Inhoud blog
  • JAAR VAN DE HAAN 17-12
  • JAAR VAN DE HAAN 16-12
  • JAAR VAN DE HAAN 15-12
  • JAAR VAN DE HAAN 14-12
  • JAAR VAN DE HAAN 13-12
    Zoeken in blog

    Foto
    Noli turbare circulos meos (Archimedes)


    GNOMON
    Wiskunde zie je!
    29-01-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Het parallellogram van Varignon

    DE STELLING VAN VARIGNON

    De Franse wiskundige Pierre Varignon is de ontdekker van een van de meest eenvoudige resultaten uit de vlakke meetkunde:

    De middens van de vier zijden van een willekeurige vierhoek zijn de hoekpunten van een parallellogram.

    Men spreekt in dit verband ook van het parallellogram van Varignon.


    Op de tweede en derde bovenstaande figuur zie je dat het resultaat ook geldig is voor niet-convexe vierhoeken.

    Het bewijs steunt op de gekende eigenschappen van de middenparallel in een driehoek:

    GH is evenwijdig met AC en |GH| = ½ |AC|  en ook EF is evenwijdig met AC en |EF| = ½ |AC| .

    ********************************************************************************************

    Wellicht is het bewijs van de volgende twee eigenschappen voor een convexe vierhoek dan een lachertje?

    De omtrek van het parallellogram van Varignon is gelijk aan de som van de lengten van de diagonalen van de oorspronkelijke vierhoek.

    (TIP. Gebruik de bovenstaande eigenschap van de middenparallel in een driehoek).

    De oppervlakte van het parallellogram van Varignon is gelijk aan de helft van de oppervlakte van de oorspronkelijke vierhoek.

    (TIP.  Opp. Δ BEF = ¼ Opp. Δ BAC).

    29-01-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    28-01-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De stelling van Cross

    Wiskundigen over heel de wereld bewijzen haast dagelijks nieuwe stellingen.
    Af en toe zit hierbij ook een stelling die voor 'gewone stervelingen' te begrijpen is.
    Een leuk voorbeeld hiervan is de stelling die door de student David Cross werd ontdekt.


     



    Teken een willekeurige driehoek ABC.
    Construeer op de drie zijden naar buiten toe een vierkant zoals op de onderstaande tekening.
    Teken de driehoeken AEF, CGH en BID.
    Wat blijkt nu?
    Deze driehoeken hebben alle drie dezelfde oppervlakte en die is bovendien gelijk aan de oppervlakte van driehoek ABC.



    En misschien ben je nu ook nog verbaasd over de eenvoud van het bewijs?


    BEWIJS.
    We tonen bijvoorbeeld aan dat driehoek AEF dezelfde oppervlakte heeft als driehoek ABC.
    Voor de twee andere driehoekjes verloopt het bewijs analoog.
    Merk op dat
    BAC + EAH = 180°.
    Als men dus driehoek EAF over 90° draait rond het punt A
    zal het geroteerde punt H samenvallen met C (immers |AF| = |AC|)

    en zal het geroteerde punt E op de rechte AB terecht komen.

    Dan hebben de geroteerde driehoek en driehoek ABC dezelfde basis
    (want
    |EA| = |AB|) en dezelfde hoogte (uit C).

    Bijgevolg hebben ze dezelfde oppervlakte!


    Draw any triangle and construct the squares on the sides. By connecting the outermost points, you’ll get three other triangles, all with the same area as the original one. Can you prove this? The animation shows a hint.Source: Geometría Dinámica.

    TO SEE IS TO BELIEVE!

    28-01-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    27-01-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Topologie en grafentheorie

    TOPOLOGIE

    In mijn studententijd was TOPOLOGIE een belangrijk wiskundige studieonderwerp
    dat je zelfs in de leerplannen van het secundair onderwijs tegenkwam.

    Topologie is een tak van wiskunde die zich bezighoudt met eigenschappen van objecten die onveranderd blijven bij vervorming:
     uitrekken, draaien, pletten – alles mag zolang ze maar niet scheuren of anderszins ‘kapot’ gaan.
    De grootte van een voorwerp doet dus in de topologie niet ter zake.
    Wel hoeveel gaten er in zitten, of het begrensd is, en het aantal dimensies.

    Twee oppervlakken heten homeomorf als het ene oppervlak via een continue vervorming te verkrijgen is uit het andere.
    Wiskundigen leggen het vaak uit aan de hand van koffiekopjes en donuts:
    het onderstaande plaatje laat zien dat het oppervlak van een koffiekop en dat van een donut homeomorf zijn.


