Inhoud blog
  • JAAR VAN DE HAAN 11-12
  • JAAR VAN DE HAAN 10-12
  • JAAR VAN DE HAAN 09-12
  • JAAR VAN DE HAAN 08-12
  • JAAR VAN DE HAAN 07-12
    Zoeken in blog

    Foto
    Noli turbare circulos meos (Archimedes)


    GNOMON
    Wiskunde zie je!
    12-07-2009
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De normale verdeling




    Op de oude Duitse bankbiljetten van 10 mark stond Carl Friedrich Gauss afgebeeld met zijn beroemde 'Gausskromme'.
    Deze klokvormige kromme neemt een centrale plaats in bij de studie van de nomale verdeling

    Sedert 2004 is in de leerplannen van de derde graad aso-kso-tso de studie van de normale verdeling een verplicht leerstofonderdeel.

    In bijlage vind je een cursustekst van collega Hilde Eggermont met de basisleerstof over dit onderwerp.

    Wie wil experimenteren met de normale verdeling kan terecht op de website van collega Chris Cambré:
    http://wiskunde-interactief.be bij de rubriek 'Statistiek'.
    Hier staat ook heel wat interactief oefenmateriaal voor beschrijvende statistiek en voor diverse andere leerstofonderdelen.



    "Volgens statistieken was ten tijde van Adam en Eva
    de helft van de wereldbevolking bang voor slangen."

    Bijlagen:
    De normale verdeling (Hilde Eggermont).pdf (256.5 KB)   

    12-07-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Magische vierkanten

    MAGISCHE VIERKANTEN

    Zeven vragen over magische vierkanten.

    1 Wat is een magisch vierkant?
    Een magisch vierkant (of tovervierkant) is een vierkante tabel met n rijen en n kolommen waarin de natuurlijke getallen van 1 tot en met n² zo gerangschikt staan dat de som s per kolom, per rij en langs de twee diagonalen telkens gelijk is. Het getal n noemt men de orde van het magisch vierkant en de som s noemt men de magische constante.
    Vaak houdt men echter geen rekening met de voorwaarde dat men enkel de getallen van 1 tot en met n² in het rooster mag plaatsen. Zo bestaan er bijvoorbeeld bv. magische vierkanten waarin enkel priemgetallen staan.

    Magische vierkanten van orde 3 (s = 177) en van orde 4 (s = 120) waarin enkel priemgetallen staan:

     17  89  71
    113  59   5
     47  29 101

     3 61 19 37
    43 31  5 41
     7 11 73 29
    67 17 23 13

    2 Bestaat er een algemene formule voor magische vierkanten van orde 3?
    Vooraf merken we op dat het meest beroemde magische vierkant de zogenaamde Lo-Shu is. Een legende wil dat rond 2800 v. Chr. China zwaar getroffen werd door overstromingen. Om de god van de rivier Lo gunstig te stemmen werden offers gebracht. Het viel op dat toen telkens een schildpad uit de rivier kroop. Ze droeg op haar rug een merkwaardige tekening, die een magisch vierkant bleek te zijn met als magisch som 15. De Chinezen begrepen dat de riviergod hiermee wilde te kennen geven dat er 15 offers werden gebracht en ... meteen stopten daarna ook de overstromingen. Het vierkant kreeg de naam Lo-Shu, wat boek van de rivier Lo betekent.



     8  3  4
     1  5  9
     6  7  2

                                                                                                                            Lo-Shu

    De algemene formule voor magische vierkanten van orde 3 werd door de Franse wiskundige Edourd Lucas (1842-1891) opgesteld. Door aan a, b en c willekeurige waarden toe te kennen in het onderstaande rooster bekomt men telkens een magisch vierkant met magische som 3a. Voor a = 5, b = 3 en c = 1 vindt men de Lo Shu terug.

      a+b a-b-c   a+c
    a-b+c     a a+b-c
      a-c a+b+c   a-b

    Nog niet zo lang geleden deed iemand een merkwaardige ontdekking i.v.m. de Lo Shu. Als men de getallen in de drie rijen leest van links naar rechts, bekomt men 834, 159 en 672. Wanneer men ze van rechts naar links leest, vindt men 438, 951 en 276. Nu is 834² + 159² + 672² = 438² + 951² + 276². En blijkbaar geldt ook hetzelfde voor de getallen die men van boven naar onder of van onder naar boven leest. Als dat niet magisch is!

    3 Wat is het meest beremde magisch vierkant van orde 4?
    Dit is ongetwijfeld het magisch vierkant dat op de gravure Melancholia I van de Duitse renaissancekunstenaar Albrecht Dürer (1471-1528) staat afgebeeld. Dürer maakte deze gravure in 1514 (het getal middenste in twee cellen van de onderste rij). De initialen van de kunstenaar zijn A (eerste letter van het alfabet) en D (vierde letter van het alfabet) en 4 en 1 staan ook op de onderste rij van het vierkant. Toeval?


    16  3  2 13
     5 10 11  8
     9  6 7 12
     4 15 14  1

    Een magisch vierkant van orde 4 waarbij de som in de vier vierkanten in de hoeken ook gelijk is aan de magische constante, noemt men een gnomon magisch vierkant. Dit is het geval bij het vierkant van Dürer. Bovendien blijken ook nog de getallen in het centrale vierkant dezelfde som op te leveren.

    DurersMagicSquareBoxes 


    4 Bestaat er een formule voor het berekenen van de magische constante?

    Voor een magisch vierkant van orde n waarin de natuurlijke getallen van 1 tot en met n² staan, bestaat er inderdaad een formule, nl. s = (n²+1)n/2.
    Die bekomt men als volgt: de som van de getallen van 1 tot en met n² is gelijk aan (1+n²)n²/2. Omdat er n rijen zijn volstaat het dit getal door n te delen om de magische constante s te vinden.

    5 Kan ik zelf een magisch vierkant van orde 4, 5, 6 ... maken?
    Voor vierkanten met oneven orde is  er de merkwaardige methode van Antoine de La Loubère, die ook wel de Siamese methode wordt genoemd. Zie bv. http://en.wikipedia.org/wiki/Siamese_method. Ook voor een aantal andere magische vierkanten bestaat er een constructiemethode. Meer uitleg vindt je o.a. op http://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square.
    Op het internet vind je bovendien kleine programmaatjes om magische vierkanten te voorschijn te toveren, bijvoorbeeld op: http://magie.nl.eu.org/generator.html .

    6 Zijn sudoku's magische vierkanten?
    Nee. In het algemeen is de som in de 9 rijen en de 9 kolommen gelijk is aan 1 + 2 + ... + 9 = 45, maar dit is niet waar voor de twee diagonalen. Er bestaan uiteraard ook diagonaalsudoku's waarvoor dit wel waar is. Hieronder zie je zo een voorbeeld.

    5 9 7 6 4 3 2 1 8
    2 4 3 1 8 7 9 6 5
    8 6 1 2 9 5 4 7 3
    3 8 5 7 1 9 6 2 4
    9 2 6 8 3 4 7 5 1
    1 7 4 5 2 6 3 8 9
    6 3 2 9 5 1 8 4 7
    4 1 8 3 7 2 5 9 6
    7 5 9 4 6 8 1 3 2


    7 Bestaat er een goed Nederlandstalig boek over magische vierkanten?
    Een absolute aanrader is het boek Magische vierkanten, De wonderbaarlijke geschiedenis van wiskundige puzzels, Van Lo-Shu tot sudoku van Arno van den Essen, uitgegeven in 2007 door Veen Magazines, Diemen - ISBN 978 90 8571 052 3.

    Front cover of the book "Van Lo Shu tot Sudoku"

    In het septembernummer (49ste jaargang - nummer 1 - 2009) van het het tijdschrift Pythagoras is een bijdrage gewijd aan geomagische vierkanten. Dit soort magische vierkanten zijn een origineel idee van Lee Sallows. Deze in Nederland wonende en werkende Brit noemt zichzelf een 'amateurwiskundige'. Hij beschreef zijn ontdekking van geomagische vierkanten in een ongepubliceerd manuscript, maar gelukkig ontdekte de redactie van Pythagoras deze tekst. Geomagische vierkanten blijken in feite een visualisering te zijn van de gekende magische vierkanten.
    In bijlage vind je zo een vierkant. Met dank aan Matthijs Coster.

