu eens hebben over mijn wederwaardigheden in de Cadettenschool- zelf . Hoe zag een cadet (zonder speciale militaire roeping of ambitie) de wereld in die jaren, die men soms de "silver fifties" noemt ??? Begeleidende zwart-wit foto toont een specifiek exemplaar van een dergelijk cadet (in casu mijzelf) en dateert vermoedelijk van begin october 1955.
Het decennium the fifties werd in België gekenmerkt door de aanloop naar Expo 58. Deze wereldtentoonstelling was inderdaad reeds gepland in 1947 en was de eerste na WO II. De vorige universele tentoonstelling in Brussel dateerde van voor WO I (1910).
Na de kommervolle oorlogsjaren, moest Expo 58 in de eerste plaats een weerspiegeling zijn van de nieuwe economische en technologische verwezenlijkingen en een nieuwe periode van voorspoed inluiden. Al met al, had zich de Belgische economie, mede dank zij onze kolonie (uranium!), zich vrij snel hersteld in tegenstelling bvb met Frankrijk of Nederland. Toch kon men in België ook reeds de eerste tekenen van een mentaliteitsverandering merken.. De kolonisatiegeest was aan het tanen en er was de voorbereiding op Vaticanum II.
In 1955 was er bvb nog de fameuze documentaire van André Chauvin Bwana Kitoko (Noble Seigneur) over de triomfantelijke reis van de nog piepjonge Koning Boudewijn I in Belgisch Kongo en het enthousiaste onthaal door de plaatselijke bevolking.
Maar in 1958, toen een aantal Kongolezen in de Cadettenschool ter gelegenheid van de wereldtentoonstelling verbleven, hoorde men van diezelfde Kongolezen reeds een heel ander geluid Dit andere geluid zou uiteindelijk leiden tot de onafhankelijkheid van Kongo in 1960.
Verder waren er natuurlijk de klassieke taalperikelen, die uitgebuit door enkele gehaaide politici- het unitaire België uitholden. Uiteraard hadden die taalperikelen, zoals men verder zal merken, ook hun weerslag binnenin het Belgisch Leger en dus ook in de Cadettenschool.
De bijzondere "tijdsgeest" van toen zal ik nu trachten te schetsen aan de hand van enkele markante details, die mij, al schrijvende, nog te binnen schieten. Zelf ben ik echter wel verbluft, van wat er nog allemaal in mijn "hersenkronkels"opgeslagen zit en wat nu opnieuw , na al die jaren, naar boven komt..
Expo 58 was de aanleiding voor het uitvoeren van een serie grote, urbanistische werken (*) , die Brussel van een ingeslapen provinciestadje hebben omgevormd tot een would-be grootstad. Would-be want de vergelijking met andere Europese steden zoals Parijs, Londen, Wenen, Berlijn, Rome.. gaat natuurlijk niet op.. Daarenboven heeft door deze omvorming Brussel veel, enorm veel van zijn charme verloren
Het begon allemaal met de Noord - Zuid verbinding, die ingehuldigd werd in 1952. Hierop volgde, de bouw van een nieuw Noordstation (inmiddels weer vervangen door een ander nieuw station), van het Rogiercenter (de eerste Brusselse wolkenkrabber die 23 verdiepingen telde ook weer vervangen door een nieuw complex) en natuurlijk de constructie van de kleine Ring tot aan de place Louise.
Die fameuze kleine Ring omvatte een viertal tunnels en aan de Boulevard Léopold II een viaduct met drie rijstroken. Deze viaduct werd dan weer in de zeventiger jaren afgebroken en vervangen door een nieuwe lange tunnel tot voorbij de basiliek van Koekelberg. De kleine Ring werd eind de jaren zeventig, door het bouwen van de Hallepoort- tunnel, verder doorgetrokken tot in de omgeving van het Zuidstation.
Toen ik in 1955 naar de Cadettenschool trok, was het Noordstation bijna af en was het Rogier nog in volle aanbouw. Begin 1957 was ook dit imposante complex eindelijk afgewerkt en werd een lichtreclame van Martini op de hoogste verdieping van het gebouw aangebracht (vandaar ook de naam Martini- gebouw). Deze lichtreclame was vanuit de Cadettenschool s avonds zeer goed zichtbaar en heeft wellicht menig cadet doen mijmeren of dromen.. van de vrolijke geneugten van de "bruisende" stad.
Aan de andere kant van het Rogierplein stond het bekende grootwarenhuis Au Bon Marché (nu vervangen door City 2). Op de vierde verdieping van dit grootwarenhuis was er in de namiddag thé dansant waar soms -als ik mij niet vergis- «Jean Paques et sa musique douce» optrad. De Bon Marché, de l Innovation en de Galéries Anspach waren overigens superbe stijlvolle gebouwen daterend van vóór WO I. Deze gebouwen bezaten echt nog een ziel en een sfeer, die herinnerde aan Leopold II (La Belle Epoque)... In de moderne bouwsels vindt men hiervan niets terug...
Vanaf 1957 kon men, wanneer men met de trein het Zuid- station naderde, het Atomium, dat in aanbouw was, als uit het niets zien verrijzen.. en dit beeld is mij steeds bijgebleven.
Om vanuit het Noord in Laken te geraken was er ofwel lijn 18 ofwel lijn 81. Lijn 18 werd verzekerd door een modern tramstel, dat zoetjes en zachtjes over de tramsporen gleed. Dergelijke tramstellen werden natuurlijk ingevoerd in het vooruitzicht van Expo 58.. Lijn 81 daarentegen werd nog verzekerd door een tram die blijkbaar nog dateerde van vóór de oorlog, en die zich krijsend en krassend doorheen het verkeer loodste.
Vanaf de tramhalte aan de rue Stéphanie gingen wij een honderdtal meter te voet naar de Parvis Notre Dame, en draaiden zo rond de Onze Lieve Vrouwe- kerk van Laken. Deze kerk bevond zich slechts op een boogscheut van de Sint Annadreef en deze laatste was gelegen in een zeer rustige, groene omgeving en vlak bij het koninklijk paleis.
Rechtover de Notre Dame was er het fameuze café Scaldis, waarin de anciens elkaar rendez-vous gaven.. Het was eerder uitzonderlijk dat een bleu zich hier durfde vertonen. Het succes van dit café was te wijten aan de aanwezigheid van twee meisjes (Tilly en ?), de dochters van een geslepen cafébazin. Deze laatste zorgde er natuurlijk voor dat Tilly aanwezig was op de Zondagavonden, dat de cadetten uit vergunning kwamen. Ze wist natuurlijk dat de cadetten een oogje op haar dochters hadden, maar het bleef natuurlijk bij een platonisch spelletje. De Scaldis was in de week een rustig typisch Brussels volkscafé met trouwe klanten, die een kaartje kwamen leggen of gewoon een geuze kwamen drinken.
De Zondag, als de cadetten in de Scaldis hun intrede maakten was het echter gedaan met de rust. De jukebox een Wurlitzer (5 FB voor 3 plaatjes) draaide op volle toeren, er werd tapbiljart gespeeld en er werd menig pintje (5 FB) geledigd. De cadetten moesten het immers tot de volgende permissie doen zonder één druppel bier want in de cadettenschool was het schenken van alcoholische dranken in de CMC verboden. De trouwe klanten wachtten maar geduldig af tot het jonge geweld vertrokken was en lang moesten ze in feite niet wachten. Een vergunning verliep de Zondagavond stipt om 21.30 h. Velen wachtten in de Scaldis tot de allerlaatste 5 minuten om dan hals over kop de Sint Annadreef af te hollen. Er waren ook slimmeriken, die een trein vroeger namen om toch maar een uurtje langer in het gezelschap van Tilly te vertoeven ! Ik zal hier maar geen namen noemen hé André ??
Ja, wij moesten het stellen -minstens voor veertien dagen en meestal voor een maand of meer - zonder enig vrouwelijk schoon. En zeggen dat dertig jaar later (1987) cadetten van het vrouwelijke geslacht in de Cadettenschool hun intrede maakten.. Enfin dit spelleke heeft niet lang geduurd want de school sloot haar deuren in 1991.
Het was dus eind Augustus 1955 en niet in September, dat ik mij, valies aan de hand, presenteerde op het adres Sint Annadreef 90 in Laken, een zij-ingang van de school. De monumentale ingang van het hoofdgebouw, gelegen Witte Acacialaan ofte Avenue des Robiniers werd slechts voor speciale gelegenheden gebruikt. Dit prachtige gebouw in Nouvelle Renaissance is, voor zover ik weet, geklasseerd.
De "bleus" werden traditiegetrouw steeds een week vóór de "anciens" opgeroepen, die dus maar later kwamen opdagen. Van deze korte periode zonder de "anciens" werd gretig gebruik gemaakt om ons de eerste beginselen van de militaire tucht en discipline bij te brengen. Ook werd ons in die eerste week een "ongeveer passende" battle dress verstrekt (later werd ons een uitgangsuniform op maat gemaakt).
Verder werd ons een bed met kast in een bepaalde "dortoir" toegewezen en wij keken met een bang hart naar die lege bedden, die straks zouden ingenomen worden door de anciens.. In een dortoir sliepen toen ongeveer 15 man en er was in die tijd natuurlijk geen sprake van een afzonderlijke kamer..
Mijn eerste "dortoir" was -als ik mij tenminste niet vergis- "kamer 7" met als kameroverste en onderkameroverste respectievelijk de rhetoricanen (herkenbaar aan een rood lintje) Pierre Vertongen en -als ik het goed voor heb- Nest Van Uytven.
In dezelfde kamer sliepen ook enkele anciens namelijk de poësismannen (herkenbaar aan een geel lintje) en tevens West-Vlamingen Alfred Warrinier, en zijn goede vriend Hubert Vrielinck (afkomstig uit Tielt). Onder mijn kamergenoten waren er ook nog andere "bleus" (herkenbaar aan een wit lintje) en tot mijn verrassing waren hierbij enkele van mijn klasgenoten (Grieks- Latijnse).
Op begeleidende foto, genomen in kamer 7, is te herkennen staande : Pierre Vertongen (1953-1955) kameroverste en naast hem zonder pyjamavest Marcel Van Cauwenberge (een klasgenoot) ; verder André Van Laer (klasgenoot), Pierre Van de Velde (klasgenoot), Ghislain De Baetselier (klasgenoot), Eric Van Neste (klasgenoot), Ernest Van Uytven (onderkameroverste); onderaan Johan Van Calbergh (klasgenoot) en Alfred Warrinier..
------------ (*) zie bvb Thierry Demey "Bruxelles, chronique d' une capitale en chantier" tome I : Du voûtement de la Senne à la jonction Nord-Midi ; tome II : De l'expo 58 au siège C.E.E. (Paul Legrain 1992)
(Hoofdstuk 2 "Het leven in en rond de Cadettenschool")
§ 2.2 "Pro Patria crescunt"...
Terug naar Augustus 1955 en mijn eerste algemene kennismakingmet wat ik "l' esprit militaire" zou willen noemen.. Deze "esprit militaire" wordt het best gesymboliseerd door het embleem van de Cadettenschool met de bekende leuze " Pro patria crescunt ". Behalve l esprit militaire zullen wij in de Cadettenschool ook nog kennis maken met l esprit de géométrie en l esprit de finesse . Maar dit is voor later..... Na voorlezen van het militaire reglement, waarbij mij opviel dat voor zeer vele vergrijpen "de dood met de kogel" als "normale" straf voorzien was , moesten de cadetten, die ouder waren dan zestien jaar (mijn geval) een contract voor vijf jaar tekenen en waren wij officieel ingelijfd in wat men noemt "La Grande Muette". Vervolgens moesten wij de diverse legergraden met de diverse kentekens (Land-, Lucht- en Zeemacht) met aanspreektitel van buiten leren en werden wij op onze kennis terzake getest.. door "Vadertje Tap" (adjudant Vandeputte), een instructeur, die zich speciaal met de bleus inliet. Het kon toch niet dat een cadet in de buitenwereld zou losgelaten worden, zonder een degelijke kennis van de militaire graden !!. Wat mij hierbij opviel dat er verschillen waren in aanspreektitels in het Frans respectievelijk Nederlands.. De Walen hadden het steeds over "Mon Colonel" ..terwijl de Vlamingen het moesten houden bij "Kolonel" tout court.. en daar mocht natuurlijk geenszins van afgeweken worden. Een aanspreektitel als "Mijn Kolonel" leunt inderdaad enigszins aan bij "Mein Führer" en dat was, daar had ik alle begrip voor, blijkbaar ietske te veel van het goede.. maar blijkbaar vondende Walen met hun Mon Colonel daar geen graten in.. Overigens hadden wij voor een kolonel en i.h.b. voor onze kolonel een grenzeloos ontzag. Hij werd beschouwd als een soort halfgod. In begeleidende fotos ziet u enkele van die halfgoden. Sommige waren -naar het schijnt- charismatisch zoals bvb kolonel Ir DenBlijden, maar die heb ik helaas niet gekend. Wel heb ik hem een paar keer ontmoet ter gelegenheid van TPCI-activiteiten. Andere zeer belangrijke punten waren "ORDE" en "RESPECT".
Orde impliceerde bvb. dat wij in de dortoirs aan -wat de Duitsers "Bettenbau" noemen- deden en dat in onze kast alles, zeer precies (op een chirurgisch- afgelijnde manier) en op een bepaalde plaats moest gerangschikt worden. Dit "alles" omvatte o.a. linnengoed, tweede en uitgangsuniform, tweede gordel met blinkend koper, netjes gepoetste lage en hoge schoenen -zelfs de zolen werden gekuist ! - .. Handdoeken en washandjes werden netjes buiten de kast gehangen aan twee haken die hiervoor speciaal voorzien waren. De kast werd afgesloten met een hangslot waarvan een tweede sleutel moest afgegeven worden.
Ook werden ons tegen betaling- drie dozen in wit metaal (afmetingen ongeveer 25 x 25 x 20) geleverd, die in een bepaalde volgorde in de kast moesten geplaatst worden. De eerste diende voor het toiletgerief (zeep, scheerborstel, tandenborstel..) de tweede voor het kuisgerief, (blink, koperkuis, materiaal om te "blancoteren"..). De derde tenslotte diende uitsluitend om van thuis meegebrachte voedingsmiddelen (biscuits, wafels, sardines e.a.) en eventueel wat snoepgoed (chocolade..) te bergen, een bewijs dat het, in die jaren, toch nog aangeraden was, het dagelijks rantsoen wat bij te vullen.. Die koekendozen heb ik na de Cadettenschool maar mee naar huis meegenomen wat ze thuis niet goed begrepen. Voor mij echter vormden deze koekendozen een tastbare en sentimentele herinnering aan mijn verblijf in de Cadettenschool en ik heb ze dan ook jaren bewaard..
De orde in de kast werd regelmatig geïnspecteerd en het met het toezicht belaste militair personeel beschikte hiertoe over een tweede sleutel van het hangslot. Wee diegene, die de "orde" niet respecteerde.. Er was onvermijdelijk een "rapport" bij de Afdelingsoverste met als gevolg een aantal disciplinaire "consignes".. Het was in die tijd ook gebruikelijk, dat cadetten, die zich niet aan de ongeschreven "erecode" hielden, door hun kameraden afgestraft werden door "eventjes met de kast schudden". Het resultaat was echt verbluffend.. en de gevolgen voor het slachtoffer afgrijselijk..
Overtredingen van de erecode betroffen o.m. beledigen van een "ancien", achterbakse gedrag, verklikken enz.. Jammer genoeg werd het "kast schudden" soms wel eens gebruikt voor persoonlijke afrekeningen..
Respect.. moesten wij betuigen voor elke militaire autoriteit en in de eerste plaats voor de Bevelhebber van de School, een officier met de rang van Kolonel die wij om zo te zeggen beschouwden als een soort halfgod.. Zo heb ik achtereenvolgens kennis gemaakt met de kolonels Reynders, Dedack en tenslotte met De Vos.
Kolonel Reynders, liet zich ,in tegenstelling met de anderen, regelmatig zien en controleerde en inspecteerde daadwerkelijk en persoonlijk. Zo kwam hij begin September 1955 , zo maar, in onze studie binnengewaaid waarop "vadertje Tap" die de studie voorzat en zo maar wat te soezen zat, het klassieke "Ter Orde" schreeuwde.
Het inslaan van een bom kon op ons geen groter effect hebben.. We veerden recht en we waren totaal van de kaart... denk eens aan ..dé KOLONEL ..en in levende lijve . En toen kwam er het volgende historische gesprek :
-Reynders zich richtende tot een overigens willekeurig gekozen cadet- slachtoffer :" Cadet, hoe hiette gaa.."
(Reynders was vermoedelijk afkomstig uit Antwerpen of Brabant en verkoos blijkbaar dialect boven ABN)
-Cadet (verbouwereerd): "Jacobus.."
-Reynders : "Jacobus.. Hond ????!!!!" (doelend op de leergang "legergraden" van "Vadertje Tap")
-Cadet : "Neen, Jacobus.. Eddy.."
De studie brulde het uit van het lachen en onze Reynders, uiterst verbolgen omdat die stomme bleu nu nóg niet wist, dat hij hem gewoon met "Kolonel" diende aan te spreken, draaide zich abrupt om en liep met rood aangelopen gezicht de studie uit. Ik denk dat later "Vadertje Tap" onder zijn voeten heeft gekregen, omdat zijn leergang "legergraden" niet het verwachte succes had geboekt.
Onze Jacobus is later zelf tot kolonel gepromoveerd en misschien heeft hij, bij deze promotie, nog eens moeten lachen om zijn argeloosheid van toen. Het heeft hem in alle geval niet belet zelf kolonel te worden. Spijtig genoeg heeft Kolonel Jacobus ons definitief verlaten in November 2008 ...
Kolonel Dedack was een heel andere persoonlijkheid. Hij kwam over als een zeer gecultiveerd persoon en er werd beweerd dat hij benoemd werd tot Bevelhebber van de School om zijn Nederlands wat bij te schaven. Hoe dan ook, bij zijn afscheidstoespraak in 1956 sprak hij perfect Nederlands en zelfs met licht Hollands accent. Hij is later benoemd tot militair attaché in Den Haag.
Het is trouwens onder Dedack, dat wij een mooie, blauwgrijze trenchcoat i.p.v. die afgrijselijke, van 14-18 daterende, capootjas hebben verkregen, dit na de meest stormachtige chahut, die de Cadettenschool van Laken ooit gekend heeft en waaraan indertijd iedereen, bleu of ancien, Waal of Vlaming, heeft deelgenomen.
Kolonel De Vos was de man van het "Militaire Reglement". Dank zij zijn zin voor militaire paperasserij bestaat er nu nog een historisch document, dat het tuchtregime in de School inzake uurrooster, ontspanning en verlofperiodes, permissies en bezoeken, briefwisseling en colis, soldij, diverse bestraffingen (P.S., P.V., disciplinaire en studie-consignes..) enz. nauwkeurig beschrijft en dit zoals het van kracht was, eind de jaren vijftig - begin van de jaren zestig.
Dit document, was i.h.b. ook voor de ouders bestemd want ook zij dienden zich te voegen naar de militaire normen..Zo werden bezoeken aan de school slechts uitzonderlijk toegelaten.
Een dergelijke gunst werd bvb aan mijn oudste broer en mijn ouders verleend toen eerstgenoemde in oktober 1957 naar de Rwanda vertrok voor een termijn van drie jaar. Het was wel zo dat ik sedert september een zeer groot aantal disciplinaire consignes had verzameld zodat afscheid nemen tijdens een permissie uitgesloten was.. vandaar wellicht die gunstmaatregel
(Hoofdstuk 2 "Het leven in en rond de Cadettenschool")
§ 2.3 Een compromis à la belge
In deze aflevering wil ik het nu eens hebben over een delicaat probleem : de toenmalige Vlaams Waalse verhoudingen en i.h.b. in de Cadettenschool van Laken. Deze verhoudingen beroeren nog steeds op politiek vlak het land en daarom vind ik bijhorend ikoon wel toepasselijk....
In mijn tijd was de School in Laken in twee territoriale zones verdeeld met een virtuele grenslijn, die als een echte taalgrens fungeerde. Deze grenslijn, verliep parallel aan het Hoofdgebouw, en doorsneed al de andere gebouwen (leslokalen, dortoirs, studiezalen) en de open ruimte tussen deze gebouwen ongeveer in het midden. De vlaggenstok en het dodenmonument stonden op deze grenslijn en vormden dus om zo te zeggen het cement tussen de twee afdelingen.
Het gevolg hiervan was dat de Vlamingen (en i.h.b. de bleus) zich slechts uitzonderlijk op het Waalse territorium begaven en omgekeerd, de Walen zich niet thuis voelden op het Vlaamse territorium. Alleen de rhetoricanen (Walen en Vlamingen waren in eenzelfde studiezaal ondergebracht) waagden het om zo te zeggen de taalgrens te overschrijden.. Ze gedroegen zich een beetje als.. "belgicisten" om een hedendaags woord te gebruiken.
Met de instructeurs van de Franstalige Afdeling hadden wij dus practisch geen contact. Nochtans herinner ik mij nog de gezichten van bepaalde Waalse onderofficieren als de "Soucoupe" en den "Trich" (Van Trichvelt). Meer nog, ik heb het in rhetorica meegemaakt dat een onderofficier van de Waalse sectie het zeer respectvol had over "la Division", waarbij hij zijn eigen Afdeling aanduidde, en zich smalend uitte over "l' Autre Côté", waarmede hij de Nederlandstalige Afdeling bedoelde...
Cadetten, die behoorden tot verschillende taalrollen hadden dus zeer weinig met mekaar te maken en leefden -om zo te zeggen- practisch volledig geïsoleerd naast elkaar .. Waar het territorium "gemengd" was -en dat was bvb. de CMC (de kantine)-, was er tussen de cadetten van beide taalrollen wel degelijk "verbroedering" en "solidariteit" .. Om te beginnen moesten er noodzakelijkerwijze duidelijke afspraken tussen Walen en Vlamingen gemaakt worden bvb. voor een beurtrol voor het bezetten van de pingpong - en biljart- tafels enz.. en dit gebeurde zonder enige inmenging of bemoeienis van de militaire autoriteiten Uiteraard was dit het werk van de rhetoricanen, die er voor zorgden dat zij -en zij alleen- aan bod kwamen en voorrang hadden op de mindere goden en dit tot grote ergernis van de poësismensen.
Ik heb mij op dit moment toen de vraag gesteld Was ist los ?
Het verwonderde mij dat de militaire autoriteiten en i.h.b. de Bevelhebber van de School, geen aanstoot namen aan deze virtuele geografische grenslijn. Deze grenslijn was een beletsel voor "verbroedering" tussen Walen en Vlamingen... En het Vaderland was in die tijd toch nog het unitaire België, nietwaar.. en het Leger als Verdediger des Vaderlands moest toch het goede voorbeeld geven..
Een korte historiek van de Cadettenschool, gekoppeld aan de politieke geschiedenis van België gedurende het interbellum maakt duidelijk hoe en waarom deze grenslijn tot stand was gekomen ...
De Cadettenschool werd opgericht in 1897 en was in die tijd alleen voorbehouden voor de zonen van militairen. Met het uitbreken van WO I werd de school afgeschaft maar amper een goed jaar na WO I (1920) werd ze weer opgericht en werd de toegang tot de school terzelfdertijd verruimd tot andere categorieën van mogelijke leerlingen. De school had dan als standplaats Namen en was toegankelijk zowel voor Vlamingen als voor Walen. Nu nog bestaat er in Namen een Place de l Ecole des Cadets en in de gebouwen van toen is heden een technische school gevestigd. Aanpalend aan de school bevindt zich ten andere nog een dodenmonument ter herinnering aan de gesneuvelde cadetten(*).
Tengevolge van de taalwetgeving van 1932 werd bij Koninklijk Besluit van 26 maart 1933 de Nederlandstalige sectie overgebracht naar Safraanberg (Sint Truiden), zodat er vanaf 1933 territoriaal gezien twee scholen bestonden : een in Safraanberg voor de Vlamingen en een andere in Namen voor de Walen. De taalwetgeving van 1932 had immers het beginsel van taalhomogeniteit van de regio s geïntroduceerd wat dan op zijn beurt de eentaligheid in het onderwijs met zich meebracht. Zoals een Jean-Luc Dehaene recent nog terecht opmerkte : men heeft de kans voor een homogeen tweetalig België laten voorbijgaan in 1932.. Op dat ogenblik was taalhomogeniteit van de regio s nog de enige aanvaardbare oplossing want de Waalse politici waren niet te vinden voor de tweetaligheid van het individu Een tweetalig België zou definitief een einde gemaakt hebben aan alle gekibbel !!!
Bij het uitbreken van WO II werden beide scholen natuurlijk weer afgeschaft. Onmiddellijk na WO II (1946) werd in Seilles, dat toen behoorde tot de provincie Luik, één enkele school opgericht, die zowel een Nederlandstalige als Franstalige afdeling bevatte. In 1977 fusioneerde Seilles met Andenne (gelegen in de provincie Namen) en door deze fusie is men later verkeerdelijk- gaan spreken van de "Cadettenschool van Andenne".
De Cadettenschool van Seilles kende onmiddellijk een groot succes en begin januari 1947 waren er honderden leerlingen (waaronder ook vele Vlamingen) ingeschreven. Voor de Vlamingen was er echter een ernstig probleem : ingevolge de taalwetgeving van 1932 was hun humanioradiploma niet langer rechtsgeldig. Daarom werd de school in 1948 overgeplaatst in tweetalig gebied namelijk naar het Sint Anna- kazerne te Laken. Enkele jaren later werd de officiële benaming van de school Koninklijke Cadettenschool (KCS) respectievelijk Ecole Royale des Cadets (ERC) -Koninklijk Besluit van 25 juni 1951-.
Tenslotte werd in 1955 (jaar van mijn intrede in de KCS te Laken) en wellicht wegens het groot aantal kandidaten, een regionale filiale van de school in Lier opgericht. Misschien er hier ook even aan toevoegen dat Laken en Lier al evenmin veel contact met elkaar hadden Even toch niet vergeten dat Laken in tweetalig, Lier in eentalig gebied lagen..
Het is dus zonder meer duidelijk dat de taalperikelen en i.h.b. de taalwetgeving van 1932 hebben bijgedragen tot het tot stand komen van de virtuele grenslijn of moet ik spreken van grenslijnen want er was ook Lier !!!
Elke bevelhebber van de Cadettenschool had natuurlijk kennis van deze problematiek. Iedereen besefte dat tweetaligheid de absolute vereiste was voor de eenheid van het land.. Er zou zelfs een kolonel geweest zijn die voorstelde om de Vlamingen in het Frans te onderwijzen en de Walen in het Nederlands, wat in Brussel inderdaad in principe mogelijk was...
Een kolonel Reynders trachtte het probleem op te lossen door in de refter de leerlingen zoveel mogelijk te "mengen" en zo het onderling en linguïstisch contact te bevorderen...
Toen ik als bleu in de derdes was, zaten aan een ideale refter-tafel dan ook 3 Walen en 3 Vlamingen, behorende respectievelijk tot de derdes, poësis en rhetorica. De middelste plaatsen waren natuurlijk bestemd voor de rhetoricanen, die links en rechts geflankeerd werden door de mindere goden. Het aantal ideale tafels was echter beperkt omdat er enerzijds meer Vlamingen waren dan Walen, anderzijds het aantal leerlingen uit respectievelijk de derdes, poësis en rhetorica eveneens verschillend was.
Langs de kant waar de schotels (soep, aardappelen, vlees, groenten..) aangediend werden zaten natuurlijk de bleus, de "witte lintjes", die als eerste en voornaamste taak hadden deze schotels onmiddellijk door te geven aan de rhetoricanen. Zoals het gebruikelijk is bij gentlemen, bejegenden deze rhetoricanen mekaar op de meest hoffelijke wijze en het was van "Encore un peu de viande, mon cher" of "Nog wat saus, beste vriend".
Vervolgens mochten de poësismannen zich bedienen en uiteindelijk de bleus, die het natuurlijk moesten stellen met de restjes.. en dat was niet veel ..vooral als er frites op het menu stonden. Mij dunkt dat de bleus in die jaren er wat witjes uitzagen en in alle geval wat minder blozend dan de anciens.. Kwam dit door een tekort aan voeding .. euh.. frietjes ??
Nochtans was dit niet altijd het geval, ik bedoel dat de bleus "het moeten stellen met de restjes". Die rhetoricanen waren immers echte deskundigen in het "op zicht" beoordelen van de kwaliteit van voedsel inzonderheid van groenten, vis of vlees... Indien het voor hen goed uitkwam bedienden zij de bleus eerst en wel erg ruimschoots, .. terwijl zijzelf (en ook de poësismannen trouwens) alleen maar wat hun bord "vuil" maakten en besmeurden en zodoende de indruk wekten dat zij naar behoren hun maal genuttigd hadden.
Hun eigenlijke maaltijd namen ze dan wel in de Club van de CMC ofte kantine, waar zij het ook voor het zeggen hadden..
Voornoemde voedselbedeling "ten voordele van de bleus" sproot voort uit een verordening uitgevaardigd door Reynders himself, die elke voedselverspilling ten stelligste verbood. Hij controleerde soms zelf wat er van een bepaalde tafel terug kwam.. Een leeg bord was dan ook een absolute vereiste en de bleus konden hierbij natuurlijk helpen...door een groot gedeelte van de maaltijd voorzien voor zes personen -tegen heug en meug- binnen te werken..
Ik hoor Reynders nu nog bevelen .."Cadet u moet "aa legumen" opeten..allez .. . niekske laten liggen". Reynders had van dichtbij de oorlog meegemaakt, nietwaar.. En wij bleus maar alles binnenwurgen en ons volproppen, terwijl die vervloekte anciens zaten te grinniken.. Een dergelijke situatie heb ikzelf talrijke keren meegemaakt..
En toch.. het systeem gemengde tafels vond ik persoonlijk een goed systeem.. Zo leerden wij inderdaad mekaar beter kennen en ontstond er een samenhorigheid tussen de leden van eenzelfde promotie en dit ondanks de verschillende taalrollen.. Toen mijn promotie in 2005 een klas- reünie met diner inrichtte, waarbij ook de echtgenotes uitgenodigd, (plaats : de selecte en prachtige officierenmess van de KCS) waren zowel Walen als Vlamingen aanwezig.. en dat bewijst dat er wel een solidariteit tussen de taalgroepen ontstaan was ..
Met de komst van Dedack echter (1956) werd het systeem Reynders afgeschaft.
Een vorm van samenhorigheid of kameraadschap tussen Vlamingen en Walen was er -hoe dan ook- in rhetorica, o.m. doordat wij hetzelfde studielokaal (Vlamingen links, Walen rechts) deelden en wij vanaf een bepaald uur vrij met mekaar konden spreken zij het dan over examens KMS en andere studieproblemen.
Een voorbeeld van solidariteit .. Avondstudie in rhetorica.. de bewaking gebeurt uitzonderlijk door een jonge, onervaren onderluitenant, een Waal, die achteraan (i.p.v. zoals gebruikelijk vooraan), en wel langs de kant van de Vlamingen, de studie bewaakt.. Sommige worden er balorig van en laten dit blijken door te grommen en andere verdachte geluidjes te maken... Plots grijpt de onderluitenant in... richt zich tot een van mijn klasgenoten en beveelt brutaal "Cadet, Sortez !!"
En onze lorejas staat onmiddellijk op, schuift zijn stoel onder zijn tafel, gaat naar buiten, sluit de deur.. (eerst bevel uitvoeren nietwaar) maar opent die onmiddellijk terug, gaat op de luitenant af , zet zich in militaire houding en zegt overluid "Luitenant, ik behoor tot de Nederlandstalige Afdeling.. wilt u zo goed zijn uw bevel in het Nederlands te herhalen.."
En onze onderluitenant, was zo ontzet door het ongelooflijke lef en zo totaal uit zijn lood geslagen, dat hij niet eens in staat was om het bevel " Cadet, Buiten" te brullen, tot groot jolijt van de Vlamingen én de Walen.
Vanzelfsprekend stond de boel op stelten, zodat een tussenkomst van het andere met militair toezicht personeel nodig was om de "orde te herstellen"..
Gevolg.. rapport.. strafdril van een uur wegens de verstoring van de orde.. voor iedereen Vlamingen en Walen ... mar niet meer dan een uur ..immers het toelatingsexamen KMS stond voor de deur...
----------- (*) voor een aantal mooie fotos van de Cadettenschool van Namen, alsook wat historische gegevens : zie bijlage 1
(Hoofdstuk 2 "Het Leven in en rond de Cadettenschool)
§ 2.4 "l'esprit militaire" in de Cadettenschool
In een van de vorige afleveringen had ik het al gehad over de "esprit militaire" in de KCS als entiteit. Nu wil ik het eerst even hebben over l "esprit militaire" in de Nederlandstalige Afdeling van de KCS -Laken- in het bijzonder. Deze "esprit militaire" werd ons werkelijk ingeramd door onze instructeurs-onderofficieren, die onder het bevel stonden van een officier-afdelingschef doorgaans een kapitein. Het zijn dus wel deze onderofficieren die instonden voor onze militaire opleiding.
De Nederlandstalige Afdeling stond in 1955 onder het bevel van Kapitein Verhasselt. Ik heb gedurende mijn verblijf aan de KCS om zo te zeggen geen andere afdelingschef gekend. Verhasselt was een typische "oorlogsofficier", die zijn sterren op het slagveld verworven had en die trouwens ook nog de Landing in Normandië persoonlijk had meegemaakt. Zelf had hij dus nooit KMS gevolgd, waardoor zijn promotiekansen beperkt bleven tot het korps der lagere officierenen en hij het aldus hoogstens tot commandant kon brengen. Van hem is bekend, dat hij zijn jongere collegas, die wel KMS gevolgd hadden en dus betere promotiekansen hadden, bij discussies de mond snoerde met de opmerking dat hij het beter wist want dat .." HIJ tenslotte zijn sterren op het slagveld had verdiend "..
Zijn taak werd later overgenomen door Kapitein Deforche, die wél KMS gelopen had, maar deze laatste heb ik niet gekend.
Verhasselt nam zijn taak als afdelingschef erg ter harte en een bevel was voor hem iets heiligs, dat -hoe dan ook- gerespecteerd en uitgevoerd moest worden. Bij overtredingen van het tuchtreglement,was hij dan ook zeer gul met consignes en P. S- en .Ook kon hij zeer moeilijk verdragen dat hij door een cadet in het ootje of in de maling werd genomen, wat dan toch regelmatig gebeurde.
Mijn klasgenoot Aelbers, die later met succes de Pol heeft doorlopen, heeft het ooit zo ver kunnen drijven dat hij den "Verhasselt" kon overtuigen dat hij niet gerookt had in de gang, terwijl het dezelfde Verhasselt was, die hem op de feiten had betrapt !!
Het spreekt van zelf dat hierdoor den "Aelbers" in onze achting steeg. Ook denk ik dat hij later in zijn verdere loopbaan van zijn natuurlijk talent van "het te kunnen uitleggen" -ook in de KMS- meermaals heeft gebruik gemaakt.
Hoe dan ook, het geval "Aelbers" was een uitzondering en wanneer je bij Verhasselt op het rapport moest komen, was het over het algemeen aangeraden geen discussie aan te gaan, teneinde de straf zo licht mogelijk te houden. Ook moest je -staande in militaire houding- Kapitein Verhasselt voortdurend in de ogen kijken, terwijl hij je zeer vermanend de les spelde en hij je herinnerde aan je verplichtingen als toekomstig officier. Ik herinner me nog dat ik het, in rhetorica, erg lastig had om hierbij niet in een luide lach te schieten.. Toch was het helemaal geen kwade kerel en zijn onderofficieren konden hem blijkbaar heel goed pruimen.
Van de onderofficieren, die op ons toezicht hielden, mochten wij echt niet klagen en van indoctrinaties en vernederende pesterijen, zoals men het soms in Amerikaanse films voorstelt, was er in de Cadettenschool helemaal geen sprake. Onze instructeurs of "sous-offs" waren wel mensen met enige levenservaring. Dit bleek ook uit hun militaire graad (veelal eerste sergeant-majoor of adjudant) een graad, die normaal eerst maar na enkele jaren dienst werd verkregen. Ik heb de indruk dat deze onderofficieren van hogerhand geselecteerd waren op grond van hun bekwaamheid en geschiktheid om met "jong geweld" (wij waren op de keper beschouwd maar een bende snotneuzen) om te gaan.
Een van die instructeurs was "Vadertje Tap" (adjudant Vandeputte) wiens voornaamste taak was de "bleus" bij hun intrede in de KCS op te vangen en hen te begeleiden gedurende de eerste maanden.Deze adjudantwas bijzonder vriendelijk en erg "vaderlijk" (vandaar zijn bijnaam) t.o.v. de bleus en nam hen in bescherming tegen de ergste ontgroeningpraktijken van de anciens. Het kwalitatief "Tap" wees er op dat hij ietwat te graag een "getapt" biertje of jeneverke dronk, derwijze zelfs dat hij op het einde van de dag soms wat schommelde op zijn voeten..
Zelf vond ik die ontgroeningpraktijken toch maar flauw, en toen ik "ancien" was, deed ik hier niet aan mee. Dat men wat inspeelde op de naïveteit en de goedgelovigheid van de nieuwkomers, daar kon ik nog inkomen.. maar afpersen, vernederen, straftaken opleggen.. neen dat was voor mij een brug te ver.. Het is mij daarbij opgevallen dat "anciens", die zich tot dit laatste lieten verleiden doorgaans op psychisch vlak zelf een probleem hadden..
Voor mij moest het zogenaamd "ontgroenen" ergens "grappig" blijven..Zo herinner ik mij bvb. dat een kameroverste aan een "bleu" vroeg een emmer te halen.. waarop deze verwonderd vroeg, waar hij deze kon vinden.. Hij werd door een "ancien" verwezen naar een bureel met een deur waarop de vermelding "RSM Emmery"aangebracht was. Dit bureel bevond zich rechtover het bureel van Kapitein Verhasselt. En die "bleu" maar aankloppen op die deur (emmer ..emmery erg logisch.. misschien verkeerd geschreven nietwaar..) en hij kwam bij de Regiment Service Major, de Korps- Adjudant Eerste klasse "Emmery" terecht, die hem met bulderende stem naar buiten brulde..
Militaire dril en exercities werden vooral gegeven door Eerste Chef Van Hove, een echte kleerkast met handen als koolschoppen en een stem als een klok. Hij was een kalm en bedaard man, en naar men vertelde was hij een fameus scherpschutter, die regelmatig België vertegenwoordigde in internationale schutterswedstrijden. Ik herinner mij nog onder zijn bevel,exercities methet geweer met en zonder bajonet op uitgevoerd te hebben, en wel toen ik in rhetorica zat..
Met een grappenmaker als Gilbert Vanhamme vóór mij in het peloton, was een dergelijke exercitie, met bajonet op het geweer, niet zonder lijfsgevaar... Wanneer het peloton een "Rechtsom" moest uitvoeren bracht hij telkens het geweer op zijn schouder in een wat meer horizontale positie, zodat ik de bajonet bijna in het gezicht kreeg en ik voortdurend op mijn "qui vive" moest zijn. Natuurlijk gebeurde dit maar, wanneer den "Van Hove" het niet kon zien of merken..
Het is ook Chef "Van Hove" geweest, die ons eind Augustus 1955 het snel omwisselen van kledij (bvb. van battle dress naar sportkledij en omgekeerd) aanleerde. Mijn klasgenoot De Baetselier, den "Bats", die op dat vlak erg onhandig en uitgesproken traag was, fungeerde op dit moment als "pelotonsoverste". Van een "pelotonsoverste" moest men natuurlijk verwachten dat hij het in principe "goed" deed , want hij had in feite een "voorbeeldsfunctie". Ons peloton stond echteral lang kant en klaar en in het gelid, wanneer -als laatste- onze "Bats" , met een verwilderde blik, van de trappekes kwam afgedonderd, zonder muts, met halfgeknoopte das, de getten half dichtgemaakt en zijn broek nog half open. Toen hij, aldus aangekleed, zijn plaats als pelotonsoverste innam, schoot iedereen in een onbedaarlijke lachbui en zelfs den "Van Hove" moest effekens "monkelen".
Onlangs heb ik nog Van Hove ontmoet op een reünie in de KMS, .. we hebben nog eens de goeie, oude tijd aangekaart..
Eerste Chef Gillis "den Bull" was een gans andere persoonlijkheid. Hij was blijkbaar altijd goed gehumeurd en ofschoon hij kon brullen als de beste,was hij door de cadetten erg graag gezien. Dat hij ook zin voor humor had bewijst de volgende scène, die ik, toen ik in poësis zat, zelf heb kunnen waarnemen.
In die tijd was het roken (waar en wanneer) reeds streng gereglementeerd maar alleen voor cadetten, terwijl bvb de leraren gedurende de les er gerust eentje mochten opsteken. Roken in de studie, was voor ons bvb. ten strengste verboden , wat voor doorwinterde, verslaafde rokers, wel voor problemen kon zorgen. Een bekende truc was dan ook eerst toelating vragen om naar het toilet te gaan om vervolgens er eentje op te steken op het toilet. Zo deed ook cadet Decrook, eveneens een West-Vlaming en een klasgenoot van Warrinier..
Maar onze "Bull" wist wel van wanten... en hij gluurde af en toe in de toilettenzaal.. om dien snoodaard te betrappen...Tot zijn grote tevredenheid zag hij alras de rook uit het toilet, waarin onze vriend Decrook zich geïsoleerd had, naar buiten kringelen.. en hij wachtte verder geduldig af.. net zoals een spin op haar prooi wacht..
Wanneer nu De Crook naar buiten kwam, botste hij natuurlijk pardaf op den "Bull", die hem onverhoeds de vraag stelde:
" Cadet De CROOOOK , wat hebt ge daar gedaan op het WC ???...
Waarop deze, allesbehalve verbouwereerd, kalm en gevat antwoordde...
" Maar, chef,zoiets wordt nu toch NOOIT gevraagd ;als bvb. uwvrouw naar het toilet gaat, vraagt gij dan ook wat ze daar gedaan heeft ??? "
En onzen "Bull" schoot in een overluide lach en kon alleen nog maar,halfstikkend en hikkend van het lachen, uitbrengen..
" Trap het af ..De Crook..trap het af.. "
En zo ontsnapte onze vriend aan een ...verdiende PS..
Eerste Chef Mertens was gekend onder de bijnaam "de Mot". Waarom hij die bijnaam droeg is mij niet bekend. Zijn specialiteit was de ingeleverde leerboeken keuren op gescheurde paginas of op eventuele beschadigingen van de boekband of het bindwerk. Dit gebeurde steevast op het einde van het trimester of van het jaar en de "Mot" ging hierbij niet erg delicaat te werk. De boeken werden brutaal opengerukt of verwrongen en het minste euvel kwam hierdoor aan het licht.
Vele cadetten hebbende "Mot" vervloekt omdat zij de aldus "beschadigde" boeken moesten vergoeden, wat doorgaans gebeurde door rechtstreekse afhouding op onze soldij (wij hadden recht op 20 FB/dag). Daar de "Mot" rechtstreeks bij de betaling van de soldij betrokken was.. was het voor hem een koud kunstje om het verschuldigd bedrag onmiddellijk te innen... Was het bedrag te hoog, dan gebeurde de afhouding in verschillende keren..
Hij was een erg zenuwachtige en achterdochtige man die de cadetten voor geen haar vertrouwde. Achter elke vraag, gebaar of blik zocht hij iets en zijn ogen dwaalden dan ook voortdurend van links naar rechts om als het ware dit gebaar of die blik onmiddellijk te kunnen detecteren. Als een cadet even zijn sombere blik kruiste was het onmiddellijk van:
"Waddist? Is er iets? Staat het u niet aan? .."
Velen vermeden of aarzelden dan ook om zich tot hem te richten wanneer zij iets nodig hadden.. want ze waren ergens beducht voor zijn bijtend sarcasme, ofschoon hij in werkelijkheid geen kwaaie vent was.
Een andere zeer merkwaardige figuur was den "Gènen" (adjudant Laermans), die ons "Lichamelijke Opvoeding" gaf en ons voorbereidde op de fysische proeven voor het ingangsexamen KMS. Deze proeven bestonden o. m. in "8 m koordklimmen", het "aan de barre optrekken" (minstens 4 X) en "1000 m onder de 3 min. 45 sec lopen"...
Tot mijn verwondering waren er een aantal cadetten die met deze tests reeds problemen hadden. Voor knapen, die hun jeugd hadden doorgebracht in de bossen, waren deze proeven geen enkel probleem..
Den "Gènen" was vroeger Europees schermkampioen "sabel" geweest en al zijn trofeeën waren uitgestald in een lokaaltje dat aan de Gymzaal grensde. Indien het weer het toeliet, kregen wij "Lichamelijke Opvoeding" in open lucht en zo hebben tot Maart 1956 in het park aangrenzend aan de KCS gecrost, rugby gespeeld en allerlei turnoefeningen uitgevoerd.
Na Maart '56 was het echter afgelopen ; het park werd gesloten wegens "werken uit te voeren in het kader van de toekomstige Expo 58 ".
Eind rhetorica, heb ik nog met den "Gènen" een pint gedronken in het café in de Sint Annadreef (een café dat voor cadetten verboden was, blijkbaar omdat de sous-offs daar regelmatig kwamen). De man heeft mij toen opgebiecht, dat hij mij in de derdes en in poësis had verward met mijn naamgenoot François, waardoor ik niet de punten L.O. had gekregen waarop ik recht had (inzake gym was onze François echt een nul).
Hij dreef het zelfs zover, dat hij mij hiervoor zijn excuses aanbood, excuses die ik natuurlijk heb aanvaard. Hierop hebben wij natuurlijk nog een paar pinten gedronken en die eerlijke vent was werkelijk opgelucht, dat ik hem dit misverstand helemaal niet ten kwade duidde..
Andere instructeurs, die ik later nog gekend heb, waren adjudant Richard Lecocq, de "Pic" een adjudant die vroeger nog dienst had gedaan in "Het Klein Kasteeltje", en Eerste Chef Gravenstein, den "Jerom", die een beetje het postuur had van Jerommeke in "Suske en Wiske".
Nieuwelingen waren tenslotte den "Witten", een Eerste Chef "Para" met vlasblond haar en die een erg hese stem had, welke oversloeg wanneer hij een bevel schreeuwde en de "Rommens".
Al deze instructeurs quoteerden de cadetten op hun militair gedrag.. In rhetorica lagen mijn punten langs de (zeer) lage kant Ik was geen militair..
(Hoofdstuk 3 "Taal en Cultuur in de Cadettenschool")
§3.1 Nederlands in de Cadettenschool
In de vorige afleveringen hebben wij "l esprit militaire van de Cadettenschool aan bod laten komen ; nu is het de beurt aan l esprit de finesse, zoals die zich uitte in het taalonderwijs en in de menswetenschappelijke disciplines filosofie, geschiedenis, en religie. Als boegbeeld van deze "esprit de finesse"-althans voor de moderne talen- fungeerde zonder enige twijfel Paul Govaerts, reden waarom ik als ikoon van dit bericht een foto van een gelauwerde Govaerts gekozen heb. Deze foto werd mij toegestuurd door zijn dochter, waarvoor hartelijk dank.
Deze esprit de finesse in de Cadettenschool van Laken was erg verschillend met die van Lier niet alleen omdat eerstgenoemde een Franstalige Afdeling bezat maar ook en vooral omdat de school in het tweetalig hoofdstedelijk gebied lag, wat op cultureel vlak veel meer mogelijkheden bood.
Het onderricht in de Cadettenschool was op militaire leest geschoeid en alle leraren hadden het statuut van officier en sommigen waren het nog in werkelijkheid ook. Hun gezag was derhalve zeer groot en geen enkel cadet zou het gewaagd hebben dit gezag in vraag te stellen. Daarenboven hadden zij allemaal een uitstekende reputatie op hun vakgebied. Situaties zoals die zich heden in sommige athenea of lycea voordoen, waren totaal ondenkbaar.
De klaslokalen waren gelegen op de eerste verdieping van het gebouw B. In dit gebouw waren eveneens de keuken en refter ondergebracht evenals de kapel. In totaal waren er 10 genummerde lokalen : de nummers 1 tot 5 waren voorbehouden aan de Franstalige Afdeling, de nummers 6 tot 10 aan de Nederlandstalige Afdeling. Er bestond ook nog een speciaal leslokaal Fysica en Chemie in een ander gebouw, waarin ook de gymzaal en de infirmerie was ondergebracht. Verder was er nog de Tekenzaal en een Cinemazaal in een laag gebouw, diametraal gelegen t.o.v. het Hoofdgebouw.
Alle verplaatsingen tussen de diverse gebouwen inclusief gebouw A (waar de studiezalen en de diverse slaapzalen zich bevonden) gebeurden op militaire wijze d.i. in peloton onder de leiding van pelotonsoverste, de cadet van dienst. Boekentassen moesten de ene dag links, de andere dag rechts gedragen worden.
Een andere taak van de pelotonsoverste, was het aanmelden van de klasleraar bij zijn intrede in het leslokaal. Hij stond hem geduldig in plaats rust op te wachten en schreeuwde bij zijn intrede -na zich in de klassieke Geef acht houding gezet te hebben- Ter Orde. De cadetten moesten dan in stramme houding, strak voor zich uitkijkend naast hun lessenaar staan, tot de leraar het bevel gaf gaat u maar zitten al dan niet gevolgd door het gevreesde neem een vel papier...
De leraren Nederlands, die ik gekend heb waren in de derdes en poësis Bernard Van Vlierden en in rhetorica Paul Govaerts. Begeleidende unieke foto, mij overgemaakt door de dochter van Paul Govaerts, toont de drie leraren Nederlands KCS die gezamelijk optraden als panel voor de TV-quiz "'t Is maar een woord". Uiterst links bevindt zich Hubert Thomassen, uiterst rechts Paul Govaerts en in het midden Bernard Van Vlierden.
Bernard Frans Van Vlierden was leraar KCS van 1950 tot 1970. Geboren in Hamont op 22 augustus 1926, is hij later bekend geworden onder zijn pseudoniem Bernard Kemp. Hij gaf les in beide afdelingen van de Cadettenschool en was een uitstekend Gezelle-kenner (zijn naam wordt bvb enkele keren geciteerd in Mijnheer Gezelle biografie van een priester dichter- van Michel Van der Plas Lannoo, 1998-).
Zijn doctorstitel behaalde hij in 1965 met het proefschrift Guido Gezelle tegenover het dichterschap , een proefschrift, dat later als boek verscheen bij Kapellen (1967). Later (vanaf 1969) werd hij dan ook hoogleraar in de Nederlandse letteren aan de Universitaire Faculteiten Sint-Aloysius te Brussel en doceerde hij ook in de Koninklijke Militaire School. Hij was ook nog redacteur van "Dietsche Warande en Belfort", secretaris van "Scriptores Catholici", voorzitter van het "Algemeen Nederlands Verbond Brussel" en lid van de "Maatschappij der Nederlandse Letterkunde te Leiden".
Bernard Van Vlierden overleed te Leuven op 2 november 1980, amper 54 jaar oud. Een In memoriam is te vinden in Jaarboek van de Maatschappij der Nederlandse Letterkunde te Leiden 1981-1982, pp. 101-106.
Enkele gedeelten van zijn eerste roman Het Laatste spel (1957), die hij voorstelde als het schrijfsel van een vriend heeft hij ons voorgelezen in poësis. En hij vroeg natuurlijk wat wij er van dachten. Maar we lieten ons niet bedotten.. Het proza was ietske te cerebraal en te intellectualistisch waardoor hij zich verraadde.. Achteraf bleek inderdaad dat HIJ de auteur van dit schrijfsel was In die dagen was het ook aangeraden zich de Maandag erg koest te houden, vooral wanneer zijn favoriete ploeg Waterschei het onderspit had moeten delven..
Bernard Van Vlierden liep, zoals reeds gezegd, erg op met Gezelle en het gedicht De Vlaamsche Tale is wonderzoet was één van zijn dada s ofte voorkeurgedichten :
De vlaamsche tale is wonder zoet, voor die heur geen geweld en doet, maar rusten laat in t herte, alwaar ze onmondig leefde en sliep te gaar, tot dat ze, eens wakker, vrij en vrank, te monde uitgaat heur vrijen gang! Wat verruwprachtig hoortooneel, wat zielverrukkend zingestreel, o vlaamsche tale, uw' kunste ontplooit wanneer zij t al vol leven strooit en vol onzegbaar schoonzijn, dat, lijk wolken wierooks, welt uit uw zoet wierookvat!
Met flamingantisme had dit niets te maken : wel was dit gedicht de sleutel van zijn proefschrift. Hij heeft mij in 1957 herhaaldelijk gevraagd dit poëziestukje in het West-Vlaams voor te dragen.. Nu nog ken ik dit gedichtje van buiten..
Door Van Vlierden ben ik mij er voor het eerst van bewust geworden dat er naast het oeuvre van een kunstenaar (schilder, poëet of schrijver) ook nog de kunstenaar- zelf bestaat, een mens van vlees en bloed.
Voor mij was tot dan, Gezelle gewoon maar de maker geweest van een paar leuke gedichtjes zoals Boerke Naas, Het schrijverke , gedichtjes, die ik in mijn kinderjaren van buiten had moeten leren. Nu werd Gezelle plots een kwetsbare, doodgewone mens, die geconfronteerd werd met problemen (schrijfverbod opgelegd door de kerkelijke autoriteiten in 1872), die hem overstegen.
Wat mij ook bijgebleven is, is het grondig commentaar die Van Vlierden gaf op Multatuli s meesterwerk de Max Havelaar. Ik hoor hem nog, met effen, emotieloze stem, bepaalde passages uit het boek voorlezen en ik zie nog zijn ogen glinsteren, toen hij merkte dat wij het begrepen hadden.
En zeggen dat dit meesterwerk van de Nederlandse literatuur geschreven is op een zolderkamer van een Brusselse herberg , en dit op amper één maand tijd. Nee, dank zij Bernard Van Vlierden heeft de Max Havelaar nog altijd een ereplaats in mijn bibliotheek
Zegt het eerste zinnetje van het eerste hoofdstuk u nog iets ? Ik ben makelaar in koffie, en woon op de Lauriergracht n° 37
In Poësis had hij het over de Tachtigers met Willem Kloos , met Frederik Van Eeden, Herman Gorter enz.
Hij was een uitstekend leraar, die mij een bepaalde stijl van prozaschrijven heeft bijgebracht. Ook de Walen waardeerden hem. Nog niet zo lang geleden heeft bvb een André Jardon mij verteld dat hij -dank zij Van Vlierden- Gezelle heeft leren smaken..
Paul Govaerts (leraar KCS van 1935 tot 1965) was de Doyen onder de leraren. Ik vermoed dat zijn bijnaam den Dooien uit de vervlaamsing van het Franse woord doyen is ontstaan(*).. Hij had immers nog de Cadettenscholen van Saffraanberg en Seilles gekend !!
Hij was eerder het type van een taalgeleerde en een deskundige inzake de Zuid-Nederlandse dialecten. Zo had hij het steeds over Sint-Truyen en verwierp hij de benaming Sint-Truiden ; ook stelde hij dat het woord bijzonder in feite als bizonder moet geschreven worden, wat ik gedurende jaren gedaan heb. In zijn lessen had hij het veelal over de Gentse hoogleraar en dialectdeskundige Willem Pee (1903-1986). Deze laatste was bekend voor zijn Woordenhoek van de Vlaamse Dialecten.
Hij gaf later ook les in de Koninklijke Militaire School.
Paul Govaerts doceerde Literatuurgeschiedenis en Esthetica. Zoals toen in de meeste scholen, baseerde hij zich op de Beknopte geschiedenis van de Nederlandse letteren van Julien Kuypers en Theo De Ronde en voor de esthetica op het boek van Achilles Mussche Nederlandse Poëtica. Julien Kuypers (1892-1967) was toen immers een invloedrijk personage : na WO II was hij secretaris-generaal bij het ministerie van onderwijs en in de periode 1956-1962 was hij buitengewoon gezant en gevolmachtigd minister voor buitenlandse culturele betrekkingen
Met Paul Govaerts hebben wij de grote Nederlandse Schrijvers uit de Gouden Eeuw (Cats, Bredero, Hooft, Vondel..) bestudeerd. Zo herinner ik mij nog bvb het fameuze treurspel "Gysbrecht van Aemstel" van Joost van den Vondel.
Bij Paul Govaerts leerden wij ook hoe een dissertatie ofte verhandeling (belangrijk voor het toelatingsexamen KMS) schrijven, want dergelijk proza is aan een aantal specifieke regels gebonden. Worden die niet gevolgd, dan is het prozastuk niet veel waard of wordt het in alle geval laag gekwoteerd.
In dit opzicht verschilt een dissertatie niet zoveel van een wetenschappelijk artikel : hier ook zijn er bepaalde regels te volgen. Belezenheid en enige kennis van de filosofie, kan erg nuttig zijn bij het schrijven van een dissertatie. In de Cadettenschool beschikte ik over door hem gesigneerd exemplaren van de Geschiedenis der Patristische en Middeleeuwse Wijsbegeerte (Ferdinand Sassen, 1932), van de Geschiedenis van de Wijsbegeerte der Negentiende Eeuw (Ferdinand Sassen, 1936) en Wijsbegeerte van onzen Tijd (Ferdinand Sassen, 1940).
Van Paul Govaerts is mij ook nog bijgebleven dat hij eens heeft deel genomen aan de fameuze TV- quiz Honderduizend of niets en dat hij struikelde over de laatste vraag. Deze populaire quiz werd eind 1956 gelanceerd, ging door op Zondagavond en werd afgesloten in 1959. Eén van de vragen die hij moest oplossen was Waar liggen de praalgraven van Karel de Stoute en Maria van Bourgogne ?(**) Het antwoord was zoals iedere Bruggeling weet In de Onze Lieve Vrouw- kerk van Brugge ..
Na enig aarzelen gaf hij het verkeerde antwoord.. Een juist antwoord zou hem eeuwige roem verzekerd hebben..
Een Marc Galle (leraar KCS van 1958 tot 1968) heeft zijn intrede in de Cadettenschool gedaan toen ik in rhetorica was ; ik heb hem echter niet als leraar gekend. Hij werd geboren in Denderleeuw op 11 september 1930. Hij was als Germanist afgestudeerd in Gent en behaalde later een doctorstitel aan de VUB (proefschrift over Louis Couperus). Zijn echtgenote Elsa Dehennin, daarentegen was een doctor in de Romaanse filologie (ULB).
Behalve aan de Koninklijke Cadettenschool te Laken, gaf Marc Galle(***) ook nog les aan de Hogeschool voor Vertalers en Tolken en aan het Rijks Hoger Instituut voor Toneel en Cultuurspreiding.
Voor het grote publiek werd hij bekend als taalraadsman van de toenmalige BRT in "Taalwenken", en "Voor wie haar soms geweld aandoet", waarin hij via de radio elke ochtend om half acht de Vlamingen attent maakte op hun taalonvolkomenheden.
Als hoogleraar gaf hij later les aan de Economische Hogeschool van Limburg en de Applicatieschool van de Rijkswacht. Ook was hij gastprofessor aan verschillende universiteiten. Tussen 1964 en 1977 was Marc Galle lid van de Vaste Commissie voor Taaltoezicht. Hij was bevriend met Gerard Walschap, Herman Teirlinck, Ernest Claes en Marnix Gijsen.
Marc Galle was duidelijk politiek geëngageerd en -in tegenstelling met Van Vlierden- flamingant. In 1968 was hij samen met Henri Fayat medestichter van de Vlaamse scheurlijst Rode Leeuwen. Later werd hij minister voor de Vlaamse Gemeenschap in de federale regeringen Martens en Eyskens (tot 1981) en minister van Binnenlandse Aangelegenheden in de allereerste Vlaamse executieve van Gaston Geens tussen 1981 en 1985.
In deze hoedanigheid zou hij de Cadettenschool nog eens opnieuw bezocht hebben ter gelegenheid van een of andere manifestatie.
Marc Galle overleed te Gent op 13 april 2007, zes dagen voor de uitspraak in een correctionele rechtszaak rond de nalatenschap van de weduwe van zijn goede vriend en auteur Marnix Gijsen.
Met Marc Galle trad een andere generatie leraren Nederlands in de Cadettenschool. In tegenstelling met hun voorgangers was de nieuwe generatie meer flamingantisch ingesteld. Een en ander houdt verband met de tijdsgeest en mentaliteitsverandering in de vijftiger jaren.
----------
(*) Wat de bijnaam den "dooien" betreft : de dochter van Paul Govaerts liet mij volgend rectificatie geworden, waarvoor nogmaals dank : "Deze is ontstaan op de volgende wijze, Paul Govaerts kwam met de fiets naar school en op een strenge winterdag werd hij bevangen door de warmte in het klaslokaal, hij zei tegen zijn leerlingen ik voel me niet goed en hij ging liggen op de trede, hij zag zo wit dat ze dachten dat hij dood was. Vandaar zijn bijnaam."
(**) Hier ook is een rechtzetting aangewezen. De zoon van Paul Govaerts schreef mij volgend bericht : "Jouw interessante tekst over mijn vader heb ik van mijn zus gekregen. Zij heeft de verklaring over zijn bijnaam al rechtgezet. Bijgaande foto met onderschrift geeft dan weer de juiste toedracht over de verloren finale van de Honderdduizend-of-nietsquiz. Op de foto zijn oud-leerling Toni Corsari, die nu eens de vragen mocht stellen, en Terry van Ginderen. In eerste instantie schreef hij Brugge, vaagde dit uit en, alhoewel hij wist dat Maria van Bourgondië in Brussel gedoopt was, schreef hij opnieuw Brugge. Drie letters maakten een verschil van 100.000 frank in februari 1959." De quiz-vraag betrof dus de geboorteplaats van Maria van Boergondië (Brussel) en niet de begraafplaats, zoals ik verkeerdelijk stelde..
(Hoofdstuk 3 "Taal en Cultuur in de Cadettenschool")
§ 3.2 Frans en Engels in de Cadettenschool
Mijn leraren Frans waren in de derdes Marcel De Grève en in poësis en rhetorica Adolphe (Joachim) Herremans en onrechtstreeks Maurice Grevisse. Wegens de internationale bekendheid van Maurice Grevisse als grammaticus heb ik natuurlijk deze laatste als ikoon voor dit bericht gekozen.
Marcel De Grève was leraar Frans in de Cadettenschool van 1947 tot 1968. Hij was afkomstig uit Aalst en, vanaf de eerste les in de derdes, preciseerde hij dat hij alleen Aolsters en Frans verstond.. Ik wist toen natuurlijk niet wat hij met Aolsters bedoelde en dacht in mijn naïveteit- dat hij het had over een of andere exotische taal Met dit gegeven (of moet ik eerder zeggen bevel ?) dompelde hij ons echter in -wat men heden noemt- een taalbad, want het was dus onmogelijk hem in het Nederlands te antwoorden. Dank zij deze maatregel heeft hij wellicht velen over de drempel van het zich practisch uitdrukken in het Frans heen geholpen. Voor mij betekende dit het begin van een latere perfecte tweetaligheid en hiervoor ben ik hem eeuwig dankbaar..
Marcel De Grève was nauwelijks 18 jaar toen WO II uitbrak. Later trad hij toe tot het Verzet. Hij werd aangehouden en ondervraagd door de Gestapo en zijn handen droegen nog de sporen van de martelingen, die hij had moeten doorstaan. Na de oorlog beëindigde hij zijn licentie Romaanse filologie en bekwam hij een doctorstitel met een proefschrift over Rabelais. Als mens dwong De Grève diep respect af wat misschien verklaart waarom hij geen bijnaam had.
Na het behalen van zijn doctorstitel werd hij benoemd tot buitengewoon hoogleraar aan de RUG en aan de VUB. Hij zou ook nog hebben gedoceerd aan de KMS. Hij was vrijzinnig en liet dit zeer duidelijk blijken. Hij richtte herhaaldelijk zijn pijlen op de Jezuïeten waarmede hij blijkbaar een eitje te pellen had. Wellicht had hij zijn jeugd doorgebracht in het fameuze Jezuïetencollege van Aalst, waar ook nog een Jean-Luc zijn broek versleten heeft ?? Hij had mijn sympathie
Zijn hoofdbekommernis in de derdes was ons de basisregels van de Franse grammatica bij te brengen. Vanzelfsprekend was zijn onderricht gebaseerd en geïnspireerd op Le Bon Usage van zijn collega Maurice Grevisse van de Franstalige Afdeling, waarover verder meer.
De eerste Franse auteur, waarmede wij in de derdes kennis maakten was Emile Verhaeren (1855-1916) en wellicht was dit niet zó maar toevallig. Emile Verhaeren was immers een Vlaams auteur, die in het Frans schreef, wat trouwens in de periode van vóór WO I volstrekt normaal was. Ook Georges Rodenbach (1855-1898), met wie Verhaeren samen op het Sint Barbaracollege te Gent gestudeerd had, schreef in het Frans. Georges Rodenbach is vooral bekend voor zijn werk Bruges-la-Morte, boek dat volgens vele Bruggelingen aan de basis lag voor de aanleg en uitbouw van de haven van Zeebrugge.
Emile Verhaeren was een persoonlijke vriend van Koning Albert I en Koningin Elisabeth en trouwens bevriend met vele bekende kunstenaars en auteurs als bvb Auguste Rodin, Edgar Degas, August Vermeylen, Henry van de Velde, Maurice Maeterlinck, Stéphane Mallarmé, André Gide, Rainer Maria Rilke, en Stefan Zweig Gedurende WO I publiceerde hij in anti-Duitse tijdschriften en trachtte hij door zijn conferenties en artikels de vriendschapsbanden tussen België, Frankrijk en Engeland te verstevigen. Hij was dus het voorbeeld van een goed patriot dus zeker een geschikte auteur voor een onderwijsinstelling als de Cadettenschool.
Het werk van Emile Verhaeren bestaat vooral uit poëzie en als dichter behoorde hij eerst tot de naturalistische strekking (zijn eerste dichtbundel Les Flamandes) later tot het symbolisme en mysticisme. Het erotisme bevat in Les Flamandes verwekte groot schandaal in zijn geboortestreek en zijn ouders trachtten met hulp van de pastoor de ganse oplage te vernietigen. Wellicht een andere reden waarom Marcel De Grève erg welwillend t.o.v. Verhaeren stond ??
Met Marcel De Grève hebben wij o.a. het gedicht L Escaut uit de dichtbundel Toute la Flandre gezien. Nu nog herinner ik mij de eindstrofe van dit fameuze gedicht, dat wij van buiten moesten leren.. :
Escaut! Escaut! Tu es le geste clair Que la patrie entière Pour gagner l'infini fait vers la mer.
Tous les canaux de Flandre et toutes ses rivières Aboutissent, ainsi que des veines d'ardeur, Jusqu'a ton coeur.
Tu es l'ample auxiliaire et la force féconde D'un peuple ardu, farouche et violent, Qui veut tailler sa part dans la splendeur du monde. Tes bords puissants et gras, ton cours profond et Sont l'image de sa ténacité vivace,
Een andere auteur die bij De Grève goed aan bod kwam was Honoré de Balzac met «Eugénie Grandet ». Ongetwijfeld werd deze roman gekozen wegens de zeer gedetailleerde beschrijvingen en niet zo zeer omwille van het verhaal. Het was immers de bedoeling onze Franse woordenschat wat bij te werken. De volledige roman heb ik eerst later gelezen evenals andere auteurs van het Pantheon der Franse literatuur. Het verhaal speelt zich af in Saumur en het portret dat Balzac van dit provinciestadje schetst, deed mij toen denken aan het ingedommelde Brugge.
Tot nu toe heb ik geen enkele foto van Marcel De Grève kunnen terugvinden. Voor zover ik mij herinner was hij steeds gekleed in een keurig kostuum van goede snit en droeg hij steeds een das. Hij had gitzwart haar, dat met brillantine(Bryl crème) bewerkt was. Ook droeg hij een donkere hoornen bril ; hij was echt het type van een dandy. Marcel De Grève overleed, tachtig jaar oud in 2002 en een In Memoriam verscheen in het Belgisch Tijdschrift voor Filologie en Geschiedenis 2002, n° 3 pp. 1045-1047.
Adolphe Herremans (leraar KCS 1956-1984), de Joachim (spreek uit Joachain) of de Joa (1) , gaf les in de Cadettenschool van 1956 tot 1984. Volgens sommigen was hij aan zijn bijnaam gekomen door zijn lyrische ontboezemingen over Joachim du Bellay. Volgens anderen was Joachim gewoon een van zijn voornamen want zijn eerste voornaam herinnerde wellicht teveel aan WO II. Persoonlijk opteer ik voor de tweede versie.
Hij was een heel ander type dan Marcel De Grève, het tegengestelde van een dandy en eerder wat slonzig. Zijn intellectueel leven was volledig ingesteld op in de Franse literatuur i.h.b. poëzie en theater. Zijn kennis van het Nederlands was beperkt en vermoedelijk had hij Romaanse filologie gestudeerd aan een Franstalige universiteit.
In poësis zagen wij voor zover ik mij nog kan herinneren- auteurs als Lamartine, de Musset, Verlaine, Baudelaire etc. In rhetorica kwamen dan de grote klassieken met Molière, Racine, Corneille aan de beurt..
Het behoorde in die jaren tot de geplogenheden de cultuur van de cadetten te verrijken door theaterstukken van genoemde auteurs te gaan bijwonen in le Théâtre des Galéries. Voor vele cadetten een meegenomen ontspanning : ik twijfel er echter aan of mijn klasgenoten, voor wie l esprit de géométrie nog meer van tel was, iets van deze cultuurverrijking hebben mee gedragen.
In feite was de Joa ietwat wereldvreemd en de werkelijke situatie van de cadetten, die voortdurend geplaagd werden door l esprit de géométrie, ontging hem blijkbaar volkomen. Van deze wereldvreemdheid hebben sommigen later gebruik gemaakt om hem te plagen of ja zelfs te kwetsen in zijn lyrische beschouwingen.. Voor zover ik nog weet was dit nog niet het geval met mijn promotie (eerste promotie waar hij les gaf) maar wel met latere promoties.
Bij een bespreking van La mare aux diables van Georges Sand, zou hij gevraagd hebben wat de klas dacht over la petite Marie, een jong meisje dat in deze roman een platonische verhouding had met een oudere man. Waarop een onverlaat hem in zijn beste Frans zou geantwoord hebben Ah, cest une putain hé Monsieur !!!. De arme kerel was er zo van geschokt dat hij er de tranen van in de ogen kreeg.. Zijn harstochtelijk pleidooi voor la petite Marie werd onthaald met ça c est des couilles en bouteilles.. tot algemene hilariteit van de klas.
Een dergelijk incident was bij een Marcel De Grève ondenkbaar en zou, hoe dan ook, zware gevolgen gehad hebben : we waren in de Cadettenschool nietwaar.. Maar ik denk dat de Joa de zaak wel blauwblauw zal gelaten hebben.. Die brave man heb ik nooit weten een P.S. uitdelen.. Misschien is dit later veranderd want cadetten verstonden maar één taal en dat was de taal van de P.S en P.V.
Een speciaal woordje over Maurice Grevisse is in deze aflevering zeker op zijn plaats ofschoon voornoemde geen les gaf in de Nederlandstalige maar wel in de Franstalige Afdeling van de Cadettenschool. Maurice Grevisse heb ik nog juist op de valreep gekend want 1955 was zijn laatste jaar voor hij op rust ging.
In 1915 had hij het diploma van onderwijzer behaald, en in 1919 dit van regent Littérature wat hem toeliet les te geven in de Pupillenschool van Marneffe. Zes jaar later behaalde hij het diploma van doctor in de klassieke filologie aan de Universiteit van Luik en werd hij in 1927 als leraar benoemd aan de Cadettenschool van Namen.
Als onderwijzer en later als leraar stelde hij vast dat de bestaande grammaires (spraakkunsten) niet voldeden aan bepaalde didactische vereisten en hij besloot een nieuw concept van grammaire te ontwikkelen, concept dat hij Le Bon Usage noemde. Na veel moeite vond hij in 1936 een bescheiden uitgever (Duculot) die bereid was Le Bon Usage te publiceren. Het werk kende onmiddellijk een groot succes en niemand minder dan een André Gide citeerde Le Bon Usage als de beste Franse spraakkunst in Le Figaro in Februari 1947 (literair supplement).
Het boek werd trouwens in 1939 bekroond met de De Keyn prijs van de Académie Royale de Belgique en verkreeg in 1946 de Gouden Medaille van de Académie Française. Voortdurend bijgehouden en herwerkt, heden onder de leiding van zijn schoonzoon André Goosse, telt deze spraakkunst nu meer dan 1600 paginas en is ook in electronische versie beschikbaar. Le Bon usage wordt heden beschouwd als HET referentiewerk voor auteurs en correctoren. Maurice Grevisse overleed op 4 Juli 1980.
Als derde moderne taal kwam het Engels aan bod, want van Duits kón heel eenvoudig weg geen sprake zijn. Het leed van WO II was immers nog niet vergeten. De Boheemse korporaal, zoals Hindenburg hem noemde (in werkelijkheid was Hitler afkomstig uit Braunau Oostenrijk-) en vooral zijn acolieten Goebbels en Rosenberg hebben er dus ook nog voor gezorgd dat de -door hen zo geroemde- Deutsche Kultur und Sprache niet de plaats in Europa toebedeeld heeft gekregen, die zij in normale omstandigheden zonder enige twijfel zouden verkregen hebben.
Het werd dus Engels en als leraren had ik in de derdes en in poësis Hubert Thomassen en in rhetorica Bernard Van Vlierden.
Hubert Thomassen had als bijnaam den Aap, maar hoe, waarom en wanneer hij die bijnaam verdiend had weet ik niet. In alle geval lang vóór mijn tijd. Hij was reeds leraar in 1948 en beëindigde zijn leeropdracht in 1975. Hubert Thomassen was zich wel bewust van de beperktheid van zijn leeropdracht. Er was immers geen examen Engels voorzien voor de toegang tot de KMS, zodat het vak Engels minder belangrijk werd geacht dan bvb Nederlands, Frans en wiskunde, die wel integraal deel uitmaakten van het toelatingsexamen.
Als schoolboek gebruikten wij voor zover ik mij nog herinner- The Shortest Way waarvan meerdere delen bestonden. Het was een koud kunstje om hem te laten uitweiden over andere onderwerpen dan Engels. Een van zijn geliefde onderwerpen was de grote werken in Brussel voor Expo 58. Regelmatig ging hij wandelen met zijn zoontje (hij woonde in de De Smet de Naeyerlaan in Laken) en kon ons derhalve een uitvoerig relaas geven over de vooruitgang van de bouwwerven. Vele cadetten dachten dat hij zich hierbij door ons liet bedotten. Maar daar was niks van aan. Hij was zich zeer goed bewust dat de cadetten af en toe eens moesten bekomen van al dat wiskundig geweld ons aangedaan door de Muis, de Snor en de Poes Den Aap was een brave vent, die de cadettenwereld begreep.
Ook Bernard Van Vlierden hield het in rhetorica wat minder strak.. Bij hem werd natuurlijk zeer uitvoerig «Haiwatha s song» van Henry Longfellow besproken. Erg verwonderlijk was dat niet. Immers niemand minder dan .. Gezelle was een zeer groot bewonderaar van Longfellow en .. een Van Vlierden was een groot bewonderaar van Gezelle en dus was de kring gesloten.
Guido Gezelle citeerde trouwens Longfellow als de grootste onder de Noord- Amerikaanse dichters en het zeer geprezen Haiwatha s song werd door hem op een briljante manier vertaald. Ook Longfellow-zelf was enthoesiast over het vertaalwerk van Gezelle (2) .
Volgens Bernard Van Vlierden zou dit vertaalwerk Gezelle zelfs geholpen hebben om zijn depressie te boven te komen. Depressie die was opgetreden door zijn overplaatsing van Brugge naar Kortrijk en het opgelegde schrijfverbod een essentieel punt van het doctoraal proefschrift van Bernard Van Vlierden.
Bij het mondeling eindexamen in rhetorica merkte Van Vlierden dat ik tot op het laatste ogenblik mijn nota's over Longfellow's Haiwatha aan het doornemen was. Hij lachte eens en vertelde mij dat hij nooit ofte nooit de cadetten over deze materie ondervroeg.. en dat ik derhalve mijn notities mocht vergeten..
Maar ik liet mij niet bedotten -na drie jaar cadettenschool kenden wij immers de streken van onze leraars- en verdubbelde mijn inspanningen..
En wat dacht je ... als eerste mondelinge vraag had ik... "Haiwatha" natuurlijk
----------------------------
(1) Guy Cools (cadet 1970-1973) was zo vriendelijk nog volgende gegevens te verstrekken:
.... Ik heb de Joa ook als leraar gehad, en wel van begin tot einde (70-73). Zijn bijnaam was al afgezwakt naar Joe. Drie zaken staan me nog bij: Een, het was inderdaad een zeer emotioneel man. Generaal De Gaulle is gestorven toen ik in de KCS zat. De begrafenis kwam rechtstreeks op de radio en wij hebben er de hele les moeten naar luisteren. De Joe was letterlijk tot tranen toe bewogen. Twee, de Joe was een kleine commerçant. Iedereen kocht bij hem koekjes om op een goed blaadje te staan bij hem. Drie, hij was ook een fervent FDF-aanhanger. Ik herinner me nog zeer goed hoe hij ongelooflijk blij was met de verkiezingszege van het FDF begin jaren zeventig. Hij verkondigde dan ook graag het FDF-standpunt aan zijn Vlaamse leerlingen, die daar alleen maar goed konden mee lachen....
Deze gegevens tonen ten overvloede aan dat de communautaire problematiek zich ook reeds tot het lerarenkorps had uitgebreid en zich niet alleen beperkte tot de Vlaamse leraren als bvb Marc Galle. Het is dan ook niet verwonderlijk dat onze "Joa" later toen hij met pensioen ging, verhuisde naar zijn "douce France"
(2) Longfellow had immers volgend schrijven naar Gezelle gericht gedateerd op March 11 1877 en die Bernard Van Vlierden ons het jaar voordien in de lessen Nederlands (poesis) uitvoerig had gecommentarieerd :
My dear Sir,
I have had the pleasure of receiving your letter and the specimen of your translation of "Hiawatha" into Flemish, which you have been kind enough to send me. It seems to me extremely well done, and the only criticism I can venture to make upon it is, that occasionally you end a line with an accented syllable, as for instance "wilgeboom" "wit en wijd" etc., which, I suppose could be easily remedied. You have my full and free sanction to complete the version you have so happily begun, and there is no copyright to hinder you or interfere with you in any way. Thanking you for this mark of your consideration and regard, I am, my dear Sir,
(Hoofdstuk 3 "Taal en Cultuur in de Cadettenschool")
§ 3.3 Latijn in de Cadettenschool
Met André Van der Kerken (Grieks en Latijn) bevinden wij ons in het centrum van l esprit de finesse. Van der Kerken is ontegensprekelijk het boegbeeld van de cadetten, die ingeschreven waren in de Grieks-Latijnse sectie. Zijn humanisme en grootmenselijkheid hebben bij vele van zijn leerlingen diepe sporen nagelaten. Om al deze redenen heb ik natuurlijk een "Van der Kerken in actie" als ikoon voor dit bericht uitgekozen.
Ik had het reeds herhaaldelijk over l esprit de géométrie en l esprit de finesse. Misschien is nu wel het ogenblik gekomen om iets over deze begrippen te zeggen. Voornoemde begrippen zijn afkomstig van Blaise Pascal (1623-1662) en werden gecommentarieerd in zijn Pensées. Hij schreef o.m. :
«..Tous les géomètres seraient donc fins s ils avaient la vue bonne, car ils ne raisonnent pas faux sur les principes qu ils connaissent; et les esprits fins seraient géomètres s ils pouvaient plier leur vue vers les principes inaccoutumés de géométrie ..»
Deze ene zin vat precies samen wat van een Grieks-Latinist in de Cadettenschool verwacht werd : enerzijds moest hij zijn esprit fin ontwikkelen (zijn intellect oriënteren naar literatuur, filosofie en logica ) anderzijds moest hij trachten ook een géomètre te zijn (intellect georiënteerd naar wiskunde en wetenschappen).
Een Blaise Pascal (mathematicus, fysicus, filosoof, moralist, prozaschrijver) had daar geen problemen mee. Wij wel
Maar terug naar André Van der Kerken. André gaf les in de Cadettenschool van 1947 tot 1970 en heeft dus nog Seilles meegemaakt. Over de persoon van André Van der Kerken zelf heb ik weinig kunnen terug vinden. Hij had, zoals hij ons zelf vertelde, klassieke filologie en rechten gestudeerd en was doctor in de klassieke filologie. Wel had hij het veelal over zijn broer die Jezuïet was en Hegeliaan. Over deze laatste heb ik wel een en ander kunnen terugvinden waardoor de figuur van André Van der Kerken meer begrijpelijk wordt.
Zijn (oudere ?) (*) broer Libert was geboren in 1910, trad tot de Jezuïeten toe in 1917 en promoveerde in Leuven in 1944. Vanaf hetzelfde jaar doceerde hij theologie en filosofie aan de Filosofische Faculteit van het Theologisch en Filosofisch College S.J. in Leuven en was van 1959-1981 hoogleraar in de filosofie aan de Universitaire Faculteiten St. Ignatius te Antwerpen. Libert Van der Kerken was een spiritualistisch filosoof ; zijn denkmethode was gebaseerd op fenomenologische analyse verbonden met een dialectiek van hegeliaanse inslag. Libert Van der Kerken overleed in 1998.
André Van der Kerken had een groot respect voor zijn broer en was duidelijk beïnvloed door diens denkmethode en Hegeliaanse beschouwingen. Dat André Van der Kerken ook beïnvloed was door Hegel- zelf was niet verwonderlijk. Hegel (1770-1831) was immers niet alleen begeesterd door de Griekse Oudheid, de Franse Revolutie en het pantheïsme maar overzag ook de gehele wetenschap van zijn tijd : wis- en natuurkunde, aard- en volkenkunde, en i.h.b. de rechtswetenschap en geschiedenis. Op deze grondvesten had Hegel zijn eigen dialectiek opgebouwd, die in vele opzichten verschilde van die van Immanuel Kant.
Een klassiek filoloog (Griekse Oudheid, pantheïsme), jurist (rechtswetenschap en geschiedenis) en sociaal bewogen persoon (devies : liberté, égalité, fraternité van de Révolution Française) als André Van der Kerken kon zich gemakkelijk in deze filosofie terug vinden. Dit verklaart o.m. zijn menselijke en begrijpende houding t.o.v. zijn leerlingen en deze houding werd nog versterkt door enkele persoonlijke ervaringen.
Voor hem was bvb de beslissing van de legerleiding om de Cadettenschool na WO II eerst in Seilles te vestigen -vanuit rechtsstandpunt- een ongelooflijke flater. De Vlamingen die in Seilles gestudeerd hadden dienden tengevolge de Taalwetten van 1932, na hun humaniora de Middenjury te passeren om hun humanioradiploma te valideren, de Walen kenden dit probleem natuurlijk niet !! Natuurlijk dit onrecht werd in 1949 opgeheven door de Cadettenschool naar Brussel (tweetalig gebied) te verplaatsen, maar het kwaad was weer eens geschied. Ook vertelde hij, dat hij in zijn college geschiedenis in het Frans gedoceerd had gekregen, een taal die hij niet beheerste. Hij kende niet eens het woord histoire. Toen hij het woord onder Istoire opzocht en de studiemeester dit merkte, zei deze hem dat hij een Imbécile was. Maar besloot hij zijn verhaal, de imbécile was de studiemeester.. Nochtans was André Van der Kerken geen flamingant, maar hij was niet blind voor het onrecht, dat de Vlamingen aangedaan werd gedurende het interbellum.
Van der Kerken verliet de Cadettenschool in 1970 (de Grieks-Latijnse sectie werd immers afgeschaft). Hij werd later nog Directeur van een Hoger Instituut in het Brusselse.
Voor de lessen Latijn zat de Grieks-Latijnse (G. L.) te samen met de Latijn-Wiskundige (L. W.) sectie. Dat had als resultaat dat wij de mannen van de L. W. heel wat beter kenden dan die van de W. ; overigens hadden wij met de L. W. ook nog andere vakken gemeenschappelijk o.a. scheikunde en geschiedenis.
Officieel was de Lingua Latina Spraakkunst van Baeyens (1951, 9de druk), schoolboek dat in de meeste athenea werd gebruikt, onze Latijnse spraakkunst. De voorkeur van Van der Kerken ging echter -hoe zou het anders kunnen als je een broer als Jezuïet hebt- naar de Beknopte Latijnse Spraakkunst van S.J. Adhemar Geerebaert (1953), een schoolboek dat toen in alle colleges werd gebruikt en dat ook in mijn collège Saint-Louis werd voorgeschreven.
De Peter Gaarebaert (vervorming van Pater Geerebaert) zoals Van der Kerken deze Spraakkunst -met enige humor- noemde was inderdaad wel beter en vooral veel genuanceerder dan de Baeyens.
Het merendeel van mijn klasgenoten waren niet vertrouwd met de Peter Gaarebaert ; ook merkte ik wel dat, qua Latijnse kennis, ik op hen wat voorsprong had. Mijn verblijf in het collège Saint Louis had dus toch iets opgebracht !!
In de derdes en in poësis was ik dan ook primus in Latijn, maar niet in rhetorica. Dit kwam omdat een van mijn klasgenoten het plots in zijn hoofd gekregen had om voor Jezuïet te studeren. Van der Kerken vond het zoals hij het mij zelf vertelde en zich daarbij excuseerde- daarom nodig hem de prijs Latijn toe te kennen.
In de derdes staken wij (opnieuw) van wal met Caesar s De bello gallico en ik hoorde het dus voor de tweede maal dat :
.. Horum omnium fortissimi sunt Belgae, propterea quod a cultu atque humanitate provinciae longissime absunt..
Maar ditmaal kwamen ook andere hoofdstukken aan bod o.m. Ambiorix (De bello gallico V). Ik vermoed dat Van der Kerken uit Limburg (*) kwam..
Vervolgens was er de onvermijdelijke Titus Livius met een paar teksten uit Ab urbe condita. Reeds in het Sint Lodewijkscollege had ik met deze auteur kennis gemaakt door enkele teksten o.m. over Scipio Africanus, Hannibal, .., die in ons schoolboek "Excerpta" waren opgenomen. Tite-Live zoals Van der Kerken deze Latijnse historicus -met enig sarcasme- noemde, was voor hem de aanleiding om het te hebben over de geschiedenis van de Romeinse republiek en het ontstaan van het Romeinse Keizerrijk. Hij had het o.a. over de stichting van Rome met Romulus en Remus, de Virgines Sabinae -de roof der Sabijnse Maagden-, een onderwerp dat zovele schilders (Rubens, David, Poussin, Picasso..) bekoord heeft. Wij waren ook bekoord ... maar om andere redenen..
Verder kwam ook Etrurië en de Etruskische beschaving aan de beurt aan de beurt, beschaving die hem erg nauw aan het hart lag.
In poësis volgden dan de Romeinse dichters Ovidius en Vergilius. Welke Latinist herinnert zich niet de Metamorphosen van Ovidius met het moraliserende verhaal van Daidalus en Icarus en het ontroerende gedicht over Philemon en Baucis ?? Nog steeds ken ik de aanhef van Daidalus en Icarus, want ik had de eer dit gedicht te mogen voordragen.. :
Daedalus interea Creten longumque perosus exilium tactusque loci natalis amore, clausus erat pelago. "terras licet" inquit "et undas obstruat; at caelum certe patet; ibimus illac! Omnia possideat, non possidet aera Minos." Dixit et ignotas animum dimittit in artes naturamque novat.
En Vergilius en zijn bekendste werk de Aeneïs, een epos over de legende van Aeneas en dus over het ontstaan van Rome. Vaag herinner ik mij nog gedichten als Aeneas in de storm, de liefdesperikelen van Dido, de wrok van Juno, het paard van Troje, de dood van Laocoön. Het was een onderdompeling in een wereld, die mijlenver verwijderd was van onze dagelijkse wiskundige beslommeringen. En toch was ook hier de wiskunde niet zo ver af zoals een kleine anekdote bewijst.
Onze brave Vergilius was geboren in -70 en zoals Van der Kerken vertelde- was in 1930 de viering van zijn tweeduizendste geboortedag gepland (-70 + 1930 = 2000 nietwaar ). Deze viering was al in volle gang toen een wiskundige ambetanterik de bemerking maakte, dat pas in 1931 er tweeduizend jaar zouden verstreken zou zijn sedert de geboorte van de dichter. Er bestaat immers geen jaar nul.. Een fameuze blunder voor de adepten van de esprit de finesse..
Er valt dus wel degelijk iets te zeggen voor de combinatie esprit de finesse en esprit de géométrie, nietwaar ??
In rhetorica was er natuurlijk Cicero met pro Milone en de fameuze Catilinarische redevoeringen. Herinnert u zich nog de bijtende, blaffende aanhef van de eerste Catilinarische redevoering :
(vrij vertaald : hoelang nog Catilina zult u met onze voeten spelen ??
En Tacitus met zijn Annales, waar men zoals t Kerkske het uitdrukte- tussen de regels moest lezen, want ook in deze tijden was het aangeraden.. aan auto-censuur te doen !!
En Plinius de Jongere, die in zijn Epistulae gericht aan Tacitus, de uitbarsting van de Vesuvius beschreef, waarbij zijn oom Plinius de Oudere om het leven kwam.
Deze uitbarsting gebeurde op 24 augustus 79 en bedolf o.m. Pompeï en Herculanum onder een dikke aslaag. Een goede driehonderd jaar geleden ontdekte men terug deze sites. De wetenschappelijke opgravingen begonnen in de 19de eeuw en zijn bvb in Herculanum (het huidige Ercolano) nog steeds niet beëindigd.
Volgens Van der Kerken moest iedere Latinist, die naam waardig, toch minstens eenmaal in zijn leven deze sites bezoeken. Vele jaren later heb ik beide sites een aantal keer- mogen bezoeken, want ik vertoefde later beroepshalve- regelmatig in de streek van Sorrento en Napels : hij had natuurlijk overschot van gelijk..
---------- (*) De kleindochter van André Vander Kerken was zo vriendelijk mijn vermoedens te bevestigen : André was inderdaad jonger dan zijn broer Libert. Hij was geboren in Heppen (Limburg) op 12 december 1915 en is overleden in Laken op 25 november 1992. Hij was ook reserve-officier, oudstrijder en krijgsgevangene 1940-1945. Na zijn loopbaan aan de Koninklijke Cadettenschool, is hij Directeur geworden van de Administratieve en Economische Hogeschool te Brussel.
Zijn homilie bevatte o.m. volgende ontroerende tekst :
"Onderwijs was mijn roeping. Een gelukkige toekomst helpen opbouwen voor zovelen, werd mijn levensdoel. Vriendschap mogen delen, mijn dagelijks brood"
(Hoofdstuk 4 "Taal en Cultuur in de Cadettenschool")
§ 3.4 Grieks in de Cadettenschool
Elke Grieks-Latinist, deze naam waardig, kent en dweept met Homeros en cadetten vormen op dit vlak zeker geen uitzondering. Vandaar dat mij -voor dit bericht- de ikoon "Homeros" erg geschikt lijkt. Nochtans is in het Westen het Grieks nooit echt -de Hellenistische periode te na gesproken- de taal van de erudiet geweest. Enkele tientallen decennia geleden was alleen Latijn dé spreek- en schrijftaal van de erudiet en zo communiceerden geleerden, filosofen en religieuzen practisch uitsluitend in het Latijn, nooit in het Grieks.
Het meest markante voorbeeld in de wetenschappen was wellicht het boek Philosophiae naturalis principia mathematica (kortweg de Principia) van Newton, een boek dat dateert van 1687 en waarvan de eerste Engelse vertaling, verzorgd door Andrew Motte, maar verscheen in 1729. Voor wat de religieuze wereld betreft is algemeen bekend dat tot Vaticanum II (1962) de Missen nog uitsluitend in het Latijn werden gelezen en tot op heden worden de Pauselijke Encyclieken nog steeds in het Latijn opgesteld. Latijn was ook de taal van de rechtsgeleerden en vele gebruikte rechtstermen bewijzen zulks ten overvloede.
De laatste decennia is hierin verandering gekomen en werd ook Latijn althans in de wetenschappen en de rechtsgeleerdheid- minder en minder als universeel communicatiemiddel gebruikt : het Latijn werd zoals het Grieks werkelijk een dode taal.
De Latijnse taalleergangen in het secundair onderwijs dienden noodzakelijkerwijze deze trend te volgen. Dit had tot gevolg dat Latijn niet langer werd aangeleerd als spreek- of schrijftaal maar wel als een soort sleutel, die rechtstreekse toegang verleende tot de Latijnse beschaving.. Vóór 1950 kon men nog van een rhetoricastudent verwachten dat hij zich kon uitdrukken in het Latijn (Loquor latina lingua) en bvb een Latijnse redevoering kon afsteken. Dit lijkt nu irrationeel en utopisch. Daarentegen wordt heden veel meer aandacht besteed dan vroeger aan de Romeinse culturele nalatenschap.
In tegenstelling met Latijn is Grieks (oud-Grieks) practisch nooit als universele spreek- of schrijftaal gebruikt maar steeds als een toegangssleutel tot de Griekse beschaving. Qua onderwijs, was er dan ook -door de eeuwen heen- een beduidend verschil in het onderricht Grieks respectievelijk Latijn. Dit verschil is heden volledig uitgevlakt is en beide talen zijn volledig georiënteerd als sleutel tot de Griekse respectievelijk Romeinse beschaving.
Een klassiek filoloog als André Van der Kerken, die zeer hoog opliep met de klassieke oudheid en i.h.b. met de Griekse beschaving, oriënteerde dan ook volledig de lessen Grieks in deze zin. Naast Griekse woordenschat, taaleigen en grammatica, werd dan ook een ruime rol toebedeeld aan de Griekse cultuur- en beschavingsgeschiedenis. Hij had het dan ook voortdurend over de Minoïsche beschaving en Mycene, de Achaeërs, de Doriërs en de Ioniërs, de Hellenen, de archeologen Heinrich Schliemann (1822-1890) en Arthur Evans (1851-1941).
