Inhoud blog
  • JAAR VAN DE HAAN 17-12
  • JAAR VAN DE HAAN 16-12
  • JAAR VAN DE HAAN 15-12
  • JAAR VAN DE HAAN 14-12
  • JAAR VAN DE HAAN 13-12
    Zoeken in blog

    Foto
    Noli turbare circulos meos (Archimedes)


    GNOMON
    Wiskunde zie je!
    18-10-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Cissoïde van Diocles

    De cissoïde van Diocles (ca. 200 v. Chr.)

    Grieks: κισσóς (kissos) = klimop

    De cissoïde is een vlakke kromme die de verzameling (meetkundige plaats) is van punten met een welbepaalde eigenschap.

    Cartesiaanse vergelijking van de cissoïde van Diocles:

    VERSIE 1

    Laat een parabool (groen) glijden zonder schuiven over een tweede parabool (blauw) zoals op de onderstaande figuur.
    De top van de glijdende parabool beschrijft dan de cissoïde van Diocles (rood).

    Uitwerking: zie bijlage.

    The cissoid of Diocles as a roulette

    VERSIE 2

    Beschouw de cirkel met middelpunt M(a,0) en straal a en de raaklijn t aan de cirkel in A(2a, 0).
    Een variabele halfrechte door de oorsprong O snijdt de cirkel  in P1 en de rechte t in P2.
    Neem op [OP2  het punt P waarbij |OP| = |P1 P2|.
    Als de halfrechte 
    wentelt rond O, beschrijft het punt P de cissoïde van Diocles.

    Uitwerking: zie bijlage.


    MEETKUNDE IS WEER HIP!

    Bijlagen:
    Cissoïde versie 1.pdf (160.9 KB)   
    Cissoïde versie 2.pdf (207.4 KB)   

    18-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    17-10-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De conchoïde van Nicomedes

    De conchoïde van Nicomedes (ca. 250 v. Chr) - Grieks: κóγχη of Latijn concha betekent schelp.

     

    Een conchoïde is een vlakke kromme die als volgt ontstaat (zie onderstaande figuur).

    Teken een lijnstuk [QR], neem een punt O dat niet op dit lijnstuk ligt en een punt C dat er wel op ligt.

    Verleng nu [OC] met een stuk [CP] dat een vast gekozen lengte k heeft.

    Als C over [QR] beweegt, draait [OP] rond O en beschrijft P een conchoïde.

    Men kan de conchoïde gebruiken om een hoek in drie gelijke delen te verdelen (trisectie).

    Verbaasd? De verklaring lees je in de bijlage.

    Bijlagen:
    Trisectie via de conchoïde - verklaring.pdf (191.7 KB)   

    17-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    16-10-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De kwadratrix van Hippias

    De kwadratrix van Hippias van Elis (ca. 452 v. Chr.)

    ABCD is een vierkant en het lijnstuk [A'B'] verplaatst zich met een constante snelheid van de positie [DC] naar de positie [AB].
    Tegelijk draait het lijnstuk [AD] met een constante snelheid rond het punt A vanaf de positie [AD] naar de positie [AB].
    Beide bewegingen starten en eindigen op hetzelfde moment en F is het snijpunt van [A'B'] met het wentelende lijnstuk.
    De kromme beschreven door het punt F is de kwadratrix van Hippias.

    Als we het assenstelsel kiezen met A(0,0), B(1, 0), C(1, 1) en D(0, 1) en F(x, y)
    en als α de hoek is tussen AB en AF, dan is 

    en bijgevolg heeft de kwadratrix als vergelijking

    Merk op dat deze kromme dan geen snijpunt heeft met de x-as
    en dat de limietwaarde van x voor y → 0 gelijk is aan 2/π.

    Hoe kan men nu de kwadratrix gebruiken om een scherpe hoek ∠BAE in drie gelijke delen te verdelen?

