Inhoud blog
  • JAAR VAN DE HAAN 15-12
  • JAAR VAN DE HAAN 14-12
  • JAAR VAN DE HAAN 13-12
  • JAAR VAN DE HAAN 12-12
  • JAAR VAN DE HAAN 11-12
    Zoeken in blog

    Foto
    Noli turbare circulos meos (Archimedes)


    GNOMON
    Wiskunde zie je!
    30-03-2014
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Pellgetallen

    PELLGETALLEN

    De Pellgetallen zijn genoemd naar de Engelse wiskundige John Pell (17de eeuw)
    en worden gedefinieerd door de volgende recursiebetrekking:

    P_n=begin{cases}0&mbox{voor }n=0;1&mbox{voor }n=1;2P_{n-1}+P_{n-2}&mbox{voor }n geq 2.end{cases}

    Deze rij begint dus met 0 en 1 en elk volgend getal bekomt men
    door tweemaal het vorige getal op te tellen bij het getal daarvoor.
     
    De rij begint dus als volgt:  0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2 378...

    Het n-de Pellgetal is bepaald door de volgende uitdrukking:

    P_n=frac{(1+sqrt2)^n-(1-sqrt2)^n}{2sqrt2}.

    Bron: Wikipedia.

    Davidopes mesmerizing animations

    In de bijlage kan je zien hoe je de bovenstaande uitdrukking
    voor het n-de Pellgetal kunt vinden.

    En op de onderstaande figuur hebben we geprobeerd de rij van de Pellgetallen te 'visualiseren'.


    Lees ook eens de bijlage waaruit blijkt dat men zowel de Fibonaccigetallen als de Pellegetallen met een grafische rekenmachine kan genereren.

    Davidopes mesmerizing animations

    Bijlagen:
    Algemene uitdrukking van de Pellgetallen.pdf (214.9 KB)   
    FIBONACCI EN PELLGETALLEN.pdf (204.6 KB)   

    30-03-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    29-03-2014
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De regel van Cramer

    Om een stelsel van n lineaire vergelijkingen op te lossen
    waarbij de determinant van de coŽfficiŽntenmatrix verschillend is van nul
    bestaat er een elegante oplossingsmethode die gebruik maakt van determinanten:

    DE REGEL VAN CRAMER

    die we hieronder vermelden voor een 3 x 3 - stelsel.




    Gabriel Cramer (1704 - 1752) was een Zwitserse wiskundeprof die werkte aan de Universiteit van GenŤve.
    In 1750 publiceerde hij een boek over algebraÔsche krommen
    waarin hij o.a. bewees dat een vlakke kromme van de n-de graad
    in het algemeen bepaald is door n(n+3)/2 punten.
    Zo is bijvoorbeeld een kegelsnede (tweedegraadskromme) bepaald door 5 punten. 

    In de bijlage bij dit werk publiceert hij een methode om stelsel op te lossen, die nu bekend staat als de regel van Cramer.
    Hiermee gaf hij een aanzet tot de ontwikkeling van de theorie van determinanten.

    Een kort bewijs van deze regel vind je in de bijlage.

    excited animated GIF

    Bijlagen:
    De regel van Cramer - bewijs.pdf (177.8 KB)   

    29-03-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    27-03-2014
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Probleem van de week nr. 8

    Planet Gear (gif 1.6 MB) 

    PROBLEEM 8

    Cog wheels moving in the head for a brain thinking

    UITVINDING 8

    Deze snelle driewieler was een uitvinding van een zekere
    Mr. Vossner uit Philadelphia.
    Hij bedacht een ingenieus systeem om de beweging van de pedalen
    over te brengen op de grote wielen van deze fiets.
    Eťn toer met de pedalen resulteerde in twee volledige toeren van de wielen
    zodat men terecht kon spreken van een snelle driewieler.

    Bijlagen:
    COSMOSPROBLEEM 8_oplossing.pdf (216.1 KB)   

    27-03-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Een merkwaardige som

    EEN MERKWAARDIGE SOM

    Een bewijs zonder woorden zie je hieronder!