In de Cadettenschool werd Grieks onderwezen aan een zeer beperkt aantal cadetten. In mijn promotie (Roger Collin) bvb waren er in de derdes 9, in poësis 6 en in rhetorica 4 leerlingen. Men kon dus echt wel gewagen van privaatlessen. Het was niet verwonderlijk dat er tussen Grieks-Latinisten en Van der Kerken een soort vriendschapsrelatie ontstond en zo was hij in rhetorica de eerste die wist of zijn cadetten zich al dan niet voorbestemden voor de KMS. Voor de Grieks-Latinisten was er immers na de KCS een andere mogelijkheid dan de KMS met name de universiteit met een loopbaan als militair arts, apotheker of veearts. Velen vroegen hem daarbij raad...
Aan mij, die een militaire carrière echt niet zag zitten en die al evenmin goesting had om geneeskunde te studeren, gaf hij de raad om -hoe dan ook- te beginnen met farmacie en indien mogelijk later deze studie te bekronen met een doctoraat. Natuurlijk wist ik op dit ogenblik niet wat een doctoraatsstudie inhield. Hoe dan ook, ik heb zijn goede raad wel ter harte genomen..
Als Griekse Spraakkunst gebruikten wij officieel de Lingua Graeca Spraakkunst van Baeyens en De Waele (vierde druk -1952-) maar ook hier werd onvermijdelijk de Beginselen der Griekse Spraakkunst van S.J. Karel Van de Vorst aangeprezen.
In de derdes hadden wij natuurlijk de traditionele Xenophoon met zijn Anabasis. Xenophoon is qua eenvoud van taal te vergelijken met Caesar en wordt om deze reden doorgaans als eerste kennismaking met de Griekse literatuur voorgeschreven. De Anabasis is zoals de De bello Gallico van Caesar- een historisch oorlogsverslag, dat Xenophoon schreef in 398 BC. Hier gaat het echter over de Perzische oorlog tussen Cyrus en Artaxerxes II. Letterlijk betekent Anabasis "de tocht naar het binnenland" maar het wordt ook wel eens "de tocht van de tienduizend" genoemd, omdat het ging over tienduizend Griekse huursoldaten, die Cyrus moesten helpen de macht te grijpen en Artaxerxes II van de troon te stoten.
Nadat Cyrus in de omgeving van Babylon gesneuveld was en de Griekse officieren op verraderlijke wijze waren gevangen genomen en geëxecuteerd, was het huurlingenleger op zichzelf aangewezen om de terugtocht (Katabasis of tocht uit het binnenland) aan te vatten. Xenophoon werd als aanvoerder verkozen en hij had als taak het verdwaalde leger terug thuis te brengen. Op de terugtocht sneuvelden er vele huurlingen in gevechten met wilde bergstammen en kwamen er andere om door de barre winterse omstandigheden. Een zeer beroemde scène uit de Katabasis is dan ook die waar de Grieken huilend van geluk de zee met Thálassa! Thálassa! begroeten als ze de laatste bergrug overwonnen hebben.
Van de Anabasis is mij bijgebleven :
«Εντευθεν εξ-ελαυνει σταθμους δυο παρασαγγας δεκα »
(vertaling: Vandaar trokken ze verder tien parasangen(1) ver in twee dagmarsen)
Hoeveel keer dit zinnetje in de «Anabasis» voorkomt alleen de telwoorden δυο en δεκα verschillen naargelang het hoofdstuk- heb ik nooit willen tellen ..
In de poësis was het de beurt aan Homeros (Ilias en Odyssee). Homeros is een (volgens de traditie blinde) dichter en zanger die vermoedelijk rond 800 BC heeft geleefd. Het Grieks van Homeros is uiteraard niet dit van de historicus Xenophoon : er is tussen beide auteurs meer dan vier eeuwen verschil en dit is duidelijk aan de grammatica te merken. De Ilias is geschreven in archaïsch Grieks en onderscheidt zich van het Attisch van Xenophoon in zowel woordenschat als in syntaxis. De naam Ilias is afgeleid uit Ilion, een andere naam voor Troje.
De gebeurtenissen beschreven in de Ilias betreffen het laatste oorlogsjaar van de tienjarige Trojaanse Oorlog (1190-1180 BC) ; in de Odyssee daarentegen gaat het over de tien jaar durende terugtocht van de held Odysseus na de Trojaanse oorlog. Troje (Anatolië) en Ithaka (thuisbasis van Odusseus) liggen nu precies niet naast elkaar, maar om over deze afstand tien jaar te moeten doen, dat lijkt mij wel wat ietske te veel van het goede.
Qua omvang zijn beide epen ongeveer gelijk (Ilias 15.640 verzen ; Odyssee 12.084 verzen). In het middelbaar onderwijs beperkt men zich tot de voornaamste zangen (hoofdstukken) van elk epos. Deze heldendichten voeren een groot aantal personages ten tonele en veronderstellen een grote kennis van de Griekse mythologie :
Van Griekse zijde hebben we : Menelaos en zijn vrouw Helena, die bezwijkt voor de charmes van Paris en met hem naar Troje vlucht; Agamemnon (3) , broer van Menelaos, zijn vrouw Klutaimnestra en hun dochter Iphigeneia ; als Griekse helden : de onkwetsbare Achilleus, zijn vriend Patroklos en zijn zoon Neoptolemos, de oude wijze Nestor, de oersterke Ajax , de listige Odysseus zijn trouwe echtgenote Penelope en zijn zoon Telemachos, de onheilsprofeet Kalchas, de dappere Diomedes
Van Trojaanse kant hebben we dan : Paris en Hector, zonen van Priamos -koning van Troje-, Andromache, vrouw van Hector en haar zoontje Astyanax ; Cassandra, dochter van Priamos, ; Aeneas, een andere Trojaanse prins, wiens nageslacht Rome zou stichten. Verder is er de ziener Laokoon met zijn twee zoons Athenedoros en Polydoros, die op bevel van Poseidoon door 2 zeeslangen gewurgd worden .. Het verhaal van Laokoon komt echter alleen in Virgilius Aeneïs voor. De Latijnse auteur laat hem het gevleugelde zinnetje Timeo Danaos, et dona ferentes uitspreken
Zoals Van der Kerken het ons duidelijk maakte : de Griekse helden zijn tranerige of tirannieke helden.. Een Achilles bvb zit op een rots te wenen over het verlies van zijn hetaere Briseïs, die de sombere Agamemnon hem heeft afgenomen : anderzijds aarzelt de chef Agamemnon niet zijn eigen dochter Iphigeneia in Aulis op te offeren om te kunnen afvaren naar Troje.. Deze laatste wordt echter uiteindelijk gered door de godin Artemis. Daarentegen zijn de Trojaanse helden eerder grootmoedig en veelal diep-humaan. Zo is er het ontroerende afscheid van de helmboswuivende Hector aan Andromache en Astyanax op de muren van Troje.
Allen zijn ze echter het slachtoffer van de intriges tussen de goden en godinnen, die elk hun kamp kiezen.
De oppergod Zeus zelf speelt een twijfelachtige rol.
Hera, vrouw van Zeus, en Pallas Athena, dochter van Zeus, steunen de Grieken uit wrok tegen Paris, die Aphrodite tot mooiste godin had uit geroepen. Hephaestus, god van vuur, smederijen en handwerk, die Achilles' nieuwe wapenrusting maakt en Poseidon, god van de zee, kiezen insgelijks het kamp van de Grieken.
Aphrodite, godin van de liefde, Ares, god van de oorlog en tegenstrever van Pallas Athene, en Apollo, zonnegod en beschermgod van Troje, steunen natuurlijk het Trojaanse kamp.
De Ilias telt 24 zangen met elk ongeveer 800 verzen. De laatste zang gaat over de begrafenis van Hector. Noch de dood van Achilleus veroorzaakt door een pijl in de Achillespees afgeschoten door Paris, noch het Paard van Troje komen in de Ilias voor. Het Trojaanse Paard wordt echter wel vermeld in de Odyssee en ook in de Aeneïs van Virgilius.
De Odyssee telt eveneens 24 zangen. In de eerste 4 zangen heeft Telemachos, de zoon van Odusseus de hoofdrol en wordt daarom dit deel van de Odysse ook nog Telemachie genoemd. De verdere zangen zijn een vervolg op de Ilias en vertellen het verder wedervaren van de Griekse helden.
In de Oudheid moesten in Griekenland de zonen van goeden huize zowel Ilias als Odyssee in extenso van buiten kennen. Wat volgens Socrates van Homeros de Opvoeder van Griekenland maakte.
Zover wou een Van der Kerken niet gaan, maar hij vond dat een Grieks-Latinist, die naam waardig, toch de eerste verzen van de Ilias(2) moest van buiten kennen :
Μῆνιν ἄειδε, θεά, Πηληιάδεω Ἀχιλῆος
οὐλομένην, ἣ μυρί Ἀχαιοῖς ἄλγε ἔθηκε,
πολλὰς δ ἰφθίμους ψυχὰς Ἄϊδι προῒαψεν
ἡρώων, αὐτοὺς δὲ ἑλώρια τεῦχε κύνεσσιν
οἰωνοῖσί τε πᾶσι Διὸς δ ἐτελείετο βουλή
Wij zijn dan ook t Kerkske, zoals hij in de omgang genoemd werd, ter wille geweest..
vraag : wie of wat stellen begeleidende fotos en figuren voor ??
tip : de namen zijn vermeld in de tekst...
-------
(1) 1 parasang is ongeveer 6 km
(2) voor een brillante, vrije, esthetisch-verantwoorde Nederlandse vertaling zie Carel Vosmaer s De Ilias van Homeros (1880). Van dit boek zijn meerdere herdrukken verschenen en nog steeds te verkrijgen in bepaalde boekhandels. Sommige filologen, zoals de Amsterdamse hoogleraar S. A. Naber, die nog met Vosmaer de schoolbanken van het gymnasium had gezeten, hebben volgens Van der Kerken- deze vertaling totaal ten onrechte bekritiseerd.
(3) het gouden masker van Agamemnon gevonden door Schliemann in Mycene en dat bewaard wordt in Athene, is niet van Agamenon
(Hoofdstuk 3 "Taal en Cultuur in de Cadettenschool")
§ 3.5 Kennismaking met de Helleense Cultuur
Een rhetoricaklas (Grieks-Latijnse sectie) met welgeteld vier leerlingen !!! Zoals ik reeds schreef,betekende dit privaatles voor vakken, die specifiek bestemd waren voor deze sectie. En dit was niet alleen het geval met het taalvak Grieks, maar ook met de wiskundevakken Algebra en Analyse, Axiomatische Meetkunde en Trigonometrie. Grieks-Latinisten waren immers onderworpen aan een specifiek, eigen wiskundeprogramma, waarover verder meer.
En of er privaatles werd gegeven De leerstof overschreed dan ook beduidend deze van het officiële leerprogramma, maar werd juist daardoor bijzonder boeiend, omdat nu onderwerpen aan bod kwamen, die anders nooit in de klassieke humaniora behandeld worden, want aanzien als te delicaat of te moeilijk bvb over de positie van de vrouw, de homosexualiteit (gedichten van Sappho) enz.
In rhetorica werd ons voor het eerst echt duidelijk wat men met Grieks studeren bedoelde. Het finale doel was een onderdompeling in de Helleense cultuur, een echt cultuurbad. De o zo moeizaam verkregen taalkennis (woordenschat, taaleigen en grammatica) van de voorgaande jaren bleek nu uitstekend van pas te komen.
André Van der Kerken had een duidelijke uitgesproken voorkeur voor de Griekse taal en natuurlijk had hij het uitgebreid over zijn Demosthenes (1) (384-322), de grote redenaar, jurist en politicus en over de Philippikas, de beroemde redevoeringen tegen Philippos van Macedonië. Juist om deze reden heb ik als ikoon voor dit cursiefje, de buste van Demosthenes, gebeeldhouwd door Polyeuktos, gekozen.
Verder waren er de grote Attische dramaturgen zoals Aeschylos (2) (525-456) met de bekende trilogie Oresteia (met o.a. de tragedie Agamemnon), Sophokles (3 ) (496-406) met Antigonè en Koning Oidipus, en tenslotte de -door de Franse classici aanbeden- Euripides (4) (480-406) met Andromachè, Elektra, Iphigenia in Aulis en Iphigenia in Taurus.
Euripides behoort tegenwoordig tot de meest opgevoerde toneelauteurs in Griekenland. Zijn stukken worden nu speciaal voor toeristen maar ook voor de Grieken-zelf- opgevoerd o.m. in het meest fantastische theater ter wereld, het theater van Epidauros.
Maar er was ook de fijnbesnaarde blijspeldichter Aristophanes (5 ) (446-386), die de sofistische filosofie als een culturele bedreiging aanzag (cf het blijspel Wolken of de school der sofisten) en die met de tragedies van Euripides de spot dreef (cf Thesmophoriaen Lysistrate). De treurspelen van Euripides hadden volgens hem een verderfelijke invloed op de toeschouwer omdat zij volgens hem een ode waren aan de oorlog en aldus het vredesideaal bedreigden.
Natuurlijk waren er de grote Griekse filosofen,vooreerst Socrates (8) (470-399) met de hermeneutiek en maieutiek, verder Plato (7) (427-347) met de Akademeia en de geënsceneerde Dialogen, en tenslotte Aristoteles (6) (384-322), met het Lykeion en de Peripatetische School. Hoeveel keren heeft een Van der Kerken ons niet spottend gezegd dat wij peripatetici waren en wij wisten zeer goed wat hij hier mede bedoelde.
En welke Grieks-Latinist, die naam waardig, zou ooit Platos beschrijving van de doodstrijd van Sokrates, die veroordeeld werd tot de giftbeker, kunnen vergeten? Later heb ik kunnen vaststellen dat deze beschrijving precies klopte met het intoxicatie syndroom van de gevlekte scheerling (Cicuta maculata)
Maar een Van der Kerken had het ook over de milesische natuurfilosofen met Thales van Milete (9) (624-545), Anaximander en Anaximenes, over Pythagoras en zijn school (10) en over de School van Elea met Parmenides (11) , Xenophanes en Zeno van Elea (490-430) en zijn beruchte Paradoxen (12) . Ook de natuurfilosofen uit de 5de eeuw Herakleitos (13) , Empedokles, Leukippos , Demokritos en Anaxagoras en de Sofistiek (14) met Protagoras kwamen aan de orde.
Van Empedokles vertelde Van der Kerken dat deze in de krater van de Etna sprong met de bedoeling te reïncarneren als onsterfelijke god Helaas voor Empedokles zou (volgens de overlevering) de vulkaan één van zijn bronzen sandalen terug gespuwd hebben, wat het ergste doet vermoeden... En van Protagoras, de sofist die wegens goddeloosheid verbannen werd , wat toch nog altijd beter was dan de giftbeker. Dit alles volgens mijn aantekeningen van destijds in Sassen s boek Geschiedenis van de Wijsbegeerte der Grieken en Romeinen, een boek dat het admittatur van André Van der Kerken droeg.
Natuurlijk kwamen ook de hellenistische filosofie (15) met de stoïcijnse ( de Stoa (16) met Zeno (17) van Citium (333-264))en epicuristische (Epikouros (18 ) (341-270)) levenshoudingen aan de orde. Volgens Van der Kerken kenden die levenshoudingen groot succes omdat de intellectuele en contemplatieve levenswijze, zoals voorgeschreven door het Lykeion en de Akademia, te diepzinnig en te weinig naar het dagdagelijkse leven gericht was.
Wat de onovertroffen Helleense kunst betreft, kwam in de eerste plaats de architectuur of bouwkunst (19) en hieraan gekoppeld de beeldhouwkunst (Phidias (20) , Praxiteles (21) , Skopas (22) e.a.) aan bod. En zeer uitvoerig werden de Atheense Akropolis (23) en het Parthenon (24) besproken. André Van der Kerken leerde ons de eeuwige, ontroerende schoonheid van deze gebouwen, beelden en frontons, ofschoon sterk vervallen en gehavend, waarderen.
In tegenstelling met wat velen denken fotos zijn misleidend- waren oorspronkelijk de Griekse gebouwen en beelden erg opgesmukt en met veel smaak gekleurd of geverfd. In de hall van mijn woonst troont dan ook op een marmeren zuil een kopij van de Aphrodite van Melos (= Venus van Milo) (25) . In tegenstelling met het oorspronkelijke beeld, dat ongeveer 2 m hoog is en vervaardigd uit wit marmer van Paros, is mijn beeldje slechts 70 cm hoog en uitgevoerd in brons . Maar het effect is er toch maar, wat blijkt uit de gunstige reacties van mijn vrienden en kennissen.
* * *
Wiskunde en in het bijzonder geometrie spelen een zeer belangrijke rol in de Griekse filosofie en kunst. Maar hier beperkte Van der Kerken zich tot het anekdotische. Wellicht was hij van mening dat wij al genoeg te lijden hadden van al het geometrisch geweld ons aangedaan door onze leraren wiskunde.
Met een lach in de stem vertelde hij ons dat boven de toegangspoort van Platos Akademeia een opschrift hing met volgende tekst : «Μηδεις αγεωμετρητος εισιτω» (vrij vertaald: «Toegang verboden voor niet- meetkundigen» ). Voor wat de beeldhouwkunst en bouwkunst betreft, had hij het dan weer over de rol van de gulden snede en het getal φ. Voornoemd getal blijkt inderdaad een rol te spelen in de kunst en niet alleen in de Griekse kunst.
Met diep respect sprak hij over de architecturale aanpassingen van het Parthenon, -een summum van geometrisch inzicht-die de illusie van perfecte verticaliteit en horizontaliteit moesten verwekken. Maar hij repte met geen woord over de grote Alexandrijnse wiskundigen Euklides, Apollonios, Eratosthenes, Archimedes allemaal namen die ons bekend waren uit de wiskundelessen.
Daarentegen had hij het dan wel uitvoerig over de beroemde Alexandrijnse Bibliotheek (26) en i.h.b. hoe deze bibliotheek onder de Ptolemeërs (26) , o.m. Ptolemaios I Soter en Ptolemaios II Philadelphos, tot stand was gekomen.
Aan de Alexandrijnse bibliotheek werd, later door toedoen van Marcus Antonius, de grote bibliotheek van Pergamon toegevoegd een geschenkje voor zijn geliefde Cleopatra-. Wat men in Pergamon over dit geschenk dachten vermeldt de geschiedenis niet, maar het verklaart wel de aanwezigheid van perkamentrollen naast de papyrusrollen. Papyrus was Egyptische uitvinding terwijl perkament typisch was voor Pergamon.
Volgens de teruggevonden archieflijsten zou de Alexandrijnse bibliotheek tussen de 400000 en 700000 boekrollen rijk geweest zijn wat overeenstemt met 50000 à 60000 moderne boeken, wat voor die tijd enorm was : de boekdrukkunst bestond toen nog niet alles werd gekopieerd en met de hand geschreven hetzij op papyrus, hetzij op perkament !!! Helaas is deze roemrijke Bibliotheek van Alexandrië teloorgegaan eerst door verwaarlozing onder de Romeinse keizers en vervolgens door verwoesting, verbranding en plundering.
Wie nu eigenlijk verantwoordelijk was voor deze ramp is nog steeds een punt van discussie. Sommigen verwijzen naar het oorlogsgeweld teweeggebracht door Julius Cesar (48 v C.) of door Lucius Aurelianus (272).Volgens Luciano Canfora in La véritable histoire de la bibliothèque dAlexandrie (Desjonquères, -1988-), een boek dat oorspronkelijk in het Italiaans geschreven was en waarvan ook een Engelse vertaling bestaat, is deze stelling fout en zijn argumenten zijn wel overtuigend.
Deze auteur wijst het religieus fanatisme van de Islam en i.h.b. Kalief Omar, die in 642 Egypte veroverde als hoofdschuldige aan. Hij zou aan zijn veldheer,emir Amroe, het bevel tot verbranding gegeven hebben met als argument : "Ofwel zijn de boeken in strijd met de Koran en in dat geval is het ketterij, en anders zijn ze in overeenstemming met de Koran en dus overbodig ". De boekrollen zouden toen als brandstof voor de badhuizen gebruikt zijn, waarbij vermoedelijk enkele rollen gerecupereerd werden door gewiekste verzamelaars, die er een bron van inkomsten in zagen.
Anderen wijzen dan weer met een beschuldigende vinger naar het christendom. Het groeiende christendom dat steeds fanatieker werd in het bestrijden van 'heidense' symbolen (waartoe o.m. tempels en wereldse literatuur behoorden) is ongetwijfeld één van de factoren die een rol hebben gespeeld. De Patriarch Theophilus van Alexandrië zou in alle geval een deel van de gebouwen (het Serapeum) in 391 gesloopt of omgebouwd hebben. Het is dus zeker niet uit te sluiten dat ook bij deze operatie, de bibliotheek geplunderd werd.
Dat het christendom de antieke wereldse geschriften wel degelijk misprees, wordt door het bestaan van palimpsesten aangetoond. Zo is er bvb de palimpsest van Kerameus- Heiberg, document dat ontdekt werd in een bibliotheek in Istamboel in 1899. De originele tekst van deze palimpsest dateert uit de 10de eeuw en werd door een Grieks- Orthodoxe monnik uitgewist en vervangen door een gebedenkrans in de 13de eeuw. De originele tekst omvatte een verloren gewaand werk van Archimedes De Methode
Er is dus geen eensgezindheid en dat is niet verwonderlijk: het betreft een erg delicate zaak met religie als achtergrond! Van der Kerken was een fijngevoelig en religieus man en Ik had de indruk dat deze kwestie hem erg beroerde. En wel des te meer, daar ontegensprekelijk religieus fanatisme aan de basis lag van de teleurgang en destructie van deze beroemde bibliotheek.
Waar nodig werden in de lessen Griekse tekstuittreksels geciteerd, vertaald, ontrafeld en uitgebreid gecommentarieerd. Telkens opnieuw werden de historische achtergrond en de politieke context benadrukt en uitgelegd. We wisten om zo te zeggen alles van de Perzische (28) (Marathon, Thermopylae, Salamis) en Peloponesische (29) oorlogen, over de grote staatsman Perikles (30) en de verraderlijke Alkibiades (31) .
Ook de minoïsche beschaving (32) en vooral de verovering van Kreta door de Myceners van het vasteland, was één van zijn stokpaardjes. Ik heb het stil vermoeden dat hij op een dergelijk onderwerp gepromoveerd was. Hij had het immers over linear B en de recente ontcijfering van dit schrift (33) door Michael Ventris en John Chadwick. Deze ontcijfering toonde definitief aan dat linear B een voorloper was van het Griekse schrift en niet zoals Sir Arthur Evans hardnekkig voorhield- behoorde tot het Minoïsch schrift.
(33) voor een spannend historisch en gedetailleerd relaas zie bvb hoofdstuk 5 La barrière de la langue van Simon Sing s Histoire des Cades secrets de lEgypte des Pharaons à lordinateur quantique- (Livre de Poche -1999-)
(Hoofdstuk 3 "Taal en Cultuur in de Cadettenschool")
§ 3.6 De Nalatenschap van Hellas
En een Van der Kerken kón vertellen, en dat deed hij met een zachte, ingetogen en toch duidelijke stem. Af en toe was er naargelang de aard van de tekst- een ironische of dramatische ondertoon en dit juist maakte het ganse verhaal zo echt en levendig.
Grieks werd in de Cadettenschool veelal gedurende het laatste lesuur gedoceerd d.w.z. in de late namiddag. In de late herfst van 1957 reflecteerden de zwarte ramen van het examen A- gebouw, door de ondergaande zon, een zacht rozerood licht. Dit wonderlijke licht weerkaatste doorheen de duistere ruiten van ons klaslokaal 8 en omhulde André Van der Kerken met een fijn aureool. Dit schouwspel en de sacrale stilte, die in het gebouw heerste schepten een haast onwezenlijke atmosfeer, die mij steeds is bijgebleven.
Door al deze verhalen werd onze kennis over het Griekse pantheon met zijn goden en halfgoden, de Griekse mythologie en sagenwereld nog verder bijgeschaafd. Veel van wat hij ons vertelde was in het boek van Gustav Schwab Die schönsten Sagen des klassischen Altertums van 1955 opgenomen. Jammer genoeg, werd dit boek werd eerst maar in 1959 als Prismaboek op de markt gebracht onder de titel Griekse Mythen en Sagen. Ziehier, wat de uitgever op de achterflap van het boek, dat ik mij na de humaniora aanschafte, vermeldde (ik kan het niet beter verwoorden):
Elke mythologie, en de Griekse in het bijzonder, is meer dan een willekeurige hoeveelheid verhalen over goden en hun al dan niet pikante avonturen. Een mythologie is op de eerste plaats uitdrukking van een wereldbeeld. Zij kent haar eigen samenhang wat oppervlakkige tegenstrijdigheid niet uitsluit- omdat ook het wereldbeeld meer aspecten heeft. Zo is de lichtende god Apollo ook verbonden met dood en vernietiging, en wordt Orpheus, gestalte der harmonie, om wie de wereld vanzelf tot rijke orde groeit, tenslotte verscheurd door het furieuze geweld der Bacchanten.
Wat de Griekse mythologie doet uitsteken boven alle andere, en haar voor ons zo nabij maakt, is de ongeëvenaarde helderheid der figuren en situaties, een helderheid welke het mysterie van de mens in de kosmos niets te kort doet, maar zo dicht tot de geheimzinnige kern nadert dat wij het geheim zelf menen te betasten. Dit verklaart ook wel waarom sinds Hellas, dichters en denkers voortdurend teruggegrepen hebben op deze oergestalten om hun gevoelens vorm te geven en hun gedachten uit te drukken. Hoeveel Iphigenia s en Antigone s kent de Europese literatuur niet, en werkt de psychologie niet met Narcissus- en Oidipuscomplexen? Wij keren altijd terug tot de bron, tot de oergestalten waarin ons werelddeel voor het eerst de schoonheid en de smart, de verbijstering en het geluk van het leven op aarde gevat heeft .
Sommigen zullen hier nu vinden dat dit dwepen is met het nalatenschap der Griekse Oudheid en dit is het in feite ook. Anderen zullen voorhouden dat het aanleren van Latijn en zeker Grieks maar tijdverlies is. Er zijn immers meer nuttige manieren om het intellect te vormen of te stimuleren. Een Van der Kerken was het hier- verrassend genoeg- volkomen mee eens. Maar zei hij, het gaat hier over heel iets anders dan het vormen van intellect. De studie van de Griekse beschaving brengt iets anders, iets essentieel bij dat de studie van andere vakken onmogelijk kunnen geven
Teneinde dit ons diets te maken sprak hij ons over de kaloskagathos (1) (καλος και ααγαθος) en sophosagathos (2) (σοφος και αγαθος) kwaliteiten die karakteristiek zijn voor de echte Mens. Groot-, schoon- en diepmenselijkheid zijn de deugden, die moeten aangeleerd of beter aangescherpt worden bij de Mens en i.h.b. bij de Jeugd. Zij stemmen tot een grotere mildheid t.o.v. de medemens, en leiden uiteindelijk tot empathie d.i. de vaardigheid om je in te leven in de gevoels- en denkwereld van anderen. Dank zij empathie kunnen de zogezegde biologische Natuurwetten, die de gedragingen tussen soortgenoten (hier tussen mensen) regelen, overstegen worden. Maatschappelijk gezien is dit inderdaad van primordiaal belang.
* * *
Als klassiek filoloog had André Van der Kerken, natuurlijk meer dan een keer zijn geliefde Hellas bezocht en, zoals hij zelf vertelde, ook met een van de voorgaande rhetoricapromoties (promotie 1952?). Wij vroegen hem dan ook wat moest bezocht worden, waarop hij met enige terughoudendheid antwoordde. Absoluut te bezoeken waren volgens hem Mykene (3) , Epidauros (4) en Olympia (5) Athene was interessant voor de Akropolis en het Nationaal Archeologisch Museum. Maar, indien men echter iets van de oorspronkelijke Griekse geest wenste terug te vinden, waren wellicht de Griekse eilanden in de Egeïsche Zee (de Cycladen, de Dodekanos ) of het diepe binnenland, dat in die tijd alleen met de moto toegankelijk was, aangewezen. Maar helaas, zei hij, voor velen is het oude Hellas slechts een puinhoop van stenen, die liggen te blakeren onder een laaiende, spetterende zon. Anderen worden dan weer alleen getroffen door de esthetiek van de gebouwen en de beelden, al zijn die sterk gehavend. Slechts enkelen echter worden geraakt door de kerikeion (6) (κηρικειον) van Hermes (7) , de boodschapper van de goden .
Precies veertig jaar later (1998), ter gelegenheid van een Symposium, was ik in Athene... Vanzelfsprekend maakte ik van de gelegenheid gebruik om het Parthenon te zien en het kleine Akropolis-museum te bezoeken. En ja de tempel van Athena Parthenos was werkelijk groots desondanks de verbouwingen en verwoestingen aangericht door de kerkvaders en de Turken En ja het Erechtheion met zijn kariatiden moet een prachtig Ionisch bouwwerk geweest zijn .
De volgende dag naar het Nationaal Archeologisch Museum en ja hoor, ik heb het masker van Agamemnon (8) gezien, en het prachtige beeld van Praxiteles , Aphrodite met Eros en Pan (9) bewonderd maar van een boodschap van Hermes was nog altijd geen sprake
Met een collega heb ik dan maar het plan opgevat om met een huurauto naar Mykene, Epidauros enz. te rijden. En ja hoor, de Leeuwenpoort (10) met zijn cyclopische blokken en de grafkamer van Atreus waren inderdaad monumentaal en de opgravingswerken met de schachtgraven imposant maar nog steeds was er geen Hermes
En toen was er Epidauros Epidauros, waar wij, enigszins vermoeid van de rit, in de late namiddag aankwamen. Er was het Asklepieion, het aan de god Asklepios (11) gewijde heiligdom of beter de ruïnes van dit heiligdom. Dit heiligdom omvatte naast de tempels van Asklepios en Artemis het Tholos, een astronomisch observatorium (12) maar van al deze gebouwen waren er alleen wat brokstukken overgebleven. Hier begreep ik wat Van der Kerken had bedoeld met een hoop stenen die lagen te blakeren in de zon. Van het Asklepieion liep een klein paadje naar een bochtige weg. En deze weg leidde de bezoeker doorheen het struikgewas naar het fameuze theater... Een laatste bocht en dan ..
De aanblik van dit theater (13) bij valavond veroorzaakte in mij een grote schok. De bomen stonden zwart en roerloos tegen oranjerode avondhemel en er heerste alom een diepe, gewijde stilte. Deze stilte greep ons des te meer aan omdat wij moederziel alleen waren. Ik vroeg aan mijn collega om in de cirkelvormige orchestra te staan en eens een of andere tekst te citeren terwijl ik steeds hoger en hoger in de rijen zitplaatsen opklom. Dan wisselden wij van rol en ik begon spontaan met een fluisterstem de aanhef van de Ilias te declameren. Mijn gefluister bleef hoorbaar tot op de hoogste rijen Van uit wetenschappelijk oogpunt leek mij een dergelijke acoestiek in open ruimte onmogelijk (14) en toch was het zo.
Plots drong het tot mij door dat hier meer dan tweeduizend jaar geleden de stukken van Aischylos, Sophokles en Euripides opgevoerd werden. Als ik mijn ogen sloot zag ik zo de schimmen van Iphigenia, van Antigone staan op het orchestra en hoorde ik hun klagende stemmen.
Mijn blikken gleden over de glooiende berghelling en ik zag een opkomende Venus, de Avondster schitteren. Even leek het mij dat zij mij toewenkte. Toen raakte Hermes mij met zijn kerikeion aan en plots werd alles voor mij duidelijk :
Het was de Natuur (de zee, de bergen, de sterrenhemel) die de Helleen voortdurend deed schommelen tussen het eeuwige en het tijdelijke, het hemelse en het aardse, het goddelijke en het menselijke, het hogere en het lagere, het harmonische en chaotische, het volmaakte en het minder volmaakte, het schone en het lelijke. Uit dit dualisme was iets totaal nieuws geboren dat de twee uitersten met elkaar verbond. Daarom hadden de goden menselijke en de mensen goddelijke trekjes. Voortdurend was de Helleen op zoek geweest hoe hij die twee uitersten kon verzoenen, kon vermengen. Vandaar het goddelijke element in zijn kunst, zelfs zijn geneeskunst.
In het aardse spoorde de Griek de regelmatige meetkundige figuren en vormen op en deze waren echt volmaakt indien hij ze terugvond in het hemelse. De cirkel respectievelijk de bol behoorden hiertoe want de sterrenhemel was bolvormig en de sterren beschreven cirkels en moesten cirkels beschrijven want alleen de cirkel was volmaakt. Een Zeno van Elea had zelf geprobeerd het bestaan van beweging en dus de vergankelijkheid der dingen te ontkennen, want totaal onverenigbaar met het eeuwige. Echter in de Natuur geldt ook -althans volgens Herakleitos en Plato- panta rhei (παντα ρει) -alles is in beweging. En alles in de Natuur is dus voorbijgaand, is dus vergankelijk.
Bij de terugrit naar Athene spraken wij geen woord. Beiden waren wij diep in gedachten verzonken.. Wij waren met het magische van de Helleense beschaving in contact gekomen. Ik dacht ook met weemoed aan die mooie herfstavonden in klas 8, een weemoed, die -zoals de dichter het uitdrukt alleen des avonds komt ..
(Hoofdstuk 4 "Het Leven in en rond de Broedersschool")
§4.1 De Broedersschool in de Iron Forties
Het doorbladeren van Herbiets boek Larithmétique de la vie pratique -5e et 6e années primaires-, een boek, dat ik bij toeval ontdekte (zie "cursiefje « 8.1 over oude schoolboeken », bracht mij terug naar mijn kinderjaren. Ik werd plots overstelpt door een stortvloed van jeugdherinneringen en deze betroffen niet alleen de jongensschool op zichzelf maar ook het dagdagelijkse leven rond deze school
De Iron Forties stonden mij plotseling glashelder voor de geest en voornamelijk de naoorlogse periode met haar pijnlijke naweeën en tribulaties.
Het was in september 1945 dat ik in de grote jongensschool mijn intrede maakte. Afgelopen de kleuterschool met Juffrouw Dewulf, met Juffrouw De Busschere en Zuster Pauline Afgelopen de slaaplessen, het braaf op de bank zitten met gekruiste armen en met de vinger op de mond. Gedaan die onnozele straffen als het in de hoek staan of de plakkertjes op de mond voor de onverbeterlijke babbelaars Met mijn deugnietstreken heb ik mijn oudste zus, die dan op de meisjesschool zat, herhaaldelijk ten schande gemaakt. Deze meisjesschool maakte immers deel uit van hetzelfde Klooster van de Zusters van Spermalie, waartoe ook de kleuterschool behoorde. Herhaaldelijk werd mijn zuster op het matje geroepen en moest zij met een rode kop van Juffrouw De Busschere aanhoren, wat voor deugnieterij ik weeral eens had uitgestoken Mijn zus was, zoals ze mij later verzekerde, echt blij dat ik eindelijk naar de jongensschool vertrok
Deze jongensschool behoorde tot het Vrij Onderwijs en had als inrichtende macht de congregatie van de Broeders van Liefde (1), een congregatie die in het Brugse steeds erg actief was geweest (2). Om deze reden werd deze typische jongensschool ook de Broedersschool genoemd. Op het ogenblik dat ik in deze school aankwam omvatte het schoolcomplex twee gebouwen, een geplaveide speelplaats en een moestuin, waarin ook enkele fruitbomen stonden. Het hoofdgebouw was in neoklassieke stijl opgetrokken en dateerde van 1911. Een tweede, heel wat lager gebouw was in een meer moderne stijl opgetrokken, dateerde van het interbellum en omvatte de klassen van het eerste en tweede studiejaar. In 1946 werd een parochiale feestzaal gebouwd op een deel van de speelplaats en de moestuin van de jongensschool. Deze zaal met een oppervlakte van ongeveer 300 m2 was uitgerust voor toneel- en filmvoorstellingen en zal een belangrijke rol spelen in het dagelijkse leven van de parochie.
In een nis van het hoofdgebouw stond een stenen Heilig Hartbeeld. Ter gelegenheid van het feest van het H. Hart in de maand juni, trokken de leerlingen, ieder jaar, ofwel met een rozenbloemstuk ofwel met een enkele bloem in de hand, in stoet door de straten van de parochie, waar (praktisch) in ieder huis een H. Hartbeeld, geflankeerd door twee brandende kaarsen voor het raam stond. Uiteindelijk werd al deze bloemenweelde neergelegd aan de voet van het beeld in de school. Die bedwelmende rozengeur is mij mijn leven lang bijgebleven.
In die grote school, waar geen meisjes waren toegelaten, ging het er heel wat serieuzer aan toe dan bij de nonnekes en dat ondervonden wij ook letterlijk aan den lijve, vooral vanaf het derde studiejaar. Een oorveeg was niet uitzonderlijk en beschouwden wij als volledig normaal, want ook thuis corrigeerde moeders of vaders hand onze vlegelstreken. Nieuw waren echter de geraffineerde straffen als bvb vooraan op de trede op de knieën zitten met de handen op het hoofd en gestrekte rug of het over de knie van de meester liggen waarbij voornoemde met de lat het stof uit je broek slaat. Deze laatste straf werd echter slechts toegepast bij erge misdrijven als bvb vechten op de speelkoer of nog erger in de klas, met opzet ruiten ingooien in de school. Natuurlijk was er ook het normale strafregels schrijven (bvb ik zal voortaan mijn huiswerk maken). Dit literair gewrocht moest dan getekend worden door de vader -niet door de moeder -want de meester, intelligent en vooruitziend als hij was hoopte op een gepaste kastijding. Toch was een tikje met de lat of regel nooit echt ver weg.
Na WOII, telde de Broederschool nog drie Broeders, die les gaven respectievelijk in het eerste, derde en achtste studiejaar. In de andere klassen werd het onderwijs verzekerd door gewone onderwijzers, die met uiterste gedrevenheid hun taak vervulden.
In het eerste studiejaar stond lezen, tellen en schrijven op het programma en ik herinner mij nu nog zeer goed ons eerste leesboek en de eerste woordjes jas, get, lip, ton,put en verder raap, veer, zool,muur, Ons eerste schrijfgerief bestond uit een kartonnen lei en griffel. Later kwam daar nog een dubbel gelijnd schrift bij waarin eerst met potlood en vervolgens met een pennenstok met ballonpen mocht geschreven worden. Hoe deze Broeder, waarvan ik de naam vergeten ben, het voor mekaar kreeg weet ik niet, maar wij schreven toch onze eerste Nieuwjaarsbrieven voor ouders, nonkels en tantes gedateerd 1 Januari 1946!!!
Ik vond het heerlijk te kunnen lezen, want zo kon ik eindelijk ook de avonturen van Suske en Wiske op het eiland Amoras écht volgen Ook volwassenen lazen die stripverhalen en vele van de toenmalige krantenlezers lazen hun krant in omgekeerde zin .. eerst het stripverhaal en dan het voorpaginanieuws!! En dit grote voorpaginanieuws was voornamelijk gewijd althans in de lente van 1946- aan het proces van de beulen van Breendonk en -in de herfst van 1946 aan het proces van Neurenberg. Maar de mensen hadden andere zorgen en dit voorpaginanieuws verhuisde al snel naar de binnenpaginas. Er was immers het probleem van de levensduurte, de rantsoenering, de zwarte markt (laat u niet beet nemen!), de ersatz-producten Een uitstekende beschrijving ofte chronycke over deze moeilijke tijd kan men vinden in het boek van Pierre Stéphany (3).
Tellen tot honderd of zelfs duizend en leren (Arabische) cijfers schrijven behoorde ook tot het programma van het eerste studiejaar en zo leerden wij getallen schrijven in het positionele tientallig stelsel. Op deze wijze maakten wij voor het eerst kennis met het cijfer (niet het getal) nul. Dit laatste cijfer is geïntroduceerd door de Hindoes en was bvb onbekend bij de Grieken en Romeinen. Natuurlijk beseften wij toen niet wat voor fenomenale vondsten deze positionele schrijfwijze en het cijfer nul wel waren (4). Dit werd ons eerst maar duidelijk in het vijfde studiejaar, als wij met de Romeinse manier van getallen neerschrijven kennis maakten en de meester ons eens vroeg twee getallen geschreven in Romeinse cijfers op te tellen .
Het tweede studiejaar stond volkomen in het teken van de rekenkunst, van het rekenen met cijfers. Er was vooreerst een intuïtieve kennismaking met het begrip natuurlijk getal, gebaseerd op het begrip collectie (5) van gelijksoortige objecten of voorwerpen. Het tellen van deze objecten gaf een natuurlijk getal. Iedere schooljongen wist toen zeer goed wat een « collectie » ofte « verzameling » van gelijksoortige objecten was, want in ieder huisgezin werd er een of andere collectie prentjes op na gehouden.
Deze collecties van prentjes of chromos werden veelal door chocoladefabrikanten als Martougin, Victoria, De Beukelaer, Kwatta, Aiglon, Meurisse en dito uitgebracht en waren bij de schooljeugd zeer gegeerd. Welke schooljongen collectioneerde toen niet Buffalo Bill , Sitting Bull of Gulliver Welke bengel verzamelde niet de Artis of Historia punten, die door vele voedingsproducenten werden uitgebracht en die recht gaven op de wondermooie Artis of Historia chromos ?? Zelfs de ouders waren besmet door het verzamelvirus en zo werd bij mij thuis de prachtige chromolithografische collectie van Liebig bij gehouden Ik mocht deze albums wel inkijken maar voor de rest was afblijven de boodschap
Aansluitend bij de notie « collectie » werden nu achtereenvolgens de vier Hoofdbewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen), de eigenschappen van de natuurlijke getallen en natuurlijk de onvermijdelijke Tafels van Vermenigvuldiging ontrafeld en uiteengezet Dank zij Meester Réné Vermeersch zette ik aldus een eerste stap op het moeilijke pad der Wetenschap in casu de Wiskunde. Het aantal keer dat wij die fameuze tafels van vermenigvuldiging opgezegd en afgedreund, opgeschreven en neergegriffeld hebben is niet te tellen. Maar het resultaat was er wel: wij kenden onze Tafels zelfs die van elf en twaalf.
Wat ik mij ook nog van Meester Vermeersch herinner was het voorlezen uit boekjes zoals bvb De Lotgevallen van Jan zonder Vrees (Sterke Jan) van Constant De Kinder en De avonturen van Sergeant Slim van Jos Vandersteen. Al mijn klasgenoten koesterden de ijdele hoop eens zo sterk te zijn of te worden als Sterke Jan, want dat zou ons toelaten de jongens uit de hogere studiejaren ook eens af te troeven. Wij waren immers gedurende de speeltijd en ook na schooltijd voortdurend het lijdend voorwerp van hun pesterijen en plagerijen. Natuurlijk was de schooldirectie wel op de hoogte van deze traditionele pesterijen en trachtte zij deze zoveel mogelijk te vermijden door gedurende de recreatie de leerlingen van de hogere respectievelijk de lagere studiejaren te splitsen.
Zo werden bvb, wanneer het vroor, voor de winterpret 2 glijbanen aangelegd, wat gebeurde door op twee verschillende plaatsen water te gieten op de speelkoer. Er was de kleine glijbaan voor de leerlingen van het eerste, tweede en derde studiejaar en de grote voor de andere studiejaren. De durvers van het derde studiejaar waagden zich echter ook op de grote glijbaan. Het was alleen maar een kwestie van de grotere bengels te imponeren. En dit imponeren kon bvb gebeuren door het dragen van gepast schoeisel bvb met ijzer beslagen hoge schoenen of door het inroepen van het beschermheerschap van een oudere schoolkameraad In mijn geval, waren beide methodes van toepassing. Het beschermheerschap, waarop ik eveneens beroep deed, werd waargenomen door een zekere Robert, waarover ik het verder nog zal hebben .
(wordt voortgezet)
-------------------------------------
(1) De Congregatie Broeders van Liefde werd opgericht door Petrus Jozef Triest, kanunnik van Sint Baafs te Gent in 1807 met als charitatief doel: de zorg voor ouderlingen en geesteszieken. Later (1809) werd ook onderwijs aan de minder bedeelden o.m. aan de straatjeugd van Gent. Dit werd het begin van een hele ontwikkeling en talrijke stichtingen ten voordele van het onderwijs van jeugd in lager, middelbaar en technisch onderwijs.
De eerste dagschool was de Bijlokeschool die in 1814 werd opgestart, gevolgd door scholen in Froidmont, Brugge, Roborst en St.-Niklaas. In 1820 werd een novice naar Namen gestuurd om cursus te volgen bij de Broeders van de Christelijke Scholen. Een vertaling van het werk van Jean-Baptiste de la Salle werd gemaakt door de directeur van de Brugse armenschool, Broeder Benedictus, en uitgegeven in 1825.
Na de onafhankelijkheid van België kon het onderwijs verder worden uitgebreid. Het middelbare onderwijs kwam erbij op het einde van de 19de eeuw. In 1896 begonnen Merksem en Temse en in 1899 Turnhout als eerste met middelbaar onderwijs. In de weeshuizen werd vooral aandacht besteed aan vakopleiding, wat later in de instellingen voor gehandicapten verder werd ontwikkeld. Een aparte technische school werd in 1924 in Tessenderlo opgericht.
(2) zie bvb het artikel getekend Marcel De Blieck Het onderwijs tijdens de Hollandse periode en de eerste Brugse gemeenteschool (1829) in Brugs Ommeland 2005/2
(3) Pierre Stéphany «La Belgique sous la Régence (1944-1950) une époque et son histoire- » éditions Quorum -1999-. Deze auteur, geboren in 1925, was redacteur bij diverse kranten als «La Meuse», «Le Courrier», «La Libre Belgique» en is in wezen een historicus van het dagdagelijkse leven. Hij heeft diverse Chronycken geschreven waaronder het tweedelige «Les Années 20-30 la Belgique entre les deux guerres-», «Des Belges tres occupés (1940-1945)», «Nos Années cinquante», «Les Années 60 en Belgique»..
(4) voor een historische uiteenzetting over het cijferbegrip bij de diverse beschavingen zie bvb Georges Ifrah «Histoire Universelle des Chiffreslintelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul- » 2 tomes Robert Laffont -1981-
(5) In die jaren sprak men wel degelijk van « collecties » zoals ook Herbiet in zijn boek het aangeeft en niet van « verzamelingen » (« ensembles » of « sets »). Het begrip « verzameling » en i.h.b. de verzamelingenleer werd maar eerst later in het lager onderwijs ingevoerd.
In de naoorlogse Iron Forties was Robert Burssens mijn voornaamste speelkameraad. Robert was een kerstekind want geboren op 25 december 1938. Hij was amper anderhalve maand ouder dan ikzelf, maar, daar hij van 1938 was, zat hij echter één jaar hoger. Zijn moeder was de zuster van een van mijn aangetrouwde tantes en een zeer goede kennis van mijn moeder. Hij woonde op amper een boogscheut van het Brugs kerkhof(1) . Ons eerste speelterrein was dan ook de kerkhofdreef evenals het kerkhof-zelf (!!) en natuurlijk ook de -toen nog erg landelijke- omgeving van dit kerkhof, dat o.m. grensde aan het Frans klooster (2) . Begeleidende ikoon geeft de ingang van het Brugs kerkhof weer in de chrysantentijd.
Het domein van het Frans klooster grensde aan het Brugs kerkhof en was er van gescheiden door een stoffige, eenzame en bochtige zandweg, die in de Weidestraat uitkwam. Deze gaf tevens toegang tot een boerderij, die eveneens tot het klooster hoorde. Op deze plaats omsloot een bakstenen muurtje op manshoogte het kerkhof. Het was echter voor bengels als wij een klein kunstje om over dit muurtje te wippen. Een kleine sprong en met de vingertoppen klemden wij ons vast aan de arduinen steen waarmede het muurtje bedekt was. Vervolgens trokken wij ons op en brachten een eerste elleboog op de arduinensteen en dan een tweede. Een ogenblik later zaten wij schrijlings op het muurtje en na even gekeken te hebben of er geen onraad was sprongen wij langs de andere kant naar beneden...
Met de jaren nam ons speelterritorium steeds meer uitbreiding en eind 1947 omvatte ons speelterrein ook de landerijen van het oude leenhof De Zeven Torentjes (3) . De hoofdingang tot dit leenhof was eveneens in de Weidestraat gelegen op ongeveer 300 m van het Frans Klooster. De landerijen van deze hoeve strekten zich toen uit tot het Sint Trudoledeken en de spoorweg Brugge - Eeklo. Begin van de jaren vijftig werd deze gronden echter verkaveld en in het begin de jaren zestig werd op een gedeelte van deze gronden de Sint Lucaskliniek gebouwd. De boerderij werd in 1975 gerestaureerd en omgebouwd tot een kinderboerderij. Mijn familie had zeer goede contacten met de familie Van Mullem, die tot eind de jaren zestig het beheer van de hoeve had waargenomen. Op begeleidende foto (daterend van 1956) ziet u mijn moeder en mijn oudste zuster in gezelschap van "Albert", "Lène" en Etienne, die de leeftijd van mijn oudste broer had.
In 1948 voegden wij ook nog Steenbrugge d.i. Odeghem (4) met de Sint Trudohoeve de latere hoeve Deloof- met de monumentale witgekalkte inrijpoort toe aan ons territorium. Later gingen onze verkenningstochten ofte ontdekkingsreizen zelfs tot in de bossen van het uitgestrekte domein Ryckevelde (5) dat grensde aan de gemeente Sijsele
In de Broedersschool hadden wij iedere Donderdagnamiddag vrijaf, en Robert kreeg dan van zijn moeder de nodige centen (4 BF) om Kuifje, het weekblad voor kinderen van 7 tot 77 jaar, te kopen. In 1947 en 1948 heb ik dan ook de spannende avonturen van Blake en Mortimer (Het Geheim van de Zwaardvis van Edgar Jacobs), van Alix (Alix de Onversaagde van Jacques Martin) en last but not least van Kuifje en Kapitein Haddock zelf (De Zonnetempel van Hergé) gevolgd, -wat zeg ik- werkelijk meebeleefd. In hetzelfde weekblad verscheen in 1948 ook Het Spaanse Spook van Willy Vandersteen, maar de stijl was helemaal anders dan in de klassieke Suske en Wiske albums.
Al deze stripverhalen prikkelden onze fantasie en nodigden ons uit om ook een avontuurlijk leven te gaan leiden. Zoals onze helden dienden wij ons ook uit te rusten met de nodige wapens o.m. een zakmes en een katapult (in het West-Vlaams: een schietlap), en verder een toorts maar dan in de modernere versie van een zaklamp, en een drinkbus ter vervanging van de kalebas (6). Bij onze helden werd de kalebas immers gebruikt als kruik en drinkbeker
Dank zij mijn oudste broer had ik tegen klinkende munt - een stevig Engels zakmes uit WOII weten te bekomen. In die jaren was mijn oudste broer een echte sjacheraar, die uit alles munt wist te slaan want hij spaarde voor een fiets. Uiteindelijk is hij wel in zijn groots opzet geslaagd want in 1948 was hij de trotse eigenaar van een prachtige rode fiets met houten velgen, die voorzien waren van mooie tweekleurige banden. Deze fiets was trouwens uitgerust met een torpedorem, wat toen doorging als een maximum van remcomfort.
Een katapult vervaardigen was ook geen probleem indien men de juiste onderdelen wist te vinden. De wigvormige vork werd uit een hazelaarstruik gesneden. De schors mocht niet van het hout verwijderd worden want in dit geval verloor de vork zijn veerkracht. Het meest delicate punt was echter het gummilint (in het West-Vlaams : de rekker). Gummilinten werden normaal gesneden uit versleten binnenbanden voor fietsen, maar juist deze laatste waren vlak na WOII van zeer bedenkelijke kwaliteit. Beter was natuurlijk linten te snijden uit binnenbanden voor autos, maar dit artikel was erg zeldzaam. Het snijden van gummilinten was erg moeilijk want de minste inkeping veroorzaakte bij het uitrekken een doorscheuren van het lint. Een stuk soepel leer, gesneden uit een versleten ransel of schoen, diende verder om het projectiel in te leggen. Het aanbrengen van het gummilint aan de vork gebeurde het best door omwinden met hennepkoord. In geen geval mocht ijzerdraad gebruikt worden want deze laatste doorsneed op een minimum van tijd het gummilint. Nat maken van de omwindingen zorgde uiteindelijk voor een hechte en stevige bevestiging.
Wat de zaklamp betreft, moest ik eerst weken sparen om de vereiste som (15 BF) te vergaren. Alle pogingen om het geld voorgeschoten te krijgen bij mijn moeder of vader waren vergeefs. Deze vroegen natuurlijk waarvoor het geld moest dienen en een zaklamp voor een bengel, nee dat vonden ze maar niets. Blijkbaar wisten ze nog niet eens dat spoken schrik hebben van licht en dat een zaklamp werkelijk een noodzakelijk instrument was voor lieden die savonds op het kerkhof liepen. Maar dit laatste wisten ze al evenmin. Ik heb dan noodgedwongen maar het geduld opgebracht tot ik de vereiste som in handen had.
En op een Donderdag was het zover en ik stapte bij Ketels aan de Sint Katarina-kerk de winkel binnen om die fameuze zaklamp te kopen. Mijn keuze was gevallen op een plat model met instelbare voorlens. Bij de prijs was echter de zink-kool batterij (de opvolger van de oude Leclanché-cel (7) ) niet begrepen Dan maar nog eens een weekje geduld uitoefenen om de batterij te kunnen kopen Geduld een schone zaak ???? Ik dacht er het mijne van.
Als onze helden op hun avontuurlijke tochten dorst hadden, dronken ze uit een drinkzak of uit een kalebas. Onnodig te weten wat precies een kalebas was, wij beschouwden een dergelijk gerei als onmisbaar want ook wij ondervonden op onze tochten aan den lijve wat dorst lijden betekende. Een blikken koffiepulle, zoals de werkman gebruikte om zijn koffie te bewaren, leek mij wel uitermate geschikt want plat van vorm en onbreekbaar. Maar het is er nooit van gekomen Het betekende weer weken sparen en bovendien was ik wel enigszins beducht voor de reactie van mijn vader Ik heb het dus moeten stellen met een flesje van 250 ml met springsluiting. Dit type flesjes werd in die tijd voornamelijk gebruikt voor tafelbier maar ook voor melk en zelfs voor zurkel (zuring)-preparaten (8) . Als drank gebruikten wij koel putwater waaraan zoethoutstokjes voor de smaak toegevoegd werden.
Het was dank zij dit fameuze zoethout (Glycyrrhizae Radix (9) ) dat ik met apotheker Versailles (zie cursiefje « 1.1 Een prille inwijding in de Chemie ») kennis maakte
Maar terug naar de Broedersschool In het derde studiejaar kwam ik terecht bij Broeder Carissimus, den Grijzen zoals hij nog genoemd werd. Het klaslokaal van het derde studiejaar was gelegen in het neoklassieke hoofdgebouw, naast het zaaltje van de toneelvereniging Kunst en Broedermin. In dit mufriekend en duister zaaltje heb ik eens een fantastische poppenkastvertoning meegemaakt. De titel van de vertoning herinner ik mij niet meer maar het ging echter wel over heksen, spoken en toverkollen. De onvergetelijke achtergrondmuziek, die bij de voorstelling hoorde, kwam uit Peer Gynt van Edward Grieg o.m. de melodieën Morgenstimme, In der Halle des Bergkönigs, en Anitras Tanz.. Telkens ik deze muziek hoor, moet ik weer aan deze poppenkastvertoning denken en wellicht ligt deze vertoning wel aan de basis van mijn interesse voor klassieke muziek.
Wat het onderwijs betreft, was Broeder Carissimus een fervente aanhanger van het beginsel Al doende leert men wat voor bengels als wij waren vertaald moet worden als Al spelend en al knutselend leert men..
In september 1947 leerde hij ons bvb hoe wij op een zeer eenvoudige manier een vlieger konden maken of bijeen knutselen. Eerst een rechthoekig lattenkruis van licht hout (liefst bamboe) maken waarbij de verhouding tussen de afmetingen van de armen en de hoogte van de kruising van zeer groot belang was. Vervolgens de vier armen met een koordje stevig verbinden waardoor een hecht geraamte voor de vlieger bekomen werd. Dit geraamte werd dan met behulp van dubbel geplooid dagbladpapier van een draagvlak voorzien. Het belangrijkste was echter de staart van het gevaarte, want deze staart (gewicht en gewichtsverdeling) bepaalde uiteindelijk het aerodynamisch gedrag van het toestel. Onze vlieger mochten wij vervolgens -onder zijn deskundige leiding- uittesten op het stoppelveld van Boer Sys.
In oktober 1947 leerde hij ons dan weer hoe op de meest efficiënte manier een buiskachel kon aangemaakt worden. Achteraan het klaslokaal stond immers buiskachel, die in de winter iedere morgen moest aangemaakt worden. Voor deze taak werd een beurtrol onder de leerlingen ingevoerd. De leerling, die aan beurt was, kwam een kwartier vroeger naar school. Eerst werd wat dagbladpapier verfrommeld en daarboven enkele droge houtspaanders gelegd en vervolgens werd met een stekje de brand er in gejaagd. Wanneer het vuur goed brandde werd een tweede lading houtjes aangebracht en toen ook deze houtjes ook goed brandden werd de kachel gevuld met eitjes. Na enkele minuten was de kachel roodgloeiend en verspreidde zij in het klaslokaal een aangename warmte. Wanneer onze klasgenoten in het lokaal arriveerden, was het er goed warm, vooral achteraan. Vooraan was de temperatuur iets minder en wanneer het hard winterde was het er nog Siberisch koud. Maar op de voorste banken zaten toch alleen maar de mouwefrotters en dat was dus helemaal niet erg .
-----------------------------------
(1) Deze stedelijke begraafplaats ontstond op het einde van de 18e eeuw toen doden begraven in de binnenstad om hygiënische redenen verboden werd (Edict van Keizer Jozef II van 1784). In 1810 werd het kerkhof definitief in gebruik genomen. Het Brugs kerkhof is, naast Père Lachaise in Parijs, één van de belangrijkste en oudste kerkhoven in Europa.
(2) Het Klooster Haverloo in de volksmond Frans Klooster genoemd werd opgericht in 1904 door de congregatie der Zusters van de Allerheiligste Maagd Maria uit Tours. Bij het hoofdgebouw dat in 1905 werd afgewerkt hoorde ook nog een boomgaard en boerderij. Het klooster omvatte een pensionaat, bestemd voor de meisjes uit de hoogste klassen en uiteraard was Frans er de voertaal. Na WOII werd het internaat afgeschaft, maar de school bleef gericht op kinderen uit de hogere kringen. In 1958 werd het klooster gesloten en werd er een beroepsschool ondergebracht. Op het einde van de jaren zeventig werd het gebouw afgebroken.
(3) Het domein De Zeven Torentjes heeft een bewogen geschiedenis achter de rug. De oudste sporen gaan terug naar de 13de eeuw, toen het een vrij goed was, met als naam Ter Leyen. In de 14de eeuw verkreeg het de naam 's Heer Boudewijnsburg, naar de toenmalige eigenaar Boudewijn De Vos. Deze eigenaar was een van de weinige heren die het recht hadden duiven te kweken. De achthoekige duiventoren werd speciaal voor de duivenkweek gebouwd. De boerderijgebouwen en de toren stonden in de loop der eeuwen herhaaldelijk bloot aan vernieling en verval. Zo was het domein in de 15de eeuw een tijdlang een onguur schuiloord, bekend onder de naam Rabaudenburg. Op het einde van de 18de eeuw werden de gebouwen ingericht om de stokerij Van Mullem in onder te brengen. De familie Van Mullem heeft 175 jaar op de hoeve gewoond, hoewel ze nooit eigenaar is geweest van het domein. In de 19de eeuw kregen de hoeve en de toren de merkwaardige benaming 'De Zeven Torrekes'. Van de negen torens kunnen er van op enige afstand inderdaad zeven gezien worden (centrale toren + zes hoektorentjes). Zelf heb ik nog een der nazaten van de familie Van Mullem (Marcel) zeer goed gekend want hij was ook leerling aan de Broederschool. Overigens was ik met mijn oudste broer regelmatig te gast op de boerderij en heb ik goede herinneringen bewaard aan Albert en Lène
(4) De naam Odeghem en de Sint Trudohoeve, die behoorde aan de toenmalige Sint Trudoabdij in Male, worden al vermeld in een akte uit de 12de eeuw. In de 17de eeuw werd deze hoeve aangegeven als het hof van Odeghem, in de 19de eeuw als de Vlamhoeve. De naam Steenbrugge wordt eerst maar vernoemd in de 13de eeuw en zou herinneren aan de Steene brugghe over het Sint Trudoledeken. Voor de geschiedenis van Steenbrugge of Odeghem zie : http://nl.wikipedia.org/wiki/Steenbrugge_(Belgi%C3%AB)
(5) De naam Ryckevelde zou, volgens sommige bronnen, afgeleid zijn van rycke dat rug betekent. Het gebied bevindt zich immers op eeuwenoude zandruggen of binnenduinen. Het domein is heden een beschermd biotoop zie : http://www.natuurenbos.be/nl-BE/Domeinen/West-Vlaanderen/Ryckevelde.aspx
(6) De term kalebas (fr. : calebasse of gourge) verwijst of naar het gewas of naar de vrucht van planten die behoren tot de familie van de Cucurbitaceae. Het woord kalebas zou van Perzische oorsprong zijn. In gedroogde toestand is de schil van de vrucht een vrij harde schaal waardoor dan ook de uitgeholde vrucht dienst kan doen als recipiënt. De uitgeholde droge vruchten kunnen dan met motieven versierd worden via incisie of pyrogravering (gravering met een hete priem). Een kalebas kan als kruik, drinkbeker, kom of lepel gebruikt worden.
(7) Het Leclanché-element (of Leclanché-cel) is een natte celbatterij die in 1866 werd uitgevonden en gepatenteerd door de Franse elektrotechnicus Georges Leclanché. Dit galvanisch element, die een spanning afgeeft van 1.5 Volt, was één van de eerste moderne batterijen en de voorloper van de drogezink-koolstofcel. Deze droge celbatterij werd uitgevonden in 1881 door Carl Gassner, een Duits arts. De droge batterijcel van Gassner bestaat uit een omhulsel van zink die tegelijkertijd dienst doet als de negatieve elektrode. De positieve elektrode, een koolstof staaf, staat in een pasta van mangaandioxide (MnO2) en koolstofdeeltjes. Deze wordt van het zink gescheiden door een opgevouwen papieren zak die doordrenkt is met een oplossing van ammoniumchloride (NH4Cl), het elektrolyt. Nadeel van dit type batterij is dat het zinken omhulsel door de chemische reactie langzaam oplost, en er na verloop van tijd lekkage kan optreden. Een bitumen afdichting zorgt ervoor dat het elektrolyt in de batterij niet verdampt en voorkomt indringing van zuurstof. In de Tweede Wereldoorlog ontwikkelden Amerikaanse onderzoekers een krachtigere batterij op basis van bruinsteen en zink met een alkalische elektrolyt. Dit leidde rond 1950 tot de introductie van kleine alkalinebatterijen voor algemeen gebruik. Heden gebruikt men alleen nog alkaline wegwerpbatterijen. Voor meer details zie : http://nl.wikipedia.org/wiki/Batterij_(elektrisch)
(8) In de Iron Forties werd er nog vaak aardappelpuree met zurkel en gebakken spek gegeten. Zuring (Rumex) is een geslacht van meest overblijvende, kruidachtige planten uit de duizendknoopfamilie (Polygonaceae). De ongeveer tweehonderd soorten komen van nature voornamelijk voor in de gematigde streken van het noordelijk halfrond, maar zijn wereldwijd geïntroduceerd. Zuring groeit meestal op zure grond. De soorten worden vaak beschouwd als onkruid. Sommige soorten, zoals de veldzuring, hebben echter eetbare bladeren die in salades gebruikt worden. Rumex acetosa (gewone zurkel) en Rumex patientia (spinaziezurkel ) worden gecultiveerd en werden eertijds gebruikt in de keuken als groente, nu alleen nog in specifieke recepten als paling in het groen. Zurkelplanten bevatten oxaalzuur, een product dat het calcium- en ijzermetabolisme kan verstoren. Bij consumptie van grote hoeveelheden, kunnen bepaalde zurkelsoorten aanleiding geven tot vergiftigingsverschijnselen bij dieren zoals herkauwers en paarden. Hierdoor heeft zurkel als groente (onverdiend) een slechte naam gekregen. Voor zover bekend heeft gewone zurkel nooit aanleiding gegeven tot vergiftiging bij de mens (Roth).
(9) Zoethout is in de handel de aanduiding voor korte stukjes van de wortelstok van Glycyrrhiza glabra. Hier ten lande noemt men zoethout ook wel kalissenhout, kalissiehout of gewoon kalisse.
Aan zoethout worden geneeskrachtige eigenschappen toegeschreven, en de wortel wordt gebruikt voor de bereiding van kruidenthee. Deze is goed voor de werking van de maag en de spijsvertering. Het sap uit de wortel wordt gebruikt als grondstof voor drop, een geconcentreerd preparaat dat als snoep gebruikt wordt. Deze industriële verwerking van de zoethoutwortel werd mogelijk toen de Italiaan Giorgio Amarelli er in 1731 in slaagde om het sap uit de wortel tot drop te verwerken Zoethout bevat een zoetstof (glycyrrhizinezuur ) die ongeveer 30 tot 50 keer zo zoet is als suiker. . Er moet echter flink op de wortelstokjes gekauwd en gezogen worden om de zoetstof te proeven. Glycyrrhizinezuur is een stof die de bloeddruk verhoogt. Zowel van drop als van zoethout (?) is dit effect beschreven en dit kan tot klinisch belangrijke hypertensie leiden. Toxische verschijnselen worden echter alleen vastgesteld bij abnormaal gebruik en volgens de Europese Commissie (2008) is abnormaal gebruik 100mg glycyrrhizinezuur per dag. Dergelijke doses zijn praktisch alleen te bereiken met drop niet met de wortelstok- zelf. Af en toe een dropje nemen mag dus wel
(Hoofdstuk 5 "Wiskunde in het Lager Primair Onderwijs")
§ 5.1 Arithmetiek met Meester Hillewaert
In het vierde en vijfde leerjaar kwam ik terecht bij Meester Hubert Hillewaert, een uitstekende doch strenge onderwijzer. Een man, die niet met zich liet sollen en niet aarzelde de lat of de regel te hanteren indien het nodig was. In die jaren was er immers nog geen sprake van ADHD (acroniem voor Attention Deficit Hyperactivity Disorder) in het Nederlands Aandachtsstoornis met hyperactiviteit. Toen heette dit zogezegde syndroom nog gewoon niet opletten of dromen in de klas, en met andere zaken bezig zijn. Eerlijk gezegd, als ik lees wat Gezondheid.be de gezondheidssite voor Vlaanderen- (1) hierover schrijft, rijzen mijn haren ten berge. Voor mij is dit echt een schoolvoorbeeld van hoe biowetenschappers kunnen ontsporen !!!
Meester Hillewaert legde net zoals Broeder Carissimus de nadruk op het pragmatische. Hij ontweek dus helemaal niet de vraag waar is dit nu goed voor? Bij hem was het dor van buiten leren tot een minimum herleid. Wat hij ons vertelde was zelfs voor schoolbengels erg interessant en de meeste leerlingen volgden dan ook met aandacht zijn uiteenzettingen. Merkte hij dat een van ons toch onoplettend was (en dus zogezegd leed aan een aandachtsstoornis), dan deed een harde slag met de grote lat op de bank de onverlaat onmiddellijk tot de schoolse realiteit terugkeren. Was een bengel hyperactief in de zin dat hij de klas overhoop wou zetten, wat overigens maar zelden gebeurde, dan brachten een oorveeg of een vijftal minuten rechtop op de knieën zitten het liefst op de scherpe rand van de trede- de deugniet wel tot andere gedachten. Overigens wist hij ook zeer goed dat deugnieten als wij maar hoogstens een tiental minuten werkelijk met volle aandacht een uiteenzetting konden volgen. Daarom aarzelde hij niet zijn uiteenzetting even te onderbreken met een kwinkslag om dan opnieuw de volle aandacht te kunnen vragen. Voor hem moest de leerlingen al spelend leren. Hij VOELDE de klas aan, hij WIST wanneer wij het begrepen hadden, en indien dit niet het geval was, probeerde hij het op een andere manier uit te leggen.
Arithmetiek in het Lager Onderwijs
In de Broedersschool was de Arithmetiek ofte Rekenkunde gericht op de praktische toepassingen vandaar soms de benaming Praktische Arithmetiek(2) (voor meer details zie cursiefje "Wat is Arithmetiek?" in blog 2). Zij was voornamelijk gecentreerd op een executief gedeelte, dat Rekenen genoemd werd. Dit executief gedeelte zal trouwens in de lagere humaniora (of in het MULO of MAVO) nog verder uitgebreid worden tot de vierkantswortel- en kubiekworteltrekking, wat door de schoolbengels toen zo wat als het absolute summum van de cijferkunst werd aanzien.
Er was in het primaire onderwijs helaas geen ruimte voor bvb amusante spelletjes met getallen. En dergelijke spelletjes met getallen bestonden wel degelijk zoals het boek "Spelen met Getallen -een fascinerend boek voor jong en oud- " van Fred. Schuh liet zien. Ik zou later met deze grote Nederlandse wiskundige nog kennis maken in het middelbaar en universitair onderwijs.
Van een systematische theoretische behandeling van de eigenschappen van de natuurlijke getallen (3) was er überhaupt ook geen sprake. Toch deed Meester Hillewaert zijn uiterste best om met enkele getallenvoorbeelden een en ander duidelijk te maken. Gelukkig kon ik echter bij mij thuis -in het geniep- af en toe eens de Oosthoeks-encyclopedie inkijken, waardoor voor mij heel wat zaken klaarder en vooral boeiender werden.
Rekenen werd er in de lagere school om zo te zeggen als een soort doctrine in gehamerd. Dit rekenen -dit soort dogmatische rekenkunde- omvatte uitsluitend de praktische algoritmen en uitvoeringsregels van de rechtstreekse hoofdbewerkingen (de optelling en de vermenigvuldiging) en de omgekeerde hoofdbewerkingen aftrekking en deling (de bekende staartdeling). Op het hoe en waarom van deze uitvoeringsregels werd niet ingegaan en voor de meeste schoolbengels kwamen deze regels dan ook over als een soort « evangelie» ofte «catechismus»: het was nu eenmaal zo en niet anders. Dat hiervoor ook een absolute parate kennis van de Tafels van Vermenigvuldiging onontbeerlijk was, ondervonden vele bengels wel aan den lijve. Ook werd enorm belang gehecht aan het zogenaamde « hoofdrekenen » en werd er aan « snelrekenen » gedaan, waarbij sommige bengels zich plots ontpopten als echte rekenvirtuozen.
Wellicht is deze dogmatische benadering er mede de oorzaak van dat zovelen een aversie gekregen hebben voor alles wat maar enigszins naar wiskunde zweemt??? Best mogelijk, maar situaties zoals zich bvb nu in het basisonderwijs (huidige benaming van het vroegere primair onderwijs) voordoen en waarbij op de zogenaamde realistische rekenkunde wordt beroep gedaan, lijken mij evenzeer verwerpelijk en nefast!
1- over optelling en aftrekking
Met behulp van de zogenaamde getallenrechte (waarover meer in volgend cursiefje) toonde Meester Hillewaert aan dat tussen twee natuurlijke getallen steeds één en slechts één relatie kan bestaan: ofwel is het eerste getal kleiner dan, ofwel is het eerste getal groter dan, ofwel is het eerste getal gelijk aan het tweede getal.
Verder maakte Meester Hillewaert ons aan de hand van getallenvoorbeelden duidelijk wat optellen respectievelijk aftrekken was. In feite toonde hij de mogelijkheid en vooral de ondubbelzinnigheid van de optelling respectievelijk aftrekking aan: Uit twee natuurlijke getallen is door optelling respectievelijk aftrekking één en slechts één natuurlijk getal af te leiden.
De som van enige getallen bvb 9, 7, 4.. die in een bepaalde volgorde gegeven zijn, is het getal dat men vindt door het tweede bij het eerste op te tellen, en het derde bij de bekomen som. Deze definitie laat zich schrijven als: 9 + 7 + 4 = (9 + 7) + 4 = (9 + 7 + 4)
Met behulp van getallenvoorbeelden toonde Meester Hillewaert de grondeigenschappen van de optelling (commutatieve en associatieve eigenschappen) aan.
Zo is (4 + 7) + 2 = 13 anderzijds is (7 + 4) + 2 = 13 derhalve is (4 + 7) + 2= (7 + 4) + 2.
Het wisselen van de termen in de som heeft geen invloed op het eindresultaat. Deze eigenschap wordt de commutatieve eigenschap van de optelling genoemd.
Verder is (4 + 7) + 2 = 11 + 2 = 13 maar ook 4 + (7 + 2) = 13 derhalve (4 + 7) + 2 = 4 + (7 + 2)
De som van enige getallen hangt niet af van de volgorde waarin men ze stuk voor stuk neemt. Deze eigenschap wordt de associatieve eigenschap van de optelling genoemd.
De aftrekking werd dus eveneens aanschouwelijk gedefinieerd met een getallenvoorbeeld : 14 + ? = 11. ? werd het verschil tussen 14 (het aftrektal) en 11 (de aftrekker) genoemd en geschreven als 14 11.
De aftrekking was in principe alleen mogelijk indien het aftrektal groter was dan de aftrekker. Het geval dat aftrektal gelijk was aan de aftrekker (bvb 8 - 8 en dus 8 + ? = 8) voerde tot een bijzonder getal, het getal "nul".
Indien men naast het cijfer nul, ook het getal nul invoerde was de aftrekking mogelijk indien het aftrektal groter of gelijk was aan de aftrekker. Het getal nul is echter geen natuurlijk getal; het bezit een aantal eigenschappen, die verschillend zijn van deze van het natuurlijk getal (zie volgend cursiefje).
2- over de vermenigvuldiging
Het product van een getal, vermenigvuldigtal geheten, met een ander getal, de vermenigvuldiger, is de som van zoveel getallen gelijk aan het vermenigvuldigtal als er eenheden zijn in de vermenigvuldiger. Vermenigvuldigtal en vermenigvuldiger worden de factoren van het product genoemd. Een product van twee getallen bvb 6 en 3 schrijft men als 6 x 3 waarbij het eerste getal het vermenigvuldigtal, het tweede de vermenigvuldiger aan wijst.
Zoals bij de optelling heeft de volgorde van de factoren geen invloed op het eindresultaat. Uit de Tafels van Vermenigvuldiging blijkt bvb dat 3 x 5 = 15 en 5 x 3 = 15 derhalve is 3 x 5 = 5 x 3. Deze vaststelling is algemeen want kon uitgebreid worden op gelijk welk getallenvoorbeeld. En hij kwam aldus tot de uitspraak:
Bij de vermenigvuldiging heeft de volgorde van de factoren van het product geen invloed op het eindresultaat (commutatieve grondeigenschap).
Hij hield het bij een verbale uitspraak en vermeed dit resultaat in "formulevorm" weer te gegeven, want zoals het merendeel van zijn collegas respecteerde hij het strenge voorschrift dat bij het rekenkundig (4) onderricht alleen cijfers en geen letters mochten gebruikt worden. Letters? Dat was immers algebra en dat mocht niet.
Meester Hillewaert wees verder nog op een erg belangrijke eigenschap van de vermenigvuldiging. Stel dat je het product moet berekenen van een som met een getal bvb (7 + 3) x 4. Volgens de regel moet je eerst de bewerking tussen de haakjes uit werken en vervolgens de vermenigvuldiging uitvoeren dus (7 + 3) x 4 = 10 x 4 = 40. Maar je komt tot hetzelfde resultaat als je de afzonderlijke termen van de som met 4 vermenigvuldigt en vervolgens de som maakt. Inderdaad is (7 x 4) + (3 x 4) = 28 + 12 = 40. Men kan dus schrijven (7 + 3) x 4 = (7 x 4) + (3 x 4). Ook voor andere sommen is dit het geval bvb voor (8 + 2) x 3 en (17 + 33) x 13 en hij vroeg dit even na te gaan. Deze eigenschap is dus algemeen en wordt zoals ik later vaststelde- de distributieve eigenschap van de vermenigvuldiging genoemd.
Stel nu dat je van drie getallen het product moet berekenen bvb ( 7 x 5) x 4 dan bereken je eerst 7 x 5 = 35 en vermenigvuldig je het bekomen resultaat met 4 dus 35 x 4 = 140. Let wel dat je nu hetzelfde resultaat bekomt als je eerst 5 x 4 berekent en vervolgens vermenigvuldigt met 7. Inderdaad 7 x (5 x 4) = 7 x 20 = 140. Men kan dus schrijven (7 x 5) x 4 = 7 x (5 x 4). Ook deze eigenschap is algemeen en wordt de associatieve eigenschap van de vermenigvuldiging genoemd.
Een speciale rekenkundige bewerking was het vermenigvuldigen van een getal met zichzelf, wat kwadrateren of verheffen tot de tweede macht genoemd werd. Voortgaande op de ingeslagen weg, werd het bekomen resultaat (het kwadraat van het getal) opnieuw vermenigvuldigd met dit getal, wat dan verheffen tot de derde macht genoemd werd. Bvb 7 X 7 werd voorgesteld door 7² en 7 x 7 x 7 door 7³.
Zo kon men natuurlijk verder doorgaan en werd aldus, naast de vier klassieke operaties (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) een vijfde rekenkundige operatie gecreëerd: de machtsverheffing.
* * *
In de Oosthoeks van mijn vader had ik nu echter ontdekt dat bvb de commutatieve eigenschap van optelling respectievelijk vermenigvuldiging heel eenvoudig kon voorgesteld worden door:
a + b = b + a en a x b = b x a (of a . b = b . a) waarin a en b om het even welk natuurlijk getal voorstelden. Deze manier van voorstellen leek mij uiterst eenvoudig en bovendien erg begrijpelijk.
Op dezelfde manier kon ik de verbale uitspraken over de associatieve grondeigenschap van de optelling vertalen als:
(a + b) + c = a + (b + c)
en de distributieve grondeigenschap van de vermenigvuldiging als: (a + b) x c = a x c + b x c
Wat de relatie tussen twee natuurlijke (gehele) getallen a en b betreft kon, volgens de Oosthoeks, slechts één van de drie volgende relaties van toepassing zijn: ofwel was a < b, ofwel was a > b, ofwel was a = b. Deze uitspraak vond ik evident.
De hoofdbewerking aftrekking werd dan gedefinieerd als het vinden van een geheel getal x derwijze dat a + x = b of x = b a
Die " x " was dan het onbekend getal dat moest gezocht worden. Meester Hillewaert duidde deze "x" natuurlijk aan door een ?, want hij mocht geen letters gebruiken!!
De te zoeken x noemde men het verschil tussen het aftrektal b en de aftrekker a. Deze bewerking was in principe alleen mogelijk indien a < b of a = b was. Het getal nul (niet te verwarren met het cijfer nul) werd dan gedefinieerd door a - a = 0 waaruit natuurlijk volgde a + 0 = a.
Nochtans leek mij een uitbreiding van het getalbegrip al evident, door heel eenvoudig de aftrekking ook te definiëren voor a > b : introductie van negatieve gehele getallen gesymboliseerd door -x en symmetrische uitbreiding van de getallenrechte langs de linkerzijde van het getal 0. Meester Hillewaert had het toch toen ook al over negatieve temperaturen dus waarom niet over negatieve getallen?
Deze getallenuitbreiding werd eerst maar in het Lager Middelbaar (vijfde humaniora of tweede Rijksmiddelbaar) ingevoerd en werd toen als "algebra" voorgesteld.
Wat de speciale bewerking "machtsverheffing" betrof, leerde de Oosthoeks dat er niet alleen een verheffing tot de tweede en tot de derde, maar ook tot de vierde, vijfde enz. bestond.
Algemeen kon men de n-de machtsverheffing van een willekeurig natuurlijk getal a voorstellen door a x a x a x a... (n keer) door an met n een natuurlijk getal. Derhalve kon men schrijven a x a x a x a.... (n maal) = an . Een dergelijke schrijfwijze voerde onmiddellijk tot a1 = a.
Let wel dat de machtsverheffing nog niet gedefinieerd werd t.a.v. het getal nul bvb wat moet men verstaan onder a0 ??? Dat was stof voor later (zie volgend cursiefje)
3- over deling en deelbaarheid :
Maar terug naar Meester Hillewaert. Met hem werd de deelbaarheid van de natuurlijke (gehele) getallen eveneens praktisch bekeken d.i. door het uitvoeren van allerhande delingen. Vooreerst werd, precies zoals bij de aftrekking, met een eenvoudig getallenvoorbeeld gedefinieerd wat deelbaarheid was.
Zo gaf hij ons volgend eerste voorbeeld: 3 x ? = 12 welk getal stelt ? voor?? Natuurlijk uit de Tafels van Vermenigvuldiging kenden wij het antwoord: 4. Deze bewerking werd deling genoemd en voorgesteld als: 12 : 3 = ? of nog 12/3 = ? Het getal 12 werd het deeltal, het getal 3 de deler genoemd, de oplossing het natuurlijk getal 4 het quotiënt.
Anderzijds was er geen natuurlijk getal aan te wijzen dat bvb voldeed aan:
tweede voorbeeld : 5 x "?" = 12 d.i. 12 : 5 = "?" of 12/5 = "?" ; derde voorbeeld : 7 x ? = 12 d.i. 12 : 7 = ? of 12/7 = ? ; vierde voorbeeld : 2 x "?" = 3 d.i. 2 : 3 = "?" of 2/3 = "?"
Wel hadden wij al bij Broeder Carissimus geleerd hoe de delingen 12 : 5 respectievelijk 12 : 7 en 2 : 3 uit te voeren. In het eerste geval was het resultaat een eenduidig decimaal getal 2,4 en in het tweede geval eveneens een decimaal getal : 1,714285 in het derde geval het decimaal getal 0,666666... Maar hoe ver men ook ging met het uitvoeren met de deling, er bleef steeds een restover. Toch werd deze rest steeds kleiner en men nam aan dat de verhouding (ratio) 12/7 respectievelijk 2/3 ook een eenduidig getal voorstelde dat men met een decimaal getal kon benaderen.
In het eerste voorbeeld sprak men van een opgaande deling en was het deeltal deelbaar door de deler d.i. gaf de deling een natuurlijk getal; in het tweede voorbeeld was de deling wel opgaand, maar het resultaat was een decimaal en geen natuurlijk getal. In het derde en vierde geval tenslotte waren de delingen niet-opgaand en gaven alleen benaderende decimale getallen.
Beschouwde men nu 12/5 respectievelijk 12/7 en 2/3 ook als getallen dan konden wij met deze getallen eveneens bewerkingen (samentellen, vermenigvuldigen...) uitvoeren, door eerst over te gaan op decimale getallen en vervolgens deze operaties uit te voeren. Wij kenden immers sedert de lessen van Broeder Carissimus de rekenregels (optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling) voor decimale getallen. Deze rekenregels waren dezelfde als voor de natuurlijke getallen, de "komma-regels" te na gesproken.
Maar was het niet mogelijk deze "decimale" tussenstap te vermijden ?? Het antwoord was ja door middel van de speciale rekenregels voor gebroken getallen d.i. "breuken", in te voeren.
* * *
Breuken, de nachtmerrie van vele schoolkinderen.
Om te beginnen werd de definities echte en onechte breuken ingevoerd : bij een onechte breuk is de deler (voortaan noemer geheten) kleiner dan het deeltal (voortaan teller genoemd), bij een echte breuk daarentegen is de deler (noemer) kleiner dan het deeltal (teller). Voorbeeld 4/3 is een onechte, 3/4 een echte breuk.
- de grondeigenschap van gebroken getallen of breuken :
Uit de eigenschappen van de deling is af te leiden dat bvb 2/9 = 4/18 want 2/9 = (2.2)/(2.9) m.a.w. vermenigvuldigen van teller en noemer met eenzelfde natuurlijk getal geeft dezelfde breuk. Het is deze grondeigenschap die aan de basis ligt van het vereenvoudigen respectievelijk gelijknamig maken van breuken.
- het optellen en aftrekken van breuken :
De volgende stap was dan het optellen van breuken te definiëren. En het is hier dat appels, peren en taarten begonnen een rol te spelen. Voorbeeld 1/7 + 1/7 werd vertaald als een zevende van een taart samentellen bij een ander zevende van een taart. Het antwoord was natuurlijk 2/7 en het resultaat kon dan neergeschreven worden als 1/7 + 1/7 = 2/7. Ander voorbeeld 1/7 + 4/7 = "?". Het antwoord was overduidelijk 1/7 + 4/7 = 5/7 m.a.w. om breuken breuken met dezelfde noemer (gelijknamige breuken genoemd) samen te tellen volstaat het de tellers samen te tellen.
Goed, maar hoe breuken met ongelijke noemer (ongelijknamige breuken) samentellen bvb 2/7 + 3/5 = "?". Het antwoord was door ze gelijknamig te maken :
In woorden uitgedrukt : om breuken gelijknamig te maken volstaat het teller en noemer van de ene breuk te vermenigvuldigen met de noemer van de andere breuk en vice versa.
Het aftrekken van breuken kon natuurlijk op analoge wijze ingevoerd worden : dus eerst gelijknamig maken en vervolgens de aftrekking op de nieuwe tellers uitvoeren. Deze aftrekking was slechts mogelijk indien de nieuwe teller van het aftrektal groter was dan de nieuwe teller van de aftrekker.
-het vermenigvuldigen van breuken :
Vooreerst werd het vermenigvuldigen van een breuk met een geheel getal beschouwd : bvb 2/5 x 3 = "?" Vermenigvuldigen van een getal met een natuurlijk getal is dit getal zoveel maal optellen als dit natuurlijk getal aangeeft dus : 2/5 x 3 = 2/5 + 2/5 + 2/5 = 6/5.
Vandaar de regel : om een breuk met een natuurlijk getal te vermenigvuldigen, vermenigvuldigt men de teller met dat getal en behoudt de noemer.
Vervolgens werd de deling van een breuk door een geheel getal onderzocht en dit was voor vele schoolbengels zonder enige twijfel de moeilijkste stap. Zij bvb een breuk waarvan de teller deelbaar is door het geheel getal : bvb 6/13 : 2 = "?". Men ziet onmiddellijk dat 6/13 : 2 = 3/13 want 3/13 x 2 = 6/13. Beschouw nu het geval dat de teller niet deelbaar door het natuurlijk getal bvb 6/13 : 5 = "?" Zich baserend op de grondeigenschap van breuken kan men schrijven : 6/13 : 5 = (6.5)/(13.5) : 5 = 30/45 : 5 = 6/45.
Vandaar de regel : om een breuk te delen door een natuurlijk getal, vermenigvuldigt men de noemer van de breuk met dit getal en behoudt de teller.
Op basis van voorgaande regels werd nu het product van twee breuken afgeleid en gedefinieerd : Het product van twee breuken is een breuk, waarvan de teller het product is van de tellers en de noemer het product is van de noemers.
- het delen van breuken :
Bleef nu nog de deling bij breuken te definiëeren. Bvb 3/7 : 5/8 = "?" Teneinde dit op een elegante manier te doen werd het belangrijke begrip omgekeerd getal geïntroduceerd : Twee getallen (geheel of gebroken) heten elkaars omgekeerde, als hun product gelijk is aan 1. Bijvoorbeeld 3/5 en 5/3 zijn elkaars omgekeerde want, in hoofde van wat voorafgaat, is 3/5 x 5/3 = (3.5)/(5.3) = 1 Delen door een getal is net hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde van dit getal m.a.w. 3/7 : 5/8 = 3/7 x 8/5 = (3.8)/(7.5) = 24/35
Vandaar de regel : Het quotiënt van twee breuken is een breuk waarvan de teller het product is van de teller van het deeltal met de noemer van de deler en waarvan de noemer het product is van de noemer van het deeltal met de teller van de deler.
* * *
Dank zij de Oosthoeks kon ik het aangeleerde op eenvoudige wijze met letters samenvatten:
In het eerste voorbeeld (geval van een opgaande deling met als resultaat een natuurlijk getal) had men:
b . q = a (a is deeltal, b is deler, q is quotiënt).
De hoofdbewerking deling werd dan gedefinieerd als het vinden van een geheel getal q derwijze dat b . q = a of anders uitgedrukt a : b = q of a/b = q. De te zoeken q noemde men het quotiënt van het deeltal a en de deler b. De deling leverde hier één natuurlijk getal op en was dus een ondubbelzinnige bewerking.
In de andere voorbeelden leverde het delen geen natuurlijk getal op. Maar men kon de verhouding van deeltal op deler a/b als een nieuw soort getal, een gebroken getal (breuk) A = a/b beschouwen. Dit nieuwe getal werd dan als het nauwkeurig quotiënt van de getallen a en b beschouwd.
De "Oosthoeks" definieerde nu de verhouding (ratio) a/b van twee natuurlijke getallen a en b als een rationaal getal . Een andere, volgens Schuh betere benaming voor rationaal getal is meetbaar getal.
Rationale (of dus meetbare) getallen omsloten zowel de natuurlijke getallen als de gebroken getallen (breuken). Een willekeurig natuurlijk getal n kon immers steeds als een verhouding n/1 geschreven worden. Het betrof dus een uitbreiding van het begrip natuurlijk getal.
De hoofdbewerkingen met de gebroken getallen dienden echter derwijze gedefinieerd te worden dat ze natuurlijk niet in tegenspraak waren met de regels voor de hoofdbewerkingen op de natuurlijke getallen. De "Oosthoeks" voerde dan ook "speciale" rekenregels in voor breuken:
Zij nu bvb de rationale getallen (inzonderheid breuken) A = a/b en B = c/d dan was bij definitie:
A + B = (ad + bc)/bd ; A - B = (ad - bc)/ bd ; A x B = a/b x c/d = a.c/b.d ; A : B = a.d/b.c
Waren A en B natuurlijke getallen (A = n/1 en B = m/1) dan vond men door substitutie de rekenregels voor de natuurlijke (gehele) getallen terug.
Commutatieve en associatieve eigenschappen bleken onverminderd te gelden ook voor de rationale getallen.
4- over priemgetallen, de hoofdstelling van de rekenkunde, GGD en KGV
Hoe kon men nu zonder de deling uit te voeren op voorhand merken of een bepaald geheel getal deelbaar was door 2, 3, 4, 5, 8, 9 ?? Bestonden er dergelijke regels?? Hij liet ons aan de hand van praktische voorbeelden en op intuïtieve wijze zien dat dit inderdaad het geval was. Bijvoorbeeld een getal was deelbaar door vier als de laatste cijfers rechts nullen zijn of een getal vormen dat deelbaar is door vier; een getal is deelbaar door drie, als de som van de cijfers van het getal deelbaar is door drie enz.
Een even getal was bij definitie deelbaar door 2, een oneven niet deelbaar door 2. Even getallen konden dus algemeen voorgesteld worden door 2.k , een oneven getal door 2.k + 1
Het onderzoek naar de deelbaarheid leidde onvermijdelijk tot het begrip priemgetal(5) of ondeelbaar getal d.i. een natuurlijk getal dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Een deelbaar (of samengesteld) getal had dan minstens drie delers. Volgens deze definitie was het getal 1 zelf een priemgetal, maar in feite had het getal een slechts één deler.
In de twintigste eeuw werd de definitie van priemgetal gewijzigd door te specificeren dat het getal ook groter dan 1 moest zijn zodat 1 niet langer als priemgetal kon beschouwd worden. Een priemgetal werd dan gedefinieerd als een getal met twee delers (1 en het getal-zelf), een samengesteld getal als een getal met minstens drie delers.
Deze nieuwe definitie van priemgetal was nodig in betrekking tot de hoofdstelling van de rekenkunde :
Ieder geheel getal groter dan 1 kan worden geschreven als het product van priemgetallen, en dit slechts op exact één manier (afgezien van de volgorde van de priemgetallen)
Deze belangrijke eigenschap werd door Meester Hillewaert zonder enig bewijs aangenomen en kon ik via de "Oosthoeks" als volgt vertalen:
Zij N een natuurlijk getal dan geldt voor ieder getal N = p1n x p2m x p3q... met p1, p2, p3... priemgetallen, n, m, q... de machten (exponenten) tot dewelke ieder priemgetal wordt verheven.
Deze stelling is inderdaad slechts geldig indien 1 geen priemgetal is (toon aan!!).
Een eerste stap was dus het opmaken van een lijst van priemgetallen waarbij dan een methode gebruikt werd, die al sinds de Oudheid bekend was de zogenaamde zeef van Eratosthenes (6) . Bij meester Hillewaert moesten wij aldus de lijst der priemgetallen beneden het getal 50 uit het hoofd kennen.
In een tweede stap werd dan een methode aangeleerd hoe men een (klein) natuurlijk getal moet ontbinden in priemfactoren. Het was de zogenaamde uitprobeermethode (zie onder (5)), weliswaar de eenvoudigste methode om een getal N in zijn priemfactoren te ontbonden, maar die voor grotere getallen weinig efficiënt is.
De hoofdstelling van de rekenkunde voerde nu rechtstreeks tot de begrippen GGD (Grootste Gemene Deler) en KGV (Kleinste Gemeen Veelvoud):
-een gemene deler van enige getallen is iedere deler van elk van deze getallen; de Grootste Gemene Deler van enige getallen a, b, c -genoteerd als GGD(a,b,c) - is de grootste van de gemene delers van deze getallen. Om de GGD van enige getallen te vinden ontbindt men vooreerst ieder getal in zijn priemfactoren. De GGD is het product van alle gemeenschappelijke priemfactoren, elk met de kleinste exponent waarmede hij optreedt -een gemeen veelvoud van enige getallen is ieder veelvoud van elk van deze getallen; het Kleinste Gemeen Veelvoud van enige getallen- genoteerd als KGV(a,b,c) - is het kleinste onder deze gemene veelvouden. Om het KGV van enige getallen te vinden ontbindt men vooreerst ieder getal in zijn priemfactoren. Het KGV is het product van alle gevonden priemfactoren, elk met de grootste exponent, waarmede hij optreedt.
