Inhoud blog
  • JAAR VAN DE HAAN 15-12
  • JAAR VAN DE HAAN 14-12
  • JAAR VAN DE HAAN 13-12
  • JAAR VAN DE HAAN 12-12
  • JAAR VAN DE HAAN 11-12
    Zoeken in blog

    Foto
    Noli turbare circulos meos (Archimedes)


    GNOMON
    Wiskunde zie je!
    11-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De elfde uitdaging

    DE RECHTHOEK VAN PASCAL

    In de wiskundelessen komt (zeker in de sterk-wiskundige richtingen) de driehoek van Pascal aan bod.

    De leerlingen ontdekken dat hierin de zogenaamde binomiaalcoëfficiënten staan.

    Dit zijn de getallen die het aantal combinaties uitdrukken van p elementen uit een verzameling met n elementen:

    De formule van Pascal verklaart hoe de driehoek is opgebouwd:

    elk getal binnen de driehoek is de som van de twee getallen die links en rechts boven dat getal staan:

    5 = 1 + 4, 10 = 4 + 6, 15 = 5 + 10 ... of in het algemeen:


    Voor het aantal herhalingscombinaties van p elementen uit een verzameling met n elementen gebruikt men hetzelfde symbool met een streepje erbovenop.

    De onderstaande formule drukt het verband uit tussen herhalingscombinaties en combinaties (zonder herhaling):

    Hieronder staat een figuur die we voor de gelegenheid de rechthoek van Pascal noemen.

    OPGAVE.

    1. Vind een algemene formule voor de p-de term uit de vierde kolom: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 ... (gebruik herhalingscombinaties).

    2. Vind een algemene formule voor de p-de term uit de vijfde kolom: 1, 4, 10, 20, 35, 56,84 ... (gebruik herhalingscombinaties).

    3. We stellen vast dat 20 = 1 + 3 + 6 + 10 (getallen in cirkeltjes). Veralgemeen deze eigenschap en verklaar.

    batman animated GIF

    Misschien brengt de bijlage wel opheldering!

    Bijlagen:
    De rechthoek van Pascal - opgelost.pdf (211.1 KB)   

    11-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    10-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De tiende uitdaging

    Bij de viering van 40 jaar VVWL in Gent herinnerde Prof. Hendrik Van Maldeghem me aan het volgende probleem.

    In een vierkant tekent men een zo groot mogelijke regelmatige twaalfhoek (zie onderstaande figuur).

    Bewijs dat de oppervlakte van de twaalfhoek gelijk is aan 75% van de oppervlakte van het vierkant.

    Tip voor de oplossing: verdeel de twaalfhoek in 12 driehoeken en gebruik de formule 2 sin 15° cos 15° = sin 30° = ½ .

    ************************************************************************************************************************

    Hieronder zie je een elegant 'bewijs zonder woorden'.

    Bron: Proofs without words II, Roger B. Nelsen.

    Gezien?

    no animated GIF

    10-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    09-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De negende uitdaging

    Op 6 december 2014 vierde de Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars haar 40-jarig bestaan.

    Prof. Hendrik Van Maldeghem (UGent) schotelde het publiek bij die gelegenheid 40 problemen voor.

    Enkele van die problemen hadden te maken met cirkels, zoals je op de onderstaand foto's kunt zien.

    Hij vermeldde ook een leuke opdracht die verband houdt met de ingeschreven cirkel van een driehoek.

    OPGAVE.

    In de vier hoeken van een rechthoek met afmetingen 4x en 4y tekent men een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden x en y.

    Bij elk van deze driehoeken tekent men de ingeschreven cirkel (fig. 1) en de raaklijnen loodrecht op de zijden van de rechthoek (fig. 2).

    Op die manier wordt een 'pad' afgetekend binnen de rechthoek (fig. 3).

    Toon aan dat de oppervlakte van dit pad precies de helft is van de oppervlakte van de rechthoek.


         Gardener job graphics 

     Tip voor de oplossing.

    Volgens de formule die gisteren op mijn blog aan bod kwam, hebben de cirkels met straal r een diameter die gelijk is aan

     

    09-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    08-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De achtste uitdaging



    Collega Odette De Meulemeester gaf me ooit een muntstuk van 1 Yuan, dat ze had meegebracht van een reis naar China.

    Op de beeldzijde (links) staat een bloeiende chrysant en op de muntzijde (rechts) bemerk je het symbool π met een streepje erop.