    Een koffiekop en een donut zijn homeomorf: de ene is via een continue vervorming te transformeren in de andere.
    Een topoloog bestudeert geen koffiekopjes en donuts.
    Die voorwerpen gebruiken ze alleen om uit te kunnen leggen waar ze zich ongeveer mee bezig houden.
    Het gaat om abstracte vormen, waarbij het aantal dimensies gerust meer dan drie mag zijn.

    Via het onderstaande applet kan je deze vervorming 'live' meemaken.

    File:Mug and Torus morph.gif

    GRAFENTHEORIE

    In de grafentheorie is het probleem van de zeven bruggen van Koningsbergen voor het eerst opgelost door Leonhard Euler in 1736.

     De zeven bruggen van Koningsbergen.

    In de geschiedenis van de wiskunde is het één van de eerste grafentheoretische problemen.
    Omdat de grafentheorie als een deelveld van de topologie kan worden beschouwd
    vormt dit vraagstuk ook een van de eerste problemen binnen de topologie die formeel geanalyseerd zijn.

    De stad Koningsbergen (heden ten dage Kaliningrad) lag in het oosten van Pruisen aan de rivier de Pregel,
    waarin twee eilanden lagen die door zeven bruggen met elkaar en met de vaste wal verbonden waren;
    dit staat hieronder schematisch afgebeeld.

    De vraag was nu of het mogelijk is om zó te wandelen dat je precies één maal over elke brug loopt en weer op je beginpunt eindigt. 

    In 1736 heeft Euler aangetoond dat dit onmogelijk is.
    Tevens heeft hij laten zien dat het probleem beschouwd kan worden als een probleem op een graaf,
    waarin het vraagstuk over de bruggen van Koningsbergen als volgt geabstraheerd is:

    In de graaf, de rechter afbeelding, wordt elke brug voorgesteld door een lijn, en de eilanden en oevers door een blauw knooppunt.
    De punten die aan een oneven aantal lijnen grenzen, noemen we punten van oneven graad. 
    In de bovenstaande graaf zijn dus alle punten van oneven graad
    (in één punt komen vijf lijnen samen en in de drie andere punten telkens drie lijnen).

    Om een Eulerwandeling of Eulertoer, waarbij men precies één keer over elke lijn loopt,
     mogelijk te maken, moeten er nul of twee punten van oneven graad zijn.
    Zijn er twee punten van oneven graad, dan moet de wandeling starten in het ene oneven punt en eindigen in het andere oneven punt.
    Zijn er geen punten van oneven graad, dan kan de wandeling overal beginnen en eindigt de wandeling waar hij begonnen is.
    Het is dus onmogelijk om een Eulerwandeling over de bruggen Koningsbergen te maken
    omdat de vier knooppunten van oneven graad zijn.

    Het verschil tussen de echte ligging en de schematische weergave van hierboven
     is een goed voorbeeld van het kenmerk dat topologie zich niet bezighoudt met de exacte weergave van zaken,
    maar meer met hun relatieve vorm.

    Bron: wikipedia.

    Een bekend puzzeltje bestaat er in om een bepaalde figuur te tekenen zonder het potlood van het papier te nemen.
    Je mag ook maar één keer over elke lijn gaan.
    Dat puzzeltje is oplosbaar als er hoogstens twee punten zijn waarin een oneven aantal lijnen samenkomt.
    Men moet dan in een van die punten beginnen.

    Kan je het onderstaande huisje in één trek tekenen?


    27-01-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    26-01-2012
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Phi en cos 36°

    VASTSTELLING



    Alweer iets om je als wiskundige over te verwonderen!


    VERKLARING

    Het getal phi =  (1+ √5)/2 is het getal van de gulden snede waar je op mijn blog meer kunt over lezen.

     We tonen eerst aan dat bij een regelmatige vijfhoek
    de verhouding van de lengte d5 van een diagonaal tot de lengte z5 van een zijde precies gelijk is aan phi. 




     We maken gebruik van het feit dat elke binnenhoek van een regelmatige vijfhoek 108° is.

    We spiegelen het punt E rond BC en bekomen het punt F.
    Dan zijn de gelijkbenige driehoeken  ECB en FCB congruent en ligt F op AB en CD.

    Dit is zo omdat ABC = 108° en EBC = 72° en analoog is DCB = 108° en ECB = 72°.
    Samen zijn ze de twee hoeken samen dus telkens gelijk aan 180°.
    Driehoek ADF is dan gelijkvormig met driehoek BCF.
    Volgens de stelling van Thales is (z5 + d5) / d5 = d5 / z5 zodat z5 / d5 + 1 = d5 / z5 .

