|
PTOLEMAEUS EN DE COSINUSREGEL
De fameuze (en een beetje vergeten) stelling van Ptolemaeus voor een koordenvierhoek luidt als volgt:
In
een koordenvierhoek is het product van de lengtes van de diagonalen gelijk aan
de som van de producten van de lengtes van de paren overstaande zijden.
 
Voor het bewijs volstaat het 4 keer de cosinusregel toe te passen:
op Δ ABD en Δ BCD waarbij ∠ BAD en ∠ DCB supplementaire hoeken zijn
en op Δ ABC en Δ CDA waarbij ∠ ABC en ∠ CDA supplementaire hoeken zijn.
Door hieruit telkens de cosinussen te elimineren vind je uiteindelijk (reken maar eens na!) dat
Door deze uitdrukkingen tenslotte lid-aan-lid met elkaar te vermenigvuldigen, bekom je de gewenste formule.
****************************************************************************************************
En zie je ook op het onderstaande plaatje hoe via 'een bewijs zonder woorden'
de cosinusregel (voor een stomphoekige driehoek) volgt uit de stelling van Ptolemaeus?
 
|