    Lee Sallows heeft zelf een leuke website met heel veel mooie geomagische figuren.
    Breng zeker eens een bezoekje aan zijn 'geomagische galerij' : http://www.geomagicsquares.com/gallery.php .

        


          

     

    Bijlagen:
    GEOMAGISCH VIERKANT.doc (37.5 KB)   

    12-07-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.YAHTZEE
    Klik op de afbeelding om de link te volgen



    Dice graphicsDice graphicsDice graphicsDice graphicsDice graphics

    Het spel Yahtzee werd uitgevonden in 1954 door een anoniem Canadees koppel.

    Ze doopten het The Yacht Game omdat ze het spel met vrienden op hun jacht speelden.

    Twee jaar later vroegen ze aan de gezelschapsspellen-uitgever Edwin S. Lowe om een aantal sets te maken die ze als geschenk aan hun vrienden konden geven.

    Lowe zag in dat het spel goed in de markt zou liggen en verkreeg de rechten op het spel van het koppel in ruil voor duizend cadeau-sets.

    Lowe veranderde de naam in Yahtzee.

    In het begin vielen de verkoopresultaten tegen want de aantrekkingskracht en de regels van het spel konden niet eenvoudig overgebracht worden via een reclamecampagne.

    Uiteindelijk kwam hij op het idee om "Yahtzee-bijeenkomsten" te organiseren waar mensen het spel leerden spelen en appreciëren.

    Het idee was succesvol en het spel werd snel verspreid door enthousiaste spelers via mond tot mond reclame. MB Parker kocht het bedrijf van E. S. Lowe in 1973.

    Volgens producent Hasbro worden er tegenwoordig wereldwijd 50 miljoen setjes Yahtzee per jaar verkocht.

    Bron: http://nl.wikipedia.org/wiki/Yahtzee.

    ****************************************************************************************

    Kans op YAHTZEE (eenzelfde aantal ogen op de vijf dobbelstenen)

    is 6 op 7776 of ongeveer 0,00771 %.


    Kans op Grote Straat  (5 opeenvolgende getallen: 1-2-3-4-5 of 2-3-4-5-6).

    Er zijn twee verschillende Grote Straten mogelijk

    en elk ervan kan op 5! manieren gegooid worden.

    De kans is dus 2 ·5! op 7776 of ongeveer 3,086 %.


    Kans op Full House (precies 3 dobbelstenen met eenzelfde aantal ogen

    en precies twee dobbelstenen met een ander aantal ogen).

    Om bijvoorbeeld de Full House 3-3-3-5-5 te gooien zijn er

    5!/(3! · 2!) = 10 mogelijkheden (herhalingspermutaties).

    Er zijn bovendien 6 · 5 = 30 verschillende Full House combinaties mogelijk.

    De kans op Full House is dus  6 · 5 · 10 op 7776 of ongeveer 3,858 %.





    Speel nu mijn favoriete dobbelspelletje online op http://www.funnygames.be/spel/yahtzee.html

    12-07-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    11-07-2009
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Lineaire regressie en correlatie

    Toepassen van lineaire regressie kan opgevat worden als het bepalen van de best passende lijn bij een aantal gegeven meetpunten

    Wat "best passen" betekent is natuurlijk afhankelijk van het gehanteerde criterium.

    Eén zo'n criterium is het "kleinste-kwadratencriterium".

    Daarvoor wordt de kleinste-kwadratenmethode gebruikt.

    Van een lijn y = a + bx worden de coëfficiënten a en b zodanig berekend dat de som van de kwadraten van alle afwijkingen d i van het feitelijke meetpunt ten opzichte van de regressielijn (zie figuur) minimaal is.

    Voorbeeld lineaire regressie bron: wikipedia.org 

    Er wordt dus een verband gezocht tussen twee reeksen meetgegevens, die respectievelijk op de horizontale as (onafhankelijke waarden x1, x2, ..., xn) en de verticale as (afhankelijke waarden y1, y2, ... , yn) worden voorgesteld.

    Men vertrekt van deze concrete data (x1, y1), (x2, y2), ... , (xn, yn).

    Een spreidingsdiagram is een grafische voorstelling van de data, waarmee de begrippen positieve of negatieve, sterke of zwakke correlatie visueel worden ingevoerd.

    De correlatiecoëfficiënt is een getal dat aangeeft in welke mate er een lineair verband bestaat tussen de variabelen.

    Eens we vermoeden dat er een lineair verband bestaat tussen twee variabelen, zoeken we de vergelijking van de rechte die het best aansluit bij de puntenwolk.

    Deze rechte is de regressierechte.

    Collega Bieke Van Deyck schreef een uitstekende inleiding over dit onderwerp in het T3-cahier in bijlage.

    Dit is één van de vele cahiers die de medewerkers van T3-Vlaanderen de voorbije jaren hebben bijeengeschreven.



    www.t3vlaanderen.be
    Hier vind je alle reeds gepubliceerde cahiers en alle informatie over de voorbije symposia.

    Bijlagen:
    Cahier 3 Regressie.pdf (458 KB)   

    11-07-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Wiskunde en biologie: logistische groei

    Logistische groeifunctie

    Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie


    Grafiek van de logistische groeifunctie (sigmoïde)



    De logistische groeifunctie, zo genoemd door de Belgische wiskundige Pierre-François Verhulst 1804-1849),

    beschrijft het verloop van de omvang N(t) van een populatie als functie van de tijd t, als de verandering van de populatie-omvang evenredig is:

    • met de omvang van de huidige populatie N(t)
    • en met de nog voorhanden "groeiruimte" M - N(t) , waarin M de maximale omvang is die de populatie kan bereiken.

    Deze eisen leiden tot de volgende differentiaalvergelijking:

    N'(t) = k  N(t)(M - N(t)),

    De oplossing van deze vergelijking is:

    N(t) = N(0) frac{M}{N(0)+e^{-kMt}left(M-N(0)right)} 

    die door scheiding van variabelen gevonden kan worden.

    De grafiek van deze functie heeft een S-vorm (sigmoïde). Deze vorm laat zich als volgt interpreteren.

    In het begin (t klein) stijgt de populatie-omvang langzaam, omdat het aantal individuen nog laag is.

    Aan het eind (t groot), stijgt de populatie-omvang ook nog maar langzaam en nadert asymptotisch het maximum M, omdat dan de begrenzing van de omvang de remmende factor is.



    Oplossing van de differentiaalvergelijking door scheiden van de veranderlijken:

    frac{dN}{dt}=k N(M-N), 

    dus

    frac{dN}{N(M-N)}=k dt,,

    waaruit door integratie (via splitsen in partieelbreuken) volgt:

      int k dt + C=intfrac{1}{N(M - N)}dN =frac 1M intleft(frac 1N + frac{1}{M-N}right)dN,  

    zodat

      kMt + C'=log|N|-log|M - N| = logleft|frac{N}{M-N}right|

    Opmerking. Hierbij is log de Amerikaanse notatie voor de natuurlijke logaritmische functie ln.

    Daaruit volgt:

    frac{M-N}N=frac MN-1=c e^{-kMt} (1)

    Voor t = 0 vinden we voor als waarde voor de integratieconstante c:

                   frac M{N_0}-1=c(2)

    waarbij N0 de beginpopulatie voorstelt.

    Uit (1) en (2) volgt de hoger vermelde oplossing.



    Het logistische groeimodel kan gebruikt worden voor bacteriekolonies of muizenpopulaties, waarbij de populatie-omvang beperkt is door de beperkte aanwezigheid van voedsel.

    Een mooie toepassing over de groeistadia van padden, waarbij gebruik gemaakt wordt van de ingebouwde instructie 'Logistic' op een grafische rekenmachine, zit in bijlage.

    Met dank aan collega's Sabine Van Roose en Gilberte Verbeeck.

    Hypnotoad animated

    Bijlagen:
    Werktekst stadia padden.doc (236.5 KB)   

    11-07-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Bewijsvormen in de wiskunde

    BEWIJSVORMEN IN DE WISKUNDE

    Collega Herman Hofstede verzamelde op zijn website http://hhofstede.nl/bewijzen/bewijzen.htm een aantal bewijsvormen

    en illustreerde die telkens met voorbeelden en opgaven (met oplossingen)!

    Een absolute aanrader voor wie zich wil verdiepen in diverse bewijsmethoden.