    Bron: Mathematics Magazine, Vol. 62, No. 5 

    ***********************************************************************************************

    Collega DaniŽl Tant bezorgde me een bewijs 'met woorden':




    smile animated GIF

    27-03-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    26-03-2014
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Som van een meetkundige reeks

    SOM VAN EEN MEETKUNDIGE REEKS

    Een gelijkbenig trapezium kan je opdelen in vier congruente gelijkbenige trapeziums

    en hiermee bewijs je 'zonder woorden ' dat

    1/4 + 1/16 + 1/64 + ...  = 1/3.

    Dit is een bijzonder geval van een algemene formule voor de som van een meetkundige reeks.

    Hieronder zie je een bewijs zonder woorden voor deze algemenere formule.

    Gezien?

    Emma Stone Ugh Reaction Gif

    26-03-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    25-03-2014
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Stangenvlinders

    STANGENVLINDERS

    Een constructie bestaat uit twee stangen van lengte 18 cm en twee stangen van lengte 10 cm,
    die scharnierend aan elkaar bevestigd zijn. We verwaarlozen de breedte en de dikte van de staven.
    Wanneer de stangen scharnieren rond de punten A, B, C en D ontstaan figuren
    die we stangenvlinders noemen. Hieronder staan er een paar  getekend.




    De afstand tussen A en B is x en de afstand tussen C en D is y.
    Druk het verband uit tussen x en y.

    Butterfly Frenzy

    Oplossing in bijlage.
    Bron: Tijdschrift voor Didactiek der β-wetenschappen, Jaargang 28 nr. 1 (2011)

    Bijlagen:
    Stangenvlinders - rekenwerk.pdf (145.7 KB)   

    25-03-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    24-03-2014
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Het probleem van de vier luizen

    HET PROBLEEM VAN DE VIER LUIZEN

    Vier luizen zitten op de vier hoekpunten van een vierkant met zijde 1.
    Elke luis loopt in tegenwijzerzin in de richting van de luis rechts ervan
    (die dus zelf ook aan de loop gaat) en we nemen aan
    dat de luizen met dezelfde snelheid naar elkaar toe lopen.

    Het zal wel duidelijk zijn dat de vier luizen elkaar in het midden van het vierkant ontmoeten.
    Maar welk traject hebben ze dan afgelegd en hoe lang is dat traject?  

    4 mice

    In de bijlage tonen we aan dat ze lopen volgens een logaritmische spiraal.
    Puur wiskundig bekenen zouden de vier punten oneindig lang naar elkaar toe bewegen
    en paradoxaal genoeg is 'de totale afstand' die elke luis aflegt gelijk aan 1
    wat precies de lengte van de zijden van het vierkant is.


    HET PROBLEEM VAN DE DRIE LUIZEN.

    Welke afstand zouden drie luizen afleggen
    als ze starten op de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek
    waarvan de zijden lengte 1 hebben?

    3 mice

    Wiskundigen zijn erin geslaagd een elegante formule te vinden
    voor de afgelegde afstand dn wanneer de luizen starten
    op de hoekpunten van een regelmatige n-hoek met zijden 1:


     d_n=1/(1-cos((2pi)/n)).

    Meer uitleg op http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/FourTurtles.shtml 
    De baan die ze volgen is dan telkens een logaritmische spiraal.

    Bron: Wolfram Mathworld.

    Bijlagen:
    HET PROBLEEM VAN DE VIER LUIZEN.doc (198 KB)   

    24-03-2014 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)