    Blijkbaar is dit Chinees voor 'munteenheid' (= 1 Yuan) (zie http://en.wiktionary.org/wiki/%E5%85%83 ).

    Ook collega Dirk Huylebrouck maakt ons dit duidelijk via de onderstaande Facebookfoto (met dank!).

    De diameter van de munt is (afgerond) 2 cm zodat de oppervlakte (ongeveer) π cm² is. Toeval???

    En als kind leerde men me dat iemand met veel  πng-πng (lees: ping-ping) er warmpjes in zit!

    Shou Shou Ji Chinese Emoticon Chinese Man Sitting In A Chair Emoticon

    Dit is meteen de aanleiding voor een eenvoudige wiskunde-oefening

    Kan je aantonen dat de diameter van de ingeschreven cirkel van een rechthoekige driehoek gelijk is aan

    2r = b + c – a

    waarbij r de straal is van de cirkel
    en a, b en c de lengte van de zijden (a is de lengte van de schuine zijde).

    Hoeveel is dan de oppervlakte van de ingeschreven cirkel
    van een rechthoekige driehoek waarvan de rechthoekszijden lengte 3 en 4 hebben?

     Oplossing in bijlage.

    Shou Shou Ji Chinese Emoticon Chinese Man Sitting In A Chair Emoticon  

    Bijlagen:
    Eigenschap met pi - oplossing.pdf (82.1 KB)   

    08-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    07-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De zevende uitdaging

    SANGAKU MET EEN RECHTHOEK,

    EEN CIRKEL EN ZES VIERKANTEN


    Neem een willekeurig punt op de omgeschreven cirkel van een rechthoek.

    Verbind dit punt met de vier hoekpunten van de rechthoek.

    De som van de oppervlakten van de vier vierkanten geconstrueerd op deze vier lijnstukken

    is gelijk aan de som van de oppervlakten van de twee vierkanten geconstrueerd

    op de diagonalen van de rechthoek.


    Kan je dit aantonen?


    lol animated GIF


    OK, dit is een makkie!

    En uiteraard vind je een oplossing in de bijlage.

    Bijlagen:
    SANGAKU MET EEN RECHTHOEK CIRKEL EN ZES VIERKANTEN - bewijs.pdf (115.3 KB)   

    07-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    06-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De zesde uitdaging

    SANGAKU MET PYTHAGORESE CIRKELS

    In een rechthoekige driehoek construeert men op de schuine zijde de rechthoek met de grootst mogelijke oppervlakte.

    In de drie hoeken van de driehoek ontstaat zo een rechthoekig driehoekje.

    De oppervlakte van de ingeschreven cirkel van het grootste driehoekje is dan gelijk


    aan de som van de oppervlakten van de ingeschreven cirkels van de twee andere driehoekjes


    Kan je dat bewijzen?


     Opmerking. De drie ingeschreven cirkels noemen we daarom Pythagorese cirkels.


    Image Les Rois Mages de Les Rois Mages          Image Les Rois Mages de Les Rois Mages         Image Les Rois Mages de Les Rois Mages 

    En ja, de drie koningen hebben het vandaag te druk om je te helpen bij het bewijs.

    Zelf zoeken is dus de boodschap (of direct de bijlage openen)!

    Kerst_drie_koningen plaatjes 

    Collega Wim Haazen (lees hieronder zijn reactie) zorgde zelfs voor een knap en kort bewijs. Merci beaucoup!

    Hallo Luc,

    Aangezien de opp. van de driehoek  met de rode cirkel ¼ deel is van de grote driehoek,
    en de geconstrueerde rechthoek de helft is van de driehoek
    geldt natuurlijk dat de som van de oppervlaktes van de driehoeken met de groene cirkels gelijk is aan de oppervlakte van de driehoek met de rode cirkel
    en aangezien de driehoeken allemaal gelijkvormig zijn,
    geldt dat ook voor hun ingeschreven cirkels.

    Groeten, Wim Haazen, Venlo

    Bijlagen:
    SANGAKU MET PYTHAGORESE CIRKELS - oplossing.pdf (239.6 KB)   

    06-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    05-01-2015
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De vijfde uitdaging

    PI-SANGAKU 



    In een cirkel met diameter 10 zijn zes cirkels beschreven zoals op de bovenstaande figuur is aangegeven.

    Kan je aantonen dat de oppervlakte van de kleine cirkel gelijk is aan π?

    Oplossing in bijlage!

    En heb je reeds een stelletje pi-potloden besteld?

    Ik heb de mijne alvast als nieuwjaarsgeschenk gekregen!     