    Als F het snijpunt is van de kwadratrix met AE en als A' de loodrechte projectie is van F op AD,

    dan volstaat het om op AA' het punt H te construeren zodat |AH| =  (1/3) ·|AA'|.

    Als K het punt is op de kwadratrix waarbij HK evenwijdig is met AB, dan ∠BAK = (1/3 ) · ∠BAE.

    Duidelijk?

    16-10-2015 om 09:29 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    15-10-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Delfts blauw

    Delft Blue - Luc Janus



    Dave Berry zong het al 50 jaar geleden (1965) - song geschreven door Ray Davies (The Kinks)

    15-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen. Spiraal van Archimedes en kwadratuur van de cirkel

     

    De spiraal van Archimedes is een vlakke kromme die wordt beschreven door een punt P
    dat met een constante snelheid beweegt op een halfrechte met beginpunt O die met een constante snelheid draait rond O.

    Wellicht is deze kromme een vondst van Conon van Samos (250 v. Chr), een vriend van Archimedes.

     De poolvergelijking van de spiraal van Archimedes is r = aθ
    (r = de voerstraal of de afstand van P tot O, θ =  de rotatiehoek in radialen en a is een constante).

    Op de markt van Covent Garden in Londen kocht ik dit klokje dat werkt via de spiraal van Archimedes.

    Het is een ontwerp van Robert Darwen en meer info vind je op www.ideasintime.co.uk.

    Het klokje duidt hier het tijdstip 6:44 uur aan.

    Met behulp van de spiraal van Archimedes kan men de kwadratuur van de cirkel realiseren.

    Hierboven staat een cirkel met middelpunt O en straal a afgebeeld en de spiraal met als poolvergelijking r = aq.

    Als het punt P bepaald is door de middelpuntshoek q0, dan is is de lengte van de cirkelboog van A tot P gelijk aan aq0
    en ook de lengte van het lijnstuk [OP] en dan gelijk aan aq0, want dit is precies de voerstraal van de spiraal voor q = q0.

    Dan zal voor q = p/2 de lengte van [OQ] gelijk zijn aan pa/2 (een kwartcirkel met straal a)
    en bijgevolg is de oppervlakte van de cirkel met straal a gelijk aan
    pa² = 2a·|OQ|.

    De zijde z van het vierkant met oppervlakte pa² bekomt men dan door de middelevenredige te construeren van 2a en |OQ|.

     

    Merk op: als r = 2, dan is |OQ|= p.


    Gesnapt of toch een beetje verrast?


    Archimedes' spiral - Part 2 - Luc Janus

    15-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    14-10-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Spiraal van Archimedes en trisectie van een hoek

     

    De spiraal van Archimedes is een vlakke kromme die wordt beschreven door een punt P
    dat met een constante snelheid beweegt op een halfrechte met beginpunt O die met een constante snelheid draait rond O.

    Wellicht is deze kromme een vondst van Conon van Samos (250 v. Chr), een vriend van Archimedes.

     De poolvergelijking van de spiraal van Archimedes is r = aθ
    (r = de voerstraal of de afstand van P tot O, θ =  de rotatiehoek in radialen en a is een constante).

    Op de markt van Covent Garden in Londen kocht ik dit klokje dat werkt via de spiraal van Archimedes.

    Het is een ontwerp van Robert Darwen en meer info vind je op www.ideasintime.co.uk.

    Het klokje duidt hier het tijdstip 9:14 uur aan.

    Archimedes gebruikte die spiraal om de driedeling van een hoek uit te voeren.

    Stel dat |OP| = aq0 met q0 de (te verdelen) hoek tussen de positieve x-as en de halfrechte [OP.
    We verdelen eerst het lijnstuk [OP] in drie gelijke delen via de punten P1 en P2.
    We tekenen daarna de cirkels met middelpunt O en straal |OP1|en|OP2|.
    Die cirkels snijden de spiraal respectievelijk in de punten Q1 en Q2.
    Dan verdelen de halfrechten [OQ1 en [OQ2 de hoek q0 in drie gelijke delen.