    Volgende rubrieken komen aan bod:



    Bewijzen door deductie
           
    Bewijzen door inductie 
    Visuele bewijzen
    Bewijzen uit het ongerijmde 
    Constructiebewijzen 
    Symmetriebewijzen
    Duivenhokprincipe             
    Bewijzen door afdalen
    Uitputting

    11-07-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Drie klassieke wiskundeproblemen

    KLASSIEKE PROBLEMEN

    De oude Grieken waren al gefascineerd door bewijzen en constructies. Zij kampten echter eeuwenlang met drie grote problemen:

    1.  De trisectie van een hoek.
    Gegeven een bepaalde hoek, hoe deel je die met passer en liniaal in drieën (drie gelijke delen)?
    2.  De kwadratuur van de cirkel.
    Gegeven een cirkel, hoe construeer je met passer en liniaal een vierkant met dezelfde oppervlakte als de cirkel? In feite komt dit neer op het construeren van een lijnstuk met lengte √π .
    3.  De verdubbeling van de kubus.
    Gegeven een kubus, hoe construeer je met passer en liniaal een kubus met inhoud het dubbele van de oorspronkelijke kubus? Dit komt dus neer op het construeren van een lijnstuk van lengte 3Ö2.

    De legende gaat dat de burgers van Athene door een epidemie geteisterd werden, en dat zij in 430 v. Chr. raad zochten bij het orakel van Apollo te Delos. Het orakel antwoordde dat het altaar van Apollo (dat de vorm van een kubus had) verdubbeld moest worden om de epidemie op te heffen. Gedachteloos begon men een altaar te bouwen met zijden dubbel zo groot als het oorspronkelijke. Maar de inhoud was helaas nu 8 keer zo groot. De goden waren vertoornd geraakt door deze blunder en de epidemie verergde. Men besloot ten einde raad Plato te raadplegen. Die zei: "De goden gaven ons deze opdracht niet omdat zij een groter altaar wilden, maar als verwijt dat wij de mathematica en geometrie verwaarlozen!" Vanaf die tijd wordt de verdubbeling van de kubus ook wel het "Delische probleem" genoemd.

    Ondanks talloze pogingen bleek men niet in staat deze problemen op te lossen. En het sneue is: deze drie problemen zijn niet op te lossen, zo is later bewezen. Het bewijs daarvan is nogal lastig.


    Voor de oplossing van het vraagstuk van de kwadratuur van de cirkel met passer en liniaal is de constructie van een lijnstuk met lengte √π en daarmee van  π nodig. Al eerder was bewezen dat een constructie met passer en liniaal altijd 'vertaald' kan worden in het oplossen van een kwadratische vergelijking met hele coëfficiënten, en andersom is elke kwadratische vergelijking met gehele coëfficiënten om te zetten in een constructie met passer en liniaal. Maar in 1882 bewees Carl Louis Ferdinand von Lindemann dat π een transcendent  (of een niet-algebraïsch) getal  is. Omdat π niet kan optreden als oplossing van een algebraïsche vergelijking in het algemeen, laat staan van een kwadratische vergelijking, is de constructie van het gevraagde lijnstuk onmogelijk en daarmee ook de kwadratuur van de cirkel. (Bron: Wikipedia).

    Hippocrates van Chios (470-410 v. Chr.) vond een methode om aan te tonen dat de oppervlakte van bijzondere kromlijnige figuren, namelijk maantjes gelijk kon zijn aan de oppervlakte van een vierkant. Zo bleef de hoop nog altijd bestaan dat men een cirkel zou kunnen 'kwadrateren'.  Een maantje is een vlakke figuur begrensd door twee cirkelbogen. Hippocrates bewees namelijk dat de oppervlakte van de twee gele maantjes (onderstaande figuur) gelijk is aan de oppervlakte van de rechthoekige driehoek Δ ABC. Een bewijs hiervan vind je in bijlage.

    luna2.gif (3705 bytes)   

    Natuurlijk waren er wel een aantal "valsspelers"; zij ontwikkelden krommen of speciale apparaten om de problemen wél op te lossen. Maar natuurlijk zijn dit niet "echte" constructies met behulp van passer en liniaal.  Euclides zou zich omdraaien in zijn graf!
    Een paar zulke notoire valsspelers:  


    Bron: http://hhofstede.nl/bewijzen/bewijzen.htm

    Bijlagen:
    DE MAANTJES VAN HIPPOCRATES.doc (44 KB)   

    11-07-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    10-07-2009
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Spiralenspielerei




    Spiralen vormen al van in de oudheid een intrigerend studieobject binnen de wiskunde.
    Wanneer we om ons heen kijken, dan blijken ze vaak heel onverwacht op te duiken:
    bij wenteltrappen, slakkenhuizen, in spiraalvormige melkwegstelsels,
    zonnebloempitten zitten gerangschikt volgens spiralen,
    spinnen weven hun net volgens spiralen, ...

     **********************************************************************************************************************

    :www.mathcurve.com is een Franstalige website ontworpen door Robert Ferréol, een wiskundeleraar aan het Lyceum Fénelon in Parijs.

    Dit meesterwerkje geeft een encyclopedisch overzicht van 2D-krommen, 3D-krommen, oppervlakken, fractalen en veelvlakken.

    Eén van de rubrieken gaat uiteraard over spiralen.

    SPIRALE
    Une spirale plane est courbe ayant une équation polaire r = f(q) avec f monotone sur un intervalle non borné.
    Les spirales sont forcément des courbes transcendantes.
    Exemples :
         - la
    spirale logarithmique.
         - les spirales d'équation  (parfois appelées spirales archimédiennes) :
            - la spirale d'
    Archimède (m = n =1) et sa cousine la développante de cercle.
            - la spirale
    hyperbolique (m = -n = 1)
            - la spirale de
    Fermat (m = 2, n = 1) (cas particulier de spirale parabolique)
            - un cas particulier de spirale de
    Galilée (m = 1, n = 2), le lituus (m = 2, n = -1).
        - les
    spirales sinusoïdales, qui ne sont en général pas des spirales au sens ci-dessus.
        - la
    spirale tractrice.
        - les
    spirales de Poinsot.
        - la
    courbe du spiral.
        - la
    spirale de Cornu.
        - la
    spirale de la tige en rotation.
    Viennent s’ajouter à ces spirales planes les spirales coniques de Pappus et de Pirondini ,
    les spirales sphériques (ou clélies) qui sont des courbes gauches.
    Voir aussi l'asymptotique du tore à collier nul.
     
    Duitstalige website : mathematische-basteleien.de/spirale.htm

     

    Op http://www.espace-sciences.org/science/images/images-maj/Perso/spiderweb/index_spider.html
    zie je op welk een meesterlijke manier een spin haar web weeft
    en hierbij spiraalvormige lijnen volgt.

    Met dank aan Annie Van Maldeghem
    Eredocent Hogeschool voor Wetenschap en Kunst
    Sint-Lucas Architectuur Gent.


    10-07-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Einstein in België


    World Year of Physics


    2005 werd uitgeroepen tot Internationaal Jaar van Fysica en op die manier werd meteen het wonderjaar (annus mirabilis) 1905 herdacht waarin Albert Einstein (1879-1955) vier artikels publiceerde in het tijdschrift Annalen der Physik, die een schokgolf zouden veroorzaken in de wetenschappen. Hij behandelde daarin vier verschillende thema’s : de kwanta (licht en materie als deeltjes én golven), de atomen (Brownse beweging), de speciale relativiteit (uitgaande van het feit dat de lichtsnelheid een constante is en dus onafhankelijk van de snelheid van de waarnemer) en de equivalentie van energie en materie (E = mc²).

     

    De algemene relativiteitstheorie (over het effect van de zwaartekracht op de kromming van de ruimte) zou Einstein in 1915 de wereld insturen via een aantal lezingen voor de Pruisische Academie voor Wetenschappen.

     

    Einstein had ook een bijzondere relatie met ons land :

    -         hij had naaste familie in Antwerpen (o.a. zijn oom César Koch);

    -         hij nam deel aan vier Solvayconferenties in Brussel;

    -         hij was vriend aan huis bij koning Albert I en koningin Elisabeth;

    -         hij verbleef in 1933 zes maanden in De Haan waar hij onderdook voor het opkomende naziregime in Duitsland.




    Einstein met zijn vrouw Elsa Koch
    voor de 'Villa Savoyarde' in De Haan
    (nu: Shakespearelaan 5)


    Aankomst in Antwerpen


    Einstein op het terras van het restaurant
    'Le coeur volant' in De Haan samen
    met o.a. James Ensor.