Het KGV was volgens Meester Hillewaert vooral nuttig voor het gelijknamig maken van breuken, waardoor de kleinste gemeenschappelijke noemer kon gekozen worden.
Over andere nochtans interessante toepassingen (7) zoals bvb het tandwiel- en kalenderprobleem (modulo-rekenen) werd echter nog met geen woord gerept.
5- arithmetiek in het dagelijkse leven:
Met Meester Hillewaert had het rekenen, het cijferen, begonnen in het tweede studiejaar met Meester Vermeersch, werkelijk zijn hoogtepunt bereikt. De getallen waarmede de rekenkundige operaties ofte bewerkingen, zoals vermenigvuldigen en delen, dienden uitgevoerd te worden werden steeds groter, de optellingen steeds langer en meer ingewikkeld. Voornoemde operaties hadden dan betrekking op de natuurlijke (gehele), de decimale getallen en natuurlijk de breuken.
Het was in die tijd ook gebruikelijk aan de leerlingen te vragen om bvb de som te maken van 1 + 2 + 3 + + 100. De beroemde wiskundige Carl Friedrich Gauss(8) (1777-1855), aan wie dit vraagstuk in zijn jeugd ook werd voorgelegd, had onmiddellijk het antwoord: 5050.
Maar in onze klas waren er geen Gauss jes aanwezig en dus bleef het maar bij lang en geduldig optellen.
Vraag: hoe kwam onze kleine Gauss aan dit resultaat ?
Tip: schrijf de sommen in stijgende respectievelijk in dalende volgorde onder mekaar...
Lange optellingen kunnen maken zonder fouten was in die tijd wel van praktisch belang. En omdat ik hier wel goed in was (ik paste gewoon de distributieve eigenschap toe nietwaar ), mocht ik mijn oudste broer vergezellen wanneer maandelijks afgerekend werd bij boer Van Mullem (Zeven Torrekes) voor de aangekochte eieren, boter, appelen enz. Artikelen zoals boter bvb waren vanaf 1 mei 1948 niet langer aan rantsoenering (9) onderworpen en werden rechtstreeks bij de bron betrokken. In de grote kamer van de boerderij, aan een zeer lange eettafel gezeten, voerde ik met uiterste nauwgezetheid mijn berekeningen uit, terwijl de boerin mij glimlachend gadesloeg. Als beloning kreeg ik telkens een grote kom havermoutpap zonder suiker en een dikke snede boerehesp.
Precies zestig jaar later toen ik de boerderij opnieuw bezocht, die nu in een residentiële wijk gelegen is, zat ik in diezelfde grote kamer. Er was nog diezelfde trap, die naar de voute- kamer leidde en diezelfde schuine deur, die toegang gaf tot de kelder, waar vroeger boter en eieren opgeslagen werden. De grote kamer functioneerde nu echter als gelagzaal. De lange eettafel was weg en vervangen door een reeks kleine tafeltjes; ook was de deur die toegang gaf tot de centrale gang en tot het achterhuis verdwenen Moeilijk om u te vertellen hoe ik mij daarbij voelde
Alleen nog dit, ik begreep zeer goed waarom Etienne, een zoon des huizes, weigerde nog eens de boerderij te bezoeken
Volgens deze bron zou ADHD naar schatting voorkomen bij 1 op 20 kinderen, wat betekent dat er in bijna elke schoolklas wel één zit! Het zou de meest door kinderpsychiaters gestelde diagnose zijn en een kinderpsychiater is er 25-30% van haar of zijn tijd mee bezig De behandeling van dit zogezegde syndroom is symptomatisch want er is nog geen geneesmiddel of andere behandeling die ADHD geneest. Wel zouden bepaalde geneesmiddelen zoals psychostimulantia (methylfenidaat (Rilatine®) en d-amfetamine (Dexedrine®) de verschijnselen verminderen en aldus de negatieve spiraal onderbreken. Amphetamines ,zelfs in kleine doses, toedienen aan kinderen.. tot waar winstbejag kan toe leiden!!
Zie ook bvb het boek van de Ieperse apotheker Fernand Haesbrouck : ADHD-medicatie medische megablunder http://www.adhdfraude.net/blog/
(2) met de term « Practische Arithmetiek » wordt in de eerste plaats het executief rekenen bedoeld d.i. de practische algoritmen alsook de theoretische basis waarop deze algoritmen gesteund zijn. Deze theoretische basis wordt in een later stadium gegeven, meestal nadat een automatisme in het executief rekenen verworven is. Bij de Practische Arithmetiek horen ook een serie practische toepassingen als bvb interestberekening, metriek stelsel enz.
(3) zie bvb http://nl.wikipedia.org/wiki/Natuurlijk_getal Natuurlijke getallen zijn het resultaat van een telling van een eindig aantal dingen. In Europa behoorde eertijds het getal nul niet tot de natuurlijke getallen, in de Verenigde staten echter wel. Beide standpunten zijn verdedigbaar. Definieert men bvb een natuurlijk getal als een getal dat een antwoord geeft op een teloperatie dan heeft het antwoord ne ullus (het Nederlandse nul is hiervan een samentrekking) wel betekenis en zou men het getal nul onder de natuurlijke getallen kunnen rangschikken.
Het getal nul bezit echter bijzondere eigenschappen, die verschillend zijn van deze van het "gewone" natuurlijk getal o.m. is het delen door nul niet toegelaten. Een aparte rangschikking van het getal nul is dus evenzeer verantwoord (voor verdere gegevens zie bvb : http://nl.wikipedia.org/wiki/0_(getal)
(4) het voorstellen van relaties en eigenschappen van getallen door letters gekoppeld aan het gebruik van bewerkingstekens (plusteken +, minteken -, vermenigvuldigingsteken x of .) en relatietekens (gelijkheidsteken =, kleiner dan <, groter dan >) werd toen inderdaad als algebra beschouwd (cf. het artikel "algèbre" in Encyclopédie Internationale Focus -Bordas-). De Bordas is een encyclopedie speciaal ontworpen voor scholieren.
Over het werk van deze Prins der Wiskunde zal ik het verder hebben.
(9) gedurende maar ook na de oorlog waren zeer veel voedingswaren en verbruiksgoederen gerantsoeneerd en het heeft heel wat tijd genomen vooraleer de rantsoeneringzegels werden afgeschaft : in november 1946 was dit geval voor confiserie, gekonfijt fruit en conserven ; op respectievelijk 7 maart, 1 april, 1 mei, 1 augustus en 1december 1947, werden achtereenvolgens volgende voedingswaren van zegels vrijgesteld : confituur, koffie, aardappelen, chocolade ; boter volgde op 1 mei 1948, brood, suiker en olie op 1 december 1948. Wat de verbruiksgoederen betreft werd de rantsoenering opgeheven in augustus 1946 voor tabak, in december 1946 voor textiel, in januari 1947 voor schoenen, in augustus 1948 voor zeep. Een en ander verklaart waarom mijn havermoutpap zonder suiker werd opgediend .
(Hoofdstuk 5 "Wiskunde in het Lager Primair Onderwijs")
§ 5.2 Arithmetiek met Meester Berghmans
In de lagere afdeling van het Sint Lodewijkscollege, meer precies bij Meester Depoorter en Meester Berghmans werd het onderricht in het executief gedeelte van de Praktische Arithmetiek verder gezet, met o.a. de machtsverheffing en de worteltrekking. Ook werd meer en meer de nadruk werd gelegd op allerhande praktische toepassingen van de Rekenkunde zoals percentrekening, intrestrekening, menging van waren en legeringen.
Geleidelijk aan werd echter ook meer aandacht besteed aan het theoretisch deel van de Arithmetiek. Dit was dan voornamelijk het geval in het zevende leerjaar, bij Meester Berghmans. In feite omvatte de leerstof van het zevende leerjaar een groot gedeelte van de materie voorzien voor de zesde humaniora. Wat het leerprogramma "Arithmetiek" in het zevende studiejaar respectievelijk in de zesde humaniora inhield, weet ik niet meer heel precies. Wel herinner ik mij dat Meester Berghmans - in tegenstelling tot Meester Hillewaert- nu ook bvb de commutatieve, distributieve en dito eigenschappen van optelling, vermenigvuldiging enz. met behulp van "letters" (2) uitdrukte. Hij bevestigde wat ik al eerder in de Oosthoeks had gelezen.
In feite was deze materie een recapitulatie van de in het in het vijfde en zesde leerjaar geziene executief rekenen, waarbij nu echter ook het theoretisch gedeelte (eindelijk) wat meer op de voorgrond trad.
Het uiteindelijk resultaat was wel, dat wij het "waarom moet het zó en niet anders" van de rekenkundige bewerkingen begrepen en dat vond ik uitermate belangrijk!!!
1° de begrippen natuurlijk getal en het getal nul
Volgens Meester Berghmans was het begrip natuurlijk getal ontstaan door gewoon hoeveelheden te tellen. Hij gaf verder commentaar op de regels voor het noemen van een natuurlijk getal en lichtte het Arabisch decimaal positioneel talstelsel (1) wat nader toe.
Wat een fenomenale vondst het positioneel talstelsel eigenlijk wel was, demonstreerde hij door een vergelijking te maken met het Romeinse systeem. Dit laatste systeem is noch decimaal noch positioneel is en dit is eveneens het geval met bvb het Griekse systeem. Probeer nu maar eens een eenvoudige optelling uit te voeren met getallen neergeschreven op de Romeinse wijze. Zelfs het lezen alleen al van Romeinse getallen schept al problemen.
Vraag: welk natuurlijk getal stelt MDCCCXIX voor en omgekeerd schrijf eens vijftigduizend driehonderd vijf en negentig in Romeinse cijfers..
Het getal nul werd gedefinieerd als een nulhoeveelheid d.i. wat men heden noemt een lege verzameling. Het getal nul bezat t.a.v. een willekeurig natuurlijk getal a de volgende eigenschappen: het getal nul was kleiner dan om het even welk natuurlijk getal (1); de som met een natuurlijk getal gaf steeds het natuurlijk getal (2); vermenigvuldiging met een natuurlijk getal gaf steeds het getal nul (3) :
0 < a of a > 0 (1) a + 0 = 0 + a = a (2) en a x 0 = 0 x a = 0 (3)
Later zou aangetoond worden dat voor de verheffing tot de nulde macht van een natuurlijk getal a en zelfs voor het getal nul gold: a0 = 1 en 00 = 1
Een eenvoudige manier om de natuurlijke getallen voor te stellen was de getallenrechte. d.i. een rechte, waarop een reeks gelijke lijnstukken afgemeten zijn. Duidt men het begin van het eerste lijnstuk aan door het getal nul, dan stelt het einde van het eerste lijnstuk het getal 1, het einde van het tweede lijnstuk het getal 2, het einde van het derde lijnstuk het getal 3 enz. voor. Op de afgebeelde getallenrechte zijn ook al de negatieve gehele getallen en enkele irrationele getallen (√2, het getal π , het getal e) afgebeeld.
Beschouwde men twee willekeurige natuurlijke getallen a en b op de getallenrechte dan waren deze getallen ofwel gelijk ofwel ongelijk wat aangegeven werd door de uitdrukkingen:
a = b ofwel a ≠ b met in het laatste geval of a < b of a > b
We waren al vanaf de lagere klassen vertrouwd al geraakt met de wiskundige tekens = (gelijkheidsteken) en ≠ (ongelijkheidsteken) en de tekens < (kleiner dan) en > (groter dan), de bewerkingstekens + (plusteken), (minteken), x of . (maalteken) en : of / .
Meester Berghmans legde er de nadruk op, dat het invoeren van deze tekens een geweldige vereenvoudiging betekende, want stel je even voor dat je telkens de woorden is gelijk aan of groter dan enz. voluit zou moeten uitschrijven. We hadden de indruk dat deze tekens sinds eeuwen gebruik werden, maar zei hij, dit was niet het geval. Het is slechts sinds de 18de eeuw dat deze tekens algemene ingang hebben gevonden (2) .
2° Over de optelling:
De som van twee natuurlijke getallen a en b is het getal S, dat ontstaat door het tweede getal b bij het eerste getal a op te tellen. De som S kan geschreven worden als S = a + b waarbij in beginsel op de volgorde met gelet worden. De getallen a en b noemt men de termen van de som.
Zoals Meester Hillewaert toonde Meester Berghmans met getallenvoorbeelden aan dat S = a + b = b + a m.a.w. de som verandert niet indien men de volgorde van de termen wijzigt (commutatieve eigenschap van de som). Hij schreef deze eigenschap echter nu wel in de formulevorm neer.
De som van enige natuurlijke getallen in een gegeven volgorde werd gedefinieerd als zijnde het getal dat men vindt door het tweede getal bij het eerste getal op te tellen en het derde bij de bekomen som, het vierde bij de nieuw bekomen som enz.
In letternotatie laat de som van enige (gehele) getallen zich dan schrijven als: a + b + c + d = (a + b) + c + d = (a + b + c) + d = (a + b + c + d) waarin (a + b) de som van de eerste twee getallen, (a + b + c) de som van de eerste drie getallen en tenslotte (a + b + c + d) de uiteindelijke som van de vier getallen voorstelt.
Bij overeenkomst wordt een som, die tussen haakjes staat, als uitgewerkt aanzien (eerste haakjesregel).
Vervolgens werden met getallenvoorbeelden de algemene commutatieve, associatieve en dissociatieve eigenschap van de som van de gehele getallen geformuleerd:
- eigenschap I : De som van enige getallen hangt niet af van de volgorde waarin men ze stuk voor stuk neemt (commutatieve eigenschap) of nog "Een som verandert niet, als men de vogorde van haar termen wijzigt".
a + b + c + d = b + c + a + d (1) (algemene commutatieve eigenschap)
- eigenschap II : De som van enige getallen verandert niet als men enkele (twee of meer) van die getallen door hun som vervangt (associatieve eigenschap) of nog "Een som verandert niet, als enige termen door hun uitgewerkte som vervangen worden".
a + b + c + d = a + (b + c) + d = a + b + (c +d) (2) (algemene associatieve eigenschap)
- eigenschap III : In een som mag men een term splitsen in twee of meer termen waarvan hij de som is (dissociatieve eigenschap) of nog "Een som verandert niet, als men een term in delen splitst".
a + b + c + d = a + b + c + (e + f)= a + (g + h) + c + ( e + f) (3)
met d = e + f en b = g +h (algemene dissociatieve eigenschap)
In tegenstelling met het onderwijs in de Broedersschool, waar het gebruik van letters ten stelligste vermeden werd, presenteerde Meester Berghmans dus alle voornoemde eigenschappen in formulevorm.
De optelling- zelf was de executieve bewerking, die toeliet op een vlugge manier de som van enige getallen te bepalen. Het in het lager onderwijs aangeleerde uitvoeringsmechanisme van deze bewerking, stoelde nu op voornoemde eigenschappen (1), (2) en (3).
In het tientallig stelsel is bvb ieder getal van vier cijfers op te vatten als de som van een aantal duizendtallen (D), honderdtallen (H), tientallen (T) en eenheden (E). Bijvoorbeeld 3713 kan geschreven worden als 3713 = 3D + 7H +1T + 3E (dissociatieve eigenschap). Schrijft men nu alle op te tellen getallen op analoge wijze dan kan men op een snelle en eenvoudige manier de som maken van de eenheden, de tientallen, de honderdtallen en duizendtallen (associatieve eigenschap). Eerst maakt men de som van de eenheden en noteert het aantal nieuwetientallen, die hierbij ontstaan. Vervolgens wordt de som van de tientallen gemaakt, waarbij de nieuwe tientallen gevoegd worden; men noteert het aantal nieuwe honderdtallen, die hierbij ontstaan. Dan wordt de som van de honderdtallen gemaakt waarbij het aantal nieuwe honderdtallen gevoegd worden; men noteert het aantal nieuwe duizendtallen enz.
In de praktijk schikt men de op te tellen getallen onder elkaar derwijze dat de eenheden, tientallen enz. telkens tot eenzelfde kolom behoren. Voor het uitvoeren van de bewerking begint men de kolom eenheden uiterst rechts, vervolgens gaat men over naar de kolom van de tientallen, dan naar de kolom van de honderdtallen enz. zoals aangegeven in begeleidende figuur. Het is overduidelijk dat naargelang het aantal en de grootte van de termen van de som, de optelling heel wat rekenwerk vraagt.
3° Over de aftrekking:
Het verschil tussen twee ongelijke natuurlijke getallen a en b is het getal, dat bij het kleinste op te tellen is om het grootste te verkrijgen. Het grootste getal noemt men aftrektal, het kleinste de aftrekker. Het verschil kan geschreven worden als V = a b waarbij uitdrukkelijk a > b gesteld wordt.
De aftrekking is de bewerking die ons het verschil van twee getallen leert vinden. De aftrekking is slechts dan uitvoerbaar als het aftrektal groter (of gelijk is aan) de aftrekker.
De hoofdeigenschappen van de aftrekking zijn:
- eigenschap I : Om een verschil V = b c bij een getal a op te tellen, telt men de eerste term van het verschil (aftrektal) bij het getal en van de komende som trekt men de tweede term (aftrekker) af
In formule vorm a + (b c) = a + b c (1)
Het tweede lid in de uitdrukking (1) noemt men een drieterm. Door deze uitdrukking van rechts naar links te lezen komt men tot de tweede haakjesregel: Indien haakjes in een drieterm ingevoerd worden en er voor die haakjes een plusteken staat, laat men de tekens van de termen, die tussen haakjes geplaatst worden, zoals ze zijn.
- eigenschap II : Om een verschil V = b c van een getal a af te trekken, trekt men de eerste term (aftrektal) af van het getal en telt men de tweede term (aftrekker) bij het komende verschil op (in de onderstelling dat de eerste bewerking uitvoerbaar is)
In formulevorm a (b c) = a b + c (2)
Door de uitdrukking (2) van rechts naar links te lezen kwam men tot een derde haakjesregel : Indien haakjes in een drieterm ingevoerd worden en er voor die haakjes een minteken staat, keert men het teken om van de tweede term, die onder haakjes geplaatst wordt.
Het in de lagere school aangeleerde mechanisme van de aftrekking steunt op de volgende afgeleide eigenschappen:
- eigenschap III : "Om een som van een som af te trekken, mag men de termen van de tweede som van bepaalde termen van de eerste som aftrekken en de komende verschillen optellen"
(a + b) (c +d) = (a c) + (b d) (3) waarbij dan uitdrukkelijk ondersteld wordt dat
a > of = c en b > of = d
- eigenschap IV : "Een verschil verandert niet als men aftrektal en aftrekker met een zelfde getal vermeerdert of vermindert"
(a b) = (a + c) (b + c) (4) en (a b) = (a c) (b c) (5)
Het volstaat nu aftrektal en aftrekker bvb in DHTE notatie neer te schrijven om de klassieke uitvoeringsregels van de aftrekking te begrijpen:
- de aftrekker wordt zo onder het aftrektal geschreven dat eenheden van dezelfde orde in een zelfde kolom komen te staan
- van rechts naar links werkend, wordt elk cijfer van de aftrekker van het daarboven staande cijfer afgetrokken
- is een van die aftrekkingen niet uitvoerbaar, dan wordt het cijfer van het aftrektal met 10 vermeerderd, en het volgend cijfer van de aftrekker met 1
Deze bewerkingsregels vloeien rechtstreeks voort uit de uitdrukkingen (3), (4) en (5).
4° Over veeltermen :
De uitdrukkingen (1) en (2) leiden nu tot het begrip veelterm. Een veelterm is een reeks optellingen en aftrekkingen, die in een bepaalde volgorde te verrichten zijn.
Bvb de veelterm N = 15 7 + 14 + 9 7 of in formulevorm
N = a + b c + d + e f.
De termen, waar een plusteken voorafgaat noemt optellers, de termen voorafgegaan door een minteken aftrekkers. Men aanziet de eerste term van de veelterm als voorafgegaan door een plusteken.
- stelling I : De waarde van een veelterm hangt niet af van de volgorde van zijn termen (in de onderstelling dat de bewerkingen uitvoerbaar zijn en dat de eerste term een opteller is)
- stelling II : Elke veelterm is het verschil van de som van de optellers en de som van de aftrekkers
N = a + b c + d + e f = (a + b + e) (c + f)
- stelling III : Om bij een getal p een veelterm N op te tellen schrijft men de termen met hun teken achter het getal
p + N = p + (a + b c + d + e f) = p + a + b c + d + e f (1)
- stelling IV : Om van een getal p een veelterm N af te trekken, schrijft men de termen achter het getal na hun tekens omgekeerd te hebben
p N = p (a + b c + d + e f ) = p a b + c d e + f (2)
Net als voor de drieterm vloeien uit de stellingen III en IV dan volgende algemene haakjesregel voor veeltermen voort:
Voert men in een veelterm haakjes in dan:
- indien een plusteken vóór de haakjes staat, laat men de tekens van de termen, die tussen haakjes geplaatst worden zoals ze zijn
- indien een minteken vóór de haakjes staat, keert men de tekens om van de termen, die tussen haakjes geplaatst worden, behalve het teken van de eerste term
(wordt voortgezet)
---------------------------
(1) Voor wie iets meer over getallen en talstelsels wil weten kan ik bvb verwijzen naar Spelen met Getallen een fascinerend boek voor jong en oud- (Thieme, -1951-) van Fred Schuh. Over deze auteur, die ik eerst maar na mijn humaniora werkelijk ontdekte, zal ik het later uitvoerig hebben, want hij heeft door zijn vele geschriften een grote invloed op mijn wiskundige ontwikkeling uitgeoefend.
(2) In het "Complement der Algebra" van de collectie De Vaere - Herbiet vindt men volgende aanduidingen (p. 6):
- Het gebruik van letters om getallen voor te stellen stamt reeds van Jordanus Nemorarius; het systematisch gebruik dateert echter maar van Vieta in zijn "Artem analyticam isagogé" van 1591.
- De meeste tekens die we tegenwoordig gebruiken schijnen door de Duitse en Engelse wiskundigen ingevoerd te zijn. In een boek voor handelsrekenenen van Johan Widmann, te Leipzig in 1489 uitgegeven komen het + en het - teken voor; ze schijnen echter slechts als afkortingstekens gebruikt te worden. De Arabieren gebruikten reeds de deelstreep om een de deling aan te duiden.
- In zijn Algebra van 1557 gebruikt de Engelse medicus Robert Recorde het teken = voor de gelijkheid. Hij zegt hierbij dat twee zaken niet beter gelijk kunnen zijn dan de twee evenwijdige strepen, waaruit het samengesteld is. Vieta schrijft echter a = b om de aftrekking a - b voor te stellen! Vroeger was er een betrekkelijk grote variëteit van tekens om eenzelfde verschijnsel aan te duiden en bij het lezen van wiskundige werken uit de zestiende en zeventiende eeuw moet men hiermede rekening houden. Daarentegen heeft het gelijkheidsteken bij Fermat en Descartes heeft veel weg van het symbool dat we thans gebruiken om oneindig voor te stellen; het is waarschijnlijk een vervormde schrijfwijze van de ineengestrengelde letters a en e van het latijnse woord aequus (gelijk).
- De ongelijkheidstekens < en > vinden we voor het eerst bij de Engelse wiskundige Harriott in een werk van 1631.
- Bombelli en Stevin (1572 en 1585) gebruiken om de machten van een getal aan te duiden een cijfer in een kringetje of een onderstreept cijfer. De moderne schrijfwijze voor de machten stamt van Descartes af.
§ 5.3 Intuïtieve Vlakke Meetkunde of Planimetrie
(Hoofdstuk 5 "Wiskunde in het Lager Primair Onderwijs")
§ 5.3 Intuïtieve Vlakke Meetkunde of Planimetrie
Vanaf het vijfde studiejaar werden ons in de Broedersschool ook enkele meetkundige begrippen bijgebracht, onder het kwalitatief Vormleer (1) . Wat Vormleer nu was of precies voorstelde, wisten wij niet maar -het dient gezegd- onze ouders ook niet. Alleen beseften wij wel dat het iets met "meetkunde" te maken had. Het is eerst maar na het lezen van een boek over de meetkundedidactiek in het basisonderwijs van Nederland, dat mij veel is duidelijk geworden.
Het betrof hier het proefschrift verschenen in boekvorm van Ed De Moor Van Vormleer naar Realistische Meetkunde (2) (1999). Dat er op didactisch vlak sinds meer dan een eeuw een grote discussie aan de gang was over wat nu wel of niet geometrisch geschikt was voor de schoolgaande jeugd, is wellicht velen niet bekend.
Deze Vormleer, ook "Intuïtieve Meetkunde" of "Realistische Meetkunde" of ook nog Kijk- Meetkunde genoemd, werd (en wordt nog altijd) door sommige wiskundigen beschouwd als een regelrechte aanslag op het erfgoed van Euklides d.i. de deductieve meetkunde, gebaseerd op axioma's, definities en stellingen en om deze reden axiomatische meetkunde genoemd. Persoonlijk meen ik dat deze kritiek onterecht is. Schoolbengels pikken nu eenmaal meer op van een speelse, realistische aanpak dan van strenge abstracties.
Deze Intuïtieve Meetkunde is DE meetkunde van het lager onderwijs, en tot het lager onderwijs moet op zijn minst ook nog het eerste jaar middelbaar (zesde humaniora) gerekend worden. Daarentegen is Deductieve meetkunde ontegensprekelijk de meetkunde van het hoger secundair onderwijs.
Na WOII werd via de ministeriële omzendbrief van 1949 de deductieve meetkunde al vanaf het tweede jaar middelbaar (vijfde humaniora) in het leerprogramma gebracht. Was dit een gelukkig initiatief? Ik meen van niet want dit gebeurde natuurlijk ten koste van de intuïtieve meetkunde, waarbij dan interessante rubrieken zoals bvb het vaststellen van bestaan van irrationale of onmeetbare getallen, de beginselen van Cavalieri, de Gulden Snede gewoon van het programma geschrapt werden.
Voor het beoefenen van deze intuïtieve meetkunde waren alleen noodzakelijk papier, karton, schaar en pappot en verder voor het tekenwerk de werkinstrumenten passer en gegradueerde lat, winkelhaak en gradenboog. Let wel dat voor het beoefenen van de meetkunde van Euklides (deductieve meetkunde)alleen passer en lineaal toegelaten zijn.
Het eerste gedeelte van Herbiets boek (3) LArithmétique dans la vie pratique was nu gewijd aan die zogenaamde Vormleer, dus aan die "Intuïtieve Meetkunde".
Nu is Arithmetiek in wezen geen Meetkunde en ik was dan ook enigzins verwonderd dit soort meetkunde in dit boek aan te treffen. De titel dekte blijkbaar niet helemaal de lading. Bij het doorbladeren van dit werk stelde ik overigens vast dat ik dezelfde figuren en tekeningen inderdaad al vroeger in de Broedersschool had ontmoet.
Meester Hillewaert had blijkbaar dezelfde didactische technieken gebruikt als vermeld in dit werk en die technieken kon men samenvatten als: plooien, knippen, plakken, tekenen en kleuren.
Deze weg zou trouwens verder bewandeld worden door Meester Depoortere en vooral Meester Berghmans in de lagere afdeling van het Sint Lodewijkscollege. Zo was bvb, bij Meester Berghmans, de stelling van Pythagoras, het culminerend punt van zijn onderricht. Deze uiterst belangrijke stelling, noemde hij een ezelsbrug, een "pons asinorum" (4) . Eenmaal deze brug overschreden, stond voor ons de poort van de kennis i.h.b. van de wiskunde wijd open.
Meester Hillewaert had bij zijn onderricht de volgorde gevolgd, zoals die bij Herbiet was aangegeven: eerst enkele basisbegrippen (rechte lijn, plat vlak, hoeken), vervolgens de eerste meetkundige figuren (rechthoek, vierkant) en hierbij aansluitend het oppervlaktebegrip, dan de eerste meetkundige lichamen (balk, kubus) en hierbij aansluitend het begrip volume. Hierop volgde een tweede serie geometrische figuren (parallellogram, ruit, driehoek, trapezium, regelmatige veelhoeken, cirkel) met telkens bepaling van omtrek en oppervlakte, en een tweede serie geometrische lichamen (prisma, cilinder, piramide, kegel, bol) met telkens de bepaling van de oppervlakte en het volume.
I- De basisbegrippen:
Vooreerst werden ons op zeer aanschouwelijke wijze de begrippen, punt, lijn, rechte lijn of rechte, lijnstuk en het meten van lijnstukken bijgebracht. Bij het introduceren van deze basisbegrippen werd vanaf het begin de klassieke gebruikelijke meetkundige notatie ingevoerd. Een punt werd voorgesteld door een hoofdletter bvb het punt A, een lijnstuk door zijn eindpunten dus het lijnstuk AB. Vervolgens werden de begrippen plat en gebogen vlak geïntroduceerd. Nadruk werd gelegd op de voornaamste eigenschap van het platte vlak: een vlak is een plat vlak, als een rechte die door twee willekeurig gekozen punten van dit oppervlak verbindt, geheel in dit oppervlak ligt; is dit niet het geval, dan heeft men een gebogen oppervlak. Een practische toepassing van deze eigenschap was het verifiëren of een vlak volkomen plat was (proef met een liniaal).
De verhouding van een lijnstuk tot een ander lijnstuk is het onbenoemde getal, waarmede het tweede lijnstuk te vermenigvuldigen is om de eerste te verkrijgen. Deze verhouding is een rationaal of beter meetbaar getal, m.a.w een gebroken getal of breuk en wordt kortweg lengte van het lijnstuk genoemd.
Het maatgetal van een lijnstuk is de verhouding van dit lijnstuk tot een ander lijnstuk, dat als eenheid (lengte-eenheid) genomen wordt. Het maatgetal van een lijnstuk is een benoemd getal. Met lengte van een lijnstuk kan zowel de verhouding of het maatgetal bedoeld worden.
Kenschetsend is nu dat men in de Deductieve Meetkunde met verhoudingen, in de Intuïtieve Meetkunde met maatgetallen werkt. Vandaar bvb het gebruik van de gegradueerde lat in de Intuïtieve, van de liniaal in de Deductieve Meetkunde.
Dan was het de beurt aan het begrip hoek, zijnde het deel van een plat vlak ingesloten door twee halve rechten, die de benen van de hoek worden genoemd en die in een punt, het hoekpunt samenkomen. Is O het hoekpunt en is A een willekeurig punt gelegen op het ene been, B een willekeurig punt gelegen op het andere been dan wordt de gevormde hoek aangeduid als hoek AOB. De grootte van de hoek hangt niet af van de lengte van de benen maar wel van hun opening. Deze opening werd gemeten met een gradenboog.
De noties loodlijnen en rechte hoek werden verkregen door een blad papier tweemaal te plooien (zie figuur 1 rechte hoeken en loodlijnen). Men bekomt aldus de hoeken AOC, COA, BOA en DOA; deze vier hoeken zijn gelijk en bedekken samen het gehele vlak. Deze hoeken worden rechte hoeken genoemd en worden als hoofdeenheid voor het meten van hoeken beschouwd. Een rechte hoek heeft een opening van 90°. Hoeken kleiner dan een rechte hoek zijn scherpe, groter dan een rechte hoek, stompe hoeken. Rechten die elkaar snijden onder een rechte hoek zijn rechten, die loodrecht op elkaar staan. Dergelijke rechten worden loodrechten of loodlijnen genoemd.
De afstand van een punt C tot een rechte AB is gedefinieerd als het lijnstuk CO dat loodrecht op AB staat; het is de kortste afstand van het punt C tot de rechte. Rechten zoals CD en CI, die niet met de loodlijn O samenvallen, heten schuine lijnen t.o.v. AB (zie figuur 2 kortste afstand punt C tot lijnstuk AB).
Evenwijdige rechten zijn rechten, die in eenzelfde vlak gelegen, elkaar niet snijden. Twee rechten, die loodrecht staan op een zelfde derde en in het zelfde vlak gelegen zijn, zijn steeds evenwijdig. De afstand tussen twee evenwijdige is overal dezelfde.
II- De rechtlijnige meetkundige figuren
Vooreerst werd het algemeen begrip congruentie uiteengezet. Twee meetkundige figuren zijn congruent als de ene zo op de andere kan geplaatst worden dat zij samenvallen.
In de Intuïtieve Meetkunde wordt congruentie aangetoond door natekenen van een figuur op transparant papier. Indien men door verschuiving deze figuur kan doen samenvallen met een andere getekende figuur dan zijn deze figuren congruent.
Congruentie betekent én gelijkvormig én gelijk van oppervlak ( tekens ~ én =). Gelijkvormige figuren zijn figuren die dezelfde vorm hebben (teken ~ ); gelijke figuren zijn figuren die dezelfde uitgebreidheid of oppervlak hebben (teken =).
Bij gelijkvormige figuren zijn de overeenkomstige hoeken gelijk en de overeenkomstige zijden proportioneel. Vierkanten, gelijkzijdige driehoeken en cirkels zijn altijd gelijkvormig. Rechthoeken, parallellogrammen, trapezia, en driehoeken zijn doorgaans niet gelijkvormig maar kunnen het zijn indien bepaalde voorwaarden vervuld zijn.
De verhouding van een oppervlak tot een tweedeoppervlak is het onbenoemde getal waarmede het tweede oppervlak te vermenigvuldigen is om het eerste te bekomen. Er werd aangenomen dat deze verhouding een rationaal of meetbaar getal was (over het bestaan van irrationale getallen waarvan sprake in volgend cursiefje "Intuïtieve Meetkunde in het Primair Onderwijs" (2) werd met geen woord gerept).
Met oppervlak S van een meetkundige figuur wordt dus de grootte van het oppervlak bedoeld. Het oppervlak S kan nu uitgedrukt worden in bepaalde parameters (zijde, basis, hoogte) van de beschouwde meetkundige figuur.
Het maatgetal van een oppervlak S (ook oppervlakte genoemd) was de verhouding van dit oppervlak tot een ander oppervlak, dat als eenheid (oppervlakte-eenheid) genomen wordt. Deze verhouding is wel een benoemd getal.
In de Intuïtieve Meetkunde wordt met maatgetallen van oppervlakken (oppervlakten) gewerkt, in de Deductieve Meetkunde met verhoudingen van oppervlakken.
In het courante spraakgebruik worden de termen oppervlak en oppervlakte echter door elkaar gebruikt.
De omtrek of perimeter p van een meetkundige figuur is de totale lengte van de buitenzijde.
- vierkant: In de lagere school werd een vierkant gedefinieerd als een vierhoek waarvan de zijden gelijk en de hoeken recht zijn. Uit het ontrafelen van deze meetkundige figuur (plooien, knippen, tekenen) blijkt per definitie de 4 zijden gelijk zijn, dat de overstaande zijden evenwijdig zijn, dat de diagonalen (dit zijn de lijnen, die niet aanliggende hoekpunten verbinden) gelijk zijn en elkaar loodrecht en middendoor delen.
Het oppervlak S van een vierkant kon uitgedrukt worden in functie van de lengte van de zijden. Om dit aan te tonen werd een groot vierkant verdeeld in n kleine vierkantjes met zijde a.
Uit de getekende figuur (uizicht als een tegelvloer of dambord) viel af te leiden dat de lengte van de zijde van het grote vierkant gelijk was aan z = n . a en dat het oppervlak S van het grote vierkant (vloer of dambord) n² vierkantjes s met zijde a bevatte.
Daar vierkanten steeds gelijkvormig zijn had men S = n² x s. Indien s de oppervlakte-eenheid is heeft men s = 1 en a = 1 waaruit S = z².
Stelt z de lengte van de zijde voor dan was p vierkant = 4 . z en S vierkant = z²
- rechthoek: In de lagere school werd een rechthoek gedefinieerd als een vierhoek waarvan de vier hoeken recht zijn. Uit het ontrafelen van deze figuur (plooien, knippen, tekenen) blijkt dat de zijden twee aan twee gelijk zijn en basis (b) en hoogte (h) genoemd worden, dat twee overstaande zijden gelijk en evenwijdig zijn , dat de twee diagonalen gelijk zijn en elkaar halveren.
Het oppervlak S van een rechthoek kon nu zoals bij het vierkant uitgedrukt worden in functie van de basis b en de hoogte h.
Om dit aan te tonen werden basis en hoogte van een rechthoek met eenzelfde lengte-eenheid a onderverdeeld en de vierkantjes s getekend.
Uit de bekomen figuur viel nu af te leiden dat de basis gelijk was aan b = n . aen de hoogte h = m . aen dat de rechthoek in totaal n . m vierkantjes bevatte.
Voor het oppervlak van de rechthoek kon dus geschreven worden
S = n. m . s = (b/a) . (h/a) . s = b . h en indien s de oppervlakte-eenheid is (s = 1 en a = 1) komt er
S = b . h
Stellen b en h respectievelijk de basis en de hoogte voor dan was p rechthoek = 2(b + h) en S rechthoek = b . h
- parallellogram: Een parallellogram is een vierhoek waarvan de overstaande zijden evenwijdig lopen. Uit het ontrafelen van deze figuur blijkt dat de overstaande zijden en de overstaande hoeken gelijk zijn, dat de diagonalen niet gelijk zijn maar elkaar middendoor snijden. De hoogte van een parallellogram wordt gedefinieerd als de afstand tussen twee evenwijdige zijden en dat de oppervlakte van een parallellogram is gelijk aan deze van een rechthoek met dezelfde basis en hoogte (zie figuur 3 gelijkheid oppervlakten rechthoek en parallellogram).
Stellen b , z de twee aanliggende zijden voor en h de hoogte dan was
p para = 2 (b + h) en verder S para = b . h
- ruit: Een ruit is een vierhoek waarvan de vier zijden gelijk zijn. Uit ontrafelen ( plooien en tekenen) van deze figuur blijkt dat de ruit een parallellogram is met -bij definitie- vier gelijke zijden, dat de overstaande hoeken gelijk zijn, en dat de diagonalen loodrecht op elkaar staan en elkaar middendoor delen. Zoals uit figuur 4 oppervlakte ruit blijkt is de oppervlakte van de ruit ABCD gelijk aan de helft van de oppervlakte van de rechthoek MNPQ, waarvan de zijden de kleine en grote diagonaal van de ruit zijn.
Stellen z de zijde en d en D de diagonalen van de ruit voor dan heeft men
p ruit = 4 . z en verder S ruit = ½(d + D)
- driehoek: Een driehoek is de meetkundige figuur gevormd door drie lijnstukken die niet op één rechte liggen. Daar driehoeken een sleutelpositie in de vlakke meetkunde innemen iedere rechtlijnige meetkundige figuur kan immers door het tekenen van diagonalen in een aantal driehoeken gesplitst worden- werd wat nader op deze bijzondere meetkundige figuur ingegaan.
Een driehoek werd door klein driehoekje (in feite de Griekse letter ∆), gevolgd door de drie hoekpunten bvb A, B, C voorgesteld, hier dus bvb ∆ ABC.
De meester liet ons nu met een lat diverse driehoeken tekenen en toonde ons dat er verschillende types driehoeken konden bestaan: gelijkbenige (twee zijden gelijk), gelijkzijdige (drie zijden gelijk) en rechthoekige (één hoek is een rechte hoek). Met behulp van een gradenboog liet hij ons de som van de hoeken van elke soort driehoek bepalen en tot onze verrassing vonden wij telkens dat de som van de hoeken steeds 180° was.
De zijden t.o.v. de hoeken A, B, C werden respectievelijk door a, b, c aangeduid. De afstand van het hoekpunt A tot de overstaande zijde a werd de hoogtelijn ha genoemd: daar een driehoek drie hoeken had, kon men dus drie hoogtelijnen ha , hb , hc tekenen.
Bij zorgvuldig en accuraat tekenen, waarbij we van de meester een winkelhaak moesten gebruiken, stelden wij vast dat de drie hoogtelijnen elkaar sneden in één punt, dat het hoogtepunt genoemd werd. Andere bijzondere lijnen die de Meester ons liet tekenen waren de zwaartelijnen d.i. lijnen die een hoekpunt met het midden van de overstaande zijde verbinden; ook hier konden wij vaststellen dat de drie zwaartelijnen elkaar sneden één punt, het zogenaamde zwaartepunt.
Een bijzondere eigenschap van de driehoek t.o.v. de vierhoek bvb was zijn onvervormbaarheid. Zijn de drie zijden van een driehoek in een vastgelegde volgorde bvb a, b, c gegeven, dan is er slechts één driehoek mogelijk. Bij een vierhoek bvb zijn indien de zijden gegeven zijn meerdere vierhoeken mogelijk. De Meester illustreerde deze eigenschap van onvervormbaarheid met een plooimeter, het klassieke meetinstrument van de timmerman.
Teneinde de oppervlakte van een driehoek te bepalen, toonde de Meester ons dat men twee gelijke driehoeken steeds zó kan schikken, dat ze een parallellogram vormen. Uiteraard is de oppervlakte van een driehoek dan de helft van een dergelijk parallellogram (zie figuur 5 oppervlakte driehoek).
Stellen a, b, c de zijden van de ∆ ABC voor en ha , hb , hc de hoogtelijnen dan is
p driehoek = a + b+ c en S driehoek = a . ha = b . hb = c . hc
- trapezium: Een trapezium is een vierhoek waarvan slechts twee zijden evenwijdig zijn. Deze twee evenwijdige zijden zijn de kleine b en grote basis B van het trapezium, de andere zijden noemt men de opstaande zijden. De hoogte h van een trapezium wordt gedefinieerd als de afstand tussen de twee evenwijdige zijden.
Een trapezium kan steeds opgevat worden als een afgeknotte driehoek (driehoek waarvan de top afgesneden is door een rechte evenwijdig met de basis). Twee gelijke trapezia kan men steeds derwijze schikken dat ze een parallellogram vormen waar van de basis de som van de grote en de kleine basis van het trapezium is. Uiteraard is de oppervlakte van het trapezium de helft van dergelijk parallellogram (zie figuur 6 oppervlakte trapezium).
Stellen b en B de kleine en de grote basis voor van een trapezium, h de hoogte en a en c de opstaande zijden dan is
p trapezium = a + c +b + B en S trapezium = 1/2 (b + B) . h
IV- De kromlijnige meetkundige figuren : de cirkel en de ellips
- cirkel(omtrek): Een cirkel(omtrek) werd gedefinieerd als een vlakke, gesloten, kromme lijn, waarvan alle punten op dezelfde afstand van een punt van het vlak het middelpunt- liggen. Deze afstand wordt de straal van de cirkel(omtrek) r genoemd.
De cirkel -zelf was het oppervlak omschreven door de cirkelomtrek, maar in het courante spraakgebruik werd deze term zowel voor de cirkelomtrek als de voor de cirkel- zelf gebruikt.
Cirkels worden getekend met behulp van een passer en deze bestonden in allerhande uitvoeringen. Voor de Broedersschool was natuurlijk de meest eenvoudige passer ruimschoots voldoende. Dit was een model waar aan één been van de passer een potloodstompje moest vastgeklemd worden.
In de lagere afdeling van het Sint Lodewijkscollege was ik echter de gelukkige bezitter van een meer gesofistikeerd model, waarmede meer nauwkeurige tekeningen konden gemaakt worden. En nauwkeurig tekenen is echt belangrijk in de intuïtieve meetkunde want zij bevorderen het meetkundig inzicht. Uiteraard was die passer een geschenk van Klaas.
De cirkel was een interessante meetkundige figuur want ze kwam in de praktijk veelvuldig voor en het aantal toepassingen was zeer groot. Om deze reden werd er uitgebreid op ingegaan want het cruciale probleem was:
Hoe kan je van een dergelijke figuur de omtrek en de oppervlakte berekenen?
Vooreerst werden de begrippen koorde en boog ingevoerd. De boog was een deel van de cirkelomtrek begrensd door twee grenspunten A en B bvb. Het lijnstuk dat beide grenspunten verbond werd koorde genoemd. Een koorde onderspande steeds twee bogen, een grote en een kleine en de som van de twee bogen was gelijk aan een cirkelomtrek.
De middelpuntshoek werd gedefinieerd als de (kleinste) hoek van waaruit de boog of de koorde gezien werd (zie figuur 7 elementen van de cirkel).
De grootst mogelijke koorde in een cirkel werd diameter genoemd en door gewoon een straal in de cirkel te verlengen kwam men tot de slotsom dat de diameter tweemaal de straal was( d = 2 . r). De diameter verdeelt de cirkelomtrek evenals de cirkel in 2 gelijke delen.
De middelpuntshoek die een halve cirkelomtrek onderspant bedraagt 180° en bijgevolg stemt een volledige cirkelomtrek overeen met 360°.
Meester Hillewaert liet ons via een experiment zien dat de verhouding tussen de cirkelomtrek en de diameter constant is. Deze verhouding werd voorgesteld door de Griekse letter π en was ongeveer 3,14 of ongeveer 22/7 (in werkelijkheid is π een irrationaal of onmeetbaar getal en zelfs een transcendent getal, maar dit is voor later). Het experiment bestond er in, met behulp van de lintmeter,de omtrek en de diameter van een aantal buizen te meten en deze verhouding te berekenen.
Voor de omtrek van de cirkel had men dus: pcirkel = π . d = 2 π.r
- oppervlakte van de cirkel: de oppervlakte van de cirkel bepalen was een veel lastiger probleem. Hier werd nu een benaderingsmethode met ingeschreven veelhoeken voorgesteld.
Teken een cirkel en zijn diameter. Kies een middelspunthoek α, derwijze dat n . α = 360° (bvb n is 6 dus α = 36°) Met behulp van een gradenboog wordt de boog op de cirkelomtrek afgemeten die met deze hoek overeenstemt. Teken de koorde die met deze boog overeenstemt. Verdeel verder de cirkelomtrek in n (hier 6) gelijke bogen telkens door deze boog (koorde) af te meten op de cirkelomtrek met behulp van een passer. Men bekomt een in de cirkel ingeschreven veelhoek met n (hier 6) gelijke zijden. Dergelijke veelhoeken worden cyclische veelhoeken genoemd en indien de zijden gelijk zijn worden ze regelmatig genoemd. Ze zijn opgebouwd uit n driehoeken (hier 6) waarvan de oppervlakte gegeven wordt door Sdriehoek = ½ (z . a) a is de hoogtelijn neergelaten uit het middelpunt van de cirkel. Deze hoogtelijn wordt apothema genoemd.
De oppervlakte van een dergelijke veelhoek wordt natuurlijk gegeven door S = ½ n . z . a of nog daar het product n . z de omtrek of perimeter is van de cyclische n-hoek (zie figuur 8 regelmatige zeshoek):
S n-hoek = ½ p . a
Men merkt op, dat hoe groter n , hoe meer de omtrek van de veelhoek deze van de cirkelomtrek en hoe meer het apothema a de straal van de cirkel r benaderen.
In het limietgeval moet dus gelden: S cirkel = ½ (2 π r) r of nog S cirkel = π . r²
- ellips: Het was bij Meester Berghmans dat ik voor het eerst kennis maakte met de ellips. Zoals bij de cirkel moet men in feite een onderscheid maken tussen de ellips en de ellipsomtrek.
De ellipsomtrek is de verzameling van de punten in een vlak waarvoor de som van de afstanden (rode lijn in de figuur) tot twee gekozen punten, de brandpunten (f1 en f2 in de figuur), constant is en wel gelijk aan de lange as van de ellips. De ellips-zelf is de meetkundige figuur omsloten door de ellipsomtrek.
Een ellips heeft twee assen: het lijnstuk door de brandpunten die tegenovergelegen punten van de ellips verbindt heet de lange as of grote diameter en het overeenkomstige lijnstuk loodrecht daarop door het midden van de lange as heet korte as of kleine diameter. De helft van de grote diameter a en van de kleine diameter b worden respectievelijk de "grote straal" en de "kleine straal" van de ellips genoemd.
Een ellips kan als volgt getekend worden: Breng twee punaises aan op een blad papier in twee punten, de brandpunten van de te construeren ellips ; Maak een lus van een draadje en leg die lus rond de punaises; Zet een potlood tegen het draadje aan en trek het strak; Teken met het potlood de ellips, er daarbij voor zorgend dat het draadje strak gespannen blijft. Het draadje zorgt ervoor dat de som van de afstand tot de brandpunten vanaf elk punt van de ellips constant is, namelijk gelijk aan de lengte van het draadje minus de afstand tussen de punaises. Het op deze wijze construeren van een ellips wordt ook wel tuinmansconstructie genoemd, omdateen tuinman zo de randen van ellipsvormige perken aanlegt (uiteraard met piketten in plaats van punaises).
Om ellipsen te tekenen kan men ook gebruik maken van ellipspassers. Een practische ellipspasser werd uitgevonden door de Nederlandse wiskundige Frans van Schooten in de 17e eeuw.
Hoe men de omtrek of de oppervlakte van een ellips bepaald werd niet besproken en ik vermoedde toen al dat het probleem niet eenvoudig moest zijn. Wel vertelde Meester Bergmans ons dat de oppervlakte van een ellips gegeven werd door:
S ellips = p . a . b waarin a respectievelijk b de grote en kleine straal van de ellips voorstellen.
Hij liet ons echter wel zien dat de cirkel een bijzonder geval van de ellips was. Hier was de grote straal gelijk aan de kleine straal (a = b = r), waardoor de gegeven oppervlakteformule voor de ellips overging in de oppervlakteformule van de cirkel:
S cirkel = p . r²
Ellipsen waren volgens Meester Bergmans in feite "uitgerekte cirkels" en als men bvb een worst schuin doorsneed was de bekomen doorsnede een ellips.
Maar zei Meester Bergmans, ellipsen zijn belangrijke meetkundige figuren. Immers de planeten evenals de Aarde bvb draaien rond de Zon volgens ellipsvormige, en niet volgens cirkelvormige banen.
Hij maakte hier allusie op het werk van Johannes Kepler. Kepler was de eerste, die wiskundig bewees dat deze banen wel degelijk elliptisch waren en niet cirkelvormig zoals in de Oudheid door Aristarchos van Samos en later door Copernicus was ondersteld.
V- Toepassing van de theorie der rechtlijnige en kromlijnige figuren: de stelling van Pythagoras en de projectiestellingen:
Met behulp van de theorie der rechtlijnige en kromlijnige figuren is nu het mogelijk, de oppervlakte te bepalen van meer ingewikkelde figuren. Dit geschiedt dan door de complexe figuur te splitsen in deelfiguren waarvan de oppervlakte wel berekend kan worden. Dit geldt niet alleen voor complexe rechtlijnige figuren (complexe veelhoeken) maar ook voor complexe kromlijnige figuren.
Het is zeer eenvoudig formules op te stellen die toelaten de oppervlakten te bepalen van de gearceerde oppervlakken. Talloze vraagstukken, zó uit het dagdagelijkse leven genomen, en in relatie met het zogenaamde Metriek Stelsel, hadden hierop betrekking.
Het was echter ook met behulp van deze theorie der oppervlakken dat men interessante betrekkingen tussen de vierkanten en de rechthoeken geconstrueerd op lijnstukken van meetkundige figuren kon afleiden. En het was hier nu, dat Meester Berghmans ons drie stellingen, waaronder de fameuze stelling van Pythagoras, op een magistrale wijze aantoonde:
- Eerste stelling: Het vierkant op de som of het verschil tussen twee lijnstukken AB en BC is gelijk aan de som van de vierkanten op die lijnstukken, vermeerderd of verminderd met tweemaal de rechthoek op die lijnstukken:
Het meetkundig bewijs is zeer eenvoudig en het volstaat de vierkanten op de som van de lijnstukken AB + BC, respectievelijk het verschil van de lijnstukken AB BC te tekenen (zie figuur 9 vierkant op som en verschil lijnstukken).
In wezen ging het hier om een meetkundige bevestiging van de identiteiten (zie: cursiefje : Arithmetiek in het Primair Onderwijs)
(a + b)² = a² + b² + 2ab en (a - b)² = a² + b² - 2ab
- Tweede stelling: De rechthoek op de som en het verschil tussen twee lijnstukken AB en BC is gelijk aan het verschil tussen de vierkanten op die lijnstukken.
Ook hier is het meetkundig bewijs zeer eenvoudig. Het volstaat een rechthoek te tekenen met als zijden AB + BC en AB BC (zie figuur 10 rechthoek op som en verschil lijnstukken).
Weer gaat het hier om een meetkundige bevestiging van een identiteit (zie: cursiefje: Arithmetiek in het Primair Onderwijs):
(a +b) (a b) = a² - b²
- Derde stelling: Het vierkant van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de som van de vierkanten op de rechthoekszijden (stelling van Pythagoras): zij c de schuine zijde, a en b de rechthoekszijden dan geldt algemeen:
c² = a² + b²
Het meetkundig bewijs (5) van Meester Berghmans verliep volgens de theorie der oppervlakken en dus in volledige overeenstemming met de regels van de Intuïtieve Meetkunde. Deel een vierkant met zijde a+b op twee manieren in (zie http://www.arnoweber.nl/math/bewijzen.html ). In de linkerfiguur is het vierkant opgebouwd uit een vierkant met zijde a, een vierkant met zijde b, en 4 rechthoekige driehoeken waar we mee begonnen. De rechterfiguur is een vierkant opgebouwd uit een vierkant met zijde c, en wederom de 4 rechthoekige driehoeken.
In beide figuren zien we een vierkant met zijde a+b, dus beide vierkanten hebben dezelfde oppervlakte. Laten we nu zowel links als rechts de vier rechthoekige driehoeken weg, dan hebben de figuren die je overhoudt nog steeds dezelfde oppervlakte. Maar links houd je een vierkant met zijde a, en een vierkant met zijde b over, met samen een oppervlakte van a²+b². Rechts houd je een vierkant met zijde c over, met een oppervlakte van c². Hieruit volgt dan de stelling.
Het rekenkundig bewijs ziet er als volgt uit: Telkens zijn een korte en een lange zijde in elkaars verlengde geplaatst. De lengte en breedte van de zijden van het vierkant zijn (a+b), dus de oppervlakte van het grote vierkant is (a+b)².
De oppervlakte is ook gelijk aan de som van de vier driehoeken (4 × ½ab) en de oppervlakte van het binnenste vierkant, dat oppervlakte c² heeft.
Dus (a + b)² = 2ab + c²
Uitwerken van het kwadraat links geeft: a² + b² + 2ab = 2ab +c² of derhalve c² = a² + b² q.e.d.
Bemerking 1 : Zoals ik al heb aangegeven vormde de stelling van Pythagoras in het zevende studiejaar het hoogtepunt van het meetkundeonderwijs in de lagere school. Het moet gezegd: het werkelijk uitstekend onderricht van Meester Berghmans heeft voor velen de toegang tot de Deductieve Meetkunde van Euklides vergemakkelijkt.
Meester Berghmans was een innemend en beminnelijk man, maar vooral een uitstekend onderwijzer, die het zeer goed kon uitleggen. Hij was dan ook zeer geliefd bij zijn leerlingen. Hij was afkomstig uit het Roeselaarse. Toen hij wegens een blindedarmontsteking in de kliniek werd opgenomen zijn wij met zijn allen met de fiets naar Rumbeke (ongeveer 35 km ver!)gereden om hem op zijn ziekbed te bezoeken. De brave man was erg geroerd door ons bezoek, want dát had hij nu helemaal niet verwacht. Ook herinner ik mij nog dat hij regelmatig op het einde van de dag wat voorlas in de klas, zo maar om ons wat te plezieren. Een van de boeken waaruit hij voorlas was het bekende Alleen op de wereld van Hector Malot.
Maar terug naar de stelling van Pythagoras, stelling die ook hij als een van de voornaamste stellingen uit de meetkunde beschouwde, maar tevens ook een ezelsbrug, een pons asinorum noemde. Hij vertelde ons echter niet wat er ons aan de andere kant van die ezelsbrug wachtte.
Enkele jaren later ontdekte ik dat Pythagoras stelling inderdaad buitengewoon belangrijk was en bvb aan de basis lag van de ontdekking van de onmeetbare of irrationale getallen en van wat men nu de Diophantische vergelijkingen noemt. Allemaal onderwerpen, die voor de ontwikkeling van de wiskunde zeer belangrijk zijn geweest.
Voorts lag de stelling van Pythagoras ook aan de basis van de trigonometrie (zie cursiefje "Trigonometrie in het Lager Secundair Onderwijs").
De grote astronoom Kepler heeft inderdaad eens geschreven:
« In de Meetkunde vinden we twee grote schatten: de ene is de Stelling van Pythagoras en de andere is de Gulden Snede. De ene kunnen we vergelijken met een schep goud, de andere mogen we een kostbaar juweel noemen » (in Kepler s Mysterium Cosmographicum -1596-) . Meer over de Gulden Snede zie cursiefje "Intuïtieve Meetkunde in het Primair Onderwijs (3)")
Bemerking 2 : Volgens de stelling van Pythagoras bestaat er een eenvoudig verband tussen de zijden van een rechthoekige driehoek. Bestaat er een dergelijke betrekking tussen de zijden van een willekeurige driehoek?
Het antwoord is affirmatief. Door gebruik te maken van de gelijkvormigheid van driehoeken én de stelling van Pythagoras kan men een analoge, meer algemene betrekking afleiden (voor de bewijsvoering zie cursiefje §10.3), die geldt voor alle driehoeken. Men stelt hierbij vast dat de stelling van Pythagoras een bijzonder geval is van deze algemene betrekking. Ik schreef "algemene betrekking", maar in feite moet ik schrijven "algemene betrekkingen" want in het geval dat de driehoek een stompe hoek bevat, is er een tekenverschil in een van de termen van de gelijkheid.
Deze betrekkingen berusten op volgende stellingen, ook nog projectiestellingen genoemd:
- stelling 1: « Ligt een zijde van een driehoek tegenover een scherpe hoek, dan is haar vierkant gelijk aan de som van de vierkanten van de andere zijden verminderd met tweemaal het product van de tweede zijde en de projectie van de derde zijde op de tweede »
Zij a een zijde t.o.v. een scherpe hoek, en b respectievelijk c de tweede en derde zijden dan heeft men volgende betrekkingen
a2 = b2 + c2 - 2. b . (projectie c op b) (1)
en verder indien men nu c respectievelijk b als tweede en derde zijde beschouwt:
a2 = c2 + b2 - 2 . c . (projectie b op c) (1')
bevat de willekeurige driehoek alleen scherpe hoeken dan heeft men voor de zijden b en c nog volgende betrekkingen:
b2 = c2 + a2 - 2 . c . (projectie a op c) en = a2 + c2 - 2 . a . (projectie c op a) (2)
c2 = a2 + b2 - 2 . a . (projectie b op a) en c2 = b2 + a2 - 2 . b . (projectie a op c) (3)
Om al deze betrekkingen te memoriseren is de symmetrie in deze relaties mnemotechnisch uiterst belangrijk.
- stelling 2: « Ligt een zijde van een driehoek tegenover een stompe hoek (deze zijde is tevens de grootste zijde in de driehoek), dan is haar vierkant gelijk aan de som van de vierkanten van de twee andere zijden vermeerderd met tweemaal het product van de tweede zijde en de projectie van de derde zijde op de tweede »
Zij a de zijde t..v. de stompe hoek (de grootste zijde van de stompe driehoek) en b respectievelijk de tweede en derde zijden, dan heeft men:
a2 = b2 + c2+ 2 . b . (projectie c op b) (4)
en indien men c respectievelijk b als tweede en derde zijde beschouwt:
a2 = c2 + b2+ 2 . b . (projectie b op c) (4')
Voor de andere zijden b en c van de stompe driehoek, die tegenover een scherpe hoek staan geldt natuurlijk stelling 1 en dus de betrekkingen (2) en (3).
Besluit: Indien de willekeurige driehoek alleen scherpe hoeken bevat is er een volledige symmetrie van de relaties tussen de verschillende zijden; indien deze willekeurige driehoek een stompe hoek bevat is er geen volledige symmetrie, wat uiterst vervelend is. Dank zij de introductie van de notie "gerichte hoek" slaagt men er in een volledige symmetrie te bekomen (zie cursiefje §10.4).
De stelling van Pythagoras alsmede de hieruit voortvloeiende projectiestellinn liggen aan de basis van wat men de trigonometrie of driehoeksmeting noemt. Trigonometrie blijkt nu zeer belangrijk te zijn voor tal van berekeningen en om deze reden lijkt mij een vroegtijdig contact met de projectiestellingen uiterst belangrijk.
(wordt voortgezet)
----------------------------------
(1) Vormleer (in het Duits Formenlehre) als discipline is ontstaan in het begin van de 19de eeuw uit het oeuvre van de grote pedagoog Johann Heinrich Pestalozzi (1746-1827) en kende voornamelijk in Duitsland en Nederland succes. Oorspronkelijk omvatte deze leer der vormen, zowel de muziek- en grammatische vormen als de meetkundige vormen. Zo kende het boek van Ezechiël Slijper (1874-1953 ) Vormleer voor Homerus en Herodotus een groot succes. Dit boek beleefde nog een 11de druk in 1952. Door het werk van Friedrich Diesterweg (1790-1866) in Duitsland en E.K. Slijper en Jan Versluys (1845-1920) in Nederland maar ook in België werd de term voornamelijk gebruikt om de meetkundige vormenleer aan te duiden. Versluys is bvb o.m. bekend voor zijn boek Leerboek der Vormleer en E.K Slijper voor het boek Vormleer of Meetkunde voor de Volksschool
(2) E. W. A. De Moor Van Vormleer naar Realistische Meetkunde een historisch-didactisch onderzoek van het meetkundeonderwijs aan kinderen van vier tot veertien jaar in Nederland gedurende de 19de en 20ste eeuw Freudenthal Instituut Universiteit Utrecht (1999)
(5) Van deze zeer belangrijke stelling zijn volgens Wikipedia meer dan driehonderd bewijzen bekend. Een overzicht van de belangrijkste bewijzen vindt men in het boek : De interessantste bewijzen voor de Stelling van Pythagoras van Bruno Ernst (Epsilon, -2006-).
(Hoofdstuk 5 "Wiskunde in het Lager Primair Onderwijs")
§5.4 Aan de andere oever van de ezelsbrug
Zoals aangegeven in voorgaand cursiefje repte Meester Berghmans in het zevende studiejaar met geen woord over wat ons aan de andere kant van de (ezels)brug (« pons asinorum ») wachtte. We hadden er werkelijk het raden naar. Vermoedelijk dacht hij aan irrationale getallen, Pythagorese getallen en Diophantische vergelijkingen?
1° Het bestaan van onmeetbare ofte irrationale getallen:
Een onverwacht gevolg van de stelling van Pythagoras was dat meetkundig kon aangetoond worden dat er ook andere getallen moesten bestaan dan de meetbare ofte rationale getallen en dat bvb √2 een dergelijk getal was.
Het heeft mij nu steeds verwonderd, dat in het primair en in het lager secundair onderwijs, zo weinig aandacht wordt geschonken aan het irrationale getal, terwijl het bestaan ervan dank zij Pythagoras stelling voor de hand ligt.
Construeert men een gelijkbenige rechthoekige driehoek met zijde a = b = 1 dan vindt men voor de schuine zijde c = √2 (zie ikoon van dit cursiefje).
Men kan nu gemakkelijk aantonen dat √2 onmogelijk het quotiënt of verhouding van twee natuurlijke getallen m/n kan zijn. M.a.w. √2 ≠ m/n en derhalve is √2 een irrationaal getal d.i. een getal dat niet te schrijven is als het quotiënt of verhouding van twee gehele getallen. Is een getal wel te schrijven als een quotiënt van twee gehele getallen (d.i. een breuk), dan spreekt men immers over een rationaal getal.
Stelling 1: √2 is een irrationaal getal
Het bewijs is gebaseerd op een reductio ab absurdum(bewijs uit het ongerijmde) (1) en is voor een leek, die enige zin heeft voor logica gemakkelijk te volgen.
Bewijs: Veronderstel dat √2 een rationaal getal is en dus te schrijven als het quotiënt van twee natuurlijke getallen: √2 = m/n waarbij m en n natuurlijke getallen zijn zonder gemeenschappelijke delers (cf. vereenvoudigen van breuken). De GGD van m en n is dus 1.
Uit √2 = m/n volgt n√2 = m en kwadrateren levert 2n² = m² Daaruit volgt dat m² een even getal is.
Omdat het kwadraat van een oneven natuurlijk getal altijd oneven is (toon aan!), kan m niet oneven zijn en dus is m zelf ook even. Stel dus n = 2 p, met p een geheel getal. Daaruit volgt weer:
2n² = m² = (2p)² = 4p² of nog n² = 2p²
We zien dat n² even is, en op dezelfde manier als hierboven bij m, trekken we de conclusie dat b ook even is.
Zowel m als n zijn dus even en bijgevolg deelbaar door 2; hieruit volgt: de grootste gemeenschappelijke deler van m en n is groter dan 1 (minstens 2)! Dit is echter in tegenspraak met onze keuze van m en n, die geen gemeenschappelijke deler hebben. Onze veronderstelling was bijgevolg verkeerd en daarmee is bewezen dat de wortel uit 2 een irrationaal getal is. q. e. d.
Bemerking: De leerlingen van Pythagoras, de Pythagoreërs zouden al snel ontdekt hebben dat bvb de wortel uit 2 (√2) geen rationaal getal kon zijn. Omdat er echter in het wereldbeeld van de Pythagoreërs alleen plaats was voor natuurlijke getallen en verhoudingen tussen deze getallen ( rationale getallen), schrokken ze hier erg van. Zij probeerden het bewijs niet bekend te laten worden, want hun leer was gebaseerd op het dogma Alles is (natuurlijk) Getal. De ontdekking dat er nu ook andere getallen dan de natuurlijke moesten bestaan, wordt toegeschreven aan Hippasos van Metapontum, een leerling van Pythagoras. Deze zou als straf overboord gegooid zijn omdat hij dit geheim had openbaar gemaakt.
Het was duidelijk dat √2 niet leidde tot een rationaal getal omdat 2 geen kwadraat was van een ander natuurlijk getal. Daarentegen gaf bvb √4 gaf wel een rationaal getal want √4 = 2. A priori kon men vermoeden dat als n geen kwadraat was van een ander natuurlijk getal √n steeds een irrationaal getal was. Nu zijn er natuurlijk zeer veel getallen, die geen volkomen kwadraat zijn en daardoor zouden er ook oneindig veel irrationale getallen bestaan. Aldus kwam men tot de volgende stelling:
Stelling 2: Gegeven een natuurlijk getal n. Als n geen kwadraat is, dan is √n irrationaal.
Het bewijs van deze belangrijke stelling wordt gegeven door contrapositie (2) en is ook voor een leek , gemakkelijk te volgen. Het volstaat nog enige kennis te hebben over de Grootste Gemene Deler (G.G.D.) van twee getallen.
Bewijs: De equivalente stelling van stelling 2 luidt: Gegeven een geheel getal n. Als √n rationaal is, dan is n een kwadraat. We nemen daartoe aan dat √n rationaal is. Dan kunnen we positieve gehele getallen a en b vinden zodat √n = a/b met GGD (a,b) = 1.
Nu geldt dat n = a²/b² niet verder vereenvoudigd kan worden. Dus geldt in het bijzonder dat b² = 1, want n is een geheel getal. Dus n = a². Daarmee is de equivalente stelling bewezen en dus, door contrapositie, ook de oorspronkelijke.
De bewijsvoering van deze twee stellingen betreffende de irrationale getallen is misschien iets te subtiel voor schoolbengels uit het lager onderwijs, maar lijkt mij bvb wel begrijpelijk voor leerlingen van het lager secundair. Hoe dan ook, het was wel belangrijk al in het lager secundair onderwijs te spreken over irrationale getallen en te laten zien dat ze ook in werkelijkheid bestaan.
Bemerking: Een uitbreiding van het getalbegrip naar irrationale getallen lag dus voor de hand, want het is uiteraard van zeer groot belang na te gaan of de grondeigenschappen van de rationale getallen ook blijven opgaan voor de irrationale getallen. Maar dit is in eerste benadering geen materie voor het secundair onderwijs (te moeilijke theorie (3) ).
2°- Pythagorese getallen en diophantische vergelijkingen:
Om te beginnen is het omgekeerde van de stelling van Pythagoras ook waar. Als voor de maatgetallen a, b, c van de zijden van een driehoek geldt: c² = a² + b² dan is die driehoek rechthoekig en is de hoek die tegenover de zijde c ligt de rechte hoek.
Zo is bvb 3² + 4² = 5² wat betekent dat een driehoek waarvan de maatgetallen van de zijden respectievelijk 3, 4 en 5 zijn, een rechthoekige driehoek moet zijn.
Een Pythagorees drietal (a, b, c) wordt nu gedefinieerd als zijnde drie gehele getallen a, b, c met a < b < c waarvoor geldt a² + b² = c². Uiteraard komt de benaming Pythagorees voort uit de stelling van Pythagoras, aangezien dergelijke getallen kunnen optreden als de zijden a, b van een rechthoekige driehoek met c als lengte van de schuine zijde.
Zowel Meester Hillewaert als Meester Berghmans hadden het gehad over het eenvoudigste Pythagorees drietal (3, 4, 5) en de toepassing voor het in de praktijk uitzetten van een rechte hoek. Daartoe gebruikte men een rondlopend touw met 12 knopen op gelijke afstanden.
Onmiddellijk rees echter de vraag: bestaan er andere Pythagorese drietallen? Het antwoord was affirmatief, want was (3, 4, 5) een Pythagorees drietal dan zijn ook de veelvouden, zoals bvb (6, 8, 10) en (9, 12, 15) Pythagorese drietallen. Dit voerde tot volgende stelling:
Stelling 1: Als (a, b, c) een Pythagorees drietal is dan is ook (ka, kb, kc) met k zijnde een natuurlijk getal ook een Pythagorees drietal.
Bewijs: Is a² + b² = c² (dus a, b, c een Pythagorees drietal) dan volgt door beide leden te vermenigvuldigen met k² :
k² (a² + b²) = k²(c²) wat equivalent is met k²a² + k²b² = k²c² (want (a.b)n = an.bn (zie cursiefje Arithmetiek in de Broedersschool ). Derhalve vormen ook (ka, kb, kc) een Pythagorees drietal.
Een Pythagorees drietal (a, b, c) wordt nu primitief genoemd als a, b en c geen deler gemeen hebben. Het Pythagorees drietal (3 ,4, 5) is nu primitief want 3, 4 en 5 hebben geen deler gemeen. Andere voorbeelden van primitieve Pythagorese drietallen zijn , zoals men gemakkelijk verifieert, (5, 12, 13), (7, 24, 25), en (8, 15, 17).
Stelling 2 : Voor alle natuurlijke getallen m en n met m > n geldt nu dat het drietal (a, b, c), waarin a = m² − n² ; b = 2mn en c = m² + n² een Pythagorees drietal is.
Deze stelling, uiterst belangrijk voor het opzoeken van Pythagorese drietallen, werd door Euklides meetkundig aangetoond (cf. "Elementen" boekdeel X, propositie 29), maar kan ook eenvoudig arithmetisch afgeleid worden.
Bewijs: Door toepassing van de identiteiten (zie cursiefje: Arithmetiek in het Primair Onderwijs ) heeft men:
(m² - n²)² = (m²)² + (n²)² - 2(m²n²) (1)
Of (m² - n²)² + 2(m²n²) = (m²)² + (n²)² (1)
Tel nu 2(m²n²) bij (1) op dan komt er:
(m² - n²)² + 2(m²n²) + 2(m²n²) = (m²)² + (n²)² + 2(m²n²) of daar
(m² + n²)² = (m²)² + (n²)² + 2(m²n²) (2)
(m² - n²)² + 4(m²n²) = (m² + n²)² waaruit volgt
(m² - n²)² + (2mn)² = (m² + n²)² q.e.d.
Stelling 3: Een Pythagores drietal (a , b, c) is primitief dan en slechts dan als m en n relatief priem zijn en een van hen een even getal is.
Zijn zowel n als m oneven, dan zijn a, b, en c allemaal even en is het drietal dus niet primitief.
Er bestaan oneindig veel primitieve Pythagorese drietallen.
Bemerking: Deze eenvoudige theorie over de Pythagorese drietallen vormt slechts een begin van wat men de theorie der diophantische vergelijkingen is gaan noemen (voor meer details zie diofantische vergelijking ). De stelling van Pythagoras leidt dus rechtstreeks tot een van de meest fascinerende gebieden in de Wiskunde ..
3° de meetkundige constructie van irrationale getallen
De meetkundige constructie van √2 is zoals men gezien heeft uiterst eenvoudig. Het volstaat een loodlijn op een rechte te construeren, met een passer twee gelijke lijnstukken op de beide rechten af te meten vanaf het snijpunt en de uiteinden van deze lijnstukken met elkaar te verbinden.
Voor √5 bvb kan op analoge wijze te werk gegaan worden. Daar √5 = √(2² + 1²) volstaat het op de ene as of loodlijn twee lijnstukken op de andere loodlijn één lijnstuk af te meten en de eindpunten met elkaar te verbinden.
Algemeen is deze oplossing geldig voor alle irrationale getallen van de gedaante √(n² + 1²). Het volstaat dan n lijnstukken op de ene en één lijnstuk op de andere as of loodlijn te verbinden.
vraag: waarom zijn getallen van deze gedaante altijd irrationaal?
Een verdere uitbreiding betreft irrationale getallen van de gedaante √(n² + m²). In dit geval volstaat het n lijnstukken op de ene, m lijnstukken op de andere loodlijn af te meten.
Een voorbeeld: √20 = √(16 + 4) = √(4² + 2²). Hier is m = 4 en n = 2
Bemerking: Kan men nu alle irrationale getallen op een dergelijke manier (d.i. met passer en liniaal) construeren?
De Grieken dachten van wel want bvb Plato kende dergelijke constructies voor √n waarin alle waarden van 2 tot 17 (met uitzondering van 4, 9, en 16 die volkomen kwadraten zijn) kon aannemen. Dit vermoeden of conjectuur bleek echter vals te zijn...
Het bewijs uit het ongerijmde berust op het axioma van de uitgesloten derde of van het uitgesloten midden, ook wel tertium non datur (Lat., "een derde is niet gegeven"). Dit axioma houdt in dat iedere uitspraak waar, dan wel onwaar is; een andere, derde, mogelijkheid is er niet. De bewijsvoering gebeurt als volgt:
- men neemt het tegengestelde aan van de stelling die te bewijzen is
- de tegengestelde stelling leidt tot gevolgtrekkingen, die in strijd zijn met de eerste stelling
- men besluit dat de tegengestelde stelling vals is en bijgevolg dat de eerste stelling waar is
Deze onrechtstreekse bewijsvoering is zo overtuigend als een rechtstreekse. Men zegt dat het overtuigt zonder de geest te verlichten.
Het bewijs door contrapositie is een methode om het wiskundig bewijs te geven van de stelling als A dan B, door het bewijzen van de stelling als niet B dan niet A. In de klassieke logica is deze laatste stelling equivalent aan de eerste: een bewijs van de ene stelling is ook een bewijs van de ander.
(3) voor een duidelijke uiteenzetting van de diverse theorieën (Cantor, Dedekind, Weierstrass en Baudet) zie bvb F. Schuh "Het Getalbegrip, in het bijzonder het Onmeetbare Getal" (Noordhoff -1927-)
§ 5.5 Intuïtieve Ruimtemeetkunde of Stereometrie
(Hoofdstuk 5 "Wiskunde in het Lager Primair Onderwijs")
§ 5.5 Intuïtieve Ruimtemeetkunde of Stereometie
De lessen in Vormleer, waarvan sprake in het cursiefje §5.3, hadden bij Meester Hillewaert (Broedersschool) ook al betrekking op de ruimtemeetkunde. Het begrip ruimtelijk lichaam werd algemeen omschreven als een object dat ruimte inneemt en dat een gesloten oppervlak bezit.
Naargelang de vorm van dit gesloten oppervlak kon men diverse lichamen onderscheiden, zoals de kubus en de balk, het prisma en de cylinder, de pyramide en de kegel en tenslotte de bol. Door dissectie van deze ruimtelijke lichamen werd geprobeerd wat meetkundig inzicht bij te brengen in de eigenschappen van deze meetkundige objecten. Met dissectie bedoel ik dan het ontrafelen van het lichaam in zijn oppervlakelementen en de hierbij aangewende technieken waren knippen, plooien en plakken en soms tekenen. Bij het tekenen werd overigens ook hier gebruik gemaakt van de winkelhaak, de passer en de lat en de liniaal.
1- basisbegrippen:
Vooreerst weren de begrippen loodrechte op een vlak, loodvlak en snijdende en evenwijdige vlakken omschreven en op een practische manier toegelicht.
Een rechte stond loodrecht op een vlak, wanneer ze loodrecht stond op twee rechten in het vlak, die door haar voetpunt gaan. Dat dergelijke loodrechten bestaan, demonstreerde Meester Hillewaert door een winkelhaak met de kortste zijde te plaatsen op het plat vlak van een tafel en de winkelhaak te laten wentelen om de langste zijde. De langste zijde was een loodrechte op een vlak.
In een punt op een rechte kunnen in de ruimte oneindig veel loodlijnen opgericht worden; deze loodlijnen vormen een loodvlak op die rechte. Twee vlakken die elkaar snijden hebben één rechte gemeen die grensrechte genoemd wordt. Evenwijdige vlakken zijn vlakken, die elkaar niet snijden. Twee loodvlakken op een zelfde rechte zijn evenwijdig. De afstand tussen de twee evenwijdige vlakken is het lijnstuk afgesneden op deze rechte door deze vlakken.
Volume werd gedefinieerd als de ruimte ingenomen door het lichaam. Congruentie van meetkundige lichamen betekent én gelijkvormig én gelijk van volume ( tekens ~ én =). Gelijkvormige lichamen zijn figuren die dezelfde vorm hebben (teken ~ ); gelijke lichamen zijn lichamen die hetzelfde volume hebben (teken =). Twee meetkundige lichamen zijn congruent als -in theorie- de ene zo op de andere kan geplaatst worden dat zij samenvallen.
Bij gelijkvormige lichamen zijn al de overeenkomstige hoeken gelijk en al de overeenkomstige zijden en vlakken proportioneel. Is die proportie of verhouding gelijk aan een, dan zijn die lichamen gelijk en dus congruent.
Voorbeelden van steeds gelijkvormige lichamen zijn de kubus (hexaëder) en de bol. Later zullen hier nog aan toegevoegd worden de tetraëder, de octaëder, de dodecaëder en de icosaëder (de zogenaamde regelmatige lichamen of veelvlakken (1) ).
De verhouding van een volume tot een tweede volume is het onbenoemde getal waarmede het tweede volume te vermenigvuldigen is om het eerste volume te bekomen. Er werd aangenomen dat deze verhouding een rationaal of meetbaar getal was. Met volume V van een meetkundig lichaam wordt dus de grootte van het volume bedoeld. Het volume V kan nu, zoals het oppervlak, uitgedrukt worden in bepaalde parameters (zijde, basis, hoogte, apothema..) van het beschouwd meetkundig lichaam.
Het maatgetal van een volume V (ook inhoud genoemd) was de verhouding van dit volume tot een ander volume, dat als eenheid (volume-eenheid) genomen wordt. Deze verhouding is wel een benoemd getal.
In de Intuïtieve Ruimtemeetkunde wordt met maatgetallen van volumes (inhouden) gewerkt, in de Deductieve Meetkunde met verhoudingen van volumes.
In het courante spraakgebruik worden de termen volume en inhoud courant door elkaar gebruikt.
2- meetkundige karakteristieken van kubus, balk en parallellepipedum:
- de kubus:
Er werd op aanschouwelijke wijze getoond dat een kubus opgebouwd was uit 6 gelijke zijvlakken (vierkanten), en dat deze kubus 12 gelijke ribben en 8 hoekpunten bezat. Het aantal zijvlakken of ribben die in één hoekpunt samenkwamen bedroeg 3.
De kubus komt in het dagelijkse leven niet zo veel voor (bvb dobbelstenen) maar, benadrukte de Meester Hillewaert, het is een belangrijk lichaam want gebruikt als maateenheid voor volumemetingen. De ribbe van de eenheidskubus is de maateenheid voor lengtemetingen, het zijvlak is de maateenheid voor oppervlaktemetingen en de eenheidskubus-zelf, de eenheid voor volumemetingen (zie: Metriek Stelsel).
Het volume van een kubus kon uitgedrukt worden in functie van de lengte van de zijden. Om dit aan te tonen werd een grote kubus verdeeld in n kleine kubussen met zijde a (zie figuur 1 Metriek Stelsel).
Uit de geschetste figuur viel af te leiden dat de lengte van de zijde van de grote kubus gelijk was aan z = n . a en dat het volume van de kubus n³ kleine gelijke kubussen met zijde a bevatte. Een zijvlak van de grote kubus bevatte n² kleine vierkantjes met zijde a.
Daar kubussen steeds gelijkvormig zijn had men V = n³ x v. Indien v de volume-eenheid is heeft men v = 1 en a = 1 waaruit S = z².
Stelt z de lengte van de zijde van een kubus voor dan vindt men voot het volume of inhoud van de kubus: Ikubus = z³ en voor het oppervlak van de kubus Skubus = 6 . z²
Voor de diagonaal van de kubus vond men door tweemaal toepassen van de stelling van Pythagoras:
Dkubus = z . √3
- de balk:
De balk (rechthoekig parallellepipedum) bestond uit zes twee aan twee gelijke zijvlakken (rechthoeken). Twee overstaande zijvlakken zijn congruent. Het aantal ribben van een balk is 3 x 4 (drie groepen van vier gelijke ribben) en het aantal ribben zoals bij de kubus 12.. Het aantal ribben en het aantal zijvlakken die in één hoekpunt samenkomen was hetzelfde als bij de kubus. De ribben van de balk worden basis (b), hoogte (h) en lengte (l) geheten (zie figuur 2 balk).
Het volume V van een balk kon nu zoals bij de kubus uitgedrukt worden in functie van de basis b, de hoogte h en de lengte l van de balk.
Om dit aan te tonen werden basis, hoogte en lengte van een balk met eenzelfde lengte-eenheid a onderverdeeld en de kleine kubussen getekend zoals bij de analyse van de kubus (1) .
Uit de bekomen figuur viel nu af te leiden dat de basis gelijk was aan b = n . a ,de hoogte h = m . a en de lengte van de balk l = q . a en dat de balk dat de rechthoek in totaal n . m . q kleine kubussen bevatte.
Voor het volume van de balk kon dus geschreven worden:
V = n. m . q . v = (b/a) . (h/a) . (l/a) . v
Of indien v de oppervlakte-eenheid is (s = 1 en a = 1)
V = b. h . l
Stellen b , h en l respectievelijk de basis, de hoogte en de lengte van een balk voor dan heeft men:
Vbalk = b . h . l en Sbalk =2 (b . h + h . l + l . b)
Voor de diagonaal vindt men gemakkelijk (stelling van Pythagoras) : D = √(b² + h² +l²)
Men kan nu de formule om het volume van een balk te berekenen uit een ander oogpunt bekijken. Het product b . l stelt de oppervlakte van een zijvlak van de balk voor, die men grondvlak kan noemen. Dan wordt het volume van de balk gegeven door het product oppervlakte grondvlak met de hoogte:
V balk = Sgrondvlak . h
- het parallellepipedum:
Een parallellepipedum is een veelvlak met zes parallellogrammen als zijvlak, 8 hoekpunten en 12 ribben, waarvan alle overstaande vlakken twee aan twee evenwijdig zijn en, gezien van de buitenkant, elkaars spiegelbeeld.
Zoals men een parallellogram kan verknippen tot een rechthoek met dezelfde oppervlakte (zie cursiefje intuïtieve meetkunde (1)) kan men een parallellepipedum verknippen en aaneenplakken tot een balk met eenzelfde volume (zie figuur 3 van parallellepipedum naar balk).
Hieruit volgt, zoals voor de balk, eenzelfde betrekking voor het volume van een parallellepipedum:
V parallellepipedum = S grondvlak . h
Opmerking: Bij ruimtelijke lichamen kiest men als grond- respectievelijk bovenvlak de zijvlakken die evenwijdig zijn met elkaar. Bij kubus, balk en parallellepipedum kan men om het even welk zijvlak als grondvlak nemen, daar alle zijvlakken twee aan twee evenwijdig zijn.
3- meetkundige karakteristieken van prisma en cilinder
Vooreerst werd de notie prismatisch oppervlak omschreven. Een prismatisch oppervlak is het oppervlak beschreven door een rechte, die zich evenwijdig aan zichzelf verplaatst en steeds een gebroken lijn snijdt. Is de gebroken lijn gesloten en dus een veelhoek, dan spreekt men van een gesloten prismatisch oppervlak.
Een Prisma (wiskunde) wordt gedefinieerd als zijnde een lichaam begrensd door een prismatisch oppervlak en door twee evenwijdige doorsneden van dit oppervlak, het grond- , respectievelijk bovenvlak van het prisma. Of nog, het prisma is een veelvlak waarvan twee vlakken (grond- en bovenvlak) congruent en evenwijdig zijn, terwijl de andere vlakken parallellogrammen zijn, die elk een gemeenschappelijke zijde met de evenwijdige vlakken hebben (zie figuur 4 prismas).
De hoogte van het prisma is de afstand tussen het grondvlak en bovenvlak. Een prisma is recht of scheef, naargelang de opstaande ribben loodrecht of schuin op het grondvlak staan. Een regelmatig prisma is een recht prisma met een regelmatige veelhoek als grondvlak. Een prisma is driezijdig, vierzijdig, vijfzijdig naargelang het grondvlak een driehoek, een vierhoek, een vijfhoek is. Bij rechte prismas zijn de zijvlakken rechthoeken, bij scheve prismas parallellogrammen. De kubus en de balk zijn dus rechte prismas, het parallellepipedum een scheef prisma.
Het zijdelings oppervlak van een prisma is de som van de oppervlakken van de zijvlakken van het prisma. Voor een regelmatig prisma waarvan het grondvlak een regelmatige n-hoek met zijde z is, wordt het zijdelings oppervlak uitgedrukt door:
S regelmatig prisma = n . z . h of nog S regelmatig prisma = p regelmatige veelhoek . h = p grondvlak . h
(p regelmatige veelhoek is de omtrek van de regelmatige n-hoek)
Om het volume van een prisma te bepalen beschouwt men eerst het geval van een driezijdig prisma en breidt men vervolgens uit tot een willekeurig prisma:
- volume van een driezijdig prisma (prisma met driehoekig grondvlak):
Zoals men met twee congruente driehoeken een parallellogram kan maken, kan men met twee congruente driezijdige prismas (met driehoekig grondvlak) een parallellepipedum maken (zie figuur 5 parallellepipedum uit 2 driezijdige prismas).
Het volume van het driezijdig prisma is de helft van het volume van het parallellepipedum of nog de helft van het parallellogram maal de hoogte of nog de oppervlakte van de driehoek maal de hoogte. Men heeft dus:
V driezijdig prisma = S grondvlak . h
- volume van een willekeurig prisma
Het grondvlak van een willekeurig prisma kan men steeds verdelen in driehoeken en op die manier kan men een willekeurig prisma verdelen in een aantal driezijdige prismas (prismas met driehoek als grondvlak) zogenaamde driezijdige deelprismas. Het volume van een willekeurig prisma is gelijk aan de som van de volumes van de driezijdige deelprismas of
V prisma = S driehoek 1 . h + S driehoek 2 . h + S driehoek 3 . h of nog
V prisma = (S driehoek 1 + S driehoek 2 + S driehoek 3 ) . h of
V prisma = S grondvlak . h
Een cilindrisch oppervlak is een oppervlak beschreven door een rechte die wentelt om een as waaraan zij evenwijdig blijft terwijl de afstand van de rechte tot de as ongewijzigd blijft.
Een cilindrisch lichaam is het ruimtelijk lichaam ontstaan door een gesloten cilindrisch oppervlak met twee evenwijdige vlakken te snijden. De afstand tussen de twee evenwijdige vlakken noemt men de hoogte h van de cilinder. Staan die twee evenwijdige vlakken loodrecht op de as, dan spreekt men van een gewone cilinder of rol. Bij de gewone of rechte Cilinder (meetkunde) zijn grond- en bovenvlak congruente cirkels die in evenwijdige vlakken liggen. De rechte cilinder is ook het lichaam dat gevormd wordt door het wentelen van een rechthoek om één van zijn zijden.
In de Intuïtieve Meetkunde beschouwt men de gewone cilinder (zie figuur 6 gewone cilinder) als een (recht) prisma waarvan het grondvlak een ingeschreven regelmatige veelhoek is waarvan het aantal hoekpunten onbeperkt toeneemt. Een dergelijke veelhoek heeft als limiet een cirkelomtrek.
- voor het zijdelingse oppervlak van de cilinder, ook mantel genoemd zal gelden:
S mantel = p grondvlak . h = 2 π . r . h
- voor het volume van de cilinder komt er:
V cilinder = S grondvlak . h = p . r² . h
Cilinders zijn ruimtelijke lichamen, die zeer veel voorkomen: potloden, inhoudsmaten, buizen, kolommen in steen of gietijzer, flessen enz.
4- meetkundige karakteristieken van piramide en kegel:
Een veelvlakshoek of n- vlakshoek is de meetkundige (ruimtelijke) figuur gevormd door n halve rechten uit eenzelfde punt getrokken waarvan er geen drie in eenzelfde vlak liggen. In een veelvlakshoek onderscheidt men de ribben (d.i. de halve rechten, die de veelvlakshoek bepalen), de top of het hoekpunt (d.i. het punt gemeen aan alle ribben), de zijden (d.i. de vlakke hoeken gevormd door twee op elkaar volgende ribben) en de hoeken (d.i. de tweevlakshoeken gevormd door twee op elkaar volgende zijden).
Wordt een veelvlakshoek gesneden door een plat vlak dan wordt de zo ontstane ruimtelijke figuur een piramide genoemd. Om deze reden wordt een veelvlakshoek ook nog piramidaal oppervlak genoemd.
Een piramide (ruimtelijke figuur) is dus een gesloten ruimtelijke figuur, opgebouwd uit een grondvlak dat een regelmatige of onregelmatige veelhoek is, en uit driehoekige zijvlakken vanuit elk van de zijden van de veelhoek naar een gemeenschappelijke punt, de top S van de piramide. De hoogte h van de piramide is de afstand van de top tot het grondvlak.
Het zijdelings oppervlak van een piramide wordt mantel genoemd en is gelijk aan de som van de driehoekige grondvlakken. Het totaal oppervlak van een piramide is de som van de oppervlakken van de mantel en van het grondvlak.
Het volume van een piramide bepalen was een delicaat probleem en er werden voorafgaandelijk twee bijzondere gevallen beschouwd:
- Eerste bijzonder geval: Beschouw eerst een piramide met een vierkant als grondvlak en met een top loodrecht boven één van de hoekpunten van het grondvlak en hoogte gelijk aan de zijde van het grondvlak. Met drie dergelijke piramides kan een kubus gevormd met hetzelfde grondvlak als deze van de piramide. Voor het volume van deze piramide geldt dus:
V piramide = 1/3 V kubus = 1/3 (S grondvlak . z) = 1/3 (S grondvlak . h) want h = z
- Tweede bijzonder geval: Beschouw verder een (regelmatige) piramide met een vierkant als grondvlak en met top loodrecht boven het midden van het grondvlak en hoogte gelijk aan de helft van de zijde van het grondvlak. Met zes dergelijke piramides kan men weer een kubus gevormd worden met hetzelfde grondvlak als de piramide. Voor het volume van deze piramide geldt dus:
V piramide = 1/6 V kubus = 1/6 (S grondvlak . z) = 1/3 (S grondvlak . h) want h = z/2
Men kon vermoeden dat voor om het even welke piramide wel eens zou kunnen gelden:
V piramide = 1/3 S grondvlak . h (1)
Of in woorden uitgedrukt: Het volume van een piramide is een derde van het volume van een prisma met zelfde grondvlak en hoogte.
Maar hoe dit aantonen? Bij Meester Hillewaert, werd nu een experimenteel (fysisch) bewijs geleverd. Om aan te tonen dat het volume ingenomen door een piramide een derde was van het volume ingenomen door een prisma met zelfde grondvlak en hoogte, vulde hij de piramide met zand en goot vervolgens het zand over in het prisma (zie figuur piramide en prisma).Er waren nu precies 3 piramides zand nodig om het prisma tot op de rand te vullen.
Het was trouwens niet de eerste maal dat Meester Hillewaert beroep deed op het experiment. Om bvb aan te tonen dat de verhouding van de cirkelomtrek tot de diameter constant was (het getal pi), had hij ons gewoon de omtrek en de diameter van verschillende buizen laten meten.
Vervolgens kwamen de regelmatige piramiden aan de beurt.Bij regelmatige piramiden is het grondvlak een regelmatige veelhoek (gelijkzijdige driehoek, vierkant, zeshoek enz.). De opstaande zijvlakken zijn steeds congruente gelijkbenige driehoeken, die een gemeenschappelijke top hebben, de top S van de piramide. De hoogte van de piramide was de loodlijn uit de top S neergelaten op het grondvlak. Men noemde verder apothema a de hoogtelijn van de gelijkbenige driehoek.
- Voor het zijdelings oppervlak (of mantel) van een regelmatige piramide (met een regelmatige n-hoek met zijde z) als grondvlak geldt:
S mantel = n . S gelijkbenige driehoek of S mantel = n . (z . a)/2
Men kan deze betrekking ook nog schrijven als:
S mantel = n . z . a/2 of nog S mantel = p reg. veelhoek . a/2 (2)
- Voor het volume van een regelmatige piramide kon men natuurlijk schrijven:
V reg. Piramide = 1/3 S reg. veelhoek . h (3)
Regelmatige piramiden komen als bouwwerken niet zo veel voor, maar zei Meester, er zijn natuurlijk de fameuze piramiden van Gizeh en de Grote Piramide van Cheops (2) , 138 m hoog en met een basis van 227 m. Hoe deze imposante bouwwerken meer dan drieduizend jaar geleden tot stand waren gekomen was een nog onopgelost raadsel. Hij vroeg ons echter wel het volume en het zijdelings oppervlak van deze piramide te berekenen.
