Fibonacci en de Gulden Snede

Over de rij van Fibonacci kan je heel wat informatie vinden op het internet.
Deze tekst van Liselotte Snijders en Perry Visser moet je toch zeker gelezen hebben.
Het was in 2006 een onderzoekopdracht o.l.v. Kees Gondrie.
Bron: www.exo.science.ru.nl/bronnen/wiskunde/fibonacci.html

Vraagstelling en hypothese

Theorie

Figuur 1: Het aantal konijnenparen

We gaan op zoek naar een formule voor het aantal konijnenparen. Stel in maand n hebben we a paren en in maand n + 1 hebben we a + b paren, namelijk a oudere paren en b nieuwgeboren paren. De volgende maand n + 2 zijn er 2a + b paren, want in die maand zijn er: • a paren van maand n; • a nieuwgeboren paren van de oudere paren van maand n + 1; • b nieuwgeboren paren van maand n + 1 die nog geen nakomelingen kunnen krijgen. Dat betekent dat in maand n + 2 het aantal konijnen-paren 2a + b gelijk is aan de som van het parenaantal a + b in maand n + 1en het parenaantal a in maand n. Hieruit leiden we de formule af voor het aantal konijnenparen: pn+2 = pn+1 + pn met p0 = 1 en p2 = 1.

In de onderstaande tabel zie je de eerste dertien Fibonacci-getallen.


Na een jaar zijn er dus 233 konijnenparen.

Tegelwand van vierkanten
We kijken naar het volgende voorbeeld:
p₀ ² + p₁² + p₂² + p₃² + p₄² = p₄ . p₅
1² + 1² + 2² + 3² + 5² = 5 . 8
40 = 5 . 8
In formule-vorm zou dit zijn: p₀² + p₁² + ... + p_n² = p_n . p_n+1. Klopt deze formule, of is het maar stom toeval dat die voor n = 4 klopt?
In figuur 2 zie je een aantal speciale vierkanten. Beginnend bij de kleinste vierkanten zijn de zijden van de vierkanten de getallen uit de rij van Fibonacci, want de zijde van het volgende vierkant ontstaat door de zijden van de voorgaande twee vierkanten op te tellen.


Figuur 2: Vierkante tegels
Voor de oppervlakte 0_n van de n-de rechthoek geldt: 0₁ = 1² = 1
0₂ = 1² + 1² = 1 + 1² = 1 . 2 = p₁ . p₂
0₃ = 1² + 1² + 2² + 3² = 2 . 3 + 3² = 3 . 5 = p₃ . p₄
0₅ = 1² + 1² + 2² + 3² + 5² = 3 . 5 + 5² = 5 . 8 = p₄ . p₅
0_n+1 = p₀² + p₁² + ... + p_n² = p_n . p_n+1
Voor elke n klopt de formule!

Wat is de Gulden Snede?
De beste manier om uit te leggen wat de Gulden Snede is, is aan de hand van een lijnstuk dat zó in twee stukken a en b (met a > b) gedeeld is, dat de verhouding van het hele lijnstuk tot het grote stuk gelijk is aan de verhouding van het grote en kleine stuk (zie figuur 3). Deze verhouding wordt de Gulden Snede genoemd en meestal voorgesteld met φ (phi).


Figuur 3: Lijnstuk verdeeld in uiterste en middelste reden

In formulevorm kun je dit schrijven als:

Hieruit volgt :               .                                   

Delen door geeft                        en bijgevolg is    .

We stellen φ gelijk aan , dan geldt . Het oplossen van deze vergelijking leidt tot .

Als je het minteken laat staan, is de verhouding φ negatief en dat kan niet (het is een quotiënt van twee lengten), dus is de Gulden Snede

Waar vind je de rij van Fibonacci in de natuur?

Vele soorten bloemen hebben een aantal blaadjes (of het gemiddelde aantal blaadjes) dat gelijk is aan een getal uit de rij van Fibonacci. Hieronder staan enkele voorbeelden.
• Lelie en iris met 3 blaadjes
• Boterbloem (zie figuur 4), parnassia en geranium met 5 blaadjes
• Delphinium en jakobskruiskruid met 8 blaadjes
• Cineraria met 13 blaadjes
• Aster (zie figuur 5) en cichorei met 21 blaadjes
• Moederkruid met 34 blaadjes
• Herfstaster met 89 blaadjes

Figuur 4: Boterbloem	Figuur 5 : Aster

Fibonacci bij bijen.
Iets waarbij ook de rij van Fibonacci in de natuur voorkomt, is het voorgeslacht van een mannetjesbij, want:
• als een vrouwtje een niet bevrucht ei legt, dan wordt het een mannetje;
• als het ei bevrucht was, dan wordt het een vrouwtje.
Een mannetjesbij heeft maar één ouder: een vrouwtje. Een vrouwtjesbij heeft 2 ouders: een mannetje en een vrouwtje (zie figuur 6).


