Inhoud blog
  • JAAR VAN DE HAAN 11-12
  • JAAR VAN DE HAAN 10-12
  • JAAR VAN DE HAAN 09-12
  • JAAR VAN DE HAAN 08-12
  • JAAR VAN DE HAAN 07-12
    Zoeken in blog

    Foto
    Noli turbare circulos meos (Archimedes)


    GNOMON
    Wiskunde zie je!
    12-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Rendez-vous met Cardano

    In deze rubriek hebben we rendez- vous met Girolamo Cardano (1501 - 1576), mijn favoriete wiskundige.

    Bestand:Cardano.jpg

    Cardano was een bijzonder kleurrijke figuur die - indien hij nu zou leven - ongetwijfeld heel geregeld op TV zou verschijnen en de sensatiepers zou halen. We zetten enkele van zijn prestaties op een rij.

    - Hij schreef het Liber de ludo aleae, een boekje over het spel met dobbelstenen en was hiermee ťťn van de eerste wiskundigen die iets publiceerde over kansrekenen.

    - Hij was een bijzonder creatieve en gewaardeerde arts en gaf aan diverse Italiaanse universtiteiten medische colleges. De paus en de koning van Denemarken wilden hem als lijfarts, maar hij legde die aanbiedingen naast zich neer. Hij was ook bevriend met Vesalius.

    - Hij was actief bezig met astrologie en stelde o.a. een geboortehoroscoop op voor Jezus Christus. Hij zag hierin heel wat aanduidingen over hoe het leven van Christus zou verlopen.

    - Hij was bezeten van wiskunde en beweerde dat hij meer dan 40 000 belangrijke vraagstukken had opgelost. Hij was bevriend met Rafael Bombelli, die wel eens de ontdekker van de complexe getallen wordt genoemd. De algemene formules voor de oplossing van een derdegraadsvergelijking worden de formules van Cardano genoemd. Meer hierover lees je op http://hhofstede.nl/bewijzen/cardano.htm .

    - Hij vond het zogenaamde cardanrooster uit om boodschappen op een geheime manier door te sturen (cryptografie). Dit rooster is een blad met gaatjes in. De tekst werd door die gaatjes op een onderliggend vel geschreven. Daarna werden de stukjes tekst op dat vel aan elkaar geschreven tot ee doorlopende tekst. men moest dus over zo een rooster beschikken om het op de tekst te leggen en zo de versleutelde boodschap te kunnen lezen. Het meest mysterieuze handschrift dat nog altijd niet ontcijferd is, is het zogenaamde Voynichmanuscript. Men gaat ervan uit dat dit met behulp van een cardanrooster kan geschreven zijn.nformatie vind je o.a. in Wikipedia: http://nl.wikipedia.org/wiki/Voynichmanuscript .

    - Door het feit dat hij zowel met natuurkunde, filosofie, kansrekenen als complexe getallen bezig was, kan hij in feite als een voorloper van de kwantumfysica worden beschouwd.

    - Cardano slaagde erin de correcte datum van zijn overlijden te voorspellen. Naar het schijnt pleegde hij zelfmoord ...

    - Cardano hield zich ook nog bezig met muziek en 'de cardanostijl' doet me soms een beetje denken aan de Belgische inzending voor het Eurovisiesongfestival in MŁnchen in 1983. Pas de Deux bracht daar het new-wave-nummer 'Rendez-vous'. Hierin zitten zoveel diverse elementen vermengd, dat sommigen het als geniaal beschouwen en ver vooruit op zijn tijd. Heel wat vooraanstaande mensen uit de muziekwereld van de jaren '80 kregen echter bijna zelfmoordneigingen toen ze vernamen dat dit de Belgische inzending zou worden. Oordeel zelf ...



    12-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    11-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Wiskunde is ook Grieks

    Greek man speaking 

    In zijn column in het Knack-magazine van 19 april 2000 schreef Gerard Bodifťe:

    " De leraren wiskunde hadden ongelijk toen ze niet in de bres sprongen voor het Grieks,
    dat vrijwel uit het middelbaar onderwijs verdreven werd.
    Nu zijn er haast geen leraren Grieks meer om in de bres te springen voor de wiskunde.
    En wat toen al voorspeld kon worden, gebeurt nu: wiskunde ondergaat hetezelfde lot."