Blijkbaar was ook een Edgar P. Jacobs geobsedeerd door de Egyptische piramides, want hij liet onze striphelden van toen in het bijzonder Blake en Mortimer, enkele jaren later, "Het Geheim van de Grote Piramide" oplossen...
Een kegelvlak is het vlak beschreven door een rechte, die wentelt om een vaste rechte (as), die zij in een vast punt S (top) snijdt en waarmede zij onveranderlijk verbonden is. Dat de wentelende rechte onveranderlijk aan de vaste rechte verbonden is, is op twee manieren uit te drukken:
1) de afstand van een punt van de wentelende rechte tot de vaste rechte is constant;
2) de hoek gevormd door de wentelende en vaste rechte is constant.
De (rechte) kegel (ruimtelijke figuur) is het is het ruimtelijk lichaam ingesloten door een kegelvlak en een loodvlak op de as van dit kegelvlak; dit loodvlak snijdt het kegelvlak onder de vorm van een cirkel, die het grondvlak van de kegel genoemd wordt. Of nog, de (rechte) kegel is het ruimtelijk lichaam dat gevormd wordt door het wentelen van een rechthoekige driehoek om één van zijn rechthoekszijden.
In een kegel kan men volgende elementen onderscheiden: de beschrijvende rechthoekige driehoek, de beschrijvende rechte a (d.i. het apothema van de kegel), de straal R (zijde aan liggend aan de vaste zijde of as), de hoogte h (as van de kegel) (zie figuur 7 kegel).
Het zijdelings oppervlak (rond oppervlak of mantel)van een kegel is de limiet van het zijdelings oppervlak van een regelmatige piramide, beschreven in de kegel, als het aantal zijvlakken van de piramide onbepaald toeneemt.
- voor het zijdelings oppervlak of kegelmantel geldt naar analogie met het zijdelings oppervlak van een regelmatige piramide:
S zijd. kegel = 1/3 p cko . a/2 en vermits p cko = 2 π . R volgt S zijd. Kegel = 1/3 π . R . a
- voor het volume van de kegel geldt naar analogie met het volume van een piramide:
V kegel = 1/3 S grondvlak . h = 1/3 π R² . h
Of in woorden uitgedrukt: het volume van een kegel is een derde van het volume van een cilinder met zelfde grondvlak en hoogte.
Opnieuw werd dit door Meester Hillewaert experimenteel aangetoond door kegel te vullen met zand en het zand over te gieten in een cilinder met een zelfde grondvlak en hoogte als de kegel. Er waren precies drie kegels met zand nodig om de cilinder tot op de rand te vullen (figuur 9 kegel en cilinder).
Als voorbeelden van kegelvormige voorwerpen citeerde Meester Hillewaert: het dak van een ronde toren, het hoorntje voor roomijs, een romer.
Snijdt men nu een rechte piramide of kegel door een vlak evenwijdig met het grondvlak, dan bekomt men een afgeknotte rechte piramide respectievelijk afgeknotte rechte kegel.
5- meetkundige karakteristieken van de bol.
Een boloppervlak of sfeer is het gesloten vlak dat ontstaat door het wentelen van een halve cirkelomtrek om de middellijn die door zijn uiteinden gaat. Al de punten van een boloppervlak liggen op dezelfde afstand van het middelpunt van de bol en deze afstand is de straal R van de bol. Elk lijnstuk dat twee punten van het boloppervlak verbindt en door het middelpunt gaat, is een diameter van de bol. De diameter D is het dubbel van de straal. De Bol (lichaam) is het ruimtelijk lichaam omsloten door een bolvlak.
Elk plat vlak dat de bol snijdt, geeft als snijvlak een cirkelomtrek met als straal r. Gaat dit plat vlak door het middelpunt dan is het snijvlak een cirkelomtrek met als straal R zijnde de straal van de bol. Een dergelijke cirkel noemt men een grote cirkel, terwijl de cirkels met r < R kleine cirkels genoemd worden. Een grote cirkel snijdt de bol in twee halve bollen, die congruent zijn.
Om de diameter van een bolvormig lichaam te meten gebruikt men de sferische passer of de reductiepasser (voor kleine diameters).
Bij Meester Hillewaert werden zonder enige bewijsvoering de formules voor de berekening van het boloppervlak en het bolvolume gegeven:
- oppervlakte van de bol:
S bol = 4 π R²
- volume van de bol:
V bol = 4/3 π R³
Nochtans was het mogelijk voor deze laatste formule ook een experimenteel bewijs te geven en dit op analoge wijze als voor de kegel en de cilinder. Beschouw een halve bol met grondvlak π R² en een kegel met zelfde grondvlak en hoogte R. Vul de kegel met zand en giet het zand over in de halve bol. Er zijn twee kegels zand nodig om de halve bol tot op de rand te vullen (figuur 10 halve bol en kegel).
Men heeft dus:
V halve bol = 2 . (1/3 π R² . h) of daar h = R V halve bol = 2/3 π R³
Derhalve v bol = 4/3 π R³
----------------------------------
(1) Belangrijke opmerking:
Men gaat uit van de veronderstelling dat alle verhoudingen tussen lengte, breedte en hoogte rationale getallen zijn en dus uitgedrukt kunnen worden door een gebroken getal. In dit geval is het steeds mogelijk een lengte-eenheid a te vinden, die gemeen is aan de drie afmetingen lengte, hoogte en breedte en kan de balk gevuld worden met identieke kubusjes. Zoals men nu in het cursiefje Intuïtieve Meetkunde in het Primair Onderwijs (2) gezien heeft, bestaan er echter lengtes, die uitgedrukt worden door een irrationaal getal. Wanneer één of meer afmetingen irrationaal zijn, kan de balk onmogelijk gevuld worden met identieke kubusjes. Irrationale getallen kunnen echter benaderd worden door rationale getallen en door een limietovergang toont men aan dat de formule voor het volume van de balk ook hier geldig blijft.
(Hoofdstuk 6 "Wetenschappen in het Lager Primair Onderwijs")
§ 6.1 Fysische Mechanica : de eerste schreden
Met de Natuurkunde en i.h.b. met wat men heden de fysische mechanica(1) noemt, kwamen wij al in aanraking in de Broedersschool via de lessen Metriek Stelsel(2) .
Een Broeder Carissimus en een Meester Hillewaert probeerden immers ons, via hun uiteenzettingen over het Metriek Stelsel, de fysische noties lengte, massa en gewicht, tijd alsook enkele afgeleide begrippen als soortelijk gewicht en dichtheid bij te brengen.
Ik schreef probeerden want vergis u maar niet beste lezer: fysische basisconcepten zoals bvb massa en gewicht zijn erg moeilijk te vatten (3) .
Bij Broeder Carissimus (derde leerjaar) beperkte dit fysisch wetenschappelijk onderricht zich tot een eerste fundamentele fysische grootheid, de lengte en tot een eerste benadering van de afgeleide grootheden oppervlakte en inhoud of volume en de hierbij horende eenhedenstelsels. Als oppervlakte- respectievelijk inhoudsmaat werden hier de niet-metrische eenheden, de are (symbool a) en de liter (symbool l of beter L -zie verder-) en de secundaire eenheden hiervan afgeleid besproken.
Bij Meester Hillewaert (vierde en vijfde studiejaar) was er een tweede meer grondige benadering van de begrippen oppervlak en volume ( mogelijk gemaakt door de lessen "Vormleer") en de metrische oppervlakte en volumematen. Vervolgens kwamen de andere fundamentele fysische grootheden als massa engewicht met hun diverse eenhedenstelsels aan bod.
Het metriek stelsel of metrische systeem gebruikt de meter als rekeneenheid voor lengte, oppervlakte en inhoud, in tegenstelling tot het oudere systeem, dat met duimen, ellen en voeten werkte. Lengte, oppervlakte en inhoud hebben op deze wijze dezelfde basiseenheid, waardoor omrekenen veel eenvoudiger wordt. In de Angelsaksische landen wordt tot op heden het (gestandaardiseerde) Voet systeem (4) nog steeds gebruikt en de voet treedt hier dan eveneens als basiseenheid voor lengte, oppervlakte en inhoud op. Het probleem met het voetsysteem was echter dat de voet qua afmetingen naargelang het land, streek of stad verschilde waardoor een internationale afspraak betreffende een gestandaardiseerde afmeting van de voet onmogelijk bleek te zijn. Ieder land of stad hield aan zijn voet. Een houtsnede van Jacob Koelbel (1575) maakt dit duidelijk. Deze houtsnede laat zien hoe de gemiddelde lengte van de voet bepaald werd in het Duitsland van de 15de of 16de eeuw. Een dergelijke wijze van bepaling sluit natuurlijk iedere vorm van standaardisatie uit.
Het Metriek Stelsel, gebaseerd op een internationale lengte-eenheid, de meter (5) , laat nu echter wel standaardisatie toe en bovendien was dit stelsel gebaseerd op een verhouding van 1/10 tussen opeenvolgende afgeleide lengte-eenheden (decimaal systeem). Dit systeem werd ontwikkeld in Frankrijk op het einde van de 19de eeuw en in het onafhankelijke België pas verplicht door de wet van 11 juni 1836. In het toenmalige Verenigd Koninkrijk der Nederlanden dat Nederland, België en het Groothertogdom Luxemburg omvatte werd het Metriek stelsel verplicht in 1816 en in Frankrijk maar vanaf 1837.
In sommige landen, waaronder een grootmacht als de Verenigde Staten, wordt het metrische systeem nog steeds niet als wettelijke standaard erkend, wat aanleiding heeft gegeven tot enkele problemen. In 1983 kwam een vliegtuig van Air Canada tijdens de vlucht zonder brandstof te zitten door hantering van het verkeerde systeem bij controle van de hoeveelheid kerosine In 1999 is er zelfs een dure ruimtesatelliet, nl. de Mars Orbiter, verloren gegaan omdat de software voor het ene stelsel geschreven was en de beoogde hoogte waar de satelliet naar toe gestuurd werd in het andere stelsel ingetypt werd...
1° het fysisch concept lengte en de lengtematen
Het woord "lengte" (longueur) heeft volgens de woordenboeken (van Dale, Larousse) diverse betekenissen. In de Natuurkunde echter wordt lengte wellicht het best gedefinieerd als « de uitgebreidheid van een voorwerp of lichaam van het ene uiteinde naar het andere uiteinde ». Stelt men deze uiteinden door twee punten voor dan is, uit meetkundig oogpunt, deze uitgebreidheid de afstand tussen twee punten.
Lengte is uit natuurkundig oogpunt een intuïtief begrip dat pragmatisch moet behandeld worden. Zoals voorgeschreven door Herbiet s boek LArithmétique dans la Vie pratique, dat ook het Metriek Stelsel behandelde, was het onderricht van Broeder Carissimus dan ook erg pragmatisch ingesteld. Overigens was dit boek, bestemd voor de onderwijzer, duidelijk geïnspireerd door de onderwijsmethodes van de Broeders Salesianen, een congregatie verwant -qua betrachtingen en doeleinden- aan de Broeders van Liefde.
De leerstof was dus op het dagdagelijkse leven gericht en behoorde om zo te zeggen tot ons eigen leefmilieu. In het derde leerjaar kwamen zoals reeds aangegeven de lengte-, oppervlakte- en volume-eenheden een eerste maal aan bod en wel uitgewerkt volgens het decimale stelsel; voorts werden de diverse instrumenten om lengten te meten aangegeven.
- Begonnen werd met de metrische lengtematen (km, hm, dam, m, dm, cm, mm) waarbij het gebruik van liniaal, lat, stok-, plooi- en lintmeter, als meetinstrumenten werd toegelicht. De liniaal en de lat hadden, behoudens strafinstrument , blijkbaar ook nog andere toepassingen. De lint- en stokmeter werden gebruikt door de kleermaker en de behanger en de plooimeter zo wat door iedere ambachtsman De micrometer of palmer (6) was dan weer het instrument om kleine lengten te meten.
De centrale lengtemaat was de meter van waaruit de secundaire lengtematen afgeleid werden telkens in de verhouding 10/1 en 1/10. Deze verhoudingen werden aangegeven door de voorvoegsels k (kilo = 1000 of 10³), h (hecto = 100 of 10²), da (deca = 10), d (deci = 1/10 of 10-1 ), c (centi = 1/100 of 10-2 ), m (milli = 1/1000 of 10-3 ). Aan de meter als lengtestandaard is een ganse historiek verbonden (5) :
Oorspronkelijk werd in 1791 de meter door de Franse Academie van Wetenschappen gedefinieerd als het tienmiljoenste deel van de afstand van de noordpool tot de evenaar, gemeten op zeeniveau, langs de meridiaan van Parijs. Nadat in 1798 de meridiaanmeting voltooid was werd in 1799 een nieuwe standaard vastgelegd, nu volgens de zojuist bepaalde meridiaanlengte. Deze "mètre des Archives" is gemaakt van platina. Toen deze later 0,2 mm te kort bleek te zijn vanwege een rekenfout in de afplatting van de aarde werd de standaard niet gewijzigd.
In 1875 richtte de internationale Metervergadering (Convention du Mètre) een permanent Internationaal Bureau voor Maten en Gewichten (Bureau International des Poids et Mesures) op in Sèvres. Een nieuwe standaardmeter werd vervaardigd. Op de eerste CGPM (Conférence Générale des Poids et Mesures) werd in 1889 de meter gedefinieerd als de afstand tussen twee inkepingen op een staaf van 90% platina en 10% iridium, de zogenaamde X-meter, die in Sèvres wordt bewaard. De opzet was een scherper gedefinieerde meter te verkrijgen; de lengte bleef ongewijzigd.
Het was deze laatste standaard, waarop Broeder Carissimus beroep deed en die van toepassing was tot 1960. In 1983 is GPCM overgegaan op een nieuwe standaard, waarover later meer.
- Na de lengtematen kwamen de gebruikelijke oppervlaktematen uit de landmeetkunde (ha, daa, a, da, ca) aan de beurt. Voor scholieren uit landelijke gemeenten een weloverwogen en oordeelkundige keuze, want akkers, bos- en weigronden behoorden om zo te zeggen tot ons leefmilieu.
De centrale oppervlaktemaat was hier de are (symbool: a). De are (afgeleid van het Latijnse woord area) was een stuk grond van 10 m op 10 m d.i. 100 m² zoals we later bij Meester Hillewaert zouden leren. Uit deze centrale oppervlaktemaat werden net zoals bij de lengtematen, de secundaire oppervlaktematen afgeleid telkens in de verhouding 10/1 en 1/10 waarbij dezelfde voorvoegsels h, da, d en c) gebruikt werden.
In de practijk werden de eenheden deca-are en deci-are zelden gebruikt; daarentegen worden de eenheden hectare en centi-are en natuurlijk are nog steeds gebezigd o.m. in notariële akten.
- Vervolgens werd overgegaan tot de gebruikelijke inhoudsmaten ( hl, dal, l, dl, cl, ml), waarbij dan eindelijk het geheim van de cilindrische recipiënten die, achteraan het leslokaal, op een schab stonden opgehelderd werd. Om begrijpelijke redenen was dit schab op ongeveer twee meter hoogte aangebracht Dank zij dit stel recipiënten hadden wij een goed idee over de volumes die bvb een hectoliter, een decaliter, een liter of een deciliter vertegenwoordigden. De centrale inhoudsmaat voor vloeistoffen zoals water, bier, wijn enz. was de liter van waaruit, net zoals bij de lengtematen, de secundaire inhoudsmaten afgeleid werden telkens in de verhouding 10/1 of 1/10. Dezelfde voorvoegsels k, h, da, enz. werden hierbij gebruikt.
Volgens Wikipedia is de liter een inhoudsmaat die in het dagelijks verkeer veelvuldig wordt gebruikt om het volume van een vloeistof of een gas aan te geven. Hoewel het geen SI-eenheid is, wordt het gebruik ervan expliciet gedoogd door het Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). Het door het BIPM aanbevolen alternatief is om volumes in dm³ of m³ uit te drukken. De volumemaat liter dateert van 1793, toen hij in Frankrijk tijdens de Franse Revolutie werd ingevoerd. De naam liter (litre in het Frans) is afgeleid van een oudere Franse maat, de litron. Deze naam is oorspronkelijk Grieks en kwam via het Latijn in het Frans terecht. In de meeste landen wordt in de regel het symbool l voor liter gebruikt. Elders, voornamelijk in de wetenschappelijke literatuur, kan men ook het symbool L tegenkomen; zie deze uitleg. Dit wordt gedaan om verwarring met het cijfer 1 te voorkomen. .
Broeder Carissimus definieerde nu de liter volgens de toen geldende officiële normen zijnde het volume van 1 kilogram (massa-eenheid) zuiver water bij 4° C. Deze laatste officiële definitie dateerde van 1901 maar werd in 1964 (gelukkig) gewijzigd. Heden wordt de liter metrisch gedefinieerd : een liter is precies 1 dm³ . Sedert 1793 heeft de omschrijving van deze inhoudsmaat zich inderdaad een paar keer gewijzigd (7) !!!!
Deze definitie van 1901 was naar mijn gevoelen verantwoordelijk voor heel wat verwarring bij de schoolbengels: het was inderdaad echt geen goed idee om een inhoudsmaat te definiëren met behulp van een massa-eenheid van een bepaalde vloeistof!! Een andere niet-metrische inhoudsmaat, die o.m. eertijds in Vlaanderen werd gebruikt was de Pint ; in Engeland en de USA wordt nog steeds de Gallon als inhoudsmaat gebruikt.
Toestellen om volumes van vloeistoffen te meten waren de gegradueerde maatglazen of -bekers; voor het afmeten van precieze volumes werden pipetten en buretten gebruikt.
* * *
De lessen over lengte-, oppervlakte- en volume-eenheden, waren voor Broeder Carissimus nu het gedroomde voorwendsel om het te hebben over de decimale getallen. Het nut van het decimaal eenhedensysteem was ons plots zeer duidelijk geworden. I.p.v. te schrijven dat de lengte van een voorwerp bvb 2 m 5 dm 0 cm 8mm was, kon men deze verkort weergeven door een decimaal getal namelijk 2,508 m. Probeer dat maar eens met een voorwerp dat een lengte heeft van 2 voeten en 3 duimen. En met decimale getallen waren de klassieke rekenkundige bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) eenvoudig uit te voeren. Maar hoe was men op het idee van decimale maten gekomen?
Decimale getallen (ofte getallen met een "komma") ontstaan door een "staartdeling" (h) uit te voeren. Aanvankelijk ging het daarbij om de deling van een groter natuurlijk getal door een kleiner. Maar dan volgde ook het delen van een kleiner natuurlijk getal door een groter, waarbij decimale getallen kleiner dan een (bvb 0,0357...) ontstonden. Bij Broeder Carissimus werd geleidelijk aan de ganse logistiek van de hoofdbewerkingen van de natuurlijke getallen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) van het tweede leerjaar uitgebreid tot de decimale getallen. I.h.b. werd aangeleerd hoe men op een elegante manier, namelijk door het respecteren van enkele "komma-regels" deze bewerkingen analoog en op een perfecte manier kon uitvoeren.
Decimale getallen zijn in wezen een andere schrijfwijze van tiendelige of decimale breuken. Deze laatste werden, zoals iedere Bruggeling zou moeten weten, ingevoerd door Simon Stevin (1548-1620) in zijn boekje "De Thiende"(1586). De schrijfwijze van tiendelige getallen in "De Thiende" verschilt natuurlijk van onze huidige moderne schrijfwijze. Maar ook met de oude schrijfwijze werd het rekenen met breuken hierdoor zeer sterk vereenvoudigd.
Het is dan ook niet verwonderlijk dat het boekje van Stevin zowel in het Frans en het Engels vertaald werd. Simon Stevin is zoals we nog verder zullen zien ook erg belangrijk voor de Natuurkunde (hydrostatica). De man heeft een standbeeld in Brugge (zie begeleidende foto). Toch vind ik dat hier ten lande zijn prestaties niet voldoende belicht worden.
* * *
Vanaf het vierde leerjaar (Meester Hillewaert) werd nader ingegaan op de metrische oppervlakte- en volume- maten. De lessen Vormleer (d.i. Intuïtieve Meetkunde -zie vorige cursiefjes-) hadden ons geleerd wat onder vlak en ruimte, oppervlak en volume moet verstaan worden. Een vlak bezat een tweevoudige, een ruimte een drievoudige oneindige uitgebreidheid of dimensie. Een oppervlak was een omsloten vlak, een volume een omsloten ruimte. Een typische eigenschap van oppervlakken en volumes was dat ze konden gemeten worden d.i. qua grootte of omvang konden vergeleken worden met een ander oppervlak respectievelijk volume. Het (benoemd) maatgetal dat deze grootte weergaf werd respectievelijk oppervlakte van het oppervlak en inhoud van het volume genoemd.
Ook hadden wij geleerd hoe de oppervlakte te berekenen van meetkundige figuren als vierkant, rechthoek, parallelogram, trapezium, ruit, cirkel... en hoe de inhoud te bepalen van meetkundige lichamen als kubus, balk, parallellepipedum, pyramide, kegel, cylinder, bol... Deze berekeningen of bepalingen steunden op de kennis van bepaalde lijnsegmenten van de meetkundige figuur of lichaam (zijde, hoogte, basis, straal..). Voor het invoeren van de metrische oppervlakte- en inhoudsmaten werden natuurlijk de meest eenvoudige meetkundige figuur (vierkant) en lichaam (kubus) gekozen. Het volstaat immers de lengte van zijde z van het vierkant respectievelijk van de kubus te kennen om de oppervlakte van een vierkant (Svierkant = z² ) en de inhoud van een kubus (Ikubus = z³ ).
-De metrische oppervlaktematen ontstonden door achtereenvolgens z gelijk aan 1 km, 1 hm, 1 dam, 1 m, 1 dm, 1 cm, 1mm te stellen. Deze oppervlaktematen werden voorgesteld door de symbolische afkortingen km², hm², dam², m², dm². Door toepassen van de oppervlakteformule Svierkant = z² volgt dat de verhouding van twee opeenvolgende metrische oppervlaktematen gelijk is aan de verhouding 100/1 of 1/100.
-De metrische inhoudsmaten ontstonden door achtereenvolgens z gelijk aan 1 km, 1 hm, 1 dam, 1 m, 1 dm, 1 cm, 1mm te stellen. Deze inhoudsmaten werden voorgesteld door de symbolische afkortingen km³, hm³, dam³, m³, dm³, cm³, mm³. Door toepassen van de inhoudsformule Ikubus = z³ volgt dat de verhouding van twee opeenvolgende metrische inhoudsmaten gelijk is aan 1000/1 of 1/1000.
Het verband tussen de gebruikelijke en metrische oppervlakte en inhoudsmaten volgt uit de definitie van de are (1 are = 1 dam² = 100 m²) en de moderne definitie van de liter (1 L = 1 dm³). Onderstaande tabel geeft de onderlinge verbanden weer:
km²
km³
hm²
hectare
hm³
dam²
are
dam³
m²
centiare
m³
kiloliter
dm²
dm³
liter
cm²
cm³
milliliter
mm²
mm³
Andere afgeleide metrische lengtematen zoals bvb micrometer (µm), de nanometer (nm) en hun overeenkomstige metrische oppervlakte- (µm², nm²) en inhoudsmaten (µm³, nm³) kwamen in de lagere school niet ter sprake. Deze maten lagen buiten ons ervaringsgebied.
2° de fysische concepten massa en gewicht en de gewichtsmaten
In het vierde en vijfde studiejaar werden de internationale gewichtsmaten of beter massamaten behandeld. Het precieze onderscheid tussen massa en gewicht van een lichaam of voorwerp is in de Natuurkunde van het grootste belang en voor de meeste scholieren was dit onderscheid de eerste grote struikelblok op de weg tot de Natuurkunde.
De massaM van een voorwerp of lichaam werd bij Meester Hillewaert eenvoudig gedefinieerd als de "hoeveelheid stof of materie" die het voorwerp bevatte. Voor iemand, die al vertrouwd was met enkele begrippen uit de chemie, een zeer eenvoudige en begrijpbare definitie. En ja, dank zij de lessen van apotheker Versailles en het boek « Gij en de Chemie », die ik uit de bibliotheek van mijn vader "geleend" had (zie mijn eerste cursiefje), begreep ik zeer goed wat Meester Hillewaert met massa bedoelde .
Het concept massa is echter in werkelijkheid een moeilijk begrip, dat zich in de loop der eeuwen heeft ontwikkeld (8) uit filosofische en theosofische beschouwingen, maar dat was natuurlijk geen voer voor schoolbengels.
Massa als « quantitas materiae » wordt ook nog zwaartemassa genoemd en moet in principe onderscheiden worden van traagheidsmassa « vis inertiae », het massabegrip dat men ontmoet in de dynamica.
Het begrip "traagheidsmassa" werd door Isaac Newton, een figuur waarover ik het nog vele malen zal hebben, ontwikkeld en diezelfde Newton heeft experimenteel aangetoond dat beide soorten massa equivalent zijn en door eenzelfde getal uitgedrukt kunnen worden (9) .
In de Lagere School hield men het dus maar eenvoudigheidshalve bij zwaartemassa, maar het leek mij toch aangewezen hier al even te vermelden dat er ook zoiets als traagheidsmassa bestaat.
Gewicht(10) werd door Meester Hillewaert gedefinieerd als de zwaarte van een voorwerp d.i de kracht G , die de Aarde op het lichaam uitoefent en die verantwoordelijk is voor het vallen van lichamen. Massa en gewicht zijn dus wel degelijk verschillende fysische grootheden, die principieel op een verschillende manier d.i. met verschillende instrumenten gemeten worden.
Een idee van de grootte van deze kracht (ook nog zwaartekracht genoemd) verkrijgt men door een vast lichaam of voorwerp op te tillen. Hoe zwaarder het voorwerp, hoe meer spierkracht men moet ontwikkelen. Herbiet gaf inderdaad in zijn boek de raad het woord soupeser te gebruiken om het intuïtief begrip "kracht" te verduidelijken.
Laat ik echter even stil te staan bij enkele noties, die in de formulering van het concept "gewicht" vermeld worden. Vooreerst is er het begrip vast lichaam.
Vaste lichamen hebben een vaste vorm en een vast volume, vloeistoffen hebben een vast volume en geen vaste vorm, gassen bezitten noch vaste vorm, noch vast volume en trachten steeds het grootst mogelijke volume in te nemen. Eenzelfde stof zoals water bvb kan onder deze drie vormen (aggregatietoestanden genoemd) voorkomen: ijs, vloeibaar water en waterdamp.
Van uit fysisch oogpunt kunnen vaste lichamen ingedeeld worden in homogene en heterogene lichamen. De term homogeen betekent in zijn algemeenheid zoiets als "overal gelijk". Het tegenovergestelde is heterogeen. In de natuurkunde betekent deze term dat de eigenschappen van ieder deel van het lichaam identiek zijn qua samenstelling en onafhankelijk van de positie (11) . Zo is een blok massief hout of ijzer een homogeen, een uitgehold blok gevuld met lucht of water een heterogeen lichaam.
Een vast lichaam kan onder diverse geometrische vormen voorkomen. Bij een wetenschappelijke studie wordt steeds eerst het meest eenvoudige geval onder de loep genomen, in een volgende stap worden deze studie dan uitgebreid tot meer ingewikkelde gevallen. Voor een beginstudie in de fysische mechanica is dan ook, omwille van de symmetrie-eigenschappen, het bolvormige lichaam als studieobject aangewezen. Vervolgens kan men uitbreiden tot andere meetkundige vormen (kubus, balk, cylinder etc.).
Een ander belangrijk fysisch begrip is de notie « kracht ». Eenieder is wel min of meer vertrouwd met het intuïtieve begrip kracht, dat, zoals ieder verklarend woordenboek leert, verschillende betekenissen kan hebben. Het begrip "spierkracht" ("force" in de taal van de schoolbengel) was natuurlijk iedere schooljongen bekend en het was uiteraard geen toeval dat Meester Hillewaert ons vroeg gewichten van 5, 10 en 20 kg massa op te tillen.
Zodoende ondervonden wij aan de levende lijve dat er zoiets als de zwaartekracht bestond : elk gewicht werd door de Aarde aangetrokken in een richting bepaald door het schietlood en in een zin naar het middelpunt van de Aarde toe. Om deze aantrekkingskracht te neutraliseren dienden wij al onze "force" in dezelfde richting doch in tegengestelde zin te gebruiken. Zo ondervonden wij dat kracht niet alleen gekarakteriseerd was door een grootte, maar ook door een richting en zin.
In de mechanica wordt kracht (symbool F ) nu algemeen gedefinieerd als een grootheid die in een lichaam een spanning of druk verwekt, die resulteert:
-óf in een vervorming van dit lichaam (het uitrekken of samendrukken van een veer); deze vervorming kan uiteraard dienen voor het meten van een kracht en een dergelijk meettoestel wordt dynamometer genoemd)
- óf die het beschouwde lichaam doet bewegen (en wel volgens de dynamica van Newton op versnelde of vertraagde wijze).
In het eerste geval spreekt men van een « statische », in het tweede geval van een « dynamische » benadering van het begrip kracht.
Kracht is, zoals de ervaring leert, een grootheid die niet alleen bepaald wordt door een grootte maar ook door een richting en een zin: een zogenaamde vectorgrootheid. Een kracht die op een lichaam of object inwerkt wordt dan ook meetkundig voorgesteld door een pijltje waarvan de lengte de grootte, de helling de richting en de pijlzin de zin van de krachtwerking aangeeft.
Statische krachten kunnen gemeten worden met een dynamometer (krachtmeter). De meting bij mechanische dynamometers berust op het samenpersen of uitrekken van een veer, waarbij de grootte van het persen of het uitrekken recht evenredig is met de kracht uitgeoefend op de dynamometer.
Een kracht wordt aangegeven met een pijl boven de letter F of door een vetgedrukte letter: F waarbij F dan de grootte van de kracht voorstelt.
De zwaartekracht (symbool G of Fg ) was de natuurkracht die de zware lichamen op het aardoppervlak hield.
Het was ook dezelfde zwaartekracht die verantwoordelijk was voor het vallen van lichamen. De studie van het vallen (de valbeweging) behoorde tot de kinematica en de dynamica en was stof voor later.
2.1 - het meten van gewichten:
Gewicht is, zoals gezegd een (statische) kracht en kan dus gemeten worden met een dynamometer. Een voorbeeld van een dynamometer, speciaal bedoeld en geijkt om gewichten te meten, is de veerunster.
Met dit toestel toont men experimenteel gemakkelijk aan dat het gewicht van een lichaam G (dus de zwaartekracht uitgeoefend op het lichaam) evenredig is met zijn (zwaarte)massa M, wat door een eenvoudige formule kan weergegeven worden : G = g x M .
In deze betrekking is g een evenredigheidsfactor, waarvan aangenomen wordt dat ze onafhankelijk is van de aard van het lichaam of voorwerp, maar die wel afhankelijk blijkt te zijn van de plaats op Aarde (breedtegraad, hoogte). Het gemeten resultaat zal dus afhangen van de plaats waar de meting uitgevoerd wordt. Zo is het gewicht van eenzelfde voorwerp verschillend aan de pool en de evenaar ; ook is het gewicht verschillend naargelang de hoogte van plaats (zee, bergen) waar de metingen gebeuren.
Wat de precieze betekenis was van deze evenredigheidsfactor g en i.h.b. hoe ze kon gemeten worden, kwam nog niet aan de orde. Uit de studie van de dynamica zou later blijken dat deze factor een benoemd getal was, zodat ook de kracht G door een benoemd getal en dus in een specifiek eenhedenstelsel kon uitgedrukt worden. Deze « dynamische » benadering ging echter het bevattingsvermogen van de schoolbengel ver te boven en Meester Hillewaert beperkte zich uiteraard tot de « statische » benadering en hield het dus maar bij de fameuze weeghaak of unster, want dit toestel behoorde tot onze leefwereld.
Marktkramers maakten in die jaren inderdaad zeer veel gebruik van een dergelijke veerunster of Weeghaak (in het frans peson genoemd). Een veerunster bestond uit een halfcilindrische doos, meestal uit messing, die een stalen schroefveer bevatte. Het boveneinde van de veer was stevig aan de doos bevestigd terwijl het andere uiteinde van de veer een haak droeg, die als aangrijpingspunt van de kracht fungeerde, die men wenste te meten. Bij de veerunster vergelijkt men niet-gelijksoortige krachten met name de zwaartekracht t.o.v. een veerkracht. Veerunsters zijn dus dynamometers (krachtmeters) en zijn dus toestellen die in eerste instantie gewichten meten en geen massas. Veerunsters geven dan ook een verschillend resultaat naargelang de plaats (breedtegraad en hoogte) van meting.
Vrijwel ieder huishouden bezat een dergelijk erg goedkoop en eenvoudig instrument. Als bengel heb ik ten andere deze weeghaak veelvuldig gebruikt.
Indien men met behulp van een unster het gewicht van twee lichamen 1 en 2 (referentielichaam) op dezelfde plaats meet dan heeft men natuurlijk:
G1 / G2 = M1 / M 2
M.a.w. op eenzelfde plaats op Aarde verhouden gewichten van twee lichamen zich als de massa's van de twee lichamen en kan de massa van een referentielichaam als maat dienen voor het gewicht van een ander lichaam. Als referentielichaam wordt hier dan de massa-eenheid (de kilogram) of een afgeleide massa-eenheid gebruikt en het toestel wordt dan geijkt in « kilogram-gewicht » en met een hierbij overeenstemmende aflezing voorzien.
Een dergelijke ijking en bijhorende aflezing is natuurlijk slechts geldig voor de aangegeven plaats en de veerunster zal voor hetzelfde lichaam op twee verschillende breedtegraden verschillende aanduidingen geven want g is immers afhankelijk van de plaats. Om deze reden maakt men dan ook een strict onderscheid tussen bvb « kilogram-gewicht » en « kilogram-massa ».
Het gebruik van massa-eenheden om gewichten aan te duiden, kan alleen maar verwarring scheppen en zou om deze reden het best vermeden worden.
2.2 - het meten van massa's:
Om de massa van een voorwerp of lichaam te meten kan men gebruik maken van twee soorten wel te onderscheiden toestellen: balansen en weegschalen of wegers. Dit onderscheid wordt in de practijk niet altijd gemaakt.
Balansen behoren tot een eerste categorie weeginstrumenten en zijn gebaseerd op het jukbeginsel (hefboom (12) van de eerste soort). Bij deze instrumenten wordt het aan de ene kant van het juk het voorwerp gehangen, waardoor het juk niet langer in evenwicht is. Een wipplank was bvb een "hefboom van de eerste soort" en wij wisten natuurlijk zeer goed wat met "in evenwicht" bedoeld werd. Mechanische balansen maken nu gebruik van een stel verplaatsbare gewichten of massastukken (voor meer details zie: massastuk ) om het juk terug in evenwicht te brengen. Door het verplaatsen of verschuiven van deze massa's of gewichten wordt de balans in evenwicht gebracht.
Balansen vergelijken in eerste benadering de "zwaarte" d.i. het gewicht van twee voorwerpen d.i. de zwaartekracht uitgeoefend op de twee voorwerpen en wel op dezelfde plaats op Aarde.
-Voor balansen met een gelijkarmig juk is er evenwicht wanneer geldt:
Mx . gx = Ma . ga (Mx en Ma stellen de massa's bij evenwicht voor van respectievelijk het te wegen voorwerp x en het massastuk a ; verder is gx = ga ) Bij evenwicht geldt dus: Mx = Ma
Wat men dus vergelijkt zijn de massa's (hoeveelheden materie) en niet de zwaartekracht op deze massa's uitgeoefend. Met balansen meet men massa's, wat verklaart dat het resultaat niet langer afhangt van de plaats op Aarde. Logischerwijze zou men het hier dus moeten hebben over massa-metingen, maar tot op heden wordt nog dagelijks de foutieve term gewicht voor massa gebruikt.
- Voor balansen met een ongelijkarmig juk met armlengtes respectievelijk x en a geldt:
Mx . x . gx = Ma . a . ga
Bij evenwicht geldt hier daar gx = ga : Mx . x = Ma . a
Voorbeelden van mechanische balansen bestonden in die tijd in verschillende maten, variëteiten en uitvoeringen (13) .
Het oudste type van mechanische balans was de Romeinse balans of unster(14) , een toestel dat al in de Oudheid dienst deed. Dit toestel werd in de Iron Fifties niet alleen door de marktkramers maar ook door ambulante handelaars gebruikt. Het juk van deze balans bestond uit twee armen van ongelijke lengte. Aan de kortste arm wordt het te wegen handelswaar gehangen, aan de langste arm hangt een gewicht dat vrij kan bewegen over die arm. Om een groot bereik aan gewichten te meten, kon de unster aan verschillende haakjes opgehangen worden, voor lichte dingen bevond de haak zich relatief ver van het te wegen product, bij zware dichterbij.
Wat de balansen met een gelijkarmig juk betreft, de zogenaamde trébuchet-balansen, waren er twee types in zwang respectievelijk mét en zonder "ruststand". Balansen zonder ruststand werden nog in het begin van de 19de eeuw gebruikt en begeleidende foto toont een magnifiek exemplaar uit de napoleonistische tijd. Balansen met ruststand kunnen op een dergelijke manier gebouwd worden dat ze zeer kleine gewichten (massa's) kunnen meten. Men spreekt dan van semimicro-balansen.
Bij de goudsmid aan de Sint Katarina-kerk en bij apotheker Versailles werden dit type balansengebruikt voor het wegen van milligrammen. Balansen met "ruststand" werden door niemand minder dan Antoine Lavoisier (1743-1794) geïntroduceerd.
Deze balans bestond uit een gelijkarmig juk, beweegbaar om een vaste as, zijnde de ribbe van een driezijdig stalen prisma dat men mes noemde. Dit mes rustte in een kussen van gepolijst staal of van agaat. Op de uiteinden van het juk waren eveneens twee stalen messen ingebouwd, evenwijdig met en symmetrisch t.o.v. het eerste. Deze twee messen droegen door tussenkomst van haken, voorzien van stalen of agaten kussens, twee even zware schalen. Het uiteinde van een zeer lange naald, de wijzer genoemd, bewoog zich tegenover een kleine schaalverdeling, wat toeliet de evenwichtspositie te schatten. Typisch voor deze Trébuchet balansen was dat de balans op een eenvoudige manier in ruststand kon gebracht worden, waardoor de messen van de balans alleen gedurende korte tijd belast werden namelijk gedurende de eigenlijke weging.
Apotheker Versailles, die mij op dat ogenblik de eerste beginselen van de chemie leerde, toonde mij niet zonder enige trots zijn prachtige semimicrobalans. Het juk van deze precisiebalans was toppunt van comfort- voorzien met een kleine ketting, die de gebruikelijke klassieke ruitergewichtjes verving. Iedereen, die met een semimicrobalans wegingen heeft uitgevoerd, heeft wel ervaren dat deze ruitertjes echte pestkereltjes zijn. Mijn vriend apotheker was hiervan op de hoogte en had geopteerd voor perfectie.
Andere balansen waarover Meester Hillewaert het nog had waren de brugbalans van Quintenz (bascule) en de personenbalans. Beide toestellen zijn eveneens gebaseerd op het hefboombeginsel (ongelijkarmig juk) en gebruiken schuifgewichten om het juk in evenwicht te brengen. Een personenbalans (niet te verwarren met een personenweegschaal of-weger) stond vroeger in practisch elke apotheek. Om het toestel in werking te stellen moest men eerst één frank in een gleuf brengen en vervolgens met het verschuiven van gewichten het evenwicht instellen. Meestal was het de apotheker, die deze operatie uitvoerde.
Hoe een bascule precies werkte was misschien minder evident, maar toch was ook hier overduidelijk dat hefbomen de hoofdrol speelden. Bij de patattenboeren bvb was een dergelijke balans onontbeerlijk en herhaaldelijk heb ik Boer Van Mullem met een dergelijke toestel aardappelen of bieten zien afwegen.
Als absolute standaard van gewichtseenheid (lees massa-eenheid) werd het kilogram (kg) (15) zijnde het gewicht (lees massa) van een platina-iridium (90/10) cilinder met een hoogte en diameter van 39,0 mm genomen. Deze absolute standaard wordt op het Bureau International des Poids et Mesures in het Franse Sèvres bewaard en van deze standaard werden uiteraard enkele nationale kopieën vervaardigd.
Het was Meester Hillewaert echter voornamelijk om de praktische afgeleide decimale gewichtseenheden (lees: massa-eenheden) met name hg, dag, g, dg, cg, mg te doen. Voorts ging hij wat dieper in op de verschillende types balansen of wegers en zijn commentaar op de diverse toestellen is mij steeds bij gebleven. Ter illustratie van zijn lessen, liet hij ons enkele ijkgewichten (lees: ijkmassas) zien. Ook mochten wij onze force proberen op een gietijzeren gewicht (massa) van 20 kg.
Weegschalen of wegers zijn gebaseerd op min of meer gecompliceerde hefboomsystemen al dan niet met tegenwicht. Kenmerkend voor weegschalen of wegers is dat de schalen zich boven het juk bevinden i.p.v. onderaan zoals bij balansen het geval is. Voor vele weegschalen of wegers is -in tegenstelling met de balansen- geen stel gewichten of massastukken nodig.
Gewone weegschalen (ook nog Roberval(16) - weegschalen genoemd) waren bij alle winkeliers (o.a. kruideniers, groenten- en ijzerwinkels) aanwezig, want in de Iron Forties werden nog zeer vele producten in bulk verhandeld. Bij onze Marie (kruidenierster) en In de Lelie (groentewinkel) waren bvb gedroogde bonen en erwten in jute zakken opgeslagen. Appelsiroop, bruine zeep, nagels, ijzerdraad werden in die jaren alleen verhandeld in bulk. Al deze producten werden net zoals aardappelen, peren, kersen altijd afgewogen op een Roberval, een weegschaal die ontwikkeld is door de Franse wiskundige Gilles Personne de Roberval (1602-1675). De gewone weegschaal werkt eveneens volgens het jukhefboomprincipe, maar de schalen bevinden zich (verschil met de trébuchet- balansen) boven het juk. De weegposities worden door de parallelle raamconstructie horizontaal gehouden. De nauwkeurigheid is niet al te groot door de wrijving van de constructieassen.
Béranger -balansen (een verbeterde versie van de Roberval balansen), lagen aan de basis van wat men later de semiautomatische balansen is gaan noemen. Een semiautomatische balans (van het bekende merk Berkel) werd bij Marie gebruikt voor dure producten als kaas, hesp en dito. Dezelfde Berkel weegschalen waren ook te vinden bij de slager of in de zuivelwinkel. Slagers, spekslagers en zuivelwinkeliers hadden de gewoonte ribbetjes, rundvlees of een mot boter met een weids gebaar op de weegschaal te meppen om dan snel vóór evenwicht- de waar van de weegschaal te nemen. De bedoeling was uiteraard enkele grammetjes te winnen. Maar de klanten lieten zich niet bedotten. Dank zij de lessen van Meester Hillewaert, liet ik mij, ofschoon amper 10 jaar, al evenmin bedotten.
Voorbeelden van andere weegschalen, gebaseerd op een hefbomensysteem met tegenwicht waren bvb: de keukenweegschaal , de personenweegschaal , en de briefwegers, toestellen, die men in elk postkantoor kon aantreffen.
Brievenwegers, ja daarmede was ik wel vertrouwd want mijn vader bezat een dergelijk toestel, dat op drie poten stond en waarvan het veersysteem, met tegengewicht en aanwijzer duidelijk zichtbaar waren. Het werkingsprincipe van de brievenweger lag zo duidelijk voor de hand dat je wel echt een stommeling moest zijn om het werkingsmechanisme van dit toestel niet te begrijpen. Maar begrijpen of niet, bij mijn vader luidde de boodschap: blijf met uw poten van dit toestel af.
Heden worden echter in hoofdzaak elektronische balansen gebruikt waarbij dan niet-gelijksoortige krachten (zwaartekracht t.o.v. electrische krachten) vergeleken worden. Maar in die jaren was er nog geen sprake van dergelijke balansen. Elektronische balansen hebben een ware revolutie in het wereldje van het "wegen" veroorzaakt en zullen later besproken worden.
2.3 - de verhouding gewicht of massa tot volume van een lichaam: het begrip dichtheid
Gewicht, massa en volume zijn eigenschappen die een lichaam met bepaalde chemische samenstelling fysisch karakteriseren. Vandaar het invoeren van nieuwe begrippen als soortelijk gewicht (γ) en soortelijke massa (μ) voor dergelijke lichamen.
De soortelijke of specifieke massa van een lichaam is de massa van de volume-eenheid van dit lichaam. Als M de massa van een volume V van dit lichaam voorstelt dan heeft men: µ = M/V
Het soortelijk of specifiek gewicht van een lichaam is het gewicht van een volume-eenheid van dit lichaam. Als G het gewicht van een volume V van dit lichaam voorstelt dan heeft men γ = G/V
(wordt voortgezet)
3° een fysisch experiment -de wet van Archimedes-
(wordt voortgezet)
4° de fysische concepten tijd en tijdsduur en tijdsmetingen
(wordt voortgezet)
-------------------------- (1) De fysische mechanica is het onderdeel van de natuurkunde dat zich bezighoudt met evenwicht en beweging van lichamen onder invloed van de krachten die erop inwerken.
Ze bestaat uit verschillende onderdelen, die van toepassing zijn in uiteenlopende situaties: - kinematica (bewegingsleer); -dynamica (krachtenleer): -statica (evenwichtsleer); -kinetica (samenhang tussen bewegingen en krachten); aerodynamica (gedragingen van gassen); hydrodynamica (gedragingen van vloeistoffen); sterkteleer (gedragingen van vaste stoffen).
(3) zie bvb : « Concepts of Mass in classical and modern physics » (Max Jammer Dover reprint 1997- origineel -1961-) en « Concepts of Force » (Max Jammer Dover- reprint -1999- origineel -1957-)
(8) Voor een uitvoerige bespreking zie bvb : "Concepts of Mass in Classical and Modern Physics" (Max Jammer -Harvard University Press- 1961) en "Concepts of Mass in contempory physics and philosophy" (Max Jammer -Princeton University Press- 2000). Het eerste boek is heden ook te verkrijgen bij Dover (1997).
(9) zie Isaac Newton « Philosophiae naturalis Principia mathematica » (1682). Dit driedelig werk, bij wijze van verkorting als de « Principia » aangegeven, is oorspronkelijk geschreven in het Latijn en wordt beschouwd als een mijlpaal in de Westerse wetenschap. Nochtans wordt er maar zelden naar deze tekst gerefereerd of verwezen. Het werk is voor een leek practisch onleesbaar omdat de auteur de werkelijke wiskundige beginselen (calculus!!!), waaruit hij zijn diverse theorema's en stellingen had afgeleid, achterhield. Een goede Franse vertaling van het werk vindt men in Stephen Hawking's « Sur les Epaules des Géants » (Dunod, -2003-). De equivalentie van zwaarte- en traagheidsmassa wordt behandeld in Deel III propositie 6 theorema 6.
(10) In het lager onderwijs wordt gewicht het best gedefinieerd als de zwaarte van een voorwerp ter onderscheid van de massa zijnde "de hoeveelheid materie van het voorwerp".
In feite is gewicht de kracht waarmee een massa wordt aangetrokken door de aarde of door een hemellichaam. Deze kracht wordt de « zwaartekracht » of « gravitatiekracht » genoemd. Gravitatie is een fundamentele natuurkracht, die overal in de kosmos aanwezig is en men spreekt dan ook veelal van een kosmisch "zwaarteveld", dat zich vooral in de onmiddellijke nabijheid van het beschouwde hemellichaam manifesteert. Wat gravitatie precies is werd eerst maar duidelijk na Einstein's « Algemene Relativiteitstheorie ».
Massa definieert men derhalve het best als hoeveelheid materie en gewicht als "zwaarte" zijnde de kracht, die deze massa in een zwaarteveld ondergaat. Daar de zwaartekracht aan het oppervlak van de aarde niet overal constant is, hangt het gewicht van eenzelfde massa af van de plaats op aarde.
(12) De theorie van de hefbomen is een axiomatische theorie, geformuleerd door Archimedes (voor een kort overzicht: zie « A History of Mechanics » (René Dugas Dover -1988-) chapter I § 2-the statics of Archimedes. zie ook nog: http://nl.wikipedia.org/wiki/Hefboom
(Hoofdstuk 6 Wetenschappen in het Lager Primair Onderwijs)
§ 6.2 Natuurkennis: Moeder Natuur als leerschool
Wat de biowetenschappen betreft werden er althans in de Broedersschool- voor de leerlingen van het derde studiejaar en hoger- wandelingen in de vrije natuur ingericht. Deze wandelingen, in feite een soort botanische of zoologische excursies, werden geleid door Broeder Carissimus en gingen door gedurende de vakantie alsook op sommige Donderdagnamiddagen, wanneer wij vrijaf hadden.
Het is deze Broeder Carissimus (den Grijzen) die mij voor het eerst iets heeft geleerd over paddestoelen en schimmels, paardenstaarten en varens, veld- en weidebloemen, over slootbaarsjes en salamanders, over giftige planten en bessen, over spinnen en hommels. Ook wist hij telkens onze weetgierigheid te prikkelen door bij elke interessante plant, boom of struik een verhaaltje of legende te vertellen.
Enkele van die verhaaltjes heb ik zelfs later kunnen terugvinden in het « Compendium van Rituele Planten in Europa » (Marcel De Cleene en Marie-Claire Lejeune Uitgeverij Mens en Cultuur -1999-).
Waar den Grijzen zijn kennis vandaan haalde weet ik niet; ik vermoed dat sommige artikeltjes getekend Karel De Wolf(1) uit het tijdschrift Biekorf (2) hem hierbij geholpen hebben. Hij was in alle geval een verwoed lezer van dit tijdschrift. Het is ook goed mogelijk dat hij rechtstreekse contacten had met Paul Vande Vyvere (1897-1973), een zeer bekend apotheker-botanicus in het Brugse en een gewaardeerd lid van de Belgische Pharmacopee Commissie. Apotheker Vande Vyvere had een officina in de Hoogstraat in Brugge en genoot wegens zijn grote botanische kennis grote vermaardheid zelfs op internationaal vlak. Van hem komt immers de uitspraak: Door de jeugd in staat te stellen dergelijke ongerepte terreinen te bezoeken en er de vredige schoonheid van te genieten, prikkelen wij de belangstelling voor alles wat met de natuur verband houdt en leggen wij de nodige kiemen voor de vorming van nieuwe wetenschappers .
Wat er ook van zij, door toedoen van deze minzame Broeder heb ik voor het eerst enige planten (veelal bestempeld als onkruid) leren herkennen en een naam weten te geven: het herderstasje, het kleine en grote hoefblad, de krul- , speer- en akkerdistel, de grote en smalle weegbree, de brandnetel en de witte dovenetel, de paardenbloem, het madeliefje, de klaproos en de korenbloem, de stinkende gouwe, het boerenwormkruid . Bomen en struiken werden niet vergeten en zo leerden wij iets over de vlierboom, de hazelaar en de notelaar, de beuk en de eik , de iep en de es, de (witte) paardenkastanje en de tamme kastanje, waarvan de vruchten van de eerste niet van de tweede wél kunnen gegeten worden. Broeder Carissimus waarschuwde ons ook uitdrukkelijk voor giftige planten zoals vingerhoedkruid, monnikskap.
Tuinbloemen zoals dahlias, geraniums, rozen en klassieke kamerplanten zoals vetplanten en cactussen succulenten (4) - (kwamen wij op onze botanische excursies niet tegen en werden uiteraard ook niet besproken.
Mijn eerste tuinbloemen en kamerplanten heb ik maar leren kennen bij mijn speelkameraad Eddy Paret, want hij had het geluk te wonen in een semi-cottage met een veranda en een bloementuin van ongeveer 100 m². Op de vensterbank van de veranda stonden enkele egelcactussen (Echinocereus-soorten), een paar sanseverias en - als ik me niet vergis - ook een reeks crassulas, die donderplantjes genoemd werden. De tuin-zelf was afgezoomd met stinkerdjes (Tagetes) waarvan wij zo maar de bloemen plukten, om ze wat beter te kunnen bekijken en te onderzoeken.
Die zogezegde bloemen waren in feite bloemhoofdjes. Stinkerdjes behoren immers tot de zeer uitgebreide familie der Composieten (4) en die hebben een erg ingewikkelde bloeiwijze (bloemhoofdjes). Maar daar gaf ik mij nog geen rekenschap van. Deze wetenschap deed ik maar eerst op bij professor Verplancke (een examenvraag!) maar dit is voor blog III.
Buiten deze wereld vol wondere dingen waar er voor bengels nog heel wat te ontdekken viel, bestond er echter ook nog een andere onvermoede microscopische wereld, die minstens even interessant was. Het was door het zien van een film in de Gilde ik geloof in 1948- dat ik voor het eerst met bestaan van deze microscopische wereld geconfronteerd werd. De titel van de film ben ik helaas vergeten, maar ik herinner mij nog zeer goed een bepaalde scène. De hoofdacteur had zich een microscoop (6) aangeschaft en begon deze uit te testen terwijl hij aan tafel brood met kaas at. Dat bracht hem op het idee om ook eens een klein stukje kaas onder de microscoop te bekijken. Wat hij had gezien moest wel erg schokkend geweest zijn, want op slag liet hij brood en kaas links liggen. Wat hij met zijn microscoop precies had waargenomen heeft mij jaren lang geïntrigeerd.
Een microscoop stond van dan af op mijn verlanglijstje, maar deze jeugddroom heeft zich maar eerst op veel latere leeftijd gerealiseerd. Microscopie en vooral fluorescentiemicroscopie heeft overigens in mijn loopbaan een belangrijke rol gespeeld.
Vanaf het zesde en zevende studiejaar (Meester Albert Depoortere en Meester Berghmans Sint Lodewijkscollege) was er voor het eerst het vak « Natuurkennis ». En daar leerden wij iets over de zoogdieren (kat (6) , hond (7) , vleermuis (8) ), de vogels (zwaluw (9) , uil (10) , specht (11) ) en de amfibieën (kikkers, padden (12) ), waarbij de nadruk werd gelegd op de nuttige functie van deze dieren.
Over de voortplantingswijze van de eerste groep dieren werd met geen woord gerept; daarentegen werd wel enigszins ingegaan op deze van de laatste groep en werd er bvb gesproken over kikkervisjes. Het onderwerp voortplanting bij zoogdieren was immers in die jaren van overgebleven Victoriaanse preutsheid taboe. Maar bengels van het platteland wisten zeer goed hoe de vork aan de steel zat.
Het interessante van deze lessen was wel dat de Meester een einde maakte aan bepaalde fabeltjes en korte metten maakte met toen alom verspreid bijgeloof betreffende deze dieren. Zo waren de groene kikkers uit onze beken en grachten helemaal niet giftig, veroorzaakten die lelijke padden helemaal geen wratten en waren nachtdieren als de uil en de vleermuis helemaal niet des duivels (zie voetnotas: (6) tot (12)).
Over exotische dieren, leeuwen en tijgers, olifanten en giraffen, nijlpaarden en krokodillen, kamelen en struisvogels werd helemaal niets verteld. Voornoemde dieren behoorden immers niet tot ons eigen leefmilieu en dus werden ze niet in het leerplan opgenomen. Nochtans waren het juist deze dieren, die de schoolbengel het meest interesseerden, want ze deden denken aan verre, exotische landen en gevaarlijke avonturen. In onze verbeelding waren leeuwen zeer machtig, tijgers uiterst bloeddorstig, krokodillen erg verraderlijk, olifanten ongelooflijk sterk Wij vroegen ons dan ook af, of bvb een leeuw het zou moeten afleggen tegen een beer, of een leeuw sterker was dan een tijger enz. enz. Onze fantasie werd geprikkeld door de schitterende chromos en prentjes, die toen o.a. door Liebig (13) en Artis (14) uitgegeven werden. Ook vele chocoladefabrikanten zoals Victoria (15) en Martougin (16) lieten zich op dat vlak niet onbetuigd en wij vonden ook dergelijke prentjes in sommige chocoladerepen.
Natuurlijk volgde de totale ontnuchtering toen wij ook de dieren in werkelijkheid zagen. Zo herinner ik mij een zwarte beer gezien te hebben bij een schoolreis in 1948 naar het Melipark in Adinkerke. Het arme beest was opgesloten in een enge kooi, waar het amper enkele passen kon zetten, wat het dan ook voortdurend deed. Het beeld van deze voortdurende heen en weer bewegende beer is mij jaren bijgebleven en zo ben ik geleidelijk tot het besef gekomen, dat dieren niet thuis horen in een kooi en op zijn minst toch een illusie van vrijheid moeten hebben.
Toen ik in 1951 bij een andere schoolreis de Antwerpse Zoo (17) mocht bezoeken en hier eveneens in een kooi opgesloten dieren, waaronder enkele primaten, mocht bewonderen was voor mij de kous af. Niet alleen merkte ik aan hun blik, dat ze niet erg opgetogen (eufemisme) waren over hun situatie, maar ook was iets ondefinieerbaar iets triestigs in die ogen. Vele jaren later, ben ik tot besef gekomen dat ook dieren hun gevoelens hebben en bvb verdriet kunnen hebben. En dat in tegenstelling met de gangbare mening van toen .
(3) Succulenten zijn die planten die op de een of andere wijze het vermogen hebben om water (vocht) in speciale weefsels op te slaan. Stamsucculenten doen dat in een verdikte stengel of stam ( de meeste cactussen en Euphorbia's), bladsucculenten doen dat in verdikte bladeren (Crasulla, Echeveria, Agave) en wortelsucculenten doen dat uiteraard in hun ondergrondse delen (Pterocactus tuberosus). Alle cactussen vormen de cactusfamilie (Cactaceae). De niet cactussen noemen we meestal vetplanten, hoewel we eigenlijk sapplanten zouden moeten zeggen, deze komen in diverse families voor zoals de middagbloemfamilie, de dikbladfamilie (Crasullaceae), de zijdeplantfamilie en de wolfsmelkfamilie (Euphorbiaceae).
§ 7.1 Jongens en Wetenschap volgens Speybroek en Fillet
(Hoofdstuk 7 "Over Jongens en Wetenschap")
§ 7.1 Jongens en Wetenschap volgens Speybroek en Fillet
Als men aan de man op straat -een paar jaren terug- de vraag had gesteld : Kent u -Jongens en Wetenschap- ? dan was er erg veel kans geweest dat hij zou geantwoord hebben : Is dat niet een radioprogramma van Radio 1 ?.
"Jongens en Wetenschap was inderdaad, enkele jaren geleden, de naam van een erg populair educatief radioprogramma dat gepresenteerd werd door Sven Speybroek en Koen Fillet. Deze stuurden dagelijks een praktische vraag de ether in over het hoe en waarom van de dingen en de luisteraars hadden de mogelijkheid hierover te discuteren. In het eerste seizoen kwamen er vragen als : wat was er eerst, de kilo, de meter of de liter? waarom vallen in de herfst de bladeren van de bomen? Waarom is ijs glad? word je van vis eten slim?.. aan de orde.Personen die een meer dan verdienstelijke bijdrage leveren aan deze dagelijkse zoektocht werden bij wijze van eerbetoon opgenomen in de Koninklijke Academie voor Jongens & Wetenschap Of hoe je het publiek moet lijmen, nietwaar !!
In 2004 werd een einde gemaakt aan het programma en in De Standaard van 26-06-2004, die de loftrompet over dit radioprogramma uitstak, kon men o.m. lezen :
Floris Wuyts is professor in de medische fysica. Dit programma heeft er mee voor gezorgd dat wetenschappen weer sexy zijn. Het heeft hetzelfde effect gehad als Star trek,'' vindt hij. ,,Jongens en wetenschap heeft aan imagebuilding gedaan: wij zijn niet allemaal verstrooide professoren à la Gobelijn
Zijn vrouw, Sonja Buyle, vult aan : ,,Ze zijn er in geslaagd het traject dat wetenschap volgt in een populair concept te gieten. Het is een proces van verifiëren, experimenteren, corrigeren en op het einde van het traject gebruiken ze wetenschappelijk onderlegde bronnen.''
De universiteit van Antwerpen is het helemaal eens met die redenering. Ze schenkt Jongens en wetenschap dan ook de tweejaarlijkse Prijs voor de Popularisering van de Wetenschap .
Nochtans waren Sven en Koen in een interview in het Nieuwsblad van 19-06-2004 zeer expliciet :
Koen : ..Wetenschappelijke instituten die de wetenschap willen populariseren, hebben ons wel eens om advies gevraagd. Maar helaas, wij weten niet hoe je dat moet aanpakken omdat wij radiomakers zijn. En meestal zijn die mensen gechoqueerd door dat antwoord. Wij zijn radiomakers die enkel de nieuwsgierigheid van de luisteraars wilden prikkelen. Het is een hardnekkig misverstand dat Jongens en wetenschap ontstaan is om de wetenschap te populariseren
Sven : ..We worden ook wel eens gevraagd om een saaie academische openingszitting op te vrolijken. En dan luidt het antwoord steevast nee. Blijkbaar worden wij alleen gevraagd om de onnozelaar uit te hangen
Hetzelfde Nieuwsblad (28-06-2004) had trouwens iets tegen de titel van het programma en stelde dat Jongens en Wetenschap op een mythe berust :
.. Het idee dat jongens op school eerder op wetenschappelijke vakken gericht zijn en meisjes op taalvakken is een mythe
En zeggen dat het radioprogramma reeds in 2001 de prijs van SKEPP (een twijfelachtige referentie ) de zogenaamde Zesde Vijs gekregen, prijs, die als volgt verantwoord werd :
..Dit jaar gaat de trofee 2001 naar het populaire Radio 1-programma Jongens en wetenschap. Onze appreciatie gaat vooral naar de luchtige en humoristische toon waarmee ze door ,,live empirisch onderzoek'' het wetenschappelijk denken en de wetenschappelijke methodes voor iedereen duidelijk maken.
Alle luisteraars mogen mee doen, vergissingen en compleet waanzinnige theorieën krijgen ook een kans, Het wordt duidelijk dat zich vergissen niet erg is, dat vergissen en van mening veranderen deel uitmaken van het zoeken naar het beste antwoord, en dat men daarbij nog veel lol kan hebben aan die zoektocht Science is Fun. Echte wetenschap kan ongelooflijk plezierig zijn, en dat hebben zij duidelijk gemaakt.
Het is een programma dat op een eenvoudige en amusante manier toont hoe men zin van onzin kan onderscheiden en verdient dan ook terecht een Zesde Vijs. Die gaat naar het voltallige team van Sven Speybrouck en Koen Fillet
Voor Speybroek en Fillet was dit uiteraard het uitgelezen moment om bij Globe (2002) een eerste boek eveneens getiteld Jongens en Wetenschap , te laten drukken en op de markt te brengen. Het boek was een verzameling van allerhande weetjes en antwoorden op knagende vragen die de revue passeerden bij de uitzendingen van het eerste seizoen. Het boek bevatte verder ook enkele originele fragmenten uit de legendarische 'Jongens en Wetenschap'-boeken, waarover ik het verder zal hebben.
Men moet het ijzer smeden als het heet is, en -jawel hoor-, in november van hetzelfde jaar verscheen van dezelfde auteurs een tweede ruim vierhonderd pagina's tellende Jongens & Wetenschap 2..
De Volkskrant (06-12-2003 bijgewerkt op 21-01-2009) schreef nog in een artikel getiteld Hoe Vlaamse wetenschapsjongens de universiteiten redden hierover :
Toen deze zomer bleek dat het aantal inschrijvingen voor exacte studies op Vlaamse universiteiten fors was gestegen, meende een hoogleraar wel een verklaring te weten. Er zou sprake zijn van het Jongens & Wetenschap- effect .
En verder :
Van het eerste Jongens & Wetenschapboek zijn inmiddels negentigduizend exemplaren verkocht, in november verscheen het ruim vierhonderd pagina's tellende Jongens & Wetenschap 2. 'Volgens onze uitgever brengt een vervolg op een succesvolle verfilming of een tweede deel van een populair boek tweederde op van het oorspronkelijke deel', weet Fillet. Dat zijn nog altijd zestigduizend exemplaren
En nog wat verder :
Jongens & Wetenschap was in de jaren vijftig en zestig ook al de naam van een reeks jaarboeken.
'Die legendarische boeken zijn van vóór onze tijd', zegt Koen Fillet, 'maar je hoort vaders en ooms in Vlaanderen er nog altijd over.'
In de pockets van Fillet en Speybrouck staan mooie fragmenten uit die oude jaarboeken. Het is ze van harte gegund dat zij zelf over vijftig jaar weer in herinnering worden gebracht door een derde generatie Jongens & Wetenschap.
Blijkbaar beschouwt de steller van het artikel (Bart Dirks) de 2 boeken van Speybroek en Fillet als een soort tweede generatie van een eerste reeks jeugdboeken. In een volgende aflevering zal men kunnen oordelen wat er van aan is ..
Ik geloof echter niet dat jongens veel belangstelling voor de boeken van Speybroek en Fillet zullen opbrengen. Jongens worden aangetrokken door het mysterieuse (paddestoelen bvb), het gevaarlijke (explosieven en giftstoffen bvb), het pragmatische (knutselen bvb) en dat vindt men niet in deze boeken.
Onderaan dit cursiefje heb ik enkele foto's van paddestoelen aangebracht (zie bijlagen). Als bengel was ik sterk aangetrokken door het geheimzinnige dat van deze organismen, die "des duivels" waren, want gebruikt door toverkollen.
De legendarische reeks Jongens en Wetenschappen waar Koen Fillet naar verwees is een collectie die uit 10 boeken bestaat. Elk boek is zoals gepreciseerd door de ondertitel van elk boek- een bonte mengeling van spel en sport, uitvindingen en ontdekkingen, knutselwerk en avontuur, dus een mengelmoes van dingen die de jeugd van toen erg interesseerde. Het eerste deel van de reeks verscheen in 1946 het laatste in 1957 en elk deel besloeg een 200- tal bladzijden. De reeks is in werkelijkheid een Nederlandse bewerking van de Zwitserse jeugdboekenserie Helveticus, serie die werd samengesteld door een zekere P. van Denenberg. De Nederlandse uitgave werd verzorgd door de uitgeverij Daphne (Gent), die er wellicht een serieuze stuiver aan verdiend zal hebben, want deze boeken waren echt niet goedkoop. Op mijn zolder liggen er twee boeken van deze legendarische reeks. Om precies te zijn, het betreft de boeken nummer 5 en 7 en de uitgaven dateren van respectievelijk 1950 en 1953. Achteraan mijn boek 7, staat nog een prijs vermeld : 125 FB. Een pakje sigaretten kostte in die tijd ongeveer 10 FB, een brood 6 FB.. Deze boeken waren een geschenk geweest van Sinterklaas want de goede Sint dacht natuurlijk nog aan de brave kinderen die door de oorlog zoveel hadden moeten missen..
De onroerende aanhef van boek 5 wil ik u niet onthouden en klonk als volgt :
Lieve jonge Vriend,
Eindelijk ben je de gelukkige bezitter van het vijfde deel van Jongens en Wetenschap. Dagen aan één stuk liep je na school naar de boekhandel en terwijl je op weg waart, hamerde het je telkens in de geest : Zal t er zijn vandaag ? Hoe vervelend dat wachten !!
Ook toen het boek ten slotte in de uitstalling pronkte, was t je niet meer mogelijk je benen langer te bedwingen, die terstond de zaak met jou binnenholden.
Nauwelijks had je hand het boek omklemd, of daar waren ook reeds je vingers, die bladerden en weer bladerden, om al het moois onder je ogen te laten voorbijglijden, die verrukt toekeken.
Aanstonds heb je gedacht : Geen wonder dat dit werk in ons land onder de tien meest gelezen boeken telt !... En dit deel !... Oh !.. Om van te watertanden !...
Je bent nu thuis, ook rustiger geworden. Lees thans en geniet ten volle van alles wat je hier geboden wordt. Op je lange reis vergezellen je de wensen van de redacteur, de schrijvers, de Nederlandse bewerker en de uitgevers.
(getekend) Dr R. B. J. Hyckx vertaler-
Met een dergelijke aanhef kon het haast niet anders : de boeken vlogen de boekwinkels uit .. De gekozen formule sloeg inderdaad aan.. en het werd een kassucces.
Deze boeken hebben niet veel met de boeken van Speybroek en Fillet te maken. Het concept ligt immers helemaal anders.. Elk boek begint met een spannend verhaal : in nummer 5 is dat bvb. De dodende straal (30 bladzijden); in nummer 7 Drie planeten, drie werelden (25 bladzijden). Soms zijn er meerder verhalen in een boek bvb in n° 5 heeft men nog Hoe Pieter Zomers zweefvlieger werd en Het Spookkasteel De titels zijn veelzeggend genoeg nietwaar ?? In elk verhaal spelen natuurlijk alleen jongens (van meisjes is helemaal geen sprake) de hoofdrol. Is er hier geen sprake van discriminatie ???
Verder zijn er rubrieken over sport bvb Over het bouwen van een keuken als je op excursie bent (n° 5) ; over zwemmen, schermen, padvinders.. (n° 7). Historische verhalen bvb over Robinson Crusoë, de gebroeders Montgolfier (n° 5) , over kwakzalvers en grote dokters uit vroegere tijden, over wolkenkrabbers in de Oudheid (de Egyptische piramides) (n°7),.. mogen natuurlijk niet ontbreken. Die grote dokters uit vroegere tijden maakten veel gebruik van toxische planten, zoals bvb de plant in het ikoon van dit cursiefje aangegeven.
Oefening : Herkent u deze toxische plant ???? en deze onderaan dit cursiefje ???
Knutselen en spelletjes staan ook op de dagorde en zijn veelal meer wetenschappelijk georiënteerd : hoe maak ik een astronomische verrekijker ?, telegraferen met behulp van dezon, .. (n°5) ; hoe maken wij een vuurtent ? goochelkunstjes ..(n° 7). In sommige boeken worden ook enige uitleg gegeven over technische onderwerpen. Zo heeft boek n° 7 het over radar, reuzenvliegtuigen, veiligheid op het spoor, filmgeluid, hoe een krant ontstaat, over uitvindingen die het niet waren, Röntgen s wonderbare ontdekking, boringen in Moeder Aarde.. Allemaal interessante "wetenswaardigheden"..
Slechts een klein deel van elk boek heeft echt betrekking met wetenschap. Veelal gaat het dan om natuurwetenschappelijke onderwerpen : Is het heelal begrensd ? Paddestoelen (n°5), kan de wereld vergaan ? hoe lang blijft het licht van de sterren onderweg ? ontdekkingen in grotten (n° 7)... Met Wetenschappelijk waarnemen en experimenten gaat het echt de wetenschappelijke toer op. Onderwerpen zijn bvb : wonderen onder de loep , het terrarium, hoe met behulp van de schaduw de hoogte van een boom berekenen, de dans der elektronen (n° 5) ; hoe ontcijfert men een geheimschrift ? waarom ziet men een hol in zijn hand ? hoe kan men in de natuur een rechte hoek afbakenen ? (n° 7)
Zo herinner ik mij sterk onder de indruk te zijn geweest van Hoe ontcijfert men een geheimschrift ?. Geheimschrift .. iedere schooljongen wordt er door aangetrokken nietwaar. Toen ik ongeveer een halve eeuw later L Histoire des Codes secrets de l Egypte des Pharaons à l ordinateur quantique- van Simon Singh (Livre de Poche -1999-) las bevond ik mij niet op totaal maagdelijk terrein !!
Bijzonder interessant lijken mij de denkpuzzels in boek n° 5, waarvan de oplossing verder in het boek gegeven wordt. Sommige (De verdeling van kastanjes, welk getal heb ik weggelaten ?) zijn kleine wiskundige vraagstukken, die met wat elementaire rekenkunde of algebra zijn op te lossen. Andere denkpuzzels (Een reusachtig -verticaal opgesteld- kanon wordt bediend en schiet en De vernielde brug) zijn heel wat moeilijker en vergen vooral voor het eerste vraagstuk- een diep inzicht in mechanica en gravitatie.. Op het kanonprobleem, dat mij nog gedurende jaren heeft bezig gehouden, kom ik nog wel uitvoerig terug..
Het aantrekkelijke in deze legendarische serie is nu dat men een klein beetje van alles proeft, juist genoeg om er smaak in te krijgen. Maar om nu echt met wetenschap om te gaan en werkelijk te experimenteren, nee daar leek mij deze legendarische reeks niet voor geschikt.. En nochtans, zoals in reeds eerder schreef : wij steunden onze experimenten op een boek Jongens en.. en ik herinnerde mij zelfs vaag de naam van de auteur van het boek Alder of Adler ??
Dan maar een mailtje naar Marcel en ja hoor : hij wist het nog en kon mij onmiddellijk de juiste referentie opgeven :
Het was : Jongens en Scheikunde van J.C. Alders uitgever Zutphen Thieme 5de editie -1950-.. maar dit boek had niets met de boekenreeks "Jongens en Wetenschap" te maken!
§ 7.3 Jongens en Scheikunde van een zekere Alders
(Hoofdstuk 7 "Over Jongens en Wetenschap")
§ 7.3 Jongens en Scheikunde van een zekere Alders ALDERS .. ja, dat was het fameuze boek, dat wij voor onze experimenten gebruikten en blijkbaar had Marcel het nog steeds in zijn bibliotheek staan.. !!! Die fameuze J.C. Alders, uit Lochem (Nederland), moet wel een klepper geweest te zijn. Een zoekoperatie op Internet leerde dat er meerdere boeken op zijn naam staan, maar over de man zelf ik vermoed dat hij farmacie gestudeerd had- heb ik tot nu toe niets gevonden.
Ziehier nu de volledige collectie Jongens en Wetenschap van .. Alders , die door Thieme (Zutphen) werden uitgegeven en waarvan diverse herdrukken bestaan : (1) Jongens en Natuurkunde (eerste editie in 1935) (2) Jongens en Scheikunde (eerste editie in 1936) (3) Jongens in de Vrije Natuur (eerste editie in 1937) (4) Jongens en Techniek (eerste editie in 1938) Verder was er bij dezelfde uitgever nog Jongens en Elektriciteit maar dit belangrijk boek is niet van Alders.. Op dit laatste werk kom ik nog uitvoerig terug. Uit pure balorigheid en frustratie heb ik mij heden voor een prikje -de verzendingsonkosten lagen hoger dan de prijs van de boeken- de ganse collectie aangeschaft. Wat het boek over Scheikunde betreft ben ik dus nu eindelijk na meer dan vijftig jaar de gelukkige bezitter van de vierde editie van 1943.
Al deze boeken, die dateren van vóór WO II, waren in feite bestemd voor leerlingen, die het M. U. L. O. (Meer Uitgebreid Lager Onderwijs) doorlopen hadden. Dit type onderwijs bestond reeds in het begin van de 19de eeuw o. m. in België, Nederland en Frankrijk (het zogenaamde Enseignement Primaire Supérieur).
In Frankrijk werd het E. P. S. afgeschaft in 1941. In Nederland gebeurde dit in 1968, waar het vervangen werd door MAVO (Middelbaar Algemeen Voortgezet Onderwijs) enigszins te vergelijken met de lagere cyclus van de humaniora.
Bezat mijn kameraad de Scheikunde van Alders dan had ik toen een Frans studieboek « Cours de Chimie -E.P.S.- » van P. Métral (Masson). Maar omdat ik op dat ogenblik nog niet voldoende Frans kende, had ik er toen niet veel aan. Ook nog even aanstippen dat in mijn kleine bibliotheek toen ook nog de « Cours de Physique E.P.S.- » van dezelfde auteur prijkte. Maar om dezelfde reden Frans kon ik er toen niets mee doen..
Ja talenkennis is echt belangrijk voor personen die wetenschap willen beoefenen
Maar terug naar de Scheikunde.. en de Heer Alders, die in de Voorrede van Jongens en Scheikunde schreefik citeer- :
Dit boek is bedoeld als vervolg op Jongens en Natuurkunde en is in de eerste plaats bestemd voor jongens voor wie de M. U. L.O. of H. B. S. 3j. eindonderwijs is geweest. Ook hoofdaktekandidaten, die het boek doorgewerkt hebben, zullen wat praktische kennis aangaat, ver uitsteken boven degenen, die scheikunde alleen uit een boek beoefend hebben.
Immers scheikunde kan men niet, evenmin als microscopie, sterrenkunde, biologie, geologie, natuurkunde e.d. wetenschappen alleen uit een boek leren
En of de man gelijk had..
Jongens en Scheikunde is zeer pragmatisch opgesteld (1) . Het boek begint met de lijsten van de benodigde chemicaliën en van het benodigd glaswerk. Dan worden enkele aanwijzingen verstrekt voor het plooien van glaswerk. Volgen dan 90 experimenten in betrekking tot de anorganische en 110 experimenten betreffende organische scheikunde.
Deze experimenten worden steeds in een globale context of in een specifiek kader geplaatst, waardoor men ontzettend veel bijleert. Neem nu eens bvb een alledaags product als keukenzout. Alders beschrijft eerst een tweetal experimenten en geeft vervolgens informatie over de Nederlandse Zoutindustrie, legt verder uit hoe uit keukenzout soda gemaakt wordt ( procédé Leblanc, procédé Solvay) en vertelt tenslotte iets over de geschiedenis van het keukenzout.. Het bundelen van of koppelen aan het experiment van wetenswaardigheden maakt het geheel bijzonder interessant.
Wie scheikunde op een dergelijke manier gestudeerd heeft, mag de vinger opsteken !! Eén die althans zijn vinger mag opsteken is de Utrechtse emeritus - hoogleraar in de fysiologische chemie, Hendrik Simon Jansz (1927-2003). Jongens en Scheikunde (een verjaardagsgeschenk van zijn vader) boeide hem dermate dat zoals hijzelf aangeeft- hij later chemie ging studeren aan de Vrije Universiteit Amsterdam en er in 1953 afstudeerde
Natuurlijk volgden wij de door Alders opgegeven lijsten van chemicaliën niet slaafs. Ook vormden sommige productbenamingen een probleem .. Vraag nu eens aan een gewone sterveling wat geelbloedloogzout is, of helse steen of bruinsteen..
Zeer interessante producten als bvb sterke geconcentreerde zuren (zwavel- salpeter- en chloorwaterstofzuur), kaliumchloraat, arseniek en dito kwamen niet in de lijst voor..
Een Alders wist natuurlijk wel waarom, wij ook..
Een laboratorium Scheikunde opstarten is geen kleinigheid. Vooreerst is er de kwestie van de gebouwen. Toen ik begin 1949 mijn labo startte werd mij een plaats in het kolenkot toegewezen. In oktober van hetzelfde jaar verhuisden wij naar een nieuw huis en installeerde ik mijn labo noodgedwongen in de slaapkamer, die ik met mijn oudste broer deelde. Dit was echter niet naar de zin van mijn broer. Toen ik daarenboven nog een paar druppels zwavelzuur morste op een bedsprei (een klein ongelukje) kreeg ik ook last met mijn moeder.
Tot bevrediging van alle partijen werd een oplossing gevonden. Achteraan de tuin was er een soort prieeltje, die wij het blauw kotje noemden. De blauw geverfde muren van ditkotje bestonden uit betonnen platen, waarin kleine vensters waren aangebracht. Het geheel was met een mooi puntdakje met echte dakpannen voorzien. En dit magnifieke gebouw met een nuttige oppervlakte van ongeveer 6,25 m2 werd mij zomaar toegewezen.. Ik was de koning te rijk.. Maar er waren ook nadelen : er was geen elektriciteit noch verwarming en in die jaren kon het nog echt winteren.
Het elektriciteitsprobleem werd snel opgelost : samen met kameraad Marcel trok ik een buitenkabel van ongeveer 40 m lengte : zo hadden wij licht en een aansluiting voor elektrische apparaten zoals bvb een oude radio.. Voor de verwarming beschikten wij over een gedeclasseerde buiskachel. Voor de schouwaansluiting moest echter beroep gedaan worden op een vakman, wat mijn ouders eerst maar na enig aandringen toestonden. Zij waren het immers die voor de kosten opdraaiden..
Aan mijn laboratorium heb ik zeer mooie herinneringen. Het was in volle bedrijvigheid toen ik op het klein college was.. Het was ook in die jaren, dat wij (Marcel en ik) een poppenkast ineengeflanst hadden en dit lokaal gebruikten om voorstellingen te geven voor de kinderen uit de gebuurte. O tempora, o mores..
Nadien daalden de activiteiten aanzienlijk wegens het uurrooster in het groot college . om zich tenslotte te herleiden tot practisch zero wanneer ik op de cadettenschool verbleef
Hier ook wil ik mijn cursiefje beëindigen met een klein probleempje. Iedereen weet dat de scheikunde ontstaan is uit het analyseren van mineralen, waarbij men dan deze onderwierp aan allerlei drastische bewerkingen (oplossen, smelten, neerslaan, uitlogen, distilleren en dito).
Oefening : Herkent u de mineralen, die als als ikoon van en onderaan dit cursiefje werden toegevoegd ???
---------------------------------
(1) inhoudsopgave van « Jongens en Scheikunde » :
- Deel I Anorganische Scheikunde (proef 1 tot 90)
Hoofdstuk 1 De verbranding (proef 1 tot 4) - De Zuurstof (proef 5 tot 10) Hoofdstuk 2 Ontledingen (proef 11 tot 14) Waterstof en ontbinding van water (proef 14) De Bijzondere Eigenschappen van water Hoofdstuk 3 Diffusie (proef 15 tot 20) Hoofdstuk 4 Osmose (proef 21 tot 25) De chemische tuin (proef 26 tot 27) Colloïden Metaalbomen (proef 28) De chemische vulkaan (proef 29) Hoofdstuk 5 Koolzuur (proef 30 tot 35) Hoofdstuk 6 Zoutzuur (proef 36 tot 37) Chloor (proef 38 tot 42) Keukenzout (proef 43 tot 44) De Nederlandse Zoutindustrie - Keukenzout als grondstof voor de Sodafabricage - Electrolyse Iets uit de geschiedenis van het keukenzout De organismen van het keukenzout Inmaken in keukenzout De reactiesnelheid Hoofdstuk 7 Zwavelzuur (proef 46 tot 50) Sulfaten (proef 51 tot 59) Dubbelzouten en Complexe zouten Enige Scheikundige Wetten Het oplossen van chemische vraagstukken Op te lossen Vraagstukken Hoofdstuk 8 Salpeterzuur (proef 60 tot 64) Nitraten (proef 65 tot 66) Hoofdstuk 9 Carbonaten proef 67 tot 68) De Kalkoven Acetaten (proef 69 tot 71) Een- en meerbasische zuren - Overzicht der zouten Hoofdstuk 10 Basen (proef 72) Ammoniak (proef 73 tot 75) Basische Oxyden Neutralisatie (proef 76) Calciumcarbonaat (proef 77 tot 79) Waterstofion-exponent of pH Zwavelwaterstof (proef 80 tot 82) Zure en basische zouten De zouten van zeewater - Katalysatoren Hoofdstuk 11 Onderzoek van onbekende anorganische stoffen: Organoleptisch onderzoek en algemene reagentia Onderzoek van onbekende zouten en elementen Reacties en Bevestigingen Reacties en Bevestiging op enkele zouten en zuren Oplosbaarheid van zouten Overzicht der zoutvorming Overzicht der zuurstofverbindingen Hoofdstuk 12 Enkele Metalen Metalen en Metalloïden - IJzer (proef 83 tot 85) Het Hoogovenbedrijf Corrosie - Koper Goud Zilver Katadynzilver Aluminium Vermoeidheidverschijnselen bij metalen Metalen als gasbinders Hoofdstuk 13 Koolstof De lichtgasfabricage (proef 86 tot 89) - De Vlam (proef 90 tot 91) De kringloop van koolstof Het ontstaan van de grotten van Han Brandstoffen - Diamant Hoofdstuk 14 Fotografie
- Deel II Organische Scheikunde (proeven 91 tot 200)
Hoofdstuk 15 Verzadigde Koolwaterstoffen De Halogeenkoolwaterstoffen Alcoholen (proef 93) Ethers - De Bierbrouwerij Andere alcoholica Aldehydes en Ketonen Hoofdstuk 16 Onverzadigde Verbindingen Aethyleen en acetyleen (proef 94) De Aromaten (proef 95) De Verbranding der koolwaterstoffen - De Aardoliegewinning Het zien van reukstoffen - Fabricage van synthetische Reukstoffen Terpenen en kamfers Hoofdstuk 17 Organische zuren (proef 96 tot 107) De Fabricage van Azijn De Fabricage van inkten Onzichtbare Inkten (proef 108 tot 110) Verfstoffen (proef 111 tot 116) Het herkennen van vezelstoffen Hoofdstuk 18 Vetten ( proef 117 tot 120) Zeep (proef 121 tot 122) Het Onderzoek van Hard Water (proef 123 tot 126) Het Onderzoek van zeeppoeder (proef127) Margarine (proef 128 tot 129) Esters - De Fabricage van Zeep De Scheerzeep De Kaarsenfabricage Wassen en Wasproducten: carnaubawas, bijenwas, montaanwas, synthetische wassen, terpentijn Harsen Fabricage van Kunsthars Kunstrubber Hoofdstuk 19 Zetmeel (proef 130 tot 134) De Aardappelmeelfabriek Fabricage van dextrine, kleefstoffen en stroop Hoofdstuk 20 Suiker (proef 134 tot 138) De Suikerindustrie Polarisatie Enzymes en fermenten (proef 139) Hoofdstuk 21 Melk (proef 140 tot 145) Eieren (proef 146 tot 154) Vlees (proef 155 tot 157) Voedingsmiddelen Verbrandingswaarde van 1 gram De spijsvertering Hoofdstuk 22 Hout ( proef 158 tot 159) Cellulose of houtsuiker (proef 160 tot 162) Cellophaan - Kunstzijde Celvezel Melkwol - Celwol Hoofdstuk 23- Beenderen (proef 163 tot 165) Lijm (proef 166 tot 168) Gelatine Urineonderzoek (proef 169 tot 176) Het bepalen van het suikergehalte in urine Organische Stikstofverbindingen - Schoonheidsmiddelen (proef 177) Cosmetische comedie Analyse van tandpasta (proef 178) Het aantonen van organische stoffen De Fabricage van Lijm Fabricage van Beitsmiddelen Fabricage van Soldeermiddelen - Dipoolmoleculen Hoofdstuk 24 Enkele Proeven met planten (proef 179 tot 189) Plantenkleurstoffen (proef 190 tot 192) Vitamines (proef 193) Hoofdstuk 25 Microchemie (proef 194 tot 199) Ringen van Liesegang (proef 200) Iets uit de Historie der chemie het reinigen van glaswerk - het verwijderen van vlekken enkele oplosbaarheidgegevens
0
1
2
3
4
5
- Gemiddelde waardering: 5/5 - (1 Stemmen) Tags:Jongens en Scheikunde , J. C. Alders , mineralen
31-03-2010
§ 8.1 Over oude wiskundeschoolboeken ...
(Hoofdstuk 8 "Arithmetiek en Algebra in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 8.1 Over oude wiskundeschoolboeken...
Op mijn zolder ligt (of liever lag) een stapeltje oude wiskundeschoolboeken. Nu liggen ze op mijn bureau. Meer nog, ze hebben gezelschap gekregen van andere exemplaren, die ik mij via Internet heb kunnen aanschaffen in gespecialiseerde boekhandels. Want ze zijn, zoals een dichter het zou uitdrukken, de stille getuigen van een groots verleden (1) ..
Alles begon met een Journée à l Ecole des Cadets de Namur in juni 2007. Deze dag, een prachtig initiatief van TPCI (2) stelde mij in de gelegenheid kennis te maken met enkele oud-cadetten van vóór WOII. Bij een gezellig etentje in de oude school werden er natuurlijk herinneringen en anekdoten opgehaald. En zo vielen de namen van Herbiet en Horwart, die beiden blijkbaar leraar aan de Cadettenschool van Namen waren geweest tot 10 Mei 1940. Onze anciens hadden na al die jaren nog altijd diep ontzag (of was het schrik ?) voor hun oud-leraars. Nu was de naam Herbiet mij niet onbekend want vermeld als een der auteurs van het rekenkunde- respectievelijk algebraboek die wij in de Cadettenschool van Laken gebruikt hadden. Bij een tweede bezoek aan de school van Namen in 2008, trachtte ik wat meer te weten te komen over die fameuze Herbiet en Horwart. Maar helaas onze Anciens wisten niet eens hun voornamen, want zoals toen gebruikelijk werden van auteurs alleen de initialen aangegeven. Ik besloot de zaak via Internet wat nader uit te pluizen en met een verbluffend resultaat. Plots begreep ik veel beter die alles verslindende esprit géométrique, die ons doen en laten in de Cadettenschool had beheerst.
In de eerste helft van de vorige eeuw omvatte het middelbaar wiskundeonderwijs in België de volgende wiskundige disciplines: rekenkunde, (klassieke) algebra (waaronder ook "calculus" gerangschikt werd), (deductieve of axiomatische) meetkunde, analytische meetkunde, beschrijvende meetkunde (ook nog wetenschappelijk tekenen genoemd) en trigonometrie. Statistiek werd slechts in het begin van de zestiger jaren aan het wetenschappelijk curriculum toegevoegd.
- Rekenkunde, algebra en trigonometrie werden beheerst door twee collecties schoolboeken, die oorspronkelijk in het Frans waren opgesteld, maar die later ook in het Nederlands werden vertaald: de collecties Herbiet (gebruikt in het Rijksonderwijs) en Schons(gebruikt in het Vrij Onderwijs). Van beide collecties bezit ik heden zowel Nederlandse als Franse versies.
- Voor Meetkunde werd in het Rijksonderwijs veelal beroep gedaan op de collectie van Adolphe Mineur, in het Vrij onderwijs op het werk van Antoine Dalle (deductieve meetkunde), Gustave Lupsin (analytische meetkunde en trigonometrie) en tenslotte van Paul Bockstaele.
I- Schoolboeken voor het Secundair onderwijs : Rijksonderwijs
1- de collectie "Herbiet"
De collectie Herbiet had als spilfiguren Victor Herbiet, doctor in de Wis- en Natuurkunde en Jules Horwart (oud-cadet Namen 1930-1933). Beiden waren zoals al gezegd leraar aan de Cadettenschool van Namen geweest, de eerste vanaf 1923, de tweede vanaf 1936. Paul De Vaere was als leraar wiskunde verbonden aan het gemeentelijk Atheneum van Schaarbeek en de Rijksmiddelbare School in Brussel II (Laken) en stond in voor de vertaling. Later kwamen nog de wiskundigen Raymond de Marchin en Gaspard Bosteels de ploeg vervoegen. Raymond de Marchin was doctor in de wis- en natuurkunde en leraar aan het Atheneum te Luik. Gaspard Bosteels was zoals Raymond de Marchin doctor in de natuur- en wiskunde en was studieprefect. Hij was geboren in Sint Niklaas 1909 en overleed in 2003. Een In Memoriam werd aan hem gewijd in het bekende tijdschrift «Euclides». Gaspard Bosteels was overigens ook zeer sterk betrokken in de «vernieuwing» van het wiskundeonderwijs ingezet door Georges Papy. Deze collectie Herbiet omvatte o.m.
- «Précis dArithmétique: à lusage de lEnseignement moyen, des Ecoles normales, et des Candidats aux Examens administratifs » (6e, 5e, 4e humanités modernes et anciennes 3e gréco-latine). De Nederlandse versie droeg als titel « Rekenkunde voor Middelbaar en Normaalonderwijs »
- «Cours dArithmétique: les entiers, les fractions, Manuel destiné aux élèves des Classes supérieures des Athénées et de lEnseignement Normal Moyen ; aux Candidats à lEcole Royale Militaire et aux Universités» (3e, 2e, et 1er humanités modernes). De Nederlandse versie droeg als titel « De Gehele en De Gebroken Getallen »
- «Eléments dAlgèbre: à lusage des écoles moyennes et des candidats à lEcole des Cadets» (5e, 4e, cycle supérieur: humanités anciennes). De Nederlandse versie droeg als titel « Beknopte Algebra voor Middelbare scholen ». Het boek was een "light" versie van het Traité d'Algèbre en werd in de Grieks-Latijnse humaniora gebruikt.
- «Traité dAlgèbre: à l'usage de l'Enseignement moyen et de l'Enseignement normal des candidats à l'Ecole Militaire et aux Universités » (5e, 4e, 3e: humanités modernes). De Nederlandse versie droeg de titel « Leerboek der Algebra » en werd in de moderne humaniora gebruikt maar ook in de Grieks- Latijnse sectie van de Cadettenschool.
- «Complément dAlgèbre à l'usage de l'enseignement moyen et de l'enseignement normal, des candidats à l'Ecole militaire et aux universités » (2e, 1er ). De Nederlandse versie droeg als titel « Complement der Algebra » en werd in de Cadettenschool gebruikt ook voor de Grieks-Latijnse sectie.
- «Initiation à la Trigonométrie» (humanités anciennes). Een Nederlandse versie verscheen bij Wesmael Charlet onder de titel « Beknopte Driehoeksmeting » in 1962 en omvatte 126 pagina's.
- «Trigonométrie rectiligne» (humanités modernes). Een Nederlandse versie van dit boek verscheen in 1967 onder de titel « Trigonometrie » en besloeg 273 pagina's.
- «Trigonométrie sphérique » (humanités modernes). Een Nederlandse versie van dit boek is mij onbekend en werd misschien nooit op de markt gebracht??
Alle titels en edities verschenen in het Frans; eerst later werd een Nederlandse versie op de markt gebracht. De diverse edities geven een goed beeld van de achtereenvolgende wijzigingen in het leerstofprogramma. Van cruciaal belang zijn hierbij de Ministeriële Omzendbrieven van 1948 en 1949.
