DISPHENOÏDE

Een disphenoïde (Grieks: δις = tweemaal, σφηνος = wig, ειδος = vorm)
is een viervlak waarvan de vier zijden congruente scherphoekige driehoeken zijn.

Op de Nationale Wiskundedagen in Nederland 2014 bestond één van de opdrachten
van de 'wisrun' erin uit een envelop een disphenoïde te maken.

Op de onderstaande afbeeldingen zie je hoe je dat zelf kunt uitproberen.

Kan je ook bewijzen dat je hiermee een viervlak bekomt
waarvan de vier zijden congruente driehoeken zijn?

En uiteraard is een regelmatig viervlak een speciaal geval van een disphenoïde.

 

STELLING OVER DE DISPHENOÏDE
De som van de afstanden van een willekeurig punt P
binnen een disphenoïde tot de vier zijvlakken is constant
d.w.z. onafhankelijk van het gekozen punt.

Bewijs.
Verbind het punt P met de vier hoekpunten.
Op die manier is de disphenoïde verdeeld in vier driezijdige piramiden
waarvan het grondvlak dezelfde oppervlakte A heeft.
Noem h₁, h_2^, h₃ en h₄ de afstanden van P tot de vier zijvlakken
en noem V het volume van de dispenoïde.

Dan is V = h₁A/3 ^₊ h₂ A/3 ^₊ h₃ A/3 ^₊ h₄ A/3
zodat h₁ + h₂ + h₃ + h₄ = 3V/A.