|
Een vijfhoeksgetal is een geheel getal, dat gevonden kan worden als het aantal punten van gezamenlijke vijfhoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt
en (gedeeltelijk) twee gemeenschappelijke zijden, en met een telkens oplopend aantal punten per zijde. Bron: Wikipedia.
De eerste zes vijfhoeksgetallen zijn 1, 5, 12, 22, 35, 51.
Probleem: vind een formule voor de algemene term van deze rij.
We geven hieronder een efficiënte methode om de algemene term van een 'willekeurige' rij te bepalen.
We vertrekken van een voorbeeldrij: 5, 23, 59, 119, 209 ... en schrijven op de opeenvolgende lijnen hieronder telkens de verschilrij op.
In deze rij is elke term het verschil van de termen die er links- en rechtboven staan:
5 23 59 119 209
18 36 60 90
18 24 30
6 6
0
Merk op dat het proces van het nemen van de verschil hier stopt na 4 stappen.
Dit is meteen een aanduiding dat de algemene term tn van de rij kan uitgedrukt worden met behulp van een veelterm van graad 4 - 1 = 3, m.a.w. tn = an³ + bn² + cn + d.
Welnu, via de verschilrijen kan men gemakkelijk verifiëren dat 209 = 5 . 1 + 18 . 4 + 18 . 6 + 6 . 4 + 0 . 1
, m.a.w. door de eerste termen (in kleur) uit de opeenvolgende verschilrijen te vermenigvuldigen met de getallen uit de vijfde rij van de driehoek van Pascal (1, 4, 6, 4, 1) bekomt men de term 209.
In het algemeen is de n-de term uit deze rij dan gelijk aan
tn = 5.1 + 18.(n-1) + 18.(n-1)(n-2)/2 + 6.(n-1)(n-2)(n-3)/6 = n³ + 3n² + 2n - 1.
Hierbij zijn de getallen 1, n-1, (n-1)(n-2)/2, (n-1)(n-2)(n-3)/6, ... de zogenaamde binomiaalcoëfficiënten die voorkomen in de n-de rij van de driehoek van Pascal.
Met deze methode bepalen we nu de uitdrukking voor het n-de vijfhoeksgetal Vn . We vertrekken hiervoor van de rij 1, 5, 12, 22 ... van de vijfhoeksgetallen.
1 5 12 22
4 7 10
3 3
0
Vn = 1 + 4.(n-1) + 3.(n-1)(n-2)/2 = 3n²/2 - n/2 = n(3n-1)/2 .
Kan je nu zelf aantonen dat het n-de zeshoeksgetal gelijk is aan Zn = n (2n -1)?
Op het VVWL-congres in Blankenberge (1 en 2
juli 2010) maakte collega Antoine Verroken me erop attent
dat het probleem ook een eenvoudige en evidente oplossing heeft met behulp van
een stelsel.
Hij bezorgde meteen ook enkele referenties van boeken waarin dit probleem wordt behandeld:
- Wiskunde zonder omslag (1962, 2de druk), blz. 82 - 97, W. W. Sawyer. Oorspronkelijke titel: Mathematician's delight.
- Difference Equations, Walter Kelley and Allan Peterson, 1991. ISBN: 0 - 12 - 403325 - 3.
We illustreren dit met de rij 5,23,59,119,209, ...
Omdat men na vier keer nemen van differenties op de nulrij botst (zie hoger) mag men aannemen dat de algemene term van de rij wordt bepaald door een veelterm van de derde graad: tn = an³ + bn² + cn + d.
Nu is
t1 = a + b + c + d = 5
t2 = 8a + 4b + 2c + d = 23
t3 = 27a +9b + 3c + d = 59
t4 = 64a + 16b + 4c + d = 119.
Als oplossing van dit stelsel vindt men dan: a = 1, b = 3, c = 2 en d = -1, zodat tn = n³ + 3n² + 2n - 1.
|