    Bodifťe wou hiermee niet zeggen dat het reken- en cijferwerk bedreigd was.
    Wat echter wel uit de gunst kwam te liggen was het puur mathematisch denken,
     het spelen met begrippen die de menselijk geest zelf creŽert, de logica,
    de schoonheid die in een algemeen bewijs besloten ligt, de theorie van de priemgetallen ...

    De minister van onderwijs oordeelde dat heel veel zaken in het wiskundeonderwijs geen direct maatschappelijk nut hadden.
    En wat heeft de samenleving aan jongeren met nutteloze kennis?
    Geef hen statistiek, wiskunde vanuit toepassingen en financieel rekenwerk.
    Wat telt is populariteit, nuttigheid en kosten-batenanalyses.
    Gelukkig zitten er nog enkele witte merels in onze huidige studentenpopulatie,
    die in eenzame afzondering en stilletjes weten te genieten van het beste wat de wiskunde te bieden heeft.

    Het succes van de Vlaamse Wiskunde Olympiade (www.vwo.be) is hier een levend bewijs van.

    Hieronder kan je even meegenieten van enkele 'Griekse bewijzen'.

    De eerste figuur toont op de typisch Griekse manier, d.w.z. via een meetkundige figuur aan
    dat de 'oneindige som' 1/2 + 1/4 + 1+8 + 1/16 + 1/32 + ... gelijk is aan 1.

    Het vierkant met oppervlakte 1 wordt immers opgevuld met vierhoeken waarvan de oppervlakte gelijk is aan 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 , ... enz.



     Hieronder staan nog twee figuren waarmee men kan aantonen dat de 'oneindige som'
    1/4 + 1+1/16 + 1/64 + ... (waarin elke volgende breuk vier keer kleiner is dan de vorige) gelijk is aan 1/3.
    Bekijk hiervoor telkens de gele figuurtjes.
     Links zijn dit gelijkzijdige driehoeken en rechts vierkanten.
    In feite zouden er op beide tekeningen telkens oneindig veel van die gele figuurtjes moeten voorkomen.

     

    Zie je dit in? Of is dit GriekV voor jou?

    En uiteraard mag hier een 'Grieks bewijs' voor de stelling van Pythagoras niet ontbreken.


    11-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    08-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Wiskunde en reclame voor horloges

    Is het je al opgevallen dat in reclamefolders voor uurwerken de wijzers van de (meeste) afgebeelde horloges 10 minuten na 10 uur aanwijzen?

    Als wiskundige kan men zich afvragen of dit toevallig is...

          

    Een eerste reden hiervoor kan zijn dat op die manier de aandacht van de koper gaat naar de merknaam die duidelijk tussen de twee wijzers zichtbaar is.

    Een tweede reden ligt misschien wel in het feit dat de stand van de wijzers doet denken aan een lachend gezichtje (opgetrokken mondhoeken) zoals bij een smiley.

    Of moeten we denken aan een hoefijzer dat door een bijgelovige wordt opgehangen als een geluksbrenger?

    Dan moet je wel het hoefijzer met de opening naar boven ophangen om zo het geluk te vangen! 


    We vermelden hier nog een andere en meer wiskundige reden die verband houdt met het getal phi = (1 + √5)/2 van de gulden snede.

    Volgens een onderzoek van de psycholoog Fechner (zie op mijn blog bij de rechthoeken van Fechner) vinden heel wat mensen de rechthoeken

    waarbij de verhouding van de lengte tot de breedte de waarde van phi benadert, de grootste esthetische waarde hebben.

    Hieronder staat de constructie van zo een 'ideale' gulden rechthoek afgebeeld.

     
     Vertrek van een vierkant waarvan de zijden lengte a hebben.

    Het volstaat dan met een passer de cirkelboog te construeren waarbij de passerpunt in het midden van de onderste zijde van het vierkant wordt geplaatst.

    Zo bekomt men op het verlengde van de onderste zijde van het vierkant een punt waarmee de lengte a + b van de rechthoek bepaald is.

    Men kan eenvoudig narekenen met behulp van de stelling van Pythagoras dat de verhouding van de lengte a + b tot de breedte a van de rechthoek dan gelijk is aan  phi = (1 + √5)/2.