     

    In bijlage vind je vijf artikels:
    - De Einsteincode: dit is de tekst van een lezing die ik in 2005 in Oostende gaf op het tweejaarlijks congres van de Vlaamse Vereniging vanWiskundeleraars. De tekst bevat een aantal opdrachten die in de vrije ruimte kunnen gebruikt worden.
    Wie de tekst aandachtig leest en bereid is een paar berekeningen te maken, zal ook begrijpen waarom de tijd trager vooruitloopt in een raket die met een heel hoge snelheid door de ruimte schiet. Dit is meteen de basis van de zogenaamde tweelingenparadox: als de ene helft van een tweeling een reis maakt door de ruimte, zal hij 'jonger' dan zijn tweelingsbroer terugkeren op aarde. 
    Je kan er ook meer te weten komen over het kaartspel 'De Einsteincode' (Die Keure, 2005).
    - Einstein en België:  een bijdrage over het verblijf van Einstein in België in 1933 en de contacten die hij hier had.
    -  Einstein in De Haan:  een bijdrage van Wilfried Saelens, archiefverantwoordelijke van de gemeente De Haan.
    - Einsteindossier:  de officiële gids van de tentoonstelling 'Einstein Anders Bekeken' (Tour & Taxis, Brussel 2005)
    -
    De Einsteincode (2005): een werkwinkel die ik in 2005 gaf op het T3-symposium in Oostende en waarbij men een aantal kansexperimenten moet uitvoeren met een grafisch rekentoestel.

     

    Bijlagen:
    DE EINSTEIN CODE(2005).doc (241.5 KB)   
    DE EINSTEINCODE.doc (1 MB)   
    Einstein en België.pdf (132.5 KB)   
    Einstein in De Haan.doc (45 KB)   
    EINSTEINDOSSIER.pdf (2.8 MB)   

    10-07-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    09-07-2009
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.CUT THE KNOT

    http://www.cut-the-knot.org/

    Onvolprezen wiskunde-website!



    Alexander Bogomolny was in een vroeger leven Associate Professor of Mathematics at the University of Iowa.

    Als software-ontwikkelaar had hij jaren geleden het lumineus idee om een wiskunde-website op te starten.

    09-07-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.The day the music died

    Muziek kan ook voor een wiskundige een therapeutisch effect hebben.

    De hits van Buddy Holly, die mijn negen jaar oudere broer Eric begin de jaren '60 als teenager via zijn bandopnemer afspeelde, spoken nog vaak door mijn hoofd.

    Met zijn rock-'n-roll-muziek was Buddy Holly meteen een pionier van de hedendaagse popmuziek. Hebben we niet allemaal de opdracht om ergens pionier te zijn?


    KRANTENBERICHT

    3 februari 1959 - De Amerikaanse artiesten Ritchie Valens, Buddy Holly en the Big Bopper zijn omgekomen bij een vliegtuigongeluk.

    Het vliegtuig was net opgestegen vanuit Mason City. Ook de piloot overleefde het ongeluk niet.

    Het vliegtuig, een Beechcraft Bonanza, met de drie Amerikaanse sterren aan boord, was op weg naar Fargo in North Dakota.

    De artiesten toerden gezamenlijk door Amerika en hadden die dag een optreden in Moorhead.

    Buddy Holly had het vliegtuig geregeld omdat zijn tourbus kapot was gegaan.

    Aanvankelijk zou The Big Bopper, zijn echte naam was Jiles Perry Richardson, ook niet met het vliegtuig gaan.

    Hij voelde zich echter niet lekker en besloot daarom plaats te nemen in het vliegtuig.

    Ritchie Valens had de toss gewonnen tegen gitarist Tommy Allsup en kon daarom meevliegen met het gezelschap.

    Het was meteen zijn eerste vlucht.

    De oorzaak van het ongeluk was waarschijnlijk een kleine sneeuwstorm, waardoor het vliegtuig uit balans raakte.

    De onervaren 21-jarige piloot heeft vermoedelijk het vliegtuig niet onder controle kunnen houden,

    waarna het om 5 minuten over 1 ’s nachts neerstortte in een maisveld.

    The Big Bopper was 28 jaar oud, Buddy Holly was slechts 22 jaar oud en Ritchie Valens was pas 17 jaar oud.


    De werkelijke naam van Buddy Holly was Charles Hardin Holley. 

    Zijn meest bekende nummers zijn That'll Be The Day, Oh Boy (mei 1958 samen met The Crickets) en Peggy Sue.

    Vandaag de dag is Buddy Holly nog steeds een cultfiguur van de rock-'n-roll door zijn talent, zijn pionierswerk en ook omwille van het stormachtig verloop van zijn carrière.


    In 1971 schreef Don McLean het nummer American Pie dat een beschrijving is van de dood van Buddy Holly en de evolutie van de muziek in de jaren na zijn dood.


    Een bekende zin uit dit nummer zorgde ervoor dat 3 februari 1959 voortaan bekend staat als “ The Day the Music Died.


    A long long time ago
    I can still remember how that music used to make me smile
    And I knew if I had my chance
    That I could make those people dance
    And maybe they'd be happy for a while
    But February made me shiver
    With every paper I'd deliver
    Bad news on the doorstep
    I couldn't take one more step
    I can't remember if I cried
    When I read about his widowed bride
    But something touched me deep inside
    The day the music died
     ...





    Een intro met originele beelden van de optredens van Buddy Holly en The Crickets kan je bekijken op http://www.buddyhollyandthecrickets.com/

    Op het onderstaande  Youtube-fimpje zien we een uitvoering door Buddy Holly en The Crickets van hun hit 'Peggy Sue'.

    Dit optreden vond plaats in New York op 29 december 1957 op de Arthur Murray Dance Party.

    Het was erg ongebruikelijk dat op dit klassiek dansfeest een 'popband' mocht optreden.

    Let op de netjes uitgedoste jonge meisjes die haast bewegingsloos op de achtergrond toekijken.

    Treffend zijn ook de wijze woorden van de dame die de band inleidt:

    "Wat je ook denkt van rock-'n-roll, blijf open staan voor wat de jongeren beweegt!"

    09-07-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Het duivenhokprincipe
    Klik op de afbeelding om de link te volgen









    Het duivenhokprincipe wordt ook wel ladenprincipe of principe van Dirichlet genoemd.

    – In het Engels: Pigeon hole principle.

    – In het Duits: Schubfachprinzip.

    – In het Frans:  Principe des tiroirs.

    Het is een fascinerend wiskundig bewijsprincipe met heel wat mooie toepassingen.

     

    Een  bevattelijke introductietekst over dit principe vind je o.a. in een artikel van André de Boer in het tijdschrift Pythagoras van april 1999: http://www.pythagoras.nu/jaargang/9899/apr99/ladenopl.php.


    Principe:

    • Als er 10 duiven in 9 hokken neerstrijken, dan is er minstens één hok waarin er minstens twee duiven zitten.
    • Als er 28 duiven over 9 hokken neerstrijken, dan is er minstens één hok waarin er minstens vier duiven zitten.
    • Als er n + 1 duiven over n hokken neerstrijken, dan is er minstens één hok waarin er minstens twee duiven zitten.
    • Als er m duiven in n hokken neerstrijken, dan is er minIn bstens één hok met minstens [(m-1)/n] + 1 duiven. Hierbij is de functie […] de Entier-functie van Legendre, die met elk reëel getal het grootste geheel getal laat overeenkomen dat kleiner is dan of gelijk aan dat reëel getal. Zo zal er bijvoorbeeld bij 45 duiven die over 7 hokken worden verdeeld, minstens één hok zijn met [44/7] + 1 = 6 + 1 = 7 duiven.

    In bijlage zit een tekst met vijf eenvoudige opdrachten gebaseerd op het duivenhokprincipe en ook nog een tekst van collega Fabien Decruyenaere met een resem leuke voorbeelden.

    Bijlagen:
    Duivenhokprincipe (Fabien Decruyenaere).pdf (176.2 KB)   
    HET DUIVENHOKPRINCIPE.pdf (204.2 KB)   

    09-07-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De stelling van Pick

    Sommige wiskundige stellingen zijn zo fantastisch eenvoudig en elegant dat je je verbaasd afvraagt:
    ”Hoe is het mogelijk dat ik daar niet zelf op gekomen ben?”