    Gesnapt of toch een beetje verrast?

    Archimedes' spiral - Part 1 - Luc Janus

    14-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    13-10-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Fibonaccidriehoeken

    Fibonacci Triangles - Luc Janus

    **********************************************************************************************

    Wie droomt er als wiskundige niet van om een nieuwe eigenschap van de Fibonaccigetallen te bewijzen?

    Het lukte me de voorbije week!

    Als F(1) = 1, F(2) = 1, F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) voor n = 3, 4, 5 ... de rij van de Fibnaccigetallen  is,
    dan definieer ik een Fibonaccidriehoek als een driehoek
    waarvan de coördinaten van elk hoekpunt een paar opeenvolgende Fibonaccigetallen zijn.

    Over dit soort driehoeken formuleer ik hier drie eigenschappen.
    Eigenschap 2 is een bijzonder geval van eigenschap 3
    en eigenschap 1 is dan weer een speciaal geval van eigenschap 2.





    Bewijs in bijlage.

    Bijlagen:
    Fibonaccidriehoeken - bewijs eig 1.pdf (280.5 KB)   
    Fibonaccidriehoeken - bewijs eig 2 en eig 3..pdf (774.5 KB)   

    13-10-2015 om 19:32 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    12-10-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.NUM'ART (108)

    NUM'ART is een artistiek project bedacht door Luc Janus.

    Hij zet hierbij elke week een getal op een artistieke manier in de kijker.

    *********************************************************************************************************

    108

    Uno - Luc Janus

    *********************************************************************************************************

    Het kaartspel UNO wordt gespeeld met 108 kaarten:

    19 blauwe, rode, gele en groene kaarten genummerd van 0 tot 9

    8 kaarten “+2”, twee van elke kleur

    8 kaarten “keer om”, twee van elke kleur

    8 kaarten “sla beurt over”, twee van elke kleur

    4 kaarten “joker”

    4 kaarten “+4”

    ********************************************************************************************************

    Een regelmatige vijfhoek heeft (binnen)hoeken van 108°.

    108 is de hyperfactor van 3 omdat 108 = 11 x 22 x 33.

    Een Harshadgetal  is dus een geheel getal dat deelbaar is door de som van zijn cijfers.

    108 is bijgevolg een Harshadgetal want het is deelbaar door 1 + 0 + 8 = 9.

    Het woord harshad komt uit het Sanskriet en betekent 'grote vreugde'

    OPGAVE. Kan je nu zelf eens natellen hoeveel Harshadgetallen er liggen tussen 18 en 81?

    cats

    12-10-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)