    Op de potloden staat het getal pi met 95 cijfers na de komma afgedrukt.

    Info op https://www.etsy.com/nl/listing/66937949/the-pi-pencil-to-96-digits-6-pack-look


    Bijlagen:
    PI-SANGAKU opgelost.pdf (226.3 KB)   

    05-01-2015 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)


    Archief per week
  • 11/12-17/12 2017
  • 04/12-10/12 2017
  • 27/11-03/12 2017
  • 20/11-26/11 2017
  • 13/11-19/11 2017
  • 06/11-12/11 2017
  • 30/10-05/11 2017
  • 23/10-29/10 2017
  • 16/10-22/10 2017
  • 09/10-15/10 2017
  • 02/10-08/10 2017
  • 25/09-01/10 2017
  • 18/09-24/09 2017
  • 11/09-17/09 2017
  • 04/09-10/09 2017
  • 28/08-03/09 2017
  • 21/08-27/08 2017
  • 14/08-20/08 2017
  • 07/08-13/08 2017
  • 31/07-06/08 2017
  • 24/07-30/07 2017
  • 17/07-23/07 2017
  • 10/07-16/07 2017
  • 03/07-09/07 2017
  • 26/06-02/07 2017
  • 19/06-25/06 2017
  • 12/06-18/06 2017
  • 05/06-11/06 2017
  • 29/05-04/06 2017
  • 22/05-28/05 2017
  • 15/05-21/05 2017
  • 08/05-14/05 2017
  • 01/05-07/05 2017
  • 24/04-30/04 2017
  • 17/04-23/04 2017
  • 10/04-16/04 2017
  • 03/04-09/04 2017
  • 27/03-02/04 2017
  • 20/03-26/03 2017
  • 13/03-19/03 2017
  • 06/03-12/03 2017
  • 27/02-05/03 2017
  • 20/02-26/02 2017
  • 13/02-19/02 2017
  • 06/02-12/02 2017
  • 30/01-05/02 2017
  • 23/01-29/01 2017
  • 16/01-22/01 2017
  • 09/01-15/01 2017
  • 02/01-08/01 2017
  • 25/12-31/12 2017
  • 19/12-25/12 2016
  • 12/12-18/12 2016
  • 05/12-11/12 2016
  • 28/11-04/12 2016
  • 21/11-27/11 2016
  • 14/11-20/11 2016
  • 07/11-13/11 2016
  • 31/10-06/11 2016
  • 24/10-30/10 2016
  • 17/10-23/10 2016
  • 10/10-16/10 2016
  • 03/10-09/10 2016
  • 26/09-02/10 2016
  • 19/09-25/09 2016
  • 12/09-18/09 2016
  • 05/09-11/09 2016
  • 29/08-04/09 2016
  • 22/08-28/08 2016
  • 15/08-21/08 2016
  • 08/08-14/08 2016
  • 01/08-07/08 2016
  • 25/07-31/07 2016
  • 18/07-24/07 2016
  • 11/07-17/07 2016
  • 04/07-10/07 2016
  • 27/06-03/07 2016
  • 20/06-26/06 2016
  • 13/06-19/06 2016
  • 06/06-12/06 2016
  • 30/05-05/06 2016
  • 23/05-29/05 2016
  • 16/05-22/05 2016
  • 09/05-15/05 2016
  • 02/05-08/05 2016
  • 25/04-01/05 2016
  • 18/04-24/04 2016
  • 11/04-17/04 2016
  • 04/04-10/04 2016
  • 28/03-03/04 2016
  • 21/03-27/03 2016
  • 14/03-20/03 2016
  • 07/03-13/03 2016
  • 29/02-06/03 2016
  • 22/02-28/02 2016
  • 15/02-21/02 2016
  • 08/02-14/02 2016
  • 01/02-07/02 2016
  • 25/01-31/01 2016
  • 18/01-24/01 2016
  • 11/01-17/01 2016
  • 04/01-10/01 2016
  • 28/12-03/01 2021
  • 21/12-27/12 2015
  • 14/12-20/12 2015
  • 07/12-13/12 2015
  • 30/11-06/12 2015
  • 23/11-29/11 2015
  • 16/11-22/11 2015
  • 09/11-15/11 2015
  • 02/11-08/11 2015
  • 26/10-01/11 2015
  • 19/10-25/10 2015
  • 12/10-18/10 2015
  • 05/10-11/10 2015