    Deze bijdrage gaat over zo’n stelling, geschikt ook voor leerlingen van de eerste graad.
    Deze stelling is  eenvoudiger  dan de stelling van  Thales, 
    zelfs  nog  eenvoudiger dan de stelling  van  Pythagoras, 
    maar onbekend bij vele  professionele wiskundigen.
    De  stelling  wordt genoemd naar haar ontdekker,
    de Oostenrijkse wiskundige Georg Alexander Pick,
    geboren op10 augustus 1859 in Wenen
    en omgekomen op 26 juli 1942 in het concentratiekamp Theresienstadt (Bohemen, nu Tsjechië),
    waarheen hij op 82 jarige leeftijd om zijn joodse afkomst gedeporteerd werd .

    Picks stelling gaat over simpele roosterveelhoeken.
    Dat zijn veelhoeken waarvan de hoekpunten roosterpunten zijn en waarvan de zijden mekaar niet snijden, zoals de onderstaande roostervijfhoek.


    Bestand:Pick theorem.png

    Als i het aantal inwendige roosterpunten is van de roosterveelhoek en r het aantal roosterpunten op de rand ervan,

    dan noemen we de uitdrukking i + r/2 - 1 het Pickgetal van die roosterveelhoek.

    In het bovenstaande voorbeeld  hebben we: i = 39 en r = 14, zodat het Pickgetal gelijk is aan 
    39 + 7 - 1 = 45.

    Volgens de stelling is dit precies de oppervlakte van die veelhoek.

    In het tijdschrift Wiskunde en Onderwijs nr. 125 geeft de hoofdredacteur Daniël Tant een bewijs van deze merkwaardige stelling.

    In bijlage zit het bewijs van collega Dion Gijswijt.

    Voor wie de stelling wil controleren op een aantal zelfontworpen roosterveelhoeken verwijzen we graag naar het applet op http://www.cut-the-knot.org/ctk/Pick.shtml .

    Bijlagen:
    Gijswijt_Pick_een bewijs.pdf (51.1 KB)   

    09-07-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    08-07-2009
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Logisch redeneren met 'peg solitaire' en 'sokoban'

    Simple wood version of English peg solitaire with start position.

    PEG SOLITAIRE

    Dit is een klassiek bordspel. In de Engelse versie liggen op dit bord 32 pionnen ('pegs', meestal knikkers) en in het midden is een vrije ruimte.

    Wanneer je een pion kunt laten springen naar een vrije ruimte over een pion die er onmiddellijk naast ligt, mag je de pion waarover je wipt wegnemen van het bord.

    Het is de bedoeling alle knikkers op één na van het bord weg te spelen en ervoor te zorgen dat de laatste knikker in het middenste vakje eindigt.

    Een oplossing voor dit spel vind je in bijlage.



    Op het internet staan verschillende leuke en uitdagende varianten van dit spel. Hieronder zie je zo een denkpuzzel.

    Het is de bedoeling dat alle gele knikkers op één na worden verwijderd en dat de laatste knikker eindigt op de zwarte stip.

    Je mag uiteraard slechts een knikker wegnemen wanneer je met een andere knikker, die er onmiddelijk naast ligt, naar een vrije plaats kunt wippen.

    Je vindt deze versie op http://denken.leukespellen.be/peg-solitaire-spelletjes.html.

    Het spel wordt er tegen de tijd gespeeld en de moeilijksgraad van de opgaven neemt geleidelijk aan toe.




    SOKOBAN

    Sokoban (倉庫番 Sōkoban, "magazijnwerker" in het Japans) is een puzzel waar de speler dozen door een doolhof moet verplaatsen, zodat deze op bepaalde doelen worden geplaatst.

    Het is slechts mogelijk een enkele doos tegelijk te verplaatsen en de dozen kunnen niet getrokken worden.

    Sokoban is in 1982 uitgevonden door Hiroyuki Imabayashi en het spel is toen uitgegeven door Thinking Rabbit, een softwarefirma uit Takarazuka, in Japan.

    Hieronder zie je zo een opgave staan. De magazijnwerker moet dus achter een kist gaan staan om die vooruit te duwen.

    Hij kan nooit meer dan één kist tegelijk vooruit duwen en de vier kisten moeten eindigen op de zwarte stippen.

    Je vindt deze versie op http://www.game-remakes.com/play.php?id=279.

    Ook hier komen de opgaven met een stijgende moelijkheidsgraad op je af.

    Bijlagen:
    Oplossing voor Peg Solitaire.pdf (88.9 KB)   

    08-07-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    07-07-2009
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Poëtisch intermezzo



    Teksten kunnen blijven hangen
    als sluimerende vleermuizen
    wachtend op het juiste moment
    en fladderen dan plots weer op...

    Poëzie brengt wiskundigen en niet-wiskundigen dichter(s).



    Voor een dag van morgen

    Wanneer ik morgen doodga
    vertel dan aan de bomen
    hoeveel ik van je hield.

    Vertel het aan de wind,
    die in de bomen klimt
    of uit de takken valt,
    hoeveel ik van je hield.

    Vertel het aan een kind,
    dat jong genoeg is om het te begrijpen.

    Vertel het aan een dier,
    misschien alleen door het aan te kijken.

    Vertel het aan de huizen van steen,
    vertel het aan de stad,
    hoe lief ik je had.

    Maar zeg het aan geen mens.
    Ze zouden je niet geloven.
    Ze zouden het niet willen geloven dat
    alleen maar een man alleen maar een vrouw,
    dat een mens een mens zo liefhad
    als ik jou.

    Hans Andreus



    Poëzie

    Zoals je tegen een ziek dochtertje zegt :
    mijn miniatuurmensje, mijn zelfgemaakt
    verdrietje, en het helpt niet;
    zoals je een hand op haar hete voorhoofdje
    legt, zo dun als sneeuw gaat liggen,
    en het helpt niet :

    zo helpt poëzie.

    Herman de Coninck


    Verzet begint niet met grote woorden

     

    Verzet begint niet met grote woorden
    maar met kleine daden

     

    zoals storm met zacht geritsel in de tuin
    of de kat die de kolder in zijn kop krijgt

     

    zoals brede rivieren
    met een kleine bron
    verscholen in het woud

     

    zoals een vuurzee
    met dezelfde lucifer
    die een sigaret aansteekt

     

    zoals liefde met een blik
    een aanraking iets dat je opvalt in een stem

     

    jezelf een vraag stellen
    daarmee begint verzet

     

    en dan die vraag aan een ander stellen


    Remco Campert



    De steen

    Ik heb een steen verlegd in een rivier op aarde.
    Het water gaat er anders dan voorheen.
    De stroom van een rivier hou je niet tegen.
    Het water vindt er altijd een weg omheen.


    Misschien eens, gevuld door sneeuw en regen,
    neemt de rivier mijn kiezel met zich mee,
    om hem dan glad en rond gesleten
    te laten rusten in de luwte van de zee

    Ik heb een steen verlegd in een rivier op aarde.
    Nu weet ik dat ik nooit zal zijn vergeten.
    Ik leverde bewijs van mijn bestaan.
    Omdat door het verleggen van die ene steen
    de stroom nooit meer dezelfde weg zal gaan

    Bram Vermeulen

    Bram Vermeulen overleed heel onverwacht in de zomer van 2004 in Toscane aan een hartstilstand.

    Kort voordien ontmoette ik hem nog in het West-Vlaamse Bellegem, waar hij samen met Wigbert Van Lierde het muzikaal programma 'Mannen Maken Oorlog' verzorgde.

    De foto's in bijlage zijn de stille getuigen van deze vluchtige ontmoeting met een veelzijdige en 'Duvelse' rasartiest.
    Met dank aan DF-Bellegem.

    Bijlagen:
    Bram_Vermeulen_2004.pdf (364.3 KB)   

    07-07-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Zonnebloemen en de rij van Fibonacci

    Zonnebloemen en de rij van Fibonacci

    2000-2001: Wiskunde en zonnebloemen

    Regelmatig brengen de organisatoren van de VWO (Vlaamse Wiskunde Olympiade) posters op de markt waarop één of ander wiskundig probleem wordt voorgesteld. Voor de editie 2000-2001 verscheen een opmerkelijke poster met een zonnebloem op. Hierbij werd de vraag gesteld waarom zonnebloempitten in het hart van de bloem 21 bochten vormen in de ene richting en 34 in de andere.

