Inhoud blog
  • JAAR VAN DE HAAN 17-12
  • JAAR VAN DE HAAN 16-12
  • JAAR VAN DE HAAN 15-12
  • JAAR VAN DE HAAN 14-12
  • JAAR VAN DE HAAN 13-12
    Zoeken in blog

    Foto
    Noli turbare circulos meos (Archimedes)


    GNOMON
    Wiskunde zie je!
    18-02-2010
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Een visueel bewijs voor drie leuke sommen

    Merk op dat   

    (1 + 2)² = 9 en ook 1³ + 2³ = 9
    (1 + 2 + 3)² = 36 en ook 1³ + 2³ + 3³ = 36
    (1 + 2 + 3 + 4)² = 100 en ook 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 100


    Dit blijkt ook verder te kloppen.

    WAAROM???

    Een visueel bewijs voor het feit dat  (1 + 2 + 3)² = 1³ + 2³ + 3³  zie je hieronder.
    Het volstaat de kubussen met ribbe 2 en ribbe 3 op de gepaste manier op te delen en dan de bekomen delen tot één vlak vierkant te herschikken.
    Met dank aan Henri Picciotto.

     In bijlage vind je een analoog (algemeen) bewijs zonder woorden.

    En waarom is (x + 1)² = x² + 2x + 1?
    Dat kan je dan weer op de onderstaande figuur aflezen 

      
     
    En via de onderstaande figuur kan je begrijpen waarom de som 1 + 2 + 3 + ... + 10 gelijk is aan de helft van het product van 10 en 11.

     

    http://www.tonydunford.net/Sum-Of-Number-Series.aspx

    GESNAPT?

    Bijlagen:
    Som van derdemachten_visueel bewijs.pdf (221 KB)   

    18-02-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Vier weetjes over kwadraten



    Het product van vier opeenvolgende natuurlijke getallen vermeerderd met 1 is gelijk aan het kwadraat van een natuurlijk getal.

    Bewijs.
    n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1    =   n4 + 6n3 + 11n2 + 6n + 1    (reken de uitdrukking in het linkerlid distributief uiy)
                                            =   (n2 + 3n + 1) 2                   (gebruik de formule (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc).


    Voorbeeld.
    16 . 17 . 18 . 19 + 1 = 93 025 = 3052.



    Als een natuurlijk getal n gelijk is aan de som van de kwadraten van twee natuurlijke getallen a en b, dan is ook n3  gelijk aan de som van de kwadraten van twee natuurlijke getallen.

    Bewijs.
    We maken gebruik van complexe getallen. Omdat i2 = -1 (imaginaire eenheid) is  (a + bi)(a - bi) = a2 + b2.
    Stel n =  a2 + b2 (gegeven).
    Dan is n3 = (a2 + b2)3 
                   = [(a + bi)(a - bi)]3
                   = (a + bi)3 (a - bi)3
                   = (a3 + 3a2bi - 3ab2 - b3i) (a3 - 3a2bi - 3ab2 + b3i)
                   = [ (a3 - 3ab2) + (3a2b - b3)i] [ (a3 - 3ab2) - (3a2b - b3)i]
                   =  (a3 - 3ab2)2 + (3a2b - b3)2.

    Voorbeelden.
    173 = (42 + 12)3
          =  (64 - 12)2 + (48 - 1)2
          =  522 + 472 .

    133 = (22 + 32)3
          =  (8 - 54)2 + (36 - 27)2
          =  462 + 92 .


    Hoe bereken je (N+1)² als N² gekend is?

     

    -         Schrijf  N² op.

    -         Schrijf daaronder N.

    -         Schrijf daaronder N+1.

    -         Tel alles op.


    Voorbeeld. Bereken 61².

     

                       60² = 3600

                                   60

                            +     61

                     _______________

                                      3721 = 61² .


    Verklaring.  N² + N + (N+1) = (N+1)².



    Hoe kwadrateer je een natuurlijk getal tussen 50 en 60?

     

    -         Tel 25 op bij het cijfer van de eenheden.

    -         Kwadrateer het cijfer van de eenheden en zet hier indien nodig een 0 voor zodat je een getal van twee cijfers bekomt.

    -         Schrijf beide getallen naast elkaar op zodat je een getal van 4 cijfers bekomt.


    Voorbeeld. Bereken 53².

     

                      3 + 25 = 28

                             3² = 09

     

                        53² = 2809.

     

    Verklaring.  (50 + a)² = 100(25 + a) + a².

    18-02-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De stelling van Napoleon



    Was Napoleon Bonaparte (1769-1821) een getalenteerde wiskundige?

