Inhoud blog
  • JAAR VAN DE HAAN 11-12
  • JAAR VAN DE HAAN 10-12
  • JAAR VAN DE HAAN 09-12
  • JAAR VAN DE HAAN 08-12
  • JAAR VAN DE HAAN 07-12
    Zoeken in blog

    Foto
    Noli turbare circulos meos (Archimedes)


    GNOMON
    Wiskunde zie je!
    21-01-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De rij van Fibonacci: jonger dan je denkt

    Fibonacci en de Gulden Snede

     

    Over de rij van Fibonacci kan je heel wat informatie vinden op het internet.
    Deze tekst van Liselotte Snijders en Perry Visser moet je toch zeker gelezen hebben.
    Het was in 2006 een onderzoekopdracht o.l.v. Kees Gondrie.
    Bron: www.exo.science.ru.nl/bronnen/wiskunde/fibonacci.html

    Vraagstelling en hypothese

    Fibonacci en de Gulden Snede is een heel breed onderwerp en het is onmogelijk om alles te onderzoeken. Daarom hebben we de volgende onderzoeksvragen opgesteld:
    • Wat is de Fibonacci-rij?
    • Wat is de Gulden Snede?
    • Waar vind je de Fibonacci-rij en de Gulden Snede terug in de natuur?

    Theorie

    Fibonacci was een Italiaanse wiskundige die ongeveer van 1120 tot 1250 leefde. De rij die naar hem is genoemd, de Fibonacci-rij, wordt meestal geïntroduceerd via het tellen van konijnenparen.
    We beginnen met één konijnenpaar. We nemen aan dat voor het voortplanten geldt:
    • Elk konijnenpaar krijgt na 1 maand één nieuw paar nakomelingen.
    • Een konijnenpaar kan de eerste maand nog geen nakomelingen krijgen.
    • De konijnenparen gaan niet dood.
    De vraag is nu, hoeveel konijnenparen zijn er dan na één jaar?

    In figuur 1 is het aantal konijnenparen weergegeven voor de eerste vijf maanden.


    Figuur 1: Het aantal konijnenparen
    We gaan op zoek naar een formule voor het aantal konijnenparen. Stel in maand n hebben we a paren en in maand n + 1 hebben we a + b paren, namelijk a oudere paren en b nieuwgeboren paren.
    De volgende maand n + 2 zijn er 2a + b paren, want in die maand zijn er:
    a paren van maand n;
    a nieuwgeboren paren van de oudere paren van maand n + 1;
    b nieuwgeboren paren van maand n + 1 die nog geen nakomelingen kunnen krijgen.
    Dat betekent dat in maand n + 2 het aantal konijnen-paren 2a + b gelijk is aan de som van het parenaantal a + b in maand n + 1en het parenaantal a in maand n. Hieruit leiden we de formule af voor het aantal konijnenparen: pn+2 = pn+1 + pn met p0 = 1 en p2 = 1.


    In de onderstaande tabel zie je de eerste dertien Fibonacci-getallen.


    Na een jaar zijn er dus 233 konijnenparen.

    Tegelwand van vierkanten
    We kijken naar het volgende voorbeeld:
    p0 2 + p12 + p22 + p32 + p42 = p4 . p5
    12 + 12 + 22 + 32 + 52 = 5 . 8
    40 = 5 . 8
    In formule-vorm zou dit zijn: p02 + p12 + ... + pn2 = pn . pn+1. Klopt deze formule, of is het maar stom toeval dat die voor n = 4 klopt?
    In figuur 2 zie je een aantal speciale vierkanten. Beginnend bij de kleinste vierkanten zijn de zijden van de vierkanten de getallen uit de rij van Fibonacci, want de zijde van het volgende vierkant ontstaat door de zijden van de voorgaande twee vierkanten op te tellen.


    Figuur 2: Vierkante tegels
    Voor de oppervlakte 0n van de n-de rechthoek geldt: 01 = 12 = 1
    02 = 12 + 12 = 1 + 12 = 1 . 2 = p1 . p2
    03 = 12 + 12 + 22 + 32 = 2 . 3 + 32 = 3 . 5 = p3 . p4
    05 = 12 + 12 + 22 + 32 + 52 = 3 . 5 + 52 = 5 . 8 = p4 . p5
    0n+1 = p02 + p12 + ... + pn2 = pn . pn+1
    Voor elke n klopt de formule!