  • 28/09-04/10 2015
  • 21/09-27/09 2015
  • 14/09-20/09 2015
  • 07/09-13/09 2015
  • 31/08-06/09 2015
  • 24/08-30/08 2015
  • 17/08-23/08 2015
  • 10/08-16/08 2015
  • 03/08-09/08 2015
  • 27/07-02/08 2015
  • 20/07-26/07 2015
  • 13/07-19/07 2015
  • 06/07-12/07 2015
  • 29/06-05/07 2015
  • 22/06-28/06 2015
  • 15/06-21/06 2015
  • 08/06-14/06 2015
  • 01/06-07/06 2015
  • 25/05-31/05 2015
  • 18/05-24/05 2015
  • 11/05-17/05 2015
  • 04/05-10/05 2015
  • 27/04-03/05 2015
  • 20/04-26/04 2015
  • 13/04-19/04 2015
  • 06/04-12/04 2015
  • 30/03-05/04 2015
  • 23/03-29/03 2015
  • 16/03-22/03 2015
  • 09/03-15/03 2015
  • 02/03-08/03 2015
  • 23/02-01/03 2015
  • 16/02-22/02 2015
  • 09/02-15/02 2015
  • 02/02-08/02 2015
  • 26/01-01/02 2015
  • 19/01-25/01 2015
  • 12/01-18/01 2015
  • 05/01-11/01 2015
  • 29/12-04/01 2015
  • 22/12-28/12 2014
  • 15/12-21/12 2014
  • 08/12-14/12 2014
  • 01/12-07/12 2014
  • 24/11-30/11 2014
  • 17/11-23/11 2014
  • 10/11-16/11 2014
  • 03/11-09/11 2014
  • 27/10-02/11 2014
  • 20/10-26/10 2014
  • 13/10-19/10 2014
  • 06/10-12/10 2014
  • 29/09-05/10 2014
  • 22/09-28/09 2014
  • 15/09-21/09 2014
  • 08/09-14/09 2014
  • 01/09-07/09 2014
  • 25/08-31/08 2014
  • 18/08-24/08 2014
  • 04/08-10/08 2014
  • 21/07-27/07 2014
  • 07/07-13/07 2014
  • 30/06-06/07 2014
  • 16/06-22/06 2014
  • 09/06-15/06 2014
  • 28/04-04/05 2014
  • 21/04-27/04 2014
  • 14/04-20/04 2014
  • 07/04-13/04 2014
  • 31/03-06/04 2014
  • 24/03-30/03 2014
  • 17/03-23/03 2014
  • 10/03-16/03 2014
  • 03/03-09/03 2014
  • 24/02-02/03 2014
  • 17/02-23/02 2014
  • 10/02-16/02 2014
  • 03/02-09/02 2014
  • 27/01-02/02 2014
  • 20/01-26/01 2014
  • 13/01-19/01 2014
  • 06/01-12/01 2014
  • 30/12-05/01 2014
  • 23/12-29/12 2013
  • 16/12-22/12 2013
  • 09/12-15/12 2013
  • 02/12-08/12 2013
  • 25/11-01/12 2013
  • 18/11-24/11 2013
  • 11/11-17/11 2013
  • 04/11-10/11 2013
  • 28/10-03/11 2013
  • 21/10-27/10 2013
  • 14/10-20/10 2013
  • 07/10-13/10 2013
  • 30/09-06/10 2013
  • 23/09-29/09 2013
  • 16/09-22/09 2013
  • 09/09-15/09 2013
  • 02/09-08/09 2013
  • 26/08-01/09 2013
  • 19/08-25/08 2013
  • 12/08-18/08 2013
  • 05/08-11/08 2013
  • 29/07-04/08 2013
  • 22/07-28/07 2013
  • 15/07-21/07 2013
  • 08/07-14/07 2013
  • 01/07-07/07 2013
  • 24/06-30/06 2013
  • 17/06-23/06 2013
  • 10/06-16/06 2013
  • 03/06-09/06 2013
  • 27/05-02/06 2013
  • 20/05-26/05 2013
  • 13/05-19/05 2013
  • 06/05-12/05 2013
  • 29/04-05/05 2013
  • 22/04-28/04 2013
  • 15/04-21/04 2013
  • 08/04-14/04 2013
  • 01/04-07/04 2013
  • 25/03-31/03 2013
  • 18/03-24/03 2013
  • 11/03-17/03 2013
  • 04/03-10/03 2013
  • 25/02-03/03 2013
  • 18/02-24/02 2013
  • 11/02-17/02 2013
  • 04/02-10/02 2013
  • 28/01-03/02 2013
