Logistische groeifunctie
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Grafiek van de logistische groeifunctie (sigmoïde)
De logistische groeifunctie, zo genoemd door de Belgische wiskundige Pierre-François Verhulst 1804-1849),
beschrijft het verloop van de omvang N(t) van een populatie als functie van de tijd t, als de verandering van de populatie-omvang evenredig is:
- met de omvang van de huidige populatie N(t)
- en met de nog voorhanden "groeiruimte" M - N(t) , waarin M de maximale omvang is die de populatie kan bereiken.
Deze eisen leiden tot de volgende differentiaalvergelijking:
De oplossing van deze vergelijking is:
die door scheiding van variabelen gevonden kan worden.
De grafiek van deze functie heeft een S-vorm (sigmoïde). Deze vorm laat zich als volgt interpreteren.
In het begin (t klein) stijgt de populatie-omvang langzaam, omdat het aantal individuen nog laag is.
Aan het eind (t groot), stijgt de populatie-omvang ook nog maar langzaam en nadert asymptotisch het maximum M, omdat dan de begrenzing van de omvang de remmende factor is.
Oplossing van de differentiaalvergelijking door scheiden van de veranderlijken:
dus
waaruit door integratie (via splitsen in partieelbreuken) volgt:
-
zodat
-
Opmerking. Hierbij is log de Amerikaanse notatie voor de natuurlijke logaritmische functie ln.
Daaruit volgt:
 (1)
Voor t = 0 vinden we voor als waarde voor de integratieconstante c:
 (2)
waarbij N0 de beginpopulatie voorstelt.
Uit (1) en (2) volgt de hoger vermelde oplossing.
Het logistische groeimodel kan gebruikt worden voor bacteriekolonies of muizenpopulaties, waarbij de populatie-omvang beperkt is door de beperkte aanwezigheid van voedsel.
Een mooie toepassing over de groeistadia van padden, waarbij gebruik gemaakt wordt van de ingebouwde instructie 'Logistic' op een grafische rekenmachine, zit in bijlage.
Met dank aan collega's Sabine Van Roose en Gilberte Verbeeck.
|