    Archief per week
  • 11/12-17/12 2017
  • 04/12-10/12 2017
  • 27/11-03/12 2017
  • 20/11-26/11 2017
  • 13/11-19/11 2017
  • 06/11-12/11 2017
  • 30/10-05/11 2017
  • 23/10-29/10 2017
  • 16/10-22/10 2017
  • 09/10-15/10 2017
  • 02/10-08/10 2017
  • 25/09-01/10 2017
  • 18/09-24/09 2017
  • 11/09-17/09 2017
  • 04/09-10/09 2017
  • 28/08-03/09 2017
  • 21/08-27/08 2017
  • 14/08-20/08 2017
  • 07/08-13/08 2017
  • 31/07-06/08 2017
  • 24/07-30/07 2017
  • 17/07-23/07 2017
  • 10/07-16/07 2017
  • 03/07-09/07 2017
  • 26/06-02/07 2017
  • 19/06-25/06 2017
  • 12/06-18/06 2017
  • 05/06-11/06 2017
  • 29/05-04/06 2017
  • 22/05-28/05 2017
  • 15/05-21/05 2017
  • 08/05-14/05 2017
  • 01/05-07/05 2017
  • 24/04-30/04 2017
  • 17/04-23/04 2017
  • 10/04-16/04 2017
  • 03/04-09/04 2017
  • 27/03-02/04 2017
  • 20/03-26/03 2017
  • 13/03-19/03 2017
  • 06/03-12/03 2017
  • 27/02-05/03 2017
  • 20/02-26/02 2017
  • 13/02-19/02 2017
  • 06/02-12/02 2017
  • 30/01-05/02 2017
  • 23/01-29/01 2017
  • 16/01-22/01 2017
  • 09/01-15/01 2017
  • 02/01-08/01 2017
  • 25/12-31/12 2017
  • 19/12-25/12 2016
  • 12/12-18/12 2016
  • 05/12-11/12 2016
  • 28/11-04/12 2016
  • 21/11-27/11 2016
  • 14/11-20/11 2016
  • 07/11-13/11 2016
  • 31/10-06/11 2016
  • 24/10-30/10 2016
  • 17/10-23/10 2016
  • 10/10-16/10 2016
  • 03/10-09/10 2016
  • 26/09-02/10 2016
  • 19/09-25/09 2016
  • 12/09-18/09 2016
  • 05/09-11/09 2016
  • 29/08-04/09 2016
  • 22/08-28/08 2016
  • 15/08-21/08 2016
  • 08/08-14/08 2016
  • 01/08-07/08 2016
  • 25/07-31/07 2016
  • 18/07-24/07 2016
  • 11/07-17/07 2016
  • 04/07-10/07 2016
  • 27/06-03/07 2016
  • 20/06-26/06 2016
  • 13/06-19/06 2016
  • 06/06-12/06 2016
  • 30/05-05/06 2016
  • 23/05-29/05 2016
  • 16/05-22/05 2016
  • 09/05-15/05 2016
  • 02/05-08/05 2016
  • 25/04-01/05 2016
  • 18/04-24/04 2016
  • 11/04-17/04 2016
  • 04/04-10/04 2016
  • 28/03-03/04 2016
  • 21/03-27/03 2016
  • 14/03-20/03 2016
  • 07/03-13/03 2016
  • 29/02-06/03 2016
  • 22/02-28/02 2016
  • 15/02-21/02 2016
  • 08/02-14/02 2016
  • 01/02-07/02 2016
  • 25/01-31/01 2016
  • 18/01-24/01 2016
  • 11/01-17/01 2016
  • 04/01-10/01 2016
  • 28/12-03/01 2021
  • 21/12-27/12 2015
  • 14/12-20/12 2015
  • 07/12-13/12 2015
  • 30/11-06/12 2015
  • 23/11-29/11 2015
  • 16/11-22/11 2015
  • 09/11-15/11 2015
  • 02/11-08/11 2015
  • 26/10-01/11 2015
  • 19/10-25/10 2015
  • 12/10-18/10 2015
  • 05/10-11/10 2015
  • 28/09-04/10 2015
  • 21/09-27/09 2015
  • 14/09-20/09 2015
  • 07/09-13/09 2015
  • 31/08-06/09 2015
  • 24/08-30/08 2015
  • 17/08-23/08 2015
  • 10/08-16/08 2015
  • 03/08-09/08 2015
  • 27/07-02/08 2015