    Bekijk nu de onderstaande figuur. De wijzers van de klok wijzen ongeveer 10 minuten na 10 uur aan.

    10:04

    Nu blijkt de rode rechthoek die door de wijzers wordt 'uitgetekend' wonderwel evereen te komen met een gulden rechthoek.
    Meer hierover lees je op http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibInArt.html#clockphi .

    Het is een leuke (maar niet zo eenvoudige) onderzoeksopdracht om eens uit te pluizen om hoeveel minuten
    na 10 uur de wijzers precies zo een gulden rechthoek uittekenen op een klok.
    De tekst in bijlage kan je hierbij helpen.

     

    Afbeeldingsresultaten voor love teacher animated gif


    Liefde voor het onderwijs
    doet me denken aan een klok:
    nu eens voel je je getikt,
    dan weer wind je je op.
    Je blijft er toch van in de ban,
    maar wie wordt er wijzer van?


    Bijlagen:
    De gulden rechthoek op horloges.pdf (158.5 KB)   

    08-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    07-02-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Eratosthenes en de omtrek van de aarde

    Wiskundigen komen vaak tot nieuwe verrassende ontdekkingen via hun kennis en verbeelding.
    Een mooi historisch voorbeeld hiervan is het onderstaande verhaal...

    Eratosthenes (ca. 276 v. Chr. - ca. 194 v. Chr.) was een wiskundige, astronoom en aardrijkskundige uit AlexandriŽ.
    Hij was de derde hoofdbibliothecaris van de beroemde bibliotheek van AlexandriŽ
    en is het meest bekend door zijn schatting van de omtrek van de aarde.

    Hij stond bekend om zijn arrogantie want hij beschouwde zichzelf als de op een-na-beste op vele terreinen van wetenschap. Hierdoor noemde hij zichzelf graag bij de naam BŤta (β =tweede).

    In 195 v. Chr. werd hij blind en een jaar later pleegde hij zelfmoord door niets meer te eten.

    Eratosthenes stelde vast dat de zon op 21 juni op haar hoogste punt in Syene (Assoean) geen schaduw wierp.
    In AlexandriŽ was er wel een schaduw. Hij mat dat deze 7į14' was, ongeveer 1/50-ste van een hele cirkel (360į).


    Op de bovenstaande figuur stelt het lijnstuk [EA] een obelisk voor in AlexandriŽ.
    Via de schaduw ervan kon Eratosthenes de hoek
    AEF opmeten en die bleek dus ongeveer 7,2į te zijn.
    Nu is die hoek precies gelijk aan de hoek
    AMS (waarbij M het middelpunt van de aarde aanduidt).
    Wiskundigen spreken in dit geval van verwisselende binnenhoeken
    bij de twee evenwijdig invallende zonnestralen en hun snijlijn ME.

    Als we aannemen dat Assoean precies ten zuiden van AlexandriŽ ligt,
    moet dan de omtrek van de aarde  dus 50 keer de afstand tussen Syene en AlexandriŽ zijn.
    Eratosthenes schatte deze afstand op 5000 stadiŽn. 
    Een stadie is de lengte van het stadion van Olympia, ongeveer 180 meter.
    De afstand tussen Syene en AlexandriŽ werd dus geschat op ongeveer 900 kilometer. 
    Dit betekent dat Eratosthenes voor de omtrek van de aarde ongeveer 45 000 km vond.
    De werkelijke omtrek is ongeveer 40 000 km (vermenigvuldig de aardstraal van 6370 km met 2π).

    Bron: betavak.nl.

    Wellicht kan het onderstaande filmpje een hulp zijn om te begrijpen hoe Eratosthenes de omtrek van de aarde berekende.
     