Figuur 6: Stamboom van een mannetjesbij

De mannetjesbij onder in de stamboom van figuur 6 heeft dus maar één ouder. En hij heeft 2 grootouders, want zijn moeder heeft twee ouders. Hij heeft 3 over-grootouders, omdat zijn grootvader één ouder heeft en zijn grootmoeder 2 ouders. De 3 over-groot-ouders (de 2 oma’s en de opa) hebben 5 over-over-grootouders, want beide oma’s hebben elk twee ouders en de opa heeft één ouder. Als je in figuur 6 van onder naar boven naar het aantal bijen kijkt, krijg je de rij 1, 1, 2, 3, 5. En dat is de rij van Fibonacci. Immers, het principe van de bijen en de konijnenparen is hetzelfde: de mannetjesbijen zijn dan net als de nieuwgeboren konijnenparen en de vrouwtjesbijen zijn dan net als de konijnenparen die wel nakomelingen kunnen krijgen.

De Gulden Snede bij mens en dier
De Gulden Snede kom je niet alleen in de wiskunde tegen. In het menselijk lichaam vinden we phi vaak terug. Dit kunnen we bijvoorbeeld laten zien aan de hand van ‘De mens van Vitrivius’, een tekening van Leonardo da Vinci (zie figuur 7). Hij maakte deze tekening om de verhoudingen van de mens te laten zien, omdat hij vond dat deze verhoudingen universeel waren. We zien dat hij de persoon in twee stukken gedeeld heeft ter hoogte van het middel. We treffen de verhouding phi aan: het hele lichaam verhoudt zich tot het onderlichaam als het onderlichaam zich tot het bovenlichaam verhoudt.

Figuur 7: De mens van Vitrivius	Figuur 8: Phi in het gezicht

Figuur 9: Nautilus	Figuur 10: Vogel	Figuur 11: Tijger

Conclusie

De Fibonacci-rij is een bijzondere rij waarbij twee opeenvolgende getallen het volgende getal vormen. De rij heeft veel eigenschappen. De opeenvolgende getallen staan in een verhouding die naar de Gulden Snede toe gaat. Je kunt er op een speciale manier tegels mee leggen, waarbij de oppervlakte van een rechthoek gelijk is aan de sommatie van de kwadraten van de getallen van de Fibonacci-rij.
Ook in de natuur komen de Fibonacci-getallen voor, bijvoorbeeld bij het aantal bloemblaadjes van een bloem en bij de stamboom van de mannetjesbij.
De Gulden Snede is de verhouding phi, bij benadering 1,618. Het is de verhouding die een lijnstuk zó in twee delen deelt, dat de verhouding van het geheel tot het grote stuk gelijk is aan de verhouding van het grote tot het kleine stuk. Er zijn veel toepassingen van de Gulden Snede. Zo zijn er bijvoorbeeld gulden rechthoeken, waarbij de verhouding van de som van de beide zijden tot de lange zijde gelijk is aan de verhouding van de lange zijde tot de korte zijde. En er zijn formules om phi te benaderen c.q. te berekenen.
Ook zien we phi terug in de natuur, onder andere bij enkele dieren maar ook in het menselijk lichaam.
Kortom: de Gulden Snede phi en de Fibonacci-getallen zijn echt overal!

De formule van Binet

De getallen uit de Fibonacci-rij zijn recursief gedefinieerd door u_n+1 = u_n + u_n-1 , met n > 1 en u₁ = 1 en u₂ =1. Het was de Franse wiskundige Jacques Philippe Marie Binet die in 1843 als eerste een expliciete formule publiceerde voor de n-de term u_n uit de rij van Fibonacci. Een bewijs van de onderstaande formule (en nog heel wat meer wetenswaardigheden over de rij van Fibonacci en de Gulden Snede vind je in de bijlage.
Met dank aan erebegeleider Walter De Volder.

Voor de getallen un met un+1 = un + un-1 (met n > 1, u1 = 1 en u2 =1) geldt

En dit knap filmpje over de Fibonaccigetallen is wellicht het beste dat over dit onderwerp op Youtube te vinden is!