Inhoud blog
  • JAAR VAN DE HAAN 11-12
  • JAAR VAN DE HAAN 10-12
  • JAAR VAN DE HAAN 09-12
  • JAAR VAN DE HAAN 08-12
  • JAAR VAN DE HAAN 07-12
    Zoeken in blog

    Foto
    Noli turbare circulos meos (Archimedes)


    GNOMON
    Wiskunde zie je!
    14-12-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen. De paradox van het oneindige


     Infinity
    kalligrafisch uitgebeeld door Kim Scott

    STELLING. Op een lijnstuk liggen evenveel punten als op een rechte.

    Op de onderstaande figuur zie je dat er met elk groen punt op de middellijn van de cirkel
    precies één rood punt van de getekende rechte correspondeert en omgekeerd.
    Het volstaat immers via een lijnstuk een willekeurig rood punt op de rechte
    te verbinden met het middelpunt van de cirkel
    en vervolgens het snijpunt van dat lijnstuk met de cirkel
    loodrecht te projecteren op de middellijn van de cirkel.
    Die projectie levert dan een groen punt op.

    STELLING. Er zijn evenveel natuurlijke getallen als er gehele getallen zijn,
    m.a.w. in de verzameling {0, 1, 2, 3, ...} zitten evenveel getallen als in {...,-3, -2, -1, 0; 1, 2 , 3, ...}.

    Dit kan je gemakkelijk als volgt inzien.
    Met een even natuurlijk getal n en laten we het positief geheel getal n/2 overeenkomen.
    Met een oneven natuurlijk getal n laten we het negatief geheel getal -(n+1)/2 overeenkomen.
    Zo komt met elk natuurlijk getal precies één geheel getal overeen en omgekeerd.

        

    Het duurde tot in de 19de eeuw tot wiskundigen een  juist begrip hadden van 'oneindig veel'.
    De wiskundigen Georg Cantor en David Hilbert leverden op dit vlak baanbrekend werk
    en kwamen tot de conclusie dat de verzamelingen van de natuurlijke getallen, 
    van de gehele getallen en van de rationale getallen 'aftelbaar oneindig' veel elementen bevatten,
    terwijl dat voor de verzameling van de reële getallen niet waar is:

     aleph_0 (alef-nul)  ≠  aleph_1 (alef-één)
     2^{aleph_0}=aleph_1.
    Een goed bewaard geheim van Georg Cantor
    (lees meer hierover in de bijlage).

    Over het werk van Cantor verneem je ook  meer op
    http://www.math4all.nl/Wiskundegeschiedenis/Wiskundigen/Cantor.html

    In het volgende filmpje leer je dat ∞ + 1 = ∞ en dat 2 ∞ = ∞
    wat aanleiding gaf tot de paradox van het Hilberthotel.



    Tree-hand loop

    Bijlagen:
    Oneindig Robbert Dijkgraaf.pdf (765.6 KB)   

    14-12-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    13-12-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.In memoriam Leon van den Broek


    Zopas vernam ik het onverwacht overlijden van collega Leon van den Broek op zondag 8 december 2013.

    Leon was hier in Kortrijk in 2009 als gastspreker aanwezig op de Dag van de Wiskunde
    en hij sprak met enthousiasme en enige fierheid over de vele wiskunde-activiteiten
    waarmee hij - na een loopbaan van 34 jaar in RSG Pantarijn in Wageningen -
    zijn dagen op een zinvolle manier wist te vullen:

    directeur van de Nederlands Kangoeroewedstrijd,
    medewerker aan het steunpunt Wiskunde D van de Radboud Universiteit Nijmegen,
    auteur van de Wageningse Methode, van Ratio, van talrijke artikels en Zebraboekjes
    en van experimentele materialen voor het toekomstig wiskunde-onderwijs (na 2014).

    Een man met een enorme verdienste die droomde en liet dromen.

    Hierbij past meteen een woord van dank aan collega Odette De Meulemeester
    die me met Leon en zijn werk in contact bracht.

    Zijn boekje "Mijn mooiste MATHE ..." is een potpourri van wiskundige verrassingen
    die hij zelf als zijn memoires beschouwde.

    Omdat op mijn blog kwadraatgetallen en de stelling van Pythagoras
    en de toepassingen ervan terugkerende items zijn,
    vermeld ik hier graag twee van Leons wiskundige verrassingen.

