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    SANGAKU MET VIER CIRKELS


    A, B, C en D zijn vier willekeurige collineaire punten (zie figuur).
    Uit A tekent men de raaklijnen aan de cirkel met middellijn [CD]
    en uit D tekent men de raaklijnen aan  de cirkel met middellijn [AB].
    De twee gekleurde cirkels (die raken aan de getekende raaklijnen)
    en respectievelijk door B en C gaan, hebben dan dezelfde oppervlakte.

     Kan je dat bewijzen?


    Oplossing in bijlage.



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    21-02-2016
    Ander bewijs (met het samenstellen van homothetieën)

    Prachtige sudoku!

    Ik kan het ook bewijzen steunend op het samenstellen van homothetieën. Nadeel is dat je meer voorkennis nodig hebt. Je moet namelijk weten:

    De samengestelde van homothetieën is

    • opnieuw een homothetie als het product van de factoren verschillend is van 1
    • een verschuiving als het product van de factoren gelijk is aan 1.

    We starten met het linkse rode cirkeltje.

    Met een homothetie met centrum A kunnen we dit linkse rode cirkeltje afbeelden op de cirkel met middellijn [CD]. Omdat deze homothetie [AB] afbeeldt op [AD], is de factor |AD|/|AB|.

    Met een homothetie met centrum buiten het blad kunnen we de cirkel met middellijn [CD] afbeelden op de cirkel met middellijn [AB]. De factor is |AB|/|CD|.

    Met een homothetie met centrum D kunnen we de cirkel met middelllijn [AB] afbeelden op het rechtse rode cirkeltje. Omdat deze homothetie [AD] afbeeldt op [CD], is de factor |CD|/|AD|.

    De samengestelde van deze drie homothetieën beeldt het linkse rode cirkeltje af op het rechtse. Het product van de factoren is 1. Deze samengestelde is dus een verschuiving. Beide rode cirkeltjes zijn bijgevolg even groot.

    21-02-2016 om 22:41 geschreven door Michel Roelens




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