    Archief per week
  • 11/12-17/12 2017
  • 04/12-10/12 2017
  • 27/11-03/12 2017
  • 20/11-26/11 2017
  • 13/11-19/11 2017
  • 06/11-12/11 2017
  • 30/10-05/11 2017
  • 23/10-29/10 2017
  • 16/10-22/10 2017
  • 09/10-15/10 2017
  • 02/10-08/10 2017
  • 25/09-01/10 2017
  • 18/09-24/09 2017
  • 11/09-17/09 2017
  • 04/09-10/09 2017
  • 28/08-03/09 2017
  • 21/08-27/08 2017
  • 14/08-20/08 2017
  • 07/08-13/08 2017
  • 31/07-06/08 2017
  • 24/07-30/07 2017
  • 17/07-23/07 2017
  • 10/07-16/07 2017
  • 03/07-09/07 2017
  • 26/06-02/07 2017
  • 19/06-25/06 2017
  • 12/06-18/06 2017
  • 05/06-11/06 2017
  • 29/05-04/06 2017
  • 22/05-28/05 2017
  • 15/05-21/05 2017
  • 08/05-14/05 2017
  • 01/05-07/05 2017
  • 24/04-30/04 2017
  • 17/04-23/04 2017
  • 10/04-16/04 2017
  • 03/04-09/04 2017
  • 27/03-02/04 2017
  • 20/03-26/03 2017
  • 13/03-19/03 2017
  • 06/03-12/03 2017
  • 27/02-05/03 2017
  • 20/02-26/02 2017
  • 13/02-19/02 2017
  • 06/02-12/02 2017
  • 30/01-05/02 2017
  • 23/01-29/01 2017
  • 16/01-22/01 2017
  • 09/01-15/01 2017
  • 02/01-08/01 2017
  • 25/12-31/12 2017
  • 19/12-25/12 2016
  • 12/12-18/12 2016
  • 05/12-11/12 2016
  • 28/11-04/12 2016
  • 21/11-27/11 2016
  • 14/11-20/11 2016
  • 07/11-13/11 2016
  • 31/10-06/11 2016
  • 24/10-30/10 2016
  • 17/10-23/10 2016
  • 10/10-16/10 2016
  • 03/10-09/10 2016
  • 26/09-02/10 2016
  • 19/09-25/09 2016
  • 12/09-18/09 2016
  • 05/09-11/09 2016
  • 29/08-04/09 2016
  • 22/08-28/08 2016
  • 15/08-21/08 2016
  • 08/08-14/08 2016
  • 01/08-07/08 2016
  • 25/07-31/07 2016
  • 18/07-24/07 2016
  • 11/07-17/07 2016
  • 04/07-10/07 2016
  • 27/06-03/07 2016
  • 20/06-26/06 2016
  • 13/06-19/06 2016
  • 06/06-12/06 2016
  • 30/05-05/06 2016
  • 23/05-29/05 2016
  • 16/05-22/05 2016
  • 09/05-15/05 2016
  • 02/05-08/05 2016
  • 25/04-01/05 2016
  • 18/04-24/04 2016
  • 11/04-17/04 2016
  • 04/04-10/04 2016
  • 28/03-03/04 2016
  • 21/03-27/03 2016
  • 14/03-20/03 2016
  • 07/03-13/03 2016
  • 29/02-06/03 2016
  • 22/02-28/02 2016
  • 15/02-21/02 2016
  • 08/02-14/02 2016
  • 01/02-07/02 2016
  • 25/01-31/01 2016
  • 18/01-24/01 2016
  • 11/01-17/01 2016
  • 04/01-10/01 2016
  • 28/12-03/01 2021
  • 21/12-27/12 2015
  • 14/12-20/12 2015
  • 07/12-13/12 2015
  • 30/11-06/12 2015
  • 23/11-29/11 2015
  • 16/11-22/11 2015
  • 09/11-15/11 2015
  • 02/11-08/11 2015
  • 26/10-01/11 2015
  • 19/10-25/10 2015
  • 12/10-18/10 2015
  • 05/10-11/10 2015
  • 28/09-04/10 2015
  • 21/09-27/09 2015
  • 14/09-20/09 2015
  • 07/09-13/09 2015
  • 31/08-06/09 2015
  • 24/08-30/08 2015
  • 17/08-23/08 2015
  • 10/08-16/08 2015
  • 03/08-09/08 2015
  • 27/07-02/08 2015