    Over getallen in de natuur (met dank aan Stéphane Durand, Montreal)

    Getallen in de natuur

    Waarom hebben bloemen meestal 3, 5, 8, 13, 21, 34 of 55 bloemblaadjes? Enkele voorbeelden: de lelie heeft 3 bloemblaadjes, het boterbloempje 5, de cichorei heeft er 21, het madeliefje vaak 34 of 55, enz.... Als we daarenboven een zonnebloem bekijken, stellen we vast dat de zonnebloempitten twee reeksen bochten vertonen; de éne bochten in de ene richting, de andere in de andere richting. Hierbij is het aantal bochten in de twee richtingen verschillend. Meestal bedraagt het aantal bochten ofwel 21 en 34, ofwel 34 en 55, ofwel 55 en 89, ofwel 89 en 144. Hoe komt dit? Hetzelfde geldt voor denne-appels: waarom vertonen die ofwel 8 spiralen in de ene richting en 13 in de andere ofwel 5 spiralen in de ene richting en 8 in de andere? En tenslotte, waarom heeft een ananas ook 8 diagonalen in de ene richting en 13 in de andere?

    Zijn deze getallen puur toeval? Nee! Al deze getallen komen voor in de rij van Fibonacci:

                                                                                  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

    In deze rij is vanaf het derde getal elke term de som van de vorige twee getallen. Het belang van deze getallen in de natuur was reeds lang opgemerkt, maar pas recent kon aangetoond worden waarom precies deze getallen verschijnen. Dit heeft te maken met efficiëntie gedurende het groeiproces van planten (zie verder).

    De verklaring is verbonden met een ander beroemd getal, de gulden snede, dat zelf in verband staat met de spiraalvorm van bepaalde soorten schelpen. Het is wel zo dat bij de zonnebloem, de ananas en de denne-appel de overeenkomst met de Fibonaccigetallen heel exact is, terwijl het bij de bloemblaadjes eerder om een gemiddelde gaat .

    De doeltreffendheid van de gulden snede

    De hiernavolgende uitleg is heel beknopt. Voor een meer gedetailleerde uitleg verwijzen we naar de website in de referentie.

    In veel gevallen is het hart van een bloem opgebouwd uit kleine zaadjes die geproduceerd worden in het midden en die dan naar de rand migreren om uiteindelijk de volledige ruimte op te vullen (zoals bij een zonnebloem, maar op veel kleinere schaal). Elk nieuw zaadje verschijnt onder een bepaalde hoek in vergelijking met het vorige zaadje. Figuur 1 toont bijvoorbeeld het resultaat na verschillende generaties bij een hoek van 90 graden (een kwartdraai).

    Uiteraard is dit niet de meest efficiënte manier om de ruimte te vullen. Als de hoek tussen de opeenvolgende zaadjes een deel van een volledige draai is dat overeenstemt met een breuk, 1/3, 1/4, 3/4, 2/5, 3/7, enz..., dan verkijg je altijd een reeks rechte lijnen. Als je dit rechtlijnig patroon wil vermijden, moet je een gedeelte van een volledige draai kiezen dat bepaald is door een irrationaal getal is. Als dit irrationaal getal goed benaderd wordt door een breuk, krijg je een reeks gebogen lijnen (spiraalvormen) die de ruimte niet perfect opvullen.
     
    Om de ruimte optimaal te vullen is het nodig om het "meest irrationaal" getal te kiezen, d.w.z. het getal dat het minst goed wordt benaderd door een breuk. Zo een getal is de gulden snede. De overeenstemmende hoek, de gulden hoek, bedraagt 137,5 graden. (Deze hoek verkrijg je door het niet-geheel deel van de gulden snede te vermenigvuldigen met 360 graden en, omdat je een hoek van meer dan 180 graden verkrijgt, daarvan het complement te nemen). Door gebruik te maken van deze hoek wordt de ruimte optimaal gevuld, d.w.z. dat de afstand tussen alle zaadjes dezelfde is (figuur 3).

    Deze hoek moet heel precies gekozen worden: een afwijking van 1/10 graad vernietigt volledig de optimale opvulling van de ruimte. (In figuur 2 bedraagt de hoek 137,6 graden!). Enkel en alleen als de hoek exact de gulden hoek is, zijn er twee reeksen spiralen zichtbaar (één in elke richting): hun aantal stemt overeen met de teller en de noemer van één van de breuken die de gulden snede benaderen: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21 enz...

    Deze getallen zijn precies de getallen uit de rij van Fibonacci (hoe groter de getallen, hoe beter de benadering) en de keuze van de breuk hangt af van de tijdsspanne tussen het verschijnen van de zaadjes in het midden van de bloem.

    Dit is de verklaring waarom het aantal bochten in het hart van een zonnebloem, en meer in het algemeen in het hart van bloemen, overeenstemt met een Fibonaccigetal. Bovendien worden de bloemblaadjes gevormd op het uiteinde van één van de reeksen spiralen, waardoor ook het aantal bloemblaadjes, gemiddeld gezien, overeenstemt met een Fibonacci-getal.
    --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    In hetzelfde jaar verscheen trouwens nog een tweede poster die een verband aangeeft tussen de gulden snede en een huisjesslak.


    Bron
    www.vwo.be

    Bibliografie

    • In bijlage vind je twee mooie teksten over de rij van Fibonacci.
      De eerste tekst is van de hand van ere-pedagogisch begeleider Walter De Volder en werd door collega's Paul Decuypere en Dominiek Ramboer voorgesteld op de Dag van de Wiskunde van 20 november 2004 in Kortrijk.
      De tweede tekst is een creatie van de medewerkers van het 'Scholennetwerk' van de Universiteit Hasselt: http://www.scholennetwerk.be/  

    Bijlagen:
    Fibonacci jonger dan je denkt.pdf (389.9 KB)   
    Rij_van_Fibonacci.pdf (433.2 KB)   

    07-07-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Het brandpunt van een parabool

    Schotelantennes vangen televisieprogramma's op vanuit alle uithoeken van de wereld.

    Gigantische paraboolantennes vangen allerlei golven op vanuit de kosmos en zoeken zelfs naar buitenaards leven.

    De informatie wordt hierbij telkens gebundeld in het brandpunt van de antenne.



    Voor de moderne Olympische Spelen wordt het Olympisch vuur nog steeds in Olympia aangestoken.

    Vrouwelijke priesters, uitgebeeld door actrices, steken de fakkel aan door deze in het brandpunt van een holle parabolische spiegel te plaatsen.

    Hoe kan je echter wiskundig verklaren dat de zonnestralen, die op een parabolische spiegel invallen, weerkaatsen door het  brandpunt?

    En welke merkwaardige eigenschappen heeft een parabool nog?


    GeoGebra is het ideale werkinstrument om hiervoor op een experimentele wijze het antwoord te zoeken!

    In bijlage vinden de liefhebbers van de vlakke analytische meetkunde een uitdaging om een aantal eigenschappen van de parabool te bewijzen.

    Er zit ook een onderzoeksopdracht bij uit een T3-cahier dat ik heb samengesteld (zie www.t3vlaanderen.be - cahier 12).

    Het GeoGebrabestand laat toe te verifiëren dat de invallende lichtsstralen op een parabool weerkaatsen door het  brandpunt.

    Het volstaat hiervoor het punt P te verslepen. Bij de opbouw van dit bestand werd de invallende lichtstraal gespiegeld t.o.v. de normaal.



    Bijlagen:
    ONDERZOEKSOPDRACHT Brandpunt van een parabool.doc (45.5 KB)   
    OPDRACHTEN OVER DE PARABOOL.doc (168.5 KB)   
    Oplossing TI-programma voor brandpunt parabool.doc (29 KB)   
    OZO7 Brandpunt van een parabool.doc (80 KB)   
    Parabolische_spiegel.ggb (7.9 KB)   

    07-07-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Möbiusband

    Hoe maak ik een Möbiusband?


    1. Neem een langwerpig rechthoekig stuk papier ABCD.

    2. Geef de rechthoek halfweg een draai over 180°. 

    3. Plak de uiteinden aan elkaar zodat het punt A samenvalt met D en B met C.

    Je bekomt op die manier een Möbiusband, genoemd naar  August Ferdinand Möbius, een Duitse wiskundige en astronoom uit de 19de eeuw, die een pionier was op het gebied van de topologie. Hiermee veroorzaakte hij, samen met zijn illustere tijdsgenoten Riemann, Lobachevsky and Bolyai, een revolutie in de niet-euclidische meetkunde.