    Hieruit kan men dan (met een beetje wiskundige rekenvaardigheid) direct afleiden dat  d5 / z5 = (1+ √5)/2.

    Bovendien is driehoek AED gelijkbenig is en dus is hierin d5 = 2 . z5 . cos 36°.
    Hieruit volgt dan dat cos 36° = (1+ √5)/4.

    *********************************

    In bijlage vind je ook nog een rechtstreekse berekening van de waarde van cos 36°.

    ************************************************************************

     

    Bijlagen:
    Berekening cos 36°.pdf (182.8 KB)   

    26-01-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)


    Archief per week
  • 11/12-17/12 2017
  • 04/12-10/12 2017
  • 27/11-03/12 2017
  • 20/11-26/11 2017
  • 13/11-19/11 2017
  • 06/11-12/11 2017
  • 30/10-05/11 2017
  • 23/10-29/10 2017
  • 16/10-22/10 2017
  • 09/10-15/10 2017
  • 02/10-08/10 2017
  • 25/09-01/10 2017
  • 18/09-24/09 2017
  • 11/09-17/09 2017
  • 04/09-10/09 2017
  • 28/08-03/09 2017
  • 21/08-27/08 2017
  • 14/08-20/08 2017
  • 07/08-13/08 2017
  • 31/07-06/08 2017
  • 24/07-30/07 2017
  • 17/07-23/07 2017
  • 10/07-16/07 2017
  • 03/07-09/07 2017
  • 26/06-02/07 2017
  • 19/06-25/06 2017
  • 12/06-18/06 2017
  • 05/06-11/06 2017
  • 29/05-04/06 2017
  • 22/05-28/05 2017
  • 15/05-21/05 2017
  • 08/05-14/05 2017
  • 01/05-07/05 2017
  • 24/04-30/04 2017
  • 17/04-23/04 2017
  • 10/04-16/04 2017
  • 03/04-09/04 2017
  • 27/03-02/04 2017
  • 20/03-26/03 2017
  • 13/03-19/03 2017
  • 06/03-12/03 2017
  • 27/02-05/03 2017
  • 20/02-26/02 2017
  • 13/02-19/02 2017
  • 06/02-12/02 2017
  • 30/01-05/02 2017
  • 23/01-29/01 2017
  • 16/01-22/01 2017
  • 09/01-15/01 2017
  • 02/01-08/01 2017
  • 25/12-31/12 2017
  • 19/12-25/12 2016
  • 12/12-18/12 2016
  • 05/12-11/12 2016
  • 28/11-04/12 2016
  • 21/11-27/11 2016
  • 14/11-20/11 2016
  • 07/11-13/11 2016
  • 31/10-06/11 2016
  • 24/10-30/10 2016
  • 17/10-23/10 2016
  • 10/10-16/10 2016
  • 03/10-09/10 2016
  • 26/09-02/10 2016
  • 19/09-25/09 2016
  • 12/09-18/09 2016
  • 05/09-11/09 2016
  • 29/08-04/09 2016
  • 22/08-28/08 2016
  • 15/08-21/08 2016
  • 08/08-14/08 2016
  • 01/08-07/08 2016
  • 25/07-31/07 2016
  • 18/07-24/07 2016
  • 11/07-17/07 2016
  • 04/07-10/07 2016
  • 27/06-03/07 2016
  • 20/06-26/06 2016
  • 13/06-19/06 2016
  • 06/06-12/06 2016
  • 30/05-05/06 2016
  • 23/05-29/05 2016
  • 16/05-22/05 2016
  • 09/05-15/05 2016
  • 02/05-08/05 2016
  • 25/04-01/05 2016
  • 18/04-24/04 2016
  • 11/04-17/04 2016
  • 04/04-10/04 2016
  • 28/03-03/04 2016
  • 21/03-27/03 2016
  • 14/03-20/03 2016
  • 07/03-13/03 2016
  • 29/02-06/03 2016
  • 22/02-28/02 2016
  • 15/02-21/02 2016
  • 08/02-14/02 2016
  • 01/02-07/02 2016
  • 25/01-31/01 2016
  • 18/01-24/01 2016
  • 11/01-17/01 2016
  • 04/01-10/01 2016
  • 28/12-03/01 2021
  • 21/12-27/12 2015
  • 14/12-20/12 2015
  • 07/12-13/12 2015