    Wat is de Gulden Snede?
    De beste manier om uit te leggen wat de Gulden Snede is, is aan de hand van een lijnstuk dat zó in twee stukken a en b (met a > b) gedeeld is, dat de verhouding van het hele lijnstuk tot het grote stuk gelijk is aan de verhouding van het grote en kleine stuk (zie figuur 3). Deze verhouding wordt de Gulden Snede genoemd en meestal voorgesteld met φ (phi).


    Figuur 3: Lijnstuk verdeeld in uiterste en middelste reden

    In formulevorm kun je dit schrijven als:

    Hieruit volgt :               .                                   

    Delen door geeft                        en bijgevolg is    .

    We stellen φ gelijk aan , dan geldt . Het oplossen van deze vergelijking leidt tot .

    Als je het minteken laat staan, is de verhouding φ negatief en dat kan niet (het is een quotiënt van twee lengten), dus is de Gulden Snede

    varphi = frac{1+sqrt{5}}{2}approx 1.61803,39887ldots,

    Waar vind je de rij van Fibonacci in de natuur?

    Vele soorten bloemen hebben een aantal blaadjes (of het gemiddelde aantal blaadjes) dat gelijk is aan een getal uit de rij van Fibonacci. Hieronder staan enkele voorbeelden.
    • Lelie en iris met 3 blaadjes
    • Boterbloem (zie figuur 4), parnassia en geranium met 5 blaadjes
    • Delphinium en jakobskruiskruid met 8 blaadjes
    • Cineraria met 13 blaadjes
    • Aster (zie figuur 5) en cichorei met 21 blaadjes
    • Moederkruid met 34 blaadjes
    • Herfstaster met 89 blaadjes

    Figuur 4: Boterbloem    Figuur 5 : Aster


    Fibonacci bij bijen.
    Iets waarbij ook de rij van Fibonacci in de natuur voorkomt, is het voorgeslacht van een mannetjesbij, want:
    • als een vrouwtje een niet bevrucht ei legt, dan wordt het een mannetje;
    • als het ei bevrucht was, dan wordt het een vrouwtje.
    Een mannetjesbij heeft maar één ouder: een vrouwtje. Een vrouwtjesbij heeft 2 ouders: een mannetje en een vrouwtje (zie figuur 6).


    Figuur 6: Stamboom van een mannetjesbij

    De mannetjesbij onder in de stamboom van figuur 6 heeft dus maar één ouder. En hij heeft 2 grootouders, want zijn moeder heeft twee ouders. Hij heeft 3 over-grootouders, omdat zijn grootvader één ouder heeft en zijn grootmoeder 2 ouders. De 3 over-groot-ouders (de 2 oma’s en de opa) hebben 5 over-over-grootouders, want beide oma’s hebben elk twee ouders en de opa heeft één ouder. Als je in figuur 6 van onder naar boven naar het aantal bijen kijkt, krijg je de rij 1, 1, 2, 3, 5. En dat is de rij van Fibonacci. Immers, het principe van de bijen en de konijnenparen is hetzelfde: de mannetjesbijen zijn dan net als de nieuwgeboren konijnenparen en de vrouwtjesbijen zijn dan net als de konijnenparen die wel nakomelingen kunnen krijgen.

    De Gulden Snede bij mens en dier
    De Gulden Snede kom je niet alleen in de wiskunde tegen. In het menselijk lichaam vinden we phi vaak terug. Dit kunnen we bijvoorbeeld laten zien aan de hand van ‘De mens van Vitrivius’, een tekening van Leonardo da Vinci (zie figuur 7). Hij maakte deze tekening om de verhoudingen van de mens te laten zien, omdat hij vond dat deze verhoudingen universeel waren. We zien dat hij de persoon in twee stukken gedeeld heeft ter hoogte van het middel. We treffen de verhouding phi aan: het hele lichaam verhoudt zich tot het onderlichaam als het onderlichaam zich tot het bovenlichaam verhoudt.