    Een merkwaardig feit aan een Möbiusband is dat hij maar één kant en één rand heeft. Je kunt dus niet spreken over een boven- of onderkant of een linker- of rechterrand. Om dit aan te tonen volstaat het in het midden van de band een doorlopende lijn te trekken tot je terug op het beginpunt komt. Probeer dan ook eens de band langs deze lijn in twee gelijke stukken te knippen. Kan je voorspellen wat er gebeurt? En wat stel je vast als je een Möbiusband in drie gelijke repen probeert te knippen?

    In de Möbiusband vonden kunstenaars zoals M. C. Escher en Max Bill inspiratie voor hun kunstwerken. Op de voorpagina van het boek ' Wis- en natuurlyriek, met chemisch supplement' van Drs. P. en Marjolein Kool staat de beroemde Möbiusband met rode mieren van Escher afgebeeld. Dit boekje is een absolute aanrader voor alle wiskundigen die houden van 'luchtige poëzie met een positief wetenschappelijke inslag' (ISBN 978 90 388 9086 9 - uitgeverij Nijgh & Van Ditmar, Amsterdam 2008).





    We vonden hierin een stimulans om zelf een 'wisgedicht' uit ons toetsenbord te laten rollen.


    Moebius gears

    In de ban(d) van Möbius


    De ontwerper van de Möbiusband
    zocht tevergeefs hiervan de onderkant.
    Het liep ook aardig uit de hand
    met de linker- en de rechterrand.

    Hij nam dan maar een potlood fijn
    en tekende halfweegs de band een lijn;
    geen volle, maar een lijn met stippen
    bedoeld om hem in twee te knippen.

    Ook hiervan kreeg de man vlug spijt:
    hij raakte zijn oriëntatie kwijt.
    Uiteindelijk ten einde raad
    besloot hij toen plots heel kordaat:

    " Slechts één ding kan me nu nog lukken:
    het verknippen in drie gelijke stukken."
    Tot verbazing van de snelle beslisser
    liep ook dit uit op een sisser.

    De moraal hiervan kan zijn:
    een Möbiusband brengt hersenpijn.
    Neem liever dagelijks een slokje wijn
    uit een frisse fles van Klein.

    dr. Luc Gheysens
    7 juni 2009




    De fles van Klein is het driedimensionale 'equivalent' van de Möbiusband.
    Het is een niet-oriënteerbaar lichaam dat geen binnen- of buitenkant heeft.
    Deze fles is genoemd naar de Duitse professor Felix Klein (1849-1925).

    07-07-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    06-07-2009
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De muntencurve


    In de fysica duiken heel wat kwadratische verbanden (en parabolen) op.

    Voor een eenvoudig en verrassend experiment dat een parabool oplevert heb je enkel een meetlat, enkele muntjes van 10 eurocent en een vlakke bodem nodig.

          

    Neem een meetlat van 30 cm en leg muntstukjes van 10 eurocent op regelmatige afstanden langs de lat, bijvoorbeeld telkens op 4 cm van elkaar.

    Hou één uiteinde van de lat goed vast en geef de muntstukken met het andere uiteinde een tik door het te laten zwaaien (figuur links).

    De muntstukken liggen nu volgens een bepaald patroon.

    Deze muntencurve blijkt een parabool te zijn (figuur rechts).

    Referentie: W. Peeters, Fysica is cool: experimenteerkit Universiteit Antwerpen.

    Info over de experimenteerkoffer en de proeven die je ermee kunt uitvoeren vind je op

    http://www.fisme.science.uu.nl/woudschotennatuurkunde/verslagen/Vrsl2004/wg21.htm

    Wetenschap is COOL!

    Bijlagen:
    Muntencurve uitleg.pdf (135.3 KB)   

    06-07-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)