Van dezelfde groep verscheen ook nog in de tweede helft van de vijftiger jaren:
- «Arithmétique et Géométrie Intuitive» bestemd voor de zesde humaniora (zowel oude als moderne), verschenen in het Nederlands onder de titel « Rekenkunde en Intuïtieve Meetkunde » (1956). Deze boeken behoorden in wezen tot het voortgezet lager onderwijs en dus tot het Primair Onderwijs.
- « Géométrie Intuitive » en de Nederlandse versie « Intuïtieve Meetkunde » bestonden ook als afzonderlijke boeken.
- « Géométrie, classe de Cinquième » bestemd voor de vijfde humaniora (zowel oude als moderne), verschenen in het Nederlands onder de titel « Meetkunde, vijfde klasse ».
- « Géométrie, classe de Quatrième » bestemd voor de vierde humaniora (zowel oude als moderne), verschenen in het Nederlands onder de titel « Meetkunde, vierde klasse ».
- « Arithmétique et Algèbre -tome I- » et « Arithmétique et Algèbre -tome II- » en de Nederlandse versies « Rekenkunde en Algebra-deel I- » en « Rekenkunde en Algebra -deel II- » bestemd respectievelijk voor de vijfde humaniora (tweede jaar middelbaar) en voor de vierde humaniora (derde jaar middelbaar)
Deze boeken bestreken het volledig leerprogramma van het lager secundair onderwijs en wel volgens de omzendbrieven van 1948 en 1949.
En verder in principe- bedoeld voor het lerarencorps:
- «Précis dArithmétique exercices résolues- »
- «Exercices dAlgèbre tome I - Corrigé des exercices du Traité d'algèbre 950 questions et des Eléments d'algèbre 437 questions; tome II - Corrigé des exercices des Compléments d'algèbre. 500 questions»
- « Exercices de Trigonometrie tome I et tome II » Een Nederlandse versie van deze boeken verscheen onder de titel « Trigonometrische Vraagstukken » (auteurs De Vaere en de Marchin) deel I (1948, 267 pagina's) deel II (1949, 528 pagina's)
Groot was ook mijn verbazing toen ik ook nog vaststelde dat Victor Herbiet (met de medewerking van MM. Réné, Joseph en Edmond Hébette) een «LArithmétique de la vie pratique 5e et 6e années primaires- » gepubliceerd had.
Dit boek dat in 1959 al aan zijn zevende editie toe was, gaf de didactische methoden aan voor de wiskundeleerstof van het lager onderwijs (vijfde en zesde leerjaar). Deze materie omvatte enerzijds een rekenkundig deel, anderzijds een meetkundig deel, deel door de auteur later bestempeld als "intuïtieve meetkunde". Het werk "Rekenkunde en Intuïtieve Meetkunde" bestemd voor de zesde humaniora, sloot trouwens rechtstreeks aan bij voornoemd boek.
Dit didactisch boek, bestemd voor de onderwijzer, riep door de vele figuren en illustraties, bij mij enkele mooie jeugdherinneringen op. Hierover zal ik het trouwens in de volgende cursiefjes hebben.
2- de collectie « Mineur »
Adolphe Mineur was hoogleraar aan de ULB, waar hij les gaf in wat men toen de rationele, heden de theoretische mechanica noemt. Zijn vierdelig werk : Mécanique rationnelle. I: Géométrie vectorielle. II: Cinématique. III: Statique. IV: Dynamique du point verscheen bij Castaigne in 1930. De asteroïde Mineura is bvb naar hem genoemd. Zijn medewerkers waren dr. Honoré Houvenaghel, leraar wiskunde aan het Kon. Atheneum te Oostende en dr. Paul Van Aerden, inspecteur-generaal bij het middelbaar en het normaal onderwijs. Later kwam Julien Bilo, leraar aan de Rijksmiddelbare Normaalschool te Gent, de groep vervoegen. Na het behalen van een doctorstitel werd Julien Bilo hoogleraar Hogere Meetkunde aan de Universiteit Gent en Lid van de Academie voor Wetenschappen. Hij liet zich later in met de axiomatische verzamelingenleer en schreef in 1981 met Joseph Adolphe Thas (Universiteit Gent) Enkele aspecten van de theorie der axiomatische projectieve vlakken».
De collectie «Mineur» omvatte:
- « Cours de Géométrie élémentaire » (Ad. Mineur) édition 1898
- « Beginselen der Vlakke Meetkunde » (H. Houvenaghel en J. Bilo) editie 1940-1946 eerste deel het punt en de rechte- (5de moderne en oude humaniora) ; tweede deel de cirkelomtrek- (4de moderne en 4de en 3de oude humaniora); derde deel gelijkvormigheid en oppervlakten- (3de moderne en 2de oude humaniora) editie 1940
- « Beginselen der Vlakke meetkunde » (J. Bilo) editie 1953-1955 ; is een aangepaste editie van de voorgaande i.v.m. de ministeriële circulaires 1948 en 1949) eerste deel -het punt en de rechte- (5de moderne en oude humaniora) ; tweede deel -de cirkel en de veelhoeken- (4de oude en moderne humaniora) ; derde deel -gelijkheden in de driehoek, macht van een punt, oppervlakte van de cirkel- (3de oude en moderne humaniora)
- « Meetkunde der Ruimte » (H. Houvenaghel en J. Bilo) editie 1941
- « Complement der Meetkunde » (H. Houvenaghel en J. Bilo 2de moderne humaniora) editie 1941
- « Eléments de Géométrie Analytique plane première partie: le point, la droite et la circonférence- » (Ad. Mineur) édition 1938
- « Eléments de Géométrie Analytique plane deuxième partie: les coniques- » (Ad. Mineur) édition 1938
- « Leerboek der Vlakke Analytische Meetkunde Deel I -Inleiding- » (J. Bilo en M. Soens -2de moderne humaniora-) editie 1953
- « Leerboek der Vlakke Analytische Meetkunde Deel II » (J. Bilo en M. Soens -1ste moderne humaniora) editie 1953
- « Leerboek der Beschrijvende Meetkunde » (H. Houvenaghel en J. Bilo) editie 1941
- « Cours de Trigonométrie » (Ad. Mineur) édition 1901
- « Elementaire driehoeksmeting, ten behoeve van de leerlingen der lagere normaal-scholen, der voorbereidende afdeelingen der Grieksch-Latijnsche en der handelsklassen van het middelbaar onderwijs» (P. Van Aerden en H. Houvenaghel) editie 1941
- « Leerboek der Driehoeksmeting » (P. Van Aerden en H. Houvenaghel) editie 1950
Zoals Adrien-Marie Legendre en nog vele anderen(zie cursiefje 4.1 in blog 2), brak Adolphe Mineur met de traditie en introduceerde in het begin van de 20ste eeuw evenzeer een modernere benadering van de Elementen van Euclides. Zijn medewerkers hebben deze benadering nog verder uitgebouwd. Te signaleren is ook dat er 2 handboeken betreffende trigonometrie voorhanden waren. Eén voor de oude humaniora (60 paginas) en een ander voor de moderne humaniora (237 paginas). In het laatste boek werd ook « Boldriehoeksmeting » behandeld.
II- Schoolboeken voor het Secundair Onderwijs : Vrij Onderwijs
1- de collectie "Schons"
De collectie Schons had als spilfiguur Nicolas Joseph Schons, een Broeder van de Christelijke Scholen (niet te verwarren met de Broeders van Liefde) en leraar in de Wiskunde aan de Middelbare Normaalschool (Saint Berthuin Instituut) te Malonne (3) bij Namen. Cyriel De Cock (broeder Philemon van de Christelijke Scholen) werd geboren in Hamme en verbleef in het Sint-Amandusinstituut te Gent. Als leraar wiskunde in de secundair onderwijs was zijn specialiteit de voorbereiding tot het toegangsexamen voor burgerlijk ingenieur aan de universiteit. Een andere belangrijke figuur, die eveneens tot de groep "Schons" moet gerekend worden was Frans Drijkoningen (Broeder Stanislas). Hij was zoals Cyriel De Cock verbonden aan het Sint Amandusinstituut te Gent. Zijn stokpaardje was analytische meetkunde. Luc Gheysen (4) schreef over hem: -ik citeer-
"Broeder Stanislas was een geleerd en toch zeer eenvoudig mens. Vele jaren heeft hij met een ongekende toewijding en kennis van zaken de mathematica onderwezen aan de studenten en hen zo voorbereid op de studies in het hoger onderwijs en vooral voor burgerlijk ingenieur. Altijd stond hij open voor vernieuwing. Eind de jaren '60 verdiepte hij zich ijverig in de moderne wiskunde. Hierover was hij maar matig enthousiast. Begin de jaren '70 waagde hij zich aan het programmeren op de eerste WANG-computers, 'die stomme toestellen waaraan je alles moest uitleggen'. De analytische meetkunde is echter altijd zijn stokpaardje gebleven. Het boek dat hij hierover samen met C. De Cock schreef en dat werd uitgegeven door De Procure, was een standaardwerk. Hij was een man van toewijding en gebed. Zijn werkkamer was zijn heiligdom."
De collectie «Schons» werd later opgevolgd door een zekere R. Graas, waarover ik geen verdere informatie heb.
Deze belangrijke collectie omvatte o.m. :
- « Eléments dArithmétique » (6e, 5e, 4e humanités anciennes). De Nederlandse versie droeg als titel « Rekenkunde voor oude en moderne humaniora en normaalonderwijs » en was bestemd voor het lager secundair onderwijs.
- « Traité d Arithmétique » (3e, 2e, 1er humanités modernes). De Nederlandse versie droeg als titel « Leerboek der Rekenkunde voor de moderne humaniora en toelatingsexamen tot de militaire school »
- « Premiers Eléments d Algèbre » (5e humanités anciennes) en « Eléments d Algèbre I » (4e, 3e humanités anciennes) en «Eléments dAlgèbre II » (2e , 1er humanités anciennes) later verschenen in één volume met als titel « Eléments d'Algèbre ». De Nederlandse versies droegen als titel respectievelijk « Elementen der Algebra I en II » en « BeknoptLeerboek der Algebra »
- «Traité dAlgèbre » (5e, 4e, 3e: humanités modernes). De Nederlandse versie droeg als titel « Leerboek der Algebra »
- «Compléments dArithmétique et dAlgèbre: à lusage de lenseignement moyen » (2e, 1er: humanités modernes). De Nederlandse versie droeg als titel « Complement van de Rekenkunde en van de Algebra voor het middelbaar onderwijs »
- «Eléments de Calcul intégral » (rhétorique et 1ère scientifique)
- «Eléments de Trigonométrie » (humanités anciennes) en was bedoeld voor de Grieks-Latijnse humaniora. De Nederlandse versie droeg als titel « Beknopte Driehoeksmeting »
- «Traité de Trigonométrie rectiligne » (humanités modernes). Het boek werd in de Franstalige Afdeling van de Cadettenschool gebruikt. De Nederlandse versie droeg als titel « Vlakke Driehoeksmeting voor het middelbaar onderwijs ». De zesde editie van dit Traité (1971) bevat in addendum supplementaire oefeningen over de cyclometrische functies, toepassingen van de complexe getallen onder goniometrische vorm, trigonometrische toepassingen in de infinitesimaalanalyse en tenslotte de theorie der hyperbolische functies.
- «Tables de Logarithmes à cinq décimales et autres tables »
Ook hier verschenen de titels en edities eerst in het Frans, waarop later een Nederlandse vertaling volgde. Van deze boeken beschik ik zowel over een Nederlandse versie, daterend van vóór de ministeriële circulaire van 1949 als over een Franse versie daterend van ná deze circulaire
En verder maar dan eveneens bestemd voor het lerarencorps:
- « Exercices et Problèmes dArithmétique » (corrigé des exercices et des problèmes des Eléments dArithmétique)
- « Exercices dArithmologie » (corrigé des exercices proposés dans le Traité d Arithmologie)
- « Exercices dAlgèbre » (corrigés des exercices du Traité d Algèbre, des Compléments dArithmétique et dAlgèbre et des Eléments de Calcul intégral)
- « Exercices de Trigonométrie » (corrigés des exercices des Eléments de Trigonométrie et du Traité de Trigonométrie rectiligne)
Deze laatste boeken werden « Solutionnaires » genoemd en waren zeer omvangrijk. Zo telde bvb « Exercices d Algèbre » meer dan 1000 paginas. Uiteraard waren deze « Solutionnaires », op voorwaarde dat zij oordeelkundig gebruikt werden, van zeer groot nut ter voorbereiding van de toelatingsexamens KMS of burgerlijk ingenieur.
Uiteraard zijn hier ook te vermelden:
- « Analytische Meetkunde » van C. De Cock en F. Drijkoningen, De Procure, waarvan een zesde editie nog verscheen in 1973.
- « Beschrijvende Meetkunde » C. De Cock en F. Drijkoningen eveneens uitgegeven door De Procure, -1975-, 127 pagina's
Stippen we tenslotte nog aan dat de collectie «Herbiet» door Wesmael-Charlier, de collectie «Schons» door de De Procure werd uitgegeven. Al deze schoolboeken moesten door de diverse ministeriële omzendbrieven ( omzendbrieven van 1929, 1933, 1939, 1940, 1946, 1948, 1949 ) regelmatig en voortdurend aangepast te worden. Er waren zowel toevoegsels als weglatingen wat de verschillende inhoud van de diverse edities verklaart.
2- de collectie « Dalle en De Waele »
Antoine Dalle was een Broeder (Frère Majorin) van de Christelijke Scholen en behoorde tot het Institut Saint Ferdinand (5) dat in 2000 zijn honderdvijftig laar bestaan vierde. Hij was de werkelijke auteur van de bekende meetkundeleerboeken, waarvan de eerste editie verscheen voor WOI. Camille De Waele (1872-1927) of Frère Maxilien was directeur van het Instituut gedurende WOI en co-auteur van voornoemde meetkundeboeken. Volgende titels zijn voorhanden:
- « Cours de Géométrie à lusage de lenseignement moyen et de lenseignement normal : Géométrie plane et Eléments de Topographie »
- « Cours de Géométrie à lusage de lenseignement moyen et de lenseignement normal : Géométrie dans lespace avec compléments »
- « 2000 Théorèmes et Problèmes de Géométrie avec solutions »
De eerste twee titels bestaan ook in het Nederlands. «2000 Théorèmes et Problèmes» werd naar mijn weten nooit in het Nederlands vertaald.
De boeken van Dalle zijn geïnspireerd door de « Eléments de Géométrie » van Legendre en het « Traité de Géométrie élémentaire » van Rouché en Comberousse. Er is inderdaad ook een indeling in « Boeken » (in totaal 4 voor de vlakke en 4 voor de ruimtemeetkunde) zoals bij Legendre. Na ieder "Boek" worden talrijke vraagstukken opgegeven, waarvan de oplossing te vinden is in "2000 Théorèmes et Problèmes". Anderzijds is er het Complement (Projectieve Meetkunde) dat teruggaat op de monografie van Rouché en Comberousse (zie blog II cursiefje: « Wat is Deductieve Meetkunde? »).
3- de collectie « Lupsin »
Over Gustave Lupsin, een licenciaat in de wiskunde heb ik weinig gegevens kunnen vinden. Bekend is echter wel zijn leerboek over de Vlakke Analytische meetkunde, die als een standaardwerk mag beschouwd worden:
- «Notes de Géométrie analytique plane à lusage des élèves des classes scientifiques des humanités et des candidats à lEcole Militaire et aux Universités» (7e édition revue par R. Graas -1956 -)
- «Trigonométrie Sphérique à lusage des classes scientifiques des humanités » (5e édition revue par R. Graas -1955-)
4- de collectie « Bockstaele »
Paul Bockstaele was eerst leraar aan het bisschoppelijk Sint Vincentius -college in Eeklo. De verhandeling over Het intuïtionisme bijde Franse wiskundigen, waarmee hij licentiaat was geworden, werd door de Academie bekroond en in 1949 in haar reeks verhandelingen gepubliceerd. Zijn specialisatie in de geschiedenis van de wiskunde bracht hem tot de academische carrière. Hij was lange tijd verbonden aan de Universiteitsbibliotheek van Leuven. Bockstaeles wetenschappelijke verdiensten liggen inderdaad op het vlak van de geschiedenis van de wiskunde. Bij zijn emeritaat in 1985 werd professor Bockstaele dan ook gehuldigd voor zijn verdiensten voor de Universiteitsbibliotheek. Hij overleed in 2009. Zijn schoolboeken meetkunde stonden vol korte notities over beroemde wiskundigen uit vroegere eeuwen, over Euclides, Boëthius, Stevin, Fermat, Leibniz, Euler, Monge en nog anderen en met een portretje erbij.
- « Aanschouwelijke Meetkunde » van P. Bockstaele (achtste druk -1960-)
- « Vlakke Meetkunde » door P. Bockstaele Deel I (derde druk, -1960-) Deel II (tweede druk, -1959-) Deel III (1956)
- « Oplossingenboek der Vlakke Meetkunde » door P. Bockstaele (1959)
- « Meetkunde der Ruimte » door P. Bockstaele (tweede druk -1960-)
III- Schoolboeken voor het Hoger Primair Onderwijs (Rijksmiddelbare School)
Het leerprogramma van de Rijksmiddelbare School in België (de zogenaamde "Ecole moyenne") was het equivalent van het M.U.L.O. (Meer Uitgebreid Lager Onderwijs) in Nederland en het E.P.S. (Enseignement Primaire Supérieur) in Frankrijk. Begin de jaren vijftig werden de leerprogramma's in zake wiskunde en wetenschappen van het Lager Secundair en Rijksmiddelbaar bij wet gelijkgesteld maar dat was vóór WOII heel zeker niet het geval.
Via tweedehandsboekhandels heb ik mij enkele Franse schoolboeken, bestemd voor het Hoger Primair Onderwijs (E.P.S.) en daterend van de jaren twintig kunnen aanschaffen. Al deze schoolboeken waren van de hand van Neveu en Bellenger en waren uitgegeven door Masson. Aangenomen mag worden dat deze ook gebruikt werden in het Belgisch Onderwijs, dat toen nog, ook in Vlaanderen, franstalig was.
Met verbazing stelde ik vast dat bvb ook al de ruimtemeetkunde en enkele noties van de trigonometrie tot het leerprogramma behoorde, onderwerpen, die alleen in het Hoger Secundair aan bod kwamen. Verder waren er de Beginselen van de Beschrijvende en de Analytische Meetkunde. In feite omsloten deze schoolboeken veel materiaal dat voor de hogere humaniora bestemd was.
Deze leerboeken, die zeer strerk op de dagdagelijkse praktijk gericht waren, hadden mij in principe uitstekende diensten kunnen bewijzen en niet alleen bij mijn voorbereiding tot het toelatingsexamen tot de K.C.S. in 1955 maar ook bij de meetkundelessen in de Cadettenschool-zelf. Ik schreef « in principe » want mijn kennis van de Franse taal was in die jaren nog te gering om deze leerboeken als studieboeken te kunnen bezigen.
- de collectie E.P.S. van Masson-
Naast leerboeken over Natuur- en Scheikunde, waarover ik het in een ander cursiefje zal hebben, omvatte deze collectie Masson ook nog:
- «Cours dArithmétique théorique et pratique- E.P.S.-1ère, 2ème et 3ème année- » (H. Neveu Masson 8ème édition -1917-)
- «Cours dAlgèbre théorique et pratique- suivi des notions de Trigonométrie E.P.S.» (H. Neveu Masson 12ème édition -1929-)
- «Cours de Géométrie théorique et pratique- E.P.S.-1ère et 2ème année (géométrie plane) » (H. Neveu et H. Bellenger -1907-)
- «Cours de Géométrie théorique et pratique- E.P.S.-3ème année (géométrie dans l'espace) » (H. Neveu et H. Bellenger Masson 6ème édition -1923-)
__________________________
(1) Schoolboeken volgen het opgelegde leerplan van wat men noemt de bevoegde autoriteiten en zijn op dit vlak een weerspiegeling van de tijdsgeest. De wiskundeboeken waarover in dit cursiefje gehandeld wordt, vormen slechts een momentopname van de periode volgend op de fameuze ministeriële circulaire van 1949. Dat deze autoriteiten wel eens zeer ernstige flaters kunnen begaan bewijst nu het New Math experiment van de jaren zestig (zie cursiefje Over het New Math experiment in blog 2). Men mag er vanuit gaan, dat ook andere misvattingen en visies in de loop der jaren in het leerprogramma zijn terecht gekomen. Auteurs van schoolboeken moeten voortdurend rekening houden met wijzigingen van het leerprogramma (weglatingen, toevoegsels, veranderde visies), wat hun taak bepaald niet vergemakkelijkt. Uiteraard zijn ze niet verantwoordelijk voor wat en petit comité besproken, bedisseld, en beslist wordt
(2) TPCI is het acroniem voor Koninklijke Vereniging der oud- Troepskinderen, Pupillen, Cadetten en Intermachters van het Leger (zie bijlage 1)
(3) over een geïllustreerde geschiedenis van het Institut Saint Berthuin zie bijlage 2
0
1
2
3
4
5
- Gemiddelde waardering: 1/5 - (2 Stemmen) Tags:V. Herbiet , J. Horwart , N.J. Schons, C. De Cock , A. Dalle, A. Delaruelle , A.I. Claes , A. Dessart , J. Jodogne,
01-04-2010
§ 8.2 Rekenen met cijfers ofte Arithmetiek
(Hoofdstuk 8 "Arithmetiek en Algebra in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 8.2 Rekenen met cijfers ofte Arithmetiek
In het Sint Lodewijkscollege werd geöpteerd voor de schoolboeken van de collectie Schons en De Cock. In ogenschouw genomen de hoedanigheid van de auteurs was dat niet erg verwonderlijk. Nicolas Joseph Schons was een Broeder van de Christelijke Scholen (niet te verwarren met de Broeders van Liefde) en leraar in de Wiskunde aan een Middelbare Normaalschool, het fameuze Saint Berthuin Instituut te Malonne bij Namen. Cyriel De Cock was insgelijks een Broeder van de Christelijke Scholen en verbonden aan het Sint Amandusinstituut te Gent. Hij was afkomstig uit Hamme en een zeer begaafd leraar. Zijn specialiteit was leerlingen voorbereiden voor het toelatingsexamen voor burgerlijk ingenieur! Het was dus niet verwonderlijk dat de boeken van de collectie Schons en i.h.b. deze, die bestemd waren voor de hogere humaniora o.m. in de Franstalige Afdeling van de Cadettenschool van Laken werden gebruikt.
In 1952 werd dus in Saint Louis het boek Rekenkunde , de Nederlandse vertaling van « Eléments dArithmétique » van N.J. Schons gebruikt en wel de tweede uitgave daterend van 1946. Het boek Rekenkunde mag niet verward worden met het Leerboek der Rekenkunde van dezelfde auteurs. Dit laatste boek is bestemd voor de hogere humaniora en is de vertaling van het Traité dArithmétique. Van de "Eléments d' Arithmétique -cycles inférieurs de l' Enseignement Moyen et de l' Enseignement Technique-" (neuvième édition -1967-) verscheen nog een herdruk in 1980 met volgende bemerking : Les utilisateurs de l' arithmétique traditionnelle sont encore nombreux. C' est à leur intention que nous procédons à une nouvelle édition de l' ouvrage. In tegenstelling met de Rekenkunde van de collectie De Vaere en Herbiet was in het boek van Schons de leerstof niet ingedeeld volgens het jaarprogramma, maar wel geordend volgens een logische structuur. Een eerste deel was gewijd aan de gehele getallen, een tweede deel aan de gebroken getallen (breuken), een derde deel aan de verhoudingen en evenredigheden, een vierde deel aan machten en wortels. Een vijfde deel was gewijd aan het stelsel van maten en gewichten en tenslotte een zesde deel betrof een aantal practische toepassingen waaronder interestrekening en mengsels en legeringen. In dit schoolboek werd voor ieder hoofdstuk aangegeven welke rubrieken of paragrafen specifiek behoorden tot het leerprogramma van de zesdes, respectievelijk de vijfdes en de vierdes. De leerling moest dus voortdurend het studieboek doorbladeren en bepaalde paragrafen overslaan, want nog niet voor hem bestemd. Een dergelijke benadering had echter wel het voordeel dat een algemeen inzicht werd verkregen in het geheel van de leerstof.
Een tweede studieboek, dat deze Arithmetiek behandelde was nu het leerboek Rekenkunde voor Middelbaar en Normaalonderwijs van de verzameling De Vaere Herbiet . Dit boek was de Nederlandse vertaling van het «Précis dArithmétique à lusage de lEnseignement moyen, des Ecoles normales, et des Candidats aux Examens administratifs» en mag niet verward worden met "De Gehele en de Gebroken getallen", de Nederlandse vertaling van «Cours d'Arithmétique: les entiers et les fractions » bestemd voor de hogere humaniora.
Ter voorbereiding van het toelatingsexamen tot de Koninklijke Cadettenschool heb ik in 1955 voornamelijk « Rekenkunde » van de collectie De Vaere - Herbiet gebruikt. De inhoud van het boek was ingedeeld volgens het jaarprogramma van het lager middelbaar en omvatte achtereenvolgens de leerstof voor de zesdes, voor de vijfdes en voor de vierdes. Het boek omvatte heel wat meer leerstof en bevatte naast een deel Wenken voor examenkandidaten (waaronder examenvragen voor de Cadettenschool ) ook nog een « Complement » bestemd voor de derde Grieks - Latijnse humaniora.
Begeleidende tabel verduidelijkt wellicht de situatie:
Klassieke humaniora (lagere cyclus)*
Moderne humaniora (hogere cyclus)**
collectie Schons
fr: « Eléments d'Arithmétique »
ned. : « Rekenkunde »
fr. « Traité d'Arithmétique »
ned. : « Leerboek der Rekenkunde »
collectie Herbiet
fr. : « Précis d'Arithmétique »
ned. : « Rekenkunde »
fr. : « Cours d'Arithmétique »
ned. « De Gehele en Gebroken Getallen"
* Voor de klassieke humaniora was rekenkunde in wezen beperkt tot de lagere cyclus
** Voor de lagere cyclus van de moderne humaniora waren de boeken van de klassieke humaniora voorgeschreven
Beide collecties schoolboeken vulden elkaar in feite aan: Schons beperkte zich tot het essentiële en liet toe, desondanks alle bomen, het bos te blijven zien; Herbiet bevatte een overvloed van oefeningen en legde de nadruk op parate kennis voor eventuele examens.
Dat de oplossing van de diverse vraagstukken, vermeld in beide boeken, gegeven werd in zogenaamde Solutionnaires, boeken die in feite bestemd waren voor het onderwijzend personeel en die alleen in het Frans bestonden, was mij toen niet bekend.
Voor het boek van de collectie De Vaere Herbiet was dat Précis dArithmétique exercices résolues-, voor het boek van de collectie Schons Exercices et Problèmes dArithmétique corrigé des exercices et des problèmes-.
Maar al had ik op dat ogenblik over deze boeken kunnen beschikken, dan was mijn technisch Frans onvoldoende om hieruit maar ook enig voordeel uit te kunnen putten. Uit pure balorigheid heb ik mij eerst later een exemplaar van beide boeken aangeschaft
De leerstof van het eerste jaar van het middelbaar onderwijs (zesde humaniora in het oude systeem) was een herhaling van de in het in het lager onderwijs geziene Arithmetiek, waarbij echter het theoretisch gedeelte wat meer op de voorgrond kwam.
Deze Theoretische Arithmetiek beperkte zich tot de natuurlijke getallen en de gebroken getallen (breuken). In het tweede jaar van het middelbaar (vijfde humaniora in het oude systeem) werd dit theoretisch gedeelte verder uitgebreid tot de tiendelige getallen. In het derde jaar middelbaar (vierde humaniora in het oude systeem) volgde er de theorie der verhoudingen en evenredigheden, de machtsverheffing en de worteltrekking (vierkantswortel, kubiek wortel). Ook werden de begrippen deelbaarheid, KGV en GGD verder uitgediept.
Toch werd er in het lager secundair ook nog veel aandacht geschonken aan de praktische toepassingen van de Rekenkunde: de zogenaamde « Praktische Arithmetiek ».
I- Theoretische Arithmetiek: de gehele getallen
In een inleidend hoofdstuk van Herbiets boek werden de noties natuurlijk getal en het getal nul met behulp van het begrip tellen nader gedefinieerd. Nul en de natuurlijke getallen vormen de zogenaamde rekenkundige gehele getallen (1) . Verder werden door vergelijken van twee getallen op een rekenkundige getallenrechte (d.i. een rechte waarop nul en de positieve gehele getallen afgebeeld zijn) de noties gelijke en ongelijke getallen en hierbij aansluitend het gelijkheidstekens = en de ongelijkheidtekens niet gelijk aan ≠ , kleiner dan < en groter dan > ingevoerd. Vervolgens werden de regels voor het noemen van een getal en het voorstellen van getallen door Arabische cijfers in het decimaal talstelsel (2) besproken. Een noot over het Romeinse talstelsel sloot dit inleidende hoofdstuk af.
1° Optelling en Aftrekking bij de natuurlijke getallen:
- In het hoofdstuk Optelling werd dan de som van enige (gehele) getallen (ook termen van de som genoemd) in een gegeven volgorde gedefinieerd als zijnde het getal dat men vindt door het tweede getal bij het eerste getal op te tellen en het derde bij de bekomen som, het vierde bij de nieuw bekomen som enz.
In letternotatie liet de som van enige (gehele) getallen zich dan schrijven als:
a + b + c + d = (a + b) + c + d = (a + b + c) + d = (a + b + c + d) waarin (a + b) de som van de eerste twee getallen, (a + b + c) de som van de eerste drie getallen en tenslotte (a + b + c + d) de uiteindelijke som van de vier getallen voorstelt.
Vervolgens werden zonder streng bewijs de commutatieve, de associatieve eigenschap en de dissociatieve eigenschap van de som van de gehele getallen geformuleerd:
- eigenschap I : De som van enige getallen hangt niet af van de volgorde waarin men ze stuk voor stuk neemt (commutatieve eigenschap)
- eigenschap II : De som van enige getallen verandert niet als men enkele (twee of meer) van die getallen door hun som vervangt (associatieve eigenschap)
- eigenschap III : In een som mag men een term splitsen in twee of meer termen waarvan hij de som is (dissociatieve eigenschap)
In tegenstelling met het lager onderwijs, waar het gebruik van letters ten stelligste vermeden werd, presenteerde Herbiet nu voor het eerst voornoemde eigenschappen in formulevorm:
(1) a + b + c + d = b + c + a + d (commutatieve eigenschap)
(2) a + b + c + d = a + (b + c) + d (associatieve eigenschap)
(3) a + b + c + d = a + b + c + (e + f) met d = e + f (dissociatieve eigenschap)
Blijkbaar was Herbiet erg verveeld met het gebruik van letters in de rekenkunde, want er is in zijn boek een hoofdstuk met als titel Het gebruik van Letters in de Rekenkunde aan gewijd. Dit hoofdstuk, materie voor het tweede jaar middelbaar (vijfde humaniora volgens het oud systeem) eindigde als volgt:
Tenzij anders vermeld zullen letters voortaan willekeurige (gehele, gebroken of tiendelige) getallen voorstellen. Een gewone breuk (waarvan beide termen willekeurige natuurlijke getallen zijn) zullen we door de notatie a/b voorstellen
M.a.w. het in de lagere school streng gehanteerde voorschrift: spelen met letters is algebra, geen rekenkunde, en dus verboden was niet langer van toepassing
Misschien hier ook nog even opmerken, dat Herbiet in vele voorgaande hoofdstukken van zijn boek, al duchtig gebruik had gemaakt van deze in het lager onderwijs verfoeide letters .
Maar terug naar de hoofdbewerking Optelling:
De optelling was de executieve bewerking, die toeliet op een vlugge manier de som van enige rekenkundige getallen te bepalen. Het in het lager onderwijs aangeleerde uitvoeringsmechanisme van deze bewerking, stoelde nu op voornoemde eigenschappen:
In het tientallig stelsel is bvb ieder getal van vier cijfers op te vatten als de som van een aantal duizendtallen (D), honderdtallen (H), tientallen (T) en eenheden (E). Bijvoorbeeld 3713 kan geschreven worden als 3713 = 3D + 7H +1T + 3E (dissociatieve eigenschap). Schrijft men nu alle op te tellen getallen op analoge wijze dan kan men op een snelle en eenvoudige manier de som maken van de eenheden, de tientallen, de honderdtallen en duizendtallen (associatieve eigenschap). Eerst maakt men de som van de eenheden en noteert het aantal nieuwetientallen, die hierbij ontstaan. Vervolgens wordt de som van de tientallen gemaakt, waarbij de nieuwe tientallen gevoegd worden; men noteert het aantal nieuwe honderdtallen, die hierbij ontstaan. Dan wordt de som van de honderdtallen gemaakt waarbij het aantal nieuwe honderdtallen gevoegd worden; men noteert het aantal nieuwe duizendtallen enz. In de praktijk schikt men de op te tellen getallen onder elkaar derwijze dat de eenheden, tientallen enz. telkens tot eenzelfde kolom behoren. Voor het uitvoeren van de bewerking begint men de kolom eenheden uiterst rechts, vervolgens gaat men over naar de kolom van de tientallen, dan naar de kolom van de honderdtallen enz. zoals aangegeven in begeleidende figuur (zie figuur 1 algoritme der optelling). Het is overduidelijk dat naargelang het aantal en de grootte van de termen van de som, de optelling heel wat rekenwerk vraagt. Dit was o.m. het geval voor berekeningen in de astronomie. De begrippen astronomische cijfers en astronomische berekeningen vinden hier hun verantwoording.
Al in de 17de eeuw werden hiertoe (mechanische) rekenmachines ontwikkeld om deze bewerkingen te vergemakkelijken. Zo bouwde Wilhelm Schickard (3) in 1623 de eerste rekenmachine, die getallen van zes cijfers kon optellen en aftrekken. Hij was daarmee Blaise Pascal (4) , die de zogenaamde Pascaline ontwierp, een twintigtal jaren voor. Dergelijke machines waren echter voorbehouden voor een elite en de gewone mens en zeker de scholier moest het tot ver in de twintigste eeuw stellen met papier en potlood.
Vooraleer naar de verdere hoofdbewerkingen (aftelling, vermenigvuldiging en deling) over te gaan, werd in het boek van Herbiet een hoofdstuk Meetbare Grootheden ingelast, dat een brug naar de Praktische Arithmetiek moest leggen. Achtereenvolgens werden aldus de begrippen grootheid, meetbare grootheden, maatgetal van een grootheid en vergelijkbare grootheden omschreven.
- Vervolgens kwam het hoofdstuk Aftrekking aan bod. Het verschil tussen twee natuurlijke getallen a en b (men onderstelt a > b )is een derde getal c dat, bij het kleinste getal opgeteld, het grootste getal als som oplevert. Het grootste getal heet aftrektal, het kleinste de aftrekker. Aftrektal en aftrekker vormen samen de termen van het verschil.
Men heeft bij definitie c = a b met a > b als uitdrukkelijke voorwaarde bij rekenkundige getallen. In geval a = b heeft men c = 0 (definitie van het getal nul) en indien a < b bestaat er geen rekenkundig getal c (maar wel een algebraïsch getal c) derwijze dat c = a b.
De aftrekking was de executieve bewerking die toeliet op een vlugge manier het verschil tussen twee natuurlijke getallen te bepalen. Het in het lager onderwijs aangeleerde uitvoeringsmechanisme van deze bewerking, stoelde nu op volgende eigenschappen:
I- eerste eigenschap: Om een som van een som af te trekken, mag men de termen van tweede som van bepaalde termen van de eerste som aftrekken en de komende verschillen optellen. In formulevorm:
- (a + b) (c + d) = (a c) + (b d) waarbij men uitdrukkelijk stelt dat a > c en b > d
II- tweede eigenschap: Een verschil verandert niet als men aftrektal en aftrekker met eenzelfde getal vermeerdert of vermindert. In formulevorm:
- a b = (a + c) (b + c) en (a b) = (a c) (b c) met natuurlijk in het tweede geval de voorwaarde a > c en b > c (rekenkundige getallen)
In het tientallig stelsel is bvb ieder getal van vier cijfers op te vatten als de som van een aantal duizendtallen (D), honderdtallen (H), tientallen (T) en eenheden (E). Is bvb 2725 het aftrektal en 684 de aftrekker, dan kan aftrektal respectievelijk aftrekker geschreven worden als 2725 = 2 D + 7 H + 2 T + 5E en 684 = 6 H + 8 T + 4 E (dissociatieve eigenschap). Praktisch wordt nu de aftrekker onder het aftrektal geschreven derwijze dat de cijfers van eenheden, tientallen, honderdtallen in eenzelfde kolom komen te staan (zie figuur 2: algoritme der aftrekking). Van rechts naar links werkend wordt elk cijfer van de aftrekker van het daarboven staande cijfer van het aftrektal afgetrokken. Is een van die aftrekkingen niet uitvoerbaar, dan wordt het cijfer van het aftrektal met 10 vermeerderd, en het volgend cijfer van de aftrekker met 1.
Vervolgens kwamen verdere eigenschappen van verschillen aan bod i.h.b. eigenschappen betreffende een aaneenschakeling van optellingen en aftrekkingen. Het hierbij gevolgde doel was de scholieren enkele regels voor het snelrekenen (hoofdrekenen) bij te brengen en ze op het algebraïsch rekenen voor te bereiden.
III- derde eigenschap: Om een verschil bij een getal op te tellen, telt men het aftrektal op bij dit getal en trekt de aftrekker af van de bekomen som. Zo mogelijk mag men eerst de aftrekker aftrekken van het getal en daarna het aftrektal optellen bij het bekomen verschil. In formulevorm:
- a + (b c) = a + b c en a + (b c) = a c + b
IV- vierde eigenschap: Om een som van een getal af te trekken, trekt men achtereenvolgens elke term van de som af van het aftrektal. In formulevorm:
- a (b + c) = a b c
V- vijfde eigenschap: Om een verschil van een getal af te trekken, telt men de aftrekker op bij dit getal en trekt men het aftrektal af van de bekomen som. Zo mogelijk mag men eerst het aftrektal aftrekken van het getal en daarna de aftrekker optellen bij het bekomen verschil. In formulevorm:
- a (b c) = a b + c en a (b c) = a + c b
Toepassingen: snel- of hoofdrekenen (5)
Voor snel- of hoofdrekenen kunnen nu de voorgaande eigenschappen met succes gebruikt worden. Ze laten immers toe meer ingewikkelde sommen of verschillen in een meer eenvoudige vorm te brengen, namelijk door het invoeren van ronde getallen. Enkele voorbeelden:
2° Vermenigvuldiging en Deling bij de natuurlijke getallen:
(wordt voortgezet)
-------------------------------------------------
(1) rekenkundige getallen waren het getal nul en de positieve getallen (gehele of gebroken getallen). De elementaire rekenkunde of Arithmetiek had de studie van de eigenschappen van dit soort getallen tot doel en beperkte zich dan ook tot deze getallen. Negatieve gehele of gebroken getallen werden in die jaren beschouwd als horende tot de elementaire algebra en werden algebraïsche getallen genoemd. Het is deze betreurenswaardige houding, die men in de boeken van Schons of van Herbiet terugvindt en die overigens de oorzaak is van heel wat verwarring.
Deze houding werd trouwens door Fred Schuh als zeer hinderlijk en als een onnodige beperking van de elementaire arithmetiek beschouwd. Bij een beperking tot rekenkundige getallen is een omzetting van (a + b) c tot (a c) + b niet steeds geoorloofd is (voorwaarde is dan immers dat a > c). Verder is dan natuurlijk ook het gebruik van en het werken met negatieve exponenten uitgesloten. Overigens bestaat er volgens dezelfde auteur geen scherpe afscheiding tussen rekenkunde en (klassieke) algebra.
Voor een grondige bespreking van dit probleem verwijs ik naar Schuh's Leerboek der Elementaire Theoretische Rekenkunde deel I Inleiding (Noordhoff, -1919-)
(2) Voor wie iets meer over getallen en talstelsels wil weten kan ik bvb verwijzen naar Spelen met Getallen een fascinerend boek voor jong en oud- (Thieme, -1951-) een ander boek van Fred Schuh.
Over deze auteur, die ik eerst maar na mijn humaniora echt heb leren waarderen, zal ik het later uitvoerig hebben, want hij heeft door zijn vele geschriften een grote invloed op mijn wiskundige ontwikkeling uitgeoefend.
(5) Hoofd- of snelrekenen werd in het verleden als belangrijk aanzien: er bestonden toen nog geen rekenmachientjes.. Evenwel werd steeds eerst de nadruk gelegd op de algemeen geldende algoritmen met papier en potlood. Het onderwijzend personeel besefte zeer goed dat niet iedere scholier zo maar kon goochelen met cijfers en getallen. Absolute voorrang moest gegeven worden aan de methode met papier en potlood, want deze geeft, indien met zorg uitgevoerd, altijd een goed resultaat. Zo niet komt men tot situaties, die de bekende Amsterdamse hoogleraar Jan van de Craats met reden en terecht aanklaagt: zie: http://www.surfmedia.nl/medialibrary/item.html?id=FUNh0VWvjhXg4xSaf9kCbVAE
(Hoofdstuk 8 "Arithmetiek en Algebra in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 8.4 Rekenen met letters ofte Algebra
Het was in 1953 dat ik voor het eerst werkelijk in contact kwam met Algebra, een vak, dat gehuld was in een sfeer van geheimzinnigheid en dat, voortgaande op uitspraken als dat is je reinste algebra!, bovendien uiterst moeilijk moest zijn. Ik zat toen in de vijfde humaniora van het Sint Lodewijkscollege ("Saint Louis") te Brugge.
Het vak werd gegeven door een nieuwkomer, een burger (!), vermoedelijk regent in wiskunde, de Heer Vrijsen. Zijn aanstelling hield wellicht verband met de recente oprichting van een Latijn-Wiskunde Afdeling, waardoor meer uren wiskunde moesten gegeven worden en een uitbreiding van het kaderpersoneel onvermijdelijk werd. Ik heb alleen nog maar wat vage herinneringen aan deze leraar. Begrijpelijk want we hadden op dat ogenblik maar een uurtje algebra per week.
Als schoolboek werd in Saint Louis de « Elementen der Algebra » van Nicolas Joseph Schons en Cyriel De Cock gebruikt.Elementen der Algebra was speciaal bedoeld voor de Grieks-Latijnse humaniora en bestond uit een eerste volume, dat de leerstof voor de vijfde, de vierde en de derde humaniora dekte (dus de materie bestemd voor de lagere humaniora + één jaar) en een tweede, dat de materie voor de poësis en rhetorica bestreek. Het was de vertaling van « Eléments dAlgèbre » van Nicolas Joseph Schons.
Beide delen verschenen ná 1949 in één gezamenlijk volume, onder de eenvoudige titel Algebra. Vermoedelijk was deze eenvoudige titel gekozen naar analogie met Eléments dArithmétique, waarvan de Nederlandse versie eveneens de simpele titel Rekenkunde droeg i.p.v. Elementen der Rekenkunde.
De Franse versie Eléments dAlgèbre bleef echter wel zijn oorspronkelijke titel behouden en bleef zelfs een zeer lang leven beschoren want een elfde, een twaalfde, een dertiende en veertiende editie verschenen nog in respectievelijk 1977, 1979, 1983 en 1994. De editie 1994 bevatte in een aanhangsel zelfs een reeks examenvragen gesteld voor het toelatingsexamen K.M.S. sectie Alle Wapens.
Eléments dAlgèbre mag nu niet verward worden met Traité dAlgèbre eveneens een boek van Schons en De Cock en dat in het Nederlands onder de titel Leerboek der Algebra verscheen en bestemd was voor de moderne humaniora.
De situatie vertoonde enige gelijkenis met de schoolboeken rekenkunde van Schons: "Eléments d'Arithmétique" (Nederlandse titel: "Rekenkunde") voor de oude, "Traité d'Arithmétique" (Nederlandse titel "Leerboek der Rekenkunde") voor de moderne humaniora.
Voor alle duidelijkheid heb ik deze situatie in een tabel samengevat:
klassieke humaniora
moderne humaniora
Arithmetiek
fr.: Eléments d'Arithmétique
ned. : Rekenkunde
fr. : Traité d'Arithmétique
ned. : Leerboek der Rekenkunde
Algebra
fr.: Eléments d'Algébre
ned. : Algebra*
fr. : Traité d'Algèbre
ned.: Leerboek der Algebra
* vóór 1949 droeg het boek ook als titel « Elementen der Algebra » en werd het gepresenteerd in twee delen:- deel I : voor de lagere humaniora + de derdes en - deel II: voor de hogere humaniora - de derdes
Het « Traité d'Algèbre » werd geschikt geacht ter voorbereiding tot het toelatingsexamens tot de K.M.S. (Polytechnische Afdeling). Zo bevatte de veertiende editie van het Traité dAlgèbre (1977) in een aanhangsel de examenvragen van het toelatingsexamen K.M.S. (secties Alle Wapens en Polytechnische Afdeling) van 1946 tot 1962.
De « Elementen van Algebra » en het « Leerboek van Algebra » van Schons waren schoolboeken, die in principe het volledig leerprogramma van de respectievelijk oude en moderne humaniora bestreken. Of toch niet helemaal want er bestond ook nog een « Complement », waarover meer in mijn tweede blog. Alleen al het bestaan van een zogenaamd « Complement » was een aanduiding dat er "binnenskamers" over de juiste inhoud van het leerprogramma gediscuteerd werd.
De leerstof van de lagere cyclus was vóór 1949 verschillend naargelang het de klassieke of moderne humaniora betrof. In het "Leerboek" werd de materie wat meer diepgaand behandeld. Ook was er een andere spreiding van de te behandelen onderwerpen in de tijd. Grosso modo kan gezegd worden dat het leerprogramma van de klassieke humaniora ongeveer één jaar achterliep op dit van de moderne humaniora.
De ministeriële circulaires van 1948 en 1949 brachten hier nu verandering in : er werd een gelijkschakeling van de wiskundeprogrammas in het lager secundair opgelegd. Deze gelijkschakeling uitte zich ook in de schoolboeken en voor de edities verschenen ná 1949, is er inderdaad, voor wat dit gedeelte betreft, geen verschil meer tussen de "Elementen" en het "Leerboek".
In het Sint Lodewijkscollege was in het begin van de jaren vijftig nog steeds het oude leerprogramma van kracht en werden de schoolboeken -versies van vóór 1949- gebruikt. Een begrijpelijke situatie, want voor het vervangen van de oude schoolboeken was wel wat meer tijd nodig.
Een en ander had tot gevolg dat ik in 1953 het eerste volume van de « Elementen der Algebra », een versie die dateerde van 1943 en die een erfenis was van mijn oudste broer, als studieboek gebruikte.
Ik vond dit boek, dat nog opgesteld was in de oude spelling (in 1946 werd een nieuwe spelling ingevoerd), voor een eerste kennismaking met de algebra, zeker niet slecht. In alle geval was het wel geschikt voor zelfstudie.... ofschoon zeker niet het ideale algebraboek.
Later, toen ik in de Cadettenschool terecht kwam, zal ik te maken hebben, met het fameuze « Leerboek der Algebra » van de collectie De Vaere - Herbiet, boek dat o.m. ook de leerstof van de lagere humaniora behandelde. En dit boek was van een heel wat hoger niveau. Jammer genoeg was mij dit schoolboek in 1954 nog niet bekend.
(Hoofdstuk 9 "Intuïtieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 9.1 Enkele meetkundige constructies
In voorbereiding van de Deductieve Meetkunde, geprogrammeerd voor de vierdes (derde jaar middelbaar) was het, volgens de Eerste Ministeriele Omzendbrief van 1948 (1) , wenselijk de Intuïtieve Meetkunde (partim Vlakke Meetkunde) nog wat verder uit te diepen, en meer precies in de zesdes (eerste jaar middelbaar).
Volgens het boek van de collectie Herbiet (Rekenkunde en Intuïtieve Meetkunde) ging het hierbij over volgende onderwerpen: uitbreidingen betreffende het hoekbegrip, uitbreidingen betreffende de begrippen loodlijnen, evenwijdige rechten en introductie van het begrip symmetrie, uitbreidingen betreffende het begrip cirkelomtrek en cirkelboog en tenslotte enkele meetkundige constructies. De uitbreidingen, waarvan sprake hadden in hoofdzaak betrekking op het waardebeloop van hoeken en de rekenkundige bewerkingen.
Andere in mijn ogen belangrijke gedeelten van de Intuïtieve Meetkunde als bvb de merkwaardige lijnen en punten in een driehoek, de Gulden Snede.. werden buiten beschouwing gelaten. Mijn inziens, een onbegrijpelijk standpunt, daar de scholieren door wat te "spelen" met passer en liniaal heel wat zelf kunnen ontdekken. Deze materie kon bvb gemakkelijk in het leerprogramma van de vijfdes (tweede jaar middelbaar) opgenomen worden. Daar in dit gedeelte van de Intuïtieve Meetkunde veelvuldig van de passer wordt gebruik gemaakt heb ik als ikoon van dit cursiefje de passer gekozen.
1° uitbreidingen betreffende het hoekbegrip:
Een hoek bleef natuurlijk gedefinieerd als het gedeelte van een vlak dat gelegen was tussen twee halve rechten met dezelfde oorsprong, maar nu werden ook de noties convexe of uitspringende en concave of inspringende hoek gedefinieerd (zie figuur 1 convexe en concave hoeken).
Vervolgens werden de rekenkundige bewerkingen met hoeken ontrafeld. Twee hoeken heten congruent als ze kunnen samenvallen. Congruente hoeken zijn gelijk omdat voor hoeken de begrippen gelijk en congruent gelijkwaardig zijn. Hoeken heten ongelijk wanneer ze niet kunnen samenvallen; een hoek heet groter dan een andere hoek indien ze een groter gedeelte van het vlak inneemt. De constructie van een hoek die gelijk is aan een gegeven hoek kan gebeuren met een zwei, met de gradenboog of met de passer.
De som van twee hoeken is de hoek gevormd door de buitenbenen van de twee hoeken, nadat men er aanliggende hoeken van gemaakt heeft. Het verschil tussen twee ongelijke hoeken is de hoek, die samengeteld moet worden bij de kleinste hoek om de grootste te vormen. Hoeken kan men vermenigvuldigen of delen met een natuurlijk getal. Hoeken zijn meetbare grootheden want hun gelijkheid en hun som werden gedefinieerd. Hoeken kunnen gehalveerd worden. Men noemt bissectrice van een hoek, de halve rechte, waarvan de oorsprong met het hoekpunt samenvalt en die de hoek in twee gelijke hoeken verdeelt.
Nevenhoeken zijn aanliggende hoeken waarvan de buitenbenen in elkaars verlengde liggen. Van een halve rechte, die met een rechte twee gelijke nevenhoeken vormt, wordt gezegd dat ze loodrecht staat op die rechte. Die gelijke hoeken worden rechte hoeken genoemd. Een gestrekte hoek is dus het dubbele van een rechte hoek. Vermits alle gestrekte hoeken gelijk zijn, zijn ook alle rechte hoeken gelijk en kan de rechte hoek dienen als hoekeenheid (1RH).
De voornaamste eenheid die men gebruikt bij het meten van hoeken is de rechte hoek (1RH). Hieruit volgt dat het maatgetal van de rechte hoek 1, van de gestrekte hoek 2, van een inspringende hoek van drie rechte hoeken 3 en van een volle hoek 4 is.
Een scherpe hoek is een hoek die kleiner is dan 1 RH, een stompe hoek is een uitspringende hoek die groter is dan 1 RH. Twee hoeken waarvan de som gelijk is aan 1RH worden complementaire hoeken genoemd. Twee hoeken waarvan de som gelijk is aan 2 RH worden supplementaire hoeken genoemd.
Het waardebeloop van een hoek waarvan één been vast is, terwijl het andere in het vlak om het hoekpunt wentelt, kan met behulp van de passer gedemonstreerd worden (zie figuur 2 waardebeloop).
Door op continue wijze de passeropening te wijzigen introduceerde men achtereenvolgens de notie nulhoek (passer gesloten), uitspringende hoek (passeropening kleiner dan 2 RH), gestrekte hoek (passeropening gelijk aan 2 RH), inspringende hoek (passeropening groter dan 2 RH) en tenslotte de volle hoek (wenteling tot de beginstand).
Een volle hoek was gelijk aan twee gestrekte hoeken dus 4 RH.
2° uitbreidingen betreffende loodlijn en evenwijdige rechten
In de Intuïtieve Meetkunde worden meetkundige constructies uitgevoerd met behulp van een lat en tekendriehoek (fr. équerre) en een passer (fr. compas), in de Deductieve Meetkunde uitsluitend met passer en liniaal (voor enkele basisconstructies met passer en liniaal zie punt 4° van dit cursiefje).
Klassieke constructies, die uitgevoerd worden met de tekendriehoek zijn:
1- Een loodlijn (fr. perpendiculaire) uit een punt neerlaten op de gegeven rechte d
2- Een loodlijn oprichten in een gegeven punt op de rechte d
3- Een evenwijdige rechte (fr. parallel) door een punt, buiten de rechte gelegen trekken aan een gegeven rechte.
4- De middelloodlijn van een lijnstuk is de rechte die in het midden van het lijnstuk loodrecht op dit lijnstuk staat. Gevraagd wordt een middelloodlijn (fr. médiatrice) op te richten op een gegeven lijnstuk
3° uitbreidingen betreffende cirkelomtrek en cirkelboog:
In de Intuïtieve Meetkunde definieert men een cirkel(omtrek) als een vlakke, gesloten, kromme lijn, waarvan alle punten op dezelfde afstand van een punt van het vlak het middelpunt- liggen. Deze afstand wordt de straal van de cirkel(omtrek) r genoemd. De cirkel -zelf was het oppervlak omschreven door de cirkelomtrek, maar in het courante spraakgebruik werd deze term zowel voor de cirkelomtrek als de voor de cirkel- zelf gebruikt. Cirkels worden getekend met behulp van een passer en de passeropening bepaalt de straal van de cirkelomtrek. Er bestaan naargelang de gebruiksvoorwaarden diverse soorten passers bvb steekpassers , krompassers , valpasser, (zie Passer (gereedschap).
Een raaklijn aan een cirkelomtrek is een rechte die met de cirkelomtrek slechts één punt gemeen heeft. De raaklijn in een gegeven punt van de cirkelomtrek is de limietstand van de rechte, die het gegeven punt met een ander punt van de cirkelomtrel verbindt als dit tweede punt tot het eerste nadert en er mee samenvalt. De nodige en voldoende voorwaarde opdat een rechte raaklijn zou zijn aan een cirkelomtrel , is dat ze loodrecht staat op de straal (voor een bewijsvoering: zie cursiefje "Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs" (2)).
Cirkelomtrekken met zelfde straal zijn congruent, wat in de Intuïtieve Meetkunde aangetoond wordt door een cirkel op papier, de andere op transparant of doorzichtig papier te tekenen. Door beide cirkels op elkaar te plaatsen zodanig dat de middelpunten samenvallen, ziet men dat ook de cirkels zelf samenvallen: ze zijn dus congruent.
Een cirkelboog is een deel van de cirkelomtrek die begrensd is door twee punten A en B bvb. Het lijnstuk AB dat de eindpunten A en B van een boog verbindt is de koorde van de boog. De diameter d van een cirkelomtrek is een koorde die door het middelpunt gaat. De diameter is de grootste koorde in een cirkelomtrek.
Twee bogen zijn gelijk als ze kunnen samenvallen, wat slechts het geval is wanneer de bogen een zelfde kromming (zelfde kromtestraal) bezitten. Is dit niet het geval dan zijn de bogen ongelijk. De gelijkheid van de bogen brengt ook die van de onderspannen koorden mede en omgekeerd brengt de gelijkheid van koorden de congruentie van de kleinste bogen mee. De som van twee bogen (in een zelfde cirkel omtrek) is de boog gevormd door de twee bogen zo geplaatst dat het eindpunt van de ene samenvalt met het beginpunt van de andere. Het verschil tussen twee ongelijke bogen is de boog, die samengeteld moet worden bij de kleinste boog om de grootste te vormen. Bogen kan men vermenigvuldigen of delen met een natuurlijk getal. Cirkelbogen zijn meetbare grootheden wan hun gelijkheid en hun som werd gedefinieerd.
De middelpuntshoek wordt gedefinieerd als de (kleinste) hoek van waaruit de boog of de koorde gezien werd vanuit het middelpunt. Uit de gelijkheid van de bogen volgt, dat bij het op elkaar leggen niet alleen de koorden zullen samenvallen, maar dat dit ook het geval is voor de corresponderende middelpuntshoeken. Tekent men in een cirkel twee onderling loodrechte diameters, dan wordt de cirkelomtrek in vier gelijke bogen en vier gelijke middelpuntshoeken verdeeld. Ieder van deze bogen is het vierde van een cirkelomtrek of een kwadrant. Twee op elkaar volgende kwadranten vormen een halve cirkel omtrek.
Verdeelt men een gestrekte hoek in 180 gelijke opeenvolgende aanliggende hoeken dan vormt ieder van deze aanliggende hoeken één Booggraad . Een booggraad is per definitie het 1/180-ste deel van een gestrekte hoek. Het maatgetal van een hoek wordt veelal uitgedrukt in booggraden en wordt gemeten met behulp bvb van een gradenboog of met een Geodriehoek .
4° de vier meetkundige basisconstructies met passer en liniaal:
De meetkundige constructies, die in de vorige paragraaf uitgevoerd werden, gebeurden met behulp van de lat en de tekendriehoek (en eventueel met de gradenboog). Bij het oplossen van meetkundige constructievraagstukken in de Deductieve Meetkunde, eiste Plato echter dat alleen en uitsluitend zou gebruik zou gemaakt worden van twee uiterst eenvoudige instrumenten als de passer en de liniaal. Dit om te vermijden dat het aantal instrumenten te sterk zou aangroeien en het gebruik ervan te ingewikkeld zouden worden. Men kan zich gemakkelijk indenken, dat niet alle constructies met behulp van deze uiterst eenvoudige instrumenten kunnen uitgevoerd worden.
De analyse van een meetkundig constructievraagstuk, dat aan Platos eis voldoet kan dus lastig zijn. Hoe men dergelijke vraagstukken het best aanpakt was leerstof voor de hogere humaniora, en werd in de Cadettenschool op een sublieme manier behandeld (zie cursiefje Wiskunde in de Cadettenschool: Axiomatische meetkunde in mijn tweede blog).
Het leerplan Intuïtieve Meetkunde voorzag echter dat al in de zesdes (eerste jaar middelbaar) de oplossingen van vier belangrijke constructievraagstukken toegelicht en aangeleerd werden, zonder een grondige analyse van het vraagstuk:
- eerste constructievraagstuk: constructie van een middelloodlijn:
De constructie van de middelloodlijn gebeurt gelijktijdig met het bepalen van het midden van een lijnstuk. Uit ieder eindpunt van het lijnstuk MN beschrijft men twee cirkelbogen met dezelfde straal die elkaar in twee snijpunten snijden. De middelloodlijn is het lijnstuk dat de twee snijpunten verbindt (voor de praktische uitvoering zie
- tweede constructievraagstuk: constructie van een loodlijn in een punt van een rechte
Zij een punt M gelegen op de rechte ab. Beschrijf uit het punt M een cirkelboog, die de rechte ab in C en D snijdt. Beschrijf uit deze punten C en D twee cirkelbogen, die elkaar in E snijden. De loodlijn is het lijnstuk EM. (zie )
- derde constructievraagstuk: constructie van een loodlijn door een punt buiten de rechte op een rechte
Zij een punt A buiten de rechte D gelegen. Uit het punt A wordt een cirkelboog beschreven, die de rechte D in M en N snijdt. Uit de punten M en N twee cirkelbogen met dezelfde straal beschrijven en hun snijpunten bepalen. De gevraagde loodlijn is de rechte die door deze snijpunten gaat. (voor de praktische uitvoering zie http://cyberlesson.free.fr/Cybermaths/Animations/Consperpencompas.htm )
- vierde constructievraagstuk: constructie van de bissectrice van een hoek
Zij een hoek xOy met als hoekpunt O. Beschrijf uit dit hoekpunt O een cirkelboog die de benen van de hoek in M en N snijdt. Trek uit de punten M en N cirkelbogen met dezelfde straal, die elkaar snijden in F. Het lijnstuk OF is de gevraagde bissectrice. (voor de praktische uitvoering zie bvb http://cyberlesson.free.fr/Cybermaths/Constructionsgeom/Bissectrice.htm )
Toepassingen: merkwaardige punten en lijnen in een driehoek
Deze basisconstructies toegepast op een willekeurige driehoek laten nu toe enkele merkwaardige punten en lijnen in een driehoek te vinden:
-Teken de drie middelloodlijnen (m a, m b, m c ) op de zijden van een driehoek. Ze snijden elkaar in één punt, het middelloodlijnenpunt O. Dit punt ligt op dezelfde afstand van de drie hoekpunten A, B en C van de driehoek en is derhalve het middelpunt van een cirkelomtrek (omgeschreven cirkel genoemd) waarop de drie hoekpunten liggen.
Vraagje: waarom moeten de drie middelloodlijnen van een driehoek elkaar noodzakelijkerwijze in één punt snijden? Tip: volgt uit de definitie van middelloodlijn
- Teken de drie bissectrices (α a, α b en α c )van de hoeken A, B en C van een driehoek. Ze snijden elkaar in één punt , het bissectricepunt I. Dit punt ligt op dezelfde afstand van de drie zijden a, b en c van de driehoek ABC en is het middelpunt van een cirkelomtrek (ingeschreven cirkel genoemd) die aan de drie zijden raakt, m.a.w. de drie zijden van de driehoek zijn raaklijnen aan de ingeschreven cirkel.
Vraagjes: waarom moeten de drie bissectrices van een willekeurige driehoek elkaar noodzakelijkerwijze in één punt snijden? Tip: volgt uit de definitie van bissectrice Waarom raakt de ingeschreven cirkel de zijden van de driehoek?
- Teken de drie hoogtelijnen (h a , h b , h c ) uit de hoekpunten A, B , C van een driehoek. Ze snijden elkaar in één punt H, het hoogtepunt van de driehoek ABC genoemd.
De bewijsvoering dat de drie hoogtelijnen elkaar in één punt snijden is minder eenvoudig en wordt uiteengezet in het cursiefje Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs (1)). De bewijsvoering berust op het terugbrengen naar het geval middelloodlijnen.
- Een zwaartelijn in een driehoek ABC is een lijnstuk dat een hoekpunt met het midden van de overstaande zijde verbindt. Teken de drie zwaartelijnen (g a, g b , g c ) van een willekeurige driehoek ABC. Ze snijden elkaar door één punt G, het zwaartepunt van de driehoek ABC geheten.
Ook hier is de bewijsvoering dat de drie zwaartelijnen elkaar in één punt snijden minder eenvoudig (voor de bewijsvoering zie cursiefje Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs (1)).
Men toont aan dat het zwaartepunt zich op 2/3 afstand van de driehoekpunten bevindt.
- Een middenparallel n a in een driehoek ABC is een lijnstuk evenwijdig met een zijde (bvb a), dat door het midden van een tweede zijde (bvb b)gaat. De driehoek gevormd door het hoekpunt A en de snijpunten van de middenparallel en de tweede en derde zijde is gelijkvormig met de driehoek ABC. De middenparallel deelt de derde zijde middendoor.
Vraagje: toon aan dat de middenparallel de derde zijde middendoor deelt (tip: gelijkvormigheid van driehoeken)
De driehoek gevormd door de drie middenparallellen (n a , n b , n c ) in een driehoek ABC wordt middenparallel- driehoek genoemd.
5° een bijzonder belangrijke meetkundige constructie: de Gulden Snede
- wat verstaat men onder de Gulden Snede? (2)
De Gulden Snede, door Euklides de verdeling in uiterste en middelste reden genoemd, is de verdeling van een lijnstuk in twee delen in een speciale verhouding. Verhandelingen over de gulden snede komen we aanvankelijk alleen op wiskundig gebied tegen. De eerste zou geschreven zijn door Theano, een arts en wiskundige die tot de school van Pythagoras behoorde. Maar dit werk zou verloren zijn geraakt. De Verdeling in uiterste en middelste reden wordt in Boek VI van de Elementen van Euklides behandeld.
Beschouwen we een lijnstuk AB en een punt M gelegen tussen A en B. Dit punt verdeelt het lijnstuk in twee ongelijke delen MA (met maatgetal a) en MB (met maatgetal b). Het lijnstuk AB is de som van de lijnstukken MA en MB of dus AB = MA + MB. Het maatgetal van AB is dus a + b. Onderstellen we verder dat MA < MB of a < b.
Bij de gulden snede verhoudt bij definitie het grootste van de twee delen zich tot het kleinste, zoals het gehele lijnstuk zich verhoudt tot het grootste.
Geven we het grootste deel (MB) aan met b en het kleinste deel (MA) met a, dan is bij de Gulden Snede de verhouding van beide zo dat b / a = (b + a) / a. De bedoelde verhouding b / a wordt het gulden getal genoemd en aangeduid met de Griekse letter φ.
Vermits b / a = (b + a) / a = 1 + a / b komt er φ = 1 + 1 / φ of nog φ² = φ + 1 wat geschreven kan worden in de gedaante van een klassieke vierkantsvergelijking (vkv):
- φ² - φ 1 = 0 die als oplossingen ( zie cursiefje Algebra in het Lager secundair Onderwijs) heeft : φ 1 = (1 + √5) / 2 en φ 2 = (1 - √5) / 2
Men heeft als oplossingen φ 1 = 1, 618033 en φ 2 = - 0,618033 waarvan alleen de positieve oplossing weerhouden wordt. Het getal φ is een irrationaal getal met als gebruikelijke benaderende waarde 1,62...
De benaming Gulden Snede is pas in de eerste helft van de 19de eeuw ontstaan en zou door Martin Ohm ( de broer van Georg Ohm, de bekende fysicus) zijn ingevoerd. Aan het eind van de Middeleeuwen en vanaf de Renaissance sprak men van de Divina Proportio. Deze benaming werd door Luca Pacioli geïntroduceerd. De namen Gulden en Divina duiden aan dat men deze verhouding toch wel zeer bijzonder vond.
Het gulden getal vertoont nu enkele onverwachte relaties met andere gebieden van de wiskunde (bvb de getallenrij van Fibonacci). Ook vindt men het Getal φ ook terug in de Natuur. Anderzijds zou de Gulden Snede ook een rol in de beeldende kunsten, de muziek en de architectuur spelen.
- de meetkundige constructies:
Om een gegeven lijnstuk in uiterste en middelste reden te verdelen worden voornamelijk twee methodes gebruikt: de methode van de rechthoekige driehoek en de methode van het vierkant. De vierkantmethode wordt uiteengezet in de deductieve meetkunde. De eerste methode is de eenvoudigste methode en wordt in de intuïtieve meetkunde gebezigd.
Zij AB het lijnstuk dat te verdelen is in uiterste en middelste reden. Teken een rechthoekige driehoek ABC met de rechthoekszijden AC van lengte 1 en AB van lengte 2. De hypotenusa BC heeft dan de lengte √5 (zie cursiefje Intuïtieve Meetkunde in het Primair Onderwijs (1)).Teken van uit C een cirkel met straal AC die de schuine zijde snijdt in D. Teken van uit B een cirkel met straal BD, die het lijnstuk AB snijdt in M. Het punt M verdeelt het lijnstuk AB volgens de Gulden Snede (zie figuur 4 gulden snede).
Wij tonen nu aan dat dit inderdaad het geval is: Uit figuur 4 volgt dat
MB = DB = √5 1 en MA = 2 (√5 1) en MA + MB = 2
waaruit MB / MA = (MB + MA) / MA
- de gulden meetkundige figuren:
Een gulden rechthoek is een rechthoek met zijden in de verhouding van het gulden getal: als a + b de lengte en b de breedte van de rechthoek voorstellen, heeft men dus a + b / b = φ.
Als we in de gulden rechthoek een vierkant tekenen, met a als zijde, dan is de kleinere rechthoek die overblijft opnieuw een gulden rechthoek (zie figuur 5 gulden rechthoek). Dit vierkant noemt men om deze reden de gnomon van de gulden rechthoek. Door dit proces met de steeds kleiner wordende rechthoeken te herhalen ontstaat een soort spiraal, de gulden spiraal genoemd (zie figuur 6 gulden spiraal).
In werkelijkheid gaat het hier om een verzameling van afzonderlijke punten. De gulden spiraal is een discontinuë spiraal in tegenstelling met de klassieke continuë logaritmische spiraal van Neper. De punten van de gulden spiraal passen echter wel in een logaritmische spiraal (voor wie meer informatie wenst zie referentie 4 chapter 12 "Spira mirabilis")
Een driehoek met hoeken van 36°, 72° en 72° heet gulden driehoek (zie figuur 7 gulden driehoek).
Waarom wordt nu een dergelijke driehoek gulden driehoek genoemd?
Trek de bissectrice van hoek B; deze snijdt de zijde AC in het punt D.
Dan geldt AD = BD = BC.
Nu is: ∆ ABC ~ ∆ BCD zodat geldt AC / BD = BC / CD of daar BD = AD geldt
AC / AD = AD / CD m.a.w.
AC / AD = φ.
Let wel dat de driehoek ∆ BCD opnieuw een gulden driehoek is en bijgevolg is de gelijkbenige driehoek ∆ ABD met hoeken van 108°, 36° en 36° de gnomon van de gulden driehoek, want het proces kan voortdurend herhaald worden. Weer ontstaat door dit proces herhaaldelijk uit te voeren een gulden spiraal.
In een regelmatige vijfhoek (pentagoon) is de driehoek gevormd door een zijde en twee diagonalen een gulden driehoek (zie figuur 8 pentagoon en gulden driehoek).
Het pentagram (vijfhoekige regelmatige ster) ontstaat door de zijden van een regelmatige vijfhoek twee aan twee te verlengen. Het pentagram was het zinnebeeld van de School van Pythagoras en is opgebouwd uit gulden driehoeken (zie figuur 9 pentagram).
vraagje: hoeveel gulden driehoeken telt een pentagram?
De Gulden Ellips is de ellips waarvan de verhouding grote as tot kleine as gelijk is aan het getal φ (zie figuur 10 gulden ellips).
Volgens een experimenteel (statistisch) onderzoek uitgevoerd door Gustav Fechner ("Zur experimentalen Aesthetik") zou onder de ellipsen, de gulden ellips door de meeste personen als de meest esthetische ervaren worden. Gustav Theodor Fechner (1801-1887) studeerde geneeskunde en werd in 1834 benoemd tot Ordinarius in de Natuurkunde aan de Universiteit van Leipzig. Om gezondheidsredenen diende hij echter zijn positie in 1839 op te geven. Hij wordt als de grondlegger van de experimentele psychologie beschouwd.
Zoals steeds bij dergelijke experimentele statistische onderzoeken, werden ook hier de bekomen resultaten in twijfel getrokken..
- een wiskundige relatie: het getal φ en de getallenrij van Fibonacci (3)
Het getal φ bezit een merkwaardige eigenschap: Uiteraard is φ0 = 1 en φ1 = φ = 0 + φ maar uit de definitie van het getal φ volgt ook nog φ² = φ + 1 of beter φ² = 1 + φ .
De deeltermen van deze rekenkundige rij zijn samengesteld zijn uit de n-1de en de nde term van getallen rij van Fibonacci . Men bekomt deze laatste rij door steeds de som te maken van de twee voorgaande getallen uit de rij. Deze som is dan het volgende getal in de rij enzovoort. De rij ziet er dan als volgt uit : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ...
In de limiet is de verhouding tussen twee opeenvolgende Fibonacci- getallen precies (1+√5)/2 m.a.w. het getal φ,
Opmerking: Andere interessante wiskundige relaties bvb tussen het getal φ en bepaalde trigonometrische functies vindt men in het boek van H.E. Huntley The Divine Proportion (4) . Men heeft sin 18° = 1 / (2 φ) en cos 36° = φ / 2 . De gedetailleerde afleiding van deze betrekkingen vindt men in een artikel (5) van Dick Klingen.
- het getal φ in de Natuur
Het getal φ komt zoals het getal π ook in de Natuur voor en i.h.b. in de levende Natuur. Het was DArcy Wentworth Thompson die in zijn boek « On Growth and Form » (6) hierop de aandacht vestigde. Thompson (1860- 1948) was én bioloog én wiskundige en zijn boek blijft nog steeds actueel.
In tegenstelling met het getal π is de observatie van het getal φ in de Natuur heel wat minder evident. Veel geciteerde voorbeelden zijn de Nautilus- schelp en de fyllotaxis, d.i. de inplanting van bladeren op een tak, of van de bloemblaadjes in het hart van een bloem of van de schubben op een dennenappel (7) .
Volgens Albert Van der Schoot (8) , is er tussen de bouw van de nautilus-schelp en de gulden snede geen enkel dwingend verband te leggen. Volgens deze auteur, kan je, als je wilt, de gulden snede er in projecteren, maar dat zegt meer over de waarnemer dan over het feit. Zo vergaat het vrijwel alle natuurverschijnselen die in de negentiende en twintigste eeuw als manifestatie van de goddelijke verhouding naar voren worden geschoven. Ze kloppen niet, of hoogstens ten naaste bij, of blijken ontsproten aan de verhitte fantasie van bevlogen natuurvorsers en dit is volgens Van der Schoot het geval bij de Nautilus- schelp. Alleen de fyllotaxis vindt enigszins genade in zijn ogen en blijkt aan de voorwaarden te voldoen, maar ook dat heeft, zo merkt Van der Schoot op, eigenlijk andere oorzaken.
In feite ontkent Van der Schoot dat er een wiskundig verband bestaat tussen de gulden snede en de logaritmische spiraal, terwijl alle wiskundigen juist wel dit verband zien. Het eigenlijke vakgebied van de auteur is de filosofische esthetica en dat verklaart wellicht veel
- het getal φ in de kunst
Klassieke voorbeelden zijn hier de piramide van Cheops, het Parthenon en de beelden van Phidias. De eerste letter van de naam van deze befaamde beeldhouwer, de Griekse letter φ, werd daarom door Mark Barr gebruikt om de gulden snede aan te duiden.
Wat we zeker weten is dat, wat men later de Gulden Snede is gaan noemen, als een interessante architecturale verhouding werd gebruikt o.m. bij de Egyptenaren en de Grieken. De afmetingen van de Grote Piramide bewijzen dit overduidelijk (9) .
De eerste Griekse architect die bewust voor die verhouding koos was de beeldhouwer Phidias (490-430 V.C.) die ook het Parthenon ontwierp. Phidias schreef dat de verhouding gelijk is aan de totale lengte tot de langste of de langste tot de kortste zijde...
De Gulden Snede zou sindsdien volgens sommigen een intrinsieke schoonheid bezitten waardoor die verhouding veel zou voorkomen in klassieke architectuur, de beeldhouwkunst en in de schilderkunst. Of de vroegere grote kunstenaars steeds bewust de Gulden Snede in hun kunstgewrochten hebben verwerkt is natuurlijk niet zeker.
Wel verwierf, in de loop van de twintigste eeuw, de gulden snede een plaats in diverse vormen van kunstonderwijs. Schilders als Picasso en Salvator Dali en architecten als Le Corbusier hebben de Gulden Snede bewust toegepast.
-------------------------------
(1) « De studie van de beginselen der meetkunde in de zesde (eerste jaar middelbare school) moet practisch en aanschouwelijk zijn. Zij moet er toe leiden de opmerkingsgave te ontwikkelen en terzelfdertijd dienen als inleiding tot de beredeneerde meetkunde » (Omzendbrief van 24 augustus 1948)
(2) Er bestaat heel wat literatuur over de Gulden Snede en het Gulden Getali.h.b. voor wat de relatie met de Kunst en de Biowetenschappen betreft. Andere bronnen (zie (8)) trekken dan weer deze relatie in twijfel en geven blijk van een overdreven scepticisme, andere zijn dan weer iets te esoterisch van karakter.
Het boek Le Nombre dOr Clé du Monde vivant van Dom Neroman (Dervy, -1981-) behoort tot de esoterische categorie, maar is op wiskundig vlak zeker het lezen waard, want geschreven in een zeer begrijpelijke taal. Dom Neroman is de schuilnaam van Pierre Rougié, een astroloog maar ook mijningenieur (zie http://fr.wikipedia.org/wiki/Dom_Neroman ).
Ook te vermelden is "De Gulden Snede" van C. J. Snijders (een scheikundig ingenieur), dat vanaf de vierde druk herzien werd door M. Gout, een bouwkundig ingenieur. Dit boekje van amper 90 pagina's is een echte klassieker, die nog in 2008 zijn vijfde druk beleefde, neemt als vertrekpunt de getallenrij van Fibonacci.
Een populair werk is "Divine Proportion: Phi, Art, Nature, Science" van Priya Hemenway, dat ook in het Frans en het Nederlands vertaald werd. Dit boek mist echter de nodige wiskundige diepgang.
(3) Leonardo van Pisa (genaamd Fibonacci, Filius Bonaccii, wat "zoon van Bonaccio" betekent) leefde ca. 1175-1250. Fibonacci publiceerde in zijn boek Liber Abaci het befaamde "konijnenvraagtuk" waarvan de getallen van Fibonacci de oplossing zijn.
(4) H. E Huntley The Divine Proportion (Dover, -1970-). Dit werk werd ook in het Frans vertaald en in combinatie met Le Nombre dOr radiographie dun mythe- van Marguerite Neveux uitgegeven bij Seuil (1995). Marguerite Neveux is Maître de conférences en Histoire de lArt aan de de Universiteit van Parijs.
(8) Albert Van der Schoot « De Ontstelling van Pythagoras over de geschiedenis van de goddelijke proportie- » (Kok Agora, -1998-)
Albert van der Schoot is filosoof en muziekwetenschapper, docent cultuurfilosofie en esthetica aan de Universiteit van Amsterdam. In dit lijvig, doctoraal proefschrift van 442 paginas wordt nagegaan, welke rol wiskundige verhoudingen, en met name de 'goddelijke proportie', hebben gespeeld in het westerse denken over natuur en kunst. Volgens deze auteur zou de goddelijke proportie, als esthetisch ideaal, geen erfenis zijn van de Oudheid, noch van de Renaissance, maar een uitvinding van de Romantiek. Een "boude" stelling, waarmede velen het niet eens zullen zijn. Ook lijken mij zijn uitspraken over bvb de Nautilus schelp erg overtrokken. Men mag zich terecht afvragen of de auteur wel hoofdstuk XI "The equiangular spiral" van "On Growth and Form" van D'Arcy Wentworth Thompson heeft doorgenomen. De argumentatie ontwikkeld in voornoemd hoofdstuk, dat meer dan honderd pagina's telt is overtuigend genoeg..
(Hoofdstuk 9 "Intuïtieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 9.2 De Stelling van Thales
Het introduceren van de Deductieve (of Axiomatische) Meetkunde vanaf de vijfde (tweede jaar middelbaar) of vanaf de vierde humaniora (derde jaar middelbaar), zoals opgelegd in het begin van de jaren vijftig, was naar mijn mening geen erg gelukkig initiatief. Deze introductie gebeurde in die jaren volgens een methode uitgewerkt door Adrien-Marie Legendre (1) , een methode, die bvb integraal gevolgd werd door het bekende schoolboek van Dalle en De Waele. Wellicht zou het beter geweest zijn, het introduceren van deze Deductieve Meetkunde nog met een jaar uit te stellen en uitsluitend voor te behouden voor het hoger middelbaar?
In het lager middelbaar had men dan de vrijgekomen uren kunnen besteden aan het nog wat verder uitdiepen van de Intuïtieve Vlakke Meetkunde o.m. met de stelling(en) van Thales van Milete (zie ikoon) en met een wat meer diepgaande studie van de regelmatige veelhoeken, de cirkel en de ellips. Een dergelijke aanpak leek mij i.h.b. aangewezen voor Grieks-Latinisten, die op deze wijze kennis konden maken met een tweede grote figuur uit de Griekse wiskunde met name Thales van Milete.
Natuurlijk weet ik wel dat vele wiskundigen het met mijn stellingname niet eens zullen zijn en het argument zullen aanvoeren, dat zo vroeg mogelijk met een deductieve (of axiomatische) meetkunde moet gestart worden om te vermijden dat de scholier verkeerde begrippen of ideeën krijgt ingeprent. Ook is er het beginsel dat systematische deductie essentieel is voor een goede wiskundige vorming en dat er zo snel mogelijk, d.i. van zodra didactisch haalbaar, met een systematische bewijsvoering moet gestart worden.
Mag ik hier toch even aanhalen, dat op de dag van vandaag Meetkunde in het secundair onderwijs tot een minimum (eufemisme) is herleid en dat de Intuïtieve Meetkunde al evenmin aan bod komt? In mijn ogen een zeer ongelukkige situatie, waardoor vele volwassenen elk meetkundig inzicht missen en niet eens meer in staat zijn bvb de inhoud van een pyramide, bol of wat dan ook te berekenen.
Overigens mag wel eens benadrukt worden dat juist een goede kennis van de Intuïtieve Meetkunde er toe leidt het werk van Euclides volledig naar waarde te schatten Wat door intuïtie, observatie en experiment was gevonden, werd immers door deze Alexandrijnse wiskundige in een min of meer sluitende, axiomatische theorie samengevat (2)
* * *
Maar terug naar Thales van Milete(2) . Alles wat we van Thales weten is uit 'tweede hand', dus afkomstig van mensen die over hem hebben geschreven. Van zijn geschriften is niets bewaard gebleven. Het is zelfs onduidelijk of hij ooit wel iets heeft geschreven. Ook werden in die tijd aan beroemde persoonlijkheden vaak allerlei zaken toegeschreven die ze wellicht helemaal niet zelf hadden gedaan of bedacht. Toch wordt Thales gezien als de eerste Griekse filosoof, natuurwetenschapper en wiskundige. Hij was de eerste bekende denker over de wiskunde en de natuurwetenschap. Zo zou hij een boek over navigatie hebben geschreven waarin hij zeevaarders aanraadde om hun koers te bepalen met behulp van het sterrenbeeld de Kleine Beer (in plaats van de Grote Beer). Ook worden een aantal stellingen van de Griekse meetkunde aan hem toegeschreven.
Volgens sommigen was Thales' wiskundige kennis niet veel meer dan wat hij die geleerd had op zijn reizen naar Egypte, waar deze meetkundige kennis al lang bekend was. Het is ook erg onzeker of Thales al een idee had van de abstracte theorie van de vlakke meetkunde en begrippen als 'stelling' en 'bewijs', zoals men drie eeuwen nadien bij Euklides aantreft.
Een zestal stellingen uit de vlakke meetkunde worden aan Thales van Milete toegeschreven:
I- Een cirkel wordt door elke diameter in twee gelijke stukken verdeeld.
II- De basishoeken van een gelijkbenige driehoek zijn gelijk.
III- De overstaande hoeken bij twee snijdende lijnen zijn gelijk.
IV- Twee driehoeken zijn congruent als ze twee hoeken en een zijde gelijk hebben.
V- Elke omtrekshoek op de middellijn van een cirkel is een rechte hoek of nog Van een rechthoekige driehoek is het midden van de schuine zijde het middelpunt van de omgeschreven cirkel
Deze vijfde stelling is bekend als de« cirkelstelling » van Thales. Noteer dat deze stelling ook al door de bouwmeesters van het Oude Egypte werd gebruikt. De cirkelstelling komt bij Euklides voor in het Zesde Boek propositie 31.
Een zesde stelling, die eveneens aan Thales toegeschreven wordt en die ten lande -althans in Frankrijk, België, Zwitserland- als DE stelling van Thales wordt beschouwd, is de zogenaamde « intersectiestelling ». Deze Intersectiestelling komt bij Euklides voor in het Zesde Boek Propositie 2 (VI, 2) en kan ook nog als volgt geformuleerd worden:
VI- Evenwijdige lijnen snijden van twee lijnen evenredige stukken af.
De Cirkelstelling en de Intersectiestelling en vooral hun toepassingen vinden hun plaats in de Intuïtieve Meetkunde. Meer nog ze kunnen ook nog op basis van voorgaande stellingen uit de Intuïtieve Meetkunde worden afgeleid en bereiden ook voor op de meetkunde van Euclides. Overigens voert de intersectiestelling rechtstreeks tot een eerste kennismaking van wat men later trigonometrie is gaan noemen.
1° De Cirkelstelling van Thales (3) :
De cirkelstelling van Thales luidt als volgt: « Een driehoek ∆ ABC omschreven door een cirkel, en waarvan één zijde een middellijn van de cirkel vormt, is een rechthoekige driehoek. »
Gegeven: een ∆ ABC ingeschreven in een cirkel met AC als middellijn.
Te bewijzen: hoek B is een rechte hoek.
Bewijs: Deze stelling is eenvoudig te bewijzen met behulp van figuur 1 cirkelstelling van Thales (zie bijlage 1). Men drukt meetkundig uit dat men met een omgeschreven cko te doen heeft en trekt de straal OB. Aangezien O het middelpunt van de cirkel is, is de afstand OA gelijk aan OB en zijn de hoeken α gelijk. Een analoog argument laat zien dat de hoeken β gelijk zijn. Voor de driehoek ABC geldt dat de som der hoeken gelijk is aan 180°. Hieruit volgt dat α + (α + β) + β = 180° en dus dat α + β = 90°.
De omgekeerde stelling is eveneens waar: « De omgeschreven cirkel van een rechthoekige driehoek heeft de hypotenusa van deze driehoek als middellijn »
Gegeven: ∆ ABC is een rechthoekige driehoek met hoek B als rechte hoek
Te bewijzen: BC is de middellijn van de omgeschreven cirkel. Of nog het midden M van BC is het middelpunt van de omgeschreven cko van de rechthoekige ∆ ABC.
Bewijs: Over het algemeen loopt het bewijzen van een omgekeerde stelling minder vlot omdat het vinden van de nodige hulplijnen voor de bewijsvoering veelal minder evident is. Hier is het probleem: hoe druk ik in de meetkundige figuur uit dat M het middelpunt van de omgeschreven cirkel is? Dit gebeurt door de middelloodlijnen op de zijden AB en CB te tekenen (zie figuur 2 omgekeerde cirkelstelling van Thales). Zij M het snijpunt van de twee middelloodlijnen en P en Q de snijpunten van de middelloodlijnen met AB en BC.
Men heeft MQ evenwijdig met AB en dus ∆ CMQ ~ ∆ CAB waaruit CM : CA = CQ : CA = 1/2. Verder is PM evenwijdig met BC en dus ∆ APM ~ ∆ABC waaruit AM : AC = AP : AB = 1/2 Het snijpunt van de middelloodlijnen ligt dus in het midden van de hypotenusa AC en is uiteraard het middelpunt van de omgeschreven cko.
Zijn boek Eléments de Géométrie is een meer eenvoudige benadering van de deductieve meetkunde vergeleken met deze door Euklides gebruikt in de fameuze Elementen. Legendres boek kende een enorm succes en werd dan ook in meerdere talen (Engels, Duits..) vertaald. Eléments de Géometrie omvatte al evenmin als Euklides Elementen een sluitende axiomatische theorie en een David Hilbert heeft dit met brio aangetoond in zijn boek « Grundlagen der Geometrie » ( zie: http://www.archive.org/details/grunddergeovon00hilbrich )
(Hoofdstuk 9 "Intuïtieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")
§9.3 Symmetrie en het beginsel van Cavalieri
In de Intuïtieve Meetkunde werd ook al enige aandacht besteed aan het begrip Symmetrie. Hier toch even aanstippen dat symmetrie in de Wiskunde, maar ook in de Natuurkunde en bvb de Kristallografie een erg belangrijk begrip is (zie http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry ) en dat dus een eerste kennismaking al in het Hoger Primair of Lager Secundair Onderwijs zeker verantwoord was en is.
Men spreekt van (meetkundige) symmetrie (Grieks: συν, samen en μετρον, maat) bij een object als twee helften van het object in een bepaalde zin elkaars spiegelbeeld zijn. Dit spiegelen kan ten opzichte van een punt, een lijn of een vlak zijn.
1° Symmetrie in het vlak en in de ruimte:
In het schoolboek Intuïtieve Meetkunde van de collectie De Vaere Herbiet werden vooreerst de begrippen symmetrie t.o.v. een rechte, en symmetrie t.o.v. een punt in het vlak aan de hand van enkele praktische voorbeelden uit het dagelijkse leven gedefinieerd en toegepast op enkele meetkundige figuren als vierkant, rechthoek, ruit en dito...
- symmetrie t.o.v. een rechte: twee vlakke figuren liggen symmetrisch t.o.v. een rechte uit dit vlak, de symmetrieas geheten, indien bij een halve omwenteling om deze as elke figuur precies de stand inneemt die de andere te voren innam. Of nog indien de twee figuren elkaar volkomen bedekken, als men het blad waarop beide figuren getekend zijn volgens de as omplooit (voor een voorbeeld zie figuur 1 symmetrie t.o.v. een rechte). Objecten, die geen symmetrieas hebben worden asymmetrisch genoemd.
- symmetrie t.o.v. een punt: een vlakke figuur is symmetrisch t.o.v. een punt van dit vlak, als zij terug hetzelfde uitzicht vertoont, na een halve omwenteling (180°) om dit punt (voor een voorbeeld zie figuur 2 symmetrie t.o.v. een punt). Puntsymmetrie is een bijzonder geval van draai- of rotatie symmetrie. Bij draaisymmetrie bekomt men hetzelfde uitzicht na een wenteling van x° (bvb 90°, 60° enz.) en men spreekt dan van een rotatie- as van 90°, 60° enz.
Toepassing: De symmetrie van vlakke figuren:
Vierkant: Het vierkant heeft vier symmetrieassen en één symmetriemiddelpunt
Rechthoek: De rechthoek heeft twee symmetrieassen; het zijn de rechten die de middens van twee overstaande zijden verbinden. De rechthoek heeft één enkel symmetriemiddelpunt: het snijpunt van de twee symmetrieassen.
Ruit: De ruit heeft twee symmetrieassen, de diagonalen, en één symmetriemiddelpunt, hun snijpunt.
Parallellogram: Het parallellogram heeft geen symmetrieas, maar wel een symmetriemiddelpunt
Driehoek: Een willekeurige driehoek heeft geen symmetrieas, noch symmetriemiddelpunt. Een gelijkbenige driehoek heeft één symmetrieas, een gelijkzijdige driehoek drie symmetrieassen. Een gelijkzijdige driehoek heeft een draaisymmetrieas van 60°.
Cirkel: De cirkel is de meetkundige figuur met volkomen symmetrie: elke diameter is een symmetrieas en het middelpunt van de cirkel is zijn symmetriemiddelpunt.
Enkele vraagjes:
1- welke hoofdletters (drukwerk) hebben een verticale, een horizontale en twee symmetrieassen?
2- welke cijfers (drukwerk) hebben twee symmetrieassen en een symmetriemiddelpunt?
Vervolgens kwam de symmetrie in de ruimte aan de beurt, waarbij naast symmetrie t.o.v. een rechte, en symmetrie t.o.v. een punt nu ook nog de symmetrie t.o.v. een vlak gedefinieerd werd en de symmetrie van enkele meetkundige lichamen, kubus, cilinder, bol onderzocht werden.
- symmetrie t.o.v. een vlak: twee lichamen liggen symmetrisch t.o.v. een vlak, dat symmetrievlak geheten wordt, als zij elkaars spiegelbeeld zijn.
Plaatst men een object voor een spiegel dan is het spiegelbeeld van het object het symmetrisch beeld van het object en de spiegel het symmetrievlak. Bij symmetrische objecten ligt ieder punt van object en symmetrisch object op gelijke afstand van het symmetrievlak. Een voorbeeld van symmetrische objecten t.o.v. een vlak zijn bvb de handpalmen. Leg beide handpalmen goed tegenover elkaar, maar gescheiden door bvb een eenvoudig stuk karton. Beide handen liggen symmetrisch ten opzichte van het karton want met ieder punt van de ene hand stemt een punt van de andere hand overeen en beide punten liggen op gelijke afstand van het karton dat als symmetrievlak optreedt.
Symmetrische objecten of lichamen bezitten een gelijk volume, doch velen kunnen niet op elkaar gelegd worden. Zo past bvb de linker handschoen inderdaad niet aan de rechterhand. Neem echter een rechter handschoen en stroopt ze over: ze past nu wel aan de linkerhand.
Toepassing: De symmetrie van ruimtelijke lichamen
Een rechte die doorheen een lichaam gaat is een symmetrieas als, bij wentelen om deze rechte, het lichaam in zijn oorspronkelijk uizicht terugkeert na iedere halve omwenteling (180°).
De nodige en voldoende voorwaarde opdat een punt een symmetriepunt van een lichaam zou zijn is dat dit punt het middelpunt is van alle lijnstukken die men door dit punt kan trekken en waarvan de eindpunten op het oppervlak van het lichaam liggen.
Kubus: De kubus bezit 3 + 6 of 9 symmetrieassen: drie gaan door de symmetriemiddelpunten van twee overstaande zijvlakken; 6 gaan door de middens van twee evenwijdige ribben (zie figuur 3 symmetrieassen kubus). De diagonalen van een kubus zijn rotatieassen met een hoek van 120° (een derde van een volledige omwenteling). De kubus bezit één symmetriemiddelpunt.
Cilinder: De (rechte) cilinder bezit als hoofdsymmetrieas de rechte die door de middelpunten van grond- en bovenvlak gaat en een onbeperkt aantal zijsymmetrieassen bepaald door twee diametraal gelegen punten op de cilinder mantel (zie figuur 4 symmetrieassen cilinder). Het midden van de hoofdsymmetrieas van de cilinder is het enige symmetriemiddelpunt van de cilinder.
2° De scheve meetkundige lichamen
Een vlakke doorsnede in een meetkundig lichaam aanbrengen is een bewerking, die analoog is met het doorzagen op een bepaalde manier van het overeenkomstig stoffelijk lichaam maar die uitgevoerd wordt op de meetkundige figuur, die dit lichaam voorstelt.
Voor enkele voorbeelden van doorsneden in de kubus, respectievelijk rechte cilinder zie figuur 5 doorsneden van een kubus en figuur 6 doorsneden van een cilinder).