    Figuur 7: De mens van Vitrivius               Figuur 8: Phi in het gezicht
     
    Nog een mooi voorbeeld is het gezicht (zie figuur 8). In het gezicht zien we veel gulden rechthoeken terug. Een gulden rechthoek is een rechthoek waarbij de verhouding van de som van de beide zijden tot de lange zijde gelijk is aan de verhouding van de lange zijde tot de korte zijde.
    Ook in andere delen van het menselijke lichaam komen we phi tegen, bijvoorbeeld: de breedte van de borstkas ten opzichte van de taille, de lengte van het hoofd ten opzichte van de borstkas en de lengte van de onderarm ten opzichte van de lengte van de hand.
    Ook in de dierenwereld zien we phi terug. Een voorbeeld daarvoor is de nautilus, een schelp (zie figuur 9). We zien dat de schelp ingedeeld kan worden in gulden rechthoeken.

    Figuur 9: Nautilus                                Figuur 10: Vogel                 Figuur 11: Tijger

    Een ander voorbeeld is de vogel in figuur 10. Deze gekleurde vogel wordt (in zijn kleuren) verdeeld volgens de verhouding van de Gulden Snede. Het laatste voorbeeld is de tijger in figuur 11. Ook hier treffen we gulden rechthoeken aan.

    Conclusie

    De Fibonacci-rij is een bijzondere rij waarbij twee opeenvolgende getallen het volgende getal vormen. De rij heeft veel eigenschappen. De opeenvolgende getallen staan in een verhouding die naar de Gulden Snede toe gaat. Je kunt er op een speciale manier tegels mee leggen, waarbij de oppervlakte van een rechthoek gelijk is aan de sommatie van de kwadraten van de getallen van de Fibonacci-rij.
    Ook in de natuur komen de Fibonacci-getallen voor, bijvoorbeeld bij het aantal bloemblaadjes van een bloem en bij de stamboom van de mannetjesbij.
    De Gulden Snede is de verhouding phi, bij benadering 1,618. Het is de verhouding die een lijnstuk zó in twee delen deelt, dat de verhouding van het geheel tot het grote stuk gelijk is aan de verhouding van het grote tot het kleine stuk. Er zijn veel toepassingen van de Gulden Snede. Zo zijn er bijvoorbeeld gulden rechthoeken, waarbij de verhouding van de som van de beide zijden tot de lange zijde gelijk is aan de verhouding van de lange zijde tot de korte zijde. En er zijn formules om phi te benaderen c.q. te berekenen.
    Ook zien we phi terug in de natuur, onder andere bij enkele dieren maar ook in het menselijk lichaam.
    Kortom: de Gulden Snede phi en de Fibonacci-getallen zijn echt overal!

    De formule van Binet

    De getallen uit de Fibonacci-rij zijn recursief gedefinieerd door un+1 = un + un-1 , met n > 1 en u1 = 1 en u2 =1. Het was de Franse wiskundige Jacques Philippe Marie Binet die in 1843 als eerste een expliciete formule publiceerde voor de n-de term un uit de rij van Fibonacci. Een bewijs van de onderstaande formule (en nog heel wat meer wetenswaardigheden over de rij van Fibonacci en de Gulden Snede vind je in de bijlage.
    Met dank aan erebegeleider Walter De Volder.

    Voor de getallen un met un+1 = un + un-1 (met n > 1, u1 = 1 en u2 =1) geldt

                            sectio6_f.gif (1124 bytes)


    En dit knap filmpje over de Fibonaccigetallen is wellicht het beste dat over dit onderwerp op Youtube te vinden is!

    Bijlagen:
    Fibonacci jonger dan je denkt.doc (687.5 KB)   

    21-01-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)