  • 20/07-26/07 2015
  • 13/07-19/07 2015
  • 06/07-12/07 2015
  • 29/06-05/07 2015
  • 22/06-28/06 2015
  • 15/06-21/06 2015
  • 08/06-14/06 2015
  • 01/06-07/06 2015
  • 25/05-31/05 2015
  • 18/05-24/05 2015
  • 11/05-17/05 2015
  • 04/05-10/05 2015
  • 27/04-03/05 2015
  • 20/04-26/04 2015
  • 13/04-19/04 2015
  • 06/04-12/04 2015
  • 30/03-05/04 2015
  • 23/03-29/03 2015
  • 16/03-22/03 2015
  • 09/03-15/03 2015
  • 02/03-08/03 2015
  • 23/02-01/03 2015
  • 16/02-22/02 2015
  • 09/02-15/02 2015
  • 02/02-08/02 2015
  • 26/01-01/02 2015
  • 19/01-25/01 2015
  • 12/01-18/01 2015
  • 05/01-11/01 2015
  • 29/12-04/01 2015
  • 22/12-28/12 2014
  • 15/12-21/12 2014
  • 08/12-14/12 2014
  • 01/12-07/12 2014
  • 24/11-30/11 2014
  • 17/11-23/11 2014
  • 10/11-16/11 2014
  • 03/11-09/11 2014
  • 27/10-02/11 2014
  • 20/10-26/10 2014
  • 13/10-19/10 2014
  • 06/10-12/10 2014
  • 29/09-05/10 2014
  • 22/09-28/09 2014
  • 15/09-21/09 2014
  • 08/09-14/09 2014
  • 01/09-07/09 2014
  • 25/08-31/08 2014
  • 18/08-24/08 2014
  • 04/08-10/08 2014
  • 21/07-27/07 2014
  • 07/07-13/07 2014
  • 30/06-06/07 2014
  • 16/06-22/06 2014
  • 09/06-15/06 2014
  • 28/04-04/05 2014
  • 21/04-27/04 2014
  • 14/04-20/04 2014
  • 07/04-13/04 2014
  • 31/03-06/04 2014
  • 24/03-30/03 2014
  • 17/03-23/03 2014
  • 10/03-16/03 2014
  • 03/03-09/03 2014
  • 24/02-02/03 2014
  • 17/02-23/02 2014
  • 10/02-16/02 2014
  • 03/02-09/02 2014
  • 27/01-02/02 2014
  • 20/01-26/01 2014
  • 13/01-19/01 2014
  • 06/01-12/01 2014
  • 30/12-05/01 2014
  • 23/12-29/12 2013
  • 16/12-22/12 2013
  • 09/12-15/12 2013
  • 02/12-08/12 2013
  • 25/11-01/12 2013
  • 18/11-24/11 2013
  • 11/11-17/11 2013
  • 04/11-10/11 2013
  • 28/10-03/11 2013
  • 21/10-27/10 2013
  • 14/10-20/10 2013
  • 07/10-13/10 2013
  • 30/09-06/10 2013
  • 23/09-29/09 2013
  • 16/09-22/09 2013
  • 09/09-15/09 2013
  • 02/09-08/09 2013
  • 26/08-01/09 2013
  • 19/08-25/08 2013
  • 12/08-18/08 2013
  • 05/08-11/08 2013
  • 29/07-04/08 2013
  • 22/07-28/07 2013
  • 15/07-21/07 2013
  • 08/07-14/07 2013
  • 01/07-07/07 2013
  • 24/06-30/06 2013
  • 17/06-23/06 2013
  • 10/06-16/06 2013
  • 03/06-09/06 2013
  • 27/05-02/06 2013
  • 20/05-26/05 2013
  • 13/05-19/05 2013
  • 06/05-12/05 2013
  • 29/04-05/05 2013
  • 22/04-28/04 2013
  • 15/04-21/04 2013
  • 08/04-14/04 2013
  • 01/04-07/04 2013
  • 25/03-31/03 2013
  • 18/03-24/03 2013
  • 11/03-17/03 2013
  • 04/03-10/03 2013
  • 25/02-03/03 2013
  • 18/02-24/02 2013
  • 11/02-17/02 2013
  • 04/02-10/02 2013
  • 28/01-03/02 2013
  • 21/01-27/01 2013
  • 07/01-13/01 2013
  • 31/12-06/01 2013
  • 24/12-30/12 2012
  • 17/12-23/12 2012