    Archief per week
  • 11/12-17/12 2017
  • 04/12-10/12 2017
  • 27/11-03/12 2017
  • 20/11-26/11 2017
  • 13/11-19/11 2017
  • 06/11-12/11 2017
  • 30/10-05/11 2017
  • 23/10-29/10 2017
  • 16/10-22/10 2017
  • 09/10-15/10 2017
  • 02/10-08/10 2017
  • 25/09-01/10 2017
  • 18/09-24/09 2017
  • 11/09-17/09 2017
  • 04/09-10/09 2017
  • 28/08-03/09 2017
  • 21/08-27/08 2017
  • 14/08-20/08 2017
  • 07/08-13/08 2017
  • 31/07-06/08 2017
  • 24/07-30/07 2017
  • 17/07-23/07 2017
  • 10/07-16/07 2017
  • 03/07-09/07 2017
  • 26/06-02/07 2017
  • 19/06-25/06 2017
  • 12/06-18/06 2017
  • 05/06-11/06 2017
  • 29/05-04/06 2017
  • 22/05-28/05 2017
  • 15/05-21/05 2017
  • 08/05-14/05 2017
  • 01/05-07/05 2017
  • 24/04-30/04 2017
  • 17/04-23/04 2017
  • 10/04-16/04 2017
  • 03/04-09/04 2017
  • 27/03-02/04 2017
  • 20/03-26/03 2017
  • 13/03-19/03 2017
  • 06/03-12/03 2017
  • 27/02-05/03 2017
  • 20/02-26/02 2017
  • 13/02-19/02 2017
  • 06/02-12/02 2017
  • 30/01-05/02 2017
  • 23/01-29/01 2017
  • 16/01-22/01 2017
  • 09/01-15/01 2017
  • 02/01-08/01 2017
  • 25/12-31/12 2017
  • 19/12-25/12 2016
  • 12/12-18/12 2016
  • 05/12-11/12 2016
  • 28/11-04/12 2016
  • 21/11-27/11 2016
  • 14/11-20/11 2016
  • 07/11-13/11 2016
  • 31/10-06/11 2016
  • 24/10-30/10 2016
  • 17/10-23/10 2016
  • 10/10-16/10 2016
  • 03/10-09/10 2016
  • 26/09-02/10 2016
  • 19/09-25/09 2016
  • 12/09-18/09 2016
  • 05/09-11/09 2016
  • 29/08-04/09 2016
  • 22/08-28/08 2016
  • 15/08-21/08 2016
  • 08/08-14/08 2016
  • 01/08-07/08 2016
  • 25/07-31/07 2016
  • 18/07-24/07 2016
  • 11/07-17/07 2016
  • 04/07-10/07 2016
  • 27/06-03/07 2016
  • 20/06-26/06 2016
  • 13/06-19/06 2016
  • 06/06-12/06 2016
  • 30/05-05/06 2016
  • 23/05-29/05 2016
  • 16/05-22/05 2016
  • 09/05-15/05 2016
  • 02/05-08/05 2016
  • 25/04-01/05 2016
  • 18/04-24/04 2016
  • 11/04-17/04 2016
  • 04/04-10/04 2016
  • 28/03-03/04 2016
  • 21/03-27/03 2016
  • 14/03-20/03 2016
  • 07/03-13/03 2016
  • 29/02-06/03 2016
  • 22/02-28/02 2016
  • 15/02-21/02 2016
  • 08/02-14/02 2016
  • 01/02-07/02 2016
  • 25/01-31/01 2016
  • 18/01-24/01 2016
  • 11/01-17/01 2016
  • 04/01-10/01 2016
  • 28/12-03/01 2021
  • 21/12-27/12 2015
  • 14/12-20/12 2015
  • 07/12-13/12 2015
  • 30/11-06/12 2015
  • 23/11-29/11 2015
  • 16/11-22/11 2015
  • 09/11-15/11 2015
  • 02/11-08/11 2015
  • 26/10-01/11 2015
  • 19/10-25/10 2015
  • 12/10-18/10 2015
  • 05/10-11/10 2015
  • 28/09-04/10 2015
  • 21/09-27/09 2015
  • 14/09-20/09 2015
  • 07/09-13/09 2015
  • 31/08-06/09 2015
  • 24/08-30/08 2015
  • 17/08-23/08 2015
  • 10/08-16/08 2015
  • 03/08-09/08 2015
  • 27/07-02/08 2015
  • 20/07-26/07 2015
  • 13/07-19/07 2015
  • 06/07-12/07 2015
  • 29/06-05/07 2015
  • 22/06-28/06 2015
  • 15/06-21/06 2015
  • 08/06-14/06 2015
  • 01/06-07/06 2015
  • 25/05-31/05 2015
  • 18/05-24/05 2015
  • 11/05-17/05 2015
  • 04/05-10/05 2015
  • 27/04-03/05 2015
  • 20/04-26/04 2015
  • 13/04-19/04 2015
  • 06/04-12/04 2015
  • 30/03-05/04 2015
  • 23/03-29/03 2015
  • 16/03-22/03 2015
  • 09/03-15/03 2015
  • 02/03-08/03 2015
  • 23/02-01/03 2015
  • 16/02-22/02 2015
  • 09/02-15/02 2015
  • 02/02-08/02 2015
  • 26/01-01/02 2015
  • 19/01-25/01 2015
  • 12/01-18/01 2015
  • 05/01-11/01 2015
  • 29/12-04/01 2015
  • 22/12-28/12 2014
  • 15/12-21/12 2014
  • 08/12-14/12 2014
  • 01/12-07/12 2014
  • 24/11-30/11 2014
  • 17/11-23/11 2014
  • 10/11-16/11 2014
  • 03/11-09/11 2014
  • 27/10-02/11 2014
  • 20/10-26/10 2014
  • 13/10-19/10 2014
  • 06/10-12/10 2014
  • 29/09-05/10 2014
  • 22/09-28/09 2014
  • 15/09-21/09 2014
  • 08/09-14/09 2014
  • 01/09-07/09 2014
  • 25/08-31/08 2014
  • 18/08-24/08 2014
  • 04/08-10/08 2014
  • 21/07-27/07 2014
  • 07/07-13/07 2014
  • 30/06-06/07 2014
  • 16/06-22/06 2014
  • 09/06-15/06 2014
  • 28/04-04/05 2014
  • 21/04-27/04 2014
  • 14/04-20/04 2014
  • 07/04-13/04 2014
  • 31/03-06/04 2014
  • 24/03-30/03 2014
  • 17/03-23/03 2014
  • 10/03-16/03 2014
  • 03/03-09/03 2014
  • 24/02-02/03 2014
  • 17/02-23/02 2014
  • 10/02-16/02 2014
  • 03/02-09/02 2014
  • 27/01-02/02 2014
  • 20/01-26/01 2014
  • 13/01-19/01 2014
  • 06/01-12/01 2014
  • 30/12-05/01 2014
  • 23/12-29/12 2013
  • 16/12-22/12 2013
  • 09/12-15/12 2013
  • 02/12-08/12 2013
  • 25/11-01/12 2013
  • 18/11-24/11 2013
  • 11/11-17/11 2013
  • 04/11-10/11 2013
  • 28/10-03/11 2013
  • 21/10-27/10 2013
  • 14/10-20/10 2013
  • 07/10-13/10 2013
  • 30/09-06/10 2013
  • 23/09-29/09 2013
  • 16/09-22/09 2013
  • 09/09-15/09 2013
  • 02/09-08/09 2013
  • 26/08-01/09 2013
  • 19/08-25/08 2013
  • 12/08-18/08 2013
  • 05/08-11/08 2013
  • 29/07-04/08 2013
  • 22/07-28/07 2013
  • 15/07-21/07 2013
  • 08/07-14/07 2013
  • 01/07-07/07 2013
  • 24/06-30/06 2013
  • 17/06-23/06 2013
  • 10/06-16/06 2013
  • 03/06-09/06 2013
  • 27/05-02/06 2013
  • 20/05-26/05 2013
  • 13/05-19/05 2013
  • 06/05-12/05 2013
  • 29/04-05/05 2013
  • 22/04-28/04 2013
  • 15/04-21/04 2013
  • 08/04-14/04 2013
  • 01/04-07/04 2013
  • 25/03-31/03 2013
  • 18/03-24/03 2013
  • 11/03-17/03 2013
  • 04/03-10/03 2013
  • 25/02-03/03 2013
  • 18/02-24/02 2013
  • 11/02-17/02 2013
  • 04/02-10/02 2013
  • 28/01-03/02 2013
  • 21/01-27/01 2013
  • 07/01-13/01 2013
  • 31/12-06/01 2013
  • 24/12-30/12 2012
  • 17/12-23/12 2012
  • 10/12-16/12 2012
  • 03/12-09/12 2012
  • 26/11-02/12 2012
  • 19/11-25/11 2012
  • 12/11-18/11 2012
  • 05/11-11/11 2012
  • 29/10-04/11 2012
  • 22/10-28/10 2012
  • 15/10-21/10 2012
  • 08/10-14/10 2012
  • 01/10-07/10 2012
  • 24/09-30/09 2012
  • 17/09-23/09 2012
  • 10/09-16/09 2012
  • 03/09-09/09 2012
  • 27/08-02/09 2012
  • 20/08-26/08 2012
  • 13/08-19/08 2012
  • 06/08-12/08 2012
  • 30/07-05/08 2012
  • 23/07-29/07 2012
  • 16/07-22/07 2012
  • 09/07-15/07 2012
  • 02/07-08/07 2012
  • 25/06-01/07 2012
  • 18/06-24/06 2012
  • 11/06-17/06 2012
  • 04/06-10/06 2012
  • 28/05-03/06 2012
  • 21/05-27/05 2012
  • 30/04-06/05 2012
  • 23/04-29/04 2012
  • 16/04-22/04 2012
  • 09/04-15/04 2012
  • 02/04-08/04 2012
  • 26/03-01/04 2012
  • 12/03-18/03 2012
  • 05/03-11/03 2012
  • 27/02-04/03 2012
  • 20/02-26/02 2012
  • 13/02-19/02 2012
  • 06/02-12/02 2012
  • 30/01-05/02 2012
  • 23/01-29/01 2012
  • 16/01-22/01 2012
  • 09/01-15/01 2012
  • 02/01-08/01 2012
  • 26/12-01/01 2012
  • 12/12-18/12 2011
  • 05/12-11/12 2011
  • 28/11-04/12 2011
  • 14/11-20/11 2011
  • 07/11-13/11 2011
  • 31/10-06/11 2011
  • 24/10-30/10 2011
  • 10/10-16/10 2011
  • 12/09-18/09 2011
  • 05/09-11/09 2011
  • 29/08-04/09 2011
  • 15/08-21/08 2011
  • 04/07-10/07 2011
  • 27/06-03/07 2011
  • 20/06-26/06 2011
  • 13/06-19/06 2011
  • 06/06-12/06 2011
  • 30/05-05/06 2011
  • 16/05-22/05 2011
  • 28/03-03/04 2011
  • 14/02-20/02 2011
  • 24/01-30/01 2011
  • 17/01-23/01 2011
  • 10/01-16/01 2011
  • 03/01-09/01 2011
  • 20/12-26/12 2010
  • 13/12-19/12 2010
  • 06/12-12/12 2010
  • 20/09-26/09 2010
  • 06/09-12/09 2010
  • 23/08-29/08 2010
  • 19/07-25/07 2010
  • 12/07-18/07 2010
  • 05/07-11/07 2010
  • 28/06-04/07 2010
  • 21/06-27/06 2010
  • 14/06-20/06 2010
  • 10/05-16/05 2010
  • 05/04-11/04 2010
  • 29/03-04/04 2010
  • 15/03-21/03 2010
  • 08/03-14/03 2010
  • 15/02-21/02 2010
  • 08/02-14/02 2010
  • 09/11-15/11 2009
  • 02/11-08/11 2009
  • 26/10-01/11 2009
  • 19/10-25/10 2009
  • 05/10-11/10 2009
  • 28/09-04/10 2009
  • 21/09-27/09 2009
  • 07/09-13/09 2009
  • 31/08-06/09 2009
  • 27/07-02/08 2009
  • 20/07-26/07 2009
  • 13/07-19/07 2009
  • 06/07-12/07 2009
  • 29/06-05/07 2009
  • 22/06-28/06 2009
  • 15/06-21/06 2009
  • 01/06-07/06 2009
  • 25/05-31/05 2009
  • 18/05-24/05 2009
  • 11/05-17/05 2009
  • 27/04-03/05 2009
  • 28/11-04/12 -0001

    E-mail mij

    Druk op onderstaande knop om mij te e-mailen.


    Blog als favoriet !

    Zoeken met Google




    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op https://www.bloggen.be - Bloggen.be, eenvoudig, gratis en snel jouw eigen blog!