    Archief per week
  • 11/12-17/12 2017
  • 04/12-10/12 2017
  • 27/11-03/12 2017
  • 20/11-26/11 2017
  • 13/11-19/11 2017
  • 06/11-12/11 2017
  • 30/10-05/11 2017
  • 23/10-29/10 2017
  • 16/10-22/10 2017
  • 09/10-15/10 2017
  • 02/10-08/10 2017
  • 25/09-01/10 2017
  • 18/09-24/09 2017
  • 11/09-17/09 2017
  • 04/09-10/09 2017
  • 28/08-03/09 2017
  • 21/08-27/08 2017
  • 14/08-20/08 2017
  • 07/08-13/08 2017
  • 31/07-06/08 2017
  • 24/07-30/07 2017
  • 17/07-23/07 2017
  • 10/07-16/07 2017
  • 03/07-09/07 2017
  • 26/06-02/07 2017
  • 19/06-25/06 2017
  • 12/06-18/06 2017
  • 05/06-11/06 2017
  • 29/05-04/06 2017
  • 22/05-28/05 2017
  • 15/05-21/05 2017
  • 08/05-14/05 2017
  • 01/05-07/05 2017
  • 24/04-30/04 2017
  • 17/04-23/04 2017
  • 10/04-16/04 2017
  • 03/04-09/04 2017
  • 27/03-02/04 2017
  • 20/03-26/03 2017
  • 13/03-19/03 2017
  • 06/03-12/03 2017
  • 27/02-05/03 2017
  • 20/02-26/02 2017
  • 13/02-19/02 2017
  • 06/02-12/02 2017
  • 30/01-05/02 2017
  • 23/01-29/01 2017
  • 16/01-22/01 2017
  • 09/01-15/01 2017
  • 02/01-08/01 2017
  • 25/12-31/12 2017
  • 19/12-25/12 2016
  • 12/12-18/12 2016
  • 05/12-11/12 2016
  • 28/11-04/12 2016
  • 21/11-27/11 2016
  • 14/11-20/11 2016
  • 07/11-13/11 2016
  • 31/10-06/11 2016
  • 24/10-30/10 2016
  • 17/10-23/10 2016
  • 10/10-16/10 2016
  • 03/10-09/10 2016
  • 26/09-02/10 2016
  • 19/09-25/09 2016
  • 12/09-18/09 2016
  • 05/09-11/09 2016
  • 29/08-04/09 2016
  • 22/08-28/08 2016
  • 15/08-21/08 2016
  • 08/08-14/08 2016
  • 01/08-07/08 2016
  • 25/07-31/07 2016
  • 18/07-24/07 2016
  • 11/07-17/07 2016
  • 04/07-10/07 2016
  • 27/06-03/07 2016
  • 20/06-26/06 2016
  • 13/06-19/06 2016
  • 06/06-12/06 2016
  • 30/05-05/06 2016
  • 23/05-29/05 2016
  • 16/05-22/05 2016
  • 09/05-15/05 2016
  • 02/05-08/05 2016
  • 25/04-01/05 2016
  • 18/04-24/04 2016
  • 11/04-17/04 2016
  • 04/04-10/04 2016
  • 28/03-03/04 2016
  • 21/03-27/03 2016
  • 14/03-20/03 2016
  • 07/03-13/03 2016
  • 29/02-06/03 2016
  • 22/02-28/02 2016
  • 15/02-21/02 2016
  • 08/02-14/02 2016
  • 01/02-07/02 2016
  • 25/01-31/01 2016
  • 18/01-24/01 2016
  • 11/01-17/01 2016
  • 04/01-10/01 2016
  • 28/12-03/01 2021
  • 21/12-27/12 2015
  • 14/12-20/12 2015
  • 07/12-13/12 2015
  • 30/11-06/12 2015
  • 23/11-29/11 2015
  • 16/11-22/11 2015
  • 09/11-15/11 2015
  • 02/11-08/11 2015
  • 26/10-01/11 2015
  • 19/10-25/10 2015
  • 12/10-18/10 2015
  • 05/10-11/10 2015
  • 28/09-04/10 2015
  • 21/09-27/09 2015
  • 14/09-20/09 2015
  • 07/09-13/09 2015
  • 31/08-06/09 2015
  • 24/08-30/08 2015
  • 17/08-23/08 2015
  • 10/08-16/08 2015
  • 03/08-09/08 2015
  • 27/07-02/08 2015