     

    07-02-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)


    Archief per week
  • 11/12-17/12 2017
  • 04/12-10/12 2017
  • 27/11-03/12 2017
  • 20/11-26/11 2017
  • 13/11-19/11 2017
  • 06/11-12/11 2017
  • 30/10-05/11 2017
  • 23/10-29/10 2017
  • 16/10-22/10 2017
  • 09/10-15/10 2017
  • 02/10-08/10 2017
  • 25/09-01/10 2017
  • 18/09-24/09 2017
  • 11/09-17/09 2017
  • 04/09-10/09 2017
  • 28/08-03/09 2017
  • 21/08-27/08 2017
  • 14/08-20/08 2017
  • 07/08-13/08 2017
  • 31/07-06/08 2017
  • 24/07-30/07 2017
  • 17/07-23/07 2017
  • 10/07-16/07 2017
  • 03/07-09/07 2017
  • 26/06-02/07 2017
  • 19/06-25/06 2017
  • 12/06-18/06 2017
  • 05/06-11/06 2017
  • 29/05-04/06 2017
  • 22/05-28/05 2017
  • 15/05-21/05 2017
  • 08/05-14/05 2017
  • 01/05-07/05 2017
  • 24/04-30/04 2017
  • 17/04-23/04 2017
  • 10/04-16/04 2017
  • 03/04-09/04 2017
  • 27/03-02/04 2017
  • 20/03-26/03 2017
  • 13/03-19/03 2017
  • 06/03-12/03 2017
  • 27/02-05/03 2017
  • 20/02-26/02 2017
  • 13/02-19/02 2017
  • 06/02-12/02 2017
  • 30/01-05/02 2017
  • 23/01-29/01 2017
  • 16/01-22/01 2017
  • 09/01-15/01 2017
  • 02/01-08/01 2017
  • 25/12-31/12 2017
  • 19/12-25/12 2016
  • 12/12-18/12 2016
  • 05/12-11/12 2016
  • 28/11-04/12 2016
  • 21/11-27/11 2016
  • 14/11-20/11 2016
  • 07/11-13/11 2016
  • 31/10-06/11 2016
  • 24/10-30/10 2016
  • 17/10-23/10 2016
  • 10/10-16/10 2016
  • 03/10-09/10 2016
  • 26/09-02/10 2016
  • 19/09-25/09 2016
  • 12/09-18/09 2016
  • 05/09-11/09 2016
  • 29/08-04/09 2016
  • 22/08-28/08 2016
  • 15/08-21/08 2016
  • 08/08-14/08 2016
  • 01/08-07/08 2016
  • 25/07-31/07 2016
  • 18/07-24/07 2016
  • 11/07-17/07 2016
  • 04/07-10/07 2016
  • 27/06-03/07 2016
  • 20/06-26/06 2016
  • 13/06-19/06 2016
  • 06/06-12/06 2016
  • 30/05-05/06 2016
  • 23/05-29/05 2016
  • 16/05-22/05 2016
  • 09/05-15/05 2016
  • 02/05-08/05 2016
  • 25/04-01/05 2016
  • 18/04-24/04 2016
  • 11/04-17/04 2016
  • 04/04-10/04 2016
  • 28/03-03/04 2016
  • 21/03-27/03 2016
  • 14/03-20/03 2016
  • 07/03-13/03 2016
  • 29/02-06/03 2016
  • 22/02-28/02 2016
  • 15/02-21/02 2016
  • 08/02-14/02 2016
  • 01/02-07/02 2016
  • 25/01-31/01 2016
  • 18/01-24/01 2016
  • 11/01-17/01 2016
  • 04/01-10/01 2016
  • 28/12-03/01 2021
  • 21/12-27/12 2015
  • 14/12-20/12 2015
  • 07/12-13/12 2015
  • 30/11-06/12 2015
  • 23/11-29/11 2015
  • 16/11-22/11 2015
  • 09/11-15/11 2015
  • 02/11-08/11 2015
  • 26/10-01/11 2015
  • 19/10-25/10 2015
  • 12/10-18/10 2015
  • 05/10-11/10 2015
  • 28/09-04/10 2015
  • 21/09-27/09 2015
  • 14/09-20/09 2015
  • 07/09-13/09 2015
  • 31/08-06/09 2015
  • 24/08-30/08 2015
  • 17/08-23/08 2015
  • 10/08-16/08 2015