  • 30/11-06/12 2015
  • 23/11-29/11 2015
  • 16/11-22/11 2015
  • 09/11-15/11 2015
  • 02/11-08/11 2015
  • 26/10-01/11 2015
  • 19/10-25/10 2015
  • 12/10-18/10 2015
  • 05/10-11/10 2015
  • 28/09-04/10 2015
  • 21/09-27/09 2015
  • 14/09-20/09 2015
  • 07/09-13/09 2015
  • 31/08-06/09 2015
  • 24/08-30/08 2015
  • 17/08-23/08 2015
  • 10/08-16/08 2015
  • 03/08-09/08 2015
  • 27/07-02/08 2015
  • 20/07-26/07 2015
  • 13/07-19/07 2015
  • 06/07-12/07 2015
  • 29/06-05/07 2015
  • 22/06-28/06 2015
  • 15/06-21/06 2015
  • 08/06-14/06 2015
  • 01/06-07/06 2015
  • 25/05-31/05 2015
  • 18/05-24/05 2015
  • 11/05-17/05 2015
  • 04/05-10/05 2015
  • 27/04-03/05 2015
  • 20/04-26/04 2015
  • 13/04-19/04 2015
  • 06/04-12/04 2015
  • 30/03-05/04 2015
  • 23/03-29/03 2015
  • 16/03-22/03 2015
  • 09/03-15/03 2015
  • 02/03-08/03 2015
  • 23/02-01/03 2015
  • 16/02-22/02 2015
  • 09/02-15/02 2015
  • 02/02-08/02 2015
  • 26/01-01/02 2015
  • 19/01-25/01 2015
  • 12/01-18/01 2015
  • 05/01-11/01 2015
  • 29/12-04/01 2015
  • 22/12-28/12 2014
  • 15/12-21/12 2014
  • 08/12-14/12 2014
  • 01/12-07/12 2014
  • 24/11-30/11 2014
  • 17/11-23/11 2014
  • 10/11-16/11 2014
  • 03/11-09/11 2014
  • 27/10-02/11 2014
  • 20/10-26/10 2014
  • 13/10-19/10 2014
  • 06/10-12/10 2014
  • 29/09-05/10 2014
  • 22/09-28/09 2014
  • 15/09-21/09 2014
  • 08/09-14/09 2014
  • 01/09-07/09 2014
  • 25/08-31/08 2014
  • 18/08-24/08 2014
  • 04/08-10/08 2014
  • 21/07-27/07 2014
  • 07/07-13/07 2014
  • 30/06-06/07 2014
  • 16/06-22/06 2014
  • 09/06-15/06 2014
  • 28/04-04/05 2014
  • 21/04-27/04 2014
  • 14/04-20/04 2014
  • 07/04-13/04 2014
  • 31/03-06/04 2014
  • 24/03-30/03 2014
  • 17/03-23/03 2014
  • 10/03-16/03 2014
  • 03/03-09/03 2014
  • 24/02-02/03 2014
  • 17/02-23/02 2014
  • 10/02-16/02 2014
  • 03/02-09/02 2014
  • 27/01-02/02 2014
  • 20/01-26/01 2014
  • 13/01-19/01 2014
  • 06/01-12/01 2014
  • 30/12-05/01 2014
  • 23/12-29/12 2013
  • 16/12-22/12 2013
  • 09/12-15/12 2013
  • 02/12-08/12 2013
  • 25/11-01/12 2013
  • 18/11-24/11 2013
  • 11/11-17/11 2013
  • 04/11-10/11 2013
  • 28/10-03/11 2013
  • 21/10-27/10 2013
  • 14/10-20/10 2013
  • 07/10-13/10 2013
  • 30/09-06/10 2013
  • 23/09-29/09 2013
  • 16/09-22/09 2013
  • 09/09-15/09 2013
  • 02/09-08/09 2013
  • 26/08-01/09 2013
  • 19/08-25/08 2013
  • 12/08-18/08 2013
  • 05/08-11/08 2013
  • 29/07-04/08 2013
  • 22/07-28/07 2013
  • 15/07-21/07 2013
  • 08/07-14/07 2013
  • 01/07-07/07 2013
  • 24/06-30/06 2013
  • 17/06-23/06 2013
  • 10/06-16/06 2013
  • 03/06-09/06 2013
  • 27/05-02/06 2013
  • 20/05-26/05 2013
  • 13/05-19/05 2013
  • 06/05-12/05 2013
  • 29/04-05/05 2013
  • 22/04-28/04 2013
  • 15/04-21/04 2013
  • 08/04-14/04 2013
  • 01/04-07/04 2013
  • 25/03-31/03 2013
  • 18/03-24/03 2013
  • 11/03-17/03 2013
  • 04/03-10/03 2013