  • 20/07-26/07 2015
  • 13/07-19/07 2015
  • 06/07-12/07 2015
  • 29/06-05/07 2015
  • 22/06-28/06 2015
  • 15/06-21/06 2015
  • 08/06-14/06 2015
  • 01/06-07/06 2015
  • 25/05-31/05 2015
  • 18/05-24/05 2015
  • 11/05-17/05 2015
  • 04/05-10/05 2015
  • 27/04-03/05 2015
  • 20/04-26/04 2015
  • 13/04-19/04 2015
  • 06/04-12/04 2015
  • 30/03-05/04 2015
  • 23/03-29/03 2015
  • 16/03-22/03 2015
  • 09/03-15/03 2015
  • 02/03-08/03 2015
  • 23/02-01/03 2015
  • 16/02-22/02 2015
  • 09/02-15/02 2015
  • 02/02-08/02 2015
  • 26/01-01/02 2015
  • 19/01-25/01 2015
  • 12/01-18/01 2015
  • 05/01-11/01 2015
  • 29/12-04/01 2015
  • 22/12-28/12 2014
  • 15/12-21/12 2014
  • 08/12-14/12 2014
  • 01/12-07/12 2014
  • 24/11-30/11 2014
  • 17/11-23/11 2014
  • 10/11-16/11 2014
  • 03/11-09/11 2014
  • 27/10-02/11 2014
  • 20/10-26/10 2014
  • 13/10-19/10 2014
  • 06/10-12/10 2014
  • 29/09-05/10 2014
  • 22/09-28/09 2014
  • 15/09-21/09 2014
  • 08/09-14/09 2014
  • 01/09-07/09 2014
  • 25/08-31/08 2014
  • 18/08-24/08 2014
  • 04/08-10/08 2014
  • 21/07-27/07 2014
  • 07/07-13/07 2014
  • 30/06-06/07 2014
  • 16/06-22/06 2014
  • 09/06-15/06 2014
  • 28/04-04/05 2014
  • 21/04-27/04 2014
  • 14/04-20/04 2014
  • 07/04-13/04 2014
  • 31/03-06/04 2014
  • 24/03-30/03 2014
  • 17/03-23/03 2014
  • 10/03-16/03 2014
  • 03/03-09/03 2014
  • 24/02-02/03 2014
  • 17/02-23/02 2014
  • 10/02-16/02 2014
  • 03/02-09/02 2014
  • 27/01-02/02 2014
  • 20/01-26/01 2014
  • 13/01-19/01 2014
  • 06/01-12/01 2014
  • 30/12-05/01 2014
  • 23/12-29/12 2013
  • 16/12-22/12 2013
  • 09/12-15/12 2013
  • 02/12-08/12 2013
  • 25/11-01/12 2013
  • 18/11-24/11 2013
  • 11/11-17/11 2013
  • 04/11-10/11 2013
  • 28/10-03/11 2013
  • 21/10-27/10 2013
  • 14/10-20/10 2013
  • 07/10-13/10 2013
  • 30/09-06/10 2013
  • 23/09-29/09 2013
  • 16/09-22/09 2013
  • 09/09-15/09 2013
  • 02/09-08/09 2013
  • 26/08-01/09 2013
  • 19/08-25/08 2013
  • 12/08-18/08 2013
  • 05/08-11/08 2013
  • 29/07-04/08 2013
  • 22/07-28/07 2013
  • 15/07-21/07 2013
  • 08/07-14/07 2013
  • 01/07-07/07 2013
  • 24/06-30/06 2013
  • 17/06-23/06 2013
  • 10/06-16/06 2013
  • 03/06-09/06 2013
  • 27/05-02/06 2013
  • 20/05-26/05 2013
  • 13/05-19/05 2013
  • 06/05-12/05 2013
  • 29/04-05/05 2013
  • 22/04-28/04 2013
  • 15/04-21/04 2013
  • 08/04-14/04 2013
  • 01/04-07/04 2013
  • 25/03-31/03 2013
  • 18/03-24/03 2013
  • 11/03-17/03 2013
  • 04/03-10/03 2013
  • 25/02-03/03 2013
  • 18/02-24/02 2013
  • 11/02-17/02 2013
  • 04/02-10/02 2013
  • 28/01-03/02 2013
  • 21/01-27/01 2013
  • 07/01-13/01 2013
  • 31/12-06/01 2013
  • 24/12-30/12 2012
  • 17/12-23/12 2012