  • 03/08-09/08 2015
  • 27/07-02/08 2015
  • 20/07-26/07 2015
  • 13/07-19/07 2015
  • 06/07-12/07 2015
  • 29/06-05/07 2015
  • 22/06-28/06 2015
  • 15/06-21/06 2015
  • 08/06-14/06 2015
  • 01/06-07/06 2015
  • 25/05-31/05 2015
  • 18/05-24/05 2015
  • 11/05-17/05 2015
  • 04/05-10/05 2015
  • 27/04-03/05 2015
  • 20/04-26/04 2015
  • 13/04-19/04 2015
  • 06/04-12/04 2015
  • 30/03-05/04 2015
  • 23/03-29/03 2015
  • 16/03-22/03 2015
  • 09/03-15/03 2015
  • 02/03-08/03 2015
  • 23/02-01/03 2015
  • 16/02-22/02 2015
  • 09/02-15/02 2015
  • 02/02-08/02 2015
  • 26/01-01/02 2015
  • 19/01-25/01 2015
  • 12/01-18/01 2015
  • 05/01-11/01 2015
  • 29/12-04/01 2015
  • 22/12-28/12 2014
  • 15/12-21/12 2014
  • 08/12-14/12 2014
  • 01/12-07/12 2014
  • 24/11-30/11 2014
  • 17/11-23/11 2014
  • 10/11-16/11 2014
  • 03/11-09/11 2014
  • 27/10-02/11 2014
  • 20/10-26/10 2014
  • 13/10-19/10 2014
  • 06/10-12/10 2014
  • 29/09-05/10 2014
  • 22/09-28/09 2014
  • 15/09-21/09 2014
  • 08/09-14/09 2014
  • 01/09-07/09 2014
  • 25/08-31/08 2014
  • 18/08-24/08 2014
  • 04/08-10/08 2014
  • 21/07-27/07 2014
  • 07/07-13/07 2014
  • 30/06-06/07 2014
  • 16/06-22/06 2014
  • 09/06-15/06 2014
  • 28/04-04/05 2014
  • 21/04-27/04 2014
  • 14/04-20/04 2014
  • 07/04-13/04 2014
  • 31/03-06/04 2014
  • 24/03-30/03 2014
  • 17/03-23/03 2014
  • 10/03-16/03 2014
  • 03/03-09/03 2014
  • 24/02-02/03 2014
  • 17/02-23/02 2014
  • 10/02-16/02 2014
  • 03/02-09/02 2014
  • 27/01-02/02 2014
  • 20/01-26/01 2014
  • 13/01-19/01 2014
  • 06/01-12/01 2014
  • 30/12-05/01 2014
  • 23/12-29/12 2013
  • 16/12-22/12 2013
  • 09/12-15/12 2013
  • 02/12-08/12 2013
  • 25/11-01/12 2013
  • 18/11-24/11 2013
  • 11/11-17/11 2013
  • 04/11-10/11 2013
  • 28/10-03/11 2013
  • 21/10-27/10 2013
  • 14/10-20/10 2013
  • 07/10-13/10 2013
  • 30/09-06/10 2013
  • 23/09-29/09 2013
  • 16/09-22/09 2013
  • 09/09-15/09 2013
  • 02/09-08/09 2013
  • 26/08-01/09 2013
  • 19/08-25/08 2013
  • 12/08-18/08 2013
  • 05/08-11/08 2013
  • 29/07-04/08 2013
  • 22/07-28/07 2013
  • 15/07-21/07 2013
  • 08/07-14/07 2013
  • 01/07-07/07 2013
  • 24/06-30/06 2013
  • 17/06-23/06 2013
  • 10/06-16/06 2013
  • 03/06-09/06 2013
  • 27/05-02/06 2013
  • 20/05-26/05 2013
  • 13/05-19/05 2013
  • 06/05-12/05 2013
  • 29/04-05/05 2013
  • 22/04-28/04 2013
  • 15/04-21/04 2013
  • 08/04-14/04 2013
  • 01/04-07/04 2013
  • 25/03-31/03 2013
  • 18/03-24/03 2013
  • 11/03-17/03 2013
  • 04/03-10/03 2013
  • 25/02-03/03 2013
  • 18/02-24/02 2013
  • 11/02-17/02 2013
  • 04/02-10/02 2013
  • 28/01-03/02 2013
  • 21/01-27/01 2013
  • 07/01-13/01 2013
  • 31/12-06/01 2013
  • 24/12-30/12 2012