  • 10/12-16/12 2012
  • 03/12-09/12 2012
  • 26/11-02/12 2012
  • 19/11-25/11 2012
  • 12/11-18/11 2012
  • 05/11-11/11 2012
  • 29/10-04/11 2012
  • 22/10-28/10 2012
  • 15/10-21/10 2012
  • 08/10-14/10 2012
  • 01/10-07/10 2012
  • 24/09-30/09 2012
  • 17/09-23/09 2012
  • 10/09-16/09 2012
  • 03/09-09/09 2012
  • 27/08-02/09 2012
  • 20/08-26/08 2012
  • 13/08-19/08 2012
  • 06/08-12/08 2012
  • 30/07-05/08 2012
  • 23/07-29/07 2012
  • 16/07-22/07 2012
  • 09/07-15/07 2012
  • 02/07-08/07 2012
  • 25/06-01/07 2012
  • 18/06-24/06 2012
  • 11/06-17/06 2012
  • 04/06-10/06 2012
  • 28/05-03/06 2012
  • 21/05-27/05 2012
  • 30/04-06/05 2012
  • 23/04-29/04 2012
  • 16/04-22/04 2012
  • 09/04-15/04 2012
  • 02/04-08/04 2012
  • 26/03-01/04 2012
  • 12/03-18/03 2012
  • 05/03-11/03 2012
  • 27/02-04/03 2012
  • 20/02-26/02 2012
  • 13/02-19/02 2012
  • 06/02-12/02 2012
  • 30/01-05/02 2012
  • 23/01-29/01 2012
  • 16/01-22/01 2012
  • 09/01-15/01 2012
  • 02/01-08/01 2012
  • 26/12-01/01 2012
  • 12/12-18/12 2011
  • 05/12-11/12 2011
  • 28/11-04/12 2011
  • 14/11-20/11 2011
  • 07/11-13/11 2011
  • 31/10-06/11 2011
  • 24/10-30/10 2011
  • 10/10-16/10 2011
  • 12/09-18/09 2011
  • 05/09-11/09 2011
  • 29/08-04/09 2011
  • 15/08-21/08 2011
  • 04/07-10/07 2011
  • 27/06-03/07 2011
  • 20/06-26/06 2011
  • 13/06-19/06 2011
  • 06/06-12/06 2011
  • 30/05-05/06 2011
  • 16/05-22/05 2011
  • 28/03-03/04 2011
  • 14/02-20/02 2011
  • 24/01-30/01 2011
  • 17/01-23/01 2011
  • 10/01-16/01 2011
  • 03/01-09/01 2011
  • 20/12-26/12 2010
  • 13/12-19/12 2010
  • 06/12-12/12 2010
  • 20/09-26/09 2010
  • 06/09-12/09 2010
  • 23/08-29/08 2010
  • 19/07-25/07 2010
  • 12/07-18/07 2010
  • 05/07-11/07 2010
  • 28/06-04/07 2010
  • 21/06-27/06 2010
  • 14/06-20/06 2010
  • 10/05-16/05 2010
  • 05/04-11/04 2010
  • 29/03-04/04 2010
  • 15/03-21/03 2010
  • 08/03-14/03 2010
  • 15/02-21/02 2010
  • 08/02-14/02 2010
  • 09/11-15/11 2009
  • 02/11-08/11 2009
  • 26/10-01/11 2009
  • 19/10-25/10 2009
  • 05/10-11/10 2009
  • 28/09-04/10 2009
  • 21/09-27/09 2009
  • 07/09-13/09 2009
  • 31/08-06/09 2009
  • 27/07-02/08 2009
  • 20/07-26/07 2009
  • 13/07-19/07 2009
  • 06/07-12/07 2009
  • 29/06-05/07 2009
  • 22/06-28/06 2009
  • 15/06-21/06 2009
  • 01/06-07/06 2009
  • 25/05-31/05 2009
  • 18/05-24/05 2009
  • 11/05-17/05 2009
  • 27/04-03/05 2009

    E-mail mij

    Druk op onderstaande knop om mij te e-mailen.


    Blog als favoriet !

    Zoeken met Google




    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op https://www.bloggen.be - Bloggen.be, eenvoudig, gratis en snel jouw eigen blog!