  • 10/12-16/12 2012
  • 03/12-09/12 2012
  • 26/11-02/12 2012
  • 19/11-25/11 2012
  • 12/11-18/11 2012
  • 05/11-11/11 2012
  • 29/10-04/11 2012
  • 22/10-28/10 2012
  • 15/10-21/10 2012
  • 08/10-14/10 2012
  • 01/10-07/10 2012
  • 24/09-30/09 2012
  • 17/09-23/09 2012
  • 10/09-16/09 2012
  • 03/09-09/09 2012
  • 27/08-02/09 2012
  • 20/08-26/08 2012
  • 13/08-19/08 2012
  • 06/08-12/08 2012
  • 30/07-05/08 2012
  • 23/07-29/07 2012
  • 16/07-22/07 2012
  • 09/07-15/07 2012
  • 02/07-08/07 2012
  • 25/06-01/07 2012
  • 18/06-24/06 2012
  • 11/06-17/06 2012
  • 04/06-10/06 2012
  • 28/05-03/06 2012
  • 21/05-27/05 2012
  • 30/04-06/05 2012
  • 23/04-29/04 2012
  • 16/04-22/04 2012
  • 09/04-15/04 2012
  • 02/04-08/04 2012
  • 26/03-01/04 2012
  • 12/03-18/03 2012
  • 05/03-11/03 2012
  • 27/02-04/03 2012
  • 20/02-26/02 2012
  • 13/02-19/02 2012
  • 06/02-12/02 2012
  • 30/01-05/02 2012
  • 23/01-29/01 2012
  • 16/01-22/01 2012
  • 09/01-15/01 2012
  • 02/01-08/01 2012
  • 26/12-01/01 2012
  • 12/12-18/12 2011
  • 05/12-11/12 2011
  • 28/11-04/12 2011
  • 14/11-20/11 2011
  • 07/11-13/11 2011
  • 31/10-06/11 2011
  • 24/10-30/10 2011
  • 10/10-16/10 2011
  • 12/09-18/09 2011
  • 05/09-11/09 2011
  • 29/08-04/09 2011
  • 15/08-21/08 2011
  • 04/07-10/07 2011
  • 27/06-03/07 2011
  • 20/06-26/06 2011
  • 13/06-19/06 2011
  • 06/06-12/06 2011
  • 30/05-05/06 2011
  • 16/05-22/05 2011
  • 28/03-03/04 2011
  • 14/02-20/02 2011
  • 24/01-30/01 2011
  • 17/01-23/01 2011
  • 10/01-16/01 2011
  • 03/01-09/01 2011
  • 20/12-26/12 2010
  • 13/12-19/12 2010
  • 06/12-12/12 2010
  • 20/09-26/09 2010
  • 06/09-12/09 2010
  • 23/08-29/08 2010
  • 19/07-25/07 2010
  • 12/07-18/07 2010
  • 05/07-11/07 2010
  • 28/06-04/07 2010
  • 21/06-27/06 2010
  • 14/06-20/06 2010
  • 10/05-16/05 2010
  • 05/04-11/04 2010
  • 29/03-04/04 2010
  • 15/03-21/03 2010
  • 08/03-14/03 2010
  • 15/02-21/02 2010
  • 08/02-14/02 2010
  • 09/11-15/11 2009
  • 02/11-08/11 2009
  • 26/10-01/11 2009
  • 19/10-25/10 2009
  • 05/10-11/10 2009
  • 28/09-04/10 2009
  • 21/09-27/09 2009
  • 07/09-13/09 2009
  • 31/08-06/09 2009
  • 27/07-02/08 2009
  • 20/07-26/07 2009
  • 13/07-19/07 2009
  • 06/07-12/07 2009
  • 29/06-05/07 2009
  • 22/06-28/06 2009
  • 15/06-21/06 2009
  • 01/06-07/06 2009
  • 25/05-31/05 2009
  • 18/05-24/05 2009
  • 11/05-17/05 2009
  • 27/04-03/05 2009
  • 28/11-04/12 -0001

    E-mail mij

    Druk op onderstaande knop om mij te e-mailen.


    Blog als favoriet !

    Zoeken met Google




    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op https://www.bloggen.be - Bloggen.be, eenvoudig, gratis en snel jouw eigen blog!