  • 21/01-27/01 2013
  • 07/01-13/01 2013
  • 31/12-06/01 2013
  • 24/12-30/12 2012
  • 17/12-23/12 2012
  • 10/12-16/12 2012
  • 03/12-09/12 2012
  • 26/11-02/12 2012
  • 19/11-25/11 2012
  • 12/11-18/11 2012
  • 05/11-11/11 2012
  • 29/10-04/11 2012
  • 22/10-28/10 2012
  • 15/10-21/10 2012
  • 08/10-14/10 2012
  • 01/10-07/10 2012
  • 24/09-30/09 2012
  • 17/09-23/09 2012
  • 10/09-16/09 2012
  • 03/09-09/09 2012
  • 27/08-02/09 2012
  • 20/08-26/08 2012
  • 13/08-19/08 2012
  • 06/08-12/08 2012
  • 30/07-05/08 2012
  • 23/07-29/07 2012
  • 16/07-22/07 2012
  • 09/07-15/07 2012
  • 02/07-08/07 2012
  • 25/06-01/07 2012
  • 18/06-24/06 2012
  • 11/06-17/06 2012
  • 04/06-10/06 2012
  • 28/05-03/06 2012
  • 21/05-27/05 2012
  • 30/04-06/05 2012
  • 23/04-29/04 2012
  • 16/04-22/04 2012
  • 09/04-15/04 2012
  • 02/04-08/04 2012
  • 26/03-01/04 2012
  • 12/03-18/03 2012
  • 05/03-11/03 2012
  • 27/02-04/03 2012
  • 20/02-26/02 2012
  • 13/02-19/02 2012
  • 06/02-12/02 2012
  • 30/01-05/02 2012
  • 23/01-29/01 2012
  • 16/01-22/01 2012
  • 09/01-15/01 2012
  • 02/01-08/01 2012
  • 26/12-01/01 2012
  • 12/12-18/12 2011
  • 05/12-11/12 2011
  • 28/11-04/12 2011
  • 14/11-20/11 2011
  • 07/11-13/11 2011
  • 31/10-06/11 2011
  • 24/10-30/10 2011
  • 10/10-16/10 2011
  • 12/09-18/09 2011
  • 05/09-11/09 2011
  • 29/08-04/09 2011
  • 15/08-21/08 2011
  • 04/07-10/07 2011
  • 27/06-03/07 2011
  • 20/06-26/06 2011
  • 13/06-19/06 2011
  • 06/06-12/06 2011
  • 30/05-05/06 2011
  • 16/05-22/05 2011
  • 28/03-03/04 2011
  • 14/02-20/02 2011
  • 24/01-30/01 2011
  • 17/01-23/01 2011
  • 10/01-16/01 2011
  • 03/01-09/01 2011
  • 20/12-26/12 2010
  • 13/12-19/12 2010
  • 06/12-12/12 2010
  • 20/09-26/09 2010
  • 06/09-12/09 2010
  • 23/08-29/08 2010
  • 19/07-25/07 2010
  • 12/07-18/07 2010
  • 05/07-11/07 2010
  • 28/06-04/07 2010
  • 21/06-27/06 2010
  • 14/06-20/06 2010
  • 10/05-16/05 2010
  • 05/04-11/04 2010
  • 29/03-04/04 2010
  • 15/03-21/03 2010
  • 08/03-14/03 2010
  • 15/02-21/02 2010
  • 08/02-14/02 2010
  • 09/11-15/11 2009
  • 02/11-08/11 2009
  • 26/10-01/11 2009
  • 19/10-25/10 2009
  • 05/10-11/10 2009
  • 28/09-04/10 2009
  • 21/09-27/09 2009
  • 07/09-13/09 2009
  • 31/08-06/09 2009
  • 27/07-02/08 2009
  • 20/07-26/07 2009
  • 13/07-19/07 2009
  • 06/07-12/07 2009
  • 29/06-05/07 2009
  • 22/06-28/06 2009
  • 15/06-21/06 2009
  • 01/06-07/06 2009
  • 25/05-31/05 2009
  • 18/05-24/05 2009
  • 11/05-17/05 2009
  • 27/04-03/05 2009

    E-mail mij

    Druk op onderstaande knop om mij te e-mailen.


    Blog als favoriet !

    Zoeken met Google




    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op https://www.bloggen.be - Bloggen.be, eenvoudig, gratis en snel jouw eigen blog!