    DE RIJ DIE OVER DE KWADRATEN HEEN LOOPT

    Bekijk de rij tn = n + int(½ + √n) voor n = 1, 2, 3, 4 ...
    waarbij int(x) staat voor het geheel gedeelte van x.
    Zo is bijvoorbeeld int(3,14) = 3.
    Dan blijkt deze rij termen over de kwadraten heen te springen,
    m.a.w. alle positieve gehele getallen duiken op in de rij
    behalve de kwadraatgetallen 1, 4, 9, 16 ....

    Referentie: On-Line Encycclopedia of Integer Sequences

    DE LOODLIJNEN VAN PYTHAGORAS

    Teken op de zijden van een scherphoekige of rechthoekige driehoek naar buiten toe vierkanten.
    Kies binnen (of op de rand van de driehoek) twee punten en trek vanuit die punten loodlijnen op de drie zijden.
    Bekijk binnen de vierkanten de stroken tussen deze loodlijnen.
    Twee van de stroken hebben samen dezelfde oppervlakte als de derde strook.




    Weet je ook hoe hieruit de stelling van Pythagoras volgt?

    13-12-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    12-12-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Probleem van de week nr. 23


    Planet Gear (gif 1.6 MB) 


    PROBLEEM 23

    Voor geen enkel positief geheel getal n
    is het getal 24n  + 22n + 1 een priemgetal.
    Bewijs dit.

    Cog wheels moving in the head for a brain thinking

      UITVINDING 23 


    Met de opkomst van de elektriciteit doken meteen ook een aantal problemen op.
    De primitieve schakelaars waren onveilig en zorgden vaak voor vonken.
    Daarom bedacht men een hulpstuk dat op een schakelaar werd gemonteerd.
    Het handvat bestond uit isolerend materiaal
    en doordat manueel contact met de schakelaar zelf niet meer nodig was,
    werden zo heel wat kleine accidentjes vermeden.

    Bijlagen:
    COSMOSPROBLEEM 23_oplossing.pdf (47.1 KB)   

    12-12-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    11-12-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Bijzondere datum

    Had je het al opgemerkt?
    Vandaag is het weer een bijzondere datum
    voor wiskundigen (en niet-wiskundigen).

    Op 11-12-13 om 14:15 uur valt er iets te vieren.

    eating animated GIF

     We doen het met een hap lekkere pudding en een REKENRAADSEL.

    Kan jij door de getallen 11, 12, 13, 14 en 15 elk één keer in te vullen
    in het bovenstaande schema precies 100 als uitkomst bekomen?

    11-12-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    10-12-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De lengte van de hypotenusa

    Weet jij wat er verkeerd gaat in het onderstaande 'bewijs'?

    BIJ EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
    IS DE SCHUINE ZIJDE GELIJK AAN
    DE SOM VAN DE TWEE RECHTHOEKSZIJDEN



    a + b = e + d
    a + b = (g + i) + (f + h) 
    a + b = (k + m + o + q) + (j + l + n + p)
    ...
    Dus geldt dat de lengte van de gebroken lijn (trap) gelijk is aan a + b
    ongeacht het aantal 'treden'.
    Laat nu het aantal 'treden' van de trap naar oneindig naderen
    dan zal (in de limiet) gelden dat c = a + b.

    ZOEK EENS OP VAN WELK GRIEKS WOORD HYPOTENUSA IS AFGELEID EN WAT HET JUIST BETEKENT !



    In de bijlage zit een variatie op deze 'stelling'
    waarbij we  'bewijzen' we dat bij een gelijkzijdige driehoek
    elke zijde even lang is als de som van beide andere zijden.

    Bijlagen:
    Gelijkzijdige driehoek - foute stelling.pdf (64 KB)   

    10-12-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    09-12-2013
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De waarde van pi

    Weet jij wat er verkeerd gaat in de onderstaande berekeningen
    van de waarde voor het getal π ?