    In elk geval staat is er in de literatuur een stelling op zijn naam. Het is echter niet duidelijk of er een verband is met Napoleon.

    De zogenaamde stelling van Napoleon duikt voor het eerst op in 1825 in de publicatie 'The Ladies' Diary' van Dr. W. Rutherford.


    Stelling van Napoleon

    Als men op de drie zijden van een willekeurige driehoek buitenwaarts een gelijkzijdige driehoek construeert,

    dan zijn de zwaartepunten van deze driehoeken de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek.




    In bijlage vind je een powerpointpresentatie met een meetkundig bewijs van deze merkwaardige stelling.

    Deze stelling houdt verband met het zogenaamde punt van Fermat (1601-1665)
    dat ook bekend staat als het punt van Torricelli (1608-1647).
    Dit is het punt binnen een willekeurige driehoek waarvoor de som van de afstanden tot de drie hoekpunten zo klein mogelijk is.
    De constructie ervan is eenvoudig wanneer je gebruik maakt van de drie naar buiten geconstrueerde gelijkzijdige driehoeken.
    Verbind elk nieuw bekomen hoekpunt met het tegenoverliggend hoekpunt van de oorspronkelijke driehoek ABC.
    Het snijpunt van de drie verbindingslijnen is dan het punt van Fermat (F). 
    De drie hoeken waaronder men vanuit het punt F de zijden [AB], [BC] en [CA] ziet, zijn hoeken van 120°.


    Bijlagen:
    De stelling van Napoleon.ppt (284 KB)   

    18-02-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Logische raadsels
     

    ... een variatie op 'Cogito ergo sum' of 'Je pense donc je suis' van René Descartes (1637)?

    Bewijs de zin van jouw bestaan door de volgende vijf logische raadsels op te lossen.


    Een man staat voor een schilderij met de afbeelding van een man en vertelt ons het volgende:

    " Ik heb geen broers en zussen, maar de vader van deze man is mijn vaders zoon". Wie staat er op het schilderij?


    2
    Een jager verlaat zijn hut vroeg in de morgen en loopt een kilometer naar het zuiden.

    Daar ziet hij een beer die hij een kilometer recht naar het oosten achtervolgt, voordat hij in staat is de beer te schieten.

    Nadat hij de beer geschoten heeft, sleept hij deze een kilometer recht naar het noorden naar de hut waar hij die morgen vertrok.

    Welke kleur heeft de beer?


    3
    Op een dag ontmoet je Jan en Piet. Jan liegt op maandagen, dinsdagen en woensdagen en spreekt op de andere dagen de waarheid.

    Piet liegt op donderdagen, vrijdagen en zaterdagen, maar spreekt op de andere dagen van de week de waarheid.

    Ze zeggen het volgende tegen je:

    Jan: "Gisteren was één van de dagen waarop ik lieg."
     Piet: "Gisteren was voor mij één van de dagen waarop ik loog."
    Welke dag is het vandaag?


    4
    Er zijn drie schakelaars (A, B en C) waarvan er één is aangesloten op een lamp die zich in een andere kamer bevindt.

    Je mag maar één keer naar de kamer lopen om te kijken of de lamp brandt.

    Hoe kun je er toch achterkomen welke schakelaar de lamp bedient?


    5
    Welke dag was het gisteren, als het vier dagen voor overmorgen donderdag was?



    Toemaatje:

    6
    Vul aan met een vorm van het werkwoord kapseizen:
    Gisteren is er weer een boot ......................................                                                                                                                        


    Het antwoord op vraag 6 vind je in het onderstaande filmpje!




    Het antwoord op de andere vragen:

    1  Zijn zoon.
    2  Wit. De route die de jager volgt kan in drie stappen enkel weer naar zijn hut leiden als hij zich op de noordpool of op de zuidpool bevindt.
        Maar op de zuidpool zitten geen beren. Het is dus een ijsbeer van op de noordpool.
    3  Donderdag.
    4  Schakel A aan. Wacht een beetje, schakel A weer uit en schakel dan B aan.
        Als de lamp brandt, is het schakelaar B. Als ze warm aanvoelt is het schakelaar A en als ze koud is, is het schakelaar C.
    5  Vrijdag.




               © Jonas Geirnaert


    18-02-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    17-02-2010
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De stelling van Van Aubel

    vanaubel.jpg (7586 bytes)

    Henricus Hubertus van Aubel
    (geboren op 20 november 1830 te Maastricht,  overleden op 3 februari 1906 te Antwerpen),

    was een leraar wiskunde aan het Koninklijk Atheneum van Antwerpen.