  • 20/07-26/07 2015
  • 13/07-19/07 2015
  • 06/07-12/07 2015
  • 29/06-05/07 2015
  • 22/06-28/06 2015
  • 15/06-21/06 2015
  • 08/06-14/06 2015
  • 01/06-07/06 2015
  • 25/05-31/05 2015
  • 18/05-24/05 2015
  • 11/05-17/05 2015
  • 04/05-10/05 2015
  • 27/04-03/05 2015
  • 20/04-26/04 2015
  • 13/04-19/04 2015
  • 06/04-12/04 2015
  • 30/03-05/04 2015
  • 23/03-29/03 2015
  • 16/03-22/03 2015
  • 09/03-15/03 2015
  • 02/03-08/03 2015
  • 23/02-01/03 2015
  • 16/02-22/02 2015
  • 09/02-15/02 2015
  • 02/02-08/02 2015
  • 26/01-01/02 2015
  • 19/01-25/01 2015
  • 12/01-18/01 2015
  • 05/01-11/01 2015
  • 29/12-04/01 2015
  • 22/12-28/12 2014
  • 15/12-21/12 2014
  • 08/12-14/12 2014
  • 01/12-07/12 2014
  • 24/11-30/11 2014
  • 17/11-23/11 2014
  • 10/11-16/11 2014
  • 03/11-09/11 2014
  • 27/10-02/11 2014
  • 20/10-26/10 2014
  • 13/10-19/10 2014
  • 06/10-12/10 2014
  • 29/09-05/10 2014
  • 22/09-28/09 2014
  • 15/09-21/09 2014
  • 08/09-14/09 2014
  • 01/09-07/09 2014
  • 25/08-31/08 2014
  • 18/08-24/08 2014
  • 04/08-10/08 2014
  • 21/07-27/07 2014
  • 07/07-13/07 2014
  • 30/06-06/07 2014
  • 16/06-22/06 2014
  • 09/06-15/06 2014
  • 28/04-04/05 2014
  • 21/04-27/04 2014
  • 14/04-20/04 2014
  • 07/04-13/04 2014
  • 31/03-06/04 2014
  • 24/03-30/03 2014
  • 17/03-23/03 2014
  • 10/03-16/03 2014
  • 03/03-09/03 2014
  • 24/02-02/03 2014
  • 17/02-23/02 2014
  • 10/02-16/02 2014
  • 03/02-09/02 2014
  • 27/01-02/02 2014
  • 20/01-26/01 2014
  • 13/01-19/01 2014
  • 06/01-12/01 2014
  • 30/12-05/01 2014
  • 23/12-29/12 2013
  • 16/12-22/12 2013
  • 09/12-15/12 2013
  • 02/12-08/12 2013
  • 25/11-01/12 2013
  • 18/11-24/11 2013
  • 11/11-17/11 2013
  • 04/11-10/11 2013
  • 28/10-03/11 2013
  • 21/10-27/10 2013
  • 14/10-20/10 2013
  • 07/10-13/10 2013
  • 30/09-06/10 2013
  • 23/09-29/09 2013
  • 16/09-22/09 2013
  • 09/09-15/09 2013
  • 02/09-08/09 2013
  • 26/08-01/09 2013
  • 19/08-25/08 2013
  • 12/08-18/08 2013
  • 05/08-11/08 2013
  • 29/07-04/08 2013
  • 22/07-28/07 2013
  • 15/07-21/07 2013
  • 08/07-14/07 2013
  • 01/07-07/07 2013
  • 24/06-30/06 2013
  • 17/06-23/06 2013
  • 10/06-16/06 2013
  • 03/06-09/06 2013
  • 27/05-02/06 2013
  • 20/05-26/05 2013
  • 13/05-19/05 2013
  • 06/05-12/05 2013
  • 29/04-05/05 2013
  • 22/04-28/04 2013
  • 15/04-21/04 2013
  • 08/04-14/04 2013
  • 01/04-07/04 2013
  • 25/03-31/03 2013
  • 18/03-24/03 2013
  • 11/03-17/03 2013
  • 04/03-10/03 2013
  • 25/02-03/03 2013
  • 18/02-24/02 2013
  • 11/02-17/02 2013
  • 04/02-10/02 2013
  • 28/01-03/02 2013
  • 21/01-27/01 2013
  • 07/01-13/01 2013
  • 31/12-06/01 2013
  • 24/12-30/12 2012
  • 17/12-23/12 2012