    PI = VIER


     PI = 3,14



    09-12-2013 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)


    Archief per week
  • 11/12-17/12 2017
  • 04/12-10/12 2017
  • 27/11-03/12 2017
  • 20/11-26/11 2017
  • 13/11-19/11 2017
  • 06/11-12/11 2017
  • 30/10-05/11 2017
  • 23/10-29/10 2017
  • 16/10-22/10 2017
  • 09/10-15/10 2017
  • 02/10-08/10 2017
  • 25/09-01/10 2017
  • 18/09-24/09 2017
  • 11/09-17/09 2017
  • 04/09-10/09 2017
  • 28/08-03/09 2017
  • 21/08-27/08 2017
  • 14/08-20/08 2017
  • 07/08-13/08 2017
  • 31/07-06/08 2017
  • 24/07-30/07 2017
  • 17/07-23/07 2017
  • 10/07-16/07 2017
  • 03/07-09/07 2017
  • 26/06-02/07 2017
  • 19/06-25/06 2017
  • 12/06-18/06 2017
  • 05/06-11/06 2017
  • 29/05-04/06 2017
  • 22/05-28/05 2017
  • 15/05-21/05 2017
  • 08/05-14/05 2017
  • 01/05-07/05 2017
  • 24/04-30/04 2017
  • 17/04-23/04 2017
  • 10/04-16/04 2017
  • 03/04-09/04 2017
  • 27/03-02/04 2017
  • 20/03-26/03 2017
  • 13/03-19/03 2017
  • 06/03-12/03 2017
  • 27/02-05/03 2017
  • 20/02-26/02 2017
  • 13/02-19/02 2017
  • 06/02-12/02 2017
  • 30/01-05/02 2017
  • 23/01-29/01 2017
  • 16/01-22/01 2017
  • 09/01-15/01 2017
  • 02/01-08/01 2017
  • 25/12-31/12 2017
  • 19/12-25/12 2016
  • 12/12-18/12 2016
  • 05/12-11/12 2016
  • 28/11-04/12 2016
  • 21/11-27/11 2016
  • 14/11-20/11 2016
  • 07/11-13/11 2016
  • 31/10-06/11 2016
  • 24/10-30/10 2016
  • 17/10-23/10 2016
  • 10/10-16/10 2016
  • 03/10-09/10 2016
  • 26/09-02/10 2016
  • 19/09-25/09 2016
  • 12/09-18/09 2016
  • 05/09-11/09 2016
  • 29/08-04/09 2016
  • 22/08-28/08 2016
  • 15/08-21/08 2016
  • 08/08-14/08 2016
  • 01/08-07/08 2016
  • 25/07-31/07 2016
  • 18/07-24/07 2016
  • 11/07-17/07 2016
  • 04/07-10/07 2016
  • 27/06-03/07 2016
  • 20/06-26/06 2016
  • 13/06-19/06 2016
  • 06/06-12/06 2016
  • 30/05-05/06 2016
  • 23/05-29/05 2016
  • 16/05-22/05 2016
  • 09/05-15/05 2016
  • 02/05-08/05 2016
  • 25/04-01/05 2016
  • 18/04-24/04 2016
  • 11/04-17/04 2016
  • 04/04-10/04 2016
  • 28/03-03/04 2016
  • 21/03-27/03 2016
  • 14/03-20/03 2016
  • 07/03-13/03 2016
  • 29/02-06/03 2016
  • 22/02-28/02 2016
  • 15/02-21/02 2016
  • 08/02-14/02 2016
  • 01/02-07/02 2016
  • 25/01-31/01 2016
  • 18/01-24/01 2016
  • 11/01-17/01 2016
  • 04/01-10/01 2016
  • 28/12-03/01 2021
  • 21/12-27/12 2015
  • 14/12-20/12 2015
  • 07/12-13/12 2015
  • 30/11-06/12 2015
  • 23/11-29/11 2015
  • 16/11-22/11 2015
  • 09/11-15/11 2015
  • 02/11-08/11 2015
  • 26/10-01/11 2015
  • 19/10-25/10 2015
  • 12/10-18/10 2015
  • 05/10-11/10 2015
  • 28/09-04/10 2015
  • 21/09-27/09 2015
  • 14/09-20/09 2015
  • 07/09-13/09 2015
  • 31/08-06/09 2015
  • 24/08-30/08 2015