    Hij bewees een merkwaardige stelling, die in de literatuur bekend staat als de stelling van Van Aubel.

    Stelling.

    Als men op de vier zijden van een willekeurige vierhoek buitenwaarts telkens een vierkant construeert

    en de symmetriemiddelpunten van deze vierkanten overstaand verbindt,

    dan bekomt men twee lijnstukken die even lang zijn en loodrecht op elkaar staan.



    Het was collega Edward Jennekens die me op de Dag van de Wiskunde (28 november 2009) in Kortrijk attent maakte op een eenvoudig bewijs van deze stelling door gebruik te maken van draaiingen.

    Je vindt dit bewijs in bijlage.


     


















     

    Bijlagen:
    Stelling van Van Aubel.pdf (135.2 KB)   

    17-02-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)


    Archief per week
  • 11/12-17/12 2017
  • 04/12-10/12 2017
  • 27/11-03/12 2017
  • 20/11-26/11 2017
  • 13/11-19/11 2017
  • 06/11-12/11 2017
  • 30/10-05/11 2017
  • 23/10-29/10 2017
  • 16/10-22/10 2017
  • 09/10-15/10 2017
  • 02/10-08/10 2017
  • 25/09-01/10 2017
  • 18/09-24/09 2017
  • 11/09-17/09 2017
  • 04/09-10/09 2017
  • 28/08-03/09 2017
  • 21/08-27/08 2017
  • 14/08-20/08 2017
  • 07/08-13/08 2017
  • 31/07-06/08 2017
  • 24/07-30/07 2017
  • 17/07-23/07 2017
  • 10/07-16/07 2017
  • 03/07-09/07 2017
  • 26/06-02/07 2017
  • 19/06-25/06 2017
  • 12/06-18/06 2017
  • 05/06-11/06 2017
  • 29/05-04/06 2017
  • 22/05-28/05 2017
  • 15/05-21/05 2017
  • 08/05-14/05 2017
  • 01/05-07/05 2017
  • 24/04-30/04 2017
  • 17/04-23/04 2017
  • 10/04-16/04 2017
  • 03/04-09/04 2017
  • 27/03-02/04 2017
  • 20/03-26/03 2017
  • 13/03-19/03 2017
  • 06/03-12/03 2017
  • 27/02-05/03 2017
  • 20/02-26/02 2017
  • 13/02-19/02 2017
  • 06/02-12/02 2017
  • 30/01-05/02 2017
  • 23/01-29/01 2017
  • 16/01-22/01 2017
  • 09/01-15/01 2017
  • 02/01-08/01 2017
  • 25/12-31/12 2017
  • 19/12-25/12 2016
  • 12/12-18/12 2016
  • 05/12-11/12 2016
  • 28/11-04/12 2016
  • 21/11-27/11 2016
  • 14/11-20/11 2016
  • 07/11-13/11 2016
  • 31/10-06/11 2016
  • 24/10-30/10 2016
  • 17/10-23/10 2016
  • 10/10-16/10 2016
  • 03/10-09/10 2016
  • 26/09-02/10 2016
  • 19/09-25/09 2016
  • 12/09-18/09 2016
  • 05/09-11/09 2016
  • 29/08-04/09 2016
  • 22/08-28/08 2016
  • 15/08-21/08 2016
  • 08/08-14/08 2016
  • 01/08-07/08 2016
  • 25/07-31/07 2016
  • 18/07-24/07 2016
  • 11/07-17/07 2016
  • 04/07-10/07 2016
  • 27/06-03/07 2016
  • 20/06-26/06 2016
  • 13/06-19/06 2016
  • 06/06-12/06 2016
  • 30/05-05/06 2016
  • 23/05-29/05 2016
  • 16/05-22/05 2016
  • 09/05-15/05 2016
  • 02/05-08/05 2016
  • 25/04-01/05 2016
  • 18/04-24/04 2016
  • 11/04-17/04 2016
  • 04/04-10/04 2016
  • 28/03-03/04 2016
  • 21/03-27/03 2016
  • 14/03-20/03 2016
  • 07/03-13/03 2016
  • 29/02-06/03 2016
  • 22/02-28/02 2016
  • 15/02-21/02 2016
  • 08/02-14/02 2016
  • 01/02-07/02 2016
  • 25/01-31/01 2016
  • 18/01-24/01 2016