Op dezelfde wijze kan men een doorsnede aanbrengen doorheen een prismatisch of cilindrisch oppervlak.
Brengt men nu twee evenwijdige doorsneden aan doorheen een dergelijk oppervlak, dan wordt het aldus ontstane meetkundig lichaam (prisma, cilinder) recht of scheef geheten naargelang de doorsneden al dan niet loodrecht staan:
- op de rechte die zich evenwijdig aan zichzelf verplaatst en steeds een gebroken lijn snijdt, bij een prismatisch oppervlak
- op de omwentelingsas bij een cilindrisch oppervlak
Zowel bij rechte als scheve prisma's en cilinders wordt de afstand tussen de twee evenwijdige doorsneden de hoogte van het prisma of van de cilinder genoemd. Bij scheve cilinders bezitten de evenwijdige doorsneden de vorm van een ellips.
Voor scheve prismas respectievelijk scheve cilinders blijft onverminderd gelden:
V scheef prisma = S grondvlak x h
V scheve cilinder = S grondvlak x h
Het grondvlak van een scheve cilinder is een ellips waarvan de oppervlakte gegeven wordt door:
S ellips = π . a . b (a en b zijnde de kleine respectievelijk grote straal van de ellips)
Voor de scheve cilinder komt er:
V scheve cilinder = π . a . b . h
Een piramide of kegel wordt recht of scheef geheten naargelang de loodlijn neergelaten op het grondvlak van de piramide, deze al dan niet snijdt in het zwaartepunt van het grondvlak.
Voor een scheve piramide respectievelijk scheve kegel blijft onverminderd gelden:
V scheve piramide = 1/3 S grondvlak x h
V scheve kegel = 1/3 S grondvlak x h
Voorgaande formules worden met de nodige gestrengheid bewezen in de Deductieve Ruimtemeetkunde maar kunnen insgelijks afgeleid worden uit het beginsel van Cavalieri (1) :
« Als twee meetkundige lichamen worden ingesloten door twee evenwijdige vlakken en de doorsneden doorheen deze lichamen gemaakt door een vlak V evenwijdig met voornoemde vlakken steeds dezelfde oppervlakte bezitten, dan hebben beide lichamen hetzelfde volume »
(zie figuur 7 beginsel van Cavalieri).
Hoe kwam Cavalieri tot dit beginsel?
Onderstel twee identieke stapels van bladen papier die elk op zich een balk (recht parallellepipedum) vormen. Door één van die stapels een duw te geven, verkrijgt men een scheef parallellepipedum met zelfde rechthoekig grondvlak. Omdat de ruimte ingenomen door de bladen papier dezelfde is gebleven, is het aannemelijk dat het volume van beide stapels papier hetzelfde is gebleven.
Cavalieri veralgemeende nu dit beginsel. De bladen papier van beide stapels hoeven niet congruent te zijn; het volstaat dat ze dezelfde oppervlakte hebben. Bovendien moeten de stapels niet samengesteld zijn uit identieke bladen, het volstaat dat de oppervlakte van de bladen die op gelijke hoogte liggen dezelfde oppervlakte hebben. Hij kwam aldus tot het beginsel:
"Twee meetkundige lichamen waarvan de doorsneden op een willekeurige hoogte dezelfde oppervlakte hebben, hebben hetzelfde volume"
Later ging Cavalieri nog een stap verder en breidde zijn beginsel nog verder uit:
"Twee meetkundige lichamen waarvan de doorsneden op willekeurige hoogte een vaste verhouding hebben en die dus niet afhangt van deze hoogte, hebben volumes die ook in deze verhouding staan"
Op te merken valt, dat deze principes, die Cavalieri expliciet formuleerde in de zeventiende eeuw, reeds door Archimedes toegepast werden zoals blijkt uit een in 1900 ontdekt werk (een palimpsest) "De Methode".
Archimedes gebruikte in "De Methode" een dergelijk beginsel voor het bepalen van het volume van de bol. Hij beschouwde echter een dergelijke afleiding niet als een bewijs: een dergelijke bewijsvoering past immers niet in het axiomatisch systeem ontwikkeld door Euklides en mengt bovendien wiskunde met ideeën uit de fysica.
Het échte bewijs voor de bolformule steunt op de exhaustiemethode van Eudoxos en vindt men in "De Bol en de Cilinder", eveneens een werk van Archimedes. Deze exhaustiemethode (of "uitputtingsmethode") past volkomen in de deductieve opbouw van de "Elementen" van Euklides.
3° Over polyeders en (half-)regelmatige ruimtelijke lichamen
- definities:
Een veelvlak, polyeder of polyhedron is een ruimtelijk object dat alleen platte zijvlakken heeft. Cilinders en bollen zijn dus geen veelvlakken, balken en piramides zijn wel veelvlakken. Waar de zijvlakken aan elkaar grenzen, zitten de ribben van het veelvlak, en waar de ribben elkaar tegenkomen, zitten de hoekpunten.
Polyhedron is de wetenschappelijke naam voor een veelvlak. Het woord is een samenstelling van de Griekse uitdrukkingen poly, wat veel betekent en hedron wat vrij vertaald vlak (zoals in oppervlak) betekent.
Het tweedimensionaal analogon van veelvlak is veelhoek en zoals er regelmatige veelhoeken bestaan komen er regelmatige en halfregelmatige veelvlakken of lichamen voor.
Bij regelmatige en halfregelmatige lichamen liggen alle hoekpunten op een boloppervlak en zijn alle vlakken regelmatige veelhoeken. In geval deze regelmatige veelhoeken nu ook nog identiek zijn, spreekt men van regelmatige veelvlakken of Platonische lichamen . Zoals verder aangetoond wordt, kunnen er slechts 5 Platonische lichamen bestaan.
De benaming Archimedisch lichaam is afgeleid van de Griek Archimedes, die gedetailleerd de meetkunde van deze lichamen beschreef.
In de Renaissance herleefde de belangstelling voor deze pure vorm van meetkunde en verscheidene wiskundigen ontdekten opnieuw deze vormen. Rond 1620 werd deze herontdekking afgerond door Johannes Kepler. Kepler bestudeerde de prisma's en de antiprisma's, en verder de niet-convexe vormen, die nu bekend staan onder de naam Kepler-Poinsot-lichamen. Er zijn oneindig veel prisma's en antiprisma's. Er zijn echter maar 13 Archimedische lichamen (15 lichamen als de spiegelbeelden van twee chirale(2) vormen erbij geteld worden).
De meetkunde van de polyeders is niet alleen van groot belang voor natuurwetenschappers (bvb voor de kristallografie) maar ook voor biowetenschappers (studie van de morfologie). Ook voor "design" -ontwerpers is deze meetkunde noodzakelijk. Het ware dus wenselijk dat de eerste beginselen van deze meetkunde ook in het Primair Onderwijs zouden behandeld worden, en in de eerste plaats de Platonische lichamen. - de Platonische lichamen:
De regelmatige veelvlakken worden ook wel Platonische lichamen genoemd, omdat ze ontdekt zijn door Plato. De bekende Pythagoras wist al van het bestaan van drie van de vijf regelmatige veelvlakken af: het viervlak, het zesvlak (kubus) en het twaalfvlak. Plato bracht de vijf regelmatige veelvlakken in verband met de vijf kosmische bouwstenen van de wereld: vuur, lucht, water, aarde en hemelmaterie. De wiskundige en astronoom Kepler bracht ze twee millennia later in de tussentijd waren de halfregelmatige veelvlakken al ontdekt in verband met de structuur van het zonnestelsel. In die tijd waren behalve de aarde slechts vijf planeten bekend. De ikoon van dit cursiefje stelt Keplers model van de 5 platonische lichamen voor (uit Mysterium Cosmographicum -1596-).
Vroeger werd in het laagste klassen van het Primair Onderwijs, slechts één platonisch lichaam nl. de kubus of hexaëder besproken, terwijl verder in het MULO of secundair onderwijs, de andere 4 platonische lichamen nauwelijks aan bod kwamen of zeer summier behandeld werden. Nochtans spelen de andere regelmatige veelvlakken een belangrijke rol op wetenschappelijk vlak. De tetraëder structuur bvb is van zeer groot belang in de koolstofchemie. ..
Een overzicht van de voornaamste meetkundige eigenschappen van de platonische lichamen (zie figuur 8 platonische lichamen) wordt gegeven in onderstaande tabel:
grieks
nederlands
zijden per vlak (v)
vlakken per hoekpunt (p)
vlakken (z)
ribben (r)
hoeken (h)
tetrahedron
tetraëder
3
3
4
6
4
hexahedron
hexaëder
4
3
6
12
8
octahedron
octaëder
3
4
8
12
6
dodecahedron
dodecaëder
5
3
12
30
20
icosahedron
icosaëder
3
5
20
30
12
Algemeen is er bij ruimtelijke convexe figuren een verband tussen h = het aantal hoekpunten (vertices"), r = het aantal ribben ("edges") en z = het aantal zijvlakken ("faces"). Door Euler werd volgend verband gevonden (zie cursiefje "Wiskunde in de Cadettenschool: Deductieve Meetkunde II" in blog 2:
h + z = r + 2 (de formule van Euler)
Inzonderheid geldt deze formule ook voor de Platonische lichamen, zoals men gemakkelijk uit de bovenstaande tabel kan afleiden.
Bij een Platonische lichaam liggen alle hoekpunten op eenzelfde boloppervlak en is het middelpunt van de bol een symmetriepunt. Bijgevolg kan elk Platonisch lichaam beschouwd worden als zijnde opgebouwd uit regelmatige piramiden waarvan de grondvlakken de vlakken van het Platonisch lichaam zijn. Een tetraëder is opgebouwd uit 4, een hexaëder (kubus) uit 6, een octaëder (bipiramide) uit 8,een dodecaëder uit 12 en een icosaëder uit 20 regelmatige piramides.
Enkele decennia terug werd in België over de principes van Cavalieri met geen woord gerept in het Primair of Lager Secundair Onderwijs, want de opvattingen van Cavalieri, hoe nuttig en interessant ook, hielden een ernstig fundamenteel probleem in (zie cursiefje Wat is Calculus? in blog 2). De ernst van het probleem was van die aard, dat de theorie niet geschikt werd geacht voor het onderwijs op dit niveau. In de laatste jaren is hierin echter verandering gekomen, zoals enkele monografieën bvb Des situations pour enseigner la Géométrie (cojerem -1995-) en Approche heuristique de lAnalyse (GroupeAHA -1999-) duidelijk aantonen.
§ 10.1 Planimetrie en Dalle's Eerste en Tweede Boek (I)
(Hoofdstuk 10 "Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 10.1 Planimetrie en Dalle's Eerste en Tweede Boek
Deductieve Meetkunde (1) diende normaal al onderwezen te worden vanaf het tweede jaar middelbaar en niet vanaf het derde middelbaar althans volgens de ministeriële omzendbrief van 1949. In het Officieel Rijksonderwijs werd deze omzendbrief vrijwel onmiddellijk toegepast. In het Vrij Onderwijs was echter een aanpassingsperiode nodig.
Begin de jaren vijftig, werd in het Sint Lodewijkscollege nog steeds het leerplan, daterend van vóór WOII - d.i. volgens de ministeriële omzendbrief van 1938-, gevolgd. Met het gevolg, dat deze meetkunde nog steeds vanaf het derde middelbaar (de vierdes) onderwezen werd, terwijl in andere onderwijsinstellingen (bvb athenea), dit dus al gebeurde vanaf het tweede middelbaar (de vijfdes).
Of dit vroegtijdig invoeren van de Deductieve Meetkunde een gelukkig initiatief was, blijft naar mijn mening een open vraag. Wellicht ware het beter geweest de leerstof Intuïtieve Meetkunde eerst nog wat meer uit te breiden? Hoe dan ook ik werd met de Deductieve Meetkunde geconfronteerd bij mijn voorbereiding voor het toelatingsexamen van de Cadettenschool.
Het leerboek « Deductieve Meetkunde », dat door mijn collegeleraar (E.H. Van Vooren) strikt en slaafs in de vierde humaniora gevolgd werd, was het bekende Leerboek der Meetkunde voor middelbaar en normaal onderwijs -Vlakke Meetkunde- van Antoine Dalle en Camille De Waele. Het betrof hier de Nederlandse vertaling van - « Cours de Géométrie à lusage de lenseignement moyen et de lenseignement normal: Géométrie plane et Eléments de Topographie ».
Het boek deed verder ook dienst in de derdes en de tweedes terwijl in rhetorica, het onderwijs in de deductieve meetkunde zou voortgezet worden met een tweede leerboek over de meetkunde der ruimte Leerboek der Meetkunde voor middelbaar en normaal onderwijs Stereometrie- van dezelfde auteurs.
Dit laatste boek was dan de Nederlandse vertaling van - « Cours de Géométrie à lusage de lenseignement moyen et de lenseignement normal: Géométrie dans lespace avec compléments ». Beide boeken bevatten een zeer groot aantal vraagstukken, waarvan de oplossing gegeven werd in een derde boek « 2000 Théorèmes et Problèmes de Géométrie avec solutions ». Dit laatste boek werd echter naar mijn weten nooit in het Nederlands vertaald.
De eerste edities van deze leerboeken dateerden al van vóór de Eerste Wereldoorlog want in 1914 verscheen immers al een vierde druk. Voor zover ik heb kunnen nagaan verscheen er zelfs nog een herdruk van de Vlakke Meetkunde in 1980! Zelf gebruikte ik de achttiende editie daterend van 1951.
Het dient gezegd, deze leerboeken hadden een goede faam en worden nog altijd hoog aangeschreven ook in Frankrijk, waar in dezelfde periode, bvb een Comberousse, een Hadamard, voorhanden waren (zie blog 2 cursiefje §4.1). Voor sommigen zijn deze boeken ik citeer- : ..Le nec plus ultra des cours de géométrie euclidienne dans les années 1960-1970 (ces cours sont) maintenant introuvables, excepté dans certaines bibliothèques universitaires
Over de auteurs van deze leerboeken heb ik weinig kunnen terugvinden. Antoine Dalle, de wiskundeleraar en werkelijke auteur van deze boeken, was een Broeder (Frère Majorin) van de Christelijke Scholen. Hij behoorde tot het Institut Saint Ferdinand», een instituut, dat nog in 2000 zijn honderdvijftig jaar bestaan vierde. Camille De Waele (1872-1927) was directeur van hetzelfde Instituut gedurende WOI.
De leerboeken van Antoine Dalle en Cyrille De Waele behandelen het meetkundig gedeelte van de Elementen van Euclides, een werk, dat gedurende meer dan tweeduizend jaar, de Westerse wiskunde beheerst heeft. Ook was er net zoals bij Euklides een indeling in « Boeken » (4 voor de vlakke en 4 voor de ruimtemeetkunde).
Toen ik in 1954 mijn meetkundestudie ter voorbereiding van het toelatingsexamen KCS begon, dacht ik zelfs dat deze leerboeken een aangepaste en herwerkte vertaling waren van de fameuze Boeken van Euklides. Deze herwerking was immers noodzakelijk daar, sinds Euklides, nog andere meetkundigen zoals bvb Euler, Gauss, Wallace, Ceva.. hun steentje hadden bijgedragen tot de verdere uitbouw van de Deductieve Meetkunde.
Eerst na mijn humaniora zal ik maar vaststellen dat, noch de opeenvolging van de stellingen, noch hun nummering overeenstemden met de « Propositiones » (d.i. stellingen of theorema's) in de fameuze Boeken van de beroemde Alexandrijnse wiskundige. Er was een Sir Thomas Heath en vooral zijn driedelig werk « Euclid, the Thirteen Books of the Elements -translated with introduction and commentary- » (Dover, -1956-) (2) nodig om mij van dit eerste valse idee af te helpen.
De Elementen (Grieks: Στοιχεῖα - Stoicheia) is een verzamelwerk, dat bestaat uit dertien Boeken, geschreven door de Hellenistische wiskundige Euklides te Alexandrië in het begin van de derde eeuw voor onze tijdrekening. In het oorspronkelijke werk verzamelde en formaliseerde Euklides volgens Heath 97 definities en 465 stellingen, theoremas of propositiones met wiskundig bewijs.
Het is gebruikelijk deze stellingen aan te duiden met een Romeins cijfer gevolgd door een Arabisch cijfer waarbij het eerste cijfer het Boek, het tweede cijfer het nummer van de stelling aangefft. Zo stelt I.47 stelling 47 in Boek I voor (het betreft hier de stelling van Pythagoras), die bij Euklides reeds in het Eerste Boek voorkomt.
In het eerste boek komen naast 23 definities ook nog vijf postulaten en vijf algemene inzichten (d.i. axiomas) voor. Voor de meetkundige bewijzen mag men alleen gebruik maken van een passer (om cirkels te trekken) en een liniaal (om lijnen te trekken). Er wordt niet gemeten, noch met de passer (zie: http://www.pandd.demon.nl/inversie/passermeetk.htm), noch met de liniaal, noch wordt er gebruik gemaakt van de winkelhaak. Het gebruik van deze meetkundige instrumenten is voorbehouden voor het tekenwerk (praktische of intuïtieve meetkunde).
De eerste Nederlandse vertaling van Euklides' werk verscheen van de hand van Claes Jansz. Voogd onder de titel « Euclidis'Beginselen der Meetconst » (3) in 1695. "Beginselen der Meetconst" heeft het echter over de 15 "boeken" van Euklides; in werkelijkheid zijn het er slechts 13, want twee ervan worden verkeerdelijk aan Euklides toegeschreven. Een recente vertaling met commentaar is van de hand van Eduard Jan Dijksterhuis en verscheen in 1929 onder de titel « De Elementen van Euklides ».
De « Elementen » van Euklides handelen niet alleen over Meetkunde maar ook over Arithmetiek (Getallenleer); de Arithmetiek wordt echter vanuit geometrisch standpunt bekeken. Boeken I tot VI gaan over vlakke meetkunde (planimetrie), boeken VII tot X over Arithmetiek, boeken XI tot XIII over ruimtemeetkunde (stereometrie). In boeken VII tot IX komen bvb zaken als het algorithme van Euklides voor het vinden van de GGD en de oneindigheid van de verzameling priemgetallen aan de orde. Boek X is vermoedelijk van de hand van Eudoxos en handelt over de onmeetbare getallen. Het Boek X bevat het grootst aantal stellingen (115) en is moeilijke lectuur. De verdeling van de definities en stellingen over de Boeken van Euklides is als volgt:
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
23
2
11
7
18
4
22
0
0
4
28
0
0
48
14
37
16
25
33
39
27
36
115
39
18
18
De Meetkunde in Euklides' Elementen (deel Planimetrie) is ingedeeld als volgt:
Boek I Fundamenten van de meetkunde (eigenschappen van driehoeken, parallellen en oppervlakken)
Boek II Meetkundige algebra
Boek III Meetkundige eigenschappen van cirkels
Boek IV Meetkundige constructie van veelhoeken in cirkels
Boek V Eigenschappen van meetkundige verhoudingen
Boek VI Gelijkvormigheid en berekening van oppervlakten
Voor wat betreft de stereometrie heeft men dan :
Boek XI Ruimtemeetkunde
Boek XII Berekening van de inhoud van ruimtelijke figuren
Boek XIII Regelmatige ruimtelijke figuren
Het meetkundig deel van de « Elementen » vormde en vormt nog altijd een object van intense studie. Bekende namen zijn hier bvb Proclos, Geminus, Mayfair en Tannery...
Als laatste in rij zou ik hier de Nederlander Dick Klingen willen vermelden, waarvan de site ( http://www.pandd.demon.nl/elementen.htm ) absoluut te bezoeken en te bekijken is.
De Arithmetiek, behandeld in Euklides' « Elementen » is als volgt ingedeeld:
Boek VII Fundamenten van de Griekse Getallenleer
Boek VIII Meetkundige reeksen en gebroken getallen
Boek IX Even en oneven getallen en priemgetallen
Boek X Onmeetbare getallen
* * *
Maar terug naar Dalle en De Waele. In werkelijkheid waren de boeken van Dalle en De Waele voor een overgroot deel geïnspireerd door de "Eléments de Géométrie" van de befaamde Franse wiskundige Adrien Marie Legendre (4) . Laatstgenoemd werk bevatte ook nog een "Traité de Trigonométrie" (vlakke en boldriehoeksmeting), gedeelte dat door Dalle en De Waele niet weerhouden werd, blijkbaar om didactische redenen. Sommige didactici waren immers van oordeel dat een scheiding tussen de "zuivere" meetkunde en driehoeksmeting wenselijk was.
Het Eerste Boek Rechtlijnige Figuren van Dalle en De Waele telde 33 stellingen en omvatte een aantal begrippen en axiomas in relatie tot punten, lijnen, rechten, hoeken, loodlijnen, evenwijdige rechten en vooral enkele zeer belangrijke definities en stellingen betreffende de driehoeken (congruentie, som van de binnenhoeken is gelijk aan 2 rechte hoeken ) met applicatie op de bekende vierhoeken (vierkant, rechthoek, parallellogram, ruit..). Een aantal bijzondere stellingen ( als Toepassingen gecatalogeerd) betreffende de drie zwaartelijnen, de drie middelloodlijnen en de drie hoogtelijnen in een driehoek, sloten het Eerste boek af.
Het Tweede Boek Cirkelomtrek en Maat van Hoeken telde 26 stellingen en omvatte naast een reeks onvermijdelijke definities (cirkelomtrek, cirkel, straal, koorde, boog ) enkele theoremas over koorden en bogen, raaklijnen en normalen, snijdende en rakende cirkelomtrekken, meten van hoeken en tenslotte de theorie over de ingeschreven en omschreven figuren. Het Tweede Boek werd afgesloten door een specifiek hoofdstuk over meetkundige werkstukken of constructies in relatie tot het Eerste en Tweede Boek. Voor deze werkstukken, die als een bijzonder type stellingen worden beschouwd, mochten alleen passer en liniaal gebruikt worden(groot verschil met de Intuïtieve Meetkunde, waar ook winkelhaak en gradenboog gebruikt werden).
Het Derde Boek Gelijkvormigheid en Oppervlakte van Rechtlijnige Figuren telde 34 stellingen en handelde over evenredige lijnstukken, gelijkvormige driehoeken en veelhoeken, over het begrip oppervlakte en het meten van oppervlakten(rechthoek, parallellogram, driehoek, trapezium), en over de betrekkingen tussen de vierkanten en rechthoeken geconstrueerd op de zijden van driehoeken : de stelling van Pythagoras, de projectiestellingen en de zwaartelijnstelling en de stelling van Euler, de stelling van Stewart. Hierop volgde de theorie van de ingeschreven figuren (vierhoeken): het theorema betreffende de macht van een punt t.o.v. een cirkel, de productstellingen (isogonaal verwante rechten), de stellingen van Ptolemaios. Zoals bij het Tweede Boek werd het Derde Boek afgesloten met een reeks meetkundige constructies waaronder de fameuze Gulden Snede.
Het Vierde Boek Regelmatige Veelhoeken en Cirkel telde slects 15 stellingen en bevatte een studie over de regelmatige veelhoeken en hun meetkundige constructie (vierkant, zeshoek, gelijkzijdige driehoek, tienhoek en vijfhoek), de theorie over de lengte van de cirkelomtrek en de oppervlakte van de cirkel en de methodes om de verhouding van de cirkelomtrek tot de middellijn (Saurin, Schwab) te berekenen.
Het Complement omvatte wat Schuh de Nieuwere Meetkunde (5) noemde. De in het Complement behandelde leerstof was uitsluitend voorbehouden voor het hoger secundair onderwijs (moderne humaniora).
Voortgaande op het examenprogramma van het toelatingsexamen van de Cadettenschool, wist ik dat de te kennen examenleerstof verwerkt was in de vier boeken van Dalle en De Waele. Daar andere meetkundeboeken (zoals die bvb van de collectie Mineur) mij op dat ogenblik totaal onbekend waren of nog niet op de markt waren (zoals bvb die van de collecties Bockstaele of Herbiet), nam ik als leidraad Dalles boek mij beperkend tot de zogenaamde Vier Boeken en met uitsluiting van het bijhorende "Complement".
In de herfst van 1954 heb ik dan ook vele avonden doorgebracht met het verwerken van deze materie. Eerlijk gezegd interesseerde deze deductieve meetkunde mij wel want ik kreeg een antwoord op een aantal vragen, die ik mij gesteld had bvb Waarom is de som van de hoeken van een driehoek altijd 180°? Waarom snijden de drie hoogtelijnen, zwaartelijnen elkaar in één punt? Wat betekent π eigenlijk?
I- Van Intuïtief Begrip naar Precieze Definitie (partim boeken I en II) :
Vooraleer te starten met de diverse te bewijzen stellingen is het nodig enkele door observatie en intuïtie verkregen noties wat scherper te definiëren. Deze definities vindt men bij Dalle en De Waele gespreid terug in de Boeken I en II. Uiteraard vindt men deze definities ook terug bij Euklides maar dan wel in het begin van de Boeken I, III, en V.
De formuleringen van Euklides zijn soms moeilijk te vatten en te interpreteren. Grieks is zoals Latijn een dode taal en zelfs na vergelijken van de oorspronkelijke Griekse tekst met de Latijnse vertaling van Proklos blijft er discussie over de juiste betekenis van sommige woorden en uitdrukkingen (voer voor taalgeleerden!).
- Boek I van de « Elementen » van Euklides start met 23 definities: punt (1), lijn (2), uiteinden van een lijn (3), rechte lijn (4), vlak (5), uiteinden van een vlak (6), plat vlak (7), hoek in een plat vlak (8), hoek in een plat vlak of rechtlijnige hoek (9), rechte hoek en loodrechte in een plat vlak (10), stompe hoek in een plat vlak (11), scherpe hoek in een plat vlak (12), meetkundige grens (13), meetkundige figuur (14), cirkel (15), middelpunt van een cirkel (16), diameter van een cirkel (17), halve cirkel (18), rechtlijnige figuren -driezijdige, vierzijdige en meerzijdige figuren- (19), soorten driezijdige figuren of driehoeken -gelijkzijdige en gelijkbenige driehoeken- (20), rechthoekige en stomphoekige driehoek, scherphoekige driehoek (21), vierkant, rechthoek, parallellogram, ruit en trapezium (22), evenwijdige rechten (23).
Het is evident dat al deze begrippen niet zo maar uit de lucht vielen en hun oorsprong vinden in de dagdagelijkse praktijk (belang van de Intuïtieve Meetkunde !!!); het kwam er op aan deze intuïtieve begrippen een messcherpe omschrijving of definitie te geven, die bruikbaar was voor een axiomatische meetkunde en dat was precies het probleem waar Euklides voor stond.
Naast deze definities omvat Boek I dan ook nog een aantal postulaten (meetkundige axioma's) en axioma's:
- postulaat 1 het is steeds mogelijk een punt met een ander punt te verbinden met een rechte lijn
- postulaat 2 het is steeds mogelijk een lijnstuk op een rechte af te beelden
- postulaat 3 het is steeds mogelijk een cirkel met gegeven middelpunt en straal af te beelden
- postulaat 4 alle rechte hoeken zijn gelijk
- postulaat 5 indien een rechte twee rechten snijdt onder inwendige hoeken waarvan de som kleiner is dan twee rechte hoeken, dan snijden bij verlenging deze rechten elkaar behalve in het geval dat de som der inwendige hoeken gelijk is aan twee rechte hoeken.
Dit fameuze vijfde postulaat heeft veel inkt doen vloeien en later werd door Playfair (6) volgende formulering voor gesteld:
« Door een gegeven punt buiten een gegeven rechte gelegen kan men, in het (platte) vlak bepaald door dit punt en de gegeven rechte, één en slechts één evenwijdige rechte met de gegeven rechte trekken »
Het is deze laatste formulering, die men in de schoolboeken, die over deductieve meetkunde handelen, aantreft, althans in de vorige eeuw.
Als axioma's (wat bij Euklides "algemene inzichten" heette) had men:
- axioma 1 Dingen die aan een ander ding gelijk zijn, zijn ook aan elkaar gelijk (als A gelijk is aan C, en B is gelijk aan C, dan is A gelijk aan B)
- axioma 2 Als men aan gelijke dingen gelijke dingen toevoegt, zijn de totalen ook gelijk (als A gelijk is aan B, dan is A+C gelijk aan B+C)
- axioma 3 Als men van gelijke dingen gelijke dingen afneemt, zijn de resten ook gelijk (als A gelijk is aan B, dan is A-C gelijk aan B-C)
- axioma 4 Dingen die met elkaar overeenkomen zijn gelijk (als figuur A op figuur B past, en figuur B op A past, dan zijn de figuren gelijk) = congruentie-axioma
- axioma 5 Het geheel is groter dan het deel (A+B is groter dan A)
- Boek V van de « Elementen » van Euklides handelt over (meetkundige) grootheden en verhoudingen en omvat 18 definities, die uiteraard van groot belang waren, inzonderheid voor Dalle's Tweede Boek, waaronder: deel van een grootheid (1), veelvoud van een grootheid (2), ratio (verhouding of reden) van twee gelijksoortige grootheden (3), gelijkheid van verhoudingen (5), evenredige grootheden (6), omgekeerd evenredige groorheden (13).
In de moderne meetkunde (7) worden Euclides definities en axioma's heden anders geformuleerd. Wat de Elementen zo beroemd maakte, is de axiomatische onderbouwing van de meetkunde en dat er stellingen bewezen worden uitgaande van axiomas. De vijf postulaten zijn de axiomas van de Euclidische meetkunde. Moderne Wiskunde, inzonderheid Moderne Meetkunde is echter niet geschikt voor het secundair onderwijs en dat heeft het "Modern Math experiment" wel duidelijk gemaakt...
1° De basisbegrippen: punt, rechte (lijn), plat vlak, ruimte, lichaam
Dalles leerboek startte met een inleidend hoofdstuk Methode der Limieten», een hoofdstuk waarvan de enorme draagwijdte mij op dat ogenblik ontging en dat ik -in eerste lezing- links liet liggen, want niet voorzien in de te kennen leerstof voor het toelatingsexamen KCS.
In een volgend kort hoofdstukje Inleidende Begrippen werden, overeenkomstig Euklides' Elementen, achtereenvolgens de begrippen inhoud, oppervlak, lijn, punt, meetkundig lichaam, meetkundige figuur, meetkunde, lengte, breedte, hoogte, rechte, lijnsegment of lijnstuk, gebroken lijn, kromme lijn, plat vlak, congruentie en dito ingevoerd en wel in de aangegeven volgorde.
Eerlijk gezegd, ik vond dit hoofdstukje bij Dalle wat verward en verwarrend want de overgang intuïtief begrip naar precieze definitie werd niet duidelijk omschreven. Er was een de Snor in de Cadettenschool nodig, om mij later op het juiste spoor te brengen. Ook in Beginselen der Vlakke Meetkunde deel I- (tweede uitgave, 1944) van de collectie Mineur, werden zoals ik eerst maar vele jaren later- kon vaststellen, deze grondbegrippen onvoldoende scherp gedefinieerd. Ongelooflijk, indien men weet, dat de ganse Deductieve Meetkunde op deze grondbegrippen gebaseerd is.
Om deze reden en ook als een eresaluut aan mijn oud-leraar Meetkunde in de Cadettenschool Leo Vanden Bosch (bijgenaamd de "Snor"), volgen hier zijn definities, die veelal teruggaan naar het oorspronkelijke werk van Euklides.
Punten, rechten, vlakken hoeken enz. werden in de aanschouwelijke ofte intuïtieve meetkunde voorgesteld als reële objecten. Bij Euklides (deductieve meetkunde) werden deze begrippen op een axiomatische wijze gedefinieerd, waardoor zij het statuut van "abstract" begrip verkregen.
Een puntwerd bij de Snor -net zoals bij Euklides- gedefinieerd als een meetkundig object zonder uitgebreidheid of dimensie (afmeting). In de Intuïtieve Meetkunde kon men zich een punt voorstellen als een stip. Een punt werd aangeduid door een hoofdletter bvb A of O.
Een lijn is een meetkundig object met één afmeting, in beginsel langs beide zijden onbegrensd of beter waarvan de dimensie onbegrensd is. Een lijn is samengesteld uit een continue puntenreeks en kan diverse vormen (gebogen, gebroken, recht) aannemen. Door twee punten gaan er oneindig veel soorten lijnen of krommen.
Een lijnstuk is het gedeelte van een lijn begrepen tussen twee punten. Het maatgetal van een lijnstuk is de verhouding van dit lijnstuk tot een ander lijnstuk, dat als eenheid genomen wordt en is een bij definitie een onbenoemd getal. De lengte is de maat van een lijnstuk. Deze maat wordt aangegeven door het maatgetal van het lijnstuk t.o.v. een gekozen eenheid die gepreciseerd moet worden.
Een halve lijn is een lijn die langs één zijde begrensd is.
Een rechte lijn of kortweg rechte is een lijn (dus een meetkundig object met één afmeting) bepaald door haar eigenschappen (soms postulaten van de rechte geheten) : 1° - een rechte wordt volkomen bepaald door twee punten wat betekent dat door twee punten één en slechts één rechte gaat; 2° - een rechte is langs beide zijden onbegrensd.
Een recht lijnstuk is een segment van een rechte begrepen tussen twee punten A en B. Een rechte kon dus ondubbelzinnig aangegeven worden door twee punten bvb de rechte AB. Om dergelijke rechte voor te stellen, te tekenen of te construeren zoals dat heette gebruikte men een lat of regel. In het courante spraakgebruik spreekt men veelal van lijnen waar onder dan verstaan moet worden rechte lijnen.
Gebroken lijnen zijn lijnen die niet recht zijn maar uit delen bestaan die recht zijn; kromme lijnen of krommen zijn lijnen, waarvan geen enkel deel, hoe klein ook, recht zijn.
Een rechte lijn werd in de Intuïtieve Meetkunde voorgesteld als een stuk zeer lange, onbegrensde fijne draad, een rechte (lijn) als een strak gespannen draad, gedacht langs beide zijden onbegrensd.
Een vlak werd door de Snor gedefinieerd als een meetkundig object met twee afmetingen en die in beide dimensies onbegrensd gedacht wordt. Een vlak is samengesteld uit continue puntenreeksen in beide dimensies. Vlakken komen in diverse vormen of krommingen (gekromd vlak, plat vlak) voor. Een oppervlak is een door een gesloten lijn begrensd vlak. De oppervlakte is het maatgetal van een oppervlak. Het maatgetal van een oppervlak is de verhouding van dit oppervlak tot een ander oppervlak, dat als eenheid (oppervlakte-eenheid) genomen wordt.
Een plat vlak is een vlak (dus een meetkundig object met twee afmetingen) gedefinieerd door volgende eigenschap, veelal postulaat van het plat vlak geheten: een rechte die 2 punten gemeen met dit vlak heeft, ligt er helemaal in. Een plat vlak is in beginsel onbegrensd in beide dimensies. In het courante spraakgebruik spreekt veelal van vlakken waarbij men dan platte vlakken bedoeld.
Het idee van plat vlak werd in de Intuïtieve Meetkunde verkregen door aanschouwing van een (kalm) wateroppervlak, een spiegel of glazen plaat. Hoewel het vlak onbegrensd is, is het toch voor te stellen door een figuur die in het vlak geconstrueerd is; gewoonlijk tekent men een parallellogram en duidt men dit vlak aan door twee overstaande hoekpunten van het getekende parallellogram; soms duidt men ook het vlak aan met een Griekse letter bvb het vlak α.
Noot: De meetkunde van de meetkundige figuren in een plat vlak, wordt "Vlakke Meetkunde" of ook nog « Euklidische meetkunde » genoemd, want het is deze meetkunde die Euklides in zijn fameuze Elementen behandelde. Maar wat met de meetkundige figuren en hun eigenschappen die in een gekromd vlak gelegen zijn bvb in een kegelvormig (konisch), bolvormig (sferisch) vlak of ellipsoïdaal (8) of hyperboloïdaal (9) vlak? De E.N.S.I.E. leerde mij in 1954 dat ook deze laatste meetkunden bestonden en respectievelijk de elliptische (Riemann, Klein) en hyperbolische (Gauss, Lobachewski) meetkunde genoemd werden. Het grote belang van al deze meetkunden ontging mij toen echter volkomen.
De (meetkundige) ruimte werd door de Snor gedefinieerd als een meetkundig object met drie dimensies, onbegrensd in de drie dimensies. De ruimte is samengesteld uit continue puntenreeksen in de drie dimensies. Een (meetkundig) lichaam is een door een gesloten oppervlak afgesloten ruimte. De inhoud of volume is het maatgetal van een (meetkundig) lichaam. Het maatgetal van een (meetkundig) lichaam is de verhouding van dit lichaam tot een ander lichaam, dat als eenheid (volume-eenheid) genomen wordt.
Een rechte in een vlak verdeelt een plat vlak in twee gebieden, die halfvlakken genoemd worden. Deze rechte wordt dan grensrechte genoemd. Door een halfvlak te laten wentelen rond een van zijn grensrechten is elk halfvlak door een willekeurig punt van de ruimte te brengen.
Het bestaan van platte vlakken volgt uit volgend theorema:
Bestaansstelling van het plat vlak: Door drie niet op één rechte gelegen punten is steeds een vlak aan te brengen en slechts één of nog anders geformuleerd Drie niet- colineaire punten bepalen een plat vlak.
2° De basisbegrippen hoek, loodrechte, evenwijdige rechten
Een hoek werd nu gedefinieerd als zijnde het deel van een plat vlak ingesloten door twee halve rechten, die de benen van de hoek worden genoemd en die in een punt, het hoekpunt samenkomen.
Om tot het intuïtieve begrip hoek te komen, volstond het twee snijdende rechten (bvb AB en CD)te tekenen op een blad papier; deze rechten hadden uiteraard slechts één en niet meer dan één punt gemeen (waarom?) : het snijpunt O . De lijnen OA, OB, OC en OD worden halve rechten genoemd.
Een hoek wordt doorgaans aangeduid worden door drie hoofdletters bvb CÂB. Hoeken worden gedefinieerd als gelijk wanneer ze elkaar volledig kunnen bedekken d.i. als het hoekpunt en de benen op elkaar kunnen vallen.
Let wel dat twee halve rechten, die een hoek vormen, het vlak in twee gebieden verdelen en men spreekt van een inspringende en uitspringende hoek. De inspringende hoek is het gedeelte van het vlak, dat tussen deze halve rechten ligt en de uitspringende hoek het gedeelte van het vlak dat buiten deze halve rechten ligt. Een gestrekte hoek is het deel van het vlak omsloten door twee halve rechten, die in elkaars verlengde liggen.
De verhouding van een hoek tot een andere hoek was het onbenoemde getal, waarmede de tweede hoek te vermenigvuldigen is om de eerste te verkrijgen. Deze verhouding is een onbenoemd getal. Het maatgetal van een hoek was de verhouding van die hoek tot een hoek, die als eenheid genomen werd. De maat van een hoek is het maatgetal van deze hoek waarbij ook de hoekeenheid aangegeven werd. Van oudsher werden in de intuïtieve meetkunde hoeken gemeten in graden (°). Een graad is het 180ste deel van een gestrekte hoek. Hoeken worden gemeten met een gradenboog.
Overstaande hoeken werden gedefinieerd als hoeken, die het hoekpunt gemmen hebben en waarvan de benen in elkaars verlengde liggen. Aanliggende hoeken waren hoeken die één been gemeen hebben. Nevenhoeken waren hoeken waarvan de buitenbenen in elkaars verlengde lagen.
Het begrip bissectrice Een halve rechte AD, die een gegeven hoek CÂB, in twee gelijke delen verdeeld werd bissectrice van de hoek CÂB genoemd. Aan het begrip bissectrice was in de intuïtieve meetkunde al een werkstuk of constructievraagstuk verbonden. Hoe kan je met passer en liniaal de bissectrice van een gegeven hoek tekenen of construeren? (zie cursiefje §9.1)
Door het invoeren van de notie meetkundige plaats kon men de bissectrice ook op een andere manier definiëren. Een meetkundige plaats (of locus) is de meetkundige figuur die wordt gevormd door een verzameling punten die voldoen aan bepaalde voorwaarden. De bissectrice is de meetkundige plaats van punten die gelijke afstand hebben tot de lijnen die de hoek vormen.
Een halve rechte stond loodrecht op een rechte als ze er twee gelijke nevenhoeken mee vormde; deze halve rechte wordt loodrechte genoemd en de twee gelijke nevenhoeken zijn dan rechte hoeken. Door de halve rechte te wentelen komt ze op een bepaald ogenblik in een stand zodanig dat de nevenhoeken gelijk zijn. Is een hoek kleiner dan een rechte hoek dan spreekt men van een scherpe hoek, is ze groter van een stompe hoek.
Bij loodrechten kon men in de intuïtieve meetkunde al twee meetkundige constructies met behulp van de passer en liniaal voorzien: hoe kan je een loodrechte oprichten in het midden van een lijnsegment (middelloodlijn)en hoe kan je door een gegeven punt een loodrechte neerlaten op een gegeven lijnsegment? (zie cursiefje §9.1) Om loodrechten te tekenen maakt men in de intuïtieve meetkunde veelal gebruik van een winkelhaak.
De middelloodlijn op het lijnstuk AB kan ook gedefinieerd worden als zijnde de meetkundige plaats van punten op gelijke afstand van A en B.
Evenwijdige rechten of evenwijdigen zijn, volgens Euklides (definitie 23), rechten die in eenzelfde vlak liggen en die elkaar bij verlenging nooit snijden. Dergelijke rechten bestaan want in de Deductieve Meetkunde wordt aangetoond dat twee rechten die in eenzelfde vlak loodrecht op een andere staan elkaar nooit snijden.
Aan het begrip evenwijdige rechten was in de intuïtieve meetkunde volgend constructie vraagstuk verbonden: hoe kan je door een punt buiten een rechte gelegen, een rechte evenwijdig aan de eerste trekken of construeren? (zie cursiefje §9.1).
3° De rechtlijnige geometrische figuren: driehoek, vierhoek, veelhoek .
- De driehoek als meetkundige figuur:
Het idee driehoek werd verkregen door drie snijdende rechten a, b, c te tekenen in een vlak. De meetkundige figuur gevormd door de drie snijpunten heette men driehoek: de snijpunten A, B, en C noemt men de hoekpunten van, de lijnstukken AB, BC en CA de zijden van de driehoek. Een driehoek werd aangeduid door het symbool ∆ ABC. Een zijde en een hoek waren aanliggend, als het hoekpunt op de zijde lag, overstaand als het hoekpunt niet op de zijde lag. De zijde t.o.v. de hoek A werd voorgesteld door a, t.o.v. de hoek B door b, t.o.v. de hoek C door c.
Grondeigenschap: Voor om het even welke driehoek geldt dat de som van de binnenhoeken gelijk is aan twee rechte hoeken (180°). Deze eigenschap werd afgeleid door de binnenhoeken van een driehoek te meten met een gradenboog en de som van deze binnenhoeken te maken. Deze grondeigenschap wordt in de Deductieve Meetkunde bewezen NA de theorie over de evenwijdige rechten.
Naargelang de hoeken en zijden had men in de Intuïtieve Meetkunde volgende soorten driehoeken ontmoet:
- de gelijkbenige driehoek: was een driehoek waarvan twee zijden gelijk waren, de derde zijde wordt dan de basis genoemd
- de gelijkzijdige driehoek: was een driehoek waarvan de drie zijden gelijk waren
- de rechthoekige driehoek was een driehoek waarvan een hoek recht was; de zijde t.o.v. de rechte hoek werd hypothenusa genoemd. De andere hoeken van de rechthoekige driehoeken waren noodzakelijkerwijze scherp.
- de scheefhoekige of willekeurige driehoek was een driehoek waarvan de hoeken ongelijk waren. Een willekeurige driehoek kan ofwel drie scherpe hoeken ofwel één stompe hoek en twee scherpe hoeken bevatten
In de Deductieve Meetkunde zal het bestaan van deze soorten driehoeken via meetkundige constructie aangetoond worden.
Aan de meetkundige figuur driehoek zijn immers volgende constructie-vraagstukken verbonden: construeer een gelijkbenige driehoek waarvan de gelijkbenige zijde gegeven is en construeer een gelijkzijdige driehoek waarvan de zijde gegeven is enz.. (zie cursiefje §9.1)
Bijzondere lijnen in een driehoek zijn volgens de Intuïtieve Meetkunde: de hoogtelijnen, de zwaartelijnen, de bissectrices en de middelloodlijnen van de zijden.
Een hoogtelijn in een driehoek is een lijn die door een van de hoekpunten gaat en loodrecht op de tegenoverliggende zijde staat (bvb de hoogtelijn haof hAuit de hoek A). De drie hoogtelijnen hA, hB en hCvan een driehoek gaan door één punt, het hoogtepunt H van de driehoek.
Een zwaartelijn in een driehoek is een lijn die door een van de hoekpunten gaat en de overliggende zijde snijdt in het midden van deze zijde( bvb de zwaartelijn zaof zA uit de hoek A). De drie zwaartelijnen zA, zB en zC van een driehoek snijden elkaar in één punt, het zwaartepunt Z.
Een bissectrice in een driehoek is een lijn die een hoek van een driehoek in twee gelijke delen verdeeld (bvb daof dAvan de hoek A). De drie bissectrices dA, dB en dC van een driehoek snijden elkaar in een punt, het bissectricepunt D van de driehoek.
Een middelloodlijn van een zijde van een driehoek is (bvb de middelloodlijn ma) is de loodlijn opgericht in het midden van de zijde. Hoe een middelloodlijn construeren (zie cursiefje §9.1) De drie middelloodlijnen ma, mb en mcvan een driehoek snijden elkaar in één punt, het middelpunt M.
Een middelloodlijn van een zijde van een driehoek is de meetkundige plaats van de punten op gelijke afstand van de hoekpunten van de zijde.
Ook hier zal men in de Deductieve Meetkunde voornoemde eigenschappen van deze bijzondere lijnen van een driehoek moeten afleiden en bewijzen.
Congruentie: driehoeken worden congruent genoemd indien zij elkaar volledig kunnen bedekken. Twee driehoeken zijn congruent als zij één zijde en de beide aanliggende hoeken gelijk hebben, of als zij twee zijden en de ingesloten hoek gelijk hebben, of nog als zij de drie zijden twee aan twee gelijk hebben.
In de Deductieve Meetkunde zullen voornoemde congruentiegevallen worden afgeleid en aangetoond.
- De vierhoek als meetkundige figuur :
De vierhoek wordt verkregen door vier snijdende rechten a, b, c, d te tekenen in een vlak. De meetkundige figuur gevormd door de vier snijpunten heet men vierhoek: A, B, C en D noemt men de hoekpunten van en AB, BC, CD en DA de zijden van de vierhoek.
Nuttig is het begrip diagonaal: diagonalen zijn lijnstukken die de overstaande hoekpunten verbinden: een vierhoek heeft 2 diagonalen
Grondeigenschap: Een convexe vierhoek kan men steeds beschouwen als zijnde samengesteld uit twee driehoeken.
Voor om het even welke (convexe) vierhoek geldt dat de som van de binnenhoeken gelijk is aan vier rechte hoeken (360°). Tot dit besluit komt men door de binnenhoeken van een aantal vierhoeken te meten met een gradenboog en deze bij elkaar op te tellen. Deze stelling wordt in de Deductieve Meetkunde aangetoond, NA de theorie over de som van de binnenhoeken van een driehoek.
Naargelang de aard van de zijden en hoeken kon men volgende (convexe) vierhoeken onderscheiden:
- een parallellogram is een vierhoek waarvan de overstaande zijden evenwijdig waren
- een rechthoek is een vierhoek waarvan de hoeken gelijk waren en bijgevolg recht
- een ruit is een vierhoek met gelijke zijden
- een vierkant is een vierhoek met vier gelijke zijden en vier gelijke hoeken
- een trapezium is een vierhoek waarvan slechts twee zijden evenwijdig waren: een trapezium was rechthoekig als de evenwijdige zijden op een derde zijde stonden. Een trapeziumis gelijkbenig als de opstaande zijden gelijk zijn.
In de deductieve Meetkunde worden nu alle voornoemde eigenschappen van deze vierhoeken bewezen en aangetoond.
- De veelhoek als meetkundige figuur:
De n- hoek (voorbeeld de vijfhoek) wordt verkregen door n elkaar snijdende rechten a, b, c, d, e,.. te tekenen in een vlak. De meetkundige figuur gevormd door de n snijpunten heet men n-hoek: A, B, C , D, E.. noemt men de hoekpunten van en AB, BC, CD, DE de zijden van de n-hoek.
Een diagonaal is een verbindingslijn tussen twee verschillende, niet opeenvolgende, hoekpunten van de veelhoek.
Een n-hoek heeft n(n-3)/2 diagonalen (verifieer) bvb een vijfhoek heeft 5 diagonalen
Grondeigenschap: Een convexe n-hoek kan men steeds beschouwen als zijnde samengesteld uit n 2 driehoeken.
In de Deductieve Meetkunde zal aangetoond worden, dat voor om het even welke veelhoek geldt dat de som van de binnenhoeken gelijk is aan 2(n-2) rechte hoeken (180°).
Een regelmatige veelhoek is een tweedimensionale figuur die bestaat uit een eindig aantal die allemaal dezelfde lengte hebben. Ieder eindpunt van een lijnstuk valt steeds precies samen met een eindpunt van precies een ander lijnstuk. De hoeken die elk paar lijnstukken met elkaar maakt zijn alle hetzelfde. Een regelmatige n-hoek is dus opgebouwd uit n paarsgewijs met elkaar verbonden identieke lijnstukken die n keer dezelfde hoek met elkaar maken.
Voorbeelden zijn: de gelijkzijdige driehoek, het vierkant, de regelmatige vijfhoek, de regelmatige zeshoek. De binnenhoek van een regelmatige n-hoek wordt gegeven door: 2(n-2)/2 rechte hoeken (180°). Bvb de binnenhoek van een zeshoek bedraagt 60° van een vijfhoek 108°.
4° De kromlijnige geometrische figuren: cirkel en ellips
De meest courante kromlijnige geometrische figuren in de intuïtieve meetkunde zijn de cirkel (10) en de ellips (11) . Wielen bvb waren cirkelvormig, sommige bloemperken waren ellipsvormig.
- Een cirkel(omtrek)(12) werd gedefinieerd als de tweedimensionale kromlijnige figuur die werd gevormd door alle punten die dezelfde afstand tot een bepaald punt hebben. Dit punt, in de figuur aangegeven met M, heette het middelpunt van de cirkel. De constante afstand heette de straal en wordt in de figuur aangegeven met de kleine of grote letter r (r of R). Een cirkel wordt volledig bepaald door zijn middelpunt en zijn straal (bvb de cirkel (M, r). Soms werd, om de maat van een cirkel aan te duiden, in plaats van de straal de diameter gebruikt (symbool D of d in de figuur). De diameter is de grootste afstand tussen twee punten van de cirkel, en is exact tweemaal zo groot als de straal.
De cirkelomtrek (afgekort: cko) wordt ook nog gedefinieerd worden als de meetkundige plaats van alle punten in een vlak die op een constante afstand (de straal) van een vast middelpunt liggen. Om een cirkel(omtrek) te tekenen wordt een passer gebruikt.
Een lijnstuk waarvan de grenspunten op de cirkelomtrek liggen, werd gedefinieerd als een koorde. Elke koorde die door het middelpunt van de cirkel gaat, is een middellijn van die cirkel. De lengte van de middellijn is de diameter.
Een boog is een deel van een cirkelomtrek. Als van de beide uiteinden van de boog een lijn wordt getrokken naar het middelpunt van de bijbehorende cirkel, is de hoek tussen deze twee lijnen de middelpuntshoek. De grootte van de boog kan worden uitgedrukt in deze hoek (bijv. 60°). Dit zegt echter niets over de werkelijke lengte van de boog.
Een cirkelsector is een deel van het cirkeloppervlak ingesloten door een cirkelboog en de beide stralen naar de eindpunten van die cirkelboog. Een goede afbeelding van wat een cirkelsector is, is bvb een stuk taart.
Een raaklijn aan een cirkel heeft slechts 1 punt gemeen met de cirkel en staat bijgevolg loodrecht op de straal van die cirkel. De normaal in een punt van een cirkelomtrek is de loodlijn in dit punt op de raaklijn. Normale afstanden van een gegeven punt tot een cirkel zijn de afstanden van dit punt tot de cirkelomtrek; deze worden gemeten op de normaal die door dit punt gaat.
Grondeigenschap (grondstelling): Een cirkel is volledig bepaald door drie willekeurige punten die niet op één lijn liggen. Het is de omgeschreven cirkel van de driehoek die de punten vormen. De middelloodlijnen van de zijden van deze driehoek gaan door één punt. Dit snijpunt ligt dus op gelijke afstanden van de drie punten en is dus het middelpunt van de cirkel waar de drie hoekpunten van de driehoek op liggen.
5° verhouding van twee gelijksoortige grootheden
In aansluiting met de axioma's van Euklides is het ook aangewezen, enkele begrippen uit de theorie der verhoudingen te preciseren. Deze theorie der verhoudingen is afkomstig van Eudoxos, ongetwijfeld een der grootste wiskundigen uit de Klassieke Oudheid (13). De theorie van Eudoxos wordt behandeld in Boek V van de « Elementen » van Euklides.
Vooreerst is er het intuïtieve begrip grootheid van een object, dat steeds gekoppeld is aan het begrip hoeveelheid. Grootheid (magnitude) is de eigenschap van een object dat een getalmatige vastlegging van dit object toelaat. Deze getalmatige verwerking houdt in dat men de begrippen optelling, gelijkheid, vermenigvuldiging met en delen door een onbenoemd getal t.o.v. dit object gedefinieerd heeft.
De verhouding (ratio of reden) van een grootheid A tot een grootheid B van dezelfde soort A / B is het onbenoemde getal, waarmede de tweede grootheid te vermenigvuldingen is om de eerste B te verkrijgen. Dit onbenoemd getal kan zowel een meetbaar als onmeetbaar getal zijn.
Gelijkheid van verhoudingen: Zij A / B een eerste verhouding van twee gelijksoortige grootheden, C / D een tweede verhouding van gelijksoortige grootheden, al dan niet van dezelfde soort als de grootheden van de eerste verhouding. Beide verhoudingen zijn onbenoemde getallen die derhalve met elkaar kunnen vergeleken worden. De verhoudingen A /B en C /D zijn gelijk indien ze door eenzelfde (meetbaar of onmeetbaar) getal uitgedrukt worden.
Maatgetal van een grootheid: Het maatgetal van een grootheid is de verhouding van die grootheid tot een gelijksoortige grootheid, die als eenheid genomen wordt. Het maatgetal van een grootheid is derhalve een onbenoemd getal. De maat van een grootheid is bij definitie het maatgetal met aanduiding van de gekozen eenheid en is derhalve een benoemd getal.
Al deze definities en beschouwingen zijn toepasselijk op meetkundige grootheden zoals lijnstukken, hoeken, bogen enz. mits voor deze grootheden de begrippen gelijkheid, optelling, vermenigvuldiging met en deling door een onbenoemd getal gedefinieerd heeft.
(wordt voortgezet)
----------------------------
(1) Met de term "Deductieve Meetkunde" wordt hier in de eerste plaats bedoeld de meetkunde zoals door Euklides gedefinieerd. De meetkunde van Euklides was gedurende eeuwen de enige axiomatische theorie in de wiskunde. Zij heeft als model gediend voor de ontwikkeling van de axiomatische wiskunde (zie cursiefje " Wat is "New Math"? " in blog 2). Ofschoon de term "axiomatische meetkunde" voor het aanduiden van de meetkunde van Euklides eveneens verantwoord lijkt, is het beter deze laatste term voor te behouden aan de meetkunde zoals ontwikkeld door David Hilbert in zijn "Grundlagen der Geometrie" (1903). Hilbert heeft het axiomasysteem van Euklides verder uitgewerkt en verbeterd met vijf groepen axioma's (zie http://de.wikipedia.org/wiki/Hilberts_Axiomensystem_der_euklidischen_Geometrie ).
Deze laatste axiomatische meetkunde is op didactisch vlak echter minder geschikt voor het secundair onderwijs.
In blog 2 wordt een cursiefje (§4.1 "Wat is Deductieve Meetkunde?") aan de verder ontwikkeling van de Deductieve Meetkunde sedert Euklides, met namen als Adrien Marie Legendre en Jacques Hadamard, gewijd.
(2) zie: Thomas Heath « Euclid The Thirteen Books of the Elements » (3 volumes) -Dover- (1956). De definities zoals door Euklides ingevoerd worden uitvoerig besproken in het eerste volume (p 155 - 194)
Adrien-Marie Legendre (1752 1833) was een Franse wiskundige. Hij leverde belangrijke bijdragen aan de statistiek, abstracte algebra, wiskundige analyse en in het bijzonder getaltheorie. Hij was een van de toonaangevende Franse wiskundigen aan het einde van de 18e en begin van de 19e eeuw, die een bloeiperiode was voor de Franse wiskunde. Van 1775 tot 1780 was hij docent aan de Militaire Academie, later aan de École Normale en tot slot de École polytechnique. Legendre is bekend gebleven om zijn didactische verbetering in de behandeling van de meetkunde van Euclides. Zijn fameus boek Eléments de Géométrie beleefde nog een 14de druk in 1843 en werd in verschillende talen vertaald. Het boek is in te zien via Google: (http://books.google.be/ebooks/reader?id=z9E2AAAAMAAJ&hl=fr&printsec=frontcover&output=reader )
(5) cf. « Leerboek der Nieuwere Meetkunde van het Vlak en van de Ruimte » (Fred Schuh Noordhoff -1938-) In blog 2 wordt hierop dieper ingegaan.
In het lager secundair onderwijs werd vroeger nooit over de ellips gesproken. Nochtans is deze meetkundige figuur van zeer groot belang: bvb de elliptische banen van de planeten. Ellipsen worden echter niet in de « Elementen » besproken; deze kromlijnige meetkundige figuur kwam zeker ter sprake in Euklides « Konica », werk die verloren is gegaan.
(12) De cirkel is de verzameling van alle punten op en binnen de cirkelomtrek. Alle punten binnen een cirkel vormen een schijf. Men moet wel degelijk een onderscheid maken tussen cirkel en cirkelomtrek ofschoon men in het courante spraakgebruik dit niet altijd doet.
§10.2 Planimetrie en Dalle's Eerste en Tweede Boek (II)
(Hoofdstuk 10 "Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 10.2 Planimetrie en Dalle's Eerste en Tweede Boek -vervolg-
II- De Stellingen in Dalle's Eerste en Tweede Boek
Dalles Boek I omvat 33, Boek II 26 stellingen, waarvan noch de nummering noch de formulering overeenstemt met de fameuze proposities van de « Elementen » van Euklides. Teneinde Dalles stellingen duidelijk te onderscheiden met de stellingen geformuleerd door Euklides wordt de nummering voorafgegaan door een letter D. Zo betekent D II.3 stelling 3 in het Tweede Boek van Dalle en Dewaele, daarentegen betekent II.3 de derde stelling in Boek II van de Elementen (1) .
Dalles bewijsvoering van iedere stelling volgde niet altijd het strenge en strakke schema « Gegeven, Te Bewijzen, Bewijs », dat ons door de Snor in de KCS zal opgelegd worden; voor mij een conditio sine qua non voor een goed en juist begrijpen van elke stelling of theorema. Toch was de bewijsvoering in Dalles leerboek ruimschoots voldoende om te weten waarover het ging.
De 59 stellingen van Dalles eerste twee boeken vormen de grondslagen of fundamenten van de deductieve meetkunde. Toch maakte in 1954 het geheel op mij eerder een verwarde indruk, vooral voor wat de opeenvolging van de onderwerpen en stellingen betrof. Dalles Eerste Boek bevatte immers op het laatst ook nog een zevental toepassingen en het Tweede Boek een zestiental werkstukken of meetkundige constructies, telkens met bewijsvoering.
Waarom bvb de Toepassingen van Boek I niet als stellingen of theoremas geklasseerd waren, werd mij maar duidelijk na het doornemen van Heaths « Euclid, The Thirteen Books of the Elements »: deze toepassingen maakten geen deel uit van de Elementen en werden eerst later door Leonhard Euler (zie: http://www.hhofstede.nl/modules/lijnenindriehoeken.htm) ontdekt en ingevoerd. Blijkbaar wenste Antoine Dalle een onderscheid te maken tussen de stellingen beschreven in de Elementen en deze uit andere bronnen.
Op het einde van Dalles Boeken was er ook een synopsis met de bedoeling om een logische lijn in het geheel te brengen:
- In het Eerste Boek kwamen vooreerst een aantal stellingen over de eigenschappen van hoeken aan de orde. Vervolgens ging het over een eerste reeks eigenschappen van veelhoeken, waarop dan een reeks stellingen over de driehoeken aan de orde kwam. Dan volgen een aantal stellingen over de evenwijdige rechten en volgde een tweede reeks stellingen over (de binnenhoeken van) driehoek en veelhoeken. Onder de hoofding parallellogram werden werd verder enige aandacht besteed aan vierhoeken i.h.b. meetkundige figuren als rechthoek, ruit, vierkant. Het Eerste Boek sloot af met enkele toepassingen (in feite stellingen) over de middenparallel en over de snijpunten de zwaartelijnen, de middelloodlijnen, de hoogtelijnen, en de bissectrices in een driehoek.
- In het Tweede Boek gingen de stellingen eerst over de eigenschappen van koorden en bogen, vervolgens over raaklijnen en normalen. Volgden dan een reeks stellingen over rakende en snijdende cirkelomtrekken en over het meten van hoeken en bogen. In- en omgeschreven figuren (koordenvierhoek, raaklijnenvierhoek, om- en ingeschreven cirkel van een driehoek) vormden het volgende onderwerp. Het Tweede Boek sloot af met een aantal meetkundige constructievraagstukken.
In Dalles Leerboek waren Rechtstreekse en Omgekeerde stellingen schering en inslag. Dergelijke stellingen kunnen echter veelal teruggebracht worden in één stelling De nodige en voldoende voorwaarde opdat.. (A) is.. (B) (2) wat niet alleen het uit het hoofd leren maar ook de bewijsvoering aanzienlijk vergemakkelijkt. Voor het samenvatten in één stelling is echter wel perfecte equivalentie vereist. Bij de bewijsvoering van de Rechtstreekse stelling (nodige voorwaarde) is dan A gegeven en moet B bewezen worden; bij de Omgekeerde stelling (voldoende voorwaarde) is B gegeven en moet A bewezen worden. In de Cadettenschool was de Snor een groot voorstander van een dergelijke aanpak.
1° De stellingen van Dalles Boek I:
- Stellingen betreffende hoeken en elkaar snijdende rechten:
D I.1 « In een punt op een rechte gelegen kan men op die rechte een loodlijn oprichten en niet meer dan één »
D I.2 « Twee nevenhoeken zijn elkaars supplement » en de omgekeerde stelling « Als twee aanliggende hoeken elkaars supplement zijn, dan vallen hun buitenbenen in elkaars verlengde »
D I.3 « Overstaande hoeken zijn gelijk » en de omgekeerde stelling « Hebben twee gelijke hoeken eenzelfde hoekpunt, twee benen in elkaars verlengde, en liggen de twee andere benen aan weerskanten van de rechte door de eerste benen gevormd, dan liggen die andere benen ook in elkaars verlengde »
D I.4 « Uit een punt buiten een rechte, kan op die rechte een loodlijn neergelaten worden, doch niet meer dan één »
D I.5 « Een rechte snijdt de omtrek van een convexe veelhoek in niet meer dan twee punten »
Commentaar: Stellingen D I.1 en D I.4 worden de loodlijnstellingen genoemd en betreffen een op te richten loodlijn in een punt van een gegeven rechte en een neer te laten loodlijn op een gegeven rechte uit een punt buiten deze rechte gelegen. De formulering en de bewijsvoering van deze stellingen bij Dalle is identiek met deze aangegeven in « Leçons de Géométrie » van Jacques Hadamard (3) .
De bewijsvoering van D I.1 is eenvoudig: eerst wordt aangetoond dat er een loodlijn bestaat of moet bestaan. Het is immers steeds mogelijk een halve rechte in het gegeven punt op te richten, waardoor 2 (ongelijke) nevenhoeken ontstaan. Door wentelen van die halve rechte ontstaan op een bepaald ogenblik gelijke nevenhoeken en is de halve rechte dus bij definitie een loodlijn. Er is maar één loodlijn mogelijk, want er maar één stand van de halve rechte is waarbij gelijke nevenhoeken gevormd worden. Door een soortgelijke redenering bewijst men, dat iedere hoek slechts één deellijn heeft en slechts één, dat een lijnstuk slechts één middelpunt heeft en slechts één
Daarentegen is de bewijsvoering van D I.4 heel wat meer omslachtig en subtiel. Er is een hulptekening nodig en er wordt beroep gedaan op het congruentie-axioma. Voor beginners een zware dobber.
De Rechtstreekse en Omgekeerde stellingen van D I.2 laten zich samenvatten als:
De nodige en voldoende voorwaarde opdat twee hoeken nevenhoeken zijn, is dat de som van beide gelijk is aan twee rechte hoeken
Daarentegen laten de rechtstreekse en omgekeerde stellingen van D I.3 zich niet samenvatten in een nodige en voldoende voorwaarde daar er tussen beide stellingen geen perfecte equivalentie is.
- Eigenschappen van de gelijkbenige en gelijkzijdige driehoek
D I.6 « Als twee zijden van een driehoek gelijk zijn dan zijn de hoeken daar tegenover gelijk » en omgekeerde stelling « Als een driehoek twee gelijke hoeken heeft, dan is hij gelijkbenig »
Commentaar: Voor de bewijsvoering van D I.6 wordt bij Dalle en ook bij Hadamard gebruik gemaakt van een kunstgreep, het congruentie-axioma (axioma 4 uit Boek I van de Elementen) én voor de rechtstreekse én voor de omgekeerde stelling;
Voor de rechtstreekse stelling bezigt Euklides dezelfde kunstgreep. Voor de omgekeerde stelling doet Euklides echter beroep op een bewijs uit het ongerijmde (reductio ad absurdam).
Stelling D I.6 kan samengevat worden als: « De nodige en voldoende voorwaarde opdat men een gelijkbenige driehoek zou hebben, is dat de hoeken daartegenover gelijk zijn »
Gevolgen:
1° In elke gelijkbenige driehoek is dezelfde rechte bissectrice van de tophoek, zwaartelijn, hoogtelijn en middelloodlijn op de basis
2° Een gelijkzijdige driehoek heeft drie gelijke hoeken en omgekeerd iedere driehoek met drie gelijke hoeken is gelijkzijdig
§ 10.3 Planimetrie en Dalle's Derde en Vierde Boek
(Hoofdstuk 10 "Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 10.3 Planimetrie en Dalle's Derde en Vierde Boek
- Algemene definities en formules:
Een veelhoek is cyclisch, als al de hoekpunten op een cirkelomtrek liggen; de omschreven veelhoek wordt koordenveelhoek, de cirkel om de veelhoek omgeschreven cirkel genoemd.
Een veelhoek is ingeschreven in een cirkel, als al de zijden raaklijnen zijn aan de cirkel; de ingeschreven veelhoek wordt raaklijnenveelhoek, de cirkel, die aan de zijden van de veelhoek raakt, ingeschreven cirkel genoemd.
Men toont aan dat alle regelmatige veelhoeken, alle driehoeken en alle rechthoeken cyclische veelhoeken zijn.
Stelling 1: (Bestaan van regelmatige veelhoeken) Verdeel een cirkelomtrek in een willekeurig aantal gelijke delen n dan zijn 1° de deelpunten, de hoekpunten van een regelmatige n- hoek 2° de raaklijnen in die punten, zijden van een regelmatige n- hoek
De zijden van een regelmatige n- hoek wordt door znvoorgesteld; ze zijn koorden van de omgeschreven cirkel en de middelpuntshoek φ die op deze koorde staat, bedraagt:
φ = 360°/n (1)
Alle hoeken αn van een regelmatige n- hoek zijn gelijk:
αn = (n 2)x180°/n (2)
Stelling 2: Om en in elke regelmatige veelhoek kan een cirkel beschreven worden; beide cirkels hebben hetzelfde middelpunt.
De straal van de omgeschreven cirkel wordt door R, van de ingeschreven cirkel door r voorgesteld
Bij een regelmatige veelhoek is het apothema de afstand an van het middelpunt van de n- hoek tot het centrum van een zijde zn . Deze afstand is gelijk aan de straal rn van een ingeschreven cirkel in de n- hoek (an = rn).
Verlengt men het apothema tot de cirkel dan is het lijnstuk bepaald door het snijpunt met de cirkel en het hoekpunt van de zijde zn de zijde z2n van een nieuwe veelhoek: de 2n- hoek (zie figuur 7a).
Met behulp van de stelling van Pythagoras (figuur 7) toont men gemakkelijk aan dat:
an = √{R2- (zn/2)2} (3) apothemaformule
z2n = √{2R2 R√(4R2 zn2)} (4) de verdubbelingsformule
zn = a2n/R x √(4R2 z2n2) (5) de halveringsformule
De omtrek pn respectievelijk oppervlakte Sn van een regelmatige veelhoek (n- hoek) wordt gegeven door :
pn = n.zn (6) en Sn = (n.zn.an)/2 (7)
(n is aantal zijden van de veelhoek; z de lengte van een zijde; a de lengte van het apothema, zijnde de straal van de ingeschreven cirkel)
Stelling 3: (stelling van Archimedes) Zij pn de omtrek van een regelmatige koordenveelhoek beschreven in een cirkel met straal R en qn de omtrek van de gelijkvormige omgeschreven raaklijnenveelhoek, dan worden de omtrekken van de regelmatige koordenveelhoek en raaklijnenveelhoek met dubbel aantal zijden p2n en q2n in en om dezelfde cirkel beschreven gegeven door : (p2n)² = pn . q2n (a) en q2n = 2(pn . qn)/(pn + qn) (b)
Deze betrekkingen worden afgeleid uit de gelijkvormigheid van driehoeken (zie figuren 7b en 7c).
- Studie van de regelmatige vierhoek, driehoek en zeshoek: (4)
De regelmatige vierhoek (vierkant):
Stelling: men verkrijgt een regelmatige vierhoek (= vierkant) beschreven in een cirkel, door de eindpunten van twee loodrechte middellijnen te verbinden (figuur 8). Op te merken valt dat uit (1) volgt dat φ = 90° en uit (2) α4 = 90°
Men berekent de zijde z4 en het apothema a4in functie van de straal R van de omgeschreven cirkel. Met behulp van de stelling van Pythagoras vindt men gemakkelijk:
z4 = R√2 uit (3) volgt dan a4 = (R√2)/2 uit (7) S4 = 2R2 = 4a42
Met behulp van de verdubbelingsformule (4) en de apothemaformule (3) kan men dan z8 , a8 en S8 berekenen, vervolgens z16, a16 en S16 enz.
De regelmatige zeshoek en driehoek:
Stelling: de zijde van de regelmatige zeshoek is gelijk aan de straal van de omgeschreven cirkel R (figuur 9). Op te merken valt dat uit (1) volgt φ = 60° en uit (2) α6 = 120°
Men berekent de zijde z6 en het apothema a6 in functie van de straal R van de omgeschreven cirkel. Tengevolge van de stelling heeft men:
z6 = Ruit (3) volgt dan a6 = (R√3)/2 en uit (7) S6 = (3R2√3)/2 =2a²√3
Op te merken is dat uit (1) volgt: φ = 120° uit (2): α3 = 60°
Met behulp van de halveringsformule (5) vindt men gemakkelijk:
z3 = R√3 en a3 = R/2 uit (7) volgt dan S3 = (3R2√3)/4 = 3a²√3
Natuurlijk kan men met de verdubbelingsformule (4) en de apothemaformule (3) dan z12 , a12 en S12 bepalen en vervolgens z32 , a32 en S32 enz.
3- de omtrek en oppervlakte van kromlijnige meetkundige figuren: de cirkel en cirkelsector
- Cirkelomtrek:
Stelling 4: "De lengte p(cko) van een cirkelomtrek is de limiet (5) van de omtrekken pn en qn van respectievelijk een convexe regelmatige koordenveelhoek en een convexe regelmatige raaklijnenveelhoek, wanneer het aantal zijden onbeperkt toeneemt."
Men schrijft dit als:
p(cko) = lim n→oneindig pn en q(cko) = lim n→oneindig qn met pn < cko < qn
Men toont in de axiomatische meetkunde verder aan dat die limiet bestaat en enig is.
Neemt het aantal zijden van een convexe regelmatige ingeschreven veel hoek onbepaald toe, dan is de limiet van het apothema an de straal van de omgeschreven cirkel.
lim n→oneindig an = R
Stelling 5: Alle cirkels zijn gelijkvormig. Twee cirkelomtrekken verhouden zich tot elkaar als hun stralen
Gevolg: de verhouding van de cirkelomtrek tot de middellijn (2R) is dezelfde voor alle cirkelomtrekken. Het getal dat gelijk is aan de verhouding van een cirkelomtrek tot zijn middellijn wordt voorgesteld door het symbool π. Het getal π is een irrationaal getal waarvan een benaderende waarde op verschillende manieren kan berekend worden (6) .
De omtrek van een cirkel is bijgevolg:
p(cko) = 2π x R.
Methode van Archimedes(7): De meest eenvoudige methode om π te berekenen is de methode van Archimedes (8) , ongetwijfeld de grootste wiskundige uit de Oudheid.
Archimedes gebruikte de formules (a) en (b) van Stelling 3 en ging uit van de zeshoek dus met z6 = R = 1 ; derhalve was p6 = 3 en q6 = 2√3. Achtereenvolgens berekende hij dan p12 en q12, p24 en q24, p48 en q48, en uiteindelijk p96 en q96. Hij vond aldus de benaderende waarden : 3,141031.. en 3,142174...
Voor de meeste toepassingen volstaat de benaderende waarde π = 3,14 .. Soms gebruikt men de waarde π ≈ 22/7. Let wel het gaat hier om een benaderende waarde (teken: ≈): π is een irrationaal getal en kan dus nooit een quotiënt zijn van twee natuurlijke getallen als 22 en 7.
- Cirkeloppervlakte:
Stelling 6 (stelling van Archimedes): "De oppervlakte van de cirkel is gelijk aan deze van een rechthoekige driehoek waarvan een rechthoekzijde gelijk is aan de straal, de andere rechthoekzijde gelijk is aan de omtrek van de cirkel"
Het bewijs van deze stelling is een reductio ad absurdum...
Eerst onderstelt Archimedes dat het oppervlak van de cirkel groter is dan dat van de genoemde rechthoekige driehoek. Hij beschouwt een ingeschreven regelmatige veelhoek en verdubbelt stelselmatig het aantal zijden. Hierdoor sluit de veelhoek steeds dichter bij de cirkel aan. Hij toont aan dat het oppervlak van de ingeschreven veelhoek altijd kleiner blijft dan dat van de genoemde driehoek. Als de veelhoek de cirkel dicht genoeg nadert, moet zijn oppervlak echter groter worden dan dat van de driehoek. Dat is een tegenspraak. De eerste onderstelling kan dus niet waar zijn.
Vervolgens beschouwt hij de mogelijkheid dat het oppervlak van de cirkel kleiner is dan dat van de genoemde rechthoekige driehoek. Een gelijkaardige redenering, maar nu met omgeschreven veel hoeken, stuit weer op een tegenspraak. Er is dus geen andere mogelijkheid dan dat de cirkel en de driehoek een gelijk oppervlak hebben. Daarmee is het bewijs geleverd.
De oppervlakte van de cirkel is de limiet van de oppervlakte van een convexe regelmatige veelhoek, wanneer het aantal zijden onbeperkt toeneemt.
S(cirkel) = lim n→oneindig Sn
Gevolgtrekking 1: De oppervlakte van de cirkel is gelijk aan het halve product van de cirkelomtrek en de straal
Of uitgedrukt in formulevorm S(cirkel) = (2πR/2) x R
Hieruit volgt:
S(cirkel) = π x R²
Gevolgtrekking 2: "De oppervlakten van twee cirkels verhouden zich als de vierkanten van hun stralen."
- Cirkelboog en oppervlakte van een cirkelsector:
Definities: In twee willekeurige cirkels zijn bogen gelijk wanneer zij op gelijke middelpuntshoeken staan. Twee bogen zijn even lang als ze dezelfde lengte hebben. Gelijke bogen zijn even lang als ze tot dezelfde cirkel of tot gelijke cirkels behoren. Een radiaal of straalhoek is de middelpuntshoek, die op een boog staat gelijk aan de straal.
Stelling 1: De lengte van gelijke bogen verhouden zich als hun stralen
Stelling 2: De lengte van een boog is gelijk aan het product van de straal en het maatgetal van de bijhorende middelpuntshoek, als voor deze laatste, de radiaal tot hoekeenheid wordt gekozen
p(boog) = θ x R (middelpuntshoek θ uitgedrukt in radiaal) of uitgedrukt in graden:
p(boog) = 2π. R . α°/360° = π.R.α°/180°
Stelling 3: Cirkelsectoren met dezelfde middelpuntshoek verhouden zich als het vierkant van hun stralen
Stelling 4: De oppervlakte van een cirkelsector is gelijk aan het product van het kwadraat van de straal en het maatgetal van de middelpuntshoek, als voor deze laatste de radiaal als hoekeenheid genomen wordt
S(cirkelsector) = θ x R²/2 (middelpuntshoek θ uitgedrukt in radiaal) of uitgedrukt in graden
S(cirkelsector) = π x R²x α°/360°
Vraag: Hoe kan je op een eenvoudige manier de oppervlakte van een cirkelsegment berekenen?
------------------
(1) Irrationale of beter onmeetbare getallen. Het heeft mij steeds verwonderd dat noch in het lager, noch in het lager middelbaar onderwijs expliciet over irrationale getallen gesproken werd.
Het bewijs uit het ongerijmde berust op het axioma van de uitgesloten derde of van het uitgesloten midden, ook wel tertium non datur (Lat., "een derde is niet gegeven"). Dit axioma houdt in dat iedere uitspraak waar, dan wel onwaar is; een andere, derde, mogelijkheid is er niet. De bewijsvoering gebeurt als volgt:
- men neemt het tegengestelde aan van de stelling die te bewijzen is
- de tegengestelde stelling leidt tot gevolgtrekkingen, die in strijd zijn met de eerste stelling
- men besluit dat de tegengestelde stelling vals is en bijgevolg dat de eerste stelling waar is
Deze onrechtstreekse bewijsvoering is zo overtuigend als een rechtstreekse. Men zegt dat het overtuigt zonder de geest te verlichten.
Het bewijs door contrapositie is een methode om het wiskundig bewijs te geven van de stelling als A dan B, door het bewijzen van de stelling als niet B dan niet A. In de klassieke logica is deze laatste stelling equivalent aan de eerste: een bewijs van de ene stelling is ook een bewijs van de ander.
(4) de regelmatige tienhoek evenals de regelmatige vijfhoek en vijftienhoek werden vroeger niet behandeld in het Lager Secundair Onderwijs, omdat voor de berekening van z10 in functie van R de Gulden Snede (meetkundige constructie) nodig is. Voornoemde regelmatige veelhoeken worden wel behandeld in de hogere humaniora.
(5) Het begrip limiet is hier een intuïtief begrip; een strenge wiskundige formulering van dit begrip is niet mogelijk in het lager secubdair onderwijs. Let wel dat er met limieten omgesprongen en gerekend werd lang voor Cauchy en Weierstrass dit begrip scherp definieerden Voor een interessant artikel over het limiet begrip zie de inaugurale rede van Pierre Joseph Henri Baudet (1891-1921): http://www.math.ru.nl/werkgroepen/gmfw/bronnen/pbaudet2.html
(6) voor een interessante monografie over het getal π zie bvb Pi van Frits Beukers (Epsilon, -2004-). In hoofdstuk 2 wordt de methode van Archimedes ter berekening van π uiteengezet. Archimedes vertrok van een regelmatige zeshoek.
(8) Gedurende tweeduizend jaar, tot de zeventiende eeuw met de opkomst van de differentiaal- en integraal rekening, was de methode van Archimedes vrijwel de enige om pi te berekenen. Ludolph van Ceulen (1540-1610) - http://nl.wikipedia.org/wiki/Ludolph_van_Ceulen- van de Leidense universiteit bepaalde, na jarenlang rekenwerk, maar liefst 35 decimalen van pi. Deze 35 decimalen waren op zijn grafsteen in de Pieterskerk te Leiden uitgebeiteld. Helaas is deze grafsteen in de negentiende eeuw spoorloos verdwenen. Een aantal wiskundigen namen echter het initiatief om een kopie van deze grafsteen in de Pieterskerk te laten plaatsen. Deze feestelijke en publieke gebeurtenis vond plaats op 5 juli 2000. De methode wordt uiteengezet in "Over de Cirkelmeting", een miniscuul werkje dat de stellingen van Archimedes (hier stellingen 3 en 6) behandelt, stellingen, die niet in de Elementen van Euklides voorkomen.
De geschriften van Archimedes werden voor het eerst in het Frans vertaald door Paul Ver Eecke (1897-1959) -zie http://fr.wikipedia.org/wiki/Paul_ver_Eecke - in 1921. Paul Ver Eecke was een mijningenieur, die een zeer grote belangstelling had voor de Griekse wiskunde en o.m naast het werk van Archimedes van Syracusa ook de werken van Apollonios van Perga, van Pappos en Diophantes van Alexandrië uit het Grieks heeft vertaald. Deze vertalingen, die dateren van de jaren twintig, worden nog steeds als dé referentie op dit gebied aanzien. Iedere Grieks-Latinist, met interesse voor de Griekse wiskunde, zou deze werken in zijn bibliotheek moeten hebben. Helaas ze zijn niet goedkoop want erg zeldzaam geworden.
Er bestaat ook een Engelse vertaling van de geschriften van Archimedes getiteld "The Works of Archimedes", die dateert van 1897 en van de hand is van Thomas Heath (te verkrijgen bij Dover Books).
(Hoofdstuk 10 "Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")
§10.4 Stereometrie en Dalle's Vijfde Boek
Voor het toelatingsexamen van de Cadettenschool omvatte de te kennen examenstof ook enkele begrippen uit de ruimtemeetkunde o.m. de onderlinge ligging van twee rechten, de onderlinge ligging van een rechte en een vlak, de onderlinge ligging van twee vlakken, de loodrechte stand van een rechte en een vlak, de loodrechte stand van twee vlakken, de eigenschappen der schuine lijnen uit een punt naar een vlak getrokken, de hoek van een rechte en een vlak, afstand en hoek van twee kruisende rechten, tweevlakshoeken, drievlakshoeken, en tenslotte de berekening van enkele elementen in een kubus, in een regelmatig viervlak en een regelmatig achtvlak .
Voor deze leerstof beschikte ik over « Het Leerboek der Meetkunde Stereometrie » van Dalle en De Waele (voor meer details zie cursiefje: Over oude schoolboeken.. en wiskunde), dat ik van mijn oudste broer geërfd had en dat van 1946 dateerde.
Dit werk was ingedeeld in boeken:
- vijfde boek: Het Vlak en de Veelvlakshoeken
Naast enkele algemene begrippen, waren de behandelde onderwerpen, omschreven door 43 stellingen, hier: de loodrechte stand van rechte en vlak, evenwijdige rechten en vlakken, tweevlakshoeken, loodrechte vlakken, projectie van een rechte, veelvlakshoeken
- zesde boek: De Veelvlakken
Naast algemene begrippen kwam hier het prisma en de piramide, de gelijkvormigheid van veelvlakken en de symmetrische figuren (symmetrie t.o.v. een rechte, een punt, een vlak) aan de orde. Het zesde boek omvatte 31 stellingen.
- zevende boek: Omwentelingslichamen
Naast algemene begrippen werden hier de omwentelingscilinder, de omwentelingskegel, de bol en de regelmatige veelvlakken (viervlak of tetraëder, hexaëder of kubus, achtvlak of octaëder, twaalfvlak of octaëder, twintigvlak of icosaëder) behandeld. Het zevende boek omvatte 30 stellingen
- achtste boek: Figuren op de bol
De onderwerpen waren hier: de eigenschappen van bolveelhoeken, de congruentie van boldriehoeken, pooldriehoeken, gelijkbenige boldriehoeken, willekeurige boldriehoeken, de minimale afstand tussen twee punten op een bolvlak, de oppervlakte van de boldriehoek. Het achtste boek omvatte 15 stellingen.
Verder was er nog een zogenaamd Complement, dat handelde over de Nieuwere Meetkunde (gerichte meetkunde, middelpunt der evenredige en der gemiddelde afstanden, de regels van Guldin, transversaalvlakken, dubbelverhouding, harmonische verdeling, homothetie, raakvlakken aan ronde lichamen, machtvlak, machtlijn en machtpunt, inversie in de ruimte, antiparallelle doorsneden in een scheve cirkelkegel.
De te kennen examenstof werd blijkbaar behandeld in de boeken vijf, zes en zeven en uiteraard beperkte ik mij tot de theorie behandeld in deze boeken. Later heb ik vastgesteld, dat de eigenlijke examenstof heel wat minder inhield, maar deze eerste wat meer doorgedreven studie heeft mij in alle geval uitstekende diensten bewezen in de Cadettenschool
I- De basisbegrippen: plat vlak, loodrechte op een vlak, loodvlak, evenwijdige rechte aan een vlak, evenwijdige vlakken,
Het begrip plat vlak (ook kortweg vlak) ontstaat door de waarneming van sommige objecten: de effenheid van stilstaand water, de gladheid van een spiegel roepen er het denkbeeld van op. Het vlak is zodanig dat elke rechte die er twee punten mede gemeen heeft er geheel in ligt. Deze fundamentele eigenschap, wordt ook nog postulaat van het plat vlak geheten. Een postulaat is een eigenschap, die men zonder bewijs aanneemt.
- Een rechte getrokken door een punt in een vlak en door een punt buiten dit vlak heeft slechts één punt gemeen met dit vlak (waarom?). Dit gemeenschappelijk punt heet voetpunt van de rechte of snijpunt van de rechte en het vlak.
- Een rechte in een vlak verdeelt dit vlak in twee halfvlakken; die rechte is de grensrechte van elk halfvlak. Door een vlak te laten wentelen rond een van zijn rechten is elk halfvlak door een willekeurig punt van de ruimte te brengen.
Ofschoon een vlak onbegrensd is, stelt men een vlak voor door een figuur die in dit vlak gelegen is, gewoonlijk een parallellogram.
In de Vlakke Meetkunde gaven de noties loodrecht en evenwijdigaanleiding tot de begrippen loodrechte op een rechte en evenwijdige rechten; in de ruimtemeetkunde komt men nu tot de begrippen loodrechte op een vlak», loodvlak, evenwijdige rechte aan een vlak en evenwijdige vlakken.
Het begrip loodrechte op een vlak: een rechte staat loodrecht op een vlak, wanneer ze loodrecht staat op al de rechten, die in dit vlak door haar voetpunt gaan.
Stelling: De nodige en voldoende voorwaarde opdat een loodrechte loodrecht zou staan op een vlak, is dat ze loodrecht staat op twee rechten in dit vlak (zie figuur 1 : loodrechte op een vlak)
Het begrip loodvlak: in elk punt op een rechte kunnen er in de ruimte oneindig veel loodlijnen opgericht worden. De meetkundige plaats van al de loodlijnen in een punt op eenzelfde rechte is een loodvlak op die rechte (zie figuur: 2 loodvlak op rechte).
Stelling 1: Door een punt kan steeds een loodvlak op een rechte aangebracht worden en slechts één
Stelling 2: De meetkundige plaats van de punten, die op gelijke afstanden verwijderd zijn van de uiteinden van een lijnstuk, is het loodvlak in het midden van dat lijnstuk.
Stelling 3: Door een punt kan steeds een loodlijn op een vlak getrokken worden en slechts één.
Stelling 4: (stelling der drie loodlijnen) Laat men uit een punt de loodlijn neer op een vlak en de loodlijn op een rechte in dit vlak, dan staat het vlak, dat deze loodlijnen bepalen, loodrecht op de rechte.
Het begrip middelloodvlak: Een middelloodvlak is het loodvlak aangebracht op het midden van een lijnstuk.
Het begrip evenwijdige rechte aan een vlak: een rechte loopt evenwijdig met een vlak indien ze dit vlak niet snijdt.
Stelling: De nodige en voldoende voorwaarde opdat een rechte evenwijdig zou zijn aan een vlak, is dat ze evenwijdig is met een rechte in dit vlak.
Het begrip evenwijdige vlakken: Twee vlakken zijn evenwijdig als ze geen punt gemeen hebben.
Stelling 1: Twee vlakken die loodrecht staan op een zelfde rechte, zijn evenwijdig (figuur 3: bestaan van evenwijdige vlakken).
Stelling 2: Worden twee evenwijdige vlakken door een derde vlak gesneden, dan zijn de snijlijnen evenwijdig.
Stelling 3: Door een punt buiten een vlak kan slechts één enkel vlak evenwijdig met het gegeven vlak aangebracht worden.
Stelling 4: Snijdt een rechte een van de twee evenwijdige vlakken dan snijdt zij ook de andere
Stelling 5: Staat een rechte loodrecht op een van de twee vlakken, dan staat zij ook loodrecht op het andere vlak.
Stelling 6: De lijnstukken op evenwijdige rechten door evenwijdige vlakken afgesneden, zijn gelijk.
In de Vlakke Meetkunde was een hoek een deel van het vlak; in de ruimtemeetkunde kon men analoog hoeken definiëren als delen van de ruimte. Aldus kwam men op de begrippen tweevlakshoek en veelvlakshoek.
Het begrip tweevlakshoek: Een tweevlakshoek of ruimtehoek is de meetkundige figuur gevormd door twee halfvlakken, die elkaar snijden. De halfvlakken worden de zijden, de snijlijn de ribbe van de tweevlakshoek genoemd.
Twee tweevlakshoeken heten aanliggend, als ze dezelfde ribbe hebben en aan weerskanten van een gemeenschappelijke zijde gelegen zijn. Neventweevlakshoeken zijn aanliggende tweevlakshoeken, waarvan de buitenzijden in elkaars verlengde liggen.
Twee tweevlakshoeken heten overstaand, als de zijden van de ene de verlengden van de zijden van de andere tweevlakshoek zijn.
De begrippen standvlak en standhoek: Ieder loodvlak dat in een willekeurig punt A van de ribbe van de tweevlakshoek opgericht wordt wordt standvlak genoemd. Een standvlak snijdt de zijden van de tweevlakshoek onder twee halve rechten a en b met zelfde beginpunt A. De hoek gevormd door deze twee halve rechten wordt standhoek genoemd.
Stelling: het maatgetal van een standhoek van een tweevlakshoek is onafhankelijk van de ligging van het hoekpunt op de ribbe van de tweevlakshoek m.a.w. alle standhoeken van een tweevlakshoek zijn gelijk.
Twee tweevlakshoeken zijn congruent, als zij elkaar volkomen kunnen bedekken.
Stelling: De nodige en voldoende voorwaarde opdat twee tweevlakshoeken zouden congruent zijn, is dat hun standhoeken gelijk zijn.
Het bissectricevlak van een tweevlakshoek is het halfvlak dat door de ribbe aangebracht de tweevlakshoek in twee gelijke delen splitst. Het bissectricevlak is de meetkundige plaats van punten die gelijke afstand hebben tot de zijden die de tweevlakshoek vormen.
Een rechte tweevlakshoek is een tweevlakshoek waarvan de standhoek een rechte hoek is (zie figuur 4: rechte tweevlakshoek). Een tweevlakshoek is scherp of stomp naargelang hij kleiner of groter is dan een rechte tweevlakshoek.
Het begrip veelvlakshoek: Een veelvlakshoek of n- vlakshoek is de meetkundige (ruimtelijke) figuur gevormd door n halve rechten uit eenzelfde punt getrokken waarvan er geen drie in eenzelfde vlak liggen. In een veelvlakshoek onderscheidt men de ribben (d.i. de halve rechten, die de veelvlakshoek bepalen), de top of het hoekpunt (d.i. het punt gemeen aan alle ribben), de zijden (d.i. de vlakke hoeken gevormd door twee op elkaar volgende ribben) en de hoeken (d.i. de tweevlakshoeken gevormd door twee op elkaar volgende zijden). Men duidt een veelvlakshoek aan door de letter bij de top gevolgd door die bij de ribben bvb SABCDE (zie figuur 5: veelvlakshoek).
Een veelvlakshoek heet convex als hij t.o.v. elke zijde in hetzelfde gebied van de ruimte ligt. Twee veelvlakshoeken zijn overstaand of tegengesteld als hun elementen (zijden en hoeken) twee aan twee congruent zijn maar in tegengestelde orde op elkaar volgen. De volgorde is als volgt te bepalen: men beeldt zich een persoon in, die langs de ribbe ligt, het hoofd in de top en die naar de veelvlakshoek kijkt; de positieve zin voor die persoon is de tegenwijzerzin, de negatieve zin de wijzerzin.
Twee veelvlakshoeken zijn congruent als hun toppen en hun ribben elkaar kunnen bedekken. Wegens de omkering in de volgorde der elementen kunnen twee overstaande veelvlakshoeken, hoewel al hun elementen congruent zijn, over het algemeen niet samenvallen. Indien de eis voor congruentie ook de zin van de veelvlakshoeken omvat, kan men volgende stelling formuleren:
Stelling: Twee veelvlakshoeken die in tegengestelde zin georiënteerd zijn, zijn nooit congruent.
Het begrip drievlakshoek: Een belangrijke veelvlakshoek is de drievlakshoek (bvb SABC), die dus een top, drie ribben, drie zijden en drie hoeken bevat. Een gelijkzijdige rechthoekige drievlakshoek is een drievlakshoek waarvan de drie zijden rechte hoeken zijn. Overstaande of tegengestelde drievlakshoeken zijn drievlakshoeken waarvan de ribben van de ene in het verlengde van de andere liggen. Ze zijn niet congruent doch symmetrisch (zie figuur 6: overstaande drievlakshoeken).
In de Vlakke Meetkunde werd het begrip veelhoek ingevoerd; analoog wordt in de ruimtemeetkunde het begrip veelvlak gedefinieerd.