  • 25/02-03/03 2013
  • 18/02-24/02 2013
  • 11/02-17/02 2013
  • 04/02-10/02 2013
  • 28/01-03/02 2013
  • 21/01-27/01 2013
  • 07/01-13/01 2013
  • 31/12-06/01 2013
  • 24/12-30/12 2012
  • 17/12-23/12 2012
  • 10/12-16/12 2012
  • 03/12-09/12 2012
  • 26/11-02/12 2012
  • 19/11-25/11 2012
  • 12/11-18/11 2012
  • 05/11-11/11 2012
  • 29/10-04/11 2012
  • 22/10-28/10 2012
  • 15/10-21/10 2012
  • 08/10-14/10 2012
  • 01/10-07/10 2012
  • 24/09-30/09 2012
  • 17/09-23/09 2012
  • 10/09-16/09 2012
  • 03/09-09/09 2012
  • 27/08-02/09 2012
  • 20/08-26/08 2012
  • 13/08-19/08 2012
  • 06/08-12/08 2012
  • 30/07-05/08 2012
  • 23/07-29/07 2012
  • 16/07-22/07 2012
  • 09/07-15/07 2012
  • 02/07-08/07 2012
  • 25/06-01/07 2012
  • 18/06-24/06 2012
  • 11/06-17/06 2012
  • 04/06-10/06 2012
  • 28/05-03/06 2012
  • 21/05-27/05 2012
  • 30/04-06/05 2012
  • 23/04-29/04 2012
  • 16/04-22/04 2012
  • 09/04-15/04 2012
  • 02/04-08/04 2012
  • 26/03-01/04 2012
  • 12/03-18/03 2012
  • 05/03-11/03 2012
  • 27/02-04/03 2012
  • 20/02-26/02 2012
  • 13/02-19/02 2012
  • 06/02-12/02 2012
  • 30/01-05/02 2012
  • 23/01-29/01 2012
  • 16/01-22/01 2012
  • 09/01-15/01 2012
  • 02/01-08/01 2012
  • 26/12-01/01 2012
  • 12/12-18/12 2011
  • 05/12-11/12 2011
  • 28/11-04/12 2011
  • 14/11-20/11 2011
  • 07/11-13/11 2011
  • 31/10-06/11 2011
  • 24/10-30/10 2011
  • 10/10-16/10 2011
  • 12/09-18/09 2011
  • 05/09-11/09 2011
  • 29/08-04/09 2011
  • 15/08-21/08 2011
  • 04/07-10/07 2011
  • 27/06-03/07 2011
  • 20/06-26/06 2011
  • 13/06-19/06 2011
  • 06/06-12/06 2011
  • 30/05-05/06 2011
  • 16/05-22/05 2011
  • 28/03-03/04 2011
  • 14/02-20/02 2011
  • 24/01-30/01 2011
  • 17/01-23/01 2011
  • 10/01-16/01 2011
  • 03/01-09/01 2011
  • 20/12-26/12 2010
  • 13/12-19/12 2010
  • 06/12-12/12 2010
  • 20/09-26/09 2010
  • 06/09-12/09 2010
  • 23/08-29/08 2010
  • 19/07-25/07 2010
  • 12/07-18/07 2010
  • 05/07-11/07 2010
  • 28/06-04/07 2010
  • 21/06-27/06 2010
  • 14/06-20/06 2010
  • 10/05-16/05 2010
  • 05/04-11/04 2010
  • 29/03-04/04 2010
  • 15/03-21/03 2010
  • 08/03-14/03 2010
  • 15/02-21/02 2010
  • 08/02-14/02 2010
  • 09/11-15/11 2009
  • 02/11-08/11 2009
  • 26/10-01/11 2009
  • 19/10-25/10 2009
  • 05/10-11/10 2009
  • 28/09-04/10 2009
  • 21/09-27/09 2009
  • 07/09-13/09 2009
  • 31/08-06/09 2009
  • 27/07-02/08 2009
  • 20/07-26/07 2009
  • 13/07-19/07 2009
  • 06/07-12/07 2009
  • 29/06-05/07 2009
  • 22/06-28/06 2009
  • 15/06-21/06 2009
  • 01/06-07/06 2009
  • 25/05-31/05 2009
  • 18/05-24/05 2009
  • 11/05-17/05 2009
  • 27/04-03/05 2009

    E-mail mij

    Druk op onderstaande knop om mij te e-mailen.


    Blog als favoriet !

    Zoeken met Google




    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op https://www.bloggen.be - Bloggen.be, eenvoudig, gratis en snel jouw eigen blog!