  • 11/01-17/01 2016
  • 04/01-10/01 2016
  • 28/12-03/01 2021
  • 21/12-27/12 2015
  • 14/12-20/12 2015
  • 07/12-13/12 2015
  • 30/11-06/12 2015
  • 23/11-29/11 2015
  • 16/11-22/11 2015
  • 09/11-15/11 2015
  • 02/11-08/11 2015
  • 26/10-01/11 2015
  • 19/10-25/10 2015
  • 12/10-18/10 2015
  • 05/10-11/10 2015
  • 28/09-04/10 2015
  • 21/09-27/09 2015
  • 14/09-20/09 2015
  • 07/09-13/09 2015
  • 31/08-06/09 2015
  • 24/08-30/08 2015
  • 17/08-23/08 2015
  • 10/08-16/08 2015
  • 03/08-09/08 2015
  • 27/07-02/08 2015
  • 20/07-26/07 2015
  • 13/07-19/07 2015
  • 06/07-12/07 2015
  • 29/06-05/07 2015
  • 22/06-28/06 2015
  • 15/06-21/06 2015
  • 08/06-14/06 2015
  • 01/06-07/06 2015
  • 25/05-31/05 2015
  • 18/05-24/05 2015
  • 11/05-17/05 2015
  • 04/05-10/05 2015
  • 27/04-03/05 2015
  • 20/04-26/04 2015
  • 13/04-19/04 2015
  • 06/04-12/04 2015
  • 30/03-05/04 2015
  • 23/03-29/03 2015
  • 16/03-22/03 2015
  • 09/03-15/03 2015
  • 02/03-08/03 2015
  • 23/02-01/03 2015
  • 16/02-22/02 2015
  • 09/02-15/02 2015
  • 02/02-08/02 2015
  • 26/01-01/02 2015
  • 19/01-25/01 2015
  • 12/01-18/01 2015
  • 05/01-11/01 2015
  • 29/12-04/01 2015
  • 22/12-28/12 2014
  • 15/12-21/12 2014
  • 08/12-14/12 2014
  • 01/12-07/12 2014
  • 24/11-30/11 2014
  • 17/11-23/11 2014
  • 10/11-16/11 2014
  • 03/11-09/11 2014
  • 27/10-02/11 2014
  • 20/10-26/10 2014
  • 13/10-19/10 2014
  • 06/10-12/10 2014
  • 29/09-05/10 2014
  • 22/09-28/09 2014
  • 15/09-21/09 2014
  • 08/09-14/09 2014
  • 01/09-07/09 2014
  • 25/08-31/08 2014
  • 18/08-24/08 2014
  • 04/08-10/08 2014
  • 21/07-27/07 2014
  • 07/07-13/07 2014
  • 30/06-06/07 2014
  • 16/06-22/06 2014
  • 09/06-15/06 2014
  • 28/04-04/05 2014
  • 21/04-27/04 2014
  • 14/04-20/04 2014
  • 07/04-13/04 2014
  • 31/03-06/04 2014
  • 24/03-30/03 2014
  • 17/03-23/03 2014
  • 10/03-16/03 2014
  • 03/03-09/03 2014
  • 24/02-02/03 2014
  • 17/02-23/02 2014
  • 10/02-16/02 2014
  • 03/02-09/02 2014
  • 27/01-02/02 2014
  • 20/01-26/01 2014
  • 13/01-19/01 2014
  • 06/01-12/01 2014
  • 30/12-05/01 2014
  • 23/12-29/12 2013
  • 16/12-22/12 2013
  • 09/12-15/12 2013
  • 02/12-08/12 2013
  • 25/11-01/12 2013
  • 18/11-24/11 2013
  • 11/11-17/11 2013
  • 04/11-10/11 2013
  • 28/10-03/11 2013
  • 21/10-27/10 2013
  • 14/10-20/10 2013
  • 07/10-13/10 2013
  • 30/09-06/10 2013
  • 23/09-29/09 2013
  • 16/09-22/09 2013
  • 09/09-15/09 2013
  • 02/09-08/09 2013
  • 26/08-01/09 2013
  • 19/08-25/08 2013
  • 12/08-18/08 2013
  • 05/08-11/08 2013
  • 29/07-04/08 2013
  • 22/07-28/07 2013
  • 15/07-21/07 2013
  • 08/07-14/07 2013
  • 01/07-07/07 2013
  • 24/06-30/06 2013
  • 17/06-23/06 2013
  • 10/06-16/06 2013
  • 03/06-09/06 2013
  • 27/05-02/06 2013
  • 20/05-26/05 2013
  • 13/05-19/05 2013
  • 06/05-12/05 2013
  • 29/04-05/05 2013
  • 22/04-28/04 2013
  • 15/04-21/04 2013
  • 08/04-14/04 2013
  • 01/04-07/04 2013
  • 25/03-31/03 2013