Een veelvlak is een meetkundig lichaam aan alle zijden begrensd door vlakken (zie figuur 1: veelvlak). De vlakken die het veelvlak begrenzen worden zijvlakken genoemd. De snijlijnen van twee aanliggende zijvlakken worden de ribben, de uiteinden van de ribben, de hoekpunten van het veelvlak genoemd. In een veelvlak vormen twee zijvlakken met een gemeenschappelijke ribbe een tweevlakshoek, de verschillende zijvlakken met een gemeenschappelijk hoekpunt een veelvlakshoek.
Diagonalen van een veelvlak zijn rechten die twee hoekpunten verbonden die niet in eenzelfde zijvlak gelegen zijn.
Een vlakke doorsnede van een veelvlak, is de veelhoek, waarvan de zijden de snijlijnen zijn van de zijvlakken van het veelvlak met een vlak. Een diagonaalvlak is een vlak dat door drie hoekpunten van het veelvlak gaat en niet met een zijvlak samenvalt.
Een prismatisch oppervlak is het oppervlak beschreven door een rechte, die zich evenwijdig aan zichzelf verplaatst en steeds een gebroken lijn snijdt (zie figuur 2: scheef prisma).
De rechte, die zich evenwijdig aan zichzelf verplaatst wordt beschrijvende rechte, de gebroken lijn, de richtlijn, de standen van de beschrijvende rechte, die door de hoekpunten van de richtlijn gaan, de ribben en de vlakken bepaald door twee op elkaar volgende ribben, de zijvlakken van het prismatisch oppervlak genoemd.
Twee prismatische oppervlakken bedekken elkaar als ze dezelfde richtlijn hebben en de beschrijvende rechten evenwijdig lopen aan een zelfde richting. Bij een loodrechte doorsnede van een prismatisch oppervlak staat het snijvlak loodrecht op de ribben. Is de gebroken lijn gesloten en dus een veelhoek, dan spreekt men van een gesloten prismatisch oppervlak.
Stelling: De doorsneden van evenwijdige vlakken met een gesloten prismatisch oppervlak zijn congruente veelhoeken.
Een prisma is een veelvlak begrensd door een gesloten prismatisch oppervlak en door twee evenwijdige doorsneden van dit oppervlak, het grond- , respectievelijk bovenvlak van het prisma. Of nog, het prisma is een veelvlak waarvan twee vlakken (grond- en bovenvlak) congruent en evenwijdig zijn, terwijl de andere vlakken parallellogrammen zijn, die elk een gemeenschappelijke zijde met de evenwijdige vlakken hebben.
De hoogte van het prisma is de afstand tussen het grondvlak en bovenvlak. Een prisma is recht of scheef, naargelang de opstaande ribben loodrecht of schuin op het grondvlak staan. Een regelmatig prisma is een recht prisma met een regelmatige veelhoek als grondvlak. Een prisma is driezijdig, vierzijdig, vijfzijdig naargelang het grondvlak een driehoek, een vierhoek, een vijfhoek is.
Een parallellepipedum is een prisma met een parallellogram als grondvlak (zie figuur 3: parallellepipedum). Elk zijvlak van een parallellepipedum is een parallellogram. Van een parallellepipedum worden twee zijvlakken overstaand genoemd als zij niet op elkaar volgen.
Een recht parallellepipedum is een parallellepipedum waarvan de opstaande ribben loodrecht op het grondvlak staan. Een rechthoekig parallellepipedum is een recht parallellepipedum met een rechthoek als grondvlak.
De afmetingen van een rechthoekig parallellepipedum zijn de lengten van drie ribben uit eenzelfde hoekpunt. Een kubus of regelmatig zesvlak is een rechthoekig parallellepipedum waarvan de drie afmetingen gelijk zijn.
Stelling 1: Overstaande zijvlakken van een parallellepipedum zijn evenwijdig en congruent
Gevolgen: 1) in een parallellepipedum kan elk zijvlak als grondvlak beschouwd worden; 2) elke vlakke doorsnede die vier evenwijdige ribben van een parallellepipedum ontmoet is een parallellogram; 3) de twaalf ribben van een parallellepipedum lopen vier aan vier evenwijdig
Stelling 2: De diagonalen van een parallellepipedum snijden elkaar middendoor
Gevolgen: 1) het snijpunt van de diagonalen van een parallellepipedum verdeelt in twee gelijke delen elk lijnstuk, dat door dit punt gaat en aan het oppervlak van het parallellepipedum eindigt 2) in een rechthoekig parallellepipedum zijn alle diagonalen gelijk
Een piramide is een veelvlak begrensd door een veelvlakshoek en door een vlakke doorsnede die al de ribben van de veelvlakshoek snijdt. De top van de piramide is het hoekpunt S van de veelvlakshoek. Het grondvlak van de piramide is het vlak tegenover de top. Een piramide wordt aangegeven door het symbool SABCD.. waarin S de top en A, B, C, D.. de hoekpunten van het grondvlak voorstellen.
De opstaande ribben van de piramide zijn de ribben die de top met het grondvlak verbinden. De opstaande zijvlakken van de piramide zijn de zijvlakken gevormd door twee op elkaar volgende opstaand ribben en een grondribbe.
De hoogte van de piramide is de afstand van de top tot het grondvlak. Een piramide heet regelmatig als het grondvlak een regelmatige veelhoek is, waarvan het middelpunt samenvalt met het voetpunt van de hoogte van de piramide. In een regelmatige piramide zijn al de opstaande ribben gelijk; de opstaande zijvlakken zijn congruente gelijkbenige driehoeken.
De afstanden van de top tot de grondribben zijn onderling gelijk; hun gemeenschappelijke lengte is het apothema van de piramide. Een piramide heet driezijdig, vierzijdig, vijfzijdig naargelang het grondvlak een driehoek, een vierhoek, een vijfhoek is (zie figuur 4: vijfzijdige piramide). De driezijdige piramide wordt viervlak of tetraëder genoemd.
Stelling 1: Wordt een piramide door een vlak evenwijdig aan het grondvlak gesneden: 1) dan zijn de opstaande ribben in dezelfde verhouding verdeeld; 2) dan is de doorsnede een veelhoek gelijkvormig met het grondvlak; 3) dan verhouden zich de oppervlakten van de doorsnede en van het grondvlak zoals de vierkanten van hun afstanden tot de top.
Stelling 2: In twee piramiden, die dezelfde hoogte hebben, verhouden zich de doorsneden op gelijke afstand van de toppen en evenwijdig aan de grondvlakken, als de grondvlakken
2- de kromlijnige meetkundige lichamen: de bol
In de Vlakke Meetkunde werden de begrippen cirkel en cirkelomtrek ingevoerd; in de ruimtemeetkunde definieert men nu op analoge wijze de bol en het bolvlak.
Het begrip bolvlak: Een bolvlak wordt gedefinieerd als een tridimensioneel oppervlak waarvan de punten op gelijke afstand van een gegeven punt gelegen zijn. Dit punt heet het middelpunt van het boloppervlak.
De straal van het bolvlak R is de afstand van het middelpunt tot een punt van het bolvlak. Een koorde van het bolvlak is elk lijnstuk waarvan de twee eindpunten punten van het bolvlak zijn. Een middellijn of diameter is een koorde die door het middelpunt van het bolvlak gaat. De diameter is de grootste afstand tussen twee punten van het bolvlak, en exact tweemaal zo groot als de straal.
Het begrip bol: de bol is het meetkundig lichaam dat door een boloppervlak begrensd wordt.
Het bolvlak wordt ook nog gedefinieerd als de meetkundige plaats van alle punten in de ruimte die op een constante afstand (de straal) van een vast middelpunt liggen.
Grondeigenschap (grondstelling): Een bolvlak is volledig bepaald door vier willekeurige punten die niet in één plat vlak liggen m.a.w. door vier punten, die niet in hetzelfde (plat) vlak liggen kan één en slechts één bolvlak gaan.
Gevolgen:
1) twee cirkelomtrekken die twee punten gemeen hebben en niet in eenzelfde vlak liggen bepalen een bol;
2) twee bolvlakken, die vier punten gemeen hebben welke niet in eenzelfde vlak liggen, zijn congruent;
3) De loodlijnen op de vier zijvlakken van een viervlak opgericht in het middelpunt van de cirkel om elk zijvlak beschreven, lopen in één punt samen.
Stelling: Elke vlakke doorsnede door een bol aangebracht is een cirkel, waarvan het middelpunt het voetpunt is van de loodrechte uit het middelpunt van de bol op die doorsnede
Definities: De doorsnede bepaald door het vlak dat door het middelpunt van de bol gaat heet een grote cirkel. Gaat het vlak niet door het middelpunt dan bepaalt het een kleine cirkel (zie figuur 5 bolvlak-kleine cirkel).
Het begrip raakvlak en raaklijn: Een raakvlak aan een bolvlak is het vlak dat met het bolvlak slechts één punt, het raakpunt, gemeen heeft (zie figuur 6: raakvlak aan bolvlak). Een raaklijn aan een bolvlak is een rechte die slechts één punt, het raakpunt, met het bolvlak gemeen heeft. De normaal in een punt van het bolvlak is de loodlijn op het raakvlak in dit punt
Stelling 1: De nodige en voldoende voorwaarde opdat een (plat) vlak een raakvlak van een bolvlak zou zijn, is dat dit vlak een loodvlak is op het uiteinde van de straal
Stelling 2: De nodige en voldoende voorwaarde opdat een rechte een raaklijn aan een bolvlak zou zijn, is dat ze loodrecht staat op het uiteinde van de straal van het bolvlak
De meetkundige plaats van de raaklijnen aan een bolvlak in een gegeven punt, is het raakvlak in dit punt.
Het begrip bolmeetkunde of meetkunde van het bolvlak: zoals er een meetkunde bestaat van het (platte) vlak( de Vlakke Meetkunde), kan men een meetkunde ontwikkelen van het bolvlak en diverse meetkundige figuren op het bolvlak beschouwen of tekenen: het volstaat daartoe een krombenige passer te bezigen. Volgende begrippen worden hiertoe ingevoerd:
De polen of sferische middelpunten van een cirkel op een bolvlak, zijn de eindpunten van de middellijn, die loodrecht staat op het vlak van die cirkel (zie figuur 7: bolmeetkunde -sferische afstand).
Cirkelomtrekken op een bolvlak, die in evenwijdige vlakken liggen hebben dezelfde polen. Als er spraak is van dé pool van een cirkel op een bolvlak, bedoelt men altijd de pool die het dichtst bij het vlak van die cirkel ligt.
De poolsafstand van een cirkel (cirkelboog) op het bolvlak is de rechtlijnige afstand van de pool van de cirkel (cirkelboog) tot de een punt van zijn omtrek.
Stelling: Elke pool van een cirkel op een bolvlak ligt op gelijke afstand van alle punten van de cirkel
De hoek van twee cirkels of cirkelbogen op een bolvlak, is de hoek gevormd door hun raaklijnen in hun snijpunt.
De sferische afstand van twee punten op het bolvlak is de lengte van de kleinste boog van de grote cirkel, die door die twee punten gaat. l
De sferische straal van een cirkel (cirkelboog) op een bolvlak is de sferische afstand van de pool van die cirkel (cirkelboog) tot een punt van zijn omtrek. De sferische straal van een grote cirkel is gelijk aan een kwadrant.
stelling: De hoek van twee bogen van grote cirkelomtrekken met een gemeenschappelijk punt is gelijk aan de standhoek van de tweevlakshoek, waarvan de zijden deze bogen bevatten
Het begrip bolveelhoek: Onder een bolveelhoek verstaat men een gesloten omtrek op een bolvlak, die uit bogen van grote cirkels bestaat (zie figuur 8: bolvierhoek).
In een bolveelhoek onderscheidt men: 1) de zijden zijnde de bogen van de grote cirkels, die de omtrek van de bolveelhoek vormen; 2) de hoekpunten of de uiteinden van de zijden van de bolveelhoek; 3) de hoeken gevormd door twee op elkaar volgende zijden.
Heeft de bolveelhoek slechts drie zijden dan wordt hij boldriehoek genoemd. Boldriehoeken spelen in de meetkunde van het bolvlak een analoge rol als de vlakke driehoeken.
(Hoofdstuk 10 "Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 10.6 Stereometrie en Dalle's Zesde Boek (II) II- Oppervlak en volume van veelvlakken: parallellepipedum, prisma, piramide
In de Vlakke Meetkunde worden de vlakke meetkundige figuren bepaald door omtrek en oppervlak; in de ruimtemeetkunde worden de ruimtelijke meetkundige figuren ook meetkundige lichamen genoemd- omschreven door oppervlak en volume.
Het oppervlak van een veelvlak is het totale oppervlak van de vlakken die het veelvlak begrenzen. Bij het prisma wordt dit oppervlak onderverdeeld in zijdelings oppervlak d.i. het oppervlak ingenomen door de opstaande zijvlakken en het oppervlak ingenomen door het grond- en bovenvlak van het prisma. De oppervlakte van een veelvlak is de grootte van het oppervlak
Het volume van een veelvlak is de ruimte door dit veelvlak ingenomen. Het maatgetal van de ruimte door het veelvlak ingenomen wordt inhoud (symbool I)genoemd net zoals het maatgetal van een lijnstuk en van een deel van een oppervlak, respectievelijk lengte (symbool L) en oppervlakte (symbool S) genoemd worden.
Een volume meten is het getal bepalen dat de verhouding uitdrukt van dit volume tot een gekozen volume-eenheid. Twee volumes zijn congruent indien zij elkaar volkomen kunnen bedekken: zij hebben dan dezelfde vorm en dezelfde inhoud.
Congruentie betekent dus even groot (teken =) én gelijkvormig (teken ~). Kubussen zijn altijd gelijkvormig.
1- oppervlakte en inhoud van het prisma en parallellepipedum
Stelling 1: Het maatgetal van het zijdelings oppervlak van een prisma is het product van de omtrek van de loodrechte doorsnede en de opstaande ribbe (zie figuur)
Nu bestaan er een aantal stellingen betreffende de gelijkheid van prismas die de bedoeling hebben aan te tonen:
1° dat een willekeurig prisma qua volume gelijk is aan een recht prisma dat een loodrechte doorsnede van dit willekeurig prisma als grondvlak en als hoogte de opstaande ribbe van dit willekeurig prisma heeft
2° dat een driezijdig prisma qua volume gelijk is aan de helft van een parallellepipedum
3° dat een willekeurig parallellepipedum qua volume gelijk is aan een rechthoekig parallellepipedum dat dezelfde hoogte en een gelijk grondvlak heeft.
Stelling 2: Twee prismas zijn congruent wanneer zij drie samenlopende zijvlakken hebben, die twee aan twee congruent zijn en in dezelfde volgorde voorkomen
Stelling 3: Een scheef prisma is (qua volume) gelijk aan een recht prisma, dat een loodrechte doorsnede tot grondvlak en de opstaande ribbe tot hoogte heeft (zie figuur 1: scheef en recht prisma)
Stelling 4: Een vlak door twee overstaande ribben van een parallellepipedum gebracht verdeelt dit parallellepipedum in twee gelijke driezijdige prismas
Stelling 5: Twee parallellepipedums zijn gelijk, als hun grondvlakken gemeenschappelijk zijn en de bovenvlakken tussen dezelfde evenwijdige rechten liggen
Stelling 6: Twee parallellepipedums, die hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte hebben zijn gelijk (zie figuur 2: parallellepipeda met zelfde grondvlak en hoogte)
Stelling 7: Een willekeurig parallellepipedum is gelijk aan het rechthoekig parallellepipedum dat dezelfde hoogte en een gelijk grondvlak heeft
Dan volgen de stellingen betreffende het volume van parallellepipeda en uiteindelijk het prisma:
Stelling 8: De volumes van twee rechthoekige parallellepipedums, die hetzelfde grondvlak hebben verhouden zich tot elkaar zoals hun hoogten of De volumes van twee rechthoekige parallellepipedums die twee afmetingen gelijk hebben, verhouden zich als hun derde afmeting
Stelling 9: De verhouding van de volumes van twee rechthoekige parallellepipedums is gelijk aan het product van de verhoudingen van hun drie afmetingen
Stelling 10: De inhoud van een rechthoekig parallellepipedum is het product van de drie afmetingen van dit parallellepipedum indien als volume-eenheid de kubus op de lengte-eenheid genomen wordt (kortheidshalve zegt men: De inhoud van een rechthoekig parallellepipedum is gelijk aan het product van zijn drie afmetingen)
Stelling 11: De inhoud van een willekeurig parallellepipedum is gelijk aan het product van het grondvlak en de hoogte
Stelling 12 De inhoud van een prisma is gelijk aan het product van zijn grondvlak en zijn hoogte (zie figuur inhoud van prisma is grondvlak maal hoogte)
Iprisma = Sgrondvlak . h
2- oppervlakte en inhoud van de piramide
Stelling 1: Het zijdelings oppervlak van een regelmatige piramide is gelijk aan het halve product van de omtrek van het grondvlak en het apothema
Stelling 2: Wordt een piramide door een vlak evenwijdig aan het grondvlak gesneden: 1) dan zijn de opstaande ribben en de hoogte in dezelfde verhouding verdeeld; 2) dan is de doorsnede een veelhoek gelijkvormig met het grondvlak; 3) dan verhouden zich de oppervlakten van de doorsnede en het grondvlak zoals de vierkanten van hun afstanden tot de top.
Stelling 3: In twee piramiden die dezelfde hoogte hebben, verhouden de doorsneden, die zich op gelijke afstand van de toppen en evenwijdig aan de grondvlakken bevinden, zich als de grondvlakken
Stelling 4: (trappenstelling) Twee piramiden die gelijke grondvlakken en gelijke hoogten hebben het zelfde volume (zie figuur 4: trappenstelling)
Stelling 5: Het volume van een driezijdige piramide is gelijk aan het derde van het driezijdig prisma, dat hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte heeft(zie figuur 5: driezijdige piramide en prisma)
Stelling 6: Het volume van een willekeurige piramide is gelijk aan het derde deel van het prisma dat hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte heeft
Stelling 7: De inhoud van een piramide is gelijk aan het derde deel van het product van het grondvlak en de hoogte
Ipiramide= (Sgrondvlak. h)/3
3- oppervlakte en inhoud van afgeknotte piramide :
Definitie: een afgeknotte piramide is het deel van de piramide gelegen tussen het grondvlak en een vlakke doorsnede die al de opstaande ribben snijdt. Is de doorsnede evenwijdig aan het grondvlak dan ontstaat een afgeknotte piramide met evenwijdig grond- en bovenvlak. De afstand tussen beide vlakken is de hoogte van de afgeknotte piramide.
In een afgeknotte piramide met evenwijdig grond- en bovenvlak zijn deze twee vlakken gelijkvormige veelhoeken. Hun gelijkvormigheidsfactor gelijk aan de verhouding van hun afstanden tot de top van de piramide.
Als de piramide regelmatig is dan heet de afgeknotte piramide met evenwijdig grond- en bovenvlak, een regelmatige afgeknotte piramide. De zijvlakken van dit lichaam zijn dan gelijke, gelijkbenige trapezia. De hoogte van deze trapezia is het apothema van de regelmatige afgeknotte piramide.
Stelling 1: Het zijdelings oppervlak van een regelmatige afgeknotte piramide is gelijk aan het product van de halve som van de omtrekken van grond- en bovenvlak en het apothema.
S afgeknotte piramide= (pgrondvlak + pbovenvlak) . a/2
Stelling 2: De inhoud van een afgeknotte piramide is gelijk aan de som van drie piramiden, die alle drie dezelfde hoogte als de afgeknotte piramide hebben en waarvan de grondvlakken respectievelijk gelijk zijn aan het grondvlak en het bovenvlak van de afgeknotte piramide en de middelevenredige tussen deze laatste twee oppervlakten.
(Hoofdstuk 10 "Deductieve Meetkunde voor het Lager Secundair Onderwijs")
§10.7 Stereometrie en Dalle's Zevende Boek IV- Oppervlak en volume van omwentelingslichamen: cilinder, kegel, bol
Het begrip omwentelingsoppervlak: Een omwentelingsvlak of omwentelingsoppervlak is een vlak ontstaan door de wenteling van een lijn (de beschrijvende lijn) om een as (de omwentelingsas). Elk punt van de beschrijven de lijn beschrijft een cirkelomtrek, waarvan het middelpunt op de as ligt en waarvan het vlak loodrecht op de as staat (zie figuur 1: omwentelingsoppervlak). De voornaamste doorsneden van een omwentelingsvlak zijn:
1° de paralleldoorsnede d.i. de doorsnede van een omwentelingsoppervlak, dat loodrecht op de as staat. Elke paralleldoorsnede van een omwentelingsoppervlak is een cirkel.
2° de meridiaandoorsnede d.i. de doorsnede van een omwentelingsoppervlak met een vlak door de as (meridiaanvlak). De vorm van de meridiaandoorsnede hangt af van de aard van het omwentelingsoppervlak.
1- de cilinder als omwentelingslichaam:
Definitie: Een omwentelingscilinder(opper)vlak is een vlak beschreven door een rechte die wentelt om een as waaraan zij evenwijdig blijft terwijl de afstand van de rechte tot de as ongewijzigd blijft.
Stelling: Elke paralleldoorsnede van een omwentelingscilindervlak is een cirkel. Alle paralleldoorsneden van een omwentelingscilindervlak zijn congruent.
Definitie: Een omwentelingscilinder is het meetkundig lichaam omsloten door een omwentelingscilindervlak en twee vlakken die loodrecht op de as staan; of nog, een omwentelingscilinder is het meetkundig lichaam ontstaan door het wentelen van een rechthoek om een van zijn zijden.
In een omwentelingscilinder kan men volgende elementen onderscheiden: de beschrijvende rechthoek, de beschrijvende rechte, de straal R (d.i. de zijde van de rechthoek aan liggend aan de vaste zijde), de as (hoogte) h, het grond- en bovenvlak.
Elke meridiaandoorsnede van een omwentelingscilinder is een rechthoek, die tot afmetingen heeft, de as en het dubbel van de straal.
Een prisma is beschreven in (om) een omwentelingscilinder, wanneer het recht is, dezelfde hoogte heeft als de cilinder en zijn grondvlak een veelhoek is, beschreven in (om) het grondvlak van de cilinder. Als de in- of omgeschreven veelhoeken regelmatig zijn, dan zijn de in- of omgeschreven prismas het eveneens.
Omwentelingscilinders zijn gelijkvormig, wanneer zij beschreven worden door gelijkvormige rechthoeken d.i. als de hoogten zich verhouden als de stralen.
Het zijdelings oppervlak van een omwentelingscilinder (rond oppervlak of mantel) is de limiet van de zijdelingse oppervlak van een regelmatige ingeschreven prisma, waarvan het aantal zijvlakken onbepaald toeneemt (zie figuur 2: zijdelings oppervlak cylinder).
Stelling: Het zijdelings oppervlak van een omwentelingscilinder is gelijk aan het product van de cirkelomtrek van het grondvlak en de hoogte
S(zijdelings) = 2πR.h
Gevolg: het totaal oppervlak van een cylinder is:
S(totaal) = 2πR (h + R)
De inhoud van een omwentelingscilinder is de limiet van de inhoud van een regelmatig ingeschreven prisma, waarvan het aantal zijvlakken onbepaald toeneemt.
Stelling: De inhoud van een omwentelingscilinder is gelijk aan het product van de oppervlakte van het grondvlak en de hoogte
I(cilinder) = π.R².h
2- de kegel als omwentelingslichaam:
Definitie: Een omwentelingskegelvlak is het vlak beschreven door een rechte, doe wentelt om een vaste rechte (as), die zij in een vast punt S (top) snijdt en waarmede zij onveranderlijk verbonden is. Dat de wentelende rechte onveranderlijk aan de vaste rechte verbonden is, is op twee manieren uit te drukken: 1) de afstand van een punt van de wentelende rechte tot de vaste rechte is constant; 2) de hoek gevormd door de wentelende en vaste rechte is constant.
Stelling: Elke paralleldoorsnede van een omwentelingskegelvlak is een cirkel. De oppervlakken van de paralleldoorsneden van een omwentelingskegelvlak zijn evenredig met de vierkanten van de afstanden tot de top. (zie figuur 3: paralleldoorsnede van een omwentelingskegelvlak)
Definitie: Een omwentelingskegel is het meetkundig lichaam ingesloten door een omwentelingskegelvlak en een loodvlak op de as van dit kegelvlak; of nog, een omwentelingskegel is het lichaam ontstaan door het wentelen van een rechthoekige driehoek om één van zijn rechthoekszijden.
In een omwentelingskegel kan men volgende elementen onderscheiden: de beschrijvende rechthoekige driehoek, de beschrijvende rechte a (d.i. het apothema van de kegel), de straal R (zijde aan liggend aan de vaste zijde of as), de hoogte h (as van de kegel).
Elke meridiaandoorsnede (of dwarsdoorsnede) van een omwentelingskegel is een gelijkbenige driehoek, waarvan de gelijke zijden gelijk zijn aan het apothema van de kegel en waarvan de basis het dubbel is van de straal (zie figuur 4 dwarsdoorsnede van een omwentelingskegeloppervlak).
Een piramide is beschreven in (om) een omwentelingskegel, als zij dezelfde hoogte en dezelfde top heeft en tot grondvlak, een veelhoek beschreven in (om) de grondvlakcirkel. Als de in- of omgeschreven veelhoeken regelmatig zijn, dan zijn de piramiden het eveneens.
Twee omwentelingskegels zijn gelijkvormig, als zij beschreven worden door gelijkvormige rechthoekige driehoeken.
Het zijdelings oppervlak (rond oppervlak of mantel)van een omwentelingskegel is de limiet van het zijdelings oppervlak van een regelmatige piramide, beschreven in de omwentelingskegel, als het aantal zijvlakken van de piramide onbepaald toeneemt (zie figuur 5: zijdelings oppervlak en inhoud van een omwentelingskegel).
Stelling 1: Het apothema van de omwentelingskegel is de limiet van het apothema van een regelmatige piramide, beschreven in de kegel, waarvan het aantal zijvlakken onbepaald toeneemt
Stelling 2: Het zijdelings oppervlak van een kegel is gelijk aan het product van de halve cirkelomtrek van het grondvlak en het apothema.
Szijdelings= π.R .a
Gevolg: Het totaal oppervlak van de omwentelingskegel wordt gegeven door:
Stotaal = π.R(a + R)
De inhoud van een omwentelingskegel is de limiet van de regelmatige ingeschreven piramide, waarvan het aantal zijvlakken onbepaald toeneemt.
Stelling: De inhoud van een kegel is gelijk aan het derde van het product van de oppervlakte van het grondvlak en de hoogte
Ikegel = (π.R²h)/3
Gevolg: De inhoud van een kegel is gelijk aan het derde deel van de cilinder, die hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte heeft .
Het zijdelings oppervlak van een afgeknotte omwentelingskegel is het verschil van de zijdelingse oppervlakken van twee omwentelingskegels, waarvan de afgeknotte kegel het verschil is.
Dit zijdelings oppervlak wordt ook bekomen door het wentelen van een rechthoekig trapezium om een as, waarvan de rechthoekige zijde samenvalt met de as en de twee evenwijdige zijden de stralen R en R zijn van de twee omwentelingskegels.
Stelling: De zijdelingse oppervlakte van een afgeknotte kegel is gelijk aan het product van het verschil g tussen de twee apothemas van de omwentelingskegels en de halve som van de lengten van de omtrekken van grond- en bovenvlak (zie figuur 6: zijdelingse oppervlakte afgeknotte kegel)
S(zijdelings afgeknotte kegel) = g x 2.π.(R + r)/2 = π.(R + R) x g
Gevolg: De totale oppervlakte van de afgeknotte omwentelingskegel wordt gegeven door:
Stotaal afgeknotte kegel = π.(R + R) x g + π.R² + π.R²
De inhoud van een afgeknotte omwentelingskegel is het verschil van de inhouden van twee omwentelingskegels, waarvan de afgeknotte kegel het verschil is.
Stelling: De inhoud van een afgeknotte omwentelingskegel is gelijk aan een derde van het product van de hoogte en de som van de oppervlakken van grond- en bovenvlak en de middelevenredige van deze vlakken
Iafgeknotte kegel = π.h (R² + R² + R.R)/3
3- de bol als omwentelingslichaam:
Het begrip bolvlak: Een bolvlak is ook het vlak dat ontstaat door het wentelen van een halve cirkelomtrek om de middellijn die door zijn uiteinden gaat.
Het begrip bolzone of gordel: Een bolzone of gordel is het deel van een bolvlak gelegen tussen twee evenwijdige vlakken (zie figuur 7: bolzone of gordel). Een gordel ontstaat door het wentelen van een boog om de middellijn; de boog wordt dan de beschrijvende boog van de gordel genoemd. Als een van de evenwijdige vlakken een raakvlak is, dan spreekt men van een bolkap.
De begrippen bolschil,bolschijf en bolsegment: men heet bolschil of bolring het meethundig lichaam ontstaan door het wentelen van een cirkelsegment om een middellijn gelegen in hetzelfde vlak als het cirkelsegment maar buiten dit segment. Een bolschijf is het deel van de bol begrepen tussen twee evenwijdige vlakken of nog, het deel van de bol begrensd door een bolzone en zijn grond- en bovenvlak. De afstand tussen grond- en bovenvlak is de hoogte van de bolschijf. Een bolsegment is het deel van de bol begrensd door een bolkap en haar grondvlak.
Het begrip loodrechte projectie: De loodrechte projectie van een punt op een rechte is het voetpunt van de loodlijn op de rechte neergelaten. De loodrechte projectie van een lijnstuk op een rechte is het lijnstuk gelegen tussen de loodrechte projecties van de eindpunten van dit lijnstuk.
Stelling 1: Elke rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek is middelevenredig tussen de schuine zijde en haar projectie op de schuine zijde. De hoogtelijn op de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is middelevenredig tussen de stukken, waarin zij de schuine zijde verdeelt
Gevolgen:
1) de vierkanten op de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek verhouden zich als de projecties van die zijden op de schuine zijde;
2)een nieuw bewijs van de stelling van Pythagoras kan uit deze stelling afgeleid worden
Toepassing:
Door een punt van een cirkelomtrek te verbinden met de eindpunten van de middellijn bekomt men een rechthoekige driehoek.
Stelling 2: De oppervlakte ontstaan door het wentelen van een lijnstuk, dat in één vlak ligt met de as en aan één kant van die as, is gelijk aan de projectie van het lijnstuk op de as, vermenigvuldigd met de omtrek van de cirkel waarvan het middelpunt in de as ligt en die het lijnstuk in zijn midden raakt
Stelling 3: De oppervlakte ontstaan door het wentelen van een regelmatige gebroken lijn om een middellijn die haar niet snijdt, is gelijk aan de ingeschreven cirkelomtrek en de projectie van de gebroken lijn om de as (zie figuur 8: wentelen van een regelmatige gebroken lijn)
S(ABCD) = 2.π . a . AD
Definitie: De oppervlakte van een bolzone is de limiet van de oppervlakte ontstaan door het wentelen van een regelmatige gebroken lijn in de beschrijvende boog van de bolzone, als het aantal zijden van die regelmatige gebroken lijn onbepaald toeneemt
Stelling 1: De oppervlakte van een bolzone is gelijk aan het product van de omtrek van een grote cirkel en de hoogte van de bolzone (zie figuur: oppervlakte van een bolzone)
S(boog AB) = 2.π . R . h (h = AB)
Stelling 2: De oppervlakte van een bolvlak is gelijk aan het product van de omtrek van een grote cirkel en de middellijn van het bolvlak
S(bolvlak) = (2.π . R) x (2 . R) = 4.π. R²
Het begrip bolsector: Een bolsector is het deel van de ruimte ingenomen door het wentelen van een cirkelsector om de middellijn van de bol (zie figuur 9: bolsector). Een middelpuntshoeksector is het gedeelte van de ruimte beschreven door de driehoek gevormd door de middelpuntshoek en de koorde van de cirkelsector. Het gedeelte van een regelmatige veelhoek omschreven of ingeschreven door een cirkelsector wordt veelhoeksector genoemd. Een omwentelingsveelhoeksector is het deel van de ruimte beschreven door het wentelen van het gedeelte van een veelhoeksector.
Het volume van een bolsector is de limiet van een omwentelingsveelhoeksector, waarvan het aantal zijvlakken onbepaald toeneemt. De inhoud van een bolsector is het maatgetal van het volume van de bolsector.
Stelling 1: Het volume ontstaan door het wentelen van een middelpuntshoek om een middellijn, die in hetzelfde vlak van de middelpuntshoek ligt, is gelijk aan het derde deel van het oppervlak beschreven door de koorde vermenigvuldigd met de hoogte op deze koorde neergelaten
Stelling 2: Het volume ontstaan door het wentelen van een veelhoeksector om een middellijn die in hetzelfde vlak van de veelhoeksector ligt is gelijk aan het derde deel van het oppervlak beschreven door de gebroken lijn gevormd door de veelhoek vermenigvuldigd met het apothema
Stelling 3: De inhoud van een bolsector is gelijk aan het derde deel van de oppervlakte beschreven door de wentelende boog vermenigvuldigd met de straal
Ibolsector= (Sboog . R)/3 = (2.π.R². h)/3
Stelling 4: De inhoud van een bol is gelijk aan de het derde van het product van zijn oppervlakte en de straal
Ibol = (Sbol . R)/3 = (4.π.R³)/3
Gevolg: De inhouden van twee bollen verhouden zich als de derde machten van hun stralen.
Stelling 5: "De inhoud van een bolschil is gelijk aan het zesde deel van een cilinder, waarvan de straal gelijk is aan de koorde van het segment en de hoogte gelijk aan de projectie van die koorde op de middellijn"
Ibolschil = (π. k² x k)/6 k is lengte van de koorde k projectie van de koorde op de middellijn
Stelling 6: "De inhoud van een bolschijf is gelijk aan de halve som van twee cilinders die respectievelijk het grond- en bovenvlak van de bolschijf tot hoogte hebben vermeerderd met de bol die de hoogte tot middellijn heeft."
Stelling 7: (stelling van Archimedes (3) )Is een omwentelingscilinder om een bol beschreven, dan verhouden de oppervlakten van de bol en de totale oppervlakte van de cilinder zich als 2 en 3, en verhouden de inhouden van deze lichamen zich eveneens als 2 en 3.
Deze stelling staat vermeld in Over de Bol en de Cilinder, een verhandeling, die Archimedes opdroeg aan ene Dositheus. Op zijn verzoek toonde zijn graftombe dit bewijs, waar hij het trotst op was, in reliëf(zie ikoon van dit cursiefje!!!).
V- De Regelmatige Veelvlakken
(wordt voortgezet)
4- nabeschouwingen
Dit en voorgaande cursiefjes geven een globaal overzicht van de leerstof meetkundenodig om de gestelde eindtermen van het primair onderwijs en van het lager secundair onderwijs te bereiken. Deze eindtermen impliceren naast het afleiden van betrekkingen om de omtrek, oppervlakte en volume van meetkundige figuren en lichamen te berekenen, ook het assimileren van een aantal fundamentele begrippen en stellingen, zoals de stelling van Pythagoras en enkele stellingen van Archimedes. Uiteraard mochten hierbij enkele basisbegrippen en stellingen uit de ruimtemeetkunde niet ontbreken. Alleen op deze wijze kan men de similariteit in ontwikkeling tussen de vlakke meetkunde en de ruimtemeetkunde aantonen.
(Hoofdstuk 10 "Deductieve Meetkunde in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 10.8 Kennismaking met de Trigonometrie
Trigonometrie ofte Driehoeksmeting in het lager middelbaar? En voor Grieks-Latinisten? Nee toch? Dat is toch alleen maar leerstof voor het hoger middelbaar? Collegestudenten uit die heroïsche tijd zullen ongetwijfeld deze stelling bevestigen. Maar zoals deel II van de Beginselen der Vlakke Meetkunde van Julien Bilo het echter duidelijk aantoonde was er al in die jaren een eerste kennismaking met de trigonometrie voorzien en wel in de vierdes, ook voor Grieks-Latinisten!!
En dat heb ik tot mijn scha en schande mogen ervaren.
Het was in de lente van 1955 dat ik -in volle voorbereiding tot het toelatingsexamen KCS- voor het eerst hoorde vertellen over sinus, cosinus, tangens en dito.. En als ik het goed voor heb, was het Eddy Paret, die, met enig afgrijzen in de stem, mij hierover berichtte.
Eddy was een oude speelkameraad, die vroeger nog in mijn straat had gewoond en die ik enkele jaren uit het oog had verloren Juist na de oorlog hadden wij met onze driewielers (hij met een nieuw, ik met een oud vehikel) de voetpaden nog onveilig gemaakt, tot ergernis van de toevallige voorbijgangers. Zo herinner ik mij ook nog dat de voorvork van zijn nieuwe driewieler het regelmatig af liet weten (het was de tijd van de ersatz nietwaar) en wij regelmatig de hulp van de smid aan de Gentpoort moesten inroepen. Talloze keren heeft deze laatste de voorvork of de spaken van zijn driewieler moeten lassen, terwijl ik, die nog met een oud model van vóór WOII peddelde, nooit een probleem had.
In de Iron Fiftiesliep nu Eddy Paret school aan de Rijksmiddelbare School te Brugge, waar zijn vader les gaf. Daar ik op dat ogenblik erg druk bezig was met het toelatingsexamen Cadettenschool, hechtte ik helaas- niet erg veel belang aan zijn alarmerend relaas. Eerst in de Cadettenschool zag ik in dat ik maar beter naar hem had moeten luisteren. Op dat ogenblik wist ik immers niet, dat het nieuwe leerplan voor de lagere humanioracyclus (ministeriële omzendbrieven van 1949 en 1950) ook een inleiding tot de driehoeksmeting of trigonometrie omvatte, en dat deze inleiding wel degelijk deel uitmaakte van de te kennen examenstof voor het toelatingsexamen van de Cadettenschool.
In het Sint Lodewijkscollege was in 1954 nog steeds het oude leerplan in voege en er was in de lagere humaniora geen sprake van trigonometrie. In het officieel onderwijs was men wel zo ver, en mijn oude speelkameraad had mij hiervoor willen waarschuwen. Hoe dan ook, het lot was mij gunstig gezind en op het toelatingsexamen werden er althans in 1955- geen vragen gesteld over trigonometrie. Voor mij had deze onachtzaamheid wel tot gevolg dat ik op deze manier de eerste winding van de didactische spiraal over trigonometrie compleet miste, wat mij bvb in de Cadettenschool heel wat narigheid heeft bezorgd. Maar hierover later meer.
Wat de leerstof van deze eerste kennismaking met de trigonometrie (vandaar de term "elementair") nu precies inhield kwam ik slechts vele jaren later te weten. Een en ander werd mij duidelijk toen ik er in slaagde de leerboekjes Beginselen der Vlakke Meetkunde van Julien Bilo (collectie Mineur) delen II en III op de kop te tikken. Deel II dateerde weliswaar van 1969 maar deze vierde druk was nauwelijks verschillend van de tweede druk daterend uit 1953. Deel III dateerde uit 1955 en was een geheel opnieuw geschreven tweede uitgave, aangepast aan het nieuwe leerplan. Deel III was in principe bestemd voor de derdes (oude en moderne humaniora), terwijl deel II de leerstof voor de vierdes (eveneens voor de oude en moderne humaniora) bevatte.
Korte hoofdstukjes over driehoeksmeting kwamen in beide boekjes voor. Zo groeide bij mij het vermoeden dat het boek «Géométrie, quatrième classe» van R. de Marchin, J. Horwart en G. Bosteels ook een hoofdstuk over trigonometrie moest bevatten. En ja hoor, het fameuse « Traité de Trigonométrie rectiligne » van dezelfde auteurs dat bestemd was voor de hogere humaniora, verwees voor bepaalde trigonometrische stellingen inderdaad naar « Géométrie IV », een schoolboek dat, zoals de titel duidelijk aangeeft wel degelijk voor de vierdes bedoeld was. Al mijn inspanningen ten spijt, ben ik er tot nu toe nog niet in geslaagd, om een exemplaar van « Géométrie, IV » op de kop te tikken.
De te kennen leerstof stemde overeen met de hoofdstukken VI §3 "Driehoeksmeting in Rechthoekige Driehoeken" uit Deel I en VI "Driehoeksmeting in willekeurige Driehoeken" van respectievelijk Deel II en Deel III van « Beginselen der Vlakke Meetkunde » van Bilo. Voornoemd boek werd in de vijfiger jaren gebruikt in de athenea.
Maar wat is trigonometrie eigenlijk en wat is de relatie met de geometrie?
Het woord trigonometrie (1) is afgeleid uit de Griekse woorden τριγωνος en mhtron. De hoofdelementen van een driehoek ∆ ABC zijn nu enerzijds de zijden a, b en c, anderzijds de hoeken A, B en C. Terwijl de geometrie alleen de relatie tussen de zijden of de hoeken onderling opspoort is het de bedoeling van de trigonometrie het verband tussen zijden en hoeken van driehoeken te onderzoeken.
Gaat het over driehoeken in een plat vlak dan spreekt men van vlakke driehoeksmeting (fr.: trigonométrie rectiligne); gaat het over boldriehoeken (2) dan wordt de term boldriehoeksmeting (fr. : trigonométrie sphérique) gebruikt. Ofschoon de oorsprong van de trigonometrie bij de Babyloniërs ligt, wordt Hipparchos beschouwd als de vader van de trigonometrie.
Het mooie aan de trigonometrie of driehoeksmeting is nu dat uit drie bekende hoofdelementen van een driehoek (mits daaronder minstens één zijde) de andere elementen kunnen berekend worden. Hieruit spruiten dan talrijke interessante toepassingen voort bvb in de topografie, waar met behulp van de trigonometrie afstanden tot niet toegankelijke punten bepaald worden, en in de mechanica, waar componenten of een resultante moeten berekend worden uit het "krachtenparallellogram", derwijze zelfs trigonometrie essentieel is voor de toekomstige ingenieur.
Ook is bvb het bedrijven van sferische astronomie niet mogelijk zonder een gedegen kennis van boldriehoeksmeting.
Om de gedachte te vestigen, laat ik dit eerst even toelichten aan wat men triangulatie (3) pleegt te noemen:
Onderstel een zeilboot (punt B op begeleidende ikoon) die waargenomen wordt door twee waarnemers A en C op de oever (punten A en C op begeleidende ikoon). De onderlinge afstand b tussen de twee waarnemers is ondersteld bekend. Is het mogelijk de afstand van de boot tot de oever (de hoogtelijn hB ) te bepalen of te berekenen? Dank zij de trigonometrie is het antwoord affirmatief op voorwaarde dat men de hoeken A en C kent of experimenteel heeft bepaald met behulp van bvb een goniometer.
Volgens de trigonometrie volstaan immers drie gegevens (waaronder minstens één zijde) om de positie van de zeilboot (bvb de afstand tot de oever d.i. de hoogtelijn hB )in de driehoek te berekenen. Natuurlijk kan men ook de lengtes van de twee andere zijden uitrekenen en dus de afstand van elke waarnemer tot de boot. In begeleidende figuur zijn alle hoeken A, B, C van de triangulatiedriehoek scherpe hoeken. Uiteraard kan ook één (en slechts één) van die hoeken een stompe hoek zijn of een rechte hoek. Het meest eenvoudige geval is dit van een rechthoekige driehoek, waarbij men dan onderstelt dat de triangulatiedriehoek een rechte hoek (A, B of C) bezit.
Om het probleem van de triangulatie op te lossen gaat de trigonometrie nu op de klassieke wijze (d.i. van eenvoudig naar meer complex) te werk. Eerst wordt het bijzonder geval, dat voornoemde triangulatiedriehoek een rechthoekige driehoek is, beschouwd. Dat houdt in dat de andere hoeken van de driehoek noodzakelijkerwijze scherp zijn. Vervolgens wordt de theorie uitgebreid tot de willekeurige driehoek, waarbij eerst aangenomen wordt dat alle hoeken van de driehoek scherpe hoeken zijn. Tenslotte wordt het geval dat de driehoek een stompe hoek bevat onderzocht.
I- Elementaire Trigonometrie van de rechthoekige driehoek
In Bilos Beginselen der Vlakke Meetkunde (deel II) werden de beginselen van deze trigonometrie van de rechthoekige driehoek behandeld. Het is echter een vaststaand feit dat deze beginselen evenzeer in het boek Géométrie, classe de quatrième van R. de Marchin, J. Horwart en G. Bosteels aan bod kwamen en wellicht op een meer didactische manier.
Wiskunde bestemd voor het M.U.L.O. of voor het lager secundair onderwijs wordt veelal elementaire wiskunde genoemd (voor wat de term "elementair" betreft zie cursiefje "" in blog 2); de term elementaire is hier verantwoord want het gaat om een eerste kennismaking.
1- definitie van de begrippen sinus, cosinus, tangens en cotangens van een scherpe hoek:
Beschouwt men verschillende rechthoekige driehoeken, die een gelijke scherpe hoek B bevatten, dan zijn deze gelijkvormig want ze hebben drie hoeken gelijk: de hoeken B en B zijn bij definitie gelijk, de rechte hoeken A en A natuurlijk ook en vermits de som van de hoeken in elke driehoek (inclusief de rechthoekige driehoek) steeds twee rechte hoeken bedraagt, zijn noodzakelijkerwijze de hoeken C en C ook gelijk (zie figuur 1).
Uit de gelijkvormigheid volgt nu dat de verhoudingen tussen de overeenkomstige rechthoekszijden b en b respectievelijk c en c en de schuine zijden a en a constant is en alleen bepaald wordt door de grootte van de scherpe hoek.
Men heeft de aaneengeschakelde evenredigheid:
a/a = b/b = c/c (1) en dus a/a = c/c en b/b = c/c
Door de middelste termen van plaats te wisselen (zie Arithmetiek: eigenschappen der evenredigheden)komt er:
b/a = b/a (2) en c/a = c/a (3)
Men definieert nu
- als sinus van de hoek B de verhouding b/a d.i. de verhouding van de overstaande rechthoekszijde tot de schuine zijde (cf. gelijkheid (2):
sin(B) = b/a - (2)-
- als cosinus van de hoek B de verhouding c/a d.i. de verhouding van de aanliggende rechthoekszijde tot de schuine zijde (cf. gelijkheid (3)):
cos(B) = c/a -(3)-
- als tangens van de hoek B de verhouding b/c d.i. de verhouding van de overstaande zijde tot de aanliggende zijde (gelijkheid (1)):
tg(B) = b/c -(4)-
- als cotangens van de hoek B de verhouding c/b d.i. de verhouding van de aanliggende zijde tot de overstaande zijde (gelijkheid (1)):
cotg(B) = c/b -(5)-
Analoog vindt men voor de andere scherpe hoek C volgende betrekkingen indien dezelfde notaties voor de zijden van de rechthoekige driehoek gebruikt worden (figuur 1):
sin(C) = c/a -(6)-
cos(C) = b/a -(7)-
tg(C) = c/b -(8)-
cotg(C) = b/c -(9)-
De schuine zijde a en de rechthoekszijden b en c kunnen dan uitgedrukt worden in functie van de scherpe hoeken B en C met behulp van volgende formules:
a = b/sin(B) = b/cos(C) = c/sin(C) = c/cos(B) (4)
b = a sin(B) = a cos(C) = c tg(B) = c cotg(C) (5)
c = a sin(C) = a cos(B) = b tg(C) = b cotg(B) (6)
- Belangrijke opmerkingen-:
1- de sinus, cosinus, tangens en cotangens van een scherpe hoek zijn verhoudingen van lijnstukken en zijn dus onbenoemde getallen. Deze verhoudingen worden goniometrische verhoudingen genoemd. De waarden die de sinus en cosinus van een scherpe hoek kunnen aannemen zijn gelegen tussen 0 en 1, voor de tangens en cotangens liggen die tussen 0 en oneindig (toon aan). Hoe deze waarden numeriek berekend kunnen worden, wordt later aangetoond.
2- de sinus, cosinus, tangens en cotangens van scherpe hoeken werden vroeger aangegeven in tabellen. Zulke tabellen noemde men Tafels van de natuurlijke waarden. Deze tafels bevatten de natuurlijke waarden der goniometrische verhoudingen van scherpe hoeken gelegen tussen 0° en 90° met diverse opklimmingen en nauwkeurigheid. In Bilos Beginselen der Vlakke Meetkunde (Deel II) komt een dergelijke tafel voor met een opklimming van 10 minuten en een nauwkeurigheid op vier decimalen. Een halve eeuw gelegen werd in het Middelbaar Onderwijs in België veelvuldig gebruikt gemaakt van de Tafels van Schons en De Cock (opklimming: 1 minuut; nauwkeurigheid: vijf decimalen). Het werken met de Tafels werd er precies uiteengezet en was erg omslachtig en tijdrovend. Met de opkomst van de moderne en goedkope zakrekenmachines is het werken met Tafels echter totaal voorbijgestreefd. De huidige generaties beseffen waarschijnlijk niet aan welke karwei zij ontsnapt zijn.
3- goniometrische verhoudingen van scherpe hoeken die elkaars complement zijn:
Twee scherpe hoeken B en C, die elkaars complement zijn (B + C = 90°) kunnen steeds beschouwd worden als de scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek ∆ABC. Uit de formules (5) en (6) volgt dan:
De betrekkingen (12), (14) en (15) noemt men de 3 hoofdidentiteiten van de trigonometrie; de relatie (13) wordt als een afgeleide identiteit beschouwd.
Deze afgeleide identiteit heeft er echter toe geleid nieuwe goniometrische verhoudingen in te voeren met name de secans en cosecans van de scherpe hoek α:
sec(α) = 1/cos(α) (16) en cosec(α) = 1/sin(α) (17)
Dit brengt dan het aantal hoofdidentiteiten op 5 en voert tot 2 nieuwe afgeleide identiteiten:
2- Deze identiteiten zijn belangrijk omdat ze toelaten uit de kennis van één goniometrische verhouding de sinus bvb de andere goniometrische verhoudingen cosinus, tangens, cotangens te berekenen.
- Beschouwt men de rechthoekige driehoek ∆ABC wat nader (figuur 1)dan stelt men vast dat voor α ≈ 0 de sinus van de hoek α eveneens nul wordt: sin(0°) = 0. Door toepassing van de identiteiten volgt dan dat cos(0°) = 1, tg(0°) = 0 terwijl cotg(0°) niet bestaat.
- Voorts kan men vaststellen dat voor α ≈ 90° de cosinus van α nul wordt: cos(90°) = 0. Door toepassing van de identiteiten volgt dan dat sin(90°) = 1, cotg(90°) = 0 terwijl cotg(90°) niet bestaat
- Voor een gelijkbenige rechthoekige driehoek ∆ABC met b = c geldt hoek B = hoek C = 45° (figuur 2) en door toepassen van de stelling van Pythagoras volgt dan a = b √2 en verder dat b = c = ½ a √2. Daar sin(B) = b/a , cos(B) = c/a komt er sin(45°) = cos(45°) = ½ √2 en door toepassing van de identiteiten tg(45°) = cotg(45°) = 1
- Beschouwt men een rechthoekige driehoek ∆ABC waarvan hoek B = 60° en hoek C = 30° (figuur 3). Trekt men de zwaartelijn AL dan is de driehoek ∆LAB een gelijkzijdige driehoek (toon aan!!). Derhalve is c = ½ a en door toepassen van de stelling van Pythagoras volgt gemakkelijk: b = ½ a √3. Daar hier nu sin(B) = sin(C) = b/a vindt men voor de sinus van 30° respectievelijk 60°: sin(30°) = ½ en sin(60°) = ½ √3. Door toepassen van de identiteiten volgt er tenslotte:
sin(30°) = cos(60°) = ½ en sin(60°) = cos(30°) = ½ √3
3 - het oplossen van rechthoekige driehoeken met behulp van trigonometrie
- Definitie:
Een (rechthoekige) driehoek trigonometrisch oplossen komt er op neer de onbekende zijden en hoeken van de driehoek te berekenen uit de bekende elementen met behulp van trigonometrie. De hoofdgevallen van het oplossen van driehoeken zijn deze waarin de bekende elementen de zijden of hoeken van de driehoek zijn en niet bvb zwaartelijnen, bissectrices e.a. Deze andere gevallen worden nevengevallen genoemd en kunnen doorgaans tot de hoofdgevallen teruggebracht worden.
In het geval van rechthoekige driehoeken kan men 4 hoofdgevallen onderscheiden: 1) de schuine zijde en één scherpe hoek zijn bekend 2) de schuine zijde en een rechthoekzijde zijn bekend 3) een rechthoekszijde en een scherpe hoek zijn bekend 4) de twee rechthoekzijden zijn bekend
- Hoofdgevallen
- eerste geval: gegeven de schuine zijde a en de hoek B ; bereken de zijden b en c en de hoek C; oplossing: C = 90° - B; b = a sin(B); c = a cos(B)
- tweede geval: gegeven de schuine zijde a en een rechthoekszijde b ; bereken de rechthoekszijde c en de hoeken B en C ; oplossing: men heeft de vergelijkingen sin(B) = b/a (de waarde van B wordt bepaald uit de Tafels); C = 90° - B en c = a sin (C)
- derde geval: gegeven een rechthoekszijde b en de overstaande hoek B (of c en C); bereken de schuine zijde a, de rechthoekszijde c (of b) en de hoek C (of B); oplossing: men heeft de vergelijkingen C = 90° - B; a = b/sin(B) en c = b tg(C)
- vierde geval: gegeven: de twee rechthoekszijden b en c; bereken de schuine zijde a, de hoeken B en C; oplossing: men heeft de vergelijkingen tg(B) = b/c, C= 90° - B en a = b/sin(B)
- voorbeelden van vraagstukken
In Bilos Beginselen der Vlakke Meetkunde(deel II) kwamen er een vijftiental typische vraagstukken voor die betrekking hebben op het oplossen van rechthoekige driehoeken met behulp van trigonometrie. Deze vraagstukken geven een beeld van het ruime toepassingsgebied van de elementaire trigonometrie.
Vraag : Tot welke hoofdgevallen herleiden zich volgende vraagstukken?
- Op een hellend vlak van 32° ligt een lichaam van 48 kg. Welke reactie (tegenstelde kracht aan de zwaartekracht) oefent het hellend vlak op het lichaam uit?
- Hoe hoog staat de zon boven de horizon, als een toren van 45 m een schaduw werpt van 32 m?
- De evenwijdige zijden van een gelijkbenig trapezium ABCD zijn AB = 14,2 cm en CD = 7,6 cm de opstaande zijde AD is 6,4 cm. Bereken de hoeken, de hoogte en de oppervlakte van het trapezium.
II- Elementaire Trigonometrie van de willekeurige driehoek
(2) Ter herinnering: een boldriehoek is het deel van een boloppervlak begrensd door drie bogen van grote cirkels, dit zijn cirkels wier vlak doorheen het middelpunt van de bol gaat
(3) Triangulatie is een meting waarbij men gebruik maakt van de eigenschap van een driehoek dat de driehoek volledig is bepaald wanneer we een zijde (de basis) en de aanliggende hoeken kennen. Volgens wikipedia werd de methode voor het eerst beschreven door de Nederlandse wiskundige Gemma Frisius (1508-1555). De cartograaf Jacob van Deventer (1505-1575) was de eerste die het in de praktijk omzette. Bij triangulatie wordt gebruikgemaakt van formules uit de trigonometrie, met name de sinusregel.
§ 11.1 Natuur- wetenschappen in het Sint Lodewijkscollege
(Hoofdstuk 11 "Biowetenschappen in het Lager Secundair Onderwijs")
§11.1 Natuur- wetenschappen in het Sint Lodewijkscollege
In de vijftiger jaren was het onderwijs in de wetenschappen voor scholieren uit het Lager Secundair en vooral voor Grieks-Latinisten, maar een mager beestje. Er was bvb geen sprake van natuurkunde of scheikunde en onder de hoofding Natuurwetenschappen werden voornamelijk enkele noties uit de biowetenschappen (menselijke anatomie en fysiologie, plantkunde, dierkunde) behandeld. Andere natuurwetenschappen zoals bvb delfstofkunde en sferische astronomie kwamen ook even ter sprake in de lessen aardrijkskunde. In dit opzicht waren het Lager Secundair en het Hoger Primair (MULO) duidelijk verschillend.
Het eigenlijk wetenschappelijk onderricht in de fysische wetenschappen (natuurkunde en scheikunde) en biowetenschappen (plantkunde, diekunde) werd noodzakelijkerwijze(1) verschoven naar het hoger secundair. Specifieke schoolboeken over wetenschappen waren dan ook gericht op het hoger middelbaar en in de lagere humaniora-cyclus moesten de scholieren het in die jaren veelal zonder schoolboeken doen en ijverig noteren wat de leraar vertelde of dicteerde.
Het wekelijks uurtje Natuurwetenschappen werd in het « collège Saint Louis » gegeven door de klasleraar, dus een priester, en dit onderricht was natuurlijk in overeenstemming met de encyclieken « Providentissimus Deus » -1893- van Leo XIII en « Pascendi DominiciGregis » -1907- van Pius X en vooral met «Humani generis» -1950- van Pius XII(2).
Wat een dergelijke leergang « Natuurwetenschappen », conform deze encyclieken zoal inhield kan men bvb afleiden uit het oude schoolboek « Leergang der Natuurwetenschappen behelzende: Ontleedkunde en Levensleer van t Menselijk Lichaam, Dierkunde, Plantkunde en Begrippen van Delfstofkunde met Nijverheidstoepassingen » (Kanunnik L. Wouters vertaald door L. Asselbergs Windels -1916-) (3).
Uiteraard was dit boek vooral bestemd voor het hoger secundair, maar zover ik mij nog kan herinneren, werd al in het lager secundair een voorsmaakje van deze leerstof gegeven. Dit voorsmaakje beperkte zich dan tot enkele begrippen van de Menselijke Anatomie en Fysiologie, waarbij zoals gebruikelijk in die tijd- het uro-genitaal stelsel totaal buiten beschouwing werd gelaten. Verder waren er enkele noties uit de dier- en plantkunde.
Wat mij nu bij deze lessen echter opviel was dat er voortdurend werd verwezen naar God, de Schepper, die alles zo fijntjes had aaneengerafeld. En inderdaad ook in het boek van Kanunnik Wouters vindt men hiervan enkele pareltjes, die ik de lezer niet wil onthouden:
Pagina 3: "De mensch wordt bezield door een zelfstandig, onstoffelijk, geestelijk, onsterfelijk levensbeginsel, de ziel. Deze is tezelfdertijd de bron van het plantenleven, het zinnelijk en het geestelijk leven. Alleen de mensch bezit rede, maar door zijn lichaam hoort hij ook in het dierenrijk thuis"
Pagina 63: "Zoo zien wij, door wijze wetten, de hand van de Voorzienigheid in de Schepping ingrijpen om aan elk diertje zijn noodruft te geven en tusschen al de wezens een bewonderenswaardig evenwicht te bewaren. De Vleescheter doodt dus om zich te voeden, maar tezelfdertijd treft hij blindelings een doelwit, dat hij wel niet ontwaarde, maar dat een ander voor hem zag en waartoe Deze hem onbewust heenleidde" .
Pagina 67: "Door het lichaam behoort de Mensch tot de Zoogdieren; maar door zijn verstandelijke en zedelijke zielsvermogens is hij het beeld van God zelf. De Mensch vormt op zichzelf een orde: die van de Tweehandigen, waarvan de eenige familie en het eenige geslacht is: de Mensch"
Pagina 99: "Andere (vissen) zwemmen de stroomen op, om, in ondiep water, de gepaste warmte voor het uitbroeden te vinden. Zoo doen bvb Zalm en Steur. In zoet water geboren, zakken zij naar zee af; maar zoohaast hun tijd om eieren te leggen weerkomt, leidt de Voorzienigheid ze terug naar de plaats waar zij zelf uitgebroed werden" .
Pagina 188: "Toen de hitte (van de aardkost) genoeg was afgenomen, schiep God de planten, en later de dieren en den mensch"
Ook waren er in het schoolboek herhaaldelijk verwijzingen naar uitspraken van geleerden, die het bestaan van een God of Opperwezen erkenden, maar van anderen, die deze stelling verwierpen of meningen opperden, die in tegenspraak waren met Bijbelse uitspraken (bvb een Charles Darwin) was natuurlijk geen sprake:
« Wanneer men de wetenschappen grondig bestudeerd heeft, zei Pasteur, dan komt men terug naar het geloof van den Bretoenschen boer; had ik nog meer gestudeerd, ik hadde het geloof der Bretoenscheboerin » .
« Toen A.-M. Ampère, de beroemdste reken- en natuurkundige van de 19de eeuw (1775- 1836), zich eens met Ozanam onderhield, riep hij uit: Wat is God groot! Ozanam, wat is God toch groot! » ..
« De ware mannen der wetenschap bekennen vlakaf dat zij, zonder een vroeger bewezen leven, geen bevredigenden uitleg van het leven kunnen geven (Tyndall, Engelse natuurkundige) »
« Van Beneden, vermaarde natuurkundige aan de Universiteit te Leuven: Hoe meer vorderingen wij maken in de kennis der natuur, hoe inniger wij overtuigd zijn, dat alleen het geloof in een almachtigen Schepper en een oneindige Wijsheid, die hemel en aarde volgens een bepaald en van alle eeuwen ontworpen plan geschapen heeft, bij machte is aan de geheimen der natuur, en bijzonder aan dat van het menschelijke leven, een voldoende oplossing te geven. Gaan wij voort met standbeelden op te richten aan personen die hunnemedemenschen nuttig waren of door hun vernuft uitmuntten; maar vergeten wij niet wat wij schuldig zijn aan Hem die wonderen schiep in elken zandkorrel en een gansche wereld in elken waterdruppel »
« Den eeuwigen almachtigen God heb ik door de Schepping zien gaan: ik heb er de sporen van zijn wijsheid en macht gevonden en ik sta er voor in bewondering! (Linné, beroemde Zweedse natuurkundige)
Het is dus niet verwonderlijk dat een Kardinaal Mercier in 1914 volgend schrijven richtte aan de auteur van dit boek:
Waarde Heer Hoofdinspecteur,
Ik haast mij u te bedanken voor uwen vriendelijk gezonden: Leergang van Natuurwetenschappen en neem deze gelegenheid waar om u met uwe nieuwe en eigen opvatting geluk te wenschen. Immers, terwijl gij, met methode, onze schooljeugd tot de beginselen der natuurwetenschappen inleidt, vergeet gij niet haar geest en haar hart tot God omhoog te heffen. Dit is voorzeker de geringste verdienste niet van uw voortreffelijk werk. Ik wensch dus dat uw boek breed moge verspreid worden, en verzoek u, Waarde Heer Hoofdinspecteur, de verzekering, mijner hartelijke toegenegenheid te aanvaarden.
D.J. Card. Mercier, Feest der Heilige Maria Magdalena 1914
Vanzelfsprekend bewandelden mijn klasleraars in het « collège Saint-Louis » toen hetzelfde pad, want Vaticanum II was nog ver. Dat het hier in feite om een soort creationistische wetenschap ging, drong in het begin nog niet tot mij door... tot ik de E.N.S.I.E. opensloeg .
De E.N.S.I.E. (Eerste Nederlandse Systematische Encyclopedie dateert van 1949-1950 en was niet echt bestemd voor scholieren !! Een systematisch ingerichte encyclopedie is opgebouwd uit een reeks uitgebreide overzichtsartikels, die echte inleidingen vormen in de grote gebieden van wetenschap en cultuur. Een dergelijke encyclopedie onderscheidt zich van een alfabetische doordat de diverse onderwerpen van een bepaald gebied in een samenhangend geheel worden ingebed en de lezer aldus een dieper inzicht kan verwerven in het gekozen gebied. Een systematische encyclopedie speciaal bestemd voor scholieren vormde bvb de Sesam Systematische Encyclopedie. Maar die zag eerst maar het licht in de jaren 1957-1962 bij de uitgeverij Het Spectrum. Een duidelijk bewijs dat er -ook voor scholieren- wel een behoefte was aan een systematische encyclopedie.
Maar terug naar de E.N.S.I.E. Zoals ik al in een vorig cursiefje aanhaalde had mijn vader deze encyclopedie speciaal gekocht voor zijn schoolgaande kinderen. De E.N.S.I.E. was voor mij in die jaren praktisch de enige bron van wetenschappelijke kennis waaraan ik mij kon laven. In wezen vervulde de E.N.S.I.E. -en i.h.b. de delen IV en VI- voor mij de rol van een soort schoolboek Wetenschappen.
Deel IV behandelde de wiskunde en de wetenschappen van de « dode stof » d.i. natuurkunde, scheikunde en sterrenkunde; deel VI de wetenschap van de « levende stof » d.i. biologie (plant- en dierkunde), de anthropologie (menskunde) en de geneeskunde waaronder zelfs de farmacie. Er was ook nog het deel V, dat de wetenschappen betreffende de Aarde bundelde, maar dit deel kwam veel minder aan bod.
Voortgaande op het aantal inktvlekken, een bewijs van mijn onverdroten ijver en inspanningen, genoot blijkbaar deel IV mijn voorkeur. Bij het openslaan van Deel IV botste de lezer onmiddellijk op de bekende kopergravure van Albrecht Dürer Melencolia (1514), volgens veler opvatting een zinnebeeld van het wiskundig - technisch denken. Ik heb in mijn jeugdjaren deze prachtige afbeelding talloze keren bekeken en was toen diep onder de indruk van het tovervierkant dat gesponnen is rond het jaartal 1514, jaar waarin Dürer deze plaat etste. Een tovervierkant heeft als eigenschap dat de som van iedere rij en iedere kolom hetzelfde getal geeft. Als ik nu echter na zovele jaren deze afbeelding opnieuw bekijk, overvalt mij deze stille weemoed, deze melencolia waarop de kunstenaar zinspeelde.
Deel VI fungeerde dan weer als mijn bron van kennis voor de eigenlijke « Natuurwetenschappen », waarmede dan de wetenschap van de levende stof bedoeld werd. Een beter woord voor natuurwetenschappen is dus wel « Biowetenschappen ». Bij het openslaan van deel VI was er vooreerst een prachtige zwart-wit afbeelding van een oerbos van reuzenaaldbomen (sequoia sempervirens). De Frisco (E.H. Debaillie) vertelde met veel enthousiasme over deze reusachtige bomen, die hij blijkbaar in het echt gezien had. Ik vermoed dat hij tijdens zijn reis naar San Francisco het fameuze Yosemite Parc had bezocht.
Wat mijn klasleraars nu over de natuurwetenschappen (planten, dieren, mens) vertelde toetste ik systematisch met wat in de E.N.S.I.E. beschreven stond. En dat was heel wat, zoals een inhoudsoverzicht van het gedeelte « Biologie » laat zien:
- Wat is Biologie en wat het niet is Algemeen karakter der Biologische Wetenschappen:
Hoofdstuk 1 « Wat is Biologie? de indeling der biologie in haar onderwetenschappen- » (prof. Dr C.J. van der Klaauw)
Hoofdstuk 2 « Algemene Begrippen Logica en Wiskunde » (prof. Dr C.J. van der Klaauw)
- De laagste levende wezens:
Hoofdstuk 3 « Protista De eencellige oerplanten en oerdieren- » (dr Maria Rooseboom)
Hoofdstuk 4 « Microbiologie De Wereld der Bacteriën - » (prof. Dr A.J. Kluyver)
- De indeling der verscheidenheid onder de organismen
Hoofdstuk 10 « Restitutie en Regeneratie bij Planten » (dr A.D.J. Meeuse)
Hoofdstuk 11 « Restitutie en Regeneratie bij Dieren Ontwikkelingsmechanica » (prof. Dr C.P. Raven)
- De fijne bouw der organismen
Hoofdstuk 12 « Cel- en Weefselleer der Planten » (pfof. Dr ir G. van Hersonjr)
Hoofdstuk 13 « Cel- en Weefselleer der Dieren » (prof. Dr C.J. vanderKlaauw)
- De variatie- en erfelijkheidsleer
Hoofdstuk 14 « Variatieleer bij Planten en Dieren » (prof. Dr M.J. Sirks)
Hoofdstuk 15 « Erfelijkheidsleer bij Planten en Dieren » (prof. Dr M.J. Sirks)
- Het organisme en zijn omgeving en zijn verspreiding over de aarde
Hoofdstuk 16 « Algemene Ecologie »
Hoofdstuk 17 « Plantenecologie en geografie »
Hoofdstuk 18 « Dierenecologie en geografie »
- Het gedrag der dieren
Hoofdstuk 19 « Ethologie en Psychologie der Dieren » (prof dr N. Tinbergen)
- De geschiedenis der organismen in de loop der tijden
Hoofdstuk 20 « Evolutieleer »
Hoofdstuk 21 « Fylogenie der Planten »
Hoofdstuk 22 « Fylogenie der Dieren »
- Het zieke en abnormale organisme
Hoofdstuk 23 « Plantenziektekunde »
Hoofdstuk 24 « Afwijkingen bij Planten »
Hoofdstuk 25 « Plantengallen »
Hoofdstuk 26 « Pathologie der Dieren »
- Wijsgerige vragen van ruime strekking
Hoofdstuk 27 « Mechanisme Vitalisme Holisme »
Hoofdstuk 28 « De Verhouding van Lichaam en Geest »
Hoofdstuk 29 « Metabiologie »
Hoofdstuk 30 « Theoretische Biologie »
- korte bespreking en nabeschouwingen:
Vele onderwerpen, die in de E.N.S.I.E. aangeraakt werden, waren voor mij in die tijd onbegrijpelijk. Toch waren er een aantal onderwerpen o.a. deze behandeld in hoofdstuk 20 "Evolutieleer" die mij interesseerden, wat mij in een conflictsituatie bracht met mijn klasleraars.
(wordt voortgezet)
----------------------------------------
(1) Het aanleren van de klassieke talen nam toen zeer veel lesuren in beslag: bestuderen van een ingewikkelde grammatica met talloze verbuigingen en vervoegingen, verwerven van een woordenschat van ongeveer 2000 woorden, toepassen van het geleerde op uitgekozen teksten van diverse auteurs. Zo beschikten de leerlingen van het Sint Lodewijkscollege over Latijnse en Griekse woordenlijsten waarvan elke dag tien nieuwe woordjes moesten van buiten geleerd worden.
(3) Dit schoolboek was de vertaling van Précis de Sciences Naturelles en werd in het interbellum in de meeste katholieke scholen van West- Vlaanderen gebruikt
§ 11.2 Elementaire Plantkunde met Eildert Reinders
(Hoofdstuk 11 "Bio- wetenschappen in het Lager Secundair")
§ 11.2 Elementaire Plantkunde met Eildert Reinders (I)
Dat het echter ook anders kon, werd aangetoond door het tweedelige « Leerboek der Plantkunde » van Eildert Reinders. Dit in Nederland zeer bekend schoolboek was bestemd voor gymnasia, lycea en H.B.S met vijfjarige cursus. Het eerste deel, dat in dit blog behandeld wordt, omvatte het leerprogramma Plantkunde voor het eerste en tweede jaar H.B.S. wat overeen stemde met het Lager Secundair in België. Het tweede deel was bestemd voor hogere jaren van de H.B.S. en zal in blog II besproken worden. Hoe ik op het spoor van dit tweedelig leerboek ben gekomen vormt een verhaal op zich zelf en wordt eveneens in blog II uit de doeken gedaan.
Onder de term « Elementaire Plantkunde » moet hier « Beginselen der Plantkunde » begrepen worden. Deze elementaire plantkunde vormt een eerste winding van de didactische spiraal, die achtereenvolgens nog de algemene en fundamentele plantkunde zal omvatten volgens het schema: elementaire plantkunde → algemene plantkunde → fundamentele plantkunde. Deze laatste windingen behoren weliswaar tot het hoger onderwijs. Indien dit didactisch schema niet strict gevolgd wordt, rijzen er onvermijdelijk problemen.
Deel I van het leerboek omvatte de leerstof voor 75 lesuren en was ingedeeld volgens de seizoenen van het schooljaar. Het boek was een zeer praktische inleiding tot de botanica en had de bedoeling de scholier vertrouwd te maken met enkele essentiële begrippen en termen uit de Plantkunde:
EERSTE LEERJAAR: SEPTEMBER TOT FEBRUARI
Les 1: inleiding, iepentakken, ouderdom van bomen, reuzenbomen van Californië
Hoofdstuk 1 « Vormleer van het Blad »
Les 2: bladstanden
Les 3: nervatuur en insnijdingen
Les 4: het samengestelde blad
Les 5: algemene vorm der bladschijf
Les 6: verdere bijzonderheden
Hoofdstuk 2 « Varens, mossen, zwammen en wieren »
Les 7: varens
Les 8: mossen
Les 9: paddenstoelen
Les 10: schimmels, wieren en korstmossen
Hoofdstuk 3 « Levensleer der Planten »
A- Scheikundige inleiding
Les 11: scheikundige ontleding en verbinding
Les 12: zuurstof, verbranding, lucht
Les 13: verbranding van koolstof, koolzuur
B- De kringloop van de koolstof
Les 14: ademhaling is oxidatie
Les 15: de koolzuurassimilatie
EERSTE LEERJAAR: VAN EIND FEBRUARI TOT MIDDEN JULI
Hoofdstuk 4 « Vergelijkende studie der zaadplanten en Beginselen der Systematiek »
A- Inleiding
Les 16: de kastanje tak
B- De Orde der lelieachtigen
Les 17: het sneeuwklokje
Les 18 de tuin tulp
Les 19: de witte, paarse en gele krokus
Les 20: het lenteklokje
Les 21: de witte en gele narcis, de hyacint
Les 22: variëteiten, soorten, geslachten, families, systematiek, samenvatting orde der lelieachtigen
Les 23: de binaire nomenclatuur, determineertabellen
Les 24: andere lelieachtigen
C- De Orde der nootjesdragers
Les 26: de smeerwortel
Les 27: het vergeet-mij-nietje, het longkruid
Les 28: de hondsdraf, een samenvatting
Les 29: de witte dovenetel
Les 30: de orde der nuculiferen, overzicht der ruwbladigen en lipbloemigen
D- De Orde der personaten of maskerbloemigen
Les 31: het helmkruid schichtprobleem-
Les 32: het helmkruid bloem-
Les 33: het vingerhoedskruid
Les 34: andere helmkruidachtigen
Les 35: andere helmkruidachtigen vervolg- waarde van de orden, samenvatting helmkruidachtigen
Les 36: overzicht van het natuurlijk stelsel
Les 37: terugblik, ranken, dorens
TWEEDE LEERJAAR: SEPTEMBER
E- Herfst voor het plantenrijk
Les 38: bollen, knollen, knoppen
Les 39: zaden
Les 40: verspreidingsmiddelen van vruchten en zaden
Hoofdstuk 5 « Levensleer der Planten (vervolg van hoofdstuk 3) »
C- As bestanddelen
Les 41: meststoffen (kunstmest en stalmest)
TWEEDE LEERJAAR: MAART TOT MIDDEN JULI
Hoofdstuk 6 « De morfologische waarde van knol, bol en bloem »
Les 42: de winterakoniet
Les 43: de krokusknol
Les 44: bol van het sneeuwklokje, bouw en levensloop van de bol en de gehele plant
Les 45: morfologische waarde van de bloem
Les 46: morfologische waarde van de vrucht
Les 47: het onderstandige vruchtbeginsel
Les 48: terugblik, morfologie, biologie en ecologie
Hoofdstuk 7 « Overzicht van het Plantenrijk »
Les 49: overzichtstabel
Les 50: paardenstaarten en wolfsklauwen
Les 51: naaldbomen
Les 52: orde der lelieachtigen
Les 53: familie der grassen, gramineae
Les 54: familie der muurachtigen, caryophyllaceae
Les 55: familie der boterbloemachtigen, ranunculaceae
Les 56: familie der papaverachtigen, papaveraceae
Les 57: familie der kruisbloemigen, cruciferae
Les 58: familie der viooljesachtigen , violaceae
Les 59: familie der ooievaarsbekken of geranaceae
Les 60: familie der malveachtigen, malvaceae
Les 61: orde der Rosifloren: families der roosachtigen (rosaceae) der amandelachtigen (amygdalaceae), der appelachtigen (pomaceae)
Les 62: familie der vlinderbloemigen, papilionaceae
Les 63: familie der schermbloemigen, umbelliferae
Les 64: orde der Buisbloemigen (Tubiliferae)
Les 65: orde der maskerbloemigen of personaten
Les 66: familie der nachtschaden, solanaceae
Les 67: familie der helmkruidachtigen of scrophularaceae
Les 68: orde der Nootjesdragers of nuculiferen
Les 69: familie der samengesteldbloemigen of composieten
(Hoofdstuk 11 "Natuurwetenschappen in het Lager Secundair Onderwijs")
§ 11.3 Elementaire Dierkunde met Ritzema Bos
Ook voor wat de Dierkunde betrof kon het anders Het volstond om even over de landsgrenzen te kijken en i.h.b. naar Nederland. Zo was er bvb het tweedelig « Leerboek der Dierkunde » van Jan Ritzema Bos en Hemmo Bos. Ritzema Bos was een bekend botanicus en zoöloog en grondlegger van de plantenziektekunde in Nederland (1) ; zijn broer Hemmo Bos was hoogleraar in Wageningen. Het eerste deel van dit leerboek was bestemd voor de lagere humaniora, en voornamelijk gewijd aan de gewervelde dieren. Dit deel omvatte ook een summiere samenvatting van de menselijke fysiologie en anatomie. Het tweede deel, bestemd voor de hogere humaniora (zie blog II), was in hoofdzaak gewijd aan de ongewervelde dieren. Een tweede gedeelte van dit laatste deel ging dieper in op de humane fysiologie.
Zoals het « Leerboek der Plantkunde » van Eildert Reinders vormde het leerboek van Ritzema Bos een introductie tot de Dierkunde vandaar de term « Elementaire Dierkunde », wat hier « Beginselen der Dierkunde » betekent. Deze elementaire dierkunde vormt dan de eerste winding in de didactische spiraal: elementaire dierkunde → algemene dierkunde → fundamentele dierkunde , deze laatste twee windingen zijn in wezen exclusief voorbehouden aan het hoger onderwijs (zie blog III en IV).
Ziehier nu een overzicht van de inhoud van boek I van het Leerboek der Dierkunde:
- Deel I Het Menselijk Lichaam
Hoofdstuk 1 « Inleidende beschouwingen »
Hoofdstuk 2 « Het geraamte of skelet »
§1 de beenderen van de romp §2 het skelet van de ledematen §3 de schedelbeenderen
§1 algemeenheden §2 het tandstelsel §3 de andere delen van het darmkanaal
Hoofdstuk 5 « Ademhaling »
§1 betekenis van de ademhaling §2 de luchtwegen §3 de ademhalingsbewegingen §4 het strottenhoofd
Hoofdstuk 6 « Bloed en bloedsomloop »
§1 het bloed §2 de bloedvaten §3 het hart §4 de bloedsomloop §5 lymfe en lymfvatenstelsel
Hoofdstuk 7 « De Uitscheiding »
Hoofdstuk 8 « De Huid »
§1 bouw van de huid §2 de warmteregeling door de huid
Hoofdstuk 9 « Het Zenuwstelsel en de Zintuigen »
§1 de zintuigen §2 het zenuw stelsel §3 de centrale delen
- Deel II De Gewervelde Dieren
Inleiding
Hoofdstuk 1 « De Klasse der Zoogdieren of Mammalia »
§1 loopwijzen der zoogdieren (zoolgangers, teengangers, hoefgangers) §2 voedingswijzen der zoogdieren (vleeseters of carnivoren, planteneters of herbivoren, alleseters of omnivoren) §3 de mens als zoogdier §4 orde der apen of Simiae (apen van de Oude wereld of Smalneuzen of Catarrhinae, apen van de Nieuwe Wereld of Breedneuzen of Platyrhini) §5 orde der halfapen of Prosimiae §6 Orde der roofdieren of Carnivora : onder-orde der landroofdieren (Carnivora fissipedia) : voorbeeld van kat en hond, familie der katachtigen of felidae, familiie der hyena-achtigen of hyaenidae, familie der marterachtigen of mustelidae , familie der hondachtigen of canidae , familie der beerachtigen of ursidae, betekenis der roofdieren §7 Orde der roofdieren of Carnivora : onder-orde der zeeroofdieren: algemene kenmerken, familie der zeehonden of phocidae, familie der walvisachtigen of cetacea (tandwalvissen, baardwalvissen) §8 groep der hoefdieren: orde der onevenhoevigen of perissodactyla (familie der tapirs of tapiridae, familie der neushorens of rhinocerotidae, familie der paardachtigen of equidae §9 groep der hoefdieren: orde der evenhoevigen of artiodactyla (a- onderorde der vierhoevigen of niet-herkauwers bvb varkens en nijlpaarden b- onderorde der tweehoevigen of herkauwers: familie der kameelachtigen camelidae-, familie der girafachtigen giraffidae-, familie der hertachtigen cervidae-, familie der holhoornigen cavicornia-) §10 Orde der slurfdieren of Proboscidea §11 Orde der zeekoeien of Sirenia §12 Orde der knaagdieren of Rodentia: familie der haasachtigen, familie der eekhoornachtigen, familie der bevers, familie der muisachtigen §13 Orde der aardvarkens of Tubulidentata §14 Orde der schubdieren of Pholidota §15 Orde der tandarme dieren of Xenarthra §16 Orde der handvleugeligen of Chiroptera §17 Orde der insecteneters of Insectivora §18 Orde der buideldieren of Marsupialia §19 Orde der vogelbekdieren of Monotremata
§1 algemeenheden over vogels : het uiterlijk voorkomen, de veren, het ruien, het skelet, het darmkanaal, het voedsel, ademhaling, bloedsomloop, zenuwstelsel en zintuigen, de zang, het vliegen, snelheden, hoogten, afstanden, voortplanting, het broeden, nestbouw, verblijf der vogels, de systematiek der vogels
ONDERKLASSE BORSTKAMVOGELS OF CARINATAE
§2 Orde der Zangvogels of Passeriformes (familie der zwaluwen (hirundinidae), familie der zangers (sylviidae), familie der lijsters (turdidae), familie der winterkoninkjes (troglodytidae), familie deer klauwieren (lanidae), familie der kraaien (corvidae), familie der paradijsvogels, familie der wielewalen (oriolidae), familie der spreeuwen (sturnidae), familie der vinken (fringillidae), familie der wevers (plocidae), familie der honingzuigers (nectarinidae), familie der mezen (paridae), familie der kwikstaarten (montacillidae), familie der leeuweriken (alaudidae)) §3 Orde der Scharrelvogels of Coracciiformes (familie der ijsvogels (alcedinidae), familie der hoppen (upupidae), familie der uilen (strigidae), familie der nachtzwaluwen (caprimulgidae), familie der gierzwaluwen (macropterygidae), familie der colibris (trochilidae), familie der spechten (picidae) §4 Orde der Koekoekvogels of Cuculiformes §5 Orde der Pleviervogels of Charadriiformes (familie der plevieren (charadriidae), familie der meeuwen (laridae), familie der alken (alcidae), familie der duiven (columbae)) §6 Orde der Kraanvogels of Gruiformes §7 Orde der Hoendervogels of Galliformes §8 Orde der Valkvogels of Falconiformes (familie der condors (cathertidae), familie der gieren (vulturidae), familie der valken (falconidae)) §9 Orde der Gansvogels of Anseriformes §10 Orde der Ooievaarachtigen of Ciconiiformes (familie der roeivoetigen of steganopodes, familie der reigers of ardeae, familie der ooievaars of ciconiae, familie der flamingos §11 Orde der Stormvogels of Procellariiformes §12 Orde der Pinguinvogels of Spheniciformes §13 Orde der Duikervogels of Colymbiformes
ONDERKLASSE DER BORSTKAMLOZE OF RATITAE (LOOPVOGELS)
§14 familie der struisvogels §15 familie der nandoes §16 familie der kiwis §17 moa en Madagascar- struis §18 de oervogel of Archaeopteryx
Hoofdstuk 3 « De Klasse der Kruipende Dieren of Reptilia »
§1 algemeenheden: skelet, voedsel, gebit, spijsverteringsorganen, ademhaling, hart, bloedsomloop en stofwisseling, de huid, zenuwstelsel en zintuigen, voortbeweging, voorkomen, fossiele reptielen §2 orde der krokodillen of crocodilia: beschrijving, soorten §3 orde der schildpadden of testudinata: beschrijving, soorten §4 orde der hagedissen: beschrijving, soorten §5 orde der slangen: beschrijving en kenmerken, enkele soorten
Hoofdstuk 4 « De Klasse der Tweeslachtige Dieren of Amphibia »
§1 de bruine kikvors (rana temporaria): uiterlijk en levenswijze, gedaantewisseling of metamorfose, inwendige bouw (skelet, bloedsomloop, ademhaling, darmkanaal, zenuwstelsel en zintuigen) §2 orde der kikvorsachtigen of staartloze amfibieën (anura): kenmerken, enkele soorten §3 orde der salamanderachtigen of staart amfibieën (urodela): enkele soorten §4 orde der wormsalamanders (gymnophiona)
§1 de karper (cyprinus carpio): lichaamsvorm, voortbeweging en vinnen, de huid, kieuwen en ademhaling, overige uitwendige kenmerken, skelet, spierstelsel, hart en bloedsomloop, darmkanaal en voedsel, zwemblaas, zenuwstelsel en zintuigen, nieren, voortplanting, systematiek der vissen
ONDERKLASSE DER ECHTE VISSEN OF EUICHTYES
§2 Orde der longvissen of Dipnoï §3 Orde der Beenvissen of Telestosteï : familie der haringen of clupeidae, familie der zalmen of salmonidae, familie der karpers of cyprinidae, familie der snoeken of esocidae, familie der stekelbaarsjes of gasterosteidae, familie der troskieuwigen of lophobranchii, familie der gepen of scombresocidae, familie der schelvissen of gadidae, familie der baarzen of percidae, familie der makreelachtigen of scombridae, familie der platvissen of pleuronectidae, familie der knorhanen of triglidae, familie der vastkakigen of plectognathi, familie der lantaarnvissen of anomalopidae §4 Orde der Glansschubbigen of Ganoïdei: de steur §5 Orde der Kraakbeenvissen of Selachiï: familie der haaien of squalidae, familie der roggen of rajidae
§ 12.1 Over de Rijksmiddelbare School te Brugge ...
(Hoofdstuk 12 "Arithmetiek en Algebra in het Hoger Primair Onderwijs")
§ 12.1 Over de Rijksmiddelbare School.. te Brugge
Sinds mijn prille jeugd bezit ik twee oude schoolboeken waarvan de oorsprong mij toch wat duister en geheimzinnig leek. Het waren « Cours de Physique E.P.S. » en « Cours de Chimie E.P.S. » van P. Métral en ze dateerden van juist na WOI. Ik had ze gevonden op zolder en mijn vader had deze boeken nog gebruikt, maar in welke school? Mijn vader sprak maar heel zelden over zijn jeugd en het was maar eerst na zijn overlijden dat ik mij rekenschap gaf van het feit dat hij zijn jeugd had doorgebracht op de schoolbanken van de Rijksmiddelbare School te Brugge
In het Brugs Ommeland (1) orgaan van de Heemkundige Kring -Maurits Van Coppenolle- was er regelmatig sprake van deze school en ook nog van de school van een zekere Meester Brans, die in de Hollandse periode (en ook daarna) in het Brugse een belangrijke rol heeft gespeeld. Dit bracht mij op het idee om toch maar even na te gaan hoe het er aan toeging in de Rijksmiddelbare school (de zogenaamde Ecole Moyenne) te Brugge en dit vóór en juist ná WOII.
In 1950 had de Rijksmiddelbare school nu haar honderdjarig bestaan gevierd en bij deze gelegenheid ook een Gedenkboek uitgegeven (zie ikoon). Met veel moeite kon ik via Internet een exemplaar vinden want slechts verspreid in een oplage van 750 genummerde exemplaren. Dit Gedenkboek van amper 87 paginas bracht mij terug naar de 19de eeuw en de eerste helft van de 20ste eeuw (o.m. naar de oorlogsjaren) en bevatte enkele erg interessante oorlogsgegevens en feitenmateriaal. De feitjes uit de oorlogsperiode en de periode onmiddellijk daarna riepen bij mij allerlei mooie en minder mooie herinneringen op, die ik ditmaal echter in een juist perspectief en daglicht kon plaatsen.
Andere gegevens hadden vanzelfsprekend betrekking op de historiek van de Ecole Moyenne - zelf en hoe deze uit de Ecole Supérieur du Gouvernement was ontstaan. Verder waren er nog gegevens over het lerarenkorps en de aard van het gegeven onderricht. Het zijn de gegevens over de aard van het onderwijs in de Rijksmiddelbare school die mij duidelijk hebben gemaakt dat ik inderdaad de eerste winding van de didactische spiraal inzake wiskunde- en wetenschapsonderwijs had gemist (zie voorgaande cursiefjes) en dat het inderdaad ook anders had gekund.
* * *
Maar laat ik het eerst hebben over de omstandigheden, die het dagelijkse leven in en onmiddellijk na de oorlog beheersten.
In het Gedenkboek (p.65) kwam er nu een zekere Michel Van Poucke voor, die als studiemeester aan de Ecole Moyenne was verbonden. Hij woonde in de villa Reigersvliet op de hoek van de Bloemenstraat en Weidestraat op amper 100 m van ons huis. Als reservecommandant was hij een belangrijke figuur in het Verzet (Geheim Leger) in West-Vlaanderen (2) .
Hij was immers medeoprichter en sectorbevelhebber van het Geheim Leger en blijkbaar nauw bevriend met mijn vader, vooral tijdens de oorlog. Wat niet verwonderlijk was: beiden hadden immers dezelfde school bezocht. Michel Van Poucke ontsnapte als bij mirakel aan de klauwen van de G.F.P. en heeft blijkbaar ook een rol gespeeld bij de operatie Ramrod 934 in de volksmond beter bekend als Het bombardement van Sint Michiels.
Het was in deze Brugse randgemeente dat de bezetter een spionagebasis had opgericht in het nu verdwenen kasteel Ter Linden. Deze basis telde zon 330 man en hing rechtstreeks af van het Oberkommando der Marine (OKM) te Berlijn en stond in dienst van de Abwehr. De basis stond onder het bevel van korvettekapitein Ernst Jäckel die na zijn bevordering in mei 1942 tot Chef van de Inlichtingendienst van de Marine werd opgevolgd door fregatkapitein Lothar von Heimburg. Op de basis luisterden de Duitsers berichten af en decodeerden ze. Er werden ook goniometrische radiopeilingen uitgevoerd met behulp van een Adcockpeiler. Grootadmiraal Karl Dönitz bracht er in 1943 een bezoek. De basis bestond uit het kasteel Ter Linden, een aantal bunkers, barakken en 2,6 km loopgraven. Het bombardement gebeurde ter voorbereiding van de landing te Normandië op 6 juni 1944. Bij het bombardement kwamen 40 burgers en 19 Duitsers om het leven en vielen tientallen gewonden (3) .
Het bombardement gebeurde in twee raids, één rond de middag en één in de vroege avond op pinksterzondag 28 mei 1944. Hiervoor zette men 202 vliegtuigen in waarvan 155 toestellen het doelwit bereikten en ca 192 ton bommen afwierpen. Een tweede raid was echter noodzakelijk, want het Verzet dacht dat de eerste raid het doel gemist had, wat achteraf niet juist is gebleken. Het was tijdens de tweede raid ramptoerisme- dat de meeste burgerslachtoffers vielen (32 doden). Mijn vader vertelde later, dat hij bepaalde personen had gewaarschuwd om toch maar niet naar het gebombardeerd gebied te gaan. Wist hij dan dat er een tweede raid onderweg was?
Eén van die bommen werd nog in december 2005 bij graafwerken in de omgeving aantroffen en is afkomstig van deze raids. Het is deze bom, die men nu bij de nog bestaande bunker geplaatst. Sinds september 2006 doet deze bunker dienst als bezienswaardigheid.
Zelf herinner ik mij ik was toen 5 jaar oud- nog zeer goed dit bombardement omdat mijn moeder in de grootste paniek verkeerde en ons bij de eerste bominslagen eerst naar de kelder stuurde, vervolgens onder de tafel deed kruipen, dan onder de buffetpiano Ons huis daverde op zijn grondvesten en de luchtverplaatsing deed al de ruiten derwijze trillen dat het een mirakel was dat ze het niet begaven. Het doelwit was immers in vogelvlucht slechts een goede 2 km van ons huis verwijderd. In feite stond mijn moeder er op die dag alleen voor, want mijn vader was afwezig. Achteraf beschouwd vond ik het wel vreemd dat mijn vader op dit ogenblik (Sinksenmiddag!!!) niet thuis was
Aansluitend op het oorlogsgebeuren werden in het Gedenkboek ook nog twee plechtigheden vermeld: de inhuldiging van het Pro Patria- monument op 17 september 1947 en de teraardebestelling op 14 januari 1947 van het stoffelijk overschot van de leerlingen José De Wit en Norbert Achte, overleden te Wolfenbüttel respectievelijk 7 november 1944 en 4 mei 1945. De lijkredes werden uitgesproken door de Directeur van de School de Heer Kesteloot en door.. de Heer Julien Paret.. de vader van mijn oude speelkameraad Eddy Hij was immers lid van het O.F. , waarvan ook beide slachtoffers lid waren.
Zoals in een vorig cursiefje « » vermeld, woonde Eddy in mijn straat en natuurlijk waren zijn en mijn vader goede kennissen want.. beiden hadden banden met de Rijksmiddelbare school! Of de Heer Paret-zelf als leerling op de banken van de Ecole Moyenne had gezeten weet ik niet. Wat ik mij nog van Eddys vader herinner was, dat hij een zware hoornen bril droeg, wat hem een buitengewoon streng uiterlijk gaf. Was dat om zijn leerlingen (hij gaf wiskunde!!) ontzag in te boezemen??
* * *
Een andere figuur, die in het Gedenkschrift voorkwam was Frans Ramon, alias Boschvogel (4) . Boschvogel was een bekende volkse schrijver en had een vruchtbare pen. Talloze boeken heb ik van hem gelezen o.m. Willem van Loo, boek dat in de Reinaert-reeks verschenen was. Ik vermoed dat hij de hoofdauteur was van het Gedenkboek.