  • 17/08-23/08 2015
  • 10/08-16/08 2015
  • 03/08-09/08 2015
  • 27/07-02/08 2015
  • 20/07-26/07 2015
  • 13/07-19/07 2015
  • 06/07-12/07 2015
  • 29/06-05/07 2015
  • 22/06-28/06 2015
  • 15/06-21/06 2015
  • 08/06-14/06 2015
  • 01/06-07/06 2015
  • 25/05-31/05 2015
  • 18/05-24/05 2015
  • 11/05-17/05 2015
  • 04/05-10/05 2015
  • 27/04-03/05 2015
  • 20/04-26/04 2015
  • 13/04-19/04 2015
  • 06/04-12/04 2015
  • 30/03-05/04 2015
  • 23/03-29/03 2015
  • 16/03-22/03 2015
  • 09/03-15/03 2015
  • 02/03-08/03 2015
  • 23/02-01/03 2015
  • 16/02-22/02 2015
  • 09/02-15/02 2015
  • 02/02-08/02 2015
  • 26/01-01/02 2015
  • 19/01-25/01 2015
  • 12/01-18/01 2015
  • 05/01-11/01 2015
  • 29/12-04/01 2015
  • 22/12-28/12 2014
  • 15/12-21/12 2014
  • 08/12-14/12 2014
  • 01/12-07/12 2014
  • 24/11-30/11 2014
  • 17/11-23/11 2014
  • 10/11-16/11 2014
  • 03/11-09/11 2014
  • 27/10-02/11 2014
  • 20/10-26/10 2014
  • 13/10-19/10 2014
  • 06/10-12/10 2014
  • 29/09-05/10 2014
  • 22/09-28/09 2014
  • 15/09-21/09 2014
  • 08/09-14/09 2014
  • 01/09-07/09 2014
  • 25/08-31/08 2014
  • 18/08-24/08 2014
  • 04/08-10/08 2014
  • 21/07-27/07 2014
  • 07/07-13/07 2014
  • 30/06-06/07 2014
  • 16/06-22/06 2014
  • 09/06-15/06 2014
  • 28/04-04/05 2014
  • 21/04-27/04 2014
  • 14/04-20/04 2014
  • 07/04-13/04 2014
  • 31/03-06/04 2014
  • 24/03-30/03 2014
  • 17/03-23/03 2014
  • 10/03-16/03 2014
  • 03/03-09/03 2014
  • 24/02-02/03 2014
  • 17/02-23/02 2014
  • 10/02-16/02 2014
  • 03/02-09/02 2014
  • 27/01-02/02 2014
  • 20/01-26/01 2014
  • 13/01-19/01 2014
  • 06/01-12/01 2014
  • 30/12-05/01 2014
  • 23/12-29/12 2013
  • 16/12-22/12 2013
  • 09/12-15/12 2013
  • 02/12-08/12 2013
  • 25/11-01/12 2013
  • 18/11-24/11 2013
  • 11/11-17/11 2013
  • 04/11-10/11 2013
  • 28/10-03/11 2013
  • 21/10-27/10 2013
  • 14/10-20/10 2013
  • 07/10-13/10 2013
  • 30/09-06/10 2013
  • 23/09-29/09 2013
  • 16/09-22/09 2013
  • 09/09-15/09 2013
  • 02/09-08/09 2013
  • 26/08-01/09 2013
  • 19/08-25/08 2013
  • 12/08-18/08 2013
  • 05/08-11/08 2013
  • 29/07-04/08 2013
  • 22/07-28/07 2013
  • 15/07-21/07 2013
  • 08/07-14/07 2013
  • 01/07-07/07 2013
  • 24/06-30/06 2013
  • 17/06-23/06 2013
  • 10/06-16/06 2013
  • 03/06-09/06 2013
  • 27/05-02/06 2013
  • 20/05-26/05 2013
  • 13/05-19/05 2013
  • 06/05-12/05 2013
  • 29/04-05/05 2013
  • 22/04-28/04 2013
  • 15/04-21/04 2013
  • 08/04-14/04 2013
  • 01/04-07/04 2013
  • 25/03-31/03 2013
  • 18/03-24/03 2013
  • 11/03-17/03 2013
  • 04/03-10/03 2013
  • 25/02-03/03 2013
  • 18/02-24/02 2013
  • 11/02-17/02 2013
  • 04/02-10/02 2013
  • 28/01-03/02 2013
  • 21/01-27/01 2013
  • 07/01-13/01 2013
  • 31/12-06/01 2013
  • 24/12-30/12 2012
  • 17/12-23/12 2012
  • 10/12-16/12 2012
  • 03/12-09/12 2012
  • 26/11-02/12 2012
  • 19/11-25/11 2012
  • 12/11-18/11 2012
  • 05/11-11/11 2012
  • 29/10-04/11 2012
  • 22/10-28/10 2012
  • 15/10-21/10 2012
  • 08/10-14/10 2012
  • 01/10-07/10 2012
  • 24/09-30/09 2012
  • 17/09-23/09 2012
  • 10/09-16/09 2012
  • 03/09-09/09 2012
  • 27/08-02/09 2012
  • 20/08-26/08 2012
  • 13/08-19/08 2012
  • 06/08-12/08 2012
  • 30/07-05/08 2012
  • 23/07-29/07 2012
  • 16/07-22/07 2012
  • 09/07-15/07 2012
  • 02/07-08/07 2012
  • 25/06-01/07 2012
  • 18/06-24/06 2012
  • 11/06-17/06 2012
  • 04/06-10/06 2012
  • 28/05-03/06 2012
  • 21/05-27/05 2012
  • 30/04-06/05 2012
  • 23/04-29/04 2012
  • 16/04-22/04 2012
  • 09/04-15/04 2012
  • 02/04-08/04 2012
  • 26/03-01/04 2012
  • 12/03-18/03 2012
  • 05/03-11/03 2012
  • 27/02-04/03 2012
  • 20/02-26/02 2012
  • 13/02-19/02 2012
  • 06/02-12/02 2012
  • 30/01-05/02 2012
  • 23/01-29/01 2012
  • 16/01-22/01 2012
  • 09/01-15/01 2012
  • 02/01-08/01 2012
  • 26/12-01/01 2012
  • 12/12-18/12 2011
  • 05/12-11/12 2011
  • 28/11-04/12 2011
  • 14/11-20/11 2011
  • 07/11-13/11 2011
  • 31/10-06/11 2011
  • 24/10-30/10 2011
  • 10/10-16/10 2011
  • 12/09-18/09 2011
  • 05/09-11/09 2011
  • 29/08-04/09 2011
  • 15/08-21/08 2011
  • 04/07-10/07 2011
  • 27/06-03/07 2011
  • 20/06-26/06 2011
  • 13/06-19/06 2011
  • 06/06-12/06 2011
  • 30/05-05/06 2011
  • 16/05-22/05 2011
  • 28/03-03/04 2011
  • 14/02-20/02 2011
  • 24/01-30/01 2011
  • 17/01-23/01 2011
  • 10/01-16/01 2011
  • 03/01-09/01 2011
  • 20/12-26/12 2010
  • 13/12-19/12 2010
  • 06/12-12/12 2010
  • 20/09-26/09 2010
  • 06/09-12/09 2010
  • 23/08-29/08 2010
  • 19/07-25/07 2010
  • 12/07-18/07 2010
  • 05/07-11/07 2010
  • 28/06-04/07 2010
  • 21/06-27/06 2010
  • 14/06-20/06 2010
  • 10/05-16/05 2010
  • 05/04-11/04 2010
  • 29/03-04/04 2010
  • 15/03-21/03 2010
  • 08/03-14/03 2010
  • 15/02-21/02 2010
  • 08/02-14/02 2010
  • 09/11-15/11 2009
  • 02/11-08/11 2009
  • 26/10-01/11 2009
  • 19/10-25/10 2009
  • 05/10-11/10 2009
  • 28/09-04/10 2009
  • 21/09-27/09 2009
  • 07/09-13/09 2009
  • 31/08-06/09 2009
  • 27/07-02/08 2009
  • 20/07-26/07 2009
  • 13/07-19/07 2009
  • 06/07-12/07 2009
  • 29/06-05/07 2009
  • 22/06-28/06 2009
  • 15/06-21/06 2009
  • 01/06-07/06 2009
  • 25/05-31/05 2009
  • 18/05-24/05 2009
  • 11/05-17/05 2009
  • 27/04-03/05 2009

    E-mail mij

    Druk op onderstaande knop om mij te e-mailen.


    Blog als favoriet !

    Zoeken met Google




    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op https://www.bloggen.be - Bloggen.be, eenvoudig, gratis en snel jouw eigen blog!