  • 18/03-24/03 2013
  • 11/03-17/03 2013
  • 04/03-10/03 2013
  • 25/02-03/03 2013
  • 18/02-24/02 2013
  • 11/02-17/02 2013
  • 04/02-10/02 2013
  • 28/01-03/02 2013
  • 21/01-27/01 2013
  • 07/01-13/01 2013
  • 31/12-06/01 2013
  • 24/12-30/12 2012
  • 17/12-23/12 2012
  • 10/12-16/12 2012
  • 03/12-09/12 2012
  • 26/11-02/12 2012
  • 19/11-25/11 2012
  • 12/11-18/11 2012
  • 05/11-11/11 2012
  • 29/10-04/11 2012
  • 22/10-28/10 2012
  • 15/10-21/10 2012
  • 08/10-14/10 2012
  • 01/10-07/10 2012
  • 24/09-30/09 2012
  • 17/09-23/09 2012
  • 10/09-16/09 2012
  • 03/09-09/09 2012
  • 27/08-02/09 2012
  • 20/08-26/08 2012
  • 13/08-19/08 2012
  • 06/08-12/08 2012
  • 30/07-05/08 2012
  • 23/07-29/07 2012
  • 16/07-22/07 2012
  • 09/07-15/07 2012
  • 02/07-08/07 2012
  • 25/06-01/07 2012
  • 18/06-24/06 2012
  • 11/06-17/06 2012
  • 04/06-10/06 2012
  • 28/05-03/06 2012
  • 21/05-27/05 2012
  • 30/04-06/05 2012
  • 23/04-29/04 2012
  • 16/04-22/04 2012
  • 09/04-15/04 2012
  • 02/04-08/04 2012
  • 26/03-01/04 2012
  • 12/03-18/03 2012
  • 05/03-11/03 2012
  • 27/02-04/03 2012
  • 20/02-26/02 2012
  • 13/02-19/02 2012
  • 06/02-12/02 2012
  • 30/01-05/02 2012
  • 23/01-29/01 2012
  • 16/01-22/01 2012
  • 09/01-15/01 2012
  • 02/01-08/01 2012
  • 26/12-01/01 2012
  • 12/12-18/12 2011
  • 05/12-11/12 2011
  • 28/11-04/12 2011
  • 14/11-20/11 2011
  • 07/11-13/11 2011
  • 31/10-06/11 2011
  • 24/10-30/10 2011
  • 10/10-16/10 2011
  • 12/09-18/09 2011
  • 05/09-11/09 2011
  • 29/08-04/09 2011
  • 15/08-21/08 2011
  • 04/07-10/07 2011
  • 27/06-03/07 2011
  • 20/06-26/06 2011
  • 13/06-19/06 2011
  • 06/06-12/06 2011
  • 30/05-05/06 2011
  • 16/05-22/05 2011
  • 28/03-03/04 2011
  • 14/02-20/02 2011
  • 24/01-30/01 2011
  • 17/01-23/01 2011
  • 10/01-16/01 2011
  • 03/01-09/01 2011
  • 20/12-26/12 2010
  • 13/12-19/12 2010
  • 06/12-12/12 2010
  • 20/09-26/09 2010
  • 06/09-12/09 2010
  • 23/08-29/08 2010
  • 19/07-25/07 2010
  • 12/07-18/07 2010
  • 05/07-11/07 2010
  • 28/06-04/07 2010
  • 21/06-27/06 2010
  • 14/06-20/06 2010
  • 10/05-16/05 2010
  • 05/04-11/04 2010
  • 29/03-04/04 2010
  • 15/03-21/03 2010
  • 08/03-14/03 2010
  • 15/02-21/02 2010
  • 08/02-14/02 2010
  • 09/11-15/11 2009
  • 02/11-08/11 2009
  • 26/10-01/11 2009
  • 19/10-25/10 2009
  • 05/10-11/10 2009
  • 28/09-04/10 2009
  • 21/09-27/09 2009
  • 07/09-13/09 2009
  • 31/08-06/09 2009
  • 27/07-02/08 2009
  • 20/07-26/07 2009
  • 13/07-19/07 2009
  • 06/07-12/07 2009
  • 29/06-05/07 2009
  • 22/06-28/06 2009
  • 15/06-21/06 2009
  • 01/06-07/06 2009
  • 25/05-31/05 2009
  • 18/05-24/05 2009
  • 11/05-17/05 2009
  • 27/04-03/05 2009

    E-mail mij

    Druk op onderstaande knop om mij te e-mailen.


    Blog als favoriet !

    Zoeken met Google




    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op https://www.bloggen.be - Bloggen.be, eenvoudig, gratis en snel jouw eigen blog!