0
1
2
3
4
5
- Gemiddelde waardering: 0/5 - (0 Stemmen) Tags:R.M.S. Brugge, Michel Van Poucke, operatie Ramrod
04-09-2010
§ 12.2 Over Systematische Encyclopedieën ...
(Hoofdstuk 7 "Arithmetiek en Algebra in het Hoger Primair Onderwijs")
§ 12.2 Over Systematische Encyclopedieën...
Op het einde van de jaren veertig had mijn vader een nieuwe encyclopedie gekocht de E.N.S.I.E. (acroniem voor Eerste Systematische Ingerichte Encyclopedie), en dit oeuvre zal vanaf het zevende studiejaar een belangrijke rol spelen in mijn leven. Deze encyclopedie had mijn vader speciaal gekocht voor zijn schoolgaande kinderen en i.h.b. voor mijn oudste broer.
Maar vanaf Saint Louis, beschouwde ik mijzelf nu ook als schoolgaand en dus maakte ik ook meer en meer gebruik van deze nieuwe bron van informatie. De E.N.S.I.E. dateerde van 1949-1950 en was in wezen niet echt bestemd voor scholieren!!
Een systematisch ingerichte encyclopedie is opgebouwd uit een reeks uitgebreide overzichtsartikels, die echte inleidingen vormen in de grote gebieden van wetenschap en cultuur. Een dergelijke encyclopedie onderscheidt zich van een alfabetische zoals de Oosthoeks- encyclopedie bvb doordat de diverse onderwerpen van een bepaald gebied in een samenhangend geheel worden ingebed en de lezer aldus een globaal en dieper inzicht kan verwerven in het gekozen gebied.
Een andere systematische encyclopedie speciaal bestemd voor scholieren vormde bvb de « Sesam Systematische Encyclopedie ». Maar die zag eerst maar het licht in de jaren 1957-1962 bij de bekende uitgeverij Het Spectrum. Een duidelijk bewijs dat er wel een behoefte was aan een systematische encyclopedie, ook voor scholieren.
Wat zit die nu nog te bazelen over encyclopedieën !! hoor ik enkele bloglezers grommelen: Wij hebben nu veel beter wij hebben Internet en Wikipedia !! En inderdaad er is Wikipedia, een schitterend en uiterst waardevol initiatief. Sommigen trachten Wikipedia te herleiden tot een encyclopedie van tweede zo niet derde orde want opgesteld door zo wat iedereen ook door Jan met de pet. Diegene, die nu zo iets durven beweren hebben nooit enig artikel voor Wikipedia geplengd of geschreven.
Vooreerst moet ieder artikel uitvoerig gerefereerd zijn, liefst met referenties, die evenzeer via Internet toegankelijk zijn. Bovendien heeft Wikipedia het enorme voordeel te werken met diverse redacteurs uit verschillende landen waardoor meerdere meningen tot uiting komen in plaats van slechts één bepaalde ex cathedra opinie. Wat wel degelijk het geval is in een klassieke encyclopedie. Indien u echter een Wikipedia-artikel in het Nederlands raadpleegt, vergeet nooit hetzelfde onderwerp ook eens na te lezen in Wikipedia (Frans, Engels, Duits..). Tenminste als u objectiviteit op prijs stelt .
Maar dit betekent dan toch die klassieke alfabetische encyclopedieën, die veelal als een kostelijk sieraad in een eiken- of mahonie-houten bibliotheek opgeslagen werden tot het verleden behoren !!?? Zo LIJKT de situatie wel en velen ontdoen zich van hun veelal op afbetaling gekochte encyclopedie voor een prikje. Enkele jaren terug heb ik mij zo in Damme bij een tweedehandsboekhandel een Standaard Encyclopedie in perfecte staat kunnen aanschaffen aan 1 per deel !!
Vergeet echter nooit dat een klassieke encyclopedie een momentopname is van wat men op een bepaald ogenblik over een bepaald onderwerp dacht en juist om deze reden ook erg waardevol is. Anderzijds is er een groot verschil in opvatting tussen een systematische en een gewone encyclopedie. Eerstgenoemde encyclopedie geeft een totaal beeld van en algemeen inzicht in een wijd vakgebied bvb wis- of natuurkunde.
Maar terug naar de E.N.S.I.E. Bij het openslaan van Deel IV, dat handelde over wiskunde, natuurkunde, scheikunde en sterrenkunde (allemaal zaken, die mij wel boeiden) botste ik hierbij onmiddellijk op de bekende kopergravure van Albrecht Dürer Melencolia (1514), volgens veler opvatting een zinnebeeld van het wiskundig - technisch denken. Ik heb in mijn jeugdjaren deze prachtige afbeelding talloze keren bekeken en was toen diep onder de indruk van het tovervierkant dat gesponnen is rond het jaartal 1514, jaar waarin Dürer deze plaat etste. Een tovervierkant heeft als eigenschap dat de som van iedere rij en iedere kolom hetzelfde getal geeft.
Als ik nu echter na zovele jaren deze afbeelding bekijk, overvalt mij deze stille weemoed, deze melencolia waarop de kunstenaar zinspeelde. Laat deze kopergravure dan ook het ikoon zijn van dit cursiefje.
Daar in ons huisgezin zich nu niemand voor deel IV interesseerde, beschouwde ik dit volume als mijn persoonlijk bezit en kreeg dit deel een ereplaats in mijn piepkleine bibliotheek. Mijn interessegebied was in die dagen « Wiskunde » want ik worstelde met een voor mij erg nijpend probleem: want wat is nu het precieze onderscheid tussen rekenkunde en algebra? De oorsprong van dit probleem lag bij mijn klein dispuut met Meester Berghmans, die mij verboden had algebraïsche methodes (vergelijkingen) te gebruiken bij het oplossen van "rekenkundige" vraagstukken. Algebra??? Ik wist niet eens wat dit woord betekende. Later kwam ik te weten dat een zekere Newton Algebra had gedefinieerd als « Universele Rekenkunde » en dat het strakke onderscheid tussen algebra en rekenkunde dat toen op grond van didactische redenen opgelegd was, pure onzin was.
Het herhaaldelijk doorbladeren van het meer dan honderd bladzijden tellende artikel Wiskunde van Prof. J.C.H. Gerretsen in de E.N.S.I.E. leverde voor mij in het begin echter weinig (eufemisme) interessants op, behalve dan een paar inktvlekken op enkele paginas, een bewijs van mijn onverdroten ijver en inspanningen.
Het overzichtsartikel van Gerretsen (1) , artikel dat overigens niet eens definieerde wat wiskunde eigenlijk is (2), was onderverdeeld in 10 rubrieken, die de diverse gebieden of disciplines van de wiskunde beschreef en afbakende: 1-wiskundige logica en axiomatiek, 2- getalbegrip, 3- elementaire en analytische meetkunde, 4- groepentheorie en abstracte algebra, 5- infinitesimaalrekening, 6- differentiaal- en integraalvergelijkingen, 7- algebraïsche meetkunde en topologie, 8- getallenleer, 9- praktisch rekenen, 10- kansrekening en statistiek.
Natuurlijk waren het overgrote deel van de rubrieken voor mij je reinste chinees maar andere waren ergens wel iets verhelderend.
Zo bevond ik mij met rubriek 2 bvb (Het getalbegrip) op minder maagdelijk terrein, daar hier gesproken werd over natuurlijke getallenen hun eigenschappen. Na een goed verstaanbare inleiding had Gerretsen het over volgende onderwerpen: de getallenrechte, de optelling der reële getallen, de ordening der reële getallen, de natuurlijke getallen, de definitie door volledige inductie,talstelsels, de gehele getallen, continuïteit, deling door een natuurlijk getal, rationale getallen, de vermenigvuldiging der reële getallen, de irrationale getallen, oneindige voortlopende g-delige breuken, complexe getallen, oneindige cardinaalgetallen, ordinaalgetallen, het keuzepostulaat en de transfiniete transductie.
Een aantal van die onderwerpen had ik al bij meester Hillewaert, bij Meester Berghmans of bij de Oosthoeks ontmoet. Andere zoals bvb de getallenrechte en de reële getallen zou ik in de lagere humaniora, nog andere zoals de irrationale en complexe getallen (althans een eerste benadering) in de hogere humaniora, en uiteindelijk de laatste onderwerpen eerst ná de humaniora ontmoeten.
Ook in de rubrieken 8 (Getallenleer)en 9 (Praktisch Rekenen) vond ik tot mijn grote voldoening enkele begrippen, die wij nog bij Meester Hillewaert gezien hadden, terug: o.m. priemgetal, GGD en KGV en de hoofdstelling uit de Rekenkunde, de bekende canonieke ontbinding in factoren. Ik verwachtte er mij dus al aan dat de Arithmetiek van het secundair onderwijs, behoudens wat stellingen over priemgetallen ook enkele beginselen van de getallentheorie, waarover een Gerretsen het zo uitvoerig had, zou bevatten. Dit was uiteraard het geval, maar deze theorie beperkte zich tot de meetbare d.i. de gebroken en gehele getallen.
Ter vergelijking, het overzichtsartikel uit de Sesam Encyclopedie van de hand van H. J. A. Duparc (3) bevatte slechts 6 rubrieken: 1- Het wiskundig denken, 2- Getallen en hun eigenschappen, 3- Rechthoekige driehoeken en nieuwe getallen, 4- Over grenswaarden, 5- Kegelsneden, 6- De leer van het toeval. Het viel mij op dat deze rubrieken met veel minder woordenomhaal geschreven waren en heel wat precieze en verstaanbare informatie verstrekten zonder daarom aan wiskundige exactheid in te boeten.
De rubriek 2 (getallen en hun eigenschappen : het tellen, het getalschrift, het rekenen met getallen, de negatieve getallen en de breuken, priemgetallen, het dyadisch of duale talstelsel en rekenmachines en de rubriek 3 (rechthoekige driehoeken en nieuwe getallen : oppervlakken, de stelling van Pythagoras, irrationele (of onmeetbare) getallen, logaritme en rekenschuif, de trigonometrie vond ik absoluut verstaanbaar zelfs voor iemand uit de lagere humaniora.
Ook beschouw ik de rubrieken 4 (grenswaarden : functies en hun grafische voorstellingen, grenswaarden en sommen, differentiaalrekening, integraalrekening) 5 (kegelsneden : cirkels en ellipsen, de kegelsneden, de snij- figuren apart, de vergelijkingen der kegelsneden, transformaties en groepen) en 6 (de leer van het toeval : het begrip waarschijnlijkheid in de wiskunde, de levensverzekering, samengestelde waarschijnlijkheden, de foutenwet») tot het beste wat ooit in het Nederlands voor scholieren over deze moeilijke onderwerpen geschreven is. Maar zoals al opgemerkt verscheen de Sesam encyclopedie ná mijn humaniorastudies..
Met de jaren drong het dan ook tot mij door, dat er op het overzichtsartikel Wiskunde in de E.N.S.I.E. -ofschoon misschien een tour de force van hoog niveau- heel wat aan te merken viel op het gebied van « gebruiksvriendelijkheid ». Dit had wellicht wat te maken met de ijdelheid van de schrijver. Wat er ook van aan was, voornoemd overzichtsartikel heeft in mijn leven wel een belangrijke rol gespeeld, want het liet mij toe mijn, de met de jaren geleidelijk verworven, wiskundekennis voortdurend te testen en te toetsen.
(wordt voortgezet)
---------------------------
(1) ) J.C.H. Gerretsen (1907-1983) was eerst leraar aan een gymnasium en later hoogleraar hogere meetkunde van 1946 tot 1977 aan de Universiteit van Groningen. Hoe enkele oud-leerlingen over hem dachten?
Kleurrijk, wordt hij genoemd, met zijn vlinderdasje en zijn smetteloze kleren. Parmantig, al kon hij heel scherp zijn. Maar ook vreselijk ijdel en theatraal. Hij leefde in een droomwereld, vertelt oud-wiskundestudent H.J. Buurema. Hij gaf college alsof hij voor de Akademie van Wetenschappen stond. Heel plechtig, met veel moeilijke woorden en weidse gebaren. Veel mensen konden daar niet tegen, maar hij kon het niet laten. Gerretsen leefde met zijn hoofd in de wolken.
.Hij vond van zichzelf dat hij college moest kunnen geven zonder al te veel aantekeningen, denkt D. Kleima, die vanaf 1947 bij hem studeerde. Maar dat ging lang niet altijd goed. Dan dacht hij: dat vertel ik zo wel even. Hij kwam er niet meer uit en het college ontaardde in een leuterpartij.
Blijkbaar was hij toch niet de ideale figuur om een overzichtsartikel voor een encyclopedie te schrijven???
(2) Volgens de Standaard Encyclopedie -1980- is het niet mogelijk een strenge definitie van de wiskunde te geven; zij kan alleen via haar historische ontwikkeling worden gedefinieerd. De « Encyclopédie thématique Universalis -2005- » definieert in een zeer uitvoerig artikel getekend Jean-Marie Pruvost-Beaurain wiskunde als volgt: « La mathématique est une science hypothético-déductive qui, en développant un langage autonome, élabore et étudie des notions abstraites liées les unes aux autres et souvent capables de fournir des modèles et des processus opératoires permettant de mieux comprendre de nombreux aspects du monde observable, en particulier lorsque peuvent être invoquées des idées de quantité, de forme et de partie de quelque chose ».
(3) Herman Johan Arie Duparc (1918-2002) was geboren te Amsterdam, promoveerde aldaar in 1953 tot doctor in de wis- en natuurkunde op het onderwerp Divisibility Properties Of Recurring Sequences. Zijn laatste stelling bij dit proefschrift luidde: «Het is aan te bevelen dat bij het gymnasiaal onderwijs enige tijd wordt gewijd aan de behandeling van een gedeelte van de Elementen van Euclides aan de hand van de Griekse tekst». Herman Duparc was van 1956 tot zijn emeritaat in 1984 hoogleraar in de Zuivere en Toegepaste Wiskunde en de Mechanica. Hij was niet alleen een enthousiast en toegewijd docent en promotor, jarenlang gaf hij ook met onverdroten ijver leiding aan het wiskunde-onderwijs voor alle studenten van de Technische Universiteit Delft. Duparc werd vanwege zijn betrokkenheid door studenten ook nog jaren na zijn officiële afscheid op handen gedragen. Tot het laatst onderhield hij met hen maar ook met zijn universiteit via vele voordrachten en lezingen nog intensief contact. Duparc was bijkans verslaafd aan getallen en cijferreeksen. Het feit dat hij zich in zijn lange wetenschappelijk carrière uitvoerig met recursies in de (numerieke) wiskunde heeft bezig gehouden zal daaraan niet vreemd zijn. Maar Duparc was meer dan alleen een van wiskunde en getallen bezeten mens. Ironie was een ander trefzeker wapen waarvan deze gedreven, aimabele leermeester zich graag bediende. Zijn krijgsgevangenschap in het voormalig Nederlands Indië en Oost-Azië, waar hij eigenlijk nooit terecht had willen komen, had hem - zo zei hij ooit - gemaakt tot mijnbouwer tegen wil en dank en toen de atoombom in 1945 zijn Japanse overheersers tot capitulatie dwong schreef Duparc aan intimi dat mijn leven andermaal gered is door de natuurwetenschap, zou men kunnen zeggen.
(Hoofdstuk 12 "Arithmetiek en Algebra in het Hoger Primair Onderwijs")
§ 12.3 Spelen met Getallen
In 1952, maar het kan ook best 1953 geweest zijn, leende ik uit de bibliotheek van mijn vader een boekje met grijslinnen kaft dat als titel droeg « Spelen met Getallen ». De auteur was een zekere Fred Schuh (1) , de man die in de begeleidende ikoon van dit cursiefje een centrale plaats inneemt. In die jaren echter ging mijn belangstelling echter uit naar de geschriften van de auteur en nooit naar de auteur-zelf.
Eerst ná mijn humaniora zou ik merken dat mijn houding echt fout was. Het was immers deze Schuh, die in het interbellum al een resem merkwaardige boeken over arithmetiek, algebra, analyse en meetkunde had geschreven, maar daar had ik toen helemaal geen weet van. Toen ik mij op latere leeftijd, via tweedehandsboekhandels, de eerste exemplaren van deze boeken kon aanschaffen, drong het tot mij door, wat ik in feite gemist had. Maar dat is materie voor blog IV; terug eerst nu naar « Spelen met Getallen ».
De volledige titel van het boekje dat amper 197 paginas besloeg en dat voor het eerst in 1951 werd uitgegeven luidde: « Spelen met Getalleneen fascinerend boek voor jong en oud- ». Deze kleine monografie was opgedragen aan Schuhs kleinzonen Arnout, Martijn, Paul en Frederik en had als Kenspreuk De Taal van het Getal is de Taal van de Rede . Maar daar had ik al evenmin boodschap aan.
In de Inleiding schreef Schuh echter:
Zo komt het spreken (van het kind) tot stand en dan volgt al heel spoedig het tellen. De bedoeling van dit boekje is die belangstelling bij jonge mensen aan te wakkeren, door ze wat meer over het getal mee te delen dan de sommetjes, die ze op school hebben moeten maken. Een zeer grote rol speelt daar bij het talstelsel, een van de mooiste uitingen van het menselijk vernuft. Het is hoogst merkwaardig hoeveel puzzles en spelen op het begrip talstelsel berusten. Ik heb deze uiteraard niet alle kunnen bespreken, maar daaruit een keus moeten maken. Ik hoop dat die keus goed geweest is en dat dit boekje de belangstelling voor het talstelsel in het bijzonder en het getal in het algemeen helpt verhogen .
Getallen en Spelen daar had ik wel wat aan en dat was nu eens iets anders dan wat mij in het Lager Middelbaar van het Sint Lodewijkscollege voorgehouden en verteld werd. Een kijkje in de gedetailleerde inhoudstafel wekte onmiddellijk mijn nieuwsgierigheid op:
Hoofdstuk 1 Talstelsels (a- De namen der getallen b- Het geschreven tellen c- Het gesproken tellen d- nog iets over het uitspreken van getallen e- Het positionele systeem f- Het tientallige en het vijftallige stelsel g- Het rekenen van de ter dood veroordeelde koopman h- Tafels in een vreemd talstelsel i- Overgang op een ander talstelsel j- Kenmerken van deelbaarheid k- Onderlinge vergelijking der verschillende talstelsels l- De voordelen van het twaalftallige stelsel m- De historische ontwikkeling van ons talstelsel)
Hoofdstuk 2 Grote getallen (a- Grote getallen bij de Grieken b- Grote getallen bij de Voor-Indiërs c- De graankorrels op het schaakbord d- De cent van Adam e- Grote getallen zonder achtergrond f- Grote priemgetallen g- Oneindigheid van het aantal priemgetallen)
Hoofdstuk 3 Toverkaarten (a- De bedoeling van het kunstje b- Het nadoen met potlood en papier c- De eenvoudige toverkaarten d- Moeilijker toverkaarten e- Verband met het tweetallig stelsel f- Enkele moeilijke vragen g- Het wijzigen der toverkaarten door een code h- Aantal stellen van zes toverkaarten i- Verband tussen een code en de in d- besproken wijziging)
Hoofdstuk 4 Problemen verwant met toverkaarten (a- Eenvoudig kunstje met speelkaarten b- Verbetering van het kunstje met speelkaarten c- Gewichtenprobleem d- Drietallige gewichtendoos e- De tempel met de honderd schijven)
Hoofdstuk 5 Algemene beschouwingen over spelen (a- Intellect-spelen b- Puzzle-spelen c- Schaken en puzzelen d- Eenvoudig luciferspel e- Wijzigingen van het eenvoudige luciferspel f- Uitbreiding van het eenvoudige luciferspel g- Nog enkele luciferspelen h- Verband met volledige inductie)
Hoofdstuk 6 Het nimspel (a- De regels van het nimspel b- Enkele eenvoudige opmerkingen over het nimspel c- Enkele reeksen van winnende situaties d- Verband met het tweetallige stelsel e- Opmerkingen over de juiste speelwijze f- Doelmatigste manier van spelen g- Het nimspel met meer dan drie hoopjes h- Uitbreiding van het nimspel)
Hoofdstuk 7 Het verplaatsen van cijfers van een getal (a- De bijzonderheid waarom het gaat b- Getallenwonder uit de grafkelder te Ur c- De goddelijke verhouding en de grafkelder te Ur d- Verband met de repeterende breuken e- Verdere beschouwing der repeterende breuken f- Geval van een gegeven aantal repeterende cijfers g- Enkele voorbeelden van verplaatsing van cijfers)
Hoofdstuk 8 Tovervierkanten (a- Algemeenheden over tovervierkanten b- Het tovervierkant met 9 velden c- Oneven tovervierkanten d- Nadere beschouwing van het oneven tovervierkant van Taale e- Verdere bijzonderheden van het oneven tovervierkant van Taale f- Tovervierkanten met 16 velden g- Tovervierkant van de zon g- Tovervierkanten met 64 velden)
Hoofdstuk 9 Pythagoras en de Pythagoreërs (a- Enkele bijzonderheden over Pythagoras b- De leer van Pythagoras c- Even en oneven getallen d- Verdere beschouwingen over getallen e- De stelling van Pythagoras f- Getallen van Pythagoras g- Gnomons en getallen van Pythagoras)
In deze inhoudstafel heb ik de hoofdstukken en woorden, die mij toen als scholier onmiddellijk in het oog sprongen in het groen aangegeven.
Natuurlijk trokken de hoofdstukken over toverkaarten en tovervierkanten mijn onmiddellijke aandacht. Ik had immers al een eerste tovervierkant (2) ontmoet toen ik mij Deel IV van de E.N.S.I.E. toegeëigend had (zie cursiefje « Over Systematische Encyclopedieën.. en Wiskunde ». Ik had mij toen afgevraagd hoe men tot dergelijke curiosa kon komen. In « Spelen met Getallen » vond ik het precieze en zeer verstaanbare antwoord.
Ook het hoofdstuk over Pythagoras en de Pythagoreërs vond ik erg interessant want het bevestigde niet alleen wat een Meester Berghmans ons in het zevende studiejaar had verteld over de stelling van Pythagoras maar ik vernam nu ook wat voor een klepper die Pythagoras wel was geweest. De paragrafen over volkomen (3) en bevriende getallen, even en oneven getallen maakten mij ook duidelijk dat er over de natuurlijke getallen heel wat interessante zaken te vertellen waren waar in de scholen met geen woord over gerept werd.
Een ander merkwaardig hoofdstuk ging over de Grote Getallen. Vooral de paragraaf over de graankorrels op het schaakbord (4) is mij bijgebleven. Hier werd mij duidelijk tot welke grote getallen een bewerking als de machtsverheffing voert en vooral wat dergelijke getallen inhouden..
Wat ik verder vernam over het getallenwonder uit de grafkelder te Ur(5) en de gulden snede (hoofdstuk 7) sloeg mij echter met verstomming. Wat in dit kleine boekje werd medegedeeld was heel wat interessanter dan wat in de wiskundelessen in het Lager Middelbaar verteld werd. En dit was niet alleen in het college Saint Louis het geval .
Deze kleine monografie is werkelijk bepalend geweest voor mijn positieve houding t.o.v. de wiskunde en i.h.b. de Arithmetiek. Dit boekje is en blijft een aanrader voor iedere scholier met enige interesse voor getallen en spelletjes
(Hoofdstuk 12 "Arithmetiek en Algebra in het Hoger Primair Onderwijs")
§ 12.4 Arithmetiek met Henri Neveu (1928)
Ce livre est le développement du cours dArithmétique que je professe à lEcole Lavoisier dans différentes sessions, parmi lesquelles la division préparatoire aux écoles dArts et Métiers.
Les nouveaux programmes des écoles primaires supérieures (décret du 26 juillet 1909) nont apporté que de légères modifications à lédition précédente. Reconnaissant, en effet, lutilité de certaines théories, je les avais introduites dans les dernières éditions, et, sauf la théorie des erreurs relatives, ajoutée dans cette nouvelle édition, le livre ainsi publié était déjà conforme aux nouveaux programmes.
En étudiant ce cours, les élèves des différentes sections sont donc assurés dy trouver le développement de leurs programmes respectifs, et de pouvoir préparer avec succès les examens auxquels ils se destinent.
Jose espérer que les professeurs réserveront à cette nouvelle édition lexcellent accueil fait aux éditions précédentes.
Review
Content
- LIVRE I: NOMBRES ENTIERS
Préliminaires:
§1 idée de nombre entier §2 formation des nombres entiers §3 mesure dune grandeur §4 égalité et inégalité des nombres entiers §5 définition de larithmétique
Chapitre 1 « Numération »
§6 définition numération parlée et écrite §7 numération parlée §8 numération décimale §9 classes dunités §11 numération écrite §12 convention fondamentale §13 usage du chiffre 0 §14 ordre des unités §15 règle pour lire un nombre écrit en chiffres §16 valeur absolue et valeur relative dun chiffre § 17 chiffres romains §18 définitions et notation: théorème, hypothèse, conclusion
Chapitre 2 « Addition»
§ 19 idée de laddition définition somme §20 premier cas: addition de deux nombres dun seul chiffre §21 deuxième cas: addition dun nombre quelconque et dun nombre dun seul chiffre §22 cas général §23 théorème: la somme de plusieurs nombres est indépendante de lordre dans lequel on les ajoute §24 preuve de laddition
Chapitre 3 « Soustraction»
§25 idée de soustraction définition différence §26 premier cas: le plus petit des deux nombres na quun seul chiffre et la différence est inférieure à dix §27 deuxième cas: les deux nombres ont plusieurs chiffres mais les chiffres du plus petit nombre sont tous inférieurs aux chiffres exprimant des unités de même ordre dans le plus grand §28 cas général théorème §29 preuve de la soustraction §30 théorème I: pour retrancher dun nombre la somme de plusieurs nombres, il suffit de retrancher successivement toutes les parties de la somme §31 théorème II: pour ajouter à un nombre la différence de deux nombres, on ajoute à ce nombre le plus grand des deux autres nombres et du total obtenu on retranche le plus petit §32 théorème III: pour retrancher dun nombre la différence de deux autres nombres, on ajoute le plus petit des deux nombres et on retranche de cette somme le plus grand des deux nombres §33 complément arithmétique §34 usage du complément arithmétique §35 calcul mental
Chapitre 4 « Multiplication»
§36 idée de multiplication facteurs produit §37 définition: multiplication multiplicande multiplicateur §38 théorème: pour multiplier la somme de plusieurs nombres par un nombre, on multiplie chaque partie de la somme par le nombre et on additionne les résultats §39 conséquence §40 premier cas de multiplication: les deux facteurs nont quun seul chiffre §41 table de multiplication (Pythagore) §42 deuxième cas de multiplication: nombre de plusieurs chiffres par un nombre dun chiffre §43 troisième cas de multiplication: nombre de plusieurs chiffres par un nombre dun seul chiffre suivi de zéros §44 cas général: multiplication de deux nombres quelconques §45 cas particulier où les deux nombres sont terminés par des zéros §46 théorème sur le nombre des chiffres dun produit: le nombre des chiffres du produit de deux nombres est égal à la somme des nombres des chiffres des deux facteurs ou à cette somme diminuée de un §47 produit de facteurs §48 théorème I: un produit de facteurs ne change pas si lon invertit lordre des facteurs dune manière quelconque §49 preuve de la multiplication §50 théorème II: dans un produit de facteurs on peut toujours remplacer deux ou plusieurs facteurs par leur produit effectué §51 théorème III: pour multiplier un produit de facteurs par un nombre, il suffit de multiplier un seul des facteurs par ce nombre §52 théorème IV: pour multiplier un nombre par un produit de facteurs, on multiplie le nombre par le premier facteur puis le produit obtenu par le deuxième facteur et ainsi de suite. Autrement dit, on forme un produit unique avec le nombre et tous les facteurs §53 théorème V: pour multiplier un produit de facteurs par un produit de facteurs, on forme un produit unique composé de tous les facteurs des deux produits §54 théorème VI: pour multiplier un nombre par une somme, on multiplie le nombre par chacune des parties de la somme et lon ajoute les produits obtenus §55 théorème VII: pour multiplier la somme de plusieurs nombres par la somme de plusieurs autres nombres, on multiplie chacune des parties de la première somme par chacune des parties de la deuxième et lon additionne les résultats obtenus (Dans une remarquelauteur exprime ce théorème pour la première fois en «algèbre»: (a + b) . (c + d) = a. c + b . c + a . d + b . d!!!!!) §56 théorème VIII: pour multiplier une différence par un nombre on multiplie chaque partie de la différence par ce nombre et on fait la différence des produits obtenus §57 définition: puissance dun nombre - exposant (théorèmes sur les puissances) §58 théorème I: pour multiplier une puissance dun nombre par une autre puissance du même nombre, on élève ce nombre à une puissance égale à la somme des exposants §59 théorème II: pour élever un produit de facteurs à une puissance donnée, on élève chaque facteur à cette puissance §60 théorème III: pour élever une puissance dun nombre à une autre puissance, on élève ce nombre à une puissance donnée par le produit des deux exposants §61 théorème IV: le carré de la somme de deux nombres est égal au carré du premier plus le double produit du premier par le second pus le carré du second (théorème aussi exprimé par lauteur en «algèbre»: (a+ b)² = a² + 2a.b + b²) §62 théorème V: le carré de la différence de deux nombres est égal au carré du premier plus le carré du second moins le double produit du premier par le second (exprimé en «algèbre» par lauteur: (a b)² = a² + b² - 2a. b) §63 théorème VI: le produit de la somme de deux nombres par leur différence est égal à la différence de leurs carrés (exprimé en «algèbre»: (a + b) . (a b) = a² - b² §64 théorème VII: le cube de la somme de deux nombres est égal au cube du premier plus trois fois le carré du premier multiplié par le second plus trois fois le premier multiplié par le carré du second plus le cube du second (exprimé en «algèbre»: (a + b)³ = a³ + 3 a² .b + 3 a . b² + b³) §65 application au calcul mental §66 multiplication par onze
Chapitre 5 « Division»
§67 idée de la division dividende diviseur quotient §68 définition de la division §69 relation entre dividende A, diviseur Bet quotient Q : B . Q ≤ A < B . (Q + 1) §70 reste de la division: R = A B.Q §71 -théorie de la division-: premier cas: le quotient na quun chiffre et le diviseur aussi §72 deuxième cas: le quotient na quun chiffre mais le diviseur est quelconque §73 cas général: division de deux nombres quelconques §74 remarques §75 cas particulier où le diviseur na quun chiffre § 76 preuve de la division §77 trouver la limite du nombre que lon peut ajouter au dividende sans changer le quotient (théorèmes sur la division) §78 théorème II: quand on multiplie le dividende et le diviseur dune division par un même nombre, le quotient ne change pas mais le reste est multiplié par ce nombre §79 multiplication par 25, 125, 15.. §80 théorème II: pour diviser un produit de facteurs par un nombre il suffit de diviser un seul des facteurs par ce nombre §81 théorème III: pour diviser la somme de plusieurs nombres par un nombre, on divise toutes les parties de la somme par ce nombre §82 théorème IV: pour diviser un nombre N par un produit de facteurs a . b . c , on peut diver dabord N par a, puis le quotient obtenu par b, et le nouveau quotient obtenu parc; le dernier quotient obtenu est le quotient de N par le produit a . b . c §83 théorème V: lorsquon divise le dividende et le diviseur par un même nombre, si cette division est possible, le quotient ne change pas mais le reste est divisé par ce nombre §84 théorème VI: pour diviser une puissance dun nombre par une autre puissance du même nombre, on retranche les deux exposants (convention: a0 = 1)(problèmes sur les différents systèmes de numération) §85 définition: base dun système de numération §86 premier problème: un nombre étant écrit dans le système décimal, le transcrire dans un système de base donnée §87 deuxième problème: un nombre écrit dans un système de base donnée, le transcrire dans le système décimal §88 troisième problème: un nombre écrit dans un système de base n, le transcrire dans un système de base n
Exercices sur le Livre I
- LIVRE II: PROPRIETES ELEMENTAIRES DES NOMBRES ENTIERS
Chapitre 1 « Divisibilité»
§89 définitions: multiple diviseur ou sous-multiple (théorèmes généraux) §90 théorème I: tout nombre qui en divise plusieurs divise leur somme §91 conséquence §92 théorème II: tout nombre qui en divise deux autres divise leur différence §93 théorème III: tout nombre qui en divise deux autres divise le reste de leur division (caractères de divisibilité) §94 but de la divisibilité §95 théorème fondamental: on ne change pas le reste dune division si lon ajoute ou retranche au dividende un multiple de diviseur §96 conséquence §97 méthode pour trouver la condition de divisibilité dun nombre a par un nombre d §98 théorème: divisibilité par 2 ou par 5 §99 théorème: divisibilité par 4 ou par 25 §100 théorème: divisibilité par 8 ou par 125 §101 théorème: divisibilité par 3 ou par 9 §102 théorème: divisibilité par 11 (preuves par 9 ou par 11 des quatre opérations) §103 preuve par 9 de laddition §104 remarque §105 théorème: si lon divise par 9 le produit de deux nombres, on obtient le même reste si lon divise par 9 le produit des deux restes obtenus en divisant chacun des deux nombres par 9 §106 preuve par 9 de la division
Chapitre 2 « Plus Grand Commun Diviseur»
§107 définition: nombre premier §108 théorème: deux nombres consécutifs sont premiers entre eux §109 théorème: si un nombre premier ne divise pas un autre nombre, il est premier avec lui §110 définitions: diviseur commun plus grand commun diviseur (théorie du P.G.C.D. de deux nombres) §111 théorème: le plus grand commun diviseur de deux nombres est le même que celui du plus petit de ces nombres et du reste de leur division §112 règle pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres §113 théorème: tout nombre qui en divise deux autres divise leur plus gand commun diviseur §114 théorème: quand on multiplie ou divise exactement deux nombres par un même nombre, leur plus grand commun diviseur est multiplié ou divisé par ce nombre §115 conséquence (théorèmes sur les nombres premiers entre eux) §116 théorème: tout nombre qui divise un produit de deux facteurs et qui est premier avec lun deux divise lautre §117 théorème: lorsquun nombre est divisible par plusieurs nombres premiers entre eux deux à deux, il est divisible par leur produit (théorie du P.G.C.D. de plusieurs nombres) §118 définition: le plus grand commun diviseur de trois nombres §119 règle pour trouver le P.G.C.D. de plusieurs nombres §120 théorème: tout nombre qui en divise plusieurs divise leur plus grand commun diviseur §121 théorème: quand on multiplie ou divise exactement plusieurs nombre par un même nombre, leur plus grand commun diviseur est multiplié ou divisé par ce nombre §122 conséquence
Chapitre 3 « Plus petit commun multiple»
§123 définitions: multiple commun plus petit commun multiple (P.P.C.M. de deux nombres) §124 théorème: le produit de deux nombres est égal au produit de leur plus grand commun diviseur par leur plus petit commun multiple §125 conséquence I §126 conséquence II §127 conséquence III §128 conséquence IV (P.P.C.M. de plusieurs nombres) §129 définition: P.P.C.M. de plusieurs nombres §130 règle pour trouver le plus petit commun multiple de plusieurs nombres §131 conséquence
Chapitre 4 « Propriétés des nombres premiers»
§132 théorème: tout nombre qui nest pas premier admet au moins un diviseur premier §133 théorème: deux nombres qui ne sont pas premiers entre eux admettent au moins un diviseur premier commun §134 théorème: la suite des nombres premiers est illimitée §135 formation dune table de nombres premiers crible dEratosthène §136 problème: reconnaître si un nombre donné est premier (théorèmes relatifs aux nombres premiers) §137 théorème: tout nombre premier est de la forme 6n ± 1 §138 théorème: tout nombre premier qui divise un produit de facteurs divise au moins lun deux §139 conséquence I §140 conséquence II §141 théorème: tout nombre premier avec les facteurs dun produit est premier avec ce produit
Chapitre 5 « Applications de la Théorie des Nombres Premiers »
§142 définition: décomposition dun nombre en facteurs premiers §143 théorème: 1° tout nombre qui nest pas premier est décomposable en un produit de facteurs premiers 2° cette décomposition nest possible que dune seule manière §144 marche à suivre pour décomposer un nombre en facteurs premiers (diviseurs dun nombre: formation du P.G.C.D. de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers (recherche des diviseurs dun nombre) §145 théorème: pour quun nombre A soit divisible par un nombre B, ces nombres étant décomposés en facteurs premiers, il faut et il suffit que chaque facteur premier de B soit contenu dans A avec un exposant au moins égal à celui quil a dans B §146 formation des diviseurs dun nombre §147 nombre des diviseurs dun nombre §148 formation du P.G.C.D. de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers §149 règle pour former le P.G.C.D. de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers §150 formation du P.P.C.M. de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers §151 règle pour former le P.P.C.M. de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers
Exercices sur le Livre II
- LIVRE III: NOMBRES FRACTIONNAIRES
Chapitre 1 « Fractions ordinaires»
§152 idée du nombre fractionnaire §153 définition: nombre fractionnaire - fraction numérateur dénominateur §154 nombre fractionnaire supérieur à, inférieur à et égal à un §155 nombres fractionnaires égaux et inégaux §156 conséquences §157 extraire les entiers contenus dans un nombre fractionnaire §158 théorème: si on multiplie le numérateur dune fraction par un nombre entier, la fraction est multipliée par ce nombre entier §159 théorème: si on divise le numérateur dune fraction par un nombre entier qui le divise exactement, la fraction est divisée par ce nombre entier § 160 théorème: si on multiplie le dénominateur dune fraction par un nombre entier, la fraction est divisée par ce nombre entier §161 théorème: si on divise le dénominateur dune fraction par un nombre entier qui le divise exactement, la fraction est multipliée par ce nombre entier §162 conséquences §163 théorème: on ne change pas la valeur dune fraction si lon multiplie ou divise les deux termes par un même nombre entier §164 simplification dune fraction §165 réduction dune fraction à sa plus simple expression §166 théorème: pour quune fraction soit irréductible, il faut et il suffit que ses deux termes soient premiers entre eux §167 définition: réduction au même dénominateur §168 réduction au plus petit dénominateur commun §169 théorème: si on ajoute un même nombre aux deux termes dune fraction plus petite que 1, la fraction augmente
Chapitre 2 « Opérations sur les fractions»
§170 définition de laddition: -premier cas: les fractions ont le même dénominateur §171 deuxième cas: les fractions nont pas le même dénominateur §172 définition de la soustraction: premier cas: retrancher deux fractions qui ont le même dénominateur §173 deuxième cas: les fractions nont pas le même dénominateur §174 définition de la multiplication: -premier cas: multiplication dune fraction par un nombre entier §175 deuxième cas: multiplication dun nombre entier par une fraction §176 troisième cas: multiplication dune fraction par une fraction §177 fraction de fractions §178 définition de la division §179 premier cas: division dune fraction par un nombre entier §180 deuxième cas: division dun nombre entier par une fraction §181 troisième cas: division dune fraction par une fraction §182 fractions complexes §183 puissances dune fraction §184 théorème: pour élever une fraction à une puissance, on élève ses deux termes à cette puissance §185 théorème: la puissance n dune fraction irréductible est aussi une fraction irréductible et par conséquent ne peut être égale à un nombre entier
- Exercices sur les fractions
Chapitre 3 « Fractions décimales»
§186 nombres décimaux §187 lecture dun nombre décimal écrit §188 théorème: on ne change pas la valeur dun nombre décimal en ajoutant des zéros à sa droite §189 théorème: pour multiplier un nombre décimal par 10, 100, 1000, il suffit davancer la virgule vers la droite dun rang, de deux rangs, de trois rangs §190 remarque §191 addition des nombres décimaux §192 soustraction des nombres décimaux §193 multiplication des nombres décimaux §194 division des nombres décimaux §195 définition: quotient de deux nombres avec une approximation décimale donnée §196 quotient à 1: n près §197 théorème: le quotient dun nombre décimal par un nombre entier à une unité près est le même que celui de la partie entière du dividende par le diviseur §198 application à la division des nombres décimaux
Chapitre 4 « Conversion des fractions ordinaires en fractions décimales»
§199 utilité de la conversion des fractions ordinaires en fractions décimales §200 théorème: pour quune fraction irréductible puisse être convertie en fraction décimale exacte, il faut et il suffit que son dénominateur ne renferme pas dautres facteurs premiers que 2 et 5 §201 fraction irréductible ne pouvant pas être convertie en fraction décimale exacte: exemple §202 définition: fraction génératrice dune fraction décimale périodique §203 exemple d'une fraction génératrice §204 fraction génératrice dune fraction décimale périodique simple §205 théorème: lorsquune fraction irréductible donne naissance à une fraction périodique simple, son dénominateur ne contient ni le facteur 2 ni le facteur 5 §206 fraction génératrice dune fraction décimale périodique mixte §207 théorème: lorsquune fraction irréductible réduite en fraction décimale donne naissance à une fraction périodique mixte, don dénominateur contient au moins lun des facteurs 2 ou 5 §208 manière de reconnaître a priori la nature de la fraction décimale donnée par une fraction irréductible
- Exercices sur les nombres décimaux
- LIVRE IV: RACINES
Chapitre 1 « Racine carrée»
§209 définition: racine carrée dun nombre §210 racine carrée à une unité près §211 reste de la racine carrée dun nombre §212 limite supérieure du reste dans la racine carrée §213 théorème: le carré dun nombre entier est toujours terminé par le chiffre qui termine le carré du chiffre des unités (racine carrée dun nombre entier à une unité près) §214 théorème général: lorsquun nombre est plus grand que 100 on obtient les dizaines de sa racine carrée en extrayant la racine carrée des centaines du nombre §215 premier cas: le nombre est inférieur à 100 §216 deuxième cas: le nombre est compris entre 100 et 10000 §217 cas général: le nombre est quelconque §218 règle pour extraire la racine carrée dun nombre entier à une unité près §219 nombre des chiffres de la racine §220 preuve de la racine carrée (racine carrée des nombres fractionnaires) §221 théorème: pour quune fraction irréductible soit le carré dune autre fraction irréductible il faut et il suffit que ses deux termes soient des carrés parfaits §222 théorème: pour extraire la racine carrée dune fraction dont les deux termes sont des carrés parfaits, on extrait la racine carrée de chaque terme §223 théorème: la racine carrée dun nombre fractionnaire à une unité près est la même que la racine carrée de la partie entière à une unité près §224 théorème: si la racine carrée dun nombre entier nest pas entière, elle nest pas non plus une fraction irréductible §225 définition: racine carrée à une approximation donnée §226 racine carrée à 1 / 10n près §227 racine carrée à 1 / n près §228 définition de la racine carrée dun nombre qui nest pas un carré parfait
Chapitre 2 « Racine cubique»
§229 définitions: racine cubique dun nombre cube parfait §230 racine cubique à une unité près §231 définition: reste de la cubique dun nombre §232 théorème sur la limite supérieure de la racine cubique: le reste de la racine cubique dun nombre est au plus égal à trois fois le carré de la racine à une unité près plus trois fois cette racine (Racine cubique dun nombre entier) §233 théorème général: lorsquun nombre est plus grand que 1000, on obtient les dizaines de sa racine cubique en extrayant la racine cubique des unités de mille du nombre §234 premier cas: le nombre est inférieur à 1000 §235 deuxième cas: le nombre est compris entre mille et un million §236 cas général: le nombre est quelconque §237 formation du triple carré de la racine §238 règle pour extraire la racine cubique dun unité près §239 preuve de la racine cubique (racine cubique des nombres fractionnaires) §240 théorème I: si une fraction a ses termes cubes parfaits on aura sa racine cubique en extrayant la racine cubique des deux termes; théorème II: pour quune fraction irréductible soit le cube dune autre fraction irréductible, il faut et il suffit que ses deux termes soient des cubes parfaits; théorème III: la racine cubique dun nombre fractionnaire à une unité près est la même que celle de la partie entière à une unité près; théorème IV: si la racine cubique dun nombre entier nest pas entière, elle nest pas non plus une fraction irréductible (racine cubique à une approximation donnée) §241 définition: extraire la racine cubique dun nombre entier ou fractionnaire à 1 / 10 , 1 / 100 , 1 / 1000 . près, cest chercher le plus grand nombre de dixièmes, de centièmes, de millièmes . dont le cube soit contenu dans le nombre donné §242 extraire la racine cubique dun nombre décimal §243 racine cubique dun nombre qui nest pas cube parfait (Note sur les nombres incommensurables) §244 notion de nombre incommensurable §245 règle dOughtred §246 égalité des nombres incommensurables §247 théorème: pour extraire la racine nième dun produit, on extrait la racine nième de chaque facteur §248 théorème: le quotient de deux racines nièmes est égal à la racine nième des deux nombres placés sous les radicaux §249 expressions particulières
- Exercices sur le Livre IV
- LIVRE V: SYSTÈME METRIQUE
Chapitre 1 « Système métrique»
§250 définition: système métrique §251 Historique des unités de mesure §252 loi du 4 juillet 1837 §253 avantages du système métrique §254 remarque §255 les six mesures qui composent le système métrique §256 mesures de longueur §257 tableau des mesures de longueur §258 nombres exprimant une longueur §259 différentes unités de longueur §260 mesures effectives §261 mesures de surfaces §262 tableau des mesures de surface §263 mesures agraires §264 mesures de volume §265 tableau des mesures de volume §266 mesures de bois §267 le stère §268 mesures de capacité §269 mesures effectives §270 mesures de poids §271 tableau des mesures de poids ou de masse §272 mesures effectives §273 densité §274 relation entre le poids et le volume dun corps poids spécifique §275 monnaies §276 alliage titre §277 unité de monnaie §278 mesures effectives §279 tolérance sur le poids §280 tolérance sur le titre §281 valeur relative de or et de largent §282 remarque §283 note sur la loi du 11 juillet 1903 relative au système métrique §284 surfaces et volumes usuels §285 aire dun parallélogramme, dun rectangle §286 aire du triangle §287 aire du trapèze §288 aire dun polygone §289 longueur de la circonférence aire du cercle §290 volume du prisme §291 volume de la pyramide §292 volume du cylindre circulaire §293 volume du cône circulaire droit §294 volume de la sphère
Chapitre 2 « Anciennes mesures en France et mesures étrangères»
§295 mesures de longueur: la toise, le pied, le pouce, la ligne, la perche §296 mesures de surface: la toise carrée, le pied carré, le pouce carré, la perche carrée, larpent §297 mesures de volume: la toise cube, le pied cube, la corde §298 mesures de capacité: la pinte, la chopine, la velte, le boisseau §299 mesures de poids: la livre poids, le marc, lonce, le quintal §300 monnaies: la livre tournois, le sou, le liard, le denier §301 mesures étrangères: le yard, le mille anglais, le gallon, la guinée..
Chapitre 3 « Mesure du temps et de la circonférence- calcul avec des nombres non décimaux* »
§302 mesure du temps: jour sidéral, jour solaire moyen, lheure, la minute la seconde §303 mesure du temps: lannée, le siècle, lannée bissextile §304 mesure du temps: mois §305 mesure de la circonférence: système sexagésimale: degrés, minutes, secondes §306 mesure de la circonférence: système centésimal: grade, minutes de grade, secondes de grade §307 nombres non décimaux * §308 problème I §309 problème II §310 problème III §311 problème IV §312 addition des nombres non décimaux §313 soustraction des nombres non décimaux §314 multiplication dun nombre non décimal par un nombre entier §315 division dun nombre non décimal par un nombre entier §316 problème: convertir en grades §317 système C.G.S.: unités fondamentales §318 système C.G.S.: unités dérivées
* lauteur parle de «nombres complexes»; mieux vaut parler de «nombres non décimaux»
- Exercices sur le Livre V
- LIVRE VI: RAPPORT DE DEUX NOMBRES et RAPPORT DE DEUX GRANDEURS
Chapitre 1 « Rapports et Proportions »
§319 définition: on appelle rapport a / b de deux nombres entiers ou fractionnaires le quotient exact du premier de ces nombres par le second; le nombre a est appelé le numérateur comme pour les fractions ou antécédent, le nombre b est appelé dénominateur ou conséquent §320 propriétés des rapports: il nest pas évident que les propriétés établies pour les fractions sappliquent aux rapports car les deux termes dun rapport ne sont plus nécessairement de nombres entiers comme pour les fractions; le but est de démontrer que ces propriétés valables pour les fractions sont également valables pour les rapports §321 théorème: lorsquon multiplie le numérateur dun rapport par un nombre, ce rapport est multiplié par ce nombre §322 théorème: si lon multiplie le dénominateur dun rapport par un nombre, le rapport est divisé par ce nombre §323 théorème: si lon multiplie les deux termes dun rapport par un même nombre, le rapport ne change pas de valeur §324 théorème: le rapport de deux nombres n change pas si on les divise par un même nombre §325 théorème: étant donnée une suite de rapports égaux on forme un rapport égal à chacun deux en divisant la somme des numérateurs par la somme des dénominateurs §326 théorème: étant donnée une suite de rapports inégaux, en divisant la somme des numérateurs par la somme des dénominateurs, on obtient un rapport compris entre le plus grand et le plus petit des rapports donnés; autrement dit, on obtient un rapport plus petit que le plus grand des rapports et plus grand que le plus petit des rapports donnés §327 théorème: étant donnée une suite de rapports égaux, on forme un rapport égal à chacun deux en divisant la racine carrée de la somme des carrés des numérateurs par la racine carrée de la somme des carrés des dénominateurs §328 définition: rapport de deux grandeurs de même espèce §329 théorème: le rapport de deux grandeurs de même espèce est égal au rapport des deux nombres qui les mesurent, ces grandeurs ayant été mesurée avec la même unité §330 définition de proportion: on appelle proportion légalité de deux rapports §331 présentation dune proportion: termes extrêmes et termes moyens §332 théorème fondamental: dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens §333 théorème: réciproquement, si quatre nombres a, b, c, d sont tels que le produit a . d des deux extrêmes a et d soit égal au produit b . c des deux moyens b et c , ces quatre nombres forment une proportion dans lordre où ils sont écrits §334 conséquences §335 théorème: étant donné une proportion, la somme des deux premiers termes est au deuxième comme la somme des deux derniers termes est au quatrième §336 définitions: un nombre est dit moyenne proportionnelle entre deux autres lorsqui occupe les deux moyens dans une proportion dont les deux nombres donnés sont les extrêmes; un nombre x est appelé quatrième proportionnelle entre trois nombres a, b, c lorsquil occupe le quatrième terme dune proportion dont les trois autres termes sont a, b, c dans cet ordre
- Exercices proposés
Chapitre 2 « Grandeurs directement et inversement proportionnelles »
§337 dépendance de deux grandeurs sans être pour cela de même espèce §338 définition: grandeurs directement proportionnelles §339 théorème: lorsque deux grandeurs sont directement proportionnelles, si lune délles devient un certain nombre de fois plus grande ou plus petite, lautre grandeur devient le même nombre de fois plus grande ou plus petite §340 théorème: réciproquement, si deux grandeurs sont telles que lune delles devenant un certain nombre de fois plus grande ou plus petite, lautre devient le même nombre de fois plus grande ou plus petite, ces deux grandeurs sont directement proportionnelles §341 définition: grandeurs inversement proportionnelle §342 théorème: lorsque deux grandeurs sont inversement proportionnelle, si lune delles devient un certain nombre de fois plus grande, lautre devient le même nombre de fois plus petite; ou, inversement si la première devient un certain nombre de fois plus petite, la deuxième devient le même nombre de fois plus grande §343 théorème: réciproquement, si deux grandeurs sont telles que lune devenant un certain nombre de fois plus grande, lautre devient le même nombre de fois plus petite, ces deux grandeurs sont inversement proportionnelles §344 grandeur A dépendant en même temps de plusieurs grandeurs B, C, D, §345 définition de la règle de trois §346 règle de trois simple directe §347 règle de trois simple inverse §348 règle de trois composée §349 marche à suivre: lorsquil sagit dune règle de trois composée, la valeur inconnue x de la grandeur A sobtient en multipliant la valeur connue de A par les rapports des nouvelles valeurs aux anciennes pour les valeurs qui sont directement proportionnelles à A, et par les rapports inverses des nouvelles valeurs aux anciennes pour les grandeurs inversement proportionnelles à A
- Exercices sur les grandeurs proportionnelles et sur la règle de trois
Chapitre 3 « Intérêts »
§350 définitions: intérêt, capital, taux dintérêt §351 problème général: formules §352 théorème: lorsque deux capitaux placés à des taux différents produisent le même intérêt annuel, ces deux capitaux sont inversement proportionnels aux taux §353 calcul des intérêts: méthode des diviseurs §354 calcul des intérêts: méthode des parties aliquotes §355 intérêts composés
- Problèmes proposés sur les intérêts
Chapitre 4 « Escompte »
§356 définitions: effet de commerce billet à ordre lettre de change débiteur créancier §357 escompte valeur nominale valeur actuelle §358 sortes descompte: lescompte en dehors, lescompte en dedans §359 escompte en dehors ou commercial §360 bordereau descompte §361 escompte en dedans ou escompte rationnel §362 formule §363 différence entre les deux escomptes §364 échéance commune §365 échéance moyenne
Chapitre 5 « Rentes sur lEtat»
§366 définitions §367 cours de la rente §368 courtage et frais §369 actions et obligations §370 caisses dépargne
- Problèmes sur lescompte et les rentes caisses dépargne
Chapitre 6 « Partages proportionnelles -règles de société- mélangeset alliages»
§371 définition: partage proportionnel §372 marche à suivre §373 définition: partager en parties inversement proportionnelles §374 règles de société §375 définition: moyenne arithmétique §376 problèmes sur les mélanges et les alliages
- Problèmes sur les partages proportionnelles règles de société mélanges et alliages
- Exercices de récapitulation problèmes divers
- LIVRE VII: ERREURS RELATIVES ET ERREURS ABSOLUES
§377 valeur approchée §378 définition: erreur absolue §379 limites supérieure et inférieure dun nombre donné §380 limite supérieure dune erreur §381 théorème: si dans un nombre approché par défaut, par exemple à 0,001 près, on supprime tous les chiffres décimaux à partir de la quatrième, et si lon force dune unité le troisième chiffre décimal, on ne change pas la limite de lerreur absolue mais le sens de la nouvelle erreur est inconnue §382 calcul de lerreur totale: cas de laddition §383 calcul de lerreur totale: cas de la soustraction §384 calcul de lerreur totale: cas de la multiplication §385 application §386 calcul de lerreur totale: cas de la division §387 application § 388 calcul de lerreur totale: cas de racine carrée
Chapitre 2 « Erreurs relatives»
§390 définition derreur relative §391 différence entre erreur absolue et erreur relative §392 définition: On dit quun nombre a n chiffres exacts si lerreur absolue dont il est affecté est moindre quune unité de même ordre que son nième chiffre à partir de la gauche §393 théorème: Soit k le premier chiffre significatif à gauche dun nombre approché qui a n chiffres exacts, lerreur relative dont ce nombre est affecté a pour limite supérieure 1 / k . 10n-1 §394 limite de lerreur relative en fraction décimale §395 conséquence: Pour obtenir un résultat approché avec une erreur relative moindre que 1 / 10n , il suffit de calculer avec n + 1 chiffres exacts §396 théorème: Soit k le premier chiffre significatif à gauche dun nombre approché, si lerreur relative e a pour limite supérieure 1 / a . 10n , on peut compter sur n chiffres exacts à la gauche du nombre, si a est au plus égal a k , et sur n + 1 chiffres exacts si a est supérieur à k §397 conséquence: Pour quun nombre approché ait n chiffres exacts, il suffit que son erreur relative soit moindre que 1 /10n (erreur relative et multiplication) §398 théorème: Lerreur relative dun produit de deux facteurs dont un seul est approché, est égale à lerreur relative du facteur approché §399 théorème: Lerreur relative du produit de deux facteurs approchés a pour limite supérieure la somme des limites supérieures des erreurs relatives des deux facteurs §400 règle: Pour obtenir le produit de deux nombres approchés avec n chiffres exacts, il suffit de prendre n + 1 chiffres exacts dans chacun des facteurs qui commence par un chiffre différent de 1, et n + 2 chiffres dans le cas contraire (erreur relative et division) §401 théorème: Lerreur relative du quotient dun nombre approché par un nombre exact est égale à lerreur relative du dividende Lerreur relative du quotient dun nombre exact par un nombre approché a pour limite supérieure la limite supérieure de lerreur relative du diviseur §402 théorème: Lerreur relative du quotient de deux nombres approchés a pour limite supérieure la somme des limites supérieures des erreurs relatives de ces nombres §403 règle: Pour obtenir le quotient de deux nombres approchés avec n chiffres exacts il suffit de prendre n + 1 chiffres exacts dabs chacun des nombres qui commence par un chiffre différent de 1, et n + 2 chiffres dans le cas contraire (erreur relative et racines) §404 théorème: 1° lerreur relative de la racine carrée dun nombre a pour limite supérieure la moitié de la limite supérieure de lerreur relative de ce nombre 2° lerreur relative de la racine cubique dun nombre a pour limite supérieure le tiers de la limite supérieure de lerreur relative de ce nombre §405 règle: Si lon veut obtenir une racine carrée ou une racine cubique avec n chiffres exacts il suffit de calculer avec n + 1 chiffres exacts la quantité soumise au radical
(Hoofdstuk 12 "Arithmetiek en Algebra in het Hoger Primair Onderwijs")
§ 12.4 Algebra met Henri Neveu (1929)
Van dezelfde Henri Neveu (zie voorgaand cursiefje §12.3) was overigens ook nog een « Cours d'Algèbre E.P.S. » voorhanden, een werk dat in 1929 een twaalfde editie mocht beleven. Toen ik het boek via een tweedehandsboekhandel in handen kreeg en de precieze inhoud kon raadplegen, was ik erg verrast. Blijkbaar werd van scholieren in het interbellum heel wat meer gevergd dan nu. De auteur stelde het boek als volgt voor:
...Ce livre est le développement du programme dalgèbre contenu dans le plan détudes des Ecoles Primaires Supérieures. Il renferme en outre lexposé des différentes questions exigées des candidats aux Ecoles darts et métiers.
Cette nouvelle édition est conforme au nouveau plan détudes des écoles primaires supérieures de 1920, et les élèves des différentes sections y trouveront le développement de leurs programmes respectifs.
Les élèves des Ecoles supérieures pourront laisser de côté les questions marquées dun astérisque; elles sadressent plus spécialement aux candidats aux Ecoles darts et métiers. Néanmoins elles constituent un excellent service pour tous les élèves qui ne considèrent pas un programme comme strictement limité aux questions qui sy trouvent énoncées et qui voient dans lAlgèbre non pas seulement un moyen de résoudre plus rapidement les problèmes mais un élément de culture intellectuelle.
Le livre se termine par lexposé des notions de trigonométrie comprises au programme des Ecoles supérieures. Ces notions, en effet, ne nécessitant pas un traité spécial de trigonométrie, leur place était tout indiquée à la suite du cours dAlgèbre. Les élèves y trouveront la résolution de toutes les questions pratiques exigeant lemploi de la trigonométrie....
Het werk was onderverdeeld in 4 Boeken en handelde over wat men veelal de « Elementaire Algebra » pleegt te noemen:
LIVRE I Calcul Algébrique
Préliminaires: définitions
§1- définition de lalgèbre §2 notation des quantités connues et inconnues §3 emploi des signes §4 emploi des parenthèses §5 simplification des raisonnements §6 les formules §7 formule du mouvement uniforme §8 avantage des formules §9 expressions algébriques §10 définition dun terme §11- coefficient et exposant §12 monôme §13 binôme §14 trinôme §15 polynôme §16 expressions rationnelles §17 expressions entières §18 degré dun polynôme §19 polynôme ordonné
Chapitre I Nombres positifs et nombres négatifs
A- Généralités:
§20 définition: nombres positifs et nombres négatifs, nombres algébriques §21 droite de nombres §22 valeur absolue dun nombre algébrique §23 segment ou vecteur
B- Opérations sur les nombres algébriques:
§24 addition §25 remarque I: la somme de deux nombres algébriques est indépendante de lordre de deux nombres §26 remarque II: la somme de deux nombres algébriques égaux en valeur absolue mais de signes contraires est nulle §27 définition et règle pour faire la somme de plusieurs nombres algébriques §28 soustraction §29 comparaison des nombres négatifs §30 définition de la multiplication de deux nombres algébriques §31 les règles de signe §32 puissance dun nombre algébrique §33 division de deux nombres algébriques
C- Fractions algébriques numériques:
§34 définition: fractions algébriques, équivalence de fractions algébriques §35 théorème: on ne change pas la valeur numérique dune fraction algébrique si on multiplie ou divise les deux termes par un même nombre §36 réduction au même dénominateur §37 addition des fractions algébriques §38 soustraction des fractions algébriques §39 multiplication des fractions algébriques §40 division des fractions algébriques
Chapitre II Termes semblables addition et soustraction des monômes et des polynômes
A- Généralités:
§41 valeur numérique dun terme §42 valeur numérique dun polynôme §43 termes semblables §44 réduction des termes semblables §45 expressions algébriques équivalentes §46 polynômes identiques §47 but du calcul algébrique
B- Addition algébrique:
§48 définition: addition algébrique §49 addition de deux monômes §50 addition de deux polynômes
C- Soustraction algébrique:
§51 définition: soustraction algébrique §52 soustraction de deux monômes §53 soustraction de deux polynômes
Chapitre III Multiplication algébrique:
§55 définition: multiplication algébrique §56 premier cas: multiplication de deux puissances dune même lettre §57 deuxième cas: multiplication dun monôme par un monôme §58 carré dun monôme §59 troisième cas: multiplication dun polynôme par un monôme §60 quatrième cas: multiplication dun monôme par un polynôme §61 cas général: multiplication dun polynôme par un polynôme §62 théorème: dans la multiplication de deux polynômes ordonnés de la même manière, le premier et le dernier terme du produit sont toujours irréductibles §63 multiplications importantes: produits remarquables (a + b)² = (a² + 2ab + b²); (a b)² = (a² - 2ab + b²); (a + b)(a b) = a² - b² §64 autres formules à retenir: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³) en (a b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³) §65 carré dun polynôme
Chapitre IV Division algébrique méthode des identités divisions impossibles polynômes identiquement nuls:
§66 définition: division algébrique §67 exposant zéro §69 exposant négatif §70 division dun monôme par un monôme §71 division dun polynôme par un monôme §72 mise dun monôme en facteur commun §73 division dun monôme par un polynôme §74-division dun polynôme par un polynôme §75* méthode des identités ou des coefficients indéterminés §76 divisions impossibles et reste de la division §77 théorème §78 principaux cas dimpossibilité dune division §79 polynôme entier complet et incomplet et notion de fonction §80 théorème sur les polynômes identiquement nuls
Chapitre V Divisibilité par (x ± a) et en général par a(x ± b):
A- Divisibilité par (x ± a)
§81- définition: divisibilité par (x ± a) §82 théorème: le reste de la division dun polynôme entier en x par x a est égal à la valeur numérique du polynôme quand on y remplace x par + a §83 théorème: le reste de la division dun polynôme en x par x + a est égal à la valeur numérique du polynôme quand on y remplace x par a §84 conséquences §85 conclusion: le reste de la division dun polynôme entier en x par un binôme du premier degré de la forme ax ± b est égal à la valeur numérique que prend le polynôme quand on y remplace x par la valeur qui annule le binôme diviseur §86 théorème: si un polynôme entier en x est divisible séparément par chacun des binômes du premier degré x a, x b, x c, les nombres a, b, c, .. étant différents, le polynôme est divisible par le produit de ces binômes
B- Loi de formation du quotient de la division F(x) par (x a):
§87 loi de formation du quotient de la division de F(x) par x a §88- règle pour la formation du quotient (diviseur x a) §89- règle pour la formation (diviseur x + a) §90- applications: règles de divisibilité de xm ± am par x + a et x a §91- autres applications: conditions pour que xm ± am soit divisible par xp ± ap avec m > p
C- Décomposition dun polynôme en facteurs:
§92 décomposition dun polynôme en facteurs
Chapitre VI Fractions rationnelles
A- Simplification dune fraction rationnelle réduction au même dénominateur:
§93 définition: fraction rationnelle §94 théorème: on peut multiplier ou diviser les deux termes dune fraction rationnelle par une même quantité, on obtient une fraction équivalente §95 application: simplification dune fraction rationnelle §96 application: réduction des fractions rationnelles au même dénominateur
B- Opérations sur les fractions rationnelles:
§97 addition §98 soustraction §99 multiplication §100 division §101 théorème: étant donnée une suite de fractions rationnelles équivalents, on forme une fraction équivalente en divisant la somme des numérateurs par la somme des dénominateurs
C- Application dune fraction pour compléter le quotient dune division inexacte calcul avec lexposant négatif:
§102 quotient exact ou complet quotient reste de la division §103 calcul avec lexposant négatif
Chapitre VII Radicaux arithmétiques
A- Puissance n dun nombre:
§104 définition §105 théorème I: pour élever un produit de facteurs à une puissance n, on élève chaque facteur à la puissance n §106 théorème II: pour élever an à une puissance p on élève à la puissance np, indiquée par le produit des deux exposants §107 théorème III: pour élever une fraction à la puissance n on élève chacun des deux termes à la puissance n §108 définition: nième racine dun nombre A §109 théorème IV: pour extraire la racine nième dun produit de facteurs on extrait la racine nième de chaque facteur §110 application: multiplication des radicaux de même indice §111 application: faire passer un facteur sous un radical et inversement faire sortir un facteur dun radical §112 théorème V: pour extraire la racine nième dune fraction, on extrait la racine nième de chacun des deux termes §113 application: division de deux radicaux de même indice §114 simplifier un radical §115 théorème VI : pour élever un radical à une puissance m, on élève à la puissance m la quantité placée sous le radical §116 théorème VII: pour extraire la racine nième de la puissance m de a, il suffit délever à la puissance m / n autrement dit on divise lexposant m de a par lindice n du radical §117 théorème VIII: la racine mième de la racine nième de a est égale à la mnième de a; lindice du radical unique étant égal au produit des indices §118 théorème IX: on ne change pas la valeur arithmétique dun radical si lon multiplie lindice du radical et lexposant de la quantité placée sous le radical par un même nombre p §119 application: réduction des radicaux au même indice
B- Fractions irrationnelles:
§120 rendre rationnel le dénominateur dune fraction renfermant des radicaux carrés §121 théorème: étant donnée une suite de fractions égales, on forme une fraction équivalente à chacune delles en divisant la racine carrée de la somme des carrés des numérateurs par la racine carrée de la somme des carrés des dénominateurs
C- Exposant fractionnaire:
§122 notions sur lexposant fractionnaire (Simon Stevin)
Chapitre VIII Etude de quelques formes remarquables
§123 lexpression m / n et la division par zéro §124 définitions: tendre vers zéro, limite §125 théorème: lexpression m / x augmente indéfiniment quand x tend vers zéro §126 symbole m / 0 §127 forme 0 / m §128 forme m / ∞ §129 forme ∞ / m §130 forme (0 / 0) §131 théorème: si dans un polynôme entier en x, x augmente indéfiniment, la valeur absolue du polynôme augmente indéfiniment §132 forme (∞ / ∞) §133 forme (∞ - ∞) §134 forme (0 x ∞)
LIVRE II Equations du Premier Degré
Chapitre I Théorèmes généraux équations à une inconnue
§135 définitions: identités, équations, résoudre une équation §136- équations équivalentes §137 théorème I: on peut ajouter ou retrancher une même quantité aux deux membres dune équation; léquation obtenue est équivalente §138 applications: 1° faire changer de membre un terme dune équation 2° on peut changer les signes de tous les termes dune équation §139 définition: équation à la forme A = 0 , degré dune équation §140 théorème II: on peut multiplier ou diviser les deux membres dune équation par une quantité non nulle et bien déterminée; on obtient une équation équivalente à la première §141 application: faire disparaître les dénominateurs dune équation §142 remarque §143 théorème III: si on élève les deux membres dune équation au carré, léquation obtenue admet certainement les racines de la première mais elle peut admettre dautres racines §144 résolution de léquation du premier degré à une inconnue §145 discussion de léquation ax =b
Chapitre II Equations du premier degré à plusieurs inconnues
A- Equations indéterminées:
§146 définitions: équation indéterminée §147 systèmes déquations §148 différentes méthodes de résolution §149 élimination par substitution §150 élimination par réduction ou par addition §151 application: méthode de réduction
B- Résolution de n équations à inconnues:
§152 définitions §153 méthodes de résolution §154 règle générale §155 méthode de Bezout §156 règle de Cramer §157 systèmes dans lesquels toutes les inconnues nentrent pas dans chaque équation §158 artifices de calculs §159 emploi dinconnues auxiliaires §160 cas où le système renferme plus dinconnues que déquations §161 cas où le système renferme plus déquations que dinconnues
Chapitre III Résolution et discussion des équations générales du premier degré à deux inconnues
§162-résolution et discussion §163 cas particulier des équations homogènes
Chapitre IV Inégalités
§164 inégalités numériques §165 théorème I: on peut ajouter ou retrancher une même quantité aux deux membres dune inégalité numérique, linégalité obtenue est de même sens que la première §166 application: on peut faire passer un terme dune inégalité dun membre à un autre, en changeant son signe §167 théorème II: si lon multiplie les deux membres dune inégalité numérique par un nombre positif, on obtient une inégalité de même sens que la première; on obtient ine inégalité de sens contraire si le multiplicateur est négatif §168 théorème III: si les deux membres dune inégalité sont positifs, on peut les élever au carré, linégalité obtenue est de même sens que la première §169 inégalités renfermant des inconnues §170 théorème: si lon ajoute ou retranche une même quantité aux deux membres dune inégalité, on obtient une inégalité équivalente à la première §171 théorème: si lon multiplie ou divise les deux membres dune inégalité par un nombre non nul et positif, on obtient une inégalité équivalente de même sens; si le nombre est négatif, on obtient une inégalité équivalente de sens contraire §172 conséquences §173 résolution de linégalité du premier degré à une inconnue
Chapitre V Problèmes du premier degré
A- Généralités: §174 définition: problèmes du premier degré §175 mise en équations §176 discussion de quelques problèmes pratiques exemples résolus
§181 définition: fonction, variable indépendante, fonction implicite §182 accroissement §183 fonction continue §184 fonction croissante ou décroissante §185 théorème: la fonction entière du premier degré y = ax + b est une fonction continue dans toute létendue des variations de x §186 théorème: la fraction (ax + b) / (ax + b) est une fonction continue de x, excepté pour la valeur de x qui annule le dénominateur
B- Variations des fonctions et représentation graphique des variations dune fonction:
§187 définition du maximum et du minimum variations de la fonction y = ax + b §188 représentation dun point §189 représentation générale dune fonction §190 théorème: léquation x = a représente une parallèle à laxe des y à la distance a §191 théorème: léquation x = 0 représente laxe des y §192 théorème: léquation y = b représente une parallèle à laxe des x à la distance b §193 théorème: léquation y = 0 représente laxe des x §194 théorème: les deux équations simultanées x= a et y = b représentent le point dintersection des droites représentées par ces équations §195 théorème: les deux équations simultanées x = 0 et y = 0 représentent lintersection des deux axes §196 théorème: léquation y = ax représente une droite passant par lorigine §197 définition: la quantité a est dite le coefficient angulaire de la droite qui a pour équation y = ax et a est la tangente trigonométrique de langle α (a = tg(α)) §198 théorème: léquation y = ax + b représente la parallèle à la droite y = ax a une distance b
LIVRE III Equations du Second Degré
Chapitre I Résolution de léquation du second degré à une inconnue
A- Relations entre les coefficients et les racines de léquation du second degré:
§199 définition: équation de second degré complète et incomplète §200 définitions racines dune équation du second degré §201 résolution de léquation ax² + c = 0 §202 résolution de léquation ax² + bx = 0 §203 résolution de léquation ax² + bx + c = 0 §204 cas où le coefficient de x est pair §205 troisième formule §206 la somme et le produit des racines
B- Discussion de léquation du second degré:
§207 reconnaître a priori le signe et la nature des racines
C- Construction géométrique des racines:
§208 équations du second degré homogènes
Chapitre II Equations qui se ramènent au second degré
§209 définition: équation bicarrée §210 équations irrationnelles §211 résolution de quelques systèmes particuliers
Chapitre III Trinôme du second degré
§212 différentes formes sous lesquelles on peut mettre le trinôme variations du signe du trinôme §213 théorème: 1° si lon a b² - 4 ac < 0 le trinôme est ax² + bx + c a toujours le signe de a sans exception c'est-à-dire quelques soient les valeurs positives ou négatives données à x 2° si lon a b² - 4 ac = 0 le trinôme a toujours le signe de a sauf pour x = - b / 2 a , valeur pour laquelle il sannule 3° si lon a b² - 4 ac > 0 , le trinôme a le signe de a pour toutes les valeurs de x non comprises entre les racines x1 et x2 du trinôme; il est du signe contraire de a pour toutes les valeurs de x comprises entre x1 et x2 §214 trouver la place dun nombre par rapport aux racines de léquation ax² + bx + c = 0 problèmes du second degré §215 problèmes du second degré exemples
LIVRE IV Progressions et Logarithmes
Chapitre I Progressions arithmétiques
§216 définitions: progression arithmétique, progression croissante et décroissante, raison de la progression arithmétique §217 théorème: dans une progression arithmétique, un terme quelconque est égal au premier terme plus autant de fois la raison quil y a de termes avant celui que lon considère §218 théorème: les termes dune progression arithmétique croissante augmentent au-delà de toute limite §219 insertion de moyens arithmétiques §220 théorème: si entre tous les termes dune progression arithmétique on insère le même nombre des moyens, on obtient une série de progressions partielles qui mises à la suite les unes des autres forment une progression unique §221 théorème: dans une progression arithmétique limitée, la somme de deux termes pris à égale distance des extrêmes est constante; elle est égale à la somme des extrêmes §222 théorème: la somme des termes dune progression arithmétique limitée est égale au demi-produit de la somme des extrêmes par le nombre des termes
Chapitre II Progressions géométriques:
§223 définitions: progression géométrique, progression croissante et décroissante, raison dune progression géométrique §224 théorème: dans une progression géométrique, un terme quelconque est égal au premier terme multiplié par la raison élevée à une puissance marquée par le nombre de termes quil y a avant celui que lon considère §225 théorème: les termes dune progression géométrique croissante augmentent au-delà de toute limite §226 théorème: les termes dune progression géométrique décroissante ont pour limite zéro, quand le nombre des termes augment indéfiniment §227 insertion des moyens §228 théorème: si entre tous les termes consécutifs dune progression géométrique on insère le même nombre des moyens, on obtient une série de progressions partielles qui mises à la suite les unes des autres forment une progression unique §229 théorème: dans une progression géométrique limitée, le produit de deux termes pris à égale distance des extrêmes est constant; il égale le produit des extrêmes §230 théorème: le produit des termes dune progression géométrique limitée est égal à la racine carrée du produit des extrêmes élevé à une puissance marquée par le nombre des termes §231 théorème: la somme des termes dune progression géométrique limitée est égale au dernier terme multiplié par la raison, ce produit diminué du premier terme, et le tout divisé par la raison diminuée de 1(cas où la progression est illimitée et décroissante)
Chapitre III Logarithmes
A- Généralités:
§232 définition: logarithmes définis à laide de deux progressions croissantes lune géométrique commençant par lunité et lautre arithmétique commençant par zéro §233 logarithmes des nombres plus petits que 1
B- Propriétés des logarithmes:
§234 théorème I: le logarithme dun produit de facteurs est égal à la somme des logarithmes des facteurs §235 théorème II: le logarithme dun quotient est égal au logarithme du dividende diminué du logarithme du diviseur §236 théorème III: le logarithme de an est égal a n fois le logarithme de a §237 théorème IV: le logarithme de n√a est égal a la nième partie du logarithme de a §238 conséquences §239 base dun système de logarithmes
C- Logarithmes de Briggs ou logarithmes vulgaires:
§240 définition: logarithmes de Briggs ou logarithmes décimaux, caractéristique et mantisse §241 caractéristique du logarithme dun nombre plus grand que 1 §242 caractéristique négative du logarithme dun nombre plus petit que 1 §243 théorème: quand on multiplie ou divise un nombre par 10, 100,.. 10n , on ne change pas la partie décimale du logarithme; seule la caractéristique change §244 cologarithme §245 moyen de trouver le cologarithme §246 calculs à laide des logarithmes (utilisation des tables) §247 application: léquation exponentielle et sa résolution §248 résolution du système déquations: x + y = a (1) log(x) + log(y) = b
§249 définition: intérêt composé §250 problème général et exemples numériques §251 définition: annuités §252 problème de la constitution dun capital §253 problème des amortissements
Chapitre V La règle à calcul
§254 définition: règle à calcul (Edmond Gunther) §255 échelles de la règle §256 échelles de la réglette §257 lire ou indiquer un nombre §258 application numérique: produit de deux nombres §259 application numérique: quotient de deux nombres §260 application numérique: carré dun nombre §261 application numérique: racine carré dun nombre §262 application numérique: cube dun nombre §263- application numérique: racine cubique dun nombre §264 application: logarithme dun nombre (verso de la réglette)
LIVRE V Variations des Fonctions
Chapitre I Quelques variations de fonctions simples:
§265 variations du trinôme y = ax² + bx + c §266 variations de y = 1 / (ax + b) §267 variation de la fonction y = (3x 1) / (2x 3) §268 méthode indirecte pour la recherche dun maximum ou dun minimum §269 exemples de construction des courbes (asymptote)
Chapitre II Notions sur les dérivées:
§270 définition: dérivée dune fonction §271 dérivée de xm §272 signification géométrique de la dérivée §273 dérivée dune somme §274 dérivée dun produit §275 dérivée de um §276 dérivée dun quotient §277 trouver la dérivée de √u
Chapitre III Application à létude des variations
§278 signe de la dérivée et courbe §279 réciproque §280 résumé §281 règle pour la recherche dun maximum ou dun minimum §282 marche à suivre pour létude des variations dune fonction (exemples)
NOTIONS DE TRIGONOMETRIE
Chapitre I Lignes trigonométriques
§1 but de la trigonométrie §2 lignes trigonométriques dun angle ou dun arc §3 définition: sinus §4 définition: cosinus §5 définition: tangente §6 définition: cotangente §7 définitions: sécante et cosécante §8 relations fondamentales §9 lignes trigonométriques de certains angles §10 tables trigonométriques §11 usage de la règle à calcul pour trouver le sinus et la tangente dun angle
Chapitre II Résolution des triangles rectangles
§12 théorème I: dans un triangle rectangle, un côté de langle droit est égal à lhypoténuse multipliée par le sinus de langle opposé au côté considéré, ou par le cosinus de langle adjacent §13 théorème: dans un triangle rectangle, un côté de langle droit est égal à lautre côté de langle droit multiplié par la tangente de langle opposé au côté considéré, ou par la cotangente de langle adjacent
Chapitre III Résolution des triangles quelconques applications
§14 théorème I: dans un triangle quelconque les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés §15 théorème: dans un triangle quelconque, le carré dun côté est égal à la somme des deux autres côtés moins deux fois le produit de ces deux côtés par le cosinus de langle quils comprennent (1er cas: le côté a est opposé à un angle aigu 2ème cas: le côté a est opposé à un angle obtus)
§13.1 Wat wordt bedoeld met Practische Meetkunde?
(Hoofdstuk 13 "Practische Meetkunde in het Hoger Primair Onderwijs")
§ 13.1 Wat wordt bedoeld met Practische Meetkunde?
Na zijn eerste teleurstellende ervaringen met het meetkundeonderwijs schreef een twaalfjarige Bruno Ernst (pseudoniem voor J.A.F. de Rijk, later oprichter van het wiskundig tijdschrift Pythagoras ) in zijn boekje De interessantste bewijzen voor de stelling van Pythagoras:
Maar daar kwam een ommekeer! Dat was toen de stelling van Pythagoras aan de orde kwam. Die vond ik fantastisch. Ongelooflijk, dat je daarmee dingen kon uitrekenen die je op geen enkel andere wijze kon voorspellen Ik wist toen nog niet dat ik mij met mijn bewondering in zeer goed gezelschap (hij had het over Kepler) bevond.
De grote astronoom Kepler heeft immers eens geschreven:
In de Meetkunde vinden we twee grote schatten: de ene is de Stelling van Pythagoras en de andere is de Gulden Snede. De ene kunnen we vergelijken met een schep goud, de andere mogen we een kostbaar juweel noemen (in Kepler s Mysterium Cosmographicum -1596-) .
Vanwaar toch dit grote enthousiasme? Was het werkelijk zo, dat deze stelling toeliet dingen te berekenen, die anders onmogelijk waren ? Waarover had een Bruno Ernst het toch?
De stelling van Pythagoras kwam in het meetkunde-onderwijs van die tijd inderdaad vrij laat aan de orde. Bij Dalle en De Waele was dit bvb eerst maar in het Derde Boek. In Molenbroek's « Leerboek der Vlakke Meetkunde », een klassieker in Nederland, was dit maar het geval in Hoofdstuk XVI (stelling 120). Op te merken valt, dat bij Euklides al sprake is van "Pythagoras" in het Eerste Boek (stelling 47).
Het is inderdaad zo, dat met de stelling van Pythagoras een nieuwe wereld opengaat en niet alleen op meetkundig vlak zoals men verder zal zien. Wat aan de stelling van Pythagoras voorafging vond de twaalfjarige Bruno Ernst maar een mager beestje en weinig inspirerend, want te abstract en te weinig op de practijk gericht.
Het is nu echter wel mogelijk Meetkunde met voldoende wiskundige gestrengheid te onderwijzen en toch terzelfdertijd oog te hebben voor de practische toepassingen. Een dergelijke meetkunde zou men « Practische Meetkunde » noemen en is uiteraard meer geschikt voor scholieren.
Een dergelijke krachttoer werd verwezenlijkt door Henri Bellenger en Henri Neveu met hun
* « Cours de Géométrie théorique et pratique E.P.S.planimétrie- » (Masson 1917-)
* « Cours de Géométrie théorique et pratique E.P.S. stéréométrie- » (Masson -1923-)
Het betreffen hier schoolboeken bestemd voor het Enseignement Primaire Supérieure, die blijkbaar ook in de Ecole Moyenne (Rijksmiddelbaar) in België gebruikt werden en waarover ik het in volgende cursiefjes zal hebben.
1- Waarom is de stelling van Pythagoras zo belangrijk?
De stelling van Pythagoras ligt aan de basis van de trigonometrie en is alleen al om deze reden buitengewoon belangrijk. Het enthoesiasme van een twaalfjarige Bruno Ernst was hoofdzakelijk hieraan te wijten. Dezelfde stelling ligt echter evenzeer aan de basis van wat men de onmeetbare getallen noemt en is dus erg belangrijk voor de Arithmetiek. Een en ander vraagt omverduidelijking.
Om te beginnen is het omgekeerde van de stelling van Pythagoras ook waar. Als voor een driehoek met zijden a, b en c geldt: c2 = a2 + b2 dan is die driehoek rechthoekig en is de hoek die tegenover de zijde c ligt de rechte hoek.
- Pythagorese drietallen:
Een Pythagorees drietal (a, b, c) wordt nu gedefinieerd als zijnde drie gehele getallen a, b, c met a < b < c waarvoor geldt a2 + b2 = c2. Uiteraard komt de benaming Pythagorees voort uit de stelling van Pythagoras, aangezien dergelijke getallen kunnen optreden als de zijden a, b van een rechthoekige driehoek met c als lengte van de schuine zijde.
Zo is bvb 3² + 4² = 5² wat betekent dat een driehoek waarvan de zijden respectievelijk 3, 4 en 5 m bedragen, een rechthoekige driehoek moet zijn. Het eenvoudigste Pythagorees drietal (3, 4, 5) was bekend om zijn toepassing voor het uitzetten van een rechte hoek. Daartoe gebruikte men een rondlopend touw met 12 knopen op gelijke afstanden.
Meester Hillewaert, die natuurlijk met handen en voeten gebonden aan het schoolse leerprogramma, ging hier echter niet dieper op in. Wel had hij het nog over dit eerste Pythagorees drietal (3, 4 en 5), maar daarmee was de kous ook af! Pythagorese drietallen zijn echter belangrijk voor de verdere ontwikkeling van de Arithmetiek.
Stelling 1: Als (a, b, c) een Pythagorees drietal is dan is ook (k.a, k.b, k.c) met k zijnde een geheel getal ook een Pythagorees drietal.
Voorbeeld: Is (3, 4, 5) een Pythagorees drietalvormen dan zijn ook de veelvouden, zoals bvb (6, 8, 10) en (9, 12, 15) Pythagorese drietallen.
Is a² + b² = c² (dus a, b, c een Pythagorees drietal) dan volgt door beide leden te vermenigvuldigen met k² :
k² (a² + b²) = k²(c²) wat equivalent is met
k²a² + k²b² = k²c² (want (a.b)n = an.bn zie cursiefje Elementaire Arithmetiek in de Broedersschool )
en derhalve vormen ook ka, kb, kc een Pythagorees drietal.
Stelling 2 : Voor alle gehele getallen m en n met m > n geldt nu dat het drietal (a, b, c), waarin a = m2 − n2 ; b = 2mn en c = m2 + n2 een Pythagorees drietal is. Deze stelling, uiterst belangrijk voor het opzoeken van Pythagorese drietallen (zie cursiefje "Arithmetiek in het Lager Secundair Onderwijs"), werd door Euklides meetkundig aangetoond (cf. "Elementen" boekdeel X, propositie 29), maar kan ook eenvoudig arithmetisch afgeleid worden.
Bewijs: Door toepassing van de identiteiten (zie cursiefje: Elementaire Arithmetiek in de Broedersschool) heeft men:
(m² - n²)² = (m²)² + (n²)² - 2(m²n²) (1)
Of (m² - n²)² + 2(m²n²) = (m²)² + (n²)² (1)
Tel nu 2(m²n²) bij (1) op dan komt er :
(m² - n²)² + 2(m²n²) + 2(m²n²) = (m²)² + (n²)² + 2(m²n²) of daar
(m² + n²)² = (m²)² + (n²)² + 2(m²n²) (2)
(m² - n²)² + 4(m²n²) = (m² + n²)² waaruit volgt
(m² - n²)² + (2mn)² = (m² + n²)²
Een Pythagorees drietal (a, b, c) wordt nu primitief genoemd als a, b en c geen deler gemeen hebben. Het is primitief dan en slechts dan als m en n relatief priem zijn en een van hen een even getal is. (Zijn zowel n als m oneven, dan zijn a, b, en c allemaal even en is het drietal dus niet primitief.) Er bestaan oneindig veel primitieve Pythagorese drietallen. Voorbeelden zijn (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17).
- Bestaan van irrationale getallen:
Een ander uiterst belangrijk gevolg van de Stelling van Pythagoras is het aantonen van het bestaan van irrationale getallen (1) . Een irrationaal getal is een getal dat niet te schrijven is als het quotiënt of verhouding van twee gehele getallen. Is een getal wel te schrijven als een quotiënt van twee gehele getallen, dan spreekt men over een rationaal getal.
Stelling 1: √2 is een irrationaal getal
De Pythagoreërs ontdekten dat nu dat de wortel uit 2 (√2) geen rationaal getal kon zijn. Omdat er echter in het wereldbeeld van de Pythagoreërs alleen plaats was voor rationale getallen, schrok men hier erg van. Zij probeerden het bewijs niet bekend te laten worden. Deze ontdekking wordt toegeschreven aan Hippasos van Metapontum, een leerling van Pythagoras. Deze zou als straf overboord gegooid zijn omdat hij dit geheim had openbaar gemaakt.
Het bewijs is gebaseerd op een reductio ab absurdum(bewijs uit het ongerijmde) (2) .
Bewijs: Veronderstel dat √2 een rationaal getal is en dus te schrijven als het quotiënt van twee gehele getallen: √2 = a/b waarbij a en b gehele getallen zijn zonder gemeenschappelijke delers (cf. vereenvoudigen van breuken). De GGD van a en b is dus 1.
Uit √2 = a/b volgt b√2 = a en kwadrateren levert 2b² = a² Daaruit volgt dat a² een even getal is.
Omdat het kwadraat van een oneven geheel getal altijd oneven is (toon aan!), kan a niet oneven zijn en dus is a zelf ook even. Stel dus a = 2 p, met p een geheel getal. Daaruit volgt weer:
2b² = a² = (2p)² = 4p² of nog b² = 2p²
We zien dat b² even is, en op dezelfde manier als hierboven bij a, trekken we de conclusie dat b ook even is.
Zowel a als b zijn dus even en bijgevolg deelbaar door 2; hieruit volgt: de grootste gemeenschappelijke deler van a en b is groter dan 1 (minstens 2)! Dit is echter in tegenspraak met onze keuze van a en b, die geen gemeenschappelijke deler hebben. Onze veronderstelling was bijgevolg verkeerd en daarmee is bewezen dat de wortel uit 2 een irrationaal getal is. q. e. d.
Stelling 2: Gegeven een geheel getal n. Als n geen kwadraat is, dan is √n irrationaal.
Het bewijs wordt hier gegeven door contrapositie (3).
Bewijs: De equivalente stelling van stelling 2 luidt: Gegeven een geheel getal n. Als √n rationaal is, dan is n een kwadraat. We nemen daartoe aan dat √n rationaal is.
Dan kunnen we positieve gehele getallen a en b vinden zodat √n = a/b met GGD (a,b) = 1.
Nu geldt dat n = a²/b² niet verder vereenvoudigd kan worden. Dus geldt in het bijzonder dat b2 = 1, want n is een geheel getal. Dus n = a2. Daarmee is de equivalente stelling bewezen en dus, door contrapositie, ook de oorspronkelijke.
De bewijsvoering van de stellingen betreffende de irrationale getallen was misschien te subtiel voor schoolbengels uit het lager onderwijs, maar leek mij wel begrijpelijk voor leerlingen uit het ULO.
Hoe dan ook, het was wel belangrijk al in het lager secundair onderwijs te spreken over irrationale getallen en te laten zien dat ze ook in werkelijkheid bestaan.
Men stelt dus vast dat een tweede uitbreiding van het getalbegrip naar irrationale getallen zal nodig zijn.
2- Pythagoras en Euklides
Zoals hierboven aangegeven, wordt de stelling van Pythagoras bij Euklides al afgeleid in het Eerste Boek van de "Elementen". Voor de bewijsvoering werd hierbij alleen gebruik gemaakt van de congruentie van driehoeken en de stelling dat driehoeken met gelijke basis en gelijke hoogte dezelfde oppervlakte hebben.
(wordt voortgezet)
------------------
(1) Irrationale of beter onmeetbare getallen. Het heeft mij steeds verwonderd dat noch in het lager, noch in het lager middelbaar onderwijs expliciet over irrationale getallen gesproken werd.
Het bewijs uit het ongerijmde berust op het axioma van de uitgesloten derde of van het uitgesloten midden, ook wel tertium non datur (Lat., "een derde is niet gegeven"). Dit axioma houdt in dat iedere uitspraak waar, dan wel onwaar is; een andere, derde, mogelijkheid is er niet. De bewijsvoering gebeurt als volgt:
- men neemt het tegengestelde aan van de stelling die te bewijzen is
- de tegengestelde stelling leidt tot gevolgtrekkingen, die in strijd zijn met de eerste stelling
- men besluit dat de tegengestelde stelling vals is en bijgevolg dat de eerste stelling waar is
Deze onrechtstreekse bewijsvoering is zo overtuigend als een rechtstreekse. Men zegt dat het overtuigt zonder de geest te verlichten.
Het bewijs door contrapositie is een methode om het wiskundig bewijs te geven van de stelling als A dan B, door het bewijzen van de stelling als niet B dan niet A. In de klassieke logica is deze laatste stelling equivalent aan de eerste: een bewijs van de ene stelling is ook een bewijs van de ander.
. 
) maar voor bengels als wij kwam zoiets wel hard aan..
altijd op slot was. Natuurlijk was er geen badkamer. Er was immers alleen pompwater en geen leidingswater. 's Zaterdags werden wij gewassen in de waskuip, de jongens door mijn vader, de meisjes door mijn moeder. 
in twijfel werden getrokken, heb ik het nuttig geoordeeld aan mijn tekst enkele bronnen (referenties 2, 4 en 5) toe te voegen. Ik neem natuurlijk aan dat mijn geachte reactant deze bronnen inzonderheid het bestaan van de "Gilde Noodvier" niet kende en dat hij dus ter goeder trouw zijn reactie aangaande wat ik de "pastoorsfabriek" noemde, neerschreef. 
Ik wil hier trouwens met klem bevestigen, dat dit voor minstens twee andere parochies, evenzeer het geval was. Het is natuurlijk wel mogelijk dat, voor bepaalde parochies, de S.D. van het Sint Lodewijkscollege -in casu de "Gilde Noodvier"- ook een rol kan gespeeld hebben. Begeleidende documenten -gesigneerd Andries Van den Abeele- tonen inderdaad overduidelijk aan dat deze mogelijkheid niet mag uitgesloten worden.... Evenzeer wil ik er hier aan herinneren dat -volgens deze documenten- een B.V. met name Etienne Vermeersch (oud vice-rector van de Universiteit Gent en wellicht studie- en ambtgenoot (?) van mijn reactant) gedurende één jaar "dictator" (d.i. leider) was van genoemd Geheim Genootschap. Laatstgenoemde zou wellicht heel wat meer kunnen vertellen over de activiteiten van "Noodvier". Etienne Vermeersch is nu een typisch voorbeeld van een leerling van de tweede categorie. Hij is de zoon van een spoorwegarbeider en trad -ingepalmd door het katholiek integrisme- in 1953 toe tot de Jezuïetenorde. In 1958 trad hij uit de Jezuïetenorde en werd een strijdend atheist en scepticus ( zie bvb 
en verder voor het tekenwerk de werkinstrumenten passer en gegradueerde lat, winkelhaak en gradenboog. Let wel dat voor het beoefenen van de meetkunde van Euklides (deductieve meetkunde)alleen passer en lineaal toegelaten zijn.
.