  • 10/12-16/12 2012
  • 03/12-09/12 2012
  • 26/11-02/12 2012
  • 19/11-25/11 2012
  • 12/11-18/11 2012
  • 05/11-11/11 2012
  • 29/10-04/11 2012
  • 22/10-28/10 2012
  • 15/10-21/10 2012
  • 08/10-14/10 2012
  • 01/10-07/10 2012
  • 24/09-30/09 2012
  • 17/09-23/09 2012
  • 10/09-16/09 2012
  • 03/09-09/09 2012
  • 27/08-02/09 2012
  • 20/08-26/08 2012
  • 13/08-19/08 2012
  • 06/08-12/08 2012
  • 30/07-05/08 2012
  • 23/07-29/07 2012
  • 16/07-22/07 2012
  • 09/07-15/07 2012
  • 02/07-08/07 2012
  • 25/06-01/07 2012
  • 18/06-24/06 2012
  • 11/06-17/06 2012
  • 04/06-10/06 2012
  • 28/05-03/06 2012
  • 21/05-27/05 2012
  • 30/04-06/05 2012
  • 23/04-29/04 2012
  • 16/04-22/04 2012
  • 09/04-15/04 2012
  • 02/04-08/04 2012
  • 26/03-01/04 2012
  • 12/03-18/03 2012
  • 05/03-11/03 2012
  • 27/02-04/03 2012
  • 20/02-26/02 2012
  • 13/02-19/02 2012
  • 06/02-12/02 2012
  • 30/01-05/02 2012
  • 23/01-29/01 2012
  • 16/01-22/01 2012
  • 09/01-15/01 2012
  • 02/01-08/01 2012
  • 26/12-01/01 2012
  • 12/12-18/12 2011
  • 05/12-11/12 2011
  • 28/11-04/12 2011
  • 14/11-20/11 2011
  • 07/11-13/11 2011
  • 31/10-06/11 2011
  • 24/10-30/10 2011
  • 10/10-16/10 2011
  • 12/09-18/09 2011
  • 05/09-11/09 2011
  • 29/08-04/09 2011
  • 15/08-21/08 2011
  • 04/07-10/07 2011
  • 27/06-03/07 2011
  • 20/06-26/06 2011
  • 13/06-19/06 2011
  • 06/06-12/06 2011
  • 30/05-05/06 2011
  • 16/05-22/05 2011
  • 28/03-03/04 2011
  • 14/02-20/02 2011
  • 24/01-30/01 2011
  • 17/01-23/01 2011
  • 10/01-16/01 2011
  • 03/01-09/01 2011
  • 20/12-26/12 2010
  • 13/12-19/12 2010
  • 06/12-12/12 2010
  • 20/09-26/09 2010
  • 06/09-12/09 2010
  • 23/08-29/08 2010
  • 19/07-25/07 2010
  • 12/07-18/07 2010
  • 05/07-11/07 2010
  • 28/06-04/07 2010
  • 21/06-27/06 2010
  • 14/06-20/06 2010
  • 10/05-16/05 2010
  • 05/04-11/04 2010
  • 29/03-04/04 2010
  • 15/03-21/03 2010
  • 08/03-14/03 2010
  • 15/02-21/02 2010
  • 08/02-14/02 2010
  • 09/11-15/11 2009
  • 02/11-08/11 2009
  • 26/10-01/11 2009
  • 19/10-25/10 2009
  • 05/10-11/10 2009
  • 28/09-04/10 2009
  • 21/09-27/09 2009
  • 07/09-13/09 2009
  • 31/08-06/09 2009
  • 27/07-02/08 2009
  • 20/07-26/07 2009
  • 13/07-19/07 2009
  • 06/07-12/07 2009
  • 29/06-05/07 2009
  • 22/06-28/06 2009
  • 15/06-21/06 2009
  • 01/06-07/06 2009
  • 25/05-31/05 2009
  • 18/05-24/05 2009
  • 11/05-17/05 2009
  • 27/04-03/05 2009

    E-mail mij

    Druk op onderstaande knop om mij te e-mailen.


    Blog als favoriet !

    Zoeken met Google




    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op https://www.bloggen.be - Bloggen.be, eenvoudig, gratis en snel jouw eigen blog!