  • 17/12-23/12 2012
  • 10/12-16/12 2012
  • 03/12-09/12 2012
  • 26/11-02/12 2012
  • 19/11-25/11 2012
  • 12/11-18/11 2012
  • 05/11-11/11 2012
  • 29/10-04/11 2012
  • 22/10-28/10 2012
  • 15/10-21/10 2012
  • 08/10-14/10 2012
  • 01/10-07/10 2012
  • 24/09-30/09 2012
  • 17/09-23/09 2012
  • 10/09-16/09 2012
  • 03/09-09/09 2012
  • 27/08-02/09 2012
  • 20/08-26/08 2012
  • 13/08-19/08 2012
  • 06/08-12/08 2012
  • 30/07-05/08 2012
  • 23/07-29/07 2012
  • 16/07-22/07 2012
  • 09/07-15/07 2012
  • 02/07-08/07 2012
  • 25/06-01/07 2012
  • 18/06-24/06 2012
  • 11/06-17/06 2012
  • 04/06-10/06 2012
  • 28/05-03/06 2012
  • 21/05-27/05 2012
  • 30/04-06/05 2012
  • 23/04-29/04 2012
  • 16/04-22/04 2012
  • 09/04-15/04 2012
  • 02/04-08/04 2012
  • 26/03-01/04 2012
  • 12/03-18/03 2012
  • 05/03-11/03 2012
  • 27/02-04/03 2012
  • 20/02-26/02 2012
  • 13/02-19/02 2012
  • 06/02-12/02 2012
  • 30/01-05/02 2012
  • 23/01-29/01 2012
  • 16/01-22/01 2012
  • 09/01-15/01 2012
  • 02/01-08/01 2012
  • 26/12-01/01 2012
  • 12/12-18/12 2011
  • 05/12-11/12 2011
  • 28/11-04/12 2011
  • 14/11-20/11 2011
  • 07/11-13/11 2011
  • 31/10-06/11 2011
  • 24/10-30/10 2011
  • 10/10-16/10 2011
  • 12/09-18/09 2011
  • 05/09-11/09 2011
  • 29/08-04/09 2011
  • 15/08-21/08 2011
  • 04/07-10/07 2011
  • 27/06-03/07 2011
  • 20/06-26/06 2011
  • 13/06-19/06 2011
  • 06/06-12/06 2011
  • 30/05-05/06 2011
  • 16/05-22/05 2011
  • 28/03-03/04 2011
  • 14/02-20/02 2011
  • 24/01-30/01 2011
  • 17/01-23/01 2011
  • 10/01-16/01 2011
  • 03/01-09/01 2011
  • 20/12-26/12 2010
  • 13/12-19/12 2010
  • 06/12-12/12 2010
  • 20/09-26/09 2010
  • 06/09-12/09 2010
  • 23/08-29/08 2010
  • 19/07-25/07 2010
  • 12/07-18/07 2010
  • 05/07-11/07 2010
  • 28/06-04/07 2010
  • 21/06-27/06 2010
  • 14/06-20/06 2010
  • 10/05-16/05 2010
  • 05/04-11/04 2010
  • 29/03-04/04 2010
  • 15/03-21/03 2010
  • 08/03-14/03 2010
  • 15/02-21/02 2010
  • 08/02-14/02 2010
  • 09/11-15/11 2009
  • 02/11-08/11 2009
  • 26/10-01/11 2009
  • 19/10-25/10 2009
  • 05/10-11/10 2009
  • 28/09-04/10 2009
  • 21/09-27/09 2009
  • 07/09-13/09 2009
  • 31/08-06/09 2009
  • 27/07-02/08 2009
  • 20/07-26/07 2009
  • 13/07-19/07 2009
  • 06/07-12/07 2009
  • 29/06-05/07 2009
  • 22/06-28/06 2009
  • 15/06-21/06 2009
  • 01/06-07/06 2009
  • 25/05-31/05 2009
  • 18/05-24/05 2009
  • 11/05-17/05 2009
  • 27/04-03/05 2009
  • 28/11-04/12 -0001

    E-mail mij

    Druk op onderstaande knop om mij te e-mailen.


    Blog als favoriet !

    Zoeken met Google




    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op https://www.bloggen.be - Bloggen.be, eenvoudig, gratis en snel